Parciální derivace
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Parciální derivace funkce více proměnných představuje v matematice takovou derivaci dané funkce, při které se derivuje pouze vzhledem k jedné z proměnných, zatímco ostatní proměnné jsou považovány za konstanty (na rozdíl od tzv. totální derivace, při jejímž výpočtu se mohou měnit všechny proměnné).
Parciální derivace jsou využívány především v diferenciální geometrii a ve vektorovém počtu.
Obsah |
[editovat] Definice
O funkci f(x1,x2,...,xn) říkáme, že má v bodě A = [a1,a2,...,an] parciální derivaci podle x1, pokud existuje vlastní limita
Podobně lze v daném bodě určit parciální derivaci pro libovolné xi, tzn.
Parciální derivaci funkce f podle xi v bodě A zapisujeme
nebo také
.
Při určování parciálních derivací platí všechna pravidla jako při určování obyčejných derivací.
[editovat] Geometrická interpretace
Geometrický význam parciálních derivací lze demonstrovat na funkci dvou proměnných z = f(x,y). Tuto funkci lze chápat jako plochu ve třírozměrném prostoru. Parciální derivace v daném bodě [x0,y0], v němž má funkce hodnotu z0 = f(x0,y0), odpovídají směrnicím tečen ve směru jednotlivých souřadnicových os. Směrnici tečny t1 tedy získáme jako parciální derivaci podle x, tzn.
, a podobně pro směrnici tečny t2 dostaneme
.
[editovat] Derivace vyšších řádů
Parciální derivace
podle proměnné xi představuje opět funkci, kterou lze znovu derivovat (podle libovolné proměnné), tzn.
.
Obdobným způsobem lze získat také parciální derivace vyšších řádů. Např. derivací smíšené derivace druhého řádu
podle x dostaneme
.
V obecném případě je hodnota vyšší parciální derivace závislá na pořadí, v jakém jsou jednotlivé derivace prováděny, např.
bude v obecném případě různé od
.
[editovat] Smíšené derivace
Pokud derivujeme podle stejných souřadnic, dostaneme (podobně jako v případě funkce jedné proměnné)
. Pokud jsou však souřadnice xi,xj různé, dostaneme tzv. smíšené derivace, tedy
.
[editovat] Záměnnost smíšených derivací
Pokud jsou smíšené derivace
a
v bodě [x1,x2,...,xn] spojité, pak jsou si v tomto bodě rovny, tzn.
V takovém případě hovoříme o záměnnosti smíšených derivací. Podmínka spojitosti funkce a jejích derivací je ve fyzice obvykle splněna, takže záměna pořadí parciálních derivací je často používána.
Větu o záměnnosti smíšených derivací lze za obdobných předpokladů aplikovat také na derivace vyšších řádů. Jsou-li totiž všechny parciální derivace r-tého řádu v bodě A spojité, potom jsou si rovny všechny parciální derivace r-tého řádu, které se liší pouze v pořadí derivování. Tedy např. pro funkci dvou proměnných x a y platí
kde r = m + n.
[editovat] Derivace složených funkcí
Mějme funkci z = h(u1,u2,...,un), kde ui = fi(x1,x2,...,xn) pro i = 1,2,...,n. Nechť funkce fi jsou v bodě A = [a0,a1,...,an] diferencovatelné a funkce h je diferencovatelná v odpovídajícím bodě V = [v1,v1,...,vn] = [f1(a1,a2,...,an),f2(a1,a2,...,an),...,fn(a1,a2,...,an)]. Za těchto podmínek je také složená funkce h(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fn(x1,x2,...,xn)) diferencovatelná v bodě [a1,a2,...,an], přičemž
pro i = 1,2,...,n.
Při výpočtu derivací vyšších řádů je nutné zohlednit závislost derivací
na xk.
Speciálním případem složené funkce je z = h(x,y,u), kde u = g(x,y). Pro parciální derivace pak dostáváme
[editovat] Vlastnosti
- Zvláštním případem funkce více proměnných je funkce jedné proměnné, tzn. f(x). Parciální derivace je v takovém případě rovna obyčejné derivaci, tzn.
- Je-li funkce f(x1,x2,...,xn) v bodě [a1,a2,...,an] diferencovatelná, je v tomto bodě také spojitá.









