Arctg2

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se (zejména při převodech mezi soustavami souřadnic) často bývá problém jen pomocí cyklometrických funkcí popsat inverzní funkci k zobrazení mezi těmito soustavami souřadnic. V takovýchto případech (a zejména v programování) se často zavadí funkce arctg2(x,y), jejíž hodnota je shodná s úhlem sevřeným mezi osou x a průvodičem bodu (x,y).

[editovat] Definice

\operatorname{arctg2}(x,y) je funkce \mathbb R\times \mathbb R \rarr <0;2\pi) definovaná následujícím přepisem:

\operatorname{arctg2}(x,y) = \left\{\begin{matrix}  \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (y>0) \wedge (x>0), \\  \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li }  (y<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (y>0) \wedge (x<0), \\ \end{matrix}\right.

kde arctg(x) je arkus tangens.

Jiná definice pomocí distribucí, konkrétně Heavisideovy skokové funkce θ(x):

\operatorname{arctg2}(x,y) = \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right) +\pi\theta(-y)+2\pi\theta(y)\theta(-x).

[editovat] Užití

Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od kartézských souřadnic k polárním a jeho inverzní funkci jako

x = r \cos{\varphi}\,
y = r \sin{\varphi}\,


r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right).

Stejnětak lze funkci arctg2(x,y) užít v případě přechodů mezi kartézkou soustavou souřadnic a sférickou soustavou souřadnic, resp. válcovou soustavou souřadnic.