Brachystochrona

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Brachystochrona (označovaná také jako křivka nejkratšího spádu) je křivka spojující dva body, po které se hmotný bod dostane z jednoho bodu do druhého působením homogenního gravitačního pole za nejkratší čas.

Brachystochrona představuje vždy část oblouku cykloidy.

Tento pojem zavedl poprvé Johann Bernoulli roku 1696 v časopise Acta Eruditorium.

[editovat] Úloha o brachystochroně

Úkolem je najít tvar spojnice místa A a B, po které by se těleso pohybující se vlivem gravitační síly, dostalo z místa A do místa B v nejkratším čase. Předpokládá se pohyb v homogenním gravitačním poli a odporové síly se zanedbávají.

Schéma k úloze o brachystochroně.
Schéma k úloze o brachystochroně.

Úlohu lze přeformulovat tak, že hledáme takovou hladkou křivku spojující body A[xA,yA],B[xB,yB], přičemž předpokládáme yA > yB a xA < xB, po níž se hmotný bod o hmotnosti m pohybuje v tíhovém poli od bodu A do bodu B za nejkratší čas. Volba souřadnicového systému je zobrazena na obrázku.


Podle zákona o zachování energie platí

\frac{1}{2}mv^2 = m g(y_A - y)

Úpravou tohoto vztahy dostaneme výraz pro rychlost

v2 = 2g(yAy)

Rychlost je však možné podle vyjádřit také jako

v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 + {y^\prime}^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},

kde bylo užito vztahu pro délku oblouku rovinné křivky, přičemž s představuje oblouk křivky.


Předpokládáme, že platí y < yA. Pokud by totiž v některém bodě platilo y = yA, byla by v tomto bodě podle předchozích vztahů rychlost v nulová a k dalšímu pohybu by bylo nutné dodat hmotnému bodu další energii. Pokud tedy předpokládáme y < yA pro (x_A,x_B\rangle, dostaneme z předchozích výrazů vztah

\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}s}{v} = \sqrt{\frac{1 + {y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x


Celkovou dobu potřebnou k proběhnutí podél křivky z bodu A do B lze tedy zapsat jako

T = \int_{x_A}^{x_B} \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}\mathrm{d}x


Fyzikální problém se tedy redukuje na řešení variačního problému s funkcionálem F(y,y^\prime) = \sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}}. V tomto případě se jedná o jeden ze speciálních případů Eulerovy rovnice. Dosazením uvedeného funkcionálu získáme první integrál Eulerovy rovnice

\sqrt{\frac{1+{y^\prime}^2}{2g(y_A-y)}} - y^\prime \frac{y^\prime}{\sqrt{2g(y_A-y)}}\frac{1}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = C,

kde C je konstanta.

Úpravou posledního vztahu dostaneme

1 = C\sqrt{2g(y_A-y)}\sqrt{1+{y^\prime}^2}

a umocněním

1 = 2 C^2 g(y_A-y)(1+{y^\prime}^2)

Za předpokladu C\neq 0 lze provést substituci K = \frac{1}{2gC^2}, čímž získáme

\frac{K}{1+{y^\prime}^2} = y_A-y


Položíme-li nyní y^\prime = \operatorname{tg}\varphi, dostaneme řešením předchozí diferenciální rovnice parametrické vyjádření hledané křivky ve tvaru

x = \frac{K}{2}(\sin{2\varphi} + 2\varphi) + \tilde{C}
y = y_A - \frac{K}{2}(1 + \cos{2\varphi})

kde K, \tilde{C} jsou integrační konstanty, které se určí z podmínky, že extremální křivka prochází body A a B.

Z parametrického vyjádření získané křivky je zřejmé, že se jedná o část cykloidy.

[editovat] Podívejte se také na