Oktonion

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimensionální algebru nad reálnými čísly.

Kvůli neasociativnosti, která je mnohdy velmi užitečná, jsou oktoniony používané mnohem méně než kvaterniony.

Obsah

[editovat] Historie

Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.

[editovat] Definice

Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru

x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k + x4 l + x5 li + x6 lj + x7 lk.

kde xa jsou reálná čísla.

Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.

1 i j k l li lj lk
i −1 k j li l lk lj
j k −1 i lj lk l li
k j i −1 lk lj li l
l li lj lk −1 i j k
li l lk lj i −1 k j
lj lk l li j k −1 i
lk lj li l k j i −1

[editovat] Vlastnosti

Násobení oktonionů není ani komutativní:

ij = −jiji

ani asociativní:

(ij)l = −i(jl) ≠ i(jl)

[editovat] Podívejte se také na