Homogenní diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Homogenní diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\left(\frac{y}{x}\right)

Homogenní rovnice bývá také zapisována ve tvaru

M(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0,

kde M(x,y),N(x,y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Z této rovnice získáme předchozí rovnicei, jestliže položíme f\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{N\left(1,\frac{y}{x}\right)}{M\left(1,\frac{y}{x}\right)}.

Homogenní rovnice je označována jako homogenní právě díky přítomnosti homogenních funkcí. Ty způsobují, že zavedení nových proměnných X = cx,Y = cy nezpůsobí změnu původní rovnice, neboť \frac{Y}{X}=\frac{y}{x} a také \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

[editovat] Řešení

Homogenní rovnici řešíme substitucí u=\frac{y}{x}, tzn. y = ux a y^\prime=u^\prime x+u. Dosazením do homogenní rovnice dostaneme

u^\prime x+u=f(u)

a separací proměnných získáme integrály

\int \frac{\mathrm{d}u}{f(u)-u} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x}

Pravou stranu určíme podle základních integračních vztahů a po integraci levé strany dosadíme zpět za u výraz \frac{y}{x}.

[editovat] Převedení na homogenní rovnici

Na homogenní rovnici často převádíme diferenciální rovnice typu

y^\prime = f\left(\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}\right)

Použijeme substituce x = Xk1,y = Yk2, kde k1,k2 jsou konstanty volené tak, aby platilo

a1x + b1y + c1 = a1X + b1Y
a2x + b2y + c2 = a2X + b2Y

Konstanty k1,k2 jsou tedy řešením soustavy (algebraických) rovnic

a1k1 + b1k2 = c1
a2k1 + b2k2 = c2

Pokud je determinant soustavy nenulový, tzn. \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{vmatrix}\neq 0, pak existuje právě jedno řešení k1,k2 a danou rovnici můžeme přepsat

\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = g\left(\frac{a_1 X+b_1 Y}{a_2 X+b_2 Y}\right) = g\left(\frac{a_1 +b_1 \frac{Y}{X}}{a_2 +b_2\frac{Y}{X}}\right) = f\left(\frac{Y}{X}\right)

Je-li determinant soustavy nulový a současně b1 = b2 = 0, pak dostáváme rovnici

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g\left(\frac{a_1 x+c_1}{a_2 x+c_2}\right) = f(x)

Řešení této rovnice lze získat přímo integrací, tzn.

y = \int f(x)\mathrm{d}x

Je-li determinant soustavy nulový a b_1\neq 0, b_2\neq 0, pak nulový determinant tvoří podmínku, podle níž platí \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\lambda. Jmenovatel pak můžeme zapsat jako

a2x + b2y + c2 = λ(a1x + b1y) + c2

Použijeme-li substituce z=a_1 x+b_1 y, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = a_1+b_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, můžeme uvedenou rovnici přepsat do tvaru

\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = a_1 + b_1 g\left(\frac{z+c_1}{\lambda z+c_2}\right) = \frac{1}{f(z)}

Tuto rovnici je opět možné přímo integrovat.

[editovat] Podívejte se také na