Metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.

Obsah

[editovat] Definice

Metrický prostor je dvojice (\mathcal{M}, \rho), kde \mathcal{M} je libovolná neprázdná množina a ρ je tzv. metrika, což je zobrazení

\rho: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R},

které splňuje následující axiomy (pro libovolná x, y, z \in \mathcal{M}):

  1. Axiom totožnosti: \rho (x, y) = 0 \iff x = y
  2. Axiom symetrie: \rho (x, y) = \rho (y, x) \,\!
  3. Trojúhelníková nerovnost: \rho (x, z) \le \rho (x, y) + \rho (y, z)

Z axiomů 1 a 3 vyplývá také nezápornost, někdy jmenovaná mezi základními vlastnostmi: \rho (x,y) \ge 0.

Hodnota \rho(x,y) \,\! bývá nazývána vzdáleností bodů x,y \,\! v metrice \rho \,\!.

[editovat] Příklady

  • Množina reálných čísel spolu s metrikou ρ(x,y) = | xy | (absolutní hodnota), kde x,y jsou libovolné body množiny \mathbb{R}, tvoří úplný metrický prostor.
  • Nejjednodušší vícerozměrnou variantou předchozího příkladu je tzv. součtová či manhattanská metrika (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na Manhattanu, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os). Ta je na množině \mathbb{R}^n definována jako
    \rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|
  • Na množině \mathbb{R}^n lze definovat tzv. euklidovskou metriku, která vyjadřuje délku úsečky mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá euklidovský prostor dimenze n a označuje se En. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též Pythagorova věta):
    \rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sqrt{ {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2 + \cdots + {(x_n - y_n)}^2 }
  • Jinou metriku lze na \mathbb{R}^n definovat vztahem
    \rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}
  • Metrickým prostorem C(\langle a, b\rangle) nazýváme prostor všech spojitých funkcí na intervalu \langle a, b\rangle\,\! s metrikou
    \rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}
  • „Rozdílnost“ dvou spojitých funkcí na intervalu (a,b) měří tzv. integrální metrika
    \rho(f, g) = \int_a^b{|f(x) - g(x)| \mbox{d}x}
  • Levenshteinova vzdálenost vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou textových řetězců, kterou vyjadřuje jako počet změn, které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
  • Délka nejkratší cesty v grafu je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).

[editovat] Porovnání metrik

Mějme na neprázdné množině \mathbf{M} dvě libovolné metriky ρ12. Následující výroky jsou ekvivalentní:

Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami ρ1 a ρ2. Je-li přitom \rho_1 \ne \rho_2, pak o takto definovaných metrikách říkáme, že ρ2 je silnější než ρ1 (nebo ρ1 je slabší než ρ2).


O metrikách ρ12 na \mathbf{M} řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina \mathbf{X} \subset \mathbf{M} je otevřená v metrice ρ1 právě tehdy, když je otevřená v metrice ρ2. Jsou-li metrikyρ12 ekvivalentní, pak pro každou množinu \mathbf{X} \subset \mathbf{M} platí \mathrm{cl}_1 \mathbf{X} = \mathrm{cl}_2 \mathbf{X}, kde \mathrm{cl}_i \mathbf{X} je uzávěr množiny \mathbf{X} v metrice ρi. Jestliže jsou metriky ρ12 ekvivalentní, pak pro každou množinu \mathbf{X} \subset \mathbf{M} také platí \mathrm{int}_1 \mathbf{X} = \mathrm{int}_2 \mathbf{X}, kde \mathrm{int}_i \mathbf{X} je vnitřek množiny \mathbf{X} v metrice ρi.

[editovat] Podívejte se také na