Afinní prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Definice afinního prostoru

Afinním prostorem \mathbf{A}(V) nazveme vektorový prostor V nad tělesem \mathbf{T}, neprázdnou množinu \mathbf{A} a zobrazení f: \mathbf{A} \times V \to \mathbf{A} splňující podmínky

  • f(a,\mathbf{0}) = a, f(f(a,\mathbf{u}),\mathbf{v}) =f (a,\mathbf{u} + \mathbf{v}) pro všechna a \in \mathbf{A} a \mathbf{u},\mathbf{v} \in V
  • pro každou dvojici a,b \in \mathbf{A} existuje právě jeden vektor \mathbf{u} \in V takový, že f(a,\mathbf{u}) = b

Dimenzí afinního prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru.

Alternativní definice: Mějme dánu neprázdnou množinu \mathbf{A}, n-rozměrný vektorový prostor V nad tělesem T a zobrazení f: \mathbf{A} \times \mathbf{A} \to V splňující podmínky

  • Pro každé X,Y,Z \in \mathbf{A} : f(X,Y) + f(Y,Z) = f(X,Z)
  • Existuje takové P \in \mathbf{A} , že pro každý vektor \mathbf{x} \in V existuje právě jeden X \in \mathbf{A} tak, že platí f(P,X)=\mathbf{x}.

Pak se uspořádaná trojice \mathcal{A}=(\mathbf{A},V,f) nazývá n-rozměrný afinní prostor nad tělesem T.

[editovat] Označení

Prvky množiny \mathbf{A} se označují jako body afinního prostoru.

Pro vyjádření skutečnosti, že afinní prostor \mathcal{A}dimenzi n se používá zápis \dim \mathcal{A} = n, nebo zkráceně \mathcal{A}_n.

Afinní prostor dimenze 1 se nazývá (afinní) přímka, afinní prostor dimenze 2 se nazývá (afinní) rovina.


[editovat] Podívejte se také na