Dedekindův řez

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel.

Obsah

[editovat] Definice

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

[editovat] Motivace

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" \subseteq \,\! .
Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice přirozených čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená aby každá omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté Mac Neilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze jí použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

[editovat] Konstrukce zúplnění

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina všech S_A \,\! všech stabilních podmnožin nějaké množiny A \,\! je úplný svaz, to znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc pokud je A \,\! lineárně uspořádaná, pak je také S_A \,\! lineárně uspořádaná (relací \subseteq \,\! ).

Definujeme-li zobrazení f: A \implies S_A \,\! předpisem f(x) = \{ y \isin A : y \leq x \} \,\!, dostáváme izomorfní vnoření A \,\! do S_A \,\!.
Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v A \,\!, ale pokud v A \,\! neexistovala, pak v S_A \,\! již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla Q \,\! je S_Q \,\! izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

[editovat] Příklady

Množina A_1 = \{ x \isin Q : x < 1 \} \,\! má supremum v Q \,\! - platí sup A_1 = 1 \,\!.
Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu
S_1 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x) < f(1) \} = \{ (-\infty,x] : x < 1 \} \,\! a její supremum je (-\infty,1] = f(1) \,\!. Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina A_2 = \{ x \isin Q : x^2 < 2 \} \,\! nemá v Q \,\! supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v S_Q \,\! získá:
S_2 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x^2) < f(2) \} \,\! má supremum sup S_2 = (-\infty,\sqrt{2}] \,\!, které není obrazem žádného prvku z Q \,\! .

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika