Sférická soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny (nejčastěji rovina xy) od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji x) a třetí souřadnice (označovaná θ) úhel průvodiče od zvolené roviny.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.
Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}
y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}
z = r \cos{\theta}\,


Převod kartézských souřadnic na sférické:

r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},
\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),
\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu 0\leq\theta\leq\pi a 0\leq\varphi<2\pi.

[editovat] Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2,

tedy délka křivky obecně jako

\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2             +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2             +r^2 \sin^2\theta\ \left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t1 do t2.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

{\Gamma^r}_{ij}=\begin{pmatrix}     0 & 0 & 0 \\     0 & -r & 0 \\     0 & 0 & -r \sin^2\theta \\ \end{pmatrix},
{\Gamma^\theta}_{ij}=\begin{pmatrix}     0 & \frac{1}{r} & 0 \\     \frac{1}{r} & 0 & 0 \\     0 & 0 &  -\cos\theta \sin\theta \\ \end{pmatrix},
{\Gamma^\varphi}_{ij}=\begin{pmatrix}     0 & 0 & \frac{1}{r} \\     0 & 0 & \operatorname{cotg}\theta \\     \frac{1}{r} & \operatorname{cotg}\theta & 0 \\ \end{pmatrix},

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty (r,\theta,\varphi) v tomto pořadí.

[editovat] Diferenciální operátory ve sférických souřadnicích

\nabla f =  {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r}    + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta}    + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}


\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r}    + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)     + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}


\nabla \times \mathbf{A} =
{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)     - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r}  +    {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}      - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta}  +    {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)     - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}


\Delta f = \nabla^2 f =  {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)    + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)    + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


\Delta \mathbf{A} =
\left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2}      - {2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta}       - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta}       - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r}
+\left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta}      + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta}      - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\theta}
+ \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r^2\sin^2\theta}     + {2 \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}     + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}
Soustavy souřadnic
Kartézská soustava souřadnic Ortogonální souřadnice Afinní soustava souřadnic Obecné souřadnice
2-D Polární soustava souřadnic Bi-polární soustava souřadnic Úhlová soustava souřadnic
3-D Válcová soustava souřadnic Sférická soustava souřadnic
n-D Hypersférická soustava souřadnic