# Choleského dekompozice

### Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Choleského dekompozice (také Choleského rozklad) je metoda rozložení symetrické pozitivně definitní čtvercové matice A na součin dolní a horní trojúhelníkové matice, přičemž jedna trojuhélníková matice je transpozicí matice druhé.

Dolní trojúhelníková matice L z tohoto rozkladu se nazývá Choleského trojúhelník matice A.

## [editovat] Využití

### [editovat] Výpočet inverzní matice

Inverzní matici A-1 lze vypočítat z inverzní matice L-1 podle následujícího vztahu.

Samotný výpočet inverzní matice L-1 není příliš obtížný, neboť to je také dolní trojúhelníková matice a lze ji vypočítat užitím vztahu L-1 L = E, kde E je jednotková matice.

Pro prvky na hlavní diagonále lze odvodit následující vztah.

Prvky pod diagonálou lze počítat postupně zprava doleva následovně.

### [editovat] Řešení soustavy lineárních rovnic

Soustavu lineárních rovnic Ax = b lze řešit převodem na dvě soustavy rovnic.

Vzhledem k tomu, že matice soustavy jsou trojúhelníkové, je řešení uvedených rovnic zpětným dosazením velmi snadné.

## [editovat] Algoritmus rozkladu

Prvky matice L je možné počítat po sloupcích zleva a v každém sloupci odshora dolů.

Pro první sloupec platí následující.

Pro druhý sloupec platí:

Pro prvky na diagonále lze, vzhledem ke znalosti celého řádku vlevo od prvku, odvodit následující vzorec.

Pro prvky pod diagonálou lze odvodit následující vztah.

V jazyku C lze uvedený postup zapsat následovně.

    for (c=0; c<n; c++) {
      for (sum=0, i=c-1; i>=0; i--)
        sum += sqr(L[c][i]);
      L[c][c] = sqrt(A[c][c] - sum);
      for (r=c+1; r<n; r++) {
        for (sum=0, i=c-1; i>=0; i--)
          sum += L[r][i]*L[c][i];
        L[r][c] = (A[r][c] - sum) / L[c][c];
      }
    }

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../c/h/o/Cholesk%C3%A9ho_dekompozice.html“

Kategorie: Numerická matematika

##### Views

- Článek
- Diskuse
- Aktuální verze

##### Hledání

##### V jiných jazycích

- Deutsch
- English
- Español
- Français
- Italiano
- 日本語
- Polski
- ไทย