Slabá kardinální mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Obsah

[editovat] Definice

Jsou-li \kappa \,\! a \lambda \,\! dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem \kappa^{<\lambda} \,\! a definujeme vztahem
\kappa^{<\lambda} = \sum_{\mu < \lambda} \kappa^{\mu} \,\! , tj. jako součet všech kardinálních mocnin \kappa \,\! s exponentem menším než \lambda \,\!.

[editovat] Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

  • [X]^{\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| = \lambda \} \,\!
  • [X]^{<\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| < \lambda \} \,\!

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny X \,\! s mohutností přesně \lambda \,\! a množina všech podmnožin množiny X \,\! s mohutností menší než \lambda \,\!

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí |X| = \kappa \,\! a \lambda \leq \kappa^{+} \,\! (symbol \kappa^{+} \,\! je nejmenší kardinální číslo větší než \kappa \,\!), potom
|[X]^{<\lambda}| = \kappa^{<\lambda} \,\!

[editovat] Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li \aleph_{\alpha} \,\! singulární kardinál, \beta < \alpha \,\! takové, že pro každé \beta \leq \gamma < \alpha \,\! platí \aleph_{\gamma} = \aleph_{\beta}, potom
2^{\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\beta}} = 2^{<\aleph_{\alpha}} \,\!

Je-li \aleph_{\alpha} \,\! singulární kardinál a pro každé \beta < \alpha \,\! existuje \beta < \gamma < \alpha \,\!, pro které platí \aleph_{\gamma} > \aleph_{\beta}, potom
2^{\aleph_{\alpha}} = \gimel(2^{<\aleph_{\alpha}}) \,\!

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika