Limita
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty posloupnosti nebo funkce blíží nějakému číslu. Právě toto číslo je pak označováno jako limita.
Obsah |
[editovat] Limita posloupnosti
Posloupnost
má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo
platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než
.
Zapsáno symbolicky: 
Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
[editovat] Důkaz
Budeme dokazovat sporem, předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost
, která má dvě limity: A a B, přičemž
.
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že A < B.
Platí:

a

Označme n0 větší z čísel n1, n2. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro ε = (A − B) / 2 a pro nějaké k > n0 platí:
| A − ak | < (A − B) / 2 a | B − ak | < (A − B) / 2
Tedy vzdálenost ak od bodu A i od bodu B je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
[editovat] Konvergence posloupnosti
Pokud k libovolnému číslu
existuje přirozené číslo n0 takové, že pro všechna n > n0 platí
, pak říkáme, že posloupnost (an) má (vlastní, konečnou) limitu A, popř. že posloupnost konverguje k číslu A. Konvergenci posloupnosti k A zapisujeme
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému
takové přirozené číslo n0, že pro libovolnou dvojici indexů m > n0,n > n0 platí
, pak je posloupnost (an) konvergentní. Jedná se o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti.
[editovat] Bodová a stejnoměrná konvergence
O funkční posloupnosti (fn(x)) říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci f(x), pokud pro každé
existuje vlastní limita
. Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost (fn(x)) označíme jako divergentní.
Pokud lze pro libovolné
najít takové n0, které je stejné pro všechny body
, a pro všechna n > n0 a všechny body
platí
pak posloupnost (fn(x)) označíme jako stejnoměrně konvergentní.
Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě x přibližně stejně rychle.
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost (fn(x)) na intervalu
stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému
najít takové přirozené číslo n0, že pro každou dvojici n > n0,m > n0 a každé
platí
Pokud jsou funkce fn(x) na intervalu
spojité a posloupnost (fn(x)) je na
stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu
spojitá také limitní funkce f(x).
[editovat] Vlastnosti konvergentní posloupnosti
Mějme dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí
. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.
Z posloupnosti (bn) jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť
.
Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí
, pak jestliže pro každé n je
, pak je také
.
Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí
, pak jestliže existuje posloupnost (cn) taková, že pro každé n je
, pak platí také
.
Je-li
podposloupnost posloupnosti (an) a platí
, pak platí také
.
Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li (an) omezená posloupnost v
, pak z ní lze vybrat posloupnost
, která je konvergentní.
Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.
Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme
Posloupnost (an) je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud 
Konvergentní posloupnost má tedy pouze jeden hromadný bod (v nekonečnu).
[editovat] Limita funkce
Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému ε > 0 existuje takové δ > 0 , že pro všechna x z δ-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je

značíme

Lidsky řečeno: f(x) má v a limitu A, jestliže f(x) se liší od čísla A velmi málo, je-li x hodně blízko bodu a, tedy že okolí funkce kolem bodu a musí být spojité.
Pokud je limita počítána v definované části funkce, jedná se o funkční hodnotu tohoto místa, právě když je v tom místě funkce spojitá.
[editovat] Limita funkce více proměnných
O funkci f(xi) n-proměnných xi říkáme, že má v bodě A = [a1,a2,...,an] limitu K, pokud ke každému (libovolně malému) číslu
existuje takové číslo δ > 0, jenž je v obecném případě závislé na volbě
, že pro všechny body X = [x1,x2,...,xn] z δ-okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí
. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů.
Limita funkce n proměnných je tedy definována obdobným způsobem jako limita funkce jedné proměnné.
U funkce n proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, tzn.
, ale také vzhledem několika nebo jen jedné z proměnných, tzn. např.
. Tedy např.
,
kde g je funkcí n − 1 proměnných.
[editovat] Limita komplexní funkce
O komplexní funkci f(z) definované v okolí bodu z0 říkáme, že má v z0 limitu A, jestliže k libovolnému
existuje δ-okolí bodu z0 takové, že
Limitu v bodě z0 zapisujeme
.
Formálně je tedy zápis stejný jako v případě reálných funkcí.
Limita A může být komplexním číslem.
[editovat] Limita zprava a zleva
O funkci f(x) říkáme, že má v bodě a limitu A zprava, resp. zleva, pokud k libovolnému číslu
existuje takové číslo δ > 0, jehož hodnota může v obecném případě záviset na volbě
, že pro všechna x z pravého, resp. levého okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a, tedy pro všechna x splňující podmínku 0 < | x − a | < δ, platí
, což zapisujeme
- označována jako limita zprava
- označována jako limita zleva
Funkce f(x) má v bodě a limitu pouze tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava.
[editovat] Vlastní a nevlastní limita
Limitu
nazýváme vlastní nebo konečnou limitou funkce f(x) v bodě a, je-li A konečné číslo.
Limitu funkce f(x) v daném bodě a označíme jako nevlastní
, resp.
, pokud k libovolně velkému číslu K > 0 existuje takové δ > 0, že pro všechna x z δ-okolí bodu a s výjimkou bodu a samotného platí f(x) > K, resp. f(x) < − K, tedy
Nevlastní limitu lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.
[editovat] Limita v nevlastních bodech
Limitu funkce lze počítat ve vlastních i nevlastních bodech, přičemž vlastním bodem je myšleno libovolné reálné číslo, nevlastním pak
či
.
Říkáme, že funkce f(x) má vlastní limitu A v nevlastním bodě
resp.
právě tehdy když:
resp.
.
Také v nevlastním bodě může být limita nevlastní, tzn.
.
[editovat] Vlastnosti
- Funkce f(x), která má v bodě a limitu, je v tomto bodě spojitá.
- Mějme libovolné číslo c, funkci f(x), která má v bodě a limitu A a funkci g(x), která má ve stejném bodě limitu B, pak platí následující vztahy

![\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B](../../../math/6/a/a/6aa2aaca5af391fe7b8b14260bab4191.png)

(lze použít l'Hospitalova pravidla)
- Mějme funkci f(x), která má v bodě a limitu A, tzn.
, a funkci g(z), která má v bodě A limitu B, tedy
. Pokud existuje takové δ > 0, že pro všechna x splňující podmínku 0 < | x − a | < δ platí
, pak
- Máme-li dvě funkce f(x),g(x), pro něž v okolí nějakého bodu a platí
, pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit
- Pokud v okolí bodu a platí
a existují limity
a
, pak existuje také limita
, a její hodnota je A.











![\lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to A} f(X)=K](../../../math/2/4/0/240d21f24bf2967327453def6ea49351.png)
![\lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to [a_1,a_2,...,a_n]} f(X)=K](../../../math/a/9/e/a9eda0bbeaf16f61276eed0b0d5ea408.png)







