Okruh (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Okruh (ozn. R, angl. ring) je v algebraická struktura, která má oproti grupě navíc další operaci.

Obsah

[editovat] Definice okruhu

Množinu \mathcal{M} s binárními operacemi + (sčítání) a \cdot (násobení) nazveme okruhem, platí-li pro každé x, y, z \in \mathcal{M} následující axiomy:

  1. x + y \in \mathcal{M}, x \cdot y \in \mathcal{M} (uzavřenost pro + a \cdot)
  2. x + y = y + x (komutativita +)
  3. (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita +)
  4. x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z (asociativita \cdot)
  5. existuje 0 tak, že x + 0 = 0 + x = x (nulový prvek)
  6. pro každé y existuje x tak, že x + y = 0 = y + x, značíme x = − y (opačný prvek)
  7. existuje 1 tak, že x \cdot 1 = 1 \cdot x = x (jednotkový prvek)
  8. x \cdot (y + z) = x\cdot y + x \cdot z (distributivita \cdot)
  9. (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z (distributivita \cdot)

[editovat] Vlastnosti

Okruh s operací +, (\mathcal{M}, +), je Abelova grupa. Okruh s operací \cdot, (\mathcal{M}, \cdot), je monoid.

Speciálním případem okruhu, který navíc přináší existenci inverzního prvku, je těleso. Další speciální případy okruhů jsou obory integrity.

[editovat] Příklady okruhů

[editovat] Podokruh

Máme-li okruh (R,+,.) a S je neprázdná podmnožina R

  1. je (S,+,.) podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí: a - b \in \mathcal{S}, a zároveň a \cdot b \in \mathcal{S}
  2. pokud je S konečná, pak (S,+,.) je podokruh, právě když pro všechna a, b patřící do S platí a + b \in \mathcal{S} a zároveň a \cdot b \in \mathcal{S}

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy