Elipsoid setrvačnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Elipsoid setrvačnosti je plocha tvořená koncovými body vektorů úhlové rychlosti v různých směrech za předpokladu, že kinetická energie rotačního pohybu je konstantní.

Obsah

[editovat] Rovnice elisoidu

Moment setrvačnosti JS vzhledem k ose S, která svírá se souřadnicovými osami x,y,z úhly α,β,γ je vyjádřen vztahem

J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta \,

Mění-li se směr osy S, mění se také velikost momentu setrvačnosti JS. Sledujeme-li při různých volbách osy S a konstantní hodnotě kinetické energie Ek0 úhlové rychlosti ω pro daný směr osy S, pak koncové body vektorů ω budou tvořit určitou právě plochu označovanou jako elipsoid setrvačnosti.


Elipsoid má tři hlavní osy. Označíme-li ω123 velikosti hlavních poloos a souřadnice vzhledem k hlavním osám elipsoidu jako ξ,η,ζ, lze rovnici elipsoidu psát ve tvaru

{\left(\frac{\xi}{\omega_1}\right)}^2 + {\left(\frac{\eta}{\omega_2}\right)}^2 + {\left(\frac{\zeta}{\omega_3}\right)}^2 = 1

[editovat] Vyjádření momentu setrvačnosti

Ze vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu tělesa lze získat vztah

J_S = \frac{2E_{k0}}{\omega^2}

Lze předpokládat, že

J_i = \frac{2E_{k0}}{\omega_i^2}, pro i = 1,2,3,

kde Ji jsou momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k hlavním osám elipsoidu setrvačnosti. Rovnici elipsoidu setrvačnosti tedy můžeme přepsat do tvaru

J1ξ2 + J2η2 + J3ζ2 = 2Ek0

To lze také zapsat jako

2E_{k0} = \omega_1^2 J_1 + \omega_2^2 J_2 + \omega_3^2 J_3


Pokud osa S svírá s hlavními osami elipsoidu setrvačnosti úhly α000, budou souřadnice polohy bodu na elipsoidu setrvačnosti, který přísluší ose S

\xi = \omega\cos\alpha_0,\, \eta = \omega\cos\beta_0,\, \zeta = \omega\cos\gamma_0

Moment setrvačnosti JS k ose S je možné vyjádřit jako

J_S = \frac{2E_{k0}}{\omega^2} = J_1\cos^2\alpha_0 + J_2\cos^2\beta_0 + J_3\cos^2\gamma_0

V tomto vztahu se nevyskytují smíšené členy (deviační momenty). To tedy znamená, že deviační momenty vzhledem k hlavním osám jsou nulové.


V obecném případě má elipsoid setrvačnosti všechny hlavní osy různě velké, takže lze psát J1 < J2 < J3, neboť všechny osy elipsoidu jsou různé a lze je tedy seřadit podle velikosti. Hlavní osy elipsoidu jsou k sobě navzájem kolmé. Je-li elipsoid setrvačnosti rotační, jsou dvě jeho osy stejně velké a tedy i dva ze tří hlavních momentů setrvačnosti jsou stejně velké. Má-li totiž těleso rovinu souměrnosti, pak je každá kolmice k této rovině hlavní osou setrvačnosti. Má-li těleso osu souměrnosti, je tato osa jednou ze tří hlavních os souměrnosti.

[editovat] Centrální elipsoid setrvačnosti

Ačkoli se všechny dosavadní úvahy týkaly elipsoidu setrvačnosti, který byl umístěn v hmotném středu tělesa, středem elipsoidu setrvačnosti může být obecně libovolný bod tělesa. Elipsoid setrvačnosti, jehož střed leží v těžišti tělesa, se nazývá centrální elipsoid setrvačnosti.


Moment setrvačnosti k libovolné ose se určí tak, že se určí moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa a následným použitím Steinerovy věty se určí moment kolem dané osy, tzn.

J_S = J_1\cos^2\alpha_0 + J_2\cos^2\beta_0 + J_3\cos^2\gamma_0 + mr_T^2,

kde α000 jsou úhly, které svírá osa S s hlavními osami setrvačnosti, m je celková hmotnost tělesa a rT je vzdálenost osy S od rovnoběžné osy jdoucí těžištěm tělesa.

[editovat] Podívejte se také na