# Cantorova věta

### Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu má potenční množina obsahující všechny podmnožiny množiny vyšší mohutnost, než .

## [editovat] Význam a důsledky

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonálmí metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu lze sestrojit prvek množiny , který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny ke každé množině, jak je tomu například v Zermelo-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta k takzvanému Cantorovu paradoxu: Pokud je množina všech množin, pak množina všech jejích podmnožin má větší mohutnost než , což je spor. Nepříjemné, že?

## [editovat] Důkaz

Nechť je libovolná množina a množina všech podmnožin (poteční množina). Tvrzení, že má větší mohutnost než , je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z do , které by bylo na. Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení , které je na. Tedy pro každý prvek (A je množina!) existuje nějaké tak, že .

Nyní definujme podmnožinu

  .

Y obsahuje ty prvky X, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením f. Y je zřejmě podmnožina X a tedy musí existovat tak, že . Mohou tedy nastat dvě možnosti:

1. , to je ale spor s definicí Y, podle které , ale ,
2. , jenomže pak podle definice musí být což je opět spor.

Existence zobrazení , které je na, vede ke sporu a tedy má vždy větší mohutnost než .

## [editovat] Podívejte se také na

- Potenční množina
- Mohutnost
- Kardinální číslo
- Kardinální aritmetika

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../c/a/n/Cantorova_v%C4%9Bta.html“

Kategorie: Teorie množin | Matematické věty a důkazy

##### Views

- Článek
- Diskuse
- Aktuální verze

##### Hledání

##### V jiných jazycích

- English
- Español
- Français
- עברית
- Magyar
- ქართული
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Русский
- ไทย
- Tiếng Việt
- 中文