Shannonův teorém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikův teorém, apod.)

„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byl vzorkován frekvencí alespoň dvakrát vyšší než je maximální frekvence rekonstruovaného signálu.“

[editovat] Shannonův teorém pro vzorkování obrazu

Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)).

Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)L1 jako

f(x)*g(x) = \int f(t)g(x-t)dt

Označme F(u,v) jako fourierovu transformaci funkce f(x,y).

Definujme ještě tzv. delta funkci δ, pro kterou platí:

\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0
\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) = 1

Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako

s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(x-i\Delta x, y-j\Delta y)

Tedy: d(x,y) = f(x,y)s(x,y)

Platí, že fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar,

S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y})

Díky konvolučnímu teorému, který říká:

f(x) * g(x) = F(u)G(u)
f(x)g(x) = F(u) * G(u)

platí, že

D(u,v) = F(u,v) * S(u,v)

Vzorkování je pak konvoluce fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí D. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole fourierových obrazů funkce f. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě).

Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvounásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.

[editovat] Podívejte se také na

  • Nyquistova vzorkovací věta