Kovariantní derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice slouží kovariantní derivace k určení derivace podél tečných vektorů na varietě.

Obsah

[editovat] Motivace

Parciální derivací kontravariantního vektoru Tι dostaneme T_{{},\kappa}^\iota = \frac{\part T^\iota}{\part x^\kappa}. Veličiny T_{{},\kappa}^\iota se však netransformují jako tenzory. Z definice parciální derivace totiž plyne

T_{{},\kappa}^\iota = \lim_{\Delta x^\kappa\to 0} \frac{T^\iota(x^\lambda+\Delta x^\lambda)-T^\iota(x^\lambda)}{\Delta x^\kappa}

V tomto vztahu se však vyskytuje rozdíl dvou vektorů v různých místech prostoru, což již není vektor. Podobné tvrzení platí i pro kovariantní vektory.

Abychom se tomuto problému vyhnuli, provedeme nejprve paralelní přenos vektoru Tι do bodu xλ + Δxλ, takže v čitateli limity bude odečítat Tι(xλ + Δxλ) a paralelně přenesený vektor T_{\|}^\iota ve stejném bodě.

[editovat] Absolutní derivace

Uvažujme křivku xι = xι(u), na níž zvolíme pevný bod xι(u0). Podél této křivky mějme vektorové pole Tι(u). Přeneseme-li paralelně Tι(u0) do všech ostatních bodů křivky, dostaneme podél křivky nové pole Tι(u0,u).

Nyní lze definovat tzv. absolutní derivaci Tι(u) podél křivky xι = xι(u) v bodě xι(u0) jako

{\left.\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u}\right|}_{u_0} = \lim_{u\to u_0} \frac{T^\iota(u)-T_{\|}^\iota(u_0,u)}{u-u_0}

Tento výraz lze upravit

{\left.\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u}\right|}_{u_0} = \lim_{u\to u_0} \left[\frac{T^\iota(u)-T^\iota(u_0)}{u-u_0} - \frac{T_{\|}^\iota(u_0,u)-T_{\|}^\iota(u_0,u_0)}{u-u_0}\right] = \left[\frac{\mathrm{d}T^\iota}{\mathrm{d}u} + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota(x^\lambda(u))T^\kappa(u)\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\right]

kde bylo využito toho, že T_{\|}^\iota(u_0,u_0)=T^\iota(u_0) a \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota je afinní konexe.

[editovat] Kovariantní derivace

Máme-li vektorové pole Tι(x) definované v okolí bodu x_0^\lambda, můžeme vést tímto bodem libovolnou křivku x^\lambda=x^\lambda(u), x_0^\lambda=x^\lambda(u_0), podél které lze určit absolutní derivaci Tι v x_0^\lambda. Využijeme-li toho, že \frac{\mathrm{d}T^\iota(x(u))}{\mathrm{d}u} = T_{{},\lambda}^\iota\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}, lze pro u0 absolutní derivaci vyjádřit jako

\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u} = \left[T_{{},\lambda}^\iota + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota T^\kappa\right]\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}

Výraz v hranaté závorce se nazývá kovariantní derivace a značí se

\nabla_\lambda T^\iota = T_{{};\lambda}^\iota = T_{{},\lambda}^\iota + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota T^\kappa


Podobným postupem lze získat také kovariantní a absolutní derivaci kovariantního vektoru. Pro obecný tenzor T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots} pak platí

\frac{\mathrm{D}T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{d}T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}}{\mathrm{d}u} - \Gamma_{{}\iota\sigma}^\rho T_{\rho\cdots}^{\kappa\cdots}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} - \cdots + \Gamma_{{}\rho\sigma}^\kappa T_{\iota\cdots}^{\rho\cdots}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} + \cdots
\nabla_\lambda T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots} = T_{\iota\cdots;\lambda}^{\kappa\cdots} = T_{\iota\cdots,\lambda}^{\kappa\cdots} - \Gamma_{{}\iota\lambda}^\rho T_{\rho\cdots}^{\kappa\cdots} - \cdots + \Gamma_{{}\rho\lambda}^\kappa T_{\iota\cdots}^{\rho\cdots} + \cdots

[editovat] Vlastnosti

Kovariantní derivace vektoru Tι, tzn. \nabla_\lambda T^\iota je tenzor. Kovariantní derivace zvyšuje řád tenzoru o 1. Absolutní derivace vektoru je vektor.

Absolutní a kovariantní derivace skaláru jsou definovány jako obyčejné derivace.

Platí známá pravidla pro derivování součinu, tzn.

\frac{\mathrm{D}S_\cdots^\cdots T_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{D}S_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u}T_\cdots^\cdots + S_\cdots^\cdots\frac{\mathrm{D}T_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u}
\nabla_\lambda (S_\cdots^\cdots T_\cdots^\cdots) = \left(\nabla_\lambda S_\cdots^\cdots\right)T_\cdots^\cdots + S_\cdots^\cdots \left(\nabla_\lambda T_\cdots^\cdots\right)


Pro metrický tenzor platí důležité vztahy

g_{\iota\kappa;\lambda} = g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\rho\kappa}\Gamma_{{}\iota\lambda}^\rho - g_{\iota\rho}\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\rho = g_{\iota\kappa,\lambda} - \Gamma_{\kappa\iota\lambda} - \Gamma_{\iota\kappa\lambda} = 0
\delta_{\iota;\lambda}^\kappa = \delta_{\iota,\lambda}^\kappa + \delta_\rho^\kappa \Gamma_{{}\iota\lambda}^\rho - \delta_\iota^\rho \Gamma_{{}\rho\lambda}^\kappa = 0
g_{{  };\lambda}^{\iota\kappa} = 0

Metrický tenzor se tedy při kovariantních derivacích chová jako konstanta. Může tedy být použit např. při zvyšování (snižování) indexu tenzoru v kovariantní derivaci, tzn.

g_{\iota\kappa}{\left(T_\cdots^{{}\kappa\cdots}\right)}_{;\lambda} = T_{\cdots\iota;\lambda}^{{}\cdots}

[editovat] Podívejte se také na