L'Hospitalovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

l'Hôspitalova pravidla slouží k výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů typu \frac{0}{0} a \frac{\infty}{\infty}. Tato pravidla lze použít také při řešení neurčitých výrazů typu 0 \cdot \infty, 00, 1^\infty, \infty^0 nebo \infty - \infty, které však vhodnými úpravami převádíme na neurčité výrazy typu \frac{0}{0} nebo \frac{\infty}{\infty}.

Obsah

[editovat] Definice

Máme-li funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí \lim_{x \to c} f(x)=0 a \lim_{x \to c} g(x)=0, pak v případě, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, platí

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}

kde {}^\prime označuje derivaci funkce.

Podobně v případě, kdy máme funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí \lim_{x \to c} f(x) = \infty a \lim_{x \to c} g(x) = \infty. Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, pak opět platí vztah

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}

Uvedená l'Hôspitalova pravidla jsou použitelná také v nevlastních bodech.


Pokud je \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} v bodě c opět neurčitým výrazem, lze l'Hôspitalova pravidla použít opakovaně. Takto můžeme postupovat, dokud nezískáme nějaký výraz, který není neurčitý.

[editovat] Úprava výrazů pro použítí l'Hôspitalova pravidla

l'Hôspilova pravidla jsou definována pouze pro neurčité výrazy typu \frac{0}{0} nebo \frac{\infty}{\infty}. Ostatní neurčité výrazy je nutno převést na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme dále funkce f(x),g(x), které v bodě c nabývají hodnot 0 nebo \infty.

  • Jestliže f(x)\cdot g(x) představuje v c výraz 0 \cdot \infty, pak je můžeme upravit na \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}, což je výraz typu \frac{0}{0}, nebo na \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}, což je výraz typu \frac{\infty}{\infty}.
  • Jesliže f(x) − g(x) představuje v c výraz typu \infty - \infty, pak jej lze upravit na \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}}, což je výraz typu \frac{0}{0}.
  • Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu 00, pak jej upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}, kde v exponentu je výraz 0 \cdot \infty, který lze dále upravit na výraz \frac{0}{0} nebo \frac{\infty}{\infty}. Při řešení pak využijeme toho, že \lim_{x \to c} \mathrm{e}^{g(c) \cdot \log f(x)} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to c} [g(x) \cdot \log f(c)]}.
  • Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu \infty^0, pak jej upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}, kde v exponentu je výraz 0 \cdot \infty, který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.
  • Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu 1^\infty, pak jej upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \log f(x)}, kde v exponentu je výraz \infty \cdot 0, který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.

[editovat] Příklady

  • Výraz \frac{\log x}{x^3} představuje pro x\to+\infty neurčitý výraz typu \frac{\infty}{\infty}. Pomocí l'Hôspitalova pravidla tedy bude
\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3 x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3 x^3} = 0
  • Neurčitý výraz typu (0 \cdot \infty) převedeme úpravou součinu f(x)g(x) na podíl \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} nebo \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} získáme tak neučitý výraz typu \frac{0}{0} nebo \frac{\infty}{\infty}. Ten už určíme l'Hôspitalovým pravidlem.
\lim_{x \to 0_+} (x \cdot \ln x) = \lim_{x \to 0_+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} =  \lim_{x \to 0_+} \frac{(\ln x)^'}{(x^{-1})'} = \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}} = - \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} = - \lim_{x \to 0_+} x = 0

[editovat] Podívejte se také na