Cantor-Bernsteinova věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Cantor-Bernsteinova věta (také Cantor-Schröder-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.
[editovat] Znění
Nejpřirozenější formulací Cantor-Bernsteinovy věty je následující:
Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.
Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:
Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.
[editovat] Důkaz
Nechť
a
jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení
, kde P(A) je poteční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro
(viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro
je
). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že
). K tomu stačí zvolit
. Nakonec, je-li
pevný bod h, položíme
. Snadno se ověří, že
je bijekce.
[editovat] Historie
Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantor-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

