Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V numerické matematice, numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic je postup, jak získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic, když nejsme schopni rovnice vyřešit přesně (analyticky).
Obvykle je dána diferenciální rovnice a počáteční podmínky:
-
y'(t) = f(t,y) y(t0) = y0
Obsah |
[editovat] Metody řešení
Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích Δt:
- y(t + Δt) = y(t) + D(t,y)Δt
D(t,y) je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat y'(t) tak, aby y(t + Δt) bylo co nejsprávnější.
[editovat] Eulerova metoda
(Více viz Eulerova metoda)
Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednoduší je Eulerova metoda:
- D(t,y) = f(t,y)
[editovat] Metody Runge-Kutta
Obecně lze metody Runge-Kutta zapsat následovně:
Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu p odpovídala Taylorovu polynomu funkce y(t) stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)
Často se používá 4 bodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.
- (Korespondence různých způsobů zápisu: h = Δt; tn = nΔt; yn = y(tn); D(t,y) = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6. Korespondence s obecným vzorcem: k1 = k4 = 1 / 6; k2 = k3 = 1 / 3; α1 = β31 = β41 = β42 = 0; α2 = α3 = β21 = β32 = 1 / 2; α4 = β43 = 1.)
[editovat] Vícekrokové metody
U vícekrokových metod je hodnota yn + 1 vypočtena z předchozích hodnot yn − i (respektive fn − i, i = 0...k) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)
Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:
[editovat] Explicitní metody
Pokud je β − 1 = 0, lze hodnotu yn + 1 určit z r + 1 předchozích hodnot yn (respektive z s + 1 předchozích hodnot fn) a jedná se o metodu explicitní.
Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:
- (Korespondence s obecným vzorcem: r = 0; α0 = 1; s = 1; β − 1 = 0; β0 = 3 / 2; β1 = − 1 / 2.)
Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:
[editovat] Implicitní metody
Pokud je β − 1 různé od nuly, je pro výpočet yn + 1 nutná znalost fn + 1 a jedná se o metodu implicitní.
Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:
[editovat] Metody prediktor-korektor
Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového yn + 1. V tomto bodě je vypočtena derivace fn + 1, která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace yn + 1.












