Algebraická struktura

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná struktura je na tyto operace uzavřená.

Studiem algebraických struktur se zabývá algebra.

Obsah

[editovat] Definice

Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.

[editovat] Příklady

[editovat] Nejsou algebraickými strukturami

  • (N; -) - množina přirozených čísel není na operaci odečítání uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně odečítat, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.
  • (N; :) - množina přirozených čísel není na operaci dělení uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně dělit, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.

[editovat] Souvislost s relačními strukturami

Matematická struktura (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (M,R), kde R je množina relací definovaných v M. Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura (N; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura.

[editovat] Vlastnosti operací

[editovat] Klasifikace

[editovat] Algebraické struktury s jednou operací

  • Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
  • Kvazigrupa je grupoid, na kterém lze neomezeně provádět inverzní operaci (dělit).
  • Pologrupa je asociativní grupoid.
  • Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
  • Grupa je monoid s inverzními prvky.
  • Abelova grupa je komutativní grupa.

[editovat] Algebraické struktury se dvěmi operacemi

  • Polookruh je algebraická struktura, která je vzhledem ke sčítání komutativní monoid a vzhledem k násobení monoid
  • Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je ke sčítání komutativní grupou a k násobení pologrupou.
  • Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly
  • Těleso je okruh, který je grupou vůči násobení
  • Pole je těleso, které je vůči násobení komutativní grupou

[editovat] Algebraické struktury s uspořádáním