600-nadstěn

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

600-nadstěn
Typ Pravidelný polychoron
Nadstěn 600 (3.3.3)
Stěn 1200 {3}
Hran 720
Vrcholů 120
Uspořádání vrcholů 20 (3.3.3)
(dvacetistěn)
Schläfliho symbol {3,3,5}
Grupa symetrie grupa [3,3,5]
Duální těleso 120-nadstěn
Vlastnosti konvexní


V geometrii, šestisetnadstěn (což je volný překlad anglického 600-cell), nebo také hexacosichoron, je platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvacetistěnu.

3-povrch 600-nadstěnu je tvořen ze 600 nadstěn majících tvar čtyřstěnu. V jednom vrcholu se potkává 20 nadstěn. 600-nadstěn má 1200 trojúhelníkových stěn, 720 hran a 120 vrcholů. Duálním tělesem je 120-nadstěn.

[editovat] Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 600-nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.

S1D je tedy délka všech hran kostry 600-nadstěnu.

V_{4D}=\frac{25}{4}\left(2+\sqrt{5}\right)a^4

S_{3D}= 50 \sqrt{2}\ a^3

S_{2D}= 300 \sqrt{3}\ a^2

S_{1D}=720\ a\,

Poloměr vepsané koule je

\rho=\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}}a

a poloměr koule opsané je

r=\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}a

[editovat] Kartézská soustava souřadnic

Je-li délka hrany 1/φ (kde φ = (1+√5)/2 je zlatý řez), pak 120 vrcholů 600-nadstěnu má následující souřadnice:

(±½,±½,±½,±½), (všechny kombinace znamének => 16 vrcholů)
(0,0,0,±1) (permutace přes všechny souřadnice => 8 vrcholů)
½(±1,±φ,±1/φ,0) (sudé permutace => 96 vrcholů).

Přitom zjevně prvních 16 vrcholů jsou vrcholy teseraktu, následujících 8 vrcholů tvoří vrcholy 16-nadstěnu prvních 16+8 vrcholů tvoří dohromady vrcholy 24-nadstěnu.

Pokud tyto čtveřice souřadnic interpretujeme jako kvaterniony, potom 120 vrcholů 600-nadstěnu tvoří uzavřenou konečnou grupu, která je izomorfní grupě SL(2,5).

[editovat] Externí odkazy


Čtyřrozměrná platónská tělesa
5-nadstěn teserakt 16-nadstěn 24-nadstěn 120-nadstěn 600-nadstěn
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
V jiných jazycích