Rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Uvažujme dvě funkce f(x),g(x), které jsou definovány na nějaké množině D, pak nalezení všech x \in D, která splňují rovnost

f(x) = g(x)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé x. Funkce f(x) se nazývá levá strana rovnice a g(x) se nazývá pravá strana rovnice.

Obsah

[editovat] Kořeny rovnice

Každé číslo x_0 \in D, které vyhovuje vztahu f(x0) = g(x0), se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v D, nazývá se řešitelná v D, pokud žádný kořen v D nemá, říkáme, že rovnice je v D neřešitelná. Pokud je rovnice f(x) = g(x) splněna pro všechna x \in D, jde o identitu, což značíme

f(x) \equiv g(x)

[editovat] Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice f1(x) = g1(x),f2(x) = g2(x), pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní.

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

  • přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. f(x) + a = g(x) + a je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)
  • vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. af(x) = ag(x) je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)

Rovnici f(x) = g(x) je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

F(x) = f(x) − g(x) = 0

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

[editovat] Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

[editovat] Rovnice o více neznámých

Rovnice o n neznámých má tvar

F(x1,x2,...,xn) = 0

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě F(x) = 0, přičemž řešením rovnice o n neznámých jsou n-tice (x1,x2,...,xn).

[editovat] Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici n-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom n-tého stupně s a_n \neq 0, přičemž se předpokládá, že n \geq 1. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice (n = 1), kvadratická rovnice (n = 2) a kubická rovnice (n = 3). Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně n \geq 1 alespoň jeden komplexní kořen. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.


Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

[editovat] Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. 3x2y + 3x3 + 2y3 − 5xy2 = 0 je homogenní rovnice třetího stupně.

[editovat] Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika