Kartézská mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Obsah

[editovat] Definice

[editovat] Základní definice pro přirozené exponenty

Pokud je X \,\! množina a n \,\! přirozené číslo, pak kartézskou mocninou X^n \,\! rozumíme n \,\!- násobný kartézský součin množiny X \,\! se sebou samou:
X^n = \prod_{1 \leq i \leq n} X  \,\!

Speciálně pro n = 2 \,\! dostáváme X^2 \,\! jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z X \,\!, pro n = 3 \,\! dostáváme X^3 \,\! jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z X \,\!.

[editovat] Obecná definice

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou X^Y \,\! množin X \,\! a Y \,\! rozumíme množinu všech zobrazení množiny Y \,\! do množiny X \,\!.

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici - všechny uspořádané dvojice z X \,\! nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny (například Y = \{ 0,1 \} \,\!) do X \,\!. Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné Y \,\!.

Pokud vezmeme za Y \,\! množinu všech přirozených čísel \omega \,\!, dostáváme kartézskou mocninu X^{\omega} \,\! - tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny X \,\!.

[editovat] Příklad

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

  • podle první definice je

3^2 = \{ 0,1,2 \} \times \{ 0,1,2 \} = \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2] \} \,\!

  • podle druhé definice je

3^2 =  \{ 0,1,2 \} ^{ \{ 0,1 \} } =  \{ \{ [0,0],[1,0] \}, \{ [0,0],[1,1] \}, \{ [0,0],[1,2] \}, \{ [0,1],[1,0] \}, \ldots , \{ [0,2],[1,2] \} \} \,\!

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou - jsou izomorfní.

[editovat] Užití

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika