Hilbertův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hilbertovým prostorem se rozumí úplný, separabilní a unitární prostor s potenciálně nekonečnou dimenzí. Úplností se rozumí fakt, že každá Cauchyovská posloupnost má v tomto prostoru limitu. Separabilností se rozumí, to že metrický prostor obsahuje spočetnou hustou podmnožinu a to, že je prostor unitární znamená, že je na něm definovaný skalární součin, z něhož je definovaná i metrika. Příkladem Hilbertova prostoru je prostor l_2:=\left\{x=(x_1 , \dots, x_n) ; x_i \in \mathbb{R}, i \in \mathbb{N}, \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq \infty  \right\}.

Pro libovolné dva Hilbertovy prostory se stejnou dimenzí platí, že jsou izomorfní, to je důsledkem definičních podmínek. Z matematického důkazu tohoto faktu vyplývá, že až na izomorfismus existuje jen jeden Hilbertův prostor - výše zmíněny prostor l2, který se považuje za jeho realizaci.

Každý Hilbertův prostor je Banachovým prostorem.