Kartézská mocnina
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.
Obsah |
[editovat] Definice
[editovat] Základní definice pro přirozené exponenty
Pokud je
množina a
přirozené číslo, pak kartézskou mocninou
rozumíme
- násobný kartézský součin množiny
se sebou samou:

Speciálně pro
dostáváme
jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z
, pro
dostáváme
jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z
.
[editovat] Obecná definice
Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:
Kartézskou mocninou
množin
a
rozumíme množinu všech zobrazení množiny
do množiny
.
Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici - všechny uspořádané dvojice z
nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny (například
) do
. Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné
.
Pokud vezmeme za
množinu všech přirozených čísel
, dostáváme kartézskou mocninu
- tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny
.
[editovat] Příklad
Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:
- podle první definice je
![3^2 = \{ 0,1,2 \} \times \{ 0,1,2 \} = \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2] \} \,\!](../../../math/d/9/a/d9af6badef80f1c6858b8e5505c24aa9.png)
- podle druhé definice je
![3^2 = \{ 0,1,2 \} ^{ \{ 0,1 \} } = \{ \{ [0,0],[1,0] \}, \{ [0,0],[1,1] \}, \{ [0,0],[1,2] \}, \{ [0,1],[1,0] \}, \ldots , \{ [0,2],[1,2] \} \} \,\!](../../../math/0/b/e/0be4e60f497b8af06476d71d8e7393a5.png)
Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou - jsou izomorfní.
[editovat] Užití
- Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru - což není nic jiného, než množiny
a
( jako
je zde označována množina všech reálných čísel). - Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině
) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině
. - Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny
. - Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
- Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina
, na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení
do
(obecněji
do
, kde
je arita konkrétní operace).
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |

