Dimenze

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.

Vektorový prostor V dimenze n zapisujeme jako Vn, popř. píšeme \dim V = n. Prostor Vn nazýváme n-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný.

[editovat] Příklady

  • Vektorový prostor \mathbb{R}^3 má bázi {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že \dim \mathbb{R}^n = n a ještě obecněji \dim F^n = n (pro libovolné těleso F).
  • Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
  • Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty \mathbb{R}[n] má bázi \{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \} o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto \aleph_0 (alef 0).

[editovat] Vlastnosti

Je-li W podprostorem prostoru V, pak platí \dim W \leq \dim V, přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud W = V. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je F rozšíření tělesa K, je F vektorový prostor nad tělesem K a libovolný vektorový prostor V nad tělesem F je také vektorový prostor nad tělesem K, přičemž platí

\dim_K(V) = \dim_K(F) \cdot \dim_F(V)

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze n je současně reálným vektorovým prostorem dimenze 2n.

Pokud V je vektorový prostor nad tělesem F, platí:

  • Pokud je \dim V konečné, pak |V| = |F| \dim V,
  • pokud je \dim V nekonečné, pak |V| = \max\left( |F|, \dim V \right).

[editovat] Podívejte se také na