Prvočíselný rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Prvočíselný rozklad je matematický pojem z oboru aritmetiky. Jedná se o vyjádření přirozeného čísla jako součinu mocnin prvočísel.

Obsah

[editovat] Definice

Nechť je x \,\! přirozené číslo větší než 1. Za jeho prvočíselný rozklad označíme každý zápis
p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}. \ldots .p_n^{m_n} \,\!
který splňuje následující podmínky:

  1. p_1^{m_1}.p_2^{m_2}. \ldots .p_n^{m_n} = x \,\!
  2. n > 0, m_1 > 0, m_2 > 0, \ldots , m_n > 0 \,\! jsou kladná celá čísla
  3. p_1 < p_2 < \ldots < p_n \,\! jsou vzájemně různá prvočísla seřazená podle velikosti

[editovat] Příklady

Tato poměrně hrozivě vypadající definice má jednoduchý význam, jak je vidět z následujících příkladů prvočíselných rozkladů:

  • 2 = 2^1 \,\!
  • 3 = 3^1 \,\!
  • 4 = 2^2 \,\!
  • 5 = 5^1 \,\!
  • 6 = 2^1.3^1 \,\!
  • 7 = 7^1 \,\!
  • 8 = 2^3 \,\!
  • 9 = 3^2 \,\!
  • 10 = 2^1.5^1 \,\!
  • 11 = 11^1 \,\!
  • 12 = 2^2.3^1 \,\!
  • 13 = 13^1 \,\!
  • 14 = 2^1.7^1 \,\!
  • 15 = 3^1.5^1 \,\!
  • \ldots \,\!
  • 1800 = 2^3.3^2.5^2 \,\!
  • \ldots \,\!

[editovat] Základní věta aritmetiky

Nabízí se otázka, zda je takovýto rozklad existuje pro každé přirozené číslo větší než 1, a zda je určen jednoznačně (tj. zda náhodou nelze jedno číslo rozložit na prvočísla dvěma způsoby).

Kladnou odpověď (tj. prvočíselný rozklad existuje pro každé číslo a je vždy jednoznačný) dává Základní věta aritmetiky.

[editovat] Použití

Pomocí prvočíselného rozkladu lze velice snadno určit nejmenší společný násobek a největší společný dělitel dvou čísel:

Pro určení nejmenšího společného násobku vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v rozkladu prvního nebo druhého čísla a u každého z nich použiji maximální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku.

Pro určení největšího společného dělitele vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v obou prvočíselných rozkladech (pokud žádné takové není, je největší společný dělitel 1) a u každého použiji minimální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad největšího společného dělitele.

[editovat] Příklad

  • 1800 = 2^3.3^2.5^2 \,\!
  • 2800 = 2^4.5^2.7^1 \,\!
  • nejmenší společný násobek: 2^4.3^2.5^2.7^1 = 25200 \,\!
  • největší společný dělitel: 2^3.5^2 = 200 \,\!

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích