Křivost plochy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Křivost plochy určuje její odchylku od roviny.

Křivost plochy se určuje pomocí vhodně volených křivek ležících na dané ploše.

Obsah

[editovat] Křivost v daném směru

Křivky, které na dané ploše prochází daným regulárním bodem P a mají v bodě P stejnou oskulační rovinu, mají v P také stejnou první křivost.

Pro rovinný řez plochy \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) je poloměr křivosti r v bodě P určen jako

r = \frac{E\mathrm{d}u^2 + 2F\mathrm{d}u\mathrm{d}v + G\mathrm{d}v^2}{\left|L\mathrm{d}u^2 + 2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v^2\right|} \cos\theta,

kde θ je úhel, který svírá rovina křivky s normálou v bodě P plochy, E,F,G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L,M,N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Rovinný řez v regulárním bodě P plochy má v bodě P poloměr křivosti r, jehož úsečka je pravoúhlým průmětem úsečky poloměru křivosti Rn normálového řezu, který má s daným rovinným řezem v bodě P společnou tečnu, tzn.

r = Rncosθ

Toto tvrzení bývá označováno jako Meusnierova věta.


Pro normální křivost \frac{1}{R} v daném směru v bodě P plochy \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) platí

\frac{1}{R} = \frac{L\mathrm{d}u^2 + 2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v^2}{E\mathrm{d}u^2 + 2F\mathrm{d}u\mathrm{d}v + G\mathrm{d}v^2} = \frac{\varepsilon}{R_n}

kde \varepsilon = \pm 1.

[editovat] Hlavní poloměry křivosti

V daném regulárním bodě P plochy existuje takový normálový řez, že jeho normální křivost má největší hodnotu ze všech normálových řezů v daném bodě plochy. Podobně také existuje normální řez, jehož normální křivost má nejmenší hodnotu ze všech normálových řezů v daném bodě plochy. Tyto dva řezy se nazývají hlavními normálovými řezy a leží v daném bodě P plochy v rovinách, které jsou k sobě kolmé. Poloměry křivosti v hlavních normálových řezech jsou tzv. hlavní poloměry křivosti R1,R2. Směry tečen hlavních řezů v bodě plochy se označují jako hlavní směry plochy.


Hlavní poloměry křivosti R1 a R2 lze určit řešením rovnice

(EG-F^2)\frac{1}{R^2} - (EN-2FM+GL)\frac{1}{R} + (LN-M^2) = 0

[editovat] Dupinova indikatrix

Pro křivost \frac{1}{R_n} normálového řezu plochy v daném regulárním bodě platí tzv. Eulerova věta, podle které

\frac{1}{R_n} = \frac{\cos^2 \delta}{\varepsilon R_1} + \frac{\sin^2 \delta}{\varepsilon R_2},

kde \varepsilon = \pm 1. Úhel δ svírá rovina normálového řezu s rovinou prvního hlavního řezu.


Zavedeme-li v tečné rovině plochy v bodě P kartézské souřadnice tak, že osu x zvolíme ve směru tečny prvního hlavního normálového řezu a osu y ve směru tečny druhého hlavního normálového řezu, pak:

\frac{x^2}{R_1} + \frac{y^2}{R_2} = 1
\pm\frac{x^2}{R_1}\mp\frac{y^2}{R_2} = 1
\frac{x^2}{R_1} = 1

Takto zkonstruovaná elipsa (hyperbola, nebo rovnoběžky) se nazývá Dupinova indikatrix.

Průvodič ρ elipsy (hyperbol, popř. rovnoběžek) je \rho=\sqrt{R}. Úhel průvodiče δ s prvním hlavním směrem představuje úhel δ ve výše uvedené Eulerově větě.


Eliptický bod plochy, pro který platí R1 = R2, se nazývá kruhovým bodem plochy. V kruhovém bodě přechází Dupinova indikatrix v kružnici. Jediná plocha, jejíž všechny body jsou kruhové, je kulová plocha.

[editovat] Totální křivost

Veličina

K = \pm\frac{1}{R_1}\frac{1}{R_2} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}

se nazývá totální křivost (Gaussova míra křivosti, Gaussova křivost).

[editovat] Gaussův teorém egregium

Platí tzv. Gaussův teorém egregium, který pro Gaussovu křivost uvádí vztah

K = -\frac{1}{4{\left(EG-F^2\right)}^2} \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & \frac{\part E}{\part v} \\ F & \frac{\part F}{\part u} & \frac{\part F}{\part v} \\ G & \frac{\part G}{\part u} & \frac{\part G}{\part v} \end{vmatrix} - \frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}} \left(\frac{\part}{\part v}\frac{\frac{\part E}{\part v}-\frac{\part F}{\part u}}{\sqrt{EG-F^2}} - \frac{\part}{\part u}\frac{\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}}{\sqrt{EG-F^2}}\right)

[editovat] Střední křivost plochy

Veličina

H = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\varepsilon R_1} + \frac{1}{\varepsilon R_2}\right) = \frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)},

kde \varepsilon=\pm 1, se označuje jako střední křivost plochy.

[editovat] Geodetická křivost

V regulárním bodě P křivky na ploše lze zavést tzv. geodetickou křivost

kg = k1sinθ,

kde k1 je první křivost křivky a θ je úhel mezi hlavní normálou křivky a normálou plochy v bodě P.


Geodetická křivost křivky na ploše je rovna křivosti pravoúhlého průmětu této křivky do tečné roviny plochy v daném bodě.


Pokud je na ploše \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) určena křivka rovnicí \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}\left(u(s),v(s)\right), pak lze geodetickou křivost určit ze vztahu

k_g = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}\cdot\left(\frac{\mathrm{d}^2 \mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2} \times\mathbf{n}\right),

kde \mathbf{n} je normálový vektor plochy v bodě P.


Poloměr geodetické křivosti se zavádí jako převrácená hodnota geodetické křivosti, tzn.

r_g = \frac{1}{k_g}


[editovat] Podívejte se také na