Geometrická posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti. Hodnota n-tého členu je rovna q-násobku předešlého členu, kde q (poměr dvou po sobě jdoucích členů) se nazývá kvocient.

Obsah

[editovat] Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

[editovat] Rekurentní zadání

a_n =a_{n-1} \cdot q

[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Všechny prvky posloupnosti lze pak zapsat jako násobky prvního členu:

a_1=a_1,\ a_2=a_1\cdot q,\ a_3 = a_1\cdot q^2 \ldots

[editovat] Příklad

Například je-li a0 = 2,q = 3, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, …

[editovat] Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá jako (platí, když q se nerovná 1):

s_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}

[editovat] Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (a0 = 2,q = 3) je:

s_5 = 2 \cdot \frac{3^5-1}{3-1} = 242

[editovat] Odvození vzorce

Předchozí vzorec lze odvodit následujícím způsobem.

Součet prvních n členů poslouposti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n,

kde členy a_2 \ldots a_n lze vzjádřit pomocí a1:

s_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1},

přičemž ze součtu lze vytknout a1:

s_n = a_1 \left( 1  + q + \ldots + q^{n-1} \right).

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních n + 1 členů (ve skutečnosti nás sn + 1 přiliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

s_{n+1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} = a_1 \left( 1  + q + \ldots + q^n \right)

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro sn. V podstatě lze sn + 1 vypočítat z sn dvěma způsoby:

  • Součet sn + 1 má o jeden (poslední) člen více než sn:
s_{n+1} = s_n + a_1 q^n \,
  • Závorka \left( 1  + q + \ldots + q^n \right) v sn + 1 je vlastně závorka \left( 1  + q + \ldots + q^{n-1} \right) z sn vynásobená q a ještě k ní je zleva přičtena 1:
\left( 1  + q + \ldots + q^n \right) = 1 + q \left( 1  + q + \ldots + q^{n-1} \right)
Po vynásobení a1 lze tuto skutečnost aplikovat na sn + 1 a sn:
a_1 \cdot \left( 1  + q + \ldots + q^n \right) = a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot q \left( 1  + q + \ldots + q^{n-1} \right)
s_{n+1} = a_1 + q s_n \,

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat sn + 1. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

s_n + a_1 q^n = a_1 + q s_n \,

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet sn (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet sn + 1 přestává být zajímavý):

s_n - q s_n = a_1 -  a_1 q^n \,
s_n \left( 1 - q \right) = a_1 \left( 1 -  q^n \right) \,
s_n = a_1 \frac{ 1 -  q^n }{ 1 - q }

[editovat] Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

\lim_{n \to \infty} s_n = \frac{a_1}{1-q} + \frac{a_1}{q-1} \lim_{n \to \infty}q^n = \left\{ \begin{matrix} \frac{a_1}{1-q} & \mbox{ pro } \left|q\right|<1 \\ +\infty, &  \mbox{ pro } \left|q\right|\geq 1 \end{matrix} \right.

Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

[editovat] Podívejte se také na