Rotace souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Otočením (rotací) soustavy souřadnic označujeme přechod od soustavy souřadnic S k soustavě souřadnic S^\prime, jejichž počátky O \equiv O^\prime jsou shodné, ale dvě odpovídající si osy svírají úhel α.

[editovat] Rotace v rovině

Mějme kartézskou soustavu souřadnic S v prostoru. Tato soustava je určena počátkem O a souřadnicovými osami X,Y,Z. Při pootočení kolem osy Z o úhel α získáme souřadnicovou soustavu S^\prime, která je určena počátkem O^\prime a osami X^\prime, Y^\prime, Z^\prime. Při pootočení kolem osy Z se poloha této osy nezmění, tzn. Z^\prime \equiv Z. Poloha všech bodů ležících na ose Z se pootočením nemění, tedy také poloha počátku O souřadnicové soustavy S se nemění, tzn. O^\prime \equiv O. Rotace tedy probíhá v rovinách kolmých k ose Z, jak naznačuje obr.

Rotace v kartézské soustavě souřadnic.
Rotace v kartézské soustavě souřadnic.

Polohu libovolného bodu A můžeme v souřadnicové soustavě S vyjádřit souřadnicemi x,y,z. Při pootočení kolem osy Z o úhel α získáme soustavu S^\prime, v níž má bod A souřadnice x^\prime, y^\prime, z^\prime, které jsou se souřadnicemi v soustavě S svázány vztahy (viz obr.)

x^\prime = x \cos \alpha + y \sin \alpha
y^\prime = - x \sin \alpha + y \cos \alpha
z^\prime = z

Obrácená transformace má tvar

x = x^\prime \cos \alpha - y^\prime \sin \alpha
y = x^\prime \sin \alpha + y^\prime \cos \alpha
z = z^\prime


Rotace je příkladem unitární transformace souřadnic.

[editovat] Podívejte se také na