Moment setrvačnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Obsah

[editovat] Značení

[editovat] Výpočet

[editovat] Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost ω všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech n hmotných bodů soustavy, tzn.

E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2,

kde mi je hmotnost i-tého hmotného bodu, vi je velikost jeho rychlosti, ri je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. v = ωr. Předchozí vztah lze upravit na tvar

E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2,

kde veličina J představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2

[editovat] Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

J = r2dm
M

, kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti M.


Je-li ρ hustota tělesa, pak dm = ρdV, kde V je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

J = r2ρdV
V

Integruje se přes objem celého tělesa V.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. ρ = konst., je možné předchozí vztah zjednodušit

J = ρ r2dV
V

[editovat] Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa M a čtverce jisté střední vzdálenosti R, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

J = MR2

Vzdálenost R = \sqrt{\frac{J}{M}} se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

[editovat] Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

  • Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
J = \frac{1}{12}m l^2
  • Moment setrvačnosti koule o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem koule.
J = \frac{2}{5}mr^2
J = \frac{1}{2}mr^2
  • Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru r1 a vnějším poloměru r2 a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti.
J = \frac{1}{2}m\left(r_1^2+r_2^2\right)
  • Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose otáčení.
J = mr2

[editovat] Steinerova věta

Podrobnější informace naleznete v článku Steinerova větanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

J = J_0 + m r_T^2,

kde J0 je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, m je hmotnost tělesa a rT je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

[editovat] Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy S úhlovou rychlostí \mathbf{\omega}, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu podle hodnotu

E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2,

kde JS je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose S, vi je rychlost i-tého hmotného bodu soustavy, a \mathbf{r}_i je polohový vektor i-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa S.

Vektor \mathbf{\omega}, který směřuje podél osy S lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek ωxyz vzhledem k souřadnicovým osám x,y,z. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - 2\omega_x\omega_yD_{xy} - 2\omega_y\omega_zD_{yz} - 2\omega_z\omega_xD_{zx},

kde

J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i
J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i
J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám x,y,z a

D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i
D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i
D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i

jsou deviační momenty.


Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

Jx = (y2 + z2)dm
M
Jy = (z2 + x2)dm
M
Jz = (x2 + y2)dm
M

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

Dxy = xydm
M
Dyz = yzdm
M
Dzx = zxdm
M


Vektor \mathbf{\omega}, který leží v ose S je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. \cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}, kde ω je velikost vektoru \mathbf{\omega}. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti JS vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami x,y,z úhly α,β,γ

JS = Jxcos2α + Jycos2β + Jzcos2γ − 2Dyzcosβcosγ − 2Dzxcosγcosα − 2Dxycosαcosβ

Změní-li se směr osy S vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti JS. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.


Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm},

kde symbol \otimes představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

[editovat] Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme z = 0. Hmotnostní element dm je pak nahrazován plošným elementem dS.


Plošné momenty setrvačnosti k osám x,y jsou tedy

Jx = y2dS
S
Jy = x2dS
S

Z deviačních momentů je nenulový pouze

Dxy = xydS
S

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.


Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

Jxy = z2dm
M
Jyz = x2dm
M
Jzx = y2dm
M

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám x,y,z pak platí

Jx = Jxy + Jzx
Jy = Jxy + Jyz
Jz = Jyz + Jzx

[editovat] Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou z) je

Jp = Jx + Jy = (x2 + y2)dS = r2dS
S S

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích