Limita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty posloupnosti nebo funkce blíží nějakému číslu. Právě toto číslo je pak označováno jako limita.

Obsah

[editovat] Limita posloupnosti

Posloupnost \left( a_n \right) _{n=1} ^\infty má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \varepsilon platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než \varepsilon.

Zapsáno symbolicky: \forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

[editovat] Důkaz

Budeme dokazovat sporem, předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost \left(a_i\right)_{i=1}^\infty, která má dvě limity: A a B, přičemž A \neq B.

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že A < B.

Platí:

\forall \varepsilon > 0: \exists n_1 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_1 : \left| a_n - A \right| < \varepsilon

a

\forall \varepsilon > 0: \exists n_2 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_2 : \left| a_n - B \right| < \varepsilon

Označme n0 větší z čísel n1, n2. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro ε = (AB) / 2 a pro nějaké k > n0 platí:

| Aak | < (AB) / 2 a | Bak | < (AB) / 2

Tedy vzdálenost ak od bodu A i od bodu B je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

[editovat] Konvergence posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje přirozené číslo n0 takové, že pro všechna n > n0 platí |a_n-a|<\varepsilon, pak říkáme, že posloupnost (an) má (vlastní, konečnou) limitu A, popř. že posloupnost konverguje k číslu A. Konvergenci posloupnosti k A zapisujeme

\lim_{n \to \infty} a_n = A

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému \varepsilon>0 takové přirozené číslo n0, že pro libovolnou dvojici indexů m > n0,n > n0 platí |a_m-a_n|<\varepsilon, pak je posloupnost (an) konvergentní. Jedná se o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti.

[editovat] Bodová a stejnoměrná konvergence

O funkční posloupnosti (fn(x)) říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci f(x), pokud pro každé x_0 \in \mathbf{I} existuje vlastní limita \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0). Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost (fn(x)) označíme jako divergentní.


Pokud lze pro libovolné \varepsilon>0 najít takové n0, které je stejné pro všechny body x \in \mathbf{I}, a pro všechna n > n0 a všechny body x \in \mathbf{I} platí

\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon

pak posloupnost (fn(x)) označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě x přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost (fn(x)) na intervalu \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému \varepsilon>0 najít takové přirozené číslo n0, že pro každou dvojici n > n0,m > n0 a každé x \in \mathbf{I} platí

\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\varepsilon

Pokud jsou funkce fn(x) na intervalu \mathbf{I} spojité a posloupnost (fn(x)) je na \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu \mathbf{I} spojitá také limitní funkce f(x).

[editovat] Vlastnosti konvergentní posloupnosti

Mějme dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí \lim_{n \to \infty}a_n=a, \lim_{n \to \infty} b_n=b. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n)=a \pm b
\lim_{n \to \infty}k a_n = k a
\lim_{n \to \infty} \left|a_n\right| = \left|a\right|
\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \mbox{ pro } b\ne 0

Z posloupnosti (bn) jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť b \ne 0.


Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=b, pak jestliže pro každé n je a_n \leq b_n, pak je také a \leq b.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (an),(bn), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=a, pak jestliže existuje posloupnost (cn) taková, že pro každé n je a_n \leq c_n \leq b_n, pak platí také \lim_{n \to \infty}c_n=a.

Je-li (a_{k_n}) podposloupnost posloupnosti (an) a platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, pak platí také \lim_{n \to \infty} a_{k_n}=a.


Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li (an) omezená posloupnost v \mathbb{R}, pak z ní lze vybrat posloupnost \mathit(a_{k_n}), která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme

\lim_{n \to \infty} \sup a_n
\lim_{n \to \infty} \inf a_n

Posloupnost (an) je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup a_n = \lim_{n \to \infty} \inf a_n = a

Konvergentní posloupnost má tedy pouze jeden hromadný bod (v nekonečnu).


[editovat] Limita funkce

Funkce f zobrazuje prstencového okolí bodu a do okolí bodu A.
Funkce f zobrazuje prstencového okolí bodu a do okolí bodu A.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému ε > 0 existuje takové δ > 0 , že pro všechna x z δ-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je

\left| f(x)-A \right|< \epsilon,


značíme

\lim_{x \to a} f(x) = A.

Lidsky řečeno: f(x) má v a limitu A, jestliže f(x) se liší od čísla A velmi málo, je-li x hodně blízko bodu a, tedy že okolí funkce kolem bodu a musí být spojité.

Pokud je limita počítána v definované části funkce, jedná se o funkční hodnotu tohoto místa, právě když je v tom místě funkce spojitá.

[editovat] Limita funkce více proměnných

O funkci f(xi) n-proměnných xi říkáme, že má v bodě A = [a1,a2,...,an] limitu K, pokud ke každému (libovolně malému) číslu \varepsilon>0 existuje takové číslo δ > 0, jenž je v obecném případě závislé na volbě \varepsilon, že pro všechny body X = [x1,x2,...,xn] z δ-okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí |f(X)-K|<\varepsilon. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů.

  • \lim_{X \to A} f(X)=K
  • \lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to A} f(X)=K
  • \lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to [a_1,a_2,...,a_n]} f(X)=K
  • \lim_{\begin{matrix} x_1 \to a_1 \\ x_2 \to a_2 \\ \vdots \\ x_n \to a_n \end{matrix} } f(X)=K

Limita funkce n proměnných je tedy definována obdobným způsobem jako limita funkce jedné proměnné.

U funkce n proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, tzn. \lim_{X \to A}, ale také vzhledem několika nebo jen jedné z proměnných, tzn. např. \lim_{x_3 \to a_3}. Tedy např.

\lim_{x_1 \to a_1} f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_2,x_3,...,x_n),

kde g je funkcí n − 1 proměnných.

[editovat] Limita komplexní funkce

O komplexní funkci f(z) definované v okolí bodu z0 říkáme, že má v z0 limitu A, jestliže k libovolnému \varepsilon > 0 existuje δ-okolí bodu z0 takové, že

| f(z) - A | < \varepsilon

Limitu v bodě z0 zapisujeme

\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A.

Formálně je tedy zápis stejný jako v případě reálných funkcí.

Limita A může být komplexním číslem.

[editovat] Limita zprava a zleva

O funkci f(x) říkáme, že má v bodě a limitu A zprava, resp. zleva, pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje takové číslo δ > 0, jehož hodnota může v obecném případě záviset na volbě \varepsilon, že pro všechna x z pravého, resp. levého okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a, tedy pro všechna x splňující podmínku 0 < | xa | < δ, platí |f(x)-A|<\varepsilon, což zapisujeme

\lim_{x \to a+} f(x)=A \; - označována jako limita zprava
\lim_{x \to a-} f(x)=A \; - označována jako limita zleva

Funkce f(x) má v bodě a limitu pouze tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava.

[editovat] Vlastní a nevlastní limita

Limitu \lim_{x \to a} f(x) = A nazýváme vlastní nebo konečnou limitou funkce f(x) v bodě a, je-li A konečné číslo.

Limitu funkce f(x) v daném bodě a označíme jako nevlastní +\infty, resp. -\infty, pokud k libovolně velkému číslu K > 0 existuje takové δ > 0, že pro všechna x z δ-okolí bodu a s výjimkou bodu a samotného platí f(x) > K, resp. f(x) < − K, tedy

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty
\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

Nevlastní limitu lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.

[editovat] Limita v nevlastních bodech

Limitu funkce lze počítat ve vlastních i nevlastních bodech, přičemž vlastním bodem je myšleno libovolné reálné číslo, nevlastním pak \infty či -\infty.

Říkáme, že funkce f(x)vlastní limitu A v nevlastním bodě \infty resp. -\infty právě tehdy když:

\forall \varepsilon > 0: \exists x_0 \in \mathbb{R}: \forall x>x_0: \left|A - f(x)\right|<\varepsilon resp. \forall \varepsilon > 0: \exists x_0 \in \mathbb{R}: \forall x<x_0: \left|A - f(x)\right|<\varepsilon.

Také v nevlastním bodě může být limita nevlastní, tzn. \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty.

[editovat] Vlastnosti

  • Funkce f(x), která má v bodě a limitu, je v tomto bodě spojitá.
  • Mějme libovolné číslo c, funkci f(x), která má v bodě a limitu A a funkci g(x), která má ve stejném bodě limitu B, pak platí následující vztahy
  • Mějme funkci f(x), která má v bodě a limitu A, tzn. \lim_{x \to a} f(x)=A, a funkci g(z), která má v bodě A limitu B, tedy \lim_{z \to A} g(z)=B. Pokud existuje takové δ > 0, že pro všechna x splňující podmínku 0 < | xa | < δ platí f(A) \ne A, pak
\lim_{x \to a} g(f(x)) = B
  • Máme-li dvě funkce f(x),g(x), pro něž v okolí nějakého bodu a platí f(x) \leq g(x), pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit
\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)
  • Pokud v okolí bodu a platí f(x) \leq g(x) \leq h(x) a existují limity \lim_{x \to a} f(x)=A a \lim_{x \to a} h(x)=A, pak existuje také limita \lim_{x \to a} g(x), a její hodnota je A.

[editovat] Podívejte se také na