Izoperimetrický problém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Izoperimetrický problém je úloha variačního počtu, při níž se hledá extrém funkcionálu, který musí vyhovovat určité doplňující podmínce.

Obsah

[editovat] Formulace

Mějme funkce F(x,y,y^\prime), \Phi(x,y,y^\prime), které mají na nějaké otevřené podmnožině Ω trojrozměrného prostoru svých argumentů spojité parciální derivace do druhého řádu včetně. Nechť L je množina všech křivek K = \{[x,y]\in E_2|y=y(x),x\in\langle a,b\rangle\} třídy T1, přičemž pro x\in\langle a,b\rangle platí [x,y,y^\prime]\in\Omega.

Cílem je na množině křivek K z množiny L, pro které nabývá funkcionál

G = \int_a^b \Phi(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x

dané konstantní hodnoty, tzn. G = konst., najít křivku K0, pro kterou na uvažované množině křivek nabývá svého extrému funkcionál

I = \int_a^b F(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x

Taková úloha má smysl pouze v případě, pokud hledaná křivka K0 není extremálou funkcionálu G.


Nechť tedy pro křivku K_0\in L definovanou vztahem y=y_0(x), x\in\langle a,b\rangle, nabývá funkcionál I extrému na množině křivek K\in L s popisem y = y(x), které splňují podmínky

y(a) = y0(a)
y(b) = y0(b)
G(K) = \int_a^b \Phi(x,y(x),y^\prime(x))\mathrm{d}x = C

kde C,y0(a),y0(b) jsou daná čísla.


Pokud K0 není extremálou funkcionálu G na množině všech křivek K\in L vyhovujících uvedeným podmínkám, potom existuje konstanta λ taková, že K0 extremalizuje funkcionál

H = \int_a^b \left[F(x,y,y^\prime)+\lambda \Phi(x,y,y^\prime)\right]\mathrm{d}x


Pomocí Eulerovy rovnice je možné vyjádřit diferenciální rovnici příslušnou k danému variačnímu problému jako

F_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F_{y^\prime}^\prime + \lambda \left(\Phi_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \Phi_{y^\prime}^\prime\right) = 0

[editovat] Příklad

Schéma k příkladu izoperimetrického problému.
Schéma k příkladu izoperimetrického problému.

Jako příklad izoperimetrického problému může sloužit úloha, kdy máme najít mezi všemi křivkami s popisem y=y(x), x\in\langle a,b\rangle třídy T1 ležícími v horní polorovině, tzn. y\geq 0, s krajními body A[a,0],B[b,0] a pevně danou délkou l > ba takovou křivku, která spolu s úsečkou AB vymezuje plochu maximálního obsahu.

Plochu vymezenou úsečkou AB lze podle zapsat jako

I(K) = \int_a^b y\mathrm{d}x

Délka křivky K má pevně danou hodnotu l a lze ji určit jako

G(K) = \int_a^b \sqrt{1+{y^\prime}^2}\mathrm{d}x = l

Množina přípustných křivek je omezena okrajovými podmínkami

y(a) = y(b) = 0

Hledaná křivka nesmí být extremálou funkcionálu G(K). Funkcionál G(K) patří mezi speciální případy Eulerovy rovnice a jeho extremálou je křivka y = 0. Tato extremála má však délku ba, která je menší než l. Hledaná křivka K však musí mít délku větší než ba, tzn. nejde o extremálu funkcionálu G(K).


Dosazením do H, dostaneme

y + \lambda\sqrt{1+{y^\prime}^2} - y^\prime\lambda \frac{y^\prime}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} = \alpha,

kde α je konstanta. Úpravou tohoto vztahu získáme

y = \alpha - \frac{\lambda}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}}

Položíme y^\prime = \operatorname{tg}\varphi a pro \varphi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) dostaneme z předchozího vztahu

y = \alpha - \lambda\cos\varphi

Derivací tohoto vztahu a dosazením y^\prime = \operatorname{tg}\varphi dostaneme \mathrm{d}x = \lambda\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi, odkud integrací získáme

x = \lambda\sin\varphi \;+ \beta,

kde β je integrační konstanta.

Z předchozích dvou vztahů dostaneme

(x − β)2 + (y − α)2 = λ2


Konstanty α,β,λ určíme z hodnoty l a podmínek y(a) = y(b) = 0.


Pokud by bylo λ = 0, pak z y=\alpha-\frac{\lambda}{\sqrt{1+{y^\prime}^2}} a podmínky l > ba dostaneme y = α = konst., což by podle y(a) = y(b) = 0 vedlo k tomu, že extremálou je úsečka spojující body A,B. Ta však má délku ba, což je spor s podmínkou l > ba. Musí tedy být \lambda\neq 0.


Pro \lambda\neq 0 plyne z (x − β)2 + (y − α)2 = λ2, že extremálou je oblouk kružnice s krajními body A,B, poloměrem | λ | a středem S[α,β].


Pro l<\frac{\pi}{2}(b-a) je hledanou křivkou uvedený oblouk kružnice.

Pro l=\frac{\pi}{2}(b-a) jde o půlkružnici, která však nemá vlastní derivace v bodech A a B, tzn. křivka není v \langle a,b\rangle třídy T1. I v tomto případě se však jedná o křivku řešící daný problém.

Pro l>\frac{\pi}{2}(b-a) neexistuje křivka s popisem y = y(x) pro x\in\langle a,b\rangle, která by byla řešením dané úlohy.

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura