Euler-Lagrangeova rovnice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Euler-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferneciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.
Obsah |
[editovat] Popis problému optimalizace
Je zadána následující funkce F, která má spojité první parciální derivace.
Aby funkce y(x) představovala extrém následujícího funkcionálu J
musí funkce y(x) splňovat následující obyčejnou diferenciální rovnici zvanou Euler-Lagrangeova rovnice.
[editovat] Příklad: „Nejlevnější cesta“
Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.
![J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x](../../../math/c/7/5/c75370c2d0d59cc2f793b5410f702baf.png)
- y(0) = 0
- y(1) = 1
V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů [x;y(x)]) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby určitý integrál podél této křivky byl minimální. Lze si také představit, že funkce F(x,y,y') = y'2 + 12xy představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.
Dosazením funkce F do Euler-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici.
- 12x − 2y'' = 0
Získanou rovnici můžeme upravit a dvakrát integrovat.
- y'' = 6x
- y' = 3x2 + c1
- y = x3 + c1x + c2
Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek y(0) = 0 a y(1) = 1 a získáme tak hledanou funkci y(x).
- c1 = 0
- c2 = 0
- y(x) = x3
[editovat] Lagrangeova mechanika
Předchozí formulace problému byla poněkud „Eulerovská“. Lagrange k problému přistupoval tak, že se snažil najít pohybovou rovnici popisující trajektorii hmotného bodu. Za tímto účelem odvodil lagrangián L, který je rozdílem kinetické (Ek, někdy také T) a potenciální energie (Ep, někdy také V) zkoumaného tělesa. Pro těleso o souřadnicích qi, na které nepůsobí externí síly, potom musí platit Euler-Lagrangeova rovnice.
- L = T − V
Pokud na těleso působí ještě další síly, přidá se na pravou stranu rovnice ještě člen reprezentující práci těchto sil v daném směru.
V případě, že je pohyb zkoumaného tělesa omezen vazební podmínkou, kterou lze například vyjádřit rovnicí g(x,y) = 0, potom je třeba do lagrangiánu L přidat ještě tuto funkci vynásobenou koeficientem λ, který se nazývá Lagrangeův multiplikátor. Z rovnic získaných dosazením do Lagrangeovy rovnice a z vazební podmínky je potom nutné vypočítat λ a následovně jej použít v hledaných pohybových rovnicích. Jedná se o podobný postup, jako při hledání vázaného extrému v diferenciálním počtu.
[editovat] Příklad: Pohybová rovnice oscilátoru
Úkolem je sestavit pohybovou rovnici pro těleso o hmotnosti m upevněné na pružině s koeficientem tuhosti c, jak je ukázáno na obrázku vpravo. Vzdálenost x představuje roztažení (výchylku) pružiny vůči klidovému stavu, přičemž předpokládáme, že pružina působí na těleso silou F přímo úměrnou výchylce x a koeficientu tuhosti c.
Kinetická energie tělesa T je známá, potenciální energie V v tomto případě představuje práci potřebnou k přesunu tělesa do vzdálenosti x od klidové polohy (viz Potenciální energie pružnosti). Ze znalosti energií lze sestavit lagrangián L.
Dosazením lagrangiánu do Lagrangeovy rovnice získáme hledanou pohybovou rovnici.
Stejnou rovnici lze také samozřejmě získat užitím druhého Newtonova pohybového zákona, který říká, že zrychlení tělesa je dáno součtem sil, které na těleso působí. Nicméně pro složitější soustavu těles se ukazuje být vhodnější Lagrangeův postup pomocí energií.
[editovat] Příklad: Oscilátor a odpor prostředí
Zadání příkladu je téměř stejné, pouze je navíc přídána síla Fo představující odpor prostředí přímo úměrný rychlosti tělesa (se součinitelem odporu α) a působící proti rychlosti.
Přírustek práce dW v závislosti na přírustku polohy dx bude zřejmě dW = Fodx, takže stačí dosadit do Langrangeovy rovnice a získat hledanou pohybovou rovnici.
[editovat] Podívejte se také na
[editovat] Externí odkazy
- Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
- Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
- Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
- Příklad 18, Vačkový mechanismus: http://volt.feld.cvut.cz/vyuka/DMS/priklady/pr_18.html
- Úloha 10 - Kyvadlo: http://e-learning.tul.cz/…

















