Bernoulliova lemniskáta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Bernoulliova lemniskáta.
Bernoulliova lemniskáta.

Bernoulliova lemniskáta je rovinná křivka, která je speciálním případem Cassiniho křivky. Jako první ji popsal Jakob Bernoulli v roce 1694.

[editovat] Rovnice

Rovnici Bernoulliovy lemniskáty zapsat jako

{\left(x^2+y^2\right)}^2 = 2a^2\left(x^2-y^2\right)

V polárních souřadnicích získáme rovnici

\rho = a^2 \sqrt{\cos{2\varphi}}

pro \varphi\in\langle -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\rangle \cup \langle \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\rangle.

V parametrickém vyjádření má Bernoulliova lemniskáta tvar

x = a t\sqrt{2}\frac{1+t^2}{1+t^4}
y = a t \sqrt{2}\frac{1-t^2}{1+t^4}

kde t\in\mathbb{R}.

[editovat] Vlastnosti

Poloměr křivosti Bernoulliovy lemniskáty je

R = \frac{2a^2}{3\rho} = \frac{a\sqrt{1+t^4}}{3|t|}

pro \rho\neq 0, popř. t\neq 0.

Obsah plochy jedné smyčky Bernoulliovy lemniskáty je

S = a2

Bernoulliovu lemniskátu lze také získat jako kisoidu dvou stejných kružnic.

[editovat] Související články