Wikibooks viwikibooks https://vi.wikibooks.org/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh MediaWiki 1.45.0-wmf.8 first-letter Phương tiện Đặc biệt Thảo luận Thành viên Thảo luận Thành viên Wikibooks Thảo luận Wikibooks Tập tin Thảo luận Tập tin MediaWiki Thảo luận MediaWiki Bản mẫu Thảo luận Bản mẫu Trợ giúp Thảo luận Trợ giúp Thể loại Thảo luận Thể loại Chủ đề Thảo luận Chủ đề Trẻ em Thảo luận Trẻ em Nấu ăn Thảo luận Nấu ăn TimedText TimedText talk Mô đun Thảo luận Mô đun 106 11457 527854 250752 2025-07-03T20:32:17Z CommonsDelinker 596 Replacing Eierdoos.JPG with [[File:Eierdoos.jpg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: lowercase file extension). 527854 wikitext text/x-wiki '''Trứng''' (miền Nam gọi là '''hột''') là một loại thực phẩm phổ biến. Chúng do các loài gia cầm hay chim chóc đẻ ra. Trứng thường được sử dụng để cung cấp protein cho con người. Bề ngoài của trứng thường có hình bầu dục. Có nhiều loại trứng khác nhau mà phổ biến nhất là trứng gà. <gallery mode="packed-hover" widths="5000" heights="175"> Tập tin:Eggs in basket 2020 G1.jpg|Một rổ gồm trứng gà, trứng vịt và trứng cút Tập tin:Eierdoos.jpg|Một chục quả trứng gà Tập tin:Sunny side up by yomi955.jpg|Món trứng ốp la Tập tin:Breakfarst in Thakhek.JPG|Bữa ăn sáng với trứng ốp la </gallery> ==Các loại trứng== * Trứng gà * Trứng vịt * Trứng cút * Trứng đà điểu * Trứng ngỗng ==Món ăn làm từ trứng== *[[Nấu ăn:Trứng ốp la|Trứng ốp la]] *[[Nấu ăn:Trứng vịt lộn|Trứng vịt lộn]] *[[Nấu ăn:Trứng lá mơ|Trứng lá mơ]] *Trứng gà luộc lòng đào {{nguyên liệu|t}} bqvefb8ajsdahsz9eux0la289ebku6p 4 60273 527864 527368 2025-07-04T06:51:45Z Alexis Jazz 13988 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 527864 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Dữ liệu dưới đây được đưa vào vùng nhớ đệm và được cập nhật lần cuối lúc 2025-07-01T11:34:56Z. Tối đa có sẵn {{PLURAL:5000|một kết quả|5000 kết quả}} trong vùng nhớ đệm. {| class="sortable wikitable" ! Tiện ích !! data-sort-type="number" | Số người dùng !! data-sort-type="number" | Số thành viên tích cực |- |Cat-a-lot || 2 || 1 |- |CommentsInLocalTime || 16 || 0 |- |DeluxeHistory || 20 || 0 |- |Editsummary || 17 || 0 |- |LocalLiveClock || 11 || 0 |- |XTools-ArticleInfo || 9 || 1 |- |addsection-plus || 16 || 0 |- |autodel || 3 || 0 |- |darkmode || 11 || 1 |- |dropdown-menus || 16 || 0 |- |edittop || 16 || 0 |- |externallinks || 12 || 0 |- |goToTop || 6 || 0 |- |hotcat || 39 || 1 |- |moveRV || 22 || 0 |- |navpop || 33 || 0 |- |purgetab || 14 || 0 |- |removeAccessKeys || 2 || 0 |- |revisionjumper || 14 || 0 |- |sidebartranslate || 8 || 0 |- |subpages || 16 || 0 |- |wiked || 10 || 0 |} * [[Đặc biệt:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Cat-a-lot,2,1 CommentsInLocalTime,16,0 DeluxeHistory,20,0 Editsummary,17,0 LocalLiveClock,11,0 XTools-ArticleInfo,9,1 addsection-plus,16,0 autodel,3,0 darkmode,11,1 dropdown-menus,16,0 edittop,16,0 externallinks,12,0 goToTop,6,0 hotcat,39,1 moveRV,22,0 navpop,33,0 purgetab,14,0 removeAccessKeys,2,0 revisionjumper,14,0 sidebartranslate,8,0 subpages,16,0 wiked,10,0 --> ridg7rl8ehxuhqjyh33uj7nhuzchout 0 67435 527853 517325 2025-07-03T15:15:23Z 205.189.94.88 /* Phép toán đại số */ 527853 wikitext text/x-wiki [[Thể loại:Sách kỹ sư]] ==Ký số== : {| width=100% | '''Loại Ký số ''' || '''Biểu tượng số ''' |- | Ký số La Mã || I || II || III || IV || V || VI || VII || VIII || IX || X |- |Ký số Ả rập || 1 || 2 ||3 ||4 ||5 ||6 ||7 ||8 || 9 ||10 |- |Ký số Trung quốc || - || = || |- | Giá trị || 1 || 2 ||3 ||4 ||5 ||6 ||7 ||8 ||9 ||10 |- |} ==Số đại số== Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số. ===Loai số đại số và Phép toán đại số=== Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây :{|width=100% |- | ''' Loai số đại số''' || '''Định nghỉa ''' || '''Ký hiệu ''' || '''Thí dụ ''' |- |[https://vi.wikibooks.org/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn Số tự nhiên] || || <math>N</math> || <math>0,1,2,3,4,5,6,7,8,9</math> |- | [[/Số chẳn/]] || Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 || <math>2n</math> || <math>2,4,6,</math> |- | [https://vi.wikibooks.org/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_l%E1%BA%BB Số lẻ] || Mọi số tự nhiên không chia hết cho 2 || <math>2n+1</math> || <math>1,3,5,7,9</math> |- | [https://vi.wikibooks.org/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91 Số nguyên tố] || Mọi số tự nhiên chia hết cho 1 và cho chính nó || <math>p</math>|| <math>1,3,5,7</math> |- | [[/Số nguyên/]] || |- | [[/Phân số/]] |- | [[/Số phức/]] |- |} ===Phép toán đại số=== Các phép toán thực thi trên các số đại số bao gồm :{| class="" width=100% | ''' Toán ''' || ''' Ký Hiệu ''' || ''' Công Thức ''' || ''' Định Nghỉa ''' |- | [[/Toán cộng đại số /]] || <math>+</math> || <math>A + B</math> || Toán Cộng hai số đại số |- | [[/Toán trừ đại số/]] || <math>-</math> || <math>A - B</math> ||Toán Trừ hai số đại số |- | [[/Toán nhân đại số/]] || <math>x</math> || <math>A \times B</math>||Toán Nhân hai số đại số |- | [[/Toán chia đại số/]]|| <math>/</math> || <math>A / B</math> ||Toán Chia hai số đại số |- | [[/Toán lũy thừa đại số/]] || <math>a^n</math> || <math>a^n = a \times a \times a ...</math> || Toán tìm tích n lần của chính số nhân |- | [[/Toán căn đại số/]] || <math>\sqrt{}</math>|| <math>\sqrt{a} = b</math> nếu có <math>b^n = a</math> || Toán lủy thừa nghịch |- |} ==Số tự nhiên== ==Số nguyên== ===Loai số Số nguyên=== Số nguyên là số đại số bao gồm ba loại số số nguyên âm , số nguyên dương và số không . [[Số không]] có giá trị bằng 0 . [[Số nguyên âm]] có giá trị nhỏ hơn 0 . [[Số nguyên dương]] có giá trị lớn hơn 0 . Thí dụ như -1,0,+1 . Số nguyên có ký hiệu chung <math> I</math> . Số nguyên âm có ký hiệu chung <math> -I</math> . Số nguyên dươngcó ký hiệu chung <math> +I</math> .: Số không <math> 0</math> . Thí dụ Số nguyên trong tập hợp số tự nhiên từ 0 đến 9 . Số nguyên âm . <math>-1,-2,...-9</math>. Số nguyên dương . <math>+1,+2,...+9</math> . Số nguyên không . <math>0</math> ===Phép toán Số nguyên=== Số nguyên <math>I={I<0 , I=0 , I> 0} </math> :{|width=100% |- | ''' Toán Số nguyên''' || '''Công thức ''' |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không || <math>a + 0 = a</math> <br><math>a - 0 = a</math> <br><math>a \times 0 = 0</math> <br><math>a / 0 = oo</math> |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm || <math>a + (-a) = 0</math> <br><math>a - (-a) = 2a</math> <br><math>a \times(-a) = -a^2</math> <br><math>a / (-a) = -1</math> |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương || <math>a + a = 2a</math> <br> <math>a - a = 0</math> <br><math>a \times a = a^2</math> <br><math>\frac{a}{a} = 1</math> |- | Lũy thừa số nguyên || <math>a^0 = 1</math> <br> <math>a^n = a \times a \times a ... \times a</math> <br><math>(-a)^n = a^n</math> . <math>n=2m</math><math>(-a)^n = -a^n</math> . Với <math>n=2m+1</math> |- | Căn số nguyên || <math>\sqrt{0} = 0</math> <br><math>\sqrt{1} = 1</math> <br><math>\sqrt{(-1)} = j </math> |} ====Phân số ==== Số Phức là số có dạng tổng quát : <math>\frac{a}{b}</math> Số thập phân : <math>0,1234</math> Số hửu tỉ : <math>3.1415...</math> Số vô tỉ : <math>0,33333.... = \frac{1}{3}</math> ====Số Phức==== Số Phức là số có dạng tổng quát : <math>Z = a \pm j b</math> ===Phép toán số đại số=== ====Phép toán Số nguyên==== Số nguyên <math>I={I<0 , I=0 , I> 0} </math> :{|width=100% |- | ''' Toán Số nguyên''' || '''Công thức ''' |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không || <math>a + 0 = a</math> <br><math>a - 0 = a</math> <br><math>a \times 0 = 0</math> <br><math>a / 0 = oo</math> |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm || <math>a + (-a) = 0</math> <br><math>a - (-a) = 2a</math> <br><math>a \times(-a) = -a^2</math> <br><math>a / (-a) = -1</math> |- | Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương || <math>a + a = 2a</math> <br> <math>a - a = 0</math> <br><math>a \times a = a^2</math> <br><math>\frac{a}{a} = 1</math> |- | Lũy thừa số nguyên || <math>a^0 = 1</math> <br> <math>a^n = a \times a \times a ... \times a</math> <br><math>(-a)^n = a^n</math> . <math>n=2m</math><math>(-a)^n = -a^n</math> . Với <math>n=2m+1</math> |- | Căn số nguyên || <math>\sqrt{0} = 0</math> <br><math>\sqrt{1} = 1</math> <br><math>\sqrt{(-1)} = j </math> |} ====Phép toán Phân số==== Đổi hổn số thành phân số :<math>a \frac{b}{c} = a + \frac{b}{c} = \frac{ac+b}{c}</math> Cộng , Trừ, Nhân, Chia 2 phân số :<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math> :<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}</math> :<math>\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math> :<math>\frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}</math> Lũy thừa phân số :<math>(\frac{a}{b})^n = \frac{b^n}{a^n}</math> :<math>(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{b}{a}}</math> Căn phân số :<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}</math> ====Phép toán Toán số phức==== ;[[File:Complex_conjugate_picture.svg|150px]] Số phức được biểu diển như ở dưới đây :{|width=100% |- | '''Số phức ''' || ''' Thuận <math>Z</math>''' || '''Nghịch <math>Z^*</math> ''' |- | Biểu diển dưới dạng xy || <math>Z = x + j y </math> || <math>Z = x - j y </math> |- | Biểu diển dưới dạng Zθ || <math>Z \angle \theta = \sqrt{x^2+y^2} \angle tan^{-1} \frac{y}{x} </math> || <math>Z \angle \theta = \sqrt{x^2+y^2} \angle - tan^{-1} \frac{y}{x} </math> |- | Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác || <math>Z = z (cos \theta + j sin \theta)</math> || <math>Z = z (cos \theta - j sin \theta)</math> |- | Biểu diển dưới lũy thừa của e || <math>Z = z e^{j\theta}</math> || <math>Z = z e^{-j\theta}</math> |- |} Toán số phức được thực thi như sau :{|width=100% |- | '''Toán Số phức ''' || '''Toán cộng '''||''' Toán trừ '''|| '''Toán nhân '''|| '''Toán chia''' |- | <math>x + jy</math> và <math>x - jy</math>|| <math>2x</math> || <math>2y</math> || <math>x^2-y^2</math> || <math>\frac{x^2-y^2}{x-jy}</math> |- | <math>x + jy</math> và <math>x - jy</math>|| <math>2x</math> || <math>2y</math> || <math>x^2-y^2</math> || <math>\frac{x^2-y^2}{x-jy}</math> |- | <math>x + jy</math> và <math>x - jy</math>|| <math>2x</math> || <math>2y</math> || <math>x^2-y^2</math> || <math>\frac{x^2-y^2}{x-jy}</math> |- | <math>Z = z e^{j\theta}</math> và <math>Z = z e^{-j\theta}</math> || <math>z(e^{j \theta} + e^{-j \theta})</math> || <math>z(e^{j \theta} - e^{-j \theta})</math> || <math>z^2</math> || <math>e^{j2 \theta}</math> |- |} Định lý Demoive :<math>(Z\angle \theta)^n = Z^n \angle n \theta</math> ====Phép toán Lũy thừa==== :<math>a^n = a \times a \times a \times a ... \times a</math> {|width=100% |- | '''Toán lủy thừa ''' || '''Công thức ''' |- | Lủy thừa không || <math>a^0 = 1</math> |- | Lủy thừa 1 || <math>a^1 = a</math> |- | Lủy thừa của số không || <math>0^n </math> |- | Lủy thừa của số 1 || <math>1^n = 1</math> |- | Lủy thừa trừ || <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> |- | Lủy thừa phân số || <math>a^{\frac{m}{n}} = n\sqrt{a^m}</math> |- | Lủy thừa của số nguyên âm || <br><math>(-a)^n = a^n</math> Với <math>n = 2m </math>. <br><math>(-a)^n = -a^n</math> . Với <math>n = 2m+1</math> |- | Lủy thừa của số nguyên dương || <math>(+a)^n = a^n</math> |- | Lủy thừa của lủy thừa || <math> (a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn} </math> |- | Lủy thừa của tích hai số || <math> (ab)^m=a^m \times b^m </math> |- | Lủy thừa của thương hai số || <math> (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{a^n} </math> |- | Lủy thừa của căn || <math>(\sqrt{a^n})^m = a^\frac{m}{n}</math> |- | Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa || <br><math>a^m + a^n = a^m (1 + a^{n-m})</math> <br><math>a^m - a^n = a^m (1 - a^{n-m})</math> <br><math>a^m \times a^n = a^{m+n} </math> <br><math>a^m / a^n = a^{m-n} </math> |- | <br>Lủy thừa của tổng hai số ||<br> <math>(a + b)^n = \underbrace{(a + b) \times (a + b) \cdots \times (a + b)}_n </math><br><math> (a + b)^n = a^n + C_{n-1}a^{n-1}b+ ...+C_1ab^{n-1} + b^n</math> <br> <math>(a + b)^0 = 1</math> <br><math>(a + b)^1 = a + b</math> <br><math>(a + b)^2 = (a + b) \times (a+b) = a^2 + 2 ab + b^2</math> <br><math>(a + b)^3 = (a + b) \times (a+b) \times (a+b) = a^3 + 3 a^2b + 3ab^2+b^3</math> |- | Lủy thừa của hiệu hai số || <br><math>(a - b)^n = \underbrace{(a - b) \times (a - b) \cdots \times (a - b)}_n</math> <br><math>(a - b)^0 = 1</math> <br><math>(a - b)^1 = a + b</math> <br><math>(a - b)^2 = (a - b) \times (a-b) = a^2 - 2 ab + b^2</math> <br><math>(a - b)^3 = (a - b) \times (a-b) \times (a-b) = a^3 - 3 a^2b + 3ab^2-b^3</math> |- | Hiệu 2 lũy thừa || <math>a^2 - b^2 = (a+b) \times (a-b)</math> |- | Tổng 2 lũy thừa || <math>a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab</math> |- |} ====Phép toán Toán căn==== :<math>n\sqrt{a} = b</math> khi có <math>a = b^n</math> :{|width=100% |- | '''Toán căn số ''' || '''Công thức ''' |- | Căn và lủy thừa || : <math>\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}</math> |- | Căn của số nguyên || <br><math>\sqrt{0} = Error</math> <br> <math>\sqrt{1} = 1</math> <br> <math>\sqrt{-1} = j</math> |- | Căn lủy thừa || <br><math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} = a^{\frac{1}{mn}}</math> |- | Căn thương số || <br><math>\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}} {\sqrt{b}} </math> <br><math>\sqrt[n]{\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}}</math> |- | Căn tích số || <br><math>\sqrt{ab}</math> = <math>\sqrt{a}</math> <math>\sqrt{b}</math> |- | Vô căn || <br><math>a \sqrt{a} = \sqrt{a^2 \times a} = \sqrt{a^3}</math> |- | Ra căn || <br><math>\sqrt{a^n} = a \sqrt{a^{n-2}}</math> |- |} ====Phép toán Toán log==== : <math>Log_a b = c</math> khi có <math>a^c=b</math> :{|width=100% |- | '''Toán Log ''' || '''Công thức ''' |- | Viết tắc || <br><math>Log = Log_{10}</math><br><math>Ln = Log_{2}</math> |- | Log 1 || <br><math>Log(1) = 0</math> |- | Log lũy thừa || <br><math>Log_n(A)^n = A</math> |- | Lũy thừa log || <br><math>B^{Log_B(A)} = A</math> |- | Log của tích số || <br><math>Log(AB) = LogA + Log B</math> |- | Log của thương số || <br><math>Log(\frac{A}{B}) = LogA - Log B</math> |- | Log của lủy thừa || <br><math>Log(A^n) = n LogA </math> |- | Đổi nền log || <br><math>Log_a x = \frac{Log x}{Log a}</math> |- |} ==Dải số đại số== ===Dải số=== Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ :{|width=100% |- | Dải số của các số tự nhiên || <math>1,2,3,4,5, .... , n</math> |- | Dải số của các số tự nhiên chẳn || <math> 2,4,6,8,10, ... , 2n </math> |- | Dải số của các số tự nhiên lẻ || <math> 1,3,5,7, ... , 2n+1 </math> |- |} ===Tổng dải số đại số=== :{|width=100% class=wikitable |- | '''Chuổi sô''' || '''Định nghỉa ''' || '''Ký hiệu ''' || '''Thí dụ ''' |- | Chuổi số || phép toán tìm tổng của một dải số || <math>S = \sum </math> || <math> S_n = \sum_{i=1}^n a_i = 1+2+\cdots+n = 1 + 2 + 3 + ... + n = k (1 + n) </math> |- |} ====Tổng chuổi số cấp số cộng==== Dạng tổng quát :<math> a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d] = \sum_{k=0}^{\infty} [a + (n-1)d] </math> Chứng minh :<math>\sum_{k=0}^{\infty} [a + (n-1)d] = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d] = \frac{n}{2} (2a+(n-1)d)</math> :: <math>S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d]</math> :: <math>S = [a + (n-1)d] + ... + (n-1)d] +a </math> :: <math>2S = [2a + (n-1)d] n </math> :: <math>S = [2a + (n-1)d] \frac{n}{2}</math> Thí dụ Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát : <math>1,2,3,...9</math> Tổng số của dải số :<math>1+2+3+4+5+...9 = 50</math> Cách giải ::<math>S = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + (5+5) = 10(5)=50</math> ====Tổng chuổi số cấp số nhân==== Dạng tổng quát : <math>a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\ldots+ar^n = \sum_{k=0}^{\infty} (ar^k)</math> Chứng minh : <math>\sum_{k=0}^{\infty} (ar^k) = a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\ldots+ar^n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} </math> ::<math>S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + a r^{n-1}</math> ::<math>rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + a r^n</math> ::<math>S-rS = a - a r^n </math> ::<math>S = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} </math> ::<math>S = \frac{a}{1-r} </math> với <math>n < 1</math> Thí dụ : <math>1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 = 4</math> : <math>1 + 1.2 + 1.2^2 + 1.2^3 = 1+2+4+8=15</math> ====Tổng chuổi số Pascal==== Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng :<math>(x+y)^n=\sum_{r=0}^n{n \choose r}x^ry^{n-r}</math> ::<math>(x+y)^n = {n \choose 0} x^0y^n + {n \choose 1} x^1y^{n-1} + {n \choose 2} x^2y^{n-2} + \dots + {n \choose {n-2}}x^{n-2}y^2 + {n \choose {n-1}}x^{n-1}y^1 + {n \choose n}x^ny^0</math> ::<math>(x+y)^n = y^n + nxy^{n-1} + {n \choose 2} x^2y^{n-2} + \dots + {n \choose {n-2}}x^{n-2}y^2 + nx^{n-1}y + x^n</math> Với :<math>{n\choose r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}</math> Thí dụ {| |- align="left" | <math>(x+1)^1 =</math> | align="center" | <math>1x + 1</math> |- align="left" | <math>(x+1)^2 =</math> | align="center" | <math>1x^2 + 2x + 1</math> |- align="left" | <math>(x+1)^3 =</math> | align="center" | <math>1x^3 + 3x^2 + 3x + 1</math> |- align="left" | <math>(x+1)^4 =</math> | align="center" | <math>1x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1</math> |- align="left" | <math>(x+1)^5 =</math> | align="center" | <math>1x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1</math> |} Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ====Tổng chuổi số Taylor==== Dạng tổng quát :<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} </math> ====Tổng dải số Fourier==== [[File:Fourier_Series.svg|100px|right]] Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine :<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right), \quad \text{for integer}\ N\ \ge\ 1.</math> ====Công thức tổng dải số==== :<math>\sum^{n}_{k=0}{c}=nc</math> where <math>c</math> is some constant. :<math>\sum^{n}_{k=0}{k}=\frac{n(n+1)}{2}</math> :<math>\sum^{n}_{k=0}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> :<math>\sum^{n}_{k=0}{k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}</math> :<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=e^x</math> :<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots = \ln(1+x)\quad\text{ for }|x|<1</math> :<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots = \cos(x) \quad\text{ for all }x\in\Complex</math> ==Biểu thức đại số== :{|width=100% class=wikitable |- | '''Biểu thức '''|| '''Đơn thức '''||''' Đa thức '''|| '''Đẳng thức '''|| '''Bất đẳng thức ''' |- |<math>2x</math>, <math>5xyz</math> || <math>2x + 5y</math>, <math>5xy - 2y</math> || <math>2x = 5y</math>, <math>5xy = 2y</math> || <math>2x </math> > <math> 5y</math>, <math>5xy</math> < <math> 2y</math> |- |} ===Hằng đẳng thức=== :{|width=100% |- | ''' Hằng đẳng thức ''' || '''Công thức ''' |- | Bình phương tổng 2 số đại số || <math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2 ab + b^2</math> |- | Bình phương hiệu 2 số đại số || <math>(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2 ab + b^2</math> |- | Tổng 2 bình phương || <math>a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab</math><br><math>a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab</math> |- | Hiệu 2 bình phương || <math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math> |- | Tổng 2 lập phương || <math>a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)</math> |- | Hiệu 2 lập phương || <math>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math> |- |} ===Bất đẳng thức=== ==Hàm số đại số== ===Tính chất=== :{|width=100% |- | '''Hàm số ''' || ''' Công thức''' |- | Hàm số có dạng tổng quát || <math>f(x,y,z,...)</math> |- | Giá trị hàm số || <math>f(x,y,z,...)=C</math> |- |} ===Loại hàm số === :{|width=100% |- | ''' Dạng hàm số ''' || ''' Công thức''' || '''Thí dụ ''' |- | Hàm số tuần hoàn Periodic function || <math>f(x)=f(x+T)</math> || <math>sin x = sin (x+k2\pi)</math> |- | Hàm số chẳn even function || <math>f(x)=f(-x)</math> || <math>y(x) = |x|</math> |- | Hàm số lẽ odd function || <math>f(x)= -f(x)</math> || <math>y(x) = -y(x)</math> |- | Hàm số nghịch đảo inverse function || <math>f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}</math> || <math>sin^{-1}{x} = \frac{1}{sin x}</math> |- | Hàm số trong hàm số composite function || <math>f(x) = f(g(x))</math> || |- | Hàm số nhiều biến số parametric function || <math>z = f(x,y)</math> || |- | Hàm số tương quan/]] recursive function || |- |} ===Phép toán hàm số=== ====Đồ thị hàm số==== Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số ''' f(x)=x ''' ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0) :{|width=100% |- | '''x''' || -2 -1 0 1 2 || Hình |- | '''F(x)=x ''' || -2 -1 0 1 2 || [[T%E1%BA%ADp_tin:LinearInterpolation.svg|100px]] |- |} :{|width=100% |- | ''' Đồ thị hàm số ''' || '''Hình ''' |- | '''Thẳng ''' || [[T%E1%BA%ADp_tin:LinearInterpolation.svg|150px]] |- | '''Cong ''' || [[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] |- | ''' Tròn''' || [[File:Circle-withsegments.svg|100px]] |- | ''' Lũy thừa''' || [[Tập_tin:Đồ_thị_hàm_số_lũy_thừa_với_số_mũ_dương.jpg|200px]] |- | '''Log ''' || [[Tập tin:Logarithm plots.png|200px|Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, {{mvar|e}} và 10]] |- | '''Sin''' || [[Image:Sin.svg|100px]] |- | '''Cos''' || [[Image:Cos.svg|100px]] |- | '''Sec''' || [[Image:Sec.svg|100px]] |- | '''Csc''' || [[Image:Cosec_proportional.svg|100px]] |- | '''Tan''' || [[Image:Tan.svg|100px]] |- | '''Cot''' || [[Image:Cotan_proportional.svg|100px]] |- |} ====Công thức toán==== :{|width=100% |- | '''Danh sách các hàm số ''' || '''Công thức ''' |- | Hàm số đường thẳng || <math>Y=ZX</math><br><math>y-y_o=Z(x-x_o)</math><br><math>y = y_o + Z (x-x_o)</math> |- | <br>Hàm số vòng tròn Z đơn vị || <br><MATH>Z^2 = X^2 +Y^2</MATH> |- | <br>Hàm số vòng tròn 1 đơn vị || <br><MATH>\frac{Z}{Z}^2 = \frac{X}{Z}^2 + \frac{Y}{Z}^2</MATH><br> <MATH>1 = cos^2 + sin^2</MATH><br><MATH>1 = sec^2 + tan^2</MATH><br> <MATH>1 = csc^2 + cot^2</MATH> |- | <br>Hàm số lượng giác || <br><math>cos \theta = \frac{X}{Z}</math><br> <math>sin \theta = \frac{Y}{Z}</math><br> <math>sec \theta = \frac{1}{X}</math><br> <math>csc \theta = \frac{1}{Y}</math><br> <math>tan \theta = \frac{Y}{X}</math><br> <math>cot \theta = \frac{X}{Y}</math> |- | <br>Hàm số lũy thừa Power function || <br><math>y = ax^n </math> |- | <br>Hàm số Lô ga rít || <br><math>y(x) = Log x</math> |- | <br>Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function || <br><math>y(x) = ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 x^0</math> |- | <br>Hàm số chia/]] Rational function || <br><math>Q(x) = \frac{N(x)}{M(x)} - R(x)</math> |- |} ====Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin==== Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau :<math>f(x) = a_0 +a_1x+a_2x^3+a_4x^4 + ... = f(0) + f^{'}x(0) + \frac{f^{''}(0)}{2!} + \frac{f^{'''}(0)}{3!} + ...</math> Chứng minh Khi x=0 <br> <math>f(0)=a_0</math> <br> <br>Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0 <br> <math>f^{'}(x)=a_1 + 2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3</math> <br> <math>f^{'}(0)=a_1 </math> <br> <br>Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0 <br> <math>f^{''}(x)=2a_2 + (3)(2)a_3x + (4)(3)a_4x^2 + (5)(4)a_5x^3</math> <br> <math>f^{''}(0)=2a_2 </math> <br> <math>a_2=\frac{f^{''}(0)}{2} </math> <br> <br>Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0 <br> <math>f^{'''}(x)= (3)(2)a_3x + (4)(3)(2)a_4x + (5)(4)(3)a_5x^2</math> <br> <math>f^{'''}(0)=(3)(2)a_3 </math> <br> <math>a_3=\frac{f^{'''}(0)}{3!} </math> <br> <br>Thế <math>a_0,a-1,a-2</math> vào hàm số ở trên <math>f(x) = a_0 +a_1x+a_2x^3+a_4x^4</math> ta được <br><math>f(x) = f(0) + f^{'}x(0) + \frac{f^{''}(0)}{2!} + \frac{f^{'''}(0)}{3!} </math> ====Toán giải tích - Phép toán hàm số==== Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây :[[File:LinearInterpolation.svg|200px]] Ta có thể tính các loại toán sau ;Biến đổi hàm số Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây :<math>a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y-y_o}{x-x_o} </math> :<math>a = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{(x+\Delta x) - x} </math> Với :<math>\Delta x = x-x_o = (x+\Delta x) - x </math> - Thay đổi biến số x :<math>\Delta y = y - y_o = \Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x) </math> - Thay đổi biến số y ;Diện tích dưới hình :<math>s = \Delta x y + \Delta x \frac{\Delta y}{2} = \Delta x[y+\frac{\Delta y}{2}] = \Delta x[f(x)+\frac{\Delta f(x)}{2}]</math> :<math>s = \Delta x[f(x)+\frac{\Delta f(x)}{2}] = \frac{\Delta x}{2}[2 f(x)+f(x + \Delta x) - f(x)] = \frac{\Delta x}{2}[f(x)+f(x + \Delta x)]</math> Với mọi đường cong bên dưới :[[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] Ta có thể tính các loại toán sau ; Đạo hàm hàm số đường cong :[[Hình:Integral as region under curve.png|150px|Tích phân được định nghĩa như diện tích ''S'' dưới đường cong ''y''=''f''(''x'') với ''x'' chạy từ ''a'' đến ''b'']] : <math>\frac{d}{dx} f(x) = f^'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} </math> ; Tích phân xác định đường cong : <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math> ; Tích phân bất định đường cong : <math>\int f(x) dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \sum ( f(x) + \frac{\Delta f(x)}{2}) \Delta x = F(x) + C</math> ==Phương trình đại số== ===Dạng tổng quát=== Phương trình có dạng tổng quát :<math>f(x,y,z,...)=0</math> ===Giải phương trình=== Quá trình tìm giá trị nghiệm số thỏa mản ====Giải phương trình lũy thừa==== :{|width=100% |- | ''' Phương trình lũy thừa ''' || '''Dạng tổng quát ''' || '''Giải phương trình ''' |- | Phương trình lũy thừa bậc 1 || <math>ax+b=0</math> || <math>x+\frac{b}{a}=0</math> <br> <math>x=-\frac{b}{a}</math> |- | Giải phương trình lũy thừa bậc 2 || <math>ax^2+bx+c=0</math> || <math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0</math> <br>:<math>x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.</math> <br><math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}</math>. <br><math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math>. <br><math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>. <br><math>x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math> <br><math>x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math> <br> <br><math>ax^n + b = 0</math> <br><math>ax^n=-b</math> v<math>x^n=-\frac{b}{a}</math> <br><math>x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm j n\sqrt{\frac{b}{a}}</math> <br> <math>x=n \sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm j n\sqrt{\frac{b}{a}}</math> |- | Giải phương trình lũy thừa bậc n || <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x + a_o=0</math> || |- |} ====Giải phương trình đạo hàm==== :{|width=100% class=wikitable |- | ''' Phương trình đạo hàm ''' || ''' Dạng tổng quát ''' || '''Giải phương trình ''' |- | Phương trình đạo hàm bậc n || <math>a \frac{d^n}{dx^n} f(x) + b f(x) = 0</math> || <math> s^n f(x) + \frac{b}{a} f(x) = 0</math> <br> <math> s^n = - \frac{b}{a}</math> <br> <math> s = n \sqrt{- \frac{b}{a}} = \pm j n \sqrt{\frac{b}{a}} = \pm j \omega</math> <br> <math> f(x) = A e^{st} = A e^{\pm j \omega t} = A sin \omega t</math> . Với <math>n </math> ≥ 2 <br>[[Tập_tin:Wave.png|200px]] |- | Phương trình đạo hàm bậc 2 || <math>a \frac{d^2}{dx^2} f(x) + b \frac{d}{dx} f(x) + c f(x) = 0</math> || <math> s^2 f(x) + \frac{b}{a} sf(x) + \frac{c}{a} f(x) = 0</math> <br> <math> s^2 + 2 \alpha s + \beta = 0</math> <br> <math>s = -\alpha</math> . <math>f(x) = Ae^{-\alpha x} = A(\alpha)</math> . <math>\alpha</math> = <math>\beta</math> <br> <math>s=-\alpha \pm \lambda</math> . <math>f(x) = Ae^{(-\alpha \pm \lambda) x} = A(\alpha) e^{\lambda x} + A(\alpha) e^{-\lambda x}</math> . <math>\alpha</math> < <math>\beta</math> <br> <math>s=-\alpha \pm j \omega</math> . <math>f(x) = Ae^{(-\alpha \pm j \omega)x} = A(\alpha) sin \omega</math> . <math>\alpha</math> > <math>\beta</math> <br> <math> \alpha = \frac{b}{2a}</math> . <math> \beta = \frac{c}{a}</math> . <math> \lambda = \sqrt{\alpha - \beta}</math> . <math> \omega= \sqrt{ \beta - \alpha}</math> |- | Phương trình đạo hàm bậc 1 || <math>a \frac{d}{dx} f(x) + b f(x) = 0</math> || <math> s f(x) + \frac{b}{a} f(x) = 0</math> <br> <math> s= -\frac{b}{a}</math> <br><math> f(x)= Ae^{sx} = Ae^{-\frac{b}{a}x} = Ae^{-\alpha x}</math> |- |} ====Giải hệ phương trình tuyến tính==== Dạng tổng quát của 2 biến số :<math>a_{11}x + a_{12}y = a_{1n}</math> :<math>a_{21}x + a_{22y} = a_{2n}</math> ==Hình học Eucleur== ===Điểm === :{|width=70% |- | ''' Góc''' || '''Định nghỉa ''' || ''' Ký hiệu''' || '''Đơn vị ''' || '''Thí dụ ''' |- | '''.''' || Một chấm || A __ B || || |- |} ===Đường thẳng=== :{|width=70% |- | ''' Góc''' || '''Định nghỉa ''' || ''' Ký hiệu''' || '''Đơn vị ''' || '''Thí dụ ''' |- | [[File:Segment_definition.svg|150px]] || Đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng || AB || || |- |} ===Góc=== :{|width=100% |- | ''' Góc''' || '''Định nghỉa ''' || ''' Ký hiệu''' || '''Đơn vị ''' || '''Thí dụ ''' |- | [[File:Angle acute.svg|100px]] || Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm <br>sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng || '''<math>\angle </math>''' || <math>1 rad = \frac{180^o}{\pi}</math><br><math>1^o = \frac{\pi}{180^o}</math> || <math>\angle A = 30^0 = \frac{\pi}{6} rad</math> |- |} ==Đường thẳng== ===Định nghỉa=== ====Tọa độ điểm đại số ==== :[[File:LinearInterpolation.svg|150px]] Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm (xo,yo) - (x,y) Có độ dóc tính bằng :<math>a = \frac{y-y_o}{x-x_o}</math> Có thể biểu diển bằng hàm số toán đại số dưới đây :<math>y = y_o + a (x-x_o) = ax + b</math> ===Dạng đường thẳng=== ====Đường thẳng vuông góc ==== Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông 90^o sẻ tạo ra hai [[Đường thẳng vuông góc]] voi nhau : [[File:Perpendicular-coloured.svg|200px|]] < <math>AB \perp CD</math> <br>Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD <math> \perp </math> : Góc B đỏ = Góc B xanh = 90^o<br> Góc B đỏ + Góc B xanh = 90^o + 90^o = 180^o <br> Góc B đỏ = 180^o - Góc B xanh<br> Góc B xanh = 180^o - Góc B đỏ ====Đường thẳng song song ==== Hai đường thẳng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào là đường thẳng song song . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung . Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song . Ký hiệu đường thẳng song song <math>//</math> : '''AB // CD''' Tính chất góc trong 2 đương thẳng song song :[[File:Parallel_Postulate.png|300px]] Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: #Hai góc so le trong bằng nhau; #Hai góc đồng vị bằng nhau; #Hai góc trong cùng phía bù nhau. ===Vector đường thẳng=== Vector đường thẳng là một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ đường thẳng có ký hiệu Vector '''→''' . Thí dụ, Vector <math>\vec {AB}</math> : [[File:Vector_AB_from_A_to_B.svg|200px]] Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây :<math>\vec A = A \vec a</math> Với :<math>\vec A </math> - Vector :<math>\vec A = A </math> . Cường độ vector :<math>\vec A = \vec a</math> . Vector 1 đơn vị Cường độ vector :<math>A = \frac{\vec A}{a}</math> Vector 1 đơn vị :<math>\vec a = \frac{\vec A}{a}</math> Thí dụ Tam giác vuông Pythagore :{|width=100% border=1 |- | '''Vector đương thẳng ''' || '''Công tức toán ''' |- | Vector đương thẳng ngang || <math>\vec X = X \vec i</math> |- | Vector đương thẳng dọc || <math>\vec Y = Y \vec j</math> |- | Vector đương thẳng nghiêng || <math>\vec Z = Z \vec k = \vec X + \vec Y = X \vec i + Y \vec j</math> |- |} Vòng tròn Eucleur :{|width=100% border=1 |- | Vector bán kín vòng tròn || <math>\vec R = R \vec r = \vec Z = \vec X + \vec Y = X \vec i + Y \vec j</math> |- |} ===Phép toán vector=== ====Không gian 2 chiều==== =====Cộng vector===== [[Tập_tin:Vector_addition.svg|300px|right]] Phép [[cộng hai vectơ]]: tổng của hai vectơ <math>\overrightarrow{A B}</math> và <math>\overrightarrow{C D}</math> là một vectơ được xác định theo quy tắc: * Quy tắc 3 điểm : di chuyển vectơ <math>\overrightarrow{C D}</math> sao cho điểm đầu C của <math>\overrightarrow{C D}</math> trùng với điểm cuối B của <math>\overrightarrow{A B}</math>: <math>C \equiv B</math>. Khi đó vectơ <math>\overrightarrow{A D}</math> có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng * Quy tắc hình bình hành : di chuyển vectơ <math>\overrightarrow{C D}</math> đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ <math>\overrightarrow{A B}</math>. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần <math>\overrightarrow{A B}</math> và <math>\overrightarrow{C D}</math>, chiều từ gốc A đến điểm cuối :{|width=100% |- | ''' Tính chất Vectơ ''' || '''Công thức ''' |- | Tính chất giao hoán || <math>\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}</math> |- | Tính chất kết hợp || <math>(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})</math> |- | Tính chất của vectơ-không || <math>\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}</math> |- | Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có: || <math>\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}</math> |- | I là trung điểm đoạn thẳng AB || <math>\Leftrightarrow\vec{AI}+\vec{BI}=\vec{0}</math> |- | G là trọng tâm <math>\vartriangle ABC</math> || <math>\Leftrightarrow\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}</math> |- |} =====Trừ vector===== =====Nhân vector===== Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có * <math>k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}</math> * <math>(h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a}</math> * <math>h(k\vec{a})=(hk)\vec{a}</math> * <math>1.\vec{a}=\vec{a}</math> * <math>(-1).\vec{a}=-\vec{a}</math> ===Không gian 3 chiều=== ====Chấm 2 vector==== Tích vô hướng của hai vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">'''A''' = [''A''₁, ''A''₂,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''A''_''n'']</span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">'''B''' = [''B''₁, ''B''₂,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''B''_''n'']</span> được định nghĩa như sau : <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\sum_{i=1}^n A_iB_i=A_1B_1+A_2B_2+\cdots+A_nB_n</math> : <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\|\mathbf{A}\|\ \|\mathbf{B}\|\cos(\theta),</math> . Trong đó θ là góc giữa '''A''' và '''B'''. Trường hợp đặc biệt, * Nếu '''A''' và '''B''' [[trực giao]] thì góc giữa chúng là 90°, do đó: : <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = 0.</math> * Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó: : <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = \left\| \mathbf A \right\| \, \left\| \mathbf B \right\| </math> Suy ra tích vô hướng của vectơ '''A''' và chính nó là: : <math>\mathbf A \cdot \mathbf A = \left\| \mathbf A \right\| ^2,</math> ta có: : <math> \left\| \mathbf A \right\| = \sqrt{\mathbf A \cdot \mathbf A},</math> là [[khoảng cách Euclid]] của vectơ, luôn có giá trị dương khi '''A''' khác '''0'''. Cho vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">'''A''' = [''A''₁, ''A''₂,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''A''_''n''] ta có :<math> \left\| \mathbf A \right\| = \sqrt{\sum_{k=1}^n A_k^2}</math></span> <br /> Cho '''a''', '''b''', và '''c''' là các vectơ và ''r'' là [[đại lượng vô hướng]], tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:. # '''[[Giao hoán]]:''' #: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a},</math> #: được suy ra từ định nghĩa (''θ'' góc giữa '''a''' và '''b'''): #: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf{b} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\| \cos \theta = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math> # '''[[Phân phối]] cho phép cộng vectơ:''' #: <math> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}.</math> # '''[[Dạng song tuyến]]''': #: <math> \mathbf{a} \cdot (r \mathbf{b} + \mathbf{c}) = r (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).</math> # '''[[Phép nhân vô hướng]]:''' #: <math> (c_1 \mathbf{a}) \cdot (c_2 \mathbf{b}) = c_1 c_2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}).</math> # '''Không có tính [[kết hợp]] '''bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng ('''a ⋅ b''') và vectơ ('''c''') không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: ('''a ⋅ b''') ⋅ '''c''' or '''a''' ⋅ ('''b ⋅ c''') là không hợp lệ. # '''[[Trực giao]]:''' #: Hai vectơ khác vectơ không: '''a''' và '''b''' trực giao khi và chỉ khi <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b''' = 0</span>. #:Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là [[vuông góc]]. # '''Không có [[tính khử]]:''' #: Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu #: <span class="nowrap" contenteditable="false">''ab'' = ''ac''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, thì ''b'' luôn luôn bằng ''c'' nếu ''a'' khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử: #: Nếu <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b''' = '''a''' ⋅ '''c'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ≠ '''0'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, thì ta có: <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ ('''b''' − '''c''') = 0</span> theo như luật [[phân phối]]; suy ra '''a''' trực giao với <span class="nowrap" contenteditable="false">('''b''' − '''c''')</span>, tức là <span class="nowrap" contenteditable="false">('''b''' − '''c''') ≠ '''0'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, và dẫn đến <span class="nowrap" contenteditable="false">'''b''' ≠ '''c'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>. # '''Quy tắc đạo hàm tích:''' Nếu '''a''' và '''b''' là [[hàm số]], thì [[đạo hàm]] c<span class="nowrap" contenteditable="false"></span>ủa <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b'''</span> là <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a'''′ ⋅ '''b''' + '''a''' ⋅ '''b'''′</span>. [[Tập tin:Dot_product_cosine_rule.svg|thumb|127x127px|Tam giác có cạnh vectơ '''a''' and '''b''', và góc giữa 2 vectơ là ''θ''.]] Hai vectơ '''a''' và '''b''' có góc giữa hai vectơ là ''θ'' (như trong hình bên phải) tạo thành một [[tam giác]] có cạnh thứ ba là <span class="nowrap" contenteditable="false">'''c''' = '''a''' − '''b'''</span>. Tích vô hướng của '''c''' và chính nó là [[Định lý cos]]: : <math> \begin{align} \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} & = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\ & = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\ & = a^2 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\ & = a^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \theta \\ \end{align} </math> ====Chéo 2 vector==== [[Tập tin:Cross product vector.svg|nhỏ|Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong [[hệ tọa độ]] bên phải]] [[Tập tin:Right hand rule cross product.svg|phải|nhỏ|Xác định hướng của tích vectơ bằng [[Quy tắc bàn tay phải]].]] Phép nhân vectơ của vectơ '''a''' và '''b''' được ký hiệu là '''a''' &times; '''b''' hay <math>[\vec{a},\vec{b}]</math>, định nghĩa bởi: :<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a}\right| \left| \mathbf{b}\right| \sin \theta</math> với ''θ'' là [[góc]] giữa '''a''' và '''b''' (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa '''a''' và '''b''', và '''n''' là [[vectơ#Các khái niệm cơ bản|vectơ đơn vị]] [[vuông góc]] với '''a''' và '''b'''. Thực tế có hai vectơ '''n''' thỏa mãn điều kiện vuông góc với '''a''' và '''b''' (khi '''a''' và '''b''' không cùng phương), vì nếu '''n''' vuông góc với '''a''' và '''b''' thì -'''n''' cũng vậy. Việc chọn hướng của véctơ '''n''' phụ thuộc vào [[hệ tọa độ]] tuân theo [[quy tắc bàn tay trái]] hay [[quy tắc bàn tay phải]]. ('''a''', '''b''', '''a''' &times; '''b''') tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ. Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là [[giả vectơ]]. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ. Trong không gian với [[Hệ tọa độ Descartes|hệ trục tọa độ]] Oxyz, cho <math>\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)</math> và <math>\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)</math>, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ <math>[\vec{n_1},\vec{n_2}]=(\begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix})</math> === Ứng dụng === Nhiều công thức tính trong [[không gian vectơ]] ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào. * Diện tích [[hình bình hành]] ABCD: <math>S=\left\vert [\vec{AB};\vec{AD}] \right\vert=AB.AD.sin(A)</math> * [[Thể tích]] khối hộp ABCDA'B'C'D': <math>V=\left\vert [\vec{AB};\vec{AD}]\cdot\vec{AA'} \right\vert</math> * 2 vector <math>\vec{u}</math> và <math>\vec{v}</math> cùng phương <math>\Leftrightarrow</math> <math>[\vec{u};\vec{v}]=\vec{0}</math> * 3 vector <math>\vec{u}</math>, <math>\vec{v}</math>, <math>\vec{w}</math> đồng phẳng <math>\Leftrightarrow</math> <math>[\vec{u};\vec{v}].\vec{w}=0</math> [[Thể loại:Vector]] ==Góc== ===Định nghỉa === :{|width=100% |- | ''' Góc''' || '''Định nghỉa ''' || ''' Ký hiệu''' || '''Đơn vị ''' || '''Thí dụ ''' |- | [[File:Angle acute.svg|100px]] || Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm <br>sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng || '''<math>\angle </math>''' || <math>1 rad = \frac{180^o}{\pi}</math><br><math>1^o = \frac{\pi}{180^o}</math> || <math>\angle A = 30^0 = \frac{\pi}{6} rad</math> |- |} ===Thể loại góc === :{|width=100% |- | '''Góc ''' || '''Hình ''' || '''Định nghỉa ''' |- |Góc nhọn || [[Tập tin:Ángulo agudo.svg|200px]]||Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90° |- |Góc vuông || [[Tập tin:Right angle.svg|100px]]||Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn); |- | Góc tù || [[Tập tin:Ángulo obtuso.svg|200px]]||Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180° |- | Góc bẹt || [[Tập tin:Angle obtuse acute straight.svg|200px]]||Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn). |- | Góc phản || [[Tập tin:Ángulo cóncavo.svg|200px]]||Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360° |- | Góc đầy || [[Tập tin:Ángulo completo.svg|200px]]||Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn). |- |} ==Hình tam giác == [[Hình:LabeledTriangle.svg|Một tam giác với các thành phần trong định lý sin|right]] * 3 điểm . <math>A,B,C</math> *3 cạnh . <math>AB,BC,CA</math> *3 góc . <math>\angle A, \angle B, \angle C</math> === Chu vi Diện tích Thể tích=== :{|width=50% |- | || Chu vi || Diện tích || Thể tích |- | || <math>a + b + c</math> || <math>\frac{b a}{2}</math> || <math>a b \frac{h}{2}</math> |- |} ===Tam giác thường=== ====Định lý Sin==== :[[Hình:LabeledTriangle.svg|Một tam giác với các thành phần trong định lý sin]] Trong [[lượng giác]], '''định lý sin''' (hay '''định luật sin''', '''công thức sin''') là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng :<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \!</math>. trong đó ''a'', ''b'', ''c'' là chiều dài các cạnh, và ''A'', ''B'', ''C'' là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo: :<math> \frac{\sin A}{a} \,=\, \frac{\sin B}{b} \,=\, \frac{\sin C}{c}. \!</math> ====Định lý Cosin==== : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,</math> : <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,</math> : <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma\,</math> ===Tam giác vuông === Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng <math>90^o</math> [[File:Rtriangle.svg|150px|left]] : c - Cạnh huyền : a - Cạnh đối : b - Cạnh kề *Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90^o *<math>\angle C = 90^o</math> *<math>\overline{AC} \perp \overline{CB}</math> ====Định lý tam giác vuông==== * Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông * Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông * Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo) * Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông * Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông * Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông. ==== Định lý Pytago ==== [[Định lý Pytago]] phát biểu rằng: :''Tổng [[diện tích]] của hai [[hình vuông]] vẽ trên [[tam giác vuông#Cạnh kề|cạnh kề]] của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên [[tam giác vuông#Cạnh huyền|cạnh huyền]] của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình :<math>\displaystyle a^2+b^2=c^2</math> Trong đó, ''c'' là [[chiều dài]] của cạnh huyền và ''a'' và ''b'' là [[chiều dài]] của hai cạnh còn lại. ====Hàm số lượng giác==== Tương quan các cạnh và góc :{|width=100% |- | '''Hàm số góc lượng giác ''' || '''Tỉ lệ cạnh ''' || '''Đồ thị ''' |- | Cosine || <math>\frac{X}{Z} = \cos \theta</math> || <br>[[Tập tin:Cos.svg|100px]] |- | Sine || <math>\frac{Y}{Z} = \sin \theta</math> || [[Hình:Sin.svg|100px]] |- | Cosine || <math>\frac{1}{X} = \sec \theta</math> || |- | Cosecant || <math>\frac{1}{Y} = \csc \theta</math> || [[Tập tin:Csc.svg|100px]] |- | Tangent || <math>\frac{Y}{X} = \tan \theta</math> || [[Tập tin:Tan.svg|100px]] |- | Cotangent || <math>\frac{X}{Y} = \cot \theta</math> || [[Tập tin:Cot.svg|100px]] |- |} ==== Tam giác vuông trên đồ thị XY==== :[[File:LinearInterpolation.svg|200px]] :{|width=100% |- | '''Hàm số cạnh ''' || |- | Độ dài cạnh ngang || <br><math>X=\frac{Y}{Z}</math> || <br><math>x-x_o</math> || <br><math>\Delta x</math> || <br><math>Z \cos \theta</math> |- | Độ dài cạnh dọc || <math>Y = Z X</math> || <math>y-y_o </math> || <math>\Delta y</math> || <math>Z \sin \theta</math> |- | Độ dóc || <math>Z=\frac{Y}{X}</math> || <math>\frac{y-y_o}{x-x_o}</math> || <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> || <math>Tan \theta</math> |- | Độ nghiêng || <math>\theta=\tan ^{-1} Z</math> || <math>\theta=\tan ^{-1} \frac{Y}{X}</math> || |- |} :{|width=100% |- | |- | Vector đương thẳng ngang ||<br><math>\vec X = x \vec i</math> || <br><math>(x-x_o) \vec i </math> || <br><math>Z \cos \theta \vec i</math> |- | Vector đương thẳng dọc || <math>\vec Y = y \vec i</math> || <math>(y-y_o) \vec i </math> || <math>Z \sin \theta \vec i</math> |- | Vector đương thẳng nghiêng || <math>\vec Z = z \vec k</math> || <math>(z-z_o) \vec k</math> || |- |} :{|width=100% |- | Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z || <math>Y = Z X</math> <br> <math>y = y_o + Z (x-x_o)</math> |- | <br>Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ || <br><math>Z \angle \theta = \sqrt{X^2+Y^2} \angle Tan ^ {-1}\frac{Y}{X}</math> |- | <br>Diện tích dưới hình || <br><math>s = X (y_o + \frac{Y}{2}) = X (y_o + \frac{ZX}{2}) = X (y - \frac{ZX}{2}) = \frac{y^2 - y_o^2}{2Z} </math> |- |} ==Hình cong == :[[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] Độ nghiêng đường thẳng : <math>a = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{(x+\Delta x) - x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math> Diện tích dưới hình : <math>s = \Delta x [f(x) + \frac{\Delta f(x)}{2}]</math> Khi <math>\Delta x -> 0</math> Độ nghiêng đường thẳng : <math>a(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \sum \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{d}{dx} f(x) = f^{'}(x)</math> Diện tích dưới hình : <math>s(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum ( f(x) + \frac{\Delta f(x)}{2}) \Delta x = \int f(x) dx = F(x) + C</math> Diện tích dưới hình giửa 2 điểm : <math>s(x) = \int \limits_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) </math> : <math>s(x) = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx</math> : <math>-s(x) = \int \limits_b^a f(x) dx = F(a) - F(b)</math> == Hàm số lượng giác cơ bản== ===Định nghỉa=== 6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông :{|width=100% |- |''' Hàm số lượng giác cơ bản'''|| <math>\cos x</math> || <math>\sin x </math> || <math>\tan x </math> || <math>\cot x </math> || <math>\sec x </math> || <math>\csc x </math> |- | <br>Tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông || <br><math>\frac{b}{c}</math> || <br><math>\frac{a}{c}</math> || <br><math>\frac{a}{b}</math> || <br><math>\frac{b}{a}</math> || <br><math>\frac{1}{b}</math> || <br><math>\frac{1}{a}</math> |- | |- | <br>Đồ thị || <br>[[Image:Cos.svg|100px]] || <br>[[Image:Sin.svg|100px]] || <br>[[Image:Tan.svg|100px]] || <br>[[Image:Cotan_proportional.svg|100px]] || <br>[[Image:Sec.svg|100px]] || <br>[[Image:Cosec_proportional.svg|100px]] |- |} ===Tính chất === ====Tuần hoàn==== : <math> \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) \,</math> : <math> \sin(-x) = -\sin(x) \,</math> : <math> \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) </math> ====Đối xứng==== : <math> \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \,</math> : <math> \cos(-x) =\; \cos(x) \,</math> : <math> \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) </math> ====Tịnh tiến==== : <math> \tan(x) = \tan(x + k\pi) \,</math> : <math> \tan(-x) = -\tan(x) \,</math> : <math> \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) </math> : <math> \cot(-x) = -\cot(x) \,</math> Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: :<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)</math> với :<math> \varphi= \left\{ \begin{matrix} {\rm arctan}(b/a),&&\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ a\ge0; \; \\ \pi+{\rm arctan}(b/a),&&\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ a<0. \; \end{matrix} \right. \; </math> ====Góc bội==== : <math>\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x) \,</math> : <math>\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x) \,</math> : <math> \tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)} </math> :<math>\sin(3x)= 3\sin(x)-4\sin^3(x)</math> :<math>\cos(3x)= 4\cos^3(x)-3\cos(x)</math> Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì :<math>\cos(nx)=T_n(\cos(x)). \,</math> công thức de Moivre: :<math>\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n \,</math> Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau: :<math>1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) \;</math> :<math> = \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right) } { \sin(x/2) } \;</math> Hay theo công thức hồi quy: :<math>\sin(nx)= 2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)</math> :<math>\cos(nx)= 2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)</math>= ====Góc chia đôi==== :<math>\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}</math> :<math>\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}</math> :<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = {\sin (x/2) \over \cos (x/2)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos x \over 1 + \cos x}. \qquad \qquad </math> Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos ''x'', rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: :<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 + \cos x) \over (1 + \cos x) (1 + \cos x)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos^2 x \over (1 + \cos x)^2} </math> ::::<math> = {\sin x \over 1 + \cos x}. </math> Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 &minus; cos ''x'', rồi đơn giản hóa: :<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 - \cos x) \over (1 + \cos x) (1 - \cos x)} = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x)^2 \over (1 - \cos^2 x)} </math> ::::<math> = {1 - \cos x \over \sin x}. </math> Suy ra: :<math>\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}.</math> Nếu :<math>t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),</math> thì: {| |&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}</math> |&nbsp; and &nbsp;||<math>\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}</math> |&nbsp; and &nbsp;||<math>e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}.</math> |} ====Tổng 2 góc==== :<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math> :<math>\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math> :<math>\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) </math> :<math>\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)</math> :<math>\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}</math> :<math>\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}</math> ====Hiệu 2 góc==== :<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math> :<math>\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y</math> :<math>\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right) </math> :<math>\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)</math> :<math>\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}</math> :<math>\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}</math> ====Tích 2 góc==== :<math>\cos\left (x\right ) \cos\left (y\right ) = {\cos\left (x + y\right ) + \cos\left (x - y\right ) \over 2} \;</math> :<math>\sin\left (x\right ) \sin\left (y\right ) = {\cos\left (x - y\right ) - \cos\left (x + y\right ) \over 2} \;</math> :<math>\sin\left (x\right ) \cos\left (y\right ) = {\sin\left (x - y\right ) + \sin\left (x + y\right ) \over 2} \;</math> ====Lũy thừa góc==== : <math>\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}</math> : <math>\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}</math> : <math>\sin^2(x) \cos^22(x) = {1 - \cos(4 x) \over 4}</math> : <math>\sin^3(x) = \frac{2 \sin2(x) - \sin(3 x)}{4}</math> : <math>\cos^3(x) = \frac{3\cos(x) + \cos(3 x)}{4}</math> ===Hàm số lượng giác nghịch=== ===Hàm số lượng đường thẳng=== Hàm số lượng đường thẳng nghiêng : <math>Z = z \angle \theta = \sqrt{X^2 + Y^2} \angle tan^{-1} \frac{Y}{X}</math> Hàm số lượng đường thẳng dọc :<math>Y = y \angle 90</math> Hàm số lượng đường thẳng ngang :<math>X = x \angle 0</math> ===Hàm số lượng đường tròn=== Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị :<math>R = \theta</math> :<math>Z^2 = X^2 + Y^2</math> Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị :<math>1 = (\frac{X}{Z})^2 + (\frac{Y}{Z})^2 = cos^2 x + sin^2x = sec^2x - tan^2 x= csc^2x - cot^2 x</math> ==Vector == Vector đại diện cho một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ có ký hiệu '''→''' . Thí dụ, Vector <math>\vec {AB}</math> : [[File:Vector_AB_from_A_to_B.svg|200px]] ===Tính chất=== Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây :<math>\vec A = A \vec a</math> Với :<math>\vec A </math> - Vector :<math>\vec A = A </math> . Cường độ vector :<math>\vec A = \vec a</math> . Vector 1 đơn vị Cường độ vector :<math>A = \frac{\vec A}{a}</math> Vector 1 đơn vị :<math>\vec a = \frac{\vec A}{a}</math> ===Thí dụ=== Trong hệ tọa độ XY :[[File:LinearInterpolation.svg|150px]] :{|width=100% |- | Vector chuyển động thẳng hàng ngang || <math>\vec X = X \vec i</math> |- | Vector chuyển động thẳng hàng dọc || <math>\vec Y = Y \vec j</math> |- | Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng || <math>\vec Z = Z \vec k = \vec X + \vec Y = X \vec i + Y \vec j</math> |- | Vector chuyển động tròn || <math>\vec R = R \vec r = \vec Z = \vec X + \vec Y = X \vec i + Y \vec j</math> |- |} :{| width="100%" | '''Chuyển Động''' || || '''s''' || '''v''' || '''a ''' |- | Cong || [[Hình:Integral as region under curve.png|150px]] || <math>s(t)</math> || <math>\frac{d}{dt} s(t)</math> || <math>\frac{d^2}{dt^2} s(t)</math> |- | <br>Vector đương thẳng ngang || <br>→→ || <br><math>\vec X = X \vec i</math> || <br><math>\frac{d}{dt} \vec X = \frac{dX}{dt} \vec i = v_x \vec i</math> || <br><math>\frac{d^2}{dt^2} \vec X = \frac{d^2X}{dt^2} \vec i = a_x \vec i</math> |- | <br>Vector đương thẳng dọc || <br>↑<br>↑ || <br><math>\vec Y = Y \vec j</math> || <br><math>\frac{d}{dt} \vec Y = \frac{dY}{dt} \vec j = v_y \vec j</math> || <br><math>\frac{d^2}{dt^2} \vec Y = \frac{d^2Y}{dt^2} \vec j = a_y \vec j</math> |- | <br>Vector đương thẳng nghiêng ||<br> || <br><math>\vec Z = Z \vec k</math> || <br><math>\frac{d}{dt} \vec Z = \frac{dZ}{dt} \vec k = v_z \vec k</math> || <br><math>\frac{d^2}{dt^2} \vec Z =\frac{d^2Z}{dt^2} \vec k = a_z \vec k</math> |- | <br>Vector đương tròn ||<br> || <br><math>\vec R = R \vec r</math> || <br><math>\frac{d}{dt} \vec R </math><br><math>R \frac{d}{dt} \vec r + \vec r \frac{d}{dt} R = R \frac{d}{dt} \vec r </math> || <br><math>\frac{d^2}{dt^2} \vec R </math><br><math> R \frac{d^2}{dt^2} \vec r + \vec r \frac{d^2}{dt^2} R = R \frac{d^2}{dt^2} \vec r </math> |- | <br>Vector đương tròn || <br> || <br><math>\vec R = \vec X + \vec Y</math> || <br><math>\frac{d}{dt} \vec R = \frac{d}{dt}(\vec X + \vec Y) </math><br> <math>\frac{dX}{dt} \vec i + \frac{dY}{dt} \vec j = v_x \vec i + v_y \vec j </math>|| <br><math>\frac{d^2}{dt^2} \vec R = \frac{d^2}{dt^2}(\vec X + \vec Y) </math><br> <math>\frac{d^2X}{dt^2} \vec i + \frac{d^2Y}{dt^2} \vec j = a_x \vec i + a_y \vec j </math> |- |} ===Operator notation=== ====Gradient==== {{main|Gradient}} For a function <math>f(x, y, z)</math> in three-dimensional [[Cartesian coordinate system|Cartesian coordinate]] variables, the gradient is the vector field: :<math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{\partial }{\partial x},\ \frac{\partial }{\partial y},\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k} </math> where '''i''', '''j''', '''k''' are the [[standard basis|standard]] [[unit vector]]s for the ''x'', ''y'', ''z''-axes. More generally, for a function of ''n'' variables <math>\psi(x_1, \ldots, x_n)</math>, also called a [[scalar (mathematics)|scalar]] field, the gradient is the [[vector field]]: <math display="block"> \nabla\psi = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \end{pmatrix}\psi = \frac{\partial\psi}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \dots + \frac{\partial\psi}{\partial x_n}\mathbf{e}_n </math> where <math>\mathbf{e}_{i} \, (i=1,2,..., n)</math> are mutually orthogonal unit vectors. As the name implies, the gradient is proportional to, and points in the direction of, the function's most rapid (positive) change. For a vector field <math>\mathbf{A} = \left(A_1, \ldots, A_n\right)</math>, also called a tensor field of order 1, the gradient or [[total derivative]] is the ''n × n'' [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian matrix]]: <math display="block"> \mathbf{J}_{\mathbf{A}} = d\mathbf{A} = (\nabla \!\mathbf{A})^\textsf{T} = \left(\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right)_{\!ij}.</math> For a [[tensor field]] <math>\mathbf{T}</math> of any order ''k'', the gradient <math>\operatorname{grad}(\mathbf{T}) = d\mathbf{T} = (\nabla \mathbf{T})^\textsf{T}</math> is a tensor field of order ''k'' + 1. For a tensor field <math> \mathbf{T} </math> of order ''k'' > 0, the tensor field <math> \nabla \mathbf{T} </math> of order ''k'' + 1 is defined by the recursive relation <math display="block"> (\nabla \mathbf{T}) \cdot \mathbf{C} = \nabla (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}) </math> where <math> \mathbf{C} </math> is an arbitrary constant vector. ====Divergence==== {{main|Divergence}} In Cartesian coordinates, the divergence of a [[continuously differentiable]] [[vector field]] <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> is the scalar-valued function: <math display="block"> \operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. </math> As the name implies, the divergence is a (local) measure of the degree to which vectors in the field diverge. The divergence of a [[tensor field]] <math>\mathbf{T}</math> of non-zero order ''k'' is written as <math>\operatorname{div}(\mathbf{T}) = \nabla \cdot \mathbf{T}</math>, a [[Tensor contraction|contraction]] of a tensor field of order ''k'' − 1. Specifically, the divergence of a vector is a scalar. The divergence of a higher-order tensor field may be found by decomposing the tensor field into a sum of [[outer product]]s and using the identity, <math display="block">\nabla \cdot \left(\mathbf{A} \otimes \mathbf{T}\right) = \mathbf{T} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{T}</math> where <math>\mathbf{A} \cdot \nabla</math> is the [[directional derivative]] in the direction of <math>\mathbf{A}</math> multiplied by its magnitude. Specifically, for the outer product of two vectors, <math display="block">\nabla \cdot \left(\mathbf{A} \mathbf{B}^\textsf{T}\right) = \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}.</math> For a tensor field <math> \mathbf{T} </math> of order ''k'' > 1, the tensor field <math> \nabla \cdot \mathbf{T} </math> of order ''k'' − 1 is defined by the recursive relation <math display="block"> (\nabla \cdot \mathbf{T}) \cdot \mathbf{C} = \nabla \cdot (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}) </math> where <math> \mathbf{C} </math> is an arbitrary constant vector. ====Curl==== {{main|Curl (mathematics)}} In Cartesian coordinates, for <math>\mathbf{F} = F_x\mathbf{i} + F_y\mathbf{j} + F_z\mathbf{k}</math> the curl is the vector field: <math display="block"> \begin{align} \operatorname{curl}\mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \\[1em] &= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} \end{align}</math> where '''i''', '''j''', and '''k''' are the [[unit vector]]s for the ''x''-, ''y''-, and ''z''-axes, respectively. As the name implies the curl is a measure of how much nearby vectors tend in a circular direction. In [[Einstein notation]], the vector field <math>\mathbf{F} = \begin{pmatrix}F_1,\ F_2,\ F_3\end{pmatrix}</math> has curl given by: <math display="block">\nabla \times \mathbf{F} = \varepsilon^{ijk}\mathbf{e}_i \frac{\partial F_k}{\partial x_j}</math> where <math>\varepsilon</math> = ±1 or 0 is the [[Levi-Civita symbol|Levi-Civita parity symbol]]. For a tensor field <math> \mathbf{T} </math> of order ''k'' > 1, the tensor field <math> \nabla \times \mathbf{T} </math> of order ''k'' is defined by the recursive relation <math display="block"> (\nabla \times \mathbf{T}) \cdot \mathbf{C} = \nabla \times (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}) </math> where <math> \mathbf{C} </math> is an arbitrary constant vector. A tensor field of order greater than one may be decomposed into a sum of [[outer product]]s, and then the following identity may be used: <math display="block">\nabla \times \left(\mathbf{A} \otimes \mathbf{T}\right) = (\nabla \times \mathbf{A}) \otimes \mathbf{T} - \mathbf{A} \times (\nabla \mathbf{T}).</math> Specifically, for the outer product of two vectors, <math display="block">\nabla \times \left(\mathbf{A} \mathbf{B}^\textsf{T}\right) = (\nabla \times \mathbf{A}) \mathbf{B}^\textsf{T} - \mathbf{A} \times (\nabla \mathbf{B}).</math> ====Laplacian==== {{main|Laplace operator}} In [[Cartesian coordinates]], the Laplacian of a function <math>f(x,y,z)</math> is <math display="block">\Delta f = \nabla^2\! f = (\nabla \cdot \nabla) f = \frac{\partial^2\! f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\! f}{\partial z^2}.</math> The Laplacian is a measure of how much a function is changing over a small sphere centered at the point. When the Laplacian is equal to 0, the function is called a [[harmonic function]]. That is, <math display="block">\Delta f = 0.</math> For a [[tensor field]], <math>\mathbf{T}</math>, the Laplacian is generally written as: <math display="block">\Delta\mathbf{T} = \nabla^2 \mathbf{T} = (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{T}</math> and is a tensor field of the same order. For a tensor field <math> \mathbf{T} </math> of order ''k'' > 0, the tensor field <math> \nabla^2 \mathbf{T} </math> of order ''k'' is defined by the recursive relation <math display="block"> \left(\nabla^2 \mathbf{T}\right) \cdot \mathbf{C} = \nabla^2 (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}) </math> where <math> \mathbf{C} </math> is an arbitrary constant vector. ====Special notations==== In ''Feynman subscript notation'', <math display="block">\nabla_\mathbf{B}\! \left( \mathbf{A {\cdot} B} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B}</math> where the notation ∇_'''B''' means the subscripted gradient operates on only the factor '''B'''.<ref name=Feynman>{{cite book |first1=R. P. |last1=Feynman |first2=R. B. |last2=Leighton |first3=M. |last3=Sands |title=The Feynman Lectures on Physics |publisher = Addison-Wesley |year=1964 |isbn=0-8053-9049-9 |no-pp= true |pages= Vol II, p. 27–4}}</ref><ref name=Missevitch>{{cite arXiv |eprint=physics/0504223 |first1=A. L. |last1=Kholmetskii |first2=O. V. |last2=Missevitch |title=The Faraday induction law in relativity theory |year=2005 |page=4 }}</ref> Less general but similar is the ''Hestenes'' ''overdot notation'' in [[geometric algebra]].<ref name=Doran>{{cite book |first1=C. |last1=Doran |author-link1=Chris J. L. Doran |first2=A. |last2=Lasenby |title=Geometric algebra for physicists |year=2003 |publisher=Cambridge University Press |page=169 |isbn=978-0-521-71595-9}}</ref> The above identity is then expressed as: <math display="block">\dot{\nabla} \left( \mathbf{A} {\cdot} \dot{\mathbf{B}} \right) = \mathbf{A} {\times}\! \left( \nabla {\times} \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{A} {\cdot} \nabla \right) \mathbf{B} </math> where overdots define the scope of the vector derivative. The dotted vector, in this case '''B''', is differentiated, while the (undotted) '''A''' is held constant. For the remainder of this article, Feynman subscript notation will be used where appropriate. ===First derivative identities=== For scalar fields <math>\psi</math>, <math>\phi</math> and vector fields <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, we have the following derivative identities. ====Distributive properties==== :<math>\begin{align} \nabla ( \psi + \phi ) &= \nabla \psi + \nabla \phi \\ \nabla ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \mathbf{A} + \nabla \mathbf{B} \\ \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \\ \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) &= \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} \end{align}</math> ====First derivative associative properties==== :<math>\begin{align} ( \mathbf{A} \cdot \nabla ) \psi &= \mathbf{A} \cdot ( \nabla \psi ) \\ ( \mathbf{A} \cdot \nabla ) \mathbf{B} &= \mathbf{A} \cdot ( \nabla \mathbf{B} ) \\ ( \mathbf{A} \times \nabla ) \psi &= \mathbf{A} \times ( \nabla \psi ) \\ ( \mathbf{A} \times \nabla ) \mathbf{B} &= \mathbf{A} \times ( \nabla \mathbf{B} ) \end{align}</math> ====Product rule for multiplication by a scalar==== We have the following generalizations of the [[product rule]] in single-variable [[calculus]]. :<math>\begin{align} \nabla ( \psi \phi ) &= \phi\, \nabla \psi + \psi\, \nabla \phi \\ \nabla ( \psi \mathbf{A} ) &= (\nabla \psi) \mathbf{A}^\textsf{T} + \psi \nabla \mathbf{A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi\, \nabla \mathbf{A} \\ \nabla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\cdot} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) \,{\cdot} \mathbf{A} \\ \nabla {\times} ( \psi \mathbf{A} ) &= \psi\, \nabla {\times} \mathbf{A} + ( \nabla \psi ) {\times} \mathbf{A} \\ \nabla^{2}(\psi \phi) &= \psi\,\nabla^{2\!}\phi + 2\,\nabla\! \psi\cdot\!\nabla \phi+\phi\, \nabla^{2\!}\psi \end{align}</math> ====Quotient rule for division by a scalar==== :<math>\begin{align} \nabla\left(\frac{\psi}{\phi}\right) &= \frac{\phi\,\nabla \psi - \psi\,\nabla\phi}{\phi^2} \\[1em] \nabla\left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\,\nabla \mathbf{A} - \nabla\phi \otimes \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla{\cdot} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \cdot \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla {\times} \mathbf{A} - \nabla\!\phi \,{\times}\, \mathbf{A}}{\phi^2} \\[1em] \nabla^2 \left(\frac{\psi}{\phi}\right) &= \frac{\phi\, \nabla^{2\!}\psi - 2\, \phi\, \nabla\!\left(\frac{\psi}{\phi}\right)\cdot\!\nabla\phi - \psi\, \nabla^{2\!}\phi}{\phi^2} \end{align}</math> ====Chain rule==== Let <math>f(x)</math> be a one-variable function from scalars to scalars, <math>\mathbf{r}(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))</math> a [[parametrization (geometry)|parametrized]] curve, <math>\phi\!: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> a function from vectors to scalars, and <math>\mathbf{A}\!: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> a vector field. We have the following special cases of the multi-variable [[chain rule]]. :<math>\begin{align} \nabla(f \circ \phi) &= \left(f' \circ \phi\right) \nabla \phi \\ (\mathbf{r} \circ f)' &= (\mathbf{r}' \circ f) f' \\ (\phi \circ \mathbf{r})' &= (\nabla \phi \circ \mathbf{r}) \cdot \mathbf{r}' \\ (\mathbf{A} \circ \mathbf{r})' &= \mathbf{r}' \cdot (\nabla \mathbf{A} \circ \mathbf{r}) \\ \nabla(\phi \circ \mathbf{A}) &= (\nabla \mathbf{A}) \cdot (\nabla \phi \circ \mathbf{A}) \\ \nabla \cdot (\mathbf{r} \circ \phi) &= \nabla \phi \cdot (\mathbf{r}' \circ \phi) \\ \nabla \times (\mathbf{r} \circ \phi) &= \nabla \phi \times (\mathbf{r}' \circ \phi) \end{align}</math> For a vector transformation <math>\mathbf{x}\!: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> we have: :<math>\nabla \cdot (\mathbf{A} \circ \mathbf{x}) = \mathrm{tr} \left((\nabla \mathbf{x}) \cdot (\nabla \mathbf{A} \circ \mathbf{x})\right)</math> Here we take the [[Trace (linear algebra)|trace]] of the dot product of two second-order tensors, which corresponds to the product of their matrices. ====Dot product rule==== :<math>\begin{align} \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) &\ =\ (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \,+\, (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{B}) \,+\, \mathbf{B} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \\ &\ =\ \mathbf{A}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{B} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{J}_\mathbf{A} \ =\ (\nabla\mathbf{B})\cdot \mathbf{A} \,+\, (\nabla\mathbf{A}) \cdot\mathbf{B} \end{align}</math> where <math>\mathbf{J}_{\mathbf{A}} = (\nabla \!\mathbf{A})^\textsf{T} = (\partial A_i/\partial x_j)_{ij}</math> denotes the [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian matrix]] of the vector field <math>\mathbf{A} = (A_1,\ldots,A_n)</math>. Alternatively, using Feynman subscript notation, :<math> \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \nabla_\mathbf{A}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) + \nabla_\mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \ . </math> See these notes.