Kubická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kubická rovnice o jedné neznámé je algebraickou rovnici ve tvaru

ax3 + bx2 + cx + d = 0

K řešení lze použít tzv. Cardanův vzorec, avšak pro jeho použití je nutné kubickou rovnici upravit tak, že do ní dosadíme

x = y - \frac{b}{3 a}

Získáme tak tzv. redukovanou kubickou rovnici

y3 + py + q = 0

Řešení redukované kubické rovnice získáme užitím Cardanova vzorce

y_{1,2,3} = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

Hodnoty třetích odmocnin přitom musí být zvoleny tak, aby jejich součin byl roven - \frac{p}{3}. Kořeny x1,2,3 pak určíme ze substituce x = y - \frac{b}{3 a}.


Použití Cardanova vzorce je poměrně komplikované a získané výsledky mohou být značně nepřehledné, např. jednoduché kořeny, které jsou přirozenými čísly, mohou být vyjádřeny pomocí různých kombinací odmocnin z komplexních čísel. Z tohoto hlediska je praktický význam Cardanova vzorce relativně malý.


U rovnic vyšších stupňů je vhodnější využít k určení kořenů vlastností polynomů. Můžeme např. zkusit dosadit do rovnice některá čísla (obvykle 0,1, − 1,i apod.), čímž můžeme získat některé kořeny rovnice. Pokud známe některé kořeny, můžeme snížit stupeň polynomu a další kořeny rovnice hledat z rovnice nižšího stupně.

Můžeme také použít jiných metod, např. numerických nebo grafické řešení rovnice. Řešení získaná těmito metodami jsou však pouze přibližná.

[editovat] Podívejte se také na