Cramerovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Obsah

[editovat] Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy \mathbf{A}. Dále označme \mathbf{A}_i jako matici, kterou získáme z matice \mathbf{A}, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

\mathbf{A} =  \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix},

pak má \mathbf{A}_i tvar

\mathbf{A}_i =  \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{m,i-1} & b_m & a_{1,i+1}& \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}


Pokud je determinant matice soustavy nenulový, \det \mathbf{A} \neq 0, tzn. matice \mathbf{A} je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}

pro i = 1,2,...,n.

[editovat] Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

x + y = 3
x − 2y = 1

Determinant matice soustavy je

\det \mathbf{A} =  \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3

Poněvadž je \det \mathbf{A} \neq 0, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

\det \mathbf{A}_1 =  \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7
\det \mathbf{A}_2 =  \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2

Řešení má tedy tvar

x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}
y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy