Oktonion
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimensionální algebru nad reálnými čísly.
Kvůli neasociativnosti, která je mnohdy velmi užitečná, jsou oktoniony používané mnohem méně než kvaterniony.
Obsah |
[editovat] Historie
Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.
[editovat] Definice
Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru
- x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k + x4 l + x5 li + x6 lj + x7 lk.
kde xa jsou reálná čísla.
Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.
| 1 | i | j | k | l | li | lj | lk |
| i | −1 | k | −j | −li | l | −lk | lj |
| j | −k | −1 | i | −lj | lk | l | −li |
| k | j | −i | −1 | −lk | −lj | li | l |
| l | li | lj | lk | −1 | −i | −j | −k |
| li | −l | −lk | lj | i | −1 | −k | j |
| lj | lk | −l | −li | j | k | −1 | −i |
| lk | −lj | li | −l | k | −j | i | −1 |
[editovat] Vlastnosti
Násobení oktonionů není ani komutativní:
- ij = −ji ≠ ji
ani asociativní:
- (ij)l = −i(jl) ≠ i(jl)

