Moment setrvačnosti
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.
Obsah |
[editovat] Značení
[editovat] Výpočet
[editovat] Diskrétní rozložení hmoty
Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost ω všech bodů je stejná.
Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech n hmotných bodů soustavy, tzn.
,
kde mi je hmotnost i-tého hmotného bodu, vi je velikost jeho rychlosti, ri je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. v = ωr. Předchozí vztah lze upravit na tvar
,
kde veličina J představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem
[editovat] Spojité rozložení hmoty
V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
| J = | ∫ | r2dm |
| M |
, kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti M.
Je-li ρ hustota tělesa, pak dm = ρdV, kde V je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru
| J = | ∫ | r2ρdV |
| V |
Integruje se přes objem celého tělesa V.
V případě, že je těleso homogenní, tzn. ρ = konst., je možné předchozí vztah zjednodušit
| J = ρ | ∫ | r2dV |
| V |
[editovat] Poloměr setrvačnosti
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa M a čtverce jisté střední vzdálenosti R, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.
- J = MR2
Vzdálenost
se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.
[editovat] Momenty setrvačnosti některých těles
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
- Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
- Moment setrvačnosti plného válce o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti.
- Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru r1 a vnějším poloměru r2 a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti.
- Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose otáčení.
- J = mr2
[editovat] Steinerova věta
- Podrobnější informace naleznete v článku Steinerova větanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
,
kde J0 je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, m je hmotnost tělesa a rT je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.
[editovat] Tenzor setrvačnosti
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy S úhlovou rychlostí
, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu podle hodnotu
,
kde JS je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose S, vi je rychlost i-tého hmotného bodu soustavy, a
je polohový vektor i-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa S.
Vektor
, který směřuje podél osy S lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek ωx,ωy,ωz vzhledem k souřadnicovým osám x,y,z. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě
Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
,
kde
jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám x,y,z a
jsou deviační momenty.
Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme
| Jx = | ∫ | (y2 + z2)dm |
| M |
| Jy = | ∫ | (z2 + x2)dm |
| M |
| Jz = | ∫ | (x2 + y2)dm |
| M |
Pro deviační momenty získáme podobně vztahy
| Dxy = | ∫ | xydm |
| M |
| Dyz = | ∫ | yzdm |
| M |
| Dzx = | ∫ | zxdm |
| M |
Vektor
, který leží v ose S je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn.
, kde ω je velikost vektoru
. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti JS vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami x,y,z úhly α,β,γ
- JS = Jxcos2α + Jycos2β + Jzcos2γ − 2Dyzcosβcosγ − 2Dzxcosγcosα − 2Dxycosαcosβ
Změní-li se směr osy S vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti JS. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:
,
kde symbol
představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.
[editovat] Plošný moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.
U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme z = 0. Hmotnostní element dm je pak nahrazován plošným elementem dS.
Plošné momenty setrvačnosti k osám x,y jsou tedy
| Jx = | ∫ | y2dS |
| S |
| Jy = | ∫ | x2dS |
| S |
Z deviačních momentů je nenulový pouze
| Dxy = | ∫ | xydS |
| S |
Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.
Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
| Jxy = | ∫ | z2dm |
| M |
| Jyz = | ∫ | x2dm |
| M |
| Jzx = | ∫ | y2dm |
| M |
Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám x,y,z pak platí
- Jx = Jxy + Jzx
- Jy = Jxy + Jyz
- Jz = Jyz + Jzx
[editovat] Polární moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.
Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou z) je
| Jp = Jx + Jy = | ∫ | (x2 + y2)dS = | ∫ | r2dS |
| S | S |





![E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]](../../../math/7/3/c/73ccea331c14f5aa28fb6fdc43fa5abd.png)








