Gram-Schmidtova ortogonalizace
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Pokud vektory báze nejsou ortogonální, lze z nich vytvořit novou bázi, která je ortogonální. Proces vytváření ortogonální báze se nazývá Gram-Schmidtova ortogonalizace (Gram-Schmidtův ortogonalizační proces).
[editovat] Popis procesu
Jsou-li x1, x2, …, xn lineárně nezávislé vektory v prostoru se skalárním součinem, pak existují takové nenulové lineární kombinace y1, y2, …, yn těchto vektorů, že všechny vektory yi jsou vzájemně ortogonální, tzn.
pro
.
Postup označovaný jako Gram-Schmidtova ortogonalizace (Gram-Schmidtův ortogonalizační proces) vede k vytvoření posloupnosti vektorů y1, y2, …, yn.
Postupujeme tak, že položíme
. Podle předpokladu pak dostaneme
ze vztahu
V takovém případě je totiž
a vektory
jsou ortogonální, tzn.
.
Dále se postupuje tak, že pro
jsou
navzájem ortogonální nenulové lineární kombinace vektorů
a
je pak možné vyjádřit jako



