Diracova delta funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Schematická reprezentace Diracovy δ-funkce.

Diracova δ-funkce nebo Diracovo delta se dá neformálně popsat jako funkce, která má v nule hodnotu nekonečno a všude jinde nulovou. Její integrál přes celý prostor je roven 1.

\delta(x) = \left\{\begin{matrix}  +\infty & \mbox{pro } x=0  \\  0 & \mbox{pro } x\ne0 \end{matrix}\right.
\int\delta(x)\,\mathrm{d}x = 1

Matematicky přesnější zavedení říká, že Diracovo delta není funkce ale distribuce. Diskrétním ekvivalentem Diracova delta je Kroneckerovo delta.

[editovat] Vyjádření Diracovy funkce

Diracovu δ-funkci lze vyjádřit různými způsoby. Pro komplexní čísla například ve tvaru integrálu.

\delta(x) = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,\mathrm{d}k

Nebo pomocí limit.

\delta(x) = \lim_{L\to\infty}\frac{\sin xL}{x\pi}
\delta(x) = \lim_{a\to0}\frac1\pi\frac{a}{a^2+x^2}
\delta(x) = \lim_{a\to0}\frac1{a\sqrt\pi}e^{-x^2/a^2}

[editovat] Vlastnosti

Působí jako jednotkový operátor při integraci.

\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = f(a)

Mezi další užitečné vlastnosti patří následující.

δ(x) = δ( − x)
xδ(x) = 0
\delta(ax) = \frac{\delta(x)}{|a|}
f(x)δ(xa) = f(a)δ(xa)
\int_{-\infty}^\infty \delta(a-x)\delta(x-b)\,\mathrm{d}x = \delta(a-b)
\delta(x^2-a^2) = \frac{\delta(x-a)+\delta(x+a)}{2|a|}

[editovat] Podívejte se také na