Kužel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kužel.
Kužel.

Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.

Obsah

[editovat] Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor.
Kuželový prostor.

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku k, která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky k a bodem V ležícím mimo rovinu křivky k tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.

Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

[editovat] Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině z = c prochází elipsou \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (tzv. řídící křivka), má rovnici

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0

Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1

Pro a = b jde o rotační kužel s osou rotace z.


Kuželovou plochu s vrcholem v bodě [x0,y0,z0] je vždy možné vyjádřit rovnicí

F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0

[editovat] Vlastnosti

Pro objem kužele platí

V = \frac{1}{3}Sv,

kde S je obsah podstavy a v je výška kužele.


[editovat] Rotační kužel

Rotační kužel.
Rotační kužel.

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

[editovat] Vlastnosti

Označíme-li r poloměr kruhové podstavy kužele a h výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

  • poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako
s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\!
V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\!
S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\!

[editovat] Kuželosečky

Podrobnější informace naleznete v článku Kuželosečkanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

  • průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

  • průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
  • průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
  • průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Kuželosečky

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika