Kartézský součin
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin
a
je množina, označená
, která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny
a druhá položka je prvkem množiny
. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.
Obsah |
[editovat] Formální definice

Příklad:
- Kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32-prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.
- Kartézským součinem množiny všech reálných čísel
se sebou samou vznikne rovina
, což je možno psát jako
(„Kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí
, viz kartézský souřadnicový systém.
Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:
Příkladem takového součinu je Euklidovský prostor
.
[editovat] Vlastnosti
Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.
Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin.
Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.
Je-li kartézským součinem prázdná množina:
, pak je
nebo
.
Jestliže
a
, pak je
a
.
[editovat] Nekonečný součin
Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:
Zde
je množina indexů,
je množina operandů (množin), indexovaná prvky
.
Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z
do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde
odpovídá takové funkci
, u které
.
[editovat] Význam kartézského součinu
Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině
jsou určité podmnožiny
, operace na množině jsou určité podmnožiny
.
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |



