Jazyk (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematické logice se pod pojmem jazyk rozumí pevně zvolená množina symbolů pomocí nichž se vytvářejí formule. Pojem jazyka náleží do oblasti logické syntaxe.

Obsah

[editovat] Definice

Každý jazyk se skládá ze symbolů dvou druhů - logických, které jsou povinně prvky každého jazyka a mimologických, které se mohou pro různé jazyky lišit.

[editovat] Logické symboly jazyka

Logické symboly jazyka jsou:

  • spočetně mnoho symbolů pro proměnné: v_0,v_1, \ldots (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny x,y,z, \ldots, vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká \,v_i.)
  • symboly pro logické spojky: \neg, \rightarrow (případně ještě \vee, \and, \leftrightarrow, tyto symboly však lze zavést také definicí)
  • symboly pro kvantifikátory: \forall (případně \exists, který lze zavést definicí)
  • symbol pro rovnost: \,= (pokud jde o jazyk logiky s rovností)
  • pomocné symboly: ( a )

[editovat] Mimologické symboly jazyka

Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost (arita). Existují tři druhy mimologických symbolů:

  • Konstantní symboly
  • Funkční symboly
  • Predikátové symboly

Signatura je funkce \,\sigma definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu S přirozené číslo \,\sigma(S) nazývané četnost (arita) symbolu S tak, že σ(c) = 0 pro každý konstantní symbol c. Funkční resp. predikátový symbol četnosti n se také nazývá n-ární funkční resp. predikátový symbol.

[editovat] Jazyk

Jazykem rozumíme trojici \,<LS,MLS,\sigma>, kde LS jsou všechny logické symboly jazyka, MLS mimologické symboly a \,\sigma signatura pro tyto mimologické symboly. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.

[editovat] Kardinalita jazyka

Kardinalita jazyka je maximum z mohutnosti množiny jeho mimologických symbolů a kardinálu \aleph_0 (viz funkce alef).

[editovat] Příklady

  • Jazyk, který má jediný mimologický symbol \,\in, který je predikátový četnosti 2, se nazývá jazykem teorie množin. Zapisuje se často jako \,<\in>. Symbol \,\in popisuje relaci „být prvkem“.
  • Jazyk, který má jeden konstantní symbol: \,0, jeden predikátový symbol: \leq četnosti 2 a tři funkční symboly: \,S četnosti 1, \,+ četnosti 2 a \,\cdotčetnosti 2, se nazývá jazyk aritmetiky (Symbol \,S označuje operaci následníka (tj. přičtení jedničky), ostatní symboly mají klasické významy).

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika