Goniometrická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Goniometrická rovnice je nealgebraická rovnice, která obsahuje neznámou v argumentu goniometrické funkce.

[editovat] Příklady jednoduchých goniometrických rovnic

Obvykle je k nalezení řešení nutno použít některou přibližnou metodu, např. numerickou. Pouze některé z goniometrických rovnic je možné vhodnými úpravami převést na tvar, z nějž dokážeme určit řešení rovnice.

Nejjednodušší případy goniometrických rovnic jsou

sinx = a
cosx = b
tgx = c
cotgx = d

kde |a| \leq 1, |b| \leq 1. Při řešení je nutné si uvědomit, že goniometrické funkce jsou periodické, tzn. existuje nekonečné množství kořenů. Uvedené rovnice mají tedy následující kořeny

Rovnice pro a \geq 0 a < 0
sinx = a α + 2πk,π − α + 2πk 2π − α + 2πk,π + α + 2πk
cosx = a α + 2πk,2π − α + 2πk π − α + 2πk,π + α + 2πk
tgx = a α + kπ π − α + kπ
cotgx = a α + kπ π − α + kπ

Hodnota α leží z intervalu \langle 0, \frac{\pi}{2}\rangle a k je celé číslo.


Některé jednoduché typy goniometrických rovnic lze řešit různými úpravami, např. u rovnic typu sinf(x) = a můžeme použít substituci y = f(x) a řešit rovnici siny = a, jejíž kořeny α pak dosadíme zpět do f(x) = α, čímž dostaneme kořeny původní goniometrické rovnice.


Substituci lze použít také např. u rovnice 2sin2x − 3sinx − 2 = 0, kterou převedeme substitucí y = sinx na tvar y2 − 3y − 2 = 0. Kořeny této kvadratické rovnice pak dosadíme zpět do substituční rovnice sinx = y, odkud získáme řešení původní goniometrické rovnice.


Pokud rovnice obsahuje různé goniometrické funkce, pak se snažíme s využitím vztahů mezi goniometrickými funkcemi a převést rovnici na takový tvar, který by obsahoval jeden typ goniometrické funkce, popř. takovou kombinaci goniometrických funkcí, které lze vhodně upravit (např. sin2x + cos2x = 1).


Získané kořeny goniometrických rovnic je vždy nutné prověřit zkouškou.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika