Laurentova řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laurentova řada (Laurentův rozvoj) komplexní funkce f(z) je v komplexní analýze mocninná řada obsahující na rozdíl od Taylorovy řady i záporné mocniny.

Obsah

[editovat] Definice

Mějme komplexní funkci f(z) holomorfní v mezikruží \mathbf{M} se středem v bodě z0, vnitřním poloměrem r1 a vnějším poloměrem r2, tzn. r1 < | zz0 | < r2. Funkci f(z) lze v \mathbf{M} vyjádřit Laurentovou řadou, která má tvar

f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n {(z - z_0)}^n,

kde

a_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{{(z - z_0)}^{n+1}}

pro n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots, kde c je libovolná kružnice se středem v z0, která leží v oblasti \mathbf{M}, a je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku.

[editovat] Hlavní a regulární část řady

Laurentova řada se skládá ze dvou částí. Z tzv. regulární části

\sum_{n=0}^{\infty} a_n {(z - z_0)}^n

a hlavní části

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{{(z - z_0)}^n}

[editovat] Konvergence

Pod konvergencí Laurentovy řady rozumíme to, že konverguje jak její regulární část, tak její hlavní část. Regulární část přitom konverguje uvnitř určité kružnice se středem v bodě z0, zatímco hlavní část konverguje vně (obecně jiné) kružnice se stejným středem. Laurentova řada pak konverguje na společném mezikruží.

[editovat] Vlastnosti

Z Cauchyovy věty vyplývá, že pokud je f(z) holomorfní uvnitř vnější kružnice, pak odpadá hlavní část Laurentovy řady a Laurentova řada přechází v řadu Taylorovu.

[editovat] Podívejte se také na