Hyperbolická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hyperbolické funkce jsou funkce:

[editovat] Vztahy mezi hyperbolickými funkcemi

  • Základní vztahy mezi hyperbolickými funkcemi
cosh2x − sinh2x = 1
\mathrm{tgh} x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{1}{\mathrm{cotgh} x} pro x \neq 0
\mathrm{cotgh} x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{1}{\mathrm{tgh} x} pro x \neq 0
tghxcotghx = 1 pro x \neq 0
1 - {\mathrm{tgh}}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}
{\mathrm{cotgh}}^2 x - 1 = \frac{1}{\sinh^2 x}
(sinhx + coshx)n = sinhnx + coshnx pro x \in N
  • Vyjádření hyperbolické funkce jinou hyperbolickou funkcí:
\sinh x = \sqrt{\cosh^2 x - 1} = \frac{\mathrm{tgh} x}{\sqrt{1 - {\mathrm{tgh}}^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{cotgh}}^2 x} - 1}
\cosh x = \sqrt{\sinh^2 x + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 - {\mathrm{tgh}}^2 x}} = \frac{\mathrm{cotgh} x}{\sqrt{{\mathrm{cotgh}}^2 x} - 1}
\mathrm{tgh} x = \frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2 x + 1}} = \frac{\sqrt{\cosh^2 x - 1}}{\cosh x} = \frac{1}{\mathrm{cotgh} x}
\mathrm{cotgh} x = \frac{\sqrt{\sinh^2 x + 1}}{\sinh x} = \frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2 x - 1}} = \frac{1}{\mathrm{tgh} x}
  • Součet a rozdíl hyperbolických funkcí
\sinh x \pm \sinh y = 2 \sinh \frac{x \pm y}{2} \, \cosh \frac{x \mp y}{2}
\cosh x + \cosh y = 2 \cosh \frac{x + y}{2} \, \cosh \frac{x - y}{2}
\cosh x - \cosh y = - 2 \sinh \frac{x + y}{2} \, \sinh \frac{x - y}{2}
\mathrm{tgh} x \pm \mathrm{tgh} y = \frac{\sinh (x \pm y)}{\cosh x \, \cosh y}
\mathrm{cotgh} x \pm \mathrm{cotgh} y = \frac{\sinh (x \pm y)}{\sinh x \, \sinh y}
  • Hyperbolické funkce součtu a rozdílu
\sinh (x \pm y) = \sinh x \, \cosh y \pm \cosh x \, \sinh y
\cosh (x \pm y) = \cosh x \, \cosh y \pm \sinh x \, \sinh y
\mathrm{tgh} (x \pm y) = \frac{\mathrm{tgh} x \pm \mathrm{tgh} y}{1 \pm {\mathrm{tgh} x}\,{\mathrm{tgh} y}}
\mathrm{cotgh} (x \pm y) = \frac{1 \pm {\mathrm{cotgh} x}\,{\mathrm{cotgh} y}}{\mathrm{cotgh} x \pm \mathrm{cotgh} y}
  • Hyperbolické funkce dvojnásobného argumentu lze z předchozích vztahů získat
\sinh 2x = 2 \sinh x \, \cosh x
cosh2x = cosh2x + sinh2x
\mathrm{tgh} 2x = \frac{2 \mathrm{tgh} x}{1 + {\mathrm{tgh}^2 x}}
\mathrm{cotgh} 2x = \frac{1 + {\mathrm{cotgh}^2 x}}{2 \mathrm{cotgh} x}
  • Pro poloviční argumenty platí vztahy
\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}
\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}
\mathrm{tgh} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1}
\mathrm{cotgh} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{\cosh x - 1}} = \frac{\cosh x + 1}{\sinh x} = \frac{\sinh x}{\cosh x - 1}

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5