Integrál pohybu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Integrálem pohybu je taková charakteristika pohybu (funkce polohy a rychlosti), která se během pohybu nemění.

Něpř. integrálem pohybu volné částice je její hybnost.

[editovat] Formulace

Z Newtonových pohybových rovnic je potřeba určit pohyb hmotného bodu, tzn. trajektorii pohybu \mathbf{r}=\mathbf{r}(t). Pohyb je určen partikulárním řešením dané pohybové rovnice, které splňuje počáteční podmínky

\mathbf{r}(t_0) = \mathbf{r}_0
\mathbf{v}(t_0) = \mathbf{v}_0


Řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic představujících danou pohybovou rovnici, tedy soustavy

m a_x = m\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = F_x\left(x,y,z,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t},t\right)
m a_y = m\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} = F_y\left(x,y,z,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t},t\right)
m a_z = m\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} = F_z\left(x,y,z,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t},t\right)

obsahuje 6 libovolných konstant (integračních konstant) c1,...,c6, takže řešení lze psát ve tvaru

\mathbf{r} = \mathbf{r}(t,c_1,...,c_6)

Derivací tohoto řešení získáme

\mathbf{v} = \mathbf{v}(t,c_1,..,c_6)

Z předchozích řešení lze při uvážení počátečních podmínek získat funkce

c_1 = c_1(\mathbf{r},\mathbf{v},t)
\vdots
c_6 = c_6(\mathbf{r},\mathbf{v},t)

Vzhledem k tomu, že tyto funkce byly získány z řešení pohybových rovnic, nabývají pro skutečný pohyb konstantních hodnot, tzn. nemění se v čase. Funkce s takovýmito vlastnostmi se označují jako první integrály pohybových rovnic (integrály pohybu).

[editovat] Podívejte se také na