Hölderova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nechť \frac 1 p+\frac 1 q=1 Pak \sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{\frac 1p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{\frac 1q}, rovnost nastává, právě když | bk | = c | ak | p − 1.

[editovat] Důkaz

Youngova nerovnost se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a x\in<0,1> platí xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}. Rovnost nastává, právě když r=s nebo x\in\{0,1\}. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.