Ekvivalence (matematika)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Pojem ekvivalence je v matematice používán pro binární relaci, která množinu, na které je definována, „rozumným způsobem“ rozděluje na vzájemně disjunktní podmnožiny. Obvyklé značení relace je pomocí infixu ≡ nebo ~.
Obsah |
[editovat] Definice
O binární relaci
na množině
řekneme, že se jedná o ekvivalenci, pokud je
na 
- reflexivní, tj.
![(\forall a \isin X)( [a,a] \isin R) \,\!](../../../math/1/6/1/16121a517ac2633386f917c2825ca2f9.png)
- symetrická, tj.
![(\forall a,b \isin X)( [a,b] \isin R \implies [b,a] \isin R) \,\!](../../../math/1/b/b/1bb914bf6c34f3aaa05b3984ac2a5189.png)
- tranzitivní, tj.
![(\forall a,b,c \isin X)(( [a,b] \isin R \and [b,c] \isin R) \implies [a,c] \isin R) \,\!](../../../math/4/1/8/418026c4e08b5a7be00b32645237dfd9.png)
[editovat] Rozklad a třídy ekvivalence
Relace ekvivalence určuje jednoznačně rozklad množiny
na třídy ekvivalence.
Rozkladem zde rozumíme takovou množinu
podmnožin množiny
, že sjednocením této množiny je
a každé dva prvky množiny
jsou disjunktní:
, kde
je potenční množina množiny 


Třídu ekvivalence, do které patří prvek
značíme
, rozklad množiny
podle ekvivalence
je následující množina:
![X/R = \{ [a]_R : a \isin X \} \,\!](../../../math/c/4/f/c4f8caa517034a6fc4a6f3cc0cd5ff12.png)
Platí to i naopak - každý rozklad
množiny
určuje jednoznačně právě jednu relaci ekvivalence: ![[a,b] \isin R \Leftrightarrow (\exist y \isin Y)(a \isin y \and b \isin y) \,\!](../../../math/b/1/0/b10ce8f80264d89cdb2f9bf22c30d137.png)
[editovat] Vlastnosti a příklady
[editovat] Identita jako ekvivalence
Na každé množině
je identická relace
ekvivalence. Všechny její třídy ekvivalence jsou jednoprvkové, takže rozklad podle identické relace obsahuje stejný počet prvků, jako původní množina:

[editovat] Kartézský součin jako ekvivalence
Na každé množině
je kartézský součin
(tj. největší možná binární relace na množině
) ekvivalence. Její rozklad má pouze jeden prvek - celou množinu
:

[editovat] Zbytkové třídy jako ekvivalence
Uvažujme nyní o množině
všech přirozených čísel a relaci
:
právě když a,b mají stejný zbytek po dělení číslem 7
Tato relace je ekvivalence (jedná se dokonce o speciální algebraickou ekvivalenci, která je nazývána kongruence). Její rozklad má sedm tříd ekvivalence:

[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |

