Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.46.0-wmf.22 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта TimedText TimedText talk Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 4 2393 41193 41186 2026-04-04T20:17:32Z Fhc000 10151 Топ 10 квітів які варто посадити у себе !! 41193 wikitext text/x-wiki Топ 10 квітів які варто посадити у себе 1. Троянда 🌹 У сонячному місці,в родючий ґрунт, навесні або восени. Регулярний полив,обрізка, підживлення. Троянди символізують любов,а їх аромат використовують у парфумах. 2. Тюльпан 🌷 Варто садити цибулини восени на глибину ~10 см. Помірний поливати,у сонячне місце. В Нідерландах колись була “тюльпанова лихоманка” — квіти коштували як будинки!! 3. Соняшник 🌻 Насіння прямо в ґрунт навесні. Багато сонця і води. (Соняшник “повертає голову” за сонцем) 4. Лаванда 💜 Варто садити у легкий, сухий ґрунт, на сонці. Мінімальний полив, обрізка. Відлякує комах і має заспокійливий аромат. 5. Півонія 🌺 Садити краще восени, не дуже глибоко. Доглядати варто поливати і трохи підживлення. Може рости на одному місці десятки років! 6. Ромашка 🌼 Як садити: насінням навесні. Догляд: невибаглива, достатньо сонця і води. Цікаво: використовується в лікувальних чаях. 7. Нарцис 🌼 Як садити: цибулини восени. Догляд: мінімальний, добре росте сам. Цікаво: один із перших квітів весни. 8. Петунія 🌸 Як садити: розсадою або насінням. Догляд: частий полив і сонце. Цікаво: ідеальна для балконів і клумб. 9. Лілія 🌷 Як садити: цибулинами навесні або восени. Догляд: помірний полив, сонце або півтінь. Цікаво: має дуже сильний аромат. 10. Чорнобривці 🌼 Як садити: насінням навесні. Догляд: майже не потребують догляду. Цікаво: захищають город від шкідників. == Євген Молчанюк 11В == [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTML HTML](англ. '''''HyperText Markup Language''''' — мова розмітки гіпертексту) — стандартизована мова розмітки документів для перегляду вебсторінок у браузері. Браузери отримують [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTML HTML] документ від сервера за протоколами [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTP HTTP]/[https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTPS HTTPS] або відкривають з локального диска, далі інтерпретують код в інтерфейс, який відображатиметься на екрані монітора. == Євген Молчанюк 11В == [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTML HTML] (англ. HyperText Markup Language — мова розмітки гіпертексту) — стандартизована мова розмітки документів для перегляду вебсторінок у браузері. Браузери отримують HTML документ від сервера за протоколами [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTP HTTP]/[https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTPS HTTPS] або відкривають з локального диска, далі інтерпретують код в інтерфейс, який відображатиметься на екрані монітора. Білосу Софія 8-А [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTML HTML] HTML (англ. HyperText Markup Language — мова розмітки гіпертексту) — стандартизована мова розмітки документів для перегляду вебсторінок у браузері. Браузери отримують HTML ]документ від сервера за протоколами або відкривають з локального диска, далі інтерпретують код в інтерфейс, який відображатиметься на екрані монітора. == Нікіта Кірев 8А == [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTML HTML] (англ. HyperText Markup Language — мова розмітки гіпертексту) — стандартизована мова розмітки документів для перегляду вебсторінок у браузері. Браузери отримують HTML документ від сервера за протоколами [https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTP HTTP]/[https://uk.wikipedia.org/wiki/HTTPS HTTPS] або відкривають з локального диска, далі інтерпретують код в інтерфейс, який відображатиметься на екрані монітора. == Нікіта Поліщук 8В == [https://uk.wikipedia.org/wiki/Python Python] — інтерпретована об'єктно-орієнтована мова програмування високого рівня із суворою динамічною типізацією. Розроблена на початку 1990-х років Гвідо ван Россумом. Структури даних високого рівня разом із динамічною семантикою та динамічним зв'язуванням роблять її привабливою для швидкої розробки програм, а також як засіб поєднування наявних компонентів. Python підтримує модулі та пакети модулів, що сприяє модульності та повторному використанню коду. Інтерпретатор Python та стандартні бібліотеки доступні як у скомпільованій, так і у вихідній формі на всіх основних платформах. В мові програмування Python підтримується кілька парадигм програмування, зокрема: об'єктно-орієнтована, процедурна, аспектно-орієнтована та функціональна. --[[Спеціальна:Внесок/&#126;2026-19997-60|&#126;2026-19997-60]] ([[Обговорення користувача:&#126;2026-19997-60|обговорення]]) 07:37, 1 квітня 2026 (UTC) l8jmtrf2chlejliut5au2gf4tyh4pv2 0 8434 41200 40047 2026-04-04T22:56:50Z Slavust 9295 add link to next chapter 41200 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центрального значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} jqpkuy07n7z8mmo1oe0kvznjmd9ggae 0 8631 41194 2026-04-04T22:40:10Z Slavust 9295 Переклад розділу книгипохідний код книги: https://github.com/OSTP/PhysicsArtofModelling 41194 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math>: </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та Прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> cixlqdsux0uxro9dlri1p6df46n6zoj 41195 41194 2026-04-04T22:40:53Z Slavust 9295 41195 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math>: </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та Прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> ol52gt47dfjua47eqoxr50a5rx5hbzt 41196 41195 2026-04-04T22:49:51Z Slavust 9295 improving formatting 41196 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> fbv122xakgtzy7zk2ceqz3rzy99crpd 41197 41196 2026-04-04T22:52:05Z Slavust 9295 41197 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> j91hmt73cvpgvjz6fjqc5zl1cwfi6x6 41198 41197 2026-04-04T22:54:17Z Slavust 9295 improving formatting 41198 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> 9e7q0ebzb1oz8x6nwxs8dlnjoev6udf 41199 41198 2026-04-04T22:56:12Z Slavust 9295 add navigation 41199 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span> Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span> Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span> Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span> Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span> Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|}} dbacw2eve61ksxpx4blwnmivu0nujix