Викиучебник ruwikibooks https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Медиа Служебная Обсуждение Участник Обсуждение участника Викиучебник Обсуждение Викиучебника Файл Обсуждение файла MediaWiki Обсуждение MediaWiki Шаблон Обсуждение шаблона Справка Обсуждение справки Категория Обсуждение категории Полка Обсуждение полки Импортировано Обсуждение импортированного Рецепт Обсуждение рецепта Задача Обсуждение задачи TimedText TimedText talk Модуль Обсуждение модуля 2 4428 261943 261710 2025-07-10T15:19:12Z Alexsmail 1129 /* Sand box */ d 261943 wikitext text/x-wiki [[m:ru:%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Alexsmail|m:ru:Wikipedia/User:Alexsmail]] {{Участник Википедии}} [[m:b:ru:%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Alexsmail|m:b:ru:Wikibooks/User:Alexsmail]] [[m:b:en:User:Alexsmail|m:b:en:Wikibooks/User:Alexsmail]] [[m:q:ru:%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Alexsmail|m:q:ru:Wikiquote/User:Alexsmail]] [[m:en:User:Alexsmail|m:en:Wikipedia/User:Alexsmail]] [[m:commons:User:Alexsmail|m:commons:Wikipedia/User:Alexsmail]] {| style="{{float right}} width: 242px; border: #99B3FF solid 1px; text-align: center; background-color: #F8FCFF;" |- | {{babel|ru|he|en-3|uk-2}} |} Лучшим способом связаться со мной является контактный пост http://toalexsmail.com/2009/03/blog-post_6851.html на [http://www.toalexsmail.com/ моём блоге]. Я у себя в блоге [http://www.toalexsmail.com/search?q=Wikimania+2011 выложил некоторые лекции], которые были на Wikimania 2011. Там же по ссылкам можно найти и другие. Дата рождения: 1982 Блог: http://toalexsmail.com/ Образование: B.Sc. по математике и компьютерном наукам в университете им. Бен Гуриона в Негеве в Беер-Шеве, Израиль Род занятий: Software Engineer с рождения Местонахождение: Петах Тиква, Израиль Языки: Русский, Английский, иврит Хобби: шахматы, математика, чтение (в основном философские книжки и научную фантастику). [[m:b:ru:%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Alexsmail/Что почитать|m:b:ru:Wikibooks/User:Alexsmail/Что почитать?]] Области интереса: Java/OOD и прилягающие области. J2EE. Немного многопоточность. Также имею знания в: C, C++, Windows, DOS, Basic, PL\SQL, ... = Sand box = https://wikipedialibrary.wmflabs.org/?markasread=51399&markasreadwiki=ruwikibooks [[Участник:Alexsmail/Теория меры/черновик]] [[Участник:Alexsmail/Теория множеств/черновик]] Построение действительных чисел + Трансфинитные числа [[Участник:Alexsmail/Теория множеств/главы/черновик]] [[Участник:Alexsmail/Теория множеств/главы/]] [[Участник:Alexsmail/Введение в программирование]] [[Участник:Alexsmail/Программирование 2020]] ([[Участник:Alexsmail/Программирование 2020/новый черновик|быстрый переход]]) [[Участник:Alexsmail/Школьная математика]] [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток]] [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток. Книга первая. Heb.]] [[Гиперпекресток. Книга первая.]] [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток. Книга вторая./черновик]] [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток._Книга_вторая./предчистовик]] [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток._Книга_вторая.]] 1) С пророка после Моше Рабейну до падения Первого Храма. 2) Технология с изборетения компьютера, интернет, ИИ, генетические алогиртмы (?), Нейронные сети, Глубокое обучение, Трансоформеры, Attention, GPT, CoT, ИИ+невычислимый компонент как квантовый компьютер=ответ [[Участник:Alexsmail/Гиперпекресток2/Наддисциплинарный подход]] = Написанные мной книги (книги в которой был внесён значительный вклад): = [[Философия науки]] [[Знакомство с методом математической индукции]] - См. Бином Ньютона [[Гиперпекресток. Книга первая.]] ppcgpa6ja2zbz6v8w3cadbkwkdoltqs 0 5544 261938 261819 2025-07-10T12:34:39Z Alegri4B 71812 Добавлен язык горонтало 261938 wikitext text/x-wiki {{цитата|автор=[[w:Л. Н. Толстой|Л. Н. Толстой]]|Всегда кажется, что нас любят за то, что мы хороши.|А не догадываемся, что любят нас оттого, что хороши те, кто нас любит.}} Эта статья содержит признания в любви на сотнях естественных и искусственных языков мира. При машинном переводе часто присутствуют неточности, а найти перевод на некоторые языки нелегко. Видите ошибку — исправляйте. Знаете язык, которого в нашей статье нет - добавляйте. Любите и будьте любимыми! :) <!-- # [[w:|язык]]: --> # [[Файл:Flag of Abazinia.svg|22px|border]] [[w:Абазинский язык|Абазинский]]: '''сара бара бзи бызбитӀ''' («сара бара бзи бызбит») - женщине; '''сара уара бзи уызбитӀ''' («сара уара бзи уызбит») - мужчине. # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Abé language|Абе]]: '''mon ko lo fon''' («мон ко ло фон»). # [[Файл:Flag of Maine.svg|22px|border]] [[w:Абенаки (язык)|Абенаки]]: '''k’kezalmel''' («къ(э)зальмъ(э)ль»).<p>[[w:Абенаки (язык)|Абнаки]]: см. Абенаки # [[Файл:Flag of Abruzzo.svg|22px|border]] [[w:Неаполитанский язык|Абруццский]]: '''t-vujie bbene''' («твуджэ ббэнэ»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Abure language|Абуре]]: '''u'm wloloho''' («юм влолохо»). # [[Файл:Flag of the Republic of Abkhazia.svg|22px|border]] [[w:Абхазский язык|Абхазский]]: '''сара бара бзиа бызбоит''' («сара бара бзиа бызбоит») — женщине; '''сара уара бзиа узбоит''' («сара уара бзиа узбоит») — мужчине. # [[Файл:Flag of Awadh.svg|22px|border]] [[w:Авадхи|Авадхи]]: '''मइँ तोहसे पिरेम करत हउँ''' («май тохсе пирэм карат хау»).<p>[[w:Агуакатекский язык|Авакатек]]: см. Агуакатекский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Аваллаэн: '''vüväloiek dü quuo''' («вювялойек дю кууо»). # [[Файл:Flag of Avars.svg|22px|border]] [[w:Аварский язык|Аварский]]: '''дие мун йокъула''' («дие мун йокъула») — женщине; '''дие мун вокьула''' («дие мун вокьула») — мужчине. # [[Файл:Flag of Austria.svg|22px|border]] [[w:Австрийский вариант немецкого языка|Австрийский немецкий]]: '''i lieb di''' («и либ ди»), '''i mog di''' («и мог ди»), '''i hob di gern''' («и хоб ди гэрн»). # [[Файл:Faravahar-Gold.svg|22px|border]] [[w:Авестийский язык|Авестийский]]: '''𐬀𐬵𐬨𐬌 𐬯𐬙𐬀 𐬟𐬭𐬌''' («ахми ста фри»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Агуакатекский язык|Агуакатекский]]: '''wachinpeq' tzawe'''' («уачинпек цауэ»). # [[Файл:Flag of Peru.svg|22px|border]] [[w:Агуаруна|Агуаруна]]: '''wii pachit-ja-me''' («уии пачит йя ме»). # [[Файл:Flag of Aghuls.svg|22px|border]] [[w:Агульский язык|Агульский]]: '''зус вун кандаа''' («зус вун кандаа»). # [[Файл:Flag of Louisiana.svg|22px|border]] [[w:Адаи|Адаи]]: '''hekátœk kotán a enálœk''' («хэкаток котан а эналок»).<p>[[w:Адаи|Адайский]]: см. Адаи # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Адангме (язык)|Адангме]]: '''i suɔ mo''' («и суо мо»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Аджукру|Аджукру]]: '''m'b'errourong''' («мбэрруронг»). # [[Файл:Flag of Adygea.svg|22px|border]] [[w:Адыгейский язык|Адыгейский]]: '''сэ шӏу усэлъэгъу''' («сэ ш'у усэл'эг'у»). # [[Файл:Flag of Azerbaijan.svg|22px|border]] [[w:Азербайджанский язык|Азербайджанский]]: '''mən səni sevirəm''' («мэн сэни севирэм»). # [[Файл:Banner of the Qulla Suyu (1979).svg|22px|border]] [[w:Аймара (язык)|Аймара]]: '''munsmawa''' («мунсмава»). # [[Файл:Flag of Ainu.svg|22px|border]] [[w:Айнский язык|Айнский]]: '''アエオマプ''' («аэомап»). # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Акан|Акан]]: '''mo dow''' («мо доу»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Акатекский язык|Акатекский]]: '''chachinkamk’ulnehan''' («чачинкамк ульнеан»). # [[Файл:Akkadian Empire Flag of Map (Year-2250 BC).png|22px|border]] [[w:Аккадский язык|Аккадский]]: '''𒀀𒊏𒀀𒄠𒆠''' («араамки») - женщине; '''𒀀𒊏𒀀𒄠𒅗''' («араамка») - мужчине. # [[Файл:PH-AKL Flag.png|22px|border]] [[w:en:Aklanon language|Акланонский]]: '''palangga ko ikaw''' («палангга ко икау»). # [[Файл:Flag of Astrakhan Oblast.svg|22px|border]] [[w:Алабугатско-татарский язык|Алабугатско-татарский]]: '''мен сені чаw болман''' («мэн сэни чау болман»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:en:Alas language|Алас-клуэт]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»). # [[Файл:Flag of Kosovo.svg|22px|border]] [[w:Гегский диалект албанского языка|Албанский (гегский)]]: '''unë të dua''' («ун тэ дуа»). # [[Файл:Flag of Albania.svg|22px|border]] [[w:Тоскский диалект албанского языка|Албанский (тоскский)]]: '''unë të dua''' («ун тэ дуа»).<p>[[w:Алгонквинский язык|Алгонквин]]: см. Алгонквинский # [[Файл:Flag of Quebec.svg|22px|border]] [[w:Алгонквинский язык|Алгонквинский]]: '''kiságiyán''' («кисагийан»), '''kuwumáras''' («куумадас»).<p>[[w:Алгонквинский язык|Алгонкинский]]: см. Алгонквинский # [[Файл:Proposed Alemannic flag.svg|22px|border]] [[w:Алеманнский диалект|Алеманнский]]: '''ich lieb dich''' («ихь лиэб дихь»), '''i liäbä di''' («и лиэбэ ди»), '''i ha di gärn''' («и ха ди гэрн»), '''ich han dich gärn''' («ихь хан дихь гэрн»). # [[Файл:Alentejo.gif|22px|border]] [[w:en:Alentejan Portuguese|Алентежанский португальский]]: '''gosto de ti''' («госту дже чи»). # [[Файл:Flag of Aleutsky Raion.png|22px|border]] [[w:Алеутский язык|Алеутский]]: '''txin yaktakuq''' («тхин яктакук»). # [[Файл:Flag of Algeria.svg|22px|border]] [[w:Алжирский диалект арабского языка|Алжирский арабский]]: '''أحبك''' («ухыббуки») — женщине; '''أحبك''' («ухыббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of Altai Republic.svg|22px|border]] [[w:Алтайский язык|Алтайский]]: '''мен сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Alur language|Алур]]: '''ameri''' («амери»).<p>[[w:Арабский литературный язык|Ал-фусха]]: см. Арабский литературный<p>[[w:Арабский литературный язык|Аль-фусха]]: см. Арабский литературный<p>[[w:Алютикский язык|Алютик]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Алютикский язык|Алютикский]]: '''qunukamken''' («кунукамкен»). # [[Файл:Flag of Olyutorsky rayon (Kamchatka krai).png|22px|border]] [[w:Алюторский язык|Алюторский]]: '''гыммы гытты гәму лэӈэкткэн''' («гыммы гытты гэму лэнэкткэн»). # [[Файл:POL Bielsko Biała flag.svg|22px|border]] [[w:en:Alzenau dialect|Альтцнерский]]: '''(e)ich ho dü gahn''' («эйхь хо дю ган»).<p>[[w:Арабский литературный язык|АЛЯ]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Flag of Brazil.svg|22px|border]] [[w:Амавака|Амавака]]: '''hiya min cúunyovaquinu''' («хийя мин кууньёвакину»).<p>[[w:Ньенгату|Амазонский лингва-жерал]]: см. Ньенгату<p>[[w:Капампанганский язык|Аманунг-сисуан]]: см. Капампанганский<p>[[w:Амавака|Амауака]]: см. Амавака # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:en:American Norwegian|Американский норвежский]]: '''elsker dæ''' («эльска дэ»).<p>[[w:Амисский язык|Амис]]: см. Амисский # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Амисский язык|Амисский]]: '''maolahay kako tisowanan''' («маолахай како тисованан»). # [[Файл:Flag of Ethiopia.svg|22px|border]] [[w:Амхарский язык|Амхарский]]: '''እወድሃለሁ''' («ивэдихалэху») — мужчине, '''እወድሻለሁ''' («ивэдишалэху») — женщине. # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:Ангами (язык)|Ангами]]: '''angu ani se ho''' («ангу ани сэ хо»). # [[Файл:Flag of the Cooch Bihar State.svg|22px|border]] [[w:Ангика|Ангика]]: '''hamme tohrā pyār kare chiye''' («хамме тохра пьяр каре чийе»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:Ангкола|Ангкола]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Английский язык|Английский]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Древнеанглийский|Англосаксонский]]: см. Древнеанглийский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Андийский язык|Андийский]]: '''дыё мен джилидо''' («дыё мен джилидó»). # [[Файл:Flag of CARICOM.svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Антильский франко-креольский]]: '''men ainmainw''' («ман энмэн»). # [[Файл:Flag of Jonglei.png|22px|border]] [[w:Ануак (язык)|Ануак]]: '''a mëër ki ïïni''' («а мээр кы иины»).<p>[[w:Ануак (язык)|Аньва]]: см. Ануак # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:Ао (язык)|Ао]]: '''ni na meimer''' («ни на меимер»), '''nina mimar''' («нина мимар»). # [[Файл:Bandeira do Tocantins.svg|22px|border]] [[w:Апинайе (язык)|Апинайе]]: '''iman a-mã anon''' («иман а мэ анон»). # [[Файл:Flag of Peru.svg|22px|border]] [[w:Арабела|Арабела]]: '''quia pani-ya-nijia''' («киа пани йя нихья»). # [[Файл:Arabic-Language-Flag.svg|22px|border]] [[w:Арабский язык|Арабский]]: '''أُحِبُّكِ''' («ухыббуки») — женщине; '''أحبك''' («ухыббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Arab League.svg|22px|border]] [[w:Арабский литературный язык|Арабский литературный]]: '''أحبك''' («ухиббуки») — женщине; '''أُحِبُّكَ''' («ухиббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg|22px|border]] [[w:Арабский диалект Персидского залива|Арабский Персидского залива]]: '''اَحِبِّچْ‎''' («эхиббич») — женщине; '''اَحِبِّكْ‎''' («эхиббик») — мужчине. # [[Файл:Flag of Aragon.svg|22px|border]] [[w:Арагонский язык|Арагонский]]: '''te quiero''' («тэ кьеро»), '''t'amo''' («тамо»). # [[Файл:Flag-Val d'Aran.svg|22px|border]] [[w:Аранский язык|Аранский]]: '''que t'aimi''' («кё тэми»). # [[Файл:Flag of Arapaho Nation.svg|22px|border]] [[w:Арапахо (язык)|Арапахо]]: '''biixoo3é3en''' («биихоосесэн»).<p>[[w:Мапуче (язык)|Арауканский]]: см. Мапуче # [[Файл:Flag of Sicilian-Arbëreshë.svg|22px|border]] [[w:Арберешский диалект|Арберешский]]: '''të dua''' («тэ дуа»).<p>[[w:Кубачинский язык|Арбукский]]: см. Кубачинский # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan.png|22px|border]] [[w:Лазский язык|Ардешенский лазский]]: '''ma si maoropen''' («ма си маоропэн»). # [[Файл:Flag of Armenia.svg|22px|border]] [[w:Армянский язык|Армянский]]: '''ես քեզ սիրում եմ''' («ес кез сирум эм»).<p>[[w:Арумынский язык|Аромунский]]: см. Арумынский<p>[[w:Франкопровансальский язык|Арпитанский]]: см. Франкопровансальский # [[Файл:Aromanian flag.svg|22px|border]] [[w:Арумынский язык|Арумынский]]: '''ti voi''' («ти вой»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan.png|22px|border]] [[w:Лазский язык|Архавский лазский]]: '''ma si p'orom''' («ма сип ором»).<p>[[w:Карабахский диалект армянского языка|Арцахский]]: см. Карабахский армянский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Арчинский язык|Арчинский]]: '''зон ун кьӏан кер''' («зон ун къхан кер»). # [[Файл:Morning Star flag.svg|22px|border]] [[w:Асмат (язык)|Асмат]]: '''manám afpín''' («манам афпин»). # [[Файл:Flag of United Liberation Front of Asom.svg|22px|border]] [[w:Ассамский язык|Ассамский]]: '''মই তোমাক ভাল পাওঁ''' («мой тумак бхал пао»). # [[Файл:Flag of the Assyrians (no Assur).svg|22px|border]] [[w:Ассирийский новоарамейский язык|Ассирийский новоарамейский]]: '''ki bayyinakh''' («ки байинакх») - женщине, '''ki bayyanoukh''' («ки байяноукх») - мужчине, '''maghbinnakh''' («магхбиннакх») - женщине, '''makhbannoukh''' («макхбанноукх») - мужчине.<p>[[w:Аккадский язык|Ассиро-вавилонский]]: см. Аккадский<p>[[w:Астекские языки|Астекский]]: см. Науатль # [[Файл:Flag of Asturias.svg|22px|border]] [[w:Астурийский язык|Астурийский]]: '''quiérote''' («кьерути»), '''te quiero''' («те кьеро»). # [[Файл:Flag of Asturias.svg|22px|border]] [[w:Астурлеонский язык|Астурлеонский]]: '''quiérote''' («кьерути»). # [[Файл:Flag of Quebec.svg|22px|border]] [[w:Атикамек (язык)|Атикамек]]: '''ki micta sakihitin''' («ки микта сакхитин»), '''kisakihitin''' («кисакихитин»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan.png|22px|border]] [[w:Лазский язык|Атинский лазский]]: '''ma si malimben''' («ма си малимбэн»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Атлантийский язык|Атлантийский]]: [[File:Atlantean K.png|20 px]][[File:Atlantean A.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean G.png|20 px]] [[File:Atlantean M.png|20 px]][[File:Atlantean O.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean K.png|20 px]] [[File:Atlantean M.png|20 px]][[File:Atlantean A.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean T.png|20 px]] («кахг мохк махт»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Аттие (язык)|Аттие]]: '''min bou la yé''' («мин боу ла йе»).<p>[[w:Ассирийский новоарамейский язык|Атурая]]: см. Ассирийский новоарамейский<p>[[w:Ндюка|Аукан]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of the Afar Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Афарский язык|Афарский]]: '''ko kicinio''' («ко кисинио»).<p>[[w:Пушту|Афганский]]: см. Пушту<p>[[w:Дари|Афганско-персидский]]: см. Дари # [[Файл:Afrikaner Vryheidsvlag.svg|22px|border]] [[w:Африкаанс|Африкаанс]]: '''ek het jou lief''' («эк эт ю лиф») — повседневная форма, '''ek’s lief vir jou''' («экс лиф ви яу») — формальный вариант. # [[Файл:Flag of the African Union.svg|22px|border]] [[w:Африхили|Африхили]]: '''misopa wu''' («мисопа ву»).<p>[[w:Астекские языки|Ацтекский]]: см. Науатль<p>[[w:Ачехский язык|Ачех]]: см. Ачехский # [[Файл:Flag of Free Aceh Movement.svg|22px|border]] [[w:Ачехский язык|Ачехский]]: '''kaleuh gunci''' («калеух гунчи»). # [[Файл:Flag of Baja Verapaz, Guatemala.png|22px|border]] [[w:Ачи (язык)|Ачи]]: '''k’ax katinna’o''' («к’аш катинна’о»). # [[Файл:Flag of Acholi.svg|22px|border]] [[w:Ачоли (язык)|Ачоли]]: '''amari''' («амари»). # [[Файл:Flag of Peru.svg|22px|border]] [[w:Ачуар-шивиар|Ачуар-шивиар]]: '''anéajime''' («анеахиме»). # [[Файл:Flag of Peru.svg|22px|border]] [[w:Ашенинка (язык)|Ашенинка]]: '''no-cova-a-mi''' («но кова а ми»). # [[Файл:Flag of Ayacucho.svg|22px|border]] [[w:Аякучанский кечуа|Аякучанский кечуа]]: '''kuyaykim''' («куяйким»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Бабин-вицувитен|Бабин-вицувитен]]: '''nkests'iy''' («нкесций»).<p>[[w:Астурийский язык|Бабле]]: см. Астурийский # [[Файл:Flag of Bavaria (lozengy).svg|22px|border]] [[w:Баварский язык|Баварский]]: '''i lieb di''' («и либ ди»).<p>[[w:Багвалинский язык|Багвалальский]]: см. Багвалинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Багвалинский язык|Багвалинский]]: '''де̄ мен хелал''' («дэ мен хелал»).<p>[[w:Багвалинский язык|Багулальский]]: см. Багвалинский # [[Файл:..Madhya Pradesh Flag(INDIA).png|22px|border]] [[w:Багхели|Багхели]]: '''ham tohī cāhit ha''' («хам тохи кахит ха»).<p>[[w:Баварский язык|Баериш]]: см. Баварский # [[Файл:Flag of Canton of Basel.svg|22px|border]] [[w:Базельский диалект|Базельский немецкий]]: '''i ha di gärn''' («и ха ди гярн»).<p>[[w:Авадхи|Байсвари]]: см. Авадхи<p>[[w:Кого (язык)|Бакоко]]: см. Кого # [[Файл:Old Flag of Bali.svg|22px|border]] [[w:Балийский язык|Балийский]]: '''titiyang tresna sareng ragane''' («титиянг трэсна сарэн раганэ»).<p>[[w:Карачаево-балкарский язык|Балкарский]]: см. Карачаево-балкарский<p>[[w:Белуджский язык|Балочи]]: см. Белуджский<p>[[w:Белуджский язык|Балучи]]: см. Белуджский<p>[[w:Воламо|Балта]]: см. Воламо # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:Бамана|Бамана]]: '''m’bi fe''' («мби фе»).<p>[[w:Бамана|Бамананкан]]: см. Бамана<p>[[w:Бамана|Бамбара]]: см. Бамана # [[Файл:Local flag of German controlled Bamum.jpg|22px|border]] [[w:Бамум (язык)|Бамум]]: '''me naa ngu nyu''' («мэ наа нгу нью»). # [[Файл:Flag of South Kalimantan.png|22px|border]] [[w:Банджарский язык|Банджарский]]: '''aku cinta dua ikam''' («аку чинта дуа икам»). # [[Файл:PH-ROM Flag.png|22px|border]] [[w:en:Bantoanon language|Бантонский]]: '''palangga ka nako''' («палангга ка нако»). # [[Файл:Flag of the Bari people.svg|22px|border]] [[w:en:Bari language|Бари]]: '''man nyanyar do''' («ман ньяньяр до»).<p>[[w:Воламо|Бародда]]: см. Воламо # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Баса (язык)|Баса]]: '''mengweswe''' («мэнгуэсуэ»). # [[Файл:Flag of the Basque Country.svg|22px|border]] [[w:Баскский язык|Баскский]]: '''maite zaitut''' («майтэ сайтуд»). # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Басса (язык)|Басса]]: '''ḿ ɖɛ̀ɓɛ̀ m̀ mú''' («м денбе м му»).<p>[[w:Бетави (язык)|Батавский]]: см. Бетави # [[Файл:Flag of Batak.svg|22px|border]] [[w:en:Batak Karo language|Батакский каро]]: '''keleng ateku kam''' («келенг атэку кам»). # [[Файл:Flag of Batak.svg|22px|border]] [[w:en:Batak Simalungun language|Батакский сималунгун]]: '''holong do uhurhu bamu''' («холонг до ухурху баму»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Baoulé language|Бауле]]: '''mi klôa''' («ми клооа»).<p>[[w:Чинский язык|Баунгше]]: см. Чинский # [[Файл:Flag of Bashkortostan (1918).svg|22px|border]] [[w:Башкирский язык|Башкирский]]: '''мин һине яратам''' («мин хине яратам»). # [[Файл:Flag of Kingdom of Kakheti.svg|22px|border]] [[w:Бацбийский язык|Бацбийский]]: '''ვეწ სო ჰ’ოჼ''' («вэць со хо») - мужчина, '''ჲეწ სო ჰ’ოჼ''' («йець со хо») - женщина.<p>[[w:Бежтинский язык|Бежитинский]]: см. Бежтинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Бежтинский язык|Бежтинский]]: '''до ми ятӀца''' («до ми ятхца»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Бейсик-инглиш|Бейсик-инглиш]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Палауский язык|Белау]]: см. Палауский<p>[[w:Нухалк|Беллакула]]: см. Нухалк<p>[[w:Нухалк|Белла-кула]]: см. Нухалк # [[Файл:Flag of Belarus (1918, 1991-1995).svg|22px|border]] [[w:Белорусский язык|Белорусский]]: '''кахаю цябе''' («кахаю тябе») # [[Файл:Balochistan flag.svg|22px|border]] [[w:Белуджский язык|Белуджский]]: '''tu mana doost biyeh''' («ту мана доост бийех»). # [[Файл:Flag of the Bemba people.svg|22px|border]] [[w:Бемба (язык)|Бемба]]: '''nalikutemwa''' («наликутемва»). # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Bembe language (Kibembe)|Бембе]]: '''nauunda''' («науунда»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Beng language|Бенг]]: '''mam vimini''' («мам вимини»). # [[Файл:Flag of Equatorial Guinea.svg|22px|border]] [[w:en:Benga language|Бенга]]: '''i tondoko nd'ovè''' («и тондоко ндове»).<p>[[w:Бенгальский язык|Бенгали]]: см. Бенгальский # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:Бенгальский язык|Бенгальский]]: '''আমি তোমাকে ভালবাসি''' («ами томаке бхалообаши»). # [[Файл:Flag of Benin.svg|22px|border]] [[w:en:Berba language|Берба]]: '''lakh tirikh''' («лах тирих»). # [[Файл:Flag of Bergamo.svg|22px|border]] [[w:Бергамский диалект ломбардского языка|Бергамский ломбардский]]: '''ta 'öre be''' («та эрэ бэ»). # [[Файл:Flag of Berlin.svg|22px|border]] [[w:Берлинский диалект|Берлинский немецкий]]: '''ick liebe dir''' («ик либэ диар»). # [[Файл:Flag of Yogyakarta.svg|22px|border]] [[w:Бетави (язык)|Бетави]]: '''gua cinte ame elu''' («гуа синтэ амэ элу»). # [[Файл:Bété People Flag.svg|22px|border]] [[w:Бете (языки)|Бете]]: '''djiba han djibameu ba''' («джиба хан джибамэу ба»).<p>[[w:Древнееврейский язык|Библейский иврит]]: см. Древнееврейский # [[Файл:PH-CAS Flag.png|22px|border]] [[w:Бикольский язык|Бикольский]]: '''namumutan ta ka''' («намумутан та ка»). # [[Файл:Flag of Sarangani.png|22px|border]] [[w:en:Blaan language|Билаан]]: '''kando ta ge’''' («кандо та ге»).<p>[[w:Билин (язык)|Билен]]: см. Билин # [[Файл:Flag of Eritrea.svg|22px|border]] [[w:Билин (язык)|Билин]]: '''ንኳአተካያ''' («нэкваʾэтэкайя»).<p>[[w:Тангале (язык)|Биллири]]: см. Тангале # [[Файл:Flag of Het Bildt.svg|22px|border]] [[w:en:Bildts|Билтский нидерландский]]: '''ich zien dich gan''' («их зьен дих ган»). # [[Файл:Bendera Kesultanan Bima.png|22px|border]] [[w:Бима (язык)|Бима]]: '''nahu ne’e nggomi''' («наху не э нгоми»).<p>[[w:Эдо (язык)|Бини]]: см. Эдо # [[Файл:Flag of Myanmar.svg|22px|border]] [[w:Бирманский язык|Бирманский]]: '''ချစ်ပါတယ်''' («чит па дэ»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Биса (язык)|Биса]]: '''mii nan''' («мии нан»). # [[Файл:Flag of Vanuatu.svg|22px|border]] [[w:Бислама|Бислама]]: '''mi lavèm yu''' («ми лавэм ю»).<p>[[w:Хо (язык)|Бихар-хо]]: см. Хо<p>[[w:Бишнуприя-манипури|Бишнуприя]]: см. Бишнуприя-манипури # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:Бишнуприя-манипури|Бишнуприя-манипури]]: '''mi tore hada paori''' («ми торе хада паори»).<p>[[w:Билин (язык)|Блин]]: см. Билин # [[Файл:Flag of the Blackfoot Confederacy.jpg|22px|border]] [[w:Блэкфут (язык)|Блэкфут]]: '''kitsiikákomimmo''' («китсиикакомиммо»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:en:Bobo language|Бобо]]: '''ma kia bé nà''' («ма киа бэ на»).<p>[[w:Билин (язык)|Богос]]: см. Билин # [[Файл:Bandera Bodoland.svg|22px|border]] [[w:Бодо (язык)|Бодо]]: '''आं नोंखौ मोजां मोनो''' («анг нвунгхоу гвусвусуиу»). # [[Файл:Flag of Bulgaria.svg|22px|border]] [[w:Болгарский язык|Болгарский]]: '''аз те обичам''' («аз тэ обичам») — формально, '''обичам те''' («обичам тэ») — неформально. # [[Файл:Flag of Native Peoples of Colombia.svg|22px|border]] [[w:Бора (язык)|Бора]]: '''o wajyuóo uuké''' («о уайюоо ууке»).<p>[[w:Бодо (язык)|Боро]]: см. Бодо<p>[[w:Боснийский язык|Босанский]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Bosnia and Herzegovina (1992-1998).svg|22px|border]] [[w:Боснийский язык|Боснийский]]: '''volim te''' («волим те»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Боснийско-хорватско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Боснийско-хорватско-черногорско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Боснийский язык|Босняцкий]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Ботлихский язык|Ботлихский]]: '''ди мин иде''' («ди мин идэ»). # [[Файл:Flag of Bohol Province, Philippines.svg|22px|border]] [[w:en:Boholano dialect|Бохолано]]: '''nahigugma ko nimu''' («нахигугма ко ниму»).<p>[[w:Боснийский язык|Бошняцкий]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Brazil.svg|22px|border]] [[w:Бразильский вариант португальского языка|Бразильский португальский]]: '''eu te amo''' («эйю тчи аму»).<p>[[w:Брауи|Брагуи]]: см. Брауи<p>[[w:Брауи|Брагуйский]]: см. Брауи # [[Файл:Flag of the Brahui People.svg|22px|border]] [[w:Брауи|Брауи]]: '''nehton merve kewa''' («нэхтон мэрвэ кэва»), '''kane nehton merve arre''' («канэ нэхтон мэрвэ аррэ»).<p>[[w:Брауи|Брахуи]]: см. Брауи # [[Файл:Flag of Brittany.svg|22px|border]] [[w:Бретонский язык|Бретонский]]: '''da garout a ran''' («да гарут а ран»), '''c’hwant m’eus diouzhit''' («хван мэус дивит»).<p>[[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешанский]]: см. Брешийский ломбардский<p>[[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешианский]]: см. Брешийский ломбардский # [[Файл:Flag of Brescia.svg|22px|border]] [[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешийский ломбардский]]: '''ta öle bhé''' («та эле бэ»). # [[Файл:Brithenig.png|22px|border]] [[w:Brithenig|Бритениг]]: '''eo dy af''' («эо ди ав»), '''eo dy af twy''' («эо ди ав туи»).<p>[[w:Brithenig|Бритеник]]: см. Бритениг<p>[[w:Brithenig|Брифениг]]: см. Бритениг<p>[[w:Будухский язык|Будугский]]: см. Будухский # [[Файл:Budukh flag.jpg|22px|border]] [[w:Будухский язык|Будухский]]: '''заз вын йикаджы''' («заз вын йикаджи»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:en:Bukusu dialect|Букусу]]: '''nakhusima''' («накусима»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Bulu language|Булу]]: '''ma nye'e wo''' («ма нье'е во»). # [[Файл:Flag of Madhya Pradesh.svg|22px|border]] [[w:Бундели|Бундели]]: '''hum tume chahat hain''' («хум туме чахат хаин»).<p>[[w:Бундели|Бунделкханди]]: см. Бундели<p>[[w:Африкаанс|Бурский]]: см. Африкаанс # [[Файл:Flag of Morobe.png|22px|border]] [[w:en:Burum language|Бурум]]: '''iripki nembi''' («ирипки нэмби»), '''sepki öröbi''' («сэпки эрэби»). # [[Файл:Flag of Jammu and Kashmir (1952-2019).svg|22px|border]] [[w:Бурушаски|Бурушаски]]: '''جا ان کا شل بلا/jaa un ka shul bila''' («джаа ун ка шул била»). # [[Файл:Flag of Buryatia.svg|22px|border]] [[w:Бурятский язык|Бурятский]]: '''би шамай дурлаха''' («би шамай дурлаха»). # [[Файл:Flag of Mayotte (local).svg|22px|border]] [[w:Буши (язык)|Буши]]: '''anaou tiakou''' («анау тьяку»), '''zahou mitiya anaou''' («заху мития анау»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Бходжпури|Бходжпури]]: '''हम तोहसे प्यार करेलीं''' («хам тосе пьаар карила»).<p>[[w:Севернокитайский язык|Бэйфанхуа]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Ваи (язык)|Ваи]]: '''na lia''' («на лиа»). # [[Файл:Flag of the Valencian Community (2x3).svg|22px|border]] [[w:Валенсийский диалект|Валенсийский]]: '''t’estime''' («тэстимэ»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Vallader dialect|Валладерский романшский]]: '''eu t’am''' («эу тэм»). # [[Файл:Flag of Wales.svg|22px|border]] [[w:Валлийский язык|Валлийский]]: '''rwy`n dy garu di''' («руаин ды хару ди»). # [[Файл:Flag of Wallonia.svg|22px|border]] [[w:Валлонский язык|Валлонский]]: '''dji t`veû vol`tî''' («дит вё вёльти»).<p>[[w:Массачусетский язык|Вампаноаг]]: см. Массачусетский<p>[[w:Массачусетский язык|Вампаноаг-массачусетский]]: см. Массачусетский # [[Файл:Vlag Fil Samar.gif|22px|border]] [[w:Варайский язык|Варайский]]: '''hinigugma ta ikaw''' («хинигугма та икау»). # [[Файл:Pamiri Flag.webp|22px|border]] [[w:Ваханский язык|Ваханский]]: '''wuz taw dust δorəm''' («ууз тау дуст дорэм»).<p>[[w:Гуахиро (язык)|Ваюу]]: см. Гуахиро<p>[[w:Юрок (язык)|Вейцпекан]]: см. Юрок # [[Файл:Flag of Hungary.svg|22px|border]] [[w:Венгерский язык|Венгерский]]: '''szeretlek''' («сэ́рэтлэк»). # [[Файл:Flag of Venda (1973–1994).svg|22px|border]] [[w:Венда (язык)|Венда]]: '''ndi a ni funa''' («нди а ни фуна»).<p>[[w:Нижнелужицкий язык|Вендский]]: см. Нижнелужицкий # [[Файл:Flag of RTC.gif|22px|border]] [[w:Wenedyk|Венедик]]: '''jo jemu cie''' («йо йему че»). # [[Файл:Flag of Veneto.svg|22px|border]] [[w:Современный венетский язык|Венетский]]: '''te amo''' («тэ амо»). # [[Файл:Flag of Vepsia.svg|22px|border]] [[w:Вепсский язык|Вепсский]]: '''minä armastan sindai''' («ми́ня а́рмастан си́ндай»).<p>[[w:Южноюкагирский язык|Верхнеколымский]]: см. Южноюкагирский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Верхнекускоквимский язык|Верхнекускоквимский]]: '''nughistsin'''' («нухистсин»). # [[Файл:Upper Sorbian Flag.gif|22px|border]] [[w:Верхнелужицкий язык|Верхнелужицкий]]: '''ja će lubuju''' («я че лубую»). # [[Файл:Flag of Saxony.svg|22px|border]] [[w:Верхнесаксонский диалект|Верхнесаксонский]]: '''isch hab dsch gerne''' («иш хаб дш гэрнэ»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Верхний танана|Верхний танана]]: '''naa dithistsįį''' («наа диистсин»), '''naa ihtsįį''' («наа итсин»). # [[File:Västerbottens län vapenflagga.svg|22px|border]] [[w:Диалекты шведского языка|Вестерботтенский шведский]]: '''ja elschke degg''' («я эльшке дэгг»).<p>[[w:Северо-западный марийский язык|Ветлужский марийский]]: см. Северо-западный марийский # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Vili language|Вили]]: '''mi be ku zole''' («ми бэ ку золе»). # [[Файл:POL Wilamowice COA.svg|14px|border]] [[w:Вилямовский язык|Вилямовский]]: '''yh ho dih gan''' («их хо дих ган»).<p>[[w:Варайский язык|Винарайский]]: см. Варайский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Виннебаго (язык)|Виннебаго]]: '''haipį́na''' («хаипинна»). # [[Файл:Flag of Vlachs in Serbia.svg|22px|border]] [[w:Влашский язык (Сербия)|Влашский]]: '''ti voi''' («ти вой»).<p>[[w:Мансийский язык|Вогульский]]: см. Мансийский # [[Файл:Votic Flag.svg|22px|border]] [[w:Водский язык|Водский]]: '''miä suvaan sinua''' («миа суваан синуа»).<p>[[w:Воламо|Волайта]]: см. Воламо # [[Файл:Flag of the Southern Nations, Nationalities, and Peoples' Region.svg|22px|border]] [[w:Воламо|Воламо]]: '''ta nena siiqays''' («та нэна сиикайс»), '''taani nena siiqays''' («таани нэна сиикайс»). # [[Файл:Flag of Volapük.svg|22px|border]] [[w:Волапюк|Волапюк]]: '''löfob oli''' («лёфоб оли»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:Волоф (язык)|Волоф]]: '''sopp naa la''' («сопп наа ля»), '''nopp naa la''' («нопп наа ля»), '''dama la nob''' («дама ля ноб»).<p>[[w:Волапюк|Воляпюк]]: см. Волапюк<p>[[w:Кабардино-черкесский язык|Восточно-адыгский]]: см. Кабардино-черкесский # [[Файл:Flag of Artsakh.svg|22px|border]] [[w:Восточноармянский язык|Восточноармянский]]: '''ես քե սիրում ում''' («ес кэ сирум ум»). # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Восточнокересский (кацтья)]]: '''shro-tse-mah''' («шро-тсе-ма»).<p>[[w:Фиджийский язык|Восточнофиджийский]]: см. Фиджийский # [[Файл:Flag of East Frisia.svg|22px|border]] [[w:Восточнофризский язык|Восточнофризский]]: '''iek hääb die ljoo''' («ик хейб ди лийёо»).<p>[[w:Панджаби|Восточный панджаби]]: см. Панджаби<p>[[w:Фриульский язык|Восточный ретороманский]]: см. Фриульский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Vute language|Вуте]]: '''ma wou ndoune''' («ма ву ндуне»).<p>[[w:Выруский диалект|Выро]]: см. Выруский # [[Файл:Flag of the Võro People.svg|22px|border]] [[w:Выруский диалект|Выруский]]: '''(ma) armasta sinno''' («(ма) армаста синно»). # [[Файл:Bandera de Alto Valirio.png|22px|border]] [[w:Валирийские языки|Высокий валирийский]]: '''avy jorrāelan''' («авю джоррааэлан»). # [[Файл:Flag of South Vietnam.svg|22px|border]] [[w:Вьетнамский язык|Вьетнамский]]: '''anh yêu em''' («ан йеу эм») — женщине; '''em yêu anh''' («эм йеу ан») — мужчине. # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Га (язык)|Га]]: '''miisumo bo''' («мийсумо бо»). # [[Файл:Kanaka Maoli flag.svg|22px|border]] [[w:Гавайский язык|Гавайский]]: '''aloha wau iâ 'oe''' («алоха уау иа ое»). # [[Файл:Flag of the Gagauz people.svg|22px|border]] [[w:Гагаузский язык|Гагаузский]]: '''bän seni severim''' («бянь сени северимь»). # [[Файл:Flag of Haiti.svg|22px|border]] [[w:Гаитянский креольский язык|Гаитянский креольский]]: '''mwen renmen’w''' («муен ренмен у»). # [[Файл:Flag of Guyana.svg|22px|border]] [[w:Гайанский креольский язык|Гайанский креольский]]: '''i love yuh''' («а лов ю»). # [[Файл:Flag of Galicia.svg|22px|border]] [[w:Галисийский язык|Галисийский]]: '''ámote''' («амотэ») — формально; '''quérote''' («кэротэ») — неформально.<p>[[w:Оромо (язык)|Галла]]: см. Оромо # [[Файл:Flag of Brittany (Gwenn ha du).svg|22px|border]] [[w:Галло (язык)|Галло]]: '''j'sea un diot do tae''' («жьсэа ан дьё до тэ»). # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:en:Gangte language|Гангте]]: '''kahun lungsiet na hi''' («кахун лунгсиет на хи»), '''kahung lungsiet hi''' («кахунг лунгсиет хи»), '''kalungsiet na hi''' («калунгсиет на хи»).<p>[[w:Луганда|Ганда]]: см. Луганда<p>[[w:Воламо|Ганта]]: см. Воламо # [[Файл:Flag of Garifuna.svg|22px|border]] [[w:Гарифуна (язык)|Гарифуна]]: '''hínsiñetibu nun''' («хинсиньетибу нун»). # [[Файл:In garoland.svg|22px|border]] [[w:Гаро (язык)|Гаро]]: '''anga nangna ka'sara''' («анга нангна ка'сара»). # [[Файл:Flag of South West State of Somalia.svg|22px|border]] [[w:en:Garre language|Гарре]]: '''si feda''' («си фэда»). # [[Файл:Flag of the Princely State of Tehri Garhwal.svg|22px|border]] [[w:en:Garhwali language|Гархвали]]: '''mithe twe batin agnaan chh''' («митхэ твэ батин агнаан кх»). # [[Файл:Gascogne drapeau.svg|22px|border]] [[w:Гасконский язык|Гасконский]]: '''que v's aimi''' («кё взэми») - формально, '''que t'aimi''' («ке тэми») - неформально.<p>[[w:Шотландский язык (кельтский)|Гаэльский]]: см. Шотландский (кельтский) # [[Файл:Flag of the Central African Republic.svg|22px|border]] [[w:en:Gbaya languages|Гбайя]]: '''mi ko me''' («ми ко мэ»). # [[Файл:Unofficial flag of Guadeloupe (local).svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Гваделупский франко-креольский]]: '''an enmé'w''' («ан эмэу»).<p>[[w:Сукума (язык)|Гве]]: см. Сукума # [[Файл:Flag of Guinea-Bissau.svg|22px|border]] [[w:Гвинейский креольский язык|Гвинейский креольский]]: '''n gosta di bo''' («н госта ди бо»). # [[Файл:Flag of the Northwest Territories.svg|22px|border]] [[w:Гвичин|Гвичин]]: '''neet’ihthan''' («неет’ихсан»).<p>[[w:Ген (язык)|Ге]]: см. Ген<p>[[w:Геэз|Геез]]: см. Геэз # [[Файл:Flag of Togo (3-2).svg|22px|border]] [[w:Ген (язык)|Ген]]: '''un lon o''' («ун лон о»).<p>[[w:Ген (язык)|Генгбе]]: см. Ген<p>[[w:Пуэльче (язык)|Геннакен]]: см. Пуэльче # [[Файл:Flag of Genoa.svg|22px|border]] [[w:Генуэзский диалект лигурского языка|Генуэзский лигурский]]: '''te ammu'''' («тэ амму»). # [[Файл:Flag of Hereroland.svg|22px|border]] [[w:Гереро (язык)|Гереро]]: '''mbeku suvera''' («мбэку сувэра»). # [[Файл:Flag of Guernsey.svg|22px|border]] [[w:Гернсийский диалект нормандского языка|Гернсийский нормандский]]: '''j’t’oïme''' («жьтойм»). # [[Файл:Flag of Guerrero.svg|22px|border]] [[w:Геррерский науатль|Геррерский науатль]]: '''nimitstlasojtla''' («нимитстласойтла»). # [[File:Flag of Hesse (state).svg|22px|border]] [[w:Гессенский диалект|Гессенский немецкий]]: '''isch habb disch libb''' («иш хабб диш либб»). # [[Файл:Ethiopian Pennants.svg|22px|border]] [[w:Геэз|Геэз]]: '''አፈቀረኪ''' («афекераки») - женщине, '''አፈቀረካ''' («афекерека») - мужчине.<p>[[w:Кикуйю (язык)|Гикуйю]]: см. Кикуйю<p>[[w:Кирибати (язык)|Гилбертский]]: см. Кирибати<p>[[w:Гилянский язык|Гиляки]]: см. Гилянский # [[Файл:Flag of Persian Socialist Soviet Republic.svg|22px|border]] [[w:Гилянский язык|Гилянский]]: '''تی سرور دانم''' («ти сервире данам»).<p>[[w:Нивхский язык|Гиляцкий]]: см. Нивхский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Гитксан|Гитксан]]: '''ansip'iny niin''' («ансип'ини ниин»). # [[Файл:POL Gliwice flag.svg|22px|border]] [[w:Силезский язык|Гливицкий силезский]]: '''przajã ci''' («пшая чи»). # [[Файл:Glosa flag.jpg|22px|border]] [[w:Глоса|Глоса]]: '''mi amo tu''' («ми амо ту»). # [[Файл:Flag of Goa.svg|22px|border]] [[w:Конкани (язык)|Гоанский конкани]]: '''हांव तुजेर मोग करता''' («ту магель мога чо»).<p>[[w:Гуахиро (язык)|Гоахиро]]: см. Гуахиро # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Годоберинский язык|Годоберинский]]: '''ден мин идалъавда''' («дэн мин идалавда»).<p>[[w:Нидерландский язык|Голландский]]: см. Нидерландский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Гомала|Гомала]]: '''me kwoh wu''' («мэ кво ву»). # [[Файл:Flag of Maharashtra Navnirman Sena.svg|22px|border]] [[w:Гонди (язык)|Гонди]]: '''ana nik pirem kiyatona''' («ана ник пирэм кийятона»). # [[Файл:Flag of Gornomariysky rayon.svg|22px|border]] [[w:Горномарийский язык|Горномарийский]]: '''мый тыйым яратем''' («мынь тыньим яратэм»).<p>[[w:Димаса|Горный качари]]: см. Димаса # [[Файл:Flag of Gorontalo.svg|22px|border]] [[w:Горонтало (язык)|Горонтало]]: '''aku sayang kamu''' («аку саян каму»). # [[Файл:Ethnic flag of Tat people (Caucasus).svg|22px|border]] [[w:Горско-еврейский язык|Горско-еврейский]]: '''mə tyrə xosdənym''' («мэ тюрэ хосдэнюм»). # [[Файл:Gothic Sunrise Flag.jpg|22px|border]] [[w:Готский язык|Готский]]: '''𐌹𐌺 𐍆𐍂𐌹𐌾𐍉 𐌸𐌿𐌺''' («ик фри́йо сук»).<p>[[w:Нама|Готтентотский]]: см. Нама<p>[[w:Романшский язык|Граубюнденский]]: см. Романшский<p>[[w:Романшский язык|Граубюндер]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Greenland.svg|22px|border]] [[w:Гренландский язык|Гренландский]]: '''asavakit''' («асавакит»). # [[Файл:Flag of Greece.svg|22px|border]] [[w:Греческий язык|Греческий]]: '''σ΄αγαπώ''' («сагапо») — неформально, '''σας αγαπώ''' («сас агапо») — формально. # [[Файл:Flag of Groningen.svg|22px|border]] [[w:Гронингенский диалект|Гронингенский]]: '''k hol van die''' («к хол ван ди»). # [[Файл:Flag of Georgia official.svg|22px|border]] [[w:Грузинский язык|Грузинский]]: '''მიყვარხარ''' («миквархар»).<p>[[w:Юэ (язык)|Гуандунский]]: см. Юэ<p>[[w:Кантонский диалект|Гуанчжоуский]]: см. Кантонский<p>[[w:Севернокитайский язык|Гуаньхуа]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Guarani flag.svg|22px|border]] [[w:Гуарани (язык)|Гуарани]]: '''rojhayhû''' («рохаыху»). # [[Файл:Panteera Wayuu Aumentado.png|22px|border]] [[w:Гуахиро (язык)|Гуахиро]]: '''aisü pia tapüla''' («аисы пиа тапыра»). # [[Файл:Flag of the Gujarat Sultanate.svg|22px|border]] [[w:Гуджарати|Гуджарати]]: '''હું તને પ્રેમ કરું છુ''' («хум танээ прээма карум чу»).<p>[[w:Гуджарати|Гуджаратский]]: см. Гуджарати<p>[[w:Гусии (язык)|Гузии]]: см. Гусии # [[Файл:Flag of Benin.svg|22px|border]] [[w:Гун (язык)|Гун]]: '''n’yiwanna we''' («ньиванна вэ»). # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Гунзибский язык|Гунзибский]]: '''диъи дуго атӏ''' («дии дуго ата») - женщине, '''диъи дуго й-атӏ''' («дии дуго йата») - мужчине. # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Гусии (язык)|Гусии]]: '''nigwachete''' («нигвачэтэ»).<p>[[w:Пуэльче (язык)|Гынына-кынэ]]: см. Пуэльче<p>[[w:Пуэльче (язык)|Гынына-яхэч]]: см. Пуэльче<p>[[w:Геэз|Гыыз]]: см. Геэз<p>[[w:Шотландский язык (кельтский)|Гэльский]]: см. Шотландский (кельтский) # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Дабида (язык)|Дабида]]: '''nakukunde''' («накукунде»).<p>[[w:Дагбани (язык)|Дагбамба]]: см. Дагбани # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Дагбани (язык)|Дагбани]]: '''mi ndigui''' («ми ндигуи»).<p>[[w:Дагбани (язык)|Дагомба]]: см. Дагбани<p>[[w:Румынский язык|Дако-румынский]]: см. Румынский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Дакота (сиуанский язык)|Дакота]]: '''thečhíȟiŋda''' («тхэчихинда»).<p>[[w:Эльвдальский диалект|Далекарлийский]]: см. Эльвдальский<p>[[w:Афарский язык|Данакильский]]: см. Афарский<p>[[w:Адангме (язык)|Дангме]]: см. Адангме # [[Файл:Даргинский флаг (неофициальный, одна из народных вариаций).jpg|22px|border]] [[w:Даргинский литературный язык|Даргинский]]: '''хӀу наб ригахъуре''' («хӀу наб ригахъуре»). # [[Файл:Flag of Afghanistan (2013-2021).svg|22px|border]] [[w:Дари|Дари]]: '''دوستت دارم''' («достат даарам»). # [[Файл:Flag of Denmark.svg|22px|border]] [[w:Датский язык|Датский]]: '''jeg elsker dig''' («я эльска да»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Дег-хитан (язык)|Дег-хитан]]: '''inga dist’a''' («инга дист'а»).<p>[[w:Чипевайан (язык)|Дене Сулин]]: см. Чипевайан # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:Деори (язык)|Деори]]: '''aa nona chu nimai''' («аа нона чу нимаи»). # [[Файл:Flag of FLNKS.svg|22px|border]] [[w:Деху|Деху]]: '''eni a hnimi eö''' («эни аними эё»).<p>[[w:Сефардский язык|Джудезмо]]: см. Сефардский<p>[[w:Сефардский язык|Джудекко]]: см. Сефардский<p>[[w:Ндюка|Джука]]: см. Ндюка<p>[[w:Горско-еврейский язык|Джуури]]: см. Горско-еврейский<p>[[w:Горско-еврейский язык|Джухури]]: см. Горско-еврейский<p>[[w:Дзонг-кэ|Дзонгкха]]: см. Дзонг-кэ # [[Файл:Flag of Bhutan.svg|22px|border]] [[w:Дзонг-кэ|Дзонг-кэ]]: '''ང་གིས་ཁྱོད་ལུ་བྱམས་པ་འབདཝ་ཨིན''' («нга ги че лу га»). # [[Файл:Flag of Gambia.svg|22px|border]] [[w:en:Jahanka language|Джаханка]]: '''n’gné kanou''' («ннэ кану»).<p>[[w:Зарма (язык)|Джерма]]: см. Зарма # [[Файл:Flag of Jersey.svg|22px|border]] [[w:Джерсийский диалект нормандского языка|Джерсийский нормандский]]: '''j’t’aime''' («жьтэм»).<p>[[w:Мальдивский язык|Дивехи]]: см. Мальдивский<p>[[w:Цезский язык|Дидойский]]: см. Цезский # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:Димаса (язык)|Димаса]]: '''ang ningkhe hamjaodu''' («анг нингкхе хамджаоду»).<p>[[w:Димаса|Димаса-качари]]: см. Димаса # [[Файл:Flag of Dinka people.svg|22px|border]] [[w:Динка (язык)|Динка]]: '''yin nhiar''' («йин ниар»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:en:Jola-Fonyi language|Диола-фоньи]]: '''nifañifañ''' («нифаньифань»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:en:Jola-Fonyi language|Диола-фоньи (булуф)]]: '''i mãnghy mãng''' («и манни манг»). # [[Файл:Flag of Jammu and Kashmir (1952-2019).svg|22px|border]] [[w:Догри|Догри]]: '''में तुगी हिरख करना''' («минджо тэрэ наал пьяр хэга»). # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Долганский язык|Долганский]]: '''мин энигин таптыыбын''' («мин энигин таптыыбын»), '''мен эничан таптычан''' («мен эничан таптычан»).<p>[[w:Ладинский язык|Доломитский]]: см. Ладинский # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Долуо|Долуо]]: '''aheri''' («ахери»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Домари|Домари]]: '''ḥaskarmèré''' («хаскармере»), '''āmā tèrs ḥaskarmé''' («аамаа терс хаскарме»). # [[Файл:Dothraki flag.webp|22px|border]] [[w:Дотракийский язык|Дотракийский]]: '''anha zhilak yera''' («анха жилак йера»).<p>[[w:Дотракийский язык|Дотракин]]: см. Дотракийский # [[Файл:White Dragon Flag of England.png|22px|border]] [[w:Древнеанглийский язык|Древнеанглийский]]: '''ic lufie þe''' («ик луфи тэ»). # [[Файл:Banner of the Holy Roman Emperor with haloes (1400-1806).svg|22px|border]] [[w:Древневерхненемецкий язык|Древневерхненемецкий]]: '''ich minne dich''' («ихь миннэ дихь»).<p>[[w:Древнерусский|Древневосточнославянский]]: см. Древнерусский # [[Файл:Ancient Greek Culture Flag.jpg|22px|border]] [[w:Древнегреческий язык|Древнегреческий]]: '''σὲ φιλῶ''' («сэ фило»), '''σὲ ἀγαπῶ''' («сэ агапо»). # [[Файл:Flag Kingdom of Judah.png|22px|border]] [[w:Древнееврейский язык|Древнееврейский]]: '''אהבתיך''' («аhавти́х») - женщине; '''אהבתיך''' («аhaвти́ха») — мужчине. # [[Файл:Banner of the Lordship of Ireland.svg|22px|border]] [[w:Древнеирландский язык|Древнеирландский]]: '''notcharaim''' («нод харэйм»). # [[Файл:Flag of The Icelandic Commonwealth.svg|22px|border]] [[w:en:Old Norse#Old Icelandic|Древнеисландский]]: '''ann ek þér''' («анн эк сэр»).<p>[[w:Прусский язык|Древнепрусский]]: см. Прусский # [[Файл:Banner of the Novgorod Republic (c. 1385).svg|22px|border]] [[w:Древнерусский язык|Древнерусский]]: '''люблѭ тѧ''' («люблю тя»).<p>[[w:Древнескандинавский язык|Древнесеверный]]: см. Древнескандинавский # [[Файл:Raven Banner.svg|22px|border]] [[w:Древнескандинавский язык|Древнескандинавский]]: '''ek elska þik''' («эк эльска сик»), '''ek ann þér''' («эк анн сэр»).<p>[[w:Орхоно-енисейский язык|Древнетюркский]]: см. Орхоно-енисейский # [[Файл:Oriflamme of Charlemagne.png|22px|border]] [[w:Древнефранкский язык|Древнефранкский]]: '''ik minnon thigh''' («ик миннон тиг»). # [[Файл:Sweden-Flag-1562.svg|22px|border]] [[w:Древнешведский язык|Древнешведский]]: '''iak elski þik''' («як эльски сик»).<p>[[w:Геэз|Древнеэфиопский]]: см. Геэз<p>[[w:Древнееврейский язык|Древний иврит]]: см. Древнееврейский<p>[[w:Полабский язык|Древяно-полабский]]: см. Полабский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Дуала (язык)|Дуала]]: '''na tondi wa''' («на тонди ва»). # [[Файл:ТУНГАНИСТАНСКИЙ ФЛАГ.png|22px|border]] [[w:Дунганский язык|Дунганский (ганьсуйский)]]: '''вә э ни''' («вэ ай ни»). # [[Файл:ТУНГАНИСТАНСКИЙ ФЛАГ.png|22px|border]] [[w:Дунганский язык|Дунганский (шэньсийский)]]: '''ңə э ни''' («нэ ай ни»). # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Dusun language|Дусунский]]: '''siuhang oku dia''' («сиуханг оку диа»).<p>[[w:Мальдивский язык|Дхивехи]]: см. Мальдивский # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Дьюла (язык)|Дьюла]]: '''m'bi fê''' («мби фэ»).<p>[[w:Сефардский язык|Еврейско-испанский]]: см. Сефардский<p>[[w:Горско-еврейский язык|Еврейско-татский]]: см. Горско-еврейский # [[Файл:Ancient Egyptian Culture Flag.webp|22px|border]] [[w:Египетский язык|Египетский]]: '''𓌻𓂋𓀁𓀀𓍿𓈖''' («мери и чен») — женщине, '''𓌻𓂋𓀁𓁐𓍿𓅱''' («мери и чю») — мужчине. # [[Файл:Flag of Egypt.svg|22px|border]] [[w:Египетский диалект арабского языка|Египетский арабский]]: '''ٲنَا بحِبَّك''' («ана бахиббак») — мужчине, '''ٲنَا بَحِبِّك''' («ана бахиббик») — женщине. # [[Файл:Flag of Yenish people.svg|22px|border]] [[w:Енишский язык|Енишский]]: '''ketta jaan bettu''' («кэтта яан бэтту»). # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Жамамади|Жамамади]]: '''tera oka-nofi-beya''' («тэра ока нофи бэя»). # [[Файл:Flag of Žemaitija.svg|22px|border]] [[w:Жемайтское наречие|Жемайтский]]: '''aš tavi mīlu''' («аш тави миилю»). # [[Файл:Flag of Montreal.svg|22px|border]] [[w:Жуаль|Жуаль]]: '''sh’teme''' («щтэмэ»). # [[Файл:Flag of Zazaistan.svg|22px|border]] [[w:Зазаки|Зазаки]]: '''ez to has kenan''' («эз то хас кэнан»).<p>[[w:Адыгейский язык|Западноадыгский]]: см. Адыгейский # [[Файл:Flag of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Западно-апачский язык|Западно-апачский]]: '''sheth she'n zho'n''' («шэз шэн жон»). # [[Файл:Flag of Western Armenia.svg|22px|border]] [[w:Западноармянский язык|Западноармянский]]: '''ես քեզ կը սիրեմ''' («йез кез гэсирем»). # [[Файл:Banner of the Duchy of Brabant.svg|22px|border]] [[w:Западнобрабантский диалект|Западнобрабантский]]: ''''k zien a gère''' («кзьен а херэ»).<p>[[w:Ительменский язык|Западноительменский]]: см. Ительменский # [[File:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Западнокересский (ааку)]]: '''thro sii muu''' («сро сии муу»). # [[File:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Западнокересский (каваик)]]: '''аmuu-thro-maa''' («амуу-сро-маа»).<p>[[w:Нижнесаксонские диалекты|Западнонижненемецкий]]: см. Нижнесаксонский # [[Файл:Touareg People Flag.svg|22px|border]] [[w:Западнотамахакский язык|Западнотамахакский]]: '''riɣ-kem''' («риг кем»). # [[Файл:Flag of West Flanders.svg|22px|border]] [[w:Западнофламандские диалекты|Западнофламандский]]: '''ik zie oe geerne''' («ик зие ое геерне»). # [[Файл:Frisian flag.svg|22px|border]] [[w:Западнофризский язык|Западнофризский]]: '''ik hâld fan dy''' («и холд фром тай»). # [[Файл:Flag of the Oromo Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Оромо (язык)|Западно-центральный оромо]]: '''si jaalladha''' («си джаалладха»). # [[Файл:Bandera Front Alliberament Cham.svg|22px|border]] [[w:Чамский язык|Западночамский]]: '''ai ranam dai''' («аи ранам даи») — женщине; '''dai ranam ai''' («даи ранам аи») — мужчине.<p>[[w:Адыгейский язык|Западночеркесский]]: см. Адыгейский # [[File:Piapot First Nation flag.svg|22px|border]] [[w:Западный кри|Западный кри]]: '''ᑭᓵᑭᐦᐃᑎᐣ''' («кисаакихитин»).<p>[[w:Бабин-вицувитен|Западный кэрриер]]: см. Бабин-вицувитен<p>[[w:Луба (язык)|Западный луба]]: см. Луба # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:en:Kassonke language|Западный манинка]]: '''mbi fê''' («мби фэ»). # [[Файл:Flag of Manitoba.svg|22px|border]] [[w:Западный оджибве|Западный оджибве]]: '''kisawēnmin''' («кисавеенмин»).<p>[[w:Западнотамахакский язык|Западный тамахак]]: см. Западнотамахакский # [[Файл:DEU Saterland Flag.svg|22px|border]] [[w:Затерландский фризский язык|Затерландский фризский]]: '''iek hääb die ljoo''' («иэ хээб ди йо»). # [[Файл:Flag of Niger.svg|22px|border]] [[w:Зарма (язык)|Зарма]]: '''aye ga banin''' («айе га банин»). # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Зибирхалинский диалект|Зибирхалинский]]: '''дени мини идалъавда''' («дэни мини идалавда»).<p>[[w:Северный ндебеле|Зимбабвийский ндебеле]]: см. Северный ндебеле # [[Файл:Flag of Zulu.png|22px|border]] [[w:Зулу|Зулу]]: '''ngiyakuthanda''' («нийякутанда»).<p>[[w:Зулу|Зулусский]]: см. Зулу # [[Файл:Flag of Zuni.svg|22px|border]] [[w:Зуни (язык)|Зуни]]: '''tom ho’ ichema''' («том хо ичема»).<p>[[w:Зуни (язык)|Зуньи]]: см. Зуни # [[Файл:PH-BEN Flag.png|22px|border]] [[w:en:Ibaloi language|Ибалои]]: '''pip-piyan taha''' («пип-пийан таха»). # [[Файл:Flag of Cagayan.svg|22px|border]] [[w:en:Ibanag language|Ибанаг]]: '''iddu taka''' («идду така»). # [[Файл:Flag of Sarawak.svg|22px|border]] [[w:Ибанский язык|Ибанский]]: '''aku sayau ke nuan''' («аку сайяу ке нуан»). # [[Файл:Flag of Biafra.svg|22px|border]] [[w:Ибибио (язык)|Ибибио]]: '''mma ma fi''' («мма ма фи»). # [[Файл:Batanes Flag.png|22px|border]] [[w:en:Ivatan language|Иватанский]]: '''chaddao kuymu''' («чаддао куйму»), '''ichaddao ko imu''' («ичаддао ко иму»).<p>[[w:Мегрельский язык|Иверский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Flag of Israel.svg|22px|border]] [[w:Иврит|Иврит]]: '''אני אוהב אותך''' («ани оев отах») — женщине; '''אני אוהבת אותך''' («ани оевет отха») — мужчине. # [[Файл:Flag of Biafra.svg|22px|border]] [[w:Игбо (язык)|Игбо]]: '''m hụrụ gị n’anya''' («мхууруу гии н анья»).<p>[[w:Тиндинский язык|Идаринский]]: см. Тиндинский<p>[[w:Тиндинский язык|Идеринский]]: см. Тиндинский # [[Файл:Proposed Yiddish flag.svg|22px|border]] [[w:Идиш|Идиш]]: '''איך האָב דיך ליב''' («их об дих либ»). # [[Файл:Flag of Ido.svg|22px|border]] [[w:Идо|Идо]]: '''me amoras tu''' («мэ аморас ту»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Ижорский]]: '''miä suvvaan sinnua''' («миэ сувваан синнуа»). # [[Файл:Flag of Uganda.svg|22px|border]] [[w:Ик (язык)|Ик]]: '''tsamia bi''' («тсамиа би»).<p>[[w:Илоканский язык|Илокано]]: см. Илоканский # [[Файл:Flag of Ilocos Sur.svg|22px|border]] [[w:Илоканский язык|Илоканский]]: '''ayayatenka''' («айяйятэнка»), '''ipatpategka''' («ипатпатэгка»), '''ikarkarayoka''' («икаркарайока»).<p>[[w:Илоканский язык|Илоко]]: см. Илоканский<p>[[w:Хилигайнон|Илонгго]]: см. Хилигайнон # [[Файл:Flag of the Syriac-Aramaic People.svg|22px|border]] [[w:en:Imperial Aramaic|Имперский арамейский]]: '''ܟܠܐܢܐ ܡܝܪ''' («кльнь мир»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Инари-саамский язык|Инари-саамский]]: '''mun rähistâm tuu''' («мун ра́хистам туу»). # [[Файл:Flag of Ingushetia.svg|22px|border]] [[w:Ингушский язык|Ингушский]]: '''хьо сона еза''' («хо сона еза») — женщине; '''хьо сона веза''' («хо сона веза») — мужчине. # [[Файл:Flag of Indonesia.svg|22px|border]] [[w:Индонезийский язык|Индонезийский]]: '''aku cinta kamu''' («аку чинта камуу»).<p>[[w:Монтанье-наскапи (язык)|Инну]]: см. Монтанье-наскапи<p>[[w:Монтанье-наскапи (язык)|Инну-аймун]]: см. Монтанье-наскапи # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Интерглосса|Интерглосса]]: '''mi amo tu''' («ми амо ту»), '''mi esthe philo tu''' («ми эстэ фило ту»). # [[Файл:Interlingua2.png|22px|border]] [[w:Интерлингва (IALA)|Интерлингва]]: '''io te ama''' («ио тэ ама»).<p>[[w:Окциденталь|Интерлингве]]: см. Окциденталь # [[Файл:Flag of Nunavut.svg|22px|border]] [[w:Инуиннактун|Инуиннактун]]: '''piqpagiyagin''' («пикпагийягин»). # [[Файл:Flag of Nunavik (Thomassie Mangiok).svg|22px|border]] [[w:Инуктитут|Инуктитут]]: '''ᓇᒡᓕᒋᕙᒋᑦ''' («наглигивагит»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:en:Iñupiaq language|Инупиак]]: '''nakuagigikpin''' («накуагигикпин»), '''nakuagikpakpin''' («накуагикпакпин»), '''piqpavagin''' («пикпавагин»). # [[Файл:Flag of Bangsamoro.svg|22px|border]] [[w:en:Iranun language|Иранун]]: '''kababayaan ku ska''' («кабабайаан ку ска»). # [[Файл:Flag of Ireland.svg|22px|border]] [[w:Ирландский язык|Ирландский]]: '''gráím thú''' («грэм ту»).<p>[[w:Ирландский язык|Ирландский гэльский]]: см. Ирландский # [[Файл:Flag of Thailand.svg|22px|border]] [[w:Исанский язык|Исанский]]: '''ຂ້ອຍຮັກເຈົ້າ''' («кхёой хак чао»). # [[Файл:Flag of Iceland.svg|22px|border]] [[w:Исландский язык|Исландский]]: '''ég elska þig''' («эг эльска сиг»). # [[Файл:Delta State Flag.gif|22px|border]] [[w:en:Isoko language|Исоко]]: '''me you owhai''' («мэ ю оухаи»). # [[Файл:Flag of Spain.svg|22px|border]] [[w:Испанский язык|Испанский]]: '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Испанский кало|Испанский кало]]: '''te camelo''' («тэ камэло»). # [[Файл:Flag of the Zapotec Peoples.svg|22px|border]] [[w:Истмусский сапотекский язык|Истмусский сапотекский]]: '''nadxieeʼ lii''' («наджиее лии»). # [[Файл:Flag of Istria (historical).svg|22px|border]] [[w:Истрорумынский язык|Истрорумынский]]: '''te iubeåć''' («тэ юбэач»). # [[Файл:Insignia-coatofarms-isfahan-province.png|22px|border]] [[w:en:Esfahani accent|Исфаханский персидский]]: '''شومارو دوس دارم''' («шума ру дус дарэм»). # [[Файл:Flag of Italy.svg|22px|border]] [[w:Итальянский язык|Итальянский]]: '''ti amo''' («ти амо»). # [[Файл:Flag of Kamchatka Oblast.svg|22px|border]] [[w:Ительменский язык|Ительменский]]: '''кәмман кәзза тлфталакзусчэн''' («кымман кызза тлфталакзусчэн»). # [[Файл:Flag of the Patujú flower.svg|22px|border]] [[w:Итонама (язык)|Итонама]]: '''ka’k’isilo’ne’mo''' («ка к исило нэ мо») — женщине; '''a’k’isilo’ne’mo''' («а к исило нэ мо») — мужчине. # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Иульджи: '''я любюніаі а ято''' («я любюниаи а ято»), '''я любюніаі а ята''' («я любюниаи а ята»). # [[Файл:Ithkuil Flag.webp|22px|border]] [[w:Ифкуиль|Ифкуиль]]: '''ôžasi ükhi''' («ожаси юкхи»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Ица (язык)|Ица]]: '''ink’atech''' («инкатэч»).<p>[[w:Ишильский язык|Ишиль]]: см. Ишильский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Ишильский язык|Ишильский]]: '''nikin sa' axh''' («никин са аш»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Иширкиан: '''nukisi''' («нукиси»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Йемба|Йемба]]: '''men nkon' wou''' («мэн нкон ву»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Йоканьгско-саамский язык|Йоканьгско-саамский]]: '''мунн со̄бпам то̄ны''' («мунн со́бпам то́ны»). # [[Файл:Flag of county Wexford.svg|22px|border]] [[w:Йола (язык)|Йола]]: '''ich love thou''' («ихь лав зу»). # [[Файл:Australian Aboriginal Flag.svg|22px|border]] [[w:en:Yolŋu languages|Йолнгу]]: '''ŋarra djäl nhuna''' («нгарра джал нхуна»). # [[Файл:Flag of Egbe Omo Yoruba.svg|22px|border]] [[w:Йоруба (язык)|Йоруба]]: '''mo nifẹẹ rẹ''' («мо нифеэ рэ»). # [[Файл:Flag of Kabardino-Balkaria.svg|22px|border]] [[w:Кабардино-черкесский язык|Кабардино-черкесский]]: '''сэ уэ лагун''' («сэ уэ лагун»). # [[Файл:Flag-kabyle.svg|22px|border]] [[w:Кабильский язык|Кабильский]]: '''hamlaɣkem''' («хамлагкем») — женщине, '''hamlaɣk''' («хамлагк») — мужчине.<p>[[w:Кабувердьяну|Кабо-вердианский креол]]: см. Кабувердьяну<p>[[w:Кабувердьяну|Кабо-вердиану]]: см. Кабувердьяну # [[Файл:Flag of Cape Verde.svg|22px|border]] [[w:Кабувердьяну|Кабувердьяну]]: '''`n crebu tcheu''' («нкребу тчу»).<p>[[w:Дари|Кабули]]: см. Дари # [[Файл:Flag of Acadiana.svg|22px|border]] [[w:Каджунский диалект французского языка|Каджунский французский]]: '''mi aime jou''' («ми эм жу»). # [[Файл:Flag of Kazakhstan.svg|22px|border]] [[w:Казахский язык|Казахский]]: '''мен сені жақсы көремін'''' («мен сени жаксы коремин»). # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Кайюга (язык)|Кайюга]]: '''go-nóhkwa’'''' («го-нохква»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Какчикельский язык|Какчикельский]]: '''yatinwajo'''' («йатинуахо»). # [[Файл:Flag of Montana.svg|22px|border]] [[w:Калиспел|Калиспел]]: '''kʷinχaménč''' («куинхаменч»). # [[Файл:Flag of Kalmykia.svg|22px|border]] [[w:Калмыцкий язык|Калмыцкий]]: '''би чамд дуртав''' («би чамд дуртав»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Камба (язык, Кения)|Камба]]: '''ningwemdete''' («нингвемдэтэ»). # [[Файл:Flag of Sardinia.svg|22px|border]] [[w:Кампиданский диалект|Кампиданский сардинский]]: '''deu t’amu''' («дэу тьяму»).<p>[[w:Ительменский язык|Камчадальский]]: см. Ительменский # [[Файл:Flag of Quebec.svg|22px|border]] [[w:en:Canadian French|Канадский французский]]: '''je t’aime''' («штэм»). # [[Файл:Flag of the Cordillera Administrative Region.svg|22px|border]] [[w:en:Kankanaey language|Канканаэйский]]: '''laylaydek sik-a''' («лайлайдэк сик-а»). # [[Файл:Flag of the Kannada people.svg|22px|border]] [[w:Каннада|Каннада]]: '''ನಾ ನಿನ್ನ ಪ್ರೀತಿಸ್ತೀನಿ''' («наа нинна преэтистээни»). # [[Файл:Flag of Japan.svg|22px|border]] [[w:Кансайский диалект|Кансайский]]: '''好いとんねん''' («суитоннэн»), '''好きやねん''' («сукиянэн»). # [[Файл:Flag of Hong Kong.svg|22px|border]] [[w:Кантонский диалект|Кантонский]]: '''我愛你''' («нго ой нэй»). # [[Файл:Flag of the Kanuri people.svg|22px|border]] [[w:Канури (язык)|Канури]]: '''nya raakna''' («нья раакна»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Канхобальский язык|Канхобальский]]: '''chwachwechej''' («чуачуэчех»).<p>[[w:Капампанганский язык|Капампанган]]: см. Капампанганский # [[Файл:Pampanga Flag.png|22px|border]] [[w:Капампанганский язык|Капампанганский]]: '''kaluguran daka''' («калугуран дака»). # [[Файл:PH-CAP.png|22px|border]] [[w:en:Capiznon language|Каписнон]]: '''mahal kita''' («махал кита»).<p>[[w:Бежтинский язык|Капучинский]]: см. Бежтинский # [[Файл:Flag of Artsakh.svg|22px|border]] [[w:Карабахский диалект армянского языка|Карабахский армянский]]: '''ես քեզ սիրում ում''' («ес кез сирум ум»). # [[Файл:Flag of Crimean Karaites.svg|22px|border]] [[w:Караимский язык|Караимский]]: '''mień sieni siuviam''' («мень сени сювям»). # [[Файл:Flag of Karakalpakstan.svg|22px|border]] [[w:Каракалпакский язык|Каракалпакский]]: '''мен сени жақсы көремен''' («мен сени жаксы коремен»).<p>[[w:Шона (язык)|Каранга]]: см. Шона # [[Файл:Karachay Flag.jpg|22px|border]] [[w:Карачаево-балкарский язык|Карачаево-балкарский]]: '''мен сени сюеме''' («мэн сэни сюэмэ»).<p>[[w:Карачаево-балкарский язык|Карачаевский]]: см. Карачаево-балкарский # [[Файл:Karelian National Flag.svg|22px|border]] [[w:Карельский язык|Карельский]]: '''mie šilma šuvačen''' («мие шилма шувачен»), '''minä armastan sindai''' («миня армастан синдаи»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Kari language|Кари]]: '''ni kou zololo''' («ни коу зололо»). # [[Файл:Flag of Venezuela.svg|22px|border]] [[w:Карибский язык|Карибский]]: '''kysiropimaya''' («кисиропимайя»). # [[Файл:Bandeira de Rondônia.svg|22px|border]] [[w:Каритиана (язык)|Каритиана]]: '''ÿn mã a'ak''' («юн маа а ак»).<p>[[w:Карук (язык)|Карок]]: см. Карук # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Карук (язык)|Карук]]: '''nu-'íimnih-tih''' («ну иимни ти»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:en:Kasa language|Каса]]: '''lifañifañ''' («лифаньифань»), '''difañifañ''' («дифаньифань»). # [[Файл:Banner of Castile (Modern Design Variant).svg|22px|border]] [[w:Кастильский диалект|Кастильский]]: '''te amo''' («тэ амо»), '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:Estelada blava.svg|22px|border]] [[w:Каталанский язык|Каталанский]]: '''t’estimo''' («тэстимо»).<p>[[w:Каталанский язык|Каталонский]]: см. Каталанский # [[Файл:Kachin People Flag.svg|22px|border]] [[w:Качинский язык (цзинпо)|Качинский]]: '''nang hpe ngai tsaw ra ai''' («нэн пе най тсоо рэ ай»).<p>[[w:Кашубский язык|Кашебский]]: см. Кашубский<p>[[w:Кашмирский язык|Кашмири]]: см. Кашмирский # [[Файл:Jammu Kashmir Liberation Front flag.svg|22px|border]] [[w:Кашмирский язык|Кашмирский]]: '''مےٚ چھِ چٲنؠ ماے‎''' («мэ чи каань маай»). # [[Файл:POL Kaszuby flag.svg|22px|border]] [[w:Кашубский язык|Кашубский]]: '''jô cë kòchóm''' («е це квехом»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Квакиутль|Квакиутль]]: '''łaxwala nuxwan tłus''' («ляхьвала нухьван тлюс»).<p>[[w:Багвалинский язык|Кванадинский]]: см. Багвалинский # [[Файл:Flag of Namibia.svg|22px|border]] [[w:en:Kwangali language|Квангали]]: '''ame naku hara''' («амэ наку хара»). # [[Файл:Quenya flag.svg|22px|border]] [[w:Квенья|Квенья]]: '''melinyel''' («мэлиньел»), '''amin mela lle''' («амин мэла ллэ»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Кекчи (язык)|Кекчи]]: '''nakatinra''' («накатинра»). # [[Файл:Flag of Siberia.svg|22px|border]] [[w:Кетский язык|Кетский]]: '''иль укаӈт лювероӈавет''' («иль укант люверонавет»), '''ать у люверовет''' («ать у люверовет»).<p>[[w:Кечуанские языки|Кечва]]: см. Кечуа # [[Файл:Flag of Cusco (1978–2021).svg|22px|border]] [[w:Кечуанские языки|Кечуа]]: '''canda munani''' («канда мунани»).<p>[[w:Аякучанский кечуа|Кечуа-чанка]]: см. Аякучанский кечуа # [[Файл:Flagge Köln.svg|22px|border]] [[w:Кёльнский диалект|Кёльнский]]: '''isch han dich leev''' («иш хан диш леев»), '''isch han dich jään''' («иш хан диш еен»). # [[Файл:Flag of Idaho.svg|22px|border]] [[w:Кёр-д’ален (язык)|Кёр-д'ален]]: '''ku nx̣amínč''' («кунхаминч»). # [[Файл:Bandera poble Batwa.svg|22px|border]] [[w:en:Kiga language|Кига]]: '''ninkukunda iwe''' («нинкукунда ивэ»).<p>[[w:Тамашек|Кидаль]]: см. Тамашек<p>[[w:Тамашек|Кидаль-тамашек]]: см. Тамашек # [[Файл:Flag of Oklahoma.svg|22px|border]] [[w:Кикапу (язык)|Кикапу]]: '''ketapaanene''' («кетупуунэнэ»).<p>[[w:Конго (язык)|Киконго]]: см. Конго # [[Файл:Kikuyu Flag (Mountain of Brightness).svg|22px|border]] [[w:Кикуйю (язык)|Кикуйю]]: '''nĩngwendete''' («нинкуэдете»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Килеут (язык)|Килеут]]: '''nayeli''' («найели»).<p>[[w:Луба-катанга|Килуба]]: см. Луба-катанга<p>[[w:Кильдинский саамский язык|Кильдин-саамский]]: см. Кильдинский саамский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Кильдинский саамский язык|Кильдинский саамский]]: '''мунн то̄н шоа̄бша''' («мунн тоон шоа́бша»).<p>[[w:Северный мбунду|Кимбунду]]: см. Северный мбунду<p>[[w:Валлийский язык|Кимрский]]: см. Валлийский<p>[[w:Руанда (язык)|Киньяруанда]]: см. Руанда # [[Файл:Semaia tes Kyprou.svg|22px|border]] [[w:Кипрский диалект греческого языка|Кипрский греческий]]: '''αγαπώ σε''' («агапо сэ»). # [[Файл:Flag of Cyprus.svg|22px|border]] [[w:Кипрско-арабский язык|Кипрско-арабский]]: '''uḥibbuk''' («ухиббук»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:en:Kipsigis language|Кипсигис]]: '''achamin''' («ачамин»). # [[Файл:Flag of Kyrgyzstan.svg|22px|border]] [[w:Киргизский язык|Киргизский]]: '''мен сени сүйөм''' («мен сэни сюйом»). # [[Файл:Flag of Kiribati.svg|22px|border]] [[w:Кирибати (язык)|Кирибати]]: '''i tangiriko''' («и тангирико»).<p>[[w:Кирибати (язык)|Кирибатский]]: см. Кирибати<p>[[w:Рунди (язык)|Кирунди]]: см. Рунди<p>[[w:Гусии (язык)|Кисии]]: см. Гусии<p>[[w:Суахили|Кисуахили]]: см. Суахили<p>[[w:Сукума (язык)|Кисукума]]: см. Сукума # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Китайский язык|Китайский]]: '''我愛你''' («во ай ни»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Китуба|Китуба]]: '''mu zola ngé''' («му зола нге»). # [[File:Flag of Viejšnoryja (Veyshnoria), fictional enemy republic for Zapad 2017 exercise.svg|22px|border]] Кихчексела: '''iðériscán''' («изэрискан»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Киче (язык)|Киче]]: '''katwaj''' («катуах»). # [[Файл:Flag of Cusco (1978–2021).svg|22px|border]] [[w:Кичуа (язык)|Кичуа]]: '''juyanimi''' («хуяними»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Клаллам (язык)|Клаллам]]: '''nəsƛ̕éʔ cxʷ''' («нэслэтчх»).<p>[[w:Кламат-модокский язык|Кламат]]: см. Кламат-модокский<p>[[w:Кламат-модокский язык|Кламат-модок]]: см. Кламат-модокский # [[Файл:Flag of Oregon.svg|22px|border]] [[w:Кламат-модокский язык|Кламат-модокский]]: '''Moo ?ams ni stinta''' («моо амс ни стинта»).<p>[[w:Геэз|Классический эфиопский]]: см. Геэз # [[Файл:Klingon Empire Flag.svg|22px|border]] [[w:Клингонский язык|Клингонский]]: '''qamuSHa'''' («камуша»), '''bahng-WI' shokh''' («банг-ви шох»). # [[Файл:Brunssum vlag.svg|22px|border]] [[w:Диалекты нидерландского языка|Клингский нидерландский]]: '''ik zien ô gjèèren''' («ик зьен оо херээн»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Кого (язык)|Кого]]: '''ma din wa''' («ма дин ва»). # [[Файл:TIPRA flag.jpg|22px|border]] [[w:Кокборок|Кокборок]]: '''ang nono hamjakgo''' («анг ноно хамджакго»). # [[Файл:Flag of the City of London.svg|22px|border]] [[w:Кокни|Кокни]]: '''you are my turtle dove''' («ю а май тортл дав»).<p>[[w:Тлингитский язык|Колошский]]: см. Тлингитский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Колтта-саамский язык|Колтта-саамский]]: '''(mon) rääʹǩǩstam tuu''' («(мон) ра́кстам туу»).<p>[[w:Южноюкагирский язык|Колымский]]: см. Южноюкагирский<p>[[w:Команчский язык|Команче]]: см. Команчский # [[Файл:Flag of Oklahoma.svg|22px|border]] [[w:Команчский язык|Команчский]]: '''ʉ kamakʉtʉ nʉ''' («э камакэт нэ»).<p>[[w:Коми язык|Коми]]: см. Коми-зырянский # [[Файл:Komi Nordic cross flag.svg|22px|border]] [[w:Коми язык|Коми-зырянский]]: '''ме тэнö радейта''' («ме тэ́нэ ра́дейта»), '''ме тэнö мусала''' («ме тэ́нэ му́сала»). # [[Файл:Flag of Izhemsky rayon (Komia).png|22px|border]] [[w:Ижемский диалект коми языка|Коми-ижемский]]: '''ме тэнэ радейта''' («ме тэ́нэ ра́дейта»), '''ме тэнэ любита''' («ме тэ́нэ лю́бита»). # [[Файл:Flag of Permyakia.svg|22px|border]] [[w:Коми-пермяцкий язык|Коми-пермяцкий]]: '''ме тэнӧ любита''' («ме тэнэ любита»), '''ме тэнӧ радейта''' («ме тэнэ радейта»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Комокс|Комокс]]: '''χaƛnomɛč''' («халномэч»). # [[Файл:Flag of Comoros.svg|22px|border]] [[w:Коморский язык|Коморский]]: '''n'game handzo''' («нгаме хандзо»). # [[Файл:Flag of Musikongo.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Конго]]: '''mono ke zola nge''' («моно кэ зола нге»), '''na lingui yo''' («на лингуи йо»). # [[Файл:Flag of Goa.svg|22px|border]] [[w:Конкани (язык)|Конкани]]: '''हांव तुजेर मोग करता''' («ту магель мога чо»). # [[Файл:Coptic cross.svg|22px|border]] [[w:Коптский язык|Коптский]]: '''Ϯⲙⲉ ⲙ︦ⲙⲟ''' («тимэ ммо») — женщине, '''Ϯⲙⲉ ⲙ︦ⲙⲟⲕ''' («тимэ ммок») — мужчине. # [[Файл:Flag of South Korea.svg|22px|border]] [[w:Корейский язык|Корейский]]: '''사랑해''' («саранхэ»).<p>[[w:Кипрско-арабский язык|Кормакити]]: см. Кипрско-арабский<p>[[w:Корнский язык|Корнваллийский]]: см. Корнский # [[Файл:Flag of Cornwall.svg|22px|border]] [[w:Корнский язык|Корнский]]: '''my a’th kar''' («ми афкар»).<p>[[w:Корнский язык|Корнуэльский]]: см. Корнский # [[Файл:Flag of Corsica.svg|22px|border]] [[w:Корсиканский язык|Корсиканский]]: '''ti tengu cara''' («ти тэнгу кара») — женщине; '''ti tengu caru''' («ти тэнгу кару») — мужчине. # [[Файл:Flag of Koryakia.svg|22px|border]] [[w:Корякский язык|Корякский]]: '''гмнан гъчи гаймо ткулн'ги''' («гы́мнан гы́чи гэ́ймо тку́лнги»), '''гымнан гыччи ылӈу тыкулӈыги''' («гымнан гыччи ылну тыкулныги»). # [[Файл:Flag of Transkei.svg|22px|border]] [[w:Коса (язык)|Коса]]: '''ndiyakuthanda''' («ндиякутанда»).<p>[[w:Авадхи|Косали]]: см. Авадхи<p>[[w:Гусии (язык)|Косова]]: см. Гусии # [[Файл:Flag of Kosrae.svg|22px|border]] [[w:Косяэ|Косяэ]]: '''nga lungse kom''' («на лунсэ ком»). # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Kota language (Gabon)|Кота (Габон)]]: '''ma nono bè''' («ма ноно бе»). # [[Файл:Flag of Kotava.svg|22px|border]] [[w:avk:Котава|Котава]]: '''va rin rená''' («ва рин рэна»).<p>[[w:Тем (язык)|Котоколи]]: см. Тем # [[Файл:Flag of Siberia.svg|22px|border]] [[w:Коттский язык|Коттский]]: '''hamaʔ-u-th-āk-ŋ''' («хамаъ-у-с-аак-н»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Коюкон|Коюкон]]: '''nʉgh estsen'''' («нох эстсен»). # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Кпелле (язык)|Кпелле]]: '''iwalikana''' («иваликана»). # [[Файл:Flag of the Northwest Territories.svg|22px|border]] [[w:Кри (языки)|Кри]]: '''ᑮᓯᑲᐦᐄᐦᐃᑏᐣ''' («кисаакихитин»). # [[Файл:Flag of the Confederate States for the Muscogee (Creek) Nation.svg|22px|border]] [[w:Крикский язык|Крикский]]: '''ecenokecis''' («эценокецис»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Крио|Крио]]: '''а lɛk yu''' («а лек ю»).<p>[[w:Малайско-португальский креольский язык|Кристанг]]: см. Малайско-португальский креольский # [[Файл:Flag of Montana.svg|22px|border]] [[w:Кроу (язык)|Кроу]]: '''dii awátsišiky''' («дии ауатсишикь»).<p>[[w:Крымскотатарский язык|Крымский]]: см. Крымскотатарский # [[Файл:Flag of the Crimean Tatar people.svg|22px|border]] [[w:Крымскотатарский язык|Крымскотатарский]]: '''men seni sevem''' («мэн сэни сэвэм»).<p>[[w:Крымскотатарский язык|Крымтатарский]]: см. Крымскотатарский # [[Файл:Proposed flag of Krymchaks.svg|22px|border]] [[w:Крымчакский язык|Крымчакский]]: '''men seni sevem''' («мэн сэни сэвэм»). # [[Файл:Flag of Dahadaevsky rayon (Dagestan).png|22px|border]] [[w:Кубачинский язык|Кубачинский]]: '''у дамми йикIулда''' («у дамми йик улда»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:en:Kurmali language|Кудмали]]: '''môy tôke pôsôd kôrô''' («мой токе посод коро»). # [[Файл:Flag of Palawan, Philippines.svg|22px|border]] [[w:Куйонон (язык)|Куйонон]]: '''inggegegma ta kaw''' («инггегегма та кау»), '''gegma ta kaw''' («гэгма та кау»), '''mal ta kaw''' («мал та кау»).<p>[[w:Куйонон (язык)|Куйонский]]: см. Куйонон # [[Файл:Flag of the Cook Islands.svg|22px|border]] [[w:Кукский язык|Кукский]]: '''inangaro au ia koe''' («инангаро ау иа коэ»).<p>[[w:Кукский язык|Кукский маори]]: см. Кукский # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Куланго (язык)|Куланго]]: '''mi koriou''' («ми кориоу»). # [[Файл:Flag of Altai Krai.svg|22px|border]] [[w:Кумандинское наречие|Кумандинский]]: '''меҥ сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of the Kumaon Kingdom.svg|22px|border]] [[w:Кумаони (язык)|Кумаони]]: '''mekai teri maya laagi chhoo''' («мэкай тэри майа лааги чхоо»). # [[Файл:Flag of Kumyks.svg|22px|border]] [[w:Кумыкский язык|Кумыкский]]: '''мен сени сюемен''' («мэн си сюэмэн»).<p>[[w:Романшский язык|Курваль]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Курдский язык|Курдский]]: '''ez hej te dikim''' («эз хэдж тэ диким»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Курманджи (диалект курдского языка)|Курманджи]]: '''ez jite hezdikim''' («эз житэ хэздиким»). # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Кусаал (язык)|Кусаал]]: '''m bood if''' («м бооди ф»).<p>[[w:Косяэ|Кусаеанский]]: см. Косяэ<p>[[w:Косяэ|Кусаие]]: см. Косяэ<p>[[w:Кусаал (язык)|Кусале]]: см. Кусаал<p>[[w:Кусаал (язык)|Кусаси]]: см. Кусаал # [[Файл:Flag of Cusco (2021).svg|22px|border]] [[w:Кусканский кечуа|Кусканский кечуа]]: '''munakuyki''' («мунакуйки»). # [[Файл:Flag of Sindh.svg|22px|border]] [[w:en:Kutchi language|Кутчи]]: '''આંઉ તોકે પ્રેમ કંઈયા તો''' («аау то-ке прем каийя то»).<p>[[w:Гвичин|Кучинский]]: см. Гвичин<p>[[w:Чхаттисгархи|Кхалтахи]]: см. Чхаттисгархи # [[Файл:Bandera de Meghalaya.svg|22px|border]] [[w:Кхаси (язык)|Кхаси]]: '''nga ieid ia phi''' («нга иеид иа пхи»). # [[Файл:Flag of Cambodia.svg|22px|border]] [[w:Кхмерский язык|Кхмерский]]: '''បងស្រឡាញ់អូន''' («бон сроланх оун») — женщине; '''អូនស្រឡាញ់បង''' («оун сроланх бон») — мужчине.<p>[[w:Коса (язык)|Кхоса]]: см. Коса<p>[[w:Косяэ|Косраэ]]: см. Косяэ<p>[[w:Киргизский язык|Кыргызский]]: см. Киргизский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Кэрриер (язык)|Кэрриер]]: '''nyuk'enusi''' («ньюк энуси»). # [[Файл:Flag of Kyakhta (Buryatia).png|22px|border]] [[w:Кяхтинский язык|Кяхтинский]]: '''моя твоя люби''' («моя твоя люби»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Лаала: '''mm do da''' («мм до да»).<p>[[w:Сефардский язык|Ладино]]: см. Сефардский # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:Ладинский язык|Ладинский]]: '''te ei gen''' («тэ эй гэн»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan.png|22px|border]] [[w:Лазский язык|Лазский]]: '''მასიმაოროპენ''' («масимаоропэн»).<p>[[w:Чинский язык|Лай]]: см. Чинский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Лакота (язык)|Лакота]]: '''thečhíȟila''' («тхэчихила»). # [[Файл:نماد لک های داغستان.jpg|22px|border]] [[w:Лакский язык|Лакский]]: '''ттунина ххирара''' («тунина хирара»).<p>[[w:Эвенский язык|Ламутский]]: см. Эвенский # [[Файл:Flag of Piedmont.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Лангароло]]: '''ieu t’ame''' («ю тэм»).<p>[[w:Хо (язык)|Ланка-кол]]: см. Хо # [[Файл:Flag of Laos.svg|22px|border]] [[w:Лаосский язык|Лаосский]]: '''ຂ້ອຍຮັກເຈົ້າ''' («кхёой хак чао»).<p>[[w:Субанон (язык)|Лапуян]]: см. Южный субанон # [[Файл:Flag of Musikongo.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Лари]]: '''nge nzololo''' («нге нзололо»), '''nikuzololo''' («никузололо»).<p>[[w:Чхаттисгархи|Лариа]]: см. Чхаттисгархи # [[Файл:Official flag of Latgale.svg|22px|border]] [[w:Латгальский язык|Латгальский]]: '''es tevi miloju''' («ас теви меелою»). # [[Файл:Flag of the Roman Empire.svg|22px|border]] [[w:Латинский язык|Латинский]]: '''te amo''' («тэ амо»).<p>[[w:Латинский язык|Латынь]]: см. Латинский # [[Файл:Flag of Latvia.svg|22px|border]] [[w:Латышский язык|Латышский]]: '''es tevi mīlu''' («эс тэви миилу»).<p>[[w:Урду|Лашкари]]: см. Урду<p>[[w:Лушуцид|Лашутсид]]: см. Лушуцид<p>[[w:Лингва де планета|ЛдП]]: см. Лингва де планета # [[Файл:Lezgian flag.svg|22px|border]] [[w:Лезгинский язык|Лезгинский]]: '''заз вун кӏанзава‎''' («заз вун къанзава»). # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Лесной энецкий язык|Лесной энецкий]]: '''мо̂дь ууʼʼ комитазʼʼ''' («моодь уу́ комита́з»).<p>[[w:Древнееврейский язык|Лешон ха-кодеш]]: см. Древнееврейский # [[Файл:Flag of Lebanon.svg|22px|border]] [[w:Ливанский диалект арабского языка|Ливанский арабский]]: '''بهباك''' («бахибак»). # [[Файл:Flag of the Livonians.svg|22px|border]] [[w:Ливский язык|Ливский]]: '''minā ārmaztõb sinā''' («минаа аармазтыб синаа»). # [[Файл:Flag of Liguria.svg|22px|border]] [[w:Лигурский язык (современный)|Лигурский]]: '''mi te amo''' («ми тэ амо»), '''te véuggio bén''' («тэ веуджо бэн»).<p>[[w:Лингва де планета|Лидепла]]: см. Лингва де планета # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Лиллуэт|Лиллуэт]]: '''stexwkan tu7 xatmintsin''' («стэхукан ту хатминтсин»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Limbum language|Лимбум]]: '''meh kong weh''' («мэ кон вэ»). # [[Файл:Flag of Limburg (Netherlands).svg|22px|border]] [[w:Лимбургский язык|Лимбургский]]: '''ik hald van dich''' («ик халд фан дихь»).<p>[[w:Лимбургский язык|Лимбуржский]]: см. Лимбургский # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Лингала|Лингала]]: '''nalingí yɔ̌''' («налинги йё»).<p>[[w:Тупи (язык)|Лингва бразилика]]: см. Тупи # [[Файл:Lidepla.jpg|22px|border]] [[w:Лингва де планета|Лингва де планета]]: '''me lubi yu''' («ме луби ю»).<p>[[w:Тупи (язык)|Лингва жерал]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Lingua Franca Nova.svg|22px|border]] [[w:Лингва франка нова|Лингва франка нова]]: '''me ama tu''' («мэ ама ту»). # [[Файл:Flag of Lisbon.svg|22px|border]] [[w:Португальский язык|Лиссабонский португальский]]: '''gramo-te''' («грамотэ»).<p>[[w:Арабский литературный язык|Литературный арабский]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Flag of Lithuania.svg|22px|border]] [[w:Литовский язык|Литовский]]: '''aš tave myliu''' («аш тавя милю»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Логлан|Логлан]]: '''mi cluva tu''' («ми шлува ту»). # [[Файл:Flag of Sardinia.svg|22px|border]] [[w:Логудорский диалект|Логудорский сардинский]]: '''deo t’amo''' («дэо тьямо»). # [[Файл:Lojban logo.svg|22px|border]] [[w:Ложбан|Ложбан]]: '''mi do prami''' («ми до прами»). # [[Файл:Flag of Barotseland.svg|22px|border]] [[w:Лози (язык)|Лози]]: '''na ku lata''' («на ку лата»). # [[Файл:Flag of Lombardy.svg|22px|border]] [[w:Ломбардский язык|Ломбардский]]: '''te vòj ben''' («те вож бэн»), '''te veuli ben''' («тэ вэули бэн»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Lotha language|Лотха]]: '''ana ni nzana la''' («ана ни нзана ла»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Луба (язык)|Луба]]: '''ndi musua wewe''' («нди мусуа вэвэ»).<p>[[w:Луба (язык)|Луба-касаи]]: см. Луба # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Луба-катанга|Луба-катанга]]: '''ami nkuswele''' («ами нкусвеле»).<p>[[w:Луба (язык)|Луба-лулуа]]: см. Луба<p>[[w:Луба-катанга|Луба-шаба]]: см. Луба-катанга # [[Файл:Flag of Buganda.svg|22px|border]] [[w:Луганда|Луганда]]: '''nkwagala''' («нкуагала»).<p>[[w:Луговомарийский язык|Лугововосточный марийский]]: см. Луговомарийский # [[Файл:Mari Ushem flag.svg|22px|border]] [[w:Луговомарийский язык|Луговомарийский]]: '''мый тыйым йӧратем''' («мый тыйим ёратэм»). # [[Файл:Louisiana Creole Flag.svg|22px|border]] [[w:Луизианский креольский язык|Луизианский креольский]]: '''mo laime toi''' («мо лэм туа»).<p>[[w:Каджунский диалект французского языка|Луизианский французский]]: см. Каджунский французский<p>[[w:Языки лухья|Луйя]]: см. Лухья # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Луле-саамский язык|Луле-саамский]]: '''mån æhtsáv duv''' («мон эхтсав дув»).<p>[[w:Долуо|Луо]]: см. Долуо<p>[[w:Чукотский язык|Луораветланский]]: см. Чукотский<p>[[w:Кламат-модокский язык|Лутуамийский]]: см. Кламат-модокский<p>[[w:Языки лухья|Лухиа]]: см. Лухья # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья]]: '''ndakhuyanza''' («ндакхуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (ванга)]]: '''ndakhuchama''' («ндахучама»), '''ndakhuyanza''' («ндахуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (мараголи)]]: '''nakuyanza''' («накуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (марачи)]]: '''ndakhujama''' («ндахуджяма»), '''ndakhukhera''' («ндахухера»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Лушуцид|Лушуцид]]: '''ʔəsx̌aƛ̕tubicid čəd''' («эсшалтубицид чэд») - неромантически, '''cay čəxʷ dsx̌aƛ’''' («кай чэхв дсхау») - романтически.<p>[[w:Лингва франка нова|ЛФН]]: см. Лингва франка нова<p>[[w:Янито|Льянито]]: см. Янито # [[Файл:Flag of Luxembourg.svg|22px|border]] [[w:Люксембургский язык|Люксембургский]]: '''ech hunn dech gär''' («эш ун дэш геар»). # [[Файл:Flag of Canton of Lucerne.svg|22px|border]] [[w:Люцернский диалект|Люцернский немецкий]]: '''ech liebe dech''' («эх либэ дэх»). # [[Файл:Flag of Mauritius.svg|22px|border]] [[w:Маврикийский креольский язык|Маврикийский креольский]]: '''mo kontan twa''' («мо контан туа»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Магахи|Магахи]]: '''हम तोरा से प्यार करऽऽ हियो।''' («хэм тоораа сээ пьяар кэрэ хийоо»). # [[Файл:Flag of Maghreb.svg|22px|border]] [[w:Магрибский арабский язык|Магрибский арабский]]: '''تنبغيك''' («танбгхик»). # [[Файл:Bandera de la ciudad de Madrid.svg|22px|border]] [[w:Мадридский диалект|Мадридский испанский]]: '''me molas''' («мэ молас»). # [[Файл:Flag of Various Autonomous Indonesian States.svg|22px|border]] [[w:Мадурский язык|Мадурский]]: '''kula tresna panjengan''' («кула трэсна пандженган»).<p>[[w:Венгерский язык|Мадьярский]]: см. Венгерский # [[Файл:Flag of Tapuria Mazandaran.jpg|22px|border]] [[w:Мазандеранский язык|Мазандеранский]]: '''tere del devesteme''' («тэрэ дэл дэвэстэмэ»). # [[Файл:Flag of Iowa.svg|22px|border]] [[w:Майами-иллинойс|Майами-иллинойс]]: '''teepaalilaani''' («тап а ли ланг»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Майтхили|Майтхили]]: '''हम अहां सँ प्रेम करैत छी''' («хаум ахаам сэ прэм карэчи»).<p>[[w:Юкатекский язык|Майя]]: см. Юкатекский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Makaa language|Макаа]]: '''me tchiel wo''' («мэ тчиэл уо»). # [[File:Flag of South Sulawesi.svg|22px|border]] [[w:Макасарский язык|Макасарский]]: '''ᨀᨘᨂᨁᨕᨗᨀᨚ''' («кунгаико»). # [[File:Flag of Macedonia (1992–1995).svg|22px|border]] [[w:Македонский язык|Македонский]]: '''те сакам''' («тэ сакам»).<p>[[w:Арумынский язык|Македо-румынский]]: см. Арумынский # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:Макуа (язык)|Макуа]]: '''mim kinophenta''' («мим кинофента»), '''kinotunani''' («кинотунани»).<p>[[w:Макуа (язык)|Макхува]]: см. Макуа # [[Файл:Flag of Madagascar.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Малагасийский]]: '''tiako ianao''' («тьяко йанао»).<p>[[w:Малайский язык|Малайзийский]]: см. Малайский # [[Файл:Flag of Malaysia.svg|22px|border]] [[w:Малайский язык|Малайский]]: '''saya sayang awak''' («сайя сайянг авак»). # [[Файл:Flag of Malacca.svg|22px|border]] [[w:Малайско-португальский креольский язык|Малайско-португальский креольский]]: '''em t' amo’b''' («эм тьямуб»). # [[Файл:Malayali flag.svg|22px|border]] [[w:Малаялам|Малаялам]]: '''ഞാന്‍ നിന്നെ പ്രേമിക്കുന്നു''' («ньяан ниннэ премиккунну»).<p>[[w:Малаялам|Малаяльский]]: см. Малаялам # [[Файл:Flag of New Brunswick.svg|22px|border]] [[w:Малесит-пассамакводди|Малесит-пассамакводди]]: '''koselomol''' («кэсэлэмэл»).<p>[[w:Малесит-пассамакводди|Малисит-пассамакводди]]: см. Малесит-пассамакводди<p>[[w:Антильский франко-креольский язык|Малоантильский креольский]]: см. Антильский франко-креольский<p>[[w:Малагасийский язык|Мальгашский]]: см. Малагасийский # [[Файл:Flag of Maldives.svg|22px|border]] [[w:Мальдивский язык|Мальдивский]]: '''އަހަރެން ތިބާ ދެކެ ލޯބިވަން''' («ахарэн тхибаа дхэкэ лоабиван»). # [[Файл:Flag of Mallorca.svg|22px|border]] [[w:Балеарский диалект каталанского языка|Мальоркин]]: '''t`estim''' («тэстим»). # [[Файл:Flag of Malta.svg|22px|border]] [[w:Мальтийский язык|Мальтийский]]: '''inħobbok''' («инхоббок»). # [[Файл:Bandeira de Mato Grosso.svg|22px|border]] [[w:Мамаинде|Мамаинде]]: '''a-nu-dexexn''' («а ну дэшэшн»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Мамский язык|Мамский]]: '''at nk’ujleb’il''' («ат нкухлеб иль»). # [[Файл:Flag of North Sulawesi.svg|22px|border]] [[w:en:Manado Malay|Манадо-малайский]]: '''kita suka pa ngana''' («кита сука па нгана»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:en:Mandailing language|Мандаилинг]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандарин]]: см. Севернокитайский<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандаринский]]: см. Севернокитайский<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандаринский китайский]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Flag of Guinea-Bissau.svg|22px|border]] [[w:en:Manjak language|Манджак]]: '''ma ngal o''' («ма нгал о»).<p>[[w:Маньчжурский язык|Манджурский]]: см. Маньчжурский<p>[[w:Мандинка (язык)|Мандинго]]: см. Мандинка # [[Файл:Flag of the Wassoulou Empire.svg|22px|border]] [[w:Мандинка (язык)|Мандинка]]: '''nye kanu laye''' («нье кану лайе»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Манинка|Манинка]]: '''ni bi fe''' («ни би фэ»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Манинка|Манинка (коньянка)]]: '''i diany gnè''' («и дьяни не»). # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:Манипури (язык)|Манипури]]: '''ꯑꯩꯅ ꯅꯪꯕꯨ ꯅꯨꯡꯁꯤ''' («эи нанг-бу нунгши»). # [[Файл:Flag of Yugra.svg|22px|border]] [[w:Мансийский язык|Мансийский]]: '''ам эруптэгум наӈын''' («ам эруптэгум нанын»). # [[Файл:Flag of Manchukuo.svg|22px|border]] [[w:Маньчжурский язык|Маньчжурский]]: '''bi shimbe hairambi''' («би шимбе хайрамби»). # [[Файл:Flag of Mayotte (local).svg|22px|border]] [[w:en:Maore dialect|Маоре]]: '''n'game handzo''' («н'гамэ хандзо»). # [[Файл:Tino Rangatiratanga Maori sovereignty movement flag.svg|22px|border]] [[w:Маори (язык)|Маори]]: '''kei te aroha au ki a koe''' («кей тэ ароха ау ки а коэ»).<p>[[w:Маори (язык)|Маорийский]]: см. Маори<p>[[w:Кукский язык|Маори островов Кука]]: см. Кукский<p>[[w:Мапуче (язык)|Мапудунгун]]: см. Мапуче # [[Файл:Flag of the Mapuches (1992).svg|22px|border]] [[w:Мапуче (язык)|Мапуче]]: '''inche poyekeyu''' («инче пойекейю»). # [[Файл:PH-LAS Flag.png|22px|border]] [[w:Маранао (язык)|Маранао]]: '''pekababaya-an ko seka''' («пекабабайя ан ко сека»). # [[Файл:Marathi Flag.svg|22px|border]] [[w:Маратхи (язык)|Маратхи]]: '''माझ तुइयावर प्रेम आहे''' («мааджха туийяавар прем аахе»).<p>[[w:Марвари|Марвади]]: см. Марвари # [[Файл:Flag of Jodhpur.svg|22px|border]] [[w:Марвари|Марвари]]: '''main tanne pyaar karoon''' («маин танне пьяар кароон»). # [[Файл:Flag of Marquesas Islands.svg|22px|border]] [[w:Маркизский язык|Маркизский]]: '''ua hinenao au ia oe''' («уа хинэнао ау иа оэ»). # [[Файл:Flag of Morocco.svg|22px|border]] [[w:Марокканский диалект арабского языка|Марокканский арабский]]: '''كنبغيك''' («канэбгик») - женщине, '''كنموتعليك''' («канмутлик») - мужчине. # [[Файл:Flag Ceuta.svg|22px|border]] [[w:Марокканский диалект арабского языка|Марокканский арабский Сеуты]]: '''تنبغيك''' («танбгик»).<p>[[w:Кипрско-арабский язык|Маронитский кипрско-арабский]]: см. Кипрско-арабский # [[Файл:Flag-of-Martinique.svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Мартиникский франко-креольский]]: '''mwen enmen'w''' («муэн эмэнв»). # [[Файл:Flag of the Marshall Islands.svg|22px|border]] [[w:Маршалльский язык|Маршалльский]]: '''ij io̧kwe eok''' («ий иаквэ эок»).<p>[[w:Языки лухья|Масаба-луйя]]: см. Лухья # [[Файл:Bandera masai.svg|22px|border]] [[w:Масайский язык|Масайский]]: '''kanyor nanu''' («каньор нану»).<p>[[w:Крикский язык|Маскоги]]: см. Крикский<p>[[w:Египетский диалект арабского языка|Масри]]: см. Египетский арабский<p>[[w:Массачусетский язык|Массачусет]]: см. Массачусетский<p>[[w:Массачусетский язык|Массачусетт]]: см. Массачусетский # [[Файл:Flag of Massachusetts.svg|22px|border]] [[w:Массачусетский язык|Массачусетский]]: '''kuwômônush''' («кэуаамаанэш»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Mafa language|Мафа]]: '''i way ka''' («и вай ка»). # [[Файл:Flag of Vermont.svg|22px|border]] [[w:Махикан|Махикан]]: '''ktaʔwãanin''' («кта ваанин»).<p>[[w:Итонама (язык)|Мачото]]: см. Итонама # [[Файл:Bandeira de Minas Gerais.svg|22px|border]] [[w:Машакали|Машакали]]: '''xate' ug-putuppax''' («шатэ уг путуппаш»). # [[Файл:Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg|22px|border]] [[w:en:Mashriqi Arabic|Машрикский арабский]]: '''bahebbik''' («бахеббик») - женщине,'''bahebbak''' («бахеббак») - мужчине. # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Mbama language|Мбама]]: '''bènan ndjala wè''' («бэнан нджала уэ»). # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Mbere language|Мбере]]: '''me na dialayè''' («мэ на диалайе»), '''me ngoua dialayè''' («мэ нгуа диалайе»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:fr:Mbo (langue du Cameroun)|Мбо]]: '''mi ding wo''' («ми динг уо»). # [[Файл:Flag of The Principality of Mingrelia (Portolan 1560).svg|22px|border]] [[w:Мегрельский язык|Мегрельский]]: '''მა სი მიორქ''' («ма си миорк»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Medumba language|Медумба]]: '''me ko ou''' («мэ ко у»).<p>[[w:Манипури (язык)|Мейтейлион]]: см. Манипури<p>[[w:Манипури (язык)|Мейтхей]]: см. Манипури<p>[[w:Межславянский язык|Междуславянский]]: см. Межславянский # [[Файл:Flag of Interslavic.svg|22px|border]] [[w:Межславянский язык|Межславянский]]: '''ја љубју тебе/ja ljubju tebe''' («я любю тэбэ»), '''ја те љубју/ja tę ljubjų''' («я тэ любю»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Менде (язык)|Менде]]: '''cale sa duie ca upeif''' («кале са дуйе ка упеиф»). # [[Файл:Flag of Wisconsin.svg|22px|border]] [[w:Меномини (язык)|Меномини]]: '''ketapanen''' («кетапанен»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Меру (язык)|Меру]]: '''ikwendete''' («иквэндэтэ»). # [[Файл:Bandera de Mizoram.svg|22px|border]] [[w:Мизо (язык)|Мизо]]: '''ka hmangaih che''' («ка нмангаих че»). # [[Файл:Flag of the Miccosukee Tribe of Indians of Florida.svg|22px|border]] [[w:Микасуки (язык)|Микасуки]]: '''cheh moka is cheh''' («чех мока ис чех»). # [[Файл:Mikmaq State Flag.svg|22px|border]] [[w:Микмак (язык)|Микмак]]: '''kesalul''' («кэсалул»).<p>[[w:Михе (язык)|Миксе]]: см. Михе # [[Файл:Flag of the Province of Milan.svg|22px|border]] [[w:Миланский диалект западноломбардского языка|Миланский ломбардский]]: '''te vöeri ben''' («тэ вээри бэн»).<p>[[w:Ген (язык)|Мина]]: см. Ген # [[Файл:Flag of Minang.svg|22px|border]] [[w:Минангкабау (язык)|Минангкабау]]: '''ambo cinto ka awak''' («амбо синто ка авак»). # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Минго (язык)|Минго]]: '''könuöhkwa''' («гоннуохгуа»).<p>[[w:Мегрельский язык|Мингрельский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Мини: '''mi i amo a tu''' («ми и амо а ту»).<p>[[w:Мирандский язык|Мирандес]]: см. Мирандский # [[Файл:Mirandese flag.svg|22px|border]] [[w:Мирандский язык|Мирандский]]: '''amo-te''' («амотэ»). # [[Файл:Banderaayuukmixemf.svg|22px|border]] [[w:Михе (язык)|Михе]]: '''ntsëj kypts mejts''' («нцэх кипц мэхц»). # [[Файл:Metis Blue.svg|22px|border]] [[w:Мичиф|Мичиф]]: '''keesha kee taen''' («киша ки тэн»).<p>[[w:Михе (язык)|Мише]]: см. Михе # [[Файл:Bandera Mixteca.png|22px|border]] [[w:Миштекские языки|Миштекский]]: '''ku toulló ñeloosí''' («ку тоулло ньелооси»).<p>[[w:Могаукский язык|Могаук]]: см. Могаукский # [[Файл:Flag of Ontario.svg|22px|border]] [[w:Могаукский язык|Могаукский]]: '''konnorónhkhwa''' («конноронкуа»).<p>[[w:Махикан|Могиканский]]: см. Махикан # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:fr:Moye (langue)|Мои]]: '''gakakayo''' («гакакайо»). # [[Файл:Flag of Mwoakilloa.svg|22px|border]] [[w:Мокильский язык|Мокильский]]: '''ngoah mweoku kaua''' («нгоа муэоку кауа»).<p>[[w:Мокшанский язык|Мокша-мордовский]]: см. Мокшанский # [[Файл:Flag of the Moksha people.svg|22px|border]] [[w:Мокшанский язык|Мокшанский]]: '''мон кельктядязь тинь''' («мон кельктядязь тинь»). # [[Файл:Flag of Moldova.svg|22px|border]] [[w:Молдавский язык|Молдавский]]: '''te iubesc''' («тэ юбеск»). # [[Файл:Flag of Mongolia.svg|22px|border]] [[w:Монгольский язык|Монгольский]]: '''би чамд хайртай''' («би чамд хайртай»). # [[Файл:Flag of Monaco.svg|22px|border]] [[w:Монегаскский диалект|Монегаскский]]: '''te véuggio bén''' («тэ вэуджо бэн»).<p>[[w:Монегаскский диалект|Монегасский]]: см. Монегаскский<p>[[w:Ангами (язык)|Монр]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Labrador.svg|22px|border]] [[w:Монтанье-наскапи (язык)|Монтанье-наскапи]]: '''tshemenuadeden''' («тшэменуадэдэн»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Мооре|Мооре]]: '''mam nonga foo''' («мам нонга фоо»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Мопан (язык)|Мопан]]: '''ink’ateech''' («инкатэч»).<p>[[w:Мооре|Море]]: см. Мооре<p>[[w:Мооре|Мосси]]: см. Мооре<p>[[w:Могаукский язык|Мохавк]]: см. Могаукский<p>[[w:Могаукский язык|Мохаук]]: см. Могаукский # [[Файл:Ensign of New England (pine only).svg|22px|border]] [[w:Мохеган-пекот|Мохеган-пекот]]: '''kuwômôyush''' («кэуаамаайэш»).<p>[[w:Могаукский язык|Мохок]]: см. Могаукский<p>[[w:Мооре|Моши]]: см. Мооре # [[Файл:Bandera Región Loreto.svg|22px|border]] [[w:Муниче|Муниче]]: '''pjeñcamʷpʷ''' («пьенькамвпв»). # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Myene language|Мьене]]: '''mi tonda wè''' («ми тонда ве»).<p>[[w:Бирманский язык|Мьянма]]: см. Бирманский<p>[[w:Бирманский язык|Мьянманский]]: см. Бирманский # [[Файл:Flag of the Isle of Mann.svg|22px|border]] [[w:Мэнский язык|Мэнский]]: '''ta graih aym ort''' («та гра эморт»).<p>[[w:Мэнский|Мэнский гэльский]]: см. Мэнский<p>[[w:Хмонг (язык)|Мяо]]: см. Хмонг<p>[[w:Арагонский язык|Наваррско-арагонский]]: см. Арагонский # [[Файл:Navajo flag.svg|22px|border]] [[w:Навахо (язык)|Навахо]]: '''ayóóʼánííníshní''' («айёо аниинишни»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:На'ви (язык)|На'ви]]: '''ngari ’efu oe tunu''' («нгари эфу оэ туну») - романтически, '''nga yawne lu oer''' («нга ёнэ лу оэр»), '''nga yawne leiu oer''' («нга ёнэ лэю оэр») - неромантически. # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Nagamese creole|Нагамский креольский]]: '''môi tôi ke môrôm kôre''' («мои тои ке мором корэ»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:en:Nagpuri language|Нагпури]]: '''moe toke cāhonā''' («моэ токе кахона»).<p>[[w:Нигерийский креольский язык|Найджа]]: см. Нигерийский креольский # [[Файл:Flag of Namaland.svg|22px|border]] [[w:Нама|Нама]]: '''INam si ta ge a''' («нам си та ге а») — женщине; '''INam tsi ta ge a''' («нам тси та ге а») — мужчине. # [[Файл:Flag of Nanaysky rayon (Khabarovsk kray).png|22px|border]] [[w:Нанайский язык|Нанайский]]: '''ми симбивэ улэсимби''' («ми симбивэ улэсимби»).<p>[[w:Астекские языки|Науа]]: см. Науатль<p>[[w:Пипиль (язык)|Науат]]: см. Пипиль # [[Файл:Flag of Nahuas.svg|22px|border]] [[w:Астекские языки|Науатль]]: '''ni mits neki''' («ни митс неки»).<p>[[w:Астекские языки|Науаский]]: см. Науатль # [[Файл:Flag of Nauru.svg|22px|border]] [[w:Науруанский язык|Науруанский]]: '''nga ebonu''' («нга эбону»).<p>[[w:Гунзибский язык|Нахадинский]]: см. Гунзибский<p>[[w:Лингала|Нгала]]: см. Лингала<p>[[w:Ангами (язык)|Нгами]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Нганасанский язык|Нганасанский]]: '''мәнә тәнә мәнюнтүм''' («мэнэ тэнэ мэнюнтум»). # [[Файл:Flag of Laos.svg|22px|border]] [[w:en:Ta'Oi language|Нгек]]: '''kaw ʔɛɛʔ maj''' («ко ээ май»). # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:en:Ndau language|Ндау]]: '''ndinokudisisa''' («ндинокудисиса»).<p>[[w:Ндюка|Нджука]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:en:Ndombe language|Ндомбе]]: '''ndilakuyanda''' («ндилакуянда»). # [[Файл:Flag of Ovamboland.svg|22px|border]] [[w:Ндонга (язык)|Ндонга]]: '''ondi ku hole''' («онди ку холе»).<p>[[w:Ндонга (язык)|Ндунга]]: см. Ндонга<p>[[w:Ндюка|Ндьюка]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Ндюка|Ндюка]]: '''mi lobi yu''' («ми лоби ю»). # [[Файл:Flag of Naples.svg|22px|border]] [[w:Неаполитанский язык|Неаполитанский]]: '''ti amo''' («ти амо»).<p>[[w:Неварский язык|Невари]]: см. Неварский # [[Файл:Newarashtriyamuktimorchayabanner.JPG|22px|border]] [[w:Неварский язык|Неварский]]: '''जितः छ नापं मतिना दु।''' («джит ча панам матина ду»).<p>[[w:Не-персе (язык)|Нез персэ]]: см. Не-персе # [[Файл:Flag of Germany.svg|22px|border]] [[w:Немецкий язык|Немецкий]]: '''ich liebe dich''' («ихь либэ дихь»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Nen language (Cameroon)|Нен]]: '''mi nou ong'o hiki''' («ми ноу онго хики»). # [[Файл:Proposed Flag of Unified Nenetsia.svg|22px|border]] [[w:Ненецкий язык|Ненецкий]]: '''мань хамзангав сит''' («мань хамзангав сит»).<p>[[w:Пиджин Соломоновых Островов|Нео-соломоник]]: см. Пиджин Соломоновых Островов<p>[[w:Неварский язык|Непал-бхаса]]: см. Неварский<p>[[w:Непальский язык|Непали]]: см. Непальский # [[Файл:Flag of Nepal (white background, aspect ratio 3-2).svg|22px|border]] [[w:Непальский язык|Непальский]]: '''म तपाइलाइ माया गर्छु।''' («ма тапайнлай майя гарчу»). # [[Файл:Flag of Idaho.svg|22px|border]] [[w:Не-персе (язык)|Не-персе]]: '''in ‘ee hetewise''' («ин ээ хэтэвизэ»). # [[Файл:Flag of Nivkh people.svg|22px|border]] [[w:Нивхский язык|Нивхский]]: '''ни чи эзмудь''' («ни чи эзмудь»). # [[Файл:Flag of Nigeria.svg|22px|border]] [[w:Нигерийский креольский язык|Нигерийский креольский]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Нигерийский креольский язык|Нигерийский пиджин]]: см. Нигерийский креольский # [[Файл:Flag of Nigeria.svg|22px|border]] [[w:en:Nigerian Fulfulde|Нигерийский фульфульде]]: '''mi yidima''' («ми йидима»). # [[Файл:Flag of the Netherlands.svg|22px|border]] [[w:Нидерландский язык|Нидерландский]]: '''ik houd van je''' («ик хау фан е»). # [[Файл:Vöärstelvlagge neadersassisk.svg|22px|border]] [[w:Нижнесаксонские диалекты Нидерландов|Нидерландский нижнесаксонский]]: '''ik hol van die''' («ик хол фан ди»). # [[Файл:Lower Sorbian Flag.gif|22px|border]] [[w:Нижнелужицкий язык|Нижнелужицкий]]: '''ja śi lubujom''' («я ши лубуйом»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Нижнелужский ижорский]]: '''miä suvvan sinno''' («мия сувван синно»). # [[Файл:Noordlandflagg.svg|22px|border]] [[w:Нижненемецкий язык|Нижненемецкий]]: '''ik hou van di''' («ик хау фан ди»), '''ik heff di leev''' («ик хэфф ди леев»). # [[Файл:Flag of Lower Saxony.svg|22px|border]] [[w:Нижнесаксонские диалекты|Нижнесаксонский]]: '''ik hou van ju''' («ик хау фан ю»).<p>[[w:Адыгейский язык|Нижнечеркесский]]: см. Адыгейский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Нижний танана|Нижний танана]]: '''neghw estsen'''' («нёху эстсен»). # [[Файл:Hassanamisco Nipmuc Flag.png|22px|border]] [[w:en:Loup language|Нипмук]]: '''keȣamanlis''' («кэуамалэс»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нисгаа|Нисгаа]]: '''siip'iniy' n'iin''' («сиип иний ниин»). # [[Файл:Flag of Niue.svg|22px|border]] [[w:Ниуэ (язык)|Ниуэ]]: '''ke tohi nei au ki a koe''' («кэ тохи нэи ау ки а коэ»). # [[Файл:Flag of the County of Nice.svg|22px|border]] [[w:en:Niçard dialect|Ниццкий]]: '''ti vouòli ben''' («ти вуоли бэн»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:en:N'Ko language|Нко]]: '''ߌ ߞߏ߫ ߞߊߘߌ߫ ߒ ߦߋ߫''' («и ко кади нг е»).<p>[[w:Ньянколе|Нколе]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:en:Noakhailla language|Ноакхаилла]]: '''আই তরে ভালাবাষি''' («аай торе балабаши»).<p>[[w:Новиаль|Новиал]]: см. Новиаль # [[Файл:Flag of Novial.svg|22px|border]] [[w:Новиаль|Новиаль]]: '''me ama vu''' («ме ама ву»).<p>[[w:Новонорвежский язык|Новонорвежский]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Персидский язык|Новоперсидский]]: см. Персидский # [[Файл:Nogai Flag.jpg|22px|border]] [[w:Ногайский язык|Ногайский]]: '''мен сени суьемен''' («мэн сэни сюемэн»). # [[Файл:Flag of Peru.svg|22px|border]] [[w:Номацигенга|Номацигенга]]: '''ninintimíni''' («нининтимини»). # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:Букмол|Норвежский (букмол)]]: '''jeg elsker deg''' («йя эльске дай»). # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:Новонорвежский язык|Норвежский (нюнорск)]]: '''eg elskar deg''' («э эльске дай»). # [[Файл:Flag of Normandie.svg|22px|border]] [[w:Нормандский язык|Нормандский]]: '''jè t'anor''' («же танор»), '''j'syis anorta dè tei''' («жьсюи анорта дэ тэй»).<p>[[w:Нормандский язык|Нормандско-французский]]: см. Нормандский<p>[[w:Северный стрейтс|Нортерн-стрейтс]]: см. Северный стрейтс # [[Файл:Flag of Northumbria.svg|22px|border]] [[w:en:Northumbrian Old English|Нортумбрийский древнеанглийский]]: '''ic lufie þec''' («ик луфиэ сэк»). # [[Файл:Flag of Norfolk Island.svg|22px|border]] [[w:Норфолкский язык|Норфолкский]]: '''i love yew''' («ай лав еу»). # [[Файл:Proposed Yi flag.svg|22px|border]] [[w:Носу|Носу]]: '''ꉢꆎꉂ''' («на нин му»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Nso language|Нсо]]: '''m kong wo''' («мконгуо»). # [[Файл:Niger state flag.png|22px|border]] [[w:en:Nupe language|Нупе]]: '''miye wawe''' («мийе уауэ»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нутка (язык)|Нутка]]: '''yaʔakukʷah suw̕a''' («йяхакукуах суа»).<p>[[w:Нутка (язык)|Нуу-ча-нульт]]: см. Нутка # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нухалк|Нухалк]]: '''lhkw'm ts i nu''' («искуимчину»). # [[Файл:Flag of South Sudan.svg|22px|border]] [[w:Нуэр (язык)|Нуэр]]: '''nhɔa̱kä ji''' («ноако йи»). # [[Файл:Bandeira de São Gabriel da Cachoeira (AM).png|22px|border]] [[w:Ньенгату|Ньенгату]]: '''ihé uru-aîhu''' («ихе уру аиху»). # [[Файл:Flag of Tanzania.svg|22px|border]] [[w:en:Nyamwezi language|Ньямвези]]: '''itogwa benekele ne benekele''' («итогва бенекеле не бенекеле»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:Ньянджа|Ньянджа]]: '''ndimakukonda''' («ндимакуконда»). # [[Файл:Flag of Ankole.svg|22px|border]] [[w:Ньянколе|Ньянколе]]: '''ninkukunda''' («нинкукунда»).<p>[[w:Ньянколе|Ньянкоре]]: см. Ньянколе<p>[[w:Новонорвежский язык|Нюнорск]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Новонорвежский язык|Нюношк]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Древнерусский язык|Общевосточнославянский]]: см. Древнерусский<p>[[w:Праславянский язык|Общеславянский]]: см. Праславянский<p>[[w:Ошивамбо|Овамбо]]: см. Ошивамбо # [[Файл:Flag of Ontario.svg|22px|border]] [[w:Оджибве (язык)|Оджибве]]: '''gizaagi’in''' («гизаги ин»).<p>[[w:Ория (язык)|Одия]]: см. Ория<p>[[w:Южноюкагирский язык|Одульский]]: см. Южноюкагирский<p>[[w:Алтайский язык|Ойротский]]: см. Алтайский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Оканаган (язык)|Оканаган]]: '''kʷhin xmenč''' («кухин хмэнч»).<p>[[w:Ндюка|Оканиси]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Okinawa Prefecture.svg|22px|border]] [[w:Окинавский язык|Окинавский]]: '''好ちゅさ''' («шичусаа»). # [[Файл:Flag of Okinawa Prefecture.svg|22px|border]] [[w:en:Okinawan Japanese|Окинавский японский]]: '''かなさん どお''' («канасан доо»). # [[Файл:Delta State Flag.gif|22px|border]] [[w:en:Okpe language (Southwestern Edo)|Окпе (юго-западный эдо)]]: '''mi ji vwo ẹguọlọ kpahuọn''' («ми джи вуо эгуоло кпахуон»). # [[Файл:Flag of Occitania.svg|22px|border]] [[w:Окситанский язык|Окситанский]]: '''t’aimi''' («тэми»). # [[Файл:Flag de Occidental.svg|22px|border]] [[w:Окциденталь|Окциденталь]]: '''yo ama te''' («йо ама тэ»).<p>[[w:Языки лухья|Олулуйя]]: см. Лухья # [[Файл:Flag of Nebraska.svg|22px|border]] [[w:Омаха-понка|Омаха-понка]]: '''xcháwithe''' («хчавитхе»).<p>[[w:Воламо|Омета]]: см. Воламо<p>[[w:Онейда (язык)|Онайда]]: см. Онейда # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Онейда (язык)|Онейда]]: '''kunolúkhwa̱’''' («кунолукхва»). # [[Файл:Bandera d'Orissa.svg|22px|border]] [[w:Ория (язык)|Ория]]: '''ମୁଁ ତୁମକୁ ଭଲପାଏ''' («муу тумаку бхалапааэ»). # [[Файл:Flag of the Oromo Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Оромо (язык)|Оромо]]: '''sin jaalladha''' («син джаалладха»).<p>[[w:Орочский язык|Ороченский]]: см. Орочский # [[Файл:Flag of Khabarovsk Krai.svg|22px|border]] [[w:Орочский язык|Орочский]]: '''би аяуме сино''' («би аяумэ сино»).<p>[[w:Ньянколе|Оруньянкоре]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of the Göktürks Khaganate.svg|22px|border]] [[w:Орхоно-енисейский язык|Орхоно-енисейский]]: '''𐰾𐰃𐰤𐰃∶𐰾𐰋𐰼∶𐰢𐰤・''' («нм рбс инис»). # [[Файл:Flag of the Osage Nation.svg|22px|border]] [[w:Осейдж (язык)|Осейдж]]: '''wíohta''' («уиота»). # [[Файл:Flag of South Ossetia.svg|22px|border]] [[w:Осетинский язык|Осетинский]]: '''æз дæ уарзын''' («аз да уарзын»). # [[Файл:Flag of the Ottoman Empire (1844–1922).svg|22px|border]] [[w:Османский язык|Османский]]: '''سنی سویورم''' («сани соёрам»).<p>[[w:Османский язык|Османско-турецкий]]: см. Османский<p>[[w:Селькупские языки|Остяко-самоедский]]: см. Селькупский<p>[[w:Хантыйский язык|Остяцкий]]: см. Хантыйский<p>[[w:Тетела (язык)|Отетела]]: см. Тетела # [[Файл:Otomi Nation flag.svg|22px|border]] [[w:Отоми (язык)|Отоми]]: '''hmädi''' («хмади»).<p>[[w:Гереро (язык)|Очигереро]]: см. Гереро # [[Файл:Flag of Ovamboland.svg|22px|border]] [[w:Ошивамбо|Ошивамбо]]: '''ondiku hole''' («ондику холе»).<p>[[w:Северный паюте|Павиотсо]]: см. Северный паюте<p>[[w:Юэ (язык)|Паква]]: см. Юэ<p>[[w:Покот (язык)|Пакот]]: см. Покот # [[Файл:Flag of Subulussalam City.png|22px|border]] [[w:en:Pakpak language|Пакпак]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Палауский язык|Палау]]: см. Палауский # [[Файл:Flag of Palau.svg|22px|border]] [[w:Палауский язык|Палауский]]: '''ng betik a renguk er kau''' («нг бетик а ренгук эр кау»).<p>[[w:Капампанганский язык|Пампанго]]: см. Капампанганский<p>[[w:Капампанганский язык|Пампангуэно]]: см. Капампанганский # [[Файл:Toon pangasinan flag.svg|22px|border]] [[w:Пангасинанский язык|Пангасинанский]]: '''inaru taka''' («инару така»). # [[Файл:Flag of Punjab.svg|22px|border]] [[w:Панджаби|Панджаби]]: '''ਮੈਂ ਤੈਨੂੰ ਪਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹਾਂ''' («майм тайнуум пьяар кардаа хаам») — женщине; '''ਮੈਂ ਤੈਨੂੰ ਪਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹਾਂ''' («майм тайнуум пьяар кардии хаам») — мужчине.<p>[[w:Панджаби|Панджабский]]: см. Панджаби<p>[[w:Межславянский язык|Панславянский]]: см. Межславянский # [[Файл:Flag of the Pa-O National Organisation.svg|22px|border]] [[w:en:Pa'O language|Пао]]: '''ခွေရက်ငါႏနာꩻ''' («хквайраатнгарнар»). # [[Файл:Flag of Veracruz.svg|22px|border]] [[w:Папантланский тотонакский язык|Папантланский тотонакский]]: '''kpaxkiyan''' («кпакскийан»).<p>[[w:Малайско-португальский креольский язык|Папия-кристанг]]: см. Малайско-португальский креольский # [[Файл:Flag of the Netherlands Antilles (1986-2010).svg|22px|border]] [[w:Папьяменто|Папьяменто]]: '''mi ta stima bo''' («ми та стима бо»).<p>[[w:Рапануйский язык|Пасхальский]]: см. Рапануйский # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Паумари|Паумари]]: '''o-nofi-ki 'ira''' («о нофи ки ира»).<p>[[w:Туамоту (язык)|Паумоту]]: см. Туамоту<p>[[w:Пушту|Пашто]]: см. Пушту<p>[[w:Северный сото|Педи]]: см. Северный сото # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Пекинский диалект|Пекинский]]: '''我爱你''' («во ай ни»).<p>[[w:Панджаби|Пенджаби]]: см. Панджаби<p>[[w:Панджаби|Пенджабский]]: см. Панджаби # [[Файл:Flag of Pennsylvania Germans.jpg|22px|border]] [[w:Пенсильванско-немецкий диалект|Пенсильванско-немецкий]]: '''ich liebe dich’''' («ихь либэ дихь»). # [[Файл:State flag of Iran (1964–1980).svg|22px|border]] [[w:Персидский язык|Персидский]]: '''دوستت دارم''' («дустэт дорэм»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Пехлевани|Пехлевани]]: '''دوسد توام''' («дусд туам»).<p>[[w:Покот (язык)|Пёкоот]]: см. Покот<p>[[w:Покот (язык)|Пёкот]]: см. Покот<p>[[w:Хири-моту|Пиджин моту]]: см. Хири-моту # [[Файл:Flag of the Solomon Islands.svg|22px|border]] [[w:Пиджин Соломоновых Островов|Пиджин Соломоновых Островов]]: '''mi lovem iu''' («ми ловем ю»).<p>[[w:Блэкфут (язык)|Пикании]]: см. Блэкфут # [[Файл:Flag of Picardie.svg|22px|border]] [[w:Пикардский язык|Пикардский]]: '''j’t’ai ker''' («жьтэ кер»).<p>[[w:Филиппинский язык|Пилипино]]: см. Филиппинский # [[Файл:Flag of Pipil.svg|22px|border]] [[w:Пипиль (язык)|Пипиль]]: '''nimetzneki''' («нимэтцнэки»); '''nimetztasujta''' («нимэтцтасуйта»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Пите-саамский язык|Пите-саамский]]: '''mån iehtsáv duv''' («мон йехтсав дув»). # [[Файл:Flag of the Pitcairn Islands.svg|22px|border]] [[w:Питкэрнский язык|Питкэрнский]]: '''i love yew''' («ай лав еу»). # [[Файл:Anangu Traditional Owners Flag.svg|22px|border]] [[w:Питьянтьятьяра|Питьянтьятьяра]]: '''ngayulu nyuntumpa mukuringanyi''' («нгаюлу ньюнтумпа мукуринганьи»). # [[Файл:Flag of Madagascar.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Плато]]: '''tiako ianao''' («тьяко йанао»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Покомам (язык)|Покомам]]: '''henwa tow hawach''' («энуа тоу ауач»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Покот (язык)|Покот]]: '''achaminyi''' («ачаминьи»). # [[Файл:Proposed Polabian Flag.jpg|22px|border]] [[w:Полабский язык|Полабский]]: '''liaibu tibë''' («льяйбу тибэ»).<p>[[w:Хири-моту|Полицейский моту]]: см. Хири-моту # [[Файл:Flag of Poland.svg|22px|border]] [[w:Польский язык|Польский]]: '''kocham cię''' («кохам че»). # [[Файл:Flag of the Republic of Tamrash.svg|22px|border]] [[w:Помакский язык|Помакский]]: '''gelyam te''' («гелям те»).<p>[[w:Понпейский язык|Понапе]]: см. Понпейский # [[Файл:Flag of Pohnpei.svg|22px|border]] [[w:Понпейский язык|Понпейский]]: '''i poakohng uhk''' («и покоон уук»). # [[Файл:Flag of Pontus.svg|22px|border]] [[w:Понтийский язык|Понтийский]]: '''αγαπώ σε''' («агапо сэ»).<p>[[w:Понтийский язык|Понтийский греческий]]: см. Понтийский # [[Файл:Flag of Portugal.svg|22px|border]] [[w:Португальский язык|Португальский]]: '''amo-te''' («амотэ»). # [[Файл:Xa-pokag.gif|22px|border]] [[w:Потаватоми (язык)|Потаватоми]]: '''ktabanIn''' («ктабанин»). # [[Файл:Flag of Germany.svg|22px|border]] [[w:Прагерманский язык|Прагерманский]]: '''*ek frijō þek''' («эк фрийоо сэк»). # [[Файл:Flag of Europe.svg|22px|border]] [[w:Праиндоевропейский язык|Праиндоевропейский]]: '''*éǵh₂om lubʰō tué''' («эгхом лубоо туэ»). # [[Файл:Flag of Italy.svg|22px|border]] [[w:Праиталийский язык|Праиталийский]]: '''*tē amāō''' («тээ амааоо»). # [[Файл:Banniel Keltia.svg|22px|border]] [[w:Пракельтский язык|Пракельтский]]: '''*tē karū''' («тээ каруу»). # [[Файл:World Flag (2004).svg|22px|border]] [[w:Праностратический язык|Праностратический]]: '''*mi ṭi q̣urE''' («ми ти курэ»). # [[Файл:Kolovrat_flag.svg|22px|border]] [[w:Праславянский язык|Праславянский]]: '''*(j)azъ ľubľǫ tę''' («(я)азу люблён тэн»). # [[Файл:Flag of the Slovene Nation.svg|22px|border]] [[w:Прекмурско-словенский язык|Прекмурско-словенский]]: '''volim te''' («волим тэ»). # [[Файл:Flag of Abruzzo.svg|22px|border]] [[w:Претароло|Претароло]]: '''t'iamoij''' («тьямоидж»). # [[Файл:Flag of Tsimshian people.jpg|22px|border]] [[w:Прибрежно-цимшианский язык|Прибрежно-цимшианский]]: '''nsiipn düüt nüün''' («нсиипн дюют нююн»). # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Coastal Kadazan dialect|Прибрежный кадазанский]]: '''guminavo zou diau''' («гуминаво зоу диау»). # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Прибрежный мивокский язык|Прибрежный мивокский]]: '''kajómu ˀópu míi''' («кайому опу мии»). # [[Файл:Flag of Provence.svg|22px|border]] [[w:Провансальский диалект|Провансальский]]: '''t’ame''' («т’ам»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Простой английский язык|Простой английский]]: '''i love you''' («ай лав ю»). # [[Файл:Flag of Baltic Prussian revivalists.svg|22px|border]] [[w:Прусский язык|Прусский]]: '''as mīli tin''' («ас миили тин»), '''as tien milē''' («ас тьен милее»). # [[Файл:Flag of Poitou.svg|22px|border]] [[w:Пуатевинское наречие|Пуатевинский]]: '''i t’aeme''' («и тэм»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:en:Pulaar language|Пулаар]]: '''mi yidi maa’''' («ми йиди маа»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:en:Pular language|Пулар]]: '''mbe de yid ma’''' («мбе де йид ма»).<p>[[w:Фула (язык)|Пулар-фульфульде]]: см. Фула # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Punu language|Пуну]]: '''ni u rondi’''' («ни у ронди»).<p>[[w:Авадхи|Пурби]]: см. Авадхи # [[Файл:Bandera purépecha.png|22px|border]] [[w:Пурепеча (язык)|Пурепеча]]: '''uémbekua''' («уэмбэкуа»). # [[Файл:Bandeira do estado do Rio de Janeiro.svg|22px|border]] [[w:Пури (язык)|Пури]]: '''ha tl'amatl'i dieh''' («ха тламатли диех»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Putèr|Путерский романшский]]: '''eau t’am''' («эу тэм»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Путунхуа|Путунхуа]]: '''我愛你''' («уо ай ни»). # [[Файл:Af pakht3.svg|22px|border]] [[w:Пушту|Пушту]]: '''زه ستا سره مینه لرم''' («за ста сара мина ларам»). # [[Файл:Bandera del pueblo Günün a künä.svg|22px|border]] [[w:Пуэльче (язык)|Пуэльче]]: '''uük’ǘgü tsashkal''' («уюк'югю тсашкал»). # [[Файл:Flag of Piedmont.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Пьемонтский]]: '''t’veuj bin''' («твёй бин»).<p>[[w:Лушуцид|Пьюджетский салишский]]: см. Лушуцид<p>[[w:Лесной энецкий язык|Пэ-бай]]: см. Лесной энецкий<p>[[w:Покот (язык)|Пэкот]]: см. Покот # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха]]: '''nana ang pelem mana''' («нана анг пелем мана»). # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха (коч)]]: '''nwngo ang mwka''' («нвнго анг мвка»). # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха (рондани)]]: '''nango ang nemtata''' («нанго анг немтата»).<p>[[w:Западный кри|Равнинный кри]]: см. Западный кри<p>[[w:Эде (язык)|Раде]]: см. Эде # [[Файл:Flag of Rajasthan.webp|22px|border]] [[w:Раджастхани|Раджастхани]]: '''hu/mhey thaa-neh prem karu chu/hu''' («ху/мхей тхаа-нэх прэм кару чу/ху»). # [[Файл:Flag of the Kamtapur Liberation Organisation.svg|22px|border]] [[w:en:Rajbanshi language (Nepal)|Раджбанши]]: '''মুই তোক ভাল পাং''' («му и тока бхала пам»). # [[Файл:Flag of San Andrés y Providencia.svg|22px|border]] [[w:Райсальский креольский язык|Райсальский креольский]]: '''a lov yu''' («а лов ю»). # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:en:Rangpuri language|Рангпури]]: '''mui tok bhal paō''' («муи ток бхал пао»).<p>[[w:Рапануйский язык|Рапа-нуи]]: см. Рапануйский # [[Файл:Flag of Rapa Nui, Chile.svg|22px|border]] [[w:Рапануйский язык|Рапануйский]]: '''hanga rahi au kia koe''' («ханга рахи ау киа коэ»). # [[Файл:Proposed flag of Réunion (VAR).svg|22px|border]] [[w:en:Réunion Creole|Реюньонский креольский]]: '''mi aime a ou''' («ми эм а у»).<p>[[w:Русский жестовый язык|РЖЯ]]: см. Русский жестовый # [[Файл:Flag of Rome.svg|22px|border]] [[w:Римский диалект|Римский итальянский]]: '''te vòjo bbène''' («тэ воджо ббэнэ»). # [[Файл:Hunsrik language flag.png|22px|border]] [[w:Риограндский хунсрюкский диалект|Риограндский хунсрюкский]]: '''ich lieve dich''' («ихь лиэвэ дихь»). # [[Файл:Rif Amazigh People Flag.svg|22px|border]] [[w:Рифский язык|Рифский]]: '''tekhsekhchek''' («тэхсэхчек») - мужчине, '''tekhsekhchem''' («тэхсэхчем») - женщине.<p>[[w:Лози (язык)|Рози]]: см. Лози<p>[[w:Римский диалект|Романеско]]: см. Римский итальянский<p>[[w:Цыганский язык|Романи]]: см. Цыганский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Романид|Романид]]: '''yo ama te''' («йо ама тэ»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Романисо: '''mi amoran vi''' («ми аморан ви»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:Романшский язык|Романшский]]: '''jeu carezel tei''' («жэу карэзэль тэй»), '''jau hai tai gugent''' («жау хай тай гугэнт»).<p>[[w:Романьольский язык|Романьо]]: см. Романьольский # [[Файл:Flag of Romagna.svg|22px|border]] [[w:Романьольский язык|Романьольский]]: '''a t’ vöi bëin''' («а т вёй бэйн»). # [[Файл:PH-ROM Flag.png|22px|border]] [[w:en:Romblomanon language|Ромбломанонский]]: '''palangga ta ikaw''' («палангга та икау»).<p>[[w:Понтийский язык|Ромейка]]: см. Понтийский # [[Файл:Flag of Rotuma (1987-1988).svg|22px|border]] [[w:Ротуманский язык|Ротуманский]]: '''gou hanis ‘e ‘äea''' («гоу ханис э яэа»). # [[Файл:Rohingya flag.svg|22px|border]] [[w:Рохинджа (язык)|Рохинджа]]: '''𐴀𐴝𐴦𐴛 𐴃𐴡𐴌𐴠𐴥 𐴀𐴝𐴊𐴡𐴌 𐴒𐴡𐴌𐴞𐴥''' («анаи тоаре адоргори»). # [[Файл:Flag of Rwanda.svg|22px|border]] [[w:Руанда (язык)|Руанда]]: '''ndagukunda''' («ндагукунда»).<p>[[w:Романшский язык|Руманшский]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Romania.svg|22px|border]] [[w:Румынский язык|Румынский]]: '''te iubesc''' («тэ юбеск»). # [[Файл:Flag of Burundi.svg|22px|border]] [[w:Рунди (язык)|Рунди]]: '''ndagukunda''' («ндагукунда»).<p>[[w:Ньянколе|Руньянкоре]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of Rusyns 2007.svg|22px|border]] [[w:Русинский язык|Русинский]]: '''любля тя''' («люблю тя»). # [[Файл:Flag of Russia (1991-1993).svg|22px|border]] [[w:Русский язык|Русский]]: '''я тебя люблю''' («я тебя люблю»). # [[Файл:Flag of Russia (1991-1993).svg|22px|border]] [[w:Русский жестовый язык|Русский жестовый]]: {{YouTube|TiuwnkK8Ejk|видео|start=0m10s}}.<p>[[w:Кяхтинский язык|Русско-китайский пиджин]]: см. Кяхтинский # [[Файл:Flag of the Rutul People.svg|22px|border]] [[w:Рутульский язык|Рутульский]]: '''зас ву къыргара''' («зас ву къыргара»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Ruund language|Руунд]]: '''nikukatin''' («никукатин»). # [[Файл:Drapeau de la Savoie.svg|22px|border]] [[w:en:Savoyard dialect|Савойский франкопровансальский]]: '''jhe t’amo''' («жэ тьямо»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Сакапультекский язык|Сакапультекский]]: '''otz katnwilan''' («оц катнуилан»).<p>[[w:Варайский язык|Самар-лейте]]: см. Варайский # [[Файл:Bandera d'Orissa.svg|22px|border]] [[w:en:Sambalpuri language|Самбалпури]]: '''muĩ tumku bhôl paesĩ''' («муи тумку бхол паэси»). # [[Файл:Flag of Samoa.svg|22px|border]] [[w:Самоанский язык|Самоанский]]: '''ou te alofa ia te oe ''' («оу тэ алофа иа тэ оэ»). # [[Файл:Flag of North Sulawesi.svg|22px|border]] [[w:en:Sangir language|Сангирский]]: '''iạ makěndagẹ̌ si kau''' («иан макэндаге си кау»). # [[Файл:Flag of the Central African Republic.svg|22px|border]] [[w:Санго|Санго]]: '''mbi yé mô''' («мби е моо»). # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Сан-сальвадорский конго]]: '''ni kou zololo''' («ни коу зололо»), '''zola ikuzolanga''' («зола икузоланга»), '''yitoma kuzolanga''' («йитома кузоланга»). # [[Файл:Hinduism Flag.webp|22px|border]] [[w:Санскрит|Санскрит]]: '''त्वां कामयामि''' («твам камайами»). # [[Файл:Santals (India) Flag.gif|22px|border]] [[w:Сантали|Сантали]]: '''ᱫᱩᱞᱟᱲ ᱢᱮ ᱚ ᱤᱝ''' («дулар мэ о инь»). # [[Файл:Flag of the Zapotec Peoples.svg|22px|border]] [[w:Сапотекские языки|Сапотекский]]: '''nadxiie lii''' («наджиие лии»). # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:Сар (язык)|Сар]]: '''m'tari''' («мтари»). # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Сарамакканский язык|Сарамакканский]]: '''mi lobi i e''' («ми лоби и э»). # [[Файл:Flag of Sardinia.svg|22px|border]] [[w:Сардинский язык|Сардинский]]: '''t’amo''' («тамо»).<p>[[w:Сардинский язык|Сардский]]: см. Сардинский<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами]]: см. Суринамский хиндустани<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами-хинди]]: см. Суринамский хиндустани<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами-хиндустани]]: см. Суринамский хиндустани # [[Файл:Flag of Sassari.svg|22px|border]] [[w:Сассарский язык|Сассарский]]: '''ti vogliu bè''' («ти волью бэ»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Сахаптин|Сахаптин (якима)]]: '''atawishamash''' («атавишамаш»). # [[Файл:Flag of the Saho People's Democratic Movement.svg|22px|border]] [[w:Сахо (язык)|Сахо]]: '''ku kixiniyo''' («ку кихинийо»).<p>[[w:Свати|Свази]]: см. Свати # [[Файл:Banner of the Principality of Svaneti.svg|22px|border]] [[w:Сванский язык|Сванский]]: '''მი სი მალატხი''' («ми си малатхи»). # [[Файл:Flag of Eswatini.svg|22px|border]] [[w:Свати|Свати]]: '''ngiyakutsandza''' («нгийякутсандза»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Сво|Сво]]: '''me ne tzale weu''' («мэ нэ кяле уо»). # [[Файл:Flag of the Karen National Union.svg|22px|border]] [[w:en:S'gaw Karen language|Сго]]: '''ယအဲၣ်နၤ''' («яэллуну»).<p>[[w:Себуанский язык|Себуано]]: см. Себуанский # [[Файл:Flag of Mindanao (Alexander Noble, 1990).svg|22px|border]] [[w:Себуанский язык|Себуанский]]: '''gihigugma ko ikaw''' («гихигугма ко икау»).<p>[[w:Билин (язык)|Северноагавский]]: см. Билин # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Севернокитайский язык|Севернокитайский]]: '''我愛你''' («уо ай ни»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Северносаамский язык|Северносаамский]]: '''(mun) ráhkistan du''' («(мун) ра́хкистан туу»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Северноселькупский язык|Северноселькупский]]: '''ман тащинты ӄыӄымпам''' («ман тащинты кхыкхымпам»). # [[Файл:Nordfriesischeflagge.svg|22px|border]] [[w:Севернофризский язык|Севернофризский]]: '''ik hääw de liif''' («ик хяав дэ лииф»).<p>[[w:Носу|Северный и]]: см. Носу<p>[[w:Бабин-вицувитен|Северный кэрриер]]: см. Бабин-вицувитен # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Северный мбунду|Северный мбунду]]: '''ngakuzulu''' («нгакузулу»). # [[Файл:Flag of KwaNdbele.svg|22px|border]] [[w:Северный ндебеле|Северный ндебеле]]: '''ngiyakuthanda''' («гиякутанда»).<p>[[w:Северный паюте|Северный пайюте]]: см. Северный паюте # [[Файл:Flag of Nevada.svg|22px|border]] [[w:Северный паюте|Северный паюте]]: '''nu soopeda u''' («ну соопэда у»). # [[Файл:Flag of South Africa.svg|22px|border]] [[w:Северный сото|Северный сото]]: '''ke a go rata''' («ке а го рата»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Северный стрейтс|Северный стрейтс]]: '''χaƛnomɛč''' («халномэч»).<p>[[w:Пуэльче (язык)|Северный теуэльче]]: см. Пуэльче # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Хайда (язык)|Северный хайда]]: '''dáng díi ḵuyáadang''' («данг дии куйаданг»). # [[Файл:Mari Ushem flag.svg|22px|border]] [[w:Северо-западный марийский язык|Северо-западный марийский]]: '''мӹнь тӹньӹм йоратем''' («мынь тыньым яратем»).<p>[[w:Курманджи (диалект курдского языка)|Севернокурдский]]: см. Курманджи # [[Файл:Flag of Lower Saxony.svg|22px|border]] [[w:Северонижнесаксонский диалект|Северонижнесаксонский]]: '''ik heff di leev''' («ик хефф ди лиив»).<p>[[w:Северносаамский язык|Северосаамский]]: см. Северносаамский<p>[[w:Севернофризский язык|Северофризский]]: см. Севернофризский # [[Файл:Flag of Seychelles.svg|22px|border]] [[w:Сейшельский креольский язык|Сейшельский креольский]]: '''mon kontan ou''' («мон контан у»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупские языки|Селькупский]]: '''мат ташэнд надрам’''' («мат та́шэнд на́драм»). # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:en:Sena language|Сена]]: '''ndisakufuna’''' («ндисакуфуна»). # [[Файл:Flag of New York.svg|22px|border]] [[w:Сенека (язык)|Сенека]]: '''gönóöhgwa’''' («гоноохгуа»).<p>[[w:Северный сото|Сепеди]]: см. Северный сото # [[Файл:Flag of Serbia and Montenegro (1992–2006).svg|22px|border]] [[w:Сербохорватский язык|Сербохорватский]]: '''волим те/volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербо-хорватский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of Serbia.svg|22px|border]] [[w:Сербский язык|Сербский]]: '''волим те/volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербскохорватский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербско-хорватский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:Серер (язык)|Серер]]: '''mi ngwinda''' («ми нгвинда»).<p>[[w:Серер (язык)|Серер-син]]: см. Серер # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Серрано (язык)|Серрано]]: '''pihan'in 'emey''' («пиханин эмэй»).<p>[[w:Сейшельский креольский язык|Сеселва]]: см. Сейшельский креольский # [[Файл:Flag of Lesotho.svg|22px|border]] [[w:Сесото|Сесото]]: '''ke a o rata''' («ке а о рата»), '''kea u rata''' («кеа у рата»).<p>[[w:Тсвана (язык)|Сетсвана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Setomaa.svg|22px|border]] [[w:Сету (диалект)|Сету]]: '''ma sinno sallin'''' («ма си́нно са́ллин»). # [[Файл:Proposed Flag of Sephardi Jews.svg|22px|border]] [[w:Сефардский язык|Сефардский]]: '''טי אמו''' («тэ амо»).<p>[[w:Сейшельский креольский язык|Сешелва]]: см. Сейшельский креольский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Сешельт|Сешельт]]: '''x̌áƛ’númičen''' («халнумичен»). # [[Файл:Flag of Siberia.svg|22px|border]] [[w:uk:Сибірська мова|Сибирский]]: '''я тя дружу''' («я тя дружу»). # [[Файл:Siberian Tatar Flag.svg|22px|border]] [[w:Сибирско-татарский язык|Сибирско-татарский]]: '''min sine sөyəm''' («мин синэ сойом»). # [[Файл:Drapeau de la Sidama.png|22px|border]] [[w:Сидамо (язык)|Сидамо]]: '''baxeemmohe''' («батеэммохэ»).<p>[[w:Блэкфут (язык)|Сиксика]]: см. Блэкфут # [[Файл:Flag of Puebla.svg|22px|border]] [[w:Силакайоапанский миштекский язык|Силакайоапанский миштекский]]: '''ku toulló ñeloosí''' («ку тоулло ньелооси»). # [[Файл:Flag of Silesians.svg|22px|border]] [[w:Силезский язык|Силезский]]: '''jo ci przaja''' («йо чи прзайя»).<p>[[w:Лози (язык)|СиЛози]]: см. Лози<p>[[w:Силхетский язык|Силоти]]: см. Силхетский <p>[[w:Силхетский язык|Силхети]]: см. Силхетский # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:Силхетский язык|Силхетский]]: '''ꠝꠥꠁ ꠔꠥꠝꠣꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («муи тумаре маэа шори»), '''ꠀꠝꠤ ꠔꠥꠝꠣꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («ами тумаре маэа шори»), '''ꠝꠥꠁ ꠔꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («муи торе маэа шори»), '''ꠀꠝꠤ ꠔꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («ами торе маэа шори»). <p>[[w:Сильбо гомеро|Сильбо-гомера]]: см. Сильбо гомеро # [[Файл:Bandera Provincial de Santa Cruz de Tenerife.svg|22px|border]] [[w:Сильбо гомеро|Сильбо гомеро]]: {{YouTube|EskC5-FzXhA|видео|start=5m22s}}. # [[Файл:King of Kandy.svg|22px|border]] [[w:Сингальский язык|Сингальский]]: '''මම ඔයාට ආදරෙයි''' («мама ойяата аадарэйи»). # [[Файл:Flag of Singapore.svg|22px|border]] [[w:Сингапурский вариант английского языка|Сингапурский английский]]: '''i lurf you''' («ай лаф ю»).<p>[[w:Сингапурский вариант английского языка|Синглиш]]: см. Сингапурский английский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Синдарин|Синдарин]]: '''gi melin''' («ги мэлин»), '''gen melin''' («гэн мэлин»), '''melon le''' («мэлон ле»), '''te melon''' («тэ мэлон»).<p>[[w:Северный ндебеле|Синдебеле]]: см. Северный ндебеле # [[Файл:Flag of Sindhudesh.svg|22px|border]] [[w:Синдхи (язык)|Синдхи (лари)]]: '''آئون تو سان پيار ڪيان ٿو''' («аон то сан пьяр кьян то»). # [[Файл:Flag of Sindhudesh.svg|22px|border]] [[w:Синдхи (язык)|Синдхи (утради)]]: '''مان تو سان پيار ڪيان ٿو''' («маан то сан пьяр кьян то»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Синти (язык)|Синти]]: '''kamao tut''' («камао тут»).<p>[[w:Сингальский язык|Синхала]]: см. Сингальский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Сипакапенский язык|Сипакапенский]]: '''katnlq’oj''' («катнль к ох»). # [[Файл:Pk seraiki mov.svg|22px|border]] [[w:Сирайки|Сирайки]]: '''میں تیں نل پیار کرینداں''' («мэн тэн пиар крэндан»). # [[Файл:Syrian revolution flag.svg|22px|border]] [[w:Сирийский диалект арабского языка|Сирийский арабский]]: '''بحبك''' («бэхиббэк»).<p>[[w:Свати|Сисвати]]: см. Свати<p>[[w:Средневерхненемецкий язык|СВН]]: см. Средневерхненемецкий # [[Файл:State flag of Iran (1964–1980).svg|22px|border]] [[w:en:Sistani dialect|Систанский персидский]]: '''دل می‌باله ترا''' («дэл мэ-бале тора»). # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Сиу (язык)|Сиу]]: '''techi 'hila''' («течи хила»).<p>[[w:Итонама (язык)|Сихнипадара]]: см. Итонама # [[Файл:Flag of Sicily.svg|22px|border]] [[w:Сицилийский язык|Сицилийский]]: '''ti vogghiu''' («ти воггю»), '''t’аmu''' («таму»).<p>[[w:Лушуцид|Скагит-нискволли]]: см. Лушуцид<p>[[w:Шотландский язык (германский)|Скотс]]: см. Шотландский (германский) # [[Файл:Flag of Slovakia.svg|22px|border]] [[w:Словацкий язык|Словацкий]]: '''ľúbim ťa''' («любим тя»). # [[Файл:Flag of Slovenia.svg|22px|border]] [[w:Словенский язык|Словенский]]: '''ljubim te''' («любим тэ»). # [[Файл:Flag of Slovio.svg|22px|border]] [[w:Словио|Словио]]: '''lubovijm te''' («лубовийм тэ»).<p>[[w:Прибрежно-цимшианский язык|Смалгах]]: см. Прибрежно-цимшианский<p>[[w:Прибрежно-цимшианский язык|Смалгиах]]: см. Прибрежно-цимшианский<p>[[w:Арабский литературный язык|Современный стандартный арабский]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Flag of Busoga (royal standard).png|22px|border]] [[w:Сога (язык)|Сога]]: '''nkwendha''' («нквендха»), '''nkwagala''' («нквагала»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Сойкинский ижорский]]: '''miä suvvan sinnua''' («мия сувван синнуа»).<p>[[w:Пиджин Соломоновых Островов|Соломонский пиджин]]: см. Пиджин Соломоновых Островов # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Сольресоль|Сольресоль]]: '''do-re mi-la-si do-mi''' («до-ре ми-ля-си до-ми»).<p>[[w:Сомалийский язык|Сомали]]: см. Сомалийский # [[Файл:Flag of Somalia.svg|22px|border]] [[w:Сомалийский язык|Сомалийский]]: '''waan ku jeclahay''' («уан ку джэклахай»).<p>[[w:Тундровый энецкий язык|Сомату]]: см. Тундровый энецкий # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Songe language|Сонге]]: '''ne mukufule''' («нэ мукуфулэ»). # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:Сонинке (язык)|Сонинке]]: '''n w'an mulla''' («на мулла»), '''nga m’afini''' («нга мафини»), '''nda xanu''' («нда шану»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Сорани|Сорани]]: '''من عاشقتم''' («мэн ашкетэм») , '''xoştim dewê''' («хоштим дэуэ»).<p>[[w:Сусу (язык)|Сосо]]: см. Сусу<p>[[w:Сефардский язык|Спаньоль]]: см. Сефардский<p>[[w:Итонама (язык)|Срама]]: см. Итонама # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Сранан-тонго|Сранан-тонго]]: '''mi lobi joe''' («ми лоби ю»). # [[Файл:Flag of Gwynedd.svg|22px|border]] [[w:Средневаллийский язык|Средневаллийский]]: '''mi a’th garaf''' («ми аф гараф»). # [[Файл:Flag of the First Zionist Congress 1897.svg|22px|border]] [[w:Средневековый иврит|Средневековый иврит]]: '''אני אוהב אותך''' («ани оев асах») — женщине; '''אני אוהבת אותך''' («ани оевес осха») — мужчине. # [[Файл:Heiliges Römisches Reich - Reichssturmfahne vor 1433 (Nimbierter Adler).svg|22px|border]] [[w:Средневерхненемецкий язык|Средневерхненемецкий]]: '''ich liebe dich''' («ихь лиебэ дихь»). # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Стандартный марокканский берберский язык|Стандартный марокканский берберский]]: '''ⵃⴰⵎⵍⴰⵖⴽⴻⵎ''' («хэмлэркэм»).<p>[[w:Османский язык|Староанатолийско-тюркский]]: см. Османский # [[Файл:Pendón heráldico de los Reyes Catolicos de 1475-1492.svg|22px|border]] [[w:Староиспанский язык|Староиспанский]]: '''amo te''' («амо тэ»).<p>[[w:Османский язык|Староосманский]]: см. Османский # [[Файл:Kolovrat_flag.svg|22px|border]] [[w:Старославянский язык|Старославянский]]: '''азъ люблю тѧ/ⰰⰸⱏ ⰾⱓⰱⰾⱓ ⱅⱔ''' («азу люблю тэн»). # [[Файл:Flag of France (XII-XIII).svg|22px|border]] [[w:Старофранцузский язык|Старофранцузский]]: '''aim te''' («эм тэ»).<p>[[w:Тупи (язык)|Старый тупи]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Swahili.gif|22px|border]] [[w:Суахили|Суахили]]: '''nakupenda''' («накупэнда»).<p>[[w:Субанон (язык)|Субанен]]: см. Субанон # [[Файл:Zamboanga Sibugay Flag.png|22px|border]] [[w:Субанон (язык)|Субанон]]: '''dlelamen hu yaa''' («длеламен ху яа»). # [[Файл:Flag of Sudan.svg|22px|border]] [[w:Суданский диалект арабского языка|Суданский арабский]]: '''احبك''' («ахбк»).<p>[[w:Алютикский язык|Сук]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Tanzania.svg|22px|border]] [[w:Сукума (язык)|Сукума]]: '''nakutogilwe''' («накутогилве»), '''itogwa benekele ne benekele’''' («итогва бенекеле не бенекеле»). # [[Файл:Late 19th Century Flag of Sulu.svg|22px|border]] [[w:Сулу (язык)|Сулу]]: '''kalasahan’''' («каласахан»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Sümi language|Суми]]: '''niye no kimiye ani''' («нийе но кимийе ани»), '''nighi okikiye cheni''' («ниги окикийе чени»), '''niye no kimiyecheni''' («нийе но кимийечени»).<p>[[w:Тетела (язык)|Сунгу]]: см. Тетела # [[Файл:Flag of Pasundan.svg|22px|border]] [[w:Сунданский язык|Сунданский]]: '''abdi bogoh ka anjeun''' («абди богох ка анджеун») - романтически, '''abdi nyaah ka anjeun''' («абди ньяа ка анджеун») - неромантически.<p>[[w:Зуни (язык)|Суньи]]: см. Зуни # [[Файл:Bihar Government Banner.png|22px|border]] [[w:en:Surjapuri language|Сурджапури]]: '''mi tok pyār korchi''' («ми ток пьяр корчи»).<p>[[w:Ассирийский новоарамейский язык|Сурет]]: см. Ассирийский новоарамейский # [[Файл:Flag of Surigao del Norte.svg|22px|border]] [[w:en:Surigaonon language|Суригаонон]]: '''taghigugma ta kaw''' («тагхигугма та кау»).<p>[[w:Сранан-тонго|Суринамский]]: см. Сранан-тонго # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Суринамский хиндустани|Суринамский хиндустани]]: '''hum toke chahila''' («хум токе чахила»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Surmiran dialect|Сурмиранский романшский]]: '''ia at carez''' («йяат карэз»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Sursilvan|Сурсильванский романшский]]: '''jeu carezel tei''' («жэу карэзэль тэй»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Сусу (язык)|Сусу]]: '''ira fan ma''' («ира фан ма»).<p>[[w:Сесото|Суто]]: см. Сесото # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:de:Sutselvische Sprache|Сутсильванский романшский]]: '''jou t’am''' («жу тэм»).<p>[[w:Алютикский язык|Сухпиак]]: см. Алютикский<p>[[w:Алютикский язык|Сухстстун]]: см. Алютикский<p>[[w:Носу|Сычуаньский и]]: см. Носу<p>[[w:Крио|Сьерра-леонский креольский]]: см. Крио # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Сян (язык)|Сян]]: '''你很好''' («ни хэн хао»). # [[Файл:Ethnic flag of Tabasarans.svg|22px|border]] [[w:Табасаранский язык|Табасаранский]]: '''узуз уву ккунжазуз''' («увуз уву ккунжазуз»).<p>[[w:Северный ндебеле|Табеле]]: см. Северный ндебеле<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгийский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгийско-самоедский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгинский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Тагальский язык|Тагалог]]: см. Тагальский<p>[[w:Тагальский язык|Тагалогский]]: см. Тагальский # [[Файл:Flag of the Tagalog people.svg|22px|border]] [[w:Тагальский язык|Тагальский]]: '''mahal kita''' («махаль кита»), '''iniibig kita''' («инибиг кита»). # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Tagol language|Тагол-мурут]]: '''asiha au riun''' («асиха ау риун»). # [[Файл:Flag of Tajikistan.svg|22px|border]] [[w:Таджикский язык|Таджикский]]: '''ман туро дӯст медорам''' («ман туро дёст медорам»).<p>[[w:Таджикский язык|Таджикский фарси]]: см. Таджикский # [[Файл:Flag of CARICOM.svg|22px|border]] [[w:Таино (языки)|Таино]]: '''dak'ro buk''' («дакро бук»).<p>[[w:Таитянский язык|Таити]]: см. Таитянский # [[Файл:Flag of French Polynesia.svg|22px|border]] [[w:Таитянский язык|Таитянский]]: '''ua here vau ia oe''' («уа херэ вау иа оэ»).<p>[[w:Тайваньский хокло|Тайваньский]]: см. Тайваньский хокло # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Тайваньский хокло|Тайваньский хокло]]: '''我愛你''' («гоа ай ли»).<p>[[w:Шанский язык|Тай-дэхун]]: см. Шанский # [[Файл:Flag of Thailand.svg|22px|border]] [[w:Тайский язык|Тайский]]: '''ผมรักคุณ''' («пом рак кун») — женщине; '''ฉันรักคุณ''' («чан рак кун») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Kingdom of Talossa.svg|22px|border]] [[w:Талосский язык|Талосский]]: '''t'améu''' («т'амэу»). # [[Файл:Flag of Yukon.svg|22px|border]] [[w:Талтан|Талтан]]: '''nedishcha''' («нэдишча»). # [[Файл:Flag of the Talysh National Movement.svg|22px|border]] [[w:Талышский язык|Талышский]]: '''mı tıni pidәme''' («мы тыни пидамэ»), '''mı tibә pıdәm''' («мы тибэ пидэм»).<p>[[w:Стандартный марокканский берберский язык|Тамазигхт]]: см. Стандартный марокканский берберский<p>[[w:Западнотамахакский язык|Тамахак]]: см. Западнотамахакский # [[Файл:Touareg People Flag.svg|22px|border]] [[w:Тамашек|Тамашек]]: '''riqqim''' («рикким»).<p>[[w:Тамашек|Тамашекин]]: см. Тамашек # [[Файл:Bicolor flag of Tamil Eelam.svg|22px|border]] [[w:Тамильский язык|Тамильский]]: '''நான் உன்னை நேசிக்கிறேன்''' («наан уннай неесиккиреен»). # [[Файл:Flag of Gombe State.svg|22px|border]] [[w:Тангале (язык)|Тангале]]: '''ni lessigo''' («ни лессиго»).<p>[[w:Тангале (язык)|Тангле]]: см. Тангале<p>[[w:Тасе-нага|Тангса]]: см. Тасе-нага<p>[[w:Тараумара (язык)|Таракумара]]: см. Тараумара<p>[[w:Пурепеча (язык)|Тараскский]]: см. Пурепеча<p>[[w:Тараумара (язык)|Тарахумара]]: см. Тараумара # [[Файл:Flag of Chihuahua.svg|22px|border]] [[w:Тараумара (язык)|Тараумара]]: '''ni nígare''' («ни нигаре»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:Тасе-нага|Тасе-нага]]: '''ngiz räq ümznäq mäx lungvii täkängx''' («нгиз ряк юмзняк мякс лунгвии тякянгкс»). # [[Файл:Tatar Nationalist Flag.svg|22px|border]] [[w:Татарский язык|Татарский]]: '''мин сине яратам''' («мин сине яратам»). # [[Файл:Ethnic flag of Tat people (Caucasus).svg|22px|border]] [[w:Татский язык|Татский]]: '''мя туна мхостанум''' («мя туна мхостанум»), '''мя туря бахостанум''' («мя туря бахостанум»).<p>[[w:Западнотамахакский язык|Тахаггарк]]: см. Западнотамахакский<p>[[w:Чви|Тви]]: см. Чви<p>[[w:Северный ндебеле|Тебеле]]: см. Северный ндебеле<p>[[w:Тектитекский язык|Теко]]: см. Тектитекский<p>[[w:Тектитекский язык|Тектитек]]: см. Тектитекский<p>[[w:Тектитекский язык|Тектитеко]]: см. Тектитекский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Тектитекский язык|Тектитекский]]: '''nwan a’ich''' («нуан а ич»). # [[Файл:Flag of Kemerovo Oblast.svg|22px|border]] [[w:Телеутское наречие|Телеутский]]: '''мен сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of Telangana.svg|22px|border]] [[w:Телугу|Телугу]]: '''నేను నిన్ను ప్రేమిస్తున్నాను''' («неэну нинну преэмистуннаану»). # [[Файл:Flag of Togo (3-2).svg|22px|border]] [[w:Тем (язык)|Тем]]: '''mɔɔzɔɔlɛ́ɛ nya''' («моозоолеэ нья»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Темне (язык)|Темне]]: '''eborithimu''' («эборитхиму»). # [[Файл:Flag of Malaysia.svg|22px|border]] [[w:en:Temuan language|Темуанский]]: '''akuk sukak ajih''' («акук сукак аджих»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Тетела (язык)|Тетела]]: '''dimi kolangaka''' («дими колангака»), '''dimi kokaka ngandji''' («дими кокака нганджи»), '''dimi nyolangaka''' («дими ньолангака»). # [[Файл:Flag of East Timor.svg|22px|border]] [[w:Тетум|Тетум]]: '''hau hadomi o''' («хау хадомио»).<p>[[w:Тетум|Тетун]]: см. Тетум # [[Файл:Flag of Dili.svg|22px|border]] [[w:Тетум|Тетун-дили]]: '''haʼu hadomi ó''' («ха у хадоми о»).<p>[[w:Тетум|Тетун-праса]]: см. Тетум # [[Файл:Flag of the Tehuelche People.svg|22px|border]] [[w:Теуэльче (язык)|Теуэльче]]: '''inchepoyeneimi''' («инчепойенэйми»). # [[Файл:Flag of Tibet.svg|22px|border]] [[w:Тибетский язык|Тибетский]]: '''ང་ཁྱེད་རང་ལ་དགའ་པོ་ཡོད་''' («нга каирангла гавпо йо»). # [[Файл:Flag of Biafra.svg|22px|border]] [[w:Тив|Тив]]: '''u doom ishima''' («у доом ишима»). # [[Файл:Flag of Eritrea.svg|22px|border]] [[w:Тигре (язык)|Тигре]]: '''ana enti efete''' («ана энти эфете»). # [[Файл:Flag of the Tigray Region.svg|22px|border]] [[w:Тигринья|Тигринья]]: '''ይፈትወካ`የ''' («йфетуэкайе») — женщине; '''ይፈትወኪ’የ''' («йфетуэкийе») — мужчине.<p>[[w:Тамашек|Тимбукту]]: см. Тамашек # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:en:Timerio|Тимерио]]: '''1-80-17''' («1-80-17»).<p>[[w:Тиндинский язык|Тиндальский]]: см. Тиндинский<p>[[w:Тиндинский язык|Тиндийский]]: см. Тиндинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Тиндинский язык|Тиндинский]]: '''де̄ мӣ гьелӯ''' («дэ ми гьелу»).<p>[[w:Ладинский язык|Тирольский ретороманский]]: см. Ладинский<p>[[w:Алютикский язык|Тихоокеанский юпик]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Canton of Ticino.svg|22px|border]] [[w:Тичинский диалект ломбардского языка|Тичинский ломбардский]]: '''ta vöri ben''' («та вэри бэн»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Тлингитский язык|Тлингитский]]: '''ixhsixhán''' («иххсиххан»).<p>[[w:Тлингитский язык|Тлинкитский]]: см. Тлингитский # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:Тоба (язык)|Тоба]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Тоба (язык)|Тоба-батакский]]: см. Тоба # [[Файл:Toki Pona flag.svg|22px|border]] [[w:Токипона|Токипона]]: '''mi olin e sina''' («ми олин э сина»). # [[Файл:Flag of Papua New Guinea.svg|22px|border]] [[w:Ток-писин|Ток-писин]]: '''mi lavim yu''' («ми лавим ю»). # [[Файл:Flag of Tokelau.svg|22px|border]] [[w:Токелау (язык)|Токелау]]: '''ko au e alofa atu''' («ко ау э алофа ату»). # [[Файл:Nlakapamux Nation Flag.png|22px|border]] [[w:Томпсон (язык)|Томпсон]]: '''yaquindawe''' («якуиндауэ»). # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:en:Tonga language (Zambia and Zimbabwe)|Тонга (Замбия/Зимбабве)]]: '''ndilakuyanda''' («ндилакуйанда»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:en:Tonga language (Malawi)|Тонга (Малави)]]: '''nditikuyanja''' («ндитикуйанджа»). # [[Файл:Flag of Tonga.svg|22px|border]] [[w:Тонганский язык|Тонганский]]: ''''oku ou 'ofa 'ia koe''' («оку оу офа иа коэ»). # [[Файл:Flag of Los Angeles, California.svg|22px|border]] [[w:en:Tongva language|Тонгва]]: '''wiishmenokre''' («виишменокре»).<p>[[w:Туника (язык)|Тоника]]: см. Туника # [[Файл:Flag of Toro, Uganda.svg|22px|border]] [[w:en:Tooro language|Тооро]]: '''ninkugonza''' («нинкугонза»). # [[Файл:Flag of Nizhneudinsky District.png|22px|border]] [[w:Тофаларский язык|Тофаларский]]: '''мен сенi эъккісіндыр мен''' («мэн сэни эккисиндыр мэн»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Тохолабальский язык|Тохолабальский]]: '''wa xkʼanawa''' («ва шканава»).<p>[[w:Ладинский язык|Трентинский]]: см. Ладинский # [[Файл:Flag of Chuuk.svg|22px|border]] [[w:Трукский язык|Трукский]]: '''‘ai tong ngonuk''' («аи тонг нгонук») — формально, '''‘u pe reom''' («у пэ рэом») — неформально.<p>[[w:Ангами (язык)|Тсангло]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:en:Tswa language|Тсва]]: '''nza ku ranza''' («нза ку ранза»). # [[Файл:Flag of Botswana.svg|22px|border]] [[w:Тсвана (язык)|Тсвана]]: '''ke a go rata''' («ке а го рата»).<p>[[w:Ангами (язык)|Тсогами]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Gazankulu.svg|22px|border]] [[w:Тсонга (язык)|Тсонга]]: '''ndza ku rhandza''' («ндза ку рандза»).<p>[[w:Ангами (язык)|Тсугуми]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Tuamotu Archipelago.svg|22px|border]] [[w:Туамоту (язык)|Туамоту]]: '''ua here au ia koe''' («уа херэ ау иа коэ»).<p>[[w:Туамоту (язык)|Туамотуанский]]: см. Туамоту # [[Файл:Flag of Tuvalu.svg|22px|border]] [[w:Тувалу (язык)|Тувалу]]: '''au e alofa ki a koe''' («ау э алофа ки а коэ»). # [[Файл:Flag of Tuva.svg|22px|border]] [[w:Тувинский язык|Тувинский]]: '''мен сенээ ынак мен''' («мэн сэнээ ынак мэн»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:en:Tugen language|Туген]]: '''achamin''' («атшамин»).<p>[[w:Гвичин|Тукуд]]: см. Гвичин # [[Файл:Снимок экрана 2024-10-21 в 15.30.55.png|22px|border]] [[w:Тулу|Тулу]]: '''ಯಾನ್ ಈರೆನ್ ಮೋಕೆ ಮಲ್ಪುವೆ''' («яан иирэн мооке малпувэ»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:Тумбука (язык)|Тумбука]]: '''nkhukutemwa''' («нкукутэмуа»).<p>[[w:Эвенкийский язык|Тунгусский]]: см. Эвенкийский # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Тундровый энецкий язык|Тундровый энецкий]]: '''модь тоди комитазʼʼ''' («модь тоди комита́з»). # [[Файл:Flag of Louisiana.svg|22px|border]] [[w:Туника (язык)|Туника]]: '''ma ihkmahka''' («ма ихкмахка») - мужчине, '''hɛma ihkmahka''' («хема ихкмахка») - женщине. # [[Файл:Flag of Tunisia.svg|22px|border]] [[w:Тунисский диалект арабского языка|Тунисский арабский]]: '''نحبك''' («нхэббик»). # [[Файл:Flag of Brazil.svg|22px|border]] [[w:Тупи (язык)|Тупи]]: '''oroaûsub''' («ороауусуб»).<p>[[w:Тупи (язык)|Тупинамба]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:en:Tupuri language|Тупури]]: '''ndi damo''' («нди дамо»). # [[Файл:Flag of Turkey.svg|22px|border]] [[w:Турецкий язык|Турецкий]]: '''seni seviyorum''' («сени севиёрум»). # [[Файл:Flag of Turin.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Туринский пьемонтский]]: '''ët veui bin''' («эт веуй бин»). # [[Файл:Flag of Turkmenistan.svg|22px|border]] [[w:Туркменский язык|Туркменский]]: '''men seni söýýärin''' («мэн сэни сёйярин»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:У (язык)|У]]: '''我爱侬''' («нгу э нон»). # [[Файл:Flag of the Isle of Wight.svg|22px|border]] Уайтский: '''íy ímbróðorlufu fa ðu''' («ий имбросорлуфу фа су»).<p>[[w:Воламо|Уаламо]]: см. Воламо # [[Файл:Flag of Veracruz.svg|22px|border]] [[w:Уастекский науатль|Уастекский науатль]]: '''nimitstlasotla''' («нимицтласотла»).<p>[[w:Воламо|Уба]]: см. Воламо # [[Файл:Circassian flag.svg|22px|border]] [[w:Убыхский язык|Убыхский]]: '''tʂʼanə wəzbja''' («тс ана уазбйа»).<p>[[w:Уоллисский язык|Увеа]]: см. Уоллисский<p>[[w:Эякский язык|Угаленцский]]: см. Эякский # [[Файл:Flag of Rostov Oblast.svg|22px|border]] [[w:Удинский язык|Удинский]]: '''зу ва чуресса''' («зу ва чуресса»). # [[Файл:Flag of Udmurtia.svg|22px|border]] [[w:Удмуртский язык|Удмуртский]]: '''мон тонэ яратӥсько''' («мон тонэ яратыщко»). # [[Файл:Flag of Primorsky Krai.svg|22px|border]] [[w:Удэгейский язык|Удэгейский]]: '''би синова аюми''' («би синова аюми»).<p>[[w:Удэгейский язык|Удэйский]]: см. Удэгейский # [[Файл:Flag of Uzbekistan.svg|22px|border]] [[w:Узбекский язык|Узбекский]]: '''men sizni sevaman''' («мэн сизни сэваман»). # [[Файл:Kokbayraq flag.svg|22px|border]] [[w:Уйгурский язык|Уйгурский]]: '''مەن سېنى ياخشى كۆرىمەن''' («сизни яхши корман»). # [[Файл:Flag of Ukraine.svg|22px|border]] [[w:Украинский язык|Украинский]]: '''я тебе кохаю''' («я тэбэ кохаю»). # [[Файл:Flag of Khabarovsk Krai.svg|22px|border]] [[w:Ульчский язык|Ульчский]]: '''би симбэ улэсии''' («би симбэ улэсии»).<p>[[w:Южный мбунду|Умбунду]]: см. Южный мбунду # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Уме-саамский язык|Уме-саамский]]: '''månna ráhkistan du''' («монна рахкистан ду»). # [[Файл:Flag of Wallis and Futuna.svg|22px|border]] [[w:Уоллисский язык|Уоллисский]]: '''ʼe ʼau ʼofa ia koe''' («э ау офа иа коэ»). # [[Файл:Flag of Pakistan.svg|22px|border]] [[w:Урду|Урду]]: '''میں آپ سے محبت کَرتا ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карта хун») — женщине; '''میں آپ سے محبت کرتی ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карти хун») — мужчине. # [[Файл:Flag of Uropi.svg|22px|border]] [[w:en:Uropi|Уропи]]: '''i liam ta''' («и лиам та») - неформально; '''i liam va''' («и лиам ва») - формально. # [[Файл:Bandeira do Maranhão.svg|22px|border]] [[w:Урубу-каапор (язык)|Урубу-каапор]]: '''rê-putare dê''' («рээ путарэ дээ»). # [[Файл:Delta State Flag.gif|22px|border]] [[w:en:Urhobo language|Урхобо]]: '''mi vwo ẹguọnọ wẹn''' («ми вуо эгуоно вэн»).<p>[[w:Тувинский язык|Урянхайский]]: см. Тувинский<p>[[w:Успантекский язык|Успантек]]: см. Успантекский<p>[[w:Успантекский язык|Успантеко]]: см. Успантекский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Успантекский язык|Успантекский]]: '''at chwaaj''' («ат чуах»).<p>[[w:Алабугатско-татарский язык|Утарский]]: см. Алабугатско-татарский<p>[[w:Валлийский язык|Уэльский]]: см. Валлийский # [[Файл:FlagOfWessex.svg|22px|border]] [[w:Уэссекский диалект древнеанглийского языка|Уэссекский древнеанглийский]]: '''ic lufie þe''' («ик луфиэ сэ»).<p>[[w:Уоллисский язык|Фака'увеа]]: см. Уоллисский # [[Файл:Flag of Chin State.svg|22px|border]] [[w:en:Falam language|Фалам]]: '''ka lo duh tuk''' («ка ло дух тук»), '''ka lo ngai''' («ка ло нгаи»). # [[Файл:Flag of Equatorial Guinea.svg|22px|border]] [[w:Фанг (язык)|Фанг]]: '''ma dzing wa''' («ма дзинг ва»), '''ma gnôre wa''' («ма гноре ва»). # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:en:Fante dialect|Фанте]]: '''me dowapaa''' («мэ довапаа»).<p>[[w:Фарерский язык|Фарейский]]: см. Фарерский # [[Файл:Flag of the Faroe Islands.svg|22px|border]] [[w:Фарерский язык|Фарерский]]: '''eg elski teg''' («э эльши тэ»).<p>[[w:Персидский язык|Фарси]]: см. Персидский<p>[[w:Дари|Фарси-кабули]]: см. Дари<p>[[w:Фарерский язык|Ферейский]]: см. Фарерский # [[Файл:Bubi nationalist flag.svg|22px|border]] [[w:Фернандо-по (диалект)|Фернандо-по]]: '''mí lɛ́k yú''' («ми лэк ю»). # [[Файл:Flag of Fiji.svg|22px|border]] [[w:Фиджийский язык|Фиджийский]]: '''au domoni iko''' («ондомони ико»), '''au lomani iko''' («онломани ико»). # [[Файл:Flag of Fiji.svg|22px|border]] [[w:Фиджийский хинди|Фиджийский хинди]]: '''main bhi tumko pyaar karti hoon''' («маин бхи тумко пьяар карти хоон»).<p>[[w:Фиджийский хинди|Фиджийский хиндустани]]: см. Фиджийский хинди<p>[[w:Филиппинский язык|Филипино]]: см. Филиппинский # [[Файл:Flag of Philippines.svg|22px|border]] [[w:Филиппинский язык|Филиппинский]]: '''mahal kita''' («махал кита»). # [[Файл:Phoenician Language Flag.svg|22px|border]] [[w:Финикийский язык|Финикийский]]: '''𐤀𐤇𐤌𐤃𐤕𐤊''' («ахмдтк»). # [[Файл:Flag of Finland.svg|22px|border]] [[w:Финский язык|Финский]]: '''minä rakastan sinua''' («ми́ня ра́кастан си́нуа»). # [[Файл:Flag of Benin.svg|22px|border]] [[w:Фон (язык)|Фон]]: '''un yí wǎn nú we''' («уньи ван ну ве»). # [[Файл:Greek flag (black cross).svg|22px|border]] [[w:Фракийский язык|Фракийский]]: '''az lopt ti''' («аз лопт ти»). # [[Файл:Drapeau arpitan.svg|22px|border]] [[w:Франкопровансальский язык|Франкопровансальский]]: '''je t’amo''' («жэ тьямо»). # [[Файл:Flag of France.svg|22px|border]] [[w:Французский язык|Французский]]: '''je t’aime''' («жё тэм») # [[Файл:Bandiere dal Friûl.svg|22px|border]] [[w:Фриульский язык|Фриульский]]: '''ti vuei ben''' («ти вуэй бэн»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Фула (язык)|Фула]]: '''mbe de yid ma''' («мбе дэ йид ма»). # [[Файл:Flag of Uganda.svg|22px|border]] [[w:en:Fuliiru language|Фулииру]]: '''nakusima''' («накусима»).<p>[[w:Фриульский язык|Фурланский]]: см. Фриульский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Fut language|Фут]]: '''ma khoŋe gho''' («ма кхонэ гхо»). # [[Файл:Flag of Lesotho.svg|22px|border]] [[w:en:Phuthi language|Фути]]: '''giyakutshadza''' («гийякутшадза»). # [[Файл:Bandera de Meghalaya.svg|22px|border]] [[w:en:Hajong language|Хаджонг]]: '''môy tôge bhala pae''' («мой тоге бхала паэ»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Хайда (язык)|Хайда]]: '''dang dii kuyadang''' («данг дии куйаданг»).<p>[[w:Чинский язык|Хака]]: см. Чинский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Хакальтекский язык|Хакальтекский]]: '''chach woche''' («чачуоче»). # [[Файл:Khakas ethnic flag.svg|22px|border]] [[w:Хакасский язык|Хакасский]]: '''мин син хынара''' («мин син хынара»).<p>[[w:Сефардский язык|Хакетия]]: см. Сефардский # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Хакка (язык)|Хакка]]: '''𠊎愛你''' («на ой ни»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Халкомелем|Халкомелем (халкуминум)]]: '''nu stl’i’ ch''' («на стлич»). # [[Файл:Flag of Yugra.svg|22px|border]] [[w:Хантыйский язык|Хантыйский]]: '''ма ԓӑӊӄԓәм нӱӊат''' («ма ланклэм нунат»). # [[Файл:Occ. Mindoro Flag.png|22px|border]] [[w:en:Hanunoo language|Ханунуо]]: '''ᜫᜱᜮ᜴ ᜣᜯᜳ ᜨᜲᜣᜳ''' («махал каво нико»).<p>[[w:Хариани|Харианви]]: см. Хариани # [[Файл:..Haryana Flag(INDIA).png|22px|border]] [[w:Хариани|Хариани]]: '''ma tanna pyaar karun hun''' («ма танна пьяар карун хун»), '''tu mane ghane achi lage''' («ту манэ гханэ ачи лаге»). # [[Файл:Flag of Mauritania.svg|22px|border]] [[w:Хассания|Хассания]]: '''kanebgheek''' («канебгхеек»). # [[Файл:Flag of the Hausa people.svg|22px|border]] [[w:Хауса (язык)|Хауса]]: '''ina son ka''' («ина сон ка») - мужчине, '''ina son ki''' («ина сон ки») - женщине. # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Хваршинский язык|Хваршинский]]: '''дил мо гокъше''' («дил мо гокше»).<p>[[w:Сефардский язык|Хебронео]]: см. Сефардский # [[Файл:Hittite Culture Flag.webp|22px|border]] [[w:Хеттский язык|Хеттский]]: '''𒉡𒌓𒋫 𒀸𒅆𒅀𒈪''' («нуутта ассияни»). # [[Файл:Flag of Hejaz (1917).svg|22px|border]] [[w:Хиджазский диалект арабского языка|Хиджазский арабский]]: '''أحبك‎''' («ахуббак») — мужчине, '''أحبك‎''' («ахуббик») — женщине. # [[Файл:Flag of Ilolio (1886-1898).svg|22px|border]] [[w:Хилигайнон (язык)|Хилигайнон]]: '''palangga ta ka''' («палангга та ка»), '''palangga ko ikaw''' («палангга ко ико»), '''guina higugma ko ikaw''' («гуина хигугма ко ико»). # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хинглиш|Хинглиш]]: '''mujhe aapako pasand hai''' («муджэ аапако пасанд хай»).<p>[[w:Хиндустани|Хиндави]]: см. Хиндустани # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хинди|Хинди]]: '''मैं तुमसे प्यार करता हुँ''' («майн тумсе пьяар картаа хуун») — женщине; '''मैं तुमसे प्यार करती हुँ''' («майн тумсе пьяар картии хуун») — мужчине. # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хиндустани|Хиндустани]]: '''मैं तुमसे प्यार करता हुँ''' («майн тумсе пьяар картаа хуун»), '''میں آپ سے محبت کَرتا ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карта хун») — женщине; '''मैं तुमसे प्यार करती हुँ''' («майн тумсе пьяар картии хуун»), '''میں آپ سے محبت کرتی ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карти хун») — мужчине. # [[Файл:Flag of Papua New Guinea.svg|22px|border]] [[w:Хири-моту|Хири-моту]]: '''oi lau lalokau henia''' («ои лау лалокау хэниа»).<p>[[w:Микасуки (язык)|Хитчити-микасуки]]: см. Микасуки # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Хишкарьяна (язык)|Хишкарьяна]]: '''kɨxirohimayaha''' («кышироимайяа»). # [[Файл:Hmong Flag (UNPO).svg|22px|border]] [[w:Хмонг (язык)|Хмонг]]: '''kuv hlub koj''' («кув хлуб кой»). # [[Файл:Hmong Flag (UNPO).svg|22px|border]] [[w:Хмонг (язык)|Хмонг-даы]]: '''kuv hlub koj''' («кув хлуб кой»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Хо (язык)|Хо]]: '''amań sukua tana''' («аман сукуа тана»), '''abeneń sukua tana''' («абенен сукуа тана»).<p>[[w:Хокло (язык)|Хоккен]]: см. Хокло<p>[[w:Хокло (язык)|Хоккиен]]: см. Хокло # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Хокло (язык)|Хокло]]: '''我爱你''' («гоа ай ли»). # [[Файл:Flag of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Хопи (язык)|Хопи]]: '''nu’ umi unangwa’ta''' («ну уми унангуа та»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan.png|22px|border]] [[w:Лазский язык|Хопский лазский]]: '''ma si p'qorop''' («ма сип гороп»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватосербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорвато-сербский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of Croatia.svg|22px|border]] [[w:Хорватский язык|Хорватский]]: '''volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватскосербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сефардский язык|Худесмо]]: см. Сефардский<p>[[w:Сян (язык)|Хунаньский]]: см. Сян # [[Файл:Hunsrik language flag.png|22px|border]] [[w:Хунсрюкский диалект|Хунсрюкский]]: '''ich liipe tich''' («ихь лиэпэ тихь»).<p>[[w:Истмусский сапотекский язык|Хучитанский сапотекский]]: см. Истмусский сапотекский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Хэн (язык)|Хэн]]: '''nihtsį̀'''' («нитси»). # [[Файл:Цахурский флаг Tsakhur flag علم تساخور.svg|22px|border]] [[w:Цахурский язык|Цахурский]]: '''зас гъу йикканна''' («зас г у йикканна») — женщине; '''зас гъу ыкканна''' («зас г у ыкканна») — мужчине. # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Цезский язык|Цезский]]: '''даьр ми йетих''' («дар ми етих») — женщине; '''даьр ми этих''' («дар ми этих») — мужчине.<p>[[w:Цельтальский язык|Цельталь]]: см. Цельтальский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Цельтальский язык|Цельтальский]]: '''kʼuxat ta koʼtan''' («кушат та котан»).<p>[[w:Сорани|Центральнокурдский]]: см. Сорани # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Центрально-юпикский язык|Центрально-юпикский (чупик)]]: '''piniqamken''' («беникаамкен»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Центрально-юпикский язык|Центрально-юпикский (юпик)]]: '''kenkamken''' («кенкамкен»). # [[Файл:PH-CAS Flag.png|22px|border]] [[w:Центральный бикольский язык|Центральный бикольский]]: '''namumutan ta ka''' («намумутан та ка»).<p>[[w:Луба-катанга|Центральный луба]]: см. Луба-катанга<p>[[w:Качинский язык|Цзинпо]]: см. Качинский # [[Файл:Banner of the Federation of the Sette Comuni.svg|22px|border]] [[w:Цимбрский язык|Цимбрский]]: '''ich liibe-dich''' («ихь лиибэ-дихь»).<p>[[w:Бацбийский язык|Цоватский]]: см. Бацбийский<p>[[w:Бацбийский язык|Цова-тушинский]]: см. Бацбийский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:en:Tsolyáni language|Цольяни]]: '''lúm tupmér tsámmeri''' («лум тупмэр цаммэри») - любовнику или любимому человеку; '''lúm tupmér eyúltùsmi''' («лум тупмэр эюлтусми») - мужу или жене; '''lúm tupmér ìluntsám''' («лум тупмэр илунцам») - наложнице; '''lúm tupmér tsinéntùsmi''' («лум тупмэр цинэнтусми») - отцу или матери. # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Цоциль (язык)|Цоциль]]: '''jk'anojot''' («джкханоджот»).<p>[[w:Цоциль (язык)|Цоцильский]]: см. Цоциль # [[Файл:Даргинский флаг (неофициальный, одна из народных вариаций).jpg|22px|border]] [[w:Цудахарский язык|Цудахарский]]: '''дам гIу риккутте''' («дам гу рикутэ»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Цутухильский язык|Цутухильский]]: '''natwajo'''' («натуахо»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Цыганский язык|Цыганский]]: '''kamav tut''' («камав тут»), '''me mangav tut''' («мэ мангав тут»). # [[Файл:Purported flag of the Republic of Zamboanga.svg|22px|border]] [[w:Чабакано|Чабакано (замбоангеньо)]]: '''ama yo contigo''' («ама йо контиго»). # [[Файл:Flag of Cavite City.svg|22px|border]] [[w:Чабакано|Чабакано (кавитеньо)]]: '''ta ama yo cuntigo''' («та ама йо кунтиго»).<p>[[w:Чабакано|Чавакано]]: см. Чабакано # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:Чадский диалект арабского языка|Чадский арабский]]: '''ni ridiki''' («ни ридики»). # [[Файл:Chakma Flag.jpg|22px|border]] [[w:Чакма (язык)|Чакма]]: '''𑄟𑄪𑄭 𑄖𑄧𑄬𑄢 𑄇𑄮𑄌𑄴 𑄛𑄋𑄴''' («муи таре коц паань»). # [[Файл:Flag of the Northern Mariana Islands.svg|22px|border]] [[w:Чаморро (язык)|Чаморро]]: '''hu guiaya hao''' («ю куайца хуо»). # [[Файл:Bandera Front Alliberament Cham.svg|22px|border]] [[w:Чамский язык|Чамский]]: '''ai ranam dai''' («аи ранам даи») — женщине; '''dai ranam ai''' («даи ранам аи») — мужчине.<p>[[w:Лазский язык|Чанский]]: см. Лазский<p>[[w:Тсвана (язык)|Чвана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Ashanti.svg|22px|border]] [[w:Чви|Чви]]: '''medɔ wo''' («медэ во»).<p>[[w:Акан|Чви-фанти]]: см. Акан<p>[[w:Ньянджа|Чева]]: см. Ньянджа<p>[[w:Шайенский язык|Чейенский]]: см. Шайенский # [[Файл:Flag of Altai Republic.svg|22px|border]] [[w:Челканское наречие|Челканский]]: '''мен сени колинтим''' («мен сэни колинтим»). # [[Файл:Flag of Montenegro.svg|22px|border]] [[w:Черногорский язык|Черногорский]]: '''volim te''' («волим тэ»). # [[Файл:Flag of the Cherokee Nation.svg|22px|border]] [[w:Чероки (язык)|Чероки]]: '''ᎬᎨᏳᎢ''' («гегею и»). # [[Файл:Flag of Chechen Republic of Ichkeria.svg|22px|border]] [[w:Чеченский язык|Чеченский]]: '''суна хьо йеза''' («суна хьо йеза») — женщине; '''суна хьо веза''' («суна хьо веза») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Czech Republic.svg|22px|border]] [[w:Чешский язык|Чешский]]: '''miluji tě''' («милуйи те»). # [[Файл:Flag of the Zhuang people.svg|22px|border]] [[w:Чжуанский язык|Чжуанский]]: '''gou gyaez mwngz''' («гоу гьяэз мвунгз»). # [[Файл:Flag of Lordship of Butung (Buton).svg|22px|border]] [[w:Чиа-чиа|Чиа-чиа]]: '''indau pe`elu iso`o''' («индау пе элу исо о»).<p>[[w:Венда (язык)|Чивенда]]: см. Венда # [[Файл:Flag of Oklahoma.svg|22px|border]] [[w:Чикасавский язык|Чикасавский]]: '''chĩholloli''' («чинхоллоли»).<p>[[w:Чикасавский язык|Чикасо]]: см. Чикасавский<p>[[w:Луба (язык)|Чилуба]]: см. Луба # [[Файл:Bandera de Mizoram.svg|22px|border]] [[w:Чинский язык|Чинский]]: '''kan dawt tuk''' («кан доут тук»). # [[Файл:Flag of Oregon.svg|22px|border]] [[w:Чинукский жаргон|Чинукский]]: '''nayka tiki mayka ''' («найка тики майка»).<p>[[w:Ньянджа|Чиньянджа]]: см. Ньянджа # [[Файл:Flag of Saskatchewan.svg|22px|border]] [[w:Чипевайан (язык)|Чипевайан]]: '''neghąnighitą''' («неганигтха»). # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:en:Chittagonian language|Читтагонгский]]: '''আঁই তুয়ানরে বেশি গোম লাগে''' («аами туйяанарээ бееси гоома лаагеэ»).<p>[[w:Ньянджа|Чичева]]: см. Ньянджа # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Чокве (язык)|Чокве]]: '''yami nakukuzanga''' («ями накукузанга»). # [[Файл:Choctaw flag.svg|22px|border]] [[w:Чоктавский язык|Чоктавский]]: '''chi hollo li''' («чи холло ли»).<p>[[w:Чоктавский язык|Чокто]]: см. Чоктавский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Чорти (язык)|Чорти]]: '''ink’anye’t''' («инк анье т»).<p>[[w:Тсвана (язык)|Чуана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Chuvashia 1918.jpg|22px|border]] [[w:Чувашский язык|Чувашский]]: '''эпĕ сана юрататăп''' («эбэ сана юрададэп»). # [[Файл:Flag of Chukotka.svg|22px|border]] [[w:Чукотский язык|Чукотский]]: '''гымнан гыт ыʼԓгу тыԓгыркынигыт''' («гымнан гыт ыьлгу тыьлгыркынигыт»).<p>[[w:Трукский язык|Чуукский]]: см. Трукский<p>[[w:Чухский язык|Чух]]: см. Чухский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Чухский язык|Чухский]]: '''tzach wochk’olej''' («цач уочк олех»). # [[Файл:..Chhattisgarh Flag(INDIA).png|22px|border]] [[w:Чхаттисгархи|Чхаттисгархи]]: '''main tor se maya karatho''' («маин тор се майя каратхо»). # [[Файл:Flag of Northern Cheyenne.svg|22px|border]] [[w:Шайенский язык|Шайенский]]: '''nemehotatse''' («немехотист»).<p>[[w:Тсонга (язык)|Шангаан]]: см. Тсонга # [[Файл:Flag of the Shan State.svg|22px|border]] [[w:Шанский язык|Шанский]]: '''ႁိဝ်းႁၵ်ႉသူ''' («хау ха су»). # [[Файл:Proposed National Flag of Shanghai.svg|22px|border]] [[w:Шанхайский диалект|Шанхайский]]: '''侬爱你''' («нгу э нон»).<p>[[w:Шауйя (язык)|Шауйа]]: см. Шауйя # [[Файл:Flag of Chaouia.svg|22px|border]] [[w:Шауйя (язык)|Шауйя]]: '''ttexseɣ-cem''' («ттэкссэх кем») - женщине, '''tehibighichek''' («тэхибигичек») - мужчине. # [[Файл:Flag of Baden-Württemberg (state, lesser arms).svg|22px|border]] [[w:Швабский диалект|Швабский]]: '''i mog di''' («и мог ди»), '''i han di oifach gern''' («и хан ди ойфах гэрн»). # [[Файл:Flag of Sweden.svg|22px|border]] [[w:Шведский язык|Шведский]]: '''jag älskar dig''' («я эльскар дэй»). # [[Файл:Civil Ensign of Switzerland.svg|22px|border]] [[w:Швейцарский диалект|Швейцарский немецкий]]: '''ich liib dich''' («ихь лииб дихь»), '''i ha di gärn''' («и ха ди герн»), '''i liäbä di ''' («и льебе ди»).<p>[[w:Романшский язык|Швейцарский ретороманский]]: см. Романшский<p>[[w:Шайенский язык|Шейенский]]: см. Шайенский # [[Файл:Irish Traveller Movement flag.svg|22px|border]] [[w:Шелта|Шелта]]: '''gra a mo gris''' («гра а мо грис»). # [[Файл:Masmuda Flag.svg|22px|border]] [[w:Шильхские языки|Шильхский]]: '''ar kʷn ttiriɣ''' («ар кун ттиригх»). # [[Файл:Flag of Azad Kashmir.svg|22px|border]] [[w:Шина (язык)|Шина]]: '''mas tut khush thamus''' («мас тут хуш тамус»).<p>[[w:Чадский диалект арабского языка|Шоа]]: см. Чадский арабский # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:Шона (язык)|Шона]]: '''ndinokuda''' («ндинокуда»). # [[Файл:Флаг Шорцев.svg|22px|border]] [[w:Шорский язык|Шорский]]: '''мен саға кӧленчам''' («мэн саха кёленчам»). # [[Файл:Flag of Scotland.svg|22px|border]] [[w:Шотландский язык (германский)|Шотландский (германский)]]: '''ah loove ye''' («ах лоов йе»). # [[Файл:Flag of Scotland.svg|22px|border]] [[w:Шотландский язык (кельтский)|Шотландский (кельтский)]]: '''tha gaol agam ort''' («хах геул ах-кум оршт»), '''tha gràdh agam dhuibh''' («хах грай ах-кум хуий»).<p>[[w:Пикардский язык|Шти]]: см. Пикардский<p>[[w:Чадский диалект арабского языка|Шува]]: см. Чадский арабский # [[Файл:Pamiri Flag.webp|22px|border]] [[w:Шугнанский язык|Шугнанский]]: '''uzum tu žīwj''' («узум ту живдьж»). # [[Файл:Ea (Babilonian) - EnKi (Sumerian).jpg|22px|border]] [[w:Шумерский язык|Шумерский]]: '''𒍝𒂊𒆠𒉘𒈬''' («за э(г) ки аг му»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Шусвап|Шусвап]]: '''xwexwistsín''' («хуохуистсин»).<p>[[w:Карабахский диалект армянского языка|Шушинский]]: см. Карабахский армянский # [[Файл:Flag of the Ewe people.svg|22px|border]] [[w:Эве (язык)|Эве]]: '''melɔ̃ wò''' («мэлэ во»). # [[Файл:Flag of Evenks.svg|22px|border]] [[w:Эвенкийский язык|Эвенкийский]]: '''би синэ аявдем''' («би синэ аявдем»).<p>[[w:Эвенкийский язык|Эвенкский]]: см. Эвенкийский # [[File:Flag of Severo-Evensky rayon (Magadan oblast).png|22px|border]] [[w:Эвенский язык|Эвенский]]: '''би ину аяврым''' («би ину аяврым»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Эвондо|Эвондо]]: '''ma ding wa''' («ма динг ва»).<p>[[w:Мегрельский язык|Эгерский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Bandera Front Alliberament Cham.svg|22px|border]] [[w:Эде (язык)|Эде]]: '''khăp ih''' («кхап их»). # [[Файл:Edo State Flag.png|22px|border]] [[w:Эдо (язык)|Эдо]]: '''i rue mwen we''' («и уэ муэн уэ»). # [[Файл:Elfdalian flag.png|22px|border]] [[w:Эльвдальский диалект|Эльвдальский]]: '''ig tyttjer um dig''' («иг тюттья ум дэй»), '''ig elsker dig''' («иг эльска дэй»). # [[Файл:Flag of Alsace.svg|22px|border]] [[w:Эльзасский диалект|Эльзасский]]: '''ich hàb lieb fir dich''' («ихь хаб либ фир дихь»).<p>[[w:Синдарин|Эльфийский]]: см. Синдарин # [[Файл:Flag of Emilia-Romagna (de facto).svg|22px|border]] [[w:Эмилиано-романьольский язык|Эмилиано-романьольский]]: '''a t vói bän''' («а т вои бэн»). # [[Файл:Emoji u1f3f3.svg|24px]] [[w:Эмодзи|Эмодзи]]: '''👤💖👆''' (один из множества вариантов).<p>[[w:Энецкие языки|Энецкий]]: см. Лесной энецкий, тундровый энецкий<p>[[w:Эрзянский язык|Эрзя-мордовский]]: см. Эрзянский # [[Файл:Erzya Flag.svg|22px|border]] [[w:Эрзянский язык|Эрзянский]]: '''мон тонь вечктян''' («мон тонь вечктян»). # [[Файл:Flag of Esperanto.svg|22px|border]] [[w:Эсперанто|Эсперанто]]: '''mi amas vin''' («ми амас вин»). # [[Файл:Flag of Estonia.svg|22px|border]] [[w:Эстонский язык|Эстонский]]: '''ma armastan sind''' («ма армастан син»). # [[Файл:Flag of Extremadura, Spain (with coat of arms).svg|22px|border]] [[w:Эстремадурский язык|Эстремадурский]]: '''te quieru''' («тэ куеру»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Eton language|Этон]]: '''me te wa ding''' («мэ тэ ва дин»). # [[Файл:Etruscan e peculiar form.svg|22px|border]] [[w:Этрусский язык|Этрусский]]: '''𐌕𐌄 𐌄𐌕𐌀''' («тэ эта»). # [[Файл:Cross River State Flag.svg|22px|border]] [[w:en:Efik language|Эфик]]: '''mme ama fi''' («мме ама фи»).<p>[[w:Геэз|Эфиопский]]: см. Геэз<p>[[w:Эякский язык|Эяк]]: см. Эякский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Эякский язык|Эякский]]: '''ilah qe`xleh''' («илах ке'шлех»). # [[Файл:Flag of Dinka people.svg|22px|border]] [[w:Динка (язык)|Юго-западный динка]]: '''yïn nhiaar''' («йиин ниаар»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Югославский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of South Azerbaijan.svg|22px|border]] [[w:Азербайджанский язык|Южноазербайджанский]]: '''من سنی سویرم''' («мэн сэны сэвырым»).<p>[[w:Алтайский язык|Южноалтайский]]: см. Алтайский # [[Файл:Flag of Madagascar.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Южнобецимисаракский малагасийский]]: '''tiako iha''' («тьяко иха»).<p>[[w:Чиа-чиа|Южно-бутонский]]: см. Чиа-чиа<p>[[w:Чиа-чиа|Южно-бутунгский]]: см. Чиа-чиа # [[Файл:Flag of South Yemen.svg|22px|border]] [[w:Южнойеменский диалект арабского языка|Южнойеменский арабский]]: '''احبك''' («ахибук»).<p>[[w:Пехлевани|Южнокурдский]]: см. Пехлевани # [[Файл:Flag of Israel.svg|22px|border]] [[w:en:South Levantine Arabic|Южнолевантийский арабский]]: '''بحبك''' («бихаббики»).<p>[[w:Хокло (язык)|Южноминьский]]: см. Хокло<p>[[w:Лимбургский язык|Южнонижнефранкский]]: см. Лимбургский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Южносаамский язык|Южносаамский]]: '''manne datnem eahtsam''' («маннэ датнэм эхцам»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупский язык|Южноселькупский (нарымский)]]: '''мат ташэнд надрам''' («мат та́шэнд на́драм»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупский язык|Южноселькупский (чулымский)]]: '''ман ста суоранг''' («ман ста суоранг»). # [[Файл:Flag of Sakha.svg|22px|border]] [[w:Южноюкагирский язык|Южноюкагирский]]: '''мэт тэтэк амудьиимэҥ''' («мэт тэтэк амудьиимэн»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:en:Kissi language|Южный кисси]]: '''i kaala num''' («и каала нум»). # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Южный мбунду|Южный мбунду]]: '''ndu ku sole''' («нду ку соле»).<p>[[w:Мамаинде|Южный намбиквара]]: см. Мамаинде # [[Файл:Flag of KwaNdbele.svg|22px|border]] [[w:Южный ндебеле|Южный ндебеле]]: '''ngiyakuthanda''' («нгийякутханда»). # [[Файл:Af pakht3.svg|22px|border]] [[w:en:Southern Pashto|Южный пушту]]: '''زه له تا سره مينه لرم''' («за сатá сарá миналарáм»).<p>[[w:Сесото|Южный сото]]: см. Сесото # [[Файл:Zamboanga Sibugay Flag.png|22px|border]] [[w:Субанон (язык)|Южный субанон]]: '''dlelamen hu yaa''' («длеламен ху яа»). # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Южный тива|Южный тива]]: '''еee-peinoom''' («эээ-пеиноом»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Юкатекский язык|Юкатекский]]: '''in yaabilmech''' («ин яабилмэч»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Ю-мьен|Ю-мьен]]: '''yie hnamv meih''' («йиа хнум май»). # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Юрок (язык)|Юрок]]: '''pyerwerkseechek'''' («пьервэрксичек»).<p>[[w:Туника (язык)|Юрон]]: см. Туника<p>[[w:Юэ (язык)|Ютский]]: см. Юэ # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Юэ (язык)|Юэ]]: '''我愛你''' («уо ай ни»).<p>[[w:Юэ (язык)|Юэский]]: см. Юэ # [[Файл:Flag of Yogyakarta.svg|22px|border]] [[w:Яванский язык|Яванский]]: '''ꦏꦸꦭꦠꦽꦱ꧀ꦤꦥꦚ꧀ꦗꦼꦤꦼꦁꦔꦤ꧀''' («кула трэсна пандженган»), '''ꦲꦏꦸꦱꦼꦤꦼꦁꦏꦺꦴꦮꦺ''' («аку сэнэнг коуэ»). # [[Файл:Flag of the Pascua Yaqui Tribe of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Яки (язык)|Яки]]: '''inepo enchi ne waa’ta''' («инепо энчи не уаа та»). # [[Файл:Flag of Sakha.svg|22px|border]] [[w:Якутский язык|Якутский]]: '''мин эйиигин таптыыбын''' («мин эйиигин таптыбын»).<p>[[w:Ямайский креольский язык|Ямайский креол]]: см. Ямайский креольский # [[Файл:Flag of Jamaica.svg|22px|border]] [[w:Ямайский креольский язык|Ямайский креольский]]: '''mi love yuh''' («ми лав юх»).<p>[[w:Ямайский креольский язык|Ямайский патуа]]: см. Ямайский креольский # [[Файл:Flag of Magallanes y la Antártica Chilena, Chile.svg|22px|border]] [[w:Ямана|Ямана]]: '''hai kur ske''' («хэй кур шькэ»). # [[Файл:Flag of Gibraltar.svg|22px|border]] [[w:Янито|Янито]]: '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Яномами (язык)|Яномами]]: '''ya pihi irakema''' («я пихи иракема»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:en:Yao language|Яо]]: '''ngusamnonyela''' («нгусамноньела»). # [[Файл:Flag of Japan.svg|22px|border]] [[w:Японский язык|Японский]]: '''愛してる''' («айшитэру»).<p>[[w:Япский язык|Яп]]: см. Япский # [[Файл:Flag of Yap.svg|22px|border]] [[w:Япский язык|Япский]]: '''gab t’uf rog''' («габ туф рог»). # [[Файл:Sudovian Flag.png|22px|border]] [[w:Ятвяжский язык|Ятвяжский]]: '''aʃ tawi miłdu''' («аш тави милду»).<p>[[w:Эвондо|Яунде]]: см. Эвондо <!-- # [[w:|язык]]: --> [[Категория:Языки]] [[Категория:Учебники без шаблона]] rga9tmvp9hmwtyxby53ec2qobx4yaxk 0 20267 261939 261926 2025-07-10T15:04:47Z Leksey 3027 Уточнение 261939 wikitext text/x-wiki Различные документы осуществляею регулирование авиационной отраслью и в том числе пилотами АОН, но основным является Воздушный кодекс (его название может сокращаться как "ВЗК"). Он самый маленький по объему и содержит основополагающие вещи. Далее идут основные "[[АОН/ФАП|ФАПы]]" (Федеральные авиационные правила). Они нумеруются по приказу, которым они утверждены (у некоторых есть дополнение в имени, указывающее на аналог зарубежный "Часть №"). Последними в иерархии идут [[АОН/Административный регламент|административные регламенты]]. ;Основное: * Воздушный кодекс (сокращенно ВК РФ или ВЗК) - [http://ivo.garant.ru/#/document/10200300/entry/0:2 открыть] * ФАП-138 - "ФП ИВП" - Использование воздушного пространства - [http://ivo.garant.ru/#/document/197839 открыть] * ФАП-136 прекратил свое действие <s>"ФАП Полетов" или т.н. ФАП "Трех министров" по числу министров подписавших его</s> - [http://ivo.garant.ru/#/document/184736 открыть] * [[АОН/ФАП-128|ФАП-128]] - Подготовка и выполнение полетов * ФАП-362 - Ведение радиосвязи «ПОРЯДОК ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ РАДИОСВЯЗИ В ВП РФ» [http://ivo.garant.ru/#/document/70359988/paragraph/1:2 открыть] ;Пилотские свидетельства и медицина * [[АОН/ФАП-147|ФАП-147]] - ФАП про пилотские свидетельства, как и кому их выдают - [http://ivo.garant.ru/#/document/194352/paragraph/3186:1 открыть]; * [[АОН/ФАП-437|ФАП-437]] - медицина. <s>ФАП-50 - Назывался ФАП МО ГА-2002, но бытовое название ФАП-50 было</s> ; * Административный регламент №45 - в нем описан [[АОН/Валидация|валидация]] иностранного пилотского<ref>[http://ivo.garant.ru/#/document/70395052/paragraph/1:2 Административный регламент №45]</ref>. ;АТБ - организации по техническому обслуживанию (ТО) * [[АОН/ФАП-367|ФАП-367]] (аналог Part-145) выдача сертификата АТБ (для ТО и оценки ВС) * <s>[[АОН/ФАП-109|ФАП-109]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие) * <s>[[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие) * <s>[[АОН/ФАП-145|ФАП-145]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие с выходом [[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] (также уже отмененным) ;Сертификация (выдача СЛГ) * [[АОН/ФАП-149|ФАП-149]] создание аккредитованной организации для сертификации типовых ВС * [[АОН/ФАП-148|ФАП-148]] выдача СЛГ на типовые ВС * [[АОН/ФАП-273|ФАП-273]] выдача СЛГ на не типовые ПГВС * <s>[[АОН/ФАП-519]] выдача СЛГ на типовые ВС</s> (прекратил действие) * <s>ФАП-118 - [http://ivo.garant.ru/#/document/185850/paragraph/174:3 Открыть]</s> (прекратил действие) ;Другое *[http://ivo.garant.ru/#/document/70117238 ФАП №293 (Организация воздушного движения)] ;Авиационные правила {{Основная статья|АОН/Авиационные правила}} ;Административные регламенты {{Основная статья|АОН/Административный регламент}} ;Внутренние документы Росавиации Нижестоящие акты не могут предъявлять никаких дополнительных требований. Приказ (если он не утвержден в Минюсте), письмо, телеграмма Росавиации или МТУ – издается только для своих подчиненных, на частных пилотов их соблюдение не распространяется. Особенно, если эти документы противоречат действующему законодательству. ==Обсуждение проектов НПА == Официальный сайт для размещения информации о подготовке федеральными органами исполнительной власти проектов нормативных правовых актов и результатах их общественного обсуждения - [http://regulation.gov.ru/ Федеральный портал проектов нормативных правовых актов] (regulation.gov.ru) == Европейское законодательство == Все документы опубликованы на сайте EASA в разделе ''Regulations''. Далее выбирайте нужный раздел по смыслу (структура постоянно меняется). Например, раздел Aircrew (Авиационный персонал) содержит Part-FCL. Чтобы быстрее отыскать нужную версию, лучше воспользоваться блоком ''Consolidated version'', откуда и скачать нужный документ. Например, "Easy Access Rules for Flight Crew Licencing (Part-FCL)" для Part-FCL Поскольку документы постоянно претерпевают изменения, выходят различные "amendment", поэтому надо искать консолидированную версию, где все это объединено в один текст. Такие документы помечены как "Consolidated version" и к ним ведут ссылки обозначенные, например, как "Easy Access Rules for Part-FCL" * [[АОН/Законодательство/Part-FCL|Part-FCL]] ([https://www.easa.europa.eu/sites/default/files/dfu/Easy_Access_Rules_for_Flight_Crew_Licensing_Part-FCL.pdf скачать]) - по пилотским свидетельствам основной документ европейский * Part-MED ([https://www.easa.europa.eu/en/easy-access-rules-medical-requirements скачать]) - требования по медицине к пилотам * Part-ORA - ([https://www.easa.europa.eu/sites/default/files/dfu/Easy_Access_Rules_for_Organisation_Requirements_for_Aircrew_Part-ORA.pdf скачать]) требования к учебным центрам (ATO) Учитывайте, что прямые ссылки выше могут не работать или могут вести на устаревшую версию документа. == Американское законодательство == Официальный сайт FAA и раздел "Regulation and policies" == См. также == *[[АОН/Авиационные правила]] *[[АОН/Административный регламент|Административный регламент]] *[[АОН/Штрафы]] *[[АОН/Ответственность]] *[[АОН/Нарушения]] *[[АОН/АУЦ/Организация]] == Ссылки == * [https://www.easa.europa.eu/regulations Раздел Regulations] на сайте EASA ;Нормативка: * [https://aopa.ru/index.php?id=85 Вся авиационная нормативка свежая в одном PDF-файле]. Состояние на 2017 год. ;Лекции: * [https://www.youtube.com/watch?v=tsF7qU1Mmv8 Видео-лекция по использованию воздушного пространства] 2012 год, но все актуально. * Изменения в нормативке, практическое планирование полета и Сервисы АОПА-России и Выполнение полетов в части QNH и "минимумов". 2017 год. :::[https://www.youtube.com/watch?v=kNaXWEkXGrg Вступление], [https://www.youtube.com/watch?v=XFhxLKKOIOM Часть 1] и [https://www.youtube.com/watch?v=dCsBBxKXmGQ Часть 2], две оставшиеся части не выложены. ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} fkt7yij5p5ydp9t5n054pb9np4zk2u5 261953 261939 2025-07-10T18:10:48Z Leksey 3027 ФАП-120 261953 wikitext text/x-wiki Различные документы осуществляею регулирование авиационной отраслью и в том числе пилотами АОН, но основным является Воздушный кодекс (его название может сокращаться как "ВЗК"). Он самый маленький по объему и содержит основополагающие вещи. Далее идут основные "[[АОН/ФАП|ФАПы]]" (Федеральные авиационные правила). Они нумеруются по приказу, которым они утверждены (у некоторых есть дополнение в имени, указывающее на аналог зарубежный "Часть №"). Последними в иерархии идут [[АОН/Административный регламент|административные регламенты]]. ;Основное: * Воздушный кодекс (сокращенно ВК РФ или ВЗК) - [http://ivo.garant.ru/#/document/10200300/entry/0:2 открыть] * ФАП-138 - "ФП ИВП" - Использование воздушного пространства - [http://ivo.garant.ru/#/document/197839 открыть] * ФАП-136 прекратил свое действие <s>"ФАП Полетов" или т.н. ФАП "Трех министров" по числу министров подписавших его</s> - [http://ivo.garant.ru/#/document/184736 открыть] * [[АОН/ФАП-128|ФАП-128]] - Подготовка и выполнение полетов * ФАП-362 - Ведение радиосвязи «ПОРЯДОК ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ РАДИОСВЯЗИ В ВП РФ» [http://ivo.garant.ru/#/document/70359988/paragraph/1:2 открыть] ;Пилотские свидетельства и медицина * [[АОН/ФАП-147|ФАП-147]] - ФАП про пилотские свидетельства, как и кому их выдают - [http://ivo.garant.ru/#/document/194352/paragraph/3186:1 открыть]; * [[АОН/ФАП-437|ФАП-437]] - медицина. <s>ФАП-50 - Назывался ФАП МО ГА-2002, но бытовое название ФАП-50 было</s> ; * Административный регламент №45 - в нем описан [[АОН/Валидация|валидация]] иностранного пилотского<ref>[http://ivo.garant.ru/#/document/70395052/paragraph/1:2 Административный регламент №45]</ref>. ;АТБ - организации по техническому обслуживанию (ТО) * [[АОН/ФАП-367|ФАП-367]] (аналог Part-145) выдача сертификата АТБ (для ТО и оценки ВС) * <s>[[АОН/ФАП-109|ФАП-109]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие) * <s>[[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие) * <s>[[АОН/ФАП-145|ФАП-145]] выдача сертификата АТБ</s> (прекратил действие с выходом [[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] (также уже отмененным) ;Техническое обслуживание (ТО) * [[АОН/ФАП-120|ФАП-120]] отменяется при вступлении в силу ФАП-367 ;Сертификация (выдача СЛГ) * [[АОН/ФАП-149|ФАП-149]] создание аккредитованной организации для сертификации типовых ВС * [[АОН/ФАП-148|ФАП-148]] выдача СЛГ на типовые ВС * [[АОН/ФАП-273|ФАП-273]] выдача СЛГ на не типовые ПГВС * <s>[[АОН/ФАП-519]] выдача СЛГ на типовые ВС</s> (прекратил действие) * <s>ФАП-118 - [http://ivo.garant.ru/#/document/185850/paragraph/174:3 Открыть]</s> (прекратил действие) ;Другое *[http://ivo.garant.ru/#/document/70117238 ФАП №293 (Организация воздушного движения)] ;Авиационные правила {{Основная статья|АОН/Авиационные правила}} ;Административные регламенты {{Основная статья|АОН/Административный регламент}} ;Внутренние документы Росавиации Нижестоящие акты не могут предъявлять никаких дополнительных требований. Приказ (если он не утвержден в Минюсте), письмо, телеграмма Росавиации или МТУ – издается только для своих подчиненных, на частных пилотов их соблюдение не распространяется. Особенно, если эти документы противоречат действующему законодательству. ==Обсуждение проектов НПА == Официальный сайт для размещения информации о подготовке федеральными органами исполнительной власти проектов нормативных правовых актов и результатах их общественного обсуждения - [http://regulation.gov.ru/ Федеральный портал проектов нормативных правовых актов] (regulation.gov.ru) == Европейское законодательство == Все документы опубликованы на сайте EASA в разделе ''Regulations''. Далее выбирайте нужный раздел по смыслу (структура постоянно меняется). Например, раздел Aircrew (Авиационный персонал) содержит Part-FCL. Чтобы быстрее отыскать нужную версию, лучше воспользоваться блоком ''Consolidated version'', откуда и скачать нужный документ. Например, "Easy Access Rules for Flight Crew Licencing (Part-FCL)" для Part-FCL Поскольку документы постоянно претерпевают изменения, выходят различные "amendment", поэтому надо искать консолидированную версию, где все это объединено в один текст. Такие документы помечены как "Consolidated version" и к ним ведут ссылки обозначенные, например, как "Easy Access Rules for Part-FCL" * [[АОН/Законодательство/Part-FCL|Part-FCL]] ([https://www.easa.europa.eu/sites/default/files/dfu/Easy_Access_Rules_for_Flight_Crew_Licensing_Part-FCL.pdf скачать]) - по пилотским свидетельствам основной документ европейский * Part-MED ([https://www.easa.europa.eu/en/easy-access-rules-medical-requirements скачать]) - требования по медицине к пилотам * Part-ORA - ([https://www.easa.europa.eu/sites/default/files/dfu/Easy_Access_Rules_for_Organisation_Requirements_for_Aircrew_Part-ORA.pdf скачать]) требования к учебным центрам (ATO) Учитывайте, что прямые ссылки выше могут не работать или могут вести на устаревшую версию документа. == Американское законодательство == Официальный сайт FAA и раздел "Regulation and policies" == См. также == *[[АОН/Авиационные правила]] *[[АОН/Административный регламент|Административный регламент]] *[[АОН/Штрафы]] *[[АОН/Ответственность]] *[[АОН/Нарушения]] *[[АОН/АУЦ/Организация]] == Ссылки == * [https://www.easa.europa.eu/regulations Раздел Regulations] на сайте EASA ;Нормативка: * [https://aopa.ru/index.php?id=85 Вся авиационная нормативка свежая в одном PDF-файле]. Состояние на 2017 год. ;Лекции: * [https://www.youtube.com/watch?v=tsF7qU1Mmv8 Видео-лекция по использованию воздушного пространства] 2012 год, но все актуально. * Изменения в нормативке, практическое планирование полета и Сервисы АОПА-России и Выполнение полетов в части QNH и "минимумов". 2017 год. :::[https://www.youtube.com/watch?v=kNaXWEkXGrg Вступление], [https://www.youtube.com/watch?v=XFhxLKKOIOM Часть 1] и [https://www.youtube.com/watch?v=dCsBBxKXmGQ Часть 2], две оставшиеся части не выложены. ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} 2rsy0ll2gn8ykbdjv0b18iv8e4fwi7n 0 29908 261982 261932 2025-07-11T03:45:50Z Leksey 3027 Перечень 261982 wikitext text/x-wiki {{Внимание|Данный документ прекратит свое действие 1 сентября 2025 года и его заменит [[АОН/ФАП-148|ФАП-148]]}} ФАП—519 (Федеральные авиационные правила 519) описывают процедуру оценки соответствия требованиям лётной годности для тех воздушных судов, что собирательно обозначается в разговорной речи как «[[АОН/Типовое ВС|типовые]]» (являющиеся противоположностью «единичным»). Согласно этому документу выдавался сертификат лётной годности (СЛГ). Порядок получение СЛГ по данным правилам ранее описывался тут [[АОН/СЛГ/Получение для типового ВС]]. Для [[АОН/ЕЭВС|«единичных»]] предназначен [[АОН/ФАП-273|ФАП-273]]. ==Порядок== * Получался акт оценки от АТБ (организации по ТоИР), а далее он предоставлялся в МТУ. == Перечень организаций == Перечень организаций публикуется на сайте Росавиации. ==Ссылки== * [http://ivo.garant.ru/#/document/400212467 ФАП-519] в правовой базе * [https://www.favt.ru/dejatelnost-podderzhanie-letnoj-godnosti-perechen-sert-centrov-dlya-raboty-po-ocenke-sootv-ek-vs/ Перечень организаций] <!-- № Организация Назначение Аттестат аккред. Область аккредитации Примечание 1 СЦ «Летная годность» Экземпляр СЦ-002 ОА-СЦ-002 2 ООО «АМЦ» экземпляр СЦ-037 ОА СЦ-037 3 ООО «Авиационный эксперт» экземпляр СЦ-038 ОА СЦ-038 4 ООО СЦ «Авиа экспертиза Воскресенск» экземпляр СЦ-039 ОА СЦ-039 5 ООО «Нейрон» экземпляр СЦ-040 ОА СЦ-040 6 ООО «4Ю АЭРОСПЭЙЗ СЕРВИС» экземпляр СЦ-041 ОА СЦ-041 7 ООО «Авиастандарт» экземпляр СЦ-042 ОА СЦ-042 8 ООО «АерофантАэро» экземпляр СЦ-043 ОА СЦ-043 9 ООО «ЭОДЖИ-СЕРВИС» экземпляр СЦ-044 ОА СЦ-044 10 ООО «Домодедовский центр сертификации» Экземпляр СЦ-045 ОА СЦ-045 11 ООО «Центр сертификации «Лайнер» Экземпляр СЦ-046 ОА СЦ-046 12 Сертификационный центр АО «Эйрвэйз Техникс» Экземпляр СЦ-048 ОА СЦ-048 13 ООО «Западно-Сибирский центр по сертификации объектов воздушного транспорта» Экземпляр СЦ-049 ОА СЦ-49 14 ООО «Красноярский межрегиональный центр авиационной сертификации» (ООО "КМЦАС") Экземпляр СЦ-050 ОА СЦ-050 15 ООО «Центр Сертификации Приволжский Аэрорегистр» (ООО «ЦСПА») Экземпляр СЦ-051 ОА СЦ-51 16 ООО «ЭЙЛЭЛКЕЙ» Экземпляр СЦ-052 ОА СЦ-052 17 ООО «Тюменский центр сертификации объектов гражданской авиации «Аудит-Эйр» Экземпляр СЦ-053 ОА СЦ-053 18 ООО «Авиационный Технический Центр "Авиа ПАРТ» Экземпляр СЦ-054 ОА СЦ-054 19 ООО «Центр сертификации «Восток» Экземпляр СЦ-055 ОА СЦ-055 20 ООО «Северо-Восточный межрегиональный центр сертификации гражданской авиации» (ООО СВ МЦС ГА) Экземпляр СЦ-056 ОА СЦ-056 21 ООО «Архангельский центр сертификации гражданских воздушных судов» Экземпляр СЦ-057 ОА-СЦ-057 --> {{АОН}} m4tflj6w6y3fwd3o9ncxgovy4a51qwf 0 31128 261977 257378 2025-07-11T00:04:44Z Leksey 3027 /* Подготовка техников */ 261977 wikitext text/x-wiki Техник это человек выполняющий обслуживание и ремонт воздушного судна. Обычно так называют человека профессионально этим занимающегося и получающего деньги за такую работу. Но в некоторых случаях функции техника может выполнять сам пилот или владелец воздушного судна. Официально техники в гражданской авиации называются "специалист по ТОиР". ТОиР это "техническое обслуживание и ремонт". Обычно профессиональные техники являются сотрудниками организаций, которые называются [[АОН/АТБ|АТБ]]. ==Свидетельства== Техникам выдаются такие же свидетельства по дизайну как и пилотам, но с иным текстом. И также они выдаются после обучения в АУЦ. У техников существует достаточно богатый (по сравнению) с пилотами набор отметок, посредством которых определяется что они могут делать с воздушным судном. ===Отметки=== {{Цитата|17.7. Обладатель свидетельства специалиста по техническому обслуживанию воздушных судов должен отвечать требованиям к знаниям, опыту и умению, установленным для квалификационных отметок "A", "B1", "B2" или "C<ref>[http://ivo.garant.ru/#/document/194352/paragraph/51150:0 ФАП 147 - 17.7]</ref>}} А может выполнять только предполетное обслуживание и расписывать его. B включает в себя функции A, в дополнительно может выполнять уже нормальное обслуживание, а С это уже может подписывать то что выполнили другие (проверив их работу). С отметка работает с теми отметками, что сами не имеют в себе права подписания документов, а только выполнения работ. В части АОН самая популярная отметка это B1.6 - она включает в себя возможности и расписывать работы. Различие между B1 и B2, в том что первые это механики по сути, а вторые это чисто электрики. Механикам тоже можно трогать электрику и приборы, но только блочно и в целом. В случае вертолетов технику указывается в свидетельстве явно тип вертолета, для самолетов только класс. Для тех кто обслуживает воздушные суда СВС предусмотрена своя отметка и она тоже содержит полномочия для расписывания сделанных работ. Для планеров и аэростатов отдельных отметок нет - подразумевается что обслуживаются они обладателями соответствующих свидетельств пилота на данных воздушных судах и по факту так и происходит. ;А с квалификационной отметкой "А" может выполнять функции по '''оперативному техническому (предполетному)''' обслуживанию и устранению простых дефектов в пределах ограничений на специфические виды работ, а также может подписывать документы о проведенных им работах, включая свидетельство о выполнении оперативного технического обслуживания; ;B1 с квалификационной отметкой "В1" может выполнять функции по техническому обслуживанию воздушного судна, включая '''обслуживание и замену агрегатов его планера, силовой установки и элементов его систем''', замену блоков электрической системы, приборного и радиоэлектронного оборудования, требующих простого тестирования для проверки их исправности, а также функции соответствующей квалификационной отметки "А", может подписывать документы о проведенных работах, включая свидетельство о выполнении технического обслуживания; ;В2 с квалификационной отметкой "B2" может выполнять функции по '''обслуживанию электрических систем, приборного и радиоэлектронного оборудования''', а также подписывать документ о проведенных работах, включая свидетельство о выполнении оперативного технического обслуживания; ;С с квалификационной отметкой "C" может подписывать свидетельство о выполнении '''базового (периодического)''' технического обслуживания воздушного судна; <HR> ;A1 с квалификационной отметкой "A1" или "B1.1" может выполнять функции по техническому обслуживанию самолетов с газотурбинными двигателями; ;A2 с квалификационной отметкой "A2" или "B1.2" может выполнять функции по техническому обслуживанию самолетов с поршневыми двигателями; ;A3 с квалификационной отметкой "A3" или "B1.3" может выполнять функции по техническому обслуживанию вертолетов с газотурбинными двигателями; ;A4 с квалификационной отметкой "A4" или "B1.4" может выполнять функции по техническому обслуживанию вертолетов с поршневыми двигателями; ;A5 с квалификационной отметкой "A5" или "B1.5" может выполнять функции по '''техническому обслуживанию дирижаблей'''; ;A6 или B1.6 с квалификационной отметкой "A6" или "B1.6" может выполнять функции по техническому обслуживанию самолетов с '''поршневыми двигателями максимальной взлетной массой до 5700 кг''', которые не задействованы в коммерческих воздушных перевозках, а также подписывать документы о выполненных работах, включая свидетельство о выполнении технического обслуживания; ;A7 с квалификационной отметкой "A7" может выполнять функции по обслуживанию сверхлегких воздушных судов, а также подписывать документы о выполненных работах, включая свидетельства о выполнении технического обслуживания. ==Подготовка техников== Подготовка техников производится в АУЦ в частном порядке (список здесь [[АОН/АУЦ/Список]]), а также в государственных организациях профессионального образования: * Егорьевский колледж http://eatkga.ru/, * Троицкий колледж http://tatuga.ru/ * Новосибирский колледж https://natk.ru/ ==См. также== *[[АОН/ТО]] - Техническое обслуживание *[[АОН/Частный пилот]] - свидетельство пилота ==Примечание== <references /> {{АОН}} dme52a9xm2c05xpawels91fgvwoz90p 2 33475 261971 260731 2025-07-10T22:13:05Z Alexsmail 1129 /* 4. Построение натуральных чисел */ ы 261971 wikitext text/x-wiki == Введение == Концепция бесконечности веками волновала умы людей, проходя через множество трансформаций. Этот длинный путь начинается с древнегреческих размышлений и достигает своего апогея в математических открытиях конца XIX века. Древние греки, и в особенности Аристотель, подходили к бесконечности с осторожностью. Для них она существовала как нечто потенциальное — процесс, который можно продолжать без конца, но который никогда не завершается в виде целого. Последовательность чисел могла расти бесконечно, но в любой момент оставалась конечной. Завершенная, или актуальная, бесконечность отвергалась Аристотелем как логически невозможная, ведь она вела к парадоксам, подобным тем, что сформулировал Зенон. Эти идеи о потенциальной бесконечности как неуловимом горизонте глубоко укоренились в западной мысли и господствовали на протяжении многих веков, задавая тон философским и научным дискуссиям. Платонизм, философское учение, основанное на идеях Платона, заложило основы для понимания трансцендентного и вечного. В центре платонизма находится концепция мира идей, или форм, — совершенных, неизменных и вечных сущностей, которые существуют за пределами материального мира. Материальный мир, по Платону, является лишь отражением или тенью этого высшего мира идей. Платон также ввел понятие Единого как высшего принципа, который объединяет все идеи и является источником бытия. Хотя у Платона Единое не разработано так подробно, как в неоплатонизме, его идеи заложили основу для дальнейшего развития концепции абсолютного и бесконечного источника реальности. Неоплатонизм, возникший в поздней античности как развитие идей Платона, углубил и систематизировал эти концепции. Центральной фигурой неоплатонизма стал Плотин, который развил учение о Едином — абсолютном, бесконечном и непостижимом источнике всего сущего. Единое находится за пределами бытия, разума и формы, и все уровни реальности происходят из него через процесс эманации. Эманация, от латинского "истечение", описывает естественное и непрерывное излучение бытия из Единого, подобно тому, как свет исходит от солнца. Этот процесс непроизволен: Единое не "решает" создавать, а излучает бытие из своей полноты без намерения или усилия. Реальность в неоплатонизме структурирована как иерархия, где каждый уровень (Ум, Душа, материальный мир) менее совершенен, чем предыдущий, но все они связаны с Единым. Символика света, используемая Плотином, подчеркивает, что Единое распространяет бытие, не теряя своей природы, подобно тому, как солнце светит, не истощая себя. В неоплатонизме Единое — это потенциальная бесконечность, источник, который остается неизменным и неисчерпаемым, несмотря на процесс эманации. Параллельно этим философским идеям, в еврейской мистической традиции Каббалы развивалась собственная концепция бесконечности — "Эйн Соф". Этот термин, означающий "без конца" или "бесконечное", относится к непостижимому, трансцендентному аспекту Бога, существующему вне всякого проявления. Идея "Эйн Соф" оформилась в Средние века, в XII–XIII веках, в Испании и Провансе, задолго до математических открытий Кантора. В отличие от аристотелевской потенциальной бесконечности, Каббала принимала актуальную бесконечность как фундаментальную характеристику божественного, считая "Эйн Соф" источником всех эманаций Бога, известных как сфирот. Эти сфирот образуют иерархическую структуру, через которую бесконечное проявляется в конечном мире, предлагая мистическую параллель канторовской иерархии бесконечностей. Каббала, заимствуя идею эманации из неоплатонизма, адаптировала ее в рамках монотеистической теологии. В отличие от неоплатонизма, где эманация — это непроизвольный и пассивный процесс, в Каббале она рассматривается как осознанный акт Бога. "Эйн Соф" через эманацию раскрывает свою силу, создавая иерархию сфирот. Сфирот, в отличие от статичных уровней бытия в неоплатонизме, находятся в постоянном динамическом взаимодействии, управляя материальным миром и создавая непрерывную цепь мироздания. Много позже, в конце XIX века, устоявшийся взгляд на бесконечность был поставлен под сомнение Георгом Кантором, чья работа перевернула представление о бесконечности. Кантор ввел понятие актуальной бесконечности, утверждая, что бесконечные множества существуют как завершенные сущности и даже различаются по размеру. Он разработал теорию трансфинитных чисел, разделив их на кардинальные, описывающие величину множеств, и ординальные, определяющие порядок в последовательностях. Множество натуральных чисел, например, имеет кардинальность алеф-ноль, тогда как множество действительных чисел бесконечно больше, что он доказал с помощью своего знаменитого диагонального аргумента. Эта иерархия бесконечностей стала основой современной теории множеств, но встретила яростное сопротивление. Одним из главных противников Кантора был Леопольд Кронекер, выдающийся математик и лидер финитистов. Кронекер настаивал на том, что математика должна опираться исключительно на конечные, конструируемые объекты. Его знаменитое высказывание "Бог создал целые числа; всё остальное — дело человека" отражало его убеждение в том, что бесконечные множества — это не более чем фикция. Для него работа Кантора казалась скорее теологической фантазией, чем строгой наукой, и он не стеснялся называть Кантора "научным шарлатаном". Этот конфликт между финитизмом и новаторскими идеями Кантора выявил глубокий раскол в математическом сообществе, где старые принципы столкнулись с радикально новым подходом. Кантор, однако, не ограничивал свои размышления чистой математикой. Будучи глубоко религиозным человеком, он видел в бесконечности нечто большее — отражение божественного. Этот теологический взгляд на математику добавлял его работе философскую глубину, но одновременно усиливал критику со стороны тех, кто, подобно Кронекеру, требовал строгой рациональности. Несмотря на сопротивление, идеи Кантора нашли поддержку в следующем поколении. Давид Гильберт, один из самых влиятельных математиков XX века, в 1926 году выступил в защиту его теории. Противостоя интуиционистам, таким как Брауэр, которые продолжали оспаривать актуальную бесконечность, Гильберт произнес знаменитые слова: "Никто не выгонит нас из рая, который создал для нас Кантор". Эта фраза стала не только признанием значения теории множеств, но и символом того, что мир бесконечностей, открытый Кантором, стал неотъемлемой частью математики. Более того, Кантор поставил цель положить теорию множеств в фундамент математики, что позже было реализовано благодаря работам Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, разработавших аксиоматическую систему ZFC, ставшую основой для построения современной математики. Хотя прямых свидетельств того, что Кантор изучал Каббалу, нет, его использование еврейской буквы алеф для обозначения бесконечных кардинальных чисел и размышления об Абсолютно Бесконечном, которое он отождествлял с Богом, намекают на возможное косвенное влияние. == Эпиграф к тому I == "Натуральные числа создал Господь Бог, всё остальное — дело рук человеческих." (с) Леопольд Кронекер, выдающийся немецкий математик XIX века. Введение [[Участник:Alexsmail/Теория множеств. Том I. Построение действительных чисел/черновик]] == Введение к тому I == Вы, наверное, нечасто задумываетесь: существуют ли числа на самом деле? Они повсюду — в часах, расстояниях, даже наших мыслях, но что они такое? Люди спорили веками, предлагая три взгляда: числа — вымысел, свойства вещей или вечные сущности, как считали Платон и Пифагор. Давайте разберёмся, взглянув на их природу и историю, чтобы понять, как строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа — главные герои этой книги. Представьте, что числа — это выдумка, плод воображения. В природе нет абстрактных «два» или «четыре» — они появляются, когда мы считаем: два яблока, четыре камня. Без нашего сознания их бы не было, как героев книги вне страниц. История подтверждает: числа рождались по необходимости. Сначала были натуральные числа — зарубки на кости из чешской пещеры, которой 20 тысяч лет, шли группами по пять, отражая пальцы руки, чтобы считать добычу или шкуры. Позже в Индии открыли ноль, осознав пустоту как число. Затем китайцы ввели отрицательные числа для учёта долгов, а египтяне — дроби для делёжки урожая, формируя рациональные числа. Племя пираха из Амазонии знало лишь «один», «два» и «много», а больше двух для них не существовало — они путались, если просили собрать пять камушков. Это говорит, что числа не врождённые, а придуманные. Даже миллионы и бесконечность — наш способ осмыслить непостижимое, они живут только в голове. Математика здесь — полезная ложь, как карта, которая помогает ориентироваться, но не является реальностью. Или числа реальны, но как свойства вещей, которые мы видим и трогаем: три дерева, семь дней, одиннадцать игроков. Натуральные числа считали шкуры, ноль обозначал отсутствие, отрицательные — долги, а рациональные делили урожай. У пираха «один» и «два» отражали рыбу или птиц, дальше — «много». Числа существуют, пока есть что считать, и математика описывает порядок: пять батончиков на троих или минус семь градусов. Действительные числа, вроде √2 или π, измеряют длины и окружности. В прикладной математике не нужны идеально точные значения — это сила рациональных приближений: 3.14 вместо бесконечного π хватает для двигателей, а 39 знаков π достаточно, чтобы измерить Вселенную с точностью до атома. Некоторые математики, вроде конструктивистов, смотрят на действительные числа... Так вот, есть те, кто сомневается в их "существовании" в строгом математическом смысле — например, в числах вроде π или √2 с бесконечными десятичными разложениями, — размышляют об их природе, и поэтому в этой книге мы подробно разбираем, как они строятся. В чистой математике, где важна строгая логика, эти бесконечные хвосты цифр кажутся каким-то искусственным изобретением. Для критиков они недостаточно «реальны», если мы не можем полностью их вычислить или ухватить, хотя в классической математике их строгость доказана и принята. В практике же они полезны как удобные приближения. Огромные числа, как миллиард световых лет, без примера — пустой звук, зеркало измеряемого. А что если числа — нечто большее, чем наша выдумка или свойства вещей, а вечные сущности, существующие вне нас, как считал Платон? Платонизм утверждает, что числа — это идеальные формы, живущие вне времени и пространства, в некоем высшем мире идей. Представьте знаменитую пещеру Платона: вы — пленник, прикованный спиной к выходу, и перед глазами лишь тени, отбрасываемые предметами внешнего мира, освещённого солнцем истины. Эти тени — всё, что вы знаете, и вы принимаете их за реальность. Платон применил эту метафору к числам: в мире идей существуют совершенные, вечные сущности — идеальная четвёрка, безупречная семёрка, даже легендарное 69. Они неизменны, неподвластны времени и независимы от нас. А в нашем мире мы видим лишь их несовершенные отражения: четыре косы в деревне, семь дней недели, 69 в пошлой шутке. Эти отражения — бледные тени истинных чисел, которые пребывают в царстве чистого разума, доступном лишь через мышление. Наш мир — лишь эхо этого высшего порядка, где числа существуют сами по себе, открытые, а не изобретённые нами. Натуральные числа, ноль, отрицательные, рациональные — всё это не выдумка, а обнаружение отголосков вечных форм. Племя пираха, различая лишь «один» и «два», едва касалось этой истины, не осознавая её глубины. Действительные числа, вроде бесконечного π, реальны и правят движением планет. Они не подвластны нам — они часть самой ткани мироздания. Но платонизм — не просто древняя философия, он оживает в современных научных идеях. Есть гипотеза математической Вселенной: весь мир — это числа, и ничего больше. Частицы — не шарики, а колебания поля, каждое с тремя числами: масса, заряд, спин. Деревья, планеты, мы сами — лишь отражения этих чисел из квантовой реальности. Там, в глубине, числа ведут суровую математическую игру, а мы видим её плоды: аромат цветов, холод молока из холодильника, лучи солнца, сушащие трусы на балконе. И вот вам загадка на засыпку: какова вероятность, что после Большого взрыва хаос уступил порядку, а Материя сложилась в гармоничную Вселенную? Роджер Пенроуз подсчитал: 1 к 10 в степени 10 в степени 23. Это число настолько чудовищно, что если бы вы рисовали по нулю на каждой частице Вселенной, вам бы не хватило частиц, чтобы вместить все нули! Вот насколько призрачным был шанс, что всё рухнет в первый же миг. Для платонизма это — триумф: числа не просто существуют, они — нерушимая основа, что держит мир, даже если нас в нём не станет. Так что же числа: вымысел, свойство вещей или божественные сущности? От зарубок до рациональных чисел, от действительных с их приближениями до вечных форм, они влияют на нас. Эта книга раскроет, как шаг за шагом строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа, чтобы вы сами выбрали, что они для вас. == 1. Наивная теория множеств == === Мотивация === * Введение в понятие множества. * Практическое применение в математике. === Примеры === * Примеры множеств: <math>P(A)</math> для конечных <math>A</math>, пустое множество (<math>\emptyset</math>). === Алгебраические операции === * Объединение множеств. * Пересечение множеств. * Разность множеств. * Дизъюнктное объединение. === Диаграмма Венна === * Иллюстрация операций над множествами. === Свойства === * Законы де Моргана. * Основные свойства операций над множествами. === Парадоксы === * Рассмотрение парадоксов, возникающих в наивной теории множеств. Множество всех групп https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a2c16983-dbcd-4f05-bfe0-605bd08d39a9 == 2. Аксиоматическая теория множеств == * Основы аксиоматической теории множеств. * Сравнение с наивной теорией множеств. * sup, inf == 3. Отношения == * Возможнсть поточечного определение и определения через формулы <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times B</math> определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math> и <math>B</math>: <math> A \times B = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\} </math>. В ZFC упорядоченная пара <math>(a, b)</math> формально определяется через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} </math>. <u>Построение декартова произведения в ZFC:</u> Чтобы доказать, что декартово произведение <math>A \times B</math> является множеством в ZFC, мы можем использовать аксиомы теории множеств, такие как аксиома степени и аксиома выделения. <u>Шаг 1: Построение множества всех подмножеств <math>A \cup B</math></u> Сначала рассмотрим множество <math>A \cup B</math>. По аксиоме степени, существует множество всех подмножеств <math>A \cup B</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>. <u>Шаг 2: Построение множества всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math></u> Применяя аксиому степени к <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, получаем множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. <u>Шаг 3: Выделение упорядоченных пар</u> Любая упорядоченная пара <math>(a, b)</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>, может быть представлена как <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Заметим, что: * <math>\left\{a\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. * <math>\left\{a, b\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a, b\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)</math>, и <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. Таким образом, все упорядоченные пары <math>(a, b)</math> являются элементами <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>. <u>Шаг 4: Применение аксиомы выделения</u> Определим свойство <math>P(z)</math>, которое характеризует упорядоченные пары: <math> P(z) \iff \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> По аксиоме выделения, существует подмножество <math>A \times B</math> множества <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>, состоящее из всех элементов <math>z</math>, удовлетворяющих <math>P(z)</math>: <math> A \times B = \left\{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))) \mid \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \right\}. </math> <u>Заключение:</u> Таким образом, декартово произведение <math>A \times B</math> существует как множество в ZFC, так как оно может быть построено с использованием аксиом степени и выделения. Это завершает доказательство. <u>Свойства упорядоченных пар:</u> <b>Упорядоченность: Упорядоченная пара <math>(a, b)</math> отличается от <math>(b, a)</math>, если <math>a \neq b</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Рассмотрим две упорядоченные пары: <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>, где <math>a \neq b</math>. Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}, </math> <math> (b, a) = \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> Теперь сравним множества <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>: * Если <math>a \neq b</math>, то <math>\left\{a\right\} \neq \left\{b\right\}</math>. * Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \neq \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Таким образом, <math>(a, b) \neq (b, a)</math> при <math>a \neq b</math>. Это доказывает свойство упорядоченности. <b>Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Пусть даны две упорядоченные пары <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math>, которые равны: <math> (a, b) = (c, d). </math> Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского, это означает: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Рассмотрим два возможных случая: <u>Случай 1: <math>a = b</math></u> Если <math>a = b</math>, то упорядоченная пара <math>(a, b)</math> принимает вид: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, a\right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\} \right\}. </math> Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это возможно только в том случае, если: * <math>\left\{c\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>c = a</math>. * <math>\left\{c, d\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>d = a</math>. Таким образом, в этом случае <math>a=b=d=c</math>, т.е. <math>a=c</math> и <math>b=d</math> <u>Случай 2: <math>a \neq b</math></u> Если <math>a \neq b</math>, то множество <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math> содержит два различных элемента: Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это равенство выполняется только в том случае, если: * <math>\left\{a\right\} = \left\{c\right\}</math>, откуда следует, что <math>a = c</math>. * <math>\left\{a, b\right\} = \left\{c, d\right\}</math>, откуда следует, что <math>b = d</math> (так как <math>a = c</math>). Таким образом, в этом случае также <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. <u>Заключение:</u> * Упорядоченность: Если <math>a \neq b</math>, то <math>(a, b) \neq (b, a)</math>. Это доказывает, что порядок элементов в упорядоченной паре важен. * Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. Это доказывает, что упорядоченная пара однозначно определяет свои элементы. <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times A</math> (или <math>A^2</math>) определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math>. <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. <b>Утверждение: Если A - множество, то <math>A^2</math> - также множество в ZFC.</b> <u>Доказательство:</u> Из доказанного ранее следует, что если <math>A</math> и <math>B</math> — множества, то <math>A \times B</math> — множество в ZFC. Подставим <math>B = A</math> в доказанное утверждение, получим: <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. Так как <math>A</math> — множество, то <math>A \times A</math> также является множеством по доказанному утверждению. Утвержжение доказано. === Основные свойства отношений === * Рефлексивность. * Симметричность. * Антисимметричность. * Транзитивность. === Отношение эквивалентности === <b>Определение:</b> Пусть <math>S</math> — некоторое множество, а <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>S</math>. Это означает, что <math>\sim</math> является подмножеством декартова произведения <math>S \times S</math> и удовлетворяет следующим свойствам: * Рефлексивность: <math>\forall x \in S , (x, x) \in \sim</math>. * Симметричность: <math>\forall x, y \in S , (x, y) \in \sim \Rightarrow (y, x) \in \sim</math>. * Транзитивность: <math>\forall x, y, z \in S , [(x, y) \in \sim \land (y, z) \in \sim] \Rightarrow (x, z) \in \sim</math>. Для каждого элемента <math>x \in S</math> определим множество <math>[x]</math> как: <math> [x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\} </math> <u>Замечание:</u> Неформально, [x] называется классом эквивалентности. <b> Утверждение 1: <math>[x] \subseteq S</math>. </b> <u>Доказательство:</u> По определению, <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math>. Поскольку <math>\sim \subseteq S \times S</math>, для любой пары <math>(x, y) \in \sim</math> выполняется <math>y \in S</math>. Следовательно, все элементы <math>[x]</math> принадлежат <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. <b>Аксиома степени и построение <math>\mathcal{P}(S)</math></b> В теории множеств ZFC аксиома степени утверждает, что для любого множества <math>A</math> существует множество <math>\mathcal{P}(A)</math>, называемое степенным множеством, которое состоит из всех подмножеств <math>A</math>: <math> \mathcal{P}(A) = \left\{ B \mid B \subseteq A \right\} </math> <b>Определение:</b> Фактор-множество <math>S / \sim</math> — это множество всех множеств вида <math>[x]</math>, где <math>x \in S</math>: <math> S / \sim = \left\{ [x] \mid x \in S \right\} </math> <b> Утверждение 2: <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Каждое множество <math>[x] \in S / \sim</math> является подмножеством <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. По определению степенного множества, <math>[x] \in \mathcal{P}(S)</math>. Следовательно, <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. Выделение <math>S / \sim</math> из <math>\mathcal{P}(S)</math> Множество <math>S / \sim</math> можно выделить из <math>\mathcal{P}(S)</math> с помощью аксиомы выделения. Для этого определим свойство <math>P(B)</math> следующим образом: <math> P(B) \iff \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) </math> Тогда: <math> S / \sim = \left\{ B \in \mathcal{P}(S) \mid \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) \right\} </math> <u>Корректность построения:</u> * Существование <math>S \times S</math>: По аксиоме парного произведения для любого множества <math>S</math> существует декартово произведение <math>S \times S</math>. * Существование <math>\sim</math>: Если <math>\sim</math> задано как подмножество <math>S \times S</math>, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, то <math>\sim</math> существует по аксиоме выделения. * Существование <math>S / \sim</math>: Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, а степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени. Тогда <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. <b>Вопрос: Можно ли построить <math>S / \sim</math> для произвольного множества <math>S</math>? </b> <b>Ответ:</b> Да, для любого множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> фактор-множество <math>S / \sim</math> существует в ZFC. Это следует из существования декартова произведения <math>S \times S</math>, аксиомы степени для построения <math>\mathcal{P}(S)</math> и аксиомы выделения для определения <math>S / \sim</math>. <u>Итоговый вывод:</u> * Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, так как <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math> и <math>\sim \subseteq S \times S</math>. * Степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени, и каждое множество <math>[x]</math> принадлежит <math>\mathcal{P}(S)</math>. * Фактор-множество <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. Таким образом, для произвольного множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> построение фактор-множества <math>S / \sim</math> корректно в ZFC. <b>Определение:</b> Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется полным покрытием множества <math>S</math>, если <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. <b>Определение:</b> Множества <math>B_i</math> попарно непересекаются, если для любых <math>i, j</math> из некоторого индекса множества <math>I</math> выполняется: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset.</math>. <b>Определение: </b>Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется разбиением множества <math>S</math>, если выполняются следующие условия: * Попарная непересекаемость. * Полное покрытие. <b>Утверждение 3: Множество <math>S / \sim</math> образует разбиение множества <math>S</math>.</b> <u>Доказательство:</u> * <u>Докажем попарную непересекамеость.</u> Пусть <math>[x]</math> и <math>[y]</math> — два различных элемента фактор-множества <math>S / \sim</math>, то есть <math>[x] \neq [y]</math>. Нужно доказать: <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>, то есть если элементы фактор-множества различны, их пересечение пусто. Предположим от противного, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>. Тогда существует <math>z \in S</math>, такой что <math>z \in [x]</math> и <math>z \in [y]</math>. Из <math>z \in [y]</math> следует, по определению элементов в фактор-множестве, <math>(y, z) \in \sim</math>. Из что <math>z \in [x]</math>, следует, по определению элементов в фактор-множестве, что <math>(x, z) \in \sim</math>. По определению элементов фактор-множества это означает: Далее, используя свойства эквивалентности: * Симметрия: если <math>(y, z) \in \sim</math>, то <math>(z, y) \in \sim</math>. * Транзитивность: из <math>(x, z) \in \sim</math> и <math>(z, y) \in \sim</math> следует, что <math>(x, y) \in \sim</math>. Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то по определению фактор-множества <math>[x] = [y]</math>, так как элементы фактор-множества совпадают, если их представители эквивалентны. Это противоречит условию <math>[x] \neq [y]</math>. Значит, предположение о том, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>, неверно, и следовательно, <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>. Что и требовалось доказать. * <u> Докажем полное покрытие</u> Теперь рассмотрим произвольный элемент <math>z \in S</math>. По свойству рефлексивности отношения <math>\sim</math>, выполняется <math>(z, z) \in \sim</math>, что означает, что <math>z \in [z]</math>. Таким образом, каждый элемент множества <math>S</math> принадлежит хотя бы одному классу эквивалентности, и объединение всех классов эквивалентности равно <math>S</math>, то есть <math>\bigcup_{x \in S} [x] = S</math>. Из этого следует, что элементы фактор-множества <math>[x]</math> образуют разбиение множества <math>S</math>, так как они попарно не пересекаются и их объединение покрывает всё множество <math>S</math>. <b> Обратное утверждение 4: Если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> образует разбиение множества <math>S</math>, то существует отношение <math>\sim</math> на <math>S</math>, такое что: </b> <math>\sim</math> является подмножеством <math>S \times S</math> и обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>, то есть каждое <math>B_i</math> совпадает с <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>{ B_i }_{i \in I}</math> — разбиение множества <math>S</math>, то есть: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset</math>. <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. Определим отношение <math>\sim</math> на <math>S</math> следующим образом: <math> \forall x, y \in S, \quad (x, y) \in \sim \iff \exists i \in I \text{ такое, что } x, y \in B_i. </math> Докажем, что <math>\sim</math> обладает требуемыми свойствами: * <u>Рефлексивность:</u> По свойствую полноты покрытия,для любого <math>x \in S</math> существует <math>B_i</math>, содержащее <math>x</math>. Значит, <math>(x, x) \in \sim</math>. * <u>Симметричность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то существует <math>B_i</math>, такое что <math>x, y \in B_i</math>. Отсюда, существует <math>B_i</math>, такое что <math>y, x \in B_i</math>. Тогда по определению <math>(y, x) \in \sim</math>. * <u>Транзитивность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math> и <math>(y, z) \in \sim</math>, то существуют <math>B_i</math> и <math>B_j</math>, такие что <math>x, y \in B_i</math> и <math>y, z \in B_j</math>. Нужно доказать, что <math>(x, z) \in \sim</math>. Допустим от противного, что <math>i \ne j</math>. Тогда по свойству попарной непересекаемости <math>B_i \cap B_j = \emptyset</math>. Однако, как мы устновили выше <math>y \in B_i \cap B_j</math>, т.е. пересечение непусто. Мы пришли к противоречию. Следотвально, <math>i = j</math>, а значит <math>B_i = B_j</math>. Тогда <math>x, y, z \in B_i</math>, то есть <math>(x, z) \in \sim</math>. Наконец, каждое множество <math>B_i</math> является <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>, так как все элементы в <math>B_i</math> эквивалентны по построенному отношению. Следовательно, <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>. Таким образом, если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> является разбиением множества <math>S</math>, то можно определить отношение <math>\sim</math>, порождающее это разбиение. ==== Примеры 1: ==== * <u>Пример 1 - равенство чисел.</u> Рассмотрим множество всех целых чисел: <math> S = \mathbb{Z} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Зададим на <math>\mathbb{Z}</math> отношение эквивалентности <math>\sim</math>: <math> \forall x, y \in \mathbb{Z}, \quad x \sim y \iff x = y. </math> * Рефлексивность: <math> \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x = x, </math> каждое число равно самому себе. Значит, <math>x \sim x</math>. * Симметрия: Если <math>x \sim y</math>, то <math>x = y</math>. Из определения равенства следует <math>y = x</math> (порядок сравнения на равенство не важен). Следовательно, <math>y \sim x</math>. * Транзитивность: Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, то <math>x = y</math> и <math>y = z</math>. Если <math>x</math> и <math>y</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> и <math>y</math> и <math>z</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> (это один и тот же <math>y</math>), то мы имеем одно и то же число <math>y</math>, т.е. <math>x=y=z</math>, отсюда <math>x=z</math>, значит, <math>x \sim z</math>. Таким образом, <math>\sim</math> является отношением эквивалентности. <u>Построение разбиения множества <math>\mathbb{Z}</math></u> Фактор-множество <math>\mathbb{Z} / \sim</math> состоит из классов эквивалентности: <math> [x] = \left\{ y \in \mathbb{Z} \mid y \sim x \right\} = {x}. </math> Каждое число эквивалентно только самому себе, значит, каждый элемент фактор-множества состоит ровно из одного элемента. Следовательно, фактор-множество имеет вид: <math> \mathbb{Z} / \sim = \left\{ {x} \mid x \in \mathbb{Z} \right\}. </math> Это разбиение множества <math>\mathbb{Z}</math> на одноэлементные подмножества. ==== Пример 2: ==== <u>Пример 2 - чётность чисел.</u> Рассмотрим множество всех натуральный чисел: <math> S = \mathbb{N} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> на множестве целых чисел следующим образом: <math> x \sim y \iff x \equiv y \pmod{2} </math>. Это означает, что два числа эквивалентны, если оба либо чётные, либо нечётные. Формально, числа <math>x</math> и <math>y</math> принадлежат к одному и тому же элементу фактор-множества, если сли остатки от деления на 2 у них одинаковые. <u>Доказательство свойств отношения эквивалентности</u> * Рефлексивность. Для любого числа <math>x \in \mathbb{Z}</math> <math> x \equiv y \pmod{2} </math>, его чётность всегда совпадает с его собственной чётностью. Таким образом, отношение эквивалентности является рефлексивным. * Симметрия. Отношение эквивалентности называется симметричным, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из множества, если <math>x \sim y</math>, то <math>y \sim x</math>. Если <math>x \sim y</math>, то <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то есть числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют одинаковую чётность. Поскольку чётность чисел не зависит от порядка их сравнения (если <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то <math>y \equiv x \pmod{2}</math>), то <math>y \sim x</math> * Транзитивность. Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, это означает, что <math>x \equiv y \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \pmod{2}</math>. Число при делении на 2 может давать два возможных остатка: 0 или 1. Остаток от деления на 2 для <math>y</math> может быть 0 (первый случай) или 1 (второй случай). По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 0 (первый случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 0. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 0. Во-втором случае, остаток от деления на 2 для <math>y</math> будет 1.По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 1 (второй случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 1. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 1. * Случай 1: <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> делятся на 2 без остатка. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно делиться на 2 без остатка. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. * Случай 2: <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> при делении на 2 дают остаток 1. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно давать остаток 1 при делении на 2. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. Других случаев нет, так как остаток от деление на 2 не может дать ни какое другое число; формально это будет доказано позже при помощи алгоритма Евклида (пусть <math>r</math> - остаток от деление на 2, тогда <math>0 \leq r < 2</math>, т.е. <math>r</math> может быть 0 или 1). Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них остатки от деления чисел <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковы. Следовательно, <math>x \sim z</math>, что и требовалось доказать. ==== Пример 3: ==== <u>Пример 3 - параллельные прямые на плоскости.</u> Рассмотрим множество S, состоящее из всех прямых на плоскости. Формально, это можно записать как: <math> S = \left\{ l \subseteq \mathbb{R}^2 \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Здесь условие <math> a^2 + b^2 \neq 0 </math> гарантирует, что хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, что необходимо для того, чтобы уравнение <math> ax + by + c = 0 </math> задавало прямую на плоскости. <u>Замечание:</u> <math>\mathbb{R}</math> будет определено далее. Ранее мы доказали, для любого множества <math>A</math>, <math>A^2</math> является множеством в ZFC, таким образом <math>\mathbb{R}^2</math> - множество. <u>Доказательство существования множества S в ZFC</u> Аксиома степени гарантирует существование множества всех подмножеств для любого множества. Таким образом, для <math>\mathbb{R}^2</math> существует множество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math> — множество всех подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. Множество <math>S</math> определяется как подмножество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, выделяемое с помощью аксиомы выделения (аксиомы подмножеств). А именно: <math> S = \left\{ l \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Таким образом, <math>S</math> является подмножеством <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, и его существование гарантировано аксиомой выделения. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение R на множестве S следующим образом: <math> R = \left\{ (l_1, l_2) \in S \times S \mid l_1 \parallel l_2 \right\}, </math> где <math> l_1 \parallel l_2 </math> означает, что прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> параллельны. <u>Доказательство свойств отношения R</u> * Рефлексивность: Для любой прямой <math> l \in S </math> выполняется <math> l \parallel l </math>, так как прямая параллельна самой себе. Следовательно, <math> (l, l) \in R </math>. * Симметричность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math>, что по определению параллельности означает <math> l_2 \parallel l_1 </math>. Следовательно, <math> (l_2, l_1) \in R </math>. * Транзитивность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math> и <math> l_2 \parallel l_3 </math>. Требуется доказать, что <math> R </math> транзитивно: если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> (l_1, l_3) \in R </math>. <u>Шаг 1: Условие и тривиальный случай</u> Дано: * <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то есть <math> l_1 \parallel l_2 </math> (прямые <math> l_1 </math> и <math> l_2 </math> не пересекаются), * <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то есть <math> l_2 \parallel l_3 </math> (прямые <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются). Нужно показать, что <math> l_1 \parallel l_3 </math>, то есть <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Сначала рассмотрим тривиальный случай: если <math> l_1 = l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math> очевидно, так как любая прямая параллельна сама себе. В этом случае <math> (l_1, l_3) \in R </math>, и свойство транзитивности выполняется. Далее будем предполагать, что <math> l_1 \neq l_3 </math>. <u>Шаг 2: Доказательство от противного для случая <math> l_1 \neq l_3 </math></u> Предположим от противного, что <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> различны и не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке <math> P </math>. Рассмотрим последствия этого предположения: * <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>. <u>Шаг 3: Анализ положения <math> P </math></u> Из условия <math> l_2 \parallel l_3 </math> следует, что <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Так как <math> P </math> лежит на <math> l_3 </math>, то <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>, иначе <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> пересекались бы в <math> P </math>, что противоречит их параллельности. Имеем, <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>, но <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>. <u>Шаг 4: Применение постулата о параллельности</u> Рассмотрим точку <math> P </math> и прямую <math> l_2 </math>: * <math>P </math> не лежит на <math> l_2 </math> (установлено на шаге 3). * В евклидовой геометрии через точку <math> P </math>, не лежащую на прямой <math> l_2 </math>, проходит ровно одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Теперь проверим прямые, проходящие через <math> P </math>: * <math> l_1 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_1 \parallel l_2 </math>), * <math> l_3 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_2 \parallel l_3 </math>). Таким образом, обе прямые, <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math>, проходят через <math> P </math> и параллельны <math> l_2 </math>. Но по постулату о параллельности через <math> P </math> может проходить только одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Поскольку мы предположили, что <math> l_1 \neq l_3 </math>, это приводит к противоречию: <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не могут быть разными прямыми, одновременно проходящими через <math> P </math> и параллельными <math> l_2 </math>. <u>Шаг 5: Вывод</u> Предположение, что <math> l_1 \neq l_3 </math> и <math> l_1 </math> не параллельна <math> l_3 </math>, неверно. Следовательно, если <math> l_1 \neq l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math>. Учитывая тривиальный случай <math> l_1 = l_3 </math> из шага 1, в любом случае <math> l_1 \parallel l_3 </math>, и значит, <math> (l_1, l_3) \in R </math>. Отношение <math> R </math> транзитивно. Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности. <u>Построение фактор-множества (оно же разбиение)</u> Отношение эквивалентности R разбивает множество S на элементы фактор-множества <math> S / R </math>, где каждый элемент фактор-множества состоит из всех прямых, параллельных друг другу. Формально, фактор-множество <math> S / R </math> можно записать как: <math> S / R = \left\{ [l] \mid l \in S \right\}, </math> где <math> [l] = \left\{ l' \in S \mid l' \parallel l \right\} </math> — элемент фактор-множества, содержащий прямую l. Каждый элемент фактор-множества <math> [l] </math> представляет собой множество всех прямых, параллельных прямой l. Таким образом, фактор-множество <math> S / R </math> состоит из всех таких элементов. Неформально говоря, мы как бы "отождествляем" все паралельные прямые. Для нас она как "одна" прямая. После такого отождествления, мы получили новое множество без паралельных прямых. ==== Пример 4: ==== <u>Пример 4 - Подобие треугольников.</u> ==== Примеры 2: ==== * Разбиение множества на элементы. * Разбиение множества на группы по длине строки. * Разбиение множества всех слов на слова, начинающиеся с гласной, и слова, начинающиеся с согласной (по первой букве). См. также важные примеры в главве про функции. === Функции === * Определение через отношения. * График функции. * Домен, кодомен, Img. * инъективные функции. * суръективные функции. * биективные функции. * Принцип Дирихле с доказательством и применением. * изоморфизм как сохранение структуры (~ и разбиение). (скажем, на примере кольца). * Группа <math>(\mathbb{Z}_2, +)</math> с операцией сложения изоморфна группе <math>({1, -1}, *)</math> с операцией умножения. * Изоморфизм множеств (~ и разбиение) * Изоморфизм частично упорядоченных множеств (~ и разбиение) === Упорядоченные множества === * Частично упорядоченное множество. * Вполне упорядоченное множество, минимальный элемент существует. * Линейно упорядоченное множество. * Дедекиндово сечение. * Непрерывные линейно упорядоченные множества. * Плотные подмножества. === Аксиома выбора, Лемма Цорна, Теорема Цермело === * Формулировки и примеры применения. <b>Формулировка теоремы о хорошей упорядоченности</b> <u>Теорема</u>: Для любого множества <math>X</math> существует отношение порядка <math>\leq</math>, которое делает <math>X</math> хорошо упорядоченным. Определение: Множество <math>X</math> с отношением порядка <math>\leq</math> называется хорошо упорядоченным, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in X</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq X</math> имеет наименьший элемент, то есть существует <math>s_0 \in S</math>, такое что для всех <math>s \in S</math> выполняется <math>s_0 \leq s</math>. <u>Шаг 1: Определение частично упорядоченного множества</u> Рассмотрим множество <math>X</math>. Определим <math>P</math> как множество всех пар <math>(A, \leq_A)</math>, где: * <math>A \subseteq X</math> — подмножество множества <math>X</math>, * <math>\leq_A</math> — хорошее упорядочение на <math>A</math>. Определим частичное упорядочение на <math>P</math>. Пусть <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> — элементы <math>P</math>. Говорим, что <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, если: * <math>A \subseteq B</math>, * <math>\leq_A</math> является ограничением <math>\leq_B</math> на <math>A</math>, то есть для всех <math>x, y \in A</math> выполняется <math>x \leq_A y</math> тогда и только тогда, когда <math>x \leq_B y</math>, * <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>, то есть если <math>b \in B</math>, <math>a \in A</math> и <math>b \leq_B a</math>, то <math>b \in A</math>. Проверим, что <math>\preceq</math> — частичное упорядочение: * Рефлексивность: <math>(A, \leq_A) \preceq (A, \leq_A)</math>, так как <math>A \subseteq A</math>, <math>\leq_A</math> совпадает с собой, и <math>A</math> — начальный сегмент себя. * Антисимметричность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>, то <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, значит <math>A = B</math>, а <math>\leq_A = \leq_B</math> по определению. * Транзитивность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (C, \leq_C)</math>, то <math>A \subseteq B \subseteq C</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_C</math>, и если <math>c \in C</math>, <math>a \in A</math>, <math>c \leq_C a</math>, то <math>c \in B</math> (так как <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>) и <math>c \in A</math> (так как <math>B</math> — начальный сегмент <math>C</math>). Множество <math>P</math> непусто, так как <math>(\emptyset, \leq_\emptyset)</math> (где <math>\leq_\emptyset</math> — пустое отношение) — элемент <math>P</math>. <u>Шаг 2: Проверка условия леммы Цорна</u> Покажем, что любая цепь в <math>P</math> имеет верхнюю грань. Цепь — это подмножество <math>C \subseteq P</math>, такое что для любых <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math> либо <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, либо <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>. * Определим <math>U = \bigcup { A \mid (A, \leq_A) \in C }</math> — объединение всех множеств <math>A</math> из цепи. * Определим отношение <math>\leq_U</math> на <math>U</math>: для <math>x, y \in U</math> положим <math>x \leq_U y</math>, если существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>x, y \in A</math> и <math>x \leq_A y</math>. Проверим, что <math>(U, \leq_U)</math> — элемент <math>P</math>: Тотальность: Если <math>x, y \in U</math>, то существуют <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math>, такие что <math>x \in A</math>, <math>y \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. В любом случае, <math>x, y</math> принадлежат большему из <math>A</math> и <math>B</math>, где порядок определён, и либо <math>x \leq_U y</math>, либо <math>y \leq_U x</math>. Хорошее упорядочение: Пусть <math>S \subseteq U</math> — непустое подмножество. Возьмём <math>s \in S</math>. Существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>s \in A</math>. Множество <math>S \cap A</math> непусто (содержит <math>s</math>), и так как <math>A</math> хорошо упорядочено, <math>S \cap A</math> имеет наименьший элемент <math>s_0</math>. Покажем, что <math>s_0</math> — наименьший в <math>S</math>: * Для любого <math>t \in S</math> существует <math>(B, \leq_B) \in C</math>, такое что <math>t \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. * Если <math>A \subseteq B</math>, то <math>s_0, t \in B</math>, и <math>s_0</math> — наименьший в <math>S \cap B</math>, значит <math>s_0 \leq_B t</math>. * Если <math>B \subseteq A</math>, то <math>t \in A</math>, и <math>s_0 \leq_A t</math>. * В любом случае, <math>s_0 \leq_U t</math>. Покажем, что <math>(U, \leq_U)</math> — верхняя грань <math>C</math>: * Для любого <math>(A, \leq_A) \in C</math> выполняется <math>A \subseteq U</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_U</math> на <math>A</math>, и <math>A</math> — начальный сегмент <math>U</math> (если <math>u \in U</math>, <math>a \in A</math>, <math>u \leq_U a</math>, то <math>u \in A</math>, так как порядок в <math>U</math> наследуется от цепи). <u>Шаг 3: Применение леммы Цорна</u> По лемме Цорна в <math>P</math> существует максимальный элемент <math>(M, \leq_M)</math>. Утверждаем, что <math>M = X</math>. Предположим, что <math>M \neq X</math>, и существует <math>x \in X \setminus M</math>. Расширим <math>(M, \leq_M)</math>, добавив <math>x</math>. Определим <math>M' = M \cup {x}</math> и отношение <math>\leq_{M'}</math>: * Для <math>a, b \in M</math>: <math>a \leq_{M'} b</math> тогда и только тогда, когда <math>a \leq_M b</math>, * Для всех <math>m \in M</math>: <math>m \leq_{M'} x</math>, * <math>x \not\leq_{M'} m</math> для всех <math>m \in M</math>. <math>(M', \leq_{M'})</math> — хорошее упорядочение: * Тотальность: добавлен только <math>x</math>, и он больше всех элементов <math>M</math>. * Каждое непустое <math>S \subseteq M'</math> имеет наименьший элемент: если <math>S \subseteq M</math>, то по свойству <math>M</math>; если <math>x \in S</math>, то наименьший элемент — либо <math>x</math>, либо минимальный элемент <math>S \cap M</math>. Тогда <math>(M, \leq_M) \preceq (M', \leq_{M'})</math>, но <math>M \subsetneq M'</math>, что противоречит максимальности <math>(M, \leq_M)</math>. Следовательно, <math>M = X</math>, и <math>(X, \leq_M)</math> — хорошее упорядочение <math>X</math>. <u>Вывод</u> Теорема доказана: для любого <math>X</math> существует хорошее упорядочение, что следует из применения леммы Цорна к множеству всех хороших упорядочений подмножеств <math>X</math>. === Вполне упорядоченные множества === * Определение. * Связь с фундированными множествами. === Фундированные множества === * Определение. * Эквивалентное определение через обрыв убывающих цепей. == 4. Построение натуральных чисел == * Аксиомы Пеано. * Доказательство их основных свойств. * Доказательство эквивалентности между полной мат. индукцией, частичной и в любом подмножестве есть минимум. * Метод бесконечного спуска. * Примеры применения мат. индукции, полной мат. индукции и метода бесконечного спуска. * Если A - множество, то A^n - множество в ZFC. Конструкция фон Неймана — это способ формального определения натуральных чисел (<math>\mathbb{N}</math>) в рамках теории множеств, предложенный Джоном фон Нейманом. Она позволяет построить числа как множества, начиная с пустого множества, и задает их так, чтобы каждое следующее число было "наследником" предыдущего. Этот метод широко используется в аксиоматической теории множеств, например, в ZFC (Цермело-Френкель с аксиомой выбора), чтобы строго обосновать существование <math>\mathbb{N}</math> и операций над ним. Давайте разберем это подробно. Идея конструкции Основная идея состоит в том, чтобы: * Определить каждое натуральное число как множество, содержащее все предыдущие числа. * Использовать пустое множество как отправную точку (нуль). * Определить операцию "наследника" (увеличения на 1) как добавление самого числа в множество. Таким образом, числа строятся иерархически, и их порядок задается вложенностью множеств. Формальное определение В конструкции фон Неймана: * <math>0</math> определяется как пустое множество: <math>0 = \emptyset</math> * Каждое следующее число <math>n + 1</math> (наследник <math>n</math>) определяется как множество, содержащее <math>n</math> и все элементы <math>n</math>: <math>S(n) = n \cup { n }</math>, где <math>S(n)</math> — функция наследника. Теперь построим первые несколько чисел: * <math>0 = \emptyset</math> (множество без элементов), * <math>1 = S(0) = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \emptyset \cup { \emptyset } = { \emptyset }</math>, * <math>2 = S(1) = 1 \cup { 1 } = { \emptyset } \cup { { \emptyset } } = { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>3 = S(2) = 2 \cup { 2 } = { \emptyset, { \emptyset } } \cup { { \emptyset, { \emptyset } } } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math>, и так далее. Или в более читаемой форме: * <math>0 = \emptyset</math> (0 элементов), * <math>1 = { 0 } = { \emptyset }</math> (1 элемент), * <math>2 = { 0, 1 } = { \emptyset, { \emptyset } }</math> (2 элемента), * <math>3 = { 0, 1, 2 } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math> (3 элемента). Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> Множество <math>\mathbb{N}</math> определяется как наименьшее множество, которое: * Содержит <math>0 = \emptyset</math>, * Замкнуто относительно операции наследника <math>S(n) = n \cup { n }</math>. <u>Замечание 1:</u> В некоторых разделах математики натуральные числа начинаются с 1. Это эквивалентное определение в том смысл, что они удовлетворяют аксиомам Пеано (см. ниже). Мы же будем считать, что <math>\0 \in \mathbb{N}</math> <u>Замечание 2:</u> TBD: интуитивный смысл, история нуля Формально в ZFC это гарантируется аксиомой бесконечности, которая утверждает существование индуктивного множества <math>\omega</math> (обычно обозначаемого как <math>\mathbb{N}</math> в этом контексте): * <math>\emptyset \in \omega</math>, * Если <math>n \in \omega</math>, то <math>S(n) = n \cup { n } \in \omega</math>. Таким образом: <math>\mathbb{N} = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } }, { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }, ... }</math> Свойства конструкции Порядок: * Отношение порядка задается через включение множеств (<math>\in</math>): * <math>0 \in 1</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset }</math>, * <math>1 \in 2</math>, так как <math>{ \emptyset } \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>0 \in 2</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>. * Это соответствует интуитивному порядку <math>0 < 1 < 2 < ...</math>. Количество элементов: Мощность множества <math>n</math> равна <math>n</math> (например, <math>|2| = |{ \emptyset, { \emptyset } }| = 2</math>), что делает конструкцию удобной для подсчета. Уникальность: Каждое число <math>n</math> уникально определено как множество всех предыдущих чисел: <math>n = { 0, 1, 2, ..., n-1 }</math>. Операции на <math>\mathbb{N}</math> После построения <math>\mathbb{N}</math> можно определить сложение и умножение рекурсивно: Сложение: * <math>m + 0 = m</math>, * <math>m + S(n) = S(m + n)</math>. Пример: <math>1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2</math>. Умножение: * <math>m \cdot 0 = 0</math>, * <math>m \cdot S(n) = m \cdot n + m</math>. Пример: <math>2 \cdot 1 = 2 \cdot S(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2</math>. Доказательство аксиом Пеано: После построения натуральных чисел в ZFC необходимо доказать, что они удовлетворяют аксиомам Пеано. Вот как это делается: Аксиома 1: <math>0</math> — натуральное число. Это выполняется по определению: <math>0 = \emptyset</math>, и <math>\emptyset</math> включён в <math>\mathbb{N}</math>. Аксиома 2: Для каждого натурального числа <math>n</math> существует следующее число <math>S(n)</math>. Это выполняется по определению операции следования: <math>S(n) = n \cup {n}</math>. Аксиома 3: <math>0</math> не является последователем никакого натурального числа. Это выполняется, так как <math>S(n) = n \cup {n}</math> всегда содержит элемент <math>n</math>, а <math>0 = \emptyset</math> не содержит элементов. Аксиома 4: Если <math>S(n) = S(m)</math>, то <math>n = m</math>. Это следует из того, что <math>S(n) = n \cup {n}</math> и <math>S(m) = m \cup {m}</math>. Если эти множества равны, то <math>n = m</math>. Аксиома 5 (индукция): Если некоторое утверждение верно для <math>0</math> и из его истинности для <math>n</math> следует истинность для <math>S(n)</math>, то оно верно для всех натуральных чисел. Это следует из аксиомы бесконечности и определения <math>\mathbb{N}</math> как наименьшего множества, содержащего <math>0</math> и замкнутого относительно <math>S</math>. === примеры мат. индукции === '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. 2. Формула Бернули 3. Доказательство невозможности выразить дизъюнктное объединение через ∩, ∪, * https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a7466a6d-1964-49d9-b77f-e35292cd50c6 === Алгоритм Евклида === 1. Определение gcd. 2. Существование gcd для любый натуральных чисел. 3. Лемма о делении с остатком. 4. Свойство gcd при делении с остатком: gcd(a, b)=gcd(b, r) 5. Алгоритм Евклида === Основная теорема арифметики === 6. Определение простого числа Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само p. 7. Лемма о простом делителе Она утверждает, что если простое число p делит произведение ab, то оно делит хотя бы один из множителей: <math> p \mid ab \quad \Rightarrow \quad p \mid a \quad \text{или} \quad p \mid b. </math> Эта лемма доказывается с помощью НОД и алгоритма Евклида. 8. Основная теорема арифметики. 9. gcd(km, kn)=k*gcd(m, n) 10. Следствие: gcd(km, kn)>=k === Альтернативный (школьный) способ нахождения gcd === 1. Раскладываем обо числа на простые числа/множители (по основной теореме арифметики это можно сделать). 2. Берём общие множители обоих чисел. Доказать, что получится gcd. Замечание: не известно эффективного способа это сделать. В школе делается методом перебора. === Теорема о бесконечном количесте простых чисел === * Формулировка * Доказательство == 5. Построение целых чисел == Z - Архимедово упорядоченное коммутативное кольцо с единицей * Определение целых чисел. * Доказательство их свойств. Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = \left\{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. Операции на <math>\mathbb{Z}</math> Определим операции на целых числах, представленных парами. Сложение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> сложение определяется как: <math> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) </math> После выполнения операции результат приводится к канонической форме, если это необходимо. Умножение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> умножение определяется как: <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) </math> После умножения результат также приводится к канонической форме. Отрицание Отрицание числа <math>(a, b)</math> представляется как: <math> -(a, b) = (b, a) </math> Порядок Порядок на множестве целых чисел определяется следующим образом: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a + d < b + c </math> Это определение согласуется с обычным порядком целых чисел. Включение натуральных чисел в <math>\mathbb{Z}</math> Натуральные числа <math>n \in \mathbb{N}</math> включаются в <math>\mathbb{Z}</math> по следующему правилу: <math> n \mapsto (n, 0) </math> Это отображение позволяет включить все натуральные числа в множество целых чисел. Проверка корректности: Необходимо убедиться, что определённые операции удовлетворяют свойствам целых чисел (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента и т.д.). === Альтернативное определение === Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = { (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} } </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. <u>Чтобы доказать, что оба подхода приводят к одной и той же структуре, нам нужно:</u> 1. Показать, что элементы множества <math>\mathbb{Z}</math> из первого определения эквивалентны элементам из второго определения. В первом определении, каждый элемент целого числа — это пара <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> является целым числом. Для этого определим эквивалентность между парами <math>(a, b)</math> и элементами множества <math>\mathbb{Z}</math>, представленными как элементы <math>n \in \mathbb{N}</math> или <math>-n \in \mathbb{N}</math>. * Если <math>a - b = n</math>, то элемент <math>(a, b)</math> будет соответствовать числу <math>n \in \mathbb{Z}</math>. * Если <math>a - b = -n</math>, то это будет отрицательное число, которое также принадлежит множеству целых чисел. То есть, каждую пару <math>(a, b)</math> можно ассоциировать с целым числом из множества <math>\mathbb{Z}</math>, определённого как объединение положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. 2. Показать, что операции над числами из первого определения совпадают с операциями из второго определения. В первом определении операции сложения и вычитания на парах <math>(a, b)</math> можно интерпретировать как операцию вычитания разности <math>a - b</math>. Например: * Сложение двух целых чисел, представленных парами <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, будет равняться разности <math>(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)</math>. * Вычитание чисел также можно интерпретировать через разности пар, аналогично. В втором определении операции сложения и вычитания целых чисел аналогичны стандартным операциям для чисел в <math>\mathbb{Z}</math>, и они также дают результат в том же множестве. Таким образом, для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует соответствующее целое число в втором определении, и операции на этих числах совпадают. 4. Окончательное доказательство эквивалентности Отображение: 1. Каждое целое число из первого определения (в виде пары <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> — целое число) соответствует числу в втором определении (где целые числа представлены как элементы множества <math>\mathbb{Z}</math>, включая положительные, отрицательные числа и ноль). Таким образом, существует взаимно однозначное отображение между этими двумя представлениями целых чисел. Операции: Операции сложения и вычитания в обоих определениях совпадают: * В первом определении операции сложения и вычитания пар эквивалентны операциям над целыми числами в обычной арифметике. * Во втором определении операции на множестве <math>\mathbb{Z}</math> — это стандартные операции сложения и вычитания целых чисел. 3. Множества: Обе конструкции приводят к тому же множеству, потому что для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует уникальное целое число, которое представлено во втором определении. Следовательно, оба определения приводят к одной и той же структуре множества целых чисел с одинаковыми операциями. Утверждение: для любого числа a выполняется равенство <math>0 \cdot a = 0</math>. Доказательство: Шаг 1: Используем свойство дистрибутивности По дистрибутивному закону умножения относительно сложения имеем: <math>(0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Но мы знаем, что <math>0 + 0 = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Шаг 2: Вычитаем 0⋅a0⋅a из обеих частей Рассмотрим полученное равенство: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Вычтем <math>0 \cdot a</math> из обеих частей: <math>0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. По свойству сложения <math>x - x = 0</math> левая часть упрощается: <math>0 = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. А правая часть: <math>0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a</math>. Таким образом: <math>0 = 0 \cdot a</math>. Заключение Мы доказали, что <math>0 \cdot a = 0</math> для любого числа aa. Утверждение: для любого числа aa выполняется равенство <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Доказательство: Шаг 1: Определение отрицательного числа По определению отрицательного числа: <math>a + (-a) = 0</math>. Это означает, что <math>-a</math> — единственное число, которое при сложении с <math>a</math> даёт ноль. Шаг 2: Рассмотрим выражение <math>(-1) \cdot a</math> Рассмотрим число <math>(-1) \cdot a</math>. Мы хотим показать, что оно удовлетворяет тому же свойству: <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. Шаг 3: Используем дистрибутивность Рассмотрим сумму <math>1 + (-1)</math> и применим дистрибутивный закон: <math>(1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Известно, что <math>1 + (-1) = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 4: Свойство нуля По доказанному ранее свойству умножения на ноль, для любого числа aa: <math>0 \cdot a = 0</math>. Подставим это в предыдущее равенство: <math>0 = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Заметим, что <math>1 \cdot a = a</math>, так как умножение на 1 сохраняет число. Тогда: <math>0 = a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 5: Заключение Мы получили, что <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. По определению <math>-a</math> как единственного числа, удовлетворяющего равенству <math>a + (-a) = 0</math>, следует: <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Что и требовалось доказать. === Модуль числа === Определение и свойства как норма плюс |ab|=|a||b| + |x|<=a iff -a<=x<=a+ |x|>=a iff x<=-a and x>=a === Алгоритм Евклида, обобщённый для целых чисел === Алгоритм Евклида, изначально сформулированный для натуральных чисел, может быть обобщён на целые числа (включая отрицательные). Основная идея заключается в том, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел определён с точностью до знака, и алгоритм Евклида может быть адаптирован для работы с целыми числами без существенных изменений. 1. Определение НОД для целых чисел Для целых чисел <math>a</math> и <math>b</math> (не равных одновременно нулю), НОД <math>\gcd(a, b)</math> — это наибольшее целое число <math>d</math>, которое делит одновременно <math>a</math> и <math>b</math>. НОД определён с точностью до знака: если <math>d</math> является НОД, то <math>-d</math> также является НОД. Обычно выбирают положительное значение. 2. Обобщение алгоритма Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел работает практически так же, как и для натуральных чисел. Основные шаги: Вход: Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math>, не равных одновременно нулю. Шаги: Если <math>b = 0</math>, то <math>\gcd(a, b) = |a|</math> (берётся модуль, чтобы результат был положительным). Иначе: Вычислить остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math>: <math>a = b \cdot q + r</math>, где <math>0 \leq |r| < |b|</math>. Заменить <math>a</math> на <math>b</math>, а <math>b</math> на <math>r</math>. Повторять процесс, пока <math>b</math> не станет равным нулю. Выход: Последний ненулевой остаток <math>r</math> (или его модуль, если требуется положительное значение). 3. Пример работы алгоритма для целых чисел Рассмотрим пример нахождения <math>\gcd(48, -18)</math>: <math>a = 48</math>, <math>b = -18</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>48</math> на <math>-18</math>: <math> 48 = (-18) \cdot (-2) + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12. </math> Теперь <math>a = -18</math>, <math>b = 12</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>-18</math> на <math>12</math>: <math> -18 = 12 \cdot (-2) + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6. </math> Теперь <math>a = 12</math>, <math>b = 6</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>12</math> на <math>6</math>: <math> 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0. </math> Алгоритм завершается, так как <math>b = 0</math>. Последний ненулевой остаток равен <math>6</math>. Таким образом, <math>\gcd(48, -18) = 6</math>. 4. Корректность обобщения Алгоритм Евклида для целых чисел корректен, так как: НОД определён с точностью до знака, и алгоритм находит одно из возможных значений. Лемма о делении с остатком работает и для целых чисел: для любых целых <math>a</math> и <math>b</math> (где <math>b \neq 0</math>) существуют целые <math>q</math> и <math>r</math> такие, что: <math> a = b \cdot q + r, \quad \text{где } 0 \leq |r| < |b|. </math> Свойство <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, r)</math> сохраняется для целых чисел. 5. Замечание о знаке Если требуется, чтобы НОД был положительным, на последнем шаге можно взять модуль последнего ненулевого остатка. Например, <math>\gcd(48, -18) = |6| = 6</math>. Итог Алгоритм Евклида обобщается на целые числа практически без изменений. Основные отличия: Остаток <math>r</math> вычисляется с учётом знака, но <math>0 \leq |r| < |b|</math>. НОД определён с точностью до знака, поэтому результат можно взять по модулю. <b>Теорема (свойство Архимеда):</b> Для любого целого числа <math>z \in \mathbb{Z}</math> существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math>, такое, что <math>n > z</math>. <b>Замечание:</b> Иными словами, множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не ограничено сверху в множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пусть дано произвольное целое число <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Мы должны показать, что существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, для которого <math>n > z</math>. Рассмотрим два случая: <u>Случай 1: Если <math>z \le 0</math>.</u> В этом случае мы можем выбрать <math>n = 1</math>. Так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>1 > 0 \ge z</math>, то <math>n > z</math> <u>Случай 2: Если <math>z > 0</math> </u> (о есть <math>z</math> само является положительным натуральным числом) Рассмотрим целое число <math>n = z + 1</math>. Поскольку <math>z \in \mathbb{Z}</math> и <math>1 \in \mathbb{Z}</math>, то их сумма <math>z+1 \in \mathbb{Z}</math>. Так как <math>z > 0</math>, то <math>z \ge 1</math>. Следовательно, <math>n = z + 1 \ge 1 + 1 = 2</math>. Это означает, что <math>n</math> является натуральным числом, <math>n \in \mathbb{N}</math>. По свойствам целых чисел, прибавление положительного числа (<math>1</math>) к <math>z</math> дает большее число: <math>z + 1 > z</math>, то есть <math>n > z</math>. Что и требовалось доказать. <b>Замечание:</b> Кажется, что формулировка и доказательство этого утверждения является тривиальным, однако, при построении других чисел выяснится его важность. '''Следствие:''' '''Утверждение:''' Для любых <math>a, z \in \mathbb{Z}</math> таких, что <math>a > 0</math>, существует <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>na > z</math>. '''Доказательство:''' Возьмем <math>a \in \mathbb{Z}, a > 0</math> и <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Из доказанного выше существует <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>n_0 > z</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Z}</math> и <math>a > 0</math>, то <math>a \ge 1</math>. Если <math>a = 1</math>, то <math>n_0 a = n_0 > z</math>. Если <math>a > 1</math>, то тем более <math>n_0 a > n_0 > z</math>. Итак, можно взять <math>n = n_0</math>. Утверждение доказано. == 6. Построение рациональных чисел == Q - архимедово упорядоченно поле * Определение рациональных чисел. * Доказательство их свойств. * Модуль числа и его свойства. 1. Определение рациональных чисел Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел: <math> \mathbb{Q} = \{ (a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}. </math> Здесь <math>(a, b)</math> интерпретируется как "рациональное число", соответствующее дроби <math>a/b</math>, но без использования классов эквивалентности. 2. Определение операций Раз операции выполняются непосредственно над парами, никакого отождествления вроде <math>(2,4) \sim (1,2)</math> нет — каждая пара представляет уникальный элемент. Сложение <math> (a, b) + (c, d) = (a d + b c, b d). </math> Умножение <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a c, b d). </math> Отрицание <math> -(a, b) = (-a, b). </math> Обратный элемент (деление) Если <math>a \neq 0</math>, то: <math> (a, b)^{-1} = (b, a). </math> Вычитание <math> (a, b) - (c, d) = (a d - b c, b d). </math> Деление Если <math>c \neq 0</math>, то: <math> (a, b) \div (c, d) = (a d, b c). </math> 3. Включение целых чисел в рациональные Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> естественно включается в <math>\mathbb{Q}</math> по правилу: <math> z \mapsto (z, 1). </math> То есть каждое целое число <math>z</math> представляется парой <math>(z,1)</math>. 4. Определение порядка на Q Зададим отношение порядка на множестве пар: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a d < b c. </math> Это согласуется с привычным порядком дробей. 5. Приведение к каноническому виду Так как пары вроде <math>(2,4)</math> и <math>(1,2)</math> не эквивалентны, но представляют одно и то же число, можно ввести каноническое представление: Определим функцию <math>\text{norm}(a, b)</math>, которая преобразует пару к виду, где <math>\gcd(a, b) = 1</math> и <math>b > 0</math>. Любое рациональное число можно привести к такому представлению алгоритмически. Нормализация Чтобы исключить множественное представление одного и того же числа (например, <math> (2,4) </math> и <math> (1,2) </math>), можно ввести каноническую форму записи рационального числа, требуя, чтобы <math> \gcd(a, b) = 1 </math> и <math> b > 0 </math>. Тогда каждое рациональное число представляется единственным образом. Чтобы перейти от представления рационального числа в виде пары <math>(a, b)</math> к стандартной записи <math>\frac{p}{q}</math>, нужно привести пару к канонической форме: Приведение к несократимой дроби Для данного числа <math>(a, b)</math> вычислим наибольший общий делитель (НОД): <math> \gcd(a, b) = d. </math> Тогда можно записать: <math> \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Это эквивалентно сокращению дроби. Обеспечение положительного знаменателя Если после сокращения <math>b < 0</math>, то умножаем числитель и знаменатель на <math>-1</math>, чтобы знаменатель стал положительным: <math> \left(-\frac{a}{d}, -\frac{b}{d} \right) = \left(\frac{-a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Запись в виде дроби Теперь число представляется в стандартной форме: <math> \frac{p}{q}, </math> где <math> p = \frac{a}{d} </math>, <math> q = \frac{b}{d} </math> и <math> \gcd(p, q) = 1 </math>, <math> q > 0 </math>. Таким образом, каждая пара <math>(a, b)</math> соответствует единственной несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>. Свойства Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения: Можно проверить, что операции сложения и умножения обладают стандартными свойствами. Нейтральные элементы: Для сложения нейтральный элемент: <math>(0, 1)</math>. Для умножения нейтральный элемент: <math>(1, 1)</math>. Обратные элементы: Для сложения: <math>-(a, b) = (-a, b)</math>. Для умножения: <math>(a, b)^{-1} = (b, a)</math> при <math>a \neq 0</math>. Дистрибутивность: <math> (a, b) \cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) \cdot (c d + e f, d f) </math> что согласуется с обычными правилами. === Модуль числа === Определение Свойства и доказательство === Альтернативное построение === Без условия gcd(a, b)=1. В каждом классе эквивалентности выбирать дробь с наименьшим знаминтатлем (минимум в непустом подмножестве N существует). https://chat.deepseek.com/a/chat/s/3b4728b9-ac28-44e4-9fd8-055c525398ec === Прогресии === * Определение последовательности чисел в рамках ZFC. * Определение предела последовательности. Определение сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> для всех <math>n > N</math> <b>Утверждение:</b> Пусть <math>a_n</math> — последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, такая что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>, и пусть <math>C \in \mathbb{Q}</math>. Тогда: <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot a_n = C \cdot L</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. <b>Доказательство:</b> Дано * <math>a_n \in \mathbb{Q}</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>. * <math>C \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. * Новая последовательность: <math>b_n = C \cdot a_n</math>. Так как <math>\mathbb{Q}</math> замкнуто относительно умножения, <math>b_n \in \mathbb{Q}</math>, и <math>C \cdot L \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>\lim_{n \to \infty} b_n = C \cdot L</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что: <math>|b_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Рассмотрим: <math>|b_n - C \cdot L| = |C \cdot a_n - C \cdot L| = |C \cdot (a_n - L)|</math>. Используем свойство модуля: <math>|C \cdot (a_n - L)| = |C| \cdot |a_n - L|</math>, где <math>|C|</math> — неотрицательное рациональное число. Если <math>C = 0</math>, то <math>b_n = 0 \cdot a_n = 0</math>, и <math>C \cdot L = 0 \cdot L = 0</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |0 - 0| = 0 < \varepsilon</math>, для любого <math>\varepsilon > 0</math> и всех <math>n</math>. Предел тривиально равен <math>0</math>, что соответствует <math>C \cdot L</math>. Этот случай доказан. Пусть <math>C \neq 0</math>, тогда <math>|C| > 0</math>, и <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Так как <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, для любого <math>\delta > 0</math>, <math>\delta \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \delta</math> при <math>n > N</math>. Выберем <math>\delta = \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Поскольку <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>, и <math>|C| \neq 0</math>, то <math>\frac{\varepsilon}{|C|} \in \mathbb{Q}</math> и <math>\frac{\varepsilon}{|C|} > 0</math>. По определению сходимости <math>a_n \to L</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{|C|}</math> при <math>n > N</math>. Умножим обе части на <math>|C|</math> (положительное число): <math>|C| \cdot |a_n - L| < |C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Упростим правую часть: <math>|C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|} = \varepsilon</math>. Следовательно: <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, мы нашли <math>N</math>, зависящее от сходимости <math>a_n \to L</math> и величины <math>\frac{\varepsilon}{|C|}</math>, такое что <math>|C \cdot a_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Это выполняется для любого <math>C \in \mathbb{Q}</math>, включая <math>C = 0</math> и <math>C \neq 0</math>. Все операции (вычитание, умножение, деление на ненулевое число) проводятся в <math>\mathbb{Q}</math>, и предел <math>C \cdot L</math> также лежит в <math>\mathbb{Q}</math>. Теорема доказана. '''Замечание:''' Доказательство использует только определение предела и алгебраические свойства рациональных чисел, оставаясь строго в рамках <math>\mathbb{Q}</math>. * Неравенство Бернули <b>Утверждение:</b> Для любого натурального числа <math>n</math> (<math>n = 1, 2, 3, \dots</math>) и любого <math>\delta \ge -1</math> выполняется <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> <b>Замечание:</b> Если <math>\delta</math> рационально, то все операции (сложение, умножение, сравнение) остаются в рамках рациональных чисел. <b>База индукции</b> (<math>n = 1</math>): Проверяем неравенство для <math>n = 1</math>: <math>(1 + \delta)^1 \ge 1 + (1)\delta</math> <math>1 + \delta \ge 1 + \delta</math> Это верно. <b>Индукционное предположение</b> (Шаг индукции - гипотеза): Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа <math>k \ge 1</math>: <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (это наша гипотеза) <b>Индукционный переход</b> (Шаг индукции - доказательство для <math>k+1</math>): Нужно доказать, что неравенство верно для <math>n = k + 1</math>, то есть: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math> Начнем с левой части и используем предположение: <math>(1 + \delta)^{k+1} = (1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta)</math> Так как <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (по предположению) и <math>(1 + \delta) \ge 0</math> (поскольку <math>\delta \ge -1</math>), мы можем умножить обе части предположения на <math>(1 + \delta)</math>, сохранив знак неравенства: <math>(1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta) \ge (1 + k\delta) \cdot (1 + \delta)</math> Раскроем скобки в правой части: <math>(1 + k\delta) \cdot (1 + \delta) = 1 + \delta + k\delta + k\delta^2 = 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Итак, мы получили: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Поскольку <math>k</math> - натуральное число (<math>k \ge 1</math>) и <math>\delta^2 \ge 0</math> (квадрат любого числа не отрицателен), то <math>k\delta^2 \ge 0</math>. Следовательно, <math>1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math>. Объединяя неравенства, получаем: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math> Таким образом, мы доказали, что <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math>. <b>Вывод:</b> По принципу математической индукции, неравенство Бернулли <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> верно для всех натуральных чисел <math>n</math> и всех <math>\delta \ge -1</math>. * Арифметическая прогрессия, примеры, формулы, доказательства. * Геометрическа прогрессия, примеры, формулы, доказательства. Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) , если r ≠ 1 S_n = n * a , если r = 1 * Аксиома Архимеда-Евдокса для рациональных чисел. <b>Теорема (принцип Архимеда-Евдокса, оно же архимедово свойство): </b> Для любого рационального числа R всегда можно найти натуральное число N (т.е. целое положительное число 1, 2, 3, ...), которое будет больше этого R. ∀ R ∈ Q ∃ N ∈ ℕ : N > R '''Доказательство:''' Любое рациональное число R можно представить в виде дроби p/q, где p - целое, q - натуральное. Если R ≤ 0, то N = 1 подходит (1 > R). Если R > 0, то R = p/q, где p и q - натуральные числа. Нам нужно найти натуральное N такое, что N > p/q. Это эквивалентно Nq > p. Поскольку p и q - целые числа, мы можем просто взять N = p + 1. Так как q ≥ 1, то Nq = (p+1)q = pq + q ≥ p + 1 > p. Значит, N = p + 1 (которое является натуральным, так как p натуральное) удовлетворяет условию N > p/q = R. Это доказывает, что для любого рационального R найдется натуральное N > R, используя только свойства целых и рациональных чисел. <b>Замечание:</b> В общем случае аксиома Архимеда-Евдокса независима от аксиом упорядоченного поля, т.е. существуют неархимедовы упорядоченные поля, как например, поле рациональных функций ℝ(x), то есть дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами, Q ≠ 0. В этом поле можно ввести порядок, сказав, что функция положительна если знак старшего коэффициента P(x) совпадает со знаком старшего коэффициента Q(x). Можно показать, что для элемента a = 1 (> 0) и элемента b = x (> 0) в поле ℝ(x), неравенство n * a > b (то есть n * 1 > x) не выполняется ни для какого натурального числа n (т.е. x является бесконечно-большим по-сравнению с обычными действительными числами). * Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии в Q. ''' Утверждение:''' Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом <math>a</math> и знаменателем <math>r</math>. Если абсолютное значение знаменателя строго меньше единицы (<math>|r| < 1</math>), то ряд, составленный из членов этой прогрессии (<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots</math>), сходится, и его сумма <math>S</math> равна: <math>S = \frac{a}{1 - r}</math>. Если <math>|r| \ge 1</math> и <math>a \ne 0</math>, то ряд расходится (не имеет конечной суммы). Если <math>a = 0</math>, то ряд сходится к <math>0</math> при любом <math>r</math>. '''Замечание:''' Уточнение в контексте рациональных чисел (<math>\mathbb{Q}</math>): Если первый член <math>a</math> и знаменатель <math>r</math> являются рациональными числами (<math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math>) и выполняется условие сходимости <math>|r| < 1</math>, то сумма бесконечного ряда <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> также является рациональным числом (<math>S \in \mathbb{Q}</math>). '''Доказательство:''' '''Рассматриваемые объекты:''' * Первый член <math>a \in \mathbb{Q}</math>. * Знаменатель прогрессии <math>r \in \mathbb{Q}</math>. * Условие сходимости: <math>|r| < 1</math> (сравнение рациональных чисел). * Все члены прогрессии <math>a, ar, ar^2, \dots</math> являются рациональными числами. '''Частичная сумма:''' Рассмотрим <math>n</math>-ую частичную сумму: <math>S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}</math>. Умножим <math>S_n</math> на <math>r</math>: <math>r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n</math>. Вычтем второе из первого: <math>S_n - r \cdot S_n = a - ar^n</math>. Преобразуем: <math>S_n \cdot (1 - r) = a \cdot (1 - r^n)</math>. Так как <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>r \ne 1</math> (иначе <math>|r| < 1</math> не выполняется при <math>a \ne 0</math>), то <math>1 - r</math> — ненулевое рациональное число. Разделим на <math>1 - r</math>: <math>S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}</math>. Заметим, что при <math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math> каждый член <math>S_n</math> также является рациональным числом. '''Предел частичных сумм (в <math>\mathbb{Q}</math>):''' Нам нужно найти предел последовательности <math>{S_n}</math> при <math>n \to \infty</math>. Покажем, что эта последовательность сходится к некоторому числу <math>L</math>, которое также принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Преобразуем <math>S_n</math>: <math>S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Обозначим <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Q}</math> и <math>1 - r \in \mathbb{Q}</math> (и не равно <math>0</math>), то <math>L \in \mathbb{Q}</math>. Это кандидат на предел. Теперь докажем, что <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math> в смысле сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>. Это эквивалентно доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>. Вычислим: <math>S_n - L = -\frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Нам нужно показать, что последовательность <math>x_n = C \cdot r^n</math> сходится к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, где <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — некоторое фиксированное рациональное число. Это сводится к доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, когда <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>|r| < 1</math>. '''Доказательство <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>:''' Нужно показать, что для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное число <math>N</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r^n - 0| < \varepsilon</math>, то есть <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Пусть <math>r = \frac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> — целые числа, <math>q \ne 0</math>, и <math>\left|\frac{p}{q}\right| < 1</math>, значит <math>|p| < |q|</math>. (Если <math>r = 0</math>, то предел очевидно равен <math>0</math>). Мы хотим показать, что <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n</math> становится меньше любого заданного рационального <math>\varepsilon > 0</math> при достаточно большом <math>n</math>. Поскольку <math>\frac{|q|}{|p|} > 1</math>, положим <math>\frac{|q|}{|p|} = 1 + \delta</math>, где <math>\delta = \frac{|q| - |p|}{|p|}</math> — рациональное число и <math>\delta > 0</math>. Неравенство <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n < \varepsilon</math> эквивалентно <math>\left(\frac{1}{1 + \delta}\right)^n < \varepsilon</math>, или <math>(1 + \delta)^n > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Используем неравенство Бернулли: <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math>. Нам достаточно найти такое <math>N</math>, чтобы для <math>n > N</math> выполнялось <math>1 + n\delta > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Это равносильно: <math>n\delta > \frac{1}{\varepsilon} - 1</math>, или: <math>n > \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{\delta}</math>. Поскольку <math>\frac{1}{\varepsilon}</math> и <math>\delta</math> рациональны, то правая часть — некоторое рациональное число <math>R</math>. По утверждению Архимеда-Евдокса для рациональных чисел, всегда найдется натуральное число <math>N > R</math>. Следовательно, для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Это доказывает, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. '''Завершение доказательства суммы:''' Поскольку <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) и <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — рациональная константа, то <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) по свойству пределов в <math>\mathbb{Q}</math> доказанному выше. Значит: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>, что означает: <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math>. Мы показали, что последовательность частичных сумм <math>{S_n}</math>, состоящая из рациональных чисел, сходится к числу <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>, которое также является рациональным. '''Вывод:''' Формула суммы бесконечной сходящейся геометрической прогрессии <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> доказана с использованием только операций и концепций в рамках множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, при условии, что <math>a</math> и <math>r</math> рациональны и <math>|r| < 1</math>. Ключевым моментом является доказательство сходимости <math>r^n</math> к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math> через <math>\varepsilon</math>-определение, не требующее полноты действительных чисел. == 7. Построение действительных чисел с использованием фундаментальных последовательностей == R полное упорядоченно поле * [https://chat.deepseek.com/a/chat/s/1b674088-a694-4c22-a07b-ced95699866e| Аксома Евдокса-Архимеда.] * Построение действительных чисел через фундаментальные последовательности. * Избежание использования несократимых дробей. <b>1. Формальное определение аксиомы Архимеда-Евдокса</b> (она же принцип Архимеда) Аксиома Архимеда утверждает, что для любых двух положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> n \cdot a > b. </math> Интуитивный смысл аксиомы Архимеда заключается в том, что сколь угодно большое число можно превзойти, если достаточно много раз сложить (или умножить) достаточно маленькое число. Другими словами, не существует бесконечно больших и бесконечно малых чисел в обычных вещественных числах <math>\mathbb{R}</math>. Если у нас есть любое положительное число <math>a</math>, то, складывая его с самим собой достаточно много раз, мы в итоге получим число больше любого заранее выбранного <math>b</math>. Особенно наглядно это видно в частном случае <math>a = 1</math>: для любого положительного числа <math>b</math> можно найти натуральное <math>n</math>, такое что <math>n > b</math>. Это означает, что множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не имеет верхней грани в <math>\mathbb{R}</math>, то есть можно сколь угодно увеличивать натуральные числа и всегда получать ещё большее. Интуитивно это говорит о том, что в вещественных числах нет бесконечно больших элементов (они не выходят за пределы конечных значений) и нет бесконечно малых положительных чисел (любое положительное число можно "накопить" до сколь угодно большого значения). <b>2. Формальное определение фундаментальной последовательности</b> <b><u>Определение:</u></b> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность рациональных чисел <math>{x_n}</math>, у которой члены с течением времени становятся всё ближе друг к другу. Формально это означает, что для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такой номер <math>N</math> (натуральное число), что для всех индексов <math>m, n \geq N</math> разница между членами последовательности <math>|x_m - x_n|</math> становится меньше <math>\varepsilon</math>: <math> |x_m - x_n| < \varepsilon. </math> Простыми словами, в фундаментальной последовательности расстояние между её членами (например, между <math>x_m</math> и <math>x_n</math>) с ростом индексов становится сколь угодно малым. Это свойство «сближения членов одной последовательности друг с другом» отличает фундаментальные последовательности от произвольных. <b>Интуитивное объяснение</b> Представьте, что вы измеряете какое-то число с всё большей точностью. Например, последовательность приближений к числу <math>\pi</math>: <math>3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots</math> Здесь каждый следующий член уточняет предыдущий, и разница между членами (например, между <math>3.1415</math> и <math>3.14159</math>) становится всё меньше по мере роста индекса. Это пример фундаментальной последовательности: члены внутри неё сближаются друг с другом. <b>Важное замечание</b> Фундаментальная последовательность не обязательно имеет предел внутри того множества, где она задана. Например, в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> можно построить последовательность, приближающую <math>\sqrt{2}</math>: <math>1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots</math> Эта последовательность фундаментальна, так как её члены сближаются друг с другом, но её предел <math>\sqrt{2}</math> не является рациональным числом и не принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Это показывает, что множество рациональных чисел «неполно» — в нём есть фундаментальные последовательности, пределы которых выходят за его пределы. <b>3. Формальное определение действительных чисел через элеманты фактор-множества</b> Действительные числа можно построить как элементы фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Давайте разберём этот процесс шаг за шагом. <b>Шаг 1: Определение множества <math>S</math></b> Пусть <math>S</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждый элемент <math>x \in S</math> — это функция <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math> (то есть последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n \in \mathbb{Q}</math>), которая удовлетворяет условию фундаментальности: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon. </math> Это означает, что внутри каждой такой последовательности её члены сближаются друг с другом. <b>Корректность построения множества <math>S</math> в ZFC</b> Можно ли вообще построить такое множество <math>S</math>? Да, это возможно в теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Рассмотрим подробнее: <b>1. Множество всех функций <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>.</b> Фундаментальные последовательности — это подмножество множества всех возможных функций из натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math>. Как было доказано в главе про функции, такое множество существует в ZFC. Такое множество функций обозначается как <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. <b>2. Выделение подмножества фундаментальных последовательностей.</b> Из множества <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math> мы берём только те последовательности, которые удовлетворяют условию фундаментальности. Это подмножество существует по аксиоме выделения (Axiom of Separation), так как условие <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math> задаёт чёткое свойство, по которому можно отфильтровать нужные последовательности. Таким образом, множество <math>S</math> корректно определено в ZFC как подмножество <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> следующим образом: <math>{x_n} \sim {y_n}</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Это означает, что две последовательности эквивалентны, если разность между их членами (<math>|x_n - y_n|</math>) становится сколь угодно малой при достаточно больших <math>n</math>. Здесь речь идёт о близости между последовательностями, а не внутри одной последовательности, как в определении фундаментальности. <b>Доказательство, что <math>\sim</math> — отношение эквивалентности</b> Чтобы <math>\sim</math> было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. Проверим каждое из них: <b>1. Рефлексивность: <math>{x_n} \sim {x_n}</math>.</b> Для любой последовательности <math>{x_n}</math> рассмотрим разность <math>|x_n - x_n| = 0</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> и любого <math>n</math> выполняется <math>|x_n - x_n| = 0 < \varepsilon</math>, так что можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math> (например, <math>N = 1</math>), и для всех <math>n > N</math> условие выполняется. Следовательно, <math>{x_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>2. Симметричность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Предположим, что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Так как <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n|</math> (по свойству модуля), то для того же <math>N</math> и всех <math>n > N</math> имеем <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Следовательно, <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>3. Транзитивность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>, то <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Докажем это. Пусть <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>. Это означает: * Для любого <math>\varepsilon_1 > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon_1</math>, * Для любого <math>\varepsilon_2 > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon_2</math>. Нужно показать, что <math>{x_n} \sim {z_n}</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math>. Используем неравенство треугольника: <math>|x_n - z_n| = |x_n - y_n + y_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n|</math>. Возьмём произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Пусть <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math> и <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Тогда: * По первому условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math>, * По второму условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_2</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Выберем <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдено такое <math>N</math>, что <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Следовательно, <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Свойство доказано. Таким образом, <math>\sim</math> удовлетворяет всем трём свойствам и действительно является отношением эквивалентности. Каждый <math>[ {x_n} ]</math> — это множество всех последовательностей, эквивалентных <math>{x_n}</math>, то есть тех, которые «приближаются к тому же значению». Множество действительных чисел определяется как: <math> \mathbb{R} = S / \sim. </math> <b>Зачечание: </b> Вложение рациональных чисел: Каждое рациональное число <math>q</math> отождествляется с элементом фактор-множества постоянной последовательности <math>[(q,q,q,\dots)]</math>. Нам дана последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n = q</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, и <math>q</math> — фиксированное рациональное число. Это постоянная последовательность: <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math>. Нужно показать, что она удовлетворяет определению фундаментальности. <u>Доказательство</u> Рассмотрим произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Нам нужно найти такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, чтобы для любых <math>n, m > N</math> выполнялось <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. Так как <math>x_n = q</math> для всех <math>n</math>, то для любых <math>n, m \in \mathbb{N}</math>: <math>|x_n - x_m| = |q - q| = 0</math>. Поскольку <math>0 < \varepsilon</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>, то условие <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math> выполняется для всех <math>n, m</math> независимо от их значений. Следовательно, можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math>, например <math>N = 1</math>, и для всех <math>n, m > N</math> будет: <math>|x_n - x_m| = 0 < \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math> (например, <math>N = 1</math>), такое что для всех <math>n, m > N</math> выполняется <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. <u>Вывод</u> Последовательность <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math> удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Значит, она действительно является фундаментальной. <b>Зачечание: разница между близостью внутри и между последовательностями</b> * <b>Близость внутри последовательности</b>: в определении фундаментальности (<math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>) речь идёт о сближении членов одной последовательности <math>{x_n}</math> друг с другом. * <b>Близость между последовательностями:</b> в определении эквивалентности (<math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0</math>) мы сравниваем две разные последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math>, проверяя, насколько они близки друг к другу. <u>Определение: </u> Предел последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> равен <math>x</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такое натуральное число <math>N</math>, что при всех <math>n \geq N</math> справедливо неравенство <math>|x_n - x| < \varepsilon</math>. <b>Пример: </b> <u>Замечание:</u> Здесь неявно испольузется утверждение 8, что Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу. Пусть <math>S = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\}, \left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}, \left\{2, 2, 2, \dots\right\} \right\}</math>, а отношение <math>\sim</math> задано как: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Каждый элемент этого множества — это бесконечная числовая последовательность. Задано отношение <math>\sim</math>, которое говорит, что две последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> эквивалентны, если разность их элементов стремится к нулю: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что в одну группу попадают все последовательности, которые «ведут себя одинаково» при <math>n \to \infty</math>, то есть имеют одинаковый предел. Теперь рассмотрим конкретный пример. Возьмём последовательность <math>\left\{1, 1, 1, \dots\right\}</math>. Она имеет предел <math>1</math>. Тогда множество <math>[ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} ]</math> состоит из всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел тоже равен <math>1</math>: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ {y_n} \in S \mid \lim_{n \to \infty} (1 - y_n) = 0 \right\} </math>. В нашем примере таких последовательностей в <math>S</math> больше нет, кроме самой <math>{1, 1, 1, \dots}</math>. Таким образом: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} \right\} </math>. Здесь важно понимать, что отношение <math>\sim</math> разбивает множество <math>S</math> на группы последовательностей с одинаковым пределом. Например: <math>[\left\{1, 1, 1, \dots\right\}]</math> содержит только одну последовательность, так как в <math>S</math> нет других последовательностей с пределом <math>1</math>. <math>[\left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}]</math> — это группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>\sqrt{2}</math>. <math>[\left\{2, 2, 2, \dots\right\}]</math> — группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>2</math>. Таким образом, множество <math>S</math> разбивается на непересекающиеся группы последовательностей, и эти группы образуют разбиение <math>S</math>. <b>3. Фундаментальная последовательность ограничена</b> Утверждение 1: Любая фундаментальная последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничена. <u>Доказательство:</u> По определению фундаментальной последовательности, для <math>\varepsilon = 1</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| < 1. </math> Зафиксируем <math>n = N</math>. Тогда для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x_N| < 1 \implies |x_m| < |x_N| + 1. </math> Таким образом, все элементы последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничены числом: <math> \max{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, |x_N| + 1}. </math> <u>Интуитивный смысл: </u> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность, элементы которой становятся всё ближе друг к другу по мере роста индекса. Формально это означает, что для любого сколь угодно малого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся номер <math>N</math>, начиная с которого все элементы последовательности отличаются друг от друга меньше чем на <math>\varepsilon</math>. Интуитивно это можно представить так: * Если элементы последовательности "сближаются" друг с другом, то они не могут "разбегаться" в бесконечность. * Начиная с некоторого момента, все элементы последовательности оказываются в ограниченной области, так как они не могут отдаляться друг от друга слишком сильно. <u>Почему это важно?</u> 1. Ограниченность фундаментальной последовательности — это важное свойство, которое помогает доказать её сходимость (в полных метрических пространствах, таких как <math>\mathbb{R}</math>). 2. Если последовательность не ограничена, то она не может быть фундаментальной, так как её элементы могут "уходить" в бесконечность, нарушая условие сближения. <u>Вывод:</u> Фундаментальная последовательность не может "разбегаться" в бесконечность, так как её элементы сближаются друг с другом. Это гарантирует, что все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, остаются в ограниченной области <b>Пример:</b> Рассмотрим последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math>, где <math>x_n = \frac{1}{n}</math>. Эта последовательность фундаментальна, так как для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно выбрать <math>N</math> так, что для всех <math>m, n \geq N</math> выполняется <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>. Пусть дано произвольное число <math>\varepsilon > 0</math>. Рассмотрим разность членов последовательности для произвольных индексов <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{|n - m|}{mn} </math> Оценим сверху эту разность: Заметим, что при <math>m, n \geq N</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{\max(m,n)}{mn} </math> Пусть без ограничения общности <math>n \geq m</math>, тогда <math>\max(m,n) = n</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N} </math> <u>Выбор <math>N</math>:</u> Согласно аксиоме Архимеда-Евдокса, для любого положительного действительного числа <math>\frac{1}{\varepsilon} > 0</math> существует натуральное число <math>N</math>, такое что <math>N > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Выберем <math>N</math> как наименьшее натуральное число, большее <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. <u>Формально:</u> <math>N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1</math>, где <math>\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math> — целая часть числа <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. Тогда для всех <math>n \geq N</math>: <math>n \geq N > \frac{1}{\varepsilon}</math>, откуда: <math>\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. <u>Сходимость последовательности</u> <u>Проверка условия</u> Для всех <math>n \geq N</math>: <math>|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon</math>, что удовлетворяет определению предела. <u>Вывод</u> Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> мы нашли <math>N</math>, такое что при <math>n \geq N</math> выполняется <math>|x_n - 0| < \varepsilon</math>. Значит, последовательность <math>{x_n} = \left\{\frac{1}{n}\right\}</math> сходится к <math>0</math>. <u>Дополнительное замечание:</u> Последовательность ограничена, так как все её члены <math>x_n = \frac{1}{n}</math> лежат в интервале <math>[0, 1]</math> (при <math>n \geq 1</math>: <math>0 < \frac{1}{n} \leq 1</math>). ||ignore|| Действительные числа введены как элемент фактор-множества фундаментальных последовательностей. Аксиома Архимеда-Евдокса утверждает, что для любых двух положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число n {\displaystyle n}, такое что: n ⋅ a > b . {\displaystyle n\cdot a>b.} Неравенство треугольника и аксиома Евклидка-Евдокса входят в список и не трубуют доказательства. Порядок доказательства теорем: Были определены арифметические операции между элементами фактор-множества, сравнение с рациональными числами и между элементами фактор-множества и доказана их корректность. <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — класс эквивалентности фундаментальных последовательностей <math>{x_n}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, таких что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>. Операции: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, и т.д. Порядок: <math>[x] < [y]</math>, если <math>y_n - x_n > \delta</math> для некоторого <math>\delta > 0</math> и всех больших <math>n</math>. Принцип вложенных интервалов. Сходимость монотонных последовательностей Сходимость сужающихся интервалов Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> ||END OF ignore|| === Определение порядка === <b>Определение порядка <math>[x] < a_n</math>:</b> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, где элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей <math>{x_m}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, эквивалентных друг другу по отношению <math>{x_m} \sim {y_m}</math>, если <math>x_m - y_m \to 0</math> при <math>m \to \infty</math>. Пусть <math>a_n \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Элемент фактор-множества <math>[x] < a_n</math>, если для любой фундаментальной последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что существует <math>M \in \mathbb{N}</math>, и для всех <math>m > M</math> выполняется: <math>a_n - x_m > \delta</math>. <u>Уточнения</u> * <math>{x_m}</math> — любая фундаментальная последовательность из <math>[x]</math>, то есть любая фундаментальная последовательность из <math>\mathbb{Q}</math>, принадлежащая этому элементу фактор-множества. * <math>\delta > 0</math> — рациональное число, которое может различаться для разных <math>{x_m}</math>, но всегда положительно. <u>Интуитивное пояснение</u> Представьте <math>[x]</math> как "облако" последовательностей, которые сжимаются к одной "точке" в <math>\mathbb{R}</math> — это как семья родственников, чуть разных на вид, но в сущности одинаковых. А <math>a_n</math> — это фиксированная отметка на числовой прямой, например, столбик с номером "5". Мы говорим, что <math>[x] < a_n</math>, если все представители этого облака (<math>{x_m}</math>) остаются слева от <math>a_n</math> и не подходят к нему ближе, чем на фиксированное расстояние <math>\delta</math>. Если <math>a_n = 1</math>, а <math>[x]</math> — это последовательности вроде <math>{0.9, 0.9, 0.9, \ldots}</math> или <math>{0.8, 0.85, 0.9, \ldots}</math> (эквивалентные, так как их разность стремится к 0), то <math>a_n - x_m</math> всегда положительно и не падает ниже какого-то уровня (например, 0.1). Значит, <math>[x]</math> "живёт" левее <math>a_n</math>. Если же <math>{x_m}</math> подбирается к <math>a_n</math> (например, <math>{0.99, 0.999, 0.9999, \ldots}</math>), то <math>a_n - x_m</math> становится сколь угодно малым, и условие не выполняется — тогда <math>[x] \not< a_n</math>. Это как проверка: если все "посланники" <math>[x]</math> держат дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>[x]</math> действительно "меньше". ==== Утверждение о независимости определения от выбора последовательности ==== <u>Утверждение:</u> определение <math>[x] < a_n</math> не зависит от выбора конкретной фундаментальной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. Это означает: <u>Прямая часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> выполняется для одной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>, то оно выполняется для любой другой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для какой-то последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то оно не выполняется и для любой другой последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. <u>Пояснение к переформулировке</u> <u>Прямая часть:</u> Охватывает случай, когда свойство "быть меньше <math>a_n</math>" присутствует у одной последовательности и распространяется на все остальные в <math>[x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Охватывает случай, когда свойство отсутствует у одной последовательности, и это отсутствие распространяется на все остальные, исключая противоречие внутри <math>[x]</math>. <u>Почему две части:</u> Вместе они гарантируют, что определение <math>[x] < a_n</math> либо истинно для всех последовательностей в <math>[x]</math>, либо ложно для всех, что делает порядок консистентным и независимым от выбора. <u>Доказательство</u> <u>Прямая часть: Если условие выполняется для одной последовательности, то для всех</u> <u>Дано:</u> Пусть для последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> найдётся <math>\delta_y > 0</math> и <math>M_y \in \mathbb{N}</math>, такие что <math>a_n - y_m > \delta_y</math> для всех <math>m > M_y</math>. <u>Эквивалентность последовательностей:</u> Так как <math>\left\{x_m\right\}, \left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, и <math>x_m - y_m \to 0</math>. Значит, для любого рационального <math>\eta > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \eta</math>. Выберем <math>\eta = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>Оценка <math>a_n - y_m</math>:</u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из доказанного выше, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>Выбор <math>\delta_y</math> и <math>M_y</math>:</u> Положим <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>. Для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Это удовлетворяет определению <math>[x] < a_n</math> для <math>\left\{y_m\right\}</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{x_m\right\}</math> держит дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>\left\{y_m\right\}</math>, будучи почти такой же (разница <math>x_m - y_m</math> исчезающе мала), тоже не может подойти слишком близко. Это как если один близнец стоит в метре от стены — второй, держась рядом, тоже не врежется в неё. <u>Вывод:</u> Условие <math>[x] < a_n</math>, выполненное для <math>\left\{x_m\right\}</math>, распространяется на любую <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть: Если условие не выполняется для одной последовательности, то не выполняется для всех</u> <u>Дано: </u> Пусть для некоторой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется, то есть не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> тоже не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - x_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>1. Эквивалентность последовательностей.</u> Так как <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, то <math>x_m - y_m \to 0</math>. Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \epsilon</math>. <u>2. Предположим от противного, что для <math>\left\{x_m\right\}</math> условие выполняется.</u> Допустим от противного, что существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Возьмём <math>\epsilon = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>3. Оценка <math>a_n - y_m</math></u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из шага 2, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>4. Противоречие:</u> Мы получили, что существует <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>, такие что для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Но это противоречит исходному условию, что для <math>\left\{y_m\right\}</math> не существует никакого <math>\delta > 0</math>, чтобы <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех больших <math>m</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{y_m\right\}</math> подбирается к <math>a_n</math> или пересекает его, то <math>\left\{x_m\right\}</math>, идущая рядом (разница <math>x_m - y_m \to 0</math>), не может стабильно держаться на расстоянии от <math>a_n</math>. Это как если один близнец подошёл вплотную к забору — второй, держась за руку, тоже не останется далеко. <u>Вывод:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для <math>\left\{y_m\right\}</math>, оно не выполняется и для любой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. === Определения арифметических операций и порядка === <nowiki> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это класс эквивалентности последовательностей <math>{x_n}</math>, где <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Все <math>x_n, y_n \in \mathbb{Q}</math>. 1. Арифметические операции Сложение: Для <math>[x], [y] \in \mathbb{R}</math> с представителями <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> определяем: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, где <math>{x_n + y_n}</math> — последовательность, полученная почленным сложением. Вычитание: <math>[x] - [y] = [{x_n - y_n}]</math>, где <math>{x_n - y_n}</math> — почленное вычитание. Умножение: <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, где <math>{x_n \cdot y_n}</math> — почленное умножение. Деление: <math>[x] / [y] = [{x_n / y_n}]</math> для <math>[y] \neq [0]</math>, где <math>[0] = [{0, 0, 0, \ldots}]</math>, при условии, что существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>y_n \neq 0</math>, и <math>{x_n / y_n}</math> — почленное деление. 2. Операции сравнения (порядок) Меньше: <math>[x] < [y]</math>, если для любых представителей <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > M</math>: <math>y_n - x_n > \delta</math>. Равенство: <math>[x] = [y]</math>, если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то есть <math>x_n - y_n \to 0</math>. Больше: <math>[x] > [y]</math>, если <math>[y] < [x]</math>, то есть существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что <math>x_n - y_n > \delta</math> для всех <math>n > M</math>. Доказательства корректности и независимости от выбора представителя Для каждой операции и сравнения нужно показать: Корректность: Результат — фундаментальная последовательность, и класс эквивалентности определён. Независимость: Результат не зависит от выбора конкретных <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> в <math>[x]</math> и <math>[y]</math>. 1. Сложение: <math>[x] + [y]</math> Корректность: <math>{x_n + y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |x_n - x_m + y_n - y_m| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, так что для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon/2</math> и <math>|y_n - y_m| < \epsilon/2</math> при <math>n, m > N</math>. Тогда <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| < \epsilon</math>. Независимость: Пусть <math>{x_n'} \sim {x_n}</math> и <math>{y_n'} \sim {y_n}</math>. Тогда: <math>(x_n + y_n) - (x_n' + y_n') = (x_n - x_n') + (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math> и <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n + y_n) - (x_n' + y_n')| \leq |x_n - x_n'| + |y_n - y_n'| \to 0</math>. Следовательно, <math>{x_n + y_n} \sim {x_n' + y_n'}</math>. Интуитивно: Сложение — это как складывать "средние значения" последовательностей, и мелкие отклонения внутри классов не влияют на итог. 2. Вычитание: <math>[x] - [y]</math> Корректность: <math>{x_n - y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n - y_n) - (x_m - y_m)| = |x_n - x_m - (y_n - y_m)| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. Аналогично сложению, <math>\epsilon</math>-оценка держится. Независимость: <math>(x_n - y_n) - (x_n' - y_n') = (x_n - x_n') - (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math>, <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n - y_n) - (x_n' - y_n')| \to 0</math>. <math>{x_n - y_n} \sim {x_n' - y_n'}</math>. Интуитивно: Разность сохраняет "расстояние" между точками, и мелкие вариации внутри классов его не меняют. 3. Умножение: <math>[x] \cdot [y]</math> Корректность: <math>{x_n \cdot y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n y_n - x_m y_m| = |x_n y_n - x_n y_m + x_n y_m - x_m y_m| = |x_n (y_n - y_m) + y_m (x_n - x_m)|</math> <math>\leq |x_n| |y_n - y_m| + |y_m| |x_n - x_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, значит ограничены: <math>|x_n| < K_x</math>, <math>|y_n| < K_y</math> для больших <math>n</math>. Для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon / (2 K_y)</math>, <math>|y_n - y_m| < \epsilon / (2 K_x)</math>, и тогда: <math>|x_n y_n - x_m y_m| < K_x \cdot \epsilon / (2 K_x) + K_y \cdot \epsilon / (2 K_y) = \epsilon</math>. Независимость: <math>x_n y_n - x_n' y_n' = x_n y_n - x_n y_n' + x_n y_n' - x_n' y_n' = x_n (y_n - y_n') + y_n' (x_n - x_n')</math>. <math>|x_n (y_n - y_n')| \leq K_x |y_n - y_n'| \to 0</math>, <math>|y_n' (x_n - x_n')| \leq K_y |x_n - x_n'| \to 0</math>. <math>|x_n y_n - x_n' y_n'| \to 0</math>, значит <math>{x_n y_n} \sim {x_n' y_n'}</math>. Интуитивно: Умножение "масштабирует" последовательности, и небольшие дрожания внутри классов гасятся. 4. Деление: <math>[x] / [y]</math> (при <math>[y] \neq [0]</math>) Корректность: Пусть <math>{y_n} \in [y]</math>, и <math>[y] \neq [0]</math>, то есть <math>y_n</math> не стремится к 0. Существует <math>\delta > 0</math> и <math>N</math>, такие что <math>|y_n| > \delta</math> для <math>n > N</math>. <math>{x_n / y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n / y_n - x_m / y_m| = |(x_n y_m - x_m y_n) / (y_n y_m)|</math>. Числитель: <math>|x_n y_m - x_m y_n| = |x_n y_m - x_n y_n + x_n y_n - x_m y_n| \leq |x_n| |y_m - y_n| + |y_n| |x_n - x_m|</math>. Для <math>n, m > N</math>: <math>|y_n|, |y_m| > \delta</math>, знаменатель <math>|y_n y_m| > \delta^2</math>. Ограниченность и фундаментальность дают сходимость с <math>\epsilon</math>. Независимость: <math>x_n / y_n - x_n' / y_n' = (x_n y_n' - x_n' y_n) / (y_n y_n')</math>. Числитель: <math>|x_n y_n' - x_n' y_n| \leq |x_n| |y_n' - y_n| + |y_n| |x_n - x_n'| \to 0</math>. Знаменатель ограничен снизу, итог <math>\to 0</math>. Интуитивно: Деление работает, если знаменатель не "исчезает", и мелкие изменения не ломают результат. 5. Порядок: <math>[x] < [y]</math> Корректность: Определение уже использует "любые представители", что подразумевает независимость, но проверим. Независимость: Пусть <math>{x_n} \sim {x_n'}</math>, <math>{y_n} \sim {y_n'}</math>. Если <math>[x] < [y]</math>, то <math>y_n - x_n > \delta</math> для больших <math>n</math>. <math>y_n' - x_n' = (y_n' - y_n) + (y_n - x_n) + (x_n - x_n')</math>. <math>|y_n' - y_n| \to 0</math>, <math>|x_n - x_n'| \to 0</math>, и для больших <math>n</math>: <math>y_n' - x_n' > \delta - \epsilon</math> (где <math>\epsilon</math> мала), то есть найдётся <math>\delta' > 0</math>. Обратно, если <math>y_n - x_n \not> \delta</math> (например, <math>\to 0</math>), то <math>y_n' - x_n'</math> тоже не держит дистанцию. Интуитивно: Порядок смотрит на "разрыв" между последовательностями, и эквивалентность его сохраняет. Пусть <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — элемент фактор-множества, соответствующий фундаментальной последовательности <math>\{x_n\}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, причем <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>, то есть <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Определим операцию сравнения между рациональным числом <math>q \in \mathbb{Q}</math> и элементом фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Сравнение задается следующим образом: - <math>q < [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q > [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n < q - \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q = [x]</math>, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нам нужно доказать корректность этого определения, то есть показать, что оно не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. ### Доказательство корректности Предположим, что <math>[x] = [y]</math>, то есть <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, и <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Пусть <math>q \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Рассмотрим три случая сравнения. #### 1. Случай <math>q < [x]</math> Предположим, что <math>q < [x]</math>. Тогда по определению существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n > q + \delta</math>. Нужно показать, что <math>q < [y]</math>, то есть существует <math>\delta' > 0</math> и <math>N_3 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_3</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Тогда существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math>: <math>|x_n - y_n| < \frac{\delta}{2}</math>. Поскольку <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N_2</math>, рассмотрим <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) > x_n - |x_n - y_n| > q + \delta - \frac{\delta}{2} = q + \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Таким образом, для всех <math>n > N</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>, что означает <math>q < [y]</math>. #### 2. Случай <math>q > [x]</math> Предположим, что <math>q > [x]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n < q - \delta</math>. Нужно показать, что <math>q > [y]</math>. Аналогично, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Для всех <math>n > N_1</math> имеем <math>|x_n - y_n| < \delta/2</math>. Для <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) < x_n + |x_n - y_n| < q - \delta + \frac{\delta}{2} = q - \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Тогда <math>y_n < q - \delta'</math> для всех <math>n > N</math>, что означает <math>q > [y]</math>. #### 3. Случай <math>q = [x]</math> Предположим, что <math>q = [x]</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нужно показать, что <math>q = [y]</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, для любого <math>\varepsilon' > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что <math>|x_n - y_n| < \varepsilon'</math> для всех <math>n > N_1</math>. Возьмем <math>\varepsilon' = \varepsilon/2</math> и <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|y_n - q| = |(y_n - x_n) + (x_n - q)| \leq |y_n - x_n| + |x_n - q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>. Следовательно, <math>q = [y]</math>. ### Вывод Мы показали, что определение сравнения <math>q < [x]</math>, <math>q > [x]</math> и <math>q = [x]</math> не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. Таким образом, операция сравнения между рациональным числом и элементом фактор-множества корректна. </nowiki> === 5. Принцип вложенных интервалов. === <b>Теорема о вложенных отрезках</b> <u>Утверждение:</u> (или принцип вложенных интервалов) Пусть дана последовательность замкнутых интервалов <math>I_n = [a_n, b_n]</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные числа), n=1,2,3,…n=1,2,3,…, такая что: * Каждый интервал вложен в предыдущий: <math>I_{n+1} \subseteq I_n</math>, то есть <math>a_n \leq a_{n+1}</math> и <math>b_{n+1} \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. * Длина интервалов стремится к нулю: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. Тогда существует ровно один элемент <math>[x]</math> в <math>\mathbb{R}</math> (как элемент в фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел), такой что: <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. [[File:Теорема о вложенных отрезках.png|420px|Теоремао вложенных отрезках]] <u>Доказательство:</u> <u>Шаг 1: Свойства последовательностей <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Даны последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math>: <math>a_n \leq a_{n+1}</math> — <math>\left\{a_n\right\}</math> монотонно неубывающая. <math>b_{n+1} \leq b_n</math> — <math>\left\{b_n\right\}</math> монотонно невозрастающая. Из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math> для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math>: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> идёт вправо или стоит, <math>b_n</math> — влево или стоит, и они сближаются. <u>Шаг 2: Фундаментальность последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{a_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>, значит <math>0 \leq a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|a_n - a_m| = a_n - a_m \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. Значит, <math>|a_m - a_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 3: Фундаментальность последовательности <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{b_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math> (из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math>), значит <math>0 \leq b_n - b_m \leq b_n - a_m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m</math> (так как <math>b_m \leq b_n</math> из монотонности), и <math>b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|b_n - b_m| = b_m - b_n \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>b_n</math> и <math>b_m</math> сближаются, потому что их "ограничивает" сжимающееся расстояние до <math>a_n</math> и <math>a_m</math>. Значит, <math>|b_m - b_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 4: Построение <math>[x]</math></u> В <math>\mathbb{R}</math>, как фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, каждый элемент — это множество эквивалентных фундаментальных последовательностей, где <math>{a_n} \sim {c_n}</math>, если <math>a_n - c_n \to 0</math>. Поскольку <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна, она определяет элемент фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Также <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна, и пусть она определяет элемент <math>[y] \in \mathbb{R}</math>. Проверим, что <math>[x] = [y]</math>: * Для всех <math>n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n < \epsilon</math> при <math>n > N</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math>. * По определению фактор-множества, если <math>b_n - a_n \to 0</math>, то <math>{a_n} \sim {b_n}</math>, и <math>[x] = [y]</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> и <math>b_n</math> сжимаются друг к другу и представляют один элемент в <math>\mathbb{R}</math>. <u>Шаг 5: Проверка, что <math>[x]</math> лежит во всех интервалах</u> Мы хотим убедиться, что <math>[x]</math> всегда находится внутри каждого <math>[a_n, b_n]</math>, то есть <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>A. Докажем, что <math>a_n \leq [x]</math></u> Предположим от противного, что <math>[x] < a_n</math>. Это значит, что для любой последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>a_n - x_m > \delta</math>. Так как <math>a_m \geq a_n</math> для <math>m \geq n</math> (из монотонности <math>{a_n}</math>), то: <math>a_m - x_m \geq a_n - x_m > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>a_m</math> и <math>x_m</math> всегда есть зазор, который не исчезает. Но <math>{a_n}</math> сама лежит в <math>[x]</math> (так как <math>[x]</math> — это элемент фактор-множества, заданный <math>{a_n}</math>), и <math>a_m - a_n \to 0</math>, потому что <math>{a_n}</math> фундаментальна. Это противоречие: если <math>a_m - a_n</math> становится сколь угодно малым, а <math>a_m - x_m > \delta</math>, то <math>x_m</math> не может быть представителем <math>{a_n}</math>. Значит, <math>[x] < a_n</math> невозможно, и верно, что <math>a_n \leq [x]</math>. <u>B. Докажем, что <math>[x] \leq b_n</math></u> Предположим от противного, что пусть <math>[x] > b_n</math>. Тогда для любой <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>x_m - b_n > \delta</math>. Из вложенности <math>a_m \leq b_n</math> для <math>m \geq n</math>, следовательно: <math>x_m - a_m \geq x_m - b_n > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>x_m</math> и <math>a_m</math> остаётся постоянный зазор. Но <math>{a_n} \in [x]</math>, и <math>x_m - a_m \to 0</math> (так как <math>{a_n}</math> определяет <math>[x]</math>), а <math>b_n - a_n \to 0</math> по условию теоремы. Это противоречие: <math>x_m - a_m</math> не может быть больше фиксированного <math>\delta</math>, если оно стремится к нулю. Значит, <math>[x] > b_n</math> невозможно, и верно, что <math>[x] \leq b_n</math>. <u>Вывод:</u> Мы показали, что <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>, то есть <math>[x]</math> лежит в каждом интервале <math>[a_n, b_n]</math>. Следовательно: <math>[x] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>. <b>Шаг 6: Уникальность <math>[x]</math></b> Проверим, что <math>[x]</math> — единственный элемент, лежащий во всех интервалах <math>I_n = [a_n, b_n]</math>. Предположим от противного: Существует <math>[z] \neq [x]</math>, такой что <math>[z] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>, то есть <math>a_n \leq [z] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>Интуитивно:</u> Интервалы сжимаются, их ширина <math>b_n - a_n \to 0</math>, и два разных элемента фактор-множества не должны уместиться в таком узком пространстве. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math>, возможны два случая: <math>[z] > [x]</math> или <math>[z] < [x]</math>. <u>A. Случай <math>[z] > [x]</math></u> Рассмотрим первый случай: пусть <math>[z] > [x]</math>. По определению порядка: для любых представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>z_m - x_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>, где <math>\delta</math> — нижняя граница разности <math>z_m - x_m</math> для больших <math>m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> становится уже, чем зазор между <math>[x]</math> и <math>[z]</math>. Но из условия <math>[z] \in [a_n, b_n]</math> и <math>[x] \in [a_n, b_n]</math> следует: <math>a_n \leq [x] < [z] \leq b_n</math>. Возьмём представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>. Для больших <math>m</math>: <math>a_n \leq x_m < z_m \leq b_n</math>, Тогда <math>z_m - x_m \leq b_n - x_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>x_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>z_m - x_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>z_m - x_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>z_m - x_m</math> не может быть одновременно больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math>. Значит, случай <math>[z] > [x]</math> невозможен. <u>B. Случай <math>[z] < [x]</math></u> Рассмотрим второй случай: пусть <math>[z] < [x]</math>. По определению: существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math <math>x_m - z_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>. Существует <math>N</math>, такое что для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> уже, чем расстояние между <math>[z]</math> и <math>[x]</math>. Но <math>a_n \leq [z] < [x] \leq b_n</math>. Для представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>: <math>a_n \leq z_m < x_m \leq b_n</math>, Тогда <math>x_m - z_m \leq b_n - z_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>z_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>x_m - z_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>x_m - z_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>x_m - z_m</math> не может быть больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math> одновременно. Значит, случай <math>[z] < [x]</math> невозможен. <u>Вывод:</u> Мы предположили от противного, что <math>[z] \neq [x]</math>, и рассмотрели два случая: * <math>[z] > [x]</math> ведёт к противоречию, * <math>[z] < [x]</math> тоже ведёт к противоречию. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math> невозможно, остаётся только <math>[z] = [x]</math>. <u>Интуитивно:</u> Сжимающиеся интервалы "прижимают" все элементы фактор-множества к одной точке — <math>[x]</math>. <u>Общий вывод:</u> Существует ровно один <math>[x] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. === <b>Определение sup:</b> === <nowiki> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел, ограниченное сверху (то есть существует элемент <math>[M] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \leq [M]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math> называется ''верхней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[s] = \sup S</math>, если выполняются два условия: <math>[s]</math> — верхняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \leq [s]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[s]</math> — наименьшая из всех верхних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая верхняя граница (<math>[x] \leq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[s] \leq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено сверху, то говорят, что <math>\sup S = +\infty</math> (формально это не элемент <math>\mathbb{R}</math>, а условное обозначение). Определение инфимума: Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное снизу (то есть существует элемент <math>[m] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \geq [m]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[i] \in \mathbb{R}</math> называется ''нижней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[i] = \inf S</math>, если выполняются два условия: <math>[i]</math> — нижняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \geq [i]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[i]</math> — наибольшая из всех нижних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая нижняя граница (<math>[x] \geq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[i] \geq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено снизу, то говорят, что <math>\inf S = -\infty</math> (также условное обозначение, а не элемент <math>\mathbb{R}</math>). Обоснование существования <math>\sup S</math> и <math>\inf S</math> в нашем <math>\mathbb{R}</math> будет приведено ниже (см. доказательство теоремы о гранях). Пример 1: Ограниченное множество с максимумом и минимумом Пусть <math>S = {[1], [2], [3], [4]}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math> — элемент фактор-множества, представляющий рациональное число <math>n</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество ограничено сверху, например, элементом <math>[5]</math>, так как <math>[x] \leq [5]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (для представителей <math>x_m \leq 5</math> при больших <math>m</math>). Наименьшая верхняя граница — это максимальный элемент множества, то есть <math>[4]</math>, поскольку <math>[x] \leq [4]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] < [4]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>4 - t_m > \delta</math>, но <math>[4]</math> в <math>S</math>). Таким образом, <math>\sup S = [4]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, элементом <math>[0]</math>, так как <math>[x] \geq [0]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (<math>x_m \geq 0</math>). Наибольшая нижняя граница — это минимальный элемент множества, то есть <math>[1]</math>, поскольку <math>[x] \geq [1]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] > [1]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>t_m - 1 > \delta</math>, но <math>[1] \in S</math>). Таким образом, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 2: Ограниченное множество без максимума и минимума Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [0] < [x] < [1], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, представляющих рациональные последовательности между <math>[0]</math> и <math>[1]</math>, не включая границы. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [1]</math> (где <math>[1] = [{1, 1, \ldots}]</math>), и <math>[1]</math> — верхняя граница, так как <math>x_n < 1 - \delta</math> для больших <math>n</math>. Нет меньшего элемента <math>[t] < [1]</math>, который был бы верхней границей: если <math>[t] < [1]</math>, то <math>1 - t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = (t_n + 1)/2</math>, где <math>t_n < x_n < 1</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [1]</math>. (Заметим, что <math>[1] \notin S</math>, так как <math>[x] < [1]</math>, и максимума нет.) Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] > [0]</math> (где <math>[0] = [{0, 0, \ldots}]</math>), и <math>[0]</math> — нижняя граница. Нет большего элемента <math>[t] > [0]</math>, который был бы нижней границей: если <math>[t] > [0]</math>, то <math>t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>0 < x_n < t_n</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] < [t]</math>. Следовательно, <math>\inf S = [0]</math>. (Заметим, что <math>[0] \notin S</math>, так как <math>[x] > [0]</math>, и минимума нет.) Пример 3: Множество, ограниченное снизу, но не сверху Пусть <math>S = { [n] \in \mathbb{R} \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 1 }</math> = <math>{[1], [2], [3], \ldots}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество не ограничено сверху: для любого <math>[M] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{M_n}</math>) существует <math>n > M_n</math> для больших <math>n</math> (по свойству рациональных чисел), и <math>[n] > [M]</math>. Следовательно, <math>\sup S = +\infty</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, <math>[0]</math>, так как <math>[n] \geq [0]</math>. Наибольшая нижняя граница — <math>[1]</math>, так как <math>[n] \geq [1]</math> для всех <math>[n] \in S</math>, и <math>[1] \in S</math>, а любое <math>[t] > [1]</math> не является нижней границей. Значит, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 4: Множество, ограниченное сверху, но не снизу Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [x] < [0], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, меньших <math>[0]</math>, с рациональными последовательностями. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [0]</math>, и <math>[0]</math> — верхняя граница. Нет меньшего <math>[t] < [0]</math>, которое было бы верхней границей: если <math>[t] < [0]</math>, то <math>-t_n > \delta</math>, и можно взять <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>t_n < x_n < 0</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [0]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество не ограничено снизу: для любого <math>[m] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{m_n}</math>) можно взять рациональное <math>x_n = m_n - 1</math>, где <math>x_n < m_n</math>, и <math>[x] < [m]</math>, при этом <math>[x] < [0]</math>, так что <math>[x] \in S</math>. Следовательно, <math>\inf S = -\infty</math>. Замечание Если множество <math>S</math> содержит свой максимум (<math>\max S</math>), то <math>\sup S = \max S</math>. Если множество <math>S</math> содержит свой минимум (<math>\min S</math>), то <math>\inf S = \min S</math>. Для неограниченных множеств <math>\sup S</math> или <math>\inf S</math> принимают значения <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, которые не являются элементами <math>\mathbb{R}</math>, а используются как условные обозначения. </nowiki> === 5.91 Сходимость монотонных последовательностей === <b>Теорема. </b> Всякая монотонная ограниченная последовательность в <math>\mathbb{R}</math> имеет предел. <nowiki> Пусть <math>{[a_n]}</math> — последовательность в <math>\mathbb{R}</math>, где: <math>{[a_n]}</math> неубывающая, т.е. <math>[a_n] \leq [a_{n+1}]</math> для всех <math>n</math>, <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, т.е. существует <math>[b] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \leq [b]</math> для всех <math>n</math>. Тогда существует <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \to [s]</math>, т.е. для любого <math>\varepsilon > 0</math> (где <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, для всех <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] < \varepsilon</math>. Доказательство Шаг 1: Построение вложенных интервалов Так как <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, выберем верхнюю грань <math>[b_0] \in \mathbb{R}</math> (существование верхней грани пока предполагаем, но позже обоснуем). Начнём с интервала <math>[l_1, u_1]</math>: <math>l_1 = a_1</math> (рациональное число из последовательности, представляющей <math>[a_1]</math>), <math>u_1 = b_{0,N}</math> — рациональное число из последовательности <math>{b_{0,n}}</math> для <math>[b_0]</math>, такое что <math>[a_1] < u_1</math> (возможно благодаря аксиоме Архимеда и порядку). Теперь индуктивно строим вложенные интервалы <math>[l_n, u_n]</math>: Определим <math>m_n = \frac{l_n + u_n}{2}</math> (рациональное число, так как <math>l_n, u_n \in \mathbb{Q}</math>). Если <math>[a_k] \leq m_n</math> для всех <math>k</math> (т.е. <math>m_n</math> — верхняя грань на данном шаге), то: <math>u_{n+1} = m_n</math>, <math>l_{n+1} = l_n</math>. Если существует <math>k</math>, такое что <math>[a_k] > m_n</math>, то: <math>l_{n+1} = m_n</math>, <math>u_{n+1} = u_n</math>. Свойства: <math>l_n \leq l_{n+1} \leq u_{n+1} \leq u_n</math>, интервалы вложены. <math>u_{n+1} - l_{n+1} = \frac{u_n - l_n}{2}</math>, длина уменьшается вдвое. Шаг 2: Длина интервалов стремится к нулю Обозначим <math>d_1 = u_1 - l_1 > 0</math>. Тогда: <math>u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>. По аксиоме Архимеда для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>) существует <math>N</math>, такое что: <math>2^{N-1} \cdot \varepsilon > d_1</math>, или: <math>\frac{d_1}{2^{N-1}} < \varepsilon</math>. Таким образом, <math>u_n - l_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Шаг 3: Последовательности <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> фундаментальны Для <math>m > n</math>: <math>|l_m - l_n| = l_m - l_n \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>l_n</math> неубывает. Поскольку <math>\frac{d_1}{2^{n-1}} \to 0</math>, <math>{l_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>. Аналогично: <math>|u_n - u_m| = u_n - u_m \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>u_n</math> невозрастает. Значит, <math>{u_n}</math> тоже фундаментальна. Поскольку <math>\mathbb{R}</math> — это фактор-множество фундаментальных последовательностей, существуют пределы: <math>{l_n} \to [s]</math>, <math>{u_n} \to [t]</math>. Шаг 4: Единый предел Так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, рассмотрим разность: <math>0 \leq u_n - l_n</math>. В пределе: <math>[t] - [s] = [{u_n - l_n}]</math>, и так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, то <math>[t] - [s] = [0]</math>, т.е. <math>[t] = [s]</math>. Следовательно, <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> сходятся к одному <math>[s]</math>. Шаг 5: <math>{[a_n]} \to [s]</math> <math>l_n \leq a_{n,k} \leq u_n</math> для представителей <math>{a_{n,k}}</math> из <math>[a_n]</math>, так как <math>l_n</math> всегда ниже какого-то <math>[a_k]</math>, а <math>u_n</math> — верхняя граница. Поскольку <math>l_n \to [s]</math> и <math>u_n \to [s]</math>, а <math>u_n - l_n \to 0</math>, то для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, где <math>u_n - l_n < \varepsilon</math>, и для <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] \leq u_n - l_n < \varepsilon</math> (в смысле порядка с рациональными числами). Таким образом, <math>[a_n] \to [s]</math>. </nowiki> === 5.92 Сходимость сужающихся интервалов === <nowiki> Пусть <math>{a_n}</math> — неубывающая последовательность рациональных чисел (<math>a_n \leq a_{n+1}</math>), <math>{b_n}</math> — невозрастающая последовательность рациональных чисел (<math>b_n \geq b_{n+1}</math>), и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>: <math>a_n \leq b_n</math>, <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Тогда последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> определяют один и тот же элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, т.е. <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и сходятся к одному пределу <math>[s]</math>. Доказательство Фундаментальность <math>{a_n}</math>: Так как <math>{a_n}</math> неубывает, для <math>m > n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>. Следовательно, для <math>m, n > N</math>: <math>|a_m - a_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{a_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[s] = [{a_n}]</math>. Фундаментальность <math>{b_n}</math>: Так как <math>{b_n}</math> невозрастает, для <math>m > n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n</math>, потому что <math>a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>, и для <math>m, n > N</math>: <math>|b_m - b_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{b_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[t] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[t] = [{b_n}]</math>. Совпадение пределов <math>[s] = [t]</math>: Рассмотрим разность <math>b_n - a_n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n</math>. Поскольку <math>b_n - a_n \to 0</math>, последовательность <math>{b_n - a_n}</math> фундаментальна и сходится к нулю в <math>\mathbb{Q}</math>, т.е. <math>[{b_n - a_n}] = [0]</math>. По определению операций в <math>\mathbb{R}</math>: <math>[{b_n}] - [{a_n}] = [{b_n - a_n}] = [0]</math>, следовательно: <math>[t] - [s] = [0]</math>, или <math>[t] = [s]</math>. Проверим через порядок: Предположим <math>[s] < [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>t_k - s_k > \delta</math> для всех больших <math>k</math>, где <math>{s_k}</math> и <math>{t_k}</math> — представители <math>[s]</math> и <math>[t]</math>. Но <math>b_n - a_n \to 0</math>, и для достаточно большого <math>n</math>: <math>b_n - a_n < \delta/2</math>, что противоречит <math>t_k - s_k > \delta</math>, так как <math>a_n \to [s]</math>, <math>b_n \to [t]</math>, и разность не может быть больше <math>\delta</math>. Значит, <math>[s] = [t]</math>. Вывод: Обе последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и определяют один элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. Таким образом, они сходятся к <math>[s]</math>. Интуиция <math>{a_n}</math> "поднимается", <math>{b_n}</math> "опускается", а расстояние между ними сокращается до нуля. Так как они рациональны и фундаментальны, они задают один класс эквивалентности в <math>\mathbb{R}</math>, что и есть их общий предел <math>[s]</math>. </nowiki> === 6. Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) === <u>Утверждение</u>: Любое непустое подмножество <math>S \subseteq \mathbb{R}</math>, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань (супремум). Аналогично, любое непустое подмножество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань (инфимум). <u>Доказательство (супремум):</u> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество множества элементов фактор-множества <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное сверху. Тогда существует элемент <math>[s]</math>, который является точной верхней гранью <math>S</math>, то есть: * <math>[s]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. для любого <math>[x] \in S</math> выполнено <math>[x] \leq [s]</math>, * <math>[s]</math> — наименьшая верхняя грань, т.е. если <math>[t]</math> — любая другая верхняя грань <math>S</math>, то <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Шаг 1: Выбор начального интервала <math>[a_1], [b_1]</math></u> Так как <math>S</math> непусто и ограничено сверху, существуют: * <math>[x_1] \in S</math> с последовательностью <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math>, * <math>[b]</math> — верхняя грань <math>S</math>, такая что <math>[x] \leq [b]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. Если <math>S = {[x_1]}</math>, то <math>[x_1]</math> — супремум (очевидно: <math>[x_1] \leq [x_1]</math>, и любой <math>[t] < [x_1]</math> не покрывает <math>[x_1]</math>), и доказательство завершено. Иначе <math>S</math> содержит хотя бы два элемента. <u>Лемма 1: Выбор начальных границ</u> <u>Утверждение:</u> Существует <math>a_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>a_1 < [x_1]</math>, и <math>b_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. <u>Доказательство:</u> Для <math>a_1</math>: Так как <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math> фундаментальна, существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n, m > N_1</math>: <math>|x_{1,n} - x_{1,m}| < \frac{1}{2}</math>. Положим: <math>a_1 = x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}</math>. Тогда для <math>n > N_1</math>: <math>x_{1,n} - a_1 = x_{1,n} - (x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}) = (x_{1,n} - x_{1,N_1+1}) + \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>, значит, <math>a_1 < [x_1]</math>. Для <math>b_1</math>: Поскольку <math>[x_1] < [b]</math>, существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>b_n - x_{1,n} > \delta</math> для <math>n > N</math>. Выберем <math>N</math>, где <math>|b_n - [b]| < \frac{\delta}{2}</math> и <math>|x_{1,n} - [x_1]| < \frac{\delta}{2}</math>. Тогда: <math>b_n - x_{1,n} > \delta - \frac{\delta}{2} - \frac{\delta}{2} = 0</math>. Положим <math>b_1 = b_{N+1}</math>, и <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. Итак: <math>[a_1] < [x_1] \leq [b_1]</math>. Конец доказательства леммы 1. <u>Интуиция:</u> Мы берём "окно", где <math>a_1</math> ниже элемента <math>S</math>, а <math>b_1</math> выше всех <math>S</math>. <u>Шаг 2: Индуктивное построение вложенных интервалов</u> Для каждого <math>n \in \mathbb{N}</math>, имея <math>a_n</math> и <math>b_n</math>, определяем: <math>c_n = \frac{a_n + b_n}{2}</math>. * Если <math>[x] \leq [c_n]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, то <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>. * Если существует <math>[x] \in S</math>, такое что <math>[x] > [c_n]</math>, то <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>. <u>Лемма 2: Уменьшение длины интервала</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2} (b_n - a_n)</math>. <u>Доказательство:</u> * Если <math>[c_n]</math> — верхняя грань: <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = c_n - a_n = \frac{a_n + b_n}{2} - a_n = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. * Если <math>[x] > [c_n]</math>: <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = b_n - c_n = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. Конец доказательства леммы 2. <u>Лемма 3: Геометрическое уменьшение и сходимость</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}}</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. <u>Доказательство:</u> <u>База:</u> Для <math>n = 1</math>: <math>b_1 - a_1 = \frac{b_1 - a_1}{2^{1-1}}</math>. <u>Индукция:</u> Пусть для <math>n = k</math>: <math>b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}}</math>. Тогда по Лемме 2: <math>b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{1}{2} (b_k - a_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}} = \frac{b_1 - a_1}{2^k} = \frac{b_1 - a_1}{2^{(k+1)-1}}</math>. <u>Сходимость:</u> Для <math>\varepsilon > 0</math> выберем <math>N</math>, где <math>2^{N-1} > \frac{b_1 - a_1}{\varepsilon}</math>. Тогда для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} < \varepsilon</math>, значит, <math>b_n - a_n \to 0</math>. Конец доказательства леммы 3. <u>Шаг 3: Определение <math>[s]</math></u> <math>\left\{a_n\right\}</math> неубывает, <math>\left\{b_n\right\}</math> невозрастает (по построению). <math>a_n \leq b_n</math> и <math>b_n - a_n \to 0</math> (Лемма 3). По лемме о сходимости сужающихся интервалов: <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math> сходятся к одному <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. <u>Шаг 4: <math>[s]</math> — супремум <math>S</math></u> * <u><math>[s]</math> — верхняя грань:</u> Для любого <math>[x] \in S</math>, <math>[x] \leq [b_n]</math> для всех <math>n</math>. Так как <math>b_n \to [s]</math> (Лемма о сходимости сужающихся интервалов), то <math>[x] \leq [s]</math>. <u>Интуиция:</u> <math>b_n</math> — "потолок" над <math>S</math>, и <math>[s]</math> — его предел, выше всех элементов <math>S</math>. * <u><math>[s]</math> — наименьшая:</u> Пусть <math>[t]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. <math>[x] \leq [t]</math>. Предположим <math>[s] > [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>s_n - t_n > \delta</math> для <math>n > N</math>, где <math>{t_n}</math> представляет <math>[t]</math>. Так как <math>a_n \to [s]</math>, для <math>\varepsilon = \delta/2</math> существует <math>M</math>, где <math>n </math>: <math>|a_n - s_n| < \delta/2</math>, <math>a_n > s_n - \delta/2 > t_n + \delta/2</math>. По построению, существует <math>[x] \in S</math>, где <math>[x] > a_n</math>, значит <math>[x] > t_n + \delta/2</math>, что противоречит <math>[x] \leq [t]</math>. Следовательно, <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Интуиция:</u> Если <math>[s] > [t]</math>, <math>a_n</math> превышает <math>[t]</math>, а за <math>a_n</math> есть <math>[x] \in S</math>, что ломает верхнюю грань <math>[t]</math>. <u>Вывод</u> <math>[s]</math> — супремум <math>S</math>. Для инфимума доказательство симметрично с заменой "ограниченная сверху" на "ограниченная снизу", "точная верхняя грань" на "точная нижняя грань" и т.п. === 6.1 === <b>Теорема:</b> Всякое полное упорядоченное поле <math>(F, +, \cdot, <)</math> является архимедовым. <b>Определения:</b> 1. <b>Упорядоченное поле:</b> Поле <math>F</math> с отношением полного порядка <math><</math>, согласованным с операциями поля: * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a < b</math>, то <math>a+c < b+c</math> для любого <math>c \in F</math>. * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a > 0</math> и <math>b > 0</math>, то <math>a \cdot b > 0</math>. 2. <b>Полнота (Аксиома о наименьшей верхней границе):</b> Любое непустое подмножество <math>A \subset F</math>, ограниченное сверху в <math>F</math>, имеет точную верхнюю грань (супремум) в <math>F</math>, обозначаемую <math>\sup A</math>. 3. </b>Архимедово свойство:</b> (оно же аксиома Архимеда-Евдокса) Для любых <math>x, y \in F</math> таких, что <math>x > 0</math> и <math>y > 0</math>, существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>nx > y</math>. (Здесь <math>nx</math> означает <math>x + x + \dots + x</math> <math>n</math> раз, а <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> рассматривается как подмножество <math>F</math> через вложение <math>1, 1+1, 1+1+1, \dots</math>). </b>Доказательство (методом от противного):</b> Допустим от противного, что <math>F</math> является полным упорядоченным полем, но не является архимедовым. Т.е. существуют элементы <math>x \in F</math> и <math>y \in F</math> такие, что <math>x > 0</math>, <math>y > 0</math> и для всех натуральных чисел <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется неравенство <math>nx \le y</math>. Определим подмножество <math>S \subset F</math> следующим образом: <math display="block"> S = \{nx \mid n \in \mathbb{N}\} </math> Свойства множества S: * Множество <math>S</math> непусто, так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>x = 1x \in S</math>. * Множество <math>S</math> ограничено сверху. По нашему предположению из шага 2, элемент <math>y</math> является верхней границей для <math>S</math>, так как <math>nx \le y</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, то есть для всех элементов <math>nx \in S</math>. Поскольку <math>F</math> — полное упорядоченное поле, а <math>S</math> — непустое, ограниченное сверху подмножество <math>F</math>, то у <math>S</math> существует точная верхняя грань (супремум) в <math>F</math>. Обозначим эту грань через <math>s</math>: <math display="block"> s = \sup S </math> По определению супремума, <math>s</math> является верхней границей <math>S</math>. Так как <math>s</math> — *наименьшая* верхняя граница, то любое число, меньшее <math>s</math>, уже не является верхней границей для <math>S</math>. Рассмотрим элемент <math>s - x</math>. Поскольку <math>x > 0</math>, то <math>s - x < s</math>. Следовательно, <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>. Поскольку <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>, то по определению верхней границы существует хотя бы один элемент в <math>S</math>, который больше <math>s - x</math>. Пусть этот элемент равен <math>mx</math> для некоторого <math>m \in \mathbb{N}</math>: <math display="block"> mx > s - x </math> Прибавим <math>x</math> к обеим частям неравенства (используя свойство упорядоченного поля): <math display="block"> mx + x > (s - x) + x </math> <math display="block"> (m+1)x > s </math> Поскольку <math>m \in \mathbb{N}</math>, то <math>m+1</math> также является натуральным числом (<math>m+1 \in \mathbb{N}</math>). Следовательно, элемент <math>(m+1)x</math> по определению множества <math>S</math> принадлежит этому множеству: <math>(m+1)x \in S</math>. Мы получили, что существует элемент <math>(m+1)x \in S</math>, для которого выполняется <math>(m+1)x > s</math>. Однако <math>s = \sup S</math> — это верхняя граница множества <math>S</math>, что по определению означает, что для **любого** элемента <math>z \in S</math> должно выполняться <math>z \le s</math>. Неравенство <math>(m+1)x > s</math> противоречит тому, что <math>s</math> является верхней границей для <math>S</math>. Мы пришли к противоречию теорема доказана. Таким образом, любое полное упорядоченное поле <math>F</math> обязательно является архимедовым. Поэтому для поля действительных чисел ℝ она просто постулируется, а для рациональный чисел Q её оказывается возможным доказать как теорему. <b>Замечание:</b> Теорема о гранях доказывает свойство полноты определённое выше. Последняя теорема выше доказывает, непротиворечивость нашей системы аксиом для действительных чисел (отрицание аксиомы Архимеда-Евдокса ложно). === 8. <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> === ... <u>Шаг 4: Заключение</u> Таким образом, последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> сходится к действительному числу <math>x</math>, которое определяется как элемент фактор-множества <math>[ \left\{ x_n \right\} ]</math>. Это завершает доказательство. <u>Итог:</u> Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу, которое определяется как элемент фактор-множества всех последовательностей, сходящихся к тому же пределу. <b>Интуитивный смысл: </b> Фундаментальная последовательность — это такая последовательность, члены которой с ростом индекса становятся всё ближе друг к другу и "устаканиваются" вокруг какого-то значения. Интуитивно, если расстояние между членами последовательности становится сколь угодно малым, она должна приближаться к некоторой фиксированной точке — пределу. В данном случае мы показываем, что этот предел существует и является действительным числом. +++ 9. Любая сходящая последовательность является последовательностью Коши. 10. Любая сходящая последовательность ограничена. 11. Множество рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } плотно в множестве действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} }. 12. Множество действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } плотно в себе. 13. Определение арифметических операций. <b>14. Плотность рациональных чисел в действительных числах</b> <u>Утверждение: </u> Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>\varepsilon > 0</math>. По определению действительных чисел, <math>x</math> представляется как эквивалентность фундаментальной последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math>. По аксиоме Архимеда, существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> \frac{1}{n} < \varepsilon. </math> Выберем <math>N</math> так, чтобы для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x| < \varepsilon. </math> Тогда <math>x_N</math> — рациональное число, удовлетворяющее условию: <math> |x - x_N| < \varepsilon. </math> Таким образом, рациональные числа плотны в <math>\mathbb{R}</math>. <b>15. Плотность действительных чисел</b> <u>Утверждение:</u> Множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> обладает свойством плотности в себе, то есть для любых двух различных чисел <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, где <math>x < y</math>, существует <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>x < z < y</math>. <u>Доказательство:</u> Как было доказано выше множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, т.е. для любых <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x < y</math>, существует рациональное число <math>q \in \mathbb{Q}</math>, удовлетворяющее условию: <math> x < q < y. </math> Поскольку <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то <math>q</math> также является действительным числом, то есть <math>q \in \mathbb{R}</math>. Следовательно, мы нашли <math>z = q</math>, где <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что: <math> x < z < y. </math> Таким образом, между любыми двумя действительными числами всегда найдётся другое действительное число, что и доказывает, что <math>\mathbb{R}</math> плотно в себе. ==== Арифметика (опр.) ==== ==== Бесконечная десятиная дробь ==== ==== Арифметика (практ.) ==== ==== Дедекиндовое сечение ==== === Бесконечные десятичные дроби === * Периодические десятичая дробь. * Непериодечские десятичная дробь. * Конечная десятичные дробь. * 0.(9)=1.0 * Действительное число является рациональным тогда и только тогда представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. === sqrt(2) иррационально === * Формулировка геометрическая, алгебраическая, их эквивалетность. Один из первых кризисов в математики. * Доказательство (используя несократимую дробь) * Поле действительных чисел ℝ характеризуется как единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Доказательство выходит за рамки этой книги. == 8. Введение в ординальные числа == <u>Что такое ординальные числа? </u> * Определение ординальных чисел. * Исторический контекст и мотивация. <u>Основные определения </u> 1. Основы и определение ординалов 1.1 Аксиомы теории множеств ZFC Понятие множества, принадлежности <math>\in</math>, подмножества. Аксиома фундированности: отсутствие бесконечной цепи <math>\dots \in x \in y \in \dots</math>. Аксиома подмножества и существование определённых множеств. 1.2 Транзитивные множества Определение: множество <math>X</math> называется транзитивным, если для любого <math>y \in X</math>, <math>y \subseteq X</math>. Примеры транзитивных множеств. Свойства транзитивных множеств. 1.3 Определение ординалов через транзитивные множества Ординал — это транзитивное множество, вполне упорядоченное строгим порядком <math>\in</math>. Ординал — это транзитивное множество, строго упорядоченное отношением принадлежности <math>\in</math>, такое, что для любых двух различных элементов x,y из ординала выполняется одно и только одно из условий: x∈y, y∈x или x=y. Ординалы представляют собой "стандартные" упорядоченные множества, которые используются для описания порядка. Примеры малых ординалов: <math>0 = \emptyset</math>, <math>1 = {0}</math>, <math>2 = {0,1}</math>, <math>3 = {0,1,2}</math>, и так далее. Универсальность ординалов: любой ординал состоит только из ординалов. Теорема 1 (О индукции по ординалам) Всякая индуктивная гипотеза, утверждающая нечто о всех ординалах меньше некоторого ординала <math>\alpha</math>, может быть доказана с помощью индукции по ординалу <math>\alpha</math>. 2. Основные свойства ординалов 2.1 Строгое линейное упорядочение Доказательство, что <math>\in</math> на ординалах является строгим линейным порядком. Транзитивность порядка: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \gamma</math>, то <math>\alpha < \gamma</math>. Антисимметричность: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \alpha</math>, то <math>\alpha = \beta</math>. 2.2 Универсальное свойство ординалов Всякое вполне упорядоченное множество упорядочено изоморфно единственному ординалу. Доказательство единственности ординала для любого конечного множества. 2.3 Порядковое вложение В ординалах любое порядковое вложение либо тождественно, либо строгое. Доказательство, что между ординалами невозможно биекцию, не являющуюся изоморфизмом порядка. Теорема 2 (О порядке ординалов) Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два ординала, то <math>\alpha \leq \beta</math> тогда и только тогда, когда существует инъективная функция <math>f: \alpha \to \beta</math>. 3. Операции над ординалами 3.1 Следующий ординал Определение: <math>\alpha^+ = \alpha \cup {\alpha}</math>. Свойства: <math>\alpha^+</math> — минимальный ординал, больший <math>\alpha</math>. 3.2 Супремум и предел ординалов Определение супремума множества ординалов. Определение предельного ординала: <math>\lambda</math> — предельный, если нет <math>\alpha</math>, такого что <math>\lambda = \alpha^+</math>. Примеры предельных ординалов: <math>\omega</math>, <math>\omega + \omega</math>, <math>\omega^2</math>. Теорема 3 (О пределах ординалов) Если <math>\alpha</math> — предел ординала, то существует последовательность ординалов, которая монотонно возрастает и имеет предел <math>\alpha</math>. 3.3 Сложение ординалов Определение: <math>\alpha + 0 = \alpha, \quad \alpha + \beta^+ = (\alpha + \beta)^+</math>. Свойства сложения: некоммутативность (<math>1 + \omega \neq \omega + 1</math>). 3.4 Умножение ординалов Определение: <math>\alpha \cdot 0 = 0, \quad \alpha \cdot \beta^+ = \alpha \cdot \beta + \alpha</math>. Свойства: ассоциативность, но некоммутативность. 3.5 Возведение в степень Определение: <math>\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta^+} = \alpha^\beta \cdot \alpha</math>. Примеры вычислений. 4. Бесконечные ординалы 4.1 Малейший бесконечный ординал <math>\omega</math> Определение: <math>\omega</math> — первый предельный ординал. Свойство: любой конечный ординал <math>n</math> удовлетворяет <math>n < \omega</math>. Доказательство, что <math>\omega</math> — минимальный бесконечный ординал. 4.2 Счётные ординалы Определение: ординал <math>\alpha</math> — счётный, если существует сюръекция <math>f: \omega \to \alpha</math>. Примеры: <math>\omega</math>, <math>\omega + 1</math>, <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\varepsilon_0</math>. 4.3 Несчётные ординалы <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. <math>\omega_1</math> является наименьшим предельным ординалом, который не является счётным. Свойства <math>\omega_1</math>: все ординалы меньше <math>\omega_1</math> счётны, и это непереходный предел для счётных ординалов. Теорема 4 (О наименьшем ординале, не являющемся порядковым типом множества) Для любого множества существует наименьший ординал, который не является порядковым типом этого множества. 4.4 Противоречие с множеством всех ординалов Парадокс Бурали-Форти. 5. Принцип трансфинитной индукции и рекурсии 5.1 Трансфинитная индукция Формулировка: если утверждение <math>P(\alpha)</math> верно для <math>\alpha = 0</math> и сохраняется при переходе на следующий ординал и предельные ординалы, то оно верно для всех ординалов. Примеры использования. 5.2 Трансфинитная рекурсия Формулировка: для любой функции <math>F</math>, можно задать <math>f(\alpha)</math> для всех ординалов: <math>f(0) = a, \quad f(\alpha^+) = F(f(\alpha)), \quad f(\lambda) = \sup { f(\beta) \mid \beta < \lambda }, \text{ если } \lambda \text{ — предельный}.</math> Примеры: конструкция функций на ординалах. 6. Канторова нормальная форма (CNF) Разложение ординала в виде: <math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot c_1 + \omega^{\beta_2} \cdot c_2 + \dots + \omega^{\beta_k} \cdot c_k</math>, где <math>\beta_1 > \beta_2 > \dots > \beta_k</math> и <math>c_i \neq 0</math>. Единственность разложения. Примеры разложения. Теорема 5 (О Канторовой нормальной форме) Любой ординал может быть представлен в Канторовой нормальной форме, где представление единственно. 7. Более сложные темы 7.1 Функция Веблена Определение функций <math>\varphi_\alpha(\beta)</math>. 7.2 Расширение арифметики ординалов Ординальная экспоненциальная башня. Функция Аккермана и пределы вычислимости. 7.3 Ординал <math>\varepsilon_0</math> Определение ординала <math>\varepsilon_0</math>, первого ординала, который является фиксированной точкой функции ординала. Теорема 6 (О Канторовом принципе) Мощность множества всех ординалов меньших, чем данный ординал <math>\alpha</math>, равна <math>\alpha</math>. Это утверждение отражает важность порядка ординалов и теории мощностей. == 9. Приложения ординальных чисел == 14.1 Ординалы в теории моделей и теории вычислимости * Применение ординалов в построении моделей теорий. Роль ординалов в описании вычислимых процессов. * Доказательство непротиворечивости аксиоматике Пеано. * Свойства <math>\varepsilon_0</math> и его роль в теории рекурсивных функций. * Применение <math>\varepsilon_0</math> в теории доказательств и вычислимости. 14.2 Теория множеств * Использование ординалов в построении и анализе иерархий множеств. 14.3 Теория доказательств и математическая логика * Применение ординалов в доказательстве непротиворечивости теорий. 14.4 Топология и анализ * Примеры использования ординалов в топологии. * Роль ординалов в анализе, например, в описании порядковых компактностей. == 11. Введение в кардинальные числа == 11. Введение в кардинальные числа 1. Определение кардинальных чисел через ординалы 1.1 Основное определение Определение кардинального числа Ординал <math>\kappa</math> называется кардинальным числом, если он удовлетворяет следующему свойству: Основное определение: Для любого ординала <math>\alpha < \kappa</math> выполняется <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Это означает, что <math>\kappa</math> — это наименьший ординал своей мощности: ни один меньший ординал не равномощен <math>\kappa</math>. Эквивалентные формулировки Существуют альтернативные определения, эквивалентные основному. Докажем их эквивалентность. 1. Первая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если он не равномощен ни одному строго меньшему ординалу. То есть, если <math>\lambda = |\kappa|</math> — мощность <math>\kappa</math>, то для любого <math>\alpha < \kappa</math> выполняется: <math>|\alpha| \neq \lambda</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению: <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| < |\kappa|</math>. Если бы существовало <math>\alpha < \kappa</math> такое, что <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то это противоречило бы строгому неравенству <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Следовательно, <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, и первая формулировка следует из основной. Обратно, если <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| \neq |\kappa|</math>, то в силу упорядоченности мощностей (для любых ординалов <math>|\alpha| < |\kappa|</math> или <math>|\alpha| = |\kappa|</math> или <math>|\alpha| > |\kappa|</math>) и того, что <math>\alpha < \kappa</math> (меньший ординал не может иметь большую мощность), остаётся только <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Значит, основное определение выполнено. 2. Вторая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если для любого множества <math>A</math>, такого что существует сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, существует инъекция <math>g: \kappa \to A</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению. Если есть сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, то <math>|A| \geq |\kappa|</math> (существование сюръекции означает, что мощность <math>A</math> не меньше мощности <math>\kappa</math>). Предположим, что нет инъекции <math>g: \kappa \to A</math>, тогда <math>|\kappa| > |A|</math> (по теореме Кантора-Бернштейна, мы докажем её ниже ). Но <math>|A| \geq |\kappa|</math> и <math>|\kappa| > |A|</math> противоречат друг другу. Значит, инъекция существует. Обратно, если для любого <math>A</math> с сюръекцией <math>f: A \to \kappa</math> есть инъекция <math>g: \kappa \to A</math>, возьмём <math>A = \alpha < \kappa</math>. Если <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то существует биекция <math>f: \alpha \to \kappa</math>, что даёт сюръекцию. Тогда должна быть инъекция <math>g: \kappa \to \alpha</math>, но <math>\kappa > \alpha</math>, и инъекция невозможна (ординал не может быть вложен в меньший ординал). Противоречие показывает, что <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, а значит, <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Таким образом, все три определения эквивалентны. Существование кардинальных чисел Для каждого ординала <math>\alpha</math> существует кардинальное число, которое является наименьшим среди всех ординалов мощности не меньшей, чем <math>\alpha</math>. Это следует из аксиомы выбора и свойств ординалов: Мощность <math>|\alpha|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>\alpha</math>. Такой ординал всегда существует, так как множество всех ординалов равной мощности имеет наименьший элемент (по теореме о хорошей упорядоченности). Примеры: * Для <math>\alpha = 0</math>: <math>|0| = 0</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = 1</math>: <math>|1| = 1</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = \omega</math> (первый бесконечный ординал): <math>|\omega| = \aleph_0</math> — первое бесконечное кардинальное число. Интуиция Кардинальные числа — это "стандартные представители" мощностей. Они позволяют измерять "размер" множества, абстрагируясь от его структуры. Например: Для конечных множеств: {a,b} и {1,2} равномощны, их кардинальное число — 2. Для бесконечных множеств: NN и ZZ равномощны, их кардинальное число — aleph_0. Если ординал κκ — кардинальное число, то он "наименьший в своём классе мощности". Никакой меньший ординал не может "уместить" столько же элементов. Теорема Кантора-Бернштейна: Если для двух множеств существуют биекции с множества <math>A</math> на <math>B</math> и с множества <math>B</math> на <math>A</math>, то мощности этих множеств одинаковы. * Два доказательства через конструкцию цепей и через разбиение множеств использует последовательное разбиение множеств AA и BB на подмножества и построение биекции на каждом из них. Теорема Хартогса: Для любого множества существует ординал, который не имеет биекции с этим множеством, то есть существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. === Конечные множества === Множество <math>A</math> называется конечным, если оно равномощно некоторому ординалу <math>n</math>, где <math>n</math> — конечное натуральное число (или <math>0</math>). Количество элементов множества <math>A</math> — это число <math>n</math>, если можно установить биекцию между <math>A</math> и <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Почему кардинал совпадает с количеством элементов? Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Равномощность ординалу: Существует биекция <math>f: A \to n</math>, где <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Например, если <math>A = \left\{a, b, c\right\}</math>, то можно задать <math>f(a) = 0</math>, <math>f(b) = 1</math>, <math>f(c) = 2</math>, и <math>A \sim 3</math>. Мощность как наименьший ординал: Кардинальное число <math>|A|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Поскольку <math>A</math> равномощно <math>n</math>, нужно проверить, является ли <math>n</math> наименьшим: * Для любого ординала <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) число элементов равно <math>m</math>, что меньше <math>n</math>. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (с <math>n</math> элементами) и <math>m</math> по принципу Дирихле, так как <math>m < n</math>. Значит, <math>|m| < |n|</math>. * Следовательно, <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>, и <math>|A| = n</math>. Совпадение с количеством: Поскольку <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, а <math>|A| = n</math>, кардинальное число совпадает с количеством элементов. <u>Пример: </u> Пусть <math>A = \left\{x, y\right\}</math>. Оно равномощно <math>2 = \left\{0, 1\right\}</math>. Ординалы <math>0 = \emptyset</math> и <math>1 = \left\{0\right\}</math> имеют меньше элементов (<math>0</math> и <math>1</math> соответственно), и не равномощны <math>A</math>. Значит, <math>|A| = 2</math>, что равно числу элементов в <math>A</math>. Почему ординал совпадает с количеством элементов? Для конечных множеств ординальное число связано с их упорядочением: Упорядочение множества <u>Утверждение:</u> Если <math>A</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами, его можно хорошо упорядочить. <u>Определение:</u> Множество <math>A</math> хорошо упорядочено отношением <math>\leq</math>, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in A</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> имеет наименьший элемент (существует <math>s_0 \in S</math>, такое что <math>s_0 \leq s</math> для всех <math>s \in S</math>). <u>Доказательство для конечных множеств:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами. Зададим порядок: <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Это линейный порядок, так как он тотальный (любые два элемента сравнимы). Проверим хорошее упорядочение: любое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> конечно и линейно упорядочено, значит, имеет наименьший элемент (первый элемент в заданном порядке). Например, для <math>S = {a_2, a_4}</math> наименьший элемент — <math>a_2</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> задаём порядок <math>a < b < c</math>. Любое подмножество, например <math>{b, c}</math>, имеет наименьший элемент <math>b</math>. <u>Изоморфизм с ординалом</u> <u>Утверждение:</u> Такое упорядоченное множество <math>A</math> изоморфно ординалу <math>n</math>. <u>Определение:</u> Два упорядоченных множества <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> изоморфны, если существует биекция <math>f: A \to B</math>, сохраняющая порядок: <math>a \leq_A b</math> тогда и только тогда, когда <math>f(a) \leq_B f(b)</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> с порядком <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Ординал <math>n = {0, 1, \ldots, n-1}</math> упорядочен отношением <math>\in</math>, которое совпадает с <math><</math>: <math>0 < 1 < \cdots < n-1</math>. Зададим отображение <math>f: A \to n</math>: * <math>f(a_1) = 0</math>, * <math>f(a_2) = 1</math>, * ... * <math>f(a_n) = n-1</math>. Проверим свойства: * <math>f</math> — биекция: каждому <math>a_i</math> соответствует уникальный элемент <math>i-1</math>, и все элементы <math>{0, 1, \ldots, n-1}</math> покрыты. * <math>f</math> сохраняет порядок: если <math>a_i < a_j</math> (т.е. <math>i < j</math>), то <math>f(a_i) = i-1 < j-1 = f(a_j)</math>. Таким образом, <math>(A, <)</math> изоморфно <math>(n, <)</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> с порядком <math>a < b < c</math> задаём <math>f: a \mapsto 0</math>, <math>b \mapsto 1</math>, <math>c \mapsto 2</math>. Ординал <math>3 = {0, 1, 2}</math> имеет <math>3</math> элементов, и порядок сохраняется: <math>a < b</math> влечёт <math>0 < 1</math>. Однозначность для конечных множеств <u>Утверждение:</u> Любой порядок, приводящий к хорошему упорядочению конечного множества <math>A</math>, даёт изоморфизм с ординалом <math>n</math>, где <math>n</math> — число элементов. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, и задано некоторое хорошее упорядочение <math>\leq</math>. Обозначим элементы <math>A</math> как <math>b_1 < b_2 < \cdots < b_n</math>. Так как <math>A</math> конечно и хорошо упорядочено, оно содержит ровно <math>n</math> элементов в строгой последовательности (без "разрывов" или бесконечных цепочек). Построим биекцию <math>g: A \to n</math>: * <math>g(b_1) = 0</math>, * <math>g(b_2) = 1</math>, * ... * <math>g(b_n) = n-1</math>. Эта биекция сохраняет порядок, так как <math>b_i < b_j</math> влечёт <math>i < j</math>, а значит <math>g(b_i) = i-1 < j-1 = g(b_j)</math>. Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует только один ординал с заданным числом элементов: <math>n</math>. Например, нет другого ординала с <math>3</math> элементами, кроме <math>3 = {0, 1, 2}</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> другой порядок, например <math>c < a < b</math>, даёт изоморфизм с <math>3</math>: <math>c \mapsto 0</math>, <math>a \mapsto 1</math>, <math>b \mapsto 2</math>. Структура остаётся той же. <u>Почему кардинал совпадает с количеством элементов?</u> <u>Доказательство:</u> Кардинал <math>|A|</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, существует биекция <math>f: A \to n</math>. Проверим, что <math>n</math> — наименьший: * Для любого <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) ординал <math>m</math> имеет <math>m</math> элементов. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (<math>n</math> элементов) и <math>m</math>, так как <math>m < n</math>. * Значит, <math>|A| = n</math>. Число элементов <math>A</math> равно <math>n</math>, так как биекция с <math>n</math> нумерует все элементы. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал любого хорошего упорядочения <math>A</math> — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба равны количеству элементов <math>n</math>. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал, соответствующий любому хорошему упорядочению <math>A</math>, — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба совпадают с количеством элементов, так как <math>n</math> — это число элементов в <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Таким образом, в конечном случае <math>|A| = n</math> (кардинал) и ординал упорядочения равны <math>n</math>, что соответствует числу элементов. Для конечных множеств: каждый элемент можно пронумеровать, и <math>n</math> одновременно является и ординалом (порядок), и кардиналом (размер). Для бесконечных множеств кардинал и ординал перестают совпадать с "количеством" в обычном смысле: Формулировка утверждения === Для бесконечных множеств === <u>Утверждение:</u> Для бесконечных множеств кардинальное число (кардинал) и ординальное число (ординал) ведут себя по-разному: два различных бесконечных ординала могут иметь одинаковый кардинал, а "количество элементов" в бесконечном множестве не выражается конечным числом, что делает кардинал абстрактным понятием "размера". <u>Пример для иллюстрации:</u> * Первый бесконечный ординал: <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math>. * Его кардинал: <math>|\omega| = \aleph_0</math>. * Ординал <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> имеет тот же кардинал <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>, но как ординалы <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Доказательство различия для бесконечных множеств</u> <u>Часть 1: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны</u> Покажем, что <math>\omega \neq \omega + 1</math> как ординалы. Определение: * <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math> — множество всех конечных ординалов с порядком <math>0 < 1 < 2 < \cdots</math>. * <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> — добавлен элемент <math>\omega</math>, больший всех предыдущих: <math>0 < 1 < 2 < \cdots < \omega</math>. Свойства: * В <math>\omega</math> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, но нет наибольшего элемента (после любого <math>n</math> есть <math>n+1</math>). * В <math>\omega + 1</math> есть наибольший элемент — <math>\omega</math>, так как для всех <math>x \in \omega + 1</math> выполняется <math>x \leq \omega</math>. <u>Изоморфизм:</u> Предположим, существует биекция <math>f: \omega \to \omega + 1</math>, сохраняющая порядок. Пусть <math>f(n) = \omega</math> для некоторого <math>n \in \omega</math>. Тогда для <math>m > n</math> в <math>\omega</math> должно быть <math>f(m) > f(n) = \omega</math>, но в <math>\omega + 1</math> нет элемента больше <math>\omega</math>. Противоречие. Значит, <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> не изоморфны как упорядоченные множества, и <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Часть 2: Кардиналы <math>|\omega|</math> и <math>|\omega + 1|</math> равны</u> Покажем, что <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>. Определение <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_0</math> — наименьший бесконечный кардинал, равный мощности множества натуральных чисел <math>\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}</math>. Так как <math>\omega</math> равномощно <math>\mathbb{N}</math> (биекция <math>f(n) = n</math>), то <math>|\omega| = \aleph_0</math>. Биекция между <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math>: Определим <math>f: \omega \to \omega + 1</math>: * <math>f(0) = \omega</math>, * <math>f(1) = 0</math>, * <math>f(2) = 1</math>, * <math>f(3) = 2</math>, * ... * <math>f(n) = n-1</math> для <math>n \geq 1</math>. Проверим: * Инъективность: <math>f(n) = f(m)</math> влечёт либо <math>n = m = 0</math> (оба отображаются в <math>\omega</math>), либо <math>n-1 = m-1</math> для <math>n, m \geq 1</math>, то есть <math>n = m</math>. * Сюръективность: <math>\omega</math> — образ <math>0</math>, <math>0</math> — образ <math>1</math>, <math>1</math> — образ <math>2</math>, и т.д.; каждый элемент <math>\omega + 1</math> покрыт. Таким образом, <math>f</math> — биекция, и <math>|\omega| = |\omega + 1|</math>. Вывод: <math>|\omega| = \aleph_0</math>, и <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>. Несмотря на различие как ординалов, их кардиналы совпадают. <u>Часть 3: "Количество элементов" в бесконечном множестве</u> Для конечных множеств количество элементов — это число <math>n</math>, равное кардиналу и ординалу. Для бесконечных множеств: Нельзя пронумеровать элементы конечным числом, так как добавление элементов (как в <math>\omega + 1</math>) не меняет кардинал. Кардинал <math>\aleph_0</math> — это абстрактный "размер", не связанный с конечным подсчётом. <u>Например:</u> * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{N} \cup {a}</math> имеют одинаковый кардинал <math>\aleph_0</math>, * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Z}</math> также имеют <math>\aleph_0</math>, несмотря на различия в структуре. <u>Интуиция</u> Ординалы: описывают порядок. <math>\omega</math> — бесконечная последовательность без конца, <math>\omega + 1</math> — та же последовательность с добавленным последним элементом. Их структура различна. Кардиналы: измеряют "размер" через равномощность. Добавление одного элемента к бесконечному множеству не меняет его кардинал, так как можно перестроить биекцию. Бесконечность: в отличие от конечных множеств, где <math>n</math> однозначно определяет и порядок, и размер, для бесконечных множеств кардинал — абстракция, не зависящая от конкретного порядка. <u>Вывод</u> Для бесконечных множеств: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны, так как их упорядочения не изоморфны. Их кардиналы равны: <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>, что следует из существования биекции. "Количество элементов" не выражается конечным числом, и кардинал становится абстрактным понятием "размера", в отличие от конечных множеств, где <math>|A| = n</math> совпадает с числом элементов. Для бесконечных множеств кардинал не обязательно совпадает с их ординальной структурой, так как равномощность игнорирует порядок. 1.2 Свойства кардинальных чисел Минимальность кардинального числа: для каждого кардинала выполнено, что все ординалы, меньшие его, также являются кардинальными. Кардинальные числа как ординалы: не каждый ординал является кардинальным числом. Пример: кардинал <math>\aleph_0</math>, который соответствует мощности счётного множества, например, множества натуральных чисел. 1.3 Кардинальные числа и операции с ординалами Операции сложения, умножения, возведения в степень и сравнения кардиналов. 2. Определение кардинальных чисел через классы эквивалентности 2.1 Определение через эквивалентность мощностей множеств Кардинальные числа можно определить через классы эквивалентности по отношению к мощности множеств. Множества эквивалентны по мощности, если существует биекция между ними. 2.2 Кардинальные числа и биекции Кардинальное число множества — это класс эквивалентности всех множеств, эквивалентных по мощности данному множеству. N ~ N\{0} N ~ N\{0,...,n} 2N ~ N (часть эквивалента целому) 2N ~ 2N+1 N ~ Z N ~ Q [a, b] ~ [c, d] [a, b] ~ (a, b] [a, b] ~ (a, b) [-1, 1] ~ R (tg x) Пусть <math>C</math> — окружность на плоскости, <math>P \in C</math> — произвольная точка, а <math>C' = C \setminus {P}</math> — окружность без точки <math>P</math>. Тогда <math>C</math> и <math>C'</math> равномощны. 3. Выход за пределы ZFC 3.1 Кардинальные числа и классы Множество всех кардинальных чисел в теории ZFC не является множеством, а классом. Теорема: Множество всех кардинальных чисел не является множеством в теории ZFC. 3.2 Кардинальные числа и гипотезы Теория кардинальных чисел включает гипотезы, не поддающиеся доказательству или опровержению в рамках ZFC. Пример: Гипотеза континуума (CH). Теорема: Гипотеза континуума (CH) независима от ZFC. 4. Дальнейший план изучения кардинальных чисел 4.1 Исследование теории кардинальных чисел Изучение определения кардинальных чисел через ординалы и эквивалентности мощностей множеств. Основные кардинальные числа: <math>\aleph_0</math>, <math>\mathfrak{c}</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> и т.д. 4.2 Арифметика кардинальных чисел 4.2.1 Основные операции Сложение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> верно, что <math>\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Умножение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> выполняется <math>\kappa_1 \cdot \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Возведение в степень: для кардиналов <math>\kappa</math> и <math>\lambda</math> <math>\kappa^\lambda = 2^{\kappa \cdot \lambda}</math>. 4.2.2 Особенности арифметики кардиналов Сложение и умножение бесконечных кардиналов не зависит от порядка операндов. Операции с конечными кардинальными числами зависят от их значений. 4.3 Гипотезы и теоремы Гипотеза континуума (CH) Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинальных чисел строго между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak{c}</math> (мощностью континуума). Обобщённая гипотеза континуума (GCH) Для каждого кардинала <math>\kappa</math> существует кардинал <math>\lambda</math>, который строго больше <math>\kappa</math> и меньше <math>\kappa^+</math>. Теорема Кантора Кантор доказал, что мощность множества вещественных чисел <math>\mathfrak{c}</math> строго больше, чем мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math>. Теорема Хартогса Существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. Это важная теорема в теории кардинальных чисел. Теорема о мощности декартова произведения Мощность декартова произведения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности объединения Мощность объединения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности степеней Мощность множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>B</math> равна мощности множества <math>B</math>, возведённой в степень мощности множества <math>A</math>. Теорема: ∣P(A)∣=∣2^A∣ Мощность множества всех подмножеств множества <math>A</math> (то есть мощность его степени) равна мощности множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>{0,1}</math>, что эквивалентно <math>2^A</math>. 5. Иерархия Фон Ноймана 5.1 Определение иерархии Фон Ноймана Иерархия Фон Ноймана представляет собой способ построения множеств с помощью операций, основанных на кардинальных числах. Иерархия строится с использованием операций объединения и подмножеств, позволяя описать множества, включая все возможные подмножества. 5.2 Свойства иерархии Фон Ноймана Каждое множество в иерархии Фон Ноймана имеет мощность, соответствующую кардинальному числу. Эта иерархия включает как конечные, так и бесконечные множества, которые играют важную роль в математической логике. 6. Связь между индексами кардинальных чисел и ординалами 6.1 Индексы кардинальных чисел Кардинальные числа можно индексировать с помощью ординалов. Например, <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> — это кардинальные числа, индексируемые ординалами <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math> соответственно. 6.2 Связь кардиналов и ординалов Каждый ординал соответствует определённому кардиналу, и кардиналы могут быть упорядочены с использованием ординалов. Это помогает в построении моделей теории множеств, основанных на кардинальных числах. 6.3 Теорема о порядке кардиналов Кардинальные числа упорядочиваются с помощью ординалов. Например, если <math>\alpha < \beta</math>, то <math>\kappa_\alpha \leq \kappa_\beta</math>. == 12. Приложения кардинальных чисел == * Применения в математике и логике: теория графов, теория множеств, теория вероятностей. * Исследование кардинальных чисел и их связей с другими областями математики, такими как топология и алгебра. 1492vjukaj5k99fwm4uioiyufbjut54 261972 261971 2025-07-10T22:48:55Z Alexsmail 1129 /* примеры мат. индукции */ ы 261972 wikitext text/x-wiki == Введение == Концепция бесконечности веками волновала умы людей, проходя через множество трансформаций. Этот длинный путь начинается с древнегреческих размышлений и достигает своего апогея в математических открытиях конца XIX века. Древние греки, и в особенности Аристотель, подходили к бесконечности с осторожностью. Для них она существовала как нечто потенциальное — процесс, который можно продолжать без конца, но который никогда не завершается в виде целого. Последовательность чисел могла расти бесконечно, но в любой момент оставалась конечной. Завершенная, или актуальная, бесконечность отвергалась Аристотелем как логически невозможная, ведь она вела к парадоксам, подобным тем, что сформулировал Зенон. Эти идеи о потенциальной бесконечности как неуловимом горизонте глубоко укоренились в западной мысли и господствовали на протяжении многих веков, задавая тон философским и научным дискуссиям. Платонизм, философское учение, основанное на идеях Платона, заложило основы для понимания трансцендентного и вечного. В центре платонизма находится концепция мира идей, или форм, — совершенных, неизменных и вечных сущностей, которые существуют за пределами материального мира. Материальный мир, по Платону, является лишь отражением или тенью этого высшего мира идей. Платон также ввел понятие Единого как высшего принципа, который объединяет все идеи и является источником бытия. Хотя у Платона Единое не разработано так подробно, как в неоплатонизме, его идеи заложили основу для дальнейшего развития концепции абсолютного и бесконечного источника реальности. Неоплатонизм, возникший в поздней античности как развитие идей Платона, углубил и систематизировал эти концепции. Центральной фигурой неоплатонизма стал Плотин, который развил учение о Едином — абсолютном, бесконечном и непостижимом источнике всего сущего. Единое находится за пределами бытия, разума и формы, и все уровни реальности происходят из него через процесс эманации. Эманация, от латинского "истечение", описывает естественное и непрерывное излучение бытия из Единого, подобно тому, как свет исходит от солнца. Этот процесс непроизволен: Единое не "решает" создавать, а излучает бытие из своей полноты без намерения или усилия. Реальность в неоплатонизме структурирована как иерархия, где каждый уровень (Ум, Душа, материальный мир) менее совершенен, чем предыдущий, но все они связаны с Единым. Символика света, используемая Плотином, подчеркивает, что Единое распространяет бытие, не теряя своей природы, подобно тому, как солнце светит, не истощая себя. В неоплатонизме Единое — это потенциальная бесконечность, источник, который остается неизменным и неисчерпаемым, несмотря на процесс эманации. Параллельно этим философским идеям, в еврейской мистической традиции Каббалы развивалась собственная концепция бесконечности — "Эйн Соф". Этот термин, означающий "без конца" или "бесконечное", относится к непостижимому, трансцендентному аспекту Бога, существующему вне всякого проявления. Идея "Эйн Соф" оформилась в Средние века, в XII–XIII веках, в Испании и Провансе, задолго до математических открытий Кантора. В отличие от аристотелевской потенциальной бесконечности, Каббала принимала актуальную бесконечность как фундаментальную характеристику божественного, считая "Эйн Соф" источником всех эманаций Бога, известных как сфирот. Эти сфирот образуют иерархическую структуру, через которую бесконечное проявляется в конечном мире, предлагая мистическую параллель канторовской иерархии бесконечностей. Каббала, заимствуя идею эманации из неоплатонизма, адаптировала ее в рамках монотеистической теологии. В отличие от неоплатонизма, где эманация — это непроизвольный и пассивный процесс, в Каббале она рассматривается как осознанный акт Бога. "Эйн Соф" через эманацию раскрывает свою силу, создавая иерархию сфирот. Сфирот, в отличие от статичных уровней бытия в неоплатонизме, находятся в постоянном динамическом взаимодействии, управляя материальным миром и создавая непрерывную цепь мироздания. Много позже, в конце XIX века, устоявшийся взгляд на бесконечность был поставлен под сомнение Георгом Кантором, чья работа перевернула представление о бесконечности. Кантор ввел понятие актуальной бесконечности, утверждая, что бесконечные множества существуют как завершенные сущности и даже различаются по размеру. Он разработал теорию трансфинитных чисел, разделив их на кардинальные, описывающие величину множеств, и ординальные, определяющие порядок в последовательностях. Множество натуральных чисел, например, имеет кардинальность алеф-ноль, тогда как множество действительных чисел бесконечно больше, что он доказал с помощью своего знаменитого диагонального аргумента. Эта иерархия бесконечностей стала основой современной теории множеств, но встретила яростное сопротивление. Одним из главных противников Кантора был Леопольд Кронекер, выдающийся математик и лидер финитистов. Кронекер настаивал на том, что математика должна опираться исключительно на конечные, конструируемые объекты. Его знаменитое высказывание "Бог создал целые числа; всё остальное — дело человека" отражало его убеждение в том, что бесконечные множества — это не более чем фикция. Для него работа Кантора казалась скорее теологической фантазией, чем строгой наукой, и он не стеснялся называть Кантора "научным шарлатаном". Этот конфликт между финитизмом и новаторскими идеями Кантора выявил глубокий раскол в математическом сообществе, где старые принципы столкнулись с радикально новым подходом. Кантор, однако, не ограничивал свои размышления чистой математикой. Будучи глубоко религиозным человеком, он видел в бесконечности нечто большее — отражение божественного. Этот теологический взгляд на математику добавлял его работе философскую глубину, но одновременно усиливал критику со стороны тех, кто, подобно Кронекеру, требовал строгой рациональности. Несмотря на сопротивление, идеи Кантора нашли поддержку в следующем поколении. Давид Гильберт, один из самых влиятельных математиков XX века, в 1926 году выступил в защиту его теории. Противостоя интуиционистам, таким как Брауэр, которые продолжали оспаривать актуальную бесконечность, Гильберт произнес знаменитые слова: "Никто не выгонит нас из рая, который создал для нас Кантор". Эта фраза стала не только признанием значения теории множеств, но и символом того, что мир бесконечностей, открытый Кантором, стал неотъемлемой частью математики. Более того, Кантор поставил цель положить теорию множеств в фундамент математики, что позже было реализовано благодаря работам Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, разработавших аксиоматическую систему ZFC, ставшую основой для построения современной математики. Хотя прямых свидетельств того, что Кантор изучал Каббалу, нет, его использование еврейской буквы алеф для обозначения бесконечных кардинальных чисел и размышления об Абсолютно Бесконечном, которое он отождествлял с Богом, намекают на возможное косвенное влияние. == Эпиграф к тому I == "Натуральные числа создал Господь Бог, всё остальное — дело рук человеческих." (с) Леопольд Кронекер, выдающийся немецкий математик XIX века. Введение [[Участник:Alexsmail/Теория множеств. Том I. Построение действительных чисел/черновик]] == Введение к тому I == Вы, наверное, нечасто задумываетесь: существуют ли числа на самом деле? Они повсюду — в часах, расстояниях, даже наших мыслях, но что они такое? Люди спорили веками, предлагая три взгляда: числа — вымысел, свойства вещей или вечные сущности, как считали Платон и Пифагор. Давайте разберёмся, взглянув на их природу и историю, чтобы понять, как строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа — главные герои этой книги. Представьте, что числа — это выдумка, плод воображения. В природе нет абстрактных «два» или «четыре» — они появляются, когда мы считаем: два яблока, четыре камня. Без нашего сознания их бы не было, как героев книги вне страниц. История подтверждает: числа рождались по необходимости. Сначала были натуральные числа — зарубки на кости из чешской пещеры, которой 20 тысяч лет, шли группами по пять, отражая пальцы руки, чтобы считать добычу или шкуры. Позже в Индии открыли ноль, осознав пустоту как число. Затем китайцы ввели отрицательные числа для учёта долгов, а египтяне — дроби для делёжки урожая, формируя рациональные числа. Племя пираха из Амазонии знало лишь «один», «два» и «много», а больше двух для них не существовало — они путались, если просили собрать пять камушков. Это говорит, что числа не врождённые, а придуманные. Даже миллионы и бесконечность — наш способ осмыслить непостижимое, они живут только в голове. Математика здесь — полезная ложь, как карта, которая помогает ориентироваться, но не является реальностью. Или числа реальны, но как свойства вещей, которые мы видим и трогаем: три дерева, семь дней, одиннадцать игроков. Натуральные числа считали шкуры, ноль обозначал отсутствие, отрицательные — долги, а рациональные делили урожай. У пираха «один» и «два» отражали рыбу или птиц, дальше — «много». Числа существуют, пока есть что считать, и математика описывает порядок: пять батончиков на троих или минус семь градусов. Действительные числа, вроде √2 или π, измеряют длины и окружности. В прикладной математике не нужны идеально точные значения — это сила рациональных приближений: 3.14 вместо бесконечного π хватает для двигателей, а 39 знаков π достаточно, чтобы измерить Вселенную с точностью до атома. Некоторые математики, вроде конструктивистов, смотрят на действительные числа... Так вот, есть те, кто сомневается в их "существовании" в строгом математическом смысле — например, в числах вроде π или √2 с бесконечными десятичными разложениями, — размышляют об их природе, и поэтому в этой книге мы подробно разбираем, как они строятся. В чистой математике, где важна строгая логика, эти бесконечные хвосты цифр кажутся каким-то искусственным изобретением. Для критиков они недостаточно «реальны», если мы не можем полностью их вычислить или ухватить, хотя в классической математике их строгость доказана и принята. В практике же они полезны как удобные приближения. Огромные числа, как миллиард световых лет, без примера — пустой звук, зеркало измеряемого. А что если числа — нечто большее, чем наша выдумка или свойства вещей, а вечные сущности, существующие вне нас, как считал Платон? Платонизм утверждает, что числа — это идеальные формы, живущие вне времени и пространства, в некоем высшем мире идей. Представьте знаменитую пещеру Платона: вы — пленник, прикованный спиной к выходу, и перед глазами лишь тени, отбрасываемые предметами внешнего мира, освещённого солнцем истины. Эти тени — всё, что вы знаете, и вы принимаете их за реальность. Платон применил эту метафору к числам: в мире идей существуют совершенные, вечные сущности — идеальная четвёрка, безупречная семёрка, даже легендарное 69. Они неизменны, неподвластны времени и независимы от нас. А в нашем мире мы видим лишь их несовершенные отражения: четыре косы в деревне, семь дней недели, 69 в пошлой шутке. Эти отражения — бледные тени истинных чисел, которые пребывают в царстве чистого разума, доступном лишь через мышление. Наш мир — лишь эхо этого высшего порядка, где числа существуют сами по себе, открытые, а не изобретённые нами. Натуральные числа, ноль, отрицательные, рациональные — всё это не выдумка, а обнаружение отголосков вечных форм. Племя пираха, различая лишь «один» и «два», едва касалось этой истины, не осознавая её глубины. Действительные числа, вроде бесконечного π, реальны и правят движением планет. Они не подвластны нам — они часть самой ткани мироздания. Но платонизм — не просто древняя философия, он оживает в современных научных идеях. Есть гипотеза математической Вселенной: весь мир — это числа, и ничего больше. Частицы — не шарики, а колебания поля, каждое с тремя числами: масса, заряд, спин. Деревья, планеты, мы сами — лишь отражения этих чисел из квантовой реальности. Там, в глубине, числа ведут суровую математическую игру, а мы видим её плоды: аромат цветов, холод молока из холодильника, лучи солнца, сушащие трусы на балконе. И вот вам загадка на засыпку: какова вероятность, что после Большого взрыва хаос уступил порядку, а Материя сложилась в гармоничную Вселенную? Роджер Пенроуз подсчитал: 1 к 10 в степени 10 в степени 23. Это число настолько чудовищно, что если бы вы рисовали по нулю на каждой частице Вселенной, вам бы не хватило частиц, чтобы вместить все нули! Вот насколько призрачным был шанс, что всё рухнет в первый же миг. Для платонизма это — триумф: числа не просто существуют, они — нерушимая основа, что держит мир, даже если нас в нём не станет. Так что же числа: вымысел, свойство вещей или божественные сущности? От зарубок до рациональных чисел, от действительных с их приближениями до вечных форм, они влияют на нас. Эта книга раскроет, как шаг за шагом строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа, чтобы вы сами выбрали, что они для вас. == 1. Наивная теория множеств == === Мотивация === * Введение в понятие множества. * Практическое применение в математике. === Примеры === * Примеры множеств: <math>P(A)</math> для конечных <math>A</math>, пустое множество (<math>\emptyset</math>). === Алгебраические операции === * Объединение множеств. * Пересечение множеств. * Разность множеств. * Дизъюнктное объединение. === Диаграмма Венна === * Иллюстрация операций над множествами. === Свойства === * Законы де Моргана. * Основные свойства операций над множествами. === Парадоксы === * Рассмотрение парадоксов, возникающих в наивной теории множеств. Множество всех групп https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a2c16983-dbcd-4f05-bfe0-605bd08d39a9 == 2. Аксиоматическая теория множеств == * Основы аксиоматической теории множеств. * Сравнение с наивной теорией множеств. * sup, inf == 3. Отношения == * Возможнсть поточечного определение и определения через формулы <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times B</math> определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math> и <math>B</math>: <math> A \times B = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\} </math>. В ZFC упорядоченная пара <math>(a, b)</math> формально определяется через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} </math>. <u>Построение декартова произведения в ZFC:</u> Чтобы доказать, что декартово произведение <math>A \times B</math> является множеством в ZFC, мы можем использовать аксиомы теории множеств, такие как аксиома степени и аксиома выделения. <u>Шаг 1: Построение множества всех подмножеств <math>A \cup B</math></u> Сначала рассмотрим множество <math>A \cup B</math>. По аксиоме степени, существует множество всех подмножеств <math>A \cup B</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>. <u>Шаг 2: Построение множества всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math></u> Применяя аксиому степени к <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, получаем множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. <u>Шаг 3: Выделение упорядоченных пар</u> Любая упорядоченная пара <math>(a, b)</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>, может быть представлена как <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Заметим, что: * <math>\left\{a\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. * <math>\left\{a, b\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a, b\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)</math>, и <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. Таким образом, все упорядоченные пары <math>(a, b)</math> являются элементами <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>. <u>Шаг 4: Применение аксиомы выделения</u> Определим свойство <math>P(z)</math>, которое характеризует упорядоченные пары: <math> P(z) \iff \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> По аксиоме выделения, существует подмножество <math>A \times B</math> множества <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>, состоящее из всех элементов <math>z</math>, удовлетворяющих <math>P(z)</math>: <math> A \times B = \left\{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))) \mid \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \right\}. </math> <u>Заключение:</u> Таким образом, декартово произведение <math>A \times B</math> существует как множество в ZFC, так как оно может быть построено с использованием аксиом степени и выделения. Это завершает доказательство. <u>Свойства упорядоченных пар:</u> <b>Упорядоченность: Упорядоченная пара <math>(a, b)</math> отличается от <math>(b, a)</math>, если <math>a \neq b</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Рассмотрим две упорядоченные пары: <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>, где <math>a \neq b</math>. Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}, </math> <math> (b, a) = \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> Теперь сравним множества <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>: * Если <math>a \neq b</math>, то <math>\left\{a\right\} \neq \left\{b\right\}</math>. * Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \neq \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Таким образом, <math>(a, b) \neq (b, a)</math> при <math>a \neq b</math>. Это доказывает свойство упорядоченности. <b>Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Пусть даны две упорядоченные пары <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math>, которые равны: <math> (a, b) = (c, d). </math> Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского, это означает: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Рассмотрим два возможных случая: <u>Случай 1: <math>a = b</math></u> Если <math>a = b</math>, то упорядоченная пара <math>(a, b)</math> принимает вид: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, a\right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\} \right\}. </math> Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это возможно только в том случае, если: * <math>\left\{c\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>c = a</math>. * <math>\left\{c, d\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>d = a</math>. Таким образом, в этом случае <math>a=b=d=c</math>, т.е. <math>a=c</math> и <math>b=d</math> <u>Случай 2: <math>a \neq b</math></u> Если <math>a \neq b</math>, то множество <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math> содержит два различных элемента: Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это равенство выполняется только в том случае, если: * <math>\left\{a\right\} = \left\{c\right\}</math>, откуда следует, что <math>a = c</math>. * <math>\left\{a, b\right\} = \left\{c, d\right\}</math>, откуда следует, что <math>b = d</math> (так как <math>a = c</math>). Таким образом, в этом случае также <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. <u>Заключение:</u> * Упорядоченность: Если <math>a \neq b</math>, то <math>(a, b) \neq (b, a)</math>. Это доказывает, что порядок элементов в упорядоченной паре важен. * Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. Это доказывает, что упорядоченная пара однозначно определяет свои элементы. <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times A</math> (или <math>A^2</math>) определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math>. <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. <b>Утверждение: Если A - множество, то <math>A^2</math> - также множество в ZFC.</b> <u>Доказательство:</u> Из доказанного ранее следует, что если <math>A</math> и <math>B</math> — множества, то <math>A \times B</math> — множество в ZFC. Подставим <math>B = A</math> в доказанное утверждение, получим: <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. Так как <math>A</math> — множество, то <math>A \times A</math> также является множеством по доказанному утверждению. Утвержжение доказано. === Основные свойства отношений === * Рефлексивность. * Симметричность. * Антисимметричность. * Транзитивность. === Отношение эквивалентности === <b>Определение:</b> Пусть <math>S</math> — некоторое множество, а <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>S</math>. Это означает, что <math>\sim</math> является подмножеством декартова произведения <math>S \times S</math> и удовлетворяет следующим свойствам: * Рефлексивность: <math>\forall x \in S , (x, x) \in \sim</math>. * Симметричность: <math>\forall x, y \in S , (x, y) \in \sim \Rightarrow (y, x) \in \sim</math>. * Транзитивность: <math>\forall x, y, z \in S , [(x, y) \in \sim \land (y, z) \in \sim] \Rightarrow (x, z) \in \sim</math>. Для каждого элемента <math>x \in S</math> определим множество <math>[x]</math> как: <math> [x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\} </math> <u>Замечание:</u> Неформально, [x] называется классом эквивалентности. <b> Утверждение 1: <math>[x] \subseteq S</math>. </b> <u>Доказательство:</u> По определению, <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math>. Поскольку <math>\sim \subseteq S \times S</math>, для любой пары <math>(x, y) \in \sim</math> выполняется <math>y \in S</math>. Следовательно, все элементы <math>[x]</math> принадлежат <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. <b>Аксиома степени и построение <math>\mathcal{P}(S)</math></b> В теории множеств ZFC аксиома степени утверждает, что для любого множества <math>A</math> существует множество <math>\mathcal{P}(A)</math>, называемое степенным множеством, которое состоит из всех подмножеств <math>A</math>: <math> \mathcal{P}(A) = \left\{ B \mid B \subseteq A \right\} </math> <b>Определение:</b> Фактор-множество <math>S / \sim</math> — это множество всех множеств вида <math>[x]</math>, где <math>x \in S</math>: <math> S / \sim = \left\{ [x] \mid x \in S \right\} </math> <b> Утверждение 2: <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Каждое множество <math>[x] \in S / \sim</math> является подмножеством <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. По определению степенного множества, <math>[x] \in \mathcal{P}(S)</math>. Следовательно, <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. Выделение <math>S / \sim</math> из <math>\mathcal{P}(S)</math> Множество <math>S / \sim</math> можно выделить из <math>\mathcal{P}(S)</math> с помощью аксиомы выделения. Для этого определим свойство <math>P(B)</math> следующим образом: <math> P(B) \iff \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) </math> Тогда: <math> S / \sim = \left\{ B \in \mathcal{P}(S) \mid \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) \right\} </math> <u>Корректность построения:</u> * Существование <math>S \times S</math>: По аксиоме парного произведения для любого множества <math>S</math> существует декартово произведение <math>S \times S</math>. * Существование <math>\sim</math>: Если <math>\sim</math> задано как подмножество <math>S \times S</math>, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, то <math>\sim</math> существует по аксиоме выделения. * Существование <math>S / \sim</math>: Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, а степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени. Тогда <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. <b>Вопрос: Можно ли построить <math>S / \sim</math> для произвольного множества <math>S</math>? </b> <b>Ответ:</b> Да, для любого множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> фактор-множество <math>S / \sim</math> существует в ZFC. Это следует из существования декартова произведения <math>S \times S</math>, аксиомы степени для построения <math>\mathcal{P}(S)</math> и аксиомы выделения для определения <math>S / \sim</math>. <u>Итоговый вывод:</u> * Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, так как <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math> и <math>\sim \subseteq S \times S</math>. * Степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени, и каждое множество <math>[x]</math> принадлежит <math>\mathcal{P}(S)</math>. * Фактор-множество <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. Таким образом, для произвольного множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> построение фактор-множества <math>S / \sim</math> корректно в ZFC. <b>Определение:</b> Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется полным покрытием множества <math>S</math>, если <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. <b>Определение:</b> Множества <math>B_i</math> попарно непересекаются, если для любых <math>i, j</math> из некоторого индекса множества <math>I</math> выполняется: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset.</math>. <b>Определение: </b>Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется разбиением множества <math>S</math>, если выполняются следующие условия: * Попарная непересекаемость. * Полное покрытие. <b>Утверждение 3: Множество <math>S / \sim</math> образует разбиение множества <math>S</math>.</b> <u>Доказательство:</u> * <u>Докажем попарную непересекамеость.</u> Пусть <math>[x]</math> и <math>[y]</math> — два различных элемента фактор-множества <math>S / \sim</math>, то есть <math>[x] \neq [y]</math>. Нужно доказать: <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>, то есть если элементы фактор-множества различны, их пересечение пусто. Предположим от противного, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>. Тогда существует <math>z \in S</math>, такой что <math>z \in [x]</math> и <math>z \in [y]</math>. Из <math>z \in [y]</math> следует, по определению элементов в фактор-множестве, <math>(y, z) \in \sim</math>. Из что <math>z \in [x]</math>, следует, по определению элементов в фактор-множестве, что <math>(x, z) \in \sim</math>. По определению элементов фактор-множества это означает: Далее, используя свойства эквивалентности: * Симметрия: если <math>(y, z) \in \sim</math>, то <math>(z, y) \in \sim</math>. * Транзитивность: из <math>(x, z) \in \sim</math> и <math>(z, y) \in \sim</math> следует, что <math>(x, y) \in \sim</math>. Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то по определению фактор-множества <math>[x] = [y]</math>, так как элементы фактор-множества совпадают, если их представители эквивалентны. Это противоречит условию <math>[x] \neq [y]</math>. Значит, предположение о том, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>, неверно, и следовательно, <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>. Что и требовалось доказать. * <u> Докажем полное покрытие</u> Теперь рассмотрим произвольный элемент <math>z \in S</math>. По свойству рефлексивности отношения <math>\sim</math>, выполняется <math>(z, z) \in \sim</math>, что означает, что <math>z \in [z]</math>. Таким образом, каждый элемент множества <math>S</math> принадлежит хотя бы одному классу эквивалентности, и объединение всех классов эквивалентности равно <math>S</math>, то есть <math>\bigcup_{x \in S} [x] = S</math>. Из этого следует, что элементы фактор-множества <math>[x]</math> образуют разбиение множества <math>S</math>, так как они попарно не пересекаются и их объединение покрывает всё множество <math>S</math>. <b> Обратное утверждение 4: Если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> образует разбиение множества <math>S</math>, то существует отношение <math>\sim</math> на <math>S</math>, такое что: </b> <math>\sim</math> является подмножеством <math>S \times S</math> и обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>, то есть каждое <math>B_i</math> совпадает с <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>{ B_i }_{i \in I}</math> — разбиение множества <math>S</math>, то есть: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset</math>. <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. Определим отношение <math>\sim</math> на <math>S</math> следующим образом: <math> \forall x, y \in S, \quad (x, y) \in \sim \iff \exists i \in I \text{ такое, что } x, y \in B_i. </math> Докажем, что <math>\sim</math> обладает требуемыми свойствами: * <u>Рефлексивность:</u> По свойствую полноты покрытия,для любого <math>x \in S</math> существует <math>B_i</math>, содержащее <math>x</math>. Значит, <math>(x, x) \in \sim</math>. * <u>Симметричность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то существует <math>B_i</math>, такое что <math>x, y \in B_i</math>. Отсюда, существует <math>B_i</math>, такое что <math>y, x \in B_i</math>. Тогда по определению <math>(y, x) \in \sim</math>. * <u>Транзитивность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math> и <math>(y, z) \in \sim</math>, то существуют <math>B_i</math> и <math>B_j</math>, такие что <math>x, y \in B_i</math> и <math>y, z \in B_j</math>. Нужно доказать, что <math>(x, z) \in \sim</math>. Допустим от противного, что <math>i \ne j</math>. Тогда по свойству попарной непересекаемости <math>B_i \cap B_j = \emptyset</math>. Однако, как мы устновили выше <math>y \in B_i \cap B_j</math>, т.е. пересечение непусто. Мы пришли к противоречию. Следотвально, <math>i = j</math>, а значит <math>B_i = B_j</math>. Тогда <math>x, y, z \in B_i</math>, то есть <math>(x, z) \in \sim</math>. Наконец, каждое множество <math>B_i</math> является <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>, так как все элементы в <math>B_i</math> эквивалентны по построенному отношению. Следовательно, <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>. Таким образом, если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> является разбиением множества <math>S</math>, то можно определить отношение <math>\sim</math>, порождающее это разбиение. ==== Примеры 1: ==== * <u>Пример 1 - равенство чисел.</u> Рассмотрим множество всех целых чисел: <math> S = \mathbb{Z} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Зададим на <math>\mathbb{Z}</math> отношение эквивалентности <math>\sim</math>: <math> \forall x, y \in \mathbb{Z}, \quad x \sim y \iff x = y. </math> * Рефлексивность: <math> \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x = x, </math> каждое число равно самому себе. Значит, <math>x \sim x</math>. * Симметрия: Если <math>x \sim y</math>, то <math>x = y</math>. Из определения равенства следует <math>y = x</math> (порядок сравнения на равенство не важен). Следовательно, <math>y \sim x</math>. * Транзитивность: Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, то <math>x = y</math> и <math>y = z</math>. Если <math>x</math> и <math>y</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> и <math>y</math> и <math>z</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> (это один и тот же <math>y</math>), то мы имеем одно и то же число <math>y</math>, т.е. <math>x=y=z</math>, отсюда <math>x=z</math>, значит, <math>x \sim z</math>. Таким образом, <math>\sim</math> является отношением эквивалентности. <u>Построение разбиения множества <math>\mathbb{Z}</math></u> Фактор-множество <math>\mathbb{Z} / \sim</math> состоит из классов эквивалентности: <math> [x] = \left\{ y \in \mathbb{Z} \mid y \sim x \right\} = {x}. </math> Каждое число эквивалентно только самому себе, значит, каждый элемент фактор-множества состоит ровно из одного элемента. Следовательно, фактор-множество имеет вид: <math> \mathbb{Z} / \sim = \left\{ {x} \mid x \in \mathbb{Z} \right\}. </math> Это разбиение множества <math>\mathbb{Z}</math> на одноэлементные подмножества. ==== Пример 2: ==== <u>Пример 2 - чётность чисел.</u> Рассмотрим множество всех натуральный чисел: <math> S = \mathbb{N} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> на множестве целых чисел следующим образом: <math> x \sim y \iff x \equiv y \pmod{2} </math>. Это означает, что два числа эквивалентны, если оба либо чётные, либо нечётные. Формально, числа <math>x</math> и <math>y</math> принадлежат к одному и тому же элементу фактор-множества, если сли остатки от деления на 2 у них одинаковые. <u>Доказательство свойств отношения эквивалентности</u> * Рефлексивность. Для любого числа <math>x \in \mathbb{Z}</math> <math> x \equiv y \pmod{2} </math>, его чётность всегда совпадает с его собственной чётностью. Таким образом, отношение эквивалентности является рефлексивным. * Симметрия. Отношение эквивалентности называется симметричным, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из множества, если <math>x \sim y</math>, то <math>y \sim x</math>. Если <math>x \sim y</math>, то <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то есть числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют одинаковую чётность. Поскольку чётность чисел не зависит от порядка их сравнения (если <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то <math>y \equiv x \pmod{2}</math>), то <math>y \sim x</math> * Транзитивность. Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, это означает, что <math>x \equiv y \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \pmod{2}</math>. Число при делении на 2 может давать два возможных остатка: 0 или 1. Остаток от деления на 2 для <math>y</math> может быть 0 (первый случай) или 1 (второй случай). По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 0 (первый случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 0. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 0. Во-втором случае, остаток от деления на 2 для <math>y</math> будет 1.По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 1 (второй случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 1. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 1. * Случай 1: <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> делятся на 2 без остатка. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно делиться на 2 без остатка. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. * Случай 2: <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> при делении на 2 дают остаток 1. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно давать остаток 1 при делении на 2. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. Других случаев нет, так как остаток от деление на 2 не может дать ни какое другое число; формально это будет доказано позже при помощи алгоритма Евклида (пусть <math>r</math> - остаток от деление на 2, тогда <math>0 \leq r < 2</math>, т.е. <math>r</math> может быть 0 или 1). Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них остатки от деления чисел <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковы. Следовательно, <math>x \sim z</math>, что и требовалось доказать. ==== Пример 3: ==== <u>Пример 3 - параллельные прямые на плоскости.</u> Рассмотрим множество S, состоящее из всех прямых на плоскости. Формально, это можно записать как: <math> S = \left\{ l \subseteq \mathbb{R}^2 \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Здесь условие <math> a^2 + b^2 \neq 0 </math> гарантирует, что хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, что необходимо для того, чтобы уравнение <math> ax + by + c = 0 </math> задавало прямую на плоскости. <u>Замечание:</u> <math>\mathbb{R}</math> будет определено далее. Ранее мы доказали, для любого множества <math>A</math>, <math>A^2</math> является множеством в ZFC, таким образом <math>\mathbb{R}^2</math> - множество. <u>Доказательство существования множества S в ZFC</u> Аксиома степени гарантирует существование множества всех подмножеств для любого множества. Таким образом, для <math>\mathbb{R}^2</math> существует множество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math> — множество всех подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. Множество <math>S</math> определяется как подмножество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, выделяемое с помощью аксиомы выделения (аксиомы подмножеств). А именно: <math> S = \left\{ l \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Таким образом, <math>S</math> является подмножеством <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, и его существование гарантировано аксиомой выделения. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение R на множестве S следующим образом: <math> R = \left\{ (l_1, l_2) \in S \times S \mid l_1 \parallel l_2 \right\}, </math> где <math> l_1 \parallel l_2 </math> означает, что прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> параллельны. <u>Доказательство свойств отношения R</u> * Рефлексивность: Для любой прямой <math> l \in S </math> выполняется <math> l \parallel l </math>, так как прямая параллельна самой себе. Следовательно, <math> (l, l) \in R </math>. * Симметричность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math>, что по определению параллельности означает <math> l_2 \parallel l_1 </math>. Следовательно, <math> (l_2, l_1) \in R </math>. * Транзитивность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math> и <math> l_2 \parallel l_3 </math>. Требуется доказать, что <math> R </math> транзитивно: если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> (l_1, l_3) \in R </math>. <u>Шаг 1: Условие и тривиальный случай</u> Дано: * <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то есть <math> l_1 \parallel l_2 </math> (прямые <math> l_1 </math> и <math> l_2 </math> не пересекаются), * <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то есть <math> l_2 \parallel l_3 </math> (прямые <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются). Нужно показать, что <math> l_1 \parallel l_3 </math>, то есть <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Сначала рассмотрим тривиальный случай: если <math> l_1 = l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math> очевидно, так как любая прямая параллельна сама себе. В этом случае <math> (l_1, l_3) \in R </math>, и свойство транзитивности выполняется. Далее будем предполагать, что <math> l_1 \neq l_3 </math>. <u>Шаг 2: Доказательство от противного для случая <math> l_1 \neq l_3 </math></u> Предположим от противного, что <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> различны и не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке <math> P </math>. Рассмотрим последствия этого предположения: * <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>. <u>Шаг 3: Анализ положения <math> P </math></u> Из условия <math> l_2 \parallel l_3 </math> следует, что <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Так как <math> P </math> лежит на <math> l_3 </math>, то <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>, иначе <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> пересекались бы в <math> P </math>, что противоречит их параллельности. Имеем, <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>, но <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>. <u>Шаг 4: Применение постулата о параллельности</u> Рассмотрим точку <math> P </math> и прямую <math> l_2 </math>: * <math>P </math> не лежит на <math> l_2 </math> (установлено на шаге 3). * В евклидовой геометрии через точку <math> P </math>, не лежащую на прямой <math> l_2 </math>, проходит ровно одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Теперь проверим прямые, проходящие через <math> P </math>: * <math> l_1 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_1 \parallel l_2 </math>), * <math> l_3 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_2 \parallel l_3 </math>). Таким образом, обе прямые, <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math>, проходят через <math> P </math> и параллельны <math> l_2 </math>. Но по постулату о параллельности через <math> P </math> может проходить только одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Поскольку мы предположили, что <math> l_1 \neq l_3 </math>, это приводит к противоречию: <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не могут быть разными прямыми, одновременно проходящими через <math> P </math> и параллельными <math> l_2 </math>. <u>Шаг 5: Вывод</u> Предположение, что <math> l_1 \neq l_3 </math> и <math> l_1 </math> не параллельна <math> l_3 </math>, неверно. Следовательно, если <math> l_1 \neq l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math>. Учитывая тривиальный случай <math> l_1 = l_3 </math> из шага 1, в любом случае <math> l_1 \parallel l_3 </math>, и значит, <math> (l_1, l_3) \in R </math>. Отношение <math> R </math> транзитивно. Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности. <u>Построение фактор-множества (оно же разбиение)</u> Отношение эквивалентности R разбивает множество S на элементы фактор-множества <math> S / R </math>, где каждый элемент фактор-множества состоит из всех прямых, параллельных друг другу. Формально, фактор-множество <math> S / R </math> можно записать как: <math> S / R = \left\{ [l] \mid l \in S \right\}, </math> где <math> [l] = \left\{ l' \in S \mid l' \parallel l \right\} </math> — элемент фактор-множества, содержащий прямую l. Каждый элемент фактор-множества <math> [l] </math> представляет собой множество всех прямых, параллельных прямой l. Таким образом, фактор-множество <math> S / R </math> состоит из всех таких элементов. Неформально говоря, мы как бы "отождествляем" все паралельные прямые. Для нас она как "одна" прямая. После такого отождествления, мы получили новое множество без паралельных прямых. ==== Пример 4: ==== <u>Пример 4 - Подобие треугольников.</u> ==== Примеры 2: ==== * Разбиение множества на элементы. * Разбиение множества на группы по длине строки. * Разбиение множества всех слов на слова, начинающиеся с гласной, и слова, начинающиеся с согласной (по первой букве). См. также важные примеры в главве про функции. === Функции === * Определение через отношения. * График функции. * Домен, кодомен, Img. * инъективные функции. * суръективные функции. * биективные функции. * Принцип Дирихле с доказательством и применением. * изоморфизм как сохранение структуры (~ и разбиение). (скажем, на примере кольца). * Группа <math>(\mathbb{Z}_2, +)</math> с операцией сложения изоморфна группе <math>({1, -1}, *)</math> с операцией умножения. * Изоморфизм множеств (~ и разбиение) * Изоморфизм частично упорядоченных множеств (~ и разбиение) === Упорядоченные множества === * Частично упорядоченное множество. * Вполне упорядоченное множество, минимальный элемент существует. * Линейно упорядоченное множество. * Дедекиндово сечение. * Непрерывные линейно упорядоченные множества. * Плотные подмножества. === Аксиома выбора, Лемма Цорна, Теорема Цермело === * Формулировки и примеры применения. <b>Формулировка теоремы о хорошей упорядоченности</b> <u>Теорема</u>: Для любого множества <math>X</math> существует отношение порядка <math>\leq</math>, которое делает <math>X</math> хорошо упорядоченным. Определение: Множество <math>X</math> с отношением порядка <math>\leq</math> называется хорошо упорядоченным, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in X</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq X</math> имеет наименьший элемент, то есть существует <math>s_0 \in S</math>, такое что для всех <math>s \in S</math> выполняется <math>s_0 \leq s</math>. <u>Шаг 1: Определение частично упорядоченного множества</u> Рассмотрим множество <math>X</math>. Определим <math>P</math> как множество всех пар <math>(A, \leq_A)</math>, где: * <math>A \subseteq X</math> — подмножество множества <math>X</math>, * <math>\leq_A</math> — хорошее упорядочение на <math>A</math>. Определим частичное упорядочение на <math>P</math>. Пусть <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> — элементы <math>P</math>. Говорим, что <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, если: * <math>A \subseteq B</math>, * <math>\leq_A</math> является ограничением <math>\leq_B</math> на <math>A</math>, то есть для всех <math>x, y \in A</math> выполняется <math>x \leq_A y</math> тогда и только тогда, когда <math>x \leq_B y</math>, * <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>, то есть если <math>b \in B</math>, <math>a \in A</math> и <math>b \leq_B a</math>, то <math>b \in A</math>. Проверим, что <math>\preceq</math> — частичное упорядочение: * Рефлексивность: <math>(A, \leq_A) \preceq (A, \leq_A)</math>, так как <math>A \subseteq A</math>, <math>\leq_A</math> совпадает с собой, и <math>A</math> — начальный сегмент себя. * Антисимметричность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>, то <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, значит <math>A = B</math>, а <math>\leq_A = \leq_B</math> по определению. * Транзитивность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (C, \leq_C)</math>, то <math>A \subseteq B \subseteq C</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_C</math>, и если <math>c \in C</math>, <math>a \in A</math>, <math>c \leq_C a</math>, то <math>c \in B</math> (так как <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>) и <math>c \in A</math> (так как <math>B</math> — начальный сегмент <math>C</math>). Множество <math>P</math> непусто, так как <math>(\emptyset, \leq_\emptyset)</math> (где <math>\leq_\emptyset</math> — пустое отношение) — элемент <math>P</math>. <u>Шаг 2: Проверка условия леммы Цорна</u> Покажем, что любая цепь в <math>P</math> имеет верхнюю грань. Цепь — это подмножество <math>C \subseteq P</math>, такое что для любых <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math> либо <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, либо <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>. * Определим <math>U = \bigcup { A \mid (A, \leq_A) \in C }</math> — объединение всех множеств <math>A</math> из цепи. * Определим отношение <math>\leq_U</math> на <math>U</math>: для <math>x, y \in U</math> положим <math>x \leq_U y</math>, если существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>x, y \in A</math> и <math>x \leq_A y</math>. Проверим, что <math>(U, \leq_U)</math> — элемент <math>P</math>: Тотальность: Если <math>x, y \in U</math>, то существуют <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math>, такие что <math>x \in A</math>, <math>y \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. В любом случае, <math>x, y</math> принадлежат большему из <math>A</math> и <math>B</math>, где порядок определён, и либо <math>x \leq_U y</math>, либо <math>y \leq_U x</math>. Хорошее упорядочение: Пусть <math>S \subseteq U</math> — непустое подмножество. Возьмём <math>s \in S</math>. Существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>s \in A</math>. Множество <math>S \cap A</math> непусто (содержит <math>s</math>), и так как <math>A</math> хорошо упорядочено, <math>S \cap A</math> имеет наименьший элемент <math>s_0</math>. Покажем, что <math>s_0</math> — наименьший в <math>S</math>: * Для любого <math>t \in S</math> существует <math>(B, \leq_B) \in C</math>, такое что <math>t \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. * Если <math>A \subseteq B</math>, то <math>s_0, t \in B</math>, и <math>s_0</math> — наименьший в <math>S \cap B</math>, значит <math>s_0 \leq_B t</math>. * Если <math>B \subseteq A</math>, то <math>t \in A</math>, и <math>s_0 \leq_A t</math>. * В любом случае, <math>s_0 \leq_U t</math>. Покажем, что <math>(U, \leq_U)</math> — верхняя грань <math>C</math>: * Для любого <math>(A, \leq_A) \in C</math> выполняется <math>A \subseteq U</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_U</math> на <math>A</math>, и <math>A</math> — начальный сегмент <math>U</math> (если <math>u \in U</math>, <math>a \in A</math>, <math>u \leq_U a</math>, то <math>u \in A</math>, так как порядок в <math>U</math> наследуется от цепи). <u>Шаг 3: Применение леммы Цорна</u> По лемме Цорна в <math>P</math> существует максимальный элемент <math>(M, \leq_M)</math>. Утверждаем, что <math>M = X</math>. Предположим, что <math>M \neq X</math>, и существует <math>x \in X \setminus M</math>. Расширим <math>(M, \leq_M)</math>, добавив <math>x</math>. Определим <math>M' = M \cup {x}</math> и отношение <math>\leq_{M'}</math>: * Для <math>a, b \in M</math>: <math>a \leq_{M'} b</math> тогда и только тогда, когда <math>a \leq_M b</math>, * Для всех <math>m \in M</math>: <math>m \leq_{M'} x</math>, * <math>x \not\leq_{M'} m</math> для всех <math>m \in M</math>. <math>(M', \leq_{M'})</math> — хорошее упорядочение: * Тотальность: добавлен только <math>x</math>, и он больше всех элементов <math>M</math>. * Каждое непустое <math>S \subseteq M'</math> имеет наименьший элемент: если <math>S \subseteq M</math>, то по свойству <math>M</math>; если <math>x \in S</math>, то наименьший элемент — либо <math>x</math>, либо минимальный элемент <math>S \cap M</math>. Тогда <math>(M, \leq_M) \preceq (M', \leq_{M'})</math>, но <math>M \subsetneq M'</math>, что противоречит максимальности <math>(M, \leq_M)</math>. Следовательно, <math>M = X</math>, и <math>(X, \leq_M)</math> — хорошее упорядочение <math>X</math>. <u>Вывод</u> Теорема доказана: для любого <math>X</math> существует хорошее упорядочение, что следует из применения леммы Цорна к множеству всех хороших упорядочений подмножеств <math>X</math>. === Вполне упорядоченные множества === * Определение. * Связь с фундированными множествами. === Фундированные множества === * Определение. * Эквивалентное определение через обрыв убывающих цепей. == 4. Построение натуральных чисел == * Аксиомы Пеано. * Доказательство их основных свойств. * Доказательство эквивалентности между полной мат. индукцией, частичной и в любом подмножестве есть минимум. * Метод бесконечного спуска. * Примеры применения мат. индукции, полной мат. индукции и метода бесконечного спуска. * Если A - множество, то A^n - множество в ZFC. Конструкция фон Неймана — это способ формального определения натуральных чисел (<math>\mathbb{N}</math>) в рамках теории множеств, предложенный Джоном фон Нейманом. Она позволяет построить числа как множества, начиная с пустого множества, и задает их так, чтобы каждое следующее число было "наследником" предыдущего. Этот метод широко используется в аксиоматической теории множеств, например, в ZFC (Цермело-Френкель с аксиомой выбора), чтобы строго обосновать существование <math>\mathbb{N}</math> и операций над ним. Давайте разберем это подробно. Идея конструкции Основная идея состоит в том, чтобы: * Определить каждое натуральное число как множество, содержащее все предыдущие числа. * Использовать пустое множество как отправную точку (нуль). * Определить операцию "наследника" (увеличения на 1) как добавление самого числа в множество. Таким образом, числа строятся иерархически, и их порядок задается вложенностью множеств. Формальное определение В конструкции фон Неймана: * <math>0</math> определяется как пустое множество: <math>0 = \emptyset</math> * Каждое следующее число <math>n + 1</math> (наследник <math>n</math>) определяется как множество, содержащее <math>n</math> и все элементы <math>n</math>: <math>S(n) = n \cup { n }</math>, где <math>S(n)</math> — функция наследника. Теперь построим первые несколько чисел: * <math>0 = \emptyset</math> (множество без элементов), * <math>1 = S(0) = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \emptyset \cup { \emptyset } = { \emptyset }</math>, * <math>2 = S(1) = 1 \cup { 1 } = { \emptyset } \cup { { \emptyset } } = { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>3 = S(2) = 2 \cup { 2 } = { \emptyset, { \emptyset } } \cup { { \emptyset, { \emptyset } } } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math>, и так далее. Или в более читаемой форме: * <math>0 = \emptyset</math> (0 элементов), * <math>1 = { 0 } = { \emptyset }</math> (1 элемент), * <math>2 = { 0, 1 } = { \emptyset, { \emptyset } }</math> (2 элемента), * <math>3 = { 0, 1, 2 } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math> (3 элемента). Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> Множество <math>\mathbb{N}</math> определяется как наименьшее множество, которое: * Содержит <math>0 = \emptyset</math>, * Замкнуто относительно операции наследника <math>S(n) = n \cup { n }</math>. <u>Замечание 1:</u> В некоторых разделах математики натуральные числа начинаются с 1. Это эквивалентное определение в том смысл, что они удовлетворяют аксиомам Пеано (см. ниже). Мы же будем считать, что <math>\0 \in \mathbb{N}</math> <u>Замечание 2:</u> TBD: интуитивный смысл, история нуля Формально в ZFC это гарантируется аксиомой бесконечности, которая утверждает существование индуктивного множества <math>\omega</math> (обычно обозначаемого как <math>\mathbb{N}</math> в этом контексте): * <math>\emptyset \in \omega</math>, * Если <math>n \in \omega</math>, то <math>S(n) = n \cup { n } \in \omega</math>. Таким образом: <math>\mathbb{N} = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } }, { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }, ... }</math> Свойства конструкции Порядок: * Отношение порядка задается через включение множеств (<math>\in</math>): * <math>0 \in 1</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset }</math>, * <math>1 \in 2</math>, так как <math>{ \emptyset } \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>0 \in 2</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>. * Это соответствует интуитивному порядку <math>0 < 1 < 2 < ...</math>. Количество элементов: Мощность множества <math>n</math> равна <math>n</math> (например, <math>|2| = |{ \emptyset, { \emptyset } }| = 2</math>), что делает конструкцию удобной для подсчета. Уникальность: Каждое число <math>n</math> уникально определено как множество всех предыдущих чисел: <math>n = { 0, 1, 2, ..., n-1 }</math>. Операции на <math>\mathbb{N}</math> После построения <math>\mathbb{N}</math> можно определить сложение и умножение рекурсивно: Сложение: * <math>m + 0 = m</math>, * <math>m + S(n) = S(m + n)</math>. Пример: <math>1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2</math>. Умножение: * <math>m \cdot 0 = 0</math>, * <math>m \cdot S(n) = m \cdot n + m</math>. Пример: <math>2 \cdot 1 = 2 \cdot S(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2</math>. Доказательство аксиом Пеано: После построения натуральных чисел в ZFC необходимо доказать, что они удовлетворяют аксиомам Пеано. Вот как это делается: Аксиома 1: <math>0</math> — натуральное число. Это выполняется по определению: <math>0 = \emptyset</math>, и <math>\emptyset</math> включён в <math>\mathbb{N}</math>. Аксиома 2: Для каждого натурального числа <math>n</math> существует следующее число <math>S(n)</math>. Это выполняется по определению операции следования: <math>S(n) = n \cup {n}</math>. Аксиома 3: <math>0</math> не является последователем никакого натурального числа. Это выполняется, так как <math>S(n) = n \cup {n}</math> всегда содержит элемент <math>n</math>, а <math>0 = \emptyset</math> не содержит элементов. Аксиома 4: Если <math>S(n) = S(m)</math>, то <math>n = m</math>. Это следует из того, что <math>S(n) = n \cup {n}</math> и <math>S(m) = m \cup {m}</math>. Если эти множества равны, то <math>n = m</math>. Аксиома 5 (индукция): Если некоторое утверждение верно для <math>0</math> и из его истинности для <math>n</math> следует истинность для <math>S(n)</math>, то оно верно для всех натуральных чисел. Это следует из аксиомы бесконечности и определения <math>\mathbb{N}</math> как наименьшего множества, содержащего <math>0</math> и замкнутого относительно <math>S</math>. === примеры мат. индукции === '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. 2. Формула Бернули *. Теорема о функциональной полноте множеств https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 *. Доказательство невозможности выразить дизъюнктное объединение через ∩, ∪, * https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a7466a6d-1964-49d9-b77f-e35292cd50c6 === Алгоритм Евклида === 1. Определение gcd. 2. Существование gcd для любый натуральных чисел. 3. Лемма о делении с остатком. 4. Свойство gcd при делении с остатком: gcd(a, b)=gcd(b, r) 5. Алгоритм Евклида === Основная теорема арифметики === 6. Определение простого числа Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само p. 7. Лемма о простом делителе Она утверждает, что если простое число p делит произведение ab, то оно делит хотя бы один из множителей: <math> p \mid ab \quad \Rightarrow \quad p \mid a \quad \text{или} \quad p \mid b. </math> Эта лемма доказывается с помощью НОД и алгоритма Евклида. 8. Основная теорема арифметики. 9. gcd(km, kn)=k*gcd(m, n) 10. Следствие: gcd(km, kn)>=k === Альтернативный (школьный) способ нахождения gcd === 1. Раскладываем обо числа на простые числа/множители (по основной теореме арифметики это можно сделать). 2. Берём общие множители обоих чисел. Доказать, что получится gcd. Замечание: не известно эффективного способа это сделать. В школе делается методом перебора. === Теорема о бесконечном количесте простых чисел === * Формулировка * Доказательство == 5. Построение целых чисел == Z - Архимедово упорядоченное коммутативное кольцо с единицей * Определение целых чисел. * Доказательство их свойств. Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = \left\{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. Операции на <math>\mathbb{Z}</math> Определим операции на целых числах, представленных парами. Сложение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> сложение определяется как: <math> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) </math> После выполнения операции результат приводится к канонической форме, если это необходимо. Умножение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> умножение определяется как: <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) </math> После умножения результат также приводится к канонической форме. Отрицание Отрицание числа <math>(a, b)</math> представляется как: <math> -(a, b) = (b, a) </math> Порядок Порядок на множестве целых чисел определяется следующим образом: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a + d < b + c </math> Это определение согласуется с обычным порядком целых чисел. Включение натуральных чисел в <math>\mathbb{Z}</math> Натуральные числа <math>n \in \mathbb{N}</math> включаются в <math>\mathbb{Z}</math> по следующему правилу: <math> n \mapsto (n, 0) </math> Это отображение позволяет включить все натуральные числа в множество целых чисел. Проверка корректности: Необходимо убедиться, что определённые операции удовлетворяют свойствам целых чисел (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента и т.д.). === Альтернативное определение === Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = { (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} } </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. <u>Чтобы доказать, что оба подхода приводят к одной и той же структуре, нам нужно:</u> 1. Показать, что элементы множества <math>\mathbb{Z}</math> из первого определения эквивалентны элементам из второго определения. В первом определении, каждый элемент целого числа — это пара <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> является целым числом. Для этого определим эквивалентность между парами <math>(a, b)</math> и элементами множества <math>\mathbb{Z}</math>, представленными как элементы <math>n \in \mathbb{N}</math> или <math>-n \in \mathbb{N}</math>. * Если <math>a - b = n</math>, то элемент <math>(a, b)</math> будет соответствовать числу <math>n \in \mathbb{Z}</math>. * Если <math>a - b = -n</math>, то это будет отрицательное число, которое также принадлежит множеству целых чисел. То есть, каждую пару <math>(a, b)</math> можно ассоциировать с целым числом из множества <math>\mathbb{Z}</math>, определённого как объединение положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. 2. Показать, что операции над числами из первого определения совпадают с операциями из второго определения. В первом определении операции сложения и вычитания на парах <math>(a, b)</math> можно интерпретировать как операцию вычитания разности <math>a - b</math>. Например: * Сложение двух целых чисел, представленных парами <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, будет равняться разности <math>(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)</math>. * Вычитание чисел также можно интерпретировать через разности пар, аналогично. В втором определении операции сложения и вычитания целых чисел аналогичны стандартным операциям для чисел в <math>\mathbb{Z}</math>, и они также дают результат в том же множестве. Таким образом, для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует соответствующее целое число в втором определении, и операции на этих числах совпадают. 4. Окончательное доказательство эквивалентности Отображение: 1. Каждое целое число из первого определения (в виде пары <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> — целое число) соответствует числу в втором определении (где целые числа представлены как элементы множества <math>\mathbb{Z}</math>, включая положительные, отрицательные числа и ноль). Таким образом, существует взаимно однозначное отображение между этими двумя представлениями целых чисел. Операции: Операции сложения и вычитания в обоих определениях совпадают: * В первом определении операции сложения и вычитания пар эквивалентны операциям над целыми числами в обычной арифметике. * Во втором определении операции на множестве <math>\mathbb{Z}</math> — это стандартные операции сложения и вычитания целых чисел. 3. Множества: Обе конструкции приводят к тому же множеству, потому что для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует уникальное целое число, которое представлено во втором определении. Следовательно, оба определения приводят к одной и той же структуре множества целых чисел с одинаковыми операциями. Утверждение: для любого числа a выполняется равенство <math>0 \cdot a = 0</math>. Доказательство: Шаг 1: Используем свойство дистрибутивности По дистрибутивному закону умножения относительно сложения имеем: <math>(0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Но мы знаем, что <math>0 + 0 = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Шаг 2: Вычитаем 0⋅a0⋅a из обеих частей Рассмотрим полученное равенство: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Вычтем <math>0 \cdot a</math> из обеих частей: <math>0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. По свойству сложения <math>x - x = 0</math> левая часть упрощается: <math>0 = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. А правая часть: <math>0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a</math>. Таким образом: <math>0 = 0 \cdot a</math>. Заключение Мы доказали, что <math>0 \cdot a = 0</math> для любого числа aa. Утверждение: для любого числа aa выполняется равенство <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Доказательство: Шаг 1: Определение отрицательного числа По определению отрицательного числа: <math>a + (-a) = 0</math>. Это означает, что <math>-a</math> — единственное число, которое при сложении с <math>a</math> даёт ноль. Шаг 2: Рассмотрим выражение <math>(-1) \cdot a</math> Рассмотрим число <math>(-1) \cdot a</math>. Мы хотим показать, что оно удовлетворяет тому же свойству: <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. Шаг 3: Используем дистрибутивность Рассмотрим сумму <math>1 + (-1)</math> и применим дистрибутивный закон: <math>(1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Известно, что <math>1 + (-1) = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 4: Свойство нуля По доказанному ранее свойству умножения на ноль, для любого числа aa: <math>0 \cdot a = 0</math>. Подставим это в предыдущее равенство: <math>0 = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Заметим, что <math>1 \cdot a = a</math>, так как умножение на 1 сохраняет число. Тогда: <math>0 = a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 5: Заключение Мы получили, что <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. По определению <math>-a</math> как единственного числа, удовлетворяющего равенству <math>a + (-a) = 0</math>, следует: <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Что и требовалось доказать. === Модуль числа === Определение и свойства как норма плюс |ab|=|a||b| + |x|<=a iff -a<=x<=a+ |x|>=a iff x<=-a and x>=a === Алгоритм Евклида, обобщённый для целых чисел === Алгоритм Евклида, изначально сформулированный для натуральных чисел, может быть обобщён на целые числа (включая отрицательные). Основная идея заключается в том, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел определён с точностью до знака, и алгоритм Евклида может быть адаптирован для работы с целыми числами без существенных изменений. 1. Определение НОД для целых чисел Для целых чисел <math>a</math> и <math>b</math> (не равных одновременно нулю), НОД <math>\gcd(a, b)</math> — это наибольшее целое число <math>d</math>, которое делит одновременно <math>a</math> и <math>b</math>. НОД определён с точностью до знака: если <math>d</math> является НОД, то <math>-d</math> также является НОД. Обычно выбирают положительное значение. 2. Обобщение алгоритма Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел работает практически так же, как и для натуральных чисел. Основные шаги: Вход: Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math>, не равных одновременно нулю. Шаги: Если <math>b = 0</math>, то <math>\gcd(a, b) = |a|</math> (берётся модуль, чтобы результат был положительным). Иначе: Вычислить остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math>: <math>a = b \cdot q + r</math>, где <math>0 \leq |r| < |b|</math>. Заменить <math>a</math> на <math>b</math>, а <math>b</math> на <math>r</math>. Повторять процесс, пока <math>b</math> не станет равным нулю. Выход: Последний ненулевой остаток <math>r</math> (или его модуль, если требуется положительное значение). 3. Пример работы алгоритма для целых чисел Рассмотрим пример нахождения <math>\gcd(48, -18)</math>: <math>a = 48</math>, <math>b = -18</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>48</math> на <math>-18</math>: <math> 48 = (-18) \cdot (-2) + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12. </math> Теперь <math>a = -18</math>, <math>b = 12</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>-18</math> на <math>12</math>: <math> -18 = 12 \cdot (-2) + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6. </math> Теперь <math>a = 12</math>, <math>b = 6</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>12</math> на <math>6</math>: <math> 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0. </math> Алгоритм завершается, так как <math>b = 0</math>. Последний ненулевой остаток равен <math>6</math>. Таким образом, <math>\gcd(48, -18) = 6</math>. 4. Корректность обобщения Алгоритм Евклида для целых чисел корректен, так как: НОД определён с точностью до знака, и алгоритм находит одно из возможных значений. Лемма о делении с остатком работает и для целых чисел: для любых целых <math>a</math> и <math>b</math> (где <math>b \neq 0</math>) существуют целые <math>q</math> и <math>r</math> такие, что: <math> a = b \cdot q + r, \quad \text{где } 0 \leq |r| < |b|. </math> Свойство <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, r)</math> сохраняется для целых чисел. 5. Замечание о знаке Если требуется, чтобы НОД был положительным, на последнем шаге можно взять модуль последнего ненулевого остатка. Например, <math>\gcd(48, -18) = |6| = 6</math>. Итог Алгоритм Евклида обобщается на целые числа практически без изменений. Основные отличия: Остаток <math>r</math> вычисляется с учётом знака, но <math>0 \leq |r| < |b|</math>. НОД определён с точностью до знака, поэтому результат можно взять по модулю. <b>Теорема (свойство Архимеда):</b> Для любого целого числа <math>z \in \mathbb{Z}</math> существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math>, такое, что <math>n > z</math>. <b>Замечание:</b> Иными словами, множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не ограничено сверху в множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пусть дано произвольное целое число <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Мы должны показать, что существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, для которого <math>n > z</math>. Рассмотрим два случая: <u>Случай 1: Если <math>z \le 0</math>.</u> В этом случае мы можем выбрать <math>n = 1</math>. Так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>1 > 0 \ge z</math>, то <math>n > z</math> <u>Случай 2: Если <math>z > 0</math> </u> (о есть <math>z</math> само является положительным натуральным числом) Рассмотрим целое число <math>n = z + 1</math>. Поскольку <math>z \in \mathbb{Z}</math> и <math>1 \in \mathbb{Z}</math>, то их сумма <math>z+1 \in \mathbb{Z}</math>. Так как <math>z > 0</math>, то <math>z \ge 1</math>. Следовательно, <math>n = z + 1 \ge 1 + 1 = 2</math>. Это означает, что <math>n</math> является натуральным числом, <math>n \in \mathbb{N}</math>. По свойствам целых чисел, прибавление положительного числа (<math>1</math>) к <math>z</math> дает большее число: <math>z + 1 > z</math>, то есть <math>n > z</math>. Что и требовалось доказать. <b>Замечание:</b> Кажется, что формулировка и доказательство этого утверждения является тривиальным, однако, при построении других чисел выяснится его важность. '''Следствие:''' '''Утверждение:''' Для любых <math>a, z \in \mathbb{Z}</math> таких, что <math>a > 0</math>, существует <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>na > z</math>. '''Доказательство:''' Возьмем <math>a \in \mathbb{Z}, a > 0</math> и <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Из доказанного выше существует <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>n_0 > z</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Z}</math> и <math>a > 0</math>, то <math>a \ge 1</math>. Если <math>a = 1</math>, то <math>n_0 a = n_0 > z</math>. Если <math>a > 1</math>, то тем более <math>n_0 a > n_0 > z</math>. Итак, можно взять <math>n = n_0</math>. Утверждение доказано. == 6. Построение рациональных чисел == Q - архимедово упорядоченно поле * Определение рациональных чисел. * Доказательство их свойств. * Модуль числа и его свойства. 1. Определение рациональных чисел Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел: <math> \mathbb{Q} = \{ (a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}. </math> Здесь <math>(a, b)</math> интерпретируется как "рациональное число", соответствующее дроби <math>a/b</math>, но без использования классов эквивалентности. 2. Определение операций Раз операции выполняются непосредственно над парами, никакого отождествления вроде <math>(2,4) \sim (1,2)</math> нет — каждая пара представляет уникальный элемент. Сложение <math> (a, b) + (c, d) = (a d + b c, b d). </math> Умножение <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a c, b d). </math> Отрицание <math> -(a, b) = (-a, b). </math> Обратный элемент (деление) Если <math>a \neq 0</math>, то: <math> (a, b)^{-1} = (b, a). </math> Вычитание <math> (a, b) - (c, d) = (a d - b c, b d). </math> Деление Если <math>c \neq 0</math>, то: <math> (a, b) \div (c, d) = (a d, b c). </math> 3. Включение целых чисел в рациональные Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> естественно включается в <math>\mathbb{Q}</math> по правилу: <math> z \mapsto (z, 1). </math> То есть каждое целое число <math>z</math> представляется парой <math>(z,1)</math>. 4. Определение порядка на Q Зададим отношение порядка на множестве пар: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a d < b c. </math> Это согласуется с привычным порядком дробей. 5. Приведение к каноническому виду Так как пары вроде <math>(2,4)</math> и <math>(1,2)</math> не эквивалентны, но представляют одно и то же число, можно ввести каноническое представление: Определим функцию <math>\text{norm}(a, b)</math>, которая преобразует пару к виду, где <math>\gcd(a, b) = 1</math> и <math>b > 0</math>. Любое рациональное число можно привести к такому представлению алгоритмически. Нормализация Чтобы исключить множественное представление одного и того же числа (например, <math> (2,4) </math> и <math> (1,2) </math>), можно ввести каноническую форму записи рационального числа, требуя, чтобы <math> \gcd(a, b) = 1 </math> и <math> b > 0 </math>. Тогда каждое рациональное число представляется единственным образом. Чтобы перейти от представления рационального числа в виде пары <math>(a, b)</math> к стандартной записи <math>\frac{p}{q}</math>, нужно привести пару к канонической форме: Приведение к несократимой дроби Для данного числа <math>(a, b)</math> вычислим наибольший общий делитель (НОД): <math> \gcd(a, b) = d. </math> Тогда можно записать: <math> \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Это эквивалентно сокращению дроби. Обеспечение положительного знаменателя Если после сокращения <math>b < 0</math>, то умножаем числитель и знаменатель на <math>-1</math>, чтобы знаменатель стал положительным: <math> \left(-\frac{a}{d}, -\frac{b}{d} \right) = \left(\frac{-a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Запись в виде дроби Теперь число представляется в стандартной форме: <math> \frac{p}{q}, </math> где <math> p = \frac{a}{d} </math>, <math> q = \frac{b}{d} </math> и <math> \gcd(p, q) = 1 </math>, <math> q > 0 </math>. Таким образом, каждая пара <math>(a, b)</math> соответствует единственной несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>. Свойства Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения: Можно проверить, что операции сложения и умножения обладают стандартными свойствами. Нейтральные элементы: Для сложения нейтральный элемент: <math>(0, 1)</math>. Для умножения нейтральный элемент: <math>(1, 1)</math>. Обратные элементы: Для сложения: <math>-(a, b) = (-a, b)</math>. Для умножения: <math>(a, b)^{-1} = (b, a)</math> при <math>a \neq 0</math>. Дистрибутивность: <math> (a, b) \cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) \cdot (c d + e f, d f) </math> что согласуется с обычными правилами. === Модуль числа === Определение Свойства и доказательство === Альтернативное построение === Без условия gcd(a, b)=1. В каждом классе эквивалентности выбирать дробь с наименьшим знаминтатлем (минимум в непустом подмножестве N существует). https://chat.deepseek.com/a/chat/s/3b4728b9-ac28-44e4-9fd8-055c525398ec === Прогресии === * Определение последовательности чисел в рамках ZFC. * Определение предела последовательности. Определение сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> для всех <math>n > N</math> <b>Утверждение:</b> Пусть <math>a_n</math> — последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, такая что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>, и пусть <math>C \in \mathbb{Q}</math>. Тогда: <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot a_n = C \cdot L</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. <b>Доказательство:</b> Дано * <math>a_n \in \mathbb{Q}</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>. * <math>C \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. * Новая последовательность: <math>b_n = C \cdot a_n</math>. Так как <math>\mathbb{Q}</math> замкнуто относительно умножения, <math>b_n \in \mathbb{Q}</math>, и <math>C \cdot L \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>\lim_{n \to \infty} b_n = C \cdot L</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что: <math>|b_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Рассмотрим: <math>|b_n - C \cdot L| = |C \cdot a_n - C \cdot L| = |C \cdot (a_n - L)|</math>. Используем свойство модуля: <math>|C \cdot (a_n - L)| = |C| \cdot |a_n - L|</math>, где <math>|C|</math> — неотрицательное рациональное число. Если <math>C = 0</math>, то <math>b_n = 0 \cdot a_n = 0</math>, и <math>C \cdot L = 0 \cdot L = 0</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |0 - 0| = 0 < \varepsilon</math>, для любого <math>\varepsilon > 0</math> и всех <math>n</math>. Предел тривиально равен <math>0</math>, что соответствует <math>C \cdot L</math>. Этот случай доказан. Пусть <math>C \neq 0</math>, тогда <math>|C| > 0</math>, и <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Так как <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, для любого <math>\delta > 0</math>, <math>\delta \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \delta</math> при <math>n > N</math>. Выберем <math>\delta = \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Поскольку <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>, и <math>|C| \neq 0</math>, то <math>\frac{\varepsilon}{|C|} \in \mathbb{Q}</math> и <math>\frac{\varepsilon}{|C|} > 0</math>. По определению сходимости <math>a_n \to L</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{|C|}</math> при <math>n > N</math>. Умножим обе части на <math>|C|</math> (положительное число): <math>|C| \cdot |a_n - L| < |C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Упростим правую часть: <math>|C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|} = \varepsilon</math>. Следовательно: <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, мы нашли <math>N</math>, зависящее от сходимости <math>a_n \to L</math> и величины <math>\frac{\varepsilon}{|C|}</math>, такое что <math>|C \cdot a_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Это выполняется для любого <math>C \in \mathbb{Q}</math>, включая <math>C = 0</math> и <math>C \neq 0</math>. Все операции (вычитание, умножение, деление на ненулевое число) проводятся в <math>\mathbb{Q}</math>, и предел <math>C \cdot L</math> также лежит в <math>\mathbb{Q}</math>. Теорема доказана. '''Замечание:''' Доказательство использует только определение предела и алгебраические свойства рациональных чисел, оставаясь строго в рамках <math>\mathbb{Q}</math>. * Неравенство Бернули <b>Утверждение:</b> Для любого натурального числа <math>n</math> (<math>n = 1, 2, 3, \dots</math>) и любого <math>\delta \ge -1</math> выполняется <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> <b>Замечание:</b> Если <math>\delta</math> рационально, то все операции (сложение, умножение, сравнение) остаются в рамках рациональных чисел. <b>База индукции</b> (<math>n = 1</math>): Проверяем неравенство для <math>n = 1</math>: <math>(1 + \delta)^1 \ge 1 + (1)\delta</math> <math>1 + \delta \ge 1 + \delta</math> Это верно. <b>Индукционное предположение</b> (Шаг индукции - гипотеза): Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа <math>k \ge 1</math>: <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (это наша гипотеза) <b>Индукционный переход</b> (Шаг индукции - доказательство для <math>k+1</math>): Нужно доказать, что неравенство верно для <math>n = k + 1</math>, то есть: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math> Начнем с левой части и используем предположение: <math>(1 + \delta)^{k+1} = (1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta)</math> Так как <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (по предположению) и <math>(1 + \delta) \ge 0</math> (поскольку <math>\delta \ge -1</math>), мы можем умножить обе части предположения на <math>(1 + \delta)</math>, сохранив знак неравенства: <math>(1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta) \ge (1 + k\delta) \cdot (1 + \delta)</math> Раскроем скобки в правой части: <math>(1 + k\delta) \cdot (1 + \delta) = 1 + \delta + k\delta + k\delta^2 = 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Итак, мы получили: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Поскольку <math>k</math> - натуральное число (<math>k \ge 1</math>) и <math>\delta^2 \ge 0</math> (квадрат любого числа не отрицателен), то <math>k\delta^2 \ge 0</math>. Следовательно, <math>1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math>. Объединяя неравенства, получаем: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math> Таким образом, мы доказали, что <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math>. <b>Вывод:</b> По принципу математической индукции, неравенство Бернулли <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> верно для всех натуральных чисел <math>n</math> и всех <math>\delta \ge -1</math>. * Арифметическая прогрессия, примеры, формулы, доказательства. * Геометрическа прогрессия, примеры, формулы, доказательства. Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) , если r ≠ 1 S_n = n * a , если r = 1 * Аксиома Архимеда-Евдокса для рациональных чисел. <b>Теорема (принцип Архимеда-Евдокса, оно же архимедово свойство): </b> Для любого рационального числа R всегда можно найти натуральное число N (т.е. целое положительное число 1, 2, 3, ...), которое будет больше этого R. ∀ R ∈ Q ∃ N ∈ ℕ : N > R '''Доказательство:''' Любое рациональное число R можно представить в виде дроби p/q, где p - целое, q - натуральное. Если R ≤ 0, то N = 1 подходит (1 > R). Если R > 0, то R = p/q, где p и q - натуральные числа. Нам нужно найти натуральное N такое, что N > p/q. Это эквивалентно Nq > p. Поскольку p и q - целые числа, мы можем просто взять N = p + 1. Так как q ≥ 1, то Nq = (p+1)q = pq + q ≥ p + 1 > p. Значит, N = p + 1 (которое является натуральным, так как p натуральное) удовлетворяет условию N > p/q = R. Это доказывает, что для любого рационального R найдется натуральное N > R, используя только свойства целых и рациональных чисел. <b>Замечание:</b> В общем случае аксиома Архимеда-Евдокса независима от аксиом упорядоченного поля, т.е. существуют неархимедовы упорядоченные поля, как например, поле рациональных функций ℝ(x), то есть дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами, Q ≠ 0. В этом поле можно ввести порядок, сказав, что функция положительна если знак старшего коэффициента P(x) совпадает со знаком старшего коэффициента Q(x). Можно показать, что для элемента a = 1 (> 0) и элемента b = x (> 0) в поле ℝ(x), неравенство n * a > b (то есть n * 1 > x) не выполняется ни для какого натурального числа n (т.е. x является бесконечно-большим по-сравнению с обычными действительными числами). * Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии в Q. ''' Утверждение:''' Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом <math>a</math> и знаменателем <math>r</math>. Если абсолютное значение знаменателя строго меньше единицы (<math>|r| < 1</math>), то ряд, составленный из членов этой прогрессии (<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots</math>), сходится, и его сумма <math>S</math> равна: <math>S = \frac{a}{1 - r}</math>. Если <math>|r| \ge 1</math> и <math>a \ne 0</math>, то ряд расходится (не имеет конечной суммы). Если <math>a = 0</math>, то ряд сходится к <math>0</math> при любом <math>r</math>. '''Замечание:''' Уточнение в контексте рациональных чисел (<math>\mathbb{Q}</math>): Если первый член <math>a</math> и знаменатель <math>r</math> являются рациональными числами (<math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math>) и выполняется условие сходимости <math>|r| < 1</math>, то сумма бесконечного ряда <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> также является рациональным числом (<math>S \in \mathbb{Q}</math>). '''Доказательство:''' '''Рассматриваемые объекты:''' * Первый член <math>a \in \mathbb{Q}</math>. * Знаменатель прогрессии <math>r \in \mathbb{Q}</math>. * Условие сходимости: <math>|r| < 1</math> (сравнение рациональных чисел). * Все члены прогрессии <math>a, ar, ar^2, \dots</math> являются рациональными числами. '''Частичная сумма:''' Рассмотрим <math>n</math>-ую частичную сумму: <math>S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}</math>. Умножим <math>S_n</math> на <math>r</math>: <math>r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n</math>. Вычтем второе из первого: <math>S_n - r \cdot S_n = a - ar^n</math>. Преобразуем: <math>S_n \cdot (1 - r) = a \cdot (1 - r^n)</math>. Так как <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>r \ne 1</math> (иначе <math>|r| < 1</math> не выполняется при <math>a \ne 0</math>), то <math>1 - r</math> — ненулевое рациональное число. Разделим на <math>1 - r</math>: <math>S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}</math>. Заметим, что при <math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math> каждый член <math>S_n</math> также является рациональным числом. '''Предел частичных сумм (в <math>\mathbb{Q}</math>):''' Нам нужно найти предел последовательности <math>{S_n}</math> при <math>n \to \infty</math>. Покажем, что эта последовательность сходится к некоторому числу <math>L</math>, которое также принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Преобразуем <math>S_n</math>: <math>S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Обозначим <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Q}</math> и <math>1 - r \in \mathbb{Q}</math> (и не равно <math>0</math>), то <math>L \in \mathbb{Q}</math>. Это кандидат на предел. Теперь докажем, что <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math> в смысле сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>. Это эквивалентно доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>. Вычислим: <math>S_n - L = -\frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Нам нужно показать, что последовательность <math>x_n = C \cdot r^n</math> сходится к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, где <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — некоторое фиксированное рациональное число. Это сводится к доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, когда <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>|r| < 1</math>. '''Доказательство <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>:''' Нужно показать, что для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное число <math>N</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r^n - 0| < \varepsilon</math>, то есть <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Пусть <math>r = \frac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> — целые числа, <math>q \ne 0</math>, и <math>\left|\frac{p}{q}\right| < 1</math>, значит <math>|p| < |q|</math>. (Если <math>r = 0</math>, то предел очевидно равен <math>0</math>). Мы хотим показать, что <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n</math> становится меньше любого заданного рационального <math>\varepsilon > 0</math> при достаточно большом <math>n</math>. Поскольку <math>\frac{|q|}{|p|} > 1</math>, положим <math>\frac{|q|}{|p|} = 1 + \delta</math>, где <math>\delta = \frac{|q| - |p|}{|p|}</math> — рациональное число и <math>\delta > 0</math>. Неравенство <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n < \varepsilon</math> эквивалентно <math>\left(\frac{1}{1 + \delta}\right)^n < \varepsilon</math>, или <math>(1 + \delta)^n > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Используем неравенство Бернулли: <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math>. Нам достаточно найти такое <math>N</math>, чтобы для <math>n > N</math> выполнялось <math>1 + n\delta > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Это равносильно: <math>n\delta > \frac{1}{\varepsilon} - 1</math>, или: <math>n > \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{\delta}</math>. Поскольку <math>\frac{1}{\varepsilon}</math> и <math>\delta</math> рациональны, то правая часть — некоторое рациональное число <math>R</math>. По утверждению Архимеда-Евдокса для рациональных чисел, всегда найдется натуральное число <math>N > R</math>. Следовательно, для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Это доказывает, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. '''Завершение доказательства суммы:''' Поскольку <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) и <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — рациональная константа, то <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) по свойству пределов в <math>\mathbb{Q}</math> доказанному выше. Значит: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>, что означает: <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math>. Мы показали, что последовательность частичных сумм <math>{S_n}</math>, состоящая из рациональных чисел, сходится к числу <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>, которое также является рациональным. '''Вывод:''' Формула суммы бесконечной сходящейся геометрической прогрессии <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> доказана с использованием только операций и концепций в рамках множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, при условии, что <math>a</math> и <math>r</math> рациональны и <math>|r| < 1</math>. Ключевым моментом является доказательство сходимости <math>r^n</math> к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math> через <math>\varepsilon</math>-определение, не требующее полноты действительных чисел. == 7. Построение действительных чисел с использованием фундаментальных последовательностей == R полное упорядоченно поле * [https://chat.deepseek.com/a/chat/s/1b674088-a694-4c22-a07b-ced95699866e| Аксома Евдокса-Архимеда.] * Построение действительных чисел через фундаментальные последовательности. * Избежание использования несократимых дробей. <b>1. Формальное определение аксиомы Архимеда-Евдокса</b> (она же принцип Архимеда) Аксиома Архимеда утверждает, что для любых двух положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> n \cdot a > b. </math> Интуитивный смысл аксиомы Архимеда заключается в том, что сколь угодно большое число можно превзойти, если достаточно много раз сложить (или умножить) достаточно маленькое число. Другими словами, не существует бесконечно больших и бесконечно малых чисел в обычных вещественных числах <math>\mathbb{R}</math>. Если у нас есть любое положительное число <math>a</math>, то, складывая его с самим собой достаточно много раз, мы в итоге получим число больше любого заранее выбранного <math>b</math>. Особенно наглядно это видно в частном случае <math>a = 1</math>: для любого положительного числа <math>b</math> можно найти натуральное <math>n</math>, такое что <math>n > b</math>. Это означает, что множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не имеет верхней грани в <math>\mathbb{R}</math>, то есть можно сколь угодно увеличивать натуральные числа и всегда получать ещё большее. Интуитивно это говорит о том, что в вещественных числах нет бесконечно больших элементов (они не выходят за пределы конечных значений) и нет бесконечно малых положительных чисел (любое положительное число можно "накопить" до сколь угодно большого значения). <b>2. Формальное определение фундаментальной последовательности</b> <b><u>Определение:</u></b> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность рациональных чисел <math>{x_n}</math>, у которой члены с течением времени становятся всё ближе друг к другу. Формально это означает, что для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такой номер <math>N</math> (натуральное число), что для всех индексов <math>m, n \geq N</math> разница между членами последовательности <math>|x_m - x_n|</math> становится меньше <math>\varepsilon</math>: <math> |x_m - x_n| < \varepsilon. </math> Простыми словами, в фундаментальной последовательности расстояние между её членами (например, между <math>x_m</math> и <math>x_n</math>) с ростом индексов становится сколь угодно малым. Это свойство «сближения членов одной последовательности друг с другом» отличает фундаментальные последовательности от произвольных. <b>Интуитивное объяснение</b> Представьте, что вы измеряете какое-то число с всё большей точностью. Например, последовательность приближений к числу <math>\pi</math>: <math>3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots</math> Здесь каждый следующий член уточняет предыдущий, и разница между членами (например, между <math>3.1415</math> и <math>3.14159</math>) становится всё меньше по мере роста индекса. Это пример фундаментальной последовательности: члены внутри неё сближаются друг с другом. <b>Важное замечание</b> Фундаментальная последовательность не обязательно имеет предел внутри того множества, где она задана. Например, в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> можно построить последовательность, приближающую <math>\sqrt{2}</math>: <math>1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots</math> Эта последовательность фундаментальна, так как её члены сближаются друг с другом, но её предел <math>\sqrt{2}</math> не является рациональным числом и не принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Это показывает, что множество рациональных чисел «неполно» — в нём есть фундаментальные последовательности, пределы которых выходят за его пределы. <b>3. Формальное определение действительных чисел через элеманты фактор-множества</b> Действительные числа можно построить как элементы фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Давайте разберём этот процесс шаг за шагом. <b>Шаг 1: Определение множества <math>S</math></b> Пусть <math>S</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждый элемент <math>x \in S</math> — это функция <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math> (то есть последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n \in \mathbb{Q}</math>), которая удовлетворяет условию фундаментальности: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon. </math> Это означает, что внутри каждой такой последовательности её члены сближаются друг с другом. <b>Корректность построения множества <math>S</math> в ZFC</b> Можно ли вообще построить такое множество <math>S</math>? Да, это возможно в теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Рассмотрим подробнее: <b>1. Множество всех функций <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>.</b> Фундаментальные последовательности — это подмножество множества всех возможных функций из натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math>. Как было доказано в главе про функции, такое множество существует в ZFC. Такое множество функций обозначается как <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. <b>2. Выделение подмножества фундаментальных последовательностей.</b> Из множества <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math> мы берём только те последовательности, которые удовлетворяют условию фундаментальности. Это подмножество существует по аксиоме выделения (Axiom of Separation), так как условие <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math> задаёт чёткое свойство, по которому можно отфильтровать нужные последовательности. Таким образом, множество <math>S</math> корректно определено в ZFC как подмножество <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> следующим образом: <math>{x_n} \sim {y_n}</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Это означает, что две последовательности эквивалентны, если разность между их членами (<math>|x_n - y_n|</math>) становится сколь угодно малой при достаточно больших <math>n</math>. Здесь речь идёт о близости между последовательностями, а не внутри одной последовательности, как в определении фундаментальности. <b>Доказательство, что <math>\sim</math> — отношение эквивалентности</b> Чтобы <math>\sim</math> было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. Проверим каждое из них: <b>1. Рефлексивность: <math>{x_n} \sim {x_n}</math>.</b> Для любой последовательности <math>{x_n}</math> рассмотрим разность <math>|x_n - x_n| = 0</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> и любого <math>n</math> выполняется <math>|x_n - x_n| = 0 < \varepsilon</math>, так что можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math> (например, <math>N = 1</math>), и для всех <math>n > N</math> условие выполняется. Следовательно, <math>{x_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>2. Симметричность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Предположим, что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Так как <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n|</math> (по свойству модуля), то для того же <math>N</math> и всех <math>n > N</math> имеем <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Следовательно, <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>3. Транзитивность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>, то <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Докажем это. Пусть <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>. Это означает: * Для любого <math>\varepsilon_1 > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon_1</math>, * Для любого <math>\varepsilon_2 > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon_2</math>. Нужно показать, что <math>{x_n} \sim {z_n}</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math>. Используем неравенство треугольника: <math>|x_n - z_n| = |x_n - y_n + y_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n|</math>. Возьмём произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Пусть <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math> и <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Тогда: * По первому условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math>, * По второму условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_2</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Выберем <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдено такое <math>N</math>, что <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Следовательно, <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Свойство доказано. Таким образом, <math>\sim</math> удовлетворяет всем трём свойствам и действительно является отношением эквивалентности. Каждый <math>[ {x_n} ]</math> — это множество всех последовательностей, эквивалентных <math>{x_n}</math>, то есть тех, которые «приближаются к тому же значению». Множество действительных чисел определяется как: <math> \mathbb{R} = S / \sim. </math> <b>Зачечание: </b> Вложение рациональных чисел: Каждое рациональное число <math>q</math> отождествляется с элементом фактор-множества постоянной последовательности <math>[(q,q,q,\dots)]</math>. Нам дана последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n = q</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, и <math>q</math> — фиксированное рациональное число. Это постоянная последовательность: <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math>. Нужно показать, что она удовлетворяет определению фундаментальности. <u>Доказательство</u> Рассмотрим произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Нам нужно найти такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, чтобы для любых <math>n, m > N</math> выполнялось <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. Так как <math>x_n = q</math> для всех <math>n</math>, то для любых <math>n, m \in \mathbb{N}</math>: <math>|x_n - x_m| = |q - q| = 0</math>. Поскольку <math>0 < \varepsilon</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>, то условие <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math> выполняется для всех <math>n, m</math> независимо от их значений. Следовательно, можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math>, например <math>N = 1</math>, и для всех <math>n, m > N</math> будет: <math>|x_n - x_m| = 0 < \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math> (например, <math>N = 1</math>), такое что для всех <math>n, m > N</math> выполняется <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. <u>Вывод</u> Последовательность <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math> удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Значит, она действительно является фундаментальной. <b>Зачечание: разница между близостью внутри и между последовательностями</b> * <b>Близость внутри последовательности</b>: в определении фундаментальности (<math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>) речь идёт о сближении членов одной последовательности <math>{x_n}</math> друг с другом. * <b>Близость между последовательностями:</b> в определении эквивалентности (<math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0</math>) мы сравниваем две разные последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math>, проверяя, насколько они близки друг к другу. <u>Определение: </u> Предел последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> равен <math>x</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такое натуральное число <math>N</math>, что при всех <math>n \geq N</math> справедливо неравенство <math>|x_n - x| < \varepsilon</math>. <b>Пример: </b> <u>Замечание:</u> Здесь неявно испольузется утверждение 8, что Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу. Пусть <math>S = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\}, \left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}, \left\{2, 2, 2, \dots\right\} \right\}</math>, а отношение <math>\sim</math> задано как: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Каждый элемент этого множества — это бесконечная числовая последовательность. Задано отношение <math>\sim</math>, которое говорит, что две последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> эквивалентны, если разность их элементов стремится к нулю: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что в одну группу попадают все последовательности, которые «ведут себя одинаково» при <math>n \to \infty</math>, то есть имеют одинаковый предел. Теперь рассмотрим конкретный пример. Возьмём последовательность <math>\left\{1, 1, 1, \dots\right\}</math>. Она имеет предел <math>1</math>. Тогда множество <math>[ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} ]</math> состоит из всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел тоже равен <math>1</math>: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ {y_n} \in S \mid \lim_{n \to \infty} (1 - y_n) = 0 \right\} </math>. В нашем примере таких последовательностей в <math>S</math> больше нет, кроме самой <math>{1, 1, 1, \dots}</math>. Таким образом: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} \right\} </math>. Здесь важно понимать, что отношение <math>\sim</math> разбивает множество <math>S</math> на группы последовательностей с одинаковым пределом. Например: <math>[\left\{1, 1, 1, \dots\right\}]</math> содержит только одну последовательность, так как в <math>S</math> нет других последовательностей с пределом <math>1</math>. <math>[\left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}]</math> — это группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>\sqrt{2}</math>. <math>[\left\{2, 2, 2, \dots\right\}]</math> — группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>2</math>. Таким образом, множество <math>S</math> разбивается на непересекающиеся группы последовательностей, и эти группы образуют разбиение <math>S</math>. <b>3. Фундаментальная последовательность ограничена</b> Утверждение 1: Любая фундаментальная последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничена. <u>Доказательство:</u> По определению фундаментальной последовательности, для <math>\varepsilon = 1</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| < 1. </math> Зафиксируем <math>n = N</math>. Тогда для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x_N| < 1 \implies |x_m| < |x_N| + 1. </math> Таким образом, все элементы последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничены числом: <math> \max{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, |x_N| + 1}. </math> <u>Интуитивный смысл: </u> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность, элементы которой становятся всё ближе друг к другу по мере роста индекса. Формально это означает, что для любого сколь угодно малого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся номер <math>N</math>, начиная с которого все элементы последовательности отличаются друг от друга меньше чем на <math>\varepsilon</math>. Интуитивно это можно представить так: * Если элементы последовательности "сближаются" друг с другом, то они не могут "разбегаться" в бесконечность. * Начиная с некоторого момента, все элементы последовательности оказываются в ограниченной области, так как они не могут отдаляться друг от друга слишком сильно. <u>Почему это важно?</u> 1. Ограниченность фундаментальной последовательности — это важное свойство, которое помогает доказать её сходимость (в полных метрических пространствах, таких как <math>\mathbb{R}</math>). 2. Если последовательность не ограничена, то она не может быть фундаментальной, так как её элементы могут "уходить" в бесконечность, нарушая условие сближения. <u>Вывод:</u> Фундаментальная последовательность не может "разбегаться" в бесконечность, так как её элементы сближаются друг с другом. Это гарантирует, что все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, остаются в ограниченной области <b>Пример:</b> Рассмотрим последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math>, где <math>x_n = \frac{1}{n}</math>. Эта последовательность фундаментальна, так как для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно выбрать <math>N</math> так, что для всех <math>m, n \geq N</math> выполняется <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>. Пусть дано произвольное число <math>\varepsilon > 0</math>. Рассмотрим разность членов последовательности для произвольных индексов <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{|n - m|}{mn} </math> Оценим сверху эту разность: Заметим, что при <math>m, n \geq N</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{\max(m,n)}{mn} </math> Пусть без ограничения общности <math>n \geq m</math>, тогда <math>\max(m,n) = n</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N} </math> <u>Выбор <math>N</math>:</u> Согласно аксиоме Архимеда-Евдокса, для любого положительного действительного числа <math>\frac{1}{\varepsilon} > 0</math> существует натуральное число <math>N</math>, такое что <math>N > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Выберем <math>N</math> как наименьшее натуральное число, большее <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. <u>Формально:</u> <math>N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1</math>, где <math>\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math> — целая часть числа <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. Тогда для всех <math>n \geq N</math>: <math>n \geq N > \frac{1}{\varepsilon}</math>, откуда: <math>\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. <u>Сходимость последовательности</u> <u>Проверка условия</u> Для всех <math>n \geq N</math>: <math>|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon</math>, что удовлетворяет определению предела. <u>Вывод</u> Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> мы нашли <math>N</math>, такое что при <math>n \geq N</math> выполняется <math>|x_n - 0| < \varepsilon</math>. Значит, последовательность <math>{x_n} = \left\{\frac{1}{n}\right\}</math> сходится к <math>0</math>. <u>Дополнительное замечание:</u> Последовательность ограничена, так как все её члены <math>x_n = \frac{1}{n}</math> лежат в интервале <math>[0, 1]</math> (при <math>n \geq 1</math>: <math>0 < \frac{1}{n} \leq 1</math>). ||ignore|| Действительные числа введены как элемент фактор-множества фундаментальных последовательностей. Аксиома Архимеда-Евдокса утверждает, что для любых двух положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число n {\displaystyle n}, такое что: n ⋅ a > b . {\displaystyle n\cdot a>b.} Неравенство треугольника и аксиома Евклидка-Евдокса входят в список и не трубуют доказательства. Порядок доказательства теорем: Были определены арифметические операции между элементами фактор-множества, сравнение с рациональными числами и между элементами фактор-множества и доказана их корректность. <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — класс эквивалентности фундаментальных последовательностей <math>{x_n}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, таких что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>. Операции: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, и т.д. Порядок: <math>[x] < [y]</math>, если <math>y_n - x_n > \delta</math> для некоторого <math>\delta > 0</math> и всех больших <math>n</math>. Принцип вложенных интервалов. Сходимость монотонных последовательностей Сходимость сужающихся интервалов Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> ||END OF ignore|| === Определение порядка === <b>Определение порядка <math>[x] < a_n</math>:</b> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, где элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей <math>{x_m}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, эквивалентных друг другу по отношению <math>{x_m} \sim {y_m}</math>, если <math>x_m - y_m \to 0</math> при <math>m \to \infty</math>. Пусть <math>a_n \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Элемент фактор-множества <math>[x] < a_n</math>, если для любой фундаментальной последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что существует <math>M \in \mathbb{N}</math>, и для всех <math>m > M</math> выполняется: <math>a_n - x_m > \delta</math>. <u>Уточнения</u> * <math>{x_m}</math> — любая фундаментальная последовательность из <math>[x]</math>, то есть любая фундаментальная последовательность из <math>\mathbb{Q}</math>, принадлежащая этому элементу фактор-множества. * <math>\delta > 0</math> — рациональное число, которое может различаться для разных <math>{x_m}</math>, но всегда положительно. <u>Интуитивное пояснение</u> Представьте <math>[x]</math> как "облако" последовательностей, которые сжимаются к одной "точке" в <math>\mathbb{R}</math> — это как семья родственников, чуть разных на вид, но в сущности одинаковых. А <math>a_n</math> — это фиксированная отметка на числовой прямой, например, столбик с номером "5". Мы говорим, что <math>[x] < a_n</math>, если все представители этого облака (<math>{x_m}</math>) остаются слева от <math>a_n</math> и не подходят к нему ближе, чем на фиксированное расстояние <math>\delta</math>. Если <math>a_n = 1</math>, а <math>[x]</math> — это последовательности вроде <math>{0.9, 0.9, 0.9, \ldots}</math> или <math>{0.8, 0.85, 0.9, \ldots}</math> (эквивалентные, так как их разность стремится к 0), то <math>a_n - x_m</math> всегда положительно и не падает ниже какого-то уровня (например, 0.1). Значит, <math>[x]</math> "живёт" левее <math>a_n</math>. Если же <math>{x_m}</math> подбирается к <math>a_n</math> (например, <math>{0.99, 0.999, 0.9999, \ldots}</math>), то <math>a_n - x_m</math> становится сколь угодно малым, и условие не выполняется — тогда <math>[x] \not< a_n</math>. Это как проверка: если все "посланники" <math>[x]</math> держат дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>[x]</math> действительно "меньше". ==== Утверждение о независимости определения от выбора последовательности ==== <u>Утверждение:</u> определение <math>[x] < a_n</math> не зависит от выбора конкретной фундаментальной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. Это означает: <u>Прямая часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> выполняется для одной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>, то оно выполняется для любой другой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для какой-то последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то оно не выполняется и для любой другой последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. <u>Пояснение к переформулировке</u> <u>Прямая часть:</u> Охватывает случай, когда свойство "быть меньше <math>a_n</math>" присутствует у одной последовательности и распространяется на все остальные в <math>[x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Охватывает случай, когда свойство отсутствует у одной последовательности, и это отсутствие распространяется на все остальные, исключая противоречие внутри <math>[x]</math>. <u>Почему две части:</u> Вместе они гарантируют, что определение <math>[x] < a_n</math> либо истинно для всех последовательностей в <math>[x]</math>, либо ложно для всех, что делает порядок консистентным и независимым от выбора. <u>Доказательство</u> <u>Прямая часть: Если условие выполняется для одной последовательности, то для всех</u> <u>Дано:</u> Пусть для последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> найдётся <math>\delta_y > 0</math> и <math>M_y \in \mathbb{N}</math>, такие что <math>a_n - y_m > \delta_y</math> для всех <math>m > M_y</math>. <u>Эквивалентность последовательностей:</u> Так как <math>\left\{x_m\right\}, \left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, и <math>x_m - y_m \to 0</math>. Значит, для любого рационального <math>\eta > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \eta</math>. Выберем <math>\eta = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>Оценка <math>a_n - y_m</math>:</u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из доказанного выше, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>Выбор <math>\delta_y</math> и <math>M_y</math>:</u> Положим <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>. Для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Это удовлетворяет определению <math>[x] < a_n</math> для <math>\left\{y_m\right\}</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{x_m\right\}</math> держит дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>\left\{y_m\right\}</math>, будучи почти такой же (разница <math>x_m - y_m</math> исчезающе мала), тоже не может подойти слишком близко. Это как если один близнец стоит в метре от стены — второй, держась рядом, тоже не врежется в неё. <u>Вывод:</u> Условие <math>[x] < a_n</math>, выполненное для <math>\left\{x_m\right\}</math>, распространяется на любую <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть: Если условие не выполняется для одной последовательности, то не выполняется для всех</u> <u>Дано: </u> Пусть для некоторой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется, то есть не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> тоже не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - x_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>1. Эквивалентность последовательностей.</u> Так как <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, то <math>x_m - y_m \to 0</math>. Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \epsilon</math>. <u>2. Предположим от противного, что для <math>\left\{x_m\right\}</math> условие выполняется.</u> Допустим от противного, что существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Возьмём <math>\epsilon = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>3. Оценка <math>a_n - y_m</math></u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из шага 2, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>4. Противоречие:</u> Мы получили, что существует <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>, такие что для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Но это противоречит исходному условию, что для <math>\left\{y_m\right\}</math> не существует никакого <math>\delta > 0</math>, чтобы <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех больших <math>m</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{y_m\right\}</math> подбирается к <math>a_n</math> или пересекает его, то <math>\left\{x_m\right\}</math>, идущая рядом (разница <math>x_m - y_m \to 0</math>), не может стабильно держаться на расстоянии от <math>a_n</math>. Это как если один близнец подошёл вплотную к забору — второй, держась за руку, тоже не останется далеко. <u>Вывод:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для <math>\left\{y_m\right\}</math>, оно не выполняется и для любой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. === Определения арифметических операций и порядка === <nowiki> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это класс эквивалентности последовательностей <math>{x_n}</math>, где <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Все <math>x_n, y_n \in \mathbb{Q}</math>. 1. Арифметические операции Сложение: Для <math>[x], [y] \in \mathbb{R}</math> с представителями <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> определяем: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, где <math>{x_n + y_n}</math> — последовательность, полученная почленным сложением. Вычитание: <math>[x] - [y] = [{x_n - y_n}]</math>, где <math>{x_n - y_n}</math> — почленное вычитание. Умножение: <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, где <math>{x_n \cdot y_n}</math> — почленное умножение. Деление: <math>[x] / [y] = [{x_n / y_n}]</math> для <math>[y] \neq [0]</math>, где <math>[0] = [{0, 0, 0, \ldots}]</math>, при условии, что существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>y_n \neq 0</math>, и <math>{x_n / y_n}</math> — почленное деление. 2. Операции сравнения (порядок) Меньше: <math>[x] < [y]</math>, если для любых представителей <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > M</math>: <math>y_n - x_n > \delta</math>. Равенство: <math>[x] = [y]</math>, если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то есть <math>x_n - y_n \to 0</math>. Больше: <math>[x] > [y]</math>, если <math>[y] < [x]</math>, то есть существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что <math>x_n - y_n > \delta</math> для всех <math>n > M</math>. Доказательства корректности и независимости от выбора представителя Для каждой операции и сравнения нужно показать: Корректность: Результат — фундаментальная последовательность, и класс эквивалентности определён. Независимость: Результат не зависит от выбора конкретных <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> в <math>[x]</math> и <math>[y]</math>. 1. Сложение: <math>[x] + [y]</math> Корректность: <math>{x_n + y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |x_n - x_m + y_n - y_m| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, так что для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon/2</math> и <math>|y_n - y_m| < \epsilon/2</math> при <math>n, m > N</math>. Тогда <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| < \epsilon</math>. Независимость: Пусть <math>{x_n'} \sim {x_n}</math> и <math>{y_n'} \sim {y_n}</math>. Тогда: <math>(x_n + y_n) - (x_n' + y_n') = (x_n - x_n') + (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math> и <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n + y_n) - (x_n' + y_n')| \leq |x_n - x_n'| + |y_n - y_n'| \to 0</math>. Следовательно, <math>{x_n + y_n} \sim {x_n' + y_n'}</math>. Интуитивно: Сложение — это как складывать "средние значения" последовательностей, и мелкие отклонения внутри классов не влияют на итог. 2. Вычитание: <math>[x] - [y]</math> Корректность: <math>{x_n - y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n - y_n) - (x_m - y_m)| = |x_n - x_m - (y_n - y_m)| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. Аналогично сложению, <math>\epsilon</math>-оценка держится. Независимость: <math>(x_n - y_n) - (x_n' - y_n') = (x_n - x_n') - (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math>, <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n - y_n) - (x_n' - y_n')| \to 0</math>. <math>{x_n - y_n} \sim {x_n' - y_n'}</math>. Интуитивно: Разность сохраняет "расстояние" между точками, и мелкие вариации внутри классов его не меняют. 3. Умножение: <math>[x] \cdot [y]</math> Корректность: <math>{x_n \cdot y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n y_n - x_m y_m| = |x_n y_n - x_n y_m + x_n y_m - x_m y_m| = |x_n (y_n - y_m) + y_m (x_n - x_m)|</math> <math>\leq |x_n| |y_n - y_m| + |y_m| |x_n - x_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, значит ограничены: <math>|x_n| < K_x</math>, <math>|y_n| < K_y</math> для больших <math>n</math>. Для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon / (2 K_y)</math>, <math>|y_n - y_m| < \epsilon / (2 K_x)</math>, и тогда: <math>|x_n y_n - x_m y_m| < K_x \cdot \epsilon / (2 K_x) + K_y \cdot \epsilon / (2 K_y) = \epsilon</math>. Независимость: <math>x_n y_n - x_n' y_n' = x_n y_n - x_n y_n' + x_n y_n' - x_n' y_n' = x_n (y_n - y_n') + y_n' (x_n - x_n')</math>. <math>|x_n (y_n - y_n')| \leq K_x |y_n - y_n'| \to 0</math>, <math>|y_n' (x_n - x_n')| \leq K_y |x_n - x_n'| \to 0</math>. <math>|x_n y_n - x_n' y_n'| \to 0</math>, значит <math>{x_n y_n} \sim {x_n' y_n'}</math>. Интуитивно: Умножение "масштабирует" последовательности, и небольшие дрожания внутри классов гасятся. 4. Деление: <math>[x] / [y]</math> (при <math>[y] \neq [0]</math>) Корректность: Пусть <math>{y_n} \in [y]</math>, и <math>[y] \neq [0]</math>, то есть <math>y_n</math> не стремится к 0. Существует <math>\delta > 0</math> и <math>N</math>, такие что <math>|y_n| > \delta</math> для <math>n > N</math>. <math>{x_n / y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n / y_n - x_m / y_m| = |(x_n y_m - x_m y_n) / (y_n y_m)|</math>. Числитель: <math>|x_n y_m - x_m y_n| = |x_n y_m - x_n y_n + x_n y_n - x_m y_n| \leq |x_n| |y_m - y_n| + |y_n| |x_n - x_m|</math>. Для <math>n, m > N</math>: <math>|y_n|, |y_m| > \delta</math>, знаменатель <math>|y_n y_m| > \delta^2</math>. Ограниченность и фундаментальность дают сходимость с <math>\epsilon</math>. Независимость: <math>x_n / y_n - x_n' / y_n' = (x_n y_n' - x_n' y_n) / (y_n y_n')</math>. Числитель: <math>|x_n y_n' - x_n' y_n| \leq |x_n| |y_n' - y_n| + |y_n| |x_n - x_n'| \to 0</math>. Знаменатель ограничен снизу, итог <math>\to 0</math>. Интуитивно: Деление работает, если знаменатель не "исчезает", и мелкие изменения не ломают результат. 5. Порядок: <math>[x] < [y]</math> Корректность: Определение уже использует "любые представители", что подразумевает независимость, но проверим. Независимость: Пусть <math>{x_n} \sim {x_n'}</math>, <math>{y_n} \sim {y_n'}</math>. Если <math>[x] < [y]</math>, то <math>y_n - x_n > \delta</math> для больших <math>n</math>. <math>y_n' - x_n' = (y_n' - y_n) + (y_n - x_n) + (x_n - x_n')</math>. <math>|y_n' - y_n| \to 0</math>, <math>|x_n - x_n'| \to 0</math>, и для больших <math>n</math>: <math>y_n' - x_n' > \delta - \epsilon</math> (где <math>\epsilon</math> мала), то есть найдётся <math>\delta' > 0</math>. Обратно, если <math>y_n - x_n \not> \delta</math> (например, <math>\to 0</math>), то <math>y_n' - x_n'</math> тоже не держит дистанцию. Интуитивно: Порядок смотрит на "разрыв" между последовательностями, и эквивалентность его сохраняет. Пусть <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — элемент фактор-множества, соответствующий фундаментальной последовательности <math>\{x_n\}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, причем <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>, то есть <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Определим операцию сравнения между рациональным числом <math>q \in \mathbb{Q}</math> и элементом фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Сравнение задается следующим образом: - <math>q < [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q > [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n < q - \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q = [x]</math>, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нам нужно доказать корректность этого определения, то есть показать, что оно не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. ### Доказательство корректности Предположим, что <math>[x] = [y]</math>, то есть <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, и <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Пусть <math>q \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Рассмотрим три случая сравнения. #### 1. Случай <math>q < [x]</math> Предположим, что <math>q < [x]</math>. Тогда по определению существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n > q + \delta</math>. Нужно показать, что <math>q < [y]</math>, то есть существует <math>\delta' > 0</math> и <math>N_3 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_3</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Тогда существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math>: <math>|x_n - y_n| < \frac{\delta}{2}</math>. Поскольку <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N_2</math>, рассмотрим <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) > x_n - |x_n - y_n| > q + \delta - \frac{\delta}{2} = q + \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Таким образом, для всех <math>n > N</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>, что означает <math>q < [y]</math>. #### 2. Случай <math>q > [x]</math> Предположим, что <math>q > [x]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n < q - \delta</math>. Нужно показать, что <math>q > [y]</math>. Аналогично, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Для всех <math>n > N_1</math> имеем <math>|x_n - y_n| < \delta/2</math>. Для <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) < x_n + |x_n - y_n| < q - \delta + \frac{\delta}{2} = q - \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Тогда <math>y_n < q - \delta'</math> для всех <math>n > N</math>, что означает <math>q > [y]</math>. #### 3. Случай <math>q = [x]</math> Предположим, что <math>q = [x]</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нужно показать, что <math>q = [y]</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, для любого <math>\varepsilon' > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что <math>|x_n - y_n| < \varepsilon'</math> для всех <math>n > N_1</math>. Возьмем <math>\varepsilon' = \varepsilon/2</math> и <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|y_n - q| = |(y_n - x_n) + (x_n - q)| \leq |y_n - x_n| + |x_n - q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>. Следовательно, <math>q = [y]</math>. ### Вывод Мы показали, что определение сравнения <math>q < [x]</math>, <math>q > [x]</math> и <math>q = [x]</math> не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. Таким образом, операция сравнения между рациональным числом и элементом фактор-множества корректна. </nowiki> === 5. Принцип вложенных интервалов. === <b>Теорема о вложенных отрезках</b> <u>Утверждение:</u> (или принцип вложенных интервалов) Пусть дана последовательность замкнутых интервалов <math>I_n = [a_n, b_n]</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные числа), n=1,2,3,…n=1,2,3,…, такая что: * Каждый интервал вложен в предыдущий: <math>I_{n+1} \subseteq I_n</math>, то есть <math>a_n \leq a_{n+1}</math> и <math>b_{n+1} \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. * Длина интервалов стремится к нулю: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. Тогда существует ровно один элемент <math>[x]</math> в <math>\mathbb{R}</math> (как элемент в фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел), такой что: <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. [[File:Теорема о вложенных отрезках.png|420px|Теоремао вложенных отрезках]] <u>Доказательство:</u> <u>Шаг 1: Свойства последовательностей <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Даны последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math>: <math>a_n \leq a_{n+1}</math> — <math>\left\{a_n\right\}</math> монотонно неубывающая. <math>b_{n+1} \leq b_n</math> — <math>\left\{b_n\right\}</math> монотонно невозрастающая. Из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math> для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math>: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> идёт вправо или стоит, <math>b_n</math> — влево или стоит, и они сближаются. <u>Шаг 2: Фундаментальность последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{a_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>, значит <math>0 \leq a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|a_n - a_m| = a_n - a_m \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. Значит, <math>|a_m - a_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 3: Фундаментальность последовательности <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{b_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math> (из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math>), значит <math>0 \leq b_n - b_m \leq b_n - a_m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m</math> (так как <math>b_m \leq b_n</math> из монотонности), и <math>b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|b_n - b_m| = b_m - b_n \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>b_n</math> и <math>b_m</math> сближаются, потому что их "ограничивает" сжимающееся расстояние до <math>a_n</math> и <math>a_m</math>. Значит, <math>|b_m - b_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 4: Построение <math>[x]</math></u> В <math>\mathbb{R}</math>, как фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, каждый элемент — это множество эквивалентных фундаментальных последовательностей, где <math>{a_n} \sim {c_n}</math>, если <math>a_n - c_n \to 0</math>. Поскольку <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна, она определяет элемент фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Также <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна, и пусть она определяет элемент <math>[y] \in \mathbb{R}</math>. Проверим, что <math>[x] = [y]</math>: * Для всех <math>n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n < \epsilon</math> при <math>n > N</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math>. * По определению фактор-множества, если <math>b_n - a_n \to 0</math>, то <math>{a_n} \sim {b_n}</math>, и <math>[x] = [y]</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> и <math>b_n</math> сжимаются друг к другу и представляют один элемент в <math>\mathbb{R}</math>. <u>Шаг 5: Проверка, что <math>[x]</math> лежит во всех интервалах</u> Мы хотим убедиться, что <math>[x]</math> всегда находится внутри каждого <math>[a_n, b_n]</math>, то есть <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>A. Докажем, что <math>a_n \leq [x]</math></u> Предположим от противного, что <math>[x] < a_n</math>. Это значит, что для любой последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>a_n - x_m > \delta</math>. Так как <math>a_m \geq a_n</math> для <math>m \geq n</math> (из монотонности <math>{a_n}</math>), то: <math>a_m - x_m \geq a_n - x_m > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>a_m</math> и <math>x_m</math> всегда есть зазор, который не исчезает. Но <math>{a_n}</math> сама лежит в <math>[x]</math> (так как <math>[x]</math> — это элемент фактор-множества, заданный <math>{a_n}</math>), и <math>a_m - a_n \to 0</math>, потому что <math>{a_n}</math> фундаментальна. Это противоречие: если <math>a_m - a_n</math> становится сколь угодно малым, а <math>a_m - x_m > \delta</math>, то <math>x_m</math> не может быть представителем <math>{a_n}</math>. Значит, <math>[x] < a_n</math> невозможно, и верно, что <math>a_n \leq [x]</math>. <u>B. Докажем, что <math>[x] \leq b_n</math></u> Предположим от противного, что пусть <math>[x] > b_n</math>. Тогда для любой <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>x_m - b_n > \delta</math>. Из вложенности <math>a_m \leq b_n</math> для <math>m \geq n</math>, следовательно: <math>x_m - a_m \geq x_m - b_n > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>x_m</math> и <math>a_m</math> остаётся постоянный зазор. Но <math>{a_n} \in [x]</math>, и <math>x_m - a_m \to 0</math> (так как <math>{a_n}</math> определяет <math>[x]</math>), а <math>b_n - a_n \to 0</math> по условию теоремы. Это противоречие: <math>x_m - a_m</math> не может быть больше фиксированного <math>\delta</math>, если оно стремится к нулю. Значит, <math>[x] > b_n</math> невозможно, и верно, что <math>[x] \leq b_n</math>. <u>Вывод:</u> Мы показали, что <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>, то есть <math>[x]</math> лежит в каждом интервале <math>[a_n, b_n]</math>. Следовательно: <math>[x] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>. <b>Шаг 6: Уникальность <math>[x]</math></b> Проверим, что <math>[x]</math> — единственный элемент, лежащий во всех интервалах <math>I_n = [a_n, b_n]</math>. Предположим от противного: Существует <math>[z] \neq [x]</math>, такой что <math>[z] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>, то есть <math>a_n \leq [z] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>Интуитивно:</u> Интервалы сжимаются, их ширина <math>b_n - a_n \to 0</math>, и два разных элемента фактор-множества не должны уместиться в таком узком пространстве. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math>, возможны два случая: <math>[z] > [x]</math> или <math>[z] < [x]</math>. <u>A. Случай <math>[z] > [x]</math></u> Рассмотрим первый случай: пусть <math>[z] > [x]</math>. По определению порядка: для любых представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>z_m - x_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>, где <math>\delta</math> — нижняя граница разности <math>z_m - x_m</math> для больших <math>m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> становится уже, чем зазор между <math>[x]</math> и <math>[z]</math>. Но из условия <math>[z] \in [a_n, b_n]</math> и <math>[x] \in [a_n, b_n]</math> следует: <math>a_n \leq [x] < [z] \leq b_n</math>. Возьмём представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>. Для больших <math>m</math>: <math>a_n \leq x_m < z_m \leq b_n</math>, Тогда <math>z_m - x_m \leq b_n - x_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>x_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>z_m - x_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>z_m - x_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>z_m - x_m</math> не может быть одновременно больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math>. Значит, случай <math>[z] > [x]</math> невозможен. <u>B. Случай <math>[z] < [x]</math></u> Рассмотрим второй случай: пусть <math>[z] < [x]</math>. По определению: существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math <math>x_m - z_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>. Существует <math>N</math>, такое что для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> уже, чем расстояние между <math>[z]</math> и <math>[x]</math>. Но <math>a_n \leq [z] < [x] \leq b_n</math>. Для представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>: <math>a_n \leq z_m < x_m \leq b_n</math>, Тогда <math>x_m - z_m \leq b_n - z_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>z_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>x_m - z_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>x_m - z_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>x_m - z_m</math> не может быть больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math> одновременно. Значит, случай <math>[z] < [x]</math> невозможен. <u>Вывод:</u> Мы предположили от противного, что <math>[z] \neq [x]</math>, и рассмотрели два случая: * <math>[z] > [x]</math> ведёт к противоречию, * <math>[z] < [x]</math> тоже ведёт к противоречию. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math> невозможно, остаётся только <math>[z] = [x]</math>. <u>Интуитивно:</u> Сжимающиеся интервалы "прижимают" все элементы фактор-множества к одной точке — <math>[x]</math>. <u>Общий вывод:</u> Существует ровно один <math>[x] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. === <b>Определение sup:</b> === <nowiki> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел, ограниченное сверху (то есть существует элемент <math>[M] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \leq [M]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math> называется ''верхней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[s] = \sup S</math>, если выполняются два условия: <math>[s]</math> — верхняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \leq [s]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[s]</math> — наименьшая из всех верхних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая верхняя граница (<math>[x] \leq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[s] \leq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено сверху, то говорят, что <math>\sup S = +\infty</math> (формально это не элемент <math>\mathbb{R}</math>, а условное обозначение). Определение инфимума: Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное снизу (то есть существует элемент <math>[m] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \geq [m]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[i] \in \mathbb{R}</math> называется ''нижней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[i] = \inf S</math>, если выполняются два условия: <math>[i]</math> — нижняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \geq [i]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[i]</math> — наибольшая из всех нижних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая нижняя граница (<math>[x] \geq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[i] \geq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено снизу, то говорят, что <math>\inf S = -\infty</math> (также условное обозначение, а не элемент <math>\mathbb{R}</math>). Обоснование существования <math>\sup S</math> и <math>\inf S</math> в нашем <math>\mathbb{R}</math> будет приведено ниже (см. доказательство теоремы о гранях). Пример 1: Ограниченное множество с максимумом и минимумом Пусть <math>S = {[1], [2], [3], [4]}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math> — элемент фактор-множества, представляющий рациональное число <math>n</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество ограничено сверху, например, элементом <math>[5]</math>, так как <math>[x] \leq [5]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (для представителей <math>x_m \leq 5</math> при больших <math>m</math>). Наименьшая верхняя граница — это максимальный элемент множества, то есть <math>[4]</math>, поскольку <math>[x] \leq [4]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] < [4]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>4 - t_m > \delta</math>, но <math>[4]</math> в <math>S</math>). Таким образом, <math>\sup S = [4]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, элементом <math>[0]</math>, так как <math>[x] \geq [0]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (<math>x_m \geq 0</math>). Наибольшая нижняя граница — это минимальный элемент множества, то есть <math>[1]</math>, поскольку <math>[x] \geq [1]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] > [1]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>t_m - 1 > \delta</math>, но <math>[1] \in S</math>). Таким образом, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 2: Ограниченное множество без максимума и минимума Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [0] < [x] < [1], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, представляющих рациональные последовательности между <math>[0]</math> и <math>[1]</math>, не включая границы. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [1]</math> (где <math>[1] = [{1, 1, \ldots}]</math>), и <math>[1]</math> — верхняя граница, так как <math>x_n < 1 - \delta</math> для больших <math>n</math>. Нет меньшего элемента <math>[t] < [1]</math>, который был бы верхней границей: если <math>[t] < [1]</math>, то <math>1 - t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = (t_n + 1)/2</math>, где <math>t_n < x_n < 1</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [1]</math>. (Заметим, что <math>[1] \notin S</math>, так как <math>[x] < [1]</math>, и максимума нет.) Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] > [0]</math> (где <math>[0] = [{0, 0, \ldots}]</math>), и <math>[0]</math> — нижняя граница. Нет большего элемента <math>[t] > [0]</math>, который был бы нижней границей: если <math>[t] > [0]</math>, то <math>t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>0 < x_n < t_n</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] < [t]</math>. Следовательно, <math>\inf S = [0]</math>. (Заметим, что <math>[0] \notin S</math>, так как <math>[x] > [0]</math>, и минимума нет.) Пример 3: Множество, ограниченное снизу, но не сверху Пусть <math>S = { [n] \in \mathbb{R} \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 1 }</math> = <math>{[1], [2], [3], \ldots}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество не ограничено сверху: для любого <math>[M] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{M_n}</math>) существует <math>n > M_n</math> для больших <math>n</math> (по свойству рациональных чисел), и <math>[n] > [M]</math>. Следовательно, <math>\sup S = +\infty</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, <math>[0]</math>, так как <math>[n] \geq [0]</math>. Наибольшая нижняя граница — <math>[1]</math>, так как <math>[n] \geq [1]</math> для всех <math>[n] \in S</math>, и <math>[1] \in S</math>, а любое <math>[t] > [1]</math> не является нижней границей. Значит, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 4: Множество, ограниченное сверху, но не снизу Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [x] < [0], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, меньших <math>[0]</math>, с рациональными последовательностями. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [0]</math>, и <math>[0]</math> — верхняя граница. Нет меньшего <math>[t] < [0]</math>, которое было бы верхней границей: если <math>[t] < [0]</math>, то <math>-t_n > \delta</math>, и можно взять <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>t_n < x_n < 0</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [0]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество не ограничено снизу: для любого <math>[m] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{m_n}</math>) можно взять рациональное <math>x_n = m_n - 1</math>, где <math>x_n < m_n</math>, и <math>[x] < [m]</math>, при этом <math>[x] < [0]</math>, так что <math>[x] \in S</math>. Следовательно, <math>\inf S = -\infty</math>. Замечание Если множество <math>S</math> содержит свой максимум (<math>\max S</math>), то <math>\sup S = \max S</math>. Если множество <math>S</math> содержит свой минимум (<math>\min S</math>), то <math>\inf S = \min S</math>. Для неограниченных множеств <math>\sup S</math> или <math>\inf S</math> принимают значения <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, которые не являются элементами <math>\mathbb{R}</math>, а используются как условные обозначения. </nowiki> === 5.91 Сходимость монотонных последовательностей === <b>Теорема. </b> Всякая монотонная ограниченная последовательность в <math>\mathbb{R}</math> имеет предел. <nowiki> Пусть <math>{[a_n]}</math> — последовательность в <math>\mathbb{R}</math>, где: <math>{[a_n]}</math> неубывающая, т.е. <math>[a_n] \leq [a_{n+1}]</math> для всех <math>n</math>, <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, т.е. существует <math>[b] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \leq [b]</math> для всех <math>n</math>. Тогда существует <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \to [s]</math>, т.е. для любого <math>\varepsilon > 0</math> (где <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, для всех <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] < \varepsilon</math>. Доказательство Шаг 1: Построение вложенных интервалов Так как <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, выберем верхнюю грань <math>[b_0] \in \mathbb{R}</math> (существование верхней грани пока предполагаем, но позже обоснуем). Начнём с интервала <math>[l_1, u_1]</math>: <math>l_1 = a_1</math> (рациональное число из последовательности, представляющей <math>[a_1]</math>), <math>u_1 = b_{0,N}</math> — рациональное число из последовательности <math>{b_{0,n}}</math> для <math>[b_0]</math>, такое что <math>[a_1] < u_1</math> (возможно благодаря аксиоме Архимеда и порядку). Теперь индуктивно строим вложенные интервалы <math>[l_n, u_n]</math>: Определим <math>m_n = \frac{l_n + u_n}{2}</math> (рациональное число, так как <math>l_n, u_n \in \mathbb{Q}</math>). Если <math>[a_k] \leq m_n</math> для всех <math>k</math> (т.е. <math>m_n</math> — верхняя грань на данном шаге), то: <math>u_{n+1} = m_n</math>, <math>l_{n+1} = l_n</math>. Если существует <math>k</math>, такое что <math>[a_k] > m_n</math>, то: <math>l_{n+1} = m_n</math>, <math>u_{n+1} = u_n</math>. Свойства: <math>l_n \leq l_{n+1} \leq u_{n+1} \leq u_n</math>, интервалы вложены. <math>u_{n+1} - l_{n+1} = \frac{u_n - l_n}{2}</math>, длина уменьшается вдвое. Шаг 2: Длина интервалов стремится к нулю Обозначим <math>d_1 = u_1 - l_1 > 0</math>. Тогда: <math>u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>. По аксиоме Архимеда для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>) существует <math>N</math>, такое что: <math>2^{N-1} \cdot \varepsilon > d_1</math>, или: <math>\frac{d_1}{2^{N-1}} < \varepsilon</math>. Таким образом, <math>u_n - l_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Шаг 3: Последовательности <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> фундаментальны Для <math>m > n</math>: <math>|l_m - l_n| = l_m - l_n \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>l_n</math> неубывает. Поскольку <math>\frac{d_1}{2^{n-1}} \to 0</math>, <math>{l_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>. Аналогично: <math>|u_n - u_m| = u_n - u_m \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>u_n</math> невозрастает. Значит, <math>{u_n}</math> тоже фундаментальна. Поскольку <math>\mathbb{R}</math> — это фактор-множество фундаментальных последовательностей, существуют пределы: <math>{l_n} \to [s]</math>, <math>{u_n} \to [t]</math>. Шаг 4: Единый предел Так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, рассмотрим разность: <math>0 \leq u_n - l_n</math>. В пределе: <math>[t] - [s] = [{u_n - l_n}]</math>, и так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, то <math>[t] - [s] = [0]</math>, т.е. <math>[t] = [s]</math>. Следовательно, <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> сходятся к одному <math>[s]</math>. Шаг 5: <math>{[a_n]} \to [s]</math> <math>l_n \leq a_{n,k} \leq u_n</math> для представителей <math>{a_{n,k}}</math> из <math>[a_n]</math>, так как <math>l_n</math> всегда ниже какого-то <math>[a_k]</math>, а <math>u_n</math> — верхняя граница. Поскольку <math>l_n \to [s]</math> и <math>u_n \to [s]</math>, а <math>u_n - l_n \to 0</math>, то для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, где <math>u_n - l_n < \varepsilon</math>, и для <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] \leq u_n - l_n < \varepsilon</math> (в смысле порядка с рациональными числами). Таким образом, <math>[a_n] \to [s]</math>. </nowiki> === 5.92 Сходимость сужающихся интервалов === <nowiki> Пусть <math>{a_n}</math> — неубывающая последовательность рациональных чисел (<math>a_n \leq a_{n+1}</math>), <math>{b_n}</math> — невозрастающая последовательность рациональных чисел (<math>b_n \geq b_{n+1}</math>), и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>: <math>a_n \leq b_n</math>, <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Тогда последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> определяют один и тот же элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, т.е. <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и сходятся к одному пределу <math>[s]</math>. Доказательство Фундаментальность <math>{a_n}</math>: Так как <math>{a_n}</math> неубывает, для <math>m > n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>. Следовательно, для <math>m, n > N</math>: <math>|a_m - a_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{a_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[s] = [{a_n}]</math>. Фундаментальность <math>{b_n}</math>: Так как <math>{b_n}</math> невозрастает, для <math>m > n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n</math>, потому что <math>a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>, и для <math>m, n > N</math>: <math>|b_m - b_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{b_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[t] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[t] = [{b_n}]</math>. Совпадение пределов <math>[s] = [t]</math>: Рассмотрим разность <math>b_n - a_n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n</math>. Поскольку <math>b_n - a_n \to 0</math>, последовательность <math>{b_n - a_n}</math> фундаментальна и сходится к нулю в <math>\mathbb{Q}</math>, т.е. <math>[{b_n - a_n}] = [0]</math>. По определению операций в <math>\mathbb{R}</math>: <math>[{b_n}] - [{a_n}] = [{b_n - a_n}] = [0]</math>, следовательно: <math>[t] - [s] = [0]</math>, или <math>[t] = [s]</math>. Проверим через порядок: Предположим <math>[s] < [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>t_k - s_k > \delta</math> для всех больших <math>k</math>, где <math>{s_k}</math> и <math>{t_k}</math> — представители <math>[s]</math> и <math>[t]</math>. Но <math>b_n - a_n \to 0</math>, и для достаточно большого <math>n</math>: <math>b_n - a_n < \delta/2</math>, что противоречит <math>t_k - s_k > \delta</math>, так как <math>a_n \to [s]</math>, <math>b_n \to [t]</math>, и разность не может быть больше <math>\delta</math>. Значит, <math>[s] = [t]</math>. Вывод: Обе последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и определяют один элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. Таким образом, они сходятся к <math>[s]</math>. Интуиция <math>{a_n}</math> "поднимается", <math>{b_n}</math> "опускается", а расстояние между ними сокращается до нуля. Так как они рациональны и фундаментальны, они задают один класс эквивалентности в <math>\mathbb{R}</math>, что и есть их общий предел <math>[s]</math>. </nowiki> === 6. Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) === <u>Утверждение</u>: Любое непустое подмножество <math>S \subseteq \mathbb{R}</math>, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань (супремум). Аналогично, любое непустое подмножество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань (инфимум). <u>Доказательство (супремум):</u> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество множества элементов фактор-множества <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное сверху. Тогда существует элемент <math>[s]</math>, который является точной верхней гранью <math>S</math>, то есть: * <math>[s]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. для любого <math>[x] \in S</math> выполнено <math>[x] \leq [s]</math>, * <math>[s]</math> — наименьшая верхняя грань, т.е. если <math>[t]</math> — любая другая верхняя грань <math>S</math>, то <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Шаг 1: Выбор начального интервала <math>[a_1], [b_1]</math></u> Так как <math>S</math> непусто и ограничено сверху, существуют: * <math>[x_1] \in S</math> с последовательностью <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math>, * <math>[b]</math> — верхняя грань <math>S</math>, такая что <math>[x] \leq [b]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. Если <math>S = {[x_1]}</math>, то <math>[x_1]</math> — супремум (очевидно: <math>[x_1] \leq [x_1]</math>, и любой <math>[t] < [x_1]</math> не покрывает <math>[x_1]</math>), и доказательство завершено. Иначе <math>S</math> содержит хотя бы два элемента. <u>Лемма 1: Выбор начальных границ</u> <u>Утверждение:</u> Существует <math>a_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>a_1 < [x_1]</math>, и <math>b_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. <u>Доказательство:</u> Для <math>a_1</math>: Так как <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math> фундаментальна, существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n, m > N_1</math>: <math>|x_{1,n} - x_{1,m}| < \frac{1}{2}</math>. Положим: <math>a_1 = x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}</math>. Тогда для <math>n > N_1</math>: <math>x_{1,n} - a_1 = x_{1,n} - (x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}) = (x_{1,n} - x_{1,N_1+1}) + \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>, значит, <math>a_1 < [x_1]</math>. Для <math>b_1</math>: Поскольку <math>[x_1] < [b]</math>, существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>b_n - x_{1,n} > \delta</math> для <math>n > N</math>. Выберем <math>N</math>, где <math>|b_n - [b]| < \frac{\delta}{2}</math> и <math>|x_{1,n} - [x_1]| < \frac{\delta}{2}</math>. Тогда: <math>b_n - x_{1,n} > \delta - \frac{\delta}{2} - \frac{\delta}{2} = 0</math>. Положим <math>b_1 = b_{N+1}</math>, и <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. Итак: <math>[a_1] < [x_1] \leq [b_1]</math>. Конец доказательства леммы 1. <u>Интуиция:</u> Мы берём "окно", где <math>a_1</math> ниже элемента <math>S</math>, а <math>b_1</math> выше всех <math>S</math>. <u>Шаг 2: Индуктивное построение вложенных интервалов</u> Для каждого <math>n \in \mathbb{N}</math>, имея <math>a_n</math> и <math>b_n</math>, определяем: <math>c_n = \frac{a_n + b_n}{2}</math>. * Если <math>[x] \leq [c_n]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, то <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>. * Если существует <math>[x] \in S</math>, такое что <math>[x] > [c_n]</math>, то <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>. <u>Лемма 2: Уменьшение длины интервала</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2} (b_n - a_n)</math>. <u>Доказательство:</u> * Если <math>[c_n]</math> — верхняя грань: <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = c_n - a_n = \frac{a_n + b_n}{2} - a_n = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. * Если <math>[x] > [c_n]</math>: <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = b_n - c_n = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. Конец доказательства леммы 2. <u>Лемма 3: Геометрическое уменьшение и сходимость</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}}</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. <u>Доказательство:</u> <u>База:</u> Для <math>n = 1</math>: <math>b_1 - a_1 = \frac{b_1 - a_1}{2^{1-1}}</math>. <u>Индукция:</u> Пусть для <math>n = k</math>: <math>b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}}</math>. Тогда по Лемме 2: <math>b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{1}{2} (b_k - a_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}} = \frac{b_1 - a_1}{2^k} = \frac{b_1 - a_1}{2^{(k+1)-1}}</math>. <u>Сходимость:</u> Для <math>\varepsilon > 0</math> выберем <math>N</math>, где <math>2^{N-1} > \frac{b_1 - a_1}{\varepsilon}</math>. Тогда для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} < \varepsilon</math>, значит, <math>b_n - a_n \to 0</math>. Конец доказательства леммы 3. <u>Шаг 3: Определение <math>[s]</math></u> <math>\left\{a_n\right\}</math> неубывает, <math>\left\{b_n\right\}</math> невозрастает (по построению). <math>a_n \leq b_n</math> и <math>b_n - a_n \to 0</math> (Лемма 3). По лемме о сходимости сужающихся интервалов: <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math> сходятся к одному <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. <u>Шаг 4: <math>[s]</math> — супремум <math>S</math></u> * <u><math>[s]</math> — верхняя грань:</u> Для любого <math>[x] \in S</math>, <math>[x] \leq [b_n]</math> для всех <math>n</math>. Так как <math>b_n \to [s]</math> (Лемма о сходимости сужающихся интервалов), то <math>[x] \leq [s]</math>. <u>Интуиция:</u> <math>b_n</math> — "потолок" над <math>S</math>, и <math>[s]</math> — его предел, выше всех элементов <math>S</math>. * <u><math>[s]</math> — наименьшая:</u> Пусть <math>[t]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. <math>[x] \leq [t]</math>. Предположим <math>[s] > [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>s_n - t_n > \delta</math> для <math>n > N</math>, где <math>{t_n}</math> представляет <math>[t]</math>. Так как <math>a_n \to [s]</math>, для <math>\varepsilon = \delta/2</math> существует <math>M</math>, где <math>n </math>: <math>|a_n - s_n| < \delta/2</math>, <math>a_n > s_n - \delta/2 > t_n + \delta/2</math>. По построению, существует <math>[x] \in S</math>, где <math>[x] > a_n</math>, значит <math>[x] > t_n + \delta/2</math>, что противоречит <math>[x] \leq [t]</math>. Следовательно, <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Интуиция:</u> Если <math>[s] > [t]</math>, <math>a_n</math> превышает <math>[t]</math>, а за <math>a_n</math> есть <math>[x] \in S</math>, что ломает верхнюю грань <math>[t]</math>. <u>Вывод</u> <math>[s]</math> — супремум <math>S</math>. Для инфимума доказательство симметрично с заменой "ограниченная сверху" на "ограниченная снизу", "точная верхняя грань" на "точная нижняя грань" и т.п. === 6.1 === <b>Теорема:</b> Всякое полное упорядоченное поле <math>(F, +, \cdot, <)</math> является архимедовым. <b>Определения:</b> 1. <b>Упорядоченное поле:</b> Поле <math>F</math> с отношением полного порядка <math><</math>, согласованным с операциями поля: * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a < b</math>, то <math>a+c < b+c</math> для любого <math>c \in F</math>. * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a > 0</math> и <math>b > 0</math>, то <math>a \cdot b > 0</math>. 2. <b>Полнота (Аксиома о наименьшей верхней границе):</b> Любое непустое подмножество <math>A \subset F</math>, ограниченное сверху в <math>F</math>, имеет точную верхнюю грань (супремум) в <math>F</math>, обозначаемую <math>\sup A</math>. 3. </b>Архимедово свойство:</b> (оно же аксиома Архимеда-Евдокса) Для любых <math>x, y \in F</math> таких, что <math>x > 0</math> и <math>y > 0</math>, существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>nx > y</math>. (Здесь <math>nx</math> означает <math>x + x + \dots + x</math> <math>n</math> раз, а <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> рассматривается как подмножество <math>F</math> через вложение <math>1, 1+1, 1+1+1, \dots</math>). </b>Доказательство (методом от противного):</b> Допустим от противного, что <math>F</math> является полным упорядоченным полем, но не является архимедовым. Т.е. существуют элементы <math>x \in F</math> и <math>y \in F</math> такие, что <math>x > 0</math>, <math>y > 0</math> и для всех натуральных чисел <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется неравенство <math>nx \le y</math>. Определим подмножество <math>S \subset F</math> следующим образом: <math display="block"> S = \{nx \mid n \in \mathbb{N}\} </math> Свойства множества S: * Множество <math>S</math> непусто, так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>x = 1x \in S</math>. * Множество <math>S</math> ограничено сверху. По нашему предположению из шага 2, элемент <math>y</math> является верхней границей для <math>S</math>, так как <math>nx \le y</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, то есть для всех элементов <math>nx \in S</math>. Поскольку <math>F</math> — полное упорядоченное поле, а <math>S</math> — непустое, ограниченное сверху подмножество <math>F</math>, то у <math>S</math> существует точная верхняя грань (супремум) в <math>F</math>. Обозначим эту грань через <math>s</math>: <math display="block"> s = \sup S </math> По определению супремума, <math>s</math> является верхней границей <math>S</math>. Так как <math>s</math> — *наименьшая* верхняя граница, то любое число, меньшее <math>s</math>, уже не является верхней границей для <math>S</math>. Рассмотрим элемент <math>s - x</math>. Поскольку <math>x > 0</math>, то <math>s - x < s</math>. Следовательно, <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>. Поскольку <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>, то по определению верхней границы существует хотя бы один элемент в <math>S</math>, который больше <math>s - x</math>. Пусть этот элемент равен <math>mx</math> для некоторого <math>m \in \mathbb{N}</math>: <math display="block"> mx > s - x </math> Прибавим <math>x</math> к обеим частям неравенства (используя свойство упорядоченного поля): <math display="block"> mx + x > (s - x) + x </math> <math display="block"> (m+1)x > s </math> Поскольку <math>m \in \mathbb{N}</math>, то <math>m+1</math> также является натуральным числом (<math>m+1 \in \mathbb{N}</math>). Следовательно, элемент <math>(m+1)x</math> по определению множества <math>S</math> принадлежит этому множеству: <math>(m+1)x \in S</math>. Мы получили, что существует элемент <math>(m+1)x \in S</math>, для которого выполняется <math>(m+1)x > s</math>. Однако <math>s = \sup S</math> — это верхняя граница множества <math>S</math>, что по определению означает, что для **любого** элемента <math>z \in S</math> должно выполняться <math>z \le s</math>. Неравенство <math>(m+1)x > s</math> противоречит тому, что <math>s</math> является верхней границей для <math>S</math>. Мы пришли к противоречию теорема доказана. Таким образом, любое полное упорядоченное поле <math>F</math> обязательно является архимедовым. Поэтому для поля действительных чисел ℝ она просто постулируется, а для рациональный чисел Q её оказывается возможным доказать как теорему. <b>Замечание:</b> Теорема о гранях доказывает свойство полноты определённое выше. Последняя теорема выше доказывает, непротиворечивость нашей системы аксиом для действительных чисел (отрицание аксиомы Архимеда-Евдокса ложно). === 8. <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> === ... <u>Шаг 4: Заключение</u> Таким образом, последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> сходится к действительному числу <math>x</math>, которое определяется как элемент фактор-множества <math>[ \left\{ x_n \right\} ]</math>. Это завершает доказательство. <u>Итог:</u> Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу, которое определяется как элемент фактор-множества всех последовательностей, сходящихся к тому же пределу. <b>Интуитивный смысл: </b> Фундаментальная последовательность — это такая последовательность, члены которой с ростом индекса становятся всё ближе друг к другу и "устаканиваются" вокруг какого-то значения. Интуитивно, если расстояние между членами последовательности становится сколь угодно малым, она должна приближаться к некоторой фиксированной точке — пределу. В данном случае мы показываем, что этот предел существует и является действительным числом. +++ 9. Любая сходящая последовательность является последовательностью Коши. 10. Любая сходящая последовательность ограничена. 11. Множество рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } плотно в множестве действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} }. 12. Множество действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } плотно в себе. 13. Определение арифметических операций. <b>14. Плотность рациональных чисел в действительных числах</b> <u>Утверждение: </u> Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>\varepsilon > 0</math>. По определению действительных чисел, <math>x</math> представляется как эквивалентность фундаментальной последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math>. По аксиоме Архимеда, существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> \frac{1}{n} < \varepsilon. </math> Выберем <math>N</math> так, чтобы для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x| < \varepsilon. </math> Тогда <math>x_N</math> — рациональное число, удовлетворяющее условию: <math> |x - x_N| < \varepsilon. </math> Таким образом, рациональные числа плотны в <math>\mathbb{R}</math>. <b>15. Плотность действительных чисел</b> <u>Утверждение:</u> Множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> обладает свойством плотности в себе, то есть для любых двух различных чисел <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, где <math>x < y</math>, существует <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>x < z < y</math>. <u>Доказательство:</u> Как было доказано выше множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, т.е. для любых <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x < y</math>, существует рациональное число <math>q \in \mathbb{Q}</math>, удовлетворяющее условию: <math> x < q < y. </math> Поскольку <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то <math>q</math> также является действительным числом, то есть <math>q \in \mathbb{R}</math>. Следовательно, мы нашли <math>z = q</math>, где <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что: <math> x < z < y. </math> Таким образом, между любыми двумя действительными числами всегда найдётся другое действительное число, что и доказывает, что <math>\mathbb{R}</math> плотно в себе. ==== Арифметика (опр.) ==== ==== Бесконечная десятиная дробь ==== ==== Арифметика (практ.) ==== ==== Дедекиндовое сечение ==== === Бесконечные десятичные дроби === * Периодические десятичая дробь. * Непериодечские десятичная дробь. * Конечная десятичные дробь. * 0.(9)=1.0 * Действительное число является рациональным тогда и только тогда представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. === sqrt(2) иррационально === * Формулировка геометрическая, алгебраическая, их эквивалетность. Один из первых кризисов в математики. * Доказательство (используя несократимую дробь) * Поле действительных чисел ℝ характеризуется как единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Доказательство выходит за рамки этой книги. == 8. Введение в ординальные числа == <u>Что такое ординальные числа? </u> * Определение ординальных чисел. * Исторический контекст и мотивация. <u>Основные определения </u> 1. Основы и определение ординалов 1.1 Аксиомы теории множеств ZFC Понятие множества, принадлежности <math>\in</math>, подмножества. Аксиома фундированности: отсутствие бесконечной цепи <math>\dots \in x \in y \in \dots</math>. Аксиома подмножества и существование определённых множеств. 1.2 Транзитивные множества Определение: множество <math>X</math> называется транзитивным, если для любого <math>y \in X</math>, <math>y \subseteq X</math>. Примеры транзитивных множеств. Свойства транзитивных множеств. 1.3 Определение ординалов через транзитивные множества Ординал — это транзитивное множество, вполне упорядоченное строгим порядком <math>\in</math>. Ординал — это транзитивное множество, строго упорядоченное отношением принадлежности <math>\in</math>, такое, что для любых двух различных элементов x,y из ординала выполняется одно и только одно из условий: x∈y, y∈x или x=y. Ординалы представляют собой "стандартные" упорядоченные множества, которые используются для описания порядка. Примеры малых ординалов: <math>0 = \emptyset</math>, <math>1 = {0}</math>, <math>2 = {0,1}</math>, <math>3 = {0,1,2}</math>, и так далее. Универсальность ординалов: любой ординал состоит только из ординалов. Теорема 1 (О индукции по ординалам) Всякая индуктивная гипотеза, утверждающая нечто о всех ординалах меньше некоторого ординала <math>\alpha</math>, может быть доказана с помощью индукции по ординалу <math>\alpha</math>. 2. Основные свойства ординалов 2.1 Строгое линейное упорядочение Доказательство, что <math>\in</math> на ординалах является строгим линейным порядком. Транзитивность порядка: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \gamma</math>, то <math>\alpha < \gamma</math>. Антисимметричность: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \alpha</math>, то <math>\alpha = \beta</math>. 2.2 Универсальное свойство ординалов Всякое вполне упорядоченное множество упорядочено изоморфно единственному ординалу. Доказательство единственности ординала для любого конечного множества. 2.3 Порядковое вложение В ординалах любое порядковое вложение либо тождественно, либо строгое. Доказательство, что между ординалами невозможно биекцию, не являющуюся изоморфизмом порядка. Теорема 2 (О порядке ординалов) Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два ординала, то <math>\alpha \leq \beta</math> тогда и только тогда, когда существует инъективная функция <math>f: \alpha \to \beta</math>. 3. Операции над ординалами 3.1 Следующий ординал Определение: <math>\alpha^+ = \alpha \cup {\alpha}</math>. Свойства: <math>\alpha^+</math> — минимальный ординал, больший <math>\alpha</math>. 3.2 Супремум и предел ординалов Определение супремума множества ординалов. Определение предельного ординала: <math>\lambda</math> — предельный, если нет <math>\alpha</math>, такого что <math>\lambda = \alpha^+</math>. Примеры предельных ординалов: <math>\omega</math>, <math>\omega + \omega</math>, <math>\omega^2</math>. Теорема 3 (О пределах ординалов) Если <math>\alpha</math> — предел ординала, то существует последовательность ординалов, которая монотонно возрастает и имеет предел <math>\alpha</math>. 3.3 Сложение ординалов Определение: <math>\alpha + 0 = \alpha, \quad \alpha + \beta^+ = (\alpha + \beta)^+</math>. Свойства сложения: некоммутативность (<math>1 + \omega \neq \omega + 1</math>). 3.4 Умножение ординалов Определение: <math>\alpha \cdot 0 = 0, \quad \alpha \cdot \beta^+ = \alpha \cdot \beta + \alpha</math>. Свойства: ассоциативность, но некоммутативность. 3.5 Возведение в степень Определение: <math>\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta^+} = \alpha^\beta \cdot \alpha</math>. Примеры вычислений. 4. Бесконечные ординалы 4.1 Малейший бесконечный ординал <math>\omega</math> Определение: <math>\omega</math> — первый предельный ординал. Свойство: любой конечный ординал <math>n</math> удовлетворяет <math>n < \omega</math>. Доказательство, что <math>\omega</math> — минимальный бесконечный ординал. 4.2 Счётные ординалы Определение: ординал <math>\alpha</math> — счётный, если существует сюръекция <math>f: \omega \to \alpha</math>. Примеры: <math>\omega</math>, <math>\omega + 1</math>, <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\varepsilon_0</math>. 4.3 Несчётные ординалы <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. <math>\omega_1</math> является наименьшим предельным ординалом, который не является счётным. Свойства <math>\omega_1</math>: все ординалы меньше <math>\omega_1</math> счётны, и это непереходный предел для счётных ординалов. Теорема 4 (О наименьшем ординале, не являющемся порядковым типом множества) Для любого множества существует наименьший ординал, который не является порядковым типом этого множества. 4.4 Противоречие с множеством всех ординалов Парадокс Бурали-Форти. 5. Принцип трансфинитной индукции и рекурсии 5.1 Трансфинитная индукция Формулировка: если утверждение <math>P(\alpha)</math> верно для <math>\alpha = 0</math> и сохраняется при переходе на следующий ординал и предельные ординалы, то оно верно для всех ординалов. Примеры использования. 5.2 Трансфинитная рекурсия Формулировка: для любой функции <math>F</math>, можно задать <math>f(\alpha)</math> для всех ординалов: <math>f(0) = a, \quad f(\alpha^+) = F(f(\alpha)), \quad f(\lambda) = \sup { f(\beta) \mid \beta < \lambda }, \text{ если } \lambda \text{ — предельный}.</math> Примеры: конструкция функций на ординалах. 6. Канторова нормальная форма (CNF) Разложение ординала в виде: <math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot c_1 + \omega^{\beta_2} \cdot c_2 + \dots + \omega^{\beta_k} \cdot c_k</math>, где <math>\beta_1 > \beta_2 > \dots > \beta_k</math> и <math>c_i \neq 0</math>. Единственность разложения. Примеры разложения. Теорема 5 (О Канторовой нормальной форме) Любой ординал может быть представлен в Канторовой нормальной форме, где представление единственно. 7. Более сложные темы 7.1 Функция Веблена Определение функций <math>\varphi_\alpha(\beta)</math>. 7.2 Расширение арифметики ординалов Ординальная экспоненциальная башня. Функция Аккермана и пределы вычислимости. 7.3 Ординал <math>\varepsilon_0</math> Определение ординала <math>\varepsilon_0</math>, первого ординала, который является фиксированной точкой функции ординала. Теорема 6 (О Канторовом принципе) Мощность множества всех ординалов меньших, чем данный ординал <math>\alpha</math>, равна <math>\alpha</math>. Это утверждение отражает важность порядка ординалов и теории мощностей. == 9. Приложения ординальных чисел == 14.1 Ординалы в теории моделей и теории вычислимости * Применение ординалов в построении моделей теорий. Роль ординалов в описании вычислимых процессов. * Доказательство непротиворечивости аксиоматике Пеано. * Свойства <math>\varepsilon_0</math> и его роль в теории рекурсивных функций. * Применение <math>\varepsilon_0</math> в теории доказательств и вычислимости. 14.2 Теория множеств * Использование ординалов в построении и анализе иерархий множеств. 14.3 Теория доказательств и математическая логика * Применение ординалов в доказательстве непротиворечивости теорий. 14.4 Топология и анализ * Примеры использования ординалов в топологии. * Роль ординалов в анализе, например, в описании порядковых компактностей. == 11. Введение в кардинальные числа == 11. Введение в кардинальные числа 1. Определение кардинальных чисел через ординалы 1.1 Основное определение Определение кардинального числа Ординал <math>\kappa</math> называется кардинальным числом, если он удовлетворяет следующему свойству: Основное определение: Для любого ординала <math>\alpha < \kappa</math> выполняется <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Это означает, что <math>\kappa</math> — это наименьший ординал своей мощности: ни один меньший ординал не равномощен <math>\kappa</math>. Эквивалентные формулировки Существуют альтернативные определения, эквивалентные основному. Докажем их эквивалентность. 1. Первая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если он не равномощен ни одному строго меньшему ординалу. То есть, если <math>\lambda = |\kappa|</math> — мощность <math>\kappa</math>, то для любого <math>\alpha < \kappa</math> выполняется: <math>|\alpha| \neq \lambda</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению: <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| < |\kappa|</math>. Если бы существовало <math>\alpha < \kappa</math> такое, что <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то это противоречило бы строгому неравенству <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Следовательно, <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, и первая формулировка следует из основной. Обратно, если <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| \neq |\kappa|</math>, то в силу упорядоченности мощностей (для любых ординалов <math>|\alpha| < |\kappa|</math> или <math>|\alpha| = |\kappa|</math> или <math>|\alpha| > |\kappa|</math>) и того, что <math>\alpha < \kappa</math> (меньший ординал не может иметь большую мощность), остаётся только <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Значит, основное определение выполнено. 2. Вторая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если для любого множества <math>A</math>, такого что существует сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, существует инъекция <math>g: \kappa \to A</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению. Если есть сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, то <math>|A| \geq |\kappa|</math> (существование сюръекции означает, что мощность <math>A</math> не меньше мощности <math>\kappa</math>). Предположим, что нет инъекции <math>g: \kappa \to A</math>, тогда <math>|\kappa| > |A|</math> (по теореме Кантора-Бернштейна, мы докажем её ниже ). Но <math>|A| \geq |\kappa|</math> и <math>|\kappa| > |A|</math> противоречат друг другу. Значит, инъекция существует. Обратно, если для любого <math>A</math> с сюръекцией <math>f: A \to \kappa</math> есть инъекция <math>g: \kappa \to A</math>, возьмём <math>A = \alpha < \kappa</math>. Если <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то существует биекция <math>f: \alpha \to \kappa</math>, что даёт сюръекцию. Тогда должна быть инъекция <math>g: \kappa \to \alpha</math>, но <math>\kappa > \alpha</math>, и инъекция невозможна (ординал не может быть вложен в меньший ординал). Противоречие показывает, что <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, а значит, <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Таким образом, все три определения эквивалентны. Существование кардинальных чисел Для каждого ординала <math>\alpha</math> существует кардинальное число, которое является наименьшим среди всех ординалов мощности не меньшей, чем <math>\alpha</math>. Это следует из аксиомы выбора и свойств ординалов: Мощность <math>|\alpha|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>\alpha</math>. Такой ординал всегда существует, так как множество всех ординалов равной мощности имеет наименьший элемент (по теореме о хорошей упорядоченности). Примеры: * Для <math>\alpha = 0</math>: <math>|0| = 0</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = 1</math>: <math>|1| = 1</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = \omega</math> (первый бесконечный ординал): <math>|\omega| = \aleph_0</math> — первое бесконечное кардинальное число. Интуиция Кардинальные числа — это "стандартные представители" мощностей. Они позволяют измерять "размер" множества, абстрагируясь от его структуры. Например: Для конечных множеств: {a,b} и {1,2} равномощны, их кардинальное число — 2. Для бесконечных множеств: NN и ZZ равномощны, их кардинальное число — aleph_0. Если ординал κκ — кардинальное число, то он "наименьший в своём классе мощности". Никакой меньший ординал не может "уместить" столько же элементов. Теорема Кантора-Бернштейна: Если для двух множеств существуют биекции с множества <math>A</math> на <math>B</math> и с множества <math>B</math> на <math>A</math>, то мощности этих множеств одинаковы. * Два доказательства через конструкцию цепей и через разбиение множеств использует последовательное разбиение множеств AA и BB на подмножества и построение биекции на каждом из них. Теорема Хартогса: Для любого множества существует ординал, который не имеет биекции с этим множеством, то есть существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. === Конечные множества === Множество <math>A</math> называется конечным, если оно равномощно некоторому ординалу <math>n</math>, где <math>n</math> — конечное натуральное число (или <math>0</math>). Количество элементов множества <math>A</math> — это число <math>n</math>, если можно установить биекцию между <math>A</math> и <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Почему кардинал совпадает с количеством элементов? Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Равномощность ординалу: Существует биекция <math>f: A \to n</math>, где <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Например, если <math>A = \left\{a, b, c\right\}</math>, то можно задать <math>f(a) = 0</math>, <math>f(b) = 1</math>, <math>f(c) = 2</math>, и <math>A \sim 3</math>. Мощность как наименьший ординал: Кардинальное число <math>|A|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Поскольку <math>A</math> равномощно <math>n</math>, нужно проверить, является ли <math>n</math> наименьшим: * Для любого ординала <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) число элементов равно <math>m</math>, что меньше <math>n</math>. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (с <math>n</math> элементами) и <math>m</math> по принципу Дирихле, так как <math>m < n</math>. Значит, <math>|m| < |n|</math>. * Следовательно, <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>, и <math>|A| = n</math>. Совпадение с количеством: Поскольку <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, а <math>|A| = n</math>, кардинальное число совпадает с количеством элементов. <u>Пример: </u> Пусть <math>A = \left\{x, y\right\}</math>. Оно равномощно <math>2 = \left\{0, 1\right\}</math>. Ординалы <math>0 = \emptyset</math> и <math>1 = \left\{0\right\}</math> имеют меньше элементов (<math>0</math> и <math>1</math> соответственно), и не равномощны <math>A</math>. Значит, <math>|A| = 2</math>, что равно числу элементов в <math>A</math>. Почему ординал совпадает с количеством элементов? Для конечных множеств ординальное число связано с их упорядочением: Упорядочение множества <u>Утверждение:</u> Если <math>A</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами, его можно хорошо упорядочить. <u>Определение:</u> Множество <math>A</math> хорошо упорядочено отношением <math>\leq</math>, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in A</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> имеет наименьший элемент (существует <math>s_0 \in S</math>, такое что <math>s_0 \leq s</math> для всех <math>s \in S</math>). <u>Доказательство для конечных множеств:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами. Зададим порядок: <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Это линейный порядок, так как он тотальный (любые два элемента сравнимы). Проверим хорошее упорядочение: любое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> конечно и линейно упорядочено, значит, имеет наименьший элемент (первый элемент в заданном порядке). Например, для <math>S = {a_2, a_4}</math> наименьший элемент — <math>a_2</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> задаём порядок <math>a < b < c</math>. Любое подмножество, например <math>{b, c}</math>, имеет наименьший элемент <math>b</math>. <u>Изоморфизм с ординалом</u> <u>Утверждение:</u> Такое упорядоченное множество <math>A</math> изоморфно ординалу <math>n</math>. <u>Определение:</u> Два упорядоченных множества <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> изоморфны, если существует биекция <math>f: A \to B</math>, сохраняющая порядок: <math>a \leq_A b</math> тогда и только тогда, когда <math>f(a) \leq_B f(b)</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> с порядком <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Ординал <math>n = {0, 1, \ldots, n-1}</math> упорядочен отношением <math>\in</math>, которое совпадает с <math><</math>: <math>0 < 1 < \cdots < n-1</math>. Зададим отображение <math>f: A \to n</math>: * <math>f(a_1) = 0</math>, * <math>f(a_2) = 1</math>, * ... * <math>f(a_n) = n-1</math>. Проверим свойства: * <math>f</math> — биекция: каждому <math>a_i</math> соответствует уникальный элемент <math>i-1</math>, и все элементы <math>{0, 1, \ldots, n-1}</math> покрыты. * <math>f</math> сохраняет порядок: если <math>a_i < a_j</math> (т.е. <math>i < j</math>), то <math>f(a_i) = i-1 < j-1 = f(a_j)</math>. Таким образом, <math>(A, <)</math> изоморфно <math>(n, <)</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> с порядком <math>a < b < c</math> задаём <math>f: a \mapsto 0</math>, <math>b \mapsto 1</math>, <math>c \mapsto 2</math>. Ординал <math>3 = {0, 1, 2}</math> имеет <math>3</math> элементов, и порядок сохраняется: <math>a < b</math> влечёт <math>0 < 1</math>. Однозначность для конечных множеств <u>Утверждение:</u> Любой порядок, приводящий к хорошему упорядочению конечного множества <math>A</math>, даёт изоморфизм с ординалом <math>n</math>, где <math>n</math> — число элементов. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, и задано некоторое хорошее упорядочение <math>\leq</math>. Обозначим элементы <math>A</math> как <math>b_1 < b_2 < \cdots < b_n</math>. Так как <math>A</math> конечно и хорошо упорядочено, оно содержит ровно <math>n</math> элементов в строгой последовательности (без "разрывов" или бесконечных цепочек). Построим биекцию <math>g: A \to n</math>: * <math>g(b_1) = 0</math>, * <math>g(b_2) = 1</math>, * ... * <math>g(b_n) = n-1</math>. Эта биекция сохраняет порядок, так как <math>b_i < b_j</math> влечёт <math>i < j</math>, а значит <math>g(b_i) = i-1 < j-1 = g(b_j)</math>. Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует только один ординал с заданным числом элементов: <math>n</math>. Например, нет другого ординала с <math>3</math> элементами, кроме <math>3 = {0, 1, 2}</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> другой порядок, например <math>c < a < b</math>, даёт изоморфизм с <math>3</math>: <math>c \mapsto 0</math>, <math>a \mapsto 1</math>, <math>b \mapsto 2</math>. Структура остаётся той же. <u>Почему кардинал совпадает с количеством элементов?</u> <u>Доказательство:</u> Кардинал <math>|A|</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, существует биекция <math>f: A \to n</math>. Проверим, что <math>n</math> — наименьший: * Для любого <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) ординал <math>m</math> имеет <math>m</math> элементов. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (<math>n</math> элементов) и <math>m</math>, так как <math>m < n</math>. * Значит, <math>|A| = n</math>. Число элементов <math>A</math> равно <math>n</math>, так как биекция с <math>n</math> нумерует все элементы. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал любого хорошего упорядочения <math>A</math> — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба равны количеству элементов <math>n</math>. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал, соответствующий любому хорошему упорядочению <math>A</math>, — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба совпадают с количеством элементов, так как <math>n</math> — это число элементов в <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Таким образом, в конечном случае <math>|A| = n</math> (кардинал) и ординал упорядочения равны <math>n</math>, что соответствует числу элементов. Для конечных множеств: каждый элемент можно пронумеровать, и <math>n</math> одновременно является и ординалом (порядок), и кардиналом (размер). Для бесконечных множеств кардинал и ординал перестают совпадать с "количеством" в обычном смысле: Формулировка утверждения === Для бесконечных множеств === <u>Утверждение:</u> Для бесконечных множеств кардинальное число (кардинал) и ординальное число (ординал) ведут себя по-разному: два различных бесконечных ординала могут иметь одинаковый кардинал, а "количество элементов" в бесконечном множестве не выражается конечным числом, что делает кардинал абстрактным понятием "размера". <u>Пример для иллюстрации:</u> * Первый бесконечный ординал: <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math>. * Его кардинал: <math>|\omega| = \aleph_0</math>. * Ординал <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> имеет тот же кардинал <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>, но как ординалы <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Доказательство различия для бесконечных множеств</u> <u>Часть 1: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны</u> Покажем, что <math>\omega \neq \omega + 1</math> как ординалы. Определение: * <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math> — множество всех конечных ординалов с порядком <math>0 < 1 < 2 < \cdots</math>. * <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> — добавлен элемент <math>\omega</math>, больший всех предыдущих: <math>0 < 1 < 2 < \cdots < \omega</math>. Свойства: * В <math>\omega</math> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, но нет наибольшего элемента (после любого <math>n</math> есть <math>n+1</math>). * В <math>\omega + 1</math> есть наибольший элемент — <math>\omega</math>, так как для всех <math>x \in \omega + 1</math> выполняется <math>x \leq \omega</math>. <u>Изоморфизм:</u> Предположим, существует биекция <math>f: \omega \to \omega + 1</math>, сохраняющая порядок. Пусть <math>f(n) = \omega</math> для некоторого <math>n \in \omega</math>. Тогда для <math>m > n</math> в <math>\omega</math> должно быть <math>f(m) > f(n) = \omega</math>, но в <math>\omega + 1</math> нет элемента больше <math>\omega</math>. Противоречие. Значит, <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> не изоморфны как упорядоченные множества, и <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Часть 2: Кардиналы <math>|\omega|</math> и <math>|\omega + 1|</math> равны</u> Покажем, что <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>. Определение <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_0</math> — наименьший бесконечный кардинал, равный мощности множества натуральных чисел <math>\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}</math>. Так как <math>\omega</math> равномощно <math>\mathbb{N}</math> (биекция <math>f(n) = n</math>), то <math>|\omega| = \aleph_0</math>. Биекция между <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math>: Определим <math>f: \omega \to \omega + 1</math>: * <math>f(0) = \omega</math>, * <math>f(1) = 0</math>, * <math>f(2) = 1</math>, * <math>f(3) = 2</math>, * ... * <math>f(n) = n-1</math> для <math>n \geq 1</math>. Проверим: * Инъективность: <math>f(n) = f(m)</math> влечёт либо <math>n = m = 0</math> (оба отображаются в <math>\omega</math>), либо <math>n-1 = m-1</math> для <math>n, m \geq 1</math>, то есть <math>n = m</math>. * Сюръективность: <math>\omega</math> — образ <math>0</math>, <math>0</math> — образ <math>1</math>, <math>1</math> — образ <math>2</math>, и т.д.; каждый элемент <math>\omega + 1</math> покрыт. Таким образом, <math>f</math> — биекция, и <math>|\omega| = |\omega + 1|</math>. Вывод: <math>|\omega| = \aleph_0</math>, и <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>. Несмотря на различие как ординалов, их кардиналы совпадают. <u>Часть 3: "Количество элементов" в бесконечном множестве</u> Для конечных множеств количество элементов — это число <math>n</math>, равное кардиналу и ординалу. Для бесконечных множеств: Нельзя пронумеровать элементы конечным числом, так как добавление элементов (как в <math>\omega + 1</math>) не меняет кардинал. Кардинал <math>\aleph_0</math> — это абстрактный "размер", не связанный с конечным подсчётом. <u>Например:</u> * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{N} \cup {a}</math> имеют одинаковый кардинал <math>\aleph_0</math>, * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Z}</math> также имеют <math>\aleph_0</math>, несмотря на различия в структуре. <u>Интуиция</u> Ординалы: описывают порядок. <math>\omega</math> — бесконечная последовательность без конца, <math>\omega + 1</math> — та же последовательность с добавленным последним элементом. Их структура различна. Кардиналы: измеряют "размер" через равномощность. Добавление одного элемента к бесконечному множеству не меняет его кардинал, так как можно перестроить биекцию. Бесконечность: в отличие от конечных множеств, где <math>n</math> однозначно определяет и порядок, и размер, для бесконечных множеств кардинал — абстракция, не зависящая от конкретного порядка. <u>Вывод</u> Для бесконечных множеств: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны, так как их упорядочения не изоморфны. Их кардиналы равны: <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>, что следует из существования биекции. "Количество элементов" не выражается конечным числом, и кардинал становится абстрактным понятием "размера", в отличие от конечных множеств, где <math>|A| = n</math> совпадает с числом элементов. Для бесконечных множеств кардинал не обязательно совпадает с их ординальной структурой, так как равномощность игнорирует порядок. 1.2 Свойства кардинальных чисел Минимальность кардинального числа: для каждого кардинала выполнено, что все ординалы, меньшие его, также являются кардинальными. Кардинальные числа как ординалы: не каждый ординал является кардинальным числом. Пример: кардинал <math>\aleph_0</math>, который соответствует мощности счётного множества, например, множества натуральных чисел. 1.3 Кардинальные числа и операции с ординалами Операции сложения, умножения, возведения в степень и сравнения кардиналов. 2. Определение кардинальных чисел через классы эквивалентности 2.1 Определение через эквивалентность мощностей множеств Кардинальные числа можно определить через классы эквивалентности по отношению к мощности множеств. Множества эквивалентны по мощности, если существует биекция между ними. 2.2 Кардинальные числа и биекции Кардинальное число множества — это класс эквивалентности всех множеств, эквивалентных по мощности данному множеству. N ~ N\{0} N ~ N\{0,...,n} 2N ~ N (часть эквивалента целому) 2N ~ 2N+1 N ~ Z N ~ Q [a, b] ~ [c, d] [a, b] ~ (a, b] [a, b] ~ (a, b) [-1, 1] ~ R (tg x) Пусть <math>C</math> — окружность на плоскости, <math>P \in C</math> — произвольная точка, а <math>C' = C \setminus {P}</math> — окружность без точки <math>P</math>. Тогда <math>C</math> и <math>C'</math> равномощны. 3. Выход за пределы ZFC 3.1 Кардинальные числа и классы Множество всех кардинальных чисел в теории ZFC не является множеством, а классом. Теорема: Множество всех кардинальных чисел не является множеством в теории ZFC. 3.2 Кардинальные числа и гипотезы Теория кардинальных чисел включает гипотезы, не поддающиеся доказательству или опровержению в рамках ZFC. Пример: Гипотеза континуума (CH). Теорема: Гипотеза континуума (CH) независима от ZFC. 4. Дальнейший план изучения кардинальных чисел 4.1 Исследование теории кардинальных чисел Изучение определения кардинальных чисел через ординалы и эквивалентности мощностей множеств. Основные кардинальные числа: <math>\aleph_0</math>, <math>\mathfrak{c}</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> и т.д. 4.2 Арифметика кардинальных чисел 4.2.1 Основные операции Сложение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> верно, что <math>\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Умножение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> выполняется <math>\kappa_1 \cdot \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Возведение в степень: для кардиналов <math>\kappa</math> и <math>\lambda</math> <math>\kappa^\lambda = 2^{\kappa \cdot \lambda}</math>. 4.2.2 Особенности арифметики кардиналов Сложение и умножение бесконечных кардиналов не зависит от порядка операндов. Операции с конечными кардинальными числами зависят от их значений. 4.3 Гипотезы и теоремы Гипотеза континуума (CH) Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинальных чисел строго между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak{c}</math> (мощностью континуума). Обобщённая гипотеза континуума (GCH) Для каждого кардинала <math>\kappa</math> существует кардинал <math>\lambda</math>, который строго больше <math>\kappa</math> и меньше <math>\kappa^+</math>. Теорема Кантора Кантор доказал, что мощность множества вещественных чисел <math>\mathfrak{c}</math> строго больше, чем мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math>. Теорема Хартогса Существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. Это важная теорема в теории кардинальных чисел. Теорема о мощности декартова произведения Мощность декартова произведения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности объединения Мощность объединения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности степеней Мощность множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>B</math> равна мощности множества <math>B</math>, возведённой в степень мощности множества <math>A</math>. Теорема: ∣P(A)∣=∣2^A∣ Мощность множества всех подмножеств множества <math>A</math> (то есть мощность его степени) равна мощности множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>{0,1}</math>, что эквивалентно <math>2^A</math>. 5. Иерархия Фон Ноймана 5.1 Определение иерархии Фон Ноймана Иерархия Фон Ноймана представляет собой способ построения множеств с помощью операций, основанных на кардинальных числах. Иерархия строится с использованием операций объединения и подмножеств, позволяя описать множества, включая все возможные подмножества. 5.2 Свойства иерархии Фон Ноймана Каждое множество в иерархии Фон Ноймана имеет мощность, соответствующую кардинальному числу. Эта иерархия включает как конечные, так и бесконечные множества, которые играют важную роль в математической логике. 6. Связь между индексами кардинальных чисел и ординалами 6.1 Индексы кардинальных чисел Кардинальные числа можно индексировать с помощью ординалов. Например, <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> — это кардинальные числа, индексируемые ординалами <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math> соответственно. 6.2 Связь кардиналов и ординалов Каждый ординал соответствует определённому кардиналу, и кардиналы могут быть упорядочены с использованием ординалов. Это помогает в построении моделей теории множеств, основанных на кардинальных числах. 6.3 Теорема о порядке кардиналов Кардинальные числа упорядочиваются с помощью ординалов. Например, если <math>\alpha < \beta</math>, то <math>\kappa_\alpha \leq \kappa_\beta</math>. == 12. Приложения кардинальных чисел == * Применения в математике и логике: теория графов, теория множеств, теория вероятностей. * Исследование кардинальных чисел и их связей с другими областями математики, такими как топология и алгебра. 8blvp2hkjpmvufjx0vlhwxair4r95ho 261980 261972 2025-07-11T00:13:04Z Alexsmail 1129 /* примеры мат. индукции */ d 261980 wikitext text/x-wiki == Введение == Концепция бесконечности веками волновала умы людей, проходя через множество трансформаций. Этот длинный путь начинается с древнегреческих размышлений и достигает своего апогея в математических открытиях конца XIX века. Древние греки, и в особенности Аристотель, подходили к бесконечности с осторожностью. Для них она существовала как нечто потенциальное — процесс, который можно продолжать без конца, но который никогда не завершается в виде целого. Последовательность чисел могла расти бесконечно, но в любой момент оставалась конечной. Завершенная, или актуальная, бесконечность отвергалась Аристотелем как логически невозможная, ведь она вела к парадоксам, подобным тем, что сформулировал Зенон. Эти идеи о потенциальной бесконечности как неуловимом горизонте глубоко укоренились в западной мысли и господствовали на протяжении многих веков, задавая тон философским и научным дискуссиям. Платонизм, философское учение, основанное на идеях Платона, заложило основы для понимания трансцендентного и вечного. В центре платонизма находится концепция мира идей, или форм, — совершенных, неизменных и вечных сущностей, которые существуют за пределами материального мира. Материальный мир, по Платону, является лишь отражением или тенью этого высшего мира идей. Платон также ввел понятие Единого как высшего принципа, который объединяет все идеи и является источником бытия. Хотя у Платона Единое не разработано так подробно, как в неоплатонизме, его идеи заложили основу для дальнейшего развития концепции абсолютного и бесконечного источника реальности. Неоплатонизм, возникший в поздней античности как развитие идей Платона, углубил и систематизировал эти концепции. Центральной фигурой неоплатонизма стал Плотин, который развил учение о Едином — абсолютном, бесконечном и непостижимом источнике всего сущего. Единое находится за пределами бытия, разума и формы, и все уровни реальности происходят из него через процесс эманации. Эманация, от латинского "истечение", описывает естественное и непрерывное излучение бытия из Единого, подобно тому, как свет исходит от солнца. Этот процесс непроизволен: Единое не "решает" создавать, а излучает бытие из своей полноты без намерения или усилия. Реальность в неоплатонизме структурирована как иерархия, где каждый уровень (Ум, Душа, материальный мир) менее совершенен, чем предыдущий, но все они связаны с Единым. Символика света, используемая Плотином, подчеркивает, что Единое распространяет бытие, не теряя своей природы, подобно тому, как солнце светит, не истощая себя. В неоплатонизме Единое — это потенциальная бесконечность, источник, который остается неизменным и неисчерпаемым, несмотря на процесс эманации. Параллельно этим философским идеям, в еврейской мистической традиции Каббалы развивалась собственная концепция бесконечности — "Эйн Соф". Этот термин, означающий "без конца" или "бесконечное", относится к непостижимому, трансцендентному аспекту Бога, существующему вне всякого проявления. Идея "Эйн Соф" оформилась в Средние века, в XII–XIII веках, в Испании и Провансе, задолго до математических открытий Кантора. В отличие от аристотелевской потенциальной бесконечности, Каббала принимала актуальную бесконечность как фундаментальную характеристику божественного, считая "Эйн Соф" источником всех эманаций Бога, известных как сфирот. Эти сфирот образуют иерархическую структуру, через которую бесконечное проявляется в конечном мире, предлагая мистическую параллель канторовской иерархии бесконечностей. Каббала, заимствуя идею эманации из неоплатонизма, адаптировала ее в рамках монотеистической теологии. В отличие от неоплатонизма, где эманация — это непроизвольный и пассивный процесс, в Каббале она рассматривается как осознанный акт Бога. "Эйн Соф" через эманацию раскрывает свою силу, создавая иерархию сфирот. Сфирот, в отличие от статичных уровней бытия в неоплатонизме, находятся в постоянном динамическом взаимодействии, управляя материальным миром и создавая непрерывную цепь мироздания. Много позже, в конце XIX века, устоявшийся взгляд на бесконечность был поставлен под сомнение Георгом Кантором, чья работа перевернула представление о бесконечности. Кантор ввел понятие актуальной бесконечности, утверждая, что бесконечные множества существуют как завершенные сущности и даже различаются по размеру. Он разработал теорию трансфинитных чисел, разделив их на кардинальные, описывающие величину множеств, и ординальные, определяющие порядок в последовательностях. Множество натуральных чисел, например, имеет кардинальность алеф-ноль, тогда как множество действительных чисел бесконечно больше, что он доказал с помощью своего знаменитого диагонального аргумента. Эта иерархия бесконечностей стала основой современной теории множеств, но встретила яростное сопротивление. Одним из главных противников Кантора был Леопольд Кронекер, выдающийся математик и лидер финитистов. Кронекер настаивал на том, что математика должна опираться исключительно на конечные, конструируемые объекты. Его знаменитое высказывание "Бог создал целые числа; всё остальное — дело человека" отражало его убеждение в том, что бесконечные множества — это не более чем фикция. Для него работа Кантора казалась скорее теологической фантазией, чем строгой наукой, и он не стеснялся называть Кантора "научным шарлатаном". Этот конфликт между финитизмом и новаторскими идеями Кантора выявил глубокий раскол в математическом сообществе, где старые принципы столкнулись с радикально новым подходом. Кантор, однако, не ограничивал свои размышления чистой математикой. Будучи глубоко религиозным человеком, он видел в бесконечности нечто большее — отражение божественного. Этот теологический взгляд на математику добавлял его работе философскую глубину, но одновременно усиливал критику со стороны тех, кто, подобно Кронекеру, требовал строгой рациональности. Несмотря на сопротивление, идеи Кантора нашли поддержку в следующем поколении. Давид Гильберт, один из самых влиятельных математиков XX века, в 1926 году выступил в защиту его теории. Противостоя интуиционистам, таким как Брауэр, которые продолжали оспаривать актуальную бесконечность, Гильберт произнес знаменитые слова: "Никто не выгонит нас из рая, который создал для нас Кантор". Эта фраза стала не только признанием значения теории множеств, но и символом того, что мир бесконечностей, открытый Кантором, стал неотъемлемой частью математики. Более того, Кантор поставил цель положить теорию множеств в фундамент математики, что позже было реализовано благодаря работам Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, разработавших аксиоматическую систему ZFC, ставшую основой для построения современной математики. Хотя прямых свидетельств того, что Кантор изучал Каббалу, нет, его использование еврейской буквы алеф для обозначения бесконечных кардинальных чисел и размышления об Абсолютно Бесконечном, которое он отождествлял с Богом, намекают на возможное косвенное влияние. == Эпиграф к тому I == "Натуральные числа создал Господь Бог, всё остальное — дело рук человеческих." (с) Леопольд Кронекер, выдающийся немецкий математик XIX века. Введение [[Участник:Alexsmail/Теория множеств. Том I. Построение действительных чисел/черновик]] == Введение к тому I == Вы, наверное, нечасто задумываетесь: существуют ли числа на самом деле? Они повсюду — в часах, расстояниях, даже наших мыслях, но что они такое? Люди спорили веками, предлагая три взгляда: числа — вымысел, свойства вещей или вечные сущности, как считали Платон и Пифагор. Давайте разберёмся, взглянув на их природу и историю, чтобы понять, как строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа — главные герои этой книги. Представьте, что числа — это выдумка, плод воображения. В природе нет абстрактных «два» или «четыре» — они появляются, когда мы считаем: два яблока, четыре камня. Без нашего сознания их бы не было, как героев книги вне страниц. История подтверждает: числа рождались по необходимости. Сначала были натуральные числа — зарубки на кости из чешской пещеры, которой 20 тысяч лет, шли группами по пять, отражая пальцы руки, чтобы считать добычу или шкуры. Позже в Индии открыли ноль, осознав пустоту как число. Затем китайцы ввели отрицательные числа для учёта долгов, а египтяне — дроби для делёжки урожая, формируя рациональные числа. Племя пираха из Амазонии знало лишь «один», «два» и «много», а больше двух для них не существовало — они путались, если просили собрать пять камушков. Это говорит, что числа не врождённые, а придуманные. Даже миллионы и бесконечность — наш способ осмыслить непостижимое, они живут только в голове. Математика здесь — полезная ложь, как карта, которая помогает ориентироваться, но не является реальностью. Или числа реальны, но как свойства вещей, которые мы видим и трогаем: три дерева, семь дней, одиннадцать игроков. Натуральные числа считали шкуры, ноль обозначал отсутствие, отрицательные — долги, а рациональные делили урожай. У пираха «один» и «два» отражали рыбу или птиц, дальше — «много». Числа существуют, пока есть что считать, и математика описывает порядок: пять батончиков на троих или минус семь градусов. Действительные числа, вроде √2 или π, измеряют длины и окружности. В прикладной математике не нужны идеально точные значения — это сила рациональных приближений: 3.14 вместо бесконечного π хватает для двигателей, а 39 знаков π достаточно, чтобы измерить Вселенную с точностью до атома. Некоторые математики, вроде конструктивистов, смотрят на действительные числа... Так вот, есть те, кто сомневается в их "существовании" в строгом математическом смысле — например, в числах вроде π или √2 с бесконечными десятичными разложениями, — размышляют об их природе, и поэтому в этой книге мы подробно разбираем, как они строятся. В чистой математике, где важна строгая логика, эти бесконечные хвосты цифр кажутся каким-то искусственным изобретением. Для критиков они недостаточно «реальны», если мы не можем полностью их вычислить или ухватить, хотя в классической математике их строгость доказана и принята. В практике же они полезны как удобные приближения. Огромные числа, как миллиард световых лет, без примера — пустой звук, зеркало измеряемого. А что если числа — нечто большее, чем наша выдумка или свойства вещей, а вечные сущности, существующие вне нас, как считал Платон? Платонизм утверждает, что числа — это идеальные формы, живущие вне времени и пространства, в некоем высшем мире идей. Представьте знаменитую пещеру Платона: вы — пленник, прикованный спиной к выходу, и перед глазами лишь тени, отбрасываемые предметами внешнего мира, освещённого солнцем истины. Эти тени — всё, что вы знаете, и вы принимаете их за реальность. Платон применил эту метафору к числам: в мире идей существуют совершенные, вечные сущности — идеальная четвёрка, безупречная семёрка, даже легендарное 69. Они неизменны, неподвластны времени и независимы от нас. А в нашем мире мы видим лишь их несовершенные отражения: четыре косы в деревне, семь дней недели, 69 в пошлой шутке. Эти отражения — бледные тени истинных чисел, которые пребывают в царстве чистого разума, доступном лишь через мышление. Наш мир — лишь эхо этого высшего порядка, где числа существуют сами по себе, открытые, а не изобретённые нами. Натуральные числа, ноль, отрицательные, рациональные — всё это не выдумка, а обнаружение отголосков вечных форм. Племя пираха, различая лишь «один» и «два», едва касалось этой истины, не осознавая её глубины. Действительные числа, вроде бесконечного π, реальны и правят движением планет. Они не подвластны нам — они часть самой ткани мироздания. Но платонизм — не просто древняя философия, он оживает в современных научных идеях. Есть гипотеза математической Вселенной: весь мир — это числа, и ничего больше. Частицы — не шарики, а колебания поля, каждое с тремя числами: масса, заряд, спин. Деревья, планеты, мы сами — лишь отражения этих чисел из квантовой реальности. Там, в глубине, числа ведут суровую математическую игру, а мы видим её плоды: аромат цветов, холод молока из холодильника, лучи солнца, сушащие трусы на балконе. И вот вам загадка на засыпку: какова вероятность, что после Большого взрыва хаос уступил порядку, а Материя сложилась в гармоничную Вселенную? Роджер Пенроуз подсчитал: 1 к 10 в степени 10 в степени 23. Это число настолько чудовищно, что если бы вы рисовали по нулю на каждой частице Вселенной, вам бы не хватило частиц, чтобы вместить все нули! Вот насколько призрачным был шанс, что всё рухнет в первый же миг. Для платонизма это — триумф: числа не просто существуют, они — нерушимая основа, что держит мир, даже если нас в нём не станет. Так что же числа: вымысел, свойство вещей или божественные сущности? От зарубок до рациональных чисел, от действительных с их приближениями до вечных форм, они влияют на нас. Эта книга раскроет, как шаг за шагом строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа, чтобы вы сами выбрали, что они для вас. == 1. Наивная теория множеств == === Мотивация === * Введение в понятие множества. * Практическое применение в математике. === Примеры === * Примеры множеств: <math>P(A)</math> для конечных <math>A</math>, пустое множество (<math>\emptyset</math>). === Алгебраические операции === * Объединение множеств. * Пересечение множеств. * Разность множеств. * Дизъюнктное объединение. === Диаграмма Венна === * Иллюстрация операций над множествами. === Свойства === * Законы де Моргана. * Основные свойства операций над множествами. === Парадоксы === * Рассмотрение парадоксов, возникающих в наивной теории множеств. Множество всех групп https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a2c16983-dbcd-4f05-bfe0-605bd08d39a9 == 2. Аксиоматическая теория множеств == * Основы аксиоматической теории множеств. * Сравнение с наивной теорией множеств. * sup, inf == 3. Отношения == * Возможнсть поточечного определение и определения через формулы <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times B</math> определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math> и <math>B</math>: <math> A \times B = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\} </math>. В ZFC упорядоченная пара <math>(a, b)</math> формально определяется через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} </math>. <u>Построение декартова произведения в ZFC:</u> Чтобы доказать, что декартово произведение <math>A \times B</math> является множеством в ZFC, мы можем использовать аксиомы теории множеств, такие как аксиома степени и аксиома выделения. <u>Шаг 1: Построение множества всех подмножеств <math>A \cup B</math></u> Сначала рассмотрим множество <math>A \cup B</math>. По аксиоме степени, существует множество всех подмножеств <math>A \cup B</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>. <u>Шаг 2: Построение множества всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math></u> Применяя аксиому степени к <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, получаем множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. <u>Шаг 3: Выделение упорядоченных пар</u> Любая упорядоченная пара <math>(a, b)</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>, может быть представлена как <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Заметим, что: * <math>\left\{a\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. * <math>\left\{a, b\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a, b\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)</math>, и <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. Таким образом, все упорядоченные пары <math>(a, b)</math> являются элементами <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>. <u>Шаг 4: Применение аксиомы выделения</u> Определим свойство <math>P(z)</math>, которое характеризует упорядоченные пары: <math> P(z) \iff \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> По аксиоме выделения, существует подмножество <math>A \times B</math> множества <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>, состоящее из всех элементов <math>z</math>, удовлетворяющих <math>P(z)</math>: <math> A \times B = \left\{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))) \mid \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \right\}. </math> <u>Заключение:</u> Таким образом, декартово произведение <math>A \times B</math> существует как множество в ZFC, так как оно может быть построено с использованием аксиом степени и выделения. Это завершает доказательство. <u>Свойства упорядоченных пар:</u> <b>Упорядоченность: Упорядоченная пара <math>(a, b)</math> отличается от <math>(b, a)</math>, если <math>a \neq b</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Рассмотрим две упорядоченные пары: <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>, где <math>a \neq b</math>. Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}, </math> <math> (b, a) = \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> Теперь сравним множества <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>: * Если <math>a \neq b</math>, то <math>\left\{a\right\} \neq \left\{b\right\}</math>. * Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \neq \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Таким образом, <math>(a, b) \neq (b, a)</math> при <math>a \neq b</math>. Это доказывает свойство упорядоченности. <b>Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Пусть даны две упорядоченные пары <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math>, которые равны: <math> (a, b) = (c, d). </math> Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского, это означает: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Рассмотрим два возможных случая: <u>Случай 1: <math>a = b</math></u> Если <math>a = b</math>, то упорядоченная пара <math>(a, b)</math> принимает вид: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, a\right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\} \right\}. </math> Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это возможно только в том случае, если: * <math>\left\{c\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>c = a</math>. * <math>\left\{c, d\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>d = a</math>. Таким образом, в этом случае <math>a=b=d=c</math>, т.е. <math>a=c</math> и <math>b=d</math> <u>Случай 2: <math>a \neq b</math></u> Если <math>a \neq b</math>, то множество <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math> содержит два различных элемента: Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это равенство выполняется только в том случае, если: * <math>\left\{a\right\} = \left\{c\right\}</math>, откуда следует, что <math>a = c</math>. * <math>\left\{a, b\right\} = \left\{c, d\right\}</math>, откуда следует, что <math>b = d</math> (так как <math>a = c</math>). Таким образом, в этом случае также <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. <u>Заключение:</u> * Упорядоченность: Если <math>a \neq b</math>, то <math>(a, b) \neq (b, a)</math>. Это доказывает, что порядок элементов в упорядоченной паре важен. * Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. Это доказывает, что упорядоченная пара однозначно определяет свои элементы. <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times A</math> (или <math>A^2</math>) определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math>. <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. <b>Утверждение: Если A - множество, то <math>A^2</math> - также множество в ZFC.</b> <u>Доказательство:</u> Из доказанного ранее следует, что если <math>A</math> и <math>B</math> — множества, то <math>A \times B</math> — множество в ZFC. Подставим <math>B = A</math> в доказанное утверждение, получим: <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. Так как <math>A</math> — множество, то <math>A \times A</math> также является множеством по доказанному утверждению. Утвержжение доказано. === Основные свойства отношений === * Рефлексивность. * Симметричность. * Антисимметричность. * Транзитивность. === Отношение эквивалентности === <b>Определение:</b> Пусть <math>S</math> — некоторое множество, а <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>S</math>. Это означает, что <math>\sim</math> является подмножеством декартова произведения <math>S \times S</math> и удовлетворяет следующим свойствам: * Рефлексивность: <math>\forall x \in S , (x, x) \in \sim</math>. * Симметричность: <math>\forall x, y \in S , (x, y) \in \sim \Rightarrow (y, x) \in \sim</math>. * Транзитивность: <math>\forall x, y, z \in S , [(x, y) \in \sim \land (y, z) \in \sim] \Rightarrow (x, z) \in \sim</math>. Для каждого элемента <math>x \in S</math> определим множество <math>[x]</math> как: <math> [x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\} </math> <u>Замечание:</u> Неформально, [x] называется классом эквивалентности. <b> Утверждение 1: <math>[x] \subseteq S</math>. </b> <u>Доказательство:</u> По определению, <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math>. Поскольку <math>\sim \subseteq S \times S</math>, для любой пары <math>(x, y) \in \sim</math> выполняется <math>y \in S</math>. Следовательно, все элементы <math>[x]</math> принадлежат <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. <b>Аксиома степени и построение <math>\mathcal{P}(S)</math></b> В теории множеств ZFC аксиома степени утверждает, что для любого множества <math>A</math> существует множество <math>\mathcal{P}(A)</math>, называемое степенным множеством, которое состоит из всех подмножеств <math>A</math>: <math> \mathcal{P}(A) = \left\{ B \mid B \subseteq A \right\} </math> <b>Определение:</b> Фактор-множество <math>S / \sim</math> — это множество всех множеств вида <math>[x]</math>, где <math>x \in S</math>: <math> S / \sim = \left\{ [x] \mid x \in S \right\} </math> <b> Утверждение 2: <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Каждое множество <math>[x] \in S / \sim</math> является подмножеством <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. По определению степенного множества, <math>[x] \in \mathcal{P}(S)</math>. Следовательно, <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. Выделение <math>S / \sim</math> из <math>\mathcal{P}(S)</math> Множество <math>S / \sim</math> можно выделить из <math>\mathcal{P}(S)</math> с помощью аксиомы выделения. Для этого определим свойство <math>P(B)</math> следующим образом: <math> P(B) \iff \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) </math> Тогда: <math> S / \sim = \left\{ B \in \mathcal{P}(S) \mid \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) \right\} </math> <u>Корректность построения:</u> * Существование <math>S \times S</math>: По аксиоме парного произведения для любого множества <math>S</math> существует декартово произведение <math>S \times S</math>. * Существование <math>\sim</math>: Если <math>\sim</math> задано как подмножество <math>S \times S</math>, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, то <math>\sim</math> существует по аксиоме выделения. * Существование <math>S / \sim</math>: Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, а степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени. Тогда <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. <b>Вопрос: Можно ли построить <math>S / \sim</math> для произвольного множества <math>S</math>? </b> <b>Ответ:</b> Да, для любого множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> фактор-множество <math>S / \sim</math> существует в ZFC. Это следует из существования декартова произведения <math>S \times S</math>, аксиомы степени для построения <math>\mathcal{P}(S)</math> и аксиомы выделения для определения <math>S / \sim</math>. <u>Итоговый вывод:</u> * Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, так как <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math> и <math>\sim \subseteq S \times S</math>. * Степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени, и каждое множество <math>[x]</math> принадлежит <math>\mathcal{P}(S)</math>. * Фактор-множество <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. Таким образом, для произвольного множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> построение фактор-множества <math>S / \sim</math> корректно в ZFC. <b>Определение:</b> Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется полным покрытием множества <math>S</math>, если <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. <b>Определение:</b> Множества <math>B_i</math> попарно непересекаются, если для любых <math>i, j</math> из некоторого индекса множества <math>I</math> выполняется: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset.</math>. <b>Определение: </b>Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется разбиением множества <math>S</math>, если выполняются следующие условия: * Попарная непересекаемость. * Полное покрытие. <b>Утверждение 3: Множество <math>S / \sim</math> образует разбиение множества <math>S</math>.</b> <u>Доказательство:</u> * <u>Докажем попарную непересекамеость.</u> Пусть <math>[x]</math> и <math>[y]</math> — два различных элемента фактор-множества <math>S / \sim</math>, то есть <math>[x] \neq [y]</math>. Нужно доказать: <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>, то есть если элементы фактор-множества различны, их пересечение пусто. Предположим от противного, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>. Тогда существует <math>z \in S</math>, такой что <math>z \in [x]</math> и <math>z \in [y]</math>. Из <math>z \in [y]</math> следует, по определению элементов в фактор-множестве, <math>(y, z) \in \sim</math>. Из что <math>z \in [x]</math>, следует, по определению элементов в фактор-множестве, что <math>(x, z) \in \sim</math>. По определению элементов фактор-множества это означает: Далее, используя свойства эквивалентности: * Симметрия: если <math>(y, z) \in \sim</math>, то <math>(z, y) \in \sim</math>. * Транзитивность: из <math>(x, z) \in \sim</math> и <math>(z, y) \in \sim</math> следует, что <math>(x, y) \in \sim</math>. Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то по определению фактор-множества <math>[x] = [y]</math>, так как элементы фактор-множества совпадают, если их представители эквивалентны. Это противоречит условию <math>[x] \neq [y]</math>. Значит, предположение о том, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>, неверно, и следовательно, <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>. Что и требовалось доказать. * <u> Докажем полное покрытие</u> Теперь рассмотрим произвольный элемент <math>z \in S</math>. По свойству рефлексивности отношения <math>\sim</math>, выполняется <math>(z, z) \in \sim</math>, что означает, что <math>z \in [z]</math>. Таким образом, каждый элемент множества <math>S</math> принадлежит хотя бы одному классу эквивалентности, и объединение всех классов эквивалентности равно <math>S</math>, то есть <math>\bigcup_{x \in S} [x] = S</math>. Из этого следует, что элементы фактор-множества <math>[x]</math> образуют разбиение множества <math>S</math>, так как они попарно не пересекаются и их объединение покрывает всё множество <math>S</math>. <b> Обратное утверждение 4: Если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> образует разбиение множества <math>S</math>, то существует отношение <math>\sim</math> на <math>S</math>, такое что: </b> <math>\sim</math> является подмножеством <math>S \times S</math> и обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>, то есть каждое <math>B_i</math> совпадает с <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>{ B_i }_{i \in I}</math> — разбиение множества <math>S</math>, то есть: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset</math>. <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. Определим отношение <math>\sim</math> на <math>S</math> следующим образом: <math> \forall x, y \in S, \quad (x, y) \in \sim \iff \exists i \in I \text{ такое, что } x, y \in B_i. </math> Докажем, что <math>\sim</math> обладает требуемыми свойствами: * <u>Рефлексивность:</u> По свойствую полноты покрытия,для любого <math>x \in S</math> существует <math>B_i</math>, содержащее <math>x</math>. Значит, <math>(x, x) \in \sim</math>. * <u>Симметричность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то существует <math>B_i</math>, такое что <math>x, y \in B_i</math>. Отсюда, существует <math>B_i</math>, такое что <math>y, x \in B_i</math>. Тогда по определению <math>(y, x) \in \sim</math>. * <u>Транзитивность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math> и <math>(y, z) \in \sim</math>, то существуют <math>B_i</math> и <math>B_j</math>, такие что <math>x, y \in B_i</math> и <math>y, z \in B_j</math>. Нужно доказать, что <math>(x, z) \in \sim</math>. Допустим от противного, что <math>i \ne j</math>. Тогда по свойству попарной непересекаемости <math>B_i \cap B_j = \emptyset</math>. Однако, как мы устновили выше <math>y \in B_i \cap B_j</math>, т.е. пересечение непусто. Мы пришли к противоречию. Следотвально, <math>i = j</math>, а значит <math>B_i = B_j</math>. Тогда <math>x, y, z \in B_i</math>, то есть <math>(x, z) \in \sim</math>. Наконец, каждое множество <math>B_i</math> является <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>, так как все элементы в <math>B_i</math> эквивалентны по построенному отношению. Следовательно, <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>. Таким образом, если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> является разбиением множества <math>S</math>, то можно определить отношение <math>\sim</math>, порождающее это разбиение. ==== Примеры 1: ==== * <u>Пример 1 - равенство чисел.</u> Рассмотрим множество всех целых чисел: <math> S = \mathbb{Z} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Зададим на <math>\mathbb{Z}</math> отношение эквивалентности <math>\sim</math>: <math> \forall x, y \in \mathbb{Z}, \quad x \sim y \iff x = y. </math> * Рефлексивность: <math> \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x = x, </math> каждое число равно самому себе. Значит, <math>x \sim x</math>. * Симметрия: Если <math>x \sim y</math>, то <math>x = y</math>. Из определения равенства следует <math>y = x</math> (порядок сравнения на равенство не важен). Следовательно, <math>y \sim x</math>. * Транзитивность: Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, то <math>x = y</math> и <math>y = z</math>. Если <math>x</math> и <math>y</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> и <math>y</math> и <math>z</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> (это один и тот же <math>y</math>), то мы имеем одно и то же число <math>y</math>, т.е. <math>x=y=z</math>, отсюда <math>x=z</math>, значит, <math>x \sim z</math>. Таким образом, <math>\sim</math> является отношением эквивалентности. <u>Построение разбиения множества <math>\mathbb{Z}</math></u> Фактор-множество <math>\mathbb{Z} / \sim</math> состоит из классов эквивалентности: <math> [x] = \left\{ y \in \mathbb{Z} \mid y \sim x \right\} = {x}. </math> Каждое число эквивалентно только самому себе, значит, каждый элемент фактор-множества состоит ровно из одного элемента. Следовательно, фактор-множество имеет вид: <math> \mathbb{Z} / \sim = \left\{ {x} \mid x \in \mathbb{Z} \right\}. </math> Это разбиение множества <math>\mathbb{Z}</math> на одноэлементные подмножества. ==== Пример 2: ==== <u>Пример 2 - чётность чисел.</u> Рассмотрим множество всех натуральный чисел: <math> S = \mathbb{N} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> на множестве целых чисел следующим образом: <math> x \sim y \iff x \equiv y \pmod{2} </math>. Это означает, что два числа эквивалентны, если оба либо чётные, либо нечётные. Формально, числа <math>x</math> и <math>y</math> принадлежат к одному и тому же элементу фактор-множества, если сли остатки от деления на 2 у них одинаковые. <u>Доказательство свойств отношения эквивалентности</u> * Рефлексивность. Для любого числа <math>x \in \mathbb{Z}</math> <math> x \equiv y \pmod{2} </math>, его чётность всегда совпадает с его собственной чётностью. Таким образом, отношение эквивалентности является рефлексивным. * Симметрия. Отношение эквивалентности называется симметричным, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из множества, если <math>x \sim y</math>, то <math>y \sim x</math>. Если <math>x \sim y</math>, то <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то есть числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют одинаковую чётность. Поскольку чётность чисел не зависит от порядка их сравнения (если <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то <math>y \equiv x \pmod{2}</math>), то <math>y \sim x</math> * Транзитивность. Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, это означает, что <math>x \equiv y \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \pmod{2}</math>. Число при делении на 2 может давать два возможных остатка: 0 или 1. Остаток от деления на 2 для <math>y</math> может быть 0 (первый случай) или 1 (второй случай). По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 0 (первый случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 0. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 0. Во-втором случае, остаток от деления на 2 для <math>y</math> будет 1.По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 1 (второй случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 1. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 1. * Случай 1: <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> делятся на 2 без остатка. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно делиться на 2 без остатка. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. * Случай 2: <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> при делении на 2 дают остаток 1. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно давать остаток 1 при делении на 2. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. Других случаев нет, так как остаток от деление на 2 не может дать ни какое другое число; формально это будет доказано позже при помощи алгоритма Евклида (пусть <math>r</math> - остаток от деление на 2, тогда <math>0 \leq r < 2</math>, т.е. <math>r</math> может быть 0 или 1). Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них остатки от деления чисел <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковы. Следовательно, <math>x \sim z</math>, что и требовалось доказать. ==== Пример 3: ==== <u>Пример 3 - параллельные прямые на плоскости.</u> Рассмотрим множество S, состоящее из всех прямых на плоскости. Формально, это можно записать как: <math> S = \left\{ l \subseteq \mathbb{R}^2 \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Здесь условие <math> a^2 + b^2 \neq 0 </math> гарантирует, что хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, что необходимо для того, чтобы уравнение <math> ax + by + c = 0 </math> задавало прямую на плоскости. <u>Замечание:</u> <math>\mathbb{R}</math> будет определено далее. Ранее мы доказали, для любого множества <math>A</math>, <math>A^2</math> является множеством в ZFC, таким образом <math>\mathbb{R}^2</math> - множество. <u>Доказательство существования множества S в ZFC</u> Аксиома степени гарантирует существование множества всех подмножеств для любого множества. Таким образом, для <math>\mathbb{R}^2</math> существует множество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math> — множество всех подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. Множество <math>S</math> определяется как подмножество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, выделяемое с помощью аксиомы выделения (аксиомы подмножеств). А именно: <math> S = \left\{ l \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Таким образом, <math>S</math> является подмножеством <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, и его существование гарантировано аксиомой выделения. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение R на множестве S следующим образом: <math> R = \left\{ (l_1, l_2) \in S \times S \mid l_1 \parallel l_2 \right\}, </math> где <math> l_1 \parallel l_2 </math> означает, что прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> параллельны. <u>Доказательство свойств отношения R</u> * Рефлексивность: Для любой прямой <math> l \in S </math> выполняется <math> l \parallel l </math>, так как прямая параллельна самой себе. Следовательно, <math> (l, l) \in R </math>. * Симметричность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math>, что по определению параллельности означает <math> l_2 \parallel l_1 </math>. Следовательно, <math> (l_2, l_1) \in R </math>. * Транзитивность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math> и <math> l_2 \parallel l_3 </math>. Требуется доказать, что <math> R </math> транзитивно: если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> (l_1, l_3) \in R </math>. <u>Шаг 1: Условие и тривиальный случай</u> Дано: * <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то есть <math> l_1 \parallel l_2 </math> (прямые <math> l_1 </math> и <math> l_2 </math> не пересекаются), * <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то есть <math> l_2 \parallel l_3 </math> (прямые <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются). Нужно показать, что <math> l_1 \parallel l_3 </math>, то есть <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Сначала рассмотрим тривиальный случай: если <math> l_1 = l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math> очевидно, так как любая прямая параллельна сама себе. В этом случае <math> (l_1, l_3) \in R </math>, и свойство транзитивности выполняется. Далее будем предполагать, что <math> l_1 \neq l_3 </math>. <u>Шаг 2: Доказательство от противного для случая <math> l_1 \neq l_3 </math></u> Предположим от противного, что <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> различны и не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке <math> P </math>. Рассмотрим последствия этого предположения: * <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>. <u>Шаг 3: Анализ положения <math> P </math></u> Из условия <math> l_2 \parallel l_3 </math> следует, что <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Так как <math> P </math> лежит на <math> l_3 </math>, то <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>, иначе <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> пересекались бы в <math> P </math>, что противоречит их параллельности. Имеем, <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>, но <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>. <u>Шаг 4: Применение постулата о параллельности</u> Рассмотрим точку <math> P </math> и прямую <math> l_2 </math>: * <math>P </math> не лежит на <math> l_2 </math> (установлено на шаге 3). * В евклидовой геометрии через точку <math> P </math>, не лежащую на прямой <math> l_2 </math>, проходит ровно одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Теперь проверим прямые, проходящие через <math> P </math>: * <math> l_1 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_1 \parallel l_2 </math>), * <math> l_3 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_2 \parallel l_3 </math>). Таким образом, обе прямые, <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math>, проходят через <math> P </math> и параллельны <math> l_2 </math>. Но по постулату о параллельности через <math> P </math> может проходить только одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Поскольку мы предположили, что <math> l_1 \neq l_3 </math>, это приводит к противоречию: <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не могут быть разными прямыми, одновременно проходящими через <math> P </math> и параллельными <math> l_2 </math>. <u>Шаг 5: Вывод</u> Предположение, что <math> l_1 \neq l_3 </math> и <math> l_1 </math> не параллельна <math> l_3 </math>, неверно. Следовательно, если <math> l_1 \neq l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math>. Учитывая тривиальный случай <math> l_1 = l_3 </math> из шага 1, в любом случае <math> l_1 \parallel l_3 </math>, и значит, <math> (l_1, l_3) \in R </math>. Отношение <math> R </math> транзитивно. Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности. <u>Построение фактор-множества (оно же разбиение)</u> Отношение эквивалентности R разбивает множество S на элементы фактор-множества <math> S / R </math>, где каждый элемент фактор-множества состоит из всех прямых, параллельных друг другу. Формально, фактор-множество <math> S / R </math> можно записать как: <math> S / R = \left\{ [l] \mid l \in S \right\}, </math> где <math> [l] = \left\{ l' \in S \mid l' \parallel l \right\} </math> — элемент фактор-множества, содержащий прямую l. Каждый элемент фактор-множества <math> [l] </math> представляет собой множество всех прямых, параллельных прямой l. Таким образом, фактор-множество <math> S / R </math> состоит из всех таких элементов. Неформально говоря, мы как бы "отождествляем" все паралельные прямые. Для нас она как "одна" прямая. После такого отождествления, мы получили новое множество без паралельных прямых. ==== Пример 4: ==== <u>Пример 4 - Подобие треугольников.</u> ==== Примеры 2: ==== * Разбиение множества на элементы. * Разбиение множества на группы по длине строки. * Разбиение множества всех слов на слова, начинающиеся с гласной, и слова, начинающиеся с согласной (по первой букве). См. также важные примеры в главве про функции. === Функции === * Определение через отношения. * График функции. * Домен, кодомен, Img. * инъективные функции. * суръективные функции. * биективные функции. * Принцип Дирихле с доказательством и применением. * изоморфизм как сохранение структуры (~ и разбиение). (скажем, на примере кольца). * Группа <math>(\mathbb{Z}_2, +)</math> с операцией сложения изоморфна группе <math>({1, -1}, *)</math> с операцией умножения. * Изоморфизм множеств (~ и разбиение) * Изоморфизм частично упорядоченных множеств (~ и разбиение) === Упорядоченные множества === * Частично упорядоченное множество. * Вполне упорядоченное множество, минимальный элемент существует. * Линейно упорядоченное множество. * Дедекиндово сечение. * Непрерывные линейно упорядоченные множества. * Плотные подмножества. === Аксиома выбора, Лемма Цорна, Теорема Цермело === * Формулировки и примеры применения. <b>Формулировка теоремы о хорошей упорядоченности</b> <u>Теорема</u>: Для любого множества <math>X</math> существует отношение порядка <math>\leq</math>, которое делает <math>X</math> хорошо упорядоченным. Определение: Множество <math>X</math> с отношением порядка <math>\leq</math> называется хорошо упорядоченным, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in X</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq X</math> имеет наименьший элемент, то есть существует <math>s_0 \in S</math>, такое что для всех <math>s \in S</math> выполняется <math>s_0 \leq s</math>. <u>Шаг 1: Определение частично упорядоченного множества</u> Рассмотрим множество <math>X</math>. Определим <math>P</math> как множество всех пар <math>(A, \leq_A)</math>, где: * <math>A \subseteq X</math> — подмножество множества <math>X</math>, * <math>\leq_A</math> — хорошее упорядочение на <math>A</math>. Определим частичное упорядочение на <math>P</math>. Пусть <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> — элементы <math>P</math>. Говорим, что <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, если: * <math>A \subseteq B</math>, * <math>\leq_A</math> является ограничением <math>\leq_B</math> на <math>A</math>, то есть для всех <math>x, y \in A</math> выполняется <math>x \leq_A y</math> тогда и только тогда, когда <math>x \leq_B y</math>, * <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>, то есть если <math>b \in B</math>, <math>a \in A</math> и <math>b \leq_B a</math>, то <math>b \in A</math>. Проверим, что <math>\preceq</math> — частичное упорядочение: * Рефлексивность: <math>(A, \leq_A) \preceq (A, \leq_A)</math>, так как <math>A \subseteq A</math>, <math>\leq_A</math> совпадает с собой, и <math>A</math> — начальный сегмент себя. * Антисимметричность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>, то <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, значит <math>A = B</math>, а <math>\leq_A = \leq_B</math> по определению. * Транзитивность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (C, \leq_C)</math>, то <math>A \subseteq B \subseteq C</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_C</math>, и если <math>c \in C</math>, <math>a \in A</math>, <math>c \leq_C a</math>, то <math>c \in B</math> (так как <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>) и <math>c \in A</math> (так как <math>B</math> — начальный сегмент <math>C</math>). Множество <math>P</math> непусто, так как <math>(\emptyset, \leq_\emptyset)</math> (где <math>\leq_\emptyset</math> — пустое отношение) — элемент <math>P</math>. <u>Шаг 2: Проверка условия леммы Цорна</u> Покажем, что любая цепь в <math>P</math> имеет верхнюю грань. Цепь — это подмножество <math>C \subseteq P</math>, такое что для любых <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math> либо <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, либо <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>. * Определим <math>U = \bigcup { A \mid (A, \leq_A) \in C }</math> — объединение всех множеств <math>A</math> из цепи. * Определим отношение <math>\leq_U</math> на <math>U</math>: для <math>x, y \in U</math> положим <math>x \leq_U y</math>, если существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>x, y \in A</math> и <math>x \leq_A y</math>. Проверим, что <math>(U, \leq_U)</math> — элемент <math>P</math>: Тотальность: Если <math>x, y \in U</math>, то существуют <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math>, такие что <math>x \in A</math>, <math>y \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. В любом случае, <math>x, y</math> принадлежат большему из <math>A</math> и <math>B</math>, где порядок определён, и либо <math>x \leq_U y</math>, либо <math>y \leq_U x</math>. Хорошее упорядочение: Пусть <math>S \subseteq U</math> — непустое подмножество. Возьмём <math>s \in S</math>. Существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>s \in A</math>. Множество <math>S \cap A</math> непусто (содержит <math>s</math>), и так как <math>A</math> хорошо упорядочено, <math>S \cap A</math> имеет наименьший элемент <math>s_0</math>. Покажем, что <math>s_0</math> — наименьший в <math>S</math>: * Для любого <math>t \in S</math> существует <math>(B, \leq_B) \in C</math>, такое что <math>t \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. * Если <math>A \subseteq B</math>, то <math>s_0, t \in B</math>, и <math>s_0</math> — наименьший в <math>S \cap B</math>, значит <math>s_0 \leq_B t</math>. * Если <math>B \subseteq A</math>, то <math>t \in A</math>, и <math>s_0 \leq_A t</math>. * В любом случае, <math>s_0 \leq_U t</math>. Покажем, что <math>(U, \leq_U)</math> — верхняя грань <math>C</math>: * Для любого <math>(A, \leq_A) \in C</math> выполняется <math>A \subseteq U</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_U</math> на <math>A</math>, и <math>A</math> — начальный сегмент <math>U</math> (если <math>u \in U</math>, <math>a \in A</math>, <math>u \leq_U a</math>, то <math>u \in A</math>, так как порядок в <math>U</math> наследуется от цепи). <u>Шаг 3: Применение леммы Цорна</u> По лемме Цорна в <math>P</math> существует максимальный элемент <math>(M, \leq_M)</math>. Утверждаем, что <math>M = X</math>. Предположим, что <math>M \neq X</math>, и существует <math>x \in X \setminus M</math>. Расширим <math>(M, \leq_M)</math>, добавив <math>x</math>. Определим <math>M' = M \cup {x}</math> и отношение <math>\leq_{M'}</math>: * Для <math>a, b \in M</math>: <math>a \leq_{M'} b</math> тогда и только тогда, когда <math>a \leq_M b</math>, * Для всех <math>m \in M</math>: <math>m \leq_{M'} x</math>, * <math>x \not\leq_{M'} m</math> для всех <math>m \in M</math>. <math>(M', \leq_{M'})</math> — хорошее упорядочение: * Тотальность: добавлен только <math>x</math>, и он больше всех элементов <math>M</math>. * Каждое непустое <math>S \subseteq M'</math> имеет наименьший элемент: если <math>S \subseteq M</math>, то по свойству <math>M</math>; если <math>x \in S</math>, то наименьший элемент — либо <math>x</math>, либо минимальный элемент <math>S \cap M</math>. Тогда <math>(M, \leq_M) \preceq (M', \leq_{M'})</math>, но <math>M \subsetneq M'</math>, что противоречит максимальности <math>(M, \leq_M)</math>. Следовательно, <math>M = X</math>, и <math>(X, \leq_M)</math> — хорошее упорядочение <math>X</math>. <u>Вывод</u> Теорема доказана: для любого <math>X</math> существует хорошее упорядочение, что следует из применения леммы Цорна к множеству всех хороших упорядочений подмножеств <math>X</math>. === Вполне упорядоченные множества === * Определение. * Связь с фундированными множествами. === Фундированные множества === * Определение. * Эквивалентное определение через обрыв убывающих цепей. == 4. Построение натуральных чисел == * Аксиомы Пеано. * Доказательство их основных свойств. * Доказательство эквивалентности между полной мат. индукцией, частичной и в любом подмножестве есть минимум. * Метод бесконечного спуска. * Примеры применения мат. индукции, полной мат. индукции и метода бесконечного спуска. * Если A - множество, то A^n - множество в ZFC. Конструкция фон Неймана — это способ формального определения натуральных чисел (<math>\mathbb{N}</math>) в рамках теории множеств, предложенный Джоном фон Нейманом. Она позволяет построить числа как множества, начиная с пустого множества, и задает их так, чтобы каждое следующее число было "наследником" предыдущего. Этот метод широко используется в аксиоматической теории множеств, например, в ZFC (Цермело-Френкель с аксиомой выбора), чтобы строго обосновать существование <math>\mathbb{N}</math> и операций над ним. Давайте разберем это подробно. Идея конструкции Основная идея состоит в том, чтобы: * Определить каждое натуральное число как множество, содержащее все предыдущие числа. * Использовать пустое множество как отправную точку (нуль). * Определить операцию "наследника" (увеличения на 1) как добавление самого числа в множество. Таким образом, числа строятся иерархически, и их порядок задается вложенностью множеств. Формальное определение В конструкции фон Неймана: * <math>0</math> определяется как пустое множество: <math>0 = \emptyset</math> * Каждое следующее число <math>n + 1</math> (наследник <math>n</math>) определяется как множество, содержащее <math>n</math> и все элементы <math>n</math>: <math>S(n) = n \cup { n }</math>, где <math>S(n)</math> — функция наследника. Теперь построим первые несколько чисел: * <math>0 = \emptyset</math> (множество без элементов), * <math>1 = S(0) = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \emptyset \cup { \emptyset } = { \emptyset }</math>, * <math>2 = S(1) = 1 \cup { 1 } = { \emptyset } \cup { { \emptyset } } = { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>3 = S(2) = 2 \cup { 2 } = { \emptyset, { \emptyset } } \cup { { \emptyset, { \emptyset } } } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math>, и так далее. Или в более читаемой форме: * <math>0 = \emptyset</math> (0 элементов), * <math>1 = { 0 } = { \emptyset }</math> (1 элемент), * <math>2 = { 0, 1 } = { \emptyset, { \emptyset } }</math> (2 элемента), * <math>3 = { 0, 1, 2 } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math> (3 элемента). Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> Множество <math>\mathbb{N}</math> определяется как наименьшее множество, которое: * Содержит <math>0 = \emptyset</math>, * Замкнуто относительно операции наследника <math>S(n) = n \cup { n }</math>. <u>Замечание 1:</u> В некоторых разделах математики натуральные числа начинаются с 1. Это эквивалентное определение в том смысл, что они удовлетворяют аксиомам Пеано (см. ниже). Мы же будем считать, что <math>\0 \in \mathbb{N}</math> <u>Замечание 2:</u> TBD: интуитивный смысл, история нуля Формально в ZFC это гарантируется аксиомой бесконечности, которая утверждает существование индуктивного множества <math>\omega</math> (обычно обозначаемого как <math>\mathbb{N}</math> в этом контексте): * <math>\emptyset \in \omega</math>, * Если <math>n \in \omega</math>, то <math>S(n) = n \cup { n } \in \omega</math>. Таким образом: <math>\mathbb{N} = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } }, { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }, ... }</math> Свойства конструкции Порядок: * Отношение порядка задается через включение множеств (<math>\in</math>): * <math>0 \in 1</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset }</math>, * <math>1 \in 2</math>, так как <math>{ \emptyset } \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>0 \in 2</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>. * Это соответствует интуитивному порядку <math>0 < 1 < 2 < ...</math>. Количество элементов: Мощность множества <math>n</math> равна <math>n</math> (например, <math>|2| = |{ \emptyset, { \emptyset } }| = 2</math>), что делает конструкцию удобной для подсчета. Уникальность: Каждое число <math>n</math> уникально определено как множество всех предыдущих чисел: <math>n = { 0, 1, 2, ..., n-1 }</math>. Операции на <math>\mathbb{N}</math> После построения <math>\mathbb{N}</math> можно определить сложение и умножение рекурсивно: Сложение: * <math>m + 0 = m</math>, * <math>m + S(n) = S(m + n)</math>. Пример: <math>1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2</math>. Умножение: * <math>m \cdot 0 = 0</math>, * <math>m \cdot S(n) = m \cdot n + m</math>. Пример: <math>2 \cdot 1 = 2 \cdot S(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2</math>. Доказательство аксиом Пеано: После построения натуральных чисел в ZFC необходимо доказать, что они удовлетворяют аксиомам Пеано. Вот как это делается: Аксиома 1: <math>0</math> — натуральное число. Это выполняется по определению: <math>0 = \emptyset</math>, и <math>\emptyset</math> включён в <math>\mathbb{N}</math>. Аксиома 2: Для каждого натурального числа <math>n</math> существует следующее число <math>S(n)</math>. Это выполняется по определению операции следования: <math>S(n) = n \cup {n}</math>. Аксиома 3: <math>0</math> не является последователем никакого натурального числа. Это выполняется, так как <math>S(n) = n \cup {n}</math> всегда содержит элемент <math>n</math>, а <math>0 = \emptyset</math> не содержит элементов. Аксиома 4: Если <math>S(n) = S(m)</math>, то <math>n = m</math>. Это следует из того, что <math>S(n) = n \cup {n}</math> и <math>S(m) = m \cup {m}</math>. Если эти множества равны, то <math>n = m</math>. Аксиома 5 (индукция): Если некоторое утверждение верно для <math>0</math> и из его истинности для <math>n</math> следует истинность для <math>S(n)</math>, то оно верно для всех натуральных чисел. Это следует из аксиомы бесконечности и определения <math>\mathbb{N}</math> как наименьшего множества, содержащего <math>0</math> и замкнутого относительно <math>S</math>. === примеры мат. индукции === '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. 2. Формула Бернули *. Теорема о функциональной полноте множеств https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 *. Доказательство невозможности выразить дизъюнктное объединение через ∩, ∪, * https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a7466a6d-1964-49d9-b77f-e35292cd50c6 * Теорема о функциональной полноте операции NAND A \uparrow B = (A \cap B)^c https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 === Алгоритм Евклида === 1. Определение gcd. 2. Существование gcd для любый натуральных чисел. 3. Лемма о делении с остатком. 4. Свойство gcd при делении с остатком: gcd(a, b)=gcd(b, r) 5. Алгоритм Евклида === Основная теорема арифметики === 6. Определение простого числа Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само p. 7. Лемма о простом делителе Она утверждает, что если простое число p делит произведение ab, то оно делит хотя бы один из множителей: <math> p \mid ab \quad \Rightarrow \quad p \mid a \quad \text{или} \quad p \mid b. </math> Эта лемма доказывается с помощью НОД и алгоритма Евклида. 8. Основная теорема арифметики. 9. gcd(km, kn)=k*gcd(m, n) 10. Следствие: gcd(km, kn)>=k === Альтернативный (школьный) способ нахождения gcd === 1. Раскладываем обо числа на простые числа/множители (по основной теореме арифметики это можно сделать). 2. Берём общие множители обоих чисел. Доказать, что получится gcd. Замечание: не известно эффективного способа это сделать. В школе делается методом перебора. === Теорема о бесконечном количесте простых чисел === * Формулировка * Доказательство == 5. Построение целых чисел == Z - Архимедово упорядоченное коммутативное кольцо с единицей * Определение целых чисел. * Доказательство их свойств. Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = \left\{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. Операции на <math>\mathbb{Z}</math> Определим операции на целых числах, представленных парами. Сложение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> сложение определяется как: <math> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) </math> После выполнения операции результат приводится к канонической форме, если это необходимо. Умножение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> умножение определяется как: <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) </math> После умножения результат также приводится к канонической форме. Отрицание Отрицание числа <math>(a, b)</math> представляется как: <math> -(a, b) = (b, a) </math> Порядок Порядок на множестве целых чисел определяется следующим образом: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a + d < b + c </math> Это определение согласуется с обычным порядком целых чисел. Включение натуральных чисел в <math>\mathbb{Z}</math> Натуральные числа <math>n \in \mathbb{N}</math> включаются в <math>\mathbb{Z}</math> по следующему правилу: <math> n \mapsto (n, 0) </math> Это отображение позволяет включить все натуральные числа в множество целых чисел. Проверка корректности: Необходимо убедиться, что определённые операции удовлетворяют свойствам целых чисел (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента и т.д.). === Альтернативное определение === Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = { (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} } </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. <u>Чтобы доказать, что оба подхода приводят к одной и той же структуре, нам нужно:</u> 1. Показать, что элементы множества <math>\mathbb{Z}</math> из первого определения эквивалентны элементам из второго определения. В первом определении, каждый элемент целого числа — это пара <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> является целым числом. Для этого определим эквивалентность между парами <math>(a, b)</math> и элементами множества <math>\mathbb{Z}</math>, представленными как элементы <math>n \in \mathbb{N}</math> или <math>-n \in \mathbb{N}</math>. * Если <math>a - b = n</math>, то элемент <math>(a, b)</math> будет соответствовать числу <math>n \in \mathbb{Z}</math>. * Если <math>a - b = -n</math>, то это будет отрицательное число, которое также принадлежит множеству целых чисел. То есть, каждую пару <math>(a, b)</math> можно ассоциировать с целым числом из множества <math>\mathbb{Z}</math>, определённого как объединение положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. 2. Показать, что операции над числами из первого определения совпадают с операциями из второго определения. В первом определении операции сложения и вычитания на парах <math>(a, b)</math> можно интерпретировать как операцию вычитания разности <math>a - b</math>. Например: * Сложение двух целых чисел, представленных парами <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, будет равняться разности <math>(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)</math>. * Вычитание чисел также можно интерпретировать через разности пар, аналогично. В втором определении операции сложения и вычитания целых чисел аналогичны стандартным операциям для чисел в <math>\mathbb{Z}</math>, и они также дают результат в том же множестве. Таким образом, для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует соответствующее целое число в втором определении, и операции на этих числах совпадают. 4. Окончательное доказательство эквивалентности Отображение: 1. Каждое целое число из первого определения (в виде пары <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> — целое число) соответствует числу в втором определении (где целые числа представлены как элементы множества <math>\mathbb{Z}</math>, включая положительные, отрицательные числа и ноль). Таким образом, существует взаимно однозначное отображение между этими двумя представлениями целых чисел. Операции: Операции сложения и вычитания в обоих определениях совпадают: * В первом определении операции сложения и вычитания пар эквивалентны операциям над целыми числами в обычной арифметике. * Во втором определении операции на множестве <math>\mathbb{Z}</math> — это стандартные операции сложения и вычитания целых чисел. 3. Множества: Обе конструкции приводят к тому же множеству, потому что для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует уникальное целое число, которое представлено во втором определении. Следовательно, оба определения приводят к одной и той же структуре множества целых чисел с одинаковыми операциями. Утверждение: для любого числа a выполняется равенство <math>0 \cdot a = 0</math>. Доказательство: Шаг 1: Используем свойство дистрибутивности По дистрибутивному закону умножения относительно сложения имеем: <math>(0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Но мы знаем, что <math>0 + 0 = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Шаг 2: Вычитаем 0⋅a0⋅a из обеих частей Рассмотрим полученное равенство: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Вычтем <math>0 \cdot a</math> из обеих частей: <math>0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. По свойству сложения <math>x - x = 0</math> левая часть упрощается: <math>0 = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. А правая часть: <math>0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a</math>. Таким образом: <math>0 = 0 \cdot a</math>. Заключение Мы доказали, что <math>0 \cdot a = 0</math> для любого числа aa. Утверждение: для любого числа aa выполняется равенство <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Доказательство: Шаг 1: Определение отрицательного числа По определению отрицательного числа: <math>a + (-a) = 0</math>. Это означает, что <math>-a</math> — единственное число, которое при сложении с <math>a</math> даёт ноль. Шаг 2: Рассмотрим выражение <math>(-1) \cdot a</math> Рассмотрим число <math>(-1) \cdot a</math>. Мы хотим показать, что оно удовлетворяет тому же свойству: <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. Шаг 3: Используем дистрибутивность Рассмотрим сумму <math>1 + (-1)</math> и применим дистрибутивный закон: <math>(1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Известно, что <math>1 + (-1) = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 4: Свойство нуля По доказанному ранее свойству умножения на ноль, для любого числа aa: <math>0 \cdot a = 0</math>. Подставим это в предыдущее равенство: <math>0 = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Заметим, что <math>1 \cdot a = a</math>, так как умножение на 1 сохраняет число. Тогда: <math>0 = a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 5: Заключение Мы получили, что <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. По определению <math>-a</math> как единственного числа, удовлетворяющего равенству <math>a + (-a) = 0</math>, следует: <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Что и требовалось доказать. === Модуль числа === Определение и свойства как норма плюс |ab|=|a||b| + |x|<=a iff -a<=x<=a+ |x|>=a iff x<=-a and x>=a === Алгоритм Евклида, обобщённый для целых чисел === Алгоритм Евклида, изначально сформулированный для натуральных чисел, может быть обобщён на целые числа (включая отрицательные). Основная идея заключается в том, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел определён с точностью до знака, и алгоритм Евклида может быть адаптирован для работы с целыми числами без существенных изменений. 1. Определение НОД для целых чисел Для целых чисел <math>a</math> и <math>b</math> (не равных одновременно нулю), НОД <math>\gcd(a, b)</math> — это наибольшее целое число <math>d</math>, которое делит одновременно <math>a</math> и <math>b</math>. НОД определён с точностью до знака: если <math>d</math> является НОД, то <math>-d</math> также является НОД. Обычно выбирают положительное значение. 2. Обобщение алгоритма Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел работает практически так же, как и для натуральных чисел. Основные шаги: Вход: Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math>, не равных одновременно нулю. Шаги: Если <math>b = 0</math>, то <math>\gcd(a, b) = |a|</math> (берётся модуль, чтобы результат был положительным). Иначе: Вычислить остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math>: <math>a = b \cdot q + r</math>, где <math>0 \leq |r| < |b|</math>. Заменить <math>a</math> на <math>b</math>, а <math>b</math> на <math>r</math>. Повторять процесс, пока <math>b</math> не станет равным нулю. Выход: Последний ненулевой остаток <math>r</math> (или его модуль, если требуется положительное значение). 3. Пример работы алгоритма для целых чисел Рассмотрим пример нахождения <math>\gcd(48, -18)</math>: <math>a = 48</math>, <math>b = -18</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>48</math> на <math>-18</math>: <math> 48 = (-18) \cdot (-2) + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12. </math> Теперь <math>a = -18</math>, <math>b = 12</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>-18</math> на <math>12</math>: <math> -18 = 12 \cdot (-2) + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6. </math> Теперь <math>a = 12</math>, <math>b = 6</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>12</math> на <math>6</math>: <math> 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0. </math> Алгоритм завершается, так как <math>b = 0</math>. Последний ненулевой остаток равен <math>6</math>. Таким образом, <math>\gcd(48, -18) = 6</math>. 4. Корректность обобщения Алгоритм Евклида для целых чисел корректен, так как: НОД определён с точностью до знака, и алгоритм находит одно из возможных значений. Лемма о делении с остатком работает и для целых чисел: для любых целых <math>a</math> и <math>b</math> (где <math>b \neq 0</math>) существуют целые <math>q</math> и <math>r</math> такие, что: <math> a = b \cdot q + r, \quad \text{где } 0 \leq |r| < |b|. </math> Свойство <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, r)</math> сохраняется для целых чисел. 5. Замечание о знаке Если требуется, чтобы НОД был положительным, на последнем шаге можно взять модуль последнего ненулевого остатка. Например, <math>\gcd(48, -18) = |6| = 6</math>. Итог Алгоритм Евклида обобщается на целые числа практически без изменений. Основные отличия: Остаток <math>r</math> вычисляется с учётом знака, но <math>0 \leq |r| < |b|</math>. НОД определён с точностью до знака, поэтому результат можно взять по модулю. <b>Теорема (свойство Архимеда):</b> Для любого целого числа <math>z \in \mathbb{Z}</math> существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math>, такое, что <math>n > z</math>. <b>Замечание:</b> Иными словами, множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не ограничено сверху в множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пусть дано произвольное целое число <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Мы должны показать, что существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, для которого <math>n > z</math>. Рассмотрим два случая: <u>Случай 1: Если <math>z \le 0</math>.</u> В этом случае мы можем выбрать <math>n = 1</math>. Так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>1 > 0 \ge z</math>, то <math>n > z</math> <u>Случай 2: Если <math>z > 0</math> </u> (о есть <math>z</math> само является положительным натуральным числом) Рассмотрим целое число <math>n = z + 1</math>. Поскольку <math>z \in \mathbb{Z}</math> и <math>1 \in \mathbb{Z}</math>, то их сумма <math>z+1 \in \mathbb{Z}</math>. Так как <math>z > 0</math>, то <math>z \ge 1</math>. Следовательно, <math>n = z + 1 \ge 1 + 1 = 2</math>. Это означает, что <math>n</math> является натуральным числом, <math>n \in \mathbb{N}</math>. По свойствам целых чисел, прибавление положительного числа (<math>1</math>) к <math>z</math> дает большее число: <math>z + 1 > z</math>, то есть <math>n > z</math>. Что и требовалось доказать. <b>Замечание:</b> Кажется, что формулировка и доказательство этого утверждения является тривиальным, однако, при построении других чисел выяснится его важность. '''Следствие:''' '''Утверждение:''' Для любых <math>a, z \in \mathbb{Z}</math> таких, что <math>a > 0</math>, существует <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>na > z</math>. '''Доказательство:''' Возьмем <math>a \in \mathbb{Z}, a > 0</math> и <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Из доказанного выше существует <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>n_0 > z</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Z}</math> и <math>a > 0</math>, то <math>a \ge 1</math>. Если <math>a = 1</math>, то <math>n_0 a = n_0 > z</math>. Если <math>a > 1</math>, то тем более <math>n_0 a > n_0 > z</math>. Итак, можно взять <math>n = n_0</math>. Утверждение доказано. == 6. Построение рациональных чисел == Q - архимедово упорядоченно поле * Определение рациональных чисел. * Доказательство их свойств. * Модуль числа и его свойства. 1. Определение рациональных чисел Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел: <math> \mathbb{Q} = \{ (a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}. </math> Здесь <math>(a, b)</math> интерпретируется как "рациональное число", соответствующее дроби <math>a/b</math>, но без использования классов эквивалентности. 2. Определение операций Раз операции выполняются непосредственно над парами, никакого отождествления вроде <math>(2,4) \sim (1,2)</math> нет — каждая пара представляет уникальный элемент. Сложение <math> (a, b) + (c, d) = (a d + b c, b d). </math> Умножение <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a c, b d). </math> Отрицание <math> -(a, b) = (-a, b). </math> Обратный элемент (деление) Если <math>a \neq 0</math>, то: <math> (a, b)^{-1} = (b, a). </math> Вычитание <math> (a, b) - (c, d) = (a d - b c, b d). </math> Деление Если <math>c \neq 0</math>, то: <math> (a, b) \div (c, d) = (a d, b c). </math> 3. Включение целых чисел в рациональные Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> естественно включается в <math>\mathbb{Q}</math> по правилу: <math> z \mapsto (z, 1). </math> То есть каждое целое число <math>z</math> представляется парой <math>(z,1)</math>. 4. Определение порядка на Q Зададим отношение порядка на множестве пар: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a d < b c. </math> Это согласуется с привычным порядком дробей. 5. Приведение к каноническому виду Так как пары вроде <math>(2,4)</math> и <math>(1,2)</math> не эквивалентны, но представляют одно и то же число, можно ввести каноническое представление: Определим функцию <math>\text{norm}(a, b)</math>, которая преобразует пару к виду, где <math>\gcd(a, b) = 1</math> и <math>b > 0</math>. Любое рациональное число можно привести к такому представлению алгоритмически. Нормализация Чтобы исключить множественное представление одного и того же числа (например, <math> (2,4) </math> и <math> (1,2) </math>), можно ввести каноническую форму записи рационального числа, требуя, чтобы <math> \gcd(a, b) = 1 </math> и <math> b > 0 </math>. Тогда каждое рациональное число представляется единственным образом. Чтобы перейти от представления рационального числа в виде пары <math>(a, b)</math> к стандартной записи <math>\frac{p}{q}</math>, нужно привести пару к канонической форме: Приведение к несократимой дроби Для данного числа <math>(a, b)</math> вычислим наибольший общий делитель (НОД): <math> \gcd(a, b) = d. </math> Тогда можно записать: <math> \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Это эквивалентно сокращению дроби. Обеспечение положительного знаменателя Если после сокращения <math>b < 0</math>, то умножаем числитель и знаменатель на <math>-1</math>, чтобы знаменатель стал положительным: <math> \left(-\frac{a}{d}, -\frac{b}{d} \right) = \left(\frac{-a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Запись в виде дроби Теперь число представляется в стандартной форме: <math> \frac{p}{q}, </math> где <math> p = \frac{a}{d} </math>, <math> q = \frac{b}{d} </math> и <math> \gcd(p, q) = 1 </math>, <math> q > 0 </math>. Таким образом, каждая пара <math>(a, b)</math> соответствует единственной несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>. Свойства Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения: Можно проверить, что операции сложения и умножения обладают стандартными свойствами. Нейтральные элементы: Для сложения нейтральный элемент: <math>(0, 1)</math>. Для умножения нейтральный элемент: <math>(1, 1)</math>. Обратные элементы: Для сложения: <math>-(a, b) = (-a, b)</math>. Для умножения: <math>(a, b)^{-1} = (b, a)</math> при <math>a \neq 0</math>. Дистрибутивность: <math> (a, b) \cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) \cdot (c d + e f, d f) </math> что согласуется с обычными правилами. === Модуль числа === Определение Свойства и доказательство === Альтернативное построение === Без условия gcd(a, b)=1. В каждом классе эквивалентности выбирать дробь с наименьшим знаминтатлем (минимум в непустом подмножестве N существует). https://chat.deepseek.com/a/chat/s/3b4728b9-ac28-44e4-9fd8-055c525398ec === Прогресии === * Определение последовательности чисел в рамках ZFC. * Определение предела последовательности. Определение сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> для всех <math>n > N</math> <b>Утверждение:</b> Пусть <math>a_n</math> — последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, такая что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>, и пусть <math>C \in \mathbb{Q}</math>. Тогда: <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot a_n = C \cdot L</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. <b>Доказательство:</b> Дано * <math>a_n \in \mathbb{Q}</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>. * <math>C \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. * Новая последовательность: <math>b_n = C \cdot a_n</math>. Так как <math>\mathbb{Q}</math> замкнуто относительно умножения, <math>b_n \in \mathbb{Q}</math>, и <math>C \cdot L \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>\lim_{n \to \infty} b_n = C \cdot L</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что: <math>|b_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Рассмотрим: <math>|b_n - C \cdot L| = |C \cdot a_n - C \cdot L| = |C \cdot (a_n - L)|</math>. Используем свойство модуля: <math>|C \cdot (a_n - L)| = |C| \cdot |a_n - L|</math>, где <math>|C|</math> — неотрицательное рациональное число. Если <math>C = 0</math>, то <math>b_n = 0 \cdot a_n = 0</math>, и <math>C \cdot L = 0 \cdot L = 0</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |0 - 0| = 0 < \varepsilon</math>, для любого <math>\varepsilon > 0</math> и всех <math>n</math>. Предел тривиально равен <math>0</math>, что соответствует <math>C \cdot L</math>. Этот случай доказан. Пусть <math>C \neq 0</math>, тогда <math>|C| > 0</math>, и <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Так как <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, для любого <math>\delta > 0</math>, <math>\delta \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \delta</math> при <math>n > N</math>. Выберем <math>\delta = \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Поскольку <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>, и <math>|C| \neq 0</math>, то <math>\frac{\varepsilon}{|C|} \in \mathbb{Q}</math> и <math>\frac{\varepsilon}{|C|} > 0</math>. По определению сходимости <math>a_n \to L</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{|C|}</math> при <math>n > N</math>. Умножим обе части на <math>|C|</math> (положительное число): <math>|C| \cdot |a_n - L| < |C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Упростим правую часть: <math>|C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|} = \varepsilon</math>. Следовательно: <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, мы нашли <math>N</math>, зависящее от сходимости <math>a_n \to L</math> и величины <math>\frac{\varepsilon}{|C|}</math>, такое что <math>|C \cdot a_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Это выполняется для любого <math>C \in \mathbb{Q}</math>, включая <math>C = 0</math> и <math>C \neq 0</math>. Все операции (вычитание, умножение, деление на ненулевое число) проводятся в <math>\mathbb{Q}</math>, и предел <math>C \cdot L</math> также лежит в <math>\mathbb{Q}</math>. Теорема доказана. '''Замечание:''' Доказательство использует только определение предела и алгебраические свойства рациональных чисел, оставаясь строго в рамках <math>\mathbb{Q}</math>. * Неравенство Бернули <b>Утверждение:</b> Для любого натурального числа <math>n</math> (<math>n = 1, 2, 3, \dots</math>) и любого <math>\delta \ge -1</math> выполняется <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> <b>Замечание:</b> Если <math>\delta</math> рационально, то все операции (сложение, умножение, сравнение) остаются в рамках рациональных чисел. <b>База индукции</b> (<math>n = 1</math>): Проверяем неравенство для <math>n = 1</math>: <math>(1 + \delta)^1 \ge 1 + (1)\delta</math> <math>1 + \delta \ge 1 + \delta</math> Это верно. <b>Индукционное предположение</b> (Шаг индукции - гипотеза): Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа <math>k \ge 1</math>: <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (это наша гипотеза) <b>Индукционный переход</b> (Шаг индукции - доказательство для <math>k+1</math>): Нужно доказать, что неравенство верно для <math>n = k + 1</math>, то есть: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math> Начнем с левой части и используем предположение: <math>(1 + \delta)^{k+1} = (1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta)</math> Так как <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (по предположению) и <math>(1 + \delta) \ge 0</math> (поскольку <math>\delta \ge -1</math>), мы можем умножить обе части предположения на <math>(1 + \delta)</math>, сохранив знак неравенства: <math>(1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta) \ge (1 + k\delta) \cdot (1 + \delta)</math> Раскроем скобки в правой части: <math>(1 + k\delta) \cdot (1 + \delta) = 1 + \delta + k\delta + k\delta^2 = 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Итак, мы получили: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Поскольку <math>k</math> - натуральное число (<math>k \ge 1</math>) и <math>\delta^2 \ge 0</math> (квадрат любого числа не отрицателен), то <math>k\delta^2 \ge 0</math>. Следовательно, <math>1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math>. Объединяя неравенства, получаем: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math> Таким образом, мы доказали, что <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math>. <b>Вывод:</b> По принципу математической индукции, неравенство Бернулли <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> верно для всех натуральных чисел <math>n</math> и всех <math>\delta \ge -1</math>. * Арифметическая прогрессия, примеры, формулы, доказательства. * Геометрическа прогрессия, примеры, формулы, доказательства. Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) , если r ≠ 1 S_n = n * a , если r = 1 * Аксиома Архимеда-Евдокса для рациональных чисел. <b>Теорема (принцип Архимеда-Евдокса, оно же архимедово свойство): </b> Для любого рационального числа R всегда можно найти натуральное число N (т.е. целое положительное число 1, 2, 3, ...), которое будет больше этого R. ∀ R ∈ Q ∃ N ∈ ℕ : N > R '''Доказательство:''' Любое рациональное число R можно представить в виде дроби p/q, где p - целое, q - натуральное. Если R ≤ 0, то N = 1 подходит (1 > R). Если R > 0, то R = p/q, где p и q - натуральные числа. Нам нужно найти натуральное N такое, что N > p/q. Это эквивалентно Nq > p. Поскольку p и q - целые числа, мы можем просто взять N = p + 1. Так как q ≥ 1, то Nq = (p+1)q = pq + q ≥ p + 1 > p. Значит, N = p + 1 (которое является натуральным, так как p натуральное) удовлетворяет условию N > p/q = R. Это доказывает, что для любого рационального R найдется натуральное N > R, используя только свойства целых и рациональных чисел. <b>Замечание:</b> В общем случае аксиома Архимеда-Евдокса независима от аксиом упорядоченного поля, т.е. существуют неархимедовы упорядоченные поля, как например, поле рациональных функций ℝ(x), то есть дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами, Q ≠ 0. В этом поле можно ввести порядок, сказав, что функция положительна если знак старшего коэффициента P(x) совпадает со знаком старшего коэффициента Q(x). Можно показать, что для элемента a = 1 (> 0) и элемента b = x (> 0) в поле ℝ(x), неравенство n * a > b (то есть n * 1 > x) не выполняется ни для какого натурального числа n (т.е. x является бесконечно-большим по-сравнению с обычными действительными числами). * Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии в Q. ''' Утверждение:''' Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом <math>a</math> и знаменателем <math>r</math>. Если абсолютное значение знаменателя строго меньше единицы (<math>|r| < 1</math>), то ряд, составленный из членов этой прогрессии (<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots</math>), сходится, и его сумма <math>S</math> равна: <math>S = \frac{a}{1 - r}</math>. Если <math>|r| \ge 1</math> и <math>a \ne 0</math>, то ряд расходится (не имеет конечной суммы). Если <math>a = 0</math>, то ряд сходится к <math>0</math> при любом <math>r</math>. '''Замечание:''' Уточнение в контексте рациональных чисел (<math>\mathbb{Q}</math>): Если первый член <math>a</math> и знаменатель <math>r</math> являются рациональными числами (<math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math>) и выполняется условие сходимости <math>|r| < 1</math>, то сумма бесконечного ряда <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> также является рациональным числом (<math>S \in \mathbb{Q}</math>). '''Доказательство:''' '''Рассматриваемые объекты:''' * Первый член <math>a \in \mathbb{Q}</math>. * Знаменатель прогрессии <math>r \in \mathbb{Q}</math>. * Условие сходимости: <math>|r| < 1</math> (сравнение рациональных чисел). * Все члены прогрессии <math>a, ar, ar^2, \dots</math> являются рациональными числами. '''Частичная сумма:''' Рассмотрим <math>n</math>-ую частичную сумму: <math>S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}</math>. Умножим <math>S_n</math> на <math>r</math>: <math>r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n</math>. Вычтем второе из первого: <math>S_n - r \cdot S_n = a - ar^n</math>. Преобразуем: <math>S_n \cdot (1 - r) = a \cdot (1 - r^n)</math>. Так как <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>r \ne 1</math> (иначе <math>|r| < 1</math> не выполняется при <math>a \ne 0</math>), то <math>1 - r</math> — ненулевое рациональное число. Разделим на <math>1 - r</math>: <math>S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}</math>. Заметим, что при <math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math> каждый член <math>S_n</math> также является рациональным числом. '''Предел частичных сумм (в <math>\mathbb{Q}</math>):''' Нам нужно найти предел последовательности <math>{S_n}</math> при <math>n \to \infty</math>. Покажем, что эта последовательность сходится к некоторому числу <math>L</math>, которое также принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Преобразуем <math>S_n</math>: <math>S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Обозначим <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Q}</math> и <math>1 - r \in \mathbb{Q}</math> (и не равно <math>0</math>), то <math>L \in \mathbb{Q}</math>. Это кандидат на предел. Теперь докажем, что <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math> в смысле сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>. Это эквивалентно доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>. Вычислим: <math>S_n - L = -\frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Нам нужно показать, что последовательность <math>x_n = C \cdot r^n</math> сходится к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, где <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — некоторое фиксированное рациональное число. Это сводится к доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, когда <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>|r| < 1</math>. '''Доказательство <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>:''' Нужно показать, что для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное число <math>N</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r^n - 0| < \varepsilon</math>, то есть <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Пусть <math>r = \frac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> — целые числа, <math>q \ne 0</math>, и <math>\left|\frac{p}{q}\right| < 1</math>, значит <math>|p| < |q|</math>. (Если <math>r = 0</math>, то предел очевидно равен <math>0</math>). Мы хотим показать, что <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n</math> становится меньше любого заданного рационального <math>\varepsilon > 0</math> при достаточно большом <math>n</math>. Поскольку <math>\frac{|q|}{|p|} > 1</math>, положим <math>\frac{|q|}{|p|} = 1 + \delta</math>, где <math>\delta = \frac{|q| - |p|}{|p|}</math> — рациональное число и <math>\delta > 0</math>. Неравенство <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n < \varepsilon</math> эквивалентно <math>\left(\frac{1}{1 + \delta}\right)^n < \varepsilon</math>, или <math>(1 + \delta)^n > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Используем неравенство Бернулли: <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math>. Нам достаточно найти такое <math>N</math>, чтобы для <math>n > N</math> выполнялось <math>1 + n\delta > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Это равносильно: <math>n\delta > \frac{1}{\varepsilon} - 1</math>, или: <math>n > \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{\delta}</math>. Поскольку <math>\frac{1}{\varepsilon}</math> и <math>\delta</math> рациональны, то правая часть — некоторое рациональное число <math>R</math>. По утверждению Архимеда-Евдокса для рациональных чисел, всегда найдется натуральное число <math>N > R</math>. Следовательно, для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Это доказывает, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. '''Завершение доказательства суммы:''' Поскольку <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) и <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — рациональная константа, то <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) по свойству пределов в <math>\mathbb{Q}</math> доказанному выше. Значит: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>, что означает: <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math>. Мы показали, что последовательность частичных сумм <math>{S_n}</math>, состоящая из рациональных чисел, сходится к числу <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>, которое также является рациональным. '''Вывод:''' Формула суммы бесконечной сходящейся геометрической прогрессии <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> доказана с использованием только операций и концепций в рамках множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, при условии, что <math>a</math> и <math>r</math> рациональны и <math>|r| < 1</math>. Ключевым моментом является доказательство сходимости <math>r^n</math> к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math> через <math>\varepsilon</math>-определение, не требующее полноты действительных чисел. == 7. Построение действительных чисел с использованием фундаментальных последовательностей == R полное упорядоченно поле * [https://chat.deepseek.com/a/chat/s/1b674088-a694-4c22-a07b-ced95699866e| Аксома Евдокса-Архимеда.] * Построение действительных чисел через фундаментальные последовательности. * Избежание использования несократимых дробей. <b>1. Формальное определение аксиомы Архимеда-Евдокса</b> (она же принцип Архимеда) Аксиома Архимеда утверждает, что для любых двух положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> n \cdot a > b. </math> Интуитивный смысл аксиомы Архимеда заключается в том, что сколь угодно большое число можно превзойти, если достаточно много раз сложить (или умножить) достаточно маленькое число. Другими словами, не существует бесконечно больших и бесконечно малых чисел в обычных вещественных числах <math>\mathbb{R}</math>. Если у нас есть любое положительное число <math>a</math>, то, складывая его с самим собой достаточно много раз, мы в итоге получим число больше любого заранее выбранного <math>b</math>. Особенно наглядно это видно в частном случае <math>a = 1</math>: для любого положительного числа <math>b</math> можно найти натуральное <math>n</math>, такое что <math>n > b</math>. Это означает, что множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не имеет верхней грани в <math>\mathbb{R}</math>, то есть можно сколь угодно увеличивать натуральные числа и всегда получать ещё большее. Интуитивно это говорит о том, что в вещественных числах нет бесконечно больших элементов (они не выходят за пределы конечных значений) и нет бесконечно малых положительных чисел (любое положительное число можно "накопить" до сколь угодно большого значения). <b>2. Формальное определение фундаментальной последовательности</b> <b><u>Определение:</u></b> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность рациональных чисел <math>{x_n}</math>, у которой члены с течением времени становятся всё ближе друг к другу. Формально это означает, что для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такой номер <math>N</math> (натуральное число), что для всех индексов <math>m, n \geq N</math> разница между членами последовательности <math>|x_m - x_n|</math> становится меньше <math>\varepsilon</math>: <math> |x_m - x_n| < \varepsilon. </math> Простыми словами, в фундаментальной последовательности расстояние между её членами (например, между <math>x_m</math> и <math>x_n</math>) с ростом индексов становится сколь угодно малым. Это свойство «сближения членов одной последовательности друг с другом» отличает фундаментальные последовательности от произвольных. <b>Интуитивное объяснение</b> Представьте, что вы измеряете какое-то число с всё большей точностью. Например, последовательность приближений к числу <math>\pi</math>: <math>3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots</math> Здесь каждый следующий член уточняет предыдущий, и разница между членами (например, между <math>3.1415</math> и <math>3.14159</math>) становится всё меньше по мере роста индекса. Это пример фундаментальной последовательности: члены внутри неё сближаются друг с другом. <b>Важное замечание</b> Фундаментальная последовательность не обязательно имеет предел внутри того множества, где она задана. Например, в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> можно построить последовательность, приближающую <math>\sqrt{2}</math>: <math>1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots</math> Эта последовательность фундаментальна, так как её члены сближаются друг с другом, но её предел <math>\sqrt{2}</math> не является рациональным числом и не принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Это показывает, что множество рациональных чисел «неполно» — в нём есть фундаментальные последовательности, пределы которых выходят за его пределы. <b>3. Формальное определение действительных чисел через элеманты фактор-множества</b> Действительные числа можно построить как элементы фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Давайте разберём этот процесс шаг за шагом. <b>Шаг 1: Определение множества <math>S</math></b> Пусть <math>S</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждый элемент <math>x \in S</math> — это функция <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math> (то есть последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n \in \mathbb{Q}</math>), которая удовлетворяет условию фундаментальности: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon. </math> Это означает, что внутри каждой такой последовательности её члены сближаются друг с другом. <b>Корректность построения множества <math>S</math> в ZFC</b> Можно ли вообще построить такое множество <math>S</math>? Да, это возможно в теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Рассмотрим подробнее: <b>1. Множество всех функций <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>.</b> Фундаментальные последовательности — это подмножество множества всех возможных функций из натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math>. Как было доказано в главе про функции, такое множество существует в ZFC. Такое множество функций обозначается как <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. <b>2. Выделение подмножества фундаментальных последовательностей.</b> Из множества <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math> мы берём только те последовательности, которые удовлетворяют условию фундаментальности. Это подмножество существует по аксиоме выделения (Axiom of Separation), так как условие <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math> задаёт чёткое свойство, по которому можно отфильтровать нужные последовательности. Таким образом, множество <math>S</math> корректно определено в ZFC как подмножество <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> следующим образом: <math>{x_n} \sim {y_n}</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Это означает, что две последовательности эквивалентны, если разность между их членами (<math>|x_n - y_n|</math>) становится сколь угодно малой при достаточно больших <math>n</math>. Здесь речь идёт о близости между последовательностями, а не внутри одной последовательности, как в определении фундаментальности. <b>Доказательство, что <math>\sim</math> — отношение эквивалентности</b> Чтобы <math>\sim</math> было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. Проверим каждое из них: <b>1. Рефлексивность: <math>{x_n} \sim {x_n}</math>.</b> Для любой последовательности <math>{x_n}</math> рассмотрим разность <math>|x_n - x_n| = 0</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> и любого <math>n</math> выполняется <math>|x_n - x_n| = 0 < \varepsilon</math>, так что можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math> (например, <math>N = 1</math>), и для всех <math>n > N</math> условие выполняется. Следовательно, <math>{x_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>2. Симметричность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Предположим, что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Так как <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n|</math> (по свойству модуля), то для того же <math>N</math> и всех <math>n > N</math> имеем <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Следовательно, <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>3. Транзитивность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>, то <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Докажем это. Пусть <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>. Это означает: * Для любого <math>\varepsilon_1 > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon_1</math>, * Для любого <math>\varepsilon_2 > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon_2</math>. Нужно показать, что <math>{x_n} \sim {z_n}</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math>. Используем неравенство треугольника: <math>|x_n - z_n| = |x_n - y_n + y_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n|</math>. Возьмём произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Пусть <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math> и <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Тогда: * По первому условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math>, * По второму условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_2</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Выберем <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдено такое <math>N</math>, что <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Следовательно, <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Свойство доказано. Таким образом, <math>\sim</math> удовлетворяет всем трём свойствам и действительно является отношением эквивалентности. Каждый <math>[ {x_n} ]</math> — это множество всех последовательностей, эквивалентных <math>{x_n}</math>, то есть тех, которые «приближаются к тому же значению». Множество действительных чисел определяется как: <math> \mathbb{R} = S / \sim. </math> <b>Зачечание: </b> Вложение рациональных чисел: Каждое рациональное число <math>q</math> отождествляется с элементом фактор-множества постоянной последовательности <math>[(q,q,q,\dots)]</math>. Нам дана последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n = q</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, и <math>q</math> — фиксированное рациональное число. Это постоянная последовательность: <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math>. Нужно показать, что она удовлетворяет определению фундаментальности. <u>Доказательство</u> Рассмотрим произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Нам нужно найти такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, чтобы для любых <math>n, m > N</math> выполнялось <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. Так как <math>x_n = q</math> для всех <math>n</math>, то для любых <math>n, m \in \mathbb{N}</math>: <math>|x_n - x_m| = |q - q| = 0</math>. Поскольку <math>0 < \varepsilon</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>, то условие <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math> выполняется для всех <math>n, m</math> независимо от их значений. Следовательно, можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math>, например <math>N = 1</math>, и для всех <math>n, m > N</math> будет: <math>|x_n - x_m| = 0 < \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math> (например, <math>N = 1</math>), такое что для всех <math>n, m > N</math> выполняется <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. <u>Вывод</u> Последовательность <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math> удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Значит, она действительно является фундаментальной. <b>Зачечание: разница между близостью внутри и между последовательностями</b> * <b>Близость внутри последовательности</b>: в определении фундаментальности (<math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>) речь идёт о сближении членов одной последовательности <math>{x_n}</math> друг с другом. * <b>Близость между последовательностями:</b> в определении эквивалентности (<math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0</math>) мы сравниваем две разные последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math>, проверяя, насколько они близки друг к другу. <u>Определение: </u> Предел последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> равен <math>x</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такое натуральное число <math>N</math>, что при всех <math>n \geq N</math> справедливо неравенство <math>|x_n - x| < \varepsilon</math>. <b>Пример: </b> <u>Замечание:</u> Здесь неявно испольузется утверждение 8, что Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу. Пусть <math>S = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\}, \left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}, \left\{2, 2, 2, \dots\right\} \right\}</math>, а отношение <math>\sim</math> задано как: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Каждый элемент этого множества — это бесконечная числовая последовательность. Задано отношение <math>\sim</math>, которое говорит, что две последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> эквивалентны, если разность их элементов стремится к нулю: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что в одну группу попадают все последовательности, которые «ведут себя одинаково» при <math>n \to \infty</math>, то есть имеют одинаковый предел. Теперь рассмотрим конкретный пример. Возьмём последовательность <math>\left\{1, 1, 1, \dots\right\}</math>. Она имеет предел <math>1</math>. Тогда множество <math>[ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} ]</math> состоит из всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел тоже равен <math>1</math>: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ {y_n} \in S \mid \lim_{n \to \infty} (1 - y_n) = 0 \right\} </math>. В нашем примере таких последовательностей в <math>S</math> больше нет, кроме самой <math>{1, 1, 1, \dots}</math>. Таким образом: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} \right\} </math>. Здесь важно понимать, что отношение <math>\sim</math> разбивает множество <math>S</math> на группы последовательностей с одинаковым пределом. Например: <math>[\left\{1, 1, 1, \dots\right\}]</math> содержит только одну последовательность, так как в <math>S</math> нет других последовательностей с пределом <math>1</math>. <math>[\left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}]</math> — это группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>\sqrt{2}</math>. <math>[\left\{2, 2, 2, \dots\right\}]</math> — группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>2</math>. Таким образом, множество <math>S</math> разбивается на непересекающиеся группы последовательностей, и эти группы образуют разбиение <math>S</math>. <b>3. Фундаментальная последовательность ограничена</b> Утверждение 1: Любая фундаментальная последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничена. <u>Доказательство:</u> По определению фундаментальной последовательности, для <math>\varepsilon = 1</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| < 1. </math> Зафиксируем <math>n = N</math>. Тогда для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x_N| < 1 \implies |x_m| < |x_N| + 1. </math> Таким образом, все элементы последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничены числом: <math> \max{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, |x_N| + 1}. </math> <u>Интуитивный смысл: </u> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность, элементы которой становятся всё ближе друг к другу по мере роста индекса. Формально это означает, что для любого сколь угодно малого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся номер <math>N</math>, начиная с которого все элементы последовательности отличаются друг от друга меньше чем на <math>\varepsilon</math>. Интуитивно это можно представить так: * Если элементы последовательности "сближаются" друг с другом, то они не могут "разбегаться" в бесконечность. * Начиная с некоторого момента, все элементы последовательности оказываются в ограниченной области, так как они не могут отдаляться друг от друга слишком сильно. <u>Почему это важно?</u> 1. Ограниченность фундаментальной последовательности — это важное свойство, которое помогает доказать её сходимость (в полных метрических пространствах, таких как <math>\mathbb{R}</math>). 2. Если последовательность не ограничена, то она не может быть фундаментальной, так как её элементы могут "уходить" в бесконечность, нарушая условие сближения. <u>Вывод:</u> Фундаментальная последовательность не может "разбегаться" в бесконечность, так как её элементы сближаются друг с другом. Это гарантирует, что все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, остаются в ограниченной области <b>Пример:</b> Рассмотрим последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math>, где <math>x_n = \frac{1}{n}</math>. Эта последовательность фундаментальна, так как для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно выбрать <math>N</math> так, что для всех <math>m, n \geq N</math> выполняется <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>. Пусть дано произвольное число <math>\varepsilon > 0</math>. Рассмотрим разность членов последовательности для произвольных индексов <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{|n - m|}{mn} </math> Оценим сверху эту разность: Заметим, что при <math>m, n \geq N</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{\max(m,n)}{mn} </math> Пусть без ограничения общности <math>n \geq m</math>, тогда <math>\max(m,n) = n</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N} </math> <u>Выбор <math>N</math>:</u> Согласно аксиоме Архимеда-Евдокса, для любого положительного действительного числа <math>\frac{1}{\varepsilon} > 0</math> существует натуральное число <math>N</math>, такое что <math>N > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Выберем <math>N</math> как наименьшее натуральное число, большее <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. <u>Формально:</u> <math>N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1</math>, где <math>\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math> — целая часть числа <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. Тогда для всех <math>n \geq N</math>: <math>n \geq N > \frac{1}{\varepsilon}</math>, откуда: <math>\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. <u>Сходимость последовательности</u> <u>Проверка условия</u> Для всех <math>n \geq N</math>: <math>|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon</math>, что удовлетворяет определению предела. <u>Вывод</u> Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> мы нашли <math>N</math>, такое что при <math>n \geq N</math> выполняется <math>|x_n - 0| < \varepsilon</math>. Значит, последовательность <math>{x_n} = \left\{\frac{1}{n}\right\}</math> сходится к <math>0</math>. <u>Дополнительное замечание:</u> Последовательность ограничена, так как все её члены <math>x_n = \frac{1}{n}</math> лежат в интервале <math>[0, 1]</math> (при <math>n \geq 1</math>: <math>0 < \frac{1}{n} \leq 1</math>). ||ignore|| Действительные числа введены как элемент фактор-множества фундаментальных последовательностей. Аксиома Архимеда-Евдокса утверждает, что для любых двух положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число n {\displaystyle n}, такое что: n ⋅ a > b . {\displaystyle n\cdot a>b.} Неравенство треугольника и аксиома Евклидка-Евдокса входят в список и не трубуют доказательства. Порядок доказательства теорем: Были определены арифметические операции между элементами фактор-множества, сравнение с рациональными числами и между элементами фактор-множества и доказана их корректность. <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — класс эквивалентности фундаментальных последовательностей <math>{x_n}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, таких что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>. Операции: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, и т.д. Порядок: <math>[x] < [y]</math>, если <math>y_n - x_n > \delta</math> для некоторого <math>\delta > 0</math> и всех больших <math>n</math>. Принцип вложенных интервалов. Сходимость монотонных последовательностей Сходимость сужающихся интервалов Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> ||END OF ignore|| === Определение порядка === <b>Определение порядка <math>[x] < a_n</math>:</b> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, где элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей <math>{x_m}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, эквивалентных друг другу по отношению <math>{x_m} \sim {y_m}</math>, если <math>x_m - y_m \to 0</math> при <math>m \to \infty</math>. Пусть <math>a_n \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Элемент фактор-множества <math>[x] < a_n</math>, если для любой фундаментальной последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что существует <math>M \in \mathbb{N}</math>, и для всех <math>m > M</math> выполняется: <math>a_n - x_m > \delta</math>. <u>Уточнения</u> * <math>{x_m}</math> — любая фундаментальная последовательность из <math>[x]</math>, то есть любая фундаментальная последовательность из <math>\mathbb{Q}</math>, принадлежащая этому элементу фактор-множества. * <math>\delta > 0</math> — рациональное число, которое может различаться для разных <math>{x_m}</math>, но всегда положительно. <u>Интуитивное пояснение</u> Представьте <math>[x]</math> как "облако" последовательностей, которые сжимаются к одной "точке" в <math>\mathbb{R}</math> — это как семья родственников, чуть разных на вид, но в сущности одинаковых. А <math>a_n</math> — это фиксированная отметка на числовой прямой, например, столбик с номером "5". Мы говорим, что <math>[x] < a_n</math>, если все представители этого облака (<math>{x_m}</math>) остаются слева от <math>a_n</math> и не подходят к нему ближе, чем на фиксированное расстояние <math>\delta</math>. Если <math>a_n = 1</math>, а <math>[x]</math> — это последовательности вроде <math>{0.9, 0.9, 0.9, \ldots}</math> или <math>{0.8, 0.85, 0.9, \ldots}</math> (эквивалентные, так как их разность стремится к 0), то <math>a_n - x_m</math> всегда положительно и не падает ниже какого-то уровня (например, 0.1). Значит, <math>[x]</math> "живёт" левее <math>a_n</math>. Если же <math>{x_m}</math> подбирается к <math>a_n</math> (например, <math>{0.99, 0.999, 0.9999, \ldots}</math>), то <math>a_n - x_m</math> становится сколь угодно малым, и условие не выполняется — тогда <math>[x] \not< a_n</math>. Это как проверка: если все "посланники" <math>[x]</math> держат дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>[x]</math> действительно "меньше". ==== Утверждение о независимости определения от выбора последовательности ==== <u>Утверждение:</u> определение <math>[x] < a_n</math> не зависит от выбора конкретной фундаментальной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. Это означает: <u>Прямая часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> выполняется для одной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>, то оно выполняется для любой другой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для какой-то последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то оно не выполняется и для любой другой последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. <u>Пояснение к переформулировке</u> <u>Прямая часть:</u> Охватывает случай, когда свойство "быть меньше <math>a_n</math>" присутствует у одной последовательности и распространяется на все остальные в <math>[x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Охватывает случай, когда свойство отсутствует у одной последовательности, и это отсутствие распространяется на все остальные, исключая противоречие внутри <math>[x]</math>. <u>Почему две части:</u> Вместе они гарантируют, что определение <math>[x] < a_n</math> либо истинно для всех последовательностей в <math>[x]</math>, либо ложно для всех, что делает порядок консистентным и независимым от выбора. <u>Доказательство</u> <u>Прямая часть: Если условие выполняется для одной последовательности, то для всех</u> <u>Дано:</u> Пусть для последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> найдётся <math>\delta_y > 0</math> и <math>M_y \in \mathbb{N}</math>, такие что <math>a_n - y_m > \delta_y</math> для всех <math>m > M_y</math>. <u>Эквивалентность последовательностей:</u> Так как <math>\left\{x_m\right\}, \left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, и <math>x_m - y_m \to 0</math>. Значит, для любого рационального <math>\eta > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \eta</math>. Выберем <math>\eta = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>Оценка <math>a_n - y_m</math>:</u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из доказанного выше, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>Выбор <math>\delta_y</math> и <math>M_y</math>:</u> Положим <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>. Для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Это удовлетворяет определению <math>[x] < a_n</math> для <math>\left\{y_m\right\}</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{x_m\right\}</math> держит дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>\left\{y_m\right\}</math>, будучи почти такой же (разница <math>x_m - y_m</math> исчезающе мала), тоже не может подойти слишком близко. Это как если один близнец стоит в метре от стены — второй, держась рядом, тоже не врежется в неё. <u>Вывод:</u> Условие <math>[x] < a_n</math>, выполненное для <math>\left\{x_m\right\}</math>, распространяется на любую <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть: Если условие не выполняется для одной последовательности, то не выполняется для всех</u> <u>Дано: </u> Пусть для некоторой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется, то есть не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> тоже не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - x_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>1. Эквивалентность последовательностей.</u> Так как <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, то <math>x_m - y_m \to 0</math>. Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \epsilon</math>. <u>2. Предположим от противного, что для <math>\left\{x_m\right\}</math> условие выполняется.</u> Допустим от противного, что существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Возьмём <math>\epsilon = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>3. Оценка <math>a_n - y_m</math></u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из шага 2, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>4. Противоречие:</u> Мы получили, что существует <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>, такие что для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Но это противоречит исходному условию, что для <math>\left\{y_m\right\}</math> не существует никакого <math>\delta > 0</math>, чтобы <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех больших <math>m</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{y_m\right\}</math> подбирается к <math>a_n</math> или пересекает его, то <math>\left\{x_m\right\}</math>, идущая рядом (разница <math>x_m - y_m \to 0</math>), не может стабильно держаться на расстоянии от <math>a_n</math>. Это как если один близнец подошёл вплотную к забору — второй, держась за руку, тоже не останется далеко. <u>Вывод:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для <math>\left\{y_m\right\}</math>, оно не выполняется и для любой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. === Определения арифметических операций и порядка === <nowiki> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это класс эквивалентности последовательностей <math>{x_n}</math>, где <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Все <math>x_n, y_n \in \mathbb{Q}</math>. 1. Арифметические операции Сложение: Для <math>[x], [y] \in \mathbb{R}</math> с представителями <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> определяем: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, где <math>{x_n + y_n}</math> — последовательность, полученная почленным сложением. Вычитание: <math>[x] - [y] = [{x_n - y_n}]</math>, где <math>{x_n - y_n}</math> — почленное вычитание. Умножение: <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, где <math>{x_n \cdot y_n}</math> — почленное умножение. Деление: <math>[x] / [y] = [{x_n / y_n}]</math> для <math>[y] \neq [0]</math>, где <math>[0] = [{0, 0, 0, \ldots}]</math>, при условии, что существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>y_n \neq 0</math>, и <math>{x_n / y_n}</math> — почленное деление. 2. Операции сравнения (порядок) Меньше: <math>[x] < [y]</math>, если для любых представителей <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > M</math>: <math>y_n - x_n > \delta</math>. Равенство: <math>[x] = [y]</math>, если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то есть <math>x_n - y_n \to 0</math>. Больше: <math>[x] > [y]</math>, если <math>[y] < [x]</math>, то есть существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что <math>x_n - y_n > \delta</math> для всех <math>n > M</math>. Доказательства корректности и независимости от выбора представителя Для каждой операции и сравнения нужно показать: Корректность: Результат — фундаментальная последовательность, и класс эквивалентности определён. Независимость: Результат не зависит от выбора конкретных <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> в <math>[x]</math> и <math>[y]</math>. 1. Сложение: <math>[x] + [y]</math> Корректность: <math>{x_n + y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |x_n - x_m + y_n - y_m| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, так что для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon/2</math> и <math>|y_n - y_m| < \epsilon/2</math> при <math>n, m > N</math>. Тогда <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| < \epsilon</math>. Независимость: Пусть <math>{x_n'} \sim {x_n}</math> и <math>{y_n'} \sim {y_n}</math>. Тогда: <math>(x_n + y_n) - (x_n' + y_n') = (x_n - x_n') + (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math> и <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n + y_n) - (x_n' + y_n')| \leq |x_n - x_n'| + |y_n - y_n'| \to 0</math>. Следовательно, <math>{x_n + y_n} \sim {x_n' + y_n'}</math>. Интуитивно: Сложение — это как складывать "средние значения" последовательностей, и мелкие отклонения внутри классов не влияют на итог. 2. Вычитание: <math>[x] - [y]</math> Корректность: <math>{x_n - y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n - y_n) - (x_m - y_m)| = |x_n - x_m - (y_n - y_m)| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. Аналогично сложению, <math>\epsilon</math>-оценка держится. Независимость: <math>(x_n - y_n) - (x_n' - y_n') = (x_n - x_n') - (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math>, <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n - y_n) - (x_n' - y_n')| \to 0</math>. <math>{x_n - y_n} \sim {x_n' - y_n'}</math>. Интуитивно: Разность сохраняет "расстояние" между точками, и мелкие вариации внутри классов его не меняют. 3. Умножение: <math>[x] \cdot [y]</math> Корректность: <math>{x_n \cdot y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n y_n - x_m y_m| = |x_n y_n - x_n y_m + x_n y_m - x_m y_m| = |x_n (y_n - y_m) + y_m (x_n - x_m)|</math> <math>\leq |x_n| |y_n - y_m| + |y_m| |x_n - x_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, значит ограничены: <math>|x_n| < K_x</math>, <math>|y_n| < K_y</math> для больших <math>n</math>. Для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon / (2 K_y)</math>, <math>|y_n - y_m| < \epsilon / (2 K_x)</math>, и тогда: <math>|x_n y_n - x_m y_m| < K_x \cdot \epsilon / (2 K_x) + K_y \cdot \epsilon / (2 K_y) = \epsilon</math>. Независимость: <math>x_n y_n - x_n' y_n' = x_n y_n - x_n y_n' + x_n y_n' - x_n' y_n' = x_n (y_n - y_n') + y_n' (x_n - x_n')</math>. <math>|x_n (y_n - y_n')| \leq K_x |y_n - y_n'| \to 0</math>, <math>|y_n' (x_n - x_n')| \leq K_y |x_n - x_n'| \to 0</math>. <math>|x_n y_n - x_n' y_n'| \to 0</math>, значит <math>{x_n y_n} \sim {x_n' y_n'}</math>. Интуитивно: Умножение "масштабирует" последовательности, и небольшие дрожания внутри классов гасятся. 4. Деление: <math>[x] / [y]</math> (при <math>[y] \neq [0]</math>) Корректность: Пусть <math>{y_n} \in [y]</math>, и <math>[y] \neq [0]</math>, то есть <math>y_n</math> не стремится к 0. Существует <math>\delta > 0</math> и <math>N</math>, такие что <math>|y_n| > \delta</math> для <math>n > N</math>. <math>{x_n / y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n / y_n - x_m / y_m| = |(x_n y_m - x_m y_n) / (y_n y_m)|</math>. Числитель: <math>|x_n y_m - x_m y_n| = |x_n y_m - x_n y_n + x_n y_n - x_m y_n| \leq |x_n| |y_m - y_n| + |y_n| |x_n - x_m|</math>. Для <math>n, m > N</math>: <math>|y_n|, |y_m| > \delta</math>, знаменатель <math>|y_n y_m| > \delta^2</math>. Ограниченность и фундаментальность дают сходимость с <math>\epsilon</math>. Независимость: <math>x_n / y_n - x_n' / y_n' = (x_n y_n' - x_n' y_n) / (y_n y_n')</math>. Числитель: <math>|x_n y_n' - x_n' y_n| \leq |x_n| |y_n' - y_n| + |y_n| |x_n - x_n'| \to 0</math>. Знаменатель ограничен снизу, итог <math>\to 0</math>. Интуитивно: Деление работает, если знаменатель не "исчезает", и мелкие изменения не ломают результат. 5. Порядок: <math>[x] < [y]</math> Корректность: Определение уже использует "любые представители", что подразумевает независимость, но проверим. Независимость: Пусть <math>{x_n} \sim {x_n'}</math>, <math>{y_n} \sim {y_n'}</math>. Если <math>[x] < [y]</math>, то <math>y_n - x_n > \delta</math> для больших <math>n</math>. <math>y_n' - x_n' = (y_n' - y_n) + (y_n - x_n) + (x_n - x_n')</math>. <math>|y_n' - y_n| \to 0</math>, <math>|x_n - x_n'| \to 0</math>, и для больших <math>n</math>: <math>y_n' - x_n' > \delta - \epsilon</math> (где <math>\epsilon</math> мала), то есть найдётся <math>\delta' > 0</math>. Обратно, если <math>y_n - x_n \not> \delta</math> (например, <math>\to 0</math>), то <math>y_n' - x_n'</math> тоже не держит дистанцию. Интуитивно: Порядок смотрит на "разрыв" между последовательностями, и эквивалентность его сохраняет. Пусть <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — элемент фактор-множества, соответствующий фундаментальной последовательности <math>\{x_n\}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, причем <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>, то есть <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Определим операцию сравнения между рациональным числом <math>q \in \mathbb{Q}</math> и элементом фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Сравнение задается следующим образом: - <math>q < [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q > [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n < q - \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q = [x]</math>, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нам нужно доказать корректность этого определения, то есть показать, что оно не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. ### Доказательство корректности Предположим, что <math>[x] = [y]</math>, то есть <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, и <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Пусть <math>q \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Рассмотрим три случая сравнения. #### 1. Случай <math>q < [x]</math> Предположим, что <math>q < [x]</math>. Тогда по определению существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n > q + \delta</math>. Нужно показать, что <math>q < [y]</math>, то есть существует <math>\delta' > 0</math> и <math>N_3 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_3</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Тогда существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math>: <math>|x_n - y_n| < \frac{\delta}{2}</math>. Поскольку <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N_2</math>, рассмотрим <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) > x_n - |x_n - y_n| > q + \delta - \frac{\delta}{2} = q + \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Таким образом, для всех <math>n > N</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>, что означает <math>q < [y]</math>. #### 2. Случай <math>q > [x]</math> Предположим, что <math>q > [x]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n < q - \delta</math>. Нужно показать, что <math>q > [y]</math>. Аналогично, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Для всех <math>n > N_1</math> имеем <math>|x_n - y_n| < \delta/2</math>. Для <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) < x_n + |x_n - y_n| < q - \delta + \frac{\delta}{2} = q - \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Тогда <math>y_n < q - \delta'</math> для всех <math>n > N</math>, что означает <math>q > [y]</math>. #### 3. Случай <math>q = [x]</math> Предположим, что <math>q = [x]</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нужно показать, что <math>q = [y]</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, для любого <math>\varepsilon' > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что <math>|x_n - y_n| < \varepsilon'</math> для всех <math>n > N_1</math>. Возьмем <math>\varepsilon' = \varepsilon/2</math> и <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|y_n - q| = |(y_n - x_n) + (x_n - q)| \leq |y_n - x_n| + |x_n - q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>. Следовательно, <math>q = [y]</math>. ### Вывод Мы показали, что определение сравнения <math>q < [x]</math>, <math>q > [x]</math> и <math>q = [x]</math> не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. Таким образом, операция сравнения между рациональным числом и элементом фактор-множества корректна. </nowiki> === 5. Принцип вложенных интервалов. === <b>Теорема о вложенных отрезках</b> <u>Утверждение:</u> (или принцип вложенных интервалов) Пусть дана последовательность замкнутых интервалов <math>I_n = [a_n, b_n]</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные числа), n=1,2,3,…n=1,2,3,…, такая что: * Каждый интервал вложен в предыдущий: <math>I_{n+1} \subseteq I_n</math>, то есть <math>a_n \leq a_{n+1}</math> и <math>b_{n+1} \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. * Длина интервалов стремится к нулю: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. Тогда существует ровно один элемент <math>[x]</math> в <math>\mathbb{R}</math> (как элемент в фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел), такой что: <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. [[File:Теорема о вложенных отрезках.png|420px|Теоремао вложенных отрезках]] <u>Доказательство:</u> <u>Шаг 1: Свойства последовательностей <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Даны последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math>: <math>a_n \leq a_{n+1}</math> — <math>\left\{a_n\right\}</math> монотонно неубывающая. <math>b_{n+1} \leq b_n</math> — <math>\left\{b_n\right\}</math> монотонно невозрастающая. Из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math> для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math>: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> идёт вправо или стоит, <math>b_n</math> — влево или стоит, и они сближаются. <u>Шаг 2: Фундаментальность последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{a_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>, значит <math>0 \leq a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|a_n - a_m| = a_n - a_m \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. Значит, <math>|a_m - a_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 3: Фундаментальность последовательности <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{b_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math> (из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math>), значит <math>0 \leq b_n - b_m \leq b_n - a_m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m</math> (так как <math>b_m \leq b_n</math> из монотонности), и <math>b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|b_n - b_m| = b_m - b_n \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>b_n</math> и <math>b_m</math> сближаются, потому что их "ограничивает" сжимающееся расстояние до <math>a_n</math> и <math>a_m</math>. Значит, <math>|b_m - b_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 4: Построение <math>[x]</math></u> В <math>\mathbb{R}</math>, как фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, каждый элемент — это множество эквивалентных фундаментальных последовательностей, где <math>{a_n} \sim {c_n}</math>, если <math>a_n - c_n \to 0</math>. Поскольку <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна, она определяет элемент фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Также <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна, и пусть она определяет элемент <math>[y] \in \mathbb{R}</math>. Проверим, что <math>[x] = [y]</math>: * Для всех <math>n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n < \epsilon</math> при <math>n > N</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math>. * По определению фактор-множества, если <math>b_n - a_n \to 0</math>, то <math>{a_n} \sim {b_n}</math>, и <math>[x] = [y]</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> и <math>b_n</math> сжимаются друг к другу и представляют один элемент в <math>\mathbb{R}</math>. <u>Шаг 5: Проверка, что <math>[x]</math> лежит во всех интервалах</u> Мы хотим убедиться, что <math>[x]</math> всегда находится внутри каждого <math>[a_n, b_n]</math>, то есть <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>A. Докажем, что <math>a_n \leq [x]</math></u> Предположим от противного, что <math>[x] < a_n</math>. Это значит, что для любой последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>a_n - x_m > \delta</math>. Так как <math>a_m \geq a_n</math> для <math>m \geq n</math> (из монотонности <math>{a_n}</math>), то: <math>a_m - x_m \geq a_n - x_m > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>a_m</math> и <math>x_m</math> всегда есть зазор, который не исчезает. Но <math>{a_n}</math> сама лежит в <math>[x]</math> (так как <math>[x]</math> — это элемент фактор-множества, заданный <math>{a_n}</math>), и <math>a_m - a_n \to 0</math>, потому что <math>{a_n}</math> фундаментальна. Это противоречие: если <math>a_m - a_n</math> становится сколь угодно малым, а <math>a_m - x_m > \delta</math>, то <math>x_m</math> не может быть представителем <math>{a_n}</math>. Значит, <math>[x] < a_n</math> невозможно, и верно, что <math>a_n \leq [x]</math>. <u>B. Докажем, что <math>[x] \leq b_n</math></u> Предположим от противного, что пусть <math>[x] > b_n</math>. Тогда для любой <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>x_m - b_n > \delta</math>. Из вложенности <math>a_m \leq b_n</math> для <math>m \geq n</math>, следовательно: <math>x_m - a_m \geq x_m - b_n > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>x_m</math> и <math>a_m</math> остаётся постоянный зазор. Но <math>{a_n} \in [x]</math>, и <math>x_m - a_m \to 0</math> (так как <math>{a_n}</math> определяет <math>[x]</math>), а <math>b_n - a_n \to 0</math> по условию теоремы. Это противоречие: <math>x_m - a_m</math> не может быть больше фиксированного <math>\delta</math>, если оно стремится к нулю. Значит, <math>[x] > b_n</math> невозможно, и верно, что <math>[x] \leq b_n</math>. <u>Вывод:</u> Мы показали, что <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>, то есть <math>[x]</math> лежит в каждом интервале <math>[a_n, b_n]</math>. Следовательно: <math>[x] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>. <b>Шаг 6: Уникальность <math>[x]</math></b> Проверим, что <math>[x]</math> — единственный элемент, лежащий во всех интервалах <math>I_n = [a_n, b_n]</math>. Предположим от противного: Существует <math>[z] \neq [x]</math>, такой что <math>[z] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>, то есть <math>a_n \leq [z] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>Интуитивно:</u> Интервалы сжимаются, их ширина <math>b_n - a_n \to 0</math>, и два разных элемента фактор-множества не должны уместиться в таком узком пространстве. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math>, возможны два случая: <math>[z] > [x]</math> или <math>[z] < [x]</math>. <u>A. Случай <math>[z] > [x]</math></u> Рассмотрим первый случай: пусть <math>[z] > [x]</math>. По определению порядка: для любых представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>z_m - x_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>, где <math>\delta</math> — нижняя граница разности <math>z_m - x_m</math> для больших <math>m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> становится уже, чем зазор между <math>[x]</math> и <math>[z]</math>. Но из условия <math>[z] \in [a_n, b_n]</math> и <math>[x] \in [a_n, b_n]</math> следует: <math>a_n \leq [x] < [z] \leq b_n</math>. Возьмём представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>. Для больших <math>m</math>: <math>a_n \leq x_m < z_m \leq b_n</math>, Тогда <math>z_m - x_m \leq b_n - x_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>x_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>z_m - x_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>z_m - x_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>z_m - x_m</math> не может быть одновременно больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math>. Значит, случай <math>[z] > [x]</math> невозможен. <u>B. Случай <math>[z] < [x]</math></u> Рассмотрим второй случай: пусть <math>[z] < [x]</math>. По определению: существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math <math>x_m - z_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>. Существует <math>N</math>, такое что для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> уже, чем расстояние между <math>[z]</math> и <math>[x]</math>. Но <math>a_n \leq [z] < [x] \leq b_n</math>. Для представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>: <math>a_n \leq z_m < x_m \leq b_n</math>, Тогда <math>x_m - z_m \leq b_n - z_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>z_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>x_m - z_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>x_m - z_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>x_m - z_m</math> не может быть больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math> одновременно. Значит, случай <math>[z] < [x]</math> невозможен. <u>Вывод:</u> Мы предположили от противного, что <math>[z] \neq [x]</math>, и рассмотрели два случая: * <math>[z] > [x]</math> ведёт к противоречию, * <math>[z] < [x]</math> тоже ведёт к противоречию. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math> невозможно, остаётся только <math>[z] = [x]</math>. <u>Интуитивно:</u> Сжимающиеся интервалы "прижимают" все элементы фактор-множества к одной точке — <math>[x]</math>. <u>Общий вывод:</u> Существует ровно один <math>[x] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. === <b>Определение sup:</b> === <nowiki> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел, ограниченное сверху (то есть существует элемент <math>[M] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \leq [M]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math> называется ''верхней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[s] = \sup S</math>, если выполняются два условия: <math>[s]</math> — верхняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \leq [s]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[s]</math> — наименьшая из всех верхних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая верхняя граница (<math>[x] \leq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[s] \leq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено сверху, то говорят, что <math>\sup S = +\infty</math> (формально это не элемент <math>\mathbb{R}</math>, а условное обозначение). Определение инфимума: Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное снизу (то есть существует элемент <math>[m] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \geq [m]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[i] \in \mathbb{R}</math> называется ''нижней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[i] = \inf S</math>, если выполняются два условия: <math>[i]</math> — нижняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \geq [i]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[i]</math> — наибольшая из всех нижних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая нижняя граница (<math>[x] \geq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[i] \geq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено снизу, то говорят, что <math>\inf S = -\infty</math> (также условное обозначение, а не элемент <math>\mathbb{R}</math>). Обоснование существования <math>\sup S</math> и <math>\inf S</math> в нашем <math>\mathbb{R}</math> будет приведено ниже (см. доказательство теоремы о гранях). Пример 1: Ограниченное множество с максимумом и минимумом Пусть <math>S = {[1], [2], [3], [4]}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math> — элемент фактор-множества, представляющий рациональное число <math>n</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество ограничено сверху, например, элементом <math>[5]</math>, так как <math>[x] \leq [5]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (для представителей <math>x_m \leq 5</math> при больших <math>m</math>). Наименьшая верхняя граница — это максимальный элемент множества, то есть <math>[4]</math>, поскольку <math>[x] \leq [4]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] < [4]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>4 - t_m > \delta</math>, но <math>[4]</math> в <math>S</math>). Таким образом, <math>\sup S = [4]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, элементом <math>[0]</math>, так как <math>[x] \geq [0]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (<math>x_m \geq 0</math>). Наибольшая нижняя граница — это минимальный элемент множества, то есть <math>[1]</math>, поскольку <math>[x] \geq [1]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] > [1]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>t_m - 1 > \delta</math>, но <math>[1] \in S</math>). Таким образом, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 2: Ограниченное множество без максимума и минимума Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [0] < [x] < [1], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, представляющих рациональные последовательности между <math>[0]</math> и <math>[1]</math>, не включая границы. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [1]</math> (где <math>[1] = [{1, 1, \ldots}]</math>), и <math>[1]</math> — верхняя граница, так как <math>x_n < 1 - \delta</math> для больших <math>n</math>. Нет меньшего элемента <math>[t] < [1]</math>, который был бы верхней границей: если <math>[t] < [1]</math>, то <math>1 - t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = (t_n + 1)/2</math>, где <math>t_n < x_n < 1</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [1]</math>. (Заметим, что <math>[1] \notin S</math>, так как <math>[x] < [1]</math>, и максимума нет.) Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] > [0]</math> (где <math>[0] = [{0, 0, \ldots}]</math>), и <math>[0]</math> — нижняя граница. Нет большего элемента <math>[t] > [0]</math>, который был бы нижней границей: если <math>[t] > [0]</math>, то <math>t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>0 < x_n < t_n</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] < [t]</math>. Следовательно, <math>\inf S = [0]</math>. (Заметим, что <math>[0] \notin S</math>, так как <math>[x] > [0]</math>, и минимума нет.) Пример 3: Множество, ограниченное снизу, но не сверху Пусть <math>S = { [n] \in \mathbb{R} \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 1 }</math> = <math>{[1], [2], [3], \ldots}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество не ограничено сверху: для любого <math>[M] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{M_n}</math>) существует <math>n > M_n</math> для больших <math>n</math> (по свойству рациональных чисел), и <math>[n] > [M]</math>. Следовательно, <math>\sup S = +\infty</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, <math>[0]</math>, так как <math>[n] \geq [0]</math>. Наибольшая нижняя граница — <math>[1]</math>, так как <math>[n] \geq [1]</math> для всех <math>[n] \in S</math>, и <math>[1] \in S</math>, а любое <math>[t] > [1]</math> не является нижней границей. Значит, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 4: Множество, ограниченное сверху, но не снизу Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [x] < [0], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, меньших <math>[0]</math>, с рациональными последовательностями. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [0]</math>, и <math>[0]</math> — верхняя граница. Нет меньшего <math>[t] < [0]</math>, которое было бы верхней границей: если <math>[t] < [0]</math>, то <math>-t_n > \delta</math>, и можно взять <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>t_n < x_n < 0</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [0]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество не ограничено снизу: для любого <math>[m] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{m_n}</math>) можно взять рациональное <math>x_n = m_n - 1</math>, где <math>x_n < m_n</math>, и <math>[x] < [m]</math>, при этом <math>[x] < [0]</math>, так что <math>[x] \in S</math>. Следовательно, <math>\inf S = -\infty</math>. Замечание Если множество <math>S</math> содержит свой максимум (<math>\max S</math>), то <math>\sup S = \max S</math>. Если множество <math>S</math> содержит свой минимум (<math>\min S</math>), то <math>\inf S = \min S</math>. Для неограниченных множеств <math>\sup S</math> или <math>\inf S</math> принимают значения <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, которые не являются элементами <math>\mathbb{R}</math>, а используются как условные обозначения. </nowiki> === 5.91 Сходимость монотонных последовательностей === <b>Теорема. </b> Всякая монотонная ограниченная последовательность в <math>\mathbb{R}</math> имеет предел. <nowiki> Пусть <math>{[a_n]}</math> — последовательность в <math>\mathbb{R}</math>, где: <math>{[a_n]}</math> неубывающая, т.е. <math>[a_n] \leq [a_{n+1}]</math> для всех <math>n</math>, <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, т.е. существует <math>[b] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \leq [b]</math> для всех <math>n</math>. Тогда существует <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \to [s]</math>, т.е. для любого <math>\varepsilon > 0</math> (где <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, для всех <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] < \varepsilon</math>. Доказательство Шаг 1: Построение вложенных интервалов Так как <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, выберем верхнюю грань <math>[b_0] \in \mathbb{R}</math> (существование верхней грани пока предполагаем, но позже обоснуем). Начнём с интервала <math>[l_1, u_1]</math>: <math>l_1 = a_1</math> (рациональное число из последовательности, представляющей <math>[a_1]</math>), <math>u_1 = b_{0,N}</math> — рациональное число из последовательности <math>{b_{0,n}}</math> для <math>[b_0]</math>, такое что <math>[a_1] < u_1</math> (возможно благодаря аксиоме Архимеда и порядку). Теперь индуктивно строим вложенные интервалы <math>[l_n, u_n]</math>: Определим <math>m_n = \frac{l_n + u_n}{2}</math> (рациональное число, так как <math>l_n, u_n \in \mathbb{Q}</math>). Если <math>[a_k] \leq m_n</math> для всех <math>k</math> (т.е. <math>m_n</math> — верхняя грань на данном шаге), то: <math>u_{n+1} = m_n</math>, <math>l_{n+1} = l_n</math>. Если существует <math>k</math>, такое что <math>[a_k] > m_n</math>, то: <math>l_{n+1} = m_n</math>, <math>u_{n+1} = u_n</math>. Свойства: <math>l_n \leq l_{n+1} \leq u_{n+1} \leq u_n</math>, интервалы вложены. <math>u_{n+1} - l_{n+1} = \frac{u_n - l_n}{2}</math>, длина уменьшается вдвое. Шаг 2: Длина интервалов стремится к нулю Обозначим <math>d_1 = u_1 - l_1 > 0</math>. Тогда: <math>u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>. По аксиоме Архимеда для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>) существует <math>N</math>, такое что: <math>2^{N-1} \cdot \varepsilon > d_1</math>, или: <math>\frac{d_1}{2^{N-1}} < \varepsilon</math>. Таким образом, <math>u_n - l_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Шаг 3: Последовательности <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> фундаментальны Для <math>m > n</math>: <math>|l_m - l_n| = l_m - l_n \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>l_n</math> неубывает. Поскольку <math>\frac{d_1}{2^{n-1}} \to 0</math>, <math>{l_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>. Аналогично: <math>|u_n - u_m| = u_n - u_m \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>u_n</math> невозрастает. Значит, <math>{u_n}</math> тоже фундаментальна. Поскольку <math>\mathbb{R}</math> — это фактор-множество фундаментальных последовательностей, существуют пределы: <math>{l_n} \to [s]</math>, <math>{u_n} \to [t]</math>. Шаг 4: Единый предел Так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, рассмотрим разность: <math>0 \leq u_n - l_n</math>. В пределе: <math>[t] - [s] = [{u_n - l_n}]</math>, и так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, то <math>[t] - [s] = [0]</math>, т.е. <math>[t] = [s]</math>. Следовательно, <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> сходятся к одному <math>[s]</math>. Шаг 5: <math>{[a_n]} \to [s]</math> <math>l_n \leq a_{n,k} \leq u_n</math> для представителей <math>{a_{n,k}}</math> из <math>[a_n]</math>, так как <math>l_n</math> всегда ниже какого-то <math>[a_k]</math>, а <math>u_n</math> — верхняя граница. Поскольку <math>l_n \to [s]</math> и <math>u_n \to [s]</math>, а <math>u_n - l_n \to 0</math>, то для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, где <math>u_n - l_n < \varepsilon</math>, и для <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] \leq u_n - l_n < \varepsilon</math> (в смысле порядка с рациональными числами). Таким образом, <math>[a_n] \to [s]</math>. </nowiki> === 5.92 Сходимость сужающихся интервалов === <nowiki> Пусть <math>{a_n}</math> — неубывающая последовательность рациональных чисел (<math>a_n \leq a_{n+1}</math>), <math>{b_n}</math> — невозрастающая последовательность рациональных чисел (<math>b_n \geq b_{n+1}</math>), и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>: <math>a_n \leq b_n</math>, <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Тогда последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> определяют один и тот же элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, т.е. <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и сходятся к одному пределу <math>[s]</math>. Доказательство Фундаментальность <math>{a_n}</math>: Так как <math>{a_n}</math> неубывает, для <math>m > n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>. Следовательно, для <math>m, n > N</math>: <math>|a_m - a_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{a_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[s] = [{a_n}]</math>. Фундаментальность <math>{b_n}</math>: Так как <math>{b_n}</math> невозрастает, для <math>m > n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n</math>, потому что <math>a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>, и для <math>m, n > N</math>: <math>|b_m - b_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{b_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[t] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[t] = [{b_n}]</math>. Совпадение пределов <math>[s] = [t]</math>: Рассмотрим разность <math>b_n - a_n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n</math>. Поскольку <math>b_n - a_n \to 0</math>, последовательность <math>{b_n - a_n}</math> фундаментальна и сходится к нулю в <math>\mathbb{Q}</math>, т.е. <math>[{b_n - a_n}] = [0]</math>. По определению операций в <math>\mathbb{R}</math>: <math>[{b_n}] - [{a_n}] = [{b_n - a_n}] = [0]</math>, следовательно: <math>[t] - [s] = [0]</math>, или <math>[t] = [s]</math>. Проверим через порядок: Предположим <math>[s] < [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>t_k - s_k > \delta</math> для всех больших <math>k</math>, где <math>{s_k}</math> и <math>{t_k}</math> — представители <math>[s]</math> и <math>[t]</math>. Но <math>b_n - a_n \to 0</math>, и для достаточно большого <math>n</math>: <math>b_n - a_n < \delta/2</math>, что противоречит <math>t_k - s_k > \delta</math>, так как <math>a_n \to [s]</math>, <math>b_n \to [t]</math>, и разность не может быть больше <math>\delta</math>. Значит, <math>[s] = [t]</math>. Вывод: Обе последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и определяют один элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. Таким образом, они сходятся к <math>[s]</math>. Интуиция <math>{a_n}</math> "поднимается", <math>{b_n}</math> "опускается", а расстояние между ними сокращается до нуля. Так как они рациональны и фундаментальны, они задают один класс эквивалентности в <math>\mathbb{R}</math>, что и есть их общий предел <math>[s]</math>. </nowiki> === 6. Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) === <u>Утверждение</u>: Любое непустое подмножество <math>S \subseteq \mathbb{R}</math>, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань (супремум). Аналогично, любое непустое подмножество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань (инфимум). <u>Доказательство (супремум):</u> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество множества элементов фактор-множества <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное сверху. Тогда существует элемент <math>[s]</math>, который является точной верхней гранью <math>S</math>, то есть: * <math>[s]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. для любого <math>[x] \in S</math> выполнено <math>[x] \leq [s]</math>, * <math>[s]</math> — наименьшая верхняя грань, т.е. если <math>[t]</math> — любая другая верхняя грань <math>S</math>, то <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Шаг 1: Выбор начального интервала <math>[a_1], [b_1]</math></u> Так как <math>S</math> непусто и ограничено сверху, существуют: * <math>[x_1] \in S</math> с последовательностью <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math>, * <math>[b]</math> — верхняя грань <math>S</math>, такая что <math>[x] \leq [b]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. Если <math>S = {[x_1]}</math>, то <math>[x_1]</math> — супремум (очевидно: <math>[x_1] \leq [x_1]</math>, и любой <math>[t] < [x_1]</math> не покрывает <math>[x_1]</math>), и доказательство завершено. Иначе <math>S</math> содержит хотя бы два элемента. <u>Лемма 1: Выбор начальных границ</u> <u>Утверждение:</u> Существует <math>a_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>a_1 < [x_1]</math>, и <math>b_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. <u>Доказательство:</u> Для <math>a_1</math>: Так как <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math> фундаментальна, существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n, m > N_1</math>: <math>|x_{1,n} - x_{1,m}| < \frac{1}{2}</math>. Положим: <math>a_1 = x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}</math>. Тогда для <math>n > N_1</math>: <math>x_{1,n} - a_1 = x_{1,n} - (x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}) = (x_{1,n} - x_{1,N_1+1}) + \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>, значит, <math>a_1 < [x_1]</math>. Для <math>b_1</math>: Поскольку <math>[x_1] < [b]</math>, существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>b_n - x_{1,n} > \delta</math> для <math>n > N</math>. Выберем <math>N</math>, где <math>|b_n - [b]| < \frac{\delta}{2}</math> и <math>|x_{1,n} - [x_1]| < \frac{\delta}{2}</math>. Тогда: <math>b_n - x_{1,n} > \delta - \frac{\delta}{2} - \frac{\delta}{2} = 0</math>. Положим <math>b_1 = b_{N+1}</math>, и <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. Итак: <math>[a_1] < [x_1] \leq [b_1]</math>. Конец доказательства леммы 1. <u>Интуиция:</u> Мы берём "окно", где <math>a_1</math> ниже элемента <math>S</math>, а <math>b_1</math> выше всех <math>S</math>. <u>Шаг 2: Индуктивное построение вложенных интервалов</u> Для каждого <math>n \in \mathbb{N}</math>, имея <math>a_n</math> и <math>b_n</math>, определяем: <math>c_n = \frac{a_n + b_n}{2}</math>. * Если <math>[x] \leq [c_n]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, то <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>. * Если существует <math>[x] \in S</math>, такое что <math>[x] > [c_n]</math>, то <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>. <u>Лемма 2: Уменьшение длины интервала</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2} (b_n - a_n)</math>. <u>Доказательство:</u> * Если <math>[c_n]</math> — верхняя грань: <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = c_n - a_n = \frac{a_n + b_n}{2} - a_n = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. * Если <math>[x] > [c_n]</math>: <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = b_n - c_n = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. Конец доказательства леммы 2. <u>Лемма 3: Геометрическое уменьшение и сходимость</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}}</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. <u>Доказательство:</u> <u>База:</u> Для <math>n = 1</math>: <math>b_1 - a_1 = \frac{b_1 - a_1}{2^{1-1}}</math>. <u>Индукция:</u> Пусть для <math>n = k</math>: <math>b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}}</math>. Тогда по Лемме 2: <math>b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{1}{2} (b_k - a_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}} = \frac{b_1 - a_1}{2^k} = \frac{b_1 - a_1}{2^{(k+1)-1}}</math>. <u>Сходимость:</u> Для <math>\varepsilon > 0</math> выберем <math>N</math>, где <math>2^{N-1} > \frac{b_1 - a_1}{\varepsilon}</math>. Тогда для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} < \varepsilon</math>, значит, <math>b_n - a_n \to 0</math>. Конец доказательства леммы 3. <u>Шаг 3: Определение <math>[s]</math></u> <math>\left\{a_n\right\}</math> неубывает, <math>\left\{b_n\right\}</math> невозрастает (по построению). <math>a_n \leq b_n</math> и <math>b_n - a_n \to 0</math> (Лемма 3). По лемме о сходимости сужающихся интервалов: <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math> сходятся к одному <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. <u>Шаг 4: <math>[s]</math> — супремум <math>S</math></u> * <u><math>[s]</math> — верхняя грань:</u> Для любого <math>[x] \in S</math>, <math>[x] \leq [b_n]</math> для всех <math>n</math>. Так как <math>b_n \to [s]</math> (Лемма о сходимости сужающихся интервалов), то <math>[x] \leq [s]</math>. <u>Интуиция:</u> <math>b_n</math> — "потолок" над <math>S</math>, и <math>[s]</math> — его предел, выше всех элементов <math>S</math>. * <u><math>[s]</math> — наименьшая:</u> Пусть <math>[t]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. <math>[x] \leq [t]</math>. Предположим <math>[s] > [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>s_n - t_n > \delta</math> для <math>n > N</math>, где <math>{t_n}</math> представляет <math>[t]</math>. Так как <math>a_n \to [s]</math>, для <math>\varepsilon = \delta/2</math> существует <math>M</math>, где <math>n </math>: <math>|a_n - s_n| < \delta/2</math>, <math>a_n > s_n - \delta/2 > t_n + \delta/2</math>. По построению, существует <math>[x] \in S</math>, где <math>[x] > a_n</math>, значит <math>[x] > t_n + \delta/2</math>, что противоречит <math>[x] \leq [t]</math>. Следовательно, <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Интуиция:</u> Если <math>[s] > [t]</math>, <math>a_n</math> превышает <math>[t]</math>, а за <math>a_n</math> есть <math>[x] \in S</math>, что ломает верхнюю грань <math>[t]</math>. <u>Вывод</u> <math>[s]</math> — супремум <math>S</math>. Для инфимума доказательство симметрично с заменой "ограниченная сверху" на "ограниченная снизу", "точная верхняя грань" на "точная нижняя грань" и т.п. === 6.1 === <b>Теорема:</b> Всякое полное упорядоченное поле <math>(F, +, \cdot, <)</math> является архимедовым. <b>Определения:</b> 1. <b>Упорядоченное поле:</b> Поле <math>F</math> с отношением полного порядка <math><</math>, согласованным с операциями поля: * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a < b</math>, то <math>a+c < b+c</math> для любого <math>c \in F</math>. * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a > 0</math> и <math>b > 0</math>, то <math>a \cdot b > 0</math>. 2. <b>Полнота (Аксиома о наименьшей верхней границе):</b> Любое непустое подмножество <math>A \subset F</math>, ограниченное сверху в <math>F</math>, имеет точную верхнюю грань (супремум) в <math>F</math>, обозначаемую <math>\sup A</math>. 3. </b>Архимедово свойство:</b> (оно же аксиома Архимеда-Евдокса) Для любых <math>x, y \in F</math> таких, что <math>x > 0</math> и <math>y > 0</math>, существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>nx > y</math>. (Здесь <math>nx</math> означает <math>x + x + \dots + x</math> <math>n</math> раз, а <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> рассматривается как подмножество <math>F</math> через вложение <math>1, 1+1, 1+1+1, \dots</math>). </b>Доказательство (методом от противного):</b> Допустим от противного, что <math>F</math> является полным упорядоченным полем, но не является архимедовым. Т.е. существуют элементы <math>x \in F</math> и <math>y \in F</math> такие, что <math>x > 0</math>, <math>y > 0</math> и для всех натуральных чисел <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется неравенство <math>nx \le y</math>. Определим подмножество <math>S \subset F</math> следующим образом: <math display="block"> S = \{nx \mid n \in \mathbb{N}\} </math> Свойства множества S: * Множество <math>S</math> непусто, так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>x = 1x \in S</math>. * Множество <math>S</math> ограничено сверху. По нашему предположению из шага 2, элемент <math>y</math> является верхней границей для <math>S</math>, так как <math>nx \le y</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, то есть для всех элементов <math>nx \in S</math>. Поскольку <math>F</math> — полное упорядоченное поле, а <math>S</math> — непустое, ограниченное сверху подмножество <math>F</math>, то у <math>S</math> существует точная верхняя грань (супремум) в <math>F</math>. Обозначим эту грань через <math>s</math>: <math display="block"> s = \sup S </math> По определению супремума, <math>s</math> является верхней границей <math>S</math>. Так как <math>s</math> — *наименьшая* верхняя граница, то любое число, меньшее <math>s</math>, уже не является верхней границей для <math>S</math>. Рассмотрим элемент <math>s - x</math>. Поскольку <math>x > 0</math>, то <math>s - x < s</math>. Следовательно, <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>. Поскольку <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>, то по определению верхней границы существует хотя бы один элемент в <math>S</math>, который больше <math>s - x</math>. Пусть этот элемент равен <math>mx</math> для некоторого <math>m \in \mathbb{N}</math>: <math display="block"> mx > s - x </math> Прибавим <math>x</math> к обеим частям неравенства (используя свойство упорядоченного поля): <math display="block"> mx + x > (s - x) + x </math> <math display="block"> (m+1)x > s </math> Поскольку <math>m \in \mathbb{N}</math>, то <math>m+1</math> также является натуральным числом (<math>m+1 \in \mathbb{N}</math>). Следовательно, элемент <math>(m+1)x</math> по определению множества <math>S</math> принадлежит этому множеству: <math>(m+1)x \in S</math>. Мы получили, что существует элемент <math>(m+1)x \in S</math>, для которого выполняется <math>(m+1)x > s</math>. Однако <math>s = \sup S</math> — это верхняя граница множества <math>S</math>, что по определению означает, что для **любого** элемента <math>z \in S</math> должно выполняться <math>z \le s</math>. Неравенство <math>(m+1)x > s</math> противоречит тому, что <math>s</math> является верхней границей для <math>S</math>. Мы пришли к противоречию теорема доказана. Таким образом, любое полное упорядоченное поле <math>F</math> обязательно является архимедовым. Поэтому для поля действительных чисел ℝ она просто постулируется, а для рациональный чисел Q её оказывается возможным доказать как теорему. <b>Замечание:</b> Теорема о гранях доказывает свойство полноты определённое выше. Последняя теорема выше доказывает, непротиворечивость нашей системы аксиом для действительных чисел (отрицание аксиомы Архимеда-Евдокса ложно). === 8. <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> === ... <u>Шаг 4: Заключение</u> Таким образом, последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> сходится к действительному числу <math>x</math>, которое определяется как элемент фактор-множества <math>[ \left\{ x_n \right\} ]</math>. Это завершает доказательство. <u>Итог:</u> Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу, которое определяется как элемент фактор-множества всех последовательностей, сходящихся к тому же пределу. <b>Интуитивный смысл: </b> Фундаментальная последовательность — это такая последовательность, члены которой с ростом индекса становятся всё ближе друг к другу и "устаканиваются" вокруг какого-то значения. Интуитивно, если расстояние между членами последовательности становится сколь угодно малым, она должна приближаться к некоторой фиксированной точке — пределу. В данном случае мы показываем, что этот предел существует и является действительным числом. +++ 9. Любая сходящая последовательность является последовательностью Коши. 10. Любая сходящая последовательность ограничена. 11. Множество рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } плотно в множестве действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} }. 12. Множество действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } плотно в себе. 13. Определение арифметических операций. <b>14. Плотность рациональных чисел в действительных числах</b> <u>Утверждение: </u> Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>\varepsilon > 0</math>. По определению действительных чисел, <math>x</math> представляется как эквивалентность фундаментальной последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math>. По аксиоме Архимеда, существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> \frac{1}{n} < \varepsilon. </math> Выберем <math>N</math> так, чтобы для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x| < \varepsilon. </math> Тогда <math>x_N</math> — рациональное число, удовлетворяющее условию: <math> |x - x_N| < \varepsilon. </math> Таким образом, рациональные числа плотны в <math>\mathbb{R}</math>. <b>15. Плотность действительных чисел</b> <u>Утверждение:</u> Множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> обладает свойством плотности в себе, то есть для любых двух различных чисел <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, где <math>x < y</math>, существует <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>x < z < y</math>. <u>Доказательство:</u> Как было доказано выше множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, т.е. для любых <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x < y</math>, существует рациональное число <math>q \in \mathbb{Q}</math>, удовлетворяющее условию: <math> x < q < y. </math> Поскольку <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то <math>q</math> также является действительным числом, то есть <math>q \in \mathbb{R}</math>. Следовательно, мы нашли <math>z = q</math>, где <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что: <math> x < z < y. </math> Таким образом, между любыми двумя действительными числами всегда найдётся другое действительное число, что и доказывает, что <math>\mathbb{R}</math> плотно в себе. ==== Арифметика (опр.) ==== ==== Бесконечная десятиная дробь ==== ==== Арифметика (практ.) ==== ==== Дедекиндовое сечение ==== === Бесконечные десятичные дроби === * Периодические десятичая дробь. * Непериодечские десятичная дробь. * Конечная десятичные дробь. * 0.(9)=1.0 * Действительное число является рациональным тогда и только тогда представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. === sqrt(2) иррационально === * Формулировка геометрическая, алгебраическая, их эквивалетность. Один из первых кризисов в математики. * Доказательство (используя несократимую дробь) * Поле действительных чисел ℝ характеризуется как единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Доказательство выходит за рамки этой книги. == 8. Введение в ординальные числа == <u>Что такое ординальные числа? </u> * Определение ординальных чисел. * Исторический контекст и мотивация. <u>Основные определения </u> 1. Основы и определение ординалов 1.1 Аксиомы теории множеств ZFC Понятие множества, принадлежности <math>\in</math>, подмножества. Аксиома фундированности: отсутствие бесконечной цепи <math>\dots \in x \in y \in \dots</math>. Аксиома подмножества и существование определённых множеств. 1.2 Транзитивные множества Определение: множество <math>X</math> называется транзитивным, если для любого <math>y \in X</math>, <math>y \subseteq X</math>. Примеры транзитивных множеств. Свойства транзитивных множеств. 1.3 Определение ординалов через транзитивные множества Ординал — это транзитивное множество, вполне упорядоченное строгим порядком <math>\in</math>. Ординал — это транзитивное множество, строго упорядоченное отношением принадлежности <math>\in</math>, такое, что для любых двух различных элементов x,y из ординала выполняется одно и только одно из условий: x∈y, y∈x или x=y. Ординалы представляют собой "стандартные" упорядоченные множества, которые используются для описания порядка. Примеры малых ординалов: <math>0 = \emptyset</math>, <math>1 = {0}</math>, <math>2 = {0,1}</math>, <math>3 = {0,1,2}</math>, и так далее. Универсальность ординалов: любой ординал состоит только из ординалов. Теорема 1 (О индукции по ординалам) Всякая индуктивная гипотеза, утверждающая нечто о всех ординалах меньше некоторого ординала <math>\alpha</math>, может быть доказана с помощью индукции по ординалу <math>\alpha</math>. 2. Основные свойства ординалов 2.1 Строгое линейное упорядочение Доказательство, что <math>\in</math> на ординалах является строгим линейным порядком. Транзитивность порядка: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \gamma</math>, то <math>\alpha < \gamma</math>. Антисимметричность: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \alpha</math>, то <math>\alpha = \beta</math>. 2.2 Универсальное свойство ординалов Всякое вполне упорядоченное множество упорядочено изоморфно единственному ординалу. Доказательство единственности ординала для любого конечного множества. 2.3 Порядковое вложение В ординалах любое порядковое вложение либо тождественно, либо строгое. Доказательство, что между ординалами невозможно биекцию, не являющуюся изоморфизмом порядка. Теорема 2 (О порядке ординалов) Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два ординала, то <math>\alpha \leq \beta</math> тогда и только тогда, когда существует инъективная функция <math>f: \alpha \to \beta</math>. 3. Операции над ординалами 3.1 Следующий ординал Определение: <math>\alpha^+ = \alpha \cup {\alpha}</math>. Свойства: <math>\alpha^+</math> — минимальный ординал, больший <math>\alpha</math>. 3.2 Супремум и предел ординалов Определение супремума множества ординалов. Определение предельного ординала: <math>\lambda</math> — предельный, если нет <math>\alpha</math>, такого что <math>\lambda = \alpha^+</math>. Примеры предельных ординалов: <math>\omega</math>, <math>\omega + \omega</math>, <math>\omega^2</math>. Теорема 3 (О пределах ординалов) Если <math>\alpha</math> — предел ординала, то существует последовательность ординалов, которая монотонно возрастает и имеет предел <math>\alpha</math>. 3.3 Сложение ординалов Определение: <math>\alpha + 0 = \alpha, \quad \alpha + \beta^+ = (\alpha + \beta)^+</math>. Свойства сложения: некоммутативность (<math>1 + \omega \neq \omega + 1</math>). 3.4 Умножение ординалов Определение: <math>\alpha \cdot 0 = 0, \quad \alpha \cdot \beta^+ = \alpha \cdot \beta + \alpha</math>. Свойства: ассоциативность, но некоммутативность. 3.5 Возведение в степень Определение: <math>\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta^+} = \alpha^\beta \cdot \alpha</math>. Примеры вычислений. 4. Бесконечные ординалы 4.1 Малейший бесконечный ординал <math>\omega</math> Определение: <math>\omega</math> — первый предельный ординал. Свойство: любой конечный ординал <math>n</math> удовлетворяет <math>n < \omega</math>. Доказательство, что <math>\omega</math> — минимальный бесконечный ординал. 4.2 Счётные ординалы Определение: ординал <math>\alpha</math> — счётный, если существует сюръекция <math>f: \omega \to \alpha</math>. Примеры: <math>\omega</math>, <math>\omega + 1</math>, <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\varepsilon_0</math>. 4.3 Несчётные ординалы <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. <math>\omega_1</math> является наименьшим предельным ординалом, который не является счётным. Свойства <math>\omega_1</math>: все ординалы меньше <math>\omega_1</math> счётны, и это непереходный предел для счётных ординалов. Теорема 4 (О наименьшем ординале, не являющемся порядковым типом множества) Для любого множества существует наименьший ординал, который не является порядковым типом этого множества. 4.4 Противоречие с множеством всех ординалов Парадокс Бурали-Форти. 5. Принцип трансфинитной индукции и рекурсии 5.1 Трансфинитная индукция Формулировка: если утверждение <math>P(\alpha)</math> верно для <math>\alpha = 0</math> и сохраняется при переходе на следующий ординал и предельные ординалы, то оно верно для всех ординалов. Примеры использования. 5.2 Трансфинитная рекурсия Формулировка: для любой функции <math>F</math>, можно задать <math>f(\alpha)</math> для всех ординалов: <math>f(0) = a, \quad f(\alpha^+) = F(f(\alpha)), \quad f(\lambda) = \sup { f(\beta) \mid \beta < \lambda }, \text{ если } \lambda \text{ — предельный}.</math> Примеры: конструкция функций на ординалах. 6. Канторова нормальная форма (CNF) Разложение ординала в виде: <math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot c_1 + \omega^{\beta_2} \cdot c_2 + \dots + \omega^{\beta_k} \cdot c_k</math>, где <math>\beta_1 > \beta_2 > \dots > \beta_k</math> и <math>c_i \neq 0</math>. Единственность разложения. Примеры разложения. Теорема 5 (О Канторовой нормальной форме) Любой ординал может быть представлен в Канторовой нормальной форме, где представление единственно. 7. Более сложные темы 7.1 Функция Веблена Определение функций <math>\varphi_\alpha(\beta)</math>. 7.2 Расширение арифметики ординалов Ординальная экспоненциальная башня. Функция Аккермана и пределы вычислимости. 7.3 Ординал <math>\varepsilon_0</math> Определение ординала <math>\varepsilon_0</math>, первого ординала, который является фиксированной точкой функции ординала. Теорема 6 (О Канторовом принципе) Мощность множества всех ординалов меньших, чем данный ординал <math>\alpha</math>, равна <math>\alpha</math>. Это утверждение отражает важность порядка ординалов и теории мощностей. == 9. Приложения ординальных чисел == 14.1 Ординалы в теории моделей и теории вычислимости * Применение ординалов в построении моделей теорий. Роль ординалов в описании вычислимых процессов. * Доказательство непротиворечивости аксиоматике Пеано. * Свойства <math>\varepsilon_0</math> и его роль в теории рекурсивных функций. * Применение <math>\varepsilon_0</math> в теории доказательств и вычислимости. 14.2 Теория множеств * Использование ординалов в построении и анализе иерархий множеств. 14.3 Теория доказательств и математическая логика * Применение ординалов в доказательстве непротиворечивости теорий. 14.4 Топология и анализ * Примеры использования ординалов в топологии. * Роль ординалов в анализе, например, в описании порядковых компактностей. == 11. Введение в кардинальные числа == 11. Введение в кардинальные числа 1. Определение кардинальных чисел через ординалы 1.1 Основное определение Определение кардинального числа Ординал <math>\kappa</math> называется кардинальным числом, если он удовлетворяет следующему свойству: Основное определение: Для любого ординала <math>\alpha < \kappa</math> выполняется <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Это означает, что <math>\kappa</math> — это наименьший ординал своей мощности: ни один меньший ординал не равномощен <math>\kappa</math>. Эквивалентные формулировки Существуют альтернативные определения, эквивалентные основному. Докажем их эквивалентность. 1. Первая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если он не равномощен ни одному строго меньшему ординалу. То есть, если <math>\lambda = |\kappa|</math> — мощность <math>\kappa</math>, то для любого <math>\alpha < \kappa</math> выполняется: <math>|\alpha| \neq \lambda</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению: <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| < |\kappa|</math>. Если бы существовало <math>\alpha < \kappa</math> такое, что <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то это противоречило бы строгому неравенству <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Следовательно, <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, и первая формулировка следует из основной. Обратно, если <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| \neq |\kappa|</math>, то в силу упорядоченности мощностей (для любых ординалов <math>|\alpha| < |\kappa|</math> или <math>|\alpha| = |\kappa|</math> или <math>|\alpha| > |\kappa|</math>) и того, что <math>\alpha < \kappa</math> (меньший ординал не может иметь большую мощность), остаётся только <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Значит, основное определение выполнено. 2. Вторая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если для любого множества <math>A</math>, такого что существует сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, существует инъекция <math>g: \kappa \to A</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению. Если есть сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, то <math>|A| \geq |\kappa|</math> (существование сюръекции означает, что мощность <math>A</math> не меньше мощности <math>\kappa</math>). Предположим, что нет инъекции <math>g: \kappa \to A</math>, тогда <math>|\kappa| > |A|</math> (по теореме Кантора-Бернштейна, мы докажем её ниже ). Но <math>|A| \geq |\kappa|</math> и <math>|\kappa| > |A|</math> противоречат друг другу. Значит, инъекция существует. Обратно, если для любого <math>A</math> с сюръекцией <math>f: A \to \kappa</math> есть инъекция <math>g: \kappa \to A</math>, возьмём <math>A = \alpha < \kappa</math>. Если <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то существует биекция <math>f: \alpha \to \kappa</math>, что даёт сюръекцию. Тогда должна быть инъекция <math>g: \kappa \to \alpha</math>, но <math>\kappa > \alpha</math>, и инъекция невозможна (ординал не может быть вложен в меньший ординал). Противоречие показывает, что <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, а значит, <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Таким образом, все три определения эквивалентны. Существование кардинальных чисел Для каждого ординала <math>\alpha</math> существует кардинальное число, которое является наименьшим среди всех ординалов мощности не меньшей, чем <math>\alpha</math>. Это следует из аксиомы выбора и свойств ординалов: Мощность <math>|\alpha|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>\alpha</math>. Такой ординал всегда существует, так как множество всех ординалов равной мощности имеет наименьший элемент (по теореме о хорошей упорядоченности). Примеры: * Для <math>\alpha = 0</math>: <math>|0| = 0</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = 1</math>: <math>|1| = 1</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = \omega</math> (первый бесконечный ординал): <math>|\omega| = \aleph_0</math> — первое бесконечное кардинальное число. Интуиция Кардинальные числа — это "стандартные представители" мощностей. Они позволяют измерять "размер" множества, абстрагируясь от его структуры. Например: Для конечных множеств: {a,b} и {1,2} равномощны, их кардинальное число — 2. Для бесконечных множеств: NN и ZZ равномощны, их кардинальное число — aleph_0. Если ординал κκ — кардинальное число, то он "наименьший в своём классе мощности". Никакой меньший ординал не может "уместить" столько же элементов. Теорема Кантора-Бернштейна: Если для двух множеств существуют биекции с множества <math>A</math> на <math>B</math> и с множества <math>B</math> на <math>A</math>, то мощности этих множеств одинаковы. * Два доказательства через конструкцию цепей и через разбиение множеств использует последовательное разбиение множеств AA и BB на подмножества и построение биекции на каждом из них. Теорема Хартогса: Для любого множества существует ординал, который не имеет биекции с этим множеством, то есть существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. === Конечные множества === Множество <math>A</math> называется конечным, если оно равномощно некоторому ординалу <math>n</math>, где <math>n</math> — конечное натуральное число (или <math>0</math>). Количество элементов множества <math>A</math> — это число <math>n</math>, если можно установить биекцию между <math>A</math> и <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Почему кардинал совпадает с количеством элементов? Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Равномощность ординалу: Существует биекция <math>f: A \to n</math>, где <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Например, если <math>A = \left\{a, b, c\right\}</math>, то можно задать <math>f(a) = 0</math>, <math>f(b) = 1</math>, <math>f(c) = 2</math>, и <math>A \sim 3</math>. Мощность как наименьший ординал: Кардинальное число <math>|A|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Поскольку <math>A</math> равномощно <math>n</math>, нужно проверить, является ли <math>n</math> наименьшим: * Для любого ординала <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) число элементов равно <math>m</math>, что меньше <math>n</math>. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (с <math>n</math> элементами) и <math>m</math> по принципу Дирихле, так как <math>m < n</math>. Значит, <math>|m| < |n|</math>. * Следовательно, <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>, и <math>|A| = n</math>. Совпадение с количеством: Поскольку <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, а <math>|A| = n</math>, кардинальное число совпадает с количеством элементов. <u>Пример: </u> Пусть <math>A = \left\{x, y\right\}</math>. Оно равномощно <math>2 = \left\{0, 1\right\}</math>. Ординалы <math>0 = \emptyset</math> и <math>1 = \left\{0\right\}</math> имеют меньше элементов (<math>0</math> и <math>1</math> соответственно), и не равномощны <math>A</math>. Значит, <math>|A| = 2</math>, что равно числу элементов в <math>A</math>. Почему ординал совпадает с количеством элементов? Для конечных множеств ординальное число связано с их упорядочением: Упорядочение множества <u>Утверждение:</u> Если <math>A</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами, его можно хорошо упорядочить. <u>Определение:</u> Множество <math>A</math> хорошо упорядочено отношением <math>\leq</math>, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in A</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> имеет наименьший элемент (существует <math>s_0 \in S</math>, такое что <math>s_0 \leq s</math> для всех <math>s \in S</math>). <u>Доказательство для конечных множеств:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами. Зададим порядок: <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Это линейный порядок, так как он тотальный (любые два элемента сравнимы). Проверим хорошее упорядочение: любое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> конечно и линейно упорядочено, значит, имеет наименьший элемент (первый элемент в заданном порядке). Например, для <math>S = {a_2, a_4}</math> наименьший элемент — <math>a_2</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> задаём порядок <math>a < b < c</math>. Любое подмножество, например <math>{b, c}</math>, имеет наименьший элемент <math>b</math>. <u>Изоморфизм с ординалом</u> <u>Утверждение:</u> Такое упорядоченное множество <math>A</math> изоморфно ординалу <math>n</math>. <u>Определение:</u> Два упорядоченных множества <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> изоморфны, если существует биекция <math>f: A \to B</math>, сохраняющая порядок: <math>a \leq_A b</math> тогда и только тогда, когда <math>f(a) \leq_B f(b)</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> с порядком <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Ординал <math>n = {0, 1, \ldots, n-1}</math> упорядочен отношением <math>\in</math>, которое совпадает с <math><</math>: <math>0 < 1 < \cdots < n-1</math>. Зададим отображение <math>f: A \to n</math>: * <math>f(a_1) = 0</math>, * <math>f(a_2) = 1</math>, * ... * <math>f(a_n) = n-1</math>. Проверим свойства: * <math>f</math> — биекция: каждому <math>a_i</math> соответствует уникальный элемент <math>i-1</math>, и все элементы <math>{0, 1, \ldots, n-1}</math> покрыты. * <math>f</math> сохраняет порядок: если <math>a_i < a_j</math> (т.е. <math>i < j</math>), то <math>f(a_i) = i-1 < j-1 = f(a_j)</math>. Таким образом, <math>(A, <)</math> изоморфно <math>(n, <)</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> с порядком <math>a < b < c</math> задаём <math>f: a \mapsto 0</math>, <math>b \mapsto 1</math>, <math>c \mapsto 2</math>. Ординал <math>3 = {0, 1, 2}</math> имеет <math>3</math> элементов, и порядок сохраняется: <math>a < b</math> влечёт <math>0 < 1</math>. Однозначность для конечных множеств <u>Утверждение:</u> Любой порядок, приводящий к хорошему упорядочению конечного множества <math>A</math>, даёт изоморфизм с ординалом <math>n</math>, где <math>n</math> — число элементов. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, и задано некоторое хорошее упорядочение <math>\leq</math>. Обозначим элементы <math>A</math> как <math>b_1 < b_2 < \cdots < b_n</math>. Так как <math>A</math> конечно и хорошо упорядочено, оно содержит ровно <math>n</math> элементов в строгой последовательности (без "разрывов" или бесконечных цепочек). Построим биекцию <math>g: A \to n</math>: * <math>g(b_1) = 0</math>, * <math>g(b_2) = 1</math>, * ... * <math>g(b_n) = n-1</math>. Эта биекция сохраняет порядок, так как <math>b_i < b_j</math> влечёт <math>i < j</math>, а значит <math>g(b_i) = i-1 < j-1 = g(b_j)</math>. Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует только один ординал с заданным числом элементов: <math>n</math>. Например, нет другого ординала с <math>3</math> элементами, кроме <math>3 = {0, 1, 2}</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> другой порядок, например <math>c < a < b</math>, даёт изоморфизм с <math>3</math>: <math>c \mapsto 0</math>, <math>a \mapsto 1</math>, <math>b \mapsto 2</math>. Структура остаётся той же. <u>Почему кардинал совпадает с количеством элементов?</u> <u>Доказательство:</u> Кардинал <math>|A|</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, существует биекция <math>f: A \to n</math>. Проверим, что <math>n</math> — наименьший: * Для любого <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) ординал <math>m</math> имеет <math>m</math> элементов. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (<math>n</math> элементов) и <math>m</math>, так как <math>m < n</math>. * Значит, <math>|A| = n</math>. Число элементов <math>A</math> равно <math>n</math>, так как биекция с <math>n</math> нумерует все элементы. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал любого хорошего упорядочения <math>A</math> — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба равны количеству элементов <math>n</math>. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал, соответствующий любому хорошему упорядочению <math>A</math>, — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба совпадают с количеством элементов, так как <math>n</math> — это число элементов в <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Таким образом, в конечном случае <math>|A| = n</math> (кардинал) и ординал упорядочения равны <math>n</math>, что соответствует числу элементов. Для конечных множеств: каждый элемент можно пронумеровать, и <math>n</math> одновременно является и ординалом (порядок), и кардиналом (размер). Для бесконечных множеств кардинал и ординал перестают совпадать с "количеством" в обычном смысле: Формулировка утверждения === Для бесконечных множеств === <u>Утверждение:</u> Для бесконечных множеств кардинальное число (кардинал) и ординальное число (ординал) ведут себя по-разному: два различных бесконечных ординала могут иметь одинаковый кардинал, а "количество элементов" в бесконечном множестве не выражается конечным числом, что делает кардинал абстрактным понятием "размера". <u>Пример для иллюстрации:</u> * Первый бесконечный ординал: <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math>. * Его кардинал: <math>|\omega| = \aleph_0</math>. * Ординал <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> имеет тот же кардинал <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>, но как ординалы <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Доказательство различия для бесконечных множеств</u> <u>Часть 1: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны</u> Покажем, что <math>\omega \neq \omega + 1</math> как ординалы. Определение: * <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math> — множество всех конечных ординалов с порядком <math>0 < 1 < 2 < \cdots</math>. * <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> — добавлен элемент <math>\omega</math>, больший всех предыдущих: <math>0 < 1 < 2 < \cdots < \omega</math>. Свойства: * В <math>\omega</math> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, но нет наибольшего элемента (после любого <math>n</math> есть <math>n+1</math>). * В <math>\omega + 1</math> есть наибольший элемент — <math>\omega</math>, так как для всех <math>x \in \omega + 1</math> выполняется <math>x \leq \omega</math>. <u>Изоморфизм:</u> Предположим, существует биекция <math>f: \omega \to \omega + 1</math>, сохраняющая порядок. Пусть <math>f(n) = \omega</math> для некоторого <math>n \in \omega</math>. Тогда для <math>m > n</math> в <math>\omega</math> должно быть <math>f(m) > f(n) = \omega</math>, но в <math>\omega + 1</math> нет элемента больше <math>\omega</math>. Противоречие. Значит, <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> не изоморфны как упорядоченные множества, и <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Часть 2: Кардиналы <math>|\omega|</math> и <math>|\omega + 1|</math> равны</u> Покажем, что <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>. Определение <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_0</math> — наименьший бесконечный кардинал, равный мощности множества натуральных чисел <math>\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}</math>. Так как <math>\omega</math> равномощно <math>\mathbb{N}</math> (биекция <math>f(n) = n</math>), то <math>|\omega| = \aleph_0</math>. Биекция между <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math>: Определим <math>f: \omega \to \omega + 1</math>: * <math>f(0) = \omega</math>, * <math>f(1) = 0</math>, * <math>f(2) = 1</math>, * <math>f(3) = 2</math>, * ... * <math>f(n) = n-1</math> для <math>n \geq 1</math>. Проверим: * Инъективность: <math>f(n) = f(m)</math> влечёт либо <math>n = m = 0</math> (оба отображаются в <math>\omega</math>), либо <math>n-1 = m-1</math> для <math>n, m \geq 1</math>, то есть <math>n = m</math>. * Сюръективность: <math>\omega</math> — образ <math>0</math>, <math>0</math> — образ <math>1</math>, <math>1</math> — образ <math>2</math>, и т.д.; каждый элемент <math>\omega + 1</math> покрыт. Таким образом, <math>f</math> — биекция, и <math>|\omega| = |\omega + 1|</math>. Вывод: <math>|\omega| = \aleph_0</math>, и <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>. Несмотря на различие как ординалов, их кардиналы совпадают. <u>Часть 3: "Количество элементов" в бесконечном множестве</u> Для конечных множеств количество элементов — это число <math>n</math>, равное кардиналу и ординалу. Для бесконечных множеств: Нельзя пронумеровать элементы конечным числом, так как добавление элементов (как в <math>\omega + 1</math>) не меняет кардинал. Кардинал <math>\aleph_0</math> — это абстрактный "размер", не связанный с конечным подсчётом. <u>Например:</u> * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{N} \cup {a}</math> имеют одинаковый кардинал <math>\aleph_0</math>, * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Z}</math> также имеют <math>\aleph_0</math>, несмотря на различия в структуре. <u>Интуиция</u> Ординалы: описывают порядок. <math>\omega</math> — бесконечная последовательность без конца, <math>\omega + 1</math> — та же последовательность с добавленным последним элементом. Их структура различна. Кардиналы: измеряют "размер" через равномощность. Добавление одного элемента к бесконечному множеству не меняет его кардинал, так как можно перестроить биекцию. Бесконечность: в отличие от конечных множеств, где <math>n</math> однозначно определяет и порядок, и размер, для бесконечных множеств кардинал — абстракция, не зависящая от конкретного порядка. <u>Вывод</u> Для бесконечных множеств: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны, так как их упорядочения не изоморфны. Их кардиналы равны: <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>, что следует из существования биекции. "Количество элементов" не выражается конечным числом, и кардинал становится абстрактным понятием "размера", в отличие от конечных множеств, где <math>|A| = n</math> совпадает с числом элементов. Для бесконечных множеств кардинал не обязательно совпадает с их ординальной структурой, так как равномощность игнорирует порядок. 1.2 Свойства кардинальных чисел Минимальность кардинального числа: для каждого кардинала выполнено, что все ординалы, меньшие его, также являются кардинальными. Кардинальные числа как ординалы: не каждый ординал является кардинальным числом. Пример: кардинал <math>\aleph_0</math>, который соответствует мощности счётного множества, например, множества натуральных чисел. 1.3 Кардинальные числа и операции с ординалами Операции сложения, умножения, возведения в степень и сравнения кардиналов. 2. Определение кардинальных чисел через классы эквивалентности 2.1 Определение через эквивалентность мощностей множеств Кардинальные числа можно определить через классы эквивалентности по отношению к мощности множеств. Множества эквивалентны по мощности, если существует биекция между ними. 2.2 Кардинальные числа и биекции Кардинальное число множества — это класс эквивалентности всех множеств, эквивалентных по мощности данному множеству. N ~ N\{0} N ~ N\{0,...,n} 2N ~ N (часть эквивалента целому) 2N ~ 2N+1 N ~ Z N ~ Q [a, b] ~ [c, d] [a, b] ~ (a, b] [a, b] ~ (a, b) [-1, 1] ~ R (tg x) Пусть <math>C</math> — окружность на плоскости, <math>P \in C</math> — произвольная точка, а <math>C' = C \setminus {P}</math> — окружность без точки <math>P</math>. Тогда <math>C</math> и <math>C'</math> равномощны. 3. Выход за пределы ZFC 3.1 Кардинальные числа и классы Множество всех кардинальных чисел в теории ZFC не является множеством, а классом. Теорема: Множество всех кардинальных чисел не является множеством в теории ZFC. 3.2 Кардинальные числа и гипотезы Теория кардинальных чисел включает гипотезы, не поддающиеся доказательству или опровержению в рамках ZFC. Пример: Гипотеза континуума (CH). Теорема: Гипотеза континуума (CH) независима от ZFC. 4. Дальнейший план изучения кардинальных чисел 4.1 Исследование теории кардинальных чисел Изучение определения кардинальных чисел через ординалы и эквивалентности мощностей множеств. Основные кардинальные числа: <math>\aleph_0</math>, <math>\mathfrak{c}</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> и т.д. 4.2 Арифметика кардинальных чисел 4.2.1 Основные операции Сложение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> верно, что <math>\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Умножение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> выполняется <math>\kappa_1 \cdot \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Возведение в степень: для кардиналов <math>\kappa</math> и <math>\lambda</math> <math>\kappa^\lambda = 2^{\kappa \cdot \lambda}</math>. 4.2.2 Особенности арифметики кардиналов Сложение и умножение бесконечных кардиналов не зависит от порядка операндов. Операции с конечными кардинальными числами зависят от их значений. 4.3 Гипотезы и теоремы Гипотеза континуума (CH) Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинальных чисел строго между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak{c}</math> (мощностью континуума). Обобщённая гипотеза континуума (GCH) Для каждого кардинала <math>\kappa</math> существует кардинал <math>\lambda</math>, который строго больше <math>\kappa</math> и меньше <math>\kappa^+</math>. Теорема Кантора Кантор доказал, что мощность множества вещественных чисел <math>\mathfrak{c}</math> строго больше, чем мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math>. Теорема Хартогса Существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. Это важная теорема в теории кардинальных чисел. Теорема о мощности декартова произведения Мощность декартова произведения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности объединения Мощность объединения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности степеней Мощность множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>B</math> равна мощности множества <math>B</math>, возведённой в степень мощности множества <math>A</math>. Теорема: ∣P(A)∣=∣2^A∣ Мощность множества всех подмножеств множества <math>A</math> (то есть мощность его степени) равна мощности множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>{0,1}</math>, что эквивалентно <math>2^A</math>. 5. Иерархия Фон Ноймана 5.1 Определение иерархии Фон Ноймана Иерархия Фон Ноймана представляет собой способ построения множеств с помощью операций, основанных на кардинальных числах. Иерархия строится с использованием операций объединения и подмножеств, позволяя описать множества, включая все возможные подмножества. 5.2 Свойства иерархии Фон Ноймана Каждое множество в иерархии Фон Ноймана имеет мощность, соответствующую кардинальному числу. Эта иерархия включает как конечные, так и бесконечные множества, которые играют важную роль в математической логике. 6. Связь между индексами кардинальных чисел и ординалами 6.1 Индексы кардинальных чисел Кардинальные числа можно индексировать с помощью ординалов. Например, <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> — это кардинальные числа, индексируемые ординалами <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math> соответственно. 6.2 Связь кардиналов и ординалов Каждый ординал соответствует определённому кардиналу, и кардиналы могут быть упорядочены с использованием ординалов. Это помогает в построении моделей теории множеств, основанных на кардинальных числах. 6.3 Теорема о порядке кардиналов Кардинальные числа упорядочиваются с помощью ординалов. Например, если <math>\alpha < \beta</math>, то <math>\kappa_\alpha \leq \kappa_\beta</math>. == 12. Приложения кардинальных чисел == * Применения в математике и логике: теория графов, теория множеств, теория вероятностей. * Исследование кардинальных чисел и их связей с другими областями математики, такими как топология и алгебра. 5v7mychm7bxdyz4v1wjkmml9rjbh5dn 261983 261980 2025-07-11T09:48:04Z Alexsmail 1129 /* примеры мат. индукции */ в 261983 wikitext text/x-wiki == Введение == Концепция бесконечности веками волновала умы людей, проходя через множество трансформаций. Этот длинный путь начинается с древнегреческих размышлений и достигает своего апогея в математических открытиях конца XIX века. Древние греки, и в особенности Аристотель, подходили к бесконечности с осторожностью. Для них она существовала как нечто потенциальное — процесс, который можно продолжать без конца, но который никогда не завершается в виде целого. Последовательность чисел могла расти бесконечно, но в любой момент оставалась конечной. Завершенная, или актуальная, бесконечность отвергалась Аристотелем как логически невозможная, ведь она вела к парадоксам, подобным тем, что сформулировал Зенон. Эти идеи о потенциальной бесконечности как неуловимом горизонте глубоко укоренились в западной мысли и господствовали на протяжении многих веков, задавая тон философским и научным дискуссиям. Платонизм, философское учение, основанное на идеях Платона, заложило основы для понимания трансцендентного и вечного. В центре платонизма находится концепция мира идей, или форм, — совершенных, неизменных и вечных сущностей, которые существуют за пределами материального мира. Материальный мир, по Платону, является лишь отражением или тенью этого высшего мира идей. Платон также ввел понятие Единого как высшего принципа, который объединяет все идеи и является источником бытия. Хотя у Платона Единое не разработано так подробно, как в неоплатонизме, его идеи заложили основу для дальнейшего развития концепции абсолютного и бесконечного источника реальности. Неоплатонизм, возникший в поздней античности как развитие идей Платона, углубил и систематизировал эти концепции. Центральной фигурой неоплатонизма стал Плотин, который развил учение о Едином — абсолютном, бесконечном и непостижимом источнике всего сущего. Единое находится за пределами бытия, разума и формы, и все уровни реальности происходят из него через процесс эманации. Эманация, от латинского "истечение", описывает естественное и непрерывное излучение бытия из Единого, подобно тому, как свет исходит от солнца. Этот процесс непроизволен: Единое не "решает" создавать, а излучает бытие из своей полноты без намерения или усилия. Реальность в неоплатонизме структурирована как иерархия, где каждый уровень (Ум, Душа, материальный мир) менее совершенен, чем предыдущий, но все они связаны с Единым. Символика света, используемая Плотином, подчеркивает, что Единое распространяет бытие, не теряя своей природы, подобно тому, как солнце светит, не истощая себя. В неоплатонизме Единое — это потенциальная бесконечность, источник, который остается неизменным и неисчерпаемым, несмотря на процесс эманации. Параллельно этим философским идеям, в еврейской мистической традиции Каббалы развивалась собственная концепция бесконечности — "Эйн Соф". Этот термин, означающий "без конца" или "бесконечное", относится к непостижимому, трансцендентному аспекту Бога, существующему вне всякого проявления. Идея "Эйн Соф" оформилась в Средние века, в XII–XIII веках, в Испании и Провансе, задолго до математических открытий Кантора. В отличие от аристотелевской потенциальной бесконечности, Каббала принимала актуальную бесконечность как фундаментальную характеристику божественного, считая "Эйн Соф" источником всех эманаций Бога, известных как сфирот. Эти сфирот образуют иерархическую структуру, через которую бесконечное проявляется в конечном мире, предлагая мистическую параллель канторовской иерархии бесконечностей. Каббала, заимствуя идею эманации из неоплатонизма, адаптировала ее в рамках монотеистической теологии. В отличие от неоплатонизма, где эманация — это непроизвольный и пассивный процесс, в Каббале она рассматривается как осознанный акт Бога. "Эйн Соф" через эманацию раскрывает свою силу, создавая иерархию сфирот. Сфирот, в отличие от статичных уровней бытия в неоплатонизме, находятся в постоянном динамическом взаимодействии, управляя материальным миром и создавая непрерывную цепь мироздания. Много позже, в конце XIX века, устоявшийся взгляд на бесконечность был поставлен под сомнение Георгом Кантором, чья работа перевернула представление о бесконечности. Кантор ввел понятие актуальной бесконечности, утверждая, что бесконечные множества существуют как завершенные сущности и даже различаются по размеру. Он разработал теорию трансфинитных чисел, разделив их на кардинальные, описывающие величину множеств, и ординальные, определяющие порядок в последовательностях. Множество натуральных чисел, например, имеет кардинальность алеф-ноль, тогда как множество действительных чисел бесконечно больше, что он доказал с помощью своего знаменитого диагонального аргумента. Эта иерархия бесконечностей стала основой современной теории множеств, но встретила яростное сопротивление. Одним из главных противников Кантора был Леопольд Кронекер, выдающийся математик и лидер финитистов. Кронекер настаивал на том, что математика должна опираться исключительно на конечные, конструируемые объекты. Его знаменитое высказывание "Бог создал целые числа; всё остальное — дело человека" отражало его убеждение в том, что бесконечные множества — это не более чем фикция. Для него работа Кантора казалась скорее теологической фантазией, чем строгой наукой, и он не стеснялся называть Кантора "научным шарлатаном". Этот конфликт между финитизмом и новаторскими идеями Кантора выявил глубокий раскол в математическом сообществе, где старые принципы столкнулись с радикально новым подходом. Кантор, однако, не ограничивал свои размышления чистой математикой. Будучи глубоко религиозным человеком, он видел в бесконечности нечто большее — отражение божественного. Этот теологический взгляд на математику добавлял его работе философскую глубину, но одновременно усиливал критику со стороны тех, кто, подобно Кронекеру, требовал строгой рациональности. Несмотря на сопротивление, идеи Кантора нашли поддержку в следующем поколении. Давид Гильберт, один из самых влиятельных математиков XX века, в 1926 году выступил в защиту его теории. Противостоя интуиционистам, таким как Брауэр, которые продолжали оспаривать актуальную бесконечность, Гильберт произнес знаменитые слова: "Никто не выгонит нас из рая, который создал для нас Кантор". Эта фраза стала не только признанием значения теории множеств, но и символом того, что мир бесконечностей, открытый Кантором, стал неотъемлемой частью математики. Более того, Кантор поставил цель положить теорию множеств в фундамент математики, что позже было реализовано благодаря работам Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, разработавших аксиоматическую систему ZFC, ставшую основой для построения современной математики. Хотя прямых свидетельств того, что Кантор изучал Каббалу, нет, его использование еврейской буквы алеф для обозначения бесконечных кардинальных чисел и размышления об Абсолютно Бесконечном, которое он отождествлял с Богом, намекают на возможное косвенное влияние. == Эпиграф к тому I == "Натуральные числа создал Господь Бог, всё остальное — дело рук человеческих." (с) Леопольд Кронекер, выдающийся немецкий математик XIX века. Введение [[Участник:Alexsmail/Теория множеств. Том I. Построение действительных чисел/черновик]] == Введение к тому I == Вы, наверное, нечасто задумываетесь: существуют ли числа на самом деле? Они повсюду — в часах, расстояниях, даже наших мыслях, но что они такое? Люди спорили веками, предлагая три взгляда: числа — вымысел, свойства вещей или вечные сущности, как считали Платон и Пифагор. Давайте разберёмся, взглянув на их природу и историю, чтобы понять, как строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа — главные герои этой книги. Представьте, что числа — это выдумка, плод воображения. В природе нет абстрактных «два» или «четыре» — они появляются, когда мы считаем: два яблока, четыре камня. Без нашего сознания их бы не было, как героев книги вне страниц. История подтверждает: числа рождались по необходимости. Сначала были натуральные числа — зарубки на кости из чешской пещеры, которой 20 тысяч лет, шли группами по пять, отражая пальцы руки, чтобы считать добычу или шкуры. Позже в Индии открыли ноль, осознав пустоту как число. Затем китайцы ввели отрицательные числа для учёта долгов, а египтяне — дроби для делёжки урожая, формируя рациональные числа. Племя пираха из Амазонии знало лишь «один», «два» и «много», а больше двух для них не существовало — они путались, если просили собрать пять камушков. Это говорит, что числа не врождённые, а придуманные. Даже миллионы и бесконечность — наш способ осмыслить непостижимое, они живут только в голове. Математика здесь — полезная ложь, как карта, которая помогает ориентироваться, но не является реальностью. Или числа реальны, но как свойства вещей, которые мы видим и трогаем: три дерева, семь дней, одиннадцать игроков. Натуральные числа считали шкуры, ноль обозначал отсутствие, отрицательные — долги, а рациональные делили урожай. У пираха «один» и «два» отражали рыбу или птиц, дальше — «много». Числа существуют, пока есть что считать, и математика описывает порядок: пять батончиков на троих или минус семь градусов. Действительные числа, вроде √2 или π, измеряют длины и окружности. В прикладной математике не нужны идеально точные значения — это сила рациональных приближений: 3.14 вместо бесконечного π хватает для двигателей, а 39 знаков π достаточно, чтобы измерить Вселенную с точностью до атома. Некоторые математики, вроде конструктивистов, смотрят на действительные числа... Так вот, есть те, кто сомневается в их "существовании" в строгом математическом смысле — например, в числах вроде π или √2 с бесконечными десятичными разложениями, — размышляют об их природе, и поэтому в этой книге мы подробно разбираем, как они строятся. В чистой математике, где важна строгая логика, эти бесконечные хвосты цифр кажутся каким-то искусственным изобретением. Для критиков они недостаточно «реальны», если мы не можем полностью их вычислить или ухватить, хотя в классической математике их строгость доказана и принята. В практике же они полезны как удобные приближения. Огромные числа, как миллиард световых лет, без примера — пустой звук, зеркало измеряемого. А что если числа — нечто большее, чем наша выдумка или свойства вещей, а вечные сущности, существующие вне нас, как считал Платон? Платонизм утверждает, что числа — это идеальные формы, живущие вне времени и пространства, в некоем высшем мире идей. Представьте знаменитую пещеру Платона: вы — пленник, прикованный спиной к выходу, и перед глазами лишь тени, отбрасываемые предметами внешнего мира, освещённого солнцем истины. Эти тени — всё, что вы знаете, и вы принимаете их за реальность. Платон применил эту метафору к числам: в мире идей существуют совершенные, вечные сущности — идеальная четвёрка, безупречная семёрка, даже легендарное 69. Они неизменны, неподвластны времени и независимы от нас. А в нашем мире мы видим лишь их несовершенные отражения: четыре косы в деревне, семь дней недели, 69 в пошлой шутке. Эти отражения — бледные тени истинных чисел, которые пребывают в царстве чистого разума, доступном лишь через мышление. Наш мир — лишь эхо этого высшего порядка, где числа существуют сами по себе, открытые, а не изобретённые нами. Натуральные числа, ноль, отрицательные, рациональные — всё это не выдумка, а обнаружение отголосков вечных форм. Племя пираха, различая лишь «один» и «два», едва касалось этой истины, не осознавая её глубины. Действительные числа, вроде бесконечного π, реальны и правят движением планет. Они не подвластны нам — они часть самой ткани мироздания. Но платонизм — не просто древняя философия, он оживает в современных научных идеях. Есть гипотеза математической Вселенной: весь мир — это числа, и ничего больше. Частицы — не шарики, а колебания поля, каждое с тремя числами: масса, заряд, спин. Деревья, планеты, мы сами — лишь отражения этих чисел из квантовой реальности. Там, в глубине, числа ведут суровую математическую игру, а мы видим её плоды: аромат цветов, холод молока из холодильника, лучи солнца, сушащие трусы на балконе. И вот вам загадка на засыпку: какова вероятность, что после Большого взрыва хаос уступил порядку, а Материя сложилась в гармоничную Вселенную? Роджер Пенроуз подсчитал: 1 к 10 в степени 10 в степени 23. Это число настолько чудовищно, что если бы вы рисовали по нулю на каждой частице Вселенной, вам бы не хватило частиц, чтобы вместить все нули! Вот насколько призрачным был шанс, что всё рухнет в первый же миг. Для платонизма это — триумф: числа не просто существуют, они — нерушимая основа, что держит мир, даже если нас в нём не станет. Так что же числа: вымысел, свойство вещей или божественные сущности? От зарубок до рациональных чисел, от действительных с их приближениями до вечных форм, они влияют на нас. Эта книга раскроет, как шаг за шагом строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа, чтобы вы сами выбрали, что они для вас. == 1. Наивная теория множеств == === Мотивация === * Введение в понятие множества. * Практическое применение в математике. === Примеры === * Примеры множеств: <math>P(A)</math> для конечных <math>A</math>, пустое множество (<math>\emptyset</math>). === Алгебраические операции === * Объединение множеств. * Пересечение множеств. * Разность множеств. * Дизъюнктное объединение. === Диаграмма Венна === * Иллюстрация операций над множествами. === Свойства === * Законы де Моргана. * Основные свойства операций над множествами. === Парадоксы === * Рассмотрение парадоксов, возникающих в наивной теории множеств. Множество всех групп https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a2c16983-dbcd-4f05-bfe0-605bd08d39a9 == 2. Аксиоматическая теория множеств == * Основы аксиоматической теории множеств. * Сравнение с наивной теорией множеств. * sup, inf == 3. Отношения == * Возможнсть поточечного определение и определения через формулы <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times B</math> определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math> и <math>B</math>: <math> A \times B = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\} </math>. В ZFC упорядоченная пара <math>(a, b)</math> формально определяется через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} </math>. <u>Построение декартова произведения в ZFC:</u> Чтобы доказать, что декартово произведение <math>A \times B</math> является множеством в ZFC, мы можем использовать аксиомы теории множеств, такие как аксиома степени и аксиома выделения. <u>Шаг 1: Построение множества всех подмножеств <math>A \cup B</math></u> Сначала рассмотрим множество <math>A \cup B</math>. По аксиоме степени, существует множество всех подмножеств <math>A \cup B</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>. <u>Шаг 2: Построение множества всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math></u> Применяя аксиому степени к <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, получаем множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. <u>Шаг 3: Выделение упорядоченных пар</u> Любая упорядоченная пара <math>(a, b)</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>, может быть представлена как <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Заметим, что: * <math>\left\{a\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. * <math>\left\{a, b\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a, b\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)</math>, и <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. Таким образом, все упорядоченные пары <math>(a, b)</math> являются элементами <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>. <u>Шаг 4: Применение аксиомы выделения</u> Определим свойство <math>P(z)</math>, которое характеризует упорядоченные пары: <math> P(z) \iff \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> По аксиоме выделения, существует подмножество <math>A \times B</math> множества <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>, состоящее из всех элементов <math>z</math>, удовлетворяющих <math>P(z)</math>: <math> A \times B = \left\{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))) \mid \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \right\}. </math> <u>Заключение:</u> Таким образом, декартово произведение <math>A \times B</math> существует как множество в ZFC, так как оно может быть построено с использованием аксиом степени и выделения. Это завершает доказательство. <u>Свойства упорядоченных пар:</u> <b>Упорядоченность: Упорядоченная пара <math>(a, b)</math> отличается от <math>(b, a)</math>, если <math>a \neq b</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Рассмотрим две упорядоченные пары: <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>, где <math>a \neq b</math>. Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}, </math> <math> (b, a) = \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> Теперь сравним множества <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>: * Если <math>a \neq b</math>, то <math>\left\{a\right\} \neq \left\{b\right\}</math>. * Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \neq \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Таким образом, <math>(a, b) \neq (b, a)</math> при <math>a \neq b</math>. Это доказывает свойство упорядоченности. <b>Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Пусть даны две упорядоченные пары <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math>, которые равны: <math> (a, b) = (c, d). </math> Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского, это означает: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Рассмотрим два возможных случая: <u>Случай 1: <math>a = b</math></u> Если <math>a = b</math>, то упорядоченная пара <math>(a, b)</math> принимает вид: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, a\right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\} \right\}. </math> Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это возможно только в том случае, если: * <math>\left\{c\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>c = a</math>. * <math>\left\{c, d\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>d = a</math>. Таким образом, в этом случае <math>a=b=d=c</math>, т.е. <math>a=c</math> и <math>b=d</math> <u>Случай 2: <math>a \neq b</math></u> Если <math>a \neq b</math>, то множество <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math> содержит два различных элемента: Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это равенство выполняется только в том случае, если: * <math>\left\{a\right\} = \left\{c\right\}</math>, откуда следует, что <math>a = c</math>. * <math>\left\{a, b\right\} = \left\{c, d\right\}</math>, откуда следует, что <math>b = d</math> (так как <math>a = c</math>). Таким образом, в этом случае также <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. <u>Заключение:</u> * Упорядоченность: Если <math>a \neq b</math>, то <math>(a, b) \neq (b, a)</math>. Это доказывает, что порядок элементов в упорядоченной паре важен. * Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. Это доказывает, что упорядоченная пара однозначно определяет свои элементы. <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times A</math> (или <math>A^2</math>) определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math>. <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. <b>Утверждение: Если A - множество, то <math>A^2</math> - также множество в ZFC.</b> <u>Доказательство:</u> Из доказанного ранее следует, что если <math>A</math> и <math>B</math> — множества, то <math>A \times B</math> — множество в ZFC. Подставим <math>B = A</math> в доказанное утверждение, получим: <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. Так как <math>A</math> — множество, то <math>A \times A</math> также является множеством по доказанному утверждению. Утвержжение доказано. === Основные свойства отношений === * Рефлексивность. * Симметричность. * Антисимметричность. * Транзитивность. === Отношение эквивалентности === <b>Определение:</b> Пусть <math>S</math> — некоторое множество, а <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>S</math>. Это означает, что <math>\sim</math> является подмножеством декартова произведения <math>S \times S</math> и удовлетворяет следующим свойствам: * Рефлексивность: <math>\forall x \in S , (x, x) \in \sim</math>. * Симметричность: <math>\forall x, y \in S , (x, y) \in \sim \Rightarrow (y, x) \in \sim</math>. * Транзитивность: <math>\forall x, y, z \in S , [(x, y) \in \sim \land (y, z) \in \sim] \Rightarrow (x, z) \in \sim</math>. Для каждого элемента <math>x \in S</math> определим множество <math>[x]</math> как: <math> [x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\} </math> <u>Замечание:</u> Неформально, [x] называется классом эквивалентности. <b> Утверждение 1: <math>[x] \subseteq S</math>. </b> <u>Доказательство:</u> По определению, <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math>. Поскольку <math>\sim \subseteq S \times S</math>, для любой пары <math>(x, y) \in \sim</math> выполняется <math>y \in S</math>. Следовательно, все элементы <math>[x]</math> принадлежат <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. <b>Аксиома степени и построение <math>\mathcal{P}(S)</math></b> В теории множеств ZFC аксиома степени утверждает, что для любого множества <math>A</math> существует множество <math>\mathcal{P}(A)</math>, называемое степенным множеством, которое состоит из всех подмножеств <math>A</math>: <math> \mathcal{P}(A) = \left\{ B \mid B \subseteq A \right\} </math> <b>Определение:</b> Фактор-множество <math>S / \sim</math> — это множество всех множеств вида <math>[x]</math>, где <math>x \in S</math>: <math> S / \sim = \left\{ [x] \mid x \in S \right\} </math> <b> Утверждение 2: <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Каждое множество <math>[x] \in S / \sim</math> является подмножеством <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. По определению степенного множества, <math>[x] \in \mathcal{P}(S)</math>. Следовательно, <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. Выделение <math>S / \sim</math> из <math>\mathcal{P}(S)</math> Множество <math>S / \sim</math> можно выделить из <math>\mathcal{P}(S)</math> с помощью аксиомы выделения. Для этого определим свойство <math>P(B)</math> следующим образом: <math> P(B) \iff \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) </math> Тогда: <math> S / \sim = \left\{ B \in \mathcal{P}(S) \mid \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) \right\} </math> <u>Корректность построения:</u> * Существование <math>S \times S</math>: По аксиоме парного произведения для любого множества <math>S</math> существует декартово произведение <math>S \times S</math>. * Существование <math>\sim</math>: Если <math>\sim</math> задано как подмножество <math>S \times S</math>, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, то <math>\sim</math> существует по аксиоме выделения. * Существование <math>S / \sim</math>: Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, а степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени. Тогда <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. <b>Вопрос: Можно ли построить <math>S / \sim</math> для произвольного множества <math>S</math>? </b> <b>Ответ:</b> Да, для любого множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> фактор-множество <math>S / \sim</math> существует в ZFC. Это следует из существования декартова произведения <math>S \times S</math>, аксиомы степени для построения <math>\mathcal{P}(S)</math> и аксиомы выделения для определения <math>S / \sim</math>. <u>Итоговый вывод:</u> * Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, так как <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math> и <math>\sim \subseteq S \times S</math>. * Степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени, и каждое множество <math>[x]</math> принадлежит <math>\mathcal{P}(S)</math>. * Фактор-множество <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. Таким образом, для произвольного множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> построение фактор-множества <math>S / \sim</math> корректно в ZFC. <b>Определение:</b> Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется полным покрытием множества <math>S</math>, если <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. <b>Определение:</b> Множества <math>B_i</math> попарно непересекаются, если для любых <math>i, j</math> из некоторого индекса множества <math>I</math> выполняется: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset.</math>. <b>Определение: </b>Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется разбиением множества <math>S</math>, если выполняются следующие условия: * Попарная непересекаемость. * Полное покрытие. <b>Утверждение 3: Множество <math>S / \sim</math> образует разбиение множества <math>S</math>.</b> <u>Доказательство:</u> * <u>Докажем попарную непересекамеость.</u> Пусть <math>[x]</math> и <math>[y]</math> — два различных элемента фактор-множества <math>S / \sim</math>, то есть <math>[x] \neq [y]</math>. Нужно доказать: <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>, то есть если элементы фактор-множества различны, их пересечение пусто. Предположим от противного, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>. Тогда существует <math>z \in S</math>, такой что <math>z \in [x]</math> и <math>z \in [y]</math>. Из <math>z \in [y]</math> следует, по определению элементов в фактор-множестве, <math>(y, z) \in \sim</math>. Из что <math>z \in [x]</math>, следует, по определению элементов в фактор-множестве, что <math>(x, z) \in \sim</math>. По определению элементов фактор-множества это означает: Далее, используя свойства эквивалентности: * Симметрия: если <math>(y, z) \in \sim</math>, то <math>(z, y) \in \sim</math>. * Транзитивность: из <math>(x, z) \in \sim</math> и <math>(z, y) \in \sim</math> следует, что <math>(x, y) \in \sim</math>. Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то по определению фактор-множества <math>[x] = [y]</math>, так как элементы фактор-множества совпадают, если их представители эквивалентны. Это противоречит условию <math>[x] \neq [y]</math>. Значит, предположение о том, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>, неверно, и следовательно, <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>. Что и требовалось доказать. * <u> Докажем полное покрытие</u> Теперь рассмотрим произвольный элемент <math>z \in S</math>. По свойству рефлексивности отношения <math>\sim</math>, выполняется <math>(z, z) \in \sim</math>, что означает, что <math>z \in [z]</math>. Таким образом, каждый элемент множества <math>S</math> принадлежит хотя бы одному классу эквивалентности, и объединение всех классов эквивалентности равно <math>S</math>, то есть <math>\bigcup_{x \in S} [x] = S</math>. Из этого следует, что элементы фактор-множества <math>[x]</math> образуют разбиение множества <math>S</math>, так как они попарно не пересекаются и их объединение покрывает всё множество <math>S</math>. <b> Обратное утверждение 4: Если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> образует разбиение множества <math>S</math>, то существует отношение <math>\sim</math> на <math>S</math>, такое что: </b> <math>\sim</math> является подмножеством <math>S \times S</math> и обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>, то есть каждое <math>B_i</math> совпадает с <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>{ B_i }_{i \in I}</math> — разбиение множества <math>S</math>, то есть: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset</math>. <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. Определим отношение <math>\sim</math> на <math>S</math> следующим образом: <math> \forall x, y \in S, \quad (x, y) \in \sim \iff \exists i \in I \text{ такое, что } x, y \in B_i. </math> Докажем, что <math>\sim</math> обладает требуемыми свойствами: * <u>Рефлексивность:</u> По свойствую полноты покрытия,для любого <math>x \in S</math> существует <math>B_i</math>, содержащее <math>x</math>. Значит, <math>(x, x) \in \sim</math>. * <u>Симметричность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то существует <math>B_i</math>, такое что <math>x, y \in B_i</math>. Отсюда, существует <math>B_i</math>, такое что <math>y, x \in B_i</math>. Тогда по определению <math>(y, x) \in \sim</math>. * <u>Транзитивность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math> и <math>(y, z) \in \sim</math>, то существуют <math>B_i</math> и <math>B_j</math>, такие что <math>x, y \in B_i</math> и <math>y, z \in B_j</math>. Нужно доказать, что <math>(x, z) \in \sim</math>. Допустим от противного, что <math>i \ne j</math>. Тогда по свойству попарной непересекаемости <math>B_i \cap B_j = \emptyset</math>. Однако, как мы устновили выше <math>y \in B_i \cap B_j</math>, т.е. пересечение непусто. Мы пришли к противоречию. Следотвально, <math>i = j</math>, а значит <math>B_i = B_j</math>. Тогда <math>x, y, z \in B_i</math>, то есть <math>(x, z) \in \sim</math>. Наконец, каждое множество <math>B_i</math> является <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>, так как все элементы в <math>B_i</math> эквивалентны по построенному отношению. Следовательно, <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>. Таким образом, если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> является разбиением множества <math>S</math>, то можно определить отношение <math>\sim</math>, порождающее это разбиение. ==== Примеры 1: ==== * <u>Пример 1 - равенство чисел.</u> Рассмотрим множество всех целых чисел: <math> S = \mathbb{Z} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Зададим на <math>\mathbb{Z}</math> отношение эквивалентности <math>\sim</math>: <math> \forall x, y \in \mathbb{Z}, \quad x \sim y \iff x = y. </math> * Рефлексивность: <math> \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x = x, </math> каждое число равно самому себе. Значит, <math>x \sim x</math>. * Симметрия: Если <math>x \sim y</math>, то <math>x = y</math>. Из определения равенства следует <math>y = x</math> (порядок сравнения на равенство не важен). Следовательно, <math>y \sim x</math>. * Транзитивность: Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, то <math>x = y</math> и <math>y = z</math>. Если <math>x</math> и <math>y</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> и <math>y</math> и <math>z</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> (это один и тот же <math>y</math>), то мы имеем одно и то же число <math>y</math>, т.е. <math>x=y=z</math>, отсюда <math>x=z</math>, значит, <math>x \sim z</math>. Таким образом, <math>\sim</math> является отношением эквивалентности. <u>Построение разбиения множества <math>\mathbb{Z}</math></u> Фактор-множество <math>\mathbb{Z} / \sim</math> состоит из классов эквивалентности: <math> [x] = \left\{ y \in \mathbb{Z} \mid y \sim x \right\} = {x}. </math> Каждое число эквивалентно только самому себе, значит, каждый элемент фактор-множества состоит ровно из одного элемента. Следовательно, фактор-множество имеет вид: <math> \mathbb{Z} / \sim = \left\{ {x} \mid x \in \mathbb{Z} \right\}. </math> Это разбиение множества <math>\mathbb{Z}</math> на одноэлементные подмножества. ==== Пример 2: ==== <u>Пример 2 - чётность чисел.</u> Рассмотрим множество всех натуральный чисел: <math> S = \mathbb{N} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> на множестве целых чисел следующим образом: <math> x \sim y \iff x \equiv y \pmod{2} </math>. Это означает, что два числа эквивалентны, если оба либо чётные, либо нечётные. Формально, числа <math>x</math> и <math>y</math> принадлежат к одному и тому же элементу фактор-множества, если сли остатки от деления на 2 у них одинаковые. <u>Доказательство свойств отношения эквивалентности</u> * Рефлексивность. Для любого числа <math>x \in \mathbb{Z}</math> <math> x \equiv y \pmod{2} </math>, его чётность всегда совпадает с его собственной чётностью. Таким образом, отношение эквивалентности является рефлексивным. * Симметрия. Отношение эквивалентности называется симметричным, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из множества, если <math>x \sim y</math>, то <math>y \sim x</math>. Если <math>x \sim y</math>, то <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то есть числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют одинаковую чётность. Поскольку чётность чисел не зависит от порядка их сравнения (если <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то <math>y \equiv x \pmod{2}</math>), то <math>y \sim x</math> * Транзитивность. Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, это означает, что <math>x \equiv y \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \pmod{2}</math>. Число при делении на 2 может давать два возможных остатка: 0 или 1. Остаток от деления на 2 для <math>y</math> может быть 0 (первый случай) или 1 (второй случай). По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 0 (первый случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 0. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 0. Во-втором случае, остаток от деления на 2 для <math>y</math> будет 1.По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 1 (второй случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 1. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 1. * Случай 1: <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> делятся на 2 без остатка. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно делиться на 2 без остатка. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. * Случай 2: <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> при делении на 2 дают остаток 1. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно давать остаток 1 при делении на 2. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. Других случаев нет, так как остаток от деление на 2 не может дать ни какое другое число; формально это будет доказано позже при помощи алгоритма Евклида (пусть <math>r</math> - остаток от деление на 2, тогда <math>0 \leq r < 2</math>, т.е. <math>r</math> может быть 0 или 1). Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них остатки от деления чисел <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковы. Следовательно, <math>x \sim z</math>, что и требовалось доказать. ==== Пример 3: ==== <u>Пример 3 - параллельные прямые на плоскости.</u> Рассмотрим множество S, состоящее из всех прямых на плоскости. Формально, это можно записать как: <math> S = \left\{ l \subseteq \mathbb{R}^2 \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Здесь условие <math> a^2 + b^2 \neq 0 </math> гарантирует, что хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, что необходимо для того, чтобы уравнение <math> ax + by + c = 0 </math> задавало прямую на плоскости. <u>Замечание:</u> <math>\mathbb{R}</math> будет определено далее. Ранее мы доказали, для любого множества <math>A</math>, <math>A^2</math> является множеством в ZFC, таким образом <math>\mathbb{R}^2</math> - множество. <u>Доказательство существования множества S в ZFC</u> Аксиома степени гарантирует существование множества всех подмножеств для любого множества. Таким образом, для <math>\mathbb{R}^2</math> существует множество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math> — множество всех подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. Множество <math>S</math> определяется как подмножество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, выделяемое с помощью аксиомы выделения (аксиомы подмножеств). А именно: <math> S = \left\{ l \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Таким образом, <math>S</math> является подмножеством <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, и его существование гарантировано аксиомой выделения. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение R на множестве S следующим образом: <math> R = \left\{ (l_1, l_2) \in S \times S \mid l_1 \parallel l_2 \right\}, </math> где <math> l_1 \parallel l_2 </math> означает, что прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> параллельны. <u>Доказательство свойств отношения R</u> * Рефлексивность: Для любой прямой <math> l \in S </math> выполняется <math> l \parallel l </math>, так как прямая параллельна самой себе. Следовательно, <math> (l, l) \in R </math>. * Симметричность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math>, что по определению параллельности означает <math> l_2 \parallel l_1 </math>. Следовательно, <math> (l_2, l_1) \in R </math>. * Транзитивность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math> и <math> l_2 \parallel l_3 </math>. Требуется доказать, что <math> R </math> транзитивно: если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> (l_1, l_3) \in R </math>. <u>Шаг 1: Условие и тривиальный случай</u> Дано: * <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то есть <math> l_1 \parallel l_2 </math> (прямые <math> l_1 </math> и <math> l_2 </math> не пересекаются), * <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то есть <math> l_2 \parallel l_3 </math> (прямые <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются). Нужно показать, что <math> l_1 \parallel l_3 </math>, то есть <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Сначала рассмотрим тривиальный случай: если <math> l_1 = l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math> очевидно, так как любая прямая параллельна сама себе. В этом случае <math> (l_1, l_3) \in R </math>, и свойство транзитивности выполняется. Далее будем предполагать, что <math> l_1 \neq l_3 </math>. <u>Шаг 2: Доказательство от противного для случая <math> l_1 \neq l_3 </math></u> Предположим от противного, что <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> различны и не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке <math> P </math>. Рассмотрим последствия этого предположения: * <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>. <u>Шаг 3: Анализ положения <math> P </math></u> Из условия <math> l_2 \parallel l_3 </math> следует, что <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Так как <math> P </math> лежит на <math> l_3 </math>, то <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>, иначе <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> пересекались бы в <math> P </math>, что противоречит их параллельности. Имеем, <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>, но <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>. <u>Шаг 4: Применение постулата о параллельности</u> Рассмотрим точку <math> P </math> и прямую <math> l_2 </math>: * <math>P </math> не лежит на <math> l_2 </math> (установлено на шаге 3). * В евклидовой геометрии через точку <math> P </math>, не лежащую на прямой <math> l_2 </math>, проходит ровно одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Теперь проверим прямые, проходящие через <math> P </math>: * <math> l_1 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_1 \parallel l_2 </math>), * <math> l_3 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_2 \parallel l_3 </math>). Таким образом, обе прямые, <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math>, проходят через <math> P </math> и параллельны <math> l_2 </math>. Но по постулату о параллельности через <math> P </math> может проходить только одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Поскольку мы предположили, что <math> l_1 \neq l_3 </math>, это приводит к противоречию: <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не могут быть разными прямыми, одновременно проходящими через <math> P </math> и параллельными <math> l_2 </math>. <u>Шаг 5: Вывод</u> Предположение, что <math> l_1 \neq l_3 </math> и <math> l_1 </math> не параллельна <math> l_3 </math>, неверно. Следовательно, если <math> l_1 \neq l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math>. Учитывая тривиальный случай <math> l_1 = l_3 </math> из шага 1, в любом случае <math> l_1 \parallel l_3 </math>, и значит, <math> (l_1, l_3) \in R </math>. Отношение <math> R </math> транзитивно. Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности. <u>Построение фактор-множества (оно же разбиение)</u> Отношение эквивалентности R разбивает множество S на элементы фактор-множества <math> S / R </math>, где каждый элемент фактор-множества состоит из всех прямых, параллельных друг другу. Формально, фактор-множество <math> S / R </math> можно записать как: <math> S / R = \left\{ [l] \mid l \in S \right\}, </math> где <math> [l] = \left\{ l' \in S \mid l' \parallel l \right\} </math> — элемент фактор-множества, содержащий прямую l. Каждый элемент фактор-множества <math> [l] </math> представляет собой множество всех прямых, параллельных прямой l. Таким образом, фактор-множество <math> S / R </math> состоит из всех таких элементов. Неформально говоря, мы как бы "отождествляем" все паралельные прямые. Для нас она как "одна" прямая. После такого отождествления, мы получили новое множество без паралельных прямых. ==== Пример 4: ==== <u>Пример 4 - Подобие треугольников.</u> ==== Примеры 2: ==== * Разбиение множества на элементы. * Разбиение множества на группы по длине строки. * Разбиение множества всех слов на слова, начинающиеся с гласной, и слова, начинающиеся с согласной (по первой букве). См. также важные примеры в главве про функции. === Функции === * Определение через отношения. * График функции. * Домен, кодомен, Img. * инъективные функции. * суръективные функции. * биективные функции. * Принцип Дирихле с доказательством и применением. * изоморфизм как сохранение структуры (~ и разбиение). (скажем, на примере кольца). * Группа <math>(\mathbb{Z}_2, +)</math> с операцией сложения изоморфна группе <math>({1, -1}, *)</math> с операцией умножения. * Изоморфизм множеств (~ и разбиение) * Изоморфизм частично упорядоченных множеств (~ и разбиение) === Упорядоченные множества === * Частично упорядоченное множество. * Вполне упорядоченное множество, минимальный элемент существует. * Линейно упорядоченное множество. * Дедекиндово сечение. * Непрерывные линейно упорядоченные множества. * Плотные подмножества. === Аксиома выбора, Лемма Цорна, Теорема Цермело === * Формулировки и примеры применения. <b>Формулировка теоремы о хорошей упорядоченности</b> <u>Теорема</u>: Для любого множества <math>X</math> существует отношение порядка <math>\leq</math>, которое делает <math>X</math> хорошо упорядоченным. Определение: Множество <math>X</math> с отношением порядка <math>\leq</math> называется хорошо упорядоченным, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in X</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq X</math> имеет наименьший элемент, то есть существует <math>s_0 \in S</math>, такое что для всех <math>s \in S</math> выполняется <math>s_0 \leq s</math>. <u>Шаг 1: Определение частично упорядоченного множества</u> Рассмотрим множество <math>X</math>. Определим <math>P</math> как множество всех пар <math>(A, \leq_A)</math>, где: * <math>A \subseteq X</math> — подмножество множества <math>X</math>, * <math>\leq_A</math> — хорошее упорядочение на <math>A</math>. Определим частичное упорядочение на <math>P</math>. Пусть <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> — элементы <math>P</math>. Говорим, что <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, если: * <math>A \subseteq B</math>, * <math>\leq_A</math> является ограничением <math>\leq_B</math> на <math>A</math>, то есть для всех <math>x, y \in A</math> выполняется <math>x \leq_A y</math> тогда и только тогда, когда <math>x \leq_B y</math>, * <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>, то есть если <math>b \in B</math>, <math>a \in A</math> и <math>b \leq_B a</math>, то <math>b \in A</math>. Проверим, что <math>\preceq</math> — частичное упорядочение: * Рефлексивность: <math>(A, \leq_A) \preceq (A, \leq_A)</math>, так как <math>A \subseteq A</math>, <math>\leq_A</math> совпадает с собой, и <math>A</math> — начальный сегмент себя. * Антисимметричность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>, то <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, значит <math>A = B</math>, а <math>\leq_A = \leq_B</math> по определению. * Транзитивность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (C, \leq_C)</math>, то <math>A \subseteq B \subseteq C</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_C</math>, и если <math>c \in C</math>, <math>a \in A</math>, <math>c \leq_C a</math>, то <math>c \in B</math> (так как <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>) и <math>c \in A</math> (так как <math>B</math> — начальный сегмент <math>C</math>). Множество <math>P</math> непусто, так как <math>(\emptyset, \leq_\emptyset)</math> (где <math>\leq_\emptyset</math> — пустое отношение) — элемент <math>P</math>. <u>Шаг 2: Проверка условия леммы Цорна</u> Покажем, что любая цепь в <math>P</math> имеет верхнюю грань. Цепь — это подмножество <math>C \subseteq P</math>, такое что для любых <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math> либо <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, либо <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>. * Определим <math>U = \bigcup { A \mid (A, \leq_A) \in C }</math> — объединение всех множеств <math>A</math> из цепи. * Определим отношение <math>\leq_U</math> на <math>U</math>: для <math>x, y \in U</math> положим <math>x \leq_U y</math>, если существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>x, y \in A</math> и <math>x \leq_A y</math>. Проверим, что <math>(U, \leq_U)</math> — элемент <math>P</math>: Тотальность: Если <math>x, y \in U</math>, то существуют <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math>, такие что <math>x \in A</math>, <math>y \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. В любом случае, <math>x, y</math> принадлежат большему из <math>A</math> и <math>B</math>, где порядок определён, и либо <math>x \leq_U y</math>, либо <math>y \leq_U x</math>. Хорошее упорядочение: Пусть <math>S \subseteq U</math> — непустое подмножество. Возьмём <math>s \in S</math>. Существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>s \in A</math>. Множество <math>S \cap A</math> непусто (содержит <math>s</math>), и так как <math>A</math> хорошо упорядочено, <math>S \cap A</math> имеет наименьший элемент <math>s_0</math>. Покажем, что <math>s_0</math> — наименьший в <math>S</math>: * Для любого <math>t \in S</math> существует <math>(B, \leq_B) \in C</math>, такое что <math>t \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. * Если <math>A \subseteq B</math>, то <math>s_0, t \in B</math>, и <math>s_0</math> — наименьший в <math>S \cap B</math>, значит <math>s_0 \leq_B t</math>. * Если <math>B \subseteq A</math>, то <math>t \in A</math>, и <math>s_0 \leq_A t</math>. * В любом случае, <math>s_0 \leq_U t</math>. Покажем, что <math>(U, \leq_U)</math> — верхняя грань <math>C</math>: * Для любого <math>(A, \leq_A) \in C</math> выполняется <math>A \subseteq U</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_U</math> на <math>A</math>, и <math>A</math> — начальный сегмент <math>U</math> (если <math>u \in U</math>, <math>a \in A</math>, <math>u \leq_U a</math>, то <math>u \in A</math>, так как порядок в <math>U</math> наследуется от цепи). <u>Шаг 3: Применение леммы Цорна</u> По лемме Цорна в <math>P</math> существует максимальный элемент <math>(M, \leq_M)</math>. Утверждаем, что <math>M = X</math>. Предположим, что <math>M \neq X</math>, и существует <math>x \in X \setminus M</math>. Расширим <math>(M, \leq_M)</math>, добавив <math>x</math>. Определим <math>M' = M \cup {x}</math> и отношение <math>\leq_{M'}</math>: * Для <math>a, b \in M</math>: <math>a \leq_{M'} b</math> тогда и только тогда, когда <math>a \leq_M b</math>, * Для всех <math>m \in M</math>: <math>m \leq_{M'} x</math>, * <math>x \not\leq_{M'} m</math> для всех <math>m \in M</math>. <math>(M', \leq_{M'})</math> — хорошее упорядочение: * Тотальность: добавлен только <math>x</math>, и он больше всех элементов <math>M</math>. * Каждое непустое <math>S \subseteq M'</math> имеет наименьший элемент: если <math>S \subseteq M</math>, то по свойству <math>M</math>; если <math>x \in S</math>, то наименьший элемент — либо <math>x</math>, либо минимальный элемент <math>S \cap M</math>. Тогда <math>(M, \leq_M) \preceq (M', \leq_{M'})</math>, но <math>M \subsetneq M'</math>, что противоречит максимальности <math>(M, \leq_M)</math>. Следовательно, <math>M = X</math>, и <math>(X, \leq_M)</math> — хорошее упорядочение <math>X</math>. <u>Вывод</u> Теорема доказана: для любого <math>X</math> существует хорошее упорядочение, что следует из применения леммы Цорна к множеству всех хороших упорядочений подмножеств <math>X</math>. === Вполне упорядоченные множества === * Определение. * Связь с фундированными множествами. === Фундированные множества === * Определение. * Эквивалентное определение через обрыв убывающих цепей. == 4. Построение натуральных чисел == * Аксиомы Пеано. * Доказательство их основных свойств. * Доказательство эквивалентности между полной мат. индукцией, частичной и в любом подмножестве есть минимум. * Метод бесконечного спуска. * Примеры применения мат. индукции, полной мат. индукции и метода бесконечного спуска. * Если A - множество, то A^n - множество в ZFC. Конструкция фон Неймана — это способ формального определения натуральных чисел (<math>\mathbb{N}</math>) в рамках теории множеств, предложенный Джоном фон Нейманом. Она позволяет построить числа как множества, начиная с пустого множества, и задает их так, чтобы каждое следующее число было "наследником" предыдущего. Этот метод широко используется в аксиоматической теории множеств, например, в ZFC (Цермело-Френкель с аксиомой выбора), чтобы строго обосновать существование <math>\mathbb{N}</math> и операций над ним. Давайте разберем это подробно. Идея конструкции Основная идея состоит в том, чтобы: * Определить каждое натуральное число как множество, содержащее все предыдущие числа. * Использовать пустое множество как отправную точку (нуль). * Определить операцию "наследника" (увеличения на 1) как добавление самого числа в множество. Таким образом, числа строятся иерархически, и их порядок задается вложенностью множеств. Формальное определение В конструкции фон Неймана: * <math>0</math> определяется как пустое множество: <math>0 = \emptyset</math> * Каждое следующее число <math>n + 1</math> (наследник <math>n</math>) определяется как множество, содержащее <math>n</math> и все элементы <math>n</math>: <math>S(n) = n \cup { n }</math>, где <math>S(n)</math> — функция наследника. Теперь построим первые несколько чисел: * <math>0 = \emptyset</math> (множество без элементов), * <math>1 = S(0) = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \emptyset \cup { \emptyset } = { \emptyset }</math>, * <math>2 = S(1) = 1 \cup { 1 } = { \emptyset } \cup { { \emptyset } } = { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>3 = S(2) = 2 \cup { 2 } = { \emptyset, { \emptyset } } \cup { { \emptyset, { \emptyset } } } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math>, и так далее. Или в более читаемой форме: * <math>0 = \emptyset</math> (0 элементов), * <math>1 = { 0 } = { \emptyset }</math> (1 элемент), * <math>2 = { 0, 1 } = { \emptyset, { \emptyset } }</math> (2 элемента), * <math>3 = { 0, 1, 2 } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math> (3 элемента). Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> Множество <math>\mathbb{N}</math> определяется как наименьшее множество, которое: * Содержит <math>0 = \emptyset</math>, * Замкнуто относительно операции наследника <math>S(n) = n \cup { n }</math>. <u>Замечание 1:</u> В некоторых разделах математики натуральные числа начинаются с 1. Это эквивалентное определение в том смысл, что они удовлетворяют аксиомам Пеано (см. ниже). Мы же будем считать, что <math>\0 \in \mathbb{N}</math> <u>Замечание 2:</u> TBD: интуитивный смысл, история нуля Формально в ZFC это гарантируется аксиомой бесконечности, которая утверждает существование индуктивного множества <math>\omega</math> (обычно обозначаемого как <math>\mathbb{N}</math> в этом контексте): * <math>\emptyset \in \omega</math>, * Если <math>n \in \omega</math>, то <math>S(n) = n \cup { n } \in \omega</math>. Таким образом: <math>\mathbb{N} = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } }, { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }, ... }</math> Свойства конструкции Порядок: * Отношение порядка задается через включение множеств (<math>\in</math>): * <math>0 \in 1</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset }</math>, * <math>1 \in 2</math>, так как <math>{ \emptyset } \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>0 \in 2</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>. * Это соответствует интуитивному порядку <math>0 < 1 < 2 < ...</math>. Количество элементов: Мощность множества <math>n</math> равна <math>n</math> (например, <math>|2| = |{ \emptyset, { \emptyset } }| = 2</math>), что делает конструкцию удобной для подсчета. Уникальность: Каждое число <math>n</math> уникально определено как множество всех предыдущих чисел: <math>n = { 0, 1, 2, ..., n-1 }</math>. Операции на <math>\mathbb{N}</math> После построения <math>\mathbb{N}</math> можно определить сложение и умножение рекурсивно: Сложение: * <math>m + 0 = m</math>, * <math>m + S(n) = S(m + n)</math>. Пример: <math>1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2</math>. Умножение: * <math>m \cdot 0 = 0</math>, * <math>m \cdot S(n) = m \cdot n + m</math>. Пример: <math>2 \cdot 1 = 2 \cdot S(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2</math>. Доказательство аксиом Пеано: После построения натуральных чисел в ZFC необходимо доказать, что они удовлетворяют аксиомам Пеано. Вот как это делается: Аксиома 1: <math>0</math> — натуральное число. Это выполняется по определению: <math>0 = \emptyset</math>, и <math>\emptyset</math> включён в <math>\mathbb{N}</math>. Аксиома 2: Для каждого натурального числа <math>n</math> существует следующее число <math>S(n)</math>. Это выполняется по определению операции следования: <math>S(n) = n \cup {n}</math>. Аксиома 3: <math>0</math> не является последователем никакого натурального числа. Это выполняется, так как <math>S(n) = n \cup {n}</math> всегда содержит элемент <math>n</math>, а <math>0 = \emptyset</math> не содержит элементов. Аксиома 4: Если <math>S(n) = S(m)</math>, то <math>n = m</math>. Это следует из того, что <math>S(n) = n \cup {n}</math> и <math>S(m) = m \cup {m}</math>. Если эти множества равны, то <math>n = m</math>. Аксиома 5 (индукция): Если некоторое утверждение верно для <math>0</math> и из его истинности для <math>n</math> следует истинность для <math>S(n)</math>, то оно верно для всех натуральных чисел. Это следует из аксиомы бесконечности и определения <math>\mathbb{N}</math> как наименьшего множества, содержащего <math>0</math> и замкнутого относительно <math>S</math>. === примеры мат. индукции === '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. 2. Формула Бернули 3. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' *. Теорема о функциональной полноте множеств https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 *. Доказательство невозможности выразить дизъюнктное объединение через ∩, ∪, * https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a7466a6d-1964-49d9-b77f-e35292cd50c6 * Теорема о функциональной полноте операции NAND A \uparrow B = (A \cap B)^c https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 === Алгоритм Евклида === 1. Определение gcd. 2. Существование gcd для любый натуральных чисел. 3. Лемма о делении с остатком. 4. Свойство gcd при делении с остатком: gcd(a, b)=gcd(b, r) 5. Алгоритм Евклида === Основная теорема арифметики === 6. Определение простого числа Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само p. 7. Лемма о простом делителе Она утверждает, что если простое число p делит произведение ab, то оно делит хотя бы один из множителей: <math> p \mid ab \quad \Rightarrow \quad p \mid a \quad \text{или} \quad p \mid b. </math> Эта лемма доказывается с помощью НОД и алгоритма Евклида. 8. Основная теорема арифметики. 9. gcd(km, kn)=k*gcd(m, n) 10. Следствие: gcd(km, kn)>=k === Альтернативный (школьный) способ нахождения gcd === 1. Раскладываем обо числа на простые числа/множители (по основной теореме арифметики это можно сделать). 2. Берём общие множители обоих чисел. Доказать, что получится gcd. Замечание: не известно эффективного способа это сделать. В школе делается методом перебора. === Теорема о бесконечном количесте простых чисел === * Формулировка * Доказательство == 5. Построение целых чисел == Z - Архимедово упорядоченное коммутативное кольцо с единицей * Определение целых чисел. * Доказательство их свойств. Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = \left\{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. Операции на <math>\mathbb{Z}</math> Определим операции на целых числах, представленных парами. Сложение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> сложение определяется как: <math> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) </math> После выполнения операции результат приводится к канонической форме, если это необходимо. Умножение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> умножение определяется как: <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) </math> После умножения результат также приводится к канонической форме. Отрицание Отрицание числа <math>(a, b)</math> представляется как: <math> -(a, b) = (b, a) </math> Порядок Порядок на множестве целых чисел определяется следующим образом: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a + d < b + c </math> Это определение согласуется с обычным порядком целых чисел. Включение натуральных чисел в <math>\mathbb{Z}</math> Натуральные числа <math>n \in \mathbb{N}</math> включаются в <math>\mathbb{Z}</math> по следующему правилу: <math> n \mapsto (n, 0) </math> Это отображение позволяет включить все натуральные числа в множество целых чисел. Проверка корректности: Необходимо убедиться, что определённые операции удовлетворяют свойствам целых чисел (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента и т.д.). === Альтернативное определение === Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = { (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} } </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. <u>Чтобы доказать, что оба подхода приводят к одной и той же структуре, нам нужно:</u> 1. Показать, что элементы множества <math>\mathbb{Z}</math> из первого определения эквивалентны элементам из второго определения. В первом определении, каждый элемент целого числа — это пара <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> является целым числом. Для этого определим эквивалентность между парами <math>(a, b)</math> и элементами множества <math>\mathbb{Z}</math>, представленными как элементы <math>n \in \mathbb{N}</math> или <math>-n \in \mathbb{N}</math>. * Если <math>a - b = n</math>, то элемент <math>(a, b)</math> будет соответствовать числу <math>n \in \mathbb{Z}</math>. * Если <math>a - b = -n</math>, то это будет отрицательное число, которое также принадлежит множеству целых чисел. То есть, каждую пару <math>(a, b)</math> можно ассоциировать с целым числом из множества <math>\mathbb{Z}</math>, определённого как объединение положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. 2. Показать, что операции над числами из первого определения совпадают с операциями из второго определения. В первом определении операции сложения и вычитания на парах <math>(a, b)</math> можно интерпретировать как операцию вычитания разности <math>a - b</math>. Например: * Сложение двух целых чисел, представленных парами <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, будет равняться разности <math>(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)</math>. * Вычитание чисел также можно интерпретировать через разности пар, аналогично. В втором определении операции сложения и вычитания целых чисел аналогичны стандартным операциям для чисел в <math>\mathbb{Z}</math>, и они также дают результат в том же множестве. Таким образом, для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует соответствующее целое число в втором определении, и операции на этих числах совпадают. 4. Окончательное доказательство эквивалентности Отображение: 1. Каждое целое число из первого определения (в виде пары <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> — целое число) соответствует числу в втором определении (где целые числа представлены как элементы множества <math>\mathbb{Z}</math>, включая положительные, отрицательные числа и ноль). Таким образом, существует взаимно однозначное отображение между этими двумя представлениями целых чисел. Операции: Операции сложения и вычитания в обоих определениях совпадают: * В первом определении операции сложения и вычитания пар эквивалентны операциям над целыми числами в обычной арифметике. * Во втором определении операции на множестве <math>\mathbb{Z}</math> — это стандартные операции сложения и вычитания целых чисел. 3. Множества: Обе конструкции приводят к тому же множеству, потому что для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует уникальное целое число, которое представлено во втором определении. Следовательно, оба определения приводят к одной и той же структуре множества целых чисел с одинаковыми операциями. Утверждение: для любого числа a выполняется равенство <math>0 \cdot a = 0</math>. Доказательство: Шаг 1: Используем свойство дистрибутивности По дистрибутивному закону умножения относительно сложения имеем: <math>(0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Но мы знаем, что <math>0 + 0 = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Шаг 2: Вычитаем 0⋅a0⋅a из обеих частей Рассмотрим полученное равенство: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Вычтем <math>0 \cdot a</math> из обеих частей: <math>0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. По свойству сложения <math>x - x = 0</math> левая часть упрощается: <math>0 = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. А правая часть: <math>0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a</math>. Таким образом: <math>0 = 0 \cdot a</math>. Заключение Мы доказали, что <math>0 \cdot a = 0</math> для любого числа aa. Утверждение: для любого числа aa выполняется равенство <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Доказательство: Шаг 1: Определение отрицательного числа По определению отрицательного числа: <math>a + (-a) = 0</math>. Это означает, что <math>-a</math> — единственное число, которое при сложении с <math>a</math> даёт ноль. Шаг 2: Рассмотрим выражение <math>(-1) \cdot a</math> Рассмотрим число <math>(-1) \cdot a</math>. Мы хотим показать, что оно удовлетворяет тому же свойству: <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. Шаг 3: Используем дистрибутивность Рассмотрим сумму <math>1 + (-1)</math> и применим дистрибутивный закон: <math>(1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Известно, что <math>1 + (-1) = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 4: Свойство нуля По доказанному ранее свойству умножения на ноль, для любого числа aa: <math>0 \cdot a = 0</math>. Подставим это в предыдущее равенство: <math>0 = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Заметим, что <math>1 \cdot a = a</math>, так как умножение на 1 сохраняет число. Тогда: <math>0 = a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 5: Заключение Мы получили, что <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. По определению <math>-a</math> как единственного числа, удовлетворяющего равенству <math>a + (-a) = 0</math>, следует: <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Что и требовалось доказать. === Модуль числа === Определение и свойства как норма плюс |ab|=|a||b| + |x|<=a iff -a<=x<=a+ |x|>=a iff x<=-a and x>=a === Алгоритм Евклида, обобщённый для целых чисел === Алгоритм Евклида, изначально сформулированный для натуральных чисел, может быть обобщён на целые числа (включая отрицательные). Основная идея заключается в том, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел определён с точностью до знака, и алгоритм Евклида может быть адаптирован для работы с целыми числами без существенных изменений. 1. Определение НОД для целых чисел Для целых чисел <math>a</math> и <math>b</math> (не равных одновременно нулю), НОД <math>\gcd(a, b)</math> — это наибольшее целое число <math>d</math>, которое делит одновременно <math>a</math> и <math>b</math>. НОД определён с точностью до знака: если <math>d</math> является НОД, то <math>-d</math> также является НОД. Обычно выбирают положительное значение. 2. Обобщение алгоритма Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел работает практически так же, как и для натуральных чисел. Основные шаги: Вход: Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math>, не равных одновременно нулю. Шаги: Если <math>b = 0</math>, то <math>\gcd(a, b) = |a|</math> (берётся модуль, чтобы результат был положительным). Иначе: Вычислить остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math>: <math>a = b \cdot q + r</math>, где <math>0 \leq |r| < |b|</math>. Заменить <math>a</math> на <math>b</math>, а <math>b</math> на <math>r</math>. Повторять процесс, пока <math>b</math> не станет равным нулю. Выход: Последний ненулевой остаток <math>r</math> (или его модуль, если требуется положительное значение). 3. Пример работы алгоритма для целых чисел Рассмотрим пример нахождения <math>\gcd(48, -18)</math>: <math>a = 48</math>, <math>b = -18</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>48</math> на <math>-18</math>: <math> 48 = (-18) \cdot (-2) + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12. </math> Теперь <math>a = -18</math>, <math>b = 12</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>-18</math> на <math>12</math>: <math> -18 = 12 \cdot (-2) + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6. </math> Теперь <math>a = 12</math>, <math>b = 6</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>12</math> на <math>6</math>: <math> 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0. </math> Алгоритм завершается, так как <math>b = 0</math>. Последний ненулевой остаток равен <math>6</math>. Таким образом, <math>\gcd(48, -18) = 6</math>. 4. Корректность обобщения Алгоритм Евклида для целых чисел корректен, так как: НОД определён с точностью до знака, и алгоритм находит одно из возможных значений. Лемма о делении с остатком работает и для целых чисел: для любых целых <math>a</math> и <math>b</math> (где <math>b \neq 0</math>) существуют целые <math>q</math> и <math>r</math> такие, что: <math> a = b \cdot q + r, \quad \text{где } 0 \leq |r| < |b|. </math> Свойство <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, r)</math> сохраняется для целых чисел. 5. Замечание о знаке Если требуется, чтобы НОД был положительным, на последнем шаге можно взять модуль последнего ненулевого остатка. Например, <math>\gcd(48, -18) = |6| = 6</math>. Итог Алгоритм Евклида обобщается на целые числа практически без изменений. Основные отличия: Остаток <math>r</math> вычисляется с учётом знака, но <math>0 \leq |r| < |b|</math>. НОД определён с точностью до знака, поэтому результат можно взять по модулю. <b>Теорема (свойство Архимеда):</b> Для любого целого числа <math>z \in \mathbb{Z}</math> существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math>, такое, что <math>n > z</math>. <b>Замечание:</b> Иными словами, множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не ограничено сверху в множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пусть дано произвольное целое число <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Мы должны показать, что существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, для которого <math>n > z</math>. Рассмотрим два случая: <u>Случай 1: Если <math>z \le 0</math>.</u> В этом случае мы можем выбрать <math>n = 1</math>. Так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>1 > 0 \ge z</math>, то <math>n > z</math> <u>Случай 2: Если <math>z > 0</math> </u> (о есть <math>z</math> само является положительным натуральным числом) Рассмотрим целое число <math>n = z + 1</math>. Поскольку <math>z \in \mathbb{Z}</math> и <math>1 \in \mathbb{Z}</math>, то их сумма <math>z+1 \in \mathbb{Z}</math>. Так как <math>z > 0</math>, то <math>z \ge 1</math>. Следовательно, <math>n = z + 1 \ge 1 + 1 = 2</math>. Это означает, что <math>n</math> является натуральным числом, <math>n \in \mathbb{N}</math>. По свойствам целых чисел, прибавление положительного числа (<math>1</math>) к <math>z</math> дает большее число: <math>z + 1 > z</math>, то есть <math>n > z</math>. Что и требовалось доказать. <b>Замечание:</b> Кажется, что формулировка и доказательство этого утверждения является тривиальным, однако, при построении других чисел выяснится его важность. '''Следствие:''' '''Утверждение:''' Для любых <math>a, z \in \mathbb{Z}</math> таких, что <math>a > 0</math>, существует <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>na > z</math>. '''Доказательство:''' Возьмем <math>a \in \mathbb{Z}, a > 0</math> и <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Из доказанного выше существует <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>n_0 > z</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Z}</math> и <math>a > 0</math>, то <math>a \ge 1</math>. Если <math>a = 1</math>, то <math>n_0 a = n_0 > z</math>. Если <math>a > 1</math>, то тем более <math>n_0 a > n_0 > z</math>. Итак, можно взять <math>n = n_0</math>. Утверждение доказано. == 6. Построение рациональных чисел == Q - архимедово упорядоченно поле * Определение рациональных чисел. * Доказательство их свойств. * Модуль числа и его свойства. 1. Определение рациональных чисел Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел: <math> \mathbb{Q} = \{ (a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}. </math> Здесь <math>(a, b)</math> интерпретируется как "рациональное число", соответствующее дроби <math>a/b</math>, но без использования классов эквивалентности. 2. Определение операций Раз операции выполняются непосредственно над парами, никакого отождествления вроде <math>(2,4) \sim (1,2)</math> нет — каждая пара представляет уникальный элемент. Сложение <math> (a, b) + (c, d) = (a d + b c, b d). </math> Умножение <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a c, b d). </math> Отрицание <math> -(a, b) = (-a, b). </math> Обратный элемент (деление) Если <math>a \neq 0</math>, то: <math> (a, b)^{-1} = (b, a). </math> Вычитание <math> (a, b) - (c, d) = (a d - b c, b d). </math> Деление Если <math>c \neq 0</math>, то: <math> (a, b) \div (c, d) = (a d, b c). </math> 3. Включение целых чисел в рациональные Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> естественно включается в <math>\mathbb{Q}</math> по правилу: <math> z \mapsto (z, 1). </math> То есть каждое целое число <math>z</math> представляется парой <math>(z,1)</math>. 4. Определение порядка на Q Зададим отношение порядка на множестве пар: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a d < b c. </math> Это согласуется с привычным порядком дробей. 5. Приведение к каноническому виду Так как пары вроде <math>(2,4)</math> и <math>(1,2)</math> не эквивалентны, но представляют одно и то же число, можно ввести каноническое представление: Определим функцию <math>\text{norm}(a, b)</math>, которая преобразует пару к виду, где <math>\gcd(a, b) = 1</math> и <math>b > 0</math>. Любое рациональное число можно привести к такому представлению алгоритмически. Нормализация Чтобы исключить множественное представление одного и того же числа (например, <math> (2,4) </math> и <math> (1,2) </math>), можно ввести каноническую форму записи рационального числа, требуя, чтобы <math> \gcd(a, b) = 1 </math> и <math> b > 0 </math>. Тогда каждое рациональное число представляется единственным образом. Чтобы перейти от представления рационального числа в виде пары <math>(a, b)</math> к стандартной записи <math>\frac{p}{q}</math>, нужно привести пару к канонической форме: Приведение к несократимой дроби Для данного числа <math>(a, b)</math> вычислим наибольший общий делитель (НОД): <math> \gcd(a, b) = d. </math> Тогда можно записать: <math> \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Это эквивалентно сокращению дроби. Обеспечение положительного знаменателя Если после сокращения <math>b < 0</math>, то умножаем числитель и знаменатель на <math>-1</math>, чтобы знаменатель стал положительным: <math> \left(-\frac{a}{d}, -\frac{b}{d} \right) = \left(\frac{-a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Запись в виде дроби Теперь число представляется в стандартной форме: <math> \frac{p}{q}, </math> где <math> p = \frac{a}{d} </math>, <math> q = \frac{b}{d} </math> и <math> \gcd(p, q) = 1 </math>, <math> q > 0 </math>. Таким образом, каждая пара <math>(a, b)</math> соответствует единственной несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>. Свойства Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения: Можно проверить, что операции сложения и умножения обладают стандартными свойствами. Нейтральные элементы: Для сложения нейтральный элемент: <math>(0, 1)</math>. Для умножения нейтральный элемент: <math>(1, 1)</math>. Обратные элементы: Для сложения: <math>-(a, b) = (-a, b)</math>. Для умножения: <math>(a, b)^{-1} = (b, a)</math> при <math>a \neq 0</math>. Дистрибутивность: <math> (a, b) \cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) \cdot (c d + e f, d f) </math> что согласуется с обычными правилами. === Модуль числа === Определение Свойства и доказательство === Альтернативное построение === Без условия gcd(a, b)=1. В каждом классе эквивалентности выбирать дробь с наименьшим знаминтатлем (минимум в непустом подмножестве N существует). https://chat.deepseek.com/a/chat/s/3b4728b9-ac28-44e4-9fd8-055c525398ec === Прогресии === * Определение последовательности чисел в рамках ZFC. * Определение предела последовательности. Определение сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> для всех <math>n > N</math> <b>Утверждение:</b> Пусть <math>a_n</math> — последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, такая что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>, и пусть <math>C \in \mathbb{Q}</math>. Тогда: <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot a_n = C \cdot L</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. <b>Доказательство:</b> Дано * <math>a_n \in \mathbb{Q}</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>. * <math>C \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. * Новая последовательность: <math>b_n = C \cdot a_n</math>. Так как <math>\mathbb{Q}</math> замкнуто относительно умножения, <math>b_n \in \mathbb{Q}</math>, и <math>C \cdot L \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>\lim_{n \to \infty} b_n = C \cdot L</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что: <math>|b_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Рассмотрим: <math>|b_n - C \cdot L| = |C \cdot a_n - C \cdot L| = |C \cdot (a_n - L)|</math>. Используем свойство модуля: <math>|C \cdot (a_n - L)| = |C| \cdot |a_n - L|</math>, где <math>|C|</math> — неотрицательное рациональное число. Если <math>C = 0</math>, то <math>b_n = 0 \cdot a_n = 0</math>, и <math>C \cdot L = 0 \cdot L = 0</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |0 - 0| = 0 < \varepsilon</math>, для любого <math>\varepsilon > 0</math> и всех <math>n</math>. Предел тривиально равен <math>0</math>, что соответствует <math>C \cdot L</math>. Этот случай доказан. Пусть <math>C \neq 0</math>, тогда <math>|C| > 0</math>, и <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Так как <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, для любого <math>\delta > 0</math>, <math>\delta \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \delta</math> при <math>n > N</math>. Выберем <math>\delta = \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Поскольку <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>, и <math>|C| \neq 0</math>, то <math>\frac{\varepsilon}{|C|} \in \mathbb{Q}</math> и <math>\frac{\varepsilon}{|C|} > 0</math>. По определению сходимости <math>a_n \to L</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{|C|}</math> при <math>n > N</math>. Умножим обе части на <math>|C|</math> (положительное число): <math>|C| \cdot |a_n - L| < |C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Упростим правую часть: <math>|C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|} = \varepsilon</math>. Следовательно: <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, мы нашли <math>N</math>, зависящее от сходимости <math>a_n \to L</math> и величины <math>\frac{\varepsilon}{|C|}</math>, такое что <math>|C \cdot a_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Это выполняется для любого <math>C \in \mathbb{Q}</math>, включая <math>C = 0</math> и <math>C \neq 0</math>. Все операции (вычитание, умножение, деление на ненулевое число) проводятся в <math>\mathbb{Q}</math>, и предел <math>C \cdot L</math> также лежит в <math>\mathbb{Q}</math>. Теорема доказана. '''Замечание:''' Доказательство использует только определение предела и алгебраические свойства рациональных чисел, оставаясь строго в рамках <math>\mathbb{Q}</math>. * Неравенство Бернули <b>Утверждение:</b> Для любого натурального числа <math>n</math> (<math>n = 1, 2, 3, \dots</math>) и любого <math>\delta \ge -1</math> выполняется <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> <b>Замечание:</b> Если <math>\delta</math> рационально, то все операции (сложение, умножение, сравнение) остаются в рамках рациональных чисел. <b>База индукции</b> (<math>n = 1</math>): Проверяем неравенство для <math>n = 1</math>: <math>(1 + \delta)^1 \ge 1 + (1)\delta</math> <math>1 + \delta \ge 1 + \delta</math> Это верно. <b>Индукционное предположение</b> (Шаг индукции - гипотеза): Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа <math>k \ge 1</math>: <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (это наша гипотеза) <b>Индукционный переход</b> (Шаг индукции - доказательство для <math>k+1</math>): Нужно доказать, что неравенство верно для <math>n = k + 1</math>, то есть: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math> Начнем с левой части и используем предположение: <math>(1 + \delta)^{k+1} = (1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta)</math> Так как <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (по предположению) и <math>(1 + \delta) \ge 0</math> (поскольку <math>\delta \ge -1</math>), мы можем умножить обе части предположения на <math>(1 + \delta)</math>, сохранив знак неравенства: <math>(1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta) \ge (1 + k\delta) \cdot (1 + \delta)</math> Раскроем скобки в правой части: <math>(1 + k\delta) \cdot (1 + \delta) = 1 + \delta + k\delta + k\delta^2 = 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Итак, мы получили: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Поскольку <math>k</math> - натуральное число (<math>k \ge 1</math>) и <math>\delta^2 \ge 0</math> (квадрат любого числа не отрицателен), то <math>k\delta^2 \ge 0</math>. Следовательно, <math>1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math>. Объединяя неравенства, получаем: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math> Таким образом, мы доказали, что <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math>. <b>Вывод:</b> По принципу математической индукции, неравенство Бернулли <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> верно для всех натуральных чисел <math>n</math> и всех <math>\delta \ge -1</math>. * Арифметическая прогрессия, примеры, формулы, доказательства. * Геометрическа прогрессия, примеры, формулы, доказательства. Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) , если r ≠ 1 S_n = n * a , если r = 1 * Аксиома Архимеда-Евдокса для рациональных чисел. <b>Теорема (принцип Архимеда-Евдокса, оно же архимедово свойство): </b> Для любого рационального числа R всегда можно найти натуральное число N (т.е. целое положительное число 1, 2, 3, ...), которое будет больше этого R. ∀ R ∈ Q ∃ N ∈ ℕ : N > R '''Доказательство:''' Любое рациональное число R можно представить в виде дроби p/q, где p - целое, q - натуральное. Если R ≤ 0, то N = 1 подходит (1 > R). Если R > 0, то R = p/q, где p и q - натуральные числа. Нам нужно найти натуральное N такое, что N > p/q. Это эквивалентно Nq > p. Поскольку p и q - целые числа, мы можем просто взять N = p + 1. Так как q ≥ 1, то Nq = (p+1)q = pq + q ≥ p + 1 > p. Значит, N = p + 1 (которое является натуральным, так как p натуральное) удовлетворяет условию N > p/q = R. Это доказывает, что для любого рационального R найдется натуральное N > R, используя только свойства целых и рациональных чисел. <b>Замечание:</b> В общем случае аксиома Архимеда-Евдокса независима от аксиом упорядоченного поля, т.е. существуют неархимедовы упорядоченные поля, как например, поле рациональных функций ℝ(x), то есть дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами, Q ≠ 0. В этом поле можно ввести порядок, сказав, что функция положительна если знак старшего коэффициента P(x) совпадает со знаком старшего коэффициента Q(x). Можно показать, что для элемента a = 1 (> 0) и элемента b = x (> 0) в поле ℝ(x), неравенство n * a > b (то есть n * 1 > x) не выполняется ни для какого натурального числа n (т.е. x является бесконечно-большим по-сравнению с обычными действительными числами). * Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии в Q. ''' Утверждение:''' Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом <math>a</math> и знаменателем <math>r</math>. Если абсолютное значение знаменателя строго меньше единицы (<math>|r| < 1</math>), то ряд, составленный из членов этой прогрессии (<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots</math>), сходится, и его сумма <math>S</math> равна: <math>S = \frac{a}{1 - r}</math>. Если <math>|r| \ge 1</math> и <math>a \ne 0</math>, то ряд расходится (не имеет конечной суммы). Если <math>a = 0</math>, то ряд сходится к <math>0</math> при любом <math>r</math>. '''Замечание:''' Уточнение в контексте рациональных чисел (<math>\mathbb{Q}</math>): Если первый член <math>a</math> и знаменатель <math>r</math> являются рациональными числами (<math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math>) и выполняется условие сходимости <math>|r| < 1</math>, то сумма бесконечного ряда <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> также является рациональным числом (<math>S \in \mathbb{Q}</math>). '''Доказательство:''' '''Рассматриваемые объекты:''' * Первый член <math>a \in \mathbb{Q}</math>. * Знаменатель прогрессии <math>r \in \mathbb{Q}</math>. * Условие сходимости: <math>|r| < 1</math> (сравнение рациональных чисел). * Все члены прогрессии <math>a, ar, ar^2, \dots</math> являются рациональными числами. '''Частичная сумма:''' Рассмотрим <math>n</math>-ую частичную сумму: <math>S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}</math>. Умножим <math>S_n</math> на <math>r</math>: <math>r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n</math>. Вычтем второе из первого: <math>S_n - r \cdot S_n = a - ar^n</math>. Преобразуем: <math>S_n \cdot (1 - r) = a \cdot (1 - r^n)</math>. Так как <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>r \ne 1</math> (иначе <math>|r| < 1</math> не выполняется при <math>a \ne 0</math>), то <math>1 - r</math> — ненулевое рациональное число. Разделим на <math>1 - r</math>: <math>S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}</math>. Заметим, что при <math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math> каждый член <math>S_n</math> также является рациональным числом. '''Предел частичных сумм (в <math>\mathbb{Q}</math>):''' Нам нужно найти предел последовательности <math>{S_n}</math> при <math>n \to \infty</math>. Покажем, что эта последовательность сходится к некоторому числу <math>L</math>, которое также принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Преобразуем <math>S_n</math>: <math>S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Обозначим <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Q}</math> и <math>1 - r \in \mathbb{Q}</math> (и не равно <math>0</math>), то <math>L \in \mathbb{Q}</math>. Это кандидат на предел. Теперь докажем, что <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math> в смысле сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>. Это эквивалентно доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>. Вычислим: <math>S_n - L = -\frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Нам нужно показать, что последовательность <math>x_n = C \cdot r^n</math> сходится к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, где <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — некоторое фиксированное рациональное число. Это сводится к доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, когда <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>|r| < 1</math>. '''Доказательство <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>:''' Нужно показать, что для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное число <math>N</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r^n - 0| < \varepsilon</math>, то есть <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Пусть <math>r = \frac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> — целые числа, <math>q \ne 0</math>, и <math>\left|\frac{p}{q}\right| < 1</math>, значит <math>|p| < |q|</math>. (Если <math>r = 0</math>, то предел очевидно равен <math>0</math>). Мы хотим показать, что <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n</math> становится меньше любого заданного рационального <math>\varepsilon > 0</math> при достаточно большом <math>n</math>. Поскольку <math>\frac{|q|}{|p|} > 1</math>, положим <math>\frac{|q|}{|p|} = 1 + \delta</math>, где <math>\delta = \frac{|q| - |p|}{|p|}</math> — рациональное число и <math>\delta > 0</math>. Неравенство <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n < \varepsilon</math> эквивалентно <math>\left(\frac{1}{1 + \delta}\right)^n < \varepsilon</math>, или <math>(1 + \delta)^n > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Используем неравенство Бернулли: <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math>. Нам достаточно найти такое <math>N</math>, чтобы для <math>n > N</math> выполнялось <math>1 + n\delta > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Это равносильно: <math>n\delta > \frac{1}{\varepsilon} - 1</math>, или: <math>n > \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{\delta}</math>. Поскольку <math>\frac{1}{\varepsilon}</math> и <math>\delta</math> рациональны, то правая часть — некоторое рациональное число <math>R</math>. По утверждению Архимеда-Евдокса для рациональных чисел, всегда найдется натуральное число <math>N > R</math>. Следовательно, для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Это доказывает, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. '''Завершение доказательства суммы:''' Поскольку <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) и <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — рациональная константа, то <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) по свойству пределов в <math>\mathbb{Q}</math> доказанному выше. Значит: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>, что означает: <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math>. Мы показали, что последовательность частичных сумм <math>{S_n}</math>, состоящая из рациональных чисел, сходится к числу <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>, которое также является рациональным. '''Вывод:''' Формула суммы бесконечной сходящейся геометрической прогрессии <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> доказана с использованием только операций и концепций в рамках множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, при условии, что <math>a</math> и <math>r</math> рациональны и <math>|r| < 1</math>. Ключевым моментом является доказательство сходимости <math>r^n</math> к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math> через <math>\varepsilon</math>-определение, не требующее полноты действительных чисел. == 7. Построение действительных чисел с использованием фундаментальных последовательностей == R полное упорядоченно поле * [https://chat.deepseek.com/a/chat/s/1b674088-a694-4c22-a07b-ced95699866e| Аксома Евдокса-Архимеда.] * Построение действительных чисел через фундаментальные последовательности. * Избежание использования несократимых дробей. <b>1. Формальное определение аксиомы Архимеда-Евдокса</b> (она же принцип Архимеда) Аксиома Архимеда утверждает, что для любых двух положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> n \cdot a > b. </math> Интуитивный смысл аксиомы Архимеда заключается в том, что сколь угодно большое число можно превзойти, если достаточно много раз сложить (или умножить) достаточно маленькое число. Другими словами, не существует бесконечно больших и бесконечно малых чисел в обычных вещественных числах <math>\mathbb{R}</math>. Если у нас есть любое положительное число <math>a</math>, то, складывая его с самим собой достаточно много раз, мы в итоге получим число больше любого заранее выбранного <math>b</math>. Особенно наглядно это видно в частном случае <math>a = 1</math>: для любого положительного числа <math>b</math> можно найти натуральное <math>n</math>, такое что <math>n > b</math>. Это означает, что множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не имеет верхней грани в <math>\mathbb{R}</math>, то есть можно сколь угодно увеличивать натуральные числа и всегда получать ещё большее. Интуитивно это говорит о том, что в вещественных числах нет бесконечно больших элементов (они не выходят за пределы конечных значений) и нет бесконечно малых положительных чисел (любое положительное число можно "накопить" до сколь угодно большого значения). <b>2. Формальное определение фундаментальной последовательности</b> <b><u>Определение:</u></b> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность рациональных чисел <math>{x_n}</math>, у которой члены с течением времени становятся всё ближе друг к другу. Формально это означает, что для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такой номер <math>N</math> (натуральное число), что для всех индексов <math>m, n \geq N</math> разница между членами последовательности <math>|x_m - x_n|</math> становится меньше <math>\varepsilon</math>: <math> |x_m - x_n| < \varepsilon. </math> Простыми словами, в фундаментальной последовательности расстояние между её членами (например, между <math>x_m</math> и <math>x_n</math>) с ростом индексов становится сколь угодно малым. Это свойство «сближения членов одной последовательности друг с другом» отличает фундаментальные последовательности от произвольных. <b>Интуитивное объяснение</b> Представьте, что вы измеряете какое-то число с всё большей точностью. Например, последовательность приближений к числу <math>\pi</math>: <math>3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots</math> Здесь каждый следующий член уточняет предыдущий, и разница между членами (например, между <math>3.1415</math> и <math>3.14159</math>) становится всё меньше по мере роста индекса. Это пример фундаментальной последовательности: члены внутри неё сближаются друг с другом. <b>Важное замечание</b> Фундаментальная последовательность не обязательно имеет предел внутри того множества, где она задана. Например, в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> можно построить последовательность, приближающую <math>\sqrt{2}</math>: <math>1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots</math> Эта последовательность фундаментальна, так как её члены сближаются друг с другом, но её предел <math>\sqrt{2}</math> не является рациональным числом и не принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Это показывает, что множество рациональных чисел «неполно» — в нём есть фундаментальные последовательности, пределы которых выходят за его пределы. <b>3. Формальное определение действительных чисел через элеманты фактор-множества</b> Действительные числа можно построить как элементы фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Давайте разберём этот процесс шаг за шагом. <b>Шаг 1: Определение множества <math>S</math></b> Пусть <math>S</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждый элемент <math>x \in S</math> — это функция <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math> (то есть последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n \in \mathbb{Q}</math>), которая удовлетворяет условию фундаментальности: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon. </math> Это означает, что внутри каждой такой последовательности её члены сближаются друг с другом. <b>Корректность построения множества <math>S</math> в ZFC</b> Можно ли вообще построить такое множество <math>S</math>? Да, это возможно в теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Рассмотрим подробнее: <b>1. Множество всех функций <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>.</b> Фундаментальные последовательности — это подмножество множества всех возможных функций из натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math>. Как было доказано в главе про функции, такое множество существует в ZFC. Такое множество функций обозначается как <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. <b>2. Выделение подмножества фундаментальных последовательностей.</b> Из множества <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math> мы берём только те последовательности, которые удовлетворяют условию фундаментальности. Это подмножество существует по аксиоме выделения (Axiom of Separation), так как условие <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math> задаёт чёткое свойство, по которому можно отфильтровать нужные последовательности. Таким образом, множество <math>S</math> корректно определено в ZFC как подмножество <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> следующим образом: <math>{x_n} \sim {y_n}</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Это означает, что две последовательности эквивалентны, если разность между их членами (<math>|x_n - y_n|</math>) становится сколь угодно малой при достаточно больших <math>n</math>. Здесь речь идёт о близости между последовательностями, а не внутри одной последовательности, как в определении фундаментальности. <b>Доказательство, что <math>\sim</math> — отношение эквивалентности</b> Чтобы <math>\sim</math> было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. Проверим каждое из них: <b>1. Рефлексивность: <math>{x_n} \sim {x_n}</math>.</b> Для любой последовательности <math>{x_n}</math> рассмотрим разность <math>|x_n - x_n| = 0</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> и любого <math>n</math> выполняется <math>|x_n - x_n| = 0 < \varepsilon</math>, так что можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math> (например, <math>N = 1</math>), и для всех <math>n > N</math> условие выполняется. Следовательно, <math>{x_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>2. Симметричность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Предположим, что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Так как <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n|</math> (по свойству модуля), то для того же <math>N</math> и всех <math>n > N</math> имеем <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Следовательно, <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>3. Транзитивность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>, то <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Докажем это. Пусть <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>. Это означает: * Для любого <math>\varepsilon_1 > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon_1</math>, * Для любого <math>\varepsilon_2 > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon_2</math>. Нужно показать, что <math>{x_n} \sim {z_n}</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math>. Используем неравенство треугольника: <math>|x_n - z_n| = |x_n - y_n + y_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n|</math>. Возьмём произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Пусть <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math> и <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Тогда: * По первому условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math>, * По второму условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_2</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Выберем <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдено такое <math>N</math>, что <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Следовательно, <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Свойство доказано. Таким образом, <math>\sim</math> удовлетворяет всем трём свойствам и действительно является отношением эквивалентности. Каждый <math>[ {x_n} ]</math> — это множество всех последовательностей, эквивалентных <math>{x_n}</math>, то есть тех, которые «приближаются к тому же значению». Множество действительных чисел определяется как: <math> \mathbb{R} = S / \sim. </math> <b>Зачечание: </b> Вложение рациональных чисел: Каждое рациональное число <math>q</math> отождествляется с элементом фактор-множества постоянной последовательности <math>[(q,q,q,\dots)]</math>. Нам дана последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n = q</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, и <math>q</math> — фиксированное рациональное число. Это постоянная последовательность: <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math>. Нужно показать, что она удовлетворяет определению фундаментальности. <u>Доказательство</u> Рассмотрим произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Нам нужно найти такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, чтобы для любых <math>n, m > N</math> выполнялось <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. Так как <math>x_n = q</math> для всех <math>n</math>, то для любых <math>n, m \in \mathbb{N}</math>: <math>|x_n - x_m| = |q - q| = 0</math>. Поскольку <math>0 < \varepsilon</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>, то условие <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math> выполняется для всех <math>n, m</math> независимо от их значений. Следовательно, можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math>, например <math>N = 1</math>, и для всех <math>n, m > N</math> будет: <math>|x_n - x_m| = 0 < \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math> (например, <math>N = 1</math>), такое что для всех <math>n, m > N</math> выполняется <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. <u>Вывод</u> Последовательность <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math> удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Значит, она действительно является фундаментальной. <b>Зачечание: разница между близостью внутри и между последовательностями</b> * <b>Близость внутри последовательности</b>: в определении фундаментальности (<math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>) речь идёт о сближении членов одной последовательности <math>{x_n}</math> друг с другом. * <b>Близость между последовательностями:</b> в определении эквивалентности (<math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0</math>) мы сравниваем две разные последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math>, проверяя, насколько они близки друг к другу. <u>Определение: </u> Предел последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> равен <math>x</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такое натуральное число <math>N</math>, что при всех <math>n \geq N</math> справедливо неравенство <math>|x_n - x| < \varepsilon</math>. <b>Пример: </b> <u>Замечание:</u> Здесь неявно испольузется утверждение 8, что Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу. Пусть <math>S = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\}, \left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}, \left\{2, 2, 2, \dots\right\} \right\}</math>, а отношение <math>\sim</math> задано как: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Каждый элемент этого множества — это бесконечная числовая последовательность. Задано отношение <math>\sim</math>, которое говорит, что две последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> эквивалентны, если разность их элементов стремится к нулю: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что в одну группу попадают все последовательности, которые «ведут себя одинаково» при <math>n \to \infty</math>, то есть имеют одинаковый предел. Теперь рассмотрим конкретный пример. Возьмём последовательность <math>\left\{1, 1, 1, \dots\right\}</math>. Она имеет предел <math>1</math>. Тогда множество <math>[ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} ]</math> состоит из всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел тоже равен <math>1</math>: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ {y_n} \in S \mid \lim_{n \to \infty} (1 - y_n) = 0 \right\} </math>. В нашем примере таких последовательностей в <math>S</math> больше нет, кроме самой <math>{1, 1, 1, \dots}</math>. Таким образом: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} \right\} </math>. Здесь важно понимать, что отношение <math>\sim</math> разбивает множество <math>S</math> на группы последовательностей с одинаковым пределом. Например: <math>[\left\{1, 1, 1, \dots\right\}]</math> содержит только одну последовательность, так как в <math>S</math> нет других последовательностей с пределом <math>1</math>. <math>[\left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}]</math> — это группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>\sqrt{2}</math>. <math>[\left\{2, 2, 2, \dots\right\}]</math> — группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>2</math>. Таким образом, множество <math>S</math> разбивается на непересекающиеся группы последовательностей, и эти группы образуют разбиение <math>S</math>. <b>3. Фундаментальная последовательность ограничена</b> Утверждение 1: Любая фундаментальная последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничена. <u>Доказательство:</u> По определению фундаментальной последовательности, для <math>\varepsilon = 1</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| < 1. </math> Зафиксируем <math>n = N</math>. Тогда для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x_N| < 1 \implies |x_m| < |x_N| + 1. </math> Таким образом, все элементы последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничены числом: <math> \max{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, |x_N| + 1}. </math> <u>Интуитивный смысл: </u> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность, элементы которой становятся всё ближе друг к другу по мере роста индекса. Формально это означает, что для любого сколь угодно малого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся номер <math>N</math>, начиная с которого все элементы последовательности отличаются друг от друга меньше чем на <math>\varepsilon</math>. Интуитивно это можно представить так: * Если элементы последовательности "сближаются" друг с другом, то они не могут "разбегаться" в бесконечность. * Начиная с некоторого момента, все элементы последовательности оказываются в ограниченной области, так как они не могут отдаляться друг от друга слишком сильно. <u>Почему это важно?</u> 1. Ограниченность фундаментальной последовательности — это важное свойство, которое помогает доказать её сходимость (в полных метрических пространствах, таких как <math>\mathbb{R}</math>). 2. Если последовательность не ограничена, то она не может быть фундаментальной, так как её элементы могут "уходить" в бесконечность, нарушая условие сближения. <u>Вывод:</u> Фундаментальная последовательность не может "разбегаться" в бесконечность, так как её элементы сближаются друг с другом. Это гарантирует, что все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, остаются в ограниченной области <b>Пример:</b> Рассмотрим последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math>, где <math>x_n = \frac{1}{n}</math>. Эта последовательность фундаментальна, так как для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно выбрать <math>N</math> так, что для всех <math>m, n \geq N</math> выполняется <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>. Пусть дано произвольное число <math>\varepsilon > 0</math>. Рассмотрим разность членов последовательности для произвольных индексов <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{|n - m|}{mn} </math> Оценим сверху эту разность: Заметим, что при <math>m, n \geq N</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{\max(m,n)}{mn} </math> Пусть без ограничения общности <math>n \geq m</math>, тогда <math>\max(m,n) = n</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N} </math> <u>Выбор <math>N</math>:</u> Согласно аксиоме Архимеда-Евдокса, для любого положительного действительного числа <math>\frac{1}{\varepsilon} > 0</math> существует натуральное число <math>N</math>, такое что <math>N > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Выберем <math>N</math> как наименьшее натуральное число, большее <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. <u>Формально:</u> <math>N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1</math>, где <math>\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math> — целая часть числа <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. Тогда для всех <math>n \geq N</math>: <math>n \geq N > \frac{1}{\varepsilon}</math>, откуда: <math>\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. <u>Сходимость последовательности</u> <u>Проверка условия</u> Для всех <math>n \geq N</math>: <math>|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon</math>, что удовлетворяет определению предела. <u>Вывод</u> Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> мы нашли <math>N</math>, такое что при <math>n \geq N</math> выполняется <math>|x_n - 0| < \varepsilon</math>. Значит, последовательность <math>{x_n} = \left\{\frac{1}{n}\right\}</math> сходится к <math>0</math>. <u>Дополнительное замечание:</u> Последовательность ограничена, так как все её члены <math>x_n = \frac{1}{n}</math> лежат в интервале <math>[0, 1]</math> (при <math>n \geq 1</math>: <math>0 < \frac{1}{n} \leq 1</math>). ||ignore|| Действительные числа введены как элемент фактор-множества фундаментальных последовательностей. Аксиома Архимеда-Евдокса утверждает, что для любых двух положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число n {\displaystyle n}, такое что: n ⋅ a > b . {\displaystyle n\cdot a>b.} Неравенство треугольника и аксиома Евклидка-Евдокса входят в список и не трубуют доказательства. Порядок доказательства теорем: Были определены арифметические операции между элементами фактор-множества, сравнение с рациональными числами и между элементами фактор-множества и доказана их корректность. <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — класс эквивалентности фундаментальных последовательностей <math>{x_n}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, таких что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>. Операции: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, и т.д. Порядок: <math>[x] < [y]</math>, если <math>y_n - x_n > \delta</math> для некоторого <math>\delta > 0</math> и всех больших <math>n</math>. Принцип вложенных интервалов. Сходимость монотонных последовательностей Сходимость сужающихся интервалов Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> ||END OF ignore|| === Определение порядка === <b>Определение порядка <math>[x] < a_n</math>:</b> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, где элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей <math>{x_m}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, эквивалентных друг другу по отношению <math>{x_m} \sim {y_m}</math>, если <math>x_m - y_m \to 0</math> при <math>m \to \infty</math>. Пусть <math>a_n \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Элемент фактор-множества <math>[x] < a_n</math>, если для любой фундаментальной последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что существует <math>M \in \mathbb{N}</math>, и для всех <math>m > M</math> выполняется: <math>a_n - x_m > \delta</math>. <u>Уточнения</u> * <math>{x_m}</math> — любая фундаментальная последовательность из <math>[x]</math>, то есть любая фундаментальная последовательность из <math>\mathbb{Q}</math>, принадлежащая этому элементу фактор-множества. * <math>\delta > 0</math> — рациональное число, которое может различаться для разных <math>{x_m}</math>, но всегда положительно. <u>Интуитивное пояснение</u> Представьте <math>[x]</math> как "облако" последовательностей, которые сжимаются к одной "точке" в <math>\mathbb{R}</math> — это как семья родственников, чуть разных на вид, но в сущности одинаковых. А <math>a_n</math> — это фиксированная отметка на числовой прямой, например, столбик с номером "5". Мы говорим, что <math>[x] < a_n</math>, если все представители этого облака (<math>{x_m}</math>) остаются слева от <math>a_n</math> и не подходят к нему ближе, чем на фиксированное расстояние <math>\delta</math>. Если <math>a_n = 1</math>, а <math>[x]</math> — это последовательности вроде <math>{0.9, 0.9, 0.9, \ldots}</math> или <math>{0.8, 0.85, 0.9, \ldots}</math> (эквивалентные, так как их разность стремится к 0), то <math>a_n - x_m</math> всегда положительно и не падает ниже какого-то уровня (например, 0.1). Значит, <math>[x]</math> "живёт" левее <math>a_n</math>. Если же <math>{x_m}</math> подбирается к <math>a_n</math> (например, <math>{0.99, 0.999, 0.9999, \ldots}</math>), то <math>a_n - x_m</math> становится сколь угодно малым, и условие не выполняется — тогда <math>[x] \not< a_n</math>. Это как проверка: если все "посланники" <math>[x]</math> держат дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>[x]</math> действительно "меньше". ==== Утверждение о независимости определения от выбора последовательности ==== <u>Утверждение:</u> определение <math>[x] < a_n</math> не зависит от выбора конкретной фундаментальной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. Это означает: <u>Прямая часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> выполняется для одной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>, то оно выполняется для любой другой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для какой-то последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то оно не выполняется и для любой другой последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. <u>Пояснение к переформулировке</u> <u>Прямая часть:</u> Охватывает случай, когда свойство "быть меньше <math>a_n</math>" присутствует у одной последовательности и распространяется на все остальные в <math>[x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Охватывает случай, когда свойство отсутствует у одной последовательности, и это отсутствие распространяется на все остальные, исключая противоречие внутри <math>[x]</math>. <u>Почему две части:</u> Вместе они гарантируют, что определение <math>[x] < a_n</math> либо истинно для всех последовательностей в <math>[x]</math>, либо ложно для всех, что делает порядок консистентным и независимым от выбора. <u>Доказательство</u> <u>Прямая часть: Если условие выполняется для одной последовательности, то для всех</u> <u>Дано:</u> Пусть для последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> найдётся <math>\delta_y > 0</math> и <math>M_y \in \mathbb{N}</math>, такие что <math>a_n - y_m > \delta_y</math> для всех <math>m > M_y</math>. <u>Эквивалентность последовательностей:</u> Так как <math>\left\{x_m\right\}, \left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, и <math>x_m - y_m \to 0</math>. Значит, для любого рационального <math>\eta > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \eta</math>. Выберем <math>\eta = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>Оценка <math>a_n - y_m</math>:</u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из доказанного выше, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>Выбор <math>\delta_y</math> и <math>M_y</math>:</u> Положим <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>. Для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Это удовлетворяет определению <math>[x] < a_n</math> для <math>\left\{y_m\right\}</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{x_m\right\}</math> держит дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>\left\{y_m\right\}</math>, будучи почти такой же (разница <math>x_m - y_m</math> исчезающе мала), тоже не может подойти слишком близко. Это как если один близнец стоит в метре от стены — второй, держась рядом, тоже не врежется в неё. <u>Вывод:</u> Условие <math>[x] < a_n</math>, выполненное для <math>\left\{x_m\right\}</math>, распространяется на любую <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть: Если условие не выполняется для одной последовательности, то не выполняется для всех</u> <u>Дано: </u> Пусть для некоторой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется, то есть не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> тоже не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - x_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>1. Эквивалентность последовательностей.</u> Так как <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, то <math>x_m - y_m \to 0</math>. Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \epsilon</math>. <u>2. Предположим от противного, что для <math>\left\{x_m\right\}</math> условие выполняется.</u> Допустим от противного, что существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Возьмём <math>\epsilon = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>3. Оценка <math>a_n - y_m</math></u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из шага 2, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>4. Противоречие:</u> Мы получили, что существует <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>, такие что для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Но это противоречит исходному условию, что для <math>\left\{y_m\right\}</math> не существует никакого <math>\delta > 0</math>, чтобы <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех больших <math>m</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{y_m\right\}</math> подбирается к <math>a_n</math> или пересекает его, то <math>\left\{x_m\right\}</math>, идущая рядом (разница <math>x_m - y_m \to 0</math>), не может стабильно держаться на расстоянии от <math>a_n</math>. Это как если один близнец подошёл вплотную к забору — второй, держась за руку, тоже не останется далеко. <u>Вывод:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для <math>\left\{y_m\right\}</math>, оно не выполняется и для любой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. === Определения арифметических операций и порядка === <nowiki> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это класс эквивалентности последовательностей <math>{x_n}</math>, где <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Все <math>x_n, y_n \in \mathbb{Q}</math>. 1. Арифметические операции Сложение: Для <math>[x], [y] \in \mathbb{R}</math> с представителями <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> определяем: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, где <math>{x_n + y_n}</math> — последовательность, полученная почленным сложением. Вычитание: <math>[x] - [y] = [{x_n - y_n}]</math>, где <math>{x_n - y_n}</math> — почленное вычитание. Умножение: <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, где <math>{x_n \cdot y_n}</math> — почленное умножение. Деление: <math>[x] / [y] = [{x_n / y_n}]</math> для <math>[y] \neq [0]</math>, где <math>[0] = [{0, 0, 0, \ldots}]</math>, при условии, что существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>y_n \neq 0</math>, и <math>{x_n / y_n}</math> — почленное деление. 2. Операции сравнения (порядок) Меньше: <math>[x] < [y]</math>, если для любых представителей <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > M</math>: <math>y_n - x_n > \delta</math>. Равенство: <math>[x] = [y]</math>, если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то есть <math>x_n - y_n \to 0</math>. Больше: <math>[x] > [y]</math>, если <math>[y] < [x]</math>, то есть существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что <math>x_n - y_n > \delta</math> для всех <math>n > M</math>. Доказательства корректности и независимости от выбора представителя Для каждой операции и сравнения нужно показать: Корректность: Результат — фундаментальная последовательность, и класс эквивалентности определён. Независимость: Результат не зависит от выбора конкретных <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> в <math>[x]</math> и <math>[y]</math>. 1. Сложение: <math>[x] + [y]</math> Корректность: <math>{x_n + y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |x_n - x_m + y_n - y_m| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, так что для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon/2</math> и <math>|y_n - y_m| < \epsilon/2</math> при <math>n, m > N</math>. Тогда <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| < \epsilon</math>. Независимость: Пусть <math>{x_n'} \sim {x_n}</math> и <math>{y_n'} \sim {y_n}</math>. Тогда: <math>(x_n + y_n) - (x_n' + y_n') = (x_n - x_n') + (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math> и <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n + y_n) - (x_n' + y_n')| \leq |x_n - x_n'| + |y_n - y_n'| \to 0</math>. Следовательно, <math>{x_n + y_n} \sim {x_n' + y_n'}</math>. Интуитивно: Сложение — это как складывать "средние значения" последовательностей, и мелкие отклонения внутри классов не влияют на итог. 2. Вычитание: <math>[x] - [y]</math> Корректность: <math>{x_n - y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n - y_n) - (x_m - y_m)| = |x_n - x_m - (y_n - y_m)| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. Аналогично сложению, <math>\epsilon</math>-оценка держится. Независимость: <math>(x_n - y_n) - (x_n' - y_n') = (x_n - x_n') - (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math>, <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n - y_n) - (x_n' - y_n')| \to 0</math>. <math>{x_n - y_n} \sim {x_n' - y_n'}</math>. Интуитивно: Разность сохраняет "расстояние" между точками, и мелкие вариации внутри классов его не меняют. 3. Умножение: <math>[x] \cdot [y]</math> Корректность: <math>{x_n \cdot y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n y_n - x_m y_m| = |x_n y_n - x_n y_m + x_n y_m - x_m y_m| = |x_n (y_n - y_m) + y_m (x_n - x_m)|</math> <math>\leq |x_n| |y_n - y_m| + |y_m| |x_n - x_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, значит ограничены: <math>|x_n| < K_x</math>, <math>|y_n| < K_y</math> для больших <math>n</math>. Для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon / (2 K_y)</math>, <math>|y_n - y_m| < \epsilon / (2 K_x)</math>, и тогда: <math>|x_n y_n - x_m y_m| < K_x \cdot \epsilon / (2 K_x) + K_y \cdot \epsilon / (2 K_y) = \epsilon</math>. Независимость: <math>x_n y_n - x_n' y_n' = x_n y_n - x_n y_n' + x_n y_n' - x_n' y_n' = x_n (y_n - y_n') + y_n' (x_n - x_n')</math>. <math>|x_n (y_n - y_n')| \leq K_x |y_n - y_n'| \to 0</math>, <math>|y_n' (x_n - x_n')| \leq K_y |x_n - x_n'| \to 0</math>. <math>|x_n y_n - x_n' y_n'| \to 0</math>, значит <math>{x_n y_n} \sim {x_n' y_n'}</math>. Интуитивно: Умножение "масштабирует" последовательности, и небольшие дрожания внутри классов гасятся. 4. Деление: <math>[x] / [y]</math> (при <math>[y] \neq [0]</math>) Корректность: Пусть <math>{y_n} \in [y]</math>, и <math>[y] \neq [0]</math>, то есть <math>y_n</math> не стремится к 0. Существует <math>\delta > 0</math> и <math>N</math>, такие что <math>|y_n| > \delta</math> для <math>n > N</math>. <math>{x_n / y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n / y_n - x_m / y_m| = |(x_n y_m - x_m y_n) / (y_n y_m)|</math>. Числитель: <math>|x_n y_m - x_m y_n| = |x_n y_m - x_n y_n + x_n y_n - x_m y_n| \leq |x_n| |y_m - y_n| + |y_n| |x_n - x_m|</math>. Для <math>n, m > N</math>: <math>|y_n|, |y_m| > \delta</math>, знаменатель <math>|y_n y_m| > \delta^2</math>. Ограниченность и фундаментальность дают сходимость с <math>\epsilon</math>. Независимость: <math>x_n / y_n - x_n' / y_n' = (x_n y_n' - x_n' y_n) / (y_n y_n')</math>. Числитель: <math>|x_n y_n' - x_n' y_n| \leq |x_n| |y_n' - y_n| + |y_n| |x_n - x_n'| \to 0</math>. Знаменатель ограничен снизу, итог <math>\to 0</math>. Интуитивно: Деление работает, если знаменатель не "исчезает", и мелкие изменения не ломают результат. 5. Порядок: <math>[x] < [y]</math> Корректность: Определение уже использует "любые представители", что подразумевает независимость, но проверим. Независимость: Пусть <math>{x_n} \sim {x_n'}</math>, <math>{y_n} \sim {y_n'}</math>. Если <math>[x] < [y]</math>, то <math>y_n - x_n > \delta</math> для больших <math>n</math>. <math>y_n' - x_n' = (y_n' - y_n) + (y_n - x_n) + (x_n - x_n')</math>. <math>|y_n' - y_n| \to 0</math>, <math>|x_n - x_n'| \to 0</math>, и для больших <math>n</math>: <math>y_n' - x_n' > \delta - \epsilon</math> (где <math>\epsilon</math> мала), то есть найдётся <math>\delta' > 0</math>. Обратно, если <math>y_n - x_n \not> \delta</math> (например, <math>\to 0</math>), то <math>y_n' - x_n'</math> тоже не держит дистанцию. Интуитивно: Порядок смотрит на "разрыв" между последовательностями, и эквивалентность его сохраняет. Пусть <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — элемент фактор-множества, соответствующий фундаментальной последовательности <math>\{x_n\}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, причем <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>, то есть <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Определим операцию сравнения между рациональным числом <math>q \in \mathbb{Q}</math> и элементом фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Сравнение задается следующим образом: - <math>q < [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q > [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n < q - \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q = [x]</math>, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нам нужно доказать корректность этого определения, то есть показать, что оно не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. ### Доказательство корректности Предположим, что <math>[x] = [y]</math>, то есть <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, и <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Пусть <math>q \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Рассмотрим три случая сравнения. #### 1. Случай <math>q < [x]</math> Предположим, что <math>q < [x]</math>. Тогда по определению существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n > q + \delta</math>. Нужно показать, что <math>q < [y]</math>, то есть существует <math>\delta' > 0</math> и <math>N_3 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_3</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Тогда существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math>: <math>|x_n - y_n| < \frac{\delta}{2}</math>. Поскольку <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N_2</math>, рассмотрим <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) > x_n - |x_n - y_n| > q + \delta - \frac{\delta}{2} = q + \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Таким образом, для всех <math>n > N</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>, что означает <math>q < [y]</math>. #### 2. Случай <math>q > [x]</math> Предположим, что <math>q > [x]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n < q - \delta</math>. Нужно показать, что <math>q > [y]</math>. Аналогично, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Для всех <math>n > N_1</math> имеем <math>|x_n - y_n| < \delta/2</math>. Для <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) < x_n + |x_n - y_n| < q - \delta + \frac{\delta}{2} = q - \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Тогда <math>y_n < q - \delta'</math> для всех <math>n > N</math>, что означает <math>q > [y]</math>. #### 3. Случай <math>q = [x]</math> Предположим, что <math>q = [x]</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нужно показать, что <math>q = [y]</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, для любого <math>\varepsilon' > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что <math>|x_n - y_n| < \varepsilon'</math> для всех <math>n > N_1</math>. Возьмем <math>\varepsilon' = \varepsilon/2</math> и <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|y_n - q| = |(y_n - x_n) + (x_n - q)| \leq |y_n - x_n| + |x_n - q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>. Следовательно, <math>q = [y]</math>. ### Вывод Мы показали, что определение сравнения <math>q < [x]</math>, <math>q > [x]</math> и <math>q = [x]</math> не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. Таким образом, операция сравнения между рациональным числом и элементом фактор-множества корректна. </nowiki> === 5. Принцип вложенных интервалов. === <b>Теорема о вложенных отрезках</b> <u>Утверждение:</u> (или принцип вложенных интервалов) Пусть дана последовательность замкнутых интервалов <math>I_n = [a_n, b_n]</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные числа), n=1,2,3,…n=1,2,3,…, такая что: * Каждый интервал вложен в предыдущий: <math>I_{n+1} \subseteq I_n</math>, то есть <math>a_n \leq a_{n+1}</math> и <math>b_{n+1} \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. * Длина интервалов стремится к нулю: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. Тогда существует ровно один элемент <math>[x]</math> в <math>\mathbb{R}</math> (как элемент в фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел), такой что: <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. [[File:Теорема о вложенных отрезках.png|420px|Теоремао вложенных отрезках]] <u>Доказательство:</u> <u>Шаг 1: Свойства последовательностей <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Даны последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math>: <math>a_n \leq a_{n+1}</math> — <math>\left\{a_n\right\}</math> монотонно неубывающая. <math>b_{n+1} \leq b_n</math> — <math>\left\{b_n\right\}</math> монотонно невозрастающая. Из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math> для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math>: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> идёт вправо или стоит, <math>b_n</math> — влево или стоит, и они сближаются. <u>Шаг 2: Фундаментальность последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{a_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>, значит <math>0 \leq a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|a_n - a_m| = a_n - a_m \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. Значит, <math>|a_m - a_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 3: Фундаментальность последовательности <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{b_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math> (из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math>), значит <math>0 \leq b_n - b_m \leq b_n - a_m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m</math> (так как <math>b_m \leq b_n</math> из монотонности), и <math>b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|b_n - b_m| = b_m - b_n \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>b_n</math> и <math>b_m</math> сближаются, потому что их "ограничивает" сжимающееся расстояние до <math>a_n</math> и <math>a_m</math>. Значит, <math>|b_m - b_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 4: Построение <math>[x]</math></u> В <math>\mathbb{R}</math>, как фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, каждый элемент — это множество эквивалентных фундаментальных последовательностей, где <math>{a_n} \sim {c_n}</math>, если <math>a_n - c_n \to 0</math>. Поскольку <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна, она определяет элемент фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Также <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна, и пусть она определяет элемент <math>[y] \in \mathbb{R}</math>. Проверим, что <math>[x] = [y]</math>: * Для всех <math>n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n < \epsilon</math> при <math>n > N</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math>. * По определению фактор-множества, если <math>b_n - a_n \to 0</math>, то <math>{a_n} \sim {b_n}</math>, и <math>[x] = [y]</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> и <math>b_n</math> сжимаются друг к другу и представляют один элемент в <math>\mathbb{R}</math>. <u>Шаг 5: Проверка, что <math>[x]</math> лежит во всех интервалах</u> Мы хотим убедиться, что <math>[x]</math> всегда находится внутри каждого <math>[a_n, b_n]</math>, то есть <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>A. Докажем, что <math>a_n \leq [x]</math></u> Предположим от противного, что <math>[x] < a_n</math>. Это значит, что для любой последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>a_n - x_m > \delta</math>. Так как <math>a_m \geq a_n</math> для <math>m \geq n</math> (из монотонности <math>{a_n}</math>), то: <math>a_m - x_m \geq a_n - x_m > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>a_m</math> и <math>x_m</math> всегда есть зазор, который не исчезает. Но <math>{a_n}</math> сама лежит в <math>[x]</math> (так как <math>[x]</math> — это элемент фактор-множества, заданный <math>{a_n}</math>), и <math>a_m - a_n \to 0</math>, потому что <math>{a_n}</math> фундаментальна. Это противоречие: если <math>a_m - a_n</math> становится сколь угодно малым, а <math>a_m - x_m > \delta</math>, то <math>x_m</math> не может быть представителем <math>{a_n}</math>. Значит, <math>[x] < a_n</math> невозможно, и верно, что <math>a_n \leq [x]</math>. <u>B. Докажем, что <math>[x] \leq b_n</math></u> Предположим от противного, что пусть <math>[x] > b_n</math>. Тогда для любой <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>x_m - b_n > \delta</math>. Из вложенности <math>a_m \leq b_n</math> для <math>m \geq n</math>, следовательно: <math>x_m - a_m \geq x_m - b_n > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>x_m</math> и <math>a_m</math> остаётся постоянный зазор. Но <math>{a_n} \in [x]</math>, и <math>x_m - a_m \to 0</math> (так как <math>{a_n}</math> определяет <math>[x]</math>), а <math>b_n - a_n \to 0</math> по условию теоремы. Это противоречие: <math>x_m - a_m</math> не может быть больше фиксированного <math>\delta</math>, если оно стремится к нулю. Значит, <math>[x] > b_n</math> невозможно, и верно, что <math>[x] \leq b_n</math>. <u>Вывод:</u> Мы показали, что <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>, то есть <math>[x]</math> лежит в каждом интервале <math>[a_n, b_n]</math>. Следовательно: <math>[x] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>. <b>Шаг 6: Уникальность <math>[x]</math></b> Проверим, что <math>[x]</math> — единственный элемент, лежащий во всех интервалах <math>I_n = [a_n, b_n]</math>. Предположим от противного: Существует <math>[z] \neq [x]</math>, такой что <math>[z] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>, то есть <math>a_n \leq [z] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>Интуитивно:</u> Интервалы сжимаются, их ширина <math>b_n - a_n \to 0</math>, и два разных элемента фактор-множества не должны уместиться в таком узком пространстве. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math>, возможны два случая: <math>[z] > [x]</math> или <math>[z] < [x]</math>. <u>A. Случай <math>[z] > [x]</math></u> Рассмотрим первый случай: пусть <math>[z] > [x]</math>. По определению порядка: для любых представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>z_m - x_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>, где <math>\delta</math> — нижняя граница разности <math>z_m - x_m</math> для больших <math>m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> становится уже, чем зазор между <math>[x]</math> и <math>[z]</math>. Но из условия <math>[z] \in [a_n, b_n]</math> и <math>[x] \in [a_n, b_n]</math> следует: <math>a_n \leq [x] < [z] \leq b_n</math>. Возьмём представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>. Для больших <math>m</math>: <math>a_n \leq x_m < z_m \leq b_n</math>, Тогда <math>z_m - x_m \leq b_n - x_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>x_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>z_m - x_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>z_m - x_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>z_m - x_m</math> не может быть одновременно больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math>. Значит, случай <math>[z] > [x]</math> невозможен. <u>B. Случай <math>[z] < [x]</math></u> Рассмотрим второй случай: пусть <math>[z] < [x]</math>. По определению: существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math <math>x_m - z_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>. Существует <math>N</math>, такое что для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> уже, чем расстояние между <math>[z]</math> и <math>[x]</math>. Но <math>a_n \leq [z] < [x] \leq b_n</math>. Для представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>: <math>a_n \leq z_m < x_m \leq b_n</math>, Тогда <math>x_m - z_m \leq b_n - z_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>z_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>x_m - z_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>x_m - z_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>x_m - z_m</math> не может быть больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math> одновременно. Значит, случай <math>[z] < [x]</math> невозможен. <u>Вывод:</u> Мы предположили от противного, что <math>[z] \neq [x]</math>, и рассмотрели два случая: * <math>[z] > [x]</math> ведёт к противоречию, * <math>[z] < [x]</math> тоже ведёт к противоречию. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math> невозможно, остаётся только <math>[z] = [x]</math>. <u>Интуитивно:</u> Сжимающиеся интервалы "прижимают" все элементы фактор-множества к одной точке — <math>[x]</math>. <u>Общий вывод:</u> Существует ровно один <math>[x] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. === <b>Определение sup:</b> === <nowiki> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел, ограниченное сверху (то есть существует элемент <math>[M] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \leq [M]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math> называется ''верхней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[s] = \sup S</math>, если выполняются два условия: <math>[s]</math> — верхняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \leq [s]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[s]</math> — наименьшая из всех верхних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая верхняя граница (<math>[x] \leq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[s] \leq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено сверху, то говорят, что <math>\sup S = +\infty</math> (формально это не элемент <math>\mathbb{R}</math>, а условное обозначение). Определение инфимума: Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное снизу (то есть существует элемент <math>[m] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \geq [m]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[i] \in \mathbb{R}</math> называется ''нижней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[i] = \inf S</math>, если выполняются два условия: <math>[i]</math> — нижняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \geq [i]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[i]</math> — наибольшая из всех нижних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая нижняя граница (<math>[x] \geq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[i] \geq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено снизу, то говорят, что <math>\inf S = -\infty</math> (также условное обозначение, а не элемент <math>\mathbb{R}</math>). Обоснование существования <math>\sup S</math> и <math>\inf S</math> в нашем <math>\mathbb{R}</math> будет приведено ниже (см. доказательство теоремы о гранях). Пример 1: Ограниченное множество с максимумом и минимумом Пусть <math>S = {[1], [2], [3], [4]}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math> — элемент фактор-множества, представляющий рациональное число <math>n</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество ограничено сверху, например, элементом <math>[5]</math>, так как <math>[x] \leq [5]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (для представителей <math>x_m \leq 5</math> при больших <math>m</math>). Наименьшая верхняя граница — это максимальный элемент множества, то есть <math>[4]</math>, поскольку <math>[x] \leq [4]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] < [4]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>4 - t_m > \delta</math>, но <math>[4]</math> в <math>S</math>). Таким образом, <math>\sup S = [4]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, элементом <math>[0]</math>, так как <math>[x] \geq [0]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (<math>x_m \geq 0</math>). Наибольшая нижняя граница — это минимальный элемент множества, то есть <math>[1]</math>, поскольку <math>[x] \geq [1]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] > [1]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>t_m - 1 > \delta</math>, но <math>[1] \in S</math>). Таким образом, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 2: Ограниченное множество без максимума и минимума Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [0] < [x] < [1], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, представляющих рациональные последовательности между <math>[0]</math> и <math>[1]</math>, не включая границы. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [1]</math> (где <math>[1] = [{1, 1, \ldots}]</math>), и <math>[1]</math> — верхняя граница, так как <math>x_n < 1 - \delta</math> для больших <math>n</math>. Нет меньшего элемента <math>[t] < [1]</math>, который был бы верхней границей: если <math>[t] < [1]</math>, то <math>1 - t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = (t_n + 1)/2</math>, где <math>t_n < x_n < 1</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [1]</math>. (Заметим, что <math>[1] \notin S</math>, так как <math>[x] < [1]</math>, и максимума нет.) Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] > [0]</math> (где <math>[0] = [{0, 0, \ldots}]</math>), и <math>[0]</math> — нижняя граница. Нет большего элемента <math>[t] > [0]</math>, который был бы нижней границей: если <math>[t] > [0]</math>, то <math>t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>0 < x_n < t_n</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] < [t]</math>. Следовательно, <math>\inf S = [0]</math>. (Заметим, что <math>[0] \notin S</math>, так как <math>[x] > [0]</math>, и минимума нет.) Пример 3: Множество, ограниченное снизу, но не сверху Пусть <math>S = { [n] \in \mathbb{R} \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 1 }</math> = <math>{[1], [2], [3], \ldots}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество не ограничено сверху: для любого <math>[M] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{M_n}</math>) существует <math>n > M_n</math> для больших <math>n</math> (по свойству рациональных чисел), и <math>[n] > [M]</math>. Следовательно, <math>\sup S = +\infty</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, <math>[0]</math>, так как <math>[n] \geq [0]</math>. Наибольшая нижняя граница — <math>[1]</math>, так как <math>[n] \geq [1]</math> для всех <math>[n] \in S</math>, и <math>[1] \in S</math>, а любое <math>[t] > [1]</math> не является нижней границей. Значит, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 4: Множество, ограниченное сверху, но не снизу Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [x] < [0], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, меньших <math>[0]</math>, с рациональными последовательностями. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [0]</math>, и <math>[0]</math> — верхняя граница. Нет меньшего <math>[t] < [0]</math>, которое было бы верхней границей: если <math>[t] < [0]</math>, то <math>-t_n > \delta</math>, и можно взять <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>t_n < x_n < 0</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [0]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество не ограничено снизу: для любого <math>[m] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{m_n}</math>) можно взять рациональное <math>x_n = m_n - 1</math>, где <math>x_n < m_n</math>, и <math>[x] < [m]</math>, при этом <math>[x] < [0]</math>, так что <math>[x] \in S</math>. Следовательно, <math>\inf S = -\infty</math>. Замечание Если множество <math>S</math> содержит свой максимум (<math>\max S</math>), то <math>\sup S = \max S</math>. Если множество <math>S</math> содержит свой минимум (<math>\min S</math>), то <math>\inf S = \min S</math>. Для неограниченных множеств <math>\sup S</math> или <math>\inf S</math> принимают значения <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, которые не являются элементами <math>\mathbb{R}</math>, а используются как условные обозначения. </nowiki> === 5.91 Сходимость монотонных последовательностей === <b>Теорема. </b> Всякая монотонная ограниченная последовательность в <math>\mathbb{R}</math> имеет предел. <nowiki> Пусть <math>{[a_n]}</math> — последовательность в <math>\mathbb{R}</math>, где: <math>{[a_n]}</math> неубывающая, т.е. <math>[a_n] \leq [a_{n+1}]</math> для всех <math>n</math>, <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, т.е. существует <math>[b] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \leq [b]</math> для всех <math>n</math>. Тогда существует <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \to [s]</math>, т.е. для любого <math>\varepsilon > 0</math> (где <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, для всех <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] < \varepsilon</math>. Доказательство Шаг 1: Построение вложенных интервалов Так как <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, выберем верхнюю грань <math>[b_0] \in \mathbb{R}</math> (существование верхней грани пока предполагаем, но позже обоснуем). Начнём с интервала <math>[l_1, u_1]</math>: <math>l_1 = a_1</math> (рациональное число из последовательности, представляющей <math>[a_1]</math>), <math>u_1 = b_{0,N}</math> — рациональное число из последовательности <math>{b_{0,n}}</math> для <math>[b_0]</math>, такое что <math>[a_1] < u_1</math> (возможно благодаря аксиоме Архимеда и порядку). Теперь индуктивно строим вложенные интервалы <math>[l_n, u_n]</math>: Определим <math>m_n = \frac{l_n + u_n}{2}</math> (рациональное число, так как <math>l_n, u_n \in \mathbb{Q}</math>). Если <math>[a_k] \leq m_n</math> для всех <math>k</math> (т.е. <math>m_n</math> — верхняя грань на данном шаге), то: <math>u_{n+1} = m_n</math>, <math>l_{n+1} = l_n</math>. Если существует <math>k</math>, такое что <math>[a_k] > m_n</math>, то: <math>l_{n+1} = m_n</math>, <math>u_{n+1} = u_n</math>. Свойства: <math>l_n \leq l_{n+1} \leq u_{n+1} \leq u_n</math>, интервалы вложены. <math>u_{n+1} - l_{n+1} = \frac{u_n - l_n}{2}</math>, длина уменьшается вдвое. Шаг 2: Длина интервалов стремится к нулю Обозначим <math>d_1 = u_1 - l_1 > 0</math>. Тогда: <math>u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>. По аксиоме Архимеда для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>) существует <math>N</math>, такое что: <math>2^{N-1} \cdot \varepsilon > d_1</math>, или: <math>\frac{d_1}{2^{N-1}} < \varepsilon</math>. Таким образом, <math>u_n - l_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Шаг 3: Последовательности <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> фундаментальны Для <math>m > n</math>: <math>|l_m - l_n| = l_m - l_n \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>l_n</math> неубывает. Поскольку <math>\frac{d_1}{2^{n-1}} \to 0</math>, <math>{l_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>. Аналогично: <math>|u_n - u_m| = u_n - u_m \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>u_n</math> невозрастает. Значит, <math>{u_n}</math> тоже фундаментальна. Поскольку <math>\mathbb{R}</math> — это фактор-множество фундаментальных последовательностей, существуют пределы: <math>{l_n} \to [s]</math>, <math>{u_n} \to [t]</math>. Шаг 4: Единый предел Так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, рассмотрим разность: <math>0 \leq u_n - l_n</math>. В пределе: <math>[t] - [s] = [{u_n - l_n}]</math>, и так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, то <math>[t] - [s] = [0]</math>, т.е. <math>[t] = [s]</math>. Следовательно, <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> сходятся к одному <math>[s]</math>. Шаг 5: <math>{[a_n]} \to [s]</math> <math>l_n \leq a_{n,k} \leq u_n</math> для представителей <math>{a_{n,k}}</math> из <math>[a_n]</math>, так как <math>l_n</math> всегда ниже какого-то <math>[a_k]</math>, а <math>u_n</math> — верхняя граница. Поскольку <math>l_n \to [s]</math> и <math>u_n \to [s]</math>, а <math>u_n - l_n \to 0</math>, то для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, где <math>u_n - l_n < \varepsilon</math>, и для <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] \leq u_n - l_n < \varepsilon</math> (в смысле порядка с рациональными числами). Таким образом, <math>[a_n] \to [s]</math>. </nowiki> === 5.92 Сходимость сужающихся интервалов === <nowiki> Пусть <math>{a_n}</math> — неубывающая последовательность рациональных чисел (<math>a_n \leq a_{n+1}</math>), <math>{b_n}</math> — невозрастающая последовательность рациональных чисел (<math>b_n \geq b_{n+1}</math>), и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>: <math>a_n \leq b_n</math>, <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Тогда последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> определяют один и тот же элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, т.е. <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и сходятся к одному пределу <math>[s]</math>. Доказательство Фундаментальность <math>{a_n}</math>: Так как <math>{a_n}</math> неубывает, для <math>m > n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>. Следовательно, для <math>m, n > N</math>: <math>|a_m - a_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{a_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[s] = [{a_n}]</math>. Фундаментальность <math>{b_n}</math>: Так как <math>{b_n}</math> невозрастает, для <math>m > n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n</math>, потому что <math>a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>, и для <math>m, n > N</math>: <math>|b_m - b_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{b_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[t] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[t] = [{b_n}]</math>. Совпадение пределов <math>[s] = [t]</math>: Рассмотрим разность <math>b_n - a_n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n</math>. Поскольку <math>b_n - a_n \to 0</math>, последовательность <math>{b_n - a_n}</math> фундаментальна и сходится к нулю в <math>\mathbb{Q}</math>, т.е. <math>[{b_n - a_n}] = [0]</math>. По определению операций в <math>\mathbb{R}</math>: <math>[{b_n}] - [{a_n}] = [{b_n - a_n}] = [0]</math>, следовательно: <math>[t] - [s] = [0]</math>, или <math>[t] = [s]</math>. Проверим через порядок: Предположим <math>[s] < [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>t_k - s_k > \delta</math> для всех больших <math>k</math>, где <math>{s_k}</math> и <math>{t_k}</math> — представители <math>[s]</math> и <math>[t]</math>. Но <math>b_n - a_n \to 0</math>, и для достаточно большого <math>n</math>: <math>b_n - a_n < \delta/2</math>, что противоречит <math>t_k - s_k > \delta</math>, так как <math>a_n \to [s]</math>, <math>b_n \to [t]</math>, и разность не может быть больше <math>\delta</math>. Значит, <math>[s] = [t]</math>. Вывод: Обе последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и определяют один элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. Таким образом, они сходятся к <math>[s]</math>. Интуиция <math>{a_n}</math> "поднимается", <math>{b_n}</math> "опускается", а расстояние между ними сокращается до нуля. Так как они рациональны и фундаментальны, они задают один класс эквивалентности в <math>\mathbb{R}</math>, что и есть их общий предел <math>[s]</math>. </nowiki> === 6. Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) === <u>Утверждение</u>: Любое непустое подмножество <math>S \subseteq \mathbb{R}</math>, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань (супремум). Аналогично, любое непустое подмножество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань (инфимум). <u>Доказательство (супремум):</u> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество множества элементов фактор-множества <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное сверху. Тогда существует элемент <math>[s]</math>, который является точной верхней гранью <math>S</math>, то есть: * <math>[s]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. для любого <math>[x] \in S</math> выполнено <math>[x] \leq [s]</math>, * <math>[s]</math> — наименьшая верхняя грань, т.е. если <math>[t]</math> — любая другая верхняя грань <math>S</math>, то <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Шаг 1: Выбор начального интервала <math>[a_1], [b_1]</math></u> Так как <math>S</math> непусто и ограничено сверху, существуют: * <math>[x_1] \in S</math> с последовательностью <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math>, * <math>[b]</math> — верхняя грань <math>S</math>, такая что <math>[x] \leq [b]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. Если <math>S = {[x_1]}</math>, то <math>[x_1]</math> — супремум (очевидно: <math>[x_1] \leq [x_1]</math>, и любой <math>[t] < [x_1]</math> не покрывает <math>[x_1]</math>), и доказательство завершено. Иначе <math>S</math> содержит хотя бы два элемента. <u>Лемма 1: Выбор начальных границ</u> <u>Утверждение:</u> Существует <math>a_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>a_1 < [x_1]</math>, и <math>b_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. <u>Доказательство:</u> Для <math>a_1</math>: Так как <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math> фундаментальна, существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n, m > N_1</math>: <math>|x_{1,n} - x_{1,m}| < \frac{1}{2}</math>. Положим: <math>a_1 = x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}</math>. Тогда для <math>n > N_1</math>: <math>x_{1,n} - a_1 = x_{1,n} - (x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}) = (x_{1,n} - x_{1,N_1+1}) + \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>, значит, <math>a_1 < [x_1]</math>. Для <math>b_1</math>: Поскольку <math>[x_1] < [b]</math>, существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>b_n - x_{1,n} > \delta</math> для <math>n > N</math>. Выберем <math>N</math>, где <math>|b_n - [b]| < \frac{\delta}{2}</math> и <math>|x_{1,n} - [x_1]| < \frac{\delta}{2}</math>. Тогда: <math>b_n - x_{1,n} > \delta - \frac{\delta}{2} - \frac{\delta}{2} = 0</math>. Положим <math>b_1 = b_{N+1}</math>, и <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. Итак: <math>[a_1] < [x_1] \leq [b_1]</math>. Конец доказательства леммы 1. <u>Интуиция:</u> Мы берём "окно", где <math>a_1</math> ниже элемента <math>S</math>, а <math>b_1</math> выше всех <math>S</math>. <u>Шаг 2: Индуктивное построение вложенных интервалов</u> Для каждого <math>n \in \mathbb{N}</math>, имея <math>a_n</math> и <math>b_n</math>, определяем: <math>c_n = \frac{a_n + b_n}{2}</math>. * Если <math>[x] \leq [c_n]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, то <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>. * Если существует <math>[x] \in S</math>, такое что <math>[x] > [c_n]</math>, то <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>. <u>Лемма 2: Уменьшение длины интервала</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2} (b_n - a_n)</math>. <u>Доказательство:</u> * Если <math>[c_n]</math> — верхняя грань: <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = c_n - a_n = \frac{a_n + b_n}{2} - a_n = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. * Если <math>[x] > [c_n]</math>: <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = b_n - c_n = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. Конец доказательства леммы 2. <u>Лемма 3: Геометрическое уменьшение и сходимость</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}}</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. <u>Доказательство:</u> <u>База:</u> Для <math>n = 1</math>: <math>b_1 - a_1 = \frac{b_1 - a_1}{2^{1-1}}</math>. <u>Индукция:</u> Пусть для <math>n = k</math>: <math>b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}}</math>. Тогда по Лемме 2: <math>b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{1}{2} (b_k - a_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}} = \frac{b_1 - a_1}{2^k} = \frac{b_1 - a_1}{2^{(k+1)-1}}</math>. <u>Сходимость:</u> Для <math>\varepsilon > 0</math> выберем <math>N</math>, где <math>2^{N-1} > \frac{b_1 - a_1}{\varepsilon}</math>. Тогда для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} < \varepsilon</math>, значит, <math>b_n - a_n \to 0</math>. Конец доказательства леммы 3. <u>Шаг 3: Определение <math>[s]</math></u> <math>\left\{a_n\right\}</math> неубывает, <math>\left\{b_n\right\}</math> невозрастает (по построению). <math>a_n \leq b_n</math> и <math>b_n - a_n \to 0</math> (Лемма 3). По лемме о сходимости сужающихся интервалов: <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math> сходятся к одному <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. <u>Шаг 4: <math>[s]</math> — супремум <math>S</math></u> * <u><math>[s]</math> — верхняя грань:</u> Для любого <math>[x] \in S</math>, <math>[x] \leq [b_n]</math> для всех <math>n</math>. Так как <math>b_n \to [s]</math> (Лемма о сходимости сужающихся интервалов), то <math>[x] \leq [s]</math>. <u>Интуиция:</u> <math>b_n</math> — "потолок" над <math>S</math>, и <math>[s]</math> — его предел, выше всех элементов <math>S</math>. * <u><math>[s]</math> — наименьшая:</u> Пусть <math>[t]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. <math>[x] \leq [t]</math>. Предположим <math>[s] > [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>s_n - t_n > \delta</math> для <math>n > N</math>, где <math>{t_n}</math> представляет <math>[t]</math>. Так как <math>a_n \to [s]</math>, для <math>\varepsilon = \delta/2</math> существует <math>M</math>, где <math>n </math>: <math>|a_n - s_n| < \delta/2</math>, <math>a_n > s_n - \delta/2 > t_n + \delta/2</math>. По построению, существует <math>[x] \in S</math>, где <math>[x] > a_n</math>, значит <math>[x] > t_n + \delta/2</math>, что противоречит <math>[x] \leq [t]</math>. Следовательно, <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Интуиция:</u> Если <math>[s] > [t]</math>, <math>a_n</math> превышает <math>[t]</math>, а за <math>a_n</math> есть <math>[x] \in S</math>, что ломает верхнюю грань <math>[t]</math>. <u>Вывод</u> <math>[s]</math> — супремум <math>S</math>. Для инфимума доказательство симметрично с заменой "ограниченная сверху" на "ограниченная снизу", "точная верхняя грань" на "точная нижняя грань" и т.п. === 6.1 === <b>Теорема:</b> Всякое полное упорядоченное поле <math>(F, +, \cdot, <)</math> является архимедовым. <b>Определения:</b> 1. <b>Упорядоченное поле:</b> Поле <math>F</math> с отношением полного порядка <math><</math>, согласованным с операциями поля: * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a < b</math>, то <math>a+c < b+c</math> для любого <math>c \in F</math>. * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a > 0</math> и <math>b > 0</math>, то <math>a \cdot b > 0</math>. 2. <b>Полнота (Аксиома о наименьшей верхней границе):</b> Любое непустое подмножество <math>A \subset F</math>, ограниченное сверху в <math>F</math>, имеет точную верхнюю грань (супремум) в <math>F</math>, обозначаемую <math>\sup A</math>. 3. </b>Архимедово свойство:</b> (оно же аксиома Архимеда-Евдокса) Для любых <math>x, y \in F</math> таких, что <math>x > 0</math> и <math>y > 0</math>, существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>nx > y</math>. (Здесь <math>nx</math> означает <math>x + x + \dots + x</math> <math>n</math> раз, а <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> рассматривается как подмножество <math>F</math> через вложение <math>1, 1+1, 1+1+1, \dots</math>). </b>Доказательство (методом от противного):</b> Допустим от противного, что <math>F</math> является полным упорядоченным полем, но не является архимедовым. Т.е. существуют элементы <math>x \in F</math> и <math>y \in F</math> такие, что <math>x > 0</math>, <math>y > 0</math> и для всех натуральных чисел <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется неравенство <math>nx \le y</math>. Определим подмножество <math>S \subset F</math> следующим образом: <math display="block"> S = \{nx \mid n \in \mathbb{N}\} </math> Свойства множества S: * Множество <math>S</math> непусто, так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>x = 1x \in S</math>. * Множество <math>S</math> ограничено сверху. По нашему предположению из шага 2, элемент <math>y</math> является верхней границей для <math>S</math>, так как <math>nx \le y</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, то есть для всех элементов <math>nx \in S</math>. Поскольку <math>F</math> — полное упорядоченное поле, а <math>S</math> — непустое, ограниченное сверху подмножество <math>F</math>, то у <math>S</math> существует точная верхняя грань (супремум) в <math>F</math>. Обозначим эту грань через <math>s</math>: <math display="block"> s = \sup S </math> По определению супремума, <math>s</math> является верхней границей <math>S</math>. Так как <math>s</math> — *наименьшая* верхняя граница, то любое число, меньшее <math>s</math>, уже не является верхней границей для <math>S</math>. Рассмотрим элемент <math>s - x</math>. Поскольку <math>x > 0</math>, то <math>s - x < s</math>. Следовательно, <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>. Поскольку <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>, то по определению верхней границы существует хотя бы один элемент в <math>S</math>, который больше <math>s - x</math>. Пусть этот элемент равен <math>mx</math> для некоторого <math>m \in \mathbb{N}</math>: <math display="block"> mx > s - x </math> Прибавим <math>x</math> к обеим частям неравенства (используя свойство упорядоченного поля): <math display="block"> mx + x > (s - x) + x </math> <math display="block"> (m+1)x > s </math> Поскольку <math>m \in \mathbb{N}</math>, то <math>m+1</math> также является натуральным числом (<math>m+1 \in \mathbb{N}</math>). Следовательно, элемент <math>(m+1)x</math> по определению множества <math>S</math> принадлежит этому множеству: <math>(m+1)x \in S</math>. Мы получили, что существует элемент <math>(m+1)x \in S</math>, для которого выполняется <math>(m+1)x > s</math>. Однако <math>s = \sup S</math> — это верхняя граница множества <math>S</math>, что по определению означает, что для **любого** элемента <math>z \in S</math> должно выполняться <math>z \le s</math>. Неравенство <math>(m+1)x > s</math> противоречит тому, что <math>s</math> является верхней границей для <math>S</math>. Мы пришли к противоречию теорема доказана. Таким образом, любое полное упорядоченное поле <math>F</math> обязательно является архимедовым. Поэтому для поля действительных чисел ℝ она просто постулируется, а для рациональный чисел Q её оказывается возможным доказать как теорему. <b>Замечание:</b> Теорема о гранях доказывает свойство полноты определённое выше. Последняя теорема выше доказывает, непротиворечивость нашей системы аксиом для действительных чисел (отрицание аксиомы Архимеда-Евдокса ложно). === 8. <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> === ... <u>Шаг 4: Заключение</u> Таким образом, последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> сходится к действительному числу <math>x</math>, которое определяется как элемент фактор-множества <math>[ \left\{ x_n \right\} ]</math>. Это завершает доказательство. <u>Итог:</u> Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу, которое определяется как элемент фактор-множества всех последовательностей, сходящихся к тому же пределу. <b>Интуитивный смысл: </b> Фундаментальная последовательность — это такая последовательность, члены которой с ростом индекса становятся всё ближе друг к другу и "устаканиваются" вокруг какого-то значения. Интуитивно, если расстояние между членами последовательности становится сколь угодно малым, она должна приближаться к некоторой фиксированной точке — пределу. В данном случае мы показываем, что этот предел существует и является действительным числом. +++ 9. Любая сходящая последовательность является последовательностью Коши. 10. Любая сходящая последовательность ограничена. 11. Множество рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } плотно в множестве действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} }. 12. Множество действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } плотно в себе. 13. Определение арифметических операций. <b>14. Плотность рациональных чисел в действительных числах</b> <u>Утверждение: </u> Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>\varepsilon > 0</math>. По определению действительных чисел, <math>x</math> представляется как эквивалентность фундаментальной последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math>. По аксиоме Архимеда, существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> \frac{1}{n} < \varepsilon. </math> Выберем <math>N</math> так, чтобы для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x| < \varepsilon. </math> Тогда <math>x_N</math> — рациональное число, удовлетворяющее условию: <math> |x - x_N| < \varepsilon. </math> Таким образом, рациональные числа плотны в <math>\mathbb{R}</math>. <b>15. Плотность действительных чисел</b> <u>Утверждение:</u> Множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> обладает свойством плотности в себе, то есть для любых двух различных чисел <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, где <math>x < y</math>, существует <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>x < z < y</math>. <u>Доказательство:</u> Как было доказано выше множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, т.е. для любых <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x < y</math>, существует рациональное число <math>q \in \mathbb{Q}</math>, удовлетворяющее условию: <math> x < q < y. </math> Поскольку <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то <math>q</math> также является действительным числом, то есть <math>q \in \mathbb{R}</math>. Следовательно, мы нашли <math>z = q</math>, где <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что: <math> x < z < y. </math> Таким образом, между любыми двумя действительными числами всегда найдётся другое действительное число, что и доказывает, что <math>\mathbb{R}</math> плотно в себе. ==== Арифметика (опр.) ==== ==== Бесконечная десятиная дробь ==== ==== Арифметика (практ.) ==== ==== Дедекиндовое сечение ==== === Бесконечные десятичные дроби === * Периодические десятичая дробь. * Непериодечские десятичная дробь. * Конечная десятичные дробь. * 0.(9)=1.0 * Действительное число является рациональным тогда и только тогда представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. === sqrt(2) иррационально === * Формулировка геометрическая, алгебраическая, их эквивалетность. Один из первых кризисов в математики. * Доказательство (используя несократимую дробь) * Поле действительных чисел ℝ характеризуется как единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Доказательство выходит за рамки этой книги. == 8. Введение в ординальные числа == <u>Что такое ординальные числа? </u> * Определение ординальных чисел. * Исторический контекст и мотивация. <u>Основные определения </u> 1. Основы и определение ординалов 1.1 Аксиомы теории множеств ZFC Понятие множества, принадлежности <math>\in</math>, подмножества. Аксиома фундированности: отсутствие бесконечной цепи <math>\dots \in x \in y \in \dots</math>. Аксиома подмножества и существование определённых множеств. 1.2 Транзитивные множества Определение: множество <math>X</math> называется транзитивным, если для любого <math>y \in X</math>, <math>y \subseteq X</math>. Примеры транзитивных множеств. Свойства транзитивных множеств. 1.3 Определение ординалов через транзитивные множества Ординал — это транзитивное множество, вполне упорядоченное строгим порядком <math>\in</math>. Ординал — это транзитивное множество, строго упорядоченное отношением принадлежности <math>\in</math>, такое, что для любых двух различных элементов x,y из ординала выполняется одно и только одно из условий: x∈y, y∈x или x=y. Ординалы представляют собой "стандартные" упорядоченные множества, которые используются для описания порядка. Примеры малых ординалов: <math>0 = \emptyset</math>, <math>1 = {0}</math>, <math>2 = {0,1}</math>, <math>3 = {0,1,2}</math>, и так далее. Универсальность ординалов: любой ординал состоит только из ординалов. Теорема 1 (О индукции по ординалам) Всякая индуктивная гипотеза, утверждающая нечто о всех ординалах меньше некоторого ординала <math>\alpha</math>, может быть доказана с помощью индукции по ординалу <math>\alpha</math>. 2. Основные свойства ординалов 2.1 Строгое линейное упорядочение Доказательство, что <math>\in</math> на ординалах является строгим линейным порядком. Транзитивность порядка: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \gamma</math>, то <math>\alpha < \gamma</math>. Антисимметричность: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \alpha</math>, то <math>\alpha = \beta</math>. 2.2 Универсальное свойство ординалов Всякое вполне упорядоченное множество упорядочено изоморфно единственному ординалу. Доказательство единственности ординала для любого конечного множества. 2.3 Порядковое вложение В ординалах любое порядковое вложение либо тождественно, либо строгое. Доказательство, что между ординалами невозможно биекцию, не являющуюся изоморфизмом порядка. Теорема 2 (О порядке ординалов) Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два ординала, то <math>\alpha \leq \beta</math> тогда и только тогда, когда существует инъективная функция <math>f: \alpha \to \beta</math>. 3. Операции над ординалами 3.1 Следующий ординал Определение: <math>\alpha^+ = \alpha \cup {\alpha}</math>. Свойства: <math>\alpha^+</math> — минимальный ординал, больший <math>\alpha</math>. 3.2 Супремум и предел ординалов Определение супремума множества ординалов. Определение предельного ординала: <math>\lambda</math> — предельный, если нет <math>\alpha</math>, такого что <math>\lambda = \alpha^+</math>. Примеры предельных ординалов: <math>\omega</math>, <math>\omega + \omega</math>, <math>\omega^2</math>. Теорема 3 (О пределах ординалов) Если <math>\alpha</math> — предел ординала, то существует последовательность ординалов, которая монотонно возрастает и имеет предел <math>\alpha</math>. 3.3 Сложение ординалов Определение: <math>\alpha + 0 = \alpha, \quad \alpha + \beta^+ = (\alpha + \beta)^+</math>. Свойства сложения: некоммутативность (<math>1 + \omega \neq \omega + 1</math>). 3.4 Умножение ординалов Определение: <math>\alpha \cdot 0 = 0, \quad \alpha \cdot \beta^+ = \alpha \cdot \beta + \alpha</math>. Свойства: ассоциативность, но некоммутативность. 3.5 Возведение в степень Определение: <math>\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta^+} = \alpha^\beta \cdot \alpha</math>. Примеры вычислений. 4. Бесконечные ординалы 4.1 Малейший бесконечный ординал <math>\omega</math> Определение: <math>\omega</math> — первый предельный ординал. Свойство: любой конечный ординал <math>n</math> удовлетворяет <math>n < \omega</math>. Доказательство, что <math>\omega</math> — минимальный бесконечный ординал. 4.2 Счётные ординалы Определение: ординал <math>\alpha</math> — счётный, если существует сюръекция <math>f: \omega \to \alpha</math>. Примеры: <math>\omega</math>, <math>\omega + 1</math>, <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\varepsilon_0</math>. 4.3 Несчётные ординалы <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. <math>\omega_1</math> является наименьшим предельным ординалом, который не является счётным. Свойства <math>\omega_1</math>: все ординалы меньше <math>\omega_1</math> счётны, и это непереходный предел для счётных ординалов. Теорема 4 (О наименьшем ординале, не являющемся порядковым типом множества) Для любого множества существует наименьший ординал, который не является порядковым типом этого множества. 4.4 Противоречие с множеством всех ординалов Парадокс Бурали-Форти. 5. Принцип трансфинитной индукции и рекурсии 5.1 Трансфинитная индукция Формулировка: если утверждение <math>P(\alpha)</math> верно для <math>\alpha = 0</math> и сохраняется при переходе на следующий ординал и предельные ординалы, то оно верно для всех ординалов. Примеры использования. 5.2 Трансфинитная рекурсия Формулировка: для любой функции <math>F</math>, можно задать <math>f(\alpha)</math> для всех ординалов: <math>f(0) = a, \quad f(\alpha^+) = F(f(\alpha)), \quad f(\lambda) = \sup { f(\beta) \mid \beta < \lambda }, \text{ если } \lambda \text{ — предельный}.</math> Примеры: конструкция функций на ординалах. 6. Канторова нормальная форма (CNF) Разложение ординала в виде: <math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot c_1 + \omega^{\beta_2} \cdot c_2 + \dots + \omega^{\beta_k} \cdot c_k</math>, где <math>\beta_1 > \beta_2 > \dots > \beta_k</math> и <math>c_i \neq 0</math>. Единственность разложения. Примеры разложения. Теорема 5 (О Канторовой нормальной форме) Любой ординал может быть представлен в Канторовой нормальной форме, где представление единственно. 7. Более сложные темы 7.1 Функция Веблена Определение функций <math>\varphi_\alpha(\beta)</math>. 7.2 Расширение арифметики ординалов Ординальная экспоненциальная башня. Функция Аккермана и пределы вычислимости. 7.3 Ординал <math>\varepsilon_0</math> Определение ординала <math>\varepsilon_0</math>, первого ординала, который является фиксированной точкой функции ординала. Теорема 6 (О Канторовом принципе) Мощность множества всех ординалов меньших, чем данный ординал <math>\alpha</math>, равна <math>\alpha</math>. Это утверждение отражает важность порядка ординалов и теории мощностей. == 9. Приложения ординальных чисел == 14.1 Ординалы в теории моделей и теории вычислимости * Применение ординалов в построении моделей теорий. Роль ординалов в описании вычислимых процессов. * Доказательство непротиворечивости аксиоматике Пеано. * Свойства <math>\varepsilon_0</math> и его роль в теории рекурсивных функций. * Применение <math>\varepsilon_0</math> в теории доказательств и вычислимости. 14.2 Теория множеств * Использование ординалов в построении и анализе иерархий множеств. 14.3 Теория доказательств и математическая логика * Применение ординалов в доказательстве непротиворечивости теорий. 14.4 Топология и анализ * Примеры использования ординалов в топологии. * Роль ординалов в анализе, например, в описании порядковых компактностей. == 11. Введение в кардинальные числа == 11. Введение в кардинальные числа 1. Определение кардинальных чисел через ординалы 1.1 Основное определение Определение кардинального числа Ординал <math>\kappa</math> называется кардинальным числом, если он удовлетворяет следующему свойству: Основное определение: Для любого ординала <math>\alpha < \kappa</math> выполняется <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Это означает, что <math>\kappa</math> — это наименьший ординал своей мощности: ни один меньший ординал не равномощен <math>\kappa</math>. Эквивалентные формулировки Существуют альтернативные определения, эквивалентные основному. Докажем их эквивалентность. 1. Первая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если он не равномощен ни одному строго меньшему ординалу. То есть, если <math>\lambda = |\kappa|</math> — мощность <math>\kappa</math>, то для любого <math>\alpha < \kappa</math> выполняется: <math>|\alpha| \neq \lambda</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению: <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| < |\kappa|</math>. Если бы существовало <math>\alpha < \kappa</math> такое, что <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то это противоречило бы строгому неравенству <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Следовательно, <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, и первая формулировка следует из основной. Обратно, если <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| \neq |\kappa|</math>, то в силу упорядоченности мощностей (для любых ординалов <math>|\alpha| < |\kappa|</math> или <math>|\alpha| = |\kappa|</math> или <math>|\alpha| > |\kappa|</math>) и того, что <math>\alpha < \kappa</math> (меньший ординал не может иметь большую мощность), остаётся только <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Значит, основное определение выполнено. 2. Вторая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если для любого множества <math>A</math>, такого что существует сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, существует инъекция <math>g: \kappa \to A</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению. Если есть сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, то <math>|A| \geq |\kappa|</math> (существование сюръекции означает, что мощность <math>A</math> не меньше мощности <math>\kappa</math>). Предположим, что нет инъекции <math>g: \kappa \to A</math>, тогда <math>|\kappa| > |A|</math> (по теореме Кантора-Бернштейна, мы докажем её ниже ). Но <math>|A| \geq |\kappa|</math> и <math>|\kappa| > |A|</math> противоречат друг другу. Значит, инъекция существует. Обратно, если для любого <math>A</math> с сюръекцией <math>f: A \to \kappa</math> есть инъекция <math>g: \kappa \to A</math>, возьмём <math>A = \alpha < \kappa</math>. Если <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то существует биекция <math>f: \alpha \to \kappa</math>, что даёт сюръекцию. Тогда должна быть инъекция <math>g: \kappa \to \alpha</math>, но <math>\kappa > \alpha</math>, и инъекция невозможна (ординал не может быть вложен в меньший ординал). Противоречие показывает, что <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, а значит, <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Таким образом, все три определения эквивалентны. Существование кардинальных чисел Для каждого ординала <math>\alpha</math> существует кардинальное число, которое является наименьшим среди всех ординалов мощности не меньшей, чем <math>\alpha</math>. Это следует из аксиомы выбора и свойств ординалов: Мощность <math>|\alpha|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>\alpha</math>. Такой ординал всегда существует, так как множество всех ординалов равной мощности имеет наименьший элемент (по теореме о хорошей упорядоченности). Примеры: * Для <math>\alpha = 0</math>: <math>|0| = 0</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = 1</math>: <math>|1| = 1</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = \omega</math> (первый бесконечный ординал): <math>|\omega| = \aleph_0</math> — первое бесконечное кардинальное число. Интуиция Кардинальные числа — это "стандартные представители" мощностей. Они позволяют измерять "размер" множества, абстрагируясь от его структуры. Например: Для конечных множеств: {a,b} и {1,2} равномощны, их кардинальное число — 2. Для бесконечных множеств: NN и ZZ равномощны, их кардинальное число — aleph_0. Если ординал κκ — кардинальное число, то он "наименьший в своём классе мощности". Никакой меньший ординал не может "уместить" столько же элементов. Теорема Кантора-Бернштейна: Если для двух множеств существуют биекции с множества <math>A</math> на <math>B</math> и с множества <math>B</math> на <math>A</math>, то мощности этих множеств одинаковы. * Два доказательства через конструкцию цепей и через разбиение множеств использует последовательное разбиение множеств AA и BB на подмножества и построение биекции на каждом из них. Теорема Хартогса: Для любого множества существует ординал, который не имеет биекции с этим множеством, то есть существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. === Конечные множества === Множество <math>A</math> называется конечным, если оно равномощно некоторому ординалу <math>n</math>, где <math>n</math> — конечное натуральное число (или <math>0</math>). Количество элементов множества <math>A</math> — это число <math>n</math>, если можно установить биекцию между <math>A</math> и <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Почему кардинал совпадает с количеством элементов? Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Равномощность ординалу: Существует биекция <math>f: A \to n</math>, где <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Например, если <math>A = \left\{a, b, c\right\}</math>, то можно задать <math>f(a) = 0</math>, <math>f(b) = 1</math>, <math>f(c) = 2</math>, и <math>A \sim 3</math>. Мощность как наименьший ординал: Кардинальное число <math>|A|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Поскольку <math>A</math> равномощно <math>n</math>, нужно проверить, является ли <math>n</math> наименьшим: * Для любого ординала <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) число элементов равно <math>m</math>, что меньше <math>n</math>. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (с <math>n</math> элементами) и <math>m</math> по принципу Дирихле, так как <math>m < n</math>. Значит, <math>|m| < |n|</math>. * Следовательно, <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>, и <math>|A| = n</math>. Совпадение с количеством: Поскольку <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, а <math>|A| = n</math>, кардинальное число совпадает с количеством элементов. <u>Пример: </u> Пусть <math>A = \left\{x, y\right\}</math>. Оно равномощно <math>2 = \left\{0, 1\right\}</math>. Ординалы <math>0 = \emptyset</math> и <math>1 = \left\{0\right\}</math> имеют меньше элементов (<math>0</math> и <math>1</math> соответственно), и не равномощны <math>A</math>. Значит, <math>|A| = 2</math>, что равно числу элементов в <math>A</math>. Почему ординал совпадает с количеством элементов? Для конечных множеств ординальное число связано с их упорядочением: Упорядочение множества <u>Утверждение:</u> Если <math>A</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами, его можно хорошо упорядочить. <u>Определение:</u> Множество <math>A</math> хорошо упорядочено отношением <math>\leq</math>, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in A</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> имеет наименьший элемент (существует <math>s_0 \in S</math>, такое что <math>s_0 \leq s</math> для всех <math>s \in S</math>). <u>Доказательство для конечных множеств:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами. Зададим порядок: <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Это линейный порядок, так как он тотальный (любые два элемента сравнимы). Проверим хорошее упорядочение: любое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> конечно и линейно упорядочено, значит, имеет наименьший элемент (первый элемент в заданном порядке). Например, для <math>S = {a_2, a_4}</math> наименьший элемент — <math>a_2</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> задаём порядок <math>a < b < c</math>. Любое подмножество, например <math>{b, c}</math>, имеет наименьший элемент <math>b</math>. <u>Изоморфизм с ординалом</u> <u>Утверждение:</u> Такое упорядоченное множество <math>A</math> изоморфно ординалу <math>n</math>. <u>Определение:</u> Два упорядоченных множества <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> изоморфны, если существует биекция <math>f: A \to B</math>, сохраняющая порядок: <math>a \leq_A b</math> тогда и только тогда, когда <math>f(a) \leq_B f(b)</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> с порядком <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Ординал <math>n = {0, 1, \ldots, n-1}</math> упорядочен отношением <math>\in</math>, которое совпадает с <math><</math>: <math>0 < 1 < \cdots < n-1</math>. Зададим отображение <math>f: A \to n</math>: * <math>f(a_1) = 0</math>, * <math>f(a_2) = 1</math>, * ... * <math>f(a_n) = n-1</math>. Проверим свойства: * <math>f</math> — биекция: каждому <math>a_i</math> соответствует уникальный элемент <math>i-1</math>, и все элементы <math>{0, 1, \ldots, n-1}</math> покрыты. * <math>f</math> сохраняет порядок: если <math>a_i < a_j</math> (т.е. <math>i < j</math>), то <math>f(a_i) = i-1 < j-1 = f(a_j)</math>. Таким образом, <math>(A, <)</math> изоморфно <math>(n, <)</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> с порядком <math>a < b < c</math> задаём <math>f: a \mapsto 0</math>, <math>b \mapsto 1</math>, <math>c \mapsto 2</math>. Ординал <math>3 = {0, 1, 2}</math> имеет <math>3</math> элементов, и порядок сохраняется: <math>a < b</math> влечёт <math>0 < 1</math>. Однозначность для конечных множеств <u>Утверждение:</u> Любой порядок, приводящий к хорошему упорядочению конечного множества <math>A</math>, даёт изоморфизм с ординалом <math>n</math>, где <math>n</math> — число элементов. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, и задано некоторое хорошее упорядочение <math>\leq</math>. Обозначим элементы <math>A</math> как <math>b_1 < b_2 < \cdots < b_n</math>. Так как <math>A</math> конечно и хорошо упорядочено, оно содержит ровно <math>n</math> элементов в строгой последовательности (без "разрывов" или бесконечных цепочек). Построим биекцию <math>g: A \to n</math>: * <math>g(b_1) = 0</math>, * <math>g(b_2) = 1</math>, * ... * <math>g(b_n) = n-1</math>. Эта биекция сохраняет порядок, так как <math>b_i < b_j</math> влечёт <math>i < j</math>, а значит <math>g(b_i) = i-1 < j-1 = g(b_j)</math>. Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует только один ординал с заданным числом элементов: <math>n</math>. Например, нет другого ординала с <math>3</math> элементами, кроме <math>3 = {0, 1, 2}</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> другой порядок, например <math>c < a < b</math>, даёт изоморфизм с <math>3</math>: <math>c \mapsto 0</math>, <math>a \mapsto 1</math>, <math>b \mapsto 2</math>. Структура остаётся той же. <u>Почему кардинал совпадает с количеством элементов?</u> <u>Доказательство:</u> Кардинал <math>|A|</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, существует биекция <math>f: A \to n</math>. Проверим, что <math>n</math> — наименьший: * Для любого <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) ординал <math>m</math> имеет <math>m</math> элементов. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (<math>n</math> элементов) и <math>m</math>, так как <math>m < n</math>. * Значит, <math>|A| = n</math>. Число элементов <math>A</math> равно <math>n</math>, так как биекция с <math>n</math> нумерует все элементы. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал любого хорошего упорядочения <math>A</math> — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба равны количеству элементов <math>n</math>. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал, соответствующий любому хорошему упорядочению <math>A</math>, — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба совпадают с количеством элементов, так как <math>n</math> — это число элементов в <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Таким образом, в конечном случае <math>|A| = n</math> (кардинал) и ординал упорядочения равны <math>n</math>, что соответствует числу элементов. Для конечных множеств: каждый элемент можно пронумеровать, и <math>n</math> одновременно является и ординалом (порядок), и кардиналом (размер). Для бесконечных множеств кардинал и ординал перестают совпадать с "количеством" в обычном смысле: Формулировка утверждения === Для бесконечных множеств === <u>Утверждение:</u> Для бесконечных множеств кардинальное число (кардинал) и ординальное число (ординал) ведут себя по-разному: два различных бесконечных ординала могут иметь одинаковый кардинал, а "количество элементов" в бесконечном множестве не выражается конечным числом, что делает кардинал абстрактным понятием "размера". <u>Пример для иллюстрации:</u> * Первый бесконечный ординал: <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math>. * Его кардинал: <math>|\omega| = \aleph_0</math>. * Ординал <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> имеет тот же кардинал <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>, но как ординалы <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Доказательство различия для бесконечных множеств</u> <u>Часть 1: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны</u> Покажем, что <math>\omega \neq \omega + 1</math> как ординалы. Определение: * <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math> — множество всех конечных ординалов с порядком <math>0 < 1 < 2 < \cdots</math>. * <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> — добавлен элемент <math>\omega</math>, больший всех предыдущих: <math>0 < 1 < 2 < \cdots < \omega</math>. Свойства: * В <math>\omega</math> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, но нет наибольшего элемента (после любого <math>n</math> есть <math>n+1</math>). * В <math>\omega + 1</math> есть наибольший элемент — <math>\omega</math>, так как для всех <math>x \in \omega + 1</math> выполняется <math>x \leq \omega</math>. <u>Изоморфизм:</u> Предположим, существует биекция <math>f: \omega \to \omega + 1</math>, сохраняющая порядок. Пусть <math>f(n) = \omega</math> для некоторого <math>n \in \omega</math>. Тогда для <math>m > n</math> в <math>\omega</math> должно быть <math>f(m) > f(n) = \omega</math>, но в <math>\omega + 1</math> нет элемента больше <math>\omega</math>. Противоречие. Значит, <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> не изоморфны как упорядоченные множества, и <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Часть 2: Кардиналы <math>|\omega|</math> и <math>|\omega + 1|</math> равны</u> Покажем, что <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>. Определение <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_0</math> — наименьший бесконечный кардинал, равный мощности множества натуральных чисел <math>\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}</math>. Так как <math>\omega</math> равномощно <math>\mathbb{N}</math> (биекция <math>f(n) = n</math>), то <math>|\omega| = \aleph_0</math>. Биекция между <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math>: Определим <math>f: \omega \to \omega + 1</math>: * <math>f(0) = \omega</math>, * <math>f(1) = 0</math>, * <math>f(2) = 1</math>, * <math>f(3) = 2</math>, * ... * <math>f(n) = n-1</math> для <math>n \geq 1</math>. Проверим: * Инъективность: <math>f(n) = f(m)</math> влечёт либо <math>n = m = 0</math> (оба отображаются в <math>\omega</math>), либо <math>n-1 = m-1</math> для <math>n, m \geq 1</math>, то есть <math>n = m</math>. * Сюръективность: <math>\omega</math> — образ <math>0</math>, <math>0</math> — образ <math>1</math>, <math>1</math> — образ <math>2</math>, и т.д.; каждый элемент <math>\omega + 1</math> покрыт. Таким образом, <math>f</math> — биекция, и <math>|\omega| = |\omega + 1|</math>. Вывод: <math>|\omega| = \aleph_0</math>, и <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>. Несмотря на различие как ординалов, их кардиналы совпадают. <u>Часть 3: "Количество элементов" в бесконечном множестве</u> Для конечных множеств количество элементов — это число <math>n</math>, равное кардиналу и ординалу. Для бесконечных множеств: Нельзя пронумеровать элементы конечным числом, так как добавление элементов (как в <math>\omega + 1</math>) не меняет кардинал. Кардинал <math>\aleph_0</math> — это абстрактный "размер", не связанный с конечным подсчётом. <u>Например:</u> * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{N} \cup {a}</math> имеют одинаковый кардинал <math>\aleph_0</math>, * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Z}</math> также имеют <math>\aleph_0</math>, несмотря на различия в структуре. <u>Интуиция</u> Ординалы: описывают порядок. <math>\omega</math> — бесконечная последовательность без конца, <math>\omega + 1</math> — та же последовательность с добавленным последним элементом. Их структура различна. Кардиналы: измеряют "размер" через равномощность. Добавление одного элемента к бесконечному множеству не меняет его кардинал, так как можно перестроить биекцию. Бесконечность: в отличие от конечных множеств, где <math>n</math> однозначно определяет и порядок, и размер, для бесконечных множеств кардинал — абстракция, не зависящая от конкретного порядка. <u>Вывод</u> Для бесконечных множеств: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны, так как их упорядочения не изоморфны. Их кардиналы равны: <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>, что следует из существования биекции. "Количество элементов" не выражается конечным числом, и кардинал становится абстрактным понятием "размера", в отличие от конечных множеств, где <math>|A| = n</math> совпадает с числом элементов. Для бесконечных множеств кардинал не обязательно совпадает с их ординальной структурой, так как равномощность игнорирует порядок. 1.2 Свойства кардинальных чисел Минимальность кардинального числа: для каждого кардинала выполнено, что все ординалы, меньшие его, также являются кардинальными. Кардинальные числа как ординалы: не каждый ординал является кардинальным числом. Пример: кардинал <math>\aleph_0</math>, который соответствует мощности счётного множества, например, множества натуральных чисел. 1.3 Кардинальные числа и операции с ординалами Операции сложения, умножения, возведения в степень и сравнения кардиналов. 2. Определение кардинальных чисел через классы эквивалентности 2.1 Определение через эквивалентность мощностей множеств Кардинальные числа можно определить через классы эквивалентности по отношению к мощности множеств. Множества эквивалентны по мощности, если существует биекция между ними. 2.2 Кардинальные числа и биекции Кардинальное число множества — это класс эквивалентности всех множеств, эквивалентных по мощности данному множеству. N ~ N\{0} N ~ N\{0,...,n} 2N ~ N (часть эквивалента целому) 2N ~ 2N+1 N ~ Z N ~ Q [a, b] ~ [c, d] [a, b] ~ (a, b] [a, b] ~ (a, b) [-1, 1] ~ R (tg x) Пусть <math>C</math> — окружность на плоскости, <math>P \in C</math> — произвольная точка, а <math>C' = C \setminus {P}</math> — окружность без точки <math>P</math>. Тогда <math>C</math> и <math>C'</math> равномощны. 3. Выход за пределы ZFC 3.1 Кардинальные числа и классы Множество всех кардинальных чисел в теории ZFC не является множеством, а классом. Теорема: Множество всех кардинальных чисел не является множеством в теории ZFC. 3.2 Кардинальные числа и гипотезы Теория кардинальных чисел включает гипотезы, не поддающиеся доказательству или опровержению в рамках ZFC. Пример: Гипотеза континуума (CH). Теорема: Гипотеза континуума (CH) независима от ZFC. 4. Дальнейший план изучения кардинальных чисел 4.1 Исследование теории кардинальных чисел Изучение определения кардинальных чисел через ординалы и эквивалентности мощностей множеств. Основные кардинальные числа: <math>\aleph_0</math>, <math>\mathfrak{c}</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> и т.д. 4.2 Арифметика кардинальных чисел 4.2.1 Основные операции Сложение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> верно, что <math>\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Умножение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> выполняется <math>\kappa_1 \cdot \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Возведение в степень: для кардиналов <math>\kappa</math> и <math>\lambda</math> <math>\kappa^\lambda = 2^{\kappa \cdot \lambda}</math>. 4.2.2 Особенности арифметики кардиналов Сложение и умножение бесконечных кардиналов не зависит от порядка операндов. Операции с конечными кардинальными числами зависят от их значений. 4.3 Гипотезы и теоремы Гипотеза континуума (CH) Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинальных чисел строго между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak{c}</math> (мощностью континуума). Обобщённая гипотеза континуума (GCH) Для каждого кардинала <math>\kappa</math> существует кардинал <math>\lambda</math>, который строго больше <math>\kappa</math> и меньше <math>\kappa^+</math>. Теорема Кантора Кантор доказал, что мощность множества вещественных чисел <math>\mathfrak{c}</math> строго больше, чем мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math>. Теорема Хартогса Существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. Это важная теорема в теории кардинальных чисел. Теорема о мощности декартова произведения Мощность декартова произведения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности объединения Мощность объединения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности степеней Мощность множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>B</math> равна мощности множества <math>B</math>, возведённой в степень мощности множества <math>A</math>. Теорема: ∣P(A)∣=∣2^A∣ Мощность множества всех подмножеств множества <math>A</math> (то есть мощность его степени) равна мощности множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>{0,1}</math>, что эквивалентно <math>2^A</math>. 5. Иерархия Фон Ноймана 5.1 Определение иерархии Фон Ноймана Иерархия Фон Ноймана представляет собой способ построения множеств с помощью операций, основанных на кардинальных числах. Иерархия строится с использованием операций объединения и подмножеств, позволяя описать множества, включая все возможные подмножества. 5.2 Свойства иерархии Фон Ноймана Каждое множество в иерархии Фон Ноймана имеет мощность, соответствующую кардинальному числу. Эта иерархия включает как конечные, так и бесконечные множества, которые играют важную роль в математической логике. 6. Связь между индексами кардинальных чисел и ординалами 6.1 Индексы кардинальных чисел Кардинальные числа можно индексировать с помощью ординалов. Например, <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> — это кардинальные числа, индексируемые ординалами <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math> соответственно. 6.2 Связь кардиналов и ординалов Каждый ординал соответствует определённому кардиналу, и кардиналы могут быть упорядочены с использованием ординалов. Это помогает в построении моделей теории множеств, основанных на кардинальных числах. 6.3 Теорема о порядке кардиналов Кардинальные числа упорядочиваются с помощью ординалов. Например, если <math>\alpha < \beta</math>, то <math>\kappa_\alpha \leq \kappa_\beta</math>. == 12. Приложения кардинальных чисел == * Применения в математике и логике: теория графов, теория множеств, теория вероятностей. * Исследование кардинальных чисел и их связей с другими областями математики, такими как топология и алгебра. p3pufmoi2os090ursqvdivcelwpxb0r 261984 261983 2025-07-11T09:59:49Z Alexsmail 1129 /* примеры мат. индукции */ а 261984 wikitext text/x-wiki == Введение == Концепция бесконечности веками волновала умы людей, проходя через множество трансформаций. Этот длинный путь начинается с древнегреческих размышлений и достигает своего апогея в математических открытиях конца XIX века. Древние греки, и в особенности Аристотель, подходили к бесконечности с осторожностью. Для них она существовала как нечто потенциальное — процесс, который можно продолжать без конца, но который никогда не завершается в виде целого. Последовательность чисел могла расти бесконечно, но в любой момент оставалась конечной. Завершенная, или актуальная, бесконечность отвергалась Аристотелем как логически невозможная, ведь она вела к парадоксам, подобным тем, что сформулировал Зенон. Эти идеи о потенциальной бесконечности как неуловимом горизонте глубоко укоренились в западной мысли и господствовали на протяжении многих веков, задавая тон философским и научным дискуссиям. Платонизм, философское учение, основанное на идеях Платона, заложило основы для понимания трансцендентного и вечного. В центре платонизма находится концепция мира идей, или форм, — совершенных, неизменных и вечных сущностей, которые существуют за пределами материального мира. Материальный мир, по Платону, является лишь отражением или тенью этого высшего мира идей. Платон также ввел понятие Единого как высшего принципа, который объединяет все идеи и является источником бытия. Хотя у Платона Единое не разработано так подробно, как в неоплатонизме, его идеи заложили основу для дальнейшего развития концепции абсолютного и бесконечного источника реальности. Неоплатонизм, возникший в поздней античности как развитие идей Платона, углубил и систематизировал эти концепции. Центральной фигурой неоплатонизма стал Плотин, который развил учение о Едином — абсолютном, бесконечном и непостижимом источнике всего сущего. Единое находится за пределами бытия, разума и формы, и все уровни реальности происходят из него через процесс эманации. Эманация, от латинского "истечение", описывает естественное и непрерывное излучение бытия из Единого, подобно тому, как свет исходит от солнца. Этот процесс непроизволен: Единое не "решает" создавать, а излучает бытие из своей полноты без намерения или усилия. Реальность в неоплатонизме структурирована как иерархия, где каждый уровень (Ум, Душа, материальный мир) менее совершенен, чем предыдущий, но все они связаны с Единым. Символика света, используемая Плотином, подчеркивает, что Единое распространяет бытие, не теряя своей природы, подобно тому, как солнце светит, не истощая себя. В неоплатонизме Единое — это потенциальная бесконечность, источник, который остается неизменным и неисчерпаемым, несмотря на процесс эманации. Параллельно этим философским идеям, в еврейской мистической традиции Каббалы развивалась собственная концепция бесконечности — "Эйн Соф". Этот термин, означающий "без конца" или "бесконечное", относится к непостижимому, трансцендентному аспекту Бога, существующему вне всякого проявления. Идея "Эйн Соф" оформилась в Средние века, в XII–XIII веках, в Испании и Провансе, задолго до математических открытий Кантора. В отличие от аристотелевской потенциальной бесконечности, Каббала принимала актуальную бесконечность как фундаментальную характеристику божественного, считая "Эйн Соф" источником всех эманаций Бога, известных как сфирот. Эти сфирот образуют иерархическую структуру, через которую бесконечное проявляется в конечном мире, предлагая мистическую параллель канторовской иерархии бесконечностей. Каббала, заимствуя идею эманации из неоплатонизма, адаптировала ее в рамках монотеистической теологии. В отличие от неоплатонизма, где эманация — это непроизвольный и пассивный процесс, в Каббале она рассматривается как осознанный акт Бога. "Эйн Соф" через эманацию раскрывает свою силу, создавая иерархию сфирот. Сфирот, в отличие от статичных уровней бытия в неоплатонизме, находятся в постоянном динамическом взаимодействии, управляя материальным миром и создавая непрерывную цепь мироздания. Много позже, в конце XIX века, устоявшийся взгляд на бесконечность был поставлен под сомнение Георгом Кантором, чья работа перевернула представление о бесконечности. Кантор ввел понятие актуальной бесконечности, утверждая, что бесконечные множества существуют как завершенные сущности и даже различаются по размеру. Он разработал теорию трансфинитных чисел, разделив их на кардинальные, описывающие величину множеств, и ординальные, определяющие порядок в последовательностях. Множество натуральных чисел, например, имеет кардинальность алеф-ноль, тогда как множество действительных чисел бесконечно больше, что он доказал с помощью своего знаменитого диагонального аргумента. Эта иерархия бесконечностей стала основой современной теории множеств, но встретила яростное сопротивление. Одним из главных противников Кантора был Леопольд Кронекер, выдающийся математик и лидер финитистов. Кронекер настаивал на том, что математика должна опираться исключительно на конечные, конструируемые объекты. Его знаменитое высказывание "Бог создал целые числа; всё остальное — дело человека" отражало его убеждение в том, что бесконечные множества — это не более чем фикция. Для него работа Кантора казалась скорее теологической фантазией, чем строгой наукой, и он не стеснялся называть Кантора "научным шарлатаном". Этот конфликт между финитизмом и новаторскими идеями Кантора выявил глубокий раскол в математическом сообществе, где старые принципы столкнулись с радикально новым подходом. Кантор, однако, не ограничивал свои размышления чистой математикой. Будучи глубоко религиозным человеком, он видел в бесконечности нечто большее — отражение божественного. Этот теологический взгляд на математику добавлял его работе философскую глубину, но одновременно усиливал критику со стороны тех, кто, подобно Кронекеру, требовал строгой рациональности. Несмотря на сопротивление, идеи Кантора нашли поддержку в следующем поколении. Давид Гильберт, один из самых влиятельных математиков XX века, в 1926 году выступил в защиту его теории. Противостоя интуиционистам, таким как Брауэр, которые продолжали оспаривать актуальную бесконечность, Гильберт произнес знаменитые слова: "Никто не выгонит нас из рая, который создал для нас Кантор". Эта фраза стала не только признанием значения теории множеств, но и символом того, что мир бесконечностей, открытый Кантором, стал неотъемлемой частью математики. Более того, Кантор поставил цель положить теорию множеств в фундамент математики, что позже было реализовано благодаря работам Эрнста Цермело и Абрахама Френкеля, разработавших аксиоматическую систему ZFC, ставшую основой для построения современной математики. Хотя прямых свидетельств того, что Кантор изучал Каббалу, нет, его использование еврейской буквы алеф для обозначения бесконечных кардинальных чисел и размышления об Абсолютно Бесконечном, которое он отождествлял с Богом, намекают на возможное косвенное влияние. == Эпиграф к тому I == "Натуральные числа создал Господь Бог, всё остальное — дело рук человеческих." (с) Леопольд Кронекер, выдающийся немецкий математик XIX века. Введение [[Участник:Alexsmail/Теория множеств. Том I. Построение действительных чисел/черновик]] == Введение к тому I == Вы, наверное, нечасто задумываетесь: существуют ли числа на самом деле? Они повсюду — в часах, расстояниях, даже наших мыслях, но что они такое? Люди спорили веками, предлагая три взгляда: числа — вымысел, свойства вещей или вечные сущности, как считали Платон и Пифагор. Давайте разберёмся, взглянув на их природу и историю, чтобы понять, как строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа — главные герои этой книги. Представьте, что числа — это выдумка, плод воображения. В природе нет абстрактных «два» или «четыре» — они появляются, когда мы считаем: два яблока, четыре камня. Без нашего сознания их бы не было, как героев книги вне страниц. История подтверждает: числа рождались по необходимости. Сначала были натуральные числа — зарубки на кости из чешской пещеры, которой 20 тысяч лет, шли группами по пять, отражая пальцы руки, чтобы считать добычу или шкуры. Позже в Индии открыли ноль, осознав пустоту как число. Затем китайцы ввели отрицательные числа для учёта долгов, а египтяне — дроби для делёжки урожая, формируя рациональные числа. Племя пираха из Амазонии знало лишь «один», «два» и «много», а больше двух для них не существовало — они путались, если просили собрать пять камушков. Это говорит, что числа не врождённые, а придуманные. Даже миллионы и бесконечность — наш способ осмыслить непостижимое, они живут только в голове. Математика здесь — полезная ложь, как карта, которая помогает ориентироваться, но не является реальностью. Или числа реальны, но как свойства вещей, которые мы видим и трогаем: три дерева, семь дней, одиннадцать игроков. Натуральные числа считали шкуры, ноль обозначал отсутствие, отрицательные — долги, а рациональные делили урожай. У пираха «один» и «два» отражали рыбу или птиц, дальше — «много». Числа существуют, пока есть что считать, и математика описывает порядок: пять батончиков на троих или минус семь градусов. Действительные числа, вроде √2 или π, измеряют длины и окружности. В прикладной математике не нужны идеально точные значения — это сила рациональных приближений: 3.14 вместо бесконечного π хватает для двигателей, а 39 знаков π достаточно, чтобы измерить Вселенную с точностью до атома. Некоторые математики, вроде конструктивистов, смотрят на действительные числа... Так вот, есть те, кто сомневается в их "существовании" в строгом математическом смысле — например, в числах вроде π или √2 с бесконечными десятичными разложениями, — размышляют об их природе, и поэтому в этой книге мы подробно разбираем, как они строятся. В чистой математике, где важна строгая логика, эти бесконечные хвосты цифр кажутся каким-то искусственным изобретением. Для критиков они недостаточно «реальны», если мы не можем полностью их вычислить или ухватить, хотя в классической математике их строгость доказана и принята. В практике же они полезны как удобные приближения. Огромные числа, как миллиард световых лет, без примера — пустой звук, зеркало измеряемого. А что если числа — нечто большее, чем наша выдумка или свойства вещей, а вечные сущности, существующие вне нас, как считал Платон? Платонизм утверждает, что числа — это идеальные формы, живущие вне времени и пространства, в некоем высшем мире идей. Представьте знаменитую пещеру Платона: вы — пленник, прикованный спиной к выходу, и перед глазами лишь тени, отбрасываемые предметами внешнего мира, освещённого солнцем истины. Эти тени — всё, что вы знаете, и вы принимаете их за реальность. Платон применил эту метафору к числам: в мире идей существуют совершенные, вечные сущности — идеальная четвёрка, безупречная семёрка, даже легендарное 69. Они неизменны, неподвластны времени и независимы от нас. А в нашем мире мы видим лишь их несовершенные отражения: четыре косы в деревне, семь дней недели, 69 в пошлой шутке. Эти отражения — бледные тени истинных чисел, которые пребывают в царстве чистого разума, доступном лишь через мышление. Наш мир — лишь эхо этого высшего порядка, где числа существуют сами по себе, открытые, а не изобретённые нами. Натуральные числа, ноль, отрицательные, рациональные — всё это не выдумка, а обнаружение отголосков вечных форм. Племя пираха, различая лишь «один» и «два», едва касалось этой истины, не осознавая её глубины. Действительные числа, вроде бесконечного π, реальны и правят движением планет. Они не подвластны нам — они часть самой ткани мироздания. Но платонизм — не просто древняя философия, он оживает в современных научных идеях. Есть гипотеза математической Вселенной: весь мир — это числа, и ничего больше. Частицы — не шарики, а колебания поля, каждое с тремя числами: масса, заряд, спин. Деревья, планеты, мы сами — лишь отражения этих чисел из квантовой реальности. Там, в глубине, числа ведут суровую математическую игру, а мы видим её плоды: аромат цветов, холод молока из холодильника, лучи солнца, сушащие трусы на балконе. И вот вам загадка на засыпку: какова вероятность, что после Большого взрыва хаос уступил порядку, а Материя сложилась в гармоничную Вселенную? Роджер Пенроуз подсчитал: 1 к 10 в степени 10 в степени 23. Это число настолько чудовищно, что если бы вы рисовали по нулю на каждой частице Вселенной, вам бы не хватило частиц, чтобы вместить все нули! Вот насколько призрачным был шанс, что всё рухнет в первый же миг. Для платонизма это — триумф: числа не просто существуют, они — нерушимая основа, что держит мир, даже если нас в нём не станет. Так что же числа: вымысел, свойство вещей или божественные сущности? От зарубок до рациональных чисел, от действительных с их приближениями до вечных форм, они влияют на нас. Эта книга раскроет, как шаг за шагом строятся натуральные, целые, рациональные и действительные числа, чтобы вы сами выбрали, что они для вас. == 1. Наивная теория множеств == === Мотивация === * Введение в понятие множества. * Практическое применение в математике. === Примеры === * Примеры множеств: <math>P(A)</math> для конечных <math>A</math>, пустое множество (<math>\emptyset</math>). === Алгебраические операции === * Объединение множеств. * Пересечение множеств. * Разность множеств. * Дизъюнктное объединение. === Диаграмма Венна === * Иллюстрация операций над множествами. === Свойства === * Законы де Моргана. * Основные свойства операций над множествами. === Парадоксы === * Рассмотрение парадоксов, возникающих в наивной теории множеств. Множество всех групп https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a2c16983-dbcd-4f05-bfe0-605bd08d39a9 == 2. Аксиоматическая теория множеств == * Основы аксиоматической теории множеств. * Сравнение с наивной теорией множеств. * sup, inf == 3. Отношения == * Возможнсть поточечного определение и определения через формулы <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times B</math> определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math> и <math>B</math>: <math> A \times B = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\} </math>. В ZFC упорядоченная пара <math>(a, b)</math> формально определяется через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} </math>. <u>Построение декартова произведения в ZFC:</u> Чтобы доказать, что декартово произведение <math>A \times B</math> является множеством в ZFC, мы можем использовать аксиомы теории множеств, такие как аксиома степени и аксиома выделения. <u>Шаг 1: Построение множества всех подмножеств <math>A \cup B</math></u> Сначала рассмотрим множество <math>A \cup B</math>. По аксиоме степени, существует множество всех подмножеств <math>A \cup B</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>. <u>Шаг 2: Построение множества всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math></u> Применяя аксиому степени к <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, получаем множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(A \cup B)</math>, обозначаемое <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. <u>Шаг 3: Выделение упорядоченных пар</u> Любая упорядоченная пара <math>(a, b)</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in B</math>, может быть представлена как <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Заметим, что: * <math>\left\{a\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. * <math>\left\{a, b\right\} \subseteq A \cup B</math>, то есть <math>\left\{a, b\right\} \in \mathcal{P}(A \cup B)</math>. Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)</math>, и <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))</math>. Таким образом, все упорядоченные пары <math>(a, b)</math> являются элементами <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>. <u>Шаг 4: Применение аксиомы выделения</u> Определим свойство <math>P(z)</math>, которое характеризует упорядоченные пары: <math> P(z) \iff \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> По аксиоме выделения, существует подмножество <math>A \times B</math> множества <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)))</math>, состоящее из всех элементов <math>z</math>, удовлетворяющих <math>P(z)</math>: <math> A \times B = \left\{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))) \mid \exists a \in A, \exists b \in B \text{ такие, что } z = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \right\}. </math> <u>Заключение:</u> Таким образом, декартово произведение <math>A \times B</math> существует как множество в ZFC, так как оно может быть построено с использованием аксиом степени и выделения. Это завершает доказательство. <u>Свойства упорядоченных пар:</u> <b>Упорядоченность: Упорядоченная пара <math>(a, b)</math> отличается от <math>(b, a)</math>, если <math>a \neq b</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Рассмотрим две упорядоченные пары: <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>, где <math>a \neq b</math>. Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}, </math> <math> (b, a) = \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}. </math> Теперь сравним множества <math>(a, b)</math> и <math>(b, a)</math>: * Если <math>a \neq b</math>, то <math>\left\{a\right\} \neq \left\{b\right\}</math>. * Следовательно, <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} \neq \left\{ \left\{b \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math>. Таким образом, <math>(a, b) \neq (b, a)</math> при <math>a \neq b</math>. Это доказывает свойство упорядоченности. <b>Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Пусть даны две упорядоченные пары <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math>, которые равны: <math> (a, b) = (c, d). </math> Согласно определению упорядоченной пары через конструкцию Куратовского, это означает: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Рассмотрим два возможных случая: <u>Случай 1: <math>a = b</math></u> Если <math>a = b</math>, то упорядоченная пара <math>(a, b)</math> принимает вид: <math> (a, b) = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, a\right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{a \right\} \right\}. </math> Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это возможно только в том случае, если: * <math>\left\{c\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>c = a</math>. * <math>\left\{c, d\right\} = \left\{a\right\}</math>, откуда следует, что <math>d = a</math>. Таким образом, в этом случае <math>a=b=d=c</math>, т.е. <math>a=c</math> и <math>b=d</math> <u>Случай 2: <math>a \neq b</math></u> Если <math>a \neq b</math>, то множество <math>\left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\}</math> содержит два различных элемента: Тогда равенство <math>(a, b) = (c, d)</math> принимает вид: <math> \left\{ \left\{a \right\}, \left\{a, b\right\} \right\} = \left\{ \left\{c \right\}, \left\{c, d\right\} \right\}. </math> Это равенство выполняется только в том случае, если: * <math>\left\{a\right\} = \left\{c\right\}</math>, откуда следует, что <math>a = c</math>. * <math>\left\{a, b\right\} = \left\{c, d\right\}</math>, откуда следует, что <math>b = d</math> (так как <math>a = c</math>). Таким образом, в этом случае также <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. <u>Заключение:</u> * Упорядоченность: Если <math>a \neq b</math>, то <math>(a, b) \neq (b, a)</math>. Это доказывает, что порядок элементов в упорядоченной паре важен. * Уникальность: Если <math>(a, b) = (c, d)</math>, то <math>a = c</math> и <math>b = d</math>. Это доказывает, что упорядоченная пара однозначно определяет свои элементы. <b>Определение:</b> В ZFC декартово произведение <math>A \times A</math> (или <math>A^2</math>) определяется как множество всех упорядоченных пар элементов из множеств <math>A</math>. <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. <b>Утверждение: Если A - множество, то <math>A^2</math> - также множество в ZFC.</b> <u>Доказательство:</u> Из доказанного ранее следует, что если <math>A</math> и <math>B</math> — множества, то <math>A \times B</math> — множество в ZFC. Подставим <math>B = A</math> в доказанное утверждение, получим: <math> A \times A = \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in A \right\} </math>. Так как <math>A</math> — множество, то <math>A \times A</math> также является множеством по доказанному утверждению. Утвержжение доказано. === Основные свойства отношений === * Рефлексивность. * Симметричность. * Антисимметричность. * Транзитивность. === Отношение эквивалентности === <b>Определение:</b> Пусть <math>S</math> — некоторое множество, а <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>S</math>. Это означает, что <math>\sim</math> является подмножеством декартова произведения <math>S \times S</math> и удовлетворяет следующим свойствам: * Рефлексивность: <math>\forall x \in S , (x, x) \in \sim</math>. * Симметричность: <math>\forall x, y \in S , (x, y) \in \sim \Rightarrow (y, x) \in \sim</math>. * Транзитивность: <math>\forall x, y, z \in S , [(x, y) \in \sim \land (y, z) \in \sim] \Rightarrow (x, z) \in \sim</math>. Для каждого элемента <math>x \in S</math> определим множество <math>[x]</math> как: <math> [x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\} </math> <u>Замечание:</u> Неформально, [x] называется классом эквивалентности. <b> Утверждение 1: <math>[x] \subseteq S</math>. </b> <u>Доказательство:</u> По определению, <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math>. Поскольку <math>\sim \subseteq S \times S</math>, для любой пары <math>(x, y) \in \sim</math> выполняется <math>y \in S</math>. Следовательно, все элементы <math>[x]</math> принадлежат <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. <b>Аксиома степени и построение <math>\mathcal{P}(S)</math></b> В теории множеств ZFC аксиома степени утверждает, что для любого множества <math>A</math> существует множество <math>\mathcal{P}(A)</math>, называемое степенным множеством, которое состоит из всех подмножеств <math>A</math>: <math> \mathcal{P}(A) = \left\{ B \mid B \subseteq A \right\} </math> <b>Определение:</b> Фактор-множество <math>S / \sim</math> — это множество всех множеств вида <math>[x]</math>, где <math>x \in S</math>: <math> S / \sim = \left\{ [x] \mid x \in S \right\} </math> <b> Утверждение 2: <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. </b> <u>Доказательство:</u> Каждое множество <math>[x] \in S / \sim</math> является подмножеством <math>S</math>, то есть <math>[x] \subseteq S</math>. По определению степенного множества, <math>[x] \in \mathcal{P}(S)</math>. Следовательно, <math>S / \sim \subseteq \mathcal{P}(S)</math>. Выделение <math>S / \sim</math> из <math>\mathcal{P}(S)</math> Множество <math>S / \sim</math> можно выделить из <math>\mathcal{P}(S)</math> с помощью аксиомы выделения. Для этого определим свойство <math>P(B)</math> следующим образом: <math> P(B) \iff \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) </math> Тогда: <math> S / \sim = \left\{ B \in \mathcal{P}(S) \mid \exists x \in S , \forall y \in S , (y \in B \leftrightarrow (x, y) \in \sim) \right\} </math> <u>Корректность построения:</u> * Существование <math>S \times S</math>: По аксиоме парного произведения для любого множества <math>S</math> существует декартово произведение <math>S \times S</math>. * Существование <math>\sim</math>: Если <math>\sim</math> задано как подмножество <math>S \times S</math>, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности, то <math>\sim</math> существует по аксиоме выделения. * Существование <math>S / \sim</math>: Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, а степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени. Тогда <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. <b>Вопрос: Можно ли построить <math>S / \sim</math> для произвольного множества <math>S</math>? </b> <b>Ответ:</b> Да, для любого множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> фактор-множество <math>S / \sim</math> существует в ZFC. Это следует из существования декартова произведения <math>S \times S</math>, аксиомы степени для построения <math>\mathcal{P}(S)</math> и аксиомы выделения для определения <math>S / \sim</math>. <u>Итоговый вывод:</u> * Каждое множество <math>[x]</math> является подмножеством <math>S</math>, так как <math>[x] = \left\{ y \in S \mid (x, y) \in \sim \right\}</math> и <math>\sim \subseteq S \times S</math>. * Степенное множество <math>\mathcal{P}(S)</math> существует по аксиоме степени, и каждое множество <math>[x]</math> принадлежит <math>\mathcal{P}(S)</math>. * Фактор-множество <math>S / \sim</math> существует как подмножество <math>\mathcal{P}(S)</math>, выделенное по свойству <math>P(B)</math>. Таким образом, для произвольного множества <math>S</math> и отношения эквивалентности <math>\sim</math> построение фактор-множества <math>S / \sim</math> корректно в ZFC. <b>Определение:</b> Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется полным покрытием множества <math>S</math>, если <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. <b>Определение:</b> Множества <math>B_i</math> попарно непересекаются, если для любых <math>i, j</math> из некоторого индекса множества <math>I</math> выполняется: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset.</math>. <b>Определение: </b>Семейство множеств <math>\left\{ { B_i }|{i \in I} \right\}</math> называется разбиением множества <math>S</math>, если выполняются следующие условия: * Попарная непересекаемость. * Полное покрытие. <b>Утверждение 3: Множество <math>S / \sim</math> образует разбиение множества <math>S</math>.</b> <u>Доказательство:</u> * <u>Докажем попарную непересекамеость.</u> Пусть <math>[x]</math> и <math>[y]</math> — два различных элемента фактор-множества <math>S / \sim</math>, то есть <math>[x] \neq [y]</math>. Нужно доказать: <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>, то есть если элементы фактор-множества различны, их пересечение пусто. Предположим от противного, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>. Тогда существует <math>z \in S</math>, такой что <math>z \in [x]</math> и <math>z \in [y]</math>. Из <math>z \in [y]</math> следует, по определению элементов в фактор-множестве, <math>(y, z) \in \sim</math>. Из что <math>z \in [x]</math>, следует, по определению элементов в фактор-множестве, что <math>(x, z) \in \sim</math>. По определению элементов фактор-множества это означает: Далее, используя свойства эквивалентности: * Симметрия: если <math>(y, z) \in \sim</math>, то <math>(z, y) \in \sim</math>. * Транзитивность: из <math>(x, z) \in \sim</math> и <math>(z, y) \in \sim</math> следует, что <math>(x, y) \in \sim</math>. Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то по определению фактор-множества <math>[x] = [y]</math>, так как элементы фактор-множества совпадают, если их представители эквивалентны. Это противоречит условию <math>[x] \neq [y]</math>. Значит, предположение о том, что <math>[x] \cap [y] \neq \emptyset</math>, неверно, и следовательно, <math>[x] \cap [y] = \emptyset</math>. Что и требовалось доказать. * <u> Докажем полное покрытие</u> Теперь рассмотрим произвольный элемент <math>z \in S</math>. По свойству рефлексивности отношения <math>\sim</math>, выполняется <math>(z, z) \in \sim</math>, что означает, что <math>z \in [z]</math>. Таким образом, каждый элемент множества <math>S</math> принадлежит хотя бы одному классу эквивалентности, и объединение всех классов эквивалентности равно <math>S</math>, то есть <math>\bigcup_{x \in S} [x] = S</math>. Из этого следует, что элементы фактор-множества <math>[x]</math> образуют разбиение множества <math>S</math>, так как они попарно не пересекаются и их объединение покрывает всё множество <math>S</math>. <b> Обратное утверждение 4: Если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> образует разбиение множества <math>S</math>, то существует отношение <math>\sim</math> на <math>S</math>, такое что: </b> <math>\sim</math> является подмножеством <math>S \times S</math> и обладает рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>, то есть каждое <math>B_i</math> совпадает с <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>{ B_i }_{i \in I}</math> — разбиение множества <math>S</math>, то есть: <math>\forall i, j \in I, \quad i \neq j \Rightarrow B_i \cap B_j = \emptyset</math>. <math>\bigcup_{i \in I} B_i = S</math>. Определим отношение <math>\sim</math> на <math>S</math> следующим образом: <math> \forall x, y \in S, \quad (x, y) \in \sim \iff \exists i \in I \text{ такое, что } x, y \in B_i. </math> Докажем, что <math>\sim</math> обладает требуемыми свойствами: * <u>Рефлексивность:</u> По свойствую полноты покрытия,для любого <math>x \in S</math> существует <math>B_i</math>, содержащее <math>x</math>. Значит, <math>(x, x) \in \sim</math>. * <u>Симметричность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math>, то существует <math>B_i</math>, такое что <math>x, y \in B_i</math>. Отсюда, существует <math>B_i</math>, такое что <math>y, x \in B_i</math>. Тогда по определению <math>(y, x) \in \sim</math>. * <u>Транзитивность:</u> Если <math>(x, y) \in \sim</math> и <math>(y, z) \in \sim</math>, то существуют <math>B_i</math> и <math>B_j</math>, такие что <math>x, y \in B_i</math> и <math>y, z \in B_j</math>. Нужно доказать, что <math>(x, z) \in \sim</math>. Допустим от противного, что <math>i \ne j</math>. Тогда по свойству попарной непересекаемости <math>B_i \cap B_j = \emptyset</math>. Однако, как мы устновили выше <math>y \in B_i \cap B_j</math>, т.е. пересечение непусто. Мы пришли к противоречию. Следотвально, <math>i = j</math>, а значит <math>B_i = B_j</math>. Тогда <math>x, y, z \in B_i</math>, то есть <math>(x, z) \in \sim</math>. Наконец, каждое множество <math>B_i</math> является <math>[x]</math> для любого <math>x \in B_i</math>, так как все элементы в <math>B_i</math> эквивалентны по построенному отношению. Следовательно, <math>S / \sim = { B_i }_{i \in I}</math>. Таким образом, если семейство множеств <math>{ B_i }_{i \in I}</math> является разбиением множества <math>S</math>, то можно определить отношение <math>\sim</math>, порождающее это разбиение. ==== Примеры 1: ==== * <u>Пример 1 - равенство чисел.</u> Рассмотрим множество всех целых чисел: <math> S = \mathbb{Z} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Зададим на <math>\mathbb{Z}</math> отношение эквивалентности <math>\sim</math>: <math> \forall x, y \in \mathbb{Z}, \quad x \sim y \iff x = y. </math> * Рефлексивность: <math> \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x = x, </math> каждое число равно самому себе. Значит, <math>x \sim x</math>. * Симметрия: Если <math>x \sim y</math>, то <math>x = y</math>. Из определения равенства следует <math>y = x</math> (порядок сравнения на равенство не важен). Следовательно, <math>y \sim x</math>. * Транзитивность: Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, то <math>x = y</math> и <math>y = z</math>. Если <math>x</math> и <math>y</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> и <math>y</math> и <math>z</math> суть одно и то же число, назовём его <math>y</math> (это один и тот же <math>y</math>), то мы имеем одно и то же число <math>y</math>, т.е. <math>x=y=z</math>, отсюда <math>x=z</math>, значит, <math>x \sim z</math>. Таким образом, <math>\sim</math> является отношением эквивалентности. <u>Построение разбиения множества <math>\mathbb{Z}</math></u> Фактор-множество <math>\mathbb{Z} / \sim</math> состоит из классов эквивалентности: <math> [x] = \left\{ y \in \mathbb{Z} \mid y \sim x \right\} = {x}. </math> Каждое число эквивалентно только самому себе, значит, каждый элемент фактор-множества состоит ровно из одного элемента. Следовательно, фактор-множество имеет вид: <math> \mathbb{Z} / \sim = \left\{ {x} \mid x \in \mathbb{Z} \right\}. </math> Это разбиение множества <math>\mathbb{Z}</math> на одноэлементные подмножества. ==== Пример 2: ==== <u>Пример 2 - чётность чисел.</u> Рассмотрим множество всех натуральный чисел: <math> S = \mathbb{N} </math>. Формальное определние, что это корректное множество в ZFC будет приведено позже. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> на множестве целых чисел следующим образом: <math> x \sim y \iff x \equiv y \pmod{2} </math>. Это означает, что два числа эквивалентны, если оба либо чётные, либо нечётные. Формально, числа <math>x</math> и <math>y</math> принадлежат к одному и тому же элементу фактор-множества, если сли остатки от деления на 2 у них одинаковые. <u>Доказательство свойств отношения эквивалентности</u> * Рефлексивность. Для любого числа <math>x \in \mathbb{Z}</math> <math> x \equiv y \pmod{2} </math>, его чётность всегда совпадает с его собственной чётностью. Таким образом, отношение эквивалентности является рефлексивным. * Симметрия. Отношение эквивалентности называется симметричным, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из множества, если <math>x \sim y</math>, то <math>y \sim x</math>. Если <math>x \sim y</math>, то <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то есть числа <math>x</math> и <math>y</math> имеют одинаковую чётность. Поскольку чётность чисел не зависит от порядка их сравнения (если <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, то <math>y \equiv x \pmod{2}</math>), то <math>y \sim x</math> * Транзитивность. Если <math>x \sim y</math> и <math>y \sim z</math>, это означает, что <math>x \equiv y \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \pmod{2}</math>. Число при делении на 2 может давать два возможных остатка: 0 или 1. Остаток от деления на 2 для <math>y</math> может быть 0 (первый случай) или 1 (второй случай). По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 0 (первый случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 0. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 0. Во-втором случае, остаток от деления на 2 для <math>y</math> будет 1.По условию, <math>x \equiv y \pmod{2}</math>, это значит, что если остаток от деления на 2 для <math>y</math> даёт 1 (второй случай), то остаток от деления на 2 для <math>x</math> то же будет 1. По условию, <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, это значит, что остаток от деления на 2 для <math>z</math> то же будет 1. * Случай 1: <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 0 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> делятся на 2 без остатка. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно делиться на 2 без остатка. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 0 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. * Случай 2: <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math> и <math>y \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math> Если <math>x \equiv y \equiv 1 \pmod{2}</math>, то оба числа <math>x</math> и <math>y</math> при делении на 2 дают остаток 1. Поскольку <math>y \equiv z \pmod{2}</math>, то и <math>z</math> должно давать остаток 1 при делении на 2. Таким образом, <math>x \equiv z \equiv 1 \pmod{2}</math>, то есть остаток от деления <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковый. Других случаев нет, так как остаток от деление на 2 не может дать ни какое другое число; формально это будет доказано позже при помощи алгоритма Евклида (пусть <math>r</math> - остаток от деление на 2, тогда <math>0 \leq r < 2</math>, т.е. <math>r</math> может быть 0 или 1). Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них остатки от деления чисел <math>x</math> и <math>z</math> на 2 одинаковы. Следовательно, <math>x \sim z</math>, что и требовалось доказать. ==== Пример 3: ==== <u>Пример 3 - параллельные прямые на плоскости.</u> Рассмотрим множество S, состоящее из всех прямых на плоскости. Формально, это можно записать как: <math> S = \left\{ l \subseteq \mathbb{R}^2 \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Здесь условие <math> a^2 + b^2 \neq 0 </math> гарантирует, что хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, что необходимо для того, чтобы уравнение <math> ax + by + c = 0 </math> задавало прямую на плоскости. <u>Замечание:</u> <math>\mathbb{R}</math> будет определено далее. Ранее мы доказали, для любого множества <math>A</math>, <math>A^2</math> является множеством в ZFC, таким образом <math>\mathbb{R}^2</math> - множество. <u>Доказательство существования множества S в ZFC</u> Аксиома степени гарантирует существование множества всех подмножеств для любого множества. Таким образом, для <math>\mathbb{R}^2</math> существует множество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math> — множество всех подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. Множество <math>S</math> определяется как подмножество <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, выделяемое с помощью аксиомы выделения (аксиомы подмножеств). А именно: <math> S = \left\{ l \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \text{ таких, что } a^2 + b^2 \neq 0 \text{ и } l = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by + c = 0 } \right\}. </math> Таким образом, <math>S</math> является подмножеством <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)</math>, и его существование гарантировано аксиомой выделения. <u>Определение отношения эквивалентности</u> Определим отношение R на множестве S следующим образом: <math> R = \left\{ (l_1, l_2) \in S \times S \mid l_1 \parallel l_2 \right\}, </math> где <math> l_1 \parallel l_2 </math> означает, что прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> параллельны. <u>Доказательство свойств отношения R</u> * Рефлексивность: Для любой прямой <math> l \in S </math> выполняется <math> l \parallel l </math>, так как прямая параллельна самой себе. Следовательно, <math> (l, l) \in R </math>. * Симметричность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math>, что по определению параллельности означает <math> l_2 \parallel l_1 </math>. Следовательно, <math> (l_2, l_1) \in R </math>. * Транзитивность: Если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> l_1 \parallel l_2 </math> и <math> l_2 \parallel l_3 </math>. Требуется доказать, что <math> R </math> транзитивно: если <math> (l_1, l_2) \in R </math> и <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то <math> (l_1, l_3) \in R </math>. <u>Шаг 1: Условие и тривиальный случай</u> Дано: * <math> (l_1, l_2) \in R </math>, то есть <math> l_1 \parallel l_2 </math> (прямые <math> l_1 </math> и <math> l_2 </math> не пересекаются), * <math> (l_2, l_3) \in R </math>, то есть <math> l_2 \parallel l_3 </math> (прямые <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются). Нужно показать, что <math> l_1 \parallel l_3 </math>, то есть <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Сначала рассмотрим тривиальный случай: если <math> l_1 = l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math> очевидно, так как любая прямая параллельна сама себе. В этом случае <math> (l_1, l_3) \in R </math>, и свойство транзитивности выполняется. Далее будем предполагать, что <math> l_1 \neq l_3 </math>. <u>Шаг 2: Доказательство от противного для случая <math> l_1 \neq l_3 </math></u> Предположим от противного, что <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> различны и не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке <math> P </math>. Рассмотрим последствия этого предположения: * <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>. <u>Шаг 3: Анализ положения <math> P </math></u> Из условия <math> l_2 \parallel l_3 </math> следует, что <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> не пересекаются. Так как <math> P </math> лежит на <math> l_3 </math>, то <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>, иначе <math> l_2 </math> и <math> l_3 </math> пересекались бы в <math> P </math>, что противоречит их параллельности. Имеем, <math> P </math> лежит на <math> l_1 </math> и на <math> l_3 </math>, но <math> P </math> не лежит на <math> l_2 </math>. <u>Шаг 4: Применение постулата о параллельности</u> Рассмотрим точку <math> P </math> и прямую <math> l_2 </math>: * <math>P </math> не лежит на <math> l_2 </math> (установлено на шаге 3). * В евклидовой геометрии через точку <math> P </math>, не лежащую на прямой <math> l_2 </math>, проходит ровно одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Теперь проверим прямые, проходящие через <math> P </math>: * <math> l_1 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_1 \parallel l_2 </math>), * <math> l_3 </math> проходит через <math> P </math> и параллельна <math> l_2 </math> (так как <math> l_2 \parallel l_3 </math>). Таким образом, обе прямые, <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math>, проходят через <math> P </math> и параллельны <math> l_2 </math>. Но по постулату о параллельности через <math> P </math> может проходить только одна прямая, параллельная <math> l_2 </math>. Поскольку мы предположили, что <math> l_1 \neq l_3 </math>, это приводит к противоречию: <math> l_1 </math> и <math> l_3 </math> не могут быть разными прямыми, одновременно проходящими через <math> P </math> и параллельными <math> l_2 </math>. <u>Шаг 5: Вывод</u> Предположение, что <math> l_1 \neq l_3 </math> и <math> l_1 </math> не параллельна <math> l_3 </math>, неверно. Следовательно, если <math> l_1 \neq l_3 </math>, то <math> l_1 \parallel l_3 </math>. Учитывая тривиальный случай <math> l_1 = l_3 </math> из шага 1, в любом случае <math> l_1 \parallel l_3 </math>, и значит, <math> (l_1, l_3) \in R </math>. Отношение <math> R </math> транзитивно. Таким образом, отношение R является отношением эквивалентности. <u>Построение фактор-множества (оно же разбиение)</u> Отношение эквивалентности R разбивает множество S на элементы фактор-множества <math> S / R </math>, где каждый элемент фактор-множества состоит из всех прямых, параллельных друг другу. Формально, фактор-множество <math> S / R </math> можно записать как: <math> S / R = \left\{ [l] \mid l \in S \right\}, </math> где <math> [l] = \left\{ l' \in S \mid l' \parallel l \right\} </math> — элемент фактор-множества, содержащий прямую l. Каждый элемент фактор-множества <math> [l] </math> представляет собой множество всех прямых, параллельных прямой l. Таким образом, фактор-множество <math> S / R </math> состоит из всех таких элементов. Неформально говоря, мы как бы "отождествляем" все паралельные прямые. Для нас она как "одна" прямая. После такого отождествления, мы получили новое множество без паралельных прямых. ==== Пример 4: ==== <u>Пример 4 - Подобие треугольников.</u> ==== Примеры 2: ==== * Разбиение множества на элементы. * Разбиение множества на группы по длине строки. * Разбиение множества всех слов на слова, начинающиеся с гласной, и слова, начинающиеся с согласной (по первой букве). См. также важные примеры в главве про функции. === Функции === * Определение через отношения. * График функции. * Домен, кодомен, Img. * инъективные функции. * суръективные функции. * биективные функции. * Принцип Дирихле с доказательством и применением. * изоморфизм как сохранение структуры (~ и разбиение). (скажем, на примере кольца). * Группа <math>(\mathbb{Z}_2, +)</math> с операцией сложения изоморфна группе <math>({1, -1}, *)</math> с операцией умножения. * Изоморфизм множеств (~ и разбиение) * Изоморфизм частично упорядоченных множеств (~ и разбиение) === Упорядоченные множества === * Частично упорядоченное множество. * Вполне упорядоченное множество, минимальный элемент существует. * Линейно упорядоченное множество. * Дедекиндово сечение. * Непрерывные линейно упорядоченные множества. * Плотные подмножества. === Аксиома выбора, Лемма Цорна, Теорема Цермело === * Формулировки и примеры применения. <b>Формулировка теоремы о хорошей упорядоченности</b> <u>Теорема</u>: Для любого множества <math>X</math> существует отношение порядка <math>\leq</math>, которое делает <math>X</math> хорошо упорядоченным. Определение: Множество <math>X</math> с отношением порядка <math>\leq</math> называется хорошо упорядоченным, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in X</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq X</math> имеет наименьший элемент, то есть существует <math>s_0 \in S</math>, такое что для всех <math>s \in S</math> выполняется <math>s_0 \leq s</math>. <u>Шаг 1: Определение частично упорядоченного множества</u> Рассмотрим множество <math>X</math>. Определим <math>P</math> как множество всех пар <math>(A, \leq_A)</math>, где: * <math>A \subseteq X</math> — подмножество множества <math>X</math>, * <math>\leq_A</math> — хорошее упорядочение на <math>A</math>. Определим частичное упорядочение на <math>P</math>. Пусть <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> — элементы <math>P</math>. Говорим, что <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, если: * <math>A \subseteq B</math>, * <math>\leq_A</math> является ограничением <math>\leq_B</math> на <math>A</math>, то есть для всех <math>x, y \in A</math> выполняется <math>x \leq_A y</math> тогда и только тогда, когда <math>x \leq_B y</math>, * <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>, то есть если <math>b \in B</math>, <math>a \in A</math> и <math>b \leq_B a</math>, то <math>b \in A</math>. Проверим, что <math>\preceq</math> — частичное упорядочение: * Рефлексивность: <math>(A, \leq_A) \preceq (A, \leq_A)</math>, так как <math>A \subseteq A</math>, <math>\leq_A</math> совпадает с собой, и <math>A</math> — начальный сегмент себя. * Антисимметричность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>, то <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, значит <math>A = B</math>, а <math>\leq_A = \leq_B</math> по определению. * Транзитивность: Если <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math> и <math>(B, \leq_B) \preceq (C, \leq_C)</math>, то <math>A \subseteq B \subseteq C</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_C</math>, и если <math>c \in C</math>, <math>a \in A</math>, <math>c \leq_C a</math>, то <math>c \in B</math> (так как <math>A</math> — начальный сегмент <math>B</math>) и <math>c \in A</math> (так как <math>B</math> — начальный сегмент <math>C</math>). Множество <math>P</math> непусто, так как <math>(\emptyset, \leq_\emptyset)</math> (где <math>\leq_\emptyset</math> — пустое отношение) — элемент <math>P</math>. <u>Шаг 2: Проверка условия леммы Цорна</u> Покажем, что любая цепь в <math>P</math> имеет верхнюю грань. Цепь — это подмножество <math>C \subseteq P</math>, такое что для любых <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math> либо <math>(A, \leq_A) \preceq (B, \leq_B)</math>, либо <math>(B, \leq_B) \preceq (A, \leq_A)</math>. * Определим <math>U = \bigcup { A \mid (A, \leq_A) \in C }</math> — объединение всех множеств <math>A</math> из цепи. * Определим отношение <math>\leq_U</math> на <math>U</math>: для <math>x, y \in U</math> положим <math>x \leq_U y</math>, если существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>x, y \in A</math> и <math>x \leq_A y</math>. Проверим, что <math>(U, \leq_U)</math> — элемент <math>P</math>: Тотальность: Если <math>x, y \in U</math>, то существуют <math>(A, \leq_A), (B, \leq_B) \in C</math>, такие что <math>x \in A</math>, <math>y \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. В любом случае, <math>x, y</math> принадлежат большему из <math>A</math> и <math>B</math>, где порядок определён, и либо <math>x \leq_U y</math>, либо <math>y \leq_U x</math>. Хорошее упорядочение: Пусть <math>S \subseteq U</math> — непустое подмножество. Возьмём <math>s \in S</math>. Существует <math>(A, \leq_A) \in C</math>, такое что <math>s \in A</math>. Множество <math>S \cap A</math> непусто (содержит <math>s</math>), и так как <math>A</math> хорошо упорядочено, <math>S \cap A</math> имеет наименьший элемент <math>s_0</math>. Покажем, что <math>s_0</math> — наименьший в <math>S</math>: * Для любого <math>t \in S</math> существует <math>(B, \leq_B) \in C</math>, такое что <math>t \in B</math>. Так как <math>C</math> — цепь, либо <math>A \subseteq B</math>, либо <math>B \subseteq A</math>. * Если <math>A \subseteq B</math>, то <math>s_0, t \in B</math>, и <math>s_0</math> — наименьший в <math>S \cap B</math>, значит <math>s_0 \leq_B t</math>. * Если <math>B \subseteq A</math>, то <math>t \in A</math>, и <math>s_0 \leq_A t</math>. * В любом случае, <math>s_0 \leq_U t</math>. Покажем, что <math>(U, \leq_U)</math> — верхняя грань <math>C</math>: * Для любого <math>(A, \leq_A) \in C</math> выполняется <math>A \subseteq U</math>, <math>\leq_A</math> — ограничение <math>\leq_U</math> на <math>A</math>, и <math>A</math> — начальный сегмент <math>U</math> (если <math>u \in U</math>, <math>a \in A</math>, <math>u \leq_U a</math>, то <math>u \in A</math>, так как порядок в <math>U</math> наследуется от цепи). <u>Шаг 3: Применение леммы Цорна</u> По лемме Цорна в <math>P</math> существует максимальный элемент <math>(M, \leq_M)</math>. Утверждаем, что <math>M = X</math>. Предположим, что <math>M \neq X</math>, и существует <math>x \in X \setminus M</math>. Расширим <math>(M, \leq_M)</math>, добавив <math>x</math>. Определим <math>M' = M \cup {x}</math> и отношение <math>\leq_{M'}</math>: * Для <math>a, b \in M</math>: <math>a \leq_{M'} b</math> тогда и только тогда, когда <math>a \leq_M b</math>, * Для всех <math>m \in M</math>: <math>m \leq_{M'} x</math>, * <math>x \not\leq_{M'} m</math> для всех <math>m \in M</math>. <math>(M', \leq_{M'})</math> — хорошее упорядочение: * Тотальность: добавлен только <math>x</math>, и он больше всех элементов <math>M</math>. * Каждое непустое <math>S \subseteq M'</math> имеет наименьший элемент: если <math>S \subseteq M</math>, то по свойству <math>M</math>; если <math>x \in S</math>, то наименьший элемент — либо <math>x</math>, либо минимальный элемент <math>S \cap M</math>. Тогда <math>(M, \leq_M) \preceq (M', \leq_{M'})</math>, но <math>M \subsetneq M'</math>, что противоречит максимальности <math>(M, \leq_M)</math>. Следовательно, <math>M = X</math>, и <math>(X, \leq_M)</math> — хорошее упорядочение <math>X</math>. <u>Вывод</u> Теорема доказана: для любого <math>X</math> существует хорошее упорядочение, что следует из применения леммы Цорна к множеству всех хороших упорядочений подмножеств <math>X</math>. === Вполне упорядоченные множества === * Определение. * Связь с фундированными множествами. === Фундированные множества === * Определение. * Эквивалентное определение через обрыв убывающих цепей. == 4. Построение натуральных чисел == * Аксиомы Пеано. * Доказательство их основных свойств. * Доказательство эквивалентности между полной мат. индукцией, частичной и в любом подмножестве есть минимум. * Метод бесконечного спуска. * Примеры применения мат. индукции, полной мат. индукции и метода бесконечного спуска. * Если A - множество, то A^n - множество в ZFC. Конструкция фон Неймана — это способ формального определения натуральных чисел (<math>\mathbb{N}</math>) в рамках теории множеств, предложенный Джоном фон Нейманом. Она позволяет построить числа как множества, начиная с пустого множества, и задает их так, чтобы каждое следующее число было "наследником" предыдущего. Этот метод широко используется в аксиоматической теории множеств, например, в ZFC (Цермело-Френкель с аксиомой выбора), чтобы строго обосновать существование <math>\mathbb{N}</math> и операций над ним. Давайте разберем это подробно. Идея конструкции Основная идея состоит в том, чтобы: * Определить каждое натуральное число как множество, содержащее все предыдущие числа. * Использовать пустое множество как отправную точку (нуль). * Определить операцию "наследника" (увеличения на 1) как добавление самого числа в множество. Таким образом, числа строятся иерархически, и их порядок задается вложенностью множеств. Формальное определение В конструкции фон Неймана: * <math>0</math> определяется как пустое множество: <math>0 = \emptyset</math> * Каждое следующее число <math>n + 1</math> (наследник <math>n</math>) определяется как множество, содержащее <math>n</math> и все элементы <math>n</math>: <math>S(n) = n \cup { n }</math>, где <math>S(n)</math> — функция наследника. Теперь построим первые несколько чисел: * <math>0 = \emptyset</math> (множество без элементов), * <math>1 = S(0) = 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \emptyset \cup { \emptyset } = { \emptyset }</math>, * <math>2 = S(1) = 1 \cup { 1 } = { \emptyset } \cup { { \emptyset } } = { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>3 = S(2) = 2 \cup { 2 } = { \emptyset, { \emptyset } } \cup { { \emptyset, { \emptyset } } } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math>, и так далее. Или в более читаемой форме: * <math>0 = \emptyset</math> (0 элементов), * <math>1 = { 0 } = { \emptyset }</math> (1 элемент), * <math>2 = { 0, 1 } = { \emptyset, { \emptyset } }</math> (2 элемента), * <math>3 = { 0, 1, 2 } = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }</math> (3 элемента). Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> Множество <math>\mathbb{N}</math> определяется как наименьшее множество, которое: * Содержит <math>0 = \emptyset</math>, * Замкнуто относительно операции наследника <math>S(n) = n \cup { n }</math>. <u>Замечание 1:</u> В некоторых разделах математики натуральные числа начинаются с 1. Это эквивалентное определение в том смысл, что они удовлетворяют аксиомам Пеано (см. ниже). Мы же будем считать, что <math>\0 \in \mathbb{N}</math> <u>Замечание 2:</u> TBD: интуитивный смысл, история нуля Формально в ZFC это гарантируется аксиомой бесконечности, которая утверждает существование индуктивного множества <math>\omega</math> (обычно обозначаемого как <math>\mathbb{N}</math> в этом контексте): * <math>\emptyset \in \omega</math>, * Если <math>n \in \omega</math>, то <math>S(n) = n \cup { n } \in \omega</math>. Таким образом: <math>\mathbb{N} = { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } }, { \emptyset, { \emptyset }, { \emptyset, { \emptyset } } }, ... }</math> Свойства конструкции Порядок: * Отношение порядка задается через включение множеств (<math>\in</math>): * <math>0 \in 1</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset }</math>, * <math>1 \in 2</math>, так как <math>{ \emptyset } \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>, * <math>0 \in 2</math>, так как <math>\emptyset \in { \emptyset, { \emptyset } }</math>. * Это соответствует интуитивному порядку <math>0 < 1 < 2 < ...</math>. Количество элементов: Мощность множества <math>n</math> равна <math>n</math> (например, <math>|2| = |{ \emptyset, { \emptyset } }| = 2</math>), что делает конструкцию удобной для подсчета. Уникальность: Каждое число <math>n</math> уникально определено как множество всех предыдущих чисел: <math>n = { 0, 1, 2, ..., n-1 }</math>. Операции на <math>\mathbb{N}</math> После построения <math>\mathbb{N}</math> можно определить сложение и умножение рекурсивно: Сложение: * <math>m + 0 = m</math>, * <math>m + S(n) = S(m + n)</math>. Пример: <math>1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2</math>. Умножение: * <math>m \cdot 0 = 0</math>, * <math>m \cdot S(n) = m \cdot n + m</math>. Пример: <math>2 \cdot 1 = 2 \cdot S(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2</math>. Доказательство аксиом Пеано: После построения натуральных чисел в ZFC необходимо доказать, что они удовлетворяют аксиомам Пеано. Вот как это делается: Аксиома 1: <math>0</math> — натуральное число. Это выполняется по определению: <math>0 = \emptyset</math>, и <math>\emptyset</math> включён в <math>\mathbb{N}</math>. Аксиома 2: Для каждого натурального числа <math>n</math> существует следующее число <math>S(n)</math>. Это выполняется по определению операции следования: <math>S(n) = n \cup {n}</math>. Аксиома 3: <math>0</math> не является последователем никакого натурального числа. Это выполняется, так как <math>S(n) = n \cup {n}</math> всегда содержит элемент <math>n</math>, а <math>0 = \emptyset</math> не содержит элементов. Аксиома 4: Если <math>S(n) = S(m)</math>, то <math>n = m</math>. Это следует из того, что <math>S(n) = n \cup {n}</math> и <math>S(m) = m \cup {m}</math>. Если эти множества равны, то <math>n = m</math>. Аксиома 5 (индукция): Если некоторое утверждение верно для <math>0</math> и из его истинности для <math>n</math> следует истинность для <math>S(n)</math>, то оно верно для всех натуральных чисел. Это следует из аксиомы бесконечности и определения <math>\mathbb{N}</math> как наименьшего множества, содержащего <math>0</math> и замкнутого относительно <math>S</math>. === примеры мат. индукции === '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. 2. Формула Бернули 3. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' *. Теорема о функциональной полноте множеств https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 *. Доказательство невозможности выразить дизъюнктное объединение через ∩, ∪, * https://chat.deepseek.com/a/chat/s/a7466a6d-1964-49d9-b77f-e35292cd50c6 * Теорема о функциональной полноте операции NAND A \uparrow B = (A \cap B)^c https://chat.deepseek.com/a/chat/s/de05c854-ed0a-4aa3-ae31-e1303ff99012 * Симметрическая разность === Алгоритм Евклида === 1. Определение gcd. 2. Существование gcd для любый натуральных чисел. 3. Лемма о делении с остатком. 4. Свойство gcd при делении с остатком: gcd(a, b)=gcd(b, r) 5. Алгоритм Евклида === Основная теорема арифметики === 6. Определение простого числа Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само p. 7. Лемма о простом делителе Она утверждает, что если простое число p делит произведение ab, то оно делит хотя бы один из множителей: <math> p \mid ab \quad \Rightarrow \quad p \mid a \quad \text{или} \quad p \mid b. </math> Эта лемма доказывается с помощью НОД и алгоритма Евклида. 8. Основная теорема арифметики. 9. gcd(km, kn)=k*gcd(m, n) 10. Следствие: gcd(km, kn)>=k === Альтернативный (школьный) способ нахождения gcd === 1. Раскладываем обо числа на простые числа/множители (по основной теореме арифметики это можно сделать). 2. Берём общие множители обоих чисел. Доказать, что получится gcd. Замечание: не известно эффективного способа это сделать. В школе делается методом перебора. === Теорема о бесконечном количесте простых чисел === * Формулировка * Доказательство == 5. Построение целых чисел == Z - Архимедово упорядоченное коммутативное кольцо с единицей * Определение целых чисел. * Доказательство их свойств. Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = \left\{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. Операции на <math>\mathbb{Z}</math> Определим операции на целых числах, представленных парами. Сложение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> сложение определяется как: <math> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) </math> После выполнения операции результат приводится к канонической форме, если это необходимо. Умножение Для двух чисел <math>(a, b)</math> и <math>(c, d)</math> умножение определяется как: <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) </math> После умножения результат также приводится к канонической форме. Отрицание Отрицание числа <math>(a, b)</math> представляется как: <math> -(a, b) = (b, a) </math> Порядок Порядок на множестве целых чисел определяется следующим образом: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a + d < b + c </math> Это определение согласуется с обычным порядком целых чисел. Включение натуральных чисел в <math>\mathbb{Z}</math> Натуральные числа <math>n \in \mathbb{N}</math> включаются в <math>\mathbb{Z}</math> по следующему правилу: <math> n \mapsto (n, 0) </math> Это отображение позволяет включить все натуральные числа в множество целых чисел. Проверка корректности: Необходимо убедиться, что определённые операции удовлетворяют свойствам целых чисел (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента и т.д.). === Альтернативное определение === Определение множества целых чисел через упорядоченные пары Множество целых чисел определяется как множество упорядоченных пар натуральных чисел: <math> \mathbb{Z} = { (a, b) \mid a, b \in \mathbb{N} } </math> Здесь пара <math>(a, b)</math> интерпретируется как целое число <math>a - b</math>. Каноническое представление Каждый элемент <math>(a, b) \in \mathbb{Z}</math> должен быть представлен в канонической форме: Если <math>a = b</math>, то это представление нуля: <math> (a, b) = (0, 0) </math> что соответствует числу <math>0</math>. Если <math>a \neq b</math>, то: * Если <math>a > b</math>, то это положительное число. * Если <math>a < b</math>, то это отрицательное число. Каноническая форма целого числа заключается в том, что пара <math>(a, b)</math> всегда записана с условием <math>a \geq b</math>, и при этом <math>a</math> и <math>b</math> представляют число, равное <math>a - b</math>. Таким образом, для каждого целого числа используется пара <math>(a, b)</math>, где <math>a</math> — большее число, а <math>b</math> — меньшее или равное. Это гарантирует единственное представление каждого числа. <u>Чтобы доказать, что оба подхода приводят к одной и той же структуре, нам нужно:</u> 1. Показать, что элементы множества <math>\mathbb{Z}</math> из первого определения эквивалентны элементам из второго определения. В первом определении, каждый элемент целого числа — это пара <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> является целым числом. Для этого определим эквивалентность между парами <math>(a, b)</math> и элементами множества <math>\mathbb{Z}</math>, представленными как элементы <math>n \in \mathbb{N}</math> или <math>-n \in \mathbb{N}</math>. * Если <math>a - b = n</math>, то элемент <math>(a, b)</math> будет соответствовать числу <math>n \in \mathbb{Z}</math>. * Если <math>a - b = -n</math>, то это будет отрицательное число, которое также принадлежит множеству целых чисел. То есть, каждую пару <math>(a, b)</math> можно ассоциировать с целым числом из множества <math>\mathbb{Z}</math>, определённого как объединение положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. 2. Показать, что операции над числами из первого определения совпадают с операциями из второго определения. В первом определении операции сложения и вычитания на парах <math>(a, b)</math> можно интерпретировать как операцию вычитания разности <math>a - b</math>. Например: * Сложение двух целых чисел, представленных парами <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, будет равняться разности <math>(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)</math>. * Вычитание чисел также можно интерпретировать через разности пар, аналогично. В втором определении операции сложения и вычитания целых чисел аналогичны стандартным операциям для чисел в <math>\mathbb{Z}</math>, и они также дают результат в том же множестве. Таким образом, для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует соответствующее целое число в втором определении, и операции на этих числах совпадают. 4. Окончательное доказательство эквивалентности Отображение: 1. Каждое целое число из первого определения (в виде пары <math>(a, b)</math>, где <math>a - b</math> — целое число) соответствует числу в втором определении (где целые числа представлены как элементы множества <math>\mathbb{Z}</math>, включая положительные, отрицательные числа и ноль). Таким образом, существует взаимно однозначное отображение между этими двумя представлениями целых чисел. Операции: Операции сложения и вычитания в обоих определениях совпадают: * В первом определении операции сложения и вычитания пар эквивалентны операциям над целыми числами в обычной арифметике. * Во втором определении операции на множестве <math>\mathbb{Z}</math> — это стандартные операции сложения и вычитания целых чисел. 3. Множества: Обе конструкции приводят к тому же множеству, потому что для каждой пары <math>(a, b)</math> из первого определения существует уникальное целое число, которое представлено во втором определении. Следовательно, оба определения приводят к одной и той же структуре множества целых чисел с одинаковыми операциями. Утверждение: для любого числа a выполняется равенство <math>0 \cdot a = 0</math>. Доказательство: Шаг 1: Используем свойство дистрибутивности По дистрибутивному закону умножения относительно сложения имеем: <math>(0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Но мы знаем, что <math>0 + 0 = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Шаг 2: Вычитаем 0⋅a0⋅a из обеих частей Рассмотрим полученное равенство: <math>0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a</math>. Вычтем <math>0 \cdot a</math> из обеих частей: <math>0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. По свойству сложения <math>x - x = 0</math> левая часть упрощается: <math>0 = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a</math>. А правая часть: <math>0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \cdot a</math>. Таким образом: <math>0 = 0 \cdot a</math>. Заключение Мы доказали, что <math>0 \cdot a = 0</math> для любого числа aa. Утверждение: для любого числа aa выполняется равенство <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Доказательство: Шаг 1: Определение отрицательного числа По определению отрицательного числа: <math>a + (-a) = 0</math>. Это означает, что <math>-a</math> — единственное число, которое при сложении с <math>a</math> даёт ноль. Шаг 2: Рассмотрим выражение <math>(-1) \cdot a</math> Рассмотрим число <math>(-1) \cdot a</math>. Мы хотим показать, что оно удовлетворяет тому же свойству: <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. Шаг 3: Используем дистрибутивность Рассмотрим сумму <math>1 + (-1)</math> и применим дистрибутивный закон: <math>(1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Известно, что <math>1 + (-1) = 0</math>, следовательно: <math>0 \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 4: Свойство нуля По доказанному ранее свойству умножения на ноль, для любого числа aa: <math>0 \cdot a = 0</math>. Подставим это в предыдущее равенство: <math>0 = 1 \cdot a + (-1) \cdot a</math>. Заметим, что <math>1 \cdot a = a</math>, так как умножение на 1 сохраняет число. Тогда: <math>0 = a + (-1) \cdot a</math>. Шаг 5: Заключение Мы получили, что <math>a + (-1) \cdot a = 0</math>. По определению <math>-a</math> как единственного числа, удовлетворяющего равенству <math>a + (-a) = 0</math>, следует: <math>-a = (-1) \cdot a</math>. Что и требовалось доказать. === Модуль числа === Определение и свойства как норма плюс |ab|=|a||b| + |x|<=a iff -a<=x<=a+ |x|>=a iff x<=-a and x>=a === Алгоритм Евклида, обобщённый для целых чисел === Алгоритм Евклида, изначально сформулированный для натуральных чисел, может быть обобщён на целые числа (включая отрицательные). Основная идея заключается в том, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел определён с точностью до знака, и алгоритм Евклида может быть адаптирован для работы с целыми числами без существенных изменений. 1. Определение НОД для целых чисел Для целых чисел <math>a</math> и <math>b</math> (не равных одновременно нулю), НОД <math>\gcd(a, b)</math> — это наибольшее целое число <math>d</math>, которое делит одновременно <math>a</math> и <math>b</math>. НОД определён с точностью до знака: если <math>d</math> является НОД, то <math>-d</math> также является НОД. Обычно выбирают положительное значение. 2. Обобщение алгоритма Евклида Алгоритм Евклида для целых чисел работает практически так же, как и для натуральных чисел. Основные шаги: Вход: Два целых числа <math>a</math> и <math>b</math>, не равных одновременно нулю. Шаги: Если <math>b = 0</math>, то <math>\gcd(a, b) = |a|</math> (берётся модуль, чтобы результат был положительным). Иначе: Вычислить остаток <math>r</math> от деления <math>a</math> на <math>b</math>: <math>a = b \cdot q + r</math>, где <math>0 \leq |r| < |b|</math>. Заменить <math>a</math> на <math>b</math>, а <math>b</math> на <math>r</math>. Повторять процесс, пока <math>b</math> не станет равным нулю. Выход: Последний ненулевой остаток <math>r</math> (или его модуль, если требуется положительное значение). 3. Пример работы алгоритма для целых чисел Рассмотрим пример нахождения <math>\gcd(48, -18)</math>: <math>a = 48</math>, <math>b = -18</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>48</math> на <math>-18</math>: <math> 48 = (-18) \cdot (-2) + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12. </math> Теперь <math>a = -18</math>, <math>b = 12</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>-18</math> на <math>12</math>: <math> -18 = 12 \cdot (-2) + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6. </math> Теперь <math>a = 12</math>, <math>b = 6</math>. Вычислим остаток <math>r</math> от деления <math>12</math> на <math>6</math>: <math> 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0. </math> Алгоритм завершается, так как <math>b = 0</math>. Последний ненулевой остаток равен <math>6</math>. Таким образом, <math>\gcd(48, -18) = 6</math>. 4. Корректность обобщения Алгоритм Евклида для целых чисел корректен, так как: НОД определён с точностью до знака, и алгоритм находит одно из возможных значений. Лемма о делении с остатком работает и для целых чисел: для любых целых <math>a</math> и <math>b</math> (где <math>b \neq 0</math>) существуют целые <math>q</math> и <math>r</math> такие, что: <math> a = b \cdot q + r, \quad \text{где } 0 \leq |r| < |b|. </math> Свойство <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, r)</math> сохраняется для целых чисел. 5. Замечание о знаке Если требуется, чтобы НОД был положительным, на последнем шаге можно взять модуль последнего ненулевого остатка. Например, <math>\gcd(48, -18) = |6| = 6</math>. Итог Алгоритм Евклида обобщается на целые числа практически без изменений. Основные отличия: Остаток <math>r</math> вычисляется с учётом знака, но <math>0 \leq |r| < |b|</math>. НОД определён с точностью до знака, поэтому результат можно взять по модулю. <b>Теорема (свойство Архимеда):</b> Для любого целого числа <math>z \in \mathbb{Z}</math> существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math>, такое, что <math>n > z</math>. <b>Замечание:</b> Иными словами, множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не ограничено сверху в множестве целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пусть дано произвольное целое число <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Мы должны показать, что существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, для которого <math>n > z</math>. Рассмотрим два случая: <u>Случай 1: Если <math>z \le 0</math>.</u> В этом случае мы можем выбрать <math>n = 1</math>. Так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>1 > 0 \ge z</math>, то <math>n > z</math> <u>Случай 2: Если <math>z > 0</math> </u> (о есть <math>z</math> само является положительным натуральным числом) Рассмотрим целое число <math>n = z + 1</math>. Поскольку <math>z \in \mathbb{Z}</math> и <math>1 \in \mathbb{Z}</math>, то их сумма <math>z+1 \in \mathbb{Z}</math>. Так как <math>z > 0</math>, то <math>z \ge 1</math>. Следовательно, <math>n = z + 1 \ge 1 + 1 = 2</math>. Это означает, что <math>n</math> является натуральным числом, <math>n \in \mathbb{N}</math>. По свойствам целых чисел, прибавление положительного числа (<math>1</math>) к <math>z</math> дает большее число: <math>z + 1 > z</math>, то есть <math>n > z</math>. Что и требовалось доказать. <b>Замечание:</b> Кажется, что формулировка и доказательство этого утверждения является тривиальным, однако, при построении других чисел выяснится его важность. '''Следствие:''' '''Утверждение:''' Для любых <math>a, z \in \mathbb{Z}</math> таких, что <math>a > 0</math>, существует <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>na > z</math>. '''Доказательство:''' Возьмем <math>a \in \mathbb{Z}, a > 0</math> и <math>z \in \mathbb{Z}</math>. Из доказанного выше существует <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>n_0 > z</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Z}</math> и <math>a > 0</math>, то <math>a \ge 1</math>. Если <math>a = 1</math>, то <math>n_0 a = n_0 > z</math>. Если <math>a > 1</math>, то тем более <math>n_0 a > n_0 > z</math>. Итак, можно взять <math>n = n_0</math>. Утверждение доказано. == 6. Построение рациональных чисел == Q - архимедово упорядоченно поле * Определение рациональных чисел. * Доказательство их свойств. * Модуль числа и его свойства. 1. Определение рациональных чисел Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел: <math> \mathbb{Q} = \{ (a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}. </math> Здесь <math>(a, b)</math> интерпретируется как "рациональное число", соответствующее дроби <math>a/b</math>, но без использования классов эквивалентности. 2. Определение операций Раз операции выполняются непосредственно над парами, никакого отождествления вроде <math>(2,4) \sim (1,2)</math> нет — каждая пара представляет уникальный элемент. Сложение <math> (a, b) + (c, d) = (a d + b c, b d). </math> Умножение <math> (a, b) \cdot (c, d) = (a c, b d). </math> Отрицание <math> -(a, b) = (-a, b). </math> Обратный элемент (деление) Если <math>a \neq 0</math>, то: <math> (a, b)^{-1} = (b, a). </math> Вычитание <math> (a, b) - (c, d) = (a d - b c, b d). </math> Деление Если <math>c \neq 0</math>, то: <math> (a, b) \div (c, d) = (a d, b c). </math> 3. Включение целых чисел в рациональные Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> естественно включается в <math>\mathbb{Q}</math> по правилу: <math> z \mapsto (z, 1). </math> То есть каждое целое число <math>z</math> представляется парой <math>(z,1)</math>. 4. Определение порядка на Q Зададим отношение порядка на множестве пар: <math> (a, b) < (c, d) \quad \Longleftrightarrow \quad a d < b c. </math> Это согласуется с привычным порядком дробей. 5. Приведение к каноническому виду Так как пары вроде <math>(2,4)</math> и <math>(1,2)</math> не эквивалентны, но представляют одно и то же число, можно ввести каноническое представление: Определим функцию <math>\text{norm}(a, b)</math>, которая преобразует пару к виду, где <math>\gcd(a, b) = 1</math> и <math>b > 0</math>. Любое рациональное число можно привести к такому представлению алгоритмически. Нормализация Чтобы исключить множественное представление одного и того же числа (например, <math> (2,4) </math> и <math> (1,2) </math>), можно ввести каноническую форму записи рационального числа, требуя, чтобы <math> \gcd(a, b) = 1 </math> и <math> b > 0 </math>. Тогда каждое рациональное число представляется единственным образом. Чтобы перейти от представления рационального числа в виде пары <math>(a, b)</math> к стандартной записи <math>\frac{p}{q}</math>, нужно привести пару к канонической форме: Приведение к несократимой дроби Для данного числа <math>(a, b)</math> вычислим наибольший общий делитель (НОД): <math> \gcd(a, b) = d. </math> Тогда можно записать: <math> \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Это эквивалентно сокращению дроби. Обеспечение положительного знаменателя Если после сокращения <math>b < 0</math>, то умножаем числитель и знаменатель на <math>-1</math>, чтобы знаменатель стал положительным: <math> \left(-\frac{a}{d}, -\frac{b}{d} \right) = \left(\frac{-a}{d}, \frac{b}{d} \right). </math> Запись в виде дроби Теперь число представляется в стандартной форме: <math> \frac{p}{q}, </math> где <math> p = \frac{a}{d} </math>, <math> q = \frac{b}{d} </math> и <math> \gcd(p, q) = 1 </math>, <math> q > 0 </math>. Таким образом, каждая пара <math>(a, b)</math> соответствует единственной несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>. Свойства Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения: Можно проверить, что операции сложения и умножения обладают стандартными свойствами. Нейтральные элементы: Для сложения нейтральный элемент: <math>(0, 1)</math>. Для умножения нейтральный элемент: <math>(1, 1)</math>. Обратные элементы: Для сложения: <math>-(a, b) = (-a, b)</math>. Для умножения: <math>(a, b)^{-1} = (b, a)</math> при <math>a \neq 0</math>. Дистрибутивность: <math> (a, b) \cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) \cdot (c d + e f, d f) </math> что согласуется с обычными правилами. === Модуль числа === Определение Свойства и доказательство === Альтернативное построение === Без условия gcd(a, b)=1. В каждом классе эквивалентности выбирать дробь с наименьшим знаминтатлем (минимум в непустом подмножестве N существует). https://chat.deepseek.com/a/chat/s/3b4728b9-ac28-44e4-9fd8-055c525398ec === Прогресии === * Определение последовательности чисел в рамках ZFC. * Определение предела последовательности. Определение сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>: <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>|a_n - L| < \varepsilon</math> для всех <math>n > N</math> <b>Утверждение:</b> Пусть <math>a_n</math> — последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, такая что <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>, и пусть <math>C \in \mathbb{Q}</math>. Тогда: <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot a_n = C \cdot L</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. <b>Доказательство:</b> Дано * <math>a_n \in \mathbb{Q}</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, где <math>L \in \mathbb{Q}</math>. * <math>C \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. * Новая последовательность: <math>b_n = C \cdot a_n</math>. Так как <math>\mathbb{Q}</math> замкнуто относительно умножения, <math>b_n \in \mathbb{Q}</math>, и <math>C \cdot L \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>\lim_{n \to \infty} b_n = C \cdot L</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что: <math>|b_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Рассмотрим: <math>|b_n - C \cdot L| = |C \cdot a_n - C \cdot L| = |C \cdot (a_n - L)|</math>. Используем свойство модуля: <math>|C \cdot (a_n - L)| = |C| \cdot |a_n - L|</math>, где <math>|C|</math> — неотрицательное рациональное число. Если <math>C = 0</math>, то <math>b_n = 0 \cdot a_n = 0</math>, и <math>C \cdot L = 0 \cdot L = 0</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |0 - 0| = 0 < \varepsilon</math>, для любого <math>\varepsilon > 0</math> и всех <math>n</math>. Предел тривиально равен <math>0</math>, что соответствует <math>C \cdot L</math>. Этот случай доказан. Пусть <math>C \neq 0</math>, тогда <math>|C| > 0</math>, и <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>. Нужно доказать, что <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Так как <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, для любого <math>\delta > 0</math>, <math>\delta \in \mathbb{Q}</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \delta</math> при <math>n > N</math>. Выберем <math>\delta = \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Поскольку <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, <math>|C| \in \mathbb{Q}</math>, и <math>|C| \neq 0</math>, то <math>\frac{\varepsilon}{|C|} \in \mathbb{Q}</math> и <math>\frac{\varepsilon}{|C|} > 0</math>. По определению сходимости <math>a_n \to L</math>, существует <math>N</math>, такое что: <math>|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{|C|}</math> при <math>n > N</math>. Умножим обе части на <math>|C|</math> (положительное число): <math>|C| \cdot |a_n - L| < |C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|}</math>. Упростим правую часть: <math>|C| \cdot \frac{\varepsilon}{|C|} = \varepsilon</math>. Следовательно: <math>|C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math>. Тогда: <math>|b_n - C \cdot L| = |C| \cdot |a_n - L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math>, <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>, мы нашли <math>N</math>, зависящее от сходимости <math>a_n \to L</math> и величины <math>\frac{\varepsilon}{|C|}</math>, такое что <math>|C \cdot a_n - C \cdot L| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Это выполняется для любого <math>C \in \mathbb{Q}</math>, включая <math>C = 0</math> и <math>C \neq 0</math>. Все операции (вычитание, умножение, деление на ненулевое число) проводятся в <math>\mathbb{Q}</math>, и предел <math>C \cdot L</math> также лежит в <math>\mathbb{Q}</math>. Теорема доказана. '''Замечание:''' Доказательство использует только определение предела и алгебраические свойства рациональных чисел, оставаясь строго в рамках <math>\mathbb{Q}</math>. * Неравенство Бернули <b>Утверждение:</b> Для любого натурального числа <math>n</math> (<math>n = 1, 2, 3, \dots</math>) и любого <math>\delta \ge -1</math> выполняется <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> <b>Замечание:</b> Если <math>\delta</math> рационально, то все операции (сложение, умножение, сравнение) остаются в рамках рациональных чисел. <b>База индукции</b> (<math>n = 1</math>): Проверяем неравенство для <math>n = 1</math>: <math>(1 + \delta)^1 \ge 1 + (1)\delta</math> <math>1 + \delta \ge 1 + \delta</math> Это верно. <b>Индукционное предположение</b> (Шаг индукции - гипотеза): Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа <math>k \ge 1</math>: <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (это наша гипотеза) <b>Индукционный переход</b> (Шаг индукции - доказательство для <math>k+1</math>): Нужно доказать, что неравенство верно для <math>n = k + 1</math>, то есть: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math> Начнем с левой части и используем предположение: <math>(1 + \delta)^{k+1} = (1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta)</math> Так как <math>(1 + \delta)^k \ge 1 + k\delta</math> (по предположению) и <math>(1 + \delta) \ge 0</math> (поскольку <math>\delta \ge -1</math>), мы можем умножить обе части предположения на <math>(1 + \delta)</math>, сохранив знак неравенства: <math>(1 + \delta)^k \cdot (1 + \delta) \ge (1 + k\delta) \cdot (1 + \delta)</math> Раскроем скобки в правой части: <math>(1 + k\delta) \cdot (1 + \delta) = 1 + \delta + k\delta + k\delta^2 = 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Итак, мы получили: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2</math> Поскольку <math>k</math> - натуральное число (<math>k \ge 1</math>) и <math>\delta^2 \ge 0</math> (квадрат любого числа не отрицателен), то <math>k\delta^2 \ge 0</math>. Следовательно, <math>1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math>. Объединяя неравенства, получаем: <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k + 1)\delta + k\delta^2 \ge 1 + (k + 1)\delta</math> Таким образом, мы доказали, что <math>(1 + \delta)^{k+1} \ge 1 + (k+1)\delta</math>. <b>Вывод:</b> По принципу математической индукции, неравенство Бернулли <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math> верно для всех натуральных чисел <math>n</math> и всех <math>\delta \ge -1</math>. * Арифметическая прогрессия, примеры, формулы, доказательства. * Геометрическа прогрессия, примеры, формулы, доказательства. Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем r равна: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r) , если r ≠ 1 S_n = n * a , если r = 1 * Аксиома Архимеда-Евдокса для рациональных чисел. <b>Теорема (принцип Архимеда-Евдокса, оно же архимедово свойство): </b> Для любого рационального числа R всегда можно найти натуральное число N (т.е. целое положительное число 1, 2, 3, ...), которое будет больше этого R. ∀ R ∈ Q ∃ N ∈ ℕ : N > R '''Доказательство:''' Любое рациональное число R можно представить в виде дроби p/q, где p - целое, q - натуральное. Если R ≤ 0, то N = 1 подходит (1 > R). Если R > 0, то R = p/q, где p и q - натуральные числа. Нам нужно найти натуральное N такое, что N > p/q. Это эквивалентно Nq > p. Поскольку p и q - целые числа, мы можем просто взять N = p + 1. Так как q ≥ 1, то Nq = (p+1)q = pq + q ≥ p + 1 > p. Значит, N = p + 1 (которое является натуральным, так как p натуральное) удовлетворяет условию N > p/q = R. Это доказывает, что для любого рационального R найдется натуральное N > R, используя только свойства целых и рациональных чисел. <b>Замечание:</b> В общем случае аксиома Архимеда-Евдокса независима от аксиом упорядоченного поля, т.е. существуют неархимедовы упорядоченные поля, как например, поле рациональных функций ℝ(x), то есть дробей вида P(x)/Q(x), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами, Q ≠ 0. В этом поле можно ввести порядок, сказав, что функция положительна если знак старшего коэффициента P(x) совпадает со знаком старшего коэффициента Q(x). Можно показать, что для элемента a = 1 (> 0) и элемента b = x (> 0) в поле ℝ(x), неравенство n * a > b (то есть n * 1 > x) не выполняется ни для какого натурального числа n (т.е. x является бесконечно-большим по-сравнению с обычными действительными числами). * Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии в Q. ''' Утверждение:''' Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом <math>a</math> и знаменателем <math>r</math>. Если абсолютное значение знаменателя строго меньше единицы (<math>|r| < 1</math>), то ряд, составленный из членов этой прогрессии (<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots</math>), сходится, и его сумма <math>S</math> равна: <math>S = \frac{a}{1 - r}</math>. Если <math>|r| \ge 1</math> и <math>a \ne 0</math>, то ряд расходится (не имеет конечной суммы). Если <math>a = 0</math>, то ряд сходится к <math>0</math> при любом <math>r</math>. '''Замечание:''' Уточнение в контексте рациональных чисел (<math>\mathbb{Q}</math>): Если первый член <math>a</math> и знаменатель <math>r</math> являются рациональными числами (<math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math>) и выполняется условие сходимости <math>|r| < 1</math>, то сумма бесконечного ряда <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> также является рациональным числом (<math>S \in \mathbb{Q}</math>). '''Доказательство:''' '''Рассматриваемые объекты:''' * Первый член <math>a \in \mathbb{Q}</math>. * Знаменатель прогрессии <math>r \in \mathbb{Q}</math>. * Условие сходимости: <math>|r| < 1</math> (сравнение рациональных чисел). * Все члены прогрессии <math>a, ar, ar^2, \dots</math> являются рациональными числами. '''Частичная сумма:''' Рассмотрим <math>n</math>-ую частичную сумму: <math>S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}</math>. Умножим <math>S_n</math> на <math>r</math>: <math>r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n</math>. Вычтем второе из первого: <math>S_n - r \cdot S_n = a - ar^n</math>. Преобразуем: <math>S_n \cdot (1 - r) = a \cdot (1 - r^n)</math>. Так как <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>r \ne 1</math> (иначе <math>|r| < 1</math> не выполняется при <math>a \ne 0</math>), то <math>1 - r</math> — ненулевое рациональное число. Разделим на <math>1 - r</math>: <math>S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}</math>. Заметим, что при <math>a \in \mathbb{Q}</math>, <math>r \in \mathbb{Q}</math> каждый член <math>S_n</math> также является рациональным числом. '''Предел частичных сумм (в <math>\mathbb{Q}</math>):''' Нам нужно найти предел последовательности <math>{S_n}</math> при <math>n \to \infty</math>. Покажем, что эта последовательность сходится к некоторому числу <math>L</math>, которое также принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Преобразуем <math>S_n</math>: <math>S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Обозначим <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>. Поскольку <math>a \in \mathbb{Q}</math> и <math>1 - r \in \mathbb{Q}</math> (и не равно <math>0</math>), то <math>L \in \mathbb{Q}</math>. Это кандидат на предел. Теперь докажем, что <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math> в смысле сходимости в <math>\mathbb{Q}</math>. Это эквивалентно доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>. Вычислим: <math>S_n - L = -\frac{a}{1 - r} \cdot r^n</math>. Нам нужно показать, что последовательность <math>x_n = C \cdot r^n</math> сходится к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, где <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — некоторое фиксированное рациональное число. Это сводится к доказательству, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>, когда <math>r \in \mathbb{Q}</math> и <math>|r| < 1</math>. '''Доказательство <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>:''' Нужно показать, что для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное число <math>N</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r^n - 0| < \varepsilon</math>, то есть <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Пусть <math>r = \frac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> — целые числа, <math>q \ne 0</math>, и <math>\left|\frac{p}{q}\right| < 1</math>, значит <math>|p| < |q|</math>. (Если <math>r = 0</math>, то предел очевидно равен <math>0</math>). Мы хотим показать, что <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n</math> становится меньше любого заданного рационального <math>\varepsilon > 0</math> при достаточно большом <math>n</math>. Поскольку <math>\frac{|q|}{|p|} > 1</math>, положим <math>\frac{|q|}{|p|} = 1 + \delta</math>, где <math>\delta = \frac{|q| - |p|}{|p|}</math> — рациональное число и <math>\delta > 0</math>. Неравенство <math>\left(\frac{|p|}{|q|}\right)^n < \varepsilon</math> эквивалентно <math>\left(\frac{1}{1 + \delta}\right)^n < \varepsilon</math>, или <math>(1 + \delta)^n > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Используем неравенство Бернулли: <math>(1 + \delta)^n \ge 1 + n\delta</math>. Нам достаточно найти такое <math>N</math>, чтобы для <math>n > N</math> выполнялось <math>1 + n\delta > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Это равносильно: <math>n\delta > \frac{1}{\varepsilon} - 1</math>, или: <math>n > \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{\delta}</math>. Поскольку <math>\frac{1}{\varepsilon}</math> и <math>\delta</math> рациональны, то правая часть — некоторое рациональное число <math>R</math>. По утверждению Архимеда-Евдокса для рациональных чисел, всегда найдется натуральное число <math>N > R</math>. Следовательно, для любого рационального <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|r|^n < \varepsilon</math>. Это доказывает, что <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> в <math>\mathbb{Q}</math>. '''Завершение доказательства суммы:''' Поскольку <math>\lim_{n \to \infty} r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) и <math>C = -\frac{a}{1 - r}</math> — рациональная константа, то <math>\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0</math> (в <math>\mathbb{Q}</math>) по свойству пределов в <math>\mathbb{Q}</math> доказанному выше. Значит: <math>\lim_{n \to \infty} (S_n - L) = 0</math>, что означает: <math>\lim_{n \to \infty} S_n = L</math>. Мы показали, что последовательность частичных сумм <math>{S_n}</math>, состоящая из рациональных чисел, сходится к числу <math>L = \frac{a}{1 - r}</math>, которое также является рациональным. '''Вывод:''' Формула суммы бесконечной сходящейся геометрической прогрессии <math>S = \frac{a}{1 - r}</math> доказана с использованием только операций и концепций в рамках множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, при условии, что <math>a</math> и <math>r</math> рациональны и <math>|r| < 1</math>. Ключевым моментом является доказательство сходимости <math>r^n</math> к <math>0</math> в <math>\mathbb{Q}</math> через <math>\varepsilon</math>-определение, не требующее полноты действительных чисел. == 7. Построение действительных чисел с использованием фундаментальных последовательностей == R полное упорядоченно поле * [https://chat.deepseek.com/a/chat/s/1b674088-a694-4c22-a07b-ced95699866e| Аксома Евдокса-Архимеда.] * Построение действительных чисел через фундаментальные последовательности. * Избежание использования несократимых дробей. <b>1. Формальное определение аксиомы Архимеда-Евдокса</b> (она же принцип Архимеда) Аксиома Архимеда утверждает, что для любых двух положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> n \cdot a > b. </math> Интуитивный смысл аксиомы Архимеда заключается в том, что сколь угодно большое число можно превзойти, если достаточно много раз сложить (или умножить) достаточно маленькое число. Другими словами, не существует бесконечно больших и бесконечно малых чисел в обычных вещественных числах <math>\mathbb{R}</math>. Если у нас есть любое положительное число <math>a</math>, то, складывая его с самим собой достаточно много раз, мы в итоге получим число больше любого заранее выбранного <math>b</math>. Особенно наглядно это видно в частном случае <math>a = 1</math>: для любого положительного числа <math>b</math> можно найти натуральное <math>n</math>, такое что <math>n > b</math>. Это означает, что множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> не имеет верхней грани в <math>\mathbb{R}</math>, то есть можно сколь угодно увеличивать натуральные числа и всегда получать ещё большее. Интуитивно это говорит о том, что в вещественных числах нет бесконечно больших элементов (они не выходят за пределы конечных значений) и нет бесконечно малых положительных чисел (любое положительное число можно "накопить" до сколь угодно большого значения). <b>2. Формальное определение фундаментальной последовательности</b> <b><u>Определение:</u></b> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность рациональных чисел <math>{x_n}</math>, у которой члены с течением времени становятся всё ближе друг к другу. Формально это означает, что для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такой номер <math>N</math> (натуральное число), что для всех индексов <math>m, n \geq N</math> разница между членами последовательности <math>|x_m - x_n|</math> становится меньше <math>\varepsilon</math>: <math> |x_m - x_n| < \varepsilon. </math> Простыми словами, в фундаментальной последовательности расстояние между её членами (например, между <math>x_m</math> и <math>x_n</math>) с ростом индексов становится сколь угодно малым. Это свойство «сближения членов одной последовательности друг с другом» отличает фундаментальные последовательности от произвольных. <b>Интуитивное объяснение</b> Представьте, что вы измеряете какое-то число с всё большей точностью. Например, последовательность приближений к числу <math>\pi</math>: <math>3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, \dots</math> Здесь каждый следующий член уточняет предыдущий, и разница между членами (например, между <math>3.1415</math> и <math>3.14159</math>) становится всё меньше по мере роста индекса. Это пример фундаментальной последовательности: члены внутри неё сближаются друг с другом. <b>Важное замечание</b> Фундаментальная последовательность не обязательно имеет предел внутри того множества, где она задана. Например, в множестве рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> можно построить последовательность, приближающую <math>\sqrt{2}</math>: <math>1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots</math> Эта последовательность фундаментальна, так как её члены сближаются друг с другом, но её предел <math>\sqrt{2}</math> не является рациональным числом и не принадлежит <math>\mathbb{Q}</math>. Это показывает, что множество рациональных чисел «неполно» — в нём есть фундаментальные последовательности, пределы которых выходят за его пределы. <b>3. Формальное определение действительных чисел через элеманты фактор-множества</b> Действительные числа можно построить как элементы фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Давайте разберём этот процесс шаг за шагом. <b>Шаг 1: Определение множества <math>S</math></b> Пусть <math>S</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждый элемент <math>x \in S</math> — это функция <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math> (то есть последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n \in \mathbb{Q}</math>), которая удовлетворяет условию фундаментальности: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon. </math> Это означает, что внутри каждой такой последовательности её члены сближаются друг с другом. <b>Корректность построения множества <math>S</math> в ZFC</b> Можно ли вообще построить такое множество <math>S</math>? Да, это возможно в теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Рассмотрим подробнее: <b>1. Множество всех функций <math>\mathbb{N} \to \mathbb{Q}</math>.</b> Фундаментальные последовательности — это подмножество множества всех возможных функций из натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в рациональные числа <math>\mathbb{Q}</math>. Как было доказано в главе про функции, такое множество существует в ZFC. Такое множество функций обозначается как <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. <b>2. Выделение подмножества фундаментальных последовательностей.</b> Из множества <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math> мы берём только те последовательности, которые удовлетворяют условию фундаментальности. Это подмножество существует по аксиоме выделения (Axiom of Separation), так как условие <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math> задаёт чёткое свойство, по которому можно отфильтровать нужные последовательности. Таким образом, множество <math>S</math> корректно определено в ZFC как подмножество <math>\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}</math>. Определим отношение эквивалентности <math>\sim</math> следующим образом: <math>{x_n} \sim {y_n}</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Это означает, что две последовательности эквивалентны, если разность между их членами (<math>|x_n - y_n|</math>) становится сколь угодно малой при достаточно больших <math>n</math>. Здесь речь идёт о близости между последовательностями, а не внутри одной последовательности, как в определении фундаментальности. <b>Доказательство, что <math>\sim</math> — отношение эквивалентности</b> Чтобы <math>\sim</math> было отношением эквивалентности, оно должно удовлетворять трём свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности. Проверим каждое из них: <b>1. Рефлексивность: <math>{x_n} \sim {x_n}</math>.</b> Для любой последовательности <math>{x_n}</math> рассмотрим разность <math>|x_n - x_n| = 0</math>. Для любого <math>\varepsilon > 0</math> и любого <math>n</math> выполняется <math>|x_n - x_n| = 0 < \varepsilon</math>, так что можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math> (например, <math>N = 1</math>), и для всех <math>n > N</math> условие выполняется. Следовательно, <math>{x_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>2. Симметричность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Предположим, что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Так как <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n|</math> (по свойству модуля), то для того же <math>N</math> и всех <math>n > N</math> имеем <math>|y_n - x_n| = |x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Следовательно, <math>{y_n} \sim {x_n}</math>. Свойство доказано. <b>3. Транзитивность:</b> если <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>, то <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Докажем это. Пусть <math>{x_n} \sim {y_n}</math> и <math>{y_n} \sim {z_n}</math>. Это означает: * Для любого <math>\varepsilon_1 > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon_1</math>, * Для любого <math>\varepsilon_2 > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon_2</math>. Нужно показать, что <math>{x_n} \sim {z_n}</math>, то есть для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math>. Используем неравенство треугольника: <math>|x_n - z_n| = |x_n - y_n + y_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n|</math>. Возьмём произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Пусть <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math> и <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Тогда: * По первому условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon/2</math>, * По второму условию, для <math>\varepsilon/2 > 0</math> существует <math>N_2</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|y_n - z_n| < \varepsilon/2</math>. Выберем <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> найдено такое <math>N</math>, что <math>|x_n - z_n| < \varepsilon</math> при <math>n > N</math>. Следовательно, <math>{x_n} \sim {z_n}</math>. Свойство доказано. Таким образом, <math>\sim</math> удовлетворяет всем трём свойствам и действительно является отношением эквивалентности. Каждый <math>[ {x_n} ]</math> — это множество всех последовательностей, эквивалентных <math>{x_n}</math>, то есть тех, которые «приближаются к тому же значению». Множество действительных чисел определяется как: <math> \mathbb{R} = S / \sim. </math> <b>Зачечание: </b> Вложение рациональных чисел: Каждое рациональное число <math>q</math> отождествляется с элементом фактор-множества постоянной последовательности <math>[(q,q,q,\dots)]</math>. Нам дана последовательность <math>{x_n}</math>, где <math>x_n = q</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, и <math>q</math> — фиксированное рациональное число. Это постоянная последовательность: <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math>. Нужно показать, что она удовлетворяет определению фундаментальности. <u>Доказательство</u> Рассмотрим произвольное <math>\varepsilon > 0</math>. Нам нужно найти такое <math>N \in \mathbb{N}</math>, чтобы для любых <math>n, m > N</math> выполнялось <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. Так как <math>x_n = q</math> для всех <math>n</math>, то для любых <math>n, m \in \mathbb{N}</math>: <math>|x_n - x_m| = |q - q| = 0</math>. Поскольку <math>0 < \varepsilon</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>, то условие <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math> выполняется для всех <math>n, m</math> независимо от их значений. Следовательно, можно выбрать любое <math>N \in \mathbb{N}</math>, например <math>N = 1</math>, и для всех <math>n, m > N</math> будет: <math>|x_n - x_m| = 0 < \varepsilon</math>. Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math> (например, <math>N = 1</math>), такое что для всех <math>n, m > N</math> выполняется <math>|x_n - x_m| < \varepsilon</math>. <u>Вывод</u> Последовательность <math>{x_n} = (q, q, q, \dots)</math> удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Значит, она действительно является фундаментальной. <b>Зачечание: разница между близостью внутри и между последовательностями</b> * <b>Близость внутри последовательности</b>: в определении фундаментальности (<math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>) речь идёт о сближении членов одной последовательности <math>{x_n}</math> друг с другом. * <b>Близость между последовательностями:</b> в определении эквивалентности (<math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0</math>) мы сравниваем две разные последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math>, проверяя, насколько они близки друг к другу. <u>Определение: </u> Предел последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> равен <math>x</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon > 0</math> можно найти такое натуральное число <math>N</math>, что при всех <math>n \geq N</math> справедливо неравенство <math>|x_n - x| < \varepsilon</math>. <b>Пример: </b> <u>Замечание:</u> Здесь неявно испольузется утверждение 8, что Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу. Пусть <math>S = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\}, \left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}, \left\{2, 2, 2, \dots\right\} \right\}</math>, а отношение <math>\sim</math> задано как: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Каждый элемент этого множества — это бесконечная числовая последовательность. Задано отношение <math>\sim</math>, которое говорит, что две последовательности <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> эквивалентны, если разность их элементов стремится к нулю: <math>{x_n} \sim {y_n} \iff \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что в одну группу попадают все последовательности, которые «ведут себя одинаково» при <math>n \to \infty</math>, то есть имеют одинаковый предел. Теперь рассмотрим конкретный пример. Возьмём последовательность <math>\left\{1, 1, 1, \dots\right\}</math>. Она имеет предел <math>1</math>. Тогда множество <math>[ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} ]</math> состоит из всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел тоже равен <math>1</math>: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ {y_n} \in S \mid \lim_{n \to \infty} (1 - y_n) = 0 \right\} </math>. В нашем примере таких последовательностей в <math>S</math> больше нет, кроме самой <math>{1, 1, 1, \dots}</math>. Таким образом: <math> [\left\{1, 1, 1, \dots\right\}] = \left\{ \left\{1, 1, 1, \dots\right\} \right\} </math>. Здесь важно понимать, что отношение <math>\sim</math> разбивает множество <math>S</math> на группы последовательностей с одинаковым пределом. Например: <math>[\left\{1, 1, 1, \dots\right\}]</math> содержит только одну последовательность, так как в <math>S</math> нет других последовательностей с пределом <math>1</math>. <math>[\left\{1.4, 1.41, 1.414, \dots\right\}]</math> — это группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>\sqrt{2}</math>. <math>[\left\{2, 2, 2, \dots\right\}]</math> — группа всех последовательностей из <math>S</math>, чей предел <math>2</math>. Таким образом, множество <math>S</math> разбивается на непересекающиеся группы последовательностей, и эти группы образуют разбиение <math>S</math>. <b>3. Фундаментальная последовательность ограничена</b> Утверждение 1: Любая фундаментальная последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничена. <u>Доказательство:</u> По определению фундаментальной последовательности, для <math>\varepsilon = 1</math> существует <math>N</math>, такое что для всех <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| < 1. </math> Зафиксируем <math>n = N</math>. Тогда для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x_N| < 1 \implies |x_m| < |x_N| + 1. </math> Таким образом, все элементы последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math> ограничены числом: <math> \max{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, |x_N| + 1}. </math> <u>Интуитивный смысл: </u> Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) — это последовательность, элементы которой становятся всё ближе друг к другу по мере роста индекса. Формально это означает, что для любого сколь угодно малого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся номер <math>N</math>, начиная с которого все элементы последовательности отличаются друг от друга меньше чем на <math>\varepsilon</math>. Интуитивно это можно представить так: * Если элементы последовательности "сближаются" друг с другом, то они не могут "разбегаться" в бесконечность. * Начиная с некоторого момента, все элементы последовательности оказываются в ограниченной области, так как они не могут отдаляться друг от друга слишком сильно. <u>Почему это важно?</u> 1. Ограниченность фундаментальной последовательности — это важное свойство, которое помогает доказать её сходимость (в полных метрических пространствах, таких как <math>\mathbb{R}</math>). 2. Если последовательность не ограничена, то она не может быть фундаментальной, так как её элементы могут "уходить" в бесконечность, нарушая условие сближения. <u>Вывод:</u> Фундаментальная последовательность не может "разбегаться" в бесконечность, так как её элементы сближаются друг с другом. Это гарантирует, что все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, остаются в ограниченной области <b>Пример:</b> Рассмотрим последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math>, где <math>x_n = \frac{1}{n}</math>. Эта последовательность фундаментальна, так как для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно выбрать <math>N</math> так, что для всех <math>m, n \geq N</math> выполняется <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>. Пусть дано произвольное число <math>\varepsilon > 0</math>. Рассмотрим разность членов последовательности для произвольных индексов <math>m, n \geq N</math>: <math> |x_m - x_n| = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \frac{|n - m|}{mn} </math> Оценим сверху эту разность: Заметим, что при <math>m, n \geq N</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{\max(m,n)}{mn} </math> Пусть без ограничения общности <math>n \geq m</math>, тогда <math>\max(m,n) = n</math>: <math> \frac{|n - m|}{mn} \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N} </math> <u>Выбор <math>N</math>:</u> Согласно аксиоме Архимеда-Евдокса, для любого положительного действительного числа <math>\frac{1}{\varepsilon} > 0</math> существует натуральное число <math>N</math>, такое что <math>N > \frac{1}{\varepsilon}</math>. Выберем <math>N</math> как наименьшее натуральное число, большее <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. <u>Формально:</u> <math>N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1</math>, где <math>\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor</math> — целая часть числа <math>\frac{1}{\varepsilon}</math>. Тогда для всех <math>n \geq N</math>: <math>n \geq N > \frac{1}{\varepsilon}</math>, откуда: <math>\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. <u>Сходимость последовательности</u> <u>Проверка условия</u> Для всех <math>n \geq N</math>: <math>|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \varepsilon</math>, что удовлетворяет определению предела. <u>Вывод</u> Таким образом, для любого <math>\varepsilon > 0</math> мы нашли <math>N</math>, такое что при <math>n \geq N</math> выполняется <math>|x_n - 0| < \varepsilon</math>. Значит, последовательность <math>{x_n} = \left\{\frac{1}{n}\right\}</math> сходится к <math>0</math>. <u>Дополнительное замечание:</u> Последовательность ограничена, так как все её члены <math>x_n = \frac{1}{n}</math> лежат в интервале <math>[0, 1]</math> (при <math>n \geq 1</math>: <math>0 < \frac{1}{n} \leq 1</math>). ||ignore|| Действительные числа введены как элемент фактор-множества фундаментальных последовательностей. Аксиома Архимеда-Евдокса утверждает, что для любых двух положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} (в случае рациональных или действительных чисел) существует натуральное число n {\displaystyle n}, такое что: n ⋅ a > b . {\displaystyle n\cdot a>b.} Неравенство треугольника и аксиома Евклидка-Евдокса входят в список и не трубуют доказательства. Порядок доказательства теорем: Были определены арифметические операции между элементами фактор-множества, сравнение с рациональными числами и между элементами фактор-множества и доказана их корректность. <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — класс эквивалентности фундаментальных последовательностей <math>{x_n}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, таких что <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>. Операции: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, и т.д. Порядок: <math>[x] < [y]</math>, если <math>y_n - x_n > \delta</math> для некоторого <math>\delta > 0</math> и всех больших <math>n</math>. Принцип вложенных интервалов. Сходимость монотонных последовательностей Сходимость сужающихся интервалов Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> ||END OF ignore|| === Определение порядка === <b>Определение порядка <math>[x] < a_n</math>:</b> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, где элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это множество всех фундаментальных последовательностей <math>{x_m}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, эквивалентных друг другу по отношению <math>{x_m} \sim {y_m}</math>, если <math>x_m - y_m \to 0</math> при <math>m \to \infty</math>. Пусть <math>a_n \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Элемент фактор-множества <math>[x] < a_n</math>, если для любой фундаментальной последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что существует <math>M \in \mathbb{N}</math>, и для всех <math>m > M</math> выполняется: <math>a_n - x_m > \delta</math>. <u>Уточнения</u> * <math>{x_m}</math> — любая фундаментальная последовательность из <math>[x]</math>, то есть любая фундаментальная последовательность из <math>\mathbb{Q}</math>, принадлежащая этому элементу фактор-множества. * <math>\delta > 0</math> — рациональное число, которое может различаться для разных <math>{x_m}</math>, но всегда положительно. <u>Интуитивное пояснение</u> Представьте <math>[x]</math> как "облако" последовательностей, которые сжимаются к одной "точке" в <math>\mathbb{R}</math> — это как семья родственников, чуть разных на вид, но в сущности одинаковых. А <math>a_n</math> — это фиксированная отметка на числовой прямой, например, столбик с номером "5". Мы говорим, что <math>[x] < a_n</math>, если все представители этого облака (<math>{x_m}</math>) остаются слева от <math>a_n</math> и не подходят к нему ближе, чем на фиксированное расстояние <math>\delta</math>. Если <math>a_n = 1</math>, а <math>[x]</math> — это последовательности вроде <math>{0.9, 0.9, 0.9, \ldots}</math> или <math>{0.8, 0.85, 0.9, \ldots}</math> (эквивалентные, так как их разность стремится к 0), то <math>a_n - x_m</math> всегда положительно и не падает ниже какого-то уровня (например, 0.1). Значит, <math>[x]</math> "живёт" левее <math>a_n</math>. Если же <math>{x_m}</math> подбирается к <math>a_n</math> (например, <math>{0.99, 0.999, 0.9999, \ldots}</math>), то <math>a_n - x_m</math> становится сколь угодно малым, и условие не выполняется — тогда <math>[x] \not< a_n</math>. Это как проверка: если все "посланники" <math>[x]</math> держат дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>[x]</math> действительно "меньше". ==== Утверждение о независимости определения от выбора последовательности ==== <u>Утверждение:</u> определение <math>[x] < a_n</math> не зависит от выбора конкретной фундаментальной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. Это означает: <u>Прямая часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> выполняется для одной последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>, то оно выполняется для любой другой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для какой-то последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то оно не выполняется и для любой другой последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. <u>Пояснение к переформулировке</u> <u>Прямая часть:</u> Охватывает случай, когда свойство "быть меньше <math>a_n</math>" присутствует у одной последовательности и распространяется на все остальные в <math>[x]</math>. <u>Обратная часть:</u> Охватывает случай, когда свойство отсутствует у одной последовательности, и это отсутствие распространяется на все остальные, исключая противоречие внутри <math>[x]</math>. <u>Почему две части:</u> Вместе они гарантируют, что определение <math>[x] < a_n</math> либо истинно для всех последовательностей в <math>[x]</math>, либо ложно для всех, что делает порядок консистентным и независимым от выбора. <u>Доказательство</u> <u>Прямая часть: Если условие выполняется для одной последовательности, то для всех</u> <u>Дано:</u> Пусть для последовательности <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> найдётся <math>\delta_y > 0</math> и <math>M_y \in \mathbb{N}</math>, такие что <math>a_n - y_m > \delta_y</math> для всех <math>m > M_y</math>. <u>Эквивалентность последовательностей:</u> Так как <math>\left\{x_m\right\}, \left\{y_m\right\} \in [x]</math>, то <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, и <math>x_m - y_m \to 0</math>. Значит, для любого рационального <math>\eta > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \eta</math>. Выберем <math>\eta = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>Оценка <math>a_n - y_m</math>:</u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из доказанного выше, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>Выбор <math>\delta_y</math> и <math>M_y</math>:</u> Положим <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>. Для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Это удовлетворяет определению <math>[x] < a_n</math> для <math>\left\{y_m\right\}</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{x_m\right\}</math> держит дистанцию от <math>a_n</math>, то <math>\left\{y_m\right\}</math>, будучи почти такой же (разница <math>x_m - y_m</math> исчезающе мала), тоже не может подойти слишком близко. Это как если один близнец стоит в метре от стены — второй, держась рядом, тоже не врежется в неё. <u>Вывод:</u> Условие <math>[x] < a_n</math>, выполненное для <math>\left\{x_m\right\}</math>, распространяется на любую <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math>. <u>Обратная часть: Если условие не выполняется для одной последовательности, то не выполняется для всех</u> <u>Дано: </u> Пусть для некоторой последовательности <math>\left\{y_m\right\} \in [x]</math> условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется, то есть не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>Нужно доказать:</u> Для любой другой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math> тоже не существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, таких что <math>a_n - x_m > \delta</math> для всех <math>m > M</math>. <u>1. Эквивалентность последовательностей.</u> Так как <math>\left\{x_m\right\} \sim \left\{y_m\right\}</math>, то <math>x_m - y_m \to 0</math>. Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует <math>M_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \epsilon</math>. <u>2. Предположим от противного, что для <math>\left\{x_m\right\}</math> условие выполняется.</u> Допустим от противного, что существует <math>\delta_x > 0</math> и <math>M_x \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Возьмём <math>\epsilon = \delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > M_1</math>: <math>|x_m - y_m| < \delta_x / 2</math>, то есть <math>-\delta_x / 2 < x_m - y_m < \delta_x / 2</math>. <u>3. Оценка <math>a_n - y_m</math></u> Запишем: <math>a_n - y_m = (a_n - x_m) + (x_m - y_m)</math>. По предположению, для <math>m > M_x</math>: <math>a_n - x_m > \delta_x</math>. Из шага 2, для <math>m > M_1</math>: <math>x_m - y_m > -\delta_x / 2</math>. Тогда для <math>m > \max(M_x, M_1)</math>: <math>a_n - y_m > \delta_x - \delta_x / 2 = \delta_x / 2</math>. <u>4. Противоречие:</u> Мы получили, что существует <math>\delta_y = \delta_x / 2 > 0</math> и <math>M_y = \max(M_x, M_1)</math>, такие что для всех <math>m > M_y</math>: <math>a_n - y_m > \delta_y</math>. Но это противоречит исходному условию, что для <math>\left\{y_m\right\}</math> не существует никакого <math>\delta > 0</math>, чтобы <math>a_n - y_m > \delta</math> для всех больших <math>m</math>. <u>Интуитивно:</u> Если <math>\left\{y_m\right\}</math> подбирается к <math>a_n</math> или пересекает его, то <math>\left\{x_m\right\}</math>, идущая рядом (разница <math>x_m - y_m \to 0</math>), не может стабильно держаться на расстоянии от <math>a_n</math>. Это как если один близнец подошёл вплотную к забору — второй, держась за руку, тоже не останется далеко. <u>Вывод:</u> Если условие <math>[x] < a_n</math> не выполняется для <math>\left\{y_m\right\}</math>, оно не выполняется и для любой <math>\left\{x_m\right\} \in [x]</math>. === Определения арифметических операций и порядка === <nowiki> Пусть <math>\mathbb{R}</math> — фактор-множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Элемент <math>[x] \in \mathbb{R}</math> — это класс эквивалентности последовательностей <math>{x_n}</math>, где <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Все <math>x_n, y_n \in \mathbb{Q}</math>. 1. Арифметические операции Сложение: Для <math>[x], [y] \in \mathbb{R}</math> с представителями <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> определяем: <math>[x] + [y] = [{x_n + y_n}]</math>, где <math>{x_n + y_n}</math> — последовательность, полученная почленным сложением. Вычитание: <math>[x] - [y] = [{x_n - y_n}]</math>, где <math>{x_n - y_n}</math> — почленное вычитание. Умножение: <math>[x] \cdot [y] = [{x_n \cdot y_n}]</math>, где <math>{x_n \cdot y_n}</math> — почленное умножение. Деление: <math>[x] / [y] = [{x_n / y_n}]</math> для <math>[y] \neq [0]</math>, где <math>[0] = [{0, 0, 0, \ldots}]</math>, при условии, что существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>y_n \neq 0</math>, и <math>{x_n / y_n}</math> — почленное деление. 2. Операции сравнения (порядок) Меньше: <math>[x] < [y]</math>, если для любых представителей <math>{x_n} \in [x]</math> и <math>{y_n} \in [y]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > M</math>: <math>y_n - x_n > \delta</math>. Равенство: <math>[x] = [y]</math>, если <math>{x_n} \sim {y_n}</math>, то есть <math>x_n - y_n \to 0</math>. Больше: <math>[x] > [y]</math>, если <math>[y] < [x]</math>, то есть существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что <math>x_n - y_n > \delta</math> для всех <math>n > M</math>. Доказательства корректности и независимости от выбора представителя Для каждой операции и сравнения нужно показать: Корректность: Результат — фундаментальная последовательность, и класс эквивалентности определён. Независимость: Результат не зависит от выбора конкретных <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> в <math>[x]</math> и <math>[y]</math>. 1. Сложение: <math>[x] + [y]</math> Корректность: <math>{x_n + y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |x_n - x_m + y_n - y_m| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, так что для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon/2</math> и <math>|y_n - y_m| < \epsilon/2</math> при <math>n, m > N</math>. Тогда <math>|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| < \epsilon</math>. Независимость: Пусть <math>{x_n'} \sim {x_n}</math> и <math>{y_n'} \sim {y_n}</math>. Тогда: <math>(x_n + y_n) - (x_n' + y_n') = (x_n - x_n') + (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math> и <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n + y_n) - (x_n' + y_n')| \leq |x_n - x_n'| + |y_n - y_n'| \to 0</math>. Следовательно, <math>{x_n + y_n} \sim {x_n' + y_n'}</math>. Интуитивно: Сложение — это как складывать "средние значения" последовательностей, и мелкие отклонения внутри классов не влияют на итог. 2. Вычитание: <math>[x] - [y]</math> Корректность: <math>{x_n - y_n}</math> фундаментальна: <math>|(x_n - y_n) - (x_m - y_m)| = |x_n - x_m - (y_n - y_m)| \leq |x_n - x_m| + |y_n - y_m|</math>. Аналогично сложению, <math>\epsilon</math>-оценка держится. Независимость: <math>(x_n - y_n) - (x_n' - y_n') = (x_n - x_n') - (y_n - y_n')</math>. <math>x_n - x_n' \to 0</math>, <math>y_n - y_n' \to 0</math>, значит: <math>|(x_n - y_n) - (x_n' - y_n')| \to 0</math>. <math>{x_n - y_n} \sim {x_n' - y_n'}</math>. Интуитивно: Разность сохраняет "расстояние" между точками, и мелкие вариации внутри классов его не меняют. 3. Умножение: <math>[x] \cdot [y]</math> Корректность: <math>{x_n \cdot y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n y_n - x_m y_m| = |x_n y_n - x_n y_m + x_n y_m - x_m y_m| = |x_n (y_n - y_m) + y_m (x_n - x_m)|</math> <math>\leq |x_n| |y_n - y_m| + |y_m| |x_n - x_m|</math>. <math>{x_n}</math> и <math>{y_n}</math> фундаментальны, значит ограничены: <math>|x_n| < K_x</math>, <math>|y_n| < K_y</math> для больших <math>n</math>. Для <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, где <math>|x_n - x_m| < \epsilon / (2 K_y)</math>, <math>|y_n - y_m| < \epsilon / (2 K_x)</math>, и тогда: <math>|x_n y_n - x_m y_m| < K_x \cdot \epsilon / (2 K_x) + K_y \cdot \epsilon / (2 K_y) = \epsilon</math>. Независимость: <math>x_n y_n - x_n' y_n' = x_n y_n - x_n y_n' + x_n y_n' - x_n' y_n' = x_n (y_n - y_n') + y_n' (x_n - x_n')</math>. <math>|x_n (y_n - y_n')| \leq K_x |y_n - y_n'| \to 0</math>, <math>|y_n' (x_n - x_n')| \leq K_y |x_n - x_n'| \to 0</math>. <math>|x_n y_n - x_n' y_n'| \to 0</math>, значит <math>{x_n y_n} \sim {x_n' y_n'}</math>. Интуитивно: Умножение "масштабирует" последовательности, и небольшие дрожания внутри классов гасятся. 4. Деление: <math>[x] / [y]</math> (при <math>[y] \neq [0]</math>) Корректность: Пусть <math>{y_n} \in [y]</math>, и <math>[y] \neq [0]</math>, то есть <math>y_n</math> не стремится к 0. Существует <math>\delta > 0</math> и <math>N</math>, такие что <math>|y_n| > \delta</math> для <math>n > N</math>. <math>{x_n / y_n}</math> фундаментальна: <math>|x_n / y_n - x_m / y_m| = |(x_n y_m - x_m y_n) / (y_n y_m)|</math>. Числитель: <math>|x_n y_m - x_m y_n| = |x_n y_m - x_n y_n + x_n y_n - x_m y_n| \leq |x_n| |y_m - y_n| + |y_n| |x_n - x_m|</math>. Для <math>n, m > N</math>: <math>|y_n|, |y_m| > \delta</math>, знаменатель <math>|y_n y_m| > \delta^2</math>. Ограниченность и фундаментальность дают сходимость с <math>\epsilon</math>. Независимость: <math>x_n / y_n - x_n' / y_n' = (x_n y_n' - x_n' y_n) / (y_n y_n')</math>. Числитель: <math>|x_n y_n' - x_n' y_n| \leq |x_n| |y_n' - y_n| + |y_n| |x_n - x_n'| \to 0</math>. Знаменатель ограничен снизу, итог <math>\to 0</math>. Интуитивно: Деление работает, если знаменатель не "исчезает", и мелкие изменения не ломают результат. 5. Порядок: <math>[x] < [y]</math> Корректность: Определение уже использует "любые представители", что подразумевает независимость, но проверим. Независимость: Пусть <math>{x_n} \sim {x_n'}</math>, <math>{y_n} \sim {y_n'}</math>. Если <math>[x] < [y]</math>, то <math>y_n - x_n > \delta</math> для больших <math>n</math>. <math>y_n' - x_n' = (y_n' - y_n) + (y_n - x_n) + (x_n - x_n')</math>. <math>|y_n' - y_n| \to 0</math>, <math>|x_n - x_n'| \to 0</math>, и для больших <math>n</math>: <math>y_n' - x_n' > \delta - \epsilon</math> (где <math>\epsilon</math> мала), то есть найдётся <math>\delta' > 0</math>. Обратно, если <math>y_n - x_n \not> \delta</math> (например, <math>\to 0</math>), то <math>y_n' - x_n'</math> тоже не держит дистанцию. Интуитивно: Порядок смотрит на "разрыв" между последовательностями, и эквивалентность его сохраняет. Пусть <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества <math>[x]</math>, где <math>[x]</math> — элемент фактор-множества, соответствующий фундаментальной последовательности <math>\{x_n\}</math> из <math>\mathbb{Q}</math>, причем <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, если <math>x_n - y_n \to 0</math>, то есть <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Определим операцию сравнения между рациональным числом <math>q \in \mathbb{Q}</math> и элементом фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Сравнение задается следующим образом: - <math>q < [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q > [x]</math>, если существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>x_n < q - \delta</math> для всех <math>n > N</math> при некотором <math>N \in \mathbb{N}</math>; - <math>q = [x]</math>, если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нам нужно доказать корректность этого определения, то есть показать, что оно не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. ### Доказательство корректности Предположим, что <math>[x] = [y]</math>, то есть <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, и <math>\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0</math>. Это означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math> выполняется <math>|x_n - y_n| < \varepsilon</math>. Пусть <math>q \in \mathbb{Q}</math> — фиксированное рациональное число. Рассмотрим три случая сравнения. #### 1. Случай <math>q < [x]</math> Предположим, что <math>q < [x]</math>. Тогда по определению существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n > q + \delta</math>. Нужно показать, что <math>q < [y]</math>, то есть существует <math>\delta' > 0</math> и <math>N_3 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_3</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Тогда существует <math>N_1</math>, такое что для всех <math>n > N_1</math>: <math>|x_n - y_n| < \frac{\delta}{2}</math>. Поскольку <math>x_n > q + \delta</math> для всех <math>n > N_2</math>, рассмотрим <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) > x_n - |x_n - y_n| > q + \delta - \frac{\delta}{2} = q + \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Таким образом, для всех <math>n > N</math> выполняется <math>y_n > q + \delta'</math>, что означает <math>q < [y]</math>. #### 2. Случай <math>q > [x]</math> Предположим, что <math>q > [x]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math> и <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>x_n < q - \delta</math>. Нужно показать, что <math>q > [y]</math>. Аналогично, возьмем <math>\varepsilon = \delta/2</math>. Для всех <math>n > N_1</math> имеем <math>|x_n - y_n| < \delta/2</math>. Для <math>n > N = \max(N_1, N_2)</math>: <math>y_n = x_n + (y_n - x_n) < x_n + |x_n - y_n| < q - \delta + \frac{\delta}{2} = q - \frac{\delta}{2}</math>. Положим <math>\delta' = \delta/2 > 0</math>. Тогда <math>y_n < q - \delta'</math> для всех <math>n > N</math>, что означает <math>q > [y]</math>. #### 3. Случай <math>q = [x]</math> Предположим, что <math>q = [x]</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N_2 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n > N_2</math> выполняется <math>|x_n - q| < \varepsilon</math>. Нужно показать, что <math>q = [y]</math>. Так как <math>\{x_n\} \sim \{y_n\}</math>, для любого <math>\varepsilon' > 0</math> существует <math>N_1</math>, такое что <math>|x_n - y_n| < \varepsilon'</math> для всех <math>n > N_1</math>. Возьмем <math>\varepsilon' = \varepsilon/2</math> и <math>N = \max(N_1, N_2)</math>. Тогда для всех <math>n > N</math>: <math>|y_n - q| = |(y_n - x_n) + (x_n - q)| \leq |y_n - x_n| + |x_n - q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>. Следовательно, <math>q = [y]</math>. ### Вывод Мы показали, что определение сравнения <math>q < [x]</math>, <math>q > [x]</math> и <math>q = [x]</math> не зависит от выбора представителя <math>\{x_n\}</math> элемента фактор-множества <math>[x]</math>. Таким образом, операция сравнения между рациональным числом и элементом фактор-множества корректна. </nowiki> === 5. Принцип вложенных интервалов. === <b>Теорема о вложенных отрезках</b> <u>Утверждение:</u> (или принцип вложенных интервалов) Пусть дана последовательность замкнутых интервалов <math>I_n = [a_n, b_n]</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные числа), n=1,2,3,…n=1,2,3,…, такая что: * Каждый интервал вложен в предыдущий: <math>I_{n+1} \subseteq I_n</math>, то есть <math>a_n \leq a_{n+1}</math> и <math>b_{n+1} \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. * Длина интервалов стремится к нулю: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N \in \mathbb{N}</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. Тогда существует ровно один элемент <math>[x]</math> в <math>\mathbb{R}</math> (как элемент в фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел), такой что: <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. [[File:Теорема о вложенных отрезках.png|420px|Теоремао вложенных отрезках]] <u>Доказательство:</u> <u>Шаг 1: Свойства последовательностей <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Даны последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math>, где <math>a_n, b_n \in \mathbb{Q}</math>: <math>a_n \leq a_{n+1}</math> — <math>\left\{a_n\right\}</math> монотонно неубывающая. <math>b_{n+1} \leq b_n</math> — <math>\left\{b_n\right\}</math> монотонно невозрастающая. Из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math> для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math>: для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> существует <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для всех <math>n > N</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> идёт вправо или стоит, <math>b_n</math> — влево или стоит, и они сближаются. <u>Шаг 2: Фундаментальность последовательности <math>\left\{a_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{a_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math>, значит <math>0 \leq a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|a_n - a_m| = a_n - a_m \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. Значит, <math>|a_m - a_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 3: Фундаментальность последовательности <math>\left\{b_n\right\}</math></u> Покажем, что <math>\left\{b_n\right\}</math> — фундаментальная последовательность: Для <math>m \geq n</math>: <math>a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n</math> (из вложенности <math>I_m \subseteq I_n</math>), значит <math>0 \leq b_n - b_m \leq b_n - a_m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, для любого рационального <math>\epsilon > 0</math> есть <math>N</math>, такое что <math>b_n - a_n < \epsilon</math> для <math>n > N</math>. Тогда для всех <math>m, n > N</math>: * Если <math>m \geq n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m</math> (так как <math>b_m \leq b_n</math> из монотонности), и <math>b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n < \epsilon</math>. * Если <math>n > m</math>: <math>a_m \leq a_n \leq b_n \leq b_m</math>, и <math>|b_n - b_m| = b_m - b_n \leq b_m - a_m < \epsilon</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>b_n</math> и <math>b_m</math> сближаются, потому что их "ограничивает" сжимающееся расстояние до <math>a_n</math> и <math>a_m</math>. Значит, <math>|b_m - b_n| < \epsilon</math> для всех <math>m, n > N</math>, и <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна. <u>Шаг 4: Построение <math>[x]</math></u> В <math>\mathbb{R}</math>, как фактор-множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, каждый элемент — это множество эквивалентных фундаментальных последовательностей, где <math>{a_n} \sim {c_n}</math>, если <math>a_n - c_n \to 0</math>. Поскольку <math>\left\{a_n\right\}</math> фундаментальна, она определяет элемент фактор-множества <math>[x] \in \mathbb{R}</math>. Также <math>\left\{b_n\right\}</math> фундаментальна, и пусть она определяет элемент <math>[y] \in \mathbb{R}</math>. Проверим, что <math>[x] = [y]</math>: * Для всех <math>n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n < \epsilon</math> при <math>n > N</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math>. * По определению фактор-множества, если <math>b_n - a_n \to 0</math>, то <math>{a_n} \sim {b_n}</math>, и <math>[x] = [y]</math>. <u>Интуитивно:</u> <math>a_n</math> и <math>b_n</math> сжимаются друг к другу и представляют один элемент в <math>\mathbb{R}</math>. <u>Шаг 5: Проверка, что <math>[x]</math> лежит во всех интервалах</u> Мы хотим убедиться, что <math>[x]</math> всегда находится внутри каждого <math>[a_n, b_n]</math>, то есть <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>A. Докажем, что <math>a_n \leq [x]</math></u> Предположим от противного, что <math>[x] < a_n</math>. Это значит, что для любой последовательности <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>a_n - x_m > \delta</math>. Так как <math>a_m \geq a_n</math> для <math>m \geq n</math> (из монотонности <math>{a_n}</math>), то: <math>a_m - x_m \geq a_n - x_m > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>a_m</math> и <math>x_m</math> всегда есть зазор, который не исчезает. Но <math>{a_n}</math> сама лежит в <math>[x]</math> (так как <math>[x]</math> — это элемент фактор-множества, заданный <math>{a_n}</math>), и <math>a_m - a_n \to 0</math>, потому что <math>{a_n}</math> фундаментальна. Это противоречие: если <math>a_m - a_n</math> становится сколь угодно малым, а <math>a_m - x_m > \delta</math>, то <math>x_m</math> не может быть представителем <math>{a_n}</math>. Значит, <math>[x] < a_n</math> невозможно, и верно, что <math>a_n \leq [x]</math>. <u>B. Докажем, что <math>[x] \leq b_n</math></u> Предположим от противного, что пусть <math>[x] > b_n</math>. Тогда для любой <math>{x_m} \in [x]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>x_m - b_n > \delta</math>. Из вложенности <math>a_m \leq b_n</math> для <math>m \geq n</math>, следовательно: <math>x_m - a_m \geq x_m - b_n > \delta > 0</math>. <u>Интуитивно:</u> Между <math>x_m</math> и <math>a_m</math> остаётся постоянный зазор. Но <math>{a_n} \in [x]</math>, и <math>x_m - a_m \to 0</math> (так как <math>{a_n}</math> определяет <math>[x]</math>), а <math>b_n - a_n \to 0</math> по условию теоремы. Это противоречие: <math>x_m - a_m</math> не может быть больше фиксированного <math>\delta</math>, если оно стремится к нулю. Значит, <math>[x] > b_n</math> невозможно, и верно, что <math>[x] \leq b_n</math>. <u>Вывод:</u> Мы показали, что <math>a_n \leq [x] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>, то есть <math>[x]</math> лежит в каждом интервале <math>[a_n, b_n]</math>. Следовательно: <math>[x] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>. <b>Шаг 6: Уникальность <math>[x]</math></b> Проверим, что <math>[x]</math> — единственный элемент, лежащий во всех интервалах <math>I_n = [a_n, b_n]</math>. Предположим от противного: Существует <math>[z] \neq [x]</math>, такой что <math>[z] \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>, то есть <math>a_n \leq [z] \leq b_n</math> для всех <math>n</math>. <u>Интуитивно:</u> Интервалы сжимаются, их ширина <math>b_n - a_n \to 0</math>, и два разных элемента фактор-множества не должны уместиться в таком узком пространстве. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math>, возможны два случая: <math>[z] > [x]</math> или <math>[z] < [x]</math>. <u>A. Случай <math>[z] > [x]</math></u> Рассмотрим первый случай: пусть <math>[z] > [x]</math>. По определению порядка: для любых представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math> существует <math>\delta > 0</math> и <math>M \in \mathbb{N}</math>, такие что для всех <math>m > M</math>: <math>z_m - x_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>, где <math>\delta</math> — нижняя граница разности <math>z_m - x_m</math> для больших <math>m</math>. Так как <math>b_n - a_n \to 0</math>, существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> становится уже, чем зазор между <math>[x]</math> и <math>[z]</math>. Но из условия <math>[z] \in [a_n, b_n]</math> и <math>[x] \in [a_n, b_n]</math> следует: <math>a_n \leq [x] < [z] \leq b_n</math>. Возьмём представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>. Для больших <math>m</math>: <math>a_n \leq x_m < z_m \leq b_n</math>, Тогда <math>z_m - x_m \leq b_n - x_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>x_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>z_m - x_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>z_m - x_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>z_m - x_m</math> не может быть одновременно больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math>. Значит, случай <math>[z] > [x]</math> невозможен. <u>B. Случай <math>[z] < [x]</math></u> Рассмотрим второй случай: пусть <math>[z] < [x]</math>. По определению: существует <math>\delta > 0</math> и <math>M</math>, такие что для всех <math>m > M</math <math>x_m - z_m > \delta</math>. Пусть <math>\epsilon = \delta</math>. Существует <math>N</math>, такое что для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \delta</math>. <u>Интуитивно:</u> Коридор <math>[a_n, b_n]</math> уже, чем расстояние между <math>[z]</math> и <math>[x]</math>. Но <math>a_n \leq [z] < [x] \leq b_n</math>. Для представителей <math>{x_m} \in [x]</math> и <math>{z_m} \in [z]</math>: <math>a_n \leq z_m < x_m \leq b_n</math>, Тогда <math>x_m - z_m \leq b_n - z_m \leq b_n - a_n</math> (так как <math>z_m \geq a_n</math>). Из порядка: <math>x_m - z_m > \delta</math>, но <math>b_n - a_n < \delta</math>, значит: <math>x_m - z_m \leq b_n - a_n < \delta</math>. Это противоречие: <math>x_m - z_m</math> не может быть больше <math>\delta</math> и меньше <math>\delta</math> одновременно. Значит, случай <math>[z] < [x]</math> невозможен. <u>Вывод:</u> Мы предположили от противного, что <math>[z] \neq [x]</math>, и рассмотрели два случая: * <math>[z] > [x]</math> ведёт к противоречию, * <math>[z] < [x]</math> тоже ведёт к противоречию. Поскольку <math>[z] \neq [x]</math> невозможно, остаётся только <math>[z] = [x]</math>. <u>Интуитивно:</u> Сжимающиеся интервалы "прижимают" все элементы фактор-множества к одной точке — <math>[x]</math>. <u>Общий вывод:</u> Существует ровно один <math>[x] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>\bigcap_{n=1}^\infty I_n = {[x]}</math>. === <b>Определение sup:</b> === <nowiki> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — множество элементов фактор-множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел, ограниченное сверху (то есть существует элемент <math>[M] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \leq [M]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math> называется ''верхней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[s] = \sup S</math>, если выполняются два условия: <math>[s]</math> — верхняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \leq [s]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[s]</math> — наименьшая из всех верхних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая верхняя граница (<math>[x] \leq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[s] \leq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено сверху, то говорят, что <math>\sup S = +\infty</math> (формально это не элемент <math>\mathbb{R}</math>, а условное обозначение). Определение инфимума: Пусть <math>S</math> — непустое подмножество <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное снизу (то есть существует элемент <math>[m] \in \mathbb{R}</math>, такой что <math>[x] \geq [m]</math> для всех <math>[x] \in S</math>). Элемент <math>[i] \in \mathbb{R}</math> называется ''нижней гранью множества'' <math>S</math> и обозначается <math>[i] = \inf S</math>, если выполняются два условия: <math>[i]</math> — нижняя граница множества <math>S</math>, то есть <math>[x] \geq [i]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. <math>[i]</math> — наибольшая из всех нижних границ, то есть если <math>[t]</math> — любая другая нижняя граница (<math>[x] \geq [t]</math> для всех <math>[x] \in S</math>), то <math>[i] \geq [t]</math>. Если множество <math>S</math> не ограничено снизу, то говорят, что <math>\inf S = -\infty</math> (также условное обозначение, а не элемент <math>\mathbb{R}</math>). Обоснование существования <math>\sup S</math> и <math>\inf S</math> в нашем <math>\mathbb{R}</math> будет приведено ниже (см. доказательство теоремы о гранях). Пример 1: Ограниченное множество с максимумом и минимумом Пусть <math>S = {[1], [2], [3], [4]}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math> — элемент фактор-множества, представляющий рациональное число <math>n</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество ограничено сверху, например, элементом <math>[5]</math>, так как <math>[x] \leq [5]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (для представителей <math>x_m \leq 5</math> при больших <math>m</math>). Наименьшая верхняя граница — это максимальный элемент множества, то есть <math>[4]</math>, поскольку <math>[x] \leq [4]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] < [4]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>4 - t_m > \delta</math>, но <math>[4]</math> в <math>S</math>). Таким образом, <math>\sup S = [4]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, элементом <math>[0]</math>, так как <math>[x] \geq [0]</math> для всех <math>[x] \in S</math> (<math>x_m \geq 0</math>). Наибольшая нижняя граница — это минимальный элемент множества, то есть <math>[1]</math>, поскольку <math>[x] \geq [1]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, и нет <math>[t] > [1]</math>, удовлетворяющего этому условию (иначе <math>t_m - 1 > \delta</math>, но <math>[1] \in S</math>). Таким образом, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 2: Ограниченное множество без максимума и минимума Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [0] < [x] < [1], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, представляющих рациональные последовательности между <math>[0]</math> и <math>[1]</math>, не включая границы. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [1]</math> (где <math>[1] = [{1, 1, \ldots}]</math>), и <math>[1]</math> — верхняя граница, так как <math>x_n < 1 - \delta</math> для больших <math>n</math>. Нет меньшего элемента <math>[t] < [1]</math>, который был бы верхней границей: если <math>[t] < [1]</math>, то <math>1 - t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = (t_n + 1)/2</math>, где <math>t_n < x_n < 1</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [1]</math>. (Заметим, что <math>[1] \notin S</math>, так как <math>[x] < [1]</math>, и максимума нет.) Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] > [0]</math> (где <math>[0] = [{0, 0, \ldots}]</math>), и <math>[0]</math> — нижняя граница. Нет большего элемента <math>[t] > [0]</math>, который был бы нижней границей: если <math>[t] > [0]</math>, то <math>t_n > \delta</math>, и можно взять рациональное <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>0 < x_n < t_n</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] < [t]</math>. Следовательно, <math>\inf S = [0]</math>. (Заметим, что <math>[0] \notin S</math>, так как <math>[x] > [0]</math>, и минимума нет.) Пример 3: Множество, ограниченное снизу, но не сверху Пусть <math>S = { [n] \in \mathbb{R} \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 1 }</math> = <math>{[1], [2], [3], \ldots}</math>, где <math>[n] = [{n, n, \ldots}]</math>. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Множество не ограничено сверху: для любого <math>[M] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{M_n}</math>) существует <math>n > M_n</math> для больших <math>n</math> (по свойству рациональных чисел), и <math>[n] > [M]</math>. Следовательно, <math>\sup S = +\infty</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество ограничено снизу, например, <math>[0]</math>, так как <math>[n] \geq [0]</math>. Наибольшая нижняя граница — <math>[1]</math>, так как <math>[n] \geq [1]</math> для всех <math>[n] \in S</math>, и <math>[1] \in S</math>, а любое <math>[t] > [1]</math> не является нижней границей. Значит, <math>\inf S = [1]</math>. Пример 4: Множество, ограниченное сверху, но не снизу Пусть <math>S = { [x] \in \mathbb{R} \mid [x] < [0], {x_n} \subseteq \mathbb{Q} }</math> — множество всех элементов фактор-множества, меньших <math>[0]</math>, с рациональными последовательностями. Верхняя грань (<math>\sup S</math>): Для всех <math>[x] \in S</math> выполняется <math>[x] < [0]</math>, и <math>[0]</math> — верхняя граница. Нет меньшего <math>[t] < [0]</math>, которое было бы верхней границей: если <math>[t] < [0]</math>, то <math>-t_n > \delta</math>, и можно взять <math>x_n = t_n / 2</math>, где <math>t_n < x_n < 0</math>, определяющее <math>[x] \in S</math> с <math>[x] > [t]</math>. Следовательно, <math>\sup S = [0]</math>. Нижняя граница (<math>\inf S</math>): Множество не ограничено снизу: для любого <math>[m] \in \mathbb{R}</math> (представленного <math>{m_n}</math>) можно взять рациональное <math>x_n = m_n - 1</math>, где <math>x_n < m_n</math>, и <math>[x] < [m]</math>, при этом <math>[x] < [0]</math>, так что <math>[x] \in S</math>. Следовательно, <math>\inf S = -\infty</math>. Замечание Если множество <math>S</math> содержит свой максимум (<math>\max S</math>), то <math>\sup S = \max S</math>. Если множество <math>S</math> содержит свой минимум (<math>\min S</math>), то <math>\inf S = \min S</math>. Для неограниченных множеств <math>\sup S</math> или <math>\inf S</math> принимают значения <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>, которые не являются элементами <math>\mathbb{R}</math>, а используются как условные обозначения. </nowiki> === 5.91 Сходимость монотонных последовательностей === <b>Теорема. </b> Всякая монотонная ограниченная последовательность в <math>\mathbb{R}</math> имеет предел. <nowiki> Пусть <math>{[a_n]}</math> — последовательность в <math>\mathbb{R}</math>, где: <math>{[a_n]}</math> неубывающая, т.е. <math>[a_n] \leq [a_{n+1}]</math> для всех <math>n</math>, <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, т.е. существует <math>[b] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \leq [b]</math> для всех <math>n</math>. Тогда существует <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>[a_n] \to [s]</math>, т.е. для любого <math>\varepsilon > 0</math> (где <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, для всех <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] < \varepsilon</math>. Доказательство Шаг 1: Построение вложенных интервалов Так как <math>{[a_n]}</math> ограничена сверху, выберем верхнюю грань <math>[b_0] \in \mathbb{R}</math> (существование верхней грани пока предполагаем, но позже обоснуем). Начнём с интервала <math>[l_1, u_1]</math>: <math>l_1 = a_1</math> (рациональное число из последовательности, представляющей <math>[a_1]</math>), <math>u_1 = b_{0,N}</math> — рациональное число из последовательности <math>{b_{0,n}}</math> для <math>[b_0]</math>, такое что <math>[a_1] < u_1</math> (возможно благодаря аксиоме Архимеда и порядку). Теперь индуктивно строим вложенные интервалы <math>[l_n, u_n]</math>: Определим <math>m_n = \frac{l_n + u_n}{2}</math> (рациональное число, так как <math>l_n, u_n \in \mathbb{Q}</math>). Если <math>[a_k] \leq m_n</math> для всех <math>k</math> (т.е. <math>m_n</math> — верхняя грань на данном шаге), то: <math>u_{n+1} = m_n</math>, <math>l_{n+1} = l_n</math>. Если существует <math>k</math>, такое что <math>[a_k] > m_n</math>, то: <math>l_{n+1} = m_n</math>, <math>u_{n+1} = u_n</math>. Свойства: <math>l_n \leq l_{n+1} \leq u_{n+1} \leq u_n</math>, интервалы вложены. <math>u_{n+1} - l_{n+1} = \frac{u_n - l_n}{2}</math>, длина уменьшается вдвое. Шаг 2: Длина интервалов стремится к нулю Обозначим <math>d_1 = u_1 - l_1 > 0</math>. Тогда: <math>u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>. По аксиоме Архимеда для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}</math>) существует <math>N</math>, такое что: <math>2^{N-1} \cdot \varepsilon > d_1</math>, или: <math>\frac{d_1}{2^{N-1}} < \varepsilon</math>. Таким образом, <math>u_n - l_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Шаг 3: Последовательности <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> фундаментальны Для <math>m > n</math>: <math>|l_m - l_n| = l_m - l_n \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>l_n</math> неубывает. Поскольку <math>\frac{d_1}{2^{n-1}} \to 0</math>, <math>{l_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>. Аналогично: <math>|u_n - u_m| = u_n - u_m \leq u_n - l_n = \frac{d_1}{2^{n-1}}</math>, так как <math>u_n</math> невозрастает. Значит, <math>{u_n}</math> тоже фундаментальна. Поскольку <math>\mathbb{R}</math> — это фактор-множество фундаментальных последовательностей, существуют пределы: <math>{l_n} \to [s]</math>, <math>{u_n} \to [t]</math>. Шаг 4: Единый предел Так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, рассмотрим разность: <math>0 \leq u_n - l_n</math>. В пределе: <math>[t] - [s] = [{u_n - l_n}]</math>, и так как <math>u_n - l_n \to 0</math>, то <math>[t] - [s] = [0]</math>, т.е. <math>[t] = [s]</math>. Следовательно, <math>{l_n}</math> и <math>{u_n}</math> сходятся к одному <math>[s]</math>. Шаг 5: <math>{[a_n]} \to [s]</math> <math>l_n \leq a_{n,k} \leq u_n</math> для представителей <math>{a_{n,k}}</math> из <math>[a_n]</math>, так как <math>l_n</math> всегда ниже какого-то <math>[a_k]</math>, а <math>u_n</math> — верхняя граница. Поскольку <math>l_n \to [s]</math> и <math>u_n \to [s]</math>, а <math>u_n - l_n \to 0</math>, то для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>N</math>, где <math>u_n - l_n < \varepsilon</math>, и для <math>n > N</math>: <math>[s] - [a_n] \leq u_n - l_n < \varepsilon</math> (в смысле порядка с рациональными числами). Таким образом, <math>[a_n] \to [s]</math>. </nowiki> === 5.92 Сходимость сужающихся интервалов === <nowiki> Пусть <math>{a_n}</math> — неубывающая последовательность рациональных чисел (<math>a_n \leq a_{n+1}</math>), <math>{b_n}</math> — невозрастающая последовательность рациональных чисел (<math>b_n \geq b_{n+1}</math>), и для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>: <math>a_n \leq b_n</math>, <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. Тогда последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> определяют один и тот же элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, т.е. <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и сходятся к одному пределу <math>[s]</math>. Доказательство Фундаментальность <math>{a_n}</math>: Так как <math>{a_n}</math> неубывает, для <math>m > n</math>: <math>|a_m - a_n| = a_m - a_n \leq b_n - a_n</math>. Условие <math>b_n - a_n \to 0</math> означает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> (<math>\varepsilon \in \mathbb{Q}, \varepsilon > 0</math>) существует <math>N</math>, такое что для всех <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>. Следовательно, для <math>m, n > N</math>: <math>|a_m - a_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{a_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[s] = [{a_n}]</math>. Фундаментальность <math>{b_n}</math>: Так как <math>{b_n}</math> невозрастает, для <math>m > n</math>: <math>|b_m - b_n| = b_n - b_m \leq b_n - a_m \leq b_n - a_n</math>, потому что <math>a_m \leq b_m \leq b_n</math>. Для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n < \varepsilon</math>, и для <math>m, n > N</math>: <math>|b_m - b_n| \leq b_n - a_n < \varepsilon</math>. Значит, <math>{b_n}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\mathbb{Q}</math>, и она определяет элемент <math>[t] \in \mathbb{R}</math>, где <math>[t] = [{b_n}]</math>. Совпадение пределов <math>[s] = [t]</math>: Рассмотрим разность <math>b_n - a_n</math>: <math>0 \leq b_n - a_n</math>. Поскольку <math>b_n - a_n \to 0</math>, последовательность <math>{b_n - a_n}</math> фундаментальна и сходится к нулю в <math>\mathbb{Q}</math>, т.е. <math>[{b_n - a_n}] = [0]</math>. По определению операций в <math>\mathbb{R}</math>: <math>[{b_n}] - [{a_n}] = [{b_n - a_n}] = [0]</math>, следовательно: <math>[t] - [s] = [0]</math>, или <math>[t] = [s]</math>. Проверим через порядок: Предположим <math>[s] < [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>t_k - s_k > \delta</math> для всех больших <math>k</math>, где <math>{s_k}</math> и <math>{t_k}</math> — представители <math>[s]</math> и <math>[t]</math>. Но <math>b_n - a_n \to 0</math>, и для достаточно большого <math>n</math>: <math>b_n - a_n < \delta/2</math>, что противоречит <math>t_k - s_k > \delta</math>, так как <math>a_n \to [s]</math>, <math>b_n \to [t]</math>, и разность не может быть больше <math>\delta</math>. Значит, <math>[s] = [t]</math>. Вывод: Обе последовательности <math>{a_n}</math> и <math>{b_n}</math> фундаментальны и определяют один элемент <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. Таким образом, они сходятся к <math>[s]</math>. Интуиция <math>{a_n}</math> "поднимается", <math>{b_n}</math> "опускается", а расстояние между ними сокращается до нуля. Так как они рациональны и фундаментальны, они задают один класс эквивалентности в <math>\mathbb{R}</math>, что и есть их общий предел <math>[s]</math>. </nowiki> === 6. Теорема о гранях - (Любое непустое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань; анологично для inf) === <u>Утверждение</u>: Любое непустое подмножество <math>S \subseteq \mathbb{R}</math>, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань (супремум). Аналогично, любое непустое подмножество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань (инфимум). <u>Доказательство (супремум):</u> Пусть <math>S</math> — непустое подмножество множества элементов фактор-множества <math>\mathbb{R}</math>, ограниченное сверху. Тогда существует элемент <math>[s]</math>, который является точной верхней гранью <math>S</math>, то есть: * <math>[s]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. для любого <math>[x] \in S</math> выполнено <math>[x] \leq [s]</math>, * <math>[s]</math> — наименьшая верхняя грань, т.е. если <math>[t]</math> — любая другая верхняя грань <math>S</math>, то <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Шаг 1: Выбор начального интервала <math>[a_1], [b_1]</math></u> Так как <math>S</math> непусто и ограничено сверху, существуют: * <math>[x_1] \in S</math> с последовательностью <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math>, * <math>[b]</math> — верхняя грань <math>S</math>, такая что <math>[x] \leq [b]</math> для всех <math>[x] \in S</math>. Если <math>S = {[x_1]}</math>, то <math>[x_1]</math> — супремум (очевидно: <math>[x_1] \leq [x_1]</math>, и любой <math>[t] < [x_1]</math> не покрывает <math>[x_1]</math>), и доказательство завершено. Иначе <math>S</math> содержит хотя бы два элемента. <u>Лемма 1: Выбор начальных границ</u> <u>Утверждение:</u> Существует <math>a_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>a_1 < [x_1]</math>, и <math>b_1 \in \mathbb{Q}</math>, такое что <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. <u>Доказательство:</u> Для <math>a_1</math>: Так как <math>\left\{x_{1,n}\right\}</math> фундаментальна, существует <math>N_1 \in \mathbb{N}</math>, такое что для всех <math>n, m > N_1</math>: <math>|x_{1,n} - x_{1,m}| < \frac{1}{2}</math>. Положим: <math>a_1 = x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}</math>. Тогда для <math>n > N_1</math>: <math>x_{1,n} - a_1 = x_{1,n} - (x_{1,N_1+1} - \frac{1}{2}) = (x_{1,n} - x_{1,N_1+1}) + \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0</math>, значит, <math>a_1 < [x_1]</math>. Для <math>b_1</math>: Поскольку <math>[x_1] < [b]</math>, существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>b_n - x_{1,n} > \delta</math> для <math>n > N</math>. Выберем <math>N</math>, где <math>|b_n - [b]| < \frac{\delta}{2}</math> и <math>|x_{1,n} - [x_1]| < \frac{\delta}{2}</math>. Тогда: <math>b_n - x_{1,n} > \delta - \frac{\delta}{2} - \frac{\delta}{2} = 0</math>. Положим <math>b_1 = b_{N+1}</math>, и <math>[x_1] < b_1 \leq [b]</math>. Итак: <math>[a_1] < [x_1] \leq [b_1]</math>. Конец доказательства леммы 1. <u>Интуиция:</u> Мы берём "окно", где <math>a_1</math> ниже элемента <math>S</math>, а <math>b_1</math> выше всех <math>S</math>. <u>Шаг 2: Индуктивное построение вложенных интервалов</u> Для каждого <math>n \in \mathbb{N}</math>, имея <math>a_n</math> и <math>b_n</math>, определяем: <math>c_n = \frac{a_n + b_n}{2}</math>. * Если <math>[x] \leq [c_n]</math> для всех <math>[x] \in S</math>, то <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>. * Если существует <math>[x] \in S</math>, такое что <math>[x] > [c_n]</math>, то <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>. <u>Лемма 2: Уменьшение длины интервала</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2} (b_n - a_n)</math>. <u>Доказательство:</u> * Если <math>[c_n]</math> — верхняя грань: <math>b_{n+1} = c_n</math>, <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = c_n - a_n = \frac{a_n + b_n}{2} - a_n = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. * Если <math>[x] > [c_n]</math>: <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math>, <math>b_{n+1} - a_{n+1} = b_n - c_n = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2}</math>. Конец доказательства леммы 2. <u>Лемма 3: Геометрическое уменьшение и сходимость</u> <u>Утверждение:</u> <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}}</math>, и <math>b_n - a_n \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>. <u>Доказательство:</u> <u>База:</u> Для <math>n = 1</math>: <math>b_1 - a_1 = \frac{b_1 - a_1}{2^{1-1}}</math>. <u>Индукция:</u> Пусть для <math>n = k</math>: <math>b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}}</math>. Тогда по Лемме 2: <math>b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{1}{2} (b_k - a_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{b_1 - a_1}{2^{k-1}} = \frac{b_1 - a_1}{2^k} = \frac{b_1 - a_1}{2^{(k+1)-1}}</math>. <u>Сходимость:</u> Для <math>\varepsilon > 0</math> выберем <math>N</math>, где <math>2^{N-1} > \frac{b_1 - a_1}{\varepsilon}</math>. Тогда для <math>n > N</math>: <math>b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} < \varepsilon</math>, значит, <math>b_n - a_n \to 0</math>. Конец доказательства леммы 3. <u>Шаг 3: Определение <math>[s]</math></u> <math>\left\{a_n\right\}</math> неубывает, <math>\left\{b_n\right\}</math> невозрастает (по построению). <math>a_n \leq b_n</math> и <math>b_n - a_n \to 0</math> (Лемма 3). По лемме о сходимости сужающихся интервалов: <math>\left\{a_n\right\}</math> и <math>\left\{b_n\right\}</math> сходятся к одному <math>[s] \in \mathbb{R}</math>. <u>Шаг 4: <math>[s]</math> — супремум <math>S</math></u> * <u><math>[s]</math> — верхняя грань:</u> Для любого <math>[x] \in S</math>, <math>[x] \leq [b_n]</math> для всех <math>n</math>. Так как <math>b_n \to [s]</math> (Лемма о сходимости сужающихся интервалов), то <math>[x] \leq [s]</math>. <u>Интуиция:</u> <math>b_n</math> — "потолок" над <math>S</math>, и <math>[s]</math> — его предел, выше всех элементов <math>S</math>. * <u><math>[s]</math> — наименьшая:</u> Пусть <math>[t]</math> — верхняя грань <math>S</math>, т.е. <math>[x] \leq [t]</math>. Предположим <math>[s] > [t]</math>. Тогда существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>s_n - t_n > \delta</math> для <math>n > N</math>, где <math>{t_n}</math> представляет <math>[t]</math>. Так как <math>a_n \to [s]</math>, для <math>\varepsilon = \delta/2</math> существует <math>M</math>, где <math>n </math>: <math>|a_n - s_n| < \delta/2</math>, <math>a_n > s_n - \delta/2 > t_n + \delta/2</math>. По построению, существует <math>[x] \in S</math>, где <math>[x] > a_n</math>, значит <math>[x] > t_n + \delta/2</math>, что противоречит <math>[x] \leq [t]</math>. Следовательно, <math>[s] \leq [t]</math>. <u>Интуиция:</u> Если <math>[s] > [t]</math>, <math>a_n</math> превышает <math>[t]</math>, а за <math>a_n</math> есть <math>[x] \in S</math>, что ломает верхнюю грань <math>[t]</math>. <u>Вывод</u> <math>[s]</math> — супремум <math>S</math>. Для инфимума доказательство симметрично с заменой "ограниченная сверху" на "ограниченная снизу", "точная верхняя грань" на "точная нижняя грань" и т.п. === 6.1 === <b>Теорема:</b> Всякое полное упорядоченное поле <math>(F, +, \cdot, <)</math> является архимедовым. <b>Определения:</b> 1. <b>Упорядоченное поле:</b> Поле <math>F</math> с отношением полного порядка <math><</math>, согласованным с операциями поля: * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a < b</math>, то <math>a+c < b+c</math> для любого <math>c \in F</math>. * Для любых <math>a, b \in F</math>, если <math>a > 0</math> и <math>b > 0</math>, то <math>a \cdot b > 0</math>. 2. <b>Полнота (Аксиома о наименьшей верхней границе):</b> Любое непустое подмножество <math>A \subset F</math>, ограниченное сверху в <math>F</math>, имеет точную верхнюю грань (супремум) в <math>F</math>, обозначаемую <math>\sup A</math>. 3. </b>Архимедово свойство:</b> (оно же аксиома Архимеда-Евдокса) Для любых <math>x, y \in F</math> таких, что <math>x > 0</math> и <math>y > 0</math>, существует натуральное число <math>n \in \mathbb{N}</math> такое, что <math>nx > y</math>. (Здесь <math>nx</math> означает <math>x + x + \dots + x</math> <math>n</math> раз, а <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}</math> рассматривается как подмножество <math>F</math> через вложение <math>1, 1+1, 1+1+1, \dots</math>). </b>Доказательство (методом от противного):</b> Допустим от противного, что <math>F</math> является полным упорядоченным полем, но не является архимедовым. Т.е. существуют элементы <math>x \in F</math> и <math>y \in F</math> такие, что <math>x > 0</math>, <math>y > 0</math> и для всех натуральных чисел <math>n \in \mathbb{N}</math> выполняется неравенство <math>nx \le y</math>. Определим подмножество <math>S \subset F</math> следующим образом: <math display="block"> S = \{nx \mid n \in \mathbb{N}\} </math> Свойства множества S: * Множество <math>S</math> непусто, так как <math>1 \in \mathbb{N}</math> и <math>x = 1x \in S</math>. * Множество <math>S</math> ограничено сверху. По нашему предположению из шага 2, элемент <math>y</math> является верхней границей для <math>S</math>, так как <math>nx \le y</math> для всех <math>n \in \mathbb{N}</math>, то есть для всех элементов <math>nx \in S</math>. Поскольку <math>F</math> — полное упорядоченное поле, а <math>S</math> — непустое, ограниченное сверху подмножество <math>F</math>, то у <math>S</math> существует точная верхняя грань (супремум) в <math>F</math>. Обозначим эту грань через <math>s</math>: <math display="block"> s = \sup S </math> По определению супремума, <math>s</math> является верхней границей <math>S</math>. Так как <math>s</math> — *наименьшая* верхняя граница, то любое число, меньшее <math>s</math>, уже не является верхней границей для <math>S</math>. Рассмотрим элемент <math>s - x</math>. Поскольку <math>x > 0</math>, то <math>s - x < s</math>. Следовательно, <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>. Поскольку <math>s - x</math> не является верхней границей для <math>S</math>, то по определению верхней границы существует хотя бы один элемент в <math>S</math>, который больше <math>s - x</math>. Пусть этот элемент равен <math>mx</math> для некоторого <math>m \in \mathbb{N}</math>: <math display="block"> mx > s - x </math> Прибавим <math>x</math> к обеим частям неравенства (используя свойство упорядоченного поля): <math display="block"> mx + x > (s - x) + x </math> <math display="block"> (m+1)x > s </math> Поскольку <math>m \in \mathbb{N}</math>, то <math>m+1</math> также является натуральным числом (<math>m+1 \in \mathbb{N}</math>). Следовательно, элемент <math>(m+1)x</math> по определению множества <math>S</math> принадлежит этому множеству: <math>(m+1)x \in S</math>. Мы получили, что существует элемент <math>(m+1)x \in S</math>, для которого выполняется <math>(m+1)x > s</math>. Однако <math>s = \sup S</math> — это верхняя граница множества <math>S</math>, что по определению означает, что для **любого** элемента <math>z \in S</math> должно выполняться <math>z \le s</math>. Неравенство <math>(m+1)x > s</math> противоречит тому, что <math>s</math> является верхней границей для <math>S</math>. Мы пришли к противоречию теорема доказана. Таким образом, любое полное упорядоченное поле <math>F</math> обязательно является архимедовым. Поэтому для поля действительных чисел ℝ она просто постулируется, а для рациональный чисел Q её оказывается возможным доказать как теорему. <b>Замечание:</b> Теорема о гранях доказывает свойство полноты определённое выше. Последняя теорема выше доказывает, непротиворечивость нашей системы аксиом для действительных чисел (отрицание аксиомы Архимеда-Евдокса ложно). === 8. <b>Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу.</b> === ... <u>Шаг 4: Заключение</u> Таким образом, последовательность <math>\left\{x_n\right\}</math> сходится к действительному числу <math>x</math>, которое определяется как элемент фактор-множества <math>[ \left\{ x_n \right\} ]</math>. Это завершает доказательство. <u>Итог:</u> Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому действительному числу, которое определяется как элемент фактор-множества всех последовательностей, сходящихся к тому же пределу. <b>Интуитивный смысл: </b> Фундаментальная последовательность — это такая последовательность, члены которой с ростом индекса становятся всё ближе друг к другу и "устаканиваются" вокруг какого-то значения. Интуитивно, если расстояние между членами последовательности становится сколь угодно малым, она должна приближаться к некоторой фиксированной точке — пределу. В данном случае мы показываем, что этот предел существует и является действительным числом. +++ 9. Любая сходящая последовательность является последовательностью Коши. 10. Любая сходящая последовательность ограничена. 11. Множество рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } плотно в множестве действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} }. 12. Множество действительных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } плотно в себе. 13. Определение арифметических операций. <b>14. Плотность рациональных чисел в действительных числах</b> <u>Утверждение: </u> Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>x \in \mathbb{R}</math> и <math>\varepsilon > 0</math>. По определению действительных чисел, <math>x</math> представляется как эквивалентность фундаментальной последовательности <math>\left\{x_n\right\}</math>. По аксиоме Архимеда, существует натуральное число <math>n</math>, такое что: <math> \frac{1}{n} < \varepsilon. </math> Выберем <math>N</math> так, чтобы для всех <math>m \geq N</math>: <math> |x_m - x| < \varepsilon. </math> Тогда <math>x_N</math> — рациональное число, удовлетворяющее условию: <math> |x - x_N| < \varepsilon. </math> Таким образом, рациональные числа плотны в <math>\mathbb{R}</math>. <b>15. Плотность действительных чисел</b> <u>Утверждение:</u> Множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> обладает свойством плотности в себе, то есть для любых двух различных чисел <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, где <math>x < y</math>, существует <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что <math>x < z < y</math>. <u>Доказательство:</u> Как было доказано выше множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, т.е. для любых <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x < y</math>, существует рациональное число <math>q \in \mathbb{Q}</math>, удовлетворяющее условию: <math> x < q < y. </math> Поскольку <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то <math>q</math> также является действительным числом, то есть <math>q \in \mathbb{R}</math>. Следовательно, мы нашли <math>z = q</math>, где <math>z \in \mathbb{R}</math>, такое что: <math> x < z < y. </math> Таким образом, между любыми двумя действительными числами всегда найдётся другое действительное число, что и доказывает, что <math>\mathbb{R}</math> плотно в себе. ==== Арифметика (опр.) ==== ==== Бесконечная десятиная дробь ==== ==== Арифметика (практ.) ==== ==== Дедекиндовое сечение ==== === Бесконечные десятичные дроби === * Периодические десятичая дробь. * Непериодечские десятичная дробь. * Конечная десятичные дробь. * 0.(9)=1.0 * Действительное число является рациональным тогда и только тогда представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. === sqrt(2) иррационально === * Формулировка геометрическая, алгебраическая, их эквивалетность. Один из первых кризисов в математики. * Доказательство (используя несократимую дробь) * Поле действительных чисел ℝ характеризуется как единственное (с точностью до изоморфизма) полное упорядоченное поле. Доказательство выходит за рамки этой книги. == 8. Введение в ординальные числа == <u>Что такое ординальные числа? </u> * Определение ординальных чисел. * Исторический контекст и мотивация. <u>Основные определения </u> 1. Основы и определение ординалов 1.1 Аксиомы теории множеств ZFC Понятие множества, принадлежности <math>\in</math>, подмножества. Аксиома фундированности: отсутствие бесконечной цепи <math>\dots \in x \in y \in \dots</math>. Аксиома подмножества и существование определённых множеств. 1.2 Транзитивные множества Определение: множество <math>X</math> называется транзитивным, если для любого <math>y \in X</math>, <math>y \subseteq X</math>. Примеры транзитивных множеств. Свойства транзитивных множеств. 1.3 Определение ординалов через транзитивные множества Ординал — это транзитивное множество, вполне упорядоченное строгим порядком <math>\in</math>. Ординал — это транзитивное множество, строго упорядоченное отношением принадлежности <math>\in</math>, такое, что для любых двух различных элементов x,y из ординала выполняется одно и только одно из условий: x∈y, y∈x или x=y. Ординалы представляют собой "стандартные" упорядоченные множества, которые используются для описания порядка. Примеры малых ординалов: <math>0 = \emptyset</math>, <math>1 = {0}</math>, <math>2 = {0,1}</math>, <math>3 = {0,1,2}</math>, и так далее. Универсальность ординалов: любой ординал состоит только из ординалов. Теорема 1 (О индукции по ординалам) Всякая индуктивная гипотеза, утверждающая нечто о всех ординалах меньше некоторого ординала <math>\alpha</math>, может быть доказана с помощью индукции по ординалу <math>\alpha</math>. 2. Основные свойства ординалов 2.1 Строгое линейное упорядочение Доказательство, что <math>\in</math> на ординалах является строгим линейным порядком. Транзитивность порядка: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \gamma</math>, то <math>\alpha < \gamma</math>. Антисимметричность: если <math>\alpha < \beta</math> и <math>\beta < \alpha</math>, то <math>\alpha = \beta</math>. 2.2 Универсальное свойство ординалов Всякое вполне упорядоченное множество упорядочено изоморфно единственному ординалу. Доказательство единственности ординала для любого конечного множества. 2.3 Порядковое вложение В ординалах любое порядковое вложение либо тождественно, либо строгое. Доказательство, что между ординалами невозможно биекцию, не являющуюся изоморфизмом порядка. Теорема 2 (О порядке ординалов) Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — два ординала, то <math>\alpha \leq \beta</math> тогда и только тогда, когда существует инъективная функция <math>f: \alpha \to \beta</math>. 3. Операции над ординалами 3.1 Следующий ординал Определение: <math>\alpha^+ = \alpha \cup {\alpha}</math>. Свойства: <math>\alpha^+</math> — минимальный ординал, больший <math>\alpha</math>. 3.2 Супремум и предел ординалов Определение супремума множества ординалов. Определение предельного ординала: <math>\lambda</math> — предельный, если нет <math>\alpha</math>, такого что <math>\lambda = \alpha^+</math>. Примеры предельных ординалов: <math>\omega</math>, <math>\omega + \omega</math>, <math>\omega^2</math>. Теорема 3 (О пределах ординалов) Если <math>\alpha</math> — предел ординала, то существует последовательность ординалов, которая монотонно возрастает и имеет предел <math>\alpha</math>. 3.3 Сложение ординалов Определение: <math>\alpha + 0 = \alpha, \quad \alpha + \beta^+ = (\alpha + \beta)^+</math>. Свойства сложения: некоммутативность (<math>1 + \omega \neq \omega + 1</math>). 3.4 Умножение ординалов Определение: <math>\alpha \cdot 0 = 0, \quad \alpha \cdot \beta^+ = \alpha \cdot \beta + \alpha</math>. Свойства: ассоциативность, но некоммутативность. 3.5 Возведение в степень Определение: <math>\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta^+} = \alpha^\beta \cdot \alpha</math>. Примеры вычислений. 4. Бесконечные ординалы 4.1 Малейший бесконечный ординал <math>\omega</math> Определение: <math>\omega</math> — первый предельный ординал. Свойство: любой конечный ординал <math>n</math> удовлетворяет <math>n < \omega</math>. Доказательство, что <math>\omega</math> — минимальный бесконечный ординал. 4.2 Счётные ординалы Определение: ординал <math>\alpha</math> — счётный, если существует сюръекция <math>f: \omega \to \alpha</math>. Примеры: <math>\omega</math>, <math>\omega + 1</math>, <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega^2</math>, <math>\varepsilon_0</math>. 4.3 Несчётные ординалы <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. <math>\omega_1</math> является наименьшим предельным ординалом, который не является счётным. Свойства <math>\omega_1</math>: все ординалы меньше <math>\omega_1</math> счётны, и это непереходный предел для счётных ординалов. Теорема 4 (О наименьшем ординале, не являющемся порядковым типом множества) Для любого множества существует наименьший ординал, который не является порядковым типом этого множества. 4.4 Противоречие с множеством всех ординалов Парадокс Бурали-Форти. 5. Принцип трансфинитной индукции и рекурсии 5.1 Трансфинитная индукция Формулировка: если утверждение <math>P(\alpha)</math> верно для <math>\alpha = 0</math> и сохраняется при переходе на следующий ординал и предельные ординалы, то оно верно для всех ординалов. Примеры использования. 5.2 Трансфинитная рекурсия Формулировка: для любой функции <math>F</math>, можно задать <math>f(\alpha)</math> для всех ординалов: <math>f(0) = a, \quad f(\alpha^+) = F(f(\alpha)), \quad f(\lambda) = \sup { f(\beta) \mid \beta < \lambda }, \text{ если } \lambda \text{ — предельный}.</math> Примеры: конструкция функций на ординалах. 6. Канторова нормальная форма (CNF) Разложение ординала в виде: <math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot c_1 + \omega^{\beta_2} \cdot c_2 + \dots + \omega^{\beta_k} \cdot c_k</math>, где <math>\beta_1 > \beta_2 > \dots > \beta_k</math> и <math>c_i \neq 0</math>. Единственность разложения. Примеры разложения. Теорема 5 (О Канторовой нормальной форме) Любой ординал может быть представлен в Канторовой нормальной форме, где представление единственно. 7. Более сложные темы 7.1 Функция Веблена Определение функций <math>\varphi_\alpha(\beta)</math>. 7.2 Расширение арифметики ординалов Ординальная экспоненциальная башня. Функция Аккермана и пределы вычислимости. 7.3 Ординал <math>\varepsilon_0</math> Определение ординала <math>\varepsilon_0</math>, первого ординала, который является фиксированной точкой функции ординала. Теорема 6 (О Канторовом принципе) Мощность множества всех ординалов меньших, чем данный ординал <math>\alpha</math>, равна <math>\alpha</math>. Это утверждение отражает важность порядка ординалов и теории мощностей. == 9. Приложения ординальных чисел == 14.1 Ординалы в теории моделей и теории вычислимости * Применение ординалов в построении моделей теорий. Роль ординалов в описании вычислимых процессов. * Доказательство непротиворечивости аксиоматике Пеано. * Свойства <math>\varepsilon_0</math> и его роль в теории рекурсивных функций. * Применение <math>\varepsilon_0</math> в теории доказательств и вычислимости. 14.2 Теория множеств * Использование ординалов в построении и анализе иерархий множеств. 14.3 Теория доказательств и математическая логика * Применение ординалов в доказательстве непротиворечивости теорий. 14.4 Топология и анализ * Примеры использования ординалов в топологии. * Роль ординалов в анализе, например, в описании порядковых компактностей. == 11. Введение в кардинальные числа == 11. Введение в кардинальные числа 1. Определение кардинальных чисел через ординалы 1.1 Основное определение Определение кардинального числа Ординал <math>\kappa</math> называется кардинальным числом, если он удовлетворяет следующему свойству: Основное определение: Для любого ординала <math>\alpha < \kappa</math> выполняется <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Это означает, что <math>\kappa</math> — это наименьший ординал своей мощности: ни один меньший ординал не равномощен <math>\kappa</math>. Эквивалентные формулировки Существуют альтернативные определения, эквивалентные основному. Докажем их эквивалентность. 1. Первая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если он не равномощен ни одному строго меньшему ординалу. То есть, если <math>\lambda = |\kappa|</math> — мощность <math>\kappa</math>, то для любого <math>\alpha < \kappa</math> выполняется: <math>|\alpha| \neq \lambda</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению: <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| < |\kappa|</math>. Если бы существовало <math>\alpha < \kappa</math> такое, что <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то это противоречило бы строгому неравенству <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Следовательно, <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, и первая формулировка следует из основной. Обратно, если <math>\forall \alpha < \kappa \quad |\alpha| \neq |\kappa|</math>, то в силу упорядоченности мощностей (для любых ординалов <math>|\alpha| < |\kappa|</math> или <math>|\alpha| = |\kappa|</math> или <math>|\alpha| > |\kappa|</math>) и того, что <math>\alpha < \kappa</math> (меньший ординал не может иметь большую мощность), остаётся только <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Значит, основное определение выполнено. 2. Вторая эквивалентная формулировка Ординал <math>\kappa</math> — кардинальное число, если для любого множества <math>A</math>, такого что существует сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, существует инъекция <math>g: \kappa \to A</math>. Доказательство эквивалентности: Пусть <math>\kappa</math> удовлетворяет основному определению. Если есть сюръекция <math>f: A \to \kappa</math>, то <math>|A| \geq |\kappa|</math> (существование сюръекции означает, что мощность <math>A</math> не меньше мощности <math>\kappa</math>). Предположим, что нет инъекции <math>g: \kappa \to A</math>, тогда <math>|\kappa| > |A|</math> (по теореме Кантора-Бернштейна, мы докажем её ниже ). Но <math>|A| \geq |\kappa|</math> и <math>|\kappa| > |A|</math> противоречат друг другу. Значит, инъекция существует. Обратно, если для любого <math>A</math> с сюръекцией <math>f: A \to \kappa</math> есть инъекция <math>g: \kappa \to A</math>, возьмём <math>A = \alpha < \kappa</math>. Если <math>|\alpha| = |\kappa|</math>, то существует биекция <math>f: \alpha \to \kappa</math>, что даёт сюръекцию. Тогда должна быть инъекция <math>g: \kappa \to \alpha</math>, но <math>\kappa > \alpha</math>, и инъекция невозможна (ординал не может быть вложен в меньший ординал). Противоречие показывает, что <math>|\alpha| \neq |\kappa|</math>, а значит, <math>|\alpha| < |\kappa|</math>. Таким образом, все три определения эквивалентны. Существование кардинальных чисел Для каждого ординала <math>\alpha</math> существует кардинальное число, которое является наименьшим среди всех ординалов мощности не меньшей, чем <math>\alpha</math>. Это следует из аксиомы выбора и свойств ординалов: Мощность <math>|\alpha|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>\alpha</math>. Такой ординал всегда существует, так как множество всех ординалов равной мощности имеет наименьший элемент (по теореме о хорошей упорядоченности). Примеры: * Для <math>\alpha = 0</math>: <math>|0| = 0</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = 1</math>: <math>|1| = 1</math> — кардинальное число. * Для <math>\alpha = \omega</math> (первый бесконечный ординал): <math>|\omega| = \aleph_0</math> — первое бесконечное кардинальное число. Интуиция Кардинальные числа — это "стандартные представители" мощностей. Они позволяют измерять "размер" множества, абстрагируясь от его структуры. Например: Для конечных множеств: {a,b} и {1,2} равномощны, их кардинальное число — 2. Для бесконечных множеств: NN и ZZ равномощны, их кардинальное число — aleph_0. Если ординал κκ — кардинальное число, то он "наименьший в своём классе мощности". Никакой меньший ординал не может "уместить" столько же элементов. Теорема Кантора-Бернштейна: Если для двух множеств существуют биекции с множества <math>A</math> на <math>B</math> и с множества <math>B</math> на <math>A</math>, то мощности этих множеств одинаковы. * Два доказательства через конструкцию цепей и через разбиение множеств использует последовательное разбиение множеств AA и BB на подмножества и построение биекции на каждом из них. Теорема Хартогса: Для любого множества существует ординал, который не имеет биекции с этим множеством, то есть существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. === Конечные множества === Множество <math>A</math> называется конечным, если оно равномощно некоторому ординалу <math>n</math>, где <math>n</math> — конечное натуральное число (или <math>0</math>). Количество элементов множества <math>A</math> — это число <math>n</math>, если можно установить биекцию между <math>A</math> и <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Почему кардинал совпадает с количеством элементов? Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Равномощность ординалу: Существует биекция <math>f: A \to n</math>, где <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Например, если <math>A = \left\{a, b, c\right\}</math>, то можно задать <math>f(a) = 0</math>, <math>f(b) = 1</math>, <math>f(c) = 2</math>, и <math>A \sim 3</math>. Мощность как наименьший ординал: Кардинальное число <math>|A|</math> — это наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Поскольку <math>A</math> равномощно <math>n</math>, нужно проверить, является ли <math>n</math> наименьшим: * Для любого ординала <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) число элементов равно <math>m</math>, что меньше <math>n</math>. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (с <math>n</math> элементами) и <math>m</math> по принципу Дирихле, так как <math>m < n</math>. Значит, <math>|m| < |n|</math>. * Следовательно, <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>, и <math>|A| = n</math>. Совпадение с количеством: Поскольку <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, а <math>|A| = n</math>, кардинальное число совпадает с количеством элементов. <u>Пример: </u> Пусть <math>A = \left\{x, y\right\}</math>. Оно равномощно <math>2 = \left\{0, 1\right\}</math>. Ординалы <math>0 = \emptyset</math> и <math>1 = \left\{0\right\}</math> имеют меньше элементов (<math>0</math> и <math>1</math> соответственно), и не равномощны <math>A</math>. Значит, <math>|A| = 2</math>, что равно числу элементов в <math>A</math>. Почему ординал совпадает с количеством элементов? Для конечных множеств ординальное число связано с их упорядочением: Упорядочение множества <u>Утверждение:</u> Если <math>A</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами, его можно хорошо упорядочить. <u>Определение:</u> Множество <math>A</math> хорошо упорядочено отношением <math>\leq</math>, если: * <math>\leq</math> — тотальный порядок (для любых <math>a, b \in A</math> либо <math>a \leq b</math>, либо <math>b \leq a</math>), * Каждое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> имеет наименьший элемент (существует <math>s_0 \in S</math>, такое что <math>s_0 \leq s</math> для всех <math>s \in S</math>). <u>Доказательство для конечных множеств:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> — конечное множество с <math>n</math> элементами. Зададим порядок: <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Это линейный порядок, так как он тотальный (любые два элемента сравнимы). Проверим хорошее упорядочение: любое непустое подмножество <math>S \subseteq A</math> конечно и линейно упорядочено, значит, имеет наименьший элемент (первый элемент в заданном порядке). Например, для <math>S = {a_2, a_4}</math> наименьший элемент — <math>a_2</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> задаём порядок <math>a < b < c</math>. Любое подмножество, например <math>{b, c}</math>, имеет наименьший элемент <math>b</math>. <u>Изоморфизм с ординалом</u> <u>Утверждение:</u> Такое упорядоченное множество <math>A</math> изоморфно ординалу <math>n</math>. <u>Определение:</u> Два упорядоченных множества <math>(A, \leq_A)</math> и <math>(B, \leq_B)</math> изоморфны, если существует биекция <math>f: A \to B</math>, сохраняющая порядок: <math>a \leq_A b</math> тогда и только тогда, когда <math>f(a) \leq_B f(b)</math>. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}</math> с порядком <math>a_1 < a_2 < \cdots < a_n</math>. Ординал <math>n = {0, 1, \ldots, n-1}</math> упорядочен отношением <math>\in</math>, которое совпадает с <math><</math>: <math>0 < 1 < \cdots < n-1</math>. Зададим отображение <math>f: A \to n</math>: * <math>f(a_1) = 0</math>, * <math>f(a_2) = 1</math>, * ... * <math>f(a_n) = n-1</math>. Проверим свойства: * <math>f</math> — биекция: каждому <math>a_i</math> соответствует уникальный элемент <math>i-1</math>, и все элементы <math>{0, 1, \ldots, n-1}</math> покрыты. * <math>f</math> сохраняет порядок: если <math>a_i < a_j</math> (т.е. <math>i < j</math>), то <math>f(a_i) = i-1 < j-1 = f(a_j)</math>. Таким образом, <math>(A, <)</math> изоморфно <math>(n, <)</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> с порядком <math>a < b < c</math> задаём <math>f: a \mapsto 0</math>, <math>b \mapsto 1</math>, <math>c \mapsto 2</math>. Ординал <math>3 = {0, 1, 2}</math> имеет <math>3</math> элементов, и порядок сохраняется: <math>a < b</math> влечёт <math>0 < 1</math>. Однозначность для конечных множеств <u>Утверждение:</u> Любой порядок, приводящий к хорошему упорядочению конечного множества <math>A</math>, даёт изоморфизм с ординалом <math>n</math>, где <math>n</math> — число элементов. <u>Доказательство:</u> Пусть <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, и задано некоторое хорошее упорядочение <math>\leq</math>. Обозначим элементы <math>A</math> как <math>b_1 < b_2 < \cdots < b_n</math>. Так как <math>A</math> конечно и хорошо упорядочено, оно содержит ровно <math>n</math> элементов в строгой последовательности (без "разрывов" или бесконечных цепочек). Построим биекцию <math>g: A \to n</math>: * <math>g(b_1) = 0</math>, * <math>g(b_2) = 1</math>, * ... * <math>g(b_n) = n-1</math>. Эта биекция сохраняет порядок, так как <math>b_i < b_j</math> влечёт <math>i < j</math>, а значит <math>g(b_i) = i-1 < j-1 = g(b_j)</math>. Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует только один ординал с заданным числом элементов: <math>n</math>. Например, нет другого ординала с <math>3</math> элементами, кроме <math>3 = {0, 1, 2}</math>. <u>Пример:</u> Для <math>A = {a, b, c}</math> другой порядок, например <math>c < a < b</math>, даёт изоморфизм с <math>3</math>: <math>c \mapsto 0</math>, <math>a \mapsto 1</math>, <math>b \mapsto 2</math>. Структура остаётся той же. <u>Почему кардинал совпадает с количеством элементов?</u> <u>Доказательство:</u> Кардинал <math>|A|</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> элементов, существует биекция <math>f: A \to n</math>. Проверим, что <math>n</math> — наименьший: * Для любого <math>m < n</math> (например, <math>m = n-1</math>) ординал <math>m</math> имеет <math>m</math> элементов. Нельзя установить биекцию между <math>A</math> (<math>n</math> элементов) и <math>m</math>, так как <math>m < n</math>. * Значит, <math>|A| = n</math>. Число элементов <math>A</math> равно <math>n</math>, так как биекция с <math>n</math> нумерует все элементы. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал любого хорошего упорядочения <math>A</math> — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба равны количеству элементов <math>n</math>. <u>Вывод</u> Для конечного множества <math>A</math> с <math>n</math> элементами: Кардинал <math>|A| = n</math>, так как <math>n</math> — наименьший ординал, равномощный <math>A</math>. Ординал, соответствующий любому хорошему упорядочению <math>A</math>, — это <math>n</math>, так как <math>A</math> изоморфно <math>n</math>. Оба совпадают с количеством элементов, так как <math>n</math> — это число элементов в <math>\left\{0, 1, \ldots, n-1\right\}</math>. Таким образом, в конечном случае <math>|A| = n</math> (кардинал) и ординал упорядочения равны <math>n</math>, что соответствует числу элементов. Для конечных множеств: каждый элемент можно пронумеровать, и <math>n</math> одновременно является и ординалом (порядок), и кардиналом (размер). Для бесконечных множеств кардинал и ординал перестают совпадать с "количеством" в обычном смысле: Формулировка утверждения === Для бесконечных множеств === <u>Утверждение:</u> Для бесконечных множеств кардинальное число (кардинал) и ординальное число (ординал) ведут себя по-разному: два различных бесконечных ординала могут иметь одинаковый кардинал, а "количество элементов" в бесконечном множестве не выражается конечным числом, что делает кардинал абстрактным понятием "размера". <u>Пример для иллюстрации:</u> * Первый бесконечный ординал: <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math>. * Его кардинал: <math>|\omega| = \aleph_0</math>. * Ординал <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> имеет тот же кардинал <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>, но как ординалы <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Доказательство различия для бесконечных множеств</u> <u>Часть 1: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны</u> Покажем, что <math>\omega \neq \omega + 1</math> как ординалы. Определение: * <math>\omega = {0, 1, 2, \ldots}</math> — множество всех конечных ординалов с порядком <math>0 < 1 < 2 < \cdots</math>. * <math>\omega + 1 = {0, 1, 2, \ldots, \omega}</math> — добавлен элемент <math>\omega</math>, больший всех предыдущих: <math>0 < 1 < 2 < \cdots < \omega</math>. Свойства: * В <math>\omega</math> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, но нет наибольшего элемента (после любого <math>n</math> есть <math>n+1</math>). * В <math>\omega + 1</math> есть наибольший элемент — <math>\omega</math>, так как для всех <math>x \in \omega + 1</math> выполняется <math>x \leq \omega</math>. <u>Изоморфизм:</u> Предположим, существует биекция <math>f: \omega \to \omega + 1</math>, сохраняющая порядок. Пусть <math>f(n) = \omega</math> для некоторого <math>n \in \omega</math>. Тогда для <math>m > n</math> в <math>\omega</math> должно быть <math>f(m) > f(n) = \omega</math>, но в <math>\omega + 1</math> нет элемента больше <math>\omega</math>. Противоречие. Значит, <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> не изоморфны как упорядоченные множества, и <math>\omega \neq \omega + 1</math>. <u>Часть 2: Кардиналы <math>|\omega|</math> и <math>|\omega + 1|</math> равны</u> Покажем, что <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>. Определение <math>\aleph_0</math>: <math>\aleph_0</math> — наименьший бесконечный кардинал, равный мощности множества натуральных чисел <math>\mathbb{N} = {0, 1, 2, \ldots}</math>. Так как <math>\omega</math> равномощно <math>\mathbb{N}</math> (биекция <math>f(n) = n</math>), то <math>|\omega| = \aleph_0</math>. Биекция между <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math>: Определим <math>f: \omega \to \omega + 1</math>: * <math>f(0) = \omega</math>, * <math>f(1) = 0</math>, * <math>f(2) = 1</math>, * <math>f(3) = 2</math>, * ... * <math>f(n) = n-1</math> для <math>n \geq 1</math>. Проверим: * Инъективность: <math>f(n) = f(m)</math> влечёт либо <math>n = m = 0</math> (оба отображаются в <math>\omega</math>), либо <math>n-1 = m-1</math> для <math>n, m \geq 1</math>, то есть <math>n = m</math>. * Сюръективность: <math>\omega</math> — образ <math>0</math>, <math>0</math> — образ <math>1</math>, <math>1</math> — образ <math>2</math>, и т.д.; каждый элемент <math>\omega + 1</math> покрыт. Таким образом, <math>f</math> — биекция, и <math>|\omega| = |\omega + 1|</math>. Вывод: <math>|\omega| = \aleph_0</math>, и <math>|\omega + 1| = \aleph_0</math>. Несмотря на различие как ординалов, их кардиналы совпадают. <u>Часть 3: "Количество элементов" в бесконечном множестве</u> Для конечных множеств количество элементов — это число <math>n</math>, равное кардиналу и ординалу. Для бесконечных множеств: Нельзя пронумеровать элементы конечным числом, так как добавление элементов (как в <math>\omega + 1</math>) не меняет кардинал. Кардинал <math>\aleph_0</math> — это абстрактный "размер", не связанный с конечным подсчётом. <u>Например:</u> * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{N} \cup {a}</math> имеют одинаковый кардинал <math>\aleph_0</math>, * <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Z}</math> также имеют <math>\aleph_0</math>, несмотря на различия в структуре. <u>Интуиция</u> Ординалы: описывают порядок. <math>\omega</math> — бесконечная последовательность без конца, <math>\omega + 1</math> — та же последовательность с добавленным последним элементом. Их структура различна. Кардиналы: измеряют "размер" через равномощность. Добавление одного элемента к бесконечному множеству не меняет его кардинал, так как можно перестроить биекцию. Бесконечность: в отличие от конечных множеств, где <math>n</math> однозначно определяет и порядок, и размер, для бесконечных множеств кардинал — абстракция, не зависящая от конкретного порядка. <u>Вывод</u> Для бесконечных множеств: Ординалы <math>\omega</math> и <math>\omega + 1</math> различны, так как их упорядочения не изоморфны. Их кардиналы равны: <math>|\omega| = |\omega + 1| = \aleph_0</math>, что следует из существования биекции. "Количество элементов" не выражается конечным числом, и кардинал становится абстрактным понятием "размера", в отличие от конечных множеств, где <math>|A| = n</math> совпадает с числом элементов. Для бесконечных множеств кардинал не обязательно совпадает с их ординальной структурой, так как равномощность игнорирует порядок. 1.2 Свойства кардинальных чисел Минимальность кардинального числа: для каждого кардинала выполнено, что все ординалы, меньшие его, также являются кардинальными. Кардинальные числа как ординалы: не каждый ординал является кардинальным числом. Пример: кардинал <math>\aleph_0</math>, который соответствует мощности счётного множества, например, множества натуральных чисел. 1.3 Кардинальные числа и операции с ординалами Операции сложения, умножения, возведения в степень и сравнения кардиналов. 2. Определение кардинальных чисел через классы эквивалентности 2.1 Определение через эквивалентность мощностей множеств Кардинальные числа можно определить через классы эквивалентности по отношению к мощности множеств. Множества эквивалентны по мощности, если существует биекция между ними. 2.2 Кардинальные числа и биекции Кардинальное число множества — это класс эквивалентности всех множеств, эквивалентных по мощности данному множеству. N ~ N\{0} N ~ N\{0,...,n} 2N ~ N (часть эквивалента целому) 2N ~ 2N+1 N ~ Z N ~ Q [a, b] ~ [c, d] [a, b] ~ (a, b] [a, b] ~ (a, b) [-1, 1] ~ R (tg x) Пусть <math>C</math> — окружность на плоскости, <math>P \in C</math> — произвольная точка, а <math>C' = C \setminus {P}</math> — окружность без точки <math>P</math>. Тогда <math>C</math> и <math>C'</math> равномощны. 3. Выход за пределы ZFC 3.1 Кардинальные числа и классы Множество всех кардинальных чисел в теории ZFC не является множеством, а классом. Теорема: Множество всех кардинальных чисел не является множеством в теории ZFC. 3.2 Кардинальные числа и гипотезы Теория кардинальных чисел включает гипотезы, не поддающиеся доказательству или опровержению в рамках ZFC. Пример: Гипотеза континуума (CH). Теорема: Гипотеза континуума (CH) независима от ZFC. 4. Дальнейший план изучения кардинальных чисел 4.1 Исследование теории кардинальных чисел Изучение определения кардинальных чисел через ординалы и эквивалентности мощностей множеств. Основные кардинальные числа: <math>\aleph_0</math>, <math>\mathfrak{c}</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> и т.д. 4.2 Арифметика кардинальных чисел 4.2.1 Основные операции Сложение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> верно, что <math>\kappa_1 + \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Умножение кардинальных чисел: для двух кардиналов <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> выполняется <math>\kappa_1 \cdot \kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)</math>, если хотя бы одно из чисел — бесконечное. Возведение в степень: для кардиналов <math>\kappa</math> и <math>\lambda</math> <math>\kappa^\lambda = 2^{\kappa \cdot \lambda}</math>. 4.2.2 Особенности арифметики кардиналов Сложение и умножение бесконечных кардиналов не зависит от порядка операндов. Операции с конечными кардинальными числами зависят от их значений. 4.3 Гипотезы и теоремы Гипотеза континуума (CH) Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинальных чисел строго между <math>\aleph_0</math> и <math>\mathfrak{c}</math> (мощностью континуума). Обобщённая гипотеза континуума (GCH) Для каждого кардинала <math>\kappa</math> существует кардинал <math>\lambda</math>, который строго больше <math>\kappa</math> и меньше <math>\kappa^+</math>. Теорема Кантора Кантор доказал, что мощность множества вещественных чисел <math>\mathfrak{c}</math> строго больше, чем мощность множества натуральных чисел <math>\aleph_0</math>. Теорема Хартогса Существует наименьший кардинал, который не эквивалентен никакому меньшему ординалу. Это важная теорема в теории кардинальных чисел. Теорема о мощности декартова произведения Мощность декартова произведения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности объединения Мощность объединения двух множества равна максимуму мощностей этих множеств. Теорема о мощности степеней Мощность множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>B</math> равна мощности множества <math>B</math>, возведённой в степень мощности множества <math>A</math>. Теорема: ∣P(A)∣=∣2^A∣ Мощность множества всех подмножеств множества <math>A</math> (то есть мощность его степени) равна мощности множества всех функций от множества <math>A</math> в множество <math>{0,1}</math>, что эквивалентно <math>2^A</math>. 5. Иерархия Фон Ноймана 5.1 Определение иерархии Фон Ноймана Иерархия Фон Ноймана представляет собой способ построения множеств с помощью операций, основанных на кардинальных числах. Иерархия строится с использованием операций объединения и подмножеств, позволяя описать множества, включая все возможные подмножества. 5.2 Свойства иерархии Фон Ноймана Каждое множество в иерархии Фон Ноймана имеет мощность, соответствующую кардинальному числу. Эта иерархия включает как конечные, так и бесконечные множества, которые играют важную роль в математической логике. 6. Связь между индексами кардинальных чисел и ординалами 6.1 Индексы кардинальных чисел Кардинальные числа можно индексировать с помощью ординалов. Например, <math>\aleph_0</math>, <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math> — это кардинальные числа, индексируемые ординалами <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math> соответственно. 6.2 Связь кардиналов и ординалов Каждый ординал соответствует определённому кардиналу, и кардиналы могут быть упорядочены с использованием ординалов. Это помогает в построении моделей теории множеств, основанных на кардинальных числах. 6.3 Теорема о порядке кардиналов Кардинальные числа упорядочиваются с помощью ординалов. Например, если <math>\alpha < \beta</math>, то <math>\kappa_\alpha \leq \kappa_\beta</math>. == 12. Приложения кардинальных чисел == * Применения в математике и логике: теория графов, теория множеств, теория вероятностей. * Исследование кардинальных чисел и их связей с другими областями математики, такими как топология и алгебра. q86az3502hbmjlw63fwi1y5lnnmnz6x 0 35065 261955 261935 2025-07-10T18:17:38Z Leksey 3027 Стиль 261955 wikitext text/x-wiki {{Внимание|Данный ФАП вступит в силу 1 сентября 2025 года и заменит [[АОН/ФАП-519|ФАП-519]], который перестанет действовать}} ФАП-148 описывает порядок выдачи СЛГ на [[АОН/Типовое_ВС|типовые]] воздушные суда, а также акт соответствия (для этого в ФАП имеется порядок подтверждения соответствия конструкции ЭГВС). СЛГ выдается как отдельный документ на срок 12 месяцев. Через 12 месяцев надо получать новый "акт соответствия", при наличии которого СЛГ становится действующим еще на 12 месяцев. Акт соответствия готовит т.н. "аккредитованная организация" (создаваемая по [[АОН/ФАП-149|ФАП-149]]). В акте соответствия (конструкции ЭГВС утверженной типовой конструкции) указан номер СЛГ, для которого выдан данный акт. Действует 12 месяцев. == Процесс получения СЛГ == На выдачу СЛГ подается # акт соответствия (заключение юридического лица, аккредитованного уполномоченным органом (далее - аккредитованная организация)) # экспортный сертификат летной годности <13> с указанием сертификата типа ВС, двигателей, воздушных винтов или эквивалентный ему документ для вновь изготовленных ВС # отчет о соответствии экземпляра ВС программе технического обслуживания (регламенту технического обслуживания), содержащий данные о выполнении каждой работы по техническому обслуживанию, указанной в программе технического обслуживания (регламенте технического обслуживания) и данные о следующем планируемом выполнении указанных работ по техническому обслуживанию; # отчет о выполнении директив летной годности на ВС, включая установленные на ВС двигатели, вспомогательные силовые установки (далее - ВСУ), воздушные винты и компоненты, содержащий данные о применимости и выполнении каждой директивы летной годности, изданной авиационной администрацией государства разработчика ВС, а также изданной либо признанной уполномоченным органом # отчет об изменениях типовой конструкции ВС, включая изменения в соответствии с условиями дополнительных сертификатов типа <15>, сервисных бюллетеней и технических заданий # документы, подтверждающие наличие ВС у заявителя на праве собственности, на условиях аренды или иных законных основаниях # копия разрешения на бортовые радиостанции <18>, если ВС оборудовано радиоаппаратурой; == Старые СЛГ == Старые СЛГ (выданные по старому ФАП-519) продолжат свое действие (но не больше 12 месяцев). Но есть условие, СЛГ должен быть выдан после 1 декабря 2024 года. Либо 12 месяцев со дня инспекционного контроля, который проходил до 1 сентября 2025 (даты окончания ФАП-519). {{Цитата|Признать утратившим силу ФАП-519 (от 27 ноября 2020) Требования к летной годности Сертификаты выданные до дня вступления в силу (1 сентября 2025 года) в период с 1 июня 2024 до 30 ноября 2024 считаются действительными Сертификаты выданные до даты вступления в силу (1 сентября 2025 года) действюут в течение 12 календарных месяцев если: а) после 1 декабря 2024 года выдан СЛГ б) если акт инспекционного контроля выдан до 1 сентября 2025 года}} == Структура документа == * Приказ * Приложение 1 к Приказу Общие положения ** Приложение 1 Форма Заявка на СЛГ ** Приложение №2 Критерии соответствия ** Приложение №3 Форма Акта соответствия (Ф-4А) * Приложение №2 к Приказу = Форма СЛГ == Организация для выдачи актов соответствия == Данные организации создаются согласно [[АОН/ФАП-149|ФАП-149]]. == См. также == *[[АОН/ФАП-149|ФАП-149]] *[[АОН/Законодательство]] == Ссылки == * [http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202506020033 ФАП-148] в виде скана на publication.pravo.gov.ru * [https://www.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc&base=LAW&n=506938 В Консультанте] (доступен по расписанию) * [https://pravo.ppt.ru/prikaz/mintrans/n-148-314426 Текст] на ppt.ru {{АОН}} jgu145jbfsqx75hjrj6j7wl4i1egzhx 0 35069 261942 261919 2025-07-10T15:14:45Z Leksey 3027 Цитата 261942 wikitext text/x-wiki {{Внимание|Вступает в силу 1 сентября 2026 г. ФАП-367 заменил [[АОН/ФАП-109|ФАП-109]].}} ФАП-367 описывает процесс получения сертификата [[АОН/АТБ|АТБ]]. Помимо разных видов технического обслуживания, организация создаваемая по этому документу может иметь функцию оценки воздушных судов. В результате которой выдается т.н. "акт оценки". Также в имени этого ФАП есть слово "Часть-145". Это указывает на связь с иностранными Part-145 (существующим в США и ЕС). == Старые сертификаты == Старые бессрочные сертификаты после выхода 367 ограничены по сроку действия - "продолжают действовать до 1 сентября 2026 г." == Отличие от предшественников == Цитата с сайта Минтранса, где ФАП-367 назван ФАП-145 (видимо по ошибке, такой ФАП [[АОН/ФАП-145|существовал ранее]] и отменен был) {{Цитата|- официальную возможность делегирования части работ подрядным организациям; - самостоятельное изготовление организацией по техническому обслуживанию деталей, необходимых в процессе ТО и не предназначенных для продажи, в соответствии с эксплуатационной документацией. Кроме того, ФАП-145 устанавливает обновленный порядок теоретической авиационно-технической переподготовки специалистов, который позволит оптимизировать время отвлечения персонала от работы, а также поддерживать актуальность получаемых знаний. При этом у одобренных Росавиацией организаций по техническому обслуживанию и ремонту появляется возможность проводить такую подготовку самостоятельно. Регулирование, вводимое ФАП-145, направлено на гармонизацию действующего законодательства в части касающейся организации и выполнения технического обслуживания и ремонта авиационной техники с мировыми практиками, а также повышение качества технического обслуживания воздушных судов.}} ==См. также== * [[АОН/АТБ|АТБ]] * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] ==Ссылки== * [http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202411300007 ФАП-367] (PDF) * [https://ivo.garant.ru/#/document/411024388/paragraph/1:3 ФАП-367] (текст) {{АОН}} r3cd98hhgtx5kmj2fi66v5pyh7gqqkg 261960 261942 2025-07-10T19:32:32Z Leksey 3027 Структура 261960 wikitext text/x-wiki {{Внимание|Вступает в силу 1 сентября 2026 г. ФАП-367 заменил [[АОН/ФАП-109|ФАП-109]] и [[АОН/ФАП-120|ФАП-120]].}} ФАП-367 описывает процесс получения сертификата [[АОН/АТБ|АТБ]] и правило выполнения [[АОН/ТО|ТО]] в них. Помимо разных видов технического обслуживания, организация создаваемая по этому документу может иметь функцию оценки воздушных судов. В результате которой выдается т.н. "акт оценки". Также в имени этого ФАП есть слово "Часть-145". Это указывает на связь с иностранными Part-145 (существующим в США и ЕС). Полное название "Техническое обслуживание подлежащих обязательной сертификации ... гражданских воздушных судов, ... за исключением легких, сверхлегких ВС, не осуществляющих КВР и АР (коммерческих воздушных перевозок и авиационных работ)" <!-- подлежащие обязательной сертификации это что имеется ввиду?--> == Структура документа == * ПРИЛОЖЕНИЕ N 1 - "'''Порядок выдачи документа''', подтверждающего соответствие юрлица, ИП, осуществляющих ТО подлежащих обязательной сертификации, ГВС за исключением легких, сверхлегких гражданских воздушных судов, не осуществляющих КВП и АР, требованиям федеральных авиационных правил" * ПРИЛОЖЕНИЕ N 2 - '''Требования к юрлицам и ИП''', осуществляющим ТО подлежащих обязательной сертификации ГВС за исключением легких, сверхлегких гражданских ВС, не осуществляющих КВП и АР, и '''правила технического обслуживания''' ** Приложение №1 Свидетельство о выполненном периодическом техническом обслуживании ВС ** Приложение №2 Талон годности компонента воздушного судна * Приложение N 3 - бланк сертификата организации по ТО == Старые сертификаты == Старые бессрочные сертификаты после выхода 367 ограничены по сроку действия - "продолжают действовать до 1 сентября 2026 г." == Отличие от предшественников == Цитата с сайта Минтранса, где ФАП-367 назван ФАП-145 (видимо по ошибке, такой ФАП [[АОН/ФАП-145|существовал ранее]] и отменен был) {{Цитата|- официальную возможность делегирования части работ подрядным организациям; - самостоятельное изготовление организацией по техническому обслуживанию деталей, необходимых в процессе ТО и не предназначенных для продажи, в соответствии с эксплуатационной документацией. Кроме того, ФАП устанавливает обновленный порядок теоретической авиационно-технической переподготовки специалистов, который позволит оптимизировать время отвлечения персонала от работы, а также поддерживать актуальность получаемых знаний. При этом у одобренных Росавиацией организаций по техническому обслуживанию и ремонту появляется возможность проводить такую подготовку самостоятельно. Регулирование, вводимое ФАП-145, направлено на гармонизацию действующего законодательства в части касающейся организации и выполнения технического обслуживания и ремонта авиационной техники с мировыми практиками, а также повышение качества технического обслуживания воздушных судов.}} ==См. также== * [[АОН/АТБ|АТБ]] * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] ==Ссылки== * [http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202411300007 ФАП-367] (PDF) * [https://ivo.garant.ru/#/document/411024388/paragraph/1:3 ФАП-367] (текст) {{АОН}} lq7r3259a7okiuj656cq3syx8yw7jlw 0 35070 261978 261903 2025-07-11T00:05:40Z Leksey 3027 Оформление 261978 wikitext text/x-wiki {{Внимание|С 1 марта 2024 г. прекратил свое действие после выхода [[АОН/ФАП-109|ФАП-109]]}} ФАП-285 по созданию [[АОН/АТБ]]. По данному ФАП выдавался сертификат АТБ. . Полное название - "Требования к юридическим лицам, индивидуальным предпринимателям, осуществляющим техническое обслуживание гражданских воздушных судов". == См. также== * [[АОН/АТБ|АТБ]] * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] == Ссылки == *[https://base.garant.ru/71227460/ ФАП-285] текст *[http://ivo.garant.ru/#/document/71227460/paragraph/1:3 ФАП-285] в Гаранте (недоступен бесплатно) {{АОН}} jopljwagcujfe565aulk2vy123i1tg1 261979 261978 2025-07-11T00:07:48Z Leksey 3027 "А4" 261979 wikitext text/x-wiki {{Внимание|С 1 марта 2024 г. прекратил свое действие после выхода [[АОН/ФАП-109|ФАП-109]]}} ФАП-285 по созданию [[АОН/АТБ]]. По данному ФАП выдавался сертификат АТБ. . Полное название - "Требования к юридическим лицам, индивидуальным предпринимателям, осуществляющим техническое обслуживание гражданских воздушных судов". == Специализация == Вид работ, которые может выполнять АТБ указывался явно. Для аэростатов указывается "А4". {{Цитата|В строке разрешений категории "А" в разделе "ограничения" указываются типы гражданских воздушных судов, техническое обслуживание которых разрешено. Разрешение "А1" позволяет проводить техническое обслуживание гражданских воздушных судов с любым максимальным взлетным весом более 5700 кг, разрешение "А2" позволяет производить техническое обслуживание гражданских воздушных судов с максимальным взлетным весом 5700 кг и менее, разрешение "A3" позволяет производить техническое обслуживание вертолетов, разрешение "А4" позволяет производить техническое обслуживание гражданских воздушных судов, не предусмотренных разрешениями "А1", "А2" и "A3".}} == См. также== * [[АОН/АТБ|АТБ]] * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] == Ссылки == *[https://base.garant.ru/71227460/ ФАП-285] текст *[http://ivo.garant.ru/#/document/71227460/paragraph/1:3 ФАП-285] в Гаранте (недоступен бесплатно) {{АОН}} tjvy6yddr6q4kslowwjb0eqw4brkgpv 261981 261979 2025-07-11T03:28:44Z Leksey 3027 Виды работ 261981 wikitext text/x-wiki {{Внимание|С 1 марта 2024 г. прекратил свое действие после выхода [[АОН/ФАП-109|ФАП-109]]}} ФАП-285 по созданию [[АОН/АТБ]]. По данному ФАП выдавался сертификат АТБ. . Полное название - "Требования к юридическим лицам, индивидуальным предпринимателям, осуществляющим техническое обслуживание гражданских воздушных судов". == Специализация == Вид работ, которые может выполнять АТБ указывался явно. Для аэростатов указывается "А4". {{Цитата|В строке разрешений категории "А" в разделе "ограничения" указываются типы гражданских воздушных судов, техническое обслуживание которых разрешено. Разрешение "А1" позволяет проводить техническое обслуживание гражданских воздушных судов с любым максимальным взлетным весом более 5700 кг, разрешение "А2" позволяет производить техническое обслуживание гражданских воздушных судов с максимальным взлетным весом 5700 кг и менее, разрешение "A3" позволяет производить техническое обслуживание вертолетов, разрешение "А4" позволяет производить техническое обслуживание гражданских воздушных судов, не предусмотренных разрешениями "А1", "А2" и "A3".}} Виды работ по техническому обслуживанию: {{Цитата| * Оперативное техническое обслуживание (ОТО) - работы по ТО, выполняемые для подготовки воздушного судна к полету. Оперативное ТО может включать: поиск и устранение отказов и неисправностей, замену компонентов, включая двигатели, ВСУ и воздушные винты, плановые работы по ТО, включая визуальные осмотры конструкции воздушного судна, работы по ее обслуживанию либо ее систем и силовой установки с доступом через панели и люки, а также несущественный ремонт и модификации, которые не требуют существенной разборки и могут быть выполнены с применением простейшего оборудования и инструмента. * Периодическое техническое обслуживание (ПТО) - работы по ТО, которые не относятся к оперативному.}} == См. также== * [[АОН/АТБ|АТБ]] * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] == Ссылки == *[https://base.garant.ru/71227460/ ФАП-285] текст *[http://ivo.garant.ru/#/document/71227460/paragraph/1:3 ФАП-285] в Гаранте (недоступен бесплатно) {{АОН}} 3kau2tq46cf31d0lbhuuv1q5phyi6c9 0 35073 261940 2025-07-10T15:07:58Z Leksey 3027 Создание 261940 wikitext text/x-wiki {{Внимание|ФАП-145 прекратил действие с выходом [[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] (также уже отмененным)}} ФАП-145 определял выдачу сертификата [[АОН/АТБ]]. == Путаница = В новостной публикации на сайте Минтранса в 2024 году<ref>https://mintrans.gov.ru/press-center/news/11638</ref> ФАПом-145 назнан новый [[АОН/ФАП-367]]. == Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} kb79fqx2peu6uvmmwsvlo1k5in6aeze 261941 261940 2025-07-10T15:10:34Z Leksey 3027 Дополнение 261941 wikitext text/x-wiki {{Внимание|ФАП-145 прекратил действие с выходом [[АОН/ФАП-285|ФАП-285]] (также уже отмененным)}} ФАП-145 определял выдачу сертификата [[АОН/АТБ]]. == Путаница потенциальная == В новостной публикации на сайте Минтранса в 2024 году<ref>https://mintrans.gov.ru/press-center/news/11638</ref> ФАПом-145 назнан новый [[АОН/ФАП-367]]. Кроме того, ФАП-145 действительно можно перепутать с Part-145 (это второе название [[АОН/ФАП-367]]). == Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} qa5hw9r2bxlvkj9pikh96iojridhmty 2 35074 261944 2025-07-10T15:19:20Z Alexsmail 1129 d 261944 wikitext text/x-wiki d 717aqvbu0bhwock9wsh9ltkkaebq6wk 261946 261944 2025-07-10T15:28:48Z Alexsmail 1129 п 261946 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. e1sl4d1mmjmb9t30j8yuwnmsahuen33 261947 261946 2025-07-10T15:45:21Z Alexsmail 1129 /* Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы */ ы 261947 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв русского алфавита, то <math>\text{а} \in V</math>, но <math>\text{б} \notin V</math>. dkegbzilzm630jdhomqby1neuke2d24 261948 261947 2025-07-10T15:46:29Z Alexsmail 1129 /* Основополагающие понятия */ п 261948 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв русского алфавита, то <math>а \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. 17uqsbh217yxqjmmnazkorffl32ooyy 261949 261948 2025-07-10T15:47:33Z Alexsmail 1129 /* Основополагающие понятия */ а 261949 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. crv8p65fllncutvb9f3hu3p8cb9h4d7 261950 261949 2025-07-10T15:49:51Z Alexsmail 1129 /* Основополагающие понятия */ ы 261950 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''Принцип объёмности.''' Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, каждый элемент множества <math>A</math> должен быть элементом множества <math>B</math>, и наоборот, каждый элемент множества <math>B</math> должен быть элементом множества <math>A</math>. Используя логические символы, равенство <math>A = B</math> эквивалентно утверждению: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> Например, согласно этому принципу, все три следующих множества являются одним и тем же множеством: <math>{1, 2, 3}</math>, <math>{3, 1, 2}</math> и <math>{1, 2, 2, 3, 1}</math>. d7jms8eij1nn65sdvezc4ud01wrapq1 261951 261950 2025-07-10T17:35:55Z Alexsmail 1129 s 261951 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''Принцип объёмности.''' Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, каждый элемент множества <math>A</math> должен быть элементом множества <math>B</math>, и наоборот, каждый элемент множества <math>B</math> должен быть элементом множества <math>A</math>. Используя логические символы, равенство <math>A = B</math> эквивалентно утверждению: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> Разложим это утверждение на составные части и прочтём его слева направо, как связное предложение. Начинается всё с утверждения <math>A=B</math>. Это просто констатация факта: «множество <math>A</math> равно множеству <math>B</math>». Это означает, что <math>A</math> и <math>B</math> — это два имени для одного и того же множества. Далее идёт ключевой логический символ <math>\iff</math>. Он читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Теперь посмотрим на всё, что находится в скобках справа: <math>(\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>. Это и есть формальное условие равенства. Разберём его изнутри. Символ <math>\forall x</math> называется квантором всеобщности и читается как «для любого <math>x</math>», «для всякого <math>x</math>» или «каким бы ни был объект <math>x</math>». Он задаёт область действия для последующего утверждения: оно должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, который мы только можем себе представить. Утверждение, которое должно быть верным для любого <math>x</math>, — это <math>x \in A \iff x \in B</math>. Здесь мы снова видим символ <math>\iff</math>, но теперь он связывает два условия принадлежности. Эта запись означает: «объект <math>x</math> принадлежит множеству <math>A</math> тогда и только тогда, когда объект <math>x</math> принадлежит множеству <math>B</math>». По сути, это означает, что у множеств <math>A</math> и <math>B</math> совершенно одинаковый «состав». Невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Теперь соберём всю правую часть воедино: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Это можно прочитать так: «для любого возможного объекта <math>x</math> верно, что его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>». Интуитивно это означает, что у множеств <math>A</math> и <math>B</math> в точности одни и те же элементы. Таким образом, вся аксиома целиком гласит: Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это утверждение кажется очевидным, но его важность колоссальна. Оно подчёркивает, что единственное, что определяет множество — это его содержимое (его объём). Неважно, как мы описали множество или в каком порядке перечислили его элементы. Например, пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, а <math>B = \{3, 1, 2\}</math>. Согласно аксиоме, <math>A=B</math>, потому что любой элемент, принадлежащий <math>A</math>, принадлежит и <math>B</math>, и наоборот. На практике эта аксиома даёт нам универсальный метод для доказательства равенства двух множеств. Чтобы доказать, что <math>A = B</math>, нам нужно доказать два встречных включения: * Что <math>A \subseteq B</math> (то есть для любого <math>x</math>, если <math>x \in A</math>, то <math>x \in B</math>). * Что <math>B \subseteq A</math> (то есть для любого <math>x</math>, если <math>x \in B</math>, то <math>x \in A</math>). Эти два пункта в совокупности и есть развёрнутая запись условия <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право заключить, что <math>A=B</math>. 50fdw4ebhvtr313x6xq70ch55h2csu0 261952 261951 2025-07-10T17:42:04Z Alexsmail 1129 f 261952 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. 8y60k0wtelt2qjxmfrelgv6xchaszpd 261956 261952 2025-07-10T18:31:11Z Alexsmail 1129 /* Основополагающие понятия */ d 261956 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. qfhnzpchk0a40ml0git7ui0j6y0q568 261958 261956 2025-07-10T18:55:08Z Alexsmail 1129 /* Примеры */ р 261958 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. cee6s8xcwwqoucdjmjdk47dzle6dx7i 261959 261958 2025-07-10T19:18:53Z Alexsmail 1129 /* Универсальное множество (U) и его контекстуальная зависимость */ в 261959 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. nc6htihxk4fe3xlc1ol88oc46swswy7 261961 261959 2025-07-10T20:11:44Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ d 261961 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина Из правил математической логики следует, что импликация, посылка которой ложна, всегда считается истинной, вне зависимости от истинности заключения. Поскольку посылка <math>x \in \emptyset</math> всегда ложна, вся импликация <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math> истинна для любого произвольно взятого <math>x</math>. А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Утверждение доказано. tqlbu6pd5di7xwgmmp7ach40xtuakvt 261962 261961 2025-07-10T20:17:04Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ а 261962 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math>. А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. 1e2rwurqaci5evtovnllebssmw4kn6g 261963 261962 2025-07-10T20:20:35Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ ы 261963 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' krtq04hjr64q0jde5bjmv05c2v5ad5r 261965 261963 2025-07-10T20:31:35Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ ы 261965 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. mk4ssks68fuosr4qmkpuyjf5b72nglh 261966 261965 2025-07-10T20:53:50Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ п 261966 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции. 3dn52grkq8zep0q4ko9srkjpmbd2x0k 261967 261966 2025-07-10T21:20:21Z Alexsmail 1129 /* Множество всех подмножеств (булеан) */ п 261967 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество (если оно требуется) — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. jxa2dve8yjfipk00bxwexuixlb0b24i 261970 261967 2025-07-10T21:42:08Z Alexsmail 1129 /* Операции над множествами */ ы 261970 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество (если оно требуется) — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). 6einn1ylia3c9kr3qdvatscm8gtz569 261974 261970 2025-07-10T22:59:28Z Alexsmail 1129 /* Операции над множествами */ в 261974 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). === 1 == Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций представленных выше этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно этих операций: выполняя их над элементами <math>\mathcal{P}(U)</math>, мы никогда не выйдем за его пределы. Мы докажем это утверждение для операции пересечения. Для остальных операций оно доказывается аналогично. Утверждение Если <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>, то <math>A \cap B \subseteq U</math>. Интуиция Если мы берём элементы для множеств <math>A</math> и <math>B</math> только из «большого ящика» <math>U</math>, то их общая часть (<math>A \cap B</math>) тем более будет состоять из элементов, которые лежат в этом же «большом ящике». Невозможно, отбирая общее у двух частей целого, получить нечто, что не было бы частью этого целого. Доказательство Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq U</math> 2. <math>B \subseteq U</math> Нам нужно доказать, что <math>A \cap B \subseteq U</math>. По определению подмножества, это означает, что мы должны показать истинность утверждения <math>\forall x (x \in A \cap B \implies x \in U)</math>. Воспользуемся стандартным методом: возьмём произвольный элемент <math>x</math>, предположим, что он принадлежит посылке, и докажем, что он принадлежит и заключению. Пусть <math>x</in A \cap B</math>. По определению пересечения, это означает, что <math>x \in A</math> и одновременно <math>x \in B</math>. Теперь воспользуемся нашими исходными условиями. Поскольку мы знаем, что <math>x \in A</math>, а нам дано, что <math>A \subseteq U</math>, из этого по определению подмножества следует, что <math>x \in U</math>. (Можно было бы также использовать тот факт, что <math>x \in B</math> и <math>B \subseteq U</math>, что привело бы к тому же выводу). Мы начали с предположения <math>x \in A \cap B</math> и, проделав цепочку логических шагов, пришли к выводу, что <math>x \in U</math>. Так как <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов пересечения. Следовательно, <math>A \cap B \subseteq U</math>. Ч.т.д. 43467wvq18nk6eykulnnsjwxigy0q3j 261975 261974 2025-07-10T23:08:45Z Alexsmail 1129 /* = 1 */ а 261975 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). === 1 === Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций объединения, пересечения и разности этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Замечание. Это свойство не является случайной особенностью трёх перечисленных операций. Оно присуще всем стандартным теоретико-множественным операциям, поскольку все они работают по общему поэлементному принципу. Они не создают новых элементов «из воздуха». Вместо этого, для каждого элемента <math>x</math> из универсального множества <math>U</math> они принимают решение о его включении в результирующее множество, основываясь исключительно на том, принадлежит ли этот конкретный <math>x</math> исходным множествам <math>A</math> и <math>B</math>. Для каждой операции существует своё простое логическое правило: * Для объединения <math>A \cup B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> или <math>x \in B</math>». * Для пересечения <math>A \cap B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>». * Для разности <math>A \setminus B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \notin B</math>». Доказательство. Докажем это утверждение в общем виде для любой операции, построенной по такому принципу. Пусть <math>C</math> — это множество, полученное в результате такой операции над множествами <math>A</math> и <math>B</math>, где <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Для этого возьмём произвольный элемент <math>x \in C</math>. По самому способу построения множества <math>C</math>, элемент <math>x</math> мог быть включён в него только после того, как для него было проверено некоторое логическое условие, связанное с его принадлежностью к <math>A</math> и <math>B</math>. Но сама возможность такой проверки означает, что <math>x</math> рассматривался как «кандидат» на включение. Единственным источником таких «кандидатов» является универсальное множество <math>U</math>. Следовательно, если <math>x \in C</math>, то этот <math>x</math> изначально был взят из <math>U</math>. Это доказывает, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>, а значит, <math>C \subseteq U</math>. Совокупность всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> вместе с такими замкнутыми операциями образует важную математическую структуру, известную как алгебра множеств ouv94pfwu38mhp8o7wipcma521vvuol 261976 261975 2025-07-10T23:23:29Z Alexsmail 1129 /* Операции над множествами */ в 261976 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> === 1 === Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций объединения, пересечения и разности этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Замечание. Это свойство не является случайной особенностью трёх перечисленных операций. Оно присуще всем стандартным теоретико-множественным операциям, поскольку все они работают по общему поэлементному принципу. Они не создают новых элементов «из воздуха». Вместо этого, для каждого элемента <math>x</math> из универсального множества <math>U</math> они принимают решение о его включении в результирующее множество, основываясь исключительно на том, принадлежит ли этот конкретный <math>x</math> исходным множествам <math>A</math> и <math>B</math>. Для каждой операции существует своё простое логическое правило: * Для объединения <math>A \cup B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> или <math>x \in B</math>». * Для пересечения <math>A \cap B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>». * Для разности <math>A \setminus B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \notin B</math>». Доказательство. Докажем это утверждение в общем виде для любой операции, построенной по такому принципу. Пусть <math>C</math> — это множество, полученное в результате такой операции над множествами <math>A</math> и <math>B</math>, где <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Для этого возьмём произвольный элемент <math>x \in C</math>. По самому способу построения множества <math>C</math>, элемент <math>x</math> мог быть включён в него только после того, как для него было проверено некоторое логическое условие, связанное с его принадлежностью к <math>A</math> и <math>B</math>. Но сама возможность такой проверки означает, что <math>x</math> рассматривался как «кандидат» на включение. Единственным источником таких «кандидатов» является универсальное множество <math>U</math>. Следовательно, если <math>x \in C</math>, то этот <math>x</math> изначально был взят из <math>U</math>. Это доказывает, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>, а значит, <math>C \subseteq U</math>. Совокупность всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> вместе с такими замкнутыми операциями образует важную математическую структуру, известную как алгебра множеств o5lj21rnlpdpl5ar2fhq7dvmieezkfs 261985 261976 2025-07-11T10:16:13Z Alexsmail 1129 /* Пересечением */ в 261985 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. [[File:Venn10.svg| Дополнение круга ]] '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. === 1 === Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций объединения, пересечения и разности этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Замечание. Это свойство не является случайной особенностью трёх перечисленных операций. Оно присуще всем стандартным теоретико-множественным операциям, поскольку все они работают по общему поэлементному принципу. Они не создают новых элементов «из воздуха». Вместо этого, для каждого элемента <math>x</math> из универсального множества <math>U</math> они принимают решение о его включении в результирующее множество, основываясь исключительно на том, принадлежит ли этот конкретный <math>x</math> исходным множествам <math>A</math> и <math>B</math>. Для каждой операции существует своё простое логическое правило: * Для объединения <math>A \cup B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> или <math>x \in B</math>». * Для пересечения <math>A \cap B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>». * Для разности <math>A \setminus B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \notin B</math>». Доказательство. Докажем это утверждение в общем виде для любой операции, построенной по такому принципу. Пусть <math>C</math> — это множество, полученное в результате такой операции над множествами <math>A</math> и <math>B</math>, где <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Для этого возьмём произвольный элемент <math>x \in C</math>. По самому способу построения множества <math>C</math>, элемент <math>x</math> мог быть включён в него только после того, как для него было проверено некоторое логическое условие, связанное с его принадлежностью к <math>A</math> и <math>B</math>. Но сама возможность такой проверки означает, что <math>x</math> рассматривался как «кандидат» на включение. Единственным источником таких «кандидатов» является универсальное множество <math>U</math>. Следовательно, если <math>x \in C</math>, то этот <math>x</math> изначально был взят из <math>U</math>. Это доказывает, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>, а значит, <math>C \subseteq U</math>. Совокупность всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> вместе с такими замкнутыми операциями образует важную математическую структуру, известную как алгебра множеств ma7zcqzt5yt0ma21z51t9p8t2deuu6x 261986 261985 2025-07-11T10:17:32Z Alexsmail 1129 /* Дополнение */ ы 261986 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга]] '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. === 1 === Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций объединения, пересечения и разности этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Замечание. Это свойство не является случайной особенностью трёх перечисленных операций. Оно присуще всем стандартным теоретико-множественным операциям, поскольку все они работают по общему поэлементному принципу. Они не создают новых элементов «из воздуха». Вместо этого, для каждого элемента <math>x</math> из универсального множества <math>U</math> они принимают решение о его включении в результирующее множество, основываясь исключительно на том, принадлежит ли этот конкретный <math>x</math> исходным множествам <math>A</math> и <math>B</math>. Для каждой операции существует своё простое логическое правило: * Для объединения <math>A \cup B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> или <math>x \in B</math>». * Для пересечения <math>A \cap B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>». * Для разности <math>A \setminus B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \notin B</math>». Доказательство. Докажем это утверждение в общем виде для любой операции, построенной по такому принципу. Пусть <math>C</math> — это множество, полученное в результате такой операции над множествами <math>A</math> и <math>B</math>, где <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Для этого возьмём произвольный элемент <math>x \in C</math>. По самому способу построения множества <math>C</math>, элемент <math>x</math> мог быть включён в него только после того, как для него было проверено некоторое логическое условие, связанное с его принадлежностью к <math>A</math> и <math>B</math>. Но сама возможность такой проверки означает, что <math>x</math> рассматривался как «кандидат» на включение. Единственным источником таких «кандидатов» является универсальное множество <math>U</math>. Следовательно, если <math>x \in C</math>, то этот <math>x</math> изначально был взят из <math>U</math>. Это доказывает, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>, а значит, <math>C \subseteq U</math>. Совокупность всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> вместе с такими замкнутыми операциями образует важную математическую структуру, известную как алгебра множеств 1c149u48h0jqymck514e4y35bw9jkp5 261987 261986 2025-07-11T10:19:48Z Alexsmail 1129 /* Дополнение */ п 261987 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> === 1 === Утверждение. (О замкнутости относительно операций) Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества некоторого универсального множества <math>U</math>. Тогда результаты операций объединения, пересечения и разности этих множеств также являются подмножествами <math>U</math>. Интуиция: Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Замечание. Это свойство не является случайной особенностью трёх перечисленных операций. Оно присуще всем стандартным теоретико-множественным операциям, поскольку все они работают по общему поэлементному принципу. Они не создают новых элементов «из воздуха». Вместо этого, для каждого элемента <math>x</math> из универсального множества <math>U</math> они принимают решение о его включении в результирующее множество, основываясь исключительно на том, принадлежит ли этот конкретный <math>x</math> исходным множествам <math>A</math> и <math>B</math>. Для каждой операции существует своё простое логическое правило: * Для объединения <math>A \cup B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> или <math>x \in B</math>». * Для пересечения <math>A \cap B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>». * Для разности <math>A \setminus B</math> правило гласит: «включить элемент <math>x</math> в результат, если <math>x \in A</math> и <math>x \notin B</math>». Доказательство. Докажем это утверждение в общем виде для любой операции, построенной по такому принципу. Пусть <math>C</math> — это множество, полученное в результате такой операции над множествами <math>A</math> и <math>B</math>, где <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Для этого возьмём произвольный элемент <math>x \in C</math>. По самому способу построения множества <math>C</math>, элемент <math>x</math> мог быть включён в него только после того, как для него было проверено некоторое логическое условие, связанное с его принадлежностью к <math>A</math> и <math>B</math>. Но сама возможность такой проверки означает, что <math>x</math> рассматривался как «кандидат» на включение. Единственным источником таких «кандидатов» является универсальное множество <math>U</math>. Следовательно, если <math>x \in C</math>, то этот <math>x</math> изначально был взят из <math>U</math>. Это доказывает, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>, а значит, <math>C \subseteq U</math>. Совокупность всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> вместе с такими замкнутыми операциями образует важную математическую структуру, известную как алгебра множеств hmctp465b250bcmop8ck04jgh1e3kiw 261988 261987 2025-07-11T11:02:08Z Alexsmail 1129 /* 1 */ п 261988 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> === Теорема о замкнутости булеана относительно операций === Мы ввели четыре базовые операции над множествами: объединение, пересечение, разность и дополнение. Все они обладают одним фундаментальным общим свойством: если применять их к подмножествам некоторого универсального множества <math>U</math>, результат никогда не выйдет за его пределы. Чтобы строго доказать это в общем виде, сперва дадим определение классу операций, для которых это свойство выполняется. '''<u>Определение:</u>''' Бинарная операция <math>\circledast</math> над подмножествами универсального множества <math>U</math> называется ''поэлементной'', если существует логическое правило <math>\mathcal{L}(p, q)</math>, зависящее от двух логических переменных, такое что для любого элемента <math>x \in U</math> принадлежность этого <math>x</math> результирующему множеству <math>A \circledast B</math> определяется исключительно истинностью утверждений <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>. Формально: <math>x \in A \circledast B \iff \mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math> Аналогично, унарная операция <math>\circledcirc</math> является поэлементной, если для неё существует правило <math>\mathcal{L}(p)</math> такое, что <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Поэлементная операция не создаёт новых сущностей. Она работает как фильтр: «пробегает» по всем элементам универсума <math>U</math> и для каждого из них, как для кандидата, принимает решение «включить» или «не включить» его в итоговое множество. Это решение основывается лишь на статусе данного элемента в исходных множествах. '''<u>Утверждение:</u>''' Операции объединения, пересечения, разности и дополнения являются поэлементными. '''<u>Доказательство:</u>''' Для каждой операции мы должны явно указать соответствующее ей логическое правило. * Объединение (<math>\cup</math>): По определению, <math>x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cup}(p, q) \equiv p \lor q</math>. * Пересечение (<math>\cap</math>): По определению, <math>x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cap}(p, q) \equiv p \land q</math>. * Разность (<math>\setminus</math>): По определению, <math>x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)</math>. Поскольку <math>x \notin B</math> является отрицанием <math>x \in B</math> (то есть <math>\neg(x \in B)</math>), это поэлементная операция с правилом <math>\mathcal{L}_{\setminus}(p, q) \equiv p \land \neg q</math>. * Дополнение (<math>^c</math>): По определению, <math>x \in A^c \iff x \notin A</math>. Это унарная поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{c}(p) \equiv \neg p</math>. Ч.т.д. Теперь мы можем сформулировать и доказать общую теорему. '''<u>Теорема</u>''' (О замкнутости <math>\mathcal{P}(U)</math> относительно поэлементных операций): Пусть <math>\circledast</math> — любая поэлементная бинарная операция, а <math>\circledcirc</math> — любая поэлементная унарная операция. Если <math>A</math> и <math>B</math> являются подмножествами универсального множества <math>U</math>, то и результаты операций <math>A \circledast B</math> и <math>\circledcirc A</math> также являются подмножествами <math>U</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно таких операций. '''<u>Доказательство:</u>''' 1. Сначала докажем эту теорему для бинарной поэлементной операции <math>\circledast</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = A \circledast B</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>\mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math> и <math>B</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. 2. Теперь докажем эту теорему для унарной поэлементной операции <math>\circledcirc</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = \circledcirc A</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. Ч.т.д. <u>Замечание о многократном применении операций</u>: Теорема доказывает, что результат поэлементной операции над подмножествами <math>U</math> сам является подмножеством <math>U</math>. Это означает, что мы можем применять такие операции многократно, и результат никогда не покинет множество <math>\mathcal{P}(U)</math>. Например, выражение <math>(A \circledast B) \circledast C</math> корректно определено, поскольку сначала вычисляется <math>D = A \circledast B</math>, который, согласно теореме, является подмножеством <math>U</math>, а затем вычисляется <math>D \circledast C</math>. Однако запись вида <math>A_1 \circledast A_2 \circledast \dots \circledast A_n</math> без скобок является осмысленной и однозначной только для тех операций, которые обладают свойством ассоциативности, т.е. такой, что результат вычисления не зависит от того как именно были расставлены скобки. Мы подробно это разберём чуть позже. 0wcokrxg9117gm24kqpotd1o82jrsdk 261989 261988 2025-07-11T11:02:57Z Alexsmail 1129 /* Теорема о замкнутости булеана относительно операций */ п 261989 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> ==== Теорема о замкнутости булеана относительно операций ==== Мы ввели четыре базовые операции над множествами: объединение, пересечение, разность и дополнение. Все они обладают одним фундаментальным общим свойством: если применять их к подмножествам некоторого универсального множества <math>U</math>, результат никогда не выйдет за его пределы. Чтобы строго доказать это в общем виде, сперва дадим определение классу операций, для которых это свойство выполняется. '''<u>Определение:</u>''' Бинарная операция <math>\circledast</math> над подмножествами универсального множества <math>U</math> называется ''поэлементной'', если существует логическое правило <math>\mathcal{L}(p, q)</math>, зависящее от двух логических переменных, такое что для любого элемента <math>x \in U</math> принадлежность этого <math>x</math> результирующему множеству <math>A \circledast B</math> определяется исключительно истинностью утверждений <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>. Формально: <math>x \in A \circledast B \iff \mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math> Аналогично, унарная операция <math>\circledcirc</math> является поэлементной, если для неё существует правило <math>\mathcal{L}(p)</math> такое, что <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Поэлементная операция не создаёт новых сущностей. Она работает как фильтр: «пробегает» по всем элементам универсума <math>U</math> и для каждого из них, как для кандидата, принимает решение «включить» или «не включить» его в итоговое множество. Это решение основывается лишь на статусе данного элемента в исходных множествах. '''<u>Утверждение:</u>''' Операции объединения, пересечения, разности и дополнения являются поэлементными. '''<u>Доказательство:</u>''' Для каждой операции мы должны явно указать соответствующее ей логическое правило. * Объединение (<math>\cup</math>): По определению, <math>x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cup}(p, q) \equiv p \lor q</math>. * Пересечение (<math>\cap</math>): По определению, <math>x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cap}(p, q) \equiv p \land q</math>. * Разность (<math>\setminus</math>): По определению, <math>x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)</math>. Поскольку <math>x \notin B</math> является отрицанием <math>x \in B</math> (то есть <math>\neg(x \in B)</math>), это поэлементная операция с правилом <math>\mathcal{L}_{\setminus}(p, q) \equiv p \land \neg q</math>. * Дополнение (<math>^c</math>): По определению, <math>x \in A^c \iff x \notin A</math>. Это унарная поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{c}(p) \equiv \neg p</math>. Ч.т.д. Теперь мы можем сформулировать и доказать общую теорему. '''<u>Теорема</u>''' (О замкнутости <math>\mathcal{P}(U)</math> относительно поэлементных операций): Пусть <math>\circledast</math> — любая поэлементная бинарная операция, а <math>\circledcirc</math> — любая поэлементная унарная операция. Если <math>A</math> и <math>B</math> являются подмножествами универсального множества <math>U</math>, то и результаты операций <math>A \circledast B</math> и <math>\circledcirc A</math> также являются подмножествами <math>U</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно таких операций. '''<u>Доказательство:</u>''' 1. Сначала докажем эту теорему для бинарной поэлементной операции <math>\circledast</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = A \circledast B</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>\mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math> и <math>B</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. 2. Теперь докажем эту теорему для унарной поэлементной операции <math>\circledcirc</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = \circledcirc A</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. Ч.т.д. <u>Замечание о многократном применении операций</u>: Теорема доказывает, что результат поэлементной операции над подмножествами <math>U</math> сам является подмножеством <math>U</math>. Это означает, что мы можем применять такие операции многократно, и результат никогда не покинет множество <math>\mathcal{P}(U)</math>. Например, выражение <math>(A \circledast B) \circledast C</math> корректно определено, поскольку сначала вычисляется <math>D = A \circledast B</math>, который, согласно теореме, является подмножеством <math>U</math>, а затем вычисляется <math>D \circledast C</math>. Однако запись вида <math>A_1 \circledast A_2 \circledast \dots \circledast A_n</math> без скобок является осмысленной и однозначной только для тех операций, которые обладают свойством ассоциативности, т.е. такой, что результат вычисления не зависит от того как именно были расставлены скобки. Мы подробно это разберём чуть позже. 3ky3s62al3eun7m6afackovfjszqa97 261991 261989 2025-07-11T11:19:11Z Alexsmail 1129 /* Операции над множествами */ ы 261991 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> ==== Теорема о замкнутости булеана относительно операций ==== Мы ввели четыре базовые операции над множествами: объединение, пересечение, разность и дополнение. Все они обладают одним фундаментальным общим свойством: если применять их к подмножествам некоторого универсального множества <math>U</math>, результат никогда не выйдет за его пределы. Чтобы строго доказать это в общем виде, сперва дадим определение классу операций, для которых это свойство выполняется. '''<u>Определение:</u>''' Бинарная операция <math>\circledast</math> над подмножествами универсального множества <math>U</math> называется ''поэлементной'', если существует логическое правило <math>\mathcal{L}(p, q)</math>, зависящее от двух логических переменных, такое что для любого элемента <math>x \in U</math> принадлежность этого <math>x</math> результирующему множеству <math>A \circledast B</math> определяется исключительно истинностью утверждений <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>. Формально: <math>x \in A \circledast B \iff \mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math> Аналогично, унарная операция <math>\circledcirc</math> является поэлементной, если для неё существует правило <math>\mathcal{L}(p)</math> такое, что <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Поэлементная операция не создаёт новых сущностей. Она работает как фильтр: «пробегает» по всем элементам универсума <math>U</math> и для каждого из них, как для кандидата, принимает решение «включить» или «не включить» его в итоговое множество. Это решение основывается лишь на статусе данного элемента в исходных множествах. '''<u>Утверждение:</u>''' Операции объединения, пересечения, разности и дополнения являются поэлементными. '''<u>Доказательство:</u>''' Для каждой операции мы должны явно указать соответствующее ей логическое правило. * Объединение (<math>\cup</math>): По определению, <math>x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cup}(p, q) \equiv p \lor q</math>. * Пересечение (<math>\cap</math>): По определению, <math>x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cap}(p, q) \equiv p \land q</math>. * Разность (<math>\setminus</math>): По определению, <math>x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)</math>. Поскольку <math>x \notin B</math> является отрицанием <math>x \in B</math> (то есть <math>\neg(x \in B)</math>), это поэлементная операция с правилом <math>\mathcal{L}_{\setminus}(p, q) \equiv p \land \neg q</math>. * Дополнение (<math>^c</math>): По определению, <math>x \in A^c \iff x \notin A</math>. Это унарная поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{c}(p) \equiv \neg p</math>. Ч.т.д. Теперь мы можем сформулировать и доказать общую теорему. '''<u>Теорема</u>''' (О замкнутости <math>\mathcal{P}(U)</math> относительно поэлементных операций): Пусть <math>\circledast</math> — любая поэлементная бинарная операция, а <math>\circledcirc</math> — любая поэлементная унарная операция. Если <math>A</math> и <math>B</math> являются подмножествами универсального множества <math>U</math>, то и результаты операций <math>A \circledast B</math> и <math>\circledcirc A</math> также являются подмножествами <math>U</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно таких операций. '''<u>Доказательство:</u>''' 1. Сначала докажем эту теорему для бинарной поэлементной операции <math>\circledast</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = A \circledast B</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>\mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math> и <math>B</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. 2. Теперь докажем эту теорему для унарной поэлементной операции <math>\circledcirc</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = \circledcirc A</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. Ч.т.д. <u>Замечание о многократном применении операций</u>: Теорема доказывает, что результат поэлементной операции над подмножествами <math>U</math> сам является подмножеством <math>U</math>. Это означает, что мы можем применять такие операции многократно, и результат никогда не покинет множество <math>\mathcal{P}(U)</math>. Например, выражение <math>(A \circledast B) \circledast C</math> корректно определено, поскольку сначала вычисляется <math>D = A \circledast B</math>, который, согласно теореме, является подмножеством <math>U</math>, а затем вычисляется <math>D \circledast C</math>. Однако запись вида <math>A_1 \circledast A_2 \circledast \dots \circledast A_n</math> без скобок является осмысленной и однозначной только для тех операций, которые обладают свойством ассоциативности, т.е. такой, что результат вычисления не зависит от того как именно были расставлены скобки. Мы подробно это разберём чуть позже. === Некоторые законы алгебры множеств === luwr5tjleue1khe7nvv9nz3ht96p9sf 261992 261991 2025-07-11T11:38:39Z Alexsmail 1129 /* Некоторые законы алгебры множеств */ в 261992 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Утверждение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> ==== Теорема о замкнутости булеана относительно операций ==== Мы ввели четыре базовые операции над множествами: объединение, пересечение, разность и дополнение. Все они обладают одним фундаментальным общим свойством: если применять их к подмножествам некоторого универсального множества <math>U</math>, результат никогда не выйдет за его пределы. Чтобы строго доказать это в общем виде, сперва дадим определение классу операций, для которых это свойство выполняется. '''<u>Определение:</u>''' Бинарная операция <math>\circledast</math> над подмножествами универсального множества <math>U</math> называется ''поэлементной'', если существует логическое правило <math>\mathcal{L}(p, q)</math>, зависящее от двух логических переменных, такое что для любого элемента <math>x \in U</math> принадлежность этого <math>x</math> результирующему множеству <math>A \circledast B</math> определяется исключительно истинностью утверждений <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>. Формально: <math>x \in A \circledast B \iff \mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math> Аналогично, унарная операция <math>\circledcirc</math> является поэлементной, если для неё существует правило <math>\mathcal{L}(p)</math> такое, что <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Поэлементная операция не создаёт новых сущностей. Она работает как фильтр: «пробегает» по всем элементам универсума <math>U</math> и для каждого из них, как для кандидата, принимает решение «включить» или «не включить» его в итоговое множество. Это решение основывается лишь на статусе данного элемента в исходных множествах. '''<u>Утверждение:</u>''' Операции объединения, пересечения, разности и дополнения являются поэлементными. '''<u>Доказательство:</u>''' Для каждой операции мы должны явно указать соответствующее ей логическое правило. * Объединение (<math>\cup</math>): По определению, <math>x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cup}(p, q) \equiv p \lor q</math>. * Пересечение (<math>\cap</math>): По определению, <math>x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cap}(p, q) \equiv p \land q</math>. * Разность (<math>\setminus</math>): По определению, <math>x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)</math>. Поскольку <math>x \notin B</math> является отрицанием <math>x \in B</math> (то есть <math>\neg(x \in B)</math>), это поэлементная операция с правилом <math>\mathcal{L}_{\setminus}(p, q) \equiv p \land \neg q</math>. * Дополнение (<math>^c</math>): По определению, <math>x \in A^c \iff x \notin A</math>. Это унарная поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{c}(p) \equiv \neg p</math>. Ч.т.д. Теперь мы можем сформулировать и доказать общую теорему. '''<u>Теорема</u>''' (О замкнутости <math>\mathcal{P}(U)</math> относительно поэлементных операций): Пусть <math>\circledast</math> — любая поэлементная бинарная операция, а <math>\circledcirc</math> — любая поэлементная унарная операция. Если <math>A</math> и <math>B</math> являются подмножествами универсального множества <math>U</math>, то и результаты операций <math>A \circledast B</math> и <math>\circledcirc A</math> также являются подмножествами <math>U</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно таких операций. '''<u>Доказательство:</u>''' 1. Сначала докажем эту теорему для бинарной поэлементной операции <math>\circledast</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = A \circledast B</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>\mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math> и <math>B</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. 2. Теперь докажем эту теорему для унарной поэлементной операции <math>\circledcirc</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = \circledcirc A</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. Ч.т.д. <u>Замечание о многократном применении операций</u>: Теорема доказывает, что результат поэлементной операции над подмножествами <math>U</math> сам является подмножеством <math>U</math>. Это означает, что мы можем применять такие операции многократно, и результат никогда не покинет множество <math>\mathcal{P}(U)</math>. Например, выражение <math>(A \circledast B) \circledast C</math> корректно определено, поскольку сначала вычисляется <math>D = A \circledast B</math>, который, согласно теореме, является подмножеством <math>U</math>, а затем вычисляется <math>D \circledast C</math>. Однако запись вида <math>A_1 \circledast A_2 \circledast \dots \circledast A_n</math> без скобок является осмысленной и однозначной только для тех операций, которые обладают свойством ассоциативности, т.е. такой, что результат вычисления не зависит от того как именно были расставлены скобки. Мы подробно это разберём чуть позже. === Некоторые законы алгебры множеств === Операции над множествами подчиняются строгим правилам, которые позволяют преобразовывать и упрощать выражения, подобно тому как законы арифметики позволяют работать с числовыми выражениями. Эти правила называются законами алгебры множеств. Начнём с базовых «правил игры», описывающих поведение операций объединения и пересечения самих по себе, без взаимодействия с другими. ==== Законы идемпотентности ==== '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливы законы идемпотентности (от лат. idem — тот же самый, potens — сильный): (1) <math>A \cup A = A</math> (2) <math>A \cap A = A</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эти законы формализуют простую идею: повторное применение операции к тому же самому множеству не даёт нового результата. Если вы к множеству добавите его же самого, итоговый набор элементов не изменится. Аналогично, если вы будете искать общие элементы множества с ним же самим, вы найдёте все его элементы. '''<u>Доказательство (1) :</u>''' Мы докажем оба равенства, используя принцип объёмности, то есть установив для каждого случая два встречных включения. Докажем первое равенство: <math>A \cup A = A</math>. Сначала установим, что <math>A \cup A \subseteq A</math>. Пусть <math>x \in A \cup A</math>. По определению объединения, это означает, что <math>x \in A</math> или <math>x \in A</math>. Это логическое утверждение равносильно тому, что <math>x \in A</math>. Поскольку любой элемент из <math>A \cup A</math> также является элементом <math>A</math>, включение доказано. Теперь докажем обратное включение: <math>A \subseteq A \cup A</math>. Пусть <math>y \in A</math>. По определению объединения, <math>y</math> будет принадлежать <math>A \cup A</math>, если <math>y \in A</math> или <math>y \in A</math>. Наше исходное условие <math>y \in A</math> тривиально удовлетворяет этому требованию. Следовательно, <math>A \subseteq A \cup A</math>. Поскольку мы доказали включения в обе стороны, <math>A \cup A = A</math>. '''<u>Доказательство (2) :</u>''' Доказательство второго равенства, <math>A \cap A = A</math>, полностью аналогично. Установим, что <math>A \cap A \subseteq A</math>. Пусть <math>x \in A \cap A</math>. По определению пересечения, это означает, что <math>x \in A</math> и <math>x \in A</math>, откуда немедленно следует, что <math>x \in A</math>. Таким образом, <math>A \cap A \subseteq A</math>. Для обратного включения <math>A \subseteq A \cap A</math>, пусть <math>y \in A</math>. Чтобы <math>y</math> принадлежал <math>A \cap A</math>, он должен удовлетворять условию <math>y \in A</math> и <math>y \in A</math>. Поскольку нам дано, что <math>y \in A</math>, это условие очевидно выполнено. Следовательно, <math>A \subseteq A \cap A</math>. Из двух доказанных включений следует равенство <math>A \cap A = A</math>. Ч.т.д. 0rv2mk40993ud5vav4n1i1fz7yaaruf 261993 261992 2025-07-11T11:41:56Z Alexsmail 1129 /* Отношение включения и множество всех подмножеств */ п 261993 wikitext text/x-wiki = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == Введение == Практически любая область современной математики — от анализа до алгебры, от топологии до теории вероятностей — изложена на одном общем языке. Этот язык — теория множеств. Чтобы понимать математику, необходимо сначала овладеть её алфавитом и грамматикой, и именно теория множеств служит этой основой. Она предоставляет строгий и универсальный способ говорить об объектах, их совокупностях и отношениях между ними. Наш путь в современную математику мы начнём с самых её истоков, с тех интуитивных идей, которые в конце XIX века заложили фундамент для всего последующего здания. === Основополагающие понятия === Первую попытку дать определение множеству предпринял основатель теории, немецкий математик Георг Кантор. Его формулировка носит нестрогий, интуитивный характер, но прекрасно передаёт основную идею. Он описал множество как «''собирание в одно целое определённых, хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».'' Говоря проще, мы будем представлять себе ''множество'' как некоторую ''коллекцию'' или ''совокупность'' объектов. Эти объекты могут быть какими угодно: числами, геометрическими фигурами, другими множествами или даже понятиями. Главное, чтобы для любого мыслимого объекта мы могли однозначно ответить на вопрос, входит он в эту совокупность или нет. В любой строгой теории есть понятия, которые принимаются как исходные, не требующие определений через другие, более простые. Невозможно дать определение абсолютно всему, иначе мы попадём в замкнутый круг определений. Эта идея не нова и не является особенностью только теории множеств. Её корни уходят вглубь истории математики, к «Началам» Евклида, которые более двух тысячелетий служили образцом строгости математического изложения. Вы уже сталкивались с этим подходом в школьном курсе геометрии, который сам является наследником системы Евклида. Такие базовые понятия, как «точка», «прямая» и «плоскость», вводились без строгих определений. Вместо этого мы полагались на интуитивное представление о них, а вся дальнейшая геометрия строилась на аксиомах, описывающих их фундаментальные свойства и отношения между ними. Например, аксиома «через любые две точки можно провести единственную прямую» как раз и устанавливает такую фундаментальную связь между объектами «точка» и «прямая». Точно так же и в теории множеств мы принимаем как первоначальные, неопределяемые следующие три понятия: * ''Множество'' — сама «совокупность». * ''Элемент'' — «объект», входящий в эту совокупность. * ''Принадлежност''ь — ''отношение'', связывающее ''множество'' и его ''элемент''. Мы не даём им формальных определений, но полагаемся на нашу интуицию, описанную выше. Весь дальнейший материал будет состоять в том, чтобы сформулировать точные правила (аксиомы), которым эти интуитивные понятия должны подчиняться. Для обозначения того, что некоторый объект <math>x</math> является элементом множества <math>A</math>, используется символ <math>\in</math>. Запись <math>x \in A</math> читается как «<math>x</math> принадлежит <math>A</math>» или «<math>x</math> является элементом множества <math>A</math>». Если объект <math>x</math> не является элементом множества <math>A</math>, мы используем тот же символ, но перечёркнутый: <math>\notin</math>. Запись <math>x \notin A</math> читается как «<math>x</math> не принадлежит <math>A</math>». Например, если <math>V</math> — это множество всех гласных букв латинского алфавита, то <math>a \in V</math>, но <math>6 \notin V</math>. Что делает одно множество равным другому? Интуиция подсказывает, что множество определяется исключительно своим составом — то есть набором элементов. Порядок, в котором мы перечисляем элементы, или то, сколько раз мы упомянули один и тот же элемент, не имеет значения. Этот фундаментальный принцип называется принципом объёмности. '''<u>Определение</u>:''' Принцип объёмности. Два множества <math>A</math> и <math>B</math> считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Это простое интуитивное правило с математической точностью выражается следующим формальным утверждением: <math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math> <u>Замечание:</u> логический символ <math>\iff</math> читается как «тогда и только тогда, когда» или «равносильно», «эквивалентно». Этот символ устанавливает жёсткую двустороннюю связь между утверждением слева от него и утверждением справа. Он говорит нам, что левая часть истинна в том и только в том случае, когда истинна правая часть. Они неразрывно связаны. Давайте разберём, что здесь сказано. Символ <math>\forall x</math> (читается «для любого <math>x</math>») означает, что последующее утверждение должно быть верным для абсолютно любого объекта <math>x</math>, какой мы только можем себе представить. Утверждение в скобках, <math>x \in A \iff x \in B</math>, говорит нам, что для этого любого объекта <math>x</math> его принадлежность множеству <math>A</math> равносильна его принадлежности множеству <math>B</math>. Проще говоря, невозможно найти такой объект, который был бы в одном множестве, но отсутствовал в другом. Они полностью совпадают по своему «содержимому». Этот принцип подчёркивает, что множество — это его «объём», а не способ, которым мы его описали. Например, множества <math>A = \{1, 2, 3\}</math>, <math>B = \{3, 1, 2\}</math> и <math>C = \{1, 2, 2, 3, 1\}</math> являются равными, так как состоят из одних и тех же элементов. Порядок и повторение при перечислении не создают нового множества. Самое главное практическое следствие этого принципа — универсальный метод доказательства равенства двух множеств. Часто множества <math>A</math> и <math>B</math> задаются совершенно по-разному, и их равенство неочевидно. Чтобы строго доказать, что <math>A=B</math>, нам нужно установить истинность двух встречных утверждений: * Каждый элемент <math>A</math> является также элементом <math>B</math> (это отношение называется включением и обозначается <math>A \subseteq B</math>). * Каждый элемент <math>B</math> является также элементом <math>A</math> (то есть <math>B \subseteq A</math>). Эти два пункта, взятые вместе, в точности равносильны условию <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Если нам удаётся доказать оба эти пункта, мы имеем полное право, ссылаясь на принцип объёмности, заключить, что <math>A=B</math>. Этот метод мы будем постоянно использовать в дальнейших доказательствах. === Способы задания множеств === Теперь, когда у нас есть базовое представление о том, что такое множество и когда два множества равны, рассмотрим два основных способа, которыми можно его задать или, как говорят, сконструировать. Для конечных множеств, содержащих не слишком много элементов, самый прямой способ — это просто перечислить все его элементы, заключив их в фигурные скобки. Например, множество <math>A</math>, состоящее из первых трёх букв латинского алфавита, записывается как <math>A = \{\text{a, b, c}\}</math>. Множество <math>C</math>, состоящее из корней уравнения <math>x^2 - 1 = 0</math>, можно задать как <math>C = \{-1, 1\}</math>. Этот способ интуитивно понятен, но его применимость ограничена: он не подходит для множеств с очень большим или бесконечным числом элементов. Более мощным и универсальным является способ задания множества через указание общего ''характеристического'' свойства, которым обладают все его элементы и не обладает ни один другой объект. То есть мы описываем правило, по которому объект включается в множество. Для этого используется следующая запись: <math>B = \{x \mid P(x)\}</math> Здесь <math>x</math> — это переменная, пробегающая все возможные объекты, а <math>P(x)</math> — это некоторое утверждение (предикат), которое для одних <math>x</math> истинно, а для других ложно. Вертикальная черта (иногда используют двоеточие) читается как «такие что». Вся конструкция читается: «<math>B</math> есть множество всех таких <math>x</math>, для которых истинно утверждение <math>P(x)</math>». Этот способ повсеместно используется в математике для описания как конечных, так и бесконечных совокупностей. ==== Примеры ==== ''1. Из арифметики:'' Множество всех чётных натуральных чисел можно описать как совокупность тех натуральных чисел, что делятся на 2 без остатка. Используя формальный язык, мы можем дать этому свойству строгое определение. '''<u>Определение</u>:''' Число <math>n</math> называется чётным, если существует такое целое число <math>k</math>, что <math>n = 2k</math>. Тогда множество <math>E</math> всех чётных натуральных чисел запишется так: <math>E = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2k\}</math> Здесь <math>\mathbb{N}</math> — это общепринятое обозначение для множества натуральных чисел <math>\{1, 2, 3, \dots\}</math>, а <math>\mathbb{Z}</math> — для множества всех целых чисел. Сама запись читается: «<math>E</math> есть множество таких элементов <math>n</math> из <math>\mathbb{N}</math>, что существует такое <math>k</math> из <math>\mathbb{Z}</math>, для которого <math>n = 2k</math>». ''2. Из геометрии'' Окружность также является множеством, определяемым свойством его точек. Если на плоскости <math>\Pi</math> задана точка-центр <math>O</math> и радиус <math>r > 0</math>, то окружность <math>S</math> — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра <math>O</math> в точности равно <math>r</math>. <math>S = \{M \in \Pi \mid d(M, O) = r\}</math> Здесь <math>d(M, O)</math> обозначает расстояние между точками <math>M</math> и <math>O</math>. ''3. Из алгебры'' При решении неравенств мы фактически ищем множество чисел, удовлетворяющих заданному свойству. Например, множество решений неравенства <math>2x+1 > 5</math> на множестве действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> можно записать как: <math>X = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x+1 > 5\}</math>. Это множество представляет собой луч: <math>(2, \infty)</math>. Этот, на первый взгляд безупречный, способ задания множеств таит в себе глубокие проблемы, которые мы обсудим в конце главы. Естественным образом возникает вопрос: что если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего заданному свойству? Например, рассмотрим множество <math>X = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 0\}</math>. Очевидно, что ни одно натуральное число не является отрицательным. В таком случае мы получаем множество, не содержащее ни одного элемента. === Пустое множество (<math>\emptyset</math>) === '''<u>Определение</u>:''' Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается оно символом <math>\emptyset</math>. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. Мы формально докажем это утверждение чуть позже. === Универсальное множество (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость === В противоположность пустому множеству, которое не содержит ничего, возникает естественный соблазн рассмотреть множество, которое содержит «абсолютно всё». Эта концепция находит своё отражение в понятии универсального множества. Однако это понятие нужно вводить с большой осторожностью. В рамках наивной теории множеств оно используется не как абсолютная совокупность всех мыслимых объектов, а как удобное ограничение для конкретной математической задачи. '''<u>Определение</u>:''' ''Универсальным'' множеством (или ''универсумом'') <math>U</math> в рамках некоторой задачи называется множество, содержащее все объекты, которые рассматриваются в контексте этой задачи. '''<u>Интуитивно</u>:''' ''универсум'' — это «фон» или «область интереса», в пределах которой мы работаем. Его состав полностью зависит от того, какую именно задачу мы решаем. Например, если мы работаем в области теории чисел, в качестве универсального множества <math>U</math> удобно взять множество всех целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Если же мы решаем задачу по планиметрии, то нашим универсумом <math>U</math> естественным образом станет множество всех точек на плоскости. В каждом случае <math>U</math> просто задаёт границы нашего рассуждения. Именно в этом пункте проходит одна из самых глубоких трещин между интуитивным и строгим подходами к теории множеств. Попытка помыслить универсальное множество не как временный контекст, а как единый, абсолютный объект — «множество всех множеств» — неизбежно приводит к логическим противоречиям, или '''парадоксам'''. Эти парадоксы стали настоящим кризисом для оснований математики и показали, что наша интуиция, какой бы надёжной она ни казалась, может нас обманывать. Они послужили главной причиной для перехода к '''аксиоматической теории множеств''', с которой мы познакомимся в следующей главе. Аксиоматический подход был разработан специально для того, чтобы исключить известные противоречия, построив теорию множеств на более надёжном фундаменте. Важно, однако, понимать, что он устраняет конкретные обнаруженные парадоксы, но не даёт абсолютной гарантии, что в самой системе аксиом не скрыты другие, пока ещё не известные нам, противоречия. Мы детально исследуем природу этих основополагающих трудностей в заключительной части этой главы. === Отношение включения и множество всех подмножеств === До сих пор мы рассматривали множества как отдельные объекты. Теперь мы введём важнейшее отношение, которое позволяет сравнивать множества между собой — отношение включения. Оно формализует интуитивное понятие «быть частью чего-то». <u>'''Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является подмножеством множества <math>B</math>, если каждый элемент множества <math>A</math> также является элементом множества <math>B</math>. Для обозначения этого отношения используется символ <math>\subseteq</math>. Запись <math>A \subseteq B</math> читается как «<math>A</math> является подмножеством <math>B</math>» или «<math>A</math> включено в <math>B</math>». Формально, это определение можно записать так: <math>A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)</math> <u>Замечание:</u> Логический символ <math>\implies</math> называется импликацией. Запись <math>p \implies q</math> читается как «если <math>p</math>, то <math>q</math>», или «из <math>p</math> следует <math>q</math>». Здесь <math>p</math> называют посылкой (или антецедентом), а <math>q</math> — заключением (или консеквентом). Это означает, что если вы возьмёте любой элемент из <math>A</math>, вы гарантированно найдёте его и в <math>B</math>. Например, если <math>A = \{1, 2\}</math> и <math>B = \{1, 2, 3\}</math>, то <math>A \subseteq B</math>, так как и 1, и 2 являются элементами <math>B</math>. В то же время, если <math>C = \{1, 4\}</math>, то <math>C</math> не является подмножеством <math>B</math> (что мы пишем как <math>C \not\subseteq B</math>), потому что в <math>C</math> есть элемент 4, которого нет в <math>B</math>. <u>Замечание:</u> Ключевое свойство импликации, которое поначалу может показаться неинтуитивным, заключается в её условиях истинности. Утверждение <math>p \implies q</math> считается ложным в одном и только одном случае: когда посылка <math>p</math> истинна, а заключение <math>q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. В частности, если посылка <math>p</math> ложна, то импликация <math>p \implies q</math> будет истинной независимо от значения <math>q</math>. Этот принцип в логике часто формулируют фразой: «из лжи следует всё что угодно». Импликация тесно связана с символом эквивалентности (или равносильности) <math>\iff</math>. Утверждение <math>p \iff q</math>, которое читается как «<math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>q</math>», по своему определению является сокращённой записью для двух встречных импликаций. Формально, эквивалентность — это конъюнкция (логическое «И», обозначаемое символом <math>\land</math>) прямой и обратной импликаций: <math>(p \iff q) </math> эквивалентно <math> (p \implies q) \land (q \implies p)</math> Это определение позволяет нам переформулировать принцип объёмности, который является аксиомой в строгой теории множеств. Эта новая формулировка станет нашим главным рабочим инструментом для доказательства равенства множеств. '''<u>Определение.</u>''' (Принцип объёмности через включения) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> равны тогда и только тогда, когда <math>A</math> является подмножеством <math>B</math> и одновременно <math>B</math> является подмножеством <math>A</math>. <math>A = B \iff (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это утверждение даёт нам универсальный рецепт для доказательства равенства двух множеств, которые могут быть заданы совершенно по-разному. Чтобы доказать, что множества <math>A</math> и <math>B</math> на самом деле один и тот же объект, нам достаточно проделать два шага: * Показать, что в множестве <math>A</math> нет ничего, чего не было бы в <math>B</math> (это и есть <math>A \subseteq B</math>). * Показать, что в множестве <math>B</math> нет ничего, чего не было бы в <math>A</math> (это и есть <math>B \subseteq A</math>). '''<u>Утверждение:</u>''' (Об эквивалентности определений равенства множеств) Два множества <math>A</math> и <math>B</math> состоят из одних и тех же элементов тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга. Формально, следующие два утверждения эквивалентны: 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эта теорема утверждает, что логическая эквивалентность «<math>\iff</math>» (которая является "улицей с двусторонним движением") может быть разложена на две импликации «<math>\implies</math>» ("улицы с односторонним движением"), направленные в противоположные стороны. Утверждение, что множества <math>A</math> и <math>B</math> имеют идентичный состав, — это то же самое, что сказать: «всё, что есть в <math>A</math>, есть и в <math>B</math>» и «всё, что есть в <math>B</math>, есть и в <math>A</math>». '''<u>Доказательство.</u>''' 1. Покажем, что из 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Нашей предпосылкой является то, что утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно для любого объекта <math>x</math>. Нам нужно доказать истинность конъюнкции <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Для этого докажем истинность каждого из её компонентов по отдельности. A) Докажем, что <math>A \subseteq B</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \implies x \in B</math>. Поскольку мы это показали для произвольного <math>x</math>, это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>A \subseteq B</math>. B. Докажем, что <math>B \subseteq A</math>. Аналогично, мы должны показать, что <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math>. Из нашей предпосылки <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math> следует, что для этого конкретного <math>x</math> утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math> истинно. Из этого, в частности, следует, что <math>x \in A \Longleftarrow x \in B</math> или, что то же самое, <math>x \in B \implies x \in A</math>. Так как это верно для произвольного <math>x</math>, то это верно для всех <math>x</math>. Таким образом, <math>B \subseteq A</math>. Поскольку мы доказали, что <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq A</math>, мы доказали и их конъюнкцию. Импликация в первую сторону доказана. 1. Покажем, что из 2. <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math> следует 1. <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Нашей предпосылкой теперь является истинность утверждения <math>(A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>. Это означает, что мы имеем в своём распоряжении два факта: * <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. * <math>B \subseteq A</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in A)</math>. Нам нужно доказать, что <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Возьмём произвольный объект <math>x</math>. Наша цель — показать, что для него истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Из <math>A \subseteq B</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in A \implies x \in B</math>. Из <math>B \subseteq A</math> мы знаем, что для нашего <math>x</math> верна импликация <math>x \in B \implies x \in A</math>. Теперь у нас есть два истинных утверждения для одного и того же <math>x</math>: <math>(x \in A \implies x \in B)</math> и <math>(x \in B \implies x \in A)</math>. Следовательно для нашего <math>x</math> истинно утверждение <math>x \in A \iff x \in B</math>. Поскольку мы доказали это для произвольно выбранного <math>x</math>, мы можем заключить, что утверждение верно для всех <math>x</math>: <math>\forall x (x \in A \iff x \in B)</math>. Импликация во вторую сторону доказана. Так как мы доказали импликации в обе стороны, эквивалентность двух формулировок полностью доказана. Ч.т.д. Иногда важно подчеркнуть, что одно множество не просто включено в другое, но и строго меньше его, то есть не совпадает с ним. '''<u>Определение:</u>''' Говорят, что множество <math>A</math> является строгим подмножеством множества <math>B</math>, если <math>A</math> является подмножеством <math>B</math>, но при этом <math>A</math> не равно <math>B</math>. Для этого используется символ <math>\subset</math>. Таким образом, запись <math>A \subset B</math> равносильна утверждению: <math>A \subseteq B \land A \ne B</math> Возвращаясь к нашему примеру, <math>\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}</math> — это истинное утверждение, так как первое множество является подмножеством второго и не равно ему. А вот утверждение <math>\{1, 2, 3\} \subset \{1, 2, 3\}</math> является ложным, поскольку множества равны. При этом нестрогое включение <math>\{1, 2, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}</math> остаётся истинным. Отношение включения обладает рядом фундаментальных свойств, которые мы будем постоянно использовать. '''<u>Утверждение</u>:''' Пустое множество единственно. '''<u>Интуиция:</u>:''' Это утверждение говорит нам, что существует только одно «ничто». Если у нас есть две коллекции, и в обеих ничего нет, то эти коллекции неразличимы и, следовательно, представляют собой один и тот же объект — пустое множество. '''<u>Доказательство:</u>''' Предположим, что существует два пустых множества. Нужно доказать, что они равны. Пусть <math>\emptyset_1</math> и <math>\emptyset_2</math> — два множества, каждое из которых является пустым. По определению пустого множества, это означает, что ни одно из них не содержит элементов. То есть, для любого объекта <math>x</math> утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> и <math>x \in \emptyset_2</math> являются ложными. Чтобы доказать, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>, нам нужно, согласно аксиоме объёмности в формулировке через включения, показать, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Докажем первое включение: <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. По определению подмножества, мы должны показать, что для любого <math>x</math> из истинности утверждения <math>x \in \emptyset_1</math> следует истинность утверждения <math>x \in \emptyset_2</math>. Формально, мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2)</math> Импликация <math>P \implies Q</math> является ложной только в одном случае: когда посылка <math>P</math> истинна, а заключение <math>Q</math> ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной. В нашем случае посылка — это утверждение <math>x \in \emptyset_1</math>. Но, как мы установили ранее, по самому определению пустого множества <math>\emptyset_1</math>, эта посылка всегда ложна, какого бы <math>x</math> мы ни взяли. Поскольку посылка никогда не может быть истинной, случай «истинная посылка и ложное заключение» невозможен. Следовательно, вся импликация <math>x \in \emptyset_1 \implies x \in \emptyset_2</math> является истинной для любого <math>x</math>. Такие утверждения, истинные в силу ложности посылки, иногда называют «истинными по пустоте» (vacuously true). Таким образом, мы доказали, что <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math>. Доказательство второго включения, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, абсолютно симметрично. Мы должны проверить истинность высказывания: <math>\forall x (x \in \emptyset_2 \implies x \in \emptyset_1)</math> Посылка <math>x \in \emptyset_2</math> всегда ложна, а значит, импликация всегда истинна. Следовательно, <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>. Поскольку мы доказали оба включения, <math>\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2</math> и <math>\emptyset_2 \subseteq \emptyset_1</math>, мы можем на основании аксиомы объёмности заключить, что <math>\emptyset_1 = \emptyset_2</math>. Это означает, что любое пустое множество равно любому другому пустому множеству, а значит, оно существует в единственном экземпляре. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливо <math>\emptyset \subseteq A</math> (включение пустого множества). '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство может показаться контринтуитивным. Чтобы понять его, давайте вспомним, что именно может нарушить утверждение <math>X \subseteq Y</math>. Оно нарушается, если мы можем найти хотя бы один элемент-«нарушитель», который живёт в <math>X</math>, но не живёт в <math>Y</math>. Теперь применим это к нашему случаю <math>\emptyset \subseteq A</math>. Чтобы это утверждение было ложным, нам нужно найти элемент-«нарушитель» — такой объект <math>x</math>, который принадлежит <math>\emptyset</math>, но не принадлежит <math>A</math>. Однако найти такой элемент невозможно, потому что в пустом множестве <math>\emptyset</math> в принципе нет никаких элементов. Раз условие включения невозможно нарушить, оно считается выполненным. '''<u>Доказательство:</u>''' Согласно определению подмножества, мы должны доказать, что утверждение <math>\forall x (x \in \emptyset \implies x \in A)</math> является истинным. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую этому <math>x</math> импликацию <math>x \in \emptyset \implies x \in A</math>. Посылка этой импликации — это утверждение <math>x \in \emptyset</math>. По определению пустого множества, утверждение <math>x \in \emptyset</math> является ложным для любого объекта <math>x</math>. Т.к. посылка ложна, импликация истина для любого произвольно взятого <math>x</math> (эта импликация «истинна по пустоте»). А это в точности и означает, что <math>\emptyset \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения рефлексивно, то есть для любого множества <math>A</math> справедливо <math>A \subseteq A</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство кажется совершенно очевидным: любое множество, без сомнения, является своим собственным подмножеством. Ведь для того, чтобы быть подмножеством, нужно лишь, чтобы все твои элементы содержались в другом множестве, а любой объект, очевидно, содержит сам себя. '''<u>Доказательство:</u>''' Нам нужно доказать, что <math>A \subseteq A</math>, что по определению подмножества эквивалентно доказательству истинности утверждения <math>\forall x (x \in A \implies x \in A)</math>. Рассмотрим произвольный объект <math>x</math> и соответствующую ему импликацию <math>x \in A \implies x \in A</math>. Это утверждение имеет логическую структуру <math>p \implies p</math>. Это тавтология или логический трюизм, оно истинно всегда. Поскольку импликация <math>x \in A \implies x \in A</math> истинна для любого объекта <math>x</math>, мы по определению заключаем, что <math>A \subseteq A</math>. Ч.т.д. '''<u>Утверждение:</u>''' Отношение включения транзитивно. То есть, для любых множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, если <math>A \subseteq B</math> и <math>B \subseteq C</math>, то <math>A \subseteq C</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Если первая матрёшка находится внутри второй, а вторая — внутри третьей, то очевидно, что первая матрёшка также находится внутри третьей. Отношение включения передаётся «по цепочке». '''<u>Доказательство:</u>''' Нам даны два условия: 1. <math>A \subseteq B</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in A \implies x \in B)</math>. 2. <math>B \subseteq C</math>, что по определению означает <math>\forall x (x \in B \implies x \in C)</math>. Нужно доказать, что <math>A \subseteq C</math>. Для этого, согласно определению, мы должны доказать <math>\forall x (x \in A \implies x \in C)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math>, такой что <math>x \in A</math>. Поскольку <math>x \in A</math> и нам дано, что <math>A \subseteq B</math>, из первого условия немедленно следует, что <math>x \in B</math>. Теперь мы установили новый факт: <math>x \in B</math>. Но нам также дано, что <math>B \subseteq C</math>. Применив второе условие к этому факту, мы получаем, что <math>x \in C</math>. Таким образом, мы построили цепочку логических шагов: начав с предположения <math>x \in A</math>, мы, используя данные нам условия, пришли к выводу, что <math>x \in C</math>. Это доказывает истинность импликации <math>x \in A \implies x \in C</math>. Поскольку элемент <math>x</math> был выбран произвольно, это рассуждение справедливо для любого элемента множества <math>A</math>. Следовательно, мы заключаем, что <math>A \subseteq C</math>. Ч.т.д. === Множество всех подмножеств (булеан) === Мы определили отношение включения и теперь можем совершить следующий важный шаг: для любого множества <math>A</math> рассмотреть совокупность всех его подмножеств как новый, самостоятельный объект. '''<u>Определение:</u>''' Множеством всех подмножеств (или булеаном) множества <math>A</math> называется множество, элементами которого являются все возможные подмножества <math>A</math>. Обозначается оно как <math>\mathcal{P}(A)</math> или <math>2^A</math>. Формальная запись этого определения выглядит так: <math>\mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\}</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Это определение требует небольшого мысленного усилия. Мы создаём новое множество, но его элементами являются не обычные объекты (как числа или точки), а сами множества. Каждый элемент булеана — это одно из подмножеств исходного множества <math>A</math>. Булеан — это своего рода «полный каталог» всех частей, которые можно выделить из <math>A</math>, включая «пустую» часть (<math>\emptyset</math>) и всё множество <math>A</math> целиком. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы эта конструкция стала более осязаемой. Начнём с простейшего случая — пустого множества. '''Пример 1.''' Пусть <math>A = \emptyset</math>. Как мы уже знаем, у этого множества есть только одно подмножество — оно само. Следовательно, булеан пустого множества содержит ровно один элемент. <math>\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}</math>. <u>Обратите внимание</u> на эту тонкость: булеан пустого множества сам по себе не является пустым, это одноэлементное множество, в котором элемент является пустым множеством. Сделаем шаг сложнее и рассмотрим одноэлементное множество. '''Пример 2:''' <math>A = \{a\}</math>. Его подмножествами являются пустое множество <math>\emptyset</math> и само множество <math>\{a\}</math>. Больше подмножеств нет. Собирая их в новое множество, получаем: <math>\mathcal{P}({a}) = \{\emptyset, \{a\}\}</math> Наконец, для множества из двух элементов. '''Пример 3:''' <math>A = \{1, 2\}</math>, мы можем найти все его подмножества, систематически перечисляя их по количеству элементов. Подмножество из нуля элементов — это <math>\emptyset</math>; подмножества из одного элемента — это <math>\{1\}</math> и <math>\{2\}</math>; и, наконец, подмножество из двух элементов — это само <math>A = \{1, 2\}</math>. Собрав их воедино, мы получим булеан: <math>\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}</math> Приведённые примеры выявляют важную закономерность, которая объясняет альтернативное обозначение булеана — <math>2^A</math>. Это обозначение несёт в себе глубокий комбинаторный смысл. '''<u>Утверждение:</u>''' Если конечное множество <math>A</math> состоит из <math>n</math> элементов (что записывают как <math>|A|=n</math>), то его булеан <math>\mathcal{P}(A)</math> состоит из <math>2^n</math> элементов, то есть <math>|\mathcal{P}(A)|=2^n</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Закономерность легко прослеживается на наших примерах: для множества из 0 элементов мы получили <math>2^0=1</math> подмножество; для множества из 1 элемента — <math>2^1=2</math> подмножества; для множества из 2 элементов — <math>2^2=4</math> подмножества. Эту закономерность можно объяснить следующим образом. Чтобы сконструировать произвольное подмножество множества <math>A</math>, мы должны для каждого из его <math>n</math> элементов принять одно из двух решений: либо мы '''включаем''' этот элемент в наше подмножество, либо не '''включаем'''. У нас есть ровно два варианта для первого элемента, два варианта для второго, и так далее до <math>n</math>-го элемента. Поскольку эти выборы независимы, общее число различных комбинаций (а значит, и различных подмножеств) будет равно произведению <math>2 \times 2 \times \dots \times 2</math> (<math>n</math> раз), то есть <math>2^n</math>. '''<u>Доказательство</u>''' этого утверждения для общего случая проводится методом математической индукции будет приведено далее. === Операции над множествами === Подобно тому как в арифметике мы можем складывать или умножать числа, получая новые, в теории множеств существуют операции, позволяющие конструировать из одних множеств другие. Основными из них являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Для наглядной иллюстрации этих операций мы будем использовать диаграммы Эйлера-Венна, где множества изображаются в виде кругов, а универсальное множество — в виде прямоугольника, внутри которого находятся эти круги. ==== Объединение ==== '''<u>Определение:</u>''' ''Объединением'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cup B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. <math>A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\lor</math> — это символ логического «ИЛИ». [[Файл:Venn_A_union_B.svg|Объединение ''A'' и ''B'']] '''<u>Интуитивно</u>''', операция объединения соответствует действию «собирания вместе». Мы берём все элементы из множества <math>A</math> и все элементы из множества <math>B</math> и помещаем их в одно новое, общее множество. При этом важно помнить, что если какой-либо элемент принадлежал обоим множествам, то в итоговом объединении он будет присутствовать лишь в одном экземпляре, так как множество определяется исключительно набором своих уникальных элементов. На диаграмме Эйлера-Венна объединение <math>A \cup B</math> представляет собой всю область, занимаемую кругами <math>A</math> и <math>B</math> вместе, включая их общую часть. '''Пример 1.''' Рассмотрим два конечных числовых множества: пусть <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их объединение <math>A \cup B</math>, мы мысленно собираем все элементы из обоих множеств в одну совокупность: <math>\{1, 2, 3, 3, 4, 5\}</math>. Однако, поскольку множество определяется уникальным набором своих элементов, повторяющийся элемент <math>3</math> должен быть учтён только один раз. Таким образом, результатом будет: <math>A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math> '''Пример 2.''' Операция объединения применима не только к конечным, но и к бесконечным множествам. Рассмотрим два промежутка на числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>: отрезок <math>C =[0, 2] </math> и интервал <math>D = (1, 3)</math>. Множество <math>C</math> включает все действительные числа от 0 до 2 включительно, а <math>D</math> — все числа от 1 до 3, не включая концы. Их объединение <math>C \cup D</math> будет содержать все точки, которые принадлежат либо отрезку <math>C</math>, либо интервалу <math>D</math>. Геометрически это означает, что мы покрываем всю область от левой границы <math>C</math> до правой границы <math>D</math>. В результате мы получаем новый промежуток: <math>C \cup D = [0, 3)</math> <u>Замечание:</u> левая граница <math>0</math> включена (потому что она принадлежала <math>C</math>), а правая граница <math>3</math> не включена (потому что она не принадлежала ни <math>C</math>, ни <math>D</math>). ==== Пересечением ==== '''<u>Определение:</u>''' Пересечением множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \cap B</math>, которое состоит из всех тех и только тех элементов, что принадлежат обоим исходным множествам одновременно. <math>A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}</math> <u>Замечание:</u> Здесь <math>\land</math> — это символ логического «И». [[Файл:Venn_A_intersect_B.svg|Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>]] '''<u>Интуитивно</u>''', операция пересечения реализует идею поиска общих элементов. Мы отбираем только те элементы, которые есть в множестве <math>A</math> и при этом есть в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение <math>A \cap B</math> наглядно представлено областью, где круги <math>A</math> и <math>B</math> перекрываются. Рассмотрим несколько примеров. '''Пример 1.''' Пусть, <math>A = \{1, 2, 3\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5\}</math>. Чтобы найти их пересечение, мы ищем элементы, которые присутствуют в обоих списках. Единственный такой элемент — это <math>3</math>. Следовательно: <math>A \cap B = \{3\}</math> Применим эту же операцию к бесконечным множествам. '''Пример 2.''' Возьмём два отрезка на числовой прямой: <math>C = [0, 2]</math> и <math>D = [1,3]</math>. Их пересечение <math>C \cap D</math> будет состоять из тех чисел, которые одновременно не меньше <math>0</math>, не больше <math>2</math>, не меньше <math>1</math> и не больше <math>3</math>. Совокупность этих условий равносильна тому, что число должно быть в отрезке <math>C \cap D = [1,2] </math> Особый интерес представляет случай, когда у множеств нет общих элементов. В этой ситуации их пересечение не содержит ничего, то есть равно пустому множеству. '''<u>Определение:</u>''' Если <math>A \cap B = \emptyset</math>, то множества <math>A</math> и <math>B</math> называются непересекающимися. '''Пример.''' Возьмём множество всех чётных натуральных чисел <math>E = \{2, 4, 6, \dots\}</math> и множество всех нечётных натуральных чисел <math>O = \{1, 3, 5, \dots\}</math>. Поскольку ни одно натуральное число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, у этих множеств нет общих элементов. <math>E \cap O = \emptyset</math> ==== Попарное пересечение ==== Операцию пересечения, которую мы определили для двух множеств, можно естественным образом распространить на любое конечное число множеств. '''<u>Определение:</u>''''Пересечением'' семейства <math>n</math> множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств одновременно. Обозначается такое пересечение как <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>. '''<u>Интуиция</u>''': Если пересечение двух множеств — это их общая часть, то пересечение <math>n</math> множеств — это то, что является общим для них всех без исключения. Это более сильное, более ограничивающее условие. Элемент попадает в такое пересечение, только если он выдержал проверку на принадлежность всем <math>n</math> множествам. <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = {x \mid \forall i \in {1, 2, \dots, n}, x \in A_i}</math> '''Пример.''' Рассмотрим три множества: <math>A_1 = \{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>A_2 = \{2, 3, 4, 5\}</math> и <math>A_3 = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти их общее пересечение, ищем элементы, присутствующие во всех трёх. Элемент <math>1</math> отсутствует в <math>A_2</math> и <math>A_3</math>. Элемент <math>2</math> отсутствует в <math>A_3</math>. Элементы <math>5</math> и <math>6</math> отсутствуют в <math>A_1</math>. Только элементы <math>3</math> и <math>4</math> есть во всех трёх множествах. <math>\bigcap_{i=1}^3 A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{3, 4\}</math> Теперь введём другое, более сильное понятие, которое также связано с пересечением нескольких множеств. Оно описывает не результат операции, а свойство самого семейства множеств. '''<u>Определение:</u>'''' Семейство множеств <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называется ''попарно непересекающимся'', если пересечение любых двух различных множеств из этого семейства пусто. <math>\forall i, j \in {1, 2, \dots, n} \quad (i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset)</math> '''<u>Интуиция</u>''': Это свойство означает, что множества в семействе полностью обособлены друг от друга. Если взять любую пару множеств, у них не найдётся ни одного общего элемента. Они похожи на отдельные, не соприкасающиеся друг с другом острова. '''Пример.'''Рассмотрим семейство множеств <math>B_1 = \{1, 2\}</math>, <math>B_2 = \{3, 4\}</math> и <math>B_3 = \{5, 6\}</math>. Проверим их попарные пересечения: <math>B_1 \cap B_2 = \emptyset</math> <math>B_1 \cap B_3 = \emptyset</math> <math>B_2 \cap B_3 = \emptyset</math> Все условия выполнены, следовательно, это семейство является попарно непересекающимся. Важно понимать различие между этими двумя понятиями. ''Если семейство множеств попарно непересекающееся, то их общее пересечение заведомо будет пустым.'' Мы это докажем позже. Однако обратное неверно: ''общее пересечение может быть пустым, даже если множества пересекаются попарно.'' '''Контрпример:''' Рассмотрим три множества: <math>C_1 = \{a, b\}</math>, <math>C_2 = \{b, c\}</math> и <math>C_3 = \{c, a\}</math>. Сначала найдём их общее пересечение: <math>C_1 \cap C_2 \cap C_3 = \emptyset</math> Действительно, нет ни одного элемента, который принадлежал бы всем трём множествам сразу. Теперь проверим свойство попарного пересечения: <math>C_1 \cap C_2 = \{b\} \neq \emptyset</math> <math>C_2 \cap C_3 = \{c\} \neq \emptyset</math> <math>C_1 \cap C_3 = \{a\} \neq \emptyset</math> Ни одно из попарных пересечений не является пустым. Таким образом, семейство <math>\{C_1, C_2, C_3\}</math> имеет пустое общее пересечение, но не является попарно непересекающимся. Это наглядно демонстрирует, что свойство попарного непересечения является значительно более сильным требованием. ==== Разность ==== '''<u>Определение:</u>'''' ''Разностью'' множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется множество, обозначаемое <math>A \setminus B</math> (иногда <math>A - B</math>), которое состоит из всех элементов множества <math>A</math>, не принадлежащих множеству <math>B</math>. <math>A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}</math> [[Файл:Venn A setminus B.svg]] '''<u>Интуитивно</u>''', эта операция реализует идею «удаления» или «исключения». Мы берём множество <math>A</math> как основу и «вычищаем» из него все те элементы, которые также можно найти в множестве <math>B</math>. На диаграмме Эйлера-Венна разность <math>A \setminus B</math> — это та часть круга <math>A</math>, которая не перекрывается с кругом <math>B</math>. '''Ппример 1:''' Пусть <math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> и <math>B = \{3, 4, 5, 6\}</math>. Чтобы найти <math>A \setminus B</math>, мы берём элементы из <math>A</math> (это <math>1, 2, 3, 4</math>) и удаляем из них те, что есть в <math>B</math> (это <math>3</math> и <math>4</math>). В результате остаётся: <math>A \setminus B = \{1, 2\}</math> Крайне важно понимать, что порядок множеств в этой операции имеет решающее значение. Если мы поменяем множества местами, результат будет совершенно иным. В нашем примере: <math>B \setminus A = \{5, 6\}</math> '''Ппример 2:''' Рассмотрим множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и множество всех чётных натуральных чисел <math>E</math>. Их разность <math>\mathbb{N} \setminus E</math> будет содержать все натуральные числа, которые не являются чётными. Таким образом, <math>\mathbb{N} \setminus E</math> — это в точности множество всех нечётных натуральных чисел <math>O</math>. <math>A \Delta B = {x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A)}</math> Введём ещё одну базовую операцию, которая неразрывно связана с понятием универсального множества <math>U</math>. ==== Дополнение ==== [[File:Venn10.svg|thumb|Дополнение круга A]] '''<u>Определение:</u>''' ''Дополнением'' множества <math>A</math> относительно универсального множества <math>U</math> называется множество всех элементов из <math>U</math>, которые не принадлежат <math>A</math>. Обозначается оно <math>\bar{A}</math> или <math>A^c</math>. Формально, определение дополнения записывается так: <math>A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}</math> По своей сути, дополнение является частным случаем операции разности, а именно, разностью между универсальным множеством и множеством <math>A</math>: <math>A^c = U \setminus A</math>. '''<u>Интуитивно</u>''', дополнение — это «всё остальное». Если мы определили рамки нашей задачи (универсум <math>U</math>), то дополнение множества <math>A</math> — это всё, что в эти рамки входит, но не входит в само <math>A</math>. На диаграмме Эйлера-Венна универсум <math>U</math> изображается прямоугольником, а множество <math>A</math> — кругом внутри него. Тогда дополнение <math>A^c</math> — это вся область внутри прямоугольника, но снаружи круга. '''Пример.''' Пусть универсальное множество — это все натуральные числа от 1 до 10, <math>U = \{1, 2, \dots, 10\}</math>, а множество <math>A</math> — это чётные числа из этого набора, <math>A = \{2, 4, 6, 8, 10\}</math>. Тогда дополнением <math>A^c</math> будет множество всех чисел из <math>U</math>, которые не являются чётными, то есть множество нечётных чисел: <math>A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}</math> ==== Теорема о замкнутости булеана относительно операций ==== Мы ввели четыре базовые операции над множествами: объединение, пересечение, разность и дополнение. Все они обладают одним фундаментальным общим свойством: если применять их к подмножествам некоторого универсального множества <math>U</math>, результат никогда не выйдет за его пределы. Чтобы строго доказать это в общем виде, сперва дадим определение классу операций, для которых это свойство выполняется. '''<u>Определение:</u>''' Бинарная операция <math>\circledast</math> над подмножествами универсального множества <math>U</math> называется ''поэлементной'', если существует логическое правило <math>\mathcal{L}(p, q)</math>, зависящее от двух логических переменных, такое что для любого элемента <math>x \in U</math> принадлежность этого <math>x</math> результирующему множеству <math>A \circledast B</math> определяется исключительно истинностью утверждений <math>x \in A</math> и <math>x \in B</math>. Формально: <math>x \in A \circledast B \iff \mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math> Аналогично, унарная операция <math>\circledcirc</math> является поэлементной, если для неё существует правило <math>\mathcal{L}(p)</math> такое, что <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Поэлементная операция не создаёт новых сущностей. Она работает как фильтр: «пробегает» по всем элементам универсума <math>U</math> и для каждого из них, как для кандидата, принимает решение «включить» или «не включить» его в итоговое множество. Это решение основывается лишь на статусе данного элемента в исходных множествах. '''<u>Утверждение:</u>''' Операции объединения, пересечения, разности и дополнения являются поэлементными. '''<u>Доказательство:</u>''' Для каждой операции мы должны явно указать соответствующее ей логическое правило. * Объединение (<math>\cup</math>): По определению, <math>x \in A \cup B \iff (x \in A \lor x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cup}(p, q) \equiv p \lor q</math>. * Пересечение (<math>\cap</math>): По определению, <math>x \in A \cap B \iff (x \in A \land x \in B)</math>. Следовательно, это поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{\cap}(p, q) \equiv p \land q</math>. * Разность (<math>\setminus</math>): По определению, <math>x \in A \setminus B \iff (x \in A \land x \notin B)</math>. Поскольку <math>x \notin B</math> является отрицанием <math>x \in B</math> (то есть <math>\neg(x \in B)</math>), это поэлементная операция с правилом <math>\mathcal{L}_{\setminus}(p, q) \equiv p \land \neg q</math>. * Дополнение (<math>^c</math>): По определению, <math>x \in A^c \iff x \notin A</math>. Это унарная поэлементная операция с логическим правилом <math>\mathcal{L}_{c}(p) \equiv \neg p</math>. Ч.т.д. Теперь мы можем сформулировать и доказать общую теорему. '''<u>Теорема</u>''' (О замкнутости <math>\mathcal{P}(U)</math> относительно поэлементных операций): Пусть <math>\circledast</math> — любая поэлементная бинарная операция, а <math>\circledcirc</math> — любая поэлементная унарная операция. Если <math>A</math> и <math>B</math> являются подмножествами универсального множества <math>U</math>, то и результаты операций <math>A \circledast B</math> и <math>\circledcirc A</math> также являются подмножествами <math>U</math>. '''<u>Интуиция:</u>''' Это свойство совершенно естественно. Если мы конструируем новые множества, используя в качестве «строительного материала» только элементы из «большого ящика» <math>U</math>, то и результат не может содержать никаких элементов извне этого ящика. Множество всех подмножеств <math>\mathcal{P}(U)</math> является замкнутым относительно таких операций. '''<u>Доказательство:</u>''' 1. Сначала докажем эту теорему для бинарной поэлементной операции <math>\circledast</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math> и <math>B \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = A \circledast B</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>\mathcal{L}(x \in A, x \in B)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math> и <math>B</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. 2. Теперь докажем эту теорему для унарной поэлементной операции <math>\circledcirc</math>. Пусть <math>A \subseteq U</math>. Обозначим результат операции <math>C = \circledcirc A</math>. Нам нужно доказать, что <math>C \subseteq U</math>. Согласно определению подмножества, нужно доказать, что <math>\forall x (x \in C \implies x \in U)</math>. Рассмотрим произвольный элемент <math>x</math> такой, что <math>x \in C</math>. По определению поэлементной операции, факт принадлежности <math>x \in C</math> означает, что для этого элемента <math>x</math> было проверено и признано истинным некоторое логическое правило <math>x \in \circledcirc A \iff \mathcal{L}(x \in A)</math>. Сама возможность этой проверки для элемента <math>x</math> означает, что он рассматривался как «кандидат» на включение в <math>C</math>. По определению поэлементной операции, областью для выбора таких кандидатов является именно универсальное множество <math>U</math>. Таким образом, если для элемента <math>x</math> вообще мог быть поставлен вопрос о его принадлежности к <math>A</math>, то этот элемент <math>x</math> по построению должен принадлежать <math>U</math>. Следовательно, из <math>x \in C</math> следует <math>x \in U</math>. Поскольку <math>x</math> был выбран произвольно, это верно для всех элементов множества <math>C</math>. Таким образом, <math>C \subseteq U</math>. Ч.т.д. <u>Замечание о многократном применении операций</u>: Теорема доказывает, что результат поэлементной операции над подмножествами <math>U</math> сам является подмножеством <math>U</math>. Это означает, что мы можем применять такие операции многократно, и результат никогда не покинет множество <math>\mathcal{P}(U)</math>. Например, выражение <math>(A \circledast B) \circledast C</math> корректно определено, поскольку сначала вычисляется <math>D = A \circledast B</math>, который, согласно теореме, является подмножеством <math>U</math>, а затем вычисляется <math>D \circledast C</math>. Однако запись вида <math>A_1 \circledast A_2 \circledast \dots \circledast A_n</math> без скобок является осмысленной и однозначной только для тех операций, которые обладают свойством ассоциативности, т.е. такой, что результат вычисления не зависит от того как именно были расставлены скобки. Мы подробно это разберём чуть позже. === Некоторые законы алгебры множеств === Операции над множествами подчиняются строгим правилам, которые позволяют преобразовывать и упрощать выражения, подобно тому как законы арифметики позволяют работать с числовыми выражениями. Эти правила называются законами алгебры множеств. Начнём с базовых «правил игры», описывающих поведение операций объединения и пересечения самих по себе, без взаимодействия с другими. ==== Законы идемпотентности ==== '''<u>Утверждение:</u>''' Для любого множества <math>A</math> справедливы законы идемпотентности (от лат. idem — тот же самый, potens — сильный): (1) <math>A \cup A = A</math> (2) <math>A \cap A = A</math> '''<u>Интуиция:</u>''' Эти законы формализуют простую идею: повторное применение операции к тому же самому множеству не даёт нового результата. Если вы к множеству добавите его же самого, итоговый набор элементов не изменится. Аналогично, если вы будете искать общие элементы множества с ним же самим, вы найдёте все его элементы. '''<u>Доказательство (1) :</u>''' Мы докажем оба равенства, используя принцип объёмности, то есть установив для каждого случая два встречных включения. Докажем первое равенство: <math>A \cup A = A</math>. Сначала установим, что <math>A \cup A \subseteq A</math>. Пусть <math>x \in A \cup A</math>. По определению объединения, это означает, что <math>x \in A</math> или <math>x \in A</math>. Это логическое утверждение равносильно тому, что <math>x \in A</math>. Поскольку любой элемент из <math>A \cup A</math> также является элементом <math>A</math>, включение доказано. Теперь докажем обратное включение: <math>A \subseteq A \cup A</math>. Пусть <math>y \in A</math>. По определению объединения, <math>y</math> будет принадлежать <math>A \cup A</math>, если <math>y \in A</math> или <math>y \in A</math>. Наше исходное условие <math>y \in A</math> тривиально удовлетворяет этому требованию. Следовательно, <math>A \subseteq A \cup A</math>. Поскольку мы доказали включения в обе стороны, <math>A \cup A = A</math>. '''<u>Доказательство (2) :</u>''' Доказательство второго равенства, <math>A \cap A = A</math>, полностью аналогично. Установим, что <math>A \cap A \subseteq A</math>. Пусть <math>x \in A \cap A</math>. По определению пересечения, это означает, что <math>x \in A</math> и <math>x \in A</math>, откуда немедленно следует, что <math>x \in A</math>. Таким образом, <math>A \cap A \subseteq A</math>. Для обратного включения <math>A \subseteq A \cap A</math>, пусть <math>y \in A</math>. Чтобы <math>y</math> принадлежал <math>A \cap A</math>, он должен удовлетворять условию <math>y \in A</math> и <math>y \in A</math>. Поскольку нам дано, что <math>y \in A</math>, это условие очевидно выполнено. Следовательно, <math>A \subseteq A \cap A</math>. Из двух доказанных включений следует равенство <math>A \cap A = A</math>. Ч.т.д. 1qniyesep65nvvuya00l8xqe80h02ah 2 35075 261945 2025-07-10T15:22:00Z Alexsmail 1129 s 261945 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами <math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1.5.3. Теорема: Законы де Моргана. Формулировка: <math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> и <math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === 1lwkhpl82ozxzj497xv39lyirtpmysg 261964 261945 2025-07-10T20:21:24Z Alexsmail 1129 /* Prompt */ s 261964 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". При написании чётко разедляй утверждение, интуицию и доказательство, сохраняя при этом строгий стиль изложения. Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами &lt;math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1.5.3. Теорема: Законы де Моргана. Формулировка: <math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> и <math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === 6d19kyjixpk2wm6h4oyl212twon7hv2 261968 261964 2025-07-10T21:28:31Z Alexsmail 1129 /* План */ а 261968 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". При написании чётко разедляй утверждение, интуицию и доказательство, сохраняя при этом строгий стиль изложения. Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами &lt;math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1.5.3. Законы де Моргана. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === t1112q3emh6ap863q10m4okapr2ysl3 261969 261968 2025-07-10T21:29:00Z Alexsmail 1129 /* План */ ап 261969 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". При написании чётко разедляй утверждение, интуицию и доказательство, сохраняя при этом строгий стиль изложения. Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами &lt;math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1.5.3. Законы де Моргана. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === 89mw4750lmxr2j7e6lrygxy6yrvgge7 261973 261969 2025-07-10T22:51:05Z Alexsmail 1129 d 261973 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". При написании чётко разедляй утверждение, интуицию и доказательство, сохраняя при этом строгий стиль изложения. Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами &lt;math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1. **Универсальное множество \( U \)** Для любого множества \( A \subseteq U \): \[ U = A \cup A^c \] 2. **Пустое множество \( \varnothing \)** \[ \varnothing = U^c \] 3. **Пересечение \( A \cap B \)** Используем закон де Моргана: \[ A \cap B = (A^c \cup B^c)^c \] 4. **Разность \( A \setminus B \)** \[ A \setminus B = A \cap B^c = (A^c \cup B)^c \] 1.5.3. Законы де Моргана. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === 0bj5218g6dqmjsedud62c7vj4chf02r 261990 261973 2025-07-11T11:17:44Z Alexsmail 1129 ы 261990 wikitext text/x-wiki = Prompt = Я пиши учебник для первого курса ВУЗа. Он будет начинаться с "избранных глав из теории множеств". При написании чётко разедляй утверждение, интуицию и доказательство, сохраняя при этом строгий стиль изложения. Требования: * Избегай слова класс, в т.ч. класс эквивалентности. * Пиши текст как связное повествование, избегая пунктов (1-2-3). * Каждое определение начинай с новой строки со слова Опеределение. * Каждую теорему/лемму/утверждение начинай сновой строки с соответсвующего слова. * Чётко формулируй утверждение теоремы/леммы/утверждения. * Если возможно, приводи интуитивное понимание утверждения теоремы/леммы/утверждения. * Каждое утверждение теоремы/леммы/утверждения должно быть максимумально строго формально доказано. * Внутри доказательства, по-возможности, описывай интуицию почему мы будем делать то или иное действие. * После каждого абзаца оставляй пустую строку * Пиши ВСЕ мат. выражения с помощью LaTeX. При использовании LaTeX для математических формул обрамляй их тегами &lt;math> и </math>. Чтобы легко можно было делать copy&paste. * Исправь все ошибки исходного текста, сохраняй максимум деталей и атмосферность описаний. * Если есть в тексте ё, оставляй её без изменений. = План = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы 1.1. Интуитивное понятие множества 1.1.1. Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). 1.1.2. Основные неопределяемые понятия: «множество», «элемент», «принадлежность». 1.1.3. Обозначения принадлежности: <math>x \in A</math> и <math>x \notin A</math>. 1.1.4. Принцип объёмности: формулировка принципа как основного критерия равенства множеств (<math>A=B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))</math>). 1.2. Способы задания множеств 1.2.1. Задание множества перечислением его элементов. Пример: <math>A = {a, b, c}</math>. 1.2.2. Задание множества описанием через характеристическое свойство. Пример: <math>B = {x \mid P(x)}</math>. 1.2.3. Понятие о пустом множестве (<math>\emptyset</math>). 1.2.4. Понятие об универсальном множестве (<math>U</math>) и его контекстуальная зависимость. 1.3. Отношение включения. Булеан 1.3.1. Определение: Подмножество (<math>A \subseteq B</math>). 1.3.2. Определение: Строгое подмножество (<math>A \subset B</math>). 1.3.3. Утверждение: Базовые свойства отношения включения. Формулировка: <math>\emptyset \subseteq A</math>, <math>A \subseteq A</math> (рефлексивность), <math>(A \subseteq B \land B \subseteq C) \implies A \subseteq C</math> (транзитивность). План доказательства для каждого пункта. 1.3.4. Определение: Множество всех подмножеств (булеан), обозначения <math>\mathcal{P}(A)</math> и <math>2^A</math>. 1.4. Операции над множествами 1.4.1. Определение: Объединение (<math>A \cup B</math>). 1.4.2. Определение: Пересечение (<math>A \cap B</math>). 1.4.3. Определение: Разность (<math>A \setminus B</math>). 1.4.4. Определение: Симметрическая разность (<math>A \Delta B</math>). 1.4.5. Определение: Дополнение множества (<math>A^c</math> или <math>\bar{A}</math>). 1.4.6. Визуализация: Иллюстрация операций с помощью диаграмм Эйлера-Венна. 1.5. Законы алгебры множеств https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 Модуль 1: Основные алгебраические свойства объединения и пересечения Этот модуль вводит базовые «правила игры», аналогичные правилам арифметики для сложения и умножения. Они описывают поведение каждой операции самой по себе. Законы идемпотентности (повторное применение не меняет результат): <math>A \cup A = A</math> <math>A \cap A = A</math> Законы коммутативности (от перемены мест результат не меняется): <math>A \cup B = B \cup A</math> <math>A \cap B = B \cap A</math> Законы ассоциативности (порядок выполнения операций не важен): <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)</math> <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)</math> Модуль 2: Законы взаимодействия объединения и пересечения Этот модуль показывает, как две основные операции связаны друг с другом. Законы дистрибутивности (раскрытие скобок): <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math> <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math> Законы поглощения (более сильное множество «поглощает» слабое): <math>A \cup (A \cap B) = A</math> <math>A \cap (A \cup B) = A</math> Модуль 3: Свойства нейтральных и поглощающих элементов Этот модуль формализует роль пустого (<math>\emptyset</math>) и универсального (<math>U</math>) множеств, аналогично ролям 0 и 1 в арифметике. Свойства <math>\emptyset</math> и <math>U</math> как нейтральных элементов: <math>A \cup \emptyset = A</math> <math>A \cap U = A</math> Свойства <math>\emptyset</math> и <math>U</math> как поглощающих элементов: <math>A \cup U = U</math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math> Модуль 4: Законы дополнения и Законы де Моргана Центральный модуль, посвящённый операции дополнения и её важнейшим свойствам. Законы де Моргана — кульминация этой темы. Основные свойства дополнения: <math>A \cup A^c = U</math> (Закон исключённого третьего) <math>A \cap A^c = \emptyset</math> (Закон противоречия) <math>(A^c)^c = A</math> (Закон двойного дополнения) Дополнения для <math>\emptyset</math> и <math>U</math>: <math>\emptyset^c = U</math> <math>U^c = \emptyset</math> Законы де Моргана (связь дополнения с объединением и пересечением): <math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> <math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math> Модуль 5: Связь операций и отношения включения Этот модуль — концептуальный мост. Он показывает, что отношение включения (<math>\subseteq</math>) можно полностью выразить на языке операций, и наоборот. Выражение разности через пересечение: <math>A \setminus B = A \cap B^c</math> Критерии включения через операции: <math>A \subseteq B \iff A \cap B = A</math> <math>A \subseteq B \iff A \cup B = B</math> <math>A \subseteq B \iff A \setminus B = \emptyset</math> Закон контрапозиции для включения: <math>A \subseteq B \iff B^c \subseteq A^c</math> 1.5.1. Формулировка и доказательство законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 1.5.2. Формулировка и доказательство законов поглощения и идемпотентности. 1. **Универсальное множество \( U \)** Для любого множества \( A \subseteq U \): \[ U = A \cup A^c \] 2. **Пустое множество \( \varnothing \)** \[ \varnothing = U^c \] 3. **Пересечение \( A \cap B \)** Используем закон де Моргана: \[ A \cap B = (A^c \cup B^c)^c \] 4. **Разность \( A \setminus B \)** \[ A \setminus B = A \cap B^c = (A^c \cup B)^c \] 1.5.3. Законы де Моргана. План строгого доказательства через принцип объёмности. 1.6. Парадоксы наивной теории множеств 1.6.1. Обсуждение проблемы неограниченного задания множеств по свойству (наивный принцип свёртывания). 1.6.2. Детальный разбор парадокса Рассела (рассмотрение множества <math>R = {x \mid x \notin x}</math>). 1.6.3. Вывод: Необходимость ограничения принципа свёртывания и переход к аксиоматическому построению теории. Глава 2. Аксиоматическая теория множеств 2.1. Идея аксиоматического метода 2.1.1. Объяснение необходимости аксиом для избежания противоречий. 2.1.2. Структура аксиоматической теории: неопределяемые понятия, аксиомы, теоремы. 2.1.3. Краткий обзор системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как стандартного фундамента математики. 2.2. Аксиомы системы Цермело-Френкеля (ZFC) 2.2.1. Аксиома объёмности (Axiom of Extensionality). 2.2.2. Аксиома пары (Axiom of Pairing). 2.2.3. Аксиома объединения (Axiom of Union). 2.2.4. Аксиома степени (Axiom of Power Set). 2.2.5. Схема аксиом выделения (Axiom Schema of Specification). 2.2.6. Схема аксиом подстановки (Axiom Schema of Replacement). 2.2.7. Аксиома бесконечности (Axiom of Infinity). 2.2.8. Аксиома регулярности (фундирования) (Axiom of Regularity). 2.2.9. Аксиома выбора (Axiom of Choice). 2.3. Первые следствия из аксиом 2.3.1. Теорема (о существовании пустого множества). План доказательства: Применение Схемы выделения к множеству, гарантированному Аксиомой бесконечности, со свойством <math>x \neq x</math>. 2.3.2. Построение пересечения и разности. Демонстрация того, что <math>A \cap B</math> и <math>A \setminus B</math> могут быть сконструированы с помощью Схемы выделения. 2.3.3. Конструирование одноэлементных множеств (синглетонов) и неупорядоченных пар из Аксиомы пары. 2.4. Совокупности, которые не являются множествами 2.4.1. Введение: Объяснение, почему в ZFC не любая представимая в уме коллекция является множеством. 2.4.2. Пример 1: Несуществование «множества всех множеств». Демонстрация того, как предположение о его существовании вместе со Схемой выделения немедленно приводит к парадоксу Рассела. 2.4.3. Пример 2: Несуществование «множества всех групп» или «множества всех векторных пространств». Интуитивное объяснение: если бы такие объекты были множествами, над ними можно было бы совершать операции (например, взять булеан), что приводило бы к объектам «непостижимой» сложности и логическим противоречиям. 2.4.4. Вывод: Разграничение понятий «множество» (объект в ZFC) и «совокупность» (неформальный термин для любой коллекции). Глава 3. Отношения, функции и их свойства 3.1. Упорядоченные пары и декартово произведение 3.1.1. Определение: Упорядоченная пара по Куратовскому <math>(a, b) = {{a}, {a, b}}</math>. 3.1.2. Лемма: Основное свойство упорядоченной пары. Формулировка: <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>. План доказательства на основе аксиом. 3.1.3. Определение: Декартово произведение множеств <math>A \times B</math>. 3.2. Бинарные отношения 3.2.1. Определение: Бинарное отношение как любое подмножество декартова произведения <math>R \subseteq A \times B</math>. 3.2.2. Примеры и способы задания отношений. 3.2.3. Определение: Область определения и область значений отношения. 3.3. Свойства отношений 3.3.1. Определение отношений на множестве (<math>R \subseteq A \times A</math>). 3.3.2. Определения и примеры для свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. 3.4. Отношение эквивалентности 3.4.1. Определение: Отношение эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность). 3.4.2. Определение: Блок эквивалентности, связанный с элементом. 3.4.3. Определение: Фактор-множество (множество всех блоков эквивалентности). 3.4.4. Теорема: О разбиении множества отношением эквивалентности. Формулировка: Отношение эквивалентности на множестве <math>A</math> порождает разбиение <math>A</math> на непересекающиеся блоки эквивалентности. План доказательства. 3.5. Отношение порядка 3.5.1. Определение: Отношение частичного порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность). 3.5.2. Определение: Частично упорядоченное множество (ЧУМ). 3.5.3. Определение: Отношение линейного (полного) порядка. 3.6. Функции 3.6.1. Определение: Функция как частный случай бинарного отношения (функциональное отношение). 3.6.2. Введение обозначений <math>f: A \to B</math> и <math>y = f(x)</math>. 3.6.3. Определение: Область определения (домен), кодомен, область значений (образ). 3.7. Виды функций и операции над ними 3.7.1. Определение: Инъекция, сюръекция, биекция. 3.7.2. Определение: Композиция функций. 3.7.3. Определение: Обратная функция. 3.7.4. Теорема: О существовании обратной функции. Формулировка: Функция <math>f: A \to B</math> имеет обратную тогда и только тогда, когда <math>f</math> является биекцией. План доказательства. = Глава 1. Наивная теория множеств: интуиция и парадоксы = == 1.1. Интуитивное понятие множества == === Введение: множество как «совокупность» или «коллекция» (определение Г. Кантора). === 791io89ahdeuietojhj5jb1whj29xhr 0 35076 261954 2025-07-10T18:14:07Z Leksey 3027 Создание 261954 wikitext text/x-wiki {{Внимание|ФАП-120 отменяется с вступлением в силу [[АОН/ФАП-367]]}} ФАП-120 Полное название "Правила технического обслуживания подлежащих обязательной сертификации ..., гражданских воздушных судов, ... за исключением легких, сверхлегких гражданских ВС, не осуществляющих КВР И АР" {{АОН}} eetj3ocomiajh9rv4g6ymvzbvbgyg7p 261957 261954 2025-07-10T18:35:51Z Leksey 3027 Ссылка 261957 wikitext text/x-wiki {{Внимание|ФАП-120 отменяется с вступлением в силу [[АОН/ФАП-367]], куда правила ТО вошли как Приложение №2}} ФАП-120 описывал общие подходы по выполнению ТО и описывал категории ТО. Полное название "Правила технического обслуживания подлежащих обязательной сертификации ..., гражданских воздушных судов, ... за исключением легких, сверхлегких гражданских ВС, не осуществляющих КВР И АР" ==См. также== * [[АОН/Законодательство|Законодательство]] ==Ссылки== * [https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/406696919/ ФАП-120] (текст) {{АОН}} pz2o21d6h4zasvdok8olueypgiw3zgo