Rovinný graf

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rovinný graf (též planární graf) je graf, pro který existuje takové rovinné nakreslení, že se žádné dvě hrany nekříží.

Obsah

[editovat] Rovinné nakreslení

Oblouk je podmnožina roviny tvaru σ( < 0,1 > ), kde \sigma: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^2 je nějaké spojité a prosté (až na koncové body) zobrazení intervalu <0, 1> do roviny. Body σ(0) a σ(1) se nazývají koncové body oblouku.

Rovinné nakreslení je pak zobrazení b, které každému vrcholu v přiřazuje bod roviny b(v) a hraně {i, j} přiřadí oblouk s koncovými body σ(i) a σ(j). Zobrazení je prosté (různým vrcholům odpovídají různé body roviny) a žádný bod b(v) není nekoncovým bodem žádného oblouku. Graf spolu s takovýmto zobrazením nazveme topologický graf.

Topologický graf je rovinný, pokud libovolné dva oblouky odpovídající hranám e a f (e ≠ f) mají společné nejvýše koncové body.

[editovat] Stěna grafu

Nechť A\subseteq\mathbb{R}^2 je nějaká podmnožina roviny. Nazveme ji souvislou, pokud pro \forall x, y \in A platí, že existuje oblouk o s koncovými body x a y takový, že o\subseteq A. Oblouky příslušné hranám nějakého topologického grafu pak podle této relace souvislosti rozdělují rovinu na třídy ekvivalence, které se nazývají stěny grafu.

[editovat] Charakterizace rovinných grafů

[editovat] Kuratowského věta

Graf G je rovinný právě tehdy, není-li žádný jeho podgraf izomorfní dělení grafu K5 ani K3,3. (K5 označuje úplný graf na pěti vrcholech, K3,3 pak úplný bipartitní graf.)

K4, úplný graf na 4 vrcholech, lze zakreslit do roviny bez křížení hran. Pro K5 to možné není.
K4, úplný graf na 4 vrcholech, lze zakreslit do roviny bez křížení hran. Pro K5 to možné není.

[editovat] Eulerův vzorec

Pro rovinné grafy také platí následující vzorec, je to ovšem pouze implikace: Je-li G = (V, E) rovinný graf, pak | V | − | E | + s = 2, kde s je počet stěn nějakého rovinného nakreslení tohoto grafu.

Příklad ukazuje graf K4 se 4 vrcholy, 6 hranami a vyznačenými 4 stěnami. Eulerův vztah platí, 4 − 6 + 4 = 2.
Příklad ukazuje graf K4 se 4 vrcholy, 6 hranami a vyznačenými 4 stěnami. Eulerův vztah platí, 4 − 6 + 4 = 2.

[editovat] Maximální počet hran

Je-li G = (V, E) rovinný graf, pak platí, že |E|\le 3|V| - 6. Neobsahuje-li navíc tento graf jako podgraf trojúhelník (tj. K3, úplný graf na 3 vrcholech), pak |E|\le 2|V| - 4.

Z prvního tvrzení vyplývá důležitý fakt, a to, že každý rovninný graf má alespoň jeden vrchol stupně nejvýše 5. Díky tomuto faktu lze následně dokázat, že chromatické číslo každého rovinného grafu je nejvýše 5.

[editovat] Podívejte se také na