Integrál komplexní funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Integrál funkce komplexní proměnné se zavádí podobným způsobem jako křivkový integrál.

[editovat] Definice

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou orientovanou křivku c s počátečním bodem z0. Na této křivce nechť je definována komplexní funkce w = f(z), o níž předpokládáme, že je na c omezená, tzn. |f(z)| \leq K na c.

Křivku c rozdělíme body z1,z2,...,zn − 1 ve směru kladné orientace, na n oblouků c1,c2,...,cn, jejichž délky jsou l1,l2,...,ln. Největší z čísel l1,l2,...,ln nazýváme normou dělení d, tzn.

\nu(d) = \max_d l_k \,.

Na každém oblouku ci zvolíme libovolný bod ξi a sestrojíme součet

\sigma(d) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(z_i-z_{i-1})

Tento součet závisí na volbě bodů ξi na oblouku ci a na použitém dělení d.

Pokud pro každou volbu bodů ξi na ci a pro každé dělení dn, pro které platí \lim_{n \rightarrow \infty} \nu(d_n) = 0, existuje takové (komplexní) číslo I, že \lim_{n \rightarrow \infty} \sigma(d_n) = I, pak číslo I nazýváme integrálem funkce f(z) po orientované křivce c a píšeme

\int_c f(z) \mathrm{d}z = I \,


Pokud je f(z) na c spojitá, pak integrál uvedený integrál existuje.

Primitivní funkcí k funkci f(z) nazýváme funkci F(z), pro kterou (v dané oblasti) platí

F^\prime(z) = f(z),

kde {}^\prime označuje derivaci podle komplexní proměnné z.

[editovat] Vlastnosti

Z podobnosti s křivkovými integrály lze odvodit některé vlastnosti, např.

\int_c [k_1 f_1(z) + k_2 f_2(z)]\mathrm{d}z = k_1 \int_c f_1(z) \mathrm{d}z + k_2 \int_c f_2(z) \mathrm{d}z \,
\int_c f(z) \mathrm{d}z = - \int_{c^\prime} f(z) \mathrm{d}z

kde k1,k2 jsou konstanty a c^\prime je křivka c s opačnou orientací.

Platí, že ke každé funkci f(z), která je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti \mathbf{G}, existuje primitivní funkce. Pro vícenásobně souvislé oblasti to však neplatí.


Je-li F(z) primitivní funkcí k f(z) a křivka c má počáteční bod z1 a koncový bod z2, pak platí

\int_c f(z) \mathrm{d}z = \int_{z_1}^{z_2} f(z) \mathrm{d}z = F(z_2) - F(z_1) \,

Hodnota integrálu tedy nezávisí na integrační cestě, ale pouze na počátečním a koncovém bodě křivky c.


V mnoha případech je výhodné použít substituce z = x + iy, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Získáme tak výraz

\int_c f(z) \mathrm{d}z = \int_c [u(x,y) \mathrm{d}x - v(x,y) \mathrm{d}y] + \mathrm{i} \int_c [v(x,y) \mathrm{d}x + u(x,y) \mathrm{d}y] \,

[editovat] Podívejte se také na