Binomické rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binomické rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost.

Obsah

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina X s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po n. Pravděpodobnost, že jev nastane právě x-krát z n pokusů při pravděpodobnosti jevu p, je určena rozdělením

P[X=x] = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

\operatorname{E}(X)=np

Rozptyl je

σ2(X) = np(1 − p)

Pro koeficient šikmosti dostáváme

\gamma_1 = \frac{1-2p}{np(1-p)}

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

\gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

m(z) = {\left[p\mathrm{e}^z + (1-p)\right]}^n

[editovat] Příklady

  • Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?
n=5, \, x=2, \, p=1/6
p_2= {5 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(1-\frac{1}{6}\right)^{(5-2)} \approx  0,16 = 16%
  • Pro n = 1 dostáváme speciální tvar binomického rozdělení, tzv. alternativní rozdělení.
  • Pro n\to\infty a malé pravděpodobnosti, tzn. p\to 0, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.

[editovat] Podívejte se také na