Wikibooks zhwikibooks https://zh.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:%E9%A6%96%E9%A1%B5 MediaWiki 1.45.0-wmf.9 first-letter Media Special Talk User User talk Wikibooks Wikibooks talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk Transwiki Transwiki talk Wikijunior Wikijunior talk Subject Subject talk TimedText TimedText talk Module Module talk 10 76 181626 181351 2025-07-09T20:09:30Z Cosinepi-fly 37303 /* File:Wikibooks library icon linguistics.svg 语言书架 */ 增加或調整內部連結 181626 wikitext text/x-wiki == [[File:Wikibooks library icon linguistics.svg]] [[Template:语言书架|语言书架]] == <big>'''漢語方言'''</big> - [[汉语|現代標準漢語]]{{stage|25%}} - [[繁简中文]]{{stage|00%}} - [[粵語]]{{stage|00%}} - [[上海话]]{{stage|00%}} - [[杭州话]] - [[詔安客語]]{{stage|25%}} - [[贛語]]{{stage|25%}} - [[臺灣話]]{{stage|00%}} - [[福州語]]{{stage|00%}} - [[莆田話]]{{stage|00%}} <big>'''歐州諸語'''</big> - [[法语]]{{stage|50%}} - [[英语]]{{stage|25%}} - [[西班牙语]]{{stage|25%}} - [[俄语]]{{stage|25%}} - 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== === 漢語族 === ==== 官話 ==== * [[汉语|現代標準漢語]]{{stage|25%}} ** [[高中语文]]{{stage|00%}} * [[学说四川话|四川话]]{{stage|25%}} ==== 客家話 ==== * [[詔安客語]]{{stage|50%}} ==== 贛語 ==== * [[贛語]]{{stage|25%}} ==== 粵語 ==== * [[粵語]]{{stage|00%}} ==== 閩語 ==== * [[臺灣話]]{{stage|00%}} * [[福州語]]{{stage|25%}} * [[莆田話]]{{stage|00%}} ==== 吳語 ==== * [[上海话]]{{stage|00%}} * [[杭州话]] * [[绍兴话]]{{stage|00%}} * [[溫嶺話]]{{stage|00%}} ==== 書寫系統 ==== * [[繁简中文]]{{stage|00%}} ==== 古語 ==== * [[文言]]{{stage|25%}} * [[中古音]]{{stage|00%}} == 印歐語系 == === 羅曼語族 === * [[拉丁语]]{{stage|50%}} * [[法语]]{{stage|50%}} * [[西班牙语]]{{stage|25%}} * [[意大利语]]{{stage|00%}} * [[葡萄牙语]]{{stage|00%}} * [[罗马尼亚语]]{{stage|00%}} * [[加泰兰语]]{{stage|00%}} === 斯拉夫语族 === * [[俄语]]{{stage|25%}} * [[波兰语]]{{stage|00%}} * [[波斯尼亚语]] {{stage|00%}} * [[克罗地亚语]]{{stage|00%}} === 日耳曼语族 === * [[英语]]{{stage|25%}} * [[古英语]]{{stage|00%}} * [[德语]]{{stage|00%}} * [[丹麦语]]{{stage|00%}} * [[荷兰语]]{{stage|25%}} * [[挪威语]]{{stage|00%}} * [[瑞典语]]{{stage|00%}} === 印度-伊朗語族 === * [[波斯語]]{{stage|00%}} * [[梵語]]{{stage|00%}} === 希臘语族 === * [[古希臘語]]{{stage|25%}} * [[通用希臘語]]{{stage|00%}} * [[現代希臘語]]{{stage|00%}} == 乌拉尔语系 == * [[芬兰语]]{{stage|00%}} * [[匈牙利语]]{{stage|00%}} == 阿尔泰语系 == === 满-通古斯语族 === * [[满语]]{{stage|25%}} ** [[清文指要]]{{stage|00%}} === 蒙古语族 === * [[蒙古语]]{{stage|00%}} === 突厥语族 === * [[土耳其语]]{{stage|00%}} * [[维吾尔语]]{{stage|00%}} == 亞非語系 == === 閃米特語族 === * [[阿拉伯语]]{{stage|00%}} * [[希伯来语]]{{stage|00%}} == 壮侗语系 == * [[壮语]]{{stage|00%}} * [[泰語]]{{stage|00%}} ** [[台灣新住民語文/認識泰語文]]{{stage|00%}} ==南岛语系== * [[賽夏語]]{{stage|00%}} * [[印度尼西亚语]]{{stage|00%}} == 其他語言 == * [[日语]]{{stage|50%}} ** [[古典日語]]{{stage|00%}} * [[韩语]]{{stage|00%}} * [[越南語]]{{stage|00%}} == 人工语言 == * [[世界语]]{{stage|25%}} * [[伊多语]]{{stage|00%}} * [[道本语]]{{stage|100%}} * [[邏輯語]]{{stage|00%}} * [[纳美语]]{{stage|25%}} * [[沃拉普克語]]{{stage|00%}} {{Wikipedia|语言}} [[Category:语言]] [[Category:维基书架]] 4ez7arrur4ogltsgv8ll4znnvx440ut 181632 181627 2025-07-09T20:20:16Z Cosinepi-fly 37303 /* 壮侗语系 */ 181632 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {{Wikibooks}} <div style="border: solid 1px gainsboro; background: azure; padding: .5em;"> {{语言书架}} </div> == 汉藏语系 == === 漢語族 === ==== 官話 ==== * [[汉语|現代標準漢語]]{{stage|25%}} ** [[高中语文]]{{stage|00%}} * [[学说四川话|四川话]]{{stage|25%}} ==== 客家話 ==== * [[詔安客語]]{{stage|50%}} ==== 贛語 ==== * [[贛語]]{{stage|25%}} ==== 粵語 ==== * [[粵語]]{{stage|00%}} ==== 閩語 ==== * [[臺灣話]]{{stage|00%}} * [[福州語]]{{stage|25%}} * [[莆田話]]{{stage|00%}} ==== 吳語 ==== * [[上海话]]{{stage|00%}} * [[杭州话]] * [[绍兴话]]{{stage|00%}} * [[溫嶺話]]{{stage|00%}} ==== 書寫系統 ==== * [[繁简中文]]{{stage|00%}} ==== 古語 ==== * [[文言]]{{stage|25%}} * [[中古音]]{{stage|00%}} == 印歐語系 == === 羅曼語族 === * [[拉丁语]]{{stage|50%}} * [[法语]]{{stage|50%}} * [[西班牙语]]{{stage|25%}} * [[意大利语]]{{stage|00%}} * [[葡萄牙语]]{{stage|00%}} * [[罗马尼亚语]]{{stage|00%}} * [[加泰兰语]]{{stage|00%}} === 斯拉夫语族 === * [[俄语]]{{stage|25%}} * [[波兰语]]{{stage|00%}} * [[波斯尼亚语]] {{stage|00%}} * [[克罗地亚语]]{{stage|00%}} === 日耳曼语族 === * [[英语]]{{stage|25%}} * [[古英语]]{{stage|00%}} * 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[[Category:维基书架]] 8ryq9b25bqd33tjukzp6uu41l3xai9n 0 18620 181617 170885 2025-07-09T19:57:11Z Cosinepi-fly 37303 /* Pranala Luar (外部链接) */ 181617 wikitext text/x-wiki ==学习泰语(เรียนภาษาไทย)== [[Image:Grand Palace Bangkok.jpg|thumb|upright=1.5|right|วัดพระศรีรัตนศาสดาราม-Temple of the Emerald Buddha]] [[file:Idioma tailandés.png|frameless|right]] 泰语(ภาษาไทย-phāːsǎːthāi)是泰国的官方语言。 泰国口语与中国和其他一些亚洲语言类似，是有声调语言。这意味着，通过改变一个语调，就可以改变语句的含义。这会对第一语言为非音调语言的人的学习造成一些疑惑，比如欧洲人。但书写泰语并不会很困扰，因为根据不同语调，词汇会有不同的写法。如同英语，有相同音调和不同含义的词汇也有不同的拼写。(如'feet'和'feat'，读音相同) 一些不同语调的泰语词汇举例： {|class="wikitable" |+'''泰语''' !泰语词!!发音方法!!含义!!声调 |- |คา||khā||卡主||中 |- |ข่า||khà||姜||低 |- |ข้า||khâ||仆人||落 |- |ค่า||khâ||值||落 |- |ฆ่า||khâ||杀死||落 |- |ค้า||khá||贸易，贩售||高 |- |ขา||khǎ||腿||升 |} 下表列出汉语音标，可与泰语音调比较。 需要注意的是，发音关键是适应英语的国际音标字母。 '''它不完全和汉语拼音的声调标记相同'''。 {|class="wikitable" |+'''汉语''' !汉语词!!拼音!!含义 |- |妈||mā||母亲 |- |麻||má||麻 |- |马||mǎ||马 |- |骂||mà||骂 |- |吗||ma||(用于句子末尾) |- |} 尽管泰国是声调语言，但许多泰语用语辞典没有标记声调。如果你想正确说泰语，你必须研究起声调的变化，否则泰国人可能无法正确理解你的意思。 == 课程 == * [[/声调/]] * [[/字母表/]] == 模块 == 虽然这本维基教科书仍然是在其发展的早期阶段，但仍希望对你有用。如果可以，请帮助改善这些文章，或添加新的内容。 * [[/通过联想增加词汇/]] - 使用助记符来提高你的词汇。 * [[/写课程模块/]] - 包括听起来像英语的词汇列表 * [[/常用词组/]] * [[/颜色/]] * [[/核心词汇/]] ==外部連結== *[http://www.seasite.niu.edu/Thai/default.htm 泰语言文化学习资源] – 来自''北伊利诺伊大学东南亚研究中心。'' *[http://th.hujiang.com 沪江泰语]。 {{Subjects|泰语言}} {{Alphabetical|T}} {{status|00%}} __NOTOC__ [[zh-yue:Thai Language]] 22blid1lgwglcmcqmys4shyif3243te 181621 181617 2025-07-09T20:05:58Z Cosinepi-fly 37303 /* 课程 */ 增加或調整內部連結 181621 wikitext text/x-wiki ==学习泰语(เรียนภาษาไทย)== [[Image:Grand Palace Bangkok.jpg|thumb|upright=1.5|right|วัดพระศรีรัตนศาสดาราม-Temple of the Emerald Buddha]] [[file:Idioma tailandés.png|frameless|right]] 泰语(ภาษาไทย-phāːsǎːthāi)是泰国的官方语言。 泰国口语与中国和其他一些亚洲语言类似，是有声调语言。这意味着，通过改变一个语调，就可以改变语句的含义。这会对第一语言为非音调语言的人的学习造成一些疑惑，比如欧洲人。但书写泰语并不会很困扰，因为根据不同语调，词汇会有不同的写法。如同英语，有相同音调和不同含义的词汇也有不同的拼写。(如'feet'和'feat'，读音相同) 一些不同语调的泰语词汇举例： {|class="wikitable" |+'''泰语''' !泰语词!!发音方法!!含义!!声调 |- |คา||khā||卡主||中 |- |ข่า||khà||姜||低 |- |ข้า||khâ||仆人||落 |- |ค่า||khâ||值||落 |- |ฆ่า||khâ||杀死||落 |- |ค้า||khá||贸易，贩售||高 |- |ขา||khǎ||腿||升 |} 下表列出汉语音标，可与泰语音调比较。 需要注意的是，发音关键是适应英语的国际音标字母。 '''它不完全和汉语拼音的声调标记相同'''。 {|class="wikitable" |+'''汉语''' !汉语词!!拼音!!含义 |- |妈||mā||母亲 |- |麻||má||麻 |- |马||mǎ||马 |- |骂||mà||骂 |- |吗||ma||(用于句子末尾) |- |} 尽管泰国是声调语言，但许多泰语用语辞典没有标记声调。如果你想正确说泰语，你必须研究起声调的变化，否则泰国人可能无法正确理解你的意思。 == 课程 == * [[/声调/]] * [[/字母表/]] * [[/認識泰語文/]] == 模块 == 虽然这本维基教科书仍然是在其发展的早期阶段，但仍希望对你有用。如果可以，请帮助改善这些文章，或添加新的内容。 * [[/通过联想增加词汇/]] - 使用助记符来提高你的词汇。 * [[/写课程模块/]] - 包括听起来像英语的词汇列表 * [[/常用词组/]] * [[/颜色/]] * [[/核心词汇/]] ==外部連結== *[http://www.seasite.niu.edu/Thai/default.htm 泰语言文化学习资源] – 来自''北伊利诺伊大学东南亚研究中心。'' *[http://th.hujiang.com 沪江泰语]。 {{Subjects|泰语言}} {{Alphabetical|T}} {{status|00%}} __NOTOC__ [[zh-yue:Thai Language]] 75naszryz0fjdr6p2tcg0ixymwn2b5y 0 19082 181622 122802 2025-07-09T20:07:29Z Cosinepi-fly 37303 Cosinepi-fly移動頁面[[台灣新住民語文/蓮花謠]]至[[越南語/蓮花謠]]：​「台灣新住民語文」非單一語言，故依其內容移動至相關教科書子頁面 122802 wikitext text/x-wiki ==描述== *台灣新住民語文教材 *初版作者：羅漪文 *適用對象：國小五六年級 *主要學習方法：教師引導學生反覆朗誦歌謠，解釋意思，接著帶領小朋友想像詩歌畫面，甚至可以拿彩色筆畫出腦海裡蓮花的樣子。 ==學習目標== #打造多元文化友善社會之基礎，讓學生理解母親家鄉的文化。 #認識越南語言及文化，越南歌謠形式與蓮花象徵，比較中國蓮花詩。 #知道為什麼蓮花會是越南的國花。 ==學習設計== ===唱念〈蓮花謠〉：=== 原文：<pre> Trong đầm gì đẹp bằng sen, Lá xanh bông trắng lại chen nhị vàng. Nhị vàng, bông trắng, lá xanh, Gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn.</pre> 翻譯：<pre> 潭中蓮花最美， 綠葉白花相間黃蕊。 黃蕊白花綠葉， 出淤泥而不染腥味。</pre> 〈蓮花謠〉是越南大家耳熟能詳的民間歌謠，幾乎每個越南小朋友都會唱，大人在採蓮花時也會唱。蓮花謠歌詞非常簡單，描寫在寬廣水域裡生長的蓮花。蓮花有白色或粉紅色，但在歌謠裡，白色的花瓣配上綠色的葉子，中間點綴著黃色的花蕊，應該是最經典的配色了。 〈蓮花謠〉總共有四句，一句六個字，一句八個字，接著是六字句，再八字句，可以反覆「六八——六八——六八——六八……」地無限延長，稱之為「六八歌謠體」，是越南獨有的詩歌形式。詩歌一定要押韻的，請注意看，六字句的最後一個字與八字句的第六個字的韻母是一樣的，讓兩句讀起來非常連貫，是不是很有趣呢？ ===瞭解蓮花在越南的象徵：=== 蓮花是越南的國花。 越南地處熱帶，適合蓮花生長。蓮花的花朵與葉子長在水面上，蓮花的根部埋在水底下的泥濘裡。淤泥蘊含很多有機腐質，雖然不怎麼好聞，卻提供給蓮花很多營養，讓蓮花成長茁壯後，綻放出美麗又芬芳的花朵。越南人很喜歡蓮花，平常會買蓮花放在家裡，希望自己能跟蓮花一樣，美麗而清香。再加上越南很多人信佛教，蓮花是佛教的重要植物，佛陀或觀音們都會坐或站在蓮花上面呢！所以越南人也會拿蓮花去寺廟裡供佛。 除了漂亮供人欣賞之外，蓮花也可以製茶、做成菜餚，如果有機會跟媽媽爸去越南玩，可以試喝蓮花香片，吃酸酸甜甜的涼拌蓮花莖唷。 ===比較中國蓮花詩：=== 台灣夏天也有蓮花，台南白河鎮是最有名的蓮花種植地，只是台灣人沒有把蓮花拿到家裡佈置，只有在植物園、公園的水池裡才能看到蓮花。 中國古時候有可愛的蓮花詩，請看下面〈江南可採蓮〉：<pre> 江南可採蓮，蓮葉何田田，魚戲蓮葉間。 魚戲蓮葉東，魚戲蓮葉西，魚戲蓮葉南，魚戲蓮葉北。</pre> 江南是指中國南方的長江地帶，那裡有很多河流與湖泊，同樣適合蓮花生長。詩中第二句「蓮葉何田田」，「田田」兩個字的讀音，有沒有跟「亭亭」、「圓圓」聽起來有那麼一點點相像？這首詩啊，不但描寫了圓圓蓮葉一片接一片地長得高高的、滿滿的，還仔細的告訴我們蓮葉下面的水裡，有小魚游來游去呢。 數一數，〈江南可採蓮〉總共有七句，每一句都是五個字，我們叫做「五言詩」。請注意五言詩的每一句的最後一個字，有沒有押韻呢？讀起來感覺跟「六八歌謠」很不同吧！ ===練習一：畫蓮花圖=== 如： [[File:Lotus flowers (1).jpg|500px]] <br/><br/><br/> [[File:Lotus flowers near the entrance.JPG|500px]] <!-- 可查 Nelumbo nucifera --> ===分享蓮藕排骨湯的味道=== [http://www.flickr.com/photos/colinzhu/8546361421/in/photostream/ flickr上「蓮藕排骨湯」的照片] <!--google 找 CC 的方法： https://www.google.com/search?as_rights=(cc_publicdomain|cc_attribute|cc_sharealike).-(cc_noncommercial|cc_nonderived)&q=蓮藕排骨湯 https://www.google.com/search?as_rights=(cc_publicdomain|cc_attribute|cc_sharealike)&q=蓮藕排骨湯 --> <br/><br/> [[File:JaRenkonLotus14R.jpg|300px]] <br/><br/> [[File:JaRenkonLotus07CR.jpg|300px]] [[Category:台灣新住民語文]] [[Category:越南語]] td81rjrud81xbwgv1wuiq1hdi815uq8 0 19083 181619 104907 2025-07-09T20:05:11Z Cosinepi-fly 37303 Cosinepi-fly移動頁面[[台灣新住民語文/認識泰語文]]至[[泰語/認識泰語文]]：​「台灣新住民語文」非單一語言，故依其內容移動至相關教科書子頁面 104907 wikitext text/x-wiki [[Category:台灣新住民語文]] [[Category:泰語]] ==描述== *台灣新住民語文教材：初見泰文的基本認識 *初版作者：林周熙 *適用對象：國小一二年級、初次接觸泰文者 *主要學習方法：透過教師演講，引導學生理解泰文組成的基礎原則。 ==學習目標== #識別泰國文字，介紹泰文字形、寫法並提供發音提示。泰文為拼音文字，只是書寫方法與日常熟悉的英文字母不同，如代換後將可以方便記憶唸法與發音。例如，泰文「ม」發音同「M」、「ล」發音同「L」、「ท」發音同「T」、「ก」發音同「K」等。 #了解泰語文拼字規則。泰文可理解為中文的「注音文」，如「蘋果」即寫作「ㄆㄧㄣˊㄍㄨㄛˇ」，不必像中文有字、音兩套記憶系統。 泰文也與「注音文」一樣大約每2至4字元為一發音節，例如，「น่ารัก」（詞義：可愛）拆以「น่า、รัก」羅馬字母對應為「NAA、RAK」。<br/>泰文 น่ารัก น่ า รั ก<br/>羅馬字母對應 NAARAK N AA RA K #透過語言理解文化。泰國與華文化有相當密切的關係，是進行國民外交的好對象，若讓學童從小培養對地緣鄰國的熟悉感，對未來臺灣的競爭力應該是有益無害。參考例句：อรุณสวัสดิ์ครับพ่อ! ทานอาหารเช้าแล้วครับ（爸爸早安！ 吃早餐了。），其實泰文的句子與發音，同中文、日文相近，只要點出竅門即容易學習。 ==學習設計== <!-- ===唱念〈蓮花謠〉：=== 原文：<pre> </pre> 翻譯：<pre> </pre> ===練習一：畫蓮花圖=== 如： [[File:_________.jpg|500px]] <br/><br/><br/> [[File:____________________.JPG|500px]] <!-- 可查 Nelumbo nucifera ===分享蓮藕排骨湯的味道=== [http://www.flickr.com/photos/colinzhu/8546361421/in/photostream/ flickr上「蓮藕排骨湯」的照片] google 找 CC 的方法： #https://www.google.com/search?as_rights=(cc_publicdomain|cc_attribute|cc_sharealike).-(cc_noncommercial|cc_nonderived)&q=蓮藕排骨湯 #https://www.google.com/search?as_rights=(cc_publicdomain|cc_attribute|cc_sharealike)&q=蓮藕排骨湯 <br/><br/> [[File:JaRenkonLotus14R.jpg|300px]] <br/><br/> [[File:JaRenkonLotus07CR.jpg|300px]] 教學主題：認識泰語文 教學對象：國小學童 設計理念： 教學目標與內容： --> ===中泰對照 อรุณสวัสดิ์ครับพ่อ! ทานอาหารเช้าแล้วครับ=== <pre>อรุณ 晨 สวัสดิ์ 安 ครับ （敬語） พ่อ 爸爸 ทาน 吃 อาหารเช้า 早餐 แล้ว 了 ครับ （敬語） 草稿： แม่：วันนี้ทานอาหารเที่ยงที่โรงเรียนอย่าเลือกทานนะ! 媽媽：中午在學校吃午餐，不要挑食喔!。 พี่ชาย：ขอบคุณครับคุณแม่ ผมอิ่มแล้วครับ คุณพ่อคุณ ผมไปโรงเรียนก่อนครับ แม่สวัสดีครับ 哥哥：好。我吃飽了！要去上學了。爸 爸、媽媽再見。 單字（色彩對應詞彙） ไป (bai) 去 ไปโรงเรียน (bai rongriian) 去學校 อาหาร食物/餐 อาหารเช้า 早餐 อาหารเที่ยง 午餐 ลาก่อน 再見 แม่ 媽媽/母親 พี่ชาย 哥哥 พ่อ 爸爸 /父親 อรุณ 早晨 อรุณสวัสดิ์ 早安 รับประทาน 吃 ลูก 孩子 วันนี้ 今天 อิ่ม 飽 </pre> ===ห้องเรียนภาษาและวัฒนธรรม語言和文化教室=== #泰國的豆漿（น้ำเต้าหู้）和台灣的豆漿不一樣，泰國的豆漿會添加很多材料，例如:薏仁、大麥、紅豆、果凍等。 #米飯（ข้าว）是泰國主食之一，泰國農耕，水稻是主要作物，最常吃的早餐是燴飯搭配果汁。燴飯以咖哩或酸辣口味為主，加入肉類和海鮮，很少用勾芡的方式來調煮。 #สวัสดี（SatWaDee）是問候語「你好/平安」，用於在日常的打招呼， 也作為道別時的用語，等同漢語的再見。<br/>泰國的「再見（ลาก่อน, Laakon）」用法和意義跟中文有很大的差異。泰國的「再見」是代表男女朋友要分手或朋友之間很久才能再見面時使用，可譯為「告別！」。所以泰語道別時要用問候語「你好/平安」，而不能用「再見」，表示禮貌。 #ค่ะ / คะ / ครับ是泰語裏的呼應語氣詞。泰國人要求講話簡短、溫柔，所以說話時在句末加上ค่ะ / คะ / ครับ以示禮貌。這些句末禮貌詞語一般適用於晚輩對長輩或下級對上級說話時。有「唉、好的、是」的意思。男性說話時用ครับ（Krap）；女性問話時用คะ（Ka，平聲）、回答時用ค่ะ（Ka，去聲）。 #泰國學校會提供營養午餐，學生不用帶便當。 jfjbkvb7xrfmlk8lyfly6op7pc9cc0s 1 19115 181624 59600 2025-07-09T20:07:29Z Cosinepi-fly 37303 Cosinepi-fly移動頁面[[Talk:台灣新住民語文/蓮花謠]]至[[Talk:越南語/蓮花謠]]：​「台灣新住民語文」非單一語言，故依其內容移動至相關教科書子頁面 59600 wikitext text/x-wiki ==疑問== 我是台灣的維基人reke，很開心看到維基被運用作為開放教材的平臺。這篇內容有幾個建議，雖然可以自行修改，但還是希望先詢問溝通，以免造成誤會。 教科書的閱讀對象是學生，而這篇的單元標題比較像是給老師閱讀的教師手冊，不知道編者比較期待怎麼被運用？如果是課本，建議在標題中不要把章節目標寫太嚴肅，例如「瞭解蓮花在越南的象徵」可以改成「蓮花在越南」；「比較中國蓮花詩」可以改成「蓮花詩比一比」。一級的大標題都要更口語化一些。 如果本來就設定是教師手冊，那內文就需要更多可補充的知識。老練的維基人在這方面可以協助插入維基所有姐妹計劃的相關資源，當然，要先確定本文的用途我們才能開始做。 冒昧提問，希望不會打擾到工作進程。--[[User:Reke|Reke]] ([[User talk:Reke|留言]]) 2014年2月19日 (三) 11:10 (UTC) a3a470zsdhxh5bja8znv8ln634bwhtc 0 22241 181618 177916 2025-07-09T20:01:46Z Cosinepi-fly 37303 調整格式、排版 181618 wikitext text/x-wiki <templatestyles src="Nihongo textbook/styles.css" /> [[Subject:語言]] > [[賽夏語]] __NOTOC__ <div style="color: #444; margin: 0.5em;><span style="font-size: 200%; font-weight: bold">tapae'onhael tatoroe' ka 'alnoSaySiyat![[File:Saisiat pastaai.jpg|250px|right|frameless]]</span><br/> <span style="color: #666; font-size: 125%">So'o kayzaeh ay! 賽夏語是台灣原住民族賽夏族所使用的語言，屬於南島語系。根據2023年統計，賽夏族人口大約有約6,862人。本教科書旨在為欲學習賽夏語者提供指引及參考，以增進其對賽夏語的理解。我們希望本教科書所提供的內容能讓你輕鬆愉快地學習，並在最後能與賽夏族人進行簡單交流。</span></div><br/> <div style="float:left; width:98%; border:0px solid #aaa; padding:15px"> <!-- 左欄開始 --> <div class="content"> <div style="box-shadow: 0 0 .4em #999; margin:1em .4em;"> <div style="padding: 1em;"> == 基本介紹 == * [[/概論|概論]] * [[/發音|發音]] == 課文 == === 入門 === * [[/第一課|第一課]]{{stage short|50%}} * [[/第二課|第二課]]{{stage short|50%}} * [[/第三課|第三課]]{{stage short|25%}} === 基礎 === * [[/第四課|第四課]]{{stage short|50%}} * [[/第五課|第五課]]{{stage short|00%}} * [[/第六課|第六課]]{{stage short|00%}} </div></div></div> <!-- 中欄開始 --> <div class="content"> <div style="box-shadow: 0 0 .4em #999; margin:1em .4em;"> <div style="padding: 1em;"> == 詞彙 == * [[/數字|數字]] * [[/代名詞|代名詞]] * [[/疑問詞|疑問詞]] * [[/親屬|親屬]] * [[/人物|人物]] * [[/身體部位|身體部位]] * [[/動物|動物]] * [[/植物水果|植物水果]] * [[/物品|物品]] * [[/自然景觀|自然景觀]] * [[/時間|時間]] * [[/顏色|顏色]] * [[/肯定動詞|肯定動詞]] * [[/否定詞|否定詞]] * [[/祈使動詞|祈使動詞]] * [[/其他|其他]] </div></div></div> <!-- 右欄開始 --> <div class="content"> <div style="box-shadow: 0 0 .4em #999; margin:1em .4em;"> <div style="padding: 1em;"> == 參考資料 == [http://lokahsu.org.tw/resource/book/junior/13_junior_book.pdf http://lokahsu.org.tw/resource/book/junior/13_junior_book.pdf] </div></div></div> </div> [[分類:語言]] {{BookCat}} 2vcrlvn02zn41gt4u2603ibxubu8lgd 0 30816 181629 140180 2025-07-09T20:11:07Z Cosinepi-fly 37303 增加或調整內部連結 181629 wikitext text/x-wiki ==第七課 問候 告別/Bài thứ 7 Chào hỏi từ biệt/{{lang|vi|-{牌次 7 嘲𠳨 辭別}-}}== === 常用句型/<span style="font-family:'Sylfaen'">Kiêu câu thường dùng</span>/{{lang|vi|-{矯句常用}-}} === *<span style="font-family:'Sylfaen'">Chào…!</span>/嘲<ref><span style="font-family:'Sylfaen'">Non-Sino-Vietnamese reading of Chinese 朝 (“to meet; to meet a senior person; to attend the emperor's audience”, SV: triều). Related to chầu (“to attend an audience; to attend upon (in design)”). (Nguyễn Văn Khang. Từ ngoại lai trong tiếng Việt, 2007) The similarity to Italian ciao, which also means both "hello" and "goodbye", is purely coincidental.</ref></span>…!「……好！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Xin chào…!</span>/吀嘲…!「……好！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">…Khỏe không?</span>/…快<ref>Non-Sino-Vietnamese reading of Chinese 快 (SV: khoái).</ref>康!「……身體好嗎？」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Chào…!</span>/嘲…!「……再見！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Xin tạm biệt…!</span>/吀暫別…!「……告辭！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Hẹn gặp lại!</span>/𠻷﨤{{僻字|𫣚|吏來}}<ref>From Proto-Vietic *laːjʔ, related to Chinese 來 (MC lʌi, “to come; to arrive”) (SV: lai); cognate with Arem lɐ̀ːjʔ.</ref>!「下次見！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Vâng, tôi khỏe, còn chị?</span>「好，我身体好，你呢？」 === 基本句型/{{lang|vi|Kiêu câu cơ bản}}/{{lang|vi|-{矯句基本}-}} === # <span style="font-family:'Sylfaen'">Chào anh!</span>/嘲偀!「你好！」（对同辈男性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Chào chị!</span>/嘲姊!「你好！」（对同辈女性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Anh co khỏe không?</span>/偀固快康?「你身体好吗？」（对同辈男性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Vâng, tôi khoẻ, còn chị?</span>「好，我身体好，你呢？」（对同辈女性） - [[/蓮花謠/]] s6zl5zfevea06hfwsr6bb822q0m8lf0 181631 181629 2025-07-09T20:18:49Z Cosinepi-fly 37303 新教科書 181631 wikitext text/x-wiki < [[Subject:語言]] {| width=100% |- valign=top | colspan=2 | <center> <big>歡迎光臨...</big><br> <big>Chào mừng...</big><br> <big><big><span style=color:green>'''''Tiếng Việt 越南語教科書'''''</span></big></big> </center> |- valign=top | width=501 | <span style="border:1px solid #ddd;">[[Image:Flag of Vietnam.svg|frameless|left]]</span> <span style="border:1px solid #ddd;">[[Image:Emblem_of_Vietnam.svg|frameless|right]]</span> | {| width=100% class="toc" summary="Contents" style="text-align: left" |- | align=center | '''目錄：'''</big> |- | * [[/序言/|1 序言]] * [[/字母/|2 字母]] * [[/發音/|3 發音]] * [[/課程/|4 課程]] * [[/文法/|5 文法]] * [[/測驗/|6 測驗]] * [[/蓮花謠/|7 練習]] * [[/越南歷史/|8 越南歷史]] |} |} {{Wikipedia|法语}} [[Category:法语]] [[pl:Francuski/Okładka]] i0t1achlkeqriagng5hwg79smx02d6q 0 30843 181615 138675 2025-07-09T15:20:54Z 104.192.92.135 /* 柯西不等式的定义与证明 */修正一处错误。原文表述可经反例验证存在错误：a=(1, 1, 1), b=(1, 2, 3), 左侧=(1+1+1)*(1+4+9)=42, 右侧=(1+2+3)^2=36, 等号并不成立。同时理论也支持只有两个向量线性相关时才能取到等号。 181615 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File:Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。 柯西不等式一般称为柯西-施瓦茨不等式，是[[w:线性代数|线性代数学]]和线性[[w:泛函分析|泛函分析]]中的重要结论。在普通高中阶段一般只需要了解它的代数形式的用法和向量形式的几何含义。本节只侧重于介绍其代数形式，后续的[[高中数学/平面向量与复数/数量积|数量积]]章节还会继续介绍它的向量形式及其与向量夹角余弦值的关系（其实从其几何含义更容易理解也更能体现它的数学本质）。在后续的大学课程中，还会继续学习它的积分形式，它在数学、物理学和[[w:通信工程|通信工程]]中有关[[w:平方可积函数|平方可积函数]]的性质分析中将发挥巨大作用。 === 预备知识 === 本节大部分内容都要求读者至少了解算术-几何平均值不等式的基本用法，所以读者应该先阅读[[高中数学/不等式与数列/平均值不等式|平均值不等式]]章节，然后再根据需要选读本节的其余内容。 === 考试要求 === 在中国大陆高考中，柯西不等式曾是理科数学试卷的考查点之一，一般出题难度不大、占分不多，也并非每年必考内容。而对于高考取消文理分科考法的地区，基本上也不会将其纳入考试范围。不过涉及柯西不等式知识点的许多简单问题套路明显，学起来其实很容易，加之它在后续理工科课程中非常常见，我们仍将其纳入主干知识的范围。 == 基础知识 == === 柯西不等式的定义与证明 === <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''柯西-施瓦茨不等式'''（'''Cauchy–Schwarz inequality'''）是一个描述[[高中数学/平面向量与复数/数量积|向量内积]]性质的不等式，其向量形式为：<br /> <math>\forall \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n, s.t. |\vec{a}| |\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}</math><br /> 上述不等式中的等号当且仅当<math>\vec{a}</math>与<math>\vec{b}</math>朝同一方向时才严格成立。 代数形式的柯西-施瓦茨不等式为<ref>{{cite book |title=高中数学 (A版) 选修4-5 |author=俞求是; 章建跃; 田载今; 马波; 李世杰 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |editor3=李龙才 (责任编辑) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 |edition=2 |isbn=978-7-107-18675-2 |section=第3讲“柯西不等式”第1节“二维形式的柯西不等式”和第2节“一般形式的柯西不等式” |pages=31-41 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>：<br /> <math> \begin{array}{l} \forall a_i, b_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2, ..., n, \\ s.t. (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \end{array} </math><br /> 上述不等式中的等号当且仅当<math>\frac{a_i}{b_i} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}</math>时才严格成立。 中学数学书上常将其简称为柯西不等式。可以使用Euler连加号将其简记为<math>(\sum_{i=1}^n\limits a_i^2) (\sum_{i=1}^n\limits b_i^2) \ge (\sum_{i=1}^n\limits a_i b_i)^2</math>。 </font> </blockquote> === 无特殊条件约束的简单应用 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 求<math>(a^2 + b^2 + c^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} + \frac{9}{c^2})</math>的最小值。 <!-- 本小节例题1的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} + \frac{9}{c^2}) = (a^2 + b^2 + c^2)((\frac 1 a)^2 + (\frac 2 b)^2 + (\frac 3 c)^2) \\ \ge (a \cdot \frac 1 a + b \cdot \frac 2 b + c \cdot \frac 3 c)^2 = (1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>a : \frac 1 a = b : \frac 2 b = c : \frac 3 c</math>（即<math>a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}</math>）时成立。<br /> 故当<math>a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}</math>时，原式取得最大值36。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：36。</p> </div> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设<math>a, b, c > 0</math>，求<math>(a + b + c)(\frac 1 a + \frac 4 b + \frac 1 c)</math>的最小值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 设<math>a, b, c > 0</math>，求<math>(a + b^2 + c^3)(\frac 8 a + \frac{4}{b^2} + \frac{2}{c^3})</math>的最小值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 求<math>(a^2 + b^{-2} + 2)(b^2 + a^{-2} + 2)</math>的最小值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>0 < x < \frac 1 2</math>，求函数<math>f(x) = \frac 2 x + \frac{9}{1 - 2x}</math>的最小值。 <!-- 本小节例题5的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 因为有<math>0 < x < \frac 1 2</math>，由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} f(x) = (\frac 2 x + \frac{9}{1-2x}) \times 1 = (\frac{4}{2x} + \frac{9}{1-2x}) ((2x) + (1-2x)) \\ = ((\frac{2}{\sqrt{2x}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{1 - 2x}})^2) ((\sqrt{2x})^2 + (\sqrt{1-2x})^2) \\ \ge (\frac{2}{\sqrt{2x}} \cdot \sqrt{2x} + \frac{3}{\sqrt{1 - 2x}} \cdot \sqrt{1-2x})^2 \\ = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{2}{\sqrt{2x}} : \sqrt{2x} = \frac{3}{\sqrt{1 - 2x}} : \sqrt{1-2x}</math>（即<math>x = \frac 1 5 \in (0, \frac 1 2)</math>）时成立。<br /> 故当<math>x = \frac 1 5</math>时，函数取得最大值<math>25</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：25。</p> </div> <!-- 本小节例题6 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 求函数<math>f(x) = 5 \sqrt{x - 1} + \sqrt{10 - 2x}</math>的最大值。 <!-- 本小节例题6的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 首先，题中函数的定义域必须满足以下条件：<br /> <math> \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{array} \right. </math><br /> 解得函数的定义域为[1, 5]，且<math>f(x) \ge 0</math>。 再由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (f(x))^2 = (5 \times \sqrt{x - 1} + \sqrt{2} \times \sqrt{5 - x})^2 \\ \le (5^2 + (\sqrt{2})^2) ((\sqrt{x - 1})^2 + (\sqrt{5 - x})^2) = 27 ((x - 1) + (5 - x)) = 27 \times 4 = 108 \\ \Rightarrow f(x) \le \sqrt{108} = 6 \sqrt{3} \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>x = \frac{127}{27} \in [1, 5]</math>时成立。<br /> 故当<math>x = \frac{127}{27}</math>时，<math>f(x)</math>取得最大值<math>6 \sqrt{3}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>6 \sqrt{3}</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题7 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 求证：<math>(a^4 + b^4) (a^2 + b^2) \ge (a^3 + b^3)^2</math>。 <!-- 本小节例题8 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题8： 设<math>m, n > 0</math>，求证：<math>\frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n} \ge \frac{(a + b)^2}{m + n}</math>。 <!-- 本小节例题8的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 因为<math>m, n > 0</math>，所以<math>m = (\sqrt{m})^2, n = (\sqrt{n})^2</math>。<br /> <math> \begin{array}{l} \frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n} \ge \frac{(a + b)^2}{m + n} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n}) (m + n) \ge (a + b)^2 \\ \Leftrightarrow ((\frac{a}{\sqrt{m}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{n}})^2) ((\sqrt{m})^2 + (\sqrt{n})^2) \ge (\frac{a}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{m} + \frac{b}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n})^2 \end{array} </math><br /> 由柯西不等式可知上式显然成立，且等号成立的条件为<math>\frac{a}{\sqrt{m}} : \sqrt{m} = \frac{b}{\sqrt{n}} : \sqrt{n}</math>（即<math>\frac a m = \frac b n</math>）。<br /> 证明完毕。 </p> </div> === 比较直接的条件代换 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 1</math>，求证：<math>a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac 1 3</math>。 <!-- 本小节例题1的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 根据柯西不等式并代入已知条件<math>a + b + c = 1</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a + b + c)^2 = 1 \\ \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac 1 3 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>a = b = c = \frac 1 3</math>时成立。证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 7</math>，求证：<math>a^2 + 4b^2 + 9c^2 \ge 36</math>。 <!-- 本小节例题2的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + 4b^2 + 9c^2)(1 + \frac 1 4 + \frac 1 9) \\ = (a^2 + (2b)^2 + (3c)^2)(1^2 + (\frac 1 2)^2 + (\frac 1 3)^2) \\ \ge (a \times 1 + 2b \times \frac 1 2 + 3c \times \frac 1 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + 4b^2 + 9c^2) \times \frac{49}{36} \ge (a + b + c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 1 = \frac{2b}{\frac 1 2} = \frac{3c}{\frac 1 3}</math>（即<math>a = \frac{36}{7}, b = \frac 9 7, c = \frac 4 7</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + b + c = 7</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} \frac{49}{36}(a^2 + 4b^2 + 9c^2) \ge 7^2 = 49 \\ \Rightarrow a^2 + 4b^2 + 9c^2 \ge 49 \times \frac{36}{49} = 36 \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 6</math>，求证：<math>a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{18}{7}</math>。 <!-- 本小节例题3的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(1 + 4 + 9) \\ = (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 2^2 + 3^2) \\ \ge (a \times 1 + b \times 2 + c \times 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + b^2 + c^2) \times 14 \ge (a + 2b + 3c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 1 = \frac b 2 = \frac c 3</math>（即<math>a = \frac 3 7, b = \frac 6 7, c = \frac 9 7</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + 2b + 3c = 6</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 14(a^2 + b^2 + c^2) \ge 6^2 = 36 \\ \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{18}{7} \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 6</math>，求证：<math>a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 6</math>。 <!-- 本小节例题4的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + 2b^2 + 3c^2)(1 + 2 + 3) \\ = (a^2 + (\sqrt{2}b)^2 + (\sqrt{3}c)^2)((\sqrt{1})^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2) \\ \ge (a \times \sqrt{1} + (\sqrt{2}b) \times \sqrt{2} + (\sqrt{3}c) \times \sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow (a^2 + 2b^2 + 3c^2) \times 6 \ge (a + 2b + 3c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{a}{1} = \frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}}</math>（即<math>a = b = c = 1</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + 2b + 3c = 6</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 6(a^2 + 2b^2 + 3c^2) \ge 6^2 \\ \Rightarrow a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 6 \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>a, b, c > 0, \frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4} = 1</math>，求<math>a + b + c</math>的最大值和最小值。 <!-- 本小节例题5的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) (4^2 + (\sqrt{5})^2 + 2^2) \ge (\frac{a-1}{4} \times 4 + \frac{b+2}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5} + \frac{c-3}{2} \times 2)^2 \\ \Rightarrow (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) (16 + 5 + 4) \ge ((a - 1) + (b + 2) + (c - 3))^2 \\ \Rightarrow (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) \times 25 \ge ((a + b + c) - 1 + 2 - 3)^2 = ((a + b + c) - 2)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{a-1}{16} = \frac{b+2}{5} = \frac{c-3}{4}</math>时成立。<br /> 将已知条件<math>\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4} = 1</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 1 \times 25 \ge ((a + b + c) - 2)^2 \\ \Rightarrow -5 \le (a + b + c) - 2 \le 5 \\ \Rightarrow -3 \le (a + b + c) \le 7 \end{array} </math><br /> 故原式的最小值为-3，最大值为7。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：最小值为-3，最大值为7。</p> </div> <!-- 本小节例题6 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 设<math>x, y, z \in \mathbb{R}, x^2 + y^2 + z^2 = 4</math>，求<math>x - 2y + 2z</math>的最小值。 <!-- 本小节例题6的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (x^2 + y^2 + z^2) (1^2 + (-2)^2 + 2^2) \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) (1 + 4 + 4) \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) \times 9 \ge (x - 2y + 2z)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac x 1 = \frac{y}{-2} = \frac z 2</math>（即<math>a = \pm \frac 2 3, b = \mp \frac 4 3, c = \pm \frac 4 3</math>）时成立。<br /> 将已知条件<math>x^2 + y^2 + z^2 = 4</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 4 \times 9 \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x - 2y + 2z)^2 \le 36 = 6^2 \\ \Rightarrow -6 \le (x - 2y + 2z)^2 \le 6 \end{array} </math><br /> 故当且仅当<math>a = - \frac 2 3, b = \frac 4 3, c = - \frac 4 3</math>，原式取到最小值-6。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：-6。</p> </div> <!-- 本小节例题7 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 设<math>a, b, c \in \mathbb{R}, 2a - 3b + c = 3</math>，求<math>a^2 + (b-1)^2 + c^2</math>的最小值。 <!-- 本小节例题7的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + (b-1)^2 + c^2) (2^2 + (-3)^2 + 1^2) \ge (2a - 3(b-1) + c)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) (4 + 9 + 1) \ge (2a - 3(b-1) + c)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \times 14 \ge ((2a - 3b + c) + 3)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 2 = \frac{b-1}{-3} = \frac c 1</math>（即<math>a = \frac 6 7, b = - \frac 2 7, c = \frac 3 7</math>）时成立。<br /> 将已知条件<math>2a - 3b + c = 3</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \times 14 \ge (3 + 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \ge \frac{36}{14} = \frac{18}{7} \end{array} </math><br /> 所以当且仅当<math>a = \frac 6 7, b = - \frac 2 7, c = \frac 3 7</math>时，原式取到最小值<math>\frac{18}{7}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>\frac{18}{7}</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题8 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题8： 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 1</math>，求证：<math>\frac 1 a + \frac 4 b + \frac 9 c \ge 36</math>。 <!-- 本小节例题8的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (\frac 1 a + \frac 4 b + \frac 9 c)(a + b + c) \\ = ((\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{b}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{c}})^2)((\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2) \\ \ge (\frac{1}{\sqrt{a}} \times \sqrt{a} + \frac{2}{\sqrt{b}} \times \sqrt{b} + \frac{3}{\sqrt{c}} \times \sqrt{c})^2 \\ = (1 + 2 + 3)^2 = 36 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac 1 a = \frac 2 b = \frac 3 c</math>（即<math>a = \frac 1 6, b = \frac 1 3, c = \frac 1 2</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + b + c = 1</math>，可得：<br /> <math>(\frac 1 a + \frac 4 b + \frac 9 c)(a + b + c) \ge 36</math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题9 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题9： 设<math>a, b > 0, a + b = 2</math>，求证：<math>\frac{a^2}{2 - a} + \frac{b^2}{2 - b} \ge 2</math>。 <!-- 本小节例题9的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 因为<math>0 < a, b < 2</math>，由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} ((\frac{a}{\sqrt{2-a}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{2 - b}})^2)((\sqrt{2 - a})^2 + (\sqrt{2 - b})^2) \ge (a + b)^2 \\ \Rightarrow (\frac{a^2}{2 - a} + \frac{b^2}{2 - b}) ((2 - a) + (2 - b)) \ge (a + b)^2 \\ \Rightarrow (\frac{a^2}{2 - a} + \frac{b^2}{2 - b}) (4 - (a + b)) \ge (a + b)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{a}{\sqrt{2-a}} : \sqrt{2-a} = \frac{b}{\sqrt{2-b}} : \sqrt{2-b}</math>（即<math>a = b = 1</math>）时成立。<br /> 将条件<math>a + b = 2</math>代人上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (\frac{a^2}{2 - a} + \frac{b^2}{2 - b}) (4 - 2) \ge 2^2 \\ \Rightarrow \frac{a^2}{2 - a} + \frac{b^2}{2 - b} \ge 2 \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题10 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题10： 设<math>2a + 3b + 5c = 29</math>，求<math>\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6}</math>的最大值。 <!-- 本小节例题10的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} ((\sqrt{2a + 1})^2 + (\sqrt{3b + 4})^2 + (\sqrt{5c + 6})^2) (1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow ((2a + 1) + (3b + 4) + (5c + 6)) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow ((2a + 3b + 5c) + 11) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>2a + 1 = 3b + 4 = 5c + 6</math>（即<math>a = \frac{37}{6}, b = \frac{28}{9}, c = \frac{22}{15}</math>）时成立。<br /> 将已知条件$2a + 3b + 5c = 29$代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (29 + 11) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow \sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6} \le \sqrt{(29 + 11) \times 3} = \sqrt{120} = 2 \sqrt{30} \end{array} </math><br /> 所以当且仅当<math>a = \frac{37}{6}, b = \frac{28}{9}, c = \frac{22}{15}</math>时，原式取到最大值<math>2 \sqrt{30}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>2 \sqrt{30}</math>。</p> </div> == 常用结论与常见模型 == === 项的拼凑与形式的转化 === === 需要分开应用或多次应用柯西不等式的问题 === === 可能需要同时结合平均值不等式的问题 === === 涉及三角形的问题 === === 数形结合问题 === == 补充习题 == [[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] * 已知<math>a, b, c > 0</math>，请分别使用平均值不等式和柯西不等式证明：<math>a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}</math>。 * 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 1</math>，求<math>a^2 + b^2 + c^2</math>的最小值。 * 设<math>a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 = 10</math>，求<math>3a + b</math>的最大值和最小值。 * 已知<math>a, b \in \mathbb{R}, 3x^2 + 2y^2 \le 6</math>，求<math>2x + y</math>的最大值和最小值。 * 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 9</math>，求<math>\frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}</math>的最小值。 :（答案：9。） * 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 2</math>，求<math>\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}</math>的最小值。 :（答案：18。） * 设<math>a, b, c > 0</math>，求证：<math>\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} \ge \frac{9}{a + b + c}</math>。<br /> :（提示：<math>2(a + b + c) = (a + b) + (b + c) + (c + a)</math>。） * 已知函数<math>f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2} \quad (-1 < x < 1, x \neq 0)</math>。<br /> :(1)求<math>f(x)</math>的最小值。<br /> :(2)若<math>|t + 1| \le f(x)</math>恒成立，求t的取值范围。 <div class="collapsible answer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> (1)首先由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2} = (\frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2}) (x^2 + (1 - x^2)) \\ \ge (1 + 2)^2 = 9 \\ \Rightarrow f(x) \ge 9 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>x^2 = \frac 1 3</math>时成立。<br /> 所以<math>f(x)</math>的最小值是9。<br /> (2) 因为<math>f(x) \ge 3</math>，所以要使<math>|t + 1| \le f(x)</math>恒成立，只需要使<math>|t + 1|</math>不超过<math>f(x)</math>的最小值即可。<br /> <math> \begin{array}{l} |t + 1| \le min\{f(x)\} = 3 \\ \Rightarrow -3 \le |t + 1| \le 3 \end{array} </math><br /> 所以t的取值范围是[-3, 3]。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：(1)9；(2)[-3, 3]。</p> </div> == 参考资料 == {{Reflist}} == 外部链接 == {{Wikipedia|柯西-施瓦茨不等式}} {{DEFAULTSORT: Cauchy–Schwarz inequality}} [[category:不等式]] [[category:高中数学]] nxals46c4ub9453qf6eo1l2h809muu1 181616 181615 2025-07-09T15:23:57Z 104.192.92.135 /* 补充习题 */修正最后一则练习题中的错误答案。 181616 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File:Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。 柯西不等式一般称为柯西-施瓦茨不等式，是[[w:线性代数|线性代数学]]和线性[[w:泛函分析|泛函分析]]中的重要结论。在普通高中阶段一般只需要了解它的代数形式的用法和向量形式的几何含义。本节只侧重于介绍其代数形式，后续的[[高中数学/平面向量与复数/数量积|数量积]]章节还会继续介绍它的向量形式及其与向量夹角余弦值的关系（其实从其几何含义更容易理解也更能体现它的数学本质）。在后续的大学课程中，还会继续学习它的积分形式，它在数学、物理学和[[w:通信工程|通信工程]]中有关[[w:平方可积函数|平方可积函数]]的性质分析中将发挥巨大作用。 === 预备知识 === 本节大部分内容都要求读者至少了解算术-几何平均值不等式的基本用法，所以读者应该先阅读[[高中数学/不等式与数列/平均值不等式|平均值不等式]]章节，然后再根据需要选读本节的其余内容。 === 考试要求 === 在中国大陆高考中，柯西不等式曾是理科数学试卷的考查点之一，一般出题难度不大、占分不多，也并非每年必考内容。而对于高考取消文理分科考法的地区，基本上也不会将其纳入考试范围。不过涉及柯西不等式知识点的许多简单问题套路明显，学起来其实很容易，加之它在后续理工科课程中非常常见，我们仍将其纳入主干知识的范围。 == 基础知识 == === 柯西不等式的定义与证明 === <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''柯西-施瓦茨不等式'''（'''Cauchy–Schwarz inequality'''）是一个描述[[高中数学/平面向量与复数/数量积|向量内积]]性质的不等式，其向量形式为：<br /> <math>\forall \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n, s.t. |\vec{a}| |\vec{b}| \ge \vec{a} \cdot \vec{b}</math><br /> 上述不等式中的等号当且仅当<math>\vec{a}</math>与<math>\vec{b}</math>朝同一方向时才严格成立。 代数形式的柯西-施瓦茨不等式为<ref>{{cite book |title=高中数学 (A版) 选修4-5 |author=俞求是; 章建跃; 田载今; 马波; 李世杰 |editor1=刘绍学 (主编) |editor2=钱珮玲 (副主编) |editor3=李龙才 (责任编辑) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 |edition=2 |isbn=978-7-107-18675-2 |section=第3讲“柯西不等式”第1节“二维形式的柯西不等式”和第2节“一般形式的柯西不等式” |pages=31-41 |language=zh-cn |year=2007}}</ref>：<br /> <math> \begin{array}{l} \forall a_i, b_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2, ..., n, \\ s.t. (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \end{array} </math><br /> 上述不等式中的等号当且仅当<math>\frac{a_i}{b_i} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}</math>时才严格成立。 中学数学书上常将其简称为柯西不等式。可以使用Euler连加号将其简记为<math>(\sum_{i=1}^n\limits a_i^2) (\sum_{i=1}^n\limits b_i^2) \ge (\sum_{i=1}^n\limits a_i b_i)^2</math>。 </font> </blockquote> === 无特殊条件约束的简单应用 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 求<math>(a^2 + b^2 + c^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} + \frac{9}{c^2})</math>的最小值。 <!-- 本小节例题1的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} + \frac{9}{c^2}) = (a^2 + b^2 + c^2)((\frac 1 a)^2 + (\frac 2 b)^2 + (\frac 3 c)^2) \\ \ge (a \cdot \frac 1 a + b \cdot \frac 2 b + c \cdot \frac 3 c)^2 = (1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>a : \frac 1 a = b : \frac 2 b = c : \frac 3 c</math>（即<math>a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}</math>）时成立。<br /> 故当<math>a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}</math>时，原式取得最大值36。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：36。</p> </div> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设<math>a, b, c > 0</math>，求<math>(a + b + c)(\frac 1 a + \frac 4 b + \frac 1 c)</math>的最小值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 设<math>a, b, c > 0</math>，求<math>(a + b^2 + c^3)(\frac 8 a + \frac{4}{b^2} + \frac{2}{c^3})</math>的最小值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 求<math>(a^2 + b^{-2} + 2)(b^2 + a^{-2} + 2)</math>的最小值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>0 < x < \frac 1 2</math>，求函数<math>f(x) = \frac 2 x + \frac{9}{1 - 2x}</math>的最小值。 <!-- 本小节例题5的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 因为有<math>0 < x < \frac 1 2</math>，由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} f(x) = (\frac 2 x + \frac{9}{1-2x}) \times 1 = (\frac{4}{2x} + \frac{9}{1-2x}) ((2x) + (1-2x)) \\ = ((\frac{2}{\sqrt{2x}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{1 - 2x}})^2) ((\sqrt{2x})^2 + (\sqrt{1-2x})^2) \\ \ge (\frac{2}{\sqrt{2x}} \cdot \sqrt{2x} + \frac{3}{\sqrt{1 - 2x}} \cdot \sqrt{1-2x})^2 \\ = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{2}{\sqrt{2x}} : \sqrt{2x} = \frac{3}{\sqrt{1 - 2x}} : \sqrt{1-2x}</math>（即<math>x = \frac 1 5 \in (0, \frac 1 2)</math>）时成立。<br /> 故当<math>x = \frac 1 5</math>时，函数取得最大值<math>25</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：25。</p> </div> <!-- 本小节例题6 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 求函数<math>f(x) = 5 \sqrt{x - 1} + \sqrt{10 - 2x}</math>的最大值。 <!-- 本小节例题6的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 首先，题中函数的定义域必须满足以下条件：<br /> <math> \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{array} \right. </math><br /> 解得函数的定义域为[1, 5]，且<math>f(x) \ge 0</math>。 再由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (f(x))^2 = (5 \times \sqrt{x - 1} + \sqrt{2} \times \sqrt{5 - x})^2 \\ \le (5^2 + (\sqrt{2})^2) ((\sqrt{x - 1})^2 + (\sqrt{5 - x})^2) = 27 ((x - 1) + (5 - x)) = 27 \times 4 = 108 \\ \Rightarrow f(x) \le \sqrt{108} = 6 \sqrt{3} \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>x = \frac{127}{27} \in [1, 5]</math>时成立。<br /> 故当<math>x = \frac{127}{27}</math>时，<math>f(x)</math>取得最大值<math>6 \sqrt{3}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>6 \sqrt{3}</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题7 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 求证：<math>(a^4 + b^4) (a^2 + b^2) \ge (a^3 + b^3)^2</math>。 <!-- 本小节例题8 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题8： 设<math>m, n > 0</math>，求证：<math>\frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n} \ge \frac{(a + b)^2}{m + n}</math>。 <!-- 本小节例题8的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 因为<math>m, n > 0</math>，所以<math>m = (\sqrt{m})^2, n = (\sqrt{n})^2</math>。<br /> <math> \begin{array}{l} \frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n} \ge \frac{(a + b)^2}{m + n} \\ \Leftrightarrow (\frac{a^2}{m} + \frac{b^2}{n}) (m + n) \ge (a + b)^2 \\ \Leftrightarrow ((\frac{a}{\sqrt{m}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{n}})^2) ((\sqrt{m})^2 + (\sqrt{n})^2) \ge (\frac{a}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{m} + \frac{b}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n})^2 \end{array} </math><br /> 由柯西不等式可知上式显然成立，且等号成立的条件为<math>\frac{a}{\sqrt{m}} : \sqrt{m} = \frac{b}{\sqrt{n}} : \sqrt{n}</math>（即<math>\frac a m = \frac b n</math>）。<br /> 证明完毕。 </p> </div> === 比较直接的条件代换 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 1</math>，求证：<math>a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac 1 3</math>。 <!-- 本小节例题1的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 根据柯西不等式并代入已知条件<math>a + b + c = 1</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a + b + c)^2 = 1 \\ \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac 1 3 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>a = b = c = \frac 1 3</math>时成立。证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 7</math>，求证：<math>a^2 + 4b^2 + 9c^2 \ge 36</math>。 <!-- 本小节例题2的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + 4b^2 + 9c^2)(1 + \frac 1 4 + \frac 1 9) \\ = (a^2 + (2b)^2 + (3c)^2)(1^2 + (\frac 1 2)^2 + (\frac 1 3)^2) \\ \ge (a \times 1 + 2b \times \frac 1 2 + 3c \times \frac 1 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + 4b^2 + 9c^2) \times \frac{49}{36} \ge (a + b + c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 1 = \frac{2b}{\frac 1 2} = \frac{3c}{\frac 1 3}</math>（即<math>a = \frac{36}{7}, b = \frac 9 7, c = \frac 4 7</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + b + c = 7</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} \frac{49}{36}(a^2 + 4b^2 + 9c^2) \ge 7^2 = 49 \\ \Rightarrow a^2 + 4b^2 + 9c^2 \ge 49 \times \frac{36}{49} = 36 \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 6</math>，求证：<math>a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{18}{7}</math>。 <!-- 本小节例题3的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + b^2 + c^2)(1 + 4 + 9) \\ = (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 2^2 + 3^2) \\ \ge (a \times 1 + b \times 2 + c \times 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + b^2 + c^2) \times 14 \ge (a + 2b + 3c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 1 = \frac b 2 = \frac c 3</math>（即<math>a = \frac 3 7, b = \frac 6 7, c = \frac 9 7</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + 2b + 3c = 6</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 14(a^2 + b^2 + c^2) \ge 6^2 = 36 \\ \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{18}{7} \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 6</math>，求证：<math>a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 6</math>。 <!-- 本小节例题4的解答 --> <div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>证明：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + 2b^2 + 3c^2)(1 + 2 + 3) \\ = (a^2 + (\sqrt{2}b)^2 + (\sqrt{3}c)^2)((\sqrt{1})^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2) \\ \ge (a \times \sqrt{1} + (\sqrt{2}b) \times \sqrt{2} + (\sqrt{3}c) \times \sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow (a^2 + 2b^2 + 3c^2) \times 6 \ge (a + 2b + 3c)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{a}{1} = \frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}}</math>（即<math>a = b = c = 1</math>）时成立。<br /> 代入已知条件<math>a + 2b + 3c = 6</math>，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 6(a^2 + 2b^2 + 3c^2) \ge 6^2 \\ \Rightarrow a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge 6 \end{array} </math><br /> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>a, b, c > 0, \frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4} = 1</math>，求<math>a + b + c</math>的最大值和最小值。 <!-- 本小节例题5的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) (4^2 + (\sqrt{5})^2 + 2^2) \ge (\frac{a-1}{4} \times 4 + \frac{b+2}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5} + \frac{c-3}{2} \times 2)^2 \\ \Rightarrow (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) (16 + 5 + 4) \ge ((a - 1) + (b + 2) + (c - 3))^2 \\ \Rightarrow (\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4}) \times 25 \ge ((a + b + c) - 1 + 2 - 3)^2 = ((a + b + c) - 2)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac{a-1}{16} = \frac{b+2}{5} = \frac{c-3}{4}</math>时成立。<br /> 将已知条件<math>\frac{(a-1)^2}{16} + \frac{(b+2)^2}{5} + \frac{(c-3)^2}{4} = 1</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 1 \times 25 \ge ((a + b + c) - 2)^2 \\ \Rightarrow -5 \le (a + b + c) - 2 \le 5 \\ \Rightarrow -3 \le (a + b + c) \le 7 \end{array} </math><br /> 故原式的最小值为-3，最大值为7。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：最小值为-3，最大值为7。</p> </div> <!-- 本小节例题6 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 设<math>x, y, z \in \mathbb{R}, x^2 + y^2 + z^2 = 4</math>，求<math>x - 2y + 2z</math>的最小值。 <!-- 本小节例题6的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (x^2 + y^2 + z^2) (1^2 + (-2)^2 + 2^2) \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) (1 + 4 + 4) \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) \times 9 \ge (x - 2y + 2z)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac x 1 = \frac{y}{-2} = \frac z 2</math>（即<math>a = \pm \frac 2 3, b = \mp \frac 4 3, c = \pm \frac 4 3</math>）时成立。<br /> 将已知条件<math>x^2 + y^2 + z^2 = 4</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} 4 \times 9 \ge (x - 2y + 2z)^2 \\ \Rightarrow (x - 2y + 2z)^2 \le 36 = 6^2 \\ \Rightarrow -6 \le (x - 2y + 2z)^2 \le 6 \end{array} </math><br /> 故当且仅当<math>a = - \frac 2 3, b = \frac 4 3, c = - \frac 4 3</math>，原式取到最小值-6。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：-6。</p> </div> <!-- 本小节例题7 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 设<math>a, b, c \in \mathbb{R}, 2a - 3b + c = 3</math>，求<math>a^2 + (b-1)^2 + c^2</math>的最小值。 <!-- 本小节例题7的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + (b-1)^2 + c^2) (2^2 + (-3)^2 + 1^2) \ge (2a - 3(b-1) + c)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) (4 + 9 + 1) \ge (2a - 3(b-1) + c)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \times 14 \ge ((2a - 3b + c) + 3)^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>\frac a 2 = \frac{b-1}{-3} = \frac c 1</math>（即<math>a = \frac 6 7, b = - \frac 2 7, c = \frac 3 7</math>）时成立。<br /> 将已知条件<math>2a - 3b + c = 3</math>代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \times 14 \ge (3 + 3)^2 \\ \Rightarrow (a^2 + (b-1)^2 + c^2) \ge \frac{36}{14} = \frac{18}{7} \end{array} </math><br /> 所以当且仅当<math>a = \frac 6 7, b = - \frac 2 7, c = \frac 3 7</math>时，原式取到最小值<math>\frac{18}{7}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>\frac{18}{7}</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题8 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | 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/> 证明完毕。 </p> </div> <!-- 本小节例题10 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题10： 设<math>2a + 3b + 5c = 29</math>，求<math>\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6}</math>的最大值。 <!-- 本小节例题10的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> 由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} ((\sqrt{2a + 1})^2 + (\sqrt{3b + 4})^2 + (\sqrt{5c + 6})^2) (1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow ((2a + 1) + (3b + 4) + (5c + 6)) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow ((2a + 3b + 5c) + 11) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>2a + 1 = 3b + 4 = 5c + 6</math>（即<math>a = \frac{37}{6}, b = \frac{28}{9}, c = \frac{22}{15}</math>）时成立。<br /> 将已知条件$2a + 3b + 5c = 29$代入上式，可得：<br /> <math> \begin{array}{l} (29 + 11) \times 3 \ge (\sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6})^2 \\ \Rightarrow \sqrt{2a + 1} + \sqrt{3b + 4} + \sqrt{5c + 6} \le \sqrt{(29 + 11) \times 3} = \sqrt{120} = 2 \sqrt{30} \end{array} </math><br /> 所以当且仅当<math>a = \frac{37}{6}, b = \frac{28}{9}, c = \frac{22}{15}</math>时，原式取到最大值<math>2 \sqrt{30}</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>2 \sqrt{30}</math>。</p> </div> == 常用结论与常见模型 == === 项的拼凑与形式的转化 === === 需要分开应用或多次应用柯西不等式的问题 === === 可能需要同时结合平均值不等式的问题 === === 涉及三角形的问题 === === 数形结合问题 === == 补充习题 == [[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] * 已知<math>a, b, c > 0</math>，请分别使用平均值不等式和柯西不等式证明：<math>a + b + c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}</math>。 * 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 1</math>，求<math>a^2 + b^2 + c^2</math>的最小值。 * 设<math>a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 = 10</math>，求<math>3a + b</math>的最大值和最小值。 * 已知<math>a, b \in \mathbb{R}, 3x^2 + 2y^2 \le 6</math>，求<math>2x + y</math>的最大值和最小值。 * 设<math>a, b, c > 0, a + b + c = 9</math>，求<math>\frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}</math>的最小值。 :（答案：9。） * 设<math>a, b, c > 0, a + 2b + 3c = 2</math>，求<math>\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}</math>的最小值。 :（答案：18。） * 设<math>a, b, c > 0</math>，求证：<math>\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} \ge \frac{9}{a + b + c}</math>。<br /> :（提示：<math>2(a + b + c) = (a + b) + (b + c) + (c + a)</math>。） * 已知函数<math>f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2} \quad (-1 < x < 1, x \neq 0)</math>。<br /> :(1)求<math>f(x)</math>的最小值。<br /> :(2)若<math>|t + 1| \le f(x)</math>恒成立，求t的取值范围。 <div class="collapsible answer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>解答：<br /> (1)首先由柯西不等式可知：<br /> <math> \begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2} = (\frac{1}{x^2} + \frac{4}{1 - x^2}) (x^2 + (1 - x^2)) \\ \ge (1 + 2)^2 = 9 \\ \Rightarrow f(x) \ge 9 \end{array} </math><br /> 上式中的等号当且仅当<math>x^2 = \frac 1 3</math>时成立。<br /> 所以<math>f(x)</math>的最小值是9。<br /> (2) 因为<math>f(x) \ge 9</math>，所以要使<math>|t + 1| \le f(x)</math>恒成立，只需要使<math>|t + 1|</math>不超过<math>f(x)</math>的最小值即可。<br /> <math> \begin{array}{l} |t + 1| \le min\{f(x)\} = 9 \\ \Rightarrow -9 \le |t + 1| \le 9 \end{array} </math><br /> 所以t的取值范围是[-10, 8]。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border:thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：(1)9；(2)[-10, 8]。</p> </div> == 参考资料 == {{Reflist}} == 外部链接 == {{Wikipedia|柯西-施瓦茨不等式}} {{DEFAULTSORT: Cauchy–Schwarz inequality}} [[category:不等式]] [[category:高中数学]] l0cboszh23g8f3p0fi1329ylj7vxk46 0 33651 181633 180653 2025-07-10T08:03:35Z P1ayer 1197 181633 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" |- ! style="width:20%"|營養種類 ! style="width:40%"|缺少時 ! style="width:40%"|過多時 |- |- |水 | *{{w|脫水}} | *{{w|水腫}} |- |{{w|醣類}}（糖、澱粉） | *{{w|低血糖}} | *高血糖 *{{w|糖尿病}} |- |{{w|蛋白質}}（胺基酸） | | |- |{{w|脂質}}（脂肪酸、食用油、脂肪） | | *肥胖 *心血管疾病 |- |{{w|維生素A}}（視黃醇、視黃醛、類胡蘿蔔素、β-胡蘿蔔素） | *夜盲症 *乾眼症 *保護身體上皮黏膜 *視神經萎縮和角膜軟化症 | *維生素A過多症 |- |{{w|維生素B1}}（硫胺素） | *腳氣病 *神經炎 *魏尼凱氏失語症 | |- |{{w|維生素B2}}（核黃素） | *口腔潰瘍 *皮炎 *口角炎 *角膜炎 *舌炎、脂溢性皮炎、口腔炎等 | |- |{{w|維生素B3}}（菸鹼酸、菸鹼醯胺） | *糙皮病 *失眠 *口腔潰瘍 *癩皮病等 | |- |{{w|維生素B5}}（泛酸） | *感覺異常 *肌肉痙攣 *過敏性濕疹 | |- |{{w|維生素B6}}（吡哆醇、吡哆醛、吡哆胺） | *貧血 | *肌肉運動知覺損傷、神經系統受損 |- |{{w|維生素B7}}（生物素） | *皮膚炎、腸炎 | |- |{{w|維生素B9}}（葉酸） | *巨母紅血球性貧血（症狀包括疲勞、心悸、呼吸困難、舌頭上的瘡，以及皮膚或髮色的變化） | |- |{{w|維生素B12}}（鈷胺素、羥基鈷胺、甲基鈷胺） | *巨幼細胞性貧血 *惡性貧血 |- |{{w|維生素C}}（抗壞血酸） | *壞血病 | |- |{{w|維生素D}}（膽利鈣素） | *佝僂病和骨質軟化病（佝僂病） | *維生素D過多症 |- |{{w|維生素E}}（生育酚、三雙鍵生育酚） | *維生素E缺乏非常少見；然而，新生嬰兒缺乏此維生素會罹患溶血性貧血；不育症, 習慣性流產 | |- |維生素K（維生素K1-葉綠醌，維生素K2-甲萘醌） | *出血傾向、凝血酶缺乏，不易止血 | |- |鈉 | *{{w|低血鈉症}} | *{{w|高鈉血症}} |- |鈣|| *{{w|低鈣血症}} | *{{w|高血鈣}} |- |鉀|| *{{w|低鉀血症}} | *{{w|高鉀血症}} |- |磷 | | |- |鎂 | *{{w|低血鎂症}} | |- |} ==相關== *{{w|營養}} *{{w|維生素}} *{{w|礦物質}} ==外部連結== *[https://consumer.fda.gov.tw/Food/TFND.aspx?nodeID=178 台灣地區食品營養成分資料庫 - 食品營養成分資料庫 - 食品 - 業務專區 - 衛生福利部食品藥物管理署] *[https://www.cfs.gov.hk/tc_chi/nutrient/searchmenu.php 營養資料查詢 - 香港食物安全中心] [[Category:饮食]] r86g9iiu6bisj5qxsh8pc64ei3bbriz 181634 181633 2025-07-10T08:07:18Z P1ayer 1197 181634 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" |- ! style="width:20%"|營養種類 ! style="width:40%"|缺少時 ! style="width:40%"|過多時 |- |- |水 | *{{w|脫水}} | *{{w|水腫}} *{{w|水中毒 |- |{{w|醣類}}（糖、澱粉） | *{{w|低血糖}} | *高血糖 *{{w|糖尿病}} |- |{{w|蛋白質}}（胺基酸） | | |- |{{w|脂質}}（脂肪酸、食用油、脂肪） | | *{{w|肥胖症}} *心血管疾病 |- |{{w|維生素A}}（視黃醇、視黃醛、類胡蘿蔔素、β-胡蘿蔔素） | *夜盲症 *乾眼症 *保護身體上皮黏膜 *視神經萎縮和角膜軟化症 | *維生素A過多症 |- |{{w|維生素B1}}（硫胺素） | *腳氣病 *神經炎 *魏尼凱氏失語症 | |- |{{w|維生素B2}}（核黃素） | *口腔潰瘍 *皮炎 *口角炎 *角膜炎 *舌炎、脂溢性皮炎、口腔炎等 | |- |{{w|維生素B3}}（菸鹼酸、菸鹼醯胺） | *糙皮病 *失眠 *口腔潰瘍 *癩皮病等 | |- |{{w|維生素B5}}（泛酸） | *感覺異常 *肌肉痙攣 *過敏性濕疹 | |- |{{w|維生素B6}}（吡哆醇、吡哆醛、吡哆胺） | *貧血 | *肌肉運動知覺損傷、神經系統受損 |- |{{w|維生素B7}}（生物素） | *皮膚炎、腸炎 | |- 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*巨幼細胞性貧血 *惡性貧血 |- |{{w|維生素C}}（抗壞血酸） | *壞血病 | |- |{{w|維生素D}}（膽利鈣素） | *佝僂病和骨質軟化病（佝僂病） | *維生素D過多症 |- |{{w|維生素E}}（生育酚、三雙鍵生育酚） | *維生素E缺乏非常少見；然而，新生嬰兒缺乏此維生素會罹患溶血性貧血；不育症, 習慣性流產 | |- |維生素K（維生素K1-葉綠醌，維生素K2-甲萘醌） | *出血傾向、凝血酶缺乏，不易止血 | |- |鈉 | *{{w|低血鈉症}} | *{{w|高鈉血症}} |- |鈣|| *{{w|低鈣血症}} | *{{w|高血鈣}} |- |鉀|| *{{w|低鉀血症}} | *{{w|高鉀血症}} |- |磷 | | |- |鎂 | *{{w|低血鎂症}} | |- |} ==相關== *{{w|營養}} *{{w|維生素}} *{{w|礦物質}} ==外部連結== *[https://consumer.fda.gov.tw/Food/TFND.aspx?nodeID=178 台灣地區食品營養成分資料庫 - 食品營養成分資料庫 - 食品 - 業務專區 - 衛生福利部食品藥物管理署] *[https://www.cfs.gov.hk/tc_chi/nutrient/searchmenu.php 營養資料查詢 - 香港食物安全中心] [[Category:饮食]] glbfdkcg143f7n0almf2lan3i5q4of9 181636 181635 2025-07-10T10:24:49Z P1ayer 1197 內容擴充 181636 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" |- ! style="width:20%"|營養種類 ! style="width:40%"|缺少時 ! style="width:40%"|過多時 |- |- |水 | *{{w|脫水}} | *{{w|水腫}} *{{w|水中毒}} |- |{{w|醣類}}（糖、澱粉） | *{{w|低血糖}} | *高血糖 *{{w|糖尿病}} |- |{{w|蛋白質}}（胺基酸） | ;神經與情緒相關 *情緒低落、憂鬱、失眠：蛋白質是神經傳導物質（如血清素、多巴胺）的原料，缺乏時容易影響情緒與睡眠品質。 *反應遲鈍、注意力不集中：腦部功能受影響，可能出現思考遲緩或判斷力下降。 ;肌肉與骨骼系統 *肌少症、肌肉萎縮：身體會分解肌肉以補充蛋白質，導致肌肉量下降、無力。 *骨骼脆弱、易骨折：蛋白質參與骨骼新陳代謝，缺乏時骨質密度下降。 ;血液與循環系統 *貧血：蛋白質不足會影響紅血球生成，導致貧血與頭暈。 *低血壓、心跳過慢：血液中蛋白質濃度下降，可能引起循環功能異常。 ;免疫系統 *免疫力下降、易感染：抗體與免疫細胞由蛋白質構成，缺乏時抵抗力減弱。 *傷口癒合變慢：蛋白質是修復組織的關鍵原料。 ;水分與代謝調節 *水腫：血液中白蛋白不足，導致組織液滲透壓失衡，引發水腫。 *肝功能異常、腹水：肝臟合成蛋白質的能力受限，可能導致脂肪肝或腹水。 ;外觀變化 *頭髮乾枯、脫落：角蛋白不足使髮質變差。 *皮膚粗糙、指甲脆弱：膠原蛋白與彈性蛋白減少，影響皮膚與指甲健康。 | ;腎臟與肝臟負擔加重 *腎功能惡化：蛋白質代謝會產生含氮廢物（如尿素氮），過量攝取會加重腎臟排毒負擔，特別是對腎功能不佳者。 *肝臟代謝壓力：蛋白質代謝過程中會產生氨，需由肝臟轉化為尿素，過量可能導致肝功能下降。 ;脫水與電解質失衡 *脫水症狀：排除蛋白質代謝廢物需大量水分，可能導致身體脫水與電解質流失。 *頭暈、乏力：水分與電解質不足會影響血壓與神經傳導。 [腦部與情緒影響 *腦部功能下降：氨累積可能影響腦部，導致注意力不集中、疲倦或情緒低落。 *憂鬱與焦慮：高蛋白低碳水飲食可能抑制血清素生成，影響情緒穩定。 ;骨骼與代謝問題 *骨質疏鬆風險增加：高蛋白飲食可能導致尿鈣排出增加，影響骨骼健康。 *脂肪堆積：過剩蛋白質會透過糖質新生轉化為葡萄糖，進而儲存為脂肪。 ;發炎與加速老化 *慢性發炎：蛋白質過量會增加自由基與氧化壓力，可能抑制細胞修復系統，加速老化。 *基因穩定性下降：細胞資源傾向用於生長而非維護，可能導致基因轉錄錯誤。 ;其他症狀 *便秘與腸道不適：高蛋白飲食常伴隨纖維攝取不足，影響腸道蠕動。 *口氣異常（生酮呼吸）：蛋白質代謝產物可能導致口氣變差。 |- |{{w|脂質}}（脂肪酸、食用油、脂肪） | | *{{w|肥胖症}} *心血管疾病 |- |{{w|維生素A}}（視黃醇、視黃醛、類胡蘿蔔素、β-胡蘿蔔素） | *夜盲症 *乾眼症 *保護身體上皮黏膜 *視神經萎縮和角膜軟化症 | 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[[Category:饮食]] 38xdghraovddvv21cwy8bymoa8z366f 181637 181636 2025-07-10T10:45:03Z P1ayer 1197 181637 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" |- ! style="width:20%"|營養種類 ! style="width:40%"|缺少時 ! style="width:40%"|過多時 |- |- |水 | *{{w|脫水}} | *{{w|水腫}} *{{w|水中毒}} |- |{{w|醣類}}（糖、澱粉） | *{{w|低血糖}} | *高血糖 *{{w|糖尿病}} |- |{{w|蛋白質}}（胺基酸） | ;神經與情緒相關 *情緒低落、憂鬱、失眠：蛋白質是神經傳導物質（如血清素、多巴胺）的原料，缺乏時容易影響情緒與睡眠品質。 *反應遲鈍、注意力不集中：腦部功能受影響，可能出現思考遲緩或判斷力下降。 ;肌肉與骨骼系統 *肌少症、肌肉萎縮：身體會分解肌肉以補充蛋白質，導致肌肉量下降、無力。 *骨骼脆弱、易骨折：蛋白質參與骨骼新陳代謝，缺乏時骨質密度下降。 ;血液與循環系統 *貧血：蛋白質不足會影響紅血球生成，導致貧血與頭暈。 *低血壓、心跳過慢：血液中蛋白質濃度下降，可能引起循環功能異常。 ;免疫系統 *免疫力下降、易感染：抗體與免疫細胞由蛋白質構成，缺乏時抵抗力減弱。 *傷口癒合變慢：蛋白質是修復組織的關鍵原料。 ;水分與代謝調節 *水腫：血液中白蛋白不足，導致組織液滲透壓失衡，引發水腫。 *肝功能異常、腹水：肝臟合成蛋白質的能力受限，可能導致脂肪肝或腹水。 ;外觀變化 *頭髮乾枯、脫落：角蛋白不足使髮質變差。 *皮膚粗糙、指甲脆弱：膠原蛋白與彈性蛋白減少，影響皮膚與指甲健康。 | ;腎臟與肝臟負擔加重 *腎功能惡化：蛋白質代謝會產生含氮廢物（如尿素氮），過量攝取會加重腎臟排毒負擔，特別是對腎功能不佳者。 *肝臟代謝壓力：蛋白質代謝過程中會產生氨，需由肝臟轉化為尿素，過量可能導致肝功能下降。 ;脫水與電解質失衡 *脫水症狀：排除蛋白質代謝廢物需大量水分，可能導致身體脫水與電解質流失。 *頭暈、乏力：水分與電解質不足會影響血壓與神經傳導。 ;腦部與情緒影響 *腦部功能下降：氨累積可能影響腦部，導致注意力不集中、疲倦或情緒低落。 *憂鬱與焦慮：高蛋白低碳水飲食可能抑制血清素生成，影響情緒穩定。 ;骨骼與代謝問題 *骨質疏鬆風險增加：高蛋白飲食可能導致尿鈣排出增加，影響骨骼健康。 *脂肪堆積：過剩蛋白質會透過糖質新生轉化為葡萄糖，進而儲存為脂肪。 ;發炎與加速老化 *慢性發炎：蛋白質過量會增加自由基與氧化壓力，可能抑制細胞修復系統，加速老化。 *基因穩定性下降：細胞資源傾向用於生長而非維護，可能導致基因轉錄錯誤。 ;其他症狀 *便秘與腸道不適：高蛋白飲食常伴隨纖維攝取不足，影響腸道蠕動。 *口氣異常（生酮呼吸）：蛋白質代謝產物可能導致口氣變差。 |- |{{w|脂質}}（脂肪酸、食用油、脂肪） | | *{{w|肥胖症}} *心血管疾病 |- |{{w|維生素A}}（視黃醇、視黃醛、類胡蘿蔔素、β-胡蘿蔔素） | *夜盲症 *乾眼症 *保護身體上皮黏膜 *視神經萎縮和角膜軟化症 | *維生素A過多症 |- |{{w|維生素B1}}（硫胺素） | *腳氣病 *神經炎 *魏尼凱氏失語症 | |- |{{w|維生素B2}}（核黃素） | *口腔潰瘍 *皮炎 *口角炎 *角膜炎 *舌炎、脂溢性皮炎、口腔炎等 | |- |{{w|維生素B3}}（菸鹼酸、菸鹼醯胺） | *糙皮病 *失眠 *口腔潰瘍 *癩皮病等 | |- |{{w|維生素B5}}（泛酸） | *感覺異常 *肌肉痙攣 *過敏性濕疹 | |- |{{w|維生素B6}}（吡哆醇、吡哆醛、吡哆胺） | *貧血 | *肌肉運動知覺損傷、神經系統受損 |- |{{w|維生素B7}}（生物素） | *皮膚炎、腸炎 | |- |{{w|維生素B9}}（葉酸） | *巨母紅血球性貧血（症狀包括疲勞、心悸、呼吸困難、舌頭上的瘡，以及皮膚或髮色的變化） | |- |{{w|維生素B12}}（鈷胺素、羥基鈷胺、甲基鈷胺） | *巨幼細胞性貧血 *惡性貧血 |- |{{w|維生素C}}（抗壞血酸） | *壞血病 | |- |{{w|維生素D}}（膽利鈣素） | *佝僂病和骨質軟化病（佝僂病） | *維生素D過多症 |- |{{w|維生素E}}（生育酚、三雙鍵生育酚） | *維生素E缺乏非常少見；然而，新生嬰兒缺乏此維生素會罹患溶血性貧血；不育症, 習慣性流產 | |- 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Related to chầu (“to attend an audience; to attend upon (in design)”). (Nguyễn Văn Khang. Từ ngoại lai trong tiếng Việt, 2007) The similarity to Italian ciao, which also means both "hello" and "goodbye", is purely coincidental.</ref></span>…!「……好！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Xin chào…!</span>/吀嘲…!「……好！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">…Khỏe không?</span>/…快<ref>Non-Sino-Vietnamese reading of Chinese 快 (SV: khoái).</ref>康!「……身體好嗎？」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Chào…!</span>/嘲…!「……再見！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Xin tạm biệt…!</span>/吀暫別…!「……告辭！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Hẹn gặp lại!</span>/𠻷﨤{{僻字|𫣚|吏來}}<ref>From Proto-Vietic *laːjʔ, related to Chinese 來 (MC lʌi, “to come; to arrive”) (SV: lai); cognate with Arem lɐ̀ːjʔ.</ref>!「下次見！」 *<span style="font-family:'Sylfaen'">Vâng, tôi khỏe, còn chị?</span>「好，我身体好，你呢？」 === 基本句型/{{lang|vi|Kiêu câu cơ bản}}/{{lang|vi|-{矯句基本}-}} === # <span style="font-family:'Sylfaen'">Chào anh!</span>/嘲偀!「你好！」（对同辈男性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Chào chị!</span>/嘲姊!「你好！」（对同辈女性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Anh co khỏe không?</span>/偀固快康?「你身体好吗？」（对同辈男性） # <span style="font-family:'Sylfaen'">Vâng, tôi khoẻ, còn chị?</span>「好，我身体好，你呢？」（对同辈女性） o3xy9qk5amn4n05tgud43pvf0ugizhi