Riemannův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Riemannovým (riemannovským) prostorem je nazýván prostor s n souřadnicemi xi, v němž je vzdálenost mezi dvěma sousedními body určena vztahem

\mathrm{d}s^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(x)\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j,

kde gij(x) jsou funkce x1,x2,...,xn.

Metrika zadaná uvedeným vztahem se označuje jako riemannovská metrika, je-li pozitivně definitní. V opačném případě se hovoří o pseudoriemannovské metrice.

[editovat] Příklad

Např. v euklidovské geometrii je (v kartézských souřadnicích) vzdálenost mezi dvěma body roviny určena vztahem ve tvaru

ds2 = dx2 + dy2

Zobecnění pro libovolnou 2-rozměrnou plochu má tvar

ds2 = Adx2 + Bdxdy + Cdy2,

kde A,B,C jsou jsou veličiny závislé na x a y. Prostřednictvím těchto veličin jsou určeny některé vlastnosti plochy, např. její křivost.

Podobným postupem došel Rieman při studiu metrických prostorů libovolné dimenze k Riemannovu prostoru.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Podívejte se také na