Homomorfismus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Homomorfismus je zobrazení z jedné algebraické struktury do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.

Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu.

Obecně je homomorfismus zobrazení \phi: A \rightarrow B mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou operaci f a pro všechna xi v A platí

\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))

[editovat] Typy homomorfismů

  • izomorfismus je bijektivní homomorfismus (prostý a na)
  • epimorfismus je surjektivní homomorfismus (na)
  • monomorfismus je injektivní homomorfismus (prostý)
  • endomorfismus je homomorfismus z objektu do sebe sama
  • automorfismus je endomorfismus, který je také izomorfismem.

[editovat] Jádro homomorfismu

Každý homomorfismus f:X \rightarrow Y definuje ekvivalenci \sim tak, že x \sim y právě tehdy, když f(x) = f(y). Ekvivalence \sim se nazývá jádro f. Faktormnožině X/\sim může být dána přirozená struktura, tzn. [x] \circ [y] = [x \circ y]. V tomto případě je obraz X homomorfismu f v Y nutně izomorfní X/\sim.

[editovat] Podívejte se také na