Parciální derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Parciální derivace funkce více proměnných představuje v matematice takovou derivaci dané funkce, při které se derivuje pouze vzhledem k jedné z proměnných, zatímco ostatní proměnné jsou považovány za konstanty (na rozdíl od tzv. totální derivace, při jejímž výpočtu se mohou měnit všechny proměnné).

Parciální derivace jsou využívány především v diferenciální geometrii a ve vektorovém počtu.

Obsah

[editovat] Definice

O funkci f(x1,x2,...,xn) říkáme, že má v bodě A = [a1,a2,...,an] parciální derivaci podle x1, pokud existuje vlastní limita

\frac{\part f}{\part x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h,x_2,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{h}

Podobně lze v daném bodě určit parciální derivaci pro libovolné xi, tzn.

\frac{\part f}{\part x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,x_2,...,x_i+h,...,x_n)-f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)}{h}


Parciální derivaci funkce f podle xi v bodě A zapisujeme \frac{\part f}{\part x_i}(A), \frac{\part f}{\part x_i}(a_1,a_2,...,a_n), f_{x_i}(A), f_{x_1}(a_1,a_2,...,a_n) nebo také f_{x_1}^\prime(a_1,a_2,...,a_n).

Při určování parciálních derivací platí všechna pravidla jako při určování obyčejných derivací.

[editovat] Geometrická interpretace

Grafická interpratace parciální derivace.
Grafická interpratace parciální derivace.

Geometrický význam parciálních derivací lze demonstrovat na funkci dvou proměnných z = f(x,y). Tuto funkci lze chápat jako plochu ve třírozměrném prostoru. Parciální derivace v daném bodě [x0,y0], v němž má funkce hodnotu z0 = f(x0,y0), odpovídají směrnicím tečen ve směru jednotlivých souřadnicových os. Směrnici tečny t1 tedy získáme jako parciální derivaci podle x, tzn. \operatorname{tg} \alpha = f_x(x_0,y_0), a podobně pro směrnici tečny t2 dostaneme \operatorname{tg} \beta = f_y(x_0,y_0).

[editovat] Derivace vyšších řádů

Parciální derivace \frac{\part f}{\part x_i} podle proměnné xi představuje opět funkci, kterou lze znovu derivovat (podle libovolné proměnné), tzn. \frac{\part}{\part x_j}\frac{\part f}{\part x_i} = \frac{\part^2 f}{\part x_j \part x_i}.

Obdobným způsobem lze získat také parciální derivace vyšších řádů. Např. derivací smíšené derivace druhého řádu \frac{\part^2 f}{\part x \part y} podle x dostaneme \frac{\part^3 f}{\part x^2 \part y}.

V obecném případě je hodnota vyšší parciální derivace závislá na pořadí, v jakém jsou jednotlivé derivace prováděny, např. \frac{\part^2 f}{\part x_1 \part x_2} bude v obecném případě různé od \frac{\part^2 f}{\part x_2 \part x_1}.

[editovat] Smíšené derivace

Pokud derivujeme podle stejných souřadnic, dostaneme (podobně jako v případě funkce jedné proměnné) \frac{\part^2 f}{\part x_i^2}. Pokud jsou však souřadnice xi,xj různé, dostaneme tzv. smíšené derivace, tedy \frac{\part^2 f}{\part x_j \part x_i}.

[editovat] Záměnnost smíšených derivací

Pokud jsou smíšené derivace \frac{\part^2 f}{\part x_j \part x_i} a \frac{\part^2 f}{\part x_i \part x_j} v bodě [x1,x2,...,xn] spojité, pak jsou si v tomto bodě rovny, tzn.

\frac{\part^2 f}{\part x_j \part x_i} = \frac{\part^2 f}{\part x_i}{\part x_j}

V takovém případě hovoříme o záměnnosti smíšených derivací. Podmínka spojitosti funkce a jejích derivací je ve fyzice obvykle splněna, takže záměna pořadí parciálních derivací je často používána.


Větu o záměnnosti smíšených derivací lze za obdobných předpokladů aplikovat také na derivace vyšších řádů. Jsou-li totiž všechny parciální derivace r-tého řádu v bodě A spojité, potom jsou si rovny všechny parciální derivace r-tého řádu, které se liší pouze v pořadí derivování. Tedy např. pro funkci dvou proměnných x a y platí

\frac{\part^r f(x,y)}{\part x^m \part y^n} = \frac{\part^r f(x,y)}{\part y^n \part x^m} = \frac{\part^r f(x,y)}{\part x \part y^n \part x^{m-1}} = \frac{\part^r f(x,y)}{\part x \part y^{n-2} \part x^{m-1} \part y^2} = ...

kde r = m + n.

[editovat] Derivace složených funkcí

Mějme funkci z = h(u1,u2,...,un), kde ui = fi(x1,x2,...,xn) pro i = 1,2,...,n. Nechť funkce fi jsou v bodě A = [a0,a1,...,an] diferencovatelné a funkce h je diferencovatelná v odpovídajícím bodě V = [v1,v1,...,vn] = [f1(a1,a2,...,an),f2(a1,a2,...,an),...,fn(a1,a2,...,an)]. Za těchto podmínek je také složená funkce h(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fn(x1,x2,...,xn)) diferencovatelná v bodě [a1,a2,...,an], přičemž

\frac{\part z}{\part x_i} = \frac{\part z}{\part u_1}\frac{\part u_1}{\part x_i} + \frac{\part z}{\part u_2}\frac{\part u_2}{\part x_i} + ... + \frac{\part z}{\part u_n}\frac{\part u_n}{\part x_i}

pro i = 1,2,...,n.

Při výpočtu derivací vyšších řádů je nutné zohlednit závislost derivací \frac{\part z}{\part u_i} na xk.


Speciálním případem složené funkce je z = h(x,y,u), kde u = g(x,y). Pro parciální derivace pak dostáváme

\frac{\part z}{\part x} = \frac{\part h}{\part x} + \frac{\part h}{\part u}\frac{\part g}{\part x}
\frac{\part z}{\part y} = \frac{\part h}{\part y} + \frac{\part h}{\part u}\frac{\part g}{\part y}

[editovat] Vlastnosti

  • Zvláštním případem funkce více proměnných je funkce jedné proměnné, tzn. f(x). Parciální derivace je v takovém případě rovna obyčejné derivaci, tzn.
\frac{\part f}{\part x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}


[editovat] Podívejte se také na