Posloupnost (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako posloupnost se v matematice označuje (obvykle nekonečná) sekvence čísel, indexovaná přirozenými čísly - a_1, a_2, a_3, \ldots

Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje prvek určité množiny \mathbf{A}.


Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnost (posloupnosti s konstantními členy), ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje konstantu an, přičemž an závisí pouze na hodnotě n. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje funkci fn(x), přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle n, ale také na parametrech funkce fn (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle (a_n)_{n=1}^\infty, (an) nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze an.


Posloupnost může být určena funkcí, která vyjadřuje n-tý člen posloupnost an pomocí n, např. a_n = \frac{n}{n+1} odpovídá posloupnosti \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots

Posloupnost může být také zadána rekurentní definicí, při níž jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Příkladem rekurentního předpisu je a1 = 1,a2 = 1,an + 2 = an + an + 1.

Obsah

[editovat] Vlastnosti

Posloupnost je

  • neklesající, pokud pro všechna i platí a_i \ge a_{i-1},
  • nerostoucí, pokud pro všechna i platí a_i \le a_{i-1},
  • rostoucí, pokud pro všechna i platí ai > ai − 1,
  • klesající, pokud pro všechna i platí ai < ai − 1,
  • zdola omezená v množině A, pokud existuje takové L \in \mathit{A}, že pro všechna i platí a_i \ge L,
  • shora omezená v množině A, pokud existuje takové K \in \mathit{A}, že pro všechna i platí a_i \le K.

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém \varepsilon-okolí bodu d, tzn. v intervalu (d-\varepsilon,d+\varepsilon), nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti (an), pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti (an).

[editovat] Limita

Podrobnější informace naleznete v článku Limitanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Říkáme, že posloupnost

  • konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots konverguje k 0),
  • diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. 1, 2, 3, \ldots diverguje k \infty), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. 1, -1, 1, -1, \ldots). Oscilující posloupnost je tedy také divergentní posloupnost.

[editovat] Vybraná posloupnost

Je-li (a_n)_{n=1}^\infty posloupnost (obecně reálných) čísel a (k_n)_{n=1}^\infty rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz (a_{k_n})_{n=1}^\infty nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z an (jinými slovy, z an vyškrtneme některé členy, např. všechny liché).

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li (an) omezená posloupnost v \mathbb{R}, pak z ní lze vybrat posloupnost \mathit(a_{k_n}), která je konvergentní

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

[editovat] Podívejte se také na