Kartézský součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin X \,\! a Y \,\! je množina, označená X \times Y \,\!, která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny X \,\! a druhá položka je prvkem množiny Y \,\!. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Obsah

[editovat] Formální definice

X \times Y = \{ (x,y) : x \isin X \and y \isin Y \} \,\!

Příklad:

  • Kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32-prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.
  • Kartézským součinem množiny všech reálných čísel \mathbb{R} \,\! se sebou samou vznikne rovina \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\!, což je možno psát jako \mathbb{R}^2 \,\! („Kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí (x,y) : x,y \isin \mathbb{R} \,\! , viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n = \{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_i \isin X_i , 1 \leq i \leq n \} \,\!

Příkladem takového součinu je Euklidovský prostor \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\! .

[editovat] Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množinmohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin.
Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina: A \times B = \emptyset \,\!, pak je A = \emptyset \,\! nebo B = \emptyset \,\!.

Jestliže A \times B \neq \emptyset a A \times B = C \times D \,\!, pak je A = C \,\! a B = D \,\!.

[editovat] Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}

Zde I \,\! je množina indexů, \{ X_i : i \isin I \} \,\! je množina operandů (množin), indexovaná prvky I \,\!.

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z I \,\! do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde (x_1,x_2,\ldots) \,\! odpovídá takové funkci f \,\!, u které f(1) = x_1, f(2) = x_2, \ldots \,\!.

[editovat] Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině X \,\! jsou určité podmnožiny X \times X \,\!, operace na množině jsou určité podmnožiny X \times X \times X \,\!.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika