Banachův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

[editovat] Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor V nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou \|.\|, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost (v indukované metrice d(x,y) = \|x - y\|) limitu.

[editovat] Příklady

  • Prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n eukleidovskou normou
||x|| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2},
pro x = (x_1, \ldots ,x_n), budou dokonce Hilbertovy.
||f||_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|
je Banachův.
  • Vybavíme-li předchozí prostor normou
||f||_1 :=\int_a^b |f(t)|dt nebo ||f||_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt},
Banachův již nebude.

[editovat] Podívejte se také na