Náhodná veličina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Za náhodnou veličinu považujeme proměnnou, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Náhodná veličina je důležitým pojmem teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.

Při opakování náhodného pokusu dochází v důsledku působení náhodných vlivů ke změnám náhodné veličiny. Hodnotu náhodné veličiny tedy není možné jednoznačně určit před provedením pokusu.


Náhodná veličina přiřazuje každému jevu jevového pole určité číslo a určitou pravděpodobnost. Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.

Náhodné veličiny se obvykle značí velkými písmeny, např. X,Y apod., zatímco jejich hodnoty se označují malými písmeny, např. x,y apod.

Obsah

[editovat] Definice

Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů Ω pravděpodobnostního prostoru.

[editovat] Spojité a diskrétní veličiny

Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité (diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze spočetného počtu hodnot (konečného i nekonečného), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z nějakého intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny nazýváme definičním oborem.

[editovat] Příklad

Náhodný jev lze na náhodnou veličinu převést tak, že výskyt daného jevu označíme hodnotou 1 a pokud k výskytu daného jevu nedojde, tak náhodné veličině přiřadíme hodnotu 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1.

[editovat] Náhodný vektor

V mnoha případech je k popisu výsledku náhodného pokusu nutné použít několik čísel. Pro takové případy zavádíme náhodný vektor, což je vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny.

[editovat] Funkce náhodné veličiny

V mnoha případech, kdy známe rozdělení náhodné veličiny X, potřebujeme určit rozdělení náhodné veličiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = r(X).

Je-li funkce r(x) v oboru možných hodnot veličiny X monotónní, pak existuje inverzní funkce x = r − 1(y) = s(y), a jde o vzájemně jednoznačný vztah mezi X a Y. Je-li v takovém případě r(x) rostoucí, pak pro všechna x2 > x1 je y2 > y1, a distribuční funkci veličiny Y lze psát jako

G(y) = P(Y < y) = P[X < s(y)] = F[s(y)]

Pro klesající funkci r(x), tzn. pro všechna x2 > x1 platí y1 > y2, je distribuční funkce

G(y) = P(Y < y) = P[X > s(y)] = 1 − F[s(y)]


Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti f(x), přičemž s(y) má pro všechna y spojitou derivaci, pak pro rostoucí funkci r(x) dostaneme hustotu pravděpodobnosti g(y) veličiny Y jako

g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = f[s(y)]s^\prime(y)

Podobně pro klesající funkci r(x) dostaneme

g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = -f[s(y)]s^\prime(y)

Vzhledem k tomu, že v případě rostoucí funkce je s^\prime(y)>0, zatímco v případě klesající funkce je s^\prime(y)<0, lze oba předchozí vztahy spojit do jednoho

g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = f[s(y)] |s^\prime(y)|
Funkce náhodné veličiny.
Funkce náhodné veličiny.

Není-li r(x) monotónní funkcí, pak mezi X a Y neexistuje vzájemně jednoznačný vztah a tedy ani inverzní funkce k r(x). Distribuční funkce G(y) = P(Y < y) je v takovém případě dána pravděpodobností, že náhodná veličina nabude hodnoty z kteréhokoliv intervalu, pro který Y < y. Podle obrázku pak platí

G(y) = P\left\{\left[X\in\Delta_1(y)\right]\cup P\left[X\in\Delta_2(y)\right]\cup\cdots\right\} = \sum_i P\left[X\in\Delta_i(y)\right]

Pro spojitou náhodnou veličinu pak podle tohoto vztahu platí

G(y) = \sum_i \int_{\Delta_i(y)} f(x)\mathrm{d}x

[editovat] Podívejte se také na