Frenetovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vztahy mezi parametry tečny, hlavní normály a binormály křivky a jejich derivacemi určují tzv. Frenetovy (Frenetovy-Serretovy) vzorce.

Tyto vzorce určují vztahy mezi jednotkovým tečným vektorem \mathbf{t}, jednotkovým vektorem hlavní normály \mathbf{n} a jednotkovým vektorem binormály \mathbf{b} a jejich derivacemi s využitím první křivosti křivky k1 a druhé křivosti k2.

Obsah

[editovat] Křivka vyjádřená pomocí oblouku

Pro křivku vyjádřenou pomocí jejího oblouku s, tzn. \mathbf{r}=\mathbf{r}(s), kde \mathbf{r} je rádiusvektor bodů křivky, platí

\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = k_1 \mathbf{n}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}s} = -k_1\mathbf{t} + k_2\mathbf{b}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = -k_2\mathbf{n}

kde k1 je první křivost a k2 je druhá křivost.

[editovat] Rovinná křivka

V případě rovinné křivky je druhá křivost nulová, tzn. k2 = 0 a předchozí vztahy se zjednoduší na tvar

\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = k_1\mathbf{n}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}s} = -k_1\mathbf{t}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = 0

[editovat] Křivka vyjádřená pomocí obecného parametru

Je-li křivka vyjádřena pomocí obecného parametru t, tzn. \mathbf{r}=\mathbf{r}(t), kde \mathbf{r} je rádiusvektor bodů křivky, platí

\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t} = k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}t} = -k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{t} + k_2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{b}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}t} = -k_2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}

kde k1 je první křivost a k2 je druhá křivost.

[editovat] Rovinná křivka

V případě rovinné křivky je druhá křivost nulová, tzn. k2 = 0 a předchozí vztahy se zjednoduší na tvar

\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t} = k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}t} = -k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{t}
\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = 0

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích