Numerická derivace
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte, alespoň náhradou této výzvy za konkrétnější. Jak by měly články vypadat, popisuje stránka Vzhled a styl, konkrétní problémy tohoto mohou být specifikovány na diskusní stránce.
Numerická derivace je numerická metoda odhadu derivace funkce na základě hodnoty této funkce v konečně mnoha bodech. Numerickou derivaci obvykle používáme v situaci, kdy nejsme schopni určit derivaci funkce analyticky.
Obsah |
[editovat] Základní princip
Máme odhadnout derivaci funkce f(x) v bodě x, tj. hodnotu f'(x), na základě znalosti funkčních hodnot v konečně mnoha bodech.
Při odhadu derivace funkce f můžeme vyjít z definice:
kde h je z prstencového okolí nuly.
Zvolíme-li „malé“ h různé od nuly, dostaneme odhad
.
Derivace znamená směrnici tečny ke grafu funkce v bodě, zde jí nahrazujeme sečnou vedenou body, které se od sebe „velmi málo liší“.
[editovat] Řád metody a chyba metody
Kvalitu tohoto odhadu můžeme posoudit pomocí Taylorova rozvoje funkce f v okolí nuly. První člen f'(x) je správný výsledek, ostatní členy znamenají Taylorův rozvoj chyby metody. Řád metody numerické derivace je exponent u prvního nenulového členu Taylorova rozvoje chyby. Samozřejmě platí, že čím větší je řád numerické derivace, tím „přesnější“ výsledek vypočteme.
Z praktického hlediska je problém přibližného výpočtu derivací funkce dané tabulkou delikátní a zaokrouhlovací chyby mohou být v některých případech zničující, zejména pokud se jedná o body získané empiricky (tj. sérii naměřených bodů). Proto je vhodné nejdříve data vhodně upravit (např. aproximací podle metody nejmenších čtverců).
[editovat] Tři ekvidistantní body
V případě, že tabulkové body jsou ekvidistantní, můžeme vzorec pro numerickou derivaci získat derivováním interpolačních vzorců vyjádřených pomocí diferencí. Například tři body f(x-h), f(x) a f(x+h) lze proložit parabolou a odvodit následující aproximaci první derivace f'(x).
Pro stejné tři body lze také odvodit vzorec pro odhad druhé derivace f''(x).
[editovat] Odvození vzorce pro první derivaci
Předpokládejme trojici bodů x-h, x a x+h, které proložíme parabolou y = ax2 + bx + c. Pro zjednodušení zápisu zavedeme značení xk − 1 = x − h, xk = x, yk = f(xk).
Při proložení tří bodů parabolou musí platit následující vztahy.
Z rovnice pro yk − 1 lze vyjádřit bh a dosadit jej do rovnice pro yk + 1 a získat tak a.
- bh = yk + ah2 − 2ahxk − yk − 1
- yk + 1 = yk + ah2 + 2ahxk + yk + ah2 − 2ahxk − yk − 1 = 2yk + 2ah2 + yk − yk − 1
Do derivace paraboly v bodě xk dosadíme za b, které v podstatě známe z bh.
Dosadíme za a, převedeme na společný jmenovatel a získáme tak finální vzorec pro aproximaci první derivace.
Odvozený vzorec odpovídá „selské úvaze“, kdy směrnice tečny v bodě xk je nahrazena směrnicí sečny mezi body xk − 1 a xk + 1.
[editovat] Odvození vzorce pro druhou derivaci
Při uvažovaném proložení tří bodů parabolou je možné odvodit i vzorec pro aproximaci druhé derivace f''(x). Stačí pouze dvakrát derivovat rovnici paraboly a dosadit za a vypočtené v předchozí kapitole.
- y = ax2 + bx + c
- y' = 2ax + b
- y'' = 2a
Ke stejnému vzorci se lze opět dostat „selským rozumem“. Stačí si uvědomit, že druhá derivace je vlastně pouze derivací první derivace a použít jednoduchý vztah pro aproximaci první derivace.
.














