Operátor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Operátorem
nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.
,
kde
. Působením operátoru
na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor
, zobrazující prostor X do prostoru Y.
Operátor obvykle značíme stříškou, např.
, apod.
Prvek
nazýváme vzorem (originálem), prvek
obrazem.
Množina všech
, které přísluší všem
, tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru
. Obvykle se značí
. Pokud operátor není definován pro všechna
, pak množinu těch
pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.
Obsah |
[editovat] Funkcionál
Pokud je
množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor
nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.
[editovat] Vybrané druhy operátorů
[editovat] Lineární operátor
Lineární operátor
je takový operátor, pro který platí
,
kde fi jsou libovolné funkce a ci jsou libovolné koeficienty.
Linearitu operátoru
je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty c1,c2 a libovolné funkce f1,f2,g1,g2 takové, že
a
, pak platí
[editovat] Antilineární operátor
Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí
,
kde fi jsou libovolné funkce a
jsou koeficienty komplexně sdružené k ci.
[editovat] Operátor identity
Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor)
, pro který platí
Působením operátoru identity
tedy nedochází k žádné změně.
[editovat] Totožné operátory
Pokud pro dva operátory
z X do Y platí
pro každé
, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.
[editovat] Spojitý operátor
Operátor
se nazývá spojitý v bodě
, jestliže pro každou posloupnost prvků {fn} z
, pro kterou v prostoru
platí
, platí také
, tzn.
, v prostoru
.
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě
, je spojitý v každém bodě
.
[editovat] Omezený operátor
Operátor
nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové μ > 0 (nezávislé na f), že pro každé
platí
,
kde
je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a
je norma prvku
v prostoru Y.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel μ operátoru
představuje tzv. normu operátoru
, tzn.
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel
pro všechny jednotkové prvky f, tzn.
[editovat] Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor
Operátor
označíme jako symetrický, jestliže platí
kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.
Operátor
označíme jako antihermiteovský, je-li operátor
hermiteovský.
K operátoru
existuje sdružený operátor
, který splňuje vztah
neboli
Platí vztahy
Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor
je pozitivní, když pro každé
platí
Operátor označujeme jako normální, když platí
,
kde [,] označují komutátor.
[editovat] Inverzní operátor
Operátor
nazveme inverzním operátorem k
, pokud platí
,
kde
představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
[editovat] Unitární operátor
Operátor
označíme jako unitární, pokud platí
neboli
,
kde
je operátor identity.
Pro libovolný unitární operátor
platí
Jestliže operátor
splňuje vztah
,
pak operátor
označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah
, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být
.
[editovat] Projekční operátor
Omezený operátor
označíme jako projekční, splňuje-li podmínky
Je-li
projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
,
kde
představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
Je-li
vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na
lze vyjádřit jako
Jestliže množina vektorů
tvoří ortonormální bázi podprostoru H1, pak projekční operátor do
vyjádříme jako
Pokud je H1 = H, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.
Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).
[editovat] Operace s operátory
Součtem dvou operátorů
získáme operátor
, pro který platí
Operátor
označíme jako součin operátorů
a
, tzn.
, pokud pro každé u platí
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např.
.
Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory
platí
. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů
, zavádíme tzv. komutátor (algebra) operátorů
Dva nekomutativní operátory
splňují pro libovolné u vztah
Dva komutativní operátory
splňují pro libovolné u vztah
Jsou-li lineární hermiteovské operátory
komutativní, pak mají společné vlastní funkce.
Jestliže operátory
komutují, tzn.
, pak pro libovolné funkce f, g platí
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů
Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:
Platí také tzv. Jacobiho identita
[editovat] Příklad
- Příkladem lineárního operátoru může být operátor
, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x. - Nelineárním operátorem je operátor
. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme
.
[editovat] Použití
Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice.


























![[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A](../../../math/6/5/8/658158843ed22041a2c71b1c11f8abfb.png)
![[\hat A,\hat B] \ne 0](../../../math/c/d/1/cd1f64fb706b79f09e234d9a1d080c9d.png)
![[f(\hat A),g(\hat B)] = 0](../../../math/9/0/0/900735d6537bc076aad24412f26aaee4.png)
![\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A](../../../math/e/2/8/e28b24f0441b333bfb80a2f5cf5369a4.png)
![[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]](../../../math/c/4/e/c4e85946935a855b5386ca31cf3aafcb.png)
![[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]](../../../math/7/8/1/7814c264bc93e81a440f8c2b47b88b8a.png)
![[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}](../../../math/d/c/e/dceca0431733ce17af7b90ee1626811d.png)
![[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat B,\hat A\}\hat C](../../../math/3/8/d/38d0cb7a59793e21dc41694ce8c3d5e4.png)


![\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C](../../../math/8/f/2/8f24c3f801497b5626c7f9eec286a977.png)
![\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]](../../../math/f/8/e/f8ec685c2d24ae7b1fe53d7d513b1558.png)
![[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0](../../../math/8/6/2/86254eae35a8fb17a56f1a0170f800fe.png)

