Llei de Gauss
De Viquipèdia
En física i Anàlisi matemàtica la llei de Gauss, estretament relacionada amb el Teorema de la divergència, dóna la relació entre el flux elèctric o gravitacional sortint d'una superfície tancada i la càrrega elèctrica tancada dins aquesta mateixa superfície. Aquesta llei de Carl Friedrich Gauss pot se usada en qualsevol context on es doni la llei de la inversa del quadrat, com per exemple la Llei de la gravitació universal de Newton i l'electrostàtica. És una de les quatre equacions de Maxwell, bàsiques a la teoria electromagnètica.
Taula de continguts |
[edita] Forma integral
A la seva forma integral, la llei estableix:
on Φ és el flux elèctric,
és el camp elèctric,
és un diferencial d'àrea de la superfície tancada S perpendicular a aquesta superfície i dirigit cap a fora, QA és la càrrega tancada dins la superfície, ρ és la densitat de càrrega en un punt del volum V definit per la superfície, εo és la permitivitat del buit i
és la integral de la superfície S que tanca el volum V.
[edita] Forma diferencial
En forma diferencial, l'equació esdevé:
on
és l'operador nabla que representa la divergència, D és el desplaçament elèctric (en unitats de C/m²), i ρ és la densitat de càrrega elèctrica lliure (en unitats de C/m³), sense incloure les càrregues dipolars lligades al material. La forma diferencial del Teorema de Gauss deriva parcialment del Teorema de la Divergència de Gauss.
Per a materials lineals, l'equació esdevé:
on
és la permitivitat elèctrica.
[edita] La llei de Coulomb
En el cas especial d'una superfície esfèrica amb una càrrega central, el camp elèctric és perpendicular a la superfície, amb la mateixa magnitud a tot els seus punts, seguint l'expressió més simple:
on E és la força del camp elèctric al radi r, Q és la càrrega tancada, i ε0 és la permitivitat del buit. Fins aquí la dependència del camp elèctric de la familiar llei de la inversa del quadrat a la llei de Coulomb segueix la llei de Gauss.
La llei de Gauss pot ser utilitzada per demostrar que no hi ha un camp elèctric dins d'una gàbia de Faraday ni càrregues elèctriques. La llei de Gauss és l'equivalent electrostàtic de la llei d'Ampère, les dues equacions foren integrades dins de les equacions de Maxwell.
Va ser formulada el 1835 per Carl Friedrich Gauss però no es va publicar fins el 1867. A causa de la similaritat matemàtica, la llei de Gauss té aplicacions a d'altres magnituds físiques regides per la llei de la inversa del quadrat, com la gravitació o la intensitat de la radiació.
[edita] Analogia gravitacional
Atès que tant la gravetat com l'electromagnetisme tenen forces que es propaguen de manera relativa al quadrat de la distància entre dos objectes, podem relacionar els dos utilitzant la llei de Gauss examinant els respectius vectors de camp
i
, on
i
on G és la constant de la gravitació, m és la massa del punt origen, r és el radi, la distància, entre el punt origen i un altre objecte,
és la permitivitat del buit, i q és la càrrega del punt elèctric origen.
De la mateixa manera evaluem la integral de superfície per l'electromagnetisme per tenir el resultat
, podem escollir una superfície Gaussiana adequada per trobar una resposta pel flux gravitacional. Per una massa puntual centrada a l'origen del sistema de coordenades, l'elecció més lògica és una esfera de radi r centrada a l'origen.
Comencem amb la forma integral de la llei de Gauss:
Un element infinitesimal d'àrea és l'àrea de l'angle sòlid infinitesimal, que es defineix com:
La nostra Superfície Gaussiana és escollida de tal manera que el vector perpendicular a la superfície sigui radial a l'origen. Amb
veiem que el producte de dos vectors radials és unitari i que les dues magnituds del nostre camp,
, i el quadrat de la distància entre la superfície i el punt, r2, es mantenen constants per a cada element de la superfície. Això ens dóna la integral
La superfície integral que queda és l'àrea de la superfície de la nostra esfera (4πr2). si combinem això amb la nostra equació del camp gravitacional, tenim una expressió per al flux del camp gravitacional d'una massa puntual.
És interessant ressaltar que el flux gravitacional, igual que l'homòleg electromagnètic, no depen del radi de l'esfera.
[edita] Vegeu també
- Equacions de Maxwell
- Teorema de la divergència
- Mètode de les imatges












