Charakteristika náhodné veličiny
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, není však dostatečně přehledné.
Obsah |
[editovat] Podle popisované vlastnosti
Podle popisované vlastnosti lze charakteristiky rozdělit na
[editovat] Charakteristiky polohy
- Podrobnější informace naleznete v článku Míra polohynaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Charakteristiky polohy jsou určité hodnoty, které lze považovat za střed, kolem kterého náhodné veličiny kolísají.
Nejčastěji používanou charakteristikou polohy je střední hodnota. Často užívanými charakteristikami jsou také medián a modus.
[editovat] Charakteristiky variability
Charakteristiky variability určují velikost odchylek náhodné veličiny od nějaké charakteristiky polohy.
Nejpoužívanějšími charakteristikami variability jsou rozptyl, směrodatná odchylka, střední odchylka, popř. variační koeficient nebo mezikvartilové rozpětí.
[editovat] Charakteristiky šikmosti a špičatosti
Charakteristiky šikmosti a špičatosti charakterizují tvar křivky hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny.
Charakteristikou šikmosti je koeficient šikmosti. Charakteristikou špičatosti je koeficient špičatosti.
[editovat] Podle způsobu vytvoření
Charakteristiky lze také dělit podle způsobu jejich vytvoření na
[editovat] Momentové charakteristiky
Momentové charakteristiky jsou funkcemi všech hodnot, kterých náhodná veličiny může nabývat.
Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.
[editovat] Kvantilové charakteristiky
Kvantilové charakteristiky jsou hodnoty xP náhodné veličiny X, pro které platí podmínka F(xP) = P, kde F je distribuční funkce a P je definovaná hodnota pravděpodobnosti.
Mezi kvantilové charakteristiky patří kvantily, speciálně např. medián nebo modus.
[editovat] Vícerozměrná náhodná veličina
Charakteristiky vícerozměrné náhodné veličiny, tedy náhodného vektoru, můžeme rozdělit na marginální charakteristiky, podmíněné charakteristiky a charakteristiky, které poskytují informaci o vztahu mezi jednotlivými složkami náhodného vektoru.
[editovat] Marginální charakteristiky
Marginální charakteristiky poskytují informaci o vlastnostech marginálního rozdělení. Marginální charakteristiky jsou totožné s jednorozměrnými charakteristikami a platí pro ně stejné vztahy.
Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami X a Y, pak pro veličinu X lze určit marginální střední hodnotu a marginální rozptyl vztahy
Jsou-li složky X,Y spojité, pak platí

,
kde f1 je marginální hustota pravděpodobnosti.
Obdobné vztahy získáme také pro veličinu Y. Při určování ostatních marginálních charakteristik postupujeme podobně jako v případě jednorozměrných charakteristik.
[editovat] Podmíněné charakteristiky
Podmíněné charakteristiky popisují vlastnosti podmíněného rozdělení.
Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami X a Y, pak lze určit podmíněnou střední hodnotu a podmíněný rozptyl veličiny X za podmínky, že Y = y vztahy
Jsou-li složky X,Y spojité, pak platí
Obdobně jsou definovány také E(Y | x) a D(Y | x).
[editovat] Charakteristiky poskytující informaci o závislosti mezi veličinami
- Podrobnější informace naleznete v článku Korelacenaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Míru statistické závislosti mezi proměnnými určuje korelace. Při větší (statistické) závislosti proměnných je větší hodnota jejich korelace.
[editovat] Kovariance
Kovariance je střední hodnota součinu odchylek obou náhodných veličin X,Y od jejich středních hodnot.
Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny X,Y, pak vztah mezi těmito veličinami lze vyjádřit pomocí kovariance C(X,Y), která je definována jako
Kovariance může nabývat hodnot z intervalu
. Kovariance poskytuje informaci o intenzitě vztahu mezi dvěma veličinami.
[editovat] Koeficient korelace
Při výpočtech je však místo kovariance výhodnější používat koeficient korelace ρ(X,Y) definovaný vztahem
,
kde σ(X) a σ(Y) jsou směrodatné odchylky veličin X,Y.
Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu
. Pro ρ = + 1 je mezi X,Y přímá lineární závislost. Pro ρ = − 1 je mezi X,Y nepřímá lineární závislost. Pro ρ = 0 jsou veličiny X,Y lineárně nezávislé, a říkáme o nich, že jsou nekorelované. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy neznamená obecnou nezávislost obou veličin X a Y, ale pouze nezávislost lineární.
[editovat] Kovarianční matice
K popisu n-rozměrného náhodného vektoru používáme tzv. kovarianční matici
kde na hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých veličin Xi, tzn. D(Xi), a pro
jsou C(Xi,Xj) kovariance veličin Xi a Xj.
Kovarianční matice je symetrická.
[editovat] Korelační matice
Kromě kovarianční matice lze pro n-rozměrnou veličinu vytvořit také korelační matici
, která má na hlavní diagonále jedničky, tzn. ρii = 1, a mimo hlavní diagonálu koeficienty korelace mezi veličinami Xi a Xj, tedy ρij = ρ(Xi,Xj).
Korelační matice je symetrická.

![D(X) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 P_1(x)](../../../math/d/f/b/dfb6220984cc9945d7e33e39528de2cf.png)

![D(X|y) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 P(x|y)](../../../math/5/2/a/52a46707eec261657ba1491cecf7aec3.png)

![D(X|y) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 f(x|y)\mathrm{d}x](../../../math/0/3/f/03fd92eedd57535e4d33f8607f2e7ff5.png)
![C(X,Y) = \operatorname{E}\left\{[X-\operatorname{E}(X)][Y-\operatorname{E}(Y)]\right\} = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)](../../../math/0/6/f/06f1ea08e2d80135419dd2473d588335.png)


