Matriu transposada

De Viquipèdia

Si A denota una matriu de n×m elements:

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix}   a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m}\\   a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m}\\   a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,m}\\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} \in \mathcal M_{n\times m}

aleshores la permutació de files per columnes o viceversa, en la matriu A, produeix la seva matriu trasposada AT:

A^T =  \begin{pmatrix}   a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \cdots & a_{n,1}\\   a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \cdots & a_{n,2}\\   a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \cdots & a_{n,3}\\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,m} & a_{2,m} & a_{3,m} & \cdots & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} \in \mathcal M_{m,n}

A serà una matriu simètrica, si i només si, n = m i AT = A.

[edita] Propietats

Siguin A i B matrius adequades per a les següents operacions, sabem que:

  • (AT)T = A
  • (A + B)T = AT + BT
  • Per a qualsevol escalar r, (rA)T = rAT
  • (AB)T = BTAT