Hermitovy polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hermitovy polynomy lze vyjádřit ve tvaru

{H_n(x)} = \sum_{i=0}^h {(-1)}^k \frac{n!}{{k!} {(n - 2k)!}} {(2 x)}^{(n - 2k)}\,

kde h = \frac{n}{2} pro sudá n a h = \frac{n - 1}{2} pro lichá n.

K vyjádření Hermitových polynomů lze také použít vztah

{H_n(x)} = {(-1)}^n e^{x^2} {\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} e^{{-x}^2}} \,


Hermitovy polynomy jsou v intervalu ( - \infty, \infty ) ortogonální s váhou e^{{-x}^2}, tzn.

\int_{- \infty}^{\infty} e^{{-x}^2} {H_m(x)} {H_n(x)} \mathrm{d}x = 2^n {n!} \sqrt{\pi} \delta_{m k}

kde δmk je Kroneckerův symbol.


Při práci s Hermitovými polynomy lze využít vztahy

{\frac{\mathrm{d}{H_n(x)}}{\mathrm{d}x}} = 2 n {H_{n-1}(x)}

Hn + 1(x) = 2xHn(x) − 2nHn − 1(x)


Kořeny rovnice Hn(x) = 0 jsou jednoduché a reálné.


Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice

y'' − 2xy' + 2ny = 0