Dělení nulou

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako \frac{a}{0}, kde a je dělenec. V oboru reálných čísel nemá takové dělení smysl.

Obsah

[editovat] Interpretace v elementární aritmetice

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme 10 kvádrů a rozdělíme je na skupiny po 5, dostaneme 2 stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádru v každé části. Výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohormady, abych dostal část po 10 kusech?“

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohormady, abych dostal část po 10 kusech?“ nedává smysl, protože přičítání částí o 0 prvcích nikdy nedá množinu deseti.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

[editovat] Algebraická interpretace

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel definováno. Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, tzn. že hodnota a/b je kořenem x rovnice bx=a, kdykoliv je taková hodnota právě jedna. Jinak není hodnota definovaná.

Pro b = 0 může být rovnice bx = a napsána jako 0x = a nebo prostě 0 = a. Proto v tomto případě rovnice bx = a nemá žádné řešení, pokud se a nerovná 0 a má nekonečně mnoho řešení, pokud se a rovná 0. Ani v jednom případě tedy rovnice nemá právě jedno řešení, a a/b není proto definované.

[editovat] Mylné závěry při dělení nulou

Je možné mít speciální případ dělení nulou v proměnné, které vede k falešnému důkazu, že 2 = 1, jako např.:

  • 1) Pro každé reálné číslo x platí:
    x2x2 = x2x2
  • 2) Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
    (xx)(x + x) = x(xx)
  • 3) Vydělíme obě strany x – x (dělení nulou, protže x – x = 0)
    (1)(x + x) = x(1)
  • 4) Což je:
    2x = x
  • 5) Protože x může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme x=1.
    2 = 1

Chybnou je v tomto případě předpoklad, že (x – x)/(x – x), což je 0/0, se rovná 1. Jakákoliv jiná hodnota přiřazená k 0/0 vede k podobným nesmyslům.

[editovat] Limity a dělení nulou

Na první pohled vypadá možné definovat \frac{a}{0} jako limitu \frac{a}{b} pro b jdoucí k 0.

Pro každé kladné a platí:

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty

Pro každé záporné a platí:

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Za prvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Za druhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat \frac{a}{0} jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice \frac{0}{0}, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

\lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b}

neexistuje. Limita

\lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)},

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec.