Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта TimedText TimedText talk Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 0 8631 41241 41199 2026-04-22T17:28:59Z Slavust 9295 Нумерація зображень 41241 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span> Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|}} mypjiq1u552i6xhxcklpq9x75kioh3y 41242 41241 2026-04-22T17:34:41Z Slavust 9295 Нумерація таблиць 41242 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача -:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача -:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|}} 3zwr4xctktdh2p7r60f7lzjriyp4w5u 41243 41242 2026-04-22T17:39:10Z Slavust 9295 Нумерація задач 41243 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|}} cxutrt2q8vc5d7kulex4srhe8pfqy9w