Peanova aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Peanova aritmetika (PA) je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je jednou z nejdůležitějších součástí matematické logiky - slouží například k důkazu slavných Gödelových vět o neúplnosti. Rozšiřuje axiomatiku Robinsonovy aritmetiky o axiomatické schéma indukce. Pojmenována je po italském matematikovi Giuseppem Peanovi.

[editovat] Axiomy

(PA) je teorie v jazyce aritmetiky. Jejími axiomy jsou axiomy (Q1)-(Q8) Robinsonovy aritmetiky a navíc všechny instance následujícího axiomatického schématu pro \varphi formuli jazyka aritmetiky:

  • (schéma indukce) \varphi(0)\and (\varphi(x)\rightarrow\varphi(S(x))) \rightarrow (\forall x)\varphi(x)

[editovat] Vlastnosti

  • Peanova aritmetika je neúplná a dokonce rekurzivně nezúplnitelná teorie (tj. každá její nadteorie s rekurzivně zadanou množinou axiomů je neúplná). To je tvrzení první Gödelovy věty.
  • Peanova aritmetika má 2^{\aleph_0} (viz funkce alef) různých úplných rozšíření.
  • Peanova aritmetika je nerozhodnutelná teorie.
  • V Peanově aritmetice jsou nedokazatelná následující tvrzení:
  • V Peanově aritmetice jsou dokazatelné všechny základní vlastnosti přirozených čísel jako jsou:
  • V Peanově aritmetice je definovatelná funkce xy, o které jsou dokazatelné všechny její přirozené vlastnosti.
  • V Peanově aritmetice lze vyjádřit základní pojmy logické syntaxe i sémantiky jako jsou dokazatelnost nebo bezespornost.
  • Peanova aritmetika je ekvivalentní teorii konečných množin (tj. Zermelo-Fraenkelově teorii množin, v níž je axiom nekonečna nahrazen jeho negací).
  • První Stoneův prostor Peanovy aritmetiky má mohutnost kontinua.
  • Peanova aritmetika nemá spočetný saturovaný model.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích