Dělitelnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dělitelnost je vlastnost celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p), jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že

p = kq.

Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Alternativně je p dělitelné q, jestliže zbytek po dělení p / q je nula.

Obsah

[editovat] Obecně

  • Číslo p se nazývá dělenec,
  • číslo q se nazývá dělitel,
  • číslo k se nazývá podíl čísla p při dělení číslem q,
  • v oboru celých čísel mají čísla p a −p tytéž dělitele,
  • čísla 1, −1, p a −p se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel p a −p,
  • existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální),
  • každé celé číslo je dělitelem nuly, nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly.

[editovat] Sudá a lichá čísla

Celé číslo dělitelné dvěma se nazývá sudé. Pokud číslo není sudé, nazývá se liché.

[editovat] Prvočísla

Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá složené číslo.

[editovat] Prvočinitel

Prvočíslo, které dělí číslo p, se nazývá prvočinitel. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz faktorizace).

Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná.

[editovat] Kritéria dělitelnosti

Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup.

q kritérium příklad
2 je-li poslední číslice sudá 128, 1002
3 je-li ciferný součet dělitelný 3 228 (2+2+8=12, 1+2=3)
4 je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4 612,1008
5 je-li posledním místě 5 nebo 0 35, 10540
6 je-li číslo dělitelné 2 a 3 924, 29250
7 je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice od zadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5 Je 138309241 dělitelné 7? 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=105 (1*2+1=7, číslo dělitelné 7), 138309241 je tedy dělitelné 7
8 je-li poslední trojčíslí dělitelné 8 12504
9 je-li součet číslic dělitelný 9 1683 (1+6+8+3=18)
10 je-li na posledním místě 0 1220, 2180
11 je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti 5357 ((5+5)-(3+7)=0)
13 je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti 2022046 (002-022+046 = 26)
17 je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledeky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo. 51153 ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je dělitelné 17)
25 je-li poslední dvojčíslí dělitelné 25 125, 15475
100 jsou-li poslední dvě číslice 0 (00) 15400, 700
1000 jsou-li poslední tři číslice 0 (000) 154000, 7000

[editovat] Obecné kritérium dělitelnosti

Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami — číslo x je dělitelné prvočíslem n právě když Σk αkak je dělitelné n, kde x   =   a0 + 10a1 + 100a2 + 1000a3 + …+10nan, neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10.

Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých kongruencí \alpha_k \equiv 10^k\,(mod\ n). Řešení jsou tedy zbytky po dělení 10k/n.

Například číslo x je dělitelné 17 právě když a0 − 7a1 − 2a2 − 3a3 + 4a4 + 6a5 − 8a6 + 5a7a8 + 7a9 + 2a10 + 3a11 − 4a12 − 6a13 + 8a14 − 5a15 + a16 … je dělitelné 17.