Centrovaný systém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Obsah

[editovat] Definice

Předpokládejme, že S \,\! je množina podmnožin množiny X \,\! (někdy se také říká, že S \,\! je systém množin na X \,\!), tj. S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\!, kde \mathbb{P}(X) \,\! je potenční množina množiny X \,\!. O množině S \,\! řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
( \forall y_1,y_2,\ldots,y_n \isin S)( y_1 \cap y_2 \cap \ldots \cap y_n \neq \emptyset) \,\!

[editovat] Vlastnosti a příklady

[editovat] Triviální centrovaný systém

Pokud má celý systém S \,\! neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu Y \subseteq S \,\! (nejen konečnou) platí
\emptyset \neq \bigcap S \subseteq \bigcap Y \implies \emptyset \neq \bigcap Y \,\!

[editovat] Netriviální centrovaný systém

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že \bigcap S = \emptyset \,\!, ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
S = \{ u_1,u_2,u_3,u_4,\ldots \} \,\!, kde u_i \,\! je množina všech nenulových násobků čísla i \,\!, tj.

  • u_1 = \{ 1,2,3,\ldots \} \,\!
  • u_2 = \{ 2,4,6,\ldots \} \,\!
  • u_3 = \{ 3,6,9,\ldots \} \,\!
  • u_4 = \{ 4,8,12,\ldots \} \,\!
  • \ldots \,\!

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo k \,\! jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny S \,\! (například pro \{ s_3, s_5, s_6, s_8 \} \,\! je k = 120 \,\!), pak u_k \,\! je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému \bigcap S \,\! neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo n \isin \bigcap S \,\! a tím pádem by muselo mimo jiné být n \isin u_{n+1} \,\!, což je nesmysl.

[editovat] Vztah centrovaných systémů a filtrů

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém \{ \{0,1,2 \},\{ 1,2,3 \} \} \,\! je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu \{1,2 \} = \{0,1,2 \} \cap \{ 1,2,3 \} \,\! . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! rozšířit do nějakého filtru na množině X \,\!. Snadno lze ukázat, že množina
F(S) = \{ Y \subseteq X : (\exist Q \isin [S]^{<\omega})(\bigcap Q \subseteq Y) \} \,\!
je nejmenší filtr na X \,\!, který v sobě obsahuje S \,\!.

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

  1. Vezmu centrovaný systém S \,\!.
  2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu S \,\!).
  3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu S \,\!, která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

[editovat] Hlavní věta o ultrafiltrech

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika