Množinové operace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Termínem množinové operace jsou označovány operace, jejichž operandy mohou být výhradně množiny - jedná se o sjednocení, průnik, rozdíl množin, doplněk množiny a kartézský součin.

Obsah

[editovat] Množinové operace

[editovat] Sjednocení

Sjednocení množin

Sjednocení množin A \,\! a B \,\! je množina všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin A \,\! a B \,\!.

Značí se A \cup B \,\!.

[editovat] Průnik

Průnik množin

Průnik množin A \,\! a B \,\! je množina všech prvků, které patří do množiny A \,\! a zároveň do množiny B \,\!.

Značí se A \cap B \,\!.

[editovat] Rozdíl

Rozdíl množin

Rozdíl množin A \,\! a B \,\! je množina, které patří množině A \,\!, ale nepatří množině B \,\!.

Značí se A - B \,\! nebo A \backslash B.

[editovat] Doplněk (komplement)

Doplněk (komplement) množiny A \,\! je unární operace označující všechny prvky, které nepatří množině A. V případě doplňku by mělo být z kontextu jasné, do které množiny se doplněk počítá, pokud není uvedeno, myslí se doplněk do univerzální třídy.

Značí se A^\prime nebo -A \,\!.

[editovat] Kartézský součin

Kartézský součin množin A \,\! a B \,\! je množina všech uspořádaných dvojic, jejichž první prvek patří do A \,\! a druhý prvek patří do B \,\!.

Značí se A \times B \,\!.

[editovat] Formální definice

Po slovní definici z předešlých kapitol uveďme ještě formální definice množinových operací v jazyce teorie množin:

  • A \cup B = \{x: x \isin A \vee x \isin B \} \,\!
  • A \cap B = \{x: x \isin A \and x \isin B \} \,\!
  • A - B = \{x: x \isin A \and x \notin B \} \,\!
  • -A = \{x: x \notin A \} \,\!
  • A \times B = \{[x,y]: x \isin A \and y \isin B \} \,\!

[editovat] Příklad

Uvažujme o dvou množinách A = \{ 0,1,2,3 \} \,\! a B = \{ 2,4,6 \} \,\!, za základní množinu (z hlediska doplňku) vezměme množinu \omega \,\! všech přirozených čísel.

  • A \cup B = \{ 0,1,2,3,4,6 \} \,\!
  • A \cap B = \{ 2 \} \,\!
  • A - B = \{ 0,1,3 \} \,\!
  • -A = \omega - A = \{ 4,5,6,7,\ldots \} \,\!
  • A \times B = \{ [0,2],[0,4],[0,6],[1,2],[1,4],[1,6],[2,2],[2,4],[2,6],[3,2],[3,4],[3,6] \} \,\!

[editovat] Užitečné vztahy

Kromě základních vlastností sjednocení a průniku existují další zajímavé vlastnosti množinových operací.

Velmi důležitou je možnost vyjádřit rozdíl množin A,B \,\! pomocí doplňku B^\prime \,\! množiny B \,\! jako

A - B = A \cap B^\prime \,\!

Pro libovolné dvě množiny A,B \,\! a jejich doplňky -A, -B \,\! platí

A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B
A \subseteq B \leftrightarrow A \cup B = B
A \subseteq B \leftrightarrow A \cap B = A
A \subseteq B \leftrightarrow (-B) \subseteq (-A)

Pro množiny A,B,C \,\! platí

(A - B) - C = A - (B \cup C)
A - (B - C) = (A - B) \cup (A \cap C)
A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)
A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)
A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)
(A - B) \times C = (A \times C) - (B \times C)

S využitím de Morganových zákonů pak můžeme dostat vztahy

A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)
A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika