Gram-Schmidtova ortogonalizace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pokud vektory báze nejsou ortogonální, lze z nich vytvořit novou bázi, která je ortogonální. Proces vytváření ortogonální báze se nazývá Gram-Schmidtova ortogonalizace (Gram-Schmidtův ortogonalizační proces).

[editovat] Popis procesu

Jsou-li x1, x2, …, xn lineárně nezávislé vektory v prostoru se skalárním součinem, pak existují takové nenulové lineární kombinace y1, y2, …, yn těchto vektorů, že všechny vektory yi jsou vzájemně ortogonální, tzn. (\mathbf{y}_j,\mathbf{y}_k)=0 pro j \neq k.

Postup označovaný jako Gram-Schmidtova ortogonalizace (Gram-Schmidtův ortogonalizační proces) vede k vytvoření posloupnosti vektorů y1, y2, …, yn.

Postupujeme tak, že položíme \mathbf{y}_1 = \mathbf{x}_1. Podle předpokladu pak dostaneme \mathbf{y}_2 ze vztahu

\mathbf{y}_2 = \mathbf{x}_2 - \frac{(\mathbf{x}_2,\mathbf{y}_1)}{(\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_1)} \mathbf{y}_1


V takovém případě je totiž \mathbf{y}_2 \neq \mathbf{0} a vektory \mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2 jsou ortogonální, tzn. (\mathbf{y}_2,\mathbf{y}_1) = (\mathbf{x}_2,\mathbf{y}_1) - (\mathbf{x}_2,\mathbf{y}_1) = 0.

Dále se postupuje tak, že pro k \leq n jsou \mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, ..., \mathbf{y}_{k-1} navzájem ortogonální nenulové lineární kombinace vektorů \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_{k-1} a \mathbf{y}_k je pak možné vyjádřit jako

\mathbf{y}_k = \mathbf{x}_k - \frac{(\mathbf{x}_k,\mathbf{y}_1)}{(\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_1)}\mathbf{y}_1 - \cdots - \frac{(\mathbf{x}_k,\mathbf{y}_{k-1})}{(\mathbf{y}_{k-1},\mathbf{y}_{k-1})}\mathbf{y}_{k-1}

[editovat] Podívejte se také na