Báze (algebra)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V. V konečnědimenzionálním prostoru dimenze n je tedy bází každá množina n vektorů, které jsou všechny lineárně nezávislé.
U prostorů nekonečné dimenze je pojem složitější. Přímočaré zobecnění vede k definici pojmu Hammelovy báze.
Je-li {e1,e2,...,en} bází n-rozměrného vektorového prostoru V, pak libovolný vektor
lze vyjádřit pomocí jednoznačně určených koeficientů ai jako

Obsah |
[editovat] Ortogonální a ortonormální báze
Důležitou roli (např. v teorii Hilbertových prostorů) hrají báze ortogonální.
Báze v prostoru H se nazývá ortogonální, jestliže pro libovolné dva vektory ui, uk zvolené báze platí
kde závorka označuje skalární součin a δik je Kroneckerův symbol.
Pokud zároveň platí
,
kde δik je Kroneckerův symbol, pak bázi označujeme jako ortonormální.
Aby množina ortogonálních vektorů byla bází, je důležité ověřit, zda je úplná, tj. zda platí Parsevalova rovnost.
[editovat] Vlastnosti
- Dvě různé báze daného prostoru mají stejný počet prvků.
- Počet prvků báze odpovídá dimenzi vektorového prostoru.
- Jsou-li v1, v2, …, vk lineárně nezávislé vektory neprázdného prostoru Vn dimenze n, pak pro k = n je množina {v1,v2,…,vk} bází vektorového prostoru Vn. Pro k<n pak v prostoru Vn existuje (n-k) vektorů, jejichž připojením k množině {v1,v2,…,vk} získáme bázi prostoru Vn.
- Pokud vektory báze nejsou ortogonální, lze z nich vytvořit novou bázi, která je ortogonální. Proces vytváření ortogonální báze se nazývá Gram-Schmidtova ortogonalizace.
[editovat] Příklady bází
- Vektory (0,1) a (1,1) tvoří bázi ve dvourozměrném prostoru vektorů tvaru (x,y), kde x a y jsou reálná nebo komplexní čísla.
- Vektory (0,1) a (1,0) tvoří ortonormální bázi ve stejném prostoru (při standardním skalárním součinu).
- Funkce
, tvoří ortonormální bázi prostoru kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu (0,1), tj. prostoru L2((0,1)).
- Funkce
, kde Hn jsou Hermitovy polynomy tvoří ortogonální bázi na prostoru
. Viz též ortogonální polynomy.


