Lineární programování

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lineární programování (dříve lineární optimalizace) je odvětví optimalizace. Řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineární funkce n proměnných na množině, popsané soustavou lineárních nerovností.

Na tento typ úlohy lze převést řadu praktických problémů. Pro řešení jsou známy spolehlivé algoritmy.

Obsah

[editovat] Úloha

Úlohou lineárního programování je následující optimalizační úloha

\min_{x\in M} c^Tx,

přičemž:

Ax=b,\quad x\geq 0,
kde A je matice rozměru m × n, b je m-rozměrný vektor a c, x jsou n-rozměrné vektory. Součin Ax označuje součin matic.


[editovat] Poznámky

  1. Množina M představuje geometricky konvexní polyedr (mnohostěn).
  2. Optimální řešení úlohy (pokud existuje) leží ve vrcholu, popř. celé stěně konvexního polyedru M.
  3. Existují speciální úlohy v rámci lineárního programování, např. dopravní problém.
  4. Duální úloha k původní (tzv. primární) úloze je tvaru
\max_{y\in N} b^Ty,\quad N=\{y\in\mathbb{R}^m \mid A^Ty\leq c\}

.

V literatuře jsou často zaměněny definice primární a duální úlohy. To však ničemu nevadí.
Mezi primární a duální úlohou platí zajímavé vztahy.

[editovat] Metody řešení

Nejznámější algoritmus na řešení úlohy lineárního programování je tzv. simplexový algoritmus (původem od G. B. Dantziga, 1951). Existují ale i jiné, asymptoticky rychlejší algoritmy, např. elipsoidová metoda (L. Khachiyan 1979), metoda vnitřních bodů (N. Karmarkar 1984).


[editovat] Reference

  1. Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach: Lineárne programovanie, ALFA, Bratislava 1990, 1. vydání
  2. Libuše Grygarová: Úvod do lineárního programování, skripta, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1975, 1. vyádní, skripta
  3. Jitka Dupačová: Lineární programování, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1982, 1. vydání, skripta

[editovat] Externí odkazy

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~lachout/Vyuka/Optima1/Opt-text-051021.pdf
http://control.zcu.cz/~pesek/OA2000/user/data/OA5.pdf
http://www1.osu.cz/studium/mopv2/matemprog/linprog.htm
http://www.econ.muni.cz/katedry/KPH/stud/moa/pet2.html
http://home.eunet.cz/berka/o/matempro.htm