Ordinální aritmetika
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.
V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.
Obsah |
[editovat] Ordinální čísla a jejich vlastnosti
Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.
[editovat] Definice ordinálního součtu a součinu
Jsou-li
a
dvě ordinální čísla, pak:
- jako
označíme ordinální číslo, které je typem množiny
v lexikografickém uspořádání - jako
označíme ordinální číslo, které je typem množiny
v lexikografickém uspořádání.
Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací
izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.
Definice vypadá dost odpudivě (jako ostatně většina matematických definic), takže asi bude na místě několik příkladů:
[editovat] Příklady součtu dvou ordinálních čísel
Součet 3 + 2:


![\{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} =](../../../math/6/c/6/6c64ccf6bb5816857e7f6e757e076e60.png)
![\{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!](../../../math/5/b/9/5b92ec5f87d3ddd4e651eb473af013de.png)
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.
Součet
(jako
se značí množina všech přirozených čísel)


![\{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} =](../../../math/6/6/1/661a18af61b72248bc20f121dfe63c98.png)
![\{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!](../../../math/e/8/4/e8426f1da102ece6b08b361d65e9e189.png)
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je
, takže
. Tady už je to s tou povědomostí je horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.
Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat
. Dojde k překvapivému zjištění:

[editovat] Příklady součinu dvou ordinálních čísel
Součin 3.2:

![\{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!](../../../math/0/b/1/0b1a10082c8ae5627ddc8e118674dcf6.png)
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.
Součin 
: 
![\{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\!](../../../math/c/1/e/c1eb15b5535eb86c599924d6317a572e.png)
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je
.
Obrátím-li poslední příklad na
, dostávám množinu
,
jejímž typem již není
, ale větší ordinální číslo 
Rozhodně opět
.
[editovat] Vlastnosti ordinálního součtu a součinu
Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.
Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:

Opačně to ale neplatí, protože například:
- viz předchozí příklady.
Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):
A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály
existují
takové, že

[editovat] Definice ordinální mocniny
Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:


- pro limitní ordinál
je
- sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací 
[editovat] Vlastnosti ordinální mocniny
Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

pro 



A především:
[editovat] Mocninný rozvoj ordinálního čísla
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ
- opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:
Je-li
množina přirozených čísel a
libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla
a ordinály
takové, že platí:

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.
Pro vyjádření čísla
v Cantorově normálním tvaru platí
, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když
. Takových
existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá
. Pro
tedy je
, což umožňuje často používanou metodu dokazování - takzvanou indukci do epsilon nula.
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |








