Wikibooks svwikibooks https://sv.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Huvudsida MediaWiki 1.45.0-wmf.5 first-letter Media Special Diskussion Användare Användardiskussion Wikibooks Wikibooksdiskussion Fil Fildiskussion MediaWiki MediaWiki-diskussion Mall Malldiskussion Hjälp Hjälpdiskussion Kategori Kategoridiskussion TimedText TimedText talk Modul Moduldiskussion 2 11379 57399 57398 2025-06-15T21:22:52Z Oshifima 283 57399 wikitext text/x-wiki === Förord === Man kan med rätta fråga sig om det behövs ytterligare en popularisering av relativitetsteorin. Men många människor läser sådant, vilket tyder på att de inte blir tillfredsställda av första bästa förklaring. Denna skrift skiljer sig från de flesta i att den inte väjer för formler och räkningar men samtidigt inte kräver mer än grundskolekunskaper i matematik och fysik. Den förklarar enbart den ''speciella'' relativitetsteorin, den berömda teori som Einstein utvecklade 1905, inte det arbete om relativitet som han fortsatte med under de följande tio åren, den ''allmänna'' relativitetsteorin. Den speciella relativitetsteorin kräver faktiskt inte mer än grundskolematematik. Det är inte matematiken som sätter hinder i vägen att förstå den. Svårigheten när man läser en vanlig läroboksframställning av den speciella relativitetsteorin ligger oftare i att formlerna använder många bokstäver, samtidigt som läsaren behöver koncentrera sig på några få i taget. En mer vetenskaplig framställning å andra sidan är ofta så kortfattad att man lätt missar någon detalj. I den här skriften möter man många upprepningar, omtagningar. Det kan tyckas vara ett enahanda ältande, men det är skrivet så för att texten inte ska glida förbi någon viktig punkt. Läsaren ska inte bli lämnad med känslan att allting är paradoxer, som man bara måste acceptera för att få en insikt i teorin. Paradoxmakeri har ofta följt i spåren på populariseringar av relativitetsteori. Det borde kunna undvikas. === Rörelse är relativ === Relativitetsteorin har sitt namn av att den utgår ifrån att all rörelse är relativ. Det är inte någon tanke som var ny i och med relativitetsteorin, det nya med relativitetsteorin var att den drog konsekvenserna av denna gamla idé som också Newton hade byggt sin mekanik på. Att rörelse är relativ betyder att om vi sitter på ett tåg och tåget långsamt sätter igång och vi ser stationen glida förbi tågfönstret, då är det inte klart om det är tåget som rör sig eller stationen. Om skenorna och hjulen är släta och föraren startar försiktig märker vi inte om vi rör oss eller inte. Det är inte så att magen börjar krångla om vi är i rörelse, eller att vår syn blir skarpare eller att vattnet skvalpar ut ur dricksglaset. Alla naturfenomen fungerar lika vare sig man rör sig eller inte. Det är inte så att ''egentligen'' står stationen stilla. I praktiska sammanhang kan man vilja se det så, för det verkar lite konstigt att just detta tåg av alla ting i världen stod stilla. Men tänker man lite mer förstår man att det också vore konstigt att just stationshuset stod stilla. Jorden snurrar ju. Huset liksom allt på dess yta sveper åt öster med hög fart. Och av samma orsak vore det konstigt att just jorden, eller just solen, i världsrymden vore den absolut stillastående. Om någon säger: ”Den står stilla”, då blir den obönhörliga följdfrågan: ”I förhållande till vad?” Om det bara fanns ett föremål i universum – då vore det meningslöst att fundera över om det rör sig eller inte. Finns det två så kvittar det om vi väljer det ena eller det andra eller ingetdera som stillastående. Är det fler än så står det oss också fritt. Så tänkte Newton huvudsakligen, och så tänker många och det är en bra tanke, men Newton fick göra ett tillägg till sin mekaniska teori för att det verkligen skulle kvitta vilket som rör sig: Ett föremål måste röra sig med jämn fart rakt fram för att det ska komma i fråga att betraktas som stillastående, menade han. Kröker banan eller ändras farten, då fungerar inte Newtons lagar som det är tänkt. Egentligen fungerar alltså inte lagarna för stationshuset, det går ju inte rakt fram, det snurrar ju med jorden. Och det gör ju tåget också eftersom det går på skenor som snurrar med jorden. Men i praktiken går det faktiskt bra att räkna med Newtons lagar ändå. Huset och skenorna snurrar bara ett varv på ett dygn, det är så pass långsamt att vi ofta kan bortse från det. Men det ligger där och skaver, att det mesta inte är helt precis, och det skaver än mer att det inte är ordentligt utrett i förhållande till vad som föremålet inte får kröka eller ändra fart för att man ska kunna räkna med Newtons formler. På slutet av denna skrift ska vi beröra problemet med sådant som inte rör sig jämnsnabbt rakt fram. Nu ska vi ta itu med ett mycket större problem som hotade Newtons mekaniska teori på 1800-talet: Newtons mekanik passade inte riktigt ihop med elläran och optiken. Fysiken hade på 1800-talet tre läror som fungerade bra var för sig, men om man skulle behandla något fenomen som var både mekaniskt och optiskt eller mekaniskt och elektriskt, då stred teorierna emot varandra. Både elektriska signaler, magnetiska signaler och ljus rör sig i tomrum med en bestämd fart, ganska precis trehundra miljoner meter per sekund – alltid samma fart oberoende av om lampan som alstrar ljuset ”står stilla” eller rör sig, oberoende av om man mäter farten vid stationshuset eller i tåget. Så borde det inte vara med våra – och Newtons – vanliga begrepp, vilket vi ska visa i nästa kapitel. === Farter brukar adderas === Om man går en meter på en sekund, då är farten 1 m/s. Går man dubbelt så snabbt är farten 2 m/s. Om en passagerare på ett tåg stiger upp och skyndar framåt i tåget, två sittplatser fram på en sekund, då har han gått med farten 2 m/s ''i förhållande till tåget''. Men en stins som står på perrongen när tåget går sakta förbi, ser kanske att tåget går 10 m/s, och genom fönstret ser hon denna passagerare röra sig och hon uppfattar då att passageraren kommer 10 meter + 2 meter framåt på denna sekund. Tåget för passageraren 10 meter framåt och med egna fötter rör sig passageraren 2 meter. 12 meter per sekund verkar farten vara för stinsen. Om passageraren, i stället för att stiga upp och själv skynda framåt, tar en ficklampa och blinkar med den framåt i tågets färdriktning, då tycker man att det skulle bli samma sak med farterna, att ljusstrålens fart och tågets fart skulle adderas, bara att ljusets fart (”ljusets hastighet” säger man ofta) är mycket större än passagerarens gångfart. Den är inte 2 m/s utan 300 000 000 m/s (trehundra miljoner meter per sekund). Stinsen på perrongen borde utifrån sitt logiska räknande tycka att tåget går 10 m/s och att ficklampsljuset inne i kupén går 10 m/s + 300 000 000 m/s. Men konstigt nog finner hon (om hon har en sjusärdeles ljushastighetsmätare) att ljuset inne i tåget går precis lika snabbt som ljuset från hennes egen stinslykta, som inte rör sig i förhållande till perrongen. Nu kan man ju förstå att det är enormt svårt att märka skillnaden – ett tillskott av 10 märks ju knappt när det adderas till något så stort som trehundramiljoner. Ja det är nästan omöjligt för en stackars stins, som bara ser en skymt av ljuset genom fönstret i ett förbifarande tåg. Och även annars är det svårt att mäta ljusfart – men det är inte det som är det stora problemet. Det finns ett principiellt problem bakom, som har gäckat horder av skickliga fysiker. Det är mycket konstigt, men många experiment har bekräftat det, att ljusets fart är konstant. Oberoende av hur man rör på lampan eller mätutrustningen mäter man alltid samma fart, ganska precis 300 000 000 m/s. Man kallar denna ljusfart i vacuum för c. (Om ljuset måste gå genom vatten eller glas går det långsammare, men det är en helt annan sak, som vi inte ska tala mer om i denna skrift.) Bokstaven c betecknar egentligen farten (”hastigheten”) 300 000 000 m/s, men i denna skrift har vi tillåtit oss att låta c beteckna talet 300 000 000, alltså utan enhet, för att vi ska kunna koncentrera oss på matematiken och sen förtydliga med ”m/s”. Likadant har vi gjort med andra bokstäver som står för andra fysikaliska storheter. Man undrar ju då hur långt en ljusblinkning når på en sekund. ”Trehundra miljoner meter”, säger passageraren. ”På 2 sekunder går den 300 000 000 gånger 2 meter”, fortsätter han. Med bokstavsformel blir det ''c∙''2 meter.” ”På 3 sekunder går den en sträcka som är 300 000 000 ''∙ 3'' meter, alltså ''c∙''3 meter. På ''t'' sekunder går den en sträcka som är 300 000 000 ''∙'' ''t'' meter”, fortsätter passageraren. ”Med bokstavsformel blir det ''c∙t'' meter.”  Men stinsen på perrongen tycker annorlunda. Hon hör att passageraren hojtar ''c'' m/s, och hon vet att tåget går 10 m/s, så hon tycker med sitt räknande att strålen borde ha gått sammanlagt (''c'' + 10)''∙t'' meter. (Alltså (300 000 000 + 10)''∙t''.) Men om hon mot förmodan klarar av att mäta farten på strålen som är inne i tåget blir det inte så. Det blir ''c∙t'', precis som passageraren mätte att den var i förhållande till vagnen. Så då tycker hon att passagerarens uppgift måste vara fel; i förhållande till tåget borde passageraren ha mätt en mindre ljusfart än den hon mätt själv. Passageraren borde ha mätt ljusfarten  (''c'' – 10) m/s, tycker stinsen. Hur ska de kunna bli överens, när den ena tycker en sak och den andra en annan? Man kan väl inte få att  ''ct'' = (''c'' + 10)''t'', och inte heller att  ''ct'' = (''c'' – 10)''t''. (Skriver man ljusfarten med siffror blir det: ”Man kan väl inte få att 300 000 000''∙t'' = (300 000 000 + 10)''∙t'', och man kan inte heller få att  300 000 000''∙t'' = (300 000 000 – 10)''∙t''.”) Det är ju inte så i fråga om gångfart, att man kan få att 10∙''t'' = (2 + 10)∙''t''. (Du kan ju försöka lösa den ekvationen, att 10 gånger ett tal är det samma som 12 gånger samma tal. Enda lösningen är att ''t'' = 0, och det är ju inte det vi är intresserade av, att ljuset inte hinner gå alls på nolltid.) === Som att kasta äpplen === På en lång rak aveny kör en bil med god fart med de två skälmarna Rulle och Fille på flaket. Fille står och Rulle sitter. Det är kväll. De har blivit ombedda att hjälpa till att frakta bort en massa fallfrukt, äpplen som har börjat ruttna. Fille vill skoja lite, där han står vid högen med fallfrukt på flaket, så han tar ett äpple och slänger det mot en gatskylt strax framför bilen. Han lyckas verkligen träffa och det skräller till ordentligt i plåten. Det hetsar upp hans kompis Rulle som sitter bredvid på flaket så även han bestämmer sig för att kasta ett äpple. Han kastar mot en skylt som de precis passerat. Till hans förvåning når äpplet inte fram. Rulle försöker med nästa skylt som de passerat, och det är samma sak. Fast han kastat hårt och avståndet till skylten inte var långt så nådde äpplena inte fram. De bara föll rakt ner på marken, för de hade ingen fart. Han har i bägge fallen kastat tvärtemot bilens färdriktning. Han tycker att han kastar äpplet framåt, att hans arm rör sig framåt, men samtidigt som Rulle med sina muskler rör den ”framåt” rör bilen armen ”bakåt”. Armens fart när den skjutsar iväg äpplet upphävdes av bilens fart som skjutsar både honom och hans armar vidare mot nya äventyr och nya skyltar. 50 km/h – 50 km/h = 0 km/h. Det var Fille som hade tur när han kastade det första äpplet i bilens körriktning, tur på det sättet att hans tjong-träff fick inspirerande effekt på Rulle. Nu börjar Fille experimentera. Han släpper ner ett äpple för att se om det också faller rätt ner, liksom Rulles två kastade äpplen. Det gör det inte. Ja, det tycks så först, när han släpper ner det på flaket, men när han släpper det bredvid bilen når det marken alldeles intill bilen fast bilen då har hunnit längre fram än i ögonblicket när han släppte det. Det faller alltså inte lodrätt ner över den plats på gatan där han släppte det. Det har ju fått skjuts av bilen, som genom handen som släppte det fick det att rusa vidare jämsides med bilen till bilens nya läge där det når marken. Han slänger nu äpplen lite lojt åt sidan och ett av dem råkar smasha i en lyktstople vid vägkanten, fast han inte egentligen har gett det just någon fart, för det har ju bilens fart i sig. Då fattar även Rulle att han inte ska kasta bakåt. Helst ska han kasta i bilens körriktning, framåt över förarhytten, tänker han. Han stiger upp och får iväg ett äpple mot nästa gatskylt, en som de ännu inte har passerat. Och verkligen. Det blir en sådan smäll, 50 km/h + 50 km/h, att föraren tvärbromsar och säger att de två odågorna inte ska få någon lön eftersom de inte har ombesörjt att samtliga äpplen lossas på avstjälpningsplatsens kompost så som det avtalats. === Sprida ljus i stället för att kasta äpplen === Fille och Rulle får stiga av och traska hem. Grämer det dem? Ja, förstås, men samtidigt är de uppfyllda av äpplenas flygande som de inte kunde fortsätta att studera när nyfikenheten hade gripit dem båda. Nu börjar de undra hur det hade varit om de inte hade kastat äpplen utan ljus i stället. Om de hade haft en stark lampa och lyst bakåt, hade det då varit så att ljuset inte hade kommit fram eftersom dess fart hade minskat med 50 km/h? – Ljuset kommer nog fram i varje fall. Det går så mycket snabbare än bilen, säger Fille. – Men om vi har en bil som är mycket snabbare än den där surpuppans, som inte gav oss någon lön? – Det har vi inte. Vi har inte ens pengar till bussen, eftersom du sabbade kontraktet och började kasta framåt. – Och om vi lyser framåt, hur ser det ut när ljuset går dubbelt så snabbt? Rulle tystnar, men efter en stund säger han: – Vi har inte bil eller buss, men vi har fortfarande jorden. Jorden vi står på rusar fram genom rymden. – Och så tänker du lysa upp i rymden? – Nja, jag tror inte det behövs. Du ser stjärnorna som lyser mot oss från himlens alla håll. Ljuset från dem kolliderar med jorden som rör sig. Vi kan jämföra stjärnljuset från de stjärnor som vi rusar bort från med dem som vi rusar mot. Tror du att Rulle och Fille lyckas klura ut åt vilket håll jorden rusar just då? Jorden rör ju sig hela tiden runt solen, och den snurrar också hela tiden så att Filles och Rulles ort på morgonen rör sig åt öster, alltså i riktning mot solen som är i öster, och om kvällen rör sig bort från solens riktning. Öster, väster, söder norr, eller rakt upp. Eller kanske rakt ner? Fille och Rulle tittar i alla riktningar där de ser stjärnor, men de ser inte någon större skillnad. Stjärnorna blinkar ungefär lika i alla riktningar. En del är starkare, andra svagare, men inte i någon bestämd riktning. I slutet av 1800-talet var det två jeppar som faktiskt lyckades mäta farten hos ljus som kom in från olika håll. De hette inte Fille och Rulle utan Michelson och Morley. De blev berömda för att det blev uppenbart att det inte var någon skillnad. Det var inte så att ljuset piskade emot dem från ena hållet och milt svepte efter dem från motsatta hållet. Ljuset gick lika fort vare sig de testade mot eller med sin rörelse, vår jordiska dygnsrotationsrörelse. Det gick också lika fort med som mot den årliga banrörelsen kring solen, eller i kombinationer av dessa riktningar. Ljuset verkade komma in i mätinstrumentet med samma värdiga fart, ''c'' = 300 000 000 m/s, oberoende av allt. Det var mycket konstigt, skulle Newton ha tyckt om han fortfarande hade levat under 1800-talet, och det hade Fille och Rulle tyckt om de vetat om Michelsons och Morleys resultat. Ljus är inte alls som äpplen. Ljus är inte som regn eller storm, som piskar hårt mot framvindrutan men knappast alls bakifrån. Ljus verkar inte kunna frontalkollidera eller köra jämsides med materia. Ljusfarten är konstant. Ingenting stämmer för den som tänker mekaniskt. Filles och Rulles fina slutsatser på bilflaket slår slint. Kan man över huvud taget addera och subtrahera farter och lita på resultatet? Jo, det kan man om man är mycket försiktig. Man får inte ta något för givet. Det första man brukar skylla på när resultatet inte blir vad man väntar sig är mätinstrumenten. ”Det är fel på kompassen”, säger orienteraren som inte kommer i mål eller kommer mycket sent. Ska vi skylla på fartmätarna? En ljusfart-mätare mäter hur långt ljuset går på en viss tid. Men kan den verkligen hålla reda på tiden? Kan den hålla reda på avstånd? Tveksamt, menade Einstein. Och det är inte det att det är så känslig mekanism så att den lätt blir i olag. Den mäter nog bra, men den mäter kanske något annat än man tror. Den mäter på sitt speciella sätt som beror på hur instrumentet rör sig. Tid och avstånd mäter den alltid så att ljusfarten blir lika. Vi kan inte tala om tiden som om det bara fanns en sorts tid. Varje rörelse har sin tid. Och med avstånd är det samma sak. Fysikerna Michelson och Morley, som kom underfund med att ljuset alltid har samma fart, gjorde inte alla detaljer så som vi förenklat har beskrivit ovan. De hade inte samma förväntan som Fille och Rulle, att ljus skulle bete sig som flygande äpplen med bilens och kastarmens farter adderade i sin fart. De tänkte sig inte att det skulle vara som en passagerare som vandrar i en tågkupé och som från stinsens synpunkt sett borde ha tågets fart adderad till sin egen fart. Michelson och Morley trodde snarare att det var som när man hoppar ur en båt och simmar bredvid den, eller som när en mås som sitter på tågtaket lyfter och flyger till en annan vagn och slår sig ner på dess tak. I dessa fall blir den rörelse de eventuellt har med sig från början betydelselösa så snart de är hänvisade till att kämpa sig fram i sitt medium. Måsen och simmaren har sin bestämda fart jämfört med elementet där de rör sig. För ljuset tänkte sig Michelson och Morley att det fanns en ”eter”, ett slags omärkligt ämne som genomträngde hela universum, allt som ljuset kunde ta sig genom med sin bestämda fart, även tomrummet mellan stjärnorna. De ville bara veta om denna ”eter” stod stilla i solsystemet eller rörde sig liksom luften gör när det blåser eller vattnet när det strömmar. De fann ingen ”etervind” och ingen stillastående eter heller. Det var mycket konstigt även från deras synpunkt. === Konjugatregeln === Om du redan vet vad konjugatregeln är kan du hoppa över det här avsnittet. Konjugatregeln säger att (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''². Du kanske har sett den skriven med andra bokstäver, eller med vänster och högerled omkastade. Den ger oss ett recept för hur vi kan omforma vissa matematiska uttryck. Om vi har det som står till vänster om likhetstecknet kan vi utan problem skriva det till höger i stället, ''a''² – ''b''², och det kanske i vissa fall är att föredra. Den formen kanske föder idéer om hur vi ska kunna räkna vidare. Så här kan man förstå konjugatregeln: [[File:Konjugatregels-syslöjd.png|300px|right]] – Kan du konjugatregeln? – Nä. – Flaggor brukar vara rektangulära men inte kvadratiska. Om du har en kvadratisk tyglapp och vill sy en normal flagga av den, då kan du ta och klippa av en remsa från ena kanten. Det blir en något långsmal rektangel och en remsa. Vill du ha en ännu längre rektangel kan du sy fast remsan längs kortsidan. Men då ser du att remsan är lite för lång, för den är ju lika lång som kvadraten var, och kortsidan är kortare än kvadratens sida var. Exempel: Kvadraten är 30 cm × 30 cm. Du klipper av 5 cm. Då har du en rektangel 25∙30 kvar. Sen syr du på 5 cm och får 25∙35, men du får klippa av en bit av remsan, en bit som är 5∙5. Den nya rektangeln är alltså så stor som den ursprungliga kvadraten ''minus'' den lilla bortklippta kvadraten 5∙5. (30 + 5)(30 – 5) = 30² – 5². (Lilla tvåan uppe till höger betyder att talet är multiplicerat med sig självt. Det uttalas ”kvadrat”.) Formeln visar hur konjugatregeln fungerar: Förlängd sida gånger förkortad sida är som ursprungliga kvadraten minus hörnkvadraten. Man kan också räkna ut samma sak genom att multiplicera innehållen i de två parenteserna ”term för term”. 30∙30 + 30∙5 – 5∙30 – 5∙5. De två mittersta termerna tar ut varandra för den ena har minustecken och den andra plustecken. Den allmänna formeln (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''² kan man komma fram till genom att multiplicera ihop de två uttrycken (''a'' – ''b'') och (''a'' + ''b'') term för term. Alla fyra kombinationerna måste vara med: ''aa'', ''ab'', –''ba'' och ''bb''. Sen ser man att två av dessa produkterna kan strykas, eftersom de har olika tecken. Ett exempel till: Tänk dig att du har en liten näsduk 10 cm × 10 cm, och inte vill ha en kvadratisk utan en som är mera långsmal. Då kan du klippa av en tre centimeters remsa på ena sidan och skarva i den på kortsidan. Då blir den (10 – 3) cm på ena leden och (10 + 3) cm på andra leden. Men då blir det ett litet hörn över, för remsan är för lång för kortsidan och skjuter över. Den får man klippa bort: 3 cm ∙ 3 cm. Den ursprungliga arean var 10∙10 = 100 cm². Man klippte bort 3∙3 = 9 cm². Arean efter att man sytt om näsduken blir som skillnaden mellan de två kvadraterna: (10 – 3)(10 + 3) = 10∙10 – 3∙3. Det här gäller för vilka tal som helst, att en kvadrat minus en liten hörnkvadrat är lika med en rektangel enligt formeln: (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''². Det kallas konjugatregeln. Man kan också använda konjugatregeln i andra riktningen: Om vi har ett tal a² minus en annan kvadrat, då har vi möjlighet att skriva det liksom vänstersidan är skriven, med två parenteser, en med a plus något och en med a minus samma sak. Det som står till vänster och till höger om likhetstecknet är olika uppenbarelseformer av samma sak. De ser olika ut, men de är lika. Ibland vill man ha den ena formen ibland den andra. Konjugatregeln är en omskrivningsregel. Ibland kan man använda konjugatregeln för att förenkla huvudräkning. Ska du räkna ut 7∙13 så kanske det inte är så lätt. Om du då kommer att tänka på att de två talen ligger lika långt från 10, att 7 = (10 – 3) och att 13 är (10 + 3), då kan du använda konjugatregeln förstå att svaret är 10∙10 minus 3∙3, alltså 100 minus 9, som är enkelt att räkna ut i huvudet. Det gäller att lägga märke till mönstret. På samma sätt om du måste räkna ut 13∙27 i huvudet. Märker du då att de två talen ligger lika långt från 20, att 13 = (20 – 7) och att 27 är (20 + 7), då är din lycka gjord. Då förstår du genast att svaret är 20∙20 minus 7∙7, alltså 400 minus 49, som är bra mycket enklare att räkna ut i huvudet. Konjugatregelns mönster (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') hjälper även här. Förutom siffror kan man lika gärna sätta in uttryck med bokstäver. Med bokstaven ''c'' som betecknar ljushastigheten och v, som brukar användas för att betecknar någon fart (velocity), till exempel ett tågs fart, kan vi förstå att: (1 – ''v''/''c'')(1 + ''v''/''c'') = 1² – (''v''/''c'')². Träffar man på vänsterledet kan man byta ut det mot högerledet. – Har man någon nytta av det här? – Nej. Man brukar ju inte sy om sina näsdukar. Men om man förstår detta då kan man förstå den matematiska grunden för Einsteins speciella relativitetsteori.   – Och har man större nytta av det? – Nej, men det är fascinerande att det som betraktas som mänsklighetens tänkandes största framsteg genom historien, den speciella relativitetsteorin, i grunden kan förstås av en grundskolelev. Förutom konjugatregeln behövs bara eftertanke.  Det är detta eftertänkande som vi ska ägna nästa kapitel åt, nu när matematiken till stora delar är avklarad. === Olika sorters tid === Nu när läsaren förstår konjugatregeln är det lättare att förklara hur det kunde bli så konstigt för stinsen och passageraren och för Fille och Rulle. Vi märkte att Newtons idé (egentligen Galieis idé) om att addera farter inte riktigt stämmer. Vad man än adderar till ljusfarten ''c'' så blir svaret det samma – ljusfarten ''c''. Vi har ingen kompass att skylla på så som en vilsegången orienterare, men vi kan skylla på fartmätningen. Fart betyder sträcka per tid (till exempel antal meter på en sekund), så i själva verket är det två storheter som mätaren mäter eller håller reda på: sträcka, som mäts i meter, och tid som mäts i sekund. ''Meter'' per ''sekund''. – Vad är då sekund? – Det är något man mäter med klocka. Ska vi skylla på att klockan visar fel, att klockan i hastighetsmätaren visar fel, då visar alla andra klockor fel också. – Vad är meter? – Det är något man mäter med måttstock. Alla måttstockar och måttband mäter fel… Låter det vettigt? Kanske vi hellre borde säga att de mäter var och en på sitt sätt. Man kan inte vara säker på att det värde på ljusfarten som kupépassageraren läst av på sin mätare ropade ut till stinsen är uppmätt med samma slags tid som stinsens mätare mäter sin tid med, även om båda personerna har välkalibrerade mätare. Vi har en stinstid som vi kallar ''t'' och en kupétid som vi kallar ''t_k''. Detta är det första antagandet som relativitetsteorin gör. Nu kan vi försöka se om vi då kan få stinsens och passagerarens ekvationer att stämma med varandra. Tidigare stämde de ju ihop bara för ''t'' = 0. Nu provar vi att räkna med två slags tid. Vi tar de två ekvationerna vi hade tidigare, ''ct'' = (''c'' + 10)''t'' och ''ct'' = (''c'' – 10)''t'', och sätter in de olika slagen av tid, stinstid ''t'' och kupétid ''t_k'' och provar om det går bättre då. Ljuset går med farten ''c'', det är stins och kupépassageraren överens om. De är också överens om att deras referenssystem rör sig 10 m/s i förhållande till varandra. För stinsen är det naturligt att tolka det som att tåget rör sig i samma riktning som lampans ljus, och passageraren är benägen att se det som att stationen rör sig åt motsatt håll mot lampans ljus, men de är helt överens om, att man kan se det på båda sätten, för bägge tror på relativitetsteorins tanke att naturen fungerar lika sett från det ena eller det andra systemets synpunkt. De är överens om att det finns ett perrongsystem och ett kupésystem och att de rör sig i förhållande till varandra med 10 m/s. När man sätter in de två sorterna av tid får man de två ekvationerna: ''ct'' = (''c'' + 10)''t_k'' och ''ct_k'' = (''c'' – 10)t. Kan vi få det här att stämma? Vi kan lösa detta ekvationssystem på olika sätt. Om du vill kan du sätta in siffervärdet i stället för bokstaven ''c''. Här visar vi för skojs skull en annan metod: Vi provar om det går att lösa ekvationssystemet genom att multiplicera de två ekvationerna med varandra, vänsterled med vänsterled och högerled med högerled. Det är tillåtet att göra så när man löser ekvationer; eftersom det står likamed-tecken mellan leden är de lika, de är samma tal, och vid ekvationslösning kan man utan problem multiplicera båda leden med samma tal (utom med noll). Multiplikationen ger ''cctt_k'' = (''c'' + 10)(''c'' – 10)''tt_k''. Vi kan fortsätta med att dividera båda leden med ''tt_k'' (så länge ''t'' och ''t_k'' inte är noll). Då får vi ''cc'' = (''c'' + 10)(''c'' – 10). För att multiplicera ihop parenteserna i högra ledet kan vi använda konjugatregeln (eller också får vi multiplicera term för term i ena parentesen med var och en av termerna i den andra parentesen, och märker då att man kan stryka bort två av produkterna). När vi har gjort detta har vi: ''c''² = ''c''² – 10∙10. Om vi subtraherar c² från båda led får vi att 0 = – 100, ''vilket absolut inte stämmer''. Alltså måste t eller ''t_k'' ha varit noll, ja båda, så att vår ekvationslösning blev fel. Att t och ''t_k'' är noll är inte en situation vi är intresserade av – att allt kan stämma innan det startar. (Man kan lösa ekvationerna med den vanliga skolmetoden också och addera led för led och får mycket enklare att ''t'' = ''t_k'', och då har det varit förgäves att försöka skilja mellan olika slags tid.) Vi har alltså misslyckats totalt att få ihop en fungerande relativitetsteori. Det räckte inte att bara räkna med två slags tid, en kupétid och en yttervärldstid. De två ekvationerna kan inte heller i sin nya form vara sanna samtidigt (annat än i startögonblicket, då t = 0 och ''t_k ='' 0). Och att vi ställde upp två ekvationer var för att vi måste beakta både stinsens och passagerarens upplevelse. Det är en grund för relativitetsteori att bägges mätningar och diskussion om fenomen som fart ska vara lika värda hela tiden. === Vad mer kan man ändra på? === Det vi måste göra är att ändra ännu mer på ekvationerna. Det räckte inte med att vi satte in en annan tid i högerledet än den i vänsterledet, vi måste också sätta in en fuskfaktor där. Vi betecknar den med den grekiska bokstaven ''γ'' (gamma) och kallar den tills vidare ”fuskfaktor” eftersom vi än så länge inte vet vad den kommer att göra. Det avgörande är att det är samma fuskfaktor i båda ekvationerna. Båda systemen ska ju vara likvärdiga, det ska inte gå att säga: ”Din faktor är större än min, det är orättvist.” Eller: ”Jag är bäst, jag är unik, för bara jag har fuskfaktorn noll.” Nu får vi de två ekvationer som ger en fungerande relativitetsteori: Ekvationerna blir                  ''ct'' = ''γ''∙(c + 10)''t_k'' och                                       ''ct_k''  = ''γ''∙(c – 10)''t'' Nu visar vi att det går att få dessa två ekvationer att stämma bättre. De till synes oföreniga krav som de två ekvationerna ställer kan visas vara förenliga om bara fuskfaktorn tillhandahåller nödvändig flexibilitet. Så först vill vi ta reda på vad fuskfaktorn egentligen blir, när den tvingats in i ekvationen. Det är som när man löser ett problem och kallar det obekanta för ''x'' och löser ekvationen. Vi gör precis likadant, bara att vi kallar det obekanta för ''γ''. När vi löser ekvationerna får vi komma ihåg att alla andra bokstäver ska behandlas som fasta tal, sådana som vi ofta är vana att beteckna med siffervärden. Vi vill som vanligt i ekvationslösning möblera om så att vi får det obekanta, som alltså betecknas med ''γ,'' ensam på ena sidan i en ekvation. Först multiplicerar vi ihop de två ekvationerna, lika som vi gjorde tidigare: ''cctt_k'' = ''γ''²(''c'' + 10)(''c'' – 10)''tt_k'', sen dividerar vi med ''tt_k'' på båda sidor (alltså stryker dem). Vi får: ''c''² = ''γ''²(''c'' + 10)(''c'' – 10). Här ser vi igen att vi kan använda konjugatregeln på högerledet. Vi får: ''c''² = ''γ''²(''c''² – 10²). För att få γ ensamt på höger sida dividerar vi först båda sidor med (''c''² – 10²). Vi får ett bråk på vänster sida, som vi förkortar genom att dividera uppe och nere med ''c''². Täljaren blir 1 och nämnaren får vi genom att dividera bägge termerna inuti parentesen med ''c''². Nu återstår bara att ta kvadratroten ur båda sidor, vilket är tillåtet om man tänker på att det matematiskt finns två lösningar, en med plustecken och en med minustecken. Relativitetsteorin arbetar bara med den med plustecken:  <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{10^2}{c^2}}}</math> (Det vinklade strecket till vänster och uppe uttalas ”roten ur” eller ”kvadratroten ur” och anger ett tal som om det multipliceras med sig själv ger innehållet under rottecknet. Exempelvis: roten ur 25 är 5, kvadratroten ur 1 är 1, '''√'''(100) är 10.) Nu vet vi alltså vad ''γ'' är i fallet med tåget. Den är inte bara en bokstav, ett slags ''x'', som vi tagit till för att vi inte vet vad den är. För kupéns och perrongens relativa rörelse är den: <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{10^2}{c^2}}}</math>   Vill man ha den beskriven i ord är den: ”kvadratroten ur inversen till differensen mellan 1 och kvoten mellan tågfartens kvadrat och ljusfartens kvadrat.” Nu är den ingen fuskfaktor längre. Vi ser precis vad den innehåller, och kan därmed lista ut hur den fungerar: Den innehåller talet 10 som står för tågets fart och bokstaven ''c'' som betecknar ljusets fart, bägge i ett matematiskt uttryck som är receptet för hur vi kan få allt att stämma. Vi kan nu använda ''γ'' för att räkna ut kupétiden ''t_k'' om vi vet stinstiden ''t'', eller tvärtom. Det ''γ'' vi har räknat ut är skräddarsytt för ett tåg som går 10 m/s. För andra tågfarter och för andra farter över huvudtaget skriver vi en allmän formel: <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>, där vi använder bokstaven ''v'' för att beteckna farten (som i engelskans ”velocity”). Formeln kan tyckas mycket komplicerad, men i senare kapitel ska vi se att man kan förstå den ganska bra. Nu nöjer vi oss med att berätta att ''γ'', som alltså inte är en ”fuskfaktor” längre, normalt kallas ''Lorentzfaktorn'' (eller helt enkelt ”gamma” eftersom den oftast betecknas med denna grekiska bokstaven ''γ''). Den är en fundamental bit av den speciella relativitetsteorin, men egentligen var det inte Einstein som kom på den, han bara märkte att den kom väl till pass för att räkna ut hur långt ljusstrålen går på en viss tid sett från de två systemens synpunkt, vilket var nödvändigt för att förklara hur ljusfarten kan vara konstant i mekaniska system. Det ska vi ta itu med i de följande avsnitten. Man kan skriva Lorentzfaktorn på lite olika sätt: Förutom som ovan kan man skriva den som <math>1/\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math>  eller som  <math>\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> eller som    <math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math>  till exempel. Vill vi ha det överskådligt skriver vi ut formeln så att den tar mycket plats på höjden, vill vi skriva den kompakt på en rad får vi kanske använda parenteser: ''γ'' = '''√''' (1/(1 – (''v''/''c'')²)). Vill man tala om faktorn i förbigående i en mening kan man alltid skriva bokstaven ''γ'' och minnas att i denna grekiska bokstav döljer sig både kvadratrot och allt det andra. När vi nu har kommit till ett viktigt resultat, att det går att jämka ihop stinsens och passagerarens uppfattningar med hjälp av en Lorentzfaktor, är det klokt att stanna upp lite och fundera på om vi gjort allt rätt. Vi utgick ifrån att ljusstrålen gick i tågets färdriktning. Hur hade det blivit om passageraren hade lyst mot tågets bakände? – Ingen fara. Det hade visserligen blivit motsatt tecken om vi räknat med siffror, men den ena parentesen hade fått minus och den andra plus, så vi hade fortfarande kunnat använda konjugatformeln och fått samma resultat. En annan sak i resonemanget som det är klokt att vända på är passagerarens och stinsens roller. Om det i stället hade varit stinsen som lyst med sin stinslykta åt ena eller andra hållet på perrongen, hur hade det uppfattats av passageraren då, och hade man fortfarande fått fram samma Lorentzfaktor? Ja det hade man. Faktorn γ står även då skriven framför uttrycken med parenteser, de där man adderar eller subtraherar en fart innan man multiplicerar med en tid.   Vi kommer att återvända till Lorentzfaktorn många gånger. === Samtidighet === Einstein lär ha funderat på att kalla relativitetsteorin för invariansteorin i stället. Den handlar om vad som är relativt och vad som är invariant. Relativt betyder ”det beror på”, invariant att något är lika. Relativitetsteorin handlar om föremåls rörelse, vad som beror eller inte beror av rörelse. Ljusfarten är invariant medan tid är relativ och sträckor (längder och avstånd) är relativa. En viktig sak som enligt relativitetsteorin är relativ är ''samtidighet'', vad som sker samtidigt. Det kan tyckas konstigt att det inte är entydigt vad som sker samtidigt, men i själva verket har vi erfarenhet av att man inte alltid är överens om vad som sker samtidigt. En nyhetssändning på TV till exempel. När en Aktuellt-reporter i studion intervjuar en utsänd journalist i New York, händer det ibland att de i något ögonblick glömmer att signalen behöver tid för att gå från New York till Stockholm och sen tillbaka. Då kan det bli så att man ser dem prata i munnen på varandra. Bägges prat hörs samtidigt i TV-studion och samtidigt för TV-tittarna, men för korren I New York var det i en paus i studiovärdens svada som han tog till orda. För honom var det inte samtidigt. När studiovärden märker att de pratar i munnen på varandra tystnar hon, men strax efteråt märker korren i New York att hon tystnat och förstår att han har avbrutit henne och han tystnar, och så ser tittarna hur det är tyst på bägge håll innan de kanske får se hur båda tar till orda igen nästan samtidigt. Men det är inte det här som relativitetsteorin handlar om. Tar sig de två journalisterna tid att resonera och beakta signalfarten, kan de komma överens om en gemensam samtidighet. De kan vara överens om att samtidigt som ett visst ord uttalades i New York så uttalades ett annat i Stockholm, fast ingendera upplevde dem som samtidiga på grund av att signalen från den andra inte hade hunnit fram när det egna ordet uttalades. Praktiskt kan de bestämma att i fortsättningen alltid vänta i tre sekunder av tystnad innan de tar sig taltur. På den tiden har bägge hunnit lyssna på tillräckligt mycket tystnad för att en del av den även skulle hinna höras som tystnad av den andra. De två journalisterna kan också komma överens om att synkronisera sina klockor när de någon gång träffas och sen utgå ifrån att om man bestämt ett visst klockslag då är det ''samtidigt'' när bägges klockor visar det. Om de inte litar på sina klockor kan de i princip placera ut en neutral domare mitt i Atlanten, som med ljusets fart ser de två uppträdande när de lyfter handen. Ser han deras händer lyftas samtidigt då lyfts de verkligen samtidigt. Eller han kan själv sända ut en ljusblixt, och det uppfattas av båda journalisterna samtidigt. Det skulle man åtminstone tycka eftersom man vet att ljuset alltid går med en viss given fart c, och man antar att pålen i Atlanten där han sitter på sin domarstol är precis på samma avstånd från bägge. Det är ju totalt hypotetiskt att verklighetens journalister skulle behöva ställa till med något sådant, men det var ungefär så som Einstein i mer trängda lägen definierade samtidighet. Relativitetsteorins samtidighetsproblem är ett annat, och lite trixigare än de två journalisternas. Stinsen och kupépassageraren har ju helt olika tid, eftersom de rör sig i förhållande till varandra. Det hjälper inte att de synkroniserar sina klockor om klockorna i och med rörelsen går olika snabbt. Vill det sig riktigt illa, vilket bara sker om tåget går nästan lika snabbt som ljuset, då blir de totalt oense om vad som sker först och vad som sker efteråt. Hur blir det då med orsak och verkan? Både i detektivromaner och i verkliga livet är det avgörande vad som sker först. Det som sker först kan vara orsaken till det som sker senare, men inte tvärtom. Om det sker ett supernovautbrott långt borta i universum, som observeras på jorden och föranleder en tidningsartikel i Jönköping, kan man då med relativitetsteorin få det till att det lika gärna kan ha varit tidningsartikeln i Jönköping som föranledde supernovautbrottet 160 000 ljusår bort? Nej. Det finns solklara fall då det ena sker först, och kan tänkas vara en orsak. Jönköpingstidningen har ett vattentätt alibi: Ljuset behövde 160 000 år för att komma från supernovan till jorden, för att tidningen skulle få fram sin nyhet till supernovastjärnan skulle det ta minst lika lång tid, och det är alldeles för sent för att starta utbrottet, även om vi tänker oss att den exploderande stjärnan rör sig med en hastighet nära ljusets och därför har en helt annan tidsskala än vi. Nyhetsförmedling snabbare än med ljusets fart? Nej. Försök sätta in en fart ''v'' som är större än ''c'' i formeln för Lorentzfaktorn så får du se. Det blir ett negativt tal inne under rottecknet, och det går inte. Roten ur ett negativt tal skulle ju betyda ett tal som ska multipliceras med sig självt för att ge det negativa talet, och varken negativa eller positiva tal kan åstadkomma något sådant. Inget föremål kan färdas snabbare än ljuset, och vi får förmoda att inte heller Jönköpingstidningens nyhetsförmedling lyckas med det. Både relativitetsteorin och erfarenhet visar på det. Inte heller orsaksverkan går snabbare än ljuset. Men det finns andra händelser med rörelse inblandad där orsakssammanhang inte kan avfärdas i någondera riktningen. === Pythagoras sats === Det här kapitlet är inte helt nödvändigt för att förstå relativitetsteorin, men vi kommer att hänvisa till Pythagoras teorem i fortsättningen. Om du redan vet hur Pythagoras teorem fungerar kan du hoppa direkt till nästa avsnitt ”Avstånd och längd”. Pythagoras sats eller Pythagoras teorem, ''a''² + ''b''² = ''c''², brukar läras ut i grundskolan. Den är lätt att använda för att räkna ut den tredje sidan i en rätvinklig triangel om man vet hur långa de två andra sidorna är. Man brukar inte bevisa den, trots att det inte egentligen är så svårt. Det gäller bara att ha tankarna samlade. Den som har läst så här långt om relativitetsteori har antagligen bättre koncentrationsförmåga än vad man förväntar sig av högstadieelever. Här är ett bevis: [[File:Pythagoras-låda 2025.jpg|330px|left]] Man utgår ifrån två kvadrater och placerar in dem i en precis lagom stor kvadratisk ask så som figuren visar, med sidorna längs askens sidor och hörnen ihop. Outfyllt i asken blir det två likadana utrymmen, vars längd vi betecknar med a och bredd med b. Den ena kvadraten har då arean ''a∙a'' och den andra ''b∙b''. Vi klipper till kartongbitar som passar i luckorna.  Sen tar vi bort de två ursprungliga kvadraterna men lämnar kvar de två kartongrektanglarna, och klipper upp dem diagonalt, så att vi allt som allt får fyra rätvinkliga trianglar. Alla fyra trianglarna har en sida = ''a'', en annan sida = ''b'', vinkeln mellan dem rät, och snedsidan (hypotenusan) kallar vi ''d'' (som i diagonal). Nu placerar vi om de fyra trianglarna, så att de ligger längs varje sida i asken så som figuren visar. Då ser vi att det ofyllda utrymmet formar en kvadrat. Den kvadraten har arean ''d∙d''. Och man förstår att den arean är precis lika stor som arean på de två ursprungliga kvadraterna tillsammans. Den nya kvadraten fyller ju ut precis det utrymme som blev ledigt när de två kvadraterna togs bort, hela askens botten utom det som täcks av de fyra trianglarna.  Pythagoras sats säger precis det, att ''d''² = ''a''² + ''b''² i vilken som helst triangel där en vinkel är rät. Lilla tvåan uppe till höger om bokstäverna betyder att talet är multiplicerat med sig självt. Uttryckt i ord lyder Pythagoras sats: ”I en rätvinklig triangel där hypotenusan är ''d'' och de andra sidorna är ''a'' och ''b'', är ''d'' kvadrat lika med ''a'' kvadrat plus ''b'' kvadrat”. Den kan förstås skrivas med andra bokstäver eller med siffror. Om man ser en formel ''a''² + ''b''² = ''c''², då finns det anledning att känna igen den som Pythagoras formel, var helst man ser den och fast man inte har en aning om vad ''a'' och ''b'' och ''c'' betyder. Det viktiga är att det på ena sidan om likamedtecknet står en kvadrat och på andra sidan summan av två (eller i vissa fall tre) kvadrater. I ord kan det till exempel bli ”fem i kvadrat är summan av 4 i kvadrat och 3 i kvadrat”. Du kan kontrollräkna och se att Pythagoras sats verkligen gäller för de tre talen 5, 4 och 3. När du har lärt sig att känna igen den strukturen, då kan du välja att tolka de tre talen som sidorna i en rätvinklig triangel. Man kan använda formeln till att räkna ut snedsidan (hypotenusan) om man vet hur långa de två vinkeräta sidorna är. De sidorna kallas kateter. Vi tar tre exempel på hur man kan använda Pythagoras sats. Exempel 1) Två sidor i en triangel är 3 cm och 4 cm och vinkeln mellan dem är 90 grader. Hur lång är den tredje sidan? – Eftersom vinkeln är 90 grader får man att den tredje sidan är hypotenusa. Pythagoras sats ger att kvadraten på hypotenusan här ska vara lika stor som 4∙4 + 3∙3 = 16 + 9 = 25. För att få hypotenusan själv tar man roten ur 25. Det blir 5. Svar: Snedsidan är 5 cm lång. Exempel 2) Om i en rätvinklig triangel snedsidan är 10 m och en annan sida är 8 m, hur lång är då den tredje sidan? – Vi sätter in de tal vi känner i Pythagoras formel. Ekvationen blir 10∙10 = 8∙8 + ''b''². Förenklat blir det 100 = 64 + ''b''². Vi subtraheras 64 från båda sidorna. Det ger: 36 = ''b''². Det stämmer om ''b'' = 6 eller om ''b'' = –6. Svar: Den tredje sidan är 6 meter. Exempel 3) Nu tar vi en uppgift med våra redan bekanta bokstäver ''c'' och ''v''. Om hypotenusan är 1 och ena kateten är ''v''/''c'', vad blir då den andra kateten? – Vi gör på samma sätt, och kallar den sökta sidan ''x'' och får ekvationen: (''v''/''c'')² + ''x''²= 1². Förenklat blir det ''x''² = 1 – (''v''/''c'')². Att det är bokstavsuttryck och inte bara siffror ändrar inte på sättet att räkna. Kvadratrot på båda sidor och strunt i minustecknet ger att <math> x = \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}</math> Vi ser att det här är precis det samma som nämnaren i Lorentzfaktorn, så som vi fick fram den i föregående kapitel. Lorentzfaktorn och Pythagoras sats verkar vara besläktade med varandra. Kan det vara så att speciella relativitetsteorin handlar om något slags abstrakt rätvinklig triangel, där en katet är förhållandet mellan en fart ''v'' och ljusfarten ''c''. Snedsidan är = 1.  Talet 1 är det samma som 2/2 , 3/3, eller vilket tal som helst delat med sig självt, så varför inte ''c''/''c''. Då har vi fått både hypotenusan ''c''/''c'' och ena kateten ''v''/''c'' skrivna med ljushastigheten ''c'' i nämnaren. Det är som att vi mäter alla farter med ljusfarten som mått, som andelar av ljushastigheten. I hypotenusan har vi fulla ljusfarten och längs en annan triangelsida har vi en viss bråkdel av ljusfarten. Om man tittar på formeln för Lorentzfaktorn så kan man med lite träning genast känna igen nämnaren som en Pythagorasformel. Rottecknet har vi där, och inne i det har vi först en etta. Talet ett är ju lika med 1∙1, så det är en kvadrat, kvadraten på en triangelsida som har längden ett, sen kommer ett minustecken. Det är som att vi räknar ut en katet när hypotenusan är kanske en meter lång och den andra kateten är … vad då? Jo ''v''/''c''. För om vi multiplicerar ''v''/''c'' med sig själv får vi (''v''/''c'')², alltså precis som i Lorentzformeln. Det är alltså inte en ''meter'' som hypotenusan är utan ''ett'' som anger likhet med ljusets hastighet. === Avstånd och längd === Vi har nu klarat av det svåra, att få reda på hur den matematiskt är uppbyggd, den Lorentzfaktor ''γ'' som förvandlar kupétid till stinstid och tvärtom. Vi fick fram den från de två från början oförenliga ekvationerna (''c'' + ''v'')''t'' = vt och (''c'' – ''v'')''t'' = ''vt'', som vi modifierade så att de båda innehöll Lorentzfaktorn ''γ'' och båda fick olika tid på olika sidor i ekvationen. Den senare av ekvationerna blev ''ct_k'' = ''γ''∙(''c'' – 10)''t'', eftersom tågets fart var 10 m/s. Nu när vi vet hur ''γ'' är beskaffad kan vi använda den ekvationen för mer vardagliga situationer än för ljusfartsmätningar. Ljusfarten må vara stor, men om tiden ''t_k'' väljs kort kan man få att ljuset precis hinner från ena änden av tågkupén till den andra på den tiden. Sträckan ''c∙t_k'' är alltså då precis så lång som kupén, säg 20 meter, när passageraren inne i tåget mäter den. Vi får: 20 = ''γ''∙(''c'' – 10)''t'' För stinsen är den antagligen inte riktigt precis 20 meter, utan har en annan längd, som vi kallar ''L''. Vi skriver om ekvationen: Först multiplicerar vi in ''t'' i parentesen så att det blir 20 = ''γ''∙(''ct'' – 10∙''t''). Sedan sätter vi in den längd som ljuset kommer på den korta tiden också enligt stinsens bedömning, och får: 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). För att det över huvud taget ska vara möjligt för stinsen att bilda sig en uppfattning om ''L'', kupéns längd, måste hon, hur svårt det än är, betrakta bägge ändar av kupén i precis samma tidsögonblick (som inte nödvändigtvis framstår som samma ögonblick för kupépassageraren). Det betyder att ''t'' som förflyter för stinsen är noll, så tåget lyckas inte komma framåt under den tiden, inte ur stinsens synpunkt i varje fall. Det underlättar beräkningen. Ekvationen är nu 20 = ''γ''(''L'' – 0), vilket ger att 20 = ''γL'', vilket ger ''L'' = 20/''γ''. Utskrivet blir det <math>L = 20 \sqrt{1 - \frac{10^2}{c^2}}</math> Det är inte mycket. Vi har hittills för resonemangets skull antagit att stinsen har rent övernaturliga förmågor, men nu måste vi väl ändå konstatera att vi kräver väl mycket av henne. För titta på det som är inne i parentesen: en etta minskad med ett tal som är hundra dividerat med ljusfartens kvadrat. Ljusfarten är i sig enormt många meter per sekund, tagen i kvadrat blir det en nia följd av 16 nollor. Delar man hundra med ett så stort tal blir det synnerligen nära noll. Subtraherar man så lite från 1 blir det i stort sett 1. Tar man kvadratroten ur detta tal blir det i stort sett 1. Multiplicerar man 20 med 1 blir det i stort sett 20. Stinsen tycker att kupén är praktiskt taget 20 meter lång. Att den verkligen har krympt lite från hennes synvinkel, kan hon inte märka ens med sin sedvanliga skarpsynthet. Men det kan finnas andra yrkesgrupper som behöver hålla reda på den längdkrympning som syns när iakttagare och föremål rör sig i förhållande till varandra. För dem kan det vara lättare. Men det är först vid farter nära ljusets som föremål kommer att se märkbart förkortade ut. [[File:Åskådliggöra Lorentzfaktorn med kastrullock.png|400px|right]] De som håller på med högenergetiska partiklar, med elektronkanoner till exempel, de vill ibland veta till hur många procent en viss längd förkortas när farten uppnår en viss procent av ljusfarten. Det kan man ta reda på med hjälp av ett kastrullock. Enklast är det med ett som är 20 cm i diameter. Radien är då 10 cm. Man mäter upp centimetersstreck utifrån mitten och numrerar dem 10%, 20%, 30% osv. När man har valt sitt procentstreck går man vinkelrätt upp från det och mäter hur många centimeter det är till kanten. Till exempel för 80% (alltså när det är 20% kvar till kanten) är vinkelräta avståndet till kanten 6 cm (60%). Det betyder att när man beskådar ett föremål som far förbi med 80% av ljusfarten då ser det ut att vara 60% så långt som vad det var när man höll det stilla i handen. Kastrullocket visar tydligt den krympta längden alltid blir mindre än 100 procent av ursprungslängden. Föremål som man ser i rörelse ser alltid kortare ut, förkrympta. Det kallas längdkontraktionen. Orsaken till att det är så enkelt att räkna ut den förkortade längden, när man vet hur många procent farten är av ljusfarten, är att Lorentzfaktorns nämnare inte just är något annat än cirkelns ekvation.  På gymnasiet brukar man ibland lära sig att ekvationen för en cirkel till exempel kan vara ''x''² + ''y''² = 10∙10. Den ekvationen säger att om radien är 10 cm (som för kastrullocket) då får man motsvarande x-koordinat och y-koordinat så som med det cirkelrunda kastrullocket.  Vill man kontrollräkna kastrullockskalkylen kan man sätta in centimetervärdena vi mätte upp på locket i ekvationens vänstersida: 8∙8 + 6∙6 och kan konstatera att det blir 64 + 36 = 100, alltså samma som högra sidan. Att cirkelns ekvation ovan hänger ihop med relativitetsteorin ser man tydligt om man jämför den med ekvationen ''L'' = 20∙ √(1 – 10²/c²), som vi använde för att räkna ut den förkortade kupélängden. Dela här bägge sidor med 20 och kvadrera bägge sidor. Då får man att (''L''/20)² = 1 – 10²/''c''², som också kan skrivas som (''L''/20)² + 10²/''c''² = 1². Det visar att summan av två kvadrater är lika med en tredje kvadrat, precis som i cirkelns ekvation. I den första kvadraten finns den förkortade längden, i den andra kvadraten finns andelen av ljusfarten och i höger sidas kvadrat finns bara en etta som säger att det är det hela, alltså hela ljusfarten. En sådan här formel, som säger att summan av två kvadrater är lika stor som en tredje kvadrat brukar kallas Pythagoras sats och användas till att räkna ut de tre sidorna i en rätvinklig triangel. Det kan vara praktiskt att se det så om man vill ha kläm på längdförändringar mellan dem som rör sig med olika fart. Man förstår då lätt att om snedsidan (hypotenusan) hålls fix, då kommer de två andra sidorna (kateterna) alltid att vara kortare än den, och om den ena kateten ökar så minskar den andra. Liksom med kastrullocket förstår man att ingen fart kan vara större än ljusets. Om farten är nära ljusets fart blir längden i rörelsens riktning kort. Om farten är mycket liten då blir längden stor, nästan lika stor som vid stillastående. Allt det här om längdkontraktion är ömsesidigt. När två personer rör sig i förhållande till varandra, tycker bägge att den andra är förkrympt. Det är alltså ett slags perspektivfenomen, av samma typ som vi alla har upplevt när vi har tittat upp på en byggarbetare högt uppe på ett halvbyggt högt hus, och tycker att han är liten som en höna. Arbetaren däruppe tycker samtidigt att det är vi här nere som är små som hönor. Det är skenbart som vi krymper, sett från den andras synpunkt. När vi kommer nära varandra är vi fullstora igen. Detta är vi så vana vid att vi inte tänker på det, efter att vi ett tag i vår barndom har förundrat oss över det. Och inte bara människor förstår det. Även en katt kan känna igen sin matte på avstånd, och tror inte att det är frågan om en mus på två ben. På samma sätt är det med den speciella relativitetsteorins krympning, den är skenbar, ömsesidig. I byggarbetarfallet är det ''avståndet'' som ger denna synvilla, i relativitetsteorin är det ''farten'' i förhållande till en själv som förvänder synen. Synvilla må den vara, men det betyder inte att en fysiker får ta lätt på den och hänföra den till psykologernas ämnesområde. I den allmänna relativitetsteorin, där man griper sig an de accelerationer som krävs för att få upp föremål i de farter som krävs för märkbar krympning, visar det sig att krympningarna och de därmed besläktade förändringarna av tiden verkligen är mycket handfast fysik. Den här krympningen som vi talat om sker enbart i rörelseriktningen. Kupén verkar kortare, om än bara lite, lite grann, men den verkar inte alls smalare och inte alls lägre i tak. Passageraren och all inredning ser i motsvarande grad platta ut, men hela tiden normalstora i riktning tvärs emot tågets rörelse. Från en praktisk snickarsynpunkt kan man sammanfatta längdkontraktionen så här: ”Om man inte håller måttstocken stilla när man mäter kan den bli för kort, så att allt den mäter verkar för stort. === Tiden – en svår ekvation === I föregående avsnitt lärde vi oss att räkna ut den enas ''avstånd'' när vi vet den andras ''avstånd''. Nu återstår att använda Lorentzfaktorn till att räkna ut den enas ''tid'' när man vet den andras ''tid''. Det gör man på ungefär samma sätt som vi tidigare har gjort när vi för stinsens räkning räknade ut tågkupéns längd utifrån passagerarens uppfattning om dess längd. Men riktigt lika blir det inte. När vi räknade ut kupéns längdkontraktion använde vi formeln 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t'') och bestämde att t måste vara 0, eftersom stinsen iakttog bägge ändar utan tidsfördröjning. Ekvationen verkar så symmetrisk att man kan tycker att om man i stället sätter att ''L'' = 0, då borde man få fram hur snabbt tiden går inne i kupén, från perrongen betraktat. Men det finns en filosofisk hake där. Med längdkontraktionen utgick vi ifrån att det inte spelade någon roll när passageraren läste av måttbandet medan det för stinsen var kritiskt att det var precis ''samtidigt'' som hon mätte upp bägge ändarna. Minsta lilla fördröjning hade förryckt hela mätningen eftersom kupén hade hunnit rusa till en ny position. Nu när vi ska räkna på tid i stället för plats och längd – borde vi kanske byta ut ''samtidigt'' till ”''samplatsigt''”? Men vad är det? Passageraren har en klocka inne i kupén och vet att en viss tid har förflutit mellan två tick. Hur ska då stinsen med sin egen klocka kunna avgöra hur lång tid det är mellan de två ticken ''på samma plats''? Hur ska de kunna vara på samma plats när det har gått tid mellan de två ticken och tåget har fört kupéklockan bort från den ursprungliga platsen? Enda möjligheten skulle vara att de två ticken mäts med ''olika'' klockor inne i kupén, och passageraren ser till att de är synkroniserade. De måste vara på precis ett sådant avstånd att stinsen kan höra de två ticken från samma position. Detta är en så komplicerad uppställning så det är inte så man brukar tänka, och det ger inte alls det man är ute efter. Istället tänker vi oss tidmätningen helt enkelt som att ''en viss'' kupéklockas tickningar registreras av stinsen. Sen byter vi perspektiv, så att det är kupépassageraren, som ju onkeligen mätt tiden ”samplatsigt”, det vill säga med en klocka på en viss given position i kupén, som iakttar stinsens mätning. Det är kanske enkelt att förstå, men ger en ganska lång räkning: När vi räknade ut Lorentzfaktorn använde vi de två ekvationerna ''ct'' = ''γ''∙(''c'' + 10)''t_k'' och ''ct_k''  = ''γ''∙(''c'' – 10)''t''. När vi sen räknade ut kupéns längdkontraktion tog vi den andra av dem och skrev den som 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). På precis samma sätt kan vi ta den första ekvationen och göra om den till ''L'' = ''γ''∙(20 + 10∙''t_k''). Nu kan vi lösa de här nya ekvationerna med insättningsmetoden på ett lite speciellt sätt: I stället för talet 20 i den andra ekvationen sätter vi in det uttryck som första ekvationen säger att 20 är lika med, det vill säga dess högerled ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). Då får vi ''L'' = ''γ''∙( ''γ''∙(''L'' – 10∙''t'') + 10∙''t_k''). Förenklat blir det ''L'' = ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t'' + ''γ''10''t_k''. Överflyttning av termer ger: – ''γ''10''t_k'' = – ''L'' + ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t''. Division med – ''γ''10 ger: ''t_k'' = (– ''L'' + ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t'')/(– ''γ''10). Nu har vi en formel som anger vad kupépassagerarens klocka visar (''t_k'' ) när stinsens klocka visar ett visst klockslag (''t''). I formeln finns bokstaven ''L'' som är ganska irrelevant i detta sammanhang. Varför? Jo, för den anger hur lång stinsen tycker kupén är, och det är ju lika hela tiden, och nu när vi vill ha reda på tids''intervallet'' mellan två kupéklockslag då får vi subtrahera, och då subtraheras hela högerledet också, både den sista termen som anger stinsens klockslag och de två första termerna som innehåller de oförändrade kupélängderna. Och då tar kupélängderna ut varandra, eftersom de är lika.   Vi kan ange de två klockslagen med index 1 och 2 och visar vad det blir efter subtraktion på bägge sidor: ''t_k2'' – ''t_k''₁ = (– ''γ''²10(''t''₂ – ''t''₁))/( – ''γ''10). Förkortning ger ''t_k''₂ – ''t_k''₁ = ''γ''(''t''₂ – ''t''₁). Inne i kupén upplevs alltså tidsintervallet som ''γ'' gånger vad stinsen upplever. Lorentzfaktorn ''γ'' (gamma) är 1 dividerat med det uttryck som vi använde kastrullock till att beräkna i avsnittet med längdkontraktion. Då fann vi att längderna verkar kortare hos dem som är i rörelse till oss. Nu när det är 1 dividerat med det uttrycket blir det tvärtom – tiderna upplevs vara längre för kupépassageraren än för stinsen. Och deras upplevelse är ömsesidig: att den andras klocka går för långsamt. Det kallas tidsutvidgning eller tidsdilatation. Man kan uttrycka det som att egentiden är kortare än alla skenbara tider. På samma sätt säger man att egenlängden är längre än alla skenbara längder. Så här brukar man framställa relativitetsteori, och om du tycker det är konstigt är det inte obefogat. Det är ju helt horribla antaganden vi gjort om personer som kan se in genom kupéfönster och göra saker samtidigt och göra häpnadsväckande bedömningar. Men det är så man brukar framställa relativitetsteorin, och man gör det i Einsteins efterföljd. Det var sådana tankeexperiment som han gjorde när han utveckade sin teori, och han gjorde det i Galileis och kanske alla fysikers efterföljd. Det är så som tankar går. Lite svårare är det att få andra att nappa på fantasierna tillräckligt för att de ska kunna delta i ett resonemang om saken. För att göra solid teori av sina tankar får man montera bort mycket av fantasigodset och vad dess rollfigurer tycker och bedömer och upplever – stinsen, passagerarna och äppelkastarna. Kvar finns klockor och måttstockar och olika slags koordinatsystem som rör sig i förhållande till varandra. Sen får man rigoröst se till att inte mer från den åskådningsvärld och upplevelsevärd där vi befinner oss slinker med till den minimalistiska modell vi skapar oss. Ofta blir det då många definitioner och många bokstäver, sådant som man vill undvika i en populär framställning. Här får man bara hoppas på läsarens överseende med fantasiernas larvighet. === Räkna ut Lorentzfaktorn i praktiken === Speciella relativitetsteorin handlar om att räkna om saker med hjälp av Lorentzfaktorn gamma, ''γ''. Nämnaren i faktorn γ kan skrivas <math> \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math>. Det uttrycket anger alltså 1/''γ''. Det finns olika sätt att räkna ut ''γ'' eller 1/''γ''. Har man tur kan man använda Pythagoras sats och få det att passa precis. Om kateterna är 80% och 60% blir hypotenusan precis 100% vilket kan tolkas som att vid 80% av ljusfarten längderna ser ut att vara 60% av vad de medåkande tycker. Om det inte råkar passa precis fungerar ofta ett kastrullock eller annat cirkelformat föremål mycket bra för att bedöma sådana samband, liksom vi gjorde i avståndsavsnittet. Det fungerar bra när man räknar på farter som närmar sig ljuset. Men i andra sammanhang fungerar det sämre. Lorentzfaktorn innehåller en fart i kvadrat dividerad med ljusfarten i kvadrat. Ljusfarten är så oerhört mycket större än de farter vi möter i vardagslivet, så i vardagslag får man sådana tal som 0,0000001% eller ännu värre när man försöker beräkna denna kvot. När vi frågade oss hur mycket förkortad tågkupén verkade när tågets fart var 10 m/s fann vi att denna kvot var 10 gånger 10 dividerat med ljusfartens kvadrat. Det blir 100 dividerat med ett tal som är en nia följd av 16 nollor. Det är ett decimalbråk med först en nolla, sen ett kommatecken, sen 14 nollor före en etta. Det kan man absolut inte läsa av tydligt på kastrullocket och kan bara konstatera att den andra kateten är nästan precis 1. Men det finns trick att räkna ut ungefär hur långt från 1 det är, ibland med större noggrannhet än vad en räknedosa kan ge, som ju bara visar ett begränsat antal siffror. Vi ska lära ut fyra sådana trick eller regler: Regel 1: (1 + ''d'')² ≈ 1 + 2∙''d'' Man vet precis vad 1,00 ∙ 1,00 är. Det är 1,00. Men vad är 1,01∙ 1,01? Man vet inte precis, men förstår att det måste vara bra nära 1,00, bara lite större. Om det inte behöver vara exakt kan man säga att det är ungefär 1,02. Hur mycket kan man vänta sig att 1,02∙1,02 är. Svar 1,04. Och 1,03∙1,03 ≈ 1,06. Decimalen blir i alla dessa fall dubblerad, på ett ungefär. Man kan skriva det sista som (1 + 0,03)² ≈ 1 + 0,06. På samma sätt kan man skriva (1 + 0,04)² = 1 + 0,08. Den allmänna formeln är (1 + ''d'')² ≈ 1 + 2∙''d''. Den gäller med stor noggrannhet så länge ''d'' är ett tal nära noll, alltså så länge summan är nära 1. (Men testar man att sätta ''d'' stort, till exempel som 1, då blir summan 2 och 2∙2 blir 4. Det stämmer inte så bra med höger ledet, som säger att det är ungefär 1 + 2∙1, som ju bara blir 3. Mycket mindre än 1 måste ''d'' vara för att det ska vara värt att räkna med denna formel.) Hur ska man då förstå detta? Tänk på en kvadratisk trädgårdstäppa med 1 meters kant. Man förstorar kvadraten till 1,10 m både på längden och bredden. Båda är 10 procent större, så arean blir 20 procent större. Helt stämmer det inte, för när vi ökade den ursprungliga kvadraten med 10 procent på bägge lederna, då kom det att saknas en liten ruta i hörnet, så en riktigt full kvadrat blev det inte. Det är därför som regeln inte är exakt, och därför man får vara vaksam om det är många procents avvikelse från ett. Med algebra kan man visa samma sak så här: (1 + ''d'')² = (1 + ''d'')(1 + ''d'') = 1∙1 + 1∙''d'' + ''d''∙1 + ''d∙d'' = 1 + 2''d'' + ''d∙d''. Om ''d'' är nära noll blir ju ''d∙d'' ännu närmare noll, och kan då försummas, och högerledet blir ≈ 1 + 2''d''. Ungefär lika fungerar det när man minskar: (1 – ''d'')² ≈ 1 – 2''d''. Till exempel: 0,99 = (1 – 0,01)² ≈ 1 – 2''∙'' 0,01 = 0,98, och på samma sätt: 0,95 ≈ 0,90. Regel 2: (1 + ''d'')³ ≈ 1 + 3''d'' I tre dimensioner kan man i stället för en trädgårdstäppa tänka på en kub som ska göras 10 procent större i alla tre dimensioner. Då får man bygga på med en skiva på längden, en skiva på bredden och en på höjden, alltså tillsamman tre skivor. Det blir 30 procent större: Det räcker nästan till den större kuben, det är bara lite i kanterna och hörnet som fattas. Alltså (1 + ''d'')³ ≈ 1 + 3''d''                           och                     (1 – ''d'')³ ≈ 1 – 3''d''. Regel 3: √ (1 + ''d'') ≈ 1 + ½∙''d'' Den här regeln handlar inte om att ''upphöja'' ett tal som är obetydligt större eller mindre än 1, utan om att ta ''kvadratrot'' ur ett sådant tal. √ (1 + ''d'') ≈ 1 + ½∙''d'' och √ (1 – ''d'') ≈ 1 – ½∙''d''. De formlerna kan man också förstå utifrån den kvadratiska trädgårdstäppan. Man ställer frågan: Om man vill göra kvadratens area 10 procent större och fortfarande kvadratisk, hur mycket längre och bredare ska kvadraten vara? Man tänker på remsorna man tillfogar och förstår att det räcker med 5 procent på vardera leden för att arean ska bli 10 procent större. Alltså hälften av 10 procent. √ (1 + 10) ≈ 1 + 5. Regel 4: 1/(1 + ''d'') ≈ 1 – ''d''. Det låter ganska vettigt – delar man i flera delar blir varje del mindre. Plus nere ger minus uppe. Det gäller också tvärtom, minus i täljaren ger plus i nämnaren: 1/(1 – ''d'') ≈ 1 + ''d''. Den här regeln kan förstås utifrån konjugatregeln, som vi redan använt. Förklaring: Vi börjar med regelns vänsterled 1/(1 + ''d'') och förlänger, det vill säga multiplicerar uppe och nere med samma tal, och i det här fallet med (1 – ''d''). Det kommer inte att ändra bråkets värde. I täljaren får man 1 – ''d'', och i nämnaren får man produkten (1 + ''d'')(1 – ''d''). Med konjugatregeln blir nämnaren 1 – ''d''². Nu var ju ''d'' ett mycket ”litet” tal, det vill säga mycket nära noll. ''d''² betyder detta lilla tal gånger sig självt. Då hamnar man ännu mycket närmare noll. I jämbredd med alla andra tal i formeln, 1 och ''d'', är ''d''² försumbar. Vi kan ersätta det med noll. Då blir nämnaren 1. Alltihop blir 1 – ''d''. Precis det vi skulle visa. Som ett exempel på hur man kan använda reglerna räknar vi ut Lorentzfaktorn   Vi nämnde tidigare att tågets 10 m/s kvadrerat och dividerat med ljusfarten kvadrerad ger ett decimalbråk med först en nolla, sen ett kommatecken, 14 nollor till och sen en etta. Det är nu detta tal som vi kallar ''d''. Lorentzfaktorn blir √ (1/ (1 – ''d'')). Inne i kvadratroten har vi 1 dividerat med 1 – ''d''. Enligt regel 4 är detta ungefär 1 + ''d''. När vi tar kvadratrot ur detta använder vi regel 3, som ger 1 + ½∙''d''. Så