Exaktní diferenciální rovnice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
,
kde p(x,y),q(x,y) jsou spojité funkce na oblasti D (včetně prvních derivací), označujeme jako exaktní, jestliže levou stranu lze vyjádřit jako totální diferenciál nějaké funkce F(x,y). V takovém případě platí
Srovnáním předchozích vztahů tedy platí
Ze spojitosti prvých derivací funkcí p(x,y),q(x,y) a jejich vyjádření pomocí parciálních derivací funkce F(x,y) vyplývá rovnost smíšených derivací funkce F(x,y), tzn.
Předchozí vztah představuje podmínku exaktnosti dané diferenciální rovnice.
[editovat] Řešení exaktní rovnice
Při řešení exaktní diferenciální rovnice vyjdeme ze vztahů
. Integrací těchto vztahů dostaneme
Funkce f1(y) představuje integrační konstantu, neboť při integraci přes x můžeme považovat y za konstantní. Podobně je tomu pro f2(x) ve vztahu k druhé proměnné.
Výslednou funkci F(x,y), která je řešením exaktní diferenciální rovnice, tedy získáme z předchozích vztahů tak, že oba integrály sečteme, přičemž členy, které se vyskytují v obou integrálech započítáme pouze jednou. Můžeme použít i jinou úvahu, podle které je řešením první integrál, kde za funkci f1(y) dosadíme ty členy z druhého integrálu, které závisí pouze na y. Obdobně můžeme za řešení považovat druhý integrál, kde za funkci f2(x) dosadíme ty členy z prvního integrálu, které závisí pouze na x.
[editovat] Převední do exaktního tvaru
Pokud není splněna podmínka exaktnosti, tzn. platí
, pak daná rovnice není exaktní rovnicí. Může však existovat tzv. integrační (integrující) faktor μ, kterým vynásobíme (neexaktní) rovnici, čímž ji převedeme do exaktního tvaru, tzn. dostaneme exaktní rovnici
- μ(x,y)p(x,y)dx + μ(x,y)q(x,y)dy = 0
Podmínka exaktnosti má pak tvar
Integrační faktor vyhovuje podle těchto podmínek exaktnosti rovnici
Nalezení integračního faktoru μ(x,y) z předchozí rovnice je obvykle velmi těžké. V mnoha případech je však možné nalézt faktor μ, který závisí pouze na proměnné x nebo y, tzn. μ(x) nebo μ(y).
Pokud integrační faktor μ závisí pouze na x, pak
a tedy výraz
závisí pouze na x. Integrační faktor μ(x) pak určíme ze vztahu
Podobně pokud integrační faktor μ závisí pouze na y, tedy
, bude výraz
záviset pouze na y. Integrační faktor μ(y) pak určíme ze vztahu







![\mu(x,y)\left[\frac{\part p(x,y)}{\part y} - \frac{\part q(x,y)}{\part x}\right] = \frac{\part\mu(x,y)}{\part x}q(x,y) - \frac{\part\mu(x,y)}{\part y}p(x,y)](../../../math/c/3/e/c3e26ab216d628956d3de04b0e8a5661.png)



