Hamiltonův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hamiltonův operátor neboli Hamiltonián je operátor energie v kvantové mechanice. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se \hat H. Matematicky jde o hermitovský diferenciální operátor nad Hilbertovým prostorem komplexních vlnových funkcí. Zapisujeme jej jako

\hat H = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,

kde i je imaginární jednotka, \hbar je Planckova konstanta, zlomek označuje parciální derivaci podle času.

[editovat] Odvození klasického tvaru

Celková mechanická energie je součet kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti (\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla) do klasického vztahu T = \frac12 m\mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}. Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\,,

kde m je hmotnost částice, Δ je Laplaceův operátor (součet druhých derivací podle prostorových souřadnic) a V=V({\mathbf r},t) je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

[editovat] Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \,,

kde me je hmotnost elektronu, e je elektrický náboj elektronu, π je Ludolfovo číslo, \varepsilon_0 je permitivita vakua a r je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

E_n = - \frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2a_B}\frac1{n^2}\,,

kde aB je tzv. Bohrův poloměr (0,53.10 − 9m) a n je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1 = 2,179.10 − 18J.

[editovat] Relativistická verze

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

\hat H = \,\gamma_0 m + \sum_{j = 1}^3 \gamma_j p_j \, ,

kde pj jsou souřadnice vektoru hybnosti a γi jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}\,,
\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\\sigma_{i}&0\end{pmatrix}\,.