Cauchyův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cauchyův vzorec je jeden ze základních integrálních vztahů komplexní analýzy. Umožňuje vyjádřit hodnotu analytické funkce v libovilném bodě uvnitř křivky pomocí integrálu závislého pouze na hodnotách této funkce v bodech dané křivky.

[editovat] Vzorec

Nechť c je jednoduchá po částech hladká uzavřená křivka a funkce f(z) je analytická ve vnitřku \mathbf{G} křivky c a spojitá v \overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c. Pro z_0 \in \mathbf{G} pak platí

f(z_0) = \frac{1}{2\mathrm{i}\pi} \int_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{z - z_0}

Podle tohoto vzorce je tedy možné vyjádřit hodnotu funkce f(z) v libovolném bodě z0 uvnitř křivky c prostřednictvím integrálu závislého pouze na hodnotách funkce f(z) v bodech na křivce c.


Podobně lze vyjádřit n-tou derivaci funkce f(z) v bodě z_0 \in \mathbf{G} jako

f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\mathrm{i}\pi} \int_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{{(z - z_0)}^{n+1}}

pro n = 1,2,....

[editovat] Podívejte se také na