Wikibooks:互助客棧/topic list

Wikibooks zhwikibooks https://zh.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:%E9%A6%96%E9%A1%B5 MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Media Special Talk User User talk Wikibooks Wikibooks talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk Transwiki Transwiki talk Wikijunior Wikijunior talk Subject Subject talk TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk Wikibooks:互助客棧/topic list 4 32161 183813 183808 2026-04-16T21:43:23Z Cewbot 42738 [[User:Cewbot/log/20170915/configuration|生成議題列表：16個議題]] 183813 wikitext text/x-wiki  {| class="wikitable sortable mw-collapsible" style="float:left;" |- ! data-sort-type="number" style="font-weight: normal;" | # !! 💭 話題 !! 💬 !! 👥 !! 🙋 最新發言 !! data-sort-type="isoDate" | 🕒 (UTC+8) |- | style="text-align: right;" | 1 | [[:Wikibooks:互助客棧#再谈改名建议|再谈改名建议]] | style="text-align: right;background-color: #ffe;" | 40 | style="text-align: right;" | 19 | style="background-color: #bbb;" | 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To customize this message or add categories, create [[/top]].}} 以下是缓存的数据，最后更新于2026-04-16T23:48:12Z。缓存中最多有{{PLURAL:5000|5000条结果}}。 {| class="sortable wikitable" ! 小工具 !! data-sort-type="number" | 用户人数 !! data-sort-type="number" | 活跃用户 |- |Blackskin || 15 || 0 |- |Cat-a-lot || 51 || 4 |- |Edittools-VFD || 59 || 2 |- |Edittools-ZHC || 79 || 2 |- |Edittools-admin || 33 || 0 |- |Edittools-cite || 88 || 2 |- |Edittools-default || 64 || 1 |- |Edittools-plus || 136 || 3 |- |Edittools-user || 44 || 0 |- |HotCat || 126 || 4 |- |Navigation popups || 106 || 4 |- |PreviewWithVariant || 36 || 3 |- |UTCLiveClock || 100 || 3 |- |blinktalk || 35 || 0 |- |contribsrange || 59 || 3 |- |easy-archive || 23 || 2 |- |edit0 || 105 || 4 |- |hantsect || 55 || 0 |- |internalLinkHelper-cravix || 3 || 0 |- |internalLinkHelper-external || 3 || 0 |- |internalLinkHelper-ilbluehl || 8 || 0 |- |internalLinkHelper-redonly || 2 || 0 |- |internalLinkHelper-redplain || 4 || 0 |- |internalLinkHelper-redtipsy || 5 || 1 |- 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當您沒有感興趣的教科書時，不妨點擊主菜單中的「隨機頁面」（或是[[Special:Random|按此]]），您會被隨機帶到一本教科書。 == 閱讀教科書 == 找到一本教科書後，您就可以開始閱讀了。 === 子頁面 === 4duqbth1z82vh0glc9rmd8aa2s7aj0j 183816 183815 2026-04-17T07:02:38Z 谪仙 67956 183816 wikitext text/x-wiki 目前，維基教科書已有{{<includeonly>subst:</includeonly>NUMBEROFARTICLES}}頁教科書及手冊。本頁面旨在幫助您閱讀維基教科書。 == 訪問維基教科書 == 要訪問中文維基教科書，只需使用搜索引擎搜索https://zh.wikibooks.org或是「維基教科書」，亦或是通過其他的中文維基媒體姊妹項目（例如維基百科）的首頁鏈接至維基教科書。若您身處封鎖了維基媒體專案的地區，需要透過技術手段繞過網絡審查設施的封鎖，請見[[:zh:Wikipedia:Help:如何访问维基百科|此處]]。 == 查找教科書 == 在您開始閱讀內容前，您需要先找到一本教科書。以下是查找教科書的幾種方式： === 首頁 === 在[[Wikibooks:首页|首頁]]，優良讀本、精選讀本和維基儿童等欄目列有各主題的教科書，您可以就感興趣的教科書開始閱讀。 === 圖書館 === 除了首頁各欄目，您還可以訪問[[Subject:索引|圖書館]]。圖書館已將各類教科書分類到各個書架，在此您能方便快捷的找到心儀的教科書。 === 搜索 === 您可以在頁面上方的搜尋框中進行搜索。詳見[[Help:搜索]]。 === 隨機頁面 === 當您沒有感興趣的教科書時，不妨點擊主菜單中的「隨機頁面」（或是[[Special:Random|按此]]），您會被隨機帶到一本教科書。 == 閱讀教科書 == 找到一本教科書後，您就可以開始閱讀了。 === 子頁面 === ddik8ez6bhnnq8e1jgutg2x9e9kc262 183817 183816 2026-04-17T07:03:06Z 谪仙 67956 183817 wikitext text/x-wiki 目前，維基教科書已有{{<includeonly>subst:</includeonly>NUMBEROFARTICLES}}頁教科書及手冊。本頁面旨在幫助您閱讀維基教科書。 == 訪問維基教科書 == 要訪問中文維基教科書，只需使用搜索引擎搜索https://zh.wikibooks.org或是「維基教科書」，亦或是通過其他的中文維基媒體姊妹項目（例如維基百科）的首頁鏈接至維基教科書。若您身處封鎖了維基媒體專案的地區，需要透過技術手段繞過網絡審查設施的封鎖，請見[[:zh:Wikipedia:Help:如何访问维基百科]]。 == 查找教科書 == 在您開始閱讀內容前，您需要先找到一本教科書。以下是查找教科書的幾種方式： === 首頁 === 在[[Wikibooks:首页|首頁]]，優良讀本、精選讀本和維基儿童等欄目列有各主題的教科書，您可以就感興趣的教科書開始閱讀。 === 圖書館 === 除了首頁各欄目，您還可以訪問[[Subject:索引|圖書館]]。圖書館已將各類教科書分類到各個書架，在此您能方便快捷的找到心儀的教科書。 === 搜索 === 您可以在頁面上方的搜尋框中進行搜索。詳見[[Help:搜索]]。 === 隨機頁面 === 當您沒有感興趣的教科書時，不妨點擊主菜單中的「隨機頁面」（或是[[Special:Random|按此]]），您會被隨機帶到一本教科書。 == 閱讀教科書 == 找到一本教科書後，您就可以開始閱讀了。 === 子頁面 === esr3ibqdaa9qfm9fp6rqs1d98tpovgr 流体力学/層流管道流（Poiseuille流） 0 34183 183814 2026-04-16T22:27:42Z Harpernew 68570 创建页面，内容为“本文将推导层流管道流（即 Poiseuille 流）的速度分布与流量公式。推导过程将从 Navier-Stokes 方程出发，结合圆柱坐标系与边界条件，逐步得出抛物线速度剖面及 Hagen-Poiseuille 定律。为使读者直观理解，数学推导将与物理图像相对应。 == Poiseuille 流是什么 == Image:Poiseuille_flow_profile.svg|right|frame|圆管内层流的抛物线速度剖面示意图。管壁处速度为零（无…” 183814 wikitext text/x-wiki 本文将推导层流管道流（即 Poiseuille 流）的速度分布与流量公式。推导过程将从 Navier-Stokes 方程出发，结合圆柱坐标系与边界条件，逐步得出抛物线速度剖面及 Hagen-Poiseuille 定律。为使读者直观理解，数学推导将与物理图像相对应。 == Poiseuille 流是什么 == [[Image:Poiseuille_flow_profile.svg|right|frame|圆管内层流的抛物线速度剖面示意图。管壁处速度为零（无滑移条件），管轴处速度最大。]] '''Poiseuille 流'''（又称 Hagen-Poiseuille 流）描述的是不可压缩黏性流体在圆截面直管内的稳态层流。其本质是压力梯度驱动下，流体以同轴圆柱层的形式滑动，各层之间通过黏性力传递动量。该流动模型有三个核心假设： * '''稳态流动'''：所有物理量不随时间变化，即 <math>\partial/\partial t = 0</math>。 * '''不可压缩流体'''：密度 <math>\rho</math> 为常数，连续性方程退化为 <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math>。 * '''压力与黏性力主导'''：忽略重力及其他体积力，流动仅由轴向压力梯度驱动。许多实际问题都可以用 Poiseuille 流近似描述。例如，血液在毛细血管中的流动、润滑油在轴承间隙中的流动，以及微流控芯片中的液体输运，都在一定条件下满足上述假设。 == 控制方程 == === Navier-Stokes 方程 === 不可压缩流体的 Navier-Stokes 方程为： <math>\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{F}</math> 其中 <math>\mu</math> 为动力黏度，<math>p</math> 为压强，<math>\mathbf{F}</math> 为体积力。在稳态、无体积力的假设下，左端时间导数与体积力项均为零，方程化简为： <math>\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}</math> === 圆柱坐标下的化简 === 取圆柱坐标系 <math>(r, \theta, z)</math>，其中 <math>z</math> 轴沿管道轴线方向。由圆柱对称性，所有物理量与 <math>\theta</math> 无关；由层流假设，速度仅有轴向分量 <math>u_z = u(r)</math>，且与 <math>z</math> 无关。连续性方程 <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math> 自动满足。对流项 <math>(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}</math> 亦为零。 <math>z</math> 方向动量方程化简为： <math>\frac{dp}{dz} = \mu \left(\frac{d^2 u}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{du}{dr}\right)</math> 即： <math>\frac{dp}{dz} = \frac{\mu}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right)</math> 注意左端仅为 <math>z</math> 的函数，右端仅为 <math>r</math> 的函数，因此两端均为常数，记压力梯度为： <math>\frac{dp}{dz} = -G \quad (G > 0)</math> == 速度剖面推导 == === 积分求解 === 对方程 <math>\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right) = -\frac{G}{\mu}</math> 两端乘以 <math>r</math> 并积分一次： <math>r\frac{du}{dr} = -\frac{G}{2\mu}r^2 + C_1</math> 再除以 <math>r</math> 并积分： <math>u(r) = -\frac{G}{4\mu}r^2 + C_1 \ln r + C_2</math> === 边界条件 === 应用两个边界条件： * '''有界性'''：在管轴 <math>r = 0</math> 处速度有限，故 <math>C_1 = 0</math>（因 <math>\ln 0 \to -\infty</math>）。 * '''无滑移条件'''：在管壁 <math>r = R</math> 处，<math>u(R) = 0</math>，故 <math>C_2 = \frac{G}{4\mu}R^2</math>。代入得速度剖面： <math>u(r) = \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2)</math> 这是一个以管轴为顶点的'''抛物线'''，管轴处速度最大： <math>u_{\max} = u(0) = \frac{GR^2}{4\mu}</math> == Hagen-Poiseuille 定律 == === 体积流量 === 对速度剖面在截面上积分，得体积流量： <math>Q = \int_0^R u(r) \cdot 2\pi r \, dr</math> <math>Q = \int_0^R \frac{G}{4\mu}(R^2 - r^2) \cdot 2\pi r \, dr</math> <math>Q = \frac{\pi G}{2\mu}\int_0^R (R^2 r - r^3)\,dr</math> <math>Q = \frac{\pi G}{2\mu}\left[\frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^R</math> <math>Q = \frac{\pi G}{2\mu} \cdot \frac{R^4}{4}</math> <math>Q = \frac{\pi R^4 G}{8\mu}</math> 以压差 <math>\Delta p = G \cdot L</math>（<math>L</math> 为管长）表示，即得 '''Hagen-Poiseuille 定律'''： <math>Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\mu L}</math> 这一结果表明，流量与管径四次方成正比——管径减半，流量降至原来的 <math>1/16</math>。 === 平均速度 === 截面平均速度为： <math>\bar{u} = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{R^2 G}{8\mu} = \frac{u_{\max}}{2}</math> 即平均速度恰好是最大速度的一半，这是抛物线剖面的几何特征。 == 适用范围与雷诺数 == Poiseuille 流仅在层流条件下成立。衡量流态的无量纲数为'''雷诺数'''： <math>Re = \frac{\rho \bar{u} D}{\mu}</math> 其中 <math>D = 2R</math> 为管径。实验表明： * <math>Re < 2300</math>：层流，Poiseuille 流成立。 * <math>Re > 4000</math>：湍流，速度剖面变为较平坦的幂律形式。 * <math>2300 < Re < 4000</math>：过渡区，流态不稳定。 == 例题 == === 一 === 水（<math>\mu = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}</math>）在半径 <math>R = 1\ \mathrm{mm}</math>、长度 <math>L = 0.1\ \mathrm{m}</math> 的细管中流动，两端压差 <math>\Delta p = 10\ \mathrm{Pa}</math>，求体积流量。 <math>Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\mu L}</math> <math>Q = \frac{\pi \times (10^{-3})^4 \times 10}{8 \times 10^{-3} \times 0.1}</math> <math>Q = \frac{\pi \times 10^{-12} \times 10}{8 \times 10^{-4}}</math> <math>Q \approx 3.93 \times 10^{-8}\ \mathrm{m^3/s}</math> === 二 === 同一管道，若管径减半（<math>R' = 0.5\ \mathrm{mm}</math>），其余条件不变，流量变为多少？ <math>\frac{Q'}{Q} = \left(\frac{R'}{R}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}</math> <math>Q' = \frac{Q}{16} \approx 2.45 \times 10^{-9}\ \mathrm{m^3/s}</math> === 三 === 已知某管道中流体的最大速度 <math>u_{\max} = 0.4\ \mathrm{m/s}</math>，求截面平均速度及 <math>r = R/2</math> 处的局部速度。平均速度： <math>\bar{u} = \frac{u_{\max}}{2} = 0.2\ \mathrm{m/s}</math> <math>r = R/2</math> 处： <math>u\!\left(\frac{R}{2}\right) = \frac{G}{4\mu}\!\left(R^2 - \frac{R^2}{4}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{GR^2}{4\mu} = \frac{3}{4}u_{\max} = 0.3\ \mathrm{m/s}</math> == 习题 == # 推导环形截面管道（内径 <math>R_1</math>，外径 <math>R_2</math>）中 Poiseuille 流的速度剖面与流量公式。 # 若流体黏度随温度升高而降低，定性分析在相同压差下流量将如何变化？ # 验证：对于抛物线速度剖面，截面上的速度均方根 <math>u_{\mathrm{rms}}</math> 满足 <math>u_{\mathrm{rms}} = u_{\max}/\sqrt{3}</math>。 [[Category:流体力学]] 1hwoue0awnhvickfxrs8bnpo4jxqffa