Multinomické rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Multinomické rozdělení pravděpodobnosti představuje zobecnění binomického rozdělení.

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

V n nezávislých pokusech sledujeme nezávislé jevy A1,A2,...,As s pravděpodobnostmi p1,p2,...,ps, kde \sum_{i=1}^s p_i\leq 1. Náhodné veličiny Xi pro i = 1,2,...,s pak představují počet výskytů jevu Ai v n pokusech. V takovém případě mají veličiny Xi binomické rozdělení s parametry n a pi.

Náhodný vektor \mathbf{X} se složkami Xi má pak multinomické rozdělení, které je určeno sdruženou funkcí

P(x_1,x_2,...,x_s) = \left\{ \begin{matrix} \frac{n!}{n_1! n_2!\cdots n_s! \left(n - \sum_{i=1}^s x_i\right)!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_s^{x_s} {\left(1 - \sum_{i=1}^s p_i\right)}^{n - \sum_{i=1}^s x_i} & \mbox{ pro } x_i=1,2,...,n, \; i = 1,2,...,s, \; \sum_{i=1}^s x_i\leq n \\ 0 & \mbox{ jinak }\end{matrix}\right.

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Momentová vytvořující funkce multinomického rozdělení má tvar

m_X(z_1,z_2,...,z_s) = {\left[ p_1 \mathrm{e}^{z_1} + p_2 \mathrm{e}^{z_2} + ... + p_s \mathrm{e}^{z_s} + \left(1 - \sum_{i=1}^s p_i\right)\right]}^n

Z momentové vytvořující funkce lze určit vektor středních hodnot

\mathbf{\mu} = {\left(np_1,np_2,...,np_s\right)}^T

a také kovarianční matici

\mathbf{C} = \begin{pmatrix} n p_1(1-p_1) & -n p_1 p_2 & \cdots & -n p_1 p_s \\ - n p_2 p_1 & n p_2(1-p_2) & \cdots & -n p_2 p_s \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -n p_s p_1 & -n p_s p_2 & \cdots & n p_s(1-p_s) \end{pmatrix}

[editovat] Podívejte se také na