Mocninná řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Důležitým případem funkční řady je mocninná řada (také označovaná jako potenční), která má tvar

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

Mocninná řada bývá také zapisována jako

a_0 + a_1(x-x_0) + a_2{(x-x_0)}^2 + a_3 {(x-x_0)}^3 + ...+ a_n{(x-x_0)}^n + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n{(x-x_0)}^n

Substitucí z = xx0 však získáme předchozí řadu.

Obsah

[editovat] Poloměr konvergence

Mezi důležité vlastnosti mocninné řady patří, že pokud mocninná řada konverguje v bodě x_0 \neq 0, pak konverguje absolutně pro všechna x \int (-|x_0|,|x_0|). Největší vzdálenost | x0 | od počátku, pro kterou mocninná řada ještě konverguje, označujeme jako poloměr konvergence R, přičemž platí R \geq 0.

K určení poloměru konvergence se používají kritéria konvergence řad. Konvergenci v bodech x = \pm R je třeba vyšetřit samostatně.


Pokud je R > 0, pak je součet s(x) mocninné řady funkcí spojitou na intervalu ( − R,R).


[editovat] Vlastnosti

Pokud pro libovolné x_0 \in (-R,R) konverguje řada s(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, pak konverguje také řada \phi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\mathrm{d}(a_n x^n)}{\mathrm{d}x} pro dané x_0 \in (-R,R) a platí \phi(x) = \frac{\mathrm{d}s(x)}{\mathrm{d}x}. Říkáme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu.


Na libovolném intervalu \langle a,b\rangle, který leží uvnitř ( − R,R) lze mocninou řadu integrovat člen po členu, tzn. platí

\int_a^b s(x)\mathrm{d}x = \int_a^b a_0\mathrm{d}x + \int_a^b a_1x\mathrm{d}x + \int_a^b a_2 x^2 \mathrm{d}x + ... = \sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_n x^n \mathrm{d}x

[editovat] Použití

Mocninné řady jsou často využívány např. při numerickém výpočtu hodnot funkcí, numerickém výpočtu určitých integrálů nebo při řešení diferenciálních rovnic.

[editovat] Podívejte se také na