Ekvivalence (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Je navrženo sloučení tohoto článku nebo jeho části s článkem Relace ekvivalence. (Diskuse)

Pojem ekvivalence je v matematice používán pro binární relaci, která množinu, na které je definována, „rozumným způsobem“ rozděluje na vzájemně disjunktní podmnožiny. Obvyklé značení relace je pomocí infixu ≡ nebo ~.

Obsah

[editovat] Definice

O binární relaci R \,\! na množině X \,\! řekneme, že se jedná o ekvivalenci, pokud je R \,\! na X \,\!

[editovat] Rozklad a třídy ekvivalence

Relace ekvivalence určuje jednoznačně rozklad množiny X \,\! na třídy ekvivalence.

Rozkladem zde rozumíme takovou množinu Y \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! podmnožin množiny X \,\!, že sjednocením této množiny je X \,\! a každé dva prvky množiny Y \,\! jsou disjunktní:

Třídu ekvivalence, do které patří prvek a \isin X \,\! značíme [a]_R \,\!, rozklad množiny X \,\! podle ekvivalence R \,\! je následující množina:
X/R = \{ [a]_R : a \isin X \} \,\!

Platí to i naopak - každý rozklad Y \,\! množiny X \,\! určuje jednoznačně právě jednu relaci ekvivalence: [a,b] \isin R \Leftrightarrow (\exist y \isin Y)(a \isin y \and b \isin y) \,\!

[editovat] Vlastnosti a příklady

[editovat] Identita jako ekvivalence

Na každé množině X \,\! je identická relace id_X \,\! ekvivalence. Všechny její třídy ekvivalence jsou jednoprvkové, takže rozklad podle identické relace obsahuje stejný počet prvků, jako původní množina:
X/id_X = \{ \{a \} : a \isin X \} \,\!

[editovat] Kartézský součin jako ekvivalence

Na každé množině X \,\! je kartézský součin X \times X \,\! (tj. největší možná binární relace na množině X \,\! ) ekvivalence. Její rozklad má pouze jeden prvek - celou množinu X \,\!:
X/(X \times X) = \{ X \} \,\!

[editovat] Zbytkové třídy jako ekvivalence

Uvažujme nyní o množině \omega \,\! všech přirozených čísel a relaci R \,\!:
[a,b] \isin R \,\! právě když a,b mají stejný zbytek po dělení číslem 7

Tato relace je ekvivalence (jedná se dokonce o speciální algebraickou ekvivalenci, která je nazývána kongruence). Její rozklad má sedm tříd ekvivalence:
\omega/R = \{ \{0,7,14,\ldots \}, \{1,8,15,\ldots \}, \{2,9,16,\ldots \}, \ldots \} \,\!

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích