Producte Kronecker

De Viquipèdia

El producte Kronecker, denotat per ⊗ (\otimes) és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.

Taula de continguts

[edita] Definició

Si A és una matriu de dimensions m per n i B és un matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker AB és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:A \otimes B = (a)_{ij} \cdot B

Això es correspon amb la matriu:

A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}

O més explícitament,

A \otimes B = \begin{pmatrix}    a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &                     \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\    a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &                     \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\    a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &                     \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\    \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\    \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\    a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &                     \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\    a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &                     \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\    a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &                     \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}  \end{pmatrix}

[edita] Exemples

\begin{pmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{pmatrix} \otimes   \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}  1  \cdot  \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 3  \cdot  \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}\\ 1  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 0  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 0  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}\\ 1  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}       0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\     5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\     1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\     0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\     5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\     1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\     0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\     5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\     1 & 1&2 & 2&2 & 2  \end{pmatrix}

[edita] Propietats

[edita] Bilinealitat i associativitat

El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:

A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C si B i C tenen les mateixes dimensions,
(A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C si A i B tenen les mateixes dimensions,
(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),

on A, B i C són matrius i on k és un escalar.

El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, AB i BA són matrius diferents. Tanmateix, AB i BA són permutacions equivalents. Això és, que hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.

En altres llengües