Fourierova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

Fourierovy řady jsou pojmenovány po francouzském lékaři a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu jakéhokoliv periodického průběhu pomocí goniometrických funkcí sinus a kosinus. Pomocí této řady lze rozložit i značně komplikované funkce, které by jinak byl problém zobrazit.

Obsah

[editovat] Trigonometrická řada

Uvažujme funkci f(x) na intervalu -\pi\leq x\leq\pi, která je na tomto intervalu kvadraticky integrabilní, tzn. splňuje podmínku

\int_{-\pi}^{\pi} {|f(x)|}^2 \mathrm{d}x<+\infty,

pak tuto funkci rozvineme v tzv. trigonometrickou řadu, která obsahuje goniometrické funkce

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx),

kde koeficienty určíme ze vztahů

a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{d}x
a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos kx \mathrm{d}x
b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin kx \mathrm{d}x

pro k = 1,2,....

Vztahy pro určení koeficientů trigonometrického rozvoje se nazývají Eulerovy-Fourierovy vzorce.


Pokud je možné funkci f(x) rozložit ve stejnoměrně konvergentní trigonometrickou řadu, pak říkáme, že se jedná o Fourierovu řadu (nebo Fourierův rozvoj) funkce f(x). Koeficienty a0,a1,a2,...,b1,b2,... jsou tzv. Fourierovy koeficienty rozvoje funkce f(x).


Substitucí \xi=\frac{\pi x}{L} získáme Fourierovu řadu na intervalu -L \leq x\leq L, tzn.

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos \frac{\pi kx}{L} + b_k \sin \frac{\pi kx}{L})

Fourierovy koeficienty pak získáme ze vztahů

a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{\pi nx}{L} \mathrm{d}x \; \mbox{ pro } n=0,1,2, ...,
b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{\pi nx}{L} \mathrm{d}x \; \mbox{ pro } n=1,2,....

[editovat] Vlastnosti

Ukázka aproximace signálu součtem pěti harmonických funkcí.
Ukázka aproximace signálu součtem pěti harmonických funkcí.
  • Je-li f(x) sudou funkcí, tzn. f(x) = f( − x), pak podle podle psledního vztahu platí bn = 0 pro všechna n. V rozvoji sudé funkce na intervalu -L \leq x \leq L se tedy vyskytují pouze funkce \cos \frac{\pi nx}{L}.
  • Podobně pro liché funkce, tzn. f(x) = − f( − x), dostaneme pro všechna n, že an = 0. Rozvoj liché funkce tedy obsahuje pouze \sin\frac{\pi nx}{L}.
  • V praxi se funkce f(x) aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen přes několik prvních členů, přičemž se obecně s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

[editovat] Komplexní tvar

Použijeme-li Eulerova vzorce, lze Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu -L \leq x \leq L zapsat ve tvaru

f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi x}{L}}

Koeficienty cn lze vyjádřit prostřednictvím koeficientů an,bn jako

c_0 = \frac{a_0}{2}
c_n = \frac{1}{2}(a_n - \mathrm{i}b_n)
c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + \mathrm{i}b_n) = c_n^*

Dosadíme-li za an,bn lze koeficienty cn vyjádřit ve tvaru

c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{n\pi x}{L}} f(x)\mathrm{d}x

pro n = 0, \pm 1, \pm 2,....


Jednou z výhod vyjádření Fourierovy řady v komplexním tvaru je to, že substitucí z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi x}{L}} je možné chápat Fourierovu řadu funkce f(x) jako mocninnou řadu f(z) = \sum_{n=\infty}^\infty c_n z^n.

[editovat] Fourierův integrál

Uvažujme Fourierův rozvoj funkce f(x) na intervalu -\infty<x<\infty.

Vyjdeme ze vztahů pro Fourierovu řadu na konečném intervalu L < x < L. Dosadíme-li do tohoto rozvoje výrazy pro koeficienty an,bn, dostaneme s využitím vztahů mezi goniometrickými funkcemi výraz

f(x) = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(u) \mathrm{d}u + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(u)\cos\frac{n\pi (u-x)}{L}\mathrm{d}u

V limitě pro L \to \infty bude první člen nulový, neboť hodnotu integrálu, který konverguje a je tedy konečný, dělíme 2L \to \infty. Můžeme tedy uvažovat pouze s druhou částí rozvoje.

Zavedeme proměnnou z_n = \frac{n\pi}{L}. Pro L \to \infty je

\Delta z_n = z_{n+1} - z_n = \frac{\pi}{L} \to 0

Proměnnou z lze v takovém případě považovat za spojitou. Uvedený rozvoj lze tedy pro L \to \infty přepsat do tvaru

f(x) = \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \Delta z_n \int_{-L}^L f(u)\cos\left[z_n(u-x)\right]\mathrm{d}u

Pro L \to \infty lze pomocí definice určitého integrálu přejít od sumace k integraci, tzn.

f(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u

Úpravou integrandu dostaneme tzv. Fourierův integrál

f(x) = \int_0^\infty \left[a(z)\cos zx + b(z)\sin zx\right] \mathrm{d}z,

kde

a(z) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos zu \mathrm{d}u
b(z) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin zu \mathrm{d}u

Fourierův integrál nahrazuje pro spojitý parametr z Fourierova řadu.

Integrál \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u je sudou funkcí, což umožňuje psát

f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u

Vzhledem k tomu, že integrál \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u je lichou funkcí, bude platit

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u = 0

Z předchozích vztahů pak použitím Eulerova vzorce dostaneme

f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}z(u-x)} \mathrm{d}u

[editovat] Podívejte se také na