Hyperkoule

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného (n>3) prostoru. Je definována jako množina bodů, které mají od daného bodu (tzv. středu) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru r. Povrch hyperkoule v n-rozměrném prostoru je (n-1)-rozměrný a tvoří varietu, která se nazývá (n-1)-sféra a značí se standardně \mathbb S^{n-1}. (viz také 3-sféra)

[editovat] Vzorce pro objem a povrch

Objem n-rozměrné koule je

V = r^n \prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{\pi}\  \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}}={\pi^{n/2}r^n\over (n/2)!},

kde Γ(x) je funkce gama. Tento zápis lze zjednodušit rozpisem na sudé a liché počty rozměrů. Je-li n liché, potom

V_l = r^n \pi^{\frac{n-1}{2}}2^{\frac{n+1}{2}} \prod_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{\left(2k+1\right)^{-1}},

a pro sudé n

V_s = r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!},


Povrch n-rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle r, tedy

S = n r^{n-1} \prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{\pi}\  \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}}={n\pi^{n/2}r^{n-1}\over (n/2)!}

Je-li n liché

S_l = n r^{n-1} \pi^{\frac{n-1}{2}}2^{\frac{n+1}{2}} \prod_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}{\left(2k+1\right)^{-1}},

Je-li n sudé n

S_s = n r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!},

[editovat] Externí odkazy