Báze (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V. V konečnědimenzionálním prostoru dimenze n je tedy bází každá množina n vektorů, které jsou všechny lineárně nezávislé.

U prostorů nekonečné dimenze je pojem složitější. Přímočaré zobecnění vede k definici pojmu Hammelovy báze.

Je-li {e1,e2,...,en} bází n-rozměrného vektorového prostoru V, pak libovolný vektor v \in V lze vyjádřit pomocí jednoznačně určených koeficientů ai jako

v = \sum_{i=1}^n a_i e_i

Obsah

[editovat] Ortogonální a ortonormální báze

Důležitou roli (např. v teorii Hilbertových prostorů) hrají báze ortogonální.

Báze v prostoru H se nazývá ortogonální, jestliže pro libovolné dva vektory ui, uk zvolené báze platí

\begin{matrix}  (\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) \ne 0 & : &  \mbox{ pro } i = k \\ (\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) = 0 & : &  \mbox{ pro } i \ne k\end{matrix}

kde závorka označuje skalární součin a δik je Kroneckerův symbol.

Pokud zároveň platí

(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) = \delta_{ik},

kde δik je Kroneckerův symbol, pak bázi označujeme jako ortonormální.

Aby množina ortogonálních vektorů byla bází, je důležité ověřit, zda je úplná, tj. zda platí Parsevalova rovnost.

[editovat] Vlastnosti

  • Dvě různé báze daného prostoru mají stejný počet prvků.
  • Počet prvků báze odpovídá dimenzi vektorového prostoru.
  • Jsou-li v1, v2, …, vk lineárně nezávislé vektory neprázdného prostoru Vn dimenze n, pak pro k = n je množina {v1,v2,…,vk} bází vektorového prostoru Vn. Pro k<n pak v prostoru Vn existuje (n-k) vektorů, jejichž připojením k množině {v1,v2,…,vk} získáme bázi prostoru Vn.

[editovat] Příklady bází

  • Vektory (0,1) a (1,1) tvoří bázi ve dvourozměrném prostoru vektorů tvaru (x,y), kde x a y jsou reálná nebo komplexní čísla.
  • Vektory (0,1) a (1,0) tvoří ortonormální bázi ve stejném prostoru (při standardním skalárním součinu).
  • Funkce \sin (\frac{n \pi x}{2}), n \in (1,\infty), tvoří ortonormální bázi prostoru kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu (0,1), tj. prostoru L2((0,1)).

[editovat] Podívejte se také na