Lineární zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pojmem lineární zobrazení (lineární transformace) se v matematice označuje takové zobrazení mezi vektorovými prostory X a Y, které zachovává vektorové operace sčítání a násobení skalárem. Název lineární je odvozen z faktu, že grafem obecného lineárního zobrazení z reálných čísel do reálných čísel je přímka.

Lineární zobrazení mají velký význam, protože se pomocí nich dá modelovat velké množství jevů běžného světa. V matematice jsou naopak ceněna právě pro relativní snadnost manipulace. Často se například hledá tzv. linearizace jistého (nelineárního) zobrazení f, tedy takové lineární zobrazení L, které se v jistém smyslu podobá původnímu f.

[editovat] Matematická definice

Nechť X a Y jsou lineární prostory nad týmž tělesem K. Zobrazení L:X \to Y se nazývá lineární, pokud pro všechna x,y z X a všechna q z K splňuje

  • L(x + y) = L(x) + L(y) (aditivita),
  • L(qx) = qL(x) (homogenita).

[editovat] Příklady

  • přímá úměrnost je v podstatě lineární zobrazení
  • lineární zobrazení mezi konečně-dimenzionálními prostory jsou reprezentována pomocí matic
  • terminologie je bohužel trochu matoucí: lineární funkce (jako zobrazení vektorového prostoru reálných čísel do sebe tvaru f(x) = ax + b) je obecně pouze afinním zobrazením, tedy obecně lineárním zobrazením není – pouze zobrazuje-li nulu na nulu (b = 0)