Eulerova rovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým elegantním vyjádřením (eiπ + 1 = 0) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Obsah

[editovat] Znění

Eulerova rovnost je vzorec eiπ + 1 = 0 ,kde

[editovat] Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

[editovat] Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

x = \pi,\,\!

dostaneme

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Protože

\cos \pi = -1  \, \!

a

\sin \pi = 0,\,\!

vyplývá odtud

e^{i \pi} = -1\,\!

a převedením na druhou stranu

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

[editovat] Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

[editovat] Mimo matematiku

O slávě Eulerovy rovnosti svědčí i to, že se objevila v seriálu Simpsonovi v epizodě Speciální čarodějnický díl VI v části Homer3. Vzorec vyjadřující Eulerovu rovnost proletí v pozadí chvíli po tom, co Homer vstoupí do třetího rozměru.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika