Mocninná řada
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Důležitým případem funkční řady je mocninná řada (také označovaná jako potenční), která má tvar
Mocninná řada bývá také zapisována jako
Substitucí z = x − x0 však získáme předchozí řadu.
Obsah |
[editovat] Poloměr konvergence
Mezi důležité vlastnosti mocninné řady patří, že pokud mocninná řada konverguje v bodě
, pak konverguje absolutně pro všechna
. Největší vzdálenost | x0 | od počátku, pro kterou mocninná řada ještě konverguje, označujeme jako poloměr konvergence R, přičemž platí
.
K určení poloměru konvergence se používají kritéria konvergence řad. Konvergenci v bodech
je třeba vyšetřit samostatně.
Pokud je R > 0, pak je součet s(x) mocninné řady funkcí spojitou na intervalu ( − R,R).
[editovat] Vlastnosti
Pokud pro libovolné
konverguje řada
, pak konverguje také řada
pro dané
a platí
. Říkáme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu.
Na libovolném intervalu
, který leží uvnitř ( − R,R) lze mocninou řadu integrovat člen po členu, tzn. platí
[editovat] Použití
Mocninné řady jsou často využívány např. při numerickém výpočtu hodnot funkcí, numerickém výpočtu určitých integrálů nebo při řešení diferenciálních rovnic.




