Matice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Matice je v matematice schématické uspořádání matematických objektů - prvků matice (též elementů matice) - do m řádků a n sloupců. Hovoříme o matici typu
.
Vodorovnou n-tici prvků
, kde i = 1,2,...,m, označujeme jako i-tý řádek matice. Svislou m-tici čísel
, kde j = 1,2,...,n, označujeme jako j-tý sloupec matice.
Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.
Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.
Obsah |
[editovat] Označení prvků matice
Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Např. a53 leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a53, nebo první nahoře a druhý dole jako a53, což má význam jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Indexy se v české notaci (na rozdíl např. od notace anglické) neoddělují čárkou. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:
Pro zjednodušení se také používá zápisu
.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
.
[editovat] Příklad
Matice
je obdélníková matice velikosti 4×3. Prvek matice a23 nebo a23 je 7.
[editovat] Důvod dvojího značení
Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru, není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), je potřeba, aby maticový zápis vektorů byl konzistentní s Einsteinovým sumačním pravidlem a obecně zápisem vektorů v obecných souřadnicích. Toto je splněno právě pokud index číslující sloupec umístíme nahoru a index číslující řádek dolů. Sloupcové vektory potom představují vektory, kdežto řádkové vektory jsou (k nim duální) lineární formy.
V mnoha učebních textech se však používá zjednodušená notace, kde prvky matice mají oba indexy dole.
[editovat] Diagonála matice
- Podrobnější informace naleznete v článku Diagonálanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Prvky a11,a22,a33,..., leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky aij, kde i = j.
Prvky a1n,a2,n − 1,a3,n − 2,..., leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky aij, kde j = n − i + 1.
Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.
[editovat] Druhy matic
- Matice typu
je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice. - Matice typu
je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice. - Je-li n = m, pak matici označujeme jako čtvercovou matici n-tého řádu (stupně). Pro
bývá matice označována jako obdélníková. - Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. aij = 0 pro všechna i,j, označujeme matici jako nulovou.
- Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. aij = 0 pro
a
pro i = j, nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice
lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu
,
kde
jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky λi diagonální matice platí
, jedná se o jednotkovou matici
, pro jejíž prvky platí
- eij = δij
- Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar
Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
- Jsou-li m i n konečná čísla, označujeme matici jako konečnou.
- Matici, která vznikne z matice
vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme
. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí
- Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn.
, pak matici
označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí
.
- Matici
označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah
.
- Pokud každý prvek aij matice
nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým, pak získáme matici
, kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici. - Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn.
, pak matici
nazýváme reálnou maticí. - Provedeme-li na matici
transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou. Hermiteovsky sdruženou matici zapisujeme jako
- Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn.
, říkáme, že matice
je hermiteovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). - Matice
je inverzní maticí k matici
, pokud platí
,
kde
je jednotková matice.
- Matici
, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární. - Matici
označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice
je rovna matici hermiteovsky sdružené
, tzn.
- Adjungovaná matice k matici A je transponovaná matice algebraických doplňků matice A.
[editovat] Operace s maticemi
Operace s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.
- O dvou maticích
prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek aij matice
je roven odpovídajícímu prvku bij matice
. Rovnost matic
zapíšeme
- Vynásobíme-li matici
komplexním číslem λ, získáme novou matici
, jejíž prvky jsou λ násobky prvků matice
, tzn.
Výsledná matice
je tedy stejného typu jako původní matice
.
- Mějme dvě matice
typu
. Jako součet těchto matic označíme matici
typu 
Prvky matice
jsou určeny vztahem
Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.
- Rozdíl dvou matic
(stejného typu
) je nová matice
typu 
Prvky matice
jsou určeny vztahem
Rozdíl matic
a
lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.
- Obecně lze pro matice
, které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic
,
kde prvky matice
určuje výraz
- lij = λaij + μbij + ...
- Máme-li matici A typu m×s a matici B typu s×n pak, jejich součinem je matice C typu m×n, který značíme
,
přičemž prvky matice C jsou určeny jako
nebo
.
Násobení matic je také označováno jako maticové násobení.
- Opakovaným násobením matice
sama sebou lze vytvářet mocniny matic
. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu















