Majoranta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Majoranta, jinak také horní mez nebo horní závora je matematický pojem z teorie uspořádání.

Obsah

[editovat] Definice

Majoranta se definuje následujícím způsobem:
Pokud je množina A uspořádána relací R a B je podmnožina A, pak prvek a \isin A je majorantou B, právě když ( \forall b \isin B)(b \leq_R a).

Množina B \subseteq A je shora omezená, pokud pro ní existuje alespoň jedna majoranta.

[editovat] Vlastnosti majoranty

  • Pokud má množina B \subseteq A z předchozí definice největší prvek, pak je tento prvek majorantou.
  • Pomocí pojmu majoranty se dále definuje pojem supremum množiny jako nejmenší prvek množiny (nebo třídy) všech majorant (pokud tato množina má nejmenší prvek).

[editovat] Příklady

Nechť A je množina všech reálných čísel (A = R), B je množina všech reálných čísel x takových, že x2 < 3 a nechť R je relace obvyklého ostrého uspořádání reálných čísel (tj. R = <). Pak majorantou B při uspořádání R je například číslo 10. Nejmenší majorantou je číslo s = \sqrt{3}.

Nechť A je třída všech ordinálních čísel (A = On), B je množina všech konečných ordinálních čísel (tj. množina přirozených čísel) a R = \in je uspořádání na třídě On. Pak majorantou B při uspořádání R je každé nekonečné ordinální číslo, nejmenší majorantou je číslo s = \omega \,(= \alef_{0}).

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika