Počáteční podmínky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsahuje-li řešení diferenciální rovnice r integračních konstant, můžeme tyto konstanty eliminovat a omezit tak obecné řešení diferenciální rovnice tím, že budeme požadovat, aby řešení splňovalo r podmínek. Tyto podmínky mohou být okrajové nebo počáteční.

Obsah

[editovat] Definice

Počátečními podmínkami určujeme, jak má vypadat funkce, popř. její derivace v určitém časovém okamžiku na celé oblasti, na níž diferenciální rovnici řešíme.


Řešení rovnic s počátečními podmínkami označujeme jako Cauchyovy úlohy (problémy) nebo úlohy (problémy) s počátečními podmínkami.

[editovat] Příklad

Příkladem počáteční podmínky při řešení vlnové rovnice na intervalu \langle a,b\rangle může být podmínka y(x,0) = y0(x), tzn. v čase t = 0 musí mít řešení stejný tvar jako funkce y0(x). Tato podmínka určuje v daném okamžiku řešení na celé oblasti, na níž diferenciální rovnici řešíme.

[editovat] Cauchyova úloha

Cauchyovou úlohou (problémem) nazýváme úlohu, při níž hledáme řešení diferenciální rovnice se zadanými počátečními podmínkami.

Příkladem z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic je úloha nalézt řešení rovnice y^\prime=f(x,y) za počáteční podmínky y(x0) = y0.


Podobně pro parciální diferenciální rovnice je Cauchyovým problémem úloha najít řešení parciální diferenciální rovnice, které splňují určité počáteční podmínky.

Za Cauchyovu úlohu označíme např. řešení rovnice

\frac{\part^2 z}{\part x^2} = f\left(x,y,z,\frac{\part z}{\part x},\frac{\part z}{\part y},\frac{\part^2 z}{\part x\part y},\frac{\part^2 z}{\part y^2}\right)

s počátečními podmínkami

z(x0,y) = f0(y)
\frac{\part z}{\part x}(x_0,y) = f_1(y)

[editovat] Podívejte se také na