Kvadratická plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kvadratická plocha (kvadrika) je taková plocha, kterou lze v kartézských souřadnicích popsat obecnou rovnicí

a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33}z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44} = 0\,,

kde aij jsou koeficienty, přičemž alespoň jedno z čísel a11,a22,a33,a12,a13,a23 je nenulové. Tato rovnice se nazývá rovnicí kvadratické plochy.

Rovnici kvadratické plochy nemusí vyhovovat žádný reálný bod. V takovém případě hovoříme o imaginární kvadrice.

Obsah

[editovat] Invarianty

Z koeficientů rovnice kvadratické plochy lze vytvořit tzv. ortogonální invarianty. Invarianty jsou funkcemi koeficientů uvedené rovnice, přičemž jejich hodnoty se nemění při transformaci souřadnic posunutím a otočením.

Rovnice kvadratické plochy má čtyři invarianty.

[editovat] Diskriminant kvadratické plochy

A = \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}

[editovat] Subdeterminant diskriminantu kvadratické plochy

A_{44} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

[editovat] Kvadratický invariant plochy

I_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

[editovat] Lineární invariant plochy

I1 = a11 + a22 + a33

[editovat] Další invarianty

Kromě uvedených invariantů existují ještě dva invarianty, které však zůstávají invariantní pouze při transformaci souřadnic otočením.

S_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} \\ a_{14} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24} \\ a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}
S_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{24} \\ a_{14} & a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{13} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}

[editovat] Rozdělení kvadratických ploch

Uvedené invarianty umožňují určit druh kvadratické plochy.

Druh kvadratické plochy závisí na invariantech, které se nemění při posunutí a rotaci, proto se ani druh kvadratické plochy nemění při posunutí a rotaci.

Každou kvadratickou plochu lze vyjádřit tzv. kanonickou rovnicí, což je rovnice odpovídající danému druhu kvadratické plochy, jejíž střed leží v počátku souřadné soustavy a její osy jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic.

Každou kvadratickou plochu lze převést na odpovídající kanonickou rovnici vhodnou transformací souřadnic (posunutím nebo otočením). Řešením tzv. charakteristické rovnice

k3I1k2 + I2kA44 = 0

lze získat koeficienty k1,k2,k3, s jejichž pomocí lze vyjádřit rovnici kvadratické pplochy po transformaci (viz odpovídající sloupec v tabulce).

Invarianty Druh plochy Kanonická rovnice Rovnice po transformaci
A_{44}\neq 0 A < 0
I2 > 0
I1A44 > 0
reálný elipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 k_1 x^2 + k_2 y^2 + k_3 z^2 + \frac{A}{A_{44}} = 0
A > 0
I2 > 0
I1A44 > 0
imaginární elipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1
A = 0
I2 > 0
I1A44 > 0
imaginární kužel (reálný bod) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0
A > 0
I2 < 0 nebo I1A44 < 0
jednodílný hyperboloid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
A < 0
I2 < 0 nebo I1A44 > 0
dvojdílný hyperboloid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1
A = 0
I2 < 0 nebo I1A44 < 0
reálný kužel \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0
A44 = 0
A\neq 0
A < 0 eliptický paraboloid \frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}-2z=0 k_1 x^2 + k_2 y^2 \pm 2 \sqrt{-\frac{A}{I_2}}z = 0
A > 0 hyperbolický paraboloid \frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}-2z=0
A44 = 0
A = 0
I_2\neq 0
I2 > 0
I1S3 < 0
reálný eliptický válec \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 k_1 x^2 + k_2 y^2 + \frac{S_3}{I_2} = 0
I2 > 0
I1S3 > 0
imaginární eliptický válec \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1
I2 > 0
S3 = 0
dvojice různoběžných imaginárních rovin (reálná přímka) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0
I2 < 0
S_3\neq 0
hyperbolický válec \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
I2 < 0
S3 = 0
dvojice různoběžných reálných rovin \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0
A44 = 0
A = 0
I2 = 0
S_3\neq 0 parabolický válec x2 − 2py = 0 k_1 x^2 \pm 2\sqrt{-\frac{S_3}{I_1}}y = 0
A44 = 0
A = 0
I2 = 0
S3 = 0
S2 < 0 dvojice rovnoběžných reálných rovin x2a2 = 0 k_1 x^2 + \frac{S_2}{I_1} = 0
S2 > 0 dvojice rovnoběžných imaginárních rovin x2 + a2 = 0
S2 = 0 jediná rovina (dvě splývající roviny) x2 = 0

[editovat] Vlastnosti

Souřadnice středu kvadratické plochy lze získat řešením soustavy

a11x + a12y + a13z + a14 = 0
a12x + a22y + a23z + a24 = 0
a13x + a23y + a33z + a34 = 0

Řešením této soustavy nemusí být žádný bod a kvadrika tedy nemusí mít žádný střed (tzv. nestředová kvadrika). Řešením však může být nejen jeden bod, ale také přímka nebo celá rovina.

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura