Racionální funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru polynomu, tzn.

f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ... + a2x2 + a1x + a0,

se nazývá celistvá racionální funkce, popř. celá racionální funkce, nebo se také hovoří přímo o polynomu.

Polynom f(x) je definován pro všechna x \in (- \infty, +\infty).


Funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru

y = f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_2 x^2 + b_1 x + b_0},

kde P je polynom stupně n a Q je polynom stupně m (pro všechna x, pro která Q(x) \neq 0), se nazývá racionální lomená funkce.

Je-li n < m, pak se jedná o ryze racionální lomenou funkci.


Každou racionální funkci f(x)= \frac{P(x)}{Q(x)} je (pro všechna Q(x) \neq 0) možno vyjádřit jako součet polynomu a ryze racionální lomené funkce, tzn.

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = g(x) + \frac{R(x)}{S(x)}

pro všechna S(x) \neq 0.

Celistvá racionální funkce je speciálním případem racionální lomenné funkce, který získáme položíme-li Q(x) = 1.

[editovat] Parciální zlomky

Jako parciální zlomky označujeme racionální funkce, které lze vyjádřit ve tvaru


Mějme reálný polynom q(x), který lze rozložit

q(x) = a_n{(x - \alpha_1)}^{r_1} \cdots {(x - \alpha_n)}^{r_n} \cdot {(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1} \cdots {(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m},

kde p_i^2 - 4 q_i < 0 pro všechna i = 1,2,...,m. Takto rozložit lze každý reálný polynom – toto tvrzení je snadným důsledkem Základní věty algebry. Mějme dále reálný polynom p(x), jehož stupeň je nižší než stupeň polynomu q(x). Potom existuje rozklad

\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A_{1 r_1}}{{(x - \alpha_1)}^{r_1}} + \frac{A_{1 {r_1 - 1}}}{{(x - \alpha_1)}^{r_1 - 1}} + ... + \frac{A_{11}}{x - \alpha_1} + ... +
+ \frac{A_{n r_n}}{{(x - \alpha_n)}^{r_n}} + \frac{A_{n {r_n - 1}}}{{(x - \alpha_n)}^{r_n - 1}} + ... + \frac{A_{n1}}{x - \alpha_n} +
+ \frac{M_{1 s_1} x + N_{1 s_1}}{{(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1}} + \frac{M_{1 {s_1 - 1}} x + N_{1 {s_1 - 1}}}{{(x^2 + p_1 x + q_1)}^{s_1 - 1}} + ... + \frac{M_{11} x + N_{11}}{x^2 + p_1 x + q_1} + ... +
+ \frac{M_{m s_m} x + N_{m s_m}}{{(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m}} + \frac{M_{m {s_m - 1}} x + N_{m {s_m - 1}}}{{(x^2 + p_m x + q_m)}^{s_m - 1}} + ... + \frac{M_{m1} x + N_{m1}}{x^2 + p_m x + q_m},

kde A_{1 r_1}, ..., A_{11}, ..., A_{n r_n}, ..., A_{n1}, M_{1 s_1}, ..., M_{11}, ..., M_{m s_m}, ..., M_{m1}, N_{1 s_1}, ..., N_{11}, ..., N_{m s_m}, ..., N_{m1} jsou reálná čísla (koeficienty rozkladu), která jsou uvedeným rozkladem jednoznačně určena.

K určení koeficientů rozkladu používáme

  • metodu neurčitých součinitelů, která spočívá v tom, že obě strany vztahu rozkladu vynásobíme polynomem g(x) a poté porovnáme koeficienty u stejných mocnin. Tyto koeficienty se musí rovnat, což umožňuje určit hodnoty koeficientů rozkladu.
  • metodu kořenových činitelů, která spočívá v tom, že obě strany vynásobíme polynomem g(x), a poté postupně dosazujeme kořeny polynomu g(x). Získáme tak soustavu rovnic, na jejímž základě lze určit koeficienty rozkladu.
  • kombinovanou metodu, která využívá obou předchozích postupů.

Rozklad na parciální zlomky našel uplatnění především při integraci racionálních funkcí.

[editovat] Racionální funkce dvou proměnných

Funkci R nazveme racionální funkcí dvou proměnných, pokud ji lze vyjádřit jako

R(x,y) = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)},

kde P,Q jsou polynomy proměnných x,y.

Racionální funkci R označujeme jako lichou vzhledem k proměnné x, pokud splňuje podmínku

R( − x,y) = − R(x,y)

Podobně říkáme, že R je lichá racionální funkce vzhledem k proměnné y, pokud platí

R(x, − y) = − R(x,y)

O racionální funkci R říkáme, že je sudá vzhledem k proměnné x, pokud platí

R( − x,y) = R(x,y)

Podobně pro funkci sudou vzhledem k proměnné y platí

R(x, − y) = R(x,y)

Racionální funkci R označíme jako sudou vzhledem k dvojici svých proměnných, pokud platí

R( − x, − y) = R(x,y)


[editovat] Podívejte se také na