Kužel
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.
Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele.
Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.
Obsah |
[editovat] Kuželová plocha a prostor
Mějme jednoduchou uzavřenou křivku k, která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky k a bodem V ležícím mimo rovinu křivky k tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.
Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
[editovat] Rovnice
Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině z = c prochází elipsou
(tzv. řídící křivka), má rovnici
Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky.
Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů
Pro a = b jde o rotační kužel s osou rotace z.
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě [x0,y0,z0] je vždy možné vyjádřit rovnicí
[editovat] Vlastnosti
Pro objem kužele platí
,
kde S je obsah podstavy a v je výška kužele.
[editovat] Rotační kužel
Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.
[editovat] Vlastnosti
Označíme-li r poloměr kruhové podstavy kužele a h výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
- poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako
- objem kužele jako
- Symetrické vlastnosti
- Kužel není středově souměrný.
- Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
- V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.
[editovat] Kuželosečky
- Podrobnější informace naleznete v článku Kuželosečkanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.
Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:
- průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:
- průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
- průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
- průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |





a obsahu pláště 


