Husté uspořádání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.
Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlasností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.

[editovat] Definice

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek ( \forall x,y \isin A) ( \exist z \isin A) ( x <_R z <_R y) \,\!

[editovat] Vlastnosti

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací < \,\!, pak

  • množina \mathbb{R} \,\! všech reálných čísel je hustě uspořádaná
  • každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
  • množina \mathbb{Q} \,\! všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
  • množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s \mathbb{Q} \,\!, jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s \mathbb{Q} \,\!.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích