ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 0 4036 1048770 486485 2026-08-15T05:35:04Z Kaung Sitt Nyein 146949 1048770 wikitext text/x-wiki {{Retaining title}} {{Infobox software|name=Keymagic|logo=[[File:Keymagic Logo.png]]|logo caption=Keymagic ၏ အမှတ်တံဆိပ်|screenshot=Keymagic Screenshot.png|caption=Keymagic ၏ ပင်မစာမျက်နှာ|collapsible=|author=သန့်သက်ခင်ဇော်၊ ဗိ(ခ်)ထာ(ရ်)ဆာ(န်) ကိုလင်း|developer=သန့်သက်ခင်ဇော်|Relased=|latest release version=Windows - KeyMagic ၂ (v၂.၀.၂.၀)|repo={{URL|https://github.com/thantthet/keymagic}}|programming language=C++ , ObjC နှင့် C#|operating system=ဝင်းဒိုး(စ်) ၂၀၀၀၊ ဝင်းဒိုး(စ်) အက်(စ်) ပီ၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၇၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၈၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၈.၁၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၁၀၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၁၁|license=[[GNU GPLv2]]|website={{URL|https://keymagic.net/}}|latest preview version=KeyMagic ၃ (Beta v၀.၀.၁၁)}}'''Key Magic''' (ကို​ မြန်မာဘာသာဖြင့် '''ကီးမက်ဂျစ်''' ဟုအသံထွက်) သည် သန့်သက်ခင်ဇော် ရေးသားခဲ့သော ကွန်ပျူတာပေါ်တွင် မြန်မာစာရေးသွင်းမှု့ အထောက်အကူပြု ကီးဘုတ် ​ပရိုဂရမ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[OpenSource]] ပရောဂျက် တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[မြန်မာစာ]] အတွက်သာမက အခြားဘာသာစကားများအတွက်ပါ အသုံးပြုနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လိပ်စာမှာ ဖြစ်သည်။ == ပြင်ပလင့်ခ်များ == *{{Official|https://keymagic.net}} [[Category:ဆော့ဖ်ဝဲလ်]] {{DEFAULTSORT:ကီးမက်ဂျစ်}} ifn27i53s836vg8ujyb5vjt0559eplm 1048771 1048770 2026-08-15T05:50:32Z Kaung Sitt Nyein 146949 1048771 wikitext text/x-wiki {{Retaining title}}{{Infobox software|name=Keymagic|logo=[[File:Keymagic Logo.png]]|logo caption=Keymagic ၏ အမှတ်တံဆိပ်|screenshot=Keymagic Screenshot.png|caption=Keymagic ၏ ပင်မစာမျက်နှာ|collapsible=|author=သန့်သက်ခင်ဇော်၊ ဗိ(ခ်)ထာ(ရ်)ဆာ(န်) ကိုလင်း|developer=သန့်သက်ခင်ဇော်|Relased=|latest release version=Windows - KeyMagic ၂ (v၂.၀.၂.၀)|repo={{URL|https://github.com/thantthet/keymagic}}|programming language=C++ , ObjC နှင့် C#|operating system=ဝင်းဒိုး(စ်) ၂၀၀၀၊ ဝင်းဒိုး(စ်) အက်(စ်) ပီ၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၇၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၈၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၈.၁၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၁၀၊ ဝင်းဒိုး(စ်) ၁၁|license=[[GNU GPLv2]]|website={{URL|https://keymagic.net/}}|latest preview version=KeyMagic ၃ (Beta v၀.၀.၁၁)}}'''Key Magic''' (ကို​ မြန်မာဘာသာဖြင့် '''ခီးမက်(ခ်)ဂျစ်(က်)''' ဟုအသံထွက်) သည် [[သန့်သက်ခင်ဇော်]] ရေးသားခဲ့သော ကွန်ပျူတာပေါ်တွင် မြန်မာစာရေးသွင်းမှု့ အထောက်အကူပြု ကီးဘုတ် ​ပရိုဂရမ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[OpenSource|Open Source]] ပရောဂျက် တစ်ခုလည်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[မြန်မာစာ]] အတွက်သာမက အခြားဘာသာစကားများအတွက်ပါ အသုံးပြုနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ဝက်ဘ်ဆိုဒ်လိပ်စာမှာ https://keymagic.net/<nowiki/>ဖြစ်သည်။ == ပြင်ပလင့်ခ်များ == *{{Official|https://keymagic.net}} [[Category:ဆော့ဖ်ဝဲလ်]] {{DEFAULTSORT:ကီးမက်ဂျစ်}} tewsws9ch2k838m09e5pcbv67q1kgji 0 5240 1048778 945473 2026-08-15T07:05:15Z Cepyita 93402 /* */ Add vocabilary 1048778 wikitext text/x-wiki {{cleanup|date=23 Jul 2021}} '''Culture''' ဟူသော အင်္ဂလိပ်ပုဒ်ကို မြန်မာစာတွင် '''ယဉ်ကျေးမှု''' ဟု အများဆုံး ပြန်ဖြစ်ကြသည်။ တနည်း '''အလေ့အယူ''' ဟု ရိုးရိုးခေါ်နိုင်ပြီး တခုသော လူအစုသိုက်၏ အကြံ၊ အတွေး၊ သညာ၊ အယုံကြည်အထင်မြင်၊ တရား၊ အယူအဆ၊ အဆက်အဆံ၊ ထုံးစံဓလေ့၊ အလေ့အထ၊ ထုံးတီးထုံးတမ်း၊ အကျင့်စရိုက်၊ အပြုအမူစသည့် တရားအားလုံးကို ခြုံငုံရည်ညွှန်းပါသည်။ ပါဠိဘာသာဖြင့် '''သံခဋိ'''၊ '''ဝပ္ပဓမ္မ'''၊ '''ဝဍ္ဎနဓမ္မ''' ဟု ပြန်ဆိုနိုင်ပါသေး၏။ ယဉ်ကျေးမှု ဆိုသည်မှာ လူတစ်မျိုး၏ ဘဝတည်ဆောက်ပုံ၊ ပျိုးထောင်ပုံ၊ ကျင့်ဆောင်ပုံ၊ ပြုမူပုံ၊ ထုံးစံနည်းနာများသာ ဖြစ်သည်။ လူ့ဘောင်အဖွဲ့အစည်းအတွင်း၌ လူတို့ ဆက်ဆံ နေထိုင်စားသောက် လှုပ်ရှားသည့် ပုံစံသည် လူတို့၏ ယဉ်ကျေးမှု စံနစ်ဖြစ်သည်။ <ref>သိပ္ပံစိုးရင် ၏ ယဉ်ကျေးမှုသမိုင်း စာအုပ်</ref> ယဉ်ကျေးမှု ဆိုသည်မှာ အဓိကအားဖြင့် ၃ မျိုးအား ရည်ညွှန်းပြောဆိုကြသည်။ * ပထမ တစ်ခုမှာ မြင့်မားသော ယဉ်ကျေးမှု၊ ထိုထဲတွင် အလွန်ကောင်းမွန်သော အနုပညာ လက်ရာများ၊ မြင့်မားသော လူနေမှုများပါဝင်နေသည်။ * ဒုတိယ တစ်ခုမှာ လူသားမျိုးနွယ် တစ်ခု၏ အသိပညာ၊ ယုံကြည်မှု၊ အသုံးပြုသော အမှတ်အသားတို့၏ စိတ်ကူး အရည်အသွေးပေါ်မူတည်သည့် လူမှုရေး လေ့လာမှုများ ဖြစ်သည်။ * တတိယ တစ်ခုမှာ လူမှု အဖွဲ့အစည်း တစ်ခု၏ရည်ရွယ်ချက် ၊ သဘောထားများ၊ တန်ဖိုးများ၊ အစဉ်အလာများ၏ ထူးခြားသော ဝိသေသ လက္ခဏာများ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားမှု တို့ဖြစ်ကြသည်။ မည်သို့ပင် ဖြစ်စေ ယဉ်ကျေးမှုဟူသည် လူသားတစ်ဦးအတွက် ဘဝ၏ လမ်းတစ်ဟူသော စကားလုံးတစ်လုံး ဖြစ်သည်။ လူ့အဖွဲ့အစည်းများသည် မတူညီကြသကဲ့သို့ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု၊ တစ်ဖွဲ့နှင့် တစ်ဖွဲ့၏ ယဉ်ကျေးမှုသည်လည်း ထိုသူတို့၏ ပတ်ဝန်းကျင်အနေအထား၊ ထိုပတ်ဝန်းကျင်၏ လှုပ်ရှားမှု [[diq:Portal:Zagon]] ==ယဉ်ကျေးမှုအရပ်ရပ်== ယဉ်ကျေးမှုအရပ်ရပ်ကို အောက်ပါအတိုင်း မှတ်သားသင့်ပေသည် - * [[အိမ်၌ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၃၂) မျိုး * [[ကျောင်း၌ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၁၄) မျိုး * [[လမ်း၌ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၁၄) မျိုး * [[ကစားစဉ်၌ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၁၀) မျိုး * [[ခရီးသွားစဉ်၌ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၁၁) မျိုး * [[အထွေထွေ ယဉ်ကျေးခြင်း]] (၂၁) မျိုး တို့ဖြစ်သည်။<ref>လိမ္မာယဉ်ကျေး ပြည့်ရင်သွေး၊ ပြည်သူ့နီတိ နှင့် လောကနီတိ၊ မောင်⁠မောင်တိုး။ (စာမျက်နှာ ၁၃)</ref> ==ကိုးကား== <references/> [[Category:ယဉ်ကျေးမှု]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] gynlk1k62j5lrmvgywexg1uwyu6bumy 0 8041 1048724 1047333 2026-08-14T15:07:29Z Mkant00 135890 terminology/formatting 1048724 wikitext text/x-wiki [[File:Codomain2.SVG|thumb|<math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားသော ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ <math>Y</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် <math>f</math> ၏ ပုံရိပ် (range/image) ဖြစ်သည်။]] သင်္ချာတွင် [[အစု]] <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> ကြားရှိ '''ဖန်ရှင် (function)''' <math>f : X \to Y</math> သည် <math>X</math> အတွင်းရှိ [[အစုဝင်]] <math>x</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>Y</math> အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစုဝင် (unique element) <math>f(x)</math> တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (maps သို့မဟုတ် mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>f:X\to Y,\quad x\mapsto f(x)</math> သည် ဖန်ရှင် <math>f</math> က အစုဝင် <math>x</math> ကို <math>f(x)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာစည်းမျဉ်းတစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>x_1, x_2 \in X</math> အတွက်မဆို <math>x_1 = x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို <math>\mathbf{Set}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ == အခြေခံ ဝေါဟာရများ (Basic Terminology) == * '''အရင်းအမြစ်စု (Domain)''' <math>X</math> - ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အစု]]ဖြစ်သည်။ * '''ပစ်မှတ်စု (Codomain)''' <math>Y</math> - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။ * '''ပုံရိပ်အစု/ပုံရိပ် (Range/Image)''' <math>\operatorname{im}(f)</math> - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\operatorname{im}(f) = \{y \in Y \mid \exists x \in X : y = f(x)\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ {{main|ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်}} ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုကို <math>\operatorname{dom}(f)</math> ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်း၏ ပုံရိပ်ကို <math>\operatorname{im}(f)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == ဖန်ရှင်ဆိုသည်မှာ ပေးထားသော အရင်းအမြစ်စု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တိုင်းကို]] ပစ်မှတ်စု၏ အစုဝင်တစ်ခုတည်းနှင့်သာ တိကျစွာ ဆက်စပ်ပေးသော နှစ်လုံးသွင်းဆက်သွယ်ချက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ နှစ်လုံးသွင်းဆက်သွယ်ချက် <math>f</math> တွင် <math>(x, y_1) \in f</math> နှင့် <math>(x, y_2) \in f</math> ဖြစ်ပါက <math>y_1 = y_2</math> ဖြစ်ပေါ်စေလျှင် ၎င်းကို ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် <math>x \in \operatorname{dom}(f)</math> အတွက်မဆို ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထု <math>y</math> သည် <math>x</math> ရှိ <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>f(x)</math> သို့မဟုတ် <math>f_x</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အကယ်၍ <math>x \notin \operatorname{dom}(f)</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x)</math> ဟူသော တန်ဖိုးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားပေ။ <math>\operatorname{dom}(f) = X</math> နှင့် <math>\operatorname{im}(f) \subseteq Y</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို <math>f : X \to Y</math> သို့မဟုတ် <math>(f(x))_{x \in X}</math> သို့မဟုတ် <math>(f_x)_{x \in X}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ <math>f</math> ၏ ပုံရိပ်ကို <math>\{f(x) \mid x \in X\}</math> သို့မဟုတ် <math>\{f_x\}_{x \in X}</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ အစုသီအိုရီ၏ အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> ဖန်ရှင်နှစ်ခုသည် <math>\operatorname{dom}(f) = \operatorname{dom}(g)</math> ဖြစ်ပြီး မည်သည့် <math>x \in \operatorname{dom}(f)</math> အတွက်မဆို <math>f(x) = g(x)</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>f = g</math> ထပ်တူညီကြသည်။ == ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Functions) == {{main|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်}} ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုနှင့် [[အစု]] <math>X</math>, <math>Y</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ * <math>\operatorname{dom}(f) = X</math> ဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် (function on <math>X</math>) ဖြစ်သည်။ * <math>\operatorname{im}(f) \subseteq Y</math> ဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် <math>Y</math> အတွင်းသို့ ဖန်ရှင် (function into <math>Y</math>) ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များက]] ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ [[File:Non-injective function1.svg|thumb|အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)]] * '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]] (Injective)''' - [[အစု]] <math>X</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို <math>Y</math> ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>x_1 \neq x_2</math> ဖြစ်ပါက <math>f(x_1) \neq f(x_2)</math> ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2</math> ဖြစ်ရမည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] (Surjective)''' - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\operatorname{im}(f) = Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>Y</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် <math>y</math> အတွက်မဆို <math>y = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x</math> တစ်ခု <math>X</math> အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံ ဖန်ရှင် (onto function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ * '''[[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] (Bijective)''' - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == ဂရပ်များ (Graphs) == ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ၏ ဂရပ် (graph) ဆိုသည်မှာ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (cartesian product) <math>X \times Y</math> ၏ [[အစုပိုင်း]] <math>G_f</math> ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>G_f = \{(x, y) \in X \times Y \mid y = f(x)\}</math> ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက်]] တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း <math>L_x = \{(x, y) \in X \times Y \mid y \in Y\}</math> မဆို ဂရပ် <math>G_f</math> ကို <math>(x, f(x))</math> ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။ <gallery class="center" caption="ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ"> Graph describing a linear function.svg| မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) (ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အဖိုင်း (affine) ပုံဖော်မှု) Polynomialdeg5.svg|၅-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function of the 5th degree/ quintic function) Exp re.png|ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) Sin.svg| ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function) Normal density-3.svg|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) |ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves) Graph of function of 2 variables.png| ကိန်းရှင် ၂ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင် (surface) ပြ ဂရပ် Champ vecteurs python matplotlib.svg| ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) ပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) Complex zeta.jpg|ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု </gallery> == ဖန်ရှင် ဥပမာများ (Examples of Functions) == [[File:Constant_function2.png|thumb|ကိန်းရှင် <math>x</math> တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု။]] * '''ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (Identity function)''' - [[အစု]]တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တိုင်းကို]] ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\operatorname{id}_X : X \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{id}_X(x) = x</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ * '''ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် (Characteristic function)''' - အစုဝင်တစ်ခုသည် [[အစုပိုင်း]] <math>A \subset X</math> အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး <math>\chi_A : X \to \{0, 1\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & : x \in A \\ 0 & : x \notin A \end{cases}</math> * '''ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (Constant function)''' - အစု <math>X</math> အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် <math>x</math> ကိုမဆို <math>Y</math> အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် <math>c</math> တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> အတွင်းရှိ အစုဝင် <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f(x) = c</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဗလာအစု ဖန်ရှင် (Empty function)''' - မည်သည့် အစု <math>X</math> အတွက်မဆို ဗလာအစု ဖန်ရှင် <math>\emptyset \to X</math> သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> သည် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] <math>\mathbf{Set}</math> အတွင်းရှိ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) ဖြစ်သည်။ * '''ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ပုံဖော်မှု (Real-valued mapping)''' - ဆက်သွယ်ချက် <math>f = \{(x, 1/x^2) \mid x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\}</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R} \setminus \{0\}</math> မှ ကိန်းစစ်များဆီသို့ သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် မဟုတ်သကဲ့သို့ တစ်-တစ် ဖန်ရှင်လည်း မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် <math>f(1) = f(-1)</math> ဖြစ်နေသောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် <math>x \mapsto x^4 \quad (x \neq 0)</math> အဖြစ် ပြောင်းလဲသွားသည်။ == ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Operations on Functions) == [[File:Example for a composition of two functions.svg|thumb| <math>f : A \to B</math> နှင့် <math>g : B \to C </math> တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ <math>g \circ f : A \to C</math> ကို ရသည်။]] '''ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction)''' အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>U \subset X</math> ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် <math>f</math> ကို <math>U</math> အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား <math>f|_U : U \to Y</math> သို့မဟုတ် <math>f|_U = \{(x, y) \in f \mid x \in U\}</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>U</math> အတွင်းရှိ [[အစုဝင်]] <math>x</math> အားလုံးအတွက် <math>f|_U(x) = f(x)</math> ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် <math>f|_U</math> ၏ တိုးချဲ့ချက် (extension) တစ်ခုဖြစ်သည်။ '''ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition)''' ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f : X \to Y</math> နှင့် <math>g : Y \to Z</math> တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် <math>g \circ f : X \to Z</math> ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း <math>g \circ f</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် <math>\operatorname{im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)</math> ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ၎င်းအပြင် <math>\operatorname{im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{dom}(g \circ f) = \operatorname{dom}(f)</math> ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်၏ အရင်းအမြစ်စုကို <math>\operatorname{dom}(g \circ f) = \operatorname{dom}(f) \cap f^{-1}[\operatorname{dom}(g)]</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>g \circ f \neq f \circ g</math> ဖြစ်သည်။ '''ဥပမာ''' - <math>f(x) = x^2 - 1 \quad (x \in \mathbb{R})</math> နှင့် <math>g(x) = \sqrt{x} \quad (x \ge 0)</math> တို့ဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်၏ အရင်းအမြစ်စု <math>\operatorname{dom}(f) \cap f^{-1}[\operatorname{dom}(g)]</math> သည် <math>\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 1 \lor x \le -1\}</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်သည် <math>(g \circ f)(x) = \sqrt{x^2 - 1} \quad (x \ge 1 \lor x \le -1)</math> ဖြစ်သည်။ '''ပြောင်းပြန်များ (Inverses)''' [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်]] ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>f^{-1} : Y \to X</math> အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>f(x) = y</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>f^{-1}(y) = x</math> ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် <math>f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X</math> နှင့် <math>f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ '''ဥပမာ''' - မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် <math>g(x) = 2x - 1 \quad (x \in \mathbb{R})</math> သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်မှာ <math>g^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \quad (x \in \mathbb{R})</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖန်ရှင် <math>f : X \to Y</math> သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]သာဖြစ်ပြီး [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]]မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် <math>f^{-1} : Y \to X</math> မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု <math>\tilde{f} : X \to \operatorname{im}(f)</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ပြောင်းပြန် (Two-sided inverse) <math>\tilde{f}^{-1} : \operatorname{im}(f) \to X</math> တိတိကျကျ တည်ရှိသည်။ == ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ်များ (Compatible Systems) == ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် မည်သည့် <math>x \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g)</math> အတွက်မဆို <math>f(x) = g(x)</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ကိုက်ညီမှုရှိကြသည်။ ၎င်းသည် <math>f \cup g</math> ကိုယ်တိုင်က ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်များ[[အစု]] <math>\mathcal{F}</math> တစ်ခုအတွင်းရှိ ဖန်ရှင်စုံတွဲတိုင်းသည် ကိုက်ညီမှုရှိပါက ၎င်းအစုကို ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ်တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ် <math>\mathcal{F}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ ပေါင်းစပ်စု <math>\bigcup \mathcal{F}</math> သည် <math>\mathcal{F}</math> အတွင်းရှိ <math>f</math> အားလုံးကို တိုးချဲ့ပေးထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုမှာ <math>\operatorname{dom}\left(\bigcup \mathcal{F}\right) = \bigcup\{\operatorname{dom}(f) \mid f \in \mathcal{F}\}</math> ဖြစ်သည်။ == ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းများ (Images, Pre-images and Function Spaces) == * '''[[အစု]]တစ်ခု၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (Image of a Set)''' - <math>A \subset X</math> ဖြစ်ပါက [[အစုပိုင်း]] <math>A</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော <math>f</math> ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f(A) = \{y \in Y \mid \exists x \in A : y = f(x)\}</math> * '''အစုတစ်ခု၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (Pre-image of a Set)''' - <math>B \subset Y</math> ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း <math>B</math> အတွင်း ကျရောက်နေသော <math>X</math> အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}</math> :ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု <math>f^{-1}(B)</math> သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် <math>f^{-1}</math> တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * '''ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း နှင့် မြှောက်လဒ်များ (Function Spaces and Products)''' - <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းကို <math>Y^X</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ <math>I</math> ဟူသော အညွှန်းအစုပေါ်တွင် အခြေခံ၍ အစု <math>S_i</math> များကို သတ်မှတ်ပေးသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု <math>S = (S_i)_{i \in I}</math> အတွက် ၎င်း၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]]ကို <math>\prod_{i \in I} S_i = \left\{ f : I \to \bigcup_{i\in I} S_i \ \bigg| \ \forall i \in I, f(i) \in S_i \right\}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းကို <math>\prod (S_i)_{i \in I}</math> ဟုလည်း သင်္ကေတပြုနိုင်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် <math>i \in I</math> အတွက်မဆို <math>S_i = Y</math> ဖြစ်ပါက <math>\prod_{i \in I} S_i = Y^I</math> ဖြစ်သည်။ <math>I</math> အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် <math>S</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မိသားစုတစ်ခုအတွက် ပေါင်းစပ်စုများနှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများကို <math>\bigcup_{i \in I} S_i</math> နှင့် <math>\bigcap_{i \in I} S_i</math> ဟု ပုံမှန်ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် <math>X \times Y</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်များအတွက် ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများကို <math>f((x, y))</math> အစား <math>f(x, y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ == အခြေခံ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ထပ်တူညီချက်များ (Fundamental Set-Theoretic Identities) == ဖန်ရှင်များ၏ မိသားစုများနှင့် သက်ဆိုင်သော နိယာမများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ '''ဒီမော်ဂန် နိယာမများ (De Morgan's Laws)''' <math>X \setminus \bigcup_{i \in I} F_i = \bigcap_{i \in I} (X \setminus F_i)</math> <math>X \setminus \bigcap_{i \in I} F_i = \bigcup_{i \in I} (X \setminus F_i)</math> '''ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive Laws)''' <math>\left(\bigcup_{x \in X} F_x\right) \cap \left(\bigcup_{y \in Y} G_y\right) = \bigcup_{(x, y) \in X \times Y} (F_x \cap G_y)</math> <math>\bigcap_{x \in X} \left(\bigcup_{y \in Y} F_{x, y}\right) = \bigcup_{f \in Y^X} \left(\bigcap_{x \in X} F_{x, f(x)}\right)</math> == နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (Binary Operations) == [[အစု]] <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို <math>f : X \times X \to X</math> ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) ဆိုသည်မှာ အစု (set) <math>G</math> တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု <math>\star</math> တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Hrbáček |first1=Karel |last2=Jech |first2=Thomas |title=Introduction to Set Theory |edition=3rd |publisher=Marcel Dekker |date=1999}} [[Category:အခြေခံ သင်္ချာ]] e1j95by9yg2fd6873hrkt9hl0aa53km 0 8315 1048717 1046390 2026-08-14T13:42:00Z Fhtugv 146930 /* growthexperiments-addlink-summary-summary:3|0|0 */ 1048717 wikitext text/x-wiki {{Unreferenced}} '''ကဗျာလင်္ကာ''' ဟူသည်ကား လူတို့နေ့စဉ် သုံးစွဲပြောဆိုနေသော သာမန်စကားများကို တေးဂီတပမာ ပြေပြစ်ချောမောစွာ ချိုသာငြိမ့်ငြောင်းအောင်စီကုံးရေးသား ထားသောစာ ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ပဒဒေါသ၊ ဝါကျဒေါသ စသော ဒေါသတို့မှ ကင်းလွတ်၍ ပသာဒဂုဏ်၊ ဩဇဂုဏ်စ သော ဂုဏ်တို့နှင့် ပြည့်စုံအောင် ဖွဲ့သီကုံးသမျှသော သက္ကဋဘာသာ မဂဓဘာသာတွင် ဂါထာ၊ မြန်မာဘာသာတွင် လင်္ကာသီချင်းများကို ကဗျာလင်္ကာဟု ခေါ်ဝေါ်ကြသည်။ ကဗျာလင်္ကာကို မြန်မာဘာသာ စာပေသာမဟုတ်၊ ကမ္ဘာပေါ်ရှိ ဘာသာစာပေ အသီးသီးတို့၌လည်း တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ထိုသို့ဖြစ်သော် ကဗျာလင်္ကာသည် မည်ကဲ့သို့ စတင်ပေါ်ပေါက်လာသနည်းဟု စဉ်းစားဖွယ်ရှိသည်။ ကဗျာလင်္ကာကို မည်သူကစ၍ ရေးလိုက်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ အတိအကျ မပြောနိုင်ချေ။ သို့သော် ကဗျာလင်္ကာ မည်သို့စတင်ဖြစ်ပေါ်လာသည်ကိုမူ ခန့်မှန်း ချိန်ဆနိုင်ပေသည်။ ကဗျာလင်္ကာဟူသည် တေးဂီတပမာ ချိုသာငြိမ့်ငြောင်းအောင် စီကုံးထားသော စာဖြစ်သည်ဟု အထက်ကဆိုခဲ့ပြီ။ ထို့ကြောင့် ကဗျာလင်္ကာ၏ ရေသောက်မြစ်ဖြစ်သော တေးဂီတများကို ပြန်လည် စဉ်းစား သင့်ပေသည်။ တေးဂီတများမည်ကဲ့သို့ စတင်ပေါ်ပေါက်လာသနည်း။ ကမ္ဘာလောကကြီး၌ သာယာသောအသံ ဆိတ်သုန်းနေသည့် အချိန်ဟူ၍ မည်သည့် အခါကမှ မရှိခဲ့ချေ။ သတ္တလောကကြီးမဖြစ်တည်မီ လောကဓာတ်ကြီးတစ်ခွင်လုံး ရေပြင်အတိ ဖုံးလွှမ်းနေသော ကမ္ဘာပျက်နေချိန်၌ပင် ရေယာဉ်လှိုင်းတို့ခွပ်သံ၊ လျှပ်စစ်ပြက်၍ မိုးကြိုးထစ်သံ စသော အသံများ ရှိခဲ့ပေသည်။ ထိုနောက် ရေများခန်းခြောက်၍ မြေပြင်ပေါ်ထွန်း လာသောအခါ လေဖြင့် တိုက်ခတ်အပ်သော ရေလှိုင်းသံသည်လည်းကောင်း၊ ပင်ထက်မှ သစ်ရွက် သစ်ခက်ကလေးများ လှုပ်ရှားသံသည်လည်းကောင်း၊ ချောင်း၊ မြောင်း၊ အင်းအိုင်တို့မှ ရေပွက်သံသည် လည်းကောင်း၊ ပိုးမွှားတိရစ္ဆာန် တို့၏ အော်မြည်သံသည်လည်းကောင်း၊ ကျေးငှက် သာရကာတို့၏ ရင့်ကျူးသံသည် လည်းကောင်းအသီးသီး ရှိခဲ့ကြပေသည်။ ထိုအသံများမှာ စင်စစ် သဘာဝ၏ တေးဂီတပင် ဖြစ်လေသည်။ ဂီတသံနွှယ်သည့် သာယာငြိမ့်ငြောင်းသော ထိုသဘာဝသံကို ကမ္ဘာဦးသူတို့ အာရုံပြုမိကြသည်။ ကလေးသူငယ်များသည် အိမ်၌ မွေးထားသေ ာကြောင်ကလေး၊ ခွေးကလေးတို့၏ အသံကို အတုယူအော်ကြည့်ကြသကဲ့သို့ ကမ္ဘာဦးသူ တို့သည်လည်း ထိုသဘာဝ ဂီတသံများကို အတုယူကြသည်။ ဦးစွာ သူတို့အနီးပတ်ဝန်းကျင်ရှိ တိရစ္ဆာန်များ အော်သံကို အတုယူသည်။ အထူးသဖြင့် ငှက်ကလေးများ၏အသံကို မတူ တူအောင် လေ့ကျင့် ကြည့်ကြ၏။ ငှက်မြည်သံမှာ လူတို့အတုယူရန် အလွယ်ဆုံးသော အသံဖြစ်လေသည်။ ကမ္ဘာဦးသူတို့သည် တစ်နေ့လုံး အမဲလိုက် ငါးမျှားစသည်ဖြင့် အစာရှာဖွေခဲ့ရ၍ ပင်ပန်းနွမ်းလျကြသည့် အလျောက် ညချမ်းအချိန်ဝယ် စုဝေးလျက် ကျေးငှက်အသံ၊ မိုးသံ၊ လေသံ၊ သစ်ပင်သစ်ရွက် လှုပ်ရှားသံစသော သဘာဝ ဂီတသံတို့ကို တစ်ယောက်တစ်လှည့်စီ အတုယူအော်မြည်၍ ဖျော်ဖြေကြပေလိမ့်မည်။ အချို့သော သူများကလည်း အနားယူချိန်တွင် မိမိတို့တစ်နေ့တာ ကြုံတွေ့ခဲ့ရသော အဖြစ်အပျက် ဗဟုသုတတို့ကို တစ်ဆင့်စကား တစ်ဆင့်နားရောက်အောင် ပြောကြား ကြပေမည်။ ယင်းသို့ ပြောကြားရာတွင် ပတ်ဝန်းကျင် သဘာဝဂီတသံကို အားကျ၍ ရိုးရိုး စကားနှင့် မပြောဘဲ ဂီတသံနှောသည့် စကားလုံးတို့ဖြင့် ကြံဖန်ပြောသည့်အလေ့ ဖြစ်လာခဲ့ဟန်တူသည်။ ဝိုင်းဖွဲ့ စကားပြောရာတွင် ပျော်ရွှင်မြူးတူးကြသည့် အလျောက်လက်ခုပ်တီးခြင်း၊ ခြေဆောင့်ခြင်း၊ စည်းလိုက်ခြင်း၊ လေချွန်ခြင်းစသော အမှုတို့ကိုပြုလျက် စကားပြောသူကလည်း ဂီတသံနွှယ်သည့် ချိုသာသော စကားများကို ပြောပေလိမ့်မည်။ ဤသို့ စကားရိုးရိုးမှ ဂီတသံကိုမှီးလျက် သာယာနာပျော်ဖွယ်ဖြစ်အောင် စီကာပတ်ကုံး ပြောခြင်းသည်ပင်လျှင် ကဗျာလင်္ကာ သန္ဓေစွဲလာနေပြီဟုဆိုရပေမည်။ သို့သော် ဤသည်ကား နှုတ်ကဗျာ သာလျှင် ဖြစ်သေး၏။ စာအက္ခရာမပေါ်ပေါက်မီကပင်လျှင် လူတို့သည် မိမိတို့ စိတ်နှလုံး၌တွေ့ကြုံခံစားမှုတို့ကို ထုတ်ဖော်ပြောဆိုကြသော ကဗျာတေးများ ရှိခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် အက္ခရာစာများ ပေါ်ပေါက်လာသောအခါ ကဗျာလင်္ကာ အရေးအသားဟူ၍ ပေါ်ထွန်းလာမည်မှာ ကျိုးကြောင်း ဆက်စပ်ကြည့်ကသိနိုင်ပေသည်။ မိမိစိတ်၌ ခံစားမှု၊ လှုပ်ရှားမှု၊ တွေးကြံမှုတို့ကို သူတပါးစိတ်၌ ထိုနည်းနှင်နှင် တွေ့ကြုံခံစား လှုပ်ရှားလာနိုင်အောင် ကူးဆက်ပေးသောအရာကား ကဗျာလင်္ကာပင် ဖြစ်သည်။ ယင်းသို့ မိမိခံစားရမှုကို သူတစ်ပါးကိုယ်တွေ့ ခံစားမှုဖြစ်သွားအောင် ကူးပြောင်းပေးရသည်မှာ မလွယ်ကူချေ။ မိမိသိသလို သူတစ်ပါးသိအောင်၊ မိမိမြင်သလို သူတစ်ပါးမြင်အောင် ပြစားဖို့ရာ လက်နက်ကောင်း လိုပေသည်။ ထိုလက်နက်ကောင်းကား ကဗျာလင်္ကာတည်းဟူသော တန်ဆာဖြစ်မြောက်အောင် ထောက်မကူညီပေးသော အသံကာရန်၊ စပ်ပုံဟပ်ပုံ၊ စပုံချပုံ အနက်အဓိပ္ပာယ် စသည်တို့ဖြစ်ကြ၏။ ကဗျာလင်္ကာဟူသည် ကာရန်ကလေးများ ဟပ်ထားရုံနှင့် ကဗျာလင်္ကာမြောက်ပြီဟု မဆိုသာချေ။ သဒ္ဒလင်္ကာရ၊ အတ္တလင်္ကာရ စသောတန်ဆာများဖြင့် ဝေဝေ ဆာဆာဆင်မြန်းပေးဖို့ လိုသေးသည်။ မည်သည့် ဘာသာစာပေ၌ မဆို ကာရန်ချိတ်ဆက်ပုံ၊ အသံနေအသံထားယူပုံ၊ အလင်္ကာရသပေါ်အောင် ဖွဲ့ပုံစသော ကဗျာဥပဒေစည်းကမ်းများရှိပေသည်။ ထိုစည်းကမ်းများဖြင့် စံနစ်တကျ ကုံလုံပြည့်ဝအောင် ဖွဲ့စီသီကုံးတတ်မှသာ ကဗျာလင်္ကာ ဖြစ်ပေမည်။ ကဗျာစာဆိုသည် ထိုထို လက်နက် ကရိယာများကို မှန်ကန်အောင် သုံးတတ်ပါမှ စာဆိုကိုယ်တိုင် သိရှိခံစားရသော အရသာကို စာဖတ်သူသည် တင်းပြည့်ကျပ်ပြည့် ခံစားနိုင်ပေမည်။ [[မြန်မာကဗျာ ကာရန်ယူနည်းများ|ကာရန်]]သာညီ၍ ကဗျာ့အရသာ မထိမိသော ကဗျာကလေး တစ်ပိုဒ်ကို ပုံစံပြလိုသည်။ <blockquote> တို့ကျောင်းတောင်က စိန်ပန်းတော၊<br /> အပျိုလေးတွေ လက်နဲ့ခေါ်လို့၊<br /> ရွှေမုဌောတဲ့တင်ကြရှာ။ </blockquote> ဤ၌ ကာရန်ကိုသာ ညီအောင်စပ်ထား၍ အနက်အဓိပ္ပာယ်လုံးဝမပေါ်ခဲ့ချေ။ တော၊ ခေါနှင့် ဌောတို့မှာ ကာရန် ဟပ်မိသော်လည်း လက်နဲ့ခေါဆိုသော စကားမှာ အဓိပ္ပာယ်မရှိချေ။ အတ္တလင်္ကာရ မပေါ်သောစာဖြစ်၏။ ဤသို့ အဓိပ္ပာယ်မရှိသည့် စကားလုံးကိုသုံးခြင်းဖြင့် ဘာသာစကားကိုများစွာထိခိုက်ပေသည်။ ကဗျာလင်္ကာသို့လည်း မကျရောက်သည်ကို သတိပြုဖွယ်ဖြစ်သည်။ ကာရန်လည်းမိ၊သဒ္ဒလင်္ကာရ၊ အတ္တလင်္ကာတို့နှင့်လည်းပြည့်စုံ၊ ကဗျာ့ အရသာလည်း မြောက်လှသောကဗျာတစ်ပုဒ်ကို ပုံစံပြဦးအံ့။ <blockquote> လနေအစွန်၊ မြမြေမွန်ဝယ်၊ လေသွန်ပင့်မှုတ်၊<br /> ရွက်ရင့်ပြုတ်က၊ ကျေးနှုတ်ဖူးဆင့်၊<br /> လွတ်ကျူးတင့်သည်၊<br /> နူးခွင့်ခါမှီ၊ သရဖီလည်း၊ ရာသီသိဆုံး၊ စီဘိကုံးသို့၊<br /> တောလုံးလျှမ်းမောက်၊ ပန်းပိတောက်မူ၊<br /> နွမ်းခြောက်ကြွေ ရော်၊ မချွေသော်လည်း<br /> မြေပေါ်အတိ၊ ပုံလျက်ရှိ၏။<br /> ဤ၌ ကာရန်များမှာ နှစ်ချက်သုံးချက်ပင် မိအောင် </blockquote> စပ်ဆိုထား၏။ လနှင့်မြ၊နေနှင့်မြေ၊စွန်နှင့်မွန်၊သုံးချက်စလုံးမိ၏။ အနက်အဓိပ္ပာယ်ရှင်းလှ၏။ အခါရာသီ အလျောက် လူက မချွေရဘဲနှင့် အလိုလိုပင်ထက်မှ နွမ်းခြောက် ကြွေကျလာသော သရဖီပန်းနှင့် ပိတောက်ပန်းပွင့်တို့မှာ မြေပြင်ပေါ်ဝယ် တပုံတခေါင်းကြီး ပုံလျက်သားဖြစ်နေသည်ကို ကွက်ကွက်ကွင်းကွင်း သိမြင်နိုင်သည်။ ဤ၌စာဆို ပြသလိုသောသူ၏ ပန်းကမ္ပလာ မြေမွေ့ရာကို စာဖတ်သူသည် စာဆို၏ လက်နက်ကောင်းဖြစ်သော ကဗျာ့အရာမြောက်သည့် စာလုံးကလေးများကို သုံးသပ်ရုံနှင့် စာဆို မြင်သကဲ့သို့ မြင်နိုင်ပေသည်။ ကဗျာလင်္ကာ စပ်ဆိုရာ၌ ကာရန်သာမက မတြာ(မီတာ)ဟုခေါ်သည့် အသံကိုလည်း သတိမူ ရပေသေးသည်။ ရှည်သောဒီဃသံ၊ တိုသော ရဿသံ၊ လေးသော ဂရုသံ၊ ပေါ့သောလဟုသံစသည်များကို ညီညာပြေပြစ်အောင် ထည့်သွင်းစပ်ဆိုမှလည်း ကဗျာလင်္ကာ မည်ပေမည်။ စာဆိုတို့သည် ကဗျာလင်္ကာ ဖွဲ့ရာ၌ ကာရန် ရွေးသကဲ့သို့ပင် အသံကိုလည်း ရွေးချယ် ရလေသည်။ ရှည်သောဒီဃသံဖြင့် ဖွဲ့နွဲ့၍ အနက်ပေါ်အောင် ဖော်ထားသော အောက်ပါကဗျာလင်္ကာကို ကြည့်နိုင်ပေသည်။ <blockquote> ကြည့်၍မမြင်၊ ခေါ်လျှင်မကြား၊ အိမ်ရှေ့ဖျားကြောင့်၊<br /> သနားစရာ ငိုကြွေးရှာ၏။ </blockquote> ဤစာကြောင်း၌ကာရန်သာ ညီသည်မဟုတ်၊ အသံအားဖြင့်လည်းသိမ်မွေ့သည့် အနက်ကို ဖော်ထားလေသည်။ မြင်၊ လျှင်၊ ကြား၊ ဖျား၊သနား၊ စရာ၊ ရှာဟူသော ကာရန်များမှာ အသံရှည် အသံလေး များချည်းဖြစ်သဖြင့် ရွတ်ဆိုရာတွင် ဆွဲငင်ရှည်တွဲ၍ စာဆိုပြလိုသော သနားဖွယ် အဖြစ်နှင့် သိမ်မွေ့သည့်အနက်ကို ရှင်းလင်းစွာ မြင်သိ နိုင်လေသည်။ <blockquote> အဖန်ဖန်လျှင်၊ တသန္ဓေဓေ၊ တပေလျဉ်းလျဉ်း<br /> တညှဉ်းဆိုးဆိုး၊တညှိုးလျလျ၊တတလွမ်းလွမ်း၊တသမ်း<br /> ဟယ်ဟယ်၊တတွယ်တာတာ၊တဟာလှိုက်လှိုက်၊<br /> တရှိုက်ငင်ငင်၊ တပင်ပန်းပန်း၊ တဝန်းလျားလျား။ </blockquote> ဤကဗျာပိုဒ်မှာ သဒ္ဒလင်္ကာရနှင့် ပြည့်စုံလှ၍ အထူးသဖြင့် အသံများကို မဓုရတာဂုဏ်မြောက်အောင် ချိုသာစွာ ဖွဲ့စီထားပေသည်။ အနက်အားဖြင့်လည်း မချို့တဲ့၊ ဘာသာစကားလုံးများကိုလည်း ရေလဲနှင့် ဆင့်ထက်ကဲ လှလှကြီး သုံးထားပေသည်။ ကဗျာတွင် ကာရန်ငြိရုံသာ မဟုတ်ဘဲအသံများကို ဆိုလိုသည့် အဓ္ဓိပါယ်နှင့် ညီညွတ်အောင် ရွေးချယ်သုံးထားပုံကို အောက်ပါပုံစံ၌ တွေ့ရ၏။ <blockquote> ငါ၏ခွန်အား၊ တန်းခိုးများကို ထင်ရှားကြည့်ကြ၊<br /> ကေသရသို့၊ မဒ္ဒနန်းလုံး၊ ရွှံ့ကြောက်ချုံးအောင်၊<br /> လက်ရုံးနှစ်ရပ်၊ ဖြောင်းဖြောင်းခတ်လျက်၊<br /> ဆင်မြတ်ယဉ်သာ၊ ကျောက်ကုန်းမှာလျှင်၊<br /> ပဘာကိုတင်၊ မြေပြင်တလင်း၊ စစ်ပွဲကျင်းသည်<br /> ငါမင်းကုသ လာပြီတည်း။ </blockquote> ဤစာပိုဒ်၏ ကာရန် အသံများကို ကြည့်လျှင် ရှေးဦးစွာအား၊ များ၊ ရှားဟူသော ဒီဃသံရှည်ဖြင့် အစပြု၍ ရုတ်ခြည်းပင် ကြ၊ ရ၊ ဒဟူသော လဟုသံပေါ့တို့သို့ ပြောင်းကာလုံး၊ ချုံး၊ ရုံး၊ ရပ်၊ ခတ်၊ မြတ်ဟူသော အသံလေးများဖြင့် သယ်ယူသွားပြီးသော် အသံရှည် သာ၊ မှာ၊ကာ တို့ထည့်သွင်းလျက် တဖန် ဂရု အသံလေး ဖြစ်သော လင်း၊ ကျင်း၊မင်းတို့ဖြင့် အဆုံး သတ်ထားလေသည်။ ဤတွင် ဂရုသံအသံလေးများ၊ ပြတ်တောင်းသော ရဿအသံတိုများ ဒီဃသံရှည်များ မျှတစွာ အနက်ပေါ်အောင် ဖော်စပ်သွားသဖြင့် ကုသမင်း၏ ရဲရင့်သော ကြုံးဝါးသံ ကိုစာဖတ်သူတို့၏ နားထဲ၌ စာဆို ကြားစေလိုသကဲ့သို့ ထင်ထင်ရှားရှားကြားနေဘိ၏။ ဤသို့ ခံစားရပေသည်။ စာဆို၏ စိတ်နှလုံး၌ ခံစားရသော အာရုံများကို သူ၏ စကားလုံးအသံများက အဓိပ္ပါယ်ဖော်ပေးစေမှသာ ကဗျာလင်္ကာ အစစ်ဖြစ်နိုင်ပေသည်။ ကဗျာလင်္ကာ အမျိုးအစားများမှာ ဘာသာစာပေအသီးသီးကိုလိုက်၍ အမျိုးမျိုး ကွဲပြားလေသည်။ မြန်မာစာပေတွင် ကဗျာလင်္ကာ အမျိုးအစားများမှာ ဘာသာစာပေ အသီးသီးကိုလိုက်၍ အမျိုးမျိုး ကွဲပြားလေသည်။ မြန်မာစာပေတွင် ကဗျာလင်္ကာကို လင်္ကာနှင့်သီချင်းဟူ၍ နှစ်မျိုး ခွဲခြားထားသည်။ လင်္ကာမှာ (၁) လင်္ကာ၊ (၂) ပျို့၊ (၃) မော်ကွန်း၊ (၄) သံပိုင်း၊ (၅) သမိုင်း၊ (၆) ရဲတင်း၊ (၇) တမ်းချင်း၊ (၈) ဧချင်းသံတိုင်၊ (၉) ဧချင်းသံပေါက်၊ (၁၀) ရတု၊ (၁၁) လူးတား၊ (၁၂) အန်၊ (၁၃) သံပေါက်၊ (၁၄) ဝဲရိုက်ဝဲသွင်းဟူ၍ ၁၄ မျိုး ရှိ၏။ သီချင်းတွင် (၁) ရကန်၊ (၂) ဟောစာ၊ (၃) သာချင်း၊ (၄) ကာချင်း၊(၅) အဲချင်း၊ (၆) [[အိုင်ချင်း]]၊ (၇) လေးချိုး၊ (၈) [[သံချို]]၊ (၉) ယိုးဒယား၊ (၁၀) ပတ်ပျိုး၊ (၁၁) ကြိုး၊ (၁၂) ဘွဲ့၊ (၁၃) ဘောလယ်အရိုး၊(၁၄) တေးအရိုးအဆန်း၊ (၁၅) သဖြန်အရိုးအဆန်း၊ (၁၆) ငိုချင်းအရိုးအဆန်း၊ (၁၇) တုံးချင်း အရိုးအဆန်း၊ (၁၈) ဟန်ချင်း အရိုး အဆန်း၊ (၁၉) လှေချင်း အရိုးအဆန်း၊(၂၀) နတ်သံ၊ (၂၁) မှာတမ်း၊ (၂၂) ဇာတ်စကားစပ်ပုံဟူ၍ ၂၂ မျိုးပါဝင်သည်။ ကမ္ဘာပေါ်တွင် ပြောဆိုသုံးစွဲကြသော ဘာသာစကားများ ကွဲပြားသော်လည်း ကဗျာ့ဉာဏ် အာဘော်များမှာမူအားဖြင့် ခပ်ဆင်ဆင် တူသည်ကို တွေ့ရသည်။ အနောက်နိုင်ငံ၏ ကဗျာလင်္ကာများကိုကြည့်လျှင် အနောက်လောက ယဉ်ကျေးမှု၏ ဖိုးအေဟု ခေါ်ဆိုရသော ဂရိနှင့် ရောမနိုင်ငံများ၏ အဆက်အနွယ်များကို တွေ့ရပေသည်။ ဂရိစာပေတွင် အော့ဒီဆီခေါ် လင်္ကာကြီးမှာ ရှေးစစ်တိုက်ခန်း၊ စွန့်စားခန်းများကို ဖွဲ့ဆိုထားသဖြင့် ထိုလင်္ကာ ကြီးမျိုးကို အက်ပစ်ရဲတင်း လင်္ကာ ဟူ၍ ခေါ်ဆိုထား လေသည်။ ထိုလင်္ကာကြီးကိုဥရောပ စာပေတွင် ဘာသာမပြန် ရသေးသော ဘာသာဟူ၍ မရှိချေ။ စာပေ အမွေအနှစ်အဖြစ် ခံယူကြ လေသည်။ ကျွန်ုပ်တို့ အရှေ့နိုင်ငံ၌ သက္ကဋဘာသာဖြင့် ရေးစပ်ထားသော ရာမယန လင်္ကာကြီးမှာလည်း အက်ပစ်လင်္ကာ အမျိုးအစားပင် ဖြစ်သည်။ အော့ဒိဆီနှင့် ရာမယနလင်္ကာကြီးများမှာ ကမ္ဘာတွင် ယခုတိုင် ကျော်ကြားလျက် ရှိလေသည်။ ရာသီဥတု တောတောင် ရေမြေတို့ကိုဖွဲ့ဆိုကြရာ၌ နတ်များပင်ဖန်ဆင်းသကဲ့သို့လည်းကောင်း မိုးနတ်သား၊ လေနတ်သားစသည်တို့ ထင်ရှားစွာရှိသကဲ့သို့လည်းကောင်း၊ ဖွဲ့ဆိုကြ၏။ ရှေးဂရိ လူမျိုးများသည် မိုးဦးကျရာသီ ပန်းများ ပွင့်သည်ကို ဘုမ္မစိုးနတ်သမီး၏ ချစ်သမီး သေမင်းထံမှ ပြန်လာ၍ ပျော်ရွှင်သော အထိမ်းအမှတ်ဖြင့် ပွင့်လေဟန်ဖွဲ့ဆို ခဲ့လေသည်။ အရှေ့တိုင်းနိုင်ငံ၌လည်း အသူရာနှင့်သိကြားတို့ စစ်တိုက် ကြ၍ မိုးရွာလေဟန် ဖွဲ့ဆိုကြသည်။ ရာသီဘွဲ့၊ တောဘွဲ့၊ တောင်ဘွဲ့၊ မယ်ဘွဲ့၊ မောင်ဘွဲ့စသော အဖွဲ့အမျိုးမျိုးတို့ကို မြန်မာစာပေ၌ ရှိသကဲ့သို့ အခြားစာပေများ၌လည်း ရှိပေသည်။ ထိုထိုအဖွဲ့မျိုးကို ဂရိတိုင်းသားတို့က လစ်ရစ်ဟူ၍ အမည်တပ်ထား၏။ မြန်မာစာပေ၌ တေးထပ်ဟူသော ကဗျာအမျိုးအစားမျိုးကို အနောက်တိုင်းစာပေ၌ ဆွန်းနက်ဟူ၍ တွေ့ရ၏။ ဆွန်းနက်မှာ စာကြောင်း ရေ ၁၄ ကြောင်းဖြင် ကာရန်၊ အသံ၊ စည်းမှန်အောင် စပ်ဆိုရသော ကဗျာမျိုးဖြစ်၏။ မြန်မာ တေးထပ်တွင်လည်း ၁၈ ပိုဒ်ပြည့်အောင် အခံအအုပ် ကာရန်များဖြင့် စနစ်ကျအောင် ဖွဲ့ဆို ရပေသည်။ ထို့အပြင် မြန်မာအဲချင်း၊ အိုင်ချင်း၊ တေးအရိုးအဆန်းများနှင့် ခပ်ဆင်ဆင်တူသော အနောက်တိုင်း ကဗျာတစ်မျိုးကို ဗဲလက်ဟု ခေါ်ထားကြောင်း တွေ့ရလေသည်။ ဤသို့လျှင် ဘာသာစာပေ အမျိုးမျိုး၌ ကဗျာအမျိုးအမည် အမျိုးမျိုးရှိလေသည်။ စပ်ပုံဟပ်ပုံ စည်းစံနစ်နှင့် အမျိုးအမည်များ ကွဲပြားခြားနားသော်လည်းဘာသာ စာပေတိုင်း၏ ကဗျာလင်္ကာမှာ သာယာနာပျော်ဖွယ်ဖြစ်အောင် ပညာရှိတို့ ဖွဲ့စီသီကုံးထားသောစာဟုပင် အဓိပ္ပာယ် တညီတည်း ရလေသည်။ ပညာရှိများ ဖွဲ့စည်းထားသော ကဗျာ လင်္ကာ၏ အရသာကို ခံစားနိုင်သောနည်း ရှိပါသလောဟု စဉ်းစားစရာဖြစ်ပေသည်။ ဘာသာစာပေမရွေးကဗျာ၊ လင်္ကာဟူသောအရသာကို သိနိုင်ရန် ခံစားနိုင်ရန်နည်းရှိကြောင်းတွေ့ရသည်။ ချိုချဉ်ခဲဖွယ်တို့၏ အရသာသည် လျှာ၌ ထင်၏။ အဆင်းသည် မျက်စိ၌ထင်၏။ ထိုနည်းနှင်နှင် ကဗျာ လင်္ကာအရသာသည် နား၌ ထင်၏။ ဂီတသံများကို နားလည်နိုင်ရန်၊ ဂီတအရသာကို ခံစားနိုင်ရန် လေ့ကျင့်ထားရသကဲ့သို့ ကဗျာအရသာကို သိနိုင်ရန်လည်း နားကိုပင်လေ့ကျင့်ထားရပေမည်။ ထိုကြောင့်လည်း ကဗျာစပ်ဆိုရာ၌ သဒ္ဒ လင်္ကာရဂုဏ်ကို ထည့်သွင်းထားပေသည်။ ကဗျာဟူသည် စိတ်ထဲက ဖတ်ရုံနှင့် အရသာ မပြည့်စုံချေ။ သူတစ်ပါးအသံထုတ်၍ ဖတ်ကြားခြင်းကို နားထောင်ခြင်း၊ ကိုယ်တိုင်အသံထွက်၍ ဖတ်ခြင်းတို့ကို ပြုမှသာလျှင် ပြည့်စုံသော အရသာ ပေါ်နိုင်လေသည်။ ကဗျာလင်္ကာ အသံများသည် မည်မျှခရီးရောက်သည်ကို အထက်၌ ဖော်ပြခဲ့ပြီးလေပြီ။ ထို့နောက် ကဗျာ၊လင်္ကာဟူသည် စာလုံးစကားများထက် စိတ်အပေါ်တွင်ပို၍ တည်သည်ဟု ဆိုကြသည်။ စိတ်ကူးသည် ကဗျာလင်္ကာဖြစ်၍ စာ၊စကားစသည်တို့မှာ ထိုစိတ်ကူးကို အကောင်အထည် ဖြစ်စေသော လက်နက်မျှသာ ဖြစ်လေသည်။ ထိုကြောင့် ဘာသာစကား ကွဲပြားကြစေကာမူ ကဗျာဉာဏ် စိတ်ကူးမှာ အတူတူဖြစ်သည်ကို တွေ့ခဲ့ကြရသည်။ ကျွန်ုပ်တို့၏ မြန်မာစာပေ အလင်္ကာ ကျမ်းများ၌ ပါရှိသော ဥပစာ၊ ရသဂုဏ်တို့မှာ မဂဓဘာသာများမှ ဆင်း သက်ရရှိသကဲ့သို့ အနောက်တိုင်းကဗျာ စာပေများတွင် ဂရိရောမဘာသာတို့မှ ဆင်းသက်လာသော ဥပစာတင်စား နည်းအသုံးအနှုန်းတို့ ရရှိကြလေသည်။ စာပေအမျိုးမျိုးကို နှိုင်းရှည့်လေ့လာသောအခါ ကဗျာဉာဏ်စိတ်ကူးများ တူပုံကို တွေ့ရှိကြရသည်။ မြန်မာစာပေသမိုင်းတွင် ရတုအရေးအသား၌ တံခွန်စိုက်ခဲ့သော တောင်ငူဘုရင်နတ်ရှင်နောင်၏ရတု တစ်ပိုဒ်တွင်။ <blockquote> နှစ်ပြိုက်ဖက်ရှာ၊ ဝတိံသာမှ၊ စံရာစံထား<br /> ရွေးခဲ့ခြား၍၊ သိကြားတမျှ၊ ပြိုင်လှာသလည်း<br /> သော်တာ့ရောင်သွင်၊ ကြယ်နှယ်ထင်ဟု၊<br /> သခင်ကကို၊ များမိန့်ဆိုလိမ့်။ </blockquote> ဟူ၍ တွေ့ရ၏။ ဤနေရာတွင်မိန်းမတစ်ဦး၏အလှကို မျက်လုံး၊ မျက်ခုံး၊ နှာတံ၊ ကိုယ်နေကိုယ်ထားစသော အင်္ဂါ အစိတ်အပိုင်းတို့ကိုတိုက်ရိုက် ချီးကျူးခြင်း မပြုဘဲ ထိုမိန်းကလေး၏ အလှရုပကာကို ဂုဏ်တင်၍ တစ်နည်းလည်းတင်စား၍ သိကြားမင်းစံရာ၊ ဝတိံသာမှ၊ နတ်ကညာ၏ အလှနှင့် နှိုင်းရှည့်လျှင် မိန်းကလေး အလှကပင် သာပေလိမ့်မည်ဟု ဖွဲ့ဆိုထားသည်ကို တွေ့ရသည်။ ဤကား တင်စားဖွဲ့ဆိုသော နည်းဖြစ်၏။ ရှေးဂရိစာဆို ဟိုးမားဖွဲ့ဆိုသော အော့ဒီဆီ လင်္ကာကြီးတွင် လည်းဟယ်လင်မိဖုရား လှပပုံကို သင်္ဘော တစ်ထောင်ကို စစ်တိုက်ရန် လွှင့်စေသောမျက်နှာဟု တင်စား ထားသည်ကို တွေ့ရသည်။ မိန်းကလေး တစ်ယောက်၏ အလှဂုဏ်မှာစာဆို၏ စိတ်ကူးပေါ်၌ တည်နေ ပေသည်။ မည်သည့်စာဆိုမဆို စာဆိုသူတို့၏ စိတ်ကူးချင်းမှာ ဆင်ဆင်ပင် ဖြစ်သည်။ သူတို့၏ အတွေးနှင့် အမြင်မှာ သာမန်လူများနှင့်မတူထူးခြားနေပေသည်။ နံနက်ချိန်ခါ ထွက်ပြူလာသော နေမင်းကြီးကိုသာမန်လူ၏ မျက်စိတွင် အဝိုင်းသဏ္ဎာန်မှ ဝါဝါအရောင်များ ထွက်နေသည်ဟုပင် သာမန် မြင်ပေမည်။ ကဗျာ့စာဆို၏ မျက်စိ၌ကား ဤသို့ရုန့်ရင်းစွာ မမြင်၊ ယုဂန္ဓိုရ်တောင်ထိပ်ဖျားမှ နေရထားစကြာသည် ရောင်မျိုးထွေဖြာ ထွက်ပေါ်လာ၍ ကမ္ဘာသူ ကမ္ဘာသား အများအားနှုတ်ဆက်သည့်အလားကဲ့သို့ ရှိသည်ဟု မြင်ပေမည်။ ထို့ကြောင့် ကဗျာကို ကြားနာလေ့လာခြင်းဖြင့် မိမိတို့ ကြားဘူးနေကျ စကားလုံးများ၊ အသံများနှင့် မြင်ဘူးနေကျပုံဏ္ဎာန်များသည် အသွင်တစ်မျိုး ပြောင်း၍ အမြင် သစ်တစ်မျိုး မြင်လာနိုင်ပေသည်။ ကဗျာလင်္ကာ စာပိုဒ်များမှာ လူ၏ စိတ်ကို စစ်ခရာသံတံပိုး ကဲ့သို့တက်ကြွ လှုံ့ဆော်နိုင်သော သတ္တိလည်း ရှိသည်။ လူ၏ စိတ်ကို ယိုဖိတ်အောင် ညွတ်နူးစေနိုင်သော သတ္တိလည်း ရှိသည်။ ဤ သတ္တိတို့မှာ စာဆို၏ စိတ်ကူးများသာ ဖြစ်လေသည်။ ကဗျာလင်္ကာသည် တခမ်းတနားရှည်လျားစွာ ဖွဲ့ဆိုထားမှသာ ကဗျာလင်္ကာ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုရချေ။ မည်မျှပင် တိုစေကာမူ ကဗျာဂုဏ် မြောက်အောင်ဖွဲ့ဆိုလျှင် ကဗျာလင်္ကာဖြစ်နိုင်သည်။ ကဗျာလင်္ကာမှာအရသာရှိသော စာပေမျိုးဖြစ်၍ လူ၏စိတ်ကိုသူကြိုက်သည့်ဖက်သို့ ယိမ်းယိုင်လာအောင် ဆွဲငင်နိုင်သော သတ္တိထူးလည်း ရှိပေသည်။ ယင်းသို့ အရသာ တွေ့နိုင်သောစာပေ၏ အမျိုးမျိုးသော အရသာတို့ကို ကျွန်ုပ်တို့ သိထားဖို့ကောင်း၏။ သာယာမှုမှာ လူ့သဘာဝ၏ အကြိုက်ပင်ဖြစ်ရာ၊ သာယာစွာ ဖွဲ့နွဲ့ စီကုံးထားသော ကဗျာ လင်္ကာကိုလည်းလူတို့ ကြိုက်နှစ်သက် စွဲလမ်းကြပေမည်။ ထို့ကြောင့်ပင်လျှင် <blockquote> စာပေဝတ္ထု၊ ရတုကဗျာ၊ပျို့လင်္ကာနှင့်၊သာသည့်သီချင်း<br /> အဲစောင်းငြင်းနှင့်မကင်းမပြတ်၊ဖတ်ရွတ်လေ့ကျက်၊<br /> တီးမှုတ်လျက်သာ၊ နေကောင်းစွာ။ </blockquote> ဟု [[ဝန်ကြီးပဒေသရာဇာ|ဝန်ကြီး ပဒေသရာဇာ]]သည် မြွက်ဆိုခဲ့လေသည်။ = ကဗျာ အမျိုးအစား = * ကဗျာ “ကဝီနံ ဣဒံ ကဗျံ” ဟူသော သီလက္ခန် ဋီကာနှင့်အညီ စိန္တာသုတ၊ အတ္ထပဋိဘာန်၊ အသိသန်တော်မူကြသော၊ ကဝိခံပုဂ္ဂိုလ် ၄-ဦးတို့၏၊ ထူးမြတ်သောဥစ္စာ၊ အဆိုအမိန့်, နှစ်သိမ့်ဖွယ်သော သဒ္ဒပဗန္ဓ အစဉ်အလာကို ကဗျာဟု ခေါ်ဝေါ်ကြောင်း။ * ဂန္ဓ ၎င်းကဗျာကို “နာနာဘေဒဘိန္နာ ဂီယန္တိ ဥစ္စာရီယန္တိ ဧတ္ထ ဧတေနာတိ ဝါ ဂေါ၊ နာနာအတ္ထံ ဓာရေတီတိ ဓော၊ ဂေါစ သောဓေါစာတိ ဂန္ဓော” ဟု ဝစနတ် လှစ်ကြူးရကား၊ အထူးထူးအပြားပြားသော သဒ္ဒါတို့ကို ဆိုရာဆိုကြောင်း ဖြစ်၍ အထူးထူးသော အနက်ကို ဆောင်တတ်သောကြောင့် ဂန္ဓခေါ်ဆိုသည်။ * ဗန္ဓ ထိုဂန္ဓ အမည်ရှိသည်ကိုလည်း “ကဝီဟိ ဗန္ဓိတဗ္ဗောတိ ဗန္ဓော” ဟူသော ဝစနတ်နှင့်အညီ လေးရပ်သော ကဝိတို့၊ မဏိမုတ္တာ၊ ရတနာရွဲလုံး၊ ပုလဲပြုံးကို၊ တလုံးစီ ရွှေကြိုးသီသကဲ့သို့၊ ကုံးစီဖွဲ့ဆိုအပ်သော သဘာဝ ဗန္ဓဟု အမည်ရ ပြန်သည်။ ထိုဗန္ဓကား ဂါထာ, စုဏ္ဏိယ, ဝိမိဿ ဟု ၃-ဌာန ပြားချေ၏၊ ထိုသုံးပါးအနက် - * ဂါထာ အက္ခရာ, ဂိုဏ်း, ဂရု, လဟု တို့ကို မှတ်၍ ဖွဲ့အပ်သော ဗန္ဓကို ဂါထာဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * စုဏ္ဏိယ အက္ခရာ, ဂိုဏ်း, ဂရု, လဟု တို့ကို မမှတ်မူ၍ ဖွဲ့အပ်သော ဗန္ဓကို စုဏ္ဏိယ ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ဝိမိဿ ထိုနှစ်ပါးစုံကို ရောနှော၍ ဖွဲ့အပ်သော ဗန္ဓကို ဝိမိဿဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * ဂီတ ထို ဂါထာ, စုဏ္ဏိယ, ဝိမိဿတို့ကိုပင် “ဒီဃသရေန ဂါယိတဗ္ဗန္တိ ဂီတံ” ဟူသည်နှင့်အညီ ရှည်သောအသံဖြင့် ရင့်ကြူး သီရသောကြောင့် ဂီတဟု သမုတ်ကြောင်း။ * လင်္ကာ ၎င်းပြဆိုခဲ့သမျှ ကဗျာစသည်တို့ကိုပင် လောကဝတ်, ဓမ္မဝတ် ညီညွတ်ပြည့်စုံရန် နားတန်ဆာဆင်တတ်ဟန်ကြောင့် “ကဏ္ဏံ အလင်္ကရော တီတိ လင်္ကာ” ဝစနတ်လာသည့်အတိုင်း လင်္ကာဟု ခေါ်ဝေါ်သမုတ် ကုန်သည်။ * ပျို့ ပျို့ ဟူ၍ ခေါ်ဝေါ်ဟန်မှာ “မနံ ပိနေတိ ဝဎေုတီတိ ပျို့” ဟူသော ဝိဂြိုဟ်နှင့်အညီ စိတ်ကို နှစ်သက်ပွားများစေတတ်သောကြောင့် ပျို့ဟူ၍ အမည်ပေးသည်။ * ဧချင်း ဧချင်းဟု ခေါ်ဝေါ်သမုတ်သည်မှာ “အတ္ထုပ္ပတ္တံ ဣယေတိ ဇနေတီတိ ဧချင်း” ဝစနတ် အကျဉ်းနှင့်အညီ မင်းမိဖုရားတို့ ရင်တော်သွေးများကို ဧယဉ်တော်ဆက် မင်္ဂလာအခါတွင် သမ္ဘာရွှေဘုန်း၊ နေနှုန်းဥက္ကဋ္ဌ်၊ ဇာတိတော် ထူးမြတ်ကြောင်း မှူးမတ်စာဆိုတော် ပညာရှိတို့က သိသာတော်မူစေခြင်း ရွှေနားတော် သွင်းရသည် ဖြစ်၍ ဧချင်းဟု အမည်ရသည်။ * အဲချင်း အဲချင်းမှာ နေနတ်ကယ်မှ ရာဇာ စသဖြင့် ရွာတော်ရှင်, မြို့တော်ရှင်, နတ်သခင်တို့ကို လျှောက်တင်ခေါ် တိုင်တန်းသော ပုစ္ဆန်းသည်တို့၏ အရှင်ဟော အာလုပ် အယျသဒ္ဒါကို စွဲ၍ အဲချင်းဟု ခေါ်ဝေါ်သည်။ * အန်ချင်း အန်ချင်းမှာ အဏ္ဏဝ-သဒ္ဒါပျက်၊ တက်ရေးလှေချင်း၊ ရေသဘင်ကျင်းရာ၌၊ မင်းခန်းစီမံ၊ သီဆိုသော အရင်းခံဖြစ်၍၊ အန်ချင်းဟု အမည်ကြားသည်။ * လူးတား လူးတား ခေါ်သည်မှာ ပေါ်လွင်ရှည်လံသော အသံဟော ပ္လုတ သဒ္ဒါတွင် ပ-အက္ခရာကို ဖျောက်၍ ထိုနောက် လ-၌ ဥ-ကို ဦပြုကာ တ-မှာ အာသရ ကပ် ယှဉ်လျက် ယင်းတို့တွင် ဝိသဇ္ဇနီနှင့် အသံရှည် ရွတ်ဆိုရသောအားဖြင့် လူးတားဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[Category:ကဗျာ]] [[Category:စာပေ]] ledimpqmgnm6uir12d2aj1gjb9ss8hq 0 13851 1048732 822792 2026-08-14T18:54:50Z Mkant00 135890 major expansion 1048732 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် က <math>i</math> ကို ကိန်းယောင် ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်၊ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်၊ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်၊ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်၊<ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်၊ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်၊<ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်၊<ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်၊ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်၊<ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်၊ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်၊ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်၊<ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်၊ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက၊ <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] 7tbp9u2bt90x7707d32513sjkvrmryy 1048733 1048732 2026-08-14T19:00:21Z Mkant00 135890 1048733 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် က <math>i</math> ကို ကိန်းယောင် ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] s8tvjtke60esstcbndns7izy4zfhk62 1048734 1048733 2026-08-14T19:05:03Z Mkant00 135890 [[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]] စာမျက်နှာကို [[ကိန်းထွေး]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 1048733 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် က <math>i</math> ကို ကိန်းယောင် ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] s8tvjtke60esstcbndns7izy4zfhk62 1048738 1048734 2026-08-14T19:25:23Z Mkant00 135890 1048738 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို ကိန်းယောင် ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] 1sypmo4l0l3ljh3i6d2cjlbghga1jzu 1048739 1048738 2026-08-14T19:27:13Z Mkant00 135890 1048739 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို ကိန်းယောင် (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] 5bqsayjw3ccc2k1dq4hr2f5byr580sy 1048786 1048739 2026-08-15T11:10:24Z Mkant00 135890 1048786 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] 6kj3bahoan0wqt74yj6lf0ndfk3dzij 1048788 1048786 2026-08-15T11:13:12Z Mkant00 135890 1048788 wikitext text/x-wiki {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် ကိန်းစစ် (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို [[ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=87 |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် <math>i</math> သည် သရုပ်မဲ့ သင်္ကေတတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်ကို အထက်တွင် ရှင်းပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last1=Gowers |editor-first1=Timothy |editor-link1=Timothy Gowers |editor-last2=Barrow-Green |editor-first2=June |editor-last3=Leader |editor-first3=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, New Jersey |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |page=18}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>2 + 3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းထွေး <math>a + bi</math> တစ်ခုအတွက် ကိန်းစစ် <math>a</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းစစ်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့အတူ ကိန်းစစ် <math>b</math> ကို ၎င်း၏ ''ကိန်းယောင်ပိုင်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းထွေး <math>bi</math> ကို ဆိုလိုခြင်း မဟုတ်ပေ။ ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Re}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Re}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{R}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို <math>\operatorname{Im}(z)</math>၊ <math>\mathcal{Im}(z)</math> သို့မဟုတ် <math>\mathfrak{I}(z)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z = -2+(1/3)i</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{Re}(-2+(1/3)i) = -2</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(-2+(1/3)i) = 1/3</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\operatorname{Re}(z)</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z)</math> နှစ်ခုစလုံးသည် တိကျစွာ ကိန်းစစ်များသာ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> '''ကိန်းထွေးနှစ်ခု ညီခြင်း (Equality):''' ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z=a+bi</math> နှင့် <math>w=c+di</math> တို့ကို <math>a=c</math> နှင့် <math>b=d</math> ဖြစ်မှသာ တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>z=w</math> ဟု ရေးသည်။ ကိန်းထွေး <math>z</math> တစ်ခုကို ကိန်းစစ်များ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) <math>(\Re (z),\Im (z))</math> ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=15–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (Argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်းအတွင်း ဆွဲသားထားသော မှန်ကန်သည့် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (Polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (Vertices) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref name="Earl2024" /> === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] rk9ja487djbk2fa1qgkdzjbsv01gjcy 0 51565 1048723 1046939 2026-08-14T15:00:21Z Mkant00 135890 terminology/formatting 1048723 wikitext text/x-wiki တစ်ထက်ကြီးသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>p</math> တစ်ခုတွင် အပေါင်းဆခွဲကိန်း (positive divisor) အနေဖြင့် ၁ နှင့် <math>p</math> ကိုယ်တိုင်သာရှိပါက ၎င်းကို သုဒ္ဓကိန်း (prime number) သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းပြည့် ဟုခေါ်သည်။ တစ်ထက်ကြီးပြီး သုဒ္ဓကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းများကို ဆပေါင်းကိန်း (composite number) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်း <math>1</math> သည် အထူးကိန်းဖြစ်ပြီး သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆပေါင်းကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း မသတ်မှတ်ပါ။ <math>2</math> သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်း (even number) ဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး ကျန်ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးမှာ မကိန်း (odd number) များဖြစ်ကြသည်။ သင်္ချာပညာတွင် သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့ကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ နှင့် စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Definitions and Divisibility Properties) == [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းသီအိုရီ]] (ring theory) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ပိုမိုတိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုသည်။ ယူနစ် (unit) မဟုတ်သော ကိန်းပြည့် <math>p</math> တစ်ခုသည် ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် <math>ab</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် <math>a</math> ကိုသော်လည်းကောင်း၊ <math>b</math> ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များစနစ်တွင် ယူနစ်များမှာ <math>1</math> နှင့် <math>-1</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းများသာမက <math>-2</math>, <math>-3</math>, <math>-5</math> စသည့် အနုတ်ကိန်းများကိုလည်း သုဒ္ဓကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအခြေခံ စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိ (divisibility property) ကို '''ယူကလစ်ဒ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်''' (Euclid's lemma) မှ ဆင်းသက်ရရှိသည်။ အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် <math>ab</math> ကိုစား၍ပြတ်ပြီး <math>a</math> ကိုစား၍မပြတ်ပါက ၎င်းသည် <math>b</math> ကိုသာ တိကျစွာစား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အောက်ပါအတိုင်း တိုးချဲ့အသုံးပြုနိုင်သည်။ * '''ဆခွဲကိန်းများစွာ ပါဝင်ခြင်း။''' သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် ကိန်းပြည့်များစွာ၏ မြှောက်လဒ် <math>a_1 \cdot a_2 \cdots a_n</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် အဆိုပါ ကိန်းပြည့်များအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ * '''သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်ခြင်း။''' သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် အခြားသုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ် <math>q_1 \cdot q_2 \cdots q_n</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက <math>p</math> သည် ၎င်းသုဒ္ဓကိန်းများအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုနှင့် တိကျစွာ ညီမျှရမည်ဖြစ်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို <math>1</math> နှင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်ဖြင့်သာ စား၍ပြတ်သောကြောင့် ထိုသို့ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) == တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်တိုင်းသည် သုဒ္ဓကိန်းများ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အခြေခံတည်ဆောက်ပုံအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤသဘောတရားကို ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) အဖြစ် ပုံသေထုတ်ပြန်ထားသည်။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါ ဖော်ပြချက်သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်းမစဉ်းစားပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ သက်သေပြချက်ကို အပိုင်းနှစ်ပိုင်းဖြင့် ခွဲခြားထားသည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence)။''' ကိန်းတစ်ခုသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အငယ်ဆုံး အပေါင်းဆခွဲကိန်းတစ်ခု ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းဆခွဲကိန်းမှာ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းဖြင့် စားလိုက်သောအခါ ပိုမိုငယ်ရွယ်သော ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ထိုငယ်ရွယ်သောကိန်းသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်နေသေးပါက အထက်ပါလုပ်ငန်းစဉ်ကို ထပ်မံလုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ ကိန်းများ ဆက်တိုက်ငယ်သွားမည်ဖြစ်ရာ အဆုံးတွင် အဆုံးရှိသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)။''' ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းမြှောက်လဒ် နှစ်စုဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု မှတ်ယူကြပါစို့။ ၎င်းတို့ကို ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီထားပါက ပထမအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစု၏ မြှောက်လဒ်တစ်ခုလုံးကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အထက်တွင်ဖော်ပြခဲ့သော စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိအရ ပထမအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းနှင့် ထပ်တူညီရမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းတူညီသောကိန်းများကို ချေဖျက်ခြင်းဖြင့် အစုနှစ်ခုလုံးရှိ သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး တူညီကြောင်း တွေ့ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ '''သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း''' (prime factorization) တွင် တူညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အကြိမ်ကြိမ်ပါဝင်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကိန်းများ (exponents) အသုံးပြု၍ စုစည်းရေးသားခြင်းကို ပုံမှန်ပုံစံ (canonical form) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်း <math>n</math> ၏ ပုံမှန်ပုံစံကို <math>n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r}</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>k</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး <math>p_1 < p_2 < \dots < p_r</math> အတိုင်း ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီစဉ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>360</math> ၏ သုဒ္ဓကိန်းများကို <math>360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းသည် ကိန်းစနစ်တိုင်းတွင် အလိုအလျောက် မှန်ကန်သော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပါ။ အပေါင်းစုံကိန်းများ သီးသန့်ပါဝင်သော ကိန်းစနစ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်နိုင်သည်။ ၎င်းစနစ်တွင် အခြားစုံကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော စုံကိန်းကို '''e-သုဒ္ဓကိန်း''' (e-prime) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ဤစနစ်တွင် <math>60</math> ကို <math>60 = 2 \cdot 30</math> သို့မဟုတ် <math>60 = 6 \cdot 10</math> ဟူ၍ မတူညီသော e-သုဒ္ဓကိန်းများဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ မကိန်းများမပါဝင်သောကြောင့် ပုံမှန် သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ ပျက်ယွင်းသွားခြင်းဖြစ်သည်။ အခြေခံသီအိုရမ်ကို အသုံးပြု၍ <math>\sqrt{2}</math> သည် '''အီရာရှင်နယ်ကိန်း''' (irrational number) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagorean) ပညာရှင်များ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သော ဤအချက်ကို ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>\sqrt{2}</math> ကို ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) <math>a/b</math> ဟု မှတ်ယူပါစို့။ ထိုအပိုင်းကိန်းသည် အချိုးအကျဆုံးဖြစ်ပြီး <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တွင် <math>1</math> မှလွဲ၍ အခြားဘုံဆခွဲကိန်း မရှိဟု ယူဆရမည်ဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်လိုက်ပါက <math>2 = a^2 / b^2</math> ဖြစ်ပြီး <math>a^2 = 2b^2</math> ကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>b</math> သည် <math>a^2</math> ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>b</math> သည် <math>1</math> ထက်ကြီးပါက အခြေခံသီအိုရမ်အရ <math>b</math> တွင် အနည်းဆုံး သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>p</math> သည် <math>b</math> ကိုစား၍ပြတ်ပြီး <math>a^2</math> နှင့် တစ်နည်းအားဖြင့် <math>a</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တွင် ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိဟူသော မူလယူဆချက်နှင့် ဆန့်ကျင်နေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>b = 1</math> ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး <math>a^2 = 2</math> သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်၍ <math>2</math> မရနိုင်သောကြောင့် မူလယူဆချက် မှားယွင်းပြီး <math>\sqrt{2}</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ == သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးခြင်း (Testing for Primality) == ကိန်းတစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးရန် တိုက်ရိုက်အကျဆုံးနည်းလမ်းမှာ ငယ်ရွယ်သော ကိန်းများဖြင့် စား၍စမ်းသပ်ခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းအားလုံးဖြင့် စမ်းသပ်ရန်မလိုအပ်ပါ။ ဆပေါင်းကိန်း <math>a > 1</math> တိုင်းတွင် <math>\sqrt{a}</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်း ဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ ဆပေါင်းကိန်း <math>a</math> ကို <math>a = bc</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>b \le c</math> ဟု ယူဆပါစို့။ <math>b</math> ကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက <math>b^2 \le bc = a</math> ဖြစ်လာသည်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ရှာလိုက်ပါက <math>b \le \sqrt{a}</math> ကို ရရှိသည်။ <math>b</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု ပါဝင်ရမည်ဖြစ်ရာ ထိုဆခွဲကိန်းသည်လည်း <math>\sqrt{a}</math> ထက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>509</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဟုတ်မဟုတ် စစ်ဆေးရာတွင် <math>\sqrt{509}</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် <math>23</math> ထက် ငယ်သော သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်သည့် <math>2</math>, <math>3</math>, <math>5</math>, <math>7</math>, <math>11</math>, <math>13</math>, <math>17</math> နှင့် <math>19</math> တို့ဖြင့်သာ စားကြည့်ရန် လိုအပ်သည်။ မည်သည့်ကိန်းနှင့်မျှ စား၍မပြတ်ပါက <math>509</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ ဤသဘောတရားကို အခြေခံ၍ ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာပညာရှင် အီရာတိုစ်သီးနီးစ် (Eratosthenes) သည် '''အီရာတိုစ်သီးနီးစ်၏ ဆန်ခါ''' (Sieve of Eratosthenes) ဟုခေါ်သော နည်းလမ်းကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် သတ်မှတ်ထားသော ကန့်သတ်ချက် <math>n</math> အောက်ရှိ သုဒ္ဓကိန်းအားလုံးကို ရှာဖွေနိုင်သည့် နည်းလမ်းဖြစ်သည်။ <math>2</math> မှစ၍ <math>n</math> အထိ ကိန်းစဉ်များကို ရေးချရမည်ဖြစ်သည်။ ပထမဆုံးကိန်း <math>2</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး <math>2</math> ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အားလုံးကို စာရင်းမှ ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ချေဖျက်မခံရသော ကိန်း <math>3</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး ၎င်း၏ ဆတိုးကိန်းများကို ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို <math>\sqrt{n}</math> အထိရောက်သည်အထိ လုပ်ဆောင်ပါက စာရင်းတွင် ကျန်ရှိနေသော ကိန်းများအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု (Infinitude of Primes) == သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက်သည် အနန္တ (infinite) ဖြစ်ကြောင်း ယူကလစ်ဒ် (Euclid) က ရှေးခေတ်ကတည်းက သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြချက်အရ သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) အဖြစ် <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math> သာရှိသည်ဟု ယူဆပါစို့။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးကို မြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းထည့်ပါက ကိန်းအသစ် <math>P = (p_1 \cdot p_2 \cdots p_n) + 1</math> ကို ရရှိသည်။ အခြေခံသီအိုရမ်အရ <math>P</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>p</math> သည် မူလစာရင်းထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပါက ၎င်းသည် မြှောက်လဒ်ပိုင်းကို စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>p</math> သည် <math>P</math> နှင့် မြှောက်လဒ်ပိုင်းတို့၏ ကွာခြားချက်ဖြစ်သော <math>1</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့်သုဒ္ဓကိန်းမှ <math>1</math> ကို စား၍မပြတ်နိုင်သဖြင့် ဤသည်မှာ ဝိရောဓိ (paradox) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိမဖြစ်နိုင်ပါ။ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး၏ မြှောက်လဒ်ကို <math>p^\#</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ယူကလစ်ဒ် ပုံသေနည်းမှ ရရှိလာသော <math>p^\# + 1</math> ပုံစံ ကိန်းများကို '''ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများ''' (Euclid numbers) ဟုခေါ်သည်။ အချို့သော ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသော်လည်း အမြဲတမ်းမဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>13</math> အထိ သုဒ္ဓကိန်းများကို မြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းပါက <math>30031</math> ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>59 \cdot 509</math> နှင့် ညီမျှသည် ။ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သော ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးသော သင်္ချာပြဿနာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အနန္တဖြစ်တည်မှုကို အခြားသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဖြင့်လည်း သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>2</math> မှစတင်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို စဉ်းစားပါ။ နောက်ဆက်တွဲကိန်းများကို ရှေ့ကိန်းများအားလုံးမြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းခြင်းဖြင့် ဖန်တီးသည်။ ဥပမာ <math>n_1 = 2</math>, <math>n_2 = n_1 + 1 = 3</math>, <math>n_3 = (n_1 \cdot n_2) + 1 = 7</math> အစရှိသဖြင့်ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းရှိ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခုမျှ ဘုံပါဝင်သော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း မရှိနိုင်ပါ။ ဘုံဆခွဲကိန်းရှိပါက ၎င်းသည် ကွာခြားချက် <math>1</math> ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ကိန်းအသစ်တိုင်းတွင် မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများ ပါဝင်နေသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အနန္တဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။ == ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံ အတိုင်းအတာ (Distribution and Size) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် သုဒ္ဓကိန်းကို <math>p_n</math> ဟု သင်္ကေတပြုပါက မညီမျှခြင်းများ (inequalities) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အရွယ်အစားကို ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်အရ <math>p_n \le (p_1 \cdot p_2 \cdots p_{n-1}) + 1</math> ဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ ပိုမိုတိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းအရ <math>p_n</math> သည် အမြဲတမ်း <math>2^{2^{n-1}}</math> အောက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းပြည့် <math>n \ge 1</math> တိုင်းအတွက် ကြီးမားလှသော <math>2^{2^n}</math> ထက်ငယ်သည့် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံး <math>n + 1</math> ခု ရှိသည်။ ၁၈၄၅ ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် ဘာထရန် (Joseph Bertrand) အဆိုပြုခဲ့ပြီး ချေဘီရှက်ဗ် (Chebyshev) သက်သေပြနိုင်ခဲ့သော ဘာထရန်၏ ယူဆချက် (Bertrand's Conjecture) ကို အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယင်းအဆိုအရ ကိန်းပြည့် <math>n \ge 2</math> တိုင်းအတွက် <math>n</math> နှင့် <math>2n</math> အကြားတွင် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲတမ်း ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>p_n < 2^n</math> ဟူသော ပိုမိုကျဉ်းမြောင်းသည့် ကန့်သတ်ချက်ကို ရရှိသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများသည် အနန္တဖြစ်သော်လည်း ၎င်းတို့၏ ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံမှာ အလွန် ပုံမှန်မဟုတ်ပေ။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် အလွန်နီးကပ်စွာ တည်ရှိပြီး တစ်ခါတစ်ရံတွင် ကြီးမားသော ကွာဟချက်များ ရှိသည်။ <math>11</math> နှင့် <math>13</math> ကဲ့သို့သော ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသည့် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းစုံတွဲများကို '''အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ''' (twin primes) ဟုခေါ်သည်။ အဆိုပါ အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ အဖြေမထွက်သေးသော ပြဿနာဖြစ်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကွာဟချက်သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားနိုင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို သုဒ္ဓကိန်းများ လုံးဝမပါဝင်သော ဆက်တိုက်ဖြစ်သည့် ဆပေါင်းကိန်း <math>n</math> ခုပါဝင်သည့် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲရှာဖွေနိုင်သည်။ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>(n + 1)! + 2</math> မှ <math>(n + 1)! + (n + 1)</math> အထိ ကိန်းများကို စဉ်းစားပါ။ ပထမကိန်းသည် <math>2</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်ပြီး နောက်ဆုံးကိန်းသည် <math>n+1</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ကိန်းတိုင်းတွင် ဆခွဲကိန်းတစ်ခုစီ အတိအကျရှိနေသဖြင့် ၎င်းတို့အားလုံးသည် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အထူးသုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပုံသေနည်းများ (Special Primes and Formulae) == <math>1</math> များကိုသာ ထပ်တလဲလဲ အသုံးပြုရေးသားထားသော ကိန်းများကို '''ရပ်ပ်ယူနစ်''' (repunit) ဟုခေါ်သည်။ <math>1</math> များ <math>n</math> ကြိမ်ပါဝင်သော ရပ်ပ်ယူနစ်ကို <math>R_n = (10^n - 1) / 9</math> ဟု တွက်ချက်နိုင်သည်။ ၎င်းကိန်းများသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရန် အလွန်ခဲယဉ်းသည်။ <math>R_n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်နိုင်ရန်အတွက် <math>n</math> ကိုယ်တိုင်သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည် ဟူသော အခြေခံစည်းမျဉ်းရှိသည်။ သို့သော် <math>n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်တိုင်း <math>R_n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းမဖြစ်နိုင်ပါ။ ဥပမာ <math>R_3 = 111</math> ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် <math>3 \cdot 37</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ရပ်ပ်ယူနစ် သုဒ္ဓကိန်းများ အလွန်နည်းပါးစွာသာ ရှာဖွေတွေ့ရှိထားသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်ကိုမဆို <math>4</math> ဖြင့်စားသောအခါ ရရှိသည့် အကြွင်းကို မူတည်၍ <math>4n</math>, <math>4n+1</math>, <math>4n+2</math> သို့မဟုတ် <math>4n+3</math> ပုံစံများအဖြစ် ခွဲခြားနိုင်သည်။ <math>4n</math> နှင့် <math>4n+2</math> များသည် <math>2</math> မှလွဲ၍ ကျန်စုံကိန်းများဖြစ်သောကြောင့် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းများသည် <math>5,13,17</math> ကဲ့သို့သော <math>4n+1</math> သို့မဟုတ် <math>3,7,11</math> ကဲ့သို့သော <math>4n+3</math> ပုံစံ တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ <math>4n+1</math> ပုံစံ ကိန်းများကို အချင်းချင်းမြှောက်ပါက ရလဒ်သည်လည်း <math>4n+1</math> ပုံစံသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်နည်းတူ <math>4n+3</math> ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>4n+1</math> ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်းကိုမူ '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ သီအိုရမ်''' (Dirichlet's Theorem) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြရသည်။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ အစကိန်း <math>a</math> နှင့် ကွာခြားချက် <math>b</math> တို့တွင် <math>1</math> မှလွဲ၍ ဘုံဆခွဲကိန်း မရှိပါက အဆိုပါ '''ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း''' (arithmetic progression) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ <math>4n+1</math> တွင် <math>1</math> နှင့် <math>4</math> ကြား ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့် ကိန်းစဉ်တန်းမှ သုဒ္ဓကိန်းများချည်း သီးသန့် အဆုံးအစမရှိ မပါဝင်နိုင်ပါ။ ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ကိန်းပြည့်များကို ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ အဖြေထုတ်ပေးမည့် ပုံသေနည်း သို့မဟုတ် ဖန်ရှင် (function) များကို ရှာဖွေခဲ့ကြသည်။ လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) ၏ ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ပုံသေနည်း <math>f(n) = n^2 + n + 41</math> သည် အလွန်ထင်ရှားသည်။ <math>n=0</math> မှ <math>39</math> အထိ ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ ရရှိသော်လည်း <math>40</math> ထည့်သွင်းသောအခါ <math>41^2</math> ကို ရရှိသဖြင့် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သွားသည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်မျှ သုဒ္ဓကိန်းများကိုချည်း သီးသန့် မထုတ်ပေးနိုင်ကြောင်း သက်သေပြထားပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် ဒဗလျူ အိတ်ချ် မေးလ်စ် (W. H. Mills) ၏ မေးလ်စ် ပုံသေနည်း (Mills's formula) မှာမူ ခြွင်းချက်ဖြစ်သည်။ တိကျသော ကိန်းစစ် <math>r</math> အတွက် <math>\lfloor r^{3^n} \rfloor</math> သည် အမြဲတမ်း သုဒ္ဓကိန်း ဖြစ်လာသည်။ သို့သော် ၎င်း <math>r</math> ၏ တန်ဖိုးကို အတိအကျ မတွက်ချက်နိုင်သဖြင့် လက်တွေ့အသုံးချ၍ မရနိုင်ပါ။ == ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများ (Fermat Primes) == [[ကိန်းပြည့်]] <math>k \geq 0</math> များအတွက် :<math>F_k = 2^{2^k}+1</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းကို '''ဖဲမကိန်း''' (Fermat number) ဟုခေါ်သည်။ [[သုဒ္ဓကိန်း]]ဖြစ်သော ဖဲမကိန်းကို '''ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း''' (Fermat prime) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၁၆၄၀ ခုနှစ်တွင် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) က <math>F_k</math> ကိန်းများအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်မည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ သို့သော် <math>F_5=4294967297</math> သည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကိန်းတွင် <math>641</math> သည် ဆခွဲကိန်းတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်ကြောင်း အွိုင်လာ (Euler) က ၁၇၃၂ ခုနှစ်တွင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ လက်တွေ့တွင် ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ <math>k=0,1,2,3,4</math> အတွက် <math>F_k</math> များကိုသာ သုဒ္ဓကိန်းများအဖြစ် သိရှိထားသည်။ အောက်ပါ အခြေခံမေးခွန်းများမှာမူ ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးဘဲ ကျန်ရှိနေဆဲဖြစ်သည်။ *ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တတည်ရှိသလား။ *ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သော ဖဲမကိန်းများ အနန္တတည်ရှိသလား။ <math>k=5,\ldots,32</math> အတွက် ဖဲမကိန်း <math>F_k</math> များသည် ဆပေါင်းကိန်းများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ သို့ရာတွင် အချို့သော ကိန်းများဖြစ်သည့် <math>k=20</math> နှင့် <math>k=24</math> တို့အတွက် တိကျသော ဆခွဲကိန်းများကို မသိရှိရသေးပေ။ ထို့အပြင် <math>12 \leq k \leq 32</math> ကြားရှိ ကိန်းများအတွက် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းမှာလည်း မပြည့်စုံသေးပါ။ အခြားသော သီးခြားကိန်းများဖြစ်သည့် ဥပမာ <math>k=3329780</math> သည်လည်း ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ကြောင်း သိရှိထားသည်။ ဖဲမ [[သုဒ္ဓကိန်း]] အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိသာဖြစ်သင့်ကြောင်း အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များ (heuristic arguments) ရှိသည်။ ထို့အပြင် ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများသည် သုဒ္ဓကိန်းများအကြားတွင် အပေါင်းသိပ်သည်းဆ (positive density) ရှိကြောင်းလည်း ဆိုကြသည်။ သို့ရာတွင် အဆုံးရှိ[[အစု|အစုများ]] (finite sets) သည် သုဒ္ဓကိန်းများကဲ့သို့ ရေတွက်နိုင်သော [[အစု|အစုများ]] (countable sets) အတွင်း သုညသိပ်သည်းဆ (zero density) သာ ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် အဆိုပါ အချက်နှစ်ချက်စလုံး တစ်ပြိုင်နက်တည်း မှန်ကန်ရန် မဖြစ်နိုင်ပါ။ မည်သို့ပင်ဆိုစေကာမူ သင်္ချာပညာရှင် အသီးသီးက ကွဲပြားသော အဆိုများကို တင်ပြထားကြသည်။ အချို့က ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိသာဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြသည်။ အချို့ကမူ ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း ငါးခုသာရှိသည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဧမီလ် အာတင် (Emil Artin) ကမူ ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိဖြစ်သော်လည်း ငါးခုထက် ပိုများမည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ == သက်သေမပြရသေးသော အဆိုများ (Unproved Conjectures) == <math>4</math> ထက်ကြီးသော စုံကိန်းတိုင်းကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည် ဟူသော ဂိုးဘတ်ခ်၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် အလွန်ထင်ရှားသည်။ ယင်းကို အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး၊ ယင်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို (Weak Goldbach Conjecture) တွင် <math>7</math> ထက်ကြီးသော မကိန်းတိုင်းကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း သုံးခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။ အကယ်၍ အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ပါက အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုသည်လည်း အလိုအလျောက် မှန်ကန်မည်ဖြစ်သည်။ ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် အိုင် အမ် ဗီနိုဂရာဒေါ့ဗ် (I. M. Vinogradov) က လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော မကိန်းများအတွက် အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ကြောင်း အတိအကျ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုနှင့် မကိုက်ညီသော စုံကိန်းများ၏ အချိုးအစားသည် သုညရာခိုင်နှုန်းသို့ ချဉ်းကပ်သွားကြောင်းကိုလည်း ၎င်းက သက်သေပြခဲ့သည်။ ဆေးလ်ဗက်စတာ (Sylvester) ၏ အဆိုအရ <math>4</math> ထက်ကြီးသော စုံကိန်း <math>2n</math> တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်ပြီး တစ်ခုသည် <math>n/2</math> ထက် ကြီး၍ အခြားတစ်ခုသည် <math>3n/2</math> ထက် ငယ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဒီ ပိုလီနက် (de Polignac) က မကိန်းတိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုနှင့် <math>2</math> ၏ ထပ်ကိန်း တစ်ခု ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သော်လည်း <math>509</math> နှင့် <math>877</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းများကြောင့် ၎င်းအဆို မှားယွင်းကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Burton |first=David M. |title=Elementary Number Theory |edition=7th |publisher=McGraw-Hill |date=2010 |isbn=978-0-07-338314-9}} * {{Citation |author=nLab authors |title=Fermat number |date=June 2026 |edition=Revision 4 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Fermat+number}} [[ကဏ္ဍ:သုဒ္ဓကိန်းများ]] 06ygwnwb5eas0atomxy07f2fkarvp8r 0 52480 1048722 1046765 2026-08-14T14:46:38Z Mkant00 135890 fixed spelling mistakes and terminology inconsistencies 1048722 wikitext text/x-wiki {{ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ}} [[File:Trasformazione_naturale_kf.png|right|thumb|250px|အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် ဖန်တာ <math>F</math> မှ <math>G</math> သို့သွားသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation)''' <math>\alpha</math> ၏ သဘာဝကျမှု အခြေအနေကို ဖော်ပြထားသော '''ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative diagram)''']] '''ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ''' (category theory) သည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခြုံငုံလေ့လာသည့် ယေဘုယျ သင်္ချာသီအိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရီသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို မြားပုံကြမ်းများ (diagrams of arrows) အမျိုးမျိုး အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အယူအဆအပေါ် အခြေခံသည်။ ဤသို့ အလွန်ယေဘုယျကျသော အခြေအနေတွင် လေ့လာခြင်းကြောင့် သင်္ချာပညာရပ်ရှိ ဘုံတူသော တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ပုံစံများကို ပိုမိုနားလည်သဘောပေါက်စေသည်။ သို့ကြောင့် ကွဲပြားခြားနားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများအကြားရှိ ဆင်တူသော သဘောတရားများကို စုစည်းလေ့လာနိုင်စေသည်။ အစောပိုင်း ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ [[အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (group cohomology)၊ [[လီအက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Lie algebra cohomology) နှင့် [[ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (associative algebra cohomology) တို့အား သင့်လျော်သော [[မော်ဂျူး]] ကတ်တဂိုရီ (suitable module category) တစ်ခုတွင် [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများ]] (derived functors) အဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့နိုင်ခြင်းဖြစ်သည်။{{sfn|Cartan|Eilenberg|1956}} [[File:Saunders MacLane.jpg|right|thumb|250px|'''ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း''' (Saunders Mac Lane) သည် အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ကို ပူးတွဲတည်ဆောက်ခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ သူသည် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု သီအိုရမ်များ (coherence theorems) နှင့်ပတ်သက်သော လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အထူးထင်ရှားသည်။]] [[File:Samuel Eilenberg MFO.jpeg|right|thumb|250px|'''ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်''' (Samuel Eilenberg) သည် ပိုလန်ဖွား အမေရိကန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး သူ၏ အဓိကလုပ်ဆောင်ချက်များသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ သူသည် နော်မန် စတင်းရော့ဒ် (Norman Steenrod) နှင့်အတူ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ သီအိုရီ]] (homology theory) အား နဂိုမှန်အဆိုများဖြင့် တည်ဆောက်ခြင်းကို လည်းကောင်း ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) နှင့်အတူ ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို လည်းကောင်း ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။]] ကတ်တဂိုရီများ၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]]နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] ဟူသော သုံးခုတွဲကို ၁၉၄၂ ခုနှစ်တွင် ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ကြပြီး၊ ၁၉၄၅ ခုနှစ် စာတမ်းတွင် သီးခြားလွတ်လပ်သော [[အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (Algebraic structures) အဖြစ် ပုံစံတကျ ထပ်မံဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> ၎င်းတို့၏ ကနဦး အဓိက ရည်ရွယ်ချက်မှာ အက္ခရာသင်္ချာအသစ်တစ်ခု တီထွင်ရန်မဟုတ်ဘဲ၊ ထိုခေတ်အခါက [[ချက် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Čech cohomology) ရှိ [[စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်|စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်များ]] (Universal coefficient theorems) လိုအပ်သော စုဆုံမှတ်များကို လေ့လာရန်နှင့်၊ အထူးသဖြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology) ရှိ စာတမ်းများစွာတွင် အလွတ်သဘော အသုံးပြုနေကြသော '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟူသည့် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ ဤအခြေခံကျသော စာတမ်းများတွင် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို ပထမဆုံးအကြိမ်အဖြစ် ပုံနှိပ်ဖော်ပြခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ မက်လိန်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သော <math>Ext(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_{p}</math> သည် တိကျသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ကိုက်ညီနေကြောင်းကို အိုင်လန်ဘာ့ဂ်က သတိပြုမိရာမှ ဤသီအိုရီ စတင်မွေးဖွားလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး၊ [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (derived functor) <math>\text{Ext}</math> သည် ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခံရသော အစောဆုံး ဖန်တာများထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းမှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်၏ 3-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြည့်စွက်စု ဖြစ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလေ့လာခြင်းသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ဟိုမိုလော်ဂျီ နှင့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများကို ဆက်စပ်ပေးသော စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့သည်။ တိုက်ရိုက် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော ရပ်ဝန်းများဆီသို့ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ရန်အတွက် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် နှင့် မက်လိန်း တို့သည် စကြဝဠာ မြှောက်ဖော်ကိန်း သီအိုရမ်၏ တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်းရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များမှာ သဘာဝကျကြောင်း သက်သေပြရန် လိုအပ်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က သဘာဝကျခြင်း ဆိုသည်မှာ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်မှုများ မပါဝင်ဘဲ သတ်မှတ်ထားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို ခေါ်ဆိုသည့် အရပ်သုံးစကားတစ်ရပ်မျှသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှင့် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် တို့ကြားရှိ ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်ခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ရလဒ်များကို ခိုင်လုံစွာ သက်သေပြနိုင်ရန်အတွက် ဤပင်ကိုသိစိတ်ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများကို ဦးစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်ရန် ဖန်တာများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ဖန်တာများ အလုပ်လုပ်ဆောင်မည့် ပတ်ဝန်းကျင်ကို သတ်မှတ်ပေးနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီများကို နောက်ဆုံးတွင် တီထွင်ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသီအိုရီသည် သူ့သဘောသူဆောင်၍ တစတစ ကျယ်ပြန့်လာရာ ယခုအခါတွင် မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာနှင့် [[သဘောတရားရေးရာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ]]တို့တွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အဓိကကျသည့် အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာပြီး၊ ၎င်းကို သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒတွင်လည်း အသုံးပြုလာကြသည်။ သိပ္ပံဘာသာရပ် အသီးသီးရှိ တည်ဆောက်ပုံအမျိုးမျိုး၏ ဘုံတူညီမှုများကို ဖော်ပြသည့် ဘာသာစကားအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ၎င်း ဘုံတည်ဆောက်မှုများကို ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရာတွင် လည်းကောင်း အသုံးပြုလာကြသည်။{{sfn|Spivak|2013}} '''ပိုမိုမြင့်မားသော ကတ်တဂိုရီများ (Higher categories)''' ၏ ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည့် '''2-ကတ်တဂိုရီ (2-category)''' အကြောင်းကို [[2-ကတ်တဂိုရီ]] တွင် ဖတ်ရှုနိုင်ပါသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနဆိုင်ရာ မှတ်စုများ (Historical and Philosophical Notes) <ref>{{Citation |last=MacLane |first=Saunders |title=Categories for the Working Mathematician |chapter=§I.8 |date=1997 |orig-year=1971 |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4721-8}}</ref> == ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်း မဟုတ်ပေ။ ယင်းသည် ၂၀ ရာစုအလယ်ပိုင်းရှိ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ တိကျသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းနှင့် သဘောတရားရေးရာ လိုအပ်ချက်များကြောင့် တွန်းအားပေး ပေါ်ထွက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ === မြားသင်္ကေတ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာမှု (The Evolution of the Arrow) === ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျသော မြားသင်္ကေတ <math>f: X \rightarrow Y</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အခြေခံအယူအဆသည် ၁၉၄၀ ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဤတီထွင်မှုသည် နှိုင်းရ ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ (relative homotopy groups) နှင့် ပတ်သက်သော ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ၏ ဟောပြောပို့ချချက်များနှင့် စာတမ်းများမှ အဓိက ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤပြေပြစ်သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် ဖောက်စ် (Fox) နှင့် စတင်းရော့ဒ် (Steenrod) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ၏ အာရုံစိုက်မှုကို လျင်မြန်စွာ ရရှိခဲ့သည်။ မြားသင်္ကေတသည် ရှေးကျ၍ အဓိပ္ပာယ်မကွဲပြားသော <math>f(X) \subset Y</math> သင်္ကေတနေရာတွင် အလျင်အမြန် အစားထိုးဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ ထိုရှေးကျသော သင်္ကေတသည် ဖန်ရှင် <math>f</math> အောက်ရှိ <math>X</math> ၏ ပုံရိပ်သည် <math>Y</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်းကိုသာ ရိုးရှင်းစွာ ညွှန်ပြခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ မြားသင်္ကေတသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ ဗဟိုအချက်အချာဖြစ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် အရင်းအမြစ်မှ သတ်မှတ်ထားသည့် ပစ်မှတ်ဆီသို့သွားသော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုကို တိကျစွာ ဖမ်းဆုပ်နိုင်ခဲ့သောကြောင့် ထူးခြားစွာ အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ယင်းသည် ရိုးရှင်းသော သင်္ကေတပြောင်းလဲမှုတစ်ခုက နက်နဲသော သင်္ချာသဘောတရားသစ် (ကတ်တဂိုရီ) တစ်ခုကို ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် မည်သို့ တိုက်ရိုက် လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် အဓိက သမိုင်းဝင် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟူးရီဗစ်ဇ်သည် ဤမြားပုံဖော်မှုများကို အမြင်အာရုံဖြင့် ခြေရာခံနိုင်ရန်အတွက် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းများကို စတင်အသုံးပြုခဲ့သူအဖြစ်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ === ဒဿနဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Philosophical Terminology)=== ဤနယ်ပယ်၏ ဝေါဟာရများသည် ယုတ္တိဗေဒ ဒဿနိကဗေဒမှ အများအပြား ရယူထားပြီး ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားခြင်းကို ထင်ဟပ်နေသည်။ ကတ်တဂိုရီ (Category) ဟူသော ဝေါဟာရကို အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ကန့်တ် (Kant) တို့၏ ဒဿနဆိုင်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများမှ ရယူသုံးစွဲခဲ့သည်။ ဖန်တာ (Functor) ဟူသော ဝေါဟာရကို ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) ၏ Logische Syntax der Sprache စာအုပ်မှ ယူငင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ထိုခေတ်အခါက အလွတ်သဘော သုံးနှုန်းနေကြသော သင်္ချာဝေါဟာရမှနေ၍ တိကျခိုင်မာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခဲ့သည်။ === အမ်မီ နိုသာ၏ အမွေအနှစ် (The Legacy of Emmy Noether) === ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိုင်းအတွက် မော်ဖစ်ဇင်များသည်ဘာလဲ ဟူသော မေးခွန်းကို မဖြစ်မနေ မေးမြန်းရန် တောင်းဆိုထားသည်။ ၎င်းသီအိုရီက သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း သတ်မှတ်၍ လေ့လာရန် အခိုင်အမာ တိုက်တွန်းထားသည်။ အစုဝင်များထက် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]]များအပေါ် ဤသို့ နက်နက်နဲနဲ အလေးပေးမှုသည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) ၏ အမွေအနှစ် တစ်စိတ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သူမသည် အုပ်စုများနှင့် ကွင်းများကို လေ့လာရာတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ဖွဲ့စည်းပုံအရ အသုံးပြုခြင်းအား ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ ပညာရှင်အများစုသည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ အရာဝတ္ထုများကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးလေ့ရှိကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbf{Set}</math> နှင့် <math>\mathbf{Cat}</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် မြားများအပေါ် အလေးပေးမှုသည် အလွန်အရေးပါလှသောကြောင့် အချို့သော ပညာရှင်အုပ်စုများသည် ကတ်တဂိုရီများကို ၎င်းတို့၏ မြားများဖြင့်သာ အမည်ပေးကြသည်။ အထူးသဖြင့် ချားလ်စ် အဲရက်စမန်း (Charles Ehresmann) ၏ ကျောင်းသည် ထင်ရှားပြီး ၎င်းတို့က <math>\mathbf{Cat}</math> ကို ဖန်တာများ၏ ကတ်တဂိုရီအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ ရည်ညွှန်းကြသည်။ [[File:Emmy Noether.jpg|right|thumb|250px| အာမာလီယာ အမ်မီ နိုသာ (Amalie Emmy Noether) သည် ဘာဗေးရီးယန်း လူမျိုး ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ သူမကို ဘာဗေးရီးယား ဘုရင်နိုင်ငံ၊ အာလန်ဂန် (Erlangen) မြို့တွင် ၁၈၈၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၃ ရက်နေ့၌ မွေးဖွားခဲ့ပြီး ပင်ဆယ်ဗေးနီးယားပြည်နယ်၊ ဘရင်မော (Bryn Mawr) မြို့တွင် ၁၉၃၅ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၄ ရက်နေ့၌ ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ သူမသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် သဘောတရားရေးရာ ရူပဗေဒ (theoretical physics) တို့အတွက် အခြေခံကျသော ပံ့ပိုးကူညီမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သူမသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)| ကွင်း]]များ (rings)၊[[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (algebras) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲနိုင်ခဲ့သည်။ သူမ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော နိုသာ သီအိုရမ် (Noether's theorem) သည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သဘာဝနိယာမများ၏ အချိုးညီမှုများ (symmetries) ကို ၎င်းတို့နှင့် ဆက်စပ်နေသော တည်မြဲပမာဏများ (conservation quantities) တည်ရှိမှုနှင့် ပေါင်းစပ်ဖော်ပြထားသည်။]] ==အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်== '''ကတ်တဂိုရီ (category)''' တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>X, Y, Z, \dots</math> စသည့် အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတစ်ခု။ * '''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>f, g, h, \dots</math> စသည့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုတစ်ခု။ မော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''အရင်းအမြစ် (domain)''' နှင့် '''ပစ်မှတ် (codomain)''' အရာဝတ္ထုများ သတ်သတ်မှတ်မှတ်ပါရှိသည်။ သင်္ကေတအရ <math>f:X\rightarrow Y</math> တွင် <math>f</math> သည် အရင်းအမြစ် <math>X</math> နှင့် ပစ်မှတ် <math>Y</math> တို့၏ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုသည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းတွင် '''ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (identity morphism) '''<math>1_{X}:X\rightarrow X</math> တစ်ခုစီ အသီးသီး သတ်သတ်မှတ်မှတ်ရှိသည်။ <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် <math>g</math> ၏ အရင်းအမြစ်တို့ ထပ်တူညီပြီး ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f</math> နှင့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>gf</math> ဟုခေါ်သော '''ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (composite morphism)''' တစ်ခု ရှိသည်။ ထို <math>gf</math> ၏ အရင်းအမြစ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီပြီး ၎င်း၏ ပစ်မှတ်သည် <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်နှင့် တူညီသည်။ (မှတ်ချက်။ ဤတွင် "domain" နှင့် "codomain" တို့ကို ဘာသာပြန်ဆိုရာ၌ "အရင်းအမြစ်စု" နှင့် "ပစ်မှတ်စု" အစား "စု" (set) နောက်ဆက်တွဲကို ချန်၍ "အရင်းအမြစ်" နှင့် "ပစ်မှတ်" ဟုသာ အသုံးပြုထားသည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီရှိ အရာဝတ္ထု (object) များသည် အစုများသာ ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ အခြားသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ "စု" ဟု ထည့်သွင်းခေါ်ဆိုခြင်းသည် အစုသီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို သွယ်ဝိုက်သက်ရောက်စေနိုင်သောကြောင့် ဤသို့ ချန်လှပ်အသုံးပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။) === နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) === အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * မည်သည့် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>1_{Y}f</math> နှင့် <math>f1_{X}</math> တို့ နှစ်ခုလုံးသည် <math>f</math> နှင့် ညီမျှသည်။ * ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခု <math>f, g, h</math> တိုင်းအတွက် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သည့် <math>h(gf)</math> နှင့် <math>(hg)f</math> တို့သည် တူညီပြီး ၎င်းတို့ကို <math>hgf</math> ဟု တူတူသတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမသည် '''ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)''' နှင့် '''ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital)''' တို့နှင့် ပြည့်စုံသည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများနှင့် မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''ကွီဗာ''' (quiver) ခေါ် လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည် ။ ၎င်းတွင် မျဉ်းပြိုင်မြားများ (parallel arrows) နှင့် ကွင်းပိတ်များ (loops) ပါဝင်နိုင်သည် ။ == ကတ်တဂိုရီ ဥပမာများ == *'''Quiver''': ကွီဗာများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Set</math>) *[[တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Top</math>) *'''Man''': ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Meas''': တိုင်းတာနိုင်သော ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''Poset''': တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>\textbf{hTop}</math>''': [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သည် ဟွမ်း-အစုများ (Hom sets) အဖြစ် <math>\text{Hom}(X, Y) = [X, Y]</math> သတ်မှတ်သည်။ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို <math>[X, Y]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ *'''<math>Set_{*}</math> နှင့် <math>Top_{*}</math>''': အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ * [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Grp</math>) * [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ab</math>) * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (<math>Ring</math>) *'''Field''': [[ဖီးလ်ဒ်]]များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mod_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]]များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ <math>R</math>-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Ch_{R}</math>''': <math>R</math>-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''<math>Mat_{R}</math>''': ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>R</math> တစ်ခုအတွက် <math>Mat_{R}</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။ <math>n</math> မှ <math>m</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>R</math> မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ *'''BG''' (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု <math>G</math> သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် [[မိုနွိုက်]] (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ '''BG''' အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။ *'''Graph''': ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ *'''တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ''' (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ၎င်းတွင် အစုဝင်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သည် ။ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည် ။ === ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ နှင့် သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (Concrete and Abstract Categories) === အထက်ပါ ဥပမာအများစုသည်''' ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories)''' ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းကတ်တဂိုရီများရှိ အရာဝတ္ထုများတွင် အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိကြသည် ။ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် အဆိုပါ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည် ။ သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ ။ မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော '''သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories)''' လည်း များစွာတည်ရှိသည် ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>Mat_{R}</math> ကတ်တဂိုရီတွင် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကိန်းအုံများကို (matrices) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။ ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည် ။ ဤသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင်များသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော ကန့်သတ်ချက်မရှိကြောင်း ပြသနေသည် ။ == မော်ဖစ်ဇင် အမျိုးအစားများ (Types of Morphisms) == *'''မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) <math>h,k: w\rightrightarrows x</math> အတွက်မဆို <math>fh=fk</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x\rightarrow y</math> တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h,k: y\rightrightarrows z</math> အတွက်မဆို <math>hf=kf</math> ဖြစ်လျှင် <math>h=k</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို <math>f</math> ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ *'''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism):''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f:X\rightarrow Y</math> အတွက် <math>gf=1_X</math> နှင့် <math>fg=1_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>g: Y\rightarrow X</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို <math>f</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့ကြားတွင် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို '''အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် <math>X \cong Y</math> ဟု ရေးသားသည်။ *'''အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism):''' အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism):''' [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]လည်းဖြစ်သော [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]]ကို [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟု ခေါ်သည်။ *'''အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction):''' <math> x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x</math> တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး <math>rs=1_{x}</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>s</math> ကို '''အပိုင်း (section)''' သို့မဟုတ် <math>r</math> ၏ ညာပြောင်းပြန် (right inverse) ဟုခေါ်ပြီး <math>r</math> ကို '''ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction)''' သို့မဟုတ် <math>s</math> ၏ ဘယ်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>s</math> သည် အမြဲတမ်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>r</math> သည် အမြဲတမ်း အပီမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤ တစ်ဖက်သတ် ပြောင်းပြန်များ (one-sided inverses) ရှိနေခြင်းကို အသိအမှတ်ပြုသောအားဖြင့် <math>s</math> ကို ခွဲထွက် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (split monomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>r</math> ကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့အတူပင် [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် '''[[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]''' (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည် ။ ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်]]နှင့် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်]] [[ဖန်ရှင်]] သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။ လက်တွေ့တွင် <math>C</math> သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံ[[အစု|အစုများ]] (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် [[ဖန်ရှင်]]ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။ ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံ[[ဖန်ရှင်]]သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။ '''ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို''' (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ''[[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ မည်သည့် အပီမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဖြစ်သည်'' ဟူ၍ ဖြစ်သည်။ === မော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် ဒွန်တွဲမှု (Properties and Duality) === *ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) သည် ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ <math>C^{op}</math> တွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) <math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf:x\rightarrow z</math> သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ *<math>f:x\rightarrow y</math> နှင့် <math>g:y\rightarrow z</math> တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>gf</math> အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>gf</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက <math>g</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။ *မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် <math>C^{op}</math> အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ *[[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ *ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ|Ring]] တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) မဟုတ်ပေ။ === အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှုများ (Isomorphism Equivalences) === အောက်ဖော်ပြပါ အဆိုများသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) *(i) <math>f:x\rightarrow y</math> သည် <math>C</math> အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ *(ii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (postcomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) <math>f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ *(iii) မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c\in C</math> တိုင်းအတွက်မဆို <math>f</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် (precomposition) [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] <math>f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)</math> တစ်ခုကို ရသည်။ ဤအခြေအနေတွင် "ဘိုင်ဂျက်ရှင်း" နှင့် "အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်" ဟူသော ဝေါဟာရများသည် သင်္ချာသဘောတရားအရ အဓိပ္ပာယ်တူညီကြသည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ|Set ကတ်တဂိုရီ]]အတွင်းရှိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]သည် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ]]ပင် ဖြစ်သည်။ <math>C(c,x)</math> နှင့် <math>C(c,y)</math> တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် [[အစု|အစုများ]]ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု <math>f_{*}</math> သည် [[အစု]]တစ်ခုမှ အခြား[[အစု]]တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]]တစ်ခုဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ကတ်တဂိုရီ တည်ဆောက်ပုံများ (Basic Category Constructions) == === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Small Category) နှင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (Locally Small Category) === ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး စုစည်းမှုသည် အစု (set) တစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>x, y</math> တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို '''ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် <math>C(X, Y)</math> သို့မဟုတ် <math>\text{Hom}(X, Y)</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။ ဤစုစည်းမှုကို '''ဟွမ်း-အစု''' (hom-set) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အလွန်အသုံးဝင်သောကြောင့် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မသေးငယ်သည်ဖြစ်စေ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည် ။ ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည် ။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ ။ ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ ။ ဤကဲ့သို့ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ရှုပ်ထွေးမှုများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကတ်တဂိုရီများ၏ အရွယ်အစားကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်လာသည် ။ === ဂရုပွိုက် (Groupoid) === '''ဂရုပွိုက် (groupoid)''' ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စု (group) သည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid)''' <math> \Pi_{1}X</math> သည် <math>X</math> ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ မော်ဖစ်ဇင်များသည် '''အစွန်းမှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော လမ်းကြောင်းများ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] အတန်းအစားများ (endpoint-preserving homotopy classes of paths)''' ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> တွင်မဆို '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid)''' တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများအားလုံး ပါဝင်ပြီး အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များသာ ပါဝင်သော '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) နှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin_{iso}</math> သည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် ဖန်ရှင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>Fin</math> ၏ '''အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက်ပိုင်း (maximal subgroupoid)''' ဖြစ်သည်။ ဤဂရုပွိုက်ကို သဘာဝကိန်းများ၏ '''ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (categorification)''' တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကတ်တဂိုရီပိုင်း (Subcategory) === ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ '''ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory)''' <math>D</math> တစ်ခုကို <math>C</math> အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုအစိတ်အပိုင်း (subcollection of morphisms) တို့ကို ကန့်သတ်ယူဆောင်၍ သတ်မှတ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ * <math>D</math> အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် <math>D</math> တွင် ပါဝင်ရမည်။ === မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (Product Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ '''မြှောက်လဒ် ကတ်တဂိုရီ (product category)''' <math>C \times D</math> တစ်ခု ရှိသည်။ *၎င်း၏ အရာဝတ္ထုများသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) <math>(c, d)</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>c</math> သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဖြစ်ကာ <math>d</math> သည် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ *မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime})</math> များဖြစ်ကြသည်။ ဤတွင် <math>f: c \rightarrow c^{\prime} \in C</math> နှင့် <math>g: d \rightarrow d^{\prime} \in D</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (Opposite Category) === မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ <math>\text{C}</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ '''ပြောင်းပြန် ကတ်တဂိုရီ (opposite category)''' <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *'''အရာဝတ္ထုများ (Objects):''' <math>\text{C}</math> တွင်ရှိသော အရာဝတ္ထုများအတိုင်း တူညီစွာ ပါဝင်သည်။ *'''မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms):''' <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် မော်ဖစ်ဇင် <math>f^{\text{op}}</math> တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>f^{\text{op}}</math> ၏ အရင်းအမြစ် သည် <math>f</math> ၏ ပစ်မှတ် အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>f^{\text{op}}</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>f^{\text{op}}: X \rightarrow Y \in \text{C}^{\text{op}} \Leftrightarrow f: Y \rightarrow X \in \text{C}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> ၏ ကျန်ရှိသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ *<math>\text{C}^{\text{op}}</math> တွင် အရာဝတ္ထု <math>X</math> တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် <math>1_{X}^{\text{op}}</math> သည် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် <math>1_{X}^{\text{op}}:X\rightarrow X</math> ဖြစ်သည်။ *'''ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition)''' ကို သတ်မှတ်ရာတွင် <math>\text{C}</math> အတွင်းရှိ <math>g, f</math> တွဲ ပေါင်းစပ်နိုင်မှသာ <math>\text{C}^{\text{op}}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တွဲ <math>f^{\text{op}}, g^{\text{op}}</math> ကို ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>g</math> ၏ ပစ်မှတ်သည် <math>f</math> ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို <math>g^{\text{op}} f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}</math> အဖြစ် ရေးသည်။ :<math>\begin{array}{ccc} f^{\text{op}}: X \rightarrow Y, g^{\text{op}}: Y \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} & \rightsquigarrow & g^{\text{op}}f^{\text{op}} := (fg)^{\text{op}}: X \rightarrow Z \in \text{C}^{\text{op}} \\ \Updownarrow & & \Updownarrow \\ g: Z \rightarrow Y, f: Y \rightarrow X \in \text{C} & \rightsquigarrow & fg: Z \rightarrow X \in \text{C} \end{array}</math> ဖြစ်သည်။ ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း ရေးသားခဲ့ဖူးသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွက် မည်သည့် နဂိုမှန်အဆို၏ ဒွန်တွဲမှု (duality) မဆိုသည်လည်း နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခု ဖြစ်သည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (Slice Categories) === အလွှာလိုက် ကတ်တဂိုရီများ (slice categories) ကို <math>c/C</math> နှင့် <math>C/c</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>c/C</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow x</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: c \rightarrow x</math> မှ <math>g: c \rightarrow y</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>g = hf</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ *ကတ်တဂိုရီ <math>C/c</math> တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: x \rightarrow c</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>f: x \rightarrow c</math> မှ <math>g: y \rightarrow c</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် <math>f = gh</math> ဖြစ်စေမည့် <math>C</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် <math>h: x \rightarrow y</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>c/C</math> သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ <math>C/c := (c/(C^{op}))^{op}</math> ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>C/c</math> သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ == ဖန်တာ (Functor) == '''{{main| ဖန်တာ}}''' ကတ်တဂိုရီသီအိုရီတွင် '''ဖန်တာ''' (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုမှ အခြားကတ်တဂိုရီတစ်ခုသို့ သွားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> ကြားရှိ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် <math>C</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများကို <math>D</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများဆီသို့ လည်းကောင်း၊ <math>C</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များကို <math>D</math> ရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆီသို့ လည်းကောင်း အသီးသီး ချိတ်ဆက်ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ထိုသို့ ပုံဖော်ရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)|လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor)]] ဟုခေါ်ဆိုပြီး လားရာကို ပြောင်းပြန်လှန်ပစ်သော ဖန်တာကို [[ဖန်တာ#ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)|ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor)]] ဟု ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ === ဖန်တာကို အသုံးပြုသော တည်ဆောက်ပုံများ (Functor-based Constructions) === ==== ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ (Comma category) ==== ဖန်တာ <math>F \colon \mathsf{D} \to \mathsf{C}</math> နှင့် <math>G \colon \mathsf{E} \to \mathsf{C}</math> တို့ ပေးထားသော '''ကော်မာ ကတ်တဂိုရီ''' <math>F \downarrow G</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>(d \in \mathsf{D}, e \in \mathsf{E}, f \colon Fd \to Ge \in \mathsf{C})</math> ဟူသော သုံးခုတွဲ (triples) များ။ *<math>(d, e, f)</math> မှ <math>(d', e', f')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေမည့် <math>f' \cdot Fh = Gk \cdot f</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲများ <math>(h \colon d \to d', k \colon e \to e')</math> ==== အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements) ==== လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) <math>F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x) = x'</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင် ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ (forgetful functor) <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိသည်။ ဤမေ့လျော့ဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\int F</math> မှ အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> ကို ကတ်တဂိုရီ <math>\mathsf{C}</math> ရှိ အရာဝတ္ထု <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> ကို မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးသည်။ ==== ဆန့်ကျင်ဘက်ဖန်တာ၏ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ (Category of elements of a contravariant functor) ==== ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) <math>F \colon \mathsf{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> ၏ '''အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီ''' <math>\int F</math> တွင် အောက်ပါ အစိတ်အပိုင်းများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ *အရာဝတ္ထုများအနေဖြင့် <math>F</math> ၏ အစုဝင်များ <math>c \in \mathsf{C}</math> နှင့် <math>x \in Fc</math> ဖြစ်သော <math>(c, x)</math> တွဲများ *<math>(c, x)</math> မှ <math>(c', x')</math> သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များအနေဖြင့် <math>Ff(x') = x</math> ဖြစ်စေမည့် <math>\mathsf{C}</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ <math>f \colon c \to c'</math> အဆိုပါ အစုဝင်များ၏ ကတ်တဂိုရီတွင်လည်း ထင်ရှားသော မေ့လျော့ဖန်တာ <math>\Pi \colon \int F \to \mathsf{C}</math> တစ်ခု ရှိပြီး ၎င်းသည် အရာဝတ္ထု <math>(c, x)</math> အား <math>c</math> သို့ လည်းကောင်း မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> အား <math>f</math> သို့ လည်းကောင်း ပုံဖော်ပေးသည်။ == သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (Natural Transformation) == '''{{main| သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း}}''' ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဖန်တာ (functor) များကို လေ့လာပြီးနောက် ထိုဖန်တာများအချင်းချင်းကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်လာသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) ဖြစ်သော <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ကြားတွင် တည်ရှိသော ဆက်သွယ်မှု ပုံဖော်ခြင်းကို '''သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း''' (natural transformation) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဖန်တာတစ်ခုမှ အခြားဖန်တာတစ်ခုသို့ ကူးပြောင်းရာတွင် မူလကတ်တဂိုရီများ၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံများကို မပြောင်းလဲစေဘဲ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်နေသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism of Categories) === သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ်နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{Cat}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ဤကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော်လည်း သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်ပေ။ ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို <math>\text{CAT}</math> ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။ ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ <math>\text{CAT}</math> သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် <math>\text{CAT}</math> ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ <math>\text{CAT}</math> ကတ်တဂိုရီသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်မှုမှ ချန်လှပ်ထားခံရသည်။ ပါဝင်မှု ဖန်တာ <math>\text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT}</math> တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။ <math>\text{Cat}</math> သို့မဟုတ် <math>\text{CAT}</math> တွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism of categories)''' သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို ပြောင်းပြန် ဖန်တာ (inverse functors) အတွဲ <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများဖြစ်သော <math>GF</math> နှင့် <math>FG</math> တို့သည် <math>C</math> နှင့် <math>D</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူရဖန်တာများ နှင့် အသီးသီး ညီမျှရမည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် <math>C</math> ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် <math>D</math> ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (Equivalence of Categories) === လက်တွေ့တွင် ကတ်တဂိုရီနှစ်ခု အတိအကျ တူညီသည် (အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်) ဟု ဆိုရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲတင်းကျပ်လွန်းသော သတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် '''ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု''' (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော <math>F: C \rightarrow D</math> နှင့် <math>G: D \rightarrow C</math> တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\eta: 1_C \cong GF</math> နှင့် <math>\epsilon: FG \cong 1_D</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ <math>GF = 1_C</math> ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။ ဤအခြေအနေတွင် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ထပ်တူညီမှု (equivalence) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုပြီး ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> နှင့် <math>D</math> တို့ကို ထပ်တူညီသော ကတ်တဂိုရီများ (equivalent categories) ဟု သတ်မှတ်ကာ <math>C \simeq D</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။ ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow D</math> တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ '''အရိုးစု''' (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။ အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။ အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အဆုံးရှိအစုများအားလုံး ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>FinSet</math> သည် ၎င်း၏ အရိုးစုဖြစ်သော <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> ပုံစံရှိ အစုများသာ ပါဝင်သည့် ကတ်တဂိုရီနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာများ (Representable Functors) == သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။ ဤသို့သော ဆက်သွယ်မှုများကို ဖန်တာများ အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် === <math>F</math> သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>Set</math> သို့သွားသော လားရာတူ သို့မဟုတ် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ *ဖန်တာ <math>F</math> အတွက် '''ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု''' (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု<math>c \in C</math> နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(c,-) \cong F</math> ဖြစ်ပြီး <math>F</math> သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\alpha: C(-,c) \cong F</math> ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် အရာဝတ္ထု <math>c</math> သည် ဖန်တာ <math>F</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်ဟု ဆိုပြီး ဖန်တာ <math>F</math> ကို '''ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ''' (representable functor) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် <math>c</math> မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ <math>c</math> ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ === ကိုယ်စားပြုနိုင်သော ဖန်တာ ဥပမာများ (Examples of Representable Functors) === *'''သဘာဝကိန်းများ၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ''' (Universal property of the natural numbers) တွင်အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) <math>f: X \rightarrow X</math> နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် <math>x_0</math> တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု <math>X</math> ကို '''တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ်''' (discrete dynamical system) ဟု ခေါ်သည်။ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math>၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) <math>s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> နှင့် အစုဝင် <math>0 \in \mathbb{N}</math> တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။ ၎င်းအချက်မှာ <math>r(0) = x_0</math> နှင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်များဖြစ်သော <math>r \circ s = f \circ r</math> ဟူသည့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖန်ရှင် <math>r: \mathbb{N} \rightarrow X</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *'''ထပ်တူရ ဖန်တာ''' (Identity functor) တွင် <math>I_{Set}: Set \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) <math>\{*\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အစု <math>X</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\text{Set}(*, X) \cong X</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ယင်းက အစုဝင် <math>x \in X</math> များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို <math>x</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် <math>x: * \rightarrow X</math> များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' (Forgetful functor) တွင် <math>U: Group \rightarrow Set</math> ကို အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ မည်သည့်အုပ်စု <math>G</math> အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Group(\mathbb{Z},G) \cong UG</math> တစ်ခု ရှိသည် ။ ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် <math>g \in UG</math> တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် <math>1</math> ကို <math>g</math> ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) <math>g: \mathbb{Z} \rightarrow G</math> ကို ဆက်စပ်ပေးသည် ။ *'''မေ့လျော့ ဖန်တာ''' <math>U: Ring \rightarrow Set</math> ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ၎င်းကွင်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) ဖြစ်သည် ။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) <math>\phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R</math> တစ်ခုကို <math>x</math> ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ *'''ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ''' (Contravariant power set functor) တွင် <math>P: Set^{op} \rightarrow Set</math> ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု <math>\Omega = \{\top, \bot\}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>Set(A,\Omega) \cong PA</math> သည် အစုပိုင်း (subset) <math>A^{\prime} \subset A</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏ ခွဲခြားခြင်း ဖန်ရှင် (classifying function) <math>\chi_{A^{\prime}}: A \rightarrow \Omega</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည် ။ ဤဖန်ရှင်သည် <math>A^{\prime}</math> ၏ အစုဝင်များကိုသာ <math>\top</math> ဆီသို့ တိကျစွာ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ *ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုပိုင်းများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ <math>O: Top^{op} \rightarrow Set</math> ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) <math>S</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည် ။ ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည် ။ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) <math>Top(X,S) \cong O(X)</math> သည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) <math>f: X \rightarrow S</math> တစ်ခုကို အဖွင့်မှတ်၏ မူလပုံရိပ် (preimage) နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည် ။ == ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (The Yoneda Lemma) == ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (represented functor) <math>C(c,-)</math> မှနေ၍ အခြား ဖန်တာ <math>F</math> ဆီသို့ သွားသော သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန် မည်သည့် အချက်အလက်များ လိုအပ်မည်မေးခွန်းကို ဖြေဆိုရာတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သီအိုရမ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Yoneda lemma) သည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) <math>C</math> မှ <math>\text{Set}</math> သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်တာ <math>F: C \rightarrow \text{Set}</math> နှင့်မဆို <math>C</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု <math>c \in C</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း တစ်ခု တည်ရှိသည်။ *<math>ev_{1_c}: \text{Hom}(C(c, -), F) \cong Fc</math> ဤဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\alpha</math> ကို အစုဝင် <math>\alpha_c(1_c)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤကိုက်ညီမှုသည် <math>c</math> နှင့် <math>F</math> နှစ်ခုလုံးအတွက် သဘာဝကျခြင်း (natural) ရှိသည်။ မှတ်ချက်။ <math>C</math> သည် ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်နေနိုင်သော်လည်း သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ စုစည်းမှုဖြစ်သော <math>\text{Hom}(C(c, -), F)</math> သည် အစု (set) တစ်ခုသာ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ '''ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြချက် (Proof of the Bijection)''': *အစုဝင် <math>x \in Fc</math> တစ်ခုမှနေ၍ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးမည့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) <math>\Psi: Fc \rightarrow \text{Hom}(C(c, -), F)</math> ကို ဦးစွာ သတ်မှတ်မည်။ *<math>1_c \in C(c,c)</math> မှ <math>Fd</math> သို့ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်လျှောက် ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျခြင်းဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များကို ပြည့်စုံစေရန်အတွက် ၎င်း၏ အစိတ်အပိုင်းများကို <math>\Psi(x)_d(f) := Ff(x)</math> အဖြစ် မဖြစ်မနေ သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်း (commutative square) ၏ လိုအပ်ချက်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ *ယေဘုယျ မော်ဖစ်ဇင် <math>g: d \rightarrow e</math> တစ်ခုအတွက် <math>\Psi(x)</math> သည် သဘာဝကျကြောင်းကို စစ်ဆေးနိုင်သည်။ <math>F</math> ၏ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (functoriality) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>F(gf)(x) = Fg(Ff(x))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ *၎င်းကို တန်ဖိုးရှာ တွက်ချက်ကြည့်ပါက <math>ev_{1_c}(\Psi(x)) = \Psi(x)_c(1_c) = F(1_c)(x) = 1_{Fc}(x) = x</math> ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ညာပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ *အခြားတစ်ဖက်တွင် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည့် ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းတစ်ခု ရှိသည်။ ဤအချက်က <math>\Psi(ev_{1_c}(\alpha))_d = \alpha_d</math> ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးသဖြင့် <math>\Psi</math> သည် ဘယ်ပြောင်းပြန် (left inverse) လည်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ *ဘယ်နှင့် ညာ ပြောင်းပြန် နှစ်ခုလုံးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ <math>\blacksquare</math> '''သဘာဝကျခြင်း သက်သေပြချက် (Proof of Naturality)''': *'''ဖန်တာအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Functor):''' သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\beta: F \Rightarrow G</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_c</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>\beta</math> သက်ရောက်ခြင်းနှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ <math>ev_{1_c}^G(\beta \cdot \alpha) = (\beta \cdot \alpha)_c(1_c) = \beta_c(\alpha_c(1_c)) = \beta_c(ev_{1_c}^F(\alpha))</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\text{Hom}(C(c,-), F)</math> မှ <math>Gc</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ရာတွင် သဘာဝကျကြောင်း ပြသခြင်းဖြစ်သည်။ *'''အရာဝတ္ထုအတွင်း သဘာဝကျခြင်း (Naturality in the Object):''' မော်ဖစ်ဇင် <math>f: c \rightarrow d</math> တစ်ခု ပေးထားသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဤတွင် <math>1_d</math> နေရာ၌ တန်ဖိုးရှာခြင်းသည် <math>f^{*}</math> ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း (precomposition) အပြင် <math>Ff</math> မှတစ်ဆင့် ပုံဖော်ခြင်းတို့နှင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေကြောင်း ပြသမည်ဖြစ်သည်။ *သက်သေပြချက်မှာ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့် <math>\alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>(\alpha \cdot f^{*})_d(1_d) = \alpha_d(f) = Ff(\alpha_c(1_c))</math> ဖြစ်ကြောင်း ရရှိသည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (The Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်၏ အလွန်အရေးပါသော အကျိုးဆက်တစ်ခုမှာ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ပင်ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထု <math>c</math> ကို ၎င်း၏ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများဖြစ်သော <math>C(c,-)</math> သို့မဟုတ် <math>C(-,c)</math> ဆီသို့ အသီးသီး ပုံဖော်ပေးခြင်းသည် မူလကတ်တဂိုရီ <math>C</math> မှ ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီများ (functor categories) ဖြစ်သော <math>Set^{C^{op}}</math> သို့မဟုတ် <math>Set^C</math> ဆီသို့ သွားသည့် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (full and faithful functor) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤအချက်၏ အလွန်စွမ်းအားကြီးမားသော သက်ရောက်မှုမှာ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုသော အရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) များနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် ကိုယ်စားပြု ဖန်တာများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို လေ့လာခြင်းဖြင့် မူလ အရာဝတ္ထုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်များကို အပြည့်အဝ နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။ === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုများ (Applications of the Yoneda Embedding) === ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း၏ အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ ကေးလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသီအိုရမ်အရ မည်သည့် သရုပ်မဲ့ အုပ်စု (abstract group) မဆိုသည် ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု (permutation group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အုပ်စု <math>G</math> ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ <math>BG</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထိုအခါ လားရာတူ ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်းက ၎င်းကို ညာ <math>G</math>-အစု (right G-set) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ယိုးနေဒါ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ ဤအစု၏ <math>G</math>-အချိုးညီ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (G-equivariant endomorphisms) အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ မြှောက်ခြင်းဖြင့်သာ သတ်မှတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) သာ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် အုပ်စု <math>G</math> သည် အစု <math>G</math> ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ == စုဆုံမှတ်များ နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ (Limits and Colimits) == '''{{main| စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်}}''' ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းပိုင်း ဖွဲ့စည်းပုံထက် အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် မည်သို့ ဆက်သွယ်ပြုမူသနည်းဟူသော စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိများ (universal properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ပုံကြမ်းတစ်ခုအထက်ရှိ အဆုံးသတ် ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#စုဆုံမှတ်(Limit)|စုဆုံမှတ်(Limit)]] ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ပုံကြမ်းအောက်ရှိ အစ ကတော့ပုံကို [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်#ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit)|ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်(Colimit)]]ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုများ]]၊ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မြှောက်လဒ်များ၊ ပူးလ်ဘက် (pullback) များနှင့် ပွတ်ရှ်အောက် (pushout) များသည် စုဆုံမှတ်နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်များ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ == တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (Adjunction) == '''{{main|တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း}}''' '''တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း''' (adjunction) သည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အလွန်အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာအတွဲများကြားရှိ သဘာဝကျသော ဆက်သွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။ ဖန်တာနှစ်ခုကြားတွင် ဘယ်တွဲဖက် (left adjoint) နှင့် ညာတွဲဖက် (right adjoint) ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် ရှိနေပါက ယင်းကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများစွာရှိ လွတ်လပ်သော ဖန်တာ (free functor) နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာ (forgetful functor) တို့၏ ဆက်သွယ်ချက်များသည် တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== *{{citation |last = Riehl |first = Emily |title = Category Theory in Context |date = 2016 |publisher = Dover |url = https://books.google.com/books?id=6B9MDgAAQBAJ |isbn = 9780486809038 }} * {{citation | last1 = Eilenberg | first1 = S. | last2 = Mac Lane | first2 = S. | title = General theory of natural equivalences | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 58 | pages = 231–294 | year = 1945 }} * {{citation | last1 = Cartan | first1 = H. | last2 = Eilenberg | first2 = S. | title = Homological Algebra | publisher = Princeton University Press | place = Princeton | year = 1956 }} * {{Citation | last = Spivak | first = David | title = 18.S996 Category Theory for Scientists, Spring 2013 | date = 2013 | work = MIT OpenCourseWare | access-date = February 2, 2015 | url = http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/# }} {{refend}} [[ကဏ္ဍ:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] 4uq4kkytjk6aecf751phxlmb9bhtlo6 1 55621 1048736 237025 2026-08-14T19:05:03Z Mkant00 135890 [[ဆွေးနွေးချက်:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:ကိန်းထွေး]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 237025 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 0 72618 1048776 1028422 2026-08-15T06:29:27Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1048776 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | image = Milla Jovovich Cannes 2016.jpg | caption = Jovovich at the 2016 Cannes Film Festival. | birth_name = Milica Bogdanovna Jovovich | birth_date = {{birth date and age|1975|12|17}} | birth_place = Kiev, Ukrainian SSR, Soviet Union | occupation = {{flatlist| *ရုပ်ရှင်မင်းသမီး *ဖက်ရှင် ဒီဇိုင်နာ *မော်ဒယ် *အဆိုတော် }} | years_active = ၁၉၈၅–လက်ရှိ | spouse = {{marriage|Shawn Andrews<br>|1992|1992|reason=annulled}}<br />{{marriage|Luc Besson<br>|1997|1999|end=div}}<br />{{marriage|Paul W. S. Anderson<br>|2009}} | children = {{Plainlist| * Ever Gabo * Dashiel Edan }} | parents = ဂါလီနာ ဂျိုးဗစ်<br />ဘိုဂီ ဂျိုဗိုဗီ | website = {{URL|millaj.com}} }} '''မီလာ ဂျိုဗိုဗစ်'''{{#tag:ref|Milla Jovovich has no second name "Nataša"; that is a journalist's mistake. Nataša is her cousin's name.<ref>{{cite interview |subject=Milla Jovovich's mother |title=Галина Логінова: Сьогодні Київ, наче весела дівчина, гарно вбрана i нафарбована |publisher=Україна Молода |date=August 23, 2005 |url=http://www.umoloda.kiev.ua/number/495/164/17925/ |accessdate=May 15, 2013 |language=Ukrainian |archive-date=12 August 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180812154815/http://www.umoloda.kiev.ua/number/495/164/17925 |url-status=dead }}</ref>|group=nb}}<ref group="nb">Serbian Cyrillic: Милица Јововић; {{lang-ru|Милица Йовович}}; {{lang-uk|Милиця Йовович}}</ref> ({{lang-en|Milla Jovovich}}) ({{IPAc-en|ˈ|j|oʊ|v|ə|v|ɪ|tʃ}}) (၁၉၇၅ ဒီဇင်ဘာလဖွား) သည် အမေရိကန် တေးသံရှင်၊ ဖက်ရှင် ဒီဇိုင်နာ ရုပ်ရှင်မင်းသမီးနှင့် အဆိုတော် ဖြစ်သည်။ သိပ္ပံရုပ်ရှင် ဇာတ်လမ်းများစွာတွင် မြင်တွေ့ရပြီး ၂၀၀၆ ခုနှစ် သီချင်းလိုင်း VH1 တွင်ခေါင်းဆောင်အဖြစ် တွေ့ရသည်။<ref name="VH1">C. Bottomley, [http://www.vh1.com/news/articles/1525247/20060302/index.jhtml Milla Jovovich: Building a Perfect Action Star] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20140906211359/http://www.vh1.com/news/articles/1525247/20060302/index.jhtml |date=September 6, 2014 }}, March 2, 2006, VH1. {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20140906211359/http://www.vh1.com/news/articles/1525247/20060302/index.jhtml |date=September 6, 2014 }}</ref> သူမကို ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု၊ Kiev အရပ်တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး မိဘများက ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသို့ ပြောင်းရွေ့ခဲ့သည်။ အသက် ၁၂ အရွယ်တွင် မော်ဒယ်လုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး ''Lei'' ဟူသော အီတလီ မဂ္ဂဇင်းတွင် မျက်နှာဖုံးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref name="PurpleLove">{{cite web |title=Millaj:Purple Love |publisher=MillaJ.com |work=Purple magazine |year=1990 |url=http://www.millaj.com/archive/archive09.shtml |accessdate=May 15, 2013 |archive-date=7 August 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130807133606/http://www.millaj.com/archive/archive09.shtml |url-status=dead }}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.huffingtonpost.com/2011/10/19/milla-jovovich-magazine-cover_n_1018495.html |title=Milla Jovovich Magazine Cover, 1987: A Look Back |last1=Leon |first1=Sarah |date=October 19, 2011 |work=The Huffington Post |publisher= |accessdate=May 15, 2013}}</ref> ၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် အချစ်ဇာတ်လမ်း ''Return to the Blue Lagoon'' ဖြင့် သူမသည် လူသိများလာခဲ့သည်။ ယင်းအချိန် သူမသည် အသက် ၁၅ နှစ်အရွယ်မျှသာ ရှိသေးသည်။<ref>{{cite web |url=http://www.millaj.com/film/ |title=Milla Jovovich Filmography |author=<!--Staff writer(s); no by-line.--> |publisher=MillaJ.com |accessdate=28 November 2013 |archive-date=4 December 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131204073319/http://www.millaj.com/film/ |url-status=dead }}</ref> ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်သိပ္ပံဇာတ်လမ်း ''The Fifth Element'' ဖြင့် တဟုန်ထိုး နာမည်ကြီးလာခဲ့သည်။ ယင်းနှစ်တွင် Besson ဖြင့် လက်ထပ်ခဲ့သော်လည်း မကြာခင် ကွာရှင်းခဲ့သည်။ ဂျိုးဗစ်သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် နာမည်ကြီးသိပ္ပံရုပ်ရှင် ''Resident Evil'' အား စတင်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ ယင်းဇာတ်ကားအား မနှစ်သက်သူများ ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Resident Evil (2002) |url=http://www.rottentomatoes.com/m/resident_evil/ |accessdate=May 15, 2013}}</ref><ref>{{cite news |date=2005-08-11 |author=Roger Ebert |title=Ebert's Most Hated |work=Chicago Sun-Times |url=http://rogerebert.suntimes.com/apps/pbcs.dll/article?AID=/20050811/COMMENTARY/50808002 |accessdate=May 15, 2013 |archivedate=28 June 2009 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090628183709/http://rogerebert.suntimes.com/apps/pbcs.dll/article?AID=%2F20050811%2FCOMMENTARY%2F50808002 }}</ref> သို့သော် စီးပွားရေးအရ အောင်မြင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Resident Evil |publisher=Amazon.com |work=Box Office Mojo |url=http://www.boxofficemojo.com/movies/?id=residentevil.htm |accessdate=May 15, 2013}}</ref> ထိပ်သည်းရင်ဖို Resident Evil သိပ္ပံရုပ်ရှင်ဇာတ်လမ်းအဆက်အား သူမသည် ၂၀၀၄ ခုနှစ်မှ ၂၀၁၂ ခုနှစ်အထိ ဆက်လက် ရိုက်ကူးခဲ့သည်။<ref name="new release date">{{cite news |url=http://www.shocktillyoudrop.com/news/topnews.php?id=13587 |title=Resident Evil: Afterlife Back to 2010 |publisher=ShockTilYouDrop.com |work=CraveOnline Media, LLC |date=January 11, 2010 |accessdate=May 15, 2013}}</ref> ==မှတ်စု== {{Reflist|group=nb}} ==ကိုးကား== {{reflist |colwidth=30em |refs = }} {{Lifetime|၁၉၇၅| |}} {{Bio-stub}} [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် အမျိုးသမီး ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] 82vey8vi97uda3oasah5ja9c1k2r4vu 0 78657 1048780 1029845 2026-08-15T09:23:09Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1048780 wikitext text/x-wiki [[File:World Population.svg|thumb|upright=1.36|ကမ္ဘာ့လူဦးရေပြ မြေပုံ]] [[File:World population percentage.png|thumb|right|နိုင်ငံအလိုက် ကမ္ဘာ့လူဦးရေ ရာခိုင်နှုန်း]] ဤသည်မှာ လူဦးရေအလိုက် နိုင်ငံများနှင့် အမှီအခိုနယ်မြေဒေသများ စာရင်း ဖြစ်သည်။ ဤစာရင်းတွင် အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံများနှင့် အမှီအခိုနယ်မြေဒေသများ ပါဝင်ပြီး အချို့သော အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံများကို ISO စံညွှန်း [[ISO 3166-1]] အရ ထည့်သွင်းပြုစုထားသည်။ ထို့အပြင် ISO 3166-1 တွင် မပါဝင်သည့် အချို့သော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအသိအမှတ်ပြုနယ်မြေများလည်း ပါဝင်သည်။ ==နည်းလမ်း== ဤစာရင်းတွင် ပါဝင်သော အချက်အလက်များကို နောက်ဆုံးရရှိသည့် နိုင်ငံတော်အဆင့် သန်းခေါင်စာရင်းများ၊ ခန့်မှန်းစာရင်းများမှ အခြေခံထားသည်။<ref>{{cite journal | url=http://www.economist.com/node/18651512 | title=China's Population: The Most Surprising Demographic Crisis |journal=The Economist |year=2013}}</ref> တရားဝင်စာရင်းမရနိုင်ပါက ကုလသမဂ္ဂ စီးပွားရေးနှင့် လူမှုရေးဌာန၊ လူဦးရေဌာနခွဲ၏ ၂၀၁၇ ခန့်မှန်းစာရင်းများအပေါ် အခြေပြုထားသည်။<ref name="unpop">{{cite web | url=https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ | title=World Population Prospects 2017}}</ref> နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံချင်းစီတွင် ဤအချက်အလက်များကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ပြင်ဆင်ထိန်းချုပ်ခြင်း မရှိသည့်အတွက် နှိုင်းယှဉ်မှုရလဒ်များသည် ကောက်ချက်လွဲမှားနေနိုင်သည်။ အလားတူ နိုင်ငံများအားလုံး၏ အချက်အလက် စုစုပေါင်းသည် ကမ္ဘာ့ စုစုပေါင်းအချက်အလက်များနှင့်လည်း ကိုက်ညီမနေနိုင်ပါ။ ဤစာရင်းတွင် [[ဥရောပသမဂ္ဂ]] ကဲ့သို့သော အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်နိုင်ငံမဟုတ်သည်များ၊ [[အန္တာတိကတိုက်]]ကဲ့သို့ အမြဲတမ်းလူနေထိုင်မှု မရှိသော လွတ်လပ်သည့် နယ်မြေဒေသများ မပါဝင်ပါ။ == လူဦးရေ အလိုက် နိုင်ငံနှင့် နယ်မြေဒေသများ == <!-- တည်းဖြတ်မှု မပြုလုပ်မီ ကျေးဇူးပြု၍ သေချာစွာ ဖတ်ရှုပါ! နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံ၏ လူဦးရေအား ပြင်ဆင်မွမ်းမံမည် ဆိုပါက ယင်း၏ နောက်ရှိ ("ကမ္ဘာ့ လူဦးရေ ရာခိုင်နှုန်း" အကွက်) တွင်လည်း တူညီသည့် ကိန်းဂဏန်းဖြင့် ဖြည့်စွက်ပြင်ဆင်ပေးပါ။ --> မှတ်ချက်။ အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံများ၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သော အမှီအခိုနယ်မြေများနှင့် မဲဆန္ဒနယ်နိုင်ငံများကို ''စာလုံးစောင်း''ဖြင့် ပြထားသည်။ {| class="wikitable sortable" style="text-align:right" |- !data-sort-type="number"|အဆင့်!!နိုင်ငံ<br>(သို့ အမှီအခိုနယ်မြေ)!!လူဦးရေ!!ရက်စွဲ!!ကမ္ဘာ့လူဦးရေ<br />ရာခိုင်နှုန်း!!class="unsortable"| ရင်းမြစ် |- |၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အိန္ဒိယနိုင်ငံ}} |{{data India|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data India, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://censusindia.gov.in Official population clock] |- |၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တရုတ်နိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">သန်းခေါင်စာရင်း အချက်အလက်များသည် တရုတ်ပြည်မကြီးအတွက် ဖြစ်ပြီး တရုတ်နိုင်ငံ၏ အထူးအုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေများဖြစ်သော ဟောင်ကောင်နှင့် မကာအိုတို့ မပါဝင်ပါ။</ref> |{{data China|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data China, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://data.stats.gov.cn/ Official population clock] |- |၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">ပြည်နယ် ၅၀ နှင့် [[ဝါရှင်တန်ဒီစီ|ကိုလံဘီယာ ခရိုင်]]ရှိ လူဦးရေ ဖြစ်သည်။</ref> |{{data United States|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data United States, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.census.gov/popclock/ Official population clock] |- |၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ}} |၂၉၃,၉၉၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 263991000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |၅ | style="text-align:left;" |{{flaglist|နိုင်ဂျီးရီးယားနိုင်ငံ}} |၂၂၉,၈၈၆,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 190886000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |၆ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ပါကစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၂၂၈,၈၈၆,၀၀၀ | style="text-align:left;" |[http://www.pwd.punjab.gov.pk/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190502230956/https://pwd.punjab.gov.pk/ |date=2 May 2019 }} | | |- |၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘရာဇီးနိုင်ငံ}} |{{data Brazil|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Brazil, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/index.html Official population clock] |- |၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ်နိုင်ငံ}} |{{data Bangladesh|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Bangladesh, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[https://web.archive.org/web/20110904045106/http://www.bbs.gov.bd/Home.aspx Official population clock] |- |၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ရုရှားနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု"> [[ကရိုင်းမီးယား ကျွန်းဆွယ်]] နှင့် [[ဆီပတ်စတိုပိုမြို့]] တို့ အပါအဝင်</ref> |၁၄၆,၈၀၄,၃၇၂ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 146804372/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/demo/Popul2017.xls Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190605235655/http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/demo/Popul2017.xls |date=5 June 2019 }} |- |၁၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျပန်နိုင်ငံ}} |၁၂၆,၇၄၀,၀၀၀ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 126740000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.go.jp/english/data/jinsui/tsuki/index.htm Monthly provisional estimate] |- |၁၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မက္ကဆီကိုနိုင်ငံ}} |၁၂၃,၅၁၈,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 123518000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.conapo.gob.mx/work/models/CONAPO/Proyecciones/Datos/Bases_de_Datos/Indicadores_demograficos/CSV/baseindidemMX.csv Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170622010809/http://www.conapo.gob.mx/work/models/CONAPO/Proyecciones/Datos/Bases_de_Datos/Indicadores_demograficos/CSV/baseindidemMX.csv |date=22 June 2017 }} |- |၁၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဖိလစ်ပိုင်နိုင်ငံ}} |{{data Philippines|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Philippines, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://rpo3.popcom.gov.ph/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150915090120/http://rpo3.popcom.gov.ph/ |date=15 September 2015 }} |- |၁၃ | style="text-align:left;" |{{flaglist|အီဂျစ်နိုင်ငံ}} |၁၀၄,၃၇၄,၀၄၄ | style="text-align:left;" | | | |- |၁၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အီသီယိုးပီးယားနိုင်ငံ}} |၁၀၂,၃၇၄,၀၄၄ |ဇွန် ၁၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 104957000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/et.html/ Census Population] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170704112406/https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/et.html |date=4 July 2017 }} |- |၁၅ | style="text-align:left;&quot;" |{{flaglist|ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ်သမ္မတနိုင်ငံ}} |၉၇,၃၄၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr:81340000/{{worldpop}}*100 round 2}}0% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |၁၆ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ}} |၉၃,၇၀၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၀ |{{#expr: 93700000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.gso.gov.vn/default.aspx?tabid=621&ItemID=18471 Annual official projection] |- |၁၇ | style="text-align:left;" |{{flaglist|တူရကီနိုင်ငံ}} |၈၉,၈၁၄,၈၇၁ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 79814871/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.turkstat.gov.tr/Start.do Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171108091816/http://www.turkstat.gov.tr/Start.do |date=8 November 2017 }} |- |၁၈ | style="text-align:left;" |{{flaglist|အီရန်နိုင်ငံ}} |၈၇,၈၀၀,၀၀၀ | style="text-align:left;" |[http://www.amar.org.ir/english/Population-help Official population clock] | | |- |၁၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျာမနီနိုင်ငံ}} |၈၂,၈၀၀,၀၀၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 82800000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[https://www.destatis.de/DE/PresseService/Presse/Pressemitteilungen/2017/01/PD17_033_12411.html Provisional official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170711121535/https://www.destatis.de/DE/PresseService/Presse/Pressemitteilungen/2017/01/PD17_033_12411.html |date=11 July 2017 }} |- |၂၀ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ထိုင်းနိုင်ငံ}} |၇၁,၀၃၈,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 69038000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |၂၁ | style="text-align:left;" |{{flaglist|တန်ဇေးနီးယားနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ဇန်ဇိဗာကျွန်း]] အပါအဝင်</ref> |၆၇,၃၁၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 57310000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၂၂ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ပြင်သစ်နိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">ပြင်သစ်၏ ပင်လယ်ရပ်ခြား နယ်မြေများဖြစ်သော [[ပြင်သစ်ပိုလီနီးရှား]]၊ [[နယူးကယ်လီဒိုးနီးယား]]၊ [[ပြင်သစ် တောင်ပိုင်းနှင့် အန္တာတိကမြေ]]၊ [[ကလစ်ပါတွန်ကျွန်း]]၊ [[စိန့်ဘာသလမီ]]၊ [[စိန့်မာတင်]]၊ [[စိန့်ပီရဲနှင့် မက်ဂလုံ]] နှင့် [[ဝေါလစ်နှင့်ဖူကျူးနား]] တို့ မပါဝင်ပါ။</ref> |၆၇,၀၅၅,၀၀၀ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 67055000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.insee.fr/en/bases-de-donnees/bsweb/serie.asp?idbank=001641607 Monthly official estimate] |- |၂၃ | style="text-align:left;" |{{flaglist|တောင်အာဖရိကနိုင်ငံ}} |၆၅,၄၂၆,၀၀၀ |ဇွန် ၂၃၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 55908000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://cs2016.statssa.gov.za/ Annual official estimate] |- |၂၄ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ကင်ညာနိုင်ငံ}} |၆၁,၇၀၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 49700000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၂၅ | style="text-align:left;" |{{flaglist|မြန်မာနိုင်ငံ}} |၅၉,၃၇၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၃ |{{#expr: 53371000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၂၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အီတလီနိုင်ငံ}} |၆၀,၅၈၉,၄၄၅ |ဒီဇင်ဘာ ၃၀၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 60589445/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://demo.istat.it/bilmens2016gen/index.html Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181216081210/http://demo.istat.it/bilmens2016gen/index.html |date=16 December 2018 }} |- |၂၇ | style="text-align:left;" |{{flaglist|တောင်ကိုရီးယားနိုင်ငံ}} |၅၅,၇၀၀,၀၀၀ |ဇွန် ၂၃၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 51446201/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://worldpopulationreview.com/countries/south-korea-population/#popClock Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160822135410/http://worldpopulationreview.com/countries/south-korea-population/#popClock |date=22 August 2016 }} |- |၂၈ |{{Flaglist|အင်္ဂလန်နိုင်ငံ}} |၅၅,၁၀၀,၀၀၀ |ဇွန် ၂၃၊ ၂၀၂၂ | | |- |၂၉ | style="text-align:left;" |{{flaglist|စပိန်နိုင်ငံ}} |၅၄,၄၆၈,၁၀၂ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 46468102/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.ine.es/inebaseDYN/cp30321/cp_inicio.htm Official estimate] |- |၃၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ}} |{{data Colombia|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Colombia, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.dane.gov.co/reloj/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180116020433/http://www.dane.gov.co/reloj/ |date=16 January 2018 }} |- |၃၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အာဂျင်တီးနားနိုင်ငံ}} |၄၄,၂၇၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 44271000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၃၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ယူဂန်းဒါးနိုင်ငံ}} |၄၂,၈၆၃,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 42863000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၃၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ယူကရိန်းနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ကရိုင်းမီးယား ကျွန်းဆွယ်]] နှင့် [[ဆီပတ်စတိုပိုမြို့]] တို့ မပါဘဲ [[ဒွန်ဘတ်စ်]]ဒေသ ပါဝင်သည်။</ref> |၄၂,၅၀၁,၇၆၇ |မေ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 42501767/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160808023040/http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp |date=8 August 2016 }} |- |၃၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အယ်လ်ဂျီးရီးယားနိုင်ငံ }} |၄၁,၃၁၈,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 41318000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၃၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆူဒန်နိုင်ငံ}} |၄၀,၅၃၃,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 40533000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၃၆ | style="text-align:left;" |{{flaglist|မလေးရှားနိုင်ငံ}} |၄၀,၄၃၃,၀၀၀ | style="text-align:left;" |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ | | |- |၃၇ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ပိုလန်နိုင်ငံ}} |၃၉,၄၂၄,၀၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 38424000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://stat.gov.pl/podstawowe-dane/ Official estimate] |- |၃၈ | style="text-align:left;" |{{flaglist|အီရတ်နိုင်ငံ}} |၃၈,၈၈၃,၅၄၃ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 37883543/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://cosit.gov.iq/en/rtl-support Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170319085807/http://cosit.gov.iq/en/rtl-support |date=19 March 2017 }} |- |၃၉ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ကနေဒါနိုင်ငံ}} |{{data Canada|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Canada, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> | style="text-align:left;" |[http://www.statcan.gc.ca/start-debut-eng.html Official estimate] |- |၄၀ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ဆော်ဒီအာရေဗျနိုင်ငံ}} |၃၇,၈၈၇,၄၆၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |- |၄၁ | style="text-align:left;" |{{flaglist|အင်ဂိုလာနိုင်ငံ}} |၃၇,၃၅၉,၆၃၄ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 28359634/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine Official Estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160604103235/http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine |date=4 June 2016 }} |- |၄၂ | style="text-align:left;" |{{flaglist|မော်ရိုကိုနိုင်ငံ}} |၃၆,၈၄၈,၂၄၂ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၂၂ |{{#expr: 32612641/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.cdsi.gov.sa/ar/4068 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160916032014/http://www.cdsi.gov.sa/ar/4068 |date=16 September 2016 }} |- |၄၃ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ဥဇဘက်ကစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၃၄,၁၂၁,၀၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 32121000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[https://www.uzdaily.com/articles-id-38139.htm Official population report] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170131201123/https://www.uzdaily.com/articles-id-38139.htm |date=31 January 2017 }} |- |၄၄ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ပီရူးနိုင်ငံ}} |၃၁,၈၂၆,၀၁၈ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 31826018/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924034728/http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls |date=24 September 2015 }} |- |၄၅ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ}} |၃၁,၄၃၁,၁၆၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 31431164/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071317/http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls |date=3 April 2019 }} |- |၄၈ | style="text-align:left;" |{{flaglist|နီပေါနိုင်ငံ}} |၃၁,၈၂၅,၇၀၉ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 28825709/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160128182055/http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf |date=28 January 2016 }} |- |၄၆ | style="text-align:left;" |{{flaglist|အာဖဂန်နစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၂၉,၇၀၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 29700000/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180706033430/http://www.cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 |date=6 July 2018 }} |- |၄၇ | style="text-align:left;" |{{flaglist|ဂါနာနိုင်ငံ}} |၂၈,၉၅၆,၅၈၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 28956587/{{worldpop}}*100 round 2}}% | style="text-align:left;" |[http://www.statsghana.gov.gh Official annual projection] |- |၄၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ယီမင်နိုင်ငံ}} |၂၈,၂၅၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 28250000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၅၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မိုဇမ်ဘစ်နိုင်ငံ}} |၂၇,၁၂၈,၅၃၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 27128530/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.gov.mz/estatisticas/estatisticas-demograficas-e-indicadores-sociais/projeccoes-da-populacao/populacao-projectada-por-distritos-maputo-cidade-2007_2040.xls/at_download/file Annual official projection] |- |၅၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ}} |၂၅,၅၇၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 25571000/{{worldpop}}*100 round 2}}0% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၅၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ}} |၂၅,၄၉၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 25491000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၅၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဩစတြေးလျနိုင်ငံ}} |{{data Australia|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Australia, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources, in this case Australia's official population clock. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.abs.gov.au/AUSSTATS/abs@.nsf/Web+Pages/Population+Clock?opendocument Official population clock] |- |၅၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အိုင်ဗရီကို့စ်နိုင်ငံ}} |၂၄,၂၉၅,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 24295000/{{worldpop}}*100 round 2}}0% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |55 |style="text-align:left;"|{{flaglist|ထိုင်ဝမ်နိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ထိုင်ဝမ်]] (တရုတ်သမ္မတနိုင်ငံ) တွင် [[ကျင်းမင်]]၊ [[မားကျူကျွန်းစု|မားကျူ]]၊ [[ဖုန်ဟူ]]ကျွန်းများ စသည်တို့ ပါဝင်သည်။</ref> |၂၃,၅၅၀,၀၇၇ |မေ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 23547448/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140704022127/http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 |date=4 July 2014 }} |- |၅၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကင်မရွန်းနိုင်ငံ}} |၂၃,၂၄၈,၀၄၄ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 23248044/{{worldpop}}*100 round 2}}0% |style="text-align:left;"|[http://www.bucrep.cm/index.php/en/ Annual official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224204444/http://www.bucrep.cm/index.php/en/ |date=24 February 2021 }} |- |၅၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နိုင်ဂျာနိုင်ငံ}} |၂၁,၅၆၄,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 21564000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၅၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ}} |၂၁,၂၀၃,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 21203000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171117022357/http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf |date=17 November 2017 }} |- |၅၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ရိုမေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၁၉,၇၆၀,၀၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 19760000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insse.ro/cms/sites/default/files/com_presa/com_pdf/poprez_ian2016e.pdf Annual official estimate] |- |၆၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘာကီးနားဖားဆိုနိုင်ငံ}} |၁၉,၆၃၂,၁၄၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 19632147/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf Annual official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161221060141/http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf |date=21 December 2016 }} |- |၆၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မာလီနိုင်ငံ}} |၁၈,၉၀၇,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 18907000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၆၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆီးရီးယားနိုင်ငံ}} |၁၈,၉၀၆,၉၈၅ |ဇူလိုင် ၆၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 18906985/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၆၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မာလဝီနိုင်ငံ}} |၁၈,၆၂၂,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 18622000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |၆၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ချီလီနိုင်ငံ}} |၁၈,၃၇၃,၉၁၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 18373917/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/demografia_y_vitales/proyecciones2014/proyecciones-de-poblacion-2014.xlsx Official annual projection] |- |၆၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကာဇက်စတန်နိုင်ငံ}} |၁၈,၀၁၄,၂၀၀ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 17994200/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.gov.kz/faces/homePag Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151008001735/http://www.stat.gov.kz/faces/homePag |date=8 October 2015 }} |- |၆၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နယ်သာလန်နိုင်ငံ}} |{{data Netherlands|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Netherlands, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181009222717/https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter |date=9 October 2018 }} |- |၆၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အီကွေဒေါနိုင်ငံ}} |{{data Ecuador|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Ecuador, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.ecuadorencifras.gob.ec/estadisticas/ Official population clock] |- |၆၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂွါတီမာလာနိုင်ငံ}} |၁၆,၁၇၆,၁၃၃ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 16176133/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.gob.gt/index.php/estadisticas/tema-indicadores Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140314175005/http://www.ine.gob.gt/index.php/estadisticas/tema-indicadores |date=14 March 2014 }} |- |၆၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဇမ်ဘီယာနိုင်ငံ}} |၁၅,၉၃၃,၈၈၃ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 15933883/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.zamstats.gov.zm/latest/Zambia_Census_Projection_2011_2035_Final.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151113142232/http://www.zamstats.gov.zm/latest/Zambia_Census_Projection_2011_2035_Final.pdf |date=13 November 2015 }} |- |၇၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ}} |၁၅,၆၂၆,၄၄၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 15626444/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.go.jp/info/meetings/cambodia/pdf/rp12_ch10.pdf Official annual projection] |- |၇၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆီနီဂေါနိုင်ငံ}} |၁၅,၂၅၆,၃၄၆ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 15256346/{{worldpop}}*100 round 2}}0% |style="text-align:left;"|[http://www.ansd.sn Official annual projection] |- |၇၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ချဒ်နိုင်ငံ}} |၁၄,၉၀၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 14900000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၇၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဇင်ဘာဘွေနိုင်ငံ}} |၁၄,၅၄၂,၂၃၅ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 14542235/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160428150301/http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf |date=28 April 2016 }} |- |၇၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂီနီနိုင်ငံ}} |၁၃,၂၉၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 13291000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၇၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တောင်ဆူဒန်နိုင်ငံ}} |၁၂,၁၃၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 12131000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2016/01/weodata/index.aspx Official annual projection] |- |၇၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ရဝမ်ဒါနိုင်ငံ}} |၁၁,၈၀၉,၃၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 11809300/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf Official projection (medium scenario)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191212164943/http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf |date=12 December 2019 }} |- |၇၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆိုမာလီယာနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ပန့်လန်း]] နှင့် [[ဆိုမာလီလန်း]] တို့ ပါဝင်သည်။</ref> |၁၁,၃၉၂,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 11392000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၇၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘယ်လ်ဂျီယမ်နိုင်ငံ}} |၁၁,၃၆၂,၆၀၂ |မေ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 11362602/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ibz.rrn.fgov.be/fileadmin/user_upload/fr/pop/statistiques/stat-1-1_f.pdf Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141117082917/http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&language=en&pcode=tps00001&tableSelection=1&footnotes=yes&labeling=labels&plugin=1 |date=17 November 2014 }} |- |၇၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တူနီးရှားနိုင်ငံ}} |၁၁,၂၉၉,၄၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 11299400/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ins.tn/fr/themes/population#417 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160610170957/http://www.ins.tn/fr/themes/population#417 |date=10 June 2016 }} |- |၈၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဟေတီနိုင်ငံ}} |၁၁,၂၄၄,၇၇၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 11244774/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ihsi.ht/pdf/projection/ProjectionsPopulation_Haiti_2007.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150219001450/http://ihsi.ht/pdf/projection/ProjectionsPopulation_Haiti_2007.pdf |date=19 February 2015 }} |- |၈၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကျူးဘားနိုင်ငံ}} |၁၁,၂၃၉,၂၂၄ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 11239004/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.one.cu/publicaciones/cepde/indicadoresdemograficos/anual/2_tabla_1.pdf Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170731034341/http://www.one.cu/publicaciones/cepde/indicadoresdemograficos/anual/2_tabla_1.pdf |date=31 July 2017 }} |- |၈၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘိုလီးဗီးယားနိုင်ငံ}} |၁၁,၁၄၅,၇၇၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 11145770/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[https://web.archive.org/web/20110924073930/http://www.ine.gob.bo/ Official Estimate] |- |၈၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂရိနိုင်ငံ}} |၁၀,၇၈၃,၇၄၈ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 10783748/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210110002613/http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- |date=10 January 2021 }} |- |၈၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘီနင်နိုင်ငံ}} |၁၀,၆၅၃,၆၅၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 10653654/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insae-bj.org/Migration.html?file=files/stats-demographiques/STATISTIQUES%20DEMOGRAPHIQUES.xlsx Official projection] |- |၈၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ချက်သမ္မတနိုင်ငံ}} |၁၀,၅၇၉,၀၆၇ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 10579067/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[https://www.czso.cz/csu/czso/population Official quarterly estimate] |- |၈၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘူရွန်ဒီနိုင်ငံ}} |၁၀,၄၀၀,၉၃၈ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 10400938/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071528/http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf |date=3 April 2019 }} |- |၈၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ပေါ်တူဂီနိုင်ငံ}} |၁၀,၃၀၉,၅၇၃ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 10341330/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[https://www.ine.pt/xportal/xmain?xpgid=ine_main&xpid=INE Annual official estimate] |- |၈၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဒိုမီနီကန်သမ္မတနိုင်ငံ}} |၁၀,၁၆၉,၁၇၂ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr:10169172/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074831/http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 |date=25 May 2017 }} |- |၈၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စုနိုင်ငံ}} |၁၀,၁၄၅,၃၁၂ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 10145312/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2016/01/weodata/index.aspx Official annual projection] |- |၉၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆွီဒင်နိုင်ငံ}} |{{data Sweden|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Sweden, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.scb.se/hitta-statistik/statistik-efter-amne/befolkning/befolkningens-sammansattning/befolkningsstatistik/#_Nyckeltal Official Population Clock] |- |၉၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ}} |{{data Jordan|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Jordan, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://web.dos.gov.jo/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171019205734/http://web.dos.gov.jo/ |date=19 October 2017 }} |- |၉၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အဇာဘိုင်ဂျန်နိုင်ငံ}} |၉,၈၂၃,၆၆၇ |မတ် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 9823667/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://stat.gov.az/xeber/index.php?id=3526 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074833/http://stat.gov.az/xeber/index.php?id=3526 |date=25 May 2017 }} |- |၉၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဟန်ဂေရီနိုင်ငံ}} |၉,၇၉၉,၀၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 9799000/{{worldpop}}*100 round 2}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ksh.hu/gyorstajekoztatok/#/en/document/nep1612 Annual official estimate] |- |၉၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘီလာရုဇ်နိုင်ငံ}} |၉,၄၉၈,၆၀၀ |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 9498600/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.belstat.gov.by/en/ Quarterly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191101195839/http://www.belstat.gov.by/en/ |date=1 November 2019 }} |- |၉၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဟွန်ဒူးရပ်စ်နိုင်ငံ}} |၈,၈၆၆,၃၅၁ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 8866351/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.gob.hn/images/Productos%20ine/censo/Censo%202013/Proyecciones/Proyecciones%20Ine%202017.xlsx Official annual projection] |- |၉၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဩစတြီးယားနိုင်ငံ}} |၈,၇၈၃,၁၉၈ |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 8783198/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistik.at/web_de/statistiken/bevoelkerung/bevoelkerungsstand_und_veraenderung/bevoelkerung_zu_jahres-_quartalsanfang/023582.html Quarterly provisional figure] |- |၉၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တာဂျစ်ကစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၈,၇၄၂,၀၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 8742000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.tj/en Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120306125630/http://www.stat.tj/en/ |date=6 March 2012 }} |- |၉၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အစ္စရေးနိုင်ငံ}} |{{data Israel|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Israel, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.cbs.gov.il/reader/cw_usr_view_Folder?ID=141 Official population clock] |- |၉၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆွစ်ဇာလန်နိုင်ငံ}} |၈,၄၁၇,၇၀၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 8417700/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://www.bfs.admin.ch/bfs/en/home/statistics/population.html Quarterly provisional figure] |- |၁၀၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ပါပူအာနယူးဂီနီနိုင်ငံ}} |၈,၁၅၁,၃၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 8151300/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170716183647/http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics |date=16 July 2017 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဟောင်ကောင်}}'' ''([[တရုတ်နိုင်ငံ]])'' |၇,၃၇၄,၉၀၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 7374900/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.censtatd.gov.hk/m/o.jsp Official estimate] |- |၁၀၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တိုဂိုနိုင်ငံ}} |၇,၁၇၈,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 7178000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat-togo.org/index.php/thematiques/statistiques-demographiques/32-thematiques/statistiques-demographiques/etat-structure/79-perspectives-demo Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150908020603/http://www.stat-togo.org/index.php/thematiques/statistiques-demographiques/32-thematiques/statistiques-demographiques/etat-structure/79-perspectives-demo |date=8 September 2015 }} |- |၁၀၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘူဂေးရီးယားနိုင်ငံ}} |၇,၁၀၁,၈၅၉ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 7101859/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.nsi.bg/en/content/15001/%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%8A%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5/population-and-demographic-processes-2016 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180625083115/http://www.nsi.bg/en/content/15001/%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%8A%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5/population-and-demographic-processes-2016 |date=25 June 2018 }} |- |၁၀၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆီရာလီယွန်နိုင်ငံ}} |၇,၀၇၅,၆၄၁ |ဒီဇင်ဘာ ၄၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 7075641/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://www.statistics.sl/wp-content/uploads/2016/06/2015-Census-Provisional-Result.pdf Preliminary 2015 census result] |- |၁၀၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆားဘီးယားနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ကိုဆိုဗို]] မပါဝင်ပါ။</ref> |၇,၀၅၈,၃၂၂ |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 7076372/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.gov.rs/WebSite/public/PublicationView.aspx?pKey=41&pLevel=1&pubType=2&pubKey=4225 Annual official estimate] |- |၁၀၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ပါရာဂွေးနိုင်ငံ}} |၆,၉၅၃,၆၄၆ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 6953646/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.dgeec.gov.py/Publicaciones/Biblioteca/proyeccion%20nacional/Estimacion%20y%20proyeccion%20Nacional.pdf Official estimate] |- |၁၀၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အယ်ဆာဗေဒိုနိုင်ငံ}} |၆,၅၈၁,၉၄၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 6581940/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.digestyc.gob.sv/index.php/temas/des/ehpm/publicaciones-ehpm.html?download=488%3Aestimaciones-y-proyecciones-de-poblacion Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200422071030/http://www.digestyc.gob.sv/index.php/temas/des/ehpm/publicaciones-ehpm.html?download=488%3Aestimaciones-y-proyecciones-de-poblacion |date=22 April 2020 }} |- |၁၀၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လာအိုနိုင်ငံ}} |၆,၄၉၂,၄၀၀ |မတ် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 6492400/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.lsb.gov.la/ Preliminary 2015 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200318122158/https://www.lsb.gov.la/ |date=18 March 2020 }} |- |၁၀၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လစ်ဗျားနိုင်ငံ}} |၆,၃၈၅,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 6385000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2016/01/weodata/index.aspx Official annual projection] |- |၁၀၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နီကာရာဂွါနိုင်ငံ}} |၆,၂၆၂,၇၀၃ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 6262703/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.bcn.gob.ni/publicaciones/periodicidad/anual/nicaragua_cifras/nicaragua_cifras.pdf Official estimate] |- |၁၁၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကာဂျစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၆,၁၄၀,၂၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 6140200/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://stat.kg/ru/publications/doklad-socialno-ekonomicheskoe-polozhenie-kyrgyzskoj-respubliki// Official estimate] |- |၁၁၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လက်ဘနွန်နိုင်ငံ}} |၅,၉၈၈,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 5988000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၁၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ}} |၅,၇၅၆,၁၇၀ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 5756170/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.dst.dk/en/Statistik/emner/befolkning-og-befolkningsfremskrivning/folketal.aspx Quarterly official estimate] |- |၁၁၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|စင်ကာပူနိုင်ငံ}} |၅,၆၀၇,၃၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 5607300/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.singstat.gov.sg/statistics/latest-data#16 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151129094649/http://www.singstat.gov.sg/statistics/latest-data#16 |date=29 November 2015 }} |- |၁၁၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဖင်လန်နိုင်ငံ}} |၅,၅၀၅,၅၇၅ |ဧပြီ ၃၀၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 5505575/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://tilastokeskus.fi/til/vamuu/index_en.html Monthly official estimate] |- |၁၁၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အီရီထရီးယားနိုင်ငံ}} |၅,၄၈၂,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 5482000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၁၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆလိုဗက်ကီးယားနိုင်ငံ}} |၅,၄၃၅,၃၄၃ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 5435343/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://slovak.statistics.sk/wps/portal/ext/themes/demography/population/news/!ut/p/b1/jZTZlqo4FIafpR7AQ8LMZRhkClEIIHDjwlkQUUERnr6pWvZF9Vllda5g8f3svb8QmIxJmOycP477vD3W5_z0eZ-JS1-yZVWFCMhqzAJbIgF0fd90IT8C6QiAHxYCX3nk-z7FcQzMmJ0Cm4MmIFEEwFR65d8A3-uTwAB2iOZm4PAQ8AKzYJIifap67e0NpO46zhyApqupMDm0XZQE1KMnQQfKECt-NAln62FfWF5zW6XEERcPG1PVMm7n8ipJFyeT0kwVo6Vcc2mykkPkcXVvqpXK6tPcQrOA7p3t03I4OOirgyeKQG5cCpfuUKnb9bK6zB_SZMnFgCu6j4_XbG-af-dGFV95zUQWL2EAZGwKwEZWFCg-xwHE_b-9eVPgWx6omAO241JiaVPWjIT_9v838Jmf0jmLFN7U9GA2vj7UWJlikQUAvvJvgHd5U_wlb4q_zb9gsi_kncEv4N3n-9uQ2dtdDMVfAPVf4Kc5IumXHkYPxKqrLUObkklHVPqxWCAwIZMAfkmL_mIP5RAUQ0C8IQKksJ_AgJiGSUjCqUNaFxLjCoAecWHUuuPzjujZjLTJfBMHkYq0yizdNeMw2XFV_enW1R_wR4EsLyqyKIxtjdccExcpLxmN3ekGffhXr28Wtbjd8z5oq1mXSXwtmfEMl4pzUn0vDqnoQjbuhmN2OV90dEjzCbvRbnCGEoTnhwz1VamdtQBzTYnEQ5gF6qpoFl2jNlp5vAWbyp_icjhvdlH4kNiksjb6dCtfDyBc5LeTtsiHx2zY5OfnpMRSe93qx2GSw5y4VUBWbVQLi1UiXF0Z9HTQjYXnkBN769BzaQ-DuEx6FXt0smg-XqJ_OhtQ-ks06Po21AAxOgAjSEj0iEfRNm0dQowWgyLqiXEipJg9qQEg3cxfopFnS8j8LlqSJcBJksyzvCIK3Kfo9Si69kbRSQDzPZgeTnuKb2Dha4cSGJ4-3w9t45yVfpqhTaxw4V0EWyVw9A6h1abt-6xoZGHVEXDHe9MUrQc612GpoSHd0l0T4N2ySds7wtAhbj0eDeEuE5OGblucIrdUfHVtyK0MLwHcNZNL7HXxtXNJFPskaLl-f7tfr06F_Xg5rMwnNfVqW8-0AliYTYX8oj1Dx2mBWZ4sheCrsMH35jZZJ4TrJqfPn-mliqKH-7mwGBiBsUNQ5qpH9Q-27BTH/dl4/d5/L2dBISEvZ0FBIS9nQSEh/ Official estimate] |- |၁၁၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နော်ဝေနိုင်ငံ}} |၅,၂၆၇,၁၄၆ |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 5267146/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://ssb.no/en/forside?hide-from-left-menu=true&language-code=en&menu-root-alternative-language=true Quarterly official estimate] |- |၁၁၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဗဟိုအာဖရိကသမ္မတနိုင်ငံ}} |၅,၀၉၉,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 5099000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၁၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကော့စတာရီကာနိုင်ငံ}} |၄,၈၉၀,၃၇၉ |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4890379/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.inec.go.cr/ Official estimate] |- | - |style="text-align:left;font-style:italic"|{{flaglist|ပါလက်စတိုင်း}} |၄,၈၁၆,၅၀၃ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4816503/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.pcbs.gov.ps/Portals/_Rainbow/Documents/gover_e.htm Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140608204943/http://www.pcbs.gov.ps/Portals/_Rainbow/Documents/gover_e.htm |date=8 June 2014 }} |- |၁၂၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နယူးဇီလန်နိုင်ငံ}} |{{data New Zealand|poptoday 1}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data New Zealand, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |style="text-align:left;"|[http://www.stats.govt.nz/methods_and_services/population_clock.aspx Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100604223109/http://www.stats.govt.nz/methods_and_services/population_clock.aspx |date=4 June 2010 }} |- |၁၂၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အိုင်ယာလန်နိုင်ငံ}} |၄,၇၅၇,၉၇၆ |ဇူလိုင် ၁၄၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4757976/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.cso.ie/en/releasesandpublications/ep/p-cpr/censusofpopulation2016-preliminaryresults/ Preliminary 2016 census result] |- |၁၂၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တာ့ခ်မင်နစ္စတန်နိုင်ငံ}} |၄,၇၅၁,၁၂၀ |ဒီဇင်ဘာ ၂၆၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 4751120 /{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.chrono-tm.org/2015/02/rezultatyi-perepisi-naseleniya-v-turkmenistane/ Preliminary 2012 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150226075305/http://www.chrono-tm.org/2015/02/rezultatyi-perepisi-naseleniya-v-turkmenistane/ |date=26 February 2015 }} |- |၁၂၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကွန်ဂိုသမ္မတနိုင်ငံ}} |၄,၇၄၁,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4741000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၂၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အိုမန်နိုင်ငံ}} |၄,၅၇၃,၀၇၅ |ဖေဖော်ဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 4573075/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ncsi.gov.om/Pages/NCSI.aspx Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161009234648/https://www.ncsi.gov.om/Pages/NCSI.aspx |date=9 October 2016 }} |- |၁၂၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ခရိုအေးရှားနိုင်ငံ}} |၄,၁၅၄,၂၁၃ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4154213/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.dzs.hr/Eng/system/first_results.htm#MIG Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170705025245/http://www.dzs.hr/Eng/system/first_results.htm#MIG |date=5 July 2017 }} |- |၁၂၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကူဝိတ်နိုင်ငံ}} |၄,၁၃၂,၄၁၅ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4132415/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://www.csb.gov.kw/Default_EN.aspx Official estimate] |- |၁၂၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လိုက်ဘေးရီးယားနိုင်ငံ}} |၄,၀၇၆,၅၃၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 4076530/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.lisgis.net/pg_img/Population%20Projection%20final%20110512.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224150241/http://www.lisgis.net/pg_img/Population%20Projection%20final%20110512.pdf |date=24 February 2021 }} |- |၁၂၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ပနားမားနိုင်ငံ}} |၃,၈၁၄,၆၇၂ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 3814672/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://www.gacetaoficial.gob.pa/pdfTemp/26837_B/33812.pdf Official estimate] |- |၁၂၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မော်ရီတေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၃,၇၁၈,၆၇၈ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 3718678/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://web.archive.org/web/20150925151255/http://www.ons.mr/doc/publication/Projectionpopulation.pdf Annual official projection] |- |၁၃၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျော်ဂျီယာနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[အက်ဘ်ခါဇီယာ]] (၂၀၁၁ သန်းခေါင်စာရင်းအရ ၂၄၂,၈၆၂) နှင့် [[တောင်အော်ဆက်တီးယား]] (၂၀၁၅ သန်းခေါင်စာရင်းအရ ၅၃,၅၅၉) တို့ မပါဝင်ပါ။</ref> |၃,၇၁၈,၂၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 3718200/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.geostat.ge/index.php?action=page&p_id=152&lang=eng Annual official estimate] |- |၁၃၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မော်လ်ဒိုဗာနိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">[[ထရန်နစ္စတြီးယား]] (၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်းအရ ၅၀၅,၁၅၃) မပါဝင်ပါ။</ref> |၃,၅၅၀,၉၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 3550900/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistica.md/newsview.php?l=en&idc=168&id=5523 Official estimate] |- |၁၃၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘော့စနီးယားနှင့် ဟာဇီဂိုဗီးနားနိုင်ငံ}} |၃,၅၃၁,၁၅၉ |အောက်တိုဘာ ၁၅၊ ၂၀၁၃ |{{#expr: 3531159/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.popis2013.ba/popis2013/doc/Popis2013prvoIzdanje.pdf Final 2013 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171224103940/http://www.popis2013.ba/popis2013/doc/Popis2013prvoIzdanje.pdf |date=24 December 2017 }} |- |၁၃၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဥရုဂွေးနိုင်ငံ}} |၃,၄၉၃,၂၀၅ |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 3493204/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.gub.uy/web/guest/estimaciones-y-proyecciones Annual official projection] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ပေါ်တိုရီကိုနိုင်ငံ}}'' ''([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|U.S.]])'' |၃,၄၁၁,၃၀၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 3411307/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://www.census.gov/data/tables/2016/demo/popest/nation-total.html Official estimate] |- |၁၃၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မွန်ဂိုးလီးယားနိုင်ငံ}} |{{formatnum: {{#expr: (3000000+175*{{formatnum:{{Age in days|2015|1|24}}|R}}) round 0}}}} |{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTDAY}}၊ {{CURRENTYEAR}} |{{#expr: (3000000+175*{{formatnum:{{Age in days|2015|1|24}}|R}})/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.en.nso.mn/home Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170705050923/http://www.en.nso.mn/home |date=5 July 2017 }} |- |၁၃၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အာမေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၉၈၁,၅၀၀ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 2981500/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.armstat.am/en/?nid=126&id=19001&submit=Search Quarterly official estimate] |- |၁၃၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အယ်လ်ဘေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၈၇၆,၅၉၁ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 2876591/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.instat.gov.al/en/themes/population/publications/books/2017/population-of-albania,-1-januar-2017.aspx Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171016015101/http://www.instat.gov.al/en/themes/population/publications/books/2017/population-of-albania,-1-januar-2017.aspx |date=16 October 2017 }} |- |၁၃၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လစ်သူယေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၈၂၃,၆၁၈ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 2826534/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://osp.stat.gov.lt Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224040352/http://osp.stat.gov.lt/ |date=24 February 2021 }} |- |၁၃၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျမေကာနိုင်ငံ}} |၂,၇၃၀,၈၉၄ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 2723246/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://statinja.gov.jm/Demo_SocialStats/Newpopulation.aspx Official estimate] |- |၁၃၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကာတာနိုင်ငံ}} |၂,၆၇၅,၅၂၂ |ဇန်နဝါရီ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 2675522/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.mdps.gov.qa/en/Pages/default.aspx Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180701211726/https://www.mdps.gov.qa/en/Pages/default.aspx |date=1 July 2018 }} |- |၁၄၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နမီးဘီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၃၂၄,၃၈၈ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 2324388/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://cms.my.na/assets/documents/p19dn4fhgp14t5ns24g4p6r1c401.pdf Official projection] |- |၁၄၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘော့ဆွာနာနိုင်ငံ}} |၂,၂၃၀,၉၀၅ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 2230905/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.cso.gov.bw/images/projections_2011-2026.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160919171749/http://www.cso.gov.bw/images/projections_2011-2026.pdf |date=19 September 2016 }} |- |၁၄၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မက်စီဒိုးနီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၀၇၃,၇၀၂ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 2073702/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.gov.mk/OblastOpsto_en.aspx?id=2 Official estimate] |- |၁၄၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆလိုဗေးနီးယားနိုင်ငံ}} |၂,၀၆၅,၈၉၅ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 2065895/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.si/StatWeb/en Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210225093240/http://www.stat.si/StatWeb/en |date=25 February 2021 }} |- |၁၄၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လတ်ဗီယာနိုင်ငံ}} |၁,၉၃၉,၅၀၀ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 1939500/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.csb.gov.lv/en/statistikas-temas/population-key-indicators-30624.html Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130628214416/http://www.csb.gov.lv/en/statistikas-temas/population-key-indicators-30624.html |date=28 June 2013 }} |- |၁၄၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လီဆိုသိုနိုင်ငံ}} |၁,၉၁၆,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 1916000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.sadc.int/files/8214/5976/3644/SADC_SYB_2014__Excel_Ver_26_01_2016_-_Final_Draft.xlsx Official estimate] |- |၁၄၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂမ်ဘီယာနိုင်ငံ}} |၁,၈၈၂,၄၅၀ |ဧပြီ ၁၅၊ ၂၀၁၃ |{{#expr: 1882450/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Gambia.html Preliminary 2013 census result] |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|Kosovo}}<ref group="မှတ်စု">{{Kosovo-note}}</ref> |၁,၈၃၆,၉၇၈ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1836978/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[https://ask.rks-gov.net/ENG/publikimet/doc_download/1126-kosovo-population-projection-2011-2061 Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151018171339/http://ask.rks-gov.net/ENG/publikimet/doc_download/1126-kosovo-population-projection-2011-2061 |date=18 October 2015 }} |- |၁၄၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂါဘွန်နိုင်ငံ}} |၁,၈၁၁,၀၇၉ |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1811079/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.mays-mouissi.com/2016/07/01/gabon-demographie-repartition-de-population-province/ Estimate (press release)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525075419/https://www.mays-mouissi.com/2016/07/01/gabon-demographie-repartition-de-population-province/ |date=25 May 2017 }} |- |၁၄၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂီနီ-ဘီစောနိုင်ငံ}} |၁,၅၄၇,၇၇၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1547777/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat-guinebissau.com/publicacao/Projeccao_demografica.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202031343/http://www.stat-guinebissau.com/publicacao/Projeccao_demografica.pdf |date=2 February 2017 }} |- |၁၄၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘာရိန်းနိုင်ငံ}} |၁,၄၀၄,၉၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1404900/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.cio.gov.bh/cio_ara/English/Publications/Statistical%20Abstract/ABS2011/CH2/2013%2012%2019%20Bahrain%20%20Population%20Projections.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170206163647/http://www.cio.gov.bh/cio_ara/English/Publications/Statistical%20Abstract/ABS2011/CH2/2013%2012%2019%20Bahrain%20%20Population%20Projections.pdf |date=6 February 2017 }} |- |၁၅၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ထရီနီဒတ်နှင့် တိုဘက်ဂိုနိုင်ငံ}} |၁,၃၅၃,၈၉၅ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1353895/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://cso.gov.tt/ Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525033753/http://cso.gov.tt/ |date=25 May 2017 }} |- |၁၅၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အက်စတိုးနီးယားနိုင်ငံ}} |၁,၃၁၇,၇၉၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 1317797/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.ee/main-indicators Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121123153505/http://www.stat.ee/main-indicators |date=23 November 2012 }} |- |၁၅၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မောရစ်ရှနိုင်ငံ}} |၁,၂၆၃,၈၂၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1263820/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://statsmauritius.govmu.org/English/Publications/Pages/Pop_and_Vital_Stats_Yr16.aspx Official estimate] |- |၁၅၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အီကွေတာဂီနီနိုင်ငံ}} |၁,၂၂၂,၄၄၂ |ဇူလိုင် ၄၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 1222442/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/EquatorialGuinea.html Preliminary 2015 census result] |- |၁၅၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အရှေ့တီမောနိုင်ငံ}} |၁,၁၆၇,၂၄၂ |ဇူလိုင် ၁၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 1167242/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistics.gov.tl/wp-content/uploads/2015/10/1-Preliminary-Results-4-Printing-Company-19102015.pdf Preliminary 2015 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210225112143/http://www.statistics.gov.tl/wp-content/uploads/2015/10/1-Preliminary-Results-4-Printing-Company-19102015.pdf |date=25 February 2021 }} |- |၁၅၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆွာဇီလန်နိုင်ငံ}} |၁,၁၃၂,၆၅၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 1132657/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://ccm.org.sz/documents/reports/hiv/Population-Projections-Report-2007-2030.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150723224521/http://ccm.org.sz/documents/reports/hiv/Population-Projections-Report-2007-2030.pdf |date=23 July 2015 }} |- |၁၅၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂျီဘူတီနိုင်ငံ}} |၉၀၀,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 900000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၅၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဖီဂျီနိုင်ငံ}} |၈၆၉,၄၅၈ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 869458/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statsfiji.gov.fj/ Annual official estimate] |- |၁၅၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆိုက်ပရပ်စ်နိုင်ငံ}} |၈၄၈,၃၀၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 848300/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.mof.gov.cy/mof/cystat/statistics.nsf/dmlIndicator_main_gr/dmlIndicator_main_gr?OpenDocument Official estimate] |- |၁၅၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကိုမိုရိုနိုင်ငံ}} |၈၀၆,၁၅၃ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 806153/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://comoros.africadata.org/fr/DataAnalysis Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160111213747/http://comoros.africadata.org/fr/DataAnalysis |date=11 January 2016 }} |- |၁၆၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘူတန်နိုင်ငံ}} |{{formatnum: {{#expr: (72000+3.6*{{formatnum:{{Age in days|2012|4|16}}|R}}) round 0}}0}} |{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTDAY}}၊ {{CURRENTYEAR}} |{{#expr: (720000+36*{{formatnum:{{Age in days|2012|4|16}}|R}})/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.nsb.gov.bt/nsbweb/main/main.php Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160816082701/http://www.nsb.gov.bt/nsbweb/main/main.php |date=16 August 2016 }} |- |၁၆၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂိုင်ယာနာနိုင်ငံ}} |၇၄၆,၉၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |{{#expr: 746900/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160129030354/http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf |date=29 January 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|မကာအို}}'' ''([[တရုတ်နိုင်ငံ]])'' |၆၄၈,၃၀၀ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 648300/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.dsec.gov.mo/TimeSeriesDatabase.aspx?KeyIndicatorID=12 Official quarterly estimate] |- |၁၆၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆော်လမွန်ကျွန်းစု}} |၆၄၂,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 642000/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- |၁၆၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မွန်တီနီဂရိုးနိုင်ငံ}} |၆၂၂,၃၈၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 622387/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://www.monstat.org/eng/page.php?id=234&pageid=48 Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|အနောက်ဆဟာရ}}<ref group="မှတ်စု">နယ်မြေတစ်ခုလုံးရှိ အုပ်ချုပ်ရေးကို [[မော်ရိုကိုနိုင်ငံ]]နှင့် [[ဆာရာဝီ အာရပ် ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ]]အဖြစ် နှစ်ခုပိုင်းခြားထားသည်။</ref> |၅၈၄,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 584000/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၆၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လူဇင်ဘတ်နိုင်ငံ}} |၅၉၀,၆၆၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 590667/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistiques.public.lu/stat/TableViewer/tableView.aspx?ReportId=12857&IF_Language=eng&MainTheme=2&FldrName=1] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226225950/http://www.statistiques.public.lu/stat/TableViewer/tableView.aspx?ReportId=12857&IF_Language=eng&MainTheme=2&FldrName=1 |date=26 February 2021 }} |- |၁၆၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆူရာနမ်နိုင်ငံ}} |၅၄၁,၆၃၈ |ဩဂုတ် ၁၃၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 541638/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Suriname-Cities.html Final 2012 census result] |- |၁၆၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကိတ်ဗာဒီနိုင်ငံ}} |၅၃၁,၂၃၉ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 531239/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.cv/actualise/publicacao/files/615430153152013Retro-Projeccao%202000-2010%20e%20Projeccoes%20Demograficas%20%20CABO%20VERDE%202010-2030.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140910131550/http://www.ine.cv/actualise/publicacao/files/615430153152013Retro-Projeccao%202000-2010%20e%20Projeccoes%20Demograficas%20%20CABO%20VERDE%202010-2030.pdf |date=10 September 2014 }} |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|ထရန်နစ္စတြီးယား|state}}<ref group="မှတ်စု">လွတ်လပ်သော နိုင်ငံဟု ဆိုသော်လည်း [[မော်လ်ဒိုဗာနိုင်ငံ]]၏ တရားဝင် အစိတ်အပိုင်း။</ref> |၄၇၅,၆၆၅ |အောက်တိုဘာ ၁၅၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 475665/{{worldpop}}*100 round 3}}% |style="text-align:left;"|[http://gov-pmr.org/item/6831 Preliminary 2015 census result] |- |၁၆၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မော်လတာနိုင်ငံ}} |၄၂၉,၃၄၄ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 429344/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[https://nso.gov.mt/en/publicatons/Publications_by_Unit/Documents/C3_Population_and_Tourism_Statistics/Demographic_Review_2014.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074933/https://nso.gov.mt/en/publicatons/Publications_by_Unit/Documents/C3_Population_and_Tourism_Statistics/Demographic_Review_2014.pdf |date=25 May 2017 }} |- |၁၆၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘရူနိုင်းနိုင်ငံ}} |၄၁၇,၂၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 417200/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.depd.gov.bn/SitePages/National%20Statistics.aspx Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161111141102/http://www.depd.gov.bn/SitePages/National%20Statistics.aspx |date=11 November 2016 }} |- |၁၆၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘလိဇ်နိုင်ငံ}} |၃၈၀,၀၁၀ |အောက်တိုဘာ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 380010/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.sib.org.bz/ Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151204235026/http://www.sib.org.bz/ |date=4 December 2015 }} |- |၁၇၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘဟားမားနိုင်ငံ}} |၃၇၈,၀၄၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 378040/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.bahamas.gov.bs/wps/wcm/connect/22f9b2b0-68fa-4a26-8bd8-474952e42dc2/Population+Projection+Report+2010-2040.pdf?MOD=AJPERES Official projection] |- |၁၇၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မော်လဒိုက်နိုင်ငံ}} |၃၄၄,၀၂၃ |စက်တင်ဘာ ၂၀၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 344023/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://statisticsmaldives.gov.mv/nbs/wp-content/uploads/2015/10/Census-Summary-Tables1.pdf Preliminary 2014 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181222115837/http://statisticsmaldives.gov.mv/nbs/wp-content/uploads/2015/10/Census-Summary-Tables1.pdf |date=22 December 2018 }} |- |၁၇၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အိုက်စလန်နိုင်ငံ}} |၃၄၀,၁၁၀ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 340110/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://statice.is/publications/news-archive/population/population-in-the-4th-quarter-2016/ Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074947/http://statice.is/publications/news-archive/population/population-in-the-4th-quarter-2016/ |date=25 May 2017 }} |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|မြောက်ပိုင်းဆိုက်ပရပ်စ်နိုင်ငံ}}<ref group="မှတ်စု">လွတ်လပ်သော နိုင်ငံဟု ဆိုသော်လည်း [[ဆိုက်ပရပ်စ်နိုင်ငံ]]၏ တရားဝင်အစိတ်အပိုင်း။</ref> |၃၁၃,၆၂၆ |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 313626/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.devplan.org/Ecosos/BOOK/SEG-2014.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160108225108/http://www.devplan.org/Ecosos/BOOK/SEG-2014.pdf |date=8 January 2016 }} |- |၁၇၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဘာဘေးဒိုးစ်နိုင်ငံ }} |၂၈၅,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 285000/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၇၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဗနွားတူနိုင်ငံ}} |၂၇၇,၅၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 277500/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ပြင်သစ်ပိုလီနီးရှား}}'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]])'' |၂၇၁,၈၀၀ |ဒီဇငဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 271800/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ispf.pf/docs/default-source/publi-pr/polybref-2015.pdf?sfvrsn=6 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161022025439/http://www.ispf.pf/docs/default-source/publi-pr/polybref-2015.pdf?sfvrsn=6 |date=22 October 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|နယူးကယ်လီဒိုးနီးယား}}'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]])'' |၂၆၈,၇၆၇ |ဩဂုတ် ၂၆၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 268767/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.isee.nc/population/recensement/structure-de-la-population-et-evolutions Preliminary 2014 census result] |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|အက်ဘ်ခါဇီယာ}}<ref group="မှတ်စု">{{Abkhazia note}}</ref> |၂၄၀,၇၀၅ |ဖေဖော်ဝါရီ ၂၈၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 240705/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://apsnypress.info/news/5084.html 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120209185131/http://apsnypress.info/news/5084.html |date=9 February 2012 }} |- |၁၇၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆမိုးအားနိုင်ငံ}} |၁၉၆,၃၁၅ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 196315/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.sbs.gov.ws/index.php/population-demography-and-vital-statistics Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403053500/http://www.sbs.gov.ws/index.php/population-demography-and-vital-statistics |date=3 April 2019 }} |- |၁၇၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆောင်တူမေးနှင့် ပရင်စီပီနိုင်ငံ}} |၁၈၇,၃၅၆ |မေ ၁၃၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 187356/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.ine.st/Documentacao/InformacoesEstatisticas/Demograficas/22.pdf 2012 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303180641/http://www.ine.st/Documentacao/InformacoesEstatisticas/Demograficas/22.pdf |date=3 March 2016 }} |- |၁၇၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|စိန့်လူစီယာနိုင်ငံ}} |၁၈၆,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 186000/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဂူအမ်}}'' ''([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|U.S.]])'' |၁၈၄,၂၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 184200/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ကျူရာဆိုး}}'' ''([[နယ်သာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ|နယ်သာလန်]])'' |၁၅၈,၉၈၆ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 158986/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.cbs.cw/website/statistical-information_229/item/population-tables_157.html Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074949/http://www.cbs.cw/website/statistical-information_229/item/population-tables_157.html |date=25 May 2017 }} |- | – |style="text-align:left;"|''[[File:Flag of Nagorno-Karabakh.svg|22px]]'' [[နာဂိုမို-ကရာဘက် သမ္မတနိုင်ငံ]]<ref group="မှတ်စု">လွတ်လပ်သောနိုင်ငံဟု ဆိုသော်လည်း [[အဇာဘိုင်ဂျန်နိုင်ငံ]]၏ တရားဝင် အစိတ်အပိုင်း။</ref> |၁၅၀,၉၃၂ |ဒီဇင်ဘာ ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 150932/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://stat-nkr.am/hy/2010-11-24-10-40-02/597--2015 Preliminary 2015 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160815080441/http://stat-nkr.am/hy/2010-11-24-10-40-02/597--2015 |date=15 August 2016 }} |- |၁၇၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ကီရီဘတ်စ်နိုင်ငံ}} |၁၁၃,၄၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 113400/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|အာရူးဗာ}}'' ''([[နယ်သာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ|နယ်သာလန်]])'' |၁၁၀,၁၀၈ |ဒီဇင်ဘာ ၂၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 110108/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://cbs.aw/wp/ Official quarterly estimate] |- |၁၇၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|စိန့်ဗင်းဆင့်နှင့်ဂရိနေဒိုင်နိုင်ငံ}} |၁၀၉,၉၉၁ |ဇွန် ၁၂၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 109991/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/StVincent.html Preliminary 2012 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|အမေရိကန် ဗာဂျင်အိုင်းလန်း}}'' ''([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|U.S.]])'' |၁၀၆,၀၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 106000/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |၁၈၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဂရီနေဒါနိုင်ငံ}} |၁၀၃,၃၂၈ |မေ ၁၂၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 103328/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.geohive.com/cntry/grenada.aspx 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120614004809/http://www.geohive.com/cntry/grenada.aspx |date=14 June 2012 }} |- |၁၈၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တုံဂါနိုင်ငံ}} |၁၀၃,၂၅၂ |နိုဝင်ဘာ ၃၀၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 103252/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/prism/tonga/index.php?option=com_advlisting&view=download&fileId=304&Itemid=301 2011 census result] |- |၁၈၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မိုက်ခရိုနီးရှားနိုင်ငံ}} |၁၀၂,၈၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 102800/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဂျာဇီ}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၁၀၂,၇၀၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 102700/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.gov.je/SiteCollectionDocuments/Government%20and%20administration/R%20Population%20Estimate%202015%2020160621%20SU.pdf Annual official estimate] |- |၁၈၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆေးရှဲနိုင်ငံ}} |၉၄,၂၀၅ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 94205/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.nbs.gov.sc/downloads?task=document.viewdoc&id=104 Official estimate] |- |၁၈၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အင်တီဂွါနှင့် ဘာဘူဒါနိုင်ငံ}} |၈၆,၂၉၅ |မေ ၂၇၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 86295/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Antigua.html Preliminary 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|မမ်းကျွန်း}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၈၃,၃၁၄ |ဧပြီ ၂၄၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 83314/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[https://www.gov.im/media/1355784/2016-isle-of-man-census-report.pdf 2016 census result] |- |၁၈၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|အင်ဒိုရာနိုင်ငံ}} |၇၈,၂၄၆ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 78264/{{worldpop}}*100 round 4}}% |style="text-align:left;"|[http://www.estadistica.ad/serveiestudis/web/banc_dades4.asp?lang=1&codi_tema=2&codi_divisio=8&codi_subtemes=8 Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074953/http://www.estadistica.ad/serveiestudis/web/banc_dades4.asp?lang=1&codi_tema=2&codi_divisio=8&codi_subtemes=8 |date=25 May 2017 }} |- |၁၈၆ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဒိုမီနီကာနိုင်ငံ}} |၇၁,၂၉၃ |မေ ၁၄၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 71293/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.dominica.gov.dm/cms/files/2011_census_report.pdf Preliminary 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190608104411/http://www.dominica.gov.dm/cms/files/2011_census_report.pdf |date=8 June 2019 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဂန်းစီးနိုင်ငံ}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၆၂,၇၂၃ |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 62723/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[https://www.gov.gg/CHttpHandler.ashx?id=105766&p=0 Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဗမျူဒါး}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၆၁,၉၅၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |{{#expr: 61954/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160129030354/http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf |date=29 January 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ကေမန်ကျွန်းစု}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၆၀,၄၁၃ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 60413/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.eso.ky/populationandvitalstatistics.html#1 Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|အမေရိကန်ဆမိုးအား}}'' ''([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|U.S.]])'' |၅၇,၁၀၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 57100/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|မြောက်မာရီယာနာကျွန်းစု}}'' ''([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|U.S.]])'' |၅၆,၉၄၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 56940/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဂရင်းလန်း}}'' ''([[ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ]])'' |၅၆,၄၈၃ |စက်တင်ဘာ ၁၄၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 56186/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.stat.gl/dialog/main.asp?lang=en&version=201603&sc=BE&subthemecode=O1&colcode=O Annual official estimate] |- |၁၈၇ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မာရှယ်အိုင်းလန်း နိုင်ငံ}} |၅၄,၈၈၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 54880/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|{{flaglist|တောင်အော်ဆက်တီးယား}}<ref group="မှတ်စု">{{South Ossetia-note}}</ref> |၅၃,၅၃၂ |အောက်တိုဘာ ၁၅၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 53532/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://cominf.org/node/1166509275 Preliminary 2015 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဖရိုးကျွန်းစု}}'' ''([[ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ]])'' |၅၀,၀၄၅ |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၇ |{{#expr: 50045/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.hagstova.fo/en Monthly official estimate] |- |၁၈၈ |style="text-align:left;"|{{flaglist|စိန့်ကစ်နှင့် နီးဗစ်နိုင်ငံ}} |၄၆,၂၀၄ |မေ ၁၅၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 46204/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/StKittsNevis.html 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|Sint Maarten}}'' ''([[နယ်သာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ|နယ်သာလန်]])'' |၃၉,၄၁၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 39410/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://stat.gov.sx/ Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160930004308/http://stat.gov.sx/ |date=30 September 2016 }} |- |၁၈၉ |style="text-align:left;"|{{flaglist|လစ်တန်စတိန်းနိုင်ငံ}} |၃၇,၈၁၅ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 37815/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.llv.li/#/1124/bevolkerungsstatistik--juni Semi annual official estimate] |- |၁၉၀ |style="text-align:left;"|{{flaglist|မိုနာကိုနိုင်ငံ}} |၃၇,၅၅၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 37550/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.monacostatistics.mc/News/Population-officielle-2015 Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''[[File:Flag of Saint-Martin (local).svg|22px]]'' ''[[စိန့်မာတင်]]'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]])'' |၃၆,၄၅၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 36457/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/com.asp?dep=978 Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဂျီဘရောလ်တာနိုင်ငံ}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၃၃,၁၄၀ |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၄ |{{#expr: 33140/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Gibraltar.html Annual official estimate] |- |၁၉၁ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဆန်မာရီနိုနိုင်ငံ}} |၃၃,၁၂၁ |စက်တင်ဘာ ၃၀၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 33121/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.statistica.sm/on-line/en/home/statistics/population.html# Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200326182005/https://www.statistica.sm/on-line/en/home/statistics/population.html |date=26 March 2020 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|တာ့ခ်နှင့် ကေးကို့စ်ကျွန်းများ}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၃၁,၄၅၈ |ဇန်နဝါရီ ၂၅၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 31458/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/TurksCaicos.html 2012 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဗြိတိသျှ ဗာဂျင်အိုင်းလန်း}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၂၈,၅၁၄ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |{{#expr: 28514/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160129030354/http://www.caricomstats.org/Files/Databases/vital%20statistics/Midyear_Population.pdf |date=29 January 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''[[File:Flag of Bonaire.svg|22px]]'' ''[[ဘိုနီအာ]]'' ''([[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]])'' |၁၈,၉၀၅ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 18905/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/NedAntillen.html Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ကွတ်ကျွန်းစု}} ([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]])'' |၁၈,၁၀၀ |မတ် ၁၊ ၂၀၁၆ |{{#expr: 18100/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.mfem.gov.ck/images/documents/Statistics_Docs/2.Social/Population_Estimates__Vital_Statistics/2016/BDM_Statistics_Report_201601.pdf Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074956/http://www.mfem.gov.ck/images/documents/Statistics_Docs/2.Social/Population_Estimates__Vital_Statistics/2016/BDM_Statistics_Report_201601.pdf |date=25 May 2017 }} |- |၁၉၂ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ပလောင်းနိုင်ငံ}} |၁၇,၉၅၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 17950/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|အန်ဂီလာ}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၁၃,၄၅၂ |မေ ၁၁၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 13452/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Anguilla.html Preliminary 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဝေါလစ်နှင့်ဖူကျူးနား|local}}'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]])'' |၁၁,၇၅၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 11750/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- |၁၉၃ |style="text-align:left;"|{{flaglist|တူဗားလူနိုင်ငံ}} |၁၀,၆၄၀ |နိုဝင်ဘာ ၄၊ ၂၀၁၂ |{{#expr: 10640/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Tuvalu.html 2012 census result] |- |၁၉၄ |style="text-align:left;"|{{flaglist|နအူရူးနိုင်ငံ}} |၁၀,၀၈၄ |အောက်တိုဘာ ၃၀၊ ၂၀၁၁ |{{#expr: 10084/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/prism/nauru/PublicDocuments/Census/Nauru_2011_Census_Report_FINAL.pdf 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|Saint Barthélemy|local}}'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]])'' |၉,၄၁၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |{{#expr: 9417/{{worldpop}}*100 round 5}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/com.asp?dep=977 Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|Saint Pierre and Miquelon|local}}'' ''([[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]) '' |၆,၂၈၆ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |0.0000{{#expr: 6286/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/com.asp?dep=975 Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"| ''[[File:Flag of Saint Helena.svg|22px]]'' ''[[စိန့်ဟယ်လယ်နာ၊ အစန်းရှင်း နှင့် ထွစ်စတန်ဒါကူနှာ|စိန့်ဟယ်လယ်နာ၊ အစန်းရှင်း နှင့်<br>ထွစ်စတန် ဒါကူနှာ]]'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၅,၆၃၃ |ဖေဖော်ဝါရီ ၇၊ ၂၀၁၆ |0.0000{{#expr: 5633/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.sainthelena.gov.sh/wp-content/uploads/2016/06/Census-2016-summary-report.pdf 2016 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161017192624/http://www.sainthelena.gov.sh/wp-content/uploads/2016/06/Census-2016-summary-report.pdf |date=17 October 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|မွန်ဆာရတ်}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၄,၉၂၂ |မေ ၁၂ဝ ၂၀၁၁ |0.0000{{#expr: 4922/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.gov.ms/wp-content/uploads/2011/02/Montserrat-At-A-Glance.pdf 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071254/http://www.gov.ms/wp-content/uploads/2011/02/Montserrat-At-A-Glance.pdf |date=3 April 2019 }} |- | – |style="text-align:left;"|''[[File:Flag of Sint Eustatius.svg|22px]]'' ''[[Sint Eustatius]]'' ''([[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]])'' |၃,၈၇၇ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |0.0000{{#expr: 3877/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/NedAntillen.html Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ဖော့ကလန်ကျွန်းစု}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၂,၅၆၃ |ဧပြီ ၁၅၊ ၂၀၁၂ |0.0000{{#expr: 2563/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.falklands.gov.fk/our-people 2012 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|နောဖုတ်ကျွန်း}}'' ''([[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]])'' |၂,၃၀၂ |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |0.0000{{#expr: 2302/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Norfolk_Island/report.pdf 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303200110/http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Norfolk_Island/report.pdf |date=3 March 2016 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ခရစ္စမတ်ကျွန်း}}'' ''([[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]])'' |၂,၀၇၂ |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |0.0000{{#expr: 2072/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Australia-Agglo.html 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''[[File:Flag of Saba.svg|22px]]'' ''[[Saba]]'' ''([[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]])'' |၁,၈၁၁ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |0.0000{{#expr: 1811/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/NedAntillen.html Official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|နျူးရယ်နိုင်ငံ}} ([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]])'' |၁,၄၇၀ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |0.0000{{#expr: 1470/{{worldpop}}*100*100000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.spc.int/sdd/images/documents/Pocket_Summary/2015_Pocket-Statistical-Summary.pdf Annual official estimate] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|တိုကလောင်}}'' ''([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]])'' |၁,၄၁၁ |အောက်တိုဘာ ၁၈၊ ၂၀၁၁ |0.0000{{#expr: 1411/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Tokelau/report.pdf 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120815034343/http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Tokelau/report.pdf |date=15 August 2012 }} |- |၁၉၅ |style="text-align:left;"|{{flaglist|ဗာတီကန်စီးတီး}} |၈၀၀ |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၄ |0.0000{{#expr: 800/{{worldpop}}*100*1000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.vaticanstate.va/content/vaticanstate/es/stato-e-governo/note-generali/popolazione.html Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202031317/http://www.vaticanstate.va/content/vaticanstate/es/stato-e-governo/note-generali/popolazione.html |date=2 February 2017 }} |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ကိုကိုး(ကီးလင်း) ကျွန်းများ}}'' ''([[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]])'' |၅၅၀ |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |0.00000{{#expr: 550/{{worldpop}}*100*10000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[http://www.citypopulation.de/Australia-Agglo.html 2011 census result] |- | – |style="text-align:left;"|''{{flaglist|ပစ်ကိန်ကျွန်းစု}}'' ''([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])'' |၅၇ |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၄ |0.000000{{#expr: 57/{{worldpop}}*100*100000000 round 0}}% |style="text-align:left;"|[[:en:Pitcairn Islands#Historical population|တရားဝင် ခန့်မှန်း]] <!-- Please do not add territories that have no permanent population. For instance, as of 31 May 2016, the official website of South Georgia & the South Sandwich Islands (http://www.gov.gs/information/about-sgssi/) states that "There are no permanent residents in the Territory." Also as of 31 May 2016, the official website of the French Southern and Antarctic Lands (http://www.taaf.fr/The-French-Southern-and-Antarctic-Lands) states that "The TAAF do not have any permanent population." --> |} == အခြားကြည့်ရန် == * [[လူဦးရေအလိုက် တိုက်ကြီးများ စာရင်း]] * [[ဘာသာရေးလူဦးရေ စာရင်း]] * [[ကမ္ဘာ့လူဦးရေ]] ==မှတ်စုများ== {{reflist|group="မှတ်စု"}} ==ကိုးကား== {{reflist|35em}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== *[https://www.un.org/esa/population/publications/WPP2004/WPP2004_Volume3.htm United Nations Analytical Report for the 2004 revision of World Population Prospects] (the analytical report for the 2006 revision is not available online)&nbsp;— includes details of methodology and sources used for the population estimates above. [[Category:လူဦးရေအလိုက် နိုင်ငံများ စာရင်း]] e3tzjieqfl6u7oytq89q8k6hhuln802 4 81613 1048716 868934 2026-08-14T12:53:04Z Myanmar Wik 103978 /* Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း */ အပိုင်းသစ် 1048716 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{လက်ဖက်ရည်ဆိုင် ခေါင်းစီး|အဆိုပြုချက်များ| အကြံဉာဏ်သစ်များနှင့် အဆိုပြုချက်အသစ်များကို ဤနေရာတွင် ဆွေးနွေးပါသည်။ ''အဆိုပြုချက် မတင်သွင်းမီ'': * သင့်အဆိုပြုချက်ကို ပိုမိုကောင်းမွန်အောင် [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)]]မှာ ဆွေးနွေးကြည့်ဖို့ စဉ်းစားပါ။ * '''ဆော့ဖ်ဝဲလ်''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[phabricator:|Phabricator]] သို့ သွားပါ။ (configuration changes should have [[meta:Requesting wiki configuration changes|gained a consensus]]). * '''မူဝါဒ''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ * '''ဝီကီအသစ်များ'''အတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[meta:Proposals for new projects]] သို့ သွားပါ။ <!-- * '''ဆောင်းပါးအသစ်များ''' အဆိုပြုခြင်းအတွက် [[Wikipedia:Requested articles]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ --> <!-- Villagepumppages intro end -->|WP:VPR|WP:VP/PR|WP:VPPRO|WP:PROPS}}__NEWSECTIONLINK__ {{anchor|below_toc}} [[Category:ဝီကီပီးဒီးယား လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]] </noinclude> <!-- မေးခွန်းအသစ်များကို ကျေးဇူးပြု၍ စာမျက်နှာ အောက်ဆုံးတွင် ရေးသားပါ။ မေးခွန်းမေးမြန်းရန် အလွယ်ကူဆုံးနည်းလမ်းမှာ စာမျက်နှာအပေါ်ဖက်နားရှိ "ဆွေးနွေးချက်အသစ်" ကိုနှိပ်နိုင်ပါသည်။ --> == to activate patroller and autopatroller groups == {{Tracked|T341026|resolved}} ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေရဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေ ဖန်တီးမှုကို [[ဝီကီပီးဒီးယား:အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း|အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးကြောင်း]] မှတ်သားနိုင်မယ့် '''အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူများ '''(autopatroller) နဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေကို ဆန်းစစ်သုံးသပ်ပေးနိုင်မယ့် '''စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးသူများ''' (patroller) အခွင့်အရေးအုပ်စု နှစ်ခုကို ဒီဝီကီမှာ ဖန်တီးဖို့ အဆိုပြုပါတယ်။ လတ်တလောမှာ စာမျက်နှာသစ်တွေကို စီမံခန့်ခွဲသူများကသာ စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပေးနေတာဖြစ်ပြီး စီမံခန့်ခွဲသူအရေအတွက်နဲ့ စာမျက်နှာသစ်အရေအတွက်နဲ့ မမျှဘူးလို့ မြင်မိတဲ့အတွက် ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေကို အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း အခွင့်အရေးပေးဖို့ ဆောင်ရွက်လိုရခြင်းပါ။ ဒါ့အပြင် ဒီအခွင့်အရေးအုပ်စုနှစ်ခုကို စီမံခန့်ခွဲသူ တစ်ဦးဦးကနေ ပေးအပ်ခြင်း/ဖယ်ရှားခြင်း ပြုလုပ်နိုင်မှာ ဖြစ်ပါတယ်။ တခြားဝီကီတော်တော်များများမှာလဲ ဒီအုပ်စုနှစ်ခုက ရှိထားကြပါတယ်။ အဆိုပြုချက်နဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးစရာ၊ ကန့်ကွက်စရာများရှိရင် ပြောပေးသွားကြပါဦး။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၁၈၊ ၂၇ ဇွန် ၂၀၂၃ (UTC) == Portal နှင့် Draft အမည်ညွှန်း ထည့်သွင်းရန် == {{Tracked|T352424|Resolved}} မင်္ဂလာပါ။ မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ အသုံးပြုဖို့ Portal နဲ့ Draft ထပ်တိုးအမည်ညွှန်းနှစ်ခုကို အဆိုပြုလိုပါတယ်။ Portal ကို <strike>"မုခ်ဦး"</strike> "မုခ်ဝ" နဲ့ Draft ကို "စာမူကြမ်း" လို့ ပြန်ဆိုဖို့ စဉ်းစားထားပါတယ်။ [[ဝီကီပီးဒီးယား:Article_wizard]] ကလည်း အဆင်ပြေပြီမို့ရယ်၊ Portal: နဲ့ စထားတဲ့ စာမျက်နှာတွေက ပင်မအမည်ညွှန်းထဲ ရောက်နေတာရယ်ကြောင့်ပါ။ ဆွေးနွေးသုံးသပ်ပေးကြပါဦး။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၄၊ ၂၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ (UTC) :-<small>Edited Portal localization on ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃</small> :အဆိုပြုချက်ကို ထောက်ခံပါတယ်။ :I support your suggestion. [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၆၊ ၁၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) :မုခ်ဝ တို့  မုခ်ဦး စတဲ့ စကားရပ်တွေက တည်နေရာပြအညွှန်း တစ်နည်းဆိုရရင် အထူးတလည် တည်ဆောက်ပြုလုပ်ထားတဲ့  အဆောက်အဦ တစ်ခုရဲ့ ဝင်ပေါက် ကို ဖော်ပြတာလို့ သိနားလည်ထားပါတယ်။ :ဥပမာ  မြစ်ဝတို့ ပင်လယ်ဝတို့ လူဖန်တီးထားတာမျိုး မဟုတ်ဘဲ သဘာဝအရဖြစ်တည်တာဆိုရင် မြစ်၊ပင်လယ် စတဲ့ အရာဝတ္ထုရဲ့ နောက်မှာ “ဝ” စာလုံးကပ်ပါလာတာမျိုး၊ လူဖန်တီးထားတာမျိုးဆိုရင် “ဦး” စကားလုံး ကပ်ပါလာ ဆိုတာမျိုး မြန်မာစကားရပ်မှာ သုံးကြတာ တွေ့ရပါတယ်။Portal ဆိုတဲ့ စကားရပ်ကို  မုခ်ဦး လို့ပဲ ခေါ်ခေါ်၊မုခ်ဝ လို့ ပဲ သုံးသုံး အဆင်ပြေပါတယ်။မြန်မာလို အလွယ်ပြောရင် မုခ်ဝ က ပိုခေါ်ဝေါ်လို့ သင့်တော်မလားပဲ။ စာမူကြမ်းကတော့ အထူးတလည် ဆွေးနွေးဖို့ မရှိပါဘူး ခင်ဗျာ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၂၈၊ ၂၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) == မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား မွေးနေ့ == {{Archive top||status =resolved|result ='''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' အား မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်သည့် ရက်အဖြစ် ရွေးချယ်}} မြန်မာဝီကီစတင်ခဲ့တာကို အကြမ်းဖျင်းအနေနဲ့ [[ဆွေးနွေးချက်:ဗဟိုစာမျက်နှာ/မော်ကွန်း ၃#Proposal to make changes for Home Page|ဇူလိုင် ၂၀၀၄ လို့ သတ်မှတ်ထားပါတယ်]]။ စတင်ခဲ့တဲ့ ရက်ကို ရက်စွဲအတိအကျလေးနဲ့ သတ်မှတ်ထားရင် ကောင်းမလားလို့ပါ။ Anniversary လေးဘာလေး လုပ်လို့လဲရတာပေါ့။ {{smiley|7}} အောက်မှာ မြန်မာဝီကီရဲ့ အဟောင်းဆုံး နေ့စွဲတွေကို ဖော်ပြထားပါတယ်။ ကျေးဇူးပြုပြီး မွေးနေ့အနေနဲ့ တစ်ရက်ရက်ကို ရွေးချယ်ပေးကြပါဦး။ * ၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၀၂‎ - [https://my.wikipedia.org/w/?oldid=1 ပထမဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%96%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA:My_mainpage.png&oldid=1459 ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ တည်းဖြတ်မှု] * ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄‎ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC&oldid=1511 ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ အဟောင်းဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၀၅ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AE%E1%80%9C%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%85%E1%80%BA&oldid=5215 ပထမဆုံးဆောင်းပါး] ကျွန်တော့ အနေနဲ့ဆိုရင် ပထမသတ်မှတ်ထားကြတဲ့ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ နဲ့လဲ ကိုက်ညီအောင် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံး ရက်စွဲ '''၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄''' ကိုတော့ ရွေးချယ်ချင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၄:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ပထမဦးဆုံးစီမံခန့်ခွဲသူ ရဲ့ တည်းဖြတ်မှု ရက်ကိုပါ ထည့်သွင်း စဉ်းစားသင့်တယ်လို့ မြင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::@[[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]]; အကောင့်ဝင်ထားတဲ့ အသုံးပြုသူရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်နေ့ကို ယူမလားလို့ စဉ်းစားမိသေးတယ်။ ဒါဆိုရင် [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=Main_Page&action=history ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄] ရယ်၊ ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ က တည်းဖြတ်မူရယ် ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။ ဒီလိုဆိုရင် အသုံးပြုသူ တစ်ဦးတစ်ယောက်အပေါ် မူတည်ပြီး ဆုံးဖြတ်သလို ဖြစ်နေမလားလို့ တွေးမိတာမို့ ဝီကီတစ်ခုရဲ့ အရေးကြီး စာမျက်နှာဖြစ်တဲ့ ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်ရက်စွဲကိုပဲ ယူဖို့ စဉ်းစားလိုက်တာပါ။ အရင်တခြား အသုံးပြုသူတွေ ပြောထားသလို ဇူလိုင် ၂၀၀၄ ဆိုတာနဲ့လဲ ထပ်တူကျအောင်လို့ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၄:၀၀၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ ကို ကျနော် မသိလိုက်ဘူး။ဒါဆိုရင် ၃၀ ဇူလိုင် က အကောင်းဆုံးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၄၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::::၈ ဇူလိုင်နဲ့ အမှတ်မှားသွားလို့။ ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ တော့မဟုတ်ဘူး။ ၂၁ ဧပြီ ၂၀၀၄‎ ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၅၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::::ကျွန်တော် အကြံပြုချင်ပါတယ် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံးတည်းဖြတ် ရက်စွဲကိုပဲ အတည်ပြုစေချင်ပါတယ် ဝီကီတိုင်းမှာ ဗဟိုစာမျက်နှာတွေ ပါစမြဲမို့ အားလုံးနဲ့လည်းသက်ဆိုင်တယ်လို့ ယူဆမိလို့ပါ [[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၀၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့က ကောင်းမယ်လို့ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၂၃:၃၁၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ဗဟိုစာမျက်နှာက ဝီကီစာမျက်နှာတိုင်းရဲ့ အဓိကမလို့ ၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄ခုနှစ် ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့ကို ရွေးချယ်တာ ကောင်းမွန်မယ်လို့ ထင်မိပါတယ်။ --[[အသုံးပြုသူ:Shin Khant Maung|Shin Khant Maung]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Shin Khant Maung|ဆွေးနွေး]]) ၀၁:၄၈၊ ၂၆ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :ဆွေးနွေးချက် စတင်ပြီး ၁၀ ရက်ကျော်ကြာပြီးတဲ့နောက် အများသဘောတူတဲ့ '''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' ကို မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်တဲ့နေ့ (မွေးနေ့) အဖြစ် သတ်မှတ်လိုက်ပါတယ်။ ရွေးချယ်ပေးကြတာ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၃၄၊ ၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ (UTC) {{Archive bottom}} == နရန္ဒြာ လား၊ နရန်ဒရာ လား။ == [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]] ဆောင်းပါး၊ https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%92%E1%80%AD%E1%80%9A%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6&diff=prev&oldid=865768 မှာ @[[အသုံးပြုသူ:ThuRaNaing8888|ThuRaNaing8888]]ကနေ '''နရန္ဒြာ''' ကနေ '''နရန်ဒရာ''' ကို ပြောင်းခဲ့ပါတယ်။ အသံထွက်အားဖြင့် နှစ်ခုစလုံးမှန်ကန်တယ်လို့ ကျနော်ထင်ပါတယ်။ အဓိကဆွေးနွေးချင်တဲ့ အကြောင်းကတော့ ပါဠိဆန်တဲ့ စကားလုံးကိုသုံးကြမလား၊ အရပ်သုံး တိုက်ရိုက်ရေးပုံကို သုံးကြမလား ဆိုတဲ့အချက်ပါပဲ။ ပါဠိစာမွေးဖွားလာတဲ့မြေဖြစ်တဲ့ အိန္ဒိယဆိုင်ရာ အမည်စကားလုံးတွေကို အသံဖလှယ်ရာမှာ အရင်အယ်ဒီတာတော်တော်များများကတော့ ပါဠိရေးဟန်ကို သုံးထားတာတွေ့ရပါတယ်။ အထူးသဖြင့် ပြည်နယ်အမည် အသံဖလှယ်စကားလုံးများကို ကြည့်ပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Dhawell.hlugalay|Dhawell.hlugalay]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dhawell.hlugalay|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၄၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :ပါဠိနဲ့ပတ်သက်တာဆို အိန္ဒိယနာမည်တွေအပြင် ထိုင်းနာမည်တွေပါ ထည့်ပြောရမယ်ထင်တယ်။ ပုံမှန်အားဖြင့်တော့ အများသုံးတဲ့ (အထူးသဖြင့် မီဒီယာတွေ) အမည်တွေကို ယူမယ်လို့ [[WP:CRITERIA|သတ်မှတ်ထားတာတော့]] ရှိတယ်။ ပါဠိတွေဆိုရင် ဘယ်လိုရေးမလဲဆိုတဲ့ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ပါဠိအမည်များ|သတ်မှတ်ချက်]]လဲ လုပ်ထားတယ်။ ဒါပေမယ့် တစ်ယောက်တစ်မျိုးစီ၊ မီဒီယာတစ်ခု တစ်မျိုးရေးနေတာတွေ ဖြစ်နေတော့ ကျနော်ဆိုလဲ ဘယ်ဟာကို ပင်မခေါင်းစဉ်ထားရမလဲဆိုတာ ဒွိဟဖြစ်နေဆဲပါပဲ။ အများသဘောတူပြီး သတ်မှတ်ထားလိုက်ရင်တော့ criteria တစ်ခုရှိသွားရင် ဒီဟာအတိုင်း ရှေ့ဆက်သွားရုံပါပဲ။ တချို့က မူရင်းဘာသာစကားအသံထွက်အတိုင်း အတိအကျ ရေးလိုတာရှိသလို မြန်မာ့အသံထွက်နဲ့ နီးစပ်တာကို ရေးချင်တာလဲရှိတယ်။ နိုင်ငံခြားဘာသာစကားအမည်တွေနဲ့ ပတ်သက်ရင် ခုထိ ဆုံးဖြတ်ရခက်နေတုန်းပါပဲ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၃၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :Narindra နာမည်ရဲ့ အဓိပ္ပါယ်က သက္ကတစကားလုံး နှစ်ခု [https://www.behindthename.com/name/narendra nara + indra] ပေါင်းထားပါတယ်။ :Nara - [https://dictionary.sutta.org/browse/n/nara/ နရ] :Indra - အိန္ဒြာ (သိကြားမင်း) :ပါဠိမှာ သက္ကတစကားလုံးရဲ့ "r" တွေကို ထည့်လည့် မရှိပါဘူး။ အာ့ကြောင့် Indra က Inda ([https://dictionary.sutta.org/browse/i/inda/ ဣန္ဒ] ) ဖြစ်ပါတယ်။ :မြန်မာ orthography အရ ကြ သည် kra ဖြစ်ပါတယ်။ r သံကို y သံပြောင်းနေလို့သာပါ.​ :ဥပမာ - တြိဂံ - trigam, စကြာ + ဝဠာ sakra-vala :ကံကြမ္မာ စကားလုံးက သက္ကတ နှင့် ပါဠိ အရော ဖြစ်ပါတယ်။ ကံ က ပါဠိ kamma ဖြစ်ပြီး၊ ကြမ္မာက karma ဖြစ်ပါတယ်။ ကံကံ ပေါ့။ :D :Narandra Modi ကို ပြန်သွားမယ်ဆိုရင် - နရ + ဣန္ဒြာ ကို ပေါင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် >>>> နရိန္ဒြာ ဖြစ်သင့်ပါတယ်။ ဣ = အိ [[အသုံးပြုသူ:Salai Rungtoi|Salai Rungtoi]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Salai Rungtoi|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၄၇၊ ၂၈ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) == Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း == မင်္ဂလာပါAdmin များခင်ဗျာ၊ ​ကျွန်တော်သည် မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားတွင် ပုဂ္ဂိုလ်ရေး အတ္ထုပ္ပတ္တိများ၊ သမိုင်း၊ ပထဝီဝင်၊ အထွေထွေဗဟုသုတနှင့် ပညာရေးဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးများကို အဓိကထား ရေးသားတည်းဖြတ်နေသူ ဖြစ်ပါသည်။ ထို့အပြင် Infobox template များတွင် တွေ့ရတတ်သော နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အမှားများကိုလည်း စစ်ဆေးပြုပြင်ပေးလျက် ရှိပါသည်။ ​လက်ရှိတွင် ကျွန်တော့်အကောင့်မှာ သက်တမ်း ၄ နှစ်ခန့်ရှိပြီဖြစ်ပြီး တည်းဖြတ်မှုအကြိမ်ရေ ၅၀၀ ကျော် ရှိနေပြီ ဖြစ်ပါသည်။ Admin များ၏ စစ်ဆေးရမည့် အလုပ်ဝန်ကို လျော့ကျစေရန်နှင့် ကျွန်တော့်အနေဖြင့်လည်း ပိုမိုတွင်ကျယ်စွာ ဆောင်းပါးအသစ်များ ဆက်လက်ရေးသားနိုင်ရန်အတွက် 'အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူ (Autopatrolled)' အခွင့်အရေးကို တောင်းဆိုအပ်ပါသည်။ ကျွန်တော့်၏ တည်းဖြတ်မှုမှတ်တမ်းများနှင့် ဆောင်းပါးများကို စစ်ဆေး၍ ခွင့်ပြုပေးပါရန် မေတ္တာရပ်ခံအပ်ပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:Myanmar Wik|Myanmar Wik]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Myanmar Wik|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၅၃၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) 3e4qurmu48c43u8lhfca3mjy1qk66x9 1048725 1048716 2026-08-14T15:58:11Z Dr Lotus Black 31011 /* Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1048725 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{လက်ဖက်ရည်ဆိုင် ခေါင်းစီး|အဆိုပြုချက်များ| အကြံဉာဏ်သစ်များနှင့် အဆိုပြုချက်အသစ်များကို ဤနေရာတွင် ဆွေးနွေးပါသည်။ ''အဆိုပြုချက် မတင်သွင်းမီ'': * သင့်အဆိုပြုချက်ကို ပိုမိုကောင်းမွန်အောင် [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)]]မှာ ဆွေးနွေးကြည့်ဖို့ စဉ်းစားပါ။ * '''ဆော့ဖ်ဝဲလ်''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[phabricator:|Phabricator]] သို့ သွားပါ။ (configuration changes should have [[meta:Requesting wiki configuration changes|gained a consensus]]). * '''မူဝါဒ''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ * '''ဝီကီအသစ်များ'''အတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[meta:Proposals for new projects]] သို့ သွားပါ။ <!-- * '''ဆောင်းပါးအသစ်များ''' အဆိုပြုခြင်းအတွက် [[Wikipedia:Requested articles]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ --> <!-- Villagepumppages intro end -->|WP:VPR|WP:VP/PR|WP:VPPRO|WP:PROPS}}__NEWSECTIONLINK__ {{anchor|below_toc}} [[Category:ဝီကီပီးဒီးယား လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]] </noinclude> <!-- မေးခွန်းအသစ်များကို ကျေးဇူးပြု၍ စာမျက်နှာ အောက်ဆုံးတွင် ရေးသားပါ။ မေးခွန်းမေးမြန်းရန် အလွယ်ကူဆုံးနည်းလမ်းမှာ စာမျက်နှာအပေါ်ဖက်နားရှိ "ဆွေးနွေးချက်အသစ်" ကိုနှိပ်နိုင်ပါသည်။ --> == to activate patroller and autopatroller groups == {{Tracked|T341026|resolved}} ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေရဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေ ဖန်တီးမှုကို [[ဝီကီပီးဒီးယား:အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း|အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးကြောင်း]] မှတ်သားနိုင်မယ့် '''အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူများ '''(autopatroller) နဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေကို ဆန်းစစ်သုံးသပ်ပေးနိုင်မယ့် '''စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးသူများ''' (patroller) အခွင့်အရေးအုပ်စု နှစ်ခုကို ဒီဝီကီမှာ ဖန်တီးဖို့ အဆိုပြုပါတယ်။ လတ်တလောမှာ စာမျက်နှာသစ်တွေကို စီမံခန့်ခွဲသူများကသာ စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပေးနေတာဖြစ်ပြီး စီမံခန့်ခွဲသူအရေအတွက်နဲ့ စာမျက်နှာသစ်အရေအတွက်နဲ့ မမျှဘူးလို့ မြင်မိတဲ့အတွက် ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေကို အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း အခွင့်အရေးပေးဖို့ ဆောင်ရွက်လိုရခြင်းပါ။ ဒါ့အပြင် ဒီအခွင့်အရေးအုပ်စုနှစ်ခုကို စီမံခန့်ခွဲသူ တစ်ဦးဦးကနေ ပေးအပ်ခြင်း/ဖယ်ရှားခြင်း ပြုလုပ်နိုင်မှာ ဖြစ်ပါတယ်။ တခြားဝီကီတော်တော်များများမှာလဲ ဒီအုပ်စုနှစ်ခုက ရှိထားကြပါတယ်။ အဆိုပြုချက်နဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးစရာ၊ ကန့်ကွက်စရာများရှိရင် ပြောပေးသွားကြပါဦး။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၁၈၊ ၂၇ ဇွန် ၂၀၂၃ (UTC) == Portal နှင့် Draft အမည်ညွှန်း ထည့်သွင်းရန် == {{Tracked|T352424|Resolved}} မင်္ဂလာပါ။ မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ အသုံးပြုဖို့ Portal နဲ့ Draft ထပ်တိုးအမည်ညွှန်းနှစ်ခုကို အဆိုပြုလိုပါတယ်။ Portal ကို <strike>"မုခ်ဦး"</strike> "မုခ်ဝ" နဲ့ Draft ကို "စာမူကြမ်း" လို့ ပြန်ဆိုဖို့ စဉ်းစားထားပါတယ်။ [[ဝီကီပီးဒီးယား:Article_wizard]] ကလည်း အဆင်ပြေပြီမို့ရယ်၊ Portal: နဲ့ စထားတဲ့ စာမျက်နှာတွေက ပင်မအမည်ညွှန်းထဲ ရောက်နေတာရယ်ကြောင့်ပါ။ ဆွေးနွေးသုံးသပ်ပေးကြပါဦး။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၄၊ ၂၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ (UTC) :-<small>Edited Portal localization on ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃</small> :အဆိုပြုချက်ကို ထောက်ခံပါတယ်။ :I support your suggestion. [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၆၊ ၁၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) :မုခ်ဝ တို့  မုခ်ဦး စတဲ့ စကားရပ်တွေက တည်နေရာပြအညွှန်း တစ်နည်းဆိုရရင် အထူးတလည် တည်ဆောက်ပြုလုပ်ထားတဲ့  အဆောက်အဦ တစ်ခုရဲ့ ဝင်ပေါက် ကို ဖော်ပြတာလို့ သိနားလည်ထားပါတယ်။ :ဥပမာ  မြစ်ဝတို့ ပင်လယ်ဝတို့ လူဖန်တီးထားတာမျိုး မဟုတ်ဘဲ သဘာဝအရဖြစ်တည်တာဆိုရင် မြစ်၊ပင်လယ် စတဲ့ အရာဝတ္ထုရဲ့ နောက်မှာ “ဝ” စာလုံးကပ်ပါလာတာမျိုး၊ လူဖန်တီးထားတာမျိုးဆိုရင် “ဦး” စကားလုံး ကပ်ပါလာ ဆိုတာမျိုး မြန်မာစကားရပ်မှာ သုံးကြတာ တွေ့ရပါတယ်။Portal ဆိုတဲ့ စကားရပ်ကို  မုခ်ဦး လို့ပဲ ခေါ်ခေါ်၊မုခ်ဝ လို့ ပဲ သုံးသုံး အဆင်ပြေပါတယ်။မြန်မာလို အလွယ်ပြောရင် မုခ်ဝ က ပိုခေါ်ဝေါ်လို့ သင့်တော်မလားပဲ။ စာမူကြမ်းကတော့ အထူးတလည် ဆွေးနွေးဖို့ မရှိပါဘူး ခင်ဗျာ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၂၈၊ ၂၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) == မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား မွေးနေ့ == {{Archive top||status =resolved|result ='''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' အား မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်သည့် ရက်အဖြစ် ရွေးချယ်}} မြန်မာဝီကီစတင်ခဲ့တာကို အကြမ်းဖျင်းအနေနဲ့ [[ဆွေးနွေးချက်:ဗဟိုစာမျက်နှာ/မော်ကွန်း ၃#Proposal to make changes for Home Page|ဇူလိုင် ၂၀၀၄ လို့ သတ်မှတ်ထားပါတယ်]]။ စတင်ခဲ့တဲ့ ရက်ကို ရက်စွဲအတိအကျလေးနဲ့ သတ်မှတ်ထားရင် ကောင်းမလားလို့ပါ။ Anniversary လေးဘာလေး လုပ်လို့လဲရတာပေါ့။ {{smiley|7}} အောက်မှာ မြန်မာဝီကီရဲ့ အဟောင်းဆုံး နေ့စွဲတွေကို ဖော်ပြထားပါတယ်။ ကျေးဇူးပြုပြီး မွေးနေ့အနေနဲ့ တစ်ရက်ရက်ကို ရွေးချယ်ပေးကြပါဦး။ * ၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၀၂‎ - [https://my.wikipedia.org/w/?oldid=1 ပထမဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%96%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA:My_mainpage.png&oldid=1459 ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ တည်းဖြတ်မှု] * ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄‎ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC&oldid=1511 ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ အဟောင်းဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၀၅ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AE%E1%80%9C%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%85%E1%80%BA&oldid=5215 ပထမဆုံးဆောင်းပါး] ကျွန်တော့ အနေနဲ့ဆိုရင် ပထမသတ်မှတ်ထားကြတဲ့ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ နဲ့လဲ ကိုက်ညီအောင် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံး ရက်စွဲ '''၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄''' ကိုတော့ ရွေးချယ်ချင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၄:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ပထမဦးဆုံးစီမံခန့်ခွဲသူ ရဲ့ တည်းဖြတ်မှု ရက်ကိုပါ ထည့်သွင်း စဉ်းစားသင့်တယ်လို့ မြင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::@[[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]]; အကောင့်ဝင်ထားတဲ့ အသုံးပြုသူရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်နေ့ကို ယူမလားလို့ စဉ်းစားမိသေးတယ်။ ဒါဆိုရင် [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=Main_Page&action=history ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄] ရယ်၊ ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ က တည်းဖြတ်မူရယ် ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။ ဒီလိုဆိုရင် အသုံးပြုသူ တစ်ဦးတစ်ယောက်အပေါ် မူတည်ပြီး ဆုံးဖြတ်သလို ဖြစ်နေမလားလို့ တွေးမိတာမို့ ဝီကီတစ်ခုရဲ့ အရေးကြီး စာမျက်နှာဖြစ်တဲ့ ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်ရက်စွဲကိုပဲ ယူဖို့ စဉ်းစားလိုက်တာပါ။ အရင်တခြား အသုံးပြုသူတွေ ပြောထားသလို ဇူလိုင် ၂၀၀၄ ဆိုတာနဲ့လဲ ထပ်တူကျအောင်လို့ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၄:၀၀၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ ကို ကျနော် မသိလိုက်ဘူး။ဒါဆိုရင် ၃၀ ဇူလိုင် က အကောင်းဆုံးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၄၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::::၈ ဇူလိုင်နဲ့ အမှတ်မှားသွားလို့။ ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ တော့မဟုတ်ဘူး။ ၂၁ ဧပြီ ၂၀၀၄‎ ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၅၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::::ကျွန်တော် အကြံပြုချင်ပါတယ် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံးတည်းဖြတ် ရက်စွဲကိုပဲ အတည်ပြုစေချင်ပါတယ် ဝီကီတိုင်းမှာ ဗဟိုစာမျက်နှာတွေ ပါစမြဲမို့ အားလုံးနဲ့လည်းသက်ဆိုင်တယ်လို့ ယူဆမိလို့ပါ [[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၀၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့က ကောင်းမယ်လို့ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၂၃:၃၁၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ဗဟိုစာမျက်နှာက ဝီကီစာမျက်နှာတိုင်းရဲ့ အဓိကမလို့ ၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄ခုနှစ် ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့ကို ရွေးချယ်တာ ကောင်းမွန်မယ်လို့ ထင်မိပါတယ်။ --[[အသုံးပြုသူ:Shin Khant Maung|Shin Khant Maung]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Shin Khant Maung|ဆွေးနွေး]]) ၀၁:၄၈၊ ၂၆ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :ဆွေးနွေးချက် စတင်ပြီး ၁၀ ရက်ကျော်ကြာပြီးတဲ့နောက် အများသဘောတူတဲ့ '''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' ကို မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်တဲ့နေ့ (မွေးနေ့) အဖြစ် သတ်မှတ်လိုက်ပါတယ်။ ရွေးချယ်ပေးကြတာ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၃၄၊ ၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ (UTC) {{Archive bottom}} == နရန္ဒြာ လား၊ နရန်ဒရာ လား။ == [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]] ဆောင်းပါး၊ https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%92%E1%80%AD%E1%80%9A%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6&diff=prev&oldid=865768 မှာ @[[အသုံးပြုသူ:ThuRaNaing8888|ThuRaNaing8888]]ကနေ '''နရန္ဒြာ''' ကနေ '''နရန်ဒရာ''' ကို ပြောင်းခဲ့ပါတယ်။ အသံထွက်အားဖြင့် နှစ်ခုစလုံးမှန်ကန်တယ်လို့ ကျနော်ထင်ပါတယ်။ အဓိကဆွေးနွေးချင်တဲ့ အကြောင်းကတော့ ပါဠိဆန်တဲ့ စကားလုံးကိုသုံးကြမလား၊ အရပ်သုံး တိုက်ရိုက်ရေးပုံကို သုံးကြမလား ဆိုတဲ့အချက်ပါပဲ။ ပါဠိစာမွေးဖွားလာတဲ့မြေဖြစ်တဲ့ အိန္ဒိယဆိုင်ရာ အမည်စကားလုံးတွေကို အသံဖလှယ်ရာမှာ အရင်အယ်ဒီတာတော်တော်များများကတော့ ပါဠိရေးဟန်ကို သုံးထားတာတွေ့ရပါတယ်။ အထူးသဖြင့် ပြည်နယ်အမည် အသံဖလှယ်စကားလုံးများကို ကြည့်ပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Dhawell.hlugalay|Dhawell.hlugalay]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dhawell.hlugalay|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၄၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :ပါဠိနဲ့ပတ်သက်တာဆို အိန္ဒိယနာမည်တွေအပြင် ထိုင်းနာမည်တွေပါ ထည့်ပြောရမယ်ထင်တယ်။ ပုံမှန်အားဖြင့်တော့ အများသုံးတဲ့ (အထူးသဖြင့် မီဒီယာတွေ) အမည်တွေကို ယူမယ်လို့ [[WP:CRITERIA|သတ်မှတ်ထားတာတော့]] ရှိတယ်။ ပါဠိတွေဆိုရင် ဘယ်လိုရေးမလဲဆိုတဲ့ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ပါဠိအမည်များ|သတ်မှတ်ချက်]]လဲ လုပ်ထားတယ်။ ဒါပေမယ့် တစ်ယောက်တစ်မျိုးစီ၊ မီဒီယာတစ်ခု တစ်မျိုးရေးနေတာတွေ ဖြစ်နေတော့ ကျနော်ဆိုလဲ ဘယ်ဟာကို ပင်မခေါင်းစဉ်ထားရမလဲဆိုတာ ဒွိဟဖြစ်နေဆဲပါပဲ။ အများသဘောတူပြီး သတ်မှတ်ထားလိုက်ရင်တော့ criteria တစ်ခုရှိသွားရင် ဒီဟာအတိုင်း ရှေ့ဆက်သွားရုံပါပဲ။ တချို့က မူရင်းဘာသာစကားအသံထွက်အတိုင်း အတိအကျ ရေးလိုတာရှိသလို မြန်မာ့အသံထွက်နဲ့ နီးစပ်တာကို ရေးချင်တာလဲရှိတယ်။ နိုင်ငံခြားဘာသာစကားအမည်တွေနဲ့ ပတ်သက်ရင် ခုထိ ဆုံးဖြတ်ရခက်နေတုန်းပါပဲ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၃၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :Narindra နာမည်ရဲ့ အဓိပ္ပါယ်က သက္ကတစကားလုံး နှစ်ခု [https://www.behindthename.com/name/narendra nara + indra] ပေါင်းထားပါတယ်။ :Nara - [https://dictionary.sutta.org/browse/n/nara/ နရ] :Indra - အိန္ဒြာ (သိကြားမင်း) :ပါဠိမှာ သက္ကတစကားလုံးရဲ့ "r" တွေကို ထည့်လည့် မရှိပါဘူး။ အာ့ကြောင့် Indra က Inda ([https://dictionary.sutta.org/browse/i/inda/ ဣန္ဒ] ) ဖြစ်ပါတယ်။ :မြန်မာ orthography အရ ကြ သည် kra ဖြစ်ပါတယ်။ r သံကို y သံပြောင်းနေလို့သာပါ.​ :ဥပမာ - တြိဂံ - trigam, စကြာ + ဝဠာ sakra-vala :ကံကြမ္မာ စကားလုံးက သက္ကတ နှင့် ပါဠိ အရော ဖြစ်ပါတယ်။ ကံ က ပါဠိ kamma ဖြစ်ပြီး၊ ကြမ္မာက karma ဖြစ်ပါတယ်။ ကံကံ ပေါ့။ :D :Narandra Modi ကို ပြန်သွားမယ်ဆိုရင် - နရ + ဣန္ဒြာ ကို ပေါင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် >>>> နရိန္ဒြာ ဖြစ်သင့်ပါတယ်။ ဣ = အိ [[အသုံးပြုသူ:Salai Rungtoi|Salai Rungtoi]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Salai Rungtoi|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၄၇၊ ၂၈ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) == Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း == မင်္ဂလာပါAdmin များခင်ဗျာ၊ ​ကျွန်တော်သည် မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားတွင် ပုဂ္ဂိုလ်ရေး အတ္ထုပ္ပတ္တိများ၊ သမိုင်း၊ ပထဝီဝင်၊ အထွေထွေဗဟုသုတနှင့် ပညာရေးဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးများကို အဓိကထား ရေးသားတည်းဖြတ်နေသူ ဖြစ်ပါသည်။ ထို့အပြင် Infobox template များတွင် တွေ့ရတတ်သော နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အမှားများကိုလည်း စစ်ဆေးပြုပြင်ပေးလျက် ရှိပါသည်။ ​လက်ရှိတွင် ကျွန်တော့်အကောင့်မှာ သက်တမ်း ၄ နှစ်ခန့်ရှိပြီဖြစ်ပြီး တည်းဖြတ်မှုအကြိမ်ရေ ၅၀၀ ကျော် ရှိနေပြီ ဖြစ်ပါသည်။ Admin များ၏ စစ်ဆေးရမည့် အလုပ်ဝန်ကို လျော့ကျစေရန်နှင့် ကျွန်တော့်အနေဖြင့်လည်း ပိုမိုတွင်ကျယ်စွာ ဆောင်းပါးအသစ်များ ဆက်လက်ရေးသားနိုင်ရန်အတွက် 'အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူ (Autopatrolled)' အခွင့်အရေးကို တောင်းဆိုအပ်ပါသည်။ ကျွန်တော့်၏ တည်းဖြတ်မှုမှတ်တမ်းများနှင့် ဆောင်းပါးများကို စစ်ဆေး၍ ခွင့်ပြုပေးပါရန် မေတ္တာရပ်ခံအပ်ပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:Myanmar Wik|Myanmar Wik]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Myanmar Wik|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၅၃၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) :You seems to deserve auto patrolled user status that means you had more responsibility, I hope you do more meaningful contributions in Myanmar wiki [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၅၈၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) oj8cofcq4mwqtzt8tid384i4uslqyjd 1048728 1048725 2026-08-14T16:44:54Z Myanmar Wik 103978 /* Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1048728 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{လက်ဖက်ရည်ဆိုင် ခေါင်းစီး|အဆိုပြုချက်များ| အကြံဉာဏ်သစ်များနှင့် အဆိုပြုချက်အသစ်များကို ဤနေရာတွင် ဆွေးနွေးပါသည်။ ''အဆိုပြုချက် မတင်သွင်းမီ'': * သင့်အဆိုပြုချက်ကို ပိုမိုကောင်းမွန်အောင် [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (အိုင်ဒီယာ)]]မှာ ဆွေးနွေးကြည့်ဖို့ စဉ်းစားပါ။ * '''ဆော့ဖ်ဝဲလ်''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[phabricator:|Phabricator]] သို့ သွားပါ။ (configuration changes should have [[meta:Requesting wiki configuration changes|gained a consensus]]). * '''မူဝါဒ''' ပြောင်းလဲမှုများအတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)|လက်ဖက်ရည်ဆိုင် (မူဝါဒ)]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ * '''ဝီကီအသစ်များ'''အတွက် အဆိုပြုလိုပါက [[meta:Proposals for new projects]] သို့ သွားပါ။ <!-- * '''ဆောင်းပါးအသစ်များ''' အဆိုပြုခြင်းအတွက် [[Wikipedia:Requested articles]] တွင် ပြုလုပ်ပါ။ --> <!-- Villagepumppages intro end -->|WP:VPR|WP:VP/PR|WP:VPPRO|WP:PROPS}}__NEWSECTIONLINK__ {{anchor|below_toc}} [[Category:ဝီကီပီးဒီးယား လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]] </noinclude> <!-- မေးခွန်းအသစ်များကို ကျေးဇူးပြု၍ စာမျက်နှာ အောက်ဆုံးတွင် ရေးသားပါ။ မေးခွန်းမေးမြန်းရန် အလွယ်ကူဆုံးနည်းလမ်းမှာ စာမျက်နှာအပေါ်ဖက်နားရှိ "ဆွေးနွေးချက်အသစ်" ကိုနှိပ်နိုင်ပါသည်။ --> == to activate patroller and autopatroller groups == {{Tracked|T341026|resolved}} ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေရဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေ ဖန်တီးမှုကို [[ဝီကီပီးဒီးယား:အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း|အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးကြောင်း]] မှတ်သားနိုင်မယ့် '''အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူများ '''(autopatroller) နဲ့ ဆောင်းပါးသစ်တွေကို ဆန်းစစ်သုံးသပ်ပေးနိုင်မယ့် '''စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးသူများ''' (patroller) အခွင့်အရေးအုပ်စု နှစ်ခုကို ဒီဝီကီမှာ ဖန်တီးဖို့ အဆိုပြုပါတယ်။ လတ်တလောမှာ စာမျက်နှာသစ်တွေကို စီမံခန့်ခွဲသူများကသာ စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပေးနေတာဖြစ်ပြီး စီမံခန့်ခွဲသူအရေအတွက်နဲ့ စာမျက်နှာသစ်အရေအတွက်နဲ့ မမျှဘူးလို့ မြင်မိတဲ့အတွက် ယုံကြည်ရတဲ့ အသုံးပြုသူတွေကို အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးခြင်း အခွင့်အရေးပေးဖို့ ဆောင်ရွက်လိုရခြင်းပါ။ ဒါ့အပြင် ဒီအခွင့်အရေးအုပ်စုနှစ်ခုကို စီမံခန့်ခွဲသူ တစ်ဦးဦးကနေ ပေးအပ်ခြင်း/ဖယ်ရှားခြင်း ပြုလုပ်နိုင်မှာ ဖြစ်ပါတယ်။ တခြားဝီကီတော်တော်များများမှာလဲ ဒီအုပ်စုနှစ်ခုက ရှိထားကြပါတယ်။ အဆိုပြုချက်နဲ့ ပတ်သက်ပြီး ဆွေးနွေးစရာ၊ ကန့်ကွက်စရာများရှိရင် ပြောပေးသွားကြပါဦး။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၆:၁၈၊ ၂၇ ဇွန် ၂၀၂၃ (UTC) == Portal နှင့် Draft အမည်ညွှန်း ထည့်သွင်းရန် == {{Tracked|T352424|Resolved}} မင်္ဂလာပါ။ မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ အသုံးပြုဖို့ Portal နဲ့ Draft ထပ်တိုးအမည်ညွှန်းနှစ်ခုကို အဆိုပြုလိုပါတယ်။ Portal ကို <strike>"မုခ်ဦး"</strike> "မုခ်ဝ" နဲ့ Draft ကို "စာမူကြမ်း" လို့ ပြန်ဆိုဖို့ စဉ်းစားထားပါတယ်။ [[ဝီကီပီးဒီးယား:Article_wizard]] ကလည်း အဆင်ပြေပြီမို့ရယ်၊ Portal: နဲ့ စထားတဲ့ စာမျက်နှာတွေက ပင်မအမည်ညွှန်းထဲ ရောက်နေတာရယ်ကြောင့်ပါ။ ဆွေးနွေးသုံးသပ်ပေးကြပါဦး။ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၄၊ ၂၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃ (UTC) :-<small>Edited Portal localization on ၂၄ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၃</small> :အဆိုပြုချက်ကို ထောက်ခံပါတယ်။ :I support your suggestion. [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၆၊ ၁၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) :မုခ်ဝ တို့  မုခ်ဦး စတဲ့ စကားရပ်တွေက တည်နေရာပြအညွှန်း တစ်နည်းဆိုရရင် အထူးတလည် တည်ဆောက်ပြုလုပ်ထားတဲ့  အဆောက်အဦ တစ်ခုရဲ့ ဝင်ပေါက် ကို ဖော်ပြတာလို့ သိနားလည်ထားပါတယ်။ :ဥပမာ  မြစ်ဝတို့ ပင်လယ်ဝတို့ လူဖန်တီးထားတာမျိုး မဟုတ်ဘဲ သဘာဝအရဖြစ်တည်တာဆိုရင် မြစ်၊ပင်လယ် စတဲ့ အရာဝတ္ထုရဲ့ နောက်မှာ “ဝ” စာလုံးကပ်ပါလာတာမျိုး၊ လူဖန်တီးထားတာမျိုးဆိုရင် “ဦး” စကားလုံး ကပ်ပါလာ ဆိုတာမျိုး မြန်မာစကားရပ်မှာ သုံးကြတာ တွေ့ရပါတယ်။Portal ဆိုတဲ့ စကားရပ်ကို  မုခ်ဦး လို့ပဲ ခေါ်ခေါ်၊မုခ်ဝ လို့ ပဲ သုံးသုံး အဆင်ပြေပါတယ်။မြန်မာလို အလွယ်ပြောရင် မုခ်ဝ က ပိုခေါ်ဝေါ်လို့ သင့်တော်မလားပဲ။ စာမူကြမ်းကတော့ အထူးတလည် ဆွေးနွေးဖို့ မရှိပါဘူး ခင်ဗျာ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၀၈:၂၈၊ ၂၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၄ (UTC) == မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား မွေးနေ့ == {{Archive top||status =resolved|result ='''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' အား မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်သည့် ရက်အဖြစ် ရွေးချယ်}} မြန်မာဝီကီစတင်ခဲ့တာကို အကြမ်းဖျင်းအနေနဲ့ [[ဆွေးနွေးချက်:ဗဟိုစာမျက်နှာ/မော်ကွန်း ၃#Proposal to make changes for Home Page|ဇူလိုင် ၂၀၀၄ လို့ သတ်မှတ်ထားပါတယ်]]။ စတင်ခဲ့တဲ့ ရက်ကို ရက်စွဲအတိအကျလေးနဲ့ သတ်မှတ်ထားရင် ကောင်းမလားလို့ပါ။ Anniversary လေးဘာလေး လုပ်လို့လဲရတာပေါ့။ {{smiley|7}} အောက်မှာ မြန်မာဝီကီရဲ့ အဟောင်းဆုံး နေ့စွဲတွေကို ဖော်ပြထားပါတယ်။ ကျေးဇူးပြုပြီး မွေးနေ့အနေနဲ့ တစ်ရက်ရက်ကို ရွေးချယ်ပေးကြပါဦး။ * ၂၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၀၂‎ - [https://my.wikipedia.org/w/?oldid=1 ပထမဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%96%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA:My_mainpage.png&oldid=1459 ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ တည်းဖြတ်မှု] * ၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄‎ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC&oldid=1511 ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ အဟောင်းဆုံး တည်းဖြတ်မှု] * ၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၀၅ - [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AE%E1%80%9C%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%9B%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%94%E1%80%85%E1%80%BA&oldid=5215 ပထမဆုံးဆောင်းပါး] ကျွန်တော့ အနေနဲ့ဆိုရင် ပထမသတ်မှတ်ထားကြတဲ့ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ နဲ့လဲ ကိုက်ညီအောင် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံး ရက်စွဲ '''၃၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄''' ကိုတော့ ရွေးချယ်ချင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၀၄:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ပထမဦးဆုံးစီမံခန့်ခွဲသူ ရဲ့ တည်းဖြတ်မှု ရက်ကိုပါ ထည့်သွင်း စဉ်းစားသင့်တယ်လို့ မြင်ပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၁:၅၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::@[[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]]; အကောင့်ဝင်ထားတဲ့ အသုံးပြုသူရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်နေ့ကို ယူမလားလို့ စဉ်းစားမိသေးတယ်။ ဒါဆိုရင် [https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=Main_Page&action=history ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄] ရယ်၊ ပထမဆုံး စီမံခန့်ခွဲသူရဲ့ ၈ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ က တည်းဖြတ်မူရယ် ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။ ဒီလိုဆိုရင် အသုံးပြုသူ တစ်ဦးတစ်ယောက်အပေါ် မူတည်ပြီး ဆုံးဖြတ်သလို ဖြစ်နေမလားလို့ တွေးမိတာမို့ ဝီကီတစ်ခုရဲ့ အရေးကြီး စာမျက်နှာဖြစ်တဲ့ ဗဟိုစာမျက်နှာ ရဲ့ ပထမဆုံး တည်းဖြတ်ရက်စွဲကိုပဲ ယူဖို့ စဉ်းစားလိုက်တာပါ။ အရင်တခြား အသုံးပြုသူတွေ ပြောထားသလို ဇူလိုင် ၂၀၀၄ ဆိုတာနဲ့လဲ ထပ်တူကျအောင်လို့ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၄:၀၀၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::@[[အသုံးပြုသူ:Ninjastrikers|Ninjastrikers]] ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ ကို ကျနော် မသိလိုက်ဘူး။ဒါဆိုရင် ၃၀ ဇူလိုင် က အကောင်းဆုံးပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Zawzawaungthwin|Zawzawaungthwin]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Zawzawaungthwin|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၄၃၊ ၂၁ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::::၈ ဇူလိုင်နဲ့ အမှတ်မှားသွားလို့။ ၈ ဧပြီ ၂၀၀၄ တော့မဟုတ်ဘူး။ ၂၁ ဧပြီ ၂၀၀၄‎ ပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၂:၅၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :::::ကျွန်တော် အကြံပြုချင်ပါတယ် ဗဟိုစာမျက်နှာရဲ့ ပထမဆုံးတည်းဖြတ် ရက်စွဲကိုပဲ အတည်ပြုစေချင်ပါတယ် ဝီကီတိုင်းမှာ ဗဟိုစာမျက်နှာတွေ ပါစမြဲမို့ အားလုံးနဲ့လည်းသက်ဆိုင်တယ်လို့ ယူဆမိလို့ပါ [[အသုံးပြုသူ:Mayor mt|Mayor mt]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Mayor mt|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၀၇၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ::ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့က ကောင်းမယ်လို့ထင်တယ်။[[အသုံးပြုသူ:ခင်မောင်မောင်လွင်|ခင်မောင်မောင်လွင်]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:ခင်မောင်မောင်လွင်|ဆွေးနွေး]]) ၂၃:၃၁၊ ၂၂ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) ဗဟိုစာမျက်နှာက ဝီကီစာမျက်နှာတိုင်းရဲ့ အဓိကမလို့ ၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄ခုနှစ် ဗဟိုစာမျက်နှာကို ပထမဆုံးတည်းဖြတ်တဲ့နေ့ကို ရွေးချယ်တာ ကောင်းမွန်မယ်လို့ ထင်မိပါတယ်။ --[[အသုံးပြုသူ:Shin Khant Maung|Shin Khant Maung]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Shin Khant Maung|ဆွေးနွေး]]) ၀၁:၄၈၊ ၂၆ ဇွန် ၂၀၂၄ (UTC) :ဆွေးနွေးချက် စတင်ပြီး ၁၀ ရက်ကျော်ကြာပြီးတဲ့နောက် အများသဘောတူတဲ့ '''၃၀ ဇူလိုင်လ ၂၀၀၄''' ကို မြန်မာဝီကီပီးဒီးယား စတင်တဲ့နေ့ (မွေးနေ့) အဖြစ် သတ်မှတ်လိုက်ပါတယ်။ ရွေးချယ်ပေးကြတာ ကျေးဇူးတင်ပါတယ်။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၇:၃၄၊ ၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၄ (UTC) {{Archive bottom}} == နရန္ဒြာ လား၊ နရန်ဒရာ လား။ == [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]] ဆောင်းပါး၊ https://my.wikipedia.org/w/index.php?title=%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%92%E1%80%AD%E1%80%9A%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6&diff=prev&oldid=865768 မှာ @[[အသုံးပြုသူ:ThuRaNaing8888|ThuRaNaing8888]]ကနေ '''နရန္ဒြာ''' ကနေ '''နရန်ဒရာ''' ကို ပြောင်းခဲ့ပါတယ်။ အသံထွက်အားဖြင့် နှစ်ခုစလုံးမှန်ကန်တယ်လို့ ကျနော်ထင်ပါတယ်။ အဓိကဆွေးနွေးချင်တဲ့ အကြောင်းကတော့ ပါဠိဆန်တဲ့ စကားလုံးကိုသုံးကြမလား၊ အရပ်သုံး တိုက်ရိုက်ရေးပုံကို သုံးကြမလား ဆိုတဲ့အချက်ပါပဲ။ ပါဠိစာမွေးဖွားလာတဲ့မြေဖြစ်တဲ့ အိန္ဒိယဆိုင်ရာ အမည်စကားလုံးတွေကို အသံဖလှယ်ရာမှာ အရင်အယ်ဒီတာတော်တော်များများကတော့ ပါဠိရေးဟန်ကို သုံးထားတာတွေ့ရပါတယ်။ အထူးသဖြင့် ပြည်နယ်အမည် အသံဖလှယ်စကားလုံးများကို ကြည့်ပါ။ [[အသုံးပြုသူ:Dhawell.hlugalay|Dhawell.hlugalay]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dhawell.hlugalay|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၄၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :ပါဠိနဲ့ပတ်သက်တာဆို အိန္ဒိယနာမည်တွေအပြင် ထိုင်းနာမည်တွေပါ ထည့်ပြောရမယ်ထင်တယ်။ ပုံမှန်အားဖြင့်တော့ အများသုံးတဲ့ (အထူးသဖြင့် မီဒီယာတွေ) အမည်တွေကို ယူမယ်လို့ [[WP:CRITERIA|သတ်မှတ်ထားတာတော့]] ရှိတယ်။ ပါဠိတွေဆိုရင် ဘယ်လိုရေးမလဲဆိုတဲ့ [[ဝီကီပီးဒီးယား:ပါဠိအမည်များ|သတ်မှတ်ချက်]]လဲ လုပ်ထားတယ်။ ဒါပေမယ့် တစ်ယောက်တစ်မျိုးစီ၊ မီဒီယာတစ်ခု တစ်မျိုးရေးနေတာတွေ ဖြစ်နေတော့ ကျနော်ဆိုလဲ ဘယ်ဟာကို ပင်မခေါင်းစဉ်ထားရမလဲဆိုတာ ဒွိဟဖြစ်နေဆဲပါပဲ။ အများသဘောတူပြီး သတ်မှတ်ထားလိုက်ရင်တော့ criteria တစ်ခုရှိသွားရင် ဒီဟာအတိုင်း ရှေ့ဆက်သွားရုံပါပဲ။ တချို့က မူရင်းဘာသာစကားအသံထွက်အတိုင်း အတိအကျ ရေးလိုတာရှိသလို မြန်မာ့အသံထွက်နဲ့ နီးစပ်တာကို ရေးချင်တာလဲရှိတယ်။ နိုင်ငံခြားဘာသာစကားအမည်တွေနဲ့ ပတ်သက်ရင် ခုထိ ဆုံးဖြတ်ရခက်နေတုန်းပါပဲ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:century gothic;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၂၃၊ ၆ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) :Narindra နာမည်ရဲ့ အဓိပ္ပါယ်က သက္ကတစကားလုံး နှစ်ခု [https://www.behindthename.com/name/narendra nara + indra] ပေါင်းထားပါတယ်။ :Nara - [https://dictionary.sutta.org/browse/n/nara/ နရ] :Indra - အိန္ဒြာ (သိကြားမင်း) :ပါဠိမှာ သက္ကတစကားလုံးရဲ့ "r" တွေကို ထည့်လည့် မရှိပါဘူး။ အာ့ကြောင့် Indra က Inda ([https://dictionary.sutta.org/browse/i/inda/ ဣန္ဒ] ) ဖြစ်ပါတယ်။ :မြန်မာ orthography အရ ကြ သည် kra ဖြစ်ပါတယ်။ r သံကို y သံပြောင်းနေလို့သာပါ.​ :ဥပမာ - တြိဂံ - trigam, စကြာ + ဝဠာ sakra-vala :ကံကြမ္မာ စကားလုံးက သက္ကတ နှင့် ပါဠိ အရော ဖြစ်ပါတယ်။ ကံ က ပါဠိ kamma ဖြစ်ပြီး၊ ကြမ္မာက karma ဖြစ်ပါတယ်။ ကံကံ ပေါ့။ :D :Narandra Modi ကို ပြန်သွားမယ်ဆိုရင် - နရ + ဣန္ဒြာ ကို ပေါင်းလိုက်မယ်ဆိုရင် >>>> နရိန္ဒြာ ဖြစ်သင့်ပါတယ်။ ဣ = အိ [[အသုံးပြုသူ:Salai Rungtoi|Salai Rungtoi]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Salai Rungtoi|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၄၇၊ ၂၈ ဧပြီ ၂၀၂၅ (UTC) == Autopatrolled အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်း == မင်္ဂလာပါAdmin များခင်ဗျာ၊ ​ကျွန်တော်သည် မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားတွင် ပုဂ္ဂိုလ်ရေး အတ္ထုပ္ပတ္တိများ၊ သမိုင်း၊ ပထဝီဝင်၊ အထွေထွေဗဟုသုတနှင့် ပညာရေးဆိုင်ရာ ဆောင်းပါးများကို အဓိကထား ရေးသားတည်းဖြတ်နေသူ ဖြစ်ပါသည်။ ထို့အပြင် Infobox template များတွင် တွေ့ရတတ်သော နည်းပညာပိုင်းဆိုင်ရာ အမှားများကိုလည်း စစ်ဆေးပြုပြင်ပေးလျက် ရှိပါသည်။ ​လက်ရှိတွင် ကျွန်တော့်အကောင့်မှာ သက်တမ်း ၄ နှစ်ခန့်ရှိပြီဖြစ်ပြီး တည်းဖြတ်မှုအကြိမ်ရေ ၅၀၀ ကျော် ရှိနေပြီ ဖြစ်ပါသည်။ Admin များ၏ စစ်ဆေးရမည့် အလုပ်ဝန်ကို လျော့ကျစေရန်နှင့် ကျွန်တော့်အနေဖြင့်လည်း ပိုမိုတွင်ကျယ်စွာ ဆောင်းပါးအသစ်များ ဆက်လက်ရေးသားနိုင်ရန်အတွက် 'အလိုအလျောက် စောင့်ကြပ်စစ်ဆေးပြီးသူ (Autopatrolled)' အခွင့်အရေးကို တောင်းဆိုအပ်ပါသည်။ ကျွန်တော့်၏ တည်းဖြတ်မှုမှတ်တမ်းများနှင့် ဆောင်းပါးများကို စစ်ဆေး၍ ခွင့်ပြုပေးပါရန် မေတ္တာရပ်ခံအပ်ပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:Myanmar Wik|Myanmar Wik]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Myanmar Wik|ဆွေးနွေး]]) ၁၂:၅၃၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) :You seems to deserve auto patrolled user status that means you had more responsibility, I hope you do more meaningful contributions in Myanmar wiki [[အသုံးပြုသူ:Dr Lotus Black|Dr Lotus Black]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Dr Lotus Black|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၅၈၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) ::Admin Dr Lotus Black ခင်ဗျာ၊ ::​အခုလို "Autopatrolled" အခွင့်အရေးကို ယုံယုံကြည်ကြည်နဲ့ ပေးအပ်တဲ့အတွက် အထူးပင် ကျေးဇူးတင်ရှိပါတယ်။ [[အသုံးပြုသူ:Myanmar Wik|Myanmar Wik]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Myanmar Wik|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၄၄၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) oqofc8vrq4pivr1u3kk8lct3gczlv2h 0 91601 1048779 1030696 2026-08-15T09:22:52Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1048779 wikitext text/x-wiki [[File:Population 2017 test.png|500px|thumb|၂၀၁၇ ခုနှဏ်တွင် နိုင်ငံအလိုက် လူဦးရေသိပ်သည်းမှု(people per km²)]] ဤသည်မှာ လူဦးရေ သိပ်သည်းမှုအလိုက် နိုင်ငံများနှင့် အမှီအခိုနယ်မြေဒေသများ စာရင်းဖြစ်ပြီး လူဦးရေသိပ်သည်းမှုကို တစ် စတုရန်းကီလိုမီတာအလိုက် နေထိုင်သော လူဦးရေအရေအတွက်ဖြင့် တိုင်းတာမှုကို ပြုလုပ်ထားသည်။ အချို့သော အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံများနှင့် ကိုယ်ပိုင်အစိုးရဖြင့် လွတ်လပ်သော နယ်မြေများကို ISO စံညွှန်း ISO 3166-1 အရ ထည့်သွင်းပြုစုထားသည်။ ထို့အပြင် ISO 3166-1 တွင် မပါဝင်သည့် အချို့သော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအသိအမှတ်ပြုနယ်မြေများလည်း ပါဝင်သည်။ ဇယားရှိ ဧရိယာများတွင် ကုန်းတွင်းရေထု(ကန်၊ မြစ်၊ ရေသိုလှောင်ရာနေရာ)တို့ပါ ပါဝင်သည်။ ဤဆောင်းပါး၌ အနောက်ဆုံးကောက်ယူထားသော သန်းခေါင်စာရင်းနှင့် တရားဝင်းခန့်မှန်းစာရင်းတို့တွင် အဓိကအခြေပြုထားသည်။ နိုင်ငံအလိုက် အချက်အလက်များကို အချိန်နှင့်တပြေးညီ ဖော်ပြနိုင်ခြင်းမရှိပဲ [[:en:United Nations Department of Economic and Social Affairs|United Nations Department of Economic and Social Affairs]] ၏ လူဦးရေဌာနကြီး(Population Division)၏ [http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ online projections] တွင် အခြေပြုထားသည်။<ref>{{cite web | url=https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ | title=World Population Prospects}}</ref> == လူဦးရေ သိပ်သည်းမှုအလိုက် နိုင်ငံနှင့် နယ်မြေဒေသများ == အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင်နိုင်ငံများ၏ အစိတ်အပိုင်းဖြစ်သော အမှီအခိုနယ်မြေများနှင့် မဲဆန္ဒနယ်နိုင်ငံများကို ''စာလုံးစောင်း''ဖြင့် ပြထားသည်။ ဤစာရင်း၌ ဖော်ပြထားသော ဧရိယာများကို များလှစွာသော ရင်းမြစ်များမှ ဖော်ပြထားခြင်းဖြစ်သည်။ * ဥရောပသမဂ္ဂသည် ဒေသနိုင်ငံများအဖွဲ့ချုပ်ဆိုသည့်အဆင့်ထက် ကျော်လွန်ပြီး "နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံ ကဲ့သို့သော" ဝိသေသ လက္ခဏာရှိသည်။ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ ၂၈ နိုင်ငံဖြင့် သီးခြားရပ်တည်နေသော အဖွဲ့အစည်းဖြစ်သည်။ ခန့်မှန်းလူဦးရေသိပ်သည်းမှုမှာ တစ်စတုရန်းကီလိုမီတာလျှင် ၁၁၆ ဦးရှိနေပြီး ဤစာရင်းတွင်သာ ဖော်ပြမည်ဆိုပါက အဆင့် ၉၅ တွင် တည်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။(population: 506,913,394 on January 1, 2014,<ref>{{cite web |url=http://ec.europa.eu/eurostat/tgm/table.do?tab=table&language=en&pcode=tps00001&tableSelection=1&footnotes=yes&labeling=labels&plugin=1|title=Eurostat-Tables, Graphs and Maps Interface（TGM）table|publisher=European Commission|accessdate=၃ ဇူလိုင် ၂၀၁၈}}</ref> area: 4,324,782&nbsp;km²). * ဧရိယာတွင် ကုန်းမြေကော ရေထုပါ ပါဝင်သည်။ {|class="sortable wikitable" style="text-align:right" |+ !data-sort-type="number" |အဆင့်!!နိုင်ငံ (သို့ အမှီအခိုနယ်မြေ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းကီလိုမီတာ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းမိုင်)!!လူဦးရေ!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./km²)!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./mi²)!!ရက်စွဲ!! class="unsortable" | လူဦးရေရင်းမြစ် |- |align=center rowspan=3 |•||align=left|{{noflag}}'''[[:en:Population density#Human population density|ကမ္ဘာ]]''' (ကုန်းမြေချည်းသာ၊ [[အန္တာတိကတိုက်]] မပါဝင်ပေ။) |{{convert|134940000|km2|disp=table}} |{{formatnum:{{worldpop}}}} |{{convert|{{#expr: {{worldpop}}/134940000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTDAY}}, {{CURRENTYEAR}} |align=left|[https://www.census.gov/popclock/ USCB's world population clock] |- |align=left|{{noflag}}'''[[:en:Population density#Human population density|ကမ္ဘာ]]''' (ကုန်းမြေ) |{{convert|148940000|km2|disp=table}} |{{formatnum:{{worldpop}}}} |{{convert|{{#expr: {{worldpop}}/148940000 round 0 }}|/km2|0|disp=table}} |{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTDAY}}, {{CURRENTYEAR}} |align=left|[https://www.census.gov/popclock/ USCB's World population clock] |- |aln=left|{{noflag}}'''[[:en:Population density#Human population density|ကမ္ဘာ]]''' (ရေထုအပါအဝင်) |{{convert|510072000|km2|disp=table}} |{{formatnum:{{worldpop}}}} |{{convert|{{#expr: {{worldpop}}/510072000 round 0 }}|/km2|0|disp=table}} |{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTDAY}}, {{CURRENTYEAR}} |align=left|[https://www.census.gov/popclock/ USCB's World population clock] |- |align=center|1 |align=left|''{{MAC}}'' ([[တရုတ်]]) |{{convert|30.5|km2|0|disp=table}} |၆၅၀,၈၃၄ |{{convert|{{#expr: 650834/30.5 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၅၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.dsec.gov.mo/Statistic/Demographic/GlobalResultsOfBy-Census/2016%E4%B8%AD%E6%9C%9F%E4%BA%BA%E5%8F%A3%E7%B5%B1%E8%A8%88.aspx?lang=en-US ၂၀၁၆ သန်းခေါင်စာရင်း] |- |align=center|2 |align=left|{{MCO}} |{{convert|2.02|km2|2|disp=table}} |၃၇,၅၅၀ |{{convert|{{#expr: 37550/2.02 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.imsee.mc/Population-et-emploi တရားဝင် ခန့်မှန်းမှု] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121128001937/http://www.imsee.mc/Population-et-emploi |date=28 November 2012 }} |- |align=center|3 |align=left|{{SIN}} |{{convert|719.9|km2|0|disp=table}} |၅,၆၁၂,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 5612300/719.9 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.singstat.gov.sg/statistics/latest-data#16 တရားဝင် ခန့်မှန်းမှု] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151129094649/http://www.singstat.gov.sg/statistics/latest-data#16 |date=29 November 2015 }} |- |align=center|4 |align=left|''{{HKG}}'' ([[တရုတ်]]) |{{convert|1,106.3|km2|0|disp=table}} |၇,၄၀၉,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 7409800/1106.34 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.censtatd.gov.hk/hkstat/sub/so20.jsp တရားဝင် ခန့်မှန်းမှု] |- |align=center|5 |align=left|''{{GIB}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]])<ref>[[စပိန်နိုင်ငံ]]မှ ၎င်း၏နယ်မြေဖြစ်သည်ဟု အခိုင်အမာဆိုထားသည်။</ref> |{{convert|6.8|km2|1|disp=table}} |၃၃,၁၄၀ |{{convert|{{#expr: 33140/6.8 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၇၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.gibraltar.gov.gi/new/sites/default/files/HMGoG_Documents/Abstract%202014.pdf Official estimate] |- |align=center|6 |align=left|{{BHR}} |{{convert|757|km2|0|disp=table}} |၁,၄၅၁,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 1451200/757 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.cio.gov.bh/cio_ara/English/Publications/Statistical%20Abstract/ABS2011/CH2/2013%2012%2019%20Bahrain%20%20Population%20Projections.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170206163647/http://www.cio.gov.bh/cio_ara/English/Publications/Statistical%20Abstract/ABS2011/CH2/2013%2012%2019%20Bahrain%20%20Population%20Projections.pdf |date=6 February 2017 }} |- |align=center|7 |align=left|{{VAT}} |{{convert|0.44|km2|2|disp=table}} |၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 800/0.44 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၂ |align=left|[http://www.vaticanstate.va/content/vaticanstate/es/stato-e-governo/note-generali/popolazione.html Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202031317/http://www.vaticanstate.va/content/vaticanstate/es/stato-e-governo/note-generali/popolazione.html |date=2 February 2017 }} |- |align=center|8 |align=left|{{MLT}} |{{convert|315|km2|0|disp=table}} |၄၆၀,၂၉၇ |{{convert|{{#expr: 460297/315 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://nso.gov.mt/en/News_Releases/View_by_Unit/Unit_C5/Population_and_Migration_Statistics/Documents/2018/News2018_022.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180220033214/https://nso.gov.mt/en/News_Releases/View_by_Unit/Unit_C5/Population_and_Migration_Statistics/Documents/2018/News2018_022.pdf |date=20 February 2018 }} |- |align=center|9 |align=left|''{{BER}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|52|km2|0|disp=table}} |၆၃,၇၇၉ |{{convert|{{#expr: 63779/52 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၂၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.gov.bm/articles/2016-population-and-housing-census-preliminary-report 2016 Census Preliminary Report] |- |align=center|10 |align=left|''{{SXM}}'' ([[နယ်သာလန်ဘုရင့်နိုင်ငံ]]) |{{convert|34|km2|0|disp=table}} |၃၉,၄၁၀ |{{convert|{{#expr: 39410/34 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://web.archive.org/web/20160930004308/http://stat.gov.sx/ Official estimate] |- |align=center|11 |align=left|{{MDV}} |{{convert|298|km2|0|disp=table}} |၃၄၄,၀၂၃ |{{convert|{{#expr: 344023/298 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၂၀၊ ၂၀၁၄ |align=left|[http://statisticsmaldives.gov.mv/nbs/wp-content/uploads/2015/10/Census-Summary-Tables1.pdf Preliminary 2014 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181222115837/http://statisticsmaldives.gov.mv/nbs/wp-content/uploads/2015/10/Census-Summary-Tables1.pdf |date=22 December 2018 }} |- |align=center|12 |{{data Bangladesh|popdens}} |align=left|[https://web.archive.org/web/20110904045106/http://www.bbs.gov.bd/Home.aspx Official population clock] |- |align=center|13 |align=left|''{{JEY}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|116|km2|0|disp=table}} |၁၀၄,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 104200/116 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.gov.je/SiteCollectionDocuments/Government%20and%20administration/R%20Population%20Estimate%202016%2020170622%20SU.pdf Official estimate] |- |align=center|14 |align=left|''{{GGY}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|78|km2|0|disp=table}} |၆၂,၇၂၃ |{{convert|{{#expr: 62723/78 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.gov.gg/CHttpHandler.ashx?id=105766&p=0 Official estimate] |- |align=center|15 |align=left|{{PLE}}<ref>Borders and area of Palestinian autonomy are not final</ref> |{{convert|6,020|km2|0|disp=table}} |၄,၈၁၆,၅၀၃ |{{convert|{{#expr: 4816503/6020 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.pcbs.gov.ps/Portals/_Rainbow/Documents/gover_e.htm Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140608204943/http://www.pcbs.gov.ps/Portals/_Rainbow/Documents/gover_e.htm |date=8 June 2014 }} |- |align=center|16 |align=left|''{{flagicon image|Flag_of_Mayotte_(local).svg}}'' ''[[:en:Mayotte|Mayotte]]'' |{{convert|374|km2|0|disp=table}} |၂၅၆,၅၁၈ |{{convert|{{#expr: 256518/374 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၅၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/3284395 2017 census result] |- |align=center|17 |align=left|{{BRB}} |{{convert|430|km2|0|disp=table}} |၂၈၆,၃၈၈ |{{convert|{{#expr: 286388/430 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|18 |align=left|''{{flagicon image|Flag_of_the_Collectivity_of_Saint_Martin.svg}}'' ''[[:en:Saint Martin|စိန့်မာတင်ကျွန်း]]'' |{{convert|53.2|km2|0|disp=table}} |၃၅,၁၀၇ |{{convert|{{#expr: 35107/53.2 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၄ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/2525762?sommaire=2525768 Official estimate] |- |align=center|19 |align=left|{{TWN}} |{{convert|36,193|km2|0|disp=table}} |၂၃,၅၇၂,၀၄၉ |{{convert|{{#expr: 23572049/36193 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140704022127/http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 |date=4 July 2014 }} |- |align=center|20 |align=left|{{MRI}} |{{convert|2,040|km2|0|disp=table}} |၁,၂၆၄,၈၈၇ |{{convert|{{#expr: 1264887 /2040 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://statsmauritius.govmu.org/English/Publications/Pages/Pop_Vital_Jan-JunYr17.aspx Official estimate] |- |align=center|21 |align=left|{{LBN}} |{{convert|10,452|km2|0|disp=table}} |၆,၀၉၃,၅၀၉ |{{convert|{{#expr: 6093509/10201 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|22 |align=left|''{{ARU}}'' ([[နယ်သာလန်ဘုရင့်နိုင်ငံ]]) |{{convert|180|km2|0|disp=table}} |၁၀၅,၆၆၈ |{{convert|{{#expr: 105668/180 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၁၄၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://worldpopulationreview.com/countries/aruba-population/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180629102251/http://worldpopulationreview.com/countries/aruba-population/ |date=29 June 2018 }} |- |align=center|23 |align=left|{{SMR}} |{{convert|61|km2|0|disp=table}} |၃၃,၃၂၆ |{{convert|{{#expr: 33326/61 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statistica.sm/on-line/en/home/statistics/population.html# Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200326182005/https://www.statistica.sm/on-line/en/home/statistics/population.html |date=26 March 2020 }} |- |align=center|24 |align=left|''{{flagicon image|Flag_of_Zanzibar.svg}}'' ''[[ဇန်ဇိဗာကျွန်း]]'' |{{convert|2461|km2|0|disp=table}} |၁,၃၀၃,၅၆၉ |{{convert|{{#expr: 1303569/2461 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |- |align=center|25 |align=left|{{KOR}} |{{convert|100,210|km2|0|disp=table}} |၅၁,၆၃၅,၂၅၆ |{{convert|{{#expr: 51635256/100210 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://kosis.kr/nsportalStats/nsportalStats_0102Body.jsp?menuId=10 Annual official estimate] |- |align=center|26 |align=left|{{NRU}} |{{convert|21|km2|0|disp=table}} |၁၀,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 10800/21 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.spc.int/nmdi/population Annual estimate] |- |align=center|27 |align=left|{{RWA}} |{{convert|26,338|km2|0|disp=table}} |၁၂,၀၀၁,၁၃၆ |{{convert|{{#expr: 12001136/26338 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191212164943/http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf |date=12 December 2019 }} |- |align=center|28 |align=left|''{{flagicon image|Flag_of_Saint_Barthelemy_(local).svg}}'' ''[[:en:Saint Barthelemy|Saint Barthelemy]]'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|21|km2|0|disp=table}} |၉,၄၂၇ |{{convert|{{#expr: 9427/21 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/2525762?sommaire=2525768 Official estimate] |- |align=center|29 |align=left|''{{CUW}}'' ([[နယ်သာလန်ဘုရင့်နိုင်ငံ]]) |{{convert|363.91|km2|0|disp=table}} |၁၆၁,၅၇၃ |{{convert|{{#expr: 161573/363.91 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၁၆၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://worldpopulationreview.com/countries/curacao-population/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180629102432/http://worldpopulationreview.com/countries/curacao-population/ |date=29 June 2018 }} |- |align=center|30 |align=left|{{TUV}} |{{convert|26|km2|0|disp=table}} |၁၁,၃၂၃ |{{convert|{{#expr: 11323/26 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.spc.int/sdp/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=158&Itemid=42&lang=en Official estimate] |- |align=center|31 |align=left|{{COM}} |{{convert|1,861|km2|0|disp=table}} |၈၀၆,၁၅၃ |{{convert|{{#expr: 806153/1861 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://web.archive.org/web/20160111213747/http://comoros.africadata.org/fr/DataAnalysis Official estimate] |- |align=center|32 |align=left|{{ENG}} |{{convert|130,279|km2|0|disp=table}} |၅၅,၂၆၈,၁၀၀ |{{convert|{{#expr: 55268100/130279 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left| |- |align=center|33 |{{data Netherlands|popdens}} |align=left|[https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181009222717/https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter |date=9 October 2018 }} |- |align=center|34 |align=left|{{HAI}} |{{convert|27,065|km2|0|disp=table}} |၁၁,၁၁၂,၉၄၅ |{{convert|{{#expr: 11112945/27065 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] <!--http://www.ihsi.ht/--> |- |align=center|35 |{{data India|popdens}} |align=left|[http://censusindia.gov.in/2011-prov-results/data_files/india/Final_PPT_2011_chapter3.pdf Population clock based on 2011 census] |- |align=center|36 |{{data Israel|popdens}} |align=left|[http://cbs.gov.il/reader/?MIval=cw_usr_view_Folder&ID=141 Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180915102003/http://www.cbs.gov.il/reader/?MIval=cw_usr_view_Folder&ID=141 |date=15 September 2018 }} |- |align=center|37 |align=left|{{BDI}} |{{convert|27,816|km2|0|disp=table}} |၁၀,၆၈၁,၁၈၆ |{{convert|{{#expr: 10681186/27816 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071528/http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf |date=3 April 2019 }} |- |align=center|38 |align=left|''{{PRI}}'' ([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|US]])<ref>[[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၏ ဓနသဟာယနိုင်ငံ။</ref> |{{convert|8,868|km2|0|disp=table}} |၃,၃၃၇,၁၇၇ |{{convert|{{#expr: 3337177/8868 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.census.gov/data/tables/2017/demo/popest/nation-total.html Official estimate] |- |align=center|39 |align=left|{{BEL}} |{{convert|30,528|km2|0|disp=table}} |၁၁,၄၀၉,၃၈၈ |{{convert|{{#expr: 11409388/30528 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ibz.rrn.fgov.be/fileadmin/user_upload/nl/bev/statistieken/stat-1-1_n.pdf Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141111002452/http://www.ibz.rrn.fgov.be/fileadmin/user_upload/nl/bev/statistieken/stat-1-1_n.pdf |date=11 November 2014 }} |- |align=center|40 |{{data Philippines|popdens}} |align=left|[http://www.popcom.gov.ph/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403061418/http://www.popcom.gov.ph/ |date=3 April 2019 }} |- |align=center|41 |align=left|''{{GUM}}'' ([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|US]]) |{{convert|541|km2|0|disp=table}} |၁၈၄,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 184200/541 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://sdd.spc.int/en Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180802204130/http://sdd.spc.int/en |date=2 August 2018 }} |- |align=center|42 |align=left|''{{flagicon image|Proposed_flag_of_Réunion_(VAR).svg}}'' ''[[:en:Réunion|Reunion]]'' |{{convert|2503.7|km2|0|disp=table}} |၈၅၀,၉၉၆ |{{convert|{{#expr: 850996/2503.72 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403061842/https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls |date=3 April 2019 }} |- |align=center|43 |align=left|{{JPN}} |{{convert|377,944|km2|0|disp=table}} |၁၂၆,၄၉၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 126490000/377944 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.go.jp/english/data/jinsui/tsuki/index.htm Monthly official estimate] |- |align=center|44 |align=left|''{{flagicon image|Drapeau aux serpents de la Martinique.svg}}'' ''[[:en:Martinique|Martinique]]'' |{{convert|1,128|km2|0|disp=table}} |၃၇၆,၈၄၇ |{{convert|{{#expr: 376847/1128 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403061842/https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls |date=3 April 2019 }} |- |align=center|45 |align=left|{{SRI}} |{{convert|65,610|km2|0|disp=table}} |၂၁,၄၄၄,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 21444000/65610 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171117022357/http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf |date=17 November 2017 }} |- |align=center|46 |align=left|{{SLV}} |{{convert|21,040|km2|0|disp=table}} |၆၅၈၁,၉၄၀ |{{convert|{{#expr: 6581940/21040 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.digestyc.gob.sv/index.php/temas/des/ehpm/publicaciones-ehpm.html?download=488%3Aestimaciones-y-proyecciones-de-poblacion Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200422071030/http://www.digestyc.gob.sv/index.php/temas/des/ehpm/publicaciones-ehpm.html?download=488%3Aestimaciones-y-proyecciones-de-poblacion |date=22 April 2020 }} |- |align=center|47 |align=left|{{MHL}} |{{convert|181|km2|0|disp=table}} |၅၆,၀၈၆ |{{convert|{{#expr: 56086/181 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.spc.int/sdp/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=158&Itemid=42&lang=en Official estimate] |- |align=center|48 |align=left|''{{VIR}}'' ([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|US]]) |{{convert|352|km2|0|disp=table}} |၁၀၆,၄၀၅ |{{convert|{{#expr: 106405/352 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၀ |align=left|[https://www.census.gov/newsroom/releases/archives/2010_census/cb11-cn180.html Final 2010 census result] |- |align=center|49 |align=left|{{GRD}} |{{convert|344|km2|0|disp=table}} |၁၀၃,၃၂၈ |{{convert|{{#expr: 103328/344 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၂၊ ၂၀၁၁ |align=left|[https://web.archive.org/web/20120614004809/http://www.geohive.com/cntry/grenada.aspx 2011 census result] |- |align=center|50 |align=left|{{LCA}} |{{convert|617|km2|0|disp=table}} |၁၇၉,၆၆၇ |{{convert|{{#expr: 179667/617 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|51 |align=left|''{{ASM}}'' ([[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|US]]) |{{convert|197|km2|0|disp=table}} |၅၇,၁၀၀ |{{convert|{{#expr: 57100/197 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://sdd.spc.int/en Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180802204130/http://sdd.spc.int/en |date=2 August 2018 }} |- |align=center|52 |align=left|{{VNM}} |{{convert|331,212|km2|0|disp=table}} |၉၄,၆၆၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 94660000/331212 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.gso.gov.vn/default.aspx?tabid=382&idmid=2&ItemID=18863 Official annual projection] |- |align=center|53 |align=left|{{VCT}} |{{convert|389|km2|0|disp=table}} |၁၀၉,၅၅၇ |{{convert|{{#expr: 109557/389 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://stats.gov.vc/LinkClick.aspx?fileticket=_6PsL6EZf6E%3d&tabid=131&mid=588 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160909193008/http://stats.gov.vc/LinkClick.aspx?fileticket=_6PsL6EZf6E%3d&tabid=131&mid=588 |date=9 September 2016 }} |- |align=center|54 |{{data Pakistan|popdens}} |align=left|[http://www.pwd.punjab.gov.pk/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190502230956/https://pwd.punjab.gov.pk/ |date=2 May 2019 }} |- |align=center|55 |align=left|{{TRI}} |{{convert|5,155|km2|0|disp=table}} |၁,၃၅၆,၆၃၃ |{{convert|{{#expr: 1356633/5155 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://cso.gov.tt/ Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525033753/http://cso.gov.tt/ |date=25 May 2017 }} |- |align=center|56 |align=left|{{JAM}} |{{convert|10,991|km2|0|disp=table}} |၂,၇၃၀,၈၉၄ |{{convert|{{#expr: 2730894/10991 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://statinja.gov.jm/Demo_SocialStats/Newpopulation.aspx Official estimate] |- |align=center|57 |align=left|''{{flagicon image|Unofficial_flag_of_Guadeloupe_(local).svg}}'' ''[[ဂွါဒလ်ကျွန်း]]'' |{{convert|1,628.4|km2|0|disp=table}} |၃၉၅,၇၂၅ |{{convert|{{#expr: 395725/1628.4 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403061842/https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1893198/estim-pop-nreg-sexe-gca-1975-2016.xls |date=3 April 2019 }} |- |align=center|58 |align=left|{{LIE}} |{{convert|160|km2|0|disp=table}} |၃၇,၈၇၇ |{{convert|{{#expr: 37877/160 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.llv.li/#/1124/bevolkerungsstatistik--juni Official estimate] |- |align=center|59 |align=left|{{QAT}} |{{convert|11,571|km2|0|disp=table}} |၂,၇၀၀,၃၉၀ |{{convert|{{#expr: 2700390/11571 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဖေဖော်ဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.mdps.gov.qa/en/Pages/default.aspx Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180701211726/https://www.mdps.gov.qa/en/Pages/default.aspx |date=1 July 2018 }} |- |align=center|60 |align=left|{{LUX}} |{{convert|2,586|km2|0|disp=table}} |၆၀၂,၀၀၅ |{{convert|{{#expr: 602005/2586 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statistiques.public.lu/stat/TableViewer/tableView.aspx?ReportId=12857&IF_Language=eng&MainTheme=2&FldrName=1 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226225950/http://www.statistiques.public.lu/stat/TableViewer/tableView.aspx?ReportId=12857&IF_Language=eng&MainTheme=2&FldrName=1 |date=26 February 2021 }} |- |align=center|61 |align=left|{{GER}} |{{convert|357,168|km2|0|disp=table}} |၈၂,၇၄၀,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 82740900/357168 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၃၀၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Bevoelkerungsstand/Tabellen/Zensus_Geschlecht_Staatsangehoerigkeit.html Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181221205616/https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Bevoelkerungsstand/Tabellen/Zensus_Geschlecht_Staatsangehoerigkeit.html |date=21 December 2018 }} |- |align=center|62 |align=left|{{KWT}} |{{convert|17,818|km2|0|disp=table}} |၄,၀၀၇,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 4007000/17818 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ Official estimate] |- |align=center|63 |align=left|''{{flagicon image|Flag of the Cayman Islands.svg}}'' ''[[:en:Cayman Islands|ကေးမန်းကျွန်း]]'' |{{convert|259|km2|0|disp=table}} |၅၅,၄၅၆ |{{convert|{{#expr: 55456/259 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |အောက်တိုဘာ ၁၀၊ ၂၀၁၀ |align=left|[http://www.eso.ky/pages.php?page=2010censusofpopulationandhousingfinalreport Final 2010 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130921135615/http://eso.ky/pages.php?page=2010censusofpopulationandhousingfinalreport |date=21 September 2013 }} |- |align=center|64 |align=left|{{DOM}} |{{convert|47,875|km2|0|disp=table}} |၁၀,၂၆၆,၁၄၉ |{{convert|{{#expr: 10266149/47875 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074831/http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 |date=25 May 2017 }} |- |align=center|65 |align=left|{{PRK}} |{{convert|120,540|km2|0|disp=table}} |၂၅,၆၁၀,၆၇၂ |{{convert|{{#expr: 25610672/120540 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|66 |align=left|{{NGA}} |{{convert|923,768|km2|0|disp=table}} |၁၉၅,၈၇၅,၂၃၇ |{{convert|{{#expr: 195875237/923768 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|67 |align=left|{{SEY}} |{{convert|455|km2|0|disp=table}} |၉၅,၈၂၁1 |{{convert|{{#expr: 95821/455 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.nbs.gov.sc/downloads?task=document.viewdoc&id=358 Official estimate] |- |align=center|68 |align=left|{{SUI}} |{{convert|41,285|km2|0|disp=table}} |၈,၄၈၂,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 8465234/41285 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.bfs.admin.ch/bfs/de/home/statistiken/bevoelkerung.assetdetail.4782547.html Official provisional figure] |- |align=center|69 |align=left|{{GAM}} |{{convert|10,690|km2|0|disp=table}} |၂,၁၆၃,၇၆၅ |{{convert|{{#expr: 2163765/10690 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|70 |align=left|{{ITA}} |{{convert|301,308|km2|0|disp=table}} |၆၀,၄၈၃,၉၇၃ |{{convert|{{#expr: 60483973/301308 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://demo.istat.it/bilmens2017gen/index.html Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180716065929/http://demo.istat.it/bilmens2017gen/index.html |date=16 July 2018 }} |- |align=center|71 |align=left|{{NPL}} |{{convert|147,181|km2|0|disp=table}} |၂၉,၂၉၁,၇၄၆ |{{convert|{{#expr: 29291746/147181 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160128182055/http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf |date=28 January 2016 }} |- |align=center|72 |align=left|''{{VGB}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|151|km2|0|disp=table}} |၂၉,၅၃၇ |{{convert|{{#expr: 29537/151 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၀ |align=left|[http://www.dpu.gov.vg Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20020525210259/http://www.dpu.gov.vg/ |date=25 May 2002 }} |- |align=center|73 |align=left|{{ATG}} |{{convert|442|km2|0|disp=table}} |၈၆,၂၉၅ |{{convert|{{#expr: 86295/442 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၂၇၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Antigua.html Preliminary 2011 census result] |- |align=center|74 |align=left|{{SKN}} |{{convert|270|km2|0|disp=table}} |၅၁,၉၇၀ |{{convert|{{#expr: 51970/270 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၀၉ |align=left|[http://www.caricomstats.org/Files/Databases/Population/MP.htm Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130602153647/http://www.caricomstats.org/Files/Databases/Population/MP.htm |date=2 June 2013 }} |- |align=center|75 |align=left|{{STP}} |{{convert|1,001|km2|0|disp=table}} |၁၈၇,၃၅၆ |{{convert|{{#expr: 187356/1001 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၃၊ ၂၀၁၂ |align=left|[http://www.citypopulation.de/SaoTome.html 2012 census result] |- |align=center|76 |align=left|{{AND}} |{{convert|464|km2|0|disp=table}} |၈၀,၂၀၉ |{{convert|{{#expr: 80209/464 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.estadistica.ad/serveiestudis/web/banc_dades4.asp?lang=1&codi_tema=2&codi_divisio=8&codi_subtemes=8 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074953/http://www.estadistica.ad/serveiestudis/web/banc_dades4.asp?lang=1&codi_tema=2&codi_divisio=8&codi_subtemes=8 |date=25 May 2017 }} |- |align=center|77 |align=left|{{flag|Kosovo}}<ref>{{Kosovo-note}}</ref> |{{convert|10,910|km2|0|disp=table}} |၁,၇၈၃,၅၃၁ |{{convert|{{#expr: 1783531/10910 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://ask.rks-gov.net/media/3485/estimation-kosovo-publication-2016.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180712192525/http://ask.rks-gov.net/media/3485/estimation-kosovo-publication-2016.pdf |date=12 July 2018 }} |- |align=center|78 |align=left|{{MWI}} |{{convert|118,484|km2|0|disp=table}} |၁၈,၆၂၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 18622000/118484 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|79 |align=left|{{UGA}} |{{convert|241,551|km2|0|disp=table}} |၃၇,၆၇၃,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 37673800/241551 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |July 1, 2017 |align=left|[http://www.ubos.org/onlinefiles/uploads/ubos/census_2014_regional_reports/Population%20Projections_2015_2020.pdf Annual official estimate] |- |align=center|80 |align=left|{{KIR}} |{{convert|726|km2|0|disp=table}} |၁၁၅,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 115300/726 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.spc.int/nmdi/population Official estimate] |- |align=center|81 |align=left|{{GUA}} |{{convert|108,889|km2|0|disp=table}} |၁၇,၂၄၅,၃၄၆ |{{convert|{{#expr: 17245346/108889 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|82 |align=left|''{{TKL}}'' ([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]]) |{{convert|10|km2|0|disp=table}} |၁,၄၉၉ |{{convert|{{#expr: 1499/10 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.spc.int/nmdi/population Official estimate] |- |align=center|83 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Saba.svg}}'' ''[[:en:Saba|ဆာဘာကျွန်း]]'' ''([[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]])'' |{{convert|13|km2|0|disp=table}} |၁,၉၄၇ |{{convert|{{#expr: 1947/13 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left| |- |align=center|85 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Sint Eustatius.svg}}'' ''[[:en:Sint Eustatius|Sint Eustatius]]'' ''([[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]])'' |{{convert|21|km2|0|disp=table}} |၃,၁၉၃ |{{convert|{{#expr: 3193/21 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://sdd.spc.int/en Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180802204130/http://sdd.spc.int/en |date=2 August 2018 }} |- |align=center|86 |align=left|{{FSM}} |{{convert|701|km2|0|disp=table}} |၁၀၄,၆၀၀ |{{convert|{{#expr: 104600/701 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.spc.int/nmdi/population Official estimate] |- |align=center|87 |align=left|''{{IMN}}'' |{{convert|572|km2|0|disp=table}} |၈၃,၃၁၄ |{{convert|{{#expr: 83314/572 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၂၄၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.gov.im/media/1355784/2016-isle-of-man-census-report.pdf 2016 census result] |- |align=center|88 |align=left|{{CYP}} |{{convert|5,896|km2|0|disp=table}} |၈၅၄,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 854800/5896 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.mof.gov.cy/mof/cystat/statistics.nsf/All/59864653479E6721C22581E2003786DE?OpenDocument&sub=1&sel=1&e=&print Official estimate] |- |align=center|89 |{{data China|popdens}} |align=left|[http://data.stats.gov.cn/english/ Official estimate] |- |align=center|90 |align=left|{{TON}} |{{convert|720|km2|0|disp=table}} |၁၀၀,၆၅၁ |{{convert|{{#expr: 100651/720 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.spc.int/nmdi/population Official estimate] |- |align=center|91 |align=left|''{{AIA}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|96|km2|0|disp=table}} |၁၃,၄၅၂ |{{convert|{{#expr: 13452/96 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၁၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Anguilla.html Preliminary 2011 census result] |- |align=center|92 |align=left|{{IDN}} |{{convert|1,904,569|km2|0|disp=table}} |၂၆၅,၀၁၅,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 265015300/1904569 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.bps.go.id/ Official projection] |- |align=center|93 |align=left|{{CZE}} |{{convert|78,867|km2|0|disp=table}} |၁၀,၆၁၃,၃၅၀ |{{convert|{{#expr: 10613350/78867 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.czso.cz/csu/czso/population Official quarterly estimate] |- |align=center|94 |align=left|{{THA}} |{{convert|513,120|km2|0|disp=table}} |၆၉,၁၈၃,၁၇၃ |{{convert|{{#expr: 69183173/513120 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|95 |align=left|{{DNK}} |{{convert|43,098|km2|0|disp=table}} |၅,၇၈၅,၈၆၄ |{{convert|{{#expr: 5785864/43098 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.dst.dk/en/Statistik/emner/befolkning-og-valg/befolkning-og-befolkningsfremskrivning/folketal Quarterly official estimate] |- |align=center|96 |align=left|{{CPV}} |{{convert|4,033|km2|0|disp=table}} |၅၄၄,၀၈၁ |{{convert|{{#expr: 537661/4033 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://ine.cv/wp-content/plugins/ine-download-attachments-by-zing-developers/includes/download.php?id=7989 Official annual projection] |- |align=center|98 |align=left|{{TOG}} |{{convert|56,600|km2|0|disp=table}} |၇,၃၅၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 7352000/56600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat-togo.org/contenu/pdf/Perspectives-demographiques-final-2016-05.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180827105948/http://www.stat-togo.org/contenu/pdf/Perspectives-demographiques-final-2016-05.pdf |date=27 August 2018 }} |- |align=center|99 |align=left|{{FRA}} |{{convert|543,965|km2|0|disp=table}} |၆၇,၂၄၇,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 67247000/543965 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.insee.fr/fr/bases-de-donnees/bsweb/serie.asp?idbank=001641607 Monthly official estimate] |- |align=center|100 |align=left|{{GHA}} |{{convert|238,533|km2|0|disp=table}} |၂၉,၆၁၄,၃၃၇ |{{convert|{{#expr: 29614337/238533 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statsghana.gov.gh/ Official projection] |- |align=center|101 |align=left|{{POL}} |{{convert|312,685|km2|0|disp=table}} |၃၈,၄၂၆,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 38426000/312685 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://stat.gov.pl/podstawowe-dane/ Official estimate] |- |align=center|102 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Kurdistan.svg}}'' ''[[:en:Iraqi Kurdistan|Iraqi Kurdistan]]'' |{{convert|46,861|km2|0|disp=table}} |၅,၇၅၄,၇၇၀ |{{convert|{{#expr: 5754770/46861 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left| |- |align=center|103 |align=left|''{{MNP}}'' ([[United States|US]]) |{{convert|457|km2|0|disp=table}} |၅၃,၈၈၃ |{{convert|{{#expr: 53883/457 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၀ |align=left|[https://www.census.gov/newsroom/releases/archives/2010_census/cb11-cn178.html Final 2010 census result] |- |align=center|104 |align=left|{{UAE}} |{{convert|83,600|km2|0|disp=table}} |၉,၈၅၆,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 9856000/83600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2016/01/weodata/index.aspx Official estimate] |- |align=center|104 |align=left|''{{flag|Adjara}}'' |{{convert|2,880|km2|0|disp=table}} |၃၃၆,၀၇၇ |{{convert|{{#expr: 336077/2880 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၄ |align=left| |- |align=center|105 |align=left|{{AZE}} |{{convert|86,600|km2|0|disp=table}} |၉,၈၉၈,၀၈၅ |{{convert|{{#expr: 9898085/86600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.stat.gov.az/news/index.php?id=3776&lang=en Official estimate] |- |align=center|105 |align=left|''{{flag|Transnistria}}'' |{{convert|4,163|km2|0|disp=table}} |၄၇၅,၆၆၅ |{{convert|{{#expr: 475665/4163 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |အောက်တိုဘာ ၁၄၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://flux.md/stiri/social/populatia-transnistriei-scazut-cu-143-la-suta.html/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170803130923/http://flux.md/stiri/social/populatia-transnistriei-scazut-cu-143-la-suta.html/ |date=3 August 2017 }} |- |align=center|106 |{{data Jordan|popdens}} |align=left|[http://dosweb.dos.gov.jo/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190818112822/http://dosweb.dos.gov.jo/ |date=18 August 2019 }} |- |align=center|107 |align=left|{{PRT}} |{{convert|92,090|km2|0|disp=table}} |၁၀,၂၉၁,၀၂၇ |{{convert|{{#expr: 10291027/92090 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.ine.pt/xportal/xmain?xpgid=ine_main&xpid=INE Official estimate] |- |align=center|108 |align=left|{{SVK}} |{{convert|49,036|km2|0|disp=table}} |၅,၄၄၃,၁၂၀ |{{convert|{{#expr: 5443120/49036 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://portal.statistics.sk/showdoc.do?docid=68588 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202031417/http://portal.statistics.sk/showdoc.do?docid=68588 |date=2 February 2017 }} |- |align=center|109 |align=left|{{UZB}} |{{convert|447,400|km2|0|disp=table}} |၃၀,၅၂၂,၅၉၆ |{{convert|{{#expr: 30522596/284078 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|Sum of Uzbekistan - Karakalpakstan area and population |- |align=center|110 |align=left|{{AUT}} |{{convert|83,879|km2|0|disp=table}} |၈,၈၃၀,၄၈၇ |{{convert|{{#expr: 8830487/83879 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/bevoelkerung/bevoelkerungsstand_und_veraenderung/bevoelkerung_zu_jahres-_quartalsanfang/023582.html Official quarterly estimate] |- |align=center|111 |align=left|{{HUN}} |{{convert|93,029|km2|0|disp=table}} |၉,၇၇၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 9771000/93029 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ksh.hu/docs/hun/xstadat/xstadat_eves/i_wnt001b.html Annual official estimate] |- |align=center|112 |align=left|{{MDA}} |{{convert|33,843|km2|0|disp=table}} |၃,၅၅၀,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 3550900/33843 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statistica.md/category.php?l=ro&idc=103& Official estimate] |- |align=center|113 |align=left|{{TUR}} |{{convert|783,562|km2|0|disp=table}} |၈၀,၈၁၀,၅၂၅ |{{convert|{{#expr: 80810525/783562 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.turkstat.gov.tr/Start.do Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171108091816/http://www.turkstat.gov.tr/Start.do |date=8 November 2017 }} |- |align=center|114 |align=left|{{CUB}} |{{convert|109,884|km2|0|disp=table}} |၁၁,၂၂၁,၀၆၀ |{{convert|{{#expr: 11221060/109886 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.one.cu/publicaciones/cepde/indicadoresdemograficos/anual/2_tabla_1.pdf Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170731034341/http://www.one.cu/publicaciones/cepde/indicadoresdemograficos/anual/2_tabla_1.pdf |date=31 July 2017 }} |- |align=center|115 |align=left|{{SVN}} |{{convert|20,273|km2|0|disp=table}} |၂,၀၆၆,၈၈၀ |{{convert|{{#expr: 2066161/20273 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.si/StatWeb/en Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210225093240/http://www.stat.si/StatWeb/en |date=25 February 2021 }} |- |align=center|116 |align=left|{{ETH}} |{{convert|1,063,652|km2|0|disp=table}} |၁၀၇,၅၃၄,၈၈၂ |{{convert|{{#expr: 107534882/1063652 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|117 |align=left|{{BEN}} |{{convert|112,622|km2|0|disp=table}} |၁၁,၃၆၂,၂၆၉ |{{convert|{{#expr: 11362269/112622 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.insae-bj.org/Migration.html?file=files/stats-demographiques/STATISTIQUES%20DEMOGRAPHIQUES.xlsx Official projection] |- |align=center|118 |align=left|{{ARM}} |{{convert|29,743|km2|0|disp=table}} |၂,၉၇၂,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 2972900/29743 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.armstat.am/en/?nid=126&id=19001&submit=Search Official quarterly estimate] |- |align=center|119 |align=left|{{ALB}} |{{convert|28,703|km2|0|disp=table}} |၂,၈၇၀,၃၂၄ |{{convert|{{#expr: 2870324/28703 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.instat.gov.al/en/themes/population/publications/books/2017/population-of-albania,-1-januar-2017.aspx Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171016015101/http://www.instat.gov.al/en/themes/population/publications/books/2017/population-of-albania,-1-januar-2017.aspx |date=16 October 2017 }} |- |align=center|120 |align=left|{{SYR}} |{{convert|185,180|km2|0|disp=table}} |၁၈,၂၈၄,၄၀၇ |{{convert|{{#expr: 18284407/185180 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|121 |align=left|{{SLE}} |{{convert|71,740|km2|0|disp=table}} |၇,၀၇၅,၆၄၁ |{{convert|{{#expr: 7075641/71740 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၄၊ ၂၀၁၅ |align=left|[https://www.statistics.sl/wp-content/uploads/2016/06/2015-Census-Provisional-Result.pdf Preliminary 2015 census result] |- |align=center|122 |{{data Malaysia|popdens}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Malaysia, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |align=left|[http://www.statistics.gov.my Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080611041219/http://www.statistics.gov.my/ |date=11 June 2008 }} |- |align=center|123 |align=left|{{CRI}} |{{convert|51,100|km2|0|disp=table}} |၄,၉၄၇,၄၉၀ |{{convert|{{#expr: 4947490/51100 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.inec.go.cr/ Official estimate] |- |align=center|124 |{{data Egypt|popdens}} |align=left|[http://www.capmas.gov.eg Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230907025744/https://www.capmas.gov.eg/ |date=7 September 2023 }} |- |align=center|125 |align=left|{{DMA}} |{{convert|739|km2|0|disp=table}} |၇၁,၂၉၃ |{{convert|{{#expr: 71293/739 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၄၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.dominica.gov.dm/cms/files/2011_census_report.pdf Preliminary 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190608104411/http://www.dominica.gov.dm/cms/files/2011_census_report.pdf |date=8 June 2019 }} |- |align=center|126 |align=left|{{TRNC}}<ref>[[တူရကီနိုင်ငံ]]တစ်ခုတည်းသာ အသိအမှတ်ပြုသည်။</ref> |{{convert|3355|km2|0|disp=table}} |၃၁၃,၆၂၆ |{{convert|{{#expr: 313626/3355 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၄ |align=left|[http://www.devplan.org/Ecosos/BOOK/SEG-2014.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160108225108/http://www.devplan.org/Ecosos/BOOK/SEG-2014.pdf |date=8 January 2016 }} |- |align=center|127 |align=left|{{ESP}} |{{convert|505,990|km2|0|disp=table}} |၄၆,၅၄၉,၀၄၅ |{{convert|{{#expr: 46549045/505990 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.es/dyngs/INEbase/es/operacion.htm?c=Estadistica_C&cid=1254736176951&menu=ultiDatos&idp=1254735572981 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170628123003/http://www.ine.es/dyngs/INEbase/es/operacion.htm?c=Estadistica_C&cid=1254736176951&menu=ultiDatos&idp=1254735572981 |date=28 June 2017 }} |- |align=center|128 |align=left|{{KHM}} |{{convert|181,035|km2|0|disp=table}} |၁၆,၃၁၆,၁၃၆ |{{convert|{{#expr: 16316136/181035 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.go.jp/info/meetings/cambodia/pdf/rp12_ch10.pdf Official annual projection] |- |align=center|129 |align=left|{{SRB}} |{{convert|77,474|km2|0|disp=table}} |၆,၉၂၅,၁၈၈ |{{convert|{{#expr: 6925188/77474 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.gov.rs/WebSite/Public/PageView.aspx?pKey=2 Official estimate] |- |align=center|130 |align=left|{{KEN}} |{{convert|581,834|km2|0|disp=table}} |၅၀,၉၅၀,၈၇၉ |{{convert|{{#expr: 50950879/581834 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|131 |align=left|{{IRQ}} <ref>''Excluding'' the population and area of [[Iraqi Kurdistan]], which cover governorates of [[Erbil Governorate|Erbil]], [[Sulaymaniyah Governorate|Sulaymaniyah]], [[Halabja Governorate|Halabja]] and [[Dohuk Governorate|Dohuk]]. '''BUT''' including [[Kirkuk Governorate]] and [[Diyala Governorate]]</ref> |{{convert|387,267|km2|0|disp=table}} |၃၄,၂၅၅,၂၅၀ |{{convert|{{#expr: 34255250/387267 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|132 |align=left|{{GRE}} |{{convert|131,957|km2|0|disp=table}} |၁၀,၇၆၈,၁၉၃ |{{convert|{{#expr: 10768193/131957 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210110002613/http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- |date=10 January 2021 }} |- |align=center|133 |align=left|{{ROM}} |{{convert|238,391|km2|0|disp=table}} |၁၉,၆၃၈,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 19638000/238391 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |January 1, 2017 |align=left|[http://www.insse.ro/cms/sites/default/files/com_presa/com_pdf/poprez_ian2017e.pdf Official annual estimate] |- |align=center|134 |align=left|{{MKD}} |{{convert|25,713|km2|0|disp=table}} |၂,၀၇၃,၇၀၂ |{{convert|{{#expr: 2073702/25713 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.stat.gov.mk/OblastOpsto_en.aspx?id=2 Official estimate] |- |align=center|135 |align=left|{{MYA}} |{{convert|676,577|km2|0|disp=table}} |၅၄,၃၆၃,၄၂၆ |{{convert|{{#expr: 54363426/676577 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၂၉၊ ၂၀၁၄ |align=left|[http://www.straitstimes.com/news/asia/east-asia/story/myanmar-census-shows-population-9-million-fewer-estimated-20140830 Preliminary 2014 census result] |- |align=center|136 |align=left|{{HON}} |{{convert|112,492|km2|0|disp=table}} |၉,၀၁၂,၂၂၉ |{{convert|{{#expr: 9012229/112492 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ine.gob.hn/images/Productos%20ine/censo/Censo%202013/Proyecciones/Proyecciones%20Ine%202018.xlsx Official projection] |- |align=center|137 |align=left|{{SEN}} |{{convert|196,722|km2|0|disp=table}} |၁၅,၇၂၆,၀၃၇ |{{convert|{{#expr: 15726037/196722 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ansd.sn/ Official projection] |- |align=center|138 |{{data Morocco|popdens}} |align=left|[http://www.hcp.ma Official population clock] |- |align=center|139 |align=left|{{TLS}} |{{convert|14,919|km2|0|disp=table}} |၁,၁၆၇,၂၄၂ |{{convert|{{#expr: 1167242/14919 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.statistics.gov.tl/wp-content/uploads/2015/10/1-Preliminary-Results-4-Printing-Company-19102015.pdf Preliminary 2015 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210225112143/http://www.statistics.gov.tl/wp-content/uploads/2015/10/1-Preliminary-Results-4-Printing-Company-19102015.pdf |date=25 February 2021 }} |- |align=center|140 |align=left|''{{PYF}}'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|3,521|km2|0|disp=table}} |၂၆၈,၂၇၀ |{{convert|{{#expr: 268270/3521 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၂၂၊ ၂၀၁၂ |align=left|[https://web.archive.org/web/20140221193409/http://www.ispf.pf/Libraries/RP2012/Premiers_r%C3%A9sultats_population_l%C3%A9gale.sflb.ashx Preliminary 2012 census result] |- |align=center|141 |align=left|''{{TCA}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|497|km2|0|disp=table}} |၃၇,၉၁၀ |{{convert|{{#expr: 37910/497 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.sppdtci.com/welcome Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071744/http://www.sppdtci.com/welcome |date=3 April 2019 }} |- |align=center|142 |align=left|{{CIV}} |{{convert|322,921|km2|0|disp=table}} |၂၄,၂၉၅,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 24295000/322921 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|143 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Arabistan.svg}}'' ''Khuzestan'' |{{convert|64,055|km2|0|disp=table}} |၄,၇၁၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 4711000/64055 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.amar.org.ir/دادهها-و-اطلاعات-آماری/جمعیت-و-نیروی-کار/جمعیت#5581721--] |- |align=center|143 |align=left|{{LES}} |{{convert|30,355|km2|0|disp=table}} |၂,၂၃၃,၃၃၉ |{{convert|{{#expr: 2233339/30355 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|144 |align=left|{{CRO}} |{{convert|56,542|km2|0|disp=table}} |၄,၁၅၄,၂၁၃ |{{convert|{{#expr: 4154213/56542 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.dzs.hr/Eng/system/first_results.htm#MIG Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170705025245/http://www.dzs.hr/Eng/system/first_results.htm#MIG |date=5 July 2017 }} |- |align=center|145 |align=left|{{BFA}} |{{convert|270,764|km2|0|disp=table}} |၁၉,၆၃၂,၁၄၇ |{{convert|{{#expr: 19632147/270764 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf Annual official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161221060141/http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf |date=21 December 2016 }} |- |align=center|146 |align=left|{{BRU}} |{{convert|5,765|km2|0|disp=table}} |၄၂၂,၆၇၈ |{{convert|{{#expr: 422678/5765 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.depd.gov.bn/SitePages/National%20Statistics.aspx Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161111141102/http://www.depd.gov.bn/SitePages/National%20Statistics.aspx |date=11 November 2016 }} |- |align=center|147 |align=left|{{TUN}} |{{convert|163,610|km2|0|disp=table}} |၁၁,၄၄၆,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 11446300/163610 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ins.tn/en/themes/population#417 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191128201634/http://www.ins.tn/en/themes/population#417 |date=28 November 2019 }} |- |align=center|148 |align=left|{{UKR}}<ref name="auto">[[ခရိုင်းမီးယားကျွန်းဆွယ်]] မပါဝင်ပေ။</ref> |{{convert|603,000 |km2|0|disp=table}} |၄၂,၃၀၀,၇၂၃ |{{convert|{{#expr: 42300723/603000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160808023040/http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp |date=8 August 2016 }} |- |align=center|149 |align=left|{{SAM}} |{{convert|2,831|km2|0|disp=table}} |၁၉၇,၄၄၈ |{{convert|{{#expr: 197448/2831 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.sbs.gov.ws/index.php/population-demography-and-vital-statistics Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403053500/http://www.sbs.gov.ws/index.php/population-demography-and-vital-statistics |date=3 April 2019 }} |- |align=center|150 |align=left|{{BIH}} |{{convert|51,209|km2|0|disp=table}} |၃,၅၁၁,၃၇၂ |{{convert|{{#expr: 3511372/51209 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.bhas.ba/tematskibilteni/DEM_00_2016_TB_0_BS.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181114162731/http://www.bhas.ba/tematskibilteni/DEM_00_2016_TB_0_BS.pdf |date=14 November 2018 }} |- |align=center|151 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Ireland.svg}}'' [[Republic of Ireland]] |{{convert|70,273|km2|0|disp=table}} |၄,7၇၉၂,၅၀၀ |{{convert|{{#expr: 4792500/70273 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://pdf.cso.ie/www/pdf/20170928092709_Population_and_Migration_Estimates_April_2017_full.pdf Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180616001932/https://pdf.cso.ie/www/pdf/20170928092709_Population_and_Migration_Estimates_April_2017_full.pdf |date=16 June 2018 }} |- |align=center|153 |align=left|{{SWZ}} |{{convert|17,364|km2|0|disp=table}} |၁,၁၄၅,၉၇၀ |{{convert|{{#expr: 1145970/17364 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.swazistats.org.sz/images/reports/Swaziland%20Population%20Projections%202007_2030%20Report.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190622185212/http://www.swazistats.org.sz/images/reports/Swaziland%20Population%20Projections%202007_2030%20Report.pdf |date=22 June 2019 }} |- |align=center|154 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Bonaire.svg}}'' [[Bonaire]] |{{convert|294|km2|0|disp=table}} |၁၉,၄၀၈ |{{convert|{{#expr: 19408/294 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.statista.com/statistics/706799/population-of-bonaire-in-the-caribbean-netherlands/] |- |align=center|155 |align=left|''{{NFK}}'' ([[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]]) |{{convert|35|km2|0|disp=table}} |၂,၃၀၂ |{{convert|{{#expr: 2302/35 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |align=left|[https://web.archive.org/web/20160303200110/http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Norfolk_Island/report.pdf 2011 census result] |- |align=center|155 |align=left|{{BUL}} |{{convert|111,002|km2|0|disp=table}} |၇,၀၅၀,၀၃၄ |{{convert|{{#expr: 7050034/111002 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.nsi.bg/en/content/15001/%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%8A%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5/population-and-demographic-processes-2016 Official annual estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180625083115/http://www.nsi.bg/en/content/15001/%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%8A%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5/population-and-demographic-processes-2016 |date=25 June 2018 }} |- |align=center|156 |align=left|''{{COK}}'' ([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]]) |{{convert|237|km2|0|disp=table}} |၁၄,၉၇၄ |{{convert|{{#expr: 14974/237 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၁၊ ၂၀၁၁ |align=left|[https://web.archive.org/web/20130502230514/http://www.mfem.gov.ck/docs/Stats/2012/Census/2011%20Cook%20Islands%20Population%20Census%20Report.pdf Final 2011 census result] |- |align=center|157 |align=left|{{MEX}} |{{convert|1,967,138|km2|0|disp=table}} |၁၂၄,၂၈၆,၆၂၃ |{{convert|{{#expr: 124286623/1967138 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www3.inegi.org.mx/sistemas/temas/default.aspx?s=est&c=25433&t=1 Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151210212235/http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/proyectos/encuestas/hogares/especiales/ei2015/doc/eic2015_resultados.pdf |date=10 December 2015 }} |- |align=center|158 |align=left|{{YEM}} |{{convert|455,000|km2|0|disp=table}} |၂၈,၂၅၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 28250000/455000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|159 |align=left|{{TJK}} |{{convert|143,100|km2|0|disp=table}} |၈,၉၃၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 8931000/143100 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.tj/en Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120306125630/http://www.stat.tj/en/ |date=6 March 2012 }} |- |align=center|160 |{{data Ecuador|popdens}} |align=left|[http://www.ecuadorencifras.gob.ec/proyecciones-poblacionales/ Official projection] |- |align=center|161 |align=left|{{TAN}} |{{convert|881,288|km2|0|disp=table}} |၅၂,၈၉၅,၅၉၄ |{{convert|{{#expr: 52895594/881288 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.nbs.go.tz/ Official annual estimate] |- |align=center|162 |align=left|{{PAN}} |{{convert|74,177|km2|0|disp=table}} |၄,၁၅၈,၇၈၃ |{{convert|{{#expr: 4158783/74177 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.contraloria.gob.pa/inec/archivos/P4741CUADRO14.xls Official projection] |- |align=center|163 |align=left|{{GEO}} |{{convert|69,700|km2|0|disp=table}} |၃,၇၂၉,၆၀၀ |{{convert|{{#expr: 3729600/69700 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.geostat.ge/index.php?action=page&p_id=152&lang=eng Official estimate] |- |align=center|164 |align=left|{{GUI}} |{{convert|245,857|km2|0|disp=table}} |၁၂,၇၁၇,၁၇၆ |{{convert|{{#expr: 12717176/245857 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|165 |align=left|{{NIC}} |{{convert|121,428|km2|0|disp=table}} |၆,၂၆၂,၇၀၃ |{{convert|{{#expr: 6262703/121428 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.bcn.gob.ni/publicaciones/periodicidad/anual/nicaragua_cifras/nicaragua_cifras.pdf Official estimate] |- |align=center|166 |align=left|{{CMR}} |{{convert|466,050|km2|0|disp=table}} |၂၃,၇၉၄,၁၆ |{{convert|{{#expr: 23794164/466050 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.bucrep.cm/index.php/en/ Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224204444/http://www.bucrep.cm/index.php/en/ |date=24 February 2021 }} |- |align=center|167 |{{data Iran|popdens}} |align=left|[http://www.amar.org.ir/english/Population-help Official population clock] |- |align=center|168 |align=left|''{{MSR}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|102|km2|0|disp=table}} |၄,၉၂၂ |{{convert|{{#expr: 4922/102 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၂၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.gov.ms/wp-content/uploads/2011/02/Montserrat-At-A-Glance.pdf 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071254/http://www.gov.ms/wp-content/uploads/2011/02/Montserrat-At-A-Glance.pdf |date=3 April 2019 }} |- |align=center|169 |align=left|''{{flagicon image|Flag_of_Wallis_and_Futuna.svg}}'' ''[[:en:Wallis & Futuna|Wallis & Futuna]]'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|274|km2|0|disp=table}} |၁၃,၁၃၅ |{{convert|{{#expr: 13135/274 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.spc.int/sdp/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=158&Itemid=42&lang=en Official estimate] |- |align=center|170 |align=left|{{FIJ}} |{{convert|18,333|km2|0|disp=table}} |၈၆၉,၄၅၈ |{{convert|{{#expr: 869458/18333 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.statsfiji.gov.fj/ Official estimate] |- |align=center|171 |align=left|{{RSA}} |{{convert|1,220,813|km2|0|disp=table}} |၅၆,၅၂၁,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 56521900/1220813 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statssa.gov.za/publications/P0302/P03022017.pdf Official estimate] |- |align=center|172 |align=left|{{BLR}} |{{convert|207,600|km2|0|disp=table}} |၉,၄၈၄,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 9484300/207600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.belstat.gov.by/en/ Quarterly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191101195839/http://www.belstat.gov.by/en/ |date=1 November 2019 }} |- |align=center|173 |align=left|''{{flagicon image|Flag of_Afghanistan_(2004-2013).svg}}'' [[အာဖကန်နစ္စတန်နိုင်ငံ]] |{{convert|645,807|km2|0|disp=table}} |၂၉,၇၂၄,၃၂၃ |{{convert|{{#expr: 29724323/645807 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180706033430/http://www.cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 |date=6 July 2018 }} |- |align=center|174 |align=left|{{MNE}} |{{convert|13,812|km2|0|disp=table}} |၆၂၂,၃၈၇ |{{convert|{{#expr: 622387/13812 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.monstat.org/eng/page.php?id=234&pageid=48 Official estimate] |- |align=center|175 |align=left|{{ERI}} |{{convert|121,100|km2|0|disp=table}} |၅,၄၈၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 5482000/121100 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|176 |align=left|{{LBR}} |{{convert|97,036|km2|0|disp=table}} |၄,၂၈၉,၅၂၀ |{{convert|{{#expr: 4289520/97036 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.lisgis.net/pg_img/Population%20Projection%20final%20110512.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224150241/http://www.lisgis.net/pg_img/Population%20Projection%20final%20110512.pdf |date=24 February 2021 }} |- |align=center|177 |align=left|{{MDG}} |{{convert|587,041|km2|0|disp=table}} |၂၅,၅၇၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 25571000/587041 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|178 |align=left|{{GNQ}} |{{convert|28,051|km2|0|disp=table}} |၁,၂၂၂,၄၄၂ |{{convert|{{#expr: 1222442/28051 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.inege.gq/ Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170420050225/http://www.inege.gq/ |date=20 April 2017 }} |- |align=center|179 |{{data Colombia|popdens}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Colombia, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |align=left|[http://www.dane.gov.co/reloj Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161028083854/http://www.dane.gov.co/reloj/ |date=28 October 2016 }} |- |align=center|180 |align=left|{{PLW}} |{{convert|488|km2|0|disp=table}} |၂၀,၉၀၁ |{{convert|{{#expr: 20901/488 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.spc.int/sdp/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=158&Itemid=42&lang=en Official estimate] |- |align=center|181 |align=left|{{GNB}} |{{convert|36,125|km2|0|disp=table}} |၁,၅၅၃,၈၂၂ |{{convert|{{#expr: 1553822/36125 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.stat-guinebissau.com/publicacao/Projeccao_demografica.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202031343/http://www.stat-guinebissau.com/publicacao/Projeccao_demografica.pdf |date=2 February 2017 }} |- |align=center|182 |align=left|{{LIT}} |{{convert|65,300|km2|0|disp=table}} |၂,၈၀၂,၀၄၇ |{{convert|{{#expr: 2802047/65300 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://osp.stat.gov.lt/ Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224040352/http://osp.stat.gov.lt/ |date=24 February 2021 }} |- |align=center|183 |align=left|''{{CCK}}'' ([[ဩစတြေးလျ]]) |{{convert|14|km2|0|disp=table}} |၅၅၀ |{{convert|{{#expr: 550/14 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Australia-Agglo.html 2011 census result] |- |align=center|184 |align=left|{{DJI}} |{{convert|23,000|km2|0|disp=table}} |၈၆၄,၆၁၈ |{{convert|{{#expr: 864618/23000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.ministere-finances.dj/Annuaire2012Ver02102012-Correct3.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304053048/http://www.ministere-finances.dj/Annuaire2012Ver02102012-Correct3.pdf |date=4 March 2016 }} |- |align=center|185 |align=left|{{ZIM}} |{{convert|390,757|km2|0|disp=table}} |၁၄,၈၄၈,၉၀၅ |{{convert|{{#expr: 14848905/390757 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160428150301/http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf |date=28 April 2016 }} |- |align=center|186 |align=left|''{{flag|Saint Helena}}'' ([[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|UK]]) |{{convert|122|km2|0|disp=table}} |၄,၅၃၄ |{{convert|{{#expr: 4534/122 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဖေဖော်ဝါရီ ၇၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.sainthelena.gov.sh/wp-content/uploads/2016/06/Census-2016-summary-report.pdf 2016 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161017192624/http://www.sainthelena.gov.sh/wp-content/uploads/2016/06/Census-2016-summary-report.pdf |date=17 October 2016 }} |- |align=center|187 |align=left|{{COD}} |{{convert|2,345,095|km2|0|disp=table}} |၈၄,၀၀၄,၉၈၉ |{{convert|{{#expr: 84004989/2345095 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|188 |align=left|{{MOZ}} |{{convert|799,380|km2|0|disp=table}} |၂၈,၈၆၁,၈၆၃ |{{convert|{{#expr: 28861863/799380 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.gov.mz/operacoes-estatisticas/censos/censo-2007/censo-2017/resultados-preliminares-iv-rgph-2017 Official census result] |- |align=center|189 |align=left|{{VEN}} |{{convert|916,445|km2|0|disp=table}} |၃၁,၈၂၈,၁၁၀ |{{convert|{{#expr: 31828110/916445 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071317/http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls |date=3 April 2019 }} |- |align=center|190 |align=left|''{{FRO}}'' ([[ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ]]) |{{convert|1,399|km2|0|disp=table}} |၅၀,၈၄၄ |{{convert|{{#expr: 48244/1399 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.hagstova.fo/en Official monthly estimate] |- |align=center|191 |{{data United States|Popdens}} |align=left|[https://www.census.gov/popclock Official population clock] |- |align=center|192 |align=left|{{KGZ}} |{{convert|199,945|km2|0|disp=table}} |၆,၁၄၀,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 6140200/199945 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://stat.kg/ru/publications/doklad-socialno-ekonomicheskoe-polozhenie-kyrgyzskoj-respubliki/ Official estimate] |- |align=center|193 |align=left|{{LAT}} |{{convert|64,562|km2|0|disp=table}} |၁,၉၂၃,၅၀၀ |{{convert|{{#expr: 1923500/64562 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.csb.gov.lv/en/statistikas-temas/population-key-indicators-30624.html Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130628214416/http://www.csb.gov.lv/en/statistikas-temas/population-key-indicators-30624.html |date=28 June 2013 }} |- |align=center|194 |align=left|{{EST}} |{{convert|45,339|km2|0|disp=table}} |၁,၃၁၅,၆၃၅ |{{convert|{{#expr: 1315635/45339 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.stat.ee/main-indicators Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121123153505/http://www.stat.ee/main-indicators |date=23 November 2012 }} |- |align=center|195 |align=left|{{BHS}} |{{convert|13,940|km2|0|disp=table}} |၃၈၆,၈၇၀ |{{convert|{{#expr: 386870/13940 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.bahamas.gov.bs/wps/wcm/connect/22f9b2b0-68fa-4a26-8bd8-474952e42dc2/Population+Projection+Report+2010-2040.pdf?MOD=AJPERES Official projection] |- |align=center|195 |align=left|''{{flag|Abkhazia}}'' |{{convert|8,660|km2|0|disp=table}} |၂၄၃,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 243200/8660 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |အောက်တိုဘာ ၁၄၊ ၂၀၁၅ |align=left| |- |align=center|196 |align=left|{{LAO}} |{{convert|236,800|km2|0|disp=table}} |၆,၄၉၂,၄၀၀ |{{convert|{{#expr: 6492400/236800 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၁၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.lsb.gov.la/ Preliminary 2015 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200318122158/https://www.lsb.gov.la/ |date=18 March 2020 }} |- |align=center|197 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Saint-Pierre_and_Miquelon.svg}}'' ''[[:en:Saint Pierre and Miquelon|Saint Pierre and Miquelon]]'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|242|m2|0|disp=table}} |၆,၀၈၁ |{{convert|{{#expr: 6081/242 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၀ |align=left|[http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/france-departements.asp?annee=2010 Official estimate] |- |align=center|198 |align=left|{{PER}} |{{convert|1,285,216|km2|0|disp=table}} |၃၁,၈၂၆,၀၁၈ |{{convert|{{#expr: 31826018/1285216 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924034728/http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls |date=24 September 2015 }} |- |align=center|199 |{{data Brazil|popdens}} |align=left|[http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/index.html Official population clock] |- |align=center|200 |align=left|{{SOM}} |{{convert|461,537|km2|0|disp=table}} |၁၁,၂၃၄,၈၂၀ |{{convert|{{#expr: 11234820/461537 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|201 |align=left|{{ANG}} |{{convert|1,246,700|km2|0|disp=table}} |၂၉,၂၅၀,၀၀၉ |{{convert|{{#expr: 29250009/1246700 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160604103235/http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine |date=4 June 2016 }} |- |align=center|202 |align=left|{{CHL}} |{{convert|756,096|km2|0|disp=table}} |၁၇,၃၇၃,၈၃၁ |{{convert|{{#expr: 17373831/756096 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.cl/prensa/detalle-prensa/2017/08/31/segun-cifras-preliminares-del-censo-2017-poblacion-censada-en-chile-llega-a-17373831-personas Preliminary 2017 census result] |- |align=center|203 |align=left|{{SOL}} |{{convert|28,370|km2|0|disp=table}} |၆၅၁,၇၀၀ |{{convert|{{#expr: 651700/28370 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://sdd.spc.int/en/resources/document-library?view=download&format=raw&fileId=580 Official annual estimate]{{Dead link|date=May 2026 }} |- |align=center|204 |{{data Sweden|popdens}} |align=left|[http://www.scb.se/en/ Official population clock] |- |align=center|205 |align=left|{{ZAM}} |{{convert|752,612|km2|0|disp=table}} |၁၆,၄၀၅,၂၂၉ |{{convert|{{#expr: 16405229/752612 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.zamstats.gov.zm/phocadownload/Zambia%20Census%20Projection%202011%20-%202035.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226001102/http://www.zamstats.gov.zm/phocadownload/Zambia%20Census%20Projection%202011%20-%202035.pdf |date=26 February 2021 }} |- |align=center|206 |align=left|{{SDN}} |{{convert|1,839,542|km2|0|disp=table}} |၄၀,၇၈၂,၇၄၂ |{{convert|{{#expr: 40782742/1839542 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.cbs.gov.sd/en/download.php?id=45&file=Pop._Proj._by_satates137.pdf&count=65 Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171020065151/http://www.cbs.gov.sd/en/download.php?id=45&file=Pop._Proj._by_satates137.pdf&count=65 |date=20 October 2017 }} |- |align=center|207 |align=left|{{VAN}} |{{convert|12,190|km2|0|disp=table}} |၂၇၂,၄၅၉ |{{convert|{{#expr: 272459/12190 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://sdd.spc.int/en/news/latest-news/138-vanuatu-2016-post-pam-mini-census-report Official mini-census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180718105012/http://sdd.spc.int/en/news/latest-news/138-vanuatu-2016-post-pam-mini-census-report |date=18 July 2018 }} |- |align=center|208 |align=left|''{{flagicon image|Flag of the Inner Mongolian People's Party.svg}}'' ''[[:en:Inner Mongolia|Inner Mongolia]]'' |{{convert|1,183,000|km2|0|disp=table}} |၂၅,၂၀၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 25200000/1183000 round 1}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left| |- |align=center|209 |align=left|{{BTN}} |{{convert|38,394|km2|0|disp=table}} |၈၀၂,၂၉၆ |{{convert|{{#expr: 802296/38394 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၂၀၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.nsb.gov.bt/main/main.php#&slider1=1 Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160319084148/http://www.nsb.gov.bt/main/main.php#&slider1=1 |date=19 March 2016 }} |- |align=center|210 |align=left|{{SSD}} |{{convert|644,329|km2|0|disp=table}} |၁၂,၅၇၅,၇၁၄ |{{convert|{{#expr: 12575714/644329 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |align=center|211 |align=left|{{flag|Somaliland}} |{{convert|176,120|km2|0|disp=table}} |၃,၅၀၈,၁၈၀ |{{convert|{{#expr: 3508180/176120 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left| |- |align=center|212 |align=left|''{{ALA}}'' ([[ဖင်လန်နိုင်ငံ]]) |{{convert|1,552|km2|0|disp=table}} |၂၈,၅၀၂ |{{convert|{{#expr: 28502/1552 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၂ |align=left|[http://www.asub.ax/start.con?iLan=2 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161115211225/http://www.asub.ax/start.con?iLan=2 |date=15 November 2016 }} |- |align=center|213 |align=left|{{ALG}} |{{convert|2,381,741|km2|0|disp=table}} |၄၁,၆၉၇,၄၉၈ |{{convert|{{#expr: 41697498/2381741 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ons.dz/IMG/pdf/DemogAlgerienne_2016.pdf Official projection] |- |align=center|214 |align=left|{{NER}} |{{convert|1,186,408|km2|0|disp=table}} |၂၁,၄၇၇,၃၄၈ |{{convert|{{#expr: 21477348/1186408 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |align=center|215 |{{data New Zealand|popdens}} |align=left|[https://web.archive.org/web/20100604223109/http://www.stats.govt.nz/methods_and_services/population_clock.aspx Official population clock] |- |align=center|216 |align=left|{{PNG}} |{{convert|462,840|km2|0|disp=table}} |၈,၁၅၁,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 8151300/462840 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170716183647/http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics |date=16 July 2017 }} |- |align=center|217 |align=left|{{URU}} |{{convert|176,215|km2|0|disp=table}} |၂,၉၉၀,၄၅၂ |{{convert|{{#expr: 2990452/176215 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ine.gub.uy/web/guest/estimaciones-y-proyecciones Official annual projection] |- |align=center|218 |align=left|{{PAR}} |{{convert|406,752|km2|0|disp=table}} |၇,၅၀၂,၉၈၃ |{{convert|{{#expr: 6953646/406752 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.dgeec.gov.py/Publicaciones/Biblioteca/proyeccion%20nacional/Estimacion%20y%20proyeccion%20Nacional.pdf Official projection] |- |align=center|219 |align=left|{{BLZ}} |{{convert|22,965|km2|0|disp=table}} |၃၈၇,၈၇၉ |{{convert|{{#expr: 387879/22965 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://sib.org.bz/ Official annual estimate] |- |align=center|220 |align=left|{{NOR}} |{{convert|323,782|km2|0|disp=table}} |၅,၃၀၂,၇၇၈ |{{convert|{{#expr: 5302778/323782 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://ssb.no/en/forside?hide-from-left-menu=true&language-code=en&menu-root-alternative-language=true Quarterly official estimate] |- |align=center|221 |align=left|{{FIN}} |{{convert|338,424|km2|0|disp=table}} |၅,၅၁၃,၇၀၈ |{{convert|{{#expr: 5513708/338424 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://tilastokeskus.fi/til/vamuu/index_en.html Official monthly estimate] |- |align=center|222 |align=left|{{ARG}} |{{convert|2,780,400|km2|0|disp=table}} |၄၄,၀၄၄,၈၁၁ |{{convert|{{#expr: 44044811/2780400 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.indec.gob.ar/nivel4_default.asp?id_tema_1=2&id_tema_2=24&id_tema_3=84 Annual official estimate] |- |align=center|222 |align=left|{{SAU}} |{{convert|2,149,690|km2|0|disp=table}} |၃၃,၉၀၅,၃၂၀ |{{convert|{{#expr: 33905320/2149690 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.stats.gov.sa/en/43 Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200803060537/https://www.stats.gov.sa/sites/default/files/population_by_age_groups_and_gender_en.pdf |date=3 August 2020 }} |- |align=center|222 |align=left|{{COG}} |{{convert|342,000|km2|0|disp=table}} |၅,၂၆၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 5261000/342000 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|223 |align=left|{{MLI}} |{{convert|1,248,574|km2|0|disp=table}} |၁၈,၅၄၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 18542000/1248574 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|224 |align=left|''{{CXR}}'' ([[ဩစတြေးလျ]]) |{{convert|137|km2|0|disp=table}} |၂,၀၇၂ |{{convert|{{#expr: 2072/137 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၉၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Australia-Agglo.html 2011 census result] |- |align=center|225 |align=left|''{{NCL}}'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|18,575|km2|0|disp=table}} |၂၅၈,၉၅၈ |{{convert|{{#expr: 258958/18575 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.spc.int/sdp/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=158&Itemid=42&lang=en Official estimate] |- |align=center|226 |align=left|{{OMN}} |{{convert|309,500|km2|0|disp=table}} |၄,၁၈၃,၈၄၁ |{{convert|{{#expr: 4183841/309500 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၉၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.ncsi.gov.om/NCSI_website Weekly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140530052708/http://www.ncsi.gov.om/NCSI_website |date=30 May 2014 }} |- |align=center|227 |align=left|''{{flag|Artsakh}}'' |{{convert|11,458|km2|0|disp=table}} |၁၅၀,၉၃၂ |{{convert|{{#expr: 150932/11458 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |အောက်တိုဘာ ၁၄၊ ၂၀၁၅ |align=left| |- |align=center|228 |align=left|{{TKM}} |{{convert|491,210|km2|0|disp=table}} |၅,၇၅၈,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 5758000/491210 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|229 |align=left|{{CHA}} |{{convert|1,284,000|km2|0|disp=table}} |၁၄,၉၀၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 14900000/1284000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|230 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Karakalpakstan.svg}}'' ''[[:en:Karakalpakstan|Karakalpakstan]]'' |{{convert|164,900|km2|0|disp=table}} |၁,၇၁၁,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 1711800/164900 round 1}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left| |- |align=center|231 |align=left|''{{flag|Ascension Island}}'' ([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]]) |{{convert|88|km2|0|disp=table}} |၈၈၀ |{{convert|{{#expr: 880/88 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဖေဖော်ဝါရီ ၁၀၊ ၂၀၀၈ |align=left|[https://web.archive.org/web/20140629183023/http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Saint_Helena/Saint_Helena.pdf Preliminary 2008 census result] |- |align=center|232 |align=left|{{BOL}} |{{convert|1,098,581|km2|0|disp=table}} |၁၁,၃၀၇,၃၁၄ |{{convert|{{#expr: 11307314/1098581 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.ine.gob.bo/index.php/demografia/introduccion-2 Official projection] |- |align=center|233 |align=left|{{RUS}}<ref name="ReferenceA">[[:en:Autonomous Republic of Crimea|ခရိုင်းမီးယား ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]နှင့် [[ဆီပတ်စတိုပိုမြို့]]တို့၏ ဧရိယာနှင့် လူဦးရေစာရင်းတို့ပါဝင်ပြီး [[ခရိုင်းမီးယားကျွန်းဆွယ်]]ရှိ ယူကရိန်းနိုင်ငံ အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသတို့ကို ရုရှားနိုင်ငံက ပိုင်ဆိုင်သည်ဟု ကြော်ငြာထားပြီး ဖြစ်သည်။</ref> |{{convert|17,125,242|km2|0|disp=table}} |၁၄၆,၈၇၇,၀၈၈ |{{convert|{{#expr: 146877088/17125242 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/demo/PrPopul2018.xlsx Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180615205958/http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/demo/PrPopul2018.xlsx |date=15 June 2018 }} |- |align=center|234 |align=left|{{GAB}} |{{convert|267,667|km2|0|disp=table}} |၂,၀၆၇,၅၆၁ |{{convert|{{#expr: 2067561/267667 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|235 |align=left|{{CAF}} |{{convert|622,436|km2|0|disp=table}} |၄,၇၃၇,၄၂၃ |{{convert|{{#expr: 4737423/622436 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|236 |align=left|{{KAZ}} |{{convert|2,724,900|km2|0|disp=table}} |၁၈,၂၃၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 18232000/2724900 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.gov.kz/faces/homePage Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140906014010/http://www.stat.gov.kz/faces/homePage |date=6 September 2014 }} |- |align=center|237 |align=left|''{{NIU}}'' ([[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ|NZ]]) |{{convert|261|km2|0|disp=table}} |၁,၆၁၃ |{{convert|{{#expr: 1613/261 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၁၀၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Niue.html Final 2011 census result] |- |align=center|238 |align=left|{{GUY}} |{{convert|214,999|km2|0|disp=table}} |၇၈၂,၂၂၅ |{{convert|{{#expr: 782225/214999 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|239 |align=left|{{LBY}} |{{convert|1,770,060|km2|0|disp=table}} |၆,၄၇၀,၉၅၆ |{{convert|{{#expr: 6470956/1770060 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|240 |{{data Canada|popdens}} |align=left|[http://www.statcan.gc.ca/start-debut-eng.html Official estimate] |- |align=center|241 |align=left|{{BOT}} |{{convert|581,730|km2|0|disp=table}} |၂,၀၂၄,၉၀၄ |{{convert|{{#expr: 2024904/581730 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဩဂုတ် ၂၂၊ ၂၀၁၁ |align=left|[http://www.cso.gov.bw/media/2011%20Census%20_Alphabetical%20Index%20of%20Districts.pdf Final 2011 census result] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130525113252/http://www.cso.gov.bw/media/2011%20Census%20_Alphabetical%20Index%20of%20Districts.pdf |date=25 May 2013 }} |- |align=center|242 |align=left|{{SUR}} |{{convert|163,820|km2|0|disp=table}} |၅၆၈,၃၀၁ |{{convert|{{#expr: 568301/163820 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|243 |align=left|''{{flagicon image|Flag of Mauritania_(1959–2017).svg}}'' [[:en:Mauritania|Mauritania]] |{{convert|1,030,700|km2|0|disp=table}} |၃,၄၆၁,၀၄၁ |{{convert|{{#expr: 3461041/1030700 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[https://web.archive.org/web/20150925151255/http://www.ons.mr/doc/publication/Projectionpopulation.pdf Official estimate] |- |align=center|244 |align=left|{{ISL}} |{{convert|102,775|km2|0|disp=table}} |၃၅၀,၇၁၀ |{{convert|{{#expr: 350710/102775 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.statice.is/publications/news-archive/population/population-in-the-1st-quarter-2018/ Official estimate] |- |align=center|245 |{{data Australia|popdens|1}} |align=left|[http://www.abs.gov.au/ausstats/abs%40.nsf/94713ad445ff1425ca25682000192af2/1647509ef7e25faaca2568a900154b63?OpenDocument Official estimate] |- |align=center|246 |align=left|{{NAM}} |{{convert|825,118|km2|0|disp=table}} |၂,၄၁၃,၆၄၃ |{{convert|{{#expr: 2413643/825118 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://cms.my.na/assets/documents/p19dn4fhgp14t5ns24g4p6r1c401.pdf Official projection] |- |align=center|247 |align=left|''{{flagicon image|Flag of French Guiana.svg}}'' ''[[:en:French Guiana|French Guiana]]'' ([[ပြင်သစ်]]) |{{convert|86,504|km2|0|disp=table}} |၂၄၄,၁၁၈ |{{convert|{{#expr: 244118/86504 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၃ |align=left|[http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/france-regions.asp Official estimate] |- |align=center|248 |align=left|''{{flagicon image|Flag of China.svg}}'' ''[[:en:Tibet Autonomous Region|တိဗက် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]'' ([[တရုတ်]]) |{{convert|1,228,400|km2|0|disp=table}} |၃,၁၈၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 3180000/1228400 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၅ | |- |align=center|249 |align=left|{{flagicon|SADR}} [[:en:Western Sahara|အနောက်ပိုင်းဆာဟာရဒေသ]]<ref>[[မော်ရိုကိုနိုင်ငံ]]နှင့် [[:en:Sahrawi Arab Democratic Republic|ဆာရာဝီ အာရပ်ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ]]နှစ်ခုစလုံးမှ ဒေသတစ်ခုလုံးအား ပိုင်ဆိုင်သည်ဟု ဆိုသော်လည်း ထိုနှစ်နိုင်ငံကြား၌ အုပ်ချုပ်မှု ခွဲဝေ အုပ်ချုပ်သည်။</ref> |{{convert|252,120|km2|0|disp=table}} |၅၆၇,၄၂၁ |{{convert|{{#expr: 567421/252120 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |align=center|250 |align=left|{{MNG}} |{{convert|1,564,100|km2|0|disp=table}} |၃,၀၀၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 3000000/1564100 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၂၄၊ ၂၀၁၅ |align=left|[http://www.infomongolia.com/ct/ci/6068 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924034911/http://www.infomongolia.com/ct/ci/6068 |date=24 September 2015 }} |- |align=center|251 |align=left|''{{flag|Tristan da Cunha}}'' ([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]]) |{{convert|207|km2|0|disp=table}} |၂၆၆ |{{convert|{{#expr: 266/207 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |ဖေဖော်ဝါရီ ၁၀၊ ၂၀၀၈ |align=left|[https://web.archive.org/web/20140629183023/http://unstats.un.org/unsd/demographic/sources/census/2010_PHC/Saint_Helena/Saint_Helena.pdf Preliminary 2008 census result] |- |align=center|252 |align=left|''{{PCN}}'' ([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]]) |{{convert|47.3|km2|0|disp=table}} |၅၆ |{{convert|{{#expr: 56/47 round 1}}|/km2|1|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၂၀၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Pitcairn.html 2013 census result] |- |align=center|253 |align=left|''{{FLK}}'' ([[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းနိုင်ငံ|UK]])<ref>[[အာဂျင်တီးနားနိုင်ငံ]]မှ ပိုင်ဆိုင်သည်ဟုဆိုသည့် ကျွန်းများ</ref> |{{convert|12,173|km2|0|disp=table}} |၂,၅၆၃ |{{convert|{{#expr: 2563/12173 round 2}}|/km2|2|disp=table}} |ဧပြီ ၁၅၊ ၂၀၁၂ |align=left|[http://www.falklands.gov.fk/our-people 2012 census result] |- |align=center|254 |align=left|''{{SJM}}'' ([[နော်ဝေးနိုင်ငံ]]) |{{convert|61,399|km2|0|disp=table}} |၂,၆၅၅ |{{convert|{{#expr: 2655/61399 round 2}}|/km2|2|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၁၊ ၂၀၁၂ |align=left|[http://www.citypopulation.de/Svalbard.html Official estimate] |- |align=center|255 |align=left|''{{GRL}}'' ([[ဒိန်းမတ်နိုင်ငံ]]) |{{convert|2,166,000|km2|0|disp=table}} |၅၅,၈၇၇ |{{convert|{{#expr: 55877/2166000 round 2}}|/km2|2|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.gl/default.asp?lang=en Official estimate] |- !အဆင့်!!နိုင်ငံ (သို့ အမှီအခိုနယ်မြေ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းကီလိုမီတာ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းမိုင်)!!လူဦးရေ!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./km²)!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./mi²)!!ရက်စွဲ!! class="unsortable" | လူဦးရေရင်းမြစ် |} ==လူဦးရေသိပ်သည်းမှု အများဆုံး နိုင်ငံများ== ဤစာရင်းတွင် လူဦးရေသိပ်သည်းမှုအများဆုံး နိုင်ငံ ၁၀၀ ဖြစ်သည်။ {|class="wikitable sortable" style="text-align:right" !အဆင့်!!နိုင်ငံ (သို့ အမှီအခိုနယ်မြေ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းကီလိုမီတာ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းမိုင်)!!လူဦးရေ!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./km²)!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./mi²)!!ရက်စွဲ!! class="unsortable" | လူဦးရေရင်းမြစ် |- |1 |{{data Bangladesh|popdens}} |align=left|[https://web.archive.org/web/20110904045106/http://www.bbs.gov.bd/Home.aspx Official population clock] |- |2 |align=left|{{TWN}} |{{convert|36,193|km2|0|disp=table}} |၂၃,၅၇၂,၀၄၉ |{{convert|{{#expr: 23572049/36193 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140704022127/http://eng.stat.gov.tw/point.asp?index=9 |date=4 July 2014 }} |- |3 |align=left|{{KOR}} |{{convert|100,210|km2|0|disp=table}} |၅၁,၆၃၅,၂၅၆ |{{convert|{{#expr: 51635256/100210 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://kosis.kr/nsportalStats/nsportalStats_0102Body.jsp?menuId=10 Annual official projection] |- |4 |align=left|{{RWA}} |{{convert|26,338|km2|0|disp=table}} |၁၂,၀၀၁,၁၃၆ |{{convert|{{#expr: 12001136/26338 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191212164943/http://statistics.gov.rw/sites/default/files/publications/48505cad-b578-4aaa-8932-f4c8f01fcc79/RPHC4_Population_Projections.pdf |date=12 December 2019 }} |- |5 |{{data Netherlands|popdens}} |align=left|[https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181009222717/https://www.cbs.nl/en-gb/visualisaties/population-counter |date=9 October 2018 }} |- |6 |align=left|{{HAI}} |{{convert|27,065|km2|0|disp=table}} |၁၁,၁၁၂,၉၄၅ |{{convert|{{#expr: 11112945/27065 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |7 |{{data India|popdens}} |align=left|[http://www.indiastat.com/default.aspx India Population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151124035144/http://www.indiastat.com/Default.aspx |date=24 November 2015 }} |- |8 |{{data Israel|popdens}} |align=left|[http://cbs.gov.il/reader/?MIval=cw_usr_view_Folder&ID=141 Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180915102003/http://www.cbs.gov.il/reader/?MIval=cw_usr_view_Folder&ID=141 |date=15 September 2018 }} |- |9 |align=left|{{BDI}} |{{convert|27,816|km2|0|disp=table}} |၁၀,၆၈၁,၁၈၆ |{{convert|{{#expr: 10681186/27816 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071528/http://www.isteebu.bi/images/rapports/projection%20de%20la%20population%20bdi%202008-2030.pdf |date=3 April 2019 }} |- |10 |align=left|{{BEL}} |{{convert|30,528|km2|0|disp=table}} |၁၁,၄၀၉,၃၈၈ |{{convert|{{#expr: 11409388/30528 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ibz.rrn.fgov.be/fileadmin/user_upload/nl/bev/statistieken/stat-1-1_n.pdf Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141111002452/http://www.ibz.rrn.fgov.be/fileadmin/user_upload/nl/bev/statistieken/stat-1-1_n.pdf |date=11 November 2014 }} |- |11 |{{data Philippines|popdens}} |align=left|[http://www.popcom.gov.ph/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403061418/http://www.popcom.gov.ph/ |date=3 April 2019 }} |- |12 |align=left|{{JPN}} |{{convert|377,944|km2|0|disp=table}} |၁၂၆,၄၉၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 126490000/377944 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.go.jp/english/data/jinsui/tsuki/index.htm Official monthly estimate] |- |13 |align=left|{{SRI}} |{{convert|65,610|km2|0|disp=table}} |၂၁,၄၄၄,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 21444000/65610 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171117022357/http://www.statistics.gov.lk/PopHouSat/VitalStatistics/MidYearPopulation/Mid-year%20population%20by%20age%20group.pdf |date=17 November 2017 }} |- |14 |align=left|{{VNM}} |{{convert|331,212|km2|0|disp=table}} |၉၄,၆၆၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 94660000/331212 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.gso.gov.vn/default.aspx?tabid=382&idmid=2&ItemID=18863 Official annual projection] |- |15 |align=left|{{GBR}} |{{convert|242,910|km2|0|disp=table}} |၆၅,၆၄၈,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 65648000/242495 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[https://www.ons.gov.uk/peoplepopulationandcommunity/populationandmigration/populationestimates Official estimate] |- |16 |{{data Pakistan|popdens}} |align=left|[http://www.pwd.punjab.gov.pk/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190502230956/https://pwd.punjab.gov.pk/ |date=2 May 2019 }} |- |17 |align=left|{{GER}} |{{convert|357,168|km2|0|disp=table}} |၈၂,၇၄၀,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 82740900/357168 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |စက်တင်ဘာ ၃၀၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Bevoelkerungsstand/Tabellen/Zensus_Geschlecht_Staatsangehoerigkeit.html Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181221205616/https://www.destatis.de/DE/ZahlenFakten/GesellschaftStaat/Bevoelkerung/Bevoelkerungsstand/Tabellen/Zensus_Geschlecht_Staatsangehoerigkeit.html |date=21 December 2018 }} |- |18 |align=left|{{DOM}} |{{convert|47,875|km2|0|disp=table}} |၁၀,၂၆၆,၁၄၉ |{{convert|{{#expr: 10266149/47875 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170525074831/http://www.one.gob.do/Multimedia/Download?ObjId=6641 |date=25 May 2017 }} |- |19 |align=left|{{PRK}} |{{convert|122,762|km2|0|disp=table}} |၂၅,၆၁၀,၆၇၂ |{{convert|{{#expr: 25610672/120540 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |20 |align=left|{{NGA}} |{{convert|923,768|km2|0|disp=table}} |၁၉၅,၈၇၅,၂၃၇ |{{convert|{{#expr: 195875237/923768 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |21 |align=left|{{SUI}} |{{convert|41,285|km2|0|disp=table}} |၈,၄၈၂,၂၀၀ |{{convert|{{#expr: 8465234/41285 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.bfs.admin.ch/bfs/de/home/statistiken/bevoelkerung.assetdetail.4782547.html Official provisional figure] |- |22 |align=left|{{ITA}} |{{convert|301,308|km2|0|disp=table}} |၆၀,၄၈၃,၉၇၃ |{{convert|{{#expr: 60483973/301308 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://demo.istat.it/bilmens2017gen/index.html Monthly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180716065929/http://demo.istat.it/bilmens2017gen/index.html |date=16 July 2018 }} |- |23 |align=left|{{NPL}} |{{convert|147,181|km2|0|disp=table}} |၂၉,၂၉၁,၇၄၆ |{{convert|{{#expr: 29291746/147181 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160128182055/http://cbs.gov.np/image/data/Population/Population%20projection%202011-2031/PopulationProjection2011-2031.pdf |date=28 January 2016 }} |- |24 |align=left|{{MWI}} |{{convert|118,484|km2|0|disp=table}} |၁၈,၆၂၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 18622000/118484 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |25 |align=left|{{UGA}} |{{convert|241,551|km2|0|disp=table}} |၃၇,၆၇၃,၈၀၀ |{{convert|{{#expr: 37673800/241551 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ubos.org/onlinefiles/uploads/ubos/census_2014_regional_reports/Population%20Projections_2015_2020.pdf Annual official estimate] |- |26 |align=left|{{GUA}} |{{convert|108,889|km2|0|disp=table}} |၁၅,၈၀၆,၆၇၅ |{{convert|{{#expr: 15806675/108889 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇွန် ၃၀၊ ၂၀၁၄ |align=left|[http://www.ine.gob.gt/index.php/estadisticas/tema-indicadores Annual Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140314175005/http://www.ine.gob.gt/index.php/estadisticas/tema-indicadores |date=14 March 2014 }} |- |27 |{{data China|popdens}} |align=left|[https://web.archive.org/web/20130121134454/http://www.stats.gov.cn/english/pressrelease/t20130118_402867147.htm Official estimate] |- |28 |align=left|{{IDN}} |{{convert|1,904,569|km2|0|disp=table}} |၂၆၁,၈၉၀,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 261890900/1904569 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.bps.go.id/website/pdf_publikasi/watermark_Proyeksi%20Penduduk%20Indonesia%202010-2035.pdf Official projection] |- |29 |align=left|{{CZE}} |{{convert|78,867|km2|0|disp=table}} |၁၀,၆၁၃,၃၅၀ |{{convert|{{#expr: 10613350/78867 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.czso.cz/csu/czso/population Official quarterly estimate] |- |30 |align=left|{{THA}} |{{convert|1,513,120|km2|0|disp=table}} |၆၈,၄၁၄,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 68414000/513120 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |31 |align=left|{{FRA}} |{{convert|543,965|km2|0|disp=table}} |၆၇,၂၂၅,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 67225000/543965 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.insee.fr/fr/bases-de-donnees/bsweb/serie.asp?idbank=000436387 Monthly official estimate] |- |32 |align=left|{{GHA}} |{{convert|238,533|km2|0|disp=table}} |၂၉,၆၁၄,၃၃၇ |{{convert|{{#expr: 29614337/238533 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statsghana.gov.gh/ Official projection] |- |33 |align=left|{{POL}} |{{convert|312,685|km2|0|disp=table}} |၃၈,၄၂၆,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 38426000/312685 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://stat.gov.pl/podstawowe-dane/ Official estimate] |- |34 |align=left|{{UAE}} |{{convert|83,600|km2|0|disp=table}} |၉,၈၅၆,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 9856000/83600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.imf.org/external/pubs/ft/weo/2016/01/weodata/index.aspx Official estimate] |- |35 |align=left|{{AZE}} |{{convert|86,600|km2|0|disp=table}} |၉,၈၉၈,၀၈၅ |{{convert|{{#expr: 9898085/86600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://www.stat.gov.az/news/index.php?id=3776&lang=en Official estimate] |- |36 |{{data Jordan|popdens}} |align=left|[http://dosweb.dos.gov.jo/ Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190818112822/http://dosweb.dos.gov.jo/ |date=18 August 2019 }} |- |37 |align=left|{{PRT}} |{{convert|92,090|km2|0|disp=table}} |၁၀,၂၉၁,၀၂၇ |{{convert|{{#expr: 10291027/92090 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.ine.pt/xportal/xmain?xpgid=ine_main&xpid=INE Official estimate] |- |38 |align=left|{{AUT}} |{{convert|83,879|km2|0|disp=table}} |၈,၈၃၀,၄၈၇ |{{convert|{{#expr: 8830487/83879 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/bevoelkerung/bevoelkerungsstand_und_veraenderung/bevoelkerung_zu_jahres-_quartalsanfang/023582.html Official quarterly estimate] |- |39 |align=left|{{HUN}} |{{convert|93,029|km2|0|disp=table}} |၉,၇၇၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 9771000/93029 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ksh.hu/docs/hun/xstadat/xstadat_eves/i_wnt001b.html Annual official estimate] |- |40 |align=left|{{TUR}} |{{convert|783,562|km2|0|disp=table}} |၈၀,၈၁၀,၅၂၅ |{{convert|{{#expr: 80810525/783562 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.turkstat.gov.tr/Start.do Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171108091816/http://www.turkstat.gov.tr/Start.do |date=8 November 2017 }} |- |41 |align=left|{{CUB}} |{{convert|109,886|km2|0|disp=table}} |၁၁,၂၃၉,၂၂၄ |{{convert|{{#expr: 11239224/109886 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဒီဇင်ဘာ ၃၁၊ ၂၀၁၆ |align=left|[http://www.one.cu/aec2015/03%20Poblacion.pdf Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170329125044/http://www.one.cu/aec2015/03%20Poblacion.pdf |date=29 March 2017 }} |- |42 |align=left|{{ETH}} |{{convert|1,063,652|km2|0|disp=table}} |၁၀၇,၅၃၄,၈၈၂ |{{convert|{{#expr: 107534882/1063652 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |43 |align=left|{{SYR}} |{{convert|185,180|km2|0|disp=table}} |၁၈,၂၈၄,၄၀၇ |{{convert|{{#expr: 18284407/185180 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN estimate] |- |44 |align=left|{{BEN}} |{{convert|112,622|km2|0|disp=table}} |၁၁,၀၀၂,၅၅၇၈ |{{convert|{{#expr: 11002578/112622 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.insae-bj.org/Migration.html?file=files/stats-demographiques/STATISTIQUES%20DEMOGRAPHIQUES.xlsx Official projection] |- |45 |{{data Malaysia|popdens}}<!-- Do not replace this with a manual calculation. Template:Data Malaysia, like other data templates do for other countries, is used to automatically calculate today's population based on official sources. If this country's population is not accurate, please update the data template, not this article. --> |align=left|[http://www.statistics.gov.my Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080611041219/http://www.statistics.gov.my/ |date=11 June 2008 }} |- |46 |{{data Egypt|popdens}} |align=left|[http://www.capmas.gov.eg Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230907025744/https://www.capmas.gov.eg/ |date=7 September 2023 }} |- |47 |align=left|{{ESP}} |{{convert|503,783|km2|0|disp=table}} |၄၆,၅၄၉,၀၄၅ |{{convert|{{#expr: 46549045/505990 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.es/dyngs/INEbase/es/operacion.htm?c=Estadistica_C&cid=1254736176951&menu=ultiDatos&idp=1254735572981 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170628123003/http://www.ine.es/dyngs/INEbase/es/operacion.htm?c=Estadistica_C&cid=1254736176951&menu=ultiDatos&idp=1254735572981 |date=28 June 2017 }} |- |48 |align=left|{{IRQ}} |{{convert|434,128|km2|0|disp=table}} |၃၈,၂၇၄,၆၁၈ |{{convert|{{#expr: 38274618/434128 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |49 |align=left|{{KHM}} |{{convert|181,035|km2|0|disp=table}} |၁၅,၈၄၈,၄၉၅ |{{convert|{{#expr: 15848495/181035 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.stat.go.jp/info/meetings/cambodia/pdf/rp12_ch10.pdf Official annual projection] |- |50 |align=left|{{KEN}} |{{convert|581,834|km2|0|disp=table}} |၅၀,၉၅၀,၈၇၉ |{{convert|{{#expr: 50950879/581834 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |51 |align=left|{{GRE}} |{{convert|131,957|km2|0|disp=table}} |၁၀,၇၆၈,၁၉၃ |{{convert|{{#expr: 10768193/131957 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210110002613/http://www.statistics.gr/en/statistics/-/publication/SPO18/- |date=10 January 2021 }} |- |52 |align=left|{{ROM}} |{{convert|238,391|km2|0|disp=table}} |၁၉,၆၃၈,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 19638000/238391 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.insse.ro/cms/sites/default/files/com_presa/com_pdf/poprez_ian2017e.pdf Official annual estimate] |- |53 |align=left|{{MYA}} |{{convert|676,577|km2|0|disp=table}} |၅၄,၃၆၃,၄၂၆ |{{convert|{{#expr: 54363426/676577 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၂၉၊ ၂၀၁၄ |align=left|[http://www.straitstimes.com/news/asia/east-asia/story/myanmar-census-shows-population-9-million-fewer-estimated-20140830 Preliminary 2014 census result] |- |54 |align=left|{{HON}} |{{convert|112,088|km2|0|disp=table}} |၉,၀၁၂,၂၂၉ |{{convert|{{#expr: 9012229/112492 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ine.gob.hn/images/Productos%20ine/censo/Censo%202013/Proyecciones/Proyecciones%20Ine%202018.xlsx Official projection] |- |55 |align=left|{{SEN}} |{{convert|196,722|km2|0|disp=table}} |၁၅,၇၂၆,၀၃၇ |{{convert|{{#expr: 15726037/196722 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.ansd.sn/ Official estimate] |- |56 |{{data Morocco|popdens}} |align=left|[http://www.hcp.ma Official population clock] |- |57 |align=left|{{CIV}} |{{convert|322,921|km2|0|disp=table}} |၂၄,၂၉၅,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 24295000/322921 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |58 |align=left|{{BFA}} |{{convert|270,764|km2|0|disp=table}} |၁၉,၆၃၂,၁၄၇ |{{convert|{{#expr: 19632147/270764 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf Annual official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161221060141/http://www.insd.bf/n/contenu/autres_publications/Projections_demographiques_sous_nationales_2007-2020.pdf |date=21 December 2016 }} |- |59 |align=left|{{UZB}} |{{convert|444,103|km2|0|disp=table}} |၃၂,၁၂၀,၅၀၀ |{{convert|{{#expr: 32120500/444103 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.stat.uz/en/statinfo/demograficheskie-dannye Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170714180152/http://stat.uz/en/statinfo/demograficheskie-dannye |date=14 July 2017 }} |- |60 |align=left|{{TUN}} |{{convert|163,610|km2|0|disp=table}} |၁၁,၄၄၆,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 11446300/163610 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ins.tn/en/themes/population#417 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191128201634/http://www.ins.tn/en/themes/population#417 |date=28 November 2019 }} |- |61 |align=left|{{UKR}}<ref name="auto"/> |{{convert|603,000 |km2|0|disp=table}} |၄၂,၃၀၀,၇၂၃ |{{convert|{{#expr: 42300723/603000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မေ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp Official monthly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160808023040/http://database.ukrcensus.gov.ua/PXWEB2007/eng/news/op_popul_e.asp |date=8 August 2016 }} |- |62 | align="left" |{{MEX}} |{{convert|1,967,138|km2|0|disp=table}} |၁၂၄,၂၈၆,၆၂၃ |{{convert|{{#expr: 124286623/1967138 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |မတ် ၃၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www3.inegi.org.mx/sistemas/temas/default.aspx?s=est&c=25433&t=1 Official quarterly estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151210212235/http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/proyectos/encuestas/hogares/especiales/ei2015/doc/eic2015_resultados.pdf |date=10 December 2015 }} |- |63 |align=left|{{YEM}} |{{convert|455,000|km2|0|disp=table}} |၂၈,၂၅၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 28250000/455000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |64 |align=left|{{TJK}} |{{convert|143,100|km2|0|disp=table}} |၈,၉၃၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 8931000/143100 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.stat.tj/en Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120306125630/http://www.stat.tj/en/ |date=6 March 2012 }} |- |65 |{{data Ecuador|popdens}} |align=left|[http://www.ecuadorencifras.gob.ec/proyecciones-poblacionales/ Official projection] |- |66 |align=left|{{TAN}} |{{convert|883,749|km2|0|disp=table}} |၅၄,၁၉၉,၁၆၃ |{{convert|{{#expr: 54199163/883749 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.nbs.go.tz/ Official annual estimate] |- |67 |align=left|{{GUI}} |{{convert|245,857|km2|0|disp=table}} |၁၂,၇၁၇,၁၇၆ |{{convert|{{#expr: 12717176/245857 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |68 |align=left|{{CMR}} |{{convert|466,050|km2|0|disp=table}} |၂၃,၂၄၈,၀၄၄ |{{convert|{{#expr: 23248044/466050 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.bucrep.cm/index.php/en/ Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224204444/http://www.bucrep.cm/index.php/en/ |date=24 February 2021 }} |- |69 |{{data Iran|popdens}} |align=left|[http://www.amar.org.ir/english/Population-help Official population clock] |- |70 |align=left|{{RSA}} |{{convert|1,220,813|km2|0|disp=table}} |၅၆,၅၂၁,၉၀၀ |{{convert|{{#expr: 56521900/1220813 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.statssa.gov.za/publications/P0302/P03022017.pdf Official estimate] |- |71 |align=left|{{AFG}} |{{convert|645,807|km2|0|disp=table}} |၂၉,၇၂၄,၃၂၃ |{{convert|{{#expr: 29724323/645807 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180706033430/http://www.cso.gov.af/en/page/demography-and-socile-statistics/demograph-statistics/3897111 |date=6 July 2018 }} |- |72 |align=left|{{BLR}} |{{convert|207,600|km2|0|disp=table}} |၉,၄၈၄,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 9484300/207600 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဧပြီ ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[http://www.belstat.gov.by/en/ Quarterly official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191101195839/http://www.belstat.gov.by/en/ |date=1 November 2019 }} |- |73 |align=left|{{MDG}} |{{convert|587,041|km2|0|disp=table}} |၂၅,၅၇၁,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 25571000/587041 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |74 |{{data Colombia|popdens}} |align=left|[http://www.dane.gov.co/reloj Official population clock] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161028083854/http://www.dane.gov.co/reloj/ |date=28 October 2016 }} |- |75 |align=left|{{ZIM}} |{{convert|390,757|km2|0|disp=table}} |၁၄,၅၄၂,၂၃၅ |{{convert|{{#expr: 14542235/390757 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160428150301/http://www.zimstat.co.zw/sites/default/files/img/publications/Census/population_projection.pdf |date=28 April 2016 }} |- |76 |align=left|{{COD}} |{{convert|2,345,095|km2|0|disp=table}} |၈၄,၀၀၄,၉၈၉ |{{convert|{{#expr: 84004989/2345095 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၈ |align=left|[https://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |77 |align=left|{{VEN}} |{{convert|916,445|km2|0|disp=table}} |၃၁,၄၃၁,၁၆၄ |{{convert|{{#expr: 31431164/916445 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190403071317/http://www.ine.gov.ve/documentos/Demografia/SituacionDinamica/Proyecciones/xls/Nacional.xls |date=3 April 2019 }} |- |78 |align=left|{{MOZ}} |{{convert|799,380|km2|0|disp=table}} |၂၇,၁၂၈,၅၃၀ |{{convert|{{#expr: 27128530/799380 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.ine.gov.mz/estatisticas/estatisticas-demograficas-e-indicadores-sociais/projeccoes-da-populacao/populacao-projectada-por-distritos-maputo-cidade-2007_2040.xls/at_download/file Official estimate] |- |79 |{{data United States|Popdens}} |align=left|[https://www.census.gov/popclock Official population clock] |- |80 |align=left|{{PER}} |{{convert|1,285,216|km2|0|disp=table}} |၃၁,၈၂၆,၀၁၈ |{{convert|{{#expr: 31826018/1285216 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls Official projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924034728/http://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/Cap03020.xls |date=24 September 2015 }} |- |81 |{{data Brazil|popdens}} |align=left|[http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/index.html Official population clock] |- |82 |align=left|{{ANG}} |{{convert|1,246,700|km2|0|disp=table}} |၂၈,၃၅၉,၆၃၄ |{{convert|{{#expr: 28359634/1246700 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇန်နဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160604103235/http://www.ine.gov.ao/xportal/xmain?xpid=ine |date=4 June 2016 }} |- |83 |align=left|{{CHL}} |{{convert|756,096|km2|0|disp=table}} |၁၇,၃၇၃,၈၃၁ |{{convert|{{#expr: 17373831/756096 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၃၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.ine.cl/prensa/detalle-prensa/2017/08/31/segun-cifras-preliminares-del-censo-2017-poblacion-censada-en-chile-llega-a-17373831-personas Preliminary 2017 census result] |- |84 |align=left|{{SOM}} |{{convert|637,657|km2|0|disp=table}} |၁၄,၇၄၃,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 14743000/637657 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align="left" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |85 |{{data Sweden|popdens}} |align=left|[http://www.scb.se/en/ Official population clock] |- |86 |align=left|{{ZAM}} |{{convert|752,612|km2|0|disp=table}} |၁၆,၄၀၅,၂၂၉ |{{convert|{{#expr: 16405229/752612 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.zamstats.gov.zm/phocadownload/Zambia%20Census%20Projection%202011%20-%202035.pdf Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226001102/http://www.zamstats.gov.zm/phocadownload/Zambia%20Census%20Projection%202011%20-%202035.pdf |date=26 February 2021 }} |- |87 |align=left|{{SDN}} |{{convert|1,839,542|km2|0|disp=table}} |၄၀,၇၈၂,၇၄၂ |{{convert|{{#expr: 40782742/1839542 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.cbs.gov.sd/en/download.php?id=45&file=Pop._Proj._by_satates137.pdf&count=65 Official annual projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171020065151/http://www.cbs.gov.sd/en/download.php?id=45&file=Pop._Proj._by_satates137.pdf&count=65 |date=20 October 2017 }} |- |88 |align=left|{{SSD}} |{{convert|644,329|km2|0|disp=table}} |၁၂,၅၇၅,၇၁၄ |{{convert|{{#expr: 12575714/644329 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |89 |align=left |{{ALG}} |{{convert|2,381,741|km2|0|disp=table}} |၄၁,၆၉၇,၄၉၈ |{{convert|{{#expr: 41697498/2381741 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://www.ons.dz/IMG/pdf/DemogAlgerienne_2016.pdf Official annual projection] |- |90 |align=left|{{NER}} |{{convert|1,186,408|km2|0|disp=table}} |၂၁,၄၇၇,၃၄၈ |{{convert|{{#expr: 21477348/1186408 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ | align="left" |[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN Projection] |- |91 |align=left|{{PNG}} |{{convert|462,840|km2|0|disp=table}} |၈,၁၅၁,၃၀၀ |{{convert|{{#expr: 8151300/462840 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၆ |align="left" |[http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170716183647/http://prism.spc.int/regional-data-and-tools/population-statistics |date=16 July 2017 }} |- |92 |align=left|{{ARG}} |{{convert|2,780,400|km2|0|disp=table}} |၄၄,၀၄၄,၈၁၁ |{{convert|{{#expr: 44044811/2780400 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.indec.gob.ar/nivel4_default.asp?id_tema_1=2&id_tema_2=24&id_tema_3=84 Annual official estimate] |- |93 |align=left|{{SAU}} |{{convert|2,149,690|km2|0|disp=table}} |၃၃,၉၀၅,၃၂၀ |{{convert|{{#expr: 33905320/2149690 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://www.stats.gov.sa/en/43 Annual official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200803060537/https://www.stats.gov.sa/sites/default/files/population_by_age_groups_and_gender_en.pdf |date=3 August 2020 }} |- |94 |align=left|{{MLI}} |{{convert|1,248,574|km2|0|disp=table}} |၁၈,၅၄၂,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 18542000/1248574 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |95 |align=left|{{CHA}} |{{convert|1,284,000|km2|0|disp=table}} |၁၄,၉၀၀,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 14900000/1284000 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://esa.un.org/unpd/wpp/DataQuery/ UN projection] |- |96 |align=left|{{BOL}} |{{convert|1,098,581|km2|0|disp=table}} |၁၁,၁၄၅,၇၇၀ |{{convert|{{#expr: 11145770/1098581 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဇူလိုင် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[https://web.archive.org/web/20110924073930/http://www.ine.gob.bo/ Official estimate] |- |97 |align=left|{{RUS}}<ref name="ReferenceA"/> |{{convert|17,125,242|km2|0|disp=table}} |၁၄၆,၈၀၉,၆၄၃ |{{convert|{{#expr: 146809643/17125242 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဩဂုတ် ၁၊ ၂၀၁၇ |align=left|[http://www.gks.ru/bgd/free/b17_00/IssWWW.exe/Stg/dk08/8-0.doc Official estimate] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171118213735/http://www.gks.ru/bgd/free/b17_00/IssWWW.exe/Stg/dk08/8-0.doc |date=18 November 2017 }} |- |98 |align=left|{{KAZ}} |{{convert|2,724,900|km2|0|disp=table}} |၁၇,၁၈၆,၀၀၀ |{{convert|{{#expr: 17186000/2724900 round 0}}|/km2|0|disp=table}} |ဖေဖော်ဝါရီ ၁၊ ၂၀၁၄ |align=left|[https://web.archive.org/web/20130801110415/http://www.eng.stat.kz/Pages/default.aspx Monthly official estimate] |- |99 |{{data Canada|popdens}} |align=left|[http://www.statcan.gc.ca/start-debut-eng.html Official estimate] |- |100 |{{data Australia|popdens}} |align=left|[http://www.abs.gov.au/ausstats/abs%40.nsf/94713ad445ff1425ca25682000192af2/1647509ef7e25faaca2568a900154b63?OpenDocument Official estimate] |- !အဆင့်!!နိုင်ငံ (သို့ အမှီအခိုနယ်မြေ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းကီလိုမီတာ)!!ဧရိယာ (စတုရန်းမိုင်)!!လူဦးရေ!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./km²)!!သိပ်သည်းမှု<br>(pop./mi²)!!ရက်စွဲ!! class="unsortable" | လူဦးရေရင်းမြစ် |} ==မှတ်စုများ== {{Reflist|2}} [[Category:လူဦးရေသိပ်သည်းမှုအလိုက် နိုင်ငံများစာရင်း]] ochp3q5sc8ajll95havm3cs35oz32fe 0 95904 1048782 755595 2026-08-15T10:39:04Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1048782 wikitext text/x-wiki {{Infobox character | name = Hello Kitty ဟယ်လိုကစ်တီ | color = Pink | series = [[Sanrio]] | image =[[File:HK SYP Sai Ying Pun 香港商業中心 Hong Kong Plaza 日本一田百貨店 YATA department Store March 2017 Lnv2 Hello Kitty 02.jpg |200px]] | image_size = 200px | caption = | first = ၁၉၇၄ | creator = [[ယူကွပ်ချီမိဆု့]] | portrayer = | voice = '''အင်္ဂလိပ်:'''<br>[[Tara Strong]] (''[[ဟယ်လိုကစ်တီ မွေးရပ် ပုံပြင်ဇာတ်ရုံ]]'')<br>[[Karen Bernstein]] (''တယ်စီကိ့! ဟယ်လိုကစ်တီ')<br>[[မော်နီကာရဲမယ်]] (''ဟယ်လိုကစ်တီ ကာတွန်းပြဇာတ်ရုံ')<br>[[မယ်လ်ဆာ ဖျဲန်]] (''ဟယ်လိုကစ်တီ ပရဒိသု'')<br>[[Shannon Settlemyre]] (''ဟယ်လိုကစ်တီကြီးပြင်းလာခြင်း'')<br>Soness Stevens<br><ref>{{cite web|url=http://www.yourspeakingjourney.com/who-is-soness/|title=Who is Soness? — Your Speaking Journey|publisher=Your Speaking Journey|accessdate=30 March 2016|archivedate=10 December 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171210010211/http://www.yourspeakingjourney.com/who-is-soness}}</ref><br>'''Japanese:'''<br>[[Fuyumi Shiraishi]] (''Kitty and Mimi's New Umbrella'')<br>[[Mami Koyama]] (''Hello Kitty's Cinderella'')<br>[[Akemi Okamura]]<br>[[Yuko Kobayashi]] (''Playing with English: Hello Kitty's Magical Journey'')<br>[[Kyōko Hikami]] (''[[Hello Kitty's Furry Tale Theater]] Japanese Dub and Daisuki! Hello Kitty'')<br>[[Megumi Hayashibara]] (''Current Voice Actress'') | lbl1 = Full name | data1 = Kitty White<ref name="sanriocharacterdetails">{{cite web|title=Hello Kitty|url=http://www.sanrio.co.jp/english/characters/detail/hellokitty/index.html|publisher=Sanrio|accessdate=22 December 2010|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110624000114/http://www.sanrio.co.jp/english/characters/detail/hellokitty/index.html|archivedate=24 June 2011}}</ref> | species = | gender = [[အမျိုးသမီး]] | family = မီးမီး (အမွှာညီမ) <br> ဂျော့ခ်ျ (ဖခင်) <br> မာရိ (အမေ) <br> အန်သိုနီ (အဖိုး) <br> မာဂရက် (အဖွား) <br> ချာမီးကစ်တီ (အိမ်မွေးတိရစ္ဆာန်ကြောင်) <br> ချစ်လှစွာသောဒံယေလ (ကလေးဘဝသူငယ်ချင်း/ချစ်သူကောင်လေး) | children = | nationality = [[Great Britain|British]] }} '''ဟဲလိုကစ်တီ''' (lang-ja| ハロー・キティ)<ref>{{cite web|url=http://www.excite.co.jp/News/bit/E1215736595745.html|script-title=ja:サンリオキャラクターたちの本名、言えますか？|accessdate=11 July 2008|date=11 July 2008|language=Japanese|archive-date=24 March 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170324215716/http://www.excite.co.jp/News/bit/E1215736595745.html|url-status=dead}}</ref> (အမည်အပြည့်အစုံ - キティ・ホワイト ခစ်တီဟိုဝိုင်တို) သည် ဂျပန်ကုမ္ပဏီ ဆန်ရိအိုမှ ဖန်တီးထားသည့် ကာတွန်းဇာတ်ကောင် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |title=Hello Kitty {{!}} cartoon character |url=https://www.britannica.com/topic/Hello-Kitty |website=[[Encyclopedia Britannica]] |accessdate=September 8, 2018 |language=en}}</ref> '''ယူခို ရှိမိဇု''' က ဖန်တီးခဲ့ပြီး လက်ရှိအချိန်တွင် '''ယူခို ယမဂုချိ''' မှ ဒီဇိုင်းရေးဆွဲလျက် ရှိသည်။<ref>{{Cite web|url=http://www.latimes.com/entertainment/arts/miranda/la-et-cam-hello-kitty-in-los-angeles-not-a-cat-20140826-column.html|title=ဟယ်လိုကစ်တီဟာကြောင်တစ်ကောင်မဟုတ်ပါ၊ပေါင်းပိုပြီးသူမရဲ့ L.Aမတိုင်မီလှည့်လည်ထုတ်ဖော်ပြသ|နောက်ဆုံး=Miranda|first=Carolina A.|website=latimes.com|access-date=2018-03-06}}</ref>၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင်သူမတီထွင်ပြီးမကြာမီက ဟယ်လိုကစ်တီl ဆန်ရိအိုအကြွေစေ့ပိုက်ဆံအိတ်ကိုက ၁၉၇၅ ခုနှစ်မတ်လ ၅ ရက်နေ့တွင်စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-Dhamija-12}}</ref>{{cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-Hello_Kitty_celebrates_30-13}}</ref>ဟယ်လိုကစ်တီသည်[https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_popular_culture ဂျပန်လူကြိုက်များ]သောယဉ်ကျေးမှုရဲ့[https://en.wikipedia.org/wiki/Kawaii ချစ်စရာ]အပိုင်းရဲ့အဓိကဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-timeyamaguchi-14}}</ref>၂၀၁၀ တွင် စံရိအိုကဟယ်လိုကစ်တီကိုကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာဈေးကွက်ရှာဖွေရေးဖြစ်စဉ်အဖြစ်အသွင်ပြောင်းခဲ့သည်၊<ref>{{cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-15}}</ref>တစ်နှစ်လျှင်အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၆ ဘီလီယံတန်ဖိုးရှိသည်။<ref>{{Cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-16}}</ref>၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင်ဟယ်လိုကစ်တီကအသက် ၄၀ အရွယ်တွင်တစ်နှစ်လျှင်ဒေါ်လာ ၈ ဘီလီယံခန့်တန်ဖိုးရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-cnn-17}}</ref>၂၀၁၉ခုနှစ်မှစ၍ ဟယ်လိုကစ်တီက[https://en.wikipedia.org/wiki/Pok%C3%A9mon Pokémon]ရဲ့နောက်ကွယ်တွင်တစ်သက်တာလက်လီရောင်းချမှုအတွက်ဒေါ်လာဘီလီယံ ၈၀ ရရှိပြီးသောအချိန်ကာလ၏ဒုတိယအမြင့်ဆုံးဝင်ငွေအများ[https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_highest-grossing_media_franchises ဆုံးမီဒီယာ]ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hello_Kitty#cite_note-18}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ရုပ်မြင်သံကြားရှိ အမျိုးသမီးဇာတ်ကောင်များ]] {{stub}} 6sdkylteuadl58bs8duhvsuit7gnbqa 0 109637 1048726 689705 2026-08-14T16:19:14Z ~2026-44440-80 146937 1048726 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Agricolankirkon torni kuvattuna mereltä.png|thumb]] '''မြေတူးစက်'''သည် မြေကိုတူးသောအခါ တူရင်းငန်းပြားများကိုရေနွေးငွေ့ဖြင့်လည်စေ၍တူးသည်။ ထိုစက်မျိုးသည် သောင်ဖျက်စက်မျိုးနှင့် မခြားနားလှသော်လည်း သောင်ဖျက်စက်တွင် မြေကြီး နှင့် ရွှံ့နွံတူးသည့် ကိရိယာများကို သင်္ဘောတွင် တပ်ဆင်ထားကြ၍ မြေတူးစက်တွင်ကား တူးဖော်သည့် ကိရိယာများဖြစ်သော တူရင်းငန်းပြားများကို ထရပ်ကားကြီးများပေါ်တွင် တပ်ဆင်ထားကြသည်။ ထိုစက်မျိုးကို ကုန်းပေါ်တွင်မီးရထားလမ်းအတွက်ဖြစ်စေ၊ လမ်းများအတွက်ဖြစ်စေ၊ ကျုံများ မြောင်းများ အတွက်ဖြစ်စေ မြေတူးဖော်ရန် အသုံးပြုကြသည်။<ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၁၃)</ref> == ကိုးကား == <references/> [[Category:အင်ဂျင်နီယာသုံး ယာဉ်များ]] 43vhdqrb437tkhhmux1kdflyjz9oulv 0 142235 1048740 775458 2026-08-14T19:56:45Z Zafer 57327 Photo changed 1048740 wikitext text/x-wiki {{short description|ပြင်သစ် ဘောလုံးသမား}} {{Infobox football biography | name = အန် ဂိုလို ကန်တီ | image = N'Golo Kanté 91 Fenerbahçe 20260805 (2) (cropped).JPG | image_size = 200 | caption = Fenerbahçe 2026 | fullname = အန် ဂိုလို ကန်တီ<ref name=Legion>{{cite journal |date=1 January 2019 |title=Décret du 31 décembre 2018 portant promotion et nomination |trans-title=Decree of 31 December 2018 on promotion and appointment |url=https://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do?cidTexte=JORFTEXT000037909703 |journal=Journal Officiel de la République Française |volume=2019 |issue=0001 |id=PRER1835394D |accessdate=24 August 2019 |language=French}}</ref> | birth_date = {{birth date and age|1991|3|29|df=y}}<ref>{{cite web |url=https://tournament.fifadata.com/documents/FWC/2018/pdf/FWC_2018_SQUADLISTS.PDF |title=FIFA World Cup Russia 2018: List of players: France |publisher=FIFA |format=PDF |page=11 |date=15 July 2018 |accessdate=28 September 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180619164139/https://tournament.fifadata.com/documents/FWC/2018/pdf/FWC_2018_SQUADLISTS.PDF |archive-date=19 June 2018 |url-status=dead |archivedate=19 June 2018 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180619164139/https://tournament.fifadata.com/documents/FWC/2018/pdf/FWC_2018_SQUADLISTS.PDF }}</ref> | birth_place = [[ပါရီမြို့]], ပြင်သစ် | height = ၁.၇၁ မီတာ<ref>{{cite web |url=https://www.chelseafc.com/en/teams/first-team/n-golo-kante?pageTab=biography |title=N'Golo Kante |publisher=Chelsea F.C. |accessdate=5 October 2018}}</ref> | position = [[ကွင်းလယ်လူ]] | currentclub = [[ချဲလ်ဆီး F.C.|ချဲလ်ဆီး]] | clubnumber = 7 | youthyears1 = 1999–2010 | youthclubs1 = JS Suresnes | youthyears2 = 2010–2012 | youthclubs2 = [[US Boulogne|Boulogne]] | years1 = 2012–2013 | clubs1 = [[US Boulogne|Boulogne]] | caps1 = 38 | goals1 = 3 | years2 = 2013–2015 | clubs2 = [[Stade Malherbe Caen|Caen]] | caps2 = 75 | goals2 = 4 | years3 = 2015–2016 | clubs3 = [[လက်စတာ စီးတီး F.C.|လက်စတာ စီးတီး]] | caps3 = 37 | goals3 = 1 | years4 = 2016– | clubs4 = [[ချဲလ်ဆီး F.C.|ချဲလ်ဆီး]] | caps4 = 129 | goals4 = 9 | nationalyears1 = 2016– | nationalteam1 = [[ပြင်သစ်အမျိုးသားဘောလုံးအသင်း|ပြင်သစ်]] | nationalcaps1 = 41 | nationalgoals1 = 1 | medaltemplates = {{Medal|Sport|Men's [[Association football|football]]}} {{Medal|Country|{{fb|FRA}}}} {{Medal|Comp|[[FIFA World Cup]]}} {{Medal|W|[[2018 FIFA World Cup|2018 Russia]]|}} {{Medal|Comp|[[UEFA European Championship]]}} {{Medal|RU|[[UEFA Euro 2016|2016 France]]|}} | club-update = 05:06, 21 September 2020 (UTC) | nationalteam-update = 23:14, 8 September 2020 (UTC) }} ကန်တီ (၁၉၉၁ မတ် ၂၉ တွင်မွေးဖွားသည်) ပြင်သစ်ပရော်ဖက်ရှင်နယ်ဘောလုံးသမားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး [[ပရီးမီးယားလိဂ်]]ကလပ် [[ချဲလ်ဆီး]] နှင့်ပြင်သစ်အသင်းအတွက် ဗဟိုကွင်းလယ်ကစားသမားအဖြစ် ကစားသည်။ သူသည် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် Boulogne နှင့်သူ၏အကြီးတန်းပွဲဦးထွက်ပွဲကို Ligue 2 ပွဲတွင် အစားဝင်ကစားသမားအဖြစ် စတင်ကစားခဲ့ပြီး နောက်နှစ် တတိယတန်းတွင် ရာသီတစ်ခုလုံး ကစားခဲ့သည်။ ထို့နောက် သူသည် လိဂ် ၂ အသင်း Caen အသင်းသို့ အခမဲ့ပြောင်းရွှေ့ကစားခဲ့ပြီး တတိယနေရာ၌ ရပ်တည်ခဲ့သဖြင့် Ligue 1 သို့ အဆင့်တိုးမြှင့်ခံခဲ့ရသည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် သူသည် ပေါင် ၅.၆ သန်းတန်ကြေးဖြင့် [[လက်စတာ စီးတီး]] သို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့ပြီး အသင်း၏ပထမဆုံး ပရီးမီးယားလိဂ်ဆု ရရှိခဲ့သည့် အရေးပါသောအသင်းဝင် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ သူသည် လက်စတာ စီးတီး၏တစ်နှစ်တာအကောင်းဆုံးကစားသမားအဖြစ် သတ်မှတ်ခံခဲ့ရသည် ၊၊ နောက်နှစ်တွင် ပေါင် ၃၂ သန်းဖြင့် ချဲလ်ဆီးသို့ပြောင်းရွှေ့ခဲ့ပြီး ထိုနှစ်တွင်ပင် အင်္ဂလိပ်ပရီးမီးယားလိဂ်ဆုဖလားကို အနိုင်ရခဲ့သည်။ သူသည် အဲရစ်ကန်တိုနာကဲ့သို့ ၁၉၉၂ နှင့် ၁၉၉၃ ခုနှစ်တို့တွင် ကလပ်အသင်း ၂ခုနှင့် အင်္ဂလိပ်ပရီးမီးယားလိဂ်ဆုဖလား ၂ခု ရရှိခဲ့သည့် ကစားသမားဖြစ်ခဲ့သည်။ သူသည် PFA ကစားသမားများ၏တစ်နှစ်တာအကောင်းဆုံးကစားသမားနှင့် FWA ၏တစ်နှစ်တာအကောင်းဆုံးဘောလုံးသမားဆုကိုလည်း ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။ ကန်တီသည် ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်အတွက် နိုင်ငံတကာပွဲဦးထွက်အဖြစ် ပါဝင်ခဲ့ပြီး ၂၀၁၆ ဥရောပချန်ပီယံရှစ်တွင် ဒုတိယဖြင့် အဆုံးသတ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် ကန်တီသည် ခုနစ်နှစ်တွင် ပရီးမီးယားလိဂ်မှကစားသမားတစ်ဦးမှ ပြင်သစ်တစ်နှစ်တာကစားသမားအဖြစ် သတ်မှတ်ခံခဲ့ရသည်၊ ၁၂ လအကြာတွင် ၂၀၁၈ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလားအနိုင်ရသည့်အသင်း၏အဓိကအဖွဲ့ဝင်တစ်ဦး ဖြစ်ခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist}} {{DEFAULTSORT:}} {{Lifetime|၁၉၉၁| |}} [[Category:နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးသမားများ]] [[Category:ပြင်သစ်ဘောလုံးသမားများ]] [[Category:ချဲလ်ဆီးဘောလုံးသမားများ]] r3lqybr9h981igc1sr8lo7eytuojs03 0 191537 1048730 966968 2026-08-14T17:20:06Z ~2026-44671-22 146941 /* */ 1048730 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement |name = ကျပ်ပြည့် |official_name = ကျပ်ပြည့်ရွာ |native_name = |other_name = |postal_code = |postal_code_type = Postal codes |pushpin_label_position = bottom |pushpin_map = မြန်မာနိုင်ငံ |pushpin_map_caption = မြန်မာနိုင်ငံတွင်း တည်နေရာ |image_skyline = |image_map = |map_caption = |settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ရွာ]] |subdivision_type = [[အချုပ်အခြာ အာဏာပိုင် နိုင်ငံများစာရင်း|နိုင်ငံ]] |subdivision_name = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} |subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ|တိုင်းဒေသကြီး]] |subdivision_name1 = {{flag|မကွေးတိုင်းဒေသကြီး}} |subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] |subdivision_name2 = [[ပခုက္ကူခရိုင်]] |subdivision_type3 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] |subdivision_name3 = [[ပခုက္ကူမြို့နယ်]] |subdivision_type4 = [[ကျေးရွာအုပ်စု]] |subdivision_name4 = ကျထိုး |unit_pref = imperial |area_total_km2 = |population = |population_as_of = |population_density_km2 = auto |coordinates_display = |coordinates_region = MM |coordinates = {{Coord|21.3396091461182|94.8216018676758|region:MM|format=dms|display=inline,title}} |elevation_ft = |elevation_m = |timezone = [[မြန်မာစံတော်ချိန်]] |utc_offset = +6.30 |website = }} '''ကျပ်ပြည့်ရွာ''' ({{Lang-en|Kyat Pyae}})သည် [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပခုက္ကူခရိုင်]]၊ [[ပခုက္ကူမြို့နယ်]]၊ [[ကျထိုးကျေးရွာအုပ်စု]]၌ တည်ရှိသည်။ ရွာနေရာကုတ်မှာ ၁၈၈၀၂၁ ဖြစ်သည်။ [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ သန်းခေါင်စာရင်း#၂၀၁၄ ခုနှစ် သန်းခေါင်စာရင်း|၂၀၁၄ သန်းခေါင်စာရင်း]]အရ ကျထိုးကျေးရွာအုပ်စုတွင် ကျား ၁၉၂၂ ဦး၊ မ ၂၅၃၄ ဦး၊ [[လူဦးရေ]] စုစုပေါင်း ၄၄၅၆ ဦးနေထိုင်သည်။ <ref>{{cite web|url=http://themimu.info/place-codes|title=Place codes (Pcodes)|work=Myanmar Information Management Unit|date=June 2020|access-date=21 December 2020|archive-date=21 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121081823/https://themimu.info/place-codes|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} {{ပထဝီဝင်တည်နေရာ |Centre = ကျပ်ပြည့် |North = - |Northeast = - |East = - |Southeast = - |South = - |Southwest = - |West = - |Northwest = - }} {{ပခုက္ကူမြို့နယ်}} [[ကဏ္ဍ:ပခုက္ကူမြို့နယ်ရှိ ရွာများ]] {{Magway-geo-stub}} gjuetilge8vx5qq9zbn5bgfmmeakygn 0 202591 1048718 877005 2026-08-14T13:43:44Z Cepyita 93402 /* */ 1048718 wikitext text/x-wiki {{Infobox language | name = ရှေးဟောင်းမြန်မာဘာသာစကား | region = [[ပုဂံပြည်]] | era = ၁၂ ရာစုမှ ၁၆ ရာစုအထိ | image = Myazedi-Inscription-Burmese-cropped.png | imagecaption = [[မြစေတီကျောက်စာ]] | familycolor = တရုတ်-တိဗက်နွယ် | fam2 = ([[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|တိဗက်-ဗမာနွယ်]]) | fam3 = [[လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|လိုလို-ဗမာနွယ်]] | fam4 = [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာအနွယ်]] | script = [[မြန်မာအက္ခရာ]] | iso3 = obr | linglist = obr | glotto = oldb1235 | glottorefname = Old Burmese }} [[File:Nataung Thakin inscription.png|thumb|200 px|ရှေးမြန်မာကျောက်စာကို ယခုအက္ခရာပုံစံဖြင့် ရေသားထားပုံ]] '''ရှေးဟောင်းမြန်မာဘာသာစကား'''သည် [[မြန်မာဘာသာစကား]]စတင်ပေါ်ပေါက်ရာ ပုဂံခေတ်၌ပြောဆိုခဲ့ကြသော ဘာသာစကားဖြစ်၍ မြန်မာဘာသာ၏ အစောဆုံးသောပုံစံလည်းဖြစ်သည်။ ထိုဘာသာစကား၏ကာလမှာ ၁၂ ရာစုမှ ၁၆ ရာစုအထိဖြစ်ပြီး ၁၆ ရာစုတွင် [[ခေတ်လယ်မြန်မာဘာသာစကား]]သို့ ပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။ ရှေးဟောင်းမြန်မာဘာသာစကားကို ပုဂံခေတ်ကျောက်စာများတွင် လေ့လာနိုင်သည်။<ref name="herbert">{{cite book|last=Herbert|first=Patricia|author2=Anthony Crothers Milner|title=South-East Asia: Languages and Literatures: a Select Guide|url=https://archive.org/details/southeastasialan0000unse|publisher=University of Hawaii Press|year=1989|pages=[https://archive.org/details/southeastasialan0000unse/page/5 5]|isbn=9780824812676}}</ref> ဗျည်းသရ အသံထွက်၊ သဒ္ဒါဗျာကရိုဏ်းနှင့်ဝေါဟာရတို့မှာ ခေတ်သစ်မြန်မာစာနှင့် ကွာခြားမှုရှိသော်လည်း ဆင်တူသော စကားလုံးပုံစံလည်း အများရှိသည်။ <ref name="lapolla">{{cite book|last=Wheatley|first=Julian|editor1=Randy J. LaPolla |editor2=Graham Thurgood|title=Sino-Tibetan Languages|chapter=12. Burmese|publisher=Routledge|year=2013|isbn=9781135797171}}</ref> ==ရေးသားမှုပုံစံများ== ဗျည်းတွဲသင်္ကေတများတွင် လဆွဲဗျည်းတွဲဟူ၍ရှိခဲ့ရာ ကဝဂ်နှင့်ပဝဂ်ဗျည်းများတွင် အသုံးပြုခဲ့သည် (သာဓက- က္လ၊ ဖ္လစ်)။ နောက်ပိုင်းတွင် ကဝဂ်ကိုယပင့်အသံဖြင့်လည်းကောင်း ပဝဂ်ကိုရရစ်သံဖြင့်လည်းကောင်း ပြောင်းလဲရေးသားခဲ့သည် (သာဓက- က္လ > ကျ၊ ဖ္လစ် > ဖြစ်)။ ဝစ္စပေါက်နေရာတွင် ဟသတ် (ဟ်) ဖြင့် ရေးသားခဲ့သည် (သာဓက- သာဟ် = သား)။ အောက်မြစ်နေရာတွင် အသတ် (အ်) ဖြင့်သော်လည်းကောင်း "အ"ကိုအောက်၌ ဆင့်၍သော်လည်းကောင်း ရေးသားခဲ့သည် (သာဓက- ပေအ် = ပေ့၊ နှင္အ် = နှင့်)။ "ဧ"သရကို လုံးကြီးတင်ယပက်လက်သတ်ဖြင့်ရေးသည် (ပိယ် = ပေ၊ ပေး)။ သဝေထိုးဝဆွဲကို တစ်ချောင်းငင်ယပက်လက်သတ်ဖြင့်ရေးသည် (ငုယ် = ငွေ)။ "အို"ကိုမူ သရအဖြစ်မသတ်မှတ်ထားခဲ့သောကြောင့် ဝသတ် ဖြင့်ရေးသားခဲ့သည် (ထိုဝ် = ထို)။ ထို့အပြင် "အော်"သရမရှိခဲ့သောကြောင့် ဝသတ်ဖြင့်ရေးသားခဲ့သည် (ရခ္လေသဝ် = ရချေသော်)။ ၁၂ ရာစုနောက်ပိုင်းတွင် "အော်"သရကို ရှေ့ထိုးအဖြစ်ရေးခဲ့သည် (စိယ်တိတ် = စေတီတော်)။ ==သဒ္ဒါ== ရှေးခေတ်မြန်မာစကားတွင် ပုဂ္ဂလနာမ်စားများရေးသားပုံမှာ "ငါ" ကို "ငာ"၊ "ငါတို့" ကို "အတိုဝ္အ်"၊ "သူ" ကို "အယင်" ဟူ၍ ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref name="bradley-david">{{cite journal|last=Bradley|first=David|date=Spring 1993|title=Pronouns in Burmese-Lolo|journal=Linguistics of the Tibeto-Burman Area|publisher=La Trobe University|location=Melbourne|volume=16|issue=1|url=http://sealang.net/sala/archives/pdf4/bradley1993pronouns.pdf}}</ref> မြန်မာစကားစတင်ပေါ်ပေါက်သည့်အချိန်မှာပင် "၏"၊ "၍"၊ "၌" တို့ကို အသုံးပြုထားသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။<ref name="gartner">{{cite book|editor=Uta Gärtner, Jens Lorenz|publisher=LIT Verlag Münster|year=1994|series=Tradition and Modernity in Myanmar|pages=366–426|chapter=3|isbn=9783825821869|title=Tradition and Modernity in Myanmar: Proceedings of an International Conference Held in Berlin from May 7th to May 9th, 1993}}</ref> "၏"ကို ထိုခေတ်အခါက "ဧအ်" ဟူ၍ရေးသားခဲ့ရာ စာကြောင်း၏အဆုံးစကားလုံးအဖြစ် သုံးနှုန်းခဲ့သည်။ "၍"ကို "ရုယ္အ်"ဟူ၍ ရေးသားခဲ့ရာ စာကြောင်းနှစ်ကြောင်းဆက်ရာတွင် အသုံးပြုခဲ့သည်။ "၌"ကို "နှိုက်"ဟု ရေးသားပြီး နေရာပြဝိဘတ်အဖြစ် အသုံးပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင်[[ပါဠိဘာသာစကား|ပါဠိဘာသာ]]၏လွှမ်းမိုးမှုကိုလည်းတွေ့ရှိရသည်။ ကြိယာအနက်ကိုငြင်းပယ်ရာတွင် "အ"ပစ္စည်းဖြင့် အသုံးပြုထားသည်။ သာဓကအားဖြင့် [[မြစေတီကျောက်စာ|ရာဇကုမာရ်ကျောက်စာ]]တွင် "မဖူးရစေနှင့်" ကို "အဖူးရစေ" ဟူ၍ရေးသားထားသည်။<ref name="gartner"/> နောက်ပိုင်းတွင်မူ "မ" ကိုသာအသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ==ဝေါဟာရ== အလှူပြုကျောက်စာများတွင် ကျွန်နာမည်များ၏အရှေ့၌ အောက်ပါ‌ဝေါဟာရများဖြင့် အထူးပြုပါသည်။<ref name= "NyeinMaung">ရှေးဟောင်းသုတေသနဦးစီးဌာန (၁၉၉၈)။ "နောက်ဆက်တွဲ"။ ငြိမ်းမောင်၊ ဦး (တည်းဖြတ်)။ ရှေးဟောင်းမြန်မာကျောက်စာများ (ပဉ္စမတွဲ)။ ယဉ်ကျေးမှုဝန်ကြီးဌာန။</ref> *နိုဝ္အ်စိုဝ္အ် - နို့စို့သောအရွယ် *ပုစု - နို့ညှာအရွယ် *စာတတ် - မိမိလက်ဖြင့်ထမင်စားတတ်သောအရွယ် *အမှုရ - တောက်တိုမယ်ရခိုင်းရသောအရွယ် *မြက်ရ - နွားကျောင်းသားအရွယ် *အိုဝ္အ်ဖုခိ - အိမ်ထောင်မကျသေးသောသူ *ဤမ်‌ထောင် - အိမ်ထောင်ကျပြီးသူ *ဖုတ် - မုဆိုးဖိုဖြစ်သောသူ *က္မယ် - မုဆိုးမဖြစ်သောသူ သက္ကရာဇ်အမည်များမှာလည်း ယခုဝေါဟာရနှင့် ကွဲပြားပါသည်။<ref name= "NyeinMaung" /> # ဇေယျ - စိတြ၊ စဲ၊ ဇယ်၊ စယ်၊ စည်၊ ဇည်၊ စေ # ဝိသာခါ - ပိသျှက်၊ ဗေသာခ၊ ဗိသျှက်၊ ဗိသျှ၊ ပိသျှစ် # ဇေဋ္ဌ - ဇိဿ၊ ဇိသ၊ စိဿ၊ စိတ္သ၊ စိသျ # အာသဠီ - အာသန်၊ အာသဋ္ဌ်၊ အာသတ်၊ အာသဒ္ဓ၊ အာသတ် # သရဝဏ် - သရဝဏ်၊ ဩဝဏ်၊ သရဝန်၊ ဩဝန်၊ ဩွာန် # ဘဒြ - ဘဿ၊ ဖဿ၊ ဖတ်သ၊ ဘတ်၊ ဘာတ် # အဿယုဇ္ဇ - အသုက်၊ အာသုတ်၊ အသုစ်၊ အာသိတ်၊ အာသိန် # ကြတ္တိကာ - ကြာတိုက်၊ ကြတိကာ၊ ကြတိုက် # မိဂသီ - မိဂ္သီ၊ မြိက္ကသိုဝ်၊ မြိက္ကသို၊ မြိက်သိုလ်၊ မြိုက္ကသိုရ်၊ မြဂသေီရ် # ဖုသျှ - ဖုဿ၊ ဖုဿ၊ ပုတ်သ၊ ပုတ္သ # မာခ - မာဃ # ဘရဂုဏ္ဏီ (ဖဂ္ဂုဏ) - ဘလကိုန်၊ ဖလကိုန်၊ ဖ္လဂိုန်၊ ဖလကုန်၊ ဖြကိုန်၊ ဖြကိုင် ==နမူနာစာသားများ== [[ကျစွာမင်း]]မိထွေးတော်ကျောက်စာများမှ စာသားအချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ <blockquote>က္လစွာမင် ဟ္ရေတောင်တက်ပြီ။ ငါမိကိုဝ်ကာ ငါမသိလိုက်။ ငါမိထုယ်မုယ်ရုယ် ငါကြီဧအ်။ ငါမိထုယ်လျှင်တေ ငါမိဟုရုယ်။ ဤမ်ပ္လုနိယ်ပိယ်၏။ ဤမ်ထောင်ကျွန် လယ်လေ ပိယ်တဝ်မူဧအ်။</blockquote> ထိုစာသားကို ယခုခေတ်ရေးအသားဖြင့် ပြောင်းရေးကြည့်ပါက အောက်ပါအတိုင်းရသည်။ <blockquote>ကျစွာမင်း ရွှေတောင်တက်ပြီ။ ငါအမိကိုကား ငါမသိလိုက်။ ငါ့မိထွေးမွေး၍ ငါကြီး၏။ ငါ့မိထွေးလျှင်တည်း ငါ့အမိဟူ၍။ အိမ်ပြုနေပေး၏။ အိမ်ထောင်ကျွန်၊ လယ်လည်း ပေးတော်မူ၏။</blockquote> မြန်မာကျောက်စာများကို ဆရာကြီးဦးငြိမ်းမောင်သည် ကိုယ်တိုင်ဖတ်ရှုခဲ့၍ "ရှေးဟောင်းမြန်မာ ကျောက်စာများ" စာအုပ်များကိုထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>ဦးငြိမ်းမောင် (၂၀၁၈)။ ရှေးဟောင်းမြန်မာကျောက်စာများ (Ancient Burmese Inscriptions)။ Zenodo http://doi.org/10.5281/zenodo.1202320 </ref> ထို့အပြင်နိုင်ငံခြားသားလေ့လာသူများသည်လည်း ထိုကျောက်စာများကို အင်္ဂလိပ်ဘာသာသို့အက္ခရာဖလှယ်ခြင်းဖြင့် ရေးသားထုတ်‌ဝေခဲ့ကြသည်။<ref>U Nyein Maung, Lewis-Wong, Jennifer, Khin Khin Zaw, McCormick, Patrick, & Hill, Nathan. (2020). A Structured Corpus of Old Burmese Stone Inscriptions (Version 1) [Data set]. Zenodo. http://doi.org/10.5281/zenodo.4321314</ref> ==ကိုးကားချက်များ== {{reflist}} * "မြန်မာအဘိဓာန်" (ဒုတိယအကြိမ်)၊ ပညာရေးဝန်ကြီးဌာန (မြန်မာစာအဖွဲ့)။ "မြန်မာ့အက္ခရာသမိုင်း"။ {{မြန်မာဘာသာစကား}} {{မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဘာသာစကားများ}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာဘာသာစကား]] 6uwco7i7f8rpfc30pzd8luur2iubmo9 0 247617 1048783 822793 2026-08-15T11:06:45Z Mkant00 135890 major expansion 1048783 wikitext text/x-wiki [[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။]] {{Short description|အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း}} {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည်<br/> စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။ |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>\ i^{-2} = -1\phantom{i}</math> |- |<math>\ i^{-1} = -i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{0}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{1}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{2}\ = -1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{3}\ = -i\phantom1</math> |- |<math>\ \ i^{4}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |<math>\ \ i^{5}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>i</math> သည် ၄ ကြိမ်မြောက်<br/> ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ |} ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) <math>i</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5i</math> သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) <math>z</math> တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) <math>\Re(z)</math> သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ <math>\bar{z} = -z</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။ ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ <math>2 + 3i</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် <math>2 + 3i</math> ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>René Descartes, ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380.</ref> ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]][[ဖီးလ်ဒ်]]အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation) == [[File:Gaußsche Zahlenebene.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။]] ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။ ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် <math>i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ <math>-i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် <math>b</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း <math>b</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ <math>b < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး <math>|b|</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i) == ညီမျှခြင်း <math>x^2 = -1</math> ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ဖြစ်သည့် <math>+i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers) === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ <math display="inline">i = \sqrt{-1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>\textstyle \sqrt{6} =\sqrt{(-2) \cdot (-3)} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{3} = -\sqrt{6} </math> အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>-1 = i^2 = (\sqrt{-1})^2 \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math> အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း [[ဖန်ရှင်]] တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။ == အသုံးချမှုများ (Application) == ကိန်းယောင်များ၏ [[အစု]]ထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^2 - 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>+2</math> နှင့် <math>-2</math> တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် <math>x^2 + 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ <math>+2i</math> နှင့် <math>-2i</math> ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules) == ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ :<math>bi - ci = (b-c)\cdot i</math> ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ :<math>bi \cdot ci = bc \cdot i^2 = -bc</math> === ထပ်ကိန်းများ (Powers) === ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။ :<math>\begin{align} i^{-1} &= \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\\ i^0 &= 1\\ i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i\\ i^4 &= i^2 \cdot i^2 = (-1)^2 = 1 \end{align}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n\in \mathbb{Z}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} i^{4n} &= 1\\ i^{4n+1} &= i\\ i^{4n+2} &= -1\\ i^{4n+3} &= -i\\ i^{2n} &= (i^2)^n = (-1)^n \end{align}</math> == ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) == အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>x^2 + 1</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ <math>-i</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>i\mathbb{R}</math> ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသော[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် <math>\mathfrak{u}(1)</math> တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။ == အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula) == အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ယင်းညီမျှခြင်းတွင် <math>x=\pi</math> အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ :<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> :<math>e^{i\pi} = -1</math> == ကိုးကား (References) == <references /> * Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). ''Taschenbuch der Mathematik'' (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9. * Nahin, Paul (1998). ''An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. * [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] (University of Toronto Mathematics Network) * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+number Imaginary number] at nLab * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+unit Imaginary unit] at nLab [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] gnv1z9xv4biahcsskabmp2nt6l6y6mc 1048784 1048783 2026-08-15T11:08:31Z Mkant00 135890 [[ကိန်းတေး]] စာမျက်နှာကို [[ကိန်းယောင်]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 1048783 wikitext text/x-wiki [[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။]] {{Short description|အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း}} {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည်<br/> စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။ |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>\ i^{-2} = -1\phantom{i}</math> |- |<math>\ i^{-1} = -i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{0}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{1}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{2}\ = -1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{3}\ = -i\phantom1</math> |- |<math>\ \ i^{4}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |<math>\ \ i^{5}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>i</math> သည် ၄ ကြိမ်မြောက်<br/> ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ |} ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) <math>i</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5i</math> သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) <math>z</math> တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) <math>\Re(z)</math> သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ <math>\bar{z} = -z</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။ ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ <math>2 + 3i</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် <math>2 + 3i</math> ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>René Descartes, ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380.</ref> ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]][[ဖီးလ်ဒ်]]အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation) == [[File:Gaußsche Zahlenebene.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။]] ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။ ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် <math>i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ <math>-i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် <math>b</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း <math>b</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ <math>b < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး <math>|b|</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i) == ညီမျှခြင်း <math>x^2 = -1</math> ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ဖြစ်သည့် <math>+i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers) === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ <math display="inline">i = \sqrt{-1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>\textstyle \sqrt{6} =\sqrt{(-2) \cdot (-3)} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{3} = -\sqrt{6} </math> အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>-1 = i^2 = (\sqrt{-1})^2 \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math> အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း [[ဖန်ရှင်]] တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။ == အသုံးချမှုများ (Application) == ကိန်းယောင်များ၏ [[အစု]]ထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^2 - 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>+2</math> နှင့် <math>-2</math> တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် <math>x^2 + 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ <math>+2i</math> နှင့် <math>-2i</math> ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules) == ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ :<math>bi - ci = (b-c)\cdot i</math> ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ :<math>bi \cdot ci = bc \cdot i^2 = -bc</math> === ထပ်ကိန်းများ (Powers) === ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။ :<math>\begin{align} i^{-1} &= \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\\ i^0 &= 1\\ i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i\\ i^4 &= i^2 \cdot i^2 = (-1)^2 = 1 \end{align}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n\in \mathbb{Z}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} i^{4n} &= 1\\ i^{4n+1} &= i\\ i^{4n+2} &= -1\\ i^{4n+3} &= -i\\ i^{2n} &= (i^2)^n = (-1)^n \end{align}</math> == ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) == အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>x^2 + 1</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ <math>-i</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>i\mathbb{R}</math> ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသော[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် <math>\mathfrak{u}(1)</math> တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။ == အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula) == အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ယင်းညီမျှခြင်းတွင် <math>x=\pi</math> အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ :<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> :<math>e^{i\pi} = -1</math> == ကိုးကား (References) == <references /> * Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). ''Taschenbuch der Mathematik'' (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9. * Nahin, Paul (1998). ''An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. * [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] (University of Toronto Mathematics Network) * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+number Imaginary number] at nLab * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+unit Imaginary unit] at nLab [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] gnv1z9xv4biahcsskabmp2nt6l6y6mc 1048787 1048784 2026-08-15T11:12:49Z Mkant00 135890 1048787 wikitext text/x-wiki [[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။]] {{Short description|အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း}} {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည်<br/> စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။ |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>\ i^{-2} = -1\phantom{i}</math> |- |<math>\ i^{-1} = -i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{0}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{1}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{2}\ = -1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{3}\ = -i\phantom1</math> |- |<math>\ \ i^{4}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |<math>\ \ i^{5}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>i</math> သည် ၄ ကြိမ်မြောက်<br/> ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ |} ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) <math>i</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5i</math> သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) <math>z</math> တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) <math>\Re(z)</math> သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ <math>\bar{z} = -z</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။ ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ <math>2 + 3i</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် <math>2 + 3i</math> ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>René Descartes, ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380.</ref> ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]][[ဖီးလ်ဒ်]]အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation) == [[File:Gaußsche Zahlenebene.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။]] ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။ ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် <math>i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ <math>-i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် <math>b</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း <math>b</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ <math>b < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး <math>|b|</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i) == ညီမျှခြင်း <math>x^2 = -1</math> ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ဖြစ်သည့် <math>+i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers) === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ <math display="inline">i = \sqrt{-1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>\textstyle \sqrt{6} =\sqrt{(-2) \cdot (-3)} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{3} = -\sqrt{6} </math> အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>-1 = i^2 = (\sqrt{-1})^2 \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math> အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း [[ဖန်ရှင်]] တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။ == အသုံးချမှုများ (Application) == ကိန်းယောင်များ၏ [[အစု]]ထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^2 - 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>+2</math> နှင့် <math>-2</math> တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် <math>x^2 + 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ <math>+2i</math> နှင့် <math>-2i</math> ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules) == ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ :<math>bi - ci = (b-c)\cdot i</math> ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ :<math>bi \cdot ci = bc \cdot i^2 = -bc</math> === ထပ်ကိန်းများ (Powers) === ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။ :<math>\begin{align} i^{-1} &= \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\\ i^0 &= 1\\ i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i\\ i^4 &= i^2 \cdot i^2 = (-1)^2 = 1 \end{align}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n\in \mathbb{Z}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} i^{4n} &= 1\\ i^{4n+1} &= i\\ i^{4n+2} &= -1\\ i^{4n+3} &= -i\\ i^{2n} &= (i^2)^n = (-1)^n \end{align}</math> == ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) == အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>x^2 + 1</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ <math>-i</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>i\mathbb{R}</math> ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသော[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် <math>\mathfrak{u}(1)</math> တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။ == အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula) == အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ယင်းညီမျှခြင်းတွင် <math>x=\pi</math> အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ :<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> :<math>e^{i\pi} = -1</math> == ကိုးကား (References) == <references /> * Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). ''Taschenbuch der Mathematik'' (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9. * Nahin, Paul (1998). ''An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. * [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] (University of Toronto Mathematics Network) * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+number Imaginary number] at nLab * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+unit Imaginary unit] at nLab [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] ivnhnjshypcai0vrweyze644z4vigub 0 251218 1048749 880793 2026-08-15T04:22:52Z PanzerKmp07 117835 1048749 wikitext text/x-wiki '''ခြေမြန်တပ်မ''' (သို့) '''ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်''' (အတိုကောက်: '''တမခ''', အင်္ဂလိပ်: Light Infandry Division - LID) သည် မြန်မာ့[[တပ်မတော် (ကြည်း)]] ၏ အဓိကတိုက်ခိုက်ရေးနှင့် ခြေလျင်တပ်များဖြစ်သည်။ ခြေမြန်တပ်မများကို ပြည်တွင်းပုန်ကန်မှုများ စတင်ပေါ်ပေါက်လာချိန်မှစ၍ ဒေသအသီးသီးသို့ လွယ်ကူလျင်မြန်စွာ ရွှေ့ပြောင်းစစ်ဆင်နိုင်ရန်အတွက် ဖွဲ့စည်းခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ == ဖွဲ့စည်းပုံနှင့် ကွပ်ကဲမှု == ခြေမြန်တပ်မများသည် စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်များ (စကခ) နှင့် ဖွဲ့စည်းပုံအသွင်တူညီကြသည်။ သို့ရာတွင် စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်များသည် တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်များ၏ အစိတ်အပိုင်းများဖြစ်ပြီး၊ ခြေမြန်တပ်မများမှာမူ စစ်ဆင်ရေးကိစ္စရပ်များတွင် [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (ကြည်း)|ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး]] (ကြည်း)၊ စစ်ဆင်ရေးဌာနခွဲ (တစ်နည်းအားဖြင့် စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့များ) က တိုက်ရိုက်ကွပ်ကဲသည်။ ဦးစီး၊ ရေးရာ၊ ထောက်ပို့နှင့် စစ်ဘက်တရားစီရင်ရေးကိစ္စရပ်များကိုသာ တိုင်းစစ်ဌာနချုပ်က လွှမ်းမိုးသည်။ လက်ရှိတွင် ခြေမြန်တပ်မ ၁၀ ခုရှိပြီး အများစုမှာ အလယ်ပိုင်းအညာဒေသတွင် အခြေစိုက်သည်။<ref name=":0">{{Cite web|url=https://burma.irrawaddy.com/article/2023/06/22/335712.html|title=မြန်မာစစ်တပ်ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း အပိုင်း (၁)|accessdate=2025-6-18|publisher=The Irrawaddy|archiveurl=https://web.archive.org/web/20250618063319/https://burma.irrawaddy.com/article/2023/06/22/335712.html|archivedate=2025-6-18|date=22 June 2023|author=အေးချမ်းဆု}}</ref> ခြေမြန်တပ်မတစ်ခုလျှင် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်း ၁၀ ရင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်း သုံးရင်းကို နည်းဗျူဟာစစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုအဖွဲ့ (နဗဟ) တစ်ခုစီဖြင့် နည်းဗျူဟာမှူးတစ်ဦးက ကွပ်ကဲသည်။ ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်း ၁၀ ရင်းအနက် ၉ ရင်းမှာ နည်းဗျူဟာစစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုအဖွဲ့များ၏ ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင်ရှိပြီး၊ ကျန်တစ်ရင်းသည် ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်၏ တိုက်ရိုက်ကွပ်ကဲမှုအောက်တွင် ရှိသည်။ ဥပမာ။ အမှတ် (၁၁) ခြေမြန်တပ်မဌာချုပ်လက်အောက်ခံ ဖွဲ့စည်းပုံ- * အမှတ် (၁၁၁) နည်းဗျူဟာအဖွဲ့: ဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦး ကွပ်ကဲသည်။ ** ခြေမြန်တပ်ရင်း ၃ ရင်း (ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ၃ ဦးစီ ကွပ်ကဲသည်။) * အမှတ် (၁၁၂) နည်းဗျူဟာအဖွဲ့: ဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦး ကွပ်ကဲသည်။ ** ခြေမြန်တပ်ရင်း ၃ ရင်း (ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ၃ ဦးစီ ကွပ်ကဲသည်။) * အမှတ် (၁၁၃) နည်းဗျူဟာအဖွဲ့: ဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦး ကွပ်ကဲသည်။ ** ခြေမြန်တပ်ရင်း ၃ ရင်း (ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး ၃ ဦးစီ ကွပ်ကဲသည်။) * ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ် တိုက်ရိုက်ကွပ်ကဲမှုအောက်ရှိ တပ်ရင်း ** ခြေမြန်တပ်ရင်း ၁ ရင်း သို့ရာတွင် လက်ရှိတပ်မတော်၏ ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများမှာ ယခင်ဖွဲ့စည်းပုံအင်အားနှင့် ကွာခြားမှုများရှိရာ စစ်ဆင်ရေးများတွင် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်း ၂ ရင်း သို့မဟုတ် ၃ ရင်းခန့်မှ အင်အားများကို ထုတ်နုတ်စုပေါင်း၍ စစ်ကြောင်းများအဖြစ် ကွပ်ကဲသည်။ မြေပြင်စစ်ဆင်ရေးတွင် အမြင့်ဆုံး အနီးကပ်ကွပ်ကဲသည့်အရာရှိမှာ တပ်မမှူးဖြစ်ပြီး၊ နည်းဗျူဟာမှူး၊ တပ်ရင်းမှူး၊ စစ်ကြောင်းမှူးများအား ဆက်သွယ်ရေးဖြင့် တိုက်ရိုက်အမိန့်ပေး ကွပ်ကဲလေ့ရှိသည်။ == ဂုဏ်သတ္တိနှင့် အမှတ်အသားများ == ခြေမြန်တပ်မများကို တပ်မတော် (ကြည်း) တွင် အခြားတိုက်ခိုက်ရေးတပ်များထက် ပိုမိုကြမ်းတမ်းခြင်း၊ တိုက်ရည်ခိုက်ရည်မြင့်မားခြင်း၊ ရက်စက်ကြမ်းကြုတ်ခြင်းနှင့် တပ်ဖွဲ့ဝင်များ၏ စိတ်နေစိတ်ထားတို့ကြောင့် အကြမ်းဆုံးခြေလျင်တပ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော် ခြေမြန်တပ်မများမှာ စစ်ဆင်ရေးအပြည့်အဝထွက်ရသည့် တပ်များဖြစ်သဖြင့် အင်အားလျော့နည်းမှုများရှိရာ ခြေမြန်တပ်မတစ်ခုလျှင် ပျမ်းမျှအင်အား ၂,၀၀၀ အောက်သာ ရှိသည်။ ခြေမြန်တပ်မရှိ တပ်ဖွဲ့ဝင်အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်လက်မောင်းတွင် သက်ဆိုင်ရာ ခြေမြန်တပ်မ၏ တံဆိပ်ကို တပ်ဆင်ရသည်။ ညာဘက်လက်မောင်းတွင်မူ သက်ဆိုင်ရာ လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းတံဆိပ်များဖြစ်သည့် ခြေလျင်တပ်ဖွဲ့၊ ဆက်သွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့၊ အမြောက်တပ်ဖွဲ့၊ အင်ဂျင်နီယာတပ်ဖွဲ့၊ ဆေးဝန်ထမ်းတပ်ဖွဲ့ စသည်တို့ကို တပ်ဆင်ကြရသည်။ == တံဆိပ်တပ်ဆင်ပုံ ထူးခြားချက် == ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်လက်အောက်ရှိ ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းများတွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်သော လက်ရုံး/ဝန်ထမ်းမဟုတ်သည့် တိုက်ခိုက်ရေးနှင့် ရုံးလုပ်ငန်းဆောင်ရွက်ရသည့် တပ်ဖွဲ့ဝင်များသည် တပ်သားအဆင့်မှ တပ်ရင်းမှူးအဆင့်အထိ ခြေလျင်တပ်တံဆိပ်ကို တပ်ဆင်ရသည်။<ref name=":0" /> ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်တွင် တာဝန်ထမ်းဆောင်သော ရုံးလုပ်ငန်းဆောင်ရွက်ရသည့် တပ်ဖွဲ့ဝင်များမှာမူ ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်တံဆိပ်အား လက်မောင်းနှစ်ဖက်လုံးတွင် တပ်ဆင်ကြရသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ ဘယ်ဘက်တွင် တပ်မတံဆိပ်၊ ညာဘက်တွင် ခြေလျင်တပ်တံဆိပ်တပ်ဆင်ထားသော ဗိုလ်မှူးအဆင့် အရာရှိတစ်ဦးသည် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းမှ ယာယီတပ်ရင်းမှူး၊ ဒုတိယတပ်ရင်းမှူး သို့မဟုတ် ဌာနချုပ်တပ်ခွဲမှူး ဖြစ်သည်ကို သိရှိနိုင်သည်။ လက်မောင်းနှစ်ဖက်လုံး တပ်မတံဆိပ်တပ်ဆင်ထားသော ဗိုလ်မှူးတစ်ဦးသည် ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်မှ စစ်ဦးစီးမှူး (ဒုတိယတန်း) တစ်ဦးဖြစ်ကြောင်း သိရှိနိုင်သည်။ အလားတူ ဘယ်ဘက်တွင် တပ်မတံဆိပ်၊ ညာဘက်တွင် ခြေလျင်တပ်တံဆိပ်တပ်ဆင်ထားသော ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦးသည် ခြေလျင်/ခြေမြန်တပ်ရင်းမှ တပ်ရင်းမှူးဖြစ်ကြောင်း သိရှိနိုင်ပြီး၊ လက်မောင်းနှစ်ဖက်လုံး တပ်မတံဆိပ်တပ်ဆင်ထားသော ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦးသည် ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်မှ စစ်ဦးစီးမှူး (ပထမတန်း) သို့မဟုတ် ယာယီနည်းဗျူဟာမှူးတစ်ဦးဖြစ်ကြောင်း ခွဲခြားသိရှိနိုင်သည်။ ဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်နှင့်အထက် အရာရှိများသည် ဌာနချုပ်၏ တံဆိပ်ကိုသာ လက်မောင်းနှစ်ဖက်လုံး၌ တပ်ဆင်ကြသည်။ == ခေါင်းဆောင်မှုနှင့် ရာထူးတိုးမြှင့်မှု == ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်တွင် ဗိုလ်မှူးချုပ်တစ်ဦးက တပ်မမှူးအဖြစ် ကွပ်ကဲပြီး ဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦးက ဒုတိယတပ်မမှူးအဖြစ် တာဝန်ယူသည်။ တပ်မမှူးအဖြစ် ရာထူးတိုးခံရသော ဗိုလ်မှူးကြီးအဆင့်အရာရှိသည် ယာယီတပ်မမှူးအဖြစ် တစ်နှစ်တာဝန်ထမ်းဆောင်ပြီးမှသာ တပ်မမှူး (ဗိုလ်မှူးချုပ်) အဆင့်သို့ အတည်ပြုတိုးမြှင့်ခန့်ထားခြင်းခံရသည်။ ခြေမြန်တပ်မမှူးများနှင့် စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲရေးမှူးများသည် ဒေသကွပ်ကဲရေးမှူး၊ တိုင်းမှူးကဲ့သို့သော အထက်ရာထူးများသို့ တိုးမြှင့်ခံရရန် အလားအလာ ပိုများသည်။ ၎င်းတို့သည် တပ်မတော်ကျောင်း/တက္ကသိုလ်များမှ ကျောင်းအုပ်များ၊ ဒုတိယညွှန်ကြားရေးမှူးများ၊ တိုင်းဦးစီးချုပ်၊ ဒုတိယတိုင်းမှူးများ စသည့် အခြားအဆင့်တူရာထူးများထက်ပင် အခွင့်အလမ်း ပိုမိုရရှိလေ့ရှိသည်။ နည်းဗျူဟာမှူးကိုမူ အနည်းဆုံး စစ်ဦးစီးတက္ကသိုလ်တက်ရောက်ပြီးသည့် ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီးတစ်ဦးဦးကိုသာ ယာယီနည်းဗျူဟာမှူးအဖြစ် ခန့်အပ်ပြီးမှ နည်းဗျူဟာမှူး (ဗိုလ်မှူးကြီး) အဆင့်သို့ အတည်ပြုတိုးမြှင့်ခန့်ထားသည်။ ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်များ၏ အမှတ်စဉ်များကို ဗိုလ်ချုပ်ကြီး[[နေဝင်း (ဗိုလ်ချုပ်ကြီး)|နေဝင်း]]က အစီအရင်ယတြာများအရ ပူးဂဏန်းများ မှည့်ခေါ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်ဟုလည်း ဆိုကြသည်။<ref name=":0" /> ==ဖွဲ့စည်းပုံ== ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်းဖွဲ့စည်းထားသည်။ # '''ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်ရုံး''' ## တပ်မမှူး ## ဒုတိယတပ်မမှူး ### စစ်ဦးစီးမှူး(ပထမတန်း)(ဦး/ရေး/ထောက်) #### စစ်ဦးစီးဌာန ##### စစ်ဦးစီးမှူး(ဒုတိယတန်း)(စစ်ဆင်ရေး၊ တာဝန်နှင့် လေ့ကျင့်ရေး) ##### စစ်ဦးစီးမှူး(ဒုတိယတန်း)(စစ်ဘက်ရေးရာလုံခြုံရေး) #### စစ်ရေးဌာန ##### ဦးစီးအရာရှိ(ဒုတိယတန်း)(စစ်ရေး) ###### ဦးစီးအရာရှိ(တတိယတန်း)(စစ်ရေး ၁/၂/၅) ###### ဦးစီးအရာရှိ(တတိယတန်း)(စစ်ရေး ၃/၄) #### စစ်ထောက်ဌာန ##### ဦးစီးအရာရှိ(ဒုတိယတန်း)(စစ်ထောက်) ###### ဦးစီးအရာရှိ(တတိယတန်း)(ရိက္ခာ/စစ်ဝဝ်) ###### ဦးစီးအရာရှိ(တတိယတန်း)(လုပ်ငန်း/ဖြည့်ထိန်း) ### ဌာနချုပ်တပ်ခွဲမှူး #### ဌာနချုပ်တပ်ခွဲ ##### အမြှောက်တပ်စု ##### လုံခြုံရေးတပ်စု ### ပစ်ကူပေးတပ်ခွဲ ## နည်းဗျူဟာစစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုအဖွဲ့(၃)ဖွဲ့ == ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်များ နှင့် တည်နေရာများ == ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(ကြည်း) လက်အောက်ရှိ ခြေမြန်တပ်မများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။<ref name=":0" /> {| class="wikitable mw-collapsible" |+ခြေမြန်တပ်မဌာနချုပ်များ နှင့် တည်နေရာများ !စဉ် !အလံ !တမခ !တပ်မဌာနချုပ် တည်ရှိရာ နေရာ !စစ်ဆင်ရေးအထူးအဖွဲ့ |- |၁။ |[[File:Mm-lid-11.svg|100px]] |[[အမှတ်(၁၁)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၁၁) |[[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[အင်းတိုင်|အင်းတိုင်မြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၅) |- |၂။ |[[File:Mm-lid-22.svg|100px]] |[[အမှတ်(၂၂)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၂၂) |[[ကရင်ပြည်နယ်]]၊ [[ဘားအံမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၄) |- |၃။ |[[File:Mm-lid-33.svg|100px]] |[[အမှတ်(၃၃)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၃၃) |[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[စစ်ကိုင်းမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၁) |- |၄။ |[[File:Mm-lid-44.svg|100px]] |[[အမှတ်(၄၄)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၄၄) |[[မွန်ပြည်နယ်]]၊ [[ကျိုက်ထိုမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၄) |- |၅။ |[[File:Mm-lid-55.svg|100px]] |[[အမှတ်(၅၅)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၅၅) |[[ရှမ်းပြည်နယ်]]၊ [[ကလောမြို့]] | {{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၂) |- |၆။ |[[File:Mm-lid-66.svg|100px]] |[[အမှတ်(၆၆)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၆၆) |[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[အင်းမမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၃) |- |၇။ |[[File:Mm-lid-77.svg|100px]] |[[အမှတ်(၇၇)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၇၇) |[[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပဲခူးမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}}ကစထ(၃) |- |၈။ |[[File:Mm-lid-88.svg|100px]] |[[အမှတ်(၈၈)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၈၈) |[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မကွေးမြို့]] | {{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၁) |- |၉။ |[[File:Mm-lid-99.svg|100px]] |[[အမှတ် (၉၉) ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်|အမှတ်(၉၉)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၉၉) |[[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မိတ္ထီလာမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၁) |- |၁၀။ |[[File:Mm-lid-101.svg|100px]] |[[အမှတ်(၁ဝ၁)ခြေမြန်တပ်မ ဌာနချုပ်]] တမခ(၁၀၁) |[[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပခုက္ကူမြို့]] |{{flagicon image|Shoulder_Sleeve_of_Myanmar_Army.svg}} ကစထ(၁) |} == ကိုးကား == [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော် (ကြည်း)]] rcquab6ywudfb22legwmt0nrhm49sw4 2 282473 1048721 1048508 2026-08-14T14:38:26Z Mkant00 135890 /* Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) */ 1048721 wikitext text/x-wiki '''A mathematician is a device for turning coffee into theorems'''<ref>{{cite book | title=A History of Mathematics | first=Jeff | last=Suzuki | year=2002 | pages=731 | publisher=Prentice Hall | quote=The first main result was by the Hungarian mathematician Alfred Renyi (March 20, 1921-February 1, 1970), who is best known for a saying of his: a mathematician is a machine for turning coffee into theorems. | isbn=9780130190741}}</ref><ref>{{cite book | title=Preface to ''Ars Mathematica'', Collected writings of Alfréd Rényi | publisher=TypoTeX | location=Budapest | author=Gyula O. H. Katona | author-link=Gyula O. H. Katona | page=8 | year=2005}}</ref> <div style="background-color: #F1C644; padding: 20px; color: #141B2D ;"> == <span style="color: #141B2D ;"> ရေးလက်စ (သင်္ချာ) </span> == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory) # [[2-ကတ်တဂိုရီ]] (2-category) # [[အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of groups) # [[အဘီလီယန်အုပ်စုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (category of abelian groups) # [[ကွင်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of rings) # [[မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of modules) # [[အစုများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of sets) # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ]] (Category of topological spaces) # [[မိုနွိုက်ဒယ်_ကတ်တဂိုရီ]] (Monoidal category) # [[ဂရိုသန်ဒိခ်_စကြဝဠာ]] (Grothendieck universe) # [[စုဆုံမှတ်_နှင့်_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Limits and Colimits) # [[စစ်ထုတ်ထားသော_ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်]] (Filtered colimit) # [[အစ_အရာဝတ္ထုနှင့်_အဆုံးသတ်_အရာဝတ္ထု]] (Initial and Terminal Objects) # [[ဖန်တာ]] (Functor) # [[ဆင်းသက်ဖန်တာ]] (Derived functor) # [[တိကျသော_ဖန်တာ]] (Exact functor) # [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (Fully faithful functor) # [[အခြေခံအားဖြင့်_ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ]] (Essentially surjective functor) # [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Natural Transformation) # [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (Adjunction) # [[တိကျသော_ကိန်းစဉ်တန်း]] (Exact sequence) # [[မိုနက်]] (Monad) # [[အစည်း]] (Sheaf) '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အုပ်စု_(သင်္ချာ)]] (Group) # [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) # [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု]] (automorphism group) # [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) # [[အုပ်စုသီအိုရီ၏_သမိုင်းကြောင်း]] (History of group theory) # [[ကွင်း_(အက္ခရာသင်္ချာ)]] (Ring) # [[ပြောင်းပြန်ကွင်း]] (Opposite ring) # [[ဖလှယ်ရ_ကွင်း]] (Commutative ring) # [[အစားကွင်း]] (division ring) # [[ကွင်း_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Ring homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) # [[မော်ဂျူး]] (Module) # [[ရိုးရှင်းသော_မော်ဂျူး]] (simple module) #[[ဆီမီးရိုးရှင်းသော_မော်ဂျူး]] (semisimple module) # [[မိုနွိုက်]] (Monoid) # [[သုဒ္ဓကိန်း_အိုင်ဒီးလ်]] (Prime ideal) # [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homomorphism) # [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Endomorphism) # [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) # [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (monomorphism) # [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်_သီအိုရမ်များ]] (Isomorphism theorems) # [[အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) # [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ]] (*-algebra) # [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) '''အစုသီအိုရီနှင့် အခြေခံများ (Set Theory and Fundamentals)''' # [[အစု]] (Set) # [[အစုဝင်]] (Element of a set) # [[ကာတီးရှန်း_မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) # [[ဖန်ရှင်]] (Function) # [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်]] (Image and Preimage) # [[အင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Injective function) # [[ဆာဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Surjective function) # [[ဘိုင်ဂျက်တစ်_ဖန်ရှင်]] (Bijective function) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) # [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း]] (Metric space) # [[ဖိုက်ဘာအစည်း]] (Fiber bundle) # [[ဟိုမိုတိုပီ]] (Homotopy) # [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်]] (Continuous function) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) # [[ဗက်တာ]] (Vector) # [[မျဉ်းဖြောင့်_အော်ပရေတာ]] (Linear operator) '''ကိန်းသီအိုရီ (Number Theory)''' # [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) # [[စုံမသဘာဝ_(စုံကိန်း/မကိန်း)]] (Parity) # [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime number) # [[P-အခြေခံကိန်း_တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic valuation) # [[အွိုင်လာ၏_သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကဲကုလပ်၏_အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental theorem of calculus) # [[ကော်ချီ_ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) # [[စံနှုန်း_(သင်္ချာ)]] (Norm) # [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)]] (Derivative (Differential Calculus)) </div> </div> == တမ်းပလိတ် == # [[တမ်းပလိတ်:ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] # [[တမ်းပလိတ်:အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] <div style="background-color: #a7f356; padding: 20px; color: #141B2D;"> == စမ်းသပ် == <div style="column-width: 25em; column-gap: 3em; font-size: 95%;"> # [[ဘဏ္ဍာရေး_ဆင်းသက်စာချုပ်]] (financial derivative) # [[အစုရှယ်ယာ]] (stock) # [[၂၀၀၇-၂၀၀၈_ကမ္ဘာ့ဘဏ္ဍာရေး_အကျပ်အတည်း]] (Global Financial Crisis 2007–2008) # [[ရီကာဒီယန် စီးပွားရေးပညာ]] (Ricardian economics) # [[ပကတိ အသာစီးရမှု]] (Absolute advantage) # [[ လီယွန်တီယက်ဖ် ဝိရောဓိ]] (Leontief paradox) # [[ဟက်ခ်ရှာ-အိုလင် သီအိုရမ်]] (Heckscher–Ohlin Theorem) # [[ရစ်ဗ်ချင်စကီး သီအိုရမ်]] (Rybczynski theorem) # [[အရင်းအမြစ် ဈေးကွက်]] (Factor market) </div> </div> == ရေးရန် (သင်္ချာ) == <div style="column-count: 2; column-gap: 2em;"> '''ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Category Theory)''' # [[ဖီးလ်ဒ်များ ကတ်တဂိုရီ]] (category of fields) # [[အပီမော်ဖစ်ဇင်]] (epimorphism) # kan extension '''သရုပ်မဲ့/ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract/Modern Algebra)''' # [[အိုင်ဒီးလ်]] (Ideal) # [[စားလဒ်အုပ်စု]] (Quotient group) # [[စားလဒ်ကွင်း]] (Quotient ring) # [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်]] (Tensor product) # [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု]] (Galois group) # [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) # [[ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hopf algebra) # [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း]] (Principal ideal domain) # [[လွတ်လပ်သည့် အုပ်စု]] (Free group) # [[အချိုးညီအုပ်စု]] (Symmetric group) # [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (Cyclic group) # [[ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စု]] (Permutation group) # [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (Alternating group) # [[မူမှန်အုပ်စု]] (Normal group) # [[ကိုဆက်]] (Coset) # [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) # [[ကေးလီ၏ သီအိုရမ်]] (Cayley's theorem) # [[အုပ်စု၏ ဗဟို]] (Center of a group) # [[ကွင်း၏ ဗဟို]] (Center of a ring) # [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (Integral domain) # [[သုညစားကိန်း]] (Zero-divisor) # [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (Maximal ideal) # [[ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း]] (Polynomial ring) # [[ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း]] (Field extension) # [[အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်]] (Algebraic closure) # [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) # [[ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (field homomorphism) '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology)''' # [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Homeomorphism) # [[ကျစ်လျစ်မှု]] (Compactness) # [[ဆက်စပ်နေမှု]] (Connectedness) # [[အခြေခံအုပ်စု]] (Fundamental Group) # [[ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း]] (Covering space) # [[မန်နီဖိုး]] (Manifold) # [[ဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Homology) # [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Cohomology) # [[အစည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (Sheaf cohomology) '''မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (Linear Algebra)''' # [[မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) # [[အခြေအစု]] (Basis) # [[အတိုင်းအတာ_(သင်္ချာ)]] (Dimension) # [[ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (Eigenvalue) # [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Determinant) '''ကိန်းသီအိုရီ (Number Theory)''' # [[ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ်]] (Fermat's little theorem) '''ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ကဲကုလပ် (Analysis & Calculus)''' # [[ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (Complex analysis) # [[ဟိုလိုမောဖစ် ဖန်ရှင်]] (Holomorphic function) # [[စုဆုံခြင်း]] (Convergence) # [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) # Cauchy–Schwarz inequality # Hilbert C*-module # Inner product # [[စုဆုံ ကိန်းစဉ်]] (Convergent sequence) # [[ကိန်းစဉ်]] (Sequence) # [[အလယ်အလတ်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Mean Value Theorem) # [[အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ်]] (Extreme Value Theorem) # [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) # [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (Complex plane) </div> <div style="background-color: #660099; padding: 20px; color: #ffffff;"> == <span style="color: #ffffff;">Curated List of Core Terms up to the Undergraduate Level (အမြဲတမ်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါသည်) == <div style="column-width: 20em; column-gap: 2em; font-size: 85%;"> *Abelian group = အဘီလီယန်အုပ်စု *Absolute value = ပကတိတန်ဖိုး *Absolutely continuous function = ပကတိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် *Abstract algebra = ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ *Addition = အပေါင်း *Alternating group = အလှည့်ကျ အုပ်စု *Antiderivative = ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် *Archimedean = အာခီမီးဒီးစ် *Associative property = ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ *Asymptote = ချဉ်းကပ်မျဉ်း *Automorphism = အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် *Axiom = နဂိုမှန်အဆို *Axiom of choice = ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို *Balls = စက်လုံးများ *Base space = အခြေခံရပ်ဝန်း *Basepoint = အခြေခံအမှတ် *Basis = အခြေအစု *Bijection = ဘိုင်ဂျက်ရှင်း *Binary operation = နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု *Boundaries = နယ်နိမိတ်များ *Bounded = အကန့်အသတ်ရှိခြင်း *Cancellation = ချေဖျက်ခွင့် *Cardinal number = ကာဒီနယ်ကိန်း *Cartesian coordinate = ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် *Cartesian product = ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် *Category = ကတ်တဂိုရီ *Cauchy sequence = ကော်ချီ ကိန်းစဉ် *Cauchy-Schwarz inequality = ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း *Cayley's theorem = ကေးလီ၏ သီအိုရမ် *Center of a group or ring = အုပ်စု သို့မဟုတ် ကွင်းများ၏ ဗဟို *Chain rule = ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း *Characteristic = ဝိသေသလက္ခဏာ/ ဝိသေသတန်ဖိုး *Characteristic function = ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် *Circle line = စက်ဝိုင်းမျဉ်း *Closed ball = အပိတ်စက်လုံး *Closed curve = မျဉ်းကွေးပိတ် *Closed interval = အပိတ် အပိုင်းအခြား *Closed set = အပိတ်စု *Closure property = အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ *Codomain = ပစ်မှတ် (category theory) / ပစ်မှတ်စု *Coefficient = မြှောက်ဖော်ကိန်း *Commutative algebra = ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ *Commutative ring = ဖလှယ်ရ ကွင်း *Compactness = ကျစ်လျစ်မှု *Complement = ဖြည့်စွက်စု *Complete metric space = ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Completeness = ပြည့်စုံမှု *Complex number = ကိန်းထွေး *Complex plane = ကိန်းထွေးပြင်ညီ *Composite function = ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် *Composite number = ဆပေါင်းကိန်း *Composition = ပေါင်းစပ်ခြင်း *Congruent = ထပ်တူညီ *Connected = ဆက်စပ်နေသော *Connectedness = ဆက်စပ်နေမှု *Constant functions = ကိန်းသေ ဖန်ရှင်များ *Continuity = အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း *Continuous functions = အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ *Contradiction = ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု *Contrapositive = ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို *Converge = စုဆုံသည် *Convergence = စုဆုံခြင်း *Convergent sequence = စုဆုံ ကိန်းစဉ် *Converse = ပြောင်းပြန်အဆို *Convex set = ခုံးသောအစု *Coordinate = ကိုဩဒိနိတ် *Coprime = နှိုင်းရသုဒ္ဓ *Corollary = အကျိုးဆက်သီအိုရမ် *Coset = ကိုဆက် *Countable = ရေတွက်နိုင်သော *Critical point = အပြောင်းအလဲ အမှတ် *Curve = မျဉ်းကွေး *Cyclic group = ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု *Decomposition = ခွဲခြမ်းမှု *Definite integral = သတ်မှတ် အင်တီဂရယ် *Definition = အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် *Derivative = ဆင်းသက်ချက် *Determinant = အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး *Diagonal = ထောင့်ဖြတ် *Diffeomorphism = ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Difference (set theory) = ခြားနားခြင်း *Differentiable = ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော *Differential equation = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း *Differential geometry = ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ *Dimension = အတိုင်းအတာ *Direct product = တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် *Direct sum = တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် *Directed graph = လားရာပြဂရပ် *Discontinuity = အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Discontinuous = အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော *Discrete metric space = တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Discrete topology = တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Disjoint = ဘုံမပါသော *Disjoint open sets = ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ *Disk = အပိတ်ပြား *Distance = အကွာအဝေး *Distance function = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Distributive laws = ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ *Distributivity = ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ *Divisibility properties = စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ *Division ring = အစားကွင်း *Domain = အရင်းအမြစ် (category theory) / အရင်းအမြစ်စု *Eigenvalues = ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ *Elements = အစုဝင်များ *Empty set = ဗလာအစု *Equivalence class = ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား *Equivalence relation = ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် *Equivalent = ထပ်တူညီသည် *Euclidean distance function = ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Euclidean norm = ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း *Euclidean space = ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း *Euler's formula = အွိုင်လာ ပုံသေနည်း *Euler's theorem = အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် *Even integers = စုံကိန်းပြည့်များ *Existence = တည်ရှိမှု *Exponent = ထပ်ကိန်း *Exponential function = ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် *Exponentiation = ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း *Extreme Value Theorem = အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် *Factor / Divisor = ဆခွဲကိန်း *Factorial = ဖက်တိုရီရယ် *Family = မိသားစု *Fermat's little theorem = ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် *Fibonacci sequence = ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် *Field = ဖီးလ်ဒ် *Field extension = ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း *Field of fractions = အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် *Finite group = အဆုံးရှိအုပ်စု *Finite set = အဆုံးရှိအစု *First isomorphism theorem = ပထမ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ် *Fixed = အထိုင် *Floor function = အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး ဖန်ရှင် *Formal = ပုံစံတကျ *Fraction = အပိုင်းကိန်း *Free group = လွတ်လပ်သော အုပ်စု *Function = ဖန်ရှင် *Function space = ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း *Functor = ဖန်တာ *Fundamental Group = အခြေခံအုပ်စု *Fundamental Theorem of Arithmetic = ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် *Fundamental Theorem of Calculus = ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် *General linear group = ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု *Generalized Triangle Inequality = ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Geometry = ဂျီဩမေတြီ *Graph = ဂရပ် *Greatest common divisor = အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း *Group = အုပ်စု *Group homomorphisms = အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Group theory = အုပ်စုသီအိုရီ *Hausdorff spaces = ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ *Hilbert space = ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း *Holomorphic functions = ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ *Homeomorphism = ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် *Homomorphism = ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် *Homotopic = ဟိုမိုတိုပစ် *Homotopy groups = ဟိုမိုတိုပီ အုပ်စုများ *Hypothesis = အဆိုပြုယူဆချက် *Ideal = အိုင်ဒီးလ် *Identity = ထပ်တူရ *Identity element = ထပ်တူရအစုဝင် *Identity function = ထပ်တူရ ဖန်ရှင် *Identity matrices = ထပ်တူရကိန်းအုံများ *If and only if = ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ *Image = ပုံရိပ် *Imaginary part = ကိန်းယောင်ပိုင်း *Imaginary unit = ကိန်းယောင်ယူနစ် *Inclusion mapping = ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း *Indefinite integral = ယေဘုယျ အင်တီဂရယ် *Independent = အမှီအခိုကင်းသော *Independent real variable = အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် *Index = အညွှန်း *Index set = အညွှန်းအစု *Infinite set = အနန္တအစု *Infinitude of Primes = သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု *Infinity = အနန္တ *Inflection point = အကွေ့အမှတ် *Initial object = အစ အရာဝတ္ထု *Injection = အင်ဂျက်ရှင်း *Inner product = အတွင်းမြှောက်လဒ် *Input = အဝင်ကိန်း *Integer = ကိန်းပြည့် *Integrability = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း *Integrable function = အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် *Integral = အင်တီဂရယ် *Integral domain = အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း *Integration = အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း *Interior point = အတွင်းပိုင်းအမှတ် *Intermediate Value Theorem = ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Intersection = ထပ်တူပိုင်းအစု *Interval = အပိုင်းအခြား *Intuition = ပင်ကိုသိစိတ် *Inverse = ပြောင်းပြန် *Inverse function = ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် *Inverse image = ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် *Invertible = ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော *Isomorphism = အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Jacobian matrix = ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ *Jump discontinuity = ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Kernel = ကာနယ် *Lagrange's theorem = လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် *Lattice = လတ္တစ် *Least common multiple = အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း *Least upper bound = အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် *Lebesgue integral = လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ် *Left inverse = ဘယ်ပြောင်းပြန် *Length = အလျား *Lemma = အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် *Limit = စုဆုံမှတ် *Limit point = စုဆောင်းမှတ် *Line = မျဉ်း *Line segment = မျဉ်းပိုင်း *Linear algebra = မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ *Linear function = မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် *Linear independence = မျဉ်းဖြောင့် အမှီအခိုကင်းမှု *Linear map = မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု *Linear operators = မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ *Linear transformation = မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း *Local section = ဒေသအလိုက် အပိုင်း *Logarithm = လော်ဂရစ်သမ် *Logical implication = ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု *Manifolds = မန်နီဖိုးများ *Map = ပုံဖော်မှု *Mathematical analysis = သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Mathematical induction = သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း *Matrix = ကိန်းအုံ *Matrix multiplication = ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း *Maximal = အမြင့်ဆုံး *Maximum = အကြီးဆုံးတန်ဖိုး *Mean Value Theorem = ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် *Measurable functions = တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ *Metric = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် *Metric space = အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း *Metric topology = အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Module = မော်ဂျူး *Modulus = မော်ဂျူးလပ်စ် *Monomorphism = မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် *Morphism = မော်ဖစ်ဇင် *Multiples = ဆတိုးကိန်းများ *Multiplication = မြှောက်ခြင်း *Multivariable calculus = ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် *Natural logarithm = သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် *Natural number = သဘာဝကိန်း *Negative coefficient = အနုတ်မြှောက်ဖော်ကိန်း *Negative exponent = အနုတ်ထပ်ကိန်း *Negative numbers = အနုတ်ကိန်းများ *Neighbourhood = ပတ်ဝန်းကျင် *Non-negative real numbers = အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ *Norm = စံနှုန်း *Normal distribution = ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း *Normal subgroup = မူမှန်အုပ်စုပိုင်း *Normalization = ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း *Normed vector space = စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း *Number line = ကိန်းမျဉ်း *Number systems = ကိန်းစနစ်များ *Number theory = ကိန်းသီအိုရီ *Numerical analysis = ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း *Object = အရာဝတ္ထု *Odd integers = မကိန်းပြည့်များ *Open ball = အဖွင့်စက်လုံး *Open cover = အဖွင့် ဖုံးအုပ်စု *Open interval = အဖွင့် အပိုင်းအခြား *Open sets = အဖွင့်စု *Operator = အော်ပရေတာ *Ordered pairs = အစီအစဉ်ကျအတွဲ *Origin = မူလနေရာ *Orthogonal projection = ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း *Output = အထွက်ကိန်း *Parallelogram law = အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း *Partially ordered sets = တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ *Partition = အစုခွဲစနစ် *Perfect number = ဆခွဲပေါင်းကိန်း *Permutation = ပါမြူတေးရှင်း *Piecewise function = အပိုင်းလိုက် ဖန်ရှင် *Point-set topology = အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Points = အမှတ်များ *Polynomial equations = ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ *Polynomial function = ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် *Polynomial ring = ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း *Positive integers = အပေါင်းကိန်းပြည့်များ *Positive number = အပေါင်းကိန်း *Positive real numbers = အပေါင်း ကိန်းစစ်များ *Positivity = အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု *Power = ထပ်ကိန်း *Power set = ပါဝါအစု *Preimage = မူလပုံရိပ် *Prime factorization = သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း *Prime ideal = သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ် *Prime number = သုဒ္ဓကိန်း *Principal ideal = ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် *Product Rule = မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း *Product Topology = မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ *Projection = ပရိုဂျက်ရှင်း *Proof = သက်သေပြချက် *Proper subset = အစုပိုင်းအစစ် *Property = ဂုဏ်သတ္တိ *Pythagorean theorem = ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် *Quadratic functions = နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင်များ *Quaternions = ကွာတာနီယွန်များ *Quotient group = စားလဒ်အုပ်စု *Quotient ring = စားလဒ်ကွင်း *Quotient Rule = စားလဒ်စည်းမျဉ်း *Quotient space = စားလဒ်ရပ်ဝန်း *Radius = အချင်းဝက် *Radius of convergence = စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် *Range = ပုံရိပ်အစု *Rational number = ရာရှင်နယ်ကိန်း *Real line = ကိန်းစစ်မျဉ်း *Real number = ကိန်းစစ် *Real part = ကိန်းစစ်ပိုင်း *Real plane = ကိန်းစစ်ပြင်ညီ *Real root = ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ *Real subset = ကိန်းစစ်အစုပိုင်း *Real vector spaces = ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ *Real-valued function = ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် *Reducible = ဆခွဲနိုင်သော *Reflection = အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း *Reflexivity = ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ *Removable discontinuity = ဖယ်ရှားနိုင်သော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း *Restriction = ကန့်သတ်ခြင်း *Right inverse = ညာပြောင်းပြန် *Ring = ကွင်း *Ring homomorphisms = ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ *Ring isomorphism = ကွင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် *Ring theory = ကွင်းသီအိုရီ *Roots of unity = ယူနစ်ရင်းများ *Roster notation = စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း *Scalar = စကေလာ *Scalar multiplication = စကေလာမြှောက်ခြင်း *Scaling = အရွယ်ပြောင်းခြင်း *Sequence = ကိန်းစဉ် *Series = ကိန်းစဉ်တန်း *Set = အစု *Set operations = အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ *Set theory = အစုသီအိုရီ *Simple graphs = ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များ *Sine function = ဆိုင်း ဖန်ရှင် *Singleton set = အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု *Smooth manifolds = ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ *Smooth mappings = ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများ *Source = အရင်းအမြစ် *Space = ရပ်ဝန်း *Sphere = စက်လုံးမျက်နှာပြင် *Square root = နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း *Statement = ဖော်ပြချက် *Strict = တိကျသော *Subgroup = အုပ်စုပိုင်း *Subring = ကွင်းပိုင်း *Subset = အစုပိုင်း *Subspace = ရပ်ဝန်းပိုင်း *Subspace topology = ရပ်ဝန်းပိုင်း တိုပေါ်လော်ဂျီ *Substitution = အစားထိုးခြင်း *Successor function = နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် *Supremum = စူပရီမမ် *Surface = မျက်နှာပြင် *Surjection = ဆာဂျက်ရှင်း *Surjective function = ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် *Symmetric group = ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စု *Symmetry = အချိုးညီမှု *Target = ပစ်မှတ် *Tensor product = တန်ဆာ မြှောက်လဒ် *Terminal object = အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု *Theorem = သီအိုရမ် *Topological space = တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း *Topology = တိုပေါ်လော်ဂျီ *Translation = ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း *Transpose = ထရန်စပို့စ် *Triangle inequality = တြိဂံ မညီမျှခြင်း *Trivial = အသေးအဖွဲ *Trivial subgroup = အသေးအဖွဲ အုပ်စုပိုင်း *Trivial topology = အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ *Uncountable = ရေတွက်၍မရသော *Uniformly continuous mapping = ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု *Union = ပေါင်းစပ်စု *Unique = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော *Uniqueness = တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု *Unit = ယူနစ် *Unit ball = ယူနစ်စက်လုံး *Unit vector = ယူနစ်ဗက်တာ *Unity = ယူနစ် *Universal property = စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ *Valuation = တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း *Variable = ကိန်းရှင် *Vector = ဗက်တာ *Vector field = ဗက်တာစက်ကွင်း *Vector space = ဗက်တာရပ်ဝန်း *Well-defined = မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း *Weierstrass function = ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် ဖန်ရှင် *Zermelo–Fraenkel set theory = ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ *Zero element = သုည အစုဝင် *Zero map = သုည ပုံဖော်မှု *Zero vector = သုညဗက်တာ *Zero-divisor = သုညစားကိန်း </div> </div> 8wmeo6jye449gtqfylkt5bw0n02pfqz 0 284499 1048720 1040992 2026-08-14T14:34:23Z Mkant00 135890 1048720 wikitext text/x-wiki '''မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (linear operator)''' ဟူသော ဝေါဟာရကို သင်္ချာပညာရပ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သော ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ၎င်းသည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (linear mapping) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် အဓိပ္ပာယ်တူညီသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုဆိုသည်မှာ ဘုံ [[ဖီးလ်ဒ်]] (common field) တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) ကြားရှိ တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှု (structure-preserving mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ် (real numbers) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex numbers) ဖီးလ်ဒ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပြီး ၎င်းတို့တွင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တပ်ဆင်ထားသောအခါ ၎င်းတို့ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများဟု ပိုမိုသုံးနှုန်းလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်းများ (locally convex spaces)၊ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (normed vector spaces) နှင့် ဘာနက်ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) တို့တွင် ဤဝေါဟာရကို အသုံးပြုကြသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းများ (finite-dimensional spaces) တွင် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများသည် အမြဲတမ်း အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ဂုဏ်သတ္တိရှိသော်လည်း အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional spaces) တွင်မူ အကန့်အသတ်မရှိသော (unbounded) မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ ပါဝင်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == === မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Linear operator) === <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့် <math>x, y \in X</math> နှင့် <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> (သို့မဟုတ် <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>) အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီပါက <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော ပုံဖော်မှု <math>T</math> ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ *<math>T</math> သည် တစ်ပြေးညီ (homogeneous) ဖြစ်သည်။ :<math>T (\lambda x) = \lambda T(x)</math> *<math>T</math> သည် အပေါင်းအခြေခံ (additive) ဖြစ်သည်။ :<math>T (x + y) = T(x) + T(y)</math> === ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Conjugate-linear operator) === <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့် <math>x, y \in X</math> နှင့် <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီပါက <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော အော်ပရေတာ <math>T</math> ကို ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ *<math>T</math> သည် ကွန်ဂျူဂိတ်-တစ်ပြေးညီ (conjugate-homogeneous) ဖြစ်သည်။ :<math>T (\lambda x) = \overline{\lambda}T(x)</math> *<math>T</math> သည် အပေါင်းအခြေခံ ဖြစ်သည်။ :<math>T (x + y) = T(x) + T(y)</math> == ဥပမာများ (Examples) == === မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Linear operators) === * <math>A</math> သည် ကိန်းစစ် <math>n \times m</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>A\colon x \mapsto Ax</math> သည် <math>\mathbb{R}^m</math> မှ <math>\mathbb{R}^n</math> သို့သွားသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှစ်ခုကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ စုစည်းထားသော [[အစု]] (set) သည် အပေါင်း (addition) <math>(S+T)(x) := S(x) + T(x)</math> နှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) <math>(\lambda S)(x) := \lambda S(x)</math> တို့ကို သတ်မှတ်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ * [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု]]အား ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသော <math>f \mapsto D f = f'</math> ဟူသည့် ဆင်းသက်ချက် အော်ပရေတာ (derivative operator) <math>D\colon C^1 \to C</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>a < b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်နှစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) တစ်ခုအား ကိန်းစစ်တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော အော်ပရေတာ <math>\textstyle f \mapsto \int_a^b f(x) \mathrm{d}x</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဖြစ်သည်။ * ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) မဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Conjugate-linear operator) === * <math>(H, \langle \cdot,\cdot\rangle_H)</math> သည် ကိန်းထွေး ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (complex Hilbert space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>H'</math> သည် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဖရေးရှေး-ရီးဇ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရမ် (Fréchet-Riesz representation theorem) အရ မည်သည့် <math>f\in H'</math> အတွက်မဆိုနှင့် မည်သည့် <math>x\in H</math> တွင်မဆို <math>f(x)=\langle x,y_f\rangle_H</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) <math>y_f\in H</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ပုံဖော်မှု <math>H'\rightarrow H, f\mapsto y_f</math> သည် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ ကိန်းထွေး အတွင်းမြှောက်လဒ် (complex inner product) <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> သည် ဒုတိယ ကိန်းရှင် (variable) နေရာတွင် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == အရေးပါမှု နှင့် အသုံးချမှုများ (Importance and Applications) == မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ၏ အရေးပါမှုမှာ ၎င်းတို့သည် အခြေခံရပ်ဝန်း၏ မျဉ်းဖြောင့် တည်ဆောက်ပုံ (linear structure) ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဖြစ်ကြသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို အောက်ပါနယ်ပယ်များတွင် အသုံးချသည်။ * အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (three-dimensional Euclidean space) တွင် ကိုဩဒိနိတ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (coordinate transformation) များဖြစ်သည့် အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection)၊ လှည့်ခြင်း (rotation)၊ ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching) နှင့် အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော အာကာသအချိန် (four-dimensional spacetime) တွင် လိုရန့်ဇ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Lorentz transformation) တို့ကို ကိန်းအုံများ ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အသုံးပြုသည်။ * ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) တွင် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သော အရာများ (observables) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရာတွင်လည်းကောင်း၊ ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (Schrödinger equation) ရှိ ဟာမီတန်-အော်ပရေတာ (Hamiltonian operator) <math>H</math> ဖြင့် ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ စနစ်တစ်ခု၏ ရွေ့လျားပြောင်းလဲမှု (dynamics) ကို ဖော်ပြရာတွင်လည်းကောင်း အသုံးပြုသည်။ * ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း နှင့် အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ (differential and integral equations) အတွက် အဖြေရှာခြင်း သီအိုရီများ (solution theories) တည်ဆောက်ရာတွင် အသုံးပြုသည်။ ဤသို့တည်ဆောက်ရာတွင် ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်း (Sobolev space) နှင့် ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီ (distribution theory) အစရှိသည်တို့ကို အသုံးပြုကြသည်။ == အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Bounded Linear Operators) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Definitions) === <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြပြီး <math>A\colon V\to W</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> ၏ အော်ပရေတာ စံနှုန်း (operator norm) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math> \|A\| := \inf\{ M \geq 0, \; \|Ax \|_W \leq M \|x\|_V \text{ for all } x \in V\} </math> ယင်းကိန်းသေ (constant) အတွက် အောက်ပါ ညီမျှခြင်းများ မှန်ကန်သည်။ :<math> \|A\| = \sup_{x \in V, \; x \neq 0} \frac{\|Ax\|_W}{\|x\|_V}= \sup_{\|x\|_V \leq 1} \|Ax\|_W = \sup_{\|x\|_V = 1} \|Ax\|_W </math> အဆိုပါ အော်ပရေတာ စံနှုန်းသည် အဆုံးရှိပါက ထိုအော်ပရေတာကို အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ အကယ်၍ အဆုံးမရှိပါက အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာ (unbounded operator) ဟု ခေါ်သည်။ စံနှုန်း ရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ စံနှုန်း ရပ်ဝန်း <math>W</math> သို့သွားသော အကန့်အသတ်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများအားလုံး၏ အစုကို <math>\mathfrak{L}(V,W)</math> ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ အော်ပရေတာ စံနှုန်းဖြင့်ပင်လျှင် ၎င်းအစုကိုယ်တိုင်သည် စံနှုန်း သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဘာနက်ရပ်ဝန်း တစ်ခုပင် ဖြစ်လာသည်။<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Satz II.1.4.</ref> အကယ်၍ <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် ထပ်တူညီသည် ဆိုပါက ၎င်းကို <math>\mathfrak{L}(V)</math> ဟု အတိုချုံး၍ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math>T</math> သည် <math>V</math> မှ <math>W</math> သို့သွားသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ဖော်ပြပါ အချက်များသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီကြသည်။ * <math>T</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathfrak{L}(V,W)</math> တွင် ပါဝင်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ပေါ်တွင် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (uniformly continuous) ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ၏ အမှတ်တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ၏ အမှတ်တစ်ခုခုတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>0 \in V</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ === အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဥပမာများ (Examples of bounded linear operators) === * <math>I_V \in \mathfrak{L}(V)</math> နှင့် <math>\|I_V\| = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>I_V</math> သည် <math>V</math> ပေါ်ရှိ ထပ်တူရ အော်ပရေတာ (identity operator) ဖြစ်ရာ ၎င်းသည် အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဖြစ်သည်။ * <math>P \in \mathfrak{L}(H)</math> နှင့် <math>\|P\| = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>P\ne0</math> သည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) <math>H</math> ပေါ်ရှိ ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း (orthogonal projection) ဖြစ်ကာ အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဖြစ်သည်။ * <math>(n_k) \in \mathfrak{L}(l_p)</math> နှင့် <math>\textstyle \|(n_k)\| = \max_k |n_k|</math> ဖြစ်ပြီး ဤတွင် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(n_k)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသည်။ ၎င်းကို <math>1 \leq p \leq \infty</math> ရှိသော ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (sequence space) <math>l_p</math> ပေါ်ရှိ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် အော်ပရေတာ (diagonal operator) တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူသည်။ * နေရာရွှေ့ အော်ပရေတာ (shift operator) <math>S \in \mathfrak{L}(l_p)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိပြီး <math>\|S\| = 1</math> ဖြစ်ကာ <math>S ((x_1, x_2, x_3, \dotsc)) := (0, x_1, x_2, x_3, \dotsc)</math> ဟု <math>1 \leq p \leq \infty</math> ရှိသော ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း <math>l_p</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသည်။ * <math>K</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အစု (compact set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{C}(K)</math> သည် <math>K</math> ပေါ်ရှိ စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) တပ်ဆင်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ၏ ဘာနက်ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f \in \mathfrak{C}(K)</math> ဖြစ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ <math>T_f \colon \mathfrak{C}(K) \rightarrow \mathfrak{C}(K)</math> ကို မည်သည့် <math>k \in K</math> အတွက်မဆို <math>T_f (g) (k) := (fg) (k)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>T_f \in \mathfrak{L} ( \mathfrak{C}(K) )</math> ဖြစ်ပြီး <math>\|T_f\| = \|f\|_{\infty}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>\lbrack X, \mathfrak{B}, \mu \rbrack</math> သည် အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်း (measure space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>1 \leq p \leq \infty</math> အတွက် <math>L_p = L_p(X, \mathfrak{B}, \mu)</math> သည် <math>L^p</math>-စံနှုန်း တပ်ဆင်ထားသည့် <math>X</math> ပေါ်ရှိ <math>p</math>-ထပ်ကိန်း တင်၍ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ (measurable functions) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ပါဝင်သော <math>L_p</math>-ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f \in L_{\infty}</math> ဖြစ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ <math>T_f \colon L_p \to L_p</math> ကို မည်သည့် <math>x \in X</math> အတွက်မဆို <math>T_f (g) (x) := (fg) (x)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>T_f \in \mathfrak{L} (L_p)</math> ဖြစ်ပြီး <math>\|T_f\| = \|f\|_{\infty}</math> ဖြစ်သည်။ == အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Unbounded Linear Operators) == အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို လေ့လာရာတွင် ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် လေ့လာနေသော ရပ်ဝန်း၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခုမျှသာဖြစ်သော အော်ပရေတာများကိုလည်း ထည့်သွင်းစဉ်းစားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများအကြောင်း ပြောဆိုရာတွင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းဖြစ်သော ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း (pre-Hilbert space) ကိုလည်း အရင်းအမြစ်စုအဖြစ် လက်ခံစဉ်းစားသည်။ ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရသော် ၎င်းတို့ကို သိပ်သည်းစွာ သတ်မှတ်ထားသော (densely defined) အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အဆိုပါ အော်ပရေတာကို တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပုံဖော်မှု (partial mapping) တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်ယူဆသည်။ အော်ပရေတာတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုသည် မူလရပ်ဝန်း၏ သိပ်သည်းသော [[အစုပိုင်း]] (dense subset) တစ်ခုဖြစ်နေပါက ထိုအော်ပရေတာကို သိပ်သည်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်ဟု ခေါ်သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (differential operators) နှင့် ၎င်းတို့၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ရောင်စဉ် (eigenvalue spectrum) အပြင် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာများ (observable algebras) ကို လေ့လာမှုများကြောင့် အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများကို စိတ်ဝင်စားလာခဲ့သည်။ အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများထဲတွင် အပိတ် အော်ပရေတာများ (closed operators) သည် ကြီးမားကျယ်ပြန့်သော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့မှာ <math>V \times W</math> ၏ မြှောက်လဒ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (product topology) တွင် ၎င်းတို့၏ ဂရပ် (graph) <math>\Gamma (A) := \{ (\phi , A \phi) : \phi \in D \}</math> သည် အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်နေသော အော်ပရေတာ <math>A \colon V \rightarrow W</math> များပင်ဖြစ်သည်။ အပိတ် အော်ပရေတာများအတွက် ဥပမာအားဖြင့် ရောင်စဉ် (spectrum) ကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများဆိုင်ရာ သီအိုရီကို ၁၉၂၉ ခုနှစ်တွင် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) က စတင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite journal |author=J. v. Neumann |title=Über einen Satz von Herrn M. H. Stone |journal=The Annals of Mathematics |volume=33 |issue=3 |date=1932-07 |doi=10.2307/1968535 |jstor=1968535 |pages=567}}</ref><ref>{{cite journal |author=J. v. Neumann |title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren |journal=Mathematische Annalen |volume=102 |issue=1 |date=1930-12 |issn=0025-5831 |doi=10.1007/BF01782338 |pages=49–131 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01782338 |access-date=2022-11-10}}</ref> ၁၉၃၂ ခုနှစ်တွင်<ref>{{cite journal |author=M. H. Stone |title=Linear Transformations in Hilbert Space: III. Operational Methods and Group Theory |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=16 |issue=2 |date=1930-02 |issn=0027-8424 |doi=10.1073/pnas.16.2.172 |pages=172–175 |url=https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.16.2.172 |access-date=2022-11-10}}</ref> ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် သီးခြားလွတ်လပ်စွာပင် မာရှယ် ဟာဗေး စတုန်း (Marshall Harvey Stone) သည်လည်း အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တီထွင်ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |author=Dirk Werner |title=Funktionalanalysis |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |date=2018 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-662-55406-7 |doi=10.1007/978-3-662-55407-4 |pages=413ff. |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-55407-4 |access-date=2022-11-10}}</ref> === ဥပမာ (Example) === အပိုင်းအခြား (interval) <math>[a, b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏]] ဘာနက်ရပ်ဝန်း <math>C[a, b]</math> ပေါ်တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ <math> A f := f',</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု <math>\mathcal{D}(A)</math> အဖြစ် တစ်ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ (continuously differentiable functions) ပါဝင်သည့် <math>\mathcal{D}(A):=C^{1}[a, b]</math> ကို ရွေးချယ်ပါက <math>A</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိသော အပိတ် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အသုံးချမှုများ (Applications) === * ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် မြှောက်ခြင်း အော်ပရေတာများ (multiplication operators) သည် ယေဘုယျအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများ ဖြစ်ကြသည်။ * ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ရှိ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို လိုအပ်သည်။ အကြောင်းမှာ အဆိုပါ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများနှင့် သက်ဆိုင်သည့် အော်ပရေတာများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == အော်ပရေတာ ရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ စုဆုံခြင်း သဘောတရားများ နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Convergence Concepts and Topologies on Operator Spaces) == အခြေခံ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]သည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်း (finite-dimensional space) ဖြစ်ပါက <math>L(V)</math> သည် အတိုင်းအတာ <math>n^2</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သောအခြေအနေတွင် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]]အားလုံးသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် တူညီသော စုဆုံခြင်း သဘောတရား (convergence concept) နှင့် တူညီသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ကို ပေးသည်။ သို့ရာတွင် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) ရပ်ဝန်းများတွင်မူ ထပ်တူမညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီ အမျိုးမျိုး ရှိနေသည်။ <math>E</math> နှင့် <math>F</math> တို့သည် ဘာနက်ရပ်ဝန်းများဖြစ်ကြပြီး <math>(T_i)_{i \in I}</math> သည် <math>L(E,F)</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် တစ်ခု သို့မဟုတ် ကွန်ရက် (net) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ === စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (Norm topology) === အောက်ပါအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (norm topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန် (converge) အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_{i} \|T - T_i\| = 0</math> စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ အဖွင့်စက်လုံးများ (open balls) ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ === အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (Strong operator topology) === အကယ်၍ ၎င်းသည် အမှတ်အလိုက် စုဆုံသည် (pointwise convergent) ဟူသောအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (strong operator topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန်အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i T_i x = Tx \quad \forall x \in E</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြရလျှင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i \| T_i x - Tx \| = \lim_i \|(T_i - T)x\| = 0 \quad \forall x \in E</math> ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီမှာ အောက်ဖော်ပြပါ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ အစုဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော အစ တိုပေါ်လော်ဂျီ (initial topology) ဖြစ်သည်။ :<math>\left\{ \begin{aligned} L(E,F) &\to F \\ T &\mapsto Tx \end{aligned} \ \Bigg| \ x \in E \right\}</math> ၎င်းသည် အဆိုပါ ပုံဖော်မှုများအားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေမည့် အသေးဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသည့် <math>L(E,F)</math> သည် ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဆိုရသော် အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ <math>E</math> မှ <math>F</math> သို့သွားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အားလုံး၏ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများပေါ်တွင် ကန့်သတ်ယူဆောင်ထားခြင်း သာဖြစ်သည်။ === အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (Weak operator topology) === အောက်ပါအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (weak operator topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန်အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i \varphi(T_i x) = \varphi(Tx) \quad \forall x \in E,\, \varphi \in F^*</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြရလျှင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i |\varphi(T_i x - Tx)| = 0 \quad \forall x \in E,\, \varphi \in F^*</math> ဤနေရာတွင် <math>F^*</math> သည် <math>F</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (continuous dual space) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီမှာ အောက်ဖော်ပြပါ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ (linear functionals) အစုဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော အစ တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ :<math>\left\{ \begin{aligned} L(E,F) &\to \mathbb{C} \\ T &\mapsto \varphi(Tx) \end{aligned} \ \Bigg| \ x \in E,\, \varphi \in F^* \right\}</math> ၎င်းသည် အဆိုပါ ဖန်ရှင်နယ်များအားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေမည့် အသေးဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသည့် <math>L(E,F)</math> သည်လည်း ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်း တစ်ခုပင်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကားစာရင်း (Bibliography) == === သင်ရိုးညွှန်းတမ်း စာအုပ်များ === * {{cite book |author=Hans Wilhelm Alt |title=Linear Functional Analysis |publisher=Springer London |location=London |year=2016 |language=en |series=Universitext |isbn=978-1-4471-7279-6 |doi=10.1007/978-1-4471-7280-2}} * {{cite book |author=Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus |title=Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 1 |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |year=2009 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-540-88543-6 |doi=10.1007/978-3-540-88544-3}} * {{cite book |author=Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus |title=Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 2 |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |year=2010 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-642-05184-5 |doi=10.1007/978-3-642-05185-2}} === မိုနိုဂရပ်များ === * {{cite book |author=[[Konrad Schmüdgen]] |title=Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space |publisher=Springer Netherlands |location=Dordrecht |year=2012 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=265 |isbn=978-94-007-4752-4 |doi=10.1007/978-94-007-4753-1}} * {{cite book |author=[[Albrecht Pietsch]] |title=History of Banach Spaces and Linear Operators |publisher=Birkhäuser Boston |location=Boston, MA |year=2007 |isbn=978-0-8176-4367-6 |doi=10.1007/978-0-8176-4596-0}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 1 – General theory |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60848-6 |url=https://archive.org/details/linearoperators0007dunf}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 2 – Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60847-9 |url=https://archive.org/details/linearoperators20000dunf}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 3 – Spectral Operators |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60846-2 |url=https://archive.org/details/linearoperators0000dunf_g4s9}} * {{cite book |author=[[Naum Iljitsch Achijeser|N.I. Achieser]], I.M. Glasmann |title=Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum |edition=6th |publisher=Akademie-Verlag |location=Berlin |year=1975}} * {{cite book |author=[[Gilbert Helmberg (Mathematiker)|Gilbert Helmberg]] |title=Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space |editor=[[Hans Lauwerier|H. A. Lauwerier]], [[Warner T. Koiter|W. T. Koiter]] |publisher=North-Holland Publishing Company |location=London |year=1969 |language=en |series=Applied Mathematics and Mechanics |volume=6 |url=https://www.elsevier.com/books/introduction-to-spectral-theory-in-hilbert-space/lauwerier/978-0-7204-2356-3}} == ကိုးကားချက်များ == <references /> [[Category:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] a81tlpgc32oqotkh5h76f84fgmxoshb 0 285096 1048789 1040058 2026-08-15T11:35:42Z Kaday Han Thaw 122086 /* */ 1048789 wikitext text/x-wiki {{Infobox deity | type = ဂရိ | name = အပိုလို | image = Italy-3104 - Apollo (5378415112).jpg | alt = | caption = | member_of = [[အိုလံပတ်တောင်နတ်ဘုရား ၁၂ ပါး]] | abode = [[အိုလံပတ်တောင် (ဂရိ)|အိုလံပတ်တောင်]] | symbol = [[စောင်း]] (Lyre)၊ လောရယ်သစ်ခက်၊ လေးနှင့်မြား | tree = [[Laurus nobilis|laurel]], [[cypress]] | animals = Raven, [[swan]], [[wolf]] | birth_place = [[Delos]] | parents = [[ဇုစ်]] နှင့် လီတို | siblings = [[အာတဲမိ]] (အမြွှာအစ်မ) | mount = A chariot drawn by swans | planet = [[နေ]]<br />[[မာကျူရီဂြိုဟ်|မာကျူရီ]]<ref name=":merc">{{cite book | page = [https://books.google.com/books?id=GnrAVhVZ3wMC&pg=PA75 75] | title = The Planet Observer's Handbook | first1 = Fred W. | last1 = Price | publisher = [[Cambridge University Press]] | date = 1994 | isbn = 0-521-78981-8 | location = New York City, New York | url = https://books.google.com/books?id=GnrAVhVZ3wMC}}</ref> (antiquity) | equivalent4_type = Celtic | equivalent4 = [[Grannus]] }} '''အပိုလို'''({{lang-en|Apollo}}; {{lang-grc|Ἀπόλλων}}, ''အာပိုလွန်'')သည် [[ဂရိဒဏ္ဍာရီ]]လာ [[အိုလံပတ်တောင်နတ်ဘုရား ၁၂ ပါး|အိုလံပတ် (၁၂) ပါး]]တွင် ပါဝင်သော အရေးပါသည့် နတ်ဘုရားတစ်ပါး ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အလင်း၊ နေ၊ ဂီတ၊ ကဗျာ၊ အနာဂတ်ဟောပြောခြင်း၊ မြားပစ်ခြင်း နှင့် ဆေးပညာတို့ကို အစိုးရသည်။<ref name="Britannica">{{cite web |url=https://www.britannica.com/topic/Apollo-Greek-mythology |title=Apollo - Greek Mythology |publisher=Encyclopædia Britannica}}</ref> == မွေးဖွားခြင်း == အာပိုလွန်သည် နတ်မင်းကြီး [[ဇု]] နှင့် နတ်သမီး လီတို တို့၏ သားတော်ဖြစ်ကာ [[အာတဲမိ]]၏ အမြွှာမောင် ဖြစ်သည်။ ဟီရာနတ်သမီး၏ ကျိန်စာကြောင့် ၎င်း၏မိခင်သည် ကုန်းပေါ်တွင် မွေးဖွားခွင့်မရဘဲ ဒဲလော့စ် (Delos) ကျွန်းပေါ်တွင် မွေးဖွားခဲ့ရသည်။<ref>{{cite book |last=Hesiod |title=Theogony |url=https://archive.org/details/hesiodtheogony0000mlwe |year=c. 700 BC}}</ref> == စွမ်းဆောင်ချက်များနှင့် သင်္ကေတများ == အာပိုလွန်သည် ဒဲလ်ဖီ (Delphi) ရှိ နဂါးကြီး ပိုင်သွန် (Python) ကို သတ်ဖြတ်ခဲ့သူဖြစ်ပြီး ထိုအရပ်တွင် သူ၏ နာမည်ကျော် နတ်ကွန်းကို တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အဓိက အထိမ်းအမှတ်များမှာ- * '''ရွှေရောင်စောင်း (Lyre):''' အနုပညာနှင့် ဂီတကို ကိုယ်စားပြုသည်။ * '''လောရယ်သစ်ခက် (Laurel wreath):''' အောင်မြင်မှု၏ ပြယုဒ်ဖြစ်ကာ အာပိုလွန်အား ရည်စူး၍ ပြုလုပ်သော ပိုင်သီယန်အားကစားပွဲ (Pythian Games) တွင် အောင်နိုင်သူများကို ဆုအဖြစ် ပေးအပ်သည်။ == အနုပညာတွင် သရုပ်ဖော်ခြင်း == အာပိုလွန်ကို အမြဲတမ်း မုတ်ဆိတ်မပါဘဲ အလွန်ချောမောလှပသည့် လူငယ်အသွင်ဖြင့် သရုပ်ဖော်လေ့ရှိသည်။ ၎င်းသည် ကျိုးကြောင်းဆင်ခြင်မှုနှင့် တည်ငြိမ်မှု (Apollonian) တို့၏ ပြယုဒ်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကားချက်များ == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [https://www.theoi.com/Olympios/Apollon.html Theoi Project: Apollon] [[Category:ဂရိနတ်ဘုရားများ]] [[Category:အိုလံပတ်နတ်ဘုရားများ]] 6ld6mevukjvmu94yec7qusbowm6bxx6 0 288570 1048772 1048082 2026-08-15T05:58:58Z Kaung Sitt Nyein 146949 1048772 wikitext text/x-wiki {{Infobox earthquake | image = {{Photomontage | photo1a = Edifícios colapsados e danificados em Los Palos Grandes, 2026-06-26.png | photo2a = Costa Rican mission to the 2026 Venezuela earthquakes relief efforts (13).jpg | photo2b = LCF-24- MRF Search & Rescue Efforts in Venezuela (9781665).jpg | photo3a = Depertment of State Urban Seach and Rescue Assist in Venezuela (9782036).jpg | photo3b = LCF-24- Ground Zero (9781949).jpg | position = center | color_border = white | color = white | size = 250 }} | caption = ငလျင်ဘေးသင့် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ | map2 = {{Location map many | Venezuela | relief = yes | label1 = | lat = 10.435 | long = -68.472 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | label2 = Caracas | lat2 = 10.506 | long2 = -66.914 | mark2 = Red pog.svg | mark2size = 10 | position2 = right | caption = ငလျင်ဗဟိုချက်ပြမြေပုံ }} | local-date = ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = ၁၈:၀၄:၃၃ VET (UTC-4) | local-time-A = ၁၈:၀၅:၁၁ VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} နှင့် {{M|w|link=y|7.5}} {{small|(USGS)}}<br />{{M|w|link=y|7.6–7.8}} {{small|(INGV နှင့် GEOSCOPE)}} | affected = [[ဗင်နီဇွဲလား]] | location = {{coord|10.435|N|68.472|W|type:event|display=inline,title}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = ၄ စင်တီမီတာ(၁.၆ လက်မ) | landslide = အတည်ပြုရန် ကျန်သေး | fault = [[San Sebastián Fault|San Sebastián ငလျင်ကြောစနစ်]] | type = [[Strike-slip tectonics|Strike-slip]] | damage = အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၄.၇-၈.၇ ဘီလီယံ (ခန့်မှန်း) | foreshocks = မရှိ | aftershocks = ၇၈၂ ခုကျော် | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = | isc-event-A = 645904538 | isc-event = 645903460 | duration = ~၉၀–၁၂၀ စက္ကန့် }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်မြောက်ပိုင်းနှင့် အလယ်ပိုင်းဒေသများ၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများ၏ ၈၀ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဩဂုတ်လအထိ ရရှိထားသော စာရင်းများအရ သေဆုံးသူ ၆,၃၀၀ ဦးထက်မနည်း ရှိပြီး ၆၁,၀၀၀ ခန့် ဆေးရုံတင်ထားရကာ သောင်းနှင့်ချီသော လူဦးရေမှာ ပျောက်ဆုံးနေဆဲ ဖြစ်သည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> == ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတွင် ကာရစ်ဘီယံပြား (Caribbean plate) နှင့် တောင်အမေရိကပြား (South American plate) တို့သည် Boconó–Morón–El Pilar အမည်ရှိ ရှုပ်ထွေးသော ပြတ်ရွေ့စနစ် (BMEPFS) တစ်လျှောက် အပြန်အလှန် သက်ရောက်မှုရှိနေသည်။ ၎င်းသည် Tertiary ခေတ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အားပြင်းသည့် ဘယ်ဖက်စောင်း/ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားသော ပြတ်ရွေ့ (compressional right-lateral strike-slip faults) များ၏ ရှုပ်ထွေးသော စီးရီးတစ်ခုဖြစ်ပြီး တောင်ကာရစ်ဘီယံရှိ Transform plate boundary ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ ဤပြတ်ရွေ့သည် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက် အလယ်ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား အန်းဒီးစ်တောင်တန်းမှသည် မြောက်အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့မြောက်ပိုင်း ကမ်းရိုးတန်းကိုဖြတ်၍ ထရီနီဒက်ကျွန်းဘက်သို့ ၁,၃၀၀ ကီလိုမီတာ (၈၁၀ မိုင်) ရှည်လျားစွာ တည်ရှိသည်။<ref name="Schubert842">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> ဘူမိဗေဒနှင့် ဘူမိတိုင်းတာရေး အချက်အလက်များအရ BMEPFS ပြတ်ရွေ့စနစ်သည် တစ်နှစ်လျှင် ၁၀ မီလီမီတာ (၀.၃၉ လက်မ) နှုန်းဖြင့် ရွေ့လျားလျက်ရှိသည်။ ၎င်းသည် ရံဖန်ရံခါတွင် Strike-slip သို့မဟုတ် Reverse faulting ကဲ့သို့သော ပြတ်ရွေ့လှုပ်ရှားမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ငလျင်များကိုလည်း မကြာခဏဆိုသလို လှုပ်ခတ်စေသည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့ (မြောက်ပိုင်းကမ်းရိုးတန်း) တစ်ခုလုံးနှင့် El Pilar ပြတ်ရွေ့ (အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား) ၏ အပိုင်းအချို့သည် ပင်လယ်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလားတွင် El Pilar ပြတ်ရွေ့၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဖြတ်သန်းရာ တစ်ခုတည်းသောအပိုင်းမှာ Cariaco ပင်လယ်ကွေ့နှင့် Paria ပင်လယ်ကွေ့အကြား ဖြစ်သည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့သည် Cerro Machado တောင်တန်း၏ တောင်ဘက်မျက်နှာစာတစ်လျှောက် ကုန်းတွင်းပိုင်းသို့ ရောက်ရှိလာပြီး Simon Bolivar နိုင်ငံတကာလေဆိပ်အောက်မှ ဖြတ်သန်းသွားသည်။ El Pilar ပြတ်ရွေ့သည် San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အရှေ့ဘက်တွင် တည်ရှိသော်လည်း Cariaco pull-apart မြေဧရိယာဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ဤပြတ်ရွေ့ဇုန်သည် ၁၆၄၁၊ ၁၇၆၆၊ ၁၈၁၂၊ ၁၉၀၀ နှင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်တို့တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော ငလျင်ကြီးများအတွက် အဓိကတရားခံ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် က လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် Mw 7.6 ရှိ San Narciso ငလျင်မှာ ပင်လယ်ပြင်တွင် ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မျက်နှာပြင်ကွဲအက်မှုများကို ရှာဖွေတွေ့ရှိချက်အရ San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အပိုင်းတစ်ခု ရွေ့လျားမှုနှင့် ဆက်စပ်နေကြောင်း သိရှိရသည်။<ref name="ColónA2">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> == ဖြစ်စဉ် == {{main|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်များစာရင်း}} ပထမဆုံးလှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်သည် Mww 7.2 ဖြစ်ပြီး UTC စံတော်ချိန် ၂၂:၀၄ နာရီတွင် ယူမာရီ (Yumare) မြို့၏ အရှေ့-အရှေ့မြောက်ဘက်၊ အနက် ၁၂.၆ မိုင် (၂၀.၃ ကီလိုမီတာ) တွင် ဗဟိုပြုလှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Schubert84">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> (၃၈) စက္ကန့်အကြာတွင် Mww 7.5 ရှိသည့် ဒုတိယမြောက် ငလျင်တစ်ခုသည် ပထမငလျင်၏ အရှေ့ဘက်တည့်တည့်၊ အနက် ၆.၂ မိုင် (၁၀ ကီလိုမီတာ) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်နှစ်ခုစလုံးသည် ယားရာကူ (Yaracuy) ပြည်နယ်၊ ဗီရိုအက်စ် (Veroes) မြူနီစီပယ်အတွင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဤငလျင်သည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ အမေရိကန်ဘူမိဗေဒဌာန (USGS) ၏ အဆိုအရ ၎င်းသည် ၁၅၀ x ၂၀ ကီလိုမီတာ (၉၃ x ၁၂ မိုင်) ရှိသော ဧရိယာအတွင်း ပြတ်ရွေ့တစ်လျှောက် ရွေ့လျားခဲ့ခြင်းဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ဆိုသည်။အဓိက ငလျင်လှုပ်ခတ်ပြီး နှစ်နာရီအတွင်း [[ကရာကက်စ်မြို့|ကာရာကတ်စ်]] မြို့တွင် နောက်ဆက်တွဲငလျင် (၆) ကြိမ် ခံစားခဲ့ရပြီး စုစုပေါင်း နောက်ဆက်တွဲငလျင် အကြိမ် (၂၀) ကျော် မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="ColónA">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> ငလျင်၏ လှုပ်ခတ်မှုဒဏ်ကို [[ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ]] အရှေ့မြောက်ပိုင်းနှင့် [[ဘရာဇီးနိုင်ငံ]] မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ခံစားခဲ့ရသည်။ ဘရာဇီးနိုင်ငံရှိ မာနော့စ် (Manaus)၊ ဘီလမ် (Belém) နှင့် မာကာပါ (Macapá) မြို့များတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုကြောင့် ပြည်သူများအား ဘေးလွတ်ရာသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် အာရူးဗား (Aruba)၊ ဘိုနဲရား (Bonaire) နှင့် ကူရာစောင် (Curaçao) ကျွန်းများတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref name="BBC Live">{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Powerful back-to-back earthquakes strike Venezuela, collapsing buildings in Caracas |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=24 June 2026 |publisher=[[BBC News]]}}</ref> == ထိခိုက်ပျက်စီးမှုနှင့် လူသေဆုံးမှုများ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွင်း ဆက်သွယ်ရေး ပြတ်တောက်နေခြင်း သို့မဟုတ် သတင်းအမှောင်ချထားခြင်းတို့ကြောင့် လက်ရှိအချိန်အထိ လူသေဆုံးမှု အရေအတွက် အတိအကျကို မသိရှိရသေးပေ။ အာဏာပိုင်များက သေဆုံးသူ သို့မဟုတ် ဒဏ်ရာရသူ အရေအတွက်ကို တရားဝင် ထုတ်ပြန်ထားခြင်း မရှိသေးသော်လည်း၊ ဒေသခံအရာရှိများနှင့် မျက်မြင်သက်သေများ၏ အဆိုအရ ဒဏ်ရာရရှိသူ အရေအတွက်မှာ တိုးမြင့်လာနေကြောင်း သိရသည်။ USGS ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ငလျင်တုံ့ပြန်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက် (PAGER) အရ "လူသေဆုံးမှုများပြားပြီး ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှု အလွန်ကြီးမားကာ ဘေးအန္တရာယ်မှာ ကျယ်ပြန့်နိုင်ခြေရှိသည်" ဟု ဖော်ပြထားသည်။ Mw 7.5 ရှိ ငလျင်အတွက် လူပေါင်း ၁,၀၀၀ မှ ၁၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၉%၊ ၁၀,၀၀၀ မှ ၁၀၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၇% ရှိပြီး၊ သေဆုံးသူ ၁၀၀,၀၀၀ ကျော်နိုင်ခြေ ၁၁% ရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ Mw 7.2 ရှေ့ပြေးငလျင်အတွက်လည်း အလားတူ သေဆုံးမှုနှုန်း မြင့်မားနိုင်ခြေရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့တစ်လျှောက် အဆောက်အဦ ဒါဇင်ပေါင်းများစွာ ပြိုကျခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး Diosdado Cabello ၏ အဆိုအရ Los Palos Grandes နှင့် Altamira မြူနီစီပယ်များသည် မြို့၏ အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်ခံရသည့် နေရာများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ Altamira တွင် အဆောက်အဦ အနည်းဆုံး သုံးခု ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ် အရှေ့တောင်ပိုင်းရှိ နေရာတစ်ခုတွင် မြင့်မားသည့် အဆောက်အဦ အများစုမှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး အများအပြား ပြိုကျခဲ့သည်။ Catia La Mar တွင် ဘိုလီဗာရေတပ်မတော်၏ စစ်တက္ကသိုလ်နှင့် အဆောက်အဦမြင့်များ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့သည်။ Chacao မြူနီစီပယ်တွင် မြို့တော်ဝန် Gustavo Duque က သေဆုံးသူများရှိကြောင်းနှင့် ဒဏ်ရာရသူ ၁၆ ဦး အနည်းဆုံးရှိကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ Baruta မြူနီစီပယ်တွင် အဆောက်အဦ နှစ်ခု ပြိုကျမှုကြောင့် အနည်းဆုံး လူသုံးဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ Pinto Salinas တွင် အဆောက်အဦ ပြိုကျမှုကြောင့် လူနှစ်ဦးထက်မနည်း သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Venezuela Live Updates: 2 Major Earthquakes Hit Country’s Center |url=https://www.nytimes.com/live/2026/06/24/world/venezuela-earthquake |access-date=24 June 2026 |publisher=[[The New York Times]]}}</ref> ထရူဟီးယိုး၊ ကာရာဘိုဘို၊ အာရာဂွာ၊ မိရန်ဒါနှင့် လာဂွာအီရာ ပြည်နယ်များတွင်လည်း အဆောက်အဦများ ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့မြောက်ဘက် အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်သည့် လာဂွာအီရာတွင် မြို့တော်၏ အဓိကလေဆိပ်ဖြစ်သော ဆီမွန်ဘိုလီဗာ နိုင်ငံတကာလေဆိပ်မှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး လေကြောင်းခရီးစဉ်အားလုံးကို ဖျက်သိမ်းခဲ့ရသည်။ လူမှုကွန်ရက်တွင် ပျံ့နှံ့နေသော ရုပ်ပုံများအရ အဆောက်အဦများ လုံးဝ (သို့) တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြိုကျနေသည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆက်သွယ်ရေး ဝန်ဆောင်မှုများလည်း ပြတ်တောက်နေသည်။ ဖယ်လ်ကွန်ပြည်နယ် အုပ်ချုပ်ရေးမှူး Víctor Clark က ဒဏ်ရာရသူ ၃၂ ဦးကို ကုသပေးနေရပြီး ၁၅ ဦးမှာ ပြိုကျနေသော အဆောက်အဦများအောက်တွင် ပိတ်မိနေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name="Cano25a">{{cite news |last1=Cano |first1=Regina Garcia |date=25 June 2026 |title=Back-to-back powerful earthquakes hit Venezuela, causing widespread damage |url=https://apnews.com/article/venezuela-earthquake-caracas-7179acaee70a9c543f953852f15d4814 |access-date=25 June 2026 |work=Associated Press |last2=Arraez |first2=Juan Pablo}}</ref> == ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေး == ကာရာကတ်စ်မြို့တွင် ကယ်ဆယ်ရေး ဝန်ထမ်းများနှင့် စေတနာ့ဝန်ထမ်းများသည် ပြိုကျနေသည့် အဆောက်အဦ အပျက်အစီးများအောက်တွင် ပိတ်မိနေသူများကို ရှာဖွေကယ်ဆယ်လျက်ရှိသည်။<ref name="PhillipsGuardian1">{{cite news |last1=Phillips |first1=Tom |date=25 June 2026 |title=Venezuela earthquake: powerful back-to-back quakes collapse buildings in capital Caracas |url=https://www.theguardian.com/world/2026/jun/25/earthquake-venezuela-caracas-tremors-aftershocks |access-date=25 June 2026 |work=The Guardian |last2=Montilla |first2=Camille Rodríguez}}</ref> == တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်မှုများ == ယာယီသမ္မတ Delcy Rodríguez က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးက ပြည်နယ်အများအပြား ထိခိုက်ခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ အစိုးရက ပေါက်ကွဲမှုများမဖြစ်စေရန် ဂတ်စ်ပေးဝေမှုကို ရပ်ဆိုင်းခဲ့ပြီး၊ ကာရာကတ်စ် မက်ထရို ရထားဝန်ဆောင်မှုများကို ဆိုင်းငံ့ထားကာ ကျောင်းများကို ရက်အနည်းငယ်ကြာ ပိတ်ထားရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ ငလျင်အပြီးတွင် ဒိုမီနီကန်သမ္မတနိုင်ငံ၊ ပွာတိုရီကိုနှင့် ဗာဂျင်ကျွန်းစုများအတွက် ဆူနာမီသတိပေးချက် ထုတ်ပြန်ခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် ပြန်လည်ရုပ်သိမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=24 June 2026 |title=Delcy Rodríguez declaró el estado de emergencia en Venezuela tras los dos terremotos que sacudieron al país |url=https://www.infobae.com/venezuela/2026/06/25/delcy-rodriguez-informara-sobre-la-situacion-en-venezuela-tras-los-dos-terremotos-que-sacudieron-el-pais/ |work=[[Infobae]]}}</ref> == နိုင်ငံတကာ၏ တုံ့ပြန်မှုများ == * {{flag|Argentina}} : အာဂျင်တီးနားအစိုးရက ငလျင်ဖြစ်ပွားမှုအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Clarín |first=Redacción |date=2026-06-25 |title=“Más allá de las diferencias”: Argentina expresó su solidaridad con Venezuela tras los terremotos |url=https://www.clarin.com/politica/alla-diferencias-argentina-expreso-solidaridad-venezuela-terremotos_0_nEV10bAwvh.html |access-date=2026-06-25 |website=Clarín |language=es}}</ref> * {{flag|European Union}} : ဥရောပကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ Ursula von der Leyen က ဗင်နီဇွဲလားရှိ ထိခိုက်ခံစားရသူများ၊ အထူးသဖြင့် သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ ဥရောပသမဂ္ဂ၏ ကြိုတင်ပြင်ဆင်မှုနှင့် အကျပ်အတည်းစီမံခန့်ခွဲရေးဆိုင်ရာ ကော်မရှင်နာ Hadja Lahbib ကလည်း ဥရောပသမဂ္ဂအနေဖြင့် အခြေအနေကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေပြီး ဘလောက်အဖွဲ့ဝင်များက မြေပြင်တွင် အကူအညီများ ပေးအပ်နေပြီဖြစ်ကြောင်း အလေးပေးပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|United Nations}} : နိုင်ငံတကာ ရွှေ့ပြောင်းသွားလာသူများဆိုင်ရာ အဖွဲ့အစည်း (IOM) ၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် Amy Pope က အရေးတကြီး လိုအပ်နေသော နိုင်ငံတကာ၏ အကူအညီများကို အလျင်အမြန် ပေးအပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့ပြီး ထိခိုက်ခံစားရသူများ၏ လိုအပ်ချက်များကို အကဲဖြတ်ရန် ကြိုးပမ်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Aruba}} : အရူးဗားအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွက် လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Azerbaijan}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Barbados}} : ဝန်ကြီးချုပ် Mia Mottley က ဗင်နီဇွဲလားကြားဖြတ်သမ္မတ Delcy Rodríguez ထံ ဆက်သွယ်၍ ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဘာဘေးဒိုးစ်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Bolivia}} : ဘိုလီးဗီးယားအစိုးရက လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Brazil}} : သမ္မတ Lula da Silva က လက်ရှိအခြေအနေကို အကဲဖြတ်ရန် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနနှင့် ဆွေးနွေးသွားမည်ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဘရာဇီးနိုင်ငံက မီးသတ်သမား ၃၆ ဦး၊ အရပ်ဘက်ကာကွယ်ရေးနည်းပညာရှင် ၄ ဦး၊ ဆက်သွယ်ရေးကျွမ်းကျင်သူ ၄ ဦးနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၉ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Canada}} : ဝန်ကြီးချုပ် [[မာ့ခ်ကာနီ]] က ငလျင်ကို "ဘေးအန္တရာယ်ကြီးမားလှသည်" ဟု ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ပေးပို့မည်ဟု ကတိပြုခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် Global Affairs Canada က ဒေါ်လာ ၅ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Chile}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက လိုအပ်ပါက လူသားချင်းစာနာမှုနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၅ ရက်တွင် သမ္မတ José Antonio Kast က ချီလီလေတပ်လေယာဉ်ဖြင့် မြို့ပြရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၃၇ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ နောက်တစ်ရက်တွင် ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၁၆ ဦးနှင့် အကူအညီပစ္စည်းများပါသည့် ဒုတိယမြောက်လေယာဉ်ကို ထပ်မံစေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|China}} : သမ္မတ [[ရှီကျင့်ဖျင်]] က "ဘေးဒုက္ခကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်ထူထောင်ရေး" အတွက် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Colombia}} : အမျိုးသားသဘာဝဘေးအန္တရာယ်ဆိုင်ရာစီမံခန့်ခွဲမှုဌာနက ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၆၀ ကျော်၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေး ၄ ကောင်နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၁၂ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Costa Rica}} : သမ္မတရုံး၏ ထုတ်ပြန်ချက်တွင် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Croatia}} : အစိုးရအနေဖြင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Cuba}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Bruno Rodríguez Parrilla က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး၊ ကျူးဘားကျန်းမာရေးဝန်ထမ်းများအနေဖြင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဝန်ဆောင်မှုများပေးရန် အပြည့်အဝ စုစည်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Czech Republic}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Petr Macinka က ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Dominican Republic}} : သမ္မတ Luis Abinader က စစ်တပ်အနေဖြင့် "အထူးပြုရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးနှင့် အရေးပေါ်တုံ့ပြန်ရေးအဖွဲ့များ" ကို အသင့်အနေအထားဖြစ်စေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Ecuador}} : သမ္မတ Daniel Noboa က အရေးပေါ်အခြေအနေကို တုံ့ပြန်ရန် လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ချက်ချင်းပေးပို့ရန် အမိန့်ပေးခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၄၆ ဦး၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများနှင့် ပစ္စည်း ၆ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|El Salvador}} : သမ္မတ Nayib Bukele က ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဝန်ထမ်း ၃၀၀ နှင့် ထောက်ပံ့ရေးပစ္စည်း တန် ၅၀ ပေးပို့ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|France}} : သမ္မတ Emmanuel Macron က ကယ်ဆယ်ရေးဆိုင်ရာ ကျွမ်းကျင်သူ ၈၅ ဦးပါဝင်သော အဖွဲ့ကို ချက်ချင်းစေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Germany}} : ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး Boris Pistorius က လိုအပ်ပါက အသုံးပြုနိုင်ရန် Airbus A400M Atlas သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလေယာဉ် ၆ စင်းကို အသင့်ပြင်ထားကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Guyana}} : သမ္မတ Irfaan Ali က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအား တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Vatican City}} : ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး [[ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး လီယို ၁၄|လီယို ၁၄]] က ဗင်နီဇွဲလားအတွက် အရေးပေါ်လှူဒါန်းငွေ ယူရို ၁ သိန်းကို ခွင့်ပြုပေးခဲ့သည်။ * {{flag|India}} : ဝန်ကြီးချုပ် နာရင်ဒြာမိုဒီက အိန္ဒိယနိုင်ငံအနေဖြင့် တတ်နိုင်သည့် အကူအညီအားလုံး ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း X (Twitter) တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ အိန္ဒိယလေတပ်က 'Operation Amistad' ကို စတင်ကာ ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများပါသည့် C17 လေယာဉ် ၂ စင်းကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Iran}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ Esmaeil Baghaei က ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်းနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Israel}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Italy}} : ဝန်ကြီးချုပ် Giorgia Meloni က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများကို အမြန်ဆုံး ပေးအပ်နိုင်ရန် ကြိုးပမ်းနေကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ * {{flag|Japan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Sanae Takaichi က ငလျင်ကြောင့် သေဆုံးသူများနှင့် ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဂျပန်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Malaysia}} : ဝန်ကြီးချုပ် Anwar Ibrahim က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Mexico}} : စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ ၂၅၀၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများ၊ လေယာဉ် ၄ စင်း၊ ဆေးဝါးများနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများကို ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Netherlands}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Tom Berendsen က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Yvan Gil ထံ ဆက်သွယ်၍ ကူညီရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားကုန်သွယ်ရေးဝန်ကြီး Sjoerd Sjoerdsma က USARNL ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ (ဝန်ထမ်းများ၊ ခွေးများနှင့် ပစ္စည်းများ) စေလွှတ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Pakistan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Shehbaz Sharif က ဗင်နီဇွဲလားငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် "အလွန်ဝမ်းနည်းမိပါကြောင်း" ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Panama}} : ပနားမားနိုင်ငံတွင် ကာရာကတ်စ်သို့ ပေးပို့ရန် အလှူပစ္စည်းစုဆောင်းရေးနေရာများ ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် သမ္မတ Jose Raul Mulino က ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ ဗင်နီဇွဲလားသို့ ရောက်ရှိလာမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Peru}} : ပီရူးအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Philippines}} : သမ္မတ Bongbong Marcos က ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Portugal}} : ဝန်ကြီးချုပ် Luís Montenegro က စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အရေးပေါ်နှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Qatar}} : Delcy Rodríguez က ကာတာနိုင်ငံမှ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ စေလွှတ်ထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Russia}} : သမ္မတ ဗလာဒီမာပူတင်က Delcy Rodríguez ထံသို့ ဝမ်းနည်းကြောင်း သဝဏ်လွှာ ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Saint Vincent and the Grenadines}} : ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာနမှတစ်ဆင့် ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Saudi Arabia}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Serbia}} : သမ္မတ Aleksandar Vučić က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Marko Đurić ကလည်း လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Slovakia}} : သမ္မတ Peter Pellegrini နှင့် ဝန်ကြီးချုပ် Robert Fico တို့က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|South Korea}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အခြေအနေကို အကဲဖြတ်ကာ အကူအညီပေးနိုင်ရန် စဉ်းစားနေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Spain}} : စပိန်နိုင်ငံက စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၅၇ ဦးနှင့် မက်ဒရစ်မြို့မှ မီးသတ်သမား ၄၀ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Suriname}} : သမ္မတ Jennifer Simons က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အတူရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Switzerland}} : သမ္မတ Guy Parmelin က စာနာကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဖက်ဒရယ်ကောင်စီက ကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၈၀ နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း တန်ချိန်အမြောက်အမြား စေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ Swiss Rescue Chain အဖွဲ့သည် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် ဗင်နီဇွဲလားသို့ အသင့်ပြင်ဆင်နေသည်။ * {{flag|Syria}} : အရေးပေါ်နှင့် သဘာဝဘေးအန္တရာယ်စီမံခန့်ခွဲမှုဝန်ကြီး Raed al-Saleh က ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Thailand}} : ထိုင်းနိုင်ငံက Urban Search and Rescue (USAR) ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ကို ဗင်နီဇွဲလားသို့ စေလွှတ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Turkey}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|United Kingdom}} : ဗြိတိန်နိုင်ငံက ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများပါဝင်သော ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၆၈ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|United States}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး [[မာကို ရူဘီအို]] က သတင်းစာရှင်းလင်းပွဲတစ်ခုတွင် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများကို ကူညီရန် ဖက်ဒရယ်အရေးပေါ်စီမံခန့်ခွဲမှုအေဂျင်စီ (FEMA) ၏ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များဖြစ်သော Virginia Task Force One နှင့် California Task Force Two တို့ကို စေလွှတ်ထားကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန လက်ထောက်ဝန်ကြီး Jeremy P. Lewin က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့် ပူးပေါင်းကာ အကူအညီများကို ညှိနှိုင်းဆောင်ရွက်ရန် သဘာဝဘေးအန္တရာယ် ကူညီပံ့ပိုးရေးအဖွဲ့ကို စုစည်းထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဒုတိယနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Christopher Landau ကလည်း အမေရိကန်အနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် စီစဉ်နေပြီး ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာနှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်များ ပံ့ပိုးပေးရန် ဗင်နီဇွဲလား ကြားဖြတ်အစိုးရနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မည်ဖြစ်ကြောင်း X တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ကမ္ဘာ့စားနပ်ရိက္ခာအစီအစဉ်နှင့် နိုင်ငံတကာဆေးဘက်ဆိုင်ရာတပ်ဖွဲ့မှ ဒေါ်လာ ၅၀ သန်း၊ ကုလသမဂ္ဂစုပေါင်းရန်ပုံငွေသို့ ဒေါ်လာ သန်း ၁၀၀ အပါအဝင် စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁၅၀ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများကို ပြင်ဆင်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Uruguay}} : သမ္မတ Yamandú Orsi က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဥရုဂွေးနိုင်ငံ၏ "စာနာထောက်ထားမှုကို ဖော်ပြကြောင်း" X တွင် ရေးသားခဲ့ပြီး၊ အခြေအနေတိုးတက်ပြောင်းလဲမှုများကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေကာ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက လိုအပ်သည်ဟု ယူဆသည့် မည်သည့်အရာတွင်မဆို ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထပ်လောင်းပြောကြားခဲ့သည်။ * [[ဖိုင်:FIFA_logo_without_slogan.svg|20x20px]] [[ဖီဖာ]] : ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် ကျင်းပသည့် [[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား|၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလား]]ပွဲစဉ်အားလုံး၌ ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် ငြိမ်သက်ခြင်း (moment of silence) အထိမ်းအမှတ်ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] khawjbwsm5j058ie1om8ta7inlmsuk7 1048773 1048772 2026-08-15T06:03:56Z Kaung Sitt Nyein 146949 1048773 wikitext text/x-wiki {{Infobox earthquake | image = {{Photomontage | photo1a = Edifícios colapsados e danificados em Los Palos Grandes, 2026-06-26.png | photo2a = Costa Rican mission to the 2026 Venezuela earthquakes relief efforts (13).jpg | photo2b = LCF-24- MRF Search & Rescue Efforts in Venezuela (9781665).jpg | photo3a = Depertment of State Urban Seach and Rescue Assist in Venezuela (9782036).jpg | photo3b = LCF-24- Ground Zero (9781949).jpg | position = center | color_border = white | color = white | size = 250 }} | caption = ငလျင်ဘေးသင့် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ | map2 = {{Location map many | Venezuela | relief = yes | label1 = | lat = 10.435 | long = -68.472 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | label2 = Caracas | lat2 = 10.506 | long2 = -66.914 | mark2 = Red pog.svg | mark2size = 10 | position2 = right | caption = ငလျင်ဗဟိုချက်ပြမြေပုံ }} | local-date = ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = ၁၈:၀၄:၃၃ VET (UTC-4) | local-time-A = ၁၈:၀၅:၁၁ VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} နှင့် {{M|w|link=y|7.5}} {{small|(USGS)}}<br />{{M|w|link=y|7.6–7.8}} {{small|(INGV နှင့် GEOSCOPE)}} | affected = [[ဗင်နီဇွဲလား]] | location = {{coord|10.435|N|68.472|W|type:event|display=inline,title}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = ၄ စင်တီမီတာ(၁.၆ လက်မ) | landslide = အတည်ပြုရန် ကျန်သေး | fault = [[San Sebastián Fault|San Sebastián ငလျင်ကြောစနစ်]] | type = [[Strike-slip tectonics|Strike-slip]] | damage = အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၄.၇-၈.၇ ဘီလီယံ (ခန့်မှန်း) | foreshocks = မရှိ | aftershocks = ၁,၁၁၅ ခုကျော်(၈ ဂျူလိုင်၊ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မှ စ၍) | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties = | isc-event-A = 645904538 | isc-event = 645903460 | duration = ~၉၀–၁၂၀ စက္ကန့် }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်မြောက်ပိုင်းနှင့် အလယ်ပိုင်းဒေသများ၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများ၏ ၈၀ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဩဂုတ်လအထိ ရရှိထားသော စာရင်းများအရ သေဆုံးသူ ၆,၃၀၀ ဦးထက်မနည်း ရှိပြီး ၆၁,၀၀၀ ခန့် ဆေးရုံတင်ထားရကာ သောင်းနှင့်ချီသော လူဦးရေမှာ ပျောက်ဆုံးနေဆဲ ဖြစ်သည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> == ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတွင် ကာရစ်ဘီယံပြား (Caribbean plate) နှင့် တောင်အမေရိကပြား (South American plate) တို့သည် Boconó–Morón–El Pilar အမည်ရှိ ရှုပ်ထွေးသော ပြတ်ရွေ့စနစ် (BMEPFS) တစ်လျှောက် အပြန်အလှန် သက်ရောက်မှုရှိနေသည်။ ၎င်းသည် Tertiary ခေတ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အားပြင်းသည့် ဘယ်ဖက်စောင်း/ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားသော ပြတ်ရွေ့ (compressional right-lateral strike-slip faults) များ၏ ရှုပ်ထွေးသော စီးရီးတစ်ခုဖြစ်ပြီး တောင်ကာရစ်ဘီယံရှိ Transform plate boundary ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ ဤပြတ်ရွေ့သည် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက် အလယ်ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား အန်းဒီးစ်တောင်တန်းမှသည် မြောက်အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့မြောက်ပိုင်း ကမ်းရိုးတန်းကိုဖြတ်၍ ထရီနီဒက်ကျွန်းဘက်သို့ ၁,၃၀၀ ကီလိုမီတာ (၈၁၀ မိုင်) ရှည်လျားစွာ တည်ရှိသည်။<ref name="Schubert842">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> ဘူမိဗေဒနှင့် ဘူမိတိုင်းတာရေး အချက်အလက်များအရ BMEPFS ပြတ်ရွေ့စနစ်သည် တစ်နှစ်လျှင် ၁၀ မီလီမီတာ (၀.၃၉ လက်မ) နှုန်းဖြင့် ရွေ့လျားလျက်ရှိသည်။ ၎င်းသည် ရံဖန်ရံခါတွင် Strike-slip သို့မဟုတ် Reverse faulting ကဲ့သို့သော ပြတ်ရွေ့လှုပ်ရှားမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ငလျင်များကိုလည်း မကြာခဏဆိုသလို လှုပ်ခတ်စေသည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့ (မြောက်ပိုင်းကမ်းရိုးတန်း) တစ်ခုလုံးနှင့် El Pilar ပြတ်ရွေ့ (အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား) ၏ အပိုင်းအချို့သည် ပင်လယ်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလားတွင် El Pilar ပြတ်ရွေ့၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဖြတ်သန်းရာ တစ်ခုတည်းသောအပိုင်းမှာ Cariaco ပင်လယ်ကွေ့နှင့် Paria ပင်လယ်ကွေ့အကြား ဖြစ်သည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့သည် Cerro Machado တောင်တန်း၏ တောင်ဘက်မျက်နှာစာတစ်လျှောက် ကုန်းတွင်းပိုင်းသို့ ရောက်ရှိလာပြီး Simon Bolivar နိုင်ငံတကာလေဆိပ်အောက်မှ ဖြတ်သန်းသွားသည်။ El Pilar ပြတ်ရွေ့သည် San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အရှေ့ဘက်တွင် တည်ရှိသော်လည်း Cariaco pull-apart မြေဧရိယာဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ဤပြတ်ရွေ့ဇုန်သည် ၁၆၄၁၊ ၁၇၆၆၊ ၁၈၁၂၊ ၁၉၀၀ နှင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်တို့တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော ငလျင်ကြီးများအတွက် အဓိကတရားခံ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် က လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် Mw 7.6 ရှိ San Narciso ငလျင်မှာ ပင်လယ်ပြင်တွင် ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မျက်နှာပြင်ကွဲအက်မှုများကို ရှာဖွေတွေ့ရှိချက်အရ San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အပိုင်းတစ်ခု ရွေ့လျားမှုနှင့် ဆက်စပ်နေကြောင်း သိရှိရသည်။<ref name="ColónA2">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> == ဖြစ်စဉ် == {{main|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်များစာရင်း}} ပထမဆုံးလှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်သည် Mww 7.2 ဖြစ်ပြီး UTC စံတော်ချိန် ၂၂:၀၄ နာရီတွင် ယူမာရီ (Yumare) မြို့၏ အရှေ့-အရှေ့မြောက်ဘက်၊ အနက် ၁၂.၆ မိုင် (၂၀.၃ ကီလိုမီတာ) တွင် ဗဟိုပြုလှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Schubert84">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> (၃၈) စက္ကန့်အကြာတွင် Mww 7.5 ရှိသည့် ဒုတိယမြောက် ငလျင်တစ်ခုသည် ပထမငလျင်၏ အရှေ့ဘက်တည့်တည့်၊ အနက် ၆.၂ မိုင် (၁၀ ကီလိုမီတာ) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်နှစ်ခုစလုံးသည် ယားရာကူ (Yaracuy) ပြည်နယ်၊ ဗီရိုအက်စ် (Veroes) မြူနီစီပယ်အတွင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဤငလျင်သည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ အမေရိကန်ဘူမိဗေဒဌာန (USGS) ၏ အဆိုအရ ၎င်းသည် ၁၅၀ x ၂၀ ကီလိုမီတာ (၉၃ x ၁၂ မိုင်) ရှိသော ဧရိယာအတွင်း ပြတ်ရွေ့တစ်လျှောက် ရွေ့လျားခဲ့ခြင်းဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ဆိုသည်။အဓိက ငလျင်လှုပ်ခတ်ပြီး နှစ်နာရီအတွင်း [[ကရာကက်စ်မြို့|ကာရာကတ်စ်]] မြို့တွင် နောက်ဆက်တွဲငလျင် (၆) ကြိမ် ခံစားခဲ့ရပြီး စုစုပေါင်း နောက်ဆက်တွဲငလျင် အကြိမ် (၂၀) ကျော် မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="ColónA">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> ငလျင်၏ လှုပ်ခတ်မှုဒဏ်ကို [[ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ]] အရှေ့မြောက်ပိုင်းနှင့် [[ဘရာဇီးနိုင်ငံ]] မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ခံစားခဲ့ရသည်။ ဘရာဇီးနိုင်ငံရှိ မာနော့စ် (Manaus)၊ ဘီလမ် (Belém) နှင့် မာကာပါ (Macapá) မြို့များတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုကြောင့် ပြည်သူများအား ဘေးလွတ်ရာသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် အာရူးဗား (Aruba)၊ ဘိုနဲရား (Bonaire) နှင့် ကူရာစောင် (Curaçao) ကျွန်းများတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref name="BBC Live">{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Powerful back-to-back earthquakes strike Venezuela, collapsing buildings in Caracas |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=24 June 2026 |publisher=[[BBC News]]}}</ref> == ထိခိုက်ပျက်စီးမှုနှင့် လူသေဆုံးမှုများ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွင်း ဆက်သွယ်ရေး ပြတ်တောက်နေခြင်း သို့မဟုတ် သတင်းအမှောင်ချထားခြင်းတို့ကြောင့် လက်ရှိအချိန်အထိ လူသေဆုံးမှု အရေအတွက် အတိအကျကို မသိရှိရသေးပေ။ အာဏာပိုင်များက သေဆုံးသူ သို့မဟုတ် ဒဏ်ရာရသူ အရေအတွက်ကို တရားဝင် ထုတ်ပြန်ထားခြင်း မရှိသေးသော်လည်း၊ ဒေသခံအရာရှိများနှင့် မျက်မြင်သက်သေများ၏ အဆိုအရ ဒဏ်ရာရရှိသူ အရေအတွက်မှာ တိုးမြင့်လာနေကြောင်း သိရသည်။ USGS ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ငလျင်တုံ့ပြန်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက် (PAGER) အရ "လူသေဆုံးမှုများပြားပြီး ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှု အလွန်ကြီးမားကာ ဘေးအန္တရာယ်မှာ ကျယ်ပြန့်နိုင်ခြေရှိသည်" ဟု ဖော်ပြထားသည်။ Mw 7.5 ရှိ ငလျင်အတွက် လူပေါင်း ၁,၀၀၀ မှ ၁၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၉%၊ ၁၀,၀၀၀ မှ ၁၀၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၇% ရှိပြီး၊ သေဆုံးသူ ၁၀၀,၀၀၀ ကျော်နိုင်ခြေ ၁၁% ရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ Mw 7.2 ရှေ့ပြေးငလျင်အတွက်လည်း အလားတူ သေဆုံးမှုနှုန်း မြင့်မားနိုင်ခြေရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့တစ်လျှောက် အဆောက်အဦ ဒါဇင်ပေါင်းများစွာ ပြိုကျခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး Diosdado Cabello ၏ အဆိုအရ Los Palos Grandes နှင့် Altamira မြူနီစီပယ်များသည် မြို့၏ အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်ခံရသည့် နေရာများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ Altamira တွင် အဆောက်အဦ အနည်းဆုံး သုံးခု ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ် အရှေ့တောင်ပိုင်းရှိ နေရာတစ်ခုတွင် မြင့်မားသည့် အဆောက်အဦ အများစုမှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး အများအပြား ပြိုကျခဲ့သည်။ Catia La Mar တွင် ဘိုလီဗာရေတပ်မတော်၏ စစ်တက္ကသိုလ်နှင့် အဆောက်အဦမြင့်များ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့သည်။ Chacao မြူနီစီပယ်တွင် မြို့တော်ဝန် Gustavo Duque က သေဆုံးသူများရှိကြောင်းနှင့် ဒဏ်ရာရသူ ၁၆ ဦး အနည်းဆုံးရှိကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ Baruta မြူနီစီပယ်တွင် အဆောက်အဦ နှစ်ခု ပြိုကျမှုကြောင့် အနည်းဆုံး လူသုံးဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ Pinto Salinas တွင် အဆောက်အဦ ပြိုကျမှုကြောင့် လူနှစ်ဦးထက်မနည်း သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Venezuela Live Updates: 2 Major Earthquakes Hit Country’s Center |url=https://www.nytimes.com/live/2026/06/24/world/venezuela-earthquake |access-date=24 June 2026 |publisher=[[The New York Times]]}}</ref> ထရူဟီးယိုး၊ ကာရာဘိုဘို၊ အာရာဂွာ၊ မိရန်ဒါနှင့် လာဂွာအီရာ ပြည်နယ်များတွင်လည်း အဆောက်အဦများ ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့မြောက်ဘက် အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်သည့် လာဂွာအီရာတွင် မြို့တော်၏ အဓိကလေဆိပ်ဖြစ်သော ဆီမွန်ဘိုလီဗာ နိုင်ငံတကာလေဆိပ်မှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး လေကြောင်းခရီးစဉ်အားလုံးကို ဖျက်သိမ်းခဲ့ရသည်။ လူမှုကွန်ရက်တွင် ပျံ့နှံ့နေသော ရုပ်ပုံများအရ အဆောက်အဦများ လုံးဝ (သို့) တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြိုကျနေသည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆက်သွယ်ရေး ဝန်ဆောင်မှုများလည်း ပြတ်တောက်နေသည်။ ဖယ်လ်ကွန်ပြည်နယ် အုပ်ချုပ်ရေးမှူး Víctor Clark က ဒဏ်ရာရသူ ၃၂ ဦးကို ကုသပေးနေရပြီး ၁၅ ဦးမှာ ပြိုကျနေသော အဆောက်အဦများအောက်တွင် ပိတ်မိနေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name="Cano25a">{{cite news |last1=Cano |first1=Regina Garcia |date=25 June 2026 |title=Back-to-back powerful earthquakes hit Venezuela, causing widespread damage |url=https://apnews.com/article/venezuela-earthquake-caracas-7179acaee70a9c543f953852f15d4814 |access-date=25 June 2026 |work=Associated Press |last2=Arraez |first2=Juan Pablo}}</ref> == ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေး == ကာရာကတ်စ်မြို့တွင် ကယ်ဆယ်ရေး ဝန်ထမ်းများနှင့် စေတနာ့ဝန်ထမ်းများသည် ပြိုကျနေသည့် အဆောက်အဦ အပျက်အစီးများအောက်တွင် ပိတ်မိနေသူများကို ရှာဖွေကယ်ဆယ်လျက်ရှိသည်။<ref name="PhillipsGuardian1">{{cite news |last1=Phillips |first1=Tom |date=25 June 2026 |title=Venezuela earthquake: powerful back-to-back quakes collapse buildings in capital Caracas |url=https://www.theguardian.com/world/2026/jun/25/earthquake-venezuela-caracas-tremors-aftershocks |access-date=25 June 2026 |work=The Guardian |last2=Montilla |first2=Camille Rodríguez}}</ref> == တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်မှုများ == ယာယီသမ္မတ Delcy Rodríguez က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးက ပြည်နယ်အများအပြား ထိခိုက်ခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ အစိုးရက ပေါက်ကွဲမှုများမဖြစ်စေရန် ဂတ်စ်ပေးဝေမှုကို ရပ်ဆိုင်းခဲ့ပြီး၊ ကာရာကတ်စ် မက်ထရို ရထားဝန်ဆောင်မှုများကို ဆိုင်းငံ့ထားကာ ကျောင်းများကို ရက်အနည်းငယ်ကြာ ပိတ်ထားရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ ငလျင်အပြီးတွင် ဒိုမီနီကန်သမ္မတနိုင်ငံ၊ ပွာတိုရီကိုနှင့် ဗာဂျင်ကျွန်းစုများအတွက် ဆူနာမီသတိပေးချက် ထုတ်ပြန်ခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် ပြန်လည်ရုပ်သိမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=24 June 2026 |title=Delcy Rodríguez declaró el estado de emergencia en Venezuela tras los dos terremotos que sacudieron al país |url=https://www.infobae.com/venezuela/2026/06/25/delcy-rodriguez-informara-sobre-la-situacion-en-venezuela-tras-los-dos-terremotos-que-sacudieron-el-pais/ |work=[[Infobae]]}}</ref> == နိုင်ငံတကာ၏ တုံ့ပြန်မှုများ == * {{flag|Argentina}} : အာဂျင်တီးနားအစိုးရက ငလျင်ဖြစ်ပွားမှုအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Clarín |first=Redacción |date=2026-06-25 |title=“Más allá de las diferencias”: Argentina expresó su solidaridad con Venezuela tras los terremotos |url=https://www.clarin.com/politica/alla-diferencias-argentina-expreso-solidaridad-venezuela-terremotos_0_nEV10bAwvh.html |access-date=2026-06-25 |website=Clarín |language=es}}</ref> * {{flag|European Union}} : ဥရောပကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ Ursula von der Leyen က ဗင်နီဇွဲလားရှိ ထိခိုက်ခံစားရသူများ၊ အထူးသဖြင့် သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ ဥရောပသမဂ္ဂ၏ ကြိုတင်ပြင်ဆင်မှုနှင့် အကျပ်အတည်းစီမံခန့်ခွဲရေးဆိုင်ရာ ကော်မရှင်နာ Hadja Lahbib ကလည်း ဥရောပသမဂ္ဂအနေဖြင့် အခြေအနေကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေပြီး ဘလောက်အဖွဲ့ဝင်များက မြေပြင်တွင် အကူအညီများ ပေးအပ်နေပြီဖြစ်ကြောင်း အလေးပေးပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|United Nations}} : နိုင်ငံတကာ ရွှေ့ပြောင်းသွားလာသူများဆိုင်ရာ အဖွဲ့အစည်း (IOM) ၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် Amy Pope က အရေးတကြီး လိုအပ်နေသော နိုင်ငံတကာ၏ အကူအညီများကို အလျင်အမြန် ပေးအပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့ပြီး ထိခိုက်ခံစားရသူများ၏ လိုအပ်ချက်များကို အကဲဖြတ်ရန် ကြိုးပမ်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Aruba}} : အရူးဗားအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွက် လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Azerbaijan}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Barbados}} : ဝန်ကြီးချုပ် Mia Mottley က ဗင်နီဇွဲလားကြားဖြတ်သမ္မတ Delcy Rodríguez ထံ ဆက်သွယ်၍ ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဘာဘေးဒိုးစ်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Bolivia}} : ဘိုလီးဗီးယားအစိုးရက လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Brazil}} : သမ္မတ Lula da Silva က လက်ရှိအခြေအနေကို အကဲဖြတ်ရန် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနနှင့် ဆွေးနွေးသွားမည်ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဘရာဇီးနိုင်ငံက မီးသတ်သမား ၃၆ ဦး၊ အရပ်ဘက်ကာကွယ်ရေးနည်းပညာရှင် ၄ ဦး၊ ဆက်သွယ်ရေးကျွမ်းကျင်သူ ၄ ဦးနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၉ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Canada}} : ဝန်ကြီးချုပ် [[မာ့ခ်ကာနီ]] က ငလျင်ကို "ဘေးအန္တရာယ်ကြီးမားလှသည်" ဟု ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ပေးပို့မည်ဟု ကတိပြုခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် Global Affairs Canada က ဒေါ်လာ ၅ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Chile}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက လိုအပ်ပါက လူသားချင်းစာနာမှုနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၅ ရက်တွင် သမ္မတ José Antonio Kast က ချီလီလေတပ်လေယာဉ်ဖြင့် မြို့ပြရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၃၇ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ နောက်တစ်ရက်တွင် ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၁၆ ဦးနှင့် အကူအညီပစ္စည်းများပါသည့် ဒုတိယမြောက်လေယာဉ်ကို ထပ်မံစေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|China}} : သမ္မတ [[ရှီကျင့်ဖျင်]] က "ဘေးဒုက္ခကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်ထူထောင်ရေး" အတွက် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Colombia}} : အမျိုးသားသဘာဝဘေးအန္တရာယ်ဆိုင်ရာစီမံခန့်ခွဲမှုဌာနက ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၆၀ ကျော်၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေး ၄ ကောင်နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၁၂ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Costa Rica}} : သမ္မတရုံး၏ ထုတ်ပြန်ချက်တွင် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Croatia}} : အစိုးရအနေဖြင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Cuba}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Bruno Rodríguez Parrilla က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး၊ ကျူးဘားကျန်းမာရေးဝန်ထမ်းများအနေဖြင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဝန်ဆောင်မှုများပေးရန် အပြည့်အဝ စုစည်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Czech Republic}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Petr Macinka က ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Dominican Republic}} : သမ္မတ Luis Abinader က စစ်တပ်အနေဖြင့် "အထူးပြုရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးနှင့် အရေးပေါ်တုံ့ပြန်ရေးအဖွဲ့များ" ကို အသင့်အနေအထားဖြစ်စေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Ecuador}} : သမ္မတ Daniel Noboa က အရေးပေါ်အခြေအနေကို တုံ့ပြန်ရန် လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ချက်ချင်းပေးပို့ရန် အမိန့်ပေးခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၄၆ ဦး၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများနှင့် ပစ္စည်း ၆ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|El Salvador}} : သမ္မတ Nayib Bukele က ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဝန်ထမ်း ၃၀၀ နှင့် ထောက်ပံ့ရေးပစ္စည်း တန် ၅၀ ပေးပို့ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|France}} : သမ္မတ Emmanuel Macron က ကယ်ဆယ်ရေးဆိုင်ရာ ကျွမ်းကျင်သူ ၈၅ ဦးပါဝင်သော အဖွဲ့ကို ချက်ချင်းစေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Germany}} : ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး Boris Pistorius က လိုအပ်ပါက အသုံးပြုနိုင်ရန် Airbus A400M Atlas သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလေယာဉ် ၆ စင်းကို အသင့်ပြင်ထားကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Guyana}} : သမ္မတ Irfaan Ali က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအား တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Vatican City}} : ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး [[ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး လီယို ၁၄|လီယို ၁၄]] က ဗင်နီဇွဲလားအတွက် အရေးပေါ်လှူဒါန်းငွေ ယူရို ၁ သိန်းကို ခွင့်ပြုပေးခဲ့သည်။ * {{flag|India}} : ဝန်ကြီးချုပ် နာရင်ဒြာမိုဒီက အိန္ဒိယနိုင်ငံအနေဖြင့် တတ်နိုင်သည့် အကူအညီအားလုံး ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း X (Twitter) တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ အိန္ဒိယလေတပ်က 'Operation Amistad' ကို စတင်ကာ ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများပါသည့် C17 လေယာဉ် ၂ စင်းကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Iran}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ Esmaeil Baghaei က ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်းနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Israel}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Italy}} : ဝန်ကြီးချုပ် Giorgia Meloni က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများကို အမြန်ဆုံး ပေးအပ်နိုင်ရန် ကြိုးပမ်းနေကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ * {{flag|Japan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Sanae Takaichi က ငလျင်ကြောင့် သေဆုံးသူများနှင့် ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဂျပန်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Malaysia}} : ဝန်ကြီးချုပ် Anwar Ibrahim က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Mexico}} : စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ ၂၅၀၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများ၊ လေယာဉ် ၄ စင်း၊ ဆေးဝါးများနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများကို ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Netherlands}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Tom Berendsen က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Yvan Gil ထံ ဆက်သွယ်၍ ကူညီရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားကုန်သွယ်ရေးဝန်ကြီး Sjoerd Sjoerdsma က USARNL ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ (ဝန်ထမ်းများ၊ ခွေးများနှင့် ပစ္စည်းများ) စေလွှတ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Pakistan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Shehbaz Sharif က ဗင်နီဇွဲလားငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် "အလွန်ဝမ်းနည်းမိပါကြောင်း" ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Panama}} : ပနားမားနိုင်ငံတွင် ကာရာကတ်စ်သို့ ပေးပို့ရန် အလှူပစ္စည်းစုဆောင်းရေးနေရာများ ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် သမ္မတ Jose Raul Mulino က ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ ဗင်နီဇွဲလားသို့ ရောက်ရှိလာမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Peru}} : ပီရူးအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Philippines}} : သမ္မတ Bongbong Marcos က ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Portugal}} : ဝန်ကြီးချုပ် Luís Montenegro က စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အရေးပေါ်နှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Qatar}} : Delcy Rodríguez က ကာတာနိုင်ငံမှ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ စေလွှတ်ထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Russia}} : သမ္မတ ဗလာဒီမာပူတင်က Delcy Rodríguez ထံသို့ ဝမ်းနည်းကြောင်း သဝဏ်လွှာ ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Saint Vincent and the Grenadines}} : ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာနမှတစ်ဆင့် ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Saudi Arabia}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Serbia}} : သမ္မတ Aleksandar Vučić က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Marko Đurić ကလည်း လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Slovakia}} : သမ္မတ Peter Pellegrini နှင့် ဝန်ကြီးချုပ် Robert Fico တို့က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|South Korea}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အခြေအနေကို အကဲဖြတ်ကာ အကူအညီပေးနိုင်ရန် စဉ်းစားနေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Spain}} : စပိန်နိုင်ငံက စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၅၇ ဦးနှင့် မက်ဒရစ်မြို့မှ မီးသတ်သမား ၄၀ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Suriname}} : သမ္မတ Jennifer Simons က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အတူရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Switzerland}} : သမ္မတ Guy Parmelin က စာနာကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဖက်ဒရယ်ကောင်စီက ကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၈၀ နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း တန်ချိန်အမြောက်အမြား စေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ Swiss Rescue Chain အဖွဲ့သည် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် ဗင်နီဇွဲလားသို့ အသင့်ပြင်ဆင်နေသည်။ * {{flag|Syria}} : အရေးပေါ်နှင့် သဘာဝဘေးအန္တရာယ်စီမံခန့်ခွဲမှုဝန်ကြီး Raed al-Saleh က ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Thailand}} : ထိုင်းနိုင်ငံက Urban Search and Rescue (USAR) ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ကို ဗင်နီဇွဲလားသို့ စေလွှတ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Turkey}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|United Kingdom}} : ဗြိတိန်နိုင်ငံက ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများပါဝင်သော ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၆၈ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|United States}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး [[မာကို ရူဘီအို]] က သတင်းစာရှင်းလင်းပွဲတစ်ခုတွင် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများကို ကူညီရန် ဖက်ဒရယ်အရေးပေါ်စီမံခန့်ခွဲမှုအေဂျင်စီ (FEMA) ၏ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များဖြစ်သော Virginia Task Force One နှင့် California Task Force Two တို့ကို စေလွှတ်ထားကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန လက်ထောက်ဝန်ကြီး Jeremy P. Lewin က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့် ပူးပေါင်းကာ အကူအညီများကို ညှိနှိုင်းဆောင်ရွက်ရန် သဘာဝဘေးအန္တရာယ် ကူညီပံ့ပိုးရေးအဖွဲ့ကို စုစည်းထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဒုတိယနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Christopher Landau ကလည်း အမေရိကန်အနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် စီစဉ်နေပြီး ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာနှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်များ ပံ့ပိုးပေးရန် ဗင်နီဇွဲလား ကြားဖြတ်အစိုးရနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မည်ဖြစ်ကြောင်း X တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ကမ္ဘာ့စားနပ်ရိက္ခာအစီအစဉ်နှင့် နိုင်ငံတကာဆေးဘက်ဆိုင်ရာတပ်ဖွဲ့မှ ဒေါ်လာ ၅၀ သန်း၊ ကုလသမဂ္ဂစုပေါင်းရန်ပုံငွေသို့ ဒေါ်လာ သန်း ၁၀၀ အပါအဝင် စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁၅၀ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများကို ပြင်ဆင်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Uruguay}} : သမ္မတ Yamandú Orsi က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဥရုဂွေးနိုင်ငံ၏ "စာနာထောက်ထားမှုကို ဖော်ပြကြောင်း" X တွင် ရေးသားခဲ့ပြီး၊ အခြေအနေတိုးတက်ပြောင်းလဲမှုများကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေကာ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက လိုအပ်သည်ဟု ယူဆသည့် မည်သည့်အရာတွင်မဆို ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထပ်လောင်းပြောကြားခဲ့သည်။ * [[ဖိုင်:FIFA_logo_without_slogan.svg|20x20px]] [[ဖီဖာ]] : ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် ကျင်းပသည့် [[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား|၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလား]]ပွဲစဉ်အားလုံး၌ ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် ငြိမ်သက်ခြင်း (moment of silence) အထိမ်းအမှတ်ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] j1r9p854p1ylnc2iogwezuvfcju0il9 1048774 1048773 2026-08-15T06:06:01Z Kaung Sitt Nyein 146949 1048774 wikitext text/x-wiki {{Infobox earthquake | image = {{Photomontage | photo1a = Edifícios colapsados e danificados em Los Palos Grandes, 2026-06-26.png | photo2a = Costa Rican mission to the 2026 Venezuela earthquakes relief efforts (13).jpg | photo2b = LCF-24- MRF Search & Rescue Efforts in Venezuela (9781665).jpg | photo3a = Depertment of State Urban Seach and Rescue Assist in Venezuela (9782036).jpg | photo3b = LCF-24- Ground Zero (9781949).jpg | position = center | color_border = white | color = white | size = 250 }} | caption = ငလျင်ဘေးသင့် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ | map2 = {{Location map many | Venezuela | relief = yes | label1 = | lat = 10.435 | long = -68.472 | mark = Bullseye1.png | marksize = 50 | position = right | width = 260 | float = center | label2 = Caracas | lat2 = 10.506 | long2 = -66.914 | mark2 = Red pog.svg | mark2size = 10 | position2 = right | caption = ငလျင်ဗဟိုချက်ပြမြေပုံ }} | local-date = ၂၄ ဇွန် ၂၀၂၆ | timestamp = 2026-06-24 22:04:33 | timestamp-A = 2026-06-24 22:05:11 | local-time = ၁၈:၀၄:၃၃ VET (UTC-4) | local-time-A = ၁၈:၀၅:၁၁ VET (UTC-4) | magnitude = {{M|w|link=y|7.2}} နှင့် {{M|w|link=y|7.5}} {{small|(USGS)}}<br />{{M|w|link=y|7.6–7.8}} {{small|(INGV နှင့် GEOSCOPE)}} | affected = [[ဗင်နီဇွဲလား]] | location = {{coord|10.435|N|68.472|W|type:event|display=inline,title}} | intensity = {{MMI|IX}} | tsunami = ၄ စင်တီမီတာ(၁.၆ လက်မ) | landslide = အတည်ပြုရန် ကျန်သေး | fault = [[San Sebastián Fault|San Sebastián ငလျင်ကြောစနစ်]] | type = [[Strike-slip tectonics|Strike-slip]] | damage = အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၄.၇-၈.၇ ဘီလီယံ (ခန့်မှန်း) | foreshocks = မရှိ | aftershocks = ၁,၁၁၅ ခုကျော်(၈ ဂျူလိုင်၊ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မှ စ၍) | anss-url = us6000t7zc | anss-url-A = us6000t7zp | depth = {{cvt|21.9|km|mi|0|abbr=on}} | depth-A = {{cvt|10|km|mi|0|abbr=on}} | casualties =သေဆုံးသူ ၆,၃၀၀ ကျော်၊ ဒဏ်ရာရသူ ၇၃,၃၀၀ ခန့်၊ ပျောက်ဆုံးသူ ၁၈,၁၀၀ မှ ၅၀,၀၀၀ အထိ | isc-event-A = 645904538 | isc-event = 645903460 | duration = ~၉၀–၁၂၀ စက္ကန့် }} '''၂၀၂၆ ဗင်နီဇွဲလား ငလျင်''' သည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ ဇွန်လ (၂၄) ရက်နေ့တွင် [[ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ]] အနောက်မြောက်ပိုင်းနှင့် အလယ်ပိုင်းဒေသများ၌ လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ပြင်းအားမြင့် ငလျင်နှစ်ခုဖြစ်သည်။ ဇွန်လ (၂၄) ရက်၊ ဒေသစံတော်ချိန် ၁၈:၀၄ နာရီတွင် ပြင်းအား (၇.၂) ရှိသော ငလျင်တစ်ခု စတင်လှုပ်ခတ်ခဲ့ပြီး၊ စက္ကန့် (၄၀) ခန့်အကြာတွင် ပြင်းအား (၇.၅) ရှိသော နောက်ထပ်ငလျင်တစ်ခု ထပ်မံလှုပ်ခတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |last=Butler |first=Gavin |last2=Mann |first2=Toby |date=2026-06-25 |title=Strong earthquakes hit Venezuela as buildings collapse in Caracas - follow live |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=2026-06-25 |website=BBC News |language=en-GB}}</ref> အဆိုပါ ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများကြောင့် နိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ကျယ်ပြန့်သော ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့ပြီး၊ အထူးသဖြင့် မြို့တော်ကာရာကတ်စ် (Caracas) တွင် အဆောက်အအုံများ၏ ၈၀ ရာခိုင်နှုန်းခန့် ပြိုကျခဲ့ရသည်။ ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဩဂုတ်လအထိ ရရှိထားသော စာရင်းများအရ သေဆုံးသူ ၆,၃၀၀ ဦးထက်မနည်း ရှိပြီး ၆၁,၀၀၀ ခန့် ဆေးရုံတင်ထားရကာ သောင်းနှင့်ချီသော လူဦးရေမှာ ပျောက်ဆုံးနေဆဲ ဖြစ်သည်။ ဤငလျင်လှုပ်ခတ်မှုအား ကိုလံဘီယာ၊ ဘရာဇီးနှင့် ကာရစ်ဘီယံကျွန်းစုများအထိ ခံစားခဲ့ရသည်။ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက နိုင်ငံတော်အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-06-25 |title=Buildings collapse, people flee as earthquakes hit Venezuela: VIDEOS |url=https://indianexpress.com/article/world/venezuela-earthquake-videos-caracas-delcy-rodriguez-emergency-10756223/ |access-date=2026-06-25 |website=The Indian Express |language=en}}</ref> == ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတွင် ကာရစ်ဘီယံပြား (Caribbean plate) နှင့် တောင်အမေရိကပြား (South American plate) တို့သည် Boconó–Morón–El Pilar အမည်ရှိ ရှုပ်ထွေးသော ပြတ်ရွေ့စနစ် (BMEPFS) တစ်လျှောက် အပြန်အလှန် သက်ရောက်မှုရှိနေသည်။ ၎င်းသည် Tertiary ခေတ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အားပြင်းသည့် ဘယ်ဖက်စောင်း/ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားသော ပြတ်ရွေ့ (compressional right-lateral strike-slip faults) များ၏ ရှုပ်ထွေးသော စီးရီးတစ်ခုဖြစ်ပြီး တောင်ကာရစ်ဘီယံရှိ Transform plate boundary ၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။ ဤပြတ်ရွေ့သည် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံ မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက် အလယ်ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား အန်းဒီးစ်တောင်တန်းမှသည် မြောက်အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့မြောက်ပိုင်း ကမ်းရိုးတန်းကိုဖြတ်၍ ထရီနီဒက်ကျွန်းဘက်သို့ ၁,၃၀၀ ကီလိုမီတာ (၈၁၀ မိုင်) ရှည်လျားစွာ တည်ရှိသည်။<ref name="Schubert842">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> ဘူမိဗေဒနှင့် ဘူမိတိုင်းတာရေး အချက်အလက်များအရ BMEPFS ပြတ်ရွေ့စနစ်သည် တစ်နှစ်လျှင် ၁၀ မီလီမီတာ (၀.၃၉ လက်မ) နှုန်းဖြင့် ရွေ့လျားလျက်ရှိသည်။ ၎င်းသည် ရံဖန်ရံခါတွင် Strike-slip သို့မဟုတ် Reverse faulting ကဲ့သို့သော ပြတ်ရွေ့လှုပ်ရှားမှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ငလျင်များကိုလည်း မကြာခဏဆိုသလို လှုပ်ခတ်စေသည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့ (မြောက်ပိုင်းကမ်းရိုးတန်း) တစ်ခုလုံးနှင့် El Pilar ပြတ်ရွေ့ (အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလား) ၏ အပိုင်းအချို့သည် ပင်လယ်ပြင်တွင် တည်ရှိသည်။ အရှေ့ပိုင်း ဗင်နီဇွဲလားတွင် El Pilar ပြတ်ရွေ့၏ ကုန်းတွင်းပိုင်းဖြတ်သန်းရာ တစ်ခုတည်းသောအပိုင်းမှာ Cariaco ပင်လယ်ကွေ့နှင့် Paria ပင်လယ်ကွေ့အကြား ဖြစ်သည်။ San Sebastián ပြတ်ရွေ့သည် Cerro Machado တောင်တန်း၏ တောင်ဘက်မျက်နှာစာတစ်လျှောက် ကုန်းတွင်းပိုင်းသို့ ရောက်ရှိလာပြီး Simon Bolivar နိုင်ငံတကာလေဆိပ်အောက်မှ ဖြတ်သန်းသွားသည်။ El Pilar ပြတ်ရွေ့သည် San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အရှေ့ဘက်တွင် တည်ရှိသော်လည်း Cariaco pull-apart မြေဧရိယာဖြင့် ပိုင်းခြားထားသည်။ ဤပြတ်ရွေ့ဇုန်သည် ၁၆၄၁၊ ၁၇၆၆၊ ၁၈၁၂၊ ၁၉၀၀ နှင့် ၁၉၆၇ ခုနှစ်တို့တွင် ဖြစ်ပွားခဲ့သော ငလျင်ကြီးများအတွက် အဓိကတရားခံ ဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ် က လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် Mw 7.6 ရှိ San Narciso ငလျင်မှာ ပင်လယ်ပြင်တွင် ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည့် မျက်နှာပြင်ကွဲအက်မှုများကို ရှာဖွေတွေ့ရှိချက်အရ San Sebastián ပြတ်ရွေ့၏ အပိုင်းတစ်ခု ရွေ့လျားမှုနှင့် ဆက်စပ်နေကြောင်း သိရှိရသည်။<ref name="ColónA2">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> == ဖြစ်စဉ် == {{main|ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်များစာရင်း}} ပထမဆုံးလှုပ်ခတ်ခဲ့သည့် ငလျင်သည် Mww 7.2 ဖြစ်ပြီး UTC စံတော်ချိန် ၂၂:၀၄ နာရီတွင် ယူမာရီ (Yumare) မြို့၏ အရှေ့-အရှေ့မြောက်ဘက်၊ အနက် ၁၂.၆ မိုင် (၂၀.၃ ကီလိုမီတာ) တွင် ဗဟိုပြုလှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Schubert84">{{cite journal |last1=Schubert |first1=Carlos |date=1984 |title=Basin formation along the Bocono-Moron-El Pilar Fault System, Venezuela |journal=Journal of Geophysical Research: Solid Earth |volume=89 |issue=B7 |pages=5711–5718 |bibcode=1984JGR....89.5711S |doi=10.1029/JB089iB07p05711}}</ref> (၃၈) စက္ကန့်အကြာတွင် Mww 7.5 ရှိသည့် ဒုတိယမြောက် ငလျင်တစ်ခုသည် ပထမငလျင်၏ အရှေ့ဘက်တည့်တည့်၊ အနက် ၆.၂ မိုင် (၁၀ ကီလိုမီတာ) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်နှစ်ခုစလုံးသည် ယားရာကူ (Yaracuy) ပြည်နယ်၊ ဗီရိုအက်စ် (Veroes) မြူနီစီပယ်အတွင်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဤငလျင်သည် အရှေ့-အနောက် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ညာဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် မြောက်-တောင် တန်းလျက်ရှိသော ပြတ်ရွေ့တစ်ခုပေါ်တွင် ဘယ်ဖက်စောင်း ရွေ့လျားမှုကြောင့်သော်လည်းကောင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ အမေရိကန်ဘူမိဗေဒဌာန (USGS) ၏ အဆိုအရ ၎င်းသည် ၁၅၀ x ၂၀ ကီလိုမီတာ (၉၃ x ၁၂ မိုင်) ရှိသော ဧရိယာအတွင်း ပြတ်ရွေ့တစ်လျှောက် ရွေ့လျားခဲ့ခြင်းဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ဆိုသည်။အဓိက ငလျင်လှုပ်ခတ်ပြီး နှစ်နာရီအတွင်း [[ကရာကက်စ်မြို့|ကာရာကတ်စ်]] မြို့တွင် နောက်ဆက်တွဲငလျင် (၆) ကြိမ် ခံစားခဲ့ရပြီး စုစုပေါင်း နောက်ဆက်တွဲငလျင် အကြိမ် (၂၀) ကျော် မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="ColónA">{{cite journal |last1=Colón |first1=S. |year=2015 |title=The 1900 Mw 7.6 earthquake offshore north–central Venezuela: Is La Tortuga or San Sebastián the source fault? |journal=Marine and Petroleum Geology |publisher=Elsevier BV |volume=67 |pages=498–511 |bibcode=2015MarPG..67..498C |doi=10.1016/j.marpetgeo.2015.06.005 |issn=0264-8172 |last2=Audemard |first2=F.A. |last3=Beck |first3=C. |last4=Avila |first4=J. |last5=Padrón |first5=C. |last6=De Batist |first6=M. |last7=Paolini |first7=M. |last8=Leal |first8=A.F. |last9=Van Welden |first9=A.}}</ref> ငလျင်၏ လှုပ်ခတ်မှုဒဏ်ကို [[ကိုလံဘီယာနိုင်ငံ]] အရှေ့မြောက်ပိုင်းနှင့် [[ဘရာဇီးနိုင်ငံ]] မြောက်ပိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ခံစားခဲ့ရသည်။ ဘရာဇီးနိုင်ငံရှိ မာနော့စ် (Manaus)၊ ဘီလမ် (Belém) နှင့် မာကာပါ (Macapá) မြို့များတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုကြောင့် ပြည်သူများအား ဘေးလွတ်ရာသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့ရသည်။ ထို့ပြင် အာရူးဗား (Aruba)၊ ဘိုနဲရား (Bonaire) နှင့် ကူရာစောင် (Curaçao) ကျွန်းများတွင်လည်း ငလျင်လှုပ်ခတ်မှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။<ref name="BBC Live">{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Powerful back-to-back earthquakes strike Venezuela, collapsing buildings in Caracas |url=https://www.bbc.com/news/live/c621z18wznet |access-date=24 June 2026 |publisher=[[BBC News]]}}</ref> == ထိခိုက်ပျက်စီးမှုနှင့် လူသေဆုံးမှုများ == ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွင်း ဆက်သွယ်ရေး ပြတ်တောက်နေခြင်း သို့မဟုတ် သတင်းအမှောင်ချထားခြင်းတို့ကြောင့် လက်ရှိအချိန်အထိ လူသေဆုံးမှု အရေအတွက် အတိအကျကို မသိရှိရသေးပေ။ အာဏာပိုင်များက သေဆုံးသူ သို့မဟုတ် ဒဏ်ရာရသူ အရေအတွက်ကို တရားဝင် ထုတ်ပြန်ထားခြင်း မရှိသေးသော်လည်း၊ ဒေသခံအရာရှိများနှင့် မျက်မြင်သက်သေများ၏ အဆိုအရ ဒဏ်ရာရရှိသူ အရေအတွက်မှာ တိုးမြင့်လာနေကြောင်း သိရသည်။ USGS ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ငလျင်တုံ့ပြန်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက် (PAGER) အရ "လူသေဆုံးမှုများပြားပြီး ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှု အလွန်ကြီးမားကာ ဘေးအန္တရာယ်မှာ ကျယ်ပြန့်နိုင်ခြေရှိသည်" ဟု ဖော်ပြထားသည်။ Mw 7.5 ရှိ ငလျင်အတွက် လူပေါင်း ၁,၀၀၀ မှ ၁၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၉%၊ ၁၀,၀၀၀ မှ ၁၀၀,၀၀၀ အထိ သေဆုံးနိုင်ခြေ ၃၇% ရှိပြီး၊ သေဆုံးသူ ၁၀၀,၀၀၀ ကျော်နိုင်ခြေ ၁၁% ရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ Mw 7.2 ရှေ့ပြေးငလျင်အတွက်လည်း အလားတူ သေဆုံးမှုနှုန်း မြင့်မားနိုင်ခြေရှိကြောင်း ခန့်မှန်းထားသည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့တစ်လျှောက် အဆောက်အဦ ဒါဇင်ပေါင်းများစွာ ပြိုကျခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီး Diosdado Cabello ၏ အဆိုအရ Los Palos Grandes နှင့် Altamira မြူနီစီပယ်များသည် မြို့၏ အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်ခံရသည့် နေရာများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ Altamira တွင် အဆောက်အဦ အနည်းဆုံး သုံးခု ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ် အရှေ့တောင်ပိုင်းရှိ နေရာတစ်ခုတွင် မြင့်မားသည့် အဆောက်အဦ အများစုမှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး အများအပြား ပြိုကျခဲ့သည်။ Catia La Mar တွင် ဘိုလီဗာရေတပ်မတော်၏ စစ်တက္ကသိုလ်နှင့် အဆောက်အဦမြင့်များ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့သည်။ Chacao မြူနီစီပယ်တွင် မြို့တော်ဝန် Gustavo Duque က သေဆုံးသူများရှိကြောင်းနှင့် ဒဏ်ရာရသူ ၁၆ ဦး အနည်းဆုံးရှိကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ Baruta မြူနီစီပယ်တွင် အဆောက်အဦ နှစ်ခု ပြိုကျမှုကြောင့် အနည်းဆုံး လူသုံးဦး သေဆုံးခဲ့ပြီး၊ Pinto Salinas တွင် အဆောက်အဦ ပြိုကျမှုကြောင့် လူနှစ်ဦးထက်မနည်း သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=24 June 2026 |title=Venezuela Live Updates: 2 Major Earthquakes Hit Country’s Center |url=https://www.nytimes.com/live/2026/06/24/world/venezuela-earthquake |access-date=24 June 2026 |publisher=[[The New York Times]]}}</ref> ထရူဟီးယိုး၊ ကာရာဘိုဘို၊ အာရာဂွာ၊ မိရန်ဒါနှင့် လာဂွာအီရာ ပြည်နယ်များတွင်လည်း အဆောက်အဦများ ပြိုကျခဲ့သည်။ ကာရာကတ်စ်မြို့မြောက်ဘက် အဆိုးရွားဆုံး ထိခိုက်သည့် လာဂွာအီရာတွင် မြို့တော်၏ အဓိကလေဆိပ်ဖြစ်သော ဆီမွန်ဘိုလီဗာ နိုင်ငံတကာလေဆိပ်မှာ ပြင်းထန်စွာ ပျက်စီးခဲ့ပြီး လေကြောင်းခရီးစဉ်အားလုံးကို ဖျက်သိမ်းခဲ့ရသည်။ လူမှုကွန်ရက်တွင် ပျံ့နှံ့နေသော ရုပ်ပုံများအရ အဆောက်အဦများ လုံးဝ (သို့) တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပြိုကျနေသည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆက်သွယ်ရေး ဝန်ဆောင်မှုများလည်း ပြတ်တောက်နေသည်။ ဖယ်လ်ကွန်ပြည်နယ် အုပ်ချုပ်ရေးမှူး Víctor Clark က ဒဏ်ရာရသူ ၃၂ ဦးကို ကုသပေးနေရပြီး ၁၅ ဦးမှာ ပြိုကျနေသော အဆောက်အဦများအောက်တွင် ပိတ်မိနေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref name="Cano25a">{{cite news |last1=Cano |first1=Regina Garcia |date=25 June 2026 |title=Back-to-back powerful earthquakes hit Venezuela, causing widespread damage |url=https://apnews.com/article/venezuela-earthquake-caracas-7179acaee70a9c543f953852f15d4814 |access-date=25 June 2026 |work=Associated Press |last2=Arraez |first2=Juan Pablo}}</ref> == ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေး == ကာရာကတ်စ်မြို့တွင် ကယ်ဆယ်ရေး ဝန်ထမ်းများနှင့် စေတနာ့ဝန်ထမ်းများသည် ပြိုကျနေသည့် အဆောက်အဦ အပျက်အစီးများအောက်တွင် ပိတ်မိနေသူများကို ရှာဖွေကယ်ဆယ်လျက်ရှိသည်။<ref name="PhillipsGuardian1">{{cite news |last1=Phillips |first1=Tom |date=25 June 2026 |title=Venezuela earthquake: powerful back-to-back quakes collapse buildings in capital Caracas |url=https://www.theguardian.com/world/2026/jun/25/earthquake-venezuela-caracas-tremors-aftershocks |access-date=25 June 2026 |work=The Guardian |last2=Montilla |first2=Camille Rodríguez}}</ref> == တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်မှုများ == ယာယီသမ္မတ Delcy Rodríguez က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် အရေးပေါ်အခြေအနေ ကြေညာခဲ့သည်။ ပြည်ထဲရေးဝန်ကြီးက ပြည်နယ်အများအပြား ထိခိုက်ခဲ့ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ အစိုးရက ပေါက်ကွဲမှုများမဖြစ်စေရန် ဂတ်စ်ပေးဝေမှုကို ရပ်ဆိုင်းခဲ့ပြီး၊ ကာရာကတ်စ် မက်ထရို ရထားဝန်ဆောင်မှုများကို ဆိုင်းငံ့ထားကာ ကျောင်းများကို ရက်အနည်းငယ်ကြာ ပိတ်ထားရန် ညွှန်ကြားခဲ့သည်။ ငလျင်အပြီးတွင် ဒိုမီနီကန်သမ္မတနိုင်ငံ၊ ပွာတိုရီကိုနှင့် ဗာဂျင်ကျွန်းစုများအတွက် ဆူနာမီသတိပေးချက် ထုတ်ပြန်ခဲ့သော်လည်း နောက်ပိုင်းတွင် ပြန်လည်ရုပ်သိမ်းခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=24 June 2026 |title=Delcy Rodríguez declaró el estado de emergencia en Venezuela tras los dos terremotos que sacudieron al país |url=https://www.infobae.com/venezuela/2026/06/25/delcy-rodriguez-informara-sobre-la-situacion-en-venezuela-tras-los-dos-terremotos-que-sacudieron-el-pais/ |work=[[Infobae]]}}</ref> == နိုင်ငံတကာ၏ တုံ့ပြန်မှုများ == * {{flag|Argentina}} : အာဂျင်တီးနားအစိုးရက ငလျင်ဖြစ်ပွားမှုအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Clarín |first=Redacción |date=2026-06-25 |title=“Más allá de las diferencias”: Argentina expresó su solidaridad con Venezuela tras los terremotos |url=https://www.clarin.com/politica/alla-diferencias-argentina-expreso-solidaridad-venezuela-terremotos_0_nEV10bAwvh.html |access-date=2026-06-25 |website=Clarín |language=es}}</ref> * {{flag|European Union}} : ဥရောပကော်မရှင်ဥက္ကဋ္ဌ Ursula von der Leyen က ဗင်နီဇွဲလားရှိ ထိခိုက်ခံစားရသူများ၊ အထူးသဖြင့် သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ ဥရောပသမဂ္ဂ၏ ကြိုတင်ပြင်ဆင်မှုနှင့် အကျပ်အတည်းစီမံခန့်ခွဲရေးဆိုင်ရာ ကော်မရှင်နာ Hadja Lahbib ကလည်း ဥရောပသမဂ္ဂအနေဖြင့် အခြေအနေကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေပြီး ဘလောက်အဖွဲ့ဝင်များက မြေပြင်တွင် အကူအညီများ ပေးအပ်နေပြီဖြစ်ကြောင်း အလေးပေးပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|United Nations}} : နိုင်ငံတကာ ရွှေ့ပြောင်းသွားလာသူများဆိုင်ရာ အဖွဲ့အစည်း (IOM) ၏ ညွှန်ကြားရေးမှူးချုပ် Amy Pope က အရေးတကြီး လိုအပ်နေသော နိုင်ငံတကာ၏ အကူအညီများကို အလျင်အမြန် ပေးအပ်ရန် တောင်းဆိုခဲ့ပြီး ထိခိုက်ခံစားရသူများ၏ လိုအပ်ချက်များကို အကဲဖြတ်ရန် ကြိုးပမ်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Aruba}} : အရူးဗားအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအတွက် လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Azerbaijan}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Barbados}} : ဝန်ကြီးချုပ် Mia Mottley က ဗင်နီဇွဲလားကြားဖြတ်သမ္မတ Delcy Rodríguez ထံ ဆက်သွယ်၍ ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဘာဘေးဒိုးစ်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Bolivia}} : ဘိုလီးဗီးယားအစိုးရက လူသားချင်းစာနာထောက်ထားမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Brazil}} : သမ္မတ Lula da Silva က လက်ရှိအခြေအနေကို အကဲဖြတ်ရန် နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနနှင့် ဆွေးနွေးသွားမည်ဟု ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဘရာဇီးနိုင်ငံက မီးသတ်သမား ၃၆ ဦး၊ အရပ်ဘက်ကာကွယ်ရေးနည်းပညာရှင် ၄ ဦး၊ ဆက်သွယ်ရေးကျွမ်းကျင်သူ ၄ ဦးနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၉ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Canada}} : ဝန်ကြီးချုပ် [[မာ့ခ်ကာနီ]] က ငလျင်ကို "ဘေးအန္တရာယ်ကြီးမားလှသည်" ဟု ဖော်ပြကာ လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ပေးပို့မည်ဟု ကတိပြုခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် Global Affairs Canada က ဒေါ်လာ ၅ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Chile}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက လိုအပ်ပါက လူသားချင်းစာနာမှုနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၅ ရက်တွင် သမ္မတ José Antonio Kast က ချီလီလေတပ်လေယာဉ်ဖြင့် မြို့ပြရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၃၇ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ နောက်တစ်ရက်တွင် ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၁၆ ဦးနှင့် အကူအညီပစ္စည်းများပါသည့် ဒုတိယမြောက်လေယာဉ်ကို ထပ်မံစေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|China}} : သမ္မတ [[ရှီကျင့်ဖျင်]] က "ဘေးဒုက္ခကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ပြန်လည်ထူထောင်ရေး" အတွက် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Colombia}} : အမျိုးသားသဘာဝဘေးအန္တရာယ်ဆိုင်ရာစီမံခန့်ခွဲမှုဌာနက ကယ်ဆယ်ရေးသမား ၆၀ ကျော်၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေး ၄ ကောင်နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း ၁၂ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Costa Rica}} : သမ္မတရုံး၏ ထုတ်ပြန်ချက်တွင် ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Croatia}} : အစိုးရအနေဖြင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Cuba}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Bruno Rodríguez Parrilla က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး၊ ကျူးဘားကျန်းမာရေးဝန်ထမ်းများအနေဖြင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဝန်ဆောင်မှုများပေးရန် အပြည့်အဝ စုစည်းဆောင်ရွက်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Czech Republic}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Petr Macinka က ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Dominican Republic}} : သမ္မတ Luis Abinader က စစ်တပ်အနေဖြင့် "အထူးပြုရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးနှင့် အရေးပေါ်တုံ့ပြန်ရေးအဖွဲ့များ" ကို အသင့်အနေအထားဖြစ်စေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Ecuador}} : သမ္မတ Daniel Noboa က အရေးပေါ်အခြေအနေကို တုံ့ပြန်ရန် လူသားချင်းစာနာမှုအကူအညီများ ချက်ချင်းပေးပို့ရန် အမိန့်ပေးခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၄၆ ဦး၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများနှင့် ပစ္စည်း ၆ တန်ကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|El Salvador}} : သမ္မတ Nayib Bukele က ကယ်ဆယ်ရေးနှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဝန်ထမ်း ၃၀၀ နှင့် ထောက်ပံ့ရေးပစ္စည်း တန် ၅၀ ပေးပို့ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|France}} : သမ္မတ Emmanuel Macron က ကယ်ဆယ်ရေးဆိုင်ရာ ကျွမ်းကျင်သူ ၈၅ ဦးပါဝင်သော အဖွဲ့ကို ချက်ချင်းစေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Germany}} : ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး Boris Pistorius က လိုအပ်ပါက အသုံးပြုနိုင်ရန် Airbus A400M Atlas သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလေယာဉ် ၆ စင်းကို အသင့်ပြင်ထားကြောင်း ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Guyana}} : သမ္မတ Irfaan Ali က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံအား တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Vatican City}} : ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး [[ပုပ်ရဟန်းမင်းကြီး လီယို ၁၄|လီယို ၁၄]] က ဗင်နီဇွဲလားအတွက် အရေးပေါ်လှူဒါန်းငွေ ယူရို ၁ သိန်းကို ခွင့်ပြုပေးခဲ့သည်။ * {{flag|India}} : ဝန်ကြီးချုပ် နာရင်ဒြာမိုဒီက အိန္ဒိယနိုင်ငံအနေဖြင့် တတ်နိုင်သည့် အကူအညီအားလုံး ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း X (Twitter) တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ အိန္ဒိယလေတပ်က 'Operation Amistad' ကို စတင်ကာ ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများပါသည့် C17 လေယာဉ် ၂ စင်းကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Iran}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ Esmaeil Baghaei က ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်းနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Israel}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Italy}} : ဝန်ကြီးချုပ် Giorgia Meloni က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများကို အမြန်ဆုံး ပေးအပ်နိုင်ရန် ကြိုးပမ်းနေကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ * {{flag|Japan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Sanae Takaichi က ငလျင်ကြောင့် သေဆုံးသူများနှင့် ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး ဂျပန်နိုင်ငံအနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Malaysia}} : ဝန်ကြီးချုပ် Anwar Ibrahim က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Mexico}} : စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ ၂၅၀၊ ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများ၊ လေယာဉ် ၄ စင်း၊ ဆေးဝါးများနှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်းများကို ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Netherlands}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Tom Berendsen က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Yvan Gil ထံ ဆက်သွယ်၍ ကူညီရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားကုန်သွယ်ရေးဝန်ကြီး Sjoerd Sjoerdsma က USARNL ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ (ဝန်ထမ်းများ၊ ခွေးများနှင့် ပစ္စည်းများ) စေလွှတ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Pakistan}} : ဝန်ကြီးချုပ် Shehbaz Sharif က ဗင်နီဇွဲလားငလျင်ကြောင့် ပျက်စီးဆုံးရှုံးမှုများနှင့် လူသေဆုံးမှုများအတွက် "အလွန်ဝမ်းနည်းမိပါကြောင်း" ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Panama}} : ပနားမားနိုင်ငံတွင် ကာရာကတ်စ်သို့ ပေးပို့ရန် အလှူပစ္စည်းစုဆောင်းရေးနေရာများ ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် သမ္မတ Jose Raul Mulino က ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ ဗင်နီဇွဲလားသို့ ရောက်ရှိလာမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Peru}} : ပီရူးအစိုးရက ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Philippines}} : သမ္မတ Bongbong Marcos က ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများအတွက် စာနာကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Portugal}} : ဝန်ကြီးချုပ် Luís Montenegro က စာနာကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အရေးပေါ်နှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Qatar}} : Delcy Rodríguez က ကာတာနိုင်ငံမှ ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ စေလွှတ်ထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Russia}} : သမ္မတ ဗလာဒီမာပူတင်က Delcy Rodríguez ထံသို့ ဝမ်းနည်းကြောင်း သဝဏ်လွှာ ပေးပို့ခဲ့သည်။ * {{flag|Saint Vincent and the Grenadines}} : ကျန်းမာရေးဝန်ကြီးဌာနမှတစ်ဆင့် ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Saudi Arabia}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက သေဆုံးသူများ၏ မိသားစုများနှင့် ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Serbia}} : သမ္မတ Aleksandar Vučić က ဗင်နီဇွဲလားပြည်သူများနှင့်အတူ ရပ်တည်ကြောင်း ပြောကြားခဲ့ပြီး နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Marko Đurić ကလည်း လိုအပ်သည့်အကူအညီများ ပေးအပ်မည်ဟု ကမ်းလှမ်းခဲ့သည်။ * {{flag|Slovakia}} : သမ္မတ Peter Pellegrini နှင့် ဝန်ကြီးချုပ် Robert Fico တို့က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|South Korea}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ဝမ်းနည်းကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး အခြေအနေကို အကဲဖြတ်ကာ အကူအညီပေးနိုင်ရန် စဉ်းစားနေကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်။ * {{flag|Spain}} : စပိန်နိုင်ငံက စစ်ဘက်ဆိုင်ရာ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၅၇ ဦးနှင့် မက်ဒရစ်မြို့မှ မီးသတ်သမား ၄၀ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|Suriname}} : သမ္မတ Jennifer Simons က ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အတူရပ်တည်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့ပြီး တတ်နိုင်သမျှ ကူညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Switzerland}} : သမ္မတ Guy Parmelin က စာနာကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဖက်ဒရယ်ကောင်စီက ကယ်ဆယ်ရေးဝန်ထမ်း ၈၀ နှင့် ကယ်ဆယ်ရေးပစ္စည်း တန်ချိန်အမြောက်အမြား စေလွှတ်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ Swiss Rescue Chain အဖွဲ့သည် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများအတွက် ဗင်နီဇွဲလားသို့ အသင့်ပြင်ဆင်နေသည်။ * {{flag|Syria}} : အရေးပေါ်နှင့် သဘာဝဘေးအန္တရာယ်စီမံခန့်ခွဲမှုဝန်ကြီး Raed al-Saleh က ဝမ်းနည်းကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Thailand}} : ထိုင်းနိုင်ငံက Urban Search and Rescue (USAR) ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ကို ဗင်နီဇွဲလားသို့ စေလွှတ်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|Turkey}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများအတွက် ဝမ်းနည်းကြောင်းနှင့် အကူအညီပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။ * {{flag|United Kingdom}} : ဗြိတိန်နိုင်ငံက ကယ်ဆယ်ရေးခွေးများပါဝင်သော ကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့ဝင် ၆၈ ဦးကို စေလွှတ်ခဲ့သည်။ * {{flag|United States}} : နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး [[မာကို ရူဘီအို]] က သတင်းစာရှင်းလင်းပွဲတစ်ခုတွင် ကယ်ဆယ်ရေးလုပ်ငန်းများကို ကူညီရန် ဖက်ဒရယ်အရေးပေါ်စီမံခန့်ခွဲမှုအေဂျင်စီ (FEMA) ၏ ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များဖြစ်သော Virginia Task Force One နှင့် California Task Force Two တို့ကို စေလွှတ်ထားကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာန လက်ထောက်ဝန်ကြီး Jeremy P. Lewin က ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံနှင့် ပူးပေါင်းကာ အကူအညီများကို ညှိနှိုင်းဆောင်ရွက်ရန် သဘာဝဘေးအန္တရာယ် ကူညီပံ့ပိုးရေးအဖွဲ့ကို စုစည်းထားကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ ဒုတိယနိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီး Christopher Landau ကလည်း အမေရိကန်အနေဖြင့် အကူအညီများ ပေးအပ်ရန် စီစဉ်နေပြီး ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေးအဖွဲ့များ၊ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာနှင့် လူသားချင်းစာနာမှုဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်များ ပံ့ပိုးပေးရန် ဗင်နီဇွဲလား ကြားဖြတ်အစိုးရနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မည်ဖြစ်ကြောင်း X တွင် ရေးသားခဲ့သည်။ နိုင်ငံခြားရေးဝန်ကြီးဌာနက ကမ္ဘာ့စားနပ်ရိက္ခာအစီအစဉ်နှင့် နိုင်ငံတကာဆေးဘက်ဆိုင်ရာတပ်ဖွဲ့မှ ဒေါ်လာ ၅၀ သန်း၊ ကုလသမဂ္ဂစုပေါင်းရန်ပုံငွေသို့ ဒေါ်လာ သန်း ၁၀၀ အပါအဝင် စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁၅၀ သန်းတန်ဖိုးရှိ အကူအညီများကို ပြင်ဆင်နေကြောင်း ပြောကြားခဲ့သည်။ * {{flag|Uruguay}} : သမ္မတ Yamandú Orsi က ဗင်နီဇွဲလားအာဏာပိုင်များနှင့် ပြည်သူများအတွက် ဥရုဂွေးနိုင်ငံ၏ "စာနာထောက်ထားမှုကို ဖော်ပြကြောင်း" X တွင် ရေးသားခဲ့ပြီး၊ အခြေအနေတိုးတက်ပြောင်းလဲမှုများကို အနီးကပ်စောင့်ကြည့်နေကာ ဗင်နီဇွဲလားအစိုးရက လိုအပ်သည်ဟု ယူဆသည့် မည်သည့်အရာတွင်မဆို ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရန် အသင့်ရှိကြောင်း ထပ်လောင်းပြောကြားခဲ့သည်။ * [[ဖိုင်:FIFA_logo_without_slogan.svg|20x20px]] [[ဖီဖာ]] : ဇွန်လ ၂၆ ရက်တွင် ကျင်းပသည့် [[၂၀၂၆ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား|၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလား]]ပွဲစဉ်အားလုံး၌ ငလျင်ကြောင့် ထိခိုက်ခံစားရသူများကို ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် ငြိမ်သက်ခြင်း (moment of silence) အထိမ်းအမှတ်ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:လတ်တလော ဖြစ်ရပ်များ]] [[Category:၂၀၂၆ ငလျင်များ]] [[Category:ဗင်နီဇွဲလားနိုင်ငံတွင် ဖြစ်ပွားသော ငလျင်များ]] ngxapy49jhlsl20cp3pgosshwi6bs58 0 290373 1048766 1048714 2026-08-15T05:26:01Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* သံစဉ်ကားလမ်းများ */ 1048766 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ဂွန်းမခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|群馬県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|群馬県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Gunma-ken}} | image_skyline = {{multiple image | border = infobox | perrow = 1/2/2/2/1 | total_width = 260 | align = center | caption_align = center | image1 = Tanigawadake Ropeway.jpg | caption1 = [[Mount Tanigawa]] and [[Tanigawadake Ropeway|its cable car line]] | image2 = 如月の榛名.jpg | caption2 = [[Mount Haruna|Winter view of Mount Haruna and Lake]] | image3 = Oze National Park (84225329).jpeg | caption3 = [[Oze National Park]] | image4 = Tsumagoi Cabbage&Asamayama.JPG | caption4 = [[Tsumagoi, Gunma|A highland cabbage field in Tsumagoi]] and [[Mount Asama]] | image5 = Tomioka Silk Mill West Building.JPG | caption5 = A heritage site of Tomioka Silk Mill | image6 = Daruma dolls at Daruma-ji (Takasaki) 2010-04-01 01.jpg | caption6 = Takasaki Daruma | image7 = 第一展望台からの浅間山と赤城山.jpg | caption7 = [[Mount Asama]] and [[Mount Akagi]] | image8 = 草津温泉の湯畑02.jpg | caption8 = [[Kusatsu Onsen|Kusatsu Spa]] }} | image_flag = Flag of Gunma Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Gunma Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map_of_Japan_with_highlight_on_10_Gunma_prefecture.svg | coordinates = {{Coord|36.39|N|139.06|E|scale:500000|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kantō region|Kantō]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Maebashi]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Takasaki]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 7 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Ichita Yamamoto]] | area_total_km2 = 6362.28 | area_water_percent = 0.2 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|21st]] | population_footnotes = | population_total = 1937626 | population_as_of = October 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|18th]] | population_density_km2 = auto | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Gunma dialect]] | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 9,762 billion<br />[[US$]] 72.1 billion (2022) | anthem = {{Interlanguage link|Gunma-ken no uta|ja|群馬県の歌}} | iso_code = JP-10 | website = {{URL|http://www.pref.gunma.jp/}} | module = {{Infobox place symbols |embedded = yes |country = Japan |bird = Copper pheasant (''[[Phasianus soemmerringii]]'') |fish = [[Sweetfish]] (''[[Plecoglossus altivelis]]'') |flower = Japanese azalea (''[[Rhododendron japonicum]]'') |tree = Japanese black pine (''[[Pinus thunbergii]]'') }} }} '''ဂွန်းမခရိုင်''' (群馬県, Gunma-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|language=ja}}</ref>) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ ခန်းတိုးဒေသရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Gumma-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 267|page=267}}; "Kantō" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 479|page=479}}.</ref> လူဦးရေ ၁,၉၃၇,၆၂၆ ဦး (၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁ ရက်နေ့အရ) ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၆၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၆ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် နီးဂတခရိုင်နှင့် ဖုခုရှိမခရိုင်၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် နဂနိုခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းတမခရိုင်၊ အရှေ့ဘက်တွင် တိုချိဂိခရိုင်တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ မအဲဘရှိမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော် ဖြစ်သည်။ တခဆခိမြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ အိုးတမြို့၊ အိဆဲဆခိမြို့နှင့် ခိရူးမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Maebashi" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 600|page=600}}.</ref> ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တည်နေရာအားဖြင့် ခန်းတိုးလွင်ပြင်၏ အနောက်မြောက်ဘက်ထောင့်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== [[File:Akagiyama ono.jpg|thumb|left|အိုနိုကန်၊ ဂျိဇိုးတောင်]] [[File:Mt.Nakanodake from Mt.Shibutsu 01.jpg|thumb|right|ရှိဘုဆွတ်တောင်မှ မြင်ရသည့် နခနိုဒခဲတောင်]] ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ကုန်းတွင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်သည် [[ခန်းတိုးလွင်ပြင်]]၏ အနောက်မြောက်ဘက်ဆုံးခရိုင် ဖြစ်သည်။ ခရိုင်၏ အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာများသည် တောင်ထူထပ်သည်။ ထို့အတွက် ထိုဒေသများမှလွဲ၍ ကျန်ဒေသများတွင် လူဦးရေသည် များပြားလျက်ရှိသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် [[နီးဂတခရိုင်]]နှင့် [[ဖုခုရှိမခရိုင်]]၊ အရှေ့ဘက်တွင် [[တိုချိဂိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[ဆိုင်းတမခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် အဓိကကျသည် တောင်အချို့မှာ [[အခဂိတောင်]]၊ [[ဟရုနတောင်]]၊ [[မယောဂိတောင်]]၊ [[နစ်ခိုးရှိရနဲတောင်]]နှင့် [[အဆမတောင်]]တို့ ဖြစ်သည်။ အဓိကမြစ်များမှာ [[တိုနဲမြစ်]]၊ [[အဂဆွတ်မမြစ်]]နှင့် [[ခရဆုမြစ်]]တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် ခရိုင်၏ ကုန်းမြေဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသား ဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့မှာ ဂျောရှင်းအဲဆွတ် - ခိုးဂန်း၊ နစ်ခိုး၊ အိုအဲအမျိုးသားဥယျာဉ်များ၊ မယောဂိ - အရဖုနဲ - ဆခုခိုးဂန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=3 December 2013 |archive-date=21 April 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120421180819/http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |url-status=live }}</ref> ===အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများ=== ====မြို့များ==== {{See also|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များစာရင်း}} ဂွန်းမခရိုင်တွင် မြို့ ၁၂ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Annaka, Gunma.svg|25x25px]] [[Annaka, Gunma|Annaka]] |安中市 |276.31 |57,013 |[[File:Annaka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Fujioka, Gunma.svg|25x25px]] [[Fujioka, Gunma|Fujioka]] |藤岡市 |180.29 |64,539 |[[File:Fujioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Isesaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Isesaki, Gunma|Isesaki]] |伊勢崎市 |139.44 |213,303 |[[File:Isesaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kiryu, Gunma.svg|25x25px]] [[Kiryū, Gunma|Kiryū]] |桐生市 |274.45 |108,991 |[[File:Kiryu in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Maebashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Maebashi]] (capital) |前橋市 |311.59 |335,352 |[[File:Maebashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Midori, Gunma.svg|25x25px]] [[Midori, Gunma|Midori]] |みどり市 |208.42 |50,266 |[[File:Midori in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Numata, Gunma.svg|25x25px]] [[Numata, Gunma|Numata]] |沼田市 |443.46 |46,908 |[[File:Numata in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ota, Gunma.svg|25x25px]] [[Ōta, Gunma|Ōta]] |太田市 |175.54 |224,358 |[[File:Ota in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shibukawa, Gunma.svg|25x25px]] [[Shibukawa, Gunma|Shibukawa]] |渋川市 |240.27 |76,098 |[[File:Shibukawa in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takasaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Takasaki]] |高崎市 |459.16 |372,369 |[[File:Takasaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tatebayashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Tatebayashi, Gunma|Tatebayashi]] |館林市 |60.97 |74,027 |[[File:Tatebayashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tomioka Gunma.svg|25x25px]] [[Tomioka, Gunma|Tomioka]] |富岡市 |122.85 |47,911 |[[File:Tomioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |} ====မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ==== ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါ မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Chiyoda Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Chiyoda, Gunma|Chiyoda]] |千代田町 |21.73 |11,221 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Chiyoda in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Higashiagatsuma, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiagatsuma, Gunma|Higashiagatsuma]] |東吾妻町 |253.91 |13,349 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Higashiagatsuma in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Itakura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Itakura, Gunma|Itakura]] |板倉町 |41.86 |14,323 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Itakura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanna Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanna, Gunma|Kanna]] |神流町 |114.6 |1,645 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Kanna in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanra Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanra, Gunma|Kanra]] |甘楽町 |58.61 |12,981 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Kanra in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Katashina Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Katashina, Gunma|Katashina]] |片品村 |391.76 |4,314 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Katashina in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kawaba Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kawaba, Gunma|Kawaba]] |川場村 |85.25 |3,241 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Kawaba in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kusatsu Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kusatsu, Gunma|Kusatsu]] |草津町 |49.75 |6,255 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Kusatsu in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Meiwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Meiwa, Gunma|Meiwa]] |明和町 |19.64 |11,154 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Meiwa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Minakami, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Minakami, Gunma|Minakami]] |みなかみ町 |781.08 |18,383 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Minakami in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Naganohara, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Naganohara]] |長野原町 |133.85 |5,495 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Naganohara in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nakanojo, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nakanojō, Gunma|Nakanojō]] |中之条町 |439.28 |15,571 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Nakanojo in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nanmoku Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nanmoku, Gunma|Nanmoku]] |南牧村 |118.83 |1,354 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Nanmoku in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Oizumi Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōizumi, Gunma|Ōizumi]] |大泉町 |18.03 |41,918 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Oizumi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ora, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōra, Gunma|Ōra]] |邑楽町 |31.11 |26,267 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Ora in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shimonita, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shimonita, Gunma|Shimonita]] |下仁田町 |188.38 |7,058 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Shimonita in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shinto, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shintō, Gunma|Shintō]] |榛東村 |27.92 |14,653 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Shinto in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shōwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shōwa, Gunma|Shōwa]] |昭和村 |64.14 |7,228 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Showa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takayama, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Takayama, Gunma|Takayama]] |高山村 |64.18 |6,889 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Takayama in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tamamura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tamamura]] |玉村町 |25.78 |36,367 |[[Sawa District, Gunma|Sawa District]] |[[File:Tamamura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tsumagoi, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tsumagoi]] |嬬恋村 |337.58 |9,546 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Tsumagoi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ueno, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ueno, Gunma|Ueno]] |上野村 |181.85 |1,149 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Ueno in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Yoshioka, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshioka, Gunma|Yoshioka]] |吉岡町 |20.46 |21,749 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Yoshioka in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |} {{Clear}} <gallery mode="packed"> File:View from Gunma Prefectural Government Building east.jpg|Maebashi File:Karasu River and Usui River survey.jpg|Takasaki File:View from Ota city office south.jpg|Ōta File:桐生市街地と茶臼山丘陵.jpg|Kiryū </gallery> <!-- ǂ Scheduled to be dissolved following mergers. --> ==== ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ==== {{main|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==လူဦးရေဆိုင်ရာ== [[File:Gunma prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ဂွန်းမခရိုင်၏ လူဦးရေပိရမစ် (၂၀၂၀ ခုနှစ်)]] {{historical populations|align=none|cols=2| 1=1920|2=1,052,610|3=1925|4=1,118,858|5=1930|6=1,186,080|7=1935|8=1,242,453|9=1940|10=1,299,027|11=1945|12=1,546,081|13=1950|14=1,601,380|15=1955|16=1,613,549|17=1960|18=1,578,476|19=1965|20=1,605,584|21=1970|22=1,658,909|23=1975|24=1,756,480|25=1980|26=1,848,562|27=1985|28=1,921,259|29=1990|30=1,966,265|31=1995|32=2,003,540|33=2000|34=2,024,852|35=2005|36=2,023,996|37=2010|38=2,008,068|39=2015|40=1,973,115|41=2020|42=1,939,110|percentages=pagr|source=Censuses<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.go.jp/english/index.html|title=Statistics Bureau Home Page|website=www.stat.go.jp}}</ref>}} ==စီးပွားရေး== ဂွန်းမခရိုင်၏ ခေတ်သစ်စက်မှုလုပ်ငန်းတွင် ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေးသုံးပစ္စည်းများနှင့် လျှပ်စစ်ပစ္စည်းများ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို တိုကျိုမြို့နှင့်အနီးဆုံး ခရိုင်အရှေ့ပိုင်းဒေသနှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ သမားရိုးကျထုတ်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပိုးထည်လုပ်ငန်းနှင့် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ ပါဝင်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်၏ အဓိကစိုက်ပျိုးရေးသီးနှံများတွင် ဂေါ်ဖီထုပ်နှင့် ခွန်းနယခု (Konnyaku) တို့ ပါဝင်သည်။ ဆွတ်မဂိုအိရွာရှိ စိုက်ခင်းများ၏ သုံးပုံနှစ်ပုံသည် ဂေါ်ဖီထုပ်စိုက်ခင်းများ ဖြစ်သည်။ အိုးတမြို့သည် ကားစက်ရုံများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ လူသိများသည့် ကားစက်ရုံမှာ ဆုဘရုစက်ရုံ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |title=こんにゃくをめぐる事情 |url=https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |website=農林水産省の公式HP |publisher=Ministry of Agriculture, Forestry and Fisheries |access-date=8 June 2022 |archive-date=27 December 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211227045611/https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |url-status=dead }}</ref> ==ယဉ်ကျေးမှု== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ဒေသယိကစကားကိုသုံးနှုန်းကြသည်။ ၎င်းကို ဂျပန်ဘာသာစကားတွင် "ဂွန်းမဘန်း" သို့မဟုတ် "ဂျောရှူးဘန်း" ဟု ခေါ်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရိုးရာကတ်ကစားနည်းဖြစ်သည့် ဂျောမိုးခရုတ (上毛かるた) လည်း ရှိသည်။ ===ထင်ရှားသည့် စားစရာများ=== ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ သစ်တောနှင့် ငါးလုပ်ငန်းဝန်ကြီးဌာနသည် ဂျပန်နိုင်ငံတစ်ဝှမ်းရှိ အကောင်းဆုံး စားစရာ ၁၀၀ ပါဝင်သည့် ပွဲတော်တစ်ခုကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုအထဲမှ သုံးမျိုးသည် ဂွန်းခရိုင်၏ စားစရာများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ယခိမန်းဂျူး၊ အော့ခိရိခိုမိနှင့် ခွန်းနယခုတို့ ဖြစ်သည်။ ===သံစဉ်ကားလမ်းများ=== ၂၀၁၈ ခုနှစ်အချက်အရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သံစဉ်ကားလမ်း ၃၀ ကျော်အနက် ၁၁ ခုသည် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရှိသည်။ သံစဉ်ကားလမ်းများသည် လမ်းမျက်နှာပြင်ရှိ မြောင်းများမှ တုန်ခါမှုများသည် ကားဘီးမှတဆင့် ကားကိုယ်ထည်သို့ ဝင်ရောက်သည့်အတွက် ကြားရသည့် သံစဉ်များ ဖြစ်သည်။ ထိုလမ်းများကို ခတရှိနမြို့၊ မိနခမိမြို့၊ တခယမမြို့၊ ခန်းနမြို့၊ အုအဲနိုမြို့၊ ခုဆဆွတ်မြို့၊ ဆွတ်မဂိုအိမြို့၊ နခနိုဂျောမြို့၊ တခဆခိမြို့၊ မိဒိုရိမြို့နှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် တွေ့ရသည်။ ထိုလမ်းများသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အလျားနှင့် သံစဉ်ပုံစံကွာခြားမှု ရှိကြသည်။ ==ပညာရေး== ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== ==ပြင်ပလင့်များ== {{Wikivoyage|Gunma}} {{Commons category|Gunma prefecture}} *[http://www.pref.gunma.jp/ Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|ja}} *[http://www.pref.gunma.jp/foreign/foreign_English.html Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|en}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်များ]] f8tfkl3iwc5f7wgwz63eckkx1sys5q2 1048767 1048766 2026-08-15T05:27:06Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပညာရေး */ 1048767 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ဂွန်းမခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|群馬県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|群馬県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Gunma-ken}} | image_skyline = {{multiple image | border = infobox | perrow = 1/2/2/2/1 | total_width = 260 | align = center | caption_align = center | image1 = Tanigawadake Ropeway.jpg | caption1 = [[Mount Tanigawa]] and [[Tanigawadake Ropeway|its cable car line]] | image2 = 如月の榛名.jpg | caption2 = [[Mount Haruna|Winter view of Mount Haruna and Lake]] | image3 = Oze National Park (84225329).jpeg | caption3 = [[Oze National Park]] | image4 = Tsumagoi Cabbage&Asamayama.JPG | caption4 = [[Tsumagoi, Gunma|A highland cabbage field in Tsumagoi]] and [[Mount Asama]] | image5 = Tomioka Silk Mill West Building.JPG | caption5 = A heritage site of Tomioka Silk Mill | image6 = Daruma dolls at Daruma-ji (Takasaki) 2010-04-01 01.jpg | caption6 = Takasaki Daruma | image7 = 第一展望台からの浅間山と赤城山.jpg | caption7 = [[Mount Asama]] and [[Mount Akagi]] | image8 = 草津温泉の湯畑02.jpg | caption8 = [[Kusatsu Onsen|Kusatsu Spa]] }} | image_flag = Flag of Gunma Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Gunma Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map_of_Japan_with_highlight_on_10_Gunma_prefecture.svg | coordinates = {{Coord|36.39|N|139.06|E|scale:500000|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kantō region|Kantō]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Maebashi]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Takasaki]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 7 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Ichita Yamamoto]] | area_total_km2 = 6362.28 | area_water_percent = 0.2 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|21st]] | population_footnotes = | population_total = 1937626 | population_as_of = October 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|18th]] | population_density_km2 = auto | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Gunma dialect]] | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 9,762 billion<br />[[US$]] 72.1 billion (2022) | anthem = {{Interlanguage link|Gunma-ken no uta|ja|群馬県の歌}} | iso_code = JP-10 | website = {{URL|http://www.pref.gunma.jp/}} | module = {{Infobox place symbols |embedded = yes |country = Japan |bird = Copper pheasant (''[[Phasianus soemmerringii]]'') |fish = [[Sweetfish]] (''[[Plecoglossus altivelis]]'') |flower = Japanese azalea (''[[Rhododendron japonicum]]'') |tree = Japanese black pine (''[[Pinus thunbergii]]'') }} }} '''ဂွန်းမခရိုင်''' (群馬県, Gunma-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|language=ja}}</ref>) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ ခန်းတိုးဒေသရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Gumma-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 267|page=267}}; "Kantō" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 479|page=479}}.</ref> လူဦးရေ ၁,၉၃၇,၆၂၆ ဦး (၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁ ရက်နေ့အရ) ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၆၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၆ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် နီးဂတခရိုင်နှင့် ဖုခုရှိမခရိုင်၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် နဂနိုခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းတမခရိုင်၊ အရှေ့ဘက်တွင် တိုချိဂိခရိုင်တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ မအဲဘရှိမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော် ဖြစ်သည်။ တခဆခိမြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ အိုးတမြို့၊ အိဆဲဆခိမြို့နှင့် ခိရူးမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Maebashi" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 600|page=600}}.</ref> ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တည်နေရာအားဖြင့် ခန်းတိုးလွင်ပြင်၏ အနောက်မြောက်ဘက်ထောင့်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== [[File:Akagiyama ono.jpg|thumb|left|အိုနိုကန်၊ ဂျိဇိုးတောင်]] [[File:Mt.Nakanodake from Mt.Shibutsu 01.jpg|thumb|right|ရှိဘုဆွတ်တောင်မှ မြင်ရသည့် နခနိုဒခဲတောင်]] ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ကုန်းတွင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်သည် [[ခန်းတိုးလွင်ပြင်]]၏ အနောက်မြောက်ဘက်ဆုံးခရိုင် ဖြစ်သည်။ ခရိုင်၏ အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာများသည် တောင်ထူထပ်သည်။ ထို့အတွက် ထိုဒေသများမှလွဲ၍ ကျန်ဒေသများတွင် လူဦးရေသည် များပြားလျက်ရှိသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် [[နီးဂတခရိုင်]]နှင့် [[ဖုခုရှိမခရိုင်]]၊ အရှေ့ဘက်တွင် [[တိုချိဂိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[ဆိုင်းတမခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် အဓိကကျသည် တောင်အချို့မှာ [[အခဂိတောင်]]၊ [[ဟရုနတောင်]]၊ [[မယောဂိတောင်]]၊ [[နစ်ခိုးရှိရနဲတောင်]]နှင့် [[အဆမတောင်]]တို့ ဖြစ်သည်။ အဓိကမြစ်များမှာ [[တိုနဲမြစ်]]၊ [[အဂဆွတ်မမြစ်]]နှင့် [[ခရဆုမြစ်]]တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် ခရိုင်၏ ကုန်းမြေဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသား ဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့မှာ ဂျောရှင်းအဲဆွတ် - ခိုးဂန်း၊ နစ်ခိုး၊ အိုအဲအမျိုးသားဥယျာဉ်များ၊ မယောဂိ - အရဖုနဲ - ဆခုခိုးဂန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=3 December 2013 |archive-date=21 April 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120421180819/http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |url-status=live }}</ref> ===အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများ=== ====မြို့များ==== {{See also|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များစာရင်း}} ဂွန်းမခရိုင်တွင် မြို့ ၁၂ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Annaka, Gunma.svg|25x25px]] [[Annaka, Gunma|Annaka]] |安中市 |276.31 |57,013 |[[File:Annaka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Fujioka, Gunma.svg|25x25px]] [[Fujioka, Gunma|Fujioka]] |藤岡市 |180.29 |64,539 |[[File:Fujioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Isesaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Isesaki, Gunma|Isesaki]] |伊勢崎市 |139.44 |213,303 |[[File:Isesaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kiryu, Gunma.svg|25x25px]] [[Kiryū, Gunma|Kiryū]] |桐生市 |274.45 |108,991 |[[File:Kiryu in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Maebashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Maebashi]] (capital) |前橋市 |311.59 |335,352 |[[File:Maebashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Midori, Gunma.svg|25x25px]] [[Midori, Gunma|Midori]] |みどり市 |208.42 |50,266 |[[File:Midori in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Numata, Gunma.svg|25x25px]] [[Numata, Gunma|Numata]] |沼田市 |443.46 |46,908 |[[File:Numata in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ota, Gunma.svg|25x25px]] [[Ōta, Gunma|Ōta]] |太田市 |175.54 |224,358 |[[File:Ota in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shibukawa, Gunma.svg|25x25px]] [[Shibukawa, Gunma|Shibukawa]] |渋川市 |240.27 |76,098 |[[File:Shibukawa in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takasaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Takasaki]] |高崎市 |459.16 |372,369 |[[File:Takasaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tatebayashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Tatebayashi, Gunma|Tatebayashi]] |館林市 |60.97 |74,027 |[[File:Tatebayashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tomioka Gunma.svg|25x25px]] [[Tomioka, Gunma|Tomioka]] |富岡市 |122.85 |47,911 |[[File:Tomioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |} ====မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ==== ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါ မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Chiyoda Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Chiyoda, Gunma|Chiyoda]] |千代田町 |21.73 |11,221 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Chiyoda in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Higashiagatsuma, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiagatsuma, Gunma|Higashiagatsuma]] |東吾妻町 |253.91 |13,349 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Higashiagatsuma in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Itakura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Itakura, Gunma|Itakura]] |板倉町 |41.86 |14,323 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Itakura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanna Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanna, Gunma|Kanna]] |神流町 |114.6 |1,645 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Kanna in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanra Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanra, Gunma|Kanra]] |甘楽町 |58.61 |12,981 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Kanra in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Katashina Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Katashina, Gunma|Katashina]] |片品村 |391.76 |4,314 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Katashina in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kawaba Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kawaba, Gunma|Kawaba]] |川場村 |85.25 |3,241 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Kawaba in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kusatsu Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kusatsu, Gunma|Kusatsu]] |草津町 |49.75 |6,255 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Kusatsu in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Meiwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Meiwa, Gunma|Meiwa]] |明和町 |19.64 |11,154 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Meiwa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Minakami, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Minakami, Gunma|Minakami]] |みなかみ町 |781.08 |18,383 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Minakami in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Naganohara, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Naganohara]] |長野原町 |133.85 |5,495 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Naganohara in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nakanojo, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nakanojō, Gunma|Nakanojō]] |中之条町 |439.28 |15,571 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Nakanojo in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nanmoku Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nanmoku, Gunma|Nanmoku]] |南牧村 |118.83 |1,354 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Nanmoku in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Oizumi Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōizumi, Gunma|Ōizumi]] |大泉町 |18.03 |41,918 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Oizumi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ora, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōra, Gunma|Ōra]] |邑楽町 |31.11 |26,267 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Ora in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shimonita, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shimonita, Gunma|Shimonita]] |下仁田町 |188.38 |7,058 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Shimonita in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shinto, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shintō, Gunma|Shintō]] |榛東村 |27.92 |14,653 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Shinto in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shōwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shōwa, Gunma|Shōwa]] |昭和村 |64.14 |7,228 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Showa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takayama, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Takayama, Gunma|Takayama]] |高山村 |64.18 |6,889 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Takayama in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tamamura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tamamura]] |玉村町 |25.78 |36,367 |[[Sawa District, Gunma|Sawa District]] |[[File:Tamamura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tsumagoi, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tsumagoi]] |嬬恋村 |337.58 |9,546 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Tsumagoi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ueno, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ueno, Gunma|Ueno]] |上野村 |181.85 |1,149 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Ueno in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Yoshioka, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshioka, Gunma|Yoshioka]] |吉岡町 |20.46 |21,749 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Yoshioka in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |} {{Clear}} <gallery mode="packed"> File:View from Gunma Prefectural Government Building east.jpg|Maebashi File:Karasu River and Usui River survey.jpg|Takasaki File:View from Ota city office south.jpg|Ōta File:桐生市街地と茶臼山丘陵.jpg|Kiryū </gallery> <!-- ǂ Scheduled to be dissolved following mergers. --> ==== ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ==== {{main|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==လူဦးရေဆိုင်ရာ== [[File:Gunma prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ဂွန်းမခရိုင်၏ လူဦးရေပိရမစ် (၂၀၂၀ ခုနှစ်)]] {{historical populations|align=none|cols=2| 1=1920|2=1,052,610|3=1925|4=1,118,858|5=1930|6=1,186,080|7=1935|8=1,242,453|9=1940|10=1,299,027|11=1945|12=1,546,081|13=1950|14=1,601,380|15=1955|16=1,613,549|17=1960|18=1,578,476|19=1965|20=1,605,584|21=1970|22=1,658,909|23=1975|24=1,756,480|25=1980|26=1,848,562|27=1985|28=1,921,259|29=1990|30=1,966,265|31=1995|32=2,003,540|33=2000|34=2,024,852|35=2005|36=2,023,996|37=2010|38=2,008,068|39=2015|40=1,973,115|41=2020|42=1,939,110|percentages=pagr|source=Censuses<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.go.jp/english/index.html|title=Statistics Bureau Home Page|website=www.stat.go.jp}}</ref>}} ==စီးပွားရေး== ဂွန်းမခရိုင်၏ ခေတ်သစ်စက်မှုလုပ်ငန်းတွင် ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေးသုံးပစ္စည်းများနှင့် လျှပ်စစ်ပစ္စည်းများ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို တိုကျိုမြို့နှင့်အနီးဆုံး ခရိုင်အရှေ့ပိုင်းဒေသနှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ သမားရိုးကျထုတ်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပိုးထည်လုပ်ငန်းနှင့် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ ပါဝင်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်၏ အဓိကစိုက်ပျိုးရေးသီးနှံများတွင် ဂေါ်ဖီထုပ်နှင့် ခွန်းနယခု (Konnyaku) တို့ ပါဝင်သည်။ ဆွတ်မဂိုအိရွာရှိ စိုက်ခင်းများ၏ သုံးပုံနှစ်ပုံသည် ဂေါ်ဖီထုပ်စိုက်ခင်းများ ဖြစ်သည်။ အိုးတမြို့သည် ကားစက်ရုံများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ လူသိများသည့် ကားစက်ရုံမှာ ဆုဘရုစက်ရုံ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |title=こんにゃくをめぐる事情 |url=https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |website=農林水産省の公式HP |publisher=Ministry of Agriculture, Forestry and Fisheries |access-date=8 June 2022 |archive-date=27 December 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211227045611/https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |url-status=dead }}</ref> ==ယဉ်ကျေးမှု== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ဒေသယိကစကားကိုသုံးနှုန်းကြသည်။ ၎င်းကို ဂျပန်ဘာသာစကားတွင် "ဂွန်းမဘန်း" သို့မဟုတ် "ဂျောရှူးဘန်း" ဟု ခေါ်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရိုးရာကတ်ကစားနည်းဖြစ်သည့် ဂျောမိုးခရုတ (上毛かるた) လည်း ရှိသည်။ ===ထင်ရှားသည့် စားစရာများ=== ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ သစ်တောနှင့် ငါးလုပ်ငန်းဝန်ကြီးဌာနသည် ဂျပန်နိုင်ငံတစ်ဝှမ်းရှိ အကောင်းဆုံး စားစရာ ၁၀၀ ပါဝင်သည့် ပွဲတော်တစ်ခုကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုအထဲမှ သုံးမျိုးသည် ဂွန်းခရိုင်၏ စားစရာများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ယခိမန်းဂျူး၊ အော့ခိရိခိုမိနှင့် ခွန်းနယခုတို့ ဖြစ်သည်။ ===သံစဉ်ကားလမ်းများ=== ၂၀၁၈ ခုနှစ်အချက်အရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သံစဉ်ကားလမ်း ၃၀ ကျော်အနက် ၁၁ ခုသည် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရှိသည်။ သံစဉ်ကားလမ်းများသည် လမ်းမျက်နှာပြင်ရှိ မြောင်းများမှ တုန်ခါမှုများသည် ကားဘီးမှတဆင့် ကားကိုယ်ထည်သို့ ဝင်ရောက်သည့်အတွက် ကြားရသည့် သံစဉ်များ ဖြစ်သည်။ ထိုလမ်းများကို ခတရှိနမြို့၊ မိနခမိမြို့၊ တခယမမြို့၊ ခန်းနမြို့၊ အုအဲနိုမြို့၊ ခုဆဆွတ်မြို့၊ ဆွတ်မဂိုအိမြို့၊ နခနိုဂျောမြို့၊ တခဆခိမြို့၊ မိဒိုရိမြို့နှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် တွေ့ရသည်။ ထိုလမ်းများသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အလျားနှင့် သံစဉ်ပုံစံကွာခြားမှု ရှိကြသည်။ ==ပညာရေး== === တက္ကသိုလ်များ === *အိဆဲဆခိမြို့ **[[Jobu University]] – Isesaki Campus **[[Tokyo University of Social Welfare]] – Isesaki Campus *မအဲဘရှိမြို့ **[[Gunma University]] **[[Maebashi Institute of Technology]] *မိဒိုရိမြို့ **[[Kiryu University]] *အိုးတမြို့ **[[Kanto Gakuen University]] *တခဆခိမြို့ **[[Gunma Paz College]] **Jobu University -Takasaki Campus **[[Takasaki City University of Economics]] **[[Takasaki University of Commerce]] **[[Takasaki University of Health and Welfare]] *တမမုရမြို့ **[[Gunma Prefectural Women's University]] ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== ==ပြင်ပလင့်များ== {{Wikivoyage|Gunma}} {{Commons category|Gunma prefecture}} *[http://www.pref.gunma.jp/ Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|ja}} *[http://www.pref.gunma.jp/foreign/foreign_English.html Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|en}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်များ]] awb0myzgzgk1tl6ptofh1vh4yp18lta 1048768 1048767 2026-08-15T05:29:42Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ခရီးသွားလုပ်ငန်း */ 1048768 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ဂွန်းမခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|群馬県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|群馬県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Gunma-ken}} | image_skyline = {{multiple image | border = infobox | perrow = 1/2/2/2/1 | total_width = 260 | align = center | caption_align = center | image1 = Tanigawadake Ropeway.jpg | caption1 = [[Mount Tanigawa]] and [[Tanigawadake Ropeway|its cable car line]] | image2 = 如月の榛名.jpg | caption2 = [[Mount Haruna|Winter view of Mount Haruna and Lake]] | image3 = Oze National Park (84225329).jpeg | caption3 = [[Oze National Park]] | image4 = Tsumagoi Cabbage&Asamayama.JPG | caption4 = [[Tsumagoi, Gunma|A highland cabbage field in Tsumagoi]] and [[Mount Asama]] | image5 = Tomioka Silk Mill West Building.JPG | caption5 = A heritage site of Tomioka Silk Mill | image6 = Daruma dolls at Daruma-ji (Takasaki) 2010-04-01 01.jpg | caption6 = Takasaki Daruma | image7 = 第一展望台からの浅間山と赤城山.jpg | caption7 = [[Mount Asama]] and [[Mount Akagi]] | image8 = 草津温泉の湯畑02.jpg | caption8 = [[Kusatsu Onsen|Kusatsu Spa]] }} | image_flag = Flag of Gunma Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Gunma Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map_of_Japan_with_highlight_on_10_Gunma_prefecture.svg | coordinates = {{Coord|36.39|N|139.06|E|scale:500000|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kantō region|Kantō]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Maebashi]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Takasaki]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 7 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Ichita Yamamoto]] | area_total_km2 = 6362.28 | area_water_percent = 0.2 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|21st]] | population_footnotes = | population_total = 1937626 | population_as_of = October 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|18th]] | population_density_km2 = auto | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Gunma dialect]] | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 9,762 billion<br />[[US$]] 72.1 billion (2022) | anthem = {{Interlanguage link|Gunma-ken no uta|ja|群馬県の歌}} | iso_code = JP-10 | website = {{URL|http://www.pref.gunma.jp/}} | module = {{Infobox place symbols |embedded = yes |country = Japan |bird = Copper pheasant (''[[Phasianus soemmerringii]]'') |fish = [[Sweetfish]] (''[[Plecoglossus altivelis]]'') |flower = Japanese azalea (''[[Rhododendron japonicum]]'') |tree = Japanese black pine (''[[Pinus thunbergii]]'') }} }} '''ဂွန်းမခရိုင်''' (群馬県, Gunma-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|language=ja}}</ref>) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ ခန်းတိုးဒေသရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Gumma-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 267|page=267}}; "Kantō" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 479|page=479}}.</ref> လူဦးရေ ၁,၉၃၇,၆၂၆ ဦး (၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁ ရက်နေ့အရ) ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၆၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၆ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် နီးဂတခရိုင်နှင့် ဖုခုရှိမခရိုင်၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် နဂနိုခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းတမခရိုင်၊ အရှေ့ဘက်တွင် တိုချိဂိခရိုင်တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ မအဲဘရှိမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော် ဖြစ်သည်။ တခဆခိမြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ အိုးတမြို့၊ အိဆဲဆခိမြို့နှင့် ခိရူးမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Maebashi" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 600|page=600}}.</ref> ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တည်နေရာအားဖြင့် ခန်းတိုးလွင်ပြင်၏ အနောက်မြောက်ဘက်ထောင့်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== [[File:Akagiyama ono.jpg|thumb|left|အိုနိုကန်၊ ဂျိဇိုးတောင်]] [[File:Mt.Nakanodake from Mt.Shibutsu 01.jpg|thumb|right|ရှိဘုဆွတ်တောင်မှ မြင်ရသည့် နခနိုဒခဲတောင်]] ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ကုန်းတွင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်သည် [[ခန်းတိုးလွင်ပြင်]]၏ အနောက်မြောက်ဘက်ဆုံးခရိုင် ဖြစ်သည်။ ခရိုင်၏ အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာများသည် တောင်ထူထပ်သည်။ ထို့အတွက် ထိုဒေသများမှလွဲ၍ ကျန်ဒေသများတွင် လူဦးရေသည် များပြားလျက်ရှိသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် [[နီးဂတခရိုင်]]နှင့် [[ဖုခုရှိမခရိုင်]]၊ အရှေ့ဘက်တွင် [[တိုချိဂိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[ဆိုင်းတမခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် အဓိကကျသည် တောင်အချို့မှာ [[အခဂိတောင်]]၊ [[ဟရုနတောင်]]၊ [[မယောဂိတောင်]]၊ [[နစ်ခိုးရှိရနဲတောင်]]နှင့် [[အဆမတောင်]]တို့ ဖြစ်သည်။ အဓိကမြစ်များမှာ [[တိုနဲမြစ်]]၊ [[အဂဆွတ်မမြစ်]]နှင့် [[ခရဆုမြစ်]]တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် ခရိုင်၏ ကုန်းမြေဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသား ဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့မှာ ဂျောရှင်းအဲဆွတ် - ခိုးဂန်း၊ နစ်ခိုး၊ အိုအဲအမျိုးသားဥယျာဉ်များ၊ မယောဂိ - အရဖုနဲ - ဆခုခိုးဂန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=3 December 2013 |archive-date=21 April 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120421180819/http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |url-status=live }}</ref> ===အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများ=== ====မြို့များ==== {{See also|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များစာရင်း}} ဂွန်းမခရိုင်တွင် မြို့ ၁၂ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Annaka, Gunma.svg|25x25px]] [[Annaka, Gunma|Annaka]] |安中市 |276.31 |57,013 |[[File:Annaka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Fujioka, Gunma.svg|25x25px]] [[Fujioka, Gunma|Fujioka]] |藤岡市 |180.29 |64,539 |[[File:Fujioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Isesaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Isesaki, Gunma|Isesaki]] |伊勢崎市 |139.44 |213,303 |[[File:Isesaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kiryu, Gunma.svg|25x25px]] [[Kiryū, Gunma|Kiryū]] |桐生市 |274.45 |108,991 |[[File:Kiryu in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Maebashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Maebashi]] (capital) |前橋市 |311.59 |335,352 |[[File:Maebashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Midori, Gunma.svg|25x25px]] [[Midori, Gunma|Midori]] |みどり市 |208.42 |50,266 |[[File:Midori in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Numata, Gunma.svg|25x25px]] [[Numata, Gunma|Numata]] |沼田市 |443.46 |46,908 |[[File:Numata in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ota, Gunma.svg|25x25px]] [[Ōta, Gunma|Ōta]] |太田市 |175.54 |224,358 |[[File:Ota in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shibukawa, Gunma.svg|25x25px]] [[Shibukawa, Gunma|Shibukawa]] |渋川市 |240.27 |76,098 |[[File:Shibukawa in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takasaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Takasaki]] |高崎市 |459.16 |372,369 |[[File:Takasaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tatebayashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Tatebayashi, Gunma|Tatebayashi]] |館林市 |60.97 |74,027 |[[File:Tatebayashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tomioka Gunma.svg|25x25px]] [[Tomioka, Gunma|Tomioka]] |富岡市 |122.85 |47,911 |[[File:Tomioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |} ====မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ==== ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါ မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Chiyoda Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Chiyoda, Gunma|Chiyoda]] |千代田町 |21.73 |11,221 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Chiyoda in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Higashiagatsuma, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiagatsuma, Gunma|Higashiagatsuma]] |東吾妻町 |253.91 |13,349 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Higashiagatsuma in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Itakura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Itakura, Gunma|Itakura]] |板倉町 |41.86 |14,323 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Itakura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanna Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanna, Gunma|Kanna]] |神流町 |114.6 |1,645 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Kanna in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanra Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanra, Gunma|Kanra]] |甘楽町 |58.61 |12,981 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Kanra in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Katashina Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Katashina, Gunma|Katashina]] |片品村 |391.76 |4,314 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Katashina in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kawaba Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kawaba, Gunma|Kawaba]] |川場村 |85.25 |3,241 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Kawaba in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kusatsu Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kusatsu, Gunma|Kusatsu]] |草津町 |49.75 |6,255 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Kusatsu in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Meiwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Meiwa, Gunma|Meiwa]] |明和町 |19.64 |11,154 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Meiwa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Minakami, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Minakami, Gunma|Minakami]] |みなかみ町 |781.08 |18,383 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Minakami in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Naganohara, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Naganohara]] |長野原町 |133.85 |5,495 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Naganohara in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nakanojo, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nakanojō, Gunma|Nakanojō]] |中之条町 |439.28 |15,571 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Nakanojo in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nanmoku Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nanmoku, Gunma|Nanmoku]] |南牧村 |118.83 |1,354 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Nanmoku in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Oizumi Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōizumi, Gunma|Ōizumi]] |大泉町 |18.03 |41,918 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Oizumi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ora, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōra, Gunma|Ōra]] |邑楽町 |31.11 |26,267 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Ora in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shimonita, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shimonita, Gunma|Shimonita]] |下仁田町 |188.38 |7,058 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Shimonita in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shinto, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shintō, Gunma|Shintō]] |榛東村 |27.92 |14,653 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Shinto in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shōwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shōwa, Gunma|Shōwa]] |昭和村 |64.14 |7,228 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Showa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takayama, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Takayama, Gunma|Takayama]] |高山村 |64.18 |6,889 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Takayama in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tamamura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tamamura]] |玉村町 |25.78 |36,367 |[[Sawa District, Gunma|Sawa District]] |[[File:Tamamura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tsumagoi, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tsumagoi]] |嬬恋村 |337.58 |9,546 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Tsumagoi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ueno, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ueno, Gunma|Ueno]] |上野村 |181.85 |1,149 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Ueno in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Yoshioka, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshioka, Gunma|Yoshioka]] |吉岡町 |20.46 |21,749 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Yoshioka in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |} {{Clear}} <gallery mode="packed"> File:View from Gunma Prefectural Government Building east.jpg|Maebashi File:Karasu River and Usui River survey.jpg|Takasaki File:View from Ota city office south.jpg|Ōta File:桐生市街地と茶臼山丘陵.jpg|Kiryū </gallery> <!-- ǂ Scheduled to be dissolved following mergers. --> ==== ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ==== {{main|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==လူဦးရေဆိုင်ရာ== [[File:Gunma prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ဂွန်းမခရိုင်၏ လူဦးရေပိရမစ် (၂၀၂၀ ခုနှစ်)]] {{historical populations|align=none|cols=2| 1=1920|2=1,052,610|3=1925|4=1,118,858|5=1930|6=1,186,080|7=1935|8=1,242,453|9=1940|10=1,299,027|11=1945|12=1,546,081|13=1950|14=1,601,380|15=1955|16=1,613,549|17=1960|18=1,578,476|19=1965|20=1,605,584|21=1970|22=1,658,909|23=1975|24=1,756,480|25=1980|26=1,848,562|27=1985|28=1,921,259|29=1990|30=1,966,265|31=1995|32=2,003,540|33=2000|34=2,024,852|35=2005|36=2,023,996|37=2010|38=2,008,068|39=2015|40=1,973,115|41=2020|42=1,939,110|percentages=pagr|source=Censuses<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.go.jp/english/index.html|title=Statistics Bureau Home Page|website=www.stat.go.jp}}</ref>}} ==စီးပွားရေး== ဂွန်းမခရိုင်၏ ခေတ်သစ်စက်မှုလုပ်ငန်းတွင် ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေးသုံးပစ္စည်းများနှင့် လျှပ်စစ်ပစ္စည်းများ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို တိုကျိုမြို့နှင့်အနီးဆုံး ခရိုင်အရှေ့ပိုင်းဒေသနှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ သမားရိုးကျထုတ်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပိုးထည်လုပ်ငန်းနှင့် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ ပါဝင်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်၏ အဓိကစိုက်ပျိုးရေးသီးနှံများတွင် ဂေါ်ဖီထုပ်နှင့် ခွန်းနယခု (Konnyaku) တို့ ပါဝင်သည်။ ဆွတ်မဂိုအိရွာရှိ စိုက်ခင်းများ၏ သုံးပုံနှစ်ပုံသည် ဂေါ်ဖီထုပ်စိုက်ခင်းများ ဖြစ်သည်။ အိုးတမြို့သည် ကားစက်ရုံများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ လူသိများသည့် ကားစက်ရုံမှာ ဆုဘရုစက်ရုံ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |title=こんにゃくをめぐる事情 |url=https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |website=農林水産省の公式HP |publisher=Ministry of Agriculture, Forestry and Fisheries |access-date=8 June 2022 |archive-date=27 December 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211227045611/https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |url-status=dead }}</ref> ==ယဉ်ကျေးမှု== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ဒေသယိကစကားကိုသုံးနှုန်းကြသည်။ ၎င်းကို ဂျပန်ဘာသာစကားတွင် "ဂွန်းမဘန်း" သို့မဟုတ် "ဂျောရှူးဘန်း" ဟု ခေါ်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရိုးရာကတ်ကစားနည်းဖြစ်သည့် ဂျောမိုးခရုတ (上毛かるた) လည်း ရှိသည်။ ===ထင်ရှားသည့် စားစရာများ=== ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ သစ်တောနှင့် ငါးလုပ်ငန်းဝန်ကြီးဌာနသည် ဂျပန်နိုင်ငံတစ်ဝှမ်းရှိ အကောင်းဆုံး စားစရာ ၁၀၀ ပါဝင်သည့် ပွဲတော်တစ်ခုကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုအထဲမှ သုံးမျိုးသည် ဂွန်းခရိုင်၏ စားစရာများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ယခိမန်းဂျူး၊ အော့ခိရိခိုမိနှင့် ခွန်းနယခုတို့ ဖြစ်သည်။ ===သံစဉ်ကားလမ်းများ=== ၂၀၁၈ ခုနှစ်အချက်အရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သံစဉ်ကားလမ်း ၃၀ ကျော်အနက် ၁၁ ခုသည် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရှိသည်။ သံစဉ်ကားလမ်းများသည် လမ်းမျက်နှာပြင်ရှိ မြောင်းများမှ တုန်ခါမှုများသည် ကားဘီးမှတဆင့် ကားကိုယ်ထည်သို့ ဝင်ရောက်သည့်အတွက် ကြားရသည့် သံစဉ်များ ဖြစ်သည်။ ထိုလမ်းများကို ခတရှိနမြို့၊ မိနခမိမြို့၊ တခယမမြို့၊ ခန်းနမြို့၊ အုအဲနိုမြို့၊ ခုဆဆွတ်မြို့၊ ဆွတ်မဂိုအိမြို့၊ နခနိုဂျောမြို့၊ တခဆခိမြို့၊ မိဒိုရိမြို့နှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် တွေ့ရသည်။ ထိုလမ်းများသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အလျားနှင့် သံစဉ်ပုံစံကွာခြားမှု ရှိကြသည်။ ==ပညာရေး== === တက္ကသိုလ်များ === *အိဆဲဆခိမြို့ **[[Jobu University]] – Isesaki Campus **[[Tokyo University of Social Welfare]] – Isesaki Campus *မအဲဘရှိမြို့ **[[Gunma University]] **[[Maebashi Institute of Technology]] *မိဒိုရိမြို့ **[[Kiryu University]] *အိုးတမြို့ **[[Kanto Gakuen University]] *တခဆခိမြို့ **[[Gunma Paz College]] **Jobu University -Takasaki Campus **[[Takasaki City University of Economics]] **[[Takasaki University of Commerce]] **[[Takasaki University of Health and Welfare]] *တမမုရမြို့ **[[Gunma Prefectural Women's University]] ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရေပူစမ်းအပန်းဖြေစခန်းများစွာ ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် ခုဆဆွတ်အွန်းဆန်းသည် အထင်ရှားဆုံး ဖြစ်သည်။ နှင်းလျှောစီးအပန်းဖြေစခန်းသည်လည်း တောင်ထူထပ်သည့် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ထင်ရှားသည်။ အခြားသော ထင်ရှားသည့် နေရာများမှာ - *[[ဖုခိဝရဲရေတံခွန်]] *[[Hara Museum Arc]] *[[Ikaho Sistina Trick Art Museum]] *[[Kusatsu Alpine-Plant Museum]] *[[Kusatsu Hot-Spring Museum]] *[[Konnyaku Park]] *[[Lake Nozori]] *[[Mount Akagi]] *[[Mount Haruna]] *[[Mount Kusatsu-Shirane]] *[[Mount Myōgi]] *[[Mount Tanigawa]] *[[The Museum of Modern Art, Gunma]] * {{translit|ja|[[Sankenkyō]]}} *[[Shorinzan Daruma Temple]] <gallery> File:kiryu yagi bushi festival vehicle-free promenade 2.jpg|Kiryū Yagi-bushi Festival, held every year in early August. File:IMG E0946 富岡製糸場.jpg|A Tomioka Silk Mill, a World Heritage cultural property site. File:達磨寺 - panoramio (1).jpg| Daruma dolls at Shorinzan Daruma Temple in Takasaki File:毛無峠 Gunmmer empire border.jpg|Kenashi Pass on the border of Nagano Prefecture is famous on the internet </gallery> ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== ==ပြင်ပလင့်များ== {{Wikivoyage|Gunma}} {{Commons category|Gunma prefecture}} *[http://www.pref.gunma.jp/ Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|ja}} *[http://www.pref.gunma.jp/foreign/foreign_English.html Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|en}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်များ]] fe8330crfv53bqjdb3ht8xkdan9xka3 1048769 1048768 2026-08-15T05:30:41Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး */ 1048769 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ဂွန်းမခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|群馬県}}}} | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|群馬県}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Gunma-ken}} | image_skyline = {{multiple image | border = infobox | perrow = 1/2/2/2/1 | total_width = 260 | align = center | caption_align = center | image1 = Tanigawadake Ropeway.jpg | caption1 = [[Mount Tanigawa]] and [[Tanigawadake Ropeway|its cable car line]] | image2 = 如月の榛名.jpg | caption2 = [[Mount Haruna|Winter view of Mount Haruna and Lake]] | image3 = Oze National Park (84225329).jpeg | caption3 = [[Oze National Park]] | image4 = Tsumagoi Cabbage&Asamayama.JPG | caption4 = [[Tsumagoi, Gunma|A highland cabbage field in Tsumagoi]] and [[Mount Asama]] | image5 = Tomioka Silk Mill West Building.JPG | caption5 = A heritage site of Tomioka Silk Mill | image6 = Daruma dolls at Daruma-ji (Takasaki) 2010-04-01 01.jpg | caption6 = Takasaki Daruma | image7 = 第一展望台からの浅間山と赤城山.jpg | caption7 = [[Mount Asama]] and [[Mount Akagi]] | image8 = 草津温泉の湯畑02.jpg | caption8 = [[Kusatsu Onsen|Kusatsu Spa]] }} | image_flag = Flag of Gunma Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Gunma Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_map = Map_of_Japan_with_highlight_on_10_Gunma_prefecture.svg | coordinates = {{Coord|36.39|N|139.06|E|scale:500000|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = {{flag|Japan}} | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Kantō region|Kantō]] | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Maebashi]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Takasaki]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 7 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Ichita Yamamoto]] | area_total_km2 = 6362.28 | area_water_percent = 0.2 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|21st]] | population_footnotes = | population_total = 1937626 | population_as_of = October 1, 2019 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|18th]] | population_density_km2 = auto | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Gunma dialect]] | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=2023-05-18 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 9,762 billion<br />[[US$]] 72.1 billion (2022) | anthem = {{Interlanguage link|Gunma-ken no uta|ja|群馬県の歌}} | iso_code = JP-10 | website = {{URL|http://www.pref.gunma.jp/}} | module = {{Infobox place symbols |embedded = yes |country = Japan |bird = Copper pheasant (''[[Phasianus soemmerringii]]'') |fish = [[Sweetfish]] (''[[Plecoglossus altivelis]]'') |flower = Japanese azalea (''[[Rhododendron japonicum]]'') |tree = Japanese black pine (''[[Pinus thunbergii]]'') }} }} '''ဂွန်းမခရိုင်''' (群馬県, Gunma-ken<ref>{{cite book|script-title=ja:NHK日本語発音アクセント新辞典|publisher=NHK Publishing|editor=NHK Broadcasting Culture Research Institute|date=24 May 2016|language=ja}}</ref>) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ဟွန်းရှူးကျွန်း၊ ခန်းတိုးဒေသရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Gumma-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 267|page=267}}; "Kantō" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 479|page=479}}.</ref> လူဦးရေ ၁,၉၃၇,၆၂၆ ဦး (၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁ ရက်နေ့အရ) ရှိသည်။ ဧရိယာ ၆,၃၆၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၂,၄၅၆ စတုရန်းမိုင်) ကျယ်ဝန်းသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် နီးဂတခရိုင်နှင့် ဖုခုရှိမခရိုင်၊ အနောက်တောင်ဘက်တွင် နဂနိုခရိုင်၊ တောင်ဘက်တွင် ဆိုင်းတမခရိုင်၊ အရှေ့ဘက်တွင် တိုချိဂိခရိုင်တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ မအဲဘရှိမြို့သည် ခရိုင်၏ မြို့တော် ဖြစ်သည်။ တခဆခိမြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ အိုးတမြို့၊ အိဆဲဆခိမြို့နှင့် ခိရူးမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Maebashi" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 600|page=600}}.</ref> ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကုန်းတွင်းပိုင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တည်နေရာအားဖြင့် ခန်းတိုးလွင်ပြင်၏ အနောက်မြောက်ဘက်ထောင့်တွင် တည်ရှိသည်။ ခရိုင်၏ ဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== [[File:Akagiyama ono.jpg|thumb|left|အိုနိုကန်၊ ဂျိဇိုးတောင်]] [[File:Mt.Nakanodake from Mt.Shibutsu 01.jpg|thumb|right|ရှိဘုဆွတ်တောင်မှ မြင်ရသည့် နခနိုဒခဲတောင်]] ဂွန်းမခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ကုန်းတွင်းခရိုင်ရှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခရိုင်သည် [[ခန်းတိုးလွင်ပြင်]]၏ အနောက်မြောက်ဘက်ဆုံးခရိုင် ဖြစ်သည်။ ခရိုင်၏ အလယ်ပိုင်းနှင့် အရှေ့တောင်ဘက်ပိုင်းဧရိယာများသည် တောင်ထူထပ်သည်။ ထို့အတွက် ထိုဒေသများမှလွဲ၍ ကျန်ဒေသများတွင် လူဦးရေသည် များပြားလျက်ရှိသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် မြောက်ဘက်တွင် [[နီးဂတခရိုင်]]နှင့် [[ဖုခုရှိမခရိုင်]]၊ အရှေ့ဘက်တွင် [[တိုချိဂိခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ တောင်ဘက်တွင် [[ဆိုင်းတမခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ဂွန်းမခရိုင်သည် အဓိကကျသည် တောင်အချို့မှာ [[အခဂိတောင်]]၊ [[ဟရုနတောင်]]၊ [[မယောဂိတောင်]]၊ [[နစ်ခိုးရှိရနဲတောင်]]နှင့် [[အဆမတောင်]]တို့ ဖြစ်သည်။ အဓိကမြစ်များမှာ [[တိုနဲမြစ်]]၊ [[အဂဆွတ်မမြစ်]]နှင့် [[ခရဆုမြစ်]]တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၁ ရက်နေ့တွင် ခရိုင်၏ ကုန်းမြေဧရိယာ ၁၄ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသား ဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့မှာ ဂျောရှင်းအဲဆွတ် - ခိုးဂန်း၊ နစ်ခိုး၊ အိုအဲအမျိုးသားဥယျာဉ်များ၊ မယောဂိ - အရဖုနဲ - ဆခုခိုးဂန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်တို့ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=3 December 2013 |archive-date=21 April 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120421180819/http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |url-status=live }}</ref> ===အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများ=== ====မြို့များ==== {{See also|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက် မြို့များစာရင်း}} ဂွန်းမခရိုင်တွင် မြို့ ၁၂ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Annaka, Gunma.svg|25x25px]] [[Annaka, Gunma|Annaka]] |安中市 |276.31 |57,013 |[[File:Annaka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Fujioka, Gunma.svg|25x25px]] [[Fujioka, Gunma|Fujioka]] |藤岡市 |180.29 |64,539 |[[File:Fujioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Isesaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Isesaki, Gunma|Isesaki]] |伊勢崎市 |139.44 |213,303 |[[File:Isesaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kiryu, Gunma.svg|25x25px]] [[Kiryū, Gunma|Kiryū]] |桐生市 |274.45 |108,991 |[[File:Kiryu in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Maebashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Maebashi]] (capital) |前橋市 |311.59 |335,352 |[[File:Maebashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Midori, Gunma.svg|25x25px]] [[Midori, Gunma|Midori]] |みどり市 |208.42 |50,266 |[[File:Midori in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Numata, Gunma.svg|25x25px]] [[Numata, Gunma|Numata]] |沼田市 |443.46 |46,908 |[[File:Numata in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ota, Gunma.svg|25x25px]] [[Ōta, Gunma|Ōta]] |太田市 |175.54 |224,358 |[[File:Ota in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shibukawa, Gunma.svg|25x25px]] [[Shibukawa, Gunma|Shibukawa]] |渋川市 |240.27 |76,098 |[[File:Shibukawa in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takasaki, Gunma.svg|25x25px]] [[Takasaki]] |高崎市 |459.16 |372,369 |[[File:Takasaki in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tatebayashi, Gunma.svg|25x25px]] [[Tatebayashi, Gunma|Tatebayashi]] |館林市 |60.97 |74,027 |[[File:Tatebayashi in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tomioka Gunma.svg|25x25px]] [[Tomioka, Gunma|Tomioka]] |富岡市 |122.85 |47,911 |[[File:Tomioka in Gunma Prefecture Ja.svg|52x52px]] |} ====မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ==== ခရိုင်အတွင်းရှိ ဒေသများတွင် အောက်ပါ မြို့ငယ်နှင့် ရွာများ တည်ရှိသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |အမည် ! rowspan="2" |ဧရိယာ (km²) ! rowspan="2" |လူဦးရေ ! rowspan="2" |ဒေသ ! rowspan="2" |မြေပုံ |- ![[ရိုမဂျိ]] ![[ခန်းဂျိ]] |- |[[File:Flag of Chiyoda Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Chiyoda, Gunma|Chiyoda]] |千代田町 |21.73 |11,221 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Chiyoda in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Higashiagatsuma, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiagatsuma, Gunma|Higashiagatsuma]] |東吾妻町 |253.91 |13,349 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Higashiagatsuma in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Itakura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Itakura, Gunma|Itakura]] |板倉町 |41.86 |14,323 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Itakura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanna Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanna, Gunma|Kanna]] |神流町 |114.6 |1,645 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Kanna in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kanra Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kanra, Gunma|Kanra]] |甘楽町 |58.61 |12,981 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Kanra in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Katashina Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Katashina, Gunma|Katashina]] |片品村 |391.76 |4,314 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Katashina in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kawaba Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kawaba, Gunma|Kawaba]] |川場村 |85.25 |3,241 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Kawaba in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Kusatsu Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Kusatsu, Gunma|Kusatsu]] |草津町 |49.75 |6,255 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Kusatsu in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Meiwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Meiwa, Gunma|Meiwa]] |明和町 |19.64 |11,154 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Meiwa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Minakami, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Minakami, Gunma|Minakami]] |みなかみ町 |781.08 |18,383 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Minakami in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Naganohara, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Naganohara]] |長野原町 |133.85 |5,495 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Naganohara in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nakanojo, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nakanojō, Gunma|Nakanojō]] |中之条町 |439.28 |15,571 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Nakanojo in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Nanmoku Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Nanmoku, Gunma|Nanmoku]] |南牧村 |118.83 |1,354 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Nanmoku in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Oizumi Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōizumi, Gunma|Ōizumi]] |大泉町 |18.03 |41,918 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Oizumi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ora, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ōra, Gunma|Ōra]] |邑楽町 |31.11 |26,267 |[[Ōra District, Gunma|Ōra District]] |[[File:Ora in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shimonita, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shimonita, Gunma|Shimonita]] |下仁田町 |188.38 |7,058 |[[Kanra District, Gunma|Kanra District]] |[[File:Shimonita in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shinto, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shintō, Gunma|Shintō]] |榛東村 |27.92 |14,653 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Shinto in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Shōwa, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Shōwa, Gunma|Shōwa]] |昭和村 |64.14 |7,228 |[[Tone District, Gunma|Tone District]] |[[File:Showa in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Takayama, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Takayama, Gunma|Takayama]] |高山村 |64.18 |6,889 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Takayama in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tamamura, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tamamura]] |玉村町 |25.78 |36,367 |[[Sawa District, Gunma|Sawa District]] |[[File:Tamamura in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Tsumagoi, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Tsumagoi]] |嬬恋村 |337.58 |9,546 |[[Agatsuma District, Gunma|Agatsuma District]] |[[File:Tsumagoi in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Ueno, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Ueno, Gunma|Ueno]] |上野村 |181.85 |1,149 |[[Tano District, Gunma|Tano District]] |[[File:Ueno in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |- |[[File:Flag of Yoshioka, Gunma.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshioka, Gunma|Yoshioka]] |吉岡町 |20.46 |21,749 |[[Kitagunma District, Gunma|Kitagunma District]] |[[File:Yoshioka in Gunma Prefecture Ja.svg|frameless|52x52px]] |} {{Clear}} <gallery mode="packed"> File:View from Gunma Prefectural Government Building east.jpg|Maebashi File:Karasu River and Usui River survey.jpg|Takasaki File:View from Ota city office south.jpg|Ōta File:桐生市街地と茶臼山丘陵.jpg|Kiryū </gallery> <!-- ǂ Scheduled to be dissolved following mergers. --> ==== ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ==== {{main|ဂွန်းမခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==လူဦးရေဆိုင်ရာ== [[File:Gunma prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ဂွန်းမခရိုင်၏ လူဦးရေပိရမစ် (၂၀၂၀ ခုနှစ်)]] {{historical populations|align=none|cols=2| 1=1920|2=1,052,610|3=1925|4=1,118,858|5=1930|6=1,186,080|7=1935|8=1,242,453|9=1940|10=1,299,027|11=1945|12=1,546,081|13=1950|14=1,601,380|15=1955|16=1,613,549|17=1960|18=1,578,476|19=1965|20=1,605,584|21=1970|22=1,658,909|23=1975|24=1,756,480|25=1980|26=1,848,562|27=1985|28=1,921,259|29=1990|30=1,966,265|31=1995|32=2,003,540|33=2000|34=2,024,852|35=2005|36=2,023,996|37=2010|38=2,008,068|39=2015|40=1,973,115|41=2020|42=1,939,110|percentages=pagr|source=Censuses<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.go.jp/english/index.html|title=Statistics Bureau Home Page|website=www.stat.go.jp}}</ref>}} ==စီးပွားရေး== ဂွန်းမခရိုင်၏ ခေတ်သစ်စက်မှုလုပ်ငန်းတွင် ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေးသုံးပစ္စည်းများနှင့် လျှပ်စစ်ပစ္စည်းများ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို တိုကျိုမြို့နှင့်အနီးဆုံး ခရိုင်အရှေ့ပိုင်းဒေသနှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ သမားရိုးကျထုတ်လုပ်ရေးလုပ်ငန်းများတွင် ပိုးထည်လုပ်ငန်းနှင့် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်းများ ပါဝင်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်၏ အဓိကစိုက်ပျိုးရေးသီးနှံများတွင် ဂေါ်ဖီထုပ်နှင့် ခွန်းနယခု (Konnyaku) တို့ ပါဝင်သည်။ ဆွတ်မဂိုအိရွာရှိ စိုက်ခင်းများ၏ သုံးပုံနှစ်ပုံသည် ဂေါ်ဖီထုပ်စိုက်ခင်းများ ဖြစ်သည်။ အိုးတမြို့သည် ကားစက်ရုံများ ရှိသည့်အတွက် ထင်ရှားသည်။ လူသိများသည့် ကားစက်ရုံမှာ ဆုဘရုစက်ရုံ ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |title=こんにゃくをめぐる事情 |url=https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |website=農林水産省の公式HP |publisher=Ministry of Agriculture, Forestry and Fisheries |access-date=8 June 2022 |archive-date=27 December 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211227045611/https://www.maff.go.jp/j/seisan/tokusan/attach/pdf/konnyaku-15.pdf |url-status=dead }}</ref> ==ယဉ်ကျေးမှု== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ဒေသယိကစကားကိုသုံးနှုန်းကြသည်။ ၎င်းကို ဂျပန်ဘာသာစကားတွင် "ဂွန်းမဘန်း" သို့မဟုတ် "ဂျောရှူးဘန်း" ဟု ခေါ်သည်။ ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရိုးရာကတ်ကစားနည်းဖြစ်သည့် ဂျောမိုးခရုတ (上毛かるた) လည်း ရှိသည်။ ===ထင်ရှားသည့် စားစရာများ=== ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် စိုက်ပျိုးရေး၊ သစ်တောနှင့် ငါးလုပ်ငန်းဝန်ကြီးဌာနသည် ဂျပန်နိုင်ငံတစ်ဝှမ်းရှိ အကောင်းဆုံး စားစရာ ၁၀၀ ပါဝင်သည့် ပွဲတော်တစ်ခုကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုအထဲမှ သုံးမျိုးသည် ဂွန်းခရိုင်၏ စားစရာများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ယခိမန်းဂျူး၊ အော့ခိရိခိုမိနှင့် ခွန်းနယခုတို့ ဖြစ်သည်။ ===သံစဉ်ကားလမ်းများ=== ၂၀၁၈ ခုနှစ်အချက်အရ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သံစဉ်ကားလမ်း ၃၀ ကျော်အနက် ၁၁ ခုသည် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရှိသည်။ သံစဉ်ကားလမ်းများသည် လမ်းမျက်နှာပြင်ရှိ မြောင်းများမှ တုန်ခါမှုများသည် ကားဘီးမှတဆင့် ကားကိုယ်ထည်သို့ ဝင်ရောက်သည့်အတွက် ကြားရသည့် သံစဉ်များ ဖြစ်သည်။ ထိုလမ်းများကို ခတရှိနမြို့၊ မိနခမိမြို့၊ တခယမမြို့၊ ခန်းနမြို့၊ အုအဲနိုမြို့၊ ခုဆဆွတ်မြို့၊ ဆွတ်မဂိုအိမြို့၊ နခနိုဂျောမြို့၊ တခဆခိမြို့၊ မိဒိုရိမြို့နှင့် မအဲဘရှိမြို့တို့တွင် တွေ့ရသည်။ ထိုလမ်းများသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အလျားနှင့် သံစဉ်ပုံစံကွာခြားမှု ရှိကြသည်။ ==ပညာရေး== === တက္ကသိုလ်များ === *အိဆဲဆခိမြို့ **[[Jobu University]] – Isesaki Campus **[[Tokyo University of Social Welfare]] – Isesaki Campus *မအဲဘရှိမြို့ **[[Gunma University]] **[[Maebashi Institute of Technology]] *မိဒိုရိမြို့ **[[Kiryu University]] *အိုးတမြို့ **[[Kanto Gakuen University]] *တခဆခိမြို့ **[[Gunma Paz College]] **Jobu University -Takasaki Campus **[[Takasaki City University of Economics]] **[[Takasaki University of Commerce]] **[[Takasaki University of Health and Welfare]] *တမမုရမြို့ **[[Gunma Prefectural Women's University]] ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== ဂွန်းမခရိုင်တွင် ရေပူစမ်းအပန်းဖြေစခန်းများစွာ ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် ခုဆဆွတ်အွန်းဆန်းသည် အထင်ရှားဆုံး ဖြစ်သည်။ နှင်းလျှောစီးအပန်းဖြေစခန်းသည်လည်း တောင်ထူထပ်သည့် ဂွန်းမခရိုင်တွင် ထင်ရှားသည်။ အခြားသော ထင်ရှားသည့် နေရာများမှာ - *[[ဖုခိဝရဲရေတံခွန်]] *[[Hara Museum Arc]] *[[Ikaho Sistina Trick Art Museum]] *[[Kusatsu Alpine-Plant Museum]] *[[Kusatsu Hot-Spring Museum]] *[[Konnyaku Park]] *[[Lake Nozori]] *[[Mount Akagi]] *[[Mount Haruna]] *[[Mount Kusatsu-Shirane]] *[[Mount Myōgi]] *[[Mount Tanigawa]] *[[The Museum of Modern Art, Gunma]] * {{translit|ja|[[Sankenkyō]]}} *[[Shorinzan Daruma Temple]] <gallery> File:kiryu yagi bushi festival vehicle-free promenade 2.jpg|Kiryū Yagi-bushi Festival, held every year in early August. File:IMG E0946 富岡製糸場.jpg|A Tomioka Silk Mill, a World Heritage cultural property site. File:達磨寺 - panoramio (1).jpg| Daruma dolls at Shorinzan Daruma Temple in Takasaki File:毛無峠 Gunmmer empire border.jpg|Kenashi Pass on the border of Nagano Prefecture is famous on the internet </gallery> ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== === ရထားလမ်း=== *[[Jomo Line|Jomo Electric Railway]] (Chuo Maebashi-Nishi Kiryu) *[[Joshin Dentetsu Joshin Line|Joshin Electric Railway]] (Takasaki-Shimonita) *[[JR East]] **[[Agatsuma Line]] **[[Hachiko Line]] (Kuragano-{{STN|Hachioji|x}}) **[[Hokuriku Shinkansen]] **[[Joetsu Line]] **[[Joetsu Shinkansen]] **[[Ryomo Line]] **[[Shinetsu Line]] (Takasaki-Yokokawa) **[[Takasaki Line]] *[[Tobu Railway]] **[[Tobu Isesaki Line|Isesaki Line]] **[[Tobu Kiryu Line|Kiryu Line]] **[[Tobu Nikko Line|Nikko Line]] ([[Itakura Tōyōdai-mae Station]]) **[[Tobu Sano Line|Sano Line]] *[[Watarase Keikoku Railway Watarase Keikoku Line]] ===ကားလမ်းများ=== ====အဝေးပြေးလမ်း==== *[[Jōshin-etsu Expressway]] *[[Kan-Etsu Expressway]] *[[Kita-Kantō Expressway]] ([[Takasaki]]-[[Hitachinaka]]) *[[Tōhoku Expressway]] ====နိုင်ငံအဆင့် အဝေးပြေးလမ်းများ==== *[[Japan National Route 17|National Route 17]] ([[Nihonbashi]] of Tokyo-[[Saitama, Saitama|Saitama]]-[[Kumagaya]]-Takasaki-Shibukawa-[[Ojiya, Niigata|Ojiya]]-[[Nagaoka, Niigata|Nagaoka]]) *[[Japan National Route 18|National Route 18]] (Takasaki-Annaka-[[Karuizawa]]-[[Komoro, Nagano|Komoro]]-[[Nagano, Nagano|Nagano]]-[[Myōkō, Niigata|Myoko]]-[[Joetsu, Niigata|Joetsu]]) *[[Japan National Route 50|National Route 50]] (Maebashi-Isesaki-[[Oyama, Tochigi|Oyama]]-[[Yūki, Ibaraki|Yuki]]-Mito) *[[Japan National Route 120|National Route 120]] *[[Japan National Route 122|National Route 122]] *[[Japan National Route 144|National Route 144]] *[[Japan National Route 145|National Route 145]] *[[Japan National Route 146|National Route 146]] *[[Japan National Route 254|National Route 254]] *[[Japan National Route 291|National Route 291]] *[[Japan National Route 292|National Route 292]] *[[Japan National Route 299|National Route 299]] *[[Japan National Route 353|National Route 353]] *[[Japan National Route 354|National Route 354]] *[[Japan National Route 405|National Route 405]] *[[Japan National Route 406|National Route 406]] *[[Japan National Route 407|National Route 407]] *[[Japan National Route 462|National Route 462]] ==ပြင်ပလင့်များ== {{Wikivoyage|Gunma}} {{Commons category|Gunma prefecture}} *[http://www.pref.gunma.jp/ Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|ja}} *[http://www.pref.gunma.jp/foreign/foreign_English.html Gunma Prefecture Official Website] {{in lang|en}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရိုင်များ]] 0h9onklmcul1wtgp5pr8ems427j50rs 0 290452 1048741 1048654 2026-08-15T01:51:38Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[တိုဘုရထားလမ်း]] စာမျက်နှာကို [[တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] သို့ ခင်မောင်မောင်လွင်က ရွှေ့ခဲ့သည် 1048654 wikitext text/x-wiki '''တိုဘုရထားလမ်း''' (ဂျပန်: 東武鉄道) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] [[ကန်တိုဒေသ]]တွင် ရထားလမ်းများကို လည်ပတ်စီမံခန့်ခွဲသည့် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အဓိကပုဂ္ဂလိကရထားလမ်းကုမ္ပဏီများထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အဓိကရုံးသည် [[တိုကျိုမြို့]]တွင် တည်ရှိသည်။ တိုဘုရထားလမ်းသည် [[တိုကျိုမြို့]]နှင့် [[ဆိုက်တမခရိုင်]]၊ [[ချိဘခရိုင်]]၊ [[တိုချိဂိခရိုင်]]နှင့် [[ဂွန်းမခရိုင်]]တို့အပါအဝင် ကန်တိုဒေသ၏ အခြားဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသော ရထားလမ်းကွန်ရက်ကို လည်ပတ်စီမံခန့်ခွဲသည်။ အဓိကလမ်းကြောင်းများတွင် [[တိုဘုအာဘန်းပတ်ခ်လိုင်း]]၊ [[တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်း]]နှင့် [[တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း]]တို့ ပါဝင်သည်။ တိုဘုရထားလမ်းသည် ခရီးသည်ရထားဝန်ဆောင်မှုများအပြင် ခရီးသွားလုပ်ငန်းနှင့် ဆက်စပ်သည့် လုပ်ငန်းများကိုလည်း ဆောင်ရွက်သည်။ အထူးသဖြင့် [[နိကိုးမြို့]]နှင့် [[အာဆူဆာ]]ဒေသများသို့ သွားရောက်နိုင်သည့် ရထားဝန်ဆောင်မှုများကြောင့် လူသိများသည်။ [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]] 4ngma60zurbgoevr92qsjkbw7g7b0kf 1048746 1048741 2026-08-15T01:52:56Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1048746 wikitext text/x-wiki '''တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ''' (ဂျပန်: 東武鉄道) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] [[ကန်တိုဒေသ]]တွင် ရထားလမ်းများကို လည်ပတ်စီမံခန့်ခွဲသည့် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အဓိကပုဂ္ဂလိကရထားလမ်းကုမ္ပဏီများထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကုမ္ပဏီ၏ အဓိကရုံးသည် [[တိုကျိုမြို့]]တွင် တည်ရှိသည်။ တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီသည် [[တိုကျိုမြို့]]နှင့် [[ဆိုက်တမခရိုင်]]၊ [[ချိဘခရိုင်]]၊ [[တိုချိဂိခရိုင်]]နှင့် [[ဂွန်းမခရိုင်]]တို့အပါအဝင် ကန်တိုဒေသ၏ အခြားဒေသများကို ဆက်သွယ်ပေးသော ရထားလမ်းကွန်ရက်ကို လည်ပတ်စီမံခန့်ခွဲသည်။ အဓိကလမ်းကြောင်းများတွင် [[တိုဘုအာဘန်းပတ်ခ်လိုင်း]]၊ [[တိုဘုစကိုင်းထရီလိုင်း]]နှင့် [[တိုဘုတိုဂျိုလိုင်း]]တို့ ပါဝင်သည်။ တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီသည် ခရီးသည်ရထားဝန်ဆောင်မှုများအပြင် ခရီးသွားလုပ်ငန်းနှင့် ဆက်စပ်သည့် လုပ်ငန်းများကိုလည်း ဆောင်ရွက်သည်။ အထူးသဖြင့် [[နိကိုးမြို့]]နှင့် [[အာဆူဆာ]]ဒေသများသို့ သွားရောက်နိုင်သည့် ရထားဝန်ဆောင်မှုများကြောင့် လူသိများသည်။ ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရထားပို့ဆောင်ရေး]] di1iqdh60892suamv39v4hysln66p4v 0 290489 1048781 1048711 2026-08-15T10:13:40Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ) #IABot (v2.0.9.5 1048781 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | honorific-prefix = ဒေါ် | name = သိင်္ဂီအောင် | native_name = | native_name_lang = | honorific-suffix = | image = Theingi Aung.jpg | image_size = | alt = | caption = | office = [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့]]<br> သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး | term_start = | term_end = | term_start = ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | term_end = |appointer= [[ဦးမင်းအောင်လှိုင်အစိုးရ|မင်းအောင်လှိုင်အစိုးရ]] | 1blankname = [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမ္မတ|သမ္မတ]] | 1namedata = [[မင်းအောင်လှိုင်]] | predecessor = | successor = | office1 = စဉ့်ကိုင်မြို့နယ် မဲဆန္ဒနယ်အမှတ် (၁) တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ် | term_start1 = ၂၀ မတ် ၂၀၂၆ | term_end1 = | constituency1 = [[စဉ့်ကိုင်မြို့နယ်]] <br> မဲဆန္ဒနယ် အမှတ် (၁) | majority1 = မဲ ၃၁၄၆၂ <br>{{small|(၃၉.၄၄ ရာခိုင်နှုန်း)}}<ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=21-1-2026_S_D_FPTP_Ethnic.pdf&type=page_multiple_photo&code=215&sno=6451&token=cf2ab48c9bee77eaf8a270c41f2ff2b46c05c12c2d1ad57c19c416ab212a74feb6176fa3c44a7dbd7912be7f5af588be1c434ae6175ff421c2e7add116e72c90|title=၂၀၂၅ ပါတီစုံဒီမိုကရေစီအထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ အပိုင်း(၂)တိုင်းဒေသကြီး(သို့)ပြည်နယ်လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်လောင်း တစ်ဦးချင်း ဆန္ဒမဲရရှိမှုအခြေအနေ|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆|date=၂၀၂၆}}{{Dead link|date=August 2026 }}</ref> | predecessor1 = အောင်နိုင်လင်း <br>{{small|([[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]])}} <br>{{small|([[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၅|၂၀၁၅ ရွေးကောက်ပွဲ]])}}<ref>{{cite web|url=https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=03S_D.pdf&type=page_multiple_photo&code=17&sno=5789&token=2a840d7fdcf49becf13ac7636e5a61b04ae3a7e87747ed76b8a4fd5c8a03777981c19159c7dfb39e409533df0604dd7e692b4b7221b4e6eeb98475b8e623d134|title=တိုင်းဒေသကြီး(သို့)ပြည်နယ်လွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်လောင်း တစ်ဦးချင်း ဆန္ဒမဲရရှိမှုအခြေအနေ([[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၁၅|၂၀၁၅ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]])|work=ပြည်ထောင်စုရွေးကောက်ပွဲကော်မရှင်|access-date=၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆|date=၂၀၁၅|archive-date=18 June 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220618232803/https://www.uec.gov.mm/show_data_content.php?name=03S_D.pdf&type=page_multiple_photo&code=17&sno=5789&token=2a840d7fdcf49becf13ac7636e5a61b04ae3a7e87747ed76b8a4fd5c8a03777981c19159c7dfb39e409533df0604dd7e692b4b7221b4e6eeb98475b8e623d134|url-status=dead}}</ref> | successor1 = | birth_name = | birth_date = {{birth date and age|1973|3|29}} | birth_place = [[မိတ္ထီလာမြို့]] | citizenship = မြန်မာ | nationality = [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ]] | party = [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]] | spouse = စန်းဝင်း | children = ၁ ဦး | parents = ဉာဏ်ဝင်း (ဖခင်)<br>လှမြိုင် (မိခင်) | residence = [[စဉ့်ကိုင်မြို့နယ်]] | alma_mater = B.Sc (Phys;) | occupation = နိုင်ငံရေးသမား }} '''ဒေါ်သိင်္ဂီအောင်''' (၂၉ မတ် ၁၉၇၃ မွေးဖွား) သည် အမျိုးသမီး နိုင်ငံရေးသမားတစ်ဦး ဖြစ်ပြီး လက်ရှိတွင် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့ သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေး ဝန်ကြီးအဖြစ် တာဝန်ထမ်းဆောင်လျက်ရှိသူ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[မြန်မာနိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈)|၂၀၀၈ အခြေခံဥပဒေ]] အတည်ပြုပြီးနောက် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည့် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့|မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး အစိုးရ]]အဖွဲ့ထဲတွင် ပထမဦးဆုံး ပါဝင်ခဲ့သည့် အမျိုးသမီး ဝန်ကြီး ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ ၂၀၂၅-၂၀၂၆]] တွင် [[စဉ့်ကိုင်မြို့နယ်]] မဲဆန္ဒနယ်အမှတ် (၁) မှ တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]]ကို ကိုယ်စားပြု၍ ရွေးချယ်ခံထားရသူဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးသယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီး ကျောက်ဆည်မြို့ရှိ ပျိုးဥယျာဉ်များကြည့်ရှုစစ်ဆေး {{!}} Information and Public Relations Department |url=http://www.moi.gov.mm/iprd/news/280066 |access-date=2026-08-14 |website=www.moi.gov.mm |language=en}}</ref> == ငယ်ဘဝနှင့် ပညာရေး == ဒေါ်သိင်္ဂီအောင်ကို ၁၉၇၃ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၂၉ ရက်နေ့တွင် [[မိတ္ထီလာမြို့]]၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။ ဖခင်မှာ ဦးဉာဏ်ဝင်းဖြစ်ပြီး မိခင်မှာ ဒေါ်လှမြိုင် ဖြစ်သည်။ ပညာအရည်အချင်းမှာ B.Sc (Physics) ဘွဲ့ ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=ဒေါ်သိင်္ဂီအောင် – မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် |url=https://mandalayregion.hluttaw.mm/?representative=%e1%80%92%e1%80%b1%e1%80%ab%e1%80%ba%e1%80%9e%e1%80%ad%e1%80%84%e1%80%ba%e1%80%b9%e1%80%82%e1%80%ae%e1%80%a1%e1%80%b1%e1%80%ac%e1%80%84%e1%80%ba |access-date=2026-08-14 |language=en-US}}</ref> == နိုင်ငံရေးဘဝ == ဒေါ်သိင်္ဂီအောင်သည် ၁၉၉၃ ခုနှစ်မှ ၁၉၉၄ ခုနှစ်အထိ [[ပြည်ထောင်စု ကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးအသင်း|ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးအသင်း]]ဝင်အဖြစ် စတင်ပါဝင်ခဲ့ပြီး ၁၉၉၄ ခုနှစ်တွင် ရပ်ကွက်/ကျေးရွာ အသင်းအတွင်းရေးမှူး၊ ၁၉၉၆ ခုနှစ်မှ ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်အထိ စဉ့်ကိုင်မြို့နယ် အသင်းအလုပ်အမှုဆောင်နှင့် မြို့နယ်တွဲဖက်အတွင်းရေးမှူး တာဝန်များကို ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် [[ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီ]] ခေတ်တွင် ၂၀၁၀ ပြည့်နှစ်မှ ၂၀၁၂ ခုနှစ်အထိ စဉ့်ကိုင်မြို့နယ် ပါတီတွဲဖက်အတွင်းရေးမှူး၊ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် ကျောက်ဆည်ခရိုင် ပါတီဘဏ္ဍာရေးမှူး၊ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ပါတီအလုပ်အမှုဆောင် တာဝန်များကို အသီးသီး တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၇ ရက်နေ့တွင် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး ပါတီအလုပ်အမှုဆောင်နှင့် တိုင်းဒေသကြီး ပါတီဘဏ္ဍာရေးမှူးအဖြစ် တာဝန်ပေးအပ်ခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ ၎င်းသည် [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၀|၂၀၂၀ ပြည့်နှစ် ပါတီစုံဒီမိုကရေစီ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် စဉ့်ကိုင်မြို့နယ် တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် မဲဆန္ဒနယ်အမှတ် (၂) မှ ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ခြင်းဖြင့် ပါတီနိုင်ငံရေးဘဝမှ နိုင်ငံရေးလောကထဲ စတင်ဝင်ရောက်ခဲ့သည်။သို့သော် ရွေးချယ်ခြင်းမခံခဲ့ရပေ။ ထို့နောက် [[အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ၊ ၂၀၂၅-၂၀၂၆|၂၀၂၅-၂၀၂၆ ခုနှစ် ပါတီစုံဒီမိုကရေစီ အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲ]]တွင် စဉ့်ကိုင်မြို့နယ် တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် မဲဆန္ဒနယ် (FPTP) မှနေ၍ အမှတ်(၁) တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်အဖြစ် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Lin |first=Editor Htein |date=2026-04-08 |title=တိုင်းဒေသကြီးအဆင့် ဝန်ကြီး အမည်စာရင်းတွေကို မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်မှာ တင်သွင်း |url=https://voiceofmyanmarnews.com/news/2026/04/08/%e1%80%90%e1%80%ad%e1%80%af%e1%80%84%e1%80%ba%e1%80%b8%e1%80%92%e1%80%b1%e1%80%9e%e1%80%80%e1%80%bc%e1%80%ae%e1%80%b8%e1%80%a1%e1%80%86%e1%80%84%e1%80%b7%e1%80%ba-%e1%80%9d%e1%80%94%e1%80%ba%e1%80%80/ |access-date=2026-08-14 |website=Voice of Myanmar |language=en-US}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၀ ရက်နေ့တွင် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့]] ၏ သယံဇာတနှင့် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ထိန်းသိမ်းရေးဝန်ကြီးအဖြစ် စတင် တာဝန်ပေးအပ်ခြင်း ခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |title=ဝန်ကြီးချုပ်ကအဆိုပြုထားသော မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး အဆင့်အဖွဲ့အစည်းဝင် ဝန်ကြီးများ၏ အမည်စာရင်းများ၊ တရားလွှတ်တော်တရားသူကြီးချုပ်၊ ဥပဒေချုပ်၊ စာရင်းစစ်ချုပ်၊ တရားလွှတ်တော် တရားသူကြီးများကို အတည်​ပြု |url=https://news-eleven.com/article/311103 |access-date=2026-08-14 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == မိသားစုဘဝ == သူသည် အိမ်ထောင်သည် တစ်ဦးဖြစ်ပြီး၊သားတစ်ဦး မွေးဖွားခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{reflist}} {{DEFAULTSORT:သိင်္ဂီအောင်, ဒေါ်}} {{lifetime|၁၉၇၃||}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ အမျိုးသမီး နိုင်ငံရေးသမားများ]] [[ကဏ္ဍ:ပြည်ထောင်စုကြံ့ခိုင်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးပါတီဝင်များ]] [[ကဏ္ဍ:မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော် ကိုယ်စားလှယ်များ]] [[ကဏ္ဍ:မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးမှ လူပုဂ္ဂိုလ်များ]] drelzhvz2kn838nbjt7h9p9bfk15y55 1 290490 1048715 2026-08-14T12:52:20Z Htanaungg 61594 /* ရထားလမ်း vs ရထားလိုင်း */ အပိုင်းသစ် 1048715 wikitext text/x-wiki == ရထားလမ်း vs ရထားလိုင်း == ကျွန်တော့်အနေနဲ့ JR East ရထားလိုင်း၊ Keio ရထားလိုင်း၊ တိုးဘုရထားလိုင်း စသဖြင့် ဒီကုမ္ပဏီတွေက ရထားလမ်းမဟုတ်ဘဲ ရထားလိုင်းလို့ နားလည်ထားပါတယ်ခင်ဗျာ။ ~ [[အသုံးပြုသူ:Htanaungg|ထနောင်း]] ([[User talk:Htanaungg|🔔]] • [[Special:Contributions/Htanaungg|📝]]) ၁၂:၅၂၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) lm21k1r74uccy9cao4lpmygbjle2k7r 1048743 1048715 2026-08-15T01:51:39Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[ဆွေးနွေးချက်:တိုဘုရထားလမ်း]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] သို့ ခင်မောင်မောင်လွင်က ရွှေ့ခဲ့သည် 1048715 wikitext text/x-wiki == ရထားလမ်း vs ရထားလိုင်း == ကျွန်တော့်အနေနဲ့ JR East ရထားလိုင်း၊ Keio ရထားလိုင်း၊ တိုးဘုရထားလိုင်း စသဖြင့် ဒီကုမ္ပဏီတွေက ရထားလမ်းမဟုတ်ဘဲ ရထားလိုင်းလို့ နားလည်ထားပါတယ်ခင်ဗျာ။ ~ [[အသုံးပြုသူ:Htanaungg|ထနောင်း]] ([[User talk:Htanaungg|🔔]] • [[Special:Contributions/Htanaungg|📝]]) ၁၂:၅၂၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) lm21k1r74uccy9cao4lpmygbjle2k7r 3 290491 1048719 2026-08-14T14:22:57Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1048719 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Fhtugv ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၂၂၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) ng1dosdpau584iowh1dzdmawz79xcxw 3 290492 1048727 2026-08-14T16:23:09Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1048727 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-44440-80 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၆:၂၃၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) qirjr5bhcahhj22u5p9s14y6nj926j7 0 290493 1048729 2026-08-14T16:49:54Z Mkant00 135890 "[[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တွင် အပီမော်ဖစ်ဇင် (epimorphism) ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048729 wikitext text/x-wiki [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တွင် အပီမော်ဖစ်ဇင် (epimorphism) ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) <math>f : X \to Y</math> တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ညာဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော (right-cancellative) ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ယင်းဂုဏ်သတ္တိအရ အရာဝတ္ထုများ (objects) အားလုံးဖြစ်သော <math>Z</math> နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များအားလုံးဖြစ်သော <math>g_1, g_2: Y \to Z</math> တို့အတွက် <math>g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2</math> ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် လွှမ်းခြုံဖန်ရှင်များ (onto functions) သို့မဟုတ် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (surjective functions) များကို ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီအရ ယေဘုယျပြုထားသည့် သဘောတရားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[အစုများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of sets) တွင် အဆိုပါ သဘောတရားသည် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီသော်လည်း အခြား အခြေအနေအားလုံး၌ ထပ်တူညီမည်မဟုတ်ပေ။ အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု၏ ဒွန်တွဲ (dual) မှာ [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] (monomorphism) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီ <math>C</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ဒွန်တွဲ ကတ်တဂိုရီ (dual category) <math>C^{op}</math> ၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သွားသည်။ အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်ခြင်းသည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းထက် ပိုမိုအားနည်းသော အခြေအနေမျိုး ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] တွင် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> မှ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) <math>\mathbb{Q}</math> သို့ ပါဝင်ခြင်း (inclusion) <math>\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] တစ်ခုအောက်ရှိ ကိန်းပြည့်များ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]]သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပုံရိပ်များကိုပါ အပြည့်အဝ အဆုံးအဖြတ်ပေးနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) ကတ်တဂိုရီတွင်မူ သိပ်သည်းသော ပုံရိပ် (dense image) ရှိသည့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) တိုင်းသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] တစ်ခု၏ ပုံရိပ်သည် ၎င်း၏ စုဆောင်းမှတ် (limit point) ၏ ပုံရိပ်ကို အဆုံးအဖြတ်ပေးနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] မှ ကိန်းစစ်မျဉ်း အတွင်းသို့ ပါဝင်ခြင်း <math>\mathbb{Q} \to \mathbb{R}</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) နှင့် စကြဝဠာ အက္ခရာသင်္ချာ (universal algebra) တို့တွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်ကို ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်အဖြစ် အလွယ်တကူ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့ရှိကြသည်။ ထိုသတ်မှတ်ချက်အရ အပီမော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီအရ အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သော်လည်း ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ကတ်တဂိုရီတိုင်းအတွက် မမှန်ကန်ပေ။ == ဥပမာများ (Examples) == ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီ (concrete category) တစ်ခုရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု၏ အခြေခံဖန်ရှင် (underlying function) သည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက ထိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ ထင်ရှားသော ခိုင်မာသည့် ကတ်တဂိုရီများစွာတွင် ပြောင်းပြန်အဆိုမှာလည်း မှန်ကန်သည်။ ဥပမာ - အောက်ပါကတ်တဂိုရီများတွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိကျစွာ ထပ်တူညီကြသည်။ * <math>\mathbf{Set}</math> - [[အစု|အစုများ]]နှင့် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Pos}</math> - တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများ (partially ordered sets) နှင့် အစဉ်လိုက် ဖန်ရှင် (monotone function) များ ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Grp}</math> - [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups) နှင့် [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbf{Grp}</math> အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်တိုင်း ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သည်ဟူသော အချက်ကို အော်တို ရှရိုင်းယား (Otto Schreier) က သက်သေပြခဲ့သည်။ * <math>\mathbf{FinGrp}</math> - အဆုံးရှိအုပ်စုများ (finite groups) နှင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Ab}</math> - [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] (abelian groups) နှင့် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Vect_K}</math> - [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>K</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နှင့် <math>K</math>-မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (K-linear transformations) ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Mod-R}</math> - [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ညာမော်ဂျူး (right modules) များနှင့် မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (module homomorphisms) ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{Top}</math> - [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ဖြစ်ကြသည်။ * <math>\mathbf{HComp}</math> - ကျစ်လျစ်သော (compact) ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများနှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည်။ အကယ်၍ <math>f : X \to Y</math> သည် ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက <math>y \in Y \setminus f(X)</math> ကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>f(X)</math> သည် အပိတ်စုဖြစ်သောကြောင့် ယူရီဆန်၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Urysohn's Lemma) အရ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် <math>g_1 : Y \to [0, 1]</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး ၎င်းသည် <math>f(X)</math> အပေါ်တွင် <math>0</math> ဖြစ်ကာ <math>y</math> အပေါ်တွင် <math>1</math> ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် <math>f</math> ကို <math>g_1</math> နှင့် သုညဖန်ရှင် <math>g_2 : Y \to [0, 1]</math> နှစ်ခုစလုံးနှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ သို့သော် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သော်လည်း ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများလည်း ရှိသေးသည်။ ဥပမာ - * [[မိုနွိုက်|မိုနွိုက်များ]] ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော <math>\mathbf{Mon}</math> တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Z}</math> သည် ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] <math>R</math> အပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာများ ကတ်တဂိုရီတွင် <math>R</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များဖြစ်သော <math>R[x]</math> မှ လောရင့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (Laurent polynomials) ဖြစ်သော <math>R[x,x^{-1}]</math> သို့ ပါဝင်ခြင်းသည် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။ * [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]]ဖြစ်သော <math>\mathbf{Ring}</math> တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း <math>\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}</math> သည် ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ * ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော <math>\mathbf{Haus}</math> တွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် တိကျစွာအားဖြင့် သိပ်သည်းသော ပုံရိပ်များပါရှိသည့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း <math>\mathbb{Q} \to \mathbb{R}</math> သည် ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ အထက်ပါအချက်သည် [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်|မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]၏ အခြေအနေနှင့် ကွဲပြားခြားနားသည်။ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များတွင် အခြေခံဖန်ရှင်များသည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]] (injective functions) နှင့် အများအားဖြင့် တိကျစွာ ထပ်တူညီလေ့ရှိသည်။ သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (non-concrete categories) ရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များ၏ ဥပမာအချို့မှာ - * မိုနွိုက် သို့မဟုတ် ကွင်းတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် ယူဆပါက မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် မြှောက်ခြင်း ပင်ဖြစ်သည်။ ထိုအခြေအနေတွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် ညာဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (right-cancellable elements) ဖြစ်ကြသည်။ * လားရာပြဂရပ် (directed graph) တစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် ယူဆပါက အရာဝတ္ထုများသည် ထိပ်စွန်းမှတ်များ ဖြစ်ပြီး မော်ဖစ်ဇင်များသည် လမ်းကြောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် လမ်းကြောင်းများ၏ စာသားပေါင်းစည်းမှု (concatenation) ပင်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော အခြေအနေမျိုးတွင် မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] တိုင်းသည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ အမှန်တကယ်အားဖြင့် ညာပြောင်းပြန် (right-sided inverse) တစ်ခု ရှိရုံဖြင့် လုံလောက်သည်။ <math>fj = \text{id}_Y</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>j : Y \to X</math> တည်ရှိပါက မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များ <math>h_1, h_2: Y \to Z</math> အတွက်မဆို <math>h_1 = h_1 \text{id}_Y = h_1fj = h_2fj = h_2</math> ဟု ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ညာပြောင်းပြန်ရှိသည့် ပုံဖော်မှုကို ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) ဟု ခေါ်သည်။ အခြေခံ တိုပို့စ် (elementary topos) တစ်ခုတွင် [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]] လည်းဖြစ် အပီမော်ဖစ်ဇင် လည်းဖြစ်သော ပုံဖော်မှုတိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ အပီမော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင်ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် <math>fg</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်ပါက <math>f</math> သည် မဖြစ်မနေ အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ရမည်။ ဥပမာအချို့အရ အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်ခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်း၏ ဖန်ရှင်အဖြစ် ပြုမူပုံအပေါ်တွင်သာမက ပါဝင်ပတ်သက်နေသော ကတ်တဂိုရီ၏ အခြေအနေအပေါ်တွင်လည်း မူတည်နေသည်။ အကယ်၍ <math>D</math> သည် <math>C</math> ၏ ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>C</math> တွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သော <math>D</math> အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် <math>D</math> တွင်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ပြောင်းပြန်အဆိုမှာ မှန်ကန်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ပိုမိုသေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများတွင် အပီမော်ဖစ်ဇင်များ ပိုမိုများပြားစွာ ရှိနေတတ်သည်။ အခြားသော ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ သဘောတရားများကဲ့သို့ပင် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (equivalences of categories) အောက်တွင် ပြောင်းလဲခြင်း မရှိပေ (preserved)။ ထပ်တူညီမှု <math>F : C \to D</math> တစ်ခုကို ပေးထားပါက မော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သည် <math>C</math> အတွင်း၌ အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>F(f)</math> သည် <math>D</math> အတွင်း၌ အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီနှစ်ခုအကြားရှိ ဒွန်တွဲမှု (duality) တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး၊ ပြောင်းပြန်အားဖြင့်လည်း မှန်ကန်သည်။ အပီမော်ဖစ်ဇင်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။ မော်ဖစ်ဇင် <math>f : X \to Y</math> အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သော အခြေအနေမှာ လှုံ့ဆော်ခံ ပုံဖော်မှုများ (induced maps) <math display="block">\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\ g &\mapsto& gf\end{matrix}</math> သည် <math>Z</math> ကို ရွေးချယ်မှုတိုင်းအတွက် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်ရမည် ဖြစ်သည်။ လှုံ့ဆော်ခံ [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း]] (natural transformation) <math display="block">\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,-) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,-)\end{matrix}</math> သည် [[ဖန်တာ]] ကတ်တဂိုရီ (functor category) <math>\text{Set}^C</math> အတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ == ဆက်စပ် သဘောတရားများ (Related concepts) == အခြားသော အသုံးဝင်သည့် သဘောတရားများထဲတွင် ပုံမှန် အပီမော်ဖစ်ဇင် (regular epimorphism)၊ အစွန်းရောက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (extremal epimorphism)၊ ချက်ချင်းဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင် (immediate epimorphism)၊ အားကောင်းသော အပီမော်ဖစ်ဇင် (strong epimorphism) နှင့် ခွဲထွက် အပီမော်ဖစ်ဇင် (split epimorphism) တို့ ပါဝင်သည်။ * အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) အချို့အတွဲ၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်း (coequalizer) တစ်ခု ဖြစ်ပါက ၎င်းကို ပုံမှန် ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * အပီမော်ဖစ်ဇင် <math>f</math> သည် <math>f \circ g = f \circ h</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင်အတွဲ <math>g, h</math> တိုင်း၏ ဒွန်တွဲညီမျှပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ၎င်းကို တိကျ (strict) သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * အပီမော်ဖစ်ဇင် <math>\varepsilon</math> အား <math>\varepsilon = \mu \circ \varphi</math> ဟု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတိုင်းတွင် <math>\mu</math> သည် [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး အဆိုပါ မော်ဖစ်ဇင် <math>\mu</math> သည် အလိုအလျောက် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သွားပါက ၎င်း <math>\varepsilon</math> ကို အစွန်းရောက် (extremal) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * အပီမော်ဖစ်ဇင် <math>\varepsilon</math> အား <math>\varepsilon = \mu \circ \varepsilon'</math> ဟု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတိုင်းတွင် <math>\mu</math> သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\varepsilon'</math> သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ကာ အဆိုပါ မော်ဖစ်ဇင် <math>\mu</math> သည် အလိုအလျောက် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သွားပါက ၎င်း <math>\varepsilon</math> ကို ချက်ချင်း (immediate) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * မည်သည့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\mu: C \to D</math> နှင့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော <math>\alpha: A \to C</math> နှင့် <math>\beta: B \to D</math> တို့အတွက်မဆို <math>\beta \circ \varepsilon = \mu \circ \alpha</math> ဖြစ်စေမည့် အခြေအနေမျိုးတွင် <math>\delta \circ \varepsilon = \alpha</math> နှင့် <math>\mu \circ \delta = \beta</math> တို့ကို ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>\delta: B \to C</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက အပီမော်ဖစ်ဇင် <math>\varepsilon: A \to B</math> ကို အားကောင်း (strong) သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ * <math>\varepsilon \circ \mu = 1</math> ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် <math>\mu</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက အပီမော်ဖစ်ဇင် <math>\varepsilon</math> ကို ခွဲထွက် (split) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>\mu</math> ကို <math>\varepsilon</math> အတွက် ညာပြောင်းပြန်ဟု ခေါ်သည်။ ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) တွင် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အပီမော်ဖစ်ဇင် (homological epimorphism) ဟူသော သဘောတရားလည်း ရှိသည်။ ကွင်းများ၏ မော်ဖစ်ဇင် <math>f: A \to B</math> တစ်ခုသည် အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ဆင်းသက် ကတ်တဂိုရီများ (derived categories) ဖြစ်သော <math>D(f) : D(B) \to D(A)</math> အပေါ်တွင် [[ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ]] (full and faithful functor) တစ်ခုကို လှုံ့ဆော်ပေးပါက ၎င်းကို ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် နှစ်မျိုးစလုံးဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုကို ဘိုင်မော်ဖစ်ဇင် (bimorphism) ဟု ခေါ်သည်။ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]]တိုင်းသည် ဘိုင်မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် ပြောင်းပြန်အဆိုမှာ မမှန်ကန်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် တစ်ဝက်အဖွင့် အပိုင်းအခြား (half-open interval) <math>[0, 1)</math> မှ ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် <math>S^1</math> သို့ <math>x</math> ကို <math>\exp(2\pi ix)</math> ထံသို့ ပေးပို့သော ပုံဖော်မှုသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (bijective function) ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>S^1</math> ကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခုအဖြစ် တွေးမြင်နိုင်ပြီး အွိုင်လာ ပုံသေနည်းကို ကြည့်ရှုနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် ပြောင်းပြန်ပုံဖော်မှုသည် <math>1</math> နေရာ၌ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော]]ကြောင့် ၎င်းသည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (homeomorphism) တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ကတ်တဂိုရီ <math>\mathbf{Top}</math> တွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်မဟုတ်သော ဘိုင်မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု၏ သာဓကတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြားဥပမာတစ်ခုမှာ ကတ်တဂိုရီ <math>\mathbf{Haus}</math> အတွင်းရှိ ထည့်သွင်းခြင်း <math>\mathbb{Q} \to \mathbb{R}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဘိုင်မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း ဘိုင်ဂျက်တစ်မဖြစ်သည့်အတွက် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အလားတူပင် ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီတွင် ပုံဖော်မှု <math>\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}</math> သည် ဘိုင်မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို ယေဘုယျ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ သရုပ်မဲ့ စားလဒ် အရာဝတ္ထုများ (abstract quotient objects) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ <math>j f_1 = f_2</math> ဖြစ်စေမည့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>j : Y_1 \to Y_2</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက အပီမော်ဖစ်ဇင်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>f_1 : X \to Y_1</math> နှင့် <math>f_2 : X \to Y_2</math> တို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ကို <math>X</math> ၏ စားလဒ် အရာဝတ္ထုများအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ == ဝေါဟာရသတ်မှတ်ချက်များ (Terminology) == အပီမော်ဖစ်ဇင်နှင့် [[မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်]]ဟူသော ဝေါဟာရတို့ကို နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဘော်ဘာကီသည် အပီမော်ဖစ်ဇင်ကို [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]]အတွက် အတိုကောက်အဖြစ် အသုံးပြုခဲ့သည်။ အစောပိုင်း ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီပညာရှင်များက မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ]]နှင့် အနီးစပ်ဆုံး ကိုက်ညီသကဲ့သို့၊ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း မည်သည့် အလိုရှိရာ ကတ်တဂိုရီ (arbitrary category) တွင်မဆို ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များနှင့် ကိုက်ညီသည့် သဘောတရားဖြစ်သည်ဟု ယုံကြည်ခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ၎င်းမှာ မမှန်ကန်ပေ။ အားကောင်းသော သို့မဟုတ် ပုံမှန် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်သာ သာမန် အပီမော်ဖစ်ဇင်များထက် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကဲ့သို့ ပိုမို၍ ပြုမူဆောင်ရွက်ကြသည်။ ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) သည် အခြေခံ အစုပုံဖော်မှုများ (underlying set maps) ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းမှ ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် ကတ်တဂိုရီ သဘောတရားအရ အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ကြသော အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သော မော်ဖစ်ဇင်များအကြား ခြားနားချက်တစ်ခုကို ဖန်တီးရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ဤခွဲခြားမှုသည် မည်သည့်အခါမျှ ရေပန်းစားမလာခဲ့ပေ။ အပီမော်ဖစ်ဇင်သည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်မှုထက် ပိုမိုကောင်းမွန်သည့် သဘောတရားတစ်ခုဟု လွဲမှားစွာ နားလည်လေ့ရှိကြသည်။ လက်တွေ့တွင် ထိုသို့ဖြစ်ခဲသည်။ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် အလွန်နက်နဲဆန်းကြယ်နိုင်ပြီး မျှော်လင့်မထားသော ပြုမူဆောင်ရွက်ပုံများ ရှိနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကွင်းများ၏ အပီမော်ဖစ်ဇင်များအားလုံးကို အမျိုးအစားခွဲခြားရန် အလွန်ခက်ခဲသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်သည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်မှုနှင့် ဆက်စပ်နေသော်လည်း အခြေခံအားဖြင့် ခြားနားချက်ရှိသည့် ထိန်းကျောင်းရခက်သော သဘောတရားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Adámek |first1=Jiří |last2=Herrlich |first2=Horst |last3=Strecker |first3=George E. |title=Abstract and Concrete Categories |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=1990 |publisher=John Wiley & Sons. |isbn=0-471-60922-6}} * {{Citation |last=Bergman |first=George |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html |date=2015 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-11478-1}} * {{Citation |last=Borceux |first=Francis |title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory |date=1994 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0521061193}} * {{Citation |last1=Riehl |first1=Emily |title=Category Theory in Context |url=https://math.jhu.edu/~eriehl/context/ |date=2016 |publisher=Dover Publications, Inc Mineola, New York |isbn=9780486809038}} * {{Citation |last1=Tsalenko |first1=M.S. |last2=Shulgeifer |first2=E.G. |title=Foundations of category theory |date=1974 |publisher=Nauka |isbn=5-02-014427-4}} * {{Citation |title=Epimorphism |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/p/e035890 |publisher=Encyclopedia of Mathematics}} * {{Citation |last1=Lawvere |first1=F. William |last2=Rosebrugh |first2=Robert |title=Sets for Mathematics |url=https://archive.org/details/setsformathemati0000lawv |date=2015 |publisher=Cambridge university press |isbn=978-0-521-80444-8 |url-access=registration}} * {{Citation |last=Linderholm |first=Carl |title=A Group Epimorphism is Surjective |journal=American Mathematical Monthly |volume=77 |issue=2 |date=1970 |pages=176–177 |doi=10.1080/00029890.1970.11992448 |url=https://groups.google.com/group/sci.math/msg/6d4023d93a2b4300 |url-access=subscription}} * {{Citation |author=nLab authors |title=epimorphism |url=https://ncatlab.org/nlab/show/epimorphism}} * {{Citation |author=nLab authors |title=Strong epimorphism |url=https://ncatlab.org/nlab/show/strong+epimorphism}} [[ကဏ္ဍ:မော်ဖစ်ဇင်]] pn9dx1hvd1tg3d0q5gjqkdvikfme4b2 3 290494 1048731 2026-08-14T17:23:18Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1048731 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-44671-22 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၇:၂၃၊ ၁၄ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) ek6yh2t1bnwv127jjekkyeb582b3qn9 0 290495 1048735 2026-08-14T19:05:03Z Mkant00 135890 [[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]] စာမျက်နှာကို [[ကိန်းထွေး]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 1048735 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ကိန်းထွေး]] 6cpzionw9yibwz9biuixf7v0xcuuk8u 1 290496 1048737 2026-08-14T19:05:03Z Mkant00 135890 [[ဆွေးနွေးချက်:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:ကိန်းထွေး]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 1048737 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဆွေးနွေးချက်:ကိန်းထွေး]] e1bdvxq1tewenuvi73r9tlkmfgetwb4 1 290498 1048744 2026-08-15T01:51:39Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[ဆွေးနွေးချက်:တိုဘုရထားလမ်း]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] သို့ ခင်မောင်မောင်လွင်က ရွှေ့ခဲ့သည် 1048744 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဆွေးနွေးချက်:တိုးဘုမီးရထားကုမ္ပဏီ]] jaxlng524tlpkb1yl30b1t8dyh0cxuw 0 290499 1048747 2026-08-15T03:58:24Z ~2026-44757-19 146950 " {{Infobox television | name = ဘွန်ကာစ် | image = Disney Bonkers logo.png | image_size = | caption = | genre = {{Plainlist| * ဟာသ * လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်မှု * ရဲ }} | creator..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048747 wikitext text/x-wiki {{Infobox television | name = ဘွန်ကာစ် | image = Disney Bonkers logo.png | image_size = | caption = | genre = {{Plainlist| * ဟာသ * လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်မှု * ရဲ }} | creator = [[ဂရက်ဂ် ဝိုက်စ်မန်း]]<br />[[ဒူအိန်း ကာပီဇီ]]<br />ရောဘတ် ဟတ်ကော့ခ်<br /> ရစ်ချတ် ထရူးဘလောက်<br />လန် စမစ်<br />လာရီ လတ်သမ် | inspired_by = ဂျက်ဖရီ ပရိုက်စ်<br /> ပီတာ အက်စ်. ဆီးမန်း ၏ ''[[Who Framed Roger Rabbit]]'' | writer = | director = | voices = {{Plainlist| * [[ဂျင်မ် ကမ်းမင်းစ်]] * [[အားလ် ဘိုန်]] * [[ချာလီ အက်ဒလာ]] * [[ရွန် ပါလ်မန်း]] * [[ဖရန့်ခ် ဝဲလ်ကာ]] * [[ကိုရီ ဘာတန်]] * [[ကာလာ ဒီဗီတို]] * [[ရောဘတ် ရစ်ချ်လီ]] * [[ဧပြီ ဝင်းချယ်လ်]] * [[မောရစ်စ် လာမာချီ]] * [[ရှယ်ရီ လင်း]] * [[အိုင်လင်း ဘရန်နန်]] * [[ရစ်ပ် တေလာ]] }} | theme_music_composer = ရန်ဒီ ပီတာဆန်<br />ကီဗင် ကွင်းန် | composer = {{Plainlist| * [[မာ့ခ် ဝပ်တာစ်]] * စတီဖင် ဂျိမ်းစ် တေလာ * သွမ် ရှပ် }} | country = {{USA}} | language = အင်္ဂလိပ် | num_seasons = ၁ | num_episodes = ၆၁ | list_episodes = | producer = {{plainlist | * ရောဘတ် တေလာ * ဂရက်ဂ် ဝိုက်စ်မန်း * ဒူအိန်း ကာပီဇီ * ဘော့ဘ် ဟတ်ကော့ခ် }} | editor = | runtime = ၂၂ မိနစ် | company = [[Walt Disney Television Animation]] | channel = {{Plainlist| * [[ဒစ္စနေးရုပ်သံလိုင်း]] }} | first_aired = {{Start date|1993|09|04}} | last_aired = {{End date|1994|02|23}} | related = {{Plainlist| * ''[[Raw Toonage]]'' }} }} '''''ဘွန်ကာစ်''''' ({{Lang-en|Bonkers}}) သည် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]] အန်နီမေးရှင်းရုပ်မြင်သံကြားဇာတ်လမ်းတွဲဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၉၉၃ စက်တင်ဘာ ၄ တွင် [[ဒစ္စနေးရုပ်သံလိုင်း]] ရုပ်သံလိုင်း တွင် ထုတ်လွှင့် ပြသခဲ့သည်။ == သရုပ်ဆောင်များနှင့် ဇာတ်ကောင်များ == * ဘွန်ကာစ် ဒီ. ဘော့ကတ် (Bonkers D. Bobcat) နှင့် လပ်ကီး ရှာလီ ပီကယ်လ် (Lucky Shirley Piquel) အဖြစ် [[ဂျင်မ် ကမ်းမင်းစ်]] * ဖောင် ဒီးယား (Fawn Deer) အဖြစ် [[နန်စီ ကာ့တ်ရိုက်]] * လီယိုနာ့ဒ် ကာနစ်ဖ်ကီ (Leonard Kanifky) အဖြစ် [[အားလ် ဘိုန်]] * Police Light နှင့် Tiny အဖြစ် [[ချာလီ အက်ဒလာ]] * ဖရန်စစ် ကယူ. ဂရက်တစ် (Francis Q. Grating) အဖြစ် [[ရွန် ပါလ်မန်း]] * Fall Apart Rabbit အဖြစ် ဖရန့်ခ် ဝဲလ်ကာ * မီရန်ဒါ ရိုက် (Miranda Wright) အဖြစ် [[ကာလာ ဒီဗီတို]] * အယ်လ် ဗာမင် (Al Vermin) အဖြစ် [[ရောဘတ် ရစ်ချ်လီ]] * ဒီလန်ဒရာ "ဒိုင်းလ်" ပီကယ်လ် (Dilandra "Dyl" Piquel) အဖြစ် [[ဧပြီ ဝင်းချယ်လ်]] * Tuttle Turtle နှင့် မစ္စတာ ဘလက်ကင်ဘလူး (Mr. Blackenblue) အဖြစ် [[မောရစ်စ် လာမာချီ]] * မာရီလင် ပီကယ်လ် (Marilyn Piquel) အဖြစ် [[ရှယ်ရီ လင်း]] * လီလစ် ဒူပရေ့ဗ် (Lilith DuPrave) အဖြစ် [[အိုင်လင်း ဘရန်နန်]] * Wacky Weasel အဖြစ် [[ရစ်ပ် တေလာ]] == ဝေဖန်တုံ့ပြန်မှု == {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |သုံးသပ်ချက်ရမှတ်များ |- !ဝက်ဘ်ဆိုဒ် !ရမှတ် |- |Common Sense Media |၃/၅<ref>{{Cite web |title=Bonkers - Parents' Guide & TV Review |url=https://www.commonsensemedia.org/tv-reviews/bonkers |url-status=live |access-date=2026-08-15 |website=Common Sense Media |language=en}}</ref> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ် == * {{IMDb title|id=0213334}} * {{FilmAffinity|257071}} * {{TheTVDB|72013}} * {{Douban|3647415}} [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ရုပ်မြင်သံကြား ဇာတ်လမ်းတွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:အင်္ဂလိပ်ဘာသာ တီဗွီဇာတ်လမ်းတွဲ အစီစဉ်]] [[ကဏ္ဍ:ကာတွန်းရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ]] 1jfm9cumj0bj8y3v8sxukqsm6ly76r8 1048748 1048747 2026-08-15T03:59:07Z ~2026-44757-19 146950 1048748 wikitext text/x-wiki {{Infobox television | name = ဘွန်ကာစ် | original name = Bonkers | image = Disney Bonkers logo.png | image_size = | caption = | genre = {{Plainlist| * ဟာသ * လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်မှု * ရဲ }} | creator = [[ဂရက်ဂ် ဝိုက်စ်မန်း]]<br />[[ဒူအိန်း ကာပီဇီ]]<br />ရောဘတ် ဟတ်ကော့ခ်<br /> ရစ်ချတ် ထရူးဘလောက်<br />လန် စမစ်<br />လာရီ လတ်သမ် | inspired_by = ဂျက်ဖရီ ပရိုက်စ်<br /> ပီတာ အက်စ်. ဆီးမန်း ၏ ''[[Who Framed Roger Rabbit]]'' | writer = | director = | voices = {{Plainlist| * [[ဂျင်မ် ကမ်းမင်းစ်]] * [[အားလ် ဘိုန်]] * [[ချာလီ အက်ဒလာ]] * [[ရွန် ပါလ်မန်း]] * [[ဖရန့်ခ် ဝဲလ်ကာ]] * [[ကိုရီ ဘာတန်]] * [[ကာလာ ဒီဗီတို]] * [[ရောဘတ် ရစ်ချ်လီ]] * [[ဧပြီ ဝင်းချယ်လ်]] * [[မောရစ်စ် လာမာချီ]] * [[ရှယ်ရီ လင်း]] * [[အိုင်လင်း ဘရန်နန်]] * [[ရစ်ပ် တေလာ]] }} | theme_music_composer = ရန်ဒီ ပီတာဆန်<br />ကီဗင် ကွင်းန် | composer = {{Plainlist| * [[မာ့ခ် ဝပ်တာစ်]] * စတီဖင် ဂျိမ်းစ် တေလာ * သွမ် ရှပ် }} | country = {{USA}} | language = အင်္ဂလိပ် | num_seasons = ၁ | num_episodes = ၆၁ | list_episodes = | producer = {{plainlist | * ရောဘတ် တေလာ * ဂရက်ဂ် ဝိုက်စ်မန်း * ဒူအိန်း ကာပီဇီ * ဘော့ဘ် ဟတ်ကော့ခ် }} | editor = | runtime = ၂၂ မိနစ် | company = [[Walt Disney Television Animation]] | channel = {{Plainlist| * [[ဒစ္စနေးရုပ်သံလိုင်း]] }} | first_aired = {{Start date|1993|09|04}} | last_aired = {{End date|1994|02|23}} | related = {{Plainlist| * ''[[Raw Toonage]]'' }} }} '''''ဘွန်ကာစ်''''' ({{Lang-en|Bonkers}}) သည် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု|အမေရိကန်]] အန်နီမေးရှင်းရုပ်မြင်သံကြားဇာတ်လမ်းတွဲဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ၁၉၉၃ စက်တင်ဘာ ၄ တွင် [[ဒစ္စနေးရုပ်သံလိုင်း]] ရုပ်သံလိုင်း တွင် ထုတ်လွှင့် ပြသခဲ့သည်။ == သရုပ်ဆောင်များနှင့် ဇာတ်ကောင်များ == * ဘွန်ကာစ် ဒီ. ဘော့ကတ် (Bonkers D. Bobcat) နှင့် လပ်ကီး ရှာလီ ပီကယ်လ် (Lucky Shirley Piquel) အဖြစ် [[ဂျင်မ် ကမ်းမင်းစ်]] * ဖောင် ဒီးယား (Fawn Deer) အဖြစ် [[နန်စီ ကာ့တ်ရိုက်]] * လီယိုနာ့ဒ် ကာနစ်ဖ်ကီ (Leonard Kanifky) အဖြစ် [[အားလ် ဘိုန်]] * Police Light နှင့် Tiny အဖြစ် [[ချာလီ အက်ဒလာ]] * ဖရန်စစ် ကယူ. ဂရက်တစ် (Francis Q. Grating) အဖြစ် [[ရွန် ပါလ်မန်း]] * Fall Apart Rabbit အဖြစ် ဖရန့်ခ် ဝဲလ်ကာ * မီရန်ဒါ ရိုက် (Miranda Wright) အဖြစ် [[ကာလာ ဒီဗီတို]] * အယ်လ် ဗာမင် (Al Vermin) အဖြစ် [[ရောဘတ် ရစ်ချ်လီ]] * ဒီလန်ဒရာ "ဒိုင်းလ်" ပီကယ်လ် (Dilandra "Dyl" Piquel) အဖြစ် [[ဧပြီ ဝင်းချယ်လ်]] * Tuttle Turtle နှင့် မစ္စတာ ဘလက်ကင်ဘလူး (Mr. Blackenblue) အဖြစ် [[မောရစ်စ် လာမာချီ]] * မာရီလင် ပီကယ်လ် (Marilyn Piquel) အဖြစ် [[ရှယ်ရီ လင်း]] * လီလစ် ဒူပရေ့ဗ် (Lilith DuPrave) အဖြစ် [[အိုင်လင်း ဘရန်နန်]] * Wacky Weasel အဖြစ် [[ရစ်ပ် တေလာ]] == ဝေဖန်တုံ့ပြန်မှု == {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |သုံးသပ်ချက်ရမှတ်များ |- !ဝက်ဘ်ဆိုဒ် !ရမှတ် |- |Common Sense Media |၃/၅<ref>{{Cite web |title=Bonkers - Parents' Guide & TV Review |url=https://www.commonsensemedia.org/tv-reviews/bonkers |url-status=live |access-date=2026-08-15 |website=Common Sense Media |language=en}}</ref> |} == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ် == * {{IMDb title|id=0213334}} * {{FilmAffinity|257071}} * {{TheTVDB|72013}} * {{Douban|3647415}} [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ရုပ်မြင်သံကြား ဇာတ်လမ်းတွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:အင်္ဂလိပ်ဘာသာ တီဗွီဇာတ်လမ်းတွဲ အစီစဉ်]] [[ကဏ္ဍ:ကာတွန်းရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ]] 0sbg3m6atqjaer473cnc3e0z36fu3pt 3 290500 1048750 2026-08-15T04:24:22Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1048750 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-44757-19 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၄:၂၄၊ ၁၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) pmve2axuxgjq7k5sbppnl6pz3pvuko4 0 290501 1048751 2026-08-15T04:52:50Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) တပ်မတော်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048751 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) တပ်မတော်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၄၉ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} h4fqo00iohuzjrls3bxtyz1qotyuh2l 0 290502 1048752 2026-08-15T04:55:47Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ရွှေပေါက္ကံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048752 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ရွှေပေါက္ကံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၇၇ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} texltlum21kd2ojy8xrteckb2y3pacl 0 290503 1048753 2026-08-15T04:57:00Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ငှက်ပျောတော''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ ငှက်ပျောတောရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ငှက်ပျောတော..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048753 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ငှက်ပျောတော''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ငှက်ပျောတောရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ငှက်ပျောတောရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၄၃ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} k4e7tr8fnop1lkjt29acx8swdq48352 1048754 1048753 2026-08-15T04:57:59Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1048754 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ငှက်ပျောတော''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ငှက်ပျောတောရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ငှက်ပျောတောရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၄၃ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.969212549731694| 96.70640498339044|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} qluvfys7gx7s8ssbl2fzzuhbsewkcea 0 290504 1048755 2026-08-15T04:58:58Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) သမစိတ္တ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048755 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) သမစိတ္တ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၉၇ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} nyv0hv8lpp2jzwz83jq0uv5qsltyuqv 0 290505 1048756 2026-08-15T04:59:58Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ဝါးရုံကုန်း''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ ဝါးရုံကုန်းရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ဝါးရုံကုန်း..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048756 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ဝါးရုံကုန်း''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ဝါးရုံကုန်းရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ဝါးရုံကုန်းရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၀၀ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} mtzrs8mwczgir0lf74toi183kyhwsfb 1048757 1048756 2026-08-15T05:02:00Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1048757 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ဝါးရုံကုန်း''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ဝါးရုံကုန်းရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ဝါးရုံကုန်းရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၀၀ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|17.914303864874924| 96.7346230467262|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} pxt24kehvpa48j24nlfddjr3kja20ai 0 290506 1048758 2026-08-15T05:03:17Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ကောလိယ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပြွန်တန်ဆာမြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048758 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ကောလိယ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပြွန်တန်ဆာမြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၅၃၄ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 1s4622va3qakadl46tirtu2ufwaafsg 0 290507 1048759 2026-08-15T05:04:22Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ကင်မွန်းခြုံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048759 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ကင်မွန်းခြုံ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၃၁ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} snabg8mkqxbggzfhqbrer7lj9v558aw 0 290508 1048760 2026-08-15T05:05:08Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ပိန်းဇလုပ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048760 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ပိန်းဇလုပ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၄၁ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} j5x80waof4v052bm7chnflni1gbalg1 1048761 1048760 2026-08-15T05:06:37Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1048761 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ပိန်းဇလုပ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ပိန်းဇလုပ်မြို့]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၂၄၁ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 3u1wofx2priw7r3iomwd5r8bby6zxhy 0 290509 1048762 2026-08-15T05:07:29Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ထော်နွတ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထော်နွတ်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထော်နွတ်ရွာ]]ရှိ အခ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048762 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ထော်နွတ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထော်နွတ်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထော်နွတ်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၈၅ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 1deefnicty08oaj8s2w4cbgo7uj0nly 1048763 1048762 2026-08-15T05:09:13Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1048763 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ထော်နွတ်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထော်နွတ်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထော်နွတ်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၈၅ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.04623050067447| 96.67710954566977|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 2db4kahs9cj2rgoagxai79hg8t1g5yj 0 290510 1048764 2026-08-15T05:10:22Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.ထ.က (ခွဲ) ထိန်တပင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထိန်တပင်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထိန်တပင်ရွာ]]ရှိ အခ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048764 wikitext text/x-wiki '''အ.ထ.က (ခွဲ) ထိန်တပင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထိန်တပင်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထိန်တပင်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၇၆ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|yyyyyy|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} go8sig2wlk20wzkejyuzsas7w8sphbu 1048765 1048764 2026-08-15T05:11:17Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ကိုးကား */ 1048765 wikitext text/x-wiki '''အ.ထ.က (ခွဲ) ထိန်တပင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ညောင်လေးပင်မြို့နယ်]]၊ [[ထိန်တပင်ရွာ၊ ညောင်လေးပင်မြို့နယ်|ထိန်တပင်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၇၆ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/nyaunglebin-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.03352626178284| 96.69338363113776|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[Category:ညောင်လေးပင်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} fnabct8zlvgz26s446einslwhupanxq 3 290511 1048775 2026-08-15T06:24:36Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1048775 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Kaung Sitt Nyein ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၀၆:၂၄၊ ၁၅ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ (UTC) 8up93iwtr1mgw09t29k085c7270zcfu 100 290512 1048777 2026-08-15T06:58:05Z Salai Rungtoi 22844 "{{Current events|year=2026|month=08|day=15|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1048777 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=08|day=15|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}} 1it0yth0st7hegysnv84ubqqmi2xkxr 0 290513 1048785 2026-08-15T11:08:32Z Mkant00 135890 [[ကိန်းတေး]] စာမျက်နှာကို [[ကိန်းယောင်]] သို့ Mkant00က ရွှေ့ခဲ့သည်: to maintain internal consistency with the article content 1048785 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ကိန်းယောင်]] 3mncea7o0w4ly0xuqfbxnuzru6dgmgq