Cauchyovská posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je zároveň cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu počítat.

[editovat] Definice

V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost \{ x_1, x_2, \ldots \} cauchyovská, pokud \forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0\;: d(x_m, x_n) < \varepsilon

Každá konvergentní posloupnost metrického prostoru je cauchyovská.

Naopak metrický prostor, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, se nazývá úplný.

[editovat] Příklady