Cauchyho-Riemannovy podmínky
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmnínkou jsou např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.
Obsah |
[editovat] Cauchy-Riemannova věta
Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchy-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchy-Riemannova věta.
Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:
a
[editovat] Kompaktní formulace
Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:
[editovat] Formulace v polárních souřadnicích
Uvažujeme-li zápis komplexního čísla v polárních souřadnicích: z = reiθ, lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:
[editovat] Kompaktní formulace v polárních souřadnicích
Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:
kde derivace uvažujeme v bodě reiθ.
[editovat] Odvození
[editovat] Jako derivace funkce dvou proměnných
První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.
Podél reálné osy:
což je z definice parciální derivace rovno
Podél imaginární osy:
tedy opět z definice parciální derivace:
Porovnáním těchto dvou výsledků
Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude
[editovat] Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení
Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z
do
a jako zobrazení z
do
.
Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z
do
, je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:
, kde ξ je funkce splňující 
Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce
v bodě z, právě když pro všechna
platí:
, kde ξ je opět funkce splňující 
Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení
dané maticí
Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z
) vztah
, tedy platí:
, kde ξ je opět funkce splňující
.
Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem
a tedy platí:
odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.
Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:
Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo
komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno df(z). 
[editovat] Reference
[editovat] Vnější odkazy
- Cauchyho-Riemannovy podmínky na MathWorldu (anglicky)








![=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}](../../../math/0/8/d/08d8cdf5bfb17b635bae432330a276d4.png)
![=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}](../../../math/e/7/b/e7b33aef933b5b000787ae209a19922a.png)
![=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},](../../../math/b/7/f/b7f51dc86bea8330fb770b7d0061abfb.png)


![=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}](../../../math/6/3/2/632dec74c08026bee546785dbb1eff36.png)
![=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}](../../../math/b/a/5/ba52075cb3527f1f07661ea96281e88e.png)
![=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}](../../../math/5/f/6/5f634d6208902e59dc94988d8edc6b2f.png)
![=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.](../../../math/b/5/3/b53bc49c26f898c6e12820b503934b94.png)







