Geodetická křivka
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Geodetická křivka (geodetika) je křivka spojující dva body, která má ze všech možných křivek spojujících dané dva body nejmenší vzdálenost. V euklidovském prostoru jsou nejkratšími spojnicemi přímky, v Riemannově prostoru, který může být zakřivený, mohou být geodetikami křivky různého tvaru. V indefinitní metrice může taková spojnice dvou bodů měnit svůj charakter tím, že norma tečného vektoru mění své znaménko.
Obsah |
[editovat] Geodetika na ploše
Je-li na ploše křivka, jejíž oskulační rovina v každém jejím bodě prochází normálou plochy ve stejném bodě, pak se jedná o geodetickou křivku plochy.
Existují-li na dané ploše dva různé body, pak jejich nejkratší spojnici představuje geodetická křivka, tzn. ze všech křivek spojujících dané dva body je oblouk geodetické křivky nejkratší.
Geodetická křivka má v každém svém bodě nulovou geodetickou křivost, tzn. kg = 0.
[editovat] Geodetika v Riemannově prostoru
Geodetika je nejkratší spojnice dvou bodů. V euklidovském prostoru jsou nejkratšími spojnicemi přímky, v Riemannově prostoru, který může být zakřivený, mohou být geodetikami křivky různého tvaru. V indefinitní metrice může taková spojnice dvou bodů měnit svůj charakter tím, že norma tečného vektoru mění své znaménko.
Nechť body x1,x2 prochází křivka xι = xι(u), přičemž xι(u1) = x1,xι(u2) = x2, a tečný vektor této křivky má stále kladnou nebo zápornou velikost. Hledejme extrém integrálu
,
kde
představuje indikátor metrické formy. Extrém integrálu lze hledat mezi všemi dostatečně blízkými křivkami stejného charakteru, s počátečním bodem x1 a koncovým bodem x2. Nalezenou křivku pak označíme jako geodetiku. Vzhledem k tomu, že křivku lze vždy prodlužovat, bude hledaným extrémem minimum.
Zavedeme funkcionál
Pomocí tohoto funkcionálu lze integrál vyjádřit jako
Nalezení hledané křivky představuje řešení variačního problému δs = 0 s pevnými konci křivky. Jde tedy o řešení rovnice
Dosazením funkcionálu do této rovnice dostaneme
Zvolíme-li za parametr u oblouk křivky s, pak platí
, a předchozí rovnice se zjednoduší na
Po úpravě lze předchozí vztah vyjádřit pomocí absolutní derivace
Po zvednutí indexu ι přejde předchozí rovnice na
Tato rovnice bývá často označována jako rovnice geodetiky (Jako rovnice geodetiky však bývá označována i některá z předchozích rovnic).
Podle rovnice geodetiky se tečný vektor
normovaný podmínkou
přenáší podél geodetiky paralelně. Nenulové geodetiky mají tedy v riemannovském prostoru vlastnost nejpřímější čáry.
[editovat] Změna parametru
Uvažujme geodetiku s vhodnou parametrizací x = x(ν) takovou, že
Pokud změníme parametrizaci tak, že u = u(ν), dostaneme rovnici geodetiky v libovolné parametrizaci
Dodatečný člen předchozí rovnici vymizí pouze při lineárních transformacích parametru, tzn. u = aν + b, kde a,b jsou konstanty. Uvedené parametry, pro které si rovnice geodetiky zachovává svou formu, se nazývají speciálními parametry.
Při paralelním přenosu se norma vektoru nemění, tzn.
Podél geodetiky tedy platí
,
kde K je konstanta.
Je-li
pak lze položit
, takže novým speciálním parametrem bude oblouk křivky.
Na geodetikách s K = 0 nepatří oblouk křivky mezi speciální parametry. Nulové čary s K = 0 se nazývají izotropní (světelné) geodetiky.