stor är Lorentzfaktorn: 1 + 0,0000000000000005. Det är 1,0000000000000005, alltså en etta följd av ett kommatecken, sedan 14 nollor, och sedan eftersom slutettan halverats blir det en nolla till och sen en femma. Detta är på ett ungefär – och vem intresserar sig egentligen för att gräva fram ytterligare siffror många decimalsteg efter femman. === ''E'' = ''mc''² === Om du har läst så här långt har du gått igenom det som Einstein skrev i sin banbrytande skrift 1905 om den speciella relativitetsteorin. Men det återstår några saker som brukar räknas in i samma teori. Framför allt ska vi diskutera den berömda formeln ''E'' = ''mc''², som han skrev om i ett separat arbete som han gav ut samma år. För att förstå den räcker det inte, som i tidigare kapitel, med grundskolematematik och logiskt tänkande, man behöver förstå lite fysik också, först och främst om massa och energi. I fråga om tid och längd har vi funnit att de ändras beroende på rörelse, vilket kan vara lite besvärligt. Men vi fann att man kan räkna med ett föremåls egentid och egenlängd, som är invarianta, alltså oföränderliga och stabila, en gång för alla givna, bara att acceptera för den som ser på dem från en rörlig position. Egentid och egenlängd tar man till för att det inte ska bli hela havet stormar när man sätter in storheterna i formler. Med massa (vikt, den enhet som mäts i enheter såsom kilogram) är det samma sak. Enligt relativitetsteorin beror massan på föremålets fart. Ju snabbare föremålet rör sig i förhållande till iakttagaren desto tyngre framstår det. Och det är som vanligt Lorentzfaktorn ''γ'' som man får multiplicera med. Och precis som med tid kan vi räkna med en ”egenmassa” (brukar kallas vilomassa) som förblir oförändrad när föremål och iakttagare rör sig i förhållande till varandra. Omräkningsformeln är ''m'' = ''γ'' ∙ ''m''_o mellan vilomassan ''m''₀ och den utifrån iakttagna massan. Bara om farten ''v'' är noll mellan föremål och iakttagare blir Lorentzfaktorn 1 och de två massorna lika. För alla andra iakttagare verkar massan vara större än den verkar vara för föremålet självt. Energi är en viktig storhet, för den binder ihop olika delar av fysiken. Några exempel: På ett livsmedelspaket står det alltid hur mycket energi 100 g av livsmedlet innehåller och kan ge ifrån sig för att hålla igång kroppens kemiska funktioner, till exempel ger 100 gram havregryn 1550 kilojoule, och 100 gram knäckebröd ger 1389 kilojoule. En mikrovågsugn brukar ha en maxeffekt på 1000 watt, vilket innebär att den varje sekund drar 1 kilojoule energi, som används för att värma livsmedel. För att värma ett kilogram mat en grad behövs det ca 4 kilojoule energi. Man kan räkna ut att en eldriven hiss behöver 1 kilojoule elenergi för att hissa upp en 100 kilograms last en meter, vilket ger lasten 1 kilojoule höjdenergi, och om ett 100 kilograms cykelekipage rullar ner för en en-meter hög backe förlorar den precis lika mycket höjdenergi, 1 kilojoule, som därvid förvandlas till 1 kilojoule rörelseenergi. Energin kan förvandlas mellan olika former men mängden ändras inte, och det går ofta lätt att räkna ut mängderna energi i olika former så att man kan jämföra dem. Man använder till exempel formeln E = ½ ''mv''² för att räkna ut hur mycket rörelseenergi det finns i ett föremål som har massan ''m'', angiven i kilogram, och farten ''v'', angiven i meter per sekund. Om till exempel farten är 4 m/s och massan är 100 kg, då blir rörelseenergin ½∙100∙4∙4 joule = 800 joule = 0,8 kilojoule. Vi ser att cykelekipaget som for ner för enmetersbacken och fick 1 kilojoule hade chansen att komma upp i mer än farten 4 m/s. Den här formeln används i vanlig gammaldags fysik, ofta utan att man pratar om vad farten ska räknas i förhållande till. I relativitetsteorin använder vi den formel som många känner som Einsteins formel: ''E'' = ''mc''². Den är enkel men verkar ju vara helt annorlunda än rörelseenergiformeln. Men där finns en likhet, och den ska vi visa på nu. I förra kapitlet lärde vi oss några ungefärliga räkneregler för att uppskatta storleken på Lorentzfaktorn  <math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math> när man känner farten ''v''. De reglerna använder vi nu och räknar om den iakttagna massan ''m'' till vilomassa ''m''₀. Man ska ju multiplicera med Lorentzfaktorn, så vi får: ''m'' ≈ ''m''₀ ∙ (1 + ½ ∙ ''v''²/''c''²). (Minustecknet i nämnaren blev plus i täljaren, kvadratroten gav faktorn ½ före kvadraten på förhållandet mellan ''v'' och c, allt enligt reglerna.) Om vi multiplicerar ekvationen med ''c''² och förenklar får vi ett ungefärligt värde på i Einsteins formels högerled: ''mc''² ''≈ m''_o ''c''² + ''mc''² ''∙'' ½ ''∙ v''²/''c''² = ''m''_o ''c''² + ½ ''∙ mv''². Einsteins formel verkar alltså tala om en energi som består av två delar. Efter plustecknet står den vanliga rörelseenergin, som beror på farten ''v'' precis som vi är vana vid från den gamla fysiken. Före plustecknet står en del som inte alls har ''v'' i sig, som alltså är oberoende av farten, och alltså är lika stor även om farten är noll. Den energin finns liksom inneboende i föremålet. Den beror bara på föremålets vilomassa. Alla föremål som väger 1 kg har alltså i sig en energi som är 1 kg multiplicerat med ljusets fart och multiplicerat med ljusets fart igen. Farten anges i m/s och energin får man i joule. Joule-talet blir alltså mycket stort. Vi vet ju hur stor fart ljuset har: trehundra miljoner meter per sekund. I kvadrat nittiotusen biljoner joule – alltså en hel del mer än den energi vi brukar räkna med att få i oss när vi äter ett kilo mat. När speciella relativitetsteorin tillkom var detta bara teori, men snart lärde sig mänskligheten att få ut den energin som liksom bor i massan (eller ''är'' massan) – inte precis ur mat utan ur plutonium och uran, och att använda den för att förinta städer. Då kan man fråga sig vad som händer med den andra termen i formeln, den som motsvarar gammaldags rörelseenergi, när man i en kärnsprängning släpper lös ett så stort energiinnehåll i den första delen, den energi som bor i massan själv. Borde inte den räcka till för att få de söndersprängda atomernas skärvor att börja gå lika snabbt som ljuset, kanske snabbare? Eller borde man inte kunna komma upp över ljusfarten om man envetet matade på mer och mer energi under lång tid? Det är ju det som den andra termen antyder, att mer energi gör ½ ∙ ''mv''² större, och då måste ju ''v'' bli större. Men den här uppdelningen som vi gjort av ''mc''² i dessa två delar gäller bara så länge föremålets fart är liten jämfört med ''c''. Börjar den närma sig får vi räkna med en annan metod, antingen med Pythagoras eller med kastrullocket. Försöker man öka v till ''c'', då blir nämnaren noll, vilket är omöjligt – farten måste vara mindre än ''c''. Ljusfarten är den absoluta gränsen för farter, inga föremål kan nå upp till den. Vi har inte rett ut Einsteins formel lika noga som vi i tidigare kapitel har behandlat tidsutvidgning och längdkontraktion. Det skulle krävt kunskaper om rörelsemängd för att verkligen härleda formeln ''E'' = ''mc''². Men att ''använda'' formeln är lätt: bara att multiplicera med ljushastighetens kvadrat. Och även om man inte bryr sig om att göra den multiplikationen särskilt ofta påminner formeln oss om hur vittomfattande fysikens tankesystem har blivit. Genom seklerna har fler och fler fenomen börjat mätas med samma mått. Både rörelse, lyftarbete, värme, kemisk reaktionsförmåga, elförbrukning, och till slut även massa, kan nu ses som olika former av energi, som vi nu mäter i enheten joule – eller om vi så vill – i enheten kilogram. De två lagarna, den om energins oförstörbarhet och den om massans oförstörbarhet, har blivit till en lag. === Minowski-diagram === Det är vanligt att åskådliggöra en resa eller en annan rörelse med ett diagram, där tiden är avsatt på vågräta axeln och vägsträckan på den lodräta. Ett tåg som kör med jämn fart visas med en rät linje. Ju snabbare det går desto brantare lutar linjen. Om tåget står stilla en stund blir linjen vågrät. Det här är principen för ett Minkowski-diagram. Vi ritar två axlar, en (ofta vågrät) tidsaxel och en rumsaxel. Det är alltså två dimensioner vi avbildar, men rummet har ju i sig tre dimensioner – längd, bredd och höjd – så tillsammans borde det vara fyra dimensioner. Men eftersom man inte kan rita det på ett plant papper, som ju har bara två dimensioner, brukar man nöja sig med de två som vi har angivit ovan, och låter fantasin hjälpa för när det gäller mer vittgående förståelse. Ofta brukar man välja axelgraderingen så att linjen för en ljusstråles rörelse blir en linje som lutar precis 45 grader. Det innebär att varje tidsintervall avbildas lika långt som den sträcka som ljuset går på den tiden. Tiden år avbildas till exempel med ett lika långt gradstrecksavstånd som längdenheten ljusår. Ofta tänker man sig att ljusstrålens linje går genom origo, som betecknar ett slags nu och här. Ljusets bana betecknas antingen med en linje som lutar uppåt eller neråt beroende på åt vilket håll ljuset går. Tänker man sig diagrammet med ytterligare en rumsdimension vinkelrät mot pappret, ges alla tänkbara ljusbanor av punkterna på en dubbelkon vars spetsar möts i origo. Alla föremål, som ju går långsammare än ljuset, visas som linjer, räta eller krokiga, som, om de utgår från origo, håller sig mellan de två ljuslinjerna, den som lutar 45 grader uppåt och den som lutar 45 grader nedåt. Med en rumsdimension till förblir de inom konen under all framtid och har varit inom konens andra halva sedan tidens begynnelse. Rör sig föremålet med jämn fart längs en rät linje, då blir dess diagramkurva en rät linje genom origo. Vi kan använda det här diagrammet för att visa hur en tågpassagerares position och tid ändras beroende på vilken fart kupén har i förhållande till diagrammet. Om man bara tänker på vanligt sätt, så som man gjort under seklerna från Galileo Galileis tid och fram till Einstein, då ritar vi in en ny tidsaxel i samma diagram: Vi har samma origo och samma rumsaxel men ritar den nya tidsaxeln så att den lutar så mycket som tågets fart anger. Det blir ett dubbeldiagram, där vi med en linjal kan dra linjer parallella både med den gamla vågräta och den nya sneda tidsaxeln och läsa av positionen för vilket som helst föremål inne i kupén, både uttryckt i det ursprungliga systemet (stinsens) och det nya (kupéns). Tiden är traditionellt helt oberoende av rörelse, så när vi med linjalen får fram en skärningspunkt med den nya tidsaxeln, då får vi fortfarande använda den gamla tiden som ges av samma linjes skärning med den ursprungliga vågräta axeln. Så gjorde man, och så gör man när man inte behöver tänka på att ljusfarten alltid är den samma. Men om man tänker ordentligt på det och förstår att ljusfartens konstans förändrar tiden, då räcker det inte med att bara dra ut strecket med linjalen till den gamla axeln. Man måste för det första vicka båda axlarna så att rumsaxeln kommer tidsaxeln en bit till mötes och för det andra måste man dra strecken med krokig linjal, en linjal som är krökt som en hyperbel. En hyperbel är en kurva liksom en cirkel eller ellips. Om man lyser rätt ner på gatan med en ficklampa, kommer ljuskäglan att bilda en cirkel. Lutar man lite på lampan kommer cirkeln att dras ut till en ellips (en ”oval”). Ju mer man lutar på lampan desto långsmalare blir den elliptiska kanten på det belysta området, tills den sträcker sig ända till gatans slut och då inte längre är en ellips utan en parabel, samma kurva som man ser när en fin vattenstråle sprutar ut och kröks ner mot marken av jordensdragningskraft. Lutar man ännu mer på lampan blir ljusranden slutligen en hyperbel. En sådan är nästan V-formad, bara med en svag rundning i vinkeln. I Minkowski-diagrammet bildas perfekta spetsiga V:n av de två ljusstrålelinjerna som möts i origo. Inuti dessa V:n löper hyperbelbågar liksom slarvritade icke-spetsiga V:n. En sådan hyperbelbåge löper alldeles intill 45-graders ljusstrålelinjen längst till höger där tiden är stor, men närmare origo sjunker den ner och genar sen över mot den andra ljusstrålelinjen, – 45-graderslinjen, som den närmar sig alltmer ju längre åt höger den kommer. Den hyperbelbågen har ekvationen ''t''² –  ''s''² = 1. Den kan man använda som ”linjal” för att hitta från ett skalstreck på den ursprungliga tidsaxeln till den nya vridna tidsaxel som svarar mot tåget i rörelse. På samma sätt kan man använda ''s''² –  ''t''² = 1 för att hitta från ett skalstreck på den ursprungliga rymdaxeln till motsvarande på den nya axeln som är vriden i motsatt led. Vi går inte in på hur man gör detta i praktiken, för ibland räknar man inte med hyperblar utan gör ett trick så att man kan använda cirklar i stället. En hyperbel har ju en ekvation som liknar cirkelns ekvation mycket. Det enda som skiljer är att man har minus i stället för plus mellan de två kvadraterna. Det kan synas vara en allvarlig skillnad eftersom kvadrater alltid är positiva, efter vad man lär sig i grundskolan. Men i gymnasiet lär man sig ibland om imaginära tal och komplexa tal, som är uppfunna för att man ska kunna räkna med kvadrater som är negativa, och då kan man få cirkelns ekvation i stället för hyperbelns. Då kan man få sitt nya diagram helt enkelt genom att vrida båda axlarna i den gamla grafen i samma riktning. Vi går inte in på det heller, eftersom komplexa tal inte är någonting som är lätt att förstå sig på. Men eftersom vridning har med vinklar att göra, vill vi påpeka att man lätt förleds att tro att det handlar om samma vinkel som man upplever när man mixtrar med kastrullocket, vinkeln mellan hypotenusan 1 och den vågräta kateten ''v''/''c''. Skillnaden är att i det fallet var ettan i hypotenusan, i Minkowski-diagrammet bildas vinkeln av en triangel med 1 i vågräta kateten och ''v''/''c'' i lodräta kateten. Det här med diagram över den fyrdimensionella rum-tiden var inte något som fanns med i Einsteins arbeten 1905, varken det där han redde ut hur man kan förena relativitetsprincipen med att ljusfarten alltid är den samma, eller det arbete senare samma år där han la fram sin formel ''E'' = ''mc''². Det var hans lärare Minkowski som ganska snart efteråt visade på att man kunde få hjälp av dessa diagram och av vridningar av axlarna. Det tog lite tid innan Einstein nappade på denna utvidgning av relativitetsteorin. Han blev entusiastisk först när Minkowski var död, och han hade stor hjälp av diagrammen när han senare utarbetade den allmänna relativitetsteorin.     === Kvarstående problem === På Einsteins tid i början av 1900-talet fanns det två saker som hade börjat skava i Newtons mekanik. Den första har vi tagit itu med i den här skriften: Med hjälp av speciella relativitetsteorin har vi släppt lös tid och rum och därmed fått mekaniken att stämma med att ljusfarten är konstant, vilket optiken och elläran har visat. Det som nu kvarstår att behandla är framför allt att det inte är ordentligt utrett vad man menar när man säger att ett föremål (till exempel en tågvagn) inte får ändra fart eller riktning för att vi ska kunna göra våra uträkningar. Exakt vad är det som de måste röra sig jämnsnabbt rakt fram i förhållande till? Och hur är det med allt det som inte kvalificerar för våra beräkningar. En annan konstighet är att allt som faller accelererar lika snabbt. Det är något som man bara kan acceptera, eller också börja grubbla över liksom Einstein gjorde efter att den speciella relativitetsteorin var klar. Newton hängde upp en hink med vatten i ett rep och snurrade den så att repet tvinnades många varv, och släppte sen lös den så att repet tvinnades upp och hinken därvid snurrade snabbt och ganska länge så att också vattnet i den kom i snurrning. Han observerade att vattenytan då buktades uppåt mot kanterna med fördjupning i mitten. Man kan iaktta samma fenomen om man rör med en tesked i en kopp med en dryck, men man tror kanske då att det beror på något slags friktion mellan koppens vägg och vatten. Även då får ytan en grop i mitten. Vattnet söker sig ut mot kanterna. ”Centrifugalkraften” kanske någon säger, men vad är väl det? Bara ett ord? Det brukar förklaras som att vattenmolekylerna som har kommit i rörelse ”vill fortsätta rakt fram” på grund av sin tröghet. När de inte kan det för att hinkens vägg buktar emot tornar sig vattnet upp nära väggen. Även i övrigt har vi alla erfarenhet av fenomenet centrifugalkraft, att det som snurrar verkar tryckas utåt eftersom det vill fortsätta. I en karusell eller när en bil svänger i en kurva skuffas passagerarna mor ytterväggen, den vägg som är bort från centrum. (Centri-fugal betyder centrum-flyende.) Men det har förblivit oförklarat i förhållande till vad som snurrandet sker. Hur kan vattenmolekylerna veta att de snurrar? Vi människor vet det – tror oss veta det – för att vi har ögon att se med och kan iaktta allt runt hinken – husen, skogen, stjärnhimlen – men vattenmolekylerna har inga ögon. Hur kan vattnet veta något om omvärdens stillastående? Det befinner sig i en hink, ibland förväntas det krypa upp längs kanterna, ibland inte. Vi människor har ögon, som lockar oss att se stationshuset och perrongen som stillastående och hinken som snurrande men vi har också ett intellekt som kan se det på andra sättet och som kan sätta sig in i vattenmolekylernas situation. Newton lyckades inte förklara varför somligt verkar snurra på riktigt, men han kunde hantera problemet. Fysiker kallar det för acceleration när något inte fortsätter jämnsnabbt rakt fram. Det vi vanligen kallar acceleration är när det går snabbare, men man kan kalla det acceleration också när det går långsammare (negativ acceleration eller retardation) eller när farten förblir den samma men riktningen förändras.  Newton skilde mellan berättigade och icke-berättigade system. Den snurrande hinken är ett icke-berättigat system, för där krävs att man tänker sig en fiktiv kraft, centrifugalkraften, som trycker vattnet och allt med massa ut mot väggarna. I berättigade system däremot behöver man bara räkna med verkliga krafter, sådana som tyngdkraften som attraherar massor och ger dem acceleration. Perrongen med stinsen kan vi betrakta som ett berättigat system (åtminstone nästan berättigat, för jorden snurrar så pass långsamt, bara ett varv per dygn, att en eventuell centrifugalkraft blir mycket svag, omärkbar i en vattenhink som står stilla på en perrong). Då menade Newton, och speciella relativitetsteorin i dess efterföljd, att allt som inte accelererar i förhållande till ett berättigat system också är ett berättigat system. Det gäller till exempel tåget som rör sig med jämn fart rakt fram i förhållande till stationen. Inte heller inne i tåget känner man av några fiktiva krafter, och också inne i tåget kan man hänga upp en hink och se att vattenytan är plan så länge hinken är stilla i förhållande till kupén, sen kan man låta hinken snurra och ser då att vattnet stiger mot kanterna – precis som det gör för stinsen på perrongen om hon hänger upp sin hink och bringar den att snurra. Så länge vattnet snurrar är bägges hinkar icke-berättigade system. Vattenmolekylerna i dem tvingas ändra riktning hela tiden. De accelererar. Den speciella relativitetsteorin ärvde mysteriet med berättigade och oberättigade system från Newton. Det tillkom även en ny paradox om man försökte använda speciella relativitetsteorin på icke-berättigade system: Tänk dig att vi lägger ut måttstavar på golvet i en cirkelrund snurrande karusell och iakttar deras längder från ett torn ovanför karusellen. Måttstavar som ligger i cirkel längs karusellgolvets kant ser förkortade ut eftersom de rusar fram med en fart jämfört med oss. Annat är det med stavar som ligger radiellt, från mitten ut mot kanten. De ser inte ut att minska i längd (bara i bredd) eftersom rörelsen sker vinkelrätt mot stavlängden. Men det är ju konstigt, att omkretsen krymper men radien är oförändrad. Då gäller inte formeln för cirkelns omkrets längre, den som säger att omkretsen är 2∙''π∙r'', där ''π'' ≈ 3,14. Det är som när man virkar en rund grytlapp och spänner garnet för hårt i de sista varven så att grytlappen snörps samman ut mot kanten och blir som en kupa. Det är det som brukar kallas ”den krökta rymden”. Men innan Einstein kom någon vart med mysteriet att somliga hinkar har buktig vattenyta och andra plan yta funderade han på mysteriet att tunga och lätta föremål faller lika snabbt. Om man stöter kula så märker man att det krävs större kraft att få fart på en 6 kg kula än på en trekilos kula. Man säger att den har dubbelt så stor trög massa, 6 kg i stället för 3 kg, och då krävs det dubbel kraft. På samma sätt märker man att det är svårare att få fart på en järnvägsvagn än på en barnvagn. Det krävs en hel skolklass för att skuffa igång järnvägsvagnen men bara en elev för att skuffa barnvagn. Då skulle man kunna tro att det var samma sak med jordens dragningskraft också, att jorden har svårare att få stora kulan att falla än att få den lilla upp i samma fart. Men så är det inte med jordens dragningskraft. Men det är inte tvärtom heller, att en stor kulan skulle falla snabbare, vilket många naiva människor trodde innan Galileo Galilei visade att de faller lika snabbt ifall man släpper ner dem till exempel från tornet i Pisa. Tyngdkraften verkar fungera så att om tröga massan är dubbel så blir samtidigt jordens kraft dubbel. De kompenserar varandra precis, så att båda kulorna dras igång med samma acceleration. Samtidigt som det finns trög massa i kulorna finns det även en ”tung massa” i dem. När den tröga massan är 3 kg då är också den tunga massan 3 kg, när den ena är 6 kg är den andra också 6 kg. När den tunga massan drar då motverkar den tröga massan att accelerationen blir snabb. Alla experiment visar att de två sorternas massor alltid är lika, det var rent pedanteri att skilja dem åt, för de var ju samma. Men mystiskt var det att det som bestämmer jordens dragkraft och det som bestämmer kulornas obenägenhet att accelerera alltid råkade vara samma sak. Det var inget praktiskt problem, som när det på 1800-talet kom fram att ljuset alltid gick med samma fart, men det var mystiskt. Det tog Einstein tio år efter att han blivit klar med speciella relativitetsteorin innan han kom någon vart med det mysteriet. Det blev den allmänna relativitetsteorin, som ligger utanför ramen för denna skrift, som har handlat om den speciella relativitetsteorin. :::::::<math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math> n6qzg17zcyvxga55g8s2ar1jmkzhud5 0 11380 57400 2025-06-15T22:10:37Z Oshifima 283 Skapar ny bok 57400 wikitext text/x-wiki === Förord === Man kan med rätta fråga sig om det behövs ytterligare en popularisering av relativitetsteorin. Men många människor läser sådant, vilket tyder på att de inte blir tillfredsställda av första bästa förklaring. Denna skrift skiljer sig från de flesta i att den inte väjer för formler och räkningar men samtidigt inte kräver mer än grundskolekunskaper i matematik och fysik. Den förklarar enbart den ''speciella'' relativitetsteorin, den berömda teori som Einstein utvecklade 1905, inte det arbete om relativitet som han fortsatte med under de följande tio åren, den ''allmänna'' relativitetsteorin. Den speciella relativitetsteorin kräver faktiskt inte mer än grundskolematematik. Det är inte matematiken som sätter hinder i vägen att förstå den. Svårigheten när man läser en vanlig läroboksframställning av den speciella relativitetsteorin ligger oftare i att formlerna använder många bokstäver, samtidigt som läsaren behöver koncentrera sig på några få i taget. En mer vetenskaplig framställning å andra sidan är ofta så kortfattad att man lätt missar någon detalj. I den här skriften möter man många upprepningar, omtagningar. Det kan tyckas vara ett enahanda ältande, men det är skrivet så för att texten inte ska glida förbi någon viktig punkt. Läsaren ska inte bli lämnad med känslan att allting är paradoxer, som man bara måste acceptera för att få en insikt i teorin. Paradoxmakeri har ofta följt i spåren på populariseringar av relativitetsteori. Det borde kunna undvikas. === Rörelse är relativ === Relativitetsteorin har sitt namn av att den utgår ifrån att all rörelse är relativ. Det är inte någon tanke som var ny i och med relativitetsteorin, det nya med relativitetsteorin var att den drog konsekvenserna av denna gamla idé som också Newton hade byggt sin mekanik på. Att rörelse är relativ betyder att om vi sitter på ett tåg och tåget långsamt sätter igång och vi ser stationen glida förbi tågfönstret, då är det inte klart om det är tåget som rör sig eller stationen. Om skenorna och hjulen är släta och föraren startar försiktig märker vi inte om vi rör oss eller inte. Det är inte så att magen börjar krångla om vi är i rörelse, eller att vår syn blir skarpare eller att vattnet skvalpar ut ur dricksglaset. Alla naturfenomen fungerar lika vare sig man rör sig eller inte. Det är inte så att ''egentligen'' står stationen stilla. I praktiska sammanhang kan man vilja se det så, för det verkar lite konstigt att just detta tåg av alla ting i världen stod stilla. Men tänker man lite mer förstår man att det också vore konstigt att just stationshuset stod stilla. Jorden snurrar ju. Huset liksom allt på dess yta sveper åt öster med hög fart. Och av samma orsak vore det konstigt att just jorden, eller just solen, i världsrymden vore den absolut stillastående. Om någon säger: ”Den står stilla”, då blir den obönhörliga följdfrågan: ”I förhållande till vad?” Om det bara fanns ett föremål i universum – då vore det meningslöst att fundera över om det rör sig eller inte. Finns det två så kvittar det om vi väljer det ena eller det andra eller ingetdera som stillastående. Är det fler än så står det oss också fritt. Så tänkte Newton huvudsakligen, och så tänker många och det är en bra tanke, men Newton fick göra ett tillägg till sin mekaniska teori för att det verkligen skulle kvitta vilket som rör sig: Ett föremål måste röra sig med jämn fart rakt fram för att det ska komma i fråga att betraktas som stillastående, menade han. Kröker banan eller ändras farten, då fungerar inte Newtons lagar som det är tänkt. Egentligen fungerar alltså inte lagarna för stationshuset, det går ju inte rakt fram, det snurrar ju med jorden. Och det gör ju tåget också eftersom det går på skenor som snurrar med jorden. Men i praktiken går det faktiskt bra att räkna med Newtons lagar ändå. Huset och skenorna snurrar bara ett varv på ett dygn, det är så pass långsamt att vi ofta kan bortse från det. Men det ligger där och skaver, att det mesta inte är helt precis, och det skaver än mer att det inte är ordentligt utrett i förhållande till vad som föremålet inte får kröka eller ändra fart för att man ska kunna räkna med Newtons formler. På slutet av denna skrift ska vi beröra problemet med sådant som inte rör sig jämnsnabbt rakt fram. Nu ska vi ta itu med ett mycket större problem som hotade Newtons mekaniska teori på 1800-talet: Newtons mekanik passade inte riktigt ihop med elläran och optiken. Fysiken hade på 1800-talet tre läror som fungerade bra var för sig, men om man skulle behandla något fenomen som var både mekaniskt och optiskt eller mekaniskt och elektriskt, då stred teorierna emot varandra. Både elektriska signaler, magnetiska signaler och ljus rör sig i tomrum med en bestämd fart, ganska precis trehundra miljoner meter per sekund – alltid samma fart oberoende av om lampan som alstrar ljuset ”står stilla” eller rör sig, oberoende av om man mäter farten vid stationshuset eller i tåget. Så borde det inte vara med våra – och Newtons – vanliga begrepp, vilket vi ska visa i nästa kapitel. === Farter brukar adderas === Om man går en meter på en sekund, då är farten 1 m/s. Går man dubbelt så snabbt är farten 2 m/s. Om en passagerare på ett tåg stiger upp och skyndar framåt i tåget, två sittplatser fram på en sekund, då har han gått med farten 2 m/s ''i förhållande till tåget''. Men en stins som står på perrongen när tåget går sakta förbi, ser kanske att tåget går 10 m/s, och genom fönstret ser hon denna passagerare röra sig och hon uppfattar då att passageraren kommer 10 meter + 2 meter framåt på denna sekund. Tåget för passageraren 10 meter framåt och med egna fötter rör sig passageraren 2 meter. 12 meter per sekund verkar farten vara för stinsen. Om passageraren, i stället för att stiga upp och själv skynda framåt, tar en ficklampa och blinkar med den framåt i tågets färdriktning, då tycker man att det skulle bli samma sak med farterna, att ljusstrålens fart och tågets fart skulle adderas, bara att ljusets fart (”ljusets hastighet” säger man ofta) är mycket större än passagerarens gångfart. Den är inte 2 m/s utan 300 000 000 m/s (trehundra miljoner meter per sekund). Stinsen på perrongen borde utifrån sitt logiska räknande tycka att tåget går 10 m/s och att ficklampsljuset inne i kupén går 10 m/s + 300 000 000 m/s. Men konstigt nog finner hon (om hon har en sjusärdeles ljushastighetsmätare) att ljuset inne i tåget går precis lika snabbt som ljuset från hennes egen stinslykta, som inte rör sig i förhållande till perrongen. Nu kan man ju förstå att det är enormt svårt att märka skillnaden – ett tillskott av 10 märks ju knappt när det adderas till något så stort som trehundramiljoner. Ja det är nästan omöjligt för en stackars stins, som bara ser en skymt av ljuset genom fönstret i ett förbifarande tåg. Och även annars är det svårt att mäta ljusfart – men det är inte det som är det stora problemet. Det finns ett principiellt problem bakom, som har gäckat horder av skickliga fysiker. Det är mycket konstigt, men många experiment har bekräftat det, att ljusets fart är konstant. Oberoende av hur man rör på lampan eller mätutrustningen mäter man alltid samma fart, ganska precis 300 000 000 m/s. Man kallar denna ljusfart i vacuum för c. (Om ljuset måste gå genom vatten eller glas går det långsammare, men det är en helt annan sak, som vi inte ska tala mer om i denna skrift.) Bokstaven c betecknar egentligen farten (”hastigheten”) 300 000 000 m/s, men i denna skrift har vi tillåtit oss att låta c beteckna talet 300 000 000, alltså utan enhet, för att vi ska kunna koncentrera oss på matematiken och sen förtydliga med ”m/s”. Likadant har vi gjort med andra bokstäver som står för andra fysikaliska storheter. Man undrar ju då hur långt en ljusblinkning når på en sekund. ”Trehundra miljoner meter”, säger passageraren. ”På 2 sekunder går den 300 000 000 gånger 2 meter”, fortsätter han. Med bokstavsformel blir det ''c∙''2 meter.” ”På 3 sekunder går den en sträcka som är 300 000 000 ''∙ 3'' meter, alltså ''c∙''3 meter. På ''t'' sekunder går den en sträcka som är 300 000 000 ''∙'' ''t'' meter”, fortsätter passageraren. ”Med bokstavsformel blir det ''c∙t'' meter.”  Men stinsen på perrongen tycker annorlunda. Hon hör att passageraren hojtar ''c'' m/s, och hon vet att tåget går 10 m/s, så hon tycker med sitt räknande att strålen borde ha gått sammanlagt (''c'' + 10)''∙t'' meter. (Alltså (300 000 000 + 10)''∙t''.) Men om hon mot förmodan klarar av att mäta farten på strålen som är inne i tåget blir det inte så. Det blir ''c∙t'', precis som passageraren mätte att den var i förhållande till vagnen. Så då tycker hon att passagerarens uppgift måste vara fel; i förhållande till tåget borde passageraren ha mätt en mindre ljusfart än den hon mätt själv. Passageraren borde ha mätt ljusfarten  (''c'' – 10) m/s, tycker stinsen. Hur ska de kunna bli överens, när den ena tycker en sak och den andra en annan? Man kan väl inte få att  ''ct'' = (''c'' + 10)''t'', och inte heller att  ''ct'' = (''c'' – 10)''t''. (Skriver man ljusfarten med siffror blir det: ”Man kan väl inte få att 300 000 000''∙t'' = (300 000 000 + 10)''∙t'', och man kan inte heller få att  300 000 000''∙t'' = (300 000 000 – 10)''∙t''.”) Det är ju inte så i fråga om gångfart, att man kan få att 10∙''t'' = (2 + 10)∙''t''. (Du kan ju försöka lösa den ekvationen, att 10 gånger ett tal är det samma som 12 gånger samma tal. Enda lösningen är att ''t'' = 0, och det är ju inte det vi är intresserade av, att ljuset inte hinner gå alls på nolltid.) === Som att kasta äpplen === På en lång rak aveny kör en bil med god fart med de två skälmarna Rulle och Fille på flaket. Fille står och Rulle sitter. Det är kväll. De har blivit ombedda att hjälpa till att frakta bort en massa fallfrukt, äpplen som har börjat ruttna. Fille vill skoja lite, där han står vid högen med fallfrukt på flaket, så han tar ett äpple och slänger det mot en gatskylt strax framför bilen. Han lyckas verkligen träffa och det skräller till ordentligt i plåten. Det hetsar upp hans kompis Rulle som sitter bredvid på flaket så även han bestämmer sig för att kasta ett äpple. Han kastar mot en skylt som de precis passerat. Till hans förvåning når äpplet inte fram. Rulle försöker med nästa skylt som de passerat, och det är samma sak. Fast han kastat hårt och avståndet till skylten inte var långt så nådde äpplena inte fram. De bara föll rakt ner på marken, för de hade ingen fart. Han har i bägge fallen kastat tvärtemot bilens färdriktning. Han tycker att han kastar äpplet framåt, att hans arm rör sig framåt, men samtidigt som Rulle med sina muskler rör den ”framåt” rör bilen armen ”bakåt”. Armens fart när den skjutsar iväg äpplet upphävdes av bilens fart som skjutsar både honom och hans armar vidare mot nya äventyr och nya skyltar. 50 km/h – 50 km/h = 0 km/h. Det var Fille som hade tur när han kastade det första äpplet i bilens körriktning, tur på det sättet att hans tjong-träff fick inspirerande effekt på Rulle. Nu börjar Fille experimentera. Han släpper ner ett äpple för att se om det också faller rätt ner, liksom Rulles två kastade äpplen. Det gör det inte. Ja, det tycks så först, när han släpper ner det på flaket, men när han släpper det bredvid bilen når det marken alldeles intill bilen fast bilen då har hunnit längre fram än i ögonblicket när han släppte det. Det faller alltså inte lodrätt ner över den plats på gatan där han släppte det. Det har ju fått skjuts av bilen, som genom handen som släppte det fick det att rusa vidare jämsides med bilen till bilens nya läge där det når marken. Han slänger nu äpplen lite lojt åt sidan och ett av dem råkar smasha i en lyktstople vid vägkanten, fast han inte egentligen har gett det just någon fart, för det har ju bilens fart i sig. Då fattar även Rulle att han inte ska kasta bakåt. Helst ska han kasta i bilens körriktning, framåt över förarhytten, tänker han. Han stiger upp och får iväg ett äpple mot nästa gatskylt, en som de ännu inte har passerat. Och verkligen. Det blir en sådan smäll, 50 km/h + 50 km/h, att föraren tvärbromsar och säger att de två odågorna inte ska få någon lön eftersom de inte har ombesörjt att samtliga äpplen lossas på avstjälpningsplatsens kompost så som det avtalats. === Sprida ljus i stället för att kasta äpplen === Fille och Rulle får stiga av och traska hem. Grämer det dem? Ja, förstås, men samtidigt är de uppfyllda av äpplenas flygande som de inte kunde fortsätta att studera när nyfikenheten hade gripit dem båda. Nu börjar de undra hur det hade varit om de inte hade kastat äpplen utan ljus i stället. Om de hade haft en stark lampa och lyst bakåt, hade det då varit så att ljuset inte hade kommit fram eftersom dess fart hade minskat med 50 km/h? – Ljuset kommer nog fram i varje fall. Det går så mycket snabbare än bilen, säger Fille. – Men om vi har en bil som är mycket snabbare än den där surpuppans, som inte gav oss någon lön? – Det har vi inte. Vi har inte ens pengar till bussen, eftersom du sabbade kontraktet och började kasta framåt. – Och om vi lyser framåt, hur ser det ut när ljuset går dubbelt så snabbt? Rulle tystnar, men efter en stund säger han: – Vi har inte bil eller buss, men vi har fortfarande jorden. Jorden vi står på rusar fram genom rymden. – Och så tänker du lysa upp i rymden? – Nja, jag tror inte det behövs. Du ser stjärnorna som lyser mot oss från himlens alla håll. Ljuset från dem kolliderar med jorden som rör sig. Vi kan jämföra stjärnljuset från de stjärnor som vi rusar bort från med dem som vi rusar mot. Tror du att Rulle och Fille lyckas klura ut åt vilket håll jorden rusar just då? Jorden rör ju sig hela tiden runt solen, och den snurrar också hela tiden så att Filles och Rulles ort på morgonen rör sig åt öster, alltså i riktning mot solen som är i öster, och om kvällen rör sig bort från solens riktning. Öster, väster, söder norr, eller rakt upp. Eller kanske rakt ner? Fille och Rulle tittar i alla riktningar där de ser stjärnor, men de ser inte någon större skillnad. Stjärnorna blinkar ungefär lika i alla riktningar. En del är starkare, andra svagare, men inte i någon bestämd riktning. I slutet av 1800-talet var det två jeppar som faktiskt lyckades mäta farten hos ljus som kom in från olika håll. De hette inte Fille och Rulle utan Michelson och Morley. De blev berömda för att det blev uppenbart att det inte var någon skillnad. Det var inte så att ljuset piskade emot dem från ena hållet och milt svepte efter dem från motsatta hållet. Ljuset gick lika fort vare sig de testade mot eller med sin rörelse, vår jordiska dygnsrotationsrörelse. Det gick också lika fort med som mot den årliga banrörelsen kring solen, eller i kombinationer av dessa riktningar. Ljuset verkade komma in i mätinstrumentet med samma värdiga fart, ''c'' = 300 000 000 m/s, oberoende av allt. Det var mycket konstigt, skulle Newton ha tyckt om han fortfarande hade levat under 1800-talet, och det hade Fille och Rulle tyckt om de vetat om Michelsons och Morleys resultat. Ljus är inte alls som äpplen. Ljus är inte som regn eller storm, som piskar hårt mot framvindrutan men knappast alls bakifrån. Ljus verkar inte kunna frontalkollidera eller köra jämsides med materia. Ljusfarten är konstant. Ingenting stämmer för den som tänker mekaniskt. Filles och Rulles fina slutsatser på bilflaket slår slint. Kan man över huvud taget addera och subtrahera farter och lita på resultatet? Jo, det kan man om man är mycket försiktig. Man får inte ta något för givet. Det första man brukar skylla på när resultatet inte blir vad man väntar sig är mätinstrumenten. ”Det är fel på kompassen”, säger orienteraren som inte kommer i mål eller kommer mycket sent. Ska vi skylla på fartmätarna? En ljusfart-mätare mäter hur långt ljuset går på en viss tid. Men kan den verkligen hålla reda på tiden? Kan den hålla reda på avstånd? Tveksamt, menade Einstein. Och det är inte det att det är så känslig mekanism så att den lätt blir i olag. Den mäter nog bra, men den mäter kanske något annat än man tror. Den mäter på sitt speciella sätt som beror på hur instrumentet rör sig. Tid och avstånd mäter den alltid så att ljusfarten blir lika. Vi kan inte tala om tiden som om det bara fanns en sorts tid. Varje rörelse har sin tid. Och med avstånd är det samma sak. Fysikerna Michelson och Morley, som kom underfund med att ljuset alltid har samma fart, gjorde inte alla detaljer så som vi förenklat har beskrivit ovan. De hade inte samma förväntan som Fille och Rulle, att ljus skulle bete sig som flygande äpplen med bilens och kastarmens farter adderade i sin fart. De tänkte sig inte att det skulle vara som en passagerare som vandrar i en tågkupé och som från stinsens synpunkt sett borde ha tågets fart adderad till sin egen fart. Michelson och Morley trodde snarare att det var som när man hoppar ur en båt och simmar bredvid den, eller som när en mås som sitter på tågtaket lyfter och flyger till en annan vagn och slår sig ner på dess tak. I dessa fall blir den rörelse de eventuellt har med sig från början betydelselösa så snart de är hänvisade till att kämpa sig fram i sitt medium. Måsen och simmaren har sin bestämda fart jämfört med elementet där de rör sig. För ljuset tänkte sig Michelson och Morley att det fanns en ”eter”, ett slags omärkligt ämne som genomträngde hela universum, allt som ljuset kunde ta sig genom med sin bestämda fart, även tomrummet mellan stjärnorna. De ville bara veta om denna ”eter” stod stilla i solsystemet eller rörde sig liksom luften gör när det blåser eller vattnet när det strömmar. De fann ingen ”etervind” och ingen stillastående eter heller. Det var mycket konstigt även från deras synpunkt. === Konjugatregeln === Om du redan vet vad konjugatregeln är kan du hoppa över det här avsnittet. Konjugatregeln säger att (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''². Du kanske har sett den skriven med andra bokstäver, eller med vänster och högerled omkastade. Den ger oss ett recept för hur vi kan omforma vissa matematiska uttryck. Om vi har det som står till vänster om likhetstecknet kan vi utan problem skriva det till höger i stället, ''a''² – ''b''², och det kanske i vissa fall är att föredra. Den formen kanske föder idéer om hur vi ska kunna räkna vidare. Så här kan man förstå konjugatregeln: [[File:Konjugatregels-syslöjd.png|300px|right]] – Kan du konjugatregeln? – Nä. – Flaggor brukar vara rektangulära men inte kvadratiska. Om du har en kvadratisk tyglapp och vill sy en normal flagga av den, då kan du ta och klippa av en remsa från ena kanten. Det blir en något långsmal rektangel och en remsa. Vill du ha en ännu längre rektangel kan du sy fast remsan längs kortsidan. Men då ser du att remsan är lite för lång, för den är ju lika lång som kvadraten var, och kortsidan är kortare än kvadratens sida var. Exempel: Kvadraten är 30 cm × 30 cm. Du klipper av 5 cm. Då har du en rektangel 25∙30 kvar. Sen syr du på 5 cm och får 25∙35, men du får klippa av en bit av remsan, en bit som är 5∙5. Den nya rektangeln är alltså så stor som den ursprungliga kvadraten ''minus'' den lilla bortklippta kvadraten 5∙5. (30 + 5)(30 – 5) = 30² – 5². (Lilla tvåan uppe till höger betyder att talet är multiplicerat med sig självt. Det uttalas ”kvadrat”.) Formeln visar hur konjugatregeln fungerar: Förlängd sida gånger förkortad sida är som ursprungliga kvadraten minus hörnkvadraten. Man kan också räkna ut samma sak genom att multiplicera innehållen i de två parenteserna ”term för term”. 30∙30 + 30∙5 – 5∙30 – 5∙5. De två mittersta termerna tar ut varandra för den ena har minustecken och den andra plustecken. Den allmänna formeln (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''² kan man komma fram till genom att multiplicera ihop de två uttrycken (''a'' – ''b'') och (''a'' + ''b'') term för term. Alla fyra kombinationerna måste vara med: ''aa'', ''ab'', –''ba'' och ''bb''. Sen ser man att två av dessa produkterna kan strykas, eftersom de har olika tecken. Ett exempel till: Tänk dig att du har en liten näsduk 10 cm × 10 cm, och inte vill ha en kvadratisk utan en som är mera långsmal. Då kan du klippa av en tre centimeters remsa på ena sidan och skarva i den på kortsidan. Då blir den (10 – 3) cm på ena leden och (10 + 3) cm på andra leden. Men då blir det ett litet hörn över, för remsan är för lång för kortsidan och skjuter över. Den får man klippa bort: 3 cm ∙ 3 cm. Den ursprungliga arean var 10∙10 = 100 cm². Man klippte bort 3∙3 = 9 cm². Arean efter att man sytt om näsduken blir som skillnaden mellan de två kvadraterna: (10 – 3)(10 + 3) = 10∙10 – 3∙3. Det här gäller för vilka tal som helst, att en kvadrat minus en liten hörnkvadrat är lika med en rektangel enligt formeln: (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') = ''a''² – ''b''². Det kallas konjugatregeln. Man kan också använda konjugatregeln i andra riktningen: Om vi har ett tal a² minus en annan kvadrat, då har vi möjlighet att skriva det liksom vänstersidan är skriven, med två parenteser, en med a plus något och en med a minus samma sak. Det som står till vänster och till höger om likhetstecknet är olika uppenbarelseformer av samma sak. De ser olika ut, men de är lika. Ibland vill man ha den ena formen ibland den andra. Konjugatregeln är en omskrivningsregel. Ibland kan man använda konjugatregeln för att förenkla huvudräkning. Ska du räkna ut 7∙13 så kanske det inte är så lätt. Om du då kommer att tänka på att de två talen ligger lika långt från 10, att 7 = (10 – 3) och att 13 är (10 + 3), då kan du använda konjugatregeln förstå att svaret är 10∙10 minus 3∙3, alltså 100 minus 9, som är enkelt att räkna ut i huvudet. Det gäller att lägga märke till mönstret. På samma sätt om du måste räkna ut 13∙27 i huvudet. Märker du då att de två talen ligger lika långt från 20, att 13 = (20 – 7) och att 27 är (20 + 7), då är din lycka gjord. Då förstår du genast att svaret är 20∙20 minus 7∙7, alltså 400 minus 49, som är bra mycket enklare att räkna ut i huvudet. Konjugatregelns mönster (''a'' – ''b'')(''a'' + ''b'') hjälper även här. Förutom siffror kan man lika gärna sätta in uttryck med bokstäver. Med bokstaven ''c'' som betecknar ljushastigheten och v, som brukar användas för att betecknar någon fart (velocity), till exempel ett tågs fart, kan vi förstå att: (1 – ''v''/''c'')(1 + ''v''/''c'') = 1² – (''v''/''c'')². Träffar man på vänsterledet kan man byta ut det mot högerledet. – Har man någon nytta av det här? – Nej. Man brukar ju inte sy om sina näsdukar. Men om man förstår detta då kan man förstå den matematiska grunden för Einsteins speciella relativitetsteori.   – Och har man större nytta av det? – Nej, men det är fascinerande att det som betraktas som mänsklighetens tänkandes största framsteg genom historien, den speciella relativitetsteorin, i grunden kan förstås av en grundskolelev. Förutom konjugatregeln behövs bara eftertanke.  Det är detta eftertänkande som vi ska ägna nästa kapitel åt, nu när matematiken till stora delar är avklarad. === Olika sorters tid === Nu när läsaren förstår konjugatregeln är det lättare att förklara hur det kunde bli så konstigt för stinsen och passageraren och för Fille och Rulle. Vi märkte att Newtons idé (egentligen Galieis idé) om att addera farter inte riktigt stämmer. Vad man än adderar till ljusfarten ''c'' så blir svaret det samma – ljusfarten ''c''. Vi har ingen kompass att skylla på så som en vilsegången orienterare, men vi kan skylla på fartmätningen. Fart betyder sträcka per tid (till exempel antal meter på en sekund), så i själva verket är det två storheter som mätaren mäter eller håller reda på: sträcka, som mäts i meter, och tid som mäts i sekund. ''Meter'' per ''sekund''. – Vad är då sekund? – Det är något man mäter med klocka. Ska vi skylla på att klockan visar fel, att klockan i hastighetsmätaren visar fel, då visar alla andra klockor fel också. – Vad är meter? – Det är något man mäter med måttstock. Alla måttstockar och måttband mäter fel… Låter det vettigt? Kanske vi hellre borde säga att de mäter var och en på sitt sätt. Man kan inte vara säker på att det värde på ljusfarten som kupépassageraren läst av på sin mätare ropade ut till stinsen är uppmätt med samma slags tid som stinsens mätare mäter sin tid med, även om båda personerna har välkalibrerade mätare. Vi har en stinstid som vi kallar ''t'' och en kupétid som vi kallar ''t_k''. Detta är det första antagandet som relativitetsteorin gör. Nu kan vi försöka se om vi då kan få stinsens och passagerarens ekvationer att stämma med varandra. Tidigare stämde de ju ihop bara för ''t'' = 0. Nu provar vi att räkna med två slags tid. Vi tar de två ekvationerna vi hade tidigare, ''ct'' = (''c'' + 10)''t'' och ''ct'' = (''c'' – 10)''t'', och sätter in de olika slagen av tid, stinstid ''t'' och kupétid ''t_k'' och provar om det går bättre då. Ljuset går med farten ''c'', det är stins och kupépassageraren överens om. De är också överens om att deras referenssystem rör sig 10 m/s i förhållande till varandra. För stinsen är det naturligt att tolka det som att tåget rör sig i samma riktning som lampans ljus, och passageraren är benägen att se det som att stationen rör sig åt motsatt håll mot lampans ljus, men de är helt överens om, att man kan se det på båda sätten, för bägge tror på relativitetsteorins tanke att naturen fungerar lika sett från det ena eller det andra systemets synpunkt. De är överens om att det finns ett perrongsystem och ett kupésystem och att de rör sig i förhållande till varandra med 10 m/s. När man sätter in de två sorterna av tid får man de två ekvationerna: ''ct'' = (''c'' + 10)''t_k'' och ''ct_k'' = (''c'' – 10)t. Kan vi få det här att stämma? Vi kan lösa detta ekvationssystem på olika sätt. Om du vill kan du sätta in siffervärdet i stället för bokstaven ''c''. Här visar vi för skojs skull en annan metod: Vi provar om det går att lösa ekvationssystemet genom att multiplicera de två ekvationerna med varandra, vänsterled med vänsterled och högerled med högerled. Det är tillåtet att göra så när man löser ekvationer; eftersom det står likamed-tecken mellan leden är de lika, de är samma tal, och vid ekvationslösning kan man utan problem multiplicera båda leden med samma tal (utom med noll). Multiplikationen ger ''cctt_k'' = (''c'' + 10)(''c'' – 10)''tt_k''. Vi kan fortsätta med att dividera båda leden med ''tt_k'' (så länge ''t'' och ''t_k'' inte är noll). Då får vi ''cc'' = (''c'' + 10)(''c'' – 10). För att multiplicera ihop parenteserna i högra ledet kan vi använda konjugatregeln (eller också får vi multiplicera term för term i ena parentesen med var och en av termerna i den andra parentesen, och märker då att man kan stryka bort två av produkterna). När vi har gjort detta har vi: ''c''² = ''c''² – 10∙10. Om vi subtraherar c² från båda led får vi att 0 = – 100, ''vilket absolut inte stämmer''. Alltså måste t eller ''t_k'' ha varit noll, ja båda, så att vår ekvationslösning blev fel. Att t och ''t_k'' är noll är inte en situation vi är intresserade av – att allt kan stämma innan det startar. (Man kan lösa ekvationerna med den vanliga skolmetoden också och addera led för led och får mycket enklare att ''t'' = ''t_k'', och då har det varit förgäves att försöka skilja mellan olika slags tid.) Vi har alltså misslyckats totalt att få ihop en fungerande relativitetsteori. Det räckte inte att bara räkna med två slags tid, en kupétid och en yttervärldstid. De två ekvationerna kan inte heller i sin nya form vara sanna samtidigt (annat än i startögonblicket, då t = 0 och ''t_k ='' 0). Och att vi ställde upp två ekvationer var för att vi måste beakta både stinsens och passagerarens upplevelse. Det är en grund för relativitetsteori att bägges mätningar och diskussion om fenomen som fart ska vara lika värda hela tiden. === Vad mer kan man ändra på? === Det vi måste göra är att ändra ännu mer på ekvationerna. Det räckte inte med att vi satte in en annan tid i högerledet än den i vänsterledet, vi måste också sätta in en fuskfaktor där. Vi betecknar den med den grekiska bokstaven ''γ'' (gamma) och kallar den tills vidare ”fuskfaktor” eftersom vi än så länge inte vet vad den kommer att göra. Det avgörande är att det är samma fuskfaktor i båda ekvationerna. Båda systemen ska ju vara likvärdiga, det ska inte gå att säga: ”Din faktor är större än min, det är orättvist.” Eller: ”Jag är bäst, jag är unik, för bara jag har fuskfaktorn noll.” Nu får vi de två ekvationer som ger en fungerande relativitetsteori: Ekvationerna blir                  ''ct'' = ''γ''∙(c + 10)''t_k'' och                                       ''ct_k''  = ''γ''∙(c – 10)''t'' Nu visar vi att det går att få dessa två ekvationer att stämma bättre. De till synes oföreniga krav som de två ekvationerna ställer kan visas vara förenliga om bara fuskfaktorn tillhandahåller nödvändig flexibilitet. Så först vill vi ta reda på vad fuskfaktorn egentligen blir, när den tvingats in i ekvationen. Det är som när man löser ett problem och kallar det obekanta för ''x'' och löser ekvationen. Vi gör precis likadant, bara att vi kallar det obekanta för ''γ''. När vi löser ekvationerna får vi komma ihåg att alla andra bokstäver ska behandlas som fasta tal, sådana som vi ofta är vana att beteckna med siffervärden. Vi vill som vanligt i ekvationslösning möblera om så att vi får det obekanta, som alltså betecknas med ''γ,'' ensam på ena sidan i en ekvation. Först multiplicerar vi ihop de två ekvationerna, lika som vi gjorde tidigare: ''cctt_k'' = ''γ''²(''c'' + 10)(''c'' – 10)''tt_k'', sen dividerar vi med ''tt_k'' på båda sidor (alltså stryker dem). Vi får: ''c''² = ''γ''²(''c'' + 10)(''c'' – 10). Här ser vi igen att vi kan använda konjugatregeln på högerledet. Vi får: ''c''² = ''γ''²(''c''² – 10²). För att få γ ensamt på höger sida dividerar vi först båda sidor med (''c''² – 10²). Vi får ett bråk på vänster sida, som vi förkortar genom att dividera uppe och nere med ''c''². Täljaren blir 1 och nämnaren får vi genom att dividera bägge termerna inuti parentesen med ''c''². Nu återstår bara att ta kvadratroten ur båda sidor, vilket är tillåtet om man tänker på att det matematiskt finns två lösningar, en med plustecken och en med minustecken. Relativitetsteorin arbetar bara med den med plustecken:  <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{10^2}{c^2}}}</math> (Det vinklade strecket till vänster och uppe uttalas ”roten ur” eller ”kvadratroten ur” och anger ett tal som om det multipliceras med sig själv ger innehållet under rottecknet. Exempelvis: roten ur 25 är 5, kvadratroten ur 1 är 1, '''√'''(100) är 10.) Nu vet vi alltså vad ''γ'' är i fallet med tåget. Den är inte bara en bokstav, ett slags ''x'', som vi tagit till för att vi inte vet vad den är. För kupéns och perrongens relativa rörelse är den: <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{10^2}{c^2}}}</math>   Vill man ha den beskriven i ord är den: ”kvadratroten ur inversen till differensen mellan 1 och kvoten mellan tågfartens kvadrat och ljusfartens kvadrat.” Nu är den ingen fuskfaktor längre. Vi ser precis vad den innehåller, och kan därmed lista ut hur den fungerar: Den innehåller talet 10 som står för tågets fart och bokstaven ''c'' som betecknar ljusets fart, bägge i ett matematiskt uttryck som är receptet för hur vi kan få allt att stämma. Vi kan nu använda ''γ'' för att räkna ut kupétiden ''t_k'' om vi vet stinstiden ''t'', eller tvärtom. Det ''γ'' vi har räknat ut är skräddarsytt för ett tåg som går 10 m/s. För andra tågfarter och för andra farter över huvudtaget skriver vi en allmän formel: <math> \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>, där vi använder bokstaven ''v'' för att beteckna farten (som i engelskans ”velocity”). Formeln kan tyckas mycket komplicerad, men i senare kapitel ska vi se att man kan förstå den ganska bra. Nu nöjer vi oss med att berätta att ''γ'', som alltså inte är en ”fuskfaktor” längre, normalt kallas ''Lorentzfaktorn'' (eller helt enkelt ”gamma” eftersom den oftast betecknas med denna grekiska bokstaven ''γ''). Den är en fundamental bit av den speciella relativitetsteorin, men egentligen var det inte Einstein som kom på den, han bara märkte att den kom väl till pass för att räkna ut hur långt ljusstrålen går på en viss tid sett från de två systemens synpunkt, vilket var nödvändigt för att förklara hur ljusfarten kan vara konstant i mekaniska system. Det ska vi ta itu med i de följande avsnitten. Man kan skriva Lorentzfaktorn på lite olika sätt: Förutom som ovan kan man skriva den som <math>1/\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math>  eller som  <math>\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> eller som    <math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math>  till exempel. Vill vi ha det överskådligt skriver vi ut formeln så att den tar mycket plats på höjden, vill vi skriva den kompakt på en rad får vi kanske använda parenteser: ''γ'' = '''√''' (1/(1 – (''v''/''c'')²)). Vill man tala om faktorn i förbigående i en mening kan man alltid skriva bokstaven ''γ'' och minnas att i denna grekiska bokstav döljer sig både kvadratrot och allt det andra. När vi nu har kommit till ett viktigt resultat, att det går att jämka ihop stinsens och passagerarens uppfattningar med hjälp av en Lorentzfaktor, är det klokt att stanna upp lite och fundera på om vi gjort allt rätt. Vi utgick ifrån att ljusstrålen gick i tågets färdriktning. Hur hade det blivit om passageraren hade lyst mot tågets bakände? – Ingen fara. Det hade visserligen blivit motsatt tecken om vi räknat med siffror, men den ena parentesen hade fått minus och den andra plus, så vi hade fortfarande kunnat använda konjugatformeln och fått samma resultat. En annan sak i resonemanget som det är klokt att vända på är passagerarens och stinsens roller. Om det i stället hade varit stinsen som lyst med sin stinslykta åt ena eller andra hållet på perrongen, hur hade det uppfattats av passageraren då, och hade man fortfarande fått fram samma Lorentzfaktor? Ja det hade man. Faktorn γ står även då skriven framför uttrycken med parenteser, de där man adderar eller subtraherar en fart innan man multiplicerar med en tid.   Vi kommer att återvända till Lorentzfaktorn många gånger. === Samtidighet === Einstein lär ha funderat på att kalla relativitetsteorin för invariansteorin i stället. Den handlar om vad som är relativt och vad som är invariant. Relativt betyder ”det beror på”, invariant att något är lika. Relativitetsteorin handlar om föremåls rörelse, vad som beror eller inte beror av rörelse. Ljusfarten är invariant medan tid är relativ och sträckor (längder och avstånd) är relativa. En viktig sak som enligt relativitetsteorin är relativ är ''samtidighet'', vad som sker samtidigt. Det kan tyckas konstigt att det inte är entydigt vad som sker samtidigt, men i själva verket har vi erfarenhet av att man inte alltid är överens om vad som sker samtidigt. En nyhetssändning på TV till exempel. När en Aktuellt-reporter i studion intervjuar en utsänd journalist i New York, händer det ibland att de i något ögonblick glömmer att signalen behöver tid för att gå från New York till Stockholm och sen tillbaka. Då kan det bli så att man ser dem prata i munnen på varandra. Bägges prat hörs samtidigt i TV-studion och samtidigt för TV-tittarna, men för korren I New York var det i en paus i studiovärdens svada som han tog till orda. För honom var det inte samtidigt. När studiovärden märker att de pratar i munnen på varandra tystnar hon, men strax efteråt märker korren i New York att hon tystnat och förstår att han har avbrutit henne och han tystnar, och så ser tittarna hur det är tyst på bägge håll innan de kanske får se hur båda tar till orda igen nästan samtidigt. Men det är inte det här som relativitetsteorin handlar om. Tar sig de två journalisterna tid att resonera och beakta signalfarten, kan de komma överens om en gemensam samtidighet. De kan vara överens om att samtidigt som ett visst ord uttalades i New York så uttalades ett annat i Stockholm, fast ingendera upplevde dem som samtidiga på grund av att signalen från den andra inte hade hunnit fram när det egna ordet uttalades. Praktiskt kan de bestämma att i fortsättningen alltid vänta i tre sekunder av tystnad innan de tar sig taltur. På den tiden har bägge hunnit lyssna på tillräckligt mycket tystnad för att en del av den även skulle hinna höras som tystnad av den andra. De två journalisterna kan också komma överens om att synkronisera sina klockor när de någon gång träffas och sen utgå ifrån att om man bestämt ett visst klockslag då är det ''samtidigt'' när bägges klockor visar det. Om de inte litar på sina klockor kan de i princip placera ut en neutral domare mitt i Atlanten, som med ljusets fart ser de två uppträdande när de lyfter handen. Ser han deras händer lyftas samtidigt då lyfts de verkligen samtidigt. Eller han kan själv sända ut en ljusblixt, och det uppfattas av båda journalisterna samtidigt. Det skulle man åtminstone tycka eftersom man vet att ljuset alltid går med en viss given fart c, och man antar att pålen i Atlanten där han sitter på sin domarstol är precis på samma avstånd från bägge. Det är ju totalt hypotetiskt att verklighetens journalister skulle behöva ställa till med något sådant, men det var ungefär så som Einstein i mer trängda lägen definierade samtidighet. Relativitetsteorins samtidighetsproblem är ett annat, och lite trixigare än de två journalisternas. Stinsen och kupépassageraren har ju helt olika tid, eftersom de rör sig i förhållande till varandra. Det hjälper inte att de synkroniserar sina klockor om klockorna i och med rörelsen går olika snabbt. Vill det sig riktigt illa, vilket bara sker om tåget går nästan lika snabbt som ljuset, då blir de totalt oense om vad som sker först och vad som sker efteråt. Hur blir det då med orsak och verkan? Både i detektivromaner och i verkliga livet är det avgörande vad som sker först. Det som sker först kan vara orsaken till det som sker senare, men inte tvärtom. Om det sker ett supernovautbrott långt borta i universum, som observeras på jorden och föranleder en tidningsartikel i Jönköping, kan man då med relativitetsteorin få det till att det lika gärna kan ha varit tidningsartikeln i Jönköping som föranledde supernovautbrottet 160 000 ljusår bort? Nej. Det finns solklara fall då det ena sker först, och kan tänkas vara en orsak. Jönköpingstidningen har ett vattentätt alibi: Ljuset behövde 160 000 år för att komma från supernovan till jorden, för att tidningen skulle få fram sin nyhet till supernovastjärnan skulle det ta minst lika lång tid, och det är alldeles för sent för att starta utbrottet, även om vi tänker oss att den exploderande stjärnan rör sig med en hastighet nära ljusets och därför har en helt annan tidsskala än vi. Nyhetsförmedling snabbare än med ljusets fart? Nej. Försök sätta in en fart ''v'' som är större än ''c'' i formeln för Lorentzfaktorn så får du se. Det blir ett negativt tal inne under rottecknet, och det går inte. Roten ur ett negativt tal skulle ju betyda ett tal som ska multipliceras med sig självt för att ge det negativa talet, och varken negativa eller positiva tal kan åstadkomma något sådant. Inget föremål kan färdas snabbare än ljuset, och vi får förmoda att inte heller Jönköpingstidningens nyhetsförmedling lyckas med det. Både relativitetsteorin och erfarenhet visar på det. Inte heller orsaksverkan går snabbare än ljuset. Men det finns andra händelser med rörelse inblandad där orsakssammanhang inte kan avfärdas i någondera riktningen. === Pythagoras sats === Det här kapitlet är inte helt nödvändigt för att förstå relativitetsteorin, men vi kommer att hänvisa till Pythagoras teorem i fortsättningen. Om du redan vet hur Pythagoras teorem fungerar kan du hoppa direkt till nästa avsnitt ”Avstånd och längd”. Pythagoras sats eller Pythagoras teorem, ''a''² + ''b''² = ''c''², brukar läras ut i grundskolan. Den är lätt att använda för att räkna ut den tredje sidan i en rätvinklig triangel om man vet hur långa de två andra sidorna är. Man brukar inte bevisa den, trots att det inte egentligen är så svårt. Det gäller bara att ha tankarna samlade. Den som har läst så här långt om relativitetsteori har antagligen bättre koncentrationsförmåga än vad man förväntar sig av högstadieelever. Här är ett bevis: [[File:Pythagoras-låda 2025.jpg|330px|left]] Man utgår ifrån två kvadrater och placerar in dem i en precis lagom stor kvadratisk ask så som figuren visar, med sidorna längs askens sidor och hörnen ihop. Outfyllt i asken blir det två likadana utrymmen, vars längd vi betecknar med a och bredd med b. Den ena kvadraten har då arean ''a∙a'' och den andra ''b∙b''. Vi klipper till kartongbitar som passar i luckorna.  Sen tar vi bort de två ursprungliga kvadraterna men lämnar kvar de två kartongrektanglarna, och klipper upp dem diagonalt, så att vi allt som allt får fyra rätvinkliga trianglar. Alla fyra trianglarna har en sida = ''a'', en annan sida = ''b'', vinkeln mellan dem rät, och snedsidan (hypotenusan) kallar vi ''d'' (som i diagonal). Nu placerar vi om de fyra trianglarna, så att de ligger längs varje sida i asken så som figuren visar. Då ser vi att det ofyllda utrymmet formar en kvadrat. Den kvadraten har arean ''d∙d''. Och man förstår att den arean är precis lika stor som arean på de två ursprungliga kvadraterna tillsammans. Den nya kvadraten fyller ju ut precis det utrymme som blev ledigt när de två kvadraterna togs bort, hela askens botten utom det som täcks av de fyra trianglarna.  Pythagoras sats säger precis det, att ''d''² = ''a''² + ''b''² i vilken som helst triangel där en vinkel är rät. Lilla tvåan uppe till höger om bokstäverna betyder att talet är multiplicerat med sig självt. Uttryckt i ord lyder Pythagoras sats: ”I en rätvinklig triangel där hypotenusan är ''d'' och de andra sidorna är ''a'' och ''b'', är ''d'' kvadrat lika med ''a'' kvadrat plus ''b'' kvadrat”. Den kan förstås skrivas med andra bokstäver eller med siffror. Om man ser en formel ''a''² + ''b''² = ''c''², då finns det anledning att känna igen den som Pythagoras formel, var helst man ser den och fast man inte har en aning om vad ''a'' och ''b'' och ''c'' betyder. Det viktiga är att det på ena sidan om likamedtecknet står en kvadrat och på andra sidan summan av två (eller i vissa fall tre) kvadrater. I ord kan det till exempel bli ”fem i kvadrat är summan av 4 i kvadrat och 3 i kvadrat”. Du kan kontrollräkna och se att Pythagoras sats verkligen gäller för de tre talen 5, 4 och 3. När du har lärt sig att känna igen den strukturen, då kan du välja att tolka de tre talen som sidorna i en rätvinklig triangel. Man kan använda formeln till att räkna ut snedsidan (hypotenusan) om man vet hur långa de två vinkeräta sidorna är. De sidorna kallas kateter. Vi tar tre exempel på hur man kan använda Pythagoras sats. Exempel 1) Två sidor i en triangel är 3 cm och 4 cm och vinkeln mellan dem är 90 grader. Hur lång är den tredje sidan? – Eftersom vinkeln är 90 grader får man att den tredje sidan är hypotenusa. Pythagoras sats ger att kvadraten på hypotenusan här ska vara lika stor som 4∙4 + 3∙3 = 16 + 9 = 25. För att få hypotenusan själv tar man roten ur 25. Det blir 5. Svar: Snedsidan är 5 cm lång. Exempel 2) Om i en rätvinklig triangel snedsidan är 10 m och en annan sida är 8 m, hur lång är då den tredje sidan? – Vi sätter in de tal vi känner i Pythagoras formel. Ekvationen blir 10∙10 = 8∙8 + ''b''². Förenklat blir det 100 = 64 + ''b''². Vi subtraheras 64 från båda sidorna. Det ger: 36 = ''b''². Det stämmer om ''b'' = 6 eller om ''b'' = –6. Svar: Den tredje sidan är 6 meter. Exempel 3) Nu tar vi en uppgift med våra redan bekanta bokstäver ''c'' och ''v''. Om hypotenusan är 1 och ena kateten är ''v''/''c'', vad blir då den andra kateten? – Vi gör på samma sätt, och kallar den sökta sidan ''x'' och får ekvationen: (''v''/''c'')² + ''x''²= 1². Förenklat blir det ''x''² = 1 – (''v''/''c'')². Att det är bokstavsuttryck och inte bara siffror ändrar inte på sättet att räkna. Kvadratrot på båda sidor och strunt i minustecknet ger att <math> x = \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}</math> Vi ser att det här är precis det samma som nämnaren i Lorentzfaktorn, så som vi fick fram den i föregående kapitel. Lorentzfaktorn och Pythagoras sats verkar vara besläktade med varandra. Kan det vara så att speciella relativitetsteorin handlar om något slags abstrakt rätvinklig triangel, där en katet är förhållandet mellan en fart ''v'' och ljusfarten ''c''. Snedsidan är = 1.  Talet 1 är det samma som 2/2 , 3/3, eller vilket tal som helst delat med sig självt, så varför inte ''c''/''c''. Då har vi fått både hypotenusan ''c''/''c'' och ena kateten ''v''/''c'' skrivna med ljushastigheten ''c'' i nämnaren. Det är som att vi mäter alla farter med ljusfarten som mått, som andelar av ljushastigheten. I hypotenusan har vi fulla ljusfarten och längs en annan triangelsida har vi en viss bråkdel av ljusfarten. Om man tittar på formeln för Lorentzfaktorn så kan man med lite träning genast känna igen nämnaren som en Pythagorasformel. Rottecknet har vi där, och inne i det har vi först en etta. Talet ett är ju lika med 1∙1, så det är en kvadrat, kvadraten på en triangelsida som har längden ett, sen kommer ett minustecken. Det är som att vi räknar ut en katet när hypotenusan är kanske en meter lång och den andra kateten är … vad då? Jo ''v''/''c''. För om vi multiplicerar ''v''/''c'' med sig själv får vi (''v''/''c'')², alltså precis som i Lorentzformeln. Det är alltså inte en ''meter'' som hypotenusan är utan ''ett'' som anger likhet med ljusets hastighet. === Avstånd och längd === Vi har nu klarat av det svåra, att få reda på hur den matematiskt är uppbyggd, den Lorentzfaktor ''γ'' som förvandlar kupétid till stinstid och tvärtom. Vi fick fram den från de två från början oförenliga ekvationerna (''c'' + ''v'')''t'' = vt och (''c'' – ''v'')''t'' = ''vt'', som vi modifierade så att de båda innehöll Lorentzfaktorn ''γ'' och båda fick olika tid på olika sidor i ekvationen. Den senare av ekvationerna blev ''ct_k'' = ''γ''∙(''c'' – 10)''t'', eftersom tågets fart var 10 m/s. Nu när vi vet hur ''γ'' är beskaffad kan vi använda den ekvationen för mer vardagliga situationer än för ljusfartsmätningar. Ljusfarten må vara stor, men om tiden ''t_k'' väljs kort kan man få att ljuset precis hinner från ena änden av tågkupén till den andra på den tiden. Sträckan ''c∙t_k'' är alltså då precis så lång som kupén, säg 20 meter, när passageraren inne i tåget mäter den. Vi får: 20 = ''γ''∙(''c'' – 10)''t'' För stinsen är den antagligen inte riktigt precis 20 meter, utan har en annan längd, som vi kallar ''L''. Vi skriver om ekvationen: Först multiplicerar vi in ''t'' i parentesen så att det blir 20 = ''γ''∙(''ct'' – 10∙''t''). Sedan sätter vi in den längd som ljuset kommer på den korta tiden också enligt stinsens bedömning, och får: 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). För att det över huvud taget ska vara möjligt för stinsen att bilda sig en uppfattning om ''L'', kupéns längd, måste hon, hur svårt det än är, betrakta bägge ändar av kupén i precis samma tidsögonblick (som inte nödvändigtvis framstår som samma ögonblick för kupépassageraren). Det betyder att ''t'' som förflyter för stinsen är noll, så tåget lyckas inte komma framåt under den tiden, inte ur stinsens synpunkt i varje fall. Det underlättar beräkningen. Ekvationen är nu 20 = ''γ''(''L'' – 0), vilket ger att 20 = ''γL'', vilket ger ''L'' = 20/''γ''. Utskrivet blir det <math>L = 20 \sqrt{1 - \frac{10^2}{c^2}}</math> Det är inte mycket. Vi har hittills för resonemangets skull antagit att stinsen har rent övernaturliga förmågor, men nu måste vi väl ändå konstatera att vi kräver väl mycket av henne. För titta på det som är inne i parentesen: en etta minskad med ett tal som är hundra dividerat med ljusfartens kvadrat. Ljusfarten är i sig enormt många meter per sekund, tagen i kvadrat blir det en nia följd av 16 nollor. Delar man hundra med ett så stort tal blir det synnerligen nära noll. Subtraherar man så lite från 1 blir det i stort sett 1. Tar man kvadratroten ur detta tal blir det i stort sett 1. Multiplicerar man 20 med 1 blir det i stort sett 20. Stinsen tycker att kupén är praktiskt taget 20 meter lång. Att den verkligen har krympt lite från hennes synvinkel, kan hon inte märka ens med sin sedvanliga skarpsynthet. Men det kan finnas andra yrkesgrupper som behöver hålla reda på den längdkrympning som syns när iakttagare och föremål rör sig i förhållande till varandra. För dem kan det vara lättare. Men det är först vid farter nära ljusets som föremål kommer att se märkbart förkortade ut. [[File:Åskådliggöra Lorentzfaktorn med kastrullock.png|400px|right]] De som håller på med högenergetiska partiklar, med elektronkanoner till exempel, de vill ibland veta till hur många procent en viss längd förkortas när farten uppnår en viss procent av ljusfarten. Det kan man ta reda på med hjälp av ett kastrullock. Enklast är det med ett som är 20 cm i diameter. Radien är då 10 cm. Man mäter upp centimetersstreck utifrån mitten och numrerar dem 10%, 20%, 30% osv. När man har valt sitt procentstreck går man vinkelrätt upp från det och mäter hur många centimeter det är till kanten. Till exempel för 80% (alltså när det är 20% kvar till kanten) är vinkelräta avståndet till kanten 6 cm (60%). Det betyder att när man beskådar ett föremål som far förbi med 80% av ljusfarten då ser det ut att vara 60% så långt som vad det var när man höll det stilla i handen. Kastrullocket visar tydligt den krympta längden alltid blir mindre än 100 procent av ursprungslängden. Föremål som man ser i rörelse ser alltid kortare ut, förkrympta. Det kallas längdkontraktionen. Orsaken till att det är så enkelt att räkna ut den förkortade längden, när man vet hur många procent farten är av ljusfarten, är att Lorentzfaktorns nämnare inte just är något annat än cirkelns ekvation.  På gymnasiet brukar man ibland lära sig att ekvationen för en cirkel till exempel kan vara ''x''² + ''y''² = 10∙10. Den ekvationen säger att om radien är 10 cm (som för kastrullocket) då får man motsvarande x-koordinat och y-koordinat så som med det cirkelrunda kastrullocket.  Vill man kontrollräkna kastrullockskalkylen kan man sätta in centimetervärdena vi mätte upp på locket i ekvationens vänstersida: 8∙8 + 6∙6 och kan konstatera att det blir 64 + 36 = 100, alltså samma som högra sidan. Att cirkelns ekvation ovan hänger ihop med relativitetsteorin ser man tydligt om man jämför den med ekvationen ''L'' = 20∙ √(1 – 10²/c²), som vi använde för att räkna ut den förkortade kupélängden. Dela här bägge sidor med 20 och kvadrera bägge sidor. Då får man att (''L''/20)² = 1 – 10²/''c''², som också kan skrivas som (''L''/20)² + 10²/''c''² = 1². Det visar att summan av två kvadrater är lika med en tredje kvadrat, precis som i cirkelns ekvation. I den första kvadraten finns den förkortade längden, i den andra kvadraten finns andelen av ljusfarten och i höger sidas kvadrat finns bara en etta som säger att det är det hela, alltså hela ljusfarten. En sådan här formel, som säger att summan av två kvadrater är lika stor som en tredje kvadrat brukar kallas Pythagoras sats och användas till att räkna ut de tre sidorna i en rätvinklig triangel. Det kan vara praktiskt att se det så om man vill ha kläm på längdförändringar mellan dem som rör sig med olika fart. Man förstår då lätt att om snedsidan (hypotenusan) hålls fix, då kommer de två andra sidorna (kateterna) alltid att vara kortare än den, och om den ena kateten ökar så minskar den andra. Liksom med kastrullocket förstår man att ingen fart kan vara större än ljusets. Om farten är nära ljusets fart blir längden i rörelsens riktning kort. Om farten är mycket liten då blir längden stor, nästan lika stor som vid stillastående. Allt det här om längdkontraktion är ömsesidigt. När två personer rör sig i förhållande till varandra, tycker bägge att den andra är förkrympt. Det är alltså ett slags perspektivfenomen, av samma typ som vi alla har upplevt när vi har tittat upp på en byggarbetare högt uppe på ett halvbyggt högt hus, och tycker att han är liten som en höna. Arbetaren däruppe tycker samtidigt att det är vi här nere som är små som hönor. Det är skenbart som vi krymper, sett från den andras synpunkt. När vi kommer nära varandra är vi fullstora igen. Detta är vi så vana vid att vi inte tänker på det, efter att vi ett tag i vår barndom har förundrat oss över det. Och inte bara människor förstår det. Även en katt kan känna igen sin matte på avstånd, och tror inte att det är frågan om en mus på två ben. På samma sätt är det med den speciella relativitetsteorins krympning, den är skenbar, ömsesidig. I byggarbetarfallet är det ''avståndet'' som ger denna synvilla, i relativitetsteorin är det ''farten'' i förhållande till en själv som förvänder synen. Synvilla må den vara, men det betyder inte att en fysiker får ta lätt på den och hänföra den till psykologernas ämnesområde. I den allmänna relativitetsteorin, där man griper sig an de accelerationer som krävs för att få upp föremål i de farter som krävs för märkbar krympning, visar det sig att krympningarna och de därmed besläktade förändringarna av tiden verkligen är mycket handfast fysik. Den här krympningen som vi talat om sker enbart i rörelseriktningen. Kupén verkar kortare, om än bara lite, lite grann, men den verkar inte alls smalare och inte alls lägre i tak. Passageraren och all inredning ser i motsvarande grad platta ut, men hela tiden normalstora i riktning tvärs emot tågets rörelse. Från en praktisk snickarsynpunkt kan man sammanfatta längdkontraktionen så här: ”Om man inte håller måttstocken stilla när man mäter kan den bli för kort, så att allt den mäter verkar för stort. === Tiden – en svår ekvation === I föregående avsnitt lärde vi oss att räkna ut den enas ''avstånd'' när vi vet den andras ''avstånd''. Nu återstår att använda Lorentzfaktorn till att räkna ut den enas ''tid'' när man vet den andras ''tid''. Det gör man på ungefär samma sätt som vi tidigare har gjort när vi för stinsens räkning räknade ut tågkupéns längd utifrån passagerarens uppfattning om dess längd. Men riktigt lika blir det inte. När vi räknade ut kupéns längdkontraktion använde vi formeln 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t'') och bestämde att t måste vara 0, eftersom stinsen iakttog bägge ändar utan tidsfördröjning. Ekvationen verkar så symmetrisk att man kan tycker att om man i stället sätter att ''L'' = 0, då borde man få fram hur snabbt tiden går inne i kupén, från perrongen betraktat. Men det finns en filosofisk hake där. Med längdkontraktionen utgick vi ifrån att det inte spelade någon roll när passageraren läste av måttbandet medan det för stinsen var kritiskt att det var precis ''samtidigt'' som hon mätte upp bägge ändarna. Minsta lilla fördröjning hade förryckt hela mätningen eftersom kupén hade hunnit rusa till en ny position. Nu när vi ska räkna på tid i stället för plats och längd – borde vi kanske byta ut ''samtidigt'' till ”''samplatsigt''”? Men vad är det? Passageraren har en klocka inne i kupén och vet att en viss tid har förflutit mellan två tick. Hur ska då stinsen med sin egen klocka kunna avgöra hur lång tid det är mellan de två ticken ''på samma plats''? Hur ska de kunna vara på samma plats när det har gått tid mellan de två ticken och tåget har fört kupéklockan bort från den ursprungliga platsen? Enda möjligheten skulle vara att de två ticken mäts med ''olika'' klockor inne i kupén, och passageraren ser till att de är synkroniserade. De måste vara på precis ett sådant avstånd att stinsen kan höra de två ticken från samma position. Detta är en så komplicerad uppställning så det är inte så man brukar tänka, och det ger inte alls det man är ute efter. Istället tänker vi oss tidmätningen helt enkelt som att ''en viss'' kupéklockas tickningar registreras av stinsen. Sen byter vi perspektiv, så att det är kupépassageraren, som ju onkeligen mätt tiden ”samplatsigt”, det vill säga med en klocka på en viss given position i kupén, som iakttar stinsens mätning. Det är kanske enkelt att förstå, men ger en ganska lång räkning: När vi räknade ut Lorentzfaktorn använde vi de två ekvationerna ''ct'' = ''γ''∙(''c'' + 10)''t_k'' och ''ct_k''  = ''γ''∙(''c'' – 10)''t''. När vi sen räknade ut kupéns längdkontraktion tog vi den andra av dem och skrev den som 20 = ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). På precis samma sätt kan vi ta den första ekvationen och göra om den till ''L'' = ''γ''∙(20 + 10∙''t_k''). Nu kan vi lösa de här nya ekvationerna med insättningsmetoden på ett lite speciellt sätt: I stället för talet 20 i den andra ekvationen sätter vi in det uttryck som första ekvationen säger att 20 är lika med, det vill säga dess högerled ''γ''∙(''L'' – 10∙''t''). Då får vi ''L'' = ''γ''∙( ''γ''∙(''L'' – 10∙''t'') + 10∙''t_k''). Förenklat blir det ''L'' = ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t'' + ''γ''10''t_k''. Överflyttning av termer ger: – ''γ''10''t_k'' = – ''L'' + ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t''. Division med – ''γ''10 ger: ''t_k'' = (– ''L'' + ''γ''²''L'' – ''γ''²10''t'')/(– ''γ''10). Nu har vi en formel som anger vad kupépassagerarens klocka visar (''t_k'' ) när stinsens klocka visar ett visst klockslag (''t''). I formeln finns bokstaven ''L'' som är ganska irrelevant i detta sammanhang. Varför? Jo, för den anger hur lång stinsen tycker kupén är, och det är ju lika hela tiden, och nu när vi vill ha reda på tids''intervallet'' mellan två kupéklockslag då får vi subtrahera, och då subtraheras hela högerledet också, både den sista termen som anger stinsens klockslag och de två första termerna som innehåller de oförändrade kupélängderna. Och då tar kupélängderna ut varandra, eftersom de är lika.   Vi kan ange de två klockslagen med index 1 och 2 och visar vad det blir efter subtraktion på bägge sidor: ''t_k2'' – ''t_k''₁ = (– ''γ''²10(''t''₂ – ''t''₁))/( – ''γ''10). Förkortning ger ''t_k''₂ – ''t_k''₁ = ''γ''(''t''₂ – ''t''₁). Inne i kupén upplevs alltså tidsintervallet som ''γ'' gånger vad stinsen upplever. Lorentzfaktorn ''γ'' (gamma) är 1 dividerat med det uttryck som vi använde kastrullock till att beräkna i avsnittet med längdkontraktion. Då fann vi att längderna verkar kortare hos dem som är i rörelse till oss. Nu när det är 1 dividerat med det uttrycket blir det tvärtom – tiderna upplevs vara längre för kupépassageraren än för stinsen. Och deras upplevelse är ömsesidig: att den andras klocka går för långsamt. Det kallas tidsutvidgning eller tidsdilatation. Man kan uttrycka det som att egentiden är kortare än alla skenbara tider. På samma sätt säger man att egenlängden är längre än alla skenbara längder. Så här brukar man framställa relativitetsteori, och om du tycker det är konstigt är det inte obefogat. Det är ju helt horribla antaganden vi gjort om personer som kan se in genom kupéfönster och göra saker samtidigt och göra häpnadsväckande bedömningar. Men det är så man brukar framställa relativitetsteorin, och man gör det i Einsteins efterföljd. Det var sådana tankeexperiment som han gjorde när han utveckade sin teori, och han gjorde det i Galileis och kanske alla fysikers efterföljd. Det är så som tankar går. Lite svårare är det att få andra att nappa på fantasierna tillräckligt för att de ska kunna delta i ett resonemang om saken. För att göra solid teori av sina tankar får man montera bort mycket av fantasigodset och vad dess rollfigurer tycker och bedömer och upplever – stinsen, passagerarna och äppelkastarna. Kvar finns klockor och måttstockar och olika slags koordinatsystem som rör sig i förhållande till varandra. Sen får man rigoröst se till att inte mer från den åskådningsvärld och upplevelsevärd där vi befinner oss slinker med till den minimalistiska modell vi skapar oss. Ofta blir det då många definitioner och många bokstäver, sådant som man vill undvika i en populär framställning. Här får man bara hoppas på läsarens överseende med fantasiernas larvighet. === Räkna ut Lorentzfaktorn i praktiken === Speciella relativitetsteorin handlar om att räkna om saker med hjälp av Lorentzfaktorn gamma, ''γ''. Nämnaren i faktorn γ kan skrivas <math> \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math>. Det uttrycket anger alltså 1/''γ''. Det finns olika sätt att räkna ut ''γ'' eller 1/''γ''. Har man tur kan man använda Pythagoras sats och få det att passa precis. Om kateterna är 80% och 60% blir hypotenusan precis 100% vilket kan tolkas som att vid 80% av ljusfarten längderna ser ut att vara 60% av vad de medåkande tycker. Om det inte råkar passa precis fungerar ofta ett kastrullock eller annat cirkelformat föremål mycket bra för att bedöma sådana samband, liksom vi gjorde i avståndsavsnittet. Det fungerar bra när man räknar på farter som närmar sig ljuset. Men i andra sammanhang fungerar det sämre. Lorentzfaktorn innehåller en fart i kvadrat dividerad med ljusfarten i kvadrat. Ljusfarten är så oerhört mycket större än de farter vi möter i vardagslivet, så i vardagslag får man sådana tal som 0,0000001% eller ännu värre när man försöker beräkna denna kvot. När vi frågade oss hur mycket förkortad tågkupén verkade när tågets fart var 10 m/s fann vi att denna kvot var 10 gånger 10 dividerat med ljusfartens kvadrat. Det blir 100 dividerat med ett tal som är en nia följd av 16 nollor. Det är ett decimalbråk med först en nolla, sen ett kommatecken, sen 14 nollor före en etta. Det kan man absolut inte läsa av tydligt på kastrullocket och kan bara konstatera att den andra kateten är nästan precis 1. Men det finns trick att räkna ut ungefär hur långt från 1 det är, ibland med större noggrannhet än vad en räknedosa kan ge, som ju bara visar ett begränsat antal siffror. Vi ska lära ut fyra sådana trick eller regler: Regel 1: (1 + ''d'')² ≈ 1 + 2∙''d'' Man vet precis vad 1,00 ∙ 1,00 är. Det är 1,00. Men vad är 1,01∙ 1,01? Man vet inte precis, men förstår att det måste vara bra nära 1,00, bara lite större. Om det inte behöver vara exakt kan man säga att det är ungefär 1,02. Hur mycket kan man vänta sig att 1,02∙1,02 är. Svar 1,04. Och 1,03∙1,03 ≈ 1,06. Decimalen blir i alla dessa fall dubblerad, på ett ungefär. Man kan skriva det sista som (1 + 0,03)² ≈ 1 + 0,06. På samma sätt kan man skriva (1 + 0,04)² = 1 + 0,08. Den allmänna formeln är (1 + ''d'')² ≈ 1 + 2∙''d''. Den gäller med stor noggrannhet så länge ''d'' är ett tal nära noll, alltså så länge summan är nära 1. (Men testar man att sätta ''d'' stort, till exempel som 1, då blir summan 2 och 2∙2 blir 4. Det stämmer inte så bra med höger ledet, som säger att det är ungefär 1 + 2∙1, som ju bara blir 3. Mycket mindre än 1 måste ''d'' vara för att det ska vara värt att räkna med denna formel.) Hur ska man då förstå detta? Tänk på en kvadratisk trädgårdstäppa med 1 meters kant. Man förstorar kvadraten till 1,10 m både på längden och bredden. Båda är 10 procent större, så arean blir 20 procent större. Helt stämmer det inte, för när vi ökade den ursprungliga kvadraten med 10 procent på bägge lederna, då kom det att saknas en liten ruta i hörnet, så en riktigt full kvadrat blev det inte. Det är därför som regeln inte är exakt, och därför man får vara vaksam om det är många procents avvikelse från ett. Med algebra kan man visa samma sak så här: (1 + ''d'')² = (1 + ''d'')(1 + ''d'') = 1∙1 + 1∙''d'' + ''d''∙1 + ''d∙d'' = 1 + 2''d'' + ''d∙d''. Om ''d'' är nära noll blir ju ''d∙d'' ännu närmare noll, och kan då försummas, och högerledet blir ≈ 1 + 2''d''. Ungefär lika fungerar det när man minskar: (1 – ''d'')² ≈ 1 – 2''d''. Till exempel: 0,99 = (1 – 0,01)² ≈ 1 – 2''∙'' 0,01 = 0,98, och på samma sätt: 0,95 ≈ 0,90. Regel 2: (1 + ''d'')³ ≈ 1 + 3''d'' I tre dimensioner kan man i stället för en trädgårdstäppa tänka på en kub som ska göras 10 procent större i alla tre dimensioner. Då får man bygga på med en skiva på längden, en skiva på bredden och en på höjden, alltså tillsamman tre skivor. Det blir 30 procent större: Det räcker nästan till den större kuben, det är bara lite i kanterna och hörnet som fattas. Alltså (1 + ''d'')³ ≈ 1 + 3''d''                           och                     (1 – ''d'')³ ≈ 1 – 3''d''. Regel 3: √ (1 + ''d'') ≈ 1 + ½∙''d'' Den här regeln handlar inte om att ''upphöja'' ett tal som är obetydligt större eller mindre än 1, utan om att ta ''kvadratrot'' ur ett sådant tal. √ (1 + ''d'') ≈ 1 + ½∙''d'' och √ (1 – ''d'') ≈ 1 – ½∙''d''. De formlerna kan man också förstå utifrån den kvadratiska trädgårdstäppan. Man ställer frågan: Om man vill göra kvadratens area 10 procent större och fortfarande kvadratisk, hur mycket längre och bredare ska kvadraten vara? Man tänker på remsorna man tillfogar och förstår att det räcker med 5 procent på vardera leden för att arean ska bli 10 procent större. Alltså hälften av 10 procent. √ (1 + 10) ≈ 1 + 5. Regel 4: 1/(1 + ''d'') ≈ 1 – ''d''. Det låter ganska vettigt – delar man i flera delar blir varje del mindre. Plus nere ger minus uppe. Det gäller också tvärtom, minus i täljaren ger plus i nämnaren: 1/(1 – ''d'') ≈ 1 + ''d''. Den här regeln kan förstås utifrån konjugatregeln, som vi redan använt. Förklaring: Vi börjar med regelns vänsterled 1/(1 + ''d'') och förlänger, det vill säga multiplicerar uppe och nere med samma tal, och i det här fallet med (1 – ''d''). Det kommer inte att ändra bråkets värde. I täljaren får man 1 – ''d'', och i nämnaren får man produkten (1 + ''d'')(1 – ''d''). Med konjugatregeln blir nämnaren 1 – ''d''². Nu var ju ''d'' ett mycket ”litet” tal, det vill säga mycket nära noll. ''d''² betyder detta lilla tal gånger sig självt. Då hamnar man ännu mycket närmare noll. I jämbredd med alla andra tal i formeln, 1 och ''d'', är ''d''² försumbar. Vi kan ersätta det med noll. Då blir nämnaren 1. Alltihop blir 1 – ''d''. Precis det vi skulle visa. Som ett exempel på hur man kan använda reglerna räknar vi ut Lorentzfaktorn   Vi nämnde tidigare att tågets 10 m/s kvadrerat och dividerat med ljusfarten kvadrerad ger ett decimalbråk med först en nolla, sen ett kommatecken, 14 nollor till och sen en etta. Det är nu detta tal som vi kallar ''d''. Lorentzfaktorn blir √ (1/ (1 – ''d'')). Inne i kvadratroten har vi 1 dividerat med 1 – ''d''. Enligt regel 4 är detta ungefär 1 + ''d''. När vi tar kvadratrot ur detta använder vi regel 3, som ger 1 + ½∙''d''. Så stor är Lorentzfaktorn: 1 + 0,0000000000000005. Det är 1,0000000000000005, alltså en etta följd av ett kommatecken, sedan 14 nollor, och sedan eftersom slutettan halverats blir det en nolla till och sen en femma. Detta är på ett ungefär – och vem intresserar sig egentligen för att gräva fram ytterligare siffror många decimalsteg efter femman. === ''E'' = ''mc''² === Om du har läst så här långt har du gått igenom det som Einstein skrev i sin banbrytande skrift 1905 om den speciella relativitetsteorin. Men det återstår några saker som brukar räknas in i samma teori. Framför allt ska vi diskutera den berömda formeln ''E'' = ''mc''², som han skrev om i ett separat arbete som han gav ut samma år. För att förstå den räcker det inte, som i tidigare kapitel, med grundskolematematik och logiskt tänkande, man behöver förstå lite fysik också, först och främst om massa och energi. I fråga om tid och längd har vi funnit att de ändras beroende på rörelse, vilket kan vara lite besvärligt. Men vi fann att man kan räkna med ett föremåls egentid och egenlängd, som är invarianta, alltså oföränderliga och stabila, en gång för alla givna, bara att acceptera för den som ser på dem från en rörlig position. Egentid och egenlängd tar man till för att det inte ska bli hela havet stormar när man sätter in storheterna i formler. Med massa (vikt, den enhet som mäts i enheter såsom kilogram) är det samma sak. Enligt relativitetsteorin beror massan på föremålets fart. Ju snabbare föremålet rör sig i förhållande till iakttagaren desto tyngre framstår det. Och det är som vanligt Lorentzfaktorn ''γ'' som man får multiplicera med. Och precis som med tid kan vi räkna med en ”egenmassa” (brukar kallas vilomassa) som förblir oförändrad när föremål och iakttagare rör sig i förhållande till varandra. Omräkningsformeln är ''m'' = ''γ'' ∙ ''m''_o mellan vilomassan ''m''₀ och den utifrån iakttagna massan. Bara om farten ''v'' är noll mellan föremål och iakttagare blir Lorentzfaktorn 1 och de två massorna lika. För alla andra iakttagare verkar massan vara större än den verkar vara för föremålet självt. Energi är en viktig storhet, för den binder ihop olika delar av fysiken. Några exempel: På ett livsmedelspaket står det alltid hur mycket energi 100 g av livsmedlet innehåller och kan ge ifrån sig för att hålla igång kroppens kemiska funktioner, till exempel ger 100 gram havregryn 1550 kilojoule, och 100 gram knäckebröd ger 1389 kilojoule. En mikrovågsugn brukar ha en maxeffekt på 1000 watt, vilket innebär att den varje sekund drar 1 kilojoule energi, som används för att värma livsmedel. För att värma ett kilogram mat en grad behövs det ca 4 kilojoule energi. Man kan räkna ut att en eldriven hiss behöver 1 kilojoule elenergi för att hissa upp en 100 kilograms last en meter, vilket ger lasten 1 kilojoule höjdenergi, och om ett 100 kilograms cykelekipage rullar ner för en en-meter hög backe förlorar den precis lika mycket höjdenergi, 1 kilojoule, som därvid förvandlas till 1 kilojoule rörelseenergi. Energin kan förvandlas mellan olika former men mängden ändras inte, och det går ofta lätt att räkna ut mängderna energi i olika former så att man kan jämföra dem. Man använder till exempel formeln E = ½ ''mv''² för att räkna ut hur mycket rörelseenergi det finns i ett föremål som har massan ''m'', angiven i kilogram, och farten ''v'', angiven i meter per sekund. Om till exempel farten är 4 m/s och massan är 100 kg, då blir rörelseenergin ½∙100∙4∙4 joule = 800 joule = 0,8 kilojoule. Vi ser att cykelekipaget som for ner för enmetersbacken och fick 1 kilojoule hade chansen att komma upp i mer än farten 4 m/s. Den här formeln används i vanlig gammaldags fysik, ofta utan att man pratar om vad farten ska räknas i förhållande till. I relativitetsteorin använder vi den formel som många känner som Einsteins formel: ''E'' = ''mc''². Den är enkel men verkar ju vara helt annorlunda än rörelseenergiformeln. Men där finns en likhet, och den ska vi visa på nu. I förra kapitlet lärde vi oss några ungefärliga räkneregler för att uppskatta storleken på Lorentzfaktorn  <math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math> när man känner farten ''v''. De reglerna använder vi nu och räknar om den iakttagna massan ''m'' till vilomassa ''m''₀. Man ska ju multiplicera med Lorentzfaktorn, så vi får: ''m'' ≈ ''m''₀ ∙ (1 + ½ ∙ ''v''²/''c''²). (Minustecknet i nämnaren blev plus i täljaren, kvadratroten gav faktorn ½ före kvadraten på förhållandet mellan ''v'' och c, allt enligt reglerna.) Om vi multiplicerar ekvationen med ''c''² och förenklar får vi ett ungefärligt värde på i Einsteins formels högerled: ''mc''² ''≈ m''_o ''c''² + ''mc''² ''∙'' ½ ''∙ v''²/''c''² = ''m''_o ''c''² + ½ ''∙ mv''². Einsteins formel verkar alltså tala om en energi som består av två delar. Efter plustecknet står den vanliga rörelseenergin, som beror på farten ''v'' precis som vi är vana vid från den gamla fysiken. Före plustecknet står en del som inte alls har ''v'' i sig, som alltså är oberoende av farten, och alltså är lika stor även om farten är noll. Den energin finns liksom inneboende i föremålet. Den beror bara på föremålets vilomassa. Alla föremål som väger 1 kg har alltså i sig en energi som är 1 kg multiplicerat med ljusets fart och multiplicerat med ljusets fart igen. Farten anges i m/s och energin får man i joule. Joule-talet blir alltså mycket stort. Vi vet ju hur stor fart ljuset har: trehundra miljoner meter per sekund. I kvadrat nittiotusen biljoner joule – alltså en hel del mer än den energi vi brukar räkna med att få i oss när vi äter ett kilo mat. När speciella relativitetsteorin tillkom var detta bara teori, men snart lärde sig mänskligheten att få ut den energin som liksom bor i massan (eller ''är'' massan) – inte precis ur mat utan ur plutonium och uran, och att använda den för att förinta städer. Då kan man fråga sig vad som händer med den andra termen i formeln, den som motsvarar gammaldags rörelseenergi, när man i en kärnsprängning släpper lös ett så stort energiinnehåll i den första delen, den energi som bor i massan själv. Borde inte den räcka till för att få de söndersprängda atomernas skärvor att börja gå lika snabbt som ljuset, kanske snabbare? Eller borde man inte kunna komma upp över ljusfarten om man envetet matade på mer och mer energi under lång tid? Det är ju det som den andra termen antyder, att mer energi gör ½ ∙ ''mv''² större, och då måste ju ''v'' bli större. Men den här uppdelningen som vi gjort av ''mc''² i dessa två delar gäller bara så länge föremålets fart är liten jämfört med ''c''. Börjar den närma sig får vi räkna med en annan metod, antingen med Pythagoras eller med kastrullocket. Försöker man öka v till ''c'', då blir nämnaren noll, vilket är omöjligt – farten måste vara mindre än ''c''. Ljusfarten är den absoluta gränsen för farter, inga föremål kan nå upp till den. Vi har inte rett ut Einsteins formel lika noga som vi i tidigare kapitel har behandlat tidsutvidgning och längdkontraktion. Det skulle krävt kunskaper om rörelsemängd för att verkligen härleda formeln ''E'' = ''mc''². Men att ''använda'' formeln är lätt: bara att multiplicera med ljushastighetens kvadrat. Och även om man inte bryr sig om att göra den multiplikationen särskilt ofta påminner formeln oss om hur vittomfattande fysikens tankesystem har blivit. Genom seklerna har fler och fler fenomen börjat mätas med samma mått. Både rörelse, lyftarbete, värme, kemisk reaktionsförmåga, elförbrukning, och till slut även massa, kan nu ses som olika former av energi, som vi nu mäter i enheten joule – eller om vi så vill – i enheten kilogram. De två lagarna, den om energins oförstörbarhet och den om massans oförstörbarhet, har blivit till en lag. === Minowski-diagram === Det är vanligt att åskådliggöra en resa eller en annan rörelse med ett diagram, där tiden är avsatt på vågräta axeln och vägsträckan på den lodräta. Ett tåg som kör med jämn fart visas med en rät linje. Ju snabbare det går desto brantare lutar linjen. Om tåget står stilla en stund blir linjen vågrät. Det här är principen för ett Minkowski-diagram. Vi ritar två axlar, en (ofta vågrät) tidsaxel och en rumsaxel. Det är alltså två dimensioner vi avbildar, men rummet har ju i sig tre dimensioner – längd, bredd och höjd – så tillsammans borde det vara fyra dimensioner. Men eftersom man inte kan rita det på ett plant papper, som ju har bara två dimensioner, brukar man nöja sig med de två som vi har angivit ovan, och låter fantasin hjälpa för när det gäller mer vittgående förståelse. Ofta brukar man välja axelgraderingen så att linjen för en ljusstråles rörelse blir en linje som lutar precis 45 grader. Det innebär att varje tidsintervall avbildas lika långt som den sträcka som ljuset går på den tiden. Tiden år avbildas till exempel med ett lika långt gradstrecksavstånd som längdenheten ljusår. Ofta tänker man sig att ljusstrålens linje går genom origo, som betecknar ett slags nu och här. Ljusets bana betecknas antingen med en linje som lutar uppåt eller neråt beroende på åt vilket håll ljuset går. Tänker man sig diagrammet med ytterligare en rumsdimension vinkelrät mot pappret, ges alla tänkbara ljusbanor av punkterna på en dubbelkon vars spetsar möts i origo. Alla föremål, som ju går långsammare än ljuset, visas som linjer, räta eller krokiga, som, om de utgår från origo, håller sig mellan de två ljuslinjerna, den som lutar 45 grader uppåt och den som lutar 45 grader nedåt. Med en rumsdimension till förblir de inom konen under all framtid och har varit inom konens andra halva sedan tidens begynnelse. Rör sig föremålet med jämn fart längs en rät linje, då blir dess diagramkurva en rät linje genom origo. Vi kan använda det här diagrammet för att visa hur en tågpassagerares position och tid ändras beroende på vilken fart kupén har i förhållande till diagrammet. Om man bara tänker på vanligt sätt, så som man gjort under seklerna från Galileo Galileis tid och fram till Einstein, då ritar vi in en ny tidsaxel i samma diagram: Vi har samma origo och samma rumsaxel men ritar den nya tidsaxeln så att den lutar så mycket som tågets fart anger. Det blir ett dubbeldiagram, där vi med en linjal kan dra linjer parallella både med den gamla vågräta och den nya sneda tidsaxeln och läsa av positionen för vilket som helst föremål inne i kupén, både uttryckt i det ursprungliga systemet (stinsens) och det nya (kupéns). Tiden är traditionellt helt oberoende av rörelse, så när vi med linjalen får fram en skärningspunkt med den nya tidsaxeln, då får vi fortfarande använda den gamla tiden som ges av samma linjes skärning med den ursprungliga vågräta axeln. Så gjorde man, och så gör man när man inte behöver tänka på att ljusfarten alltid är den samma. Men om man tänker ordentligt på det och förstår att ljusfartens konstans förändrar tiden, då räcker det inte med att bara dra ut strecket med linjalen till den gamla axeln. Man måste för det första vicka båda axlarna så att rumsaxeln kommer tidsaxeln en bit till mötes och för det andra måste man dra strecken med krokig linjal, en linjal som är krökt som en hyperbel. En hyperbel är en kurva liksom en cirkel eller ellips. Om man lyser rätt ner på gatan med en ficklampa, kommer ljuskäglan att bilda en cirkel. Lutar man lite på lampan kommer cirkeln att dras ut till en ellips (en ”oval”). Ju mer man lutar på lampan desto långsmalare blir den elliptiska kanten på det belysta området, tills den sträcker sig ända till gatans slut och då inte längre är en ellips utan en parabel, samma kurva som man ser när en fin vattenstråle sprutar ut och kröks ner mot marken av jordensdragningskraft. Lutar man ännu mer på lampan blir ljusranden slutligen en hyperbel. En sådan är nästan V-formad, bara med en svag rundning i vinkeln. I Minkowski-diagrammet bildas perfekta spetsiga V:n av de två ljusstrålelinjerna som möts i origo. Inuti dessa V:n löper hyperbelbågar liksom slarvritade icke-spetsiga V:n. En sådan hyperbelbåge löper alldeles intill 45-graders ljusstrålelinjen längst till höger där tiden är stor, men närmare origo sjunker den ner och genar sen över mot den andra ljusstrålelinjen, – 45-graderslinjen, som den närmar sig alltmer ju längre åt höger den kommer. Den hyperbelbågen har ekvationen ''t''² –  ''s''² = 1. Den kan man använda som ”linjal” för att hitta från ett skalstreck på den ursprungliga tidsaxeln till den nya vridna tidsaxel som svarar mot tåget i rörelse. På samma sätt kan man använda ''s''² –  ''t''² = 1 för att hitta från ett skalstreck på den ursprungliga rymdaxeln till motsvarande på den nya axeln som är vriden i motsatt led. Vi går inte in på hur man gör detta i praktiken, för ibland räknar man inte med hyperblar utan gör ett trick så att man kan använda cirklar i stället. En hyperbel har ju en ekvation som liknar cirkelns ekvation mycket. Det enda som skiljer är att man har minus i stället för plus mellan de två kvadraterna. Det kan synas vara en allvarlig skillnad eftersom kvadrater alltid är positiva, efter vad man lär sig i grundskolan. Men i gymnasiet lär man sig ibland om imaginära tal och komplexa tal, som är uppfunna för att man ska kunna räkna med kvadrater som är negativa, och då kan man få cirkelns ekvation i stället för hyperbelns. Då kan man få sitt nya diagram helt enkelt genom att vrida båda axlarna i den gamla grafen i samma riktning. Vi går inte in på det heller, eftersom komplexa tal inte är någonting som är lätt att förstå sig på. Men eftersom vridning har med vinklar att göra, vill vi påpeka att man lätt förleds att tro att det handlar om samma vinkel som man upplever när man mixtrar med kastrullocket, vinkeln mellan hypotenusan 1 och den vågräta kateten ''v''/''c''. Skillnaden är att i det fallet var ettan i hypotenusan, i Minkowski-diagrammet bildas vinkeln av en triangel med 1 i vågräta kateten och ''v''/''c'' i lodräta kateten. Det här med diagram över den fyrdimensionella rum-tiden var inte något som fanns med i Einsteins arbeten 1905, varken det där han redde ut hur man kan förena relativitetsprincipen med att ljusfarten alltid är den samma, eller det arbete senare samma år där han la fram sin formel ''E'' = ''mc''². Det var hans lärare Minkowski som ganska snart efteråt visade på att man kunde få hjälp av dessa diagram och av vridningar av axlarna. Det tog lite tid innan Einstein nappade på denna utvidgning av relativitetsteorin. Han blev entusiastisk först när Minkowski var död, och han hade stor hjälp av diagrammen när han senare utarbetade den allmänna relativitetsteorin.     === Kvarstående problem === På Einsteins tid i början av 1900-talet fanns det två saker som hade börjat skava i Newtons mekanik. Den första har vi tagit itu med i den här skriften: Med hjälp av speciella relativitetsteorin har vi släppt lös tid och rum och därmed fått mekaniken att stämma med att ljusfarten är konstant, vilket optiken och elläran har visat. Det som nu kvarstår att behandla är framför allt att det inte är ordentligt utrett vad man menar när man säger att ett föremål (till exempel en tågvagn) inte får ändra fart eller riktning för att vi ska kunna göra våra uträkningar. Exakt vad är det som de måste röra sig jämnsnabbt rakt fram i förhållande till? Och hur är det med allt det som inte kvalificerar för våra beräkningar. En annan konstighet är att allt som faller accelererar lika snabbt. Det är något som man bara kan acceptera, eller också börja grubbla över liksom Einstein gjorde efter att den speciella relativitetsteorin var klar. Newton hängde upp en hink med vatten i ett rep och snurrade den så att repet tvinnades många varv, och släppte sen lös den så att repet tvinnades upp och hinken därvid snurrade snabbt och ganska länge så att också vattnet i den kom i snurrning. Han observerade att vattenytan då buktades uppåt mot kanterna med fördjupning i mitten. Man kan iaktta samma fenomen om man rör med en tesked i en kopp med en dryck, men man tror kanske då att det beror på något slags friktion mellan koppens vägg och vatten. Även då får ytan en grop i mitten. Vattnet söker sig ut mot kanterna. ”Centrifugalkraften” kanske någon säger, men vad är väl det? Bara ett ord? Det brukar förklaras som att vattenmolekylerna som har kommit i rörelse ”vill fortsätta rakt fram” på grund av sin tröghet. När de inte kan det för att hinkens vägg buktar emot tornar sig vattnet upp nära väggen. Även i övrigt har vi alla erfarenhet av fenomenet centrifugalkraft, att det som snurrar verkar tryckas utåt eftersom det vill fortsätta. I en karusell eller när en bil svänger i en kurva skuffas passagerarna mor ytterväggen, den vägg som är bort från centrum. (Centri-fugal betyder centrum-flyende.) Men det har förblivit oförklarat i förhållande till vad som snurrandet sker. Hur kan vattenmolekylerna veta att de snurrar? Vi människor vet det – tror oss veta det – för att vi har ögon att se med och kan iaktta allt runt hinken – husen, skogen, stjärnhimlen – men vattenmolekylerna har inga ögon. Hur kan vattnet veta något om omvärdens stillastående? Det befinner sig i en hink, ibland förväntas det krypa upp längs kanterna, ibland inte. Vi människor har ögon, som lockar oss att se stationshuset och perrongen som stillastående och hinken som snurrande men vi har också ett intellekt som kan se det på andra sättet och som kan sätta sig in i vattenmolekylernas situation. Newton lyckades inte förklara varför somligt verkar snurra på riktigt, men han kunde hantera problemet. Fysiker kallar det för acceleration när något inte fortsätter jämnsnabbt rakt fram. Det vi vanligen kallar acceleration är när det går snabbare, men man kan kalla det acceleration också när det går långsammare (negativ acceleration eller retardation) eller när farten förblir den samma men riktningen förändras.  Newton skilde mellan berättigade och icke-berättigade system. Den snurrande hinken är ett icke-berättigat system, för där krävs att man tänker sig en fiktiv kraft, centrifugalkraften, som trycker vattnet och allt med massa ut mot väggarna. I berättigade system däremot behöver man bara räkna med verkliga krafter, sådana som tyngdkraften som attraherar massor och ger dem acceleration. Perrongen med stinsen kan vi betrakta som ett berättigat system (åtminstone nästan berättigat, för jorden snurrar så pass långsamt, bara ett varv per dygn, att en eventuell centrifugalkraft blir mycket svag, omärkbar i en vattenhink som står stilla på en perrong). Då menade Newton, och speciella relativitetsteorin i dess efterföljd, att allt som inte accelererar i förhållande till ett berättigat system också är ett berättigat system. Det gäller till exempel tåget som rör sig med jämn fart rakt fram i förhållande till stationen. Inte heller inne i tåget känner man av några fiktiva krafter, och också inne i tåget kan man hänga upp en hink och se att vattenytan är plan så länge hinken är stilla i förhållande till kupén, sen kan man låta hinken snurra och ser då att vattnet stiger mot kanterna – precis som det gör för stinsen på perrongen om hon hänger upp sin hink och bringar den att snurra. Så länge vattnet snurrar är bägges hinkar icke-berättigade system. Vattenmolekylerna i dem tvingas ändra riktning hela tiden. De accelererar. Den speciella relativitetsteorin ärvde mysteriet med berättigade och oberättigade system från Newton. Det tillkom även en ny paradox om man försökte använda speciella relativitetsteorin på icke-berättigade system: Tänk dig att vi lägger ut måttstavar på golvet i en cirkelrund snurrande karusell och iakttar deras längder från ett torn ovanför karusellen. Måttstavar som ligger i cirkel längs karusellgolvets kant ser förkortade ut eftersom de rusar fram med en fart jämfört med oss. Annat är det med stavar som ligger radiellt, från mitten ut mot kanten. De ser inte ut att minska i längd (bara i bredd) eftersom rörelsen sker vinkelrätt mot stavlängden. Men det är ju konstigt, att omkretsen krymper men radien är oförändrad. Då gäller inte formeln för cirkelns omkrets längre, den som säger att omkretsen är 2∙''π∙r'', där ''π'' ≈ 3,14. Det är som när man virkar en rund grytlapp och spänner garnet för hårt i de sista varven så att grytlappen snörps samman ut mot kanten och blir som en kupa. Det är det som brukar kallas ”den krökta rymden”. Men innan Einstein kom någon vart med mysteriet att somliga hinkar har buktig vattenyta och andra plan yta funderade han på mysteriet att tunga och lätta föremål faller lika snabbt. Om man stöter kula så märker man att det krävs större kraft att få fart på en 6 kg kula än på en trekilos kula. Man säger att den har dubbelt så stor trög massa, 6 kg i stället för 3 kg, och då krävs det dubbel kraft. På samma sätt märker man att det är svårare att få fart på en järnvägsvagn än på en barnvagn. Det krävs en hel skolklass för att skuffa igång järnvägsvagnen men bara en elev för att skuffa barnvagn. Då skulle man kunna tro att det var samma sak med jordens dragningskraft också, att jorden har svårare att få stora kulan att falla än att få den lilla upp i samma fart. Men så är det inte med jordens dragningskraft. Men det är inte tvärtom heller, att en stor kulan skulle falla snabbare, vilket många naiva människor trodde innan Galileo Galilei visade att de faller lika snabbt ifall man släpper ner dem till exempel från tornet i Pisa. Tyngdkraften verkar fungera så att om tröga massan är dubbel så blir samtidigt jordens kraft dubbel. De kompenserar varandra precis, så att båda kulorna dras igång med samma acceleration. Samtidigt som det finns trög massa i kulorna finns det även en ”tung massa” i dem. När den tröga massan är 3 kg då är också den tunga massan 3 kg, när den ena är 6 kg är den andra också 6 kg. När den tunga massan drar då motverkar den tröga massan att accelerationen blir snabb. Alla experiment visar att de två sorternas massor alltid är lika, det var rent pedanteri att skilja dem åt, för de var ju samma. Men mystiskt var det att det som bestämmer jordens dragkraft och det som bestämmer kulornas obenägenhet att accelerera alltid råkade vara samma sak. Det var inget praktiskt problem, som när det på 1800-talet kom fram att ljuset alltid gick med samma fart, men det var mystiskt. Det tog Einstein tio år efter att han blivit klar med speciella relativitetsteorin innan han kom någon vart med det mysteriet. Det blev den allmänna relativitetsteorin, som ligger utanför ramen för denna skrift, som har handlat om den speciella relativitetsteorin. :::::::<math> \sqrt{\frac{1}{1 - (\frac{v}{c})^2}}</math> n6qzg17zcyvxga55g8s2ar1jmkzhud5