Napětí (mechanika)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Napětí je veličina, pomocí které se charakterizuje stav kontinua podrobeného vnějšímu silovému působení.
Jako napětí se označuje podíl síly
a plochy S, na kterou tato síla působí. Pro určení velikosti napětí v daném bodě můžeme použít tvar
Obsah |
[editovat] Tečné a normálové napětí
Působí-li síla kolmo na plochu S, jedná se o tahové (tlakové) působení, a takové napětí se nazývá normálové napětí. Pokud síla
působí ve směru tečny k ploše S, jde o působení smykové, a napětí se nazývá tečné, tangenciální nebo smykové. Síly odpovídající za dané napětí jsou nazývány stejným způsobem (normálová síla, smyková síla apod.).
V obecném případě může síla
s plochou S svírat libovolný úhel α, což znamená, že napětí σ je vektorová veličina. Takovou sílu můžeme např. rozložit na dvě složky, normálovou (tedy kolmou na plochu S) složku Fn = Fcosα a na tečnou (rovnoběžnou s plochou S) složku Ft = Fsinα.
Pro normálové napětí pak platí
a pro tečné napětí
Pro určení napětí není důležitá plocha, ale její orientace. Napětí na různě orientovaných plochách procházejících daným bodem nabývá v obecném případě různých hodnot. Např. pokud na určité ploše p1 je (v určitém bodě) hodnota normálového napětí σ, pak vzhledem k ploše p2 procházející stejným bodem, která je však k ploše p1 kolmá, je napětí σ napětím smykovým.
Úplný popis napěťového stavu kontinua poskytuje tenzor napětí.
[editovat] Mez pružnosti a mez pevnosti
- Podrobnější informace naleznete v článku Pružnostnaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Mez pružnosti σE je nejvyšší hodnota napětí, kdy je ještě deformace pružná. Těleso se tedy po skončení působení síly nevrátí do původního stavu pokud byla tato hodnota překročena.
Mez pevnosti σP je vždy vyšší než mez pružnosti. Při jejím překročení se těleso rozdrtí nebo roztrhne (podle druhu působící síly) Mez pružnosti a pevnosti jsou materiálové konstanty.
[editovat] Tenzor napětí
V libovolném bodě P kontinua zvolme tři vzájemně kolmé plochy (např. roviny kolmé k souřadným osám). Napěťový vektor vzhledem ke každé ploše je jiný, což označíme jako
, kde i = 1,2,3 určuje odpovídající plochu. Kartézské složky napěťového vektoru
lze zapsat jako σi1,σi2,σi3. Tímto způsobem je určeno devět složek napěťových vektorů
.
Vedeme-li nyní bodem P libovolně orientovanou plochu, jejíž normálový vektor
má složky νi, můžeme napětí na této ploše označit
a jeho složky
.
Vztah mezi vektory
a vektorem
lze určit tak, že v okolí bodu P budeme uvažovat elementární čtyřstěn, jehož tři strany jsou tvořeny plochami kolmými k souřadnicovým osám a čtvrtá strana je tvořena plochou, která má normálu
.
Tento čtyřstěn bude v rovnováze, budou-li v rovnováze síly (a také momenty sil), které na něj působí. Na stranu určenou normálovým vektorem
působí síla
, kde S je velikost této plochy, a na strany kolmé k souřadnicovým osám působí síly
(znaménka souvisí s volbou orientace čtyřstěnu), kde velikost strany kolmé k i-té souřadnicové ose je označena Si. Tyto síly působící na jednotlivé strany čtyřstěnu označujeme jako plošné síly.
Kromě plošných sil působá na čtyřstěn také objemová síla
, kterou definujeme jako
,
kde V je objem čtyřstěnu a
je působící síla. Objemová síla je tedy definována podobně jako hustota.
