Konstruovatelná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Konstruovatelná množina je matematický pojem z oblasti teorie množin. Používá se pro označení „slušně se chovajících“ množin v tom smyslu, že je lze pomocí několika základních množinových operací získat transfinitní rekurzí z prázdné množiny.

Obsah

[editovat] Definice

Kontruovatelné množiny jsou definovány pomocí několika pomocných pojmů - pro přehlednost se tento článek neodkazuje na samostatné články pro jednotlivé pojmy, ale zavádí je všechny zde:

[editovat] Uzavřenost na základní operace

Označme symboly F_1, F_2, \ldots, F_7 \,\! následující množinové funkce:

  • F_1(x) = Dom(x) \,\!
  • F_2(x) = \{ [a,b] \isin x : a \isin b \} \,\!
  • F_3(x) = \{ [a,b] : [b,a] \isin x \} \,\!
  • F_4(x) = \{ [a,b,c] : [a,c,b] \isin x \} \,\!
  • F_5(x,y) = \{x,y \} \,\!
  • F_6(x,y) = x - y \,\!
  • F_7(x,y) = x \times y \,\!

Funkce F_1, \ldots, F_7 se nazývají základní operace či gödelovské operace. Řekneme, že množina S \,\! je uzavřená na základní operace, pokud s každými dvěma množinami obsahuje i jejich obrazy podle výše uvdených sedmi funkcí, tj.
( \forall x,y \isin S ) ( F_1(x), F_2(x), F_3(x), F_4(x), F_5(x,y), F_6(x,y), F_7(x,y) \isin S)

[editovat] Uzávěr na základní operace

Máme-li množinu S \,\!, definujme posloupnost množin S_0, S_1, \ldots, \,\! takto:

  • S_0 = S \,\!
  • S_{n+1} = S_n \cup \{ x: (\exist u,v \isin S_n)( x \isin \{ F_1(u), F_2(u), F_3(u), F_4(u), F_5(u,v), F_6(u,v), F_7(u,v) \} ) \} \,\!

Definujme uzávěr množiny S na základní operace jako:
Df(S) = \bigcup \{ S_n : n < \omega \}

Vypadá to sice hrozivě, ale není na tom nic tak strašného - přeříkáno „po lidsku“ je uzávěr množina, která k prvkům původní množiny S \,\! přidá všechny výsledky libovolně nakombinovaných základních operací provedených pro prvky z S \,\!.
Není přílš složité si uvědomit, že uzávěr je množina uzavřená na základní operace, a že je to nejmenší taková nadmnožina pro S \,\!. Speciálně: pokud je S \,\! uzavřená na základní operace, platí Df(S) = S \,\!, to znamená, že množina uzavřená na základní operace je sama sobě uzávěrem.

Na závěr ještě označme Df^+(S) = Df(S \cup \{ S \}) \cap \mathbb{P}(S)
Důvodem této (čistě pomocné) definice je, že při vytváření konstruovatelných množin nás nebudou zajímat uzávěry jako takové, ale pouze ty prvky uzávěru, které jsou podmnožinou původní množiny.

[editovat] Konstruovatelné množiny

Definujme transfinitní rekurzí množinové zobrazení L \,\! pro všechna ordinální čísla \alpha \,\! takto:
L_0 = \emptyset \,\!, t.j. prázdná množina

  • L_{\alpha + 1} = Df^+(L_{\alpha}) \,\!, t.j. „modifikovaný“ uzávěr předchozího člena posloupnosti
  • L_{\alpha} = \bigcup \{ L_{\beta} : \beta < \alpha \} \,\! pro limitní ordinál \alpha \,\!

Třída konstruovatelných množin \mathbb{L} je (konečně je to tady!) definována jako:
\mathbb{L} = \bigcup L_{\alpha}
Její prvky nazýváme konstruovatelné množiny.

[editovat] Motivace a vlasnosti

Nabízí se otázka, co jsme to vlastně nadefinovali.
Představme si třídu všech ordinálních čísel On \,\! jako nekonečně vysoký sloup nebo kmen nekonečně vysokého stromu - s ohledem na to, že je tato třída dobře uspořádaná, není tato představa úplně od věci.
Třída \mathbb{L} přidává k tomuto kmeni patro po patru nějaké větve a listy a to tak, aby výsledek byl smysluplný (t.j. pokud a,b leží uvnitř stromu, tak tam leží i {a,b} nebo a \cup b), ale zároveň co nejmenší - přidám vždy jen to nejnutnější.

Jiným příkladem konstrukce takového stromu, která si zdaleka nedává takový pozor na to, kolik toho přidá (a vytváří tedy mnohem širší a rozsochatější strom), je konstrukce fundovaného jádra, se kterým je \mathbb{L} porovnávána v následujícím odstavci.

[editovat] Srovnání s fundovaným jádrem

Konstrukce třídy konstruovatelných množin \mathbb{L} nápadně připomíná konstrukci fundovaného jádra \mathbb{WF}. Podstatný rozdíl je v tom, že zatímco v případě fundovaného jádra je další vrstva tvořena pomocí potenční množiny předchozí vrstvy, v případě \mathbb{L} si vybírám pouze velice malou část potenční množiny. Snadno se dá ukázat, že
|L_{\omega + 1}| = \omega \,\!
zatímco pro vrstvu fundovaného jádra je
|V_{\omega + 1}| = 2^{\omega} > \omega \,\!

V této analogii můžeme jít ještě dál:
Axiom fundovanosti v podstatě tvrdí (následující tvrzení je s ním ekvivalentní), že
\mathbb{WF} = \mathbb{V} - každá množina patří do fundovaného jádra.
Obdobně axiom konstruovatelnosti tvrdí, že
\mathbb{L} = \mathbb{V} - každá množina patří do třídy konstruovatelných množin (nebo jinak: každá množina je konstruovatelná).

Z definice \mathbb{L} přímo plyne \mathbb{L} \subseteq \mathbb{WF}.

[editovat] Vnitřní model teorie množin

Axiom konstruovatelnosti je bezesporný s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin a je dokonce nezávislý - i jeho negace \mathbb{L} \neq \mathbb{V} je bezesporná s axiomy ZF.

Důvodem, proč je axiom fundovanosti součástí standardní axiomatiky ZF, zatímco axiom konstruovatelnosti nikoliv, je přílišná „síla“ axiomu konstruovatelnosti, který příliš zjednodušuje strukturu světa teorie množin.
Z axiomu konstruovatelnosti mimo jiné vyplývá axiom výběru (dokonce jeho silná verze) a také zobecněná hypotéza kontinua.

Třída konstruovatelných množin tvoři vnitřní model teorie množin - platí na ní všechny axiomy teorie množin (přesněji podoba těchto axiomů relativizovaná do \mathbb{L}. Je to tedy vhodný nástroj pro testování nezávislosti a bezespornosti různých hypotéz - pokud totiž nějaká hypotéza platí v modelu \mathbb{L}, pak je bezesporná s axiomy ZF.

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích