Měřitelný kardinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Obsah

[editovat] Definice

Řekneme, že kardinální číslo κ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na κ netriviální κ-úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než κ množin.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální κ-úplný ultrafiltr \mathcal{U} na κ definuje \,\kappa^{<}-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než κ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem μ(X) = 1 pro X\in \mathcal{U} a μ(X) = 0 jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální κ-úplný ultrafiltr na κ. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál κ, na němž existuje \,\kappa^{<}-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální κ-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu κ nazývá měřitelný ultrafiltr na κ nebo jen míra na κ.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.


[editovat] Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je κ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje \alef_{1}-úplný ultrafiltr, pak κ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině \,\kappa^{\kappa} všech funkcí z κ do κ pro měřitelný kardinál κ takto: Nechť \mathcal{U} je měřitelný ultrafiltr na κ. Pro funkce f,g \in \kappa^{\kappa} definujeme

  • f <^{\mathcal{U}} g právě když \{x\in \kappa ; f(x)<g(x)\}\in \mathcal{U}
  • f =^{\mathcal{U}} g právě když \{x\in \kappa ; f(x)=g(x)\}\in \mathcal{U}
  • f \leq^{\mathcal{U}} g právě když f <^{\mathcal{U}} g nebo f =^{\mathcal{U}} g
  • \,k_a, kde a\in \kappa, je taková funkce, která splňuje \,k_{a}(x)= a pro všechna \,x\in \kappa
  • funkce f je první za konstantami, je-li k_a <^{\mathcal{U}} f pro všechna a\in \kappa a kdykoli g <^{\mathcal{U}} f, pak g =^{\mathcal{U}} k_a pro nějaké a\in \kappa

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li κ měřitelný kardinál, pak na κ existuje měřitelný ultrafiltr \mathcal{U} takový, že identita na κ (fce \,id(x), že \,id(x)=x pro x\in \kappa) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem κ leží právě κ nedosažitelných kardinálů.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích