ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.7 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 0 3523 1039332 956876 2026-06-18T05:20:00Z Tayethetmon 144548 /* ရေးသား ထုတ်ဝေ ခဲ့သော စာအုပ်များ */ အမှတ်တရ 1039332 wikitext text/x-wiki {{Infobox writer | name =ဂျူး | image = |birth_date = {{Birth date and age|၁၉၅၈|၉|၂၀}} | birth_name = တင်⁠တင်ဝင်း | partents = ဦးသောင်း + ဒေါ်ငြိမ်း | birth_place = [[ရေနံချောင်းမြို့]] | nationality =[[File:Flag of Myanmar.svg|25px ]] မြန်မာ | ethnicity = [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ]] | religion = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | education = အမ်ဘီ⁠ဘီအက်စ်ဘွဲ့ | occupation = ဆရာဝန်၊ စာရေးဆရာ | ထင်ပေါ်ကျော်ကြားမှု = အရောင်းရဆုံးစာရင်းဝင် စာရေးဆရာမ | genre = ဝတ္ထု | notableworks = ''အမှတ်တရ''၊ ''မရှိမဖြစ်မိုး''၊ ''မြစ်တို့၏မာယာ''၊ ''ကြာတော့သည်လည်းမောင့်စကား'' }} '''ဂျူး'''သည် မြန်မာစာရေးဆရာမ ဖြစ်သည်။ ဝေဖန်မှုများစွာနှင့် ရေးသားလာခဲ့ရသော အမျိုးသမီးစာရေးဆရာတစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်ရေးဖြစ်စဉ် == ဆရာမဂျူးကို [[ရေနံချောင်းမြို့]]၌ ၁၉၅၈ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၀ ရက် စနေနေ့တွင် အဘ ဦးသောင်းနှင့် အမိ ဒေါ်ငြိမ်းတို့မှ မွေးဖွားသည်။ <ref name="ytp">{{cite news|url=http://www.yatanarpon.com.mm/entertainment/book/author_bio/%E1%80%82%E1%80%BA%E1%80%B4%E1%80%B8|title=ဂျူး|date=25 March 2011|work=Yatanarpon|language=Burmese|accessdate=17 July 2015|archivedate=19 December 2016|archiveurl=https://archive.today/20161219130311/http://www.yatanarpon.com.mm/entertainment/book/author_bio/%E1%80%82%E1%80%BA%E1%80%B4%E1%80%B8}}</ref><ref>{{cite news|url=http://www.mmtimes.com/index.php/lifestyle/6834-50-years-of-good-literature-lost.html|title=50 outstanding Myanmar women|date=10 June 2013|work=Myanmar Times|accessdate=17 July 2015|archivedate=21 July 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150721052500/http://www.mmtimes.com/index.php/lifestyle/6834-50-years-of-good-literature-lost.html}}</ref>အမည်ရင်းမှာ တင်⁠တင်ဝင်း ဖြစ်သည်။ မွေးချင်း (၅)ယောက်အနက် တတိယမြောက်ဖြစ်သည်။ ရေနံချောင်းမြို့တွင် သူငယ်တန်း၊ ကုန်းဇောင်းရွာတွင် သူငယ်တန်းမှ ပဉ္စမတန်းထိ၊ ရေနံချောင်းမြို့အမှတ် (၁) အစိုးရ အထက်တန်း ကျောင်းများတွင် ဆဋ္ဌမတန်းမှ ဒသမတန်းထိ ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ ၁၉၇၆-ခုနှစ်တွင် [[မန္တလေးဆေးတက္ကသိုလ်]] တက်ရောက်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၃-ခုနှစ်တွင် အမ်ဘီ⁠ဘီအက်စ် ဘွဲ့ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၇၉ ခုနှစ် မန္တလေး ဆေးတက္ကသိုလ် နှစ်လည်မဂ္ဂဇင်းပါ ''ရာဇဝင်ထဲမှာ မောင့်ကိုထားရစ်ခဲ့'' ဝတ္ထုတိုသည် ပထမဆုံး ပုံနှိပ် ဖော်ပြခံရသောစာမူ ဖြစ်သည်။ ၁၉၈၁ ခုနှစ် [[ရှုမဝ ရုပ်စုံမဂ္ဂဇင်း|ရှုမဝမဂ္ဂဇင်း]]ပါ ''သက်ငင်ချစ်'' (ချစ်ကိုယ်တွေ့) ဝတ္ထုတိုဖြင့် စာပေနယ်သို့ စတင်အခြေချနိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် ပထမဦးဆုံးလုံးချင်းဝတ္ထုဖြစ်သော *''အမှတ်တရ*'' ဝတ္ထု (ဝေဖန်ခံရသော စာအုပ်) ဖြင့် အောင်မြင်သောစာရေးဆရာမ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ မဟေသီ၊ ဒဂုန်၊ ဟန်သစ်၊ ချယ်ရီ၊ ကလျာ၊ စပယ်ဖြူ မဂ္ဂဇင်း များတွင်လည်း ဝတ္ထုတို၊ မဂ္ဂဇင်း ဝတ္ထုရှည်နှင့် ဆောင်းပါးများ ရေးသားသည်။ ဆရာမဂျူး ရေးသား ခဲ့သော စာအုပ်များအနက် *''ကြာတော့သည်လည်း မောင့်စကား*'' ၊ *''ကြေမွသွားသော တိမ်တိုက်များ အကြောင်း*'' ၊ *''ပင်လယ်နှင့်တူသော မိန်းမများ*'' ၊ *''မရှိမဖြစ်မိုး*'' ၊ *''မြစ်တို့၏ မာယာ* ၊ *ကြယ်စင်တံတား ကမ်းပါးနှင်းဖြူ*'' *မိန်းမတစ်ယောက်ရဲ့ ဖွင့်ဟဝန်ခံချက်*စသည် ဝတ္ထုများကို ရုပ်ရှင်ကားများအဖြစ် ရိုက်ကူးခဲ့ရသည်။ ==စာပေရေးရာ== စတုတ္ထတန်း အရွယ်တွင် မိခင် ဖြစ်သူက စာရေးဆရာ ဓူဝံ၏ ''မာလာ'' ဝတ္ထုကို ပေးဖတ် ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှ စ၍ စာရေး ဆရာနှင့် ဝတ္ထု အတတ် ပညာကို စိတ်ဝင်စားကာ စာရေးဆရာ ဖြစ်ချင်ခဲ့သည်။ မူလရည်ရွယ်ချက်မှာ တက္ကသိုလ်တွင် ဆရာမ လုပ်ကိုင်ရင်း စာရေးဆရာမ ဖြစ်ရန်ရည်ရွယ်ခဲ့သည်။ ဆယ်တန်း ဖြေပြီးချိန် ၁၉၇၆-ခုနှစ်တွင် [[မန္တလေးဆေးတက္ကသိုလ်]] တက်ရောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၇၉ ခုနှစ် မန္တလေး ဆေးတက္ကသိုလ် နှစ်လည်မဂ္ဂဇင်းပါ *''ရာဇဝင် ထဲမှာ မောင့်ကို ထားရစ်ခဲ့*'' ဝတ္ထုတိုသည် ပထမဆုံး ပုံနှိပ် ဖော်ပြ ခံရသော စာမူ ဖြစ်သည်။ ၁၉၈၁ ခုနှစ် [[ရှုမဝ ရုပ်စုံမဂ္ဂဇင်း]]ပါ *''သက်ငင်ချစ်'' *(ချစ်ကိုယ်တွေ့) ဝတ္ထုဖြင့် စာပေနယ်သို့ စတင် အခြေချ နိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် *''အမှတ်တရ*'' ဝတ္ထုဖြင့် အောင်မြင်သော စာရေးဆရာ (ဝေဖန်ခံရသော စာအုပ်) ဖြစ်လာသည်။<ref name="ytp" /><ref name="irr">{{cite news|url=http://www2.irrawaddy.org/print_article.php?art_id=3225|title=Burma’s Influential Figures|date=December 2003|work=The Irrawaddy|accessdate=17 July 2015|archivedate=21 July 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150721042142/http://www2.irrawaddy.org/print_article.php?art_id=3225}}</ref> ၁၉⁠၉၄ ခုနှစ်တွင် ကိုယ်တိုင် ထုတ်ဝေသူ ဖြစ်လာ ခဲ့ပြီး ဂျူးစာပေတိုက်ကို တည်ထောင် ခဲ့သည်။ *အရောင်များနှင့်ကစားခြင်း* ဝတ္တတိုပေါင်းချုပ်အပါအဝင် ဝတ္တတိုပေါင်းချုပ် (၇)အုပ် *ကျွန်မချစ်သော မြို့တမြို့*၊ *ကျွန်မချစ်သောနိုင်ငံ*၊ *ကျွန်မချစ်သောကမ္ဘာမြေ* နှင့် *အစိမ်းရောင် အမွေအနှစ်* သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေးဆောင်းပါးများ စာအုပ်(၄)အုပ် ကို ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ မြန်မာစာပေနှင့် နိုင်ငံတကာစာပေအကြောင်းကို *ကျွန်မဖတ်ခဲ့သော စာအုပ်များ* အမည်ဖြင့် ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတကာရေးရာ နှင့်ပတ်သက်၍ *အမုန်းကြောင့်ဖြစ်သော စစ်ပွဲများ*၊ *အောက်ခြေသန်းတထောင်*  စာအုပ်များကို ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဂျူး ရေးသား ခဲ့သော စာအုပ်များ အနက် *''ကြာတော့သည်လည်း မောင့်စကား*''၊ *''ကြေမွသွားသော တိမ်တိုက်များ အကြောင်း*''၊ *''ပင်လယ်နှင့်တူသော မိန်းမများ*''၊ *''မရှိမဖြစ်မိုး*''၊ *''မြစ်တို့၏ မာယာ*'' စသည် တို့ကို ရုပ်ရှင် ရိုက်ကူး ခဲ့ရသည်။ *''တစ်ဦးတည်းသော သား*'' ဝတ္ထုကို (၁၉⁠၉၀) ပြည့်နှစ်တွင် ဗီဒီယို ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ ဂျူး ရေးသား ခဲ့သော ဝတ္ထုများ အနက် *''ရိုမန်တစ် တစ္ဆေ*'' (မြန်မာ အမျိုးသမီး စာရေး ဆရာမ ၁၂ ဦး) ကို ၁၉၈၆ ခုနှစ်က လည်းကောင်း၊ *''အဝေးကြည့် မှန်ပြောင်း'' * (နားကြပ်ကိုဆောင် ကလောင်ကို ကိုင်ဆွဲ) ကို ၁၉၈၇ ခုနှစ်က လည်းကောင်း [[ဂျပန်ဘာသာ]]သို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည်။ ယခုနောက်ဆုံးထုတ်ဝေခဲ့သော စာအုပ်မှာ ၂၀၁၈ခုနှစ် ဇူလိုင်လထုတ် *သက်တန့်တို့ဖြင့်ရက်ဖွဲ့ ချစ်သူရဲ့ခြုံလွှာ* ဖြစ်၍ ၂၀၁၈ ခုနှစ်အတွက် အမျိုးသားစာပေဆု (ဝတ္ထုရှည်) ချီးမြှင့်ခြင်းခံရသည်။ ဆရာမဂျူးသည် ယခုအခါ ရန်ကုန်မြို့၊ တောင်ဥက္ကလာပမြို့နယ်တွင် နေထိုင်လျက်ရှိသည်။ == ရေးသား ထုတ်ဝေ ခဲ့သော စာအုပ်များ == # ''အမှတ်တရ'' (၁၉၈၇) # # ''မြစ်တို့၏ မာယာ'' (၁၉⁠၉၀) # ''ကြေမွသွားသော တိမ်တိုက်များအကြောင်း'' (၁၉⁠၉၁) # ''ကောင်းကင်မပါသော ညနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' (၁၉⁠၉၁) # ''မရှိမဖြစ်မိုး'' (၁၉⁠၉၂) # ''နံရံ၏ အခြားတဖက်'' (၁၉⁠၉၃) * * ''မိန်းမတယောက်ရဲ့ ဖွင့်ဟဝန်ခံချက်'' # ''ချစ်ခြင်း၏ အနုပညာနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' (၁၉⁠၉၄) # ''ကံကြမ္မာကို မယုံကြည်ကြသူများ'' (၁၉⁠၉၅) # ''မြစ်တစင်းကို ဖြတ်ကျော်ခြင်း'' (၁၉⁠၉၆) # ''ပင်လယ်နှင့်တူသော မိန်းမများ'' (၁၉⁠၉၆) # ''ရေမျောသီး'' (၁၉⁠၉၇) # ''ကြာတော့သည်လည်း မောင့်စကား'' (၁၉⁠၉၇) # ''ရာဇဝင်ထဲမှာ မောင့်ကို ထားရစ်ခဲ့နှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' (၁၉⁠၉၇) # ''ကျွန်မ၏ သစ်ပင်'' (၁၉⁠၉၇) # ''ကျွန်မဖတ်ခဲ့သော စာအုပ်များ'' (၁၉⁠၉၈) # ''ဆရာဝန်တယောက်၏ မှတ်စုများ'' (၁၉⁠၉၉) # ''ချစ်သူရေးတဲ့ ကျွန်မရဲ့ ညတွေ'' (၂၀၀၀) # ''နိုဝင်ဘာမိုး'' (၂၀၀၁) # ''ကြယ်စင်တံတား ကမ်းပါးနှင်းဖြူ'' (၂၀၀၂) # ''လရောင်အောက်ဘက် မိုင်အဝေးမှာ'' (၂၀၀၂) # ''ချစ်သူလား စကားတစ်ပွင့် ပွင့်ခဲ့တယ်'' (၂၀၀၂) #''တိမ်နဲ့ချည်တဲ့ကြိုး'' (၂၀၀၄) # ''စောင့်နေမယ်လို့ မပြောလိုက်ဘူး'' (၂၀၀၆) # ''ကြယ်ကြွေတို့ရဲ့ အတောင်ပံ'' (၂၀၀၆) # ''သူမင်းကို ဘယ်တော့မှ'' (၂၀၀၈) # ''ပိုချစ်ရတဲ့သူ ကိုယ်ပဲဖြစ်ပါစေ'' (၂၀၁၁) # ''ဆုံနေရက်နဲ့လွမ်းလေခြင်း'' (၂၀၁၃) # ''သက်တံတို့ဖြင့်ရက်ဖွဲ့ ချစ်သူရဲ့ခြုံလွှာ'' (၂၀၁၈) # ''ကျွန်မဘဝခရီးမှ စာအုပ်များ'' (၂၀၂၀) # ''ခုချိန်ဆိုရှင်ဘယ်ရောက်နေမှာလဲနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' (၂၀၂၀) # ''အဝေးကြည့်မှန်ပြောင်းနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' # ''အမုန်းကြောင့်ဖြစ်သောစစ်ပွဲများ'' # ''အရောင်များနှင့်ကစားခြင်းနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' # ''ကျွန်မချစ်သော ယောက်ျားများနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ'' # ''အောက်ခြေသန်းတစ်ထောင်'' === အခြား စာရေးဆရာများနှင့် ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သောစာအုပ်များ === # ''ချစ်တယ် ကြိုက်တယ် ဆိုတာ ဘယ်လိုဟာမျိုး ခေါ်ပါသလဲလို့ မောင်ဘုရားကို ပြောပြစမ်းပါ နှမတော်လေးရယ်နှင့် အခြားဝတ္ထုများ'' (၁၉⁠၉၉) # ''စာဆိုနှင့် စာ'' (ဆောင်းပါးပေါင်းချုပ်) # ''ပျောက်ဆုံးနေသော'' (၁၉⁠၉၇) # ''မြန်မာဝတ္ထုတို အဖွင့်'' အပိုင်း (၁) (၁၉⁠၉၈) # ''ရာစုသစ်သို့ ပျံသန်းခြင်း'' (ဝတ္ထုတိုစု) # ''အရောင်များနှင့် ကစားခြင်း'' # ''ဥတ္တရလမင်း ခံစားသူအကြိုက် ဝတ္ထုတိုများ'' (၁၉⁠၉၉) # ''ကြည်းတော၌မိုးခေါ်ခြင်း'' (ဂျူး၊ နေဝင်းမြင့်)<ref>{{cite book|author=ပြန်ကြားရေးနှင့် ပြည်သူ့ဆက်ဆံရေး ဦးစီးဌာန(ရုံးချုပ်) စာတည်း အဖွဲ့|title=နှစ်ဆယ် ရာစု မြန်မာ စာရေး ဆရာ များနှင့် စာစု စာရင်း|publisher=ပညာရွှေတောင် စာအုပ်တိုက်|date= ၂၀၀၃ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ|edition=ပထမ အကြိမ်}}</ref> # ''မေမေ့ဥယျာဉ်သို့လွမ်းရိပ် ဝတ္ထုတိုများ'' (ဂျူး၊ ဝိုင်) (၂၀၂၀) # ''ပျောက်ဆုံးသွားသောမိန်းမ'' (ဂျူး၊ ဒေါက်တာမြင့်ဇော်) # ''ဇာတ်ကြောင်းတစ်မျိုးတည်းရဲ့ အန္တရာယ်'' (ဂျူး၊ ကိုတာ၊ မောင်ဇော်မြင့်) <ref>{{cite journal|journal=ကြော်ငြာနှင့် ဈေးဝယ်လမ်းညွှန် မဂ္ဂဇင်း|volume=အမှတ်(၆၂)|date=၂၀⁠၀၀-ပြည့်နှစ်၊ ဇူလိုင်လ}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၅၈ |}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသမီး စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စာရေးဆရာများ]] hj6x2wruqs6j08ujdv2cotx8cnmq19y 0 4594 1039138 846161 2026-06-17T13:12:39Z U Zin Kyaw 144516 လင့်ခ်များပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1039138 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} ပညာသည် အသိဉာဏ် ပညာဟူသော အနက်သာမညကို ဟောသော်လည်း ထိုပုဒ်၏အရ ဒေသနာဉာဏ်၊ ဝိပဿနာပညာ၊ မဂ်ပညာ၊ ဖိုလ်ပညာ၊ အရဟတ္တမဂ်ပညာ၊ အရဟတ္တဖိုလ်ပညာ၊ လောကီလောကုတ္တရာပညာ စသည်တို့ကို အရာအားလျော်စွာ ကောက်ယူရသည်။ အထူးထူးအပြားပြားအားဖြင့်-ဝေဘန်-ပိုင်းခြား—စဉ်းစား ဆင်ခြင်-သိမြင်တတ်သော သဘောတရား၊ အသိ၊ အလိမ္မာ၊ ဉာဏ်၊ ပညာ၊ ပညိန္ဒြေ စေတသိက်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်">တိပိဋကအဘိဓာန် အတွဲ-၁၃</ref> ==လက္ခဏာ, ရသ စသည်== ပညာသည် အကောင်းအဆိုး အကြောင်းအကျိုးအမျိုးမျိုးသော သဘောတရားတို့ကို အထူးထူး အပြားပြားအားဖြင့် ထိုးထွင်း သိမြင်ခြင်း '''လက္ခဏာ'''ရှိသည်။ ဆီးမီးကဲ့သို့ အာရုံ၏ သဘောမှန်ကို ထွန်းပြခြင်း'''ကိစ္စ'''ရှိသည်။ မတွေမဝေ သိတတ်သော တရားအဖြစ်ဖြင့် ရှေးရှုထင်လာမှုအခြင်းအရာ '''အာကာရပစ္စုပဋ္ဌာန်'''ရှိသည်၊ သမာဓိဟူသော နီးသော အကြောင်း '''ပဒဋ္ဌာန်'''ရှိသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅-၆။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၆၈။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>။ ဝိညာဉ်သည် အာရုံကို ရအောင်ယူ၍ သညာသည် အမှတ်ပြုသည်၊ ပညာကား ထိုအာရုံ၏ သဘောမှန်ကို သိသည်။ ယင်းတို့၏ထူးခြားပုံ အကျယ်ကို ဤအဘိဓာန် အတွဲ-၈ [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏပုဒ်]]နှင့် ဆိုင်ရာကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအမျိုးမျိုး== ယင်းပညာသည် အသေးစားဖြစ်သော လူမှုကိစ္စမှစ၍ သစ္စာ ၄-ပါး တရားတိုင်အောင် မိမိအစွမ်းသတ္တိအားလျော်စွာ အမျိုးမျိုး သိစွမ်းနိုင်သည်။ အဋ္ဌကထာ(<ref>အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>တို့၌ ပညာ၏ ဗျုပ္ပတ်ကို ဖွင့်ပြရာဝယ် '''သစ္စာ ၄-ပါးတို့ကို အပြားအားဖြင့် သိတတ်သောကြောင့် ပညာမည်၏'''ဟု မိန့်ဆိုခြင်းကား [[မဟာဝေဒလ္လသုတ်]] <ref>(မ၊၁၊၃၆၆)</ref>စသည်နှင့်အညီ ဥက္ကဋ္ဌနည်းအားဖြင့် ဆိုခြင်းသာဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဝိဘင်းပါဠိတော်<ref>(အဘိ၊ဝိ၊၃၃၇)</ref>၌ အသက်မွေးကြောင်းဖြစ်သည့် လယ်လုပ်မှု ကုန်သွယ်မှု စသော '''ကမ္မာယတန'''၊ ယက်ကန်းအတတ် အိုးထိန်းသည်အတတ် စသော '''သိပ္ပါယတန'''၊ မြွေဆိပ်ချမန္တန်စသော '''ဝိဇ္ဇာဌာန'''တို့၌ တတ်သိနားလည်မှုကိုလည်း '''ပညာ''' ဟု ဟောတော်မူသည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအစစ်နှင့်အတု== လောကရေးရာ လိမ္မာပါးနပ်မှုနှင့် စပ်၍ ပညာအစစ်, ပညာအတုဟု ခွဲထားပြုခဲ့ကြသည်။ အဋ္ဌကနိပါတ် [[သုလသာဇာတ်]] <ref>(ဇာ၊၁၊၁၇၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၄၁၃-၄၁၇)</ref>၌ ပစ္စုပ္ပန်ဝတ္ထုနှင့် အတိတ်ဝတ္ထုတို့ဝယ် လက်ဝတ်တန်ဆာများကို ယူလို၍ လူကို သတ်ရန် အကောက်ကြံသော ခိုးသူလင်ယောက်ျားကို ဥပါယ်တံမျဉ်ဖြင့် ပြန်လည် လှည့်ပတ်ကာ သတ်ဖြတ် အနိုင်ယူလိုက်သော ကျွန်မနှင့် ပြည့်တန်ဆာမတို့အား ဘုရားရှင်နှင့် အလောင်းတော် နတ်သားတို့က '''စူးစမ်းဆင်ခြင်တတ်သောပညာ ရှိသည်''' ဟု ချီးကျူးကြသည်။ ထို့အတူပင် ကုဏ္ဍလကေသီထေရီဝတ္ထု <ref>(အပ၊၂၊၂၄၂။ ထေရီ၊ဋ္ဌ၊၁၁၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁)</ref>၌ ထေရီလောင်းလျာ ဘဒ္ဒါမယ်အား တောင်စောင့်နတ်က ချီးကျူးလေသည်။ ဤဝတ္ထုတို့၌ လာသော လိမ္မာပါးနပ်မှုကို '''ပညာအစစ်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ '''ပညာ အစစ်မဟုတ်၊ အတုသာဖြစ်သည်'''ဟူ၍လည်းကောင်း ကျမ်းပြုပုဂ္ဂိုလ်တို့ အမျိုးမျိုးမိန့်ဆို ကြသည်<ref>(မဟာဗုဒ္ဓပင်၊ ပ-တွဲ၊ ပ-ပိုင်း၊ အနုဒီပနီ၊ ဗု-ချပ်။ သင်္ဂြိုဟ်ဘာသာဋီကာ၊ နှာ ၁၅၆)</ref>။ ဤနှင့်စပ်၍ အဘိဓမ္မာဝိနိစ္ဆယကျမ်း <ref>(နှာ-၂၅၂-၂၅၇)</ref>၌ အပိုင်း ၄-ပိုင်း ခွဲကာ ဤသို့ ဆုံးဖြတ်သည်။ (၁) မိမိအသက်ဘေးမှ လွတ်မြောက်အောင် ကြံစည်ခိုက် ကျွန်မနှင့် ကုဏ္ဍလကေသီတို့ သန္တာန်၌ ဉာဏသမ္ပယုတ်ဝီထိဖြစ်၌ ပညာအစစ်ဖြစ်သည်။ ဤကိုရည်၍ ဘုရားရှင်နှင့် တောင်စောင့်နတ်တို့က '''ပညာရှိပါပေသည်''' ဟု ချီးကျူးကြခြင်းဖြစ်သည်။ (၂) ခိုးသူယောက်ျားကို မသတ်မီ လှည့်ပတ် ဖျားယောင်းနေခိုက် ပညာနှင့် အလားတူသည့် '''မိစ္ဆာဉာဏ်'''ခေါ် မောဟသာဖြစ်သည်။ (၃) ခိုးသူယောက်ျားကို သတ်ဖြတ် အဆုံးစီရင်လိုက်သောအခါ ဝဓကစေတနာပြဓာန်းသော <ref>ဒေါသမူစိတ္တုပ္ပါဒ်</ref> ဖြစ်သည်။ (၄) လက်ဝတ်တန်းများကို ရယူလို၍ ခိုးသူယောက်ျား၏ လှည့်ပတ်ဖျားယောင်းမူသည် ပညာနှင့်အလားတူသော '''မာယာ'''ခေါ် လောဘသာဖြစ်သည်။ ဤသို့ ဆုံးဖြက်တော်မူသည်။ အကျယ်ကို ထိုကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ ဤအဆုံးအဖြတ်သည် စိတ်တို့၏ အလွန်လျင်မြန်စွာ ဖြစ်ပျက် ပြောင်းလဲတတ်သာ နိယာမ သဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသဖြင့် ယုတ္တိရှိလှပေသည်။ ထို့ကြောင့် ယခုကာလ အလွန်ဆန်းကြယ်သော သိပ္ပံပညာနှင့် နက်နဲလှသော ဝိဇ္ဇာပညာရပ်များကို ကြံစည်တီထွင် စီရင်ပြုလုပ်ကြသော သူတို့သန္တာန်၌ (တိုက်ခိုက် ဖျက်ဆီးလိုစိတ် မရှိပါလျင်) ပညာစစ် ပညာမှန် ဧကန် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ဂုဏ်ကျေးဇူး== ကျမ်းဂန်တို့၌ ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးကို အမျိုးမျိုး ချီးကျူးမိန့်ဆိုကြသည်။ သတ္တဝါတို့တွင် ဘုရားရှင်သည် အမြတ်ဆုံး ဖြစ်သကဲ့သို့ ရုပ်နာမ်သင်္ခါရတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ပညာပြီးမြောက်လျှင် အပြစ်မရှိသော တရားအားလုံး ပြီးမြောက်သောကြောင့်တည်း<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၄၉)</ref>။ အမြိုက်နိဗ္ဗာန်သို့ ရောက်စေတတ်သောတရားတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်၍ ကြွင်းတရားတို့သည် ပညာ၏အခြံအရံများဖြစ်သည်<ref> (ဇာ၊၂၊၁၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၁၅၇-၈)</ref>။ အသက်ရှင်နေသူ သတ္တဝါအပေါင်းတွင် ပညာဖြင့် အသက်ရှင်သူသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်<ref> (သံ၊၁၊၂၁၆။ သုတ္တနိ၊၃၀၆)</ref>။ ပညာရှိသော သူသည် ဥစ္စာပစ္စည်း ကုန်ခန်းသွားသော်လည်း အပြစ်ကင်းသော အသက်မွေးမှုဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မွေးနိုင်သည်၊ ပညာမရှိသော သူကား ဥစ္စာပစ္စည်း ရှိငြားသော်လည်း ပညာမရသဖြင့် အသက် မမွေးနိုင် <ref>(ထေရ၊၂၉၅၊ ၃၀၂)</ref>၊ အမျိုးမြတ်သော မင်းသားပင်ဖြစ်သော်လည်း မင်း အဖြစ်ကို ရပြီးနောက် ပညာမရှိလျှင် မင်းစည်းစိမ်ဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မရှည်နိုင်<ref> (ဇာ၊၂၊၄)</ref>။ ပညာကို ရခြင်းသည် ချမ်းသာခြင်း၏ အကြောင်းဖြစ်သည် <ref>(ဓမ္မ၊၆၁)</ref>။ ပညာရှိသောသူသည် မျက်စိအမြင်နှင့် ပြည့်စုံသူမည်၏။ ပညာမျက်စိမရှိသူကား အကန်း သာတည်း<ref> (ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၀၀။ ဓမ္မဋ္ဌ၊၂၊၁၁၄)</ref>။ များစွာသော လူအပေါင်းသည် ပညာမျက်စိ မရှိသောကြောင့် အကန်းသာတည်း၊ ထိုလူအပေါင်းတွင် အနည်းငယ်သော လူသည်သာ ပညာမျက်စိရှိပေသည်<ref>(ဓမ္မ၊၃၉)</ref>။ ဤမှတပါးသော ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]ပုဒ်၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့် သီလ== လက်တဖက်ဖြင့် လက်တဖက်ကိုလည်းကောင်း ခြေတဖက်ဖြင့် ခြေတဖက်ကိုလည်းကောင်း ဆေးကြောရာသကဲ့သို့ သီလဖြင့် ပညာကို ဆေးကြော၍ ပညာဖြင့် သီလကို ဆေးကြောရသည်။ သီလရှိသူအား ပညာရှိ၍ ပညာရှိသူအား သီလရှိသည်။ သီလနှင့် ပညာကို လောက၌ အမြတ်ဆုံးဟု ဆိုရသည် (ဒီ၊၁၊၁၁၆-၇)<ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သမာဓိ== ပညာမရှိသောသူအား ဈာန်သမာဓိ မရှိ၊ ဈာန်သမာဓိ မရှိသော သူအားလည်း ပညာ မရှိ၊ ပညာနှင့် သမာဓိ ၂-ပါးရှိသူသည် နိဗ္ဗာန်နှင့် ဧကန်နီးတော့သည်<ref>(ဓမ္မ၊၆၆)</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သဒ္ဓါ== သဒ္ဓါ ပညာဟူသော ဣန္ဒြေ ၂-ပါးတို့ အယုတ်အလွန်မရှိဘဲ ညီမျှမှ ပညာရှိတို့ ချီးမွမ်းကြသည်။ သဒ္ဓါလွန်လျှင် ကွန့်၍ ပညာလွန်လျှင် ဆွန့်တတ်သည် <ref>(ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၃၇၇။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၅။ သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၉၄။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၉၁။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၆၄)၊</ref> လောကီဂုဏ်တို့တွင် သဒ္ဓါသည် အကြီးအမှူးဖြစ်၍ လောကုတ္တရာဂုဏ်တို့တွင် ပညာသည် အကြီးအမှူးဖြစ်သည်<ref> (သာရတ္တ၊၁၊ ၄၁၂။ ဒီ၊ဋီ၊၁၊၂၇၄။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၂၊၁၆၇။ မ၊ဋီ၊၁၊၂၃၁။ အံ၊ဋီ၊၂၊၁၅)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဝိတက်== ပညာသည် မိမိသဘောအားဖြင့် အာရုံကို အနိစ္စ, ဒုက္ခ, အနတ္တ ဟု ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ မစွမ်းနိုင်၊ ဝိတက်က ထိုအာရုံကို ခေါက်၍ ခေါက်၍ ပေးမှ ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ စွမ်းနိုင်သည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၁၄၆)</ref>။ ==ပညာနှင့်စိတ်== ဘုရားရှင်ဒေသနာတော်၌ လောကီတရားကို ဟောရာတွင် စိတ်ကို အကြီးအမှူး အဦးထား၍ လောကုတ္တရာတရားကို ဟောရာတွင် ပညာကို အကြီးအမှူး အဦးထားသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၀)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဥစ္စာ== ဥစ္စာဖြင့် အသက်ရှည်မှုကို မရနိုင်၊ အိုခြင်းတရားကို မလွန်မြောက်နိုင်၊ ဥစ္စာရှိသူ ဥစ္စာမဲ့သူ ပညာရှိသူ ပညာမဲ့သူအားလုံး သေကြေ ပျက်စီးရသည်သာ ဖြစ်သည်။ ပညာမဲ့သူ လူမိုက်သည် နှလုံးမသာယာမှုဖြင့် တုန်လှုပ် တွေဝေသည်။ ပညာရှိသူကား မတုန်လှုပ် မတွေဝေ၊ ထို့ကြောင့် လောက၌ ပညာသည် ဥစ္စာထက် မြတ်သည်<ref>(မ၊၂၊၂၆၁)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါဝင်သော တရားစု== ပညာသည် သာသနာတော်၌ ပဓာနအကျဆုံးတရားဖြစ်၍ အမျိုးမျိုးသော တရားတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ အသီးသီးသော တရားအစု၌ ပါဝင်သည်။ ဓမ္မသင်္ဂဏီပါဠိတော် မဟာကုသိုလ်ပဌမစိတ်၏ ဓမ္မုဒ္ဒေသ(နှာ-၁၇)၌ တရားအမျိုးအမည်ပေါင်း ၅၆-ပါး ဟောကြားတော်မူသည်။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣန္ဒြိယရာသိ၌ ပညိန္ဒြေ၊ မဂ္ဂပဉ္စကရာသီ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဗလရာသိ၌ ပညာဗလ၊ ဟေတုတိက်(မူလရာသိ)၌ အမောဟ၊ ကမ္မပထရာသိ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဥပကာရဒုက်၌ သမ္မဇည၊ ယုဂနဒ္ဓဒုက်၌ ဝိပဿနာဟု အမည်နာမ ၇-မျိုးဖြင့် တရားစု ၇-ပါး၌ ပါဝင်သည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၇၉။ အဘိ၊ ဝဘာရ၊ဋီ၊၁၊၂၇၇)</ref>။ ဗောဓိက္ခိယတရား ၃၇-ပါးသည် တရားစု '''ရာသိ'''အားဖြင့် ၇-ပါး ရှိသည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၃၁၈။ သင်္ဂဟ၊၁၂၃-၄)</ref>။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣဒ္ဓိပါဒ် ၄-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၂၅-၈)</ref>၌ '''ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒ်'''၊ ဣန္ဒြေ ၅-ပါး <ref>(သံ၊၃၊၁၇၀။ ပဋိသံ၊၁၉၀)</ref>၌ '''ပညိန္ဒြေ၊''' ဗိုလ် ၅-ပါး <ref>(အဘိ၊ဓ၊၁၇)</ref>၌ '''ပညာဗိုလ်'''၊ ဗောဇ္ဈင် ၇-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၆)</ref>၌ '''ဓမ္မဝိစယသမ္ဗောဇ္ဈင်၊''' မဂ္ဂင် ၈-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၄)</ref>၌ '''သမ္မာဒိဋ္ဌိ'''ဟု တရားစု ၅-မျိုး၌ ပါဝင်သည်။ ပညာသည် သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''သိက္ခာ ၃-ပါး'''<ref>(အံ၊၁၊၂၃၃-၂၃၆)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, သူရဘာဝ, ပညာဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၃-ပါး''' (ဇာ၊၁၊၁၄)၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, စိတ္တ, ဝီမံသာဟူသော '''အဓိပတိ ၄-ပါး'''<ref>(ပဋ္ဌာန၊၁၊၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သစ္စာ, ပညာ, ဝီရိယ, စာဂဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(ဇာ၊၁၊၁၄၊၆၁)</ref> နှင့် '''တမလွန်၌ မစိုးရိမ်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၂၁၇။ သုတ္တနိ၊၃၀၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဒါန, သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''အနုဂါမိကနိဓိ ၄-ပါး''' <ref>(ခုဒ္ဒက၊၉)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သမာဓိ, ပညာဝိမုတ္တိဟူသော '''သံသရာပြတ်ကြောင်း တရား ၄-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၂၊၁၈၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ '''သာသနာမှ မလျောကျကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(အံ၊၁၊၃၀၈)</ref>၌လည်းကောင်း၊ ပညာ, သစ္စာ, စာဂ, သန္တိ(ဥပသမ)ဟူသော '''ဆောက်တည်ရာတရား ၄-ပါး''' (ဒီ၊၃၊၁၉၁။ မ၊၃၊၂၀၂-၃)၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သောစေယျ, ထာမ, ပညာဟူသော '''ကြာမြင့်မှ သိနိုင်သောတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၇၈–၉။ ဥဒါန၊၁၅၆-၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဗာဟု, ဘောဂ, အမစ္စ, အဘိဇာတိ, ပညာဟူသော '''ဗလ ၅-မျိုး''' <ref>(ဇာ၊၂၊၃)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဒါ, သီလ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''ဂတိမြဲကြောင်းတရား ၅-ပါး''' (မ၊၃၊၁၄ဝ။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၀၄)၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, ဝီရိယ, သတိ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းတရား ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၁၈)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, သီလ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းဥစ္စာ ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၈-၉)</ref>၌လည်းကောင်း ပါဝင်သည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါရမီ== ဘုရားအဖြစ်ကို ပြုပေးနိုင်သည့် ပါရမီတို့သည် သရုပ်အားဖြင့် ၁၀-ပါးရှိသည်<ref> (ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၀၆။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇၀)</ref>။ ယင်းတို့တွင် အခြားပါရမီတို့အား ကျေးဇူးမပြုတတ်သော တရားတို့ကို ပယ်၍ ကျေးဇူးပြုတတ်သောတရားတို့၌ အကြောင်းဥပါယ်ကို တတ်သိလိမ္မာသော အလွန်ခေါင်းပါးစွာ အသက်မွေးမှုကို ပြီးစေတတ်သော အသိဉာဏ်ကို ပညာပါရမီခေါ်သည်<ref> (စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇)</ref>။ ဘုရားလောင်း သုမေဓာသည် နိယတဗျာဒိတ်ခံယူပြီးနောက် ပါရမီတို့ကို ဆင်ခြင်တော်မူရာ လေးကြိမ်မြောက်တွင် ပညာပါရမီကို တွေ့မြင်တော်မူသည်၊ ထိုအခါ ဤသို့ ဆုံးမဆောက်တည်တော်မူသည်၊ “အမောင် သုမေဓာ-အသင်သည် ယနေ့မှစ၍ ပညာပါရမီကို ဖြည့်ကျင့်ပါလော့၊ ဆွမ်းခံလှည့်လည်သော ရဟန်းသည် အယုတ် အလတ် အမြတ်မရွေးဘဲ အိမ်စဉ် မပြတ် ဆွမ်းရပ်သည်ရှိသေ၌ မျှတလောက်သော ဆွမ်းကို ရသကဲ့သို့ သင်သည်လည်း အလုံးစုံသော ပညာရှိတို့ကို ချဉ်းကပ်၍ ပြဿနာအရပ်ရပ်ကို မေးမြန်းပါလော့၊ ယင်းသို့ ပြုသည်ရှိသော် ပညာပါမီ အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ကာ ဘုရားစင်စစ် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်” <ref>(ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၁၆-၇၊ ဗုဒ္ဓဝံ၊ဋ္ဌ၊၁၃၂)။</ref> ပညာပါရမီ၏ အခြားသော ဆင်ခြင်ဖွယ် ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို-<ref>စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၈၈-၉၊ ဒီ၊ဋီ၊၁၇၈-၉။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၆၅-၆-</ref>တို့၌ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာဓိကဘုရားလောင်း== ဘုရားလောင်းတို့၏ ပါရမီဖြည့်ရာ ကာလသည် (က) ၄-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း (ခ) ၈-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း၊ (ဂ) ၁၆ သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်းဟု ၃-မျိုးကွဲပြားသည်၊ ယင်းသိုကွဲပြားခြင်းကား ပညာပါရမီ၏ အစွမ်းအာနုဘော် ထက် မထက်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပညာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီထက်မြက်သောကြောင့် ၄-သင်္ချေ နှင့် ကမ္ဘာတသိန်းသာ ပါရမီဖြည့်ကျင့်ကြရသည်၊ သဒ္ဓါဓိကဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီ အလယ်အလတ်ရှိသောကြောင့် ၈-သင်္ချေနှင့်ကမ္ဘာတသိန်း ဖြည့်ကျင့်ကြရသည်။ ဝီရိယာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီနံ့သောကြောင့် ၁၆-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း ပါရမီဖြည့်ကျင့်တော်မူကြရသည်<ref> (သုတ္တနိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁။ ပဋ္ဌ၊ ၁၈.၁၅၅။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၃၂။ အံ၊ဋီ၊၁၊၁၃၅။ သမန္တစက္ခု။ ပုစ္ဆာနံပါတ်-၁၁၈)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ ၈-မျိုး== မဟာပညာ, ပုထုပညာ, ဂမ္ဘီရပညာ, ဘူရိပညာ, ဟာသပညာ, ဇဝနပညာ, တိက္ခပညာ, နိဗ္ဗေဓိကပညာတို့၏ အကျယ်မှတ်ဖွယ်ကို <ref>ပဋိသံ၊ ၃၇၁-၃၈၁။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၁၃-၁၁၅။ မ၊ဋ္ဌ၊၄၊၅၆-၅၇။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၄၇-၂၆၃-</ref>တို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာရခြင်းအကြောင်း== ပညာရခြင်း ပညာတိုးပွားခြင်းအကြောင်းတို့ကို အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ နေက္ခမ္မ သင်္ကပ္ပ အဗျာပါဒသင်္ကပ္ပ အဝိဟိံသာသင်္ကပ္ပ ဟု ၃-ပါး<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ၁။ ကောင်းသော တရားတို့၌ မမှိတ် မသုန် ယုံကြည်ခြင်း '''သဒ္ဓါ'''၊ ၂။ ပညာရှိတို့ထံ ဆည်းကပ်နာကြားခြင်း '''သုဿုသာ''' ၃။ မမေ့မလျော့ခြင်း '''အပ္ပမာဒ'''၊ ၄။ စူးစမ်း ဆင်ခြင်ခြင်း '''ဝိစက္ခဏာ'''ဟု ၄-ပါး<ref> (သံ၊၁၊၂၇၊ သုတ္တနိ၊၃၇)</ref>။ ၁။ သူတော်ကောင်းကို မှီဝဲခြင်း, ၂။ သူတော်ကောင်း တရားကို နာခြင်း, ၃။ အသင့်အတင့် နှလုံးသွင်းခြင်း, ၄။ လောကုတ္တရာ တရားအားလျော်စွာကျင့်ခြင်း ဟု ၄-ပါး<ref>(အံ၊၁၊၅၆၇။ ပဋိသံ၊ ၇၁)</ref>။ ၁။ အလေး ပြုအပ်သော ဆရာသမားတို့ အပေါ်၌ ရှက်ကြောက် ရိုသေမြတ်နိုးမှု အားကြီးခြင်း, ၂။ အခါအခွင့်သင့်တိုင်း ဆရာသမားတို့ထံ ချဉ်းကပ် မေးမြန်းခြင်း, ၃။ ကိုယ်စိတ် ၂-ပါး ဆိတ်ငြိမ်စွာနေခြင်း, ၄။ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ပြည့်စုံခြင်း, ၅။ အစ, အလယ်, အဆုံး ကောင်းခြင်း ၃-ပါးရှိသော တရား(ကျမ်းဂန်)ကို သင်မှတ်သားခြင်း, ၆။ အကုသိုလ်ကို ပယ်၍ ကုသိုလ် တရား ပွားများရန် ကြိုးပမ်းအားထုတ်ခြင်း, ၇။ အကျိုးမရှိသော စကားကို မပြောဆိုဘဲ အကျိုးရှိသောစကားကို ပြောဆိုခြင်း, ၈။ ခန္ဓာ စသော တရားတို့၌ အဖြစ်အပျက်ကို အဖန်ဖန် ရှုမှတ်ခြင်းဟု ၈-ပါး။ <ref>(အံ၊၃၊၂-၅)</ref>။ ကြွင်း ပညာရကြောင်း တရားတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]-ပုဒ်, ပညာပဋိလာဘကာရဏ-ပုဒ်တို့၌ ကြည့်။ <br /> ==ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်း== ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်းကိုလည်း အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ ကာမဝိတက် ဗျာပါဒ ဝိတက် ဝိဟိံသာဝိတက်တို့သည် ပညာမျက်စိ ကန်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ကာမစ္ဆန္နီ ဗျာပါဒ ထိနမိဒ္ဓ ဥစ္စဒ္ဓ ကုက္ကူ ဝိစိကိစ္ဆာ ဟူသော တရား ၅-ပါးတို့သည် ပညာအားနည်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref>(မ၊၁၊၂၃၉။ သံ၊၃၊၈၆၊၁၃၉။ အံ၊၁၊၅၃၁။ နေတ္တိ၊၇၈)</ref>။ ပညာသည်လူသားတိုင်းအတွက်လွန်စွာအရေးပါသည် ထိုကြောင့် ဓမ္မ ပညာရှေးအလာဆိုသည့်အတိုင်းပညာရှိမှသာအဆင်ပြေစေနိုင်မည်ဖြစ်ပါသည် == ပညာပါရမီကို အကြောင်းပြု၍ ဟောသောဇာတ်များ== [[ပုဏ္ဏနဒီဇာတ်]]<ref>-ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၅။</ref> [[ဂါမဏိစန္ဒဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၀</ref> [[သတ္တုဘသ္တဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၁။</ref> [[ဒူတဇာတ်]]—<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၄၊၂၂၄။</ref> [[သမ္ဘဝဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၅၀။</ref> [[မဟာဗောဓိဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၂၄၀။</ref> [[ဥမင်္ဂဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၆၊၁၆၃။</ref> [[ဝိဓူရဇာတ်တော်|ဝိဓူရဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၇၊၁၅၁။</ref> ==ပညာနှင့် ပညာ၏ ဝေဝုစ်တို့ကို အမည်တပ်၍ဟောသောသုတ်များ== [[ဥမ္မဂ္ဂသုတ်]]—<ref>အံ၊၁၊၄၉၇။</ref> [[ဉာဏဝတ္ထုသုတ်]] <ref>သံ၊၁၊၂၈၈၊ ၂၉၀။</ref> [[ဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>အံ၊၁၊၅၄၈၊ ၅၅၀။</ref> [[ပညဝန္တသုတ်]]-<ref>သံ၊၃၊၈၈။</ref> [[ပညာသုတ်]] <ref>အံ၊၃၊၂၊၂၀၂။</ref> [[ပညာဝိမုတ္တသုတ်]]- <ref>အံ၊၃၊၂၄၅။</ref> [[ပညာပရိဟီနသုတ်]]- <ref>ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။</ref> [[ပညာဝုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၅၆၇။</ref> [[ပဋိဘာနသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၄၅၂။</ref> [[ဗုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>သံ၊၃၊၁၃။</ref> [[ဝိဇ္ဇာသုတ်]]- <ref>သံ၊၂၊၁၃၂။ အံ၊၃၊၂၆၆၊ ၄၂၉။ ဣတိဝုတ်၊၂၁၁။</ref> [[ဝိဇ္ဇာဘာဂိယသုတ်]]-<ref>အံ၊၂၊၂၉၄။</ref> [[သမ္မာဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>မ၊၁၊၅၇။ အံ၊၁၊၃၈၈၊ ၄၀၁။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ လောကူပမာ== ပညာကို လောကဥပမာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်၍ အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုတော်မူကြသည်။ ပညာမြေကြီး-<ref>မဟာနိ၊၇၃။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၄၃။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၆၄။</ref> ပညာထမ်းပိုး၊ ပညာထွန်ထုံး-<ref>သံ၊၁၊၁၇၅။ သုတ္တနိ၊၂၉၁။</ref> ပညာနှင်တံ-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၁၊၂၇၆။</ref> ပညာပြာသာဒ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ဓမ္မ၊၁၇။ နေတ္တိ၊၈၈။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ သာရတ္ထ၊၃၊၁၅၆၊</ref> ပညာမှန်ကင်း-<ref>ပဋိသံ၊၃၇၇။ မဟာနိ၊၃၉၃။ စူဠနိ၊၂၁၃-၅။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁၄။</ref> ပညာတံခါးမုခ်၊ ပညာလမ်းဆုံ-<ref>အပ၊၁၊၄၈။</ref> ပညာဥစ္စာ-<ref>ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၉။ စူဠနိ၊၁၀၂။</ref> ပညာရတနာ-<ref>သံ၊၁၊၃၃။ အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊၃၂၁။</ref> ပညာကွန်ယက်-<ref>ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၈၊</ref> ပညာလက်နက်−<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာဝရဇိန်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊၂၅၅။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာသန်လျက်-<ref>နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊ ၃၇၉။</ref> ပညာလှံမ– <ref>ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၇၉။</ref> ပညာ(သင်တုန်း)ဓား-<ref>ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃၆။</ref> ပညာဦးခေါင်း-<ref>အံ၊၂၊၃၀၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၃၂၆။</ref> ပညာမျက်စိ-<ref>သံ၊၃၊၄၁၅။ အံ၊၁၊၃၇။ ဣတိဝုတ်၊၂၃၁။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၃၈၉။</ref> ပညာနား-<ref>ဇာ၊၁၊၆၈။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀၊ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။</ref> ပညာနှလုံးသား-<ref>ဇာ၊၂၊၃၀၈။</ref> ပညာနှုတ်သီး-<ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၈၁။</ref> ပညာဆင်စွယ် <ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၂၁။ နေတ္တိ၊ဋ္ဌ၊၆၀။</ref> ပညာကိုယ်ဝန်-<ref>သာရတ္ထ၊၁၊၄၄၈။</ref> ပညာမီးလျှံ-<ref>မဟာနိ၊၄၀။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။ မ၊ဋီ၊၂၊၁၉၆။ အံ၊ဋီ၊၃၊၃၆၇။</ref> ပညာအလင်း၊ ပညာအရောင်၊ ပညာတန်ဆောင်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။</ref> ပညာသော့-<ref>အပ၊၁၊၃၆၄၊</ref> ပညာလျှပ်စစ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊ ၂၅၅။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်== [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ်]] [[ပညာရှိ (ဗုဒ္ဓဘာသာ)|ပညာရှိ]] == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာ]] [[Category:ဝိပဿနာ]] lceged5dy219zkvz9z87ohzq8m96r47 1039141 1039138 2026-06-17T13:13:50Z U Zin Kyaw 144516 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1039141 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} ပညာသည် အသိဉာဏ် ပညာဟူသော အနက်သာမညကို ဟောသော်လည်း ထိုပုဒ်၏အရ ဒေသနာဉာဏ်၊ ဝိပဿနာပညာ၊ မဂ်ပညာ၊ ဖိုလ်ပညာ၊ အရဟတ္တမဂ်ပညာ၊ အရဟတ္တဖိုလ်ပညာ၊ လောကီလောကုတ္တရာပညာ စသည်တို့ကို အရာအားလျော်စွာ ကောက်ယူရသည်။ အထူးထူးအပြားပြားအားဖြင့်-ဝေဘန်-ပိုင်းခြား—စဉ်းစား ဆင်ခြင်-သိမြင်တတ်သော သဘောတရား၊ အသိ၊ အလိမ္မာ၊ ဉာဏ်၊ ပညာ၊ ပညိန္ဒြေ စေတသိက်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်">တိပိဋကအဘိဓာန် အတွဲ-၁၃</ref> ==လက္ခဏာ, ရသ စသည်== ပညာသည် အကောင်းအဆိုး အကြောင်းအကျိုးအမျိုးမျိုးသော သဘောတရားတို့ကို အထူးထူး အပြားပြားအားဖြင့် ထိုးထွင်း သိမြင်ခြင်း '''လက္ခဏာ'''ရှိသည်။ ဆီးမီးကဲ့သို့ အာရုံ၏ သဘောမှန်ကို ထွန်းပြခြင်း'''ကိစ္စ'''ရှိသည်။ မတွေမဝေ သိတတ်သော တရားအဖြစ်ဖြင့် ရှေးရှုထင်လာမှုအခြင်းအရာ '''အာကာရပစ္စုပဋ္ဌာန်'''ရှိသည်၊ သမာဓိဟူသော နီးသော အကြောင်း '''ပဒဋ္ဌာန်'''ရှိသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅-၆။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၆၈။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>။ ဝိညာဉ်သည် အာရုံကို ရအောင်ယူ၍ သညာသည် အမှတ်ပြုသည်၊ ပညာကား ထိုအာရုံ၏ သဘောမှန်ကို သိသည်။ ယင်းတို့၏ထူးခြားပုံ အကျယ်ကို ဤအဘိဓာန် အတွဲ-၈ [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏပုဒ်]]နှင့် ဆိုင်ရာကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအမျိုးမျိုး== ယင်းပညာသည် အသေးစားဖြစ်သော လူမှုကိစ္စမှစ၍ သစ္စာ ၄-ပါး တရားတိုင်အောင် မိမိအစွမ်းသတ္တိအားလျော်စွာ အမျိုးမျိုး သိစွမ်းနိုင်သည်။ အဋ္ဌကထာ(<ref>အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>တို့၌ ပညာ၏ ဗျုပ္ပတ်ကို ဖွင့်ပြရာဝယ် '''သစ္စာ ၄-ပါးတို့ကို အပြားအားဖြင့် သိတတ်သောကြောင့် ပညာမည်၏'''ဟု မိန့်ဆိုခြင်းကား [[မဟာဝေဒလ္လသုတ်]] <ref>(မ၊၁၊၃၆၆)</ref>စသည်နှင့်အညီ ဥက္ကဋ္ဌနည်းအားဖြင့် ဆိုခြင်းသာဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဝိဘင်းပါဠိတော်<ref>(အဘိ၊ဝိ၊၃၃၇)</ref>၌ အသက်မွေးကြောင်းဖြစ်သည့် လယ်လုပ်မှု ကုန်သွယ်မှု စသော '''ကမ္မာယတန'''၊ ယက်ကန်းအတတ် အိုးထိန်းသည်အတတ် စသော '''သိပ္ပါယတန'''၊ မြွေဆိပ်ချမန္တန်စသော '''ဝိဇ္ဇာဌာန'''တို့၌ တတ်သိနားလည်မှုကိုလည်း '''ပညာ''' ဟု ဟောတော်မူသည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအစစ်နှင့်အတု== လောကရေးရာ လိမ္မာပါးနပ်မှုနှင့် စပ်၍ ပညာအစစ်, ပညာအတုဟု ခွဲထားပြုခဲ့ကြသည်။ အဋ္ဌကနိပါတ် [[သုလသာဇာတ်]] <ref>(ဇာ၊၁၊၁၇၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၄၁၃-၄၁၇)</ref>၌ ပစ္စုပ္ပန်ဝတ္ထုနှင့် အတိတ်ဝတ္ထုတို့ဝယ် လက်ဝတ်တန်ဆာများကို ယူလို၍ လူကို သတ်ရန် အကောက်ကြံသော ခိုးသူလင်ယောက်ျားကို ဥပါယ်တံမျဉ်ဖြင့် ပြန်လည် လှည့်ပတ်ကာ သတ်ဖြတ် အနိုင်ယူလိုက်သော ကျွန်မနှင့် ပြည့်တန်ဆာမတို့အား ဘုရားရှင်နှင့် အလောင်းတော် နတ်သားတို့က '''စူးစမ်းဆင်ခြင်တတ်သောပညာ ရှိသည်''' ဟု ချီးကျူးကြသည်။ ထို့အတူပင် ကုဏ္ဍလကေသီထေရီဝတ္ထု <ref>(အပ၊၂၊၂၄၂။ ထေရီ၊ဋ္ဌ၊၁၁၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁)</ref>၌ ထေရီလောင်းလျာ ဘဒ္ဒါမယ်အား တောင်စောင့်နတ်က ချီးကျူးလေသည်။ ဤဝတ္ထုတို့၌ လာသော လိမ္မာပါးနပ်မှုကို '''ပညာအစစ်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ '''ပညာ အစစ်မဟုတ်၊ အတုသာဖြစ်သည်'''ဟူ၍လည်းကောင်း ကျမ်းပြုပုဂ္ဂိုလ်တို့ အမျိုးမျိုးမိန့်ဆို ကြသည်<ref>(မဟာဗုဒ္ဓပင်၊ ပ-တွဲ၊ ပ-ပိုင်း၊ အနုဒီပနီ၊ ဗု-ချပ်။ သင်္ဂြိုဟ်ဘာသာဋီကာ၊ နှာ ၁၅၆)</ref>။ ဤနှင့်စပ်၍ အဘိဓမ္မာဝိနိစ္ဆယကျမ်း <ref>(နှာ-၂၅၂-၂၅၇)</ref>၌ အပိုင်း ၄-ပိုင်း ခွဲကာ ဤသို့ ဆုံးဖြတ်သည်။ (၁) မိမိအသက်ဘေးမှ လွတ်မြောက်အောင် ကြံစည်ခိုက် ကျွန်မနှင့် ကုဏ္ဍလကေသီတို့ သန္တာန်၌ ဉာဏသမ္ပယုတ်ဝီထိဖြစ်၌ ပညာအစစ်ဖြစ်သည်။ ဤကိုရည်၍ ဘုရားရှင်နှင့် တောင်စောင့်နတ်တို့က '''ပညာရှိပါပေသည်''' ဟု ချီးကျူးကြခြင်းဖြစ်သည်။ (၂) ခိုးသူယောက်ျားကို မသတ်မီ လှည့်ပတ် ဖျားယောင်းနေခိုက် ပညာနှင့် အလားတူသည့် '''မိစ္ဆာဉာဏ်'''ခေါ် မောဟသာဖြစ်သည်။ (၃) ခိုးသူယောက်ျားကို သတ်ဖြတ် အဆုံးစီရင်လိုက်သောအခါ ဝဓကစေတနာပြဓာန်းသော <ref>ဒေါသမူစိတ္တုပ္ပါဒ်</ref> ဖြစ်သည်။ (၄) လက်ဝတ်တန်းများကို ရယူလို၍ ခိုးသူယောက်ျား၏ လှည့်ပတ်ဖျားယောင်းမူသည် ပညာနှင့်အလားတူသော '''မာယာ'''ခေါ် လောဘသာဖြစ်သည်။ ဤသို့ ဆုံးဖြက်တော်မူသည်။ အကျယ်ကို ထိုကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ ဤအဆုံးအဖြတ်သည် စိတ်တို့၏ အလွန်လျင်မြန်စွာ ဖြစ်ပျက် ပြောင်းလဲတတ်သာ နိယာမ သဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသဖြင့် ယုတ္တိရှိလှပေသည်။ ထို့ကြောင့် ယခုကာလ အလွန်ဆန်းကြယ်သော သိပ္ပံပညာနှင့် နက်နဲလှသော ဝိဇ္ဇာပညာရပ်များကို ကြံစည်တီထွင် စီရင်ပြုလုပ်ကြသော သူတို့သန္တာန်၌ (တိုက်ခိုက် ဖျက်ဆီးလိုစိတ် မရှိပါလျင်) ပညာစစ် ပညာမှန် ဧကန် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ဂုဏ်ကျေးဇူး== ကျမ်းဂန်တို့၌ ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးကို အမျိုးမျိုး ချီးကျူးမိန့်ဆိုကြသည်။ သတ္တဝါတို့တွင် ဘုရားရှင်သည် အမြတ်ဆုံး ဖြစ်သကဲ့သို့ ရုပ်နာမ်သင်္ခါရတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ပညာပြီးမြောက်လျှင် အပြစ်မရှိသော တရားအားလုံး ပြီးမြောက်သောကြောင့်တည်း<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၄၉)</ref>။ အမြိုက်နိဗ္ဗာန်သို့ ရောက်စေတတ်သောတရားတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်၍ ကြွင်းတရားတို့သည် ပညာ၏အခြံအရံများဖြစ်သည်<ref> (ဇာ၊၂၊၁၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၁၅၇-၈)</ref>။ အသက်ရှင်နေသူ သတ္တဝါအပေါင်းတွင် ပညာဖြင့် အသက်ရှင်သူသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်<ref> (သံ၊၁၊၂၁၆။ သုတ္တနိ၊၃၀၆)</ref>။ ပညာရှိသော သူသည် ဥစ္စာပစ္စည်း ကုန်ခန်းသွားသော်လည်း အပြစ်ကင်းသော အသက်မွေးမှုဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မွေးနိုင်သည်၊ ပညာမရှိသော သူကား ဥစ္စာပစ္စည်း ရှိငြားသော်လည်း ပညာမရသဖြင့် အသက် မမွေးနိုင် <ref>(ထေရ၊၂၉၅၊ ၃၀၂)</ref>၊ အမျိုးမြတ်သော မင်းသားပင်ဖြစ်သော်လည်း မင်း အဖြစ်ကို ရပြီးနောက် ပညာမရှိလျှင် မင်းစည်းစိမ်ဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မရှည်နိုင်<ref> (ဇာ၊၂၊၄)</ref>။ ပညာကို ရခြင်းသည် ချမ်းသာခြင်း၏ အကြောင်းဖြစ်သည် <ref>(ဓမ္မ၊၆၁)</ref>။ ပညာရှိသောသူသည် မျက်စိအမြင်နှင့် ပြည့်စုံသူမည်၏။ ပညာမျက်စိမရှိသူကား အကန်း သာတည်း<ref> (ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၀၀။ ဓမ္မဋ္ဌ၊၂၊၁၁၄)</ref>။ များစွာသော လူအပေါင်းသည် ပညာမျက်စိ မရှိသောကြောင့် အကန်းသာတည်း၊ ထိုလူအပေါင်းတွင် အနည်းငယ်သော လူသည်သာ ပညာမျက်စိရှိပေသည်<ref>(ဓမ္မ၊၃၉)</ref>။ ဤမှတပါးသော ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]ပုဒ်၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့် သီလ== လက်တဖက်ဖြင့် လက်တဖက်ကိုလည်းကောင်း ခြေတဖက်ဖြင့် ခြေတဖက်ကိုလည်းကောင်း ဆေးကြောရာသကဲ့သို့ သီလဖြင့် ပညာကို ဆေးကြော၍ ပညာဖြင့် သီလကို ဆေးကြောရသည်။ သီလရှိသူအား ပညာရှိ၍ ပညာရှိသူအား သီလရှိသည်။ သီလနှင့် ပညာကို လောက၌ အမြတ်ဆုံးဟု ဆိုရသည် (ဒီ၊၁၊၁၁၆-၇)<ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သမာဓိ== ပညာမရှိသောသူအား ဈာန်သမာဓိ မရှိ၊ ဈာန်သမာဓိ မရှိသော သူအားလည်း ပညာ မရှိ၊ ပညာနှင့် သမာဓိ ၂-ပါးရှိသူသည် နိဗ္ဗာန်နှင့် ဧကန်နီးတော့သည်<ref>(ဓမ္မ၊၆၆)</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သဒ္ဓါ== သဒ္ဓါ ပညာဟူသော ဣန္ဒြေ ၂-ပါးတို့ အယုတ်အလွန်မရှိဘဲ ညီမျှမှ ပညာရှိတို့ ချီးမွမ်းကြသည်။ သဒ္ဓါလွန်လျှင် ကွန့်၍ ပညာလွန်လျှင် ဆွန့်တတ်သည် <ref>(ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၃၇၇။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၅။ သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၉၄။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၉၁။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၆၄)၊</ref> လောကီဂုဏ်တို့တွင် သဒ္ဓါသည် အကြီးအမှူးဖြစ်၍ လောကုတ္တရာဂုဏ်တို့တွင် ပညာသည် အကြီးအမှူးဖြစ်သည်<ref> (သာရတ္တ၊၁၊ ၄၁၂။ ဒီ၊ဋီ၊၁၊၂၇၄။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၂၊၁၆၇။ မ၊ဋီ၊၁၊၂၃၁။ အံ၊ဋီ၊၂၊၁၅)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဝိတက်== ပညာသည် မိမိသဘောအားဖြင့် အာရုံကို အနိစ္စ, ဒုက္ခ, အနတ္တ ဟု ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ မစွမ်းနိုင်၊ ဝိတက်က ထိုအာရုံကို ခေါက်၍ ခေါက်၍ ပေးမှ ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ စွမ်းနိုင်သည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၁၄၆)</ref>။ ==ပညာနှင့်စိတ်== ဘုရားရှင်ဒေသနာတော်၌ လောကီတရားကို ဟောရာတွင် စိတ်ကို အကြီးအမှူး အဦးထား၍ လောကုတ္တရာတရားကို ဟောရာတွင် ပညာကို အကြီးအမှူး အဦးထားသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၀)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဥစ္စာ== ဥစ္စာဖြင့် အသက်ရှည်မှုကို မရနိုင်၊ အိုခြင်းတရားကို မလွန်မြောက်နိုင်၊ ဥစ္စာရှိသူ ဥစ္စာမဲ့သူ ပညာရှိသူ ပညာမဲ့သူအားလုံး သေကြေ ပျက်စီးရသည်သာ ဖြစ်သည်။ ပညာမဲ့သူ လူမိုက်သည် နှလုံးမသာယာမှုဖြင့် တုန်လှုပ် တွေဝေသည်။ ပညာရှိသူကား မတုန်လှုပ် မတွေဝေ၊ ထို့ကြောင့် လောက၌ ပညာသည် ဥစ္စာထက် မြတ်သည်<ref>(မ၊၂၊၂၆၁)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါဝင်သော တရားစု== ပညာသည် သာသနာတော်၌ ပဓာနအကျဆုံးတရားဖြစ်၍ အမျိုးမျိုးသော တရားတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ အသီးသီးသော တရားအစု၌ ပါဝင်သည်။ ဓမ္မသင်္ဂဏီပါဠိတော် မဟာကုသိုလ်ပဌမစိတ်၏ ဓမ္မုဒ္ဒေသ(နှာ-၁၇)၌ တရားအမျိုးအမည်ပေါင်း ၅၆-ပါး ဟောကြားတော်မူသည်။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣန္ဒြိယရာသိ၌ ပညိန္ဒြေ၊ မဂ္ဂပဉ္စကရာသီ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဗလရာသိ၌ ပညာဗလ၊ ဟေတုတိက်(မူလရာသိ)၌ အမောဟ၊ ကမ္မပထရာသိ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဥပကာရဒုက်၌ သမ္မဇည၊ ယုဂနဒ္ဓဒုက်၌ ဝိပဿနာဟု အမည်နာမ ၇-မျိုးဖြင့် တရားစု ၇-ပါး၌ ပါဝင်သည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၇၉။ အဘိ၊ ဝဘာရ၊ဋီ၊၁၊၂၇၇)</ref>။ ဗောဓိက္ခိယတရား ၃၇-ပါးသည် တရားစု '''ရာသိ'''အားဖြင့် ၇-ပါး ရှိသည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၃၁၈။ သင်္ဂဟ၊၁၂၃-၄)</ref>။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣဒ္ဓိပါဒ် ၄-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၂၅-၈)</ref>၌ '''ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒ်'''၊ ဣန္ဒြေ ၅-ပါး <ref>(သံ၊၃၊၁၇၀။ ပဋိသံ၊၁၉၀)</ref>၌ '''ပညိန္ဒြေ၊''' ဗိုလ် ၅-ပါး <ref>(အဘိ၊ဓ၊၁၇)</ref>၌ '''ပညာဗိုလ်'''၊ ဗောဇ္ဈင် ၇-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၆)</ref>၌ '''ဓမ္မဝိစယသမ္ဗောဇ္ဈင်၊''' မဂ္ဂင် ၈-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၄)</ref>၌ '''သမ္မာဒိဋ္ဌိ'''ဟု တရားစု ၅-မျိုး၌ ပါဝင်သည်။ ပညာသည် သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''သိက္ခာ ၃-ပါး'''<ref>(အံ၊၁၊၂၃၃-၂၃၆)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, သူရဘာဝ, ပညာဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၃-ပါး''' (ဇာ၊၁၊၁၄)၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, စိတ္တ, ဝီမံသာဟူသော '''အဓိပတိ ၄-ပါး'''<ref>(ပဋ္ဌာန၊၁၊၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သစ္စာ, ပညာ, ဝီရိယ, စာဂဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(ဇာ၊၁၊၁၄၊၆၁)</ref> နှင့် '''တမလွန်၌ မစိုးရိမ်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၂၁၇။ သုတ္တနိ၊၃၀၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဒါန, သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''အနုဂါမိကနိဓိ ၄-ပါး''' <ref>(ခုဒ္ဒက၊၉)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သမာဓိ, ပညာဝိမုတ္တိဟူသော '''သံသရာပြတ်ကြောင်း တရား ၄-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၂၊၁၈၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ '''သာသနာမှ မလျောကျကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(အံ၊၁၊၃၀၈)</ref>၌လည်းကောင်း၊ ပညာ, သစ္စာ, စာဂ, သန္တိ(ဥပသမ)ဟူသော '''ဆောက်တည်ရာတရား ၄-ပါး''' (ဒီ၊၃၊၁၉၁။ မ၊၃၊၂၀၂-၃)၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သောစေယျ, ထာမ, ပညာဟူသော '''ကြာမြင့်မှ သိနိုင်သောတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၇၈–၉။ ဥဒါန၊၁၅၆-၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဗာဟု, ဘောဂ, အမစ္စ, အဘိဇာတိ, ပညာဟူသော '''ဗလ ၅-မျိုး''' <ref>(ဇာ၊၂၊၃)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဒါ, သီလ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''ဂတိမြဲကြောင်းတရား ၅-ပါး''' (မ၊၃၊၁၄ဝ။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၀၄)၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, ဝီရိယ, သတိ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းတရား ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၁၈)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, သီလ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းဥစ္စာ ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၈-၉)</ref>၌လည်းကောင်း ပါဝင်သည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါရမီ== ဘုရားအဖြစ်ကို ပြုပေးနိုင်သည့် ပါရမီတို့သည် သရုပ်အားဖြင့် ၁၀-ပါးရှိသည်<ref> (ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၀၆။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇၀)</ref>။ ယင်းတို့တွင် အခြားပါရမီတို့အား ကျေးဇူးမပြုတတ်သော တရားတို့ကို ပယ်၍ ကျေးဇူးပြုတတ်သောတရားတို့၌ အကြောင်းဥပါယ်ကို တတ်သိလိမ္မာသော အလွန်ခေါင်းပါးစွာ အသက်မွေးမှုကို ပြီးစေတတ်သော အသိဉာဏ်ကို ပညာပါရမီခေါ်သည်<ref> (စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇)</ref>။ ဘုရားလောင်း သုမေဓာသည် နိယတဗျာဒိတ်ခံယူပြီးနောက် ပါရမီတို့ကို ဆင်ခြင်တော်မူရာ လေးကြိမ်မြောက်တွင် ပညာပါရမီကို တွေ့မြင်တော်မူသည်၊ ထိုအခါ ဤသို့ ဆုံးမဆောက်တည်တော်မူသည်၊ “အမောင် သုမေဓာ-အသင်သည် ယနေ့မှစ၍ ပညာပါရမီကို ဖြည့်ကျင့်ပါလော့၊ ဆွမ်းခံလှည့်လည်သော ရဟန်းသည် အယုတ် အလတ် အမြတ်မရွေးဘဲ အိမ်စဉ် မပြတ် ဆွမ်းရပ်သည်ရှိသေ၌ မျှတလောက်သော ဆွမ်းကို ရသကဲ့သို့ သင်သည်လည်း အလုံးစုံသော ပညာရှိတို့ကို ချဉ်းကပ်၍ ပြဿနာအရပ်ရပ်ကို မေးမြန်းပါလော့၊ ယင်းသို့ ပြုသည်ရှိသော် ပညာပါမီ အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ကာ ဘုရားစင်စစ် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်” <ref>(ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၁၆-၇၊ ဗုဒ္ဓဝံ၊ဋ္ဌ၊၁၃၂)။</ref> ပညာပါရမီ၏ အခြားသော ဆင်ခြင်ဖွယ် ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို-<ref>စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၈၈-၉၊ ဒီ၊ဋီ၊၁၇၈-၉။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၆၅-၆-</ref>တို့၌ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာဓိကဘုရားလောင်း== ဘုရားလောင်းတို့၏ ပါရမီဖြည့်ရာ ကာလသည် (က) ၄-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း (ခ) ၈-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း၊ (ဂ) ၁၆ သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်းဟု ၃-မျိုးကွဲပြားသည်၊ ယင်းသိုကွဲပြားခြင်းကား ပညာပါရမီ၏ အစွမ်းအာနုဘော် ထက် မထက်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပညာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီထက်မြက်သောကြောင့် ၄-သင်္ချေ နှင့် ကမ္ဘာတသိန်းသာ ပါရမီဖြည့်ကျင့်ကြရသည်၊ သဒ္ဓါဓိကဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီ အလယ်အလတ်ရှိသောကြောင့် ၈-သင်္ချေနှင့်ကမ္ဘာတသိန်း ဖြည့်ကျင့်ကြရသည်။ ဝီရိယာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီနံ့သောကြောင့် ၁၆-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း ပါရမီဖြည့်ကျင့်တော်မူကြရသည်<ref> (သုတ္တနိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁။ ပဋ္ဌ၊ ၁၈.၁၅၅။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၃၂။ အံ၊ဋီ၊၁၊၁၃၅။ သမန္တစက္ခု။ ပုစ္ဆာနံပါတ်-၁၁၈)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ ၈-မျိုး== မဟာပညာ, ပုထုပညာ, ဂမ္ဘီရပညာ, ဘူရိပညာ, ဟာသပညာ, ဇဝနပညာ, တိက္ခပညာ, နိဗ္ဗေဓိကပညာတို့၏ အကျယ်မှတ်ဖွယ်ကို <ref>ပဋိသံ၊ ၃၇၁-၃၈၁။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၁၃-၁၁၅။ မ၊ဋ္ဌ၊၄၊၅၆-၅၇။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၄၇-၂၆၃-</ref>တို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာရခြင်းအကြောင်း== ပညာရခြင်း ပညာတိုးပွားခြင်းအကြောင်းတို့ကို အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ နေက္ခမ္မ သင်္ကပ္ပ အဗျာပါဒသင်္ကပ္ပ အဝိဟိံသာသင်္ကပ္ပ ဟု ၃-ပါး<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ၁။ ကောင်းသော တရားတို့၌ မမှိတ် မသုန် ယုံကြည်ခြင်း '''သဒ္ဓါ'''၊ ၂။ ပညာရှိတို့ထံ ဆည်းကပ်နာကြားခြင်း '''သုဿုသာ''' ၃။ မမေ့မလျော့ခြင်း '''အပ္ပမာဒ'''၊ ၄။ စူးစမ်း ဆင်ခြင်ခြင်း '''ဝိစက္ခဏာ'''ဟု ၄-ပါး<ref> (သံ၊၁၊၂၇၊ သုတ္တနိ၊၃၇)</ref>။ ၁။ သူတော်ကောင်းကို မှီဝဲခြင်း, ၂။ သူတော်ကောင်း တရားကို နာခြင်း, ၃။ အသင့်အတင့် နှလုံးသွင်းခြင်း, ၄။ လောကုတ္တရာ တရားအားလျော်စွာကျင့်ခြင်း ဟု ၄-ပါး<ref>(အံ၊၁၊၅၆၇။ ပဋိသံ၊ ၇၁)</ref>။ သာသနာတော်တည်နေတာ ဟာ ဓမ္မ ပေါ်မှာမူတည်နေသည် ၁။ အလေး ပြုအပ်သော ဆရာသမားတို့ အပေါ်၌ ရှက်ကြောက် ရိုသေမြတ်နိုးမှု အားကြီးခြင်း, ၂။ အခါအခွင့်သင့်တိုင်း ဆရာသမားတို့ထံ ချဉ်းကပ် မေးမြန်းခြင်း, ၃။ ကိုယ်စိတ် ၂-ပါး ဆိတ်ငြိမ်စွာနေခြင်း, ၄။ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ပြည့်စုံခြင်း, ၅။ အစ, အလယ်, အဆုံး ကောင်းခြင်း ၃-ပါးရှိသော တရား(ကျမ်းဂန်)ကို သင်မှတ်သားခြင်း, ၆။ အကုသိုလ်ကို ပယ်၍ ကုသိုလ် တရား ပွားများရန် ကြိုးပမ်းအားထုတ်ခြင်း, ၇။ အကျိုးမရှိသော စကားကို မပြောဆိုဘဲ အကျိုးရှိသောစကားကို ပြောဆိုခြင်း, ၈။ ခန္ဓာ စသော တရားတို့၌ အဖြစ်အပျက်ကို အဖန်ဖန် ရှုမှတ်ခြင်းဟု ၈-ပါး။ <ref>(အံ၊၃၊၂-၅)</ref>။ ကြွင်း ပညာရကြောင်း တရားတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]-ပုဒ်, ပညာပဋိလာဘကာရဏ-ပုဒ်တို့၌ ကြည့်။ <br /> ==ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်း== ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်းကိုလည်း အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ ကာမဝိတက် ဗျာပါဒ ဝိတက် ဝိဟိံသာဝိတက်တို့သည် ပညာမျက်စိ ကန်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ကာမစ္ဆန္နီ ဗျာပါဒ ထိနမိဒ္ဓ ဥစ္စဒ္ဓ ကုက္ကူ ဝိစိကိစ္ဆာ ဟူသော တရား ၅-ပါးတို့သည် ပညာအားနည်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref>(မ၊၁၊၂၃၉။ သံ၊၃၊၈၆၊၁၃၉။ အံ၊၁၊၅၃၁။ နေတ္တိ၊၇၈)</ref>။ ပညာသည်လူသားတိုင်းအတွက်လွန်စွာအရေးပါသည် ထိုကြောင့် ဓမ္မ ပညာရှေးအလာဆိုသည့်အတိုင်းပညာရှိမှသာအဆင်ပြေစေနိုင်မည်ဖြစ်ပါသည် == ပညာပါရမီကို အကြောင်းပြု၍ ဟောသောဇာတ်များ== [[ပုဏ္ဏနဒီဇာတ်]]<ref>-ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၅။</ref> [[ဂါမဏိစန္ဒဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၀</ref> [[သတ္တုဘသ္တဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၁။</ref> [[ဒူတဇာတ်]]—<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၄၊၂၂၄။</ref> [[သမ္ဘဝဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၅၀။</ref> [[မဟာဗောဓိဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၂၄၀။</ref> [[ဥမင်္ဂဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၆၊၁၆၃။</ref> [[ဝိဓူရဇာတ်တော်|ဝိဓူရဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၇၊၁၅၁။</ref> ==ပညာနှင့် ပညာ၏ ဝေဝုစ်တို့ကို အမည်တပ်၍ဟောသောသုတ်များ== [[ဥမ္မဂ္ဂသုတ်]]—<ref>အံ၊၁၊၄၉၇။</ref> [[ဉာဏဝတ္ထုသုတ်]] <ref>သံ၊၁၊၂၈၈၊ ၂၉၀။</ref> [[ဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>အံ၊၁၊၅၄၈၊ ၅၅၀။</ref> [[ပညဝန္တသုတ်]]-<ref>သံ၊၃၊၈၈။</ref> [[ပညာသုတ်]] <ref>အံ၊၃၊၂၊၂၀၂။</ref> [[ပညာဝိမုတ္တသုတ်]]- <ref>အံ၊၃၊၂၄၅။</ref> [[ပညာပရိဟီနသုတ်]]- <ref>ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။</ref> [[ပညာဝုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၅၆၇။</ref> [[ပဋိဘာနသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၄၅၂။</ref> [[ဗုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>သံ၊၃၊၁၃။</ref> [[ဝိဇ္ဇာသုတ်]]- <ref>သံ၊၂၊၁၃၂။ အံ၊၃၊၂၆၆၊ ၄၂၉။ ဣတိဝုတ်၊၂၁၁။</ref> [[ဝိဇ္ဇာဘာဂိယသုတ်]]-<ref>အံ၊၂၊၂၉၄။</ref> [[သမ္မာဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>မ၊၁၊၅၇။ အံ၊၁၊၃၈၈၊ ၄၀၁။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ လောကူပမာ== ပညာကို လောကဥပမာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်၍ အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုတော်မူကြသည်။ ပညာမြေကြီး-<ref>မဟာနိ၊၇၃။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၄၃။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၆၄။</ref> ပညာထမ်းပိုး၊ ပညာထွန်ထုံး-<ref>သံ၊၁၊၁၇၅။ သုတ္တနိ၊၂၉၁။</ref> ပညာနှင်တံ-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၁၊၂၇၆။</ref> ပညာပြာသာဒ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ဓမ္မ၊၁၇။ နေတ္တိ၊၈၈။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ သာရတ္ထ၊၃၊၁၅၆၊</ref> ပညာမှန်ကင်း-<ref>ပဋိသံ၊၃၇၇။ မဟာနိ၊၃၉၃။ စူဠနိ၊၂၁၃-၅။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁၄။</ref> ပညာတံခါးမုခ်၊ ပညာလမ်းဆုံ-<ref>အပ၊၁၊၄၈။</ref> ပညာဥစ္စာ-<ref>ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၉။ စူဠနိ၊၁၀၂။</ref> ပညာရတနာ-<ref>သံ၊၁၊၃၃။ အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊၃၂၁။</ref> ပညာကွန်ယက်-<ref>ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၈၊</ref> ပညာလက်နက်−<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာဝရဇိန်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊၂၅၅။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာသန်လျက်-<ref>နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊ ၃၇၉။</ref> ပညာလှံမ– <ref>ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၇၉။</ref> ပညာ(သင်တုန်း)ဓား-<ref>ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃၆။</ref> ပညာဦးခေါင်း-<ref>အံ၊၂၊၃၀၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၃၂၆။</ref> ပညာမျက်စိ-<ref>သံ၊၃၊၄၁၅။ အံ၊၁၊၃၇။ ဣတိဝုတ်၊၂၃၁။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၃၈၉။</ref> ပညာနား-<ref>ဇာ၊၁၊၆၈။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀၊ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။</ref> ပညာနှလုံးသား-<ref>ဇာ၊၂၊၃၀၈။</ref> ပညာနှုတ်သီး-<ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၈၁။</ref> ပညာဆင်စွယ် <ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၂၁။ နေတ္တိ၊ဋ္ဌ၊၆၀။</ref> ပညာကိုယ်ဝန်-<ref>သာရတ္ထ၊၁၊၄၄၈။</ref> ပညာမီးလျှံ-<ref>မဟာနိ၊၄၀။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။ မ၊ဋီ၊၂၊၁၉၆။ အံ၊ဋီ၊၃၊၃၆၇။</ref> ပညာအလင်း၊ ပညာအရောင်၊ ပညာတန်ဆောင်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။</ref> ပညာသော့-<ref>အပ၊၁၊၃၆၄၊</ref> ပညာလျှပ်စစ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊ ၂၅၅။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်== [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ်]] [[ပညာရှိ (ဗုဒ္ဓဘာသာ)|ပညာရှိ]] == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာ]] [[Category:ဝိပဿနာ]] oqerau94avwweyjieg7jjq98plre0s6 1039142 1039141 2026-06-17T13:14:48Z U Zin Kyaw 144516 သဒ္ဒါပြင်ခဲ့သည် 1039142 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} ပညာသည် အသိဉာဏ် ပညာဟူသော အနက်သာမညကို ဟောသော်လည်း ထိုပုဒ်၏အရ ဒေသနာဉာဏ်၊ ဝိပဿနာပညာ၊ မဂ်ပညာ၊ ဖိုလ်ပညာ၊ အရဟတ္တမဂ်ပညာ၊ အရဟတ္တဖိုလ်ပညာ၊ လောကီလောကုတ္တရာပညာ စသည်တို့ကို အရာအားလျော်စွာ ကောက်ယူရသည်။ အထူးထူးအပြားပြားအားဖြင့်-ဝေဘန်-ပိုင်းခြား—စဉ်းစား ဆင်ခြင်-သိမြင်တတ်သော သဘောတရား၊ အသိ၊ အလိမ္မာ၊ ဉာဏ်၊ ပညာ၊ ပညိန္ဒြေ စေတသိက်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်">တိပိဋကအဘိဓာန် အတွဲ-၁၃</ref> ==လက္ခဏာ, ရသ စသည်== ပညာသည် အကောင်းအဆိုး အကြောင်းအကျိုးအမျိုးမျိုးသော သဘောတရားတို့ကို အထူးထူး အပြားပြားအားဖြင့် ထိုးထွင်း သိမြင်ခြင်း '''လက္ခဏာ'''ရှိသည်။ ဆီးမီးကဲ့သို့ အာရုံ၏ သဘောမှန်ကို ထွန်းပြခြင်း'''ကိစ္စ'''ရှိသည်။ မတွေမဝေ သိတတ်သော တရားအဖြစ်ဖြင့် ရှေးရှုထင်လာမှုအခြင်းအရာ '''အာကာရပစ္စုပဋ္ဌာန်'''ရှိသည်၊ သမာဓိဟူသော နီးသော အကြောင်း '''ပဒဋ္ဌာန်'''ရှိသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅-၆။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၆၈။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>။ ဝိညာဉ်သည် အာရုံကို ရအောင်ယူ၍ သညာသည် အမှတ်ပြုသည်၊ ပညာကား ထိုအာရုံ၏ သဘောမှန်ကို သိသည်။ ယင်းတို့၏ထူးခြားပုံ အကျယ်ကို ဤအဘိဓာန် အတွဲ-၈ [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏပုဒ်]]နှင့် ဆိုင်ရာကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအမျိုးမျိုး== အတက်ပညာ အသိပညာ သင်ဆရာ မြင်ဆရာ အားလုံးဟာ တူညီကြတယ် ယင်းပညာသည် အသေးစားဖြစ်သော လူမှုကိစ္စမှစ၍ သစ္စာ ၄-ပါး တရားတိုင်အောင် မိမိအစွမ်းသတ္တိအားလျော်စွာ အမျိုးမျိုး သိစွမ်းနိုင်သည်။ အဋ္ဌကထာ(<ref>အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>တို့၌ ပညာ၏ ဗျုပ္ပတ်ကို ဖွင့်ပြရာဝယ် '''သစ္စာ ၄-ပါးတို့ကို အပြားအားဖြင့် သိတတ်သောကြောင့် ပညာမည်၏'''ဟု မိန့်ဆိုခြင်းကား [[မဟာဝေဒလ္လသုတ်]] <ref>(မ၊၁၊၃၆၆)</ref>စသည်နှင့်အညီ ဥက္ကဋ္ဌနည်းအားဖြင့် ဆိုခြင်းသာဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဝိဘင်းပါဠိတော်<ref>(အဘိ၊ဝိ၊၃၃၇)</ref>၌ အသက်မွေးကြောင်းဖြစ်သည့် လယ်လုပ်မှု ကုန်သွယ်မှု စသော '''ကမ္မာယတန'''၊ ယက်ကန်းအတတ် အိုးထိန်းသည်အတတ် စသော '''သိပ္ပါယတန'''၊ မြွေဆိပ်ချမန္တန်စသော '''ဝိဇ္ဇာဌာန'''တို့၌ တတ်သိနားလည်မှုကိုလည်း '''ပညာ''' ဟု ဟောတော်မူသည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအစစ်နှင့်အတု== လောကရေးရာ လိမ္မာပါးနပ်မှုနှင့် စပ်၍ ပညာအစစ်, ပညာအတုဟု ခွဲထားပြုခဲ့ကြသည်။ အဋ္ဌကနိပါတ် [[သုလသာဇာတ်]] <ref>(ဇာ၊၁၊၁၇၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၄၁၃-၄၁၇)</ref>၌ ပစ္စုပ္ပန်ဝတ္ထုနှင့် အတိတ်ဝတ္ထုတို့ဝယ် လက်ဝတ်တန်ဆာများကို ယူလို၍ လူကို သတ်ရန် အကောက်ကြံသော ခိုးသူလင်ယောက်ျားကို ဥပါယ်တံမျဉ်ဖြင့် ပြန်လည် လှည့်ပတ်ကာ သတ်ဖြတ် အနိုင်ယူလိုက်သော ကျွန်မနှင့် ပြည့်တန်ဆာမတို့အား ဘုရားရှင်နှင့် အလောင်းတော် နတ်သားတို့က '''စူးစမ်းဆင်ခြင်တတ်သောပညာ ရှိသည်''' ဟု ချီးကျူးကြသည်။ ထို့အတူပင် ကုဏ္ဍလကေသီထေရီဝတ္ထု <ref>(အပ၊၂၊၂၄၂။ ထေရီ၊ဋ္ဌ၊၁၁၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁)</ref>၌ ထေရီလောင်းလျာ ဘဒ္ဒါမယ်အား တောင်စောင့်နတ်က ချီးကျူးလေသည်။ ဤဝတ္ထုတို့၌ လာသော လိမ္မာပါးနပ်မှုကို '''ပညာအစစ်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ '''ပညာ အစစ်မဟုတ်၊ အတုသာဖြစ်သည်'''ဟူ၍လည်းကောင်း ကျမ်းပြုပုဂ္ဂိုလ်တို့ အမျိုးမျိုးမိန့်ဆို ကြသည်<ref>(မဟာဗုဒ္ဓပင်၊ ပ-တွဲ၊ ပ-ပိုင်း၊ အနုဒီပနီ၊ ဗု-ချပ်။ သင်္ဂြိုဟ်ဘာသာဋီကာ၊ နှာ ၁၅၆)</ref>။ ဤနှင့်စပ်၍ အဘိဓမ္မာဝိနိစ္ဆယကျမ်း <ref>(နှာ-၂၅၂-၂၅၇)</ref>၌ အပိုင်း ၄-ပိုင်း ခွဲကာ ဤသို့ ဆုံးဖြတ်သည်။ (၁) မိမိအသက်ဘေးမှ လွတ်မြောက်အောင် ကြံစည်ခိုက် ကျွန်မနှင့် ကုဏ္ဍလကေသီတို့ သန္တာန်၌ ဉာဏသမ္ပယုတ်ဝီထိဖြစ်၌ ပညာအစစ်ဖြစ်သည်။ ဤကိုရည်၍ ဘုရားရှင်နှင့် တောင်စောင့်နတ်တို့က '''ပညာရှိပါပေသည်''' ဟု ချီးကျူးကြခြင်းဖြစ်သည်။ (၂) ခိုးသူယောက်ျားကို မသတ်မီ လှည့်ပတ် ဖျားယောင်းနေခိုက် ပညာနှင့် အလားတူသည့် '''မိစ္ဆာဉာဏ်'''ခေါ် မောဟသာဖြစ်သည်။ (၃) ခိုးသူယောက်ျားကို သတ်ဖြတ် အဆုံးစီရင်လိုက်သောအခါ ဝဓကစေတနာပြဓာန်းသော <ref>ဒေါသမူစိတ္တုပ္ပါဒ်</ref> ဖြစ်သည်။ (၄) လက်ဝတ်တန်းများကို ရယူလို၍ ခိုးသူယောက်ျား၏ လှည့်ပတ်ဖျားယောင်းမူသည် ပညာနှင့်အလားတူသော '''မာယာ'''ခေါ် လောဘသာဖြစ်သည်။ ဤသို့ ဆုံးဖြက်တော်မူသည်။ အကျယ်ကို ထိုကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ ဤအဆုံးအဖြတ်သည် စိတ်တို့၏ အလွန်လျင်မြန်စွာ ဖြစ်ပျက် ပြောင်းလဲတတ်သာ နိယာမ သဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသဖြင့် ယုတ္တိရှိလှပေသည်။ ထို့ကြောင့် ယခုကာလ အလွန်ဆန်းကြယ်သော သိပ္ပံပညာနှင့် နက်နဲလှသော ဝိဇ္ဇာပညာရပ်များကို ကြံစည်တီထွင် စီရင်ပြုလုပ်ကြသော သူတို့သန္တာန်၌ (တိုက်ခိုက် ဖျက်ဆီးလိုစိတ် မရှိပါလျင်) ပညာစစ် ပညာမှန် ဧကန် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ဂုဏ်ကျေးဇူး== ကျမ်းဂန်တို့၌ ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးကို အမျိုးမျိုး ချီးကျူးမိန့်ဆိုကြသည်။ သတ္တဝါတို့တွင် ဘုရားရှင်သည် အမြတ်ဆုံး ဖြစ်သကဲ့သို့ ရုပ်နာမ်သင်္ခါရတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ပညာပြီးမြောက်လျှင် အပြစ်မရှိသော တရားအားလုံး ပြီးမြောက်သောကြောင့်တည်း<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၄၉)</ref>။ အမြိုက်နိဗ္ဗာန်သို့ ရောက်စေတတ်သောတရားတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်၍ ကြွင်းတရားတို့သည် ပညာ၏အခြံအရံများဖြစ်သည်<ref> (ဇာ၊၂၊၁၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၁၅၇-၈)</ref>။ အသက်ရှင်နေသူ သတ္တဝါအပေါင်းတွင် ပညာဖြင့် အသက်ရှင်သူသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်<ref> (သံ၊၁၊၂၁၆။ သုတ္တနိ၊၃၀၆)</ref>။ ပညာရှိသော သူသည် ဥစ္စာပစ္စည်း ကုန်ခန်းသွားသော်လည်း အပြစ်ကင်းသော အသက်မွေးမှုဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မွေးနိုင်သည်၊ ပညာမရှိသော သူကား ဥစ္စာပစ္စည်း ရှိငြားသော်လည်း ပညာမရသဖြင့် အသက် မမွေးနိုင် <ref>(ထေရ၊၂၉၅၊ ၃၀၂)</ref>၊ အမျိုးမြတ်သော မင်းသားပင်ဖြစ်သော်လည်း မင်း အဖြစ်ကို ရပြီးနောက် ပညာမရှိလျှင် မင်းစည်းစိမ်ဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မရှည်နိုင်<ref> (ဇာ၊၂၊၄)</ref>။ ပညာကို ရခြင်းသည် ချမ်းသာခြင်း၏ အကြောင်းဖြစ်သည် <ref>(ဓမ္မ၊၆၁)</ref>။ ပညာရှိသောသူသည် မျက်စိအမြင်နှင့် ပြည့်စုံသူမည်၏။ ပညာမျက်စိမရှိသူကား အကန်း သာတည်း<ref> (ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၀၀။ ဓမ္မဋ္ဌ၊၂၊၁၁၄)</ref>။ များစွာသော လူအပေါင်းသည် ပညာမျက်စိ မရှိသောကြောင့် အကန်းသာတည်း၊ ထိုလူအပေါင်းတွင် အနည်းငယ်သော လူသည်သာ ပညာမျက်စိရှိပေသည်<ref>(ဓမ္မ၊၃၉)</ref>။ ဤမှတပါးသော ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]ပုဒ်၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့် သီလ== လက်တဖက်ဖြင့် လက်တဖက်ကိုလည်းကောင်း ခြေတဖက်ဖြင့် ခြေတဖက်ကိုလည်းကောင်း ဆေးကြောရာသကဲ့သို့ သီလဖြင့် ပညာကို ဆေးကြော၍ ပညာဖြင့် သီလကို ဆေးကြောရသည်။ သီလရှိသူအား ပညာရှိ၍ ပညာရှိသူအား သီလရှိသည်။ သီလနှင့် ပညာကို လောက၌ အမြတ်ဆုံးဟု ဆိုရသည် (ဒီ၊၁၊၁၁၆-၇)<ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သမာဓိ== ပညာမရှိသောသူအား ဈာန်သမာဓိ မရှိ၊ ဈာန်သမာဓိ မရှိသော သူအားလည်း ပညာ မရှိ၊ ပညာနှင့် သမာဓိ ၂-ပါးရှိသူသည် နိဗ္ဗာန်နှင့် ဧကန်နီးတော့သည်<ref>(ဓမ္မ၊၆၆)</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သဒ္ဓါ== သဒ္ဓါ ပညာဟူသော ဣန္ဒြေ ၂-ပါးတို့ အယုတ်အလွန်မရှိဘဲ ညီမျှမှ ပညာရှိတို့ ချီးမွမ်းကြသည်။ သဒ္ဓါလွန်လျှင် ကွန့်၍ ပညာလွန်လျှင် ဆွန့်တတ်သည် <ref>(ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၃၇၇။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၅။ သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၉၄။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၉၁။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၆၄)၊</ref> လောကီဂုဏ်တို့တွင် သဒ္ဓါသည် အကြီးအမှူးဖြစ်၍ လောကုတ္တရာဂုဏ်တို့တွင် ပညာသည် အကြီးအမှူးဖြစ်သည်<ref> (သာရတ္တ၊၁၊ ၄၁၂။ ဒီ၊ဋီ၊၁၊၂၇၄။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၂၊၁၆၇။ မ၊ဋီ၊၁၊၂၃၁။ အံ၊ဋီ၊၂၊၁၅)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဝိတက်== ပညာသည် မိမိသဘောအားဖြင့် အာရုံကို အနိစ္စ, ဒုက္ခ, အနတ္တ ဟု ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ မစွမ်းနိုင်၊ ဝိတက်က ထိုအာရုံကို ခေါက်၍ ခေါက်၍ ပေးမှ ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ စွမ်းနိုင်သည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၁၄၆)</ref>။ ==ပညာနှင့်စိတ်== ဘုရားရှင်ဒေသနာတော်၌ လောကီတရားကို ဟောရာတွင် စိတ်ကို အကြီးအမှူး အဦးထား၍ လောကုတ္တရာတရားကို ဟောရာတွင် ပညာကို အကြီးအမှူး အဦးထားသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၀)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဥစ္စာ== ဥစ္စာဖြင့် အသက်ရှည်မှုကို မရနိုင်၊ အိုခြင်းတရားကို မလွန်မြောက်နိုင်၊ ဥစ္စာရှိသူ ဥစ္စာမဲ့သူ ပညာရှိသူ ပညာမဲ့သူအားလုံး သေကြေ ပျက်စီးရသည်သာ ဖြစ်သည်။ ပညာမဲ့သူ လူမိုက်သည် နှလုံးမသာယာမှုဖြင့် တုန်လှုပ် တွေဝေသည်။ ပညာရှိသူကား မတုန်လှုပ် မတွေဝေ၊ ထို့ကြောင့် လောက၌ ပညာသည် ဥစ္စာထက် မြတ်သည်<ref>(မ၊၂၊၂၆၁)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါဝင်သော တရားစု== ပညာသည် သာသနာတော်၌ ပဓာနအကျဆုံးတရားဖြစ်၍ အမျိုးမျိုးသော တရားတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ အသီးသီးသော တရားအစု၌ ပါဝင်သည်။ ဓမ္မသင်္ဂဏီပါဠိတော် မဟာကုသိုလ်ပဌမစိတ်၏ ဓမ္မုဒ္ဒေသ(နှာ-၁၇)၌ တရားအမျိုးအမည်ပေါင်း ၅၆-ပါး ဟောကြားတော်မူသည်။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣန္ဒြိယရာသိ၌ ပညိန္ဒြေ၊ မဂ္ဂပဉ္စကရာသီ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဗလရာသိ၌ ပညာဗလ၊ ဟေတုတိက်(မူလရာသိ)၌ အမောဟ၊ ကမ္မပထရာသိ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဥပကာရဒုက်၌ သမ္မဇည၊ ယုဂနဒ္ဓဒုက်၌ ဝိပဿနာဟု အမည်နာမ ၇-မျိုးဖြင့် တရားစု ၇-ပါး၌ ပါဝင်သည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၇၉။ အဘိ၊ ဝဘာရ၊ဋီ၊၁၊၂၇၇)</ref>။ ဗောဓိက္ခိယတရား ၃၇-ပါးသည် တရားစု '''ရာသိ'''အားဖြင့် ၇-ပါး ရှိသည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၃၁၈။ သင်္ဂဟ၊၁၂၃-၄)</ref>။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣဒ္ဓိပါဒ် ၄-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၂၅-၈)</ref>၌ '''ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒ်'''၊ ဣန္ဒြေ ၅-ပါး <ref>(သံ၊၃၊၁၇၀။ ပဋိသံ၊၁၉၀)</ref>၌ '''ပညိန္ဒြေ၊''' ဗိုလ် ၅-ပါး <ref>(အဘိ၊ဓ၊၁၇)</ref>၌ '''ပညာဗိုလ်'''၊ ဗောဇ္ဈင် ၇-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၆)</ref>၌ '''ဓမ္မဝိစယသမ္ဗောဇ္ဈင်၊''' မဂ္ဂင် ၈-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၄)</ref>၌ '''သမ္မာဒိဋ္ဌိ'''ဟု တရားစု ၅-မျိုး၌ ပါဝင်သည်။ ပညာသည် သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''သိက္ခာ ၃-ပါး'''<ref>(အံ၊၁၊၂၃၃-၂၃၆)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, သူရဘာဝ, ပညာဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၃-ပါး''' (ဇာ၊၁၊၁၄)၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, စိတ္တ, ဝီမံသာဟူသော '''အဓိပတိ ၄-ပါး'''<ref>(ပဋ္ဌာန၊၁၊၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သစ္စာ, ပညာ, ဝီရိယ, စာဂဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(ဇာ၊၁၊၁၄၊၆၁)</ref> နှင့် '''တမလွန်၌ မစိုးရိမ်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၂၁၇။ သုတ္တနိ၊၃၀၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဒါန, သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''အနုဂါမိကနိဓိ ၄-ပါး''' <ref>(ခုဒ္ဒက၊၉)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သမာဓိ, ပညာဝိမုတ္တိဟူသော '''သံသရာပြတ်ကြောင်း တရား ၄-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၂၊၁၈၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ '''သာသနာမှ မလျောကျကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(အံ၊၁၊၃၀၈)</ref>၌လည်းကောင်း၊ ပညာ, သစ္စာ, စာဂ, သန္တိ(ဥပသမ)ဟူသော '''ဆောက်တည်ရာတရား ၄-ပါး''' (ဒီ၊၃၊၁၉၁။ မ၊၃၊၂၀၂-၃)၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သောစေယျ, ထာမ, ပညာဟူသော '''ကြာမြင့်မှ သိနိုင်သောတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၇၈–၉။ ဥဒါန၊၁၅၆-၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဗာဟု, ဘောဂ, အမစ္စ, အဘိဇာတိ, ပညာဟူသော '''ဗလ ၅-မျိုး''' <ref>(ဇာ၊၂၊၃)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဒါ, သီလ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''ဂတိမြဲကြောင်းတရား ၅-ပါး''' (မ၊၃၊၁၄ဝ။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၀၄)၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, ဝီရိယ, သတိ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းတရား ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၁၈)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, သီလ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းဥစ္စာ ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၈-၉)</ref>၌လည်းကောင်း ပါဝင်သည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါရမီ== ဘုရားအဖြစ်ကို ပြုပေးနိုင်သည့် ပါရမီတို့သည် သရုပ်အားဖြင့် ၁၀-ပါးရှိသည်<ref> (ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၀၆။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇၀)</ref>။ ယင်းတို့တွင် အခြားပါရမီတို့အား ကျေးဇူးမပြုတတ်သော တရားတို့ကို ပယ်၍ ကျေးဇူးပြုတတ်သောတရားတို့၌ အကြောင်းဥပါယ်ကို တတ်သိလိမ္မာသော အလွန်ခေါင်းပါးစွာ အသက်မွေးမှုကို ပြီးစေတတ်သော အသိဉာဏ်ကို ပညာပါရမီခေါ်သည်<ref> (စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇)</ref>။ ဘုရားလောင်း သုမေဓာသည် နိယတဗျာဒိတ်ခံယူပြီးနောက် ပါရမီတို့ကို ဆင်ခြင်တော်မူရာ လေးကြိမ်မြောက်တွင် ပညာပါရမီကို တွေ့မြင်တော်မူသည်၊ ထိုအခါ ဤသို့ ဆုံးမဆောက်တည်တော်မူသည်၊ “အမောင် သုမေဓာ-အသင်သည် ယနေ့မှစ၍ ပညာပါရမီကို ဖြည့်ကျင့်ပါလော့၊ ဆွမ်းခံလှည့်လည်သော ရဟန်းသည် အယုတ် အလတ် အမြတ်မရွေးဘဲ အိမ်စဉ် မပြတ် ဆွမ်းရပ်သည်ရှိသေ၌ မျှတလောက်သော ဆွမ်းကို ရသကဲ့သို့ သင်သည်လည်း အလုံးစုံသော ပညာရှိတို့ကို ချဉ်းကပ်၍ ပြဿနာအရပ်ရပ်ကို မေးမြန်းပါလော့၊ ယင်းသို့ ပြုသည်ရှိသော် ပညာပါမီ အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ကာ ဘုရားစင်စစ် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်” <ref>(ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၁၆-၇၊ ဗုဒ္ဓဝံ၊ဋ္ဌ၊၁၃၂)။</ref> ပညာပါရမီ၏ အခြားသော ဆင်ခြင်ဖွယ် ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို-<ref>စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၈၈-၉၊ ဒီ၊ဋီ၊၁၇၈-၉။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၆၅-၆-</ref>တို့၌ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာဓိကဘုရားလောင်း== ဘုရားလောင်းတို့၏ ပါရမီဖြည့်ရာ ကာလသည် (က) ၄-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း (ခ) ၈-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း၊ (ဂ) ၁၆ သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်းဟု ၃-မျိုးကွဲပြားသည်၊ ယင်းသိုကွဲပြားခြင်းကား ပညာပါရမီ၏ အစွမ်းအာနုဘော် ထက် မထက်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပညာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီထက်မြက်သောကြောင့် ၄-သင်္ချေ နှင့် ကမ္ဘာတသိန်းသာ ပါရမီဖြည့်ကျင့်ကြရသည်၊ သဒ္ဓါဓိကဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီ အလယ်အလတ်ရှိသောကြောင့် ၈-သင်္ချေနှင့်ကမ္ဘာတသိန်း ဖြည့်ကျင့်ကြရသည်။ ဝီရိယာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီနံ့သောကြောင့် ၁၆-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း ပါရမီဖြည့်ကျင့်တော်မူကြရသည်<ref> (သုတ္တနိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁။ ပဋ္ဌ၊ ၁၈.၁၅၅။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၃၂။ အံ၊ဋီ၊၁၊၁၃၅။ သမန္တစက္ခု။ ပုစ္ဆာနံပါတ်-၁၁၈)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ ၈-မျိုး== မဟာပညာ, ပုထုပညာ, ဂမ္ဘီရပညာ, ဘူရိပညာ, ဟာသပညာ, ဇဝနပညာ, တိက္ခပညာ, နိဗ္ဗေဓိကပညာတို့၏ အကျယ်မှတ်ဖွယ်ကို <ref>ပဋိသံ၊ ၃၇၁-၃၈၁။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၁၃-၁၁၅။ မ၊ဋ္ဌ၊၄၊၅၆-၅၇။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၄၇-၂၆၃-</ref>တို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာရခြင်းအကြောင်း== ပညာရခြင်း ပညာတိုးပွားခြင်းအကြောင်းတို့ကို အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ နေက္ခမ္မ သင်္ကပ္ပ အဗျာပါဒသင်္ကပ္ပ အဝိဟိံသာသင်္ကပ္ပ ဟု ၃-ပါး<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ၁။ ကောင်းသော တရားတို့၌ မမှိတ် မသုန် ယုံကြည်ခြင်း '''သဒ္ဓါ'''၊ ၂။ ပညာရှိတို့ထံ ဆည်းကပ်နာကြားခြင်း '''သုဿုသာ''' ၃။ မမေ့မလျော့ခြင်း '''အပ္ပမာဒ'''၊ ၄။ စူးစမ်း ဆင်ခြင်ခြင်း '''ဝိစက္ခဏာ'''ဟု ၄-ပါး<ref> (သံ၊၁၊၂၇၊ သုတ္တနိ၊၃၇)</ref>။ ၁။ သူတော်ကောင်းကို မှီဝဲခြင်း, ၂။ သူတော်ကောင်း တရားကို နာခြင်း, ၃။ အသင့်အတင့် နှလုံးသွင်းခြင်း, ၄။ လောကုတ္တရာ တရားအားလျော်စွာကျင့်ခြင်း ဟု ၄-ပါး<ref>(အံ၊၁၊၅၆၇။ ပဋိသံ၊ ၇၁)</ref>။ သာသနာတော်တည်နေတာ ဟာ ဓမ္မ ပေါ်မှာမူတည်နေသည် ၁။ အလေး ပြုအပ်သော ဆရာသမားတို့ အပေါ်၌ ရှက်ကြောက် ရိုသေမြတ်နိုးမှု အားကြီးခြင်း, ၂။ အခါအခွင့်သင့်တိုင်း ဆရာသမားတို့ထံ ချဉ်းကပ် မေးမြန်းခြင်း, ၃။ ကိုယ်စိတ် ၂-ပါး ဆိတ်ငြိမ်စွာနေခြင်း, ၄။ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ပြည့်စုံခြင်း, ၅။ အစ, အလယ်, အဆုံး ကောင်းခြင်း ၃-ပါးရှိသော တရား(ကျမ်းဂန်)ကို သင်မှတ်သားခြင်း, ၆။ အကုသိုလ်ကို ပယ်၍ ကုသိုလ် တရား ပွားများရန် ကြိုးပမ်းအားထုတ်ခြင်း, ၇။ အကျိုးမရှိသော စကားကို မပြောဆိုဘဲ အကျိုးရှိသောစကားကို ပြောဆိုခြင်း, ၈။ ခန္ဓာ စသော တရားတို့၌ အဖြစ်အပျက်ကို အဖန်ဖန် ရှုမှတ်ခြင်းဟု ၈-ပါး။ <ref>(အံ၊၃၊၂-၅)</ref>။ ကြွင်း ပညာရကြောင်း တရားတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]-ပုဒ်, ပညာပဋိလာဘကာရဏ-ပုဒ်တို့၌ ကြည့်။ <br /> ==ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်း== ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်းကိုလည်း အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ ကာမဝိတက် ဗျာပါဒ ဝိတက် ဝိဟိံသာဝိတက်တို့သည် ပညာမျက်စိ ကန်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ကာမစ္ဆန္နီ ဗျာပါဒ ထိနမိဒ္ဓ ဥစ္စဒ္ဓ ကုက္ကူ ဝိစိကိစ္ဆာ ဟူသော တရား ၅-ပါးတို့သည် ပညာအားနည်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref>(မ၊၁၊၂၃၉။ သံ၊၃၊၈၆၊၁၃၉။ အံ၊၁၊၅၃၁။ နေတ္တိ၊၇၈)</ref>။ ပညာသည်လူသားတိုင်းအတွက်လွန်စွာအရေးပါသည် ထိုကြောင့် ဓမ္မ ပညာရှေးအလာဆိုသည့်အတိုင်းပညာရှိမှသာအဆင်ပြေစေနိုင်မည်ဖြစ်ပါသည် == ပညာပါရမီကို အကြောင်းပြု၍ ဟောသောဇာတ်များ== [[ပုဏ္ဏနဒီဇာတ်]]<ref>-ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၅။</ref> [[ဂါမဏိစန္ဒဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၀</ref> [[သတ္တုဘသ္တဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၁။</ref> [[ဒူတဇာတ်]]—<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၄၊၂၂၄။</ref> [[သမ္ဘဝဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၅၀။</ref> [[မဟာဗောဓိဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၂၄၀။</ref> [[ဥမင်္ဂဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၆၊၁၆၃။</ref> [[ဝိဓူရဇာတ်တော်|ဝိဓူရဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၇၊၁၅၁။</ref> ==ပညာနှင့် ပညာ၏ ဝေဝုစ်တို့ကို အမည်တပ်၍ဟောသောသုတ်များ== [[ဥမ္မဂ္ဂသုတ်]]—<ref>အံ၊၁၊၄၉၇။</ref> [[ဉာဏဝတ္ထုသုတ်]] <ref>သံ၊၁၊၂၈၈၊ ၂၉၀။</ref> [[ဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>အံ၊၁၊၅၄၈၊ ၅၅၀။</ref> [[ပညဝန္တသုတ်]]-<ref>သံ၊၃၊၈၈။</ref> [[ပညာသုတ်]] <ref>အံ၊၃၊၂၊၂၀၂။</ref> [[ပညာဝိမုတ္တသုတ်]]- <ref>အံ၊၃၊၂၄၅။</ref> [[ပညာပရိဟီနသုတ်]]- <ref>ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။</ref> [[ပညာဝုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၅၆၇။</ref> [[ပဋိဘာနသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၄၅၂။</ref> [[ဗုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>သံ၊၃၊၁၃။</ref> [[ဝိဇ္ဇာသုတ်]]- <ref>သံ၊၂၊၁၃၂။ အံ၊၃၊၂၆၆၊ ၄၂၉။ ဣတိဝုတ်၊၂၁၁။</ref> [[ဝိဇ္ဇာဘာဂိယသုတ်]]-<ref>အံ၊၂၊၂၉၄။</ref> [[သမ္မာဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>မ၊၁၊၅၇။ အံ၊၁၊၃၈၈၊ ၄၀၁။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ လောကူပမာ== ပညာကို လောကဥပမာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်၍ အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုတော်မူကြသည်။ ပညာမြေကြီး-<ref>မဟာနိ၊၇၃။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၄၃။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၆၄။</ref> ပညာထမ်းပိုး၊ ပညာထွန်ထုံး-<ref>သံ၊၁၊၁၇၅။ သုတ္တနိ၊၂၉၁။</ref> ပညာနှင်တံ-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၁၊၂၇၆။</ref> ပညာပြာသာဒ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ဓမ္မ၊၁၇။ နေတ္တိ၊၈၈။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ သာရတ္ထ၊၃၊၁၅၆၊</ref> ပညာမှန်ကင်း-<ref>ပဋိသံ၊၃၇၇။ မဟာနိ၊၃၉၃။ စူဠနိ၊၂၁၃-၅။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁၄။</ref> ပညာတံခါးမုခ်၊ ပညာလမ်းဆုံ-<ref>အပ၊၁၊၄၈။</ref> ပညာဥစ္စာ-<ref>ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၉။ စူဠနိ၊၁၀၂။</ref> ပညာရတနာ-<ref>သံ၊၁၊၃၃။ အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊၃၂၁။</ref> ပညာကွန်ယက်-<ref>ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၈၊</ref> ပညာလက်နက်−<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာဝရဇိန်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊၂၅၅။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာသန်လျက်-<ref>နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊ ၃၇၉။</ref> ပညာလှံမ– <ref>ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၇၉။</ref> ပညာ(သင်တုန်း)ဓား-<ref>ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃၆။</ref> ပညာဦးခေါင်း-<ref>အံ၊၂၊၃၀၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၃၂၆။</ref> ပညာမျက်စိ-<ref>သံ၊၃၊၄၁၅။ အံ၊၁၊၃၇။ ဣတိဝုတ်၊၂၃၁။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၃၈၉။</ref> ပညာနား-<ref>ဇာ၊၁၊၆၈။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀၊ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။</ref> ပညာနှလုံးသား-<ref>ဇာ၊၂၊၃၀၈။</ref> ပညာနှုတ်သီး-<ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၈၁။</ref> ပညာဆင်စွယ် <ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၂၁။ နေတ္တိ၊ဋ္ဌ၊၆၀။</ref> ပညာကိုယ်ဝန်-<ref>သာရတ္ထ၊၁၊၄၄၈။</ref> ပညာမီးလျှံ-<ref>မဟာနိ၊၄၀။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။ မ၊ဋီ၊၂၊၁၉၆။ အံ၊ဋီ၊၃၊၃၆၇။</ref> ပညာအလင်း၊ ပညာအရောင်၊ ပညာတန်ဆောင်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။</ref> ပညာသော့-<ref>အပ၊၁၊၃၆၄၊</ref> ပညာလျှပ်စစ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊ ၂၅၅။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်== [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ်]] [[ပညာရှိ (ဗုဒ္ဓဘာသာ)|ပညာရှိ]] == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာ]] [[Category:ဝိပဿနာ]] inz4skwgx9c555echnwhha59sedy0mt 1039313 1039142 2026-06-18T02:38:08Z Ninjastrikers 22896 [[Special:Contributions/U Zin Kyaw|U Zin Kyaw]] ([[User talk:U Zin Kyaw|ဆွေးနွေး]]) ၏ ပြင်ဆင်မှုများကို [[User:Tejinda|Tejinda]] ၏ နောက်ဆုံးတည်းဖြတ်မူသို့ နောက်ပြန် ပြန်ပြင်ခဲ့သည် 846161 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} ပညာသည် အသိဉာဏ် ပညာဟူသော အနက်သာမညကို ဟောသော်လည်း ထိုပုဒ်၏အရ ဒေသနာဉာဏ်၊ ဝိပဿနာပညာ၊ မဂ်ပညာ၊ ဖိုလ်ပညာ၊ အရဟတ္တမဂ်ပညာ၊ အရဟတ္တဖိုလ်ပညာ၊ လောကီလောကုတ္တရာပညာ စသည်တို့ကို အရာအားလျော်စွာ ကောက်ယူရသည်။ အထူးထူးအပြားပြားအားဖြင့်-ဝေဘန်-ပိုင်းခြား—စဉ်းစား ဆင်ခြင်-သိမြင်တတ်သော သဘောတရား၊ အသိ၊ အလိမ္မာ၊ ဉာဏ်၊ ပညာ၊ ပညိန္ဒြေ စေတသိက်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်">တိပိဋကအဘိဓာန် အတွဲ-၁၃</ref> ==လက္ခဏာ, ရသ စသည်== ပညာသည် အကောင်းအဆိုး အကြောင်းအကျိုးအမျိုးမျိုးသော သဘောတရားတို့ကို အထူးထူး အပြားပြားအားဖြင့် ထိုးထွင်း သိမြင်ခြင်း '''လက္ခဏာ'''ရှိသည်။ ဆီးမီးကဲ့သို့ အာရုံ၏ သဘောမှန်ကို ထွန်းပြခြင်း'''ကိစ္စ'''ရှိသည်။ မတွေမဝေ သိတတ်သော တရားအဖြစ်ဖြင့် ရှေးရှုထင်လာမှုအခြင်းအရာ '''အာကာရပစ္စုပဋ္ဌာန်'''ရှိသည်၊ သမာဓိဟူသော နီးသော အကြောင်း '''ပဒဋ္ဌာန်'''ရှိသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅-၆။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၆၈။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>။ ဝိညာဉ်သည် အာရုံကို ရအောင်ယူ၍ သညာသည် အမှတ်ပြုသည်၊ ပညာကား ထိုအာရုံ၏ သဘောမှန်ကို သိသည်။ ယင်းတို့၏ထူးခြားပုံ အကျယ်ကို ဤအဘိဓာန် အတွဲ-၈ [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏပုဒ်]]နှင့် ဆိုင်ရာကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအမျိုးမျိုး== ယင်းပညာသည် အသေးစားဖြစ်သော လူမှုကိစ္စမှစ၍ သစ္စာ ၄-ပါး တရားတိုင်အောင် မိမိအစွမ်းသတ္တိအားလျော်စွာ အမျိုးမျိုး သိစွမ်းနိုင်သည်။ အဋ္ဌကထာ(<ref>အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၆၅ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၉၇)</ref>တို့၌ ပညာ၏ ဗျုပ္ပတ်ကို ဖွင့်ပြရာဝယ် '''သစ္စာ ၄-ပါးတို့ကို အပြားအားဖြင့် သိတတ်သောကြောင့် ပညာမည်၏'''ဟု မိန့်ဆိုခြင်းကား [[မဟာဝေဒလ္လသုတ်]] <ref>(မ၊၁၊၃၆၆)</ref>စသည်နှင့်အညီ ဥက္ကဋ္ဌနည်းအားဖြင့် ဆိုခြင်းသာဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဝိဘင်းပါဠိတော်<ref>(အဘိ၊ဝိ၊၃၃၇)</ref>၌ အသက်မွေးကြောင်းဖြစ်သည့် လယ်လုပ်မှု ကုန်သွယ်မှု စသော '''ကမ္မာယတန'''၊ ယက်ကန်းအတတ် အိုးထိန်းသည်အတတ် စသော '''သိပ္ပါယတန'''၊ မြွေဆိပ်ချမန္တန်စသော '''ဝိဇ္ဇာဌာန'''တို့၌ တတ်သိနားလည်မှုကိုလည်း '''ပညာ''' ဟု ဟောတော်မူသည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာအစစ်နှင့်အတု== လောကရေးရာ လိမ္မာပါးနပ်မှုနှင့် စပ်၍ ပညာအစစ်, ပညာအတုဟု ခွဲထားပြုခဲ့ကြသည်။ အဋ္ဌကနိပါတ် [[သုလသာဇာတ်]] <ref>(ဇာ၊၁၊၁၇၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၄၁၃-၄၁၇)</ref>၌ ပစ္စုပ္ပန်ဝတ္ထုနှင့် အတိတ်ဝတ္ထုတို့ဝယ် လက်ဝတ်တန်ဆာများကို ယူလို၍ လူကို သတ်ရန် အကောက်ကြံသော ခိုးသူလင်ယောက်ျားကို ဥပါယ်တံမျဉ်ဖြင့် ပြန်လည် လှည့်ပတ်ကာ သတ်ဖြတ် အနိုင်ယူလိုက်သော ကျွန်မနှင့် ပြည့်တန်ဆာမတို့အား ဘုရားရှင်နှင့် အလောင်းတော် နတ်သားတို့က '''စူးစမ်းဆင်ခြင်တတ်သောပညာ ရှိသည်''' ဟု ချီးကျူးကြသည်။ ထို့အတူပင် ကုဏ္ဍလကေသီထေရီဝတ္ထု <ref>(အပ၊၂၊၂၄၂။ ထေရီ၊ဋ္ဌ၊၁၁၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁)</ref>၌ ထေရီလောင်းလျာ ဘဒ္ဒါမယ်အား တောင်စောင့်နတ်က ချီးကျူးလေသည်။ ဤဝတ္ထုတို့၌ လာသော လိမ္မာပါးနပ်မှုကို '''ပညာအစစ်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ '''ပညာ အစစ်မဟုတ်၊ အတုသာဖြစ်သည်'''ဟူ၍လည်းကောင်း ကျမ်းပြုပုဂ္ဂိုလ်တို့ အမျိုးမျိုးမိန့်ဆို ကြသည်<ref>(မဟာဗုဒ္ဓပင်၊ ပ-တွဲ၊ ပ-ပိုင်း၊ အနုဒီပနီ၊ ဗု-ချပ်။ သင်္ဂြိုဟ်ဘာသာဋီကာ၊ နှာ ၁၅၆)</ref>။ ဤနှင့်စပ်၍ အဘိဓမ္မာဝိနိစ္ဆယကျမ်း <ref>(နှာ-၂၅၂-၂၅၇)</ref>၌ အပိုင်း ၄-ပိုင်း ခွဲကာ ဤသို့ ဆုံးဖြတ်သည်။ (၁) မိမိအသက်ဘေးမှ လွတ်မြောက်အောင် ကြံစည်ခိုက် ကျွန်မနှင့် ကုဏ္ဍလကေသီတို့ သန္တာန်၌ ဉာဏသမ္ပယုတ်ဝီထိဖြစ်၌ ပညာအစစ်ဖြစ်သည်။ ဤကိုရည်၍ ဘုရားရှင်နှင့် တောင်စောင့်နတ်တို့က '''ပညာရှိပါပေသည်''' ဟု ချီးကျူးကြခြင်းဖြစ်သည်။ (၂) ခိုးသူယောက်ျားကို မသတ်မီ လှည့်ပတ် ဖျားယောင်းနေခိုက် ပညာနှင့် အလားတူသည့် '''မိစ္ဆာဉာဏ်'''ခေါ် မောဟသာဖြစ်သည်။ (၃) ခိုးသူယောက်ျားကို သတ်ဖြတ် အဆုံးစီရင်လိုက်သောအခါ ဝဓကစေတနာပြဓာန်းသော <ref>ဒေါသမူစိတ္တုပ္ပါဒ်</ref> ဖြစ်သည်။ (၄) လက်ဝတ်တန်းများကို ရယူလို၍ ခိုးသူယောက်ျား၏ လှည့်ပတ်ဖျားယောင်းမူသည် ပညာနှင့်အလားတူသော '''မာယာ'''ခေါ် လောဘသာဖြစ်သည်။ ဤသို့ ဆုံးဖြက်တော်မူသည်။ အကျယ်ကို ထိုကျမ်းတို့၌ ကြည့်။ ဤအဆုံးအဖြတ်သည် စိတ်တို့၏ အလွန်လျင်မြန်စွာ ဖြစ်ပျက် ပြောင်းလဲတတ်သာ နိယာမ သဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသဖြင့် ယုတ္တိရှိလှပေသည်။ ထို့ကြောင့် ယခုကာလ အလွန်ဆန်းကြယ်သော သိပ္ပံပညာနှင့် နက်နဲလှသော ဝိဇ္ဇာပညာရပ်များကို ကြံစည်တီထွင် စီရင်ပြုလုပ်ကြသော သူတို့သန္တာန်၌ (တိုက်ခိုက် ဖျက်ဆီးလိုစိတ် မရှိပါလျင်) ပညာစစ် ပညာမှန် ဧကန် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ဂုဏ်ကျေးဇူး== ကျမ်းဂန်တို့၌ ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးကို အမျိုးမျိုး ချီးကျူးမိန့်ဆိုကြသည်။ သတ္တဝါတို့တွင် ဘုရားရှင်သည် အမြတ်ဆုံး ဖြစ်သကဲ့သို့ ရုပ်နာမ်သင်္ခါရတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်။ အဘယ့်ကြောင့်ဆိုသော် ပညာပြီးမြောက်လျှင် အပြစ်မရှိသော တရားအားလုံး ပြီးမြောက်သောကြောင့်တည်း<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၄၉)</ref>။ အမြိုက်နိဗ္ဗာန်သို့ ရောက်စေတတ်သောတရားတို့တွင် ပညာသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်၍ ကြွင်းတရားတို့သည် ပညာ၏အခြံအရံများဖြစ်သည်<ref> (ဇာ၊၂၊၁၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၇။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၁၅၇-၈)</ref>။ အသက်ရှင်နေသူ သတ္တဝါအပေါင်းတွင် ပညာဖြင့် အသက်ရှင်သူသည် အမြတ်ဆုံးဖြစ်သည်<ref> (သံ၊၁၊၂၁၆။ သုတ္တနိ၊၃၀၆)</ref>။ ပညာရှိသော သူသည် ဥစ္စာပစ္စည်း ကုန်ခန်းသွားသော်လည်း အပြစ်ကင်းသော အသက်မွေးမှုဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မွေးနိုင်သည်၊ ပညာမရှိသော သူကား ဥစ္စာပစ္စည်း ရှိငြားသော်လည်း ပညာမရသဖြင့် အသက် မမွေးနိုင် <ref>(ထေရ၊၂၉၅၊ ၃၀၂)</ref>၊ အမျိုးမြတ်သော မင်းသားပင်ဖြစ်သော်လည်း မင်း အဖြစ်ကို ရပြီးနောက် ပညာမရှိလျှင် မင်းစည်းစိမ်ဖြင့် ကြာမြင့်စွာ အသက်မရှည်နိုင်<ref> (ဇာ၊၂၊၄)</ref>။ ပညာကို ရခြင်းသည် ချမ်းသာခြင်း၏ အကြောင်းဖြစ်သည် <ref>(ဓမ္မ၊၆၁)</ref>။ ပညာရှိသောသူသည် မျက်စိအမြင်နှင့် ပြည့်စုံသူမည်၏။ ပညာမျက်စိမရှိသူကား အကန်း သာတည်း<ref> (ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၀၀။ ဓမ္မဋ္ဌ၊၂၊၁၁၄)</ref>။ များစွာသော လူအပေါင်းသည် ပညာမျက်စိ မရှိသောကြောင့် အကန်းသာတည်း၊ ထိုလူအပေါင်းတွင် အနည်းငယ်သော လူသည်သာ ပညာမျက်စိရှိပေသည်<ref>(ဓမ္မ၊၃၉)</ref>။ ဤမှတပါးသော ပညာ၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]ပုဒ်၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့် သီလ== လက်တဖက်ဖြင့် လက်တဖက်ကိုလည်းကောင်း ခြေတဖက်ဖြင့် ခြေတဖက်ကိုလည်းကောင်း ဆေးကြောရာသကဲ့သို့ သီလဖြင့် ပညာကို ဆေးကြော၍ ပညာဖြင့် သီလကို ဆေးကြောရသည်။ သီလရှိသူအား ပညာရှိ၍ ပညာရှိသူအား သီလရှိသည်။ သီလနှင့် ပညာကို လောက၌ အမြတ်ဆုံးဟု ဆိုရသည် (ဒီ၊၁၊၁၁၆-၇)<ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သမာဓိ== ပညာမရှိသောသူအား ဈာန်သမာဓိ မရှိ၊ ဈာန်သမာဓိ မရှိသော သူအားလည်း ပညာ မရှိ၊ ပညာနှင့် သမာဓိ ၂-ပါးရှိသူသည် နိဗ္ဗာန်နှင့် ဧကန်နီးတော့သည်<ref>(ဓမ္မ၊၆၆)</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်သဒ္ဓါ== သဒ္ဓါ ပညာဟူသော ဣန္ဒြေ ၂-ပါးတို့ အယုတ်အလွန်မရှိဘဲ ညီမျှမှ ပညာရှိတို့ ချီးမွမ်းကြသည်။ သဒ္ဓါလွန်လျှင် ကွန့်၍ ပညာလွန်လျှင် ဆွန့်တတ်သည် <ref>(ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၃၇၇။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၅။ သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၉၄။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၉၁။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၆၄)၊</ref> လောကီဂုဏ်တို့တွင် သဒ္ဓါသည် အကြီးအမှူးဖြစ်၍ လောကုတ္တရာဂုဏ်တို့တွင် ပညာသည် အကြီးအမှူးဖြစ်သည်<ref> (သာရတ္တ၊၁၊ ၄၁၂။ ဒီ၊ဋီ၊၁၊၂၇၄။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၂၊၁၆၇။ မ၊ဋီ၊၁၊၂၃၁။ အံ၊ဋီ၊၂၊၁၅)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဝိတက်== ပညာသည် မိမိသဘောအားဖြင့် အာရုံကို အနိစ္စ, ဒုက္ခ, အနတ္တ ဟု ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ မစွမ်းနိုင်၊ ဝိတက်က ထိုအာရုံကို ခေါက်၍ ခေါက်၍ ပေးမှ ဆုံးဖြတ်ခြင်းငှါ စွမ်းနိုင်သည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၁၄၆)</ref>။ ==ပညာနှင့်စိတ်== ဘုရားရှင်ဒေသနာတော်၌ လောကီတရားကို ဟောရာတွင် စိတ်ကို အကြီးအမှူး အဦးထား၍ လောကုတ္တရာတရားကို ဟောရာတွင် ပညာကို အကြီးအမှူး အဦးထားသည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၀)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာနှင့်ဥစ္စာ== ဥစ္စာဖြင့် အသက်ရှည်မှုကို မရနိုင်၊ အိုခြင်းတရားကို မလွန်မြောက်နိုင်၊ ဥစ္စာရှိသူ ဥစ္စာမဲ့သူ ပညာရှိသူ ပညာမဲ့သူအားလုံး သေကြေ ပျက်စီးရသည်သာ ဖြစ်သည်။ ပညာမဲ့သူ လူမိုက်သည် နှလုံးမသာယာမှုဖြင့် တုန်လှုပ် တွေဝေသည်။ ပညာရှိသူကား မတုန်လှုပ် မတွေဝေ၊ ထို့ကြောင့် လောက၌ ပညာသည် ဥစ္စာထက် မြတ်သည်<ref>(မ၊၂၊၂၆၁)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါဝင်သော တရားစု== ပညာသည် သာသနာတော်၌ ပဓာနအကျဆုံးတရားဖြစ်၍ အမျိုးမျိုးသော တရားတို့နှင့် တွဲဖက်ကာ အသီးသီးသော တရားအစု၌ ပါဝင်သည်။ ဓမ္မသင်္ဂဏီပါဠိတော် မဟာကုသိုလ်ပဌမစိတ်၏ ဓမ္မုဒ္ဒေသ(နှာ-၁၇)၌ တရားအမျိုးအမည်ပေါင်း ၅၆-ပါး ဟောကြားတော်မူသည်။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣန္ဒြိယရာသိ၌ ပညိန္ဒြေ၊ မဂ္ဂပဉ္စကရာသီ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဗလရာသိ၌ ပညာဗလ၊ ဟေတုတိက်(မူလရာသိ)၌ အမောဟ၊ ကမ္မပထရာသိ၌ သမ္မာဒိဋ္ဌိ၊ ဥပကာရဒုက်၌ သမ္မဇည၊ ယုဂနဒ္ဓဒုက်၌ ဝိပဿနာဟု အမည်နာမ ၇-မျိုးဖြင့် တရားစု ၇-ပါး၌ ပါဝင်သည်<ref> (အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၇၉။ အဘိ၊ ဝဘာရ၊ဋီ၊၁၊၂၇၇)</ref>။ ဗောဓိက္ခိယတရား ၃၇-ပါးသည် တရားစု '''ရာသိ'''အားဖြင့် ၇-ပါး ရှိသည်<ref> (ဝိသုဒ္ဓိ၊၂၊၃၁၈။ သင်္ဂဟ၊၁၂၃-၄)</ref>။ ယင်းတို့တွင် ပညာသည် ဣဒ္ဓိပါဒ် ၄-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၂၅-၈)</ref>၌ '''ဝီမံသိဒ္ဓိပါဒ်'''၊ ဣန္ဒြေ ၅-ပါး <ref>(သံ၊၃၊၁၇၀။ ပဋိသံ၊၁၉၀)</ref>၌ '''ပညိန္ဒြေ၊''' ဗိုလ် ၅-ပါး <ref>(အဘိ၊ဓ၊၁၇)</ref>၌ '''ပညာဗိုလ်'''၊ ဗောဇ္ဈင် ၇-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၆)</ref>၌ '''ဓမ္မဝိစယသမ္ဗောဇ္ဈင်၊''' မဂ္ဂင် ၈-ပါး <ref>(အဘိ၊ဝိ၊၂၄၄)</ref>၌ '''သမ္မာဒိဋ္ဌိ'''ဟု တရားစု ၅-မျိုး၌ ပါဝင်သည်။ ပညာသည် သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''သိက္ခာ ၃-ပါး'''<ref>(အံ၊၁၊၂၃၃-၂၃၆)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, သူရဘာဝ, ပညာဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၃-ပါး''' (ဇာ၊၁၊၁၄)၌ လည်းကောင်း၊ ဝီရိယ, စိတ္တ, ဝီမံသာဟူသော '''အဓိပတိ ၄-ပါး'''<ref>(ပဋ္ဌာန၊၁၊၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သစ္စာ, ပညာ, ဝီရိယ, စာဂဟူသော '''ရန်အောင်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(ဇာ၊၁၊၁၄၊၆၁)</ref> နှင့် '''တမလွန်၌ မစိုးရိမ်ကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၂၁၇။ သုတ္တနိ၊၃၀၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဒါန, သီလ, သမာဓိ, ပညာဟူသော '''အနုဂါမိကနိဓိ ၄-ပါး''' <ref>(ခုဒ္ဒက၊၉)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သမာဓိ, ပညာဝိမုတ္တိဟူသော '''သံသရာပြတ်ကြောင်း တရား ၄-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၂၊၁၈၂)</ref>၌လည်းကောင်း၊ '''သာသနာမှ မလျောကျကြောင်းတရား ၄-ပါး''' <ref>(အံ၊၁၊၃၀၈)</ref>၌လည်းကောင်း၊ ပညာ, သစ္စာ, စာဂ, သန္တိ(ဥပသမ)ဟူသော '''ဆောက်တည်ရာတရား ၄-ပါး''' (ဒီ၊၃၊၁၉၁။ မ၊၃၊၂၀၂-၃)၌လည်းကောင်း၊ သီလ, သောစေယျ, ထာမ, ပညာဟူသော '''ကြာမြင့်မှ သိနိုင်သောတရား ၄-ပါး''' <ref>(သံ၊၁၊၇၈–၉။ ဥဒါန၊၁၅၆-၇)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ ဗာဟု, ဘောဂ, အမစ္စ, အဘိဇာတိ, ပညာဟူသော '''ဗလ ၅-မျိုး''' <ref>(ဇာ၊၂၊၃)</ref>၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဒါ, သီလ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''ဂတိမြဲကြောင်းတရား ၅-ပါး''' (မ၊၃၊၁၄ဝ။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၀၄)၌လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, ဝီရိယ, သတိ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းတရား ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၁၈)</ref>၌ လည်းကောင်း၊ သဒ္ဓါ, သီလ, ဟိရီ, ဩတ္တပ္ပ, သုတ, စာဂ, ပညာဟူသော '''သူတော်ကောင်းဥစ္စာ ၇-ပါး''' <ref>(ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၈-၉)</ref>၌လည်းကောင်း ပါဝင်သည်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာပါရမီ== ဘုရားအဖြစ်ကို ပြုပေးနိုင်သည့် ပါရမီတို့သည် သရုပ်အားဖြင့် ၁၀-ပါးရှိသည်<ref> (ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၀၆။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇၀)</ref>။ ယင်းတို့တွင် အခြားပါရမီတို့အား ကျေးဇူးမပြုတတ်သော တရားတို့ကို ပယ်၍ ကျေးဇူးပြုတတ်သောတရားတို့၌ အကြောင်းဥပါယ်ကို တတ်သိလိမ္မာသော အလွန်ခေါင်းပါးစွာ အသက်မွေးမှုကို ပြီးစေတတ်သော အသိဉာဏ်ကို ပညာပါရမီခေါ်သည်<ref> (စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၇)</ref>။ ဘုရားလောင်း သုမေဓာသည် နိယတဗျာဒိတ်ခံယူပြီးနောက် ပါရမီတို့ကို ဆင်ခြင်တော်မူရာ လေးကြိမ်မြောက်တွင် ပညာပါရမီကို တွေ့မြင်တော်မူသည်၊ ထိုအခါ ဤသို့ ဆုံးမဆောက်တည်တော်မူသည်၊ “အမောင် သုမေဓာ-အသင်သည် ယနေ့မှစ၍ ပညာပါရမီကို ဖြည့်ကျင့်ပါလော့၊ ဆွမ်းခံလှည့်လည်သော ရဟန်းသည် အယုတ် အလတ် အမြတ်မရွေးဘဲ အိမ်စဉ် မပြတ် ဆွမ်းရပ်သည်ရှိသေ၌ မျှတလောက်သော ဆွမ်းကို ရသကဲ့သို့ သင်သည်လည်း အလုံးစုံသော ပညာရှိတို့ကို ချဉ်းကပ်၍ ပြဿနာအရပ်ရပ်ကို မေးမြန်းပါလော့၊ ယင်းသို့ ပြုသည်ရှိသော် ပညာပါမီ အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ကာ ဘုရားစင်စစ် ဖြစ်ပေလိမ့်မည်” <ref>(ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၁၆-၇၊ ဗုဒ္ဓဝံ၊ဋ္ဌ၊၁၃၂)။</ref> ပညာပါရမီ၏ အခြားသော ဆင်ခြင်ဖွယ် ဂုဏ်ကျေးဇူးတို့ကို-<ref>စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၂၈၈-၉၊ ဒီ၊ဋီ၊၁၇၈-၉။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၆၅-၆-</ref>တို့၌ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာဓိကဘုရားလောင်း== ဘုရားလောင်းတို့၏ ပါရမီဖြည့်ရာ ကာလသည် (က) ၄-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း (ခ) ၈-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း၊ (ဂ) ၁၆ သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်းဟု ၃-မျိုးကွဲပြားသည်၊ ယင်းသိုကွဲပြားခြင်းကား ပညာပါရမီ၏ အစွမ်းအာနုဘော် ထက် မထက်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပညာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီထက်မြက်သောကြောင့် ၄-သင်္ချေ နှင့် ကမ္ဘာတသိန်းသာ ပါရမီဖြည့်ကျင့်ကြရသည်၊ သဒ္ဓါဓိကဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီ အလယ်အလတ်ရှိသောကြောင့် ၈-သင်္ချေနှင့်ကမ္ဘာတသိန်း ဖြည့်ကျင့်ကြရသည်။ ဝီရိယာဓိက ဘုရားလောင်းတို့သည် ပညာပါရမီနံ့သောကြောင့် ၁၆-သင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတသိန်း ပါရမီဖြည့်ကျင့်တော်မူကြရသည်<ref> (သုတ္တနိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁။ ပဋ္ဌ၊ ၁၈.၁၅၅။ စရိယာ၊ဋ္ဌ၊၃၂။ အံ၊ဋီ၊၁၊၁၃၅။ သမန္တစက္ခု။ ပုစ္ဆာနံပါတ်-၁၁၈)</ref>။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ ၈-မျိုး== မဟာပညာ, ပုထုပညာ, ဂမ္ဘီရပညာ, ဘူရိပညာ, ဟာသပညာ, ဇဝနပညာ, တိက္ခပညာ, နိဗ္ဗေဓိကပညာတို့၏ အကျယ်မှတ်ဖွယ်ကို <ref>ပဋိသံ၊ ၃၇၁-၃၈၁။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၁၁၃-၁၁၅။ မ၊ဋ္ဌ၊၄၊၅၆-၅၇။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၄၇-၂၆၃-</ref>တို့၌ ကြည့်။ <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာရခြင်းအကြောင်း== ပညာရခြင်း ပညာတိုးပွားခြင်းအကြောင်းတို့ကို အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ နေက္ခမ္မ သင်္ကပ္ပ အဗျာပါဒသင်္ကပ္ပ အဝိဟိံသာသင်္ကပ္ပ ဟု ၃-ပါး<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ၁။ ကောင်းသော တရားတို့၌ မမှိတ် မသုန် ယုံကြည်ခြင်း '''သဒ္ဓါ'''၊ ၂။ ပညာရှိတို့ထံ ဆည်းကပ်နာကြားခြင်း '''သုဿုသာ''' ၃။ မမေ့မလျော့ခြင်း '''အပ္ပမာဒ'''၊ ၄။ စူးစမ်း ဆင်ခြင်ခြင်း '''ဝိစက္ခဏာ'''ဟု ၄-ပါး<ref> (သံ၊၁၊၂၇၊ သုတ္တနိ၊၃၇)</ref>။ ၁။ သူတော်ကောင်းကို မှီဝဲခြင်း, ၂။ သူတော်ကောင်း တရားကို နာခြင်း, ၃။ အသင့်အတင့် နှလုံးသွင်းခြင်း, ၄။ လောကုတ္တရာ တရားအားလျော်စွာကျင့်ခြင်း ဟု ၄-ပါး<ref>(အံ၊၁၊၅၆၇။ ပဋိသံ၊ ၇၁)</ref>။ ၁။ အလေး ပြုအပ်သော ဆရာသမားတို့ အပေါ်၌ ရှက်ကြောက် ရိုသေမြတ်နိုးမှု အားကြီးခြင်း, ၂။ အခါအခွင့်သင့်တိုင်း ဆရာသမားတို့ထံ ချဉ်းကပ် မေးမြန်းခြင်း, ၃။ ကိုယ်စိတ် ၂-ပါး ဆိတ်ငြိမ်စွာနေခြင်း, ၄။ ကိုယ်ကျင့်သီလနှင့် ပြည့်စုံခြင်း, ၅။ အစ, အလယ်, အဆုံး ကောင်းခြင်း ၃-ပါးရှိသော တရား(ကျမ်းဂန်)ကို သင်မှတ်သားခြင်း, ၆။ အကုသိုလ်ကို ပယ်၍ ကုသိုလ် တရား ပွားများရန် ကြိုးပမ်းအားထုတ်ခြင်း, ၇။ အကျိုးမရှိသော စကားကို မပြောဆိုဘဲ အကျိုးရှိသောစကားကို ပြောဆိုခြင်း, ၈။ ခန္ဓာ စသော တရားတို့၌ အဖြစ်အပျက်ကို အဖန်ဖန် ရှုမှတ်ခြင်းဟု ၈-ပါး။ <ref>(အံ၊၃၊၂-၅)</ref>။ ကြွင်း ပညာရကြောင်း တရားတို့ကို [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ]]-ပုဒ်, ပညာပဋိလာဘကာရဏ-ပုဒ်တို့၌ ကြည့်။ <br /> ==ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်း== ပညာဆုတ်ယုတ်ကြောင်းကိုလည်း အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုကြသည်။ ကာမဝိတက် ဗျာပါဒ ဝိတက် ဝိဟိံသာဝိတက်တို့သည် ပညာမျက်စိ ကန်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref> (ဣတိဝုတ်၊၂၅၁)</ref>။ ကာမစ္ဆန္နီ ဗျာပါဒ ထိနမိဒ္ဓ ဥစ္စဒ္ဓ ကုက္ကူ ဝိစိကိစ္ဆာ ဟူသော တရား ၅-ပါးတို့သည် ပညာအားနည်းအောင် ပြုတတ်ကြသည်<ref>(မ၊၁၊၂၃၉။ သံ၊၃၊၈၆၊၁၃၉။ အံ၊၁၊၅၃၁။ နေတ္တိ၊၇၈)</ref>။ == ပညာပါရမီကို အကြောင်းပြု၍ ဟောသောဇာတ်များ== [[ပုဏ္ဏနဒီဇာတ်]]<ref>-ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၅။</ref> [[ဂါမဏိစန္ဒဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၇၀</ref> [[သတ္တုဘသ္တဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၂၁။</ref> [[ဒူတဇာတ်]]—<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၄၊၂၂၄။</ref> [[သမ္ဘဝဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၅၀။</ref> [[မဟာဗောဓိဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၅၊၂၄၀။</ref> [[ဥမင်္ဂဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၆၊၁၆၃။</ref> [[ဝိဓူရဇာတ်တော်|ဝိဓူရဇာတ်]]-<ref>ဇာ၊ဋ္ဌ၊၇၊၁၅၁။</ref> ==ပညာနှင့် ပညာ၏ ဝေဝုစ်တို့ကို အမည်တပ်၍ဟောသောသုတ်များ== [[ဥမ္မဂ္ဂသုတ်]]—<ref>အံ၊၁၊၄၉၇။</ref> [[ဉာဏဝတ္ထုသုတ်]] <ref>သံ၊၁၊၂၈၈၊ ၂၉၀။</ref> [[ဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>အံ၊၁၊၅၄၈၊ ၅၅၀။</ref> [[ပညဝန္တသုတ်]]-<ref>သံ၊၃၊၈၈။</ref> [[ပညာသုတ်]] <ref>အံ၊၃၊၂၊၂၀၂။</ref> [[ပညာဝိမုတ္တသုတ်]]- <ref>အံ၊၃၊၂၄၅။</ref> [[ပညာပရိဟီနသုတ်]]- <ref>ဣတိဝုတ်၊၂၁၉။</ref> [[ပညာဝုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၅၆၇။</ref> [[ပဋိဘာနသုတ်]]- <ref>အံ၊၁၊၄၅၂။</ref> [[ဗုဒ္ဓိသုတ်]]- <ref>သံ၊၃၊၁၃။</ref> [[ဝိဇ္ဇာသုတ်]]- <ref>သံ၊၂၊၁၃၂။ အံ၊၃၊၂၆၆၊ ၄၂၉။ ဣတိဝုတ်၊၂၁၁။</ref> [[ဝိဇ္ဇာဘာဂိယသုတ်]]-<ref>အံ၊၂၊၂၉၄။</ref> [[သမ္မာဒိဋ္ဌိသုတ်]]-<ref>မ၊၁၊၅၇။ အံ၊၁၊၃၈၈၊ ၄၀၁။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ပညာ၏ လောကူပမာ== ပညာကို လောကဥပမာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်၍ အမျိုးမျိုး မိန့်ဆိုတော်မူကြသည်။ ပညာမြေကြီး-<ref>မဟာနိ၊၇၃။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ ပဋိသံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၄၃။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၆၄။</ref> ပညာထမ်းပိုး၊ ပညာထွန်ထုံး-<ref>သံ၊၁၊၁၇၅။ သုတ္တနိ၊၂၉၁။</ref> ပညာနှင်တံ-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဝိသုဒ္ဓိ၊၁၊၂၇၆။</ref> ပညာပြာသာဒ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ဓမ္မ၊၁၇။ နေတ္တိ၊၈၈။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၉၂။ သာရတ္ထ၊၃၊၁၅၆၊</ref> ပညာမှန်ကင်း-<ref>ပဋိသံ၊၃၇၇။ မဟာနိ၊၃၉၃။ စူဠနိ၊၂၁၃-၅။ အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၁၄။</ref> ပညာတံခါးမုခ်၊ ပညာလမ်းဆုံ-<ref>အပ၊၁၊၄၈။</ref> ပညာဥစ္စာ-<ref>ဒီ၊၃၊၂၀၈။ အံ၊၂၊၃၉၉။ စူဠနိ၊၁၀၂။</ref> ပညာရတနာ-<ref>သံ၊၁၊၃၃။ အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊၃၂၁။</ref> ပညာကွန်ယက်-<ref>ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၁၁၈၊</ref> ပညာလက်နက်−<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀။ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာဝရဇိန်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊၂၅၅။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၁၊၂၉၂။</ref> ပညာသန်လျက်-<ref>နေတ္တိ၊၈၈။ မိလိန္ဒ၊ ၃၇၉။</ref> ပညာလှံမ– <ref>ဗုဒ္ဓဝံ၊၃၇၉။</ref> ပညာ(သင်တုန်း)ဓား-<ref>ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၄၃၆။</ref> ပညာဦးခေါင်း-<ref>အံ၊၂၊၃၀၄။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၃၂၆။</ref> ပညာမျက်စိ-<ref>သံ၊၃၊၄၁၅။ အံ၊၁၊၃၇။ ဣတိဝုတ်၊၂၃၁။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၃၈၉။</ref> ပညာနား-<ref>ဇာ၊၁၊၆၈။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀၊ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။</ref> ပညာနှလုံးသား-<ref>ဇာ၊၂၊၃၀၈။</ref> ပညာနှုတ်သီး-<ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၈၁။</ref> ပညာဆင်စွယ် <ref>မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၂၁။ နေတ္တိ၊ဋ္ဌ၊၆၀။</ref> ပညာကိုယ်ဝန်-<ref>သာရတ္ထ၊၁၊၄၄၈။</ref> ပညာမီးလျှံ-<ref>မဟာနိ၊၄၀။ မ၊ဋ္ဌ၊၁၊၆၀။ ဇာ၊ဋ္ဌ၊၂၊၂၃၈။ မ၊ဋီ၊၂၊၁၉၆။ အံ၊ဋီ၊၃၊၃၆၇။</ref> ပညာအလင်း၊ ပညာအရောင်၊ ပညာတန်ဆောင်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၂၀၊ ပဋိသံ၊၁၁၄။ နေတ္တိ၊၈၈။</ref> ပညာသော့-<ref>အပ၊၁၊၃၆၄၊</ref> ပညာလျှပ်စစ်-<ref>အဘိ၊ဓ၊၁၃၊ ၂၅၅။</ref> <ref name="တိပိဋကအဘိဓာန်"/> ==ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်== [[ဉာဏ်ပညာ|ဉာဏ်]] [[ပညာရှိ (ဗုဒ္ဓဘာသာ)|ပညာရှိ]] == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:ဗုဒ္ဓဘာသာ]] [[Category:ဝိပဿနာ]] dzbd1jo3o6tjeqyqwbgzra1b7essvy5 0 5719 1039317 1039064 2026-06-18T03:13:22Z Tejinda 87174 /* မာန်နတ်သည်အလွန်တရာ ချောမောလှပသော နတ်တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ နတ်အပေါင်းတို့၌ စွမ်းအားအကြီးဆုံး နတ်အပေါင်းတို့၏ နတ်မင်းကြီးဖြစ်သည်။ */ 1039317 wikitext text/x-wiki ဒေဝပုတ္တမာရ်<ref>ဒေဝပုတ္တမာရ (ပု) [ဒေဝပုတ္တ+မာရ] </ref>၊ မာရ်နတ်သား။ (ယင်းသည် ကုသိုလ် တရားနှင့် ကုသိုလ်ကောင်းမှုရှင်တို့ကို တားမြစ်တတ်၏၊ သတ္တဝါတို့ကို အကျိုးမဲ့၌ ယှဉ်စေ၍လည်း သတ်တတ်၏။ မိမိ အလို နိုင်ငံကို လွန်မြောက်ရန် အားထုတ်သော သတ္တဝါတို့ကို သေစေတတ်၏၊ လုံ့လစွမ်းအားနည်းသူ များနှင့် ဘဝသစ်၌ဖြစ်ကုန်သော သတ္တဝါတို့ကိုလည်း အဖန်တလဲလဲ သေစေတတ်၏။ ဂုဏ်ကျေးဇူးနှင့် မိမိအကျိုးစီးပွား သူတစ်ပါး အကျိုးစီးပွားတို့ကိုလည်း ချေဖျက်တတ်၏။) <ref>မစ္စုမာရ ကိလေသမာရ ဒေဝပုတ္တမာရ သင်္ခါတာနံ (အမိတ္တာနံ) ဝသံ ဂစ္ဆတိ။ အဘိ၊ဋ္ဌ၊၃၊၇၆။ အံ၊ဋီ၊၂၊၃၂၄။ အရိယမဂ္ဂက္ခဏေ ကိလေသမာရော အဘိသင်္ခါရမာရော ဒေဝပုတ္တမာရော စ ... ပရာဇိတော။ ပရာဇိတော။ ဥဒါန၊ဋ္ဌ၊၁၉၅။ မာရောတိ ပဉ္စမာရာ ခန္ဓမာရော အဘိသင်္ခါရမာရော မစ္စုမာရော ဒေဝပုတ္တမာရော ကိလေသမာရောတိ။ နေတ္တိ၊ဋ္ဌ၊၁၄၅။ သံကိလေသနိမိတ္တံ ဟုတွာ ဂုဏမာရဏဋ္ဌေန ဒေဝပုတ္တောဝ မာရောတိ ဒေဝပုတ္တမာရော။ သာရတ္ထ၊၁၊၃၁၀။ (ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၃၀၊ ၄၂။ သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၉၅။ ဓမ္မ၊ဋ္ဌ၊၂၊၃၃၁။ ဥဒါန၊ဋ္ဌ၊၃၃၃။ ဣတိဝုတ်၊ဋ္ဌ၊၁၆၄၊ ၂၄၀။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၈၇။ ထေရ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၁၊ ၇၆၊ ၉၆။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၄၀၁။ စူဠနိ၊ဋ္ဌ၊၇၄။ သာရတ္ထ၊၂၊၇၄၊ ၁၈၀။ ဒီ၊ဋီ၊၁၊၁၂။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၁၊ ၂၂၊ ၄၇၁။ မ၊ဋီ၊၁၊၁၃။ မ၊ဋီ၊၂၊၁၉၉။ မ၊ဋီ၊၃၊၂၅၂။ သံ၊ဋီ၊၁၊၁၂။ သံ၊ဋီ၊၂၊၃၀၆။ အံ၊ဋီ၊၁၊၁၅။ မူလဋီ၊၃၊၁။ အနုဋီ၊၃၊၁။ နေတ္တိ၊ဝိ၊၂၂၄-၆။)</ref>, ==မာရ်နတ်== မာရ်သည် [[ခန္ဓမာရ်]] [[အဘိသင်္ခါရမာရ်]] [[မစ္စုမာရ်]] [[ဒေဝပုတ္တမာရ်]] [[ကိလေသမာရ်]]ဟု ၅-မျိုးရှိ၏။ [[ခန္ဓာငါးပါး|ခန္ဓာ ၅-ပါး]]ကို ခန္ဓမာရ် ဘဝသစ်ကို ထူထောင်နိုင်သည့် [[ကုသိုလ်]] [[အကုသိုလ်ကံ]]များကို အဘိသင်္ခါရမာရ် သေခြင်းကို မစ္စုမာရ်, မာရ်နတ်သားကို ဒေဝပုတ္တမာရ် ကိလေသတရားများကို ကိလေသမာရ်ဟု ခေါ်၏။ <ref>သီ၊ဋီ၊သစ်၊၁၊၂၂၊ ၃၁၄-၅။</ref> ထိုမာရ် ၅-မျိုးအနက် ဒေဝပုတ္တမာရ်ဟု ခေါ်သော <ref>မာရ (ပု) [မရ+ဏ] (၁) မာရ်၊ မာရ်နတ်</ref>မာရ်နတ်သားသည် ဗုဒ္ဓနှင့် ဗုဒ္ဓသာဝကများကို တစ်သက်ပတ်လုံး အနှောင့်အယှက်ပေးခဲ့သူဖြစ်၍ သာသနလောက ဗုဒ္ဓစာပေများ၌ ထင်ရှားသည်။ မာရ်နတ်သားသည် အာနုဘော်ကြီးမား၏၊ ကာမာဝစရနတ်ပြည် ၆-ထပ်ကို အစိုးရ၏<ref>မာရော မဟာနုဘာဝေါ ဆကာမာဝစရသိဿရော</ref>ဟု အချို့က အထင်ကြီးပြောဆိုကြသော်လည်း မာရ်နတ်သည် [[ဝသဝတ္တီနတ်ပြည်]]တစ်ထပ်ကိုပင် အုပ်ချုပ်ရသော နတ်ဘုရင်ကြီး မဟုတ်၊ ဝသဝတ္တီနတ်ပြည်၌ သူပုန်ဗိုလ် နတ်ဆိုးကြီး တစ်ယောက်အဖြစ်သာ နေရသူဖြစ်သည်။ <ref>ဝိ၊ဋ္ဌ၊၁၊၉၈။ သီ၊ဋီ၊သစ်၊၂၊၆၅။</ref> တစ်ချိန်၌ မာရ်နတ်သည် ဘုရားအယောင် ဖန်ဆင်း၍ [[သူရမ္ဗဋ္ဌသူဌေး|သူရမ္ဗဋ္ဌ]]ကို လှည့်စားခဲ့ဖူးသည်။ <ref>ဒီ၊ဋ္ဌ၊၃၊၄၈။</ref> အင်္ဂုတ္တိုရ်အဋ္ဌကထာ <ref>(အံ၊ဋ္ဌ၊၁၊၃၅၀-၆)</ref>၌ စကားအသွားအလာ အနည်းငယ် ကွဲပြားစွာ ဆိုထား၏။ <ref>(၂) သေခြင်း။ (၁) အထ ခေါ မာရော ပါပိမာ အစ္စိရပက္ကန္တေ... တေနုပသင်္ကမိ၊ ဒီ၊၂၊၈၇။ သံ၊၃၊၂၂၈။ (ဝိ၊၃၊၂၈။ မဟာနိ၊၃၈၇။ စူဠနိ၊၁၄၀။ နေတ္တိ၊၃၁။) မာရောတိ သတ္တေ အနတ္ထေ နိယောဇေန္တော မာရေတီတိ မာရော။ ဒီ၊ဋ္ဌ၊၂၊၁၄၅။ (သံ၊ဋ္ဌ၊၃၊၂၈၃။ မဟာနိ၊ဋ္ဌ၊၄၀၁။ စူဠနိ၊ဋ္ဌ၊၃၄။ သာရတ္ထ၊၃၊၂၀၀။ ဝိမတိ၊၂၊၉၄။ နေတ္တိ၊ဝိ၊၁၅၃။) (၂) မာရော ဝါ အဿာ (သံ၊၂၊၁၅၄)တိ မရဏံ ဝါ ဘဝေယျ။ သံ၊ဋ္ဌ၊၂။ ၃၀၈။</ref> === မာရ်နတ်နေသော နေရာ === မာရ်နတ်သည် ဝသဝတ္တီ နတ်မင်းကြီး အုပ်ချုပ်သော ပရနိမ္မိတ ၀သဝတ္တီ နတ်ပြည် (ကာမဂုဏ်ကို အလိုရှိတိုင်း ပြီးစေသောဘုံ )ရှိ နတ်ဆိုးတစ်ပါး ဖြစ်သည်။ သူ့တွင် အရင်က [[ဗေဠုဝ]]အမည်ရှိ နတ်စောင်း ရှိသည်။ နောင်တွင် [[ပဉ္စသီခနတ်သား]] လက်ထဲ ရောက်ရှိသွားသည်။ === မာရ်နတ်မျိုးရိုး === မာရ်နတ်မျိုးရိုးသည် မြတ်စွာဘုရား၏ လက်ဝဲတော်ရံ တန်ခိုးတော်အရာ ဧတဒင်္ဂ ရသည့် ရှင်မဟာမောဂ္ဂလာန် ကိုယ်တော်ကြီးနှင့် ဆွေမျိုးတော်စပ်သည်။ ဤကမ္ဘာတွင် ကကုသန်အမည်ရှိ ဘုရားတစ်ဆူ ပွင့်ခဲ့ဘူးသည်။ ထို ကကုသန်ဘုရား လက်ထက်၌ ဘုရားကို အနှောက်အယှက်ပေးသူ `ဒုဿီမာရ် နတ်´ရှိခဲ့သည်။ `ဒုဿီမာရ် နတ်´တွင် `ကာလီ´အမည်ရှိ နှမတစ်ယောက်ရှိသည်။ ထို ကာလီ က မာရ်နတ်ကို မွေးခဲ့သည်ဟု ဆိုသည်။ `ဒုဿီမာရ် နတ်´သည် အခြားသူမဟုတ် ရှင်မဟာမောဂ္ဂလာန် ကိုယ်တော်ကြီး ပင်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရှင်မဟာမောဂ္ဂလာန် ကိုယ်တော်ကြီး၏ တူအရီး တော်စပ် ဘူးသည်။ === သတ္တဝါ အမျိုးအစား === မာရ်နတ်သည် “နတ်”ဟူသော သတ္တဝါ အမျိုးအစားမှ ဖြစ်သည်။ လူကဲ့သို့ အမိဝမ်းတွင်း ပဋိသန္ဓေ မနေခဲ့ရ၊ ၁၆-နှစ်သားအရွယ် တခါတည်း ဘွားကနဲ ဖြစ်လာရ၏။ ဥပပတ် ပဋိသန္ဓေ ဆိုတာမျိုးဖြစ်သည်။ မိခင် ကာလီနတ်သမီးက သားသန္ဓေ လွယ်ရသော ဒုက္ခ မရှိပေ။ <ref>ဇိနာလင်္ကာရဋိကာ ကျမ်း</ref> === မာရ်နတ်နိုင်ငံ === “ပရနိမ္မိတဝသဝတ္တီ နတ်ပြည်”နိုင်ငံ၊ အဓိပ္ပာယ် အပြည့်အစုံမှာ သူတစ်ပါးက ဖန်တီးစီစဉ်ပေးသော အဝတ်အစား၊ အသုံးအဆောင်၊ နေရာဗိမ္မာန် ရတနာ မှန်သမျှတွေကို မိမိအလိုကျ သုံးနိုင်၊ စားနိုင်၊ နေနိုင်၊ ဆင်မြန်းနိုင်သော နေရာကြီး ဖြစ်ပေသည်။ မိမိကုသိုလ်ကြောင့် လိုသမျှကို သူများက အဆင်သင့် စီစဉ်ပေးရသည်။ ၀သဝတ္တိ နတ်ပြည်”နိုင်ငံကို ၀သဝတ္တိ နတ်မင်းကြီးက အုပ်ချုပ်သည်။ === မာရ်နတ်အရည်အချင်း === မာန်နတ်သည်အလွန်တရာ ချောမောလှပသော နတ်တစ်ပါး ဖြစ်သည်။ နတ်အပေါင်းတို့၌ စွမ်းအားအကြီးဆုံး နတ်အပေါင်းတို့၏ နတ်မင်းကြီးဖြစ်သည်။ === မာရ်နတ်၏စွမ်းရည် === '''အသွင်သဏ္ဌာန်မျိုးစုံ ပြောင်းလဲနိုင်ခြင်း:''' ကြောက်မက်ဖွယ်ကောင်းသော ဘီလူး၊ သားရဲတိရစ္ဆာန်ရဲရဲ၊ သို့မဟုတ် ကြည်ညိုဖွယ်ကောင်းသော ရဟန်း၊ မိဘ၊ ဆရာသမား အသွင်ဖြင့် လှည့်စားနိုင်စွမ်း ရှိသည်။'''သဘာဝဘေးအန္တရာယ် ဖန်ဆင်းနိုင်ခြင်း:''' သိဒ္ဓိမဟာဗုဒ္ဓဝင်များအရ ဘုရားအလောင်းတော်ကို နှောင့်ယှက်စဉ်က မုန်တိုင်း၊ မိုးကြိုး၊ ကျောက်ခဲမိုး၊ လက်နက်မိုးနှင့် အမှောင်ထုကြီးများကို ဖန်ဆင်းပြီး တိုက်ခိုက်နိုင်စွမ်း ရှိခဲ့သည်။<ref name=":0" /> === မာရ်နတ်အင်အား === '''စစ်သည်ဗိုလ်ပါ ဖန်ဆင်းခြင်း:''' မာရ်နတ်စစ်တပ် (မာရ်နတ်ဗိုလ်ပါ) ဟုခေါ်သော ကြောက်မက်ဖွယ် ရဲမက်ပေါင်း မြောက်မြားစွာကို စိတ်ကူးဖြင့် ဖန်ဆင်းနိုင်သည်။<ref name=":1" /> === မာရ်နတ်ဝါဒ === === မာရ်နတ်၏ တိုက်ပွဲအဆင့် === === နောက်ဆုံးရှုံး === <ref name=":1">ဦးကျော်လွင်(နှစ်ဖက်လှ) ရေး ဗုဒ္ဓနှင့် မာရ်နတ် အတွင်းရေး ပဋိပက္ခများ</ref> သို့သော် အချို့သော အနောက်တိုင်းမှ ဘာသာရေးနှင့် ဒဿနပညာရှင်များက `မာရ်´သည် အကောင်အထည် သဘောမျိုးမဟုတ်ပဲ စွဲလမ်းစိတ်ကို အခြေပြုကာ စွန့်လွှတ်လိုသည့်စိတ်အား အနှောက်အယှက်ပေးသည့် စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ခံစားချက်သဘောဟုလည်း ဖွင့်ဆိုကြပေသည်။ သို့သော် မည်သို့ဆိုစေကာမူ မာရ်(သို့) မာရ်နတ် သည်မကောင်းမှုကို အားပေးသည့်သဘော၊ ကောင်းမှုကုသိုလ်ကို ဖျက်ဆီးလိုသည့် သဘောရှိပေသည်။ [[File:Māra.JPG|thumb|Relief fragment of Mara in [[Gandhara]] style, found in [[Swat Valley]]]] [[File:Astasahasrika Prajnaparamita Mara Demons.jpeg|thumb|The demons of mara. [[Palm leaf manuscript]]. [[Nalanda]], [[Bihar]], [[India]]]] [[File:MaraAssault.jpg|thumb|Mara's assault on the Buddha (an [[Aniconism in Buddhism|aniconic]] representation: the Buddha is only symbolized by [[Hetoimasia#The empty throne in pre-Christian art|his throne]]), 2nd century, [[Amaravathi village, Guntur district|Amaravati]], [[India]]]] [[File:Dunhuang_Mara_Budda.jpg|thumb|Mara, his lusty daughters, and demonic army, attempting to tempt Buddha, on a 10th-century icon from [[Mogao Caves]]]] မူလပဏ္ဏာသ အဋ္ဌကထာ၌ ''မာရ်နတ်ဟူသည် ပရနိမ္မိတဝသဝတ္တိဘုံ၌ လူ့ပြည်တွင် နိုင်ငံအစွန်အဖျားကို ဓားမြတိုက်နေည့်မင်းသားကဲ့သို့ ဆိုးသွမ်း နေသော နတ်သားဖြစ်သည်'' ဟု ဆိုထားသည်။ ဂေါတမမြတ်စွာဘုရားလောင်း တောထွက်တော်မူသည်မှစ၍ ဗုဒ္ဓမြတ်စွာ ပရိနိဗ္ဗာန်ပြုသည်အထိ ကိုယ်တော်မြတ်အား မာရ်န်တ်သည် မိမိတန်ခိုးဖြင့် အမျိုမျိုသော အနှောင့်အရှက် အဖျက်အဆီးများကို စွမ်းအားရှိသမျှ ပြုသော်လည်း အောင်မြင်မှု မရှိခဲ့ပေ။ ဘုရားလောင်း တောထွက်တော်မူစဉ်က ဘုရားဖြစ်မည့် အရေးကို တွေးမိတိုင်း ရန်သူပမာ စိတ်ထာသော မာရ်နတ်သည်ဘုရားလာင်း တောမထွက်ဖြစ်အောင် တားမြစ်ခဲ့၏။ သို့သော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။ တစ်ဖန် ဘုရားလောင်းသည် [[ဗောဓိပင်]]၏ အောက်အပြင် ရွှေပလ္လင်ထက်၌ မလျော့သော လုံ့လဝီရိယဖြင့် ဘုရားအဖြစ် ကို အရယူရန် ကြိုးစားတော်မူစဉ်က မာရ်နတ်သည် [[ယူဇနာ]] တစ်ရာ့ငါးဆယ်ရှိသော ဂိရိမေခလာ ဆင်ပြောင်ကို စီးကာ နတ်စစ်သည် ပေါင်း မြောက်မြားစွာ ခြံရံလျက် လက်နက်အမျိုးစုံတို့ဖြင့် ဘုရားလောင်းကို တိုက်ခိုက်လာ၏။ ဘုရားဖြစ်မည့် ဆဲဆဲ ဖြစ်သော အလောင်းတော်အား ခစားဆည်းကပ်လျက်ရှိကြသော နတ်သိကြား အပေါင်းတို့သည် မာရ်နတ်၏ ရန်ကိုခံရန် မစွမ်းနိုင်တော့ဘဲ မိမိတို့ မျက်နှာမူရာ အရပ်သို့သာ ရှေးရှူ ပြေးကြကုန်၏။ သဟမ္ပတိဗြဟ္မာကြီးသည် ဗြဟ္မာ့ပြည်သို့ ပြေးလေ၏။ ဘုရားလောင်းကား လေးသင်္ချေနှင့် ကမ္ဘာတစ်သိန်း ဆည်းပူးခဲ့သော ဆယ်ချက်သော ပါရမီတော်ကို လက်နက်ပြုကာ မြင့်မြတ်သော နှလုံးရည်ဖြင့် တည်ငြိမ်စွာ နေလေသည်။ နောက်ဆုံး၌ မာရ်နတ်သည် စစ်ရှုံးကာထွက်ပြေးရလေသည်။ တစ်ဖန် မာရ်နတ်သည် မိမိ၏ သမီးတော်သုံးပါးဖြင့် မြတ်စွာဘုရားအား ဖျက်ဆီးပြန်သော်လည်း မအောင်မြင်ဘဲ အရှုံးပေးရပြန်သည်။ တစ်ဖန် ဗုဒ္ဓမြတ်စွာသည် တရားတော် ဒေသနာများကို ၄၅ ဝါ ပတ်လုံး ကောင်းစွာ ဟောကြားတော်မူပြီးသည့်နောက်တွင်မာရ်နတ်သည် မကောင်းသော နှလုံးသွင်းဖြင့် မြတ်စွာဘုရားအား ပရိနိဗ္ဗာန်ဝင်စံဖို့ သင့်ပြီဖြစ်ကြောင်း သုံးကြိမ်တိုင်တိုင် လျှောက်ထားသောကြောင့် ပရိနိဗ္ဗာန် ဝင်စံပေတော့အံ့ဟု ဝန်ခံတော်မူလိုက်လေသည်။ ဤသို့လျှင် မာရ်နတ်သည် မြတ်စွာဘုရားနှင့် ဘုရား သာသနာတော်တွင် ရန်သူသဖွယ် ဖြစ်ခဲ့လေသည်။<ref name=":0">မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၉)</ref> ===၁. မာရ်၏ အဓိပ္ပာယ်နှင့် အမျိုးအစားများ=== * '''မာရ် ၅-ပါး'''= မာရ် ၅-ပါးမှာ (၁) ကိလေသမာရ် (ကိလေသာ ၁၅၀၀)၊ (၂) အဘိသင်္ခါရမာရ် (ကုသိုလ်/အကုသိုလ်ကံ)၊ (၃) ဒေဝပုတ္တမာရ် (မာရ်နတ်)၊ (၄) ခန္ဓမာရ် (ခန္ဓာငါးပါး)၊ (၅) မစ္စုမာရ် (သေခြင်း) တို့ဖြစ်သည်။<ref>ခန္ဓ-သံ-ပါ-၁၅၄၊ ၁၅၉၊ ခန္ဓ-သံ-ဋ္ဌ-၃၀၈။ မာရသုတ်။ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၁၉၅၊ ဥဒါန-ပါ-၁၁၆။ ဝိသုဒ္ဓိ-ပ-အုပ်-၂၀၄။ အပ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၁၁၉။</ref> * '''မာရဓိသုတ္တဧကာဒသက'''= ခန္ဓာငါးပါးကို မာရဟု ဟောထား၍ ဆန္ဒရာဂကို ပယ်ရန် ညွှန်ကြားသည်။<ref>ခန္ဓ-သံ-ပါ-၁၆၂၊ ၁၆၄၊ ခန္ဓ-သံ-ဋ္ဌ-၃၀၉။ ပိဋကတ်လမ်းညွှန် [02/292]။</ref> * '''မာရိသ သုံးနှုန်းပုံ'''= "မာရိသာတိ ပိယဝစနံ ဂရုဝစနံ သဂါရဝ သပ္ပတိဿာ ဓိဝစန မေတံ" ဟု မာရ်ကို ချစ်ဖွယ်၊ ရိုသေဖွယ် စကားအဖြစ် သုံးသည်။<ref>ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၉၁၊ ပဏ်-၁-ပါ-၃၁၂။ အံ-၆-ပါ-၂၉၂၊ အံ-၆-ဋ္ဌ-၁၀၆။ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၆။ စူဠနိ-ပါ-၃၂။ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၂၅၀၊ သုတ္တ-ပါ-၄၀၆။ ပိဋကတ်လမ်းညွှန် [02/246]။</ref> * '''မာရ်၏ အမည်များ'''= မာရ်နတ်ကြီးကို နမုစိ၊ ကဏှ၊ အဓိပတိ၊ အန္တဂူ၊ ပမတ္တဗန္ဓု၊ ပါပိမ၊ အန္တက စသည့် အမည်များဖြင့် ခေါ်သည်။<ref>စူဠနိ-ပါ-၁၄၀၊ စူဠနိ-ဋ္ဌ-၃၄။ မဟာနိ-ပါ-၃၉၁၊ မဟာနိ-ဋ္ဌ-၄၀၆။ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၃၃၃။ ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၁၄၅၊ ဒီဃ-၂-ပါ-၈၇။ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၁၅။ ပိဋကတ်လမ်းညွှန် [02/243]။</ref> ===၂. မာရ်နတ်ကြီး၏ နှောက်ယှက်မှုများ=== ၂.၁ ဘုရားရှင်အပေါ် နှောက်ယှက်မှု မာရသံယုတ္တ၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၀၄၊ ၁၁၃၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၅၅၊</ref> ဘုရားရှင်အား အမျိုးမျိုး ခြောက်လှန့်ပုံ နှောက်ယှက်ပုံများ။ ။ မြွေယောင် ဖန်ဆင်း၍ ခြောက်လှန့်ပုံ၊ [[သပ္ပသုတ်]]၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၀၇၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၅၈။</ref> ။ နွားယောင်ဖန်ဆင်း၍ သပိတ်ကိုခွဲအံ့ဟုလာပုံ၊ ပတ္တသုတ်၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၁၄၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၆၃။</ref> လယ်သမားယောင်ဖန်ဆင်း၍ တရားပွဲ လာနှောက်ယှက်ပုံ (နတ္ထိစက္ခု၊ နတ္ထိရူပါ-စသည်ဖြင့်) [[ကဿကသုတ်]]၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၁၆၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၆၅။</ref> ။ [[သုဘသုတ်]]၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၀၅၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၅၇၊</ref> သုဘ-အသုဘ အာရုံများကို ဖန်ဆင်းပြ၍ ခြောက်လှန့်ပုံ၊ [[ပါသာဏသုတ်]]၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၁၀၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၆၁၊ ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၂၄၊</ref> ဘုရားရှင်အား မင်းပြုရန်တောင်းပန်ပုံ၊ ချမ်းသာကြောင်း အကျင့်ဂါထာ။ ။ <ref>ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၉၄။</ref> ပါရ-အပါရ ခွဲ၍ ဘုရားရှင် ဖြေကြားတော်မူပုံ။ ။ [[မဟာသမယသုတ်]]စဉ်နှောက်ယှက်ပုံ။ ။ <ref>ဒီဃ-၂-ပါ-၂၀၉၊ ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၂၈၇။</ref> ။ ဝေရဉ္ဇာပြည်တွင် ဝါဆိုတော်မူသောအခါ ဘုရားရှင်အား ဆွမ်းမရအောင် နှောက်ယှက်ထားပုံ။ ။ <ref>ဝိ-၁-ပါ-၇၊ ဝိ-၁-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၁၄၆၊ ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၆၇၊</ref> ပီတိအစာဖြင့် နေနိုင်ကြောင်း ဟောထား၏။ ။ [[မာရတဇ္ဇနီယသုတ်]]၊ <ref>ပဏ်-၁-ပါ-၄၀၇။ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၁၂၊</ref> မာရ် နတ်ကြီးက အသျှင်မဟာမောဂ္ဂလ္လာန်မထေရ်၏ ဝမ်းတွင်းဝင်၍ နှောက်ယှက်ပုံ၊ ဒူသီမာရ်နတ်အကြောင်းကို ပြန်ပြောပြပုံ၊ ကကုသန္ဓဘုရားရှင် လက်ထက်တော်တွင် လူတို့အထင်အမြင် လွဲအောင် ဘိက္ခု, ဘိက္ခုနီတိုအပေါ် အမျိုးမျိုး နှောက်ယှက်ခဲ့ဘူးပုံ ပြန်ဟောထား၏။ ။ ဒူသီမာရ်နတ်ကြီး အဝီစိငရဲ၌ခံရပုံ ဟောပြခန်း၊ <ref>ထေရ-ပါ-၃၆၅၊ ထေရ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၄၉၄။</ref> ။ မာရယာစနကထာ၊ <ref>ဥဒါန-ပါ-၁၅၂၊ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၂၉၆၊</ref> ဘုရားရှင်အား အဋ္ဌမသတ္တာဟကပင် ပရိနိဗ္ဗာန်စံရန် တောင်းပန်ခဲ့ပုံ။ ။ <ref>ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၈၇၊ ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၁၄၅။</ref> မာရ်နတ်ကြီးက ဗကဗြဟ္မာ၏ စကားကို လိုက်နာရန် ဘုရားရှင်အား တိုက်တွန်းပုံ၊ <ref>ပဏ်-၁-ပါ-၄၀၂၊ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၀၂။</ref> ။ သူ့နယ်မှ ဗြဟ္မာတသောင်း လွတ်ထွက်သွားသည့်အတွက် ဘုရားရှင်ကို ဒေါပွနေပုံ၊ တရားမဟောရန်လည်း တောင်းပန်ပုံ၊ <ref>ပဏ်-၁-ပါ-၄၀၆၊ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၁၂။</ref> ။ မာရ်နတ်ကြီးက ဘုရားရှင်အား ပရိနိဗ္ဗာန်စံရန် လျှောက်ထားပုံကို ဟောသော [[စေတိယသုတ်]]၊ <ref>မဟာ-သံ-ပါ-၂၂၆၊ မဟာ-သံ-ဋ္ဌ-၂၈၂၊</ref> ဘုရားရှင် အာနန္ဒာမထေရ်အား ဣဒ္ဓိပါဒ်လေးပါးကိုပွားများ ဖန်များလျှင် အာယုကပ် ပတ်လုံး တည်နိုင်၏ဟု အရိပ်အမြွက်မျှ အမိန့်ရှိသော်လည်း နတ်ကြီး နှောက်ယှက်မှုကြောင့် ဘုရားရင်၏ အလိုတော်ကို မသိနိုင်ခဲ့ကြောင်း။ ။ ܀<ref>ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/244]</ref>܀ မာရ်နတ်ကြီး ဘုရားရှင်အပေါ်၌ အပြစ်ရှာနေသော်လည်း မတွေ့ကြောင်း၊ (ပဉ္စနိကာယ-ဘုရား အခန်း၌ ရေးခဲ့ပြီ)။ ။ <ref>܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/244]</ref>܀ မာရ်နတ်ကြီး အလောင်းတော်ထံ စစ်ချီလာပုံ <ref>သုတ္တ-ပါ-၃၄၃၊ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၁၉၊</ref> မြေကြီးက သက်သေခံ၍ မာရ်စစ်သည်ကို ထွက်ပြေးကြရကြောင်း၊ <ref>သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၂၀။ ။ ဗုဒ္ဓ-ဋ္ဌ-၁၀၊ ၃၃၇။ ။ အပ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၈၅၊ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၈၈။</ref> မာရ်နတ်ကြီးစစ်ရှုံးသဖြင့် စိတ်ပျက်ပျက်နှင့် မြေကြီးပေါ်တွင် ဒုတ်ချောင်းဖြင့် အကြောင်း (၁၆)ကြောင်း ရေးဆွဲနေကြောင်း ဖွင့်ပြထားပုံ၊ အကျယ်၊ <ref>အပ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၉၂။ ဇာတက-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၉၀။ သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၂၅၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၇၁၊</ref> ဤ၌ သာမည ပြထား၏။ ။ မာရ်နတ်ကြီး၏ သမီးသုံးယောက်တို့က ဘုရားရှင်ကို အမျိုးမျိုး ဖြားယောင်းကြပုံ၊ [[မာရဓီတုသုတ်]]၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၂၅၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၇၁။ ။</ref> မာရမီတုဝတ္ထု၊ <ref>ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၂၆။ ။ အပ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၉၃။ ။ ဇာတက-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၉၁။ ။ ܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/244]</ref> ၂.၂ ရဟန်းတော်များအပေါ် နှောက်ယှက်မှု မာရဝတ္ထု။ <ref>ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၄၈၊</ref> အသျှင်ရာဟုလာအား ဆင်ယောင်ဖန်ဆင်း၍ ခြောက်လှန့်ပုံ။ ။ <ref>ထေရ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၄၆၁၊</ref> ရဟန်းယောင်ဖန်ဆင်း၍ မိန်းကလေးတယောက်၏ လက်ကိုဆွဲကိုင်ရာ ၎င်းမာရ်နတ်၏ လည်ပင်းတွင် ခွေးသေကောင်ပုတ် စွပ်ပေးလိုက်ခြင်းဖြင့် ထိုပြဿနာကို ဖြေရှင်းပေးလိုက်သော သာဋိမတ္တိယထေရ်။ ။ သမ္ဗဟုလသုတ်၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၁၈။သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၆၆၊ </ref> ရဟန်းတော်များအား ကာမဂုဏ်ခံစားကြရန် ပုဏ္ဏားအိုယောင် ဖန်ဆင်းပြီး လာ၍ တိုက်တွန်းကြည့်ပုံ၊ သို့သော် မရပါလေ။ ။ <ref>܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/245]</ref> ၂.၃ ဘိက္ခုနီများအပေါ် နှောက်ယှက်မှု [[ဝိဇယာထေရီ|ဝိဇယာ]] ဘိက္ခုနီထံ လူပျိုလှည့်ပုံ၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၃၁၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၇၆၊</ref> [[ဥပ္ပလဝဏ်ထေရီ]]ထံ လာ၍ ခြောက်လှန့်ခဏ်း၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၃၂၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၇၆။ ။ ထေရီ-ပါ-၄၀၄၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၂၀၅။</ref> ။ ဘိက္ခုနီသံယုတ္တ အကုန် ဤနည်းနှင်နှင်သာတည်း၊ <ref>သဂါထာ-သံ-ပါ-၁၂၉-မှ-၁၃၇အထိ၊ သဂါထာ-သံ-ဋ္ဌ-၁၇၄-မှ ၁၇၈-အထိ။</ref> ။ [[သေလာထေရီ]]ထံ ကာမဂုဏ်ခံစားရန်လာ၍ တိုက်တွန်းပုံ၊ <ref>ထေရီ-ပါ-၃၈၆၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၆၆။</ref> သောမာထေရီထံ လာ၍ ကဲ့ရဲ့ပုံ။ <ref>ထေရီ-ပါ-၃၈၆၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၆၈။</ref> [[ခေမာထေရီ]]ထံ ကာမဂုဏ်ခံစားရန် တိုက်တွန်းပြန်ပုံ၊ <ref>ထေရီ-ပါ-၃၉၅၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၁၃၉</ref>၊ [[စာလာထေရီ]]ထံ၊ <ref>ထေရီ-ပါ-၃၉၉၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၁၇၀။</ref> ။ [[ဥပစာလာထေရီ]]ထံ၊ <ref>ထေရီ-ပါ-၄၀၀၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၁၇၂။</ref> ။ [[သီသူပစာလာထေရီ]]၊ <ref>ထေရီ-ပါ-၄၀၁၊ ထေရီ-ဋ္ဌ-၁၇၄။ ။ ܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/246]</ref>܀ ၂.၄ အသျှင်အာနန္ဒာအပေါ် နှောက်ယှက်မှု <ref>မဟာ-သံ-ပါ-၂၂၇၊ မဟာ-သံ-ဋ္ဌ-၂၈၃၊</ref> စေတိယသုတ်၊ ဘုရားရှင်ပရိနိဗ္ဗာန်စံခါနီးတွင် အရိပ် အမြွက်မိန့်တော်မူသောစကားကို မရိပ်မိ မသိစရန် မာရ်နတ်ကြီးက မေ့လျော့အောင် နှောက်ယှက်ထားပုံ၊ <ref>အံ-၈-ပါ-၁၂၉၊ အံ-၈-ဋ္ဌ-၂၄၈၊</ref> ဘူမိစာလသုတ်။ ။ နိမိတ္တောဘာသကထာ၊ <ref>ဒီဃ-၂-ပါ-၈၆၊ ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၁၃၉၊ ၁၄၄။</ref> ။ အာယုသင်္ခါရောဿဇ္ဇနသုတ်၊ <ref>ဥဒါန-ပါ-၁၅၂၊ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၂၉၅။ ။ ܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/245]</ref>܀ ===၃. မာရ်၏ စစ်တပ်နှင့် အကြောင်းများ=== * '''မာရ်စစ်သည် ၁၀-တပ်'''= # ဝတ္ထုကာမ, ကိလေသကာမ၊ # အစွန်အဖျားကျောင်း စသည် တို့၌လည်းကောင်း, မြတ်သော ကုသိုလ်တရားတို့၌ လည်းကောင်း မမွေ့လျော်ခြင်း၊ # ဆာလောင်မွတ်သိပ်ခြင်း၊ # တဏှာ၊ # ထိနမိဒ္ဓ၊ # ထိတ်လန့်,ကြောက်ခြင်း၊ # အကျင့် မြတ်၌ ယုံမှားခြင်း ဝိစိကိစ္ဆာ၊ # တရားထူး အနည်းငယ်ရရှိ၍ မာန်တက်ခြင်း, ကျေးဇူး ဖျက်ခြင်း, ကိုယ်စိတ် ခက်ထန်မာကြောလာခြင်း၊ # လာဘ်သက္ကာရ အကျော်အစော၊ # မိမိကိုယ်ကို ချီးမြှောက်ပင့်ခြင်း, သူတစ်ပါးကို ရှုတ်ချ, နှိမ်ခြင်း။ <ref>ဣတိ-ပါ-၂၂၂၊ ဣတိ-ဋ္ဌ-၁၆၄။ သုတ္တ-ပါ-၃၄၂၊ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၁၇။ ထေရ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၆၀။ စူဠနိ-ပါ-၁၁၄။ မဟာနိ-ပါ-၇၃၊ မဟာနိ-ဋ္ဌ-၂၀၂။</ref> * '''မာရ်နှင့် စစ်တိုက်ရပုံ'''= ရဟန်းပြုရန်၊ တရားအားထုတ်ရန်၊ အရဟတ္တဖိုလ်ရခါတို့တွင် မာရ်နှင့် စစ်တိုက်ရပြီး၊ အောင်နိုင်ပါက နတ်များက ဂုဏ်ပြုသည်။<ref>ဒေဝသဒ္ဒသုတ်၊ ဣတိ-ပါ-၂၄၆၊ ဣတိ-ဋ္ဌ-၂၃၉။ နေတ္တိ-ပါ-၇၁၊ နေတ္တိ-ဋ္ဌ-၁၄၂၊ ၁၄၅။ ခုဒ္ဒက-ဋ္ဌ-၁၃၀။</ref> ===၄. မာရ်မှ လွတ်မြောက်ခြင်းနှင့် မလွတ်မြောက်ခြင်း=== * '''မာရ်နတ်မင်း၏ နိုင်ငံကို ကျော်လွန်ကြောင်း '''= အသေခ ဖြစ်သော သီလက္ခန္ဓ, သမာဓိက္ခန္ဓ, ပညာက္ခန္ဓနှင့် ပြည့်စုံခြင်း။ <ref>(ခုဒ္ဒက၊၂၃၀။)</ref> * '''မာရ်ကျော့ကွင်းမှ လွတ်ခြင်း'''= ဘုရားရှင်က မာရ်မှ လုံးဝကင်းလွတ်ကြောင်း ဂါထာဖြင့် မိန့်သည်။<ref>မာရကထာ၊ ဝိ-၃-ပါ-၂၇၊ ၂၉၊ ဝိ-၃-ဋ္ဌ-၂၄၈၊ ၂၅၂။</ref> * '''လွတ်သူ/မလွတ်သူ ခွဲခြားပုံ'''= နိဝါပသုတ်တွင် မာရ်မှ လွတ်သူ၊ မလွတ်သူကို ဟောသည်။<ref>ပဏ်-၁-ပါ-၂၀၅၊ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၆၅။</ref> * '''မာရ်နှိပ်စက်မှု မခံရသူ'''= ဂါထာ၊ <ref>ဓမ္မ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၄၇။ ၂၇၄။ စူဠနိ-ပါ-၂၈၇၊ စူဠနိ-ဋ္ဌ-၂၈၈။ ။ ပေဋက-ပါ-၂၁၂။ ။ နေတ္တိ-ပါ-၇၁၊ နေတ္တိ-ဋ္ဌ-၁၄၂။</ref> ။ မာရဓေယျသုတ်၊ <ref>ဣတိ-ပါ-၂၃၀၊ ဣတိ-ဋ္ဌ-၁၉၁၊</ref> ရဟန္တာဖြစ်မှသာ မာရ်မင်းဝိုင်နက်မှ လွတ်ကြောင်း ဟောထား၏။ ။ <ref>ဥဒါန-ပါ-၁၃၂၊ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၂၄၆၊</ref> သီလ-သမာဓိ-ပညာ သုံးပါးကို ကောင်းစွာ ပွါးများလျှင် မာရ်မင်းပိုင်နက်မှ လွတ်ကြောင်းဟောထားသော ဂါထာ။ ။ <ref>စူဠနိ-ပါ-၁၄၀၊ စူဠနိ-ဋ္ဌ-၃၇၊</ref> မာရ်မင်း၏ တပည့်မဟုတ်တော့သော ပုဂ္ဂိုလ်များကို ပြဆိုခဏ်း၊ <ref>စူဠနိ-ပါ-၁၅၁၊ စူဠနိ-ဋ္ဌ-၄၂။ သုတ္တ-ပါ-၄၄၅၊ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၁၄။ ။ ဥဒါန-ပါ-၁၂၁၊ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၂၁၆။</ref> ဂါထာများ။ မာရသုတ်၊ <ref>မဟာ-သံ-ပါ-၈၈၊</ref> ဗောဇ္ဈင် ၇-ပါးကို ပွါးလျှင် မာရ်စစ်သည်ကို နှိမ်နင်းနိုင်ကြောင်း ဟောထား၏။ <ref>܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/242]</ref> * '''မာရ်နှောက်ယှက်နိုင်သူ'''= မာရ်နတ်ကြီးက သတိမေ့လျော့အောင်, ရူးသွပ်အောင်စသည်ဖြင့် နှောက်ယှက်ခံရသူမှာ ဝိပ္ပလ္လာသ ၁၂-ပါးကို ကုန်စင်အောင် မပယ်နိုင်သေးသူတို့သာ ခံကြရ၏ ဟုမိန့်ဆိုထားပုံ၊ <ref>ဒီဃ-၃-ပါ-၄၇၊ ဒီဃ-၃-ဋ္ဌ-၂၇၊ ဒီဃ-၂-ဋ္ဌ-၁၄၅၊ ဝိ-၂-ပါ-၈၆။ ။ မဟာ-သံ-ဋ္ဌ-၂၈၃၊ မဟာ-သံ-ပါ-၂၂၇။ ။ အံ-၈-ဋ္ဌ-၂၄၇၊ ၂၄၈၊ အံ-၈-ပါ-၁၂၉။ ဥဒါန-ပါ-၂၉၅၊ ဥဒါန-ဋ္ဌ-၁၅၂။</ref> ။ အရူပသမာပတ်ကို ဝင်စားနေသော ပုဂ္ဂိုလ်၏ စိတ်ကို မာရ်နတ်ကြီးမသိနိုင်ကြောင်း မိန့်ဆိုထားပုံ၊ <ref>အံ-၉-ပါ-၂၃၀၊ အံ-၉-ဋ္ဌ-၂၈၂။</ref> ။ မာရ်နတ်ကြီးမှာ ဗြဟ္မပုရောဟိတာ၊ မဟာဗြဟ္မာတို့၏ ကိုယ်တွင်ဝင်၍ မပူးကပ်ကြောင်း မိန့်ဆိုထားပုံ၊ <ref>ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၃၀၂၊ ပဏ်-၁-ပါ-၄၀၂။</ref> ဝိပဿနာအခြေခံ၍ သမာပတ်(၈)ပါးကို ဝင်စားနေသော ရဟန်း၏ စိတ်ကိုပင် မမြင်နိုင်ဟု မိန့်ဆိုထားပုံ၊ <ref>ပဏ်-၃-ဋ္ဌ-၁၁၇။ ပဏ်-၃-ပါ-၁၅၆။ ။ ܀ပိဋကတ်လမ်းညွှန်[02/246]</ref> ===၅. မာရ်နတ်ကြီး၏ သဘာဝနှင့် အခြားအကြောင်းများ=== * '''မာရ်နတ်၏ ရည်ရွယ်ချက်'''= တရားထူးမရအောင် နှောက်ယှက်ရန် ရည်ရွယ်သည်။<ref>သုတ္တ-ပါ-၂၈၄၊ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၃၉။ ထေရ-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၈၆။</ref> * '''မာရ်နတ်မင်းအစစ်'''= ဝသဝတ္တီဘုံ၌ နတ်မင်းဖြစ်ပြီး၊ ဘုရားရှင်ကို နှောက်ယှက်သူ မဟုတ်။<ref>ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ဒု-အုပ်-၁၀၆။ မဟာနိ-ပါ-၁၃၉၊ မဟာနိ-ဋ္ဌ-၂၅၉။</ref> * '''ဓားပြသဖွယ် မာရ်'''= ပရနိမ္မိတ ဝသဝတ္တီဘုံ၌ သူပုန်ဓားပြသဖွယ် နတ်သားဖြစ်သည်။<ref>ပဏ်-၁-ပါ-၂၊ ပဏ်-၁-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၃၅။ သုတ္တ-ဋ္ဌ-ပ-အုပ်-၃၉။</ref> * '''အပြစ်ရှာပုံ'''= ဘုရားရှင်တွင် အပြစ်ရှာသော်လည်း မတွေ့ကြောင်း ဖော်ပြသည်။<ref>ပဉ္စနိကာယ-ဘုရား အခန်း။ ပိဋကတ်လမ်းညွှန် [02/244]။</ref> == ကိုးကား == <references/> {{၃၁-ဘုံ}} [[Category:၃၁-ဘုံ]] [[Category:နတ်ဘုံ ခြောက်ဘုံ]] hf7r680pzm0029x1g154axv48y1sy75 0 5952 1039329 742601 2026-06-18T05:04:22Z ~2026-35477-93 144547 1039329 wikitext text/x-wiki {{other people|သီဟသူ}} {{Infobox royalty | type = monarch | name = သီဟသူ | image = | caption = | reign = ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၃၁၃ – ဖေဖော်ဝါရီ ၁၃၂၅ | coronation = ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၃၁၃ | succession = [[ပင်းယခေတ်|မြင်စိုင်း–ပင်းယ ဘုရင်]] | predecessor = | successor = [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥဇနာ]] <small>(ပင်းယဘုရင် အဖြစ်)</small> <br> [[အသင်္ခယာ စောယွန်း|စောယွန်း]] <small>(စစ်ကိုင်းဘုရင် အဖြစ်)</small> | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | succession1 = | reign1 = ၁၇ ဒီဇင်ဘာ ၁၂၉၇ – ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၃၁၃ | coronation1 = ၂၀ အောက်တိုဘာ ၁၃၀၉ | predecessor1 = ''စတင်တည်ထောင်'' | successor1 = himself <small>(as King of Myinsaing–Pinya)</small> | succession2 = ပင်လယ်မြို့စား | reign2 = ၁၉ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၂၉၃ – ၁၇ ဒီဇင်ဘာ ၁၂၉၇ | predecessor2 = ''စတင်တည်ထောင်'' | successor2 = [[ငါးစီးရှင် ကျော်စွာ]] <small>(as Governor)</small> | spouse = [[မိစောဦး]] <br/> [[ရတနာပုံမိဖုရား (ပင်းယ)|ရတနာပုံ]] | issue = [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥဇနာ]] <small>(stepson; adopted)</small> <br> [[တရဖျားကြီး]] <small>(stepson)</small> <br> [[အသင်္ခယာ စောယွန်း|စောယွန်း]] <br> [[ငါးစီးရှင် ကျော်စွာ|ကျော်စွာ]] <br> [[ကန်းနီ နော်ရထာ|နော်ရထာ]] <br> [[စောပုလဲ]] | issue-link = | full name = | house = [[မြင်စိုင်းခေတ်|မြင်စိုင်း]] | father = [[သိင်္ခဗိုလ်]] | mother = အသည်သမီး | Race = မြန်မာ | birth_date = ၁၂၆၅ <br/> မြန်မာသက္ကရာဇ် ၆၂၇၊ တနင်္လာ | birth_place = [[မြင်စိုင်း]] | death_date = {{circa}} ဖေဖော်ဝါရီ ၁၃၂၅ (အသက် ၅၉) <br> မြန်မာသက္ကရာဇ် ၆၈၆ | death_place = [[ပင်းယ]] | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''တစ်စီးရှင် သီဟသူ''' (၁၂၆၅–၁၃၂၅) သည် [[ပင်းယမြို့]]တည် ဘုရင်တစ်ပါးဖြစ်သည်။ [[ပုဂံ]]ကို မွန်ဂိုတို့တိုက်ခိုက်ဖျက်ဆီးကာ အပြန်တွင် ကျော်စွာအား ပုဂံမင်းအဖြစ်နန်းတင်ခဲ့ကြသည်။ သို့သော် အမှန်တကယ်အင်အားကြီးနေခဲ့ကြသူများမှာ ကျောက်ဆည် နှင့် လယ်တွင်းနယ်များကို အုပ်စီးမိနေသည့် အသင်္ခယာ၊ ရာဇသင်္ကြံ နှင့် သီဟသူ တို့ [[ရှမ်းညီနောင်သုံးဦး]] ဖြစ်သည်။ ပုဂံမင်းကျော်စွာအား နန်းချကာ မိမိတို့ ဩဇာခံဖြစ်သည့် စောနစ်ကို နန်းတင်သည်။ ထိုနောက် မက္ခရာ၊ မြင်စိုင်း နှင့် [[ပင်လယ်မြို့ဟောင်း|ပင်လယ်]]တို့တွင် အသီးသီး မင်းလုပ်အုပ်ချုပ်ခဲ့ကြသည်။ အဆုံးတွင် အငယ်ဆုံးဖြစ်သည့် ပင်လယ်မင်း သီဟသူက နောင်တော်များကို လုပ်ကြံကာ ၁၃၁၃ ခုနှစ် တွင် ပင်းယနန်းတည်၍ မင်းပြုအုပ်ချုပ်သည်။ ဆင်ဖြူအသေတစ်စီးမျောလာသည်ကို ဆယ်ယူစေပြီး ဆင်ကတင်ကာ ဆင်ဖြူရှင်ဘွဲ့ခံသဖြင့် သမိုင်းတွင် "တစ်စီးရှင်သီဟသူ" အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ပင်းယမြို့တည်သီဟသူ အဖြစ်လည်းကောင်း ကျော်ကြားပေသည်။ ရံဖန်ရံခါ '''သီဟသူရ''' ဟူသောဘွဲ့ဖြင့်လည်း တွေ့ရတတ်သည်။ [[ပင်းယ]]တွင် မြို့မတည်မီ [[အင်းဝ]]နေရာတွင် မြို့တည်ရန် သုံးကြိမ်တိုင်တိုင် ကြိုးပမ်းသော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။ ပင်းယတည်ပြီးနောက် သုံးနှစ်အကြာတွင် သားတော်တစ်ပါးဖြစ်သည့် [[အသင်္ခယာ စောယွန်း]]ကို [[စစ်ကိုင်းမြို့]]တည်ပေးပြီး မင်းအဖြစ်အုပ်ချုပ်စေသည်။ သီဟသူလွန်လျှင် သားဖြစ်သူ [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥဇနာ]]က ပင်းယနန်းကို ဆက်ခံသည်။ == ဆင်ဖြူရှင် ခံခြင်း == သက္ကရာဇ် ၆၇၆ ခုတွင် စမုန်မြစ်တွင် ဆင်ဖြူသေမျောလာရာ ငမွဲဥယျာဉ်၌ ဆယ်ထား၍ ပညာရှိတို့နှင့်တိုင်ပင်ကာ ညှပ်လုပ်၍ ရတနာကတင်ပြီး ဆင်ဖြူရှင် ခံသည်။ သို့ဖြင့် '''တစီးရှင်''' တွင်၏။ <ref>မှန်နန်း မဟာရာဇဝင်</ref> == ကြင်ဘက်များ == === တောင်နန်းမိဘုရား ဘွားစော === နရသီဟပတေ့၏ မိဘုရားငယ်တွင် မြင်သော [[မိစောဦး]]ကို ဘွားစောအမည်နှင့် ကျော်စွာ မိဘုရားမြှောက်သည်။ ကျော်စွာ နန်းကျသည့်နောက် ထိုအမည်နှင့်ပင် မိဘုရားအရာ ဆက်ထားသည်။ မြင်သည့် သား ၃ ယောက်မှာ - # [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥစ္စနာ]] (ဥဇနာဟု အတိုရေးလေ့ရှိ) (ကျော်စွာနှင့်ရကာ ပဋိသန္ဓေ ၃-လပါလာကာ မြင်သည့် မယားပါသား) # [[ငါးစီးရှင် ကျော်စွာ|ကျော်စွာ]] # နော်ရထာ === မြောက်နန်းမိဘုရား ရတနာပုံ === လင်းယဉ်ရွာနေ သားတယောက်အမေ မုဆိုးမကို ပင်လယ်၌တွေ့စဉ် မိဘုရားမြှောက်သည်။ သမီး စောပုလဲကို မြင်မှ [[ရတနာပုံမိဖုရား (ပင်းယ)|ရတနာပုံ]]အမည်နှင့် မြောက်နန်းတင်သည်။ သားသမီး ၃ ယောက်မှာ - # တရဖျား (မယားပါသား) # [[အသင်္ခယာ စောယွန်း|အသင်္ခယာ]] (အမည်ရင်း စောယွမ်း) # စောပုလဲ == ကိုးကား == <references/> {{ပင်းယခေတ်}} [[Category:မြန်မာ ဘုရင်များ]] [[Category:ပင်းယ-စစ်ကိုင်းခေတ်]] [[Category:ပထမရှမ်းခေတ်]] [[Category:ပင်းယမင်းဆက်]] [[Category:၁၂၆၅ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:၁၃၂၅ ကွယ်လွန်သူများ]] sg989a849hc7ew8vjvv6ht067wtow3n 0 7459 1039178 851172 2026-06-17T14:49:51Z ~2026-35380-90 144521 /* */ လေကြောင်းချီတပ်မဟာ/ဗိုလ်မှုးကြီးသူရဝဏ္ဏလှိုင် 1039178 wikitext text/x-wiki {{Unreferenced | date = စက်တင်ဘာ ၂၀၂၁ }} {{Infobox military unit | unit_name = အမှတ်(၄)လေကြောင်းချီတပ်မဟာ | native_name = တပ်မဟာ(၄) | image = Shoulder sleeve insignia of Yangon Region Command.svg | image_size = 216px | caption = ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်တံဆိပ် | country = {{Flag|Myanmar}} | branch = {{Army|Myanmar}} | type = လေကြောင်းချီတပ်မဟာ | specialization = နယ်မြေလုံခြုံရေး၊ ပင်မတိုက်ခိုက်ရေး၊ အကူတိုက်ခိုက်ရေး၊ ရွေ့လျားတိုက်ခိုက်ရေး၊ စစ်ကစားခြင်း | commander1 = ဗိုလ်မှူးကြီး သူရဝဏ္ဏလှိုင် | commander1_label = တပ်မဟာမှူး | size = တပ်မဟာ | identification_symbol = [[Image:Mm-yangon-rmc.svg|border|200px]] | identification_symbol_label = အလံတော် }} '''အမှတ်(၄)လေကြောင်းချီတပ်မဟာ''' [ အတိုကောက် တမဟ '''(၄) ]''' သည် [[ရန်ကုန်တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] နယ်မြေဖြစ်သော [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] ([[ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းခရိုင်|မြောက်ပိုင်းခရိုင်]])၊ [[မှော်ဘီမြို့]] နှင့် [[တိုက်ကြီးမြို့]] အကြား [[ဖူးကြီး]]တွင်တည်ရှိသည့် လေကြောင်းချီတပ်မဟာ တစ်ခုဖြစ်သည်။ "လေကြောင်းချီတပ်မဟာ" သည် 'ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ် (သို့) စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်' နှင့် 'စစ်ဗျူဟာအဖွဲ့ (သို့) နည်းဗျူဟာအဖွဲ့' ဖွဲ့စည်းပုံနှစ်ခုကြားတွင်ရှိသော အင်အားဖွဲ့စည်းပုံရှိသည့် တိုက်ခိုက်ရေးတပ်ဖွဲ့ဖြစ်သည်။ '''တပ်မ'''များ၊ '''စကခ'''များနှင့် '''တပ်မဟာ'''များသည် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(ကြည်း)| ကက(ကြည်း)]] (စစ်ဆင်ရေး)၏ တိုက်ရိုက်ကွပ်ကဲစီမံသော တိုက်ခိုက်ရေးတပ်ဖွဲ့များဖြစ်ပြီး စစ်နယ်ဝန်းပုံသေမရှိဘဲ ရန်သူ၏အင်အားအပေါ်မူတည်၍ လိုအပ်သလိုစစ်ကစားနိုင်ရန် ဖွဲ့စည်းထားခြင်းလည်းဖြစ်သည်။ လက်ရှိ ၌ အမှတ်(၄)လေကြောင်းချီတပ်မဟာ တပ်မဟာမှူးတာဝန်ထမ်းဆောင်နေသူမှာ ''ဗိုလ်မှုးကြီးသူရဝဏ္ဏလှိုင် '' ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == {{Empty section}} == ဖွဲ့စည်းပုံ == အမှတ်(၄)ခြေလျင်တပ်မဟာ ကွပ်ကဲမှုအောက်ရှိ နည်းဗျူဟာအဖွဲ့များနှင့် ခြေလျင်/ ခြေမြန်တပ်ရင်းများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် - === အမှတ်(၁)နည်းဗျူဟာအဖွဲ့ === {{Expand section}} === အမှတ်(၂)နည်းဗျူဟာအဖွဲ့ === {{Expand section}} === အမှတ်(၃)နည်းဗျူဟာအဖွဲ့ === {{Expand section}} === ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများ<ref>https://www.bbc.com/burmese/burma/2011/04/110414_shootings709</ref><ref>https://mohr.nugmyanmar.org/announcements/%E1%80%99%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%95%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%90%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8/</ref> === {{Expand section}} # အမှတ်(၇၀၁)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[မှော်ဘီမြို့]] # အမှတ်(၇၀၂)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[မှော်ဘီမြို့]] # အမှတ်(၇၀၃)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[မှော်ဘီမြို့]] # အမှတ်(၇၀၄)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[ဖူးကြီး|ဖူးကြီး ကျေးရွာ]] # အမှတ်(၇၀၅)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[ဖူးကြီး|ဖူးကြီး ကျေးရွာ]] # အမှတ်(၇၀၆)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[ဖူးကြီး|ဖူးကြီး ကျေးရွာ]] # အမှတ်(၇၀၇)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[တိုက်ကြီးမြို့နယ်|တိုက်ကြီး မြို့]] # အမှတ်(၇၀၈)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[တိုက်ကြီးမြို့နယ်|တိုက်ကြီး မြို့]] # အမှတ်(၇၀၉)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[တိုက်ကြီးမြို့|တိုက်ကြီး မြို့]] # အမှတ်(၇၁၀)​ခြေမြန်တပ်ရင်း - [[သဗြေချောင်းရွာ၊ ထားဝယ်မြို့နယ်|တိုက်ကြီး မြို့]] == စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်မှူး တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သူများ<ref>https://burma.irrawaddy.com/news/2022/06/21/252692.html</ref> == # ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးဦးတင်အေး(ငြိမ်း) # ဗိုလ်မှူးချုပ်ကြည်သိုက် == ကိုးကား == == နောက်ထပ်ကြည့်ရန် == {{တပ်မတော် (ကြည်း)}} {{တပ်မတော်-stub}} {{DEFAULTSORT:တပ်မဟာ(၀၄)}} [[ကဏ္ဍ:ခြေလျင်တပ်မဟာများ]] 1vjgenwiceifqbpefqjr40e9208qafa 0 8041 1039285 803806 2026-06-17T23:00:15Z Mkant00 135890 1039285 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] ricvs3lawqqaulbf02rqr9azog4ajv0 1039286 1039285 2026-06-17T23:04:13Z Mkant00 135890 1039286 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ [[Category:သင်္ချာ]] c36rmmlim65cw5gqfs74it3ua8rh8g3 1039287 1039286 2026-06-17T23:12:08Z Mkant00 135890 1039287 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] ixmsdbozi0qt0e51vh6pnybvvb8ncen 1039289 1039287 2026-06-17T23:30:24Z Mkant00 135890 /* ဂရပ်များ */ 1039289 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] 6rblyp5279j7x0z6zaww6lhptcga2jb 1039291 1039289 2026-06-17T23:37:27Z Mkant00 135890 1039291 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] hx63s520zytuqne1t5c90dcjutlnokt 1039293 1039291 2026-06-17T23:48:31Z Mkant00 135890 1039293 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] pbm3vt6swd6e3grhz081j09rteqkog9 1039294 1039293 2026-06-17T23:54:05Z Mkant00 135890 1039294 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] b3g8nim7rqiebqoj7d1kkcinzewganb 1039295 1039294 2026-06-18T00:02:31Z Mkant00 135890 /* ဂရပ်များ */ 1039295 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] q5x6rs4iy63inbdnz8galz0m1fqfw57 1039296 1039295 2026-06-18T00:09:07Z Mkant00 135890 /* ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ */ 1039296 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင် (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''အရင်းအမြစ်စု''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb| <math>f : A \to B</math> နှင့် <math>g : B \to C </math> တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ <math>g \circ f : A \to C</math> ကို ရသည်။]] '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] dyyvv1qc84g4xn2jjmuutnabpaodo5e 1039364 1039296 2026-06-18T09:43:03Z Mkant00 135890 1039364 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု(codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/ image) ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ]]တွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ '''ဖန်ရှင်''' (function) <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f : x \mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserves) ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ == * '''[[အရင်းအမြစ်စု]]''' (Domain) <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။ * '''[[ပစ်မှတ်စု]]''' (Codomain) <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်''' (Range သို့မဟုတ် Image) <math>\text{im } f</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\text{im } f = \{y \in Y \mid \exists x \in X, \, y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] / [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''အင်ဂျက်တစ်''' (Injective) - အစု <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဆာဂျက်တစ်''' (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည် (<math>\text{im } f = Y</math>)။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''ဘိုင်ဂျက်တစ်''' (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ အစုပိုင်း <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y : x \in X, y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y : y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင်''' (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\text{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင်''' (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင်''' (Constant function) - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင်''' (Empty function) - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ == [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb| <math>f : A \to B</math> နှင့် <math>g : B \to C </math> တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ <math>g \circ f : A \to C</math> ကို ရသည်။]] '''ကန့်သတ်ခြင်း''' (Restriction) အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (Composition) ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\text{im } f \subseteq \text{dom } g</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ''' (Inverses) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \text{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \text{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \text{im } f</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် အလုပ်လုပ်သော တိကျသည့် ပြောင်းပြန် <math>\tilde{f}^{-1} : \text{im} f \to X</math> တည်ရှိသည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင်အစုများ == * '''အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ်''' (Image of a Set) - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A , y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ်''' (Pre-image of a Set) - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}</math> ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင်အစု''' (Function Set) - ပေးထားသော အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အတွက် <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော အစုကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ == အစု <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Group) ဆိုသည်မှာ [[အစု]] (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[Category:သင်္ချာ]] jii7meaizlej9um1baxle4h2ldcb7sh 0 8240 1039345 947861 2026-06-18T08:33:28Z EmausBot 5629 [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039345 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] lm2nyhwv4g2eap8nuo0lvw9fqztgpke 0 11138 1039312 770106 2026-06-18T02:37:45Z Àncilu 105395 [[အထူး:LintErrors/bogus-image-options]] 1039312 wikitext text/x-wiki '''ကြယ်တို့၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲပုံ''' ဆိုသည်မှာ [[ကြယ်]]တို့ အချိန်နှင့် အမျှ ပြောင်းလဲလာပုံကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ကြယ်တို့သည် သူတို့ စတင်မွေးဖွားသည့် အချိန်မှစ၍ [[စွမ်းအင်]] ကုန်ဆုံးသည့် အချိန်အတွင်းတွင် အပြောင်းအလဲများစွာ ဖြစ်ပေါ်ကြသည်။ ကြယ်တို့သည် [[အလင်း]] နှင့် အပူတို့ကို နှစ်ပေါင်း သန်းပေါင်းများစွာ သို့မဟုတ် ဘီလီယံပေါင်းများစွာ ထုတ်လွှတ်နိုင်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် သိပ္ပံပညာရှင်တို့သည် သက်တမ်းအမျိုးမျိုးတွင် ရှိနေသော ကြယ်ပေါင်းများစွာကို ကြည့်ရှုခြင်းဖြင့် ကြယ်တို့ကို လေ့လာကြသည်။ ကြယ်၏ သက်တမ်းတလျှောက်တွင် ဖြတ်သန်းရသော အဆင့်များမှာ [[နက်ဗျူလာ]] ၊ [[ပင်မ အစီအစဉ် အတွင်းရှိကြယ်]] ၊ [[ဧရာမ ကြယ်နီ]] ထိုမှတဆင့် [[ကြယ်ပုဖြူ]] ၊ [[ကြယ်ပုနက်]]၊ [[နယူထရွန်ကြယ်]] သို့မဟုတ် [[တွင်းမည်း]] စသည်ဖြင့် ဖြစ်သည်။ [[File:Sun Life.png|thumb|450px|center|[[နေ]]၏ ဘဝပြောင်းလဲပုံ]] = ကြယ်မွေးဖွားခြင်း = ကြယ်တို့သည် [[နက်ဗျူလာ]] ဟုခေါ်သော အမှုန်အမွှားနှင့် ဓာတ်ငွေ့တို့ စုစည်းထားသော အစုအဝေး အဖြစ် စတင်ဖြစ်ပေါ်ကြသည်။ ထိုအမှုန်အမွှားတို့သည် ဆွဲငင်အားကြောင့် စုစည်းသွားကြပြီး အပူချိန် မြင့်တက်လာသည်။ ထို့နောက် စတင်လည်ပတ်လာပြီး ဘောလုံးနှင့် အလားသဏ္ဌန် တူလာသည်။ အပူချိန် အလုံအလောက် ရသော အခါတွင် နျူကလီးယား ပေါင်းစပ်ခြင်း နည်းလမ်းဖြင့် စွမ်းအင်တို့ကို လွှတ်ထုတ်ပြီး [[ဟိုက်ဒရိုဂျင်]] တို့ကို [[ဟီလီယမ်]] အဖြစ် ပြောင်းလဲကြသည်။ ထို အဖြစ်အပျက်မှ တောက်ပသော အလင်းရောင် ထွက်ပေါ်လေ့ ရှိပြီး အာကာသ လေ့လာသူတို့က ထိုအချိန်ကို [[ပင်မ အစီအစဉ် အတွင်းရှိကြယ်]] ဟု ခေါ်ကြသည်။ ကြယ်တို့သည် ပင်မ အစီအစဉ် အတွင်းတွင်ပင် ဆက်လက်ရှိနေကြပြီ နှစ် ဘီလီယံပေါင်း များစွာ ပုံစံမပြောင်းပဲ ရှိကြသည်။ = ကြယ်သက်တမ်းရင့်လာခြင်း = အချိန်ကြာမြင့်လာသော အခါတွင် ဗဟိုထုရှိ [[ဟိုက်ဒရိုဂျင်]] များအားလုံးလိုလို သည် [[ဟီလီယမ်]] အဖြစ် ပြောင်းလဲသွားကြသည်။ ထိုအကြောင်းကြောင့် ကြယ်၏ အလယ်ဗဟိုရှိ နျူးကလီးယား ဓာတ်ပြုမှုများ ရပ်တန့်သွားပြီး ဗဟိုသည် ဆွဲငင်အားကြောင့် တဖြည်းဖြည်း သေးငယ်လာသည်။ ဗဟိုထု၏ ပြင်ပမှ အလွှာမှာမူ ဟိုက်ဒရိုဂျင်ကို ဟီလီယမ် အဖြစ်ပြောင်းလဲခြင်းဖြင့် စွမ်းအင်ကို လွှတ်ထုတ် နေသေးသည်။ ကြယ်၏ ပြင်ပအလွှာသည် တဖြည်းဖြည်း ကြီးသည်ထက်ကြီးလာသည်။ ကြယ်တို့သည် အလင်းရောင် မြောက်မြားစွာကို လွှတ်ထုတ်ကြသည်။ တခါတရံတွင် အစ ပထမက လွှတ်ထုတ်ခဲ့သည့် အလင်းရောင်ထက် အဆ သောင်းဂဏန်းမျှ များပြားသော အလင်းရောင်ကို လွှတ်ထုတ် ကြသည်။ ကြယ်၏ မျက်နှာပြင်မှာ ကျယ်ပြန့်လာသဖြင့် စွမ်းအင်တို့မှာ ပိုမိုကြီးမားသော ဧရိယာ အကျယ်အဝန်းသို့ ပျံ့နှံ့လာသည်။ ထိုအကြောင်းကြောင့် မျက်နှာပြင်၏ အပူချိန်မှာ လျော့ကျသွားပြီး ကြယ်၏ အရောင်မှာ အနီရောင်မှ လိမ္မော်ရောင်သို့ ပြောင်းလဲသွားသည်။ ကြယ်သည် [[ဧရာမ ကြယ်နီ]] အဖြစ် ပြောင်းလဲသွားပြီး ပတ်ပတ်လည်တွင် လှည့်ပတ်နေသော [[ဂြိုဟ်]]တို့ကို ထိုအချိန်တွင် ဝါးမြိုပစ်လိုက်သည်။ = ကြယ်သေဆုံးခြင်း = [[File:star life cycles red dwarf en.svg|thumb|left|300px|ထုထည်သေးသော ကြယ်တို့၏ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (ဘယ်ဘက်)၊ ထုထည်ကြီးကြယ်တို့၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲပုံ (ညာဘက်)။]] အချိန်ကြာမြင့်လာသော အခါတွင် ကြယ်မှ ပြောင်းလဲဖြစ်ပေါ်လာသော [[ဧရာမ ကြယ်နီ]] သည် လောင်စာကုန် သွားသည်။ ထိုအခါတွင် ဓာတ်ငွေ့တိမ်တိုက်တို့ကို လွှတ်ထုတ်လိုက်ပြီး [[ကြယ်ဖြူပု]] ဟုခေါ်သော ကြယ်အသေးစားမှာ ကြွင်းကျန်ရစ်သည်။ ထိုမှ အချိန် ကြာမြင့်လာလေသာ အခါတွင် ကြယ်ဖြူပုမှာ အပူချိန် လျော့ကျလာပြီး [[ကြယ်ပုနက်]] အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားသည်။ သို့သော် ဧရာမ ကြယ်နီ တို့မှာ တခါတရံတွင် ပေါက်ကွဲခြင်း ဖြစ်တတ်ပြီး ထိုသို့ပေါက်ကွဲမှုမှာ အလွန်ပြင်းထန်ကာ ထိုအဖြစ်အပျက်ကို [[စူပါနိုဗာ]] ကြယ်ပေါက်ကွဲမှု ဟု ခေါ်ကြသည်။ ထိုသို့ ဖြစ်ပျက်ပါက ကြယ်ဖြူပုအဖြစ် ကျန်ရစ်ခဲ့ခြင်း မရှိဘဲ ပို၍ သေးငယ်သိပ်သည်းသော [[နယူထရွန်ကြယ်]] အဖြစ် ကြွင်းကျန်ရစ်သည်။ နယူထရွန်ကြယ် ဖြစ်ပေါ်ရခြင်း အကြောင်းမှာ ဆွဲငင်အား အလွန်ကြီးမားသောကြောင့် ကြွင်းကျန်ရစ်ခဲ့သော [[အက်တမ်]] တို့တွင် အဏုမြူဗဟို (Nucleus) ကို လှည့်ပတ်နေသော [[အီလက်ထရွန်]] မရှိတော့သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ လက်ဖက်ရည်ဇွန်းမျှ ရှိသော ဒြပ်ထုမှာပင် [[ကမ္ဘာ]]၏ အလေးချိန် နီးပါးမျှ ရှိသည်။ ထိုထက်မက ပို၍ ကြီးမားသော ဧရာမ ကြယ်နီတို့မှာ [[တွင်းမည်း]] များကို ချန်ရစ်ခဲ့သည်။ တွင်းမည်းဖြစ်ပေါ်ရခြင်း အကြောင်းမှာ ဆွဲငင်အား အလွန်ကြီးမားသောကြောင့် [[ပရိုတွန်]] နှင့် [[နျူထရွန်]]များပင် သူတို့ဘာသာ ဝါးမျို ပစ်သောကြောင့်ပင် ဖြစ်သည်။ အလင်းရောင် ပင်လျှင် တွင်းမည်းမှ မလွတ်မြောက်နိုင်ပေ။ အက်တမ်တို့၏ အဏုမြူဗဟို များ အချင်းချင်း ဆွဲငင်ထားသော အားမှာ လူသားတို့ သိသမျှ ထဲတွင် အကြီးမားဆုံး ဖြစ်သောကြောင့် အချို့သော ရူပဗေဒ ပညာရှင်တို့က တွင်းမည်းသည် သင်္ချာ အခေါ် singularity ဟုခေါ်သော တစ်ခုတည်း ကျန်သည်အထိ ပေါင်းစပ်သွားမည်ဟု ယူဆကြသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကြယ်တို့၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု]] lgbct1dmtqphfifz1brxi92c7grby2m 0 13122 1039150 1016437 2026-06-17T13:38:20Z Peter Moe 44957 1039150 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Mawlamyine University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = |တံဆိပ် = University of Mawlamyaing.gif |တံဆိပ်စာသား = မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပညာတန်ဆောင် ပြည့်ကျိုးဆောင်အံ့ |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Enshrine the education, serves the peoples' will |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၅၃ |ပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ ချစ်စိန် |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် =ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စန်း<br/>ဒေါက်တာ မြင့်သီတာ ဒေါက်တာ သီတာထွန်း |ဝန်ထမ်း = |ဆရာ = |ဘွဲ့ကြိုကျောင်းသား = |ဘွဲ့လွန်ကျောင်းသား = |တည်နေရာ = တောင်ဝိုင်းလမ်း၊ မော်လမြိုင်မြို့၊ မွန်ပြည်နယ် |အကျယ်အဝန်း = |ပိုင်ဆိုင်မှု =အစိုးရပိုင် |ရန်ပုံငွေ = |ကျောင်းတွင်း အဖွဲ့အစည်များ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် =ရွှေဝါရောင် {{color box|#FFDF00}} |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ =ဟင်္သာ }} [[File:Moulmein University - panoramio - joinai.jpg|thumb|မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်]] '''မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်'''သည် [[မော်လမြိုင်မြို့]]တွင် တည်ရှိပြီး မြန်မာ့အရှေ့တောင်၏ အကြီးဆုံး တက္ကသိုလ်ဖြစ်သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်ကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင်စတင် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]နှင့် [[မန္တလေးတက္ကသိုလ်]]ပြီးလျှင် မြန်မာနိုင်ငံတွင် တတိယမြောက် တည်ထောင်သော ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်ဖြစ်သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် ဝိဇ္ဇာဘွဲ့နှင့် သိပ္ပံဘွဲ့များ၊ မဟာဝိဇ္ဇာဘွဲ့များကို ချီးမြှင့်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်း [[အဏ္ဏဝါဗေဒ|အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ]]ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်ပေးနိုင်သော တက္ကသိုလ်အချို့သာရှိရာ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် တစ်ခုအပါအဝင် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == === တည်ထောင်ခြင်း === မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်ကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]၏ လက်အောက်ခံ မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ် အဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ မော်လမြိုင်ကောလိပ်အဆောက်အဦးဒီဇိုင်းကို ဗိသုကာလက်ရာမြောက်လှသော [[ရန်ကုန်မြို့တော်ခန်းမ]]၊ [[ရန်ကုန် ဘူတာကြီး]] အစရှိသော အထင်ကရအဆောက်အဦးများ တည်ဆောက်ရာတွင် လူသိများ ထင်ရှားလှသည့် မြန်မာ ဗိသုကာပညာရှင် [[တင်၊ ဦး (ဗိသုကာပညာရှင်)|စည်သူဦးတင်]] ကပုံစံထုတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ [[ဖိုင်:KuTha.jpg|thumb|မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ်၏ ပထမဆုံးကျောင်းအုပ်ကြီး [[ကုသ (စာရေးဆရာ)|စာရေးဆရာ ကုသ]] ခေါ် ဦးတိုးအောင် (ခရစ် ၁၉ဝ၈- ၁၉၇၆)]] မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ်၏ ပထမဆုံးကျောင်းအုပ်ကြီး အဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သူမှာ ၁၉၃၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော [[ခေတ်စမ်းစာပေ|''ခေတ်စမ်းစာပေ'']]လှုပ်ရှားမှုတွင် ဆရာ[[ဇော်ဂျီ၊ စာရေးဆရာ|ဇော်ဂျီ]]၊ [[သိပ္ပံမောင်ဝ]]၊ [[မင်းသုဝဏ်]]၊ မောင်ထင်၊ [[သုတ၊ မောင် (ဗိုလ်မှူးဘသောင်း)|မောင်သုတ၊]] [[ဧမောင် (ပါမောက္ခ)|ဧမောင်]] တို့နှင့်အတူ ရှေ့တန်းမှ မား⁠မားမတ်မတ် ဦးဆောင်ပါဝင်ခဲ့သူ [[ကုသ (စာရေးဆရာ)|စာရေးဆရာ ကုသ]] ခေါ် ဦးတိုးအောင်ဖြစ်သည်။ ==== မြေနေရာရွေးချယ်ခြင်း ==== ကောလိပ်တည်ဆောက်ရန် မြေနေရာစတင်ရွေးချယ်စဉ်က လက်ရှိနေရာ၏ လှပသောရှုခင်းနှင့်ပတ်ဝန်းကျင်သည်ကောလိပ်တစ်ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် အကောင်းဆုံး မြေနေရာဖြစ်ခဲ့သည်။ ကောလိပ်၏ တည်နေရာသည် မော်လမြိုင်မြို့လယ်ခေါင်၏ အရှေ့မြောက် (၄) မိုင်အကွာတွင်တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ၁၉၅၀ အစောပိုင်းတွင်တည်ထောင်ခဲ့စဉ်က ကောလိပ်၏အရွယ်အစားမှာ ၄၁၇.၈၇ ဧကဖြစ်သည်။ ၎င်းကိုမော်လမြိုင် - တောင်ဝိုင်း၊ အဓိကလမ်းနှင့်မော်လမြိုင် - အမ်ရတ်လမ်းများဖြင့်ကန့်သတ်ထားသည်။ ထိုနေရာ၏ အရှေ့ဘက်ခြမ်းတွင်ကောလိပ်နှင့်မိုင်ဝက်အကွာအဝေးတွင်တောင်ဝိုင်းဟုခေါ်သော တောင်တန်းတစ်ခုရှိသည်။ ကောလိပ်နှင့်မိုင်လေးပုံတစ်ပုံခန့်အကွာတွင် [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]]တော်ဝင်လေတပ်နှင့် အမေရိကန် [[:en:Flying_Tigers|ကျားပျံလေသရဲအဖွဲ့]] တို့၏ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်လေယာဉ်ကွင်း (ယခု[[မော်လမြိုင်လေဆိပ်]]) ရှိသည်။ ကောလိပ်ကို မတည်ဆောက်မှီက တောင်ဝိုင်းတောင်နှင့် ၎င်း၏ပတ်ဝန်းကျင်သည် ၁၉ ရာစုနှင့် ၂၀ ရာစုအစောပိုင်း ကိုလိုနီခေတ်ကာလတွင် ဗြိတိသျှအုပ်ချုပ်သူအရာရှိများနှင့် ဒေသခံ အထက်တန်းလွှာလူတန်းစားများ၏ ပျော်ပွဲစားထွက်ရာစခန်းနှင့် ဒေသခံ တရုတ်အသိုင်းအဝိုင်း၏ ဥယျာဉ်များရှိရာ နေရာဖြစ်ခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၈၃၆ ခုနှစ်က ဗြိတိသျှပိုင်အောက်မြန်မာပြည်၏မြို့တော် မော်လမြိုင်မြို့သို့ (ထိုစဉ်က အထက်မြန်မာပြည်တွင် [[ဘကြီးတော်(စစ်ကိုင်းမင်း)]] စိုးစံချိန်ဖြစ်သည်) ရောက်ခဲ့သော ၁၉ရာစု အမေရိကန်ခရီးသွားစာရေးဆရာ Howard Malcom ၏ ခရီးသွားမှတ်တမ်းများအဆိုအရ၊ မော်လမြိုင်တရုတ်အသိုင်းအဝိုင်းမှ အစောပိုင်းအခြေချနေထိုင်သူများသည် တောင်ဝိုင်းတောင်( တရုတ်ဘာသာဖြင့် လင်းဒင် ဟုခေါ်ဆို) နှင့်ပတ်ဝန်းကျင် အနီးတဝိုက်တွင် ဟင်းသီးဟင်းရွက်နှင့် သစ်သီးဝလံများ စိုက်ပျိုးကာ နေထိုင်ကြသည်ဟု ဆိုသည်။<ref>Li, Yi (2016). Revisiting the Nineteenth- century Marketplace, and the Chinese Community in Moulmein. Center for Burma Studies Northern Illinois University. p.73</ref> === တိုးချဲ့ခြင်း === ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်အဖြစ် ပြောင်းလဲတိုးမြှင့်ခဲ့သည်။ ဒီဇင်ဘာ ၁၅ ရက် ၁၉၈၂ တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်၏ နည်းပညာဌါနသည် ကောလိပ်မှ သီးခြားခွဲထွက်ကာ အစိုးရနည်းပညာအင်စတီကျု (ယခု [[နည်းပညာတက္ကသိုလ်(မော်လမြိုင်)|မော်လမြိုင်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) ကိုတည်ထောင်ခဲ့သည်။ [[ဖိုင်:Tekkatho Phone Naing.jpg|thumb|183x183px|စာရေးဆရာ [[တက္ကသိုလ်ဘုန်းနိုင်|တက္ကသိုလ် ဘုန်းနိုင်]] (၁၉၈၆ - ၈၈ ကာလ မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် ဒုတိယအဓိပတိ) ]] ထို့နောက် ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်မှ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲတိုးမြှင့်ခဲ့သည်။ == ဘာသာရပ်များ သင်ကြားပေးမှု == မြန်မာ့ တက္ကသိုလ်ပညာရေးစနစ်တွင် ဝိဇ္ဇာနှင့် သိပ္ပံတက္ကသိုလ်များအား အတူတကွ ပေါင်းစည်းထားခဲ့ပြီး မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် ရိုးရိုးဝိဇ္ဇာဘာသာရပ်များနှင့် သိပ္ပံဘာသာ အထူးပြု ကျောင်းသားများအား ဝိဇ္ဇာဘွဲ့များနှင့် မဟာဘွဲ့များကို ချီးမြှင့်ပေးသည်။ ၎င်းသည် ရိုးရိုး Bachelor Of Art(BA) ဝိဇ္ဇာဘွဲနှင့် Bachelor Of Science(BSc) သိပ္ပံဘွဲ့ ရယူနိုင်ရန်အတွက် လေးနှစ် အချိန်ပေးရပြီး BA(Hons) နှင့် BSc(Hons) တို့ကဲ့သို့သော ဂုဏ်ထူးတန်း(Honor Degree)များအတွက်ကိုမူ ၅နှစ်အချိန်ပေးရလေသည်။ဥပဒေပညာအတွက်မှာမူ ၅နှစ် အချိန်ပေးရသည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် အဏ္ဏဝါသိပ္ပံဘွဲ့ချီးမြှင့်သည့် တက္ကသိုလ်မှာ အနည်းငယ်မျှသာရှိသည့်အနက် မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည်လည်း တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်သည်။ ကမ်းခြေနှင့် ဆက်စပ်နေသော မြို့တစ်ခုဖြစ်သည့် မော်လမြိုင်မြို့တောင်ဘက် ၆၀ ကီလိုမီတာအကွာတွင် တက္ကသိုလ်၏အဏ္ဏဝါသပ္ပံလက်တွေ့စမ်းသပ်ရန်နေရာတစ်ခု ထားရှိပြီး မြန်မာနိုင်ငံတွင် ပထမဆုံးသော အမျိုးအစားဖြစ်သည်။ {| class="wikitable" !ဘာသာရပ် !ဘွဲ့ !မဟာဘွဲ့ !ပါရဂူဘွဲ့ |- |မြန်မာစာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | -- |- |အင်္ဂလိပ်စာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |ပထဝီဝင် |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |သမိုင်း |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |ဒဿနိကဗေဒ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |စိတ္တဗေဒ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |အရှေ့တိုင်းပညာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | -- |- |ရုက္ခဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ဓာတုဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) |PhD |- |သင်္ချာ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ရူပဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |သတ္တဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ဘူမိဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |ဇီဝဓာတုဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |အဏုဇီဝဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |ဥပဒေပညာ |LLB |LLM | -- |- |ဥပဒေပညာ |B.A(Law) | -- |- |စီးပွားရေးပညာ | -- | -- | -- |} {| class="wikitable" |- ! ဘာသာရပ် !! ဘွဲ့ !! မဟာဘွဲ့!! ပါရဂူဘွဲ့ |- | မြန်မာစာ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA) || -- |- | အင်္ဂလိပ်စာ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | ပထဝီဝင်|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | သမိုင်း|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | ဒဿနိကဗေဒ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | စိတ္တဗေဒ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | အရှေ့တိုင်းပညာ|| ဘီအေ(BA)|| အမ်အေ(MA) || -- |- | ရုက္ခဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ဓာတုဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| PhD |- | သင်္ချာ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ရူပဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | သတ္တဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ဘူမိဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | ဇီဝဓာတုဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | အဏုဇီဝဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | ဥပဒေပညာ|| LLB|| LLM || -- |- | ဥပဒေပညာ|| B.A(Law) || -- |-- | စီးပွားရေးပညာ|| -- || -- || -- |- == အုပ်ချုပ်ရေး == === အုပ်ချုပ်သူများ စာရင်း (၁၉၅၃ မှ ယခု) === * ဦးတိုးအောင် ([[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|စာရေးဆရာ]] [[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|ကုသ]]) (၁၉၅၃ခု မတ်လ မှ ၁၉၆၃ ခု ဇူလိုင်လ) *ဒေါက်တာဖေသောင်း * ဦးလှရွှေ *ဒေါက်တာ မန်းသက်စံ *[[ဒီ၊ မောင်(ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာမောင်ဒီ]] (၁၉၇၂ မှ ၁၉၇၇) *ဦးခင်မောင်တင့် ([[တက္ကသိုလ်ဘုန်းနိုင်]]) (မော်လမြိုင် ဒီဂရီ ကောလိပ် ကျောင်းအုပ်ကြီး (၁၉၇၇ - ၈၅)၊ မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် ဒုတိယအဓိပတိ (၁၉၈၆ - ၈၈)) *ဦးတင်ဦးလှိုင် * ဦးလှထွန်းအောင် *ဒေါက်တာလှဖေ * ဦးကြည်ဝင်း * ဦးစန်းတင့် *ဦးမြသိန်း(ဒုတိယပါမောက္ခချုပ်ဖြင့် တာဝန်ယူအုပ်ချုပ်) * ဦးစောဟန်ရှိန် *ဦးထွန်းသိန်း *ဒေါက်တာဌေးအောင် *ဒေါက်တာအောင်မြတ်ကျော်စိန် *ဒေါက်တာချစ်စိန်တို့ဖြစ်ကြသည်။ == အဆောက်အဦးများ == [[File:Mawlamyine University - panoramio.jpg|thumb|မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်၏အဓိကဝင်ပေါက် အဓိပတိလမ်းမ]] === အရေးကြီးသော အဆောက်အဦးများ === * ဗညားဒလ ဆောင် * ရာမည ဆောင် * ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ * တက္ကသိုလ်ဆေးရုံ *[[စက်စဲ]] အဏ္ဏဝါသိပ္ပံသုတေသနစင်တာ * တက္ကသိုလ်အားကစားခန်းမ *တက္ကသိုလ်စာကြည့်တိုက် - တက္ကသိုလ်စာကြည့်တိုက်အဖြစ် ၃ထပ် စာကြည့်တိုက်အား ဇန်နဝါရီလ ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပြီးစီး၍ စာစောင်၊ စာအုပ်ပေါင်း ၁၀၆, ၀၀၀ ခန့် ထားရှိပြီးဖြစ်သည်။ == အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာဆက်နွယ်မှု == === သုတေသန === *{{flagicon|Thailand}} Songkla မင်းသား တက္ကသိုလ်<ref name=":0">{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://www.myanmar-edu.org/mueucap-university-mawlamyine |access-date=22 January 2019 |archive-date=22 January 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190122195722/https://www.myanmar-edu.org/mueucap-university-mawlamyine }}</ref> *{{flagicon|Philippines}} Silliman တက္ကသိုလ် - မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ် သည် ဖိလစ်ပိုင်နိုင်ငံ Silliman တက္ကသိုလ်နှင့်သုတေသနနှင့်ပညာရေး ချိတ်ဆက်ချက်များ ရှိပြီးဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web|url=http://su.edu.ph/international/linkages-partnerships/|title=Linkages & Partnerships {{!}} Silliman University|website=su.edu.ph|language=en-US|access-date=2017-10-03}}</ref> *{{flagicon|USA}} Scripps Institution of Oceanography<ref name=":0" /> *{{flagicon|Japan}} [[တိုကျိုအဏ္ဏဝါသိပ္ပံနှင့်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]] - မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ် သည် တိုကျိုအဏ္ဏဝါသိပ္ပံနှင့်နည်းပညာတက္ကသိုလ်နှင့်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ လဲလှယ်သဘောတူညီချက်များ ရှိပြီးဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news|url=https://www.kaiyodai.ac.jp/english/events/general/201603041603.html|title=Myanmar Seminar - Overseas Partner Institutions, University of Yangon and Mawlamyine University -：東京海洋大学|work=Myanmar Seminar - Overseas Partner Institutions, University of Yangon and Mawlamyine University -：東京海洋大学|access-date=2017-10-02|language=ja|accessdate=30 June 2018|archivedate=23 January 2019|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190123011004/https://www.kaiyodai.ac.jp/english/events/general/201603041603.html}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.kaiyodai.ac.jp/english-c/en-international/12379.html|title=Academic Exchange Agreements - 東京海洋大学|website=www.kaiyodai.ac.jp|access-date=2017-10-26|archive-date=26 October 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171026213523/https://www.kaiyodai.ac.jp/english-c/en-international/12379.html}}</ref> *{{flagicon|Austria}} သဘာဝအရင်းအမြစ်နှင့်ဘဝကသိပ္ပံတက္ကသိုလ်, ဗီယင်နာ<ref name=":0" /> === သင်ကြားရေး === * {{flagicon|Australia}} BABSEACLE ဥပဒေရေးရာပညာရေးဖောင်ဒေးရှင်း<ref>[https://www.babseacle.org/articles/mawlamyaing-university-law-departments-ambitious-clinical-legal-education-cle-plan/ Mawlamyine University Law Department’s Ambitious Clinical Legal Education (CLE) Plan - BABSEACLE<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> *{{flagicon|USA}} ကော်နဲလ်တက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> * {{flagicon|Australia}} နယူးဆောက်သ်ဝေးလ်စ် တက္ကသိုလ်<ref>{{Cite web |title=Myanmar — Football United<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |url=http://footballunited.org.au/international/ |access-date=7 July 2018 |archive-date=12 August 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180812175906/http://footballunited.org.au/international/ }}</ref> === ကျောင်းသားဖလှယ်ရေး === *{{flagicon|Japan}} Hosei တက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> *{{flagicon|USA}} အင်ဒီယားနားတက္ကသိုလ် - Purdue တက္ကသိုလ် ဖို့တ်ဝိန်း (IPFW)<ref>[https://fwscii.wordpress.com/2017/04/12/an-evening-conversation-with-mawlamyine-university-students/ An Evening Conversation with Mawlamyine University students – Fort Wayne Sister Cities<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> * {{flagicon|Thailand}} ခွန်ကန် တက္ကသိုလ် (Khon Kaen University)<ref>[https://ird.kku.ac.th/news.php?id=167 มข.ต้อนรับ Mawlamyine University จาก เมียนมา<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> *{{flagicon|Japan}} တိုကျိုတက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> == ထင်ရှားသောဆရာဟောင်းများ == * ဦးတိုးအောင် ([[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|စာရေးဆရာ]] [[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|ကုသ]]) - [[ခေတ်စမ်းစာပေ]] လှုပ်ရှားသူ *တက္ကသိုလ် [[ဘုန်းနိုင်၊ တက္ကသိုလ်|ဘုန်းနိုင်]] - စာရေးဆရာ *တက္ကသိုလ် [[မင်းမော်၊ တက္ကသိုလ်|မင်းမော်]] - စာရေးဆရာ * ဒေါက်တာ [[ခင်မောင်ညွန့်၊ ဒေါက်တာ|ခင်မောင်ညွန့်]] - စာရေးဆရာ၊ မြန်မာ့သမိုင်း ကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင် *ဝဏ္ဏကျော်ထင် [[ဗိုလ်ဗကို]] - စာရေးဆရာ၊ ရုပ်ရှင် သရုပ်ဆောင် *[[မြင့်သန်း၊ ဒေါ် (ကထိက)|ကထိက ဒေါ်မြင့်သန်း]] - မြန်မာစာပေ ပညာရှင် *Mohana Gill - အိန္ဒိယစာရေးဆရာမ<ref>Gill, Mohana (2013). ''Myanmar: Cuisine, Culture, Customs''. Marshall Cavendish International Asia Pte Ltd. p. 41.</ref> *ပါမောက္ခ ဒေါက်တာ [[မင်းတင်မွန်၊ ဒေါက်တာ|မင်းတင်မွန်]] - စာရေးဆရာ *[[နန္ဒာသိန်းဇံ]] - စာရေးဆရာ<ref>{{Cite web |url=http://www2.irrawaddy.com/article.php?art_id=21897 |title=Philosophy Writer Nanda Thein Zan Passes Away<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |access-date=13 June 2018 |archive-date=1 September 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180901215814/http://www2.irrawaddy.com/article.php?art_id=21897 |url-status=dead }}</ref> * ဒေါက်တာ မန်းသက်စံ - စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး *[[အောင်သင်း]] - စာရေးဆရာ၊ တက္ကသိုလ်ကထိက *ဒေါက်တာ [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|ကိုကိုဦး]] '''-''' နျူကလီးယားဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရှင်၊ [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန]] ဝန်ကြီး *ဒေါက်တာ[[ထွန်းတင့်]] '''-''' [[မြန်မာစာအဖွဲ့]] စာတည်းမှူးချုပ်၊ အဆင့်မြင့်ပညာ မြန်မာစာသင်ရိုးညွှန်းတမ်း ကော်မတီဝင် == ထင်ရှားသောကျောင်းသားဟောင်းများ == *[[စိမ့်၊ (ပညာရေး)]] - တက္ကသိုလ်ကထိက၊ စာရေးဆရာမ *အောင်ခင် - မြန်မာ့ဘောလုံးရွှေခေတ် ဂန္ဓဝင်လက်ရွေးစင်တိုက်စစ်မှူး *စိုးမြင့် - မြန်မာ့ဘောလုံးရွှေခေတ်လက်ရွေးစင်နောက်တန်းခံစစ်မှူး *[[တင်ရွှေ၊ ဆရာဝန်|ဆရာဝန် တင်ရွှေ]] - စာရေးဆရာ၊ [[ဆရာဝန်တင်ရွှေ စာပေဆု]] တည်ထောင်သူ *[[တင်စိုး (ပါမောက္ခ)]] - စာရေးဆရာ၊ ရန်ကုန်စီးပွားရေး တက္ကသိုလ် ပါမောက္ခ *[[နိုင်သက်လွင်]] - တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာ ပြည်ထောင်စု ဝန်ကြီး<ref>[https://www.irrawaddy.com/news/burma/meet-burmas-next-cabinet.html Meet Burma’s Next Cabinet<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> *[[သက်နိုင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးသက်နိုင်ဝင်း]] - နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စု ဝန်ကြီး *[[ခင်မောင်ညို၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာ ခင်မောင်ညို]] - ဓါတုဗေဒပညာရှင်၊<ref>https://burmese.voanews.com/a/scient-technology/6735149.html</ref> စာရေးဆရာ၊ အယ်ဒီတာ၊ ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပါမောက္ခ *ဒေါက်တာ[[မောင်သင်း]] - မန္တလေးတက္ကသိုလ် ပါမောက္ခချုပ်၊ ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |url=https://pyidaungsu.hluttaw.mm/members/56cd5f393f609e7f488b45f5 |accessdate=7 July 2018 |archivedate=29 May 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180529053957/https://pyidaungsu.hluttaw.mm/members/56cd5f393f609e7f488b45f5 }}</ref> *ဒေါက်တာ [[စင်သီယာမောင်]] - လူမှုကူညီရေးများအတွက် နိုင်ငံတကာမှ ဆုပေါင်း ၁၈ ခုတိုင်အောင် ချီးမြှင့်ခံရသူ *ဒေါက်တာ [[ခင်ဆွေမြင့်]] '''-''' ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် မြန်မာစာပါမောက္ခ/ဌာနမှူး၊ [[မြန်မာစာအဖွဲ့]] အဖွဲ့ဝင်၊ နိုင်ငံတော်အဆင့်စာပေပြိုင်ပွဲများစာမူစိစစ်ရေးဥက္ကဋ္ဌ *မာမာခိုင် - ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ် *စောထွန်း - ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ် *[[ထူးအိမ်သင်]] - တေးရေးတေးဆို *မဟာသီရိသုဓမ္မ [[နန်းနီနီအေး]] - မြန်မာ့သမိုင်းတွင် ပထမဆုံး အမျိုးသမီး ဒုတိယသမ္မတ == ကိုးကား == <references/> {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:မော်လမြိုင်မြို့]] [[Category:မွန်ပြည်နယ်ရှိ ကောလိပ်နှင့် တက္ကသိုလ်များ]] 8hn8vnrru9t7b1gexs4mby2wf2lil3z 1039161 1039150 2026-06-17T14:13:18Z Peter Moe 44957 လူငယ်ရေးရာဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး 1039161 wikitext text/x-wiki {{Infobox တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(မြန်မာအက္ခရာ) = မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် |တက္ကသိုလ်အမည်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ)= Mawlamyine University |တက္ကသိုလ်အမည်(အခြားအက္ခရာ)= |ဒေသအခေါ်အမည် = |တံဆိပ် = University of Mawlamyaing.gif |တံဆိပ်စာသား = မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ်၏ အမှတ်တံဆိပ် |ဆောင်ပုဒ်(မြန်မာအက္ခရာ) = ပညာတန်ဆောင် ပြည့်ကျိုးဆောင်အံ့ |ဆောင်ပုဒ်(အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ) = Enshrine the education, serves the peoples' will |ဆောင်ပုဒ်(အခြားအက္ခရာ) = |တည်ထောင်ခုနှစ် = ၁၉၅၃ |ပါမောက္ခချုပ် = ဒေါက်တာ ချစ်စိန် |ဒုတိယပါမောက္ခချုပ် =ဒေါက်တာ ခိုင်ခိုင်စန်း<br/>ဒေါက်တာ မြင့်သီတာ ဒေါက်တာ သီတာထွန်း |ဝန်ထမ်း = |ဆရာ = |ဘွဲ့ကြိုကျောင်းသား = |ဘွဲ့လွန်ကျောင်းသား = |တည်နေရာ = တောင်ဝိုင်းလမ်း၊ မော်လမြိုင်မြို့၊ မွန်ပြည်နယ် |အကျယ်အဝန်း = |ပိုင်ဆိုင်မှု =အစိုးရပိုင် |ရန်ပုံငွေ = |ကျောင်းတွင်း အဖွဲ့အစည်များ = |အထိမ်းအမှတ်အရောင် =ရွှေဝါရောင် {{color box|#FFDF00}} |အထိမ်းအမှတ်သတ္တဝါ =ဟင်္သာ }} [[File:Moulmein University - panoramio - joinai.jpg|thumb|မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်]] '''မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်'''သည် [[မော်လမြိုင်မြို့]]တွင် တည်ရှိပြီး မြန်မာ့အရှေ့တောင်၏ အကြီးဆုံး တက္ကသိုလ်ဖြစ်သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်ကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင်စတင် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]နှင့် [[မန္တလေးတက္ကသိုလ်]]ပြီးလျှင် မြန်မာနိုင်ငံတွင် တတိယမြောက် တည်ထောင်သော ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်ဖြစ်သည်။ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် ဝိဇ္ဇာဘွဲ့နှင့် သိပ္ပံဘွဲ့များ၊ မဟာဝိဇ္ဇာဘွဲ့များကို ချီးမြှင့်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် မြန်မာနိုင်ငံအတွင်း [[အဏ္ဏဝါဗေဒ|အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ]]ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်ပေးနိုင်သော တက္ကသိုလ်အချို့သာရှိရာ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် တစ်ခုအပါအဝင် ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == === တည်ထောင်ခြင်း === မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်ကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် [[ရန်ကုန်တက္ကသိုလ်]]၏ လက်အောက်ခံ မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ် အဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ မော်လမြိုင်ကောလိပ်အဆောက်အဦးဒီဇိုင်းကို ဗိသုကာလက်ရာမြောက်လှသော [[ရန်ကုန်မြို့တော်ခန်းမ]]၊ [[ရန်ကုန် ဘူတာကြီး]] အစရှိသော အထင်ကရအဆောက်အဦးများ တည်ဆောက်ရာတွင် လူသိများ ထင်ရှားလှသည့် မြန်မာ ဗိသုကာပညာရှင် [[တင်၊ ဦး (ဗိသုကာပညာရှင်)|စည်သူဦးတင်]] ကပုံစံထုတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ [[ဖိုင်:KuTha.jpg|thumb|မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ်၏ ပထမဆုံးကျောင်းအုပ်ကြီး [[ကုသ (စာရေးဆရာ)|စာရေးဆရာ ကုသ]] ခေါ် ဦးတိုးအောင် (ခရစ် ၁၉ဝ၈- ၁၉၇၆)]] မော်လမြိုင် ဥပစာကောလိပ်၏ ပထမဆုံးကျောင်းအုပ်ကြီး အဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သူမှာ ၁၉၃၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော [[ခေတ်စမ်းစာပေ|''ခေတ်စမ်းစာပေ'']]လှုပ်ရှားမှုတွင် ဆရာ[[ဇော်ဂျီ၊ စာရေးဆရာ|ဇော်ဂျီ]]၊ [[သိပ္ပံမောင်ဝ]]၊ [[မင်းသုဝဏ်]]၊ မောင်ထင်၊ [[သုတ၊ မောင် (ဗိုလ်မှူးဘသောင်း)|မောင်သုတ၊]] [[ဧမောင် (ပါမောက္ခ)|ဧမောင်]] တို့နှင့်အတူ ရှေ့တန်းမှ မား⁠မားမတ်မတ် ဦးဆောင်ပါဝင်ခဲ့သူ [[ကုသ (စာရေးဆရာ)|စာရေးဆရာ ကုသ]] ခေါ် ဦးတိုးအောင်ဖြစ်သည်။ ==== မြေနေရာရွေးချယ်ခြင်း ==== ကောလိပ်တည်ဆောက်ရန် မြေနေရာစတင်ရွေးချယ်စဉ်က လက်ရှိနေရာ၏ လှပသောရှုခင်းနှင့်ပတ်ဝန်းကျင်သည်ကောလိပ်တစ်ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် အကောင်းဆုံး မြေနေရာဖြစ်ခဲ့သည်။ ကောလိပ်၏ တည်နေရာသည် မော်လမြိုင်မြို့လယ်ခေါင်၏ အရှေ့မြောက် (၄) မိုင်အကွာတွင်တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ၁၉၅၀ အစောပိုင်းတွင်တည်ထောင်ခဲ့စဉ်က ကောလိပ်၏အရွယ်အစားမှာ ၄၁၇.၈၇ ဧကဖြစ်သည်။ ၎င်းကိုမော်လမြိုင် - တောင်ဝိုင်း၊ အဓိကလမ်းနှင့်မော်လမြိုင် - အမ်ရတ်လမ်းများဖြင့်ကန့်သတ်ထားသည်။ ထိုနေရာ၏ အရှေ့ဘက်ခြမ်းတွင်ကောလိပ်နှင့်မိုင်ဝက်အကွာအဝေးတွင်တောင်ဝိုင်းဟုခေါ်သော တောင်တန်းတစ်ခုရှိသည်။ ကောလိပ်နှင့်မိုင်လေးပုံတစ်ပုံခန့်အကွာတွင် [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]]တော်ဝင်လေတပ်နှင့် အမေရိကန် [[:en:Flying_Tigers|ကျားပျံလေသရဲအဖွဲ့]] တို့၏ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်လေယာဉ်ကွင်း (ယခု[[မော်လမြိုင်လေဆိပ်]]) ရှိသည်။ ကောလိပ်ကို မတည်ဆောက်မှီက တောင်ဝိုင်းတောင်နှင့် ၎င်း၏ပတ်ဝန်းကျင်သည် ၁၉ ရာစုနှင့် ၂၀ ရာစုအစောပိုင်း ကိုလိုနီခေတ်ကာလတွင် ဗြိတိသျှအုပ်ချုပ်သူအရာရှိများနှင့် ဒေသခံ အထက်တန်းလွှာလူတန်းစားများ၏ ပျော်ပွဲစားထွက်ရာစခန်းနှင့် ဒေသခံ တရုတ်အသိုင်းအဝိုင်း၏ ဥယျာဉ်များရှိရာ နေရာဖြစ်ခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၈၃၆ ခုနှစ်က ဗြိတိသျှပိုင်အောက်မြန်မာပြည်၏မြို့တော် မော်လမြိုင်မြို့သို့ (ထိုစဉ်က အထက်မြန်မာပြည်တွင် [[ဘကြီးတော်(စစ်ကိုင်းမင်း)]] စိုးစံချိန်ဖြစ်သည်) ရောက်ခဲ့သော ၁၉ရာစု အမေရိကန်ခရီးသွားစာရေးဆရာ Howard Malcom ၏ ခရီးသွားမှတ်တမ်းများအဆိုအရ၊ မော်လမြိုင်တရုတ်အသိုင်းအဝိုင်းမှ အစောပိုင်းအခြေချနေထိုင်သူများသည် တောင်ဝိုင်းတောင်( တရုတ်ဘာသာဖြင့် လင်းဒင် ဟုခေါ်ဆို) နှင့်ပတ်ဝန်းကျင် အနီးတဝိုက်တွင် ဟင်းသီးဟင်းရွက်နှင့် သစ်သီးဝလံများ စိုက်ပျိုးကာ နေထိုင်ကြသည်ဟု ဆိုသည်။<ref>Li, Yi (2016). Revisiting the Nineteenth- century Marketplace, and the Chinese Community in Moulmein. Center for Burma Studies Northern Illinois University. p.73</ref> === တိုးချဲ့ခြင်း === ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်အဖြစ် ပြောင်းလဲတိုးမြှင့်ခဲ့သည်။ ဒီဇင်ဘာ ၁၅ ရက် ၁၉၈၂ တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်၏ နည်းပညာဌါနသည် ကောလိပ်မှ သီးခြားခွဲထွက်ကာ အစိုးရနည်းပညာအင်စတီကျု (ယခု [[နည်းပညာတက္ကသိုလ်(မော်လမြိုင်)|မော်လမြိုင်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]) ကိုတည်ထောင်ခဲ့သည်။ [[ဖိုင်:Tekkatho Phone Naing.jpg|thumb|183x183px|စာရေးဆရာ [[တက္ကသိုလ်ဘုန်းနိုင်|တက္ကသိုလ် ဘုန်းနိုင်]] (၁၉၈၆ - ၈၈ ကာလ မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် ဒုတိယအဓိပတိ) ]] ထို့နောက် ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင် မော်လမြိုင် ဒီဂရီကောလိပ်မှ မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲတိုးမြှင့်ခဲ့သည်။ == ဘာသာရပ်များ သင်ကြားပေးမှု == မြန်မာ့ တက္ကသိုလ်ပညာရေးစနစ်တွင် ဝိဇ္ဇာနှင့် သိပ္ပံတက္ကသိုလ်များအား အတူတကွ ပေါင်းစည်းထားခဲ့ပြီး မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည် ရိုးရိုးဝိဇ္ဇာဘာသာရပ်များနှင့် သိပ္ပံဘာသာ အထူးပြု ကျောင်းသားများအား ဝိဇ္ဇာဘွဲ့များနှင့် မဟာဘွဲ့များကို ချီးမြှင့်ပေးသည်။ ၎င်းသည် ရိုးရိုး Bachelor Of Art(BA) ဝိဇ္ဇာဘွဲနှင့် Bachelor Of Science(BSc) သိပ္ပံဘွဲ့ ရယူနိုင်ရန်အတွက် လေးနှစ် အချိန်ပေးရပြီး BA(Hons) နှင့် BSc(Hons) တို့ကဲ့သို့သော ဂုဏ်ထူးတန်း(Honor Degree)များအတွက်ကိုမူ ၅နှစ်အချိန်ပေးရလေသည်။ဥပဒေပညာအတွက်မှာမူ ၅နှစ် အချိန်ပေးရသည်။ မြန်မာနိုင်ငံတွင် အဏ္ဏဝါသိပ္ပံဘွဲ့ချီးမြှင့်သည့် တက္ကသိုလ်မှာ အနည်းငယ်မျှသာရှိသည့်အနက် မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်သည်လည်း တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်သည်။ ကမ်းခြေနှင့် ဆက်စပ်နေသော မြို့တစ်ခုဖြစ်သည့် မော်လမြိုင်မြို့တောင်ဘက် ၆၀ ကီလိုမီတာအကွာတွင် တက္ကသိုလ်၏အဏ္ဏဝါသပ္ပံလက်တွေ့စမ်းသပ်ရန်နေရာတစ်ခု ထားရှိပြီး မြန်မာနိုင်ငံတွင် ပထမဆုံးသော အမျိုးအစားဖြစ်သည်။ {| class="wikitable" !ဘာသာရပ် !ဘွဲ့ !မဟာဘွဲ့ !ပါရဂူဘွဲ့ |- |မြန်မာစာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | -- |- |အင်္ဂလိပ်စာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |ပထဝီဝင် |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |သမိုင်း |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |ဒဿနိကဗေဒ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |စိတ္တဗေဒ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | |- |အရှေ့တိုင်းပညာ |ဘီအေ(BA) |အမ်အေ(MA) | -- |- |ရုက္ခဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ဓာတုဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) |PhD |- |သင်္ချာ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ရူပဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |သတ္တဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) |အမ်အပ်စီ(MSc) | |- |ဘူမိဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |ဇီဝဓာတုဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |အဏုဇီဝဗေဒ |ဘီအပ်စီ(BSc) | -- | -- |- |ဥပဒေပညာ |LLB |LLM | -- |- |ဥပဒေပညာ |B.A(Law) | -- |- |စီးပွားရေးပညာ | -- | -- | -- |} {| class="wikitable" |- ! ဘာသာရပ် !! ဘွဲ့ !! မဟာဘွဲ့!! ပါရဂူဘွဲ့ |- | မြန်မာစာ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA) || -- |- | အင်္ဂလိပ်စာ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | ပထဝီဝင်|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | သမိုင်း|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | ဒဿနိကဗေဒ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | စိတ္တဗေဒ|| ဘီအေ(BA) || အမ်အေ(MA)|| |- | အရှေ့တိုင်းပညာ|| ဘီအေ(BA)|| အမ်အေ(MA) || -- |- | ရုက္ခဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ဓာတုဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | အဏ္ဏဝါသိပ္ပံ|| ဘီအပ်စီ(BSc) || အမ်အပ်စီ(MSc)|| PhD |- | သင်္ချာ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ရူပဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | သတ္တဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| အမ်အပ်စီ(MSc)|| |- | ဘူမိဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | ဇီဝဓာတုဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | အဏုဇီဝဗေဒ|| ဘီအပ်စီ(BSc)|| -- || -- |- | ဥပဒေပညာ|| LLB|| LLM || -- |- | ဥပဒေပညာ|| B.A(Law) || -- |-- | စီးပွားရေးပညာ|| -- || -- || -- |- == အုပ်ချုပ်ရေး == === အုပ်ချုပ်သူများ စာရင်း (၁၉၅၃ မှ ယခု) === * ဦးတိုးအောင် ([[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|စာရေးဆရာ]] [[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|ကုသ]]) (၁၉၅၃ခု မတ်လ မှ ၁၉၆၃ ခု ဇူလိုင်လ) *ဒေါက်တာဖေသောင်း * ဦးလှရွှေ *ဒေါက်တာ မန်းသက်စံ *[[ဒီ၊ မောင်(ဒေါက်တာ)|ဒေါက်တာမောင်ဒီ]] (၁၉၇၂ မှ ၁၉၇၇) *ဦးခင်မောင်တင့် ([[တက္ကသိုလ်ဘုန်းနိုင်]]) (မော်လမြိုင် ဒီဂရီ ကောလိပ် ကျောင်းအုပ်ကြီး (၁၉၇၇ - ၈၅)၊ မော်လမြိုင် တက္ကသိုလ် ဒုတိယအဓိပတိ (၁၉၈၆ - ၈၈)) *ဦးတင်ဦးလှိုင် * ဦးလှထွန်းအောင် *ဒေါက်တာလှဖေ * ဦးကြည်ဝင်း * ဦးစန်းတင့် *ဦးမြသိန်း(ဒုတိယပါမောက္ခချုပ်ဖြင့် တာဝန်ယူအုပ်ချုပ်) * ဦးစောဟန်ရှိန် *ဦးထွန်းသိန်း *ဒေါက်တာဌေးအောင် *ဒေါက်တာအောင်မြတ်ကျော်စိန် *ဒေါက်တာချစ်စိန်တို့ဖြစ်ကြသည်။ == အဆောက်အဦးများ == [[File:Mawlamyine University - panoramio.jpg|thumb|မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ်၏အဓိကဝင်ပေါက် အဓိပတိလမ်းမ]] === အရေးကြီးသော အဆောက်အဦးများ === * ဗညားဒလ ဆောင် * ရာမည ဆောင် * ဘွဲ့နှင်းသဘင်ခန်းမ * တက္ကသိုလ်ဆေးရုံ *[[စက်စဲ]] အဏ္ဏဝါသိပ္ပံသုတေသနစင်တာ * တက္ကသိုလ်အားကစားခန်းမ *တက္ကသိုလ်စာကြည့်တိုက် - တက္ကသိုလ်စာကြည့်တိုက်အဖြစ် ၃ထပ် စာကြည့်တိုက်အား ဇန်နဝါရီလ ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပြီးစီး၍ စာစောင်၊ စာအုပ်ပေါင်း ၁၀၆, ၀၀၀ ခန့် ထားရှိပြီးဖြစ်သည်။ == အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာဆက်နွယ်မှု == === သုတေသန === *{{flagicon|Thailand}} Songkla မင်းသား တက္ကသိုလ်<ref name=":0">{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://www.myanmar-edu.org/mueucap-university-mawlamyine |access-date=22 January 2019 |archive-date=22 January 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190122195722/https://www.myanmar-edu.org/mueucap-university-mawlamyine }}</ref> *{{flagicon|Philippines}} Silliman တက္ကသိုလ် - မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ် သည် ဖိလစ်ပိုင်နိုင်ငံ Silliman တက္ကသိုလ်နှင့်သုတေသနနှင့်ပညာရေး ချိတ်ဆက်ချက်များ ရှိပြီးဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web|url=http://su.edu.ph/international/linkages-partnerships/|title=Linkages & Partnerships {{!}} Silliman University|website=su.edu.ph|language=en-US|access-date=2017-10-03}}</ref> *{{flagicon|USA}} Scripps Institution of Oceanography<ref name=":0" /> *{{flagicon|Japan}} [[တိုကျိုအဏ္ဏဝါသိပ္ပံနှင့်နည်းပညာတက္ကသိုလ်]] - မော်လမြိုင်တက္ကသိုလ် သည် တိုကျိုအဏ္ဏဝါသိပ္ပံနှင့်နည်းပညာတက္ကသိုလ်နှင့်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ လဲလှယ်သဘောတူညီချက်များ ရှိပြီးဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news|url=https://www.kaiyodai.ac.jp/english/events/general/201603041603.html|title=Myanmar Seminar - Overseas Partner Institutions, University of Yangon and Mawlamyine University -：東京海洋大学|work=Myanmar Seminar - Overseas Partner Institutions, University of Yangon and Mawlamyine University -：東京海洋大学|access-date=2017-10-02|language=ja|accessdate=30 June 2018|archivedate=23 January 2019|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190123011004/https://www.kaiyodai.ac.jp/english/events/general/201603041603.html}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.kaiyodai.ac.jp/english-c/en-international/12379.html|title=Academic Exchange Agreements - 東京海洋大学|website=www.kaiyodai.ac.jp|access-date=2017-10-26|archive-date=26 October 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171026213523/https://www.kaiyodai.ac.jp/english-c/en-international/12379.html}}</ref> *{{flagicon|Austria}} သဘာဝအရင်းအမြစ်နှင့်ဘဝကသိပ္ပံတက္ကသိုလ်, ဗီယင်နာ<ref name=":0" /> === သင်ကြားရေး === * {{flagicon|Australia}} BABSEACLE ဥပဒေရေးရာပညာရေးဖောင်ဒေးရှင်း<ref>[https://www.babseacle.org/articles/mawlamyaing-university-law-departments-ambitious-clinical-legal-education-cle-plan/ Mawlamyine University Law Department’s Ambitious Clinical Legal Education (CLE) Plan - BABSEACLE<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> *{{flagicon|USA}} ကော်နဲလ်တက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> * {{flagicon|Australia}} နယူးဆောက်သ်ဝေးလ်စ် တက္ကသိုလ်<ref>{{Cite web |title=Myanmar — Football United<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |url=http://footballunited.org.au/international/ |access-date=7 July 2018 |archive-date=12 August 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180812175906/http://footballunited.org.au/international/ }}</ref> === ကျောင်းသားဖလှယ်ရေး === *{{flagicon|Japan}} Hosei တက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> *{{flagicon|USA}} အင်ဒီယားနားတက္ကသိုလ် - Purdue တက္ကသိုလ် ဖို့တ်ဝိန်း (IPFW)<ref>[https://fwscii.wordpress.com/2017/04/12/an-evening-conversation-with-mawlamyine-university-students/ An Evening Conversation with Mawlamyine University students – Fort Wayne Sister Cities<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> * {{flagicon|Thailand}} ခွန်ကန် တက္ကသိုလ် (Khon Kaen University)<ref>[https://ird.kku.ac.th/news.php?id=167 มข.ต้อนรับ Mawlamyine University จาก เมียนมา<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> *{{flagicon|Japan}} တိုကျိုတက္ကသိုလ်<ref name=":0" /> == ထင်ရှားသောဆရာဟောင်းများ == * ဦးတိုးအောင် ([[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|စာရေးဆရာ]] [[ကုသ၊ စာရေးဆရာ|ကုသ]]) - [[ခေတ်စမ်းစာပေ]] လှုပ်ရှားသူ *တက္ကသိုလ် [[ဘုန်းနိုင်၊ တက္ကသိုလ်|ဘုန်းနိုင်]] - စာရေးဆရာ *တက္ကသိုလ် [[မင်းမော်၊ တက္ကသိုလ်|မင်းမော်]] - စာရေးဆရာ * ဒေါက်တာ [[ခင်မောင်ညွန့်၊ ဒေါက်တာ|ခင်မောင်ညွန့်]] - စာရေးဆရာ၊ မြန်မာ့သမိုင်း ကော်မရှင် အဖွဲ့ဝင် *ဝဏ္ဏကျော်ထင် [[ဗိုလ်ဗကို]] - စာရေးဆရာ၊ ရုပ်ရှင် သရုပ်ဆောင် *[[မြင့်သန်း၊ ဒေါ် (ကထိက)|ကထိက ဒေါ်မြင့်သန်း]] - မြန်မာစာပေ ပညာရှင် *Mohana Gill - အိန္ဒိယစာရေးဆရာမ<ref>Gill, Mohana (2013). ''Myanmar: Cuisine, Culture, Customs''. Marshall Cavendish International Asia Pte Ltd. p. 41.</ref> *ပါမောက္ခ ဒေါက်တာ [[မင်းတင်မွန်၊ ဒေါက်တာ|မင်းတင်မွန်]] - စာရေးဆရာ *[[နန္ဒာသိန်းဇံ]] - စာရေးဆရာ<ref>{{Cite web |url=http://www2.irrawaddy.com/article.php?art_id=21897 |title=Philosophy Writer Nanda Thein Zan Passes Away<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |access-date=13 June 2018 |archive-date=1 September 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180901215814/http://www2.irrawaddy.com/article.php?art_id=21897 |url-status=dead }}</ref> * ဒေါက်တာ မန်းသက်စံ - စက်မှု ဝန်ကြီးဌာန ဒုတိယဝန်ကြီး *[[အောင်သင်း]] - စာရေးဆရာ၊ တက္ကသိုလ်ကထိက *ဒေါက်တာ [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန|ကိုကိုဦး]] '''-''' နျူကလီးယားဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရှင်၊ [[သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန]] ဝန်ကြီး *ဒေါက်တာ[[ထွန်းတင့်]] '''-''' [[မြန်မာစာအဖွဲ့]] စာတည်းမှူးချုပ်၊ အဆင့်မြင့်ပညာ မြန်မာစာသင်ရိုးညွှန်းတမ်း ကော်မတီဝင် == ထင်ရှားသောကျောင်းသားဟောင်းများ == *[[စိမ့်၊ (ပညာရေး)]] - တက္ကသိုလ်ကထိက၊ စာရေးဆရာမ *အောင်ခင် - မြန်မာ့ဘောလုံးရွှေခေတ် ဂန္ဓဝင်လက်ရွေးစင်တိုက်စစ်မှူး *စိုးမြင့် - မြန်မာ့ဘောလုံးရွှေခေတ်လက်ရွေးစင်နောက်တန်းခံစစ်မှူး *[[တင်ရွှေ၊ ဆရာဝန်|ဆရာဝန် တင်ရွှေ]] - စာရေးဆရာ၊ [[ဆရာဝန်တင်ရွှေ စာပေဆု]] တည်ထောင်သူ *[[တင်စိုး (ပါမောက္ခ)]] - စာရေးဆရာ၊ ရန်ကုန်စီးပွားရေး တက္ကသိုလ် ပါမောက္ခ *[[နိုင်သက်လွင်]] - တိုင်းရင်းသားလူမျိုးများရေးရာ ပြည်ထောင်စု ဝန်ကြီး<ref>[https://www.irrawaddy.com/news/burma/meet-burmas-next-cabinet.html Meet Burma’s Next Cabinet<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် -->]</ref> *[[သက်နိုင်ဝင်း (ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးသက်နိုင်ဝင်း]] - နယ်စပ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စု ဝန်ကြီး *[[ခင်မောင်ညို၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာ ခင်မောင်ညို]] - ဓါတုဗေဒပညာရှင်၊<ref>https://burmese.voanews.com/a/scient-technology/6735149.html</ref> စာရေးဆရာ၊ အယ်ဒီတာ၊ ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် ပါမောက္ခ *ဒေါက်တာ[[မောင်သင်း]] - လူငယ်ရေးရာ ဝန်ကြီးဌာန ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး၊ မန္တလေးတက္ကသိုလ် ပါမောက္ခချုပ်၊ ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်<!-- ဘော့က ထုတ်ပေးသော ခေါင်းစဉ် --> |url=https://pyidaungsu.hluttaw.mm/members/56cd5f393f609e7f488b45f5 |accessdate=7 July 2018 |archivedate=29 May 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180529053957/https://pyidaungsu.hluttaw.mm/members/56cd5f393f609e7f488b45f5 }}</ref> *ဒေါက်တာ [[စင်သီယာမောင်]] - လူမှုကူညီရေးများအတွက် နိုင်ငံတကာမှ ဆုပေါင်း ၁၈ ခုတိုင်အောင် ချီးမြှင့်ခံရသူ *ဒေါက်တာ [[ခင်ဆွေမြင့်]] '''-''' ရန်ကုန်တက္ကသိုလ် မြန်မာစာပါမောက္ခ/ဌာနမှူး၊ [[မြန်မာစာအဖွဲ့]] အဖွဲ့ဝင်၊ နိုင်ငံတော်အဆင့်စာပေပြိုင်ပွဲများစာမူစိစစ်ရေးဥက္ကဋ္ဌ *မာမာခိုင် - ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ် *စောထွန်း - ပြည်သူ့ လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ် *[[ထူးအိမ်သင်]] - တေးရေးတေးဆို *မဟာသီရိသုဓမ္မ [[နန်းနီနီအေး]] - မြန်မာ့သမိုင်းတွင် ပထမဆုံး အမျိုးသမီး ဒုတိယသမ္မတ == ကိုးကား == <references/> {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] [[Category:မော်လမြိုင်မြို့]] [[Category:မွန်ပြည်နယ်ရှိ ကောလိပ်နှင့် တက္ကသိုလ်များ]] tmb45dimtwr77qgfk7ibomqjlf3n5pw 0 14432 1039137 841161 2026-06-17T13:00:46Z Myanmar Cele Club 144517 အကြောင်း 1039137 wikitext text/x-wiki {{unreferenced|date=၁၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၁၈}} [[File:President Suharto, 1993.jpg|thumb|250px|]] '''ဆူဟာတို''' (Suharto) ကို ၁၉၂၁ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၂၇ ရက်နေ့တွင်မွေးဖွားသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ စစ်ရေးနှင့် နိုင်ငံရေးခေါင်းဆောင်တစ်ဦးအနေဖြင့်ထင်ရှားသည်။ သူသည် အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားတော်လှန်ရေးတပ်မတော်တွင် စစ်ခေါင်းဆောင်တစ်ဦးအနေဖြင့် တာဝန် ထမ်းဆောင်ခဲ့သော်လည်း အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ ဒုတိယမြောက် သမ္မတတစ်ဦးအနေဖြင့်သာ လူသိများခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသမ္မတတစ်ဦး အနေဖြင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်မှ ၁၉၉၈ ခုနှစ်အထိ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော်ကြာအုပ်ချုပ်သွားသောကြောင့် သက်တမ်းရှည်သမ္မတတစ်ဦးအနေဖြင့်လည်း လူသိများသည်။[https://www.britannica.com/biography/Suharto <nowiki>[၁]</nowiki>] အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ပထမဦးဆုံးသမ္မတသည် ဆူကာနို (Sukarno) ဖြစ်သည်။ ဆူဟာတိုသည် ဆူကာနိုထံမှ အာဏာကို တပ်အင်အား၊ နိုင်ငံရေးလှည့်ကွက်များဖြင့် သိမ်းယူလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်ဟုဆိုကြသည်။ ဆူဟာတိုသည် နိုင်ငံတော်ကို နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော်ကြာ အုပ်ချုပ်သည့် ကာလအတွင်း အစိုးရစနစ်အသစ်တစ်ခုကို တီထွင်အုပ်ချုပ်သွားခဲ့သည်။ ထိုစနစ်ကို New Order (Orde Baru) ဟုခေါ်သည်။ New Order ဆိုသည်မှာ စစ်တပ်ဗဟိုပြုအစိုးရစနစ်မျိုးဖြစ်ပြီး စစ်အေးခေတ်ကာလအတွင်း နိုင်ငံတော်တည်ငြိမ်ရေးနှင့် ကွန်မြူနစ်ရန်ကာကွယ်ရေး၊ စီးပွားရေး ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးတို့အတွက် အမေရိကန်နိုင်ငံအပါအဝင် အနောက်နိုင်ငံများနှင့် သံတမန်ရေးအရ အဆင်ပြေစွာဆက်ဆံပြီး နိုင်ငံတော်ဖွံ့ဖြိုး တိုးတက်ရေးကိုဆောင်ရွက်သည့်စနစ်မျိုးဖြစ်သည်။ ဆူဟာတို အုပ်ချုပ်သည့် နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော်ကာလအတွင်း အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ စီးပွားရေးနှင့် စက်မှုလက်မှုလုပ်ငန်းများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ သူအုပ်ချုပ်သည့်ကာလအတွင်း နိုင်ငံရေးအရ အင်ဒိုနီးရှားကွန်မြူနစ်များနှင့် တရုတ်-အင်ဒို အနွယ်ပေါင်းများစွာကို သုတ်သင်ဖယ်ရှားခဲ့ရသည်ဟုလည်းဆိုသည်။ ကွန်မြူနစ်ပါတီကို တရားမဝင်ပါတီအဖြစ်ကြေညာခဲ့ပြီး အမြစ်ဖြုတ် ခဲ့ရသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံကို သူအုပ်ချုပ်နေစဉ်ကာလအတွင်း ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် အရှေ့တီမောနိုင်ငံအတွင်းဝင်ရောက်ကာ ဆူပူမှုများ ကိုနှိမ်နင်း ခဲ့သဖြင့် လူပေါင်း ၂ သိန်းကျော်သေဆုံးခဲ့ရသောကြောင့် နာမည်ပျက်ခဲ့ရသည်။ ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ်တွင် အုပ်ချုပ်ရေးအသစ် New Order ၏အုပ်ချုပ်ရေးအဖွဲ့ဝင်များ အကျင့်ပျက်ခြစားမှုများဖြစ်လာသဖြင့် ပြည်သူတို့ မကျေမနပ်ဖြစ်ခဲ့ကြရသည်။ ဆူဟာတိုနှင့်သူ့မိသားစုတို့သည် ဒေါ်လာ ၃၅ ဘီလီယံကို မိသားစုပိုင်အဖြစ် လွှဲပြောင်းချမ်းသာလာမှုနှင့်ပတ်သက်ပြီး အတော်လေးအငြင်းပွားစရာဖြစ်လာခဲ့သည်။ ထိုငွေပမာဏသည် တိုင်းပြည် GDP ၏ ၄ ရာခိုင်နှုန်းဖြစ်သည်။ ထိုငွေအလွဲသုံးစားမှုနှင့်ပတ် သက်ပြီး အစစ်ဆေးခံရန် အမျိုးမျိုးငြင်းပယ်ခဲ့ပြီး တိုင်းပြည်၏ စီးပွားရေး၊ နိုင်ငံရေး၊ လူမှုရေးကျဆင်းနေမှုကိုမျက်ကွယ်ပြုကာ နိုင်ငံရေးမှ အနားယူသွားခဲ့သူလည်းဖြစ်သည်။ ပြည်တွင်းရေးမငြိမ်သက်မှုများဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ်နှောင်းပိုင်းနှင့် သမ္မတရာထူးမှဆင်းပေးလိုက်ရသည့် ၁၉၉၈ ခုနှစ် မေလအထိ နိုင်ငံအတွင်း ဆူပူအုံကြွမှုများ၊ ဆန္ဒပြမှုများ မရပ်မနားပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ သမ္မတရာထူးမှ ဆင်းပေးလိုက်ရပြီးနောက် ဆူဟာတိုသည် လူသူဝေးရာ အရပ်တွင် သွားရောက်နေထိုင်ခဲ့သည်။ လာဘ်စားမှု၊ လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှုများဖြင့် တရားစွဲရန်ပြင်ဆင်တိုင်း ကျန်းမာရေးအကြောင်းပြကာ အမျိုးမျိုးရှောင်လွှဲခဲ့သည်။ Ammesty International အဖွဲ့ကြီး၏ထုတ်ပြန်ချက်အရ ကမ္ဘာ့အကျင့်ပျက်ခြစားသူများစာရင်း၌ ထိပ်ဆုံးတွင် ရှိနေသူ ဖြစ်သည်။ ဂျာဗားနွယ်များကဲ့သို့ ဆူဟာတိုသည် နာမည်တစ်မျိုးတည်းရှိသူဖြစ်သည်။ ဘာသာရေးအရ ဟာဂျီမိုဟာမက်ဆူဟာတို ဟူ၍ခေါ်ကြသည် မှလွဲပြီး အခြားအမည်မရှိပေ။ အင်္ဂလိပ်စာလုံးပေါင်း Suharto ဆိုပြီး ၁၉၄၇ ခုနှစ်လောက်ကတည်းက သုံးစွဲလာကြသည်။ သို့သော်ယခင်က စာလုံးပေါင်း Soeharto ကို နောက်ပိုင်းတွင်သုံးစွဲမှုနည်းသည်။ == ဒုက္ခပင်လယ်ဝေခဲ့ရသည့်ကလေးဘဝ == ဆူဟာတိုကို အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံအား ဒတ်ချ်တို့ကိုလိုနီအဖြစ် အုပ်ချုပ်ချိန်တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ Godean ဆိုသည့် ရွာကြီးတစ်ရွာ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သော Kemusuk ရွာငယ်လေးတစ်ခုတွင်မွေးဖွားခဲ့သည်။ ထိုရွာသည် ဂျာဗားကျွန်းစုအလယ်ပိုင်း Yogyakarta မှ အနောက်ဘက် ၁၅ ကီလိုမီတာခန့်ကွာဝေးသည်။ ကလေးဘဝကို လွန်စွာပင်ပန်းဆင်းရဲစွာဖြင့် ဖြတ်သန်းခဲ့ရပြီး ဒတ်ချ်စစ်ကျောင်းသို့ တက်ခွင့် ရခဲ့သည်။ ဆူဟာတိုသည် စစ်သားဘဝတွင် အစိုးရအမျိုးမျိုးကိုသစ္စာခံခဲ့သူဖြစ်သည်။ ဒတ်ချ်တို့စိုးမိုးချိန်၊ ဂျပန်တို့သိမ်းပိုက်ချိန်မှသည် အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားတော်လှန်ရေးဝါဒီများအထိ အဆင့်ဆင့်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ရသည်။ ဘဝနှင့် ဇွဲတို့ကြောင့် နောက်ဆုံးတွင် အမျိုးသားရေး ဝါဒီများကိုအောင်နိုင်သူဖြစ်ခဲ့ရသည်။ ဆူဟာတိုအကြောင်း အနောက်တိုင်းသမိုင်းဆရာတို့မှတ် တမ်းတင်ခဲ့ကြသည်မှာ ထူးဆန်းအံ့ဩဖွယ်များဖြင့်ပြည့်နေတော့သည်။ နိုင်ငံရေး စိတ်ဝင်စားသည်၊ အဆင့်အတန်းမြင့်သည်ဆိုသော လုပ်ကြံဖန်တီးထားသည့် ဇာတ်လမ်းနှင့် မှတ်တမ်းများကိုလည်းတွေ့ရသည်။ ဆူဟာတို၏ ဘခင်မှာ ကာတိုဆူဒီရိုဖြစ်ပြီး၊ မိခင်မှာ ဆူခီရာဟုခေါ်သည် ဂျာဗားလူမျိုးနွယ်မှဆင်းသက်လာသူများဖြစ်ပြီး တောင်သူလယ်သမားများ ဖြစ်ကြသည်။ လျှပ်စစ်မီးမရှိ၊ ရေသွယ်စနစ်မရှိသည့် ကျေးလက်မှမွေးဖွားလာသူဖြစ်သည်။ သူ့မိခင် ဆူခီရာသည် ဘခင်၏ ဒုတိယအိမ်ထောင် ဖြစ်ပြီး ဆူဟာတိုသည် ပထမအိမ်ထောင်မှ ဖွားမြင်ခဲ့သူတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ဆူဟာတို၏မိဘများသည် နှစ်ဦးသဘောတူလမ်းခွဲခဲ့ကြပြီး နောက်အိမ်ထောင်အသီးသီးပြုခဲ့ကြသည်။ အိမ်ထောင်ကွဲသွားကြသည့် မိဘနှစ်ပါးနှင့် ဆူဟာတိုသည် ခပ်တန်းတန်းသာနေထိုင်ခဲ့သည်။ ဟိုအိမ် သည်အိမ်နေပြီး ဘဝကိုကြီးပြင်းခဲ့ရသည်ဟုလည်းဆိုကြသည်။ သူ့အဒေါ်က သူ့ကိုမွေးစားခဲ့ ပြီး အဒေါ်၏ခင်ပွန်းဖြစ်သူက ဘခင်ရင်းသဖွယ်ပြုစုစောင့်ရှောက်ခဲ့သည်။ ဦးလေးနှင့် အဒေါ်တို့ကျောင်းထားပေးသဖြင့် Wuryantoro တွင် မူလတန်းစတင်နေခဲ့ရသည်။ အမျိုးသားဝါဒီချင်းယှဉ်ကြည့်လျှင် ဆူဟာတိုသည် ယခင်သမ္မတဟောင်း ဆူကာနိုထက် ကိုလိုနီဆန့်ကျင်ရေးစိတ်နှင့် နိုင်ငံရေးအမြင် နည်းလှသည်ဟုဆိုကြသည်။ ဆူကာနိုလောက်လည်း ပညာမတတ်၊ အသိုင်းအဝိုင်းလည်းကောင်းလှသည်မဟုတ်ပေ။ ထိုခေတ်က ဒတ်ချ်စာမတတ်လျှင် လူရာမသွင်းကြပေ။ ဆူဟာတိုသည် စစ်ကျောင်းရောက်သည့် ၁၉၄၀ ပြည့်နှစ်လောက်တွင်မှ ဒတ်ချ်စာကိုရင်းနှီးခဲ့ရခြင်းဖြစ်သည်။ == လွတ်လပ်ရေးအကြို စစ်သားဘဝ == သူစစ်ကျောင်းမတတ်မီက ဘဏ်တွင်စာရေးလေးဘဝဖြင့် ဝင်လုပ်ခဲ့သေးသည်။ အလုပ်ဖြုတ်ခံရပြီး အလုပ်လက်မဲ့ ဘဝရောက်ခဲ့ရသည်။ သို့ဖြင့် ၁၉၄၀ ပြည့်နှစ်တွင် KNIL (Royal Netherlands East Indies Army) တပ်သို့ဝင်ပြီး Yogyakarta အနီးရှိ Bombong တွင်ဖွင့်လှစ်ထားသော ဒတ်ချ်စစ်ကျောင်းသို့တက်ခွင့်ရခဲ့သည်။ ဒတ်ချ်စစ်ကျောင်းသို့ ဝင်ခွင့်ရရေးမှာ ဒေသခံများအနေဖြင့် လွယ်ကူလှသည်မဟုတ်ပေ။ သို့သော် ဒုတိယကမ္ဘာစစ်မီးအခြေအနေကြောင့် ဂျပန်တို့ရန်မှကာကွယ်ရန် စစ်တပ်ကိုတိုးချဲ့ဖွဲ့စည်းလိုသဖြင့် ဒေသခံများကို လက်ခံခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ စစ်ကျောင်းမှဆင်းပြီးနောက် ဆူဟာတိုသည် အမှတ် ၁၃ တပ်ရင်းတွင်ခန့်အပ်ခြင်းခံရသည်။ စစ်သားအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ချိန်တွင် ထူးထူးခြားခြားစွမ်းဆောင်မှုများလည်း မရှိခဲ့ပေ။ အစောင့်အဖြစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ရင်း ငှက်ဖျား မကြာကြာထကာ၊ ဆေးရုံမကြာမကြာတက်ရပြီး တပ်ကြပ်အဖြစ် ရာထူးတိုးပေးခြင်းခံလိုက်ရသည်။ ဂျပန်တို့ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံကို ကျူးကျော်ဝင်ရောက်ပြီး ဒတ်ချ်တို့လက်နက်ချရချိန်တွင် ဆူဟာတိုသည် ဒတ်ချ်စစ်တပ်မှထွက်ပြေးပြီး ဂျပန်တို့လက်အောက်တွင်ခိုလှုံခဲ့သည်။ ဂျပန်တို့ဖွဲ့စည်းပေးထားသည့် ပုလိပ်တပ်ဖွဲ့တွင် ဒုရဲအုပ်အဖြစ် စတင်အမှုထမ်းခဲ့သည်။ ရဲတပ်ဖွဲ့တွင် အမှုထမ်းစဉ် သမ္မတဘဝကို အထောက်အကူပြုမည့် စုံစမ်းထောက်လှမ်းရေး အတတ်များကို အတွေ့အကြုံရခဲ့သည်။ သူက "ရာဇဝတ်မှုကို နိုင်ငံရေးအမှုအဖြစ် အသွင်ပြောင်းလိုက်ရင် ပြဿနာအကြီးကြီးက သေးသေးလေးဖြစ်သွားတတ်တယ်" ဟုမကြာခဏပြောတတ်သည်။ ဆူဟာတိုသည် ပုလိပ်အဖွဲ့မှ ဂျပန်တို့ဖွဲ့စည်းထားသည့် စစ်တပ်သို့ပြောင်းရွှေ့အမှုထမ်းပြန်သည်။ အဖတိုင်းပြည်အတွက်ကာကွယ်သူများဟု အမည်ပေးထားသည့် အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားတပ် (Peta) တွင် သူက အရာရှိအဖြစ် ဝင်ရောက်အမှုထမ်းသည်။ ဂျပန်တို့သင်တန်းခေါ်ပေးသည့် တပ်စုမှူးသင်တန်းတွင် သူသည်ဂျပန်တို့၏ ဘူရှီဒိုစိတ်ဓာတ်နှင့် နဖူးတွေ့ဒူးတွေ့ရင်ဆိုင်လိုက်ရသည်။ ဂျပန်တို့၏ စစ်သူရဲကောင်းဝါဒကို ရိုက်သွင်းခြင်းခံလိုက်ရသည်ဖြစ်သောကြောင့် ဆူဟာတိုသည် ဒတ်ချ်ဆန့်ကျင်ရေးနှင့် အမျိုးသားရေးအတွေးအမြင်များ ဝင်လာခဲ့သည်။ ဂျပန်စစ်ဝါဒီတို့ကို လွန်စွာအထင်ကြီးလေးစားစိတ်များလည်းဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဆူဟာတို၏ အတွေးအမြင်များကိုပြန်လည်သုံးသပ်ရလျှင် အမျိုးသားရေးဝါဒနှင့် စစ်ရေးအယူအဆများပေါင်းစပ်ကာ လွှမ်းမိုးခြင်းခံထားရသူဟူ၍ ရှုမြင်သုံးသပ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဂျပန်တို့သည် ဆူဟာတို အပါအဝင် အရာရှိများကို ဂျပန်စစ်ရေးအယူအဆနှင့် စစ်ပညာများသင်ပေးခဲ့သည်။ ထိုအထဲတွင် ဆာမူရိုင်းဓားသိုင်းလည်းတစ်ခုအပါအဝင် ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်ရာ ဆူဟာတိုသည် ကြမ်းသော်လည်း ရက်စက်ယုတ်မာသည့်အလုပ်ကိုမလုပ်ဟူသည့် ဂျပန့်စိတ်ဓာတ်များ အပြည့်ဝင်နေသူ ဟူ၍လည်းဆိုကြသည်။ == အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားတော်လှန်ရေးတွင်ဝင်ရောက်ဆင်နွှဲခြင်း == ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အပြီး မဟာမိတ်တို့ထံ ဂျပန်တို့ လက်နက်ချချိန်တွင် အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားရေးဝါဒီများဖြစ်ကြသည့် ဆူကာနိုနှင့် မိုဟာမက် ဟတ္တားတို့သည် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံလုံး၀လွတ်လပ်ရေးအတွက် အမျိုးသားတော်လှန်ရေး တစ်ရပ်အနေဖြင့် တိုက်ပွဲဝင်ကြသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံထူ ထောင်ခြင်းကို နိုင်ငံတကာကလည်း သဘောတူ အသိအမှတ်ပြုကြသည်။ လက်နက်ကိုင်တော်လှန်ရေးနှင့် လှုပ်ရှားမှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပြီးနောက်မှ ဆူဟာတိုက တော်လှန်ရေးသမားများနှင့်ပူးပေါင်းခဲ့ပြီး သူ့အစွမ်းအစများကို ပြခွင့်ရသွားလေသည်။ == ဂျပန်တို့ကိုတိုက်ထုတ်ခြင်း == ဂျပန်တို့လက်နက်ချချိန်တွင် ဆူဟာတိုသည် ဂျပန်ဖွဲ့စည်းပေးထားသည့်တပ်တွင် ရာထူးကြီးကြီးဖြင့်ကျန်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် အမျိုးသားရေးဝါဒီတို့သည် ဒတ်ချ်တို့နှင့်ပူးပေါင်းပြီး အင်ဒိုနီးရှားကျွန်းစုများ ပြန်လည်ရရှိရေးအတွက် တိုက်ပွဲဝင်နေချိန်လည်းဖြစ်သည်။ ဆူဟာတိုသည် တော်လှန်ရေးအစိုးရ၏ ပြည်သူ့လုံခြုံရေးအဖွဲ့ (BKR) တွင် ဒုတိယတာဝန်ခံ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဆူဟာတိုသည် Yogyakarta တစ်ဝိုက်တွင် ကြွင်းကျန်နေသည့် ဂျပန်တို့ကို ဦးဆောင်တိုက်ကာ အမြစ်ဖြုတ်ပေးမည်ဟု ကြွေးကြော်ခဲ့သည်။ သူသမ္မတဖြစ်ချိန်တွင် ထိုကာလများနှင့်ပတ်သက်ပြီး ချဲ့ကားပြောဆိုမှုများရှိခဲ့သည်ဆိုစေ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံလွတ်မြောက်ရေးအတွက် ပေါင်းစည်း ညီညွတ်စွာဖြင့် တိုက်ပွဲဝင်နိုင်ရန် ဦးဆောင်မှုပေးနိုင်ခဲ့သည်ကတော့ အမှန်ဖြစ်သည်။ လွတ်မြောက်ရေးစစ်ပွဲအစတွင် ဆူဟာတိုသည် ပြည်တွင်းရှိ လွတ်မြောက်ရေးတိုက်ပွဲဝင်နေသူများကို တပ်ရင်း ၁ လက်အောက်ခံ၊ အမှတ် ၁၀ တပ်ရင်းအဖြစ် စုစည်းလိုက်နိုင်သည်။ ဆူဟာတိုလည်း ချက်ချင်း အမှတ် ၁၀ တပ်ရင်း၏ ဗိုလ်မှူးရာထူးတိုးပေးခြင်းခံလိုက်ရသည်။ == အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံလွတ်လပ်ရေးရခြင်း == ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ဖြစ်သည့်အခါတွင် ဒတ်ချ်တို့စိုးမိုးထားသည့် အရှေ့အိန္ဒိယကျွန်းစုကို ဂျပန်တို့ကသိမ်းပိုက်လိုက်သည်။ ၁၉၄၅ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁၇ ရက်နေ့တွင် ဆူကာနိုနှင့် ဟတ္တားခေါင်းဆောင်သည့် တော်လှန်ရေးသမားများသည် အစိုးရဖွဲ့ကာ လွတ်လပ်သော အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ အဖြစ်ကြေညာလိုက်သည်။ သို့ဖြင့် ၁၉၄၅ ခုနှစ်မှ ၁၉၄၇ ခုနှစ်အတွင်း ဒတ်ချ်တို့နှင့် တော်လှန်ရေးသမားများ လွတ်လပ်ရေးအတွက် ယှဉ်ပြိုင်တိုက်ပွဲများ ဖြစ်ပွားခဲ့ရသည်။ နောက်ဆုံးကုလသမ္ဂ၏ ဝင်ရောက်ဖြန်ဖြေပေးမှုဖြင့် ၁၉၄၉ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၂၇ ရက်နေ့တွင် အင်ဒိုနီးရှားပြည်ထောင်စုအမည်ဖြင့် လုံး၀လွတ်လပ်ရေးရရှိခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစပြီး ဆူကာနိုသည်သမ္မတ၊ ဟတ္တားသည် ဝန်ကြီးချုပ်အဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ၁၉၆၅ ခုနှစ်တွင် ကွန်မြူနစ်တိုက်ခိုက်ချေမှုန်းရေးတိုက်ပွဲများ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ လက်ရှိသမ္မတဆူကာနိုသည် အာဏာသိမ်းရန် ကြိုးပမ်းသည့် ကွန်မြူနစ်များကိုနှိမ်နင်းခဲ့သဖြင့် ထောင်ပေါင်းများစွာသော ကွန်မြူနစ်များ အသတ်ခံရသည်ဟု စွပ်စွဲခံရသည်။ ၁၉၆၆ ခုနှစ် မတ်လ ၁၂ ရက်နေ့တွင် ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဆူဟာတိုကို တပ်မတော်အကြီးအကဲအဖြစ် တင်မြှောက်လိုက်ပြီး သမ္မတဆူကာနိုသည် အုပ်ချုပ်ရေးအာဏာများကို ဆူဟာတိုသို့ လွှဲပေးလိုက်သည်။ သို့သော်သမ္မတအဖြစ် ဆက်လက်ခံယူနေဆဲဖြစ်သည်။ ၁၉၆၈ ခုနှစ် မတ်လ ၂၇ ရက်နေ့တွင် အတိုင်ပင်ခံလွှတ်တော်က ဗိုလ်ချုပ်ကြီးဆူဟာတိုအား သမ္မတအဖြစ်တရားဝင် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခဲ့သည်။ သမ္မတသက်တမ်း ၅ နှစ်အပြီး ၁၉၇၅ ခုနှစ် မတ်လတွင် ဆူဟာတိုသည် သမ္မတအဖြစ် ပြန်လည်ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခြင်းခံရသည်။ == ဆူဟာတိုနှင့်ခေတ်သစ် New Order အစိုးရ (၁၉၆၇-၁၉၉၈) == ဆူဟာတိုသည် ၁၉၆၈ ခုနှစ် မတ်လတွင် သမ္မတရာထူးကိုလက်ခံသည်။ ဆူကာနိုက တိုင်းပြည်အတွင်းအရေးပေါ် အခြေအနေကြောင့် ဆူဟာတိုသို့ အာဏာကိုလွှဲပြောင်းပေးလိုက်ရသည်ဟုဆိုသည်။ ဆူဟာတိုကလည်း သူတီထွင်ထားသည့် New Order (Orde Baru) ဖြင့် တိုင်းပြည်ကိုအုပ်ချုပ်သွားသည်။ ဆူဟာတိုသည် ကွန်မြူနစ်ပါတီကိုဖျက်သိမ်းလိုက်ပြီး တရားမဝင်အသင်းအဖြစ်ကြေညာကာ ပါလီမန်မှ ထုတ်ပယ်လိုက်သည်။ အလုပ်သမားသမဂ္ဂကိုလည်း ဖျက်သိမ်းကာ စာနယ်ဇင်းဆင်ဆာအဖွဲ့ကို ပြဋ္ဌာန်းဖွဲ့စည်းလိုက်သည်။ ဆူဟာတိုသည်နိုင်ငံတကာနှင့် အထူးသဖြင့် အနောက်နိုင်ငံများနှင့် အဆင်ပြေစွာဆက်ဆံရန်ကြိုးပမ်းခဲ့သော်လည်း ကွန်မြူနစ်များကို နှိမ်နင်းရာတွင် တာဝန်ရှိသည်ဆိုပြီး တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံနှင့် အဆင်မပြေဖြစ်ခဲ့ရသည်။ ဆူဟာတိုသည် သူ့နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဖြစ်သူ အဒမ်မာလစ်ကို အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ ကုလသမဂ္ဂနှင့် မလေးရှားနိုင်ငံများသို့စေလွှတ်ပြီး တစ်ဘက်နှင့်တစ်ဘက် မပြေလည်မှုများကို ညှိနှိုင်း ဖြေရှင်းစေခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်း အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသည် အာဆီယံအဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံလည်းဖြစ်လာသည်။ == New Order အုပ်ချုပ်ရေးစနစ်သစ်ပြဋ္ဌာန်းခြင်း == ၁၉၆၇ ခုနှစ် မတ်လ ၁၂ ရက်နေ့တွင် ဆူကာနိုသည် လုံးဝအာဏာကိုစွန့်လွှတ်လိုက်သည်။ ဆူဟာတိုအာဏာရလာသည့်အချိန်မှစပြီး နိုင်ငံတော်၏အာဏာကို ချုပ်ကိုင်စီမံမှုများစတင်ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထောက်လှမ်းရေးဌာနနှစ်ခုကို ထူထောင်ခဲ့သည်။ အစိုးရကို အကျပ်ကိုင် ခြိမ်းခြောက်မှုရန်မှကာကွယ်ရန်ဖြစ်သည်ဟုဆိုသည်။ နိုင်ငံတော်တွင်အရေးပါသည့် ဆန်စပါးလုပ်ငန်းများကိုလည်း အဖွဲ့ဖြင့်ထိန်းချုပ်ကန့်သတ် လိုက်သည်။ အစိုးရသစ်ကိုဖွဲ့စည်းလိုက်ပြီး ထိုအစိုးရသစ်သည် တပ်မတော်၏စီမံအုပ်ချုပ်မှုအောက်တွင်ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။ ဆူဟာတိုအနေဖြင့် စစ်တပ်နှင့် အရပ်ဘက် နှစ်မျိုးစလုံးအတွက် တာဝန်အရှိဆုံးပုဂ္ဂိုလ်တစ်ယောက်ဘဝကို ခံယူလိုက်လေသည်။ နိုင်ငံစီးပွားရေးတိုးတက်ရန် သမ္မတဆူဟာတိုသည် အမေရိကန်နိုင်ငံတွင် ပညာသင်ကြားခဲ့သည့် စီးပွားရေးသမားများနှင့် ပူးပေါင်းလိုက်သည်။ ထိုစီးပွားရေးသမားများကို အမည်ပြောင်အနေဖြင့် "ဘာကလေမာဖီးယား" ဟုခေါ်ကြသည်။ ထိုအဖွဲ့ဖြင့် စီးပွားရေးပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများကို ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ဆူဟာတိုအာဏာရနေစဉ်ကာလတွင် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံကို နိုင်ငံခြားရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုဗဟိုနိုင်ငံဖြစ်လာစေရန် ကြံဆောင်ခဲ့သည်။ စီးပွားရေးပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုအနေဖြင့် လုပ်ငန်းများကို ပုဂ္ဂလိကပိုင်အဖြစ်လွှဲပြောင်းပေးခြင်း၊ စက်မှုလုပ်ငန်းများကို တိုးမြှင့် ဆောင်ရွက်ခြင်းများလုပ်ခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ကမ္ဘာ့ဘဏ်၊ အနောက်ဘဏ်များအပြင် မိတ်ဆွေနိုင်ငံများထံမှ အထောက်အကူယူပြီး နိုင်ငံငွေကြေးအင်အား တောင့်တင်းရန်ကြံဆောင်ခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသည် New Order အုပ်ချုပ်မှုအောက်တွင် ပြန်လှန်ဝံ့သူမရှိသလောက်ဖြစ်နေသည်။ စစ်တပ်နှင့် ဂိုလ်ခါပါတီမှ စီးပွားရေး၊ နိုင်ငံရေးတို့တွင်ကြီးစိုးထားရုံမျှမက နိုင်ငံအစိုးရကိုပါ ချုပ်ကိုင်ထားနိုင်သည့်အနေအထားတွင်ဖြစ်နေသည်။ သို့ဖြင့် လာဘ်ပေးလာဘ်ယူမှုများ၊ တရားမဝင်လုပ်ငန်းများ၊ အာဏာအလွဲသုံးစားလုပ်မှုများထွန်းကားလာသည်။ နိုင်ငံခြားမှထောက်ပံ့ငွေများ၊ လုပ်ငန်းရှင်များထံမှငွေများသည် ဆူဟာတိုမိသားစုတည်ထောင်ထားသည့် ယာယာဆန်ဖောင်ဒေးရှင်းသို့ အလုံးအရင်းနှင့်လှိမ့်ဝင်သွားသည်။ == နိုင်ငံရေးသန့်စင်ပွဲ == ဆူဟာတို၏ကက်ဘိနက်တွင် အင်ဒိုနီးရှားကွန်မြူနစ်ပါတီကို ၁၉၆၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၆ ရက်နေ့၌ ဖယ်ရှားပြီးနောက် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတွင် လူပေါင်း သုံးသိန်းမှ တစ်သန်းခန့်အထိ သတ်ဖြတ်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ ထိုလူသတ်ပွဲတွင် စစ်ဘက်နှင့် အရပ်ဘက် အထက်တန်းလွှာများ၊ ဘာသာရေးခေါင်းဆောင်များ ပါဝင်ပတ်သက်မှုရှိနေသည်ဟုဆိုသည်။ ကွန်မြူနစ်သူပုန်အများစုမှာ အင်ဒိုနီးရှား နိုင်ငံသားများဖြစ်ကြသည်။ စီအိုင်အေက သံသယရှိဖွယ်ကွန်မြူနစ် တစ်သောင်းစာရင်းကို အင်ဒိုနီးရှားလက်ဝယ်သို့အပ်နှံခဲ့သည်။ သုတ်သင်ပွဲ ကြီးအပြီးတွင်မှ စီအိုင်အေက ၂၀ ရာစုတွင် ကွန်မြူနစ်များကို သုတ်သင်ခြေမှုန်းရာ၌ အရက်စက် အယုတ်မာဆုံးဟူ၍ ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ == နိုင်ငံရေးသဘောထားကွဲလွဲမှုများ == ၁၉၇၀ ပြည့်နှစ်တွင် နိုင်ငံတော်အတွင်း အကျင့်ပျက်ခြစားမှုများ သောင်းကျန်းလွန်းသောကြောင့် ကျောင်းသားများက ရုတ်တရက်ထပြီး ဆန္ဒပြကြသည်။ ဆူဟာတိုသည် ဆန္ဒပြပွဲများကို တားမြစ်ရုံမျှမက လှုပ်ရှားသူများကို လိုက်လံနှိမ်နင်းခဲ့သည်။ စုံစမ်းရေးအဖွဲ့ တစ်ဖွဲ့ကို လည်းဖွဲ့ပေးပြီး စစ်ဆေးစေခဲ့သည်။ စုံစမ်းရေးကော်မရှင်ကလည်း သာမန်သာစစ်ဆေးပြီး ခေါင်းရှောင်နေခဲ့သည်။ ဆူဟာတို လက်ထက်တွင် အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် တရားဥပဒေစိုးမိုးရေးကို အဆင့်မြှင့်လုပ်ဆောင်ပြီး ငြိမ်ဝပ်ပိပြားရေးကို ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ဝန်ထမ်းများ၏ အကျင့်စာရိတ္တ ပျက်စီးမှုကို မထိန်းသိမ်းနိုင်ခဲ့ပေ။ ဆူဟာတိုလက်ထက်တွင် ဒီမိုကရေစီအကြောင်းပြောသော်လည်း အပေါ်ယံရွှေမှုံကြဲ အတွင်းနောက်ချေးခံဆိုသည့် သဘောဖြစ်နေသည်။ သူ့လက်ထက်တွင် ရွေးချယ်တင်မြှောက်ပုံစနစ်များကို ပြုပြင်ပြောင်းလဲခဲ့သော်လည်း ရွေးချယ်တင်မြှောက်ပွဲသို့ ဝင်ခွင့်ရှိသည့်ပါတီမှာ သုံးပါတီ သာဖြစ်သည်။ ဆူဟာတို၏ပါတီဖြစ်သည့် ဂိုလ်ခါ (Golkar) ပါတီ၊ အစ္စလမ်မစ်ယူနိုက်တက်ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ (PPP) နှင့် အင်ဒိုနီးရှား ဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ (PDI) တို့ဖြစ်သည်။ ထိုသုံးပါတီမှလွဲပြီး ယခင်ကပါတီများအားလုံးကို PPP နှင့် PDI ပါတီများနှင့် ပူးပေါင်းစေခဲ့သည်။ လွှတ်တော်တွင် အမတ်နေရာ ၁၀၀ ကိုချန်ထားစေခဲ့ကာ စစ်တပ်အတွက်စီစဉ်ပေးခဲ့သည်။ ဤသို့ဖြင့် သူ့ကို ကန့်ကွက်သူမရှိ ထောက်ခံမဲ အများဆုံးဖြင့် ၁၉၇၃၊ ၁၉၇၈၊ ၁၉၈၃၊ ၁၉၈၈၊ ၁၉၉၃၊ ၁၉၉၈ ခုနှစ်များတွင် သမ္မတအဖြစ် အကြိမ်ကြိမ်ပြန်လည်ရွေးကောက်တင်မြှောက် ခံခဲ့ရသည်။ ၁၉၈၀ ပြည့်နှစ် မေလ ၅ ရက်နေ့တွင် Petisi 50 (Petition of Fifty) ဆိုသည့် အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နိုင်ငံရေးအရ ပိုမိုလွတ်လပ်ခွင့်ပေးရန် တောင်းဆိုခဲ့ကြသည်။ ထိုအဖွဲ့တွင် တပ်မတော်သားဟောင်းများ၊ နိုင်ငံရေးသမားများ၊ ပညာရှင်များနှင့် ကျောင်းသားများပါဝင်သည်။ အင်ဒိုနီးရှား မီဒီယာက ထိုသတင်းကိုမပေါက်ကြားရန် အမျိုးမျိုးထိန်းချုပ်ခဲ့သည်။ ထိုအုပ်စုက ဆူဟာတိုသည် တစ်ပါတီစနစ်ဖြင့် နိုင်ငံတော်ကို အုပ်ချုပ်ရန် စီစဉ်နေခြင်းဖြစ်ကြောင်း၊ သူတို့ခေါင်းဆောင်များကို ချုပ်နှောင်ထားကြောင်း စွပ်စွဲခဲ့ကြသည်။ == ဆူဟာတိုနှင့်အကျင့်ပျက်ပြဿနာ == ဆူဟာတိုကို International Transparency အဖွဲ့က လွန်ခဲ့သည့် နှစ်ပေါင်း ၂၀ အတွင်း ကမ္ဘာ့အကျင့်ပျက်ခြစားမှုကို အကျူးလွန်ဆုံးပုဂ္ဂိုလ်အဖြစ် စွပ်စွဲခဲ့သည်။ သူ့မိသားစုအနေဖြင့်လာဘ်စားသည့်ငွေပမာဏသည် ဒေါ်လာ ၁၅ ဘီလီယံမှ ၃၅ ဘီလီယံခန့်အထိရှိမည်ဟု ဆိုကြသည်။ အာရှတိုက်တွင် ဆူဟာတိုကဲ့သို့ လက်စောင်းထက်သည့်ပုဂ္ဂိုလ်မှာ ဖိလစ်ပိုင် သမ္မတဟောင်း ဖာဒီနန်မားကို့စ်ဖြစ်ပြီး ဒေါ်လာ ၅ ဘီလီယံမှ ၁၀ ဘီလီယံအတွင်းရှိသည်။ ဆူဟာတိုလာဘ်စားသည့်စနစ်ကို သူ့နိုင်ငံရေးပြိုင်ဘက် များက KKN ဟုခေါ်သည်။ KKN ဆိုသည်မှာ အင်ဒိုနီးရှား ဘာသာစကားဖြင့် "အကျင့်ပျက်ခြင်း၊ လိမ်လည်ခြင်း၊ ငါ့ဆွေငါ့အမျိုးကောင်းစားရေးစနစ်ကျင့်သုံးခြင်း" ကိုဆိုလိုသည်။ သူ့ လက်ထက်တွင် နိုင်ငံတော်မှ လုပ်ငန်းမှန်သမျှကို လက်ဝါးကြီးအုပ်ချုပ်ကိုင်ထားပြီး လာဘ်ပေးမှ လုပ်ငန်းပေးသည့်စနစ်ဖြင့် သူငယ်ချင်းမိတ်ဆွေများနှင့် မိသားစုကသာ ခြယ်လှယ်သွားခဲ့ကြသည်။ ထိုသို့လာဘ်ပေးရာတွင် ဆူဟာတိုထူထောင်ထားသည့် မိသားစုကြီးကြပ်ကွပ်ကဲနေသည့် ဖောင်ဒေးရှင်းအသီးသီး သို့ အမည်အမျိုးမျိုးဖြင့် ငွေများထည့်ဝင်လှူဒါန်းပေးရခြင်းဖြစ်သည်။ ဆူဟာတိုက ထိုဖောင်ဒေးရှင်းများကို ယာယာဆန် Yayasans ဟုအမည်ပေးထားသည်။ ထိုဖောင်ဒေးရှင်းများသည် ဆေးရုံများ၊ ကျောင်းများဆောက်လုပ်ရန် အမည်တပ်ထားသော်လည်း လှူသမျှ ငွေအားလုံးသည် ဆူဟာတို၏ ဘဏ်စာရင်းအတွင်းသို့သာ ရောက်ရှိသွားခဲ့ရသည်။ သို့သော် ဆူဟာတိုအုပ်ချုပ်သွားသည့် ၃၂ နှစ်တာ ကာလ အတွင်း ထိုဆေးရုံများကျောင်းများသည် မဝရေစာဖြင့် ရပ်တည်သွားခဲ့ရသည်။ နိုင်ငံတော်နှင့် ဒေသခံချမ်းသာသူများအထောက်အပံ့ဖြင့်သာ ထိုကျောင်းများ ဆေးရုံများရပ်တည်နေကြရသဖြင့် လှူဒါန်းခဲ့သမျှငွေတွေ ဘယ်ရောက်ကုန်ပြီလဲဟုမေးစရာဖြစ်လာသည်။ ဖောင်ဒေးရှင်းများသည် အလှူငွေအများအပြားရသော်လည်း အမည်သာခံပြီး ဆူဟာတိုအတွက် ငွေရှာပေးရသည့် ဌာနများသဖွယ် ဖြစ်လာသည်။ ကုမ္ပဏီအများစုသည် လုပ်ငန်းခွင်အတွက် ဆူဟာတိုနှင့်အပေါင်းအသင်းများကို ကပ်ထားကြရသည်။ ဆူဟာတို သို့မဟုတ် သူ့သားသမီးတစ်ဦးဦးနှင့်သိလျှင် ကြိုးနီစနစ်မရှိ၊ ဗြူရိုကရေစီမရှိပေ။ ဆူဟာတိုအပေါင်းအသင်းများကလည်း ကြားခံပွဲစားတွေဖြစ်လာပြီး ပွဲခပေးလျှင် ဆက်သွယ်ပေးသည့်စနစ်ကို ပြောင်ပြောင်တင်းတင်းကျင့်သုံးလာကြသည်။ ဂျာကာတာမြို့ရေပေးဝေရေးစနစ်အတွက် ၁၉၉၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပုဂ္ဂလိကလက်သို့လွှဲပြောင်းပေးလိုက်သည်။ ထိုလုပ်ငန်းရရန် လေလံပွဲတွင် ဆူဟာတို၏သား ဆီဂစ်ကို ရှယ်ယာ ၂၀ ရာခိုင်နှုန်း ပေးသည့်ကုမ္ပဏီက လုပ်ငန်းရရှိသွားသည်။ ကန်ထရိုက်စာချုပ်အတွက် လက်မှတ်ရေးထိုးပွဲတွင် ဆီဂစ်ကိုယ်တိုင်ပါဝင်ပြီး လက်မှတ်ရေး ထိုးပေးခဲ့သည်။ ဆူဟာတိုနှင့်သူ့အပေါင်းအဖော်များသည် ကုမ္ပဏီကြီးများထံမှ လုပ်ငန်းအကြောင်းပြပြီး ယဉ်ယဉ်လေးငွေထုတ်စားနေကြသည်။ ဥပမာတစ်ခုမှာ နိုင်ငံတော်ပိုင်ရေနံကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် ပါတာမီနာ (Partamina) ကိစ္စကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင် TimeAsia သတင်းစာကြီးမှ ဖော်ထုတ်လိုက်သည့် အတွက် ပြဿနာအတော်လေးတက်ခဲ့ရသည်။ ပါတာမီနာသည် နိုင်ငံခြားသို့ရေနံများပို့သည့်လုပ်ငန်းကို ဆူဟာတိုမိသားစုပိုင်ကုမ္ပဏီနှစ်ခုမှတစ်ဆင့် လုပ်ကိုင်ဆောင်ရွက်ပေးရသည်။ ထို့ကြောင့် နိုင်ငံခြားသို့ရေနံတစ်စည်ရောင်းတိုင်း ၃၅ ဆင့်ကို ဆူဟာတိုမိသားစုပိုင် ကုမ္ပဏီများသို့ ပေးသွင်းရသည် ဆိုသောပြဿနာကို သတင်းစာများတွင်ဖော်ပြမှ ပြည်သူတို့သိခဲ့ကြရသည်။ ထို့ပြင် စားသောက်ဆိုင်လုပ်ငန်း၊ အာမခံလုပ်ငန်းများတွင်လည်း ဆူဟာတိုပိုင်ကုမ္ပဏီများက အမျိုးမျိုးလက်ဝါးကြီးအုပ်ကာ ထိန်းချုပ်ထားခဲ့ကြသည်။ ပါတာမီနာကို ၁၉၉၉ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လတွင် စာရင်းစစ်ဝင် သည့်အခါ ၆.၁ ဘီလီယံမှာ ပျောက်ဆုံးနေကြောင်းတွေ့လိုက်ရသည်။ ဆူဟာတိုနှင့်ဆက်နွှယ်နေသည့်ကုမ္ပဏီများသည် လုပ်ငန်းအကြောင်းပြပြီး အင်ဒိုနီးရှားဘဏ်များမှ ငွေချေးထားကြသည်။ ထိုကုမ္ပဏီများသည် တစ်ပြားတစ်ချပ်မှ ကြွေးပြန်မဆပ်ခဲ့ကြပေ။ ဆူဟာတိုမပြုတ်မီကာလ ၁၉၉၈ ခုနှစ်အထိ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတွင် နိုင်ငံတကာစာရင်းအင်း "စံ"၊ ဘဏ်လုပ်ငန်း "စံ" များသည်ကွယ်ပျောက်ကုန်သည်ဟုဆိုရမည်ဖြစ်သည်။ ၁၉၇၇ ခုနှစ်တွင် အပေါင်းအသင်းရောင်းရင်းများ၏ လွန်ကျူးလာမှုကို ထိန်းသိမ်းသည့်အနေဖြင့် လာဘ်ပေးလာဘ်ယူစနစ်ပပျောက်ရေးကို စစ်ဆင်ရေးအသွင် ဆူဟာတိုကိုယ်တိုင် ဆောင်ရွက်ခဲ့သေးသည်။ သို့သော် ဖမ်းသည့်ငါးမမိဘဲ အစိုးရဝန်ထမ်း နှစ်ပဲခြောက်ပြား လာဘ်စားထားသူများ "ဆန်ခိုး မမိ၊ ဖွဲခိုးမိ" ဘဝသို့ရောက်ကုန်ကြရသည်။ ဆူဟာတိုသည် ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေါ်လာ ၅၇၁ သန်း အလွဲသုံးစားလုပ်မှုဖြင့် တရားအစွဲခံရသည်။ အမှုအားလုံးမှာ ယာယာဆန် ဖောင်ဒေးရှင်းကိုအကြောင်းပြပြီး လိမ်လည်အလွဲသုံးစားမှုများဖြစ်သည်။ သို့သော် ဆူဟာတို၏ဆရာဝန်က တရားရုံးတွင် လာရောက်အစစ်ခံရန် ကျန်းမာရေးမကောင်းဟု အကြောင်းပြပြီး ကန့်ကွက်ထားခဲ့သည်။ ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် နောက်ထပ်တစ်ကြိမ် တရားရုံးကဆင့်ခေါ်သော်လည်း ဦးနှောက်ရောဂါဖြင့်အကြောင်းပြပြီး ငြင်းပယ်ခဲ့ပြန်သည်။ == ထွက်တော်မူနန်းကခွာပြီ == ၁၉၆၆ ခုနှစ်တွင် အင်ဒိုနီးရှားဒီမိုကရက်တစ်ပါတီ (PDI) သည် နိုင်ငံခေါင်းဆောင်မှုမှခွဲထွက်ပြီး ဆူဟာတိုကိုစိန်ခေါ် တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ PDI သည် အစိုးရတရားဝင်ပါတီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ယခင်သမ္မတဟောင်း ဆူကာနို၏သမီးဖြစ်သူ မီဂါဝတီဆူကာနိုပူထရီသည် PDI ပါတီ၏ ဥက္ကဋ္ဌဖြစ်လာပြီး ဆူဟာတိုကို ပြစ်တင်ဝေဖန်မှု ပိုများလာခဲ့သည်။ ဆူဟာတိုသည် တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် လက်ထောက်ပါလီမန်ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ ဆူရာဒီနှင့်အုပ်စုဖွဲ့ကာ ပူးပေါင်းလိုက်သည်။ ဆူရာဒီကလည်း မီဂါဝတီကို ပါတီကွန်ဂရက်တွင် ထုတ်ဖယ်ပစ်မည်ဟုကြေညာလိုက်သည်။ မီဂါဝတီက သူမကိုထုတ်ဖယ်လျှင် ထောက်ခံသူများနှင့် ဆန္ဒပြမည်ဟုတုံ့ပြန်လိုက်သည်။ ဆူရာဒီက မီဂါဝတီကိုထုတ်ဖယ်လိုက်ရာ အင်ဒိုနီးရှား တစ်နိုင်ငံလုံး ဆူပုအုံကြွမှုများဖြစ်ပွားခဲ့ရသည်။ လမ်းမများပေါ်တွင် လုံခြုံရေးတပ်များနှင့် ဆန္ဒပြသူများ ထိပ်တိုက်ရင်ဆိုင်ရမှုများ အကြိမ်ကြိမ်ဖြစ်ခဲ့ သည်။ မီဂါဝတီအား PDI ဌာနချုပ်ကိုပြန်အပ်မည်၊ နောက်ထပ်ဆန္ဒပြမှုများမပြုရန် စစ်တပ်ကညှိနှိုင်းလာသည်။ မီဂါဝတီကိုထောက်ခံသူများ ကလည်း "ဒီမိုကရေစီဟစ်တိုင်" ဆိုပြီး ဆူဟာတိုကိုပုတ်ခတ်ဝေဖန် တိုက်ခိုက်မှုများ ကျယ်ပြန့်စွာပြုလုပ်လာကြသည်။ ပြဿနာသည်တစ်လခန့် လိပ်ခဲတည်းလည်းဖြစ်နေခဲ့သည်။ စစ်တပ်နှင့်ရဲတို့အပြင် ဆူရာဒီကိုထောက်ခံသူများသည် စိတ်မရှည်နိုင်သဖြင့် နောက်ဆုံး PDI ဌာနချုပ်ကိုဝင်စီးပြီး မီဂါဝတီကိုထောက်ခံသူများအားရိုက်နှက်ကာ လူပေါင်း ၂၀၀ ခန့်ကိုဖမ်းဆီးသွားလေသည်။ အဖျက်သမား များဆန့်ကျင်ရေးနှင့် အမုန်းတရားများမပြန့်ပွားရေးကို ကာကွယ်သည့်ဥပဒေဖြင့် ထိုသို့ဖမ်းဆီးအရေးယူရသည်ဟုဆိုသည်။ ထိုနေ့သည် "အနက်ရောင်စနေနေ့" ဟုလူသိများသည်။ New Order အစိုးရကို ဒီမိုကရေစီထောက်ခံသူများက ဆန့်ကျင်ပွဲတွင် ဖြိုခွင်းမှုကို စတင်လိုက်ခြင်း လည်းဖြစ်သည်။ ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင်ဖြစ်ပွားသည့် အာရှငွေကြေးဆိုင်ရာအကျပ်အတည်းသည် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ စီးပွားရေး၊ လူမှုရေးတို့ကိုသာမက ဆူဟာတို၏ အစိုးရကိုပါ ရိုက်ခတ်စေခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားငွေကြေး ရူပီရားတန်ဖိုးသည်လည်း ဇောက်ထိုးကျသွားခဲ့ရသည်။ ဆူဟာတိုကိုလည်း နိုင်ငံတကာ ငွေချေးထားသည့်အဖွဲ့အစည်းများဖြစ်သည့် ကမ္ဘာ့ဘဏ်၊ IMF နှင့် အမေရိကန်နိုင်ငံတို့သည် နှစ်ရှည်ချေးငွေများနှင့် ပြည်တွင်းစီးပွားရေး ခိုင်မာစေရန် ထောက်ပံ့ထားသည့်ငွေကြေးများကို စစ်ဆေးလာတော့သည်။ IMF မှချေးငွေများကို ဆူဟာတိုအစိုးရအနေဖြင့် ပြန်ပေးရန် တောင်းဆိုလာသောကြောင့် ပြည်တွင်းလူမှုဝန်ထမ်းထောက်ပံ့ငွေများ၊ အမတော်ကြေးထောက်ပံ့ငွေများကို ဖြတ်တောက်လျော့ချမှုများပြုလာခဲ့ရ သည်။ ၁၉၉၈ ခုနှစ်အစပိုင်းတွင် ခြိုးခြံခြွေတာမှုများ မည်မျှလုပ်နေသည်ဆိုစေ အခြေအနေကိုမထိန်းနိုင်ပဲဖြစ်လာသည်။ လောင်စာဆီဈေး၊ ဆန်ဈေးတို့တစ်ရိတ်ရိတ်တက်လာသည်။ ပညာရေးအတွက်ထောက်ပံရန် ငွေကြေးများဖြတ်တောက်မှုကြောင့်လည်း အခြေအနေက ပိုပြီး တင်းမာလာသည်။ အစိုးရဌာနတိုင်းတွင် လာဘ်ပေးလာဘ်ယူမှုများကလည်း ကြောက်စရာကောင်းလောက်အောင် ဆိုးရွားလာသည်။ ဆူဟာတိုသည် ၁၉၉၈ ခုနှစ်တွင် သတ္တမအကြိမ်မြောက် သမ္မတအဖြစ် ပြန်လည်အရွေးခံရန် ရှေ့တန်းပြန်ထွက်လာသည်။ နိုင်ငံအတွင်း ပြဿနာပေါင်းသောင်းခြောက်ထောင်ကြောင့် ခေါင်းဆောင်တစ်ယောက်ထွက်ပေါ်ရန် လိုအပ်နေချိန်ဖြစ်သည်။ ဆူဟာတိုကို ကုန်လွန်ခဲ့သည့်နှစ်များက ဆန့်ကျင်မှုမရှိ အကြိမ်ကြိမ်အဖန်ဖန်ပြန်ရွေးချယ်ခဲ့ကြသော်လည်း ယခုတစ်ကြိမ်တွင် သူ့ပါတီဖြစ်သည့် ဂိုခါလ်ပါတီနှင့်သာမက တပ်မတော်နှင့်ပါ သဘောထားကွဲလွဲမှုများဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၉၈ ခုနှစ် မေလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် အစိုးရအဖွဲ့မှနုတ်ထွက် ပေးလိုက်ရပြီး သူ့နေရာတွင် ယူဆွတ်ဟာဘီဘီကို အစားထိုးခဲ့သည်။ == သမ္မတဘဝမှအကျကာလ == သမ္မတရာထူးမှကျပြီးသည့်နောက်တွင် ဆူဟာတိုအကြောင်းသည် မီဒီယာတွင် စိတ်ဝင်စားစရာဖြစ်လာသည်။ ရာထူးကျပြီး ဂျာကာတာမြို့ လယ်ရှိ မိသားစုပိုင်အိမ်ကြီးတွင် ပြောင်းရွှေ့နေထိုင်ခဲ့သည်။ မိတ်ဆွေအပေါင်းအသင်း အချွေအရံတို့လည်း နည်းပါးသွားခဲ့သည်။ ငွေကြေး ဆိုင်ရာကိစ္စရပ်များနှင့်ပတ်သက်ပြီး ဘက်ပေါင်းစုံမှတရားစွဲမှုများနှင့် ရင်ဆိုင်လာခဲ့ရသည်။ သို့သော်ကျန်းမာရေးအကြောင်းပြပြီး ရှောင်လွှဲ နေခဲ့သည်ချည်းဖြစ်သည်။ ၁၉၉၉ ခုနှစ် မေလတွင် TimeAsia မှခန့်မှန်းချက်အရ ဆူဟာတိုမိသားစုပိုင်ဆိုင်မှုသည် ရှယ်ယာများ၊ ဖက်စပ်လုပ်ငန်းများ၊ အိမ်ခြံမြေများ၊ လက်ဝတ်ရတနာများအပါအဝင် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၁၅ ဘီလီယံခန့်ရှိမည်ဟုဆိုသည်။ ထိုငွေများအနက် ဩစတီးယန်းဘဏ်တွင် အတိုးရရန် အပ်ငွေသည် ဒေါ်လာ ၉ ဘီလီယံဖြစ်သည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတွင် မိသားစုပိုင်ခြံမြေသည် ၃၆၀၀၀ ကီလိုမီတာဖြစ်သည်။ အခြားပိုင်ဆိုင်မှုအနေဖြင့် မီတာတစ်သိန်းပတ်လည်ရုံးအဆောက်အအုံမှာ ဂျာကာတာတွင်ရှိပြီး၊ အရှေ့တီမော၏မြေ ၄၀ ရာခိုင်နှုန်းတို့ကိုပါ ပိုင်ဆိုင်ကြောင်းသိရသည်။ ဆူဟာတိုအုပ်စိုးသည့် ၃၂ နှစ်တာကာလတွင် မိသားစုလက်အတွင်းသို့ရောက်ရှိသွားသည့် ငွေကြေးပမာဏစုစုပေါင်းမှာ အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၇၃ ဘီလီယံခန့်ရှိမည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် မေလ ၂၉ ရက်နေ့တွင် ဆူဟာတိုသည် နေအိမ်အကျယ်ချုပ်ဖြင့်ထိန်းသိမ်းခံလိုက်ရပြီး သူအာဏာရစဉ်က လာဘ်စားမှု များနှင့်ပတ်သက်ပြီး စစ်ဆေးခြင်းခံခဲ့ရသည်။ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် ဇူလိုင်လတွင် အစိုးရသို့ လှူဒါန်းသော ဒေါ်လာ ၅၇၁ သန်းကို၊ သူတည်ထောင်သည့် ဖောင်ဒေးရှင်းများကိုအကြောင်းပြပြီး မိသားစုကိုယ်ကျိုးအတွက် ရင်းနှီးမြှုပ်နှံမှုလုပ်ငန်းများလုပ်ကာ ကိုယ်ကျိုးရှာခဲ့သည်ဟု စွပ်စွဲခဲ့သည်။ စက်တင်ဘာလတွင် ရုံးတင်စစ်ဆေးရန်ဖြစ်သော်လည်း တရားရုံးကခန့်အပ်သည့်ဆရာဝန်များက တရားရုံးတွင် လာရောက်အစစ်ခံရန် ကျန်းမာရေး မကောင်းဟု အကြောင်းပြကြသည်။ ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် နောက်တစ်ကြိမ် တရားရုံးတွင်စစ်ဆေးရန်ဆင့်ခေါ်သော်လည်း အမျိုးအမည်မသိ ဦးနှောက်ရောဂါတစ်ခုကိုအကြောင်းပြပြီး ငြင်းဆန်ခဲ့ပြန်သည်။ == ဘဝနေဝင်ချိန် == သမ္မတဘဝမှ အနားယူပြီးနောက်ပိုင်းတွင် ဆူဟာတိုသည် လေဖြတ်ခြင်း၊ နှလုံးရောဂါ၊ အူရောဂါများဖြင့် ဆေးရုံအကြိမ်ကြိမ်တက်ခဲ့ရသည်။ ထိုရောဂါများကြောင့်ပင် အစိုးရမှ တရားရုံးတွင် အကြိမ်ကြိမ်အစစ်ခံရန် ဆင့်ခေါ်သော်လည်း သူ့ရှေ့နေများက ငြင်းဆန်ခွင့်ရရှိခဲ့ကြခြင်းဖြစ်သည်။ ၂၀၀၈ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၄ ရက်နေ့တွင် အသက် ၈၆ နှစ်ရှိပြီဖြစ်သော ဆူဟာတိုကို ဂျာကာတာရှိ ပါတာမီနာဆေးရုံသို့ အရေးပေါ် တင်လိုက်ရသည်။ နှလုံးအားနည်းပြီး ခြေလက်နှင့်ဝမ်းဗိုက်များဖောယောင်လာသည်။ ကျောက်ကပ်ကလည်း ကောင်းကောင်းအလုပ် မလုပ် တော့ပေ။ ၂၀၀၈ ဇန်နဝါရီလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ရောဂါအခြေအနေပိုဆိုးလာခဲ့သည်။ ၂၀၀၈ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၇ ရက်နေ့ နေ့လယ် ၁ နာရီ ၁၀ မိနစ် တွင် ကွယ်လွန်သွားခဲ့သည်။ သူ့အလောင်းကို လေယာဉ်ဖြင့် ၂၈ ရက်နေ့တွင်သယ်ဆောင်သွားပြီး ဂီရီဘန်ဂန်သင်္ချိုင်းရှိ အသက် ၄၉ နှစ် အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားသော ဇနီးဖြစ်သူ၏ဂူဘေးတွင် ပြင်ဆင်ထားခဲ့သည်။ သူ့ဈာပနကို နိုင်ငံတော်ဈာပနအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးပြီး စစ်ဘက်၊ အရပ်ဘက်မှပုဂ္ဂိုလ်များ လာရောက်ဂါရဝပြုကြသည်။ လက်ရှိသမ္မတ ယူဒိုယိုနိုကိုယ်တိုင် ကြီးမှူးကျင်းပပေးသည့် ဈာပနပွဲလည်းဖြစ်သည်။ {{Lifetime|၁၉၂၁|၂၀၀၈}} [[Category:အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ]] [[Category:ကမ္ဘာ့ နိုင်ငံရေး ခေါင်းဆောင်များ]] k1g85zqoef2ij339jmimyicr9z4aniw 0 14599 1039136 739942 2026-06-17T12:57:41Z Myanmar Cele Club 144517 1039136 wikitext text/x-wiki ==ဘဝအကြောင်း== ြုပြင်ပြောင်းလဲရေးကို လိုလားသော မစ္စတာမီခါယီး ဂေါ်ဘာချော့ ဆိုဗီယက် ကွန်မြူ နစ်ပါတီ ခေါင်းဆောင်ဖြစ်လာသည့် ၁၉၈၅ ခုနှစ်မှစ၍ စီးပွားရေး၊ လူမှုရေးနှင့် နိုင်ငံရေး မူဝါဒတွင် အရှိန်အဟုန်မြင့်မားသော အောက်ခြေသိမ်း ပြောင်းလဲမှုများကို လည်းကောင်း၊ ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ထူးခြားသော ပြောင်းလဲမှုများကိုလည်းကောင်း၊ သတင်းပြန်ကြားရေးနှင့် နှီးနှော ဖလှယ်ရေးဆိုင်ရာ လွတ်လပ်ခွင့် ပိုမိုတိုးတက်ရရှိစေမည့် အလားအလာတို့ကို လည်းကောင်း ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စုတွင် တွေ့မြင်လာရသည်။ စုံစမ်းထောက်လှမ်းဖော်ထုတ် တင်ပြသည့် စာနယ်ဇင်းလုပ်ငန်းမျိုးသည်ပင် တရားဝင် လူထုဆက်သွယ်ရေးနယ်ပယ်၌ ပေါ်ထွန်းလာသည်။ ပိတ်ပင်ခံထားရသော စာအုပ်များနှင့် ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ ထုတ်ဝေဖြန့်ချိခွင့်ရရှိလာသည်။ လူမှုပြဿနာများ၊ အစိုးရအာဏာပိုင်များ၏ ဖောက်ပြန်မှုများနှင့် ဆိုဗီယက် သမိုင်းဆိုင်ရာ အငြင်းပွားဖွယ် အချက်အလက်များ စသည်တို့ကို ယခင်က မတင်ပြစကောင်းသော အကြောင်းရပ်များအဖြစ် မှတ်ယူထားခဲ့ရာမှ ယခုအခါ ယင်းအကြာင်းရပ်များကို ပွင့်ပွင့်လင်းလင်း တင်ပြနိုင်ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့ပင် အများပြည်သူတို့၏ဆွေးနွေးတင်ပြပိုင်ခွင့် နယ်ပယ်ကို တိုးချဲ့ပေးသည်။ အစိုးရကို အတိုက်အခံပြုသူတို့နှင့် စပ်လျဉ်း၍ သိသိသာသာပျော့ပျောင်းသော သဘောထားမျိုးထားရှိလာသည်ကို တွေ့ရသည်။ ယင်းလမ်းကြောင်းကို ရုရှားဝေါဟာရ ဂလပ်စနော့ ဟူသော အခေါ်အဝေါ်ဖြင့် နိုင်ငံတကာတွင် လူသိများလာသည်။ များသောအားဖြင့် ဂလပ်စနော့ကို ပွင့်လင်းမှုဟု ဘာသာပြန်ဆိုသည်။ <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၃)</ref> == ကိုးကား == <references/> [[Category:ဆိုဗီယက် ပြည်ထောင်စု]][[Category:ကမ္ဘာ့သမိုင်း]] jr8e1a92ywhk57s87fdunyakfdqiuc9 1039271 1039136 2026-06-17T20:43:25Z NDG 133983 [[Special:Contributions/Myanmar Cele Club|Myanmar Cele Club]] ([[User talk:Myanmar Cele Club|ဆွေးနွေး]]) ၏ တည်းဖြတ်မူ [[Special:Diff/1039136|1039136]] ကို ပြန်လည်ပယ်ဖျက်လိုက်သည်: Unexplained removal, please explain your edit 1039271 wikitext text/x-wiki ==ဂလပ်စနော့ (glasnost)== ပြုပြင်ပြောင်းလဲရေးကို လိုလားသော မစ္စတာမီခါယီး ဂေါ်ဘာချော့ ဆိုဗီယက် ကွန်မြူ နစ်ပါတီ ခေါင်းဆောင်ဖြစ်လာသည့် ၁၉၈၅ ခုနှစ်မှစ၍ စီးပွားရေး၊ လူမှုရေးနှင့် နိုင်ငံရေး မူဝါဒတွင် အရှိန်အဟုန်မြင့်မားသော အောက်ခြေသိမ်း ပြောင်းလဲမှုများကို လည်းကောင်း၊ ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ထူးခြားသော ပြောင်းလဲမှုများကိုလည်းကောင်း၊ သတင်းပြန်ကြားရေးနှင့် နှီးနှော ဖလှယ်ရေးဆိုင်ရာ လွတ်လပ်ခွင့် ပိုမိုတိုးတက်ရရှိစေမည့် အလားအလာတို့ကို လည်းကောင်း ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စုတွင် တွေ့မြင်လာရသည်။ စုံစမ်းထောက်လှမ်းဖော်ထုတ် တင်ပြသည့် စာနယ်ဇင်းလုပ်ငန်းမျိုးသည်ပင် တရားဝင် လူထုဆက်သွယ်ရေးနယ်ပယ်၌ ပေါ်ထွန်းလာသည်။ ပိတ်ပင်ခံထားရသော စာအုပ်များနှင့် ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ ထုတ်ဝေဖြန့်ချိခွင့်ရရှိလာသည်။ လူမှုပြဿနာများ၊ အစိုးရအာဏာပိုင်များ၏ ဖောက်ပြန်မှုများနှင့် ဆိုဗီယက် သမိုင်းဆိုင်ရာ အငြင်းပွားဖွယ် အချက်အလက်များ စသည်တို့ကို ယခင်က မတင်ပြစကောင်းသော အကြောင်းရပ်များအဖြစ် မှတ်ယူထားခဲ့ရာမှ ယခုအခါ ယင်းအကြာင်းရပ်များကို ပွင့်ပွင့်လင်းလင်း တင်ပြနိုင်ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့ပင် အများပြည်သူတို့၏ဆွေးနွေးတင်ပြပိုင်ခွင့် နယ်ပယ်ကို တိုးချဲ့ပေးသည်။ အစိုးရကို အတိုက်အခံပြုသူတို့နှင့် စပ်လျဉ်း၍ သိသိသာသာပျော့ပျောင်းသော သဘောထားမျိုးထားရှိလာသည်ကို တွေ့ရသည်။ ယင်းလမ်းကြောင်းကို ရုရှားဝေါဟာရ ဂလပ်စနော့ ဟူသော အခေါ်အဝေါ်ဖြင့် နိုင်ငံတကာတွင် လူသိများလာသည်။ များသောအားဖြင့် ဂလပ်စနော့ကို ပွင့်လင်းမှုဟု ဘာသာပြန်ဆိုသည်။ ဂလပ်စနော့အတွက် အဓိက တွန်းအားပေးသော အကြောင်းတရားကား စီးပွားရေးမအောင်မြင်မှုများ၊ ဗျူရိုကရေစီစနစ်၏ ချွတ်ယွင်းမှုများ၊ ကိုယ်ကျိုးရှာမှုများနှင့် လူမှုရေးမတရားမှုများကို ဖော်ထုတ်ရန်ပယ်ရက် စထရွိုင်ကာ (ပြန်လည်တည်ဆောက်ရေး) မူဝါဒတစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအရ လိုအပ်နေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုဗီယက် ကွန်မြူနစ်ပါတီ အထွေထွေအတွင်းရေးမှူးအဖြစ် ၁၉၈၅ ခုနှစ် မတ်လတွင် မစ္စတာဂေါ်ဘာချော့ရွေးချယ် တင်မြှောက်ခံရပြီး မရှေးမနှောင်းမှာပင် ပယ်ရက်စထရွိုင်ကာကို စတင်ချမှတ် အကောင်အထည်ဖော်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ချွတ်ယွင်းချက်များကို ဖော်ထုတ်ရန် စည်းဝါးကိုက်၍ ဇာတ်တိုက်ထားသော လူထုဆက်သွယ်ရေး လှုပ်ရှားမှုတို့ကို အတိတ်ကာလက အသုံးပြုဖူးသည်မှန်းသော်လည်း ဂလပ်စနော့အရ ဟန်သစ်ဖြင့်မိမိကိုယ် ကို ဝေဖန်ရေးပြုလုပ်သော အတိုင်းအတာသည်လည်းကောင်း၊ လူထုဆက်သွယ်ရေးနယ်ပယ်တို့ကိုအပ်နှင်းလာသည့် ရှေ့ဆောင်တင်ပြနိုင်ခွင့် အတိုင်းအတာသည်လည်းကောင်း မကြုံစဖူးထူးကဲ လှပေသည်။ အရည်အချင်းညံ့ဖျင်းမှုနှင့် မတရားမှုတို့ကို အရေးယူခြင်းနှင့် သာမန်ပြည်သူတို့အား ထင်ရာစိုင်း၍ အပြစ်ဒဏ်မပေးနိုင်အောင်ကာ ကွယ်စောင့်ရှောက်ပေးခြင်းတို့ကို အထင်အရှား တွေ့မြင်ရသည်နှင့်အမျှ ဂလပ်စနော့၏ ရည်ရွယ်ချက်သည် အများပြည်သူ၏ ယုံကြည်ကိုးစာသူ ပိုမိုရရှိရန်နှင့် တစ်ဦးချင်းတီထွင် ဖန်တီးမှုကို မြှင့်တင်အားပေးနိုင်ရန် ဖြစ်သည်ဟုဆိုနိုင်ပေ သည်။ ဆိုဗီယက် ပြည်ထောင်စု မြောက်ပိုင်းရှိ မြစ်များ မြောက်ဘက်သို့ စီးဆင်းနေရာမှ တောင်ဘက်သို့ စီးဆင်းအောင် ပြောင်းလဲရေး စီမံကိန်းတစ်ရပ်ကို ၁၉၈၅ ခုနှစ်က ချမှတ်သောအခါ ဆိုဗီယက် စာရေးဆရာ တစ်စုသည် စတင်ဦးဆောင်၍ ကန့်ကွက်ခဲ့ကြသည်။ စီးပွားရေးနှင့် ပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးကို မည်သို့ဩဇာ သတ်ရောက်မည်ကို ရေရေရာရာမသိပါဘဲ မိုက်မဲစွာ ချမှတ်သော စီမံကိန်းအဖြစ် တိုက်ခိုက်ခဲ့ကြသည်။ ဒေသစွဲ စိတ်ဓာတ်ဖြင့် ဝေဖန်သည်ဟုဆိုကာ အခြားအဖွဲ့အစည်း ၁၈၅ ဖွဲ့က ဆန့်ကျင်သဖြင့် ယင်းစာရေး ဆရာတို့၏ ဝေဖန်ရေးမှာ အရေးနိမ့်မည့်အခြေသို့ ဆိုက်ခဲ့သည်။ ထိုအခါ လူထုဆက် သွယ်ရေး နယ်ပယ်များ မှတစ်ဆင့် ယင်းကိစ္စကို ပွင့်ပွင့်လင်းလင်း ဆွေးနွေးကြသည်။ တစ်စတစ်စနှင့် အင်အားချိန်ခွင်လျှာ ပြောင်းလဲ့သွားခဲ့သည်။ ဆိုဗီယက်ပြည်သူအများစုက ယင်းစီမံ ကိန်းကို ကန့်ကွက်လာတော့သည်။ အစိုးရအဖွဲ့သည် ၁၉၈၆-ခုနှစ်မှ ၁၉၉ဝ ပြည့်နှစ်အတွင်း အကောင်အထည်ဖော်ရမည့် ယင်းစီမံကိန်းကို ရပ်ဆိုင်လိုက်ရန်၁၉၈၆ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ယင်းဖြစ်ရပ်သည် ဂလပ်စနော့၏ ဗွေဆော်ဦး အကျိုးကျေးဇူးတစ်ရပ် အဖြစ် ဆိုစမှတ်ပြုကြသည်။ ပြည်သူ့ဆန္ဒ၏ ပထမဦးဆုံးသော အဓိကအောင်ပွဲပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုဗီယက် သတင်းစာ ဝယ်ယူဖတ်ရှုသူ အရေအတွက်သည် ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်နေ့ နောက်ပိုင်းတွင် သန်း ၂ဝ နီးပါးတိုးပွားလာသည်။ လူထုဆက်သွယ်ရေးနယ်ပယ်တွင် ယခင်က မဖော်ပြ စကောင်းဟုသတ်မှတ်ထားသော အကြောင်းရပ်များကို တိုးချဲ့ဖော်ပြလာ၍ ပြည်သူတို့ စိတ်ဝင်စားမှုမြင့်မား လာခြင်းဖြစ်ပေသည်။ မျက်မှောက်ကာလတွင် ကြုံနေရသောပြဿနာများကို ဖော်ထုတ်ဆွေးနွေးရာတွင် ကွယ်လွန်သူသမ္မတ ဗရက်ဇညက်၏ လက်ထက် (၁၉၆၄-၈၂ ခုနှစ်) ကာလအတွင်းက ခေါင်းဆောင်ပိုင်းကို တရားဝင်ပြစ်တင် ဝေဖန်လာသည်ကိုတွေ့ရသည်။ ထို့ပြင် ဆိုဗီယက်သမိုင်းဆိုင်ရာ အငြင်းပွားဖွယ် အချက်အလက်များကို ပိုမို၍ ဝေဖန် ဆန်းစစ် စူးစမ်းလာသည်ကို ပါတီနှင့် နိုင်ငံတော် ခေါင်းဆောင်ပိုင်း၏ ကြေညာချက်များတွင်အထင်အရှား တွေ့လာရသည်။ လီနင်၏ နိုင်ငံရေးကျမ်းရိုးနှင့်တကွ ၁၉၂ဝ ပြည့်လွန်နှစ်များအတွင်း လီနင်၏ သမဝါယမ စီမံကိန်းနှင့် စီးပွားရေး မူဝါဒသစ် အကောင်အထည်ဖော်မှုအပိုင်းတို့ကို လည်းကောင်း၊ စတာလင် အာဏာစွဲကိုင် လာခြင်းနှင့် အမိန့်ပေးစနစ်ဖြင့် စီမံခန့်ခွဲသည့် ယန္တရားကို တည်ဆောက်လာခြင်းတို့ကိုလည်း ကောင်း၊ ခရူးရှက်၏စီးပွားရေး လူမှုရေးပြုပြင်ပြောင်းလဲရေး ကြိုးပမ်းမှုကိုလည်းကောင်း၊ ဗရက်ဇညက်လက်ထက်တိုးတက်မှုမရှိဘဲ တုံ့ဆိုင်းနေခဲ့ခြင်းကိုလည်းကောင်း ဝေဖန်ဆန်းစစ်လာသည်။ မစ္စတာ ဂေါ်ဘာချော့ ကိုယ်တိုင် ၁၉၈၇ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလဆန်းက အောက်တိုဘာတော်လှန်ရေး နှစ် ၇ဝ ပြည့်အထိမ်းအမှတ် အခမ်းအနားတွင် ဆိုဗီယက် သမိုင်းကို ပြန်လည်ဆန်းစစ်ဝေဖန် သော မိန့်ခွန်းကို ပြောကြားခဲ့ပေသည်။ ကွန်မြူနစ်ပါတီအာဘော်သတင်းစာ ပရောဗဒါကလည်း ထိပ်တန်းပုဂ္ဂိုလ်များအား ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ၊ ဂုဏ်ထူးဆောင်တံဆိပ်များ ချီးမြှင့်သည့်စနစ်ကို ပြုပြင်ရန် ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဧပြီလ တွင် တိုက်တွန်းရေးသားခဲသည်။ ဗရက်ဇညက်သည် ဒုတိယကမ္ဘာစစ်အတွင်းက တပ်မတော်၌ ပူးတွဲခန့်ထားသော နိုင်ငံရေး တာဝန်ခံသာ ဖြစ်ခဲ့ပြီး စစ်မတိုက်ခဲ့ရပါဘဲလျက် ရဲစွမ်းသတ္တိ ဆိုင်ရာ သူရဲကောင်းမှတ်တမ်းဝင် ရွှေတံဆိပ်လေးခုကို မိမိကိုယ် မိမိအပ်နှင်းခဲ့ကြောင်း၊ ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် အာဏာရလာသောအခါ လူသိမများလှသော ပင်လယ်နက်ကမ်းခြေ တစ်နေရာက တိုက်ပွဲနှင့် ဆက်စပ်၍ မိမိကိုယ်ကို သိဒ္ဓိတင်ခဲ့ကြောင်းဖြင့် ဝေဖန်ရေးသားခဲ့သည်။ စတာလင်ဂရက် တိုက်ပွဲကဲ့သို့သော တိုက်ပွဲကြီးများ၌ ဦးဆောင်ခဲ့သည့် တပ်မှူးကြီးများနျင့်သာ ထိုက်တန်သည့် အောင်စစ်သည် ဂုဏ်ထူးဆောင် ဘွဲ့ကဲ့သို့သော စစ်ရေးဆိုင်ရာ အမြင့်ဆုံးဆုကို ဗရက်ဇညက်ရယူ ခဲ့ခြင်းအတွက် ရှုတ်ချရေးသားသည်။ တစ်ချိန်ကထိပ် တန်းအစိုးရ အရာရှိကြီးဖြစ်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၈-ခုနှစ်တွင် ကိုယ်ကျိုးရှာမှု၊ လာဘ်စားမှုတို့ဖြင့် တရားစွဲဆိုခံနေရသော ဗရက်ဇညက်၏ သားမက်ဖြစ်သူ ချာဘာနော့ကိုလည်း တိုက်ခိုက်ရေးသားသည်။ စစ်အတွင်းက ကလေးသူငယ်မျှသာရှိသေးသော ချာဘာနော့အား စစ်ပြီး နောက် နှစ်ပေါင်း ၃ဝ ကြာတွင် ကြယ်နီဂုဏ်ထူးဆောင်ဆု ချီးမြှင့်ခဲ့ကြောင်း၊ အာဖဂနိစတန်သို့ ခရီးထွက် ခဲ့ဖူးသော်လည်း စစ်မှုမထမ်းခဲ့ပါဘဲလျက် အောင်လံနီဂုဏ်ထူး ဆောင်ဘွဲ့ကို ချီးမြှင့်ခဲ့ကြောင်းဖြင့် ပရောဗဒါ သတင်းစာက ထောက်ပြခဲ့သည်။ နိုင်ငံတော်ပိုင်းက တာဝန်ယူရသော အရေးကြီးသည့်ကိစ္စရပ်များနှင့် စပ်လျဉ်း၍ နိုင်ငံတစ်ဝန်းဆွေး နွေးအကြံပြုမှုဆိုင်ရာ ဥပဒေကို ဆိုဗီယက် ဦးစီးလွှတ်တော်ချုပ်က ၁၉၈၇-ခုနှစ် ဇွန်လ ၃ဝ ရက်နေ့တွင် ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ ဥပဒေသစ်တစ်ရပ်ပေါ် အဆိုပြုချက်များနှင့် ဝေဖန်ဆန်းစစ်ချက်များကို ဆိုဗီယက်နိုင်ငံသား များ တစ်ဦးချင်း ဖြစ်စေ၊ စုပေါင်း၍ဖြစ်စေ ဥပဒေမူကြမ်းအဖြစ် ထုတ်ဝေချိန်မှ သက်ဆိုင်ရာ ဒေသအဆင့်၊ သမ္မတနိုင်ငံအဆင့်သို့မဟုတ် ပြည်ထောင်စုအဆင့် ဥပဒေပြု အဖွဲ့အစည်းတစ်ရပ်သို့ တင်သွင်းချိန်အထိကာလ အပိုင်းအခြားအတွင်း လွတ်လပ်ပွင့်လင်းစွာ တင်ပြနိုင်မည့် လုပ်ထုံးလုပ်နည်းများကို ပြဋ္ဌာန်းထားသည့်ဥပဒေ ဖြစ်သည်။ ၁၉၈၇ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလကုန်ပိုင်းက ဂလပ်စနော့ မူဝါဒထွန်းကားစေရန် စာနယ်ဇင်းထုတ်ဝေဖြန့်ချိ မှုဆိုင်ရာဥပဒေသစ်တစ်ရပ်ကို ပြဋ္ဌာန်းရန် ပြင်ဆင်နေပြီဟူသော သတင်းတစ်ရပ် ထွက်ပေါ်လာခဲ့သည်။ ယခင် ကပိတ်ပင်ထားခဲ့သော စာအုပ်များကို ပြန်လည်စိစစ်၍ ထုတ်ဝေခွင့်ပြုခဲ့ရာ စာအုပ် ၆ဝဝဝ ခန့်ရှိသည့်အနက် ၁၉၈၇ခုနှစ် တစ်နှစ်တည်းတွင် ၄ယ၃ဝ၃ အုပ် ထုတ်ဝေခွင့် ပြုခဲ့သည်။ ယင်းခွင့်ပြု စာအုပ်များထဲတွင် ကီရင်စကီး၊ မီလျူကော့နှင့် ကော့ဆက်တပ်မှူး ကရက်စနော့တို့၏ဘဝအတွေ့အကြုံ မှတ်တမ်း စာအုပ်များလည်း ပါဝင်သည်။ ဆာဗင်ကော့နှင့် ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဒင်နီကင်တို့၏ စာအုပ်များလည်းပါဝင်သည်။ လူနာချာစကီး၊ ဘူခါရင်နှင့် ရိုင်ကော့တို့၏ စာပေလက်ရာများလည်း ပါဝင်သည်။ ယင်းစာရေးဆရာတို့သည် ၁၉၂ဝ ပြည့် လွန်နှစ်များနှင့် ၁၉၃ဝ ပြည့်လွန်နှစ်များအတွင်းက သိက္ခာချခံရသူများ၊ ပါတီမှ ထုတ်ပယ်ခံရသူများ ဖြစ်ကြသည်။ ဘူခါရင်သည် ၁၉၃ဝ ပြည့်လွန်နှစ်များအတွင်း စတာလင်နှင့် သဘောထားကွဲလွဲသော အဓိကအတိုက် အခံတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ဘူခါရင်နှင့်ရိုင်ကော့တို့သည် ၁၉၃၈ ခုနှစ်တွင် ဟန်ပြတရားခွင် ၌ စီရင်ခံရပြီးပစ်သတ် ခံခဲ့ကြရသည်။ ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ပြန်လည်၍ သိက္ခာတင်ခံကြရသည်။ ဗြိတိသျှစာရေးဆရာ ဂျော့အော်ဝဲလ် (၁၉ဝ၃-၅ဝ) ရေးသားသော ဗညငောူ ွှမော ဝတ္ထုကို ၁၉၈၈ ခုနှစ် မတ်လမှ ဇွန်လအထိ ဆိုဗီယက်စာပေမဂ္ဂဇင်း တစ်စောင်၌ အခန်းဆက်ဖော်ပြခွင့်ရသည်။ (အကြွင်းမဲ့ အာဏာရှင် စနစ်ကိုသရော်သော ယင်းဝတ္ထုကို ဆရာကြီး သခင်ဘသောင်းက ခြေလေးချောင်းတော်လှန်ရေး ဟူသောအမည်ဖြင့် ၁၉၅၁ ခုနှစ်တွင် မြန်မာပြန်ဆိုထုတ်ဝေခဲ့ဖူးသည်။) စာပေမဂ္ဂဇင်း အစောင်စောင်တွင် ပလက်တိုနော့၊ နာဘိုကော့၊ ဂရော့စမင်းနှင့် ပါစတာညက်တို့ကဲ့သို့သော တစ်ချိန်က အဖိနှိပ်ခံ စာရေးဆရာတို့၏ စာပေလက်ရာများကို ဖတ်ရှုနိုင်ကြပြီး ဖြစ်သည်။ အစိုးရနှင့် သဘောထားကွဲလွဲသူများအနက် အထင်ရှားဆုံး ပုဂ္ဂိုလ်များဖြစ်ကြသည့် နိုဘယ်ဆုရ ရူပဗေဒပညာရှင် ဆခါးရော့နှင့် သမိုင်းပညာရှင် ရွိုင်မက်ဗီဒေ့တို့ နှင့် တွေ့ဆုံဆွေးနွေးခန်းများ ကိုပင်လျှင် ဆိုဗီယက်သတင်းစာများ၌ ဖတ်ရှုနိုင်ကြပြီးဖြစ်သည်။ ဂလပ်စနော့ မူဝါဒကြောင့် ပြည်ပဘဝဝန်းကျင်၏ အကြောင်းကိုလည်း ပြည်သူအများစု လေ့လာခွင့် ရရှိပြီဖြစ်သည်။ ဆိုဗီယက် သတင်းစာဆရာတို့သည် အနောက်တိုင်းနိုင်ငံရေး ခေါင်းဆောင်များနှင့် တွေ့ဆုံ ဆွေးနွေး၍ သတင်းစာနှင့်ရေဒီယို ရုပ်မြင်သံကြားတို့တွင် တင်ဆက်ပေးနေပြီဖြစ်သည်။ အဇ္ဇဗက်ရှားသတင်း စာအပါအဝင် ဆိုဗီယက် သတင်းစာများတွင် အနောက်ဥပရောပနှင့် အမေရိကန်တို့မှ သတင်းစာဆရာတို့၏ ရေးသားချက်များကို ဖော်ပြနေပြီဖြစ်သည်။ ပြည်ပအသံလွှင့်ဌာနတို့မှအသံလွှင့်ချက်များကို ဖြတ်တောက် ဖျက်ဆီးခြင်း မပြုတော့ချေ။ ဂလပ်စနော့သည် အရှိန်ရနေပြီဖြစ်သည်။ ပယ်ရက်စထရွိုင်ကာ လုပ်ငန်းစဉ်ကြီး အောင်မြင်ရေးအတွက် အထောက်ကူပြုမည်ဟု ဆိုဗီယက်ပြည်သူ အများစုက ယုံကြည်လျက် ရှိကြပေသည်။ <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၃)</ref> == ကိုးကား == <references/> [[Category:ဆိုဗီယက် ပြည်ထောင်စု]][[Category:ကမ္ဘာ့သမိုင်း]] leqwtk1lryhyx5aq7syf5h5bioz3hrh 10 15473 1039233 1035994 2026-06-17T17:12:15Z Pho Sai 45037 Add image. 1039233 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Hokusai-sketches---hokusai-manga-vol6-crop.jpg|thumb| ဟိုကူစိုင်း မှ ပုံကြမ်းခြစ်ထားသော နင်ဂျာ၏ ပုံသဏ္ဌာန်။ စာရွက်ပေါ်တွင် သစ်သားပုံနှိပ်တုံးဖြင့် နှိပ်ထားသည့် အတွဲ(၆) မှ ။ ၁၉၁၇ ]] '''[[နင်ဂျာ]]''' သို့မဟုတ် '''ရှီနိုဘီ'''သည် [[ဂျပန်သမိုင်း|ဂျပန်ပဒေသရာဇ်ခေတ်]] မှ လျှို့ဝှက်အမှုဆောင် သို့မဟုတ် ကြေးစား တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ နင်ဂျာ၏ လုပ်ဆောင်မှုများတွင် သူလျှိုလုပ်ခြင်း ၊ လှည့်စားခြင်းနှင့် အံ့အားသင့်စရာ တိုက်ခိုက်မှုများပါဝင်သည်။ သူတို့၏ ပုံမှန်မဟုတ်သော စစ်ဆင်ရေးများကို လျှို့ဝှက်နည်းလမ်းများသုံး၍ ပြုလုပ်ခဲ့ခြင်းသည် [[ဆာမူရိုင်း]]များ၏ ဂုဏ်သိက္ခာအောက်နိမ့်ကျပြီး ဂုဏ်သရေမဲ့သောလုပ်ရပ်ဟု မှတ်ယူခဲ့ကြသည်။ အထူး လေ့ကျင့်သင်ကြားထားသော သူလျှိုနှင့်ကြေးစားများ ဖြစ်သော ရှိနော့ဘိ အစစ်များသည် ၁၅ ရာစု ဆန်ဂိုးကု ခေတ်အတွင်း ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော်လည်း ယခင် အစောပိုင်း ၁၂ ရာစုကတည်းက အလားတူ နင်ဂျာများ ရှိခဲ့ကြသည်။ ဆန်းဂိုးကုခေတ် မငြိမ်မသက် ဖြစ်နေစဉ်တွင် အိဂါပြည်နယ် နှင့် ကိုးဂါ ကျေးရွာ ပတ်ဝန်းကျင်တို့တွင် ကြေးစားများနှင့် စပိုင်များ ခြေချင်းလိမ်နေခဲ့ကြပြီး ထိုဒေသများမှ နင်ဂျာနှင့် ပက်သတ်သော သိကောင်းစရာ များစွာရရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် တိုကူဂါဝါရှိုးဂန်းနိတ် လက်အောက်တွင် ဂျပန်ကိုပေါင်းစည်းလိုက်သောအခါ နင်ဂျာတို့သည် မှေးမှိန် ပျောက်ကွယ် သွားခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုနှင့် ၁၈ ရာစုနှစ်များတွင် တရုတ် စစ်ရေး အတွေးအခေါ် အပေါ် မကြာခဏ အခြေခံ၍ ရေးသားလေ့ရှိသော ရှီနိုဘီ လက်စွဲစာအုပ်အများစုရှိပြီး နာမည်ကျော်သော စာအုပ်မှာ ''ဘန်ဆန်ရှူကိုင်း'' (၁၆၇၆) ဖြစ်သည်။ '''''[[နင်ဂျာ|ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်]]''''' ... 9fb762k2jmns35j2e97w5ivhlbmu9pq 1039239 1039233 2026-06-17T17:16:10Z Pho Sai 45037 1039239 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Hokusai-sketches---hokusai-manga-vol6-crop.jpg|thumb|250x250px|ဟိုကူစိုင်း မှ ပုံကြမ်းခြစ်ထားသော နင်ဂျာ၏ ပုံသဏ္ဌာန်။ စာရွက်ပေါ်တွင် သစ်သားပုံနှိပ်တုံးဖြင့် နှိပ်ထားသည့် အတွဲ(၆) မှ ။ ၁၉၁၇]] '''[[နင်ဂျာ]]''' သို့မဟုတ် '''ရှီနိုဘီ'''သည် [[ဂျပန်သမိုင်း|ဂျပန်ပဒေသရာဇ်ခေတ်]] မှ လျှို့ဝှက်အမှုဆောင် သို့မဟုတ် ကြေးစား တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ နင်ဂျာ၏ လုပ်ဆောင်မှုများတွင် သူလျှိုလုပ်ခြင်း ၊ လှည့်စားခြင်းနှင့် အံ့အားသင့်စရာ တိုက်ခိုက်မှုများပါဝင်သည်။ သူတို့၏ ပုံမှန်မဟုတ်သော စစ်ဆင်ရေးများကို လျှို့ဝှက်နည်းလမ်းများသုံး၍ ပြုလုပ်ခဲ့ခြင်းသည် [[ဆာမူရိုင်း]]များ၏ ဂုဏ်သိက္ခာအောက်နိမ့်ကျပြီး ဂုဏ်သရေမဲ့သောလုပ်ရပ်ဟု မှတ်ယူခဲ့ကြသည်။ အထူး လေ့ကျင့်သင်ကြားထားသော သူလျှိုနှင့်ကြေးစားများ ဖြစ်သော ရှိနော့ဘိ အစစ်များသည် ၁၅ ရာစု ဆန်ဂိုးကု ခေတ်အတွင်း ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော်လည်း ယခင် အစောပိုင်း ၁၂ ရာစုကတည်းက အလားတူ နင်ဂျာများ ရှိခဲ့ကြသည်။ ဆန်းဂိုးကုခေတ် မငြိမ်မသက် ဖြစ်နေစဉ်တွင် အိဂါပြည်နယ် နှင့် ကိုးဂါ ကျေးရွာ ပတ်ဝန်းကျင်တို့တွင် ကြေးစားများနှင့် စပိုင်များ ခြေချင်းလိမ်နေခဲ့ကြပြီး ထိုဒေသများမှ နင်ဂျာနှင့် ပက်သတ်သော သိကောင်းစရာ များစွာရရှိခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် တိုကူဂါဝါရှိုးဂန်းနိတ် လက်အောက်တွင် ဂျပန်ကိုပေါင်းစည်းလိုက်သောအခါ နင်ဂျာတို့သည် မှေးမှိန် ပျောက်ကွယ် သွားခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုနှင့် ၁၈ ရာစုနှစ်များတွင် တရုတ် စစ်ရေး အတွေးအခေါ် အပေါ် မကြာခဏ အခြေခံ၍ ရေးသားလေ့ရှိသော ရှီနိုဘီ လက်စွဲစာအုပ်အများစုရှိပြီး နာမည်ကျော်သော စာအုပ်မှာ ''ဘန်ဆန်ရှူကိုင်း'' (၁၆၇၆) ဖြစ်သည်။ '''''[[နင်ဂျာ|ဆက်လက်ဖတ်ရှုရန်]]''''' ... 5yvy7ptdrwukbhl4h3agiyc5wokffnq 0 15709 1039252 1032965 2026-06-17T18:26:22Z CommonsDelinker 115 Removing [[:c:File:Hino_Nacional_da_Republica_Portuguesa.ogg|Hino_Nacional_da_Republica_Portuguesa.ogg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Infrogmation|Infrogmation]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/File:Hino Nacional da Republica 1039252 wikitext text/x-wiki {{Coord|38|42|N|9|11|W|type:country|display=title}} {{Infobox country | နိုင်ငံအမည်အပြည့် = ပေါ်တူဂီ သမ္မတနိုင်ငံ | အမည်_ရင်း = {{native name|pt|República Portuguesa|nbsp=omit}} | common_name = ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ | ပုံ_အလံ = Flag of Portugal.svg | ပုံ_တံဆိပ် = coat of arms of Portugal.svg | နိုင်ငံတော်ဆောင်ပုဒ် =<!-- ''None'' --> | နိုင်ငံတော်သီချင်း = {{lang|pt|[[A Portuguesa]]}}<br />{{small|("The Portuguese [Song]")}}<br /><div style="display:inline-block;margin-top:0.4em;"> </div> | ပုံ_နေရာ = {{Switcher|[[File:EU-Portugal (orthographic projection).svg|frameless]]|ကမ္ဘာလုံးတွင်ပြရန်|[[File:EU-Portugal with islands circled.svg|upright=1.15|frameless]]|ဥရောပသမဂ္ဂတွင် ပြရန်|default=1}} | map_caption = {{map caption |location_color=အစိမ်းရင့် |region=ဥ‌ရောပတိုက် |region_color=မီးခိုးရင့် |subregion=[[ဥရောပသမဂ္ဂ]] |subregion_color=အစိမ်း }} | မြို့တော် = [[လစ်စဘွန်းမြို့]] | coordinates = {{Coord|38|46|N|9|9|W|type:city}} | အကြီးဆုံးမြို့ =မြို့တော် | အကြီးဆုံးပြည်နယ် = | languages_type = ရုံးသုံးဘာသာစကား<br />{{nobold|နှင့် အမျိုးသားဘာသာစကား}} |languages = [[ပေါ်တူဂီဘာသာစကား|ပေါ်တူဂီ]] | languages2_type = {{nobold|အသိအမှတ်ပြု}}<br />{{nobold|ဒေသဘာသာစကားများ}} | languages2 = [[:en:Mirandese language|Mirandese]]{{NoteTag|name=a|[[Mirandese language|Mirandese]], spoken in the region of [[Terra de Miranda]], was officially recognized in 1999 (''Lei n.° 7/99 de 29 de Janeiro''),<ref name="auto">{{cite web | url = https://mirandes.no.sapo.pt/LMPSlei.html | archive-url = https://web.archive.org/web/20020318130143/http://mirandes.no.sapo.pt/LMPSlei.html | url-status = dead | archive-date = 18 March 2002 | title = Reconhecimento oficial de direitos linguísticos da comunidade mirandesa (Official recognition of linguistic rights of the Mirandese community) | website = Centro de Linguística da Universidade de Lisboa (UdL) | access-date = 2 December 2015 | accessdate = 23 October 2021 | archivedate = 18 March 2002 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20020318130143/http://mirandes.no.sapo.pt/LMPSlei.html }}</ref> awarding it an official right-of-use.{{big|<ref name="auto1">[http://bookshop.europa.eu/en/euromosaic-pbC29295845/downloads/C2-92-95-845-EN-C/C29295845ENC_001.pdf?FileName=C29295845ENC_001.pdf&SKU=C29295845ENC_PDF&CatalogueNumber=C2-92-95-845-EN-C The Euromosaic study, Mirandese in Portugal], europa.eu&nbsp;– European Commission website. Retrieved January 2007. Link updated December 2015</ref>}} Portuguese Sign Language is also recognized.}} | ethnic_groups = {{Unbulleted list |၉၅.၃%&nbsp;[[:en:Portuguese people|ပေါ်တူဂီ]] |၄.၇%&nbsp;အခြား }} | ethnic_groups_ref = {{NoteTag|name=b|By country of citizenship}}<ref>{{cite web |url=https://www.pordata.pt/en/Portugal/Foreign+population+with+regular+residence+as+a+percentage+of+the+resident+population+total+and+by+sex-533 |title=Foreign population with regular residence as a % of the resident population: total and by sex (2018) |publisher=Statistics Portugal, Foreigners and Borders Service and Ministry of Internal Administration |access-date=18 July 2019 |archive-date=18 July 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190718025819/https://www.pordata.pt/en/Portugal/Foreign%2Bpopulation%2Bwith%2Bregular%2Bresidence%2Bas%2Ba%2Bpercentage%2Bof%2Bthe%2Bresident%2Bpopulation%2Btotal%2Band%2Bby%2Bsex-533 }}</ref> | ethnic_groups_year = ၂၀၁၈ | religion = {{ublist |item_style=white-space:nowrap; |၈၄.၃% [[ခရစ်ယာန်ဘာသာ]] |—၈၁.၀% [[:en:Catholic Church in Portugal|ရိုမန်ကက်သလစ်]] |—၃.၃% အခြား[[:en:List of Christian denominations|ခရစ်ယာန်များ]] |၆.၈% [[ဘာသာမဲ့ အယူဝါဒ|ဘာသာမဲ့]] |၀.၆% အခြား |၈.၃% မကြေညာခဲ့}} | religion_year = ၂၀၁၁ | demonym = Portuguese | government_type = [[ပြည်ထောင်စုစနစ်|ပြည်ထောင်စု]] [[:en:Semi-presidential system|တစိတ်တပိုင်းသမ္မတစနစ်]] [[ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ၏ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ|ဖွဲ့စည်းပုံ]] [[သမ္မတနိုင်ငံ|သမ္မတနိုင်ငံ]]<ref>[http://www.constituteproject.org/constitution/Portugal_2005.pdf Constitution of Portugal, Preamble]:</ref> | leader_title1 = [[ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|သမ္မတ]] | leader_name1 = {{nowrap|Marcelo Rebelo de Sousa}} | leader_title3 = [[ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်|ဝန်ကြီးချုပ်]] | leader_name3 = António Costa | leader_title2 = [[:en:List of presidents of the Assembly of the Republic (Portugal)|{{nowrap|လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ}}]] | leader_name2 = Eduardo Ferro Rodrigues | legislature = [[:en:Assembly of the Republic (Portugal)|Assembly of the Republic]] | sovereignty_type = [[ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ၏ သမိုင်း|တည်ထောင်ခြင်း]] | sovereignty_note = | established_event1 = [[:en:County of Portugal#First county|တည်ထောင်ခြင်း]] | established_date1 = ၈၆၈ | established_event2 = [[:en:County of Portugal#Second county|ပြန်လည်တည်ထောင်ခြင်း]] | established_date2 = ၁၀၉၅ | established_event3 = [[:en:Battle of São Mamede|အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်]] | established_date3 = ၁၁၂၈ ခုနှစ် ဇွန်လ ၂၄ ရက် | established_event4 = [[:en:Kingdom of Portugal|ဘုရင့်နိုင်ငံ]] | established_date4 = ၁၁၃၉ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၂၅ ရက် | established_event5 = [[:en:Portuguese Restoration War|ပြန်လည်ထူထောင်ခြင်း]] | established_date5 = ၁၆၄၀ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၁ ရက် | established_event6 = [[Portuguese Constitution of 1822|ပထမ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]] | established_date6 = ၁၈၂၂ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက် | established_event7 = [[:en:5 October 1910 revolution|သမ္မတနိုင်ငံ]] | established_date7 = 5 October 1910 | established_event8 = [[:en:Carnation Revolution|ဒီမိုကရေစီကျင့်သုံးခြင်း]] | established_date8 = ၁၉၇၄ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၅ ရက် | established_event9 = [[:en:Portuguese Constitution|လက်ရှိ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]] | established_date9 = ၁၉၇၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၅ ရက်{{NoteTag|name=c|Portuguese Constitution adopted in 1976 with several subsequent minor revisions, between 1982 and 2005.}} | established_event12 = [[:en:Accession of Portugal to the European Union|EEC accession]] | established_date12 = ၁၉၈၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက် | area_km2 = ၉၂,၂၁၂ | area_footnote = <ref>{{in lang|pt}}{{cite web |title=Superfície Que municípios têm maior e menor área? |url=https://www.pordata.pt/Municipios/Superf%C3%ADcie-57 |publisher=Pordata |access-date=17 November 2020 |archive-date=2 April 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220402143742/https://www.pordata.pt/Municipios/Superf%C3%ADcie-57 }}</ref> | ဧရိယာအဆင့် = ၁၀၉<!-- Area rank should match [[List of countries and dependencies by area]] --> | area_sq_mi = ၅၇,၂၉၈ | ဧရိယာရေရာခိုင်နှုန်း = ၁.၂ (၂၀၁၅ ခုနှစ်အရ)<ref>{{cite web|title=Surface water and surface water change|access-date=11 October 2020|publisher=Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD)|url=https://stats.oecd.org/Index.aspx?DataSetCode=SURFACE_WATER#}}</ref> | အမြင့်ဆုံးနေရာ = | အရှေဆုံးမြစ် = | အကြီးဆုံးအင်း = | ကမ်ရိုးတန်း = | population_estimate_rank = ၈၉ | population_census = {{DecreaseNeutral}} ၁၀,၃၄၇,၈၉၂<ref name="auto2">{{cite web | website=Statistics Portugal - Web Portal | date=28 July 2021 | url=https://ine.pt/xportal/xmain?xpid=INE&xpgid=ine_destaques&DESTAQUESdest_boui=473161655&DESTAQUESmodo=2 | access-date=28 July 2021 | title=Censos 2021 - Divulgação dos Resultados Preliminares - 2021 | archive-date=23 October 2021 | archive-url=https://web.archive.org/web/20211023221849/https://ine.pt/xportal/xmain?xpid=INE&xpgid=ine_destaques&DESTAQUESdest_boui=473161655&DESTAQUESmodo=2 | url-status=dead }}</ref> | population_census_year = ၂၀၂၁ | population_density_km2 = ၁၁၂.၂<ref>{{Cite web | url=https://www.pordata.pt/en/Portugal/Population+density++according+to+Census-412 | title=PORDATA - Population density, according to Census | access-date=23 October 2021 | archive-date=30 November 2020 | archive-url=https://web.archive.org/web/20201130050138/https://www.pordata.pt/en/Portugal/Population+density++according+to+Census-412 }}</ref> | GDP_PPP = {{increase}} $၃၇၆.၁&nbsp;ဘီလီယံ<ref name="imf2">{{cite web|title=Report for Selected Countries and Subjects – Portugal|url=https://www.imf.org/en/Publications/WEO/weo-database/2021/October/weo-report?c=182,&s=NGDPD,PPPGDP,NGDPDPC,PPPPC,&sy=2020&ey=2026&ssm=0&scsm=1&scc=0&ssd=1&ssc=0&sic=0&sort=country&ds=.&br=1|publisher=[[အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ ငွေကြေးရန်ပုံငွေအဖွဲ့]]|access-date=12 October 2021|year=2021}}</ref> | GDP_PPP_year = ၂၀၂၁ | GDP_PPP_per_capita = {{increase}} $၃၆,၅၄၃<ref name="imf2"/> | GDP_nominal = {{increase}} $၂၅၁.၇&nbsp;ဘီလီယံ<ref name="imf2"/> | GDP_nominal_year = ၂၀၂၁ | GDP_nominal_per_capita = {{increase}} $၂၄,၄၅၇<ref name="imf2"/> | Gini = ၃၁.၉ <!-- number only --> | Gini_year = ၂၀၁၉ | Gini_change = decrease <!-- increase/decrease/steady --> | Gini_ref = <ref>{{cite web|title=Gini coefficient|url=https://www.pordata.pt/MicroPage.aspx?DatabaseName=Portugal&MicroName=%C3%8Dndice+de+Gini+%28percentagem%29&MicroURL=2166&|publisher=PORDATA|access-date=8 June 2019|location=Portugal|archive-date=24 May 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200524073542/https://www.pordata.pt/MicroPage.aspx?DatabaseName=Portugal&MicroName=%C3%8Dndice+de+Gini+(percentagem)&MicroURL=2166&}}</ref> | Gini_rank = | HDI = ၀.၈၆၄ <!-- number only --> | HDI_year = ၂၀၁၉ <!-- Please use the year to which the data refers, not the publication year--> | HDI_change = increase <!-- increase/decrease/steady --> | HDI_ref = <ref name="UNHDR">{{cite web|url=http://hdr.undp.org/sites/default/files/hdr2020.pdf|title=Human Development Report 2020|language=en|publisher=[[ကုလသမဂ္ဂ ဖွံ့ဖြိုးမှု အစီအစဉ်]]|date=15 December 2020|access-date=15 December 2020}}</ref> | HDI_rank = ၃၈ | ဗဟိုဘဏ် = | ငွေ = [[ယူရို]] ([[:en:Euro sign|€]]) | currency_code = EUR | utc_offset = {{sp}} | time_zone = [[အနောက်ဥရောပဒေသ စံတော်ချိန်|WET]])<br /> UTC−1 ([[:en:Time in Portugal#IANA time zone database|Atlantic/Azores]] | utc_offset_DST = +1 | time_zone_DST = [[အနောက်ဥရောပဒေသ နွေရာသီစံတော်ချိန်|WEST]])<br /> UTC (Atlantic/Azores | DST_note = Note: ပေါ်တူဂီပြည်မနှင့် [[မဒီးရကျွန်းများ]]တို့တွင့် WET/WEST ကို အသုံးပြုကြပြီး [[:en:Azores|အဇော့ကျွန်း]]တွင် ၁ နာရီနောက်ကျသည့်အချိန်ကို အသုံးပြုသည်။ | date_format = dd/mm/yyyy ([[Common Era|CE]]) | drives_on = ညာ | calling_code = [[ပေါ်တူဂီနိုင်ငံရှိ တယ်လီဖုန်းနံပါတ်များ|+၃၅၁]] | cctld = [[.pt]] | အထိမ်းအမှတ်များ = | ISO 3166-1 = | footnote_a = {{Note|a}} Mirandese language, spoken in some villages of the municipality of Miranda do Douro, was officially recognized in 1999 (''Lei n.° 7/99 de 29 de Janeiro''),<ref name="auto"/> awarding it an official right-of-use.{{big|<ref name="auto1"/>}} Portuguese Sign Language is also recognized. | footnote_b = {{Note|b}} By country of citizenship | footnote_c = {{Note|c}} Portuguese Constitution adopted in 1976 with several subsequent minor revisions, between 1982 and 2005. | today = }} '''ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ''' (တရားဝင် အခေါ်အားဖြင့် ပေါ်တူဂီ သမ္မတနိုင်ငံ{{efn|ပေါ်တူဂီကို အင်္ဂလိပ်စကားဖြင့် အနီးစပ်ဆုံး '''ပေါတျူဂယ်လ်'''၊ ပေါ်တူဂီစကားဖြင့် အနီးစပ်ဆုံး '''ပူရ်တူဂယ်လ်''' ဟုရွတ်ဆိုနိုင်သည်။}}) သည် [[ဥရောပ]] အနောက်တောင်ပိုင်း [[အိုင်ဘေးရီးယန်းကျွန်းဆွယ်]] ပေါ်တွင် တည်ရှိသော [[နိုင်ငံ]]ဖြစ်သည်။ ပေါ်တူဂီသည် ဥရောပ၏ အနောက်ဘက် အကျဆုံး နိုင်ငံဖြစ်သည်။ အနောက်ဘက်နှင့် တောက်ဘက်တွင် [[အတ္တလန္တိတ် သမုဒ္ဒရာ]]၊ အရှေ့ဘက်နှင့် မြောက်ဘက်တွင် [[စပိန်နိုင်ငံ]] တို့က ဝိုင်းရံထားသည်။ အတ္တလန္တိတ် ကျွန်းစုများ ဖြစ်သော [[အာဇိုး]] နှင့် [[မဒရီရာ]] တို့သည် ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ၏ တစိတ်တဒေသ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများဖြစ်သည်။ == ဝေါဟာရဇာစ်မြစ် == ပေါ်တူဂီ (Portugal) ဆိုသော စကားလုံးသည် Portus Cale ဟူသော ရောမ-ခဲလ်တစ် နေရာတစ်ခု၏အမည်မှ ဆင်းသက်လာ၍<ref>{{cite web|url=https://www.etymonline.com/word/portugal|title=Portugal – Origin and meaning of the name Portugal by Online Etymology Dictionary|website=Etymonline.com}}</ref> ထိုနေရာသည် လက်ရှိ၌ Vila Nova de Gaia မြို့တည်ရှိကာ ယင်းမြို့သည် ပေါတူဂီနိုင်ငံမြောက်ပိုင်း ဒိုရိုမြစ်ဝတွင်တည်ရှိ၏။ Portus စကားလုံးသည် လက်တင်ဘာသာစကား port သို့ harbour မှဖြစ်၍ သင်္ဘောဆိပ်ဟု အနက်ရသည်။ Cale စကားလုံး၏ ဖြစ်နိုင်ချေမှာ ကတ်စထရိုလူမျိုး ယဉ်ကျေးမှု စကားလုံးဖြစ်နိုင်ကာ ထိုလုမျိုးများကို Callaeci, Gallaeci or Gallaecia စူ၍လည်း အသိများကြပြီး ယင်းတိုသည် အိုက်ဘေးရီးယန်းကျွန်းဆွယ် အနောက်မြောက်ပိုင်းကို သိမ်းပိုက်နေထိုင်သူများဖြစ်ကြသည်။<ref name="academia.edu">{{Cite journal|url=https://www.academia.edu/31989410|title=Documentos danca portuguesa|first=Marcos|last=Winicius|via=www.academia.edu}}</ref> ဤသည်မှာ အများစုလက်ခံထားသော ဝေါဟာရဇာစ်မြစ် ရှင်းတမ်းဖြစ်သည်။ နောက်ထပ်ရှိနေသော သဘောတရားတစ်ခုအရ Cala သည် ရာသီဥတုကိုစောင့်ရှောက်သော ခဲလ်တစ်နတ်သမီး Cailleach ကိုရည်ညွှန်းသည်လည်း ဖြစ်နိုင်ပေသည်။ ပြင်သစ်ပညာရှင်များလက်ခံသည်မှာ နိုင်ငံ၏အမည်သည် ဂေါလ်စ် (သို့) ဆဲ့လ်တ် ဆိပ်ကမ်း (Gauls သို့ Celts) 'Portus Gallus' မှ ဆင်းလာနိုင်ချေ ရှိသည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=https://books.google.com/books?id=MD8zAQAAMAAJ&q=portus+Gallus+etymologie+du+portugal&pg=PA441|title=Manuel géographique et statistique de l'Espagne et du Portugal ...|date=11 April 2018|publisher=Buisson|via=Google Books}}</ref> == ပထဝီဝင် == == နိုင်ငံရေးနှင့်အစိုးရ == == စီးပွားရေး == ကမ္ဘာကျော်ဝိုင်အမျိုးအစားတစ်ခုဖြစ်တဲ့ Port ဝိုင်တွေက ပေါ်တူဂီနိုင်ငံကနေ တင်သွင်းတာဖြစ်ပါတယ်။ ပေါ်တူမြို့ Douro တောင်ကြား စပျစ်ခြံတွေကနေထွက်ရှိတဲ့ သည်စပျစ်ဝိုင်တွေကို အမေရိကန်၊ ဩစတေးလျ၊ တောင်အာဖရိကနဲ့ အိန္ဒိယနိုင်ငံတွေဆီ အဓိကတင်ပို့ကြပါတယ်။ အဓိကစီးကပွားရေးကတော့ ချည်မျှင်နှင့်အထည်အလိပ်၊ သစ်၊ စက္ကူ၊ ဓာတုပစ္စည်း၊ စက်မှုအစိတ်အပိုင်းပစ္စည်းများ၊ စားသောက်ကုန်၊ ဆက်သွယ်ရေးနှင့်ဆက်စပ်ပစ္စည်းများ၊ သင်္ဘောတည်ဆောက်ရေး၊ ဆောက်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းသုံးပစ္စည်းများနှင့် ဟိုတယ်ခရီးသွားလာရေးလုပ်ငန်းတွေ ဖြစ်ပါတယ်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ် ကမ္ဘာ့ဘဏ်စာရင်းများအရ ပေါ်တူဂီနိုင်ငံသားတစ်ဦးချင်းစီရဲ့ နှစ်စဉ်ပျဉ်းမျှဝင်ငွေဟာ ကန်ဒေါ်လာ ၃၂၁၉၉ ဖြစ်ပြီး ကမ္ဘာ့အဆင့် ၃၇ ဖြစ်ပါတယ်။ ငွေကြေးစနစ်အနေနဲ့ကတော့ ဥရောပနိုင်ငံအများစုမှာသုံးတဲ့ Euro ကိုပဲသုံးပါတယ်။ == လူမှုပထဝီဝင် == ပေါ်တူဂီနိုင်ငံက စုစုပေါင်းလူဦးရေရဲ့ ၈၅% ဟာ ခရစ်ယာန်ဘာသာဝင်တွေဖြစ်ပါတယ်။ သည်အထဲက ၈၁% ကတော့ ရိုမန်ကစ်သလစ်ဘာသာဝင်တွေဖြစ်ပြီး ကျန်တဲ့ ၄% ကတော့ ကျန်ခရစ်ယာန်ဘာသာဝင်တွေသာဖြစ်ကြပါတယ်။ ကမ္ဘာပေါ်မှာရှိသမျှ ဖော့ဆို့တွေရဲ့ တစ်ဝက်ကျော်ဟာ ပေါ်တူဂီနိုင်ငံကနေလာတာဖြစ်ပါတယ်။ ပေါ်တူဂီဟာ ဖော့ဆို့တွေဖြစ်လာစေတဲ့ Cork Oak သစ်တောပေါင်းများစွာကို ပိုင်ဆိုင်ထားတာကြောင့်ပဲဖြစ်ပါတယ်။ ကမ္ဘာ့ဖော့ဆို့တွေရဲ့ ၇၀% ဟာ ပေါ်တူဂီမှဖြစ်ပြီး ဂျာမနီ၊ ယူကေနဲ့ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုတွေစီအဓိကတင်သွင်းပါတယ်။ == အားကစားနှင့် ယဉ်ကျေးမှု == ပေါ်တူဂီနိုင်ငံရဲ့အဓိက အားကစားကတော့ ဘောလုံးဖြစ်ပြီး ပေါ်တူဂီဘောလုံးအသင်းဟာ ဥရောပချန်ပီယံအသင်းဖြစ်ပြီး ၁၉၆၆ မှာ ကမ္ဘာ့ဖလား တတိယဆု၊ ၂၀၁၆ မှာတော့ ကမ္ဘာ့ဖလား စတုထ္ထဆုတွေ အသီးသီးပိုင်ဆိုင်ထားတာပဲဖြစ်ပါတယ်။ ပေါ်တူဂီမှာ ယူနက်စကိုကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်ပေါင်း ၁၅ နေရာတောင်ရှိပါတယ်။ သည်နေရာမှာ ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ပေါင်း ၁၄ခုရှိပြီး သဘာဝအမွေအနှစ် Madeira ကျွန်း ၁ ခုရှိပါတယ်။ ==မှတ်စု== {{notelist}} {{NoteFoot}} == ရည်ညွှန်းချက်များ == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == [[ကဏ္ဍ:ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ]] [[ကဏ္ဍ:ဥရောပတိုက်ရှိ နိုင်ငံများ]] [[ကဏ္ဍ:မြေထဲပင်လယ်သမဂ္ဂ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ]] [[ကဏ္ဍ:နေတိုး အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကုလသမဂ္ဂ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ]] [[ကဏ္ဍ:ဥရောပ သမဂ္ဂ အဖွဲ့ဝင် နိုင်ငံများ]] [[ကဏ္ဍ:သမ္မတနိုင်ငံများ]] {{geo-stub}} 5krmlyadj693txu5qc612nx3niq68t2 0 18876 1039199 1037894 2026-06-17T15:43:22Z Thiha ladislaus 110334 1039199 wikitext text/x-wiki ==လူဝီဘုရင်များ== ပြင်သစ်နိုင်ငံ၌ လူဝီ (Louis) ဟူသောအမည်ဖြင့် ဘုရင် ၁၈ ပါး မင်းပြုခဲ့ပေသည်။ လူဝီဘုရင်များသည် သက်ဦးဆံပိုင်စနစ်ဖြင့် မင်းပြုရန်ကြိုးပမ်းခဲ့ရာ ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်လက်ထက်တွင် ဘုရင်၏တန်ခိုးအာဏာသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့၏။ ထို့နောက်တွင် နန်းတက်ခဲ့ကြသော လူဝီဘုရင်များလက်ထက်တွင် ပြည်သူပြည်သားတို့သည် ဘုရင့်အပေါ် တဖြည်းဖြည်း အကြည်ညိုပျက်လာကြလေသည်။ ပထမလူဝီဘုရင် (ခရစ် ၇၇၈ - ၈၄ဝ) သည် ရှားလမိန်းဘုရင်ကြီး၏ တတိယသားတော်ဖြစ်သော 'ကယ်ရိုလင်ဂျင်' မင်းဆက်မှဖြစ်၍ ထို မင်းဆက်တွင် လူဝီအမည်ဖြင့်ထင်ရှားသော အခြားဘုရင်လေးပါးလည်းရှိသေးသည်။ ကယ်ရိုလင်ဂျင်မင်းဆက် ပြတ်သွားပြီးသည့်နောက်တွင် လူဝီအမည်ဖြင့် နန်းတက်ခဲ့သော ဘုရင်မှာ ကပေးယှန်းမင်းဆက်မှ ဆဋ္ဌလူဝီ ဖြစ်သည်။ <br /> ==ဆဋ္ဌလူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁ဝ၈၁ - ၁၁၃၇)== [[ဖိုင်:Louis_VI_of_France.gif|thumb]] ထိုမင်းသည်ပထမဖိလစ်ဘုရင်၏ သားတော်ဖြစ်သည်၊ ဖိလစ်ဘုရင်ကြီးသည် သားတော်အား ၁ဝ၉၈ ခုနှစ်လောက်မှစ၍ တိုင်းပြည်အုပ်ချုပ်မှုရေးရာ တို့တွင် လက်ပွန်းတတီး တွဲဖက်လုပ်ကိုင်စေခဲ့သည်။ အစွမ်းအစထက်မြက်လှသော မင်းသားလူဝီမကြာမြင့်မီပင် စစ်တပ်၏ ကြည်ညိုလေးစား မှုကို ခံယူလာရလေသည်။ ဆဋ္ဌလူဝီဘွဲ့ဖြင့် ထီးနန်းသိမ်းပိုက်သည်။ နန်းတက်ပြီးနောက် နှစ်ပေါင်း ၂ဝ ခန့်မျှသော အချိန်ကာလကို စစ်တိုက်ခြင်းဖြင့် ကုန် လွန်စေခဲ့၏။ ထိုစဉ်အခါက မှူးမတ်ဟုခေါ်ရသော်လည်း အမှန်အားဖြင့် မျက်နှာကြီး ဓားပြသာသာဖြစ်သော ဗဲရွန်တို့သည် တိုင်းပြည်တွင် ထင်သလို ခြယ်လှယ်နေသောကြောင့် မိမိ၏ထီးနန်းနှင့် တန်ခိုးအာဏာကိုပင် ထိပါး မည်စိုးရိမ်သဖြင့် အဆိုပါမှူးမတ်များအား နှိမ်နင်းရသော ပြည်တွင်းစစ်ပွဲများ ဖြစ်ပွားလာ၏။ ထီးပြိုင်နန်းပြိုင်ဖြစ်သော အင်္ဂလိပ်ဘုရင်များသည် ပြင်သစ်နိုင်ငံ မြောက်ပိုင်း နော်မန်ဒီနယ်ကို စားရသည့်နယ်စားများဖြစ်သည့်အပြင် ဘုန်းလက်ရုံးတက်နေကြသော ဘုရင်များလည်းဖြစ်ကြ၏။ သို့ဖြင့် လူဝီဘုရင်သည် နိုင်ငံအတွင်း၌ မင်းမူနေသည့် မှူးမတ်များ၏အာဏာကို အပြီးတိုင် ချေမှုန်းရန်သာမက အဂ‡လိပ်ဘုရင်များနှင့် ပခုံးချင်းယှဉ်နိုင်သော ဘုရင်အဖြစ်သို့ရောက်အောင်လည်း လုံးပန်းအောင်မြင်ခဲ့၏။ ဆဋ္ဌလူဝီဘုရင်သည် အလွန်အစားကောင်းပြီး အလွန်ဝသဖြင့် လူဝဘုရင်ကြီးဟု ပြောင်လှောင် ခေါ်ဝေါ်ခြင်းကို ခံရလေသည်။ သက်တော် ၄၆ နှစ်အရွယ်တွင် ဝလွန်းသဖြင့် မြင်းကိုပင် မစီးနိုင်တော့ချေ။ လူဝီဘုရင်သည် စစ်ပွဲများတွင် ကိုယ် တိုင်ကိုယ်ကျ ပါဝင်တိုက်ခိုက်၏။ စစ်သည်တော်တို့၏ လေးစားမှုကို ခံယူခဲ့ရသဖြင့် သူ၏ အလံတော်အောက်တွင် ပြည်သူ့စစ်တပ်ကြီးကို စုရုံးဖွဲ့စည်း နိုင်ခဲ့လေသည်။ ထိုဘုရင်၏လက်ထက်တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံကြီး စည်းစည်းလုံးလုံးရှိကာ အင်အားတောင့်တင်းခဲ့၏။ ကွန်မျွန်းခေါ် ဒေသန္တရ အဖွဲ့များကို ဖွဲ့စည်းစေပြီးလျှင် မြို့များ၊ နယ်များကို ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ရေး ပေးအပ်ခဲ့သဖြင့် ဆင်းရဲသားတောင်သူလယ်လုပ်တို့သည် မှူးမတ်များ၏ အာဏာစက်မှ လွတ်ကင်းလာကြကာ လူဝီဘုရင်ကြီးအား အထူးကြည်ညို ခဲ့ကြ၏။ ထိုမျှမကသေး လူဝီဘုရင်သည် ခရစ်ယန်အယူဝါဒ ပြန့်ပွားတိုးတက်ရေးကိုလည်း များစွာ သည်ပိုးဆောင်ရွက်ခဲ့ချေသေးသည်။ အမျိုးသားအာဇာနည်အဖြစ်ဖြင့် ဂုဏ်သတင်း ပျံ့နှံ့ခဲ့သော ဆဋ္ဌလူဝီဘုရင်သည် ၁၁၃၇ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁ ရက်နေ့တွင် ကံကုန်သည်။<br /> ==သတ္တမ လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၁၂ဝ - ၁၁၈ဝ)== [[ဖိုင်:Louis_VII_SCeau_17058.jpg|thumb]] သတ္တမလူဝီဘုရင်သည်ကား ဆဋ္ဌလူဝီ၏ သားတော်ဖြစ်၍ ၁၁၂ဝ ပြည့်နှစ်တွင် မွေးဖွားသည်။ ၁၁၃၇ ခုနှစ်တွင် ဖခင်၏ ထီးနန်းအရိုက်အရာကို ဆက်ခံခဲ့လေသည်။ ထိုဘုရင်၏ လက်ထက်တွင် ပြည်တွင်းပြည်ပ အရှုပ်အထွေးများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သဖြင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံကြီး တိမ်းစောင်းလုမတတ်ဖြစ်ခဲ့ရသည်။ နန်းတက်သောနှစ်၌ပင် ပြင်သစ်နိုင်ငံတောင်ပိုင်းရှိ အက်ကွီတိန်း နယ်စားကြီးဝီလျံ၏သမီး အယ်လီနာနှင့် လက်ဆက်ခဲ့၏။ ထိုမိဖုရားကြီးအား ၁၁၅၂ ခုနှစ်၊ မတ်လတွင် ကွာရှင်းလိုက်သဖြင့် အယ်လီနာ မိဖုရားကြီးသည် ထိုနှစ် မေလအတွင်း၌ပင် အင်္ဂလန်ပြည် ဒုတိယဟင်နရီဘုရင်နှင့် ထပ်မံလက်ဆက်လိုက်လေသည်။ သို့ဖြင့် အက်ကွီတိန်းနယ်သည် ပြင်သစ်လက်အောက်မှ အင်္ဂလိပ်လက်အောက်သို့ ပြောင်းလဲရောက်ရှိသွား တော့သည်။ [[ဖိုင်:Map_France_1180-br.svg|thumb|၁၁၈၀ ခုနှစ် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေ‌အနေ]] သတ္တမ လူဝီသည် ၁၁၅၄ ခုနှစ်တွင် ကွန်စတန်အမည်ရှိ မင်းသမီးတစ်ပါးနှင့် ထိမ်းမြားလက်ထပ်ပြန်သည်။ ထိုမိဖုရားသည် ၁၁၆ဝ ပြည့်နှစ်တွင် ကံကုန်သည်။ ထို့နောက် လူဝီဘုရင်သည် အာဒဲလဆိုသူနှင့် တတိယအကြိမ်မြောက် လက်ထပ်ထိမ်းမြားပြန်ရာ ထီးနန်းအရိုက်အရာကို နောက်ဆက်ခံမည့် သားတော် ဖိလစ်အော်ဂပ်စတပ်ကို ထိုမိဖုရားမှဖွားမြင်၏။ သတ္တမ လူဝီဘုရင်သည် ၁၁၈ဝ ပြည့်နှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ကံကုန်လေသည်။<br /> ==အဋ္ဌမ လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၁၈၇ - ၁၂၂၆)== [[ဖိုင်:Conquest_of_Avignon_by_Louis_VIII_(1226).jpg|thumb]] ထိုမင်းသည် ဖိလစ်အော်ဂပ်စတပ်ဘုရင်၏ သားတော်ကြီးဖြစ်၍ ပါရစ်မြို့၌ ၁၁၈၇ ခုနှစ်တွင် ဖွားမြင်သည်။ ၁၂ဝဝ ပြည့်နှစ်တွင် အင်္ဂလန်ပြည့်ရှင် ဒုတိယ ဟင်နရီဘုရင်၏ မြေးတော်ဖြစ်သူ ဗလန့်ချမင်းသမီးနှင့်လက်ဆက်သည်။ ၁၂၁၆ ခုနှစ်တွင် အတိုက်အခံသမားများဖြစ်ကြသော အင်္ဂလိပ် ဗဲရွန်မှူးမတ်များက အင်္ဂလန်ပြည့်ရှင် ဂျွန်ဘုရင်၏နေရာတွင် လာရောက်၍မင်းပြုရန် ဖိတ်မန္တက ပြုသည်ကိုခံရ၏။ ထို့ကြောင့် ၁၂၁၆ ခုနှစ်တွင် အင်္ဂလန်ပြည်သို့ သွားရောက်ခဲ့၏။ သို့ရာတွင် ဂျွန်ဘုရင်လွန်လေသော် အင်္ဂလိပ် ဗဲရွှန်မှူးမတ်တို့သည် ဂျွန်ဘုရင်၏ သားတော် တတိယ ဟင်နရီအား အသိအမှတ်ပြုသော နန်းတွင်းအဖွဲ့နှင့် သဘောညီညွတ်ကြသောကြောင့် လူဝီလည်း ၁၂၁၇ ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံသို့ ပြန်သွားရလေသည်။ ၁၂၂၃ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၆ ရက်နေ့တွင် ဖခမည်းတော်၏ အရိုက်အရာကို ဆက်ခံသိမ်းပိုက်ရ၏။ အဋ္ဌမ လူဝီဘုရင်သည် သုံးနှစ်မျှသာ ထီးနန်းကို စိုးစံရပြီးလျှင် ၁၂၂၆ ခုနှစ်တွင် ကံကုန်သည်။ နန်းသက်ပင် တိုသော်လည်း အဋ္ဌမ လူဝီ ဘုရင်သည် နယ်စားများအပေါ်တွင် ဘုရင့်ဩဇာ စူးရှစေရန် စွမ်းဆောင်နိုင် ခဲ့သည့်အပြင် နယ်ပယ်သစ်အချို့တို့ကိုလည်း ပြင်သစ်နိုင်ငံတွင်းသို့ ဖြည့်သွင်းအုပ်စိုးနိုင်ခဲ့လေသည်။<br /> ==နဝမ လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၂၁၄ - ၁၂၇ဝ)== [[ဖိုင်:Saintlouis.jpg|thumb]] လူဝီအမည်ခံ ပြင်သစ်ဘုရင်များထဲတွင် စွမ်းရည်သတ္တိအကောင်းဆုံး လူချစ်လူခင်အများဆုံး ဘုရင်တစ်ပါးဖြစ်သည်။ ဥရောပအလယ်ခေတ် ကရူးဆိတ်စစ်ပွဲများ၌ ထူးချွန်လှသော အာဇာနည်များထဲတွင်လည်း တစ်ဦးအပါအဝင် ဖြစ်ပေသည်။ အယူဝါဒဘက်တွင် ရိုသေကိုင်းရှိုင်း၍ ကရူးဆိတ်စစ်ပွဲကို နှစ်ကြိမ်တိုင်တိုင် ခေါင်းဆောင်ဆင်နွဲခဲ့၏။ ( ကရူးဆိတ်စစ်ပွဲများ - ။) စစ်ရေးတွင်လည်း စွမ်းရည်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသလောက်စစ်ရေးနှင့် မဆိုင်သည့်အခါတွင် စိတ်သဘောနူးညံ့၍ အကျင့်သီလ ဖြူစင်လှပေသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုဘုရင် ကွယ်လွန်ပြီးနောက် ၂၇ နှစ် ကြာသောအခါ ဆဋ္ဌဗွန်နီဖေ့ ပုပ်ရဟန်းမင်းက လူဝီအား စိန့်လူဝီသူတော်စင်အဖြစ် သွတ်သွင်းလိုက်၏။ မြောက်အမေရိကတိုက်တွင်ရှိသော စိန့်လူဝီမြို့ကိုလည်း ထိုဘုရင်အမည်ကို စွဲ၍ ခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြစ်၏။ လူဝီဘုရင်သည် အဋ္ဌမလူဝီ၏ သားတော်ဖြစ်၍ ၁၂၁၄ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ဖွားမြင်သည်။ ထီးနန်းဆက်ခံရသော ၁၂၂၆ ခုနှစ်တွ ၁၂ နှစ်သားအရွယ်မျှသာပင် ရှိပေသေးသည်။ ထို့ကြောင့် မယ်တော် ဗလန့်ခမိဖုရားက သားတော်ကို ရင်ခွင်ပိုက်ထား၍ ပြင်သစ်နိုင်ငံကို အုပ်စိုးလေသည်။ ထို မိဖုရားကား အဘက်ဘက်တွင် အရည်အချင်းနှင့် ပြည့်စုံသူဖြစ်၍ သားတော်ကို လွန်စွာချစ်ခင် မြတ်နိုးလှ၏။ ထို့ကြောင့် သားတော်လူဝီအား မိမိအလိုရှိသလို ယောက်ျားကောင်းတစ်ယောက်ဖြစ်စေရန် ငယ်စဉ်ကပင် ဂရုတစိုက် ကြပ်မတ်၍ လေ့ကျင့်ပေးထားလေသည်။ လူဝီဘုရင်သည်လည်း မယ်တော်ကို ရိုသေမြတ်နိုးသူဖြစ်၍ မယ်တော်၏အလိုအတိုင်း လိုက်နာကျင့် သုံးသဖြင့် အကျင့်သိက္ခာ ကောင်းမွန်သူဖြစ်ပြီးလျှင် စွမ်းရည်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံလှသော ရဲရဲတောက် အာဇာနည်တစ်ဦးဖြစ်ခဲ့ပေသည်။ အဋ္ဌမ လူဝီဘုရင်ဘက်ထက်၌ အခြေအနေ ဆိုးရွားခဲ့သော ပြင်သစ်နိုင်ငံကြီးကို သားတော် နဝမလူဝီဘုရင်ကိုယ်စား ပြင်သစ်နိုင်ငံကြီးကို သားတော် နဝမ လူဝီဘုရင်ကိုယ်စား ပြင်သစ်နိုင်ငံကို အုပ်စိုးနေသော ဗလန့်ချ မိဖုရားသည် အမြော်အမြင် ကြီးစွာဖြင့် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားစေ၍ အခြေအနေတိုးတက်သာယာအောင် ကျွမ်းကျင်လိမ္မာစွာ အုပ်ချုပ်၏။ ထို့ကြောင့် ကြင်ဖက်တော်ဖြစ်သော အဋ္ဌမလူဝီထက်ပင် မိဖုရားက တိုင်းပြည်ကို နိုင်နင်းစွာ အုပ်ချုပ်နိုင်သည်ဟု ဆိုကြ၏။ လူဝီဘုရင် အရွယ်ရောက်၍ ၁၂၄၂ ခုနှစ်တွင် ထီးနန်းကို သိမ်း ပိုက်သောအခါ မယ်တော်၏ကျေးဇူးကြောင့် ပြင်သစ်တစ်နိုင်ငံလုံး သည် ဝပြောသာယာလျက်ရှိလေသည်။ သို့သော် မကြာမီ ပြည်တွင်းမှ သူကောင်းမျိုးတို့သည် ဘုရင်သ်း၏အင်အားကို စမ်းသပ်လိုသကဲ့သို့ ထကြွ လာကြသည်။ မယ်တော်၏ခြေရာကို ကောင်းမွန်စွာလိုက်၍ နင်းနိုင်သော လူဝီဘုရင်သည် မိမိအား တော်လှန်ထကြွသူများကို အပြတ်အသတ် နှိမ်နင်းလိုက်လေသည်။ ဘုရင်သစ်အား အန်တုရန်လာသော နိုင်ငံခြား စစ်တပ်များကိုလည်း မောင်းနှင်တိုက်ထုတ်ပစ်လိုက်လေသည်။ အင်္ဂလန်ပြည့်ရှင် ဟင်နရီဘုရင်၏ စစ်တပ်များကိုလည်း နိုင်နင်းအောင်မြင်လိုက်၏။ ယင်းသို့ဖြင့် လူဝီဘုရင်သည် မိမိ၏ထက်မြက်သော အရည်အသွေးကို ပြခဲ့လေသည်။ သို့သော် စစ်ပွဲများတွင် ပြင်းပြင်းထန်ထန် တိုက်ခိုက်ရသဖြင့် လူဝီဘုရင်မှာ သေလုမျောပါး သည်းထန်စွာနာဖျားခဲ့သည်။ နာမကျန်းစဉ် ပယ်လိုက်စတိုင်းသို့ ကရူးဆိတ်စစ်ပွဲကို ဆင်နွှဲတိုက်ခိုက်ပါမည်ဟု အဓိဋ္ဌာန်ပြုရာမှ ပြန်လည်ကျန်းမာလာသောအခါ အတိအကျဆောင်ရွက် လေသည်။ ထို့ကြောင့် ၁၂၄၈ ခုနှစ်တွင် မယ်တော်အား တိုင်းပြည်ကို အပ်နှင်းခဲ့၍ ပယ်လက်စတိုင်သို့ချီတက်လေသည်။ အီဂျစ်နိုင်ငံ ဒမီအက်တာမြို့တွင် လူဝီဘုရင်၏ စစ်တပ်များက မွတ်စလင်များကို နိုင်နင်းလိုက်သော်လည်း မကြာမီ တစ်တပ်လုံး အဖျားရောဂါတစ်မျိုး ကပ်ရောက်လာတော့သည်။ ထို့ကြောင့် ရန်သူတို့ လာရောက်တိုက်ခိုက်သောအခါ လူဝီဘုရင်သည် ဖျားနာ လျက်ပင် ရန်သူတို့လက်သို့ ကျဆင်းခဲ့လေသည်။ [[ဖိုင်:Septième_croisade.JPG|thumb]] ငါးနှစ်ခန့်မျှ ရန်သူ၏လက်တွင်း အကျဉ်းခံနေရရာ မိမိတို့၏ ဘုရင်အား ချစ်ခင်မြတ်နိုးလှသော တိုင်းသူပြည်သားများသည် ယခုခေတ် ဒေါ်လာငါးသန်းခန့် တန်ဖိုးရှိသည့် ငွေကြေးအမြောက်အမြားပေး၍ ရွေးယူကြလေသည်။ ထိုသို့ရွေးယူပြီးသည့်နောက်တွင် နဝမလူဝီသည် ပြင်သစ်နိုင်ငံသို့ မပြန်သေးဘဲ ပယ်လက်စတိုင်သို့ ဆက်လက်ချီတက်တိုက်ခိုက်လိုစိတ် ပြင်း ပြနေခဲ့သေးသည်။ သို့သော် ပြည်တော်စောင့်ကျန်ခဲ့သော မယ်တော် ကွယ်လွန်လေသဖြင့် လူဝီသည် ပြင်သစ်နိုင်ငံသို့ ပြန်လာပြီးနောက် နေသားတကျ ရှိစေရန် အုပ်ချုပ်နေခဲ့ရသည်။ နှစ်ပေါင်းအတန်ကြာမျှ ပြင်သစ်နိုင်ငံတွင် သူတော်စင် ဘုရင်တစ်ပါးအနေဖြင့် စိုမိုးခဲ့သည်။ မင်းစည်းစိမ်ခံစားရာတွင် ဝင့်ဝါခြင်းမရှိဘဲ တိုင်းပြည်ကို တရားသဖြင့် အုပ်ချုပ်လေသည်။ တရားမျှတမှုရရှိစေရန် တရားရုံးတော်များတွင် စစ်ဆေးစီရင်ပုံတို့ကို ပြုပြင်ပေး၍ ဥပဒေများလည်း အသစ်ရေးဆွဲပြုပြင်ပေးလေသည်။ ယင်းသို့ အုပ်ချုပ်ရာမှ ပယ်လက်စတိုင်ပြည် ဂျရူးဆလမ်းမြို့သို့ ချီတက်တိုက်ခိုက် သိမ်းပိုက်လိုစိတ် ပြင်းထန်လာပြန်၏။ ထို့ကြောင့် အမျိုးမျိုးတားမြစ်ချက်များကို မနာယူဘဲ ၁၂၇ဝ ပြည့်နှစ်တွင် အာဖရိကတိုက် မြောက်ဘက်ကမ်းရိုးတန်းရှိ တျူနစ်မြို့သို့ ချီတက်ပြန်လေ သည်။ [[ဖိုင်:SmrtLudvika91270.jpg|thumb|ကျူနစ် မြို့အပြင် လူဝီကံကုန်ခဲ့ပုံ]] သို့သော် စစ်တစ်ပွဲမျှပင် မတိုက်ရသေးမီ တပ်သားများနှင့် လူဝီဘုရင်တွင် ပလိပ်ရောဂါဆိုး ကပ်ရောက်သဖြင့် တစ်လအတွင်းမှာပင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအား ဖာနည် နဝမလူဝီသည် ပလိပ်ရောဂါနှင့်ပင် ကွယ်လွန်လေသည်။<br /> ==ဒသမ လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၂၈၉ - ၁၃၁၆)== [[ဖိုင်:Ludvík_X.png|thumb]] ပြင်သစ် ဘုရင် စတုတ္ထဖိလစ်နှင့် နဗားမင်းသမီး ဂျုန်း(ဇန်း)တို့၏ သားတော်ဖြစ်သော ဒဿမလူဝီသည် မယ်တော် နဗားမင်းသမီး ကွယ်လွန်သည့် ၁၃ဝ၅ ခုနှစ်တွင် နဗားဘုရင်ဘွဲ့ကိုခံယူ၍ ခမည်းတော် ဖိလစ်ဘုရင်ကွယ်လွန်သည့် ၁၃၁၄ ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်ဘုရင်ဘွဲ့ကို ခံယူလေသည်။ ဒသမ လူဝီဘုရင်သည် နယ်စားမျာနှင့် အညီအညွတ်မဖြစ်သည် သာမက နိုင်နင်းအောင်လည်း မစွမ်းဆောင်နိုင်ခဲ့ချေ။ ဘဏ္ဍာတော်ဖြည့်တင်းရန်ရည်ရွယ်၍ ၁၃၁၅ ခုနှစ်တွင် ဘုရင်ပိုင်နယ်မြေများမှ မြေကျွန်များအား နိုင်ငံသားအဖြစ် မိမိတို့ လွတ်လပ်ခွင့်ကို ဝယ်ယူနိုင်ရန် ဥပဒေထုတ်ပြန်ခဲ့၏။ သို့ရာတွင် ရည်မှန်းသလောက် ပေါက်မြောက်အောင်မြင်ခြင်း မရှိခဲ့ချေ။ ဒသမ လူဝီသည် ၁၃၁၆ ခုနှစ် နန်းသက်နှစ်နှစ်တွင် ရုတ်တရက် ကံကုန်သည်။<br /> ==၁၁ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၄၂၃ - ၁၄၈၃)== [[ဖိုင်:Louis_XI_(1423-1483).jpg|thumb]] ၁၁ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် သတ္ထမ ချားဘုရင်နှင့် မိဖုရားကြီးမာရီတို့၏ သားတော်ဖြစ်သည်။ ဇူးရှမြို့၌ ၁၄၂၃ ခုနှစ်တွင် ဖွားမြင်သည်။ ထိုအချိန်က ပြင်သစ်နယ်အချို့သည် အဂ‡လိပ်တို့လက်တွင်းသို့ ရောက်ရှိနေခဲ့၏။ လူဝီ ငါးနှစ်သားအရွယ်တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံ၌ မကြုံစဖူးထူးကဲသော အမျိုးသမီးသူရဲကောင်း ဂျုန်းဆိုသူ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီးနောက် နယ်ပယ်အချို့ကို အင်္ဂလိပ်များလက်မှ ပြန်ရခဲ့လေသည်။ ( ဂျုန်းအော့အတ် ။) ရိန်းမြို့တွင် ချားဘုရင်ကြီး ရာဇဘိသိက်ခံယူသောအခါက လူဝီသည် ခြောက်နှစ်သားအရွယ်မျှသာရှိသေး၏။ လူဝီသည် အသက် ၁၃ နှစ်မျှ မပြည့်သေးမီ စကော့တလန်ပြည်ရှင် ပထမဂျိမ်းဘုရင်၏သမီးတော် မာဂရက်နှင့် လက်ဆက်ခဲ့၏။ သို့သော် ချမ်းမြေ့သာယာသော အိမ်ထောင်ရှင်ဘဝကို မခံစားခဲ့ရချေ။ ၁၆ နှစ်အရွယ်၌ လူဝီသည် တိုင်းရေးပြည်မှု အရှုပ်အထွေးများတွင် ပါဝင် ဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ လူဝီသည် ၁၄၆၁ ခုနှစ်တွင် ဖခင်ဘုရင်ကြီး၏ အရိုက်အရာကို ဆက်ခံလေသည်။ ရှင်ဘုရင်ဖြစ်ရန် ခန့်ညားတင့်တယ်သော ဥပဓိရုပ်မရှိသော်လည်း ပါးနပ်၍ အကြံကြီးသူတစ်ဦးဖြစ်သည်။ သူ၏တစ်ခုတည်းသော ရည်မှန်းချက်ကား ပြင်သစ်နိုင်ငံကြီး ကျယ်ပြန့်ဝေဆာစေရန်ပင်ဖြစ်၏။ လူဝီဘုရင်သည် နိုင်ငံရေးပရိယာယ်တွင် အလွန်ပါးနပ်၏။ အင်အားကြီးမား၍ ခက်ထန်သော ဗာဂန်ဒီနယ်စားကြီးနှင့်တကွ အခြားမှူးမတ်များ စည်းလုံးစုပေါင်းကာထောင်ထား ထကြွသောအခါ လူဝီသည် အဓမ္မနည်းကိုမသုံးဘဲ သဘောတူစာချုပ်များ ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ကျေနပ်နှစ်သိမ့်စေခဲ့၏။ သို့ရာတွင် ထိုစာချုပ်များကို တစ်ခုမျှမလိုက်နာဘဲ ပရိယာယ်ကိုသုံး၍ သော်လည်းကောင်း၊ စစ်ပြိုင်၍သော်လည်းကောင်း ရန်သူများကို တစ်ဦးပြီး တစ်ဦး သုတ်သင်ဖြိုခွင်းခဲ့လေသည်။ [[ဖိုင်:Duchy_of_Burgundy.png|thumb|ဘာဂန်ဒီနယ်]] နောက်ဆုံးတွင်ဗာဂန်ဒီနယ်စားကြီးကို ပင် နှိမ်နင်း၍နယ်စားကြီး၏ နယ်ပယ်အများကို ပြင်သစ်နိုင်င ံတွင်းသို့ သွတ်သွင်းလိုက်လေသည်။ လူဝီဘုရင်သည် ကိုယ်ရေးကိုယ်တာအတွက်သုံးစွဲရန် နှမြောတတ် သော်လည်း နိုင်ငံကျယ်ဝန်းမှုအတွက် နယ်စပ်ဒေသများကို ဝယ်ယူဖြည့်သွင်း ရာတွင်မူ ရက်ရောစွာသုံးစွဲလေ့ရှိလေသည်။ လူဝီဘုရင်သည် သက်ဦးဆံပိုင် ဘုရင်စနစ်ဆန်ဆန် အုပ်ဆိုးခဲ့၏။ မိမိဆောင်ရွက်မှုသည် နည်းလမ်းကျ သည်၊ တရားနှင့်ညီသည် မညီသည်ကို ဂရုမထားဘဲ ရည်ရွယ်ချက်အောင် မြင်မှုလောက်ကိုသာ အဓိကထား၍ ဆောင်ရွက်သွားလေ့ရှိ၏။ မည်သို့ပင်ဆို စေ ထိုဘုရင်၏ လက်ထက်တွင် နိုင်ငံ၏မဏ္ဍိုင်ဖြစ်သော ဘုရင့်အာဏာ သည် နယ်စား၊ မြို့စားများအပေါ်တွင် ထိရောက်စူးရှခဲ့သဖြင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံ သည် နိုင်ငံနီးချင်းများ၏ လေးစားမှုကို ခံယူခဲ့ရလေသည်။ နတ်ရွာမစံမီ နှစ်နှစ်သုံးနှစ်ခန့်တွင် လူဝီဘုရင်ကြီးသည် မည်သည့်အမှုကိစ္စ ကိုမျှလည်း စိတ်မဝင်စား၊ မည်သူ့ကိုမျှလည်း စကားမပြော၊ လူသူကင်းဝေး၍ လုံခြုံ သောရဲတိုက်တစ်ခုတွင် ယုံကြည်စိတ်ချရသော ကျွန်ယုံတော ်တစ်စုနှင့်သာ အေးချမ်းသာယာစွာစံနေခဲ့လေသည်။ ဘုရင်ကြီးသည် ၁၄၈၃ ခုနှစ်၊ 0x100သဂုတ်လ ၃ဝ ရက်နေ့တွင် နတ် ရွာစံလွန်၍ သားတော်က အဋ္ဌမချားဘုရင်ဟူသောအမည်ဖြင့် သူ၏ထီးမွေ နန်းလျာကို ဆက်ခံအုပ်စိုးလေသည်။ ==၁၂ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၄၆၂ - ၁၅၁၅)== [[ဖိုင်:Louis-xii-roi-de-france.jpg|thumb]] ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် အဋ္ဌမချားဘုရင်၏ ညီတော်ဝမ်းက ွဲဖြစ်သည်။ အော်လီယန်းစားချား၏ သားတော်ဖြစ်၍ ဘုရင်မဖြစ်မီက အော်လီယန်းနယ် စားဖြစ်သည်။ ၁၄ နှစ်အရွယ်က ၁၁ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ သမီး တော် ဂျုန်း(ဇန်း)နှင့် လက်ဆက်သည်။ ၁၄၉၈ ခုနှစ်တွင် အဋ္ဌမချားဘုရင် ၏ ထီးနန်းကို ဆက်ခံသိမ်းပိုက်သဖြင့် ပြင်သစ်ပြည့်ရှင် ဘုရင်ဖြစ်လာ သည်။ ၁၄၉၉ ခုနှစ်တွင် ပထမကြင်ယာတော်ဖြစ်သူ ဂျုန်းမင်းသမီးကို ကွာ ရှင်း၍ အဋ္ဌမချားဘုရင်၏ ကျန်ရစ်ခဲ့သော ကြင်ယာတော်အန်းနှင့် လက်ထပ်သည်။ အန်းသည် ဗရစ်တန္နီနယ်ကိုစားရသောကြောင့် ထိုနယ်ကိုပိုင်ဆိုင်ရေးအတွက် လက်ထပ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ၁၂ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် စစ်တိုက်ရာ၌ ရက်စက်ကြမ်းကြုတ်၏။ [[ဖိုင်:Location_of_the_Duchy_of_Milan-it.svg|thumb|လူဝီသိမ်းပိုက်ရန်ကြိုးစားခဲ့သော မီလန်နယ်]] အီတလီနိုင်ငံရှိ မီလန်နယ်ကိုရရှိရေးအတွက် အသက်စည်းစိမ်နှင့်တကွ အချိန်ကိုပါဖြုန်းတီးသော စစ်ပွဲပေါင်းများစွာကို ကိုယ်ထိလက်ရောက် ဆင်နွှဲခဲ့လေသည်။ ၁၅၁၂ ခုနှစ်တွင် လူဝီဘုရင် အရှုံးဖြင့် စစ်ပွဲများပြီးဆုံးသည်။ နောက်တစ်နှစ်တွင် ပြင်သစ်တို့သည် အင်္ဂလန်ပြည့်ရှင် အဋ္ဌမဟင်နရီဘုရင်နှင့် စစ်ဖြစ်ပွားရာတွင် စစ်ရေးရှုံးနိမ့်ရပြန်သည်။ ၁၅၁၄ ခုနှစ် စာချုပ်အရ ဟင်နရီဘုရင်၏ နှမတော် မေရီကျူဒါနှင့်လက်ဆက်သည်။ သုံးလမျှအကြာ ၁၅၁၅ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၁ ရက်နေ့တွင်ကံတော်ကုန်သည်။ လူဝီဘုရင်လက်ထက်တွင် တိုင်းပြည်ဝပြောစည်ပင်သောကြောင့် တိုင်းသူပြည်သားတို့၏ ချစ်ကြည်လေးစားမှုကို ခံယူရရှိကာ'ပြည်သူပြည်သားတို့၏ဖခင်' ဟူ၍ ခေါ်ဝေါ်ဂုဏ်ပြုခြင်းကို ခံရသည်။ ==၁၃ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၆ဝ၁ - ၁၆၄၃)== [[ဖိုင်:Louis_XIIIval_grace.jpg|thumb]] ၁၃ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ပြင်သစ်ပြည်ရှင် စတုတ္ထဟင်နရီဘုရင်၏ သားတော်ဖြစ်သည်။ ၁၆၁ဝ ပြည့်နှစ်တွင် ခမည်းတော် ဟင်နရီဘုရင်ကြီး လုပ်ကြံခြင်းခံရသောအခါ လူဝီသည် ကလေးသူငယ်ကစားသည့်အရွယ်သာ ရှိသေးသဖြင့် မယ်တော်မိဖုရားကြီး မာရီဒါမဲဒီချီက ရင်ခွင်ပိုက် အုပ်ချုပ်ခဲ့လေသည်။ လူဝီဘုရင်ကလေး နန်းတက်စနှစ်များတွင် မယ်တော်မိဖုရားကြီး၏ ပျော်ပါးသဘောလွယ်မူ အသုံးဖွာမှုတို့ကြောင့် တိုင်းပြည်၌ ဖရိုဖရဲဖြစ်ကာ အုပ်ချုပ်ရေး သိမ်ဖျင်းခဲ့လေသည်။ သို့ရာတွင် မယ်တော်မိဖုရားကြီး၏ အတိုင်ပင်ခံဖြစ်သော ကာဒင်နယ် ရစ်ရှလျူးသည် ၁၆၂၄ ခုနှစ်တွင် ဘုရင့် အမှုဆောင်အဖွဲ့သို့ ဝင်ရောက်ကာ အုပ်ချုပ်ရေးကို စီမံလုပ်ကိုင်လိုက်သည်မှ စ၍ အခြေအနေမှာ ကောင်းမွန်လာလေသည်။ ကာဒင်နယ်ရစ်ရှလျူးသည် စတုတ္ထဟင်နရီ ဘုရင်ကြီး၏ စည်းမျဉ်းဝါဒအတိုင်း ဘုရင့်အစိုးရ၏ 0x100သဇာစူးရှရေးအတွက် ဆောင်ရွက်ခဲ့၏။ အုပ်ချုပ်ရေးဘက်တွင် စစ်သားနှင့် မှူးမတ်များကို လူလတ်တန်းစားတို့ဖြင့် အစားထိုးကာ လုပ်ကိုင်ခဲ့၏။ နိုင်ငံရေးအားဖြင့် တန်ခိုးကြီးနေသော ဟျူးဂျနိုးခရိယာန်ဂိုဏ်းကြီးကိုလည်း အယူဝါဒသက်သက်ကိုသာ ဆောင်ရွက်လာသည်အထိ နှိပ်ကွပ်ခဲ့လေသည်။ ဟျူးဂျနိုးများနှင့် မှူးမတ်များကို ထိုသို့နှိပ်ကွပ်လိုက်သောသောအခါ ဘုရင့်အစိုးရသည် အာဏာရှိလာလေတော့၏။ ရစ်ရှလျူးသည် ဘုရင့်အစိုးရ ခိုင်မြဲတောင့်တင်းမှုအတွက် ၁၈နှစ်တိုင်တိုင် ဖက်ပြိုင်သူများအားနှိပ်ကွပ်ကာ တင်းမာစွာ ဆောင်ရွက်ခဲ့လေသည်။ ရစ်ရှလျူး ကြိုးစားဆောင်ရွက်သဖြင့် အမျိုးသားစည်းလုံးမှု၊ အယူဝါဒငြိမ်းချမ်းမှုတို့ကို ရရှိခဲ့သည်သာမက ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ တန်ခိုးသည်လည်း ကြီးထွားခဲ့လေသည်။ ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ အထက်မြက်ဆုံးသောဝန်ကြီးဟု ရစ်ရှလျူးအား ချီးကျူးထိုက်ပေသည်။ ( ရစ်ရှလျူး ကာဒင်နယ် - ။) လူဝီဘုရင်နှင့် ရစ်ရှလျူးတို့၏ ဆက်ဆံမှုသည် အငြိအစွန်းမရှိ ပကတိပြေပြစ်ခဲ့သည်ဟု မဆိုနိုင်ချေ။ သို့ရာတွင် လူဝီသည်ရစ်ရှလျူးအား လိုက်လျောခဲ့သည်ကများလေသည်။ ရစ်ရှလျူးသည် ၁၆၄၂ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကွယ်လွန်ပြီးနောက် မကြာမီ လူဝီဘုရင်သည်လည်း ၁၆၄၃ ခုနှစ်၊ မေလတွင် ကံကုန်လေသည်။ ==၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၆၃၈ - ၁၇၁၅)== ၁၄ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ၁၃ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ သားတော်ဖြစ်၍ ၁၆၃၈ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၅ ရက်နေ့တွင် ဖွားမြင်သည်။ မယ်တော်မှာ ဩစတြီးယန်း မင်းသမီးအန်းဖြစ်၏။ ငါးနှစ်သားအရွယ်တွင် ခမည်းတော် ၁၃ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင် နတ်ရွာစံသဖြင့် ပြင်သစ်ထီးနန်းကို ဆက်ခံစိုးစံရလေသည်။ ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ပြင်သစ်ထီးနန်းကို ၇၃ နှစ်တိုင်တိုင် အုပ်စိုးသွားသည်။ ပြင်သစ်နိုင်ငံတွင်သာမက ဥရောပဘုရင်များအနက် နန်းသက်အရှည်ဆုံးသော မင်းဖြစ်၏။ သူ၏လက်ထက်တွင် ဘုရင်၏ တန်ခိုးအာဏာ အထွတ်အထိပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့၏။ လူဝီဘုရင်သည် ငါသည်လျှင် နိုင်ငံတော်ဖြစ်သည်ဟု ထုတ်ဖော်မြွက်ဟသည် ဆို၏။ လူဝီ အရွယ်မရောက်မီ ကာလကမူ နိုင်ငံတော်အုပ်ချုပ်ရေးတွင်လည်းကောင်း၊ နိုင်ငံခြားနှင့် ဆက်ဆံရေးတွင်လည်းကောင်း မယ်တော် မိဖုရားကြီးနှင့် မှူးမတ်ကြီးတို့က ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ အရွယ်ရောက်လာချိန်တွင် လူဝီဘုရင်ကလေးသည် ပြင်သစ်တစ်နိုင်ငံလုံးကို တဖြည်းဖြည်း အချုပ်အခြာအာဏာဖြင့် သူကိုယ်တိုင် အုပ်စိုးလိုခဲ့သော်လည်း ပြည်ရေးပြည်ရာ အဝဝကို သူငယ်စဉ်မှစ၍ နိုင်နင်းစွာ ကြိုူးကိုင်လာခဲ့သော ကာဒင်နယ် မာဇာရင်အား မလွန်ဆန်သာအောင်ရှိခဲ့သည်။ မာဇာရင်သည် ပြင်သစ်နိုင်ငံ ၏ အုပ်ချုပ်ရေး စက်ယန္တရားကြီးတစ်ခုလုံးကို သူ၏လက်ထဲတွင် ထိန်းသိမ်းထားသဖြင့် လူဝီဘုရင်သည် သူထင်တိုင်းမပြုနိုင်ခဲ့ချေ။ သို့ဖြစ်၍ လူဝီ အရွယ်ရောက်ပြီးသည့်နောက်တွင်လည်း စင်စစ် တိုင်းပြည်ကိုအုပ်ချုပ်နေသူ မှာ မာဇာရင်သာလျှင်ဖြစ်လေသည်။ ( မာဇာရင် ယူး - ။) ၁၆၆ဝ ပြည့်နှစ်တွင် အသက် ၂၂ နှစ်အရွယ် လူဝီဘုရင်သည် နှမတော်ဝမ်းကွဲတော်သူ မရီးယာတရီးဇာ မင်းသမီးနှင့် လက်ထပ်သည်။ နောက်တစ်နှစ်တွင် ကာဒင်နယ်မာဇာရင် ကွယ်လွန်အနိစ္စရောက်သဖြင့် လူဝီဘုရင်သည် မာဇာရင်လက်ဝယ်ရှိသော အာဏာတို့ကို ပြန်လည်သိမ်းယူပြီးလျှင် ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးအဖွဲ့ကို သူ့သဘောအတိုင်း ဖွဲ့စည်းခဲ့လေသည်။ မိမိ၏ ဝန်ကြီးအဖြစ် မိမိကိုယ်တိုင်ဆောင်ရွက်မည်ဟု ကြေညာသောဟူ၏။ ဝန်ကြီးများကိုခန့်ရာ၌ မာဇာရင်လက်ထက် ခန့်အပ်ထားသော အချို့ဝန်ကြီးများကို ဖြုတ်ပစ်၍ မိမိသဘောကျသူများကိုသာခန့်သည်။ လူဝီသည် အလွန်အကင်းပါး၍ အရည်အချင်းကို ကောင်းစွာအကဲဖြတ်တတ်သဖြင့် ဉာဏ်ပညာအမြော်အမြင်ကြီးသော အတိုင်ပင်ခံအမတ်ကြီးများကို ရွေးချယ်ခန့်တတ်၏။ သူ၏လက်ထက်တွင် ဘဏ္ဍာရေးကို ကျွမ်းကျင်နိုင်နင်းသော ဝန်ကြီးကိုးလဗားကြောင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ ဘဏ္ဍာရေးဖွံ့ဖြိုးခဲ့၏။ ( ကိုးလဗား ဂျေ - ။ ) ကိုးလဗား၏ စီမံကိန်းများအောင်မြင်စေရန် လူဝီဘုရင်ကိုယ်တိုင် အရေးတယူ ဆောင်ရွက်ခဲ့၏။ လူဝီဘုရင်သည် ဘုန်းတန်ခိုးကြီးမြင့်ရေးကို အထူလိုလားသဖြင့် နယ်ချဲ့ရန် အမြဲစိတ်အားထက်သန်ခဲ့၏။ ၁၆၆၇ ခုနှစ်မှစ၍ နယ်ချဲ့စစ်ပွဲများကို အကြိမ်ကြိမ်တိုက်ခိုက်ခဲ့လေသည်။ ထိုနယ်ချဲ့စစ်ပွဲကြီးများမှာ လူဝီဘုရင် နတ်ရွာစံသည်အထိပင် ကာလရှည်လျားစွာ ဖြစ်ပွားခဲ့၏။ သို့သော် ဆက်တိုက်မဟုတ်ဘဲ စစ်ပွဲတစ်ခုနှင့်တစ်ခုအကြားတွင် အချိန်အတော်ခြားသဖြင့် လူဝီဘုရင်သည် အတန်ကြာနားခွင့်ရခဲ့ပေသည်။ ပထမဆုံးနယ်ချဲ့စစ် ပွဲမှာ စပိန်ပိုင် နယ်သာလန်(ဗဲလဂျီယမ်)ကို သိမ်းပိုက်လိုခြင်းကြောင့် ဖြစ်ရလေသည်။ ဤစစ်ပွဲကို ၁၆၆၇ ခုနှစ်မှ ၁၆၆၈ ခုနှစ်အထိနှစ်နှစ်မျှ တိုက် ခိုက်ပြီးလျှင် ရပ်နားခဲ့သော်လည်း ဒုတိယစစ်ပွဲကြီးအတွက် စစ်မီးညိ|ခဲ့သည်နှင့်တူပေသည်။ ထို့ကြောင့် ၂၆၇၂ ခုနှစ်မှ ၁၆၇၈ ခုနှစ်အထိဟော်လန်နှင့် ဒုတိယအကြိမ် စစ်ဖြစ်ရပြန်၏။ ထိုစစ်ပွဲကြီး နှစ်ပွဲစလုံးတွင် ပြင်သစ်တို့၏ စစ်အင်အားကြီးမားကြောင်း ထင်ရှားခဲ့သော်လည်း ရန်သူတို့၏ တုံ့ပြန်တိုက်ခိုက်မှုများကြောင့် ပြင်သစ်ရေတပ်ကြီးသည် နှစ်ကြိမ်တိုင်တိုင် အရေး နိမ့်ခဲ့လေသည်။ ထို့ကြောင့်လည်း ဟော်လန်ပြည်ကို မသိမ်း ပိုက်နိုင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်၏။ ၁၆၇၈ ခုနှစ်မှ ၁၆၈၈ ခုနှစ်အထိ ၁ဝ နှစ်အတွင်းတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံရေးသည် တစ်မျိုးတစ်ဖုံ ပြောင်းလဲခဲ့လေသည်။ နိုင်ငံတွင်းဆူပူမှုများကြောင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏အင်အားသည် အထူးတလည် ယုတ်လျော့သွားသည့် အပြင် ရှေးကမဟာမိတ်ဖြစ်ခဲ့သော အင်္ဂလန်ကလည်း ပြင်သစ်၏ရန်သူများနှင့် လုံးဝပူးပေါင်းသွားလေသည်။ ၁၆၈၈ ခုနှစ်မှစ၍ ဟော်လန်ပြည်ကို ပြင်သစ်တို့က အလုံး အရင်းနှင့်ချီတက်ကာ တတိယနယ်ချဲ့စစ်ကြီးဆင်နွှဲတိုက်ခိုက်ပြန်ရာ အင်္ဂလန်ပြည့်ရှင် တတိယ ဝီလျံဘုရင်သည် ဟော်လန်ပြည်ဘက်မှ စိတ်ရောကိုယ်ပါ ကူညီတိုက်ခိုက်ပေးသဖြင့် ပြင်သစ်တို့မအောင်မြင်ဘဲ ၁၆၉၇ ခုနှစ်တွင် ရိုင်းစဝစ် စစ်ပြေငြိမ်းရေးစာချုပ်ကိုချုပ်ဆိုကာ စစ်ပွဲကြီးကို အပြီးသတ်ခဲ့ရ ပြန်၏။ ထိုစာချုပ်အရ ပြင်သစ် - ဂျာမန်နယ်စပ်ရှိ ပြင်သစ်ပိုင်နယ် အချို့အဝက်ကို ပြင်သစ်တို့က လက်လွှတ်လိုက်ရလေသည်။ ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ထိုသို့ ဆုံးရှုံးခဲ့ရသည့် နယ် မြေများကို တစ်နည်းနည်းနှင့် ပြန်လည်ရရှိနိုင်ရန် အစဉ်သဖြင့် အကြံယူလျက်ရှိခဲ့သည်။ ထိုအချိန်တွင် စပိန်ဘုရင် ဒုတိယချားသည် နန်းလျာမရှိဘဲ နတ်ရွာစံလေရာ စပိန်ထီးနန်း ဆက်ခံရေးပြဿနာ ပေါ်ပေါက်လာလေသည်။ ထိုအခါ ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် စပိန်ထီးနန်းကို မိမိ မြေးတော် ဖိလစ်မင်းသား ဆက်ခံရန်အတွက် နန်းလုစစ်ပွဲတွင် ပါဝင်တိုက်ခိုက်လေရာ နောက်ဆုံးတွင် အောင်မြင်ခဲ့သော်လည်း ထို ' စပိန်ထီးနန်းဆက်ခံရေးစစ်ပွဲ'ကြီးတွင် ပြင်သစ်စစ်သားနှင့် လက်နက်ခဲယမ်းမီးကျောက် အများအပြားပင် ဆုံးရှုံးခဲ့ရလေသည်။ ဤစစ်ပွဲကြီးမှာ ၁၇၈၁ ခုနှစ်မှ ၁၇၉၃ ခုနှစ်အထိ ၁၂နှစ်မျှကြာရှည်အောင် တိုက်ခိုက်ရသောစစ်ပွဲဖြစ်သည်။ ထိုစစ်ပွဲတွင် ဥရောပ တပ်ပေါင်းစုကြီးကို ဗြိတိသျှစစ်သေနာပတိ မာလဗာရာမြို့စားကြီးကဦးစီး၍ ပြင်သစ်ကို တိုက်ခဲ့လေသည်။ ( မာလဗာရာမြို့စား - ။) စပိန် ထီးနန်းဆက်ခံရေး စစ်ပွဲအပြီးတွင်ချုပ်ဆိုသည့် ယူးထရက် စာချုပ်သည် ပြင်သစ်နိုင်ငံအတွက် ဘဏ္ဍာရေးတွင် များစွာထိခိုက်စေခဲ့သည်။ စစ်ပွဲတွင် ဆုံးရှုံးထားသော ငွေနှင့်လက်နက်များကို အစားထိုးနိုင်ရန် အားသစ်လောင်း၍ ကြိုးစားသော်လည်း အောင်မြင်မှုမရှိခဲ့ချေ။ နိုင်ငံတော်တွင် ဘဏ္ဍာရေး ကြပ်တည်းမှုကြောင့် အခွန်အတုတ်များကို ကြီးလေးစွာ ကောက်ခံသဖြင့် တိုင်းသူပြည်သားများသာလျှင် အနစ်နာခံကြရသည်။ ဘုရင်ကမူ အသုံးအဖြုန်းတွင် လျှော့သည်ဟူ၍မရှိဘဲ တိုင်းပြည်က ကြီးလေးစွာ ထမ်းဆောင်ထားရသော ဘဏ္ဍာတော်ငွေမှ သန်းပေါင်းများစွာ အကုန်အကျခံကာ ဗာဆေးမြို့၌ကြီးကျယ်ခမ်းနားလှသော နန်းတော်ကြီးတစ်ဆောင်ကို ဆောက်လုပ်လေသည်။ ပြည်သူပြည်သားများသည် ဘုရင်၏ပြုမူပုံများ ကို လုံးဝသဘောမကျကြသော်လည်း စည်းလုံးမှုမရှိသေးသဖြင့်ဆူပူထကြွမှုများ မပေါ်ပေါက်ခဲ့ပေ။ ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် အသက်ရှည်ရကား သူအုပ်စိုးနေစဉ် အတောအတွင်း နန်းလျာဖြစ်သော သားတော်အိမ်ရှေ့မင်းသားသည်လည်းကောင်း၊ နောက်တစ်ဆက် နန်းလျာဖြစ်သော မြေးတော်နှစ်ပါးသည် လည်းကောင်း ကွယ်လွန်ကြပြီဖြစ်ရာ ခရစ် ၁၇၁၅ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁ ရက်နေ့တွင် လူဝီဘုရင် နတ်ရွာစံသောအခါ မြစ်တော်အငယ်က ၁၅ဆက်မြောက် လူဝီအဖြစ် ထီးနန်းကိုဆက်ခံသည်။ နန်းသက်ရှည်သလောက်ပင် ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီ ဘုရင်၏ လက်ထက်၌ ပြင်သစ်နိုင်ငံသည် အနုပညာဘက်တွင် ထွန်းပြောင်ခဲ့သည်။ လူဝီဘုရင်သည် ထယ်ဝါခမ်းနားမှုကို အလွန်နှစ်သက်သည့်အလျောက် အနုပညာကို အားပေး၏။ လူဝီဘုရင်သည် သက်ဦးဆံပိုင် တန်ခိုးအာဏာ ရရှိသည်မှန်သော်လည်း သူ၏နန်းသက်အလယ်ပိုင်းလောက်တွင် အထူးအောင် မြင်ရခြင်းမှာ ကျွမ်းကျင်နိုင်နင်း အရည်အချင်းပြည့်ဝသော သူ၏ နိုင်ငံပြု သုခမိန်များကြောင့်ပင်ဖြစ်လေသည်။ ==၁၅ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်( ခရစ် ၁၇၁ဝ - ၁၇၇၄ )== ၁၄ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ မြစ်တော်ဖြစ်၍ ဗာဆေးမြို့၌ ၁၇၁ဝ ပြည့်နှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၅ ရက်နေ့တွင်ဖွားမြင်သည်။ ထီးနန်းကို ၁၇၁၅ ခုနှစ်တွင် ဆက်ခံသည်။ ထိုအခါက လူဝီမှာ ငါးနှစ်သားအရွယ် လူမမယ်မျှသာ ရှိသေး၍ ဦးလေးတော်ဖြစ်သူ အော်လီယန်း နယ်စားကြီးသည် ဘုရင်ကလေး၏ ရင်ခွင်ပိုက်အဖွဲ့ကို ကြီးမှူးအုပ်ချုပ်ခဲ့လေသည်။ ထိုသို့ အုပ်ချုပ်ခဲ့ရာမှ ရှစ်နှစ်မျှကြ သောအခါ အော်လီယန်းနယ်စားကြီး ကွယ်လွန်ခဲ့၍ အာဏာလုမှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပြန်သည်။ ထို့နောက် ဘုရင့်ဆရာဖြစ်သော ကာဒင်နယ်ဖလူးရီးသည် အုပ်ချုပ်ရေးကိုကြိုးကိုင်ကာ တိုင်းပြည်ကို ဦးစီးလိုက်လေသည်။ ကာဒင်နယ်ဖလူးရီးသည် စစ်ကိုမလိုလားဘဲ ဘဏ္ဍာတော်ကို ချွေတာစွာသုံးစွဲခဲ့၏။ သို့ရာတွင် စည်းကမ်းပျက်ပြား ကာ ယိမ်းယိုင်လျက်ရှိသော တိုင်းပြည်၏အခြေအနေကို ထိန်းသိမ်းနိုင်စွမ်း မရှိခဲ့ချေ။ ဖလူးရီးကွယ်လွန်သွားသော ၁၇၄၃ ခုနှစ်မှစ၍ လူဝီသည် တိုင်းပြည်ကို မိမိအလိုကျ အုပ်စိုးခဲ့၏။ သို့ရာတွင် မောင်းမမိဿံများ၏ အလိုတော်ကိုလိုက်သဖြင့် အမှားမှားအယွင်းယွင်းသာလျှင် ဖြစ်ခဲ့လေသည်။ သူ၏ လက်ထက်၌ ခုနစ်နှစ်စစ်ပွဲ ဖြစ်ပွားလေရာ အိန္ဒိယတွင်ရှိသည့် ပြင်သစ်ပိုင် နယ်များနှင့် မြောက်အမေရိကတိုက်ရှိ ကနေဒါပြည်တို့သည် အင်္ဂလိပ်လက်သို့ ကျရောက်ဆုံးပါးခဲ့ရ၏။ ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ ဂုဏ်သတင်းလည်း ကမ္ဘာ့အမြင်တွင် များစွာသိမ်ငယ် သွားခဲ့လေသည်။ ( ခုနစ်နှစ်စစ်ပွဲ ။) အမျိုးသားကောင်းစားရေးကို လျစ်လျူရှုကာ နန်းတွင်းသာယာမှုအတွက် အသုံးအဖြုန်းအားကြီးခဲ့သဖြင့် ပြည်သူတို့သည် ဘုရင်စနစ်ကို မုန်းတီးခဲ့ကြလေသည်။ ထိုမုန်းတီးစိတ်ကား ဘုရင်ဆက် ပြတ်သွားအောင် တော်လှန်ရေးကြီး ပေါ်ပေါက်လာသည်အထိ ဆီးတား၍မရနိုင်သောအခြေသို့ ရောက်စေခဲ့လေသည်။ 'ကျွန်ုပ်လွန်လျှင် ဒုက္ခပင်လယ်ဝေမှာပေါ့' ဟုပြောလေ့ရှိသော လူဝီဘုရင်သည် နှစ်ပေါင်း ၆ဝ ခန့် အုပ်စိုးပြီးနောက် ၁၇၇၄ ခုနှစ်၊ မေလ ၁ဝရက်နေ့တွင် ကံကုန်လေသည်။ ==၁၆ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၇၅၄ - ၁၇၉၃)== ထိုမင်းသည် ၁၅ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ မြေးတော်ဖြစ်၍ ပြင်သစ်တော်လှန်ရေးအတွင်း တိုင်းသူပြည်သားတို့ ခေါင်းဖြတ်အဆုံးစီရင်ခြင်း ခံရ လေသည်။ ၁၆ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ၁၅ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏သားတော် အိမ်ရှေ့မင်း၏ သားတော်ဖြစ်၍ ၁၅ရ၄ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၂၃ရက်နေ့တွင် ဗာဆေးမြို့၌ ဖွားမြင်သည်။ ရာဇာဘိသိက် ခံယူစဉ်အခါက အသက် ၂ဝ မျှရှိပေပြီ။ ဘုရင်မဖြစ်မီ လေးနှစ်ခန့်က ဩစတြီးယန်းဘုရင်မ မရီးယား တရီးဇား၏ သမီးတော်ဖြစ်သူ မာရီအန်တွာနတ်မင်းသမီးနှင့် စုလျားရစ်ပတ် လက်ဆက်ခဲ့သည်။ ( မာရီအန်တွာနတ် ။) လူဝီဘုရင်သည် ဘိုးတော်ဖြစ်သူ ၁၅ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ အပျော်အပါးများပြားလှသော နန်းတော်တွင်း၌ ကြီးပြင်းလာသည်မှန်သော်လည်း မကောင်းမှုဒုစရိုက်များကို ရှောင်ကြဉ်ခဲ့၍ ကိုယ်ကျင့်တရားနှင့်ပြည့်ဝကာ ဘာသာအယူဝါဒကို ရိုသေကိုင်းရှိုင်းသူဖြစ်၏။ သို့ရာတွင် စိတ်ထား ပျော့ညံ့သူဖြစ်သည့်အလျောက် အရေးရှိက မိဖုရားကိုအားထားကာ မိဖုရား၏ အလိုသို့လိုက်၏။ တိုင်းရေးပြည်မှုတွင် စိတ်မဝင်စားလှဘဲ အမဲလိုက် ရန်သာ စိတ်သန်လေသည်။ ဘုရင်ဖြစ်လာသောအခါ ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော ဘဏ္ဍာရေးအခြေအနေကို ထိန်းသိမ်းတည့်မတ်ပေးရန် ပြင်သစ်နိုင်ငံပြု သုခမိန်တစ်ဦးဖြစ်သူ တားဂိုးအား လွှဲအပ်ခဲ့လေသည်။ တားဂိုး၏ စွမ်းဆောင်မှုကြောင့် တိုင်းပြည်တွင် တိုးတက်တန်သလောက် တိုးတက်ခဲ့၏။ သို့သော် မင်းပင်ကောင်းလျက် မင်းမြှောင်ဖျက်ဆိုသော စကားကဲ့သို့ ကိုယ်ကျိုးလိုလားသူ အမတ်များနှင့် အသုံးအဖြုန်းကြီးသော မိဖုရားကြီးမာရီအန် တွာနတ်တို့သည် တစ်ကျိတ်တည်း ပူးပေါင်း၍ တစ်ဖက်တစ်လမ်း ကြံစည်ခဲ့ကြရာ နောက်ဆုံးတွင် ဘုရင်သည် တားဂိုးအား ရာထူးမှ နုတ်ပယ်လိုက် သည်အထိ ဖြစ်လေသည်။ လုပ်ရည်ကိုင်ရည်ရှိသော တားဂိုးအား ရာထူးမှနုတ်ပယ်လိုက်သည့်နောက်တွင် တိုင်းပြည်အခြေအနေမှာ ဆိုးသည်ထက်ဆိုးလာလေသည်။ ဘဏ္ဍာတော်အဖြုန်းများသဖြင့် အစိုးရလက်ဝယ် ငွေမရှိဖြစ်ခဲ့ရာအခွန် တိုးတက်ကောက်ခံရန် အကြောင်းပေါ်လာတော့၏။ သို့ဖြင့် ၁၇၅နှစ်တိုင်တိုင် မကျင်းပဖြစ်သော စတိတ်ဂျင်နရယ် လွှတ်တော်အစည်းအဝေးကြီးကို ဆင့် ခေါ်၍ ဆွေးနွေးရလေသည်။ စတိတ်ဂျင်နရယ်လွှတ်တော်ကို ၁၇၈၉ ခုနှစ်၊ မေလ ၄ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုလွှတ်တော်တွင် မှူးမတ်များ၊ သာသနာ့ဝန်ထမ်းများ နှင့် ဆင်းရဲသားကိုယ်စားလှယ်များ ပါရှိလေသည်။ ထိုသို့ လွှတ်တော်ကို ဆင့်ခေါ်သည်မှစ၍ ပြင်သစ်တော်လှန်ရေး စတင်ဖြစ်ပွားသည်ဟုဆိုရပေမည်။ ( ပြင်သစ်တော်လှန်ရေး ) မိမိတို့ သဘောမတူဘဲ အခွန်များမတိုးရဟု အစည်းအဝေးတွင် ဆင်းရဲသားကိုယ်စားလှယ်များက ကန့်ကွက်ကြသည်။ ထို့ပြင်အုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေကို ရေးဆွဲခြင်း၊ လွှတ်တော်မှန်မှန်စည်းဝေးခြင်း၊ မဲပေးရာတွင် သာတူညီမျှရှိစေခြင်း၊ အခွန်အတုတ် သက်သာစေခြင်း စသည့်အချက်များကို ဆောင်ရွက်ရန် တောင်းဆိုကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဘုရင်နှင့် အခွန်မထမ်းကြရသော မှူးမတ်များ၊ သာ သနာ့ဝန်ထမ်းများသည် အခွန်ထမ်းဆင်းရဲသား ကိုယ်စားလှယ်များကို လွှတ်တော်တွင် ပါဝင်ခွင့်မပေးဘဲနေလေသည်။ ဆင်းရဲသား ကိုယ်စားလှယ်တို့ သည် အလျှော့မပေးဘဲ သီးခြားလွှတ်တော်တစ်ခုကို တည်ထောင်ကာ အမျိုးသားလွှတ်တော်အဖြစ် ကြေညာခဲ့လေသည်။ ဘုရင်သည် ထိုသို့ကြေညာသူတို့ကို စစ်တပ်ဖြင့် နှိမ်နင်း၏။ သို့ရာတွင် စစ်သည်တော်တို့သည် ဆင်းရဲသားကိုယ်စားလှယ်များအားမနှိပ်နင်းဘဲ ဘုရင့်အာဏာကို ဖီဆန်ကြလေသည်။ ထိုအခါ လူဝီသည် နိုင်ငံခြားစစ်တပ်တို့၏ အကူအညီဖြင့် နှိမ်နင်းရန် ကြိုးစားပြန်၏။ ထိုအခါ ပါရစ်မြို့နေ ဆင်းရဲသားအပေါင်းတို့သည် မခံမရပ်နိုင်ဖြစ်ပြီးလျှင် ၁၇၈၉ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၁၄ ရက်နေ့တွင် ဗက်စတီးခေါ် နိုင်ငံရေး အကျဉ်းထောင်ကြီးကို အတင်းဝင်စီးလေသည်။ ဗက်စတီးကို စီးမိသောအခါ အကျဉ်းသားများအား လွှတ်ပစ်ကြ၏။ သိုလှောင်ထားသော စစ်လက်နက်များကို သိမ်းယူလိုက်ကြ၏။ သို့ဖြင့် ဘုရင့်နိုင်ငံရေးအာဏာကို တော်လှန်သော ပြည်သူဆင်းရဲသားတို့နှင့် မင်း၊ မှူးမတ်၊ သာသနာဝန်ထမ်းတို့ အာဏာလုသော ပြင်သစ်တော်လှန်ရေးကြီး စတင်ဖြစ်ပွားလေတော့သည်။ ပြည်သူဆင်းရဲသားများသည် အင်အားကြီးမားလာရာ ဆင်းရဲသား ကိုယ်စားလှယ်တို့သည် အမျိုးသားလွှတ်တော်မှတစ်ဆင့် နိုင်ငံကိုအုပ်ချုပ်လေသည်။ ဦးစွာ၌ လူဝီဘုရင်သည် တော်လှန်ရေးသမားများနှင့် တွဲဖက်၍ ဆောင်ရွက်ကာ နိုင်ငံအခြေအနေကို ပြုပြင်ပေးရန် သဘောတူခဲ့၏။ သို့ရာတွင် မိဖုရားကြီး မာရီအန်တွာနတ်နှင့် နန်းတွင်မှူးမတ်များ၏စကားကို နားယောင်မိသဖြင့် ပေးထားသမျှသော ကတိတို့ကို လျစ်လျူရှုခဲ့လေသည်။ ထို့ပြင် ၁၇၉၁ ခုနှစ်တွင် ဩစတြီးယားနိုင်ငံ၏ အကူအညီကို ရယူလိုသဖြင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံမှ ထွက်ပြေးရန်ကြံစည်ပြန်သည်။ သို့သော် အထမမြောက်ခဲ့ချေ။ ထိုအပြုအမူတို့ကြောင့် ဘုရင်နှင့် မိဖုရားတို့အား တိုင်းသူပြည်သားတို့က အယုံအကြည် ကင်းလာကြသည်။ မိဖုရားကြီးအား ဩစတြီးယန်းမဟူ၍ပင် ရှုတ်ချခေါ်ကြသည်။ ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေအရ သာ အုပ်ချုပ်မည့် ဘုရင်အဖြစ်ဖြင့် အုပ်စိုးရန်ဟူသော အခြေခံဥပဒေကို လူဝီပစ်ပယ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ပြည်သူတို့သိလာကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၁၇၉၁ ခု၊ ဩဂုတ်လ ၁ဝ ရက်နေ့တွင် မင်းမိဖုရားတို့စံမြန်းရာ တျူးလရီးနန်း တော်ကို တိုက်ခိုက်သိမ်းယူလိုက်ကြသည်။ ဥပဒေပြု လွှတ်တေယ်အဖွဲ့သည် ဘုရင့်အားနန်းမှချကာ အကျဉ်းချထားကြောင်း ကြေညာလိုက်သည်။ ထို့နောက် ဘုရင်စနစ် ဖျက်သိမ်းလိုက်ကြောင်း ၁၇၉၂ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပသော လွှတ်တော်ညီလာခံမှ ဆုံးဖြတ်ကြပြီးလျှင် လူဝီအား ရန်သူနိုင်ငံများနှင့် လျှို့ဝှက်စွာ ဆက်သွယ်ခြင်းဖြင့် ပြည်သူအပေါ် သစ္စာဖောက်မှုနှင့် တရားစွဲ ဆိုကာ သေဒဏ်ပေးလိုက်သည်။ ၁၇၉၃ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် လူဝီဘုရင်သည် ပြည်သူပြည်သားတို့က ခေါင်းဖြတ်ဓားစက်အောက် ၌ အဆုံးစီရင်ခြင်းကို ခံယူသွားရ၏။ မိဖုရားကြီး မာရီအန်တွာနတ်နှင့် အခြားများစွာသော မှူးမတ်၊ သာသနာဝန်ထမ်းတို့လည်း ထိုနည်းတူ အဆုံးစီရင်ခြင်း ခံကြရလေသည်။ ထို့နောက် ပြည်သူဆင်းရဲသားကိုယ်စားလှယ် များပါဝင်သော လွှတ်တော်ညီလာခံကလည်း ပြင်သစ်နိုင်ငံကို သမ္မတနိုင်ငံဟူ၍ ကြေညာလိုက်လေသည်။ '''၁၇ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၇၈၅ - ၁၇၉၅)။ ။ ''' ဘုရင်အမည်သာခံရ၍ အကယ်စင်စစ် မစိုးစံရသော ၁၇ ဆက်မြောက်လူဝီဘုရင်သည် ၁၆ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်နှင့် မိဖုရားမာရီအတ်တွာနတ်တို့၏ ဒုတိယသားတော်ဖြစ်သည်။ ခရစ် ၁၇၈၅ ခု၊ မတ်လ ၂၇ ရက် နေ့တွင် ဗာဆေးမြို့၌ဖွားမြင်သည်။ ၁၇၈၉ ခုနှစ်၌ နောင်တော်လွန်သဖြင့် နန်းလျာဖြစ်လာသည်။ ၁၇၉၃ ခုနှစ်တွင် တော်လှန်ရေးသမားတို့၏ အဆုံးစီရင်ခြင်းကို လူဝီဘုရင်ခံရသောအခါ အကျဉ်းထောင်တွင်းရှိ မင်းသားကလေး လူဝီချားကို ဘုရင့်ဂိုဏ်းသားများက ဘုရင်အဖြစ် အသိအမှတ်ပြုကြသည်။ အမည်အားဖြင့်သာ ဘုရင်ဖြစ်၍ အကျဉ်းခံမြဲခံနေရသည်။ ဘုရင်ကလေး အသက် ၁ဝ နှစ်အရွယ် ၁၇၉၅ ခုနှစ်၊ ဇွန်လတွင် ဘုရင်ကလေး ကံတော်ကုန်ကြောင်း ကြေညာသည်။ မြု|ပ်နှံရာနေရာ အမှတ်အသားမရှိသဖြင့် အချို့ကဘုရင်ကလေးမသေဘဲ လွတ်မြောက်သွားသည်ဟု ယူဆကြသည်။ နောက် ဗူးဗွန်မင်းဆက် ပြန်လည်အသက်ဝင်လာသောအချိန်တွင် အယောင်ဆောင် ၁၇ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်များပေါ်လာသည်။ ==၁၈ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်(ခရစ် ၁၇၅၅ - ၁၈၂၄)== ထိုမင်းသည် ၁၆ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်၏ ညီတော်ဖြစ်၍ ၁၇၅၅ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၁၇ ရက်နေ့တွင် ဗာဆေးမြို့၌ဖွားမြင်သည်။ ဘုရင်မဖြစ်မီက ကောင့်ဘွဲ့ခံ ပရောဗင့်စားဖြစ်သည်။ ၁၇၈၁ ခုနှစ်အထိ နန်းလျာဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၇၈၉ ခုနှစ်၌ ပြင်သစ်တော်လှန်ရေး ဖြစ်ပွားပြီးသည့်နောက်ပိုင်းတွင် ပါရစ်မြို့၌ပင် နေရစ်ခဲ့သည်။ ၁၇၉၁ ခုနှစ်၌ ပြင်သစ်နိုင်ငံမှ ရှောင်တိမ်းသွား သည်။ ယင်းသည့်နောက်ပိုင်းတွင် နန်းကို ပြန်လည်ရရှိရန် ကြံစည်သည်။ ၁၇၉၅ ခုနှစ်တွင် ၁၇ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်ကလေး ကံကုန်သည်တွင် ၁၈ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်ဘွဲ့ကို ခံယူသည်။ ၁၈၁၄ ခုနှစ်တွင် နပိုလီယန် ဗိုနာပတ်စစ်ရှုံး၍ အဲလဗကျွန်းသို့ ပို့ခြင်းခံရသောအခါ ပြင်သစ်ထီးနန်းကို ၁၈ ဆက်မြောက်လူဝီဘုရင် သိမ်းပိုက်သည်။ ထိုစဉ်အခါက လူဝီဘုရင်သည် အသက်အရွယ်အားဖြင့် ၅၉ ခုနှစ်မျှရှိပေပြီ။ ၁၈၁၅ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁ ရက်နေ့တွင် အဲလဗကျွန်းမှ နပိုလီယန်လွတ်မြောက်လာ၍ အလုံးအရင်း စုဆောင်းပြီးသော် ပြင်သစ်ထီးနန်းကို ရက် ၁ဝဝ မျှ ပြန်လည်သိမ်းပိုက်ထားသည့် ကာလအတွင်း လူဝီမှာ ပြည်နှင်ခံရသည်။ ဝါးတာလူးစစ်ပွဲအပြီးတွင်မူ လူဝီသည် ပါရစ်မြို့သို့ ပြန်လည်ရောက်လာကာ မဟာမိတ်တို့က ထီးနန်းအပ်နှင်းသည်ကိုခံရ၏။ ဗူးဗွန်မင်းမျိုး၏ သွေးပါလာသဖြင့် တန်ခိုးအာဏာကို ခုံမင်မက်မောသော စိတ်ဓာတ်ပြင်းထန်လင့်ကစား လူဝီသည် တိုင်းပြည်ကို သက်ညှာစွာ တရားသဖြင့် အုပ်စိုး၏။ သို့ရာတွင် အသစ်ဖွဲ့စည်းသော လွှတ်တော်၌ ဘုရင့်ဂိုဏ်းသားများသည် အင်အားကြီးမားလာကာ တိုင်းပြည်ကိုချုပ်ချယ် လာပြန်သည်။ လူဝီသည် လက်စားချေလိုသော တစ်ယူသန် ဘုရင့်ဂိုဏ်း သားများအား ၁၈၂ဝ ပြည့်နှစ်တိုင်အောင် ဟန့်တားနိုင်ခဲ့သော်လည်း ယင်းသည့်နောက်ပိုင်းတွင်မူ အသက်အရွယ်က ထောက်လာသည့်အပြင် ဘုရင့်ဂိုဏ်းသားများကလည်း အထူများပြားလာသောကြောင့် တစ်ယူသန်သမားတို့ အား လိုက်လျောခဲ့ရလေသည်။ ဘုရင့်ဂိုဏ်းသား တစ်ယူသန်များ၏ ခြယ်လှယ်မှုသည် တော်လှန်ရေးမပေါ်မီကထက်ပင် ဆိုးရွားလာတော့၏။ သို့ဖြင့် လူဝီဘဘုရင်တန်ခိုးအာဏာ ယုတ်လျော့သွားပြီးလျှင် ညီတော် ဒဿမ ချား လက်ထက်တွင် ဗူးဗွန်မင်းဆက် သုန်းသွားလေအောင် လမ်းခင်းပေးခဲ့လေသည်။ ၁၈ ဆက်မြောက် လူဝီဘုရင်သည် ၁၈၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၁၆ ရက်နေ့တွင် ကံကုန်သည်။<ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၁၂)</ref> == ကိုးကား == <references/> [[Category:နိုင်ငံတကာ ဘုရင်များ]] c2v66pgya7awfw83ukvqilgae7kjze1 0 19423 1039151 1026141 2026-06-17T13:41:51Z Peter Moe 44957 နန်းနီနီအေး 1039151 wikitext text/x-wiki {{Infobox order | name = မဟာသီရိသုဓမ္မ<br>သင်္ဂဟဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့ | title = | image = Maha Thiri Thudhamma with neck ribbon.svg | caption = မဟာသီရိသုဓမ္မသင်္ဂဟဘွဲ့၏ လည်ဆွဲဖဲကြိုးဖြင့် အဆောင်အယောင်တံဆိပ် နမူနာ ပုံ | image_size = 200px | image2 = [[ဖိုင်:Order of Thudhamma Thingaha.png|100px]] [[ဖိုင်:Maha Thiri Thudhamma Thingaha (back).png|100px]] | caption2 = (ရှေ့ဖက်) နှင့် (ကျောဖက်) </br> မဟာသီရိသုဓမ္မ၏ အဆောင်အယောင်တံဆိပ်ပုံ </br> {{Small|''(သုဓမ္မသင်္ဂဟများ၏ အဆောင်အယောင်တံဆိပ် ရှေ့ဖက်ပုံစံများသည် တူညီကြသည်။<ref name=":1"/>)''}} | image_size2 = 200px | awarded_by = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော် သမ္မတ]] | type = [[သုဓမ္မသင်္ဂဟ|သုဓမ္မသင်္ဂဟဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့]] | established = ၁၉၄၈ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၂ ရက် | country = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ|title=မြန်မာနိုင်ငံ}} | ribbon = [[File:Service ribbon of the Thudhamma Thingaha.svg|border|60px]] | motto = | eligibility = | criteria = နိုင်ငံတော်အတွက် ထူးကဲစွာ အမှုထမ်းသူများ နှင့် အကျိုးဆောင်သူများ | status = | founder = | head_title = | head = | first_induction = | last_induction = | total = | related =[[မဟာသရေစည်သူ]] | higher = [[သတိုးသီရိသုဓမ္မ]] | lower = ''မရှိပါ'' }} '''မဟာသီရိသုဓမ္မဘွဲ့''' သည် (၁၉၄၈) လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက်ပိုင်းတွင် လူပုဂ္ဂိုလ်များကို စစ်ဘက်၊ နယ်ဘက် နယ်ပယ်၌ အကျိုးဆောင်ခဲ့သည့်အတွက် ဂုဏ်ပြုရန်သတ်မှတ်တီထွင်ပေးအပ်ခဲ့သည့် ဘွဲ့တံဆိပ်တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတော်အတွက် ထူးကဲစွာဆောင်ရွက်သူများ၊ အကျိုးဆောင်သူများအားချီးမြှင့်အပ်နှင်းရန်အတွက်ဖြစ်သည်။<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.mlis.gov.mm/mLsView.do;jsessionid=36773D0AC1B90D794F8E1781E220FD66?lawordSn=10945|title=ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ၊ ဂုဏ်ထူးဆောင်တံဆိပ်များဆိုင်ရာပြဋ္ဌာန်းချက် ထုတ်ပြန်ခြင်း|author=[[နိုင်ငံတော်အေးချမ်းသာယာရေးနှင့်ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီ]]၊ [[ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံတော်]]|accessdate=၂၇.၀၆.၂၀၂၂|quote=အခန်း(၈)၊ ဂုဏ်ထူးဆောင်တံဆိပ်များဆိုင်ရာ အရည်အချင်းများ|archive-date=26 June 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220626061907/https://www.mlis.gov.mm/mLsView.do;jsessionid=36773D0AC1B90D794F8E1781E220FD66?lawordSn=10945}}</ref>(သာသနာ့နုဂ္ဂဟဘွဲ့များနှင့် မရောထွေးပါနှင့်) ယခင်ကာလများ၌ ဤဘွဲ့ကို သမ္မတ၊ တရားသူကြီးချုပ်၊ လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ၊ စစ်ဗိုလ်ချုပ်၊ ဝန်ကြီးများကို ပေးအပ်ခဲ့သည်။ မဟာသီရိသုဓမ္မ၊ သတိုးသီရိသုဓမ္မ၊ အဂ္ဂမဟာသီရိသုဓမ္မ ဘွဲ့များအဖြစ် ပေးအပ်ခဲ့သည်။<ref name="bbc">[https://www.bbc.com/burmese/in-depth-46747952 လွတ်လပ်ရေးခေတ်က လွတ်လပ်ရေးနေ့မှာ ပေးတဲ့ ဘွဲ့တံဆိပ် သင်္ဂဟ၊ ဘီဘီစီ]</ref> အမျိုးသမီးများထဲက သုဓမ္မသင်္ဂဟကို ရှားရှားပါးပါးရသူမှာ မဟာသီရိသုဓမ္မ ဒေါ်ခင်ကြည်ဖြစ်ပြီး (၁၉၅၁) တွင်ရရှိခြင်းဖြစ်သည်။ မဟာသီရိသုဓမ္မဘွဲ့ရရှိခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံသားများ : #[[ဦးထွန်းဖြူ]] (တိုင်းပြည်ပြုလွှတ်တော်ခေတ်၏ ပထမဆုံးသော မြန်မာနိုင်ငံတော် တရားဝန်ကြီးချုပ်၊ အာဇာနည်ခေါင်းဆောင်များကို ဂဠုန်ဦးစောနှင့် အပေါင်းအပါများက လုပ်ကြံသည့် နိုင်ငံတော်လုပ်ကြံမှုကြီးကို အစိုးရရှေ့နေအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သူ) #[[ဒေါ်ခင်ကြည်]] #[[ဗိုလ်ချုပ်နေဝင်း]] (နောင်တွင် အဂ္ဂမဟာသီရိသုဓမ္မဘွဲ့ပါ ထပ်မံရရှိ) #တပ်မင်းကြီး [[ဗိုလ်လက်ျာ]] #ဗိုလ်မှူးချုပ် [[စောကြာဒိုး]] #[[ဘဦး (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)]]<ref name="bbc" /> #[[နန်းနီနီအေး]] (ဒုတိယသမ္မတ) === ၂၀၂၆ ခုနှစ် === {| class="wikitable" !ချီးမြှင့်သည့်နှစ် !အမည် !ရာထူး !အဖွဲ့အစည်း !ချီးမြှင့်သူ |- | rowspan="2" |နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၃/၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ ချီးမြှင့်အပ်နှင်း {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/81785|access-date=2026-04-17|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref> |ဦး[[ညိုစော]] |ဒုတိယသမ္မတ | |မင်းအောင်လှိုင် |- |ဒေါ်[[နန်းနီနီအေး]] |ဒုတိယသမ္မတ | |မင်းအောင်လှိုင် |} ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Orders, decorations, and medals of Myanmar}} [[ကဏ္ဍ:သုဓမ္မသင်္ဂဟဘွဲ့များ]] {{မြန်မာ-stub}} bgpmv6r7xprn3hg3nt4pap0b9vie7mh 0 19930 1039226 639836 2026-06-17T17:02:03Z Pho Sai 45037 စွယ်စုံကျမ်း ဆောင်းပါးအဖြစ် ပုံစံချခြင်းနှင့် ရေရာမှုမရှိသော အချက်အလက် အချို့အတွက် စိစစ်အတည်ပြုမှုဆိုင်ရာ temp. များ ထည့်သွင်းခြင်း။ 1039226 wikitext text/x-wiki {{Speciesbox |image = ပင့်ကူထိပ်ပိတ်.jpg |genus = Leucas |species = cephalotes |authority = (Roth) [[Kurt Sprengel|Spreng.]] }} ပင့်ကူထိပ်ပိတ်ပင်သည် တစ်နှစ်ခံ အပင်ငယ်မျိုး ဖြစ်၏။ ၂ ပေ ကျော်ကျော် ခန့် မြင့်၏။ အပင် အပေါ်ပိုင်း၌ အကိုင်း အလက် အခက် အရွက် အသီး အပွင့် တို့ ပေါ်ထွက် သည်။ အောက်ပိုင်းအကိုင်းတို့ ကွေးညွှတ် လျက်ရှိ ၏။ တစ်ပင်လုံးခြုံ ကြည့်လျှင် ဘုံ ၇ ဆင့် ရှိသော ပြာသာဒ် နှင့် တူ၏။ ပင်စည်အနှံ့ အမွေးများရှိသည်။ ရွက်ဆိုင် ထွက်သည်။ အလျား ၃ လက်မခန့် ရှည်ပြီး အနံ ၁ လက်မခန့် ကျယ်၏။ လှံစွပ် ပုံသဏ္ဌာန် ရှိ၏။ အဖျား ချွန် အရင်း သွယ်သည်။ ရွက်နား၌ ညီညာသော အထစ်ကလေးများ ရှိ၏။ ရွက်ညှာ တိုသည်။ ပင်လုံး ထိပ်ဖျားမှ ထွက်သော ပွင့်ခိုင် တစ်ခုစီပေါ်တွင် ပွင့်၏။ အပွင့်ဖြူကလေး များသည် ပွင့်ဖတ်အုံ အတွင်း၌ ၅၀-၁၅၀ ထိ ရှိ၏။ အဖြူရောင်ပွင့်ဖတ်ကလေးများ အဖျား ၌ အညိုရောင် ရှိသည်။ ပွင့်ဖတ်လွှာကလေး များ ကြွေကျသွားသော်လည်း ပွင့်ဖတ်အုံ ပန်းအိုးသဖွယ် ကြွင်းကျန်ခဲ့၏။ နတ်တော်၊ ပြာသို လတွင် ပွင့်၏။ ပွင့်ဖတ်အုံအတွင်း၌ အစေ့ကလေး များသဖွယ် ရှိ၏။ တပို့တွဲ၊ တပေါင်းတွင် သီးသည်။ == မြန်မာနိုင်ငံတွင် တွေ့ရှိနိုင်သောနေရာများ == မြန်မာနိုင်ငံ အနှံ့အပြားတွင် ပေါက်ရောက်သည်။ အထူးသဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံ အောက်ပိုင်း တွင် အများဆုံး တွေ့ရသည်။ === ပေါက်ရောက်ပုံ === သဘာဝအလျောက် အလေ့ကျ ပေါက်ရောက်သည်။ == အသုံးဝင်ပုံ == {{မယုံကြည်ရသောရင်းမြစ်|အပိုင်းတွင်}} {{Refimprove section}} မြန်မာ ဆေးကျမ်းများ အလိုအရ ပင့်ကူထိပ်ပိတ်သည် ပူစပ်၏။ ချို၏။ စိမ့်၏။ ငန်၏။ ဝမ်းကို သက်စေ၏။ နှုတ်ကို မြိန်စေ၏။ လေသလိပ်ကို ကြေစေ၏။ ကိုယ်တခြမ်းသေ ရောဂါ ကို ပျောက်ကင်း စေ၏။ အရွက်သည် ချို၏။ ခြောက်သွေ့၏။ သည်းခြေကို ပွားစေ၏။ ကိုယ်ရေဝါ ရောဂါ၊ ဖောရောင်ခြင်း၊ ဆီးလွန်ရောဂါ၊ အဖျားရောဂါ တို့ကို ပျောက်စေ၏။ === အသုံးပြုပုံ === ==== အရွက် ==== # <s>မြွေကိုက်သော အနာကို ပင့်ကူထိပ်ပိတ် ရွက်သည် အထူး နိုင်နင်း၏။ ပင့်ကူ ထိပ်ပိတ် ရွက်ကြိတ်၍ ရသော အရည်ကို တိုက်ခြင်း၊ နှာခေါင်းတွင်းသို့ ထည့်ပေးခြင်းဖြင့် မြွေဆိပ်ကို ကျဆင်း ပြေပျောက် စေ၏။</s>{{Verify source}} # ပင့်ကူထိပ်ပိတ် ရွက်ကို ကြိတ်၍ရသော အရည်၌ ပိတ်ချင်းသီးမှုန့် အနည်းငယ် ရောသောက်သော် အကြော ၊ အဆစ်ရောင်ရောဂါ ပျောက်၏။ # အရွက်ကို ကြိတ်၍ရသော အရည်ဖြင့် လိမ်းပေးပါက ယားယံခြင်းကို ပျောက်ကင်း စေ၏။ ==== ပဉ္စငါးပါး ==== # ပဉ္စငါးပါး ကြိတ်ညှစ်ရည်တွင် ငရုတ် ကောင်းမှုန့် အနည်းငယ် ရောစပ်၍ နဖူးကို သုတ်လိမ်းပေးသော် ခေါင်းကိုက် ရောဂါ ပျောက်၏။ # ပင့်ကူထိပ်ပိတ် ကြိတ်ညှစ်ရည်တွင် လက်ချား မီးပေါက်မှုန့် ၊ ပျားရည် အနည်း ငယ် ရောစပ် တိုက်သော် သူငယ်နာ ချောင်းဆိုး ရောဂါ ပျောက်၏။ # အပင်ပြုတ်ရည်၌ လေးညှင်း ၁ ပွင့် ၂ ပွင့် ထည့်သောက်သော် အဖျားပျောက်၏။ # ကိုယ်သားကိုယ်ရေဝါသော ရောဂါ နှင့် သုက်ခန်းသောရောဂါအတွက် ပင့်ကူထိပ်ပိတ် ပင်ကို ပြုတ်သောက်ခြင်း ၊အရည်ညှစ် သောက်ခြင်း၊ အမြစ်ကိုသွေး၍ လည်းကောင်း၊ ကြိတ်ညှစ်၍ လည်းကောင်း သောက်ခြင်း၊ အရွက်၊ အပွင့် ၊အသီး တို့ကို ပြုတ်တို့၊ သုပ်စား ၊ ချက်စားခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း ပျောက်ကင်းစေနိုင်၏။(ဆေးအဖြစ် သုံးခြင်း၌ သကြား အနည်း ငယ်စပ်၍ သုံးရ၏။)<ref>http://arogyamonline.com/commodity/materials/?raw=85{{Dead link|date=January 2021 }}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[Category:အပင်များ]] [[Category:ဆေးဖက်ဝင် အပင်များ]] 07k00bq4gl4iuxc799ouhj2jw9b9gjs 0 21433 1039377 1020996 2026-06-18T11:29:46Z Salai Rungtoi 22844 /* ကွယ်လွန်သူများ */ 1039377 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" | align=right |- | {{ဇွန်လ}} |} [[ဇွန်]]လ၊ (၁၈)ရက်နေ့ သည် [[ဂရီဂေါရီးယန်းပြက္ခဒိန်]]အရ တစ်နှစ်တာ၏ (၁၆၉)ရက်မြောက် ([[ရက်ထပ်နှစ်]]ဖြစ်လျှင် (၁၇၀)ရက်မြောက်) နေ့ရက် ဖြစ်သည်။ ယင်းတစ်နှစ်တာ ကုန်ဆုံးရန် ရက်ပေါင်း (၁၉၆) ရက် ကျန်သေးသည်။ == ဖြစ်စဉ်များ == *၁၉၈၅ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့ နံနက် ၇ နာရီအချိန်တွင် မင်္ဂလာဒုံ၌ တပ်မတော် ( ကြည်တပ် ) အမှတ်( ၁ ) လေ့ကျင့်ရေးတပ် ပထမပတ် အမျိုးသမီးတပ်ခွဲ ကျောင်းဆင်းပွဲကို ကျင်းပပြုလုပ်ခဲ့ကြောင်း နောက်တစ်နေ့၌ ဟံသာဝတီသတင်းစာတွင် သတင်းဖော်ပြပါရှိသည်။ *[[၁၉၈၉]] - [[နိုင်ငံတော် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားမှု တည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့]] ဥပဒေအမှတ်(၁၅/၈၉) ဖြင့် Union of Burma ဟူသည့် စကားရပ်အစား Union of Myanmar ဟု ပြောင်းလဲ ခေါ်ဆိုရန် [[စကားရပ်များ ပြောင်းလဲသတ်မှတ်သည့် ဥပဒေ|စကားရပ်များ ပြောင်းလဲသတ်မှတ်သည့်ဥပဒေ]]ကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ == မွေးဖွားသူများ == *၁၉၉၅ - [[မောင်မောင်လွင် (ဘောလုံးသမား)|မောင်မောင်လွင်]]၊ မြန်မာ့လက်ရွေးစင်ဘောလုံးအာကစားသမား * * == ကွယ်လွန်သူများ == *[[၂၀၂၆]] - [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]]၊ [[အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆု]]ရ ဆရာကြီး ([[၁၉၃၇]] မွေးဖွား) * * == ပွဲတော်ရက်များ == * * * == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{လများ}} [[Category:ရက်စွဲများ]][[Category:ဇွန်]] 9p79m4z2pyb3cfw9mhy01yu0z9sfrka 1039381 1039377 2026-06-18T11:34:05Z Salai Rungtoi 22844 1039381 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" | align=right |- | {{ဇွန်လ}} |} [[ဇွန်]]လ၊ (၁၈)ရက်နေ့ သည် [[ဂရီဂေါရီးယန်းပြက္ခဒိန်]]အရ တစ်နှစ်တာ၏ (၁၆၉)ရက်မြောက် ([[ရက်ထပ်နှစ်]]ဖြစ်လျှင် (၁၇၀)ရက်မြောက်) နေ့ရက် ဖြစ်သည်။ ယင်းတစ်နှစ်တာ ကုန်ဆုံးရန် ရက်ပေါင်း (၁၉၆) ရက် ကျန်သေးသည်။ == ဖြစ်စဉ်များ == *၁၉၈၅ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့ နံနက် ၇ နာရီအချိန်တွင် မင်္ဂလာဒုံ၌ တပ်မတော် ( ကြည်တပ် ) အမှတ်( ၁ ) လေ့ကျင့်ရေးတပ် ပထမပတ် အမျိုးသမီးတပ်ခွဲ ကျောင်းဆင်းပွဲကို ကျင်းပပြုလုပ်ခဲ့ကြောင်း နောက်တစ်နေ့၌ ဟံသာဝတီသတင်းစာတွင် သတင်းဖော်ပြပါရှိသည်။ *[[၁၉၈၉]] - [[နိုင်ငံတော် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားမှု တည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့]] ဥပဒေအမှတ်(၁၅/၈၉) ဖြင့် Union of Burma ဟူသည့် စကားရပ်အစား Union of Myanmar ဟု ပြောင်းလဲ ခေါ်ဆိုရန် [[စကားရပ်များ ပြောင်းလဲသတ်မှတ်သည့် ဥပဒေ|စကားရပ်များ ပြောင်းလဲသတ်မှတ်သည့်ဥပဒေ]]ကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ == မွေးဖွားသူများ == *၁၉၉၅ - [[မောင်မောင်လွင် (ဘောလုံးသမား)|မောင်မောင်လွင်]]၊ မြန်မာ့လက်ရွေးစင်ဘောလုံးအာကစားသမား * * == ကွယ်လွန်သူများ == *[[၂၀၂၆]] - [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]]၊ [[အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆု]]ရ ဆရာကြီး (၁၉၃၆ မွေးဖွား) * * == ပွဲတော်ရက်များ == * * * == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{လများ}} [[Category:ရက်စွဲများ]][[Category:ဇွန်]] d1xsjp8gsz999j0kan0qvdhdeidk5uu 0 29429 1039371 877628 2026-06-18T10:54:37Z ~2026-35514-83 144560 /* ကိုးကား */ စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1039371 wikitext text/x-wiki {{Infobox dot-com company | name = Spotify | logo = 2024 Spotify Logo.svg | logo alt = Spotify Logo | screenshot = [[File:Spotify_iOS_Browse.png|240px]] | caption = Screenshot of Spotify for iOS. | collapsible = yes | country of origin = Sweden | locations = 20 | founder = Daniel Ek, Martin Lorentzon | CEO = Daniel Ek | industry = Music, podcast, and video | url = {{URL|https://www.spotify.com}} | alexa = {{decrease}} 175 (2017)<ref>{{cite web |title=Spotify.com Traffic Statistics |url=http://www.alexa.com/siteinfo/spotify.com |publisher=[[Alexa Internet]] |date=10 March 2017 |accessdate=10 March 2017 |archivedate=6 February 2017 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170206123909/http://www.alexa.com/siteinfo/spotify.com }}</ref> | registration = လိုအပ် | company_type = [[ပုဂ္ဂလိက ကုမ္ပဏီ|ပုဂ္ဂလိက]] | foundation = {{Start date and age|df=yes|2006|04|23}} | location_city = Stockholm, Sweden | num_employees = 1,600+ | num_users = 100 million (50 million paying) }} '''စပေါ့တီဖိုင်း''' (Spotify) ဆိုသည် မှာ ဆွီဒင်အခြေဆိုက် အင်တာနက် အသုံးပြု၍သီချင်း ထုတ်လွှင့်သည့် ကုမ္ပဏီဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အင်တာနက်ပေါ်တွင် သီချင်းခိုးကူးမှုများကို ပပြောက်စေရန် ရည်ရွယ်ကာ၊ ကြော်ငြာပါ သီချင်းများကို အခမဲ့နားထောင်ခွင့်ပေးထားခြင်း၊ သီချင်းများအား ရောင်းချခြင်း၊ အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် အခကြေးငွေပေး၍ ကြိုက်သလောက် ကြော်ငြာမပါဘဲ နားထောင်ခွင့်ပေးထားခြင်း စသည့်ပုံစံအမျိုးမျိုးဖြင့် ဥရောပ နိုင်ငံတချို့နှင့် အမေရိကန်နိုင်ငံသို့ ဝန်ဆောင်မှု ပေးလျက်ရှိသည်။ သင်ပြောခဲ့သလိုပဲ လူအများစုက "Spot" နဲ့ "Identify" ကို ပေါင်းထားတာလို့ ထင်ကြသလို၊ ကုမ္ပဏီကလည်း နောက်ပိုင်းမှာ အဲဒီလိုပဲ အဓိပ္ပာယ်ပြန်ဖွင့်ခဲ့ပေမဲ့ တကယ်တမ်း နာမည်စဖြစ်လာပုံက နားလည်မှုလွဲရာကနေ စခဲ့တာ ဖြစ်ပါတယ်။ ကုမ္ပဏီတည်ထောင်သူတွေဖြစ်တဲ့ Daniel Ek နဲ့ Martin Lorentzon တို့ ၂၀၀၆ ခုနှစ်က ဆွီဒင်နိုင်ငံက အခန်းတစ်ခန်းထဲမှာ ထိုင်ပြီး နာမည်စဉ်းစားနေကြတုန်း Martin က စကားလုံးတစ်ခုကို လှမ်းအော်ပြောခဲ့ပါတယ်။ အဲဒီအချိန်မှာ Daniel က အသံသေချာမကြားရဘဲ "Spotify" လို့ ကြားလိုက်တာပါ။ သူတို့ အဲဒီနာမည်ကို Google မှာ ရှာကြည့်တဲ့အခါ ဘယ်သူမှ သုံးထားခြင်းမရှိသေးတာကို တွေ့ရလို့ ချက်ချင်းပဲ Domain Name ကို ကောက်ယူလိုက်ကြတာ ဖြစ်ပါတယ်။ နောက်ပိုင်း နာမည်ကြီးလာမှ "ဒါက နားလည်မှုလွဲပြီး ထွက်လာတဲ့ စကားလုံးပါ" လို့ ပြောရမှာ ရှက်တာကြောင့် Spot (ရှာဖွေတွေ့ရှိခြင်း) နဲ့ Identify (ခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း) ဆိုပြီး အဓိပ္ပာယ် ပြန်တွဲခဲ့ကြတာ ဖြစ်ပါတယ်။ iz8fd2qf11sfye5tz4tlet2add3cv7t 0 47753 1039145 773677 2026-06-17T13:20:07Z Myanmar Cele Club 144517 About 1039145 wikitext text/x-wiki [[File:Comedian Mos.jpg|thumb|အကယ်ဒမီပွဲတွင် တွေ့ရသော မော့စ်]] မော့စ်သည် သူ၏ အနုပညာ ခြေလှမ်းများကို ကွယ်လွန်သွားပြီဖြစ်သော ဇာတ်မင်းသားကြီး စိန်မာဒင်၏ ဇာတ်အဖွဲ့တွင် ကားလိပ်ဆွဲ ဘဝဖြင့် စတင်ခဲ့သူဖြစ်သည်။ ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး လေးမျက်နှာမြို့၊ ရေတိုးချောင်ရွာ ဇာတိဖြစ်ပြီး အမည်ရင်းမှာ တင်ဝင်းဖြစ်သည်။ ==အနုပညာသည်ဘဝ== လူရွှင်တော် မော့စ်သည် ၁၉၇၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်က မန္တလေး စိန်မြတ်မော် အငြိမ့်၌ ပညာသင် လူရွှင်တော်တစ်ဦးအဖြစ် ဦးစိန်ရိုး၊ ဦးရွှေဗျိုင်း စသည့် လူရွှင်တော်ကြီးများထံတွင် ပညာသင်ခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ ခန့်တွင် မင်းသားကြီး စိန်မာဒင်၏သား မင်းသား မိုးဝင်း၊ မိုးမင်းတို့နှင့်အတူ ဒါရိုက်တာ မောင်စိတ္တ၏ ဇာတ်လမ်းများကို လူရွှင်တော် [[မိုးဒီ‎]]နှင့် တွဲဖက် ကပြခဲ့ရာ မိုးဒီ-မော့စ် လူရွှင်တော်အတွဲဟု ပရိသတ်မှ စတင် လက်ခံလာခဲ့သည်။ ဇာတ်ခုံပေါ်တွင် ကွန်ဖူးမင်းသား ဘရုစလီကဲ့သို့ သရုပ်ဆောင်ရာ ဘရုစလီမော့စ်၊ နဂါးလေးမော့စ်ဟု နာမည်ကြီးပြီး နောက်ပိုင်း ဇာတ်ထုတ်ဖြစ်သည့် '''မောင်ပေါက်ကျိုင်း''' ဇာတ်၊ '''သုဝဏ္ဏငလျှံ''' ဇာတ်များမှာ လူကြိုက်များခဲ့သည်။ ထို့နောက်ရန်ကုန်စံပြသဘင်မှ ခွဲထွက်ပြီး ဒါရိုက်တာ မောင်စိတ္တ၊ မိုးဒီ၊ မော့စ်တို့ ပူးပေါင်းကာ မင်းသား တင်မိုးဝင်းကို မင်းသားအဖြစ် တင်မြှောက်လျက် '''ကျွန်တော့်သဘင်''' ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ မိုးဝင်းဇာတ်သဘင်နှင့် ၁၅ နှစ်ကြာ လက်တွဲကပြခဲ့ပြီးနောက် မိုးဒီ နှင့် မော့စ် ပူးပေါင်းကာ ဇာတ်ထောင်ခဲ့သည်။ ဇာတ်ထောင်သည့် အချိန်မှာပင် ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဝန်းကျင်ခန့်က ဒါရိုက်တာ ဦးမြင့်ကျော် ရိုက်ကူးသည့် '''ရှက်တယ် တအား''' ဗီဒီယို ဇာတ်ကားတွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး ဒါရိုက်တာ စိန်သံမဏိ ရိုက်ကူးသည့် '''ဖာတစ်လုံး ရွှေရိုး''' ဗီဒီယိုဇာတ်ကားဖြင့် အနုပညာ လောကထဲသို့ အောင်မြင်စွာ ခြေချနိုင်ခဲ့သူဖြစ်သည်။ ၁၉၈၆ ခုနှစ်တွင် ပဲခူးသန်းအောင် စီစဉ်သည့် မိုးဒီနှင့် မော့စ်တို့နှစ်ဦး ပါဝင်သော '''မင်္ဂလာဦးည''' ဗီဒီယိုဇာတ်ကားသည် မြန်မာ ဗီဒီယို ခေတ်ဦးပိုင်းက အငှားရဆုံးအခွေ၊ အလှူ၊ မင်္ဂလာဆောင် စသည့်တို့တွင် မပါမဖြစ် ငှားရမ်းပြသရသည့် အခွေဖြစ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဇာတ်သဘင်မှ ဗီဒီယို၊ ရုပ်ရှင်လောကသို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့ပြီး ရာဇဝင်၊ ဟာသနှင့် အချစ်ဟာသ စသည့် ဇာတ်ကားများတွင် အဓိက သရုပ်ဆောင်အဖြစ် လည်းကောင်း၊ ဇာတ်ပို့ ဇာတ်ရံအဖြစ် လည်းကောင်း သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ရုပ်ရှင်နှင့် ဗီဒီယိုဇာတ်ကားပေါင်း များစွာတွင် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ရင်း ဒါရိုက်တာ ထွန်းအောင်ဇော် ရိုက်ကူးသည့် '''ထာဝရ အလင်းတန်းများ''' ဇာတ်ကားတွင် ၂၀၁၁ ခုနှစ်အတွက် အကောင်းဆုံး အမျိုးသား ဇာတ်ပို့ဆု [[အကယ်ဒမီ]]ကို ဆုခူးရရှိခဲ့သည်။ အကယ်ဒမီ ရရှိပြီးချိန် ကာလများက မော့စ်ကွယ်လွန်ပြီဟူသော ကောလာဟလ စကားများ ပေါ်ထွက်ခဲ့ပြီး ယင်းနှင့်ပတ်သက်၍ ၂၀၁၃ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂ ရက်နေ့က အကယ်ဒမီ ဒါရိုက်တာ ထွန်းအောင်ဇော်အတွက် မင်းသား ဖိုးချစ်မှ ဂုဏ်ပြုကျင်းပပေးသည့် အကယ်ဒမီ ဂုဏ်ပြုဧည့်ခံပွဲတွင် အနုပညာ မောင်နှမများအား '''ငါမသေဘူး ရေကူးတတ်တယ်''' ဟု အကယ်ဒမီ မော့စ်က နောက်ပြောင် ကျီစယ်ခဲ့သည်။ ==ဘဝနိဂုံး== ဟာသ သရုပ်ဆောင် မော့စ်သည် ၂၀၁၃ ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၃ ရက်နေ့ နံနက် ၄ နာရီ ၂၀ မိနစ်က ရန်ကုန်မြို့ SSC ဆေးရုံတွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ မော့စ်သည် ကွယ်လွန်ချိန်တွင် အသက် ၅၉ နှစ်ရှိပြီဖြစ်ကာ အသည်းရောဂါဝေဒနာကို ကာလရှည်ကြာ ခံစားခဲ့ရသူ ဖြစ်သည်။<ref>[http://www.first-11.com/entertainment/17933-%E1%80%9F%E1%80%AC%E1%80%9E%E1%82%90%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%86%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9-%E1%80%A1%E1%80%80%E1%80%9A%E1%80%B9%E1%80%92%E1%80%99%E1%80%AE-%E1%80%B1%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%B7%E1%80%85%E1%80%B9-%E1%80%B1%E1%80%96%E1%80%B1%E1%80%96%E1%80%AC%E1%80%B9%E1%81%80%E1%80%AB%E1%80%9B%E1%80%AE%E1%80%9C-%E1%81%81%E1%81%83-%E1%80%9B%E1%80%80%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%94%E1%82%94%E1%80%80-%E1%80%80%E1%80%BC%E1%80%9A%E1%80%B9%E1%80%9C%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%B9 Weekly Eleven News]{{Dead link|date=January 2023 }}</ref> ==ကိုးကား== <references/> [[Category:မြန်မာ လူရွှင်တော်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆုရှင်များ]] 8swyhrzp74e4pk3b7f7vd3hurrzryxs 0 48897 1039304 1023772 2026-06-18T01:31:51Z ~2026-35485-44 144539 update 1039304 wikitext text/x-wiki {{Infobox school |name=အ.ထ.က (၁) လသာ (စင်ထရယ်) |students=၂၀၀၀ ခန့် |schoolnumber= (၁) |address=အမှတ်(၂၇၀) ၊ ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းလမ်းနှင့် ရွှေတိဂုံဘုရားလမ်းထောင့် ၊ လသာမြို့နယ် ၊ |grades=သူငယ်တန်း မှ ဒွါဒသမတန်း အထိ |country= |state= |city=[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] |principal=ဦးစိန်မင်း |type=အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း |established=၁၈၇၁ ခုနှစ် ၊ မတ်လ ၃ ရက် |motto_translation= |motto=သီလ သမာဓိ ပညာ |logo_size= |logo= 1 latha BEHS.png |caption=အမှတ်(၁) အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်း ၊ လသာမြို့နယ် |box_width= |other_names=စင်ထရယ် - ဗဟိုစံပြ |module= {{Designation list|right|designation1=Yangon}} |seal_image= |image=}} '''အမှတ်(၁)အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်း၊ လသာမြို့နယ်''' သည် အမှတ်(၂၇၀)၊ [[ဗိုလ်ချုပ်အောင်ဆန်းလမ်း]]နှင့်ရွှေတိဂုံဘုရားလမ်းထောင့်၊ [[လသာမြို့နယ်]]၊ [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]တွင်တည်ရှိသော အစိုးရအထက်တန်းကျောင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၁ ခုနှစ်က အင်္ဂလိပ်အစိုးရတို့တည်ထောင်ပေးခဲ့သော အထက်တန်းအဆင့်ပြည့်မီသည့် အစိုးရကျောင်း (၆)ကျောင်းအနက် တစ်ခုတည်းသောကျောင်းဖြစ်သည်။{{cn}} * ရန်ကုန်ဟိုက်စကူးကျောင်း (Rangoon High School) ဟူ၍လည်းကောင်း၊ * ရန်ကုန်အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း (Rangoon Government High School) ဟူ၍လည်းကောင်း၊ * စင်ထရယ်အထက်တန်းကျောင်း (Central High School) ဟူ၍လည်းကောင်း၊ * ဗဟိုစံပြအထက်တန်းကျောင်း (Central State Model High School) ဟူ၍လည်းကောင်း၊ * ယခု [[အ.ထ.က(၁)လသာ]] (Basic Education High School No.(1) LATHA) ဟူ၍လည်းကောင်း အမည်(၅)မျိုးခေါ်တွင်ခဲ့သည်။ * == သမိုင်းကြောင်း == အ.ထ.က ၁ လသာ ကျောင်းသည် အင်္ဂလိပ်အစိုးရတို့ အောက်မြန်မာပြည်ကိုသိမ်းပိုက်ပြီးချိန်တွင် မြန်မာနိုင်ငံအတွက် ပထမဦးဆုံးတည်ထောင်ဖွင့်လှစ်ပေးသော အစိုးရအထက်တန်းအဆင့်မီကျောင်းတစ်‌‌ကျောင်းဖြစ်သည်။ ၁၈၇၁ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၃ ရက်နေ့တွင် ဤကျောင်းကို ရန်ကုန်အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း (Yangon Government High School) အမည်ဖြင့် စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၁၈၇၄ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၂ ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်သည်။ စတင်ဖွင့်လှစ်ချိန်တွင် ကျောင်းအုပ်ကြီးအဖြစ် ပထမဦးဆုံးဆောင်ရွက်ခဲ့သည့်ပုဂ္ဂိုလ်မှာ Mr.ဂီလ်ဘတ်(Mr.Gilbert) ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ရန်ကုန်ကောလိပ်ကို ၁၉၀၀ပြည့်နှစ်၌ အထက ၁ လသာတွင် ဦးစွာဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ကျောင်းစတင်ဖွင့်လှစ်ချိန်မှစ၍အချိန်အတော်အကြာထိအမျိုးသားသီးသန့်ကျောင်းဖြစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ် နောက်ပိုင်းကာလမှသာ ကျောင်းသူများပါ တက်ရောက်ခွင့်ရရှိခြင်းဖြစ်သည်။ == ကျောင်းဆောင်များ == အရှေ့ဆောင်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ အီး(E) ပုံဖြစ်သည်။ အနောက်ဆောင်ပုံသဏ္ဌာန်မှာ အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ စီ(C)ပုံဖြစ်သည်။ သူငယ်တန်း(KG) မှ ဒွါဒသမတန်း(G-12) အထိ ပညာသင်ကြားနိုင်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ ဇန်နဝါရီလ (၁)ရက်တွင် ပင်မနှစ်ထပ်ဆောင်အား “'''သီဟဆောင်”'''အဖြစ်လည်းကောင်း၊ လေးထပ်ကျောင်းဆောင်အား “'''အဓိပတိဆောင်”'''အဖြစ်လည်းကောင်း အမည်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ပညာသင်ကြားနေသော ကျောင်းသား၊ ကျောင်းသူ များလိမ္မာယဉ်ကျေးပြီး ဘာသာတရားကိုင်းရှိုင်းတတ်စေရန်အလို့ဌာ ကျောင်းဝန်းအတွင်း၌ပင် ကျောင်းသားဟောင်းများ၊ စေတနာရှင်အလှူရှင်များ၊ ‌ဆရာ၊ ဆရာမများမှ စုပေါင်းကာတည်ဆောက်ခဲ့သော ‌ဗဟိုစံပြဓမ္မာရုံအား ၂၀၁၃ခုနှစ်၊ မတ်လ (၃၁) ရက်နေ့တွင် အောင်မြင်စွာဖွင့်လှစ်နိုင်ခဲ့သည်။ အထက ၁ လသာ ၏ မျက်နှာစာရှိ ပင်မနှစ်ထပ်ကျောင်းဆောင်(သီဟဆောင်)အား ကျောင်းသားဟောင်းဖြစ်သူ [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] [[မင်းအောင်လှိုင်|ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်]] နှင့် [[တပ်မတော်]]မိသားစုဝင်များ၊ ကျောင်းသားဟောင်းများ၊ အလှူရှင်များ မှ စုပေါင်းမတည်ကာ ငွေကျပ်သိန်းလေးထောင်ခန့် အကြီးစားပြုပြင်မွမ်းမံခဲ့ပြီး ၂၀၁၅ ခုနှစ် ၊ စက်တင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် ကျောင်းအုပ်ဆရာကြီးထံသို့ အောင်မြင်စွာလွှဲပြောင်းပေးအပ်ခဲ့သည်။ ထို့ပြင် အထက ၁ လသာ တည်ထောင်စဉ်က ဆောက်လုပ်ခဲ့ပြီး ၁၉၆၃ခုနှစ်တွင်မီးလောင်၍ပျက်စီးသွားသော နဂိုမူလကျောင်းဆောင်နေရာ၌ ကျောင်းသားဟောင်းဖြစ်သူ ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင် မှ မတည်ကာ စေတနာရှင်အလှူရှင်များ၊ ကျောင်းသားဟောင်းများမှစုပေါင်း၍ ငွေကျပ်သိန်းပေါင်းတစ်သောင်းခန့်လှူဒါန်းကာ လေးထပ်ကျောင်းဆောင်သစ်(အဓိပတိဆောင်)အားဆောက်လုပ်ပြီး ၂၀၁၇ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလ ၂၅ ရက်တနင်္လာနေ့တွင် ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန၊ အခြေခံပညာဦးစီးဌာနသို့ လွှဲ​ပြောင်းပေးအပ်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၅-၁၉၈၅ ခုနှစ် ပညာသင်နှစ် နှင့် ၁၉၈၆-၂၀၂၄ ခုနှစ် ပညာသင်နှစ်တွင်ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသော ကျောင်းသားဟောင်းကြီးများအဖွဲ့သည် ကျောင်းတော်ကြီး၏ အစစအရာရာ လိုအပ်ချက်များအား ယခုလက်ရှိတိုင် ပြုပြင်မွမ်းမံကူညီထောက်ပံ့ပေးလျက်ရှိသည်။ ==ကျောင်းအုပ်ကြီးများ== # မစ္စတာ ဂီလ်ဘတ် (၁၈၇၁) # စည်သူ ဦးချို (၁၉၅၀-၁၉၅၆) # စည်သူ ဦးကောင်း (၁၉၅၆-၁၉၅၈) # ဝဏ္ဏကျော်ထင် ဦးဘသန်းတင် (၁၉၅၈-၁၉၆၀) # မစ္စတာလီဂွာ (၁၉၆၀-၁၉၆၁) # ဒေါ်အုံးကြည် (၁၉၆၁-၁၉၆၂) # C.A မစ္စတာဝေးလ် (၁၉၆၂-၁၉၆၃) # ဦးဘိုးထင် (၁၉၆၃-၁၉၆၄) # ဦးစံတင့် (၁၉၆၄) # ဦးသောင်းထွန်း (၁၉၆၄-၁၉၆၅) # ဦးတင်အေး (၁၉၆၅-၁၉၆၆) # ဦးထွန်းအောင် (၁၉၆၆-၁၉၆၇) # ဒေါ်လှနု (၁၉၆၇-၁၉၇၃) # ဦးဘသောင်းတင် (၁၉၇၃-၁၉၈၁) # ဦးအေးသိန်း (၁၉၈၁-၁၉၈၈) # ဦးတင်ရွှေ (၁၉၈၈-၁၉၈၉) # ဦးတိုးမောင် (၁၉၈၉-၁၉၉၀) # ဦးစံရှိန် (၁၉၉၀-၁၉၉၂) # ဦးတင်ထွန်း (၁၉၉၂-၂၀၀၀) # ဦးအုန်းမြင့် (၂၀၀၀-၂၀၀၃) # ဦးအာမြလွင် (၂၀၀၃-၂၀၀၅) # ဦးစိုးမြင့် (၂၀၀၅-၂၀၁၀) # ဦးစိုးမင်း (၂၀၁၀-၂၀၁၇) # ဦးတင်မောင်အေး (၂၀၁၇-၂၀၂၁) # ဦးခင်မောင်ဝင်း (၂၀၂၁- ၂၀၂၅) # ဦးစိန်မင်း (၂၀၂၆-လက်ရှိ) == ထင်ရှားသော ကျောင်းသားဟောင်းများ == *[[မင်းအောင်လှိုင်|ဦးမင်းအောင်လှိုင်]] - [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]]၊ [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်|တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ငြိမ်း)]] *[[အေးသာအောင်၊ ဦး|ဦးအေးသာအောင်]] - [[အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ]] (ငြိမ်း) *[[ဘဦး (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|ဒေါက်တာဘဦး]] - [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတများ စာရင်း|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] (ငြိမ်း) *[[မောင်မောင်ခ (ဝန်ကြီးချုပ်)|ဦးမောင်မောင်ခ]] - [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်များ စာရင်း|နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ်]] (ငြိမ်း) *[[စိုးဝင်း၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး စိုးဝင်း]] - [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဝန်ကြီးချုပ်များ စာရင်း|နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ်]] (ငြိမ်း) *ဦးရန်အောင် - [[ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်|နိုင်ငံတော်ရှေ့နေချုပ်]] (ငြိမ်း) *ဦးမောင်မောင်ကြီး - ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံရွေးချယ်ရေးအဖွဲ့ဥက္ကဋ္ဌ(ငြိမ်း) *ဗိုလ်ချုပ် သန်းဖေ (ငြိမ်း) *ဦးအောင်ချိန် - ရဲမင်းကြီး (ငြိမ်း) *သတိုးမဟာသရေစည်သူ ဒေါက်တာဦးသိမ်းမောင် * * * *[[ဇော်ဝင်းရှိန် (စီးပွားရေးလုပ်ငန်းရှင်)|ဦးဇော်ဝင်းရှိန်]] - Ayeyar Hinthar Holdings Co.,Ltd *ကြည်အေး - စာပေ * * *[[လှထွတ်၊ စန္ဒရား|စန္ဒရားလှထွဋ်]] - ဂီတ *ကာတွန်းဦးစိန်ကြီး *[[ဖုန်းမော်|ကိုဖုန်းမော်]] * *[[မောင်မောင်သိုက်|ပန်းချီ ဦးမောင်မောင်သိုက်]] == ကိုးကား == {{reflist}} *အ.ထ.က ၁ လသာ ကျောင်းသားဟောင်းများ၏ အမှတ်တရမဂ္ဂဇင်း ၊ * အ.ထ.က ၁ လသာ ကျောင်းသမိုင်း [[Category:ရန်ကုန်မြို့ရှိ အထက်တန်းကျောင်းများ|လသာ]] chy3gbd38nr5r6z6lsgqc347oyrop4x 0 50793 1039305 858099 2026-06-18T01:39:36Z ~2026-35523-51 144540 /* ကိုယ်ပိုင်ဘဝ */ 1039305 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဇင်ဝိုင်း | image = Burmese Actor Zin Wine.jpg | caption = ၂၀၁၉တုန်းကဇင်ဝိုင်း | birth_name = ဌေးလွင် | birth_date = | birth_place = [[ရန်ကုန်]]၊ မြန်မာ | nationality = ဗမာ | occupation = ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင် | years_active = ၁၉၈၁–လက်ရှိ | height = | alma_mater = | children = [[မင်းမော်ကွန်း]] နှင့် အခြားတစ်ဦး | parents = | awards = [[File:အကယ်ဒမီ.gif|10px]] ၁၉၉၇ ခုနှစ်အတွက် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု (အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဇာတ်ပို့ဆု) <br/> [[File:အကယ်ဒမီ.gif|10px]] ၂၀၁၄ ခုနှစ်အတွက် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု (အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဇာတ်ပို့ဆု) | signature = | spouse = }} '''ဇင်ဝိုင်း'''သည် အကယ်ဒမီနှစ်ဆုရ မြန်မာရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံ ရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး]]တွင် ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် နှစ်ကြိမ်တိုင် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ==အနုပညာလမ်းခရီး== အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ်၊ ၁၉၇၃ ခုနှစ်တွင် အနုပညာလောကသို့ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။<ref name=irf>{{cite news |title=ရုပ်ရှင်ရုံ ၁၁၆ ရုံမှာ ၄၉ ရုံပဲ မြန်မာကားပြတယ် - ဦးဇင်ဝိုင်းနှင့် အင်တာဗျူး |url=https://burma.irrawaddy.com/opinion/2012/10/06/22228.html |work=The Irrawaddy |date=6 October 2012}}</ref> ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် ရုံတင်သည့် ''သံယောဇဉ်ဆိုတာရှိတယ်'' ရုပ်ရှင်တွင် ပွဲဦးထွက်အဖြစ် [[မို့မို့မြင့်အောင်]]နှင့်အတူ တွဲဖက်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="iritv">{{cite news |title=သင်္ကြန်မိုး ဘာကြောင့် နောက်ထပ် မရွာတော့သလဲ |url=https://burma.irrawaddy.com/opinion/2014/04/11/57497.html |work=The Irrawaddy |date=11 April 2014}}</ref> ဒါရိုက်တာ [[မောင်တင်ဦး (ဒါရိုက်တာ)|မောင်တင်ဦး]]ထံတွင် ခုနစ်နှစ်ခန့် ရုပ်ရှင်ပညာကို သင်ယူခဲ့ပြီး၊<ref name=iritv/> မောင်တင်ဦး၏ ၁၉၈၄ ရုပ်ရှင် ''[[သင်္ကြန်မိုး]]''တွင် သက်ထွေးအဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ရာမှ<ref>{{cite news |title=သင်္ကြန်မိုးအကြောင်း လူမသိတဲ့ ခြောက်ချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-47868421 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> လူကြိုက်များလာခဲ့သည်။<ref name=iritv/> ၁၉၉၁ ခုနှစ်၊ ''ဒဏ္ဍာရီ''ရုပ်ရှင်တွင် [[မေသန်းနု]]နှင့်တွဲဖက်၍ အဓိကဇာတ်ဆောင်အဖြစ် ပထမဆုံး ရိုက်ကူးခဲ့သည်။<ref name=iritv/> [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်အလိုက် ဆုရရှိသူများစာရင်း#၁၉⁠၉၇-ခုနှစ် (၄၆-ကြိမ်)|၁၉၉၇ ခုနှစ်အတွက် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆုပေးပွဲ]]တွင် ''မြင့်မြတ်နှလုံးသား''ရုပ်ရှင်ဖြင့် ပထမအကြိမ် အကယ်ဒမီဆုကို ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု ချီးမြှင့်ခြင်းမှတ်တမ်း |url=https://mmpodb.com/2020/09/08/%E1%80%BB%E1%80%99%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%B7%E1%82%90%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%B9%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%91%E1%80%B0%E1%80%B8%E1%80%81%E1%81%BD%E1%80%BC%E1%80%94/academy-record/MMcities/671/ |access-date=11 October 2021 |archive-date=7 September 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230907092638/https://mmpodb.com/2020/09/08/%E1%80%BB%E1%80%99%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%B7%E1%82%90%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%B9%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%91%E1%80%B0%E1%80%B8%E1%80%81%E1%81%BD%E1%80%BC%E1%80%94/academy-record/MMcities/671/ }}</ref> ရုပ်ရှင်အစည်းအရုံးကို သီးခြားလွတ်လပ်သော အဖွဲ့အစည်းအဖြစ် ပြဋ္ဌာန်းပြီးနောက်၊ ၂၀၁၂ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် အမှုဆောင်အဖွဲ့ဝင်ရွေးချယ်ရာ ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ရွေးကောက်ခံရသည်။<ref name=irf/> ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ကျန်းမာရေးအခြေအနေကြောင့် သက်တမ်းမပြည့်မီ နုတ်ထွက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=မြန်မာနိုင်ငံရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး ဥက္ကဋ္ဌသစ်အဖြစ် သရုပ်ဆောင် အကယ်ဒမီဇင်ဝိုင်း တစ်ကျော့ပြန်ရွေးချယ်ခံရ |url=https://myanmar.mmtimes.com/news/101946.html |work=The Myanmar Times |date=27 September 2017 |accessdate=11 October 2021 |archivedate=9 October 2021 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20211009100603/https://myanmar.mmtimes.com/news/101946.html }}</ref> မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆုပေးပွဲ အခမ်းအနားကို နေပြည်တော်တွင် လေးနှစ်ကြာကျင်းပပြီးမှ<ref>{{cite news|last=Nyein Ei Ei Htwe and Nuam Bwai|title=New winners for Myanmar film awards|url=http://www.mmtimes.com/index.php/lifestyle/3724-new-winners-for-myanmar-film-awards.html|access-date=16 July 2013|newspaper=The Myanmar Times|date=7 January 2013|accessdate=11 October 2021|archivedate=8 August 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170808113302/http://www.mmtimes.com/index.php/lifestyle/3724-new-winners-for-myanmar-film-awards.html}}</ref> ၂၀၁၁ ခုနှစ်အတွက် အခမ်းအနားကို ၂၀၁၂ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာ ၃၀ ရက်တွင် ရန်ကုန်မြို့၌ ပထမဆုံးအကြိမ် ပြန်လည်ကျင်းပနိုင်ရန် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=အကယ်ဒမီ ရန်ကုန်မှာ ကျင်းပမယ် - BBC Burmese - မြန်မာ့ရေးရာ |url=https://www.bbc.com/burmese/burma/2012/12/121229_academyrgn |website=www.bbc.com |language=my}}</ref> ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင်<ref>{{cite news |title=Aung San Film Won’t Screen in Time for General’s Centennial Birthday |url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/aung-san-film-wont-screen-time-generals-centennial-birthday.html |work=The Irrawaddy |date=13 February 2014}}</ref> ဒေါ်[[အောင်ဆန်းစုကြည်]]ကိုယ်တိုင် ဖွဲ့စည်းပေးသည့်<ref>{{cite news |title=ဗိုလ်ချုပ်သမီးဆီက အာဏာသိမ်းပေမဲ့ ဗိုလ်ချုပ်ရုပ်ရှင်တော့ဆက်ရိုက်မယ် |url=https://www.mizzimaburmese.com/article/80268 |work=Mizzima Myanmar News and Insight |language=en}}</ref> အောင်ဆန်းရုပ်ရှင်ဖြစ်မြောက်ရေးအဖွဲ့တွင် [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]]၊ [[ဝိုင်း (ဒါရိုက်တာ)|ဝိုင်း]]၊ [[ထွန်းအိန္ဒြာဗို]]၊ ဒေါက်တာအိအိခိုင်၊ [[ဇာဂနာ(ရုပ်ရှင်နှင့် သဘင်ပညာရှင်)|ဇာဂနာ]]၊ [[လူမင်း]]တို့နှင့်အတူ<ref>{{cite news |title=ဗိုလ်ချုပ်ရုပ်ရှင်ရဲ့သရုပ်ဆောင်ရွေးချယ်မှုအပေါ် သမိုင်းထဲက ခေါင်းဆောင် တချို့ရဲ့ မိသားစုဝင်တွေ စိတ်ပျက် |url=https://www.bbc.com/burmese/burma-49822985 |work=BBC News မြန်မာ |date=25 September 2019 |language=my}}</ref> ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=May 2021 |first1=ဧရာဝတီ 17 |title=ဗိုလ်ချုပ်ရုပ်ရှင်ကို အပြီးသတ်ထုတ်လုပ်ပြသရန် စစ်ကောင်စီ စီစဉ် |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2021/05/17/241909.html |work=The Irrawaddy |date=17 May 2021}}</ref> ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် [[ပြေတီဦး]]၊ [[မိုးဟေကို]]၊ [[ဝတ်မှုန်ရွှေရည်]]တို့နှင့်အတူ ''နှလုံးသားဖြင့်ပြုလုပ်သည်'' ရုပ်ရှင်တွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး ဒုတိယမြောက် အကယ်ဒမီဆုကို ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=၂၀၁၄ နဲ့၂ဝ၁၅ ခုနှစ် အတွက် အကယ်ဒမီ ပေးပွဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/burma/2016/04/160403_academy_tip |work=BBC News မြန်မာ |date=3 April 2016 |language=my}}</ref><ref>{{cite news |title=၂၀၁၄-၂၀၁၅ အကယ်ဒမီ ထူးချွန်ဆု ပေးပွဲတွင် နိုင်ငံရေး နှင့် ဆက်နွယ်သည့် ကောင်းကျိုးကိုယ်၌တည်စေမင်း ဇာတ်ကားမှ ဆုများစွာ သိမ်းပိုက်ခဲ့ |url=https://mizzimaburmese.com/article/13095 |work=Mizzima Myanmar News and Insight |language=en}}</ref><ref>{{cite news |title=၂၀၁၄- ၂၀၁၅ အကယ်ဒမီဆုပေးပွဲ |url=https://burmese.voanews.com/a/myanmar-acedamy-awards-2014-2016/3267935.html |work=ဗီြအိုေအ |language=my}}</ref> ၂၀၁၇ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၂၆ ရက်တွင် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်အစည်းအရုံး ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ပြန်လည်ရွေးကောက်ခံရာ ထပ်မံရွေးချယ်ခံရသည်။<ref>{{cite news |last1=September 2017 |first1=ယုဖြူဟန် 26 |title=ရုပ်ရှင်အစည်းအရုံးဥက္ကဋ္ဌသစ်အဖြစ် အကယ်ဒမီဇင်ဝိုင်း ရွေးချယ်ခံရ |url=https://burma.irrawaddy.com/lifestyle/2017/09/26/143393.html |work=ဧရာဝတီ |date=26 September 2017}}</ref> မြန်မာစစ်အာဏာသိမ်းမှုဆန့်ကျင်ရေး လှုပ်ရှားမှုများတွင် ပါဝင်သည်ဟုဆိုကာ ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၅ ရက်နေ့တွင် နေအိမ်၌ ဖမ်းဆီးခံရသည်။<ref>{{cite news |title=သရုပ်ဆောင် ဒါရိုက်တာ ဇင်ဝိုင်း အဖမ်းခံရ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/arrested-actor-zinwine-04152021073447.html |work=Radio Free Asia |language=en}}</ref> ဇွန်လ ၇ ရက်နေ့တွင် ပြန်လည်လွတ်မြောက်လာခဲ့သော်လည်း အောက်တိုဘာလအတွင်း ပြန်လည်ဖမ်းဆီးခံရသည်။<ref>{{cite news |title=ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခံထားရသော သရုပ်ဆောင်ဇင်ဝိုင်း ပြန်လည် လွတ်မြောက် |url=https://news-eleven.com/article/209512 |work=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref><ref>{{cite news |title=လ်ွပ္တျပက္ဆႏၵျပမႈတခ်ိဳ႕ျဖစ္ေနဆဲ၊ ႐ုပ္ရွင္မင္းသားဇင္ဝိုင္းျပန္လြတ္ |url=https://burmese.voanews.com/a/demonstrations-all-around-Burma-still-happen-with-different-forms-/5919350.html |work=VOA Burmese |language=my}}</ref> ==ကိုယ်ပိုင်ဘဝ== ဇင်ဝိုင်းကို အငြိမ်းစား ဒုဗိုလ်မှူးကြီးစိန်လွင်နှင့် ဇနီး ဒေါ်ရီရီရှိန်တို့က ဖွားမြင်သည်။ မွေးချင်းငါးယောက်အနက် စတုတ္ထမြောက်သားဖြစ်ပြီး၊ အမည်ရင်းမှာ ဦးဌေးလွင်ဖြစ်သည်။ ဒေါ်ခင်နွဲ့နွဲ့ထွန်းနှင့် လက်ထပ်ခဲ့ပြီး၊ ကြည်သာဌေးလွင်နှင့် ကျော်ကျော်ဌေးလွင်ဟူသော သားနှစ်ယောက်ထွန်းကားသည်။<ref>{{cite news|title=ဇင်ဝိုင်း ပြန်လွတ်ပြီဆိုတဲ့ သတင်းမှားတွေကို သားဖြစ်သူ နှစ်ဦး တုံ့ပြန် |url=https://burma.irrawaddy.com/lifestyle/entertainment/2021/04/22/240977.html |work=ဧရာဝတီ |date=22 April 2021}}</ref> ကျော်ကျော်ဌေးလွင်မှာ ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင် [[မင်းမော်ကွန်း]]ပင် ဖြစ်သည်။ ==ဆုများနှင့် ဆန်ခါတင်စာရင်း== {| class="wikitable" style="font-size: 95%" |- ! Year ! Award ! Category ! Nominated work ! Result |- | [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်အလိုက် ဆုရရှိသူများစာရင်း#၁၉၈၅-ခုနှစ် (၃၃-ကြိမ်)|၁၉၈၅]] |rowspan=5|[[မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆု|မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]] |rowspan=5| အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဇာတ်ပို့ဆု | ''[[သင်္ကြန်မိုး]]'' | {{nominated}} |- | [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်အလိုက် ဆုရရှိသူများစာရင်း#၁၉⁠၉၇-ခုနှစ် (၄၂-ကြိမ်)|၁၉၉၇]] | ''[[မြင့်မြတ်နှလုံးသား]]'' | {{won}} |- | [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်အလိုက် ဆုရရှိသူများစာရင်း#၂၀၁၄-ခုနှစ် (၅၉-ကြိမ်)|၂၀၁၄]] | ''[[နှလုံးသားဖြင့်ပြုလုပ်သည်]]'' | {{won}} |- | [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု နှစ်အလိုက် ဆုရရှိသူများစာရင်း#၂၀၁၆-ခုနှစ် (၆၁-ကြိမ်)|၂၀၁၆]] | ''[[ချစ်လှစွာသော အမုန်း]]'' | {{nominated}} |- |[[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု_နှစ်အလိုက်_ဆုရရှိသူများစာရင်း#၂၀၁၉-ခုနှစ်_(၆၄-ကြိမ်)|၂၀၁၉]] |''[[နိုင်ငံကြီးသား]]'' | {{nominated}} |} ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== {{IMDb name|nm4824864}} [[ကဏ္ဍ:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့ ရုပ်ရှင် ထူးချွန်ဆုရှင်များ]] 7iearj0w0r9vxqfy3jc5xgjvbrd39s2 0 52480 1039158 1038956 2026-06-17T13:59:38Z Mkant00 135890 1039158 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Universal properties of Initial and Terminal objects) === အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အစ အရာဝတ္ထု''' (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ <math>C(c,-): C \rightarrow Set</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းသေ ဖန်တာသည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု''' (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ <math>C(-,c): C^{op} \rightarrow Set</math> သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ (Initial and Terminal Objects) === ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties)''' ကို အသုံးပြု၍ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုကို မည်သည့်အရာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသနည်းဟု မေးမည့်အစား အခြားအရာဝတ္ထုများအားလုံးနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟု ကျွန်ုပ်တို့ မေးခွန်းထုတ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်း အစုသီအိုရီအရ တည်ဆောက်ပုံကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to unique isomorphism) ဂုဏ်သတ္တိရှိကြသည်။ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများအတွက် သက်သေပြချက်သည်လည်း ဒွန်တွဲစွာဖြင့် အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>I</math> နှင့် <math>I'</math> နှစ်ခုလုံးသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>f: I \to I'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>I'</math> သည်လည်း အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>g: I' \to I</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>g \circ f</math> သည် <math>I</math> မှ <math>I</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>I</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>\text{id}_I: I \to I</math> သည် မဖြစ်မနေ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် <math>g \circ f = \text{id}_I</math> ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ *အလားတူပင် <math>f \circ g</math> သည် <math>I'</math> မှ <math>I'</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>I'</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>f \circ g = \text{id}_{I'}</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် အစ အရာဝတ္ထု နှစ်ခုမဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === အစုများ၊ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== Set ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>\mathsf{Ring}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 29vgz4nim3ilyzg7rx6d73zm5x7725c 1039169 1039158 2026-06-17T14:31:15Z Mkant00 135890 /* ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) */ 1039169 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ (Initial and Terminal Objects) === ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties)''' ကို အသုံးပြု၍ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုကို မည်သည့်အရာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသနည်းဟု မေးမည့်အစား အခြားအရာဝတ္ထုများအားလုံးနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟု ကျွန်ုပ်တို့ မေးခွန်းထုတ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်း အစုသီအိုရီအရ တည်ဆောက်ပုံကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to unique isomorphism) ဂုဏ်သတ္တိရှိကြသည်။ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများအတွက် သက်သေပြချက်သည်လည်း ဒွန်တွဲစွာဖြင့် အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>I</math> နှင့် <math>I'</math> နှစ်ခုလုံးသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>f: I \to I'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>I'</math> သည်လည်း အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>g: I' \to I</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>g \circ f</math> သည် <math>I</math> မှ <math>I</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>I</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>\text{id}_I: I \to I</math> သည် မဖြစ်မနေ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် <math>g \circ f = \text{id}_I</math> ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ *အလားတူပင် <math>f \circ g</math> သည် <math>I'</math> မှ <math>I'</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>I'</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>f \circ g = \text{id}_{I'}</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် အစ အရာဝတ္ထု နှစ်ခုမဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === အစုများ၊ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== Set ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>\mathsf{Ring}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] bqgmamny2295mz3bzejsfr9jlcf71t4 1039170 1039169 2026-06-17T14:32:15Z Mkant00 135890 /* အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ (Initial and Terminal Objects) */ 1039170 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === အစုများ၊ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== Set ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>\mathsf{Ring}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 6n5e6j6mhhejx00hxy8j00apbtqp4k4 1039171 1039170 2026-06-17T14:33:10Z Mkant00 135890 /* အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ */ 1039171 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 7ai88qdnanbx7zy8o8uo6ph5s10yeb3 1039174 1039171 2026-06-17T14:39:33Z Mkant00 135890 1039174 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] p48urxa9plnvb6edfa4ybdkaoak1erl 1039183 1039174 2026-06-17T15:10:55Z Mkant00 135890 /* စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) */ 1039183 wikitext text/x-wiki [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 10bx26b6rpqx411amu3s797fdt54qit 1039211 1039183 2026-06-17T16:14:17Z Mkant00 135890 1039211 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] eu6taddwdbh910koip8wyah0t14lc7y 1039282 1039211 2026-06-17T21:45:46Z Mkant00 135890 1039282 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (group cohomology)၊ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Lie algebra cohomology) နှင့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် ဆင်းသက်ဖန်တာများ (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Čech cohomology) ရှိ စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များအတွက် (universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] ds3czlpksd5mi28p80r032biizhfx48 1039363 1039282 2026-06-18T09:37:04Z Mkant00 135890 1039363 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Set''') *'''Top''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *'''Group''': [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]]များ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] ('''Ring''') *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''[[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]များ''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင်(if and only if) ၎င်းသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) ဘိုင်ဂျက်ရှင်း <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === ကတ်တဂိုရီ မြှောက်လဒ် (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \quad \rightsquigarrow \quad g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}}</math> <math>\qquad \qquad \qquad \Updownarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Updownarrow</math> <math>g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} \qquad \quad \rightsquigarrow \qquad \quad fg: Z \rightarrow X \in \text{C}</math> ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[ဖန်တာ]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ပုံကြမ်း (Diagram) ==== ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုရှိ ပုံကြမ်း (diagram) ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ <math>F:J\rightarrow C</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို ပုံကြမ်း၏ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (indexing category of the diagram) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== ကိန်းသေ ဖန်တာ (Constant Functor) ==== <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) <math>\mathcal{J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor)''' <math>\Delta_c: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(i) = c</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အားလုံးအတွက် <math>\Delta_c(f) = \operatorname{id}_c</math> ဖြစ်သည်။ === ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (Cone Over a Diagram) === ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံ (cone over a diagram)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''ထိပ်ဖျား (summit or apex)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဤသဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစုဖြစ်သော <math>\lambda_i: c \to F(i)</math> များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်များကို '''ခြေတံများ (legs)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>F(f) \circ \lambda_i = \lambda_j</math> ==== ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ သို့မဟုတ် ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (Cone Under a Diagram / Cocone) ==== ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> တစ်ခုအတွက် '''ပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံ''' သို့မဟုတ် '''ဒွန်တွဲကတော့ပုံ (cone under a diagram / cocone)''' တွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_c</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို '''အောက်ခြေ (nadir)''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းတွင် ခြေတံများဖြစ်သည့် <math>\mu_i: F(i) \to c</math> များ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့သည် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>f: i \to j</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ တြိဂံကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>\mu_j \circ F(f) = \mu_i</math> ==== <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ (The Category of Cones Over <math>F</math>) ==== <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများမှာ <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ <math>c</math> နှင့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\lambda: \Delta_c \Rightarrow F</math> တို့ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(c, \lambda)</math> များ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): ကတော့ပုံ <math>(c, \lambda)</math> မှ ကတော့ပုံ <math>(d, \eta)</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: c \to d</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>i \in \mathcal{J}</math> တိုင်းအတွက်မဆို ခြေတံ <math>\lambda_i</math> ကို <math>h</math> မှတစ်ဆင့် ခြေတံ <math>\eta_i</math> သို့ ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားစေရမည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်၊ *<math>\eta_i \circ h = \lambda_i</math> ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ကတော့ပုံများအကြား မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ သက်ဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များကို ပုံမှန်ပေါင်းစပ်ခြင်းမျှသာ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဆင့်ကဲဖြတ်သန်းသွားသော ဂုဏ်သတ္တိကို သဘာဝအလျောက် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (Categorical Product) == <math>J</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''တစ်ပိုင်းတစ်စ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (discrete indexing category)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် (categorical product)''' ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအရာဝတ္ထုတွင် <math>k \in J</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ဟုခေါ်သော မော်ဖစ်ဇင်များ <math>\pi_k: P \to X_k</math> အသီးသီး ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းမြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) နှင့် ပြည့်စုံသည်။ *မည်သည့် <math>j \in J</math> အားလုံးအတွက်မဆို မော်ဖစ်ဇင် <math>f_j: A \to X_j</math> များ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>A \in C</math> တိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင် <math>h: A \to P</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေရမည်။ === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Product Topology) === အလိုရှိသလောက် များပြားနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစု <math>(X_j)_{j \in J}</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုမြှောက်လဒ်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>P</math> အပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (product topology) ကို အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (coarsest topology) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အဖွင့်စု အနည်းဆုံးသာ ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု <math>\pi_k: P \to X_k</math> တိုင်းသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အခြေအစုပိုင်း (subbasis) တွင် <math>\pi_k^{-1}(U)</math> ပုံစံရှိသော အစုများ ပါဝင်သည်။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု (open set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခုကိုမူ ဤအခြေအစုပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစုများ (finite intersections) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အခြေခံ အဖွင့်စု (basic open set) တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော ကိုဩဒိနိတ်များကိုသာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ကျန်ရှိနေသော အနန္တဖြစ်နိုင်သည့် ကိုဩဒိနိတ်များကိုမူ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်မျှမထားဘဲ လွတ်လပ်စွာ ချန်လှပ်ထားသည်။ === Top ကတ်တဂိုရီရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် === မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>\prod_{j \in J} X_j</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': <math>(X_j)_{j \in J}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>P = \prod_{j \in J} X_j</math> တွင် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှုများ <math>\pi_j: P \to X_j</math> တပ်ဆင်ထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>(f_j: A \to X_j)_{j \in J}</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ မိသားစုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မြှောက်လဒ်၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>h(a) = (f_j(a))_{j \in J}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် အစုသီအိုရီအခြေခံ ဖန်ရှင် <math>h: A \to P</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် မည်သည့် <math>j \in J</math> အတွက်မဆို <math>\pi_j \circ h = f_j</math> ဟူသော အခြေအနေကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>h</math> သည် <math>Top</math> ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ပြသရန်အတွက် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြရမည်။ ၎င်းအတွက် <math>P</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) မဆိုသည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စု ဖြစ်ကြောင်း ပြသနိုင်လျှင် လုံလောက်ပြီဖြစ်သည်။ <math>S = \pi_k^{-1}(U)</math> သည် <math>P</math> အတွင်းရှိ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>U</math> သည် <math>X_k</math> အတွင်းရှိ အဖွင့်စု တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>h</math> အောက်ရှိ <math>S</math> ၏ မူလပုံရိပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ <math>h^{-1}(S) = h^{-1}(\pi_k^{-1}(U)) = (\pi_k \circ h)^{-1}(U)</math> ကျွန်ုပ်တို့၏ တည်ဆောက်ပုံအရ <math>\pi_k \circ h = f_k</math> ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>h^{-1}(S) = f_k^{-1}(U)</math> <math>f_k</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ပေးထားချက်အရ မူလပုံရိပ် <math>f_k^{-1}(U)</math> သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သည်။ <math>P</math> ၏ အခြေအစုပိုင်း အစုဝင်တိုင်း၏ မူလပုံရိပ်သည် <math>A</math> တွင် အဖွင့်စုဖြစ်သောကြောင့် <math>h</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော <math>P</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် <math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျမှု (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျမှု သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Coimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == ''အဓိကဆောင်းပါးကို [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] တွင် ဖတ်ရှုပါ။'' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[Category:သိပ္ပံ]] [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 3rh8lg0ekwwqc19jlcpnanbwylgks5k 0 56126 1039341 1018963 2026-06-18T08:29:52Z Salai Rungtoi 22844 1039341 wikitext text/x-wiki {{Infobox စာရေးဆရာ | အမည် = တင်မောင်မြင့် | ဓာတ်ပုံ = | သက်တမ်း = | မွေးသက္ကရာဇ် = ၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ | အမည်ရင်း = တင်မောင်မြင့် | မိဘအမည် = ဦးမောင်ဒွေး + ဒေါ်ကျော့စိန် | မွေးဖွားရာဒေသ = [[စစ်ကျွန်းရွာ]][[ဟင်္သာတခရိုင်]][[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး|ဧရာဝတီတိုင်း]] | နိုင်ငံသား = [[File:Flag of Myanmar.svg|25px ]] မြန်မာ | လူမျိုး =ဗမာ | ကိုးကွယ်သည့်ဘာသာ = | ပညာအရည်အချင်း = | အလုပ်အကိုင်= စာရေးဆရာ | ကလောင် အမည်ခွဲများ = | ထင်ပေါ်ကျော်ကြားမှု = | စာပေအမျိုးအစား = ဘာသာပြန် | ထင်ရှားသည့်စာ = | ရရှိသည့်ဆု = [[အမျိုးသားစာပေဆု]] ဘာသာပြန်၊သုတ ([[၂၀၀၁]])၊ ဘာသာပြန်၊ရသ ([[၂၀၀၄]]) ([[၂၀၀၇]])([[၂၀၁၁]])([[၂၀၁၂]]) | ကြင်ဖော် = | သားသမီး = | ကွယ်လွန်ရက် = {{Death date and age|2026|6|18|1936|9|19}} | ကွယ်လွန်ရာဒေသ = ပင်လုံဆေးရုံ၊ ရန်ကုန်မြို့ | လက်မှတ် = | ကွန်ယက် = }} စာရေးဆရာကြီး '''တင်မောင်မြင့်''' (၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ - ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆) သည် မြန်မာ့စာပေလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ဘာသာပြန်စာရေးဆရာတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ဆရာကြီးသည် “ည” (Night)၊ “ပြစ်မှုနှင့်ပြစ်ဒဏ်” (Crime and Punishment) နှင့် “ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွှေ့သလဲ” (Who Moved My Cheese?) အပါအဝင် နိုင်ငံတကာ ထင်ရှားဝတ္ထုများကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့ပြီး ဘာသာပြန်စာအုပ်ပေါင်း ၁၁၇ အုပ်ကျော် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ဘာသာပြန်စာပေများအပြင် တက္ကသိုလ်နန္ဒမိတ်၊ မြတ်ငြိမ်းတို့နှင့် ပူးပေါင်းရေးသားသော “တစ်သိမ့်သိမ့်ဒွန် (ပေါင်းချုပ်)” စာအုပ်ဖြင့်လည်း ထင်ရှားသည်။ စာပေလောကတွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် “သည်းဦးပန်း” မဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် “အထောက်တော်လှအောင်” သတင်းမဂ္ဂဇင်း၏ ဒုတိယအယ်ဒီတာချုပ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် သုတနှင့် ရသပိုင်းဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်စာပေများစွာကို ရေးသားခဲ့ပြီး [[အမျိုးသား စာပေဆု|အမျိုးသားစာပေဆု]]ကို ငါးကြိမ် (၂၀၀၁၊ ၂၀၀၄၊ ၂၀၀၇၊ ၂၀၁၁၊ ၂၀၁၂) ရရှိခဲ့ကာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ဘာသာပြန်များအပြင် ပင်ကိုယ်ရေးစာများစာအုပ်ကို ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး မဂ္ဂဇင်းများ၌ ဖော်ပြခံခဲ့ရသော ပင်ကိုယ်ရေး ဝတ္ထုနှင့် ဆောင်းပါးများကိုလည်း စုစည်းထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ကျောက်ကပ်ရောဂါဖြင့် ကုသမှုခံယူနေရစဉ် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ ပင်လုံဆေးရုံ၌ အသက် ၉၀ နှစ်အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားရှာသည်။ == ငယ်ဘဝ == [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး|ဧရာဝတီတိုင်း]] [[ဟင်္သာတခရိုင်]] [[စစ်ကျွန်းရွာ]]တွင် အဖ ဦးမောင်ဒွေး၊ အမိ ဒေါ်ကျော့စိန်တို့က ၁၉၃၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ ရေကျော် ဦးမောင်မောင် အလွတ်ပညာသင်ကျောင်းတွင် အလယ်တန်းအောင်ပြီး [[တောင်ကြီးမြို့]]၊ အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း (ယခု အထက-၁) မှ ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းအောင်သည်။ == စာပေလောကသားဘဝ == ၁၉၆၁ ခုနှစ်တွင် ဘီအိုစီကုမ္ပဏီ (ယခု MOGE)တွင် အလုပ်ဝင်ပြီး ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ငွေစာရင်းအရာရှိအဖြစ်နှင့် အငြိမ်းစားယူသည်။ ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် သည်းဦးပန်းမဂ္ဂဇင်း အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် [[အထောက်တော်လှအောင်]]၏ သတင်း မဂ္ဂဇင်းတွင် ဒုတိယ အယ်ဒီတာချုပ် တာဝန်များ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ == မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည့် စာအုပ်များ == အောက်ပါစာအုပ်များကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |title= ဆရာတင်မောင်မြင့် ရေးခဲ့သောစာအုပ်များ |url=https://web.facebook.com/groups/1828587374047525?view=permalink&id=1929809787258616 |access-date=2010-04-11 }}</ref> {| class="wikitable sortable" |+ !စဉ် !စာအုပ်အမည် !ထုတ်ဝေနှစ် !မူရင်းစာအုပ်အမည် !မူလ ရေးသားသူ !မှတ်ချက် |- |၁ |ငွေကျွန် |၁၉၈၃ |World Rapers |Jonathan Black |[[မြတ်ငြိမ်း]] နှင့် တွဲရေး |- |၂ |သံယောဇဉ်ကမ်းခြေ |၁၉၈၃ |Man on Fire |A. J. Quinnell | |- |၃ |ငယ်စာရင်းဝင်မို့ |၁၉၈၃ |Rendezvons |Evelyn Anthony | |- |၄ |အချစ်၏အခြားသော မျက်နှာစာ |၁၉၈၄ |Not as a Stranger |Morton Thompson | |- |၅ |သံမဏိလိပ်ပြာ |၁၉၈၇ |Philadeiphian |Richard Powell | |- |၆ |အရိပ်မဲ့ရုပ်ပုံလွှာ |၁၉၈၅ |Snap Shot |A. J. Quinnell | |- |၇ |မဟာရံတံတိုင်းကို ဖြတ်ကျော်ခြင်း |၁၉၈၅ |This Side of Glory |Gwan Bristow | |- |၈ |မေတ္တာရှာပုံတော် |၁၉၈၅ |Where Love has Gone |Herold Robin | |- |၉ |တမ်းတတတ်သည် |၁၉၈၅ |Remenberance |Dannielle Steel | |- |၁၀ |အချစ်များစွာနဲ့ပါ ဆရာ |၁၉၈၇ |To Sir, With Love |E. R. Branthwaite | |- |၁၁ |နွေကန္တာ |၁၉၈၈ |Deep Summer |Gwen Bristow | |- |၁၂ |မာနမီးလျှံ |၁၉၉၉ |Body of Love |Charles Keats | |- |၁၃ |မဒမ်ကျူရီ |၂၀၀၁ |Madame Curie |Eve Curie |၂၀၀၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ သုတ) |- |၁၄ |လေရဟတ်နီ |၂၀၀၄ |Moulin Rouge |Pierre la Mure | |- |၁၅ |တောင်ပံမဲ့သင်းကွဲတေးဆိုငှက် |၂၀၀၄ |To Kill a Mocking Bird |Harper Lee |၂၀၀၄ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၁၆ |စကားလက် |၂၀၀၆ |Scarlett |Alexandra Ripley | |- |၁၇ |စခန်းသိမ်းအောင်ပွဲ | |Closing Ceremony |H. King | |- |၁၈ |ငွေတစ်မူးဖြင့် သိုက်တူးသူ | |A Kiss Before Dying |Ira Levin | |- |၁၉ |လျှပ်စစ်မုန်တိုင်း | |Ride the Thunder |Janet Daily | |- |၂၀ |ငွေရန်သူ | |Money |P. L. Suliterzer | |- |၂၁ |သူ့အချစ်မျိုးဟာ | |Brown Stone House |Rae Foley | |- |၂၂ |ဒီရေရိုင်းနှင့် မုန်တိုင်းနှင့် | |Flood Tide |Frank Yerby | |- |၂၃ |အချစ်ဆုံး | |Loving |Danielle Steel | |- |၂၄ |ချစ်လင်းရောင်ခြည် | |A Patch of Blue |Elizabeth Kate | |- |၂၅ |ထာဝရ | |Valentina |Evelyn Anthony | |- |၂၆ |မိုးမြေသိမ့်သိမ့် | |Crash of 79 |Paul Adam | |- |၂၇ |ကြွက်ကဲ့အရောင် ကြောင်ရဲ့အလား | |Persian Ransom |Evelyn Anthony | |- |၂၈ |အချစ်ဝေဟင် | |Illusion of Love |Cynthia Freeman | |- |၂၉ |ဒက်ဒီ | |Daddy |Danielle Steel | |- |၃၀ |အရှေ့ယွန်းက နေဝန်းနီ | |The Rising Sun |Michael Criton | |- |၃၁ |မုန်တိုင်းထန် ကမ်းခြေ | |Siege of Silence |A. J. Quinell | |- |၃၂ |မုန်တိုင်းငှက် | |The Eagle Has Flown |Jack Haggin | |- |၃၃ |မာနီ | |Marni |Winston Graham | |- |၃၄ |သတင်းမုဆိုး | |Modern Women |Ruth Harris | |- |၃၅ |လက်ထပ်ထိမ်းမြားခြင်း အနုပညာ | |Happy Marriage |Andrie Mouris | |- |၃၆ |မြကတ္တီပါလမ်း | |Handsome Road |Gwen Bristow | |- |၃၇ |လေထန်ပေမယ့် ပန်းမကြွေ | |Selected Stories | | |- |၃၈ |အရောင်များနှင့် စကားပြောခြင်း | |Mary Cassette |Jone King | |- |၃၉ |ဒေ့ဒ်စ်ငရဲခန်းမှာ | |Weeding Tears |Jean White | |- |၄၀ |ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွေ့သလဲ | |Who Moved My Cheese |Spencer Johnson | |- |၄၁ |တိမ်ပေါ်မှာ လမ်းလျှောက် | |Children of Dust |Clancy Charlie | |- |၄၂ |အနက်ရောင်အိပ်မက် စိမ်းမြမေတ္တာ |၂၀၀၇ |A Place for Kathy |Henry Danker |၂၀၀၇ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၄၃ |ဘီလျံနာလို တွေးပါ | |Think Like a Billionaire |Donald Trump | |- |၄၄ |ဝံပုလွေနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Selected Stories |Anton Chekhov | |- |၄၅ |ကမ္ဘာကျော်ပုံရိပ်များ | |Great People |Reader's Digest | |- |၄၆ |အတိတ်ခြေရာ | |Selected Stories | | |- |၄၇ |ည | |Night |Elie Wiesel | |- |၄၈ |သမ္မတ၏ မဟေသီ | |The President's Lady |Iving Stone | |- |၄၉ |ဆီးကျိတ် | |Prostrate | | |- |၅၀ |လယ်ရီကင်း၏ လယ်ရီကင်း | |Larry King |Larry King | |- |၅၁ |မာတင် လူသာကင်း | |Martin Luther King |Scott King | |- |၅၂ |ရောင်းချခြင်း အတတ်ပညာ | |What Mom Teach Me | | |- |၅၃ |အန်နာ ကာရနီနာ | |Anna Karinnina |Leo Tolstoy | |- |၅၄ |ပြစ်မှုနှင့် ပြစ်ဒဏ် |၂၀၁၂ |Crime & Punishment |Dostoevsky |၂၀၁၂ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၅ |ပွင့်ဦးနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Episode and Other Stories | | |- |၅၆ |လေဟုန်စီး၍ | |The Boy Who |Kamkwamba | |- |၅၇ |မျှော် |၂၀၁၁ |Waiting |Ha Jin |၂၀၁၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၈ |လမ်းဘေးရှေ့နေ | |Street Lawyer |John Grisham | |- |၅၉ |အမတရှာပုံတော် | |Chasing Life |Dr Sunjay Gupta | |- |၆၀ |မမရေချယ် | |My Cousin, Rachel |Du Maurier | |- |၆၁ |လူငယ်များအတွက် ဒိန်ခဲ | |Who Moved My Cheese (for Teens) |Spencer Johnson | |- |၆၂ |ကြယ်ကြွေရာနောက်သို့ | |Partner |John Grisham | |- |၆၃ |နိဂုံး၏ အဓိပ္ပာယ် | |The Sense of an Ending |Julian Barnes | |- |၆၄ |ကန်သာရေရိပ်မှာ | |In the Pond |Ha Jin | |- |၆၅ |ဥစ္စာဓန၏ ကိုယ်ရည်ကိုယ်သွေး | |Why We Want You to Be Rich |Donald Trump | |- |၆၆ |သွေးအေးအေးဖြင့် | |In Cold Blood |Trueman Kapote | |- |၆၇ |အင်ပရက်ရှင်းနစ်ခေတ်ဦး | |Impressionists |Guy Jenning | |- |၆၈ |တိုက်ပွဲဝင်မေမေ | |The Fight to Free My Son |Peter Edwards | |- |၆၉ |မိစ္ဆာဝင်္ကပါ | |Les Miserables |Victor Hugo | |- |၇၀ |တစ်မိုးအောက်တစ်ယောက် | |Man of Montmartre |Stephen & Ethel Longstreet | |- |၇၁ |မြိုင်သာယာသို့ အပြန် | |The Road to Tara |Anne Edwards | |- |၇၂ |ကျောင်းတုန်းက သူငယ်ချင်းတွေ | |Friends Forever |Danielle Steel | |- |၇၃ |မေတ္တာဝင်္ကပါ | |The Hunchback of Natre Dame |Victor Hugo | |- |၇၄ |ဂျင်မီယင် | |Crusader for Man |John Hersey | |- |၇၅ |ဂန္ဓာနှင့် အခြားဝတ္ထုများ | |The Chrysanthemums and Other Stories | | |- |၇၆ |ကျွန်မနာမည် မာလာလာ | |I'm Malala |Malala Yousafzai & Christina Lamb | |- |၇၇ |ထိုအနမ်းနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |The Kiss and Other Stories |Aton Chekhov | |- |၇၈ |ပြန်ပေး | |Kidnapped |R. L. Stevenson | |- |၇၉ |သူရဲကောင်းသုံးယောက် | |Three Musketeers |Alexander Dumas | |- |၈၀ |ကျိန်စာသင့်အတိတ် ချစ်ဆိပ်ရည်ချို | |The Reader |Bernhard Schlink | |- |၈၁ |ဥရောပသမိုင်း မိတ်ဆက် | |The Age of Europe |Paul Seaver | |- |၈၂ |မျှော်လင့်ချက်ကြီးစွာဖြင့် | |The Great Expectation |Charles Dickens | |- |၈၃ |ဘဝအနှောင် | |Of Human Bondage |W. Somerset Maugham | |- |၈၄ |တစ်ကမ္ဘာဆီ ဝေး | |The Prime of Miss Brodie |Muriel Spark | |} == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၃၆ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ကွယ်လွန်သူများ]] ginyosfbr3opzgs1u6ckv39x7niz29k 1039350 1039341 2026-06-18T08:37:00Z Salai Rungtoi 22844 /* ကိုးကား */ 1039350 wikitext text/x-wiki {{Infobox စာရေးဆရာ | အမည် = တင်မောင်မြင့် | ဓာတ်ပုံ = | သက်တမ်း = | မွေးသက္ကရာဇ် = ၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ | အမည်ရင်း = တင်မောင်မြင့် | မိဘအမည် = ဦးမောင်ဒွေး + ဒေါ်ကျော့စိန် | မွေးဖွားရာဒေသ = [[စစ်ကျွန်းရွာ]][[ဟင်္သာတခရိုင်]][[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး|ဧရာဝတီတိုင်း]] | နိုင်ငံသား = [[File:Flag of Myanmar.svg|25px ]] မြန်မာ | လူမျိုး =ဗမာ | ကိုးကွယ်သည့်ဘာသာ = | ပညာအရည်အချင်း = | အလုပ်အကိုင်= စာရေးဆရာ | ကလောင် အမည်ခွဲများ = | ထင်ပေါ်ကျော်ကြားမှု = | စာပေအမျိုးအစား = ဘာသာပြန် | ထင်ရှားသည့်စာ = | ရရှိသည့်ဆု = [[အမျိုးသားစာပေဆု]] ဘာသာပြန်၊သုတ ([[၂၀၀၁]])၊ ဘာသာပြန်၊ရသ ([[၂၀၀၄]]) ([[၂၀၀၇]])([[၂၀၁၁]])([[၂၀၁၂]]) | ကြင်ဖော် = | သားသမီး = | ကွယ်လွန်ရက် = {{Death date and age|2026|6|18|1936|9|19}} | ကွယ်လွန်ရာဒေသ = ပင်လုံဆေးရုံ၊ ရန်ကုန်မြို့ | လက်မှတ် = | ကွန်ယက် = }} စာရေးဆရာကြီး '''တင်မောင်မြင့်''' (၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ - ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆) သည် မြန်မာ့စာပေလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ဘာသာပြန်စာရေးဆရာတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ဆရာကြီးသည် “ည” (Night)၊ “ပြစ်မှုနှင့်ပြစ်ဒဏ်” (Crime and Punishment) နှင့် “ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွှေ့သလဲ” (Who Moved My Cheese?) အပါအဝင် နိုင်ငံတကာ ထင်ရှားဝတ္ထုများကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့ပြီး ဘာသာပြန်စာအုပ်ပေါင်း ၁၁၇ အုပ်ကျော် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ဘာသာပြန်စာပေများအပြင် တက္ကသိုလ်နန္ဒမိတ်၊ မြတ်ငြိမ်းတို့နှင့် ပူးပေါင်းရေးသားသော “တစ်သိမ့်သိမ့်ဒွန် (ပေါင်းချုပ်)” စာအုပ်ဖြင့်လည်း ထင်ရှားသည်။ စာပေလောကတွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် “သည်းဦးပန်း” မဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် “အထောက်တော်လှအောင်” သတင်းမဂ္ဂဇင်း၏ ဒုတိယအယ်ဒီတာချုပ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် သုတနှင့် ရသပိုင်းဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်စာပေများစွာကို ရေးသားခဲ့ပြီး [[အမျိုးသား စာပေဆု|အမျိုးသားစာပေဆု]]ကို ငါးကြိမ် (၂၀၀၁၊ ၂၀၀၄၊ ၂၀၀၇၊ ၂၀၁၁၊ ၂၀၁၂) ရရှိခဲ့ကာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ဘာသာပြန်များအပြင် ပင်ကိုယ်ရေးစာများစာအုပ်ကို ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး မဂ္ဂဇင်းများ၌ ဖော်ပြခံခဲ့ရသော ပင်ကိုယ်ရေး ဝတ္ထုနှင့် ဆောင်းပါးများကိုလည်း စုစည်းထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ကျောက်ကပ်ရောဂါဖြင့် ကုသမှုခံယူနေရစဉ် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ ပင်လုံဆေးရုံ၌ အသက် ၉၀ နှစ်အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားရှာသည်။ == ဘဝကြောင်း == စာရေးဆရာကြီး တင်မောင်မြင့်ကို အဖ ဦးမောင်ဒွေးနှင့် အမိ ဒေါ်ကျော့စိန်တို့က ၁၉၃၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ဟင်္သာတခရိုင် စစ်ကျွန်းရွာ၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က ရန်ကုန်မြို့ ရေကျော် ဦးမောင်မောင် အလွတ်ပညာသင်ကျောင်းမှ အလယ်တန်းအောင်မြင်ပြီး တောင်ကြီးမြို့ အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း (ယခု အထက်တန်းကျောင်း) မှ ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းကို အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရန်ကုန်သက်ကြီးတက္ကသိုလ်တွင် ဆက်လက်ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ အလုပ်အကိုင်အားဖြင့် မော်ချီးမိုင်း၊ တောင်ကြီးမြို့ ပြည်သူ့ထောက်ပံ့ရေးဌာနနှင့် ရှမ်းပြည်နယ် ပညာမင်းကြီးရုံးတို့တွင် စာရင်းကိုင်၊ စာရေးအဆင့်ဆင့်ဖြင့် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၆၁ ခုနှစ်တွင် ဘီအိုစီကုမ္ပဏီ (ယခု MOGE) ၌ အလုပ်ဝင်ရောက်ကာ ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ငွေစာရင်းအရာရှိအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ပြီးနောက် အငြိမ်းစားယူခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ဘီအိုစီကုမ္ပဏီ၌ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေစဉ်အတွင်း ဆရာမြတ်ငြိမ်းနှင့်အတူ Jonathan Black ၏ World Rapers ကို ဘာသာပြန်ဆိုရန် အခွင့်အရေးရရှိခဲ့သည်။ ရေနံမြေနယ်ပယ်များသို့ သွားရောက် တာဝန်ထမ်းဆောင်စဉ်အတွင်း အဆိုပါစာအုပ်၏ ပထမပိုင်းတစ်ဝက်ကို ဘာသာပြန်ဆိုပြီး ဒုတိယပိုင်းကို ဆရာမြတ်ငြိမ်းက ပြန်ဆိုကာ ၁၉၈၃ ခုနှစ်တွင် “ငွေကျွန်” ဟူသည့် ဘာသာပြန်စာပေလက်ရာ ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ ထိုစာမူနှင့်ပတ်သက်၍ Gone With the Wind အဆက် Scarlett ၏ အမှာစာ၌ ဆရာကြီးက ယင်းအကြောင်းကို ဖွင့်ဟရေးသားခဲ့ဖူးသည်။ ထို့နောက် ဆရာကြီးသည် ဘာသာပြန်စာအုပ်ပေါင်း ၁၀၀ ကျော်ကို ဆက်လက်ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ စာပေလောကတွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် “သည်းဦးပန်း” မဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် “အထောက်တော်လှအောင်” သတင်းမဂ္ဂဇင်း၏ ဒုတိယအယ်ဒီတာချုပ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် သုတနှင့် ရသပိုင်းဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်စာပေများစွာကို ရေးသားခဲ့ပြီး အမျိုးသားစာပေဆုကို ငါးကြိမ် (၂၀၀၁၊ ၂၀၀၄၊ ၂၀၀၇၊ ၂၀၁၁၊ ၂၀၁၂) ရရှိခဲ့ကာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ထူးခြားမှုတစ်ရပ်မှာ ဆရာကြီးသည် ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် ဘာသာပြန်(သုတ)ဖြင့် အမျိုးသားစာပေဆုကို ရရှိခဲ့ပြီး ယင်းနှစ်၌ပင် ဆရာမြတ်ငြိမ်းကလည်း ဘာသာပြန်(ရသ)ဖြင့် အမျိုးသားစာပေဆုကို တစ်နှစ်တည်း ရရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၂၀၁၁ ခုနှစ်သည် မြန်မာနိုင်ငံစာပေဆုသမိုင်းတွင် [[အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆု]]ကို ပထမဆုံးအကြိမ် စတင်ချီးမြှင့်သည့်နှစ်လည်းဖြစ်ခဲ့ရာ ထိုနှစ်တွင် ဆရာကြီး ဦးလှကြိုင် (ပါရဂူ) ရရှိခဲ့ပြီး နောင်ဆယ့်ခုနစ်နှစ်အကြာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် ဆရာကြီး တင်မောင်မြင့်ကိုယ်တိုင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကို ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဘာသာပြန်များအပြင် ဆရာကြီးသည် ပင်ကိုယ်ရေးစာများစာအုပ်ကို ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး မဂ္ဂဇင်းများ၌ ဖော်ပြခံခဲ့ရသော ပင်ကိုယ်ရေးဝတ္ထုနှင့် ဆောင်းပါးများကိုလည်း စုစည်းထုတ်ဝေခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=ကမ္ဘာ့အလွမ်းစာပေများကို မြန်မာ့မြေ၌ ပွင့်လန်းစေသူ အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆုရ ဆရာကြီးတင်မောင်မြင့် {{!}} News and Periodical Enterprise |url=https://www.moi.gov.mm/npe/kmbhaaalmcaapemaakiu-mnmaamen-pnglncesuu-amiusaacaapettcskttaachur-chraakiittngmeaangmng |access-date=2026-06-18 |website=www.moi.gov.mm}}</ref> == မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည့် စာအုပ်များ == အောက်ပါစာအုပ်များကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |title= ဆရာတင်မောင်မြင့် ရေးခဲ့သောစာအုပ်များ |url=https://web.facebook.com/groups/1828587374047525?view=permalink&id=1929809787258616 |access-date=2010-04-11 }}</ref> {| class="wikitable sortable" |+ !စဉ် !စာအုပ်အမည် !ထုတ်ဝေနှစ် !မူရင်းစာအုပ်အမည် !မူလ ရေးသားသူ !မှတ်ချက် |- |၁ |ငွေကျွန် |၁၉၈၃ |World Rapers |Jonathan Black |[[မြတ်ငြိမ်း]] နှင့် တွဲရေး |- |၂ |သံယောဇဉ်ကမ်းခြေ |၁၉၈၃ |Man on Fire |A. J. Quinnell | |- |၃ |ငယ်စာရင်းဝင်မို့ |၁၉၈၃ |Rendezvons |Evelyn Anthony | |- |၄ |အချစ်၏အခြားသော မျက်နှာစာ |၁၉၈၄ |Not as a Stranger |Morton Thompson | |- |၅ |သံမဏိလိပ်ပြာ |၁၉၈၇ |Philadeiphian |Richard Powell | |- |၆ |အရိပ်မဲ့ရုပ်ပုံလွှာ |၁၉၈၅ |Snap Shot |A. J. Quinnell | |- |၇ |မဟာရံတံတိုင်းကို ဖြတ်ကျော်ခြင်း |၁၉၈၅ |This Side of Glory |Gwan Bristow | |- |၈ |မေတ္တာရှာပုံတော် |၁၉၈၅ |Where Love has Gone |Herold Robin | |- |၉ |တမ်းတတတ်သည် |၁၉၈၅ |Remenberance |Dannielle Steel | |- |၁၀ |အချစ်များစွာနဲ့ပါ ဆရာ |၁၉၈၇ |To Sir, With Love |E. R. Branthwaite | |- |၁၁ |နွေကန္တာ |၁၉၈၈ |Deep Summer |Gwen Bristow | |- |၁၂ |မာနမီးလျှံ |၁၉၉၉ |Body of Love |Charles Keats | |- |၁၃ |မဒမ်ကျူရီ |၂၀၀၁ |Madame Curie |Eve Curie |၂၀၀၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ သုတ) |- |၁၄ |လေရဟတ်နီ |၂၀၀၄ |Moulin Rouge |Pierre la Mure | |- |၁၅ |တောင်ပံမဲ့သင်းကွဲတေးဆိုငှက် |၂၀၀၄ |To Kill a Mocking Bird |Harper Lee |၂၀၀၄ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၁၆ |စကားလက် |၂၀၀၆ |Scarlett |Alexandra Ripley | |- |၁၇ |စခန်းသိမ်းအောင်ပွဲ | |Closing Ceremony |H. King | |- |၁၈ |ငွေတစ်မူးဖြင့် သိုက်တူးသူ | |A Kiss Before Dying |Ira Levin | |- |၁၉ |လျှပ်စစ်မုန်တိုင်း | |Ride the Thunder |Janet Daily | |- |၂၀ |ငွေရန်သူ | |Money |P. L. Suliterzer | |- |၂၁ |သူ့အချစ်မျိုးဟာ | |Brown Stone House |Rae Foley | |- |၂၂ |ဒီရေရိုင်းနှင့် မုန်တိုင်းနှင့် | |Flood Tide |Frank Yerby | |- |၂၃ |အချစ်ဆုံး | |Loving |Danielle Steel | |- |၂၄ |ချစ်လင်းရောင်ခြည် | |A Patch of Blue |Elizabeth Kate | |- |၂၅ |ထာဝရ | |Valentina |Evelyn Anthony | |- |၂၆ |မိုးမြေသိမ့်သိမ့် | |Crash of 79 |Paul Adam | |- |၂၇ |ကြွက်ကဲ့အရောင် ကြောင်ရဲ့အလား | |Persian Ransom |Evelyn Anthony | |- |၂၈ |အချစ်ဝေဟင် | |Illusion of Love |Cynthia Freeman | |- |၂၉ |ဒက်ဒီ | |Daddy |Danielle Steel | |- |၃၀ |အရှေ့ယွန်းက နေဝန်းနီ | |The Rising Sun |Michael Criton | |- |၃၁ |မုန်တိုင်းထန် ကမ်းခြေ | |Siege of Silence |A. J. Quinell | |- |၃၂ |မုန်တိုင်းငှက် | |The Eagle Has Flown |Jack Haggin | |- |၃၃ |မာနီ | |Marni |Winston Graham | |- |၃၄ |သတင်းမုဆိုး | |Modern Women |Ruth Harris | |- |၃၅ |လက်ထပ်ထိမ်းမြားခြင်း အနုပညာ | |Happy Marriage |Andrie Mouris | |- |၃၆ |မြကတ္တီပါလမ်း | |Handsome Road |Gwen Bristow | |- |၃၇ |လေထန်ပေမယ့် ပန်းမကြွေ | |Selected Stories | | |- |၃၈ |အရောင်များနှင့် စကားပြောခြင်း | |Mary Cassette |Jone King | |- |၃၉ |ဒေ့ဒ်စ်ငရဲခန်းမှာ | |Weeding Tears |Jean White | |- |၄၀ |ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွေ့သလဲ | |Who Moved My Cheese |Spencer Johnson | |- |၄၁ |တိမ်ပေါ်မှာ လမ်းလျှောက် | |Children of Dust |Clancy Charlie | |- |၄၂ |အနက်ရောင်အိပ်မက် စိမ်းမြမေတ္တာ |၂၀၀၇ |A Place for Kathy |Henry Danker |၂၀၀၇ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၄၃ |ဘီလျံနာလို တွေးပါ | |Think Like a Billionaire |Donald Trump | |- |၄၄ |ဝံပုလွေနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Selected Stories |Anton Chekhov | |- |၄၅ |ကမ္ဘာကျော်ပုံရိပ်များ | |Great People |Reader's Digest | |- |၄၆ |အတိတ်ခြေရာ | |Selected Stories | | |- |၄၇ |ည | |Night |Elie Wiesel | |- |၄၈ |သမ္မတ၏ မဟေသီ | |The President's Lady |Iving Stone | |- |၄၉ |ဆီးကျိတ် | |Prostrate | | |- |၅၀ |လယ်ရီကင်း၏ လယ်ရီကင်း | |Larry King |Larry King | |- |၅၁ |မာတင် လူသာကင်း | |Martin Luther King |Scott King | |- |၅၂ |ရောင်းချခြင်း အတတ်ပညာ | |What Mom Teach Me | | |- |၅၃ |အန်နာ ကာရနီနာ | |Anna Karinnina |Leo Tolstoy | |- |၅၄ |ပြစ်မှုနှင့် ပြစ်ဒဏ် |၂၀၁၂ |Crime & Punishment |Dostoevsky |၂၀၁၂ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၅ |ပွင့်ဦးနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Episode and Other Stories | | |- |၅၆ |လေဟုန်စီး၍ | |The Boy Who |Kamkwamba | |- |၅၇ |မျှော် |၂၀၁၁ |Waiting |Ha Jin |၂၀၁၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၈ |လမ်းဘေးရှေ့နေ | |Street Lawyer |John Grisham | |- |၅၉ |အမတရှာပုံတော် | |Chasing Life |Dr Sunjay Gupta | |- |၆၀ |မမရေချယ် | |My Cousin, Rachel |Du Maurier | |- |၆၁ |လူငယ်များအတွက် ဒိန်ခဲ | |Who Moved My Cheese (for Teens) |Spencer Johnson | |- |၆၂ |ကြယ်ကြွေရာနောက်သို့ | |Partner |John Grisham | |- |၆၃ |နိဂုံး၏ အဓိပ္ပာယ် | |The Sense of an Ending |Julian Barnes | |- |၆၄ |ကန်သာရေရိပ်မှာ | |In the Pond |Ha Jin | |- |၆၅ |ဥစ္စာဓန၏ ကိုယ်ရည်ကိုယ်သွေး | |Why We Want You to Be Rich |Donald Trump | |- |၆၆ |သွေးအေးအေးဖြင့် | |In Cold Blood |Trueman Kapote | |- |၆၇ |အင်ပရက်ရှင်းနစ်ခေတ်ဦး | |Impressionists |Guy Jenning | |- |၆၈ |တိုက်ပွဲဝင်မေမေ | |The Fight to Free My Son |Peter Edwards | |- |၆၉ |မိစ္ဆာဝင်္ကပါ | |Les Miserables |Victor Hugo | |- |၇၀ |တစ်မိုးအောက်တစ်ယောက် | |Man of Montmartre |Stephen & Ethel Longstreet | |- |၇၁ |မြိုင်သာယာသို့ အပြန် | |The Road to Tara |Anne Edwards | |- |၇၂ |ကျောင်းတုန်းက သူငယ်ချင်းတွေ | |Friends Forever |Danielle Steel | |- |၇၃ |မေတ္တာဝင်္ကပါ | |The Hunchback of Natre Dame |Victor Hugo | |- |၇၄ |ဂျင်မီယင် | |Crusader for Man |John Hersey | |- |၇၅ |ဂန္ဓာနှင့် အခြားဝတ္ထုများ | |The Chrysanthemums and Other Stories | | |- |၇၆ |ကျွန်မနာမည် မာလာလာ | |I'm Malala |Malala Yousafzai & Christina Lamb | |- |၇၇ |ထိုအနမ်းနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |The Kiss and Other Stories |Aton Chekhov | |- |၇၈ |ပြန်ပေး | |Kidnapped |R. L. Stevenson | |- |၇၉ |သူရဲကောင်းသုံးယောက် | |Three Musketeers |Alexander Dumas | |- |၈၀ |ကျိန်စာသင့်အတိတ် ချစ်ဆိပ်ရည်ချို | |The Reader |Bernhard Schlink | |- |၈၁ |ဥရောပသမိုင်း မိတ်ဆက် | |The Age of Europe |Paul Seaver | |- |၈၂ |မျှော်လင့်ချက်ကြီးစွာဖြင့် | |The Great Expectation |Charles Dickens | |- |၈၃ |ဘဝအနှောင် | |Of Human Bondage |W. Somerset Maugham | |- |၈၄ |တစ်ကမ္ဘာဆီ ဝေး | |The Prime of Miss Brodie |Muriel Spark | |} == ဘဝနိဂုံး == ဆရာကြီးသည် ကျောက်ကပ်ရောဂါဖြင့် ကုသမှုခံယူနေရစဉ် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ ပင်လုံဆေးရုံ၌ အသက် ၉၀ နှစ်အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-18 |title=၂၀၂၆ ဇွန် ၁၈ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - အာရက္ခတပ်တော်(အေအေ) ထိန်းချုပ် ကျောက်တော်မြို့ လေကြောင်းဗုံးကြဲခံရမှု သေဆုံးသူ ၈ ဦးရှိလာ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/crlwdge7wjwt |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၃၆ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ကွယ်လွန်သူများ]] m4gb2kxrzfh28k47ltoiy71op91crjo 1039379 1039350 2026-06-18T11:32:40Z Salai Rungtoi 22844 1039379 wikitext text/x-wiki {{Infobox စာရေးဆရာ | အမည် = တင်မောင်မြင့် | ဓာတ်ပုံ = | သက်တမ်း = | မွေးသက္ကရာဇ် = ၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ | အမည်ရင်း = တင်မောင်မြင့် | မိဘအမည် = ဦးမောင်ဒွေး + ဒေါ်ကျော့စိန် | မွေးဖွားရာဒေသ = စစ်ကျွန်းရွာ၊ [[ဟင်္သာတခရိုင်]][[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး|ဧရာဝတီတိုင်း]] | နိုင်ငံသား = [[File:Flag of Myanmar.svg|25px ]] မြန်မာ | လူမျိုး =ဗမာ | ကိုးကွယ်သည့်ဘာသာ = | ပညာအရည်အချင်း = | အလုပ်အကိုင်= စာရေးဆရာ | ကလောင် အမည်ခွဲများ = | ထင်ပေါ်ကျော်ကြားမှု = | စာပေအမျိုးအစား = ဘာသာပြန် | ထင်ရှားသည့်စာ = | ရရှိသည့်ဆု = [[အမျိုးသားစာပေဆု]] ဘာသာပြန်၊သုတ ([[၂၀၀၁]])၊ ဘာသာပြန်၊ရသ ([[၂၀၀၄]]) ([[၂၀၀၇]])([[၂၀၁၁]])([[၂၀၁၂]]) | ကြင်ဖော် = | သားသမီး = | ကွယ်လွန်ရက် = {{Death date and age|2026|6|18|1936|9|19}} | ကွယ်လွန်ရာဒေသ = ပင်လုံဆေးရုံ၊ ရန်ကုန်မြို့ | လက်မှတ် = | ကွန်ယက် = }} စာရေးဆရာကြီး '''တင်မောင်မြင့်''' (၁၉ စက်တင်ဘာ ၁၉၃၆ - ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆) သည် မြန်မာ့စာပေလောကတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသော ဘာသာပြန်စာရေးဆရာတစ်ဦးဖြစ်သည်။ ဆရာကြီးသည် “ည” (Night)၊ “ပြစ်မှုနှင့်ပြစ်ဒဏ်” (Crime and Punishment) နှင့် “ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွှေ့သလဲ” (Who Moved My Cheese?) အပါအဝင် နိုင်ငံတကာ ထင်ရှားဝတ္ထုများကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့ပြီး ဘာသာပြန်စာအုပ်ပေါင်း ၁၁၇ အုပ်ကျော် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ဘာသာပြန်စာပေများအပြင် တက္ကသိုလ်နန္ဒမိတ်၊ မြတ်ငြိမ်းတို့နှင့် ပူးပေါင်းရေးသားသော “တစ်သိမ့်သိမ့်ဒွန် (ပေါင်းချုပ်)” စာအုပ်ဖြင့်လည်း ထင်ရှားသည်။ စာပေလောကတွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် “သည်းဦးပန်း” မဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် “အထောက်တော်လှအောင်” သတင်းမဂ္ဂဇင်း၏ ဒုတိယအယ်ဒီတာချုပ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် သုတနှင့် ရသပိုင်းဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်စာပေများစွာကို ရေးသားခဲ့ပြီး [[အမျိုးသား စာပေဆု|အမျိုးသားစာပေဆု]]ကို ငါးကြိမ် (၂၀၀၁၊ ၂၀၀၄၊ ၂၀၀၇၊ ၂၀၁၁၊ ၂၀၁၂) ရရှိခဲ့ကာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ဘာသာပြန်များအပြင် ပင်ကိုယ်ရေးစာများစာအုပ်ကို ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး မဂ္ဂဇင်းများ၌ ဖော်ပြခံခဲ့ရသော ပင်ကိုယ်ရေး ဝတ္ထုနှင့် ဆောင်းပါးများကိုလည်း စုစည်းထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ကျောက်ကပ်ရောဂါဖြင့် ကုသမှုခံယူနေရစဉ် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ ပင်လုံဆေးရုံ၌ အသက် ၉၀ နှစ်အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားရှာသည်။ == ဘဝကြောင်း == စာရေးဆရာကြီး တင်မောင်မြင့်ကို အဖ ဦးမောင်ဒွေးနှင့် အမိ ဒေါ်ကျော့စိန်တို့က ၁၉၃၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ဟင်္သာတခရိုင် စစ်ကျွန်းရွာ၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ငယ်စဉ်က ရန်ကုန်မြို့ ရေကျော် ဦးမောင်မောင် အလွတ်ပညာသင်ကျောင်းမှ အလယ်တန်းအောင်မြင်ပြီး တောင်ကြီးမြို့ အစိုးရအထက်တန်းကျောင်း (ယခု အထက်တန်းကျောင်း) မှ ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းကို အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရန်ကုန်သက်ကြီးတက္ကသိုလ်တွင် ဆက်လက်ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ အလုပ်အကိုင်အားဖြင့် မော်ချီးမိုင်း၊ တောင်ကြီးမြို့ ပြည်သူ့ထောက်ပံ့ရေးဌာနနှင့် ရှမ်းပြည်နယ် ပညာမင်းကြီးရုံးတို့တွင် စာရင်းကိုင်၊ စာရေးအဆင့်ဆင့်ဖြင့် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၆၁ ခုနှစ်တွင် ဘီအိုစီကုမ္ပဏီ (ယခု MOGE) ၌ အလုပ်ဝင်ရောက်ကာ ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ငွေစာရင်းအရာရှိအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ပြီးနောက် အငြိမ်းစားယူခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် ဘီအိုစီကုမ္ပဏီ၌ တာဝန်ထမ်းဆောင်နေစဉ်အတွင်း ဆရာမြတ်ငြိမ်းနှင့်အတူ Jonathan Black ၏ World Rapers ကို ဘာသာပြန်ဆိုရန် အခွင့်အရေးရရှိခဲ့သည်။ ရေနံမြေနယ်ပယ်များသို့ သွားရောက် တာဝန်ထမ်းဆောင်စဉ်အတွင်း အဆိုပါစာအုပ်၏ ပထမပိုင်းတစ်ဝက်ကို ဘာသာပြန်ဆိုပြီး ဒုတိယပိုင်းကို ဆရာမြတ်ငြိမ်းက ပြန်ဆိုကာ ၁၉၈၃ ခုနှစ်တွင် “ငွေကျွန်” ဟူသည့် ဘာသာပြန်စာပေလက်ရာ ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ ထိုစာမူနှင့်ပတ်သက်၍ Gone With the Wind အဆက် Scarlett ၏ အမှာစာ၌ ဆရာကြီးက ယင်းအကြောင်းကို ဖွင့်ဟရေးသားခဲ့ဖူးသည်။ ထို့နောက် ဆရာကြီးသည် ဘာသာပြန်စာအုပ်ပေါင်း ၁၀၀ ကျော်ကို ဆက်လက်ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ စာပေလောကတွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် “သည်းဦးပန်း” မဂ္ဂဇင်း၏ အယ်ဒီတာအဖွဲ့ဝင်၊ ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် “အထောက်တော်လှအောင်” သတင်းမဂ္ဂဇင်း၏ ဒုတိယအယ်ဒီတာချုပ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ဆရာကြီးသည် သုတနှင့် ရသပိုင်းဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်စာပေများစွာကို ရေးသားခဲ့ပြီး အမျိုးသားစာပေဆုကို ငါးကြိမ် (၂၀၀၁၊ ၂၀၀၄၊ ၂၀၀၇၊ ၂၀၁၁၊ ၂၀၁၂) ရရှိခဲ့ကာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ထူးခြားမှုတစ်ရပ်မှာ ဆရာကြီးသည် ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် ဘာသာပြန်(သုတ)ဖြင့် အမျိုးသားစာပေဆုကို ရရှိခဲ့ပြီး ယင်းနှစ်၌ပင် ဆရာမြတ်ငြိမ်းကလည်း ဘာသာပြန်(ရသ)ဖြင့် အမျိုးသားစာပေဆုကို တစ်နှစ်တည်း ရရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၂၀၁၁ ခုနှစ်သည် မြန်မာနိုင်ငံစာပေဆုသမိုင်းတွင် [[အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆု]]ကို ပထမဆုံးအကြိမ် စတင်ချီးမြှင့်သည့်နှစ်လည်းဖြစ်ခဲ့ရာ ထိုနှစ်တွင် ဆရာကြီး ဦးလှကြိုင် (ပါရဂူ) ရရှိခဲ့ပြီး နောင်ဆယ့်ခုနစ်နှစ်အကြာ ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် ဆရာကြီး တင်မောင်မြင့်ကိုယ်တိုင် အမျိုးသားစာပေ တစ်သက်တာဆုကို ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဘာသာပြန်များအပြင် ဆရာကြီးသည် ပင်ကိုယ်ရေးစာများစာအုပ်ကို ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး မဂ္ဂဇင်းများ၌ ဖော်ပြခံခဲ့ရသော ပင်ကိုယ်ရေးဝတ္ထုနှင့် ဆောင်းပါးများကိုလည်း စုစည်းထုတ်ဝေခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=ကမ္ဘာ့အလွမ်းစာပေများကို မြန်မာ့မြေ၌ ပွင့်လန်းစေသူ အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆုရ ဆရာကြီးတင်မောင်မြင့် {{!}} News and Periodical Enterprise |url=https://www.moi.gov.mm/npe/kmbhaaalmcaapemaakiu-mnmaamen-pnglncesuu-amiusaacaapettcskttaachur-chraakiittngmeaangmng |access-date=2026-06-18 |website=www.moi.gov.mm}}</ref> == မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည့် စာအုပ်များ == အောက်ပါစာအုပ်များကို မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုခဲ့သည်။ <ref>{{Citation |title= ဆရာတင်မောင်မြင့် ရေးခဲ့သောစာအုပ်များ |url=https://web.facebook.com/groups/1828587374047525?view=permalink&id=1929809787258616 |access-date=2010-04-11 }}</ref> {| class="wikitable sortable" |+ !စဉ် !စာအုပ်အမည် !ထုတ်ဝေနှစ် !မူရင်းစာအုပ်အမည် !မူလ ရေးသားသူ !မှတ်ချက် |- |၁ |ငွေကျွန် |၁၉၈၃ |World Rapers |Jonathan Black |[[မြတ်ငြိမ်း]] နှင့် တွဲရေး |- |၂ |သံယောဇဉ်ကမ်းခြေ |၁၉၈၃ |Man on Fire |A. J. Quinnell | |- |၃ |ငယ်စာရင်းဝင်မို့ |၁၉၈၃ |Rendezvons |Evelyn Anthony | |- |၄ |အချစ်၏အခြားသော မျက်နှာစာ |၁၉၈၄ |Not as a Stranger |Morton Thompson | |- |၅ |သံမဏိလိပ်ပြာ |၁၉၈၇ |Philadeiphian |Richard Powell | |- |၆ |အရိပ်မဲ့ရုပ်ပုံလွှာ |၁၉၈၅ |Snap Shot |A. J. Quinnell | |- |၇ |မဟာရံတံတိုင်းကို ဖြတ်ကျော်ခြင်း |၁၉၈၅ |This Side of Glory |Gwan Bristow | |- |၈ |မေတ္တာရှာပုံတော် |၁၉၈၅ |Where Love has Gone |Herold Robin | |- |၉ |တမ်းတတတ်သည် |၁၉၈၅ |Remenberance |Dannielle Steel | |- |၁၀ |အချစ်များစွာနဲ့ပါ ဆရာ |၁၉၈၇ |To Sir, With Love |E. R. Branthwaite | |- |၁၁ |နွေကန္တာ |၁၉၈၈ |Deep Summer |Gwen Bristow | |- |၁၂ |မာနမီးလျှံ |၁၉၉၉ |Body of Love |Charles Keats | |- |၁၃ |မဒမ်ကျူရီ |၂၀၀၁ |Madame Curie |Eve Curie |၂၀၀၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ သုတ) |- |၁၄ |လေရဟတ်နီ |၂၀၀၄ |Moulin Rouge |Pierre la Mure | |- |၁၅ |တောင်ပံမဲ့သင်းကွဲတေးဆိုငှက် |၂၀၀၄ |To Kill a Mocking Bird |Harper Lee |၂၀၀၄ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၁၆ |စကားလက် |၂၀၀၆ |Scarlett |Alexandra Ripley | |- |၁၇ |စခန်းသိမ်းအောင်ပွဲ | |Closing Ceremony |H. King | |- |၁၈ |ငွေတစ်မူးဖြင့် သိုက်တူးသူ | |A Kiss Before Dying |Ira Levin | |- |၁၉ |လျှပ်စစ်မုန်တိုင်း | |Ride the Thunder |Janet Daily | |- |၂၀ |ငွေရန်သူ | |Money |P. L. Suliterzer | |- |၂၁ |သူ့အချစ်မျိုးဟာ | |Brown Stone House |Rae Foley | |- |၂၂ |ဒီရေရိုင်းနှင့် မုန်တိုင်းနှင့် | |Flood Tide |Frank Yerby | |- |၂၃ |အချစ်ဆုံး | |Loving |Danielle Steel | |- |၂၄ |ချစ်လင်းရောင်ခြည် | |A Patch of Blue |Elizabeth Kate | |- |၂၅ |ထာဝရ | |Valentina |Evelyn Anthony | |- |၂၆ |မိုးမြေသိမ့်သိမ့် | |Crash of 79 |Paul Adam | |- |၂၇ |ကြွက်ကဲ့အရောင် ကြောင်ရဲ့အလား | |Persian Ransom |Evelyn Anthony | |- |၂၈ |အချစ်ဝေဟင် | |Illusion of Love |Cynthia Freeman | |- |၂၉ |ဒက်ဒီ | |Daddy |Danielle Steel | |- |၃၀ |အရှေ့ယွန်းက နေဝန်းနီ | |The Rising Sun |Michael Criton | |- |၃၁ |မုန်တိုင်းထန် ကမ်းခြေ | |Siege of Silence |A. J. Quinell | |- |၃၂ |မုန်တိုင်းငှက် | |The Eagle Has Flown |Jack Haggin | |- |၃၃ |မာနီ | |Marni |Winston Graham | |- |၃၄ |သတင်းမုဆိုး | |Modern Women |Ruth Harris | |- |၃၅ |လက်ထပ်ထိမ်းမြားခြင်း အနုပညာ | |Happy Marriage |Andrie Mouris | |- |၃၆ |မြကတ္တီပါလမ်း | |Handsome Road |Gwen Bristow | |- |၃၇ |လေထန်ပေမယ့် ပန်းမကြွေ | |Selected Stories | | |- |၃၈ |အရောင်များနှင့် စကားပြောခြင်း | |Mary Cassette |Jone King | |- |၃၉ |ဒေ့ဒ်စ်ငရဲခန်းမှာ | |Weeding Tears |Jean White | |- |၄၀ |ငါ့ဒိန်ခဲကို ဘယ်သူနေရာရွေ့သလဲ | |Who Moved My Cheese |Spencer Johnson | |- |၄၁ |တိမ်ပေါ်မှာ လမ်းလျှောက် | |Children of Dust |Clancy Charlie | |- |၄၂ |အနက်ရောင်အိပ်မက် စိမ်းမြမေတ္တာ |၂၀၀၇ |A Place for Kathy |Henry Danker |၂၀၀၇ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၄၃ |ဘီလျံနာလို တွေးပါ | |Think Like a Billionaire |Donald Trump | |- |၄၄ |ဝံပုလွေနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Selected Stories |Anton Chekhov | |- |၄၅ |ကမ္ဘာကျော်ပုံရိပ်များ | |Great People |Reader's Digest | |- |၄၆ |အတိတ်ခြေရာ | |Selected Stories | | |- |၄၇ |ည | |Night |Elie Wiesel | |- |၄၈ |သမ္မတ၏ မဟေသီ | |The President's Lady |Iving Stone | |- |၄၉ |ဆီးကျိတ် | |Prostrate | | |- |၅၀ |လယ်ရီကင်း၏ လယ်ရီကင်း | |Larry King |Larry King | |- |၅၁ |မာတင် လူသာကင်း | |Martin Luther King |Scott King | |- |၅၂ |ရောင်းချခြင်း အတတ်ပညာ | |What Mom Teach Me | | |- |၅၃ |အန်နာ ကာရနီနာ | |Anna Karinnina |Leo Tolstoy | |- |၅၄ |ပြစ်မှုနှင့် ပြစ်ဒဏ် |၂၀၁၂ |Crime & Punishment |Dostoevsky |၂၀၁၂ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၅ |ပွင့်ဦးနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |Episode and Other Stories | | |- |၅၆ |လေဟုန်စီး၍ | |The Boy Who |Kamkwamba | |- |၅၇ |မျှော် |၂၀၁၁ |Waiting |Ha Jin |၂၀၁၁ အမျိုးသားစာပေဆု (ဘာသာပြန်၊ ရသ) |- |၅၈ |လမ်းဘေးရှေ့နေ | |Street Lawyer |John Grisham | |- |၅၉ |အမတရှာပုံတော် | |Chasing Life |Dr Sunjay Gupta | |- |၆၀ |မမရေချယ် | |My Cousin, Rachel |Du Maurier | |- |၆၁ |လူငယ်များအတွက် ဒိန်ခဲ | |Who Moved My Cheese (for Teens) |Spencer Johnson | |- |၆၂ |ကြယ်ကြွေရာနောက်သို့ | |Partner |John Grisham | |- |၆၃ |နိဂုံး၏ အဓိပ္ပာယ် | |The Sense of an Ending |Julian Barnes | |- |၆၄ |ကန်သာရေရိပ်မှာ | |In the Pond |Ha Jin | |- |၆၅ |ဥစ္စာဓန၏ ကိုယ်ရည်ကိုယ်သွေး | |Why We Want You to Be Rich |Donald Trump | |- |၆၆ |သွေးအေးအေးဖြင့် | |In Cold Blood |Trueman Kapote | |- |၆၇ |အင်ပရက်ရှင်းနစ်ခေတ်ဦး | |Impressionists |Guy Jenning | |- |၆၈ |တိုက်ပွဲဝင်မေမေ | |The Fight to Free My Son |Peter Edwards | |- |၆၉ |မိစ္ဆာဝင်္ကပါ | |Les Miserables |Victor Hugo | |- |၇၀ |တစ်မိုးအောက်တစ်ယောက် | |Man of Montmartre |Stephen & Ethel Longstreet | |- |၇၁ |မြိုင်သာယာသို့ အပြန် | |The Road to Tara |Anne Edwards | |- |၇၂ |ကျောင်းတုန်းက သူငယ်ချင်းတွေ | |Friends Forever |Danielle Steel | |- |၇၃ |မေတ္တာဝင်္ကပါ | |The Hunchback of Natre Dame |Victor Hugo | |- |၇၄ |ဂျင်မီယင် | |Crusader for Man |John Hersey | |- |၇၅ |ဂန္ဓာနှင့် အခြားဝတ္ထုများ | |The Chrysanthemums and Other Stories | | |- |၇၆ |ကျွန်မနာမည် မာလာလာ | |I'm Malala |Malala Yousafzai & Christina Lamb | |- |၇၇ |ထိုအနမ်းနှင့် အခြားဝတ္ထုတိုများ | |The Kiss and Other Stories |Aton Chekhov | |- |၇၈ |ပြန်ပေး | |Kidnapped |R. L. Stevenson | |- |၇၉ |သူရဲကောင်းသုံးယောက် | |Three Musketeers |Alexander Dumas | |- |၈၀ |ကျိန်စာသင့်အတိတ် ချစ်ဆိပ်ရည်ချို | |The Reader |Bernhard Schlink | |- |၈၁ |ဥရောပသမိုင်း မိတ်ဆက် | |The Age of Europe |Paul Seaver | |- |၈၂ |မျှော်လင့်ချက်ကြီးစွာဖြင့် | |The Great Expectation |Charles Dickens | |- |၈၃ |ဘဝအနှောင် | |Of Human Bondage |W. Somerset Maugham | |- |၈၄ |တစ်ကမ္ဘာဆီ ဝေး | |The Prime of Miss Brodie |Muriel Spark | |} == ဘဝနိဂုံး == ဆရာကြီးသည် ကျောက်ကပ်ရောဂါဖြင့် ကုသမှုခံယူနေရစဉ် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် ရန်ကုန်မြို့ ပင်လုံဆေးရုံ၌ အသက် ၉၀ နှစ်အရွယ်တွင် ကွယ်လွန်သွားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-18 |title=၂၀၂၆ ဇွန် ၁၈ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - အာရက္ခတပ်တော်(အေအေ) ထိန်းချုပ် ကျောက်တော်မြို့ လေကြောင်းဗုံးကြဲခံရမှု သေဆုံးသူ ၈ ဦးရှိလာ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/crlwdge7wjwt |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၃၆ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ကွယ်လွန်သူများ]] sxdnmygsje5hez0gpll6k41jop5rek1 0 79534 1039309 856666 2026-06-18T02:35:08Z ~2026-35435-90 144543 1039309 wikitext text/x-wiki '''စပါး တကုဗြတ်၊ မယား တစ်ခုလပ်''' သည် [[ဆိုရိုးစကား|မြန်မာဆိုရိုးစကား]] ဖြစ်သည်။<ref name="မြန်မာဆိုရိုးစကား">{{cite book|title= မြန်မာဆိုရိုးစကား |publisher=မြန်မာစာအဖွဲ့ဦးစီးဌာန|location=|date=အောက်တိုဘာ ၁၉၉၆|edition=ပထမအကြိမ်}}</ref> ဆန်မှာ စကုဗြတ်၊ လူမှာတစ်ခုလပ် ဟူ၍လည်း အဆိုရှိသည်။ ===အဓိပ္ပာယ်=== '''စပါး စကုဗြတ်၊ မယား တစ်ခုလပ်''' ဆိုသည်မှာ စပါးများထဲတွင် စကုနယ်မှ ထွက်သော ဗြတ်စပါးသည် အကောင်းဆုံးဖြစ်သကဲ့သို့ မယားများထဲတွင် တစ်ခုလပ်မယားသည် အိမ်ထောင်ဖက်အဖြစ် အကောင်းဆုံးဖြစ်သည်ဟု ဆိုလိုသည်။ ဤဆိုရိုးစကားသည် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု၏ အကောင်းဆုံးကို နှိုင်းယှဉ်ဖော်ပြသည်။ * '''စပါး စကုဗြတ်''' ဆိုသည်မှာ စကုနယ် (မကွေးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ မြို့နယ်တစ်ခု) မှ ထွက်သော ဗြတ်စပါးသည် အရည်အသွေးကောင်းမွန်ပြီး ထမင်းစားကောင်းသောကြောင့် နာမည်ကျော်ကြားသည်။ * '''မယား တစ်ခုလပ်''' ဆိုသည်မှာ အိမ်ထောင်တစ်ကြိမ် ကျဖူးသော အမျိုးသမီးကို ရည်ညွှန်းသည်။ ရှေးခေတ်လူမှုအဖွဲ့အစည်းတွင် တစ်ခုလပ် အမျိုးသမီးများသည် ဘဝအတွေ့အကြုံ ရင့်ကျက်မှု၊ အိမ်မှုကိစ္စ ကျွမ်းကျင်မှုတို့ကြောင့် အိမ်ထောင်ဖက်အဖြစ် ပိုမိုသင့်လျော်သည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဤဆိုရိုးစကားသည် ရှေးခေတ် မြန်မာလူမှုအဖွဲ့အစည်း၏ တန်ဖိုးထားမှုများနှင့် အယူအဆများကို ထင်ဟပ်စေသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဤဆိုရိုးစကားကို အသုံးပြုမှု နည်းပါးလာသော်လည်း ရှေးရိုးစကားတစ်ခုအနေဖြင့် လူသိများဆဲဖြစ်သည်။ ===မှတ်သားဖွယ်ရာများ=== * '''ကလီကမာ၊ မိန်းမယဉ်တကာ၊ ကြက်ကိုတောင်ပြန်၊ ဆန်ကို အိဗြတ်၊ ဆိုရိုးမှတ်ကြသည်၊ တစ်ခုလပ် နှစ်ခုလပ်၊ သုံးခုလပ် တစ်လင်ကွာ၊''' * '''ဆန်မှာလည်း စကုဗြတ်၊ လူမှာလည်း တစ်ခုလပ် အပြုအစုတတ် တယ်လို့ ဆိုတာ။ တစ်ခုလပ်ဘဝမှာ အင်မတန် ကောင်းပါတယ်ကွယ်ဟု ဆိုလေ၏။''' <ref>[၁၁၄၆] ''ရာမ''၊ ပ။ ၃၃။</ref> <ref>[၁၂၇၉] ''မှာ''၊ ပ။ ၉၃။</ref> ==ကိုးကား== <references /> [[Category:မြန်မာဆိုရိုးစကားများ]] aehm3vopmt6ui3dshgjqn9drq3ctxvh 0 96516 1039324 954973 2026-06-18T04:09:21Z CommonsDelinker 115 Removing [[:c:File:Skyline_of_Sanchong,_New_Taipei_2024.jpg|Skyline_of_Sanchong,_New_Taipei_2024.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Krd|Krd]] because: No permission since 10 June 2026. 1039324 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = စန်းချုံ | official_name = စန်းချုံခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|zh-hant|三重區}}}} | other_name = | settlement_type = [[District (တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ)|District]] | image_skyline = | image_caption = | image_seal = | image_map = New Taipei-Sanchong.svg | map_caption = Sanchong District in [[New Taipei City]] | pushpin_map = | pushpin_label_position = bottom | pushpin_map_caption = Location of Sanchong in Taiwan | subdivision_type = [[Countries of the world|Country]] | subdivision_name = [[Taiwan|Republic of China (Taiwan)]] | subdivision_type1 = | subdivision_type2 = [[Special municipality of Taiwan|Special municipality]] | subdivision_name1 = | subdivision_name2 = [[New Taipei]] | established_title = Established | established_date = ၁၉၄၇ | leader_title = ခရိုင်အကြီးအကဲ | leader_name = | area_magnitude = 1 E9 | area_total_km2 = 16.3170 | area_note = | population_total = ၃၈၈၂၃၀ | population_as_of = ၂၀၁၆ ဩဂုတ်လ | population_density_km2 = auto | postal_code_type = [[Postal code]] | postal_code = ၂၄၁ | area_code = ၀၂ | website = {{URL|http://www.sanchong.ntpc.gov.tw}} | footnotes = }}'''စန်းချုံခရိုင်''' ({{zh|c=三重區|p=Sānchóng Qū|poj=Sam-tiông-khu}}) [[ထိုင်ဝမ်|ထိုင်ဝမ်နိုင်ငံ]] နျူးထိုင်ပေမြို့ အနောက်ဘက်မှ လူနေထိုင်မှုများရာ ခရိုင်ဒေသဖြစ်သည်။ ၁၆.၃၂ ကီလိုမိတာကျယ်ဝန်းပြီး လူဦးရေ ၃၈၄၆၁၈ (၂၀၀၃) နေထိုင်သည်ဖြစ်ရာ စန်းချုံခရိုင်သည် ထိုင်ဝမ်နိုင်ငံ၏ ၄ ခုမြောက် နှင့် ကမ္ဘာပေါ်တွင် ၂၃ ခုမြောက် လူဦးရေအထူထပ်ဆုံးဖြစ်သည်။<ref>[[List of cities proper by population density]]</ref> တစ်ကီလိုမီတာလျှင် လူပေါင်း ၂၃၉၀၀ ကျော်နေထိုင်သည်။ == ပထဝီအနေအထား == စန်းချုံခရိုင်၏ မြောက်ဘက်နှင့်အနောက်မြောက်ဘက်တွင် လူကျိုး ၊ ဝူကု ၊ အနောက်ဘက်တွင် ရှင်းကျွမ်းတို့နှင့် ထိစပ်နေပြီး ၊ ၎င်းနှင့် [[ထိုင်ပေမြို့]]အကြား [[:en:Tamsui_River|တမ်စွေ့မြစ်]]ခြားထားသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == စန်းချုံကို စန်းထုံးဖူ ({{zh|c=三重埔|poj=Saⁿ-têng-po͘ / Sam-tiông-po͘}}),<ref>{{holodict|40024|e=三重埔}}</ref> သုံးခုမြောက် မြေပြန့် အဖြစ် ရှေးဦးအခြေချသူများက ခေါ်ဆိုသည်။ ယနေ့ခေတ် ရှင်းကျွမ်းဒေသမှ အခြေချသူများက မြောက်အရပ်သို့ တက်လာကြပြီး ၎င်းတို့အခြေချရာ မြေပြန့်များကို "ပထမမြေပြန့်" (頭前埔, ယနေ့ခေတ် ရှင်းကျွမ်းခရိုင်တွင် တည်ရှိ), "ဒုတိယမြေပြန့်" (二重埔, ယနေ့ခေတ် စန်းချုံတွင် တည်ရှိ) နှင့် တတိယမြေပြန့်များဟု အမည်ပေးသတ်မှတ်သည်။ === တရုတ်သမ္မတနိုင်ငံ === [[ထိုင်ပေမြို့]]၏ အရေးပါသော တိုးချဲ့အရပ်ဖြစ်နေသည်။ ၁၉၆၂ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် စန်းချုံကို မြို့နယ်အဆင့်မှ နိုင်ငံမှ စီမံကွပ်ကဲသော မြို့တော်အဆင့်သို့ တိုးမြှင့်လိုက်သည်။ ၂၀၁၀ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၂၅ ရက်နေ့တွင် ယခင်ထိုင်ပေကောင်တီမှ နျူးထိုင်ပေမြို့တော်အဖြစ်ပြောင်းလဲခြင်းနှင့်အတူ စန်းချုံမြို့တော်ကို ခရိုင်အဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်လိုက်သည်။ == <small>လူဦးရေအခြေအနေလေ့လာဆန်းစစ်ရေးဗေဒ</small> == ၂၀၁၅ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ခရိုင်၌ လူပေါင်း ၃၈၈၅၅၀ နေထိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://www.ca.ntpc.gov.tw/Population/List?wnd_id=68 |access-date=5 October 2018 |archive-date=5 March 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305162353/http://www.ca.ntpc.gov.tw/Population/List?wnd_id=68 }}</ref> ၂၀၁၀ လူဦးရေ သန်းခေါင်စာရင်းအရ<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=http://ebas1.ebas.gov.tw/phc2010/english/rehome.htm |accessdate=5 October 2018 |archivedate=22 February 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150222005446/http://ebas1.ebas.gov.tw/phc2010/english/rehome.htm }}</ref> စန်းချုံ၌ လူဦးရေ ၃၉၀၉၀၄ နေထိုင်သည်။ လူဦးရေသိပ်သည်းနှုန်းမှာ တစ်စတုရန်းကီလိုမီတာတွင် ၂၄၁၇၂.၆ ဖြစ်သည်။ == ပညာရေး == * အမျိုးသား စန်းချွန် စီနီယာ အထက်တန်းကျောင်း * [[New Taipei Municipal New Taipei Senior High School|နျူးထိုင်ပေ မြို့တော်စည်ပင် နျူးထိုင်ပေ စီနီယာအထက်တန်းကျောင်း]] * နျူးထိုင်ပေမြို့တော်စည်ပင် စန်းချုံအထက်တန်းကျောင်း * [[New Taipei Municipal San-Chung Commercial and Industrial Vocational High School|နျူးထိုင်ပေမြို့တော်စည်ပင် စန်းချွင် စက်မှုကူးသန်း သက်မွေးအတတ်သင် အထက်တန်းကျောင်း]] == <small>ခရီးသွားများအား</small> <small>ဆွဲဆောင်နိုင်သည့်နေရာများ</small> == [[File:TaipeiBridgeriverscene.JPG|none|thumb|600x600px|[[:en:Taipei_Bridge|ထိုင်ပေတံတား]]ပေါ်မှ တွေ့မြင်ရသည့် မြစ်အလှရှုခင်း]] * နျူးထိုင်ပေတံတား * ရှင်းဆဲ့ဘုရားကျောင်း * အားချုံကမ်းနားဥယျာဉ် * အားချုံကြာပွင့်ဥယျာဉ် * ချုံးယန်တံတား — ကေဘယ်လ်တံတားနှင့် ညအလှရှုခင်း အထင်ကရနေရာ == <small>ဈေးဝယ်ထွက်ရန်နှင့် စားသောက်ရန်နေရာများ</small> == * စန်းဟယ်ညဈေး * [[Carrefour]] ချုံရှင်းဈေးဝယ်စင်တာ * [[B and Q|B&Q]] သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး၊ အိမ်ဆောက်ပစ္စည်း * [[အီ့ကဲယာ|IKEA]]အိမ်တွင်း ပရိဘောဂ အလှဆင် == <small>[[သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး]]</small> == [[File:台北捷運橘線三重國小站出口.JPG|thumb|[[Sanchong Elementary School Station|စန်းချုံအခြေခံပညာကျောင်း]] ဘူတာ]] စန်းချုံ အခြေခံပညာကျောင်းနှင့် စန်းဟယ် ဂျူနီယာအထက်တန်းကျောင်းဘူတာတို့တွင် ထိုင်ပေ မက်ထရို လူကျိုးလိုင်း (လိုင်းအမှတ် ၄) ၊ ထိုင်ပေတံတား၊ ချိုင်လျောင် ၊ စန်းချုံနှင့် ရှန်းဆဲ့ဘုရားကျောင်းဘူတာများတွင် ရှင်းကျွမ်းလိုင်းတို့ ပြေးဆွဲသည်။ စန်းချုံဘူတာအနီးတွင် ထောင်ယွမ် လေဆိပ် အမ်အာတီကို အနာဂတ်တွင် ပြေးဆွဲမည်ဖြစ်သည်။ နေရှင်နယ်အဝေးပြေး အမှတ် ၁ ၊ စီရင်စုအဝေးပြေး အမှတ် ၁ နှင့် အမှတ် ၁ အေ ၊ နှင့် စီရင်စုအဝေးပြေး အမှတ် ၆၄ တို့က ကုန်းကြောင်းပြေးဆွဲလျက်ရှိသည်။ ချုံယန်းတံတား ၊ ထိုင်ပေတံတား ၊ ကျုံးရှောက် တံတား ၊ ကျုံးရှင်းတံတားတို့ဖြင့် [[ထိုင်ပေမြို့]]ကို ချိတ်ဆက်ထားသည်။ ရှင်းကျွမ်း ၊ လူကျိုး ၊ ဝူကု နှင့် ပန်းချောင်တို့နှင့်လည်း ဆက်သွယ်ထားသည်။ == အောက်ပါကိုလည်း ဖတ်ရှုပါ။ == * နျူးထိုင်ပေမြို့ == အကိုးအကားများ == * [http://english.tpc.gov.tw/_file/1410/SG/26054/D.html ထိုင်ဝမ်အစိုးရဆေးဝါးကုသဝန်ဆောင်မှုဌာနများ စာရင်း] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070820110921/http://english.tpc.gov.tw/_file/1410/SG/26054/D.html |date=20 August 2007 }} {{Reflist}} == ပြင်ပချိတ်ဆက်မှုများ == * [http://www.sanchong.ntpc.gov.tw/ အစိုးရပင့်ကူအိမ်စာမျက်နှာ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160102185836/http://www.sanchong.ntpc.gov.tw/ |date=2 January 2016 }} {{Zh icon}} [[Category:ဝီကီဒေတာရှိ ကိုဩဒိနိတ်များ]] [[Category:ထိုင်ဝမ်]] foi1him6nsiuxfmxfes6ez8j2iyit00 0 98488 1039219 751181 2026-06-17T16:24:36Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya River photo D Ramey Logan.jpg]] → [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] [[c:Special:PermanentLink/1232765674#Mass_rename_requested]] 1039219 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo D Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo D Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo D Ramey Logan.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] as5f1w32e5wvxsiql6z7122re5cnife 1039221 1039219 2026-06-17T16:25:02Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor a photo D Ramey Logan.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] [[c:Special:PermanentLink/1232765674#Mass_rename_requested]] 1039221 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo D Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo D Ramey Logan.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 58xu755tta5slsu9hz38hj0x2ruocxn 1039222 1039221 2026-06-17T16:25:25Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor b photo D Ramey Logan.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] [[c:Special:PermanentLink/1232765674#Mass_rename_requested]] 1039222 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo D Ramey Logan.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 380tunuub5ezz46lkkjxvcd6hkbqovu 1039223 1039222 2026-06-17T16:26:24Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:China House on Chao Phraya River photo D Ramey Logan.jpg]] → [[File:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] [[c:Special:PermanentLink/1232765674#Mass_rename_requested]] 1039223 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 4z17wzzaxl9lnrnrbusod9pk1wx3igo 1039248 1039223 2026-06-17T18:22:33Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] fix my own error 1039248 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] qt8oxryn7pdy73quvrls1x7qq9b5tfr 1039249 1039248 2026-06-17T18:23:08Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] fix my own error 1039249 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 2swht52t3vvvnj92akvndesu7puietc 1039250 1039249 2026-06-17T18:23:51Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] fix my own error 1039250 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] g6hgzz7nj3b14lxs3b51ld767e4gnsc 1039251 1039250 2026-06-17T18:24:46Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg.jpg]] → [[File:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] fix my own error 1039251 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] cbb58w2ze87nsxi9jt1s0ho3axs70e4 1039254 1039251 2026-06-17T18:31:05Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg]] fix my own error (at least I think it was all mine) 1039254 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 6jj6o42qzivqf7lsee6cvfusnfihj9j 1039255 1039254 2026-06-17T18:33:50Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg]] fix my own error (at least I think it was all mine) 1039255 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] c0au5o5liguddffsn6893dgvi0fyt89 1039256 1039255 2026-06-17T18:41:17Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg.jpg]] → [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg]] Fixing an error that I believe was entirely my own 1039256 wikitext text/x-wiki {{Geobox | River <!-- *** Name section *** --> |name = ကျောက်ဖယားမြစ် |category_hide = ၁ |native_name = แม่น้ำเจ้าพระยา |other_name = |other_name1 = <!-- *** Image *** ---> |image = Chaophrayansawan03.jpg |image_size = 276 px |image_caption = နခွန်စဝမ်ရှိ မြစ်ဖျားခံရာ <!-- *** Country etc. *** --> |country = {{flag|Thailand}} |country1 = |state = |state1 = |region =ထိုင်းနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း |region1 = |district = |district1 = |city = ဘန်ကောက် |city1 = |city2 = |city3 = |city4 = |city5 = |city6 = <!-- *** Geography *** --> |length = 372 |watershed = 160400 |discharge = 718 |discharge_location = နခွန်စဝမ် |discharge_max = 5960 |discharge_min = |discharge1_location = |discharge1 = <!-- *** Source *** --> |source_name = ပင်မြစ်နှင့် နန်မြစ် |source_location = ပက်နမ်ဖို |source_district = |source_region = |source_state = နခွန်စဝမ်ပြည်နယ် |source_country =ထိုင်းနိုင်ငံ |source_coordinates = |source_elevation = 25 |source_length = <!-- *** Mouth *** --> |mouth_name = |mouth_location = ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့ |mouth_district = |mouth_region = |mouth_state = စမယ်ပရာခမ်ပြည်နယ် |mouth_country = |mouth_coordinates = |mouth_elevation = 0 <!-- *** Tributaries *** --> |tributary_left = ပါစပ်မြစ် |tributary_left1 = |tributary_right = သေက္ကဲခရမ်မြစ် |tributary_right1 = <!-- *** Map section *** --> |map = Chaophrayarivermap.png |map_size = |map_caption = ကျောက်ဖယားမြစ် စတင်စီးဆင်းရာမြေပုံ }} '''ကျောက်ဖယားမြစ်'''({{lang-en|Chao Phraya}}၊{{IPAc-en|ˌ|tʃ|aʊ|_|p|r|ə|ˈ|j|ɑː}} {{respell|CHOW|_|prə|YAH}}၊{{lang-th|[[wikt:เจ้าพระยา|แม่น้ำเจ้าพระยา]]}} {{RTGS|''မေေ့နာံ့ ကျော့ ဗြးယာ''}}, {{IPA-th|mɛ̂ːnáːm tɕâːw pʰráʔjaː|pron}} သို့မဟုတ် {{IPA-th|tɕâːw pʰrajaː|}}<ref>[http://www.forvo.com/word/แม่น้ำเจ้าพระยา/#th Pronunciation]</ref>)(စော့ဗရယာမြစ်)သည် [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၏ အဓိကမြစ်ကြီးတစ်စင်းဖြစ်သည်။<ref name="McCarthy" />မြို့တော်[[ဘန်ကောက်]]ကို ဖြတ်၍ စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ==အမည်နာမ== ရှေးကျလှသော ဥရောပမြေပုံများတွင် ကျော့ဗြးယာမြစ်အား (မေနမ်မြစ်) သို့မဟုတ် (မေဵနာံ့)(Thai: [[wikt:แม่น้ำ|แม่น้ำ]])ဟု တွေ့နိုင်သည်။ ထိုင်းမြေတိုင်းဌာန မတည်ထောင်မီကရှိခဲ့သော သယာမ်အစိုးရမြေတိုင်းဌာန၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ်ဖြစ်သူ ဂျိမ်း အမ်စီ ကာသရီက ပြောကြားခဲ့သည်မှာ မိနမ်မှာ ယေဘူယျ အမည်ဖြစ်ကြောင်း၊ (မေ) မှာ အမေဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်နိုင်ပြီး (နမ်)မှာ ရေဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ "သယာမ်တိုင်းပြည်၏ အဓိကအကျဆုံးမြစ် ဖြစ်သည်။<ref name=McCarthy>{{cite book |last= McCarthy |first= James Fitzroy |title= Surveying and exploring in Siam |url= https://archive.org/stream/surveyingandexp00mccagoog.pdf|date= 2005-07-13 |origyear= 1900 |publisher= John Murray, Albemarle Street |location= London |oclc= 5272849 |page= 21|chapter= Chapter VI. From Bangkok to Korat – Elephants |chapterurl= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=sea&cc=sea&idno=sea108&q1=tai&node=sea108%3A23&view=image&seq=37&size=100 |quote= The Me Nam Chao P'ia is a magnificent river. |accessdate=8 February 2012}}{{Dead link}}</ref> သယာမ်၏ မိုင်းတွင်းဌာနတွင် ၁၈၉၁ ခုနှစ်မှ ၁၈၉၆ ခုနှစ်အထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သော ဟားဘတ်ဝါတန်စမစ်<ref>{{cite web |url= http://www.pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm |title= Introduction to Five Years in Siam |accessdate= |author= Tamara Loos |date= 1 December 2002 |work= 1994 reprint |publisher= Pine Tree Web |quote= |archivedate= 19 December 2010 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20101219111750/http://pinetreeweb.com/hw-smyth-five-years-00.htm }}</ref> မှ ၁၈၉၈ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏စာအုပ်တွင် မေနမ်ကျော့ဗြးယာ ဟု ရည်ညွှန်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုင်းနိုင်ငံ အတွင်းရှိ အင်္ဂလိပ်ဘာသာ မီဒီယာတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကို မြစ်ဘုရင်ဟု ရံဖန်ရံခါ ဘာသာပြန်တတ်ကြသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.speakingthai.com/stories/river%20king.htm |title= The River of Kings II : City of Angels |accessdate= |publisher= Thai Stories |quote= "The River of Kings II – City of Angels", a light and sound musical |archivedate= 12 June 2019 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20190612134203/http://speakingthai.com/stories/river%20king.htm }}</ref> [[Image:Wat Arun Bangkok View Photo D Ramey Logan.jpg|thumb|left|ဘန်ကောက်မြို့ရှိ ကျော့ဗြးယာမြစ်]] ==မြေမျက်နှာသွင်ပြင်== ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ (ပတ်နမ်ဖို) တွင် ပင်မြစ်နှင့် နမ်မြစ်တို့ ပေါင်းဆုံကာ မြစ်ဖျားခံလာသည်။ ထို့နောက်တွင် တောင်ဘက်သို့ အလယ်ပိုင်းလွင်ပြင်များမှ ဘန်ကောက်မြို့သို့ {{convert|372|km|mi}} စီးဆင်းကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချနတ်ဒေသတွင် သချင်းမြစ်လက်တက် စီးဆင်းသည်။ သချင်းမြစ်မှာ ပင်မမြစ်ကြီးနှင့်အပြိုင် စီးဆင်းကာ ဘန်ကောက်မြို့၏ အနောက်ဘက် {{convert|35|km|mi}}ခန့်အကွာ စမွတ်ဆခွန်ဒေသတွင် ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်း စီးဝင်သည်။ ချိုင်းနတ်ဆည် အောက်ပိုင်းမှစသော အနိမ့်ပိုင်းလွင်ပြင် ဒေသမှစ၍ ခလွန်ဟုခေါ်သော တူးမြောင်း များစွာရှိသည်။ ထိုတူးမြောင်းများမှာ ဒေသတွင်း ကောက်ပဲသီးနှံ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ရေသွင်း တူးမြောင်းများဖြစ်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ ယေဘူယျ ကိုဩဒိနိတ်အညွှန်းမှာ 13N၊ 100E ဖြစ်သည်။ ဤဒေသတွင် မုတ်သုံရာသီဥတုရှိပြီး တစ်နှစ်လျှင် မိုးရေချိန် {{convert|1400|mm|in}} ခန့်ရှိသည်။ ဘန်ကောက်မြို့တွင် အပူချိန် {{convert|24|to|33|C|F}} ရှိသည်။ ===မြစ်ကြောင်း ပြုပြင်ခြင်းများ=== [[File:Chaophrayashortcut.jpg|thumb|upright|ပင်မမြစ်နှင့် သူ၏ တူးမြောင်းများ]] အယုဓယခေတ်က ကျောက်ဖယားမြစ် အောက်ပိုင်းတွင် လူလုပ်ပြုပြင်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ တူးမြောင်း တော်တော်များများမှာ မြစ်ဘေးတွင် ကြီးမားသော ကွင်းများအဖြစ် တည်ရှိသည်။ * ၁၅၃၈ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး မြစ်ကြောင်းပြုပြင်မှုဖြစ်သော {{convert|3|km|0|abbr=on}} ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခုကို ချာရီချာဘုရင်၏ အမိန့်တော်ဖြင့် တူးဖော်ခဲ့သည်။ ခလွန်လတ် ဟုခေါ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန် ဘန်ကောက်နွိုင်ဟု သိကြသည်။ ဤတူးမြောင်းမှာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့မှ မြို့တော် အယုဓယသို့ လာရောက်ကြမည့် သင်္ဘောများကို 13–14 km ခရီးတိုစေသည်။<ref name="ReferenceA">Steve Van Beek: ''The Chao Phya'', p.39</ref> * ၁၅၄၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ဘန်ကောက်ဟု ခေါ်သော ၂ ကီလိုမီတာ ရှည်လျားသော တူးမြောင်းတစ်ခု တူးဖော်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခလွန်ဘန်ကောက်ရီဟု သိကြသည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ မြစ်အတွင်း ခရီးသွားလာရေး လမ်းကြောင်းကို {{convert|14|km|0|abbr=on}} တိုစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> *၁၆၀၈ ခုနှစ်တွင် ခလွန်ဘန်ဖို ဟုခေါ်သော ၇ ကီလိုမီတာရှည်လျားသော တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့ပြန်သည်။ ထိုတူးမြောင်းမှာ ကျောက်ဖယားမြစ်၏ မူလလမ်းကြောင်းကို {{convert|18|km|0|abbr=on}} တိုတောင်းစေသည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၆၃၆ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်မောင်းနော့သဘူရီ တူးမြောင်းကို တူးဖော်ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref name="ReferenceA"/> * ၁၇၂၂ ခုနှစ်တွင် ခလွန်လတ်ကရတ်နွိုင် ဟုခေါ်သော တူးမြောင်းတစ်ခုကို တူးဖော်ပြီးစီးရာ ကျော့ဗြးယာရေကြောင်းခရီးအား {{convert|7|km|0|abbr=on}} တိုစေခဲ့သည်။ ဤလမ်းကြောင်းမှာ ခိုခရတ်ကျွန်းမှ ဖြစ်သည်။<ref name="ReferenceA"/> ==မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက်ရှိ ဒေသများ== ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းရာဒေသများမှာ နခွန်စဝမ်ဒေသ၊ အုတုန်သနီဒေသ၊ ချနတ်ဒေသ၊ စင်ဘူရီဒေသ၊ အန်သန်းဒေသ၊ အယုဓယဒေသ၊ ပသွန်သနီဒေသ၊ နော့သဘူရီဒေသ၊ ဘန်ကောက်နှင့် စမွတ် ဖယာခန်ဒေသတို့ ဖြစ်သည်။ ထိုမြို့များမှာ သမိုင်းကြောင်းအရ အရေးပါသောမြို့များဖြစ်ကာ ရေကြောင်းခရီးကြောင့် လူဦးရေ ထူထပ်ရာမြို့များဖြစ်သည်။ ==သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး== [[File:Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်]] [[File:Chao Phraya Vendor a photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[File:Chao Phraya Vendor b photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းရှိ အစားအသောက် ရောင်းသောလှေ]] [[Image:Ferrieskhlongsaensaeb0609.jpg|thumb|right|လှေဆိပ်တစ်ခုရှိ ခလွန်ဆန်ဆပ်လှေ]] ဘန်ကောက်မြို့တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်ကိုဖြတ်၍ တည်ဆောက်ထားသော အဓိကတံတားကြီးများမှာ ရာမ ၆ သံလမ်းတံတား၊ နန်းတော်အနီးမှ ဗြးဖင်ခလိုတံတား၊ [[ရာမ ၈ တံတား]]၊ ရာမ ၉ တံတား၊ မီဂါတံတား တို့ဖြစ်သည်။ ဘန်ကောက်တွင် ကျောက်ဖယားမြစ်မှာ ရေကြောင်းဘတ်စ်များ၏ အဓိကသွေးကြောဖြစ်သည်။ နေ့စဉ်နှင့်အမျှ မြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ဖယ်ရီများ၊ မြစ်တစ်ဖက်ကမ်းကူး ဖယ်ရီများ၊ ဝါးတားတက္ကဆီများ စသည်တို့ဖြင့် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်းတွင် ကူးလူးသွားလာနေသည်။ ယာဉ်ကြောပိတ်ဆို့မှုများသော ဘန်ကောက်မြို့တွင် [[ဘန်ကောက် မိုးပျံရထား|မိုးပျံရထား]]၊ မြေအောက်ရထားများအပြင် ဤရေကြောင်းသယ်ယူရေးများဖြင့်လည်း သွားလာကြသည်။ မြစ်နှင့် မြို့တွင်းရှိ တူးမြောင်းများတွင် လှေလိုင်းပေါင်း ၁၅ ခုထက်မက ရှိသည်။ ညပိုင်းတွင် ကျောက်ဖယားမြစ်အတွင်း ညစာသင်္ဘော၊ နေဝင်ချိန်ကြည့်သင်္ဘောများစွာ ရှိတတ်သည်။ ပြည်တွင်းပြည်ပ ခရီးသွားများကို ဆွဲဆောင်ရာလည်း ဖြစ်သည်။ * ကျောက်ဖယား အိတ်စပတ်ဘုတ် ([[:en:Chao Phraya Express Boat|Chao Phraya Express Boat]])သည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသော ခရီးသည်တင် ရေယာဉ်များဖြစ်သည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် ရတ်ဘူရီနာနှင့် နော့သဘူရီ အကြားရှိ မှတ်တိုင် ၃၄ ခုတွင် ဆိုက်ကပ်တတ်သည်။ * ဖယ်ရီများမှာ ဘန်ကောက်မြို့၏ ကမ်းတစ်ဖက် ၃၂ နေရာတွင် အကူးအပြောင်းရှိသည်။ * အမြှီးရှည်လှေ ([[:en:Long-tail boat|Long-tail boat]]) များသည် ကျောက်ဖယားမြစ်ကြောင်းတစ်လျှောက် ၁၅ နေရာတွင် ဆိုက်ကပ်သည်။ *ခလွန် ဆန်ဆပ်လှေ ([[:en:Khlong Saen Saep boat service|Khlong Saen Saep boat service]]) သည် ခလွန် ဆန်ဆပ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၂၇ ခုတွင် ပြေးဆွဲသည်။ *ခလွန် ဖရာခနောင်လှေ ([[:en:Khlong Phra Khanong boat service|Khlong Phra Khanong boat service]]) ခလွန် ဖရာခနောင်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် မှတ်တိုင် ၁၃ နေရာတွင် ပြေးဆွဲသည်။ * ခလွန် ဖာစီချရမ်လှေ ([[:en:Khlong Phasi Charoen boat service|Khlong Phasi Charoen boat service]])သည် ခလွန် ဖာစီချရမ်တူးမြောင်း တစ်လျှောက် ပြေးဆွဲသည်။ ==မြစ်လက်တက်များ== ကျောက်ဖယားမြစ်၏ အဓိကမြစ်လက်တက်များမှာ ပစပ်မြစ်၊ သောက္ကဲခရမ်မြစ်၊ နမ်မြစ်၊ The principal ပင်မြစ်နှင့် သချင်မြစ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref name="RID River Gauges">{{cite web|url=http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |title=Royal Irrigation Department River Gauges Report |year=2002 |publisher=RID Stations |accessdate=|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090814235239/http://157.82.150.160/GAME-T/GAIN-T/routine/rid-river/RIDstations.html |archivedate=14 August 2009 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWater">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |title=Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080608214931/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/index.shtml |archivedate=8 June 2008 |df=dmy }}</ref><ref name="WorldWaterDetail">{{cite web|url=http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |title=Detailed Map of the Chao Phraya River Basin (Thailand) |publisher=World Water Assessment Programme |accessdate= |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080918102553/http://www.unesco.org/water/wwap/case_studies/chao_phraya/detailed_view.shtml |archivedate=18 September 2008 |df=dmy }}</ref> ==ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲ== [[Image:China House on Chao Phraya River photo Don Ramey Logan.jpg.jpg|thumb|right|ကျောက်ဖယားမြစ်ပေါ်ရှိ တရုတ်အိမ်]] ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သူ၏မြစ်လက်တက်များပါဝင်သော စနစ်အရ ကျောက်ဖယား ရေဝေရေလဲစနစ် ရှိသည်။ ဤစနစ်မှာ ထိုင်းနိုင်ငံတွင် အကြီးမားဆုံး စနစ်ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံ၏ ၃၅ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ ==မြစ်ဝကျွန်းပေါ်== သချင်းမြစ်မှာ ကျောက်ဖယားမြစ်မှ ခွဲထွက်၍ အပြိုင်စီးကာ ထိုင်းပင်လယ်ကွေ့အတွင်းသို့ စီးဝင်သည်။ ကျောက်ဖယားမြစ်နှင့် သချင်းမြစ်နှင့် မြစ်လက်တက်များရှိသော ထိုကြားဒေသသည် မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဖြစ်သည်။ ==ဇီဝမျိုးကွဲများ== [[Image:Templo Wat Arun, Bangkok, Tailandia, 2013-08-22, DD 02.jpg|thumb|left|ကျောက်ဖယားမြစ်ထဲမှ တွေ့ရသော ဝတ်အရုဏ်ဘုရား]] ကျောက်ဖယားစနစ်၏ အောက်ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းတွင် စိမ့်မြေတောများ၊ အပူပိုင်းနှင့် စိမ့်သမနွေရွက်ကြွေတောများ ရှိသည်။ မြောက်မှတောင်သို့ {{convert|400|km|0|abbr=on}} ရှည်ကာ{{convert|180|km|0|abbr=on}} ကျယ်သည်။ မူလ စိမ့်မြေတောများမှာ ဖယ်ရှားခြင်းခံခဲ့ရပြီး လွင်ပြင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲကာ စပါး၊ ကောက်ပဲသီးနှံ၊ အခြား စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ၊ ဘန်ထိုဒေသတွင် ကျက်စားသော သားရဲတိရစ္ဆာန်များပါ ပျောက်ကွယ်ကုန်သည်။ ထိုအထဲတွင် ငါးများ၊ ငှက်များပါ ပါဝင်သည်။ ===ငါးများ=== [[File:Giant Barb.jpg|thumb|[[:en:giant barb|ဆူးကြီး]] သည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အကြီးဆုံး ရေချိုငါးဖြစ်ကာ အလေးချိန် {{convert|300|kg|lb|abbr=on}}ရှိသည်။<ref name=Fishbase>{{FishBase species | genus = Catlocarpio | species = siamensis | year = 2015 | month = March}}</ref> but the natural population has been [[:en:Local extinction|extirpated]] from Chao Phraya.<ref name=IUCNCatlocarpio>{{Cite journal | author = Hogan, Z. | title = ''Catlocarpio siamensis'' | journal = The IUCN Red List of Threatened Species | volume = 2011 | page = e.T180662A7649359 | publisher = IUCN | date = 2011 | url = http://oldredlist.iucnredlist.org/details/180662/0 | doi = 10.2305/IUCN.UK.2011-1.RLTS.T180662A7649359.en | access-date = 9 January 2018 }}{{Dead link|date=January 2021 }}</ref>]] ကျောက်ဖယား ရေဆင်းစနစ်အတွင်း ငါးမျိုးစိတ်ပေါင်း ၂၈၀ ခန့်ရှိသည်။ ==ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်== *[[ရာမ ၈ တံတား]] *[[ဘန်ကောက်မြို့]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ထိုင်းနိုင်ငံရှိ မြစ်များ]] 5nz65fhfambemxbywb1b8n97046vo11 0 99393 1039259 849351 2026-06-17T19:28:30Z Jmabel 119136 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Gyeongbokgung Palace Photo D Ramey Logan.jpg]] → [[File:Gyeongbokgung Palace Photo Don Ramey Logan.jpg]] [[c:COM:FR|rename criterion 2]] 1039259 wikitext text/x-wiki {{Infobox building | name = ဂယောင်းဘို့နန်းတော်<br>Gyeongbok Palace | native_name = 경복궁 (ဂီယောင်းဘို့ဂ်ဂူင်) | image = Gyeongbokgung-GeunJeongJeon.jpg | image_size = | caption = ပလ္လင်တော်ခန်းမ | building_type = တော်ဝင်နန်းတော် | architectural_style = ကိုရီးယား | location_city = [[ဆိုးလ်မြို့]] | location_country = [[ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံ]] | coordinates = {{coord|37|34|43|N|126|58|38|E|type:landmark_region:KR|display=title,inline}} | current_tenants = | start_date = | stop_date = | opened_date = ၁၃၉၅ | embedded = {{Infobox Korean name | child = yes |hangul={{linktext|경|복|궁}} |hanja={{linktext|景|福|宮}} |rr=Gyeongbokgung |mr=Kyŏngbokkung }} }} '''ဂ‌ယောင်းဘို့ နန်းတော်''' ([[ကိုရီးယားဘာသာစကား|ကိုရီးယား]]: 경복궁၊ [[ဟန်ဂျာ (ကိုရီးယား ဟန်ဇီ)|ဟန်ဂျာ]]: 景福宮)သည် ဂျိုဆွန်းမင်းဆက်၏ အဓိက နန်းတော်ဖြစ်သည်။ ၁၃၉၅ခုနှစ်တွင် တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ၊ ဆိုးလ်မြို့၏ မြောက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဂျိူဆွန်းခေတ်အတွင်း တည်ဆောက်ခဲ့သော ''[[:en:Five Grand Palaces|နန်းတော်၅ခု]]''အနက် ဂျိုဆွန်းဘုရင်၏ နန်းတော်၊ အစိုးရ၏ဌာန တစ်ခုဖြစ်သည်။ နန်းတော်မှာ အင်ဂျင်စစ်ပွဲ (၁၅၉၂-၁၅၉၈)အတွင်း မီးလောင်မှုကြောင့် ပျက်စီးသွားမှုမတိုင်မီအထိ ဂျိုဆွန်းတို့၏ အဓိက နန်းတော်ဖြစ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရာစုနှစ် ၂ခုအကြာ စွန့်ပစ်ခံခဲ့ရသည်။ သို့သော် ၁၉ရာစုအတွင်း ဂိုဂျွန်ဘုရင်လက်ထက်အတွင်း[[:en:Heungseon Daewongun|ကိုယ်စားလှယ် ဒယ်ဝန်ဂွန်]] က နန်းတော်၏ အခန်းပေါင်း ၇၇၀၀ကို ပြန်လည် တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ အချို့သော အဆောင်၅၀၀ကျော်ကို ၄၀ဟက်တာ ကျယ်ဝန်းသော မြေပေါ်တွင် ပြန်ဆောက်ခဲ့သည်။<ref name="GYEONGBOKGUNG PALACE">{{cite web|url=http://www.royalpalace.go.kr:8080/content/guide/gyeongbokgung_eng201307.pdf|accessdate=}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.royalpalace.go.kr:8080/html/eng/data/data_01.jsp?dep1=2&dep2=1|title=GYEONGBOKGUNG PALACE|last=|first=|date=|website=GYEONGBOKGUNG PALACE|access-date=}}</ref> ရှေးဂျိုဆွန်းတို့၏ ဗိသုကာများ အခြေခံထားသည်။ ၂၀ရာစုအစောပိုင်းတွင် နန်းတော်၏နေရာ အများစုမှာ ဂျပန်တို့၏ ဖျက်ဆီးခြင်းကိုခံခဲ့ရသည်။ ==ခြုံငုံသုံးသပ်ချက်== ဂျိုဆွန်းနန်းဆက် စတင်တည်ထောင်ပြီး ၃နှစ်အကြာတွင် နန်းတော်ကို တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး နိုင်ငံ၏ အဓိက နန်းတော်ဖြစ်ခဲ့သည်။ နိုင်ငံတော်၏ အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်နေရာဖြစ်၍ ၂၀ရာစုအစောပိုင်း ဂျပန်လက်အောက်ရောက်ခဲ့စဉ်က ဖျက်ဆီးခြင်းခံခဲ့ရသည်။၁၉၁၁တွင် နန်းတော်၏ ပိုင်ဆိုင်မှုကို [[:en:Governor-General of Korea|ဂျပန်ကိုယ်စားလှယ်]]လက်အောက် ပြောင်းခဲ့သည်။၁၉၁၅ခုနှစ်တွင် ဂျပန်တို့၏ အုပ်ချုပ်ရေးဆိုင်ရာ အဆောက်အဦးများ တည်ဆောက်ခဲ့ပြန်သည်။ [[File:Heritage of Seoul.jpg|thumb|]] ပြန်လည်တည်ဆောက်ခြင်း လမ်းစဉ်များကို ၁၉၉၀ကပင် စတင်ခဲ့သည်။ ကိုယ်စားလှယ် အုပ်ချုပ်ရေးရုံးကို ၁၉၉၆ခုနှစ်တွင် ဖယ်ရှားခဲ့ပြီး ဟောင်ယီမန်တံခါးကို ၂၀၀၁ခုနှစ် ဂွမ်ဟာမန်တံခါးကို ၂၀၀၆မ ၂၀၁၀ခုနှစ်အထိ တည်ဆောက်ခဲ့သည်။၎င်းတို့ကို မူလနေရာတွင် ရှေးမူမပျက် ပြန်လည် တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== ===၁၄ - ၁၆ ရာစု=== ဂ‌ယောင်းဘို့နန်းတော်ကို ၁၃၉၄ခုနှစ်တွင် ဂျိုဆွန်းနိုင်ငံ တည်ထောင်သူ [[:en:Taejo of Joseon|ထယ်ဂျိုဘုရင်]]က တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ နန်းတော်၏ အမည်ကို ဩဇာရှိလှသော အမတ်ကြီး [[:en:Jeong Do-jeon|ဂျောင်းဒိုဂျောန်း]]ထံမှ ရယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[:en:Taejong of Joseon|ထယ်ဂျွန်ဘုရင်]] နှင့် [[:en:Sejong the Great|ဆဲဂျွန်ဘုရင်]]တို့လက်ထက်များလက်ထက်တွင် နန်းတော်ကို စဉ်ဆက်မပြတ် တိုးချဲ့ခဲ့သည်။၁၅၅၃ခုနှစ်တွင် မီးလောင်မှုကြောင့် ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့သည်။၎င်းကို [[:en:Myeongjong of Joseon|မြောင်ဂျုံးဘုရင်]]က ကုန်ကျမှုများစွာဖြင့် ပြန်လည်ပြုပြင်ခဲ့ကာ နောက်တစ်နှစတ်တွင်ပင် ပြီးစီးခဲ့သည်။ [[File:Gyeongbokgung Palace in Seoul, Korea.png|thumb|]] သို့သော် ဆယ်စုနှစ်လေးခုအကြာတွင် ဂျပန်ကျူးကျော်စစ်အတွင်း မီးလောင်ခဲ့ရပြန်သည်။ တော်ဝင်ရုံးတော်ကို[[:en:Changdeokgung| ချန်ဒကောင် နန်းတော်]]သို့ ပြောင်းခဲ့ရသည်။ ဂျောင်းဘွတ်ကန် နန်းတော်ကို နောက်ထပ် နှစ်သုံးရာအထိ အပျက်အစီးများအကြား ပစ်ထားခဲ့သည်။<ref name="Bok">{{cite web| last =| first =| authorlink =| title =Introduction to Gyeongbokgung| publisher =Gyeongbokgung| year =2007| url =http://www.royalpalace.go.kr/html/eng/data/data_01.jsp?dep1=2&dep2=1| doi =| accessdate =| deadurl =yes| archiveurl =https://web.archive.org/web/20080614221413/http://www.royalpalace.go.kr/html/eng/data/data_01.jsp?dep1=2&dep2=1| archivedate =2008-06-14| df =}}</ref> ===၁၉ရာစု=== ၁၈၆၇ခုနှစ်တွင် [[:en:Heungseon Daewongun|ဒယ်ဝန်းဂွန်း]]က နန်းတော်ကို အဆောင်ပေါင်း ၃၃၀နှင့် အခန်းပေါင်း ၅၇၉၂ဖြင့် ပြန်လည်တည်ဆောက်ခဲ့သည်။၄၃၂၇၀၃ စတုရန်းမီတာ ကျယ်ဝန်းသော မြေပေါ်တွင် ပြန်လည် တည်ရှိလာသော နန်းတော်မှာ ကိုရီးယားနိုင်ငံနှင့် တော်ဝင်မိသားစု၏ အထင်ကရနေရာ ဖြစ်လာသည်။၁၈၉၅ခုနှစ်တွင် [[:en:Empress Myeongseong|မင်ဘုရင်မ]] ကို ဂျပန်တို့က လုပ်ကြံပြီးနောက် သူ၏ အမျိုးသား [[:en:Gojong of Korea|ဂိုဂျုံးဘုရင်]]မှာ နန်းတော်ကို စွန့်ပစ်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဘုရင့်မိသားစုများသည် နန်းတော်သို့ ပြန်မလာခဲ့ကြတော့ပေ။ <ref name="Gang1"/> ===၂၀ - ၂၁ ရာစုနှစ်များ=== ၁၉၁၅ခုနှစ်တွင် ပြပွဲအဆောက်အအုံ အသစ်တည်ဆောက်ကာ ဂျိုဆွန် စက်မှုပြပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref name="19151!">{{cite book|title=Chora 7: Intervals in the Philosophy of Architecture|editors=edited by Alberto Pérez-Gómez, Stephen Parcel|p=143–144}}</ref><ref name="|1915e2">{{cite book|title=Aesthetic Constructions of Korean Nationalism: Spectacle, Politics and History|author=Hong Kal}}</ref> ၁၉၁၁ခုနှစ်မှစ၍ ဂျပန် ကိုလိုနီအစိုးရမှ နန်းတော်ကို စနစ်တကျ ဖျက်ဆီးခဲ့သည်။၁၉၂၆ခုနှစ်တွင် ဂျိုဆွန်းနိုင်ငံ၏ လက္ခဏာနှင့် ယဉ်ကျေးမှုများ ပပျောက်ရန် ပုလ္လင်ခန်းမ အရှေ့တွင် ဂျပန် ကိုယ်စားလှယ်ရုံး တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ နန်းတော်၏ အဓိကတံခါးဖြစ်သော တောင်ဘက်[[:en:Gwanghwamun|ဂွမ်ဟွမ်မို တံခါး]]ကို ဂျပန်တို့က အရှေ့ဘက်သို့ ပြောင်းခဲ့သည်။ နန်းတော်၏ ၁၉ရာစုနှစ်မူလအဆောက်အဦးများကို ဂျပန်ကိုလိုနီ အုပ်ချုပ်ရေးသာမက ကိုရီးယားစစ်ပွဲ အတွက်ပါ သုံးခဲ့သည်။ ထိုအထဲတွင် *Geunjeongjeon (ဧကရာဇ်၏ ပုလ္လင်ခန်းမ) — [[:en:national treasures of Korea|National Treasure No. 223]]. *Gyeonghoeru Pavilion — [[:en:national treasures of Korea|National Treasure No. 224]]. *Hyangwonjeong Pavilion; Jagyeongjeon Hall; Jibokjae Hall; Sajeongjeon Hall; and Sujeongjeon Hall. တို့ပါဝင်သည်။ ====ပြန်လည် တည်ဆောက်ရေး==== ၁၉၈၉ခုနှစ်တွင် တောင်ကိုရီးယားအစိုးရသည် ဂျပန် ကိုလိုနီခေတ်က ပျက်စီးခဲ့သော နန်းတော် ပြန်လည် တည်ဆောက်ရေးလုပ်ငန်းများ စတင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၅ခုနှစ်တွင် ဂျပန်အစိုးရ ကိုယ်စားလှယ်ရုံးကို ငြင်းခုံဆွေးနွေးမှုများစွာဖြင့် ဖြိုချဖျက်သိမ်းလိုက်သည်။ နန်းတော်မြေနေရာပေါ်ရှိ ကိုရီးယား အမျိုးသားပြတိုက်ကို ၂၀၀၅ခုနှစ်တွင် ယုန်ဆန်ဂူသို့ ပြောင်းခဲ့သည်။ ၂၀၀၉အကုန်တွင် ဂျပန်ခေတ်မတိုင်မီက နန်းတော်အဆောက်အဦးများ၏ ၄၀ရာခိုင်နှုန်းကို တည်ဆောက်မှု ပြီးစီးခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.koreartnet.com/wOOrII/initial/list0110/011024_06.html |title=경복궁 흥례문 85년만에 제모습 되찾아 |publisher=Koreartnet.com |date=2001-10-23 |accessdate=}}</ref>ဂျောင်းဘွတ်ကန်နန်းတော် ပြန်လာ်တည်ဆောက်ရေး၏ ပဏာမခြေလှမ်းအတွင်း အဓိကတံခါးဖြစ်သော [[:en:Gwanghwamun|ဂွံဟွာမွန်တံခါး]]ကို မူလပုံစံအတိုင်း ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန် ဖြစ်သည်။ ဂျောင်းဘွတ်ကန်နန်းတော်ကို မူလပုံစံအတိုင်း ပြန်လည် ထားရှိနိုင်ရန်အတွက် အခြားသော နှစ်၂၀စီမံကိန်းများကို တောင်ကိုရီးယား အစိုးရအနေဖြင့် ရေးဆွဲထားသည်။ <ref>{{cite web|url=http://www.munhwa.com/news/view.html?no=2007110301032230065002 |title=제 모습 찾아가는 경복궁 |publisher=munhwa.com |date= |accessdate=}}</ref> ==နန်းတော်ပုံစံ== [[File:Kwanghwamun.JPG|thumb|alt=|[[:en:Gwanghwamun|ဂွမ်ဟွမ်မန်တံခါး]]]] [[File:Gyeongbokgung Palace Photo Don Ramey Logan.jpg|thumb|ယောင်ဟန်မန်းတံခါး]] [[File:Gyeongbokgung-KeunJeongMoon.JPG|thumb|]] [[File:Opening at night of Gyeongbokgung Palace.JPG|thumb|]] ===နန်းတော်၏ အဓိကတံခါးများ=== *[[:en:Gwanghwamun|ဂွမ်ဟွမ်မန်တံခါး]] (တောင်ဘက်နှင့် အဓိက) *ယောင်ဟန်မန်းတံခါး (ဒုတိယ အတွင်းတံခါး) *ဂျောင်ဂျန်မွမ်တံခါး (တတိယ အတွင်းတံခါး) *ဆင်မူမမ်တံခါး (မြောက်ဘက်တံခါး) *ဂုံချန်မွမ် (အရှေ့ဘက်တံခါး) *ရောင်ချူမွမ် (အနောက်ဘက်တံခါး) ===အပြင်ဘက်အပိုင်း=== *Geunjeongmun (The Third Inner Gate) *Geunjeongjeon (The Throne Hall) *Sajeongjeon (The Executive Office) *Sujeongjeon *Cheonchujeon *Manchunjeon ===အတွင်းဘက်အပိုင်း=== *Gangnyeongjeon (ဘုရင့်အဆောင်) *Gyotaejeon (မိဖုရားကြီးအဆောင်) *Jagyeongjeon (ယခင် မိဖုရားကြီးအဆောင်) ===အိမ်ရှေ့စံနန်းတော်=== *Jaseondang (အိမ်ရှေ့စံနှင့် ကြင်ယာတော်အဆောင်) *Bihyeongak (အိမ်ရှေ့စံ၏ သင်ကြားရေးအဆောင်) ===Pavilions=== *Gyeonghoeru (The Royal Banquet Hall) *Hyangwonjeong ===တံတားများ=== *Yeongjegyo ပင်မတံခါးနှင့် ဒုတိယတံခါးကို ဖြတ်သန်းလာလျှင် ဧည့်သည်များအနေဖြင့် တံတားငယ် တစ်ခုကို တွေ့မြင်နိုင်သည်။ *Chwihyanggyo ထိုတံတားမှာ မူလက မြောက်ဘက်ပိုင်းတွင် တည်ရှိကာ ဂျိုဆွန်းခေတ်၏ အရှည်ဆုံး သစ်သားတံတားဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိုရီးယားစစ်ပွဲအတွင်းက ပျက်စီးသွားခဲ့သည်။ ယခုခေတ်တွင် တွေ့မြင်ရသော တောင်ဘက်အပိုင်းရှိ တံတားကို ၁၉၅၃ခုနှစ်တွင် ပြန်လည် တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ ====Bihyeongak==== Bihyeongak ({{Korean|비현각|丕顯閣}})ဆိုသည်မှာ အိမ်ရှေ့မင်းနှင့် သူ၏ဆရာတို့ စာသင်ပြီးရာနေရာဖြစ်သည်။ ==အဆောက်အဦးများ== ===ဂန်ယောင်းဂျွန်း (Gangnyeongjeon)=== [[File:Gyeongbokgung-Gangnyeongjeon 2.JPG|thumb|left|260px|ဘုရင်မင်းမြတ်စံတော်မူရာ]] ဂန်ယောင်းဂျွန်း အဆောင်သည် ဘုရင်မင်းမြတ် စံတော်မူရာ အဆောင်ဖြစ်သည်။<ref name="Gang"/> ၁၃၉၅ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံး တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး ထိုအဆောင်တွင် ဘုရင်မင်းမြတ်၏ စက်တော်ခေါ်ရာအခန်း ပါဝင်သည်။ <ref name="Gang">{{cite web| last =| first =| authorlink =| title =강녕전 (Gangnyeongjeon)| publisher =한국의 궁궐 (Korea Palace)| year =2005| url =http://home.kunwi.co.kr/palace/htm/kbk/knj.htm| archive-url =https://web.archive.org/web/20110722134546/http://home.kunwi.co.kr/palace/htm/kbk/knj.htm| dead-url =yes| archive-date =2011-07-22| doi =| accessdate =| archivedate =22 July 2011| archiveurl =https://web.archive.org/web/20110722134546/http://home.kunwi.co.kr/palace/htm/kbk/knj.htm}}</ref> ၁၅၉၂ခုနှစ် ဂျပန်တို့၏ ကျူးကျော်မှုအတွင်း ဖျက်စီးခံခဲ့ရပြီး ၁၈၆၇ခုနှစ် ဂယောင်းဘို့နန်းတော် ပြန်လည်တည်ဆောက်ရာတွင် ဤအဆောင်ကိုပါ ပြန်လည်တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ သို့သော် ၁၈၇၆ နိုဝင်ဘာလတွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော မီးလောင်မှုတွင် ပြန်လည် ပျက်စီးသွားသည်။ ၁၈၈၈တွင် ထပ်မံ၍ တည်ဆောက်ခဲ့ပြန်သည်။<ref name="Gang1">{{cite web| last =Kim (김)| first =Changjun (창준)| authorlink =| title =일제 강점기의 경복궁 (景福宮) 훼손과 복원사업 (Destruction of Gyeongbokgung during the Japanese Occupation of Korea and Reconstruction Enterprise)| publisher =문화재관리국 (文化財管理局) (Cultural Heritage Administration of Korea)| date =| url =http://221.145.178.204/nrichdata/etc/book/file/1997/FMH30_05.pdf| doi =| accessdate =| deadurl =yes| archiveurl =https://web.archive.org/web/20110530071005/http://221.145.178.204/nrichdata/etc/book/file/1997/FMH30_05.pdf| archivedate =2011-05-30| df =}}</ref> သို့သော် ၁၉၁၇တွင် [[:en:Changdeokgung|ချန်ဒကောင်နန်းတော်]]ရှိ ဘုရင်မင်းမြတ်စံရာ ဟူဂျင်ဒန်းအဆောင်မှာ မီးလောင်ခဲ့သည်။၁၉၂]တွင် ဟူဂျင်ဒန်းနန်းဆောင်အား အစားထိုးရန် ဂျောင့်ဘွတ်ကန်ရှိ ဤနန်းဆောင်ကို ဂျပန်အစိုးရက ဖျက်သိမ်းခဲ့သည်။ <ref name="Gang"/>လက်ရှိ ဂန်ယောင်းဂျွန်းအဆောင်ကို ၁၉၉၄ခုနှစ်တွင် မူလပုံစံများအတိုင်း ပြန်လည် တည်ဆောက်ထားသည်။ ဂန်ယောင်းဂျွန်းတွင် စကြ်ံများနှင့် ထောင့်မှန်စတုဂံ အခန်း၁၄ခန်းပါသည်။၇ခန်းချင်းစီမှာ ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက်တွင် အသီးသီးတည်ရှိသည်။ ကျားကွက်ကဲ့သို့ဖြစ်သည်။ ဘုရင်မှာ အလယ်အခန်းကို အသုံးပြုသည်။ အခြားအခန်းများကို ရုံးလုပ်ငန်းများအတွက် အသုံးပြုသည်။ အဆောင်မှာ ကျောက်အုတ်ခုံပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ===ဂျန်ဂျောင်းဂျွန် (Geunjeongjeon)=== [[File:Seoul Gyeongbok-gung-3.jpg|thumb|left|260px|]] ထိုနေရာမှာ ဘုရင်မင်းမြတ်၏ ပုလ္လင်တော်ရှိရာ ခန်းမဖြစ်သည်။ ဘုရင်မင်းမြတ်သည် ထိုနေရာတွင် ညီလာခံကျင်းပလေ့ရှိသည်။ ထို့အပြင် တိုင်းတစ်ပါးမှ သံတမန်များကိုလည်း လက်ခံတွေ့ဆုံသည်။<ref name="Geun">{{cite web| last =| first =| authorlink =| title =Geunjeongjeon| publisher =Gyeongbokgung| year =2007| url =http://www.royalpalace.go.kr/html/eng/data/data_03_03.jsp?dep1=2&dep2=2| doi =| accessdate =| deadurl =yes| archiveurl =https://web.archive.org/web/20090403082228/http://www.royalpalace.go.kr/html/eng/data/data_03_03.jsp?dep1=2&dep2=2| archivedate =2009-04-03| df =}}</ref>၁၉၈၅ ဇန်နဝါရီ ၈ရက်နေ့တွင် ထိုအဆောင်ကို ကိုရီးယားအမျိုးသားရတနာ အမှတ် ၂၂၃အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ထိုအဆောင်ကို ၁၉၃၅ခုနှစ်တွင် ဆောက်လုပ်ခဲ့သည်။ ဂျပန်ကျူးကျော်မှုဖြစ်ပွားရာ ၁၅၉၂တွင် မီးလောင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ အဆောက်အဦးမှာ ၁၈၆၇ခုနှစ် ပြန်လည်တည်ဆောက်ရေးတွင် တည်ဆောက်ခဲ့သော အဆောင်ဖြစ်သည်။ အဓိကအားဖြင့် သစ်သားများဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော ဤအဆောင်မှာ ကြီးမားသော ထောင့်မှန်စတုဂံ မြေနေရာအပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသည်။ ထိုအဆောင်၏ တောင်ဘက်ရှိ ဂျောင်ဂျယ်မွန်တံခါးမှာ ၎င်းနေရာ၏ အဓိကဝင်ပေါက်ဖြစ်သည်။ ==ခရီးသွားများ== [[File:Gwanghwamun royal guards.JPG|thumb|၂၀၁၂ခုနှစ်က နန်းတွင်းအစောင့်များပုံစံ ဝတ်ဆင်ထားသော ဝန်ထမ်းများ]] [[Image:Korean royal guard at Gyeongbokgung.jpg|160px|thumb|]] ယနေ့ခေတ်တွင် ဂယောင်းဘို့နန်းတော်ကို အများပြည်သူအတွက် ဖွင့်လှစ်ထားပြီး ကိုရီးယား အမျိုးသားပြတိုက်၊ကိုရီးယား အမျိုးသားနန်းတော်ပြတိုက်နှင့် ကိုရီးယားရိုးရာပြတိုက်များ၏ နေရာလည်းဖြစ်သည်။ ===ပို့ဆောက်ဆက်သွယ်ရေး=== ဂယောင်းဘို့နန်းတော်၏ ဝင်ပေါက်သည် is located 22 Sajik-no, Jongno-guတွင် တည်ရှိသည်။ နန်းတော်နှင့် အနီးဆုံး ရထားဘူတာမှာ * [[:en:Gyeongbokgung Station|ဂျောင်းဘွတ်ကန် ဘူတာရုံ]] (Station #327 on [[:en:Seoul Subway Line 3|Line 3]]).ဖြစ်သည်။ ==== ဝင်ကြေးများ ==== နိုင်ငံခြားသား {| class="wikitable" |+ ! !တစ်ဦးတည်း !အဖွဲ့လိုက် |- |၁၉ ~ ၆၄ |၃၀၀၀ ဝမ် |၂၄၀၀ ဝမ် (၁၀ဦးနှင့်အထက်) |- |၇ ~ ၁၈ |၁၅၀၀ ဝမ် |၁၂၀၀ ဝမ် (၁၀ဦးနှင့်အထက်) |- |ဝင်ကြေး ကင်းလွတ်ခွင့် ရသူများ | colspan="2" |အသက်၆နှစ်အောက် ကလေးများ၊ အသက် ၆၅နှစ်အထက် လူကြီးများ လ၏ နောက်ဆုံး ဗုဒ္ဓဟူးနေ့များ ကိုရီးယား ရိုးရာ ဝတ်စုံ ဝတ်ဆင်လာသူများ |} တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံသို့ ကမ္ဘာလှည့် ခရီးသည် ဝင်ရောက်မှုမှာ များပြားလာခဲ့သည်။၂၀၁၄ခုနှစ်က တောင်ကိုရီးယားသို့ တရုတ်ခရီးသွား တစ်ခုတည်းပင် ၆သန်းရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite journal|last=Zeng|first=Shiheng|last2=Chiu|first2=Weisheng|last3=Lee|first3=Chul Won|last4=Kang|first4=Hyun-Wook|last5=Park|first5=Chanmin|date=2015-10-16|title=South Korea's Destination Image: Comparing Perceptions of Film and Nonfilm Chinese Tourists|url=http://openurl.ingenta.com/content/xref?genre=article&issn=0301-2212&volume=43&issue=9&spage=1453|journal=Social Behavior and Personality: An International Journal|language=en|volume=43|issue=9|pages=1453–1462|doi=10.2224/sbp.2015.43.9.1453|issn=0301-2212}}</ref> ဂယောင်းဘို့နန်းတော်၏ ညပိုင်းဝင်ရောက်ခွင့်ကို ဝက်ဆိုဒ်မှ သီးသန့် လက်မှတ်လျှောက်၍ ဝယ်ယူသူများအတွက် ခွင့်ပြုသည်။ ည၇နာရီမှ နံနက် ၁၀နာရီအထိဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ]] [[Category:တောင်ကိုရီးယား ယဉ်ကျေးမှု]] [[ကဏ္ဍ:ဆိုးလ်မြို့ရှိ အဆောက်အဦးများ]] kcwkmdgb3gnfg9p6yze071iawh764ha 0 147699 1039308 734957 2026-06-18T02:22:19Z Tejinda 87174 /* သီလဗ္ဗတုပါဒါန် */ 1039308 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} '''ဥပါဒါန်''' ဆိုသည်မှာ "ဥပါဒိယတီတိ ဥပါဒါနံ" မြဲစွာစွဲလမ်းတတ်သောကြောင့် "ဥပါဒါန်" မည်သည်။ [[တဏှာ]]ကြောင့် ဥပါဒါန် ဖြစ်ပေါ်သည်။<ref name="depani"> {{cite book |title=ကျေးဇူးရှင် လယ်တီဆရာတော်ဘုရားကြီး၏ ဥရောပဗုဒ္ဓဘာသာအလင်းပြကျမ်း |author=လယ်တီပဏ္ဍိတ ဆရာဦးမောင်ကြီး (ဘာသာပြန်ဆိုသူ) |publisher= |location= |date= |edition= တတိယအကြိမ် |series= |volume= |pages= |url= }}</ref> ခိုင်မြဲကြပ်တည်းစွာ မလွှတ်ရက်ပဲ စွဲလမ်းသောတရားကို "ဥပါဒါန်" ဟု ဆိုသည်။ အကြင်တစ်စုံတစ်ရာသော အရာဝတ္ထုကို သာယာစွဲလမ်းမှုကြောင့် အလွန်များပြားသော ဆင်းရဲဒုက္ခကို ရပါသော်လည်း ထိုဝတ္ထုကို မစွန့်ပစ်နိုင်၊ အပြစ်ဒေါသ [[အာဒီနဝ]]တို့ကို မြင်ပါသော်လည်း ထိုဝတ္ထုကို မစွန့်လွှတ်နိုင်။ ဖားကို မြွေမြို၍ ထားသကဲ့သို့ အတင်းစွဲလမ်းသည်ကို "ဥပါဒါန်" ဟူ၍ ဆိုလိုသည်။ ==ဥပါဒါန်လေးပါး== ဥပါဒါန်သည် အောက်ပါအတိုင်းလေးပါးအပြား ရှိသည် - #ကာမုပါဒါန် #ဒိဋ္ဌုပါဒါန် #သီလဗ္ဗတုပါဒါန် #အတ္တဝါဒုပါဒါန်<ref name="depani"/> ===ကာမုပါဒါန်=== ချစ်ခင်နှစ်သက် စုံမက်သာယာဖွယ်ဖြစ်သည့် ရူပါရုံအစရှိသည့် ကာမဝတ္ထုတို့၌ မလွှတ်ရက်ဘဲ ပြင်းစွာစွဲလမ်းသော ကာမတဏှာသည် "ကာမုပါဒါန်" မည်သည်။<ref name="depani"/> ===ဒိဋ္ဌုပါဒါန်=== မှားယွင်းသောအယူတို့၌ လည်းကောင်း၊ ဒိဋ္ဌိနှင့်ဆိုင်သော ဝတ္ထုတို့၌လည်းကောင်း၊ ကျမ်းဂန်တို့၌ လည်းကောင်း ဤအယူသာ မှန်၏ အခြား အယူများကား အမှားချည်းတည်းဟူ၍ ပြင်းထန်ခိုင်မြဲစွာ စွဲလမ်းသော ဒိဋ္ဌိသည် "ဒိဋ္ဌုပါဒါန်" မည်သည်။ (ကာလာမသုတ်ကို ကြည့်ပါ)<ref name="depani"/> ===သီလဗ္ဗတုပါဒါန်=== သမာဓိကို ဖြစ်စေတတ်သော ဘာဝနာ(တရားကျင့်ခြင်း), ပညာကို ဖြစ်ပွားစေတတ်သော ဘာဝနာလမ်း(တရားလမ်း)မှ ရှောင်ထွက်၍ မိမိကိုယ်ကို ပူပန်အောင်ကျင့်ခြင်းစသော အတ္တကိလမထာနုယောဂအကျင့်, အချည်းနှီးစက်ဆုပ်ဖွယ်ကျင့်သောအကျင့်, နွားတို့အကျင့် နွားတို့အလေ့သို့လိုက်သော အကျင့် ဤကဲ့သို့သော ဗာဟိရကတိတ္ထိတို့၏ အကျင့်မျှနှင့် သံသရာမှ စင်ကြယ်စွာ ထွက်မြောက်နိုင်သည်၊ ဒုက္ခမှ ကင်းလွတ်နိုင်သည်ဟူ၍ အခိုင်အမြဲ စွမ်းလမ်းသော ဒိဋ္ဌိမျိုးသည် "သီလဗ္ဗတုပါဒါန်" မည်သည်။<ref name="depani"/> ===အတ္တဝါဒုပါဒါန်=== သတ္တဝါတို့မှာ ခိုင်မြဲသော အတ္တရှိ၏။ ထိုအတ္တဖြင့် တစ်ဘဝမှ တစ်ဘဝသို့ ကူးပြောင်း၏။ လူသေ၍ ပြောင်းလဲသော်လည်း အတ္တသည် မပြောင်းလဲ၊ "ငါ" ဧကန်ရှိသည်၊ "သူတစ်ပါး" ဧကန်ရှိသည်၊ "ယောက်ျား မိန်းမ ပုဂ္ဂိုလ် သတ္တဝါ" ဧကန်ရှိသည် ဟူ၍ အပြင်းအထန်စွဲလမ်းသော ဒိဋ္ဌိတစ်မျိုးသည် "အတ္တဝါဒုပါဒါန်" မည်သည်။ တစ်နည်းမိမိကိုယ်ကို စွဲလမ်းမှု၊ သတ္တဝါ (သို့) တစ်ဦးတစ်ယောက်တို့အပေါ်၌ ပြင်းစွာစွဲလမ်းမှုကြောင့် နောင်ဘဝပဋိသန္ဓေထပ်မံနေရန် အားထုတ်ခြင်း စွဲလမ်းမှုကို ဆိုလိုသည်။<ref name="depani"/> ထိုအတ္တဝါဒုပါဒါန်ကို အတ္တဒိဋ္ဌိဟူ၍လည်းကောင်း၊ အတ္တာနုဝါဒဒိဋ္ဌိဟူ၍လည်းကောင်း၊ [[သက္ကာယဒိဋ္ဌိ]]ဟူ၍လည်းကောင်း ဆိုအပ်သည်။<ref name="depani"/> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဗုဒ္ဓဘာသာ ဝေါဟာရများ]] 4g0o3nmuf785bljqb574ch0bllsbbij 0 148919 1039160 561170 2026-06-17T14:12:40Z U Zin Kyaw 144516 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1039160 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty | consort = yes | name = ရှင်ရွှေမှန်(ဝါ)ထိပ်​တင်ရွှေမှန် | image = | caption = | reign = {{circa}} ၁၂၇၀ – ၁၂၈၇ | coronation = | succession = မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဖုရား၏ မြေးမ | predecessor = | successor = | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | spouse = [[နရသီဟပတေ့]] | issue = [[မိစောဦး]] | issue-link = | full name = | house = [[ပုဂံခေတ်|ပုဂံ]] | father = မင်းတုန်းဘုရင်၏သားတော်မင်းသား | mother = ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံ | birth_date = | birth_place = | death_date = | death_place = | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''ရှင်ရွှေ''' သည် [[ပုဂံခေတ်]] [[နရသီဟပတေ့]]မင်း၏ မိဖုရားတစ်ပါး ဖြစ်သည်။<ref name=hy-1-348>မှန်နန်း အတွဲ ၁၊ ၂၀၀၃၊ စာ ၃၄၈</ref> သူမသည် မိဖုရား [[မိစောဦး]]၏ မယ်တော်ဖြစ်ပြီး [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥဇနာ]]နှင့် [[ငါးစီးရှင် ကျော်စွာ]] တို့၏ အဘွားတော်စပ်သူ ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ကျမ်းပြုစာရင်း== * {{cite book | author=[[တော်ဝင်မြန်မာနိုင်ငံသမိုင်းကော်မရှင်]] | title=[[မှန်နန်း ရာဇဝင်]] | volume=၁–၃| year=၁၈၃၂ | location=ရန်ကုန် | language=မြန်မာဘာသာ | edition=၂၀၀၃ | publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန}} {{DEFAULTSORT:ရွှေ၊ ရှင်}} [[Category:ပုဂံခေတ် မိဖုရားများ]] {{Burma-royal-stub}} 3c2iafaucw0mnnrlrufi5izherp74lx 1039164 1039160 2026-06-17T14:16:34Z U Zin Kyaw 144516 1039164 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty | consort = yes | name = ရှင်ရွှေမှန်(ဝါ)ထိပ်​တင်ရွှေမှန် | image = | caption = | reign = {{circa}} ၁၂၇၀ – ၁၂၈၇ | coronation = | succession = မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဖုရား၏ မြေးမ | predecessor = | successor = | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | spouse = [[နရသီဟပတေ့]] | issue = [[မိစောဦး]] | issue-link = | full name = | house = [[မန္တလေးနန်းတော်]] | father = မင်းတုန်းဘုရင်၏သားတော်မင်းသား | mother = ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံ | birth_date = | birth_place = | death_date = | death_place = | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''ရှင်ရွှေမှန် (ဝါ)ထိပ်တင်ရွှေမှန်''' သည် [[ကုန်း​ဘောင်ခေတ်]] [[မင်းတုန်း]]မင်း၏မြေးမတော် ​ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ကျမ်းပြုစာရင်း== * {{cite book | author=[[တော်ဝင်မြန်မာနိုင်ငံသမိုင်းကော်မရှင်]] | title=[[မှန်နန်း ရာဇဝင်]] | volume=၁–၃| year=၁၈၃၂ | location=ရန်ကုန် | language=မြန်မာဘာသာ | edition=၂၀၀၃ | publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန}} {{DEFAULTSORT:ရွှေ၊ ရှင်}} [[Category:ပုဂံခေတ် မိဖုရားများ]] {{Burma-royal-stub}} dezvtubtiyv9no82d53eijynjgtd3af 1039175 1039164 2026-06-17T14:41:33Z U Zin Kyaw 144516 လင့်ခ်များပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1039175 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty | consort = yes | name = ရှင်ရွှေမှန်(ဝါ)ထိပ်​တင်ရွှေမှန် | image = | caption = | reign = {{circa}} ၁၈၆၉ – ၁၉၄၀ | coronation = | succession = မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဖုရား၏ မြေးမတော် | predecessor = | successor = | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | spouse = [[သူကြီးမင်း ဦးစံညွန့်]] | issue = [[(သမီး)ဒေါ်လှအေး /(မြေးမ)ဒေါ်သန်းမြင့် |ဒေါ်အုန်းမြင့်]] | issue-link = | full name = ရှင်ရွှေ (ဝါ)ထိပ်တင်ရွှေမှန် | house = [[မန္တလေးနန်းတော်]] | father = မင်းတုန်းဘုရင်၏သားတော်မင်းသားကြီး | mother = ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံ | birth_date = ၁၈၆၉ တပို့တွဲလ | birth_place = မန္တလေးနန်းတွင်း | death_date = ၁၉၄၀ တန်ခူးလဆန်း၂ရက် | death_place =အမရပူရ | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''ရှင်ရွှေ(ဝါ)ထိပ်တင်ရွှေမှန်''' သည် [[ကုန်း​ဘောင်ခေတ်]] [[မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဘုရား]]၏မြေးမတော် ​ဖြစ်သည်။ ရှင်ရွှေ (ဝါ) ထိပ်တင်မရွှေမှန်သည် မင်းတုန်းမင်း၏ သားတော်မင်းသား နှင့် ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံတို့၏ သမီးလတ်ဖြစ်သည်။ သူမသည် မင်းတုန်းဘုရင်နှင့် ဆောင်ရမိဘုရား၏ မြေးတော်များထဲမှ မြေးမတော် တစ်ပါးလည်းဖြစ်သည် သူမနှင့် သူမ မိခင် ခင်စံ သည် နန်းတွင်းအရေးအခင်းများကြောင့် မန္တလေးနန်းတွင်းမှ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်ရင်းအသက်ဘေးမှ ကင်းလွှတ်ခဲ့သည် သူမအရွယ်ရောက်သည့်အခါတွင် ဆင်ပိုင်သူကြီးမင်း ဦးစံညွန့်နှင့် လက်ဆက်ပြီး သားသမီး၂ဦးထွန်းကားသည် ထိုသားသမီးများမှာ-သမီးဒေါ်လှအေး သား မောင်လေးချုံ တို့ကိုဖွားမြင်သည်။ {{reflist}} ==ကျမ်းပြုစာရင်း== * {{cite book | author=[[တော်ဝင်မြန်မာနိုင်ငံသမိုင်းကော်မရှင်]] | title=[[မှန်နန်း ရာဇဝင်]] | volume=၁–၃| year=၁၈၃၂ | location=ရန်ကုန် | language=မြန်မာဘာသာ | edition=၂၀၀၃ | publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန}} {{DEFAULTSORT:ရွှေမှန်၊ ရှင်}} [[Category:ရှာပုံတော်]] {{Burma-royal-stub}} n3fjomggq8o1px225rclxfgiz4akgzo 1039176 1039175 2026-06-17T14:43:42Z U Zin Kyaw 144516 1039176 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty | consort = yes | name = ရှင်ရွှေမှန်(ဝါ)ထိပ်​တင်ရွှေမှန် | image = | caption = | reign = ၁၈၆၉ – ၁၉၄၀ | coronation = | succession = မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဖုရား၏ မြေးမတော် | predecessor = | successor = | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | spouse = [[သူကြီးမင်း ဦးစံညွန့်]] | issue = [[(သမီး)ဒေါ်လှအေး ] | issue-link = | full name = ရှင်ရွှေ (ဝါ)ထိပ်တင်ရွှေမှန် | house = [[မန္တလေးနန်းတော်]] | father = မင်းတုန်းဘုရင်၏သားတော်မင်းသားကြီး | mother = ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံ | birth_date = ၁၈၆၉ တပို့တွဲလ | birth_place = မန္တလေးနန်းတွင်း | death_date = ၁၉၄၀ တန်ခူးလဆန်း၂ရက် | death_place =အမရပူရ | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''ရှင်ရွှေ(ဝါ)ထိပ်တင်ရွှေမှန်''' သည် [[ကုန်း​ဘောင်ခေတ်]] [[မင်းတုန်းဘုရင် နှင့် ဆောင်ရမိဘုရား]]၏မြေးမတော် ​ဖြစ်သည်။ ရှင်ရွှေ (ဝါ) ထိပ်တင်မရွှေမှန်သည် မင်းတုန်းမင်း၏ သားတော်မင်းသား နှင့် ဆောင်ရကိုယ်လုပ်တော် ခင်စံတို့၏ သမီးလတ်ဖြစ်သည်။ သူမသည် မင်းတုန်းဘုရင်နှင့် ဆောင်ရမိဘုရား၏ မြေးတော်များထဲမှ မြေးမတော် တစ်ပါးလည်းဖြစ်သည် သူမနှင့် သူမ မိခင် ခင်စံ သည် နန်းတွင်းအရေးအခင်းများကြောင့် မန္တလေးနန်းတွင်းမှ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်ရင်းအသက်ဘေးမှ ကင်းလွှတ်ခဲ့သည် သူမအရွယ်ရောက်သည့်အခါတွင် ဆင်ပိုင်သူကြီးမင်း ဦးစံညွန့်နှင့် လက်ဆက်ပြီး သားသမီး၂ဦးထွန်းကားသည် ထိုသားသမီးများမှာ-သမီးဒေါ်လှအေး သား မောင်လေးချုံ တို့ကိုဖွားမြင်သည်။ {{reflist}} ==ကျမ်းပြုစာရင်း== * {{cite book | author=[[တော်ဝင်မြန်မာနိုင်ငံသမိုင်းကော်မရှင်]] | title=[[မှန်နန်း ရာဇဝင်]] | volume=၁–၃| year=၁၈၃၂ | location=ရန်ကုန် | language=မြန်မာဘာသာ | edition=၂၀၀၃ | publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန}} {{DEFAULTSORT:ရွှေမှန်၊ ရှင်}} [[Category:ရှာပုံတော်]] {{Burma-royal-stub}} sw33nhewys95p4ezncezootowjza4b9 1039177 1039176 2026-06-17T14:49:17Z U Zin Kyaw 144516 သဒ္ဒါပြင်ခဲ့သည် 1039177 wikitext text/x-wiki {{Burma-royal-stub}} hlxuzj714k0uqhwuc790z1qt3tby4av 1039195 1039177 2026-06-17T15:30:15Z U Zin Kyaw 144516 1039195 wikitext text/x-wiki https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%BE%E1%80%B1&diff=561169&oldid=0&variant=my {{Burma-royal-stub}} dwc9cvhzyibcs0r0un2lt203l6z9ery 1039196 1039195 2026-06-17T15:32:15Z U Zin Kyaw 144516 စာမျက်နှာကို ဗလာလုပ်လိုက်သည် 1039196 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 1039310 1039196 2026-06-18T02:36:59Z Ninjastrikers 22896 [[Special:Contributions/U Zin Kyaw|U Zin Kyaw]] ([[User talk:U Zin Kyaw|ဆွေးနွေး]]) ၏ ပြင်ဆင်မှုများကို [[User:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ၏ နောက်ဆုံးတည်းဖြတ်မူသို့ နောက်ပြန် ပြန်ပြင်ခဲ့သည် 561170 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty | consort = yes | name = ရှင်ရွှေ | image = | caption = | reign = {{circa}} ၁၂၇၀ – ၁၂၈၇ | coronation = | succession = မိဖုရား | predecessor = | successor = | suc-type = ဆက်ခံသူ | reg-type = | regent = | spouse = [[နရသီဟပတေ့]] | issue = [[မိစောဦး]] | issue-link = | full name = | house = [[ပုဂံခေတ်|ပုဂံ]] | father = | mother = | birth_date = | birth_place = | death_date = | death_place = | date of burial = | place of burial = | religion = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | signature = }} '''ရှင်ရွှေ''' သည် [[ပုဂံခေတ်]] [[နရသီဟပတေ့]]မင်း၏ မိဖုရားတစ်ပါး ဖြစ်သည်။<ref name=hy-1-348>မှန်နန်း အတွဲ ၁၊ ၂၀၀၃၊ စာ ၃၄၈</ref> သူမသည် မိဖုရား [[မိစောဦး]]၏ မယ်တော်ဖြစ်ပြီး [[ဥဇနာ (ပင်းယ)|ဥဇနာ]]နှင့် [[ငါးစီးရှင် ကျော်စွာ]] တို့၏ အဘွားတော်စပ်သူ ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ကျမ်းပြုစာရင်း== * {{cite book | author=[[တော်ဝင်မြန်မာနိုင်ငံသမိုင်းကော်မရှင်]] | title=[[မှန်နန်း ရာဇဝင်]] | volume=၁–၃| year=၁၈၃၂ | location=ရန်ကုန် | language=မြန်မာဘာသာ | edition=၂၀၀၃ | publisher=ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန}} {{DEFAULTSORT:ရွှေ၊ ရှင်}} [[Category:ပုဂံခေတ် မိဖုရားများ]] {{Burma-royal-stub}} ppqb5fhkzrf2gw7q1wcr9n1qbtuos1o 0 168184 1039284 1018268 2026-06-17T22:46:29Z ~2026-35591-52 144537 1039284 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ဒိုင်း | official_name = ဒိုင်းရွာ | native_name = | other_name = 17 pro နဲ့ ဆရာကြီးသခင် ဆင် | postal_code = | postal_code_type = Postal codes | pushpin_label_position = bottom | pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ | pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ | image_skyline = | image_map = | map_caption = | settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] | subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] | subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} | subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|တိုင်းဒေသကြီး]] | subdivision_name1 = {{flag|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး}} | subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] | subdivision_name2 = [[ကျောက်ဆည်ခရိုင်]] | subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] | subdivision_name3 = [[မြစ်သားမြို့နယ်]] | subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] | subdivision_name4 = မြနဒီ (ဒိုင်း) | unit_pref = imperial | area_total_km2 = | population = | population_as_of = | population_density_km2 = auto | coordinates_display = | coordinates_region = MM | coordinates = {{Coord|21.3034191131592|96.2808380126953|region:MM|format=dms|display=inline,title}} | elevation_ft = | elevation_m = | timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] | utc_offset = +6.30 | website = }} '''ဒိုင်းရွာ''' ({{Lang-en|Daing}})သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ကျောက်ဆည်ခရိုင်]]၊ [[မြစ်သားမြို့နယ်]]၊ [[မြနဒီ (ဒိုင်း)ကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၁၉၁၀၁၈ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ မြနဒီ (ဒိုင်း)ကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၃၀၉၁ ဦး၊ မ ၃၁၆၆ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၆၂၅၇ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ဒိုင်း |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{မြစ်သားမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:မြစ်သားမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Mandalay-geo-stub}} lxrcfo9zrmc8egsei91dxfbdhxyo4x3 0 221427 1039216 1038733 2026-06-17T16:20:19Z ~2026-35459-31 144525 /* အနိုင်ရရှိသူများ */ 1039216 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ | logo = | logo_size = | caption = | motto = | type = [[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]] | headquarters = ရန်ကုန် | location = မြန်မာ | formation = }} '''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ({{lang-en|Miss Universe Myanmar}}) သည် [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့ မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃ ခုနှစ်]]မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံ[[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]]ကြီး ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ မယ်စကြဝဠာမြန်မာအဖွဲ့အစည်းကြီး၏ တာဝန်ခံအမျိုးသားဒါရိုက်တာမှာ Htoo Ant Lwin ဖြစ်သည်။ လက်ရှိအနိုင်ရရှိထားသူမှာ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဇွန် ၂၇ ရက်နေ့တွင် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ Myanmar Expo (Fortune Plaza) ၌ ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ၂၀၂၅ တွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သော ပြင်ဦးလွင်ကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုး ဖြစ်သည်။ မြတ်ရတနာစိုး သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၌ ကျင်းပမည့် Miss Universe ပြိုင်ပွဲတွင် မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး Top(30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပါ။ == သမိုင်း == {{main|မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ}} [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီးကို မြန်မာ့ကိုယ်စားပြု အဖြစ် ၁၉၅၉ ၌ မယ်ဗမာသန်းသန်းအေး မှ စတင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် မယ်ဗမာ (ခေါ်) မြန်မာနိုင်ငံ အလေးမနှင့် ကာယဗလအဖွဲ့ချုပ်မှ ၁၉၆၀ ၌ မြင့်မြင့်မေ၊ ၁၉၆၁ ၌ ခင်မြင့်မြင့် စသည်ဖြင့် အသီးသီးစေလွှတ်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ နောက်ပိုင်းတွင် မယ်ဗမာပြိုင်ပွဲ များကို [[မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့်မကိုက်ညီသောကြောင့်ဟုဆိုကာ ပိတ်သိမ်းလိုက်သည်။ ထိုကြောင့် ၁၉၆၂ မှစတင်၍ [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်း မရှိတော့ချေ။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ရွေးချယ်ရေးတာဝန်ခံ ဒေါ်စိုးယု‌‌ဝေက [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[နယူးယောက်]]၌ ရှိသော[[မယ်စကြဝဠာ]]ရုံးချုပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ပြီး [[မယ်စကြဝဠာ]]၂၀၁၂ Olivia Culpo [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏တာဝန်ရှိသူများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်တွန်းမှု‌ကြောင့် နှစ်၅၀ကျော်အတွင်း ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိသော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ‌ရွေးချယ်ခြင်းကို [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]]ခုနှစ်၌ တဖန်ပြန်လည်ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ National Director BOD အစည်းအဝေးအရ ဦးထူးအံ့လွင်(စိုးမင်းထွန်း) မှ ဆက်လက်၍ Miss Universe Myanmar 2026 ၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်နှင့်လုပ်ငန်းလိုင်စင်ကြီးကို ဆက်လက် တာဝန်ယူသွားမည်ဖြစ်သည်။ ၇၄ ကြိမ်မြောက်မယ်စကြဝဠာနိုင်ငံတကာယှဉ်ပြိုင်ပွဲကြီးကို သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့တဲ့ မြန်မာကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုးသည် Top (30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == ပြိုင်ပွဲဝင် ရွေးချယ်ခြင်း == {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ မြို့နယ်ပြိုင်ပွဲ}} မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ကို မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့အသီးသီးမှ ကိုယ်စားပြုများ ဝင်ရောက်ယှဉ်ကြသည်။ ယင်းတို့ အနက်မှ မြို့နယ်ကိုယ်စားပြု ရွေးချယ်သော (City Miss) ပြိုင်ပွဲများကိုလည်း မြို့နယ် အသီးသီး ကျင်းပခဲ့ရာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{col-begin|width=auto}} {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ပဲခူး {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ ဗန်းမော်]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ထားဝယ် {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ မန္တလေး]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ မြစ်ကြီးနား {{col-end}} == ပြိုင်ပွဲ == အောက်ဖော်ပြပါဇယား ၂၀၁၃ခုနှစ်မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ပြိုင်ပွဲများဖြစ်သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 89%; text-align:center" !ခုနှစ်||အကြိမ်ရေ||နေ့ရက်||ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပသည့်နေရာ||မြို့||ပြိုင်ပွဲဝင် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | ၁ကြိမ် | ၃ အောက်တိုဘာ | rowspan="2" | [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] | rowspan="8"|{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] | ၂ကြိမ် | ၂၆ ဇူလိုင် | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅]] | ၃ကြိမ် | rowspan="2" | ၂၆ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ | rowspan="2" | Gandamar Grand Ballroom | rowspan="2" |၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၆]] | ၄ကြိမ် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | ၅ကြိမ် | ၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၆ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | ၆ကြိမ် | ၃၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၇ | Gandamar Grand Ballroom, Gandamar Wholesale | ၃၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | ၇ကြိမ် | ၃၁ မေ | rowspan="2" | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၆ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | ၈ကြိမ် | ၃၀ ဒီဇင်ဘာ | ၃၆ |- | ၂၀၂၁ || colspan="5" align="center" | ''ပြိုင်ပွဲကျင်းပခြင်းမရှိ'' |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | ၉ ကြိမ် | ၁ အောက်တိုဘာ | ဂရမ်းဘောရွန်း၊ နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | rowspan="4" |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၁၄ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | ၁၀ ကြိမ် | ၁၄ စက်တင်ဘာ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၃၂ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၄|၂၀၂၄]] | ၁၁ ကြိမ် | ၇ ဇွန် | ရန်ကုန် ကွန်ဗင်းရှင်းစင်တာ (YCC)၊ [[ရန်ကုန်]] | ၅၂ |- |၂၀၂၅ |၁၂ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Myanmar Expo (Fortune Plaza၊ ရန်ကုန် |၃၅ |- |} ==အနိုင်ရရှိသူများ== {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ဆုရရှိသူများ စာရင်း}} {| class="wikitable" style="font-size: 85%;"style="text-align:center;" ! rowspan="2" width="1%" | ခုနှစ် ! rowspan="2" width="200" | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ! colspan="5" width="800"| Runners-up |- style="text-align:center;" !width="200" |First !width="200" |Second !width="200" |Third !width="200" |Fourth !width="200" |Fifth |- |၂၀၂၆ |မေဂရေ့စ် ပယ်ရီ |၂၀၂၅ |မြတ်ရတနာစိုး<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/ne-2562804/|title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ သရဖူကို မြတ်ရတနာစိုး ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=Xinhua Myanmar|accessdate=26 August 2025}}</ref> {{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] |နန်းအဉ္ဇလီ {{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |ခိုင်ဆွေဇင်သင်း {{Flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]] |ဇူလှိုင်ဝင့်ထည် {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |မျိုးကိုကိုစန်း {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |Mary Ja Doi Awng {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | ၂၀၂၄ | သက်စံအန်ဒါစံ<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-246721/|title=Miss Universe Myanmar 2024 Winner ဆုကို ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းကိုယ်စားပြု အလှမယ် သက်စံအန်ဒါဆန် ရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်း|accessdate=26 August 2025}}</ref><br />{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |ချယ်ရီမိုး {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |ဟန်လေး {{flagicon|Shan State}} [[မူဆယ်မြို့|မူဆယ်]] |အိမ့်မြတ်ချယ် {{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] |သော်တာစန်း<br>{{flagicon|Bago Region}} [[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]] |Mary Htoi Ra {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | [[အမရာဘို]]<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-23090140023/|title=၂၀၂၃ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ (Miss Universe Myanmar 2023 ) သရဖူအား အလှမယ် အမရာဘို ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်းဌာန|accessdate=26 August 2026}}</ref><br>{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | ဒီး<br>{{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်]] | ခေမား<br>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | နန်းနန္ဒာလင်း<br>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နိုနိုမေ<br>{{flagicon|Ayeyarwady Region}} [[ပုသိမ်]] | သင်းစန္ဒာပြည့်သီဟအောင်<br>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[ပြင်ဦးလွင်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | [[ဇာလီမိုး]]<br />{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | ယမုံ<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | သင်ဇာမင်းထက်<br />{{flagicon|Sagaing Region}} [[ရွှေဘို]] | Kendra (ပိုးမြတ်ဟေသာ) <br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ကေဇင်ခန့်<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၂၁ || colspan="6" align="center" {{n/a|''ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိ''}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]]<br>{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါး]] | [[ဟန်လေး]]<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီ]] | မေသဇင်ဦး<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရေချယ်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်တောင်ပိုင်းခရိုင်|ရန်ကုန် (တောင်)]] | မြစန်းသီတာ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] | နော်ခရစ္စတင်း <br/>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | [[ဆွေဇင်ထက်]]<br>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မွှေးသက်<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | ထက်သီရိဇော်<br/> {{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | ထွန်းပလဲရတနာ<br/>{{flagicon|Magway Region|old}} [[မင်းဘူး]] | လင်းထက်ထက်ကျော်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | စုစုဆန္ဒီ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]]<br>{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] | ဆုမြတ်ဖူး<br/>{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | နန်းမွေ့ဖောင်လုံ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | မြင့်မိုလ်မေ<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | ရိုစလင်းဆိုင်းနုနုပန်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] <br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]]''<small>(ရုပ်သိမ်းခြင်း)</small>''<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ဂျာဒင်ကိုင်<br/>{{flagicon image|Flag of Kachin State.svg}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ထွန်းဝတီ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိး]] | ခင်လပြည့်ဇော်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | rowspan="2" | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅-၂၀၁၆]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | rowspan="2" |ဟန်လေး<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | rowspan="2" |ချိုချိုထွန်း<br/>{{flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေ]] | rowspan="2" |အိဖြိုးသွယ်<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မေဘရဏီသော်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] |[[သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ယွန်းမီမီကျော်<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] | ရွှေစင်ကိုကို<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]]<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မြတ်နှင်းဖြူ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | နှင်းယမုံဦး<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[ကော့သောင်းမြို့|ကော့သောင်း]] | မေချစ်ပုံ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- |} === မြို့အလိုက် ဆုရရှိမှု === {| class="wikitable" style="font-size: 87%;" ! width="150" |Hometown ! width="50" |Titles ! width="200" |Winning Years |- |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | style="text-align:center;" |5 |2013, 2014, 2015, 2016, 2017 |- |{{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] | rowspan="7" style="text-align:center;" |1 |2025 |- |{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |2024 |- |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] |2023 |- |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |2022 |- |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |2020 |- |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] |2019 |- |{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |2018 |} == နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲ== ===လက်ရှိယှဉ်ပြိုင်နေသည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====မယ်စကြဝဠာ==== *'''''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ၌ အနိုင်ရရှိသူသည် '''[[မယ်စကြဝဠာ]]''' ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။ အကယ်၍ အနိုင်ရရှိသူသည် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်းမရှိပါက '''1st Runner-Up (ဒုတိယနေရာ)''' ရရှိသူသည် အနိုင်ရရှိသူ ကိုယ်စား ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။'' {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | [[အမရာဘို]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃]] | | |- | ၂၀၂၂ | align=left |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | [[ဇာလီမိုး]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂]] | | |- | ၂၀၂၁ | colspan="5" {{n/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိပါ}} |- style="background-color:#FFFF99;" | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀]] | '''ဆန်ကာတင် ၂၁ဦး''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | [[ဆွေဇင်ထက်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉]] | | |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Bago Region|2010}} [[ပဲခူး]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ | | |- | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၆ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၆ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၅ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မေဘရဏီသော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ | | |- | ၂၀၁၄ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄]] | | |- | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃]] | | |- |} ;မယ်ဗမာ ယခင်က [[မယ်စကြဝဠာ]] ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ]] မှကိုယ်စားပြုရွေးချယ်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၁၉၆၁ | align=left |{{flagicon|Bago Region|1974}} [[ဒိုက်ဦးမြို့|ဒိုက်ဦး]] | [[ခင်မြင့်မြင့်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၆၁ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၁၉၆၀ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | မြင့်မြင့်မေ | မယ်ဗမာ ၁၉၆၀ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''Miss Congeniality'''}} |- | ၁၉၅၉ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | သန်းသန်းအေး | မယ်ဗမာ ၁၉၅၉ | | |- | ၁၉၅၈ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | [[နော်လွီဇာ ဘင်ဆင်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၅၈ | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- |} ====Miss Charm==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | | |} ====Face of Beauty International==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |-style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | Kendra | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂ <br/> (3rd Runner-up) | Teen Face of Beauty International 2023 | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၂၀-၂၂ || colspan="5" align="center" {{n/a|ပြိုင်ပွဲပြုလုပ်ခြင်းမရှိ}} |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Magway Region}} [[မင်းဘူး]] | ထွန်းပုလဲရတနာ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (3rd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Misosologist's Choice Award''' }} |- style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မြင့်မိုလ်မေ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (3rd Runner-up) | '''Face of Beauty International 2018''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice award''' * 2nd runner-up – Best National Costume }} |- |} ===ယခင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====Miss Grand International==== {{Main|Miss Grand Myanmar}} {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီမြို့|မြ၀တီ]] | [[ဟန်လေး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (1st Runner-Up ) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''How to eat Thai food in 2 minute''' * '''How to get to know you in 1 minute''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 - Queen with the Golden Crown * Top 20 - Best in Swimsuit }} |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | မွှေးသက် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''The Historic Crowns Fashion Show Gala by George Wittels''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 -Miss Popular Vote * Top 10 - အကောင်းဆုံး ရေကူးဝတ်စုံဆု * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | စုမြတ်ဖူး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | rowspan="2" | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 – Best in National Costume * Top 11 - Best in Swimsuit }} |- | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(1st runner-up) | colspan="2" {{N/a|ရုပ်သိမ်းခြင်း}} |- |} ==== Miss Intercontinental ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၁ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Mandalay|2010}} [[မန္တလေး]] | ထက်သီရိဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (2nd Runner-up) | နေရာမရရှိ | |- style="background-color:#FFFACD; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နန်းမွှေဖောင်းလုံ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Ultra Skin''' }} |} ==== World Beauty Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | လင်းထက်ထက်ကျော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice''' * Top 5 - Best National Costume }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရိုစလင်ဆိုင်းနုနုပန် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Aura''' * '''SNS Popularity''' }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ဂျာဒင်ကိုင် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၆ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Best Original Costume''' }} |- |} ==== Miss Tourism Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ခင်လပြည့်ဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(4th Runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Personality''' }} |- |} == Winner Gallery == <gallery> </gallery> == အခြား == *[[မယ်မြန်မာ]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ}} [[Category:မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ]] 6yn8v17dp6qu6aps4uxw91f5vt84qvp 1039224 1039216 2026-06-17T16:30:20Z ~2026-35459-31 144525 /* အနိုင်ရရှိသူများ */ 1039224 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ | logo = | logo_size = | caption = | motto = | type = [[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]] | headquarters = ရန်ကုန် | location = မြန်မာ | formation = }} '''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ({{lang-en|Miss Universe Myanmar}}) သည် [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့ မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃ ခုနှစ်]]မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံ[[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]]ကြီး ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ မယ်စကြဝဠာမြန်မာအဖွဲ့အစည်းကြီး၏ တာဝန်ခံအမျိုးသားဒါရိုက်တာမှာ Htoo Ant Lwin ဖြစ်သည်။ လက်ရှိအနိုင်ရရှိထားသူမှာ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဇွန် ၂၇ ရက်နေ့တွင် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ Myanmar Expo (Fortune Plaza) ၌ ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ၂၀၂၅ တွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သော ပြင်ဦးလွင်ကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုး ဖြစ်သည်။ မြတ်ရတနာစိုး သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၌ ကျင်းပမည့် Miss Universe ပြိုင်ပွဲတွင် မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး Top(30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပါ။ == သမိုင်း == {{main|မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ}} [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီးကို မြန်မာ့ကိုယ်စားပြု အဖြစ် ၁၉၅၉ ၌ မယ်ဗမာသန်းသန်းအေး မှ စတင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် မယ်ဗမာ (ခေါ်) မြန်မာနိုင်ငံ အလေးမနှင့် ကာယဗလအဖွဲ့ချုပ်မှ ၁၉၆၀ ၌ မြင့်မြင့်မေ၊ ၁၉၆၁ ၌ ခင်မြင့်မြင့် စသည်ဖြင့် အသီးသီးစေလွှတ်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ နောက်ပိုင်းတွင် မယ်ဗမာပြိုင်ပွဲ များကို [[မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့်မကိုက်ညီသောကြောင့်ဟုဆိုကာ ပိတ်သိမ်းလိုက်သည်။ ထိုကြောင့် ၁၉၆၂ မှစတင်၍ [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်း မရှိတော့ချေ။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ရွေးချယ်ရေးတာဝန်ခံ ဒေါ်စိုးယု‌‌ဝေက [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[နယူးယောက်]]၌ ရှိသော[[မယ်စကြဝဠာ]]ရုံးချုပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ပြီး [[မယ်စကြဝဠာ]]၂၀၁၂ Olivia Culpo [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏တာဝန်ရှိသူများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်တွန်းမှု‌ကြောင့် နှစ်၅၀ကျော်အတွင်း ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိသော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ‌ရွေးချယ်ခြင်းကို [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]]ခုနှစ်၌ တဖန်ပြန်လည်ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ National Director BOD အစည်းအဝေးအရ ဦးထူးအံ့လွင်(စိုးမင်းထွန်း) မှ ဆက်လက်၍ Miss Universe Myanmar 2026 ၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်နှင့်လုပ်ငန်းလိုင်စင်ကြီးကို ဆက်လက် တာဝန်ယူသွားမည်ဖြစ်သည်။ ၇၄ ကြိမ်မြောက်မယ်စကြဝဠာနိုင်ငံတကာယှဉ်ပြိုင်ပွဲကြီးကို သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့တဲ့ မြန်မာကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုးသည် Top (30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == ပြိုင်ပွဲဝင် ရွေးချယ်ခြင်း == {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ မြို့နယ်ပြိုင်ပွဲ}} မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ကို မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့အသီးသီးမှ ကိုယ်စားပြုများ ဝင်ရောက်ယှဉ်ကြသည်။ ယင်းတို့ အနက်မှ မြို့နယ်ကိုယ်စားပြု ရွေးချယ်သော (City Miss) ပြိုင်ပွဲများကိုလည်း မြို့နယ် အသီးသီး ကျင်းပခဲ့ရာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{col-begin|width=auto}} {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ပဲခူး {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ ဗန်းမော်]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ထားဝယ် {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ မန္တလေး]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ မြစ်ကြီးနား {{col-end}} == ပြိုင်ပွဲ == အောက်ဖော်ပြပါဇယား ၂၀၁၃ခုနှစ်မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ပြိုင်ပွဲများဖြစ်သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 89%; text-align:center" !ခုနှစ်||အကြိမ်ရေ||နေ့ရက်||ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပသည့်နေရာ||မြို့||ပြိုင်ပွဲဝင် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | ၁ကြိမ် | ၃ အောက်တိုဘာ | rowspan="2" | [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] | rowspan="8"|{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] | ၂ကြိမ် | ၂၆ ဇူလိုင် | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅]] | ၃ကြိမ် | rowspan="2" | ၂၆ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ | rowspan="2" | Gandamar Grand Ballroom | rowspan="2" |၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၆]] | ၄ကြိမ် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | ၅ကြိမ် | ၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၆ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | ၆ကြိမ် | ၃၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၇ | Gandamar Grand Ballroom, Gandamar Wholesale | ၃၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | ၇ကြိမ် | ၃၁ မေ | rowspan="2" | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၆ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | ၈ကြိမ် | ၃၀ ဒီဇင်ဘာ | ၃၆ |- | ၂၀၂၁ || colspan="5" align="center" | ''ပြိုင်ပွဲကျင်းပခြင်းမရှိ'' |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | ၉ ကြိမ် | ၁ အောက်တိုဘာ | ဂရမ်းဘောရွန်း၊ နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | rowspan="4" |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၁၄ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | ၁၀ ကြိမ် | ၁၄ စက်တင်ဘာ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၃၂ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၄|၂၀၂၄]] | ၁၁ ကြိမ် | ၇ ဇွန် | ရန်ကုန် ကွန်ဗင်းရှင်းစင်တာ (YCC)၊ [[ရန်ကုန်]] | ၅၂ |- |၂၀၂၅ |၁၂ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Myanmar Expo (Fortune Plaza၊ ရန်ကုန် |၃၅ |- |} ==အနိုင်ရရှိသူများ== {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ဆုရရှိသူများ စာရင်း}} {| class="wikitable" style="font-size: 85%;"style="text-align:center;" ! rowspan="2" width="1%" | ခုနှစ် ! rowspan="2" width="200" | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ! colspan="5" width="800"| Runners-up |- style="text-align:center;" !width="200" |First !width="200" |Second !width="200" |Third !width="200" |Fourth !width="200" |Fifth |- |၂၀၂၆ |မေဂရေ့စ် ပယ်ရီ [[ဘားအံ]] |ဟန်သိမ့်သိမ့်အောင် [[တောင်ငူ]] |ကျော်ကျော်အိန္ဒြာ [[ရန်ကုန်အနောက်]] |ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ |ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ |ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ |- |၂၀၂၅ |မြတ်ရတနာစိုး<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/ne-2562804/|title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ သရဖူကို မြတ်ရတနာစိုး ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=Xinhua Myanmar|accessdate=26 August 2025}}</ref> {{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] |နန်းအဉ္ဇလီ {{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |ခိုင်ဆွေဇင်သင်း {{Flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]] |ဇူလှိုင်ဝင့်ထည် {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |မျိုးကိုကိုစန်း {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |Mary Ja Doi Awng {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | ၂၀၂၄ | သက်စံအန်ဒါစံ<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-246721/|title=Miss Universe Myanmar 2024 Winner ဆုကို ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းကိုယ်စားပြု အလှမယ် သက်စံအန်ဒါဆန် ရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်း|accessdate=26 August 2025}}</ref><br />{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |ချယ်ရီမိုး {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |ဟန်လေး {{flagicon|Shan State}} [[မူဆယ်မြို့|မူဆယ်]] |အိမ့်မြတ်ချယ် {{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] |သော်တာစန်း<br>{{flagicon|Bago Region}} [[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]] |Mary Htoi Ra {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | [[အမရာဘို]]<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-23090140023/|title=၂၀၂၃ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ (Miss Universe Myanmar 2023 ) သရဖူအား အလှမယ် အမရာဘို ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်းဌာန|accessdate=26 August 2026}}</ref><br>{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | ဒီး<br>{{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်]] | ခေမား<br>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | နန်းနန္ဒာလင်း<br>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နိုနိုမေ<br>{{flagicon|Ayeyarwady Region}} [[ပုသိမ်]] | သင်းစန္ဒာပြည့်သီဟအောင်<br>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[ပြင်ဦးလွင်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | [[ဇာလီမိုး]]<br />{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | ယမုံ<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | သင်ဇာမင်းထက်<br />{{flagicon|Sagaing Region}} [[ရွှေဘို]] | Kendra (ပိုးမြတ်ဟေသာ) <br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ကေဇင်ခန့်<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၂၁ || colspan="6" align="center" {{n/a|''ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိ''}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]]<br>{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါး]] | [[ဟန်လေး]]<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီ]] | မေသဇင်ဦး<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရေချယ်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်တောင်ပိုင်းခရိုင်|ရန်ကုန် (တောင်)]] | မြစန်းသီတာ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] | နော်ခရစ္စတင်း <br/>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | [[ဆွေဇင်ထက်]]<br>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မွှေးသက်<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | ထက်သီရိဇော်<br/> {{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | ထွန်းပလဲရတနာ<br/>{{flagicon|Magway Region|old}} [[မင်းဘူး]] | လင်းထက်ထက်ကျော်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | စုစုဆန္ဒီ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]]<br>{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] | ဆုမြတ်ဖူး<br/>{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | နန်းမွေ့ဖောင်လုံ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | မြင့်မိုလ်မေ<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | ရိုစလင်းဆိုင်းနုနုပန်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] <br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]]''<small>(ရုပ်သိမ်းခြင်း)</small>''<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ဂျာဒင်ကိုင်<br/>{{flagicon image|Flag of Kachin State.svg}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ထွန်းဝတီ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိး]] | ခင်လပြည့်ဇော်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | rowspan="2" | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅-၂၀၁၆]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | rowspan="2" |ဟန်လေး<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | rowspan="2" |ချိုချိုထွန်း<br/>{{flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေ]] | rowspan="2" |အိဖြိုးသွယ်<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မေဘရဏီသော်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] |[[သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ယွန်းမီမီကျော်<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] | ရွှေစင်ကိုကို<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]]<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မြတ်နှင်းဖြူ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | နှင်းယမုံဦး<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[ကော့သောင်းမြို့|ကော့သောင်း]] | မေချစ်ပုံ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- |} === မြို့အလိုက် ဆုရရှိမှု === {| class="wikitable" style="font-size: 87%;" ! width="150" |Hometown ! width="50" |Titles ! width="200" |Winning Years |- |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | style="text-align:center;" |5 |2013, 2014, 2015, 2016, 2017 |- |{{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] | rowspan="7" style="text-align:center;" |1 |2025 |- |{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |2024 |- |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] |2023 |- |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |2022 |- |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |2020 |- |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] |2019 |- |{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |2018 |} == နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲ== ===လက်ရှိယှဉ်ပြိုင်နေသည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====မယ်စကြဝဠာ==== *'''''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ၌ အနိုင်ရရှိသူသည် '''[[မယ်စကြဝဠာ]]''' ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။ အကယ်၍ အနိုင်ရရှိသူသည် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်းမရှိပါက '''1st Runner-Up (ဒုတိယနေရာ)''' ရရှိသူသည် အနိုင်ရရှိသူ ကိုယ်စား ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။'' {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | [[အမရာဘို]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃]] | | |- | ၂၀၂၂ | align=left |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | [[ဇာလီမိုး]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂]] | | |- | ၂၀၂၁ | colspan="5" {{n/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိပါ}} |- style="background-color:#FFFF99;" | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀]] | '''ဆန်ကာတင် ၂၁ဦး''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | [[ဆွေဇင်ထက်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉]] | | |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Bago Region|2010}} [[ပဲခူး]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ | | |- | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၆ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၆ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၅ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မေဘရဏီသော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ | | |- | ၂၀၁၄ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄]] | | |- | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃]] | | |- |} ;မယ်ဗမာ ယခင်က [[မယ်စကြဝဠာ]] ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ]] မှကိုယ်စားပြုရွေးချယ်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၁၉၆၁ | align=left |{{flagicon|Bago Region|1974}} [[ဒိုက်ဦးမြို့|ဒိုက်ဦး]] | [[ခင်မြင့်မြင့်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၆၁ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၁၉၆၀ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | မြင့်မြင့်မေ | မယ်ဗမာ ၁၉၆၀ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''Miss Congeniality'''}} |- | ၁၉၅၉ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | သန်းသန်းအေး | မယ်ဗမာ ၁၉၅၉ | | |- | ၁၉၅၈ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | [[နော်လွီဇာ ဘင်ဆင်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၅၈ | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- |} ====Miss Charm==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | | |} ====Face of Beauty International==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |-style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | Kendra | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂ <br/> (3rd Runner-up) | Teen Face of Beauty International 2023 | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၂၀-၂၂ || colspan="5" align="center" {{n/a|ပြိုင်ပွဲပြုလုပ်ခြင်းမရှိ}} |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Magway Region}} [[မင်းဘူး]] | ထွန်းပုလဲရတနာ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (3rd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Misosologist's Choice Award''' }} |- style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မြင့်မိုလ်မေ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (3rd Runner-up) | '''Face of Beauty International 2018''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice award''' * 2nd runner-up – Best National Costume }} |- |} ===ယခင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====Miss Grand International==== {{Main|Miss Grand Myanmar}} {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီမြို့|မြ၀တီ]] | [[ဟန်လေး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (1st Runner-Up ) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''How to eat Thai food in 2 minute''' * '''How to get to know you in 1 minute''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 - Queen with the Golden Crown * Top 20 - Best in Swimsuit }} |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | မွှေးသက် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''The Historic Crowns Fashion Show Gala by George Wittels''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 -Miss Popular Vote * Top 10 - အကောင်းဆုံး ရေကူးဝတ်စုံဆု * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | စုမြတ်ဖူး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | rowspan="2" | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 – Best in National Costume * Top 11 - Best in Swimsuit }} |- | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(1st runner-up) | colspan="2" {{N/a|ရုပ်သိမ်းခြင်း}} |- |} ==== Miss Intercontinental ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၁ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Mandalay|2010}} [[မန္တလေး]] | ထက်သီရိဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (2nd Runner-up) | နေရာမရရှိ | |- style="background-color:#FFFACD; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နန်းမွှေဖောင်းလုံ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Ultra Skin''' }} |} ==== World Beauty Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | လင်းထက်ထက်ကျော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice''' * Top 5 - Best National Costume }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရိုစလင်ဆိုင်းနုနုပန် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Aura''' * '''SNS Popularity''' }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ဂျာဒင်ကိုင် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၆ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Best Original Costume''' }} |- |} ==== Miss Tourism Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ခင်လပြည့်ဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(4th Runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Personality''' }} |- |} == Winner Gallery == <gallery> </gallery> == အခြား == *[[မယ်မြန်မာ]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ}} [[Category:မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ]] bd9bogadsl4ofhkd6a8ze5t2uwdna9t 1039315 1039224 2026-06-18T03:01:56Z Salai Rungtoi 22844 1039315 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ | logo = | logo_size = | caption = | motto = | type = [[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]] | headquarters = ရန်ကုန် | location = မြန်မာ | formation = }} '''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ({{lang-en|Miss Universe Myanmar}}) သည် [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့ မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃ ခုနှစ်]]မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံ[[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]]ကြီး ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ မယ်စကြဝဠာမြန်မာအဖွဲ့အစည်းကြီး၏ တာဝန်ခံအမျိုးသားဒါရိုက်တာမှာ အံထူးလွင် (ခ) ဦးစိုးမင်းထွင်း ဖြစ်သည်။ လက်ရှိအနိုင်ရရှိထားသူမှာ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန် ၁၈ ရက်နေ့တွင် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ Myanmar Expo (Fortune Plaza) ၌ ကျင်းပခဲ့သော ၂၀၂၆ ခုနှစ်မယ်စကြဝဠာမြန်မာတွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သော ဘားအံကိုယ်စားပြုအလှမယ် မေဂရေ့စ်ပယ်ရီ (May Grace Perry) ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == {{main|မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ}} [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီးကို မြန်မာ့ကိုယ်စားပြု အဖြစ် ၁၉၅၉ ၌ မယ်ဗမာသန်းသန်းအေး မှ စတင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် မယ်ဗမာ (ခေါ်) မြန်မာနိုင်ငံ အလေးမနှင့် ကာယဗလအဖွဲ့ချုပ်မှ ၁၉၆၀ ၌ မြင့်မြင့်မေ၊ ၁၉၆၁ ၌ ခင်မြင့်မြင့် စသည်ဖြင့် အသီးသီးစေလွှတ်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ နောက်ပိုင်းတွင် မယ်ဗမာပြိုင်ပွဲ များကို [[မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့်မကိုက်ညီသောကြောင့်ဟုဆိုကာ ပိတ်သိမ်းလိုက်သည်။ ထိုကြောင့် ၁၉၆၂ မှစတင်၍ [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်း မရှိတော့ချေ။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ရွေးချယ်ရေးတာဝန်ခံ ဒေါ်စိုးယု‌‌ဝေက [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[နယူးယောက်]]၌ ရှိသော[[မယ်စကြဝဠာ]]ရုံးချုပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ပြီး [[မယ်စကြဝဠာ]]၂၀၁၂ Olivia Culpo [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏တာဝန်ရှိသူများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်တွန်းမှု‌ကြောင့် နှစ်၅၀ကျော်အတွင်း ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိသော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ‌ရွေးချယ်ခြင်းကို [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]]ခုနှစ်၌ တဖန်ပြန်လည်ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ National Director BOD အစည်းအဝေးအရ ဦးထူးအံ့လွင်(စိုးမင်းထွန်း) မှ ဆက်လက်၍ Miss Universe Myanmar 2026 ၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်နှင့်လုပ်ငန်းလိုင်စင်ကြီးကို ဆက်လက် တာဝန်ယူသွားမည်ဖြစ်သည်။ ၇၄ ကြိမ်မြောက်မယ်စကြဝဠာနိုင်ငံတကာယှဉ်ပြိုင်ပွဲကြီးကို သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့တဲ့ မြန်မာကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုးသည် Top (30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == ပြိုင်ပွဲဝင် ရွေးချယ်ခြင်း == {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ မြို့နယ်ပြိုင်ပွဲ}} မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ကို မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့အသီးသီးမှ ကိုယ်စားပြုများ ဝင်ရောက်ယှဉ်ကြသည်။ ယင်းတို့ အနက်မှ မြို့နယ်ကိုယ်စားပြု ရွေးချယ်သော (City Miss) ပြိုင်ပွဲများကိုလည်း မြို့နယ် အသီးသီး ကျင်းပခဲ့ရာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{col-begin|width=auto}} {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ပဲခူး {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ ဗန်းမော်]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ထားဝယ် {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ မန္တလေး]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ မြစ်ကြီးနား {{col-end}} == ပြိုင်ပွဲ == အောက်ဖော်ပြပါဇယား ၂၀၁၃ခုနှစ်မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ပြိုင်ပွဲများဖြစ်သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 89%; text-align:center" !ခုနှစ်||အကြိမ်ရေ||နေ့ရက်||ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပသည့်နေရာ||မြို့||ပြိုင်ပွဲဝင် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | ၁ကြိမ် | ၃ အောက်တိုဘာ | rowspan="2" | [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] | rowspan="8"|{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] | ၂ကြိမ် | ၂၆ ဇူလိုင် | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅]] | ၃ကြိမ် | rowspan="2" | ၂၆ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ | rowspan="2" | Gandamar Grand Ballroom | rowspan="2" |၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၆]] | ၄ကြိမ် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | ၅ကြိမ် | ၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၆ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | ၆ကြိမ် | ၃၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၇ | Gandamar Grand Ballroom, Gandamar Wholesale | ၃၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | ၇ကြိမ် | ၃၁ မေ | rowspan="2" | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၆ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | ၈ကြိမ် | ၃၀ ဒီဇင်ဘာ | ၃၆ |- | ၂၀၂၁ || colspan="5" align="center" | ''ပြိုင်ပွဲကျင်းပခြင်းမရှိ'' |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | ၉ ကြိမ် | ၁ အောက်တိုဘာ | ဂရမ်းဘောရွန်း၊ နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | rowspan="5" |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၁၄ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | ၁၀ ကြိမ် | ၁၄ စက်တင်ဘာ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၃၂ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၄|၂၀၂၄]] | ၁၁ ကြိမ် | ၇ ဇွန် | ရန်ကုန် ကွန်ဗင်းရှင်းစင်တာ (YCC)၊ [[ရန်ကုန်]] | ၅၂ |- |၂၀၂၅ |၁၂ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Myanmar Expo (Fortune Plaza၊ ရန်ကုန် |၃၅ |- |၂၀၂၆ |၁၃ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Hexagon Complex, [[တာမွေမြို့နယ်]]၊ ရန်ကုန် | |- |} ==အနိုင်ရရှိသူများ== {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ဆုရရှိသူများ စာရင်း}} {| class="wikitable" style="font-size: 85%;"style="text-align:center;" ! rowspan="2" width="1%" | ခုနှစ် ! rowspan="2" width="200" | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ! colspan="5" width="800"| Runners-up |- style="text-align:center;" !width="200" |First !width="200" |Second !width="200" |Third !width="200" |Fourth !width="200" |Fifth |- |၂၀၂၆ |မေဂရေ့စ် ပယ်ရီ {{Flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံမြို့|ဘားအံ]] |ဟန်သိမ့်သိမ့်အောင် {{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |ကျော်ကျော်အိန္ဒြာ {{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (အနောက်) |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |- |၂၀၂၅ |မြတ်ရတနာစိုး<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/ne-2562804/|title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ သရဖူကို မြတ်ရတနာစိုး ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=Xinhua Myanmar|accessdate=26 August 2025}}</ref> {{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] |နန်းအဉ္ဇလီ {{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |ခိုင်ဆွေဇင်သင်း {{Flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]] |ဇူလှိုင်ဝင့်ထည် {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |မျိုးကိုကိုစန်း {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |Mary Ja Doi Awng {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | ၂၀၂၄ | သက်စံအန်ဒါစံ<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-246721/|title=Miss Universe Myanmar 2024 Winner ဆုကို ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းကိုယ်စားပြု အလှမယ် သက်စံအန်ဒါဆန် ရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်း|accessdate=26 August 2025}}</ref><br />{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |ချယ်ရီမိုး {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |ဟန်လေး {{flagicon|Shan State}} [[မူဆယ်မြို့|မူဆယ်]] |အိမ့်မြတ်ချယ် {{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] |သော်တာစန်း<br>{{flagicon|Bago Region}} [[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]] |Mary Htoi Ra {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | [[အမရာဘို]]<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-23090140023/|title=၂၀၂၃ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ (Miss Universe Myanmar 2023 ) သရဖူအား အလှမယ် အမရာဘို ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်းဌာန|accessdate=26 August 2026}}</ref><br>{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | ဒီး<br>{{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်]] | ခေမား<br>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | နန်းနန္ဒာလင်း<br>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နိုနိုမေ<br>{{flagicon|Ayeyarwady Region}} [[ပုသိမ်]] | သင်းစန္ဒာပြည့်သီဟအောင်<br>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[ပြင်ဦးလွင်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | [[ဇာလီမိုး]]<br />{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | ယမုံ<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | သင်ဇာမင်းထက်<br />{{flagicon|Sagaing Region}} [[ရွှေဘို]] | Kendra (ပိုးမြတ်ဟေသာ) <br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ကေဇင်ခန့်<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၂၁ || colspan="6" align="center" {{n/a|''ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိ''}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]]<br>{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါး]] | [[ဟန်လေး]]<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီ]] | မေသဇင်ဦး<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရေချယ်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်တောင်ပိုင်းခရိုင်|ရန်ကုန် (တောင်)]] | မြစန်းသီတာ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] | နော်ခရစ္စတင်း <br/>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | [[ဆွေဇင်ထက်]]<br>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မွှေးသက်<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | ထက်သီရိဇော်<br/> {{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | ထွန်းပလဲရတနာ<br/>{{flagicon|Magway Region|old}} [[မင်းဘူး]] | လင်းထက်ထက်ကျော်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | စုစုဆန္ဒီ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]]<br>{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] | ဆုမြတ်ဖူး<br/>{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | နန်းမွေ့ဖောင်လုံ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | မြင့်မိုလ်မေ<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | ရိုစလင်းဆိုင်းနုနုပန်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] <br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]]''<small>(ရုပ်သိမ်းခြင်း)</small>''<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ဂျာဒင်ကိုင်<br/>{{flagicon image|Flag of Kachin State.svg}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ထွန်းဝတီ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိး]] | ခင်လပြည့်ဇော်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | rowspan="2" | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅-၂၀၁၆]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | rowspan="2" |ဟန်လေး<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | rowspan="2" |ချိုချိုထွန်း<br/>{{flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေ]] | rowspan="2" |အိဖြိုးသွယ်<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မေဘရဏီသော်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] |[[သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ယွန်းမီမီကျော်<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] | ရွှေစင်ကိုကို<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]]<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မြတ်နှင်းဖြူ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | နှင်းယမုံဦး<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[ကော့သောင်းမြို့|ကော့သောင်း]] | မေချစ်ပုံ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- |} === မြို့အလိုက် ဆုရရှိမှု === {| class="wikitable" style="font-size: 87%;" ! width="150" |Hometown ! width="50" |Titles ! width="200" |Winning Years |- |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | style="text-align:center;" |5 |2013, 2014, 2015, 2016, 2017 |- |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | style="text-align: center;" |2 |2019, 2026 |- |{{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] | rowspan="6" style="text-align:center;" |1 |2025 |- |{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |2024 |- |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] |2023 |- |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |2022 |- |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |2020 |- |{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |2018 |} == နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲ== ===လက်ရှိယှဉ်ပြိုင်နေသည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====မယ်စကြဝဠာ==== *'''''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ၌ အနိုင်ရရှိသူသည် '''[[မယ်စကြဝဠာ]]''' ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။ အကယ်၍ အနိုင်ရရှိသူသည် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်းမရှိပါက '''1st Runner-Up (ဒုတိယနေရာ)''' ရရှိသူသည် အနိုင်ရရှိသူ ကိုယ်စား ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။'' {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | [[အမရာဘို]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃]] | | |- | ၂၀၂၂ | align=left |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | [[ဇာလီမိုး]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂]] | | |- | ၂၀၂၁ | colspan="5" {{n/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိပါ}} |- style="background-color:#FFFF99;" | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀]] | '''ဆန်ကာတင် ၂၁ဦး''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | [[ဆွေဇင်ထက်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉]] | | |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Bago Region|2010}} [[ပဲခူး]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ | | |- | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၆ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၆ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၅ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မေဘရဏီသော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ | | |- | ၂၀၁၄ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄]] | | |- | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃]] | | |- |} ;မယ်ဗမာ ယခင်က [[မယ်စကြဝဠာ]] ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ]] မှကိုယ်စားပြုရွေးချယ်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၁၉၆၁ | align=left |{{flagicon|Bago Region|1974}} [[ဒိုက်ဦးမြို့|ဒိုက်ဦး]] | [[ခင်မြင့်မြင့်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၆၁ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၁၉၆၀ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | မြင့်မြင့်မေ | မယ်ဗမာ ၁၉၆၀ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''Miss Congeniality'''}} |- | ၁၉၅၉ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | သန်းသန်းအေး | မယ်ဗမာ ၁၉၅၉ | | |- | ၁၉၅၈ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | [[နော်လွီဇာ ဘင်ဆင်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၅၈ | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- |} ====Miss Charm==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | | |} ====Face of Beauty International==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |-style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | Kendra | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂ <br/> (3rd Runner-up) | Teen Face of Beauty International 2023 | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၂၀-၂၂ || colspan="5" align="center" {{n/a|ပြိုင်ပွဲပြုလုပ်ခြင်းမရှိ}} |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Magway Region}} [[မင်းဘူး]] | ထွန်းပုလဲရတနာ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (3rd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Misosologist's Choice Award''' }} |- style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မြင့်မိုလ်မေ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (3rd Runner-up) | '''Face of Beauty International 2018''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice award''' * 2nd runner-up – Best National Costume }} |- |} ===ယခင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====Miss Grand International==== {{Main|Miss Grand Myanmar}} {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီမြို့|မြ၀တီ]] | [[ဟန်လေး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (1st Runner-Up ) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''How to eat Thai food in 2 minute''' * '''How to get to know you in 1 minute''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 - Queen with the Golden Crown * Top 20 - Best in Swimsuit }} |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | မွှေးသက် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''The Historic Crowns Fashion Show Gala by George Wittels''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 -Miss Popular Vote * Top 10 - အကောင်းဆုံး ရေကူးဝတ်စုံဆု * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | စုမြတ်ဖူး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | rowspan="2" | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 – Best in National Costume * Top 11 - Best in Swimsuit }} |- | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(1st runner-up) | colspan="2" {{N/a|ရုပ်သိမ်းခြင်း}} |- |} ==== Miss Intercontinental ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၁ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Mandalay|2010}} [[မန္တလေး]] | ထက်သီရိဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (2nd Runner-up) | နေရာမရရှိ | |- style="background-color:#FFFACD; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နန်းမွှေဖောင်းလုံ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Ultra Skin''' }} |} ==== World Beauty Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | လင်းထက်ထက်ကျော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice''' * Top 5 - Best National Costume }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရိုစလင်ဆိုင်းနုနုပန် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Aura''' * '''SNS Popularity''' }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ဂျာဒင်ကိုင် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၆ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Best Original Costume''' }} |- |} ==== Miss Tourism Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ခင်လပြည့်ဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(4th Runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Personality''' }} |- |} == Winner Gallery == <gallery> </gallery> == အခြား == *[[မယ်မြန်မာ]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ}} [[Category:မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ]] 9znygfdukzixbhe7t61w1fspasao3r4 1039316 1039315 2026-06-18T03:11:08Z Salai Rungtoi 22844 1039316 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ | logo = | logo_size = | caption = | motto = | type = [[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]] | headquarters = ရန်ကုန် | location = မြန်မာ | formation = }} '''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ({{lang-en|Miss Universe Myanmar}}) သည် [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့ မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃ ခုနှစ်]]မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံ[[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]]ကြီး ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ မယ်စကြဝဠာမြန်မာအဖွဲ့အစည်းကြီး၏ တာဝန်ခံအမျိုးသားဒါရိုက်တာမှာ အံထူးလွင် (ခ) ဦးစိုးမင်းထွင်း ဖြစ်သည်။ လက်ရှိအနိုင်ရရှိထားသူမှာ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန် ၁၈ ရက်နေ့တွင် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ Myanmar Expo (Fortune Plaza) ၌ ကျင်းပခဲ့သော ၂၀၂၆ ခုနှစ်မယ်စကြဝဠာမြန်မာတွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သော ဘားအံကိုယ်စားပြုအလှမယ် မေဂရေ့စ်ပယ်ရီ (May Grace Perry) ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == {{main|မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ}} [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီးကို မြန်မာ့ကိုယ်စားပြု အဖြစ် ၁၉၅၉ ၌ မယ်ဗမာသန်းသန်းအေး မှ စတင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် မယ်ဗမာ (ခေါ်) မြန်မာနိုင်ငံ အလေးမနှင့် ကာယဗလအဖွဲ့ချုပ်မှ ၁၉၆၀ ၌ မြင့်မြင့်မေ၊ ၁၉၆၁ ၌ ခင်မြင့်မြင့် စသည်ဖြင့် အသီးသီးစေလွှတ်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ နောက်ပိုင်းတွင် မယ်ဗမာပြိုင်ပွဲ များကို [[မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့်မကိုက်ညီသောကြောင့်ဟုဆိုကာ ပိတ်သိမ်းလိုက်သည်။ ထိုကြောင့် ၁၉၆၂ မှစတင်၍ [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်း မရှိတော့ချေ။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ရွေးချယ်ရေးတာဝန်ခံ ဒေါ်စိုးယု‌‌ဝေက [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[နယူးယောက်]]၌ ရှိသော[[မယ်စကြဝဠာ]]ရုံးချုပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ပြီး [[မယ်စကြဝဠာ]]၂၀၁၂ Olivia Culpo [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏တာဝန်ရှိသူများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်တွန်းမှု‌ကြောင့် နှစ်၅၀ကျော်အတွင်း ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိသော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ‌ရွေးချယ်ခြင်းကို [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]]ခုနှစ်၌ တဖန်ပြန်လည်ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ National Director BOD အစည်းအဝေးအရ ဦးထူးအံ့လွင်(စိုးမင်းထွန်း) မှ ဆက်လက်၍ Miss Universe Myanmar 2026 ၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်နှင့်လုပ်ငန်းလိုင်စင်ကြီးကို ဆက်လက် တာဝန်ယူသွားမည်ဖြစ်သည်။ ၇၄ ကြိမ်မြောက်မယ်စကြဝဠာနိုင်ငံတကာယှဉ်ပြိုင်ပွဲကြီးကို သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့တဲ့ မြန်မာကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုးသည် Top (30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == ပြိုင်ပွဲဝင် ရွေးချယ်ခြင်း == {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ မြို့နယ်ပြိုင်ပွဲ}} မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ကို မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့အသီးသီးမှ ကိုယ်စားပြုများ ဝင်ရောက်ယှဉ်ကြသည်။ ယင်းတို့ အနက်မှ မြို့နယ်ကိုယ်စားပြု ရွေးချယ်သော (City Miss) ပြိုင်ပွဲများကိုလည်း မြို့နယ် အသီးသီး ကျင်းပခဲ့ရာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{col-begin|width=auto}} {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ပဲခူး {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ ဗန်းမော်]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ထားဝယ် {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ မန္တလေး]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ မြစ်ကြီးနား {{col-end}} == ပြိုင်ပွဲ == အောက်ဖော်ပြပါဇယား ၂၀၁၃ခုနှစ်မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ပြိုင်ပွဲများဖြစ်သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 89%; text-align:center" !ခုနှစ်||အကြိမ်ရေ||နေ့ရက်||ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပသည့်နေရာ||မြို့||ပြိုင်ပွဲဝင် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | ၁ကြိမ် | ၃ အောက်တိုဘာ | rowspan="2" | [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] | rowspan="8"|{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] | ၂ကြိမ် | ၂၆ ဇူလိုင် | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅]] | ၃ကြိမ် | rowspan="2" | ၂၆ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ | rowspan="2" | Gandamar Grand Ballroom | rowspan="2" |၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၆]] | ၄ကြိမ် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | ၅ကြိမ် | ၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၆ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | ၆ကြိမ် | ၃၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၇ | Gandamar Grand Ballroom, Gandamar Wholesale | ၃၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | ၇ကြိမ် | ၃၁ မေ | rowspan="2" | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၆ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | ၈ကြိမ် | ၃၀ ဒီဇင်ဘာ | ၃၆ |- | ၂၀၂၁ || colspan="5" align="center" | ''ပြိုင်ပွဲကျင်းပခြင်းမရှိ'' |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | ၉ ကြိမ် | ၁ အောက်တိုဘာ | ဂရမ်းဘောရွန်း၊ နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | rowspan="5" |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၁၄ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | ၁၀ ကြိမ် | ၁၄ စက်တင်ဘာ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၃၂ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၄|၂၀၂၄]] | ၁၁ ကြိမ် | ၇ ဇွန် | ရန်ကုန် ကွန်ဗင်းရှင်းစင်တာ (YCC)၊ [[ရန်ကုန်]] | ၅၂ |- |၂၀၂၅ |၁၂ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Myanmar Expo (Fortune Plaza၊ ရန်ကုန် |၃၅ |- |၂၀၂၆ |၁၃ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Hexagon Complex, [[တာမွေမြို့နယ်]]၊ ရန်ကုန် |၃၈ |- |} ==အနိုင်ရရှိသူများ== {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ဆုရရှိသူများ စာရင်း}} {| class="wikitable" style="font-size: 85%;"style="text-align:center;" ! rowspan="2" width="1%" | ခုနှစ် ! rowspan="2" width="200" | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ! colspan="5" width="800"| Runners-up |- style="text-align:center;" !width="200" |First !width="200" |Second !width="200" |Third !width="200" |Fourth !width="200" |Fifth |- |၂၀၂၆ |မေဂရေ့စ် ပယ်ရီ {{Flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံမြို့|ဘားအံ]] |ဟန်သိမ့်သိမ့်အောင် {{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |ကျော်ကျော်အိန္ဒြာ {{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (အနောက်) |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |''ဆုချီးမြှင့်ခြင်းမရှိ'' |- |၂၀၂၅ |မြတ်ရတနာစိုး<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/ne-2562804/|title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ သရဖူကို မြတ်ရတနာစိုး ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=Xinhua Myanmar|accessdate=26 August 2025}}</ref> {{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] |နန်းအဉ္ဇလီ {{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |ခိုင်ဆွေဇင်သင်း {{Flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]] |ဇူလှိုင်ဝင့်ထည် {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |မျိုးကိုကိုစန်း {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |Mary Ja Doi Awng {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | ၂၀၂၄ | သက်စံအန်ဒါစံ<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-246721/|title=Miss Universe Myanmar 2024 Winner ဆုကို ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းကိုယ်စားပြု အလှမယ် သက်စံအန်ဒါဆန် ရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်း|accessdate=26 August 2025}}</ref><br />{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |ချယ်ရီမိုး {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |ဟန်လေး {{flagicon|Shan State}} [[မူဆယ်မြို့|မူဆယ်]] |အိမ့်မြတ်ချယ် {{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] |သော်တာစန်း<br>{{flagicon|Bago Region}} [[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]] |Mary Htoi Ra {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | [[အမရာဘို]]<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-23090140023/|title=၂၀၂၃ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ (Miss Universe Myanmar 2023 ) သရဖူအား အလှမယ် အမရာဘို ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်းဌာန|accessdate=26 August 2026}}</ref><br>{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | ဒီး<br>{{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်]] | ခေမား<br>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | နန်းနန္ဒာလင်း<br>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နိုနိုမေ<br>{{flagicon|Ayeyarwady Region}} [[ပုသိမ်]] | သင်းစန္ဒာပြည့်သီဟအောင်<br>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[ပြင်ဦးလွင်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | [[ဇာလီမိုး]]<br />{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | ယမုံ<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | သင်ဇာမင်းထက်<br />{{flagicon|Sagaing Region}} [[ရွှေဘို]] | Kendra (ပိုးမြတ်ဟေသာ) <br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ကေဇင်ခန့်<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၂၁ || colspan="6" align="center" {{n/a|''ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိ''}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]]<br>{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါး]] | [[ဟန်လေး]]<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီ]] | မေသဇင်ဦး<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရေချယ်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်တောင်ပိုင်းခရိုင်|ရန်ကုန် (တောင်)]] | မြစန်းသီတာ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] | နော်ခရစ္စတင်း <br/>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | [[ဆွေဇင်ထက်]]<br>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မွှေးသက်<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | ထက်သီရိဇော်<br/> {{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | ထွန်းပလဲရတနာ<br/>{{flagicon|Magway Region|old}} [[မင်းဘူး]] | လင်းထက်ထက်ကျော်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | စုစုဆန္ဒီ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]]<br>{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] | ဆုမြတ်ဖူး<br/>{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | နန်းမွေ့ဖောင်လုံ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | မြင့်မိုလ်မေ<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | ရိုစလင်းဆိုင်းနုနုပန်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] <br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]]''<small>(ရုပ်သိမ်းခြင်း)</small>''<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ဂျာဒင်ကိုင်<br/>{{flagicon image|Flag of Kachin State.svg}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ထွန်းဝတီ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိး]] | ခင်လပြည့်ဇော်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | rowspan="2" | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅-၂၀၁၆]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | rowspan="2" |ဟန်လေး<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | rowspan="2" |ချိုချိုထွန်း<br/>{{flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေ]] | rowspan="2" |အိဖြိုးသွယ်<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မေဘရဏီသော်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] |[[သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ယွန်းမီမီကျော်<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] | ရွှေစင်ကိုကို<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]]<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မြတ်နှင်းဖြူ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | နှင်းယမုံဦး<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[ကော့သောင်းမြို့|ကော့သောင်း]] | မေချစ်ပုံ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- |} === မြို့အလိုက် ဆုရရှိမှု === {| class="wikitable" style="font-size: 87%;" ! width="150" |Hometown ! width="50" |Titles ! width="200" |Winning Years |- |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | style="text-align:center;" |5 |2013, 2014, 2015, 2016, 2017 |- |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | style="text-align: center;" |2 |2019, 2026 |- |{{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] | rowspan="6" style="text-align:center;" |1 |2025 |- |{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |2024 |- |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] |2023 |- |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |2022 |- |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |2020 |- |{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |2018 |} == နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲ== ===လက်ရှိယှဉ်ပြိုင်နေသည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====မယ်စကြဝဠာ==== *'''''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ၌ အနိုင်ရရှိသူသည် '''[[မယ်စကြဝဠာ]]''' ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။ အကယ်၍ အနိုင်ရရှိသူသည် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်းမရှိပါက '''1st Runner-Up (ဒုတိယနေရာ)''' ရရှိသူသည် အနိုင်ရရှိသူ ကိုယ်စား ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။'' {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | [[အမရာဘို]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃]] | | |- | ၂၀၂၂ | align=left |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | [[ဇာလီမိုး]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂]] | | |- | ၂၀၂၁ | colspan="5" {{n/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိပါ}} |- style="background-color:#FFFF99;" | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀]] | '''ဆန်ကာတင် ၂၁ဦး''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | [[ဆွေဇင်ထက်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉]] | | |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Bago Region|2010}} [[ပဲခူး]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ | | |- | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၆ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၆ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၅ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မေဘရဏီသော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ | | |- | ၂၀၁၄ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄]] | | |- | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃]] | | |- |} ;မယ်ဗမာ ယခင်က [[မယ်စကြဝဠာ]] ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ]] မှကိုယ်စားပြုရွေးချယ်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၁၉၆၁ | align=left |{{flagicon|Bago Region|1974}} [[ဒိုက်ဦးမြို့|ဒိုက်ဦး]] | [[ခင်မြင့်မြင့်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၆၁ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၁၉၆၀ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | မြင့်မြင့်မေ | မယ်ဗမာ ၁၉၆၀ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''Miss Congeniality'''}} |- | ၁၉၅၉ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | သန်းသန်းအေး | မယ်ဗမာ ၁၉၅၉ | | |- | ၁၉၅၈ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | [[နော်လွီဇာ ဘင်ဆင်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၅၈ | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- |} ====Miss Charm==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | | |} ====Face of Beauty International==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |-style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | Kendra | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂ <br/> (3rd Runner-up) | Teen Face of Beauty International 2023 | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၂၀-၂၂ || colspan="5" align="center" {{n/a|ပြိုင်ပွဲပြုလုပ်ခြင်းမရှိ}} |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Magway Region}} [[မင်းဘူး]] | ထွန်းပုလဲရတနာ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (3rd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Misosologist's Choice Award''' }} |- style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မြင့်မိုလ်မေ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (3rd Runner-up) | '''Face of Beauty International 2018''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice award''' * 2nd runner-up – Best National Costume }} |- |} ===ယခင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====Miss Grand International==== {{Main|Miss Grand Myanmar}} {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီမြို့|မြ၀တီ]] | [[ဟန်လေး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (1st Runner-Up ) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''How to eat Thai food in 2 minute''' * '''How to get to know you in 1 minute''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 - Queen with the Golden Crown * Top 20 - Best in Swimsuit }} |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | မွှေးသက် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''The Historic Crowns Fashion Show Gala by George Wittels''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 -Miss Popular Vote * Top 10 - အကောင်းဆုံး ရေကူးဝတ်စုံဆု * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | စုမြတ်ဖူး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | rowspan="2" | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 – Best in National Costume * Top 11 - Best in Swimsuit }} |- | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(1st runner-up) | colspan="2" {{N/a|ရုပ်သိမ်းခြင်း}} |- |} ==== Miss Intercontinental ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၁ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Mandalay|2010}} [[မန္တလေး]] | ထက်သီရိဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (2nd Runner-up) | နေရာမရရှိ | |- style="background-color:#FFFACD; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နန်းမွှေဖောင်းလုံ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Ultra Skin''' }} |} ==== World Beauty Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | လင်းထက်ထက်ကျော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice''' * Top 5 - Best National Costume }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရိုစလင်ဆိုင်းနုနုပန် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Aura''' * '''SNS Popularity''' }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ဂျာဒင်ကိုင် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၆ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Best Original Costume''' }} |- |} ==== Miss Tourism Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ခင်လပြည့်ဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(4th Runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Personality''' }} |- |} == Winner Gallery == <gallery> </gallery> == အခြား == *[[မယ်မြန်မာ]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ}} [[Category:မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ]] 3fbvir9kc1kybcwbe1oriekdqb7pz3p 1039318 1039316 2026-06-18T03:17:36Z Salai Rungtoi 22844 1039318 wikitext text/x-wiki {{Infobox organization | name = မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ | logo = | logo_size = | caption = | motto = | type = [[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]] | headquarters = ရန်ကုန် | location = မြန်မာ | formation = }} '''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ({{lang-en|Miss Universe Myanmar}}) သည် [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့ မြန်မာနိုင်ငံကိုယ်စားပြုအဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃ ခုနှစ်]]မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မြန်မာနိုင်ငံ[[အလှမယ်ပြိုင်ပွဲ]]ကြီး ဖြစ်သည်။ လက်ရှိ မယ်စကြဝဠာမြန်မာအဖွဲ့အစည်းကြီး၏ တာဝန်ခံအမျိုးသားဒါရိုက်တာမှာ အံထူးလွင် (ခ) ဦးစိုးမင်းထွင်း ဖြစ်သည်။ လက်ရှိအနိုင်ရရှိထားသူမှာ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန် ၁၈ ရက်နေ့တွင် [[ရန်ကုန်မြို့]]၊ Myanmar Expo (Fortune Plaza) ၌ ကျင်းပခဲ့သော ၂၀၂၆ ခုနှစ်မယ်စကြဝဠာမြန်မာတွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သော ဘားအံကိုယ်စားပြုအလှမယ် မေဂရေ့စ်ပယ်ရီ (May Grace Perry) ဖြစ်သည်။ == သမိုင်း == {{main|မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ}} [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီးကို မြန်မာ့ကိုယ်စားပြု အဖြစ် ၁၉၅၉ ၌ မယ်ဗမာသန်းသန်းအေး မှ စတင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် မယ်ဗမာ (ခေါ်) မြန်မာနိုင်ငံ အလေးမနှင့် ကာယဗလအဖွဲ့ချုပ်မှ ၁၉၆၀ ၌ မြင့်မြင့်မေ၊ ၁၉၆၁ ၌ ခင်မြင့်မြင့် စသည်ဖြင့် အသီးသီးစေလွှတ်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၂ နောက်ပိုင်းတွင် မယ်ဗမာပြိုင်ပွဲ များကို [[မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု]] နှင့်မကိုက်ညီသောကြောင့်ဟုဆိုကာ ပိတ်သိမ်းလိုက်သည်။ ထိုကြောင့် ၁၉၆၂ မှစတင်၍ [[မယ်စကြဝဠာ]]ပြိုင်ပွဲကြီး သို့သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်း မရှိတော့ချေ။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ ရွေးချယ်ရေးတာဝန်ခံ ဒေါ်စိုးယု‌‌ဝေက [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[နယူးယောက်]]၌ ရှိသော[[မယ်စကြဝဠာ]]ရုံးချုပ်သို့ရောက်ရှိခဲ့ပြီး [[မယ်စကြဝဠာ]]၂၀၁၂ Olivia Culpo [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏တာဝန်ရှိသူများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[မယ်စကြဝဠာ]]အဖွဲ့အစည်း၏ တိုက်တွန်းမှု‌ကြောင့် နှစ်၅၀ကျော်အတွင်း ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိသော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ‌ရွေးချယ်ခြင်းကို [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]]ခုနှစ်၌ တဖန်ပြန်လည်ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ National Director BOD အစည်းအဝေးအရ ဦးထူးအံ့လွင်(စိုးမင်းထွန်း) မှ ဆက်လက်၍ Miss Universe Myanmar 2026 ၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်နှင့်လုပ်ငန်းလိုင်စင်ကြီးကို ဆက်လက် တာဝန်ယူသွားမည်ဖြစ်သည်။ ၇၄ ကြိမ်မြောက်မယ်စကြဝဠာနိုင်ငံတကာယှဉ်ပြိုင်ပွဲကြီးကို သွားရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့တဲ့ မြန်မာကိုယ်စားပြုအလှမယ် မြတ်ရတနာစိုးသည် Top (30) သို့ဝင်ရောက်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ == ပြိုင်ပွဲဝင် ရွေးချယ်ခြင်း == {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ မြို့နယ်ပြိုင်ပွဲ}} မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ကို မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့အသီးသီးမှ ကိုယ်စားပြုများ ဝင်ရောက်ယှဉ်ကြသည်။ ယင်းတို့ အနက်မှ မြို့နယ်ကိုယ်စားပြု ရွေးချယ်သော (City Miss) ပြိုင်ပွဲများကိုလည်း မြို့နယ် အသီးသီး ကျင်းပခဲ့ရာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ {{col-begin|width=auto}} {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ပဲခူး {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ ဗန်းမော်]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ ထားဝယ် {{col-5}} *[[မယ်စကြဝဠာ မန္တလေး]] {{col-5}} *မယ်စကြဝဠာ မြစ်ကြီးနား {{col-end}} == ပြိုင်ပွဲ == အောက်ဖော်ပြပါဇယား ၂၀၁၃ခုနှစ်မှ စတင်ကျင်းပခဲ့သော မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ပြိုင်ပွဲများဖြစ်သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 89%; text-align:center" !ခုနှစ်||အကြိမ်ရေ||နေ့ရက်||ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပသည့်နေရာ||မြို့||ပြိုင်ပွဲဝင် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | ၁ကြိမ် | ၃ အောက်တိုဘာ | rowspan="2" | [[အမျိုးသားဇာတ်ရုံ (ရန်ကုန်)]] | rowspan="8"|{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] | ၂ကြိမ် | ၂၆ ဇူလိုင် | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅]] | ၃ကြိမ် | rowspan="2" | ၂၆ ဇူလိုင် ၂၀၁၅ | rowspan="2" | Gandamar Grand Ballroom | rowspan="2" |၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၆]] | ၄ကြိမ် |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | ၅ကြိမ် | ၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၁၆ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | ၆ကြိမ် | ၃၀ စက်တင်ဘာ ၂၀၁၇ | Gandamar Grand Ballroom, Gandamar Wholesale | ၃၀ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | ၇ကြိမ် | ၃၁ မေ | rowspan="2" | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၂၆ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | ၈ကြိမ် | ၃၀ ဒီဇင်ဘာ | ၃၆ |- | ၂၀၂၁ || colspan="5" align="center" | ''ပြိုင်ပွဲကျင်းပခြင်းမရှိ'' |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | ၉ ကြိမ် | ၁ အောက်တိုဘာ | ဂရမ်းဘောရွန်း၊ နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်၊ [[ရန်ကုန်]] | rowspan="5" |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ၁၄ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | ၁၀ ကြိမ် | ၁၄ စက်တင်ဘာ | နိုဗိုတယ်ဟိုတယ်မက်စ်၊ [[ရန်ကုန်]] | ၃၂ |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၄|၂၀၂၄]] | ၁၁ ကြိမ် | ၇ ဇွန် | ရန်ကုန် ကွန်ဗင်းရှင်းစင်တာ (YCC)၊ [[ရန်ကုန်]] | ၅၂ |- |၂၀၂၅ |၁၂ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Myanmar Expo (Fortune Plaza၊ ရန်ကုန် |၃၅ |- |၂၀၂၆ |၁၃ ကြိမ် |၁၇ ဇွန် |Hexagon Complex, [[တာမွေမြို့နယ်]]၊ ရန်ကုန် |၃၈ |- |} ==အနိုင်ရရှိသူများ== {{Main|မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ဆုရရှိသူများ စာရင်း}} {| class="wikitable" style="font-size: 85%;"style="text-align:center;" ! rowspan="2" width="1%" | ခုနှစ် ! rowspan="2" width="200" | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ! colspan="5" width="800"| Runners-up |- style="text-align:center;" !width="200" |First !width="200" |Second !width="200" |Third !width="200" |Fourth !width="200" |Fifth |- |၂၀၂၆ |မေဂရေ့စ် ပယ်ရီ {{Flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံမြို့|ဘားအံ]] |ဟန်သိမ့်သိမ့်အောင် {{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |ကျော်ကျော်အိန္ဒြာ {{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (အနောက်) |{{n/a| ''ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ''}} |{{n/a| ''ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ''}} |{{n/a| ''ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ''}} |- |၂၀၂၅ |မြတ်ရတနာစိုး<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/ne-2562804/|title=၂၀၂၅ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာမြန်မာ သရဖူကို မြတ်ရတနာစိုး ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=Xinhua Myanmar|accessdate=26 August 2025}}</ref> {{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] |နန်းအဉ္ဇလီ {{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |ခိုင်ဆွေဇင်သင်း {{Flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]] |ဇူလှိုင်ဝင့်ထည် {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |မျိုးကိုကိုစန်း {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |Mary Ja Doi Awng {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | ၂၀၂၄ | သက်စံအန်ဒါစံ<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-246721/|title=Miss Universe Myanmar 2024 Winner ဆုကို ရန်ကုန်မြောက်ပိုင်းကိုယ်စားပြု အလှမယ် သက်စံအန်ဒါဆန် ရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်း|accessdate=26 August 2025}}</ref><br />{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |ချယ်ရီမိုး {{Flagicon|Mandalay Region}} [[မိတ္ထီလာမြို့|မိတ္ထီလာ]] |ဟန်လေး {{flagicon|Shan State}} [[မူဆယ်မြို့|မူဆယ်]] |အိမ့်မြတ်ချယ် {{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] |သော်တာစန်း<br>{{flagicon|Bago Region}} [[တောင်ငူမြို့|တောင်ငူ]] |Mary Htoi Ra {{Flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနားမြို့|မြစ်ကြီးနား]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃|၂၀၂၃]] | [[အမရာဘို]]<ref>{{Cite web|url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-23090140023/|title=၂၀၂၃ ခုနှစ် မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ (Miss Universe Myanmar 2023 ) သရဖူအား အလှမယ် အမရာဘို ဆွတ်ခူးရရှိ|publisher=ဆင်ဟွားသတင်းဌာန|accessdate=26 August 2026}}</ref><br>{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | ဒီး<br>{{flagicon|Mon State}} [[မော်လမြိုင်]] | ခေမား<br>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | နန်းနန္ဒာလင်း<br>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နိုနိုမေ<br>{{flagicon|Ayeyarwady Region}} [[ပုသိမ်]] | သင်းစန္ဒာပြည့်သီဟအောင်<br>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[ပြင်ဦးလွင်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂|၂၀၂၂]] | [[ဇာလီမိုး]]<br />{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | ယမုံ<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | သင်ဇာမင်းထက်<br />{{flagicon|Sagaing Region}} [[ရွှေဘို]] | Kendra (ပိုးမြတ်ဟေသာ) <br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | ကေဇင်ခန့်<br />{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၂၁ || colspan="6" align="center" {{n/a|''ပြိုင်ပွဲ ကျင်းပနိုင်ခြင်းမရှိ''}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀|၂၀၂၀]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]]<br>{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါး]] | [[ဟန်လေး]]<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီ]] | မေသဇင်ဦး<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရေချယ်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်တောင်ပိုင်းခရိုင်|ရန်ကုန် (တောင်)]] | မြစန်းသီတာ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] | နော်ခရစ္စတင်း <br/>{{flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉|၂၀၁၉]] | [[ဆွေဇင်ထက်]]<br>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မွှေးသက်<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | ထက်သီရိဇော်<br/> {{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | ထွန်းပလဲရတနာ<br/>{{flagicon|Magway Region|old}} [[မင်းဘူး]] | လင်းထက်ထက်ကျော်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | စုစုဆန္ဒီ<br/>[[File:Flag of Ayeyarwady Region (2010–2021).svg|border|23px]] [[ပုသိမ်]] |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈|၂၀၁၈]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]]<br>{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] | ဆုမြတ်ဖူး<br/>{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | နန်းမွေ့ဖောင်လုံ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | မြင့်မိုလ်မေ<br/>{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | ရိုစလင်းဆိုင်းနုနုပန်<br/>{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇|၂၀၁၇]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] <br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]]''<small>(ရုပ်သိမ်းခြင်း)</small>''<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ဂျာဒင်ကိုင်<br/>{{flagicon image|Flag of Kachin State.svg}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ထွန်းဝတီ<br/>{{flagicon|Shan State}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိး]] | ခင်လပြည့်ဇော်<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | rowspan="2" | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ နှင့် ၂၀၁၆|၂၀၁၅-၂၀၁၆]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | rowspan="2" |ဟန်လေး<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေး]] | rowspan="2" |ချိုချိုထွန်း<br/>{{flagicon|Rakhine State}} [[စစ်တွေ]] | rowspan="2" |အိဖြိုးသွယ်<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်]] | {{n/a|ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မေဘရဏီသော်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄|၂၀၁၄]] |[[သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ယွန်းမီမီကျော်<br/>{{flagicon|Mandalay Region|2010}} [[မန္တလေးမြို့|မန္တလေး]] | ရွှေစင်ကိုကို<br/>{{flagicon|Mon State|old}} [[မော်လမြိုင်မြို့|မော်လမြိုင်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃|၂၀၁၃]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]]<br>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]]<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မြတ်နှင်းဖြူ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | နှင်းယမုံဦး<br/>{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[ကော့သောင်းမြို့|ကော့သောင်း]] | မေချစ်ပုံ<br/>{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | {{n/a| ဆုချီးမြင့်ခြင်းမရှိ}} |- |} === မြို့အလိုက် ဆုရရှိမှု === {| class="wikitable" style="font-size: 87%;" ! width="150" |Hometown ! width="50" |Titles ! width="200" |Winning Years |- |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | style="text-align:center;" |5 |2013, 2014, 2015, 2016, 2017 |- |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | style="text-align: center;" |2 |2019, 2026 |- |{{Flagicon|Mandalay Region}} [[ပြင်ဦးလွင်မြို့|ပြင်ဦးလွင်]] | rowspan="6" style="text-align:center;" |1 |2025 |- |{{flagicon|Yangon Region}} ရန်ကုန် (မြောက်) |2024 |- |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] |2023 |- |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] |2022 |- |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] |2020 |- |{{flagicon|Bago Region}} [[ပဲခူး]] |2018 |} == နိုင်ငံတကာပြိုင်ပွဲ== ===လက်ရှိယှဉ်ပြိုင်နေသည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====မယ်စကြဝဠာ==== *'''''မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ''' ၌ အနိုင်ရရှိသူသည် '''[[မယ်စကြဝဠာ]]''' ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။ အကယ်၍ အနိုင်ရရှိသူသည် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်နိုင်ခြင်းမရှိပါက '''1st Runner-Up (ဒုတိယနေရာ)''' ရရှိသူသည် အနိုင်ရရှိသူ ကိုယ်စား ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရမည်။'' {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[ကျိုင်းတုံ]] | [[အမရာဘို]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၃]] | | |- | ၂၀၂၂ | align=left |{{Flagicon|Kachin State}} [[ဗန်းမော်]] | [[ဇာလီမိုး]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂]] | | |- | ၂၀၂၁ | colspan="5" {{n/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိပါ}} |- style="background-color:#FFFF99;" | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Chin State}} [[ဟားခါးမြို့|ဟားခါး]] | [[သူဇာဝင့်လွင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀]] | '''ဆန်ကာတင် ၂၁ဦး''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | [[ဆွေဇင်ထက်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉]] | | |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Bago Region|2010}} [[ပဲခူး]] | [[နှင်းသွေးယုအောင်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ | | |- | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ဇွန်သံစဉ်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၆ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ထက်ထက်ထွန်း]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၆ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၁၅ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | မေဘရဏီသော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၅ | | |- | ၂၀၁၄ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | သျှားထွဋ်အိန္ဒြာ | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၄]] | | |- | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[မိုးစက်ဝိုင်]] | [[မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃]] | | |- |} ;မယ်ဗမာ ယခင်က [[မယ်စကြဝဠာ]] ပြိုင်ပွဲသို့ မြန်မာကိုယ်စားပြု အဖြစ် သွားရောက် ယှဉ်ပြိုင်ရန် [[မယ်ဗမာ ပြိုင်ပွဲ]] မှကိုယ်စားပြုရွေးချယ်ခဲ့သည်။ {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၁၉၆၁ | align=left |{{flagicon|Bago Region|1974}} [[ဒိုက်ဦးမြို့|ဒိုက်ဦး]] | [[ခင်မြင့်မြင့်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၆၁ | | |- style="background-color:#FADADD; " | ၁၉၆၀ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | မြင့်မြင့်မေ | မယ်ဗမာ ၁၉၆၀ | | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''Miss Congeniality'''}} |- | ၁၉၅၉ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | သန်းသန်းအေး | မယ်ဗမာ ၁၉၅၉ | | |- | ၁၉၅၈ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|1974}} [[ရန်ကုန်]] | [[နော်လွီဇာ ဘင်ဆင်]] | မယ်ဗမာ ၁၉၅၈ | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- |} ====Miss Charm==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |- | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | | |} ====Face of Beauty International==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၄ | colspan=5 {{TBA}} |-style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၂၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region}} [[ရန်ကုန်]] | Kendra | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၂ <br/> (3rd Runner-up) | Teen Face of Beauty International 2023 | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | *'''အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု'''}} |- | ၂၀၂၀-၂၂ || colspan="5" align="center" {{n/a|ပြိုင်ပွဲပြုလုပ်ခြင်းမရှိ}} |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Magway Region}} [[မင်းဘူး]] | ထွန်းပုလဲရတနာ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (3rd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Misosologist's Choice Award''' }} |- style="background-color:gold; font-weight: bold " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[ဘားအံ]] | မြင့်မိုလ်မေ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (3rd Runner-up) | '''Face of Beauty International 2018''' | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice award''' * 2nd runner-up – Best National Costume }} |- |} ===ယခင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည့် ပြိုင်ပွဲများ=== {{plainlist| * {{Color box|gold|border=black}} : အနိုင်ရသူအဖြစ် ကြေညာခံရ * {{Color box|#FFFF66|border=black}} : ဒုတိယ သို့မဟုတ် ထိပ်ဆုံး ၅-၆ ဦး အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FFFF99|border=black}} : ဗိုလ်လုပွဲ သို့ အကြိုဗိုလ်လုပွဲ အဖြစ် ပြီးဆုံး * {{Color box|#FADADD|border=black}} : အထူးဆုရရှိသူအဖြစ် ပြီးဆုံး }} ====Miss Grand International==== {{Main|Miss Grand Myanmar}} {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၂၀ | align=left |{{flagicon|Kayin State}} [[မြဝတီမြို့|မြ၀တီ]] | [[ဟန်လေး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (1st Runner-Up ) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''How to eat Thai food in 2 minute''' * '''How to get to know you in 1 minute''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 - Queen with the Golden Crown * Top 20 - Best in Swimsuit }} |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon image|Flag of Tanintharyi Region (2010-current).svg}} [[မြိတ်]] | မွှေးသက် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၅ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''The Historic Crowns Fashion Show Gala by George Wittels''' * '''Pre-Arrival''' * Top 10 -Miss Popular Vote * Top 10 - အကောင်းဆုံး ရေကူးဝတ်စုံဆု * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon image|flag of Naypyidaw Union Territory.png}} [[နေပြည်တော်]] | စုမြတ်ဖူး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 - အကောင်းဆုံး အမျိုးသားဝတ်စုံဆု }} |- | rowspan="2" | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[အေးချမ်းမိုး]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၃<br/>(1st runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * Top 10 – Best in National Costume * Top 11 - Best in Swimsuit }} |- | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | [[ရွှေအိမ်စည် (မော်ဒယ်)|ရွှေအိမ်စည်]] | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(1st runner-up) | colspan="2" {{N/a|ရုပ်သိမ်းခြင်း}} |- |} ==== Miss Intercontinental ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |- | ၂၀၂၁ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | မေသဇင်ဦး | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | colspan="2" {{N/a|ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခြင်းမရှိ}} |- | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Mandalay|2010}} [[မန္တလေး]] | ထက်သီရိဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (2nd Runner-up) | နေရာမရရှိ | |- style="background-color:#FFFACD; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Shan State}} [[တာချီလိတ်]] | နန်းမွှေဖောင်းလုံ | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၂၀ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၂၀ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Ultra Skin''' }} |} ==== World Beauty Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၉ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | လင်းထက်ထက်ကျော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၉ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''People's Choice''' * Top 5 - Best National Costume }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၈ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ရိုစလင်ဆိုင်းနုနုပန် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၈ <br/> (4th Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၃ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၂ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Aura''' * '''SNS Popularity''' }} |-style="background-color:#FFFF99; " | ၂၀၁၇ | align=left |{{flagicon|Kachin State}} [[မြစ်ကြီးနား]] | ဂျာဒင်ကိုင် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇ <br/> (2nd Runner-up) | ဆန်ကာတင် ၁၆ဦး | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Best Original Costume''' }} |- |} ==== Miss Tourism Queen Myanmar ==== {| class="wikitable sortable" style="font-size: 90%; text-align:center" !width="60" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခုနှစ် !width="170" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|မြို့/ခရိုင် !width="150" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ကိုယ်စားပြုသူ၏ အမည် !width="320" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|ခေါင်းစဉ် !width="260" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|နေရာရှိမှု !width="210" style="background-color:#787878;color:#FFFFFF;"|အထူးဆုများ |-style="background-color:#FADADD; " | ၂၀၁၃ | align=left |{{flagicon|Yangon Region|2010}} [[ရန်ကုန်]] | ခင်လပြည့်ဇော် | မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ ၂၀၁၇<br/>(4th Runner-up) | နေရာမရရှိ | style="background:;" | {{collapsible list| | title = အထူးဆု ၁ဆု | titlestyle = background:transparent;text-align:center;font-weight:normal;font-size: 105% | * '''Miss Personality''' }} |- |} == Winner Gallery == <gallery> </gallery> == အခြား == *[[မယ်မြန်မာ]] ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ}} [[Category:မယ်စကြဝဠာ မြန်မာ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ အလှမယ်ပြိုင်ပွဲများ]] gwppaluoi106miy9a94igto6hy3uwrn 0 257640 1039346 947862 2026-06-18T08:33:38Z EmausBot 5629 [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039346 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] lm2nyhwv4g2eap8nuo0lvw9fqztgpke 1 257641 1039348 947860 2026-06-18T08:33:58Z EmausBot 5629 [[ဆွေးနွေးချက်:မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039348 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဆွေးနွေးချက်:မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] pfskj12fhae9b3psfihnwpi1a8o72od 0 258118 1039323 832825 2026-06-18T03:42:33Z CommonsDelinker 115 Removing [[:c:File:Chapulin_Colorado_Animado_Logo.png|Chapulin_Colorado_Animado_Logo.png]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Krd|Krd]] because: No permission since 10 June 2026. 1039323 wikitext text/x-wiki {{Infobox television | image = | alt_name = | genre = [[အန်နီမေးရှင်း]]<br/>ဟာသ<br/>သရော်စာ<br/>အက်ရှင် | creator = [[Roberto Gómez Fernández]] | based_on = {{based on|''[[အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို]]''|[[Chespirito|Roberto Gómez Bolaños]]}}<Br>{{based on|ဇာတ်ကောင်များ|Roberto Gomez Fernandez}} | developer = [[Roberto Gómez Fernández]] | voices = Jesús Guzmán<br /> Enrique Horiuchi<br /> Gabriel Basurto<br /> Gerardo Alonso<br /> Magda Giner | theme_music_composer = Manuel Vázquez | composer = Manuel Vázquez | country = {{MEX}} | language = စပိန် | num_seasons = ၅ | num_episodes = ၇၄ | list_episodes = | executive_producer = [[Chespirito|Roberto Gómez Bolaños]](†)<br>Roberto Gómez Fernández<br>[[Fernando de Fuentes]]<br>José C. García de Letona | runtime = ၁၁ မိနစ် (အပိုင်းတို) | company = [[Ánima (ကုမ္ပဏီ)|Ánima Estudios]]<br>[[တီလီဗီဆာ]] | network = [[:en:Canal 5 (Mexican TV channel)|ကန်နယ် ၅]] | first_aired = {{Start date|2015|04|13}} | last_aired = {{end date|2017|06|01}} | related = ''[[အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို]]'' (မူရင်းဇာတ်လမ်းတွဲ)<br/>''[[အယ်လ် ချာဗို အန်နီမာဒို]]''<br/>''[[အယ်လ် ချာဗို ဒယ်လ် အိုချို]]'' | opentheme = "''အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို''" | endtheme = "''အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို''" | original name = El Chapulín Colorado Animado }} '''''အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို အန်နီမာဒို''''' ({{Lang-es|El Chapulín Colorado Animado}}) သည် [[မက္ကဆီကိုနိုင်ငံ|မက္ကဆီကန်]] အန်နီမေးရှင်းရုပ်မြင်သံကြားဇာတ်လမ်းတွဲဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၂၀၁၅ ဧပြီ ၁၃ တွင် [[:en:Canal_5_(Mexican_TV_channel)|ကန်နယ် ၅]] ရုပ်သံလိုင်း တွင် ထုတ်လွှင့် ပြသခဲ့သည်။<ref>{{citation|url=https://www.eluniverso.com/vida-estilo/2015/07/26/nota/5039932/se-estreno-nueva-serie-animada-chapulin-colorado|title=Se estrenó nueva serie animada de El Chapulín Colorado|access-date=2023-08-22|date=2015-07-26|work=El Universo|language=es|archive-date=2023-04-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20230421155156/https://www.eluniverso.com/vida-estilo/2015/07/26/nota/5039932/se-estreno-nueva-serie-animada-chapulin-colorado/|url-status=live}}</ref> == သရုပ်ဆောင်များနှင့် ဇာတ်ကောင်များ == * အယ်လ် ချာပူလင် ကော်လိုရာဒို (El Chapulín Colorado) အဖြစ် Jesús Guzmán * Periquita Mozcorra အဖြစ် Erica Edwards * Comandante Chacota အဖြစ် Enrique Horiouchi နှင့် Luis Alfonso Mendoza (†) * Profesor Inventillo အဖြစ် Arturo Mercado * Dulce အဖြစ် Julieta Rivera == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ် == * {{Official website|https://web.archive.org/web/20211020001028/http://elchapulincoloradoanimado.com/}} * {{IMDb title|id=4437732}} * {{TheTVDB|341377}} {{Tv-stub}} [[ကဏ္ဍ:မက္ကဆီကန် ရုပ်မြင်သံကြား ဇာတ်လမ်းတွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:စပိန်ဘာသာ တီဗွီဇာတ်လမ်းတွဲ အစီစဉ်]] [[ကဏ္ဍ:ကာတွန်းရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ]] 134xx7x6z4mu2k24q3gskf4cjrahbrk 0 259459 1039343 838594 2026-06-18T08:33:08Z EmausBot 5629 [[ကံပိုင်တည်မြို့]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039343 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ကံပိုင်တည်မြို့]] rbwfde8i99igu0a0b9uqym0jp1uqq2v 0 266158 1039134 868180 2026-06-17T12:52:59Z U Zin Kyaw 144516 စာလုံးပေါင်း ပြင်ခဲ့သည် 1039134 wikitext text/x-wiki {{Short description|ဒေါ်လှအေး(ခ)ထိပ်တင်အေး}} {{Infobox Chinese | title = '''ဒေါ်လှအေး''' | | picsize = | piccap = ဒေါ်လှအေး (ဝါ)ထိပ်တင်အေး ဒေါ်လှအေး သည် မြန်မာအမျိုးသမီးတစ်ယောက်ဖြစ်သည် ckhj8tt1x4kyqwudq6gzlcpes7gnajq 1039135 1039134 2026-06-17T12:54:07Z U Zin Kyaw 144516 သဒ္ဒါပြင်ခဲ့သည် 1039135 wikitext text/x-wiki {{Short description| {{Infobox Chinese | title = ''' | | picsize = | piccap = fplbe8xmsrpg6196tpzf8hl9yl6ww4i 1039311 1039135 2026-06-18T02:37:18Z Ninjastrikers 22896 [[Special:Contributions/U Zin Kyaw|U Zin Kyaw]] ([[User talk:U Zin Kyaw|ဆွေးနွေး]]) ၏ ပြင်ဆင်မှုများကို [[User:Myat Htoo Kywel|Myat Htoo Kywel]] ၏ နောက်ဆုံးတည်းဖြတ်မူသို့ နောက်ပြန် ပြန်ပြင်ခဲ့သည် 868180 wikitext text/x-wiki {{Short description|တရုတ်မယ်တော်တစ်ပါး}} {{Infobox Chinese | title = '''လီဆန်းမိခင်''' | pic = Lishan Laomu painting.jpg | picsize = | piccap = လီဆန်းမိခင် (ဝါ) လီဆန်းတောင်သခင်မ (ဝါ) လီဆန်းမယ်တော် [[File:Lishan Laomu.jpg|thumb|Left| လီဆန်းမိခင်၏ရုပ်တု]] | English_name = The Old Mother of Mount Li,Grand mother of the Mount Li,Lishan Mother,Goddess of the mount Li,Immortal of the Mount Li | Burmese_name = လီဆန်းမိခင်၊လီဆန်းမေမေ၊လီဆန်းတောင်သခင်မ၊လီဆန်းတောင်ကတော်၊လီဆန်းတောင်မယ်တော်၊လီဆန်းမယ်တော်၊လီဆန်းတောင်ဘွားဘွား၊လီဆန်းတောင်စောင့်နတ် | t = 驪山老母 | s = 骊山老母 | p = Líshān Lǎomǔ | w = | mi = | kanji = | romaji = }} လီဆန်းမိခင်သည် တရုတ်ရိုးရာဒဏ္ဍာရီပုံပြင်များနှင့် လီဆန်းတောင်တစ်ဝိုက်တွင်ထင်ရှားသော မသေမျိုးအမတေပုဂ္ဂိုလ်ကြီးတစ်ပါးဖြစ်သည်။ [[တာအိုဘာသာ|တောက်ဝါဒီ]]ကျမ်းဂန်စာရင်းတို့၌ ၎င်းသည် မပါဝင်သော်လည်း များစွာသော တောက်ဝါဒဘုရားကျောင်းများ၌ ၎င်းအား တရိုတသေအလေးထားဂါရဝပြု၍ ကန်တော့ကြသည်။ ၎င်းကို အချို့သောတောက်ဝါဒီကိုးကွယ်သူများက ကျောက်စိမ်းဧကရာဇ်နှင့် ဗုဒ္ဓတို့ထက် ကြီးကျယ်မြင့်မြတ်သည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။ လီဆန်းမိခင်အကြောင်းကို တရုတ်ပြည်ထုတ် အဘိဓာန်များ၊ ရည်ညွှန်းကျမ်းများနှင့် ခေတ်အဆက်ဆက်စွယ်စုံကျမ်းများတွင်တခမ်းတနားအလေးပေးဖော်ပြကြသည်။၎င်းသည် လီဆန်းတောင်ပေါ်၌ ကျင့်ကြံအားထုတ်၍ ပေါက်မြောက်သွားသောသူတော်စင်ပုဂ္ဂိုလ်ကြီးဟူ၍တရုတ်လူမျိုးတို့က အထင်ရှိကြ၍ လီဆန်းတောင်တစ်ဝိုက်ကိုးကွယ်သော ဒေသန္တရရိုးရာနတ်တစ်ပါးဖြစ်သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် တရုတ်ပြည်၏နတ်ကိုးကွယ်မှုနှင့်ဘာသာရေးကဏ္ဍများ၌ ထင်ရှားတွင်ကျယ်လာခဲ့သည်။ == အနောက်သို့ခရီးသွားခြင်းမှတ်တမ်း == တရုတ်ပြည်၏ နာမည်ကြီးဝတ္ထု ၄ ခုအဝင် "Journey of the west" ([[အနောက်သို့ခရီးသွားခြင်း]])ဝတ္ထု၌ ၎င်းသည်အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍ၌ ပါဝင်သည်။ [[စွန်းဝူခုန်း]]တို့၏ ဆရာတပည့် စိတ်ဓာတ်ကို ခိုင်မာခြင်းရှိမရှိစမ်းသပ်ရန် ကွမ်ရင်ဖူဆ(အဝလောကိတေသွာရဗောဓိသတ္တ)၊ပုရှန်းဖူဆ(သမန္တဘဒြဗောဓိသတ္တ)၊ဝူစွန်းဖူဆ(မဉ္ဇူသီရိဗောဓိသတ္တ)တို့နှင့်အတူ ပူပေါင်း၍ စမ်းသပ်ကြလေသည်။ ထို့ပြင် မကသေးလီဆန်းမိခင်သည် ကမ္ဘာဦးမဖြစ်ပေါ်မီကပင် တည်ရှိခဲ့သောကြောင့် အကျင့်စရဏအားဖြင့်သော်လည်းကောင်း၊ သက်တမ်းအားဖြင့်သော်လည်းကောင်း ဝါရ​င့်​နေပြီဖြစ်ရာ၎င်းအား ကွမ်ရင်ဖူဆ၊ပုရှန်းဖူဆနှင့်ဝန်ရှူးဖူဆတို့က တရိုတသေအလေးပြုဆက်ဆံရလေသည်။ထို့ပြင်မကသေး လီဆန်းမိခင်သည် တရုတ်ရိုးရာနတ်ကိုးကွယ်မှု၌ထင်ရှားသော အနောက်တိုင်းမယ်တော်ရှီဝမ်းမူ(Queen mother of the west)၊ကြယ်နတ်မင်း၏မယ်တော်ဖြစ်သော ဖီလန်ပေါ်ဖူဆ(အာကာသဂဗ္ဘဗောဓိသတ္တ,Pilanpo)၊လနတ်သမီး ချန့်အိုဒေဝီ(Deity of the moon)တို့နှင့်လည်းတရင်းတနှီးရှိကြောင်းသိရသည်။အချို့သောသုတေသီများကမူ "လီဆန်းမိခင်"သည် "အနောက်တိုင်းမယ်တော်ရှီဝမ်းမူ"၊"နွီဝါးမယ်တော်"၊"ဝူရှန်းလောင်းမူ"တို့မှ ဆင်းသက်လာသော ကိုယ်ပွား​ဖြစ်ကြောင်း၊၎င်းတို့၏ဂုဏ်တော်မှပေါက်ဖွားလာသောနတ်ဖြစ်ကြောင်း၊အသွင်ကွဲနတ်တစ်ပါးသာဖြစ်ကြောင်း ထင်ကြေးပေးအမျိုးမျိုးဆိုကြသည်။အချို့ကမူ "သိုးမူယွမ်ကျွင်း နက္ခတ်တာရာဒေဝီမယ်တော်"၏ လူ့ဇာတိခံဖြစ်ကြောင်းလည်းဆိုသည်။(အနောက်ဖက်သို့ခရီးသွားခြင်း)ဝတ္ထုမြန်မာပြန်များ၌မူ ၎င်းကို "လီဆန်းမေမေ"၊"လီဆန်းမယ်တော်"ဟူ၍ ပြန်ကြသည်။တရုတ်ဘာသာတတ်ကျွမ်းသူများကမူ "လီဆန်းမယ်မယ်"၊"လီဆန်းတောင်သခင်မ"၊"လီဆန်းတောင်ကတော်"၊"လီဆန်းတောင်မယ်တော်"၊"လီဆန်းတောင်ဘွားဘွား"၊"လီဆန်းတောင်စောင့်နတ်" ဟူ၍အမျိုးမျိုးပြန်ဆိုနိုင်ကြောင်းဆိုသည်။ ရုပ်သံစာတန်းထိုးများ၌မူ "လီဆန်းမိခင်"ဟူ၍ပြန်ဆိုကြသည်။ bph90j759tzlpvphy6ylkn2o0xc9qxc 0 275175 1039344 947789 2026-06-18T08:33:18Z EmausBot 5629 [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039344 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] lm2nyhwv4g2eap8nuo0lvw9fqztgpke 1 275176 1039347 947791 2026-06-18T08:33:48Z EmausBot 5629 [[ဆွေးနွေးချက်:မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039347 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဆွေးနွေးချက်:မြန်မာပြည်ဖွား တရုတ်လူမျိုးများ]] pfskj12fhae9b3psfihnwpi1a8o72od 0 279504 1039327 1020837 2026-06-18T04:32:46Z Zawzawaungthwin 100038 ခေါင်းဆောင် ဖမ်းဆီးခံရခြင်း 1039327 wikitext text/x-wiki {{Infobox militant organization | name = စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် <br/> Sagaing PDF | logo = File:Logo of Sagaing PDF.jpg | caption = စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်၏<br/> အမှတ်တံဆိပ် | other_name = | leader = စုပေါင်းဖွဲ့စည်းမှု | foundation = | dates = {{Start date|df=yes|2021|7|18}} – လက်ရှိ | dissolved = | merger = | split = | predecessor = | merged = | successor = | country = | allegiance = | motives = | area = စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး | headquarters = စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး | newspaper = | ideology = | position = | crimes = | attacks = | status = | size = မထုတ်ပြန် | revenue = | financing = | partof = | allies = *{{flagicon image|Kachin Independence Army flag.svg}}[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] * {{flagicon image|Logo of the Ta'ang National Liberation Army.svg}} [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်]] *[[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] * [[နွေဦးတော်လှန်ရေး မဟာမိတ် တပ်ပေါင်းစု]] | opponents = {{flagdeco|Myanmar}} [[မြန်မာနိုင်ငံ]] *([[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]) * [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့်အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်]] * {{flagicon image|Flag of the Armed Forces (Tatmadaw) of Myanmar.svg}} [[တပ်မတော်]] | battles = *[[မြန်မာ့ပြည်တွင်းပဋိပက္ခများ]] * နိုင်ငံအလယ်ပိုင်းစစ်ဆင်ရေးများ | flag = | website = | module = }} '''စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်''' ({{lang-en|'''Sagaing People's Defence Force''' }}၊ အတိုကောက် '''Sagaing PDF''' ) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]ရှိ[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ လက်နက်ကိုင် အဖွဲ့အစည်းများ|တိုင်းရင်းသား လက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အစည်း]]တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |date=၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅ |title=တော်လှန်ရေးအင်အားစု ၁၉ ဖွဲ့ပါဝင်သည့် နွေဦးတော်လှန်ရေးမဟာမိတ်တပ်ပေါင်းစုဖွဲ့စည်း |url=https://burmese.dvb.no/post/737655 |access-date=၁၇ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅ |work=DVB}}</ref>၎င်းအဖွဲ့သည် အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ (NUG)၊ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန၏ တိုက်ရိုက်ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင် မပါဝင်ဘဲ သီးခြားအုပ်ချုပ်ရေးနှင့် သီးခြားစစ်ရေးဖွဲ့စည်းပုံဖြင့် လှုပ်ရှားနေသော လက်နက်ကိုင်အဖွဲ့တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းအကျဉ်း == ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ဖေဖော်ဝါရီ ၁ ရက် တွင် [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းမှု]]ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။လက်နက်ကိုင်လမ်းစဉ်ကို ရွေးချယ်ခဲ့ကြသည့် လူငယ်များသည် တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့များထံ သွားရောက်၍ စစ်ပညာသင်ကြားခဲ့ကြသည်။ စစ်ပညာသွားရောက်သင်ကြားခဲ့ကြသည့် လူငယ်များဦးဆောင်ပြီး Sagaing PDF ကို ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင် ၁၈ ရက် တွင် စတင် စုဖွဲ့ခဲ့ကြသည်။စတင်စုဖွဲ့ချိန် Sagaing PDF ဖြစ်လာမည့် အမြုတေ ရဲဘော်များသည် [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] KIA ၏ တပ်မဟာ ၈ သင်တန်း၌ တက်ရောက်ခဲ့ကြသူများဖြစ်ပြီး၊ဆက်လက်၍ စစ်ကိုင်းတိုင်းအတွင်းတွင် ဆင့်ပွားသင်တန်း၊ အခြေခံစစ်ပညာသင်တန်းဖြင့် တပ်ဖွဲ့ကို တိုးချဲ့ခဲ့ကြခြင်းဖြစ်သည်။ စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် သည် [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|မြောက်ပိုင်းညီနောင်မဟာမိတ် သုံးဖွဲ့]]ထဲမှ [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|တအောင်းအမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်]] TNLA နှင့် နီးကပ်သည့် ဆက်ဆံရေးအား ထားရှိကာ၊TNLA ဘက်မှလည်း ထောက်ပံ့ကူညီမှုများ ပြုလုပ်သည်။ <ref>{{cite web|url=https://myanmar-now.org/mm/news/66670/|title=စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (Sagaing PDF) နှင့်တွေ့ဆုံခြင်း|work=|access-date=၂၇ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅|date=၂၀ ဩဂုတ် ၂၀၂၅}}</ref> == ခေါင်းဆောင် ဖမ်းဆီးခံရခြင်း == {{main|စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု}} ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက် ညပိုင်းတွင် စစ်ကိုင်းတိုင်း နှင့် ကချင်ပြည်နယ်အစပ်၊ အင်းတော်မြို့နယ်အတွင်း၌ စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်အပါအဝင် ရဲဘော် ၄ ဦးသည် အမှတ် ၁ စစ်ဒေသမှူး ဒူပအောင်ဒွဲ ၏ အမိန့်စေခိုင်းချက် အရ ဖမ်းဆီးခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |last=BVJ |date=2026-05-29 |title=ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် NUG၊ COCအောက်ဝင်ဖို့ သဘောတူ |url=https://www.bvjnews.com/post/srfnugcoc |access-date=2026-06-18 |website=BVJ |language=en}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အစည်းများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံရှိ တိုင်းရင်းသား လက်နက်ကိုင် အဖွဲ့အစည်းများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၁ နောက်ပိုင်း ဖွဲ့စည်းသည့် တော်လှန်ရေးဆိုင်ရာ အဖွဲ့များ]] jgnbs3hji4dhd8rv5c66sgxt2jiv2he 0 280044 1039380 1038557 2026-06-18T11:33:37Z Salai Rungtoi 22844 /* ကွယ်လွန်သူများ */ 1039380 wikitext text/x-wiki {{Events by month|၂၀၂၆|prefix=မုခ်ဝ:လက်ရှိဖြစ်ရပ်များ/}}{{Year nav|2026}} {{Year article header|2026}} == ဖြစ်ပွားဆဲ ဖြစ်ရပ်များ == * [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] * [[၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံ သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း]] * [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု]] * [[တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော်]]သက်တမ်း * [[တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော်]]သက်တမ်း == အဓိက ဖြစ်ရပ်များ == === ဇန်နဝါရီ === * [[၁ ဇန်နဝါရီ]] - [[ဘူလ်ဂေးရီးယားနိုင်ငံ]]သည် [[ယူရို|ယူရိုငွေကြေး]]ကို စတင်အသုံးပြုခဲ့ပြီး ယူရိုဇုန်၏ ၂၁ ခုမြောက် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite press release|title=Bulgaria ready to use the euro from 1 January 2026: Council takes final steps|date=July 8, 2025|publisher=Council of the European Union|url=https://www.consilium.europa.eu/en/press/press-releases/2025/07/08/bulgaria-ready-to-use-the-euro-from-1-january-2026-council-takes-final-steps/}}</ref> * [[၅ ဇန်နဝါရီ]] - [[ကော်သူးလေတပ်မတော် (KTLA)]]က မြန်မာနိုင်ငံက ခွဲထွက်ပြီး ကော်သူးလေသမ္မတနိုင်ငံ တည်ထောင်လိုက်ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=ကော်သူးလေနိုင်ငံသစ် ကြေညာ၊ သမ္မတအဖြစ် ဗိုလ်ချုပ်စောနယ်ဒါးမြ တာဝန်ယူ |url=https://burmese.dvb.no/post/740655 |access-date=8 Jan 2026 |website=DVB}}</ref> * [[၉ ဇန်နဝါရီ]] - မြန်မာနိုင်ငံနှင့် [[ဆိုမာလီယာနိုင်ငံ]]တို့သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီ ၉ ရက်မှစတင်၍ နှစ်နိုင်ငံအကြား သံအမတ်ကြီးအဆင့်ဖြင့် သံတမန်အဆက်အသွယ် ထူထောင်ကြသည်။ ဆိုမာလီယာဖက်ဒရယ် သမ္မတနိုင်ငံသည် မြန်မာနိုင်ငံ၏ (၁၂၇) နိုင်ငံမြောက် သံတမန်အဆက်အသွယ်ထူထောင်သည့် နိုင်ငံဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်နှင့် ဆိုမာလီယာဖက်ဒရယ်သမ္မတနိုင်ငံတို့အကြား သံတမန်အဆက်အသွယ်ထူထောင် |url=https://www.mdn.gov.mm/my/pnnytheaangcusmmttmnmaaniungngntteaanng-chiumaaliiyaaphkdrysmmttniungngnttiuakaa |url-status=live |access-date=၁၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆ |website=Myanmar Digital News}}</ref> * [[၁၁ ဇန်နဝါရီ]] - [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆]] ၏ အပိုင်း (၂) ကို မြို့နယ်ပေါင်း ၁၀၀ ၌ ကျင်းပခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=မြန်မာနိုင်ငံ၏ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ အပိုင်း(၂) ကျင်းပပြီးစီး |url=https://xinhuamyanmar.com/news/myanmar/nm-2611131/ |access-date=2026-02-28 |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=■ ရွေးကောက်ပွဲအပိုင်း(၂)တွင် ပါဝင်သည့် မြို့နယ်များ၌ မဲပေးမှုများ ပြီးဆုံး၍ မဲရုံများစတင်ပိတ်သိမ်း |url=https://news-eleven.com/article/309049 |access-date=2026-02-28 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * [[၂၄ ဇန်နဝါရီ]] - အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၁/၂၀၂၆ ဖြင့် [[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး]]ဥပဒေကို တတိယအကြိမ်ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံးဥပဒေကို တတိယအကြိမ်ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ |url=http://www.mdn.gov.mm/my/pnnytheaangcusmmttmnmaaniungngntteaa-amiusaakaakyrennglunkhunrekeaangcii |access-date=2026-03-13 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref>               * [[၂၅ ဇန်နဝါရီ]] - [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆]] ၏ အပိုင်း (၃) ကို မြို့နယ်ပေါင်း ၆၁ ၌ ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ဇန်နဝါရီ ၂၅ ရက်(တနဂ်​နွေ​နေ့)တွင် ကျင်းပမည့် ​ရွေး​ကောက်ပွဲအပိုင်း(၃)တွင် ပါဝင်သည့် မြို့နယ် ၆၁ မြို့နယ် |url=https://news-eleven.com/article/309419 |access-date=2026-02-28 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * [[၂၇ ဇန်နဝါရီ]] - ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းထွန်းနောင်]]အား စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ မူလတာဝန်များသို့ ပြန်လည်ခန့်အပ်ခဲ့ပြီး၊ ၎င်း၏နေရာတွင် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ဖုန်းမြတ်]]ကို ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးအဖြစ် အစားထိုးခန့်ထားသဖြင့် [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကောင်မရှင်]]အဖွဲ့ဝင်သစ် ဖြစ်လာသည်။ <ref>{{Cite web|title=ပြည်ထဲ​ရေးဝန်ကြီး ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းထွန်း​နောင်အား စစ်ဘက်မူလတာဝန် ပြန်လည်ထမ်းဆောင်စေပြီး ၎င်း၏​နေရာတွင် ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးဖုန်းမြတ်အား ခန့်အပ်|url=https://news-eleven.com/article/309488|website=Eleven Media Group Co., Ltd|access-date=2026-03-06|language=my}}</ref> * [[၂၉ ဇန်နဝါရီ]] - ယခင်​အရေးပေါ် အခြေအနေ​ကြေညာထားသည့် ၆၃ မြို့နယ်တွင် အရေးပေါ် အခြေအနေ​နှင့် စစ်အုပ်ချုပ်​ရေးအမိန့်ကို ​ရက်​ ၉၀ ဆက်လက်တည်ရှိ​ကြောင်း အမိန့်များကို ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=စစ်အုပ်ချုပ်ရေးအမိန့်ဆက်လက်ထုတ်ပြန်ခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/76504 |access-date=2026-02-27 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=ယခင်​အရေးပေါ် အခြေအနေ​ကြေညာထားသည့် ၆၃ မြို့နယ်တွင် အရေးပေါ်အခြေအနေ​နှင့် စစ်အုပ်ချုပ်​ရေးအမိန့်ကို ရက်​ ၉၀ ဆက်လက်တည်ရှိ​​ကြောင်းကြေညာ |url=https://news-eleven.com/article/309542 |access-date=2026-02-27 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> === ဖေဖော်ဝါရီ === * [[၃ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[ပြည်ထောင်စုအတိုင်ပင်ခံကောင်စီ]]ကို [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ]] ဥပဒေအမှတ် ၃/၂၀၂၆ ဖြင့် ပြဋ္ဌာန်းဖွဲ့စည်းလိုက်သည်။ * [[၇ ဖေဖော်ဝါရီ]] - ၂၀၂၅ ခုနှစ်အတွက် [[မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆု]] ပေးအပ်ချီးမြှင့်ခြင်းအခမ်းအနားကို နေပြည်တော်ရှိ  MICC -1 ခန်းမတွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ အကောင်းဆုံးရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားဆုကို "''[[ပန်းမြိုင်လယ်မှ ဥယျာဉ်မှူး]]''"ဇာတ်ကားက ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=■၂၀၂၅ ခုနှစ်အတွက် မြန်မာ့ရုပ်ရှင်ထူးချွန်ဆုများ ပေးအပ်ချီးမြှင့်ပွဲ ပြုလုပ် |url=https://news-eleven.com/article/309744 |access-date=2026-02-22 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * [[၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ]] - နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက [[တီမောလက်စ်တေနိုင်ငံ]]၏ မြန်မာနိုင်ငံဆိုင်ရာ သံရုံး ယာယီတာဝန်ခံကို မြန်မာနိုင်ငံကနေ ထွက်ခွာရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ * [[၁၈ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[မြန်မာ့တော်ဝင်နဂါးတပ်တော်|ဗမာအမျိုးသားတော်လှန်ရေးတပ်မတော်]]၏ အဖွဲ့ခေါင်းဆောင် [[ဗိုလ်နဂါး]]သည် မြန်မာ့တပ်မတော်ထံ လက်နက်ချခဲ့သည်။ * [[၂၀ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[မြစ်ကြီးနားလေဆိပ်]]မှ ထွက်ခွာရန် ပြင်ဆင်နေသည့် [[မြန်မာအမျိုးသား လေကြောင်းလိုင်း|မြန်မာအမျိုးသားလေကြောင်းလိုင်း]] ၏ ATR-72-600 အမျိုးအစား ခရီးသည်တင်လေယာဉ်ကို FPV Suicide Drone များဖြင့် ပစ်ခတ်တိုက်ခိုက်ခဲ့မှု ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး လေယာဉ်၏ ခေါင်းပိုင်း၊ ကိုယ်ထည်အလယ်ပိုင်းနှင့် နောက်မီးပိုင်းတို့တွင် ဗုံးစထိမှန်၍ အနည်းငယ်ပျက်စီးခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=မြစ်ကြီးနားလေဆိပ် တိုက်ခိုက်ခံရပြီးနောက် လေယာဉ်ခရီးစဉ်များ ဖျက်သိမ်းထား |url=https://npnewsmm.com/news/699966621a20c677ac351113 |url-status=live |website=NP News}}</ref><ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2026-02-21 |title=မြစ်ကြီးနားလေဆိပ်မှာ ခရီးသည်တင်လေယာဉ် တိုက်ခိုက်ခံရ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/02/21/mna-airline-rebel-drone-burma-junta/ |access-date=2026-02-22 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> * [[၂၃ ဖေဖော်ဝါရီ]] - တတိယအကြိမ်မြောက် လွှတ်တော်အသီးသီး၏ ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးများကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လအတွင်း ကျင်းပသွားမည်ဖြစ်ရာ [[ပြည်သူ့လွှတ်တော်]]ကို (၁၆) ရက်နေ့၊ [[အမျိုးသားလွှတ်တော်]]ကို (၁၈) ရက်နေ့နှင့် တိုင်းဒေသကြီး/ပြည်နယ်လွှတ်တော်များကို (၂၀) ရက်နေ့တို့တွင် အသီးသီးစတင်ကျင်းပရန် ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး ကျင်းပရန်ခေါ်ယူခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/index.php/news/80312 |access-date=2026-02-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး ကျင်းပရန်ခေါ်ယူခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/index.php/news/80315 |access-date=2026-02-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးကျင်းပရန်ခေါ်ယူခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=https://www.moi.gov.mm/index.php/news/80316 |access-date=2026-02-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၂၄ ဖေဖော်ဝါရီ]] - ရန်ကုန်မြို့ရှိ မြန်မာနိုင်ငံဆိုင်ရာ [[ဖင်လန်နိုင်ငံ]]သံရုံးကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ (၂၈) ရက်နေ့၌ ပိတ်သိမ်းမည်ဟု တရားဝင်ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=■ ရန်ကုန်မြို့ရှိ ဖင်လန်နိုင်ငံသံရုံး ပိတ်သိမ်းမည် |url=https://news-eleven.com/article/310071 |access-date=2026-02-24 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * [[၂၆ ဖေဖော်ဝါရီ]] - အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၉/၂၀၂၆ ဖြင့် [[အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့]]ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့် ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|title=အခွန်အယူခံခုံအဖွဲ့ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့် ဥပဒေ {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80422|website=www.moi.gov.mm|access-date=2026-02-27|language=en}}</ref> * [[၂၈ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု]]: [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]နှင့် [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]]နိုင်ငံတို့သည် [[အီရန်နိုင်ငံ]]အတွင်း တိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့ရာ နိုင်ငံတော်ခေါင်းဆောင်ကြီး အလီ ခါမေနီ အပါအဝင် အဆင့်မြင့်အရာရှိကြီး အများအပြား သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=28 February 2026 |title=US and Israel carry out joint attack on Iran as Tehran launches retaliatory strikes |url=https://www.bbc.co.uk/news/live/cn5ge95q6y7t |access-date=28 February 2026 |publisher=BBC News}}</ref> ယင်းကို တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် အီရန်က ပင်လယ်ကွေ့ဒေသရှိ အမေရိကန်စစ်အခြေစိုက်စခန်းများကို လက်တုံ့ပြန်တိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=28 February 2026 |title=US and Israel attack Iran as Trump says ‘major combat operations’ under way – live |url=https://www.theguardian.com/world/live/2026/feb/28/israel-attacks-iran-as-blasts-heard-in-tehran-live-updates?page=with:block-69a2c4c98f08e575db5bd4de#block-69a2c4c98f08e575db5bd4de |access-date=28 February 2026 |publisher=The Guardian}}</ref> === မတ် === * [[၁ မတ်]] - မကွေးတိုင်းဒေသကြီး၊ [[မင်းတုန်းမြို့နယ်]]၊ အနောက်ဘက် ရှစ်မိုင်ခန့်အကွာ ရခိုင်ရိုးမတောင်ခြေရှိ ပြောင်းရွာဝန်းကျင်ကို လေကြောင်းမှ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ သေဆုံးသူ ၂၅ ဦး ရှိခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |last=ခင်ရီရီဇော် |date=2026-03-02 |title=မင်းတုန်းမြို့အနောက်ဘက် ရခိုင်ရိုးမတောင်ခြေရှိ ကုန်တင်ကားရပ်နားစခန်းကို ဗုံးကြဲ၊ ၂၅ ဦးသေဆုံး |url=https://myanmar-now.org/mm/news/73008/ |access-date=2026-03-02 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=မင်းတုန်းမြို့နယ်၌ လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုကြောင့် ကုန်သည်နှင့် ကားသမား ၂၅ ဦး သေဆုံး |url=https://burmese.dvb.no/post/748482 |access-date=2026-03-02 |website=မကွေးတိုင်း၊ မင်းတုန်းမြို့နယ်၊ ပြောင်းကျေးရွာအနားရှိ ကုန်ကားတွေ ရပ်နားထားတဲ့ နေရာကို စစ်ကောင်စီတပ်က လေကြောင်းကနေ ဗုံးကြဲတိုက်ခဲ့တာကြောင့် ရခိုင်ကုန်သည်နဲ့ ကားသမား အပါအဝင် ၂၅ ယောက် သေဆုံးပြီး ပြင်းထန… |language=en}}</ref> * [[၂ မတ်]] - [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ]]သည် [[တောင်သူလယ်သမားနေ့]] အထိမ်းအမှတ်အဖြစ် အမိန့်အမှတ် ၆/၂၀၂၆ ဖြင့် အကျဉ်းသား/သူ (၂၈၂၅) ဦး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/80494 |access-date=2026-03-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>၊ အမိန့်အမှတ် ၇/၂၀၂၆ ဖြင့် နိုင်ငံခြားသား အကျဉ်းသား/သူ (၁၀) ဦး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/80496 |access-date=2026-03-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>၊ အမိန့်အမှတ် ၈/၂၀၂၆ ဖြင့် အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေးဥပဒေပုဒ်မ ၅၀(ည) နှင့်  ၅၂(က) အရ ပြစ်မှုကျခံနေရသည့် ၇,၃၃၇ ဦး တို့အား လွတ်ငြိမ်းချမ်းသာခွင့်ပေးခဲ့ပြီး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/80498 |access-date=2026-03-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>၊​ အမိန့်အမှတ် ၉/၂၀၂၆ ဖြင့် အဆိုပါ အဆိုပါပုဒ်မများအရ တရားစွဲဆိုခံထားရကာ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်နေသူ ၁၂,၄၈၇ ဦး နှင့် သက်ဆိုင်သည့် အမှုပေါင်း ၉,၅၃၂ မှုကို ပိတ်သိမ်းပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေးဥပဒေပုဒ်မ ၅ဝ(ည)၊ ၅၂(က) ဖြင့် ကြားနာစစ်ဆေးဆဲအမှုများကိုပိတ်သိမ်းခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/80500 |access-date=2026-03-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၃ မတ်]] - [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသအတွင်း၌ စစ်ရေး ပဋိပက္ခများကြောင့်]] လောင်စာဆီတင်သွင်းသည့်သင်္ဘောများဖြင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရာ ရေလမ်းကြောင်း တစ်လျှောက်တွင် အတားအဆီး၊ အဟန့်အတားပိတ်ဆို့မှုများကြောင့် စက်သုံးဆီ ခြိုးခြံချွေတာသုံးစွဲရေးအတွက် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၇ ရက်မှစတင်၍ ပုဂ္ဂလိက ပိုင်ယာဉ်များ လစဉ် စုံရက်များတွင် စုံအက္ခရာနှင့် မ ရက်များတွင် မ အက္ခရာ နံပါတ်ပါယာဉ်များ ​မောင်းနှင်အသုံးပြုရန် [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ]] သတင်းထုတ်ပြန်​ရေးအဖွဲ့က ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=စက်သုံးဆီ ခြိုးခြံချွေတာသုံးစွဲရေးအတွက် ပြည်သူသို့ အသိပေးကြေညာချက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80530 |access-date=2026-03-04 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၄ မတ်]] - ** သင်ကြားရေးဗီဇာ (Study Visa) ဖြင့် ဝင်ရောက်လာပြီး နိုင်ငံရေးခိုလှုံခွင့် လျှောက်ထားသူများ တိုးလာနေမှုကြောင့် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]အပါအဝင် [[အာဖဂန်နစ္စတန်နိုင်ငံ|အာဖဂန်နစ္စတန်]]၊ [[ဆူဒန်နိုင်ငံ|ဆူဒန်]] နှင့် [[ကင်မရွန်းနိုင်ငံ|ကင်မရွန်း]] စုစုပေါင်း နိုင်ငံ ၄ နိုင်ငံမှ လျှောက်ထားသူများအတွက် ဗီဇာ ထုတ်ပေးမှုကို ရပ်ဆိုင်းထားကြောင်း [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံအစိုးရ]] က ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=မြန်မာအပါအဝင် နိုင်ငံလေးနိုင်ငံမှ ကျောင်းသားများကို ကျောင်းသားဗီဇာထုတ်ပေးမှု ရပ်ဆိုင်းလိုက်သည်ဟု ဗြိတိန်ကြေညာ |url=https://news-eleven.com/article/310263 |access-date=2026-03-04 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး]]သည် [[စစ်ဘက်ရေးရာ လုံခြုံရေးတပ်ဖွဲ့|စရဖ အရာရှိချုပ်]]အဖြစ်မှ [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)]] အဖြစ်သို့ ရာထူးအဆင့် တိုးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီသည် [[နေပြည်တော်ကောင်စီ]]ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ (ဥပဒေအမှတ် ၁၀/၂၀၂၆)<ref>{{Cite web |title=နေပြည်တော်ကောင်စီဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80569 |access-date=2026-03-05 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> နှင့် [[ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့များ|တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့]]ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ (ဥပဒေအမှတ် ၁၁/၂၀၂၆) တို့ကို အသစ်ပြင်ဆင်ပြဋ္ဌာန်းလိုက်သည်။​<ref>{{Cite web |title=တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80571 |access-date=2026-03-05 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ [[ပုလဲမြို့နယ်]]၊ မရိုးတုန်းကျေးရွာကို ပါရာမော်တာ နှစ်စီးဖြင့် ဗုံးကြဲခဲ့ရာ ကလေးငယ်တဦးအပါအဝင် ဒေသခံ ငါးဦးထက်မနည်း သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2026-03-05 |title=စစ်ရေးပြင်းထန်နေသည့် ပုလဲမြို့နယ်တွင် လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုကြောင့် ၇ ဦးသေ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/73154/ |access-date=2026-03-07 |website=Myanmar Now |language=en-US }}{{Dead link|date=May 2026 }}</ref><ref>{{Cite web |title=ပုလဲမြို့နယ်ကို စစ်တပ်က ဗုံးကြဲ၊ ပြည်သူ ၄ ဦး သေဆုံးပြီး ၇ ဦးထက်မနည်း ဒဏ်ရာရ |url=https://burmese.dvb.no/post/749049 |access-date=2026-03-07 |website=စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ ပုလဲမြို့နယ်၊ မရိုးတုံးရွာကို မတ် ၄ ရက် ည ၉ နာရီကျော်နဲ့ မတ် ၅ ရက် မနက် ၁၀ နာရီကျော်မှာ စစ်တပ်က စက်တပ်လေထီးနဲ့ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့တာကြောင့် အရပ်သား ၄ ယောက် နေရာမှာတင် သေဆုံးခဲ့ပြီး … |language=en}}</ref> *[[၅ မတ်]] - [[ဗဟိုမိုဘိုင်းစက်ပစ္စည်း သက်သေခံမှတ်ပုံတင်စနစ်]]: ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ပထမပတ်မှစတင်၍ မိုဘိုင်းလက်ကိုင်ဖုန်းအသုံးပြုသူများသည် စံချိန်စံညွှန်းနှင့် ကိုက်ညီပြီး နိုင်ငံတော်သို့ သတ်မှတ်ထားသော အခွန်များ ပေးဆောင်ထားသည့် ဖုန်းများကို အသုံးပြုနိုင်စေရန်အတွက် ဗဟိုမိုဘိုင်းစက်ပစ္စည်း သက်သေခံမှတ်ပုံတင်စနစ် (CEIR) ကို စတင်အသုံးပြုဆောင်ရွက်သွားမည်ဖြစ်ကြောင်း CEIR နှင့် EIR စနစ် စီမံကိန်းဦးစီးကော်မတီမှ သတင်းထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref>{{Cite web |title=မတ်လ ပထမပတ်မှစ၍ ဗဟိုမိုဘိုင်းစက်ပစ္စည်းသက်သေခံမှတ်ပုံတင်စနစ်(CEIR) အား စတင်အသုံးပြုမည် |url=https://news-eleven.com/article/310289 |access-date=2026-03-06 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=ဗဟိုမိုဘိုင်းစက်ပစ္စည်း သက်သေခံမှတ်ပုံတင်စနစ် (CEIR) စတင်အသုံးပြုဆောင်ရွက်မည့် အစီအစဉ်ကို ပြည်သူသို့ အသိပေးကြေညာခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80618 |access-date=2026-03-06 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *[[၆ မတ်]] - [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု]]: [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ]]တွင် လတ်တလောဖြစ်ပေါ်လျက်ရှိသည့် တိုက်ခိုက်မှုများအတွက် မြန်မာနိုင်ငံအနေဖြင့် လွန်စွာစိုးရိမ်ပူပန်လျက်ရှိကြောင်း နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်သည်။ <ref>{{Cite web |title=အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင်းဆိုင်ရာ သတင်းထုတ်ပြန်ချက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80643 |access-date=2026-03-07 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *[[၇ မတ်]] - အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီသည် ဥပဒေအမှတ် ၁၂/၂၀၂၆ ဖြင့် ရှေ့နေများအက်ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကိုလည်းကောင်း၊<ref>{{Cite web |title=ရှေ့နေများအက်ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80673 |access-date=2026-03-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ဥပဒေအမှတ် ၁၃/၂၀၂၆ ဖြင့် [[ယစ်မျိုးခွန်|ယစ်မျိုး]]ဥပဒေကိုလည်းကောင်း၊<ref>{{Cite web |title=ယစ်မျိုးဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80674 |access-date=2026-03-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ဥပဒေအမှတ် ၁၄/၂၀၂၆ ဖြင့် [[မျိုးစေ့]]ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကိုလည်းကောင်း၊<ref>{{Cite web |title=မျိုးစေ့ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80675 |access-date=2026-03-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ဥပဒေအမှတ် ၁၅/၂၀၂၆ ဖြင့် [[မြေဩဇာ]]ဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကိုလည်းကောင်း<ref>{{Cite web |title=မြေဩဇာဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80676 |access-date=2026-03-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> အသီးသီး ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ * [[၈ မတ်]] ** - [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]]၏ သား၊ [[မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီ|မိုဂျလ်တာဘာ ခါမေနီ]]ကို တတိယမြောက် [[အီရန်နိုင်ငံ]]၏ [[အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်|အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်]] အဖြစ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခံရသည်။ <ref>{{Cite web |title=အီရန်၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်နေရာကို အယာတိုလာ ခါမေနီ၏သားဖြစ်သူ မိုဂျ်တာဘာအား ရွေးချယ် |url=https://news-eleven.com/article/310269 |access-date=2026-03-10 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** [[အမ်းမြို့နယ်]]၊ [[ဒလက်ချောင်းဒေသ အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်မှု|ဒါးလက်ချောင်းဒေသရှိ စစ်သုံ့ပန်းအကျဉ်းစခန်းအား တပ်မ​တော်က လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှု]] ပြုလုပ်ခဲ့သဖြင့် တပ်မ​တော်သား စစ်သုံ့ပန်း (၁၁၆) ဦး သေဆုံးပြီး (၃၂) ဦး ဒဏ်ရာရရှိပြီး အရပ်သားသုံ့ပန်း အချို့လည်း သေဆုံးဒဏ်ရာရရှိခဲ့ဟု AA အဖွဲ့ထုတ်ပြန်သည်။ <ref>{{Cite web |title=■အမ်းမြို့နယ် ဒါးလက်ချောင်းဒေသရှိ စစ်သုံ့ပန်းအကျဉ်းစခန်းအား တပ်မ​တော်က လေကြောင်းတိုက်ခိုက် ခဲ့သဖြင့် တပ်မ​တော်သား စစ်သုံ့ပန်း(၁၁၆) ဦး သေဆုံးပြီး အရပ်သားသုံ့ပန်းအချို့ သေဆုံးဒဏ်ရာရရှိခဲ့ဟု AA အဖွဲ့ထုတ်ပြန်မှု သံသယဖြစ်ဖွယ်ရှိ |url=https://news-eleven.com/article/310463 |access-date=2026-03-13 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=အမ်းမြို့နယ်က စစ်သုံ့ပန်းအကျဉ်းစခန်း ဗုံးကြဲခံရပြီး ၁၂၀ နီးပါးသေဆုံး၊ ၃၀ ကျော် ဒဏ်ရာရ |url=https://burmese.dvb.no/post/749879 |access-date=2026-03-13 |website=ရခိုင်ပြည်နယ်၊ အမ်းမြို့နယ်၊ ဒါးလက်ချောင်းဒေသရှိ စစ်သုံ့ပန်းအကျဉ်းစခန်းတခုကို စစ်ကောင်စီက မတ် ၈ ရက်မှာ လေကြောင်းကနေ ၃ နာရီခွဲခန့်ကြာ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့တာကြောင့် စစ်သုံ့ပန်းနဲ့ အရပ်သား အကျဉ်းသား ၁၁၆… |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=ထွန်းအောင် |first=ဖဒူ |date=2026-03-11 |title=အမ်းမြို့နယ်ဗုံးကြဲမှု အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်မှ သုံ့ပန်းအများစု သေဆုံး |url=https://myanmar-now.org/mm/news/73267/ |access-date=2026-03-13 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> * [[၉ မတ်]] - ** ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်သည် ၂၀၂၅ ခုနှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ အပိုင်း (၁) နှင့် (၂) အတွက် တင်သွင်းလာသည့် ရွေးကောက်ပွဲကန့်ကွက်လွှာအမှုနှစ်မှုကို စတင်ကြားနာစစ်ဆေးခဲ့ပြီး၊ ရွေးကောက်ပွဲခုံအဖွဲ့ (၁) က အမှုအမှတ် (၁/၂၀၂၅) ဖြစ်သည့် လျှောက်ထားသူ ဒေါက်တာကောင်းထက်ခိုင် (USDP) နှင့် လျှောက်ထားခံရသူ ဦးပေါင်ဇလန်း (ZNP) တို့၏အမှုကိုလည်းကောင်း၊ ရွေးကောက်ပွဲခုံအဖွဲ့ (၂) က အမှုအမှတ် (၂/၂၀၂၅) ဖြစ်သည့် လျှောက်ထားသူ ဦးဝင်းကြူ (USDP) နှင့် လျှောက်ထားခံရသူ ဦးခိုင်ဦး (PP) တို့၏အမှုကိုလည်းကောင်း အသီးသီးစတင်စစ်ဆေးခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=၂၀၂၅ ခုနှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ၊ ရွေးကောက်ပွဲကန့်ကွက်လွှာအမှုနှစ်မှုကို ရွေးကောက်ပွဲခုံအဖွဲ့ (၁) နှင့် ရွေးကောက်ပွဲခုံအဖွဲ့ (၂) တို့ဖြင့် စတင်ကြားနာစစ်ဆေး {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80710 |access-date=2026-03-10 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** ပဲခူးတိုင်း၊ [[ညောင်လေးပင်ခရိုင်]]၊ [[ကျောက်ကြီးမြို့နယ်]]၊ [[ရေတွင်းကုန်းကြီးရွာ၊ ကျောက်ကြီးမြို့နယ်|ရေတွင်းကုန်း]]ကျေးရွာအုပ်စုမှာ လေကြောင်းဖြင့် ဗုံးကြဲမှုကြောင့် အသက် ၆ နှစ်ကျော် ကလေးငယ်အပါအဝင် လူအယောက် ၃၀ နီးပါးသေဆုံးခဲ့ကြောင်း ကရင်အမျိုးသားအစည်းအရုံး(KNU)က ထုတ်ပြန်သည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-03-09 |title=ကျောက်ကြီးမှာ စစ်တပ်ဗုံးကြဲလို့ လူ ၂၅ ဦးခန့်သေဆုံး၊ ၅ ဦး အသတ်ခံရတယ်လို့ KNU ပြော - ၂၀၂၆ မတ်လ ၉ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cgqgpqwww5xt |access-date=2026-03-10 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |last=မွန်သတင်းအေဂျင်စီ |first=လွတ်လပ်သော |date=2026-03-09 |title=ကျောက်ကြီးမြို့နယ်တွင် စစ်တပ် ပစ်ခတ်သတ်ဖြတ်မှုကြောင့် အရပ်သား ၃၀ သေဆုံး - လွတ်လပ်သော မွန်သတင်းအေဂျင်စီ သတင်း - |url=https://burmese.monnews.org/2026/03/09/%E1%80%80%E1%80%BB%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%BC%E1%80%AE%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B7%E1%80%94%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%BD%E1%80%84%E1%80%BA/ |access-date=2026-03-10 |website=လွတ်လပ်သော မွန်သတင်းအေဂျင်စီ |language=en-US}}</ref> ** တနင်္သာရီတိုင်း၊ [[ပုလောမြို့နယ်]]၊ တဖီလေးခိုကျေးရွာရှိ ဘာသာရေးအဆောက်အအုံပေါ်ကို ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှုကြောင့် အသက် ၁၁ နှစ်အောက် ကလေး ၃ ယောက်နှင့် လူကြီးပိုင်း အမျိုးသား ၃ ယောက် စုစုပေါင်း ၆ ယောက် သေဆုံးခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|title=ပုလောမြို့နယ်၌ ခရစ်ယာန်အသင်းတော်နေရာကို စစ်တပ်ဗုံးကြဲ၊ ကလေးအပါအဝင် ၆ ဦး သေဆုံး|url=https://burmese.dvb.no/post/749677|website=တနင်္သာရီတိုင်း ပုလောမြို့နယ်၊ တဖီလေးခိုကျေးရွာရှိ ဘာသာရေးအဆောက်အအုံပေါ်ကို စစ်ကောင်စီတပ်က ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့တဲ့အတွက် အသက် ၁၁ နှစ်အောက် ကလေး ၃ ယောက်နဲ့ လူကြီးပိုင်း အမျိုးသား ၃ ယောက် စုစုပေါင်း ၆ ယ…|access-date=2026-03-10|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ မတ် ၁၀ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ယင်းမာပင်ခရိုင်ထဲက NUG တပ်စခန်း ၂ ခု မီးရှို့ဖျက်ဆီးခံရ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cg4gwek9gq7t|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-10|access-date=2026-03-10|language=my}}</ref> * [[၁၀ မတ်]] - ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး၊ အမိန့်အမှတ် ၈/၂၀၂၆ ဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာလင်းအောင် အား ကျန်းမာရေးအရ အနာယူးခွင့်ပြုပြီး၊ အမိန့်အမှတ် ၉/၂၀၂၆ ဖြင့် ဒေါက်တာစန္ဒာဦးအား အစားထိုး ခန့်အပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌ ခန့်အပ်တာဝန်ပေးခြင်း {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80726|website=www.moi.gov.mm|access-date=2026-03-11|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=တာဝန်မှ အနားယူခွင့်ပြုခြင်း {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80725|website=www.moi.gov.mm|access-date=2026-03-11|language=en}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး၊ အမိန့်အမှတ် ၁၀/၂၀၂၆ ဖြင့် [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော်]] တရားသူကြီးချုပ် ဦး[[နေစိုး]]အား တာဝန်မှ အနားယူခွင့်ပြုလိုက်ပြီး၊<ref>{{Cite web |title=တာဝန်မှ အနားယူခွင့်ပြုခြင်း {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80727|access-date=2026-03-11|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref> အမိန့်အမှတ် ၁၁/၂၀၂၆ ဖြင့် ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် ဦးမြတ်စံဖြင့် အစားထိုးခန့်အပ်ခဲ့သည်။​<ref>{{Cite web |title=ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးချုပ် ခန့်အပ်တာဝန်ပေးခြင်း {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80728|access-date=2026-03-11|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး၊ အမိန့်အမှတ် ၁၂/၂၀၂၆ ဖြင့် [[ချင်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်|ချင်းပြည်နယ်တရားလွှတ်တော်]] တရားသူကြီး ဦးကျော်သောင်းအောင် နှင့် [[ရှမ်းပြည်နယ် တရားလွှတ်တော်]] တရားသူကြီးအဖြစ် ဦးအောင်မော်တို့ကို အသီးသီး ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=ပြည်နယ်တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများ ခန့်အပ်တာဝန်ပေးခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80729 |access-date=2026-03-11 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** မန္တလေးတိုင်းအတွင်း တော်လှန်ရေးတပ်ဖွဲ့များ နောက်ဆုံးထိန်းချုပ်ထားသည့် [[တကောင်း|တကောင်းမြို့]]ကို စစ်ကောင်စီတပ်က ဖေဖော်ဝါရီလ ၆ ရက်မှစတင်ကာ တစ်လကျော်ကြာ အင်အားသုံးထိုးစစ်ဆင်ခဲ့ပြီးနောက် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁၀ ရက်နေ့တွင် အလုံးစုံ ပြန်လည်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|title=တကောင်းမြို့ကျပြီး မန္တလေးတိုင်းတစ်ခုလုံးကို စစ်တပ် ထိန်းချုပ်|url=https://myanmar-now.org/mm/news/73241/|website=Myanmar Now|date=2026-03-10|access-date=2026-03-12|language=en-US|first=Myanmar|last=Now}}{{Dead link|date=April 2026 }}</ref><ref>{{Cite web|title=မန္တလေးတိုင်း NUG နောက်ဆုံးလက်ကျန် တကောင်းမြို့ကို စစ်ကော်မရှင်သိမ်းယူ|url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/03/11/myanmar-burma-conflict-tagaung-nug/|website=မြန်မာဌာန|date=2026-03-11|access-date=2026-03-12|language=my|first=R. F. A.|last=Burmese}}</ref><ref>{{Cite web|title=တကောင်းမြို့ကို ထိန်းချုပ်နိုင်ပြီလို့ စစ်ကော်မရှင်ထုတ်ပြန်လာ|url=https://myaelattathan.com/news/22992/|website=Myaelatt Athan|date=2026-03-12|access-date=2026-03-12|language=en-US|last=MLAT}}</ref> * [[၁၁ မတ်]] - ** ၂၀၂၅ - ၂၀၂၆ ပညာသင်နှစ် [[တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းစာမေးပွဲ|တက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲ]]: ၂၀၂၅- ၂၀၂၆ ခုနှစ် တက္ကသိုလ်ဝင် စာမေးပွဲသို့ ဝင်ရောက်ဖြေဆိုရန် စာရင်းပေးသွင်းထားသူ နှစ်သိန်းခြောက်သောင်းကျော်ရှိပြီး၊ မတ်လ ၁၁ ရက်နေ့မှ စတင်ဖြေဆိုလျက်ရှိပြီး မတ်လ ၁၇ ရက်နေ့အထိ ဖြေဆိုကြရမည်ဖြစ်ပြီး မတ် ၁၅ ရက် တနင်္ဂနွေနေ့အား ပိတ်ရက်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။​<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ တက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲ ပထမနေ့ မြန်မာစာဘာသာရပ် စတင်ဖြေဆို {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80766 |access-date=2026-03-12 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=၂၀၂၅ - ၂၀၂၆ ပညာသင်နှစ် တက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲနှင့် စက်မှု၊ စိုက်ပျိုး၊ မွေးမြူရေးတက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲများ စတင်ဖြေဆို {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80772 |access-date=2026-03-12 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=၂၀၂၆ ခုနှစ် တက္ကသိုလ်ဝင်စာမေးပွဲ ပထမနေ့ မြန်မာစာဘာသာရပ်ဖြေဆိုသူ ကျောင်းသားကျောင်းသူပေါင်း နှစ်သိန်းခွဲကျော်ရှိ |url=https://news-eleven.com/article/310445 |access-date=2026-03-12 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီသည် ဥပဒေအမှတ် ၁၆/၂၀၂၆ ဖြင့် [[ငွေမည်းခဝါချခြင်း|ငွေကြေးခဝါချမှု]]တိုက်ဖျက်ရေးဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့ပြီး၊ ငွေကြေးခဝါချမှုတိုက်ဖျက်ရေးဥပဒေ (ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် ဥပဒေအမှတ် ၁၁/၂၀၁၄)ကို ဤဥပဒေဖြင့် ရုပ်သိမ်းလိုက်သည်။​<ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-03-12 |title=၂၀၂၆ ခုနှစ် ငွေကြေးခဝါချမှုတို-က်ဖျ-က်ရေးဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%81%82%E1%81%80%E1%81%82%E1%81%86-%E1%80%81%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%85%E1%80%BA-%E1%80%84%E1%80%BD%E1%80%B1%E1%80%80%E1%80%BC%E1%80%B1%E1%80%B8%E1%80%81%E1%80%9D%E1%80%AB%E1%80%81%E1%80%BB/ |access-date=2026-03-12 |website=Popular |language=en-US}}</ref> ** [[ဒီမိုကရက်တစ် ကရင်အကျိုးပြုတပ်မတော်|ဒီမိုကရေစီအကျိုးပြုကရင်တပ်မတော်]] (D.K.B.A) မှ အမှတ်(၁) စစ်ကွပ်ကဲရေးလက်အောက်ခံ အမှတ်(၉၁၅) တပ်ရင်းတွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေသည့် အရာရှိ ၂ ဦးအား ကရင်အမျိုးသားအစည်းအရုံး (KNU) ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့တွေထံ ပူးပေါင်းပါဝင်မှုကြောင့် တပ်ဖွဲ့ဝင်အဖြစ်မှ အပြီးအပိုင် ထုတ်ပယ်လိုက်သည်။ <ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ မတ် ၁၂ ရက် ဘီဘီစီ သတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ရှမ်းမြောက်က ကွတ်ခိုင်မြို့နယ်ထဲ TNLA နဲ့ MNDAA အင်အားတိုးနေ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cj326geenvrt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-12|access-date=2026-03-12|language=my}}</ref> ** စက်သုံးဆီရောင်းချမှုများအပေါ် စိစစ်ကြပ်မတ်နိုင်ရေးဆောင်ရွက်သွားမည့်အစီအမံသစ်အဖြစ် စက်သုံးဆီ ပြတ်လပ်မှုနှင့် ဆီဆိုင်များတွင် အကြိမ်ကြိမ် တန်းစီဝယ်ယူမှုများကို ထိန်းချုပ်ရန်အတွက် နေပြည်တော်၊ ရန်ကုန်၊ မန္တလေးနှင့် တောင်ကြီးမြို့တို့ရှိ စက်သုံးဆီအရောင်းဆိုင်များတွင် တယ်လီဖုန်း Application အသုံးပြု၍ အလိုအလျောက် စိစစ်ရောင်းချသည့်စနစ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁၂ ရက်နေ့မှစတင်ကာ စမ်းသပ်အသုံးပြုမည်ဟု စွမ်းအင်ဝန်ကြီးဌာနက ကြေညာထားသည်။<ref>{{Cite web |title=စက်သုံးဆီရောင်းချမှုများအပေါ် စိစစ်ကြပ်မတ်နိုင်ရေးဆောင်ရွက်သွားမည့်အစီအမံ အသိပေးထုတ်ပြန်ခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80768 |access-date=2026-03-12 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=ရန်ကုန်မြို့ရှိ စက်သုံးဆီဆိုင်များတွင် မော်တော်ယာဉ်များကို QR Code ဖြင့် စက်သုံးဆီ စမ်းသပ်ရောင်းချ |url=https://news-eleven.com/article/310451 |access-date=2026-03-12 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** တနင်္သာရီတိုင်း၊ [[သရက်ချောင်းမြို့နယ်]]၊ [[မင်းဒပ်ရွာ၊ သရက်ချောင်းမြို့နယ်|မင်းဒပ်ကျေးရွာ]]ရှိ နှစ်ပေါင်း ၃၀ ကျော် အခြေချခဲ့သည့် မြန်မာ့တပ်မတော်၏ ဝင်းဝတပ်စခန်းကို KNLA နှင့် PDF တော်လှန်ရေး ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့များက တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ မတ် ၁၂ ရက် ဘီဘီစီ သတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ရှမ်းမြောက်က ကွတ်ခိုင်မြို့နယ်ထဲ TNLA နဲ့ MNDAA အင်အားတိုးနေ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cj326geenvrt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-12|access-date=2026-03-12|language=my}}</ref><ref>{{Cite web|title=သရက်ချောင်းနှင့် ပလောက်မြို့ကြား တစ်ခုတည်းသော စစ်ကော်မရှင်စခန်းကို သိမ်းယူ|url=https://myanmar-now.org/mm/news/73294/|website=Myanmar Now|date=2026-03-12|access-date=2026-03-12|language=en-US|last=သူရအောင်}}</ref> * [[၁၃ မတ်]] - [[ရန်ကုန်ယူနိုက်တက် ဘောလုံးအသင်း|ရန်ကုန်ယူနိုက်တက်အသင်း]]၏ ကစားသမားဖြစ်သူ [[မောင်မောင်လွင် (ဘောလုံးသမား)|မောင်မောင်လွင်]]သည် ပွဲကြည့်စင်ရှိ အမျိုးသမီးပရိသတ်တစ်ဦးအပေါ် ကိုယ်ထိလက်ရောက် ကျူးလွန်ခဲ့သည့်အတွက် ၎င်းအား ၆ လ ပွဲပယ်ပြစ်ဒဏ်နှင့် ဒဏ်ကြေးငွေ ကျပ်သိန်း ၃၀ ပေးဆောင်ရန် [[မြန်မာ နေရှင်နယ် လိဂ်|မြန်မာနေရှင်နယ်လိဂ်]] (MNL) က ထုတ်ပြန်ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=အမျိုးသမီးပရိသတ် ၁ ဦးအပေါ် ကိုယ်ထိလက်ရောက်ကျူးမှုဖြင့် မောင်မောင်လွင်ကို ၆ လ ကစားခွင့်ပိတ်|url=https://burmese.dvb.no/post/750191|website=အမျိုးသမီး ပရိသတ်တယောက်အပေါ် ပွဲကြည့်စဉ်မှာ ကိုယ်ထိလက် ရောက်ကျူးလွန်ခဲ့တဲ့ ရန်ကုန်ယူနိုက်တက်အသင်းရဲ့ ကစားသမား မောင်မောင်လွင်ကို ၆ လ ပွဲပယ်နဲ့ ဒဏ်ကြေး‌ ငွေ ကျပ် သိန်း ၃၀ ပြစ်ဒဏ်ချမှတ်လိုက်တယ်လို့ မြန်…|access-date=2026-03-13|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=အမျိုးသမီးပရိသတ်ကို ကိုယ်ထိလက်ရောက်တွန်းထိုးခဲ့သည့် မောင်မောင်လွင်ကို ပွဲပယ်ပြစ်ဒဏ် ခြောက်လနှင့် ဒဏ်ငွေကျပ်သိန်း ၃၀ ချမှတ်|url=https://news-eleven.com/article/310472|website=Eleven Media Group Co., Ltd|access-date=2026-03-13|language=my}}</ref> * [[၁၄ မတ်]] - အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၁၇/၂၀၂၆ ဖြင့် [[အာကာသသိပ္ပံနှင့် နည်းပညာဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးကော်မရှင်]]ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=အာကာသသိပ္ပံနှင့်နည်းပညာဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးကော်မရှင်ဥပဒေပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80825 |access-date=2026-03-15 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၁၅ မတ်]] ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၁၈/၂၀၂၆ ဖြင့် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ပြည်ထောင်စု၏ [[အခွန်အခ|အခွန်အကောက်]] ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းခဲ့သည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် စတင်အကျိုးသက်ရောက်မည်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ပြည်ထောင်စု၏ အခွန်အကောက်ဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80851 |access-date=2026-03-16 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီရုံး အမိန့်အမှတ် ၁၃/၂၀၂၆ ဖြင့် [[ကရင်ပြည်နယ် အစိုးရအဖွဲ့|ကရင်ပြည်နယ်အစိုးရအဖွဲ့]]၊ လုံခြုံရေးနှင့် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးကို ကြည်း ၂၇၂၃၈ ဗိုလ်မှူးကြီး မင်းသူကျော် အစား ကြည်း ၃၂၈၃၅ ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမိုးဝင်း ဖြင့်လည်းကောင်း၊ [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရအဖွဲ့|ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့၊]] လုံခြုံရေးနှင့် နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးကို ကြည်း ၃၀၁၀၇ ဗိုလ်မှူးကြီး ခန့်မွန်ဆွေ အစား ကြည်း ၃၀၃၃၉ ဗိုလ်မှူးကြီး စိုးမင်းဦး ဖြင့် အစားထိုးခန့်အပ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=လုံခြုံရေးနှင့်နယ်စပ်ရေးရာဝန်ကြီးများ အစားထိုးခန့်အပ်ခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80839 |access-date=2026-03-16 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *[[၁၆ မတ်]] **[[တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော်|တတိယအကြိမ် ပြည့်သူလွှတ်တော်]]ကို ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးကို ခေါ်ယူကျင်းပပြီး၊ [[ပြည်သူ့လွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ|ပြည်သူ့လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ]]အဖြစ် [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ|ကြံ့ခိုင်ရေးပါတီ]] ဥက္ကဋ္ဌ ဦး[[ခင်ရီ]]ကို ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက်၊ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဦး[[မောင်မောင်အုန်း]]ကို ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web|title=■တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးများ စတင်ကျင်းပ|url=https://news-eleven.com/article/310534|website=Eleven Media Group Co., Ltd|access-date=2026-03-16|language=my}}</ref><ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ မတ်လ ၁၆ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ပြည်သူ့လွှတ်တော်စတင်ကျင်းပ၊ လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဦးခင်ရီ ရေပန်းစားနေ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/ckg352l0jz6t|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-16|access-date=2026-03-16|language=my}}</ref> ** ကွတ်ခိုင်မြို့ ထိန်းချုပ်ရေးနှင့်ပတ်သက်၍ ကိုးကန့်တပ် (MNDAA) နှင့် တအာင်းတပ် (TNLA) တို့အကြား နှစ်ဖက်တင်းမာမှုများ နှစ်ရက်ဆက်တိုက် ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီးနောက် [[ကွတ်ခိုင်မြို့]]အား MNDAA က အပြီးအပိုင် ထိန်းချုပ်လိုက်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-17 |title=ရှမ်းမြောက်အရေး MNDAA နဲ့ TNLA ခေါင်းဆောင်တွေ လောက်ကိုင်မှာ တွေ့ဆုံ - ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁၇ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများ တိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cvgk20p4k6pt |access-date=2026-03-17 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ** [[နတ်တလင်းမြို့နယ်]]၊ [[ဖလံပင်ရွာမရွာ၊ နတ်တလင်းမြို့နယ်|ဖလံပင်ကျေးရွာမှ]] စစ်တပ် စစ်ကြောင်းက ပစ်ခတ်ခဲ့တာကြောင့် ပြည်သူ ၃ ဦး သေဆုံးပြီး ၅ ဦးဖမ်းဆီးခံထားရသည်။<ref>{{Cite web |last=ကျော်ကြီး |date=2026-03-17 |title=နတ်တလင်းမှာ စစ်တပ်ကပစ်ခတ်လို့ ပြည်သူ ၃ ဦးသေဆုံးပြီး ၅ ဦးဖမ်းခံရ |url=https://myaelattathan.com/news/23027/ |access-date=2026-03-19 |website=Myaelatt Athan |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=mmblogmaster |date=2026-03-17 |title=နတ်တလင်းတွင် အကြမ်းဖက်စစ်တပ်စစ်ကြောင်းက ပြည်သူ ၃ ဦးကို သတ်ဖြတ်ကာ နေအိမ် ၁၆၀ ကျော်ကို မီးရှို့ |url=https://maun-mm.com/2026/03/17/nattalin-3/ |access-date=2026-03-19 |website=Maun |language=en-US}}</ref>ဖလံပင်ရွာက နေအိမ် ၁၅၀ လုံးနှင့် [[ရှားစီးဘို (အထက်စု)ရွာ၊ နတ်တလင်းမြို့နယ်|ရှားစီးဘို]]ရွာက နေအိမ် ၁၅ လုံးတို့ကို မီးရှို့ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-19 |title=ရန်ကုန် - ပြည်လမ်းပေါ် က နတ်တလင်းမြို့စစ်ရေး |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cvglee9j7xzo |access-date=2026-03-19 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * [[၁၇ မတ်]] ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၁၉/၂၀၂၆ ဖြင့် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံကူးလက်မှတ်|မြန်မာနိုင်ငံကူးလက်မှတ်]]ဆိုင်ရာဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းသည်။ <ref>{{Cite web |title=မြန်မာနိုင်ငံကူးလက်မှတ်ဆိုင်ရာဥပဒေ ပြဋ္ဌာန်း |url=https://www.myanmardigitalnewspaper.com/my/mnmaaniungngnkuulkmttchiungraaupde-ptttthaan |access-date=2026-03-18 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> ** "သမီးလှကျွန်း တောရိုင်းတိရစ္ဆာန်ဘေးမဲ့တော" အား [[သမီးလှကျွန်းအဏ္ဏဝါအမျိုးသားဥယျာဉ်|သမီးလှကျွန်း အဏ္ဏဝါအမျိုးသားဥယျာဉ်]] သို့ ဧရိယာတိုးချဲ့ပြင်ဆင်၍ အဏ္ဏဝါအမျိုးသားဥယျာဉ်အဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင် သတ်မှတ်ခဲ့။ * [[၁၈ မတ်]] ** [[တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော်]]၏ ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးကို စတင်ကျင်းပခဲ့ရာ ဦး[[အောင်လင်းဒွေး]]အား ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဦး [[Jeng Phang နော်တောင်]]အား ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌအဖြစ်လည်းကောင်း အသီးသီး ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-03-18 |title=၂၀၂၆ မတ်လ ၁၈ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများ တိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ကာလုံအမှုဆောင်ချုပ် ဦးအောင်လင်းဒွေး အမျိုးသားလွှတ်တော် ဥက္ကဋ္ဌ အဖြစ်ရွေးချယ်ခံရ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/clygyzg0396t |access-date=2026-03-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၂၀/၂၀၂၆ ဖြင့် ပြည်ထောင်စုတရားစီရင်ရေးဥပဒေကို ပဉ္စမအကြိမ် ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းသည်။​<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုတရားစီရင်ရေးဥပဒေကို ပဉ္စမအကြိမ် ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/80929 |access-date=2026-03-18 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၁၉ မတ်]] - [[၂၀၂၆ ဟော်မုဇ်ရေလက်ကြား အကျပ်အတည်း]]: လေယာဉ်ဆီအကန့်အသတ်ဖြစ်မှုကြောင့် ခရီးသည်တစ်ဦးကို ၁၀ ကီလိုသာ ထပ်တိုးသယ်ယူခွင့်ပြုမည်ဟု [[အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာမြန်မာလေကြောင်း|အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာမြန်မာလေကြောင်းလိုင်း]] (MAI)နှင့် [[မြန်မာအမျိုးသား လေကြောင်းလိုင်း|မြန်မာအမျိုးသာလေကြောင်းလိုင်း]] (MNA) တို့က အသီးသီးကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ် ၂၀ ရက်- မတ် ၃၀ မှာ သမ္မတ တင်မြှောက်ဖို့လျာထား|url=https://www.bbc.com/burmese/live/c77ml61nz4gt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-20|access-date=2026-03-20|language=my}}</ref> * [[၂၀ မတ်]] - ** [[တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်]] ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးကို စတင်ကျင်းပသည်။ ဒုတိယသမ္မတများ ရွေးချယ်တင်မြှောက်နိုင်ရန်အတွက် သက်ဆိုင်ရာ လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များ အစုအဖွဲ့အလိုက် အစည်းအဝေးများကို မတ်လ ၂၃ ရက်တွင် ကျင်းပမည် ဖြစ်ပြီး၊ ဒုသမ္မတသုံးယောက်ကို မတ်လ ၂၅ ရက်မှာ စိစစ်မှာဖြစ်ပြီး မတ်လ ၃၀ ရက်နေ့မှာ ရွေးချယ်တင်မြှောက်မှုပြုလုပ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။​<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ် ၂၀ ရက်- မတ် ၃၀ မှာ သမ္မတ တင်မြှောက်ဖို့လျာထား|url=https://www.bbc.com/burmese/live/c77ml61nz4gt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-20|access-date=2026-03-20|language=my}}</ref><ref>{{Cite web|title=ဒုတိယသမ္မတလောင်းများအမည်စာရင်း မတ် ၃၀ ရက် တင်သွင်းမည်|url=https://burmese.dvb.no/post/261196|website=DVB Burmese|access-date=2026-03-20|language=en}}</ref> ** တတိယအကြိမ် [[ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး လွှတ်တော်များ|ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်များ]] အသီးသီးကျင်းပပြီး၊ တိုင်းဒသေကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော်အကြီးအကဲများကို ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခဲ့ကြသည်။​ **[[၂၀၂၆ ကွတ်ခိုင်မြို့တိုက်ပွဲ]]: လောက်ကိုင်မြို့၌ [[အာရက္ခတပ်တော်]] (AA) ပါဝင်သော တွေ့ဆုံဆွေးနွေးမှုတစ်ရပ် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး အပစ်အခတ်ရပ်စဲရန် သဘောတူညီမှု ရရှိခဲ့သည်။ အဆိုပါ သဘောတူညီချက်များအရ ကွတ်ခိုင်မြို့ကို MNDAA က ဆက်လက်ထိန်းချုပ်သွားမည်ဖြစ်ပြီး [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်မဟာမိတ်]]များအဖြစ် ဆက်လက်ရပ်တည်ရေး၊ နယ်မြေသတ်မှတ်မှု ထားရှိရေးနှင့် ဖမ်းဆီးထားသူများကို ပြန်လည်လွှတ်ပေးရေးတို့ ပါဝင်ကြောင်း TNLA ပြန်ကြားရေးတာဝန်ရှိသူ လွေးယေဦးက ပြောကြားခဲ့ရာ၊ MNDAA က ဖမ်းဆီးထားသည့် TNLA တပ်ဖွဲ့ဝင် ၁၀၀ ခန့်အား ပြန်လည်လွှတ်ပေးရန် စီစဉ်သည်။<ref>{{Cite web|title=မတ် ၂၁ ရက် နိုင်ငံတဝန်းသတင်းများအနှစ်ချုပ်-ကသာ လေကြောင်းဗုံးကြဲ ဆယ်ချီသေဆုံး|url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c70530ylpgro|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-21|access-date=2026-03-21|language=my}}</ref> **[[၂၀၂၆ ချင်းပြည်နယ်လွှတ်တော် တိုက်ခိုက်ခံရမှု]]: ချင်းပြည်နယ်၊ ဟားခါးမြို့၌ ကျင်းပနေသည့် တတိယအကြိမ် ချင်းပြည်နယ် လွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးကို [[ချင်းဒေသကာကွယ်ရေးတပ်မတော်|ချင်းလဲန်းကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့]] (ဟားခါး)(CDF-Hakha)က ဒရုန်းဖြင့် ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-03-21 |title=မတ် ၂၁ ရက် နိုင်ငံတဝန်းသတင်းများအနှစ်ချုပ်-ကသာ လေကြောင်းဗုံးကြဲ ဆယ်ချီသေဆုံး |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c70530ylpgro |access-date=2026-03-21 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> **စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ [[ကသာမြို့]]မှာ တိုက်လေယာဉ်နှင့် ဗုံးကြဲမှုကြောင့် မဟာလေးထပ်ဘုန်းကြီးကျောင်းက သံဃာအပါအဝင် စစ်ဘေးရှောင်နှင့် ဒေသခံများ လူအယောက် ၅၀ ကျော် သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-21 |title=မတ် ၂၁ ရက် နိုင်ငံတဝန်းသတင်းများအနှစ်ချုပ်-ကသာ လေကြောင်းဗုံးကြဲ ဆယ်ချီသေဆုံး |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c70530ylpgro |access-date=2026-03-22 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |last=KNG |date=2026-03-20 |title=ကသာမြို့လယ်ခေါင် ဗုံးကြဲခံရ၊ သေဆုံးဒဏ်ရာရသူတွေများနိုင်တယ်လို့ဆို |url=https://burmese.kachinnews.com/2026/03/20/am1-388/ |access-date=2026-03-22 |website=Kachin News Group (KNG) |language=en-GB}}</ref><ref>{{Cite web |title=ကသာမြို့တွင် စစ်ရှောင်များနေသည့်ဘုန်းကြီးကျောင်း ဗုံးကြဲခံရ၍ ၆၀ ထက်မနည်းသေဆုံး |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/69be6b725ec101b7a780ccc4 |access-date=2026-03-22 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |last=ludunwayoo |date=2026-03-21 |title=စစ်တပ်လွှတ်​တော်​ငါးရက်​မြောက်​နေ့မှာ ကသာမြို့ကစစ်ဘေးရှောင်​တွေခိုလှုံတဲ့ဘုန်းကြီးကျောင်းကို စစ်​ကောင်စီ ဗုံးကြဲ |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2026/03/22/151892/ |access-date=2026-03-22 |website=LuduNwayOo |language=my-MM }}{{Dead link|date=May 2026 }}</ref><ref>{{Cite web |last=Lin |first=Editor Htein |date=2026-03-21 |title=ကသာနဲ့ မြောင်မှာ လေကြောင်းတိုက်ခိုက်ခံရပြီး သေဆုံးသူအများပြားနဲ့ ဒဏ်ရာရသူတွေရှိခဲ့ |url=https://voiceofmyanmarnews.com/news/2026/03/21/%e1%80%80%e1%80%9e%e1%80%ac%e1%80%94%e1%80%b2%e1%80%b7-%e1%80%99%e1%80%bc%e1%80%b1%e1%80%ac%e1%80%84%e1%80%ba%e1%80%99%e1%80%be%e1%80%ac-%e1%80%9c%e1%80%b1%e1%80%80%e1%80%bc%e1%80%b1%e1%80%ac%e1%80%84/ |access-date=2026-03-22 |website=Voice of Myanmar |language=en-US}}</ref> **၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ချင်းတော်လှန်ရေးနေ့တွင် ချင်းအမျိုးသားတရပ်လုံး အမျိုးသားရေးအသိဖြင့် စစ်မှုထမ်းပါဝင်ကြရန် [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး]]က တိုက်တွန်းထုတ်ပြန်သည်။<ref>{{Cite web|title=ချင်းလူငယ်များ အမျိုးသားရေးအသိဖြင့် စစ်မှုထမ်းရန် CNF တိုက်တွန်းနေ|url=https://myanmar-now.org/mm/news/73449/|website=Myanmar Now|date=2026-03-20|access-date=2026-03-22|language=en-US|first=Myanmar|last=Now}}</ref> * [[၂၂ မတ်]] - ** အရှေ့အလယ်ပိုင်း ပဋိပက္ခကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော စက်သုံးဆီပြတ်လပ်မှုကို ကြိုတင်ကာကွယ်သည့်အနေဖြင့် အစိုးရရုံးများမှ ဝန်ထမ်းများသည် ရုံးသို့လာရောက်ခြင်းမပြုဘဲ မိမိတို့၏နေအိမ် သို့မဟုတ် အဆောင်များတွင်သာ လုပ်ငန်းဆောင်ရွက်ရန် သတ်မှတ်လိုက်ကြောင်း အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ၊ သတင်းထုတ်ပြန်ရေးအဖွဲ့က ထုတ်ပြန်သည်။ ယင်းသို့ အိမ်မှအလုပ်လုပ်ခြင်း (work from home) စနစ်ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၂၅ ရက်မှစတင်၍ အပတ်စဉ် ဗုဒ္ဓဟူးနေ့တိုင်း ဆောင်ရွက်သွားရမည်ဖြစ်ပြီး ပုဂ္ဂလိကအလုပ်ဌာနများအနေဖြင့်လည်း အလားတူ အိမ်မှအလုပ်လုပ်ခြင်းစနစ်ကို အတတ်နိုင်ဆုံး လိုက်နာဆောင်ရွက်သွားရန် ထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref>{{Cite web |title=အပတ်စဉ်ဗုဒ္ဓဟူးနေ့အား အစိုးရရုံးဌာနများ၏ ရုံးလုပ်ငန်းများကို နေအိမ်မှသာဆောင်ရွက်ကြရန် သတ်မှတ်ကြေညာ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81059 |access-date=2026-03-23 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၂၃ မတ်]] - ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်သည် ခါးကျီးပေါင်းရောဂါကြောင့် အာရုံကြောညပ်ခြင်း ဝေဒနာ ခံစားခဲ့ရသဖြင့် ၂ နာရီကြာ ခွဲစိတ်မှုအောင်မြင်ကြောင်း စစ်ကော်မရှင်က ထုတ်ပြန်။<ref>{{Cite web |title=သတင်းထုတ်ပြန်ချက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81078 |access-date=2026-03-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *[[၂၈ မတ်]] - ၂၀၂၅ မြန်မာနိုင်ငံငလျင်ကြီးလှုပ်ခတ်မှု (၁) နှစ်ပြည့်အခမ်းအနားကို နေပြည်တော်၌ ကျင်းပခဲ့ပြီး၊ ငလျင်ကြီးကြောင့် နေပြည်တော်အပါအဝင် တိုင်းဒေသကြီး၊ ပြည်နယ် (၁၀) ခု၌ သေဆုံးသူ ၃၈၁၈ ဦး၊ ပျောက်ဆုံးသူ ငါးဦး၊ ဒဏ်ရာရသူ ၅၁၀၄ ဦး၊ ဘေးသင့်အိမ်ထောင်စု ၁၆၂၅၆၃ စု၊ ဘေးသင့်လူဦးရေ ၄၂၄၀၆၃ ဦးနှင့် ယာယီရွှေ့ပြောင်း လူဦးရေ ၂၇၉၁၁၁ ဦးရှိခဲ့ကြောင်း၊ ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုအနေဖြင့် စုစုပေါင်း တန်ဖိုးကျပ် ၇၉၇၉ ဘီလီယံကျော်ရှိကြောင်း နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင် ဥက္ကဋ္ဌက ပြောကြားသည်။ <ref>{{Cite web |title=မန္တလေးငလျင်ကြီးလှုပ်ခတ်မှု (၁)နှစ်ပြည့်အခမ်းအနားကျင်းပ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81220 |access-date=2026-03-30 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *[[၃၀ မတ်]] - **[[၂၀၂၆ မြန်မာတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် ရာထူးအပြောင်းအလဲ]] *** ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ရဲဝင်းဦး|ရဲဝင်ဦး]]သည် [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]]ဖြစ်လာပြီး၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ကျော်စွာလင်း]]သည် [[ဒုတိယတပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] ဖြစ်လာသည်။<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ် ၃၀ ရက် ဘီဘီစီတိုက်ရိုက်သတင်းထုတ်လွှင့်ချက် - ပြည်သူ့လွှတ်တော်က စစ်ခေါင်းဆောင်ကို ဒုသမ္မတ အမည်စာရင်းတင်သွင်း|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cx290r3lvm0t|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-03-30|access-date=2026-03-30|language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်၊ မြန်မာ့တပ်မတော်၏ တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် တာဝန်လွှဲပြောင်းလက်ခံခြင်း ဂုဏ်ပြုစစ်ရေးပြအခမ်းအနား ကျင်းပပြုလုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81247 |access-date=2026-03-30 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *** [[၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံ သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း|၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံသမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း]]: ပြည်သူ့လွှတ်တော်အစုအဖွဲ့က ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်နှင့် တစညပါတီမှ ဒေါက်တာကျော်ဆွေကို ဒုသမ္မတလောင်းအဖြစ် တင်သွင်းခဲ့ပြီး<ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-03-30 |title=ပြည်သူ့လွှတ်တော်က ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်နှင့် ဒေါက်တာ ကျော်ဆွေကို ဒုသမ္မတလောင်း အမည်စာရင်း တင်သွင်း |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%B0%E1%80%B7%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%BE%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%80-%E1%80%97%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9C%E1%80%BA/ |access-date=2026-03-30 |website=Popular |language=en-US}}</ref>၊ အမျိုးသားလွှတ်တော်အစုအဖွဲ့က ကချင်ပြည်နယ်ပြည်သူ့ပါတီဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာတူးဂျာနှင့် ကြံ့ခိုင်ရေးပါတီကိုယ်စားပြု ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ် [[နန်းနီနီအေး]] အား ရွေးချယ်တင်သွင်းခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-03-30 |title=အမျိုးသားလွှတ်တော်မှ ဒေါက်တာ တူးဂျာနှင့် ဒေါ်နန်းနီနီအေးတို့အား ဒုသမ္မတလောင်းအဖြစ် အမည်စာရင်းတင်သွင်း |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%A1%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%9E%E1%80%AC%E1%80%B8%E1%80%9C%E1%80%BD%E1%80%BE%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BE-%E1%80%92%E1%80%B1/ |access-date=2026-03-30 |website=Popular |language=en-US}}</ref> *** ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်ကိုယ်စားပြုကော်မတီက ဦး[[ဌေးငွေ]] အား အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ၏ ပြည်ထဲရေးနှင့် လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေး ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ *** KIO ၊ KNU ၊ CNF ၊ KSIEC၊ CRPH နှင့် NUG တို့ပါဝင်သော [[ဖက်ဒရယ်ဒီမိုကရေစီပြည်ထောင်စုပေါ်ထွန်းရေး ဦးဆောင်ကောင်စီ|ဖက်ဒရယ်ဒီမိုကရေစီ ပြည်ထောင်စုပေါ်ထွန်းရေး ဦးဆောင်ကောင်စီ]]ကို ဖွဲ့စည်းလိုက်ကြောင်း ထုတ်ပြန်လိုက်သည်။ * ၃၁ မတ် ** [[၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံ သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း|၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံသမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း]]: သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ရေးအဖွဲ့ အမျိုးသားလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များအစုအဖွဲ့က ဒုတိယသမ္မတလောင်းအဖြစ် [[နန်းနီနီအေး]]ကို ရွေးချယ်ခဲ့ကြပြီး၊ ပြည်သူ့လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များအစုအဖွဲ့ကမူ ဦး[[မင်းအောင်လှိုင်]]ကို ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့ကြသည်။ <br /> === ဧပြီ === * [[၂ ဧပြီ]] - ** ထိုင်း-မြန်မာနယ်စပ် ကော့ကရိတ်-မြဝတီ အာရှလမ်းမကြီးကို တိုက်ပွဲများကြောင့် ပိတ်ထားရာမှ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂ ရက်နေ့တွင် ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်သည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-04-02 |title=လကမ္ဘာဆီသွားမယ့် Artemis II ယာဉ် ကမ္ဘာပတ်လမ်းပေါ်ရောက်ပြီ - ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီ ၂ ရက် ဘီဘီစီမြန်မာပိုင်းသတင်းတိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်ချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/live/c3ex5eq4nypt |access-date=2026-04-02 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |date=2026-04-02 |title=မြဝတီ-ကော့ကရိတ် အာရှလမ်း ပြန်ဖွင့် - New Day Myanmar |url=https://newdaymyanmar.com/%e1%80%99%e1%80%bc%e1%80%9d%e1%80%90%e1%80%ae-%e1%80%80%e1%80%b1%e1%80%ac%e1%80%b7%e1%80%80%e1%80%9b%e1%80%ad%e1%80%90%e1%80%ba-%e1%80%a1%e1%80%ac%e1%80%9b%e1%80%be%e1%80%9c%e1%80%99%e1%80%ba%e1%80%b8/ |access-date=2026-04-02 |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=ကုန်သွယ်မှုပမာဏအများဆုံးစီးဆင်းရာ ဘားအံ-ကော့ကရိတ်-မြဝတီ (အာရှလမ်းပိုင်း) ပြန်လည်ဖွင့်လှစ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81336 |access-date=2026-04-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ]] ဥပဒေအမှတ် ၅၁/၂၀၂၆ ဖြင့် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်သူ့စစ်မှုထမ်းဥပဒေ|ပြည်သူ့စစ်မှုထမ်းဥပဒေ]]ကိုပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းသည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်သူ့စစ်မှုထမ်းဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့်ဥပဒေ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81337 |access-date=2026-04-03 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><br /> * [[၃ ဧပြီ]] ** [[၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံ သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း|၂၀၂၆ မြန်မာနိုင်ငံသမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း]]: ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး [[မင်းအောင်လှိုင်]] အား မြန်မာနိုင်ငံ၏ ၁၁ ဦးမြောက် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|နိုင်ငံတော်သမ္မတ]] အဖြစ် ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့ပြီး၊ ဒုတိယသမ္မတ (၁) အဖြစ် ဦး[[ညိုစော]]၊ ဒုတိယသမ္မတ (၂) အဖြစ် [[နန်းနီနီအေး]] အဖြစ် ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ဧပြီ ၃ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင်သမ္မတအိပ်မက်ပြည့်ဝ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/czrey4p725jt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-04-03|access-date=2026-04-03|language=my}}</ref> ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၅၂/၂၀၂၆ ဖြင့် ငွေချေးသက်သေခံလက်မှတ်များ လဲလှယ်ရောင်းဝယ်ရေးဥပဒေကို ပြင်ဆင်သည့် ဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းသည်။ ** အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ ဥပဒေအမှတ် ၅၃/၂၀၂၆ ဖြင့် ** ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၂၆ ရက်နေ့တွင် စစ်ဆေးတွေ့ရှိချက်အရ (၁-၁-၂၀၂၁) မှ (၃၁-၃-၂၀၂၅) ရက်နေ့အထိ ကာလအတွင်း ပို့ကုန်များ တင်ပို့ပြီးဖြစ်သော်လည်း ပို့ကုန်ရငွေ ပြန်လည်မဝင်ရောက်သေးသည့် ကုမ္ပဏီပေါင်း (၂၈၇) ခုသည် နိုင်ငံခြားသုံးငွေ စီမံခန့်ခွဲမှုဥပဒေ၊ စည်းမျဉ်းများနှင့် အမိန့်ကြော်ငြာစာများပါ ပြဋ္ဌာန်းချက်များကို လိုက်နာခြင်းမရှိသောကြောင့် အဆိုပါကုမ္ပဏီများနှင့် ၎င်းတို့၏ ဒါရိုက်တာအဖွဲ့ဝင်များအား အမည်ပျက်စာရင်းသွင်းလိုက်ကြောင်း မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ်က ထုတ်ပြန်ကြေညာသည်။<ref>{{Cite web|title=ပို့ကုန်ရငွေပြန်လည်ဝင်ရောက်ရန် ကျန်ရှိသည့်ကုမ္ပဏီ (၂၈၇) ခု၏ ကုမ္ပဏီနှင့်ကုမ္ပဏီ၏ ဒါရို-က်တာအဖွဲ့ဝင်များအား အမည်မည်းစာရင်း ထည့်သွင်းကြောင်း ဗဟိုဘဏ်က ထုတ်ပြန်|url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%95%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B7%E1%80%80%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%84%E1%80%BD%E1%80%B1%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%9D%E1%80%84%E1%80%BA-2/|website=Popular|date=2026-04-04|access-date=2026-04-04|language=en-US|first=Popular|last=Journal}}</ref> * [[၄ ဧပြီ]] - ဖေဖော်ဝါရီ ၂၁ ရက်မှစတင်၍ ရပ်နားထားခဲ့ရာမှ ဧပြီ ၄ ရက် နံနက်ပိုင်းတွင် [[မြစ်ကြီးနားလေဆိပ်]]၌ ခရီးသည်တင်လေကြောင်းလိုင်းများ စတင်၍ ပြန်လည်ပြေးဆွဲနေပြီဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=ကချင်ပြည်နယ် မြစ်ကြီးနားလေဆိပ်၌ လေကြောင်းလိုင်းများဆင်းသက်မှု ရက်ပေါင်း ၄၀ ကျော် ရပ်နားထားခဲ့ပြီး ယနေ့မှစ၍ ပြန်လည်ပြေးဆွဲ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81429 |access-date=2026-04-06 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * [[၆ ဧပြီ]] - ** ရိုဟင်ဂျာများအား လူမျိုးတုံးသတ်ဖြတ်မှု ကျူးလွန်ခဲ့သည်ဟူသော စွဲဆိုချက်နှင့် အဆိုပါအခင်းအဖြစ်အပျက်ဖြစ်ပွားစဉ်က [[တပ်မတော်]]၏ ရာထူးအကြီးဆုံးဖြစ်သည့် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး [[မင်းအောင်လှိုင်]]အပေါ် အရေးယူရန် တိုင်တန်းချက်ကို [[အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ|အင်ဒိုနီးရှား]]တရားစီရင်ရေး အာဏာပိုင်များက တရားဝင် လက်ခံလိုက်ပြီဖြစ်ကြောင်း ယူကေအခြေစိုက် တာဝန်ခံမှုရှိစေရေး-မြန်မာ (MAP) အဖွဲ့ကို ဦးဆောင်သူ ခရစ္စ ဂန်းနက်စ်က ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name=":0">{{Cite web |date=2026-04-06 |title=ရိုဟင်ဂျာ ဂျီနိုဆိုက်အမှုနဲ့ ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင်ကို အရေးယူဖို့ တိုင်တန်းချက်ကို အင်ဒိုနီးရှား လက်ခံ - ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီ ၆ ရက် ဘီဘီစီမြန်မာပိုင်းသတင်းများ တိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်ချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/live/c7470nv11l7t |access-date=2026-04-06 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ** မကွေးတိုင်း၊ ဆောမြို့တွင် ပြီးခဲ့သောနှစ် အောက်တိုဘာလ၌ ဖြစ်ပွားခဲ့သည့် သက်ငယ်မုဒိမ်းမှုနှင့် လူသတ်ကာ အလောင်းဖျောက်မှုကျူးလွန်သူအား အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ (NUG) ၏ ဆောမြို့နယ်တရားရုံးနှင့် မြို့နယ်တရားရေးအဖွဲ့က သေဒဏ်ချမှတ်လိုက်ကြောင်း မြို့နယ်တရားရေးအဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ ဦးလင်းထက်က ဘီဘီစီသို့ ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name=":0" /> ** [[တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်]] ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး တတိယနေ့တွင် ၂၀၀၈ ခုနှစ် နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေနှင့် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်ဆိုင်ရာ နည်းဥပဒေများအရ ခန့်အပ်မည့် ပြည်ထောင်စုအဆင့်ရာထူးများအတွက် နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ် ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခံထားရသူက အဆိုပြုတင်ပြချက်များကို ဖတ်ကြားခြင်း ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး တတိယနေ့ ကျင်းပ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81463 |access-date=2026-04-07 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><br /> *[[၇ ဧပြီ]] **တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေးစတုတ္ထနေ့တွင် ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ် ဥက္ကဋ္ဌ ဦး[[သာဌေး]]အပါအဝင် တရားသူကြီး ၉ ဦးပါ ဖွဲ့စည်းမှုကို လွှတ်တော်က အတည်ပြုသည်။ ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင် ဥက္ကဋ္ဌ ဦးသန်းစိုးအပါအဝင် အဖွဲ့ဝင် ၁၅ ဦးကို လွှတ်တော်က အတည်ပြုသည်။ ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီးဌာန အရေအတွက် (၃၁ ခု)နှင့် အမည်သတ်မှတ်ချက်ကို လွှတ်တော်က အတည်ပြုသည်။ ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌ ဒေါက်တာခင်နိုင်ဦးအား ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ခန့်အပ်ရန် လွှတ်တော်က သဘောတူသည်။ [[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်]] (အသစ်) ဥက္ကဋ္ဌ ဦးစိုးသိန်းအပါအဝင် အဖွဲ့ဝင် ၉ ဦးကို အတည်ပြုသည်။ ဝန်ကြီးများနှင့် ကျန်တရားသူကြီးများ အမည်စာရင်းများကို ဖတ်ကြားတင်ပြခဲ့ပြီး ဧပြီ ၉ ရက် အစည်းအဝေးတွင် ကန့်ကွက်မှုများ လက်ခံမည်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး စတုတ္ထနေ့ကျင်းပ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/81500 |access-date=2026-04-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> **[[၂၀၂၆ ပန်ဆန်း ပေါက်ကွဲမှု]] * [[၈ ဧပြီ]] ** အီရန်နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး အဘတ်စ် အာရတ်ချီ (Abbas Araghchi) က အီရန်နှင့် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုတို့အကြား [[ဟော်မုဇ် ရေလက်ကြား]] ကို ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ရန် အပါအဝင် နှစ်ပတ်ကြာ အပစ်အခတ်ရပ်စဲရေး သဘောတူညီမှုကို အတည်ပြုပြောကြားခဲ့သည်။ အဆိုပါ အပစ်အခတ်ရပ်စဲရေးကို အီရန်အမျိုးသားလုံခြုံရေးဆိုင်ရာ အဆင့်မြင့်ကောင်စီ (Supreme National Security Council) က အတည်ပြုချက်ပေးထားသည်။<ref>{{Cite web |title=Iran agrees to ceasefire, offers conditional Hormuz passage |url=https://shafaq.com/en/Middle-East/Iran-agrees-to-ceasefire-offers-conditional-Hormuz-passage |access-date=2026-04-09 |website=Shafaq News |language=en}}</ref> ** [[တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး ပဉ္စမနေ့ကို ကျင်းပခဲ့ပြီး၊ ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး ပြီးစီးကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-04-08 |title=ပြည်သူကိုကိုယ်စားပြုရေး ဆောင်ရွက်ရန် ပြည်သူ့ |url=https://onenewstvchannel.com/politic/people-hluttaw/%e1%80%95%e1%80%bc%e1%80%8a%e1%80%ba%e1%80%9e%e1%80%b0%e1%80%80%e1%80%ad%e1%80%af%e1%80%80%e1%80%ad%e1%80%af%e1%80%9a%e1%80%ba%e1%80%85%e1%80%ac%e1%80%b8%e1%80%95%e1%80%bc%e1%80%af%e1%80%9b%e1%80%b1/ |access-date=2026-04-09 |website=One News Myanmar |language=my-MM}}</ref><ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး အောင်မြင်စွာကျင်းပပြီးစီး {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81524 |access-date=2026-04-09 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** [[တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော်]] ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး စတုတ္ထနေ့ကို ကျင်းပခဲ့ပြီး၊ ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး ပြီးစီးကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော် ပထမပုံမှန်အစည်းအဝေး အောင်မြင်စွာ ကျင်းပပြီးစီး {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81525 |access-date=2026-04-09 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><br /> * [[၉ ဧပြီ]] ** ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ်တရားသူကြီးများအဖြစ် ဦးသောင်းနိုင်၊ ဦးသိန်းကိုကို၊ ဒေါ်သင်းသင်းနွဲ့၊ ဒေါ်ပြုံးပြုံးအေး၊ ဒေါက်တာကိုကိုနိုင်၊ ဦးဝင်းမြင့်၊ ဒေါ်စိုးခက်ခက်၊ ဒေါ်သင်းသင်းချိုတို့ကို ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=ပြည်ထောင်စုတရားလွှတ်တော်ချုပ်တရားသူကြီးရှစ်ဦးအား ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြု|url=https://news-eleven.com/article/311163|website=Eleven Media Group Co., Ltd|access-date=2026-04-09|language=my}}</ref> ** [[အဂတိလိုက်စားမှု တိုက်ဖျက်ရေး ကော်မရှင်|အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်]]ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဦးစိုးသိန်းအပါအဝင် အဖွဲ့ဝင်များအဖြစ် ဦးကျော်ဝင်းသိန်း၊ ဒုတိယရဲဗိုလ်ချုပ်ကြီး ဝင်းဇော်မိုး၊ ဒေါက်တာထွန်းထွန်းဦး၊ ဦးလွန်းဘော်၊ ဦးကျော်စိုးညွန့်၊ ဦးတိုးရီ၊ ဦးတင်အောင်ဝင်း၊ ဦးမင်းဟန်တို့ကို ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=အဂတိလိုက်စားမှုတိုက်ဖျက်ရေးကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဦးစိုးသိန်းအပါအဝင် အဖွဲ့ဝင်ကိုးဦးအား ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311162 |access-date=2026-04-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ်ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခံရသူက အဆိုပြုတင်ပြထားသည့် ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး ၃၀ ဦး ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ်ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခံရသူက အဆိုပြုတင်ပြထားသည့် ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး ၃၀ ဦး ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311161 |access-date=2026-04-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** ဗဟိုဘဏ်ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဒေါက်တာခင်နိုင်ဦး၊ ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများအဖြစ် ဦးဇော်မြင့်နိုင်၊ ဦးသက်ထွန်းအောင်၊ ဒေါက်တာစန္ဒာဦးနှင့် ဒါရိုက်တာအဖွဲ့ဝင်များအဖြစ်  ဒေါက်တာရီရီအး၊ ဦးတင်မြင့်၊ ဒေါက်တာလှညွန့်၊ ဒေါက်တာဇော်ဦး၊ ဒေါက်တာဖြူဖြူအိတို့ကို ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မြန်မာနိုင်ငံတော်ဗဟိုဘဏ် ဥက္ကဋ္ဌအဖြစ် ဒေါက်တာခင်နိုင်ဦးနှင့် ဒုတိယဥက္ကဋ္ဌများ၊ ဒါရိုက်တာအဖွဲ့ဝင်များအား ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311160 |access-date=2026-04-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်အဖြစ် ဒေါက်တာသီတာဦးနှင့် ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်အဖြစ် ဒေါ်နိုင်သက်ဦးတို့ကို ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုရှေ့နေချုပ်အဖြစ် ဒေါက်တာသီတာဦးနှင့် ပြည်ထောင်စုစာရင်းစစ်ချုပ်အဖြစ် ဒေါ်နိုင်သက်ဦးတို့အား ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311159 |access-date=2026-04-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** [[နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး|ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး]]ဥက္ကဋ္ဌ ဦး[[အောင်ဇော်သိန်း]]အပါအဝင် အဖွဲ့ဝင်များအဖြစ် ဦးဉာဏ်ထွန်း၊ ဦးမျိုးတင့်၊  ဦးကျော်ဆန်း၊ ဦးတူးမော်၊ ဒေါ်စုစုဝင်း၊ ဒေါ်ဥမ္မာအေး၊ ဦးတင့်ဝေ၊ ဒေါက်တာမာလာမော်တို့ကို ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်က သဘောတူအတည်ပြုခဲ့။<ref>{{Cite web |title=နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ်ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခံရသူက တင်ပြထားသည့် နိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံ ဥပဒေဆိုင်ရာခုံရုံး ဥက္ကဋ္ဌဦးအောင်ဇော်သိန်း အပါအဝင် အဖွဲ့ဝင်ကိုးဦးအား ခန့်အပ်ရန် ပြည်ထောင်စု လွှတ်တော်အတည်ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311158 |access-date=2026-04-09 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> ** ဆိုက်ဘာရာဇဝတ်မှု တစ်မျိုးဖြစ်သည့် [[ဧရာဝတီဘဏ်]] Visa Prepaid Card မှ transaction များဖြတ်တောက်ခံရမှု သုံးစွဲသူ အများအပြား ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |title=■ AYA Visa Prepaid Card မှ transaction များဖြတ်တောက်ခံရမှုများ ဖြစ်ပွား |url=https://news-eleven.com/article/311181 |access-date=2026-04-10 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * [[၁၀ ဧပြီ]] ** [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ]] ကြေညာချက်အမှတ် ၃/၂၀၂၆ ဖြင့် ကြေညာချက်တွင် ပြည်ထောင်စုအဆင့်ပုဂ္ဂိုလ်များအား ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်တွင် ကတိသစ္စာပြုပြီး သည့်အချိန်မှစ၍ ပြည်ထောင်စုသမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံတော် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ ပုဒ်မ ၄၂၇ အရ အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီက ကျင့်သုံးလျက်ရှိသည့် ဥပဒေပြုရေး၊အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် တရားစီရင်ရေး အာဏာများကို လွှဲပြောင်းပေးအပ်လိုက်သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော် အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့်လုံခြုံရေးကောင်စီ ကြေညာချက်အမှတ် ၃ / ၂၀၂၆ {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81654 |access-date=2026-04-10 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဦးမင်းအောင်လှိုင်နှင့် ဒုတိယသမ္မတများဖြစ်ကြသည့် ဦးညိုစော၊ ဒေါ်နန်းနီနီအေးတို့သည် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်နာယကရှေ့မှောက်၌ ကတိသစ္စာပြုပြီး ကတိသစ္စာပြုလွှာပေါ်တွင် လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Journal |first=Popular |date=2026-04-10 |title=မြန်မာနိုင်ငံတော်သမ္မတသစ်နှင့် ဒု-သမ္မတများ ကတိသစ္စာပြု |url=https://www.popularmyanmar.com/%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%AC%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%90%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%99%E1%80%B9%E1%80%99%E1%80%90-3/ |access-date=2026-04-10 |website=Popular |language=en-US}}</ref> ** နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဦးမင်းအောင်လှိုင် ဦးဆောင်မည့် ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့သစ်ကို အဖွဲ့ဝင် ၃၄ ဦး၊ ဝန်ကြီးဌာန (၃၁) ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းလိုက်သည်။ <ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့ ဖွဲ့စည်းခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81565 |access-date=2026-04-10 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ** တော်လှန်ရေးကာလ ကော်သူးလေပဋိညာဉ်ကို အတည်ပြုခဲ့ပြီး [[ကော်သူးလေအတိုင်ပင်ခံကောင်စီ]] (KCC) နဲ့ [[ကော်သူးလေအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]] (KGC) ကို ဖွဲ့စည်းလိုက်ကြောင်း ကရင်အမျိုးသားအစည်းအရုံးက ကြေညာသည်။ <ref>{{Cite web |last=DVB TV News |date=2026-04-11 |title=ကော်သူးလေ အတိုင်ပင်ခံကောင်စီနဲ့ အုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီကို KNU ဖွဲ့စည်း- DVB News |url=https://www.youtube.com/watch?v=CZEAY59xewI |access-date=2026-04-12}}</ref><ref>{{Cite web |title=KNU က ကော်သူးလေပဋိညာဉ်ကို အတည်ပြုပြီး ကော်သူးလေ အတိုင်ပင်ခံကောင်စီနှင့် အုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ ဖွဲ့စည်း |url=https://bur.mizzima.com/2026/04/10/87297 |url-status=live |access-date=၁၂ ဧပြီ ၂၀၂၆ |website=Mizzima}}</ref><br /> * [[၁၂ ဧပြီ|၁၂]] - မကွေးတိုင်း၊ [[ပခုက္ကူမြို့နယ်]]၊ ပန်းတိုင်းခြုံကျေးရွာအုပ်စု၊ မြောက်လူးကံရွာကို စစ်တပ်က မီးရှို့တဲ့အတွက် အိမ် ၄၀၀ ကျော်မီးလောင်ကျွမ်းပြာကျသွားကြောင်း ဒေသခံတွေကပြောသည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese|first=R. F. A.|date=2026-04-13|title=ပခုက္ကူလေဆိပ်နားက မြောက်လူးကံရွာ မီးရှို့ဖျက်ဆီးခံရ|url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/04/13/myauklukan-village-burnt-down/|access-date=2026-04-14|website=မြန်မာဌာန|language=my}}</ref> * ၁၃ ဧပြီ - [[ကရင်ပြည်နယ်]]၊ [[လှိုင်းဘွဲ့မြို့နယ်]]ရှိ မြိုင်ကြီးငူ-မဲသဝေါဒေသအတွင်းတည်ရှိသော စစ်တပ်၏ ကြယ်ပြောင်ကုန်း တပ်စခန်းအား [[ကရင်အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|ကရင်အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]] (KNLA) နှင့် ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့များက ဧပြီလ ၁၃ ရက်နေ့တွင် သိမ်းပိုက်လိုက်ပြီဖြစ်ကြောင်း မြေပြင်သတင်းရင်းမြစ်အချို့က အတည်ပြုပြောကြားသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-13 |title=၂၀၂၆ ဧပြီ ၁၃ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - မြန်မာလူထုနဲ့ အတူရှိနေကြောင်း အမေရိကန်နဲ့ ယူကေက သင်္ကြန်ဆုတောင်းပေးပို့ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cx2dg3z017mt |access-date=2026-04-13 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * [[၁၄ ဧပြီ]] - ချင်းပြည် (Chinland) ကောင်စီနှင့် [[ချင်းပြည်အစိုးရ]]အဖွဲ့၏ လက်အောက်ရှိ ချင်းပြည်ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာနမှ တည်ထောင်သည့် Chinland Jordan School of Medicine ဆေးတက္ကသိုလ်အား ချင်းပြည်နယ်၊ ချင်းလုံမြို့၌ ၂၀၂၆ ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ဧပြီ ၁၅ ရက် - ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည် ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခံရမှု ရက်ပေါင်း ၁,၉၀၀ ရှိလာ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/c1mkk7p1j5jt|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-04-15|access-date=2026-04-15|language=my}}</ref> * ၁၆ ဧပြီ - အိမ်နီးချင်းနိုင်ငံများ၏ လွှမ်းမိုးမှုများကြောင့် တော်လှန်ရေးအင်အားစုများအကြား ညီညွတ်ရေးတွင် အတားအဆီးများ ရှိနေသည်ဟု [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]]၏ ယာယီသမ္မတ [[ဒူဝါလရှီးလ]]က အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ ငါးနှစ်ပြည့် မိန့်ခွန်းတွင် ပြောကြားလိုက်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-16 |title=၂၀၂၆ ဧပြီ ၁၆ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - အိမ်နီးချင်းနိုင်ငံတွေရဲ့ လွှမ်းမိုးမှုကြောင့် ညီညွတ်ရေးမှာ အတားအဆီးရှိနေတယ်လို့ NUG ၅ နှစ်ပြည့်မှာ ယာယီသမ္မတ ပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cx2d1vrj7jmt |access-date=2026-04-16 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * ၁၇ ဧပြီ - ** နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး အမိန့်အမှတ် ၄၀/၂၀၂၆ ဖြင့် အကျဉ်းသား/သူ ၄,၃၃၅ ဦးကို ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်လိုက်ပြီး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81788 |access-date=2026-04-17 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>၊ အမိန့်အမှတ် ၄၁/၂၀၂၆ ဖြင့် နိုင်ငံခြားသား အကျဉ်းသူ/သား ၁၇၉ ဦးကို ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်ပြု၍ ပြည်နှင်ဒဏ်ပေးလိုက်သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81789 |access-date=2026-04-17 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *** အဂတိလိုက်စားမှုဆိုင်ရာ ပုဒ်မများနှင့် ရာဇသတ်ကြီးပုဒ်မ ၁၃၀ (က) တို့ဖြင့် စွဲဆိုတရားစွဲခဲ့ပြီး စုစုပေါင်း ထောင်ဒဏ် ၉ နှစ်နှင့် ၆ လ ချမှတ်ကာ အကျဉ်းချခဲ့ရသည့် နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဦး[[ဝင်းမြင့် (နိုင်ငံတော်သမ္မတ)|ဝင်းမြင့်]]အား တောင်ငူအကျဉ်းထောင်မှ မိသားစုထံသို့ ပြန်လည်စေလွှတ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-17 |title=၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီ ၁၇ ရက် ဘီဘီစီမြန်မာပိုင်းသတင်းတိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်ချက် -ဒေါ်‌အောင်ဆန်းစုကြည်ကို နေအိမ်အကျယ်ချုပ်ပြောင်းရွှေ့မယ်လို့ သတင်းထွက်ပေါ် |url=https://www.bbc.com/burmese/live/c8r488z2lm3t |access-date=2026-04-17 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * [[၁၈ ဧပြီ]] - စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ မင်းကွန်းဒေသရှိ အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရလက်အောက်ခံ ပြည်သူ့လုံခြုံရေးအဖွဲ့ (ပလဖ) မှ ဒုတိယတာဝန်ခံအပါအဝင် အဖွဲ့ဝင် ၁၅ ဦးတို့သည် စစ်ကောင်စီထံ လက်နက်စွန့်လွှတ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-19 |title=ဧပြီ ၁၉ ရက် သတင်းများအနှစ်ချုပ် - မင်းကွန်းတိုက်နယ် ပလဖ ဒုတာဝန်ခံအပါ ၁၅ ဦး စစ်တပ်ထံ လက်နက်ချ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cg543ry1ggdo |access-date=2026-04-19 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><br /> * [[၂၀ ဧပြီ|ဧပြီ ၂၀]] - ရန်ကုန်လေဆိပ်မှာ MNA ATR-72 ပြေးလမ်းပေါ်ထွက်ခွာနေချိန် ဘရိတ်စနစ်ချို့ယွင်းမှု ဖြစ်ပွားခဲ့းပြီး ရပ်နားထားသည့် [[အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာမြန်မာလေကြောင်း|အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာမြန်မာ့လေကြောင်း]] (MAI) ၏ Airbus A319 လေယာဉ် အမြီးပိုင်းကို ဝင်တိုက်မိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=ရန်ကုန်လေဆိပ်မှာ MNA ATR-72 ဘရိတ်ချို့ယွင်းပြီး MAI Airbus A319 ကို ဝင်တိုက်မှုဖြစ် - New Day Myanmar|url=https://newdaymyanmar.com/%e1%80%9b%e1%80%94%e1%80%ba%e1%80%80%e1%80%af%e1%80%94%e1%80%ba%e1%80%9c%e1%80%b1%e1%80%86%e1%80%ad%e1%80%95%e1%80%ba%e1%80%99%e1%80%be%e1%80%ac-mna-atr-72-%e1%80%98%e1%80%9b%e1%80%ad%e1%80%90/|date=2026-04-20|access-date=2026-04-20|language=en-US}}</ref> * [[၂၁ ဧပြီ]] - စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[ထွန်းဝင်း]] သည် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] ဖြစ်လာသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-21 |title=အေအေ ခေါင်းဆောင် ဗိုလ်ချုပ်ထွန်းမြတ်နိုင်နဲ့ ချင်း CPU ခေါင်းဆောင်တွေ ရခိုင်မှာတွေ့ဆုံ -၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီ ၂၁ ရက် ဘီဘီစီမြန်မာပိုင်း တိုက်ရိုက်သတင်းထုတ်လွှင့်ချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/live/clyxrv7g29gt |access-date=2026-04-21 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * ၂၅ ဧပြီ - ချင်းညီနောင် (CB) အဖွဲ့က တစ်နှစ်ကျော်ကြာ သိမ်းပိုက်ထားရှိသည့် ချင်းပြည်နယ်၊ ဖလမ်းမြို့ပေါ်ရှိ နေရာအချို့ကို စစ်တပ်က ပြန်လည်သိမ်းယူနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=ဧပြီ ၂၅ ရက် သတင်းအနှစ်ချုပ် - နေပြည်တော်မှာငလျင်လှုပ်|url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cn8d05qq6edo|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-04-25|access-date=2026-04-25|language=my}}</ref> * ၂၇ ဧပြီ - အမျိုးသားစာပေဆုရှင် ဦး[[တင်ညွန့်]]နှင့် သားဖြစ်သူအပါအဝင် ၃ ဦးအား ဖမ်းဆီးခံထားရသည်။ * [[၃၀ ဧပြီ]] - ** ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ (၃၀) ရက်နေ့တွင် ကျရောက်သော [[ကဆုန်လပြည့် ဗုဒ္ဓနေ့|ကဆုန်လပြည့်နေ့]] အထိမ်းအမှတ်အဖြင့် နိုင်ငံသား အကျဉ်းသား၊ အကျဉ်းသူ ၁,၅၀၈ ဦး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/82285|access-date=2026-04-30|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref>နှင့် နိုင်ငံခြားသား အကျဉ်းသား၊ အကျဉ်းသူ ၁၁ ဦး<ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/82287|access-date=2026-04-30|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref>၊ စုစုပေါင်း ၁,၅၁၉ ဦးတို့ကို ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=■ အကျဉ်း​ထောင် အချုပ်​ထောင်အသီးသီးတွင် အကျဉ်းကျခံ​နေရသည့် အကျဉ်းသား အကျဉ်းသာသူ ၁၅၀၈ ဦးကို ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းခွင့်​ပေး|url=https://news-eleven.com/article/311564|access-date=2026-04-30|website=Eleven Media Group Co., Ltd|language=my}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၃ဝ ရက် မတိုင်မီ ကျူးလွန်ခဲ့သော ပြစ်မှုတစ်ခုခုနှင့်စပ်လျဉ်း၍ ပြစ်ဒဏ်ချမှတ်ခြင်းခံရပြီး အကျဉ်း ထောင်/အချုပ်ထောင်/စခန်းအသီးသီးတွင် ပြစ်ဒဏ်ကျခံလျက်ရှိသော အကျဉ်းသား၊ သူများကို ရာဇဝတ်ကျင့်ထုံးဥပဒေ ပုဒ်မ ၄၀၁၊ ပုဒ်မခွဲ (၁) အရ ယင်းတို့ကျခံရန်ကျန်ရှိသောပြစ်ဒဏ်၏ ခြောက်ပုံတစ်ပုံကို လွတ်ငြိမ်းသက်သာခွင့်သည်။ <ref>{{Cite web |title=ပြစ်ဒဏ်လွတ်ငြိမ်းသက်သာခွင့်အမိန့် {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/82283|access-date=2026-04-30|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref> *** [[အောင်ဆန်းစုကြည်|ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]အား ကျန်ရှိနေသေးသည့် ပြစ်ဒဏ်များကို သတ်မှတ်ထားသည့် နေအိမ်တွင်သာ ဆက်လက်ကျခံစေရန် အကျဉ်းထောင်မှ နေအိမ်အကျယ်ချုပ်သို့ ပြောင်းရွှေ့လိုက်သည်။<ref>{{Cite web |title=ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်ကို နေအိမ်အကျယ်ချုပ် ပြောင်းရွှေ့၊ ဓားစာခံအဖြစ် ဖမ်းဆီးထားဆဲဟု ကိုထိန်လင်းပြော |url=https://burmese.dvb.no/post/542191 |access-date=2026-05-01 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref><br /> === မေ === * ၁ မေ - အိန္ဒိယ-မြန်မာ နယ်စပ်အနီး [[ချင်းပြည်နယ်]]၊ ဟွာလ်းငိုးရမ်းဒေသ၊ [[ဖလမ်းမြို့နယ်]]၊ ခေါ်ပွီချစ်ပ် (Khawpuichhip) ကျေးရွာကို စစ်လေတပ်က လေကြောင်းမှ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ ၁၀ နှစ်အောက် ကလေး ငါးဦးနှင့် လူကြီး တဦး စုစုပေါင်း ခြောက်ဦး သေဆုံးပြီး၊ ကိုးဦး ဒဏ်ရာရရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=အိန္ဒိယ-မြန်မာနယ်စပ်အနီး ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှု ၊ ကလေး ၅ ဦး အပါအဝင် ၆ ဦး သေဆုံး |url=https://bur.mizzima.com/2026/05/01/89167 |url-status=live |access-date=3 May 2026 |website=Mizzima}}</ref> * ၄ - ဦး[[မင်းအောင်လှိုင်]]အား စစ်ရာဇဝတ်မှုများနှင့် လူသားမျိုးနွယ်အပေါ် ကျူးလွန်သည့် ရာဇဝတ်မှုများဖြင့် စွဲဆိုထားသည့် အမှုအတွက် [[တီမောလက်စ်တေနိုင်ငံ]]၏ တရားရုံးသို့ တရားဝင် အမှုတင်သွင်းလိုက်ပြီဖြစ်ကြောင်း တရားစွဲဆိုသည့် အဖွဲ့အစည်းများက မေလ ၄ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ပြန်ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=စစ်အာဏာရှင်မင်းအောင်လှိုင်ကို စစ်ရာဇဝတ်မှုဖြင့် တရားစွဲသည့်အမှု တီမောတရားရုံးသို့ တင်သွင်း |url=https://burmese.dvb.no/post/204215 |access-date=2026-05-04 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> * ၅ - တော်လှန်ရေးပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့များက ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလမှ စတင်ကာ ထိန်းချုပ်ထားခဲ့သော အင်းတော်မြို့၏ မြို့နယ်ခွဲဖြစ်သည့် [[မော်လူးမြို့]]ကို မြန်မာစစ်တပ်က မေလ ၅ ရက်နေ့တွင် ထိန်းချုပ်လိုက်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-05-05 |title=၂၀၂၆ မေ ၅ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - အိန္ဒိယ-မြန်မာ နှစ်နိုင်ငံနယ်စပ်မှာ လက်နက်ကိုင်တပ်တွေ မရှိရေး နေပြည်တော်နဲ့ ဒေလီဆွေးနွေး |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cm2p15nvdm6t |access-date=2026-05-05 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> * ၆ မေ - မတ္တရာ၊ သပိတ်ကျင်း၊ တကောင်း၊ ထီးချိုင့်၊ ကသာ၊ အင်းတော်နှင့် မော်လူးတို့ကို စစ်တပ်က ပြီးခဲ့သည့် လများအတွင်း ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့ပြီးနောက် မန္တလေး-မတ္တရာ-သပိတ်ကျင်း-တကောင်း-ထီးချိုင့်-ကသာ-အင်းတော်-မော်လူး-နန့်စီးအောင်-မိုးညှင်း-မိုးကောင်း-မြစ်ကြီးနား လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက်အား အပြည့်အဝ ထိန်းချုပ်နိုင်ပြီး၊ ဖွင့်လှစ်လိုက်ကြောင်း နိုင်ငံပိုင်သတင်းစာများမှ ကြေညာသည်။ <ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ မေ၇ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - မန္တလေး-မြစ်ကြီးနား ကားလမ်းတစ်ခုလုံးကို ထိန်းချုပ်နိုင်ပြီလို့ စစ်တပ်ကြေညာ|url=https://www.bbc.com/burmese/live/c3r2n458gw2t|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-05-07|access-date=2026-05-07|language=my}}</ref><ref>{{Cite web|title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက အကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူများ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် နေရာများအား ပြန်လည်တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်ပြီး မန္တလေး - မတ္တရာ - သပိတ်ကျင်း-တကောင်း- ထီးချိုင့် - ကသာ - အင်းတော် - မော်လူး - နန့်စီးအောင် - မိုးညှင်း - မိုးကောင်း - မြစ်ကြီးနား ဆက်သွယ်ရေးလမ်းကြောင်းအား ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်ပေးနိုင်ခဲ့ {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/82465|website=www.moi.gov.mm|access-date=2026-05-07|language=en}}</ref> * [[၇ မေ]] - မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး၊ [[မိုးကုတ်မြို့နယ်|မိုးကုတ်]]ရတနာမြေမှ အလေးချိန် ၂,၂၀၀ ဂရမ် (၁၁,၀၀၀ ကရက်) အရွယ်အစားကြီးမားသည့် ပတ္တမြားတစ်ပွင့် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်၊ နိုင်ငံတော်သမ္မတ ဦးမင်းအောင်လှိုင် မိုးကုတ်ရတနာမြေမှ ရှာဖွေတွေ့ရှိသည့် ထူးခြားလှပပြီး အရွယ်အစားကြီးမားသော ပတ္တမြားကြီးအား ကြည့်ရှု {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/82498 |access-date=2026-05-08 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> * ၉ မေ - UFC 328 ၏ Co-Main Event ပွဲဖြစ်သည့် ဖလိုင်းဝိတ်တန်း ချန်ပီယံရှစ်ပွဲတွင် လက်ရှိချန်ပီယံ မြန်မာ MMA ကစားသမား [[ဂျော့ရှုအာဗန်|ဂျိုရှူအာဗန်]]က ပြိုင်ဘက် ဂျပန်ကစားသမား တက်ဆူရို တိုင်ရာအား အလဲထိုးနည်းဖြင့် အနိုင်ရရှိကာ ဖလိုင်းဝိတ်တန်း ချန်ပီယံခါးပတ်ကို ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=■ဂျိုရှူအာဗန် တက်ဆူရိုတိုင်ရာကို ငါးချီမြောက်တွင် အနိုင်ရပြီး ဖလိုင်းဝိတ်ချန်ပီယံကာကွယ် |url=https://news-eleven.com/article/311821 |access-date=2026-05-10 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * ၁၁ မေ - ဦးရဲသွင်ဟိန်း၏ [[မြေလတ်အသံ]](Myaelatt Athan)၊ ဦးဝင်းဇော်နိုင်၏ Red News Agency နှင့် ဦးဇင်မင်းထက်၏ Asia Citizens (အာရှနိုင်ငံသားများ) သတင်းအေဂျင်စီ ၃ ခုကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့မှစ၍ ပိတ်သိမ်းလိုက်ကြောင်း ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ပြန်သည်။ <ref>{{Cite web|title=သတင်းအေဂျင်စီလုပ်ငန်း ပိတ်သိမ်းကြောင်း အသိပေးကြေညာချက် {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/82656|website=www.moi.gov.mm|access-date=2026-05-12|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=သတင်းဌာန ၃ ခုကို စစ်အာဏာရှင်က ထပ်မံပိတ်သိမ်း|url=https://burmese.dvb.no/post/566989|website=DVB Burmese|access-date=2026-05-12|language=en}}</ref> * ၁၄ မေ - အမေရိကန်သမ္မတ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်|ဒေါ်နယ်ထရမ့်]] (Donald Trump) သည် တရုတ်ခေါင်းဆောင် [[ရှီကျင့်ဖျင်]] (Xi Jinping) နှင့် တွေ့ဆုံရန်အတွက် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ|တရုတ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပေကျင်းမြို့]]သို့ ရောက်ရှိလာသည်။<ref>{{Cite web |title=■ အမေရိကန်သမ္မတထရန့်နှင့် တရုတ်သမ္မတရှီတို့ တွေ့ဆုံ |url=https://news-eleven.com/article/311904 |access-date=2026-05-14 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> * ၁၈ မေ - [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး|ရန်ကုန်တိုင်း]]၊ [[ကျောက်တန်းမြို့]]အနီး မြန်မာ့ကမ်းရိုးတန်းကို ဗဟိုပြုပြီး မနက် ၈ နာရီ ၃၅ မိနစ်ဝန်းကျင်က အင်အားရစ်ချ်တာစကေး ၅ ဒသမ ၂ အဆင့်ရှိတဲ့ အင်အားအတော်အသင့်ပြင်းထန်တဲ့ မြေငလျင်တခု လှုပ်ခတ်သွားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ကျောက်တန်းမြို့အနီး ဗဟိုပြုပြီး အင်အား ၅ ဒသမ ၃ ရှိ ငလျင်လှုပ် |url=https://burmese.dvb.no/post/359449 |access-date=2026-05-18 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> ** စစ်ကိုင်းတိုင်း၊ [[ဒီပဲယင်းမြို့နယ်]]ရှိ မုံရွာ-ရေဦး အဝေးပြေးလမ်းမကြီးဘေးတွင် တည်ရှိသော [[စိုင်ပြင်မြို့]]ကို "Operation OTT" စစ်ဆင်ရေးအဖြစ် တိုက်ခိုက်သိမ်းယူခဲ့ကြောင်း [[ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (PDF)၊ အမှတ် (၁) ရွှေဘိုခရိုင် စစ်ဌာနက သတင်းထုတ်ပြန်လိုက်သည်။<ref>{{Cite web|title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မေ ၁၉ ရက် ဘီဘီစီတိုက်ရိုက်သတင်းထုတ်လွှင့်ချက် - လွတ်လပ်ရေးနှစ် ၂၅၀ ပြည့် အိမ်ဖြူတော် UFC ပွဲမှာ မြန်မာဖိုက်တာ ဗန် ပါဝင်|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cgrp1972qent|website=BBC News မြန်မာ|date=2026-05-19|access-date=2026-05-19|language=my}}</ref> *၁၉ မေ - ၂၀၂၅ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁၄ ရက်တွင် KNU၊ KNLA နှင့် PDF တို့က သိမ်းပိုက်ထားသည့် [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး|တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး၊]] [[မြိတ်ခရိုင်]]၊ [[တနင်္သာရီမြို့နယ်]]၊ [[မောတောင်မြို့]]ကို စစ်အုပ်စုက ၂၀၂၆ ခုနှစ် မေလ ၅ ရက်မှစတင်သည့် စစ်ကြောင်းဖြင့် သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက KNU၊ KNLA နှင့် PDF အမည်ခံ ကိုယ်ကျိုးရှာအကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူ ပူးပေါင်းအဖွဲ့များ ယာယီစိုးမိုးထားသော မောတောင်မြို့အား အလုံးစုံပြန်လည်သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/index.php/news/82973 |access-date=2026-05-20 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> *မေ ၂၆ - [[၂၀၂၆ ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု]] *၂၈ မေ - ကိုးလကြာ ပိတ်ထားခဲ့သော [[ထိုင်း-မြန်မာ နယ်စပ်]] ကုန်သွယ်ရေးတွင် အရေးပါသည့် မြဝတီ-မဲဆောက် [[မြန်မာ - ထိုင်း အမှတ် (၁) ချစ်ကြည်ရေးတံတား|အမှတ် ၂ ချစ်ကြည်ရေးတံတား]]အား ပြန်လည်ဖွင့်လှစ်လိုက်ပြီဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |date=2026-05-28 |title=၂၀၂၆ခုနှစ် မေ ၂၈-ဘန်ကောက်မှာ ကလေးငယ်တွေကို ညှဉ်းပန်းပြီး ပန်းရောင်းခိုင်းတဲ့မြန်မာ ၃ ဦးကို ရဲဖမ်း |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cg4pw09y4yvt |access-date=2026-05-28 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> *၂၀၂၅ ခုနှစ်  အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲတွင် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သူများအနက် ရွေးကောက်ပွဲကုန်ကျစရိတ်စာရင်းအား သတ်မှတ်ရက်အတွင်း တင်သွင်းခြင်းမရှိသည့် လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်လောင်း ၄၁ ဦးကို အရည်အချင်းပျက်ယွင်းသူများအဖြစ် ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်က ကြေညာချက်အမှတ် (၄၇/၂၀၂၆)ဖြင့် ၂ဝ၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီ ၃ ရက်တွင် ထုတ်ပြန်ထားကြောင်း မြန်မာနိုင်ငံပြန်တမ်းတွင် ဖော်ပြထားသည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၂၅ ခုနှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲတွင် ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သူများအနက် လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်လောင်း ၄၁ ဦးကို အရည်အချင်းပျက်ယွင်းသူများအဖြစ် UEC ကြေညာ |url=https://news-eleven.com/article/312227 |access-date=2026-05-28 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> *၃၀ မေ - သမ္မတဦး[[မင်းအောင်လှိုင်]]သည် [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]]သို့ တရားဝင်ချစ်ကြည်ရေး ခရီးစဉ် စတင်ထွက်ခွာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NP News |url=https://www.npnewsmm.com/news/6a1a7327acbcdc59760091ee |access-date=2026-05-30 |website=www.npnewsmm.com}}</ref> *[[၃၁ မေ]] - [[၂၀၂၆ နမ့်ခမ်း ပေါက်ကွဲမှု]] === ဇွန် === *၆ ဇွန် - မြန်မာနှင့် ရုရှားတို့သည် [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး|တနင်္သာရီတိုင်း]]၊ [[ထားဝယ်မြို့]]ရှိ ရေနက်ဆိပ်ကမ်းစီမံကိန်းအတွက် ၆၆၀ မဂ္ဂါဝပ် [[ကျောက်မီးသွေး]]သုံး [[ဓာတ်အားပေးစက်ရုံ]] တည်ဆောက်ရေး နားလည်မှုစာချွန်လွှာကို [[စိန့်ပီတာစဘတ်မြို့]]၌ ကျင်းပသည့် စီးပွားရေးဖိုရမ်အတွင်း လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-10 |title=၂၀၂၆ ဇွန်လ ၁၀ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - တရားမဝင် ရွှေတူးဖော်မှုတွေ နှိမ်နင်းမယ်လို့ ဦးမင်းအောင်လှိုင်ပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/live/czx5r48ynzgt |access-date=2026-06-10 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> *၁၁ ဇွန် - ၁၉ ဇူလိုင် - [[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား]] *၁၅ ဇွန် - သမ္မတ ဦး[[မင်းအောင်လှိုင်]] သည် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ|တရုတ်နိုင်ငံ]]သို့ နိုင်ငံတော်အဆင့် ချစ်ကြည်ရေးခရီးစဉ် စတင်ထွက်ခွာခဲ့ပြီး၊ [[ပေကျင်းမြို့]]သို့ ရောက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |title=သမ္မတ ဦးမင်းအောင်လှိုင် ဦး​ဆောင်သည့် မြန်မာအဆင့်မြင့်ကိုယ်စားလှယ်အဖွဲ့ တရုတ်နိုင်ငံ ​​​​ပေကျင်းမြို့သို့​ရောက်ရှိ |url=https://news-eleven.com/article/312702 |access-date=2026-06-15 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == ကွယ်လွန်သူများ == * <!--Do not add people without Wikipedia articles to this list Do not trust "this year in history" websites for accurate date information Do not link multiple occurrences of the same year, just link the first occurrence. No red links, please.-->[[၂၆ ဇန်နဝါရီ]] - [[မြင့်ထွေး]]၊ [[ကျန်းမာရေးနှင့် အားကစား ဝန်ကြီးဌာန|ကျန်းမာရေးနှင့် အားကစား ဝန်ကြီးဌာနဝန်ကြီးဟောင်း]] ([[၁၉၄၈]] ဖွား) * [[၆ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[စိန်ဝင်း၊ ဒေါက်တာ|စိန်ဝင်း]]၊ နိုင်ငံရေးသမားနှင့် [[ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသားညွန့်ပေါင်းအစိုးရ|ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသားညွန့်ပေါင်းအစိုးရ၏ ဝန်ကြီးချုပ်]] ([[၁၉၄၄]] မွေးဖွား) * [[၂၈ ဖေဖော်ဝါရီ]] - [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]]၊ အီရန်နိုင်ငံ၏ သမ္မတဟောင်းနှင့် နိုင်ငံ့အထွတ်အထိပ်ခေါင်းဆောင် ([[၁၉၃၉]] မွေးဖွား) * [[၂ ဇွန်]] - [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]]၊ ရုပ်ရှင်ဒါရိုက်တာနှင့် ကဗျာဆရာ (၁၉၆၁ ဝန်းကျင်မွေးဖွား) * [[၁၁ ဇွန်]] - [[ဝဇိရကိတ္တိယာဘာ]]၊ ထိုင်းတော်ဝင်မင်းသမီး ([[၁၉၇၈]] မွေးဖွား) * [[၁၈ ဇွန်]] - [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]]၊ [[အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆု]]ရ ဆရာကြီး (၁၉၃၆ မွေးဖွား) == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၀ ဆယ်စုနှစ်]] 59qeag5ekm7bpj3ayus3bsdmsddtj4j 0 282366 1039357 1038550 2026-06-18T09:22:15Z Zawzawaungthwin 100038 နှစ်နိုင်ငံ သမ္မတ များ လက်မှတ်ရေး 1039357 wikitext text/x-wiki {{current}} {{Infobox military conflict | conflict = ၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ | partof = [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ|အရှေ့အလယ်ပိုင်း]] အကျပ်အတည်း (၂၀၂၃–လက်ရှိ) နှင့် ၂၀၂၆ [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]]–[[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]] အကျပ်အတည်း | date = ၂၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၆ – ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ ({{Age in days|2026|2|28|2026|6|17}} ရက်) | place = အနောက်အာရှ <br>(အဓိကအားဖြင့် [[ပါရှန်ပင်လယ်ကွေ့ရှိ အာရပ်ပြည်များ|ပါရှန်ပင်လယ်ကွေ့ဒေသ]]) | status = နှစ်နိုင်ငံ သမ္မတ များ လက်မှတ်ရေးထိုးပြီး စစ်ပွဲ ကို အဆုံးသတ်ခဲ့ကြသည် | image = 2026 Iran war collage.jpg | image_size = 300px | caption = ၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ | combatant1 = {{flag|United States}}<br />{{flag|Israel}} <br> {{flag|Saudi Arabia}} <Br> {{flag|United Arab Emirates}} <br> {{flag|Kuwait}} | combatant1a = '''တိုက်ခိုက်မှုမပါ ကာကွယ်ရေးကူညီမှုပေးသည့် နိုင်ငံများ:'''<br> {{tree list}} * {{flag|Bahrain}} * {{flag|France}} * {{flag|Germany}} * {{flag|Iraq}} ** '''Kurdistan Region'''<br>{{small|(ပက်ရှ်မာဂါ တပ်ဖွဲ့)}} * {{flag|Jordan}} * {{flag|Kuwait}} * {{flag|Oman}} * {{flag|Qatar}} * {{flag|Saudi Arabia}} * {{flag|Syria}} * {{flag|Ukraine}} * {{flag|United Arab Emirates}} * {{flag|United Kingdom}} ** '''Akrotiri and Dhekelia''' <br>{{small|(ဗြိတိန်စစ်အခြေစိုက် ပြည်ပနယ်မြေ)}} {{tree list/end}} | combatant2 = {{tree list}} *{{flag|Iran}} *{{flag|ဟစ်ဇ်ဘိုလာ}} {{tree list/end}} | commander1 = {{flagicon|United States}} [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်]]<br>{{small|(အမေရိကန်သမ္မတ)}}<br> {{flagicon|Israel}} [[ဘင်ဂျမင် နေတန်ယာဟု]]<br>{{small|(အစ္စရေးဝန်ကြီးချုပ်)}} | commander2 = {{flagicon|Iran}} [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]]<br>{{small|(နိုင်ငံဥသျှောင်)}}<br> {{flagicon|Iran}} [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်]]<br>{{small|(အီရန်သမ္မတ)}} | units1 = {{tree list}} * {{flag|United States}} * {{flagicon image|Flag of the U.S. Central Intelligence Agency.svg}} [[စီအိုင်အေ]] <ref>{{Cite news |first1=Julian E. |last1=Barnes |first2=Ronen |last2=Bergman |first3=Eric |last3=Schmitt |first4=Tyler |last4=Pager |date=1 March 2026 |title=The C.I.A. Helped Pinpoint a Gathering of Iranian Leaders. Then Israel Struck. |url=https://www.nytimes.com/2026/03/01/us/politics/cia-israel-ayatollah-compound.html |access-date=1 March 2026 |work=The New York Times |language=en-US |issn=0362-4331}}</ref> {{tree list/end}} * {{flag|Israel}}<ref name="auto">{{Cite web|url=https://www.timesofisrael.com/liveblog_entry/israel-calls-up-20000-reservists-in-addition-to-the-50000-reservists-currently-on-duty/|title=Israel calls up 20,000 reservists, in addition to the 50,000 reservists currently on duty|first=Emanuel|last=Fabian|date=28 February 2026|via=www.timesofisrael.com}}</ref> * {{flagicon image|Flag of IDF Military Intelligence Directorate.svg}}<br>{{small|အစ္စရေးထောက်လှမ်းရေး}} * {{flagicon image|Flag of IDF Home Front Command.svg}}<br>{{small|(အစ္စရေးပြည်တွင်းစစ်ဌာန)}} {{tree list/end}} | units2 = {{tree list}} * {{flagicon|Iran}} [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်|အီရန်အစိုးရ]] ** [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အီရန်စစ်တပ်]] * {{small|(အီရန်မဟာမိတ်များ)}} {{tree list/end}} | casualties1 = {{flagdeco|USA}} စစ်သည် ၃ ဦး သေဆုံး၊ ၅ ဦး ဒဏ်ရာပြင်းထန်<br> {{flagdeco|Israel}} အရပ်သား ၁၂ ဦး သေဆုံး၊ ၄၅၀ ကျော် ဒဏ်ရာရ | casualties2 = * ပြစ်မှတ် ၁,၀၀၀ ကျော် တိုက်ခိုက်ခဲ့<br> * ခေါင်းဆောင် ၄၈ ဦး သေဆုံး<br> * စစ်သင်္ဘော ၉ စင်း ဖျက်ဆီး<br>{{small|အမေရိကန် ထုတ်ပြန်ချက်}}<hr> * အရပ်သား ၂၀၁ ဦး သေဆုံး <br> ၇၄၇ ဦး ဒဏ်ရာရ <br>{{small|အီရန် ထုတ်ပြန်ချက်}} | casualties3 = '''ဒေသတွင်းနိုင်ငံများအား အီရန်တိုက်ခိုက်မှု'''<br> {{flagdeco|UAE}}<br>{{small|[[အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စုနိုင်ငံ|ယူအေအီး]]}} ၃ ဦး သေဆုံး၊ ၅၈ ဦး ဒဏ်ရာရ<br> {{flagdeco|Kuwait}}<br>{{small|[[ကူဝိတ်နိုင်ငံ|ကူဝိတ်]]}} ၁ ဦး သေဆုံး၊ ၃၂ ဦး ဒဏ်ရာရ<br> {{flagdeco|Qatar}}<br>{{small|[[ကာတာနိုင်ငံ|ကာတာ]]}} ၁၆ ဦး ဒဏ်ရာရ<br> {{flagdeco|Jordan}}<br>{{small|[[ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ|ဂျော်ဒန်]]}} ၅ ဦး ဒဏ်ရာရ<br> {{flagdeco|Bahrain}}<br>{{small|[[ဘာရိန်းနိုင်ငံ|ဘာရိန်း]]}} ၁ ဦး သေဆုံး၊ ၆ ဦး ဒဏ်ရာရ<br> {{flagdeco|Oman}}<br>{{small|[[အိုမန်နိုင်ငံ|အိုမန်]]}} ၁ ဦး ဒဏ်ရာရ }} '''၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ'''သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]]နှင့် [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]]တို့က [[အီရန်နိုင်ငံ]]တစ်ဝှမ်းရှိ မြို့ကြီးများနှင့် အရေးပါသော နေရာအတော်များများကို အလစ်အငိုက် လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့ရာမှ စစ်ပွဲစတင်ဖြစ်ပွားခဲ့သည့် ကြီးမားသည့်စစ်ပွဲ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ တိုက်ခိုက်မှုများကြောင့် [[အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်]] [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီခါမေနီ]] နှင့် အဆင့်မြင့်အရာရှိ အများအပြား သေဆုံးခဲ့ရသည်။ ယင်းလုပ်ရပ်အပေါ် တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် အီရန်ဘက်ကလည်း အစ္စရေးနိုင်ငံ အပါအဝင် [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ]]ရှိ အမေရိကန် စစ်အခြေစိုက်စခန်းများနှင့် အမေရိကန်၏ မဟာမိတ်နိုင်ငံများကို ဒုံးကျည်များ၊ ဒရုန်းများဖြင့် ပြန်လည်တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ထိုစစ်ပွဲ ကို ကြားခံ [[ပါကစ္စတန်နိုင်ငံ]] မှတဆင့် အမေရိကန် နှင့် အီရန် တို့အကြား အကြိမ်ကြိမ်ဆွေးနွေးမှုများပြုလုပ်ပြီးနောက် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၇ ရက်နေ့တွင် အမေရိကန်သမ္မတ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်|ဒေါ်နယ်ထရမ့်]] နှင့် အီရန်သမ္မတ [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်]] တို့သည် အရှေ့အလယ်ပိုင်းစစ်ပွဲကို အဆုံးသတ်ရန်အတွက် သဘောတူညီချက်တစ်ရပ်ကို ဒီဂျစ်တယ်စနစ်ဖြင့် လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite news |date=2026-06-15 |title=US, Iran reach deal to end war, reportedly including Lebanon conflict; Trump: Hormuz to open |url=https://www.timesofisrael.com/us-iran-reach-deal-to-end-war-reportedly-including-lebanon-conflict-trump-hormuz-to-open/ |access-date=2026-06-15 |work=The Times of Israel |language=en-US |issn=0040-7909}}</ref> <ref>{{Cite web |title=အမေရိကန်နှင့် အီရန်သမ္မတများ အပစ်ရပ်လက်မှတ်ထိုး၊ ပြန်တိုက်နိုင်ခြေရှိဟု ထရမ့်ပ်ပြော |url=https://burmese.dvb.no/post/118415 |access-date=2026-06-18 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Ali |first=Taz |date=2026-06-18 |title=Middle East crisis live: Tehran says it will charge ships in strait of Hormuz after 60 days; US-Iran presidents sign peace deal |url=https://www.theguardian.com/world/live/2026/jun/18/middle-east-crisis-live-us-iran-presidents-sign-peace-deal-mou-trump-tehran-strait-of-hormuz-toll-lebanon-israel |access-date=2026-06-18 |work=the Guardian |language=en-GB |issn=0261-3077}}</ref> <ref>{{Cite web |last=Humphrey |first=Andrew |last2=Lapham |first2=Jake |date=2026-06-18 |title=Trump and Iran's Pezeshkian sign initial deal to end war - live updates |url=https://www.bbc.com/news/live/c8j2ewl0dpxt |access-date=2026-06-18 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရင်းများ == အစ္စရေးနှင့် အီရန်၏ မဟာမိတ်လက်နက်ကိုင်အဖွဲ့များသည် ၁၉၈၅ ခုနှစ်မှစ၍ ပဋိပက္ခဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် တိုက်ရိုက်ထိပ်တိုက်တွေ့မှုများ ပိုမိုပြင်းထန်လာခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် "၁၂-ရက်ကြာစစ်ပွဲ" အဖြစ် ထင်ရှားခဲ့သည့် [[အီရန်–အစ္စရေး စစ်ပွဲ]] ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသည် အီရန်၏ နျူကလီးယားစက်ရုံများကို ဖျက်ဆီးရန် ရည်ရွယ်သော တိုက်ခိုက်မှုများလည်း ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ၂၀၂၆ အီရန် စစ်ပွဲ မဖြစ်ပွားမီ တစ်လခွဲခန့်အလိုတွင် အီရန်နိုင်ငံ၌ [[အီရန်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံရေး|အစ္စလာမ္မစ်တော်လှန်ရေး]]နောက်ပိုင်း ယနေ့ခေတ် အီရန်သမိုင်းတွင် အကြီးမားဆုံး အစုလိုက်အပြုံလိုက် သတ်ဖြတ်မှုအဖြစ် သတ်မှတ်ခံရသည့် [[၂၀၂၅-၂၀၂၆ အီရန် ဆန္ဒပြပွဲ|အကြီးမားဆုံးဆန္ဒပြမှု]] ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး၊ထိုကာလအတွင်း အရပ်သားထောင်နှင့်ချီ သေဆုံးခဲ့သည်။ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်|ဒေါ်လ်နယ်ထရမ့်]]က ထိုဆန္ဒပြမှုအပေါ် “အကူအညီရောက်လာမည်” ဟု အတိအလင်း ထုတ်ဖော် ပြောကြားခဲ့သည်။ ထိုပြောကြားမှုအပြီး၌ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသည် အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် [[ပင်လယ်ကွေ့ စစ်ပွဲ|၂၀၀၃ ခုနှစ် အီရတ်ကျူးကျော်မှု]]နောက်ပိုင်း အကြီးမားဆုံး စစ်အင်အားတိုးချဲ့ချထားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ထို့နောက် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]]နှင့် [[အစ္စရေးနိုင်ငံ|အစ္စရေး]]တို့က [[အီရန်နိုင်ငံ]]တစ်ဝှမ်းရှိ မြို့ကြီးများနှင့် အရေးပါသော နေရာအတော်များများကို အလစ်အငိုက် လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့ခြင်းဖြင့် စစ်ပွဲကိုစတင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=26 February 2026 |title=US-Iran talks end with no deal but potential signs of progress |url=https://www.reuters.com/world/middle-east/us-iran-nuclear-talks-resume-geneva-against-backdrop-military-threat-2026-02-26/ |access-date=26 February 2026 |work=[[Reuters]]}}</ref> == နောက်ဆက်တွဲဖြစ်ရပ်များ == ဤပဋိပက္ခကြောင့် [[ရေနံ]]နှင့် [[သဘာဝဓာတ်ငွေ့]]ဈေးနှုန်းများ ရုတ်ခြုံ့မြင့်တက်လာခြင်း၊ လေကြောင်းလိုင်းများနှင့် ခရီးသွားလုပ်ငန်းများတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်ပေါ်ခြင်းနှင့် ဘဏ္ဍာရေးဈေးကွက်အတွင်း မတည်ငြိမ်မှုများ ပိုမိုမြင့်မားလာခြင်းတို့ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ အီရန်နိုင်ငံသည် ၎င်း၏ စွမ်းအင်ဆိုင်ရာ အဆောက်အအုံများ တိုက်ခိုက်ခံရမှုကို တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် [[၂၀၂၆ ဟော်မုဇ်ရေလက်ကြား အကျပ်အတည်း|ဟော်မုဇ်ရေလက်ကြား (Strait of Hormuz) ကို ပိတ်ပစ်ခဲ့ပြီး]] စွမ်းအင်ဆိုင်ရာ အဆောက်အအုံများကိုလည်း တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ ယင်းလုပ်ရပ်သည် ပင်လယ်ပြင်ဥပဒေကို ချိုးဖောက်ခြင်းဖြစ်သည်ဟု ရှုမြင်ကြပြီး<ref>{{cite news |last1=Elliott |first1=Rebecca F. |date=28 February 2026 |title=Oil Shipments in Persian Gulf Already Disrupted by Iran Attack |url=https://www.nytimes.com/2026/02/28/business/energy-environment/oil-gas-iran-attack.html |work=[[The New York Times]] |last2=Eavis |first2=Peter}}</ref><ref name="uf">{{Cite web |last=Nevitt |first=Mark |date=15 March 2026 |title=Legal and Operational Issues in the Strait of Hormuz: Transit Passage Under Fire |url=https://www.justsecurity.org/133996/legal-operational-strait-hormuz-transit-passage/ |access-date=18 March 2026 |website=[[Just Security]] |language=en-US}}</ref> ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ရေနံနှင့် သဘာဝဓာတ်ငွေ့ တင်ပို့မှုများကိုလည်း ပြတ်တောက်စေခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Qatar says Iran attack caused significant damage at Ras Laffan gas facility |url=https://www.aljazeera.com/news/2026/3/18/qatar-says-iran-missile-attack-sparks-fire-causes-damage-at-gas-facility |access-date=19 March 2026 |website=Al Jazeera}}</ref> အီရန်၊ အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးနိုင်ငံတို့သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၈ ရက်နေ့မှစတင်၍ သီတင်းပတ်နှစ်ပတ်ကြာ အပစ်အခတ်ရပ်စဲရန် သဘောတူညီခဲ့ကြသည်။<ref name="Pager-2026">{{Cite news |last= |date=7 April 2026 |title=U.S., Iran and Israel Agree to Cease-Fire |url=https://www.nytimes.com/live/2026/04/07/world/iran-war-trump-news/f1657559-8135-50c9-ad7f-63636e6a5106?smid=url-share |access-date=7 April 2026 |work=The New York Times |language=en-US |issn=0362-4331}}</ref>ထိုသဘောတူညီချက်သည် စစ်ပွဲ အဆုံးသတ်နိုင်ရေးကို အထောက်အကူပြုနိုင်ခဲ့သည်။ == ၂၀၂၆ အမေရိကန်-အီရန် သဘောတူညီချက် == '''၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၄ ရက်နေ့'''တွင် အမေရိကန်နှင့် အီရန်နိုင်ငံတို့သည် စစ်ပွဲအဆုံးသတ်ရေး မူဘောင်သဘောတူညီချက်တစ်ရပ်ကို ရရှိခဲ့သည်။ ပါကစ္စတန်ဝန်ကြီးချုပ် ရှာဘက်ဇ်ရှရစ်ဖ်၏ ကြားဝင်ညှိနှိုင်းမှုဖြင့် ရရှိခဲ့သော ဤသဘောတူညီချက်အရ လက်ဘနွန်အပါအဝင် စစ်မျက်နှာအားလုံးတွင် စစ်ရေးလှုပ်ရှားမှုများကို အပြီးတိုင် ရပ်စဲရန် သဘောတူညီခဲ့ကြသည်။အဆိုပါ သဘောတူညီချက်ဆိုင်ရာ နားလည်မှုစာချွန်လွှာ (MoU) ကို ဇွန်လ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ၌ လက်မှတ်ရေးထိုးကြရန် မူလက သဘောတူညီချက်ထားခဲ့ကြသည်။ အမေရိကန်သမ္မတ ဒေါ်နယ်ထရမ့်ပ်က ဇွန်လ ၁၄ ရက်နေ့ (အရှေ့ပိုင်းစံတော်ချိန်) တွင် အီရန်နှင့် သဘောတူညီမှုရရှိပြီဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုကြေညာခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း အီရန်၏ နျူကလီးယားစီမံကိန်းကိစ္စရပ်များကိုမူ အနာဂတ်ဆွေးနွေးပွဲများတွင် ဆက်လက်ဖြေရှင်းသွားရန် သတ်မှတ်ထားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=အမေရိကန်-အီရန် စစ်ပွဲအဆုံးသတ်ရန် သဘောတူ၊ ဇွန် ၁၉ ရက် လက်မှတ်ထိုးမည် |url=https://burmese.dvb.no/post/109716 |access-date=2026-06-15 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> ဤသဘောတူညီချက်ကြောင့် အီရန်အပေါ် ချမှတ်ထားသော ပိတ်ဆို့မှုများနှင့် ဟော်မုဇ်ရေလက်ကြား ပိတ်ဆို့ထားမှုများသည် ရပ်ဆိုင်းသွားခဲ့သည်။ယင်းသတင်း ထွက်ပေါ်ပြီးနောက် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် ရေနံစျေးနှုန်းများ ကျဆင်းခဲ့ရာ ဘရန့်ရေနံစိမ်းစျေး ၄ ရာခိုင်နှုန်းနှင့် အမေရိကန် အနောက်တက္ကဆက် ရေနံစိမ်းစျေး ၄ ဒသမ ၆ ရာခိုင်နှုန်း အသီးသီး ကျဆင်းခဲ့သည်။ယင်းအပြင် E4 ဟု ခေါ်သည့် ယူကေ၊ ပြင်သစ်၊ ဂျာမနီနှင့် အီတလီတို့က အမေရိကန်နှင့် အီရန်ကြား ငြိမ်းချမ်းရေးသဘောတူညီမှု ရရှိခဲ့ပြီးနောက် အီရန်အပေါ် ချမှတ်ထားသည့် ဒဏ်ခတ်အရေးယူမှုများကို ရုပ်သိမ်းရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကြေညာခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |title=အီရန်အပေါ် ပိတ်ဆို့အရေးယူမှုများကို ရုပ်သိမ်းရန် ယူကေ၊ ပြင်သစ်၊ ဂျာမနီနှင့် အီတလီတို့ အသင့်ရှိဟုဆို |url=https://news-eleven.com/article/312703 |access-date=2026-06-15 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> === လက်မှတ်ရေးထိုးကြခြင်း === ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၇ ရက်နေ့တွင် အမေရိကန်သမ္မတ ဒေါ်နယ်ထရမ့် နှင့် အီရန်သမ္မတ [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်]] တို့သည် အရှေ့အလယ်ပိုင်းစစ်ပွဲကို အဆုံးသတ်ရန်အတွက် သဘောတူညီချက်တစ်ရပ်ကို ဒီဂျစ်တယ်စနစ်ဖြင့် လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ကြသည်။ ပြင်သစ်နိုင်ငံ၌ ကျင်းပသည့် G7 ထိပ်သီးအစည်းအဝေးသို့ တက်ရောက်နေသော သမ္မတထရမ့်က အဆိုပါ သဘောတူညီမှုကို အတည်ပြုခဲ့ပြီး၊ အီရန်နိုင်ငံပိုင် IRNA သတင်းအေဂျင်စီကလည်း အီရန်နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန၏ အတည်ပြုချက်ကို ထပ်ဆင့်ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထိုသဘောတူညီချက်အရ အီရန်နိုင်ငံသည် ၎င်းတို့၏ သန့်စင်ပြီး ယူရေနီယံများကို နျူကလီးယားလက်နက် ထုတ်လုပ်၍မရသည့် အဆင့်အထိ လျှော့ချသွားမည်ဖြစ်ပြီး၊ နျူကလီးယားလက်နက်များ ဝယ်ယူခြင်း သို့မဟုတ် တီထွင်ခြင်း မလုပ်ဆောင်ရန် ထပ်လောင်းကတိပြုခဲ့သည်။ အပြန်အလှန်အားဖြင့် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသည် အီရန်၏ စီးပွားရေးကို ထိခိုက်စေသည့် ရေနံတင်ပို့ရောင်းချမှုဆိုင်ရာ ပိတ်ဆို့အရေးယူမှုများကို ချက်ချင်းဖယ်ရှားပေးရန် သဘောတူညီခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ကုလသမဂ္ဂ လုံခြုံရေးကောင်စီမှ ချမှတ်ထားသည့် ပိတ်ဆို့အရေးယူမှု အမျိုးအစားအားလုံးကိုလည်း အချိန်ဇယားအတိုင်း ရုပ်သိမ်းပေးသွားမည်ဟု အမေရိကန်က တာဝန်ယူခဲ့သည်။ သဘောတူညီချက်တွင် အီရန်၏ ကန့်သတ်ခံထားရသော ရန်ပုံငွေနှင့် ပိုင်ဆိုင်မှုများကို အပြည့်အဝ ပြန်လည်အသုံးပြုခွင့်ပေးရန်နှင့် နျူကလီးယားသဘောတူညီချက် နောက်ဆုံးရရှိပြီးချိန်တွင် ဒေသတွင်းနိုင်ငံများ ပံ့ပိုးမည့် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၃၀၀ ဘီလီယံတန်ဖိုးရှိ ပြန်လည်ထူထောင်ရေး ရန်ပုံငွေကိုလည်း အမေရိကန်က ကူညီဆောင်ရွက်ပေးမည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ သို့သော် သမ္မတထရမ့်က ၎င်းတို့၏ သတ်မှတ်ချက်များကို ရက်ပေါင်း ၆၀ အတွင်း အကောင်အထည် မဖော်နိုင်ပါက စစ်ရေးအရ ဆက်လက်တုံ့ပြန်သွားမည်ဖြစ်ကြောင်း သတိပေးစကား ပြောကြားခဲ့သည်။ == တိုက်ခိုက်မှုများ == အီရန်အပေါ် အမေရိကန်နဲ့ အစ္စရေး ပူးပေါင်းလေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှု ပထမနေ့ကို မြို့တော် [[တီဟီရန်မြို့]] ၊ ကွမ်မြို့၊ ကာရာ့မြို နှင့် ကာမန်ရှားမြို့များတွင် စတင်ခဲ့သည်။ အီရန်အစိုးရ၏ ထိပ်တန်းတာဝန်ရှိသူအချို့ သေဆုံးခဲ့ပြီး [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။၎င်း၏ နေအိမ်နှင့် ရုံးစခန်းလည်း ဖျက်ဆီးခံခဲ့ရသည်။ ပေါက်ကွဲမှုများကို တွေ့မြင်ရပြီးနောက် အစ္စရေးကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး သည် အစ္စရေးစစ်တပ် ၏ တိုက်ခိုက်မှုဖြစ်ကြောင်း အစောဆုံး အတည်ပြုခဲ့သည်။ အမေရိကန်သမ္မတ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်]] ကလည်း Truth Social တွင် တင်ထားသော ဗီဒီယိုမှတစ်ဆင့် အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့သည် အီရန်ကို ပူးတွဲတိုက်ခိုက်ခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့ပြီး၊နောက်ပိုင်းတွင် အယာ တိုလာ အလီ ခါမေနီ သေဆုံးပြီဟု အမေရိကန်သမ္မတ ဒေါ်နယ်ထရမ့် ကိုယ်တိုင် ကြေညာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အီရန်နိုင်ငံပိုင် ရုပ်သံက [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] သေဆုံးသတင်းကို ကြေညာပြီး ဝမ်းနည်းကာလ ရက်(၄၀) သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ လက်တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် အီရန်နိုင်ငံသည် [[ပါရှန်ပင်လယ်ကွေ့ရှိ အာရပ်ပြည်များ|ပါရှန့် ပင်လယ်ကွေ့ ဒေသတစ်လျှောက်]]တွင် ဒရုန်းများနှင့် ပဲ့ထိန်းဒုံးကျည်များ ဒါဇင်နှင့်ချီ ပစ်လွှတ်ခဲ့ပြီး အစ္စရေး နှင့် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု တို့၏ စစ်အခြေစိုက်စခန်းများကိုလည်း ပစ်မှတ်ထားခဲ့သည်။ အီရန်၏ တိုက်ခိုက်မှုများသည် ဂျော်ဒန်၊ကူဝိတ်၊ ဘာရိန်း၊ ကာတာ၊ အီရတ်၊ ဆူဒန်၊ဆော်ဒီ နှင့် ယူအေအီး တို့ရှိ စစ်အခြေစိုက်စခန်းများသို့ သက်ရောက်မှုရှိခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အီရန်သည် ကူဝိတ်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ် နှင့် ဒူဘိုင်းအပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ် အပါအဝင် အရပ်ဘက်လေကြောင်းသုံး အခြေခံအဆောက်အအုံများကိုပါ တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ [[ယီမင်နိုင်ငံ]]မြောက်ပိုင်းတွင် အခြေစိုက်သည့် ယီမင်ပြည်တွင်းစစ်တွင် ပါဝင်နေသော အစ္စလာမ္မစ်နိုင်ငံရေး–စစ်ရေးလှုပ်ရှားမှုတစ်ခု ဖြစ်သည့် ဟူသီသူပုန်အဖွဲ့ကလည်း [[ပင်လယ်နီ|ပင်လယ်နီ ဒေသ]]တွင် ၎င်းတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုများကို ပြန်လည်စတင်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ တိုက်ခိုက်မှုများကြောင့် အီရန်နိုင်ငံသည် [[ဟော်မုဇ် ရေလက်ကြား]] ကို ပိတ်ဆို့လိုက်ခြင်းကြောင့် ကမ္ဘာ့ရေနံနှင့် သဘာဝဓာတ်ငွေ့ သယ်ယူပို့ဆောင်မှုများ အနှောင့်အယှက်ဖြစ်ခဲ့သည်။ == တုံ့ပြန်ချက်များ == အမေရိကန်သမ္မတ [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်]] က စစ်ဆင်ရေး၏ ရည်ရွယ်ချက်မှာ အီရန် ၏ ဒုံးကျည်နှင့် စစ်ရေးစွမ်းရည်များကို ဖျက်ဆီးရန်၊ အီရန်နိုင်ငံ နျူကလီးယားလက်နက် ပိုင်ဆိုင်မှုကို တားဆီးရန်နှင့် နောက်ဆုံးတွင် အစိုးရပြောင်းလဲရေးကို ရည်မှန်းထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၁ ရက်တွင် ထရမ့်က ယင်းစစ်ဆင်ရေးသည် ရည်မှန်းချက်များ ပြီးမြောက်ရန် တစ်လ သို့မဟုတ် ယင်းထက်နည်းသော အချိန်ယူမည်ဟု ခန့်မှန်းခဲ့သော်လည်း အဆိုပါ ရည်မှန်းချက်များသည် ပြောင်းလဲနိုင်ကြောင်း ပြောဆိုခဲ့သည်။ [[ကုလသမဂ္ဂ]] နှင့် စစ်ပွဲတွင် မပါဝင်သည့် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ|တရုတ်]] နှင့် [[ရုရှားနိုင်ငံ|ရုရှား]] အပါအဝင် နိုင်ငံအချို့က [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ]] တည်ငြိမ်မှုကို ထိခိုက်စေသည်ဟုဆိုကာ ကနဦးတိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချခဲ့ကြသည်။ အချို့နိုင်ငံများကလည်း အီရန်၏ လက်တုံ့ပြန်တိုက်ခိုက်မှုများသည် ဒေသတွင်းရှိ အမေရိကန်မဟာမိတ်နိုင်ငံများကို ပစ်မှတ်ထားခြင်းအပေါ် ဝေဖန်ခဲ့ကြသည်။ ရုရှားနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနကမူ အဆိုပါလုပ်ရပ်ကို အနောက်အုပ်စု၏ ဖိအားပေးမှုများကို လက်မခံသည့် အစိုးရတစ်ရပ်အား ဖြုတ်ချရန် ကြိုတင် ကြံစည်ထားသည့် အကြောင်းမဲ့ ကျူးကျော်မှုအဖြစ် ပြင်းထန်စွာ ရှုတ်ချသည်။ စစ်ဆင်ရေးကို ဝေဖန်သူများက အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ လုပ်ဆောင်ချက်သည် အမေရိကန်ပြည်တွင်းဥပဒေအရ တရားမဝင်ကြောင်းနှင့် နိုင်ငံတကာဥပဒေအရ အီရန်၏ အချုပ်အခြာအာဏာကို ချိုးဖောက်ခြင်းဖြစ်ကြောင်း စွပ်စွဲခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ကုလသမဂ္ဂဆိုင်ရာ အမေရိကန်သံအမတ်ကြီးက ထိုစွပ်စွဲချက်များကို [[ကုလသမဂ္ဂ လုံခြုံရေးကောင်စီ|လုံခြုံရေးကောင်စီ]] အရေးပေါ်အစည်းအဝေးတွင် ပြင်းပြင်းထန်ထန် ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] သေဆုံးမှုနှင့် ဆက်စပ်၍ ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အီရန်လူမျိုးများသည် အောင်ပွဲအထိမ်းအမှတ်စုရုံးပွဲများ ပြုလုပ်ခဲ့ကြပြီး အီရန်နိုင်ငံအတွင်း ဆန္ဒပြမှုများလည်း ပိုမိုမြင့်တက်လာခဲ့သည်။တစ်ဖက်တွင်လည်း [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] ထောက်ခံသူများ၏ ဝမ်းနည်းပူဆွေးမှုတို့သည်လည်း ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ကြသည်။ အီရန်သမ္မတ [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်]] က ထိုရာဇဝတ်မှုအတွက် ကျူးလွန်သူများကို ပြင်းထန်စွာ တုံ့ပြန်လက်စားချေသွားမည်ဟု ကတိပြုခဲ့ပြီး၊စစ်ရေးတုံ့ပြန်မှုများ ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ အီရန်ကို တိုက်ခိုက်မှုအား လက်တုံ့ပြန်မှုအနေဖြင့် အမေရိကန်အခြေစိုက် စခန်းများအား လက်ခံထားရာ ပင်လယ်ကွေ့နိုင်ငံများ အပါအဝင် အစ္စရေးနှင့် တခြားနိုင်ငံ ၇ နိုင်ငံကို ၂ ရက်အတွင်း ဒုံးကျည်အစင်း ၄၀၀၊ ဒရုန်းအစင်း ၈၀၀ ကျော် ပစ်ခတ်ခဲ့ကြောင်း အီရန်အစိုးရက ပြောဆိုခဲ့သည်။ အီရန် အထွတ်အထိပ်ခေါင်းဆောင် အလီခါမေနီ သတ်ဖြတ်ခံရမှုအတွက် လက်စားချေသည့် အနေဖြင့် ဟစ်ဇ်ဘိုလာက အစ္စရေးဆီ ဒုံးကျည်များ၊ ဒရုန်းများ ပစ်ခတ်ခြင်းဖြင့် လက်စားချေကြသည်။ အရှေ့အလယ်ပိုင်းရှိ အီရန်အစိုးရ၏ အဓိကမဟာမိတ်ထဲမှ တစ်ဖွဲ့ဖြစ်သည့် လက်ဘနွန် ရှီးအိုက် မွတ်စလင် ဟစ်ဇ်ဘိုလာ စစ်သွေးကြွများ၏ လက်စားချေမှုအား အစ္စရေးက စစ်ရေးဖြင့် ပြန်လည် လက်တုံ့ပြန်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် အစ္စရေး နှင့် ဟစ်ဇ်ဘိုလာကြား တိုက်ခိုက်မှုများ စတင်လာပြီး လက်ဘနွန်ကိုလည်း စစ်မီးကူးစက်လာခဲ့သည်။ လက်ဘနွန်ဝန်ကြီးချုပ် နဝပ်ဖ် ဆလမ် က နိုင်ငံ၏ လုံခြုံရေးနှင့် ညီညွတ်မှုကို ခြိမ်းခြောက်နိုင်သည့် "စွန့်စားမှုများအတွင်းသို့ မည်သူကမျှ တိုင်းပြည်ကို ဆွဲသွင်းခြင်းကို လက်ခံမည်မဟုတ်" ဟု ပြောကြားလိုက်ပြီး၊ အီရန်ကို ထောက်ခံသောအားဖြင့် စစ်ပွဲတွင် ပါဝင်ပတ်သက်ခြင်းမပြုရန် ဟစ်ဇဘိုလာ (Hezbollah) အဖွဲ့ အား သွယ်ဝိုက်၍ သတိပေးလိုက်ခဲ့သည်။ [[ဘေရွတ်မြို့|ဘေရွတ်]]မြို့နှင့် [[လက်ဘနွန်နိုင်ငံ|လက်ဘနွန်တောင်ပိုင်း]]ကို အစ္စရေးက တိုက်ခိုက်ရာ လူ ၃၁ ဦးသေဆုံးခဲ့သည်ဟု လက်ဘနွန်ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာနက ကြေညာခဲ့သည်။ အစ္စရေးဘက်ကလည်း လက်ဘနွန်မှ ဟစ်ဇ်ဘိုလာအဖွဲ့ကို တုံ့ပြန်ခြင်းဖြစ်သည်ဟု ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ == ထိခိုက်မှုများ == ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီ ၂၈ ရက်နေ့ တီဟီရန်စံတော်ချိန် ၉ နာရီ ၃၀ မိနစ် တွင် မြို့တော်တွင်း ပေါက်ကွဲမှုများ စတင်ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ညလယ်မတိုင်မီတွင် အမည်မဖော်ပြထားသည့် အစ္စရေးအရာရှိတစ်ဦးက လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုများအတွင်း [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] သေဆုံးခဲ့ကြောင်းနှင့် ၎င်း၏ ရုပ်အလောင်းကို ထောက်လှမ်းရေးရင်းမြစ်များမှ ရှာဖွေတွေ့ရှိ၍ အတည်ပြုပြီးဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ အစ္စရေးဝန်ကြီးချုပ် [[ဘင်ဂျမင် နေတန်ယာဟု]] ကလည်း ခါမေနီ သေဆုံးနိုင်ခြေရှိကြောင်း အချက်အလက်များ ရှိသည်ဟု ပြောကြားခဲ့သော်လည်း အီရန်နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန က ထိုပြောဆိုချက်ကို ပယ်ချခဲ့သည်။ အစ္စရေးအရာရှိများက ခါမေနီ၏ ရုပ်အလောင်းကို အပျက်အစီးအကြားတွင် တွေ့ရှိခဲ့ကြောင်း ဆိုသည်။ ထို့နောက် အီရန်ဘက်မှ ရင်းမြစ်များကမူ ၎င်းသည် “တိုက်ပွဲကွင်းပြင်ကို ဦးဆောင်နေဆဲဖြစ်သည်” ဟု ပြောကြားခဲ့ကြသည်။ အနောက်နိုင်ငံနှင့် အီရန်သတင်းမီဒီယာအချို့က အစ္စရေးအစိုးရရင်းမြစ်များကို ကိုးကား၍ ခါမေနီ သေဆုံးပြီးဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ အမေရိကန်သမ္မတ နှင့် အစ္စရေးဝန်ကြီးချုပ် တို့လည်း အီရန်ဘက်မှ တရားဝင် အတည်ပြုမပြုမီ ခါမေနီ သည် သေဆုံးပြီးဆိုသည်ကို ယုံကြည်ကြောင်း ထုတ်ဖော်ပြောဆိုခဲ့ကြသည်။ အီရန်အရာရှိများကမူ စတင်ကာလတွင် ထိုအချက်ကို ငြင်းဆိုခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အမေရိကန်သမ္မတ က Truth Social တွင် “သမိုင်းတွင် အဆိုးရွားဆုံးလူများထဲမှ တစ်ဦးဖြစ်သော ခါမေနီ သေဆုံးပြီ… ၎င်းသည် ကျွန်ုပ်တို့၏ ထောက်လှမ်းရေးနှင့် အဆင့်မြင့် လိုက်လံရှာဖွေစနစ်များမှ လွတ်မြောက်နိုင်ခြင်း မရှိခဲ့” ဟု ရေးသားခဲ့သည်။ {{Multiple image | header = အီရန်စစ်ပွဲ(၂၀၂၆)အတွင်း သေဆုံးခဲ့သည့် အီရန်ထိပ်တန်းခေါင်းဆောင်များ | image1 = Ali_Khamenei_2026.02.12_(cropped).jpg | width1 = 200 | footer1 = [[:en:Ali Khamenei|အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] — အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်။ }} {{Multiple image | perrow = 2 | width = 150 | image1 = Aziz Nasirzadeh in 2024 (1).jpg | image2 = Sardar Mohammad Pakpour-by Tasnimnews.com 02).jpg | image3 = Ali Shamkhani by Tasnim 01 (cropped).jpg | image4 = The new head of the Basij Organization 29 (portrait crop).jpg | image5 = Abdolrahim Mousavi 2019.jpg | image6 = Mahmoud Ahmadinejad 2019 02.jpg | footer = * [[:en:Aziz Nasirzadeh|အဇစ် နာဆာဇာဒေ]] — အီရန်ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး။ * [[:en:Mohammad Pakpour|မိုဟာမက် ပက်ကပူ]] — အီရန်အစောင့်တပ် ဦးစီးချုပ်။ * [[:en:Ali Shamkhani|အလီ ရှမ်ခါနီ]] — အီရန်အမျိုးသားလုံခြုံရေးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ။ * [[:en:Basij|ဘဆီဂျ် အဖွဲ့]] — အီရန်ပြည်သူ့စစ်တပ်ဖွဲ့။ * [[:en:Abdolrahim Mousavi|အဘ်ဒိုလ်ရဟင် မူဆာဗီ]] — အီရန်လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ၏ အထွေထွေတပ်ဦးစီးချုပ်။ * [[:en:Mahmoud Ahmadinejad|မဟ်မူးဒ် အဟ်မဒီနီဂျက်]] — အီရန်သမ္မတဟောင်း။ }} အမေရိကန်ဗဟိုထောက်လှမ်းရေးအေဂျင်စီ [[စီအိုင်အေ]]၏ သုံးသပ်ချက်များအရ [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အစ္စလာမ့်တော်လှန်ရေးအစောင့်တပ်ဖွဲ့]] မှ တင်းမာသဘောထားရှိသူတစ်ဦးက ခါမေနီ၏ နေရာကို အစားထိုးနိုင်ကြောင်း ခန့်မှန်းခဲ့သည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၁ ရက် နံနက်အစောပိုင်းတွင် အီရန်နိုင်ငံပိုင် သတင်းမီဒီယာများက ခါမေနီ သေဆုံးကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ Fars News Agency (အစ္စလာမစ် တော်လှန်ရေးအစောင့်တပ်နှင့် ဆက်နွယ်သော သတင်းဌာန) ကလည်း ခါမေနီ၏ သမီး၊ သားမက်၊ မြေးနှင့် သားမယားတို့လည်း တိုက်ခိုက်မှုများအတွင်း သေဆုံးခဲ့ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို့နောက် အီရန်အစိုးရက နိုင်ငံတစ်ဝန်း ၄၀ ရက်ကြာ ဝမ်းနည်းခြင်းကာလ ကြေညာခဲ့သည်။ [[ရိုက်တာ|ရိုက်တာသတင်းဌာန]]၏ ဖော်ပြချက်အရ [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ]] ၏ တပ်မှူးအချို့ သေဆုံးနိုင်ကြောင်း သတင်းထွက်ပေါ်ခဲ့သော်လည်း အတည်ပြုနိုင်ခြင်း မရှိကြောင်း ဆိုခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အစ္စရေးစစ်တပ်နှင့် ဒေသတွင်းရင်းမြစ်များကို ကိုးကား၍ အီရန်ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး [[:en:Aziz Nasirzadeh|အဇစ် နာဆာဇာဒေ]] နှင့် အီရန်အစောင့်တပ် မြေပြင်တပ်ဖွဲ့မှူး [[:en:Mohammad Pakpour|မိုဟာမက် ပက်ကပူ]] တို့သည် အစ္စရေးလေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုများကြောင့် သေဆုံးနိုင်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ အီရန်နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး ဒေါက်တာ ဆေးယိဒ် အဘက်စ် အာရာဂ်ချီ က အဆိုပါ ဆုံးရှုံးမှုများကို အသိအမှတ်ပြုပြောကြားခဲ့သော်လည်း “အလွန်ကြီးမားသည့် ပြဿနာမဟုတ်” ဟု လျှော့ချပြောဆိုခဲ့သည်။'''Iran International''' သတင်းဌာနက အီရန်ကာကွယ်ရေးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ သေဆုံးခဲ့ကြောင်းနှင့် ထောက်လှမ်းရေးဌာန၏ ထိပ်တန်းအရာရှိလေးဦးလည်း သေဆုံးခဲ့ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။နောက်ပိုင်းတွင် အစ္စရေးစစ်တပ် က အီရန်လုံခြုံရေးခေါင်းဆောင် ခုနစ်ဦး သေဆုံးမှုကို အတည်ပြုနိုင်ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၁ ရက်တွင် အီရန်နိုင်ငံပိုင် မီဒီယာများက စစ်တပ် ဦးစီးချုပ် '''Abdolrahim Mousavi''' နှင့် သမ္မတဟောင်း '''Mahmoud Ahmadinejad''' တို့လည်း တိုက်ခိုက်မှုများအတွင်း သေဆုံးခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=28 February 2026 |title=Update from Johnatan Reiss |url=https://www.nytimes.com/live/2026/02/28/world/iran-strikes-trump/6997e68d-552b-5f1b-91f3-c25f930671e3?smid=url-share |access-date=28 February 2026 |work=[[The New York Times]] |language=en-US |issn=0362-4331}}</ref> == မဟာမိတ်အချင်းချင်းမှားယွင်းပစ်ခတ်ခြင်း == [[ကူဝိတ်နိုင်ငံ|ကူဝိတ်]]လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့ ၏ ‘မဟာမိတ်အချင်းချင်း မှားယွင်းပစ်ခတ်မှု’ကြောင့် အမေရိကန် '''F-15E ‘Strike Eagle’''' တိုက်လေယာဉ် သုံးစီးသည် ကူဝိတ်လေပိုင်နက်တွင် သီးခြားစီ ပစ်ချခံခဲ့ရသည်။ အီရန်အပေါ် အမေရိကန်-အစ္စရေး ပူးတွဲစစ်ဆင်ရေးကို ကွပ်ကဲနေသည့် အမေရိကန်ဗဟိုကွပ်ကဲရေးဌာနချုပ် (CENTCOM) က ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊မတ် ၂ရက် ညနေပိုင်းတွင် ကူဝိတ်၏ မှားယွင်းပစ်ချမှုကို အတည်ပြု ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။လေယာဉ်တစီးလျှင် နှစ်ဦးနှုန်းဖြင့် လေယာဉ်မှူး ခြောက်ဦးစလုံးမှာ လေယာဉ်ပေါ်မှ အချိန်မီ ခုန်ထွက်နိုင်ခဲ့ပြီး ဘေးကင်းခဲ့သည်။ == ဒေသတွင်းအပေါ် သက်ရောက်မှုများ == ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ် ၂ ရက်နေ့တွင် အီရန်နိုင်ငံသည် [[ဆော်ဒီအာရေးဘီးယားနိုင်ငံ|ဆော်ဒီအာရေးဘီးယား]]ကို လေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုအသစ်ထပ်လုပ်ခဲ့သည်။ ရေနံချက်စက်ရုံ တစ်ရုံ မီးလောင်ခဲ့ရသည်။ဆက်၍ [[ကာတာနိုင်ငံ]] ရှိ LNG ဓာတ်ငွေ့စက်ရုံကြီးတစ်ခုကိုလည်း တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ စစ်မီးတောက်လာချိန်တွင် ကမ္ဘာတလွှားရှိ စတော့ဈေးကွက်များ ဈေးနှုန်းများ ထိုးကျသွားသည်။ ရွှေဈေး နှင့် ရေနံဈေးများ ထိုးတက်လာခဲ့သည်။ === မြန်မာနိုင်ငံ === စစ်ရေးပဋိပက္ခများကြောင့် စက်သုံးဆီတင်သွင်းသည့် ရေလမ်းကြောင်းများတွင် အဟန့်အတားများဖြစ်ပေါ်ပြီး၊ စက်သုံးဆီခြိုးခြံချွေတာရန်နှင့် ဖူလုံမှုရှိစေရန်အတွက် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၇ ရက်နေ့မှစတင်ကာ ပုဂ္ဂလိကယာဉ်များ၊ လုပ်ငန်းသုံးနှင့် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးယာဉ်များအားလုံး သတ်မှတ်ထားသည့် စည်းကမ်းချက်များအတိုင်း မောင်းနှင်ရမည်ဖြစ်ကြောင်း [[အမျိုးသား ကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ|အမျိုးသားကာကွယ်ရေးနှင့် လုံခြုံရေးကောင်စီ]]က ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၃ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ပြန်ကြေညာလိုက်သည်။ အဆိုပါ စည်းကမ်းချက်များအရ ပုဂ္ဂလိကပိုင်ယာဉ်များသည် လစဉ် "စုံ" ရက်များတွင် စုံနံပါတ်အက္ခရာပါသောယာဉ်များ (ဥပမာ- 2A/----) နှင့် "မ" ရက်များတွင် မနံပါတ်အက္ခရာပါသောယာဉ်များ (ဥပမာ- 1A/----) သာ မောင်းနှင်ခွင့်ရှိမည်ဖြစ်သော်လည်း လျှပ်စစ်မော်တော်ယာဉ် (EV) နှင့် EV မော်တော်ဆိုင်ကယ်များမှာမူ ယင်းကန့်သတ်ချက်တွင် မပါဝင်ဘဲ နေ့စဉ်ပုံမှန်အတိုင်း မောင်းနှင်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=စက်သုံးဆီ ခြိုးခြံချွေတာသုံးစွဲရေးအတွက် ပြည်သူသို့ အသိပေးကြေညာချက် {{!}} Ministry Of Information|url=http://www.moi.gov.mm/news/80530|access-date=2026-03-04|website=www.moi.gov.mm|language=en}}</ref> စစ်ပွဲကြောင့် အရှေ့အလယ်ပိုင်းနိုင်ငံများရှိ လေပိုင်နက်များ ပိတ်ထားရပြီး လေယာဉ်ခရီးစဉ် ထောင်နှင့်ချီ ဖျက်သိမ်းထားရသဖြင့် မြန်မာနိုင်ငံမှ အရှေ့အလယ်ပိုင်းသို့ သွားရောက်အလုပ်လုပ်ကိုင်မည့်သူများမှာလည်း ခရီးစဉ်များ ရက်ရွှေ့ဆိုင်းနေရသည်။ <ref>{{Cite web |title=အရှေ့အလယ်ပိုင်း စစ်ပွဲကြောင့် အလုပ်သွားလုပ်ကြမည့် မြန်မာများအခက်ကြုံ |url=https://burmese.dvb.no/post/748836 |access-date=2026-03-04 |website=အစ္စရေး-အမေရိကန်နဲ့ အီရန်စစ်ပွဲကြောင့် အရှေ့အလယ်ပိုင်းနိုင်ငံတွေက လေပိုင်နက်တွေ ပိတ်ထားပြီး လေယာဉ်ခရီးစဉ် ထောင်နဲ့ချီကို ဖျက်သိမ်းထားတဲ့အတွက် မြန်မာနိုင်ငံကနေ အရှေ့အလယ်ပိုင်းကို သွားရောက် အလုပ်လုပ်ကိ… |language=en}}</ref> == နိုင်ငံတကာ၏ သဘောထား မှတ်ချက်များ == * {{Flag|Argentina}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး ပက်ဘလို ကွီရို (Pablo Quirno) က အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ စစ်ရေးစစ်ဆင်မှုများကို ထောက်ခံခဲ့သည်။<ref name="argentina26">{{cite news |title=El Gobierno "celebró" la muerte de Jamenei y Quirno recordó a las víctimas de la AMIA |url=https://www.perfil.com/noticias/politica/pablo-quirno-confirmo-la-muerte-del-lider-supremo-de-iran-y-recordo-a-las-victimas-de-la-amia.phtml |access-date=2 March 2026 |work=[[Perfil]] |date=1 March 2026 |language=es}}</ref> * {{Flag|Australia}}: ဝန်ကြီးချုပ် [[အန်တိုနီ အယ်လ်ဘာနီစီ]]သည် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး နှင့် ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး တို့နှင့်အတူ ပူးတွဲထုတ်ပြန်ချက်တစ်ခုတွင် အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုများကို ထောက်ခံကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး ဩစတြေးလျသည် "ဖိနှိပ်မှုဆန့်ကျင်ရေးတွင် ရဲရင့်သော အီရန်ပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ခဲ့သည်" ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။.<ref>{{Cite web |date=1 March 2026 |title=Press conference - Sydney {{!}} Prime Minister of Australia |url=https://www.pm.gov.au/media/press-conference-sydney-28 |access-date=2 March 2026 |website=www.pm.gov.au |language=en}}</ref> * {{Flag|Brazil}}: အစိုးရက တိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချခဲ့ပြီး နိုင်ငံတကာဥပဒေကို လိုက်နာရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။<ref>{{cite news |url=https://www.reuters.com/world/americas/brazilian-government-condemns-strikes-iran-2026-02-28/ |access-date=1 March 2026 |title=Brazilian government condemns strikes on Iran |date=28 February 2026 |first=Luciana|last=Magalhaes |publisher=Reuters}}</ref> * {{Flag|Canada}}: ဝန်ကြီးချုပ် [[မာ့ခ်ကာနီ]] သည် အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှုများကို ထောက်ခံ ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Canada backs United States actions in Iran |url=https://www.politico.com/news/2026/02/28/mark-carney-canada-iran-strikes-00805631 |work=Politico |date=28 February 2026}}</ref> * {{Flag|China}}: တရုတ်နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Wang Yi က အဆိုပါတိုက်ခိုက်မှုကို ရှုတ်ချခဲ့သည်။ အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုများနှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်ကြောင်း နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာနက ပြောကြားခဲ့ပြီး အီရန်အပေါ် ရန်လိုမှုများကို ချက်ချင်းရပ်တန့်ရန်နှင့် တွေ့ဆုံဆွေးနွေးမှုများ ပြန်လည်ပြုလုပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။ အီရန်၏ အချုပ်အခြာအာဏာကို လေးစားလိုက်နာရမည်ဟုလည်း အလေးပေးပြောကြားခဲ့သည်။.<ref>{{cite news |title=China condemns attacks on Iran, urges ceasefire and talks |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/china-urges-immediate-ceasefire-after-us-israel-strike-iran-2026-03-01/ |work=Reuters |date=1 March 2026}}</ref> အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုများနှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်ကြောင်း နိုင်ငံခြားရေး ဝန်ကြီးဌာနက ထုတ်ဖော် ပြောကြားခဲ့ပြီး အီရန်အပေါ် ရန်လိုမှုများကို ချက်ချင်းရပ်တန့်ရန်နှင့် တွေ့ဆုံဆွေးနွေးမှုများ ပြန်လည်ပြုလုပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။ အီရန်၏ အချုပ်အခြာအာဏာကို လေးစားရမည်ဟုလည်း အလေးပေးပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Foreign Ministry Spokesperson's Remarks on the Military Strikes Against Iran by the U.S. and Israel_Ministry of Foreign Affairs of the People's Republic of China |url=https://www.fmprc.gov.cn/eng/xw/fyrbt/202602/t20260228_11866531.html |access-date=28 February 2026 |website=FMPRC}}</ref> <ref>{{cite news |title=China urges citizens to evacuate from Iran 'as soon as possible' |url=https://www.thehindu.com/news/international/china-urges-citizens-to-evacuate-from-iran-as-soon-as-possible/article70686882.ece |access-date=1 March 2026 |work=The Hindu |date=28 February 2026 |language=en-IN}}</ref> <ref>{{cite web |title=Foreign Ministry Spokesperson's Remarks on the Killing of Iran's Supreme Leader Ayatollah Ali Khamenei |url=https://www.mfa.gov.cn/eng/xw/fyrbt/202603/t20260301_11866722.html |access-date=1 March 2026 |website=[[Ministry of Foreign Affairs of the People's Republic of China]] |date=1 March 2026}}</ref> <ref name="Jett-2026">{{cite news |last1=Jett |first1=Jennifer |last2=Tan |first2=Erin |title=Live updates: Iran war spreads as U.S. jets crash and Israel trades fire with Hezbollah |url=https://www.nbcnews.com/world/middle-east/live-blog/live-updates-iran-war-israel-us-hezbollah-lebanon-khamenei-trump-rcna261259 |work=NBC News |date=2 March 2026 |language=en}}</ref> * {{Flag|Denmark}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးသည် အီရန်၏ အတိတ်က အပြုအမူကို လုံးဝလက်မခံနိုင်ကြောင်း ရှုမြင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Gkritsi |first1=Eliza |title=How every EU country responded to the strikes on Iran |url=https://www.politico.eu/article/eu-react-iran-us-israel-crisis/ |work=Politico |date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|France}}: သမ္မတ [[အီမန်နျူရယ် မက်ခရွန်]] သည် [[ကုလသမဂ္ဂ လုံခြုံရေးကောင်စီ|ကုလသမဂ္ဂလုံခြုံရေးကောင်စီ]]၏ အရေးပေါ်အစည်းအဝေးပြုလုပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။ အီမန်နျူရယ် မက်ခရွန် သည် ယူကေဝန်ကြီးချုပ် [[ကီယာစတားမာ]] နှင့် ဂျာမန်အဓိပတိ တို့နှင့်အတူ ဒေသတွင်းနိုင်ငံများအပေါ် အီရန်၏တိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချကြောင်း ပူးတွဲကြေညာချက်ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Germany, France and UK tell Iran to stop attacks in region |url=https://www.straitstimes.com/world/europe/germany-france-and-uk-tell-iran-to-stop-attacks-in-region |work=The Straits Times |date=28 February 2026}}</ref> * {{Flag|Germany}}: ဂျာမနီအဓိပတိ က တိုက်ခိုက်မှုများကို ကြိုတင်သတင်းရရှိထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဂျာမနီအစိုးရသည် ပြင်သစ် နှင့် ယူကေ တို့နှင့် ပူးတွဲ၍ ဆွေးနွေးညှိနှိုင်းမှုများ လုပ်ဆောင်နေကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Merz accepts a harder world on Iran |url=https://www.euractiv.com/news/merz-accepts-a-harder-world-on-iran/ |work=Euractiv |date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|Hungary}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးသည် ထိုစစ်ရေးတိုက်ခိုက်မှုများအပေါ် စွမ်းအင်လမ်းကြောင်းများ အနှောင့်အယှက်ဖြစ်နိုင်သည့် စိုးရိမ်မှုကို ပြသခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Breaking: The 'geopolitical Commission' |url=https://www.euractiv.com/news/rapporteur-breaking-the-geopolitical-commission/ |work=Euractiv |date=2 March 2026}}</ref> * {{Flag|India}}: ပြည်ပရေးရာဝန်ကြီးသည် တင်းမာမှုကို ထိန်းသိမ်းပြီး အခြေအနေ လျှော့ချရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title=Exercise restraint, prioritise civilians: India urges de-escalation in Middle East |url=https://www.indiatoday.in/india/story/exercise-restraint-prioritise-civilians-india-urges-de-escalation-in-middle-east-2875974-2026-02-28 |url-access=subscription |access-date=28 February 2026 |website=India Today |language=en}}</ref> အိန္ဒိယဝန်ကြီးချုပ် [[နာရန်ဒရာ မိုဒီ|နရိန္ဒြာ ဒါမိုဒါဒါစ် မိုဒီ]] က [[ဘင်ဂျမင် နေတန်ယာဟု]] နှင့် စကားပြောခဲ့ကြောင်း ဆိုရှယ်မီဒီယာတွင် ထုတ်ပြန်ခဲ့ပြီး စစ်ပွဲကို အမြန်ဆုံး အဆုံးသတ်ရန် အရေးကြီးကြောင်း သတိပေးခဲ့သည်။တိုက်ခိုက်မှုမတိုင်မီ တစ်ပတ်ခန့်အလိုတွင် မိုဒီသည် အစ္စရေးနိုင်ငံသို့ သွားရောက်ခဲ့ပြီး နှစ်နိုင်ငံအကြား ကာကွယ်ရေးနှင့် နည်းပညာ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု တိုးမြှင့်ရန် သဘောတူခဲ့သည်။ ယင်းဆုံးဖြတ်ချက်သည် ဝေဖန်မှုများလည်း ခံခဲ့ရသည်။မိုဒီအစိုးရလက်ထက်တွင် အိန္ဒိယနှင့် အစ္စရေးသည် ပိုမိုနီးကပ်သော ဆက်ဆံရေးရှိလာပြီး အိန္ဒိယသည် အစ္စရေးထံမှ စစ်လက်နက်ပစ္စည်းများ ဝယ်ယူမှုတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title='Remain near shelters, avoid non-essential travel': India warns citizens in Israel after Tehran attack |url=https://indianexpress.com/article/india/israel-iran-conflict-indian-embassy-advisory-10556818/ |access-date=28 February 2026 |website=The Indian Express |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=NORKA sets up helpdesk for Kerala people in Iran, Israel |url=https://www.tribuneindia.com/news/india/norka-sets-up-helpdesk-for-kerala-people-in-iran-israel/ |access-date=28 February 2026 |website=The Tribune |language=en}}</ref> <ref>{{cite news |last1=Boxerman |first1=Aaron |last2=Fassihi |first2=Farnaz |last3=Cooper |first3=Helene |last4=Kanno-Youngs |first4=Zolan |last5=Pager |first5=Tyler |last6=Zhuang |first6=Yan |title=Israel Strikes Hezbollah in Lebanon as War With Iran Escalates |url=https://www.nytimes.com/live/2026/03/01/world/iran-attack-khamenei-trump |work=The New York Times |date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|Indonesia}}: အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုကို “စိတ်မကောင်းဖြစ်ကြောင်း” ဖော်ပြခဲ့ပြီး [[ပရာဘိုဝို ဆူဘီယန်တို]]က အီရန်နိုင်ငံ [[တီဟီရန်မြို့|တီဟီရန်]] သို့ သွားရောက်၍ ပဋိပက္ခကို ကြားဝင်ညှိနှိုင်းပေးရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Indonesia's Prabowo 'Ready' to Fly to Tehran as Mediator |url=https://jakartaglobe.id/news/indonesias-prabowo-ready-to-fly-to-tehran-as-mediator |access-date=2 March 2026 |website=Jakarta Globe}}</ref> <ref>{{Cite web |date=2 March 2026 |title=Perang Iran Israel: Presiden Prabowo tawarkan jadi juru runding konflik AS-Israel dengan Iran – 'Sangat tidak realistis' |url=https://www.bbc.com/indonesia/articles/c07j5xp4n10o |access-date=2 March 2026 |website=BBC News Indonesia |language=id}}</ref> <ref>{{Cite web |date=2 March 2026|title=Segudang Alasan Indonesia Harus Keluar dari Board of Peace |url=https://www.tempo.co/politik/segudang-alasan-indonesia-harus-keluar-dari-board-of-peace-2118804 |access-date=2 March 2026 |website=Tempo |language=id}}</ref><ref>{{Cite web |title=Catatan Komisi I DPR soal Posisi RI di Antara Iran & Board of Peace |url=https://www.cnnindonesia.com/nasional/20260301221637-32-1333159/catatan-komisi-i-dpr-soal-posisi-ri-di-antara-iran-board-of-peace |access-date=2 March 2026 |website=nasional |language=id-ID}}</ref><ref>{{Cite web |title=JPNN |url=https://www.jpnn.com/news/politikus-pdip-meragukan-kemampuan-prabowo-jadi-fasilitator-konflik-iran-vs-as-israel |access-date=2 March 2026 |website=www.jpnn.com |language=id}}</ref> * {{Flag|Italy}}: အီရန်ကို ရှင်းလင်းသည့် သင်္ကေတများ ပေးထားပြီး ဖြစ်သော်လည်း အီရန်ဘက်က လိုက်နာမှုမရှိခဲ့ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title=Qual è la posizione dell'Italia sull'attacco all'Iran |url=https://tg.la7.it/politica/posizione-italia-attacco-iran-28-02-2026-253402 |access-date=1 March 2026 |website=TGLA7 |language=it|trans-title=What is Italy's position on the attack on Iran?}}</ref> <ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title=Roma avvisata dopo l'attacco, solidarietà di Meloni a leader del Golfo |url=https://www.ansa.it/sito/notizie/politica/2026/02/28/roma-avvisata-dopo-lattacco-solidarieta-di-meloni-a-leader-del-golfo_7b943abe-daba-429e-b3ab-779dbdf80c27.html |access-date=1 March 2026 |website=Agenzia ANSA |language=it|trans-title=Rome warned after the attack, Meloni expresses solidarity with Gulf leaders}}</ref> <ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title=Attacco Usa e Israele a Iran, oltre 58mila italiani bloccati nel Golfo |url=https://tg24.sky.it/mondo/2026/02/28/attacco-usa-alliran-oltre-58mila-italiani-bloccati-nel-golfo |access-date=1 March 2026 |website=tg24.sky.it |language=it|trans-title=US and Israeli attack on Iran leaves over 58,000 Italians stranded in the Gulf}}</ref> * {{Flag|Japan}}: ဂျပန်အစိုးရသည် အဆိုပါအခြေအနေထဲမှ ပေါ်လာနိုင်သည့် အန္တရာယ်များကို ကြိုတင်ပြင်ဆင်သွားရန် သတ်မှတ်ပြီး နိုင်ငံသားများကို ကာကွယ်ကောင်းမွန်စွာ ထိန်းသိမ်းခြင်းနှင့် ဘေးလွတ်အောင်ကြိုးစားမည်ဟု ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite tweet |number=2027673676833862125 |user=takaichi_sanae |title=日本政府として、あらゆるリスクに備え、万全の対応を行なってまいります。 |first=Sanae |last=Takaichi |date=2026-02-28 |access-date=2026-03-02 |language=ja}}</ref><ref>{{Cite web |date=2026-02-28 |title=高市首相「あらゆるリスクに対応」 邦人保護の徹底指示―経済・安保に影響懸念・イラン攻撃 |url=https://www.jiji.com/jc/article?k=2026022800565&g=pol |access-date=2026-03-02 |website=時事ドットコム |language=ja}}</ref> [[ဆနအဲ တခအိချိ]]သည် အောက်လွှတ်တော် ဘတ်ဂျက်ကော်မတီအစည်းအဝေးတွင် အီရန်နိုင်ငံ၏ နျူကလီးယားလက်နက် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးကို လုံးဝသည်းခံနိုင်မည်မဟုတ်ကြောင်း နှင့် ဂျပန်၏ မူဝါဒမှာ အမြဲတမ်းတည်ရှိနေသည ဟု အလေးထားပြောကြားခဲ့သည်။သို့သော် ဂျပန်သည် အစ္စရေးနှင့် အမေရိကန်တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များနှင့် ပတ်သက်၍ မည်သည့်မှတ်ချက်ကိုမျှ ပြောကြားခဲ့ခြင်း မရှိပေ။<ref>{{Cite web |date=2026-03-02 |title=Takaichi chides Iran; expats fear for their families in Middle East |url=https://www.asahi.com/ajw/articles/16390455 |access-date=2026-03-02 |website=[[The Asahi Shimbun]]}}</ref> <ref>{{Cite web |date=2026-03-01 |title=小泉防衛相「自衛隊による邦人輸送を準備」 中東情勢緊迫受け |url=https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUA282WF0Y6A220C2000000/ |access-date=2026-03-02 |website=[[Nihon Keizai Shimbun]] |language=ja}}</ref> * {{Flag|Kazakhstan}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနသည် ပင်လယ်ကွေ့ဒေသနိုင်ငံများနှင့် သွေးစည်းညီညွတ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး အီရန်၏ လက်တုံ့ပြန်တိုက်ခိုက်မှုများကိုလည်း ရှုတ်ချခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Satubaldina |first=Assel |date=28 February 2026 |title=Kazakh President Orders Emergency Planning as Iran Tensions Escalate |url=https://astanatimes.com/2026/02/kazakh-president-orders-emergency-planning-as-iran-tensions-escalate/#:~:text=Kazakh%20President%20Orders%20Emergency%20Planning,reported%20strikes%20on%20Iranian%20targets. |access-date=1 March 2026 |website=The Astana Times}}</ref><ref>{{Cite news |last= |first= |date=1 March 2026 |title=US-Israel attacks Iran LIVE updates: Iran President, 2 officials to lead transition after Ayatollah Khamenei's death |url=https://www.thehindu.com/news/international/iran-us-tensions-iran-israel-war-nuclear-tensions-tehran-tel-aviv-march-1-live-updates/article70690476.ece |access-date=1 March 2026 |work=The Hindu |language=en-IN |issn=0971-751X}}</ref> * {{Flag|Kuwait}}: ၎င်းတို့နယ်မြေအတွင်း အီရန်၏ တိုက်ခိုက်မှုများကို “နိုင်ငံတကာဥပဒေကို ပြောင်ပြောင်တင်းတင်း ချိုးဖောက်ခြင်း” ဟု ပြောဆိုကာ ရှုတ်ချခဲ့သည်။ * {{Flag|Lebanon}}: လက်ဘနွန်နိုင်ငံကို ပို၍ကျယ်ပြန့်သည့် ဒေသတွင်းစစ်ပွဲထဲ ဆွဲယူခြင်းကို မလက်ခံနိုင်ကြောင်း တိုက်တွန်းပြောကြားခဲ့ပြီး၊ လီဘနွန်၏ လုံခြုံရေးနှင့် တည်ငြိမ်မှုကို ဦးစားပေးရမည် ဟု အလေးထားပြောကြားခဲ့သည်။ထို့နောက် နိုင်ငံအား နိုင်ငံတကာစစ်ပွဲကြီးထဲ ဝင်ပတ်မပါဝင်ဖို့ တောင်းဆိုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Lebanon PM says Beirut won't let anyone drag country into war |url=https://en.apa.az/asia/lebanon-pm-says-beirut-wont-let-anyone-drag-country-into-war-493708 |access-date=28 February 2026 |website=Apa.az|language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=PM Nawaf Salam calls for unity, warns against escalation |url=https://www.lbcgroup.tv/news/lebanon-news/907872/lbci-lebanon-articles/en |access-date=28 February 2026 |website=LBCIV7 |language=en}}</ref> <ref>{{Cite web |title=Lebanese PM calls Hezbollah rocket attack on Israel 'irresponsible' |url=https://www.aljazeera.com/news/liveblog/2026/3/2/us-israel-attack-iran-live?update=4353682 |access-date=2 March 2026 |website=Al Jazeera English|language=en}}</ref> <ref>{{cite news |last1=Boxerman |first1=Aaron |last2=Fassihi |first2=Farnaz |last3=Cooper |first3=Helene |last4=Kanno-Youngs |first4=Zolan |last5=Pager |first5=Tyler |title=Here's the latest. |url=https://www.nytimes.com/live/2026/03/01/world/iran-attack-khamenei-trump/heres-the-latest |work=The New York Times |date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|North Korea}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနသည် အဆိုပါတိုက်ခိုက်မှုများကို “တရားမဝင်သော ကျူးကျော်တိုက်ခိုက်မှု၏ အလွန်ရက်စက်ပြီး အချုပ်အခြာအာဏာ ချိုးဖောက်မှု၏ အယုတ်မာဆုံးပုံစံ” ဟု ရှုတ်ချခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အစ္စရေးနှင့် အမေရိကန်တို့၏ “ရှက်ဖွယ်ကောင်းပြီး ဂိုဏ်းဖွဲ့လူဆိုးဆန်သော လုပ်ရပ်” ကို ပြသနေကြောင်း စွပ်စွဲခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last=Kim |first=Heejin |title=North Korea says Israeli attacks and US military operation against Iran are 'illegal aggression' |work=Reuters |date=1 March 2026 |accessdate=2 March 2026 |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/north-korea-says-israeli-attacks-us-military-operation-against-iran-are-illegal-2026-03-01/}}</ref><ref>{{cite news |title=N. Korea condemns US-Israel attack on Iran as 'gangster-like conduct' |work=The Korea Times |date=1 March 2026 |accessdate=2 March 2026 |url=https://www.koreatimes.co.kr/foreignaffairs/northkorea/20260301/n-korea-condemns-us-israel-attack-on-iran-as-gangster-like-conduct |archive-url=https://web.archive.org/web/20260302013520/https://www.koreatimes.co.kr/foreignaffairs/northkorea/20260301/n-korea-condemns-us-israel-attack-on-iran-as-gangster-like-conduct |archive-date=2 March 2026 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite news |title=North Korea condemns US-Israel attacks on Iran as 'illegal'|work=Dawn (newspaper) |date=1 March 2026 |accessdate=2 March 2026 |url=https://www.dawn.com/news/1977030}}</ref> * {{Flag|Oman}}: ၂၀၂၆ ခုနှစ် အီရန်–အမေရိကန် နိုင်ငံတကာညှိနှိုင်းဆွေးနွေးမှုများ တိုးတက်နေစဉ် တိုက်ခိုက်မှုများ ပေါ်ပေါက်ခြင်းအပေါ် “အထူးအံ့အားသင့်စိုးရိမ်မှု” ကို ဖော်ပြခဲ့သည်။ “ဤအရေးမှာ သင်တို့၏ စစ်ပွဲ မဟုတ်ပါ” ဟု ထပ်မံ ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Multiple Arab states that host US assets targeted in Iran retaliation |url=https://www.aljazeera.com/news/2026/2/28/multiple-gulf-arab-states-that-host-us-assets-targeted-in-iran-retaliation |access-date=28 February 2026 |website=Al Jazeera English |date=28 February 2026}}</ref><ref>{{Cite web |title=Oman voices profound concern and condemns escalation following US airstrikes on Iran |url=https://www.fm.gov.om/en/25970/ |access-date=28 February 2026 |website=[[Foreign Ministry (Oman)|Foreign Ministry of the Sultanate of Oman]]}}</ref><ref name="Mohamed-2026">{{cite news |last1=Mohamed |first1=Edna |last2=Marsi |first2=Federica |last3=Siddiqui |first3=Usaid |last4=Adler |first4=Nils |last5=Stepansky |first5=Joseph |last6=Pietromarchi |first6=Virginia |title=US, Israel attack Iran live: Trump announces 'major combat operations' |work=Al Jazeera English{{!}}Al Jazeera |date=28 February 2026 |url=https://www.aljazeera.com/news/liveblog/2026/2/28/live-israel-launches-attacks-on-iran-multiple-explosions-heard-in-tehran |access-date=28 February 2026}}</ref> * {{flag|Pakistan}}: အစ္စရေးနှင့် အမေရိကန်တို့ တိုက်ခိုက်မှုများကို “မလိုလားအပ်သော တိုက်ခိုက်မှုများ” ဟု သုံးနှုန်းခဲ့ပြီး၊ထိုသို့ အင်အားသုံးမှုကို ပြင်းထန်စွာရှုတ်ချခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲကို ချက်ချင်း ရပ်စဲရန် နှင့် နိုင်ငံရေးနည်းလမ်းနှင့်ဆွေးနွေးရန် အရေးကြီးကြောင်း ပြောဆိုခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |url=https://islamabadpost.com.pk/pakistan-condemns-unwarranted-attacks-against-iran-calls-for-halt-to-escalation/ |title=Pakistan condemns unwarranted attacks against Iran, calls for halt to escalation |date=28 February 2026}}</ref> * {{Flag|Palestine}}: ပင်လယ်ကွေ့ဒေသ အာရပ်နိုင်ငံများအပေါ် အီရန် ၏ လက်တုံ့ပြန်တိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |last=Lehmann |first=Noam |date=28 February 2026 |title=Palestinian Authority condemns Iran, offers support to Arab states |url=https://www.timesofisrael.com/liveblog_entry/palestinian-authority-condemns-iran-offers-support-to-arab-states/ |access-date=2 March 2026 |work=The Times of Israel |language=en-US |issn=0040-7909}}</ref> * {{Flag|Qatar}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနသည် ကာတာနယ်မြေကို အီရန် က တိုက်ခိုက်ခဲ့ခြင်းအပေါ် ပြင်းပြင်းထန်ထန် ရှုတ်ချခဲ့ပြီး၊ ၎င်းက အီရန်၏ လုပ်ဆောင်ချက်အား ကာတာ၏ အချုပ်အခြာအာဏာအား ချိုးဖောက်ခြင်း ဟု သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ တိုက်ခိုက်မှုကို တားဆီးရန်အတွက် နိုင်ငံတကာဥပဒေအရ တုံ့ပြန်ခွင့်ရှိကြောင်း ထပ်မံအတည်ပြုခဲ့သည်။ * {{Flag|Russia}}: အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့၏ တိုက်ခိုက်မှုများကို “အန္တရာယ်များသော လုပ်ရပ်” ဟု ရှုတ်ချခဲ့ပြီး ၎င်းကို “စဉ်းစားဆင်ခြင်မှုမရှိသော၊ ကြိုတင်စီစဉ်ထားပြီး အကြောင်းမဲ့ လက်နက်ကိုင် ကျူးကျော်တိုက်ခိုက်မှု” ဟု ပြောဆိုခဲ့သည်။<ref name="Nicholls-2026">{{Cite web |last=Nicholls |first=Catherine |date=28 February 2026 |title=Russia condemns "reckless" airstrikes on Iran, as Finland and Ireland express concern |url=https://www.cnn.com/world/live-news/israel-iran-attack-02-28-26-hnk-intl?post-id=cmm6dime800073b6se0guzho3 |access-date=28 February 2026 |website=CNN |language=en}}</ref> <ref>{{Cite web |last=Lavrov |first=Sergey |title=Statement by the Russian Foreign Ministry regarding military aggression of the United States and Israel against Iran |url=https://mid.ru/en/foreign_policy/news/2083284/#sel=6:21:qnj,6:27:m1n |website=MFA Russia}}</ref> သမ္မတ [[ဗလာဒီမီယာ ပူတင်|ပူတင်]] က [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]] နှင့် ၎င်း၏ မိသားစုကို အသက်ဆုံးခြင်းကို “နိုင်ငံတကာဥပဒေကို ပြောင်ပြောင်တင်းတင်း ချိုးဖောက်ထားသော အမှု” ဟု ရှုတ်ချခဲ့သည်။ <ref>{{cite news |title=World reacts to Khamenei's death in Tehran as Israel, US, and Iran continue to trade strikes |url=https://www.yahoo.com/news/articles/world-reacts-khameneis-death-tehran-141425230.html |work=Yahoo News |date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|Saudi Arabia}}: ပင်လယ်ကွေ့နိုင်ငံများအပေါ် အီရန်၏ လက်တုံ့ပြန်မှုများအား ရှုတ်ချခဲ့သည်။ ဘာရိန်း၊ ကာတာ၊ ကူဝိတ်နှင့် ဂျော်ဒန်တို့နှင့်အတူ အီရန်အား ကြေညာချက်ဖြင့် ရှုတ်ချခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |title=Saudi condemns 'Iranian aggression' against UAE, Bahrain, Qatar, Kuwait, Jordan |url=https://www.brecorder.com/news/40409437 |access-date=28 February 2026 |website=[[Business Recorder]] |language=en}}</ref> * {{flag|South Africa}}: [[အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ]]ရှိ သက်ဆိုင်သူများ၏ အမည်ကို တိုက်ရိုက်မဖော်ပြဘဲ နိုင်ငံတကာအသိုင်းအဝိုင်းအနေဖြင့် ထိန်းသိမ်းမှု နှင့် နိုင်ငံတကာဥပဒေ လိုက်နာမှုအတွက် ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုများကို “နှစ်ဆတိုးမြှင့်လုပ်ဆောင်ရန်” တိုက်တွန်းခဲ့သည်။ ထိုသို့ပြောဆိုရာတွင် သမ္မတသည် ကုလသမဂ္ဂ ပဋိညာဉ်စာတမ်း၏ အပိုဒ် ၅၁ ကို ကိုးကားပြောဆိုခဲ့သည်။<ref>{{cite news |author=Post Reporter |title=Cyril Ramaphosa calls for dialogue in the Middle East amid escalating tensions |url=https://iol.co.za/thepost/news/2026-03-01-cyril-ramaphosa-calls-for-dialogue-in-the-middle-east-amid-escalating-tensions/ |access-date=1 March 2026 |work=IOL |date=1 March 2026 |language=en}}</ref> * {{Flag|Spain}}: စပိန်ဝန်ကြီးချုပ်သည် ၎င်း၏အစိုးရအနေဖြင့် အမေရိကန် နှင့် အစ္စရေး တို့၏ တစ်ဖက်သတ် စစ်ရေးလှုပ်ရှားမှုများကို “ငြင်းပယ်ကြောင်း” ပြောဆိုခဲ့သည်။ ထိုလုပ်ရပ်များသည် ဒေသတွင်း တင်းမာမှုကို မြင့်တက်စေပြီး နိုင်ငံတကာစနစ်ကို ပို၍ မတည်ငြိမ်ပြီး ရန်လိုသော အခြေအနေသို့ ဦးတည်စေကြောင်းလည်း ဆိုသည်။ ထို့ပြင် အီရန် အစိုးရနှင့် [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ]] ၏ လုပ်ရပ်များကိုလည်း ရှုတ်ချခဲ့ပြီး၊ ချက်ချင်း တင်းမာမှုလျှော့ချရန်နှင့် “ရေရှည် နိုင်ငံရေးဖြေရှင်းချက်” ရရှိရန် ဆွေးနွေးညှိနှိုင်းရန် တောင်းဆိုခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=de la Baume |first1=Maïa |last2=Tadeo |first2=Maria |title=Spain slams US and Israeli strikes on Iran, reflecting shift in foreign policy |work=Euronews |date=28 February 2026 |accessdate=1 March 2026 |url=https://www.euronews.com/my-europe/2026/02/28/spain-slams-us-and-israeli-strikes-on-iran-reflecting-shift-in-foreign-policy |archive-url=https://web.archive.org/web/20260228155207/https://www.euronews.com/my-europe/2026/02/28/spain-slams-us-and-israeli-strikes-on-iran-reflecting-shift-in-foreign-policy |archive-date=28 February 2026 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |last=Sánchez |first=Pedro |title=Rechazamos la acción militar unilateral de EE.UU. e Israel, que supone una escalada y contribuye a un orden internacional más incierto y hostil |website=Twitter |date=28 February 2026 |accessdate=1 March 2026 |url=https://x.com/sanchezcastejon/status/2027707726738923754 |lang=es}}</ref> * {{Flag|Syria}}: ဆော်ဒီအာရေးဗီးယား၊ အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စု၊ ဘာရိန်း၊ ကာတာ၊ ကူဝိတ်နှင့် ဂျော်ဒန်တို့ကို ပစ်မှတ်ထားတိုက်ခိုက်ခဲ့သည့် အီရန်၏တိုက်ခိုက်မှုများကို ပြင်းထန်စွာရှုတ်ချကြောင်း နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=28 February 2026 |publisher=Syrian Arab News Agency |title=Syria condemns Iranian strikes on several Arab countries |url=https://sana.sy/en/syria/2299324/ |access-date=28 February 2026 |language=en-US}}</ref> * {{Flag|Taiwan}}: [[လိုင့်ချင်းဒေ|သမ္မတ လိုင့်ချင်းဒေ]] သည် အခြေအနေကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေပြီး ထိုင်ဝမ်နိုင်ငံသားများ၏ ဘေးကင်းရေးအတွက် ကမ္ဘာ့မဟာမိတ်များနှင့် နီးကပ်စွာ အဆက်အသွယ်ထားရှိကာ ဒေသတွင်းရှိ ထိုင်ဝမ်နိုင်ငံသားများ ဘေးကင်းစေရန် ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |last=Shuwei |title=美以空襲伊朗 賴總統: 密切關注局勢與友盟保持聯繫 |trans-title=U.S. and Israeli airstrikes on Iran: President Lai: Closely monitoring the situation and maintaining contact with allied countries |url=https://money.udn.com/money/story/7307/9350264 |access-date=28 February 2026 |website=Economic Daily |language=zh-Hant-TW|date=28 February 2026|first=Wu}}</ref><ref>{{Cite web |last1=Wu Shu-wei |last2=Shih Hsiu-chuan |date=28 February 2026 |title=Taiwan closely monitoring situation after U.S., Israel strike Iran: Lai - Focus Taiwan |url=https://focustaiwan.tw/politics/202602280015 |access-date=2 March 2026 |website=Focus Taiwan - CNA English News |language=en-US}}</ref> * {{Flag|Thailand}}: ဝန်ကြီးချုပ် [[အာနုထင်း ချာန်ဝီရာကွန်း]] သည် ဒေသခံများကို ဘေးလွတ်ရာ ရွှေ့ပြောင်းကြရန် တိုက်တွန်းသည်။ <ref>{{cite web |title=Thai PM says preparing to evacuate citizens in Middle East |url=https://www.thestar.com.my/aseanplus/aseanplus-news/2026/03/02/thai-pm-says-preparing-to-evacuate-citizens-in-middle-east |website=The Star |access-date=2 March 2026 |language=en |date=2 March 2026}}</ref><ref>{{cite web |title=29 Thais in Iran ask to return home as Foreign Ministry sets up "war room" |url=https://www.nationthailand.com/news/world/40063175 |website=nationthailand |access-date=2 March 2026 |date=2 March 2026}}</ref> * {{Flag|Turkey}}: နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနသည် ဒေသတွင်း အကြမ်းဖက်မှုများ အဆုံးသတ်ရန် သက်ဆိုင်သူ အားလုံးကို တောင်းဆိုခဲ့သည်။ တူရကီသမ္မတ က အစ္စရေး၏ ရန်လိုမှုများကို ကန့်ကွက်သည့်အပြင်၊ ပင်လယ်ကွေ့နိုင်ငံများကို အီရန်က တိုက်ခိုက်ခဲ့ခြင်းအတွက်လည်း ရှုတ်ချခဲ့သည်။ * {{Flag|Ukraine}}: [[ဗိုလိုဒီမာ ဇီလန်စကီး|သမ္မတ ဗိုလိုဒီမာ ဇီလန်စကီး]] သည် အစ္စရေး–အမေရိကန် တိုက်ခိုက်မှုများကို ထောက်ခံခဲ့ပြီး အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ၏ ပြတ်သားသော လုပ်ဆောင်မှုသည် အရေးကြီးကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ အမေရိကန်၏ ပြတ်သားသော သန္နိဋ္ဌာန်ရှိသမျှ ကမ္ဘာ့အန္တရာယ်ပြုသူများ အားနည်းလာကြောင်းနှင့် ယင်းအခြေအနေကို ရုရှား ကိုလည်း နားလည်စေရန် လိုအပ်ကြောင်း ထည့်သွင်းပြောဆိုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသသည် နောက်ဆုံးတွင် ပိုမိုလုံခြုံတည်ငြိမ်လာမည်ဟု ဆိုသည်။တစ်ချိန်တည်းတွင် ယူကရိန်းနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး ကလည်း လက်ရှိဖြစ်ပေါ်နေသော အခြေအနေများ၏ အကြောင်းရင်းမှာ အီရန်အစိုးရ၏ အကြမ်းဖက်မှုနှင့် ပြစ်ဒဏ်မခံရခြင်းတို့ဖြစ်ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မကြာသေးမီလများအတွင်း ပိုမိုကျယ်ပြန့်လာသော ငြိမ်းချမ်းစွာ ဆန္ဒပြသူများအပေါ် ဖိနှိပ်သတ်ဖြတ်မှုများကြောင့်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{Flag|United Arab Emirates}}: ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာနက ၎င်း၏နယ်မြေအတွင်းသို့ အီရန် ၏ တိုက်ခိုက်မှုများကို အပြင်းထန်ဆုံးစကားလုံးများဖြင့် ရှုတ်ချခဲ့ပြီး အဆိုပါတိုက်ခိုက်မှုများသည် “အန္တရာယ်ရှိသော တင်းမာမှုမြင့်တက်မှုနှင့် အရပ်သားများ၏ လုံခြုံရေးနှင့် ဘေးကင်းရေးကို ခြိမ်းခြောက်သည့် သူရဲဘောကြောင်သော လုပ်ရပ်” ဖြစ်ကြောင်း ပြောဆိုခဲ့သည်။ ထို့ပြင် တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်ရန် “အပြည့်အဝ အခွင့်အရေး” ရှိကြောင်းလည်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{Flag|United Kingdom}}: အစောပိုင်းတွင် ဗြိတိန် သည် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု အား တိုက်ခိုက်မှုအတွက် ၎င်း၏ စစ်အခြေစိုက်စခန်းများကို အသုံးပြုခွင့် မပေးခဲ့သာ်လည်း နောက်တွင် ဗြိတိန်၏ စစ်အခြေစိုက်စခန်းများကို ကာကွယ်ရေးရည်ရွယ်ချက်ဖြင့် အသုံးပြုခွင့်ပေးရန် သဘောတူခဲ့သည်။ ယင်းဆုံးဖြတ်ချက်သည် နိုင်ငံတကာဥပဒေနှင့် နောက်တွင် ကိုက်ညီကြောင်းလည်း ဝန်ကြီးချုပ် [[ကီယာစတားမာ]] ပြောဆိုခဲ့သည်။ <ref>{{cite web|url=https://www.bbc.co.uk/news/live/cn5ge95q6y7t?post=asset%3A2896a987-90c2-4bfc-84ef-1c37ebd0e5e1#post|title='We do not want to see wider regional conflict' – UK government|last=Beale|first=Jonathan|date=28 February 2026|access-date=28 February 2026|website=[[BBC News]]}}</ref> <ref>{{Cite web |last=Edwards |first=Christian |date=28 February 2026 |title=British planes "in the sky" in Middle East, says Starmer |url=https://edition.cnn.com/world/live-news/israel-iran-attack-02-28-26-hnk-intl?post-id=cmm6g761z00003b6uxoibiu86 |access-date=28 February 2026 |website=CNN |language=en}}</ref> <ref>{{Cite news |last= |title=Iran latest: supreme leader Ayatollah Ali Khamenei confirmed dead |url=https://www.thetimes.com/world/middle-east/article/us-attacks-iran-strikes-trump-latest-news-q39l3fsrd |work=[[The Times]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20260301020839/https://www.thetimes.com/world/middle-east/article/us-attacks-iran-strikes-trump-latest-news-q39l3fsrd |archive-date=1 March 2026 |access-date=1 March 2026 |language=en}}</ref> .<ref>{{cite news |url=https://www.bbc.co.uk/news/articles/cj98egkl7l1o |title=UK has not given US permission to use RAF bases for Iran strikes |last1=Beale |first1=Jonathan |last2=Pike |first2=Joe |work=BBC News |date=19 February 2026 |access-date=1 March 2026}}</ref> <ref>{{cite news |last1=Boxerman |first1=Aaron |last2=Fassihi |first2=Farnaz |last3=Cooper |first3=Helene |last4=Kanno-Youngs |first4=Zolan |last5=Pager |first5=Tyler |title=Iran Live Updates: U.S. Reports American Casualties as Trump Says He's 'Willing to Talk' to Iran |url=https://www.nytimes.com/live/2026/03/01/world/iran-attack-khamenei-trump#heres-the-latest |work=The New York Times|date=1 March 2026}}</ref> * {{Flag|Venezuela}}: အီရန်နိုင်ငံအပေါ် တိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချခဲ့ပြီး သံတမန်ရေးရာ ဆွေးနွေးမှုများကြားတွင် အန္တရာယ်ရှိပြီး မကြုံစဖူး တိုးမြင့်လာမှုဟု ပြောဆိုခဲ့သည်။ထို့အပြင် အိမ်နီးချင်းများအပေါ် အီရန်၏တိုက်ခိုက်မှုကို ရှုတ်ချခဲ့ပြီး ဒေသတွင်းတွင် ဆွေးနွေးမှုကင်းမဲ့မှု၏ ဖြစ်ရပ်များအတွက် အကြောင်းရင်းအဖြစ် အပြစ်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=Condena de Venezuela y Cuba por ofensiva militar de EE.UU. e Israel contra Irán |trans-title= |url=https://www.baenegocios.com/mundo/condena-de-venezuela-y-cuba-por-ofensiva-militar-de-ee-uu-e-israel-contra-iran/ |access-date=28 February 2026 |work=BAE Negocios |date=28 February 2026 |language=es}}</ref>အဆိုပါ ထုတ်ပြန်ချက်ကို အီရန်ခေါင်းဆောင် သေဆုံးမှု အတည်ပြုချက် ထုတ်ပြန်ပြီးနောက် ဗင်နီဇွဲလားသည် လူမှုမီဒီယာပေါ်မှ ထုတ်ပြန်ထားချက် အားလုံးကို ဖျက်ထုတ်လိုက်သည်။ <ref>{{Cite web |last=Pitazo |first=Redacción El |date=1 March 2026 |title=Canciller de Venezuela elimina comunicado en el que condenaba ataque de EE. UU. contra Irán |url=https://elpitazo.net/politica/canciller-de-venezuela-elimina-comunicado-en-el-que-condenaba-ataque-de-ee-uu-contra-iran/ |access-date=1 March 2026 |website=El Pitazo |language=es |quote=El canciller venezolano, Yván Gil, borró de sus redes sociales y de la de la Cancillería de Venezuela el comunicado en el que condenaba el ataque de Estados Unidos e Israel contra Irán, cuando apenas se confirmó la muerte del líder supremo iraní, Alí Jameneí. [...] El comunicado ya no puede encontrarse en ninguna red social relacionada a la Casa Amarilla. |trans-quote=The minister, Yvan Gil, erased from his social media and those of Venezuelan ministry the message condemning the United States and Isreal attack against Iran, just after the confirmation of the death of Iranian supreme leader Ali Khamenei. [...] The statement can no longer be found in any social media related to the Yellow House.|trans-title=Venezuelan Foreign Minister deletes statement condemning US attack on Iran}}</ref> * {{Flag|Myanmar}}:အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် ဖြစ်ပေါ်နေသည့် ပဋိပက္ခများအပေါ် မြန်မာနိုင်ငံက စိုးရိမ်ပူပန်ကြောင်း ထုတ်ဖော်ထားပြီး၊ ငြိမ်းချမ်းစွာ အတူယှဉ်တွဲနေထိုင်ရေးမူကြီး (၅) ရပ်ကို အခြေခံသည့် သံတမန်ရေးဆွေးနွေးမှုများမှတစ်ဆင့် ပြဿနာကို ဖြေရှင်းရန်နှင့် နိုင်ငံများအနေဖြင့် အချုပ်အခြာအာဏာနှင့် နယ်မြေတည်တံ့ခိုင်မြဲမှုကို အပြန်အလှန် လေးစားကာ ပဋိပက္ခများကို လျှော့ချရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/index.php/news/80643|title=အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင်းဆိုင်ရာ သတင်းထုတ်ပြန်ချက်|work=MOI Myanmar|access-date=၇ မတ် ၂၀၂၆|date=၆ မတ် ၂၀၂၆}}</ref> ====အဖွဲ့အစည်းများ==== * {{Flag|United Nations}}: အတွင်းရေးမှူးချုပ် [[အန်တိုနီယို ဂူတာရက်စ်]] သည် တိုက်ခိုက်မှုများကို ရှုတ်ချပြီး “အမေရိကန်နှင့် အစ္စရေးတို့က အီရန်ပေါ် အသုံးပြုထားသော စစ်အင်အား၊ နှင့် အနောက်ဒေသတစ်လွှား အီရန်၏ လက်တုံ့ပြန်မှုများသည် နိုင်ငံတကာ ငြိမ်းချမ်းရေးနှင့် လုံခြုံရေးကို ချိုးဖောက်နေခြင်းဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်<ref>{{Cite news |last=Alsharif |first=Mirna |date=28 February 2026 |title=U.N. secretary-general condemns military escalation in Iran |url=https://www.nbcnews.com/world/iran/live-blog/israel-iran-live-updates-rcna261099/rcrd102084?canonicalCard=true |access-date=28 February 2026 |work=[[NBC News]] |language=en}}</ref> * {{Flag|European Union}}:အဆိုပါ ပဋိပက္ခကို “အလွန်စိုးရိမ်ဖွယ်ရာ” ဟု ပြောဆိုခဲ့ပြီး တင်းမာမှုများ လျှော့ချရန် ထိန်းသိမ်းသတိထားရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |date=1 March 2026 |title=Von der Leyen llama abiertamente a una "transición creíble" de poder en Irán |trans-title= |url=https://www.europapress.es/internacional/noticia-von-der-leyen-llama-abiertamente-transicion-creible-poder-iran-20260301163251.html |access-date=1 March 2026 |website=www.europapress.es}}</ref> * {{Flag|NATO}}: ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူက အခြေအနေကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး၊ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက Stars and Stripes သတင်းဌာနသို့ ပြောကြားရာတွင် အီရန်၏ တိုက်ခိုက်မှုများ ကျယ်ပြန့်လာနိုင်ခြေရှိပါက အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများကို ကာကွယ်နိုင်ရန် ဒုံးကျည်ကာကွယ်ရေး သတိရှိမှုကို မြှင့်တင်ထားကြောင်း ပြောဆိုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|title=Counterstrikes continue at US Navy base in Bahrain; residential buildings off base attacked |url=https://www.stripes.com/theaters/middle_east/2026-02-28/strikes-on-bahrain-iran-israel-20902624.html |website=[[Stars and Stripes (newspaper)|Stars and Stripes]] <!-- American military newspaper --> |first1=Lara |last1=Korte |first2=Shannon |last2=Renfroe |access-date=28 February 2026 |language=en|date=28 February 2026}}</ref><ref>{{Cite web |last=Bayer |first=Lily |title=NATO closely following developments in Iran, spokesperson says |url=https://www.reuters.com/world/middle-east/nato-closely-following-developments-iran-region-spokesperson-says-2026-02-28/?link_source=ta_first_comment&taid=69a2e229c51a27000147f948&utm_campaign=trueAnthem:+Trending+Content&utm_medium=trueAnthem&utm_source=facebook&fbclid=IwdGRleAQQELJleHRuA2FlbQIxMQBzcnRjBmFwcF9pZAo2NjI4NTY4Mzc5AAEePbAkicn0PP7HrpQkPPbqTBTBP1wTavkIcS62hS7-9p7fvfcERq9RCfjQvKk_aem_A0C4X16i5zoUuf0qwc9Iog |website=[[Reuters]]|date=28 February 2026|access-date=28 February 2026}}</ref> == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ စစ်ရေး]] [[ကဏ္ဍ:အစ္စရေးနိုင်ငံ၏ စစ်ရေး]] [[ကဏ္ဍ:အီရန်နိုင်ငံ၏ စစ်ရေး]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ စစ်ဆင်ရေးများ]] mpghs8pyf2myppuaqfai39hxbx9hfla 2 282473 1039298 1018385 2026-06-18T00:26:54Z Mkant00 135890 1039298 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ == # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] # [[သုဒ္ဓကိန်း]] # [[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကိန်းရှုပ်]] # [[ကိန်းရင်း]] # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] # [[ကိန်းပြည့်]] # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] # [[ဖန်တာ]] # [[ဖန်ရှင်]] # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] # [[ဖီးလ်ဒ်]] # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] # [[မိုနက်]] # [[မိုနွိုက်]] # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] # [[မော်ဂျူး]] # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] # [[သုဒ္ဓကိန်း]] # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] # [[ဟိုမိုတိုပီ]] # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] # [[အစည်း]] # [[အစားကွင်း]] # [[အစု]] # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] # [[အုပ်စုပိုင်း]] # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] dan8jk7rfbg67s4n8xgfn6x2bs6770d 1039299 1039298 2026-06-18T00:31:01Z Mkant00 135890 /* ရေးလက်စ */ 1039299 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ == # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) qjvd2ra0g52nb2szrsh00zcs9o98yvp 1039300 1039299 2026-06-18T00:32:15Z Mkant00 135890 /* ရေးလက်စ */ 1039300 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ (သင်္ချာ) == # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) b21qk3tb4nnawoxy6xkw9bw1ilxw4gs 1039301 1039300 2026-06-18T00:33:44Z Mkant00 135890 1039301 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ (သင်္ချာ) == # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) == တမ်းပလိတ် == #[[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 6qm29utk3vhywj2b4h8mczimgp3mfqy 1039302 1039301 2026-06-18T00:46:24Z Mkant00 135890 1039302 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ (သင်္ချာ) == # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) == တမ်းပလိတ် == #[[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] == ရေးရန် == # [[ကိန်းပြည့်ရင်း]] (algebraic integer) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) # tbd # tbd # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (field homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (category of fields) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (monomorphism) # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homeomorphism) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (epimorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) # [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) 5dqy62pntuxgs3a0hpgp2leapuyzya8 1039303 1039302 2026-06-18T01:18:17Z Mkant00 135890 /* ရေးလက်စ (သင်္ချာ) */ 1039303 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ (သင်္ချာ) == <div style="float: right; margin-right: 100px; margin-left: 120px;"> [[File:KleinBottle-01.png|120px]] </div> <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:Klein bottle.svg|120px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|120px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|220px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|120px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|100px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|10px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|100px]] </div> # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) == တမ်းပလိတ် == #[[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] == ရေးရန် == # [[ကိန်းပြည့်ရင်း]] (algebraic integer) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) # tbd # tbd # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (field homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (category of fields) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (monomorphism) # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homeomorphism) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (epimorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) # [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) lo1wh4g1l93echl74sodgtr78ezsuoq 1039353 1039303 2026-06-18T08:54:22Z Mkant00 135890 /* ရေးရန် */ 1039353 wikitext text/x-wiki == ရေးလက်စ (သင်္ချာ) == <div style="float: right; margin-right: 100px; margin-left: 120px;"> [[File:KleinBottle-01.png|120px]] </div> <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:Klein bottle.svg|120px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|120px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|220px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|120px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|100px]] </div> [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|right|200px]] <div style="float: right; margin-right: 60px; margin-left:-10px;"> [[File:Torus.png|10px]] </div> [[File:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG|right|220px]] <div style="float: right; margin-right: -10px; margin-left:-10px;"> [[File:CalabiYau5.jpg|100px]] </div> # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[အစည်း]] (Sheaf) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[အစု]] (Set) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) == တမ်းပလိတ် == #[[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] == ရေးရန် == # [[ကိန်းပြည့်ရင်း]] (algebraic integer) # [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) # tbd # tbd # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (field homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (category of fields) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (monomorphism) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homeomorphism) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (epimorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) # [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) 54a4owste6i3qgeaiwa90yv8zwx8wv6 0 282520 1039144 1037935 2026-06-17T13:19:06Z Mkant00 135890 1039144 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Duality_Hexa-Okta.svg|thumb|သုံးဘက်မြင်အတိုင်းအတာတွင်း ဗက်တာများ၏ အမြင့်ဆုံးစံနှုန်း (maximum norm) (ကုဗတုံး မျက်နှာပြင်) နှင့် ပေါင်းလဒ်စံနှုန်း (taxicab norm) (အဋ္ဌဂံ မျက်နှာပြင်) တို့၏ ကိန်းသေ စံနှုန်းအစုများ (စံနှုန်းစက်လုံးများ)]] သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် '''စံနှုန်း (Norm)''' ဆိုသည်မှာ ဗက်တာ(vector)၊ ကိန်းအုံ(matrix)၊ ကိန်းစဉ် (sequence) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင် (function) ကဲ့သို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခုအား ကိန်းဂဏန်းတစ်ခုနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းဂဏန်းသည် ထိုအရာဝတ္ထု၏ ပမာဏကို တစ်နည်းနည်းဖြင့် ဖော်ပြရန် ရည်ရွယ်သည်။ "ပမာဏ" ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်မှာ လေ့လာနေသည့် အရာဝတ္ထုနှင့် အသုံးပြုထားသော စံနှုန်းအပေါ် မူတည်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျား၊ ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး ဆင်ဂူလာတန်ဖိုး၊ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ပြောင်းလဲမှု သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အမြင့်ဆုံးတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ စံနှုန်းတစ်ခုကို အရာဝတ္ထု၏ ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက်ရှိ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ကြောင်း <math>\| \cdot \|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ စံနှုန်းသည် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex number) များ အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခု၏ အစုဝင်တစ်ခုကို အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive definiteness)၊ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) နှင့် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိသုံးခု ရှိသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို စံနှုန်းတစ်ခု တပ်ဆင်လိုက်သောအခါ အရေးကြီးသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (analytic properties ) ရှိသည့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ရရှိသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ စံနှုန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အချင်းချင်း တူညီညီမျှသော စံနှုန်းနှစ်ခုသည် တူညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အတိုင်းအတာ (dimension) အကန့်အသတ်ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများပေါ်တွင် စံနှုန်းအားလုံးသည် အချင်းချင်း တူညီညီမျှကြသည်။ {{sfn|Heuser|2004}} စံနှုန်းများကို မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (functional analysis) တို့တွင် အထူးတလည် လေ့လာကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) တွင်လည်း အရေးကြီးသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ == အခြေခံသဘောတရားများ == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === [[ဖိုင်:Vector-triangle-inequality.svg|thumb|တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) အရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့၏ သီးခြားအလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။ ဗက်တာ x နှင့် y တို့ ဦးတည်ရာအရပ် တူညီမှသာ ညီမျှနိုင်သည်။]] စံနှုန်းဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် (field) <math>\mathbb K</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ ကိန်းစစ်များအစုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသော ဖန်ရှင် <math>\|\cdot\|</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ : <math>\|\cdot\|\colon V\to{\mathbb R}, \; x \mapsto \| x \|</math>, ၎င်းသည် ဗက်တာ <math>x, y\in V</math> အားလုံးနှင့် စကေလာ (scalar) <math>\alpha\in\mathbb K</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါ နဂိုမှန်အဆို သုံးခုကို ပြည့်စုံစေရမည်: {| style="margin-left: 2em" |- | style="width:20em;" |(၁) အပေါင်းကိန်းသေချာမှု |<math>\|x\| \ge 0</math>&nbsp;&nbsp;နှင့်&nbsp;&nbsp;<math>\|x\| = 0 \iff x = 0_V</math> |- |(၂) တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု |<math>\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|</math> |- | (၃) နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု/ တြိဂံ မညီမျှခြင်း |<math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math> |} ဤတွင် <math>|\cdot|</math> သည် စကေလာ၏ ပကတိတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤစံနှုန်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉၂၂ ခုနှစ်တွင် စတက်ဖန် ဘာနာ့ချ် (Stefan Banach) မှ ၎င်း၏ ပါရဂူဘွဲ့စာတမ်းတွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။{{sfn|Banach|1922}}{{sfn|Werner|2007}} ယနေ့ခေတ် အသုံးပြုနေသော စံနှုန်းသင်္ကေတကို ၁၉၀၈ ခုနှစ်တွင် အာဟတ် ရှမစ် (Erhard Schmidt) က ဗက်တာ <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့ကြားရှိ အကွာအဝေး <math>\|x-y\|</math> အဖြစ် ပထမဆုံး စတင်အသုံးပြုခဲ့သည်။{{sfn|Scriba|Schreiber|2009}} === ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) === စံပြဥပမာတစ်ခုမှာ <math>\mathbb{R}^2</math> ပြင်ညီရှိ သုညမှတ်ကို မူလနေရာအဖြစ် အခြေခံသော ဗက်တာ <math>(x,y)</math> တစ်ခု၏ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) ဖြစ်သည်၊ <math>\| (x,y) \| = \sqrt{x^2 + y^2}</math> ယင်းသည် ဗက်တာ၏ [[အလျား]]နှင့် ကိုက်ညီသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဗက်တာ <math>(1,1)</math> ၏ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းသည် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် ညီမျှသည်။ အပေါင်းကိန်းသေချာမှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျားသည် သုညဖြစ်နေပါက ယင်းဗက်တာသည် သုညဗက်တာ ဖြစ်ရမည်။ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီကို ကိန်းတစ်ခုဖြင့် မြှောက်လိုက်ပါက ၎င်း၏ အလျားသည် ထိုကိန်း၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ပမာဏမြှောက်လဒ်အတိုင်း ပြောင်းလဲသွားမည် ဖြစ်သည်။ နောက်ဆုံးအနေဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့ သီးခြားစီ အလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။ === အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ === <math>\alpha = -1</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုမှ အောက်ပါအတိုင်း ဆင်းသက်ရရှိသည်- <math>\|{-x}\| = \|x\|</math> &nbsp; နှင့် ထို့ကြောင့် &nbsp; <math>\|x - y\| = \|y - x\|</math> ထို့ကြောင့် လက္ခဏာ ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းနှင့် ပတ်သက်၍ အချိုးညီမှု (symmetry) ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ရှိ <math>\|x\| \ge 0</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ကို ချန်လှပ်ထားနိုင်သည်၊ အကြောင်းမှာ ၎င်းသည် အခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများမှ ဆင်းသက်လာသောကြောင့် ဖြစ်သည်- <math>\|x\| = \frac{1}{2}\left(2\|x\|\right) = \frac{1}{2}\left(\|x\| + \|{-x}\|\right) \geq \frac{1}{2}\|x + {-x}\| = \frac{1}{2}\|0\| = 0</math> ထို့အပြင် စံနှုန်းများအတွက် ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း(reverse triangle inequality) သည်လည်း အကျုံးဝင်သည်- <math>\bigl| \| x \| - \| y \| \bigr| \leq \| x - y \|</math> ၎င်းကို <math>x-y+y</math> အပေါ် တြိဂံ မညီမျှခြင်း အသုံးချခြင်းနှင့် အချိုးညီမှုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စံနှုန်းတိုင်းသည် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု (uniformly continuous mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု နှင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု တို့ကြောင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) ရှိပြီး ထိုမှတဆင့် ခုံးသော ပုံဖော်မှု (convex mapping) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ <math>t \in [0,1]</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အကျုံးဝင်သည်- : <math>\| tx + (1-t) y\| \leq t \| x \| + (1-t) \| y \|</math>. === စက်လုံးများ (Norm Balls) === [[ဖိုင်:Unit disc 2-norm qtl1.svg|thumb|mini|နှစ်ဘက် အတိုင်းအတာတွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းအတွက် ယူနစ်စက်လုံး (အနီရောင်) နှင့် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (အပြာရောင်)]] ဗက်တာ <math>x_0\in V</math> နှင့် စကေလာ <math>r \in {\mathbb K}</math> အတွက် <math>r > 0</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါ အစုများကို <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| < r \}</math> &nbsp;&nbsp; နှင့် &nbsp;&nbsp; <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| \leq r \}</math> ကို အဖွင့်စက်လုံး (open ball) နှင့် အပိတ်စက်လုံး (closed ball) ဟု အသီးသီးခေါ်ပြီး အောက်ပါ အစုကို <math>\{ x \in V\colon \| x-x_0 \| = r \}</math> <math>x_0</math> ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် <math>r</math> ရှိသော '''စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere)''' ဟု ခေါ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>x_0=0</math> နှင့် <math>r=1</math> ဟု ရွေးချယ်ပါက ထွက်ပေါ်လာသော အစုများကို ယူနစ်စက်လုံး (unit ball) သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (unit sphere) ဟု ခေါ်သည်။ စက်လုံး သို့မဟုတ် စက်လုံးမျက်နှာပြင် တိုင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်စက်လုံး သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်မှတဆင့် အချိုးအစား <math>r</math> ဖြင့် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) နှင့် ဗက်တာ <math>x_0</math> ဖြင့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် ပေါ်ရှိ ဗက်တာတစ်ခုကို ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဟု ခေါ်သည်၊ <math>x \neq 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့်ဗက်တာအတွက်မဆို <math>\tfrac{x}{\| x \|}</math> ဟု ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း (normalization) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်ဗက်တာကို ရရှိနိုင်သည်။ စက်လုံးတစ်ခုသည် ခုံးသောအစု (convex set) ဖြစ်ရမည်။ သို့မဟုတ်ပါက သက်ဆိုင်ရာပုံဖော်မှုသည် တြိဂံမညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေမည်မဟုတ်ပေ။ ထို့အပြင် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် စက်လုံးတစ်ခုသည် <math>x_0</math> အခြေပြု၍ အမြဲတမ်း အမှတ်အချိုးညီမှု (point-symmetric) ရှိရမည်။ အကန့်အသတ်ရှိသော အတိုင်းအတာ (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းများရှိ စံနှုန်းတစ်ခုကို ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော စက်လုံးမှတဆင့်လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုသို့သတ်မှတ်ရန်အတွက် အဆိုပါအစုသည် ခုံးသောအစုဖြစ်ခြင်း၊ သုညမှတ် အခြေပြု၍ အမှတ်အချိုးညီမှုရှိခြင်း၊ အပိတ်စုဖြစ်ခြင်း၊ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (bounded) နှင့် သုညမှတ်သည် ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) ဖြစ်ခြင်း စသည့် အချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ သက်ဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုကို မင်ကော့စကီး ဖန်ရှင်နယ် (Minkowski functional) သို့မဟုတ် ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ် (gauge functional) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဟာမန် မင်ကော့စကီး (Hermann Minkowski) သည် ၁၈၉၆ ခုနှစ်ကတည်းက ကိန်းသီအိုရီ (number theory) ဆိုင်ရာ ပြဿနာများ၏ မူဘောင်အတွင်း၌ ယင်းကဲ့သို့သော ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ်များကို လေ့လာခဲ့သည်။ === လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းများ (Induced Norms) === စံနှုန်းတစ်ခုသည် အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> တစ်ခုမှ ဆင်းသက်လာနိုင်သော်လည်း မဖြစ်မနေ ဆင်းသက်လာရန် မလိုအပ်ပေ။ ထိုသို့ဆင်းသက်လာပါက ဗက်တာ <math>x \in V</math> တစ်ခု၏ စံနှုန်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်- <math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math>, ဆိုလိုသည်မှာ ဤစံနှုန်းသည် ဗက်တာတစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင် အတွင်းမြှောက်လဒ် ပြုလုပ်ခြင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည်။ ဤတွင် ၎င်းကို အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်း (norm induced by the inner product) သို့မဟုတ် ဟီလ်ဘတ် စံနှုန်း (Hilbert norm) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော စံနှုန်းတိုင်းသည် ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Cauchy-Schwarz inequality)နှင့် ပြည့်စုံသည်- <math>| \langle x, y \rangle | \leq \| x \| \cdot \| y \|</math> ထို့အပြင် ၎င်းသည် ယူနစ်တရီ အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (unitary transformations) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။ ဂျော်ဒန်-ဗွန်နျူမန်း သီအိုရမ် (Jordan-von Neumann theorem) အရ အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းသည် အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း (parallelogram law) နှင့် ပြည့်စုံသည် ။ သို့သော် အချို့သော အရေးကြီးသည့် စံနှုန်းများသည် အတွင်းမြှောက်လဒ်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း မဟုတ်ပါ။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကြည့်လျှင် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု၏ အဓိကခြေလှမ်းတစ်ခုမှာ အတွင်းမြှောက်လဒ်အပေါ် အခြေခံမထားသော စံနှုန်းများကို မိတ်ဆက်ခဲ့ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် စံနှုန်းတိုင်းအတွက် ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အတွင်းမြှောက်လဒ်အကြို (semi-inner product) တစ်ခု ရှိသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== {{citation | last = Heuser | first = Harro | title = Lehrbuch der Analysis. Teil 2 | edition = 13. Auflage | publisher = Teubner Verlag | year = 2004 | isbn = 3-519-62232-7 }} {{citation | last = Banach | first = Stefan | title = Sur les op&eacute;rations dans les ensembles abstraits et leur application aux &eacute;quations int&eacute;grales | journal = Fundamenta Mathematicae | volume = 3 | issue = 1 | pages = 133–181 | year = 1922 | url = https://bibliotekanauki.pl/articles/1385859 }} {{citation | last = Werner | title = Funktionalanalysis | publisher = Springer | year = 2007 | pages = 41 }} {{citation | last1 = Scriba | last2 = Schreiber | title = 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen | publisher = Springer | year = 2009 | pages = 511–512 }} {{refend}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 9iuzomq9g736pf84d2zj7xb65jx6fx6 0 282560 1039365 1035309 2026-06-18T09:55:36Z Mkant00 135890 1039365 wikitext text/x-wiki [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ သို့မဟုတ် [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] အက္ခရာသင်္ချာ (involutive algebra) သည် အခြေခံ [[အင်ဗော်လူးရှင်းကွင်း]] (involutive ring) <math> R </math> နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသော <math> A </math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ ဟု ဖတ်သည်။ ဤတွင် <math> R </math> သည် [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း|ဖလှယ်ရကွင်း]] (commutative ring) ဖြစ်ပြီး <math> A </math> သည် <math> R </math> အပေါ်ရှိ [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (associative algebra) တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အင်ဗော်လူးရှင်း အက္ခရာသင်္ချာများသည် ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ပါရှိသော ကိန်းစနစ်တစ်ခု၏ အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် [[ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] (complex conjugation)၊ ကိန်းထွေးများ အပေါ်ရှိ [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) နှင့် [[ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ်]] (conjugate transpose) အပြင် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ]] (linear operators) နှင့် [[ဟာမီရှန် တွဲဖက်|ဟာမီရှန် တွဲဖက်များ]] (Hermitian adjoints) သည် ဥပမာများ ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အချို့သော အက္ခရာသင်္ချာများတွင် မည်သည့် [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] မျှ မရှိသည်မျိုးလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ == ===*-ကွင်း=== '''*-ကွင်း''' (ကြယ်ပွင့်-ကွင်း) ဆိုသည်မှာ [[အန်တီအော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (antiautomorphism) နှင့် အင်ဗော်လူးရှင်း (involution) တစ်ခုဖြစ်သော ပုံဖော်မှု <math> * : A \to A </math> ပါရှိသည့် [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Ring) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရလျှင် <math> A </math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math> x, y </math> အတွက်မဆို <math> * </math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်-<ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/C-Star-Algebra.html |title=C-Star Algebra |website = Wolfram MathWorld |date=2015 |first=Eric W. |last=Weisstein|authorlink = Eric W. Weisstein}}</ref> * <math> (x + y)^* = x^* + y^* </math> * <math> (xy)^* = y^* x^* </math> *<math> 1^* = 1 </math> * <math> (x^*)^* = x </math> ၎င်းကို '''အင်ဗော်လူးရှင်း ကွင်း''' (involutive ring/ involutory ring) နှင့် '''အင်ဗော်လူးရှင်းပါရှိသော ကွင်း''' (ring with involution) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ တတိယမြောက် နဂိုမှန်အဆိုကို ဒုတိယနှင့် စတုတ္ထမြောက် နဂိုမှန်အဆိုများမှတဆင့် ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ *<math> x^* = x</math> ဖြစ်သော အစုဝင်များကို ''ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက်'' (self-adjoint) ဟု ခေါ်သည်။<ref name=":0">{{Cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html |title=Octonions |date=2015 |accessdate=27 January 2015 |website=Department of Mathematics |publisher=University of California, Riverside |last=Baez |first=John |author-link = John Baez|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150326133405/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html |archivedate=26 March 2015 |url-status=live |df= }}</ref> &ast;-ကွင်း (ကြယ်ပွင့်-ကွင်း) တစ်ခု၏ စံပြဥပမာများမှာ အင်ဗော်လူးရှင်း အဖြစ် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugation) ပါရှိသော ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) နှင့် ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ်များပင် ဖြစ်သည်။ မည်သည့် *-ကွင်း အပေါ်တွင်မဆို ဆက်ကွီလီနီယာ ပုံစံ (sesquilinear form) တစ်ခုကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ===<math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ=== '''<math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ''' (ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ) <math> A </math> ဆိုသည်မှာ အင်ဗော်လူးရှင်း <math> ' </math> ပါရှိသော [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) ဖြစ်သည့် <math>*</math>-ကွင်း <math> R </math> အပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသည့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (associative algebra) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math> (rx)^* = r' x^* \forall r \in R, x \in A </math> ဖြစ်စေမည့် အင်ဗော်လူးရှင်း <math>*</math> ပါရှိသော <math>*</math>-ကွင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အများစုတွင် <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု၌ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ယူနစ် (unity) ပါရှိရန် မလိုအပ်ပါ။ အခြေခံ <math>*</math>-ကွင်း <math> R </math> သည် အများအားဖြင့် ကိန်းထွေးကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤတွင် <math> ' </math> သည် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ နဂိုမှန်အဆိုများအရ <math> A </math> အပေါ်ရှိ <math>*</math>သည် <math> R </math> တွင် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် (conjugate-linear) ဖြစ်သည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> \lambda, \mu \in R </math> နှင့် <math> x, y \in A </math> အတွက် :<math> (\lambda x + \mu y)^* = \lambda' x^* + \mu' y^* </math> ဖြစ်သည်။ '''<math>*</math>-[[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]''' <math> f : A \to B </math> သည်<math> A </math> နှင့် <math> B </math> တို့၏ အင်ဗော်လူးရှင်းများနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော [[အက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (algebra homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> A </math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math> a </math> အတွက်မဆို <math> f(a^*) = f(a)^* </math> ဖြစ်သည်။<ref name=":0" /> == ဥပမာများ == * မည်သည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) မဆိုသည် အသေးအဖွဲ/ထပ်တူရ အင်ဗော်လူးရှင်း (trivial/ identical involution) ဖြင့် <math>*</math>-ကွင်း တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ * [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (reals) အပေါ်ရှိ <math>*</math>-ကွင်း နှင့် <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု၏ ဥပမာမှာ <math>*</math> သည် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်သာဖြစ်သော ကိန်းထွေးဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ * ကိန်းတေး ယူနစ် (imaginary unit) ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) တစ်ခုကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (adjunction) ဖြင့် ပြုလုပ်ထားသော ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုသည် မူလဖီးလ်ဒ်အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အသေးအဖွဲ-<math>*</math>-ကွင်း (trivially-<math>*</math>-ring) တစ်ခုအဖြစ် ယူဆသည်။ <math>*</math> သည် ထိုနှစ်ထပ်ကိန်းရင်း၏ လက္ခဏာကို ပြောင်းပြန်လှန်သည်။ * ထရန်စပို့စ် (transposition) ဖြင့် <math>*</math> ပါရှိသည့် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်ရှိ <math> n \times n </math> [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]]၏ ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra)။ * ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြင့် <math>*</math> ပါရှိသည့် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ <math> n \times n </math> ကိန်းအုံများ၏ ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ။ * ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (bounded linear operators) ၏ အက္ခရာသင်္ချာအတွင်းရှိ ဟာမီရှန် တွဲဖက် သည်လည်း <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုဖြစ်သည်။ * အသေးအဖွဲ-<math>*</math>-ကွင်းဖြစ်သော ဖလှယ်ရကွင်း <math> R </math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring)<math> R[x] </math> သည် <math> P^*(x) = P(-x) </math> ပါရှိသော <math> R </math> အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math> (A, +, \times, *) </math> သည် <math>*</math>-ကွင်း တစ်ခုလည်းဖြစ် (ဖလှယ်ရသော) <math> R </math> ကွင်းအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုလည်းဖြစ်ကာ <math>\forall r \in R, x \in A</math> အတွက်<math> (rx)^* = r(x^*)</math> လည်း ဖြစ်သည်ဆိုပါက <math> A </math> သည် <math> R </math> အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။ (<math>*</math> သည် အသေးအဖွဲ ဖြစ်သည်)။ * မည်သည့် <math>*</math>-ကွင်း မဆိုသည် ကိန်းပြည့်များ (integers) အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။ * မည်သည့် ဖလှယ်ရ <math>*</math>-ကွင်း မဆိုသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။ * ဖလှယ်ရ <math>*</math>-ကွင်း <math> R </math> တစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ မည်သည့် <math>*</math>-အိုင်ဒီးလ် ဖြင့်မဆို စားထားသော ၎င်း၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) သည် <math> R </math> အပေါ်ရှိ <math>*</math>-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * အုပ်စု ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ (group Hopf algebra)- <math> g \mapsto g^{-1} </math> ဖြင့် ပေးထားသော အင်ဗော်လူးရှင်းပါရှိသည့် [[အုပ်စု ကွင်း]] (group ring) တစ်ခု။ ==References== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] olm5a9haqsyp5u68pulzvncjsn6yfmx 0 282622 1039208 1037920 2026-06-17T16:09:49Z Fotrus 134236 1039208 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific_prefix = | name = မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီ | native_name = Mojtaba Hosseini Khamenei | native_name_lang = fa | image = Mojtaba Khamenei 2019.jpg | alt = Khameini, age 48, in clerical clothing | caption = Khamenei in 2019 | order = တတိယမြောက် | office = အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင် | president = [[မာဆော့ ပါဇက်ရှ်ကီရမ်]] | term_start = ၈ မတ် ၂၀၂၆<ref name="constitution">{{cite web |title=Iran - Constitution Iran - Constitution |url=http://www.parliament.am/library/sahmanadrutyunner2019/iran.pdf |access-date=2026-03-08 |website=[[Parliament of Armenia|parliament.am]]}}</ref> | term_end = | predecessor = [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]] <ref name=":0">{{Cite web|last=Reals|first=Tucker|last2=|first2=|last3=|first3=|last4=|last5=|first5=|last6=|first6=|last7=|first7=|last8=|first8=|last9=|first9=|date=1 March 2026|title=Iran names three men for interim Leadership Council to pick next supreme leader|url=https://www.cbsnews.com/live-updates/us-iran-war-israel-supreme-leader-khamenei-funeral-day-2/|access-date=1 March 2026|website=CBS News|language=en-US|archive-date=1 March 2026|archive-url=https://web.archive.org/web/20260301140937/https://www.cbsnews.com/live-updates/us-iran-war-israel-supreme-leader-khamenei-funeral-day-2/|url-status=live}}</ref> | successor = | office1 = အီရန်နိုင်ငံ၏ ထိပ်တန်းခေါင်းဆောင်ရုံး<br> {{small|(နိုင်ငံရေးနှင့်လုံခြုံရေး)}} | 1blankname1 = အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင် | 1namedata1 = [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]] (၁၉၉၇–၂၀၂၆) | 2blankname1 = အလုပ်အဖွဲ့ဦးဆောင် | 2namedata1 = မိုဟာမက် မိုဟာမဒီ ဂေါလ်ပယီဂန်နီ | term_start1 = ၁၉၉၉(ခန့်မှန်းနှစ်) | term_end1 = ၈ မတ် ၂၀၂၆ | predecessor1 = ရာထူးအသစ် | successor1 = | birth_name = မိုဂျ်တာဘာ ဟိုဆေယနီ ခါမေနီ | birth_date = {{birth date and age|df=yes|1969|9|8}} | death_date = | birth_place = မက်ရှဒ်၊[[အီရန်နိုင်ငံ]] | education = [[ကုရ်အာန်ကျမ်းစာ]]ဘာသာရေးသင်တန်းကျောင်း | occupation = | blank1 = နိုင်ငံရေးအဖွဲ့အစည်းဆိုင်ရာ | data1 = အစ္စလာမ်တော်လှန်ရေးအဖွဲ့ <ref>{{cite web|url= https://www.iranintl.com/en/202603083539|title= Mojtaba Khamenei: The shadow prince who rose to became Iran's supreme leader|publisher=Iran International|date=8 March 2026|access-date=8 March 2026}}</ref> | spouse = ဇာဟရာ ဟဒတ်-အဒဲလ် | children = ၃ဦး (၁ဦးဆုံးပါး) | parents = [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]] | relatives = ခါမေနီ မိသားစု | allegiance = အီရန် | branch = {{flagicon|Iran}}[[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အီရန်စစ်တပ်]] | signature = Mojtaba Khamenei Signature.svg | serviceyears = *၁၉၈၇–၁၉၈၈<br> [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အီရန်စစ်တပ်]] *၂၀၀၉–လက်ရှိ<br> {{flagicon image|Flag of Basij.svg}}ပြည်သူ့စစ် | rank = | battles = {{tree list}} * [[အီရန်-အီရတ်စစ်ပွဲ|အီရန် - အီရတ် စစ်ပွဲ]] * [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|အီရန်စစ်ပွဲ (၂၀၂၆)]] {{tree list/end}} | module = {{Infobox religious biography|embed=yes | religion = [[အစ္စလာမ်ဘာသာ|အစ္စလာမ်]] }} | leader = | 1blankname = ယာယီခေါင်းဆောင် | 1namedata = အာလီ လာရီဂျာနီ<ref>{{cite news |last1=Janjevic |first1=Darko |title=Who is Ali Larijani, the unofficial strongman in Iran? |url=https://www.dw.com/en/who-is-ali-larijani-the-unofficial-strongman-in-iran/a-76202526 |access-date=9 March 2026 |work=DW |date=2026-03-03 |language=en}}</ref><ref>{{cite news |last1=Faucon |first1=Benoit |title=De Facto Wartime Leader Steers Iran’s Defiant Response to U.S. |url=https://www.wsj.com/world/middle-east/de-facto-wartime-leader-steers-irans-defiant-response-to-u-s-f8fe0680 |access-date=9 March 2026 |work=The Wall Street Journal |date=8 March 2026}}</ref> }} '''မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီ''' ({{lang-en|'''Mojtaba Khamenei'''}};၈ စက်တင်ဘာ ၁၉၆၉ မွေးဖွား) သည် အီရန်နိုင်ငံရေးသမားနှင့် [[ရှီယာ မူဆလင်၏ သမိုင်း|ရှီအာအစ္စလာမ်]] ဘာသာရေးပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်ပြီး၊ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ် ၈ ရက်မှစ၍ အီရန်နိုင်ငံ၏ တတိယမြောက် အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင် အဖြစ် တင်မြှောက်ခံရသူဖြစ်သည်။ဤသူသည် [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီခါမေနီ]]၏ ဒုတိယမြောက်သားဖြစ်ပြီး၊ [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|အီရန်စစ်ပွဲ(၂၀၂၆)]]အတွင်း ပေါ်ထွက်လာသော အီရန်ခေါင်းဆောင်တစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။ == ငယ်ဘဝနှင့်ပညာရေး == မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီ ကို [[အီရန်နိုင်ငံ]]ရှိ ဩဇာကြီး ခါမေနီမိသားစုမှ ၁၉၆၉ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၈ ရက်နေ့တွင် မရှ်ဟတ်မြို့တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး၊ညီအစ်ကို ၅ ဦးအနက် ဒုတိယမြောက်သားဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ဖခင်သည် အီရန်နိုင်ငံရေးတွင် အရေးပါသော ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦးအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့ချိန်တွင် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီမှာ အသက် ၉ နှစ်သာရှိခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အီရန်နိုင်ငံ ကာဒိုစတန် ပြည်နယ် မြောက်ပိုင်း အီရန်-အီရတ်နယ်စပ်အနီးရှိ ဆာဒတ်ရှ့် နှင့် မဟာဘတ်တို့တွင် အစောပိုင်းပညာရေးကို လေ့လာခဲ့ပြီး၊ နောက်ပိုင်းတွင် [[တီဟီရန်မြို့|တီရီဟန်မြို့]]တွင် အထက်တန်းပညာကို ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖခင်ဖြစ်သူ၏ လမ်းညွှန်မှုအောက်တွင် အစ္စလာမ်ဘာသာရေးပညာကို ဆက်လက်လေ့လာခဲ့သည်။ ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အစ္စလာမ်စစ်တပ်]] သို့ ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး [[အီရန်-အီရတ်စစ်ပွဲ]]တွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင် ဘာသာရေးပညာရှင်ဖြစ်လာရန် ကိုမ်သို့ သွားရောက်ကာ ပညာဆက်လက်လေ့လာခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် ကိုမ် ဘာသာရေးသင်တန်းကျောင်းတွင် သာသနာရေးပညာ သင်ကြားသူအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် အီရန်၏ အမျိုးသားလုံခြုံရေးနှင့် ဆက်နွယ်သော စေတနာ့ဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ဖြစ်သည့် Basij ပြည်သူ့စစ်အဖွဲ့ကို ထိန်းချုပ်အုပ်ချုပ်ခဲ့သည်။ == နိုင်ငံရေးဖြတ်သန်းမှုများ == မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီသည် အထက်တန်းကျောင်းပြီးနောက် အနီးစပ်ဆုံး ၁၉၈၇ ခုနှစ်ပိုင်း အသက် ၁၇ နှစ်အရွယ်တွင် [[အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့များ|အီရန်အစ္စလာမ်မစ် သမ္မတနိုင်ငံ လက်နက်ကိုင်တပ်ဖွဲ့]] သို့ ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ထိုကာလအတွင်း Operation Beit ol-Moqaddas 2, Operation Dawn 10 နှင့် Operation Mersad တို့အပါအဝင် စစ်ဆင်ရေးများတွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၉ ခုနှစ်တွင် သူသည် ကိုမ်မြို့ တွင် ဘာသာရေးဆရာတစ်ဦးဖြစ်စေရန်အတွက် သင်ယူမှုများ ဆက်လက်လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီသည် ဘာဆစ် (Basij)ခေါ် အီရန် ပြည်သူ့စစ်အဖွဲ့ကို ဦးဆောင်ခဲ့သည်။ သူဦးဆောင်သော ဘာဆစ်အဖွဲ့သည် ၂၀၀၉ ခုနှစ် အီရန်သမ္မတရွေးကောက်ပွဲဆိုင်ရာ ဆန္ဒပြမှုများကို အင်အားသုံးဖြိုခွင်းမှုတွင် အဓိက တာဝန်ရှိသည်ဟု စွပ်စွဲခံရသည်။ == အမြင့်ဆုံး ဦးဆောင်မှု == [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ]] တွင် [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]] သေဆုံးပြီးနောက် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီကို သူ၏ ဖခင်နေရာတွင် အစားထိုးမည့် အမြင့်ဆုံး ဦးဆောင်သူ အသစ်အနေဖြင့် အလားအလာရှိသူတစ်ဦးအဖြစ် အစောပိုင်းသတင်းများက ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၆ မတ် ၅ ရက်တွင် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု၏ သမ္မတ|အမေရိကန် သမ္မတ]] [[ဒေါ်နယ်လ် ထရမ့်]] သည် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီအား အမြင့်ဆုံး ဦးဆောင်သူအဖြစ် ရွေးချယ်သည့် သတင်းများကို ကြားပြီး –<blockquote>“သူတို့အချိန်ဖြုန်းနေကြတယ်။ ခါမေနီ၏သားဟာ အင်အားနည်းသူ ဖြစ်တယ်။ ငါအနေနဲ့ ရွေးချယ်မှုမှာ ပါဝင်ရမယ်” ဟု ပြောခဲ့သည်။ ထို့အပြင် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီအား ရွေးချယ်ခြင်းအား လက်မခံနိုင် ဟုပြောခဲ့သည်။</blockquote>သို့သော်လည်း ၂၀၂၆ မတ် ၈ ရက်တွင် အီရန်နိုင်ငံပိုင်ရုပ်သံက အဖွဲ့ဝင် ၈၈ ဦးပါသည့် အီရန်၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်အား ရွေးချယ်ရေးအဖွဲ့သည် မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီကို '''“အတည်ပြုသော မဲဖြင့်”'''အမြင့်ဆုံး ဦးဆောင်သူအဖြစ် ရွေးချယ်ခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Tondo |first=Lorenzo |date=8 March 2026 |title=Ali Khamenei's son Mojtaba chosen as Iran's new supreme leader |url=https://www.theguardian.com/world/2026/mar/08/ali-khameneis-son-mojtaba-chosen-as-irans-new-supreme-leader |access-date=8 March 2026 |work=The Guardian |language=en-GB |issn=0261-3077}}</ref> == ပုဂ္ဂိုလ်ရေးဘဝ == မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီသည် အိမ်ထောင်သည်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ဇနီးဖြစ်သူ ဇာရာ ဟဒဒ်-အဒယ် နှင့် လက်ထပ်ခဲ့ပြီး ကလေး ၃ဦး ရှိသည်။၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံးကလေးကို မွေးဖွားခဲ့သည်။၂၀၂၆ ခုနှစ် အီရန်အစိုးရအဆိုအရ – ၎င်း၏ဇနီး၊ ဖခင်မိဘများနှင့် သားတစ်ဦး တို့သည် [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု]]တွင် သေဆုံးခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite web |date=4 March 2026 |title=A son of Iran's late supreme leader is a possible candidate to replace his father as war rages |url=https://www.arabnews.com/node/2635219/middle-east |access-date=8 March 2026 |website=Arab News}}</ref><ref>{{cite web |date=28 February 2026 |title=Daughter and grandchild of Iran's Khamenei killed in US-Israeli strikes, state media says |url=https://www.reuters.com/world/middle-east/daughter-grandchild-irans-khamenei-killed-us-israeli-strikes-state-media-says-2026-03-01/ |access-date=9 March 2026 |website=Reuters}}</ref> မိုဂျ်တာဘာ ခါမေနီသည် Bank Ayandeh ကဲ့သို့သော ဘဏ်များတွင် အကြီးမားဆုံး ငွေကြေးပိုင်ဆိုင်မှုများကို ထိန်းချုပ်စီမံသူအဖြစ် စွပ်စွဲခံထားရသည်။<ref>{{cite web |last1=Borger |first1=Julian |date=8 July 2009 |title=Khamenei's son takes control of Iran's anti-protest militia |url=https://www.theguardian.com/world/2009/jul/08/khamenei-son-controls-iran-militia |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170225180842/https://www.theguardian.com/world/2009/jul/08/khamenei-son-controls-iran-militia |archive-date=25 February 2017 |access-date=3 February 2017 |work=The Guardian}}</ref> ၎င်းသည် လန်ဒန်နှင့် ဒူဘိုင်းရှိ မြင့်မားသောတန်ဖိုးရှိ အိမ်ခြံမြေများ၊ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး၊ ဘဏ်ဆိုင်ရာ နှင့် ဥရောပရှိ ဟိုတယ်လုပ်ငန်းများ ပိုင်ဆိုင်သူအဖြစ် Bloombergသတင်းက ၁ နှစ်ကြာ စုံစမ်းမှုတွင် ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="auto1">{{Cite web |last=Bartenstein |first=Ben |date=28 January 2026 |title=How the Son of Iran's Supreme Leader Built a Global Property Empire |url=https://www.bloomberg.com/news/features/2026-01-28/how-iran-supreme-leader-khamenei-s-son-built-a-global-property-empire |access-date=8 March 2026 |website=Bloomberg}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၆၉|}} [[Category:အီရန်နိုင်ငံ၏ အမြင့်ဆုံးခေါင်းဆောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:အီရန်နိုင်ငံ‌ရေးသမားများ]] [[Category:နိုင်ငံတကာ ဘာသာရေး ခေါင်းဆောင်များ‎]] h4a1ehoqp8clx2pj0zxx32ca1ujrjsk 0 283615 1039149 1028401 2026-06-17T13:33:30Z Peter Moe 44957 1039149 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific_prefix =[[မဟာသီရိသုဓမ္မ]] | name = နန်းနီနီအေး | image = Nan Ni Ni Aye.jpg | caption = မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပထမဆုံး အမျိုးသမီး ဒုတိယသမ္မတ |office1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတ (၂)]] |president1 = [[မင်းအောင်လှိုင်]] |term_start1 = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ |term_end1 = |predecessor1 = [[ဟင်နရီဗန်ထီးယူ]] |successor1 = | office2 = [[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်]] ကိုယ်စားလှယ် | term_start2 = ၂၀ မတ် ၂၀၂၆ | term_end2 = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | constituency2 = [[ဘားအံမြို့|ဘားအံမဲဆန္ဒနယ် အမှတ် (၂)]] |majority2= အချိုးကျကိုယ်စားပြုစနစ်ဖြင့်<ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=10_1_2026_R_S_PR.pdf&type=page_multiple_photo&code=215&sno=2132&token=573c24706e137f2bc7146b0d743f4c5912d909bdf5f3265a67b92d4269c7960b86498c7366c7b33c106bee22fd25c7c9cf25b897c6fc74c08c0e123aa11b1ff6|title=တိုင်းဒေသကြီးနှင့်ပြည်နယ်လွှတ်တော်များ၏ အချိုးကျကိုယ်စားပြုလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်လောင်းများစာရင်း|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၃၀ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၀၂၅}}{{Dead link|date=April 2026 }}</ref> |predecessor2 = သန်းနိုင် {{small|([[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]])}} <br>{{small|([[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၅|၂၀၁၅ ရွေးကောက်ပွဲ]])}} |successor2 = အောင်မြင့်သိန်း<ref>{{Cite web |title=တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အစားထိုး ဖြည့်စွက်ကြောင်းကြေညာခြင်း |url=http://www.moi.gov.mm/announcements/82260 |access-date=2026-04-29 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> <br>{{small|([[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ|USDP]])}} <br>{{small|( [[အချိုးကျကိုယ်စားပြုစနစ်|အချိုးကျကိုယ်စားပြုစနစ်ဖြင့်]])}} | office3 = [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]] <br>(ကရင်ပြည်နယ် ဥက္ကဋ္ဌ) | office4 = [[အမျိုးသားလွှတ်တော်]] ကိုယ်စားလှယ် | term_start4 = ၁ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၆ | term_end4 = ၃၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၁ | constituency4 = [[ကရင်ပြည်နယ်]] မဲဆန္ဒနယ် အမှတ် (၆) |majority4= မဲ ၂၅၀၀ <br>{{small|(၄၀.၂၈ရာခိုင်နှုန်း)}} <ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=02AmyotharHluttaw.pdf&type=page_multiple_photo&code=17&sno=9583&token=fd383d60132223462ab1397e79d03be04d694929d77d8f3f9eeb64b4bf5359e1f447b641c72e24a18d2b4e100896c87e384f28654c657876eab0a64cfdf3fdc9|title=အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်လောင်း တစ်ဦးချင်း၏ ဆန္ဒမဲရရှိမှု အခြေအနေ(၂၀၁၅ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ)|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၃၀ မတ် ၂၀၂၆|date=၂၀၁၅|archive-date=8 July 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220708200538/https://uec.gov.mm/show_data_content.php?name=02AmyotharHluttaw.pdf&type=page_multiple_photo&code=17&sno=9583&token=fd383d60132223462ab1397e79d03be04d694929d77d8f3f9eeb64b4bf5359e1f447b641c72e24a18d2b4e100896c87e384f28654c657876eab0a64cfdf3fdc9|url-status=dead}}</ref> |predecessor4 = ကိုယ်တိုင် |successor4 = ခင်ဇော်ထွန်း <br>{{small|(USDP)}} <br>{{small|(အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆)}} | office5 = [[အမျိုးသားလွှတ်တော်]] ကိုယ်စားလှယ် | term_start5 = ၃၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၁ | term_end5 = ၂၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၆ | constituency5 = [[ကရင်ပြည်နယ်]] မဲဆန္ဒနယ် အမှတ် (၆) |majority5= မဲ ၂၃၉၇ <br>{{small|(၅၂.၁၈ရာခိုင်နှုန်း)}} <ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=141.pdf&type=law&code=x&sno=230&token=cfa02d64f02b4cb7a21f10515c1520e6a8b86620c4854a9f327b4d7be21a71251bafe8d686787b21b3e18aa6deeae0cdfbb07bd792a7833d5f7ecca2d9f91a6a|title=အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်လောင်း တစ်ဦးချင်း၏ ဆန္ဒမဲရရှိမှု အခြေအနေ(၂၀၁၀ပြည့်နှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ)|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၃၀ မတ် ၂၀၂၆|date=၇ နိုဝင်ဘာ ၂၀၁၀|archive-date=8 July 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220708200922/https://uec.gov.mm/show_data_content.php?name=141.pdf&type=law&code=x&sno=230&token=cfa02d64f02b4cb7a21f10515c1520e6a8b86620c4854a9f327b4d7be21a71251bafe8d686787b21b3e18aa6deeae0cdfbb07bd792a7833d5f7ecca2d9f91a6a|url-status=dead}}</ref> |predecessor5 = ၂၀၀၈ အခြေခံဥပဒေစတင် |successor5 = ကိုယ်တိုင် | party = [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]] | birth_date = {{birth date and age|1969|10|12}} | birth_place = | nationality = မြန်မာ | ethnicity = [[ကရင်လူမျိုး|ကရင်]] | religion = [[ဗုဒ္ဓဘာသာ]] | parents = စောဘိုးနီ (ဖခင်)၊ နန်းအေးကြည် (မိခင်) | occupation = နိုင်ငံရေးသမား၊ ကထိက (ငြိမ်း) | alma_mater = B.Sc (Hons: Zoology), D.C.Sc, M.I.Sc | residence = ဘားအံမြို့ }} '''နန်းနီနီအေး'''([[၁၂ အောက်တိုဘာ]] [[၁၉၆၉]] မွေးဖွား)သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၏ နိုင်ငံရေးသမားဖြစ်သည်။ ကရင်လူမျိုးဖြစ်ပြီး ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၀ ရက်တွင် [[ဦးမင်းအောင်လှိုင်အစိုးရ|ဦးမင်းအောင်လှိုင် အစိုးရ]]က ပြည်ထောင်စု သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံ၏ [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ|ဒုတိယသမ္မတ (၂)]](စတုတ္ထမြောက်)အဖြစ် ခန့်အပ်ခြင်းခံခဲ့ရသည်။ မြန်မာ့သမိုင်းတွင် '''ပထမဆုံး အမျိုးသမီး ဒုတိယသမ္မတ'''ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈)|၂၀၀၈ ခုနှစ် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]]အရ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီ ၁၀ ရက်နေ့တွင် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယ သမ္မတ]]ရာထူးကို ရရှိခဲ့သည်။သူသည် ကရင်ပြည်နယ် [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]] ဥက္ကဋ္ဌ နှင့် [[ကရင်ပြည်နယ် လွှတ်တော်|ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော်]] ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် တာဝန်ထမ်းခဲ့ပြီး၊၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၃၀ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပသော [[အမျိုးသားလွှတ်တော်]] အစုအဖွဲ့အစည်းအဝေး၌ ဒုတိယသမ္မတလောင်းတစ်ဦးအဖြစ် အဆိုပြုတင်မြှောက်ခြင်း ခံခဲ့ရကာ၂၀၂၆ ခုနှစ်မတ်လ ၃၁ရက်နေ့တွင် မဲခွဲဆုံးဖြတ်မှုဖြင့် [[တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော်|အမျိုးသားလွှတ်တော်အစုအဖွဲ့]]က တင်မြှောက်သည့် ဒုတိယသမ္မတ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Myanmar Now |date=2026-03-30 |title=မှန်းဆထားကြသည့်အတိုင်း အာဏာသိမ်းခေါင်းဆောင် သမ္မတလောင်း ဖြစ်လာ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/73680/ |access-date=2026-03-30 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> နန်းနီနီအေးသည် ၂၀၁၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၁ ခုနှစ်အထိ အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ကရင်ပြည်နယ် မဲဆန္ဒနယ်အမှတ် (၆) မှ ၃ကြိမ်ဆက်တိုက် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခံခဲ့ရပြီး လွှတ်တော်သက်တမ်းအတွင်း စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဆိုင်ရာကော်မတီ ဥက္ကဋ္ဌ အပါအဝင် အရေးပါသော ကော်မတီတာဝန်များကို ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ နိုင်ငံရေးလောကသို့ မဝင်ရောက်မီက ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်တွင် လက်ထောက်ကထိကအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည့် ပညာရေးဝန်ထမ်းဟောင်းတစ်ဦးလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=အမျိုးသားလွှတ်တော်တွင် အမြဲတမ်းကော်မတီ ၄ ခု တွင် ပါဝင်သည့် လွှတ်တော်အခွင့်အရေး ကော်မတီနှင့် အစိုးရ၏ အာမခံချက်များ၊ ကတိများနှင့် တာဝန်ခံချက်များ စိစစ်ရေးကော်မတီများအား ဖွဲ့စည်း |url=https://news-eleven.com/article/270349 |access-date=2026-03-30 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == အစောပိုင်းဘဝနှင့် ပညာရေး == နန်းနီနီအေးကို ၁၉၆၉ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁၂ ရက်နေ့တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ကရင်လူမျိုးတစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဖခင်ဖြစ်သူ စောဘိုးနီ (လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်-ငြိမ်း) နှင့် မိခင်ဖြစ်သူ နန်းအေးကြည် (လက်ထောက်ညွှန်ကြားရေးမှူး-ငြိမ်း) တို့၏ သမီးအကြီးဆုံးဖြစ်သည်။၎င်းသည် သိပ္ပံဘွဲ့ (သတ္တဗေဒ ဂုဏ်ထူးတန်း) B.Sc (Hons: Zoology) ကို ရရှိခဲ့သည့်အပြင် ကွန်ပျူတာသိပ္ပံပညာရပ်ဆိုင်ရာ ဘွဲ့လွန်ဒီပလိုမာ D.C.Sc နှင့် သတင်းအချက်အလက်သိပ္ပံမဟာဘွဲ့ M.I.Sc တို့ကိုလည်း ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=News |first=K. I. C. |date=2015-09-26 |title=ပြည်‌ထောင်စုကြံ့ခိုင်‌ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုး‌ရေးပါတီ-USDP မှ နန်းနီနီ‌အေးနှင့် ‌တွေ့ဆုံ‌မေးမြန်းခြင်း |url=https://kicnews.org/2015/09/%E1%80%BB%E1%80%95%E1%80%8A%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%91%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%85%E1%80%AF%E1%82%80%E1%80%80%E1%80%B6%E1%80%B7%E1%80%81%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%B1%E1%80%9B/ |access-date=2026-03-30 |website=ကေအိုင်စီ - KIC News |language=en-US}}</ref> == ဝန်ထမ်းဘဝ == နိုင်ငံရေးလောကသို့ မဝင်ရောက်မီတွင် ပညာရေးဝန်ထမ်းအဖြစ် ၁၇ နှစ်နီးပါး တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၃ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်အထိ မြဝတီမြို့နယ်၊ သင်္ဃန်းညီနောင် အထက နှင့် ဘားအံမြို့နယ်၊ အထက (၂) တို့တွင် မူလတန်းပြ ဆရာမအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်အထိ အလယ်တန်းပြ ဆရာမအဖြစ်လည်းကောင်း တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်တွင် နည်းပြ နှင့် လက်ထောက်ကထိက အဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၀|၂၀၁၀ ပြည့်နှစ် ပါတီစုံအထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ရန်အတွက် နိုင်ငံ့ဝန်ထမ်းတာဝန်မှ နှုတ်ထွက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=၂၀၁၅ ရွေးကောက်ပွဲတွင် ကရင်ပြည်နယ်၊ ဖာပွန်မြို့နယ်ရှိ ကမမောင်းမဲဆန္ဒနယ်မှ အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်လောင်းအဖြစ် ဝင်ပြိုင်မဲ့ ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ-USDP မှ နန်းနီနီအေးနှင့် တွေ့ဆုံမေးမြန်းခြင်း |url=https://www.bnionline.net/mm/news-1751.html |access-date=2026-03-30 |website=နိုင်ငံတကာမြန်မာ့သတင်း |language=my}}</ref> == နိုင်ငံရေးဘဝ == === လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ် === နန်းနီနီအေးသည် [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၀|၂၀၁၀ ပြည့်နှစ် ပါတီစုံဒီမိုကရေစီ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]]ကို ကိုယ်စားပြု၍ ကရင်ပြည်နယ် မဲဆန္ဒနယ်အမှတ် (၆) မှ အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ပထမအကြိမ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ <ref>{{Cite web |title=ဥပဒေမူကြမ်း ကော်မတီများ ဖွဲ့စည်း |url=https://www.bnionline.net/mm/item/news-6262.html |access-date=2026-03-30 |website=နိုင်ငံတကာမြန်မာ့သတင်း |language=my}}</ref>၎င်းသည် [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၅|၂၀၁၅ ခုနှစ် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင်လည်း အဆိုပါ မဲဆန္ဒနယ်မှပင် ထပ်မံအနိုင်ရရှိခဲ့ပြီး အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ၂၀၂၁ ခုနှစ်အထိ ဒုတိယအကြိမ် ဆက်လက်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=နိုဝင်ဘာ ၁၂ ရက် နေ့လည် ၁၂ နာရီ အမျိုးသားလွှတ်တော် မဲရလဒ်|url=https://burmese.dvb.no/post/122126 |access-date=2026-03-30 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> လွှတ်တော်သက်တမ်းအတွင်း တာဝန်ထမ်းဆောင်ရာတွင် စီးပွားရေးနှင့် ကူးသန်းရောင်းဝယ်ရေးဆိုင်ရာကော်မတီ ဥက္ကဋ္ဌ၊ အမျိုးသမီးနှင့် ကလေးသူငယ်ဆိုင်ရာကော်မတီ ဥက္ကဋ္ဌ နှင့် လွှတ်တော်အခွင့်အရေးကော်မတီ အတွင်းရေးမှူး တာဝန်များကို ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဥပဒေကြမ်းကော်မတီ၊ ပြည်သူများတိုင်ကြားစာနှင့် အသနားခံစာကော်မတီ၊ လွှတ်တော်အုပ်ချုပ်မှု မူဝါဒဆိုင်ရာ ညှိနှိုင်းရေးအဖွဲ့တို့တွင် အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သလို မြန်မာ-လာအို နှင့် မြန်မာ-သြစတြေးလျား လွှတ်တော်ချင်းချစ်ကြည်ရေးအဖွဲ့များတွင်လည်း အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ကြံ့ခိုင်ရေးပါတီတင်သွင်းသည့် ဖွဲ့စည်းပုံပြင်ဆင်ရေးဆိုင်ရာ ကန့်ကွက်လွှာ ခုံရုံးပယ်ချ |url=https://burmese.dvb.no/post/339144 |access-date=2026-03-30 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅-၂၀၂၆ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် အချိုးကျကိုယ်စားပြုစနစ် (PR) အရ ဖားအံမဲဆန္ဒနယ် အမှတ် (၂) မှ ကရင်ပြည်နယ်လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=975.pdf&type=law&code=x&sno=2398&token=4665a1b88d4b1bebfc251525ec17826379653b507a2950e7fc59be2407723c5cd299229d5bc5c187e75e0a00915ee3834d35c1f46e3c1710baa5f6256b38f3ee|title=တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်လွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခံရသူများ အမည်စာရင်းကြေညာခြင်း|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၃၀ မတ် ၂၀၂၆|date=၃၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆}}{{Dead link|date=April 2026 }}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လ ၃၀ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပသော အမျိုးသားလွှတ်တော် အစုအဖွဲ့အစည်းအဝေး၌ ၎င်းအား ဒုတိယသမ္မတလောင်း တစ်ဦးအဖြစ် အဆိုပြုတင်မြှောက်ခြင်း ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-30 |title=၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ် ၃၀ ရက် ဘီဘီစီတိုက်ရိုက်သတင်းထုတ်လွှင့်ချက် - ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင် ဒုသမ္မတလောင်းအမည်စာရင်းတင်သွင်းခံရ၊ ဗိုလ်ချုပ်ကြီးရဲဝင်းဦး တပ်ချုပ်သစ်ဖြစ်လာ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cx290r3lvm0t |access-date=2026-03-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၃၁ရက် တွင် ကျင်းပသည့် သမ္မတရွေးချယ်တင်မြှောက်ရေးအဖွဲ့တွင် ပါဝင်သော ရွေးကောက်ခံ အမျိုးသားလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များ အစုအဖွဲ့အစည်းအဝေး ဒုတိယနေ့တွင် ဒေါ်နန်းနီနီအေးသည် ထောက်ခံမဲ (၁၁၇) မဲ ဖြင့် အမျိုးသားလွှတ်တော်အစုအဖွဲ့က တင်မြှောက်သော ဒုတိယသမ္မတ ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-31 |title=စစ်ခေါင်းဆောင် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင်ကို ဒုတိယသမ္မတအဖြစ် ပြည်သူ့လွှတ်တော် မဲပေးရွေးချယ် -၂၀၂၆ မတ်လ ၃၁ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု |url=https://www.bbc.com/burmese/live/cjd8xvzm052t |access-date=2026-03-31 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> === ဒုတိယသမ္မတသက်တမ်း === ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ (၃) ရက်နေ့တွင် ကျင်းပသော [[တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်]] နိုင်ငံတော်သမ္မတ ရွေးချယ်တင်မြှောက်ပွဲတွင် ရွေးကောက်ခံအမျိုးသား လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်များအစုအဖွဲ့မှ နိုင်ငံတော်သမ္မတလောင်း ဒေါ်နန်းနီနီအေးက ထောက်ခံမဲ ၂၉ မဲ ရရှိခဲ့သဖြင့် ဒုတိယသမ္မတ-၂ အဖြစ် ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခံခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=နိုင်ငံတော်သမ္မတအဖြစ် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင် ဒုတိယသမ္မတများအဖြစ် ဦးညိုစောနှင့် ဒေါ်နန်းနီနီအေးတို့အား ရွေးချယ်တင်မြှောက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81369 |access-date=2026-04-04 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=ဒုတိယသမ္မတများ ရွေးချယ်တင်မြှောက်ခြင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81373 |access-date=2026-04-04 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> == ဂုဏ်ပြုခံရခြင်း == ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ (၁၇) ရက်နေ့တွင် နိုင်ငံတော်သမ္မတရုံး အမိန့်ကြော်ငြာစာအမှတ် ၃/၂၀၂၆ ဖြင့် သုဓမ္မသင်္ဂဟဘွဲ့ဖြစ်သော [[မဟာသီရိသုဓမ္မ]]ဘွဲ့ကိုလည်း ချီးမြှင့်ခံရသည်။ <ref>{{Cite web |title=ဂုဏ်ထူးဆောင်ဘွဲ့များ ချီးမြှင့်အပ်နှင်း {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/81785 |access-date=2026-04-17 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}}{{မင်းအောင်လှိုင်အစိုးရ}} [[Category:၁၉၆၉ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဒုတိယသမ္မတများ]] [[ကဏ္ဍ:ကရင်ပြည်နယ်မှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသမီး နိုင်ငံရေးသမားများ]] 2x7djr8xydl8bdg836is2gx3cqz1uow 0 283831 1039351 1037552 2026-06-18T08:39:05Z Salai Rungtoi 22844 /* ဇွန်လ */ 1039351 wikitext text/x-wiki [[၂၀၂၆]] ခုနှစ်အတွင်း ထင်ရှားကျော်ကြားသူများ ကွယ်လွန်မှုများကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားပါသည်။ အမည်များကို ကွယ်လွန်သည့် ရက်စွဲအလိုက် အက္ခရာစဉ်အတိုင်း မှတ်တမ်းတင်ထားပါသည်။ ပုံမှန်အားဖြင့် မှတ်တမ်းတစ်ခုတွင် အချက်အလက်များကို အောက်ပါအစီအစဉ်အတိုင်း ဖော်ပြလေ့ရှိသည် - *အမည်၊ အသက်၊ ထင်ရှားကျော်ကြားရသည့် အကြောင်းရင်း၊ ကွယ်လွန်ရသည့် အကြောင်းရင်း (သိရှိရပါက) နှင့် ကိုးကားချက်။ <!-- * * * * * * * Please adhere to the guidelines below when adding a name to this article. * * * * * * * A typical entry reports information in the following sequence: Name, age, country of citizenship at birth or nationality if the subject is not eligible (for example, in the case of animals), subsequent nationality (if applicable), what subject was noted for, cause of death (if known), and reference. Names are reported under the date of death. Names under each date are reported in alphabetical order by surname or pseudonym. (1) Please add only those meeting Wikipedia notability guidelines. Include a reference to a reliable source.[a] [b] If a Wikipedia article for the dead does not yet exist, reconsider whether the subject is actually notable. If so, consider writing an article yourself. Those without a Wikipedia article are removed after one month. (2) Please understand that the intent of this article is to report notable deaths. Tragic deaths, while unfortunate, do not necessarily render the dead "notable". If you report the death of a notable subject that does not already have a Wikipedia article, consider starting one. (3) Please add entries in alphabetical order by family name. Please avoid over-linking. As such, please do not add links to nationalities, common occupations, or common causes of death. Rather, include only "links that aid navigation and understanding". Thank you. (4) References should be in <ref>[url & title]</ref> format, as full citations make the page too slow to load, and too big to edit. (5) Please do not move deaths from the previous month until the 8th of current month. --Notes-- [a] See [[WP:RS]] for definition of reliable source, and [[WP:BLPSOURCE]] for living and recently deceased persons. [b] For information on using information from Ancestry.com, Find-a-grave, or IMDb, please see [[WP:ELPEREN]]. * * * * * * * Please adhere to the guidelines above when adding a name to this article. * * * * * * * --> == ဇွန်လ == * ၁၈ - [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]], ၈၉, အမျိုးသားစာပေတစ်သက်တာဆုရ ဆရာကြီး * ၁၁ - [[ဝဇိရကိတ္တိယာဘာ]], ၄၇, ထိုင်းတော်ဝင်မင်းသမီး * ၂ - [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]], ၆၅, ရုပ်ရှင်ဒါရိုက်တာနှင့် ကဗျာဆရာ == ဧပြီလ == * ၉ - [[ဂျက်ဆန်ထွန်း|ဂျက်ဆန်ထွန်း,]] ၄၆, ကချင်လူမျိုး အဆိုတော် == မတ်လ == *၂၄ - [[ဆိုင်ပေါင်းနပ်]], ၇၄, အမျိုးသားလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ် (၂၀၁၁-၂၀၁၆) == ဖေဖော်ဝါရီလ == * ၂၈ - [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ]], ၈၆, အီရန်နိုင်ငံ၏ အဓိပတိ (၁၉၈၉-၂၀၂၆) * ၆ - [[စိန်ဝင်း၊ ဒေါက်တာ|စိန်ဝင်း]], ၈၁, ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသားညွန့်ပေါင်းအစိုးရ၏ ဝန်ကြီးချုပ် (၁၉၉၀-၂၀၁၂) == ဇန်နဝါရီလ == *၂၆ - [[မြင့်ထွေး|မြင့်ထွေး]], ၇၇, ကျန်းမာရေးနှင့် အားကစား ပြည်ထောင်စုဝန်ကြီး (၂၀၁၆-၂၀၂၁)<ref>{{cite web|url=https://bur.mizzima.com/2026/01/26/79878|title=NLD လက်ထက် ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဟောင်း ကွယ်လွန်|work=mizzima|access-date=၂၆ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆|date=၂၆ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ကွယ်လွန်သူများ]] ddwr8ly79jb7x1r6wpsvbv6losut74w 100 283921 1039352 1035451 2026-06-18T08:40:54Z Salai Rungtoi 22844 1039352 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div style="font-size: 90%"> {| class="infobox" width="250" style="border:1px solid #cedff2; background-color: #f2faff" |- style="font-size: 110%; background-color: #cedff2; padding-top: 5px; padding-bottom: 5px" ! width= 210px|ဖြစ်ရပ်များ | align="right" style="font-size:9pt; margin-left:0px"|<small class="editlink noprint plainlinksneverexpand"> </small> |- style="background-color: #f5faff;" | colspan=2| <big>'''ပြည်တွင်းရေးရာ'''</big><br> * [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] ** [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် အချိန်မှတ်တမ်း (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|ဖြစ်ရပ်အချိန်မှတ်တမ်းများ]] ** [[မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ) အတွင်း ထိတွေ့ဖြစ်စဉ်များ|ထိတွေ့ဖြစ်စဉ်များ]] ; လွှတ်တော်သက်တမ်း * [[တတိယအကြိမ် ပြည်ထောင်စုလွှတ်တော်]] * [[တတိယအကြိမ် အမျိုးသားလွှတ်တော်]] * [[တတိယအကြိမ် ပြည်သူ့လွှတ်တော်]] <big>'''ပြည်ပရေးရာ'''</big><br> ;လက်နက်ကိုင် ပဋိပက္ခများနှင့် တိုက်ခိုက်မှုများ * [[၂၀၂၆ အစ္စရေး–အမေရိကန်တို့၏ အီရန်အပေါ် တိုက်ခိုက်မှု|၂၀၂၆ အီရန်စစ်ပွဲ]] ** [[၂၀၂၆ ဟော်မုဇ်ရေလက်ကြား အကျပ်အတည်း]] *[[ရုရှား-ယူကရိန်း စစ်ပွဲ (၂၀၂၂-လက်ရှိ)]] |} <!-- ဖြစ်ရပ်များ section end လတ်တလော ကွယ်လွန်သူများ section စတင် --> {| class="infobox" width="250" style="border:1px solid #cedff2; background-color: #f2faff" |- style="font-size: 110%; background-color: #cedff2; padding-top: 5px; padding-bottom: 5px" ! width= 210px|လတ်တလော ကွယ်လွန်သူများ | align="right" style="font-size:9pt; margin-left:0px"|<small class="editlink noprint plainlinksneverexpand"></small> |- style="background-color: #f5faff;" |colspan=2| * ၁၈ ဇွန် - [[တင်မောင်မြင့် (စာရေးဆရာ)|တင်မောင်မြင့်]] * ၁၁ ဇွန် - [[ဝဇိရကိတ္တိယာဘာ]] * ၂ ဇွန် - [[မင်းထင်ကိုကိုကြီး]] * ၂၄ မတ် - [[ဆိုင်ပေါင်းနပ်|ဦးဆိုင်ပေါင်းနပ်]] * ၂၈ ဖေဖော်ဝါရီ - [[အယာတိုလာ အလီ ခါမေနီ|အလီ ခါမေနီ]] * ၆ ဖေဖော်ဝါရီ - [[စိန်ဝင်း၊ ဒေါက်တာ|ဒေါက်တာစိန်ဝင်း]] * ၂၆ ဇန်နဝါရီ - [[မြင့်ထွေး|ဒေါက်တာမြင့်ထွေး]] |} {| class="infobox" width="250" style="border:1px solid #cedff2; background-color: #f2faff" |- style="font-size: 110%; background-color: #cedff2; padding-top: 5px; padding-bottom: 5px" ! width= 210px|နေ့ထူးနေမြတ်များ | align="right" style="font-size:9pt; margin-left:0px"|<small class="editlink noprint plainlinksneverexpand"></small> |- style="background-color: #f5faff;" colspan="2" |colspan=2| ;လာမည့် အလုပ်ပိတ်ရက်များ * ၁၁-၁၉ ဧပြီ - မြန်မာနှစ်သစ်ကူးရုံးပိတ်ရက်များ * [[၃၀ ဧပြီ]] - [[ကဆုန်လပြည့် ဗုဒ္ဓနေ့|ကဆုန်လပြည်နေ့]] * [[၁ မေ]] - [[ကမ္ဘာ့အလုပ်သမားနေ့]] * [[၁၉ ဇူလိုင်]] - [[အာဇာနည်နေ့]] * [[၂၉ ဇူလိုင်]] - [[ဝါဆိုလပြည့်နေ့|ဝါဆိုလပြည့်နေ့]] * ၂၅-၂၇ [[အောက်တိုဘာ]] - [[သီတင်းကျွတ်လပြည့်နေ့|သီတင်းကျွတ်ရုံးပိတ်ရက်များ]] * ၂၃-၂၄ နိုဝင်ဘာ - [[တန်ဆောင်တိုင်ပွဲတော်|တန်ဆောင်တိုင်ရုံးပိတ်ရက်များ]] * [[၁၂ ဒီဇင်ဘာ]] - [[အမျိုးသားနေ့|အမျိုးသားအောင်ပွဲနေ့]] * [[၂၅ ဒီဇင်ဘာ]] - [[ခရစ္စမတ်|ခရစ္စမတ်နေ့]] |}</div> <!--{| class="infobox" width="250" style="border:2px solid #cedff2;" |- style="font-size: 133%; background-color: #cedff2; padding-top: 5px; padding-bottom: 5px" ! |- style="background-color: #f5faff;" | |}--> <noinclude>[[မုခ်ဝ:လက်ရှိဖြစ်ရပ်များ]]</noinclude> [[ကဏ္ဍ:လက်ရှိဖြစ်ရပ်များ မုခ်ဝ]] qibkfbl235oe7y16l447pjmjcsvy0mu 0 284421 1039159 1037909 2026-06-17T14:02:14Z Mkant00 135890 1039159 wikitext text/x-wiki '''မော်ဂျူး''' (Module) ဆိုသည်မှာ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု၏ ယေဘုယျကျသော ပုံစံကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic construction) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် အိုင်ဒီးလ် (ideal) များကိုသာ ကန့်သတ်လေ့လာခြင်းထက် မော်ဂျူးများကို ပိုမိုလေ့လာလေ့ရှိကြသည်။ ဤချဉ်းကပ်မှုနည်းလမ်းသည် ပိုမိုပြောင်းလွယ်ပြင်လွယ်ရှိစေပြီး သဘောတရားများစွာကို ရိုးရှင်းသွားစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ) | ကွင်း]] တစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်နှင့် ၎င်းမှရရှိလာသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) နှစ်ခုစလုံးကို မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့အား တူညီသော မူဘောင်တစ်ခုတည်းအောက်တွင် တွက်ချက်ကိုင်တွယ်နိုင်ပေသည်။ ကွင်းများ (Rings) ကဲ့သို့ပင် လေ့လာမည့် ဘာသာရပ်နယ်ပယ်နှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ မော်ဂျူးတစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms) အပြင် မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည်လည်း အနည်းငယ်စီ ကွဲပြားလေ့ရှိသည်။ သင်္ချာနည်းကျ ဖော်ပြရလျှင် ဤကွဲပြားနေသော မော်ဂျူးသဘောတရားများသည် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] အရ မတူညီသော ကတ်တဂိုရီများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ (Modules over commutative rings with unity) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> အပေါ် အခြေခံထားသော မော်ဂျူး သို့မဟုတ် အတိုကောက်အားဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အပေါင်းအခြေခံ (additive) အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) <math>M</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ အတိုင်း ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *<math>R \times M \to M, \quad (r,m) \mapsto r \cdot m</math> ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ဟုခေါ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) နှင့် မမှားယွင်းစေရန် သတိပြုပါ။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရမည်။ *<math>r_1 \cdot (r_2 \cdot m) = (r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> *<math>(r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m</math> *<math>r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> အကယ်၍ <math>R</math> အတွက် ယူနစ် (unit) <math>1</math> ရှိနေရန် ထပ်မံသတ်မှတ်ခဲ့လျှင် <math>1 \cdot m = m</math> ဟု ဖြစ်ရမည်။ ထို <math>R</math>-မော်ဂျူးကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူး (unital module) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများအတွက် ယူနစ်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ကွင်းများအပေါ်အခြေခံသော မော်ဂျူးများအတွက်လည်း ထိုနည်းတူ သတ်မှတ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ဖီးလ်ဒ် (Field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တနည်းအားဖြင့် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များသည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခု ထပ်မံဖြစ်ပေါ်နေမည်ဆိုပါက <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးများသည် <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]များ (vector spaces over <math>R</math>) ပင် ဖြစ်ကြသည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]များအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများကို လေ့လာခြင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ၏ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အဘီလီယန်အုပ်စုများ === အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>G</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များ၏ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring of intergers) အပေါ် အခြေခံထားသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>m \in G</math> ဟုထားပါစို့။ *<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>k\geq 0</math> ရှိသော <math>k \in \Z</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ *<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-times}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-times}}</math> အလားတူပင် *<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-times}}</math> ဤနေရာတွင် အဘီလီယန်အုပ်စုကို အပေါင်းအခြေခံ သင်္ကေတဖြင့် ရေးသားထားသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်သည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် ပြည့်စုံစေသည်။ <math>\Z</math>-မော်ဂျူးတိုင်းတွင် အခြေအစု (Basis) ရှိရန် မလိုအပ်ပါ၊ အထူးသဖြင့် အလိမ်အစုဝင်များ (Torsion elements) ပါဝင်သော မော်ဂျူးများတွင် ဖြစ်သည်။ အောက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများသည် အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စုများဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>\Z</math>-မော်ဂျူးများ ဖြစ်ကြသည်။ *ကိန်းပြည့်များ <math>\Z</math> ကိုယ်တိုင် *ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\Q</math> *ကိန်းစစ်များ <math>\R</math> *ကိန်းရင်းများ <math>\mathbb A</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb A \cap \R</math> *ကိန်းထွေးများ <math>\Complex</math> === မော်ဂျူးများအဖြစ် ကွင်းများ (Rings as Modules) === <math>R</math> သည် <math>S</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဟုထားပါစို့။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>S</math> သည် အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ <math>S</math> ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်း (ring multiplication) ကို ကန့်သတ်လိုက်ပါက ၎င်းသည် <math>S</math> ကို <math>R</math> ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် သဘာဝကျကျ ရှုမြင်နိုင်ရန် လိုအပ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ဖီးလ်ဒ်များပင် ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ဤအခြေအနေကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ဟုခေါ်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတည်ဆောက်ပုံကို လေ့လာခြင်းသည် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများကို လေ့လာစူးစမ်းရာတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အထောက်အကူတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်သို့ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces with a linear mapping to itself) === <math>K[X]</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း (k-vector space) <math>V</math> တစ်ခုနှင့် <math>V</math> ပေါ်ရှိ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>A</math> တစ်ခုတို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ <math>(V, A)</math> နှင့် တစ်-တစ် (one to one) ထပ်တူကျညီမျှမှု ရှိသည်။ *<math>M</math> သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K</math> ကို <math>K[X]</math> ထဲတွင် ထည့်သွင်းထားသောကြောင့် <math>M</math> သည် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ <math>V</math> သည် ထိုဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>M</math> ကို ကိုယ်စားပြုသောအတွဲမှာ <math>(V, A)</math> ဖြစ်လာပြီး ဤနေရာတွင် <math>A</math> ကို အောက်ပါအတိုင်းပေးထားသည်။ *<math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.</math> *<math>(V, A)</math> အတွဲတစ်ခုအတွက် ကျွန်ုပ်တို့သည် <math>K[X]</math>-မော်ဂျူးတည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ *<math>X \cdot v := A(v)</math> *ပြီးလျှင် ၎င်းကို <math>K[X]</math> ပေါ်သို့ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် (K-linear) သဘောတရားအတိုင်း ဆက်လက်တိုးချဲ့ကာ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math> *အားလုံးအတွက် ကျွန်ုပ်တို့ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math> === ကွင်းအိုင်ဒီးလ်များ (ring ideals) === ကွင်းတိုင်းကို မိမိ၏ ကွင်းမြှောက်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိအပေါ် အခြေခံ၍ မိမိကိုယ်တိုင်ပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထိုအခါ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) များသည် <math>R</math> ၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ဤအပိုင်းတွင် <math>R</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]ဖြစ်သောကြောင့် ဘယ်နှင့် ညာ အိုင်ဒီးလ် (left and right ideal) များအကြား ခွဲခြားသိမြင်ရန် မလိုအပ်ပါ။ == မည်သည့် ကွင်းတစ်ခုပေါ်တွင်မဆို အခြေခံသော မော်ဂျူးများ == <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဤကွင်းသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] မဟုတ်ပါက ဘယ်မော်ဂျူးများ (left module) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>R</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုသည် ကွင်း <math>(R, +, \cdot)</math> နှင့်အတူ အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,</math> ထိုပုံဖော်မှုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအပေါ်တွင် ပေါင်းခြင်းဂုဏ်သတ္တိအတိုင်း ဖြန့်ဝေနိုင်ရမည် (distributive)။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m </math> * <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2</math> * <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ယူနစ် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပါက များသောအားဖြင့် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူးသည်လည်း ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန် လိုအပ်သည်ဟု သတ်မှတ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1 \cdot m = m</math> ဖြစ်သည်။ အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းများနှင့် မော်ဂျူးများအတွက် ယူနစ်အစုဝင်တစ်ခု မဖြစ်မနေရှိရမည်ဟု အခြေခံအားဖြင့် သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ ''ညာမော်ဂျူး'' တစ်ခုကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကွင်း၏ စကေလာများသည် <math>M</math> ၏ အစုဝင်များအပေါ် ညာဘက်မှ သက်ရောက်မှုရှိခြင်းသာ ကွာခြားသည်။<br /> <math>R</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုစလုံးအတွက် ပေါင်းခြင်းသဘောတရားနှင့် ကိုက်ညီသော အောက်ပါ ပုံဖော်မှုတစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,</math> ၎င်းသည် <math>r,r_1,r_2 \in R, m,m_1,m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ * <math>m \cdot (r_1+r_2) = m \cdot r_1+ m \cdot r_2 </math> * <math>(m_1+m_2) \cdot r = m_1 \cdot r + m_2 \cdot r </math> *<math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> ယူနစ်အစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ညာမော်ဂျူးတစ်ခုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုရန်မှာ *<math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m \cdot 1 = m</math> မှန်ကန်ရမည်။ <math>R</math> သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံပါက ဘယ်မော်ဂျူးနှင့် ညာမော်ဂျူး ဟူသော ဝေါဟာရများသည် ရေးသားပုံအနည်းငယ်မှလွဲ၍ တူညီသွားကြပြီး ၎င်းတို့ကို <math>R</math>-''မော်ဂျူးများ'' ဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ === အခြား အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ === *<math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to \operatorname{End}_\Z(M).</math> :ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{End}_\Z(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်းဖြစ်ပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို မြှောက်လဒ်အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ ::<math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ *<math>R</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုနှင့်(လိုအပ်ပါက ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော) အောက်ဖော်ပြပါ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ::<math>R \to (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.</math> :ဤနေရာတွင် <math>(\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> သည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကွင်း၏ ပြောင်းပြန်ကွင်း (opposite ring) ဖြစ်ပါစေ။ ဆိုလိုသည်မှာ ညာဘက်မှ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မြှောက်လဒ်အဖြစ်အသုံးပြုသော <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ ::<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ === ဘိုင်မော်ဂျူးများ (bimodules) === <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများ ဖြစ်ပါစေ။ ထိုအခါ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> တစ်ခုသည် <math>R</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>S</math>-ညာမော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့နှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r\in R,m\in M,s\in S</math> အတွက် <math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math> ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများဖြစ်သော <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့အတွက် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး (<math>m\in M</math> အားလုံးအတွက် <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math>) ကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>M</math> နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းအဖြစ် အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_\Z(M).</math> ဆိုလိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R</math>-<math>S</math>-ဘိုင်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ <math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}</math>-ဘယ်မော်ဂျူး တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) == <math>R</math>-မော်ဂျူး နှစ်ခုဖြစ်သော <math>M</math> နှင့် <math>N</math> အကြားရှိ ပုံဖော်မှု <math>f: M \to N</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ကွင်းသက်ရောက်ချက် (ring action) နှစ်ခုစလုံးကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ၎င်းကို '''မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်''' (module homomorphism) သို့မဟုတ် <math>R</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (R-linear map) ဟုခေါ်သည်။ <math>R</math> ၏ အစုဝင် <math>r</math> နှင့် <math>M</math> ၏ အစုဝင် <math>m_1, m_2</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ *<math>f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)</math> *<math>f(r \cdot m_1) = r \cdot f(m_1)</math> အကယ်၍ အခြေခံထားသော ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများအကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) နှင့် အတိအကျ တူညီသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုကို ဆက်တိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် အခြား မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုကိုသာ အမြဲတမ်း ရရှိစေသည်။ <math>M</math> မှ <math>N</math> သို့ သွားသော မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို <math>\operatorname{Hom}_R(M, N)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ထိုအစုကို အောက်ပါအတိုင်း အမှတ်လိုက် (pointwise) အပေါင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့ သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်လာနိုင်သည်။ *<math>(f + g)(m) = f(m) + g(m)</math> *<math>(r \cdot f)(m) = r \cdot f(m)</math> ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုအသစ်များကိုလည်း လှုံ့ဆော်ဖန်တီးပေးနိုင်သည်။ <math>M</math> အတွင်းသို့ ဝင်လာသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု သို့မဟုတ် <math>N</math> မှ ထွက်သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွင်း အခြားတစ်ခု ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤ <math>Hom</math>-မော်ဂျူးများ အကြားရှိ ပုံဖော်မှုအသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။ အသုံးဝင်သော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ မည်သည့် မော်ဂျူး <math>M</math> အတွက်မဆို <math>\operatorname{Hom}_R(R, M)</math> မော်ဂျူးသည် <math>M</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် သဘာဝကျစွာ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ အခြေခံကွင်း <math>R</math> မှ <math>M</math> သို့ သွားသော မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ကို မည်သည့်နေရာသို့ ပို့ဆောင်သည်ဆိုသည့် အချက်အပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝ မူတည်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူးများ (submodules and quotient modules) == <math>M</math> ၏ '''မော်ဂျူးပိုင်း''' (submodule) <math>M'</math> ဆိုသည်မှာ ကွင်း <math>R</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် မြှောက်ခြင်းအပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသော အုပ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူးပိုင်း <math>M'</math> တစ်ခု ရှိလာသောအခါ စားလဒ်မော်ဂျူး (quotient module) <math>M/M'</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုစားလဒ်မော်ဂျူးရှိ အခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုသည် <math>r \cdot (m + M') = r \cdot m + M'</math> ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ဖြင့် <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို အမွေဆက်ခံရရှိသည်။ <math>M</math> မှ အစုဝင်များကို <math>M/M'</math> ရှိ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အတန်းအစားများဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု (natural projection mapping) သည် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကွင်းများရှိ အိုင်ဒီးလ်များတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်းပင် <math>M'</math> ကို ငုံထားသော (is contained in) <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများနှင့် စားလဒ်မော်ဂျူး <math>M/M'</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်းများအကြားတွင် တိကျသော၊ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ကိုက်ညီမှု (order-preserving correspondence) တစ်ခု ရှိသည်။ မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: M \to N</math> တိုင်းတွင် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အရေးကြီးသည့် မော်ဂျူးပိုင်း နှစ်ခုရှိသည်။ ကာနယ် (kernel) သို့မဟုတ် <math>\ker f</math> ဆိုသည်မှာ <math>0</math> သို့ ပုံဖော်ခံရသော <math>M</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံရိပ် (image) သို့မဟုတ် <math>\operatorname{Im} f</math> ဆိုသည်မှာ <math>N</math> အတွင်းရှိ ထွက်ပေါ်လာသော အဖြေ <math>f(m)</math> များအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>N</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ကွင်းပြောင်းလဲခြင်း == <math>R</math> နှင့် <math>S</math> တို့သည် ကွင်းများဖြစ်ကြပြီး <math>\rho \colon S \to R</math> သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ သတ်မှတ်ချက်က : <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math> <math>M</math> ပေါ်ရှိ <math>S</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်၊ ဤ <math>S</math>-မော်ဂျူးကို <math>\rho_*(M)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် <math>S</math> သည် <math>R</math> ၏ ကွင်းပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho</math> သည် ပုံမှန် ထည့်သွင်းခြင်း (canonical embedding) ဖြစ်ပါက <math>\rho_*(M)</math> ကို <math>R</math> ၏ စကေလာများကို <math>S</math> ပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအားဖြင့် ရရှိလာသော <math>S</math>-မော်ဂျူး ဟုခေါ်သည်။ <math>N</math> သည် <math>M</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\rho_*(N)</math> သည် <math>\rho_*(M)</math> ၏ မော်ဂျူးပိုင်း တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N)</math> ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite book |author=Nicolas Bourbaki |title=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |edition=2nd |publisher=Springer |date=1998 |isbn=3-540-64243-9 |chapter=§ 3. ''Tensor products'', 2. |pages=221 |url=http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up}}</ref> == ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>R</math> သည်[[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ဖက်စပ်ရ <math>R</math>-အက္ခရာသင်္ချာ (associative R-algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math>-''ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (R-module homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> <math>A</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math> ၎င်းသည် <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> == လီအက္ခရာသင်္ချာ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>\mathfrak g</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathfrak g</math>-''မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် <math>\mathfrak g</math> ၏ ''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု'' (representation) ဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှု (K-bilinear map) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math> ၎င်းသည် <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း မှန်ကန်ရမည်။ :<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးဆိုသည်မှာ <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>M</math> တစ်ခုနှင့် <math>K</math> ပေါ်ရှိ လီအက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Lie algebra homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathfrak{gl}(M)</math> သည် <math>M</math> ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သော <math>K</math>-အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်ပြီး ကွန်မြူတေတာ (commutator) ကို လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် (Lie bracket) အဖြစ် အသုံးပြုသည်။ <math>\mathfrak g</math>-မော်ဂျူးများသည် <math>\mathfrak g</math> ၏ စကြဝဠာ ဖုံးအုပ်အက္ခရာသင်္ချာ (universal enveloping algebra) အောက်ရှိ မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတစ်ခု အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများ == <math>(G, *)</math> သည် အုပ်စု (group) တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ ''<math>G</math>-မော်ဂျူး'' သို့မဟုတ် ပိုမိုတိကျစွာပြောရလျှင် ''<math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး'' ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ ပြင်ပ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (external binary operation) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>, ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ :<math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> :<math>G</math> ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) <math>e</math> နှင့် <math>m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>e\cdot m = m</math> <math>G</math>-''ညာမော်ဂျူး'' ကိုလည်း အလားတူပင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သို့သော် ဒုတိယအချက်ကို အောက်ပါအချက်ဖြင့် အစားထိုးရမည်။ :<math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-ဘယ်မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> သည် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) များ၏ အုပ်စုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုသည်။ :<math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-ညာမော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ အဘီလီယန်အုပ်စု <math>(M, +)</math> တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math> <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ပေါ်ရှိ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ :<math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math> အတွက် <math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု၊ <math>G</math>-မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခုတို့ ပါဝင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့သည် အောက်ပါသဘောတရားအတိုင်း အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရမည်။ :<math>r \in R, g \in G, m \in M</math> အတွက် <math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရလျှင် <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည်မှာ <math>R</math>-မော်ဂျူး တစ်ခုနှင့် အောက်ဖော်ပြပါ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုနှင့်အတူ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ :<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{Aut}_R(M)</math> သည် <math>R</math>-မော်ဂျူးအဖြစ် <math>M</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ အုပ်စု ဖြစ်သည်။ <math>G</math>-<math>R</math>-မော်ဂျူးများသည် အုပ်စု ကွင်း (group ring) <math>R[G]</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်မည်ဆိုပါက <math>G</math>-<math>K</math>-မော်ဂျူး ဆိုသည့် သဘောတရားသည် <math>G</math> ၏ <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (K-linear representation) နှင့် ထပ်တူညီမျှသည်။ == ကျမ်းကိုးစာရင်း == * {{cite book |author=[[Siegfried Bosch]] |title=Algebra |edition=7th |date=2009 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-40388-4 |doi=10.1007/978-3-540-92812-6}} * {{cite encyclopedia |author=L.V. Kuz'min |title=Module |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module |encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Springer }}{{Dead link|date=May 2026 }} == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အက္ခရာသင်္ချာ]] fk9fu84rtcq3628ayfzp7m2pv8o3w3y 0 284510 1039205 1037899 2026-06-17T16:09:11Z Mkant00 135890 [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ)]] စာမျက်နှာကို [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည် 1037899 wikitext text/x-wiki သင်္ချာပညာရပ်တွင် '''မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ (monoidal category)''' ဆိုသည်မှာ [[နှစ်ထပ်ဖန်တာ]] (bifunctor) <math>\otimes\colon\mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C}</math> တစ်ခုနှင့် ယူနစ်အရာဝတ္ထု (unit object) <math>I \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> တစ်ခုတို့ တပ်ဆင်ထားသော ကတ်တဂိုရီ (category) <math>\mathcal{C}</math> ကို ခေါ်ဆိုသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံသဘောတရားများကို ပင်မ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] စာမျက်နှာတွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ ၎င်းတို့၏ မိုနွိုက်ဒယ် မြှောက်လဒ် (monoidal product) သည် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) <math>\alpha</math> ရှိသည်ဟူသော အဓိပ္ပာယ်ဖြင့် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) ပြည့်စုံရမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ : <math>\alpha_{A,B,C} \colon (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C),</math> ထို့အပြင် သဘာဝ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\lambda</math> နှင့် <math>\rho</math> တို့ ရှိသည်ဟူသော အဓိပ္ပာယ်ဖြင့် <math>I</math> သည် ဘယ်နှင့် ညာ ထပ်တူရ (left and right identity) အဖြစ် ရှိရမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ : <math>\lambda_A \colon I\otimes A\to A</math> နှင့် <math>\rho_A \colon A\otimes I\to A</math> ဤ[[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]]များ (natural transformations) သည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (coherent) ရှိရမည်။ လိုအပ်သော ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု အခြေအနေများ (coherence conditions) အားလုံးသည် အောက်ဖော်ပြပါ ပုံကြမ်းနှစ်ခု၏ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutativity) မှ ဆင်းသက်လာသည်။ : [[File:monoidal-category-pentagon.png]] နှင့် : [[File:monoidal-category-triangle.png]] ဤအခြေအနေနှစ်ခုအရ ထိုသို့သော မည်သည့် ပုံကြမ်း (diagram) များမဆိုသည် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည် (commutes)။ ၎င်းကို မက်လိန်း၏ "ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်" (Mac Lane's Coherence Theorem) ဟု ခေါ်သည်။ *မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ တစ်ခုကို အရာဝတ္ထု (object) တစ်ခုတည်းသာပါဝင်သော [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (2-ကတ်တဂိုရီ)|ဘိုင်ကတ်တဂိုရီ]] (bicategory) အဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ *မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ တစ်ခုအတွင်းတွင် [[မိုနွိုက်]] (monoid) သဘောတရားကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ကာ မိုနွိုက် အရာဝတ္ထု (monoid object) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ == ဥပမာများ == အဆုံးရှိ မြှောက်လဒ်များ (finite products) နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့် ကတ်တဂိုရီကိုမဆို အချိုးညီ မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ (symmetric monoidal category) တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဤတွင် မြှောက်လဒ်များကို သဘာဝကျကျ ရွေးချယ်ခြင်းဖြင့် နှစ်ထပ်ဖန်တာကို သတ်မှတ်ပြီး အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုကိုမူ ယူနစ်အရာဝတ္ထုအဖြစ် ထားရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် နှစ်ထပ်ဖန်တာ အဖြစ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct/ categorical sum) ကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး ယူနစ်အရာဝတ္ထု အဖြစ် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ကို ရွေးချယ်နိုင်သည်။ ဤကဲ့သို့သော မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ နှစ်ခု၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို အောက်တွင် ယှဉ်တွဲပြသထားသည်။ {| |- ! <math>R</math>'''-Mod''' ! '''Set''' |- | ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များ (<math>R</math>-modules) ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>R</math>'''-Mod''' သည် မြှောက်လဒ် <math>\otimes</math> (တန်ဆာ မြှောက်လဒ် - tensor product) နှင့် ယူနစ် <math>R</math> တို့ပါဝင်သော အချိုးညီ မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ | '''Set''' ကတ်တဂိုရီ သည် မြှောက်လဒ် <math>\times</math> နှင့် ယူနစ် <math>\{*\}</math> တို့ပါဝင်သော အချိုးညီ မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ (symmetric monoidal category) ဖြစ်သည်။ |- | ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိတို့ ပြည့်စုံသော အက္ခရာသင်္ချာ (unital associative algebra) သည် အောက်ဖော်ပြပါ ပုံကြမ်းများအား ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် (commute) မြားများ (arrows) <math>\nabla \colon A\otimes A\to A</math> နှင့် <math>\eta \colon R \rightarrow A</math> တို့နှင့်တကွ ပါရှိသော <math>R</math>'''-Mod''' ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်သည်။ | မိုနွိုက် (monoid) သည် အောက်ဖော်ပြပါ ပုံကြမ်းများအား ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် မြားများ <math>\circ \colon M \times M \rightarrow M</math> နှင့် <math>1 \colon \{*\} \to M</math> တို့နှင့်တကွ ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>M</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ |- | [[ဖိုင်:R-algebra1.png]] | [[ဖိုင်:Monoid1.png]] |- | နှင့် | နှင့် |- | [[ဖိုင်:R-algebra2.png]] | [[ဖိုင်:Monoid2.png]] |- | ဒွန်တွဲအက္ခရာသင်္ချာ (coalgebra) သည် အောက်ဖော်ပြပါ ပုံကြမ်းများအား ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် မြားများ <math>\Delta \colon C \to C \otimes C</math> နှင့် <math>\varepsilon \colon C\to R</math> တို့ပါရှိသော အရာဝတ္ထု <math>C</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ | '''Set''' ကတ်တဂိုရီ အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>S</math> အတွက်မဆို အောက်ဖော်ပြပါ ပုံကြမ်းများအား ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) မြားနှစ်ခု <math>\Delta \colon S \to S \times S</math> နှင့် <math>\varepsilon \colon S \to \{*\}</math> တို့ ရှိသည်။ |- | [[ဖိုင်:R-coalgebra1.png]] | [[ဖိုင်:Comonoid1.png]] |- | နှင့် | နှင့် |- | [[ဖိုင်:R-coalgebra2.png]] | [[ဖိုင်:Comonoid2.png]] |- | | အထူးသဖြင့် <math>\{*\}</math> သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\varepsilon</math> သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည် (unique)။ |} == ကိုးကား == Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". ''Advances in Mathematics'' ''102'', 20–78. {{citation |last=Mac Lane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |edition=2nd |publisher=Springer |location=New York |year=1998 |language=en |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |isbn=0-387-98403-8}} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] eyvfihc7vmikr36ozddm80wy9t46tpk 0 285012 1039342 1028429 2026-06-18T08:32:58Z EmausBot 5629 [[ဗမာ-ချန်နွယ် ဘာသာစကားများ]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039342 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဗမာ-ချန်နွယ် ဘာသာစကားများ]] mt0u7h6a5s31p9dehuley119gss2rtf 0 285023 1039383 1028852 2026-06-18T11:41:18Z Zawzawaungthwin 100038 ထောင် ၃ နှစ် ချမှတ်ခံရခြင်း 1039383 wikitext text/x-wiki {{Infobox writer | name = တင်ညွန့် | native_name = တင်ညွန့် | birth_date = {{Birth date and age|1955|9|24}} | birth_place = [[ပဲခူးမြို့]] | parents = အောင်သိန်း၊ ခင်ကြည် | residence = [[သန်လျင်မြို့]]၊[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]] | nationality = မြန်မာ | occupation = စာရေးဆရာ၊ အယ်ဒီတာ၊ ဆရာ (အငြိမ်းစား) | education = B.A (Philosophy), B.Ed | alma_mater = မော်လမြိုင်ကောလိပ်၊ ရန်ကုန် ဝိဇ္ဇာနှင့် သိပ္ပံတက္ကသိုလ်၊ [[ရန်ကုန်ပညာရေးတက္ကသိုလ်|ပညာရေးတက္ကသိုလ်]] | period = ၁၉၇၈ – ယနေ့အထိ | genre = နည်းပညာ၊ နိုင်ငံရေး၊ ပညာရေး၊ ဝတ္ထုစာပေ | notableworks = လူငယ်နှင့်အတွေးအမြင်<br>ဒီမိုကရေစီ ပါရာဒိုင်း<br>ကျောင်းဆရာမှတ်တမ်း<br>[[ရိုးမပေါ်ကျတဲ့မျက်ရည်|ရိုးမပေါ် ကျတဲ့မျက်ရည်]] | awards = လူငယ်စာပေဆု (၂၀၁၁)<br>နိုင်ငံရေးစာပေဆု (၂၀၁၂)<br>[[အမျိုးသားစာပေဆု]] (၂၀၁၇) | penname = တင်ညွန့်၊ ကျော်ဗလ၊ မောင်ခေတ် }} '''ဦးတင်ညွန့်''' (၂၄ စက်တင်ဘာ ၁၉၅၅ ဖွား) သည် မြန်မာနိုင်ငံသား စာရေးဆရာ၊ အယ်ဒီတာတစ်ဦးဖြစ်ပြီး [[အမျိုးသား စာပေဆု|အမျိုးသားစာပေဆု]]ရရှိသူဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပညာရေးနှင့် နိုင်ငံရေးဆိုင်ရာ စာပေများကို အဓိက ရေးသားသူအဖြစ် လူသိများသည်။[[အခြေခံပညာဦးစီးဌာန|ပညာရေးဌာန]]တွင် ကျောင်းဆရာအဖြစ် နှစ် ၂၀ ကျော် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီးနောက် စာပေလောကသို့ ခြေစုံပစ် ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော လက်ရာများတွင် “လူငယ်နှင့်အတွေးအမြင်”၊ “ဒီမိုကရေစီ ပါရာဒိုင်း” နှင့် “[[ရိုးမပေါ်ကျတဲ့မျက်ရည်|ရိုးမပေါ် ကျတဲ့ မျက်ရည်]]” တို့ ပါဝင်သည်။<ref name="mizzima">{{cite news |last=Khet Nway |first=Maung |title=National Literature Award winner U Tin Nyunt and two others arrested over three old books |url=https://bur.mizzima.com/2026/04/27/88751 |work=Mizzima News |date=27 April 2026 |access-date=30 April 2026}}</ref> == ပညာရေးနှင့်လုပ်ငန်းခွင်ဘဝ == ဦးတင်ညွန့်ကို ၁၉၅၅ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၄ ရက်နေ့တွင် [[ပဲခူးမြို့]]၌ အဖ ဦးအောင်သိန်း၊ အမိ ဒေါ်ခင်ကြည်တို့မှ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ပဲခူးမြို့ ဇိုင်းဂနိုင်းတောင်ပိုင်း၊ မြလမ်းတွင် ကြီးပြင်းခဲ့ပြီး ပဲခူးမြို့ BBM ကျောင်းနှင့် အမှတ် (၄) အခြေခံပညာအထက်တန်းကျောင်းတို့တွင် ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အမှတ် (၄) အထက်တန်းကျောင်းမှ တက္ကသိုလ်ဝင်တန်း အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် မော်လမြိုင်ကောလိပ်၌ သမိုင်းဘာသာဖြင့် ပထမနှစ် တက်ရောက်ခဲ့ပြီး ၁၉၇၅ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန် ဝိဇ္ဇာနှင့် သိပ္ပံတက္ကသိုလ်သို့ ပြောင်းရွှေ့ကာ ဒဿနိကဗေဒဘာသာအထူးပြုဖြင့် ဆက်လက်ပညာသင်ယူခဲ့သည်။ ၁၉၇၈ ခုနှစ်တွင် ရန်ကုန် ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်မှ B.A (Philosophy) ဘွဲ့ ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၈၁ ခုနှစ်တွင် ပညာရေးဌာန၌ မူလတန်းပြဆရာအဖြစ် စတင်တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ပြီး ပဲခူးချောင်းဖျားဒေသတွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အလယ်တန်းပြအဖြစ် တိုးတက်ခန့်အပ်ခံရပြီး ဇောင်းတူရွာတွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်စဉ် အင်္ဂလိပ်စာကို တွဲဖက်အထက်တန်းအဆင့်အထိ သင်ကြားပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Save The Library in Myanmar {{!}} Author. တင်ညွှန့် |url=https://savethelibrarymyanmar.org/author/184/show |access-date=2026-05-01 |website=savethelibrarymyanmar.org}}</ref> ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပညာရေးတက္ကသိုလ်မှ B.Ed ဘွဲ့ကို ထပ်မံရရှိခဲ့ပြီး ၁၉၈၁ ခုနှစ်မှ ၂၀၀၁ ခုနှစ်အထိ ပညာရေးဌာနတွင် နှစ်ပေါင်း ၂၀ ခန့် တာဝန်ထမ်းဆောင်ကာ အငြိမ်းစားယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မြင့်မြတ်၊ အိန္ဒြာကျော်ဇင်တို့ ပါဝင်သည့် ဖြစ်ရပ်မှန်ရုပ်ရှင်-ရိုးမပေါ်ကျတဲ့ မျက်ရည်(နမူနာ) |url=https://burmese.dvb.no/post/355199 |access-date=2026-05-01 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> == စာပေဘဝဖြတ်သန်းမှု == ဦးတင်ညွန့် စာပေလောကသို့ ဝင်ရောက်မှုမှာ ၁၉၇၈ ခုနှစ်ထုတ် ''ရန်ကုန် ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံ မဂ္ဂဇင်း'' တွင် “ဂရက်ဖိုဖီလ်” ဘာသာပြန်ဝတ္ထုတိုနှင့် “ကဗျာဆရာသို့” ကဗျာတို့ကို စတင်ဖော်ပြခံရခြင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် နည်းပညာ၊ နိုင်ငံရေး၊ ပညာရေး၊ ဘာသာရေးနှင့် ဝတ္ထုစာပေများအပါအဝင် စာအုပ်များ ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် ဦးတင်ညွန့် သည် နှစ်ပေါင်း ၂၀ ခန့် ပညာရေးဌာန၌ တာဝန်ထမ်းဆောင်ပြီး အငြိမ်းစားယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် ရန်ကုန်မြို့တွင် အခြေချနေထိုင်ကာ စာပေလုပ်ငန်းများတွင် ပါဝင်လှုပ်ရှားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=“ဇာတ်လိုက်” ဖြစ်ရပ်မှန် ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားကြီး ပဲခူးရိုးမတောထဲရှိ ရှိန်းခါးရွာတွင် သွားရောက်ရိုက်ကူးမည် |url=http://mdn.gov.mm/my/jaattliuk-phcrpmn-ruprngjaattkaakii-paikhuuriumtteaathairi-rinkhraattng-saareaakriukkuumnny |access-date=2026-05-01 |website=MDN - Myanmar DigitalNews |language=my}}</ref> ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစ၍ [[ကွန်ပျူတာဂျာနယ်]]၊ ၂၀၀၆ ခုနှစ်တွင် ကြီးပွားရေးမဂ္ဂဇင်း၊ ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် မျက်မှောက်ရေးရာ မဂ္ဂဇင်း၊ ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် Personal Computer မဂ္ဂဇင်းနှင့် ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်တွင် Itizen နည်းပညာဂျာနယ်တို့တွင် အယ်ဒီတာအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် “လူငယ်နှင့်အတွေးအမြင်” စာအုပ်ဖြင့် [[ထွန်းဖောင်ဒေးရှင်းစာပေဆု|ထွန်းဖောင်ဒေးရှင်း]]မှ ပေးအပ်သော လူငယ်စာပေဆုကို ရရှိခဲ့ပြီး ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် “ဒီမိုကရေစီ ပါရာဒိုင်း” စာအုပ်ဖြင့် [[သုတစွယ်စုံစာပေဆု|သုတစွယ်စုံ]] နိုင်ငံရေးစာပေဆုများကို ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ် တွင် ''[[The Voice Weekly]]'' ဂျာနယ် တွင် အယ်ဒီတာ အဖြစ် ဝင်ရောက်လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် မြန်မာနိုင်ငံတွင် နှစ်ပေါင်း ၄၀ ခန့်အတွင်း ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုဂ္ဂလိကပိုင် နေ့စဉ်ထုတ် သတင်းစာများကို ထုတ်ဝေခွင့်ပြုခဲ့သည်။ ထိုနေ့တွင် The Voice Daily၊ [[စံတော်ချိန် နေ့စဉ်သတင်းစာ|စံတော်ချိန်]]၊ ရွှေနိုင်ငံသစ် နှင့် [[ပြည်ထောင်စုနေ့စဉ်|ပြည်ထောင်စုနေ့စဥ်]] ဟူသော နေ့စဉ်သတင်းစာ ၄ စောင်ကို တပြိုင်နက်တည်း စတင်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ဤတွင် ဦးတင်ညွန့် သည် The Voice Daily သတင်းစာ ၏ အယ်ဒီတာ တစ်ဦး ဖြစ်လာခဲ့သည်။ထိုတာဝန်ကို ၂၀၁၈ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလအထိ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2013-04-01 |title=မြန်မာပုဂ္ဂလိက သတင်းစာများ စတင်ထုတ်ဝေ |url=https://burmese.voanews.com/a/burma-daily-newspaper-03-31-13/1632209.html |access-date=2026-05-01 |website=ဗွီအိုအေ |language=my}}</ref> သူသည် စာပေသက်တမ်းတစ်လျှောက်တွင် နိုင်ငံရေးအက်ဆေး၊ ပညာရေးနှင့် ဝတ္ထုရှည်များ အပါအဝင် စာအုပ်ပေါင်း ၅၀ ကျော် ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သည်။ သူ၏ ထင်ရှားသော ဝတ္ထုတစ်ပုဒ်ဖြစ်သည့် ''[[ရိုးမပေါ်ကျတဲ့မျက်ရည်]]'' သည် စာဖတ်ပရိသတ်အကြား အလွန်ရေပန်းစားခဲ့ပြီး ရုပ်ရှင်အဖြစ်လည်း ရိုက်ကူးခြင်း ခံခဲ့ရသည်။<ref name="maun">{{cite news |title=Writer Tin Nyunt arrested over books published during civilian government era |url=https://maun-mm.com/2026/04/27/writertinnyunt/ |work=Maun News |date=27 April 2026 |access-date=30 April 2026}}</ref> == ၂၀၂၆ ဖမ်းဆီးခံရမှု == ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ဆရာတင်ညွန့်အား [[သန်လျင်မြို့နယ်]]ရှိ နေအိမ်တွင် လုံခြုံရေးတပ်ဖွဲ့ဝင်များက လာရောက်ဖမ်းဆီးခဲ့သည်။ ယင်းသို့ ဖမ်းဆီးရခြင်းမှာ ၂၀၁၅ ခုနှစ်မှ ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ် အတွင်း ထုတ်ဝေခဲ့သည့် ''ခွေးထိန်းငသာ''၊ ''အထွေထွေ၊ ခင်ဗျားကျုပ်ကို ညာခဲ့တယ်'' နှင့် ''သန်းရွှေ၏ ယတြာများ'' စသည့် စာအုပ် ၃ အုပ်နှင့် ဆက်စပ်နေကြောင်း သတင်းများတွင် ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="burmavj">{{cite news |title=အမျိုးသားစာပေဆုရ စာရေးဆရာ တင်ညွန့်ဖမ်းဆီးခံရ |url=https://burma.irrawaddy.com/video/2026/04/27/412883.html |work=The Irrawaddy|date=27 April 2026 |access-date=30 April 2026}}</ref><ref>{{Cite web |title=စာရေးဆရာကြီး တင်ညွန့် အပါအဝင် ၃ ဦးကို ဖမ်းဆီးပြီး ပုဒ်မ ၅၀၅(က) ဖြင့် အမှုဖွင့် |url=https://burmese.dvb.no/post/678286 |access-date=2026-04-30 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> [[TikTok]] လိုင်းပေါ် တွင် စာအုပ်ရောင်းချသူတစ်ဦးက ယင်းစာအုပ်များကို ရောင်းချနေကြောင်း တိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့် (Live) ထုတ်လွှင့် ရာမှတစ်ဆင့် ဖမ်းဆီးမှုများ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ဆရာတင်ညွန့်အား ရာဇသတ်ကြီးပုဒ်မ ၅၀၅ (က) ဖြင့် တရားစွဲဆိုခဲ့ပြီး သူ၏သားဖြစ်သူနှင့် စာအုပ်ထုတ်ဝေသူ၊ ရောင်းချသူတို့လည်း ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခံခဲ့ရသည်။ထို့နောက် ဦးတင်ညွန့် နှင့် သားအငယ်ဖြစ်သူတို့သည် ပုဒ်မ ၅၀၅-က ထောင်ဒဏ် ၃ နှစ် ချမှတ်ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-18 |title=၂၀၂၆ ဇွန် ၁၈ ရက် ဘီဘီစီသတင်းများတိုက်ရိုက်တင်ဆက်မှု - အာရက္ခတပ်တော်(အေအေ) ထိန်းချုပ် ကျောက်တော်မြို့ လေကြောင်းဗုံးကြဲခံရမှု သေဆုံးသူ ၈ ဦးရှိလာ |url=https://www.bbc.com/burmese/live/crlwdge7wjwt |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> <ref name="vom">{{cite news |title=Writer Tin Nyunt and son among three arrested |url=https://www.facebook.com/share/19nKfE1Wg3/ |work=Voice of Myanmar (VOM) |date=27 April 2026 |access-date=30 April 2026}}</ref><ref name="rfa">{{cite news |title=စာရေးဆရာ တင်ညွန့် နဲ့ စာအုပ်ရောင်းသူ၊ ထုတ်ဝေသူတို့ သုံးဦး ဖမ်းဆီးခံရ|url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/04/27/myanmar-military-state-defamation-arrest-author-tin-nyunt/ |work=[[Radio Free Asia]] |date=27 April 2026 |access-date=30 April 2026}}</ref> == ရရှိခဲ့သော ဆုများ == * လူငယ်စာပေဆု (၂၀၁၁) * နိုင်ငံရေးစာပေဆု (၂၀၁၂) * အမျိုးသားစာပေဆု (၂၀၁၇) == ရေးသားထုတ်ဝေခဲ့သော စာအုပ်များ == {{columns-list| # ဒစ်ဂျစ်တယ်နည်းပညာနှင့် မျိုးဆက်သစ်ပရိုဆက်ဆာ # ကမ္ဘာကျော်နိုင်ငံရေး အရှုပ်တော်ပုံများ (ပထမတွဲ) # ကမ္ဘာကျော်နိုင်ငံရေး အရှုပ်တော်ပုံများ (ဒုတိယတွဲ) # ဒီမိုကရေစီနိုင်ငံတော် ဒီမိုကရေစီနိုင်ငံသား # ကမ္ဘာ့ပညာခေတ်အား လှမ်းမျှော်ကြည့်ခြင်း # ဒီမိုကရေစီ ပါရာဒိုင်း # ဒစ်ဂျစ်တယ်တော်လှန်ရေးနှင့် အိုင်စီတီပြုပြင်ပြောင်းလဲရေး # ကောင်တာဒီမိုကရေစီ # သန့်ရှင်းသောအစိုးရ၊ ကောင်းမွန်သော အုပ်ချုပ်ရေး # ဒီမိုကရေစီပညာရေး # အမျိုးသမီးအခွင့်အရေး ဆုံးရှုံးနေသူများနှင့် ဗိုက်အငှားလိုက်သူတစ်ဦး၏ဘဝ # ဦးသန်းရွှေ၏ ယတြာများနှင့် အခြားစိတ်ဝင်စားဖွယ် အဖြစ်အပျက်များ # အဖေ့စကားလောကကျင့်ဝတ်များ # အာဏာရှင်တို့ နေဝင်ချိန် # ဦးနေဝင်း၏ နောက်ဆုံးနေ့များ # မြန်မာသူဌေးကြီးများ နောက်ကွယ်ကဖြစ်ရပ်မှန်များနှင့် ဝဒေသအတွင်းရေး # ကမ္ဘာကျော် သားတော်သမီးတော်များ # လူငယ်နှင့်အတွေးအမြင် # ကျောင်းဆရာမှတ်တမ်း # ရိုးမပေါ်မှာ ကျတဲ့မျက်ရည် (ဝတ္ထုရှည်) # သူတို့ဘာကြောင့် အောင်မြင်ရသလဲ # ဗိုလ်ချုပ်တွေကို ကျွန်တော်ညာခဲ့သည် # နော် (ဝတ္ထုရှည်) # လွတ်မြောက်ရာလမ်း # ၂၁ ရာစု ပြည်သူ့နီတိ # ဖင်လန်နိုင်ငံပညာရေးစနစ် လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များ # ကွန်ဖြူးရှပ်၏ စီးပွားရေးဒဿန # တရုတ်နိုင်ငံပညာရေးစနစ် လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များ # လူငယ်နှင့် ကမ္မဗေဒ # တော်လှန်သောကျောင်းဆရာ # အညာစောင် (ဝတ္ထုတိုပေါင်းချုပ်) # ဒေါသ # ခွေးထိန်းငတာ # ရိုးမခေါ်သံ (ဝတ္ထုရှည်) # စင်ကာပူနိုင်ငံပညာရေးစနစ် လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များ # ကျောင်းဆရာဇာတ်လမ်း # သူနှင့်သူမ # နိဗ္ဗာန်ကိုဖွေရှာခြင်း # ဇက်မျိုးဆက်တော်လှန်ရေး # ကောင်လေးတစ်ယောက်အကြောင်း # ပန်းနီနီကျိန်စာ # တယောအို # ဂျပန်နိုင်ငံပညာရေးစနစ် လေ့လာဆန်းစစ်ချက်များ # ပညာပါရာဒိုင်း # ရာစု၏သမီးပျို နှစ် ၁၀၀ တက္ကသိုလ် # သုညမှ သုခသို့ (မရှိခြင်းဖြင့် ချမ်းသာခြင်း) # ယူကရိန်းသမ္မတ ဇီလန်းစကီး သို့မဟုတ် ပူတင်ကို အာခံသူ # ဂျပန်စိတ်ဓာတ် # ၃၃ (ဝတ္ထုရှည်) }} == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} {{Lifetime|၁၉၅၅}} [[ကဏ္ဍ:၁၉၅၅ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ အမျိုးသား စာရေးဆရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အမျိုးသားစာပေဆုရှင်များ]] 5wsqbbtmj3al7uf0c3z27qf9byy7igl 0 285312 1039333 1039039 2026-06-18T06:00:26Z Zawzawaungthwin 100038 အချက်အလက်များ ဆက်လက် ထည့်သွင်း 1039333 wikitext text/x-wiki {{Under construction}} '''မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ''' သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|စစ်အာဏာသိမ်းပြီး]]နောက်ပိုင်း ဖြစ်ပွားလာသည့် [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ်]]အတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများမှ [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ|စစ်ကောင်စီ]] သို့မဟုတ် [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|စစ်ကော်မရှင်]] ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် စစ်ရေးယန္တရားများကို အလုံးစုံဖယ်ရှား၍ မြို့များအား သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ခဲ့သည့် ဖြစ်စဉ်များ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2025-01-06 |title=မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲတွေ ဖော်ဆောင်မယ်လို့ မန္တလေး PDF ပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c24ne55vg4ro |access-date=2026-05-05 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ဤစာရင်းတွင် ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီးအသီးသီးရှိ မြို့ (Town) နှင့် မြို့နယ်ခွဲ (Sub-township) အဆင့် အခြေချနေထိုင်ရာဒေသများကို မည်သည့်အဖွဲ့အစည်းက မည်သည့်အချိန်တွင် သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်ဟူသော အချက်အလက်များကို နှစ်အလိုက် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ ထိုမှတ်တမ်းတွင် တပ်မတော် က ပြန်လည်သိမ်းယူခဲ့မှုများလည်း ပါဝင်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းတွင် စတင်ခဲ့သည့် [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]] နှင့် နောက်ဆက်တွဲ စစ်ဆင်ရေးများကြောင့် မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများသည် အရှိန်အဟုန် မြင့်တက်လာခဲ့ပြီး တော်လှန်ရေးအင်အားစုများဘက်မှ မြို့ပေါင်း ၉၀ ကျော်အား သိမ်းပိုက်နိုင်သည်အထိ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး အရှေ့မြောက်က အုပ်စိုးသူအပြောင်းအလဲ |url=https://bbc.com/burmese/extra/av0hcunujm/1027operation |access-date=2026-05-05 |website=BBC News မြန်မာ}}</ref> လက်ရှိတွင် အချို့သောမြို့များကို တပ်မတော်ဘက်က ပြန်လည်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့သည့် ဖြစ်စဉ်များအပြင် တရုတ်နိုင်ငံ၏ ဖိအားကြောင့် တော်လှန်ရေးအင်အားစုများ လက်လွှတ်ခဲ့ရသည့် အခြေအနေများနှင့်အတူ တော်လှန်ရေးအင်အားစုအချင်းချင်း ထိပ်တိုက်ရင်ဆိုင်မှုများကြောင့် မြို့အုပ်ချုပ်သူ အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့မှုများလည်း ရှိနေသည်။<ref>{{Cite web |title=ချင်းပြည် ဖလမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲအတွင်း တိုက်ပွဲကြီး/ တိုက်ပွဲငယ်၁၀၉ကြိမ်ဖြစ်ပွားခဲ့ဟုဆို |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/69ed79cfb4daf4566223b764 |access-date=2026-05-05 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> == တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် မြို့များ == ၂၀၂၁ ခုနှစ် မြန်မာနိုင်ငံ စစ်အာဏာသိမ်းပြီးနောက်ပိုင်း ပေါ်ပေါက်လာသော နွေဦးတော်လှန်ရေးနှင့်အတူ ဒေသကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များသည် တူမီးသေနတ်များဖြင့် တော်လှန်ရေးကို စတင်ခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း ဖြစ်ပွားခဲ့သော ဒေသခံပြည်သူများနှင့် စစ်ကောင်စီတပ်တို့၏ '''ကမ်းပါးနီတိုက်ပွဲ'''သည် နွေဦးတော်လှန်ရေး၏ အဦးအစ တိုက်ပွဲတစ်ခုအဖြစ် ထင်ရှားခဲ့သည်။ ထိုမတိုင်မီကပင် အင်အားကြီး တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အချို့နှင့် စစ်တပ်တို့အကြား ထိတွေ့တိုက်ပွဲအချို့ ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့နောက်ပိုင်းတွင် ဒေသကာကွယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အစည်းများ (EAOs) နှင့် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (PDF) များသည် စစ်ကောင်စီ၏ အုပ်ချုပ်ရေးယန္တရားကို အဆုံးသတ်နိုင်ရန် မြို့ပြသိမ်းပိုက်မှု စစ်ဆင်ရေးများကို အရှိန်အဟုန်မြှင့် ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၂၄ ရက်နေ့တွင် ချင်းဒေသကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့ (CDF) သည် ချင်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ စစ်တပ်စွန့်ခွာသွားသော '''မကွီးအိမ်နူးမြို့'''ကို စတင်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ တော်လှန်ရေး၏ အရှိန်အဟုန်သည် တဖြည်းဖြည်း မြင့်တက်လာခဲ့ပြီး အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ (NUG) က ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် ခုခံတွန်းလှန်စစ် (D-Day) ကို ကြေညာကာ စစ်ဆင်ရေးများ ဖော်ဆောင်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့၏ '''၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး''' (၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ) သည် မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများအတွက် အားအကောင်းဆုံး အချိုးအကွေ့တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့ပြီး မြန်မာနိုင်ငံတစ်ဝန်းရှိ ဗျူဟာမြောက်မြို့ပေါင်းများစွာကို တော်လှန်ရေးအင်အားစုများက အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့သည်။မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများ၏ မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများသည် ၂၀၂၃ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းမှစတင်၍ အရှိန်အဟုန် မြင့်တက်လာခဲ့ရာ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မေလအထိ စုစုပေါင်း မြို့နှင့် မြို့နယ်ခွဲပေါင်း ၉၈ မြို့ထက်မနည်းကို တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အစည်းများက အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ထားနိုင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ သိမ်းပိုက်ရရှိမှုများတွင် ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်း၊ ရခိုင်ပြည်နယ်၊ ကချင်ပြည်နယ်နှင့် ချင်းပြည်နယ်တို့ရှိ ဗျူဟာမြောက် မြို့ကြီးများအပြင် နယ်စပ်ကုန်သွယ်ရေးမြို့များလည်း ပါဝင်သည်။ {| class="wikitable" style="width: 70%; margin: auto; font-size: 88%; border-collapse: collapse; line-height: 1.6em;" |+ style="font-weight: bold; padding: 10px;" | တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် မြို့များစာရင်းအနှစ်ချုပ် |- style="background: #f2f2f2; text-align: center;" ! style="width: 8%; border: 1px solid #ccc;" | စဉ် ! style="width: 27%; border: 1px solid #ccc;" | အဖွဲ့အစည်း ! style="width: 65%; border: 1px solid #ccc;" | သိမ်းပိုက်ရရှိသည့် မြို့များ |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၁။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''ချင်းတော်လှန်ရေးတပ်ဖွဲ့များ''' | style="padding: 5px;" | [[မကွီအိမ်နူးမြို့|မကွီးအိမ်နူး]] {{•}} [[နှာဟရိန်မြို့|နှာဟရိန်]] {{•}} [[ဆူရ်ခွားမြို့|ဆူရ်ခွား]] {{•}} [[ဝေဘူလမြို့|ဝေဘူလ]] {{•}} [[ရိဒ်ခေါဒါရ်မြို့|ရိဒ်ခေါဒါရ်]] {{•}} [[လိုင်လင်းပီမြို့|လိုင်လင်းပီ]] {{•}} [[ရေဇွာမြို့|ရေဇွာ]] {{•}} [[ကျင်ဒွေးမြို့|ကျင်ဒွေး]] {{•}} [[ကျီခါးမြို့|ကျီခါး]] {{•}} [[တွန်းဇံမြို့|တွန်းဇံ]] {{•}} [[မတူပီမြို့|မတူပီ]] {{•}} [[မင်းတပ်မြို့|မင်းတပ်]] {{•}} [[ကန်ပက်လက်မြို့|ကန်ပက်လက်]] • [[ဖလမ်းမြို့|ဖလမ်း]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၂။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' | style="padding: 5px;" | [[ပလက်ဝမြို့|ပလက်ဝ]] {{•}} [[ဆမီးမြို့|ဆမီး]] {{•}} [[ဂွမြို့|ဂွ]] • [[တပ်တောင်မြို့|တပ်တောင်]] {{•}} [[အမ်းမြို့|အမ်း]] {{•}} [[မြင်းလွှတ်မြို့|မြင်းလွှတ်]] {{•}} [[ခမောင်းဆိပ်မြို့|ခမောင်းဆိပ်]] {{•}} [[မောင်တောမြို့|မောင်တော]] {{•}} [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့|ပုဏ္ဏားကျွန်း]] {{•}} [[မအီမြို့|မအီ]] {{•}} [[ကျိန္တလီမြို့|ကျိန္တလီ]] {{•}} [[သံတွဲမြို့|သံတွဲ]] {{•}} [[ကမ်းထောင့်ကြီးမြို့|ကမ်းထောင့်ကြီး]] {{•}} [[မြေပုံမြို့|မြေပုံ]] {{•}} [[ဘူးသီးတောင်မြို့|ဘူးသီးတောင်]] {{•}} [[မြောက်ဦးမြို့|မြောက်ဦး]] {{•}} [[စနဲမြို့|စနဲ]] • [[ကျောက်တော်မြို့|ကျောက်တော်]] {{•}} [[ရသေ့တောင်မြို့|ရသေ့တောင်]] {{•}} [[ရမ်းဗြဲမြို့|ရမ်းဗြဲ]] {{•}} [[တောင်ပြိုလက်ဝဲမြို့|တောင်ပြို]] {{•}} [[မင်းပြားမြို့|မင်းပြား]] {{•}} [[ပေါက်တောမြို့|ပေါက်တော]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၃။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''PDF / ပကဖ''' | style="padding: 5px;" | [[ခမ်းပါတ်မြို့|ခမ်းပတ်]] {{•}} [[ရွှေပြည်အေးမြို့|ရွှေပြည်အေး]] {{•}} [[မော်လူးမြို့|မော်လူး]] {{•}} မြို့သစ် {{•}} [[စဉ့်ကူးမြို့|စဉ့်ကူး]] {{•}} [[တကောင်းမြို့|တကောင်း]] {{•}} [[သပိတ်ကျင်းမြို့|သပိတ်ကျင်း]] {{•}} [[ပင်လယ်ဘူးမြို့နယ်|ပင်လယ်ဘူး]] {{•}} [[ဒီပဲယင်းမြို့|ဒီပဲယင်း]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၄။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KIA''' | style="padding: 5px;" | [[အင်ဂျန်းယန်မြို့|အင်ဂျန်းယန်]] {{•}} [[လွယ်ဂျယ်မြို့|လွယ်ဂျယ်]] {{•}} [[ဆော့လော်မြို့|ဆော့လော်]] {{•}} [[မဘိမ်းမြို့|မဘိမ်း]] {{•}} [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့|ဆွမ်ပရာဘွမ်]] {{•}} [[ပန်ဝါမြို့|ပန်ဝါ]] {{•}} [[ဆင်ဘိုမြို့|ဆင်ဘို]] {{•}} [[ဆဒုံးမြို့|ဆဒုံး]] {{•}} ဖိမော် {{•}} [[မြို့လှမြို့|မြို့လှ]] {{•}} [[မိုးမောက်မြို့|မိုးမောက်]] {{•}} [[ကန်ပိုက်တီမြို့|ကန်ပိုက်တီ]] {{•}} [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့|ဒေါ့ဖုန်းယန်]] {{•}} [[ချီဖွေမြို့|ချီဖွေ]] {{•}} [[မံစီမြို့|မံစီ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၅။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''MNDAA / [[TNLA]]''' | style="padding: 5px;" | [[ချင်းရွှေဟော်မြို့|ချင်းရွှေဟော်]] {{•}} [[နမ့်ခမ်းမြို့|နမ့်ခမ်း]] {{•}} [[ဖောင်းဆိုင် (ကချင်)ရွာ၊ မူဆယ်မြို့နယ်|ဖောင်းဆိုင်]] {{•}} [[မိုင်းလုံမြို့|မိုင်းလုံ]] {{•}} [[သိန္နီမြို့|သိန္နီ]] {{•}} [[နမ့်ဆန်မြို့|နမ့်ဆန်]] • [[ပန်ဆိုင်းမြို့|ပန်ဆိုင်း]] {{•}} [[မန်တုံမြို့|မန်တုံ]] {{•}} [[မုန်းကိုးမြို့|မုန်းကိုး]] {{•}} [[နမ္မတူမြို့|နမ္မတူ]] {{•}} [[ကွမ်းလုံမြို့|ကွမ်းလုံ]] {{•}} [[မိုင်းငေါ့မြို့|မိုင်းငေါ့]] {{•}} [[မော်ထိုက်မြို့|မော်ထိုက်]] {{•}} [[ကွတ်ခိုင်မြို့|ကွတ်ခိုင်]] {{•}} [[ကုန်းကြမ်းမြို့|ကုန်ကြမ်း]] {{•}} [[နောင်ချိုမြို့|နောင်ချို]] {{•}} [[လောက်ကိုင်မြို့|လောက်ကိုင်]] {{•}} [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] {{•}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] {{•}} [[ကျောက်မဲမြို့|ကျောက်မဲ]] {{•}} [[သီပေါမြို့|သီပေါ]] {{•}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၆။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''UWSA''' | style="padding: 5px;" | [[ဟိုပန်မြို့|ဟိုပန်]] {{•}} [[ပန်လုံမြို့|ပန်လုံ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၇။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KNU / [[KNLA]]''' | style="padding: 5px;" | [[မုန်းမြို့|မုန်း]] {{•}} [[လေးကေ့ကော်မြို့|လေးကေ့ကော်]] {{•}} [[ဖာပွန်မြို့|ဖာပွန်]] {{•}} [[ကျိုက်ဒုံမြို့|ကျိုက်ဒုံ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၈။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KNDF / KA''' | style="padding: 5px;" | [[မယ်စဲ့မြို့|မယ်စဲ့]] {{•}} [[မိုးဗြဲ]] {{•}} [[နန်းမယ်ခုံမြို့|နန်းမယ်ခုံ]] {{•}} [[ရွာသစ်မြို့၊ ဘောလခဲခရိုင်|ရွာသစ်]] {{•}} [[မော်ချီးမြို့|မော်ချီး]] {{•}} [[ရှားတောမြို့|ရှားတော]] • [[ဆီဆိုင်မြို့|ဆီဆိုင်]] |} == နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် အခြေအနေများ == [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ)]] ကာလအတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများမှ မြို့ပေါင်းများစွာကို သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ၂၀၂၄ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းနှင့် ၂၀၂၅ ခုနှစ်အတွင်း၌ စစ်ရေး၊ နိုင်ငံရေးနှင့် ဒေသတွင်းပထဝီနိုင်ငံရေး ဖိအားများကြောင့် နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲများ ပြန်လည်ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်းရှိ တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့များအပေါ် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]]၏ နယ်စပ်ဂိတ်များပိတ်ဆို့ခြင်းနှင့် ကုန်သွယ်မှုဖြတ်တောက်ခြင်း စသည့် သံတမန်ရေးရာဖိအားများကြောင့် သိမ်းပိုက်ထားသော မြို့အချို့မှ ပြန်လည်ဆုတ်ခွာပေးခဲ့ရခြင်း သို့မဟုတ် အခြားသော ကြားနေအဖွဲ့အစည်းများထံသို့ လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ရခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[တပ်မတော်]] ၏ ပြန်လည်ထိုးစစ်ဆင်မှုများ၊ လေကြောင်းမှ အပြင်းအထန် ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှုများနှင့် တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အစည်း အချင်းချင်းကြား နယ်မြေစိုးမိုးမှု အငြင်းပွားမှုများကြောင့်လည်း သိမ်းပိုက်ရရှိထားသည့် မြို့အချို့၏ အခြေအနေမှာ မတည်မငြိမ်ဖြစ်ခြင်း သို့မဟုတ် လက်လွှတ်ခဲ့ရခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=ludunwayoo |date=2024-07-21 |title=တော်လှန်​ရေးတပ်​တွေ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ထားတဲ့ မြို့​ပေါင်း ၇၂ မြို့ |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/07/21/93521/ |access-date=2026-05-15 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref> {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ချင်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[တွန်းဇံမြို့|တွန်းဇံ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၂၃ မေ ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၀ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက CDF ၊ CNA နှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူပူးပေါင်းအဖွဲ့များ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် တွန်းဇံမြို့အား ပြန်လည်သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်၊ တပ်မတော်မှ ချင်းပြည်နယ် မြောက်ပိုင်းဒေသတစ်ခုလုံးအား အလုံးစုံထိန်းချုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/82986 |access-date=2026-05-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| [[တွန်းဇံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မတူပီမြို့|မတူပီ]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၉ ဇွန် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မတူပီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[မင်းတပ်မြို့|မင်းတပ်]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မင်းတပ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[ကန်ပက်လက်မြို့|ကန်ပက်လက်]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကန်ပက်လက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ပလက်ဝမြို့|ပလက်ဝ]] || [[အာရက္ခတပ်တော်]]|| ၁၄ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပလက်ဝမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ဖလမ်းမြို့|ဖလမ်း]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၆ မေ ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၅ ဧပြီ ၂၀၂၆ || [[ဖလမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၇ || [[မကွီအိမ်နူးမြို့|မကွီးအိမ်နူး]]|| မင်းတပ် ([[ချင်းဒေသကာကွယ်ရေးတပ်မတော်|CDF]]) || ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၁ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မကွီးအိမ်နူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[နှာဟရိန်မြို့|နှာဟရိန်]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်တပ်စွန့်ခွာ |- | ၉ || [[ဆူရ်ခွားမြို့|ဆူရ်ခွား]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်တပ်စွန့်ခွာ |- | ၁၀ || [[ဝေဘူလမြို့|ဝေဘူလ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || — || စစ်တပ်၏ထိုးစစ် |- | ၁၁ || [[ရိဒ်ခေါဒါရ်မြို့|ရိဒ်ခေါဒါရ်]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၁၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || [[ချင်းအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|CNDF]] ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[ချင်းလက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း တိုက်ပွဲ (၂၀၂၄-၂၀၂၅)|ချင်းလက်နက်ကိုင်များ၏တိုက်ခိုက်မှု]] |- | ၁၂ || [[လိုင်လင်းပီမြို့|လိုင်လင်းပီ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || တပ်စခန်းများသိမ်းပိုက်ခြင်း |- | ၁၃ || [[ရေဇွာမြို့|ရေဇွာ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၂၉ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || တပ်စခန်းများသိမ်းပိုက်ခြင်း |- | ၁၄ || [[ကျင်ဒွေးမြို့|ကျင်ဒွေး]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၉ ဧပြီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကျင်ဒွေးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၅ || [[ကျီခါးမြို့|ကျီခါး]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၁၉ မေ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2024-05-20 |title=မြန်မာ-အိန္ဒိယနယ်စပ်မြို့ ကျီခါးကို ချင်းတော်လှန်ရေးအင်အားစု သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/52523/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၁ မေ ၂၀၂၅ || [[ကျီခါးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၆ || [[ဆမီးမြို့|ဆမီး]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]'''|| ၁၄ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=AA ထိန်းချုပ်ထားတဲ့ ဆမီးမြို့ ထွေအုပ်ရုံး ဗုံးကြဲခံရပြီး မီးလောင်ပျက်စီး |url=https://cjplatform.com/14-1-2025-7/ |access-date=2026-05-24 |website=cjplatform.com |language=en}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]'''၏ ထိုးစစ် |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ပင်လယ်ဘူးမြို့|ပင်လယ်ဘူး]]|| — || — || — || — || — |- | ၂ || [[ဒီပဲယင်းမြို့|ဒီပဲယင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-08-19 |title=ဒီပဲယင်းမြို့သိမ်းပြီးနောက် ဘာ့ကြောင့် ဆုတ်ခွာခဲ့ရတာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy5rnkj81po |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-08-19 |title=ဒီပဲယင်းမြို့ကနေ တော်လှန်ရေးတပ်တွေ ဘာကြောင့် ပြန်ဆုတ်ရသလဲ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/56607/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[ဒီပဲယင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[အင်းတော်မြို့နယ်|အင်းတော်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၇ ဧပြီ ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၃၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ || [[အင်းတော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၄ || [[ခမ်းပါတ်မြို့|ခမ်းပါတ်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]|| ၇ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |date=2023-11-07 |title=မြန်မာ - အိန္ဒိယနယ်စပ်က ခမ်းပတ်မြို့ကို NUG ထပ်မံသိမ်းပိုက် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c1r2j3vwl4no |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — ||[[ခမ်းပါတ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ရွှေပြည်အေးမြို့|ရွှေပြည်အေး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၃/၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ<ref>{{Cite web |date=2023-02-05 |title=ရွှေပြည်အေးမြို့မှာ ဘာတွေဖြစ်ခဲ့တာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c10eg387ql8o |access-date=2026-05-27 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| — || [[ရွှေပြည်အေးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[မော်လူးမြို့|မော်လူး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၃ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=သူရမောင် |date=2023-12-13 |title=စစ်ကိုင်းတိုင်း မော်လူးမြို့ကို တော်လှန်ရေးအဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/46806/ |access-date=2026-05-27 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက KIA နှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူများ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် မော်လူးမြို့အား ပြန်လည်ထိန်းချုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/82444 |access-date=2026-05-27 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| [[မော်လူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[မြို့သစ်မြို့၊ တမူးခရိုင်|မြို့သစ်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၁ မေ ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-05-11 |title=စစ်ကိုင်းတိုင်း မြို့သစ်မြို့ကို NUG နဲ့ မဟာမိတ်အဖွဲ့တွေ ပူးပေါင်းသိမ်းယူ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/myothit-nug-occupied-05112024130843.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ခလရ- ၂၂၈၊ SNA တပ်မဟာ-၈၉၁ (တပ်ရင်း-၃)၊ကသည်းတပ်ဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |- | ၈ || [[စိုင်ပြင်မြို့|စိုင်ပြင်]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]|| ၁၆ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2026-05-18 |title=စိုင်ပြင်ရဲစခန်းကို‌ သိမ်းယူခဲ့ကြောင်း PDF ရွှေဘိုခရိုင်စစ်ဌာန ကြေညာ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/05/18/depayin-pdf-attack-police-station/ |access-date=2026-05-24 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[စိုင်ပြင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ရှမ်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[နမ့်ခမ်းမြို့|နမ့်ခမ်း]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ့်ခမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[သိန္နီမြို့|သိန္နီ]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-08 |title=သိန္နီနဲ့ ကွတ်ခိုင်ကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း မြောက်ပိုင်းသုံးဖွဲ့ ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/northern-alliance-theinni-01082024011652.html |access-date=2026-06-02 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[သိန္နီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[နမ့်ဆန်မြို့|နမ့်ဆန်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၅ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ့်ဆန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[မန်တုံမြို့|မန်တုံ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |title=မန်တုံမြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/6587a24f6985670f203dd99e |access-date=2026-06-02 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မန်တုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[နမ္မတူမြို့|နမ္မတူ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၂၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဦး |date=2023-12-28 |title=သိမ်းပိုက်ခံရသည့် နမ္မတူမြို့ကို လေတပ် ဗုံးကြဲ၊ ဒေသခံများ တိမ်းရှောင်နေရ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/47340/ |access-date=2026-06-02 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ္မတူမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ကွမ်းလုံမြို့|ကွမ်းလုံ]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |last=ကျော်လွင်ဦး |date=2023-11-12 |title=ကွမ်းလုံကို အပြီးသတ်သိမ်းလိုက်ပြီလို့ ကိုးကန့်တပ်မတော် (MNDAA) ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/mndaa-kwanlone-attack-11122023111830.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[၂၀၂၃ ကွမ်းလုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[ကွတ်ခိုင်မြို့|ကွတ်ခိုင်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၁၆ မတ် ၂၀၂၆ || [[၂၀၂၄ ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ|၂၀၂၄]]/[[၂၀၂၆ ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ|၂၀၂၆ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] |- | ၈ || [[နောင်ချိုမြို့|နောင်ချို]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၆ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[နောင်ချိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[လောက်ကိုင်မြို့|လောက်ကိုင်]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၄ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[လောက်ကိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |date=2024-08-01 |title=မိုးမိတ်ကို TNLA သိမ်းပိုက် ထိန်းချုပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c4ng11xqdngo |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဇင်ဝင်း |date=2026-01-07 |title=မိုးကုတ်နှင့် မိုးမိတ်တွင် တစ်လကျော်အထိ စစ်ကော်မရှင် အုပ်ချုပ်ရေး မလည်ပတ်နိုင် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/70986/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]]/တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်ရ |- | ၁၁ || [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၃ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |last=ကျော်လွင်ဦး |date=2024-08-03 |title=လားရှိုးတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် သိမ်းခံရမှု စစ်ကောင်စီကို ခြိမ်းခြောက်လာနိုင် |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/larshio-junta-headquarters-mndaa-seized-08032024133609.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၁ ဧပြီ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-05-02 |title=စစ်ကောင်စီ လားရှိုး ရမခမှာ ပြန်အထိုင်ချမှာလား |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cn4wkr977r9o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]]/တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်ရ |- | ၁၂ || [[ကျောက်မဲမြို့|ကျောက်မဲ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=ကျောက်မဲမြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.dvb.no/post/663635 |access-date=2026-05-12 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဇင်ဝင်း |date=2025-10-01 |title=ရှမ်းမြောက်၊ ကျောက်မဲမြို့ကို စစ်တပ်က ပြန်လည်ထိန်းချုပ်ပြီ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/68179/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[ကျောက်မဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၃ || [[သီပေါမြို့|သီပေါ]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]] || ၁၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-10-15 |title=သီပေါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲအတွင်း အရပ်သား ၃၃ ဦး သေဆုံး |url=https://www.rfa.org/burmese/news/hsipaw-battle-resident-dead-10152024113654.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၇ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-10-17 |title=သီပေါကို စစ်တပ် ပြန်ထိန်းချုပ်နိုင်တာ ဘာကြောင့်လဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cew429lp924o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[သီပေါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[ဟိုပန်မြို့|ဟိုပန်]] || [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်(၃)ဖွဲ့]]|| ၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[ဝပြည် သွေးစည်းညီညွတ်ရေး တပ်မတော်|UWSA]]ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |last=Nom |first=Nang Seng |date=2024-01-11 |title=ညီနောင်မဟာမိတ် သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် ဟိုပန် နှင့် ပန်လုံမြို့ကို UWSA ထံပြန်လွှဲပေး |url=https://burmese.shannews.org/archives/39352 |access-date=2026-05-12 |website=သျှမ်းသံတော်ဆင့် |language=en-US}}</ref>|| ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ် ထိန်းချုပ်ခဲ့သောမြို့ |- | ၁၅ || [[ဆီဆိုင်မြို့|ဆီဆိုင်]] || [[ပအိုဝ်းအမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးအဖွဲ့ချုပ်|PNLO/PNLA]]|| ၂၆ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၅ မတ် ၂၀၂၄ || [[ဆီဆိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၆ || [[မဘိမ်းမြို့|မဘိမ်း]] || [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ကို KIA ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့ တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/kia-attacked-seized-mabein-01212024042042.html |access-date=2026-06-05 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || || [[မဘိမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁၇ || [[ချင်းရွှေဟော်မြို့|ချင်းရွှေဟော်]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဦး |first=မြတ်ပန်း |date=2023-10-27 |title=တရုတ်-မြန်မာနယ်စပ်ရှိ ချင်းရွှေဟော်မြို့ကို MNDAA သိမ်းယူ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/43988/ |access-date=2026-06-04 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ချင်းရွှေဟော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၈ || [[ဖောင်းဆိုင် (ကချင်)ရွာ၊ မူဆယ်မြို့နယ်|ဖောင်းဆိုင်]]|| [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=Mknnj_La |date=2023-10-30 |title=ဖောင်းဆိုင်မြို့ကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း ညီနောင် ၃ ဖွဲ့ အသိပေး |url=https://www.myitkyinanewsjournal.com/the-3-brotherhood-alliance-announced-that-they-have-captured-hpawngseng/ |access-date=2026-06-04 |website=Myitkyina News Journal |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဖောင်းဆိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၉ || [[မိုင်းလုံမြို့|မိုင်းလုံ]] || — || — || — || — || [[မိုင်းလုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၀ || [[ပန်ဆိုင်းမြို့|ပန်ဆိုင်း]] || — || — || — || — || [[ပန်ဆိုင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၁ || [[မုံးကိုးမြို့|မုံးကိုး]]|| [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၇ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မုံးကိုးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၂ || [[မိုင်းငေါ့မြို့|မိုင်းငေါ့]] || — || — || — || — || [[မိုင်းငေါ့မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၃ || [[မော်ထိုက်မြို့|မော်ထိုက်]] || — || — || — || — || [[မော်ထိုက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၄ || [[မိုးဗြဲ]]|| '''KNDF / KA'''|| ၁၅ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |title=KNPP ၊ KNDF အဖွဲ့များနှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သမားများ ယာယီသိမ်းပိုက်ထားသည့် မိုးဗြဲမြို့အား တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက ပြန်လည်တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်ရရှိ၊ မိုင်းရှင်းလင်းရေးလုပ်ငန်းများနှင့် နယ်မြေလုံခြုံရေးလုပ်ငန်းများ ဆက်လက်ဆောင်ရွက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/71924 |access-date=2026-05-11 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| ၆ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[မိုးဗြဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၅ || [[ကုန်းကြမ်းမြို့နယ်|ကုန်းကြမ်း]]|| — || — || — || — || ကုန်းကြမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ |- | ၂၆ || [[ပန်လုံမြို့|ပန်လုံ]]|| [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်(၃)ဖွဲ့]]|| ၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[ဝပြည် သွေးစည်းညီညွတ်ရေး တပ်မတော်|UWSA]]ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-11 |title=‘ဝ’ ဒေသက ဟိုပန်နဲ့ ပန်လုံကို စစ်ကောင်စီ စွန့်လွှတ်လိုက်ရ |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/wa-hopan-panlong-junta-01112024071704.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ် ထိန်းချုပ်ခဲ့သောမြို့ |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ပေါက်တောမြို့|ပေါက်တော]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=ရောင်နီ |date=2024-01-20 |title=ပေါက်တောမြို့ကို AA သိမ်းလိုက်ပြီဟု ဒေသခံများဆို |url=https://myanmar-now.org/mm/news/48338/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပေါက်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မင်းပြားမြို့|မင်းပြား]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မင်းပြားမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[ကျောက်တော်မြို့|ကျောက်တော်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=admin |date=2024-02-07 |title=ကျောက်တော်မြို့ကို AA သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့ပြီး မြို့ကိုစွန့်ခွာပြေးသည့် စစ်ကောင်စီ၏ Navy ၂ စီး ကိုပါ ပစ်ခတ်နှစ်မြှုပ် |url=https://ayartimes.com/?p=32318 |access-date=2026-05-30 |website=Ayeyarwaddy Times |language=en-US}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကျောက်တော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[မြောက်ဦးမြို့|မြောက်ဦး]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-02-09 |title=ရခိုင် ရှေးဟောင်းမြောက်ဦးမြို့ကို AA ထိန်းချုပ် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-seize-mrauku-02092024002135.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြောက်ဦးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[မြေပုံမြို့|မြေပုံ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြေပုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့|ပုဏ္ဏားကျွန်း]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၄ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[ရမ်းဗြဲမြို့|ရမ်းဗြဲ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၁ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ရမ်းဗြဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[ရသေ့တောင်မြို့|ရသေ့တောင်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၇ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ရသေ့တောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[ဘူးသီးတောင်မြို့|ဘူးသီးတောင်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၈ မေ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဘူးသီးတောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[သံတွဲမြို့|သံတွဲ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=သံတွဲအကျဉ်းထောင်ကိုသိမ်းပိုက်ပြီး မြို့တွင်းကိုပါ AA ထိန်းချုပ် |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/66967b5bb9627d108fab45e9 |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[သံတွဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၁ || [[မောင်တောမြို့|မောင်တော]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-12-11 |title=မောင်တောကို AA သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် စစ်ခေါင်းဆောင်ကို တပ်ထောက်ခံသူတွေ ဝေဖန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/army-supporters-criticized-minaunghlaing-12112024053030.html |access-date=2026-05-16 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မောင်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၂ || [[တောင်ကုတ်မြို့|တောင်ကုတ်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-12-16 |title=တောင်ကုတ်မြို့နယ်ကို သိမ်းပိုက်ပြီး အမ်းနဲ့ ဂွကို AA ထိုးစစ်ဆင် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-attack-ann-and-gwa-12162024021418.html |access-date=2026-05-16 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[တောင်ကုတ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၃ || [[အမ်းမြို့|အမ်း]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၂၀ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲကာလအတွင်း ပျက်စီးသွားသည့် အရပ်သားပြည်သူများ၏ နေအိမ်အဆောက်အအုံများ (ဓာတ်ပုံသတင်း) |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/68650da4bab948d833dca783 |access-date=2026-05-16 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[ဂွမြို့|ဂွ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၂၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-12-29 |title=ဂွမြို့ကလက်ကျန်တပ်ကို အေအေက သိမ်းပြီး ဂွမြို့ကို ထိန်းချုပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c2ex273xrw2o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဂွမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[စဉ့်ကူးမြို့|စဉ့်ကူး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၇ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=နေမင်းနီ |date=2025-12-19 |title=NUG ထိန်းချုပ်ထားသည့် မန္တလေးတိုင်းစဉ့်ကူးမြို့ကို စစ်တပ်ပြန်လည်ထိန်းချုပ် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/70451/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[စဉ့်ကူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[သပိတ်ကျင်းမြို့|သပိတ်ကျင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၂၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2024-08-26 |title=သပိတ်ကျင်းသိမ်းပြီး ကျန်ဗျူဟာမြောက်မြို့များကို ဆက်သိမ်းမည်ဟု NUG ပြော |url=https://myanmar-now.org/mm/news/56993/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-07-24 |title=သပိတ်ကျင်းမြို့ကို လက်လွှတ်ရတာက တော်လှန်ရေးတပ်တွေအတွက်ဘာသဘောဆောင်လဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c98wx8xjp0ro |access-date=2026-05-24 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[သပိတ်ကျင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-07-24 |title=မိုးကုတ်မြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/moegok-tnla-occupied-07242024105207.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၈ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=Now |first=မြတ်ကြီး, နေမင်းနီ, Myanmar |date=2025-12-01 |title=စစ်တပ်ပြန်ဝင်လာတဲ့ မိုးကုတ်မြို့ စစ်ရေးအခြေအနေ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/69644/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်လည်ရရှိ |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၄ || [[တကောင်းမြို့|တကောင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၂ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၂ မတ် ၂၀၂၆ || [[တကောင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကချင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[အင်ဂျန်းယန်မြို့|အင်ဂျန်းယန်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[အင်ဂျင်းယန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မြို့လှမြို့|မြို့လှ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြို့လှမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့|ဒေါ့ဖုန်းယန်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၈ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[လွယ်ဂျယ်မြို့|လွယ်ဂျယ်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၉ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[လွယ်ဂျယ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ဆင်ဘိုမြို့|ဆင်ဘို]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၉ ဧပြီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=မင်းမောင် |date=2024-04-29 |title=လက်ကျန်စစ်စခန်းကို သိမ်းပြီးနောက် ဆင်ဘိုမြို့ကို KIA သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/51682/ |access-date=2026-06-05 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆင်ဘိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့|ဆွမ်ပရာဘွမ်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၅ မေ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၇ || [[ဆဒုံးမြို့|ဆဒုံး]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၁ ဇွန် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆဒုံးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[မိုးမောက်မြို့|မိုးမောက်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မိုးမောက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[ချီဖွေမြို့|ချီဖွေ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ချီဖွေမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[ဆော့လော်မြို့|ဆော့လော်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=မောင်ရွှေဝါ |first=မင်းမောင် |date=2024-10-02 |title=ကချင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ မြို့နှစ်မြို့ကို နှစ်ရက်အတွင်း KIA သိမ်း |url=https://myanmar-now.org/mm/news/58098/ |access-date=2026-06-05 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆော့လော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၁ || [[ပန်ဝါမြို့|ပန်ဝါ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပန်ဝါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၂ || [[ဖီမောရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ဖိမော်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=ခလရ ၂၉၈ အပါအဝင် ဖီမော်မြို့ကို KIA နှင့် ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့က သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.dvb.no/post/676090 |access-date=2026-06-17 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဖိမော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] (နယ်စပ်မြို့) |- | ၁၃ || [[ကန်ပိုက်တီမြို့|ကံပိုင်တည်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကံပိုင်တည်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[မံစီမြို့|မံစီ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၅ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မံစီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁ || [[မုန်းမြို့|မုန်း]] || KNU ပူးပေါင်းတပ်<ref>{{Cite web |last=ဧရာဝတီ |date=2023-12-04 |title=မုန်းမြို့အား KNU ပူးပေါင်းတပ် သိမ်း |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2023/12/04/377138.html |access-date=2026-05-11 |website=ဧရာဝတီ |language=en-US}}</ref>|| ၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |title=မုန်းမြို့တွင် KNLA နှင့် PDF များ ခေတ္တဝင်ရောက်နေရာယူထားသည့် နယ်မြေခံတပ်ရင်းအား တပ်မတော် စစ်ကြောင်းများက ပြန်လည်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့ကာ မြို့အတွင်း လုံခြုံရေးလုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်နေဟု နစက ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/285077 |access-date=2026-05-11 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref>|| ခမရ ၅၉၉၊ ခမရ ၅၉ဝ ကျရှုံးခြင်း<ref>{{Cite web |date=2023-12-04 |title=မုန်းမြို့က စစ်ကောင်စီစခန်းအားလုံးကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း KNU ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/knu-seize-junta-base-12042023084129.html |access-date=2026-05-11 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကရင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ဖာပွန်မြို့|ဖာပွန်]] || — || — || — || — || — |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၂ || [[လေးကေ့ကော်မြို့|လေးကေ့ကော်]] || — || — || — || — || — |- | ၃ || [[ကျိုက်ဒုံမြို့|ကျိုက်ဒုံ]] || — || — || — || — || — |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကယားပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[မယ်စဲ့မြို့|မယ်စဲ့]] || ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |date=2023-06-24 |title=မယ်စဲ့မြို့နယ်ရှိ စစ်ကောင်စီစခန်းအားလုံး ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု သိမ်းယူ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/38487/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US |archive-date=3 July 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230703042353/https://myanmar-now.org/mm/news/38487/ |url-status=dead }}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မယ်စဲ့မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] <ref>{{Cite web |last=အောင်အောင် |date=2024-03-28 |title=မယ်စဲ့မြို့ကို တပ်ပေါင်းစု ဘယ်လို သိမ်းခဲ့သလဲ |url=https://burmese.voanews.com/a/7547103.html |access-date=2026-05-12 |language=my}}</ref> |- | ၂ || [[ဒီးမော့ဆိုမြို့|ဒီးမော့ဆို]]|| ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၅ || [[ဒီးမော့ဆိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[ဖားဆောင်းမြို့|ဖားဆောင်း]]|| ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက KNPP ၊ KNDF အဖွဲ့များနှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက် သောင်းကျန်းသူများ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် ဖားဆောင်းမြို့အား ပြန်လည်တိုက်ခိုက် ထိန်းချုပ် |url=http://www.moi.gov.mm/news/80114 |access-date=2026-06-18 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref>|| [[ဖားဆောင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[ရှားတောမြို့|ရှားတော]] || ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || ၁၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=LuduNwayOo |date=2024-02-14 |title=ရှားတောမြို့ကို ကရင်နီ ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/02/14/89418/ |access-date=2026-05-12 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ပူးပေါင်းစစ်ဆင်ရေး |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၃ || [[နန်းမယ်ခုံမြို့|နန်းမယ်ခုံ]] || [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |date=2023-11-12 |title=နိုဝင်ဘာ ၁၂ ရက်ထိပ်တန်းသတင်းများ - |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/crgpwzjrgz9o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[၁၁၁၁ စစ်ဆင်ရေး]] |- | ၄ || [[ရွာသစ်မြို့၊ ဘောလခဲခရိုင်|ရွာသစ်]]|| [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၂၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ၁၂ မိုင်ကုန်း စစ်စခန်း သိမ်းပိုက်<ref>{{Cite web |last=Agency |first=Yangon Khit Thit News |date=2024-01-28 |title=လွိုင်ကော်၊ ဒီးမော့ဆို၊ ရှားတော၊ ဘောလခဲ၊ မိုးဗြဲ၊ ဖယ်ခုံရှိ စစ်ကောင်စီတပ်စခန်းများကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်၊ ရွာသစ်မြို့၊ မော်ချီးမြို့နှင့်မယ်စဲ့မြို့နယ်တို့ကို တော်လှန်ရေးတပ်များက အပြီးသတ်ထိန်းချုပ်ရရှိ |url=https://yktnews.com/2024/01/142323/ |access-date=2026-05-11 |website=Khit Thit Media |language=en-US}}</ref> |- | ၅ || [[မော်ချီးမြို့|မော်ချီး]] || [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၂၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်စခန်းများဆုတ်ခွာသွားခြင်း<ref>{{Cite web |title=အဖိုးတန်သတ္တုများထွက်ရှိသော မော်ချီးမြို့ကို ကရင်နီတော်လှန်ရေးတပ် သိမ်းပိုက် |url=https://www.bnionline.net/mm/news-103096 |access-date=2026-05-11 |website=နိုင်ငံတကာမြန်မာ့သတင်း |language=my}}</ref> |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁ || [[မောတောင်မြို့|မောတောင်]] || [[ကရင် အမျိုးသား အစည်းအရုံး|KNU]] ပူးပေါင်းတပ် || ၁၄ နိုဝင်ဘာ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ မေ ၂၀၂၆ || [[မောတောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | တရုတ်ဖိအားနှင့် စစ်ရေးအခြေအနေကြောင့် နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မြို့များ (၂၀၂၅–၂၀၂၆) |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | နောက်ဆုံးရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- | ၁ || [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-07-24 |title=မိုးကုတ်မြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/moegok-tnla-occupied-07242024105207.html |access-date=2026-06-18 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |- | ၂ || [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| - || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |- | ၃ || [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| - || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |} == ကိုးကား == <references /> [[Category:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်တွင်းပဋိပက္ခများ| ]] [[Category:မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] nquy7a0er56r0sqj8vz7iclexg0wj5h 1039336 1039333 2026-06-18T06:24:59Z Zawzawaungthwin 100038 စာလုံးပေါင်း ပြင်ဆင် 1039336 wikitext text/x-wiki {{Under construction}} '''မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ''' သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|စစ်အာဏာသိမ်းပြီး]]နောက်ပိုင်း ဖြစ်ပွားလာသည့် [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ်]]အတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများမှ [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ|စစ်ကောင်စီ]] သို့မဟုတ် [[နိုင်ငံတော်လုံခြုံရေးနှင့် အေးချမ်းသာယာရေးကော်မရှင်|စစ်ကော်မရှင်]] ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် စစ်ရေးယန္တရားများကို အလုံးစုံဖယ်ရှား၍ မြို့များအား သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ခဲ့သည့် ဖြစ်စဉ်များ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2025-01-06 |title=မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲတွေ ဖော်ဆောင်မယ်လို့ မန္တလေး PDF ပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c24ne55vg4ro |access-date=2026-05-05 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ဤစာရင်းတွင် ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီးအသီးသီးရှိ မြို့ (Town) နှင့် မြို့နယ်ခွဲ (Sub-township) အဆင့် အခြေချနေထိုင်ရာဒေသများကို မည်သည့်အဖွဲ့အစည်းက မည်သည့်အချိန်တွင် သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်ဟူသော အချက်အလက်များကို နှစ်အလိုက် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ ထိုမှတ်တမ်းတွင် တပ်မတော် က ပြန်လည်သိမ်းယူခဲ့မှုများလည်း ပါဝင်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းတွင် စတင်ခဲ့သည့် [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]] နှင့် နောက်ဆက်တွဲ စစ်ဆင်ရေးများကြောင့် မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများသည် အရှိန်အဟုန် မြင့်တက်လာခဲ့ပြီး တော်လှန်ရေးအင်အားစုများဘက်မှ မြို့ပေါင်း ၉၀ ကျော်အား သိမ်းပိုက်နိုင်သည်အထိ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး အရှေ့မြောက်က အုပ်စိုးသူအပြောင်းအလဲ |url=https://bbc.com/burmese/extra/av0hcunujm/1027operation |access-date=2026-05-05 |website=BBC News မြန်မာ}}</ref> လက်ရှိတွင် အချို့သောမြို့များကို တပ်မတော်ဘက်က ပြန်လည်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့သည့် ဖြစ်စဉ်များအပြင် တရုတ်နိုင်ငံ၏ ဖိအားကြောင့် တော်လှန်ရေးအင်အားစုများ လက်လွှတ်ခဲ့ရသည့် အခြေအနေများနှင့်အတူ တော်လှန်ရေးအင်အားစုအချင်းချင်း ထိပ်တိုက်ရင်ဆိုင်မှုများကြောင့် မြို့အုပ်ချုပ်သူ အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့မှုများလည်း ရှိနေသည်။<ref>{{Cite web |title=ချင်းပြည် ဖလမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲအတွင်း တိုက်ပွဲကြီး/ တိုက်ပွဲငယ်၁၀၉ကြိမ်ဖြစ်ပွားခဲ့ဟုဆို |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/69ed79cfb4daf4566223b764 |access-date=2026-05-05 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> == တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် မြို့များ == ၂၀၂၁ ခုနှစ် မြန်မာနိုင်ငံ စစ်အာဏာသိမ်းပြီးနောက်ပိုင်း ပေါ်ပေါက်လာသော နွေဦးတော်လှန်ရေးနှင့်အတူ ဒေသကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့များသည် တူမီးသေနတ်များဖြင့် တော်လှန်ရေးကို စတင်ခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း ဖြစ်ပွားခဲ့သော ဒေသခံပြည်သူများနှင့် စစ်ကောင်စီတပ်တို့၏ '''ကမ်းပါးနီတိုက်ပွဲ'''သည် နွေဦးတော်လှန်ရေး၏ အဦးအစ တိုက်ပွဲတစ်ခုအဖြစ် ထင်ရှားခဲ့သည်။ ထိုမတိုင်မီကပင် အင်အားကြီး တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အချို့နှင့် စစ်တပ်တို့အကြား ထိတွေ့တိုက်ပွဲအချို့ ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့နောက်ပိုင်းတွင် ဒေသကာကွယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့အစည်းများ (EAOs) နှင့် ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (PDF) များသည် စစ်ကောင်စီ၏ အုပ်ချုပ်ရေးယန္တရားကို အဆုံးသတ်နိုင်ရန် မြို့ပြသိမ်းပိုက်မှု စစ်ဆင်ရေးများကို အရှိန်အဟုန်မြှင့် ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ ၂၄ ရက်နေ့တွင် ချင်းဒေသကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့ (CDF) သည် ချင်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ စစ်တပ်စွန့်ခွာသွားသော '''မကွီးအိမ်နူးမြို့'''ကို စတင်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ တော်လှန်ရေး၏ အရှိန်အဟုန်သည် တဖြည်းဖြည်း မြင့်တက်လာခဲ့ပြီး အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ (NUG) က ၂၀၂၁ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် ခုခံတွန်းလှန်စစ် (D-Day) ကို ကြေညာကာ စစ်ဆင်ရေးများ ဖော်ဆောင်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့၏ '''၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး''' (၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ) သည် မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများအတွက် အားအကောင်းဆုံး အချိုးအကွေ့တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့ပြီး မြန်မာနိုင်ငံတစ်ဝန်းရှိ ဗျူဟာမြောက်မြို့ပေါင်းများစွာကို တော်လှန်ရေးအင်အားစုများက အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့သည်။မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများ၏ မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများသည် ၂၀၂၃ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းမှစတင်၍ အရှိန်အဟုန် မြင့်တက်လာခဲ့ရာ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မေလအထိ စုစုပေါင်း မြို့နှင့် မြို့နယ်ခွဲပေါင်း ၉၈ မြို့ထက်မနည်းကို တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အစည်းများက အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ထားနိုင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ သိမ်းပိုက်ရရှိမှုများတွင် ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်း၊ ရခိုင်ပြည်နယ်၊ ကချင်ပြည်နယ်နှင့် ချင်းပြည်နယ်တို့ရှိ ဗျူဟာမြောက် မြို့ကြီးများအပြင် နယ်စပ်ကုန်သွယ်ရေးမြို့များလည်း ပါဝင်သည်။ {| class="wikitable" style="width: 70%; margin: auto; font-size: 88%; border-collapse: collapse; line-height: 1.6em;" |+ style="font-weight: bold; padding: 10px;" | တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် မြို့များစာရင်းအနှစ်ချုပ် |- style="background: #f2f2f2; text-align: center;" ! style="width: 8%; border: 1px solid #ccc;" | စဉ် ! style="width: 27%; border: 1px solid #ccc;" | အဖွဲ့အစည်း ! style="width: 65%; border: 1px solid #ccc;" | သိမ်းပိုက်ရရှိသည့် မြို့များ |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၁။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''ချင်းတော်လှန်ရေးတပ်ဖွဲ့များ''' | style="padding: 5px;" | [[မကွီအိမ်နူးမြို့|မကွီးအိမ်နူး]] {{•}} [[နှာဟရိန်မြို့|နှာဟရိန်]] {{•}} [[ဆူရ်ခွားမြို့|ဆူရ်ခွား]] {{•}} [[ဝေဘူလမြို့|ဝေဘူလ]] {{•}} [[ရိဒ်ခေါဒါရ်မြို့|ရိဒ်ခေါဒါရ်]] {{•}} [[လိုင်လင်းပီမြို့|လိုင်လင်းပီ]] {{•}} [[ရေဇွာမြို့|ရေဇွာ]] {{•}} [[ကျင်ဒွေးမြို့|ကျင်ဒွေး]] {{•}} [[ကျီခါးမြို့|ကျီခါး]] {{•}} [[တွန်းဇံမြို့|တွန်းဇံ]] {{•}} [[မတူပီမြို့|မတူပီ]] {{•}} [[မင်းတပ်မြို့|မင်းတပ်]] {{•}} [[ကန်ပက်လက်မြို့|ကန်ပက်လက်]] • [[ဖလမ်းမြို့|ဖလမ်း]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၂။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' | style="padding: 5px;" | [[ပလက်ဝမြို့|ပလက်ဝ]] {{•}} [[ဆမီးမြို့|ဆမီး]] {{•}} [[ဂွမြို့|ဂွ]] • [[တပ်တောင်မြို့|တပ်တောင်]] {{•}} [[အမ်းမြို့|အမ်း]] {{•}} [[မြင်းလွှတ်မြို့|မြင်းလွှတ်]] {{•}} [[ခမောင်းဆိပ်မြို့|ခမောင်းဆိပ်]] {{•}} [[မောင်တောမြို့|မောင်တော]] {{•}} [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့|ပုဏ္ဏားကျွန်း]] {{•}} [[မအီမြို့|မအီ]] {{•}} [[ကျိန္တလီမြို့|ကျိန္တလီ]] {{•}} [[သံတွဲမြို့|သံတွဲ]] {{•}} [[ကမ်းထောင့်ကြီးမြို့|ကမ်းထောင့်ကြီး]] {{•}} [[မြေပုံမြို့|မြေပုံ]] {{•}} [[ဘူးသီးတောင်မြို့|ဘူးသီးတောင်]] {{•}} [[မြောက်ဦးမြို့|မြောက်ဦး]] {{•}} [[စနဲမြို့|စနဲ]] • [[ကျောက်တော်မြို့|ကျောက်တော်]] {{•}} [[ရသေ့တောင်မြို့|ရသေ့တောင်]] {{•}} [[ရမ်းဗြဲမြို့|ရမ်းဗြဲ]] {{•}} [[တောင်ပြိုလက်ဝဲမြို့|တောင်ပြို]] {{•}} [[မင်းပြားမြို့|မင်းပြား]] {{•}} [[ပေါက်တောမြို့|ပေါက်တော]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၃။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''PDF / ပကဖ''' | style="padding: 5px;" | [[ခမ်းပါတ်မြို့|ခမ်းပတ်]] {{•}} [[ရွှေပြည်အေးမြို့|ရွှေပြည်အေး]] {{•}} [[မော်လူးမြို့|မော်လူး]] {{•}} မြို့သစ် {{•}} [[စဉ့်ကူးမြို့|စဉ့်ကူး]] {{•}} [[တကောင်းမြို့|တကောင်း]] {{•}} [[သပိတ်ကျင်းမြို့|သပိတ်ကျင်း]] {{•}} [[ပင်လယ်ဘူးမြို့နယ်|ပင်လယ်ဘူး]] {{•}} [[ဒီပဲယင်းမြို့|ဒီပဲယင်း]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၄။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KIA''' | style="padding: 5px;" | [[အင်ဂျန်းယန်မြို့|အင်ဂျန်းယန်]] {{•}} [[လွယ်ဂျယ်မြို့|လွယ်ဂျယ်]] {{•}} [[ဆော့လော်မြို့|ဆော့လော်]] {{•}} [[မဘိမ်းမြို့|မဘိမ်း]] {{•}} [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့|ဆွမ်ပရာဘွမ်]] {{•}} [[ပန်ဝါမြို့|ပန်ဝါ]] {{•}} [[ဆင်ဘိုမြို့|ဆင်ဘို]] {{•}} [[ဆဒုံးမြို့|ဆဒုံး]] {{•}} ဖိမော် {{•}} [[မြို့လှမြို့|မြို့လှ]] {{•}} [[မိုးမောက်မြို့|မိုးမောက်]] {{•}} [[ကန်ပိုက်တီမြို့|ကန်ပိုက်တီ]] {{•}} [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့|ဒေါ့ဖုန်းယန်]] {{•}} [[ချီဖွေမြို့|ချီဖွေ]] {{•}} [[မံစီမြို့|မံစီ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၅။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''MNDAA / [[TNLA]]''' | style="padding: 5px;" | [[ချင်းရွှေဟော်မြို့|ချင်းရွှေဟော်]] {{•}} [[နမ့်ခမ်းမြို့|နမ့်ခမ်း]] {{•}} [[ဖောင်းဆိုင် (ကချင်)ရွာ၊ မူဆယ်မြို့နယ်|ဖောင်းဆိုင်]] {{•}} [[မိုင်းလုံမြို့|မိုင်းလုံ]] {{•}} [[သိန္နီမြို့|သိန္နီ]] {{•}} [[နမ့်ဆန်မြို့|နမ့်ဆန်]] • [[ပန်ဆိုင်းမြို့|ပန်ဆိုင်း]] {{•}} [[မန်တုံမြို့|မန်တုံ]] {{•}} [[မုန်းကိုးမြို့|မုန်းကိုး]] {{•}} [[နမ္မတူမြို့|နမ္မတူ]] {{•}} [[ကွမ်းလုံမြို့|ကွမ်းလုံ]] {{•}} [[မိုင်းငေါ့မြို့|မိုင်းငေါ့]] {{•}} [[မော်ထိုက်မြို့|မော်ထိုက်]] {{•}} [[ကွတ်ခိုင်မြို့|ကွတ်ခိုင်]] {{•}} [[ကုန်းကြမ်းမြို့|ကုန်ကြမ်း]] {{•}} [[နောင်ချိုမြို့|နောင်ချို]] {{•}} [[လောက်ကိုင်မြို့|လောက်ကိုင်]] {{•}} [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] {{•}} [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] {{•}} [[ကျောက်မဲမြို့|ကျောက်မဲ]] {{•}} [[သီပေါမြို့|သီပေါ]] {{•}} [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၆။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''UWSA''' | style="padding: 5px;" | [[ဟိုပန်မြို့|ဟိုပန်]] {{•}} [[ပန်လုံမြို့|ပန်လုံ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၇။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KNU / [[KNLA]]''' | style="padding: 5px;" | [[မုန်းမြို့|မုန်း]] {{•}} [[လေးကေ့ကော်မြို့|လေးကေ့ကော်]] {{•}} [[ဖာပွန်မြို့|ဖာပွန်]] {{•}} [[ကျိုက်ဒုံမြို့|ကျိုက်ဒုံ]] |- | style="text-align: center; vertical-align: top;" | ၈။ | style="padding: 5px; vertical-align: top; background: #fafafa;" | '''KNDF / KA''' | style="padding: 5px;" | [[မယ်စဲ့မြို့|မယ်စဲ့]] {{•}} [[မိုးဗြဲ]] {{•}} [[နန်းမယ်ခုံမြို့|နန်းမယ်ခုံ]] {{•}} [[ရွာသစ်မြို့၊ ဘောလခဲခရိုင်|ရွာသစ်]] {{•}} [[မော်ချီးမြို့|မော်ချီး]] {{•}} [[ရှားတောမြို့|ရှားတော]] • [[ဆီဆိုင်မြို့|ဆီဆိုင်]] |} == နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် အခြေအနေများ == [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ)]] ကာလအတွင်း တော်လှန်ရေးအင်အားစုများမှ မြို့ပေါင်းများစွာကို သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ၂၀၂၄ ခုနှစ်နှောင်းပိုင်းနှင့် ၂၀၂၅ ခုနှစ်အတွင်း၌ စစ်ရေး၊ နိုင်ငံရေးနှင့် ဒေသတွင်းပထဝီနိုင်ငံရေး ဖိအားများကြောင့် နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲများ ပြန်လည်ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်းရှိ တိုင်းရင်းသားလက်နက်ကိုင်အဖွဲ့များအပေါ် [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]]၏ နယ်စပ်ဂိတ်များပိတ်ဆို့ခြင်းနှင့် ကုန်သွယ်မှုဖြတ်တောက်ခြင်း စသည့် သံတမန်ရေးရာဖိအားများကြောင့် သိမ်းပိုက်ထားသော မြို့အချို့မှ ပြန်လည်ဆုတ်ခွာပေးခဲ့ရခြင်း သို့မဟုတ် အခြားသော ကြားနေအဖွဲ့အစည်းများထံသို့ လွှဲပြောင်းပေးခဲ့ရခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[တပ်မတော်]] ၏ ပြန်လည်ထိုးစစ်ဆင်မှုများ၊ လေကြောင်းမှ အပြင်းအထန် ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှုများနှင့် တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အစည်း အချင်းချင်းကြား နယ်မြေစိုးမိုးမှု အငြင်းပွားမှုများကြောင့်လည်း သိမ်းပိုက်ရရှိထားသည့် မြို့အချို့၏ အခြေအနေမှာ မတည်မငြိမ်ဖြစ်ခြင်း သို့မဟုတ် လက်လွှတ်ခဲ့ရခြင်းများ ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=ludunwayoo |date=2024-07-21 |title=တော်လှန်​ရေးတပ်​တွေ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ထားတဲ့ မြို့​ပေါင်း ၇၂ မြို့ |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/07/21/93521/ |access-date=2026-05-15 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref> {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ချင်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[တွန်းဇံမြို့|တွန်းဇံ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၂၃ မေ ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၀ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက CDF ၊ CNA နှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူပူးပေါင်းအဖွဲ့များ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် တွန်းဇံမြို့အား ပြန်လည်သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်၊ တပ်မတော်မှ ချင်းပြည်နယ် မြောက်ပိုင်းဒေသတစ်ခုလုံးအား အလုံးစုံထိန်းချုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/82986 |access-date=2026-05-24 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| [[တွန်းဇံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မတူပီမြို့|မတူပီ]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၉ ဇွန် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မတူပီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[မင်းတပ်မြို့|မင်းတပ်]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မင်းတပ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[ကန်ပက်လက်မြို့|ကန်ပက်လက်]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကန်ပက်လက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ပလက်ဝမြို့|ပလက်ဝ]] || [[အာရက္ခတပ်တော်]]|| ၁၄ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပလက်ဝမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ဖလမ်းမြို့|ဖလမ်း]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၆ မေ ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၅ ဧပြီ ၂၀၂၆ || [[ဖလမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၇ || [[မကွီအိမ်နူးမြို့|မကွီးအိမ်နူး]]|| မင်းတပ် ([[ချင်းဒေသကာကွယ်ရေးတပ်မတော်|CDF]]) || ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၁ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မကွီးအိမ်နူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[နှာဟရိန်မြို့|နှာဟရိန်]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်တပ်စွန့်ခွာ |- | ၉ || [[ဆူရ်ခွားမြို့|ဆူရ်ခွား]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်တပ်စွန့်ခွာ |- | ၁၀ || [[ဝေဘူလမြို့|ဝေဘူလ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || — || စစ်တပ်၏ထိုးစစ် |- | ၁၁ || [[ရိဒ်ခေါဒါရ်မြို့|ရိဒ်ခေါဒါရ်]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၁၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || [[ချင်းအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|CNDF]] ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[ချင်းလက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း တိုက်ပွဲ (၂၀၂၄-၂၀၂၅)|ချင်းလက်နက်ကိုင်များ၏တိုက်ခိုက်မှု]] |- | ၁၂ || [[လိုင်လင်းပီမြို့|လိုင်လင်းပီ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်ဦး|CNF]],ချင်းပူးပေါင်းအဖွဲ့ || ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || တပ်စခန်းများသိမ်းပိုက်ခြင်း |- | ၁၃ || [[ရေဇွာမြို့|ရေဇွာ]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၂၉ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || တပ်စခန်းများသိမ်းပိုက်ခြင်း |- | ၁၄ || [[ကျင်ဒွေးမြို့|ကျင်ဒွေး]] || [[ချင်းညီနောင်]]|| ၂၉ ဧပြီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကျင်ဒွေးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၅ || [[ကျီခါးမြို့|ကျီခါး]] || [[ချင်းအမျိုးသားတပ်မတော်|CNA]],[[ချင်းပြည်ကောင်စီ]]|| ၁၉ မေ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2024-05-20 |title=မြန်မာ-အိန္ဒိယနယ်စပ်မြို့ ကျီခါးကို ချင်းတော်လှန်ရေးအင်အားစု သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/52523/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၁ မေ ၂၀၂၅ || [[ကျီခါးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၆ || [[ဆမီးမြို့|ဆမီး]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]'''|| ၁၄ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=AA ထိန်းချုပ်ထားတဲ့ ဆမီးမြို့ ထွေအုပ်ရုံး ဗုံးကြဲခံရပြီး မီးလောင်ပျက်စီး |url=https://cjplatform.com/14-1-2025-7/ |access-date=2026-05-24 |website=cjplatform.com |language=en}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]'''၏ ထိုးစစ် |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ပင်လယ်ဘူးမြို့|ပင်လယ်ဘူး]]|| — || — || — || — || — |- | ၂ || [[ဒီပဲယင်းမြို့|ဒီပဲယင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-08-19 |title=ဒီပဲယင်းမြို့သိမ်းပြီးနောက် ဘာ့ကြောင့် ဆုတ်ခွာခဲ့ရတာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy5rnkj81po |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-08-19 |title=ဒီပဲယင်းမြို့ကနေ တော်လှန်ရေးတပ်တွေ ဘာကြောင့် ပြန်ဆုတ်ရသလဲ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/56607/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[ဒီပဲယင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[အင်းတော်မြို့နယ်|အင်းတော်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၇ ဧပြီ ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၃၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ || [[အင်းတော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၄ || [[ခမ်းပါတ်မြို့|ခမ်းပါတ်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]|| ၇ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |date=2023-11-07 |title=မြန်မာ - အိန္ဒိယနယ်စပ်က ခမ်းပတ်မြို့ကို NUG ထပ်မံသိမ်းပိုက် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c1r2j3vwl4no |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — ||[[ခမ်းပါတ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ရွှေပြည်အေးမြို့|ရွှေပြည်အေး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၃/၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ<ref>{{Cite web |date=2023-02-05 |title=ရွှေပြည်အေးမြို့မှာ ဘာတွေဖြစ်ခဲ့တာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c10eg387ql8o |access-date=2026-05-27 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| — || [[ရွှေပြည်အေးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[မော်လူးမြို့|မော်လူး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]/[[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၃ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=သူရမောင် |date=2023-12-13 |title=စစ်ကိုင်းတိုင်း မော်လူးမြို့ကို တော်လှန်ရေးအဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/46806/ |access-date=2026-05-27 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက KIA နှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သောင်းကျန်းသူများ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် မော်လူးမြို့အား ပြန်လည်ထိန်းချုပ် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/82444 |access-date=2026-05-27 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| [[မော်လူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[မြို့သစ်မြို့၊ တမူးခရိုင်|မြို့သစ်]]|| [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၁ မေ ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-05-11 |title=စစ်ကိုင်းတိုင်း မြို့သစ်မြို့ကို NUG နဲ့ မဟာမိတ်အဖွဲ့တွေ ပူးပေါင်းသိမ်းယူ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/myothit-nug-occupied-05112024130843.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ခလရ- ၂၂၈၊ SNA တပ်မဟာ-၈၉၁ (တပ်ရင်း-၃)၊ကသည်းတပ်ဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |- | ၈ || [[စိုင်ပြင်မြို့|စိုင်ပြင်]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]]|| ၁၆ မေ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2026-05-18 |title=စိုင်ပြင်ရဲစခန်းကို‌ သိမ်းယူခဲ့ကြောင်း PDF ရွှေဘိုခရိုင်စစ်ဌာန ကြေညာ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/2026/05/18/depayin-pdf-attack-police-station/ |access-date=2026-05-24 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[စိုင်ပြင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ရှမ်းပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[နမ့်ခမ်းမြို့|နမ့်ခမ်း]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ့်ခမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[သိန္နီမြို့|သိန္နီ]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-08 |title=သိန္နီနဲ့ ကွတ်ခိုင်ကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း မြောက်ပိုင်းသုံးဖွဲ့ ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/northern-alliance-theinni-01082024011652.html |access-date=2026-06-02 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[သိန္နီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[နမ့်ဆန်မြို့|နမ့်ဆန်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၅ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ့်ဆန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[မန်တုံမြို့|မန်တုံ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၂၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |title=မန်တုံမြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/6587a24f6985670f203dd99e |access-date=2026-06-02 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မန်တုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[နမ္မတူမြို့|နမ္မတူ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၂၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဦး |date=2023-12-28 |title=သိမ်းပိုက်ခံရသည့် နမ္မတူမြို့ကို လေတပ် ဗုံးကြဲ၊ ဒေသခံများ တိမ်းရှောင်နေရ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/47340/ |access-date=2026-06-02 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[နမ္မတူမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ကွမ်းလုံမြို့|ကွမ်းလုံ]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |last=ကျော်လွင်ဦး |date=2023-11-12 |title=ကွမ်းလုံကို အပြီးသတ်သိမ်းလိုက်ပြီလို့ ကိုးကန့်တပ်မတော် (MNDAA) ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/mndaa-kwanlone-attack-11122023111830.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[၂၀၂၃ ကွမ်းလုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[ကွတ်ခိုင်မြို့|ကွတ်ခိုင်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၁၆ မတ် ၂၀၂၆ || [[၂၀၂၄ ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ|၂၀၂၄]]/[[၂၀၂၆ ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ|၂၀၂၆ကွတ်ခိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] |- | ၈ || [[နောင်ချိုမြို့|နောင်ချို]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၁၀ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၆ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[နောင်ချိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[လောက်ကိုင်မြို့|လောက်ကိုင်]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၄ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[လောက်ကိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၃၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |date=2024-08-01 |title=မိုးမိတ်ကို TNLA သိမ်းပိုက် ထိန်းချုပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c4ng11xqdngo |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၃၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဇင်ဝင်း |date=2026-01-07 |title=မိုးကုတ်နှင့် မိုးမိတ်တွင် တစ်လကျော်အထိ စစ်ကော်မရှင် အုပ်ချုပ်ရေး မလည်ပတ်နိုင် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/70986/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]]/တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်ရ |- | ၁၁ || [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၃ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ <ref>{{Cite web |last=ကျော်လွင်ဦး |date=2024-08-03 |title=လားရှိုးတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် သိမ်းခံရမှု စစ်ကောင်စီကို ခြိမ်းခြောက်လာနိုင် |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/larshio-junta-headquarters-mndaa-seized-08032024133609.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၁ ဧပြီ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-05-02 |title=စစ်ကောင်စီ လားရှိုး ရမခမှာ ပြန်အထိုင်ချမှာလား |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cn4wkr977r9o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]]/တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်ရ |- | ၁၂ || [[ကျောက်မဲမြို့|ကျောက်မဲ]] || '''[[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]'''|| ၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=ကျောက်မဲမြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.dvb.no/post/663635 |access-date=2026-05-12 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဇင်ဝင်း |date=2025-10-01 |title=ရှမ်းမြောက်၊ ကျောက်မဲမြို့ကို စစ်တပ်က ပြန်လည်ထိန်းချုပ်ပြီ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/68179/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[ကျောက်မဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၃ || [[သီပေါမြို့|သီပေါ]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]] || ၁၃ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-10-15 |title=သီပေါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲအတွင်း အရပ်သား ၃၃ ဦး သေဆုံး |url=https://www.rfa.org/burmese/news/hsipaw-battle-resident-dead-10152024113654.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၇ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-10-17 |title=သီပေါကို စစ်တပ် ပြန်ထိန်းချုပ်နိုင်တာ ဘာကြောင့်လဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cew429lp924o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[သီပေါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[ဟိုပန်မြို့|ဟိုပန်]] || [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်(၃)ဖွဲ့]]|| ၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[ဝပြည် သွေးစည်းညီညွတ်ရေး တပ်မတော်|UWSA]]ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |last=Nom |first=Nang Seng |date=2024-01-11 |title=ညီနောင်မဟာမိတ် သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် ဟိုပန် နှင့် ပန်လုံမြို့ကို UWSA ထံပြန်လွှဲပေး |url=https://burmese.shannews.org/archives/39352 |access-date=2026-05-12 |website=သျှမ်းသံတော်ဆင့် |language=en-US}}</ref>|| ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ် ထိန်းချုပ်ခဲ့သောမြို့ |- | ၁၅ || [[ဆီဆိုင်မြို့|ဆီဆိုင်]] || [[ပအိုဝ်းအမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးအဖွဲ့ချုပ်|PNLO/PNLA]]|| ၂၆ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၅ မတ် ၂၀၂၄ || [[ဆီဆိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၆ || [[မဘိမ်းမြို့|မဘိမ်း]] || [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ကို KIA ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့ တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/kia-attacked-seized-mabein-01212024042042.html |access-date=2026-06-05 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || || [[မဘိမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁၇ || [[ချင်းရွှေဟော်မြို့|ချင်းရွှေဟော်]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၂၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=ကျော်ဦး |first=မြတ်ပန်း |date=2023-10-27 |title=တရုတ်-မြန်မာနယ်စပ်ရှိ ချင်းရွှေဟော်မြို့ကို MNDAA သိမ်းယူ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/43988/ |access-date=2026-06-04 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ချင်းရွှေဟော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၈ || [[ဖောင်းဆိုင် (ကချင်)ရွာ၊ မူဆယ်မြို့နယ်|ဖောင်းဆိုင်]]|| [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၃၀ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |last=Mknnj_La |date=2023-10-30 |title=ဖောင်းဆိုင်မြို့ကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း ညီနောင် ၃ ဖွဲ့ အသိပေး |url=https://www.myitkyinanewsjournal.com/the-3-brotherhood-alliance-announced-that-they-have-captured-hpawngseng/ |access-date=2026-06-04 |website=Myitkyina News Journal |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဖောင်းဆိုင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၉ || [[မိုင်းလုံမြို့|မိုင်းလုံ]] || — || — || — || — || [[မိုင်းလုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၀ || [[ပန်ဆိုင်းမြို့|ပန်ဆိုင်း]] || — || — || — || — || [[ပန်ဆိုင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၁ || [[မုံးကိုးမြို့|မုံးကိုး]]|| [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| ၇ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မုံးကိုးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၂ || [[မိုင်းငေါ့မြို့|မိုင်းငေါ့]] || — || — || — || — || [[မိုင်းငေါ့မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၃ || [[မော်ထိုက်မြို့|မော်ထိုက်]] || — || — || — || — || [[မော်ထိုက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၄ || [[မိုးဗြဲ]]|| '''KNDF / KA'''|| ၁၅ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |title=KNPP ၊ KNDF အဖွဲ့များနှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက်သမားများ ယာယီသိမ်းပိုက်ထားသည့် မိုးဗြဲမြို့အား တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက ပြန်လည်တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်ရရှိ၊ မိုင်းရှင်းလင်းရေးလုပ်ငန်းများနှင့် နယ်မြေလုံခြုံရေးလုပ်ငန်းများ ဆက်လက်ဆောင်ရွက် {{!}} Ministry Of Information |url=http://www.moi.gov.mm/news/71924 |access-date=2026-05-11 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref>|| ၆ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ || [[မိုးဗြဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂၅ || [[ကုန်းကြမ်းမြို့နယ်|ကုန်းကြမ်း]]|| — || — || — || — || ကုန်းကြမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ |- | ၂၆ || [[ပန်လုံမြို့|ပန်လုံ]]|| [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်(၃)ဖွဲ့]]|| ၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || [[ဝပြည် သွေးစည်းညီညွတ်ရေး တပ်မတော်|UWSA]]ပြန်ထိန်းချုပ်<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-11 |title=‘ဝ’ ဒေသက ဟိုပန်နဲ့ ပန်လုံကို စစ်ကောင်စီ စွန့်လွှတ်လိုက်ရ |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/wa-hopan-panlong-junta-01112024071704.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || စစ်တပ် ထိန်းချုပ်ခဲ့သောမြို့ |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ပေါက်တောမြို့|ပေါက်တော]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=ရောင်နီ |date=2024-01-20 |title=ပေါက်တောမြို့ကို AA သိမ်းလိုက်ပြီဟု ဒေသခံများဆို |url=https://myanmar-now.org/mm/news/48338/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပေါက်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မင်းပြားမြို့|မင်းပြား]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မင်းပြားမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[ကျောက်တော်မြို့|ကျောက်တော်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=admin |date=2024-02-07 |title=ကျောက်တော်မြို့ကို AA သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့ပြီး မြို့ကိုစွန့်ခွာပြေးသည့် စစ်ကောင်စီ၏ Navy ၂ စီး ကိုပါ ပစ်ခတ်နှစ်မြှုပ် |url=https://ayartimes.com/?p=32318 |access-date=2026-05-30 |website=Ayeyarwaddy Times |language=en-US}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကျောက်တော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[မြောက်ဦးမြို့|မြောက်ဦး]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-02-09 |title=ရခိုင် ရှေးဟောင်းမြောက်ဦးမြို့ကို AA ထိန်းချုပ် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-seize-mrauku-02092024002135.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြောက်ဦးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[မြေပုံမြို့|မြေပုံ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြေပုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့|ပုဏ္ဏားကျွန်း]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၄ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[ရမ်းဗြဲမြို့|ရမ်းဗြဲ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၁ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ရမ်းဗြဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[ရသေ့တောင်မြို့|ရသေ့တောင်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၇ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ရသေ့တောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[ဘူးသီးတောင်မြို့|ဘူးသီးတောင်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၈ မေ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဘူးသီးတောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[သံတွဲမြို့|သံတွဲ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=သံတွဲအကျဉ်းထောင်ကိုသိမ်းပိုက်ပြီး မြို့တွင်းကိုပါ AA ထိန်းချုပ် |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/66967b5bb9627d108fab45e9 |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[သံတွဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၁ || [[မောင်တောမြို့|မောင်တော]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-12-11 |title=မောင်တောကို AA သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် စစ်ခေါင်းဆောင်ကို တပ်ထောက်ခံသူတွေ ဝေဖန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/army-supporters-criticized-minaunghlaing-12112024053030.html |access-date=2026-05-16 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မောင်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၂ || [[တောင်ကုတ်မြို့|တောင်ကုတ်]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၁၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-12-16 |title=တောင်ကုတ်မြို့နယ်ကို သိမ်းပိုက်ပြီး အမ်းနဲ့ ဂွကို AA ထိုးစစ်ဆင် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-attack-ann-and-gwa-12162024021418.html |access-date=2026-05-16 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[တောင်ကုတ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၃ || [[အမ်းမြို့|အမ်း]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၂၀ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲကာလအတွင်း ပျက်စီးသွားသည့် အရပ်သားပြည်သူများ၏ နေအိမ်အဆောက်အအုံများ (ဓာတ်ပုံသတင်း) |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/68650da4bab948d833dca783 |access-date=2026-05-16 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[ဂွမြို့|ဂွ]] || '''[[အာရက္ခတပ်တော်|AA]]''' || ၂၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-12-29 |title=ဂွမြို့ကလက်ကျန်တပ်ကို အေအေက သိမ်းပြီး ဂွမြို့ကို ထိန်းချုပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c2ex273xrw2o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဂွမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[စဉ့်ကူးမြို့|စဉ့်ကူး]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၇ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=နေမင်းနီ |date=2025-12-19 |title=NUG ထိန်းချုပ်ထားသည့် မန္တလေးတိုင်းစဉ့်ကူးမြို့ကို စစ်တပ်ပြန်လည်ထိန်းချုပ် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/70451/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| [[စဉ့်ကူးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[သပိတ်ကျင်းမြို့|သပိတ်ကျင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၂၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2024-08-26 |title=သပိတ်ကျင်းသိမ်းပြီး ကျန်ဗျူဟာမြောက်မြို့များကို ဆက်သိမ်းမည်ဟု NUG ပြော |url=https://myanmar-now.org/mm/news/56993/ |access-date=2026-05-24 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၃ ဇူလိုင် ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |date=2025-07-24 |title=သပိတ်ကျင်းမြို့ကို လက်လွှတ်ရတာက တော်လှန်ရေးတပ်တွေအတွက်ဘာသဘောဆောင်လဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c98wx8xjp0ro |access-date=2026-05-24 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| [[သပိတ်ကျင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-07-24 |title=မိုးကုတ်မြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/moegok-tnla-occupied-07242024105207.html |access-date=2026-05-12 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၂၈ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၅<ref>{{Cite web |last=Now |first=မြတ်ကြီး, နေမင်းနီ, Myanmar |date=2025-12-01 |title=စစ်တပ်ပြန်ဝင်လာတဲ့ မိုးကုတ်မြို့ စစ်ရေးအခြေအနေ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/69644/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်လည်ရရှိ |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၄ || [[တကောင်းမြို့|တကောင်း]] || [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေး အစိုးရ|NUG]] || ၁၂ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၂ မတ် ၂၀၂၆ || [[တကောင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကချင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[အင်ဂျန်းယန်မြို့|အင်ဂျန်းယန်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[အင်ဂျင်းယန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မြို့လှမြို့|မြို့လှ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မြို့လှမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့|ဒေါ့ဖုန်းယန်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၈ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဒေါ့ဖုန်းယန်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[လွယ်ဂျယ်မြို့|လွယ်ဂျယ်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၉ မတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[လွယ်ဂျယ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[ဆင်ဘိုမြို့|ဆင်ဘို]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၉ ဧပြီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=မင်းမောင် |date=2024-04-29 |title=လက်ကျန်စစ်စခန်းကို သိမ်းပြီးနောက် ဆင်ဘိုမြို့ကို KIA သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/51682/ |access-date=2026-06-05 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆင်ဘိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့|ဆွမ်ပရာဘွမ်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၅ မေ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆွမ်ပရာဘွမ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၇ || [[ဆဒုံးမြို့|ဆဒုံး]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၁ ဇွန် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆဒုံးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[မိုးမောက်မြို့|မိုးမောက်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၈ ဩဂုတ် ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မိုးမောက်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[ချီဖွေမြို့|ချီဖွေ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ချီဖွေမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[ဆော့လော်မြို့|ဆော့လော်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=မောင်ရွှေဝါ |first=မင်းမောင် |date=2024-10-02 |title=ကချင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ မြို့နှစ်မြို့ကို နှစ်ရက်အတွင်း KIA သိမ်း |url=https://myanmar-now.org/mm/news/58098/ |access-date=2026-06-05 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဆော့လော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၁ || [[ပန်ဝါမြို့|ပန်ဝါ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၁၈ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ပန်ဝါမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၂ || [[ဖီမောရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ဖီမော]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=ခလရ ၂၉၈ အပါအဝင် ဖီမော်မြို့ကို KIA နှင့် ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့က သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.dvb.no/post/676090 |access-date=2026-06-17 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ဖီမောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] (နယ်စပ်မြို့) |- | ၁၃ || [[ကန်ပိုက်တီမြို့|ကံပိုင်တည်]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၂၀ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[ကံပိုင်တည်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[မံစီမြို့|မံစီ]]|| [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|KIA]]|| ၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၅ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မံစီမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁ || [[မုန်းမြို့|မုန်း]] || KNU ပူးပေါင်းတပ်<ref>{{Cite web |last=ဧရာဝတီ |date=2023-12-04 |title=မုန်းမြို့အား KNU ပူးပေါင်းတပ် သိမ်း |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2023/12/04/377138.html |access-date=2026-05-11 |website=ဧရာဝတီ |language=en-US}}</ref>|| ၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၅ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |title=မုန်းမြို့တွင် KNLA နှင့် PDF များ ခေတ္တဝင်ရောက်နေရာယူထားသည့် နယ်မြေခံတပ်ရင်းအား တပ်မတော် စစ်ကြောင်းများက ပြန်လည်သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့ကာ မြို့အတွင်း လုံခြုံရေးလုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်နေဟု နစက ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/285077 |access-date=2026-05-11 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref>|| ခမရ ၅၉၉၊ ခမရ ၅၉ဝ ကျရှုံးခြင်း<ref>{{Cite web |date=2023-12-04 |title=မုန်းမြို့က စစ်ကောင်စီစခန်းအားလုံးကို သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း KNU ထုတ်ပြန် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/knu-seize-junta-base-12042023084129.html |access-date=2026-05-11 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကရင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[ဖာပွန်မြို့|ဖာပွန်]] || — || — || — || — || — |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၂ || [[လေးကေ့ကော်မြို့|လေးကေ့ကော်]] || — || — || — || — || — |- | ၃ || [[ကျိုက်ဒုံမြို့|ကျိုက်ဒုံ]] || — || — || — || — || — |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | ကယားပြည်နယ်အတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်များ |- | ၁ || [[မယ်စဲ့မြို့|မယ်စဲ့]] || ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၃ <ref>{{Cite web |date=2023-06-24 |title=မယ်စဲ့မြို့နယ်ရှိ စစ်ကောင်စီစခန်းအားလုံး ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု သိမ်းယူ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/38487/ |access-date=2026-05-12 |website=Myanmar Now |language=en-US |archive-date=3 July 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230703042353/https://myanmar-now.org/mm/news/38487/ |url-status=dead }}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[မယ်စဲ့မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] <ref>{{Cite web |last=အောင်အောင် |date=2024-03-28 |title=မယ်စဲ့မြို့ကို တပ်ပေါင်းစု ဘယ်လို သိမ်းခဲ့သလဲ |url=https://burmese.voanews.com/a/7547103.html |access-date=2026-05-12 |language=my}}</ref> |- | ၂ || [[ဒီးမော့ဆိုမြို့|ဒီးမော့ဆို]]|| ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ ဩဂုတ် ၂၀၂၅ || [[ဒီးမော့ဆိုမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[ဖားဆောင်းမြို့|ဖားဆောင်း]]|| ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၆<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်စစ်ကြောင်းများက KNPP ၊ KNDF အဖွဲ့များနှင့် PDF အမည်ခံအကြမ်းဖက် သောင်းကျန်းသူများ ယာယီစိုးမိုးထားသည့် ဖားဆောင်းမြို့အား ပြန်လည်တိုက်ခိုက် ထိန်းချုပ် |url=http://www.moi.gov.mm/news/80114 |access-date=2026-06-18 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref>|| [[ဖားဆောင်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[ရှားတောမြို့|ရှားတော]] || ကရင်နီတပ်ပေါင်းစု || ၁၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=LuduNwayOo |date=2024-02-14 |title=ရှားတောမြို့ကို ကရင်နီ ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့ သိမ်းပိုက် |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/02/14/89418/ |access-date=2026-05-12 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ပူးပေါင်းစစ်ဆင်ရေး |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၃ || [[နန်းမယ်ခုံမြို့|နန်းမယ်ခုံ]] || [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃<ref>{{Cite web |date=2023-11-12 |title=နိုဝင်ဘာ ၁၂ ရက်ထိပ်တန်းသတင်းများ - |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/crgpwzjrgz9o |access-date=2026-05-12 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || [[၁၁၁၁ စစ်ဆင်ရေး]] |- | ၄ || [[ရွာသစ်မြို့၊ ဘောလခဲခရိုင်|ရွာသစ်]]|| [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၂၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || ၁၂ မိုင်ကုန်း စစ်စခန်း သိမ်းပိုက်<ref>{{Cite web |last=Agency |first=Yangon Khit Thit News |date=2024-01-28 |title=လွိုင်ကော်၊ ဒီးမော့ဆို၊ ရှားတော၊ ဘောလခဲ၊ မိုးဗြဲ၊ ဖယ်ခုံရှိ စစ်ကောင်စီတပ်စခန်းများကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်၊ ရွာသစ်မြို့၊ မော်ချီးမြို့နှင့်မယ်စဲ့မြို့နယ်တို့ကို တော်လှန်ရေးတပ်များက အပြီးသတ်ထိန်းချုပ်ရရှိ |url=https://yktnews.com/2024/01/142323/ |access-date=2026-05-11 |website=Khit Thit Media |language=en-US}}</ref> |- | ၅ || [[မော်ချီးမြို့|မော်ချီး]] || [[ကရင်နီအမျိုးသားကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့|KNDF]]|| ၂၈ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ || — || စစ်စခန်းများဆုတ်ခွာသွားခြင်း<ref>{{Cite web |title=အဖိုးတန်သတ္တုများထွက်ရှိသော မော်ချီးမြို့ကို ကရင်နီတော်လှန်ရေးတပ် သိမ်းပိုက် |url=https://www.bnionline.net/mm/news-103096 |access-date=2026-05-11 |website=နိုင်ငံတကာမြန်မာ့သတင်း |language=my}}</ref> |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းရှိ တော်လှန်ရေးအဖွဲ့များ ထိန်းချုပ်ရာမြို့များ |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | မူလသိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | ရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- ! colspan="7" style="background: #f8f9fa; text-align: left; color: #3366cc; padding-left: 10px;" | မြို့နယ်ခွဲများ |- | ၁ || [[မောတောင်မြို့|မောတောင်]] || [[ကရင် အမျိုးသား အစည်းအရုံး|KNU]] ပူးပေါင်းတပ် || ၁၄ နိုဝင်ဘာ၂၀၂၅ || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || ၁၉ မေ ၂၀၂၆ || [[မောတောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} {| class="wikitable sortable" style="width: 100%; font-size: 85%; line-height: 1.5em; border: 1px solid #a2a9b1;" |+ style="font-weight: bold; font-size: 110%; padding: 5px;" | တရုတ်ဖိအားနှင့် စစ်ရေးအခြေအနေကြောင့် နယ်မြေထိန်းချုပ်မှု အပြောင်းအလဲဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မြို့များ (၂၀၂၅–၂၀၂၆) |- style="background: #eaecf0; text-align: center; font-weight: bold;" ! style="width: 5%;" | စဉ် !! style="width: 15%;" | မြို့အမည် !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်သည့်အဖွဲ့ !! style="width: 15%;" | သိမ်းပိုက်ရက်စွဲ !! style="width: 15%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width: 12%;" | နောက်ဆုံးရက်စွဲ !! အပြောင်းအလဲဖြစ်ရသည့် အကြောင်းရင်း |- | ၁ || [[မိုးကုတ်မြို့|မိုးကုတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| ၂၄ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-07-24 |title=မိုးကုတ်မြို့ကို TNLA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/moegok-tnla-occupied-07242024105207.html |access-date=2026-06-18 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |- | ၂ || [[မိုးမိတ်မြို့|မိုးမိတ်]] || [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]]|| - || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |- | ၃ || [[လားရှိုးမြို့|လားရှိုး]] || [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]]|| - || စစ်တပ်ပြန်ထိန်းချုပ် || - || တရုတ်ဖိအား |} == ကိုးကား == <references /> [[Category:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ပြည်တွင်းပဋိပက္ခများ| ]] [[Category:မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] k55g97ztx67yaz9jomlwtxcdv0twhvy 3 286554 1039349 1033918 2026-06-18T08:34:08Z EmausBot 5629 [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:WereWolf370]] သို့ ပြန်ညွှန်းနှစ်ထပ်ဖြစ်နေသည်ကို ပြင်နေသည် 1039349 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:WereWolf370]] o54oh6fbdaonmilne3c0qeec78a596b 0 286747 1039203 1038964 2026-06-17T16:08:53Z Mkant00 135890 [[မိုနက် (ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ)]] စာမျက်နှာကို [[မိုနက်]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည် 1038964 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခွဲတစ်ခုဖြစ်သော [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တွင် '''မိုနက် (monad)''' ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သွားသော [[ဖန်တာ]] (functor) ''T'' တစ်ခုနှင့် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unitality) နဂိုမှန်အဆိုများကို ပြည့်စုံစေသော [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (natural transformations) နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\eta, \mu</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော သုံးခုတွဲ (triple) <math>(T, \eta, \mu)</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F, G</math> တို့သည် အချင်းချင်း [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း|တွဲဖက်]] (adjoint) ဖြစ်သော ဖန်တာများ ဖြစ်ကြသည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ တွဲဖက် ဆက်သွယ်ချက်အရ သတ်မှတ်ထားသော <math>\eta, \mu</math> တို့နှင့်အတူ <math>T = G \circ F</math> သည် မိုနက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာပညာရှင် John C. Baez ၏ အဆိုအရ မိုနက်တစ်ခုကို အနည်းဆုံး နည်းလမ်းနှစ်ခုဖြင့် စဉ်းစားနိုင်သည်။ <ref name="Baez2">{{cite web |title=The n-Category Café |url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/07/the_monads_hurt_my_head_but_no.html}}</ref> # မိုနက်တစ်ခုသည် တိကျသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ [[မိုနွိုက်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ယေဘုယျပြုထားသော မိုနွိုက်တစ်ခုအဖြစ် စဉ်းစားရန်မှာ ရှင်းလင်းသည်။ # အက္ခရာသင်္ချာ ကိရိယာများကို လေ့လာရန်အတွက် အထောက်အကူပြု ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် စဉ်းစားနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ) |အုပ်စု]] (group) တစ်ခုကို တိကျသော မိုနက်တစ်ခုဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ မိုနက်များကို တွဲဖက် ဖန်တာ (adjoint functor) စုံတွဲများ သီအိုရီတွင် အသုံးပြုကြပြီး ၎င်းတို့သည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ (partially ordered sets) အပေါ်ရှိ အပိတ်အော်ပရေတာများကို (closure operators) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ကတ်တဂိုရီများ (arbitrary categories) ဆီသို့ ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ပေးသည်။ မိုနက်များသည် ဖန်ရှင်နယ် ပရိုဂရမ်ရေးခြင်း ဘာသာစကားများ (functional programming languages) တွင်လည်း အသုံးဝင်သည်။ == အန်ဒိုဖန်တာများ (Endofunctors) <ref>{{cite web |title=endofunctor in nLab |url=https://ncatlab.org/nlab/show/endofunctor}}</ref> == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) === ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သွားသော ဖန်တာ (functor) ကို အန်ဒိုဖန်တာ (endofunctor) ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ကိုမဆို ပေးထားပါက ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီ (functor category) <math>End(C) = C^C</math> ကို <math>C</math> ၏ အန်ဒိုဖန်တာ ကတ်တဂိုရီ (endofunctor category) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>End(C)</math> ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) သည် အန်ဒိုဖန်တာများ <math>F: C \to C</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် အဆိုပါ အန်ဒိုဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ (natural transformations) ပင်ဖြစ်သည်။ === ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) === ==== မိုနွိုက်ဒယ် တည်ဆောက်ပုံ (Monoidal structure) ==== အန်ဒိုဖန်တာများကို <math>\circ : End(C) \times End(C) \to End(C)</math> ဟူ၍ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဤသို့ ပေါင်းစပ်နိုင်စွမ်းရှိသောကြောင့် အန်ဒိုဖန်တာ ကတ်တဂိုရီသည် တိကျသော မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ (strict monoidal category) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤမိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ၏ ယူနစ်အရာဝတ္ထု (unit object) မှာ <math>C</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သွားသော ထပ်တူရ ဖန်တာ (identity functor) ပင် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>1_C \in End(C)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ==== မိုနွိုက်များ (Monoids) ==== ဤအန်ဒိုဖန်တာ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခုကို <math>C</math> အပေါ်ရှိ မိုနက် (monad) ဟု ခေါ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == မိုနက်တစ်ခုသည် သတ်မှတ်ထားသော အန်ဒိုဖန်တာ အမျိုးအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့သည် တွဲဖက် ဖန်တာ စုံတွဲများ (adjoint functors) ဖြစ်ကြပြီး <math>F</math> သည် <math>G</math> ၏ ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>G \circ F</math> သည် မိုနက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့သည် အချင်းချင်း ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်ကြပါက ၎င်းတို့နှင့် သက်ဆိုင်သော မိုနက်သည် ထပ်တူရ ဖန်တာ (identity functor) ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (adjunctions) သည် ထပ်တူညီမှုများ (equivalences) မဟုတ်ပေ။ ၎င်းတို့သည် မတူညီသော သဘာဝရှိသည့် ကတ်တဂိုရီများကို ဆက်စပ်ပေးသည်။ မိုနက် သီအိုရီသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းများက မည်သည့်အရာကို ထိန်းသိမ်းထားသနည်း ဟူသောအချက်ကို ဖမ်းယူရန် ကြိုးပမ်းမှု၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် အရေးပါလှသည်။ အလားတူပင် <math>F \circ G</math> ကို စဉ်းစားခြင်းမှ လေ့လာသိရှိနိုင်သော သီအိုရီ၏ အခြားတစ်ဝက်ကို ဒွန်တွဲမိုနက်များ (comonads) ၏ ဒွန်တွဲ (dual) သီအိုရီအောက်တွင် ဆွေးနွေးလေ့လာကြသည်။ === ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) === ဤဆောင်းပါးတစ်လျှောက်လုံးတွင် <math>C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>C</math> အပေါ်ရှိ မိုနက် တစ်ခုတွင် အန်ဒိုဖန်တာ <math>T \colon C \to C</math> နှင့်အတူ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\eta \colon 1_{C} \to T</math> နှင့် <math>\mu \colon T^{2} \to T</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>1_{C}</math> သည် <math>C</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုသည် ။ <math>T^{2}</math> သည် <math>C</math> မှ <math>C</math> သို့သွားသော ဖန်တာ <math>T \circ T</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အောက်ပါ အခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေရန် လိုအပ်သည်။ တစ်ခါတစ်ရံ ညီညွတ်မှု အခြေအနေများဟု ခေါ်သည်။ *သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ <math>T^{3} \to T</math> အဖြစ် <math>\mu \circ T\mu = \mu \circ \mu T</math> ။ ဤနေရာတွင် <math>T\mu</math> နှင့် <math>\mu T</math> တို့ကို အလျားလိုက် ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ <math>T \to T</math> အဖြစ် <math>\mu \circ T \eta = \mu \circ \eta T = 1_{T}</math> ။ ဤနေရာတွင် <math>1_{T}</math> သည် <math>T</math> မှ <math>T</math> သို့သွားသော ထပ်တူရ အသွင်ပြောင်းခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အဆိုပါ အခြေအနေများကို အောက်ပါ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများ (commutative diagrams) ကို အသုံးပြု၍ ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။ {|style="margin:1em auto;" | [[Image:Coherence law for the multiplication of a monad.svg|center|150px|class=skin-invert]] | {{spaces|12}} | [[Image:Coherence law for the unit of a monad.svg|center|150px|class=skin-invert]] |} <math>T\mu</math> နှင့် <math>\mu T</math> သင်္ကေတများ၏ ရှင်းလင်းချက်အတွက် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] ဆောင်းပါးကို ကြည့်ပါ။ သို့မဟုတ် ၎င်းသဘောတရားများကို အသုံးမပြုထားသော အောက်ပါ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ကြည့်ပါ။ {|style="margin:1em auto;" | [[Image:Monad multiplication explicit.svg|class=skin-invert]] | {{spaces|12}} | [[Image:Monad unit explicit.svg|class=skin-invert]] |} အကယ်၍ <math>\mu</math> ကို မိုနွိုက်၏ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုအဖြစ် မှတ်ယူမည်ဆိုပါက ပထမ နဂိုမှန်အဆိုသည် မိုနွိုက်များရှိ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ဆင်တူသည်။ ထို့ပြင် ဒုတိယ နဂိုမှန်အဆိုသည် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု တည်ရှိခြင်းနှင့် ဆင်တူသည်။ === မှတ်ချက် (Remark) === ယေဘုယျအားဖြင့် မိုနက်များကို ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် မိုနက်တစ်ခု မဖြစ်စေပါ။ ဥပမာအားဖြင့် ပါဝါအစု ဖန်တာနှစ်ထပ် <math>\mathcal{P} \circ \mathcal{P}</math> သည် မည်သည့် မိုနက်တည်ဆောက်ပုံကိုမျှ လက်ခံနိုင်ခြင်း မရှိပေ။ <ref>{{Citation |last1=Klin |first1=Bartek |last2=Salamanca |first2=Julian |title=Iterated Covariant Powerset is not a Monad |journal=[[Electronic Notes in Theoretical Computer Science]] |year=2018 |volume=341 |pages=261–276 |doi=10.1016/j.entcs.2018.11.013 |doi-access=free}}</ref> === ဒွန်တွဲမိုနက်များ (Comonads) === ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲ (categorical dual) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် ဒွန်တွဲမိုနက် (comonad) ၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ဒွန်တွဲသုံးခုတွဲ (cotriple) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ အလွယ်တကူ ဆိုရသော် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲမိုနက်တစ်ခုသည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category) <math>C^{\mathrm{op}}</math> အတွက် မိုနက်တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် <math>C</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သွားသော ဖန်တာ <math>U</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတွင် အထက်ပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များရှိ မြားများအားလုံးကို ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းမှ ရရှိလာသော ဒွန်တွဲယူနစ် (counit) နှင့် ဒွန်တွဲမြှောက်ခြင်း (comultiplication) တို့အတွက် နဂိုမှန်အဆိုများစုစည်း ပါဝင်သည်။ မိုနက်နှင့် မိုနွိုက်တို့ ဆက်စပ်မှုသည် ဒွန်တွဲမိုနက်နှင့် ဒွန်တွဲမိုနွိုက်များ (comonoids) တို့၏ ဆက်စပ်မှုနှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ အစုတိုင်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော နည်းလမ်းဖြင့် ဒွန်တွဲမိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်နေသောကြောင့် ဒွန်တွဲမိုနွိုက်များသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မိုနွိုက်များလောက် ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်မှု မရှိကြပေ။ သို့ရာတွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ ပုံမှန် တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) နှင့် ဒွန်တွဲမိုနွိုက်များသည် အရေးကြီးပြီး ၎င်းတို့ကို ဒွန်တွဲအက္ခရာသင်္ချာများ (coalgebras) ဟူသော အမည်ဖြင့် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လေ့လာကြသည်။ == ဝေါဟာရသမိုင်းကြောင်း (Terminological history) == မိုနက် သဘောတရားကို ရော်ဂျာ ဂေါ့ဒ်မန့် (Roger Godement) က ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် "စံတည်ဆောက်ပုံ" (standard construction) ဟူသော အမည်ဖြင့် တီထွင်ခဲ့သည်။ မိုနက်ကို ဒွန်တွဲစံတည်ဆောက်ပုံ (dual standard construction)၊ သုံးခုတွဲ (triple)၊ မိုနွိုက် (monoid) နှင့် သုံးပွင့်ဆိုင် (triad) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။{{Sfn|MacLane|1978|p=138}} မိုနက် ဟူသော ဝေါဟာရကို ဂျင်း ဘန်နာဘူ (Jean Bénabou) က ၁၉၆၇ ခုနှစ် နောက်ဆုံးထား၍ အသုံးပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite book |last=Bénabou |first=Jean |title=Reports of the Midwest Category Seminar |chapter=Introduction to bicategories |date=1967 |editor-last=Bénabou |editor-first=J. |editor2-last=Davis |editor2-first=R. |editor3-last=Dold |editor3-first=A. |editor4-last=Isbell |editor4-first=J. |editor5-last=MacLane |editor5-first=S. |editor6-last=Oberst |editor6-first=U. |editor7-last=Roos |editor7-first=J. -E. |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0074299 |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=47 |language=en |location=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer |pages=1–77 |doi=10.1007/BFb0074299 |isbn=978-3-540-35545-8}}</ref><ref>{{Cite web |date=2009-04-04 |title=RE: Monads |url=http://article.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/225/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150326175332/http://article.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories/225/match= |archive-date=2015-03-26 |website=[[Gmane]]}}</ref> == ဥပမာများ (Examples) == === ထပ်တူရ (Identity) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်တာ (identity functor) သည် မိုနက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မြှောက်ခြင်းနှင့် ယူနစ်တို့သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) ပင် ဖြစ်သည်။ === ပါဝါအစု မိုနက် (The power set monad) === ပါဝါအစု မိုနက် <math>\mathcal{P}</math> သည် <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီအပေါ်ရှိ မိုနက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အစု <math>A</math> တစ်ခုအတွက် <math>T(A)</math> သည် <math>A</math> ၏ ပါဝါအစု (power set) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် ဖန်ရှင် <math>f \colon A \to B</math> တစ်ခုအတွက် <math>T(f)</math> သည် <math>f</math> အောက်ရှိ တိုက်ရိုက်ပုံရိပ်များကို (direct images) ရယူခြင်းဖြင့် လှုံ့ဆော်ခံရသော ပါဝါအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အစု <math>A</math> တိုင်းအတွက် <math>a\in A</math> တိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) <math>\{a\}</math> သို့ သတ်မှတ်ပေးသော ပုံဖော်မှု <math>\eta_{A} \colon A \to T(A)</math> ရှိသည်။ ဖန်ရှင် <math>\mu_{A} \colon T(T(A)) \to T(A)</math> သည် အစုများပါဝင်သော အစုတစ်ခုကို ၎င်း၏ ပေါင်းစပ်စု (union) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးသည်။ ဤအချက်အလက်များသည် မိုနက်တစ်ခုကို ဖော်ပြသည်။ === တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းများမှ ဖြစ်ပေါ်လာသော မိုနက်များ (Monads arising from adjunctions) === မည်သည့် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (adjunction) မဆို <math>F: C \rightleftarrows D : G</math> သည် <math>C</math> အပေါ်ရှိ မိုနက်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် အောက်ပါအတိုင်း အလုပ်လုပ်သည်။ အန်ဒိုဖန်တာမှာ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ *<math>T = G \circ F</math> ထိုအန်ဒိုဖန်တာသည် မိုနက်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း အလွယ်တကူ သိမြင်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် ယူနစ် ပုံဖော်မှုသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ယူနစ်ပုံဖော်မှု <math>\operatorname{id}_C \to G \circ F</math> မှ ဆင်းသက်လာပြီး၊ မြှောက်ခြင်း ပုံဖော်မှုကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ဒွန်တွဲယူနစ် (counit) ပုံဖော်မှုကို အသုံးပြု၍ အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ထားသည်။ *<math>T^2 = G \circ F \circ G \circ F \xrightarrow{G \circ \text{counit} \circ F} G \circ F = T</math> မည်သည့် မိုနက်ကိုမဆို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်-မိုး ကတ်တဂိုရီ (Eilenberg–Moore category) <math>C^T</math> (<math>T</math>-အက္ခရာသင်္ချာများ၏ ကတ်တဂိုရီ) ကို အသုံးပြု၍ ဖန်တာများ၏ ထင်ရှားသော တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းတစ်ခုအဖြစ် တွေ့ရှိနိုင်သည်။<ref>{{Cite web|last=Riehl|first=Emily|author-link=Emily Riehl|title=Category Theory in Context |url=https://math.jhu.edu/%7Eeriehl/context.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20210405153806/https://math.jhu.edu/%7Eeriehl/context.pdf|archive-date=5 Apr 2021|page=162}}</ref> ==== ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် ပြုလုပ်ခြင်း (Double dualization) ==== ကိန်းသေ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>k</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် (double dualization) မိုနက်သည် အောက်ပါ တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းမှ ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ *<math>(-)^* : \mathbf{Vect}_k \rightleftarrows \mathbf{Vect}_k^{op} : (-)^*</math> အဆိုပါ ဖန်တာနှစ်ခုစလုံးသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) <math>V</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း (dual vector space) <math>V^* := \operatorname{Hom}(V, k)</math> သို့ ပို့ဆောင်ပေးခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော မိုနက်သည် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် (double dual) <math>V^{}</math> သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဤမိုနက်ကို Kock (1970) က ပိုမိုယေဘုယျကျသော အခြေအနေများတွင် ဆွေးနွေးထားသည်။ ==== တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများအပေါ်ရှိ အပိတ်အော်ပရေတာများ (Closure operators on partially ordered sets) ==== တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ (partially ordered sets) <math>(P, \le)</math> မှ ဖြစ်ပေါ်လာသော ကတ်တဂိုရီများ ကိုစဉ်းစားကြည့်ပါ။ ယင်းအစုများတွင် <math>x \le y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင် (if and only if) <math>x</math> မှ <math>y</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသာ ရှိသည်။ ထိုသို့သော အစုများမှ ဖြစ်ပေါ်လာသော ကတ်တဂိုရီများအတွက် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းမှုသည် များစွာပိုမိုရိုးရှင်းလာသည်။ တွဲဖက် စုံတွဲများသည် ဂယ်လ်ဝါ ဆက်သွယ်ချက်များ (Galois connections) ဖြစ်ကြပြီး မိုနက်များသည် အပိတ်အော်ပရေတာများ (closure operators) ဖြစ်ကြသည်။ ==== လွတ်လပ်သော-မေ့လျော့ တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (Free-forgetful adjunctions) ==== ဥပမာအားဖြင့် <math>U</math> သည် အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ <math>Grp</math> မှ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>Set</math> ကတ်တဂိုရီသို့ သွားသော မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>\mathfrak{F}</math> သည် အစုများ၏ ကတ်တဂိုရီမှ အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီသို့ သွားသော လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု (free group) ဖန်တာ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>\mathfrak{F}</math> သည် <math>U</math> ၏ ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) ဖြစ်သည်။ ဤတွင် သက်ဆိုင်ရာ မိုနက် <math>T = U \circ \mathfrak{F}</math> သည် အစု <math>X</math> ကို ရယူပြီး လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု <math>\mathrm{F}(X)</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) ကို ပြန်လည်ပေးပို့သည်။ ဤမိုနက်၏ ယူနစ် ပုံဖော်မှုသည် မည်သည့်အစု <math>X</math> ကိုမဆို <math>\mathrm{F}(X)</math> အစုအတွင်းသို့ သဘာဝကျကျ အလျား ၁ ရှိသော စကားလုံးတန်းများ (strings) အဖြစ် ထည့်သွင်းပေးသော *<math>X \to T(X)</math> ပုံဖော်မှုများဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ ထို့အပြင် ဤမိုနက်၏ မြှောက်ခြင်းသည် သဘာဝကျ စာသားပေါင်းစည်းမှု (concatenation) သို့မဟုတ် စကားလုံးတန်းများပါသော စကားလုံးတန်းများ (strings of strings) ကို ပြန့်ကားခြင်း (flattening) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော *<math>T(T(X)) \to T(X)</math> ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) နှစ်ခုနှင့် ညီမျှသည်။ လွတ်လပ်သော အုပ်စုများအကြောင်း အထက်ပါဥပမာကို စကြဝဠာ အက္ခရာသင်္ချာ (universal algebra) ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ မျိုးကွဲတစ်ခုအနေဖြင့် မည်သည့် အက္ခရာသင်္ချာ အမျိုးအစားသို့မဆို ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ သို့ဖြစ်၍ ဤသို့သော အက္ခရာသင်္ချာ အမျိုးအစားတိုင်းသည် အစုများ၏ ကတ်တဂိုရီအပေါ်တွင် မိုနက်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အရေးကြီးသည်မှာ အက္ခရာသင်္ချာ အမျိုးအစားကို မိုနက်မှတစ်ဆင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်-မိုး အက္ခရာသင်္ချာများ၏ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအနေဖြင့် ပြန်လည်ရယူနိုင်သည်။ သို့ဖြစ်၍ မိုနက်များကို စကြဝဠာ အက္ခရာသင်္ချာ မျိုးကွဲများအား ယေဘုယျပြုခြင်းအဖြစ်လည်း ရှုမြင်နိုင်သည်။ တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းမှ ဖြစ်ပေါ်လာသော အခြားမိုနက်တစ်ခုမှာ <math>T</math> သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီအပေါ်ရှိ အန်ဒိုဖန်တာ ဖြစ်နေသောအခါတွင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> ကို ၎င်း၏ တန်ဆာ အက္ခရာသင်္ချာ (tensor algebra) <math>T(V)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးပြီး မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများကို (linear maps) ၎င်းတို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ထိုအခါ <math>V</math> ကို ၎င်း၏ တန်ဆာ အက္ခရာသင်္ချာအတွင်းသို့ ထည့်သွင်းခြင်းနှင့် (embedding) သက်ဆိုင်သော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ထို့အပြင် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များအားလုံးကို ရိုးရှင်းစွာ ဖြန့်ထုတ်ခြင်းဖြင့် ရရှိလာသော <math>T(T(V))</math> မှ <math>T(V)</math> သို့ ပုံဖော်မှုနှင့် သက်ဆိုင်သည့် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း တစ်ခုကိုလည်း ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== {{refend}} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] [[Category:ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]] jgexxjj0u4qh1ebtllo7n3bzhwuhfqd 0 286848 1039133 1038929 2026-06-17T12:44:40Z Salai Rungtoi 22844 /* ၂၀၂၆ */ 1039133 wikitext text/x-wiki {{Infobox military conflict | conflict = ရခိုင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၃–လက်ရှိ) | width = | partof = [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ)]] ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု | image = File:Rakhine State, Chin State, and Anyar during the Myanmar Civil War.png | image_size = 280px | alt = ရခိုင်၊ ချင်းနှင့် အညာဒေသ စစ်ရေးပြမြေပုံ | caption = ရခိုင်ပြည်နယ်၊ ချင်းပြည်နယ်တောင်ပိုင်းနှင့် အညာဒေသ စစ်ရေးထိန်းချုပ်မှုပြ မြေပုံ {{legend|#FCE94F|အာရက္ခတပ်တော် (AA) ထိန်းချုပ်နယ်မြေ}} {{legend|#ff9999|တပ်မတော် ထိန်းချုပ်နယ်မြေ}} * '''ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ အနီရောင်အစက် ၃ ခု'''သည် တပ်မတော် ထိန်းချုပ်ထားဆဲ မြို့နယ် ၃ ခု ([[စစ်တွေမြို့|စစ်တွေ]]၊ [[ကျောက်ဖြူမြို့|ကျောက်ဖြူ]]၊ [[မာန်အောင်မြို့|မာန်အောင်]]) ကို ပြခြင်း ဖြစ်သည်။ | date = ၁၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ – လက်ရှိ | place = [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] နှင့် [[ချင်းပြည်နယ်]] တောင်ပိုင်း ([[ပလက်ဝမြို့နယ်]]) | territory = အာရက္ခတပ်တော် (AA) မှ ရခိုင်ပြည်နယ်ရှိ မြို့နယ် ၁၇ မြို့အနက် ၁၄ မြို့နှင့် ချင်းပြည်နယ် ပလက်ဝမြို့ (ဗျူဟာမြောက် ဝင်ပေါက်များအားလုံး) ကို အပြည့်အဝ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ထား။ | status = ဖြစ်ပွားဆဲ (Ongoing) | combatant1 = {{ubl|{{flagicon|MYA}} [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရေးကောင်စီ]]}} * {{armed forces|Myanmar}} ** {{army|Myanmar}} ** {{navy|Myanmar}} ** {{air force|Myanmar}} **{{flagicon image|Flag of the Arakan Liberation Party.svg}}[[ရခိုင်ပြည်လွတ်မြောက်ရေးပါတီ|ALP]] | combatant2 = {{flagicon image|Flag of the Arakan Army, under the United League of Arakan.svg}} [[အာရက္ခတပ်တော်]] (AA) <br>'''မဟာမိတ်များ:''' * {{flagicon image|Flag of the Myanmar National Democratic Alliance Army.svg}} [[မြန်မာအမျိုးသား ဒီမိုကရက်တစ် မဟာမိတ်တပ်မတော်|MNDAA]] * {{flagicon image|Flag of the Ta'ang National Liberation Army.svg}} [[တအာင်း အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|TNLA]] * ဒေသခံ တော်လှန်ရေးပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့များ | combatant3 = | commander1 = {{flagicon|MYA}} [[မင်းအောင်လှိုင်]] | commander2 = {{flagicon image|Flag of the Arakan Army, under the United League of Arakan.svg}} [[ထွန်းမြတ်နိုင်]] <br>[[ညိုထွန်းအောင်]] | commander3 = | units1 = * {{flagicon image|MM Western RMC Flag.svg}} [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|နပခ]] * {{flagicon image|Emblem of the Myanmar Navy.svg}} [[ဓညဝတီ ရေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]] * {{air force|Myanmar}} * {{flagicon image|Flag of the Myanmar Police Force.svg}} [[မြန်မာနိုင်ငံရဲတပ်ဖွဲ့]] * {{flagicon image|Myanmar Police Emblem.png}} [[နယ်ခြားစောင့်ရဲတပ်ဖွဲ့]] | units2 = * အာရက္ခတပ်တော် (AA) စစ်ကြောင်းများ | units3 = | strength1 = မသိရသေး | strength2 = မသိရသေး | strength3 = | casualties1 = များပြား (သုံ့ပန်းအဖြစ် ဖမ်းဆီးခံရသူ ရာချီရှိ) | casualties2 = မသိရသေး | casualties3 = | notes = ၂၀၂၃ နိုဝင်ဘာ ၁၃ ရက်တွင် ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်း အပစ်ရပ်စဲရေး ပျက်ပြားပြီးနောက် တိုက်ပွဲများ တကျော့ပြန် ပြန်လည်စတင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ | campaignbox = {{Campaignbox Myanmar Civil War (2021-present)}} }} '''ရခိုင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၃–လက်ရှိ)''' သည် [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ)]] အတွင်း [[ရခိုင်ပြည်နယ်]] နှင့် [[ချင်းပြည်နယ်]] တောင်ပိုင်း ([[ပလက်ဝမြို့နယ်]]) တို့တွင် [[အာရက္ခတပ်တော်]] (AA) နှင့် [[တပ်မတော်]] တို့ အကြား ပြင်းထန်စွာ ဖြစ်ပွားလျက်ရှိသည့် စစ်ရေးပဋိပက္ခကြီး ဖြစ်သည်။၂၀၂၂ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ သဘောတူညီချက်အရ ရရှိထားသည့် ယာယီအပစ်ရပ်စဲရေးသည် [[၂၀၂၃]] ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၁၃ ရက်နေ့တွင် ပျက်ပြားသွားခဲ့ပြီးနောက် တစ်ကျော့ပြန် တိုက်ပွဲများ ပြန်လည်စတင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ တိုက်ပွဲများအတွင်း အာရက္ခတပ်တော်သည် တပ်မတော်၏ ဗျူဟာကုန်းများနှင့် [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်|အနောက်ပိုင်းတိုင်း စစ်ဌာနချုပ်]] အပါအဝင် နယ်ခြားစောင့်ရဲတပ်ရင်း အမြောက်အမြားကို သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့ပြီး ရခိုင်ပြည်နယ်ရှိ မြို့နယ်အများစုကို ထိန်းချုပ်ထားနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-04-13 |title=ရခိုင်မှာ ဘာတွေဆက်ဖြစ်နေလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c72p6vynev3o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရင်း == [[၂၀၁၅]] ခုနှစ် နှစ်ဆန်းပိုင်းက ရခိုင်ပြည်နယ်တွင် စတင်ဖြစ်ပွားခဲ့သော အာရက္ခတပ်တော် (AA) နှင့် တပ်မတော်တို့အကြား နှစ်ဖက်တိုက်ပွဲများသည် [[၂၀၂၀]] ပြည့်နှစ် နိုဝင်ဘာလတွင် ယာယီရပ်စဲခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=ရခိုင်ပြည်နယ်မှာ တပ်မတော်နဲ့ အေအေအကြား ဘာလို့တိုက်ပွဲတွေ ပြင်းထန်နေလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/burma-46643681 |access-date=2026-05-30 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၀|၂၀၂၀ ပြည့်နှစ် ရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် မတည်ငြိမ်မှုကို အကြောင်းပြု၍ တားမြစ်ပိတ်ပင်ထားသော မဲဆန္ဒနယ်အားလုံး၌ ရွေးကောက်ပွဲ ပြန်လည်ကျင်းပနိုင်စေရန် တည်ငြိမ်အေးချမ်းမှုကို ရှေးရှု၍ နှစ်ဖက်တိုက်ပွဲများ ရပ်ဆိုင်းလိုက်ကြခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=ရခိုင်ပြည်နယ်နေ့နှင့် ဒို့တာဝန်အရေးသုံးပါး |url=http://www.moi.gov.mm/article/49102 |access-date=2026-05-30 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ် နှစ်ဖက်အပစ်အခတ်ရပ်စဲရေး သဘောတူညီချက်သည် စာချုပ်စာတမ်းမရှိဘဲ အလွတ်သဘော ညှိနှိုင်းသဘောတူညီချက် (Gentleman Agreement) မျှသာ ဖြစ်ခဲ့သဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ် ဩဂုတ်လတွင် ရခိုင်ပြည်နယ်၌ တစ်ကျော့ပြန်တိုက်ပွဲများ ပြန်လည်ဖြစ်ပွားခဲ့ရသည်။ သို့ရာတွင် ၂၀၂၂ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလတွင် လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အပစ်အခတ်ရပ်စဲရေးကို ထပ်မံရရှိခဲ့သည်။မည်သည့်ရက်တွင် ဆွေးနွေးခဲ့ကြသည်ကို နှစ်ဖက်စလုံးက မထုတ်ပြန်ခဲ့ဘဲ နိုဝင်ဘာ ၂၆ ရက်တွင် ၎င်းတို့ အပစ်ရပ်ပြီဖြစ်ကြောင်းသာ နှစ်ဖက် ထုတ်ဖော်ပြောကြားကြခြင်းဖြစ်သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်ပိုင်း) ၌ စတင်ခဲ့သည့် [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]] စစ်ရေးပဋိပက္ခတွင် အာရက္ခတပ်တော် (AA) ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ပြီးနောက်၊ နိုဝင်ဘာ ၁၃ ရက်တွင် ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်း၌ နှစ်ဖက်တိုက်ပွဲများ တစ်ကျော့ပြန် ပြန်လည်ဖြစ်ပွားခဲ့ခြင်းလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2022-11-26 |title=အေအေနဲ့ စစ်ကောင်စီ အပစ်ရပ်မှု - ရခိုင်ပြည်သူတွေကို စဉ်းစားပြီး လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အပစ်ရပ်ခဲ့တယ်လို့ အေအေပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c9rll05196xo |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=ရက္ခိုင်တပ်တော်(AA) နှင့် စစ်ကောင်စီတို့ကြား အပစ်ရပ်လိုက်ပြီဟု စစ်ကောင်စီပြော |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/6381e44b6dd2ad341b3fefba |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> == တိုက်ပွဲအစဦးကာလ လှုပ်ရှားမှုများ (နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃) == [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]]ကို တစ်နိုင်ငံလုံးအနှံ့ ဆင်နွှဲသွားမည်ဟု [[ညီနောင်မဟာမိတ်သုံးဖွဲ့|ညီနောင်မဟာမိတ် (၃) ဖွဲ့]]က ကြေညာပြီးနောက်၊ [[ရခိုင်ပြည်နယ်]]အတွင်း၌ ၂၀၂၃ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁၃ ရက်မှစတင်ကာ တကျော့ပြန်တိုက်ပွဲများ ပြန်လည်ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲစတင်ခဲ့သည့် ၁၀ ရက်တာကာလအတွင်း အာရက္ခတပ်တော် (AA) သည် စစ်ကောင်စီ၏ ဗျူဟာမြောက် ကင်းစခန်းများကို အရှိန်အဟုန်ဖြင့် ထိုးစစ်ဆင် တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ နိုဝင်ဘာလ ၂၂ ရက်နေ့အထိ တိုက်ပွဲ ၁၀ ရက်တာအတွင်း အာရက္ခတပ်တော်သည် စစ်ကောင်စီ၏ အဓိက နယ်ခြားစောင့်ရဲကင်းစခန်း ၄ ခုကို ထိုးစစ်ဆင် သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည့်အပြင်၊ စစ်ကောင်စီတပ်ဖွဲ့ဝင်များ စွန့်လွှတ်ဆုတ်ခွာသွားခဲ့သည့် နယ်ခြားစောင့်ကင်းစခန်းနှင့် ရဲစခန်း ပေါင်း ၄၀ ကျော်ကိုလည်း ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့သည်။ အာရက္ခတပ်တော်မှ ထိုးစစ်ဆင်သိမ်းပိုက်ခဲ့သော အဓိကစခန်းများမှာ [[ရသေ့တောင်မြို့နယ်]]ရှိ ဒုံးပိုက်နယ်ခြားစောင့်ရဲကင်းစခန်းနှင့် ချိန်ခါလိန်ရဲကင်းစခန်း၊ [[မောင်တောမြို့နယ်|မောင်တောအခြေစိုက်]] ဒုံးညိုနယ်ခြားစောင့်ရဲကင်းစခန်း၊ [[ဘူးသီးတောင်မြို့နယ်|ဘူးသီးတောင်အခြေစိုက်]] ခထီးလှစခန်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။ တိုက်ပွဲများ ပြင်းထန်လာသည်နှင့်အမျှ စစ်ကောင်စီလက်အောက်ခံ ရဲစခန်းအချို့မှာ လက်နက်ချအညံ့ခံခြင်းနှင့် စခန်းစွန့်ခွာ၍ နီးစပ်ရာ စစ်ကောင်စီဗျူဟာကုန်းများသို့ သွားရောက်ပူးပေါင်းခြင်းများ ရှိခဲ့ပြီး၊ အာရက္ခတပ်တော်ဘက်မှလည်း စစ်ဘက်၊ ရဲဘက်တပ်ဖွဲ့ဝင်များအနေဖြင့် အမြန်ဆုံး ဆက်သွယ်လက်နက်ချရန် သတိပေးထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.dmgburmese.com/%E1%80%9E%E1%80%90%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8/aa-captures-junta-bases.html|title=ရခိုင်တိုက်ပွဲ (၁၀) ရက်အတွင်း စစ်ကောင်စီတပ်စခန်း ၄၀ ကျော် AA သိမ်းပိုက်ထားပြီ|work=DMG သတင်းဌာန|access-date=၃၀ မေ ၂၀၂၆|date=၂၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃}}</ref> တိုက်ပွဲအစဦးကာလတွင် ချင်းပြည်နယ်တောင်ပိုင်း [[ပလက်ဝမြို့နယ်]]နှင့် ရခိုင်ပြည်နယ် [[ပေါက်တောမြို့]]တို့တွင် တိုက်ပွဲများ အပြင်းထန်ဆုံး ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ပလက်ဝမြို့နယ်ရှိ ဗျူဟာမြောက် “တရွန်အိုင်ဗျူဟာ” နှင့် “နှုးဘူးဗျူဟာ” ကုန်းများကို အာရက္ခတပ်တော်က နိုဝင်ဘာလ ၁၄ ရက်နေ့မှစတင်ကာ အပြင်းအထန် ထိုးစစ်ဆင်ခဲ့ရာ စစ်ကောင်စီဘက်မှ လေကြောင်းဖြင့် လက်နက်ခဲယမ်းရိက္ခာများ လာရောက်ချပေးခဲ့ရပြီး နိုဝင်ဘာလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် စစ်ကောင်စီ၏ ထောက်ပို့ပစ္စည်းအချို့ကို အာရက္ခတပ်တော်က သိမ်းဆည်းရမိခဲ့သည်။ ထို့အတူ ပေါက်တောမြို့အတွင်း၌လည်း နှစ်ဖက်တိုက်ပွဲများ ပြင်းထန်ခဲ့ပြီး စစ်ကောင်စီဘက်မှ ဂျက်တိုက်လေယာဉ်များဖြင့် မြို့တွင်းသို့ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=တရွန်အိုင်ဗျူဟာကုန်းမှ ရရှိသည့်အမြောက်ကြီးနှင့်အောင်ပွဲခံရဲဘော်များပုံ AA ထုတ်ပြန် |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/657012102687beb19d1f5952 |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref> နိုဝင်ဘာလ ၁၃ ရက်မှ ၂၂ ရက်နေ့အထိ ၁၀ ရက်တာကာလအတွင်း စစ်ကောင်စီတပ်၏ လက်နက်ကြီး၊ လက်နက်ငယ်များဖြင့် ရမ်းသမ်းပစ်ခတ်မှုများကြောင့် အရပ်သား သေဆုံးနှင့် ဒဏ်ရာရရှိသူ ၈၀ ဦးခန့်အထိ ရှိလာခဲ့သည်ဟု အေအေဘက်ကစွပ်စွဲချက်ထုတ်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် လက်နက်ကြီးအန္တရာယ်နှင့် စစ်ဘေးဒဏ်ကြောင့် ပေါက်တော၊ ရသေ့တောင်၊ ဘူးသီးတောင်၊ မောင်တော၊ ပုဏ္ဏားကျွန်းနှင့် မင်းပြားမြို့နယ်တို့မှ နေရပ်စွန့်ခွာထွက်ပြေးရသည့် စစ်ဘေးဒုက္ခသည်ဦးရေမှာလည်း တိုက်ပွဲစစချင်း ၁၀ ရက်အတွင်း ၆ သောင်းနီးပါးအထိ ရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2026-05-01 |title=ရခိုင်မှာ မိုး၊ လေပြင်းထန်ပြီး စစ်ရှောင်တွေ အရေးပေါ်အကူအညီလို |url=https://myanmar-now.org/mm/news/74330/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US }}{{Dead link|date=June 2026 }}</ref> == ဗျူဟာမြောက် ဝင်ပေါက်များနှင့် စစ်ရေးထိန်းချုပ်မှု == ရခိုင်တစ်ပြည်နယ်လုံးကို အပြည့်အဝ စစ်ရေးအရ စိုးမိုးနိုင်ရန်အတွက် အာရက္ခတပ်တော် (AA) သည် ရခိုင်ပြည်နယ်သို့ အဓိက ဝင်ထွက်သွားလာနိုင်သည့် ကုန်းလမ်း၊ ရေလမ်း ဗျူဟာမြောက် ဝင်ပေါက်များကို ဦးတည်ပိတ်ဆို့ သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။ ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ စုစုပေါင်း မြို့နယ် ၁၇ မြို့နယ်အနက် ၁၄ မြို့နယ်ကို အာရက္ခတပ်တော်က သိမ်းပိုက်ထားနိုင်ခဲ့ပြီး စစ်ကောင်စီတပ်မှာ မြို့တော်စစ်တွေအပါအဝင် ၃ မြို့နယ်တွင်သာ တပ်စွဲထားနိုင်တော့သည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-02-09 |title=ရခိုင် ရှေးဟောင်းမြောက်ဦးမြို့ကို AA ထိန်းချုပ် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-seize-mrauku-02092024002135.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> အာရက္ခတပ်တော်သည် ချင်းပြည်နယ်တောင်ပိုင်း [[ပလက်ဝမြို့နယ်]]ကို အပြည့်အဝ ထိန်းချုပ်ခြင်းဖြင့် အိန္ဒိယ-မြန်မာနယ်စပ်နှင့် ကုလားတန်မြစ်ကြောင်း ရေလမ်းဗျူဟာဖြစ်သော ချင်း-ရခိုင်စပ် ပလက်ဝတောင်ကြားလမ်း ဝင်ပေါက်ကို အစောဆုံး စိုးမိုးနိုင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် [[အမ်းမြို့နယ်]]ရှိ စစ်ကောင်စီ၏ အဓိက စစ်ဗျူဟာအခြေစိုက်ရာ [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] (အပခ) ဝန်းကျင်နှင့် မင်းဘူး-အမ်း ကားလမ်းမကြီးကို ပိတ်ဆို့ထိန်းချုပ်ခြင်းဖြင့် မကွေး-အညာဘက် အမ်းတောင်ကြားလမ်းဝင်ပေါက်မှ စစ်ကောင်စီ စစ်ကူလာနိုင်မည့် လမ်းကြောင်းကို ဖြတ်တောက်ထားနိုင်ခဲ့သည်။ ထို့အတူ ရခိုင်တောင်ပိုင်း [[ဂွမြို့နယ်]]ကို သိမ်းပိုက်ခြင်းဖြင့်လည်း ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးဘက်မှ ကုန်းလမ်းဖြင့် စစ်ကောင်စီ စစ်ကူတက်လာမည့် ဂွတောင်ကြားလမ်း ဝင်ပေါက်ကိုပါ အပြည့်အဝ အပိတ်အဆို့ ပြုလုပ်ထားနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-12-12 |title=မောင်တော နခခ ၅ ကို ၅၅ ရက်ကြာ တစ်ဆင့်ချင်း သိမ်းခဲ့တဲ့အာရက္ခတပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/ceqljez9095o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == အာရက္ခတပ်တော် ထိန်းချုပ်ထားသည့် မြို့နယ်များ == အာရက္ခတပ်တော်သည် တကျော့ပြန်တိုက်ပွဲစတင်ဆင်နွဲပြီးနောက် ၂နှစ်ခွဲအတွင်း ရခိုင်ပြည်နယ် အတွင်းရှိ အမ်းမြို့အခြေစိုက် [[အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ်]] အပါအဝင် မြို့နယ် ၁၇ မြို့ အနက် ၁၄ မြို့အထိ သိမ်းပိုက်ထားနိုင်ခဲ့ပြီး ပြည်နယ်၏ နယ်မြေ စုစုပေါင်း ၈၂.၃၅ ရာခိုင်နှုန်းအထိ စိုးမိုးထားနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-12-12 |title=မောင်တော နခခ ၅ ကို ၅၅ ရက်ကြာ တစ်ဆင့်ချင်း သိမ်းခဲ့တဲ့အာရက္ခတပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/ceqljez9095o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |last=ဖဒူထွန်းအောင် |date=2025-08-11 |title=သိမ်းထားသည့် မြို့များကို တရုတ်ဖိအားဖြင့် ပြန်လွှဲပေးရန် မရှိဟု AA ပြော |url=https://myanmar-now.org/mm/news/66163/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US |archive-date=6 February 2026 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260206225042/https://myanmar-now.org/mm/news/66163/ |url-status=dead }}</ref> {| class="wikitable sortable" style="text-align:center; font-size:95%; width:90%;" |- style="background:#efefef;" ! style="width:5%;" | အမှတ် !! style="width:15%;" | မြို့နယ်အမည် !! style="width:20%;" | သိမ်းပိုက်သည့် ရက်စွဲ !! style="width:40%;" | နောက်ဆက်တွဲ အခြေအနေ !! style="width:20%;" | တိုက်ပွဲများ |- | ၁ || [[ပေါက်တောမြို့နယ်|ပေါက်တော]] || ၁၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=ရောင်နီ |date=2024-01-20 |title=ပေါက်တောမြို့ကို AA သိမ်းလိုက်ပြီဟု ဒေသခံများဆို |url=https://myanmar-now.org/mm/news/48338/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ပေါက်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၂ || [[မင်းပြားမြို့နယ်|မင်းပြား]] || ၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[မင်းပြားမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၃ || [[ကျောက်တော်မြို့နယ်|ကျောက်တော်]] || ၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=admin |date=2024-02-07 |title=ကျောက်တော်မြို့ကို AA သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့ပြီး မြို့ကိုစွန့်ခွာပြေးသည့် စစ်ကောင်စီ၏ Navy ၂ စီး ကိုပါ ပစ်ခတ်နှစ်မြှုပ် |url=https://ayartimes.com/?p=32318 |access-date=2026-05-30 |website=Ayeyarwaddy Times |language=en-US}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ကျောက်တော်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၄ || [[မြောက်ဦးမြို့နယ်|မြောက်ဦး]] || ၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-02-09 |title=ရခိုင် ရှေးဟောင်းမြောက်ဦးမြို့ကို AA ထိန်းချုပ် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-seize-mrauku-02092024002135.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[မြောက်ဦးမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၅ || [[မြေပုံမြို့နယ်|မြေပုံ]] || ၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=မြေပုံမြို့နယ်က လက်ကျန်ရေတပ်စခန်း ရုပ်သိမ်း |url=https://burmese.dvb.no/post/710276 |access-date=2026-05-30 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> || ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[မြေပုံမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၆ || [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့နယ်|ပုဏ္ဏားကျွန်း]] || ၄ မတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-03-05 |title=ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့ကို AA သိမ်းပိုက်လိုက်ကြောင်း ဒေသခံတွေပြော |url=https://www.rfa.org/burmese/news/ponenagyun-aa-03042024234053.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ပုဏ္ဏားကျွန်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၇ || [[ရမ်းဗြဲမြို့နယ်|ရမ်းဗြဲ]] || ၁၁ မတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=ရောင်နီ |date=2024-03-11 |title=ရမ်းဗြဲမြို့ကို သုံးလကြာ ထိုးစစ်ဆင်ပြီးနောက် AA သိမ်းပိုက် |url=https://myanmar-now.org/mm/news/50039/ |access-date=2026-05-30 |website=Myanmar Now |language=en-US |archive-date=9 December 2025 |archive-url=https://web.archive.org/web/20251209170944/https://myanmar-now.org/mm/news/50039/ |url-status=dead }}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ရမ်းဗြဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၈ || [[ရသေ့တောင်မြို့နယ်|ရသေ့တောင်]] || ၁၇ မတ် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-03-18 |title=ရသေ့တောင်မြို့ကို AA အပြီးသတ်သိမ်းယူ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-outpost-seized-rathedaung-03172024224604.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ရသေ့တောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၉ || [[ဘူးသီးတောင်မြို့နယ်|ဘူးသီးတောင်]] || ၁၈ မေ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-05-18 |title=ဘူးသီးတောင်မြို့ကို သိမ်းလိုက်ကြောင်း AA ကြေညာ |url=https://www.rfa.org/burmese/news/butheedaung-aa-occupie-05182024095332.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ဘူးသီးတောင်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၀ || [[သံတွဲမြို့နယ်|သံတွဲ]] || ၁၅ ဇူလိုင် ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=သံတွဲအကျဉ်းထောင်ကိုသိမ်းပိုက်ပြီး မြို့တွင်းကိုပါ AA ထိန်းချုပ် |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/66967b5bb9627d108fab45e9?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR3DFeD_nfDhPxV_AB6Irg9_pcEYzbVxIi076vr5_d1VMlNlmOnY6fSVcX8_aem_wr8JrhO5Hf27rGBdor24vg |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[သံတွဲမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၁ || [[မောင်တောမြို့နယ်|မောင်တော]] || ၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[မောင်တောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၂ || [[တောင်ကုတ်မြို့နယ်|တောင်ကုတ်]] || ၁၄ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-12-16 |title=တောင်ကုတ်မြို့နယ်ကို သိမ်းပိုက်ပြီး အမ်းနဲ့ ဂွကို AA ထိုးစစ်ဆင် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-attack-ann-and-gwa-12162024021418.html |access-date=2026-05-30 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[တောင်ကုတ်မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၃ || [[အမ်းမြို့နယ်|အမ်း]] || ၂၀ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |title=အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲကာလအတွင်း ပျက်စီးသွားသည့် အရပ်သားပြည်သူများ၏ နေအိမ်အဆောက်အအုံများ (ဓာတ်ပုံသတင်း) |url=https://burmese.narinjara.com/news/detail/68650da4bab948d833dca783 |access-date=2026-05-30 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[အမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |- | ၁၄ || [[ဂွမြို့နယ်|ဂွ]] || ၂၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄<ref>{{Cite web |date=2024-12-29 |title=ဂွမြို့ကလက်ကျန်တပ်ကို အေအေက သိမ်းပြီး ဂွမြို့ကို ထိန်းချုပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c2ex273xrw2o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref>|| ထိန်းချုပ်ထားဆဲ|| [[ဂွမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ]] |} == စစ်သုံ့ပန်းအဖြစ် ဖမ်းဆီးခံရသည့် စစ်ဘက်အရာရှိကြီးများ == {{main|အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် သိမ်းပိုက်ခံရခြင်း}} ၂၀၂၃ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁၃ ရက်နေ့တွင် စတင်ခဲ့သော တစ်ကျော့ပြန် ရခိုင်စစ်ပွဲအတွင်း စစ်ကောင်စီတပ်ဘက်မှ စစ်သည်နှင့် ရဲအင်အား ၁,၀၀၀ ကျော် အာရက္ခတပ်တော် (AA) ၏ စစ်သုံ့ပန်းအဖြစ် ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ ဖမ်းဆီးရမိခဲ့သည့် အဓိက စစ်ဘက်အရာရှိကြီးများ (ဗိုလ်မှူးချုပ် ၄ ဦးနှင့် ဗိုလ်မှူးကြီး ၁ ဦး) ၏ စာရင်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-12-27 |title=ရခိုင်က ဗိုလ်မှူးချုပ်လေးဦး ကံကြမ္မာ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c2ex1nl9kj2o |access-date=2026-05-30 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> {| class="wikitable sortable" style="text-align:left; font-size:95%; width:95%;" |- style="background:#efefef; text-align:center;" ! style="width:15%;" | အမည် !! style="width:12%;" | စစ်ဘက်အဆင့် !! style="width:23%;" | တာဝန် / အခြေစိုက်စခန်း !! style="width:15%;" | ဖမ်းဆီးရက်စွဲ !! style="width:35%;" | ဖမ်းဆီးခံရသည့် ဖြစ်စဉ်အကျဉ်း |- | ဇော်မင်းထွန်း || ဗိုလ်မှူးချုပ် || အမှတ် (၉) စစ်ဆင်မှုကွပ်ကဲရေးဌာနချုပ် (စကခ-၉) တပ်မှူး || ၂၀၂၄ || ကျောက်တော်တိုက်ပွဲအပြီး စစ်တွေသို့ စစ်သင်္ဘောဖြင့် ဆုတ်ခွာစဉ် ကုလားတန်မြစ်ကြောင်း၌ သင်္ဘောနစ်မြုပ်ကာ လက်ရဖမ်းဆီးခံရ။ (ပထမဆုံး ဖမ်းမိသည့် ဗိုလ်မှူးချုပ်) |- | သူရိန်ထွန်း || ဗိုလ်မှူးချုပ် || အမှတ် (၁၅) စစ်ဆင်ရေးဌာနချုပ် (စကခ-၁၅) တပ်မှူး / ဒေသကွပ်ကဲရေးမှူး || ၂၀၂၄ || မောင်တောမြို့ရှိ အရေးပါသော နခခ (၅) စခန်းအား AA က ၅ လကြာ ပိတ်ဆို့ပြီး မြေအောက်လိုဏ်ခေါင်းတူး၍ ထိုးဖောက်သိမ်းပိုက်ချိန်တွင် ဖမ်းမိ။ (OTS ဆင်း) |- | ကျော်ကျော်သန်း || ဗိုလ်မှူးချုပ် || အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် တိုင်းဦးစီးမှူး / ယာယီကွပ်ကဲရေးမှူး || ၂၀၂၄ || အမ်းမြို့နယ်ရှိ အပခ ဌာနချုပ် နောက်ဆုံးခံစစ်ရုံးခန်းအထိ AA က ထိုးဖောက်ဝင်ရောက်စဉ် ရိက္ခာနှင့် ရေပြတ်တောက်ကာ လက်နက်ချဖမ်းခံရ။ (OTS-၂၁ ဆင်း) |- | သောင်းထွန်း || ဗိုလ်မှူးချုပ် || အနောက်ပိုင်းတိုင်းစစ်ဌာနချုပ် ဒုတိယတိုင်းမှူး || ၂၀၂၄ || အမ်းမြို့နယ် အပခ ဌာနချုပ် ကျဆုံးသည့် နောက်ဆုံးတိုက်ပွဲအတွင်း တိုင်းဦးစီးချုပ်နှင့်အတူ လက်ရဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခြင်းခံရ။ (DSA-၄၁ ဆင်း) |- | ညီညီဝင်း || ဗိုလ်မှူးကြီး || စကခ (၉) လက်အောက်ခံ နည်းဗျူဟာ (၃) စစ်ဗျူဟာမှူး || ၂၀၂၄ || ကျောက်တော် ကုလားတန်မြစ်ကြောင်း တပ်ဆုတ်တိုက်ပွဲအတွင်း ဒဏ်ရာများနှင့်အတူ လက်ရဖမ်းဆီးခံရ။ |} == ဆက်စပ်တိုက်ပွဲများ == {{main|ပလက်ဝမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ}} ချင်းပြည်နယ်တောင်ပိုင်းရှိ [[ပလက်ဝမြို့နယ်]] ကိုလည်း အာရက္ခတပ်တော်က ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီ ၂၄ ရက်တွင် အပြည့်အဝ သိမ်းပိုက်ထိန်းချုပ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-14 |title=ပလက်ဝတစ်နယ်လုံးကို AA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/aa-plaetwa-military-01142024133525.html |access-date=2026-06-02 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> == စစ်ကောင်စီတပ်များ ကျန်ရှိနေသည့် မြို့နယ်များ == {| class="wikitable sortable" style="text-align:center; font-size:95%; width:90%;" |- style="background:#efefef;" ! style="width:5%;" | အမှတ် !! style="width:15%;" | မြို့နယ်အမည် !! style="width:40%;" | လက်ရှိအခြေအနေ !! style="width:40%;" | နောက်ဆက်တွဲ အခြေအနေ |- | ၁ || [[စစ်တွေမြို့နယ်|စစ်တွေ]] || ဒေသကွပ်ကဲမှုစစ်ဌာနချုပ် ရှိရာမြို့ || ပိတ်ဆို့ခံထားရ |- | ၂ || [[ကျောက်ဖြူမြို့နယ်|ကျောက်ဖြူ]] || ဓညဝတီရေတပ်စခန်းဌာနချုပ် တည်ရှိ || စစ်ရေးတင်းမာဆဲ |- | ၃ || [[မာန်အောင်မြို့နယ်|မာန်အောင်]] || ကျွန်းမြို့ဖြစ်ပြီး စစ်ကောင်စီတပ်များ ရှိနေဆဲ || အခြေအနေ တည်ငြိမ်လျှက်ရှိ |} == လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ ထိခိုက်မှုများ == === ၂၀၂၆ === * [[ရခိုင်ပြည်နယ်]]၊ [[ရမ်းဗြဲမြို့နယ်]]၊ ပိန္နဲတောင်ကျေးရွာရှိ စစ်ဘေးရှောင်စခန်းအား စစ်လေတပ်က ဇွန်လ ၁ ရက်နေ့ ညနေပိုင်းတွင် လေကြောင်းမှ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခဲ့ခြင်းကြောင့် စစ်ဘေးရှောင် နှစ်ဦး သေဆုံးခဲ့ကြောင်း ဒေသခံများက ပြောကြားသည်။<ref>{{Cite web |title=ရမ်းဗြဲတွင် စစ်ရှောင်စခန်း ဗုံးကြဲခံရပြီး ၂ ဦးသေ၊ ၅ ဦးထက်မနည်း ဒဏ်ရာရ |url=https://burmese.dvb.no/post/149355 |access-date=2026-06-03 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> * ၁၇ ဇွန် - ရခိုင်ပြည်နယ်အတွင်း အာရက္ခတပ်တော် (AA) ၏ ထိန်းချုပ်မှုအောက်တွင် ရှိသော ကျောက်တော်မြို့နယ်၏ အရှေ့ခြမ်းနှင့် အနောက်ခြမ်းကို စစ်တပ်က ညနေပိုင်း၌ ဗုံး ၁၀ လုံးထက်မနည်း ကြဲချတိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ သေဆုံးသူ ၇ ဦးထက်မနည်း ရှိသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-17 |title=အာဆီယံအနေနဲ့ မြန်မာ့အရေးကို ချဉ်းကပ်ပုံကို ပြန်သုံးသပ်သင့်တယ်လို့ တီမောသမ္မတပြော - ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန် ၁၇ ရက် ဘီဘီစီမြန်မာပိုင်းသတင်းတိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်ချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/live/c621g8z88n0t |access-date=2026-06-17 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * [[၁၀၂၇ စစ်ဆင်ရေး]] * [[အညာ စစ်မြေပြင်]] * [[ချင်း စစ်မြေပြင်]] == ကိုးကား == {{Reflist}} [[Category:၂၀၂၃ ပဋိပက္ခများ]] [[Category:၂၀၂၄ ပဋိပက္ခများ]] [[Category:၂၀၂၅ ပဋိပက္ခများ]] [[Category:၂၀၂၆ ပဋိပက္ခများ]] [[Category:မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)မှ စစ်ဆင်ရေးများ]] [[Category:ရခိုင်ပြည်နယ်ရှိ တိုက်ပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏_ပြည်တွင်းပဋိပက္ခများ]] nal6cxmk0l6r93jcldzbehzzyu7k0k6 0 288069 1039146 1038885 2026-06-17T13:25:34Z Mkant00 135890 1039146 wikitext text/x-wiki ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စုမဆိုတွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)#ယူကလစ်ဒ်_စံနှုန်း_(Euclidean_norm)|ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm)]] အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] 1zhir7lf85f3pqpekqp0tpa6zb1n3x4 1039147 1039146 2026-06-17T13:26:00Z Mkant00 135890 1039147 wikitext text/x-wiki ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စုမဆိုတွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math>သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)#ယူကလစ်ဒ်_စံနှုန်း_(Euclidean_norm)|ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm)]] အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] nhi50pzrj1sms1sa5hadxe53rsgsp9w 1039148 1039147 2026-06-17T13:30:08Z Mkant00 135890 1039148 wikitext text/x-wiki ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စုမဆိုတွင် ဖလှယ်ရ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math>သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] 1um70gwvpo3a7ffy053uqn70rqn8nog 1039156 1039148 2026-06-17T13:57:19Z Mkant00 135890 1039156 wikitext text/x-wiki ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]မဆိုတွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math>သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] hnzhhi560ipipxj2x2898f9d73buz56 1039202 1039156 2026-06-17T15:48:28Z Mkant00 135890 1039202 wikitext text/x-wiki [[File:NumberSetinC.svg|thumb|<math> \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}</math> ]] ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]မဆိုတွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math>သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] 5obdlahrozq59epniirwf2uum7ospui 1039225 1039202 2026-06-17T16:38:01Z Mkant00 135890 1039225 wikitext text/x-wiki [[File:NumberSetinC.svg|thumb|<math> \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}</math> ]] ကိန်းပြည့် (integer) ဆိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း]] (natural number)၊ သဘာဝကိန်း၏ အနုတ်ကိန်း၊ သို့မဟုတ် သုညတို့ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ[[အစု]] သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစု သည် အပေါင်းနှင့် အမြှောက် တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ဟူသော သင်္ကေတသည် ကိန်းများ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Zahlen မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ကိန်းပြည့်များသည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]ကို ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group on one generator) အဖြစ် ဝိသေသပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့သည် အမြှောက်တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု မဖွဲ့စည်းနိုင်ပေ။ <math>\mathbb{Z}</math> ကို သဘာဝကိန်းများ <math>\mathbb{N}</math> ၏ အပေါင်းအခြေခံ [[မိုနွိုက်]] (additive monoid) မှ ဆင်းသက်လာသော [[ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု]] (Grothendieck group) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) တွင် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု ]] (initial object) ဖြစ်သည်။ မည်သည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]]မဆိုတွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]]တစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>\text{Ab} = \text{Mod}_\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် ကိန်းပြည့်သဘောတရားကို [[ကိန်းပြည့်ရင်း|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) တွင် <math>\mathbf{Top}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]](topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ် သက်သေပြချက်== <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် သဘာဝကိန်းများအစု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>i(n) = n</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion mapping) <math>i: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်သည်။ အနန္တအစု <math>\mathbb{N}</math> မှ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းသို့ အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ရှိနေသောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည်လည်း အနန္တအစု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်ကြောင်း ပြသရန် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရမည်။ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များကို အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းများနှင့် အနုတ်ကိန်းများကြား စနစ်တကျ အလှည့်ကျဖြစ်နေသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စီစဉ်ပါစို့။ *<math>\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}</math> ဤအစီအစဉ်သည် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။ * <math>n</math> သည် စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = \frac{n}{2} </math> * <math>n</math> သည် မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math> f(n) = -\frac{n-1}{2} </math> ၎င်းသည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် အောက်ပါအတိုင်း စစ်ဆေးကြည့်မည်။ * <math>n = 1</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(1) = -\frac{1-1}{2} = 0</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 2</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(2) = \frac{2}{2} = 1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 3</math> မကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(3) = -\frac{3-1}{2} = -1</math> ဖြစ်သည်။ * <math>n = 4</math> စုံကိန်း ဖြစ်လျှင် <math>f(4) = \frac{4}{2} = 2</math> ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်ကို တွက်ချက်စစ်ဆေးကြည့်ခြင်းအားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို စုံသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထုတ်လုပ်ပေးကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့အတူ သုညအပါအဝင် အပေါင်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တိုင်းကိုလည်း မသဘာဝကိန်းတစ်ခုက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် တိကျစွာ တစ်ကြိမ်သာ ပုံဖော်ခံရသောကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] ဖြစ်သည့်အပြင် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (surjective) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>f</math> သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math>သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု အဖြစ် သက်သေပြချက်== ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N</math> ကို ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အခြေအနေမှာ မည်သည့် <math>a \in R</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော မည်သည့် <math>b \in R</math> အတွက်မဆို <math>a = qb + r</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် <math>q, r \in R</math> အစုဝင်များ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>r = 0</math> သို့မဟုတ် <math>N(r) < N(b)</math> ဖြစ်ရပါမည်။ ယခု ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှ သဘာဝကိန်းများအစုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှု <math>a \mapsto |a|</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် <math>\mathbb{Z}</math> ပေါ်ရှိ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) နိယာမမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာပါသည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကိုမဆို သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>b</math> ဖြင့် စားသောအခါ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို <math>a = qb + r</math> ပုံစံဖြင့် အမြဲတမ်း ရရှိနိုင်သည်။ ထိုအခါ အကြွင်း <math>r</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်သကဲ့သို့ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုး <math>|r|</math> သည် <math>|b|</math> ထက် အမြဲငယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(x) = |x|</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပကတိတန်ဖိုး ပုံဖော်မှုသည် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း၏ လိုအပ်ချက်များနှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကြောင့် ကိန်းပြည့်များသည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ ==<math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု အဖြစ် သက်သေပြချက်== မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ *<math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ (အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) *<math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ (မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း) <math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းပြည့်များ]] [[ကဏ္ဍ:အုပ်စုသီအိုရီ]] eugm55j9e7z7f4u16008tio6mw233l0 100 288118 1039132 1039047 2026-06-17T12:43:43Z Salai Rungtoi 22844 1039132 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=17|content= <!-- All news items below this line --> '''လက်နက်ကိုင် ပဋိပက္ခများနှင့် တိုက်ခိုက်မှုများ''' *[[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] **[[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် အချိန်မှတ်တမ်း (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] *** [[ရခိုင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၃–လက်ရှိ)]] ****[[ရခိုင်ပြည်နယ်]]အတွင်း [[အာရက္ခတပ်တော်]]၏ ထိန်းချုပ်မှုအောက်တွင် ရှိသော [[ကျောက်တော်မြို့နယ်]]၏ အရှေ့ခြမ်းနှင့် အနောက်ခြမ်းကို စစ်တပ်က ဗုံး ၁၀ လုံးထက်မနည်း ကြဲချတိုက်ခိုက်ခဲ့ရာ သေဆုံးသူ ၇ ဦးထက်မနည်း ရှိသည်။ [https://www.bbc.com/burmese/live/c621g8z88n0t (BBC)] <!-- All news items above this line -->}} 38dawg6jze8y5i3a4ha5u1fmwpnvg6v 3 288143 1039130 2026-06-17T12:13:10Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039130 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Hugonc ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) nl46x8mu2cjnhyx6lrkz54vxgg3qtfb 3 288144 1039131 2026-06-17T12:13:20Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039131 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Vsg735t ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 1m4dfv61etx062xwotmfasqlvv1g29f 3 288145 1039139 2026-06-17T13:13:30Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039139 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Myanmar Cele Club ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) cls5h0ueitz157dsjbluvufa3l8p551 3 288146 1039140 2026-06-17T13:13:40Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039140 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် U Zin Kyaw ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 1ynniiraah2ogbpoq3yggwn9ociml2t 1039143 1039140 2026-06-17T13:18:02Z U Zin Kyaw 144516 /* ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် U Zin Kyaw ! */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1039143 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် U Zin Kyaw ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ဘယ်လို ပြုလုပ်ပြီး ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ် ဖန်တီး တင်ရမှာလဲ [[အသုံးပြုသူ:U Zin Kyaw|U Zin Kyaw]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:U Zin Kyaw|ဆွေးနွေး]]) ၁၃:၁၈၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) hvmusycnu7ypjkh48pszff06rcblrfr 0 288147 1039152 2026-06-17T13:46:37Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1359465576|Data structure]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039152 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Hash_table_3_1_1_0_1_0_0_SP.svg|thumb|315x315px|'''ဟတ်ရှ်ဇယား''' ({{lang-en|hash table}}) ဟု လူသိများသော [[ဒေတာတည်ဆောက်ပုံ]] တစ်ခု။]] '''[[ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]'''တွင် '''[[ဒေတာတည်ဆောက်ပုံ]]''' ({{lang-en|data structure}}) ဆိုသည်မှာ ဒေတာအချက်အလက်များကို ထိရောက်စွာ ရယူအသုံးပြုနိုင်ရန်အတွက် စနစ်တကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းနှင့် သိမ်းဆည်းခြင်း နည်းလမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite book |last=Cormen |first=Thomas H. |date=2009 |title=Introduction to Algorithms, Third Edition |url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=1614191 |last2=Leiserson |first2=Charles E. |last3=Rivest |first3=Ronald L. |last4=Stein |first4=Clifford |publisher=The MIT Press |isbn=978-0262033848 |edition=3rd |page=9 |quote=A data structure is a way to store and organize data in order to facilitate access and modifications.}}</ref><ref>{{Cite book |last=Black |first=Paul E. |date=15 December 2004 |title=Dictionary of Algorithms and Data Structures [online] |publisher=[[National Institute of Standards and Technology]] |editor-last=Pieterse |editor-first=Vreda |chapter=data structure |quote=An organization of information, usually in memory, for better algorithm efficiency, such as queue, stack, linked list, heap, dictionary, and tree, or conceptual unity, such as the name and address of a person. It may include redundant information, such as length of the list or number of nodes in a subtree. |access-date=2018-11-06 |editor-last2=Black |editor-first2=Paul E. |chapter-url=https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/datastructur.html}}</ref><ref>{{Cite encyclopedia|title=Data structure|url=https://www.britannica.com/technology/data-structure|access-date=2018-11-06|date=17 April 2017}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် ဒေတာတည်ဆောက်ပုံဆိုသည်မှာ ဒေတာဖွဲ့စည်းပုံနှင့် သိမ်းဆည်းမှု ပုံစံသတ်မှတ်ချက်များ အပါအဝင် ထိုအချက်အလက်များကို လုပ်ဆောင်ပေးသည့် ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် လုပ်ငန်းစဉ်များ ပါဝင်သော [[ဒေတာအမျိုးအစား]] (Data type) တစ်ခုကို လက်တွေ့အကောင်အထည်ဖော် တည်ဆောက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ဒေတာတည်ဆောက်ပုံများသည် စိတ်ကူးပုံဖော် ဒေတာအမျိုးအစားများ (Abstract data types - ADTs) နှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသည်။ <ref name="OpenDSA" /> စိတ်ကူးပုံဖော် ဒေတာအမျိုးအစားသည် ထိုလုပ်ငန်းစဉ်များကို မည်သို့လုပ်ဆောင်သည်ကို ဖော်ပြခြင်းမရှိဘဲ ခွင့်ပြုထားသော လုပ်ငန်းစဉ်များနှင့် ၎င်းတို့မှ ထွက်ပေါ်လာမည့် ရလဒ်များကဲ့သို့သော ဒေတာအမျိုးအစား၏ ယုတ္တိဗေဒပုံစံ သို့မဟုတ် အက္ခရာသင်္ချာတည်ဆောက်ပုံကိုသာ ဖော်ပြသော်လည်း ဒေတာတည်ဆောက်ပုံသည် ကွန်ပျူတာမှတ်ဉာဏ် (Memory) အတွင်း အချက်အလက်များ ကိုယ်စားပြု တည်ရှိပုံနှင့် လုပ်ငန်းစဉ်များကို မည်သို့လုပ်ဆောင်သည်ကို ဖော်ပြသည်။ <ref name="OpenDSA">{{Cite web |title=1.2 Abstract Data Types |url=https://opendsa-server.cs.vt.edu/ODSA/Books/CS3/html/ADT.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230210114105/https://opendsa-server.cs.vt.edu/ODSA/Books/CS3/html/ADT.html |archive-date=2023-02-10 |access-date=2023-02-15 |website=Virginia Tech - CS3 Data Structures & Algorithms}}</ref> အချို့သော စာရေးဆရာများသည် "စိတ်ကူးပုံဖော် ဒေတာအမျိုးအစား" ဟူသော ဝေါဟာရကို အသုံးမပြုဘဲ ဒေတာတည်ဆောက်ပုံ၏ ယုတ္တိဗေဒပုံစံနှင့် လက်တွေ့တည်ဆောက်ပုံ ပုံစံဟူ၍သာ ရိုးရှင်းစွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ <ref>{{Cite book |last=Wegner |first=Peter |date=2003-08-29 |title=Encyclopedia of Computer Science |url=http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1074100.1074312 |last2=Reilly |first2=Edwin D. |publisher=John Wiley and Sons |isbn=978-0470864128 |location=Chichester, UK |pages=507–512}}</ref> [[ကဏ္ဍ:ဒေတာ]] [[ကဏ္ဍ:ဒေတာတည်ဆောက်ပုံ]] [[ကဏ္ဍ:ဒေတာဖွဲ့စည်းပုံ]] 94giv7pizkmj8diaatvy3d6km6hqlmq 0 288148 1039153 2026-06-17T13:48:52Z Mkant00 135890 "[[:en:Special:Redirect/revision/1351900525|Commutative ring]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039153 wikitext text/x-wiki သင်္ချာတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဆိုသည်မှာ မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှု၌ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသော ကွင်း (ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ဖလှယ်ရ ကွင်းများအကြောင်းကို အဓိကထား လေ့လာသော ဘာသာရပ်ကို ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] 1q39duoj0edliz6p1udiqp98l50qjid 1039154 1039153 2026-06-17T13:49:36Z Mkant00 135890 1039154 wikitext text/x-wiki သင်္ချာတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဆိုသည်မှာ မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှု၌ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ဖလှယ်ရ ကွင်းများအကြောင်းကို အဓိကထား လေ့လာသော ဘာသာရပ်ကို ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] snf5l5n2tm8miyrhi9725q0ugp6ki7y 1039155 1039154 2026-06-17T13:55:57Z Mkant00 135890 1039155 wikitext text/x-wiki သင်္ချာတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဆိုသည်မှာ မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှု၌ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ဖလှယ်ရ ကွင်းများအကြောင်းကို အဓိကထား လေ့လာသော ဘာသာရပ်ကို ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် (Definition) === <math>(R, +, \cdot)</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤနေရာတွင် <math>R</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ထဲမှ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် <math>+</math> နှင့် <math>\cdot</math> ဟူသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operations) နှစ်ခု ပါဝင်သည်။ အဆိုပါ <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ဖလှယ်ရ ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရပါမည်။ * အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် <math>(R, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ * မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် <math>(R, \cdot)</math> သည် [[ဆီမီးအုပ်စု]] (semigroup) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ * ထို့ပြင် <math>R</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>a, b</math> အတွက်မဆို <math>a \cdot b = b \cdot a</math> ဖြစ်ရမည်။ ဤအချက်ကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (distributive laws) ကို လိုက်နာရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>R</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>a, b, c</math> အတွက်မဆို <math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math> နှင့် <math>(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)</math> ဟူ၍ အမြဲတမ်း မှန်ကန်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်များအားလုံးကို ပြည့်စုံစေသော ကွင်းမျိုးကို ဖလှယ်ရ ကွင်းဟု သတ်မှတ်သည်။ ဆီမီးအုပ်စု <math>(R,\cdot)</math> တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက်အကျုံးဝင်သော ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်ခဲ့လျှင် ယင်းကို [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထိုအခါ <math>(R, +, \cdot)</math> ကို ဖလှယ်ရ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (commutative unital ring) ဟု ခေါ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] 52cxcrlnvupaxn9kt0nfgsu3txhyssb 1039163 1039155 2026-06-17T14:14:48Z Mkant00 135890 1039163 wikitext text/x-wiki သင်္ချာတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဆိုသည်မှာ မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှု၌ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ဖလှယ်ရ ကွင်းများအကြောင်းကို အဓိကထား လေ့လာသော ဘာသာရပ်ကို ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် (Definition) === <math>(R, +, \cdot)</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ဤနေရာတွင် <math>R</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ထဲမှ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် <math>+</math> နှင့် <math>\cdot</math> ဟူသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operations) နှစ်ခု ပါဝင်သည်။ အဆိုပါ <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ဖလှယ်ရ ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရပါမည်။ * အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် <math>(R, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ * မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် <math>(R, \cdot)</math> သည် [[ဆီမီးအုပ်စု]] (semigroup) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ * ထို့ပြင် <math>R</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>a, b</math> အတွက်မဆို <math>a \cdot b = b \cdot a</math> ဖြစ်ရမည်။ ဤအချက်ကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * <math>(R, +, \cdot)</math> သည် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) ကို လိုက်နာရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>R</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>a, b, c</math> အတွက်မဆို <math>a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math> ဟူ၍ အမြဲတမ်း မှန်ကန်ရမည် ဖြစ်သည်။ ဤကွင်းသည် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိရှိထားပြီးဖြစ်သောကြောင့် <math>a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math> ဟူ၍ မှန်ကန်ရုံဖြင့် <math> (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math> သည် အလိုအလျောက် မှန်ကန်ပြီး ဖြစ်သည်။ ဤအချက်များအားလုံးကို ပြည့်စုံစေသော ကွင်းမျိုးကို ဖလှယ်ရ ကွင်းဟု သတ်မှတ်သည်။ အထက်ပါ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်တွင် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအတွက် <math>(R, \cdot)</math> ကို ဆီမီးအုပ်စုအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ထားသောကြောင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရကိန်း (multiplicative identity) သို့မဟုတ် ကိန်း <math>1</math> ပါဝင်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဆီမီးအုပ်စု <math>(R,\cdot)</math> တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက်အကျုံးဝင်သော ထပ်တူရအစုဝင် <math>1</math> ပါဝင်ခဲ့လျှင် ယင်းကို [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထိုအခါ <math>(R, +, \cdot)</math> ကို ဖလှယ်ရ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (commutative unital ring) ဟု ခေါ်သည်။ ဤသည်မှာ သင်္ချာစာပေအချို့တွင် လက်ခံအသုံးပြုသည်။ ခေတ်သစ် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ စာအုပ်အများစုတွင် ကွင်းတစ်ခု၌ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရကိန်း အမြဲတမ်း ပါဝင်ရမည်ဟု စံသတ်မှတ်ကြသည်။ ထိုခေတ်သစ်စံနှုန်းအရ အထက်ပါ ထပ်တူရကိန်းမပါသော ကွင်းမျိုးကို အင်္ဂလိပ်စာလုံးပေါင်း "ring" မှ identity ကိုယ်စားပြု "i" ကိုဖယ်ထုတ်ကာ "rng" ဟု သီးသန့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ ထပ်တူရကိန်းပါဝင်သော ကွင်းများကိုသာ ဖလှယ်ရ ကွင်း သို့မဟုတ် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်းဟု ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] qmtl9u4oobq71wni4nxni15vujtay1m 0 288149 1039157 2026-06-17T13:58:54Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1357232267|Data type]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039157 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Python_3._The_standard_type_hierarchy-en.svg|thumb|[[ပိုင်သွန်|ပိုင်သွန် ၃ (Python 3)]] ၏ စံနှုန်းပြ ဒေတာအမျိုးအစား အဆင့်ဆင့် တည်ဆောက်ပုံ]] '''[[ဒေတာအမျိုးအစား]]''' ({{lang-en|data type}} သို့မဟုတ် ရိုးရှင်းစွာဖြင့် type) ဆိုသည်မှာ [[ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]နှင့် ပရိုဂရမ်ရေးဆွဲခြင်းတွင် ကွန်ပျူတာစနစ်က အချက်အလက်များကို မည်သို့နားလည်ပြီး မည်သို့တွက်ချက်လုပ်ဆောင်ရမည်ကို ပြောပြပေးသည့် အမှတ်အသားတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.geeksforgeeks.org/dsa/data-types-in-programming/ GeeksforGeeks ရှိ Data Types in Programming ဆောင်းပါး]</ref> ၎င်းသည် ကိန်းရှင် (Variable) တစ်ခုအတွင်း သိမ်းဆည်းမည့် အချက်အလက်များ၏ ပုံစံကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အပြင် ထိုအချက်အလက်များပေါ်တွင် မည်သည့်သင်္ချာ သို့မဟုတ် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းစဉ်များ လုပ်ဆောင်ခွင့်ရှိသည်ကိုပါ ထိန်းချုပ်ကန့်သတ်ပေးသည်။<ref>[https://adacomputerscience.org/concepts/progcon_data_types Ada Computer Science ရှိ Data types အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်မင်းဘာသာစကား အများစုတွင် ကိန်းပြည့်ဂဏန်း (Integer)၊ ဒသမကိန်း (Float)၊ စာသား (String) နှင့် မှန်/မှား ခွဲခြားသည့်စနစ် (Boolean) ကဲ့သို့သော အခြေခံဒေတာအမျိုးအစားများကို အဓိက ထောက်ပံ့ပေးထားသည်။<ref>[https://www.savemyexams.com/igcse/computer-science/cie/23/revision-notes/8-programming/programming-concepts/data-types/ Save My Exams ရှိ IGCSE Computer Science Revision Notes - Data Types]</ref> [[ကဏ္ဍ:ပရိုဂရမ်းမင်း ဘာသာစကား]] [[ကဏ္ဍ:ပရိုဂရမ်းမင်း]] [[ကဏ္ဍ:ဒေတာဖွဲ့စည်းပုံ]] [[ကဏ္ဍ:ဒေတာအမျိူးအစား]] rpyqwxnpkdd7nueyqrcqg6vbtv94z9x 3 288150 1039162 2026-06-17T14:13:50Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039162 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် စာဆိုတော် ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၁၃၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) cfx0mqvq8xep0sps1ne5bet1ersok1z 0 288151 1039165 2026-06-17T14:26:45Z Mkant00 135890 "[[:en:Special:Redirect/revision/1350926837|Initial and terminal objects]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039165 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] iz0ty87feovupunwr24vouu011nj7o6 1039166 1039165 2026-06-17T14:28:09Z Mkant00 135890 1039166 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] g4urnn0rlfergv3gttpteb29qp0l3sp 1039168 1039166 2026-06-17T14:29:58Z Mkant00 135890 1039168 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ==အစ အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ==အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ == အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Universal properties of Initial and Terminal objects) == အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အစ အရာဝတ္ထု''' (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ <math>C(c,-): C \rightarrow Set</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းသေ ဖန်တာသည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု''' (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ <math>C(-,c): C^{op} \rightarrow Set</math> သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 5h7zzpz40scnn2b8tjnv0gjda9tmlh0 1039172 1039168 2026-06-17T14:34:59Z Mkant00 135890 1039172 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ==အစ အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ==အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ == အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Universal properties of Initial and Terminal objects) == အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အစ အရာဝတ္ထု''' (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ <math>C(c,-): C \rightarrow Set</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းသေ ဖန်တာသည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု''' (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ <math>C(-,c): C^{op} \rightarrow Set</math> သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြု၍ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုကို မည်သည့်အရာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသနည်းဟု မေးမည့်အစား အခြားအရာဝတ္ထုများအားလုံးနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟု ကျွန်ုပ်တို့ မေးခွန်းထုတ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်း အစုသီအိုရီအရ တည်ဆောက်ပုံကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to unique isomorphism) ဂုဏ်သတ္တိရှိကြသည်။ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများအတွက် သက်သေပြချက်သည်လည်း ဒွန်တွဲစွာဖြင့် အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>I</math> နှင့် <math>I'</math> နှစ်ခုလုံးသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>f: I \to I'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>I'</math> သည်လည်း အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>g: I' \to I</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>g \circ f</math> သည် <math>I</math> မှ <math>I</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>I</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>\text{id}_I: I \to I</math> သည် မဖြစ်မနေ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် <math>g \circ f = \text{id}_I</math> ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ *အလားတူပင် <math>f \circ g</math> သည် <math>I'</math> မှ <math>I'</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>I'</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>f \circ g = \text{id}_{I'}</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် အစ အရာဝတ္ထု နှစ်ခုမဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === အစုများ၊ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== Set ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>\mathsf{Ring}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] bryxj7ejfxx9d6wnxa6px6hjfb1b98e 1039173 1039172 2026-06-17T14:36:10Z Mkant00 135890 1039173 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ==အစ အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ==အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ == အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Universal properties of Initial and Terminal objects) == အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း ဖန်တာများ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အစ အရာဝတ္ထု''' (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ <math>C(c,-): C \rightarrow Set</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းသေ ဖန်တာသည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု''' (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ <math>C(-,c): C^{op} \rightarrow Set</math> သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြု၍ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုကို မည်သည့်အရာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသနည်းဟု မေးမည့်အစား အခြားအရာဝတ္ထုများအားလုံးနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟု ကျွန်ုပ်တို့ မေးခွန်းထုတ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်း အစုသီအိုရီအရ တည်ဆောက်ပုံကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to unique isomorphism) ဂုဏ်သတ္တိရှိကြသည်။ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများအတွက် သက်သေပြချက်သည်လည်း ဒွန်တွဲစွာဖြင့် အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>I</math> နှင့် <math>I'</math> နှစ်ခုလုံးသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>f: I \to I'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>I'</math> သည်လည်း အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>g: I' \to I</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>g \circ f</math> သည် <math>I</math> မှ <math>I</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>I</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>\text{id}_I: I \to I</math> သည် မဖြစ်မနေ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် <math>g \circ f = \text{id}_I</math> ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ *အလားတူပင် <math>f \circ g</math> သည် <math>I'</math> မှ <math>I'</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>I'</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>f \circ g = \text{id}_{I'}</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် အစ အရာဝတ္ထု နှစ်ခုမဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === အစုများ၊ အုပ်စုများ၊ ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== Set ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>\mathsf{Ring}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] mn7pqh9xz9ngv347w5gvp398nkmf0ts 1039179 1039173 2026-06-17T14:49:55Z Mkant00 135890 1039179 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ==အစ အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အစ အရာဝတ္ထု (initial object) <math>I</math>''' ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>I \to X</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ ==အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု== ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object)''' <math>T</math> ဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>X \in \mathcal{C}</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>X \to T</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိနေသည့် အရာဝတ္ထုဖြစ်သည်။ == အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Universal properties of Initial and Terminal objects) == အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုတို့၏ သဘောတရားကို ဟွမ်း [[ဖန်တာ]]များ (hom functors) အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အစ အရာဝတ္ထု''' (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ <math>C(c,-): C \rightarrow Set</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း#သဘာဝ_အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_(Natural_Isomorphism)|သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic)]] ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကိန်းသေ ဖန်တာသည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု''' (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ <math>C(-,c): C^{op} \rightarrow Set</math> သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြု၍ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုကို မည်သည့်အရာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသနည်းဟု မေးမည့်အစား အခြားအရာဝတ္ထုများအားလုံးနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟု ကျွန်ုပ်တို့ မေးခွန်းထုတ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် ဖွဲ့စည်းပုံဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်း အစုသီအိုရီအရ တည်ဆောက်ပုံကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ အစ အရာဝတ္ထုများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique up to unique isomorphism) ဂုဏ်သတ္တိရှိကြသည်။ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများအတွက် သက်သေပြချက်သည်လည်း ဒွန်တွဲစွာဖြင့် အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>I</math> နှင့် <math>I'</math> နှစ်ခုလုံးသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>f: I \to I'</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>I'</math> သည်လည်း အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင် <math>g: I' \to I</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>g \circ f</math> သည် <math>I</math> မှ <math>I</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *<math>I</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>I</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>\text{id}_I: I \to I</math> သည် မဖြစ်မနေ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် <math>g \circ f = \text{id}_I</math> ဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ *အလားတူပင် <math>f \circ g</math> သည် <math>I'</math> မှ <math>I'</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>I'</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်သောကြောင့် <math>f \circ g = \text{id}_{I'}</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် အပြန်အလှန် ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် အစ အရာဝတ္ထု နှစ်ခုမဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === အစ နှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများဆိုင်ရာ ဥပမာများ === [[အစု|အစုများ]]၊ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]၏ ကတ်တဂိုရီများကို လေ့လာကြည့်လျှင် ၎င်းတို့၌ အစ အရာဝတ္ထုများ တည်ရှိပါက များသောအားဖြင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် သိပ်မကောင်းလှပေ။ ထိုသို့ စိတ်ဝင်စားဖွယ် မကောင်းသော်လည်း ၎င်းတို့သည် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ==== အစုများ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> သည် [[ အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>f: \emptyset \to X</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြရမည်။ *ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(a, b)</math> များပါဝင်သော အစုတစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ *ဤတွင် အရင်းအမြစ်ရှိ မည်သည့် <math>a</math> မဆိုသည် ပစ်မှတ်ရှိ <math>b</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *အရင်းအမြစ်ဖြစ်သော <math>\emptyset</math> တွင် မည်သည့် အစုဝင်မျှ မပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်ပေးမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲများအစုသည် ဗလာအစုသာ ဖြစ်ရမည်။ *ဤ "ဗလာအစု ဖန်ရှင်" (empty function) သည် အလိုအလျောက် ပုံစံတကျ ဖြစ်တည်နေပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်လည်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(\emptyset, X)| = 1</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> မဆိုသည် <math>\mathsf{Set}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို <math>g: X \to \{*\}</math> သို့သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိကြောင်း ပြသရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် အစုဝင် <math>*</math> တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> တိုင်းအတွက် ရောက်ရှိနိုင်သော နေရာတစ်ခုသာ ရှိသည်။ *ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်သမျှသော တစ်ခုတည်းသော ဖန်ရှင်မှာ <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို <math>g(x) = *</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) သာဖြစ်သည်။ *ဤဖန်ရှင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သောကြောင့် <math>|\text{Hom}_{\mathsf{Set}}(X, \{*\})| = 1</math> ဖြစ်သည်။ ==== အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ ==== ဗလာအစုသည် အုပ်စုတစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အုပ်စုတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အသေးအဖွဲ အုပ်စု (trivial group) <math>\{e\}</math> သည် [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathsf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \{e\} \to G</math> သည် အရင်းအမြစ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ပစ်မှတ်၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သို့ဖြစ်၍ <math>\phi(e) = e_G</math> ဖြစ်သည်။ *<math>e</math> သည် အရင်းအမြစ်ရှိ တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ဤ[[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်နိုင်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုဖြစ်ခြင်း''': *မည်သည့် အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: G \to \{e\}</math> သည် <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>g</math> တိုင်းကို ပစ်မှတ်ရှိ အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *ပစ်မှတ်တွင် <math>e</math> သာ ပါဝင်သောကြောင့် <math>G</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\psi(g) = e</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဤကိန်းသေ ပုံဖော်မှုသည် အုပ်စု တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ *ဆိုလိုသည်မှာ <math>\psi(g_1 g_2) = e = e \cdot e = \psi(g_1)\psi(g_2)</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ *<math>\{e\}</math> သည် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို သုည အရာဝတ္ထု (zero object) အဖြစ် ပုံမှန်အားဖြင့် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ==== ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် ကျွန်ုပ်တို့ တိကျရန် လိုအပ်သည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ ]] <math>\mathsf{Ring}</math> သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများကို (unital rings) ကိုယ်စားပြုလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>1_R</math> ပါရှိသော ကွင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းကတ်တဂိုရီရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဤထပ်တူရအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည် ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ <math>\phi(1_R) = 1_S</math> ဖြစ်ရမည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *မည်သည့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: \mathbb{Z} \to R</math> သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ #အပေါင်းတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> ဖြစ်သည်။ #မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်း။ ညီမျှခြင်းအားဖြင့် <math>\phi(1) = 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *<math>\mathbb{Z}</math> ကို အပေါင်းနည်းဖြင့် <math>1</math> မှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ထားသောကြောင့် ဤစည်းမျဉ်းနှစ်ခုသည် ပုံဖော်မှုကို အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ပေးသည်။ *မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>\phi(n) = \phi(1 + 1 + \dots + 1) = 1_R + 1_R + \dots + 1_R = n \cdot 1_R</math> ဖြစ်သည်။ *ထို့ပြင် <math>\phi(-n) = -\phi(n) = -n \cdot 1_R</math> နှင့် <math>\phi(0) = 0_R</math> တို့ဖြစ်သည်။ *ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးပြီး ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> မှ <math>R</math> သို့သွားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ သုည ကွင်း (zero ring) <math>\{0\}</math> သည် <math>\mathsf{Ring}</math> အတွင်းရှိ အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *သုည ကွင်းတွင် <math>0</math> ဟူသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ *မည်သည့် ကွင်း <math>R</math> အတွက်မဆို ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\psi: R \to \{0\}</math> သည် <math>R</math> အတွင်းရှိ <math>r</math> တိုင်းကို <math>0</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ *သုည ကွင်းတွင် <math>1=0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\psi(1_R) = 1_{\{0\}}</math> ဖြစ်ရမည်ဟူသော လိုအပ်ချက်သည် <math>\psi(1_R) = 0</math> အဖြစ် ဘေးကင်းစွာ ကူးပြောင်းသွားပြီး ၎င်းသည် မှန်ကန်သည်။ *ဤအသေးအဖွဲ ပုံဖော်မှုသည် မှန်ကန်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ သွားနိုင်သော တစ်ခုတည်းသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သောကြောင့် သုည ကွင်းသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု ဖြစ်သည်။ ==== ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ ==== ဤနေရာတွင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အခြေအနေတစ်ခု ရှိလာသည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] တစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ပါရှိသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] တွင် အစ အရာဝတ္ထုရော အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုပါ မရှိပေ။ '''သက်သေပြချက်''': '''အစ အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ထိုသို့ဆိုလျှင် <math>K</math> မှ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ဆီသို့မဆို ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> အခြေခံ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{F}_p</math> ဆီသို့ ဖြစ်စေ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိရမည်။ *ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဖီးလ်ဒ်၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) ကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ *သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{F}_p</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုးမှာ <math>p</math> ဖြစ်သည်။ *ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ကိုယ်တိုင်တွင် ပုံသေ ဝိသေသတန်ဖိုးတစ်ခုသာ ရှိရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ကွဲပြားသော ဝိသေသတန်ဖိုးများရှိသည့် ဖီးလ်ဒ်များဆီသို့ တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပုံဖော်၍ မရနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် ၎င်း အစ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။ '''အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု မရှိခြင်း''': *[[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခုသည် မဖြစ်မနေ [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (injective) ဖြစ်ရမည်။ *အကယ်၍ အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် <math>T</math> သာ တည်ရှိခဲ့ပါက ဖြစ်နိုင်သမျှသော ဖီးလ်ဒ်တိုင်းမှ <math>T</math> ဆီသို့ သွားမည့် အင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ *ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ်တိုင်း၏ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သော မိတ္တူတစ်ခုစီကို ငုံထားနိုင်လောက်အောင် <math>T</math> သည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားရမည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ *သို့သော် ကန်တာ၏ သီအိုရမ်နှင့် အစုသီအိုရီ၏ ဝိရောဓိများအရ ဖီးလ်ဒ်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ *မည်သည့် အစု <math>T</math> တစ်ခုတည်းကမျှ ဖီးလ်ဒ်အားလုံး၏ မိတ္တူများကို မငုံထားနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် အဆုံးသတ် ဖီးလ်ဒ် ဟူ၍ မတည်ရှိနိုင်ပေ။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] eicbaswm7uhh9p8ihtjy4bmqs5yr8yu 0 288153 1039180 2026-06-17T15:02:40Z Mkant00 135890 "[[:en:Special:Redirect/revision/1356649035|Limit (category theory)]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039180 wikitext text/x-wiki ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] nqgv4vvu3pm9l258rbpmkiyq4mu41ye 1039181 1039180 2026-06-17T15:04:25Z Mkant00 135890 1039181 wikitext text/x-wiki ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ === ကတော့ပုံများမှတစ်ဆင့် စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits via Cones) === <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်''': အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ <math>\blacksquare</math> === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 9wrhz28g2l012cp0mc34ud2wi9xob2f 1039182 1039181 2026-06-17T15:07:59Z Mkant00 135890 1039182 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ==စုဆုံမှတ်(Limit) == <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်။ ။''' အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit) == <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 6mc6hfz8u1ibf2e7pd8hduzdg8jubcj 1039184 1039182 2026-06-17T15:11:29Z Mkant00 135890 1039184 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ==စုဆုံမှတ်(Limit) == <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်။ ။''' အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit) == <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] hqmvrummpmudbxsy580vqj2xfbrggqz 1039193 1039184 2026-06-17T15:19:45Z Mkant00 135890 1039193 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ==စုဆုံမှတ်(Limit) == <math>F: \mathcal{I} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ]] (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်။ ။''' အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit) == <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] qyjrd463f81xu7tvfl87sfn5y3udwfg 1039194 1039193 2026-06-17T15:25:36Z Mkant00 135890 1039194 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ==စုဆုံမှတ်(Limit) == <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ]] (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်။ ။''' အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit) == <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) === ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော ဖန်တာတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> === ညီမျှပိုင်း (Equalizer) === ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ === ပူးလ်ဘက် (Pullback) === ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ ==== တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) ==== ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) === ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ === တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) === ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) ==== ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) ==== ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ ==== ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) ==== ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) ==== ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] dhk52nls8y6fad6rm2g018gtv2xqxn9 1039198 1039194 2026-06-17T15:35:04Z Mkant00 135890 1039198 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (category theory) စုဆုံမှတ် (limit) ဟူသော သရုပ်မဲ့ (abstract) သဘောတရားသည် မြှောက်လဒ်များ (products)၊ ပူးလ်ဘက်များ (pullbacks) နှင့် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (inverse limits) အစရှိသည့် စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ (universal constructions) ၏ အခြေခံကျသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လွှမ်းခြုံဖော်ပြသည်။ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ဟူသော ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ (dual) သဘောတရားသည် ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions)၊ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ်များ (categorical sums/ coproducts)၊ ပွတ်ရှ်အောက်များ (pushouts) နှင့် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ်များ (direct limits) အစရှိသော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။ ==စုဆုံမှတ်(Limit) == <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ပုံကြမ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>\Delta_L: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>F</math> ၏ '''စုဆုံမှတ် (limit)''' ကို <math>\lim F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ#ပုံကြမ်းအထက်ရှိ_ကတော့ပုံ_(Cone_Over_a_Diagram)|<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\int \operatorname{Cone}(-, F)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် စုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>L \in \mathcal{C}</math> နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|စကြဝဠာ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ]] (universal limit cone) <math>\lambda: \Delta_L \Rightarrow F</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ === စုဆုံမှတ်များ၏ အခြေခံအားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Essential Uniqueness of Limits) === ဘုံတူညီသော ပုံကြမ်း <math>F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}</math> အထက်ရှိ စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> တို့ ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့ကြားတွင် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>\phi: L \to L'</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် စုဆုံမှတ် ကတော့ပုံများ၏ ခြေတံများနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည်။ '''သက်သေပြချက်။ ။''' အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>(L, \lambda)</math> နှင့် <math>(L', \lambda')</math> နှစ်ခုလုံးသည် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် ကတော့ပုံများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: (L', \lambda') \to (L, \lambda)</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ဤသည်မှာ <math>\mathcal{J}</math> အတွင်းရှိ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\lambda_i \circ u = \lambda'_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>u: L' \to L</math> တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုနည်းတူစွာပင် <math>(L', \lambda')</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>\lambda'_i \circ v = \lambda_i</math> ဖြစ်စေမည့် <math>v: L \to L'</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော မော်ဖစ်ဇင် <math>v: (L, \lambda) \to (L', \lambda')</math> တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>u \circ v</math> သည် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း <math>(L, \lambda)</math> သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]]ဖြစ်သောကြောင့် <math>(L, \lambda)</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်ဟူ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာ တည်ရှိရမည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) <math>\operatorname{id}_L</math> သာလျှင် ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် <math>u \circ v = \operatorname{id}_L</math> ဖြစ်သည်။ တူညီသော အကြောင်းပြချက်အရ <math>v \circ u = \operatorname{id}_{L'}</math> ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>v</math> သည် <math>L</math> နှင့် <math>L'</math> ကြားရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို ကတော့ပုံ တည်ဆောက်ပုံများက တစ်ခုတည်းသီးသန့်အဖြစ် ပုံဖော်သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit) == <math>F</math> ၏ '''ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit)''' ကို <math>\operatorname{colim} F</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီ <math>\int \operatorname{Cone}(F, -)</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းတွင် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် အရာဝတ္ထု <math>C \in \mathcal{C}</math> နှင့် စကြဝဠာ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ (universal colimit cone) <math>\mu: F \Rightarrow \Delta_C</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ == ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (Limit and Colimit of the Empty Diagram) == ထူးခြားသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ ဗလာ ကတ်တဂိုရီ (empty category) <math>\mathcal{J} = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ ဗလာ ကတ်တဂိုရီမှ မြစ်ဖျားခံသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထု သတ်မှတ်ပေးမှုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင် သတ်မှတ်ပေးမှုများ မပါဝင်ပေ။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> အတွက်မဆို ဗလာပုံကြမ်း၏ စုဆုံမှတ်သည် [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်ပြီး ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည်[[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] ဖြစ်သည်။ '''သက်သေပြချက်''': *<math>F: \emptyset \to \mathcal{C}</math> ကို ဗလာ ပုံကြမ်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ *<math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> နှင့် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>j \in \emptyset</math> များဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ မိသားစု <math>\lambda_j: c \to F(j)</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *၎င်းတို့သည် <math>\emptyset</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>f: j \to k</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ တြိဂံများကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည်။ *အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ <math>\emptyset</math> တွင် အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မပါဝင်သောကြောင့် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများအတွက် အညွှန်းတပ်ထားသော အစုသည် ဗလာဖြစ်ပြီး လိုအပ်သော ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဆိုင်ရာ အခြေအနေများသည်လည်း မရှိနိုင်ပေ။ *ထို့ကြောင့် <math>F</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံကို သတ်မှတ်ပေးသော အချက်အလက်များတွင် အခြား မည်သည့် တည်ဆောက်ပုံမျှ မပါဝင်ဘဲ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထု <math>c \in \mathcal{C}</math> တစ်ခုတည်းသာ သီးသန့် ပါဝင်သည်။ *ထိုကဲ့သို့သော ကတော့ပုံနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဆိုသည်မှာ <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ ၎င်းတို့၏ ထိပ်ဖျား အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်းအထက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathcal{C}</math> ကိုယ်တိုင်နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] (terminal object) တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီသည် <math>\mathcal{C}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု|အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ *ဒွန်တွဲမှု (duality) နိယာမအရ ဗလာပုံကြမ်းအောက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် အောက်ခြေ အရာဝတ္ထု <math>d \in \mathcal{C}</math> သာလျှင် အပြည့်အဝ ပါဝင်သည်။ *ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) ကို <math>F</math> အောက်ရှိ ကတော့ပုံများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ဗလာပုံကြမ်း၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် <math>\mathcal{C}</math> အတွင်းရှိ [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု#အစ_အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> == ညီမျှပိုင်း (Equalizer) == ညီမျှပိုင်း (equalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ ပုံကြမ်း (parallel pair diagram) <math>f,g:A \rightrightarrows B</math> တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤစုံတွဲအထက်ရှိ ကတော့ပုံကို <math>fa = ga</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>a:C\rightarrow A</math> တစ်ခုတည်းဖြင့် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ညီမျှပိုင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံသော စကြဝဠာ မြား (universal arrow) <math>h:E\rightarrow A</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]]တွင် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]ဖြစ်သော <math>\phi</math> နှင့် <math>\psi</math> တို့၏ ညီမျှပိုင်းသည် <math>\phi(g) = \psi(g)</math> ဖြစ်စေမည့် [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့ထဲမှ တစ်ခုသည် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) ဖြစ်နေပါက ညီမျှပိုင်းသည် အခြား ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်၏ ကာနယ် (kernel) ပင်ဖြစ်သည်။ == ပူးလ်ဘက် (Pullback) == ပူးလ်ဘက် (pullback) သည် ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း (cospan diagram) တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်းဆိုသည်မှာ ဘုံတူညီသော ပစ်မှတ်တစ်ခုရှိသည့် ထပ်တူရမဟုတ်သော မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု ပါဝင်သော ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>B \rightarrow A \leftarrow C</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထိပ်ဖျား <math>D</math> ရှိသော ဒွန်တွဲစပန် ပုံကြမ်း <math>B \xrightarrow{f} A \xleftarrow{g} C</math> အထက်ရှိ ကတော့ပုံတစ်ခုတွင် ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤပူးလ်ဘက် <math>P</math> ကို ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>B \times_A C</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xleftarrow{m} \mathbb{Z}</math> ၏ ပူးလ်ဘက်တွင် <math>nx=my</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့်အတွဲ <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်သည်။ ဤပူးလ်ဘက်သည် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ ထိုကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားပြီး <math>ma=nb</math> သည် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပူးလ်ဘက် နှင့် ဖိုက်ဘာများ (The Topological Pullback and Fibers) === ဤဥပမာသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton) ပါဝင်နေသော <math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ပူးလ်ဘက် ပုံကြမ်း (pullback diagram) တစ်ခုကို စဉ်းစားထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ပူးလ်ဘက်သည် အမှတ်တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖိုက်ဘာ (fiber) သို့မဟုတ် မူလပုံရိပ် (preimage) ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ <math>\rho: \mathbb{R} \to S^1</math> သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း (circle line) သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းကို ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ <math>i: \{*\} \to S^1</math> သည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု ကို တိကျသော အမှတ် <math>1 \in S^1</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ '''ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ပုံ နှင့် သက်သေပြချက် (Formal Construction and Proof)''': *<math>\mathbf{Top}</math> အတွင်းရှိ ဒွန်တွဲစပန် (cospan) <math>X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y</math> တစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (cartesian product) ရပ်ဝန်း <math>X \times Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ကို ယူ၍ တည်ဆောက်သည်။ *၎င်းရပ်ဝန်းပိုင်းတွင် <math>f(x) = g(y)</math> ဖြစ်စေမည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(x,y)</math> များ ပါဝင်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (subspace topology) တပ်ဆင်ထားသည်။ *ကျွန်ုပ်တို့၏ တိကျသော ပုံကြမ်း <math>\mathbb{R} \xrightarrow{\rho} S^1 \xleftarrow{i} \{*\}</math> အတွက် ပူးလ်ဘက်ရပ်ဝန်း <math>P</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>P = \{(t, *) \in \mathbb{R} \times \{*\} \mid \rho(t) = i(*)\}</math> *<math>P = \{t \in \mathbb{R} \mid e^{2\pi i t} = 1\}</math> *အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) အရ <math>e^{2\pi i t} = \cos(2\pi t) + i\sin(2\pi t)</math> ဖြစ်သည်။ *ဤသည် <math>1</math> နှင့် ညီမျှရန်အတွက် <math>\cos(2\pi t) = 1</math> နှင့် <math>\sin(2\pi t) = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ *၎င်းသည် <math>t</math> သည် ကိန်းပြည့် (integer) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ပင်ဖြစ်သည်။ *ထို့ကြောင့် ပူးလ်ဘက်၏ အခြေခံအစု (underlying set) သည် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ *<math>P</math> အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီသည် စံ တိုပေါ်လော်ဂျီပါရှိသော <math>\mathbb{R} \times \{*\} \cong \mathbb{R}</math> မှ ဆင်းသက်လာသည့် ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းရှိ သီးခြားဖြစ်နေသောအမှတ်များ ဖြစ်သောကြောင့် လည်းကောင်း <math>P</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{Z}</math> ပင်ဖြစ်သည်။ *အမှတ်တစ်ခု ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း တစ်လျှောက်ရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ ပူးလ်ဘက်သည် ထိုအမှတ်၏ ဖိုက်ဘာ (fiber) ကို ရရှိစေသည်ဟူသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်ကို ဤအချက်က ပုံစံတကျ (formal) သက်သေပြလိုက်ခြင်းဖြစ်သည်။ == ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များ (Inverse Limits) == ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် (inverse limit) သည် <math>\omega^{op}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\dots \rightarrow F_3 \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0</math> ဟူသော အရာဝတ္ထုများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤအချက်အလက်များကို ထိပ်ဖျား <math>c</math> မှနေ၍ ကတော့ပုံတစ်ခုအဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\lim F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါကိန်းစဉ်အထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံ (terminal cone) ပင်ဖြစ်သည်။ နောက်ထပ် ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> ကို လေ့လာနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ကွင်းများဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/p^n</math> ကြားရှိ စားလဒ် ပုံဖော်မှု (quotient map) များ ကိန်းစဉ်၏ ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ == တိကျသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ပုံသဏ္ဌာန်များ (Specific Colimit Shapes) == ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (colimits) သည် အထက်တွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြခဲ့သော စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများ၏ ဒွန်တွဲ (dual) ဖြစ်သည်။ === ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (Coproduct) === ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းလဒ် (coproduct) <math>\coprod_{j \in J} A_j</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ပုံကြမ်း (discrete diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံ၏ ခြေတံများကို ပေါင်းလဒ် အင်ဂျက်ရှင်းများ (coproduct injections) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းတို့ကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\iota_{j'}: A_{j'} \rightarrow \coprod_{j \in J} A_j</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ === ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (Coequalizer) === ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) သည် မျဉ်းပြိုင်စုံတွဲ (parallel pair) ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော <math>f,g: A \rightrightarrows B</math> တို့အတွက် ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းသည် <math>hf=hg</math> ဖြစ်စေမည့် စကြဝဠာ ပုံဖော်မှု (universal map) <math>h:B\rightarrow C</math> ဖြစ်သည်။ ဤဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ကတော့ပုံကို ခက်ရင်းခွ (fork) ဟု ပုံမှန်အားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\phi: G \rightarrow H</math> တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (cokernel) သည် <math>\phi</math> နှင့် အသေးအဖွဲ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (trivial homomorphism) <math>e: G \rightarrow H</math> တို့၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း ဖြစ်သည်။ === ပွတ်ရှ်အောက် (Pushout) === ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) သည် စပန် ပုံကြမ်း (span diagram) တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော ပုံဖော်မှုများအောက်ရှိ စကြဝဠာ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (universal commutative square) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဋ္ဌဂံပုံသဏ္ဌာန် ရပ်ဝန်း (figure eight space) သည် အခြေခံအမှတ်မပါသော ရပ်ဝန်း ပုံကြမ်း (unbased space diagram) <math>S^1 \leftarrow * \rightarrow S^1</math> ၏ ပွတ်ရှ်အောက် ဖြစ်သည်။ ဤရပ်ဝန်းသည် စက်ဝိုင်းနှစ်ခုကို ပူးပေါင်းထားသော <math>S^1 \vee S^1</math> ပုံစံဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မုန့်လက်ကောက် (torus) <math>T \cong S^1 \times S^1</math> ကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) တစ်လျှောက်တွင် အပိတ်ပြား (disk) <math>D^2</math> ကို ကပ်ခြင်းပါဝင်သည့် ပွတ်ရှ်အောက်မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ === ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (Sequential Colimit or Direct Limit) === ကိန်းစဉ်တန်း ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (sequential colimit) သို့မဟုတ် တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် (direct limit) သည် အော်ဒီနယ် (ordinal) <math>\omega</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော ပုံကြမ်းတစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow \dots</math> ကဲ့သို့သော ပုံကြမ်းမျိုးဖြစ်သည်။ ယင်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\text{colim} F_n</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် အစုများနှင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်းများ (inclusion maps) <math>X_0 \hookrightarrow X_1 \hookrightarrow \dots</math> ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) <math>\bigcup_{n \ge 0} X_n</math> ဖြစ်သည်။ CW ကွန်ပလက်စ် (CW complex) တစ်ခုသည် ၎င်း၏ <math>n</math>-အရိုးစုများ (<math>n</math>-skeleta) ၏ ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] a3gv2wyl1bxuz2ty87b6hawcg2dc37p 3 288154 1039185 2026-06-17T15:14:01Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039185 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် လှမင်းစိုး ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) scjowu1wv9hxtdcsyiy32ie3fsnqfpt 3 288155 1039186 2026-06-17T15:14:11Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039186 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35380-90 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 45sdi5twx1df7ycnxlxljpqcfh35clj 3 288156 1039187 2026-06-17T15:14:21Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039187 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35571-82 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) q0qwkpmcbz5xobz5p1rbfpbx7auypxv 3 288157 1039188 2026-06-17T15:14:31Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039188 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Veratheressyq ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 8nhanj08bxd6rktrd71j7pejjzxig3k 0 288158 1039189 2026-06-17T15:16:27Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039189 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 4ewnfp8971e57k0bpkvpz6310ny77zx 1039191 1039189 2026-06-17T15:16:56Z Quinlan83 93319 + 1039191 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 2us0sk4mpgr3otvm3ug6p25p2a4801k 1039234 1039191 2026-06-17T17:13:04Z Choco Miles 142646 1039234 wikitext text/x-wiki {{db-g7}} {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] cocrc8qm0qzs45kbfwvnxw2srrdijoz 1039314 1039234 2026-06-18T02:45:50Z ~2026-35587-76 144544 1039314 wikitext text/x-wiki {{Db-a10|article=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{db-g7}} {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] e7ny16754p6x8jilr21pelkavrk2djo 0 288159 1039190 2026-06-17T15:16:38Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039190 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 8m8lu6as4v1r533q6ug03331wit885z 1039192 1039190 2026-06-17T15:17:15Z Quinlan83 93319 + 1039192 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် ဝဘ်ဆိုက်]</ref> ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။<ref>[https://techtarget.com TechTarget ရှိ Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ဆောင်းပါး]</ref> နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။<ref>[https://infoworld.com InfoWorld ရှိ Hugging Face: The GitHub of AI သတင်းဆောင်းပါး]</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://www.ibm.com/think/topics/hugging-face IBM Think ရှိ What is Hugging Face? ဆောင်းပါး]</ref> အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref>[https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ TechCrunch ရှိ Hugging Face wants to become your artificial BFF သတင်းဆောင်းပါး]</ref> ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://www.computerlanguage.com/results.php?definition=Hugging+Face Computer Language ရှိ Definition: Hugging Face အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်]</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|Wikipedia ရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး]]</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ NAIRR နှင့် ပတ်သက်သော တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>[https://x.com/BigScienceLLM BigScience Research Workshop ၏ တရားဝင် X အကောင့်]</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face ဘလော့ဂ်ရှိ AWS နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု သတင်းထုတ်ပြန်ချက်]</ref> ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။<ref>[https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ AWS တရားဝင် မော်ကွန်းဘလော့ဂ်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face တရားဝင် Documentation အညွှန်းစာမျက်နှာ]</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.scaleway.com/en/news/meta-hugging-face-and-scaleway-announce-a-new-ai-accelerator-program-for-european-startups/ Scaleway တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>[https://about.fb.com/news/2024/10/meta-hugging-face-and-scaleway-unveil-the-5-winners of-the-european-ai-startup-program-at-station-f/ Meta တရားဝင် သတင်းထုတ်ပြန်ချက်စာမျက်နှာ]</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>[https://thealliance.ai/blog/unesco-language-translator The Alliance AI ဘလော့ဂ်ရှိ UNESCO ဘာသာပြန်စနစ်အကြောင်း ရေးသားချက်]</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>[https://huggingface.org Hugging Face Spaces ရှိ UNESCO NLLB တရားဝင် Demo စာမျက်နှာ]</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂ hospital၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>[[:en:Hugging_Face|ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]]</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။ === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။<ref>[https://wikipedia.org ဝီကီပီးဒီးယားရှိ Hugging Face ဆောင်းပါး ရည်ညွှန်းချက်]</ref> ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 2us0sk4mpgr3otvm3ug6p25p2a4801k 1039197 1039192 2026-06-17T15:33:11Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039197 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2|class=skin-invert]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=page |first=Melissa Heikkiläarchive |title=Inside a radical new project to democratize AI |url=https://www.technologyreview.com/2022/07/12/1055817/inside-a-radical-new-project-to-democratize-ai/ |access-date=2026-06-17 |website=MIT Technology Review |language=en}}</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114122342/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2022-11-14 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>https://web.archive.org/web/20230530091325/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260208233423/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-08 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] k558uy8cin1bfhbpg9ntwilr58fcc90 1039200 1039197 2026-06-17T15:43:29Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039200 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}})|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=page |first=Melissa Heikkiläarchive |title=Inside a radical new project to democratize AI |url=https://www.technologyreview.com/2022/07/12/1055817/inside-a-radical-new-project-to-democratize-ai/ |access-date=2026-06-17 |website=MIT Technology Review |language=en}}</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114122342/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2022-11-14 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>https://web.archive.org/web/20230530091325/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260208233423/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-08 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] qstsmzvhlyuot36h2x86muxlxzbk0a1 1039201 1039200 2026-06-17T15:43:52Z Choco Miles 142646 "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039201 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်'''|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=page |first=Melissa Heikkiläarchive |title=Inside a radical new project to democratize AI |url=https://www.technologyreview.com/2022/07/12/1055817/inside-a-radical-new-project-to-democratize-ai/ |access-date=2026-06-17 |website=MIT Technology Review |language=en}}</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114122342/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2022-11-14 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>https://web.archive.org/web/20230530091325/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260208233423/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-08 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 40sdaw7nwj9tzjlstxb2si2i4yr1msp 1039212 1039201 2026-06-17T16:14:17Z Choco Miles 142646 Created by translating the section "History" from the page "[[:en:Special:Redirect/revision/1358955290|Hugging Face]]" 1039212 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်'''|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် [[ပွင့်လင်းသောရင်းမြစ်|ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်]](Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=page |first=Melissa Heikkiläarchive |title=Inside a radical new project to democratize AI |url=https://www.technologyreview.com/2022/07/12/1055817/inside-a-radical-new-project-to-democratize-ai/ |access-date=2026-06-17 |website=MIT Technology Review |language=en}}</ref> === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "[https://huggingface.co/bigscience/bloom BLOOM]" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114122342/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2022-11-14 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|ကလမန့် ဒီလန်း၊ ၂၀၂၃ ခုနှစ်]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>https://web.archive.org/web/20230530091325/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref><ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=https://web.archive.org/web/20260208233423/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-08 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။ === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref>နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်(Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref>ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "BLOOM" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=http://web.archive.org/web/20260313073015/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2026-03-13 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|Clément Delangue in 2023]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |title=Amazon Web Services pairs with Hugging Face to target AI developers |url=https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20250724143858/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-date=2025-07-24 |access-date=2026-06-17 |work=Reuters |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref> [[ဖိုင်:Thomas_Wolf_at_Slush_2024.jpg|right|thumb|Thomas Wolf in 2024]] ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=http://web.archive.org/web/20260210104246/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-10 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-01-30 |title=Hugging Face platform hijacked to send out Android malware |url=https://www.techradar.com/pro/security/hugging-face-platform-hijacked-to-send-out-android-malware-heres-what-we-know-so-far |access-date=2026-06-17 |website=TechRadar |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 2ge4k631ohehujdiqip7ff2emle4e68 1039217 1039212 2026-06-17T16:20:36Z Choco Miles 142646 1039217 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်'''|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}{{Contains special characters|emoticon}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref>နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်(Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref>ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "BLOOM" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=http://web.archive.org/web/20260313073015/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2026-03-13 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|Clément Delangue in 2023]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |title=Amazon Web Services pairs with Hugging Face to target AI developers |url=https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20250724143858/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-date=2025-07-24 |access-date=2026-06-17 |work=Reuters |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref> [[ဖိုင်:Thomas_Wolf_at_Slush_2024.jpg|right|thumb|Thomas Wolf in 2024]] ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=http://web.archive.org/web/20260210104246/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-10 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-01-30 |title=Hugging Face platform hijacked to send out Android malware |url=https://www.techradar.com/pro/security/hugging-face-platform-hijacked-to-send-out-android-malware-heres-what-we-know-so-far |access-date=2026-06-17 |website=TechRadar |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] fvbc6we8rarh4dzv9g5jgre806fszq8 1039230 1039217 2026-06-17T17:05:55Z Choco Miles 142646 ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်နှင့် မြန်မာဘာသာစကားအပိုင်း ထည့်သွင်းခြင်း 1039230 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်'''|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref>နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်(Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref>ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "BLOOM" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=http://web.archive.org/web/20260313073015/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2026-03-13 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|Clément Delangue in 2023]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |title=Amazon Web Services pairs with Hugging Face to target AI developers |url=https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20250724143858/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-date=2025-07-24 |access-date=2026-06-17 |work=Reuters |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref> [[ဖိုင်:Thomas_Wolf_at_Slush_2024.jpg|right|thumb|Thomas Wolf in 2024]] ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=http://web.archive.org/web/20260210104246/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-10 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-01-30 |title=Hugging Face platform hijacked to send out Android malware |url=https://www.techradar.com/pro/security/hugging-face-platform-hijacked-to-send-out-android-malware-heres-what-we-know-so-far |access-date=2026-06-17 |website=TechRadar |language=en}}</ref> == ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်နှင့် မြန်မာဘာသာစကား == [[ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်]] ပလက်ဖောင်းသည် [[မြန်မာဘာသာစကား]]ဆိုင်ရာ ဉာဏ်ရည်တုနှင့် Machine Learning နည်းပညာများ တိုးတက်လာစေရန်အတွက် အရေးပါသော နည်းပညာဆိုင်ရာ အခြေခံအရင်းအမြစ်များကို ပံ့ပိုးပေးထားသည်။ လက်ရှိ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ကိန်းဂဏန်းများအရ ဤပလက်ဖောင်းပေါ်တွင် မြန်မာဘာသာစကားအတွက် သီးသန့်ဖန်တီးထားသော Datasets ၄၃၁ ခုနှင့် နည်းပညာမော်ဒယ် (Models) ၂,၄၁၄ ခုအထိ ရှိလာပြီး ကမ္ဘာတစ်ဝှမ်းရှိ သုတေသီများနှင့် မြန်မာ့ AI နည်းပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့၏ ပရောဂျက်များကို ဤနေရာတွင် စုစည်း၍ ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ကြသည်။<ref>[https://huggingface.co/languages Hugging Face တရားဝင် ဘာသာစကားဆိုင်ရာ အချက်အလက်ပြ ဇယားစာမျက်နှာ]</ref> === နမူနာပြ ပရောဂျက်များနှင့် ဒေတာစုများ === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်တွင် တင်ရှိထားသော မြန်မာဘာသာစကားဆိုင်ရာ ပရောဂျက်များသည် ကွန်ပျူတာအမြင်အာရုံ (Computer Vision)၊ သဘာဝဘာသာစကား လုပ်ဆောင်ခြင်းစနစ် (NLP) နှင့် အသံပိုင်းဆိုင်ရာ Machine Learning စနစ်များအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ နယ်ပယ်တစ်ခုချင်းစီအတွက် နမူနာပရောဂျက်အချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - * '''မြန်မာစာလုံးပုံရိပ်ဆိုင်ရာ ဒေတာစု (MSSG):''' ခန့်ဆင့်ဟိဏ်း ({{lang-en|Khant Sint Heinn}}) က တီထွင်ဖန်တီးပြီး DatarrX ({{lang-my|ဒေတာအက်စ်}}) အဖွဲ့မှ ထုတ်ဝေထားသည့် "Myanmar Synthetic Syllable Glyphs" သည် မြန်မာစာသားများ၏ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံ ကွန်ပြူတာမက်ထရစ်ကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကြီးမားသော စာလုံးပုံရိပ်ဒေတာစု (Synthetic image dataset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အရွယ်အစား ပြောင်းလဲမွမ်းမံထားသော ဂလစ်ဖ်ပုံရိပ် (Glyph images) ပေါင်း ၁၄,၂၉၅,၅၅၂ ခု (၁၄ သန်း) ပါဝင်ပြီး မြန်မာဘာသာစကားအတွက် စာသားဖတ်စနစ် (OCR) နှင့် လက်ရေးဖတ်စနစ် (HTR) နည်းပညာများ ဖွံ့ဖြိုးလာစေရန် ရည်ရွယ်တည်ဆောက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.co/datasets/DatarrX/myanmar-synthetic-syllable-glyphs Hugging Face ရှိ Myanmar Synthetic Syllable Glyphs ဒေတာစုစာမျက်နှာ]</ref> * '''မြန်မာအသံဖန်တီးမှုဆိုင်ရာ ဒေတာစု:''' DatarrX ({{lang-my|ဒေတာအက်စ်}}) က ပြုစုထားသော "Burmese Synthetic Speech Corpus" သည် စာသားမှ အသံပြောင်းလဲသည့်စနစ် (Text-to-Speech - TTS) နှင့် အသံဖမ်းစနစ်များ တိုးတက်စေရန်အတွက် အထူးဒီဇိုင်းဆွဲထားသည့် အရည်အသွေးမြင့် အသံဒေတာစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ လူကိုယ်တိုင် အသေးစိတ် စစ်ဆေးအတည်ပြုထားသော အသံဖိုင်ပေါင်း ၁၀,၀၀၀ (၁ သိန်း) ခု ပါဝင်ပြီး သဘာဝကျသော မြန်မာအမျိုးသားနှင့် အမျိုးသမီး အသံဖန်တီးမှုနည်းပညာများအတွက် အသုံးပြုသည်။<ref>[https://huggingface.co/datasets/DatarrX/burmese-synthetic-speech-corpus Hugging Face ရှိ Burmese Synthetic Speech Corpus ဒေတာစုစာမျက်နှာ]</ref> * '''မြန်မာဂျီပီတီ မော်ဒယ် (MyanmarGPT):''' မင်းစည်သူ ({{lang-en|Min Si Thu}}) က မြန်မာဘာသာစကား သီးသန့်ဒေတာများဖြင့် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးထားသည့် "MyanmarGPT" သည် GPT-2 မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံထားသော စာသားထုတ်လုပ်မှု မော်ဒယ် (Text Generation Model) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤမော်ဒယ်သည် မြန်မာဘာသာစကားကို အလိုအလျောက် နားလည်သဘောပေါက်ပြီး စာသားများ ရေးသားထုတ်လုပ်နိုင်ရန် ကူညီပေးသည့်အပြင်၊ အခြားသော မြန်မာဘာသာစကားသုံး အဆင့်မြင့် AI မော်ဒယ်များ စိတ်ကြိုက်ပြောင်းလဲတည်ဆောက်နိုင်ရန်အတွက်လည်း လွယ်ကူစေသည်။<ref>[https://huggingface.co/jojo-ai-mst/MyanmarGPT Hugging Face ရှိ MyanmarGPT မော်ဒယ်စာမျက်နှာ]</ref> === မြန်မာ့ AI ဂေဟစနစ် တည်ဆောက်ခြင်း === မြန်မာဘာသာစကားသည် နည်းပညာအရ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော ဘာသာစကား (Low-resource language) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခံထားရသော်လည်း၊ ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကဲ့သို့သော ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် (Open Source) ပလက်ဖောင်းများမှတစ်ဆင့် မြန်မာ့နည်းပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့၏ သုတေသနရလဒ်များကို ကမ္ဘာ့အဆင့်မီ သုတေသီများနှင့် ချိတ်ဆက်မျှဝေလျက်ရှိသည်။ ဤစနစ်သည် မြန်မာ့နည်းပညာအသိုင်းအဝိုင်းအချင်းချင်း အသိပညာ ဗဟုသုတဖလှယ်နိုင်ရန်၊ ဒေသတွင်း AI ပရောဂျက်များ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ တိုးတက်လာစေရန်နှင့် မြန်မာဘာသာစကားအတွက် ဒေတာရင်းမြစ်များ စုစည်းမိလာစေရန်အတွက် အဓိက အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-02-20 |title=DatarrX (DatarrX) |url=https://huggingface.co/DatarrX |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref><ref>{{Cite web |last= |first=DatarrX |title=DatarrX Foundation |url=https://datarrx.org/ |access-date=2026-06-17 |website=datarrx.org |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 702mnh4vx7u35vs8auyvq85h01u5lml 1039232 1039230 2026-06-17T17:09:31Z Choco Miles 142646 1039232 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name='''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်'''|logo=[[File:Hugging Face logo.svg|frameless|upright=1.2]]|logo_alt=|type=[[ပုဂ္ဂလိကပိုင်]]|industry=[[ဉာဏ်ရည်တု]]<br>[[Machine Learning]]<br>[[ဆော့ဖ်ဝဲလ် ရေးဆွဲထုတ်လုပ်ရေး]]|founder=|hq_location_city=[[Manhattan|မန်ဟက်တန်]]၊ [[New York City|နယူးယောက်မြို့]]|hq_location_country=|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Unbulleted list| ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue) (စီအီးအို)၊ | ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) (စီတီအို)၊ | သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) (စီအက်စ်အို)}}|products=မော်ဒယ်များ (Models)၊ Datasets၊ စပေ့စ်များ (Spaces)၊<br>သင်ယူမှုစနစ်များ (Learn)၊ အင်ဖရန့်စ် (Inference)၊ လိုက်ဘရေရီများ (Libraries)|owner=<!-- or: | owners = -->|revenue={{increase}} {{US$|၁၅}}{{nbsp}}သန်း (၂၀၂၂)|num_employees=၂၅၀ <ref>{{Cite web |last=Palazzolo |first=Stephanie |date=February 5, 2025 |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |website=[[The Information (website)|The Information]] |url-access=subscription}}</ref> (၂၀၂၅)|parent=|homepage=https://huggingface.co/|founded=founded|foundation={{Start date and age|2016}}|company_name=ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်}}'''ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်''' ({{lang-en|Hugging Face, Inc.}}) သည် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့တွင် အခြေစိုက်ပြီး Machine Learning စနစ်သုံး အပလီကေးရှင်းများ တည်ဆောက်ရန်အတွက် နည်းပညာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို တီထွင်ထုတ်လုပ်နေသည့် ကုမ္ပဏီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (AI) နှင့် Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာများ၊ ဒေတာများနှင့် [[ပရိုဂရမ်|ပရိုဂရမ်များ]]ကို ပရိုဂရမ်မာများ အချင်းချင်း အခမဲ့မျှဝေနိုင်ရန် ဖန်တီးပေးထားသည့် ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံး နည်းပညာပလက်ဖောင်းတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Hugging Face Lays Off 4% of Staff |url=https://www.theinformation.com/briefings/hugging-face-lays-off-4-of-staff |access-date=2026-06-17 |website=The Information |language=en}}</ref> ဤကုမ္ပဏီ ဖန်တီးထားသော Natural Language Processing - NLP ဆိုင်ရာ Transformers လိုက်ဘရေရီ (Transformers library) နှင့် ပလက်ဖောင်းသည် အသုံးပြုသူများအား Machine Learning မော်ဒယ်များနှင့် Datasets များကို လွယ်ကူစွာ အပြန်အလှန် မျှဝေရန်နှင့် ၎င်းတို့၏ နည်းပညာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ကမ္ဘာသို့ ထုတ်ဖော်ပြသရန် ကူညီပံ့ပိုးပေးသည်။ နည်းပညာနယ်ပယ်တွင် လူတိုင်းက ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကို Machine Learning လောက၏ [[GitHub]] ဟု တင်စားခေါ်ဝေါ်ကြပြီး၊ ၎င်းသည် နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီးများနှင့် သုတေသီများအတွက် မရှိမဖြစ် အရေးပါသော နေရာတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ == သမိုင်းကြောင်း == === စတင်တည်ထောင်ခြင်း === ပြင်သစ်လူမျိုး လုပ်ငန်းရှင်များဖြစ်ကြသည့် ကလမန့် ဒီလန်း (Clément Delangue)၊ ဂျူလီယန် ရှိုမွန် (Julien Chaumond) နှင့် သောမတ်စ် ဝုဖ် (Thomas Wolf) တို့သည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်နိုင်ငံ၊ နယူးယောက်မြို့၌ ဤကုမ္ပဏီကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ အစောပိုင်းကာလတွင် ၎င်းတို့သည် ဆယ်ကျော်သက်လူငယ်များကို ဦးတည်သည့် ဖျော်ဖြေရေးဆိုင်ရာ ချက်ဘော့ (Chatbot) အက်ပလီကေးရှင်းတစ်ခုကို အဓိက တီထွင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြသည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အမည်ကိုလည်း ဖက်လှဲတကင်းရှိလှသော ဘွန်းဘွန်းမျက်နှာ အီမိုဂျီ (U+1F917 🤗 emoji) ကို အစွဲပြု၍ "ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်" ဟု မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |last=Dillet |first=Romain |date=2017-03-09 |title=Hugging Face wants to become your artificial BFF |url=https://techcrunch.com/2017/03/09/hugging-face-wants-to-become-your-artificial-bff/ |access-date=2026-06-17 |website=TechCrunch |language=en-US}}</ref>နောက်ပိုင်းတွင် အဆိုပါ ချက်ဘော့အက်ပ်၏ နောက်ကွယ်မှ Machine Learning ဆိုင်ရာ နည်းပညာမော်ဒယ်များကို လူတိုင်း အခမဲ့အသုံးပြုနိုင်ရန် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ်(Open Source) အဖြစ် ချပြခဲ့သည်။ ထိုသို့ ချပြပြီးနောက်တွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၎င်းတို့၏ မူလလုပ်ငန်းလမ်းကြောင်းကို လုံးဝပြောင်းလဲခဲ့ပြီး Machine Learning ဆိုင်ရာ ကိရိယာများနှင့် မော်ဒယ်များကို စုစည်းမျှဝေပေးသည့် ဗဟိုပလက်ဖောင်းတစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် အလေးထား ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ === ဉာဏ်ရည်တု ခေတ်ဆန်းလာခြင်း === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဧပြီလ ၂၈ ရက်နေ့တွင် အခြားသော သုတေသနအဖွဲ့အစည်းများနှင့် ပူးပေါင်း၍ ပွင့်လင်းသော ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ် (Large Language Model) တစ်ခု ထုတ်လုပ်ရန်အတွက် "BigScience Research Workshop" ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite news |date=2022-01-10 |title=Inside BigScience, the quest to build a powerful open language model |url=https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20220701073233/https://venturebeat.com/2022/01/10/inside-bigscience-the-quest-to-build-a-powerful-open-language-model/ |archive-date=2022-07-01 |access-date=2026-06-17 |work=VentureBeat |language=en-US}}</ref>ဤပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု၏ ရလဒ်အနေဖြင့် ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ကန့်သတ်ချက်ကိန်းဂဏန်း (Parameters) ပေါင်း ၁၇၆ ဘီလီယံအထိ ပါဝင်ပြီး ဘာသာစကားအစုံ ပြောဆိုနိုင်သည့် "BLOOM" အမည်ရ ကြီးမားသော ဘာသာစကားမော်ဒယ်ကို အောင်မြင်စွာ မိတ်ဆက်နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=BLOOM |url=https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-url=http://web.archive.org/web/20260313073015/https://bigscience.huggingface.co/blog/bloom |archive-date=2026-03-13 |access-date=2026-06-17 |website=bigscience.huggingface.co}}</ref> [[ဖိုင်:Clément_Delangue_on_SiliconANGLE_theCUBE.jpg|right|thumb|Clément Delangue in 2023]] ထို့နောက် ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် အမေရိကန် အမေဇုန် ဝဘ်ဆာဗစ် (Amazon Web Services - AWS) နှင့် မဟာဗျူဟာမြောက် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဤပူးပေါင်းမှုကြောင့် AWS အသုံးပြုသူများသည် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်၏ နည်းပညာထုတ်ကုန်များကို အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့စိတ်ကြိုက် အပလီကေးရှင်းများကို စိတ်ချလက်ချ တည်ဆောက်ခွင့် ရရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် နောက်မျိုးဆက်သစ် BLOOM မော်ဒယ်ကို AWS က ကိုယ်ပိုင်တီထွင်ထားသည့် "Trainium" ဟုခေါ်သော Machine learning ချစ်ပ်ပြား (Machine learning chip) ပေါ်တွင် မောင်းနှင်လည်ပတ်မည်ဖြစ်ကြောင်း ထည့်သွင်းကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=Amazon’s Cloud Unit Partners With Startup Hugging Face as AI Deals Heat Up |url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-url=http://web.archive.org/web/20251129113939/https://www.bloomberg.com/news/articles/2023-02-21/amazon-s-aws-joins-with-ai-startup-hugging-face-as-chatgpt-competition-heats-up |archive-date=2025-11-29 |access-date=2026-06-17 |work=Bloomberg.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite news |title=Amazon Web Services pairs with Hugging Face to target AI developers |url=https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20250724143858/https://www.reuters.com/technology/amazon-web-services-pairs-with-hugging-face-target-ai-developers-2023-02-21/ |archive-date=2025-07-24 |access-date=2026-06-17 |work=Reuters |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-02-21 |title=AWS and Hugging Face collaborate to make generative AI more accessible and cost efficient {{!}} Artificial Intelligence |url=https://aws.amazon.com/blogs/machine-learning/aws-and-hugging-face-collaborate-to-make-generative-ai-more-accessible-and-cost-efficient/ |access-date=2026-06-17 |website=aws.amazon.com}}</ref> [[ဖိုင်:Thomas_Wolf_at_Slush_2024.jpg|right|thumb|Thomas Wolf in 2024]] ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်သည် Meta ကုမ္ပဏီ၊ Scaleway ကုမ္ပဏီတို့နှင့် အတူပူးပေါင်း၍ ဥရောပစတင်ပျိုးထောင်စ ကုမ္ပဏီများ (Startups) အတွက် ဉာဏ်ရည်တု အရှိန်မြှင့်တင်ရေး အစီအစဉ်သစ် (AI accelerator program) တစ်ခုကို စတင်ခဲ့သည်။ ဤအစီအစဉ်သည် ဥရောပသမဂ္ဂ၏ AI နည်းပညာ ဂေဟစနစ်ကို ပိုမိုမြန်ဆန်လာစေရန်နှင့် စတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီများအနေဖြင့် ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် အခြေခံမော်ဒယ်များကို ၎င်းတို့၏ ထုတ်ကုန်များတွင် ထည့်သွင်းအသုံးပြုနိုင်ရန် ရည်ရွယ်သည်။ [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]ရှိ STATION F တွင် အခြေစိုက်သည့် ဤအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလမှ ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ပူးပေါင်းမောင်းနှင်ခဲ့ပြီး ရွေးချယ်ခံရသည့် ကုမ္ပဏီများအား နည်းပညာဆိုင်ရာ လမ်းညွှန်မှုများအပြင် Scaleway ၏ အဆင့်မြင့် ကွန်ပျူတာတွက်ချက်မှုစွမ်းအားများကိုပါ ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title=META Collaboration Launches AI Accelerator for European Startups |url=https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-url=http://web.archive.org/web/20260206064500/https://finance.yahoo.com/news/meta-collaboration-launches-ai-accelerator-151500146.html |archive-date=2026-02-06 |access-date=2026-06-17 |work=Yahoo Finance |language=en-US}}</ref> ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် ကမ္ဘာ့ကုလသမဂ္ဂ၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ ဆယ်စုနှစ် (International Decade of Indigenous Languages) လှုပ်ရှားမှုကို အထောက်အကူပြုရန်အတွက် Meta ကုမ္ပဏီ၊ [[UNESCO]] အဖွဲ့ကြီးတို့နှင့် လက်တွဲကာ အွန်လိုင်းဘာသာပြန်စနစ်အသစ်တစ်ခုကို လွှင့်တင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=NLLB - a Hugging Face Space by UNESCO |url=https://huggingface.co/spaces/UNESCO/nllb |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref> ၎င်းစနစ်ကို Meta ၏ "No Language Left Behind (NLLB)" အိုးပင်းဆော့စ် AI မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး၊ နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော တိုင်းရင်းသားဘာသာစကားများ အပါအဝင် ဘာသာစကားပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို အခမဲ့ စာသားဘာသာပြန်ဆိုပေးနိုင်သည်။<ref>{{Cite web |title=UNESCO Language Translator powered by Meta and Hugging Face Launching |url=https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-url=http://web.archive.org/web/20260210104246/https://www.unesco.org/en/event/unesco-language-translator-powered-meta-and-hugging-face-launching-event-0 |archive-date=2026-02-10 |access-date=2026-06-17 |website=www.unesco.org |language=en}}</ref> ကုမ္ပဏီသည် ၎င်းတို့၏ ခြေလှမ်းကို ပိုမိုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံအခြေစိုက် လူသားပုံတူ ရိုဘော့နည်းပညာစတင်ပျိုးထောင်စကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည့် "Pollen Robotics" ကို အပြီးသတ်ဝယ်ယူခဲ့ကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Wiggers |first=Kyle |date=2025-04-14 |title=Hugging Face buys a humanoid robotics startup {{!}} TechCrunch |url=https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20250415015746/https://techcrunch.com/2025/04/14/hugging-face-buys-a-humanoid-robotics-startup/ |archive-date=2025-04-15 |access-date=2026-06-17 |work=TechCrunch |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |last=Koetsier |first=John |title=Open Source Humanoid Robots That You Can 3D Print Yourself: Hugging Face Buys Pollen Robotics |url=https://www.forbes.com/sites/johnkoetsier/2025/04/14/open-source-humanoid-robots-hugging-face-buys-pollen-robotics/ |access-date=2026-06-17 |website=Forbes |language=en}}</ref> ထိုသို့ ဝယ်ယူပြီးနောက် ကုမ္ပဏီ၏ စီအီးအိုဖြစ်သူ ကလမန့် ဒီလန်းက "ဉာဏ်ရည်တု အခြေခံ ရိုဘော့နည်းပညာများကိုပါ လူတိုင်း လွတ်လပ်စွာ အသုံးပြုနိုင်သော အိုးပင်းဆော့စ်စနစ် ဖြစ်လာစေရန် ဖန်တီးမည်" ဟု ၎င်း၏ လူမှုကွန်ရက် X(ယခင်: Twitter) စာမျက်နှာမှတစ်ဆင့် ကုမ္ပဏီ၏ အနာဂတ်မျှော်မှန်းချက်ကို ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Knight |first=Will |title=An Open Source Pioneer Wants to Unleash Open Source AI Robots |url=https://www.wired.com/story/hugging-face-acquires-open-source-robot-startup/ |access-date=2026-06-17 |work=Wired |language=en-US |issn=1059-1028}}</ref> === ဆိုက်ဘာတိုက်ခိုက်ခံရမှုများ === ၂၀၂၆ ခုနှစ်အစောပိုင်းတွင် ဟက်ကာ (Hacker) များသည် အင်ဒရွိုက် (Android) စနစ်သုံး ကိရိယာများကို ဦးတည်တိုက်ခိုက်ရန်အတွက် ဟပ်ဂင်းဖေ့စ် ပလက်ဖောင်းကို ကြားဖြတ်ထိန်းချုပ်၍ အသုံးချခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတိုက်ခိုက်မှုတွင် တိုက်ခိုက်ခြင်းခံရသည့် စနစ်တစ်ခုလုံးကို စိတ်ကြိုက်အမိန့်ပေး စေခိုင်းနိုင်သည့် "စွမ်းအားပြင်း မဲလ်ဝဲလ်" (Powerful malware) များ ပါဝင်ပတ်သက်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-01-30 |title=Hugging Face platform hijacked to send out Android malware |url=https://www.techradar.com/pro/security/hugging-face-platform-hijacked-to-send-out-android-malware-heres-what-we-know-so-far |access-date=2026-06-17 |website=TechRadar |language=en}}</ref> == ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်နှင့် မြန်မာဘာသာစကား == [[ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်]] ပလက်ဖောင်းသည် [[မြန်မာဘာသာစကား]]ဆိုင်ရာ ဉာဏ်ရည်တုနှင့် Machine Learning နည်းပညာများ တိုးတက်လာစေရန်အတွက် အရေးပါသော နည်းပညာဆိုင်ရာ အခြေခံအရင်းအမြစ်များကို ပံ့ပိုးပေးထားသည်။ လက်ရှိ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ကိန်းဂဏန်းများအရ ဤပလက်ဖောင်းပေါ်တွင် မြန်မာဘာသာစကားအတွက် သီးသန့်ဖန်တီးထားသော Datasets ၄၃၁ ခုနှင့် နည်းပညာမော်ဒယ် (Models) ၂,၄၁၄ ခုအထိ ရှိလာပြီး ကမ္ဘာတစ်ဝှမ်းရှိ သုတေသီများနှင့် မြန်မာ့ AI နည်းပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့၏ ပရောဂျက်များကို ဤနေရာတွင် စုစည်း၍ ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ကြသည်။<ref>[https://huggingface.co/languages Hugging Face တရားဝင် ဘာသာစကားဆိုင်ရာ အချက်အလက်ပြ ဇယားစာမျက်နှာ]</ref> === နမူနာပြ ပရောဂျက်များနှင့် ဒေတာစုများ === ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်တွင် တင်ရှိထားသော မြန်မာဘာသာစကားဆိုင်ရာ ပရောဂျက်များသည် ကွန်ပျူတာအမြင်အာရုံ (Computer Vision)၊ သဘာဝဘာသာစကား လုပ်ဆောင်ခြင်းစနစ် (NLP) နှင့် အသံပိုင်းဆိုင်ရာ Machine Learning စနစ်များအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ နယ်ပယ်တစ်ခုချင်းစီအတွက် နမူနာပရောဂျက်အချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - * '''မြန်မာစာလုံးပုံရိပ်ဆိုင်ရာ ဒေတာစု (MSSG):''' ခန့်ဆင့်ဟိဏ်း ({{lang-en|Khant Sint Heinn}}) က တီထွင်ဖန်တီးပြီး DatarrX ({{lang-my|ဒေတာအက်စ်}}) အဖွဲ့မှ ထုတ်ဝေထားသည့် "Myanmar Synthetic Syllable Glyphs" သည် မြန်မာစာသားများ၏ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံ ကွန်ပြူတာမက်ထရစ်ကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကြီးမားသော စာလုံးပုံရိပ်ဒေတာစု (Synthetic image dataset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အရွယ်အစား ပြောင်းလဲမွမ်းမံထားသော ဂလစ်ဖ်ပုံရိပ် (Glyph images) ပေါင်း ၁၄,၂၉၅,၅၅၂ ခု (၁၄ သန်း) ပါဝင်ပြီး မြန်မာဘာသာစကားအတွက် စာသားဖတ်စနစ် (OCR) နှင့် လက်ရေးဖတ်စနစ် (HTR) နည်းပညာများ ဖွံ့ဖြိုးလာစေရန် ရည်ရွယ်တည်ဆောက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>[https://huggingface.co/datasets/DatarrX/myanmar-synthetic-syllable-glyphs Hugging Face ရှိ Myanmar Synthetic Syllable Glyphs ဒေတာစုစာမျက်နှာ]</ref> * '''မြန်မာအသံဖန်တီးမှုဆိုင်ရာ ဒေတာစု:''' DatarrX ({{lang-my|ဒေတာအက်စ်}}) က ပြုစုထားသော "Burmese Synthetic Speech Corpus" သည် စာသားမှ အသံပြောင်းလဲသည့်စနစ် (Text-to-Speech - TTS) နှင့် အသံဖမ်းစနစ်များ တိုးတက်စေရန်အတွက် အထူးဒီဇိုင်းဆွဲထားသည့် အရည်အသွေးမြင့် အသံဒေတာစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ လူကိုယ်တိုင် အသေးစိတ် စစ်ဆေးအတည်ပြုထားသော အသံဖိုင်ပေါင်း ၁၀,၀၀၀ (၁ သိန်း) ခု ပါဝင်ပြီး သဘာဝကျသော မြန်မာအမျိုးသားနှင့် အမျိုးသမီး အသံဖန်တီးမှုနည်းပညာများအတွက် အသုံးပြုသည်။<ref>[https://huggingface.co/datasets/DatarrX/burmese-synthetic-speech-corpus Hugging Face ရှိ Burmese Synthetic Speech Corpus ဒေတာစုစာမျက်နှာ]</ref> * '''မြန်မာဂျီပီတီ မော်ဒယ် (MyanmarGPT):''' မင်းစည်သူ ({{lang-en|Min Si Thu}}) က မြန်မာဘာသာစကား သီးသန့်ဒေတာများဖြင့် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးထားသည့် "MyanmarGPT" သည် GPT-2 မော်ဒယ်ပေါ်တွင် အခြေခံထားသော စာသားထုတ်လုပ်မှု မော်ဒယ် (Text Generation Model) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤမော်ဒယ်သည် မြန်မာဘာသာစကားကို အလိုအလျောက် နားလည်သဘောပေါက်ပြီး စာသားများ ရေးသားထုတ်လုပ်နိုင်ရန် ကူညီပေးသည့်အပြင်၊ အခြားသော မြန်မာဘာသာစကားသုံး အဆင့်မြင့် AI မော်ဒယ်များ စိတ်ကြိုက်ပြောင်းလဲတည်ဆောက်နိုင်ရန်အတွက်လည်း လွယ်ကူစေသည်။<ref>[https://huggingface.co/jojo-ai-mst/MyanmarGPT Hugging Face ရှိ MyanmarGPT မော်ဒယ်စာမျက်နှာ]</ref> === မြန်မာ့ AI ဂေဟစနစ် တည်ဆောက်ခြင်း === မြန်မာဘာသာစကားသည် နည်းပညာအရ အရင်းအမြစ်နည်းပါးသော ဘာသာစကား (Low-resource language) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခံထားရသော်လည်း၊ ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်ကဲ့သို့သော ပွင့်လင်းသော ရင်းမြစ် (Open Source) ပလက်ဖောင်းများမှတစ်ဆင့် မြန်မာ့နည်းပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့၏ သုတေသနရလဒ်များကို ကမ္ဘာ့အဆင့်မီ သုတေသီများနှင့် ချိတ်ဆက်မျှဝေလျက်ရှိသည်။ ဤစနစ်သည် မြန်မာ့နည်းပညာအသိုင်းအဝိုင်းအချင်းချင်း အသိပညာ ဗဟုသုတဖလှယ်နိုင်ရန်၊ ဒေသတွင်း AI ပရောဂျက်များ ပိုမိုမြန်ဆန်စွာ တိုးတက်လာစေရန်နှင့် မြန်မာဘာသာစကားအတွက် ဒေတာရင်းမြစ်များ စုစည်းမိလာစေရန်အတွက် အဓိက အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်နေသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-02-20 |title=DatarrX (DatarrX) |url=https://huggingface.co/DatarrX |access-date=2026-06-17 |website=huggingface.co}}</ref><ref>{{Cite web |last= |first=DatarrX |title=DatarrX Foundation |url=https://datarrx.org/ |access-date=2026-06-17 |website=datarrx.org |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * Kaggle * [[OpenAI]] * Station F * TensorFlow Hub == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဟပ်ဂင်းဖေ့စ်]] [[ကဏ္ဍ:ဉာဏ်ရည်တု]] [[ကဏ္ဍ:ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ကုမ္ပဏီ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ ကုမ္ပဏီများ]] [[ကဏ္ဍ:နည်းပညာ အဖွဲ့အစည်းများ]] 50kjsjmmqro49r56ahycq6sgdstqa37 0 288160 1039204 2026-06-17T16:08:53Z Mkant00 135890 [[မိုနက် (ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ)]] စာမျက်နှာကို [[မိုနက်]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည် 1039204 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[မိုနက်]] e6ajzoi1osodcohab59olvx8ddehdyp 0 288161 1039206 2026-06-17T16:09:12Z Mkant00 135890 [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ)]] စာမျက်နှာကို [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည် 1039206 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] 05mixsipvxvh50ceu4dp1frsjzrj7xs 10 288162 1039207 2026-06-17T16:09:47Z Mkant00 135890 "{{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | class = plainlist | expanded = {{{expanded|{{{1|}}}}}} | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1039207 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | class = plainlist | expanded = {{{expanded|{{{1|}}}}}} | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = * [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] / [[ဖန်တာ]] / [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] | list2name = universal | list2title = စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] * [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] * [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] | list3name = advanced | list3title = အဆင့်မြင့် တည်ဆောက်ပုံများ | list3 = * [[မိုနက်]] * [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] * [[2-ကတ်တဂိုရီ]] | below = }}<noinclude> [[Category:Mathematics sidebar templates]] </noinclude> 5j30nkpj76cp9bieqh7vxtjhunw0tnb 1039209 1039207 2026-06-17T16:11:08Z Mkant00 135890 1039209 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | class = plainlist | expanded = {{{expanded|{{{1|}}}}}} | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = * [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] / [[ဖန်တာ]] / [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] | list2name = universal | list2title = စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] * [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] * [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] | list3name = advanced | list3title = အဆင့်မြင့် တည်ဆောက်ပုံများ | list3 = * [[မိုနက်]] * [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] * [[2-ကတ်တဂိုရီ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ တမ်းပလိတ်]] </noinclude> 11b9of62femnuhst65o58ebvujj000v 1039215 1039209 2026-06-17T16:15:29Z Mkant00 135890 1039215 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | class = plainlist | expanded = all | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = * [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] / [[ဖန်တာ]] / [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] | list2name = universal | list2title = စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] * [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] * [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] | list3name = advanced | list3title = အဆင့်မြင့် တည်ဆောက်ပုံများ | list3 = * [[မိုနက်]] * [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] * [[2-ကတ်တဂိုရီ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ တမ်းပလိတ်]] </noinclude> 2lhquq4c95cm738hca89kn8l9k9e30x 1039218 1039215 2026-06-17T16:23:01Z Mkant00 135890 1039218 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | listclass = hlist | expanded = all | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = *[[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] *[[ဖန်တာ]] *[[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] | list2name = universal | list2title = စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] * [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] *[[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] * [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] | list3name = advanced | list3title = အဆင့်မြင့် တည်ဆောက်ပုံများ | list3 = *[[အစည်း]] * [[မိုနက်]] * [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] * [[2-ကတ်တဂိုရီ]] | list4name = examples | list4title = ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ | list4 = * [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] | list5name = functors | list5title = ဖန်တာ အမျိုးအစားများ | list5 = * [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] * [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] * [[တိကျသော ဖန်တာ]] * [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ တမ်းပလိတ်]] </noinclude> 01x5o54juqb693sagldogayttqxoe1g 1039220 1039218 2026-06-17T16:24:51Z Mkant00 135890 1039220 wikitext text/x-wiki {{Sidebar with collapsible lists | name = ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ | title = [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] | style = width: 28em; | image = [[File:Commutative diagram for morphism.svg|120px]] | listclass = hlist | expanded = all | list1name = core | list1title = အခြေခံ သဘောတရားများ | list1 = *[[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] *[[ဖန်တာ]] *[[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] | list2name = universal | list2title = စကြဝဠာ တည်ဆောက်ပုံများ | list2 = * [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု]] * [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] *[[စစ်ထုတ်ထားသော ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] * [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] | list3name = advanced | list3title = အဆင့်မြင့် တည်ဆောက်ပုံများ | list3 = *[[အစည်း]] * [[မိုနက်]] * [[မိုနွိုက်ဒယ် ကတ်တဂိုရီ]] * [[2-ကတ်တဂိုရီ]] | list4name = examples | list4title = ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ | list4 = * [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] | list5name = functors | list5title = ဖန်တာ အမျိုးအစားများ | list5 = * [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] * [[အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] * [[တိကျသော ဖန်တာ]] * [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] | below = }}<noinclude> [[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ တမ်းပလိတ်]] </noinclude> garbctku5sd0a6zfuvqascb01xc0y7d 14 288163 1039210 2026-06-17T16:11:23Z Mkant00 135890 "[[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1039210 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ: ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 8c57mnz27r752yf2g6r5jrykusjloxw 3 288164 1039213 2026-06-17T16:14:40Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039213 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Hkun Day Wah ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 40q7t956xi195kao42xbngjz9tuoq1l 3 288165 1039214 2026-06-17T16:14:50Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039214 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Upyinnyeinda ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၁၄၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 600vdxncs3zenvouaj16qdheaibma5u 0 288166 1039227 2026-06-17T17:02:46Z Mkant00 135890 "[[:en:Special:Redirect/revision/1359348736|Continuous function]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1039227 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 69a2kw7o10upqviqznirmc5b9hdpzwm 1039229 1039227 2026-06-17T17:05:16Z Mkant00 135890 1039229 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 986vd617nh0buwa92mktof525dx7knq 1039231 1039229 2026-06-17T17:08:56Z Mkant00 135890 1039231 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ကန်တာ၏ လှေကား (Cantor's staircase) ကဲ့သို့ ဖရက်တယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသော မျဉ်းကွေးများ (curves) ပါဝင်သည့် အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ်များကို ထိုကဲ့သို့ မြေဖြူ မကြွဘဲ ဆွဲ၍ မရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] qkbmvm2y63s99curuzo7ogp935fb3kz 1039235 1039231 2026-06-17T17:14:25Z Mkant00 135890 1039235 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ကန်တာ၏ လှေကား (Cantor's staircase) ကဲ့သို့ ဖရက်တယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသော မျဉ်းကွေးများ (curves) ပါဝင်သည့် အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ်များကို ထိုကဲ့သို့ မြေဖြူ မကြွဘဲ ဆွဲ၍ မရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (metric spaces) သို့မဟုတ် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 42vlw9v2ud8aaq6c5qg0zhuxi5fpdj5 1039240 1039235 2026-06-17T17:16:14Z Mkant00 135890 1039240 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ကန်တာ၏ လှေကား (Cantor's staircase) ကဲ့သို့ ဖရက်တယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသော မျဉ်းကွေးများ (curves) ပါဝင်သည့် အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ်များကို ထိုကဲ့သို့ မြေဖြူ မကြွဘဲ ဆွဲ၍ မရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] s0jg9zyx7yqquz1q5uy4m51fjon71pd 1039241 1039240 2026-06-17T17:19:19Z Mkant00 135890 1039241 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ကန်တာ၏ လှေကား (Cantor's staircase) ကဲ့သို့ ဖရက်တယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသော မျဉ်းကွေးများ (curves) ပါဝင်သည့် အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ်များကို ထိုကဲ့သို့ မြေဖြူ မကြွဘဲ ဆွဲ၍ မရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် == <math>I</math> ကို ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : I \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in I</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည် ။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 8403cb838ujl2p5d5q7qzaane1t7vto 1039242 1039241 2026-06-17T17:32:37Z Mkant00 135890 1039242 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ကန်တာ၏ လှေကား (Cantor's staircase) ကဲ့သို့ ဖရက်တယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသော မျဉ်းကွေးများ (curves) ပါဝင်သည့် အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ်များကို ထိုကဲ့သို့ မြေဖြူ မကြွဘဲ ဆွဲ၍ မရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် == <math>I</math> ကို ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : I \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in I</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည် ။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ အလားတူပင် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) တွင် <math>|x-a|<\delta </math> အစား <math>|x-a|\le\delta </math> ဟူ၍လည်းကောင်း၊ <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math> အစား <math>|f(x)-f(a)|\le\varepsilon</math> ဟူ၍လည်းကောင်း အစားထိုးနိုင်သည်။ ဤသို့အစားထိုးခြင်းဖြင့်လည်း ထပ်တူညီသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရရှိနိုင်သည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\varepsilon</math> ကို ပုံသေထားလိုက်ပါက <math>f(x)</math> နှင့် <math>f(a)</math> တို့ကြား အကွာအဝေး (distance) သည် <math>\varepsilon</math> ထက် ငယ်စေမည့် အမှတ် <math>a</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရှာဖွေတွေ့ရှိနိုင်သည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>I</math> အတွင်းရှိ အမှတ် <math>a</math> တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်း (jumps) များ ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ၎င်းအခြေအနေသည် ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>f(a)</math> ၏ တန်ဖိုးနှင့် မညီမျှသော အခြေအနေမျိုးကို ရည်ညွှန်းသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 8b0gvwmg54esz2pha6f46rhm8fqmcd1 1039243 1039242 2026-06-17T17:39:20Z Mkant00 135890 1039243 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် == <math>I</math> ကို ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : I \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in I</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည် ။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ အလားတူပင် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) တွင် <math>|x-a|<\delta </math> အစား <math>|x-a|\le\delta </math> ဟူ၍လည်းကောင်း၊ <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math> အစား <math>|f(x)-f(a)|\le\varepsilon</math> ဟူ၍လည်းကောင်း အစားထိုးနိုင်သည်။ ဤသို့အစားထိုးခြင်းဖြင့်လည်း ထပ်တူညီသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရရှိနိုင်သည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\varepsilon</math> ကို ပုံသေထားလိုက်ပါက <math>f(x)</math> နှင့် <math>f(a)</math> တို့ကြား အကွာအဝေး (distance) သည် <math>\varepsilon</math> ထက် ငယ်စေမည့် အမှတ် <math>a</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရှာဖွေတွေ့ရှိနိုင်သည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>I</math> အတွင်းရှိ အမှတ် <math>a</math> တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်း (jumps) များ ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ၎င်းအခြေအနေသည် ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>f(a)</math> ၏ တန်ဖိုးနှင့် မညီမျှသော အခြေအနေမျိုးကို ရည်ညွှန်းသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] hodhzjmtwbobegt7a6f1i1y63cqz8m1 1039253 1039243 2026-06-17T18:26:27Z Mkant00 135890 1039253 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် == <math>I</math> ကို ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : I \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in I</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည် ။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ အလားတူပင် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) တွင် <math>|x-a|<\delta </math> အစား <math>|x-a|\le\delta </math> ဟူ၍လည်းကောင်း၊ <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math> အစား <math>|f(x)-f(a)|\le\varepsilon</math> ဟူ၍လည်းကောင်း အစားထိုးနိုင်သည်။ ဤသို့အစားထိုးခြင်းဖြင့်လည်း ထပ်တူညီသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရရှိနိုင်သည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\varepsilon</math> ကို ပုံသေထားလိုက်ပါက <math>f(x)</math> နှင့် <math>f(a)</math> တို့ကြား အကွာအဝေး (distance) သည် <math>\varepsilon</math> ထက် ငယ်စေမည့် အမှတ် <math>a</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရှာဖွေတွေ့ရှိနိုင်သည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>I</math> အတွင်းရှိ အမှတ် <math>a</math> တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်း (jumps) များ ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ၎င်းအခြေအနေသည် ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>f(a)</math> ၏ တန်ဖိုးနှင့် မညီမျှသော အခြေအနေမျိုးကို ရည်ညွှန်းသည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] e8nzb6wcligxzawveizej49lzvqgte9 1039257 1039253 2026-06-17T18:48:59Z Mkant00 135890 1039257 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == <math>I</math> ကို ကိန်းစစ် အပိုင်းအခြား (real interval) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : I \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in I</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည် ။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ အလားတူပင် စုဆုံမှတ်၏ ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (formal definition) တွင် <math>|x-a|<\delta </math> အစား <math>|x-a|\le\delta </math> ဟူ၍လည်းကောင်း၊ <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math> အစား <math>|f(x)-f(a)|\le\varepsilon</math> ဟူ၍လည်းကောင်း အစားထိုးနိုင်သည်။ ဤသို့အစားထိုးခြင်းဖြင့်လည်း ထပ်တူညီသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရရှိနိုင်သည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\varepsilon</math> ကို ပုံသေထားလိုက်ပါက <math>f(x)</math> နှင့် <math>f(a)</math> တို့ကြား အကွာအဝေး (distance) သည် <math>\varepsilon</math> ထက် ငယ်စေမည့် အမှတ် <math>a</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲတမ်း ရှာဖွေတွေ့ရှိနိုင်သည်ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>I</math> အတွင်းရှိ အမှတ် <math>a</math> တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>I</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်း (jumps) များ ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ၎င်းအခြေအနေသည် ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>f(a)</math> ၏ တန်ဖိုးနှင့် မညီမျှသော အခြေအနေမျိုးကို ရည်ညွှန်းသည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] dw44fngs7mf7b5w5m75mspjixa0us76 1039275 1039257 2026-06-17T21:05:01Z Mkant00 135890 1039275 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်း (jumps) များ ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ၎င်းအခြေအနေသည် ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် <math>f(a)</math> ၏ တန်ဖိုးနှင့် မညီမျှသော အခြေအနေမျိုးကို ရည်ညွှန်းသည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] gc484xinfwqjyj54zmhtfrbq41ud5um 1039277 1039275 2026-06-17T21:17:15Z Mkant00 135890 1039277 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 7x31uu5pz9iw2qgzjqujed5agl3kopm 1039278 1039277 2026-06-17T21:18:00Z Mkant00 135890 1039278 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between metric spaces) == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 10u78g8iayp0fmmpzengxz418wgaj6r 1039279 1039278 2026-06-17T21:33:29Z Mkant00 135890 /* ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) */ 1039279 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစုအတွင်း အကန့်အသတ် (finite) မရှိပါက ၎င်းကို မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အောက်ပါ အမျိုးအစား တစ်ခုစီအတွက် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ် <math>x_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbour) တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် <math>x</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ === ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) === [[File:Discontinuity removable.eps.png|thumb|ဥပမာ ၁ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အပိုင်းလိုက် (piecewise) ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2-x</math> အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း'' (removable discontinuity) ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် အောက်ပါအခြေအနေများ ရှိသည်။ အနုတ်လားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) အား <math display=block>L^- = \lim_{x\to x_0^-} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အပေါင်းလားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်အား <math display=block>L^+ = \lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အမှတ် <math>x_0</math> တွင် ထိုစုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အချင်းချင်းညီမျှကြပြီး <math>L = L^- = L^+</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံး တည်ရှိပြီး တူညီနေသောကြောင့် <math>x</math> သည် <math>x_0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f(x)</math> ၏ စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည်လည်း တည်ရှိနေပြီး အဆိုပါတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှနေမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f(x_0)</math> ၏ အမှန်တကယ်တန်ဖိုးသည် <math>L</math> နှင့် မညီမျှပါက <math>x_0</math> ကို '''{{visible anchor|ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေရန် ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် အောက်ပါ ဖန်ရှင် <math>g(x)</math> သည် အမှတ် <math>x = x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ * <math>x \neq x_0</math> အတွက် <math>g(x) = f(x)</math> * <math>x = x_0</math> အတွက် <math>g(x) = L</math> === ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) === [[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|ဥပမာ ၂ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2 - (x-1)^2</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' (jump discontinuity) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဘုံစုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်း တည်ရှိနေမည်မဟုတ်ပေ။ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်များဖြစ်ကြသော <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> တို့သည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိနေသော်လည်း အချင်းချင်း '''မညီမျှသောကြောင့်''' ဖြစ်သည်။ <math>L^- \neq L^+</math> ဖြစ်သောကြောင့် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည် မတည်ရှိပါ။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> ကို ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x_0</math> တွင် မည်သည့်တန်ဖိုးကိုမဆို ပိုင်ဆိုင်နိုင်သည်။ === မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity)=== [[File:Discontinuity essential.svg|thumb|ဥပမာ ၃ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) တစ်ခုတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိပေ။ ဤနေရာတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် တစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\pm\infty</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားနိုင်ကြောင်းကို သတိပြုသင့်သည်။ အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = \sin\frac{5}{x-1}</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာတွင် <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိကြပေ။ ထို့ကြောင့် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း၏ အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီနေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between metric spaces) == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] tpp96lisfogj7mpw4wu63jsrwd3t5u8 1039281 1039279 2026-06-17T21:43:25Z Mkant00 135890 1039281 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစုအတွင်း အကန့်အသတ် (finite) မရှိပါက ၎င်းကို မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အောက်ပါ အမျိုးအစား တစ်ခုစီအတွက် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ် <math>x_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbour) တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် <math>x</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ === ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) === [[File:Discontinuity removable.eps.png|thumb|ဥပမာ ၁ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အပိုင်းလိုက် (piecewise) ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2-x</math> အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း'' (removable discontinuity) ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် အောက်ပါအခြေအနေများ ရှိသည်။ အနုတ်လားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) အား <math display=block>L^- = \lim_{x\to x_0^-} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အပေါင်းလားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်အား <math display=block>L^+ = \lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အမှတ် <math>x_0</math> တွင် ထိုစုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အချင်းချင်းညီမျှကြပြီး <math>L = L^- = L^+</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံး တည်ရှိပြီး တူညီနေသောကြောင့် <math>x</math> သည် <math>x_0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f(x)</math> ၏ စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည်လည်း တည်ရှိနေပြီး အဆိုပါတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှနေမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f(x_0)</math> ၏ အမှန်တကယ်တန်ဖိုးသည် <math>L</math> နှင့် မညီမျှပါက <math>x_0</math> ကို '''{{visible anchor|ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေရန် ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် အောက်ပါ ဖန်ရှင် <math>g(x)</math> သည် အမှတ် <math>x = x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ * <math>x \neq x_0</math> အတွက် <math>g(x) = f(x)</math> * <math>x = x_0</math> အတွက် <math>g(x) = L</math> === ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) === [[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|ဥပမာ ၂ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2 - (x-1)^2</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' (jump discontinuity) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဘုံစုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်း တည်ရှိနေမည်မဟုတ်ပေ။ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်များဖြစ်ကြသော <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> တို့သည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိနေသော်လည်း အချင်းချင်း '''မညီမျှသောကြောင့်''' ဖြစ်သည်။ <math>L^- \neq L^+</math> ဖြစ်သောကြောင့် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည် မတည်ရှိပါ။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> ကို ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x_0</math> တွင် မည်သည့်တန်ဖိုးကိုမဆို ပိုင်ဆိုင်နိုင်သည်။ === မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity)=== [[File:Discontinuity essential.svg|thumb|ဥပမာ ၃ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) တစ်ခုတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိပေ။ ဤနေရာတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် တစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\pm\infty</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားနိုင်ကြောင်းကို သတိပြုသင့်သည်။ အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = \sin\frac{5}{x-1}</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာတွင် <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိကြပေ။ ထို့ကြောင့် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း၏ အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီနေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between metric spaces) == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between topological spaces) == ပိုမို၍ သရုပ်မဲ့ (abstract) ဆန်သော အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတစ်ခုမှာ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ထိုရပ်ဝန်းများတွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ၌ကဲ့သို့ ပုံစံတကျသတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး (distance) သဘောတရား မပါဝင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို အစု (set) <math>X</math> နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) <math>\mathcal{T}</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းများသည် ပေါင်းစပ်စုများ (unions) နှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများ (intersections) နှင့် ပတ်သက်သော သတ်မှတ်ချက်အချို့ကို ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီအတွင်းရှိ အစုဝင်များကို အစု <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းများ (open subsets) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>f : X \to Y</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အဖွင့်စု (open set) <math>V \subseteq Y</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (inverse image) <math>f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်နေပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>f</math> သည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ အစုဝင်များကိုသာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>T_X</math> ၏ အစုဝင်များကို ပုံဖော်ခြင်း မဟုတ်ပေ။ သို့သော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှုသည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အပေါ်တွင် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများအပေါ်၌ တိုက်ရိုက်မူတည်နေသည်။ အပိတ်စုများ (closed sets) ဆိုသည်မှာ အဖွင့်စုပိုင်းများ၏ ဖြည့်စွက်စုများ (complements) ဖြစ်ကြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေကို ထိုအပိတ်စုများအသုံးပြု၍လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ အပိတ်စုများ၏ မူလပုံရိပ်များ (preimages) အားလုံးသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် အပိတ်စုများ ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်နှစ်ခုသည် သင်္ချာနည်းအရ ထပ်တူညီကြသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တွင် အစုပိုင်းတိုင်းကို အဖွင့်စုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အခြား မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>T</math> သို့မဆို သွားမည့် ဖန်ရှင် <math>f : X \to T</math> အားလုံးသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) တွင် ဗလာအစု (empty set) နှင့် မူလအစု <math>X</math> တို့သာလျှင် အဖွင့်စုပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အကယ်၍ အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် ပစ်မှတ်ရပ်ဝန်း <math>T</math> သည် အနည်းဆုံး <math>T_0</math> ရပ်ဝန်း (<math>T_0</math> space) ဖြစ်နေမည်ဆိုပါက ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ (constant functions) သာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်များ ဖြစ်နိုင်ကြသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်မူ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်နေပါက မည်သည့်ဖန်ရှင်မဆို အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 02r03i1t4p6aj0uzw24k2m3lthl2uzk 1039290 1039281 2026-06-17T23:32:19Z Mkant00 135890 1039290 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သည် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ]] (topological property) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပဏာမအနေဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) <math>x</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) <math>f(x)</math> တွင် အလွန်သေးငယ်သော ပြောင်းလဲမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ၏ ပထမဆုံး ဥပမာအနေဖြင့် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များကို ပြသနိုင်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ၏ ဂရပ် (graph) ကို ဆွဲရာတွင် ကျောက်သင်ပုန်းပေါ်တွင် မြေဖြူခဲတံ မကြွဘဲ ဆက်တိုက်ဆွဲယူနိုင်သည်။ ဤဥပမာက ဖန်ရှင်သည် ရုတ်တရက် ခုန်မသွားပေဟူသော အခြေခံသဘောတရားကို နားလည်စေသည်။ '''သို့သော်လည်း''' ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် '''မလုံလောက်ပေ'''။ အကြောင်းမှာ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် (Weierstrass function) ကဲ့သို့သော အချို့သော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များသည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အမှတ်တွင်မျှ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရသော (nowhere differentiable) ကြောင့် အနန္တတိုင်အောင် ချွန်ထက်နေပြီး မြေဖြူတံ မကြွဘဲ ဆွဲရန် လက်တွေ့အားဖြင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (real variable) တစ်ခုပါဝင်သော ဖန်ရှင်များအတွက် စတင်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော်လည်း ယခုအခါတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ၎င်းကို ဒေသအလိုက် (locally) နှင့် အလုံးစုံ (globally) ပုံစံနှစ်မျိုးလုံးဖြင့် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ]] (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် '''Top''' ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းသည် ၎င်းတို့ပိုင်ဆိုင်ထားသော ထူးခြားသည့် ဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာ ၎င်းဖန်ရှင်များတွင် <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဟူသည့် သဘောတရားအရ စုဆုံခြင်း (convergence) ဂုဏ်သတ္တိ ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Intermediate Value Theorem)၊ အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem) နှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) စသည့် အရေးပါသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း ပါဝင်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] သည် ဤ <math>lim(f(x))=f(lim(x))</math> ဂုဏ်သတ္တိကိုပင် သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract) အဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ်များ]] (categorical limits) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော [[ဖန်တာ]]တစ်ခုကို အဆက်မပြတ် ဖန်တာ (continuous functor) အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] တန်ဖိုးရှိ ဟွမ်း ဖန်တာ (hom-functor) ကို ပြသနိုင်သည်။ == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (real-valued continous functions) == <math>A</math> ကို ကိန်းစစ်အစုပိုင်း (real subset) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ထို <math>A</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) တစ်ခုကို <math>f : A \to \mathbb{R}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထို့နောက် <math>a \in A</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ *<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x \in A \quad\left(|x - a| <\delta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\right)</math> ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အမှတ် <math>a</math> ရှိ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အကန့်အသတ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေမှသာလျှင် ၎င်း <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ စုဆုံမှတ်တည်ရှိပါက ၎င်းတန်ဖိုးသည် <math>f(a)</math> နှင့် မလွဲမသွေ ညီမျှရမည်။ ၎င်းကို သင်္ချာနည်းအရ <math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် စုဆုံမှတ်၏ သဘောတရားနှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ သဘောတရားကြား ကွာခြားချက်ကို သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံမှတ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် <math>0 < |x - a| < \delta</math> ဟူသော အခြေအနေ ပါဝင်သည်။ သို့သော် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင်မူ <math>|x - a| < \delta</math> ဟူ၍သာ ပါဝင်သည်။ အကြောင်းရင်းမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတွင် <math>f(a)</math> အတိအကျ တည်ရှိနေသည်ဟု ကြိုတင်ယူဆထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x = a</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math> သည် <math>0 < \varepsilon</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်းမှန်ကန်နေသောကြောင့် <math>x = a</math> ဖြစ်နိုင်ခြေကို ဖယ်ထုတ်ရန် မလိုအပ်ပါ။ ထို့ကြောင့် <math>0 < |x - a|</math> ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ကို ဖြုတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> အပါအဝင် ၎င်း၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တစ်ခုခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>x > a</math> အတွက် ညာဘက်မှသာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည် (continuous from the right) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အမှတ် <math>a</math> အတွက် ဘယ်ဘက်မှ ချဉ်းကပ်ရာတွင်လည်း ဤသဘောတရားအတိုင်းပင် ဖြစ်သည် ။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>a</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းမှာ ၎င်းသည် အမှတ် <math>a</math> တွင် ညာဘက်နှင့် ဘယ်ဘက် နှစ်ဖက်စလုံးမှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့် သဘောတရားအရ ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ အမှတ်တိုင်းအတွက် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ကိုက်ညီအောင် စစ်ဆေးနိုင်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အဖွင့် ကြားပိုင်း (open interval) <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>(a, b)</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) <math>[a, b]</math> အတွက်မူ အခြေအနေပိုမိုလိုအပ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>[a, b]</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>(a, b)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ် <math>c</math> ၌မဆို <math>\lim_{x \to c} f(x) = f(c)</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် အစွန်းမှတ်များအတွက် <math>\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)</math> နှင့် <math>\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)</math> တို့ ဖြစ်တည်နေမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်ကို အပိတ် ကြားပိုင်း <math>[a, b]</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ခုန်တက်သွားခြင်း သို့မဟုတ် ခုန်ဆင်းသွားခြင်းများ (jumps) ရှိနေသော ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ပါ (discontinuous)။ ဤသို့ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) ဆိုသည်မှာ ညာဘက် စုဆုံမှတ်နှင့် ဘယ်ဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး တည်ရှိနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများ အချင်းချင်း မညီမျှသော အခြေအနေကို ဆိုလိုသည်။ ထို့အပြင် ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုလုံး အချင်းချင်း ညီမျှနေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးသည် ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုး <math>f(a)</math> နှင့် မညီမျှပါက ၎င်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) ဟု သီးခြားခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစုအတွင်း အကန့်အသတ် (finite) မရှိပါက ၎င်းကို မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အောက်ပါ အမျိုးအစား တစ်ခုစီအတွက် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော အမှတ် <math>x_0</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbour) တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် <math>x</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ === ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (removable discontinuity) === [[File:Discontinuity removable.eps.png|thumb|ဥပမာ ၁ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အပိုင်းလိုက် (piecewise) ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2-x</math> အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း'' (removable discontinuity) ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် အောက်ပါအခြေအနေများ ရှိသည်။ အနုတ်လားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် (one-sided limit) အား <math display=block>L^- = \lim_{x\to x_0^-} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အပေါင်းလားရာမှ ချဉ်းကပ်သော တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်အား <math display=block>L^+ = \lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ အမှတ် <math>x_0</math> တွင် ထိုစုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိကြသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် အချင်းချင်းညီမျှကြပြီး <math>L = L^- = L^+</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံး တည်ရှိပြီး တူညီနေသောကြောင့် <math>x</math> သည် <math>x_0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ဖန်ရှင် <math>f(x)</math> ၏ စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည်လည်း တည်ရှိနေပြီး အဆိုပါတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှနေမည် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f(x_0)</math> ၏ အမှန်တကယ်တန်ဖိုးသည် <math>L</math> နှင့် မညီမျှပါက <math>x_0</math> ကို '''{{visible anchor|ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}''' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အမှတ် <math>x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေရန် ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းကို ဖယ်ရှားနိုင်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် အောက်ပါ ဖန်ရှင် <math>g(x)</math> သည် အမှတ် <math>x = x_0</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ * <math>x \neq x_0</math> အတွက် <math>g(x) = f(x)</math> * <math>x = x_0</math> အတွက် <math>g(x) = L</math> === ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) === [[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|ဥပမာ ၂ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = x^2</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = 2 - (x-1)^2</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' (jump discontinuity) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဘုံစုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်း တည်ရှိနေမည်မဟုတ်ပေ။ တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ်များဖြစ်ကြသော <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> တို့သည် အကန့်အသတ်တစ်ခုအနေဖြင့် တည်ရှိနေသော်လည်း အချင်းချင်း '''မညီမျှသောကြောင့်''' ဖြစ်သည်။ <math>L^- \neq L^+</math> ဖြစ်သောကြောင့် စုဆုံမှတ် <math>L</math> သည် မတည်ရှိပါ။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> ကို ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း အမျိုးအစားအတွက် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>x_0</math> တွင် မည်သည့်တန်ဖိုးကိုမဆို ပိုင်ဆိုင်နိုင်သည်။ === မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity)=== [[File:Discontinuity essential.svg|thumb|ဥပမာ ၃ တွင် ဖော်ပြထားသော ဖန်ရှင်သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်]] မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (essential discontinuity) တစ်ခုတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် နှစ်ခုအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိပေ။ ဤနေရာတွင် တစ်ဖက်သတ် စုဆုံမှတ် တစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\pm\infty</math> အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားနိုင်ကြောင်းကို သတိပြုသင့်သည်။ အောက်ပါဖန်ရှင်ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ * <math>x < 1</math> အတွက် <math>f(x) = \sin\frac{5}{x-1}</math> * <math>x = 1</math> အတွက် <math>f(x) = 0</math> * <math>x > 1</math> အတွက် <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> ထိုအခါ အမှတ် <math>x_0 = 1</math> သည် ''{{visible anchor|မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း}}'' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာတွင် <math>L^-</math> နှင့် <math>L^+</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း မတည်ရှိကြပေ။ ထို့ကြောင့် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း၏ အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီနေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>x_0</math> သည် မရှိမဖြစ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ == အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between metric spaces) == ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏ သဘောတရားကို [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များအတွက်ပါ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> နှင့် ၎င်းပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>d_X</math> တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင်နှစ်ခုကြားမဆို အကွာအဝေးကို တိုင်းတာခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ပေးထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>(X, d_X)</math> နှင့် <math>(Y, d_Y)</math> အပြင် အောက်ပါ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ *<math>f : X \to Y</math> အကယ်၍ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>d_X(x, c) < \delta</math> နှင့် ကိုက်ညီသော <math>x \in X</math> အားလုံးသည် <math>d_Y(f(x), f(c)) < \varepsilon</math> နှင့်လည်း ကိုက်ညီစေမည့် အပေါင်းကိန်းစစ် <math>\delta > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိနေမည်ဆိုပါစို့။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ပေးထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို အခြေခံ၍ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c \in X</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်များနည်းတူ စုဆုံမှတ် <math>\lim x_n = c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို <math>\lim f(x_n) = f(c)</math> ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် <math>c</math> ရှိသော <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) <math>(x_n)</math> အတွက်မဆို ကိန်းစဉ် <math>(f(x_n))</math> သည် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် <math>c</math> သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်နေမည်ဆိုပါစို့။ ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် အမှတ် <math>c</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ ဤအဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် အသုံးချသည်။ ၎င်းမှာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (normed vector spaces) ဖြစ်သည့် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> ကြားရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>T : V \to W</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ရန်ဖြစ်သည်။ ထိုစံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ ကိုက်ညီမှုရှိသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector spaces) များဖြစ်ကြပြီး ၎င်းစံနှုန်းကို <math>\|.\|</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုမျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာသည် အကန့်အသတ်ရှိ (bounded) မှသာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ အကန့်အသတ်ရှိသည်ဆိုခြင်းမှာ <math>V</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>x</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ကိန်းသေ <math>K</math> တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *<math>\|T(x)\| \leq K \|x\|</math> == တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions between topological spaces) == ပိုမို၍ သရုပ်မဲ့ (abstract) ဆန်သော အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားတစ်ခုမှာ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) ကြားရှိ ဖန်ရှင်များ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ထိုရပ်ဝန်းများတွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces) ၌ကဲ့သို့ ပုံစံတကျသတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး (distance) သဘောတရား မပါဝင်ပေ။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို အစု (set) <math>X</math> နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) <math>\mathcal{T}</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုသည်မှာ အစု <math>X</math> ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းများသည် ပေါင်းစပ်စုများ (unions) နှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများ (intersections) နှင့် ပတ်သက်သော သတ်မှတ်ချက်အချို့ကို ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီအတွင်းရှိ အစုဝင်များကို အစု <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းများ (open subsets) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ ဖန်ရှင်တစ်ခု <math>f : X \to Y</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အဖွင့်စု (open set) <math>V \subseteq Y</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (inverse image) <math>f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}</math> သည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အဖွင့်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်နေပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>f</math> သည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ အစုဝင်များကိုသာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ <math>T_X</math> ၏ အစုဝင်များကို ပုံဖော်ခြင်း မဟုတ်ပေ။ သို့သော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှုသည် အစု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့အပေါ်တွင် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများအပေါ်၌ တိုက်ရိုက်မူတည်နေသည်။ အပိတ်စုများ (closed sets) ဆိုသည်မှာ အဖွင့်စုပိုင်းများ၏ ဖြည့်စွက်စုများ (complements) ဖြစ်ကြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း အခြေအနေကို ထိုအပိတ်စုများအသုံးပြု၍လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းရှိ အပိတ်စုများ၏ မူလပုံရိပ်များ (preimages) အားလုံးသည် ရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် အပိတ်စုများ ဖြစ်နေပါက ၎င်းဖန်ရှင်သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်နှစ်ခုသည် သင်္ချာနည်းအရ ထပ်တူညီကြသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) တွင် အစုပိုင်းတိုင်းကို အဖွင့်စုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အခြား မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း <math>T</math> သို့မဆို သွားမည့် ဖန်ရှင် <math>f : X \to T</math> အားလုံးသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) တွင် ဗလာအစု (empty set) နှင့် မူလအစု <math>X</math> တို့သာလျှင် အဖွင့်စုပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အကယ်၍ အစု <math>X</math> ကို တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့အပြင် ပစ်မှတ်ရပ်ဝန်း <math>T</math> သည် အနည်းဆုံး <math>T_0</math> ရပ်ဝန်း (<math>T_0</math> space) ဖြစ်နေမည်ဆိုပါက ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ (constant functions) သာလျှင် အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်များ ဖြစ်နိုင်ကြသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်မူ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်နေပါက မည်သည့်ဖန်ရှင်မဆို အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည် ဖြစ်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 7lpryr762kmleb72kx6e5qd4z5zrud9 10 288167 1039228 2026-06-17T17:04:09Z Pho Sai 45037 "{{Don't edit this line {{{machine code|}}} |rank=genus |link=Leucas |parent=Lamioideae |refs= <!--Shown on this page only; don't include <ref> tags --> }}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1039228 wikitext text/x-wiki {{Don't edit this line {{{machine code|}}} |rank=genus |link=Leucas |parent=Lamioideae |refs= <!--Shown on this page only; don't include <ref> tags --> }} dawzvlnywhj6a82iqdtxyaamwnfrygk 3 288168 1039236 2026-06-17T17:15:01Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039236 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Minn Hein Zaw ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 4q1uu43343cibbnoqonu0w0fcbwzo0y 3 288169 1039237 2026-06-17T17:15:11Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039237 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Redbear1202 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) gys82bd83zb12z4h3z2dta92q1tjhtf 3 288170 1039238 2026-06-17T17:15:21Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039238 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35459-31 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) lq58uei3leuwtxkbo7xlsh3l6jbw3xr 3 288171 1039244 2026-06-17T18:15:30Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039244 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Rd.49 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 0dvru65bmujg1ksyfov58au8lm8h7ga 3 288172 1039245 2026-06-17T18:15:41Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039245 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Moiouimoient ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) bxhnetinunpv564fc12wuacpa70ncsg 3 288173 1039246 2026-06-17T18:15:50Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039246 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Chanlay66 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၁၅၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) jiqbrdg2nw6guf11f63v1ijvwpujady 3 288174 1039247 2026-06-17T18:16:00Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039247 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Tktheboy ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၈:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 17ckj2puqmi9ilzry3jh800nocoq3xs 3 288175 1039258 2026-06-17T19:16:11Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039258 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Man jd ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၉:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) s6bsvmo5vpmskzpjhyep2fbsdwjgrj3 3 288177 1039261 2026-06-17T20:16:22Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039261 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Artemissie ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 0jd5cig4hw0fh8pwcxfwkrewcra8h31 3 288178 1039276 2026-06-17T21:16:32Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039276 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Zawthura73538 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၁:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 02ex4kjg228mkogw6gzi46rgea4miu1 3 288179 1039283 2026-06-17T22:16:43Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039283 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-32289-21 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၂:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) s73af7ldrd2ad7myvcmolmhlxcvjod7 3 288180 1039288 2026-06-17T23:16:54Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039288 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35591-52 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၃:၁၆၊ ၁၇ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) pn8ofnzca6onywi7f7v3pzij58xwmdk 6 288181 1039292 2026-06-17T23:45:24Z Mkant00 135890 1039292 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 3 288182 1039297 2026-06-18T00:17:04Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039297 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် VanRin0ko 10 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၀:၁၇၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) jld0e3k2axpplqgq7ctn60owasne713 3 288183 1039306 2026-06-18T02:17:25Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039306 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35523-51 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၁၇၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 8dsq70cka6lc8t045m03j2qyabspckk 3 288184 1039307 2026-06-18T02:17:35Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039307 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35485-44 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၂:၁၇၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) r2rgz1kwe4md55r1ym4wnjar8fmiki9 3 288185 1039319 2026-06-18T03:17:45Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039319 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35587-76 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၁၇၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) s2day840qfqyry9dd91dqbe5zlz49hv 3 288186 1039320 2026-06-18T03:17:55Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039320 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35435-90 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၁၇၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) aj14gayxuqq3njgut2yimvk6xfyresw 3 288187 1039321 2026-06-18T03:18:05Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039321 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Lagwi John Naw ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) b773c602pbsobgjbdkuvo2wshh71wga 3 288188 1039322 2026-06-18T03:18:15Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039322 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် MRHtetko ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၃:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) n2tvpkkt334iuya7t8ls6gfbtxpls3z 0 288189 1039325 2026-06-18T04:10:58Z Zawzawaungthwin 100038 စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း ဖြစ်ပွားခဲ့သော 1039325 wikitext text/x-wiki {{current}} {{Infobox military conflict | conflict = စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု | partof = [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း]]၊ [[ပြည်သူ့ခုခံတော်လှန်စစ်]] | image = Indaw Township.svg | caption = ဖြစ်စဉ်ဖြစ်ပွားရာ စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး၊ အင်းတော်မြို့နယ် တည်နေရာပြမြေပုံ | date = ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက် | place = [[အင်းတော်မြို့နယ်]]၊ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] | result = * စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင် ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်နှင့် အဖွဲ့ဝင် ၄ ဦး ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခံရ | status = အခြေအနေများကို စုံစမ်းနေဆဲ | combatant1 = [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] (NUG) * အမှတ် (၁) စစ်ဒေသ | combatant2 = *{{flagicon image|Logo of Sagaing PDF.jpg}} [[စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (Sagaing PDF) *{{flagicon image|Spring Revolution Alliance Flag.svg}} [[နွေဦးတော်လှန်ရေး မဟာမိတ် တပ်ပေါင်းစု]] (SRA) | commander1 = မသိရှိရ | commander2 = စစ်ငြိမ်းနိုင် {{small|(ဖမ်းဆီးခံရ)}} | strength1 = မသိရှိရ | strength2 = ခေါင်းဆောင်နှင့် ရဲဘော် ၄ ဦး | casualties1 = - | casualties2 = ၅ ဦး ဖမ်းဆီးခံရ | notes = NUG ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်မရှိဘဲ သီးခြားရပ်တည်နေသည့် စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်ကို ဖမ်းဆီးခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ }} '''စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း ဖြစ်ပွားခဲ့သော တော်လှန်ရေးအင်အားစုများအချင်းချင်းကြားမှ ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းမှု ဖြစ်စဉ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ [[စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (Sagaing PDF) ၏ ခေါင်းဆောင် စစ်ငြိမ်းနိုင် အပါအဝင် အဖွဲ့ဝင် ၄ ဦးသည် ခရီးတစ်ခုမှအပြန်တွင် [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] (NUG)၊ အမှတ် (၁) စစ်ဒေသလက်အောက်ခံ တပ်ဖွဲ့ဝင်များ၏ ဖမ်းဆီးခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |last=ခင်ရီရီဇော် |date=2026-06-17 |title=စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ကို NUG ဖမ်းဆီး |url=https://myanmar-now.org/mm/news/79087/ |access-date=2026-06-18 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရင်း == Sagaing PDF သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဇူလိုင်လတွင် စတင်စုဖွဲ့ခဲ့ပြီး စစ်ကိုင်းတိုင်းလွတ်မြောက်ရေးမှသည် ပြည်ထောင်စုလွတ်မြောက်ရေးဆီ ရည်ရွယ်ချက်ဖြင့် စတင်ခဲ့သည်။ NUG ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်မရှိဘဲ သီးခြားရပ်တည်နေသည့် တပ်ဖွဲ့ဖြစ်ပြီး [[နွေဦးတော်လှန်ရေးမဟာမိတ်တပ်ပေါင်းစု]] (SRA) ၏ အဖွဲ့ဝင် ၁၉ ဖွဲ့တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2025-08-20 |title=စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (Sagaing PDF) နှင့်တွေ့ဆုံခြင်း |url=https://myanmar-now.org/mm/news/66670/ |access-date=2026-06-18 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-12-16 |title=နွေဦးတော်လှန်ရေးမဟာမိတ်တပ်ပေါင်းစု (SRA) ကို ဖွဲ့စည်း |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/ce8qnrvr913o |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> <ref>{{cite web|url=https://bur.mizzima.com/2026/01/20/79226|title=“ကံတလူ တိုးဂိတ် စစ်ဆင်ရေးကတဆင့် မြို့သိမ်းအဆင့်ထိ ဖြစ်နိုင်အောင် ကြိုးစားနေပါတယ်” စစ်ကိုင်း PDF|work=Mizzima Burmese|access-date=၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆|date=၂၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆}}</ref> ယခုဖမ်းဆီးမှုသည် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလတွင် SRA စတင်ဖွဲ့စည်းပြီးနောက်ပိုင်း NUG က SRA အဖွဲ့ဝင် ခေါင်းဆောင်ပိုင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်တော်]] ခေါင်းဆောင် ကိုဇီးကွက် အား ဖမ်းဆီးသည့်ဖြစ်ရပ် ဖြစ်ပွားပြီးနောက် ထပ်မံဖြစ်ပေါ်ခဲ့သော ဒုတိယအကြိမ်မြောက် ဖြစ်စဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=MLAT |date=2026-06-17 |title=ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်အပါတပ်ဖွဲ့ဝင် ၄ ဦးကို ခရိုင်ကွပ်ကဲရေးမှူးကခေါ်သွားပြီးနောက် အဆက်အသွယ်ပြတ်နေပြီး ဖမ်းဆီးခံရမှုကို အတည်ပြုနေဆဲလို့ စစ်ကိုင်း PDF ပြော |url=https://myaelattathan.com/news/24976/ |access-date=2026-06-18 |website=Myaelatt Athan |language=en-US}}</ref> {{main|၂၀၂၆ အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်တော် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု}} ယခင် မတ်လအတွင်းတွင် SRA အဖွဲ့ဝင် NLA အဖွဲ့မှ ထိပ်ပိုင်းတာဝန်ရှိသူများကို အမှတ် (၁) စစ်ဒေသက ဖမ်းဆီးခဲ့ပြီးနောက်၊ အဆိုပါအဖွဲ့သည် NUG ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန (MOD) ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်သို့ အသွင်ကူးပြောင်းခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် မေလအတွင်းကလည်း ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် (SRF) ခေါင်းဆောင် ကိုစံတင်ထွန်းနှင့် တပ်ဖွဲ့ဝင် ၁၂ ဦးကို ပြစ်မှုကျူးလွန်ကြောင်း အကြောင်းပြချက်ဖြင့် ဖမ်းဆီးခဲ့သည်။ ညှိနှိုင်းမှုများအပြီးတွင် SRF ခေါင်းဆောင်မှလွဲ၍ ကျန်သူများကို ပြန်လွှတ်ပေးခဲ့ပြီး SRF အနေဖြင့် NUG လက်အောက်ခံ ပကဖအဖြစ် ရပ်တည်ရန် သဘောတူခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |last=BVJ |date=2026-05-29 |title=ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် NUG၊ COCအောက်ဝင်ဖို့ သဘောတူ |url=https://www.bvjnews.com/post/srfnugcoc |access-date=2026-06-18 |website=BVJ |language=en}}</ref> == လက်ရှိအခြေအနေ == ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက် ညပိုင်းတွင် စစ်ကိုင်းတိုင်း နှင့် ကချင်ပြည်နယ်အစပ်၊ အင်းတော်မြို့နယ်အတွင်းဤ စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်အပါအဝင် ရဲဘော် ၄ ဦးကို အမှတ် ၁ စစ်ဒေသမှူး ဒူပအောင်ဒွဲက တွေ့ဆုံဆွေးနွေးချင်ကြောင်း ကသာခရိုင် ကွပ်ကဲရေးမှူး ဒူချွန်ဇော်ဆိုင်းက လာရောက်ခေါ်ဆောင်သွားခဲ့ပြီး အဆက်အသွယ်ပြတ်တောက် သွားခဲ့ ခြင်း ဖြစ်သည်။ယခုဖမ်းဆီးမှုနှင့်ပတ်သက်၍ အကြောင်းရင်းကို နှစ်ဖက်စလုံးက တရားဝင် ထုတ်ဖော်ပြောကြားခြင်း မရှိသေးပေ။ SRA ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ၊ NUG ဝန်ကြီးချုပ်ရုံး ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူနှင့် PDF စစ်ရုံးချုပ်တို့ကို မီဒီယာများက ဆက်သွယ်မေးမြန်းထားသော်လည်း အကြောင်းပြန်ကြားခြင်း မရှိသေးသည့် အကြောင်း သတင်းဌာနများက ဖော်ပြထားကြသည်။<ref>{{Cite web |title=စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင် ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်ကို NUG အမှတ် ၁ စစ်ဒေသက ဖမ်းဆီးခေါ်ဆောင်သွားဟုဆို |url=https://cjplatform.com/1762026-7/ |access-date=2026-06-18 |website=cjplatform.com |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * [[၂၀၂၂ မူဆယ် လက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[ချင်းလက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း တိုက်ပွဲ (၂၀၂၄-၂၀၂၅)]] * [[၂၀၂၆ ယောဒေသ တော်လှန်ရေးအင်အားစု အချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[၂၀၂၆ မိုးဗြဲတော်လှန်ရေးအင်အားစုအချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[၂၀၂၆ ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု]] == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးရှိ တိုက်ပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အချင်းချင်း ပဋိပက္ခများ]] cl3i4qmidspzte8b30i2cqlvudx3tbc 1039328 1039325 2026-06-18T04:36:05Z Zawzawaungthwin 100038 စာလုံးပေါင်း ပြင်ဆင် 1039328 wikitext text/x-wiki {{current}} {{Infobox military conflict | conflict = စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု | partof = [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း]]၊ [[ပြည်သူ့ခုခံတော်လှန်စစ်]] | image = Indaw Township.svg | caption = ဖြစ်စဉ်ဖြစ်ပွားရာ စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး၊ အင်းတော်မြို့နယ် တည်နေရာပြမြေပုံ | date = ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက် | place = [[အင်းတော်မြို့နယ်]]၊ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] | result = * စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင် ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်နှင့် အဖွဲ့ဝင် ၄ ဦး ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းခံရ | status = အခြေအနေများကို စုံစမ်းနေဆဲ | combatant1 = [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] (NUG) * အမှတ် (၁) စစ်ဒေသ | combatant2 = *{{flagicon image|Logo of Sagaing PDF.jpg}} [[စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (Sagaing PDF) *{{flagicon image|Spring Revolution Alliance Flag.svg}} [[နွေဦးတော်လှန်ရေး မဟာမိတ် တပ်ပေါင်းစု]] (SRA) | commander1 = မသိရှိရ | commander2 = စစ်ငြိမ်းနိုင် {{small|(ဖမ်းဆီးခံရ)}} | strength1 = မသိရှိရ | strength2 = ခေါင်းဆောင်နှင့် ရဲဘော် ၄ ဦး | casualties1 = - | casualties2 = ၅ ဦး ဖမ်းဆီးခံရ | notes = NUG ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်မရှိဘဲ သီးခြားရပ်တည်နေသည့် စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်ကို ဖမ်းဆီးခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ }} '''စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း ဖြစ်ပွားခဲ့သော တော်လှန်ရေးအင်အားစုများအချင်းချင်းကြားမှ ဖမ်းဆီးထိန်းသိမ်းမှု ဖြစ်စဉ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ [[စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (Sagaing PDF) ၏ ခေါင်းဆောင် စစ်ငြိမ်းနိုင် အပါအဝင် အဖွဲ့ဝင် ၄ ဦးသည် ခရီးတစ်ခုမှအပြန်တွင် [[အမျိုးသားညီညွတ်ရေးအစိုးရ]] (NUG)၊ အမှတ် (၁) စစ်ဒေသလက်အောက်ခံ တပ်ဖွဲ့ဝင်များ၏ ဖမ်းဆီးခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |last=ခင်ရီရီဇော် |date=2026-06-17 |title=စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင်နှင့် အဖွဲ့ကို NUG ဖမ်းဆီး |url=https://myanmar-now.org/mm/news/79087/ |access-date=2026-06-18 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရင်း == Sagaing PDF သည် ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဇူလိုင်လတွင် စတင်စုဖွဲ့ခဲ့ပြီး စစ်ကိုင်းတိုင်းလွတ်မြောက်ရေးမှသည် ပြည်ထောင်စုလွတ်မြောက်ရေးဆီ ရည်ရွယ်ချက်ဖြင့် စတင်ခဲ့သည်။ NUG ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်မရှိဘဲ သီးခြားရပ်တည်နေသည့် တပ်ဖွဲ့ဖြစ်ပြီး [[နွေဦးတော်လှန်ရေးမဟာမိတ်တပ်ပေါင်းစု]] (SRA) ၏ အဖွဲ့ဝင် ၁၉ ဖွဲ့တွင် တစ်ခုအပါအဝင်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Now |first=Myanmar |date=2025-08-20 |title=စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (Sagaing PDF) နှင့်တွေ့ဆုံခြင်း |url=https://myanmar-now.org/mm/news/66670/ |access-date=2026-06-18 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-12-16 |title=နွေဦးတော်လှန်ရေးမဟာမိတ်တပ်ပေါင်းစု (SRA) ကို ဖွဲ့စည်း |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/ce8qnrvr913o |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> <ref>{{cite web|url=https://bur.mizzima.com/2026/01/20/79226|title=“ကံတလူ တိုးဂိတ် စစ်ဆင်ရေးကတဆင့် မြို့သိမ်းအဆင့်ထိ ဖြစ်နိုင်အောင် ကြိုးစားနေပါတယ်” စစ်ကိုင်း PDF|work=Mizzima Burmese|access-date=၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆|date=၂၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆}}</ref> ယခုဖမ်းဆီးမှုသည် ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလတွင် SRA စတင်ဖွဲ့စည်းပြီးနောက်ပိုင်း NUG က SRA အဖွဲ့ဝင် ခေါင်းဆောင်ပိုင်းတစ်ဦးဖြစ်သည့် [[အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်|အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်တော်]] ခေါင်းဆောင် ကိုဇီးကွက် အား ဖမ်းဆီးသည့်ဖြစ်ရပ် ဖြစ်ပွားပြီးနောက် ထပ်မံဖြစ်ပေါ်ခဲ့သော ဒုတိယအကြိမ်မြောက် ဖြစ်စဉ်ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=MLAT |date=2026-06-17 |title=ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်အပါတပ်ဖွဲ့ဝင် ၄ ဦးကို ခရိုင်ကွပ်ကဲရေးမှူးကခေါ်သွားပြီးနောက် အဆက်အသွယ်ပြတ်နေပြီး ဖမ်းဆီးခံရမှုကို အတည်ပြုနေဆဲလို့ စစ်ကိုင်း PDF ပြော |url=https://myaelattathan.com/news/24976/ |access-date=2026-06-18 |website=Myaelatt Athan |language=en-US}}</ref> {{main|၂၀၂၆ အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်တော် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု}} ယခင် မတ်လအတွင်းတွင် SRA အဖွဲ့ဝင် NLA အဖွဲ့မှ ထိပ်ပိုင်းတာဝန်ရှိသူများကို အမှတ် (၁) စစ်ဒေသက ဖမ်းဆီးခဲ့ပြီးနောက်၊ အဆိုပါအဖွဲ့သည် NUG ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီးဌာန (MOD) ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်သို့ အသွင်ကူးပြောင်းခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် မေလအတွင်းကလည်း ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် (SRF) ခေါင်းဆောင် ကိုစံတင်ထွန်းနှင့် တပ်ဖွဲ့ဝင် ၁၂ ဦးကို ပြစ်မှုကျူးလွန်ကြောင်း အကြောင်းပြချက်ဖြင့် ဖမ်းဆီးခဲ့သည်။ ညှိနှိုင်းမှုများအပြီးတွင် SRF ခေါင်းဆောင်မှလွဲ၍ ကျန်သူများကို ပြန်လွှတ်ပေးခဲ့ပြီး SRF အနေဖြင့် NUG လက်အောက်ခံ ပကဖအဖြစ် ရပ်တည်ရန် သဘောတူခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |last=BVJ |date=2026-05-29 |title=ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် NUG၊ COCအောက်ဝင်ဖို့ သဘောတူ |url=https://www.bvjnews.com/post/srfnugcoc |access-date=2026-06-18 |website=BVJ |language=en}}</ref> == လက်ရှိအခြေအနေ == ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက် ညပိုင်းတွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းနှင့် ကချင်ပြည်နယ်အစပ် အင်းတော်မြို့နယ်အတွင်း၌ စစ်ကိုင်းပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော် (Sagaing PDF) ခေါင်းဆောင် ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်နှင့် အဖွဲ့ဝင် ၄ ဦးတို့သည် အမှတ် (၁) စစ်ဒေသမှူး ဒူပအောင်ဒွဲ၏ အမိန့်ဖြင့် ကသာခရိုင်ကွပ်ကဲရေးမှူး ဒူချွန်ဇော်ဆိုင်းက ဖမ်းဆီးခေါ်ဆောင်သွားခဲ့သည်။ ယခုဖမ်းဆီးမှုနှင့်ပတ်သက်၍ အကြောင်းရင်းကို နှစ်ဖက်စလုံးက တရားဝင် ထုတ်ဖော်ပြောကြားခြင်း မရှိသေးပေ။ SRA ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ၊ NUG ဝန်ကြီးချုပ်ရုံး ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူနှင့် PDF စစ်ရုံးချုပ်တို့ကို မီဒီယာများက ဆက်သွယ်မေးမြန်းထားသော်လည်း အကြောင်းပြန်ကြားခြင်း မရှိသေးသည့် အကြောင်း သတင်းဌာနများက ဖော်ပြထားကြသည်။<ref>{{Cite web |title=စစ်ကိုင်း PDF ခေါင်းဆောင် ကိုစစ်ငြိမ်းနိုင်ကို NUG အမှတ် ၁ စစ်ဒေသက ဖမ်းဆီးခေါ်ဆောင်သွားဟုဆို |url=https://cjplatform.com/1762026-7/ |access-date=2026-06-18 |website=cjplatform.com |language=en}}</ref> == ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် == * [[၂၀၂၂ မူဆယ် လက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[ချင်းလက်နက်ကိုင်အချင်းချင်း တိုက်ပွဲ (၂၀၂၄-၂၀၂၅)]] * [[၂၀၂၆ ယောဒေသ တော်လှန်ရေးအင်အားစု အချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[၂၀၂၆ မိုးဗြဲတော်လှန်ရေးအင်အားစုအချင်းချင်း ပစ်ခတ်မှု]] * [[၂၀၂၆ ကျောင်းသားတော်လှန်ရေးတပ်တော် အဖွဲ့ဝင်များ ဖမ်းဆီးခံရမှု]] == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးရှိ တိုက်ပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:တော်လှန်ရေးအဖွဲ့အချင်းချင်း ပဋိပက္ခများ]] 2ypn19tlptsuv8dil21919v3o1e8yva 3 288190 1039326 2026-06-18T04:18:24Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039326 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် SaHtetWaiYanPhyo ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) dz5amh4xoqzi59vy7g36wxxkvo9j5gx 3 288191 1039330 2026-06-18T05:18:34Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039330 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Tayethetmon ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) fylaqyjcevf30y8na6oap70ixpt6d0r 3 288192 1039331 2026-06-18T05:18:44Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039331 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35477-93 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၅:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 65cx7p9sx25yts5o79pb4bkcm2yyjl9 3 288193 1039334 2026-06-18T06:18:54Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039334 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35568-67 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၁၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) jm5cq1dinrv6b6svbkwezymwbuln7cm 3 288194 1039335 2026-06-18T06:19:04Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039335 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Jellyfishcakeee ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) hltlsfdb24dihhac4jqdqyy1arjl4ol 3 288195 1039337 2026-06-18T07:19:14Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039337 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Myrrhabeaugh ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၇:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) bs4nb3jqm17cgntrz1m1piky3snjhtq 0 288196 1039338 2026-06-18T07:32:49Z Aung Myint Thu 99 144552 ဆင်နှာမောင်းတောင် ၂၆၉၃ပေ၊ ကြို့ပင်ကောက်မြို့နယ် အကြောင်းကို သိသလောက်ပြောပြထားတာပါ 1039338 wikitext text/x-wiki = ဆင်နှာမောင်းတောင် = '''ဆင်နှာမောင်းတောင်''' သည် မြန်မာနိုင်ငံ၊ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၊ ကြို့ပင်ကောက်မြို့နယ်အတွင်း တည်ရှိသော တောင်တစ်လုံးဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် အမြင့် ၂,၆၉၃ ပေ (၈၂၁ မီတာ) ခန့် ရှိသည်။ တောင်၏ အမည်မှာ တောင်ထိပ်အနီးရှိ ကျောက်ဆောင်တစ်ခု၏ ပုံသဏ္ဌာန်သည် ဆင်၏ နှာမောင်းနှင့် ဆင်တူသောကြောင့် ခေါ်တွင်လာခြင်း ဖြစ်သည်ဟု ဒေသခံများက ယူဆကြသည်။ == တည်နေရာ == ဆင်နှာမောင်းတောင်သည် ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အနောက်ပိုင်းရှိ ကြို့ပင်ကောက်မြို့နယ်အတွင်း တည်ရှိပြီး ပဲခူးရိုးမတောင်တန်းဒေသနှင့် ဆက်စပ်လျက် ရှိသည်။ တောင်ပေါ်မှ ပတ်ဝန်းကျင်ရှိ သစ်တောများ၊ တောင်တန်းများနှင့် လွင်ပြင်ဒေသများကို ကျယ်ပြန့်စွာ မြင်တွေ့နိုင်သည်။ == သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် == တောင်ပတ်ဝန်းကျင်တွင် သဘာဝတောအုပ်များ တည်ရှိပြီး ဒေသခံ အပင်နှင့် တိရစ္ဆာန်မျိုးစိတ်များကို တွေ့ရှိနိုင်သည်။ မိုးရာသီနှင့် ဆောင်းရာသီကာလများတွင် တောင်ထိပ်မှ တိမ်ပင်လယ်မြင်ကွင်းများ ပေါ်ပေါက်တတ်သည်။ == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == ဆင်နှာမောင်းတောင်သည် Hiking၊ Trekking နှင့် Camping လုပ်ငန်းများအတွက် လူသိများလာသော သဘာဝခရီးသွားနေရာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ နေထွက်ချိန်နှင့် နေဝင်ချိန် ရှုခင်းများကြောင့် ဓာတ်ပုံရိုက်ကူးသူများနှင့် သဘာဝချစ်သူများ လာရောက်လည်ပတ်လေ့ရှိကြသည်။ == အမည်ရင်းမြစ် == "ဆင်နှာမောင်းတောင်" ဟူသော အမည်သည် တောင်ထိပ်အနီးရှိ ကျောက်ဆောင်၏ ထူးခြားသော ပုံသဏ္ဌာန်မှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်ပြီး ယင်းကျောက်ဆောင်သည် ဆင်၏ နှာမောင်းကဲ့သို့ ရှေ့သို့ ထိုးထွက်နေသည့် အသွင်အပြင် ရှိသည်။ == ကြည့်ရှုနိုင်သည့်နေရာများ == * ဆင်နှာမောင်းကျောက်ဆောင် View Point * နေထွက်ကြည့်ရှုရာ နေရာ * တောင်ထိပ်စခန်း (Camp Site) * ပဲခူးရိုးမတောင်တန်း ရှုခင်းကြည့်ရာ နေရာများ == ကိုးကား == ဤဆောင်းပါးတွင် အသုံးပြုထားသော အချက်အလက်များကို ဒေသဆိုင်ရာ စစ်တမ်းများ၊ ခရီးသွားမှတ်တမ်းများနှင့် ယုံကြည်စိတ်ချရသော အရင်းအမြစ်များဖြင့် ထပ်မံစိစစ်ရန် လိုအပ်သည်။ tch6r85gkyi8h1x759apzmsi721bj79 0 288197 1039339 2026-06-18T07:37:15Z Aung Myint Thu 99 144552 "ကန့်ဘလူတောင် ကန့်ဘလူတောင် သည် မြန်မာနိုင်ငံ၊ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၊ သာယာဝတီမြို့နယ်အတွင်း တည်ရှိသော တောင်တစ်လုံးဖြစ်သည်။ ပ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1039339 wikitext text/x-wiki ကန့်ဘလူတောင် ကန့်ဘလူတောင် သည် မြန်မာနိုင်ငံ၊ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၊ သာယာဝတီမြို့နယ်အတွင်း တည်ရှိသော တောင်တစ်လုံးဖြစ်သည်။ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် အမြင့် ၂,၆၃၃ ပေ (၈၀၂ မီတာခန့်) ရှိသည်။ တည်နေရာ ကန့်ဘလူတောင်သည် ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အနောက်ပိုင်းဒေသရှိ သာယာဝတီမြို့နယ်အတွင်း တည်ရှိပြီး ပဲခူးရိုးမတောင်တန်းဒေသနှင့် ဆက်စပ်သော တောင်တစ်လုံးဖြစ်သည်။ တောင်ပတ်ဝန်းကျင်တွင် သစ်တောများနှင့် သဘာဝတောင်တန်းရှုခင်းများ ရှိသည်။ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် တောင်ဒေသသည် သဘာဝတောအုပ်များ၊ တောင်စောင်းများနှင့် မြေမျက်နှာသွင်ပြင် အမျိုးမျိုး ပါဝင်သော ဒေသဖြစ်သည်။ ရာသီအလိုက် သဘာဝရှုခင်းများ ပြောင်းလဲမှုကို တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ခရီးသွားလုပ်ငန်း ကန့်ဘလူတောင်သည် တောင်တက်ခြင်း (Hiking) နှင့် သဘာဝလေ့လာခြင်းများအတွက် စိတ်ဝင်စားဖွယ်နေရာတစ်ခုဖြစ်သည်။ တောင်ထိပ်မှ ပတ်ဝန်းကျင်ရှိ တောင်တန်းနှင့် သဘာဝရှုခင်းများကို ကြည့်ရှုနိုင်သည်။ အမည်ရင်းမြစ် "ကန့်ဘလူတောင်" ဟူသော အမည်၏ မူလအကြောင်းအရင်းနှင့် သမိုင်းကြောင်းဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို ဒေသခံမှတ်တမ်းများနှင့် ထပ်မံလေ့လာရန် လိုအပ်သည်။ အချက်အလက်အကျဉ်း အချက် အချက်အလက် အမည် ကန့်ဘလူတောင် အမြင့် ၂,၆၃၃ ပေ တည်နေရာ သာယာဝတီမြို့နယ်၊ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၊ မြန်မာနိုင်ငံ တောင်တန်းစနစ် ပဲခူးရိုးမဒေသ ကိုးကား ဒေသဆိုင်ရာ ပထဝီဝင်မှတ်တမ်းများ ဒေသခံအချက်အလက်များ တောင်တက်ခရီးသွားမှတ်တမ်းများ 8og7dyd66k5i7yf6u0nq3jtuzns487a 3 288198 1039340 2026-06-18T08:19:25Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039340 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Aung Myint Thu 99 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 5av89o8yy341jls9gc7sp8uoqlqxyka 0 288199 1039354 2026-06-18T09:00:45Z Zawzawaungthwin 100038 ဖီမောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲသည် မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ) မှ ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ) နှင့် ကချင်ထိုးစစ် (၂၀၂၄) တို့၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ပြီး 1039354 wikitext text/x-wiki {{Infobox military conflict | conflict = ဖီမောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ | partof = [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] မှ [[ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] နှင့် နှင့် [[ကချင်ထိုးစစ် (၂၀၂၄)]] | date = ၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ | place = ဖီမောမြို့၊ [[ချီဖွေမြို့နယ်]]၊ [[ကချင်ပြည်နယ်]] | result = KIA ပူးပေါင်းတပ်များ အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက် | combatant1 = * {{flagicon image|Flag of the Myanmar Armed Forces.svg}} [[တပ်မတော်]] (အထောက်အကူပြု) * [[နယ်ခြားစောင့်တပ်ဖွဲ့|နယ်ခြားစောင့်တပ်]] (BGF) * ပြည်သူ့စစ် | combatant2 = {{flagicon image|Kachin Independence Army flag.svg}} [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) | commander1 = စခုန်တိန့်ယိန်း (ကချင်အထူးဒေသ-၁) | commander2 = [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) | units1 = BGF (၁၀၀၁)၊ ပြည်သူ့စစ်များ | units2 = KIA တပ်ပေါင်းစု | strength1 = မသိရှိရ | strength2 = မသိရှိရ | casualties1 = မသိရှိရ | casualties2 = မသိရှိရ | map_type = Myanmar | latitude = 25.8667 | longitude = 98.4000 | map_size = 250 | map_caption = ကချင်ပြည်နယ်၊ ဖီမော ၏ တည်နေရာ | map_label = ဖီမော | notes = | campaignbox = {{Campaignbox Myanmar Civil War (2021-2023)}} }} '''ဖီမောမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ'''သည် [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] မှ [[ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] နှင့် [[ကချင်ထိုးစစ် (၂၀၂၄)]] တို့၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ပြီး၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၂ ရက်နေ့တွင် [[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[ချီဖွေမြို့နယ်]]ရှိ တရုတ်-မြန်မာ နယ်စပ်မြို့ဖြစ်သော [[ဖီမောရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ဖီမောမြို့]] ကို [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) ပူးပေါင်းတပ်များက သိမ်းပိုက်ခဲ့သည့် တိုက်ပွဲဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=တရုတ်က ဖိအားပေးနေသည့်ကြားက တရုတ်-မြန်မာနယ်စပ် ဖီမော်မြို့ကို KIA သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.narinjara.com/local-news/detail/67284bfa3af6b4f693950d22 |access-date=2026-06-18 |website=burmese.narinjara.com |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |title=ဖီမော နယ်စပ်ဂိတ်ကို တရုတ်ဘက်က ယာယီရပ်ဆိုင်း |url=https://burmese.dvb.no/post/676297 |access-date=2026-06-18 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=LuduNwayOo |date=2024-11-04 |title=တရုတ် - မြန်မာနယ်စပ်ရှိ ဖီမောမြို့ကို သိမ်းပိုက်ထားဟု KIA အတည်ပြု |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/11/04/103445/ |access-date=2026-06-18 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref> == နောက်ခံသမိုင်းနှင့် အရေးပါမှု == ဖီမောမြို့သည် မြန်မာ-တရုတ် နယ်စပ်တွင် တည်ရှိသည်။သတင်းမီဒီယာအများစု နှင့် ဒေသခံများက ဖီမော ကို မြို့ အဖြစ် သတ်မှတ်ရေးသားဖော်ပြကြသော်လည်း ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးဌာန၊အထွေထွေအုပ်ချုပ်ရေးဦးစီးဌာန၊မြစ်ကြီးနားခရိုင် အထွေထွေအုပ်ချုပ်ရေးဦးစီးဌာန ၏ ၂၀၁၉ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၃၀ ရက် ထုတ် ချီဖွေမြို့နယ် ဒေသဆိုင်ရာ အချက်အလက်များတွင် ဖီမော ကို [[ချီဖွေမြို့နယ်]]၊ [[ဖီမောရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ဖီမောကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည့် ကျေးရွာကြီး တစ်ခု အဖြစ်သာ သတ်မှတ်ထားရှိထားသည်။ဖီမော သည် တရားဝင်ကုန်သွယ်ရေးဂိတ် မဟုတ်သော်လည်း ဒေသခံများ ဝင်ထွက်သွားလာရာ နယ်စပ်မြို့ငယ်တစ်ခု အဖြစ် မူ နှစ်နိုင်ငံစလုံးက သတ်မှတ်ပေးထားသည်။ အဆိုပါဒေသသည် [[စခုန်တိန့်ယိန်း|ဦးစခုန်တိန့်ယိန်း]] ဦးဆောင်သော ကချင်အထူးဒေသ (၁) နယ်မြေအတွင်း တည်ရှိပြီး နယ်ခြားစောင့်တပ် (BGF) နှင့် ပြည်သူ့စစ်များ စိုးမိုးထားရာ ဒေသ ဖြစ်သည်။ ဖီမော်ဒေသသည် တရုတ်လုပ်ငန်းရှင်များ၏ ကျောက်ဖြူနှင့် သံသတ္တုလုပ်ငန်းများ လုပ်ကိုင်ရာနေရာလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-11-03 |title=ဖီမော်နဲ့ အင်းတော် သို့မဟုတ် တရုတ် - မြန်မာနယ်စပ်နဲ့ ကချင် - စစ်ကိုင်းအစပ်က တိုက်ပွဲတွေ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/crk4x8m2jjdo |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> ယင်းအပြင် ဖီမော၊ဂေါ်လန် နှင့် [[ကန်းဖန့်ရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ကန်းဖန့်]] နယ်မြေများသည် ၁၉၆၀ ပြည့်နှစ် တရုတ် -မြန်မာနယ်စပ်မျဉ်း သတ်မှတ်ချိန်က တရုတ် - မြန်မာ ပိုင်ဆိုင်မှု နှစ်ဖက်အခြေအတင်ဆွေးနွေးခဲ့ရသောကျေးရွာများဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |title='တရုတ်-မြန်မာဆက်ဆံရေး' အများမသိတဲ့အချက် |url=https://www.bbc.com/burmese/in-depth-41463706 |access-date=2026-06-18 |work=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> <ref>{{cite web|url=https://treaty.mfa.gov.cn/tykfiles/20180718/1531876399712.pdf|title=တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံတော် နှင့် ပြည်ထောင်စုမြန်မာနိုင်ငံတော် တို့ချုပ်ဆိုကြသည့် နယ်နိမိတ်စာချုပ်|work=treaty.mfa.gov|access-date=၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆|date=}}</ref><ref>{{Cite web |last=နန်းလွင်နှင်းပွင့် |date=2015-12-03 |title=တရုတ်နယ်စပ်က နွေရာသီ မရှိတဲ့ဒေသ သို့မဟုတ် ကချင် အထူးဒေသ (၁) |url=https://burma.irrawaddy.com/news/2015/12/03/102550.html |access-date=2026-06-18 |website=ဧရာဝတီ |language=en-US}}</ref> == တိုက်ပွဲဖြစ်စဉ် == KIA ပူးပေါင်းတပ်များသည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၃၁ ရက်နေ့တွင် ဖီမောမြို့စောင့်တပ်ဖြစ်သည့် အမှတ် (၁၀၀၁) နိုဇွန်ဘွမ် တပ်ရင်းဌာနချုပ်ကို အရင်ဦးဆုံး သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် နိုဝင်ဘာ ၂ ရက်၊ ညနေ ၇ နာရီဝန်းကျင်တွင် ဖီမော နယ်စပ်ဂိတ်နှင့် မြို့ကို ဆက်လက်စီးနင်း တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲအတွင်း နယ်ခြားစောင့်တပ်နှင့် ပြည်သူ့စစ်များက ပြင်းထန်စွာ ခုခံမှုမရှိဘဲ စခန်းများကို စွန့်ခွာသွားခဲ့သည်။ အချို့သော တပ်ဖွဲ့ဝင်များသည် လက်နက်များ ပစ်ထားခဲ့ပြီး တရုတ်နိုင်ငံဘက်သို့ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်သွားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-11-03 |title=တရုတ်-မြန်မာနယ်စပ် ဖီမော်ဒေသကို KIA သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/program_2/kia-seize-bgf-phimaw-11032024071230.html |access-date=2026-06-18 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref> ထိုရက် မွန်းလွဲ ၁ နာရီ ခန့်တွင် နယ်ခြားမှတ်တိုင် ၇ နယ်စပ်ဂိတ်အနီး  [[လဂွေရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|လဂွေကျေးရွာ]]ထိပ် တွင် အခြေစိုက်သည့်  ခလရ - ၂၉၈ တပ်စခန်းကို သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ခလရ ၂၉၈ အပါအဝင် ဖီမော်မြို့ကို KIA နှင့် ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့က သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.dvb.no/post/676090 |access-date=2026-06-18 |website=DVB Burmese |language=en}}</ref> KIAသည် နိုဝင်ဘာ ၄ရက် ညနေပိုင်းတွင်လည်း ဖီမော အရှေ့မြောက်ဘက်ရှိ [[ကန်းဖန့်ရွာ၊ ချီဖွေမြို့နယ်|ကန်းဖန့်ရွာ]] ကိုလည်း သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ထိုရွာ သိမ်းပိုက်ရာတွင် ပြည်သူ့စစ်များက ခုခံခြင်းမရှိဘဲ လက်နက်ချခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |last=LuduNwayOo |date=2024-11-04 |title=တရုတ် - မြန်မာနယ်စပ်ရှိ ဖီမောမြို့ကို သိမ်းပိုက်ထားဟု KIA အတည်ပြု |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2024/11/04/103445/ |access-date=2026-06-18 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref> == နောက်ဆက်တွဲ အခြေအနေ == ဖီမောမြို့ကို KIA က သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် ၂၀၂၄ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၃ ရက်နေ့၊ ည ၁၂ နာရီအချိန်မှစတင်၍ ဖီမော နှင့် ကပ်လျက်ရှိသော တရုတ်-မြန်မာနယ်စပ်ဂိတ်ဖြစ်သည့် ဖျင့်မာနယ်စပ်ဂိတ်ကို တရုတ်ဘက်က တစ်ဖက်သတ် ပိတ်ပင်လိုက်သည်။ တရုတ်အာဏာပိုင်များက အဆိုပါပိတ်ပင်မှုမှာ နယ်စပ်ဂိတ်တွင် စစ်ဆေးရေးစနစ်နှင့် အခြေခံအဆောက်အအုံများ အဆင့်မြှင့်တင်ရန်အတွက်ဖြစ်ကြောင်း အကြောင်းပြချက်ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။အလားတူဖြစ်စဉ်များမှာ ပန်ဝါမြို့ကို KIA သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် အောက်တိုဘာ ၁၈ ရက်နေ့တွင် နဘန်-လိုင်ဇာ၊ ဆီမား-လိုင်စင်နှင့် ခရှန်ဂိတ်များအပါအဝင် KIA ထိန်းချုပ်နယ်မြေများနှင့် ဆက်စပ်နေသော နယ်စပ်ဂိတ်များကိုလည်း တရုတ်ဘက်က အဆင့်မြှင့်တင်ရန်ဟုဆိုကာ ပိတ်ပင်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့ဖူးသည်။<ref>{{Cite web |last=Agency |first=Yangon Khit Thit News |date=2024-11-04 |title=ဖီမော်မြို့ကို KIA က သိမ်းပိုက်ပြီးနောက် တရုတ်-မြန်မာ ဖျင့်မာနယ်စပ်ဂိတ်ကို တရုတ်က တစ်ဖက်သတ် ပိတ်ပစ်ပြန် |url=https://yktnews.com/2024/11/190685/ |access-date=2026-06-18 |website=Khit Thit Media |language=en-US}}</ref> KIA သည် ဖီမောဒေသကို သိမ်းပိုက်လိုက်မှုသည် ကချင်အထူးဒေသ (၁) နယ်မြေအတွင်းရှိ ချီဖွေ၊ ဆော့လော်၊ ပန်ဝါ တို့ကို သိမ်းပိုက်ပြီးမှ ထိုးစစ်ဖြင့် သိမ်းပိုက်ခဲ့ခြင်းလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=KNG |date=2024-10-24 |title=ဖီမော်မြို့ နယ်စပ်ဂိတ်ဆက်လက်ဖွင့်ထားပြီး တရုတ်လုပ်ငန်းရှင်တွေရဲ့ ကျောက်ဖြူနဲ့ သံသတ္တုလုပ်ငန်းဆက်လည်ပတ်နေ |url=https://burmese.kachinnews.com/2024/10/24/am2-63/ |access-date=2026-06-18 |website=Kachin News Group (KNG) |language=en-GB}}</ref><ref>{{Cite web |last=Editor |date=2024-11-04 |title=ဖီမော နယ်စပ်ရွာကို ကေအိုင်အေ ထိန်းချုပ်လိုက်ကြောင်း သတင်းထွက်ပြီးနောက် နယ်စပ်ဂိတ်ကို တရုတ်ဘက်က ယာယီပိတ် |url=https://voiceofmyanmarnews.com/news/2024/11/04/%e1%80%96%e1%80%ae%e1%80%99%e1%80%b1%e1%80%ac-%e1%80%94%e1%80%9a%e1%80%ba%e1%80%85%e1%80%95%e1%80%ba%e1%80%9b%e1%80%bd%e1%80%ac%e1%80%80%e1%80%ad%e1%80%af-%e1%80%80%e1%80%b1%e1%80%a1%e1%80%ad%e1%80%af/ |access-date=2026-06-18 |website=Voice of Myanmar |language=en-US}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၄ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:ကချင်ပြည်နယ်ရှိ တိုက်ပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] kvoe86tfy9ire80k08cesmmge00pwf4 3 288200 1039355 2026-06-18T09:19:35Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039355 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Cazusi ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၉:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) no8wieic2w5lt75t4tartxf0agnzl31 2 288201 1039356 2026-06-18T09:19:57Z Cazusi 144553 /* */ 1039356 wikitext text/x-wiki တောင်းပန်ပါတယ်!! ကျွန်တော် မြန်မာစာ မကျွမ်းကျင်ပါဘူး။ bc7jfbdq7q0um03gv917w7yql9bbzmv 1039358 1039356 2026-06-18T09:27:38Z Cazusi 144553 1039358 wikitext text/x-wiki တောင်းပန်ပါတယ်!! ကျွန်တော် မြန်မာစာ မကျွမ်းကျင်ပါဘူး။‼︎ (すみません‼︎ビルマ語は得意じゃないです‼︎) 03evhp0y31l9tq0p7x8vgxz9ci5ds22 1039359 1039358 2026-06-18T09:30:27Z Cazusi 144553 /* */ 1039359 wikitext text/x-wiki ごめんなさい‼︎ビルマ語は喋れません‼︎ 11mewjz4ytpa2wzg2zoficdigia9h05 1039360 1039359 2026-06-18T09:30:56Z Cazusi 144553 /* */ 1039360 wikitext text/x-wiki ごめんなさい‼︎ビルマ語(ミャンマー語)は喋れません‼︎ m7egcnd0nyt2qk92fthff2i2660aybz 1039361 1039360 2026-06-18T09:32:39Z Cazusi 144553 /* */ 1039361 wikitext text/x-wiki ごめんなさい‼︎ビルマ語(ミャンマー語)は喋れません‼︎(gem’nasai!! Birumago(Myanmāgo)hasyaberemasen!!) pxsskt4a0a7yz3gdhq8rigenje641hd 1039362 1039361 2026-06-18T09:33:14Z Cazusi 144553 /* */ 1039362 wikitext text/x-wiki ごめんなさい‼︎ビルマ語(ミャンマー語)は喋れません‼︎ (Gomen’nasai!!(Myanmāgo)hasyaberemasen!!) 90ualvz27rnwkwvfwawphtm71s5o7vx 1 288202 1039366 2026-06-18T10:08:16Z ~2026-35711-62 144556 /* သုံးဆယ်ပေးကျေးရွာ ရွာလယ်ကျောင်းတိုက်(မဇ္စ◌ျိမာရာမကျောင်းတိုက်) */ အပိုင်းသစ် 1039366 wikitext text/x-wiki == သုံးဆယ်ပေးကျေးရွာ ရွာလယ်ကျောင်းတိုက်(မဇ္စ◌ျိမာရာမကျောင်းတိုက်) == သုံးဆယ်ပေးကျေးရွာ ရွာလယ်ကျောင်းတိုက် ဆရာတော်ဦးအဂ္ဂဗလ ဖြစ်ပါတယ်။ လွင်လွင်ဌေး ကျောက်စိမ်း ဓမ္မာရုံရှိပါတယ် [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/&#126;2026-35711-62|&#126;2026-35711-62]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:&#126;2026-35711-62|talk]]) ၁၀:၀၈၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) k3000gw33rr1kb7z4dv51w8v7eko5wp 3 288203 1039367 2026-06-18T10:19:46Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039367 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35711-62 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) ngeo19boxuo8ldqyiofngch5xw31blp 3 288204 1039368 2026-06-18T10:19:56Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039368 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35677-83 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၁၉၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) b2i281v5xl29un0zn24jikvqt2axoj8 3 288205 1039369 2026-06-18T10:20:06Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039369 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် YuriSawa ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) f6i5m1m8rl7tiaj0dvt5usaafdl9t18 2 288206 1039370 2026-06-18T10:44:35Z Abramo Limo 144557 /* */ 1039370 wikitext text/x-wiki <nowiki>#</nowiki> The Great Record of the Universe and Purification <nowiki>##</nowiki> 1. The Expansion and Contraction of the Infinite Universe (Relative Perspective) <nowiki/>* **Existence Based on Perception:** Everything within the universe can expand boundlessly or contract infinitely, depending entirely on one's level of spiritual intellect and perspective. <nowiki/>* **The Ant Analogy:** If one's vision and understanding are narrow (like that of an ant), a tiny house can become an endless, untraversable "infinite universe." <nowiki/>* **Condensing the Cosmos:** Conversely, the 31 realms of existence and the entire universe, which seem infinitely vast to ordinary humans, can condense into something as small as a single "hand-sized booklet" when viewed from a higher state of consciousness outside the ordinary boundaries. <nowiki>##</nowiki> 2. Purification as the Ultimate Power <nowiki/>* **The Core Energy:** The state of "Purification"—where all defilements (Kilesas), mental restlessness, and worldly distractions are completely washed away—is the only source that generates the purest and most potent mental energy. <nowiki/>* **Mindfulness of Body, Speech, and Mind:** When humans consciously purify their daily habits, starting from what they eat, how they live, and the words they speak, they not only elevate their mental and spiritual energy but also upgrade the physical vibration and quality of their body. <nowiki>##</nowiki> 3. The Extraordinary State of the Arahants <nowiki/>* **The Transmutation of the Physical Body:** * The flesh and blood of ordinary humans are impure and possess a foul odor, and their bones are merely joined together at basic connection points.    * For Arahants (or those who have attained Nirvana) whose bodies and minds have reached the highest peak of purification, their bones become interconnected like a continuous chain, and their flesh and blood become as crystal clear as pure water, entirely free of any foul odor. <nowiki/>* **Cosmic Contemplation:** In terms of intellect, because their mental defilements are completely extinguished (Khinasava), they possess the supreme capacity to thoroughly contemplate, analyze, and look through the nature of the entire infinite universe. <nowiki>##</nowiki> 4. The Limitation of Human Science and Eternal Truth <nowiki/>* **The Bounds of Technology:** No matter how advanced human material science becomes, physical technologies (such as spacecraft, telescopes, etc.) can never truly reach or grasp the infinite universe. This is an eternal, absolute truth. <nowiki/>* **The Only True Technology to Connect with the Universe:** Therefore, for those who wish to study the universe, instead of chasing external material objects, the internal practice of "purifying the body and mind" is the only true, advanced technology (or spiritual path) through which humans can genuinely meet and understand the universe. <nowiki>##</nowiki> 5. The Ultimate Definition of the Universe <nowiki/>* **Not a Searchable Material Object:** The universe is not a mere physical entity that can be searched, tracked, or measured using spaceships or external technologies. <nowiki/>* **An Endless Cycle of Arising and Passing Away:** According to the truest definition, the universe is fundamentally nothing more than a continuous process—an **"endless cycle of arising (becoming) and passing away (dissolving)"** that manifests according to one's state of mind and level of perception. <nowiki>**</nowiki>Expounded by:** Abramo LimoLimo g6x1j0f6b4uijqqcybgh349p7x34m88 3 288207 1039372 2026-06-18T11:20:16Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039372 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Ko Kyaw Lay ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) jb6jeq6t3u5s1eln5vxx1ctrxtbxeck 3 288208 1039373 2026-06-18T11:20:26Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039373 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-35514-83 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) h3w017ywop057fhgyelx8ta087efkjy 3 288209 1039374 2026-06-18T11:20:36Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039374 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Lauri Hommi ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) okynbh1gygj1vepbs5jmcuo3zw9gai0 3 288210 1039375 2026-06-18T11:20:46Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039375 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် U KU THA LA ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 84u1u5po5fv67vd1kumwxgu57jj6qnp 3 288211 1039376 2026-06-18T11:20:56Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1039376 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Abramo Limo ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၂၀၊ ၁၈ ဇွန် ၂၀၂၆ (UTC) 631hu811v5ayaom9byc6npogmytv1sh 0 288212 1039378 2026-06-18T11:31:50Z Zawzawaungthwin 100038 မဘိမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲသည် မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ) မှ ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ) ၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ကာ ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်ပိုင်း) အတွင်း ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော် (KIA) ၏ အရေးပါသော တိုက်ပွဲတစ်ခု 1039378 wikitext text/x-wiki {{Infobox military conflict | conflict = မဘိမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ | partof = [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] မှ [[ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ)|ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ(၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] | date = ၂၀ - ၂၁ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ | place = [[မဘိမ်းမြို့]]၊ [[မဘိမ်းမြို့နယ်]]၊ [[ရှမ်းပြည်နယ်]] | result = KIA ပူးပေါင်းတပ်များ အောင်မြင်စွာ သိမ်းပိုက် | combatant1 = * {{flagicon image|Flag of the Myanmar Armed Forces.svg}} [[တပ်မတော်]] * ခြေလျင်တပ်ရင်း (ခလရ-၂၂၃) | combatant2 = * {{flagicon image|Kachin Independence Army flag.svg}} [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) * {{flagicon image|Flag of the Arakan Army, under the United League of Arakan.svg}} [[အာရက္ခတပ်တော်]] (AA) * {{flagicon image|Flag of PDF Myanmar.svg}} [[ပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးတပ်မတော်]] (PDF) * {{flagicon image|ABSDF insignia.png}}[[မြန်မာနိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာကျောင်းသားများဒီမိုကရက်တစ်တပ်ဦး]] (ABSDF) | commander1 = မသိရှိရ | commander2 = [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) | units1 = ခလရ-၂၂၃၊ မြို့မရဲစခန်း | units2 = KIA၊ AA၊ PDF၊ ABSDF ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့များ | strength1 = မသိရှိရ | strength2 = မသိရှိရ | casualties1 = မသိရှိရ | casualties2 = မသိရှိရ | map_type = Myanmar | latitude = 23.3667 | longitude = 96.6167 | map_size = 250 | map_caption = ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်း၊ မဘိမ်းမြို့၏ တည်နေရာ | map_label = မဘိမ်း | notes = စစ်ကိုင်းတိုင်းနယ်စပ်အနီးနား နှင့် ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်း ရှိ မဘိမ်းမြို့သိမ်း တိုက်ပွဲကို KIA ၊ KPDF ၊ ABSDF ၊ AA ၊ PDF ၊ ပကဖ နှင့် နယ်မြေခံအဖွဲ့အစည်းများ စုပေါင်းကာ တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်ခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်သည်။ | campaignbox = {{Campaignbox Myanmar Civil War (2021-2023)}} }} '''မဘိမ်းမြို့သိမ်းတိုက်ပွဲ'''သည် [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] မှ [[ကချင်ပြည်နယ် တိုက်ပွဲများ (၂၀၂၁-လက်ရှိ)]] ၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ကာ ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်ပိုင်း) အတွင်း [[ကချင်လွတ်လပ်ရေးတပ်မတော်]] (KIA) ၏ အရေးပါသော တိုက်ပွဲတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၀ ရက်မှ ၂၁ ရက်နေ့အထိ [[ရှမ်းပြည်နယ်]] (မြောက်ပိုင်း)၊ [[မဘိမ်းမြို့]]တွင် KIA ဦးဆောင်သော ပူးပေါင်းတပ်များနှင့် [[တပ်မတော်]]တို့အကြား ဖြစ်ပွားခဲ့သော မြို့သိမ်း တိုက်ပွဲ လည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Burmese |first=R. F. A. |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ကို KIA ပူးပေါင်းတပ်ဖွဲ့ တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက် |url=https://www.rfa.org/burmese/news/kia-attacked-seized-mabein-01212024042042.html |access-date=2026-06-18 |website=မြန်မာဌာန |language=my}}</ref><ref>{{Cite web |last=သတင်းတို |first=Cherry in သတင်း {{!}} |title=စစ်ကိုင်းနယ်စပ်အနီးက မဘိမ်းမြို့ကို ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့တွေ သိမ်းပိုက် |url=https://myaelattathan.org/articles/%E1%80%85%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%85%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%A1%E1%80%94%E1%80%AE%E1%80%B8%E1%80%80_%E1%80%99%E1%80%98%E1%80%AD%E1%80%99%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B7%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%AF_%E1%80%80%E1%80%AC%E1%80%80%E1%80%BD%E1%80%9A%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%B1%E1%80%B8%E1%80%90%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%96%E1%80%BD%E1%80%B2%E1%80%B7%E1%80%90%E1%80%BD%E1%80%B1_%E1%80%9E%E1%80%AD%E1%80%99%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%80%E1%80%BA |access-date=2026-06-18 |website=myaelattathan.org |language=en}}</ref> == နောက်ခံသမိုင်း == မဘိမ်းမြို့ သည် [[ရွှေလီမြစ်]]ဘေး [[ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်ပိုင်း)]] ရှိ မြို့တစ်မြို့ဖြစ်သည်။ [[မိုးမိတ်မြို့]] အပါအဝင် [[ကချင်ပြည်နယ်]]ရှိ [[ဗန်းမော်မြို့]] တို့နှင့် ကုန်းလမ်းအရ ဆက်သွယ်မှု ရှိသည်။ထို့အပြင် တရုတ်နိုင်ငံ၊ [[ယူနန်ပြည်နယ်]]နှင့် ကီလိုမီတာ ၉၀ ခန့်သာ ကွာဝေးပြီး မြောက်ဘက် တွင် [[မန္တလေးမြို့]] ရှိပြီး ကီလိုမီတာ ၂၀၀ ကွာဝေးသည်။<ref>{{Cite web |date=2024-01-21 |title=ဇန်နဝါရီလ ၂၁ ရက်ထိပ်တန်းသတင်းများ - နယ်စပ်ခြံစည်းရိုးကာပြီး အိန္ဒိယ-မြန်မာ လွတ်လပ်စွာကူးလူးခွင့် ပိတ်မယ်လို့ အိန္ဒိယပြော |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/c1rywr80j57o |access-date=2026-06-18 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> မဘိမ်းမြို့သည် မိုးမိတ်မြို့နှင့် ထိစပ်လျက်ရှိပြီး၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီ ၁၈ ရက်နေ့တွင် မိုးမိတ်မြို့ရှိ စစ်တပ် တပ်စခန်းများကို KIA နှင့် PDF ပူးပေါင်းတပ်များက တိုက်ခိုက်ခဲ့ပြီးနောက် မဘိမ်းမြို့နယ်ဘက်သို့ တိုက်ပွဲများ ကူးစက်ဖြစ်ပွားလာခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=DVB TV News |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ကို သိမ်းပိုက်လိုက်ပြီး နယ်မြေရှင်းလင်းရေး ဆောင်ရွက်နေ- DVB News |url=https://www.youtube.com/watch?v=Y6JGfm0swq4 |access-date=2026-06-18}}</ref><ref>{{Cite web |title=မဘိမ်းမြို့အား သိမ်းပိုက်နိုင်ရန် ကြိုးပမ်းနေဆဲဟု ဗိုလ်မှူးကြီးနော်ဘူပြော |url=https://cjplatform.com/%e1%80%99%e1%80%98%e1%80%ad%e1%80%99%e1%80%ba%e1%80%b8%e1%80%99%e1%80%bc%e1%80%ad%e1%80%af%e1%80%b7%e1%80%a1%e1%80%ac%e1%80%b8-%e1%80%9e%e1%80%ad%e1%80%99%e1%80%ba%e1%80%b8%e1%80%95%e1%80%ad%e1%80%af/ |access-date=2026-06-18 |website=cjplatform.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=နိုရာပြည့် |first=မောင်ရွှေဝါ, မင်းမောင် |date=2024-01-23 |title=မဘိမ်းမြို့ကို သိမ်းပြီးနောက် မိုးမိတ်၊ မိုးကုတ်တွင် တိုက်ပွဲများဆက်ဖြစ်နေ |url=https://myanmar-now.org/mm/news/48377/ |access-date=2026-06-18 |website=Myanmar Now |language=en-US}}</ref> == တိုက်ပွဲဖြစ်စဉ် == ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၀ ရက်၊ နံနက် ၅ နာရီခန့်တွင် KIA၊ AA၊ PDF နှင့် ABSDF ပူးပေါင်းတပ်များသည် မဘိမ်းမြို့ရှိ မြို့မရဲစခန်းနှင့် ကုန်းမခံရွာအနီးရှိ ခလရ (၂၂၃) တပ်ရင်းကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ဝင်ရောက်တိုက်ခိုက်ခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲပြင်းထန်နေစဉ်အတွင်း [[တပ်မတော် (လေ)|တပ်မတော်(လေ)]] က Y-12 လေယာဉ်များဖြင့် [[ဝိုင်းလုံရွာ၊ မဘိမ်းမြို့နယ်|ဝိုင်းလုံ]]၊ [[ကုန်းမခံရွာ၊ မဘိမ်းမြို့နယ်|ကုန်းမခံ]]နှင့် [[နမ့်ပုံးပုံးရွာ၊ မဘိမ်းမြို့နယ်|နတ်ပုံးပုံးရွာ]]များအတွင်းသို့ ဗုံးသီးပေါင်း ၁၄၀ ကျော် ကြဲချတိုက်ခိုက်ခဲ့သဖြင့် နေအိမ်များ ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |last=Yangon Khit Thit News Agency |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ ရဲစခန်းနှင့် စစ်တပ်စခန်းကို KIA က တိုက် ခိုက်သိမ်းပိုက်ရရှိ၊ မဘိမ်း မြို့ကို တော်လှန်ရေးတပ်များက ထိန်းချုပ် - Khit Thit Media |url=https://yktnews.com/2024/01/141195/ |archive-url=http://web.archive.org/web/20240420194906/https://yktnews.com/2024/01/141195/ |archive-date=2024-04-20 |access-date=2026-06-18 |work=Khit Thit Media |language=en-US}}</ref> အဆိုပါ တိုက်ခိုက်မှုများအပြီး ဇန်နဝါရီ ၂၁ ရက်၊ နံနက်ပိုင်းတွင် KIA ပူးပေါင်းတပ်များသည် မဘိမ်းမြို့ကို အပြီးသတ် သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည်။ တိုက်ပွဲများကြောင့် မြို့ခံပြည်သူ ၄,၀၀၀ ကျော်မှာ ဘေးလွတ်ရာသို့ ထွက်ပြေးတိမ်းရှောင်ခဲ့ကြရသည်။<ref>{{Cite web |last=ludunwayoo |date=2026-01-05 |title=မဘိမ်းမြို့ကတည်းခိုခန်းကို စစ်ကောင်စီ ဗုံးကြဲ |url=https://www.ludunwayoo.com/news-mm/2026/01/05/144852/ |access-date=2026-06-18 |website=LuduNwayOo |language=my-MM}}</ref><ref>{{Cite web |last=KNG |date=2024-01-21 |title=မဘိမ်းမြို့ကို KIA နဲ့ KPDF တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက် |url=https://burmese.kachinnews.com/2024/01/21/zm1-147/ |access-date=2026-06-18 |website=Kachin News Group (KNG) |language=en-GB}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၄ ပဋိပက္ခများ]] [[ကဏ္ဍ:ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ တိုက်ပွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာပြည်တွင်းစစ် (၂၀၂၁–လက်ရှိ) အတွင်း မြို့သိမ်းတိုက်ပွဲများ]] e1otnwy70kj1dheagemx6eca55etxo7 100 288213 1039382 2026-06-18T11:36:06Z Salai Rungtoi 22844 "{{Current events|year=2026|month=06|day=18|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1039382 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=06|day=18|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}} 7quaw26tpzot3q6qztnatjd3yidphki