Betzovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícícho se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem, rovným průřezu disku rotoru a výškou, odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v1 je rychlost média, nabíhajícícho na rotor a v2 rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude vavg, kde

v_{\rm avg} = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot (v_1 + v_2)

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven :

\dot m = \rho \cdot S \cdot v_{\rm avg} = \frac{\rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2)}{2}

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícícho rotor :

\dot E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \dot m \cdot (v_1^2 - v_2^2)
= \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2) \cdot (v_1^2 - v_2^2)
= \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 \cdot (1 - (\frac{v_2}{v_1})^2 + (\frac{v_2}{v_1}) - (\frac{v_2}{v_1})^3).
Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem , svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti  Cp.
Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix}, svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti Cp.

Derivací \dot E podle \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix} pro dané rychlosti v1 a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce\dot E. Výsledkem je hodnota maxima \dot E pro \begin{matrix} \frac {v_2}{v_1} = \frac13 \end{matrix}.

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

E_{\rm max} = \begin{matrix} \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3.

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v1 rotoru o průřezu S (tedy "válec") bude rovna:

E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3.

"Součinitel výkonnosti" Cp (= \begin{matrix} \frac {E_{\rm max}}{E} \end{matrix}) dosahuje maxima pro : Cp.max = \begin{matrix} \frac{16}{27} \end{matrix} = 0.593, tedy 59.3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot Cp v rozsahu 0.4 to 0.5, tedy 70 až 80% teoreticky možných.

[editovat] Reference

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.

V jiných jazycích