Kuželosečka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Druhy kuželoseček

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Obsah

[editovat] Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

[editovat] Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

[editovat] Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

kde koeficienty aij jsou reálná čísla, přičemž aij = aji. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v x a y.

[editovat] Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • diskriminant kuželosečky
\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
  • diskriminant kvadratických členů
\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
  • třetím invarientem je
S = a11 + a22

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty aij, avšak uvedené invarianty se nezmění.

[editovat] Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li \Delta\neq 0, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro Δ = 0 jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s δ = 0 jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro \delta\neq 0 se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček \delta\neq 0
středové kuželosečky
δ = 0
nestředové kuželosečky
δ > 0 δ < 0
\Delta\neq 0
vlastní kuželosečky
ΔS < 0
reálná elipsa
hyperbola parabola
ΔS > 0
imaginární elipsa
Δ = 0
nevlastní kuželosečky
dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem v nekonečnu dvě reálné různoběžky a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0
dvě různé reálné rovnoběžky
a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0
dvě splývající rovnoběžky
a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0
dvě imaginární rovnoběžky

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy

Kuželosečky (pdf)