Okolí (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Okolí bodu je podmnožina topologického prostoru, jejíž otevřená podmnožina obsahuje tento bod. Okolí bodu je taková množina, že i „blízké“ body leží stále v této množině. Pomocí okolí bodů se dají definovat pojmy uzávěr a vnitřek množiny, spojité zobrazení, limita funkce a podobně.

Obsah

[editovat] Okolí v množině reálných čísel

V množině reálných čísel je ε-okolí (ε > 0) bodu x otevřený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové ε-okolí je bodu x je pak okolí, které neobsahuje bod x, tedy sjednocení intervalů (x - \epsilon, x) \cup (x, x + \epsilon).

[editovat] Okolí komplexního bodu

δ-okolím komplexního bodu z0 označujeme všechny body z komplexní roviny, pro které platí | zz0 | < δ, tzn. body ležící na komplexní rovině uvnitř kružnice se středem v bodě z0 a poloměrem δ.

[editovat] Okolí v metrických prostorech

V metrickém prostoru X máme pomocí metriky d definovánu vzdálenost bodů a zavádíme ε-okolí bodu x jako

U_{\epsilon} (x) = \{y \in X: d(x, y) < \epsilon \}

[editovat] Obecná definice

Podmnožinu U topologického prostoru (X,τ) nazveme okolím bodu x, pokud existuje otevřená podmnožina O \in \tau taková, že x \in O. Okolí bodu x značíme U(x).

Protože vnitřek množiny je její největší otevřená podmnožina, je množina U(x) okolí bodu x právě tehdy, když x leží v jejím vnitřku.

V jiných jazycích