Rozvoj funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mějme na intervalu a\leq x\leq b množinu známých a lineárně nezávislých funkcí φ1(x),φ2(x),...,φn(x). Pomocí těchto funkcí lze přibližně vyjádřit jinou funkci f(x).

Funkce f(x) je obvykle neznámá a často představuje vyjádření určité experimentálně získané závislosti.

Obsah

[editovat] Aproximativní funkce

Lineární kombinací n známých funkcí φi lze získat aproximativní funkci

F_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x),

kde ci jsou konstanty, které je třeba určit tak, aby výraz

| Rn(x) | = | f(x) − Fn(x) |

dosahoval na intervalu a\leq x\leq b co nejmenších hodnot. Tento výraz tedy představuje podmínku pro nejlepší vyjádření funkce f(x) pomocí n známých funkcí φi(x).

[editovat] Metoda nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců přistupuje k nalezení koeficientů ci tak, že požaduje minimalizování integrálu

I(c_1,c_2,...,c_n) = \int_a^b {\left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right|}^2 \mathrm{d}x

Požadavek na minimalizaci tohoto integrálu lze vyjádřit jako

\frac{\part I}{\part c_i}=0 \; \mbox{ pro } i=1,2,...,n.


Lze předpokládat, že se vzrůstajícím n, tedy s větším počtem funkcí φi, bude možné funkci f(x) aproximovat lépe. Pokud je tedy množina funkcí φi nekonečná, bude mít podmínka pro nalezení nejlepšího přiblížení tvar

\lim_{n \to \infty} \left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right| = \lim_{n \to \infty} \left|R_n\right| = 0

Tato podmínka však odpovídá podmínce konvergence řady na daném intervalu.

[editovat] Úplnost množiny funkcí

Pokud máme na určitém intervalu I množinu funkcí φ1(x),φ2(x),..., jejichž prostřednictvím lze na daném intervalu I metodou nejmenších čtverců aproximovat s libovolnou přesností jakoukoli spojitou funkci f(x), pak množinu (soustavu) funkcí φi(x) označujeme jako úplnou. Množina funkcí φi je tedy úplná, pokud pro libovolné \varepsilon>0 existuje takové n, že platí

\int_a^b {\left|f(x) - \sum_{i=1}^n c_i \phi_i(x)\right|}^2 \mathrm{d}x < \varepsilon


[editovat] Semikonvergentní řada

V mnoha případech je požadován pouze přibližný výpočet hodnot funkce. V takových případech není nutné, aby řada aproximující funkci byla konvergentní, ale postačuje, aby zbytek | Rn(x) | byl pro určité n dostatečně malý. To může vést k tomu, že hodnota | Rn(x) | při daném x s rostoucím n nejdříve klesá (až pro určité n0 dosáhneme dostatečné přesnosti použitelné k přibližnému vyjádření funkce f(x)), ale s dalším růstem hodnoty n roste také | Rn(x) | do nekonečna. Takové řady se označují jako semikonvergentní (polosbíhavé).

[editovat] Podívejte se také na