Binomická věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednoduší verze vypadá takto:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

[editovat] Příklady

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

[editovat] Důkaz

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro n = m + 1,

(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,
= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j z indukčního předpokladu
= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} násobení přes a a b
= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} vyjmutí k=0 ze sumy
= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} substituce j = k − 1
= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1} vyjmutí k = m + 1 ze sumy
= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k složení dvou sum
= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k z Pascalova pravidla
= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k přidáním + 1 mocnin do výrazu.

QED

[editovat] Podívejte se také na

  • Multinomická věta