<ref>{{cite book |last1=Kelly |first1=P. |year=2013 |title=Mechanics Lecture Notes Part III: Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/ |publisher=University of Auckland |chapter=Chapter 1.14 Tensor Calculus 1: Tensor Fields |chapter-url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |access-date=7 December 2017}}</ref> As a special case, when {{math|'''A''' {{=}} '''B'''}}, :<math> \tfrac{1}{2} \nabla \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \right) \ =\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{A} \ =\ (\nabla \mathbf{A})\cdot \mathbf{A}\ =\ (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,+\, \mathbf{A} {\times} (\nabla {\times} \mathbf{A}) \ =\ A \nabla A . </math> The generalization of the [[dot product]] formula to [[Riemannian manifold]]s is a defining property of a [[Riemannian connection]], which differentiates a vector field to give a vector-valued [[Differential form|1-form]]. ====Cross product rule==== :<math>\begin{align} \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &\ =\ (\nabla {\times} \mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} \,-\, \mathbf{A} \cdot (\nabla {\times} \mathbf{B}) \\[5pt] \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) &\ =\ \mathbf{A}(\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, \mathbf{B}(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,+\, (\mathbf{B} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ \mathbf{A}(\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \,+\, (\mathbf{B} {\cdot} \nabla) \mathbf{A} \,-\, (\mathbf{B}(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,+\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B}) \\[2pt] &\ =\ \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\textsf{T}\right) \,-\, \nabla {\cdot} \left(\mathbf{A} \mathbf{B}^\textsf{T}\right) \\[2pt] &\ =\ \nabla {\cdot} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^\textsf{T} \,-\, \mathbf{A} \mathbf{B}^\textsf{T}\right) \\[5pt] \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) &\ =\ \nabla_{\mathbf{B}}(\mathbf{A} {\cdot} \mathbf{B}) \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, (\mathbf{A} {\cdot} \nabla) \mathbf{B} \\[2pt] &\ =\ (\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A} \,-\, \mathbf{A} \cdot (\nabla \mathbf{B}) \\[2pt] &\ =\ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\textsf{T}) \\[5pt] (\mathbf{A} \times \nabla) \times \mathbf{B} &\ =\ (\nabla\mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} \,-\, \mathbf{A} (\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \\[2pt] &\ =\ \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \,+\, \mathbf{A} {\cdot} (\nabla \mathbf{B}) \,-\, \mathbf{A} (\nabla {\cdot} \mathbf{B}) \\[5pt] (\mathbf{A} \times \nabla) \cdot \mathbf{B} &\ =\ \mathbf{A} \cdot (\nabla {\times} \mathbf{B}) \end{align}</math> Note that the matrix <math> \mathbf{J}_\mathbf{B} \,-\, \mathbf{J}_\mathbf{B}^\textsf{T}</math> is antisymmetric. ===Second derivative identities=== ====Divergence of curl is zero==== The [[divergence]] of the curl of ''any'' continuously twice-differentiable [[vector field]] '''A''' is always zero: <math display="block">\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 </math> This is a special case of the vanishing of the square of the [[exterior derivative]] in the [[De Rham cohomology|De Rham]] [[chain complex]]. ====Divergence of gradient is Laplacian==== The [[Laplacian]] of a scalar field is the divergence of its gradient: <math display="block">\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi) </math> The result is a scalar quantity. ====Divergence of divergence is not defined==== The divergence of a vector field '''A''' is a scalar, and the divergence of a scalar quantity is undefined. Therefore, <math display="block"> \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined.} </math> ====Curl of gradient is zero==== The [[Curl (mathematics)|curl]] of the [[gradient]] of ''any'' continuously twice-differentiable [[scalar field]] <math>\varphi </math> (i.e., [[Smoothness#Multivariate differentiability classes|differentiability class]] <math>C^2</math>) is always the [[zero vector]]: <math display="block">\nabla \times ( \nabla \varphi ) = \mathbf{0}.</math> It can be easily proved by expressing <math>\nabla \times ( \nabla \varphi )</math> in a [[Cartesian coordinate system]] with [[Symmetry of second derivatives#Schwarz's theorem|Schwarz's theorem]] (also called Clairaut's theorem on equality of mixed partials). This result is a special case of the vanishing of the square of the [[exterior derivative]] in the [[De Rham cohomology|De Rham]] [[chain complex]]. ====Curl of curl==== <math display="block"> \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) \ =\ \nabla(\nabla {\cdot} \mathbf{A}) \,-\, \nabla^{2\!}\mathbf{A}</math> Here ∇² is the [[vector Laplacian]] operating on the vector field '''A'''. ====Curl of divergence is not defined==== The [[divergence]] of a vector field '''A''' is a scalar, and the curl of a scalar quantity is undefined. Therefore, <math display="block"> \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf{A}) \text{ is undefined.} </math> ====Second derivative associative properties==== :<math>\begin{align} ( \nabla \cdot \nabla ) \psi &= \nabla \cdot ( \nabla \psi ) = \nabla^2 \psi \\ ( \nabla \cdot \nabla ) \mathbf{A} &= \nabla \cdot ( \nabla \mathbf{A} ) = \nabla^2 \mathbf{A} \\ ( \nabla \times \nabla ) \psi &= \nabla \times ( \nabla \psi ) = \mathbf{0} \\ ( \nabla \times \nabla ) \mathbf{A} &= \nabla \times ( \nabla \mathbf{A} ) = \mathbf{0} \end{align}</math> [[File:DCG chart.svg|right|thumb|300px|DCG chart: Some rules for second derivatives. ]] ====A mnemonic==== The figure to the right is a mnemonic for some of these identities. The abbreviations used are: * D: divergence, * C: curl, * G: gradient, * L: Laplacian, * CC: curl of curl. Each arrow is labeled with the result of an identity, specifically, the result of applying the operator at the arrow's tail to the operator at its head. The blue circle in the middle means curl of curl exists, whereas the other two red circles (dashed) mean that DD and GG do not exist. ===Summary of important identities=== ====Differentiation==== =====Gradient===== *<math>\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi </math> *<math>\nabla(\psi \phi) = \phi\nabla \psi + \psi \nabla \phi </math> *<math>\nabla(\psi \mathbf{A} ) = \nabla \psi \otimes \mathbf{A} + \psi \nabla \mathbf{A}</math> *<math>\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})</math> =====Divergence===== *<math> \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B} </math> *<math> \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)= \psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla \psi</math> *<math> \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= (\nabla\times\mathbf{A})\cdot \mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B})\cdot \mathbf{A}</math> =====Curl===== *<math>\nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B} </math> *<math>\nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})-(\mathbf{A}\times\nabla)\psi=\psi\,(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla\psi)\times\mathbf{A}</math> *<math>\nabla\times\left(\psi\nabla\phi\right)= \nabla \psi \times \nabla \phi</math> *<math>\nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)= \mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B} \left( \nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}- \left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} </math><ref>{{Cite web |title=lecture15.pdf |url=https://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/mp2h/VTF/lecture15.pdf }}</ref> =====Vector-dot-Del Operator===== *<math>(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \frac{1}{2}\bigg[\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \nabla\times(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}\times(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A}\times(\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A}(\nabla \cdot\mathbf{B})\bigg]</math><ref name=KuoAcharya>{{cite book |last1=Kuo |first1=Kenneth K. |last2=Acharya |first2=Ragini |title=Applications of turbulent and multi-phase combustion |date=2012 |publisher=Wiley |location=Hoboken, N.J. |isbn=9781118127575 |page=520 |doi=10.1002/9781118127575.app1 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118127575.app1|access-date=19 April 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210419221120/https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118127575.app1|archive-date=19 April 2021 |url-status=live }}</ref> *<math>(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2-\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \frac{1}{2}\nabla |\mathbf{A}|^2 + (\nabla\times\mathbf{A})\times \mathbf{A}</math> =====Second derivatives===== *<math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math> *<math>\nabla \times (\nabla\psi) = \mathbf{0}</math> *<math>\nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi</math> ([[Laplace operator|scalar Laplacian]]) *<math>\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right) - \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = \nabla^2\mathbf{A}</math> ([[vector Laplacian]]) *<math>\nabla \cdot (\phi\nabla\psi) = \phi\nabla^2\psi + \nabla\phi \cdot \nabla\psi</math> *<math>\psi\nabla^2\phi - \phi\nabla^2\psi = \nabla \cdot \left(\psi\nabla\phi - \phi\nabla\psi\right)</math> *<math>\nabla^2(\phi\psi) = \phi\nabla^2\psi + 2(\nabla\phi) \cdot(\nabla\psi) + \left(\nabla^2\phi\right)\psi</math> *<math>\nabla^2(\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A}\nabla^2\psi + 2(\nabla\psi \cdot \nabla)\mathbf{A} + \psi\nabla^2\mathbf{A}</math> *<math>\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \nabla^2\!\mathbf{A} + 2\nabla \cdot ((\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}))</math> ([[Green's identities|Green's vector identity]]) =====Third derivatives===== *<math> \nabla^2(\nabla\psi) = \nabla(\nabla \cdot (\nabla\psi)) = \nabla\left(\nabla^2\psi\right)</math> *<math> \nabla^2(\nabla \cdot \mathbf{A}) = \nabla \cdot (\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})) = \nabla \cdot \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)</math> *<math> \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})) = \nabla \times \left(\nabla^2\mathbf{A}\right)</math> ====Integration==== Below, the [[∂|curly symbol ∂]] means "[[boundary (topology)|boundary of]]" a surface or solid. =====Surface–volume integrals===== In the following surface–volume integral theorems, ''V'' denotes a three-dimensional volume with a corresponding two-dimensional [[Boundary (topology)|boundary]] ''S'' = ∂''V'' (a [[closed surface]]): * {{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\psi\,d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \nabla\psi\,dV</math> }} * {{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A}\,dV</math> }} ([[divergence theorem]]) * {{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\mathbf{A} \times d\mathbf{S}\ =\ -\iiint_V \nabla \times \mathbf{A}\,dV</math> }} *{{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\psi \nabla\!\varphi \cdot d\mathbf{S}\ =\ \iiint_V \left(\psi\nabla^2 \!\varphi + \nabla\!\varphi \cdot \nabla\!\psi\right)\,dV</math> }} ([[Green's first identity]]) * {{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\left(\psi\nabla\!\varphi - \varphi\nabla\!\psi\right) \cdot d\mathbf{S} \ =\ </math>{{oiint | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\left(\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n} - \varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right)dS</math> }} <math>\displaystyle\ =\ \iiint_{V}\left(\psi\nabla^2\!\varphi - \varphi\nabla^2\!\psi\right)\,dV</math> }} ([[Green's second identity]]) * {{oiint | preintegral=<math>\iiint_V \mathbf{A} \cdot \nabla\psi\,dV\ =\ </math> | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\psi\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} - \iiint_V \psi\nabla \cdot \mathbf{A}\,dV</math> }} ([[integration by parts]]) * {{oiint | preintegral=<math>\iiint_V \psi\nabla \cdot \mathbf{A}\,dV\ =\ </math> | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\psi\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} - \iiint_V \mathbf{A} \cdot \nabla\psi\,dV</math> }} ([[integration by parts]]) * {{oiint | preintegral=<math>\iiint_V \mathbf{A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf{B}\right)\,dV\ =\ -</math> | intsubscpt=<math>\scriptstyle \partial V</math> | integrand=<math>\left(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\right) \cdot d\mathbf{S} + \iiint_V \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) \cdot \mathbf{B}\,dV</math> }} ([[integration by parts]]) =====Curve–surface integrals===== In the following curve–surface integral theorems, ''S'' denotes a 2d open surface with a corresponding 1d boundary ''C'' = ∂''S'' (a [[closed curve]]): *<math> \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}\ =\ \iint_{S}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{S} </math> ([[Stokes' theorem]]) *<math> \oint_{\partial S}\psi\, d\boldsymbol{\ell}\ =\ -\iint_{S} \nabla\psi \times d\mathbf{S} </math> *<math> \oint_{\partial S}\mathbf{A}\times d\boldsymbol{\ell}\ =\ -\iint_{S}\left(\nabla \mathbf{A} - (\nabla \cdot \mathbf{A})\mathbf{1}\right)\cdot d\mathbf{S}\ =\ -\iint_{S}\left(d\mathbf{S} \times \nabla\right)\times \mathbf{A} </math> Integration around a closed curve in the [[clockwise]] sense is the negative of the same line integral in the counterclockwise sense (analogous to interchanging the limits in a [[definite integral]]): {{block indent |left= 1.6em; |{{intorient| | preintegral = {{intorient | preintegral = | symbol = oint | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial S}</math> | integrand = <math>\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -</math> }} | symbol = ointctr | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial S}</math> | integrand = <math>\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}.</math> }} }} =====Endpoint-curve integrals===== In the following endpoint–curve integral theorems, ''P'' denotes a 1d open path with signed 0d boundary points <math>\mathbf{q}-\mathbf{p} = \partial P</math> and integration along ''P'' is from <math>\mathbf{p}</math> to <math>\mathbf{q}</math>: *<math> \psi|_{\partial P} = \psi(\mathbf{q})-\psi(\mathbf{p}) = \int_{P} \nabla\psi\cdot d\boldsymbol{\ell} </math> ([[gradient theorem]]) *<math> \mathbf{A}|_{\partial P} = \mathbf{A}(\mathbf{q})-\mathbf{A}(\mathbf{p}) = \int_{P} \left(d\boldsymbol{\ell} \cdot \nabla\right)\mathbf{A} </math> ==Ma trận== Trong [[toán học]], '''ma trận''' là một ''mảng'' [[hình chữ nhật|chữ nhật]]– các [[số]], [[ký hiệu]], hoặc [[biểu thức (toán học)|biểu thức]], sắp xếp theo ''hàng'' và ''cột'' – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các ''phần tử'' hoặc ''mục''. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột. :<math>\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}. </math> Kích thước hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận ''m'' hàng và ''n'' cột được gọi là ma trận ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'' hoặc ma trận ''m''-nhân-''n'', trong khi ''m'' và ''n'' được gọi là ''chiều'' của nó. Ví dụ, ma trận '''A''' ở trên là ma trận 3&nbsp;×&nbsp;2. Ma trận chỉ có một hàng gọi là ''[[vectơ hàng]]'', ma trận chỉ có một cột gọi là ''[[vectơ cột]]''. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ''[[ma trận vuông]]''. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là [[#Ma trận vô hạn|''ma trận vô hạn'']]. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là [[#ma trận rỗng|''ma trận rỗng'']]. :{| class="wikitable" |- ! Tên gọi!! Độ lớn!! Ví dụ!! Miêu tả |- | Vectơ hàng || 1&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math> | Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ |- | Vectơ cột || ''n''&nbsp;×&nbsp;1 || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math> | Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ |- | [[Ma trận vuông]] || ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 2 & 6 & 3 \end{bmatrix}</math> | Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn [[#Phép biến đổi tuyến tính|phép biến đổi tuyến tính]] từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt. |} ===Ký hiệu=== [[Tập tin:Matrix.svg|nhỏ|247px|phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trận '''A'''.]] Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông: :<math> \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}. </math> Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông: :<math display=""> \mathbf{A} = \left(\begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)=\left(a_{ij}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}. </math> ===Phép toán ma trận=== Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất [[giao hoán]], hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính: :'''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B'''&nbsp;=&nbsp;'''B'''&nbsp;+&nbsp;'''A'''. :('''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B''')&nbsp;+&nbsp;'''C'''&nbsp;=&nbsp;'''A'''&nbsp;+&nbsp;('''B'''&nbsp;+&nbsp;'''C''') Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận. :(''c'''''A''')^T = ''c''('''A'''^T) :('''A'''&nbsp;+&nbsp;'''B''')^T&nbsp;=&nbsp;'''A'''^T&nbsp;+&nbsp;'''B'''^T :('''A'''^T)^T&nbsp;=&nbsp;'''A''' :('''AB''')^T='''B'''^T'''A'''^T :{| class="wikitable" |- ! Phép toán ! Định nghĩa ! Ví dụ |- | Cộng hai ma trận | ''Tổng'' '''A'''+'''B''' của hai ma trận cùng kích thước ''m''-x-''n'' '''A''' và '''B''' được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: :('''A''' + '''B''')_''i'',''j'' = '''A'''_''i'',''j'' + '''B'''_''i'',''j'', với 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' và 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''. | <math> \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix} </math> |- | [[Phép nhân một số cho ma trận|Nhân (vô hướng) một số với ma trận]] | Tích ''c'''''A''' của số ''c'' (cũng được gọi là [[vô hướng (toán học)|vô hướng]] trong [[đại số trừu tượng]]) với ma trận '''A''' được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của '''A''' với ''c'': :{{nowrap begin}}(''c'''''A''')_''i'',''j'' = ''c'' • '''A'''_''i'',''j''.{{nowrap end}} Phép toán này được gọi là ''nhân vô hướng'', nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm "[[tích vô hướng]]" hay "tích trong". | <math>2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix} </math> |- | Chuyển vị | ''Chuyển vị'' của ma trận ''m''-x-''n'' '''A''' là ma trận ''n''-x-''m'' '''A'''^T (cũng còn ký hiệu là '''A'''^tr hay ^t'''A''') tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng: :{{nowrap begin}}('''A'''^T)_''i'',''j'' = '''A'''_''j'',''i''.{{nowrap end}} | <math> \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} </math> |} ==Tập hợp== ==Xắp sếp== Sếp đặt một số lượng vật vào vị trí nhứt định . Thí dụ như xắp sếp các ký tự từ a-z để tạo ra các chữ có 2 tự, 3 tự cho đến n tự . Xắp sếp các con số từ 0-9 để tạo ra các số có 1 con số , các số có 2 con số, các số có n con số ===Thí dụ=== Dùng các con số 0-9 để tạo ra * Số có 1 con số , có 10 xắp sếp * Số có 2 con số , có 10 x 9 = 90 xắp sếp * Số có 3 con số , có 10 x 9 x 8 = 720 xắp sếp Vậy, : <math>P(10,1) = \frac{10!}{(10- 1)!} = \frac{10 9 8 7 6 5 4 3 2 1}{9 8 7 6 5 4 3 2 1} = 10</math> Từ đó, ta có <math>P(m,n) = \frac{m!}{(m - n)!}</math> <math>P(m,m) = m!</math> <math>P(m,n_1,n_2, n_n) = \frac{m!}{n_1! n_2! n_n!}</math> ==Kết hợp== 65iir6pssajq1ehqm2qdja81fcfpvjv 0 106252 527859 498041 2025-07-04T04:22:37Z Kelly zhrm 18735 527859 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page, Not useful content}} == Introduction == == Topic == * [[/Happy Birthday/]] * [[/Christmas/]] * [[/Happy New Year/]] * [[/Cooking at home/]] * [[/Vietnamese food/]] * [[/Economy/]] == See also == * [[A2-level English: Vocabulary]] <!-- * [[A2-level English: Grammar]] * [[A2-level English: Reading]] * [[A2-level English: Listening]] * [[A2-level English: Writing]] --> {{Sách Wikibooks|abc=A}} r2plsqe6pp5mw49a93bvj3z4fghylvs 527862 527859 2025-07-04T04:23:48Z Kelly zhrm 18735 Đã lùi lại sửa đổi 527859 của [[Đặc biệt:Contributions/Kelly zhrm]] ([[Thảo luận Thành viên:Kelly zhrm]]) 527862 wikitext text/x-wiki == Introduction == == Topic == * [[/Happy Birthday/]] * [[/Christmas/]] * [[/Happy New Year/]] * [[/Cooking at home/]] * [[/Vietnamese food/]] * [[/Economy/]] == See also == * [[A2-level English: Vocabulary]] <!-- * [[A2-level English: Grammar]] * [[A2-level English: Reading]] * [[A2-level English: Listening]] * [[A2-level English: Writing]] --> {{Sách Wikibooks|abc=A}} 3l799mgrqcutexjgv40rff1kphdx5or 0 106253 527860 498056 2025-07-04T04:23:02Z Kelly zhrm 18735 527860 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page}} == Introducing == == Content == === Vocabulary === * [[/Basic Vocabulary/]] * [[/Vocabulary Expansion 1/]]: Things * [[/Vocabulary Expansion 2/]]: Feelings * [[/Vocabulary Expansion 3/]]: Activities * [[/Vocabulary Expansion 4/]]: Idioms * [[/Vocabulary Expansion 5/]] === Listening === * [[/Listening 1/]] * [[/Listening 2/]] * [[/Listening 3/]] * [[/Listening 4/]] * [[/Listening 5/]] === Reading === * [[/Reading 1/]] * [[/Reading 2/]] * [[/Reading 3/]] * [[/Reading 4/]] * [[/Reading 5/]] === Writing === * [[/Writing 1/]] * [[/Writing 2/]] * [[/Writing 3/]] {{bookcat}} jeih8o0hn5sx5fesiizi2e9z85qsvlz 527861 527860 2025-07-04T04:23:29Z Kelly zhrm 18735 Đã lùi lại sửa đổi 527860 của [[Đặc biệt:Contributions/Kelly zhrm]] ([[Thảo luận Thành viên:Kelly zhrm]]) 527861 wikitext text/x-wiki == Introducing == == Content == === Vocabulary === * [[/Basic Vocabulary/]] * [[/Vocabulary Expansion 1/]]: Things * [[/Vocabulary Expansion 2/]]: Feelings * [[/Vocabulary Expansion 3/]]: Activities * [[/Vocabulary Expansion 4/]]: Idioms * [[/Vocabulary Expansion 5/]] === Listening === * [[/Listening 1/]] * [[/Listening 2/]] * [[/Listening 3/]] * [[/Listening 4/]] * [[/Listening 5/]] === Reading === * [[/Reading 1/]] * [[/Reading 2/]] * [[/Reading 3/]] * [[/Reading 4/]] * [[/Reading 5/]] === Writing === * [[/Writing 1/]] * [[/Writing 2/]] * [[/Writing 3/]] {{bookcat}} kwjlee791cikn44cmxmdafgcxa9isqy 0 106625 527858 502267 2025-07-04T04:21:49Z Kelly zhrm 18735 527858 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page, Not useful content}} #đổi[[<!--TÊN TRANG MUỐN ĐỔI HƯỚNG TỚI-->]] gthx7tc42xj9k7jgb9xtgds2ecmta6k 0 108222 527863 521149 2025-07-04T04:27:11Z Kelly zhrm 18735 527863 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page, Not useful content}} "Kim thiền thoát xác” là con ve sầu vàng lột xác. ==Mục đích== Kế này dùng cho lúc nguy cấp, tính chuyện ngụy trang một hình tượng để lừa dối, che mắt đối phương, đặng đào tẩu chờ một cơ hội khác. ==Thí dụ== Lê lai giả Lê lợi để Lê lợi trốn chạy khỏi trận Chi lăng si0oof8aep5f4sc7pn89lgxxqrmbu8p 0 108488 527857 522985 2025-07-04T04:19:37Z Kelly zhrm 18735 527857 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page}} [[Tập_tin:Bird_Diversity_2013.png|500px|right]] Chim (Điểu), (Cầm) (theo phiên âm Hán Việt) (danh pháp khoa học: Aves) là tập hợp các loài động vật có xương sống, máu nóng, đi đứng bằng hai chân, có mỏ, đẻ trứng, có cánh, có lông vũ và biết bay . Trong lớp Chim, có hơn 10.000 loài còn tồn tại, giúp chúng trở thành lớp đa dạng nhất trong các loài động vật bốn chi. ==Danh sách chim== : Chim se sẻ, Chim hải âu , Chim cút , Chim Két, Chim quạ, Chim cò, Chim hạt , Chim thần nông [[Category:Thú bay]] foi5kegx712bazad75o3hwrme3tr6kf 0 108965 527856 526605 2025-07-04T04:17:57Z Kelly zhrm 18735 527856 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page}} {{DISPLAYTITLE:<span style="display:block;text-139690 :center;font-size:150%;color:#191970;font-style:italic;line-height:1em;"> {{FULLPAGENAME}} </span>}} Giới thiệu sơ lược về sách của bạn ==Mục lục== *[[/Chương 1/]] *[[/Chương 2/]] *[[/Chương 3/]] {{sách Wikibooks| abc = <!--CHỮ CÁI ĐẦU TIÊN TÊN SÁCH CỦA BẠN--> | hoàn thành = <!--ĐIỀN VÀO 0, 25, 50, 75 HOẶC 100--> | chủ đề = <!--ĐIỀN VÀO ĐÂY CHỦ ĐỀ SÁCH CỦA BẠN-->}} <!-- Bạn có thể tìm các chủ đề sách hiện có bằng cách đánh Chủ đề vào ô tìm kiếm--> mf4q9nrjhbjnk1y7f2ofrgw459xnirx 0 108966 527855 526606 2025-07-04T04:17:29Z Kelly zhrm 18735 527855 wikitext text/x-wiki {{Delete|Test page}} {{DISPLAYTITLE:<span style="display:block;text-align:center;font-size:150%;color:#191970;font-style:italic;line-height:1em;"> {{FULLPAGENAME}} </span>}} Giới thiệu sơ lược về sách của bạn ==Mục lục== *[[/Chương 1/]] *[[/Chương 2/]] *[[/Chương 3/]] {{sách Wikibooks| abc = <!--CHỮ CÁI ĐẦU TIÊN TÊN SÁCH CỦA BẠN--> | hoàn thành = <!--ĐIỀN VÀO 0, 25, 50, 75 HOẶC 100--> | chủ đề = <!--ĐIỀN VÀO ĐÂY CHỦ ĐỀ SÁCH CỦA BẠN-->}} <!-- Bạn có thể tìm các chủ đề sách hiện có bằng cách đánh Chủ đề vào ô tìm kiếm--> 38us1tcdgw1xkx3e00kho9z4dymekdi 103 109073 527865 2025-07-04T06:58:08Z Teddy1480 18901 Mục mới: /* Sai số lượng công thức nấu ăn? */ 527865 wikitext text/x-wiki == Sai số lượng công thức nấu ăn? == Trong chủ đề : Ẩm thực chỉ có 451 công thức nấu ăn nhưng lại ghi là có tận 539 công thức nấu ăn – [[Thành viên:Teddy1480|Teddy1480]] ([[Thảo luận Thành viên:Teddy1480|thảo luận]]) 06:58, ngày 4 tháng 7 năm 2025 (UTC) jectsnbzyp1r6lrg8s12isogrzrwg2f