Riemannův prostor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Riemannovým (riemannovským) prostorem je nazýván prostor s n souřadnicemi xi, v němž je vzdálenost mezi dvěma sousedními body určena vztahem
,
kde gij(x) jsou funkce x1,x2,...,xn.
Metrika zadaná uvedeným vztahem se označuje jako riemannovská metrika, je-li pozitivně definitní. V opačném případě se hovoří o pseudoriemannovské metrice.
[editovat] Příklad
Např. v euklidovské geometrii je (v kartézských souřadnicích) vzdálenost mezi dvěma body roviny určena vztahem ve tvaru
- ds2 = dx2 + dy2
Zobecnění pro libovolnou 2-rozměrnou plochu má tvar
- ds2 = Adx2 + Bdxdy + Cdy2,
kde A,B,C jsou jsou veličiny závislé na x a y. Prostřednictvím těchto veličin jsou určeny některé vlastnosti plochy, např. její křivost.
Podobným postupem došel Rieman při studiu metrických prostorů libovolné dimenze k Riemannovu prostoru.
[editovat] Vlastnosti
- Funkce gij tvoří tzv. metrický tenzor.
- Riemannovy prostory mohou být zakřivené, přičemž struktura zakřivení je obsažena v Riemannově tenzoru křivosti.
- Riemannův prostor je metrickým prostorem.

