Kosinová věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V trigonometrii je kosinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících.
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:
Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak cosγ = 0 a tudíž c2 = a2 + b2.
Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
[editovat] Důkaz
Důkaz vzorce pro zjištění stany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velkost daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).
- Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
.- Protože dále platí, že u = bcosα a vc = bsinα lze psát




- Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
- a2 = b2 + c2.
- Protože je α = π/2, je cosα = 0, a pak

- Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
.- Protože dále platí, že u = bcos(π − α) a vc = bsin(π − α) a dále cos(π − α) = − cosα a sin(π − α) = sinα lze psát
.- Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
.



