Centrální limitní věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce.

Obsah

[editovat] Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem n nezávislých náhodných veličin Xi s alternativním rozdělením (s parametrem π) vytvoříme veličinu X, která má binomické rozdělení s parametry n a π, pak pro normovanou náhodnou veličinu

U = \frac{X-n\pi}{\sqrt{n\pi (1-\pi)}}

platí vztah

\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)

pro -\infty<u<\infty, kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení \operatorname{N}(0,1).

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

[editovat] Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina X součtem n vzájemně nezávislých náhodných veličin X1,X2,...,Xn se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou \operatorname{E}(X_i)=\mu a konečným rozptylem D(Xi) = σ2, pak pro normovanou náhodnou veličinu

U = \frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}

platí opět vztah

\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)

pro -\infty<u<\infty, kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení \operatorname{N}(0,1). Veličina U má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

Y = \frac{X-n\mu}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n \left(X_i-\operatorname{E}(X_i)\right)}{n} \to 0 skoro jistě.

[editovat] Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličinje je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin Xi konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny Xi nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina X je součtem vzájemně nezávislých veličin Xi, které mají konečné střední hodnoty \operatorname{E}(X_i) a konečné třetí centrální momenty \operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right). Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{\sum_{i=1}^n \operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right)}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}} = 0.
Pak pro normovanou náhodnou veličinu
U = \frac{X - \sum_{i=1}^n \operatorname{E}(X_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}}

platí vztah

\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)

pro -\infty<u<\infty, kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení \operatorname{N}(0,1).

[editovat] Podívejte se také na