D'Alembertův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Název tohoto článku není z technických důvodů zcela správný. Správný název by měl být d'Alembertův operátor.

V matematice a fyzice je d'Alembertův operátor, nebo d'Alembertián diferenciální operátor nazvaný podle Jean le Rond d'Alemberta. Je to speciální případ Laplaceova operátoru pro čtyřrozměrný Minkowského prostor s metrikou \operatorname{diag}(-1,1,1,1). Značí se značkou \square. Využívá se ve speciální teorii relativity, v elektromagnetismu a v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova-Gordonova rovnice).

d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je roven

\square f= \frac{\partial^2 f}{\partial (x_1)^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial (x_2)^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial (x_3)^2} -\frac{\partial^2 f}{\partial (x_0)^2},

nebo speciálně za použití souřadnic (t,x,y,z)

\square f=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu} f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

V látkovém prostředí se někdy používá definice

\square f= \Delta f-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2}= \Delta f-\frac{N^2}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

kde \mu,\varepsilon jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.

Vektorové diferenciální operátory
NablaGradientDivergenceRotaceLaplaced'Alembertův operátor
V jiných jazycích