Vzhledem k tomu, že čtyřstěn je elementární, tzn. jeho rozměry jsou zanedbatelné a veličiny lze v prostoru čtyřstěnu považovat za konstantní, můžeme podmínku rovnováhy sil čtyřstěnu zapsat jako
Jednotlivé plochy Si lze vyjádřit pomocí plochy S. Promítnutím plochy S do roviny kolmé k i-té souřadnicové ose dostaneme právě plochu Si. To lze vyjádřit pomocí složek normálového vektoru
jako
- Si = νiS
Vyjádříme-li navíc objem čtyřstěnu jako
, kde h je výška kolmá k ploše S, lze podmínku rovnováhy přepsat do tvaru
Předpokládáme-li, že objem čtyřstěnu (a tedy i jeho výška) konverguje k nule (za předpokladu zachování orientace jednotlivých stran), přejde předchozí vztah v limitě na tvar
S použitím Einsteinova sumačního pravidla lze předchozí vztah zapsat jako
,
kde
jsou složky vektoru
a σji jsou složky vektorů
. Z devíti složek σji napěťových vektorů
lze tedy podle určit napětí na libovolné ploše procházející daným bodem P. Složky σij tvoří tenzor napětí.
Předchozí vztah zaručuje, že výsledná síla působící na konečný objem kontinua bude nulová. Pro zajištění rovnováhy je však nutné, aby byl nulový také výsledný moment sil působící na konečný objem kontinua.
Budeme kolem zvoleného bodu P kontinua uvažovat krychli se středem v bodě P, jejíž hrana má délku a a stěny jsou kolmé ke kartézským souřadnicovým osám. Současně budeme předpokládat, že velikost krychle je zanedbatelná a tedy veličiny v prostoru krychle lze považovat za konstantní (pokud je v určité oblasti kontinua napětí v každém bodě stejné, pak se hovoří o homogenním napětí).
Moment objemové síly
vzhledem k bodu P je nulový. Výsledný moment sil je určen pouze momentem vnějších plošných sil. Na stěnách kolmých k i-té ose působí plošné síly
(opačná znaménka odpovídají opačné orientaci normál stěn krychle). Označíme-li polohové vektory působišť sil (vzhledem k homogenitě napětí je lze umístit do středů stěn krychle) jako
, dostaneme pro výsledný moment vztah
Vzhledem k orientaci krychle a díky tomu, že vzdálenost bodu P od působišť sil je
, dostaneme pro složky
hodnoty
- M1 = a3σ23 − a3σ32
- M2 = − a3σ13 + a3σ31
- M3 = a3σ12 − a3σ21
Vzhledem k tomu, že hledáme rovnovážný stav, musí platit
, tzn. podle předchozích výrazů dostáváme
- σ12 = σ21
- σ13 = σ31
- σ23 = σ32
což lze zapsat jako
- σij = σji
Vzhledem k tomu, že složky σij se úútransformace|transformují]] jako složky tenzoru druhého řádu, je stav napětí kontinua je v každém bodě popsán symetrickým tenzorem napětí σij.
Stav napětí kontinua v každém jeho bodě je tedy určen šesticí čísel σ11,σ12,σ13,σ22,σ23,σ33.
[editovat] Hlavní směry a roviny tenzoru napětí
Hlavní směry jsou takové osy, vzhledem ke kterým jsou nulové sloužky tenzoru napětí σij se smíšenými indexy, tzn. pro
. Jedná se tedy o nalezení ploch, na kterých je napětí čistým tahem nebo tlakem. Má-li být na určité ploše napětí čistým tahem nebo tlakem, musí mít stejný směr jako normála dané plochy, tzn.
,
kde νi je normála i-té plochy a σ je koeficient úměrnosti.
Použitím tohoto vztahu dostaneme rovnici
Řešením této rovnice získáme tři vzájemně kolmé směry νi vyhovující podmínce pro hlavní směry. Proložíme-li těmito směry kartézskou soustavu souřadnic, budou napětí na plochách kolmých k souřadnicovým osám čistými tahy nebo tlaky. Při takové volbě souřadnicové soustavy budou jedinými nenulovými složkami tenzoru napětí složky σ11,σ22,σ33. Tyto složky se nazývají hlavní napětí (obvykle se pro ně užívá zkrácené označení σ1,σ2,σ3). Roviny, na kterých tato napětí působí se nazývají hlavními rovinami napětí a osy kolmé k těmto rovinám (tzn. osy získané řešením uveené rovnice) se označují jako hlavní osy (směry) napětí.
Častým případem je situace, kdy jedno z hlavních napětí je nulové, např. σ3 = 0. Takové napětí se označuje jako rovinné.









