Eliptická diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako eliptickou parciální diferenciální rovnici (parciální diferenciální rovnici eliptického typu) funkce dvou nezávisle proměnných označujeme takovou lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu

A(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x^2}  + 2B(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x \part y} + C(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part y^2} + D(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part x} + E(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part y} + F(x,y)z(x,y) + G(x,y) = 0,

pro niž je následující determinant větší než nula

\delta = \begin{vmatrix} A(x,y) & B(x,y) \\ B(x,y) & C(x,y) \end{vmatrix} > 0


Vhodnou souřadnicovou transformací lze eliptickou diferenciální rovnici převést do tzv. kanonického tvaru

\frac{\part^2 z}{\part x^2} + \frac{\part^2 z}{\part y^2} + a_1(x,y)\frac{\part z}{\part x} + b_1(x,y)\frac{\part z}{\part y} + c_1(x,y)z+d_1(x,y) = 0

Kanonický tvar bývá také zapisován jako

\frac{\part^2 z}{\part x^2} + \frac{\part^2 z}{\part y^2} = F\left(x,y,z,\frac{\part z}{\part x},\frac{\part z}{\part y}\right)


Rovnice eliptického typu mají dvě komplexně sdružené charakteristiky \varphi_1(x,y)=C_1, \varphi_2(x,y) = \overline{\varphi_1(x,y)} = C_2, které získáme řešením rovnice

Ady2 − 2Bdxdy + Cdx2 = 0

[editovat] Podívejte se také na