Espai projectiu
De Viquipèdia
S'entén per espai projectiu sobre un espai vectorial
sobre un cos
qualsevol, a la parella formada pel conjunt
i una relació de dependència lineal projectiva.
[edita] Primera aproximació: 
Sigui
una recta qualsevol del pla, i sigui
un punt qualsevol del pla que no sigui de la recta
.
Si es considera el conjunt de totes les rectes del pla que passen pel punt
, cada una d'aquestes rectes, excepte la recta que és paral·lela a
, talla a la recta
en un punt.
Només cal associar la direcció de la recta
al punt impropi de l'infinit de la recta, per haver definit un aplicació bijectiva entre els punts de
i el conjunt de totes les direccions del pla , diferent de la nul·la.
Això es pot introduir de la següent forma: Sigui
el conjunt de tots els vectors lliures, no nuls, del pla. En aquest conjunt es pot definir una relació d'equivalència
de forma que:
.
I finalment, es defineix
, o sigui l'espai projectiu
és el conjunt quocient de la relació d'equivalència que s'ha introduït.
[edita] Segona aproximació: 
Així com per tal d'introduir
, s'ha hagut de partir del pla, un espai vectorial de dimensió dos, per tal d'introduir
, s'haurà de definir una relació d'equivalència en 
En aquest cas s'ha de partir d'un pla
, i un punt
, tal que
, i introduint la mateixa relació d'equivalència
, on 
Per arribar finalment a
.
En aquest espai, tota recta
, és una varietat lineal del pla. Aleshores, tots els vectors de totes les classes d'equivalència que tenen punts de
, formaran una varietat, ja que estaran sobre el pla engendrat per la recta
i pel punt
. Així doncs, es pot considerar que aquesta recta introdueix a
l'espai projectiu
, com una varietat de
.
[edita] Generalització de l'espai projectiu
Sigui
, un espai vectorial de dimensió
sobre un cos
. Es defineix la relació d'equivalència
en
tal que
.
Així doncs, generalitzant els conceptes anteriors, es pot escriure:
.
Si
, un punt
es diu que depèn linealment (projectivament) de
si: 
amb
i ![\left[\mathbf{y}_{1}\right] ,\left[\mathbf{y}_{2}\right] ,...,\left[\mathbf{y}_{r}\right] \in \mathcal{Q}\,](../../../math/3/6/3/363dcf3bade9d21104bfe2cd64712f1c.png)
Cal observar que aquesta definició de dependència lineal projectiva no depèn dels
elegits.
Doncs bé,
, junt amb aquesta dependència lineal projectiva se l'anomena espai projectiu sobre
.

