Kompaktní množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kompaktní množina je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné.


V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.

Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená.

V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.

Obsah

[editovat] Kompaktní prostor

Je-li kompaktní množina prostorem (topologickým, vektorovým, metrickým), pak hovoříme o kompaktním prostoru.

Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.

[editovat] Příklady kompaktních množin

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Podívejte se také na