Momentová vytvořující funkce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Momentová vytvořující funkce (nebo také charakteristická funkce) je důležitou charakteristikou obsahující informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny.
Obsah |
[editovat] Definice
Momentová vytvořující funkce je pro náhodnou veličinu X definována jako střední hodnota funkce ezX, tzn.
,
kde z je pomocný parametr.
Pro diskrétní náhodnou veličinu X je tedy momentová vytvořující funkce definována jako
| m(z) = | ∑ | ezxP(x) |
| x |
Pro spojitou náhodnou veličinu X pak momentovou vytvořující funkci definujeme jako
,
kde f(x) je hustota pravděpodobnosti veličiny X.
Mezi momentovou vytvořující funkcí a rozdělením pravděpodobnosti existuje vzájemně jednoznačný vztah.
[editovat] Momenty
Momentovou vytvořující funkci lze využít k výpočtu tzv. momentů. Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.
[editovat] Obecný moment
Pro diskrétní náhodnou veličinu X definujeme k-tý obecný moment jako
Pro spojitou náhodnou veličinu definujeme k-tý obecný moment jako
,
kde f(x) je hustota pravděpodobnosti spojité veličiny X.
Uvedené vztahy mají smysl pouze tehdy, pokud výrazy na pravé straně konvergují absolutně.
[editovat] Vlastnosti
Moment
nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny X a značíme
.
Hodnota k-tého obecného momentu náhodné veličiny iX je rovna k-té derivaci vytvořující funkce m(z) v bodě z = 0, tzn.
[editovat] Centrální moment
Tzv. k-tý centrální moment diskrétní náhodné veličiny X definujeme vztahem
,
kde
je střední hodnota veličiny X.
Pro spojitou náhodnou veličinu X je k-tý centrální moment definován jako
,
kde
je opět střední hodnota veličiny X a f(x) je její hustota pravděpodobnosti.
[editovat] Vlastnosti
Z definice střední hodnoty
plyne, že μ1(X) je vždy nulový, tzn. μ1(X) = 0. Druhý centrální moment μ2(X) je tzv. rozptyl, který obvykle označujeme jako σ2(X) nebo D(X).
Každý centrální moment lze vyjádřit pomocí obecných momentů.
[editovat] Normovaný moment
Pro tzv. normovanou náhodnou veličinu
lze definovat normované momenty. Pro diskrétní náhodnou veličinu dostaneme k-tý normovaný moment ze vztahu
Pro spojitou náhodnou veličinu X definujeme k-tý normovaný moment jako
[editovat] Vlastnosti
Normované momenty jsou bezrozměrnými veličinami a tedy také charakteristiky, které jsou na nich založeny, jsou bezrozměrné.
Každý normovaný moment lze vyjádřit pomocí centrálních momentů, které je však možné vyjádřit pomocí momentů obecných.
Používá se především třetí normovaný moment μ3(U), který nazýváme koeficientem šikmosti, a čtvrtý normovaný moment μ4(U), s jehož pomocí měříme špičatost rozdělení. Obvykle se špičatost měří tzv. koeficientem špičatosti γ2, který lze vyjádřit prostřednictvím čtvrtého normovaného momentu jako μ4(U) − 3.


![\mu_k(U) = \sum_x {\left[\frac{x-\operatorname{E}(X)}{\sigma(X)}\right]}^k P(x)](../../../math/4/0/d/40d4d15b067fd7e7d1518b111c3f5d91.png)
![\mu_k(U) = \int_{-\infty}^\infty {\left[\frac{x-\operatorname{E}(X)}{\sigma(X)}\right]}^k f(x)\mathrm{d}x](../../../math/5/8/2/58258e65ff86de127644eb1676b36b82.png)

