Integrál komplexní funkce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Integrál funkce komplexní proměnné se zavádí podobným způsobem jako křivkový integrál.
[editovat] Definice
Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou orientovanou křivku c s počátečním bodem z0. Na této křivce nechť je definována komplexní funkce w = f(z), o níž předpokládáme, že je na c omezená, tzn.
na c.
Křivku c rozdělíme body z1,z2,...,zn − 1 ve směru kladné orientace, na n oblouků c1,c2,...,cn, jejichž délky jsou l1,l2,...,ln. Největší z čísel l1,l2,...,ln nazýváme normou dělení d, tzn.
.
Na každém oblouku ci zvolíme libovolný bod ξi a sestrojíme součet
Tento součet závisí na volbě bodů ξi na oblouku ci a na použitém dělení d.
Pokud pro každou volbu bodů ξi na ci a pro každé dělení dn, pro které platí
, existuje takové (komplexní) číslo I, že
, pak číslo I nazýváme integrálem funkce f(z) po orientované křivce c a píšeme
Pokud je f(z) na c spojitá, pak integrál uvedený integrál existuje.
Primitivní funkcí k funkci f(z) nazýváme funkci F(z), pro kterou (v dané oblasti) platí
,
kde
označuje derivaci podle komplexní proměnné z.
[editovat] Vlastnosti
Z podobnosti s křivkovými integrály lze odvodit některé vlastnosti, např.
kde k1,k2 jsou konstanty a
je křivka c s opačnou orientací.
Platí, že ke každé funkci f(z), která je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti
, existuje primitivní funkce. Pro vícenásobně souvislé oblasti to však neplatí.
Je-li F(z) primitivní funkcí k f(z) a křivka c má počáteční bod z1 a koncový bod z2, pak platí
Hodnota integrálu tedy nezávisí na integrační cestě, ale pouze na počátečním a koncovém bodě křivky c.
V mnoha případech je výhodné použít substituce z = x + iy, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Získáme tak výraz


![\int_c [k_1 f_1(z) + k_2 f_2(z)]\mathrm{d}z = k_1 \int_c f_1(z) \mathrm{d}z + k_2 \int_c f_2(z) \mathrm{d}z \,](../../../math/6/9/3/6933b6b8175512930b8661c8f37778f8.png)


![\int_c f(z) \mathrm{d}z = \int_c [u(x,y) \mathrm{d}x - v(x,y) \mathrm{d}y] + \mathrm{i} \int_c [v(x,y) \mathrm{d}x + u(x,y) \mathrm{d}y] \,](../../../math/e/b/3/eb3c00bb6bbe57613ab1217279895bb2.png)

