Násobení matic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pokud A je matice m × n a B je matice n × p (tedy pokud první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků), jejich součin A × B je matice m × p zadaná

(A\times B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.

pro všechny dvojice i a j.

O násobení matic se také hovoří jako o maticovém násobení.

V podstatě jde o skalární součin vektoru řádku první matice s vektorem sloupce druhé matice. Tento výsledek se pak zapíše na pozici ve výsledné matici, jejíž index odpovídá číslu řádku první matice a číslu sloupce druhé matice.

[editovat] Příklad výpočtu

Pokud předchozí rovnici příliš nerozumíte, možná Vám pomůže tento ukázkový příklad:

         ┌        ┐           ┌           ┐  
         │1, 2, 3,│           │10, 20, 30,│
matice A │4, 5, 6,│  matice B │40, 50, 60,│
         │7, 8, 9,│           │70, 80, 90,│
         └        ┘           └           ┘

        ┌                                                                      ┐
        │((1*10)+(2*40)+(3*70)), ((1*20)+(2*50)+(3*80)), ((1*30)+(2*60)+(3*90))│
A * B = │((4*10)+(5*40)+(6*70)), ((4*20)+(5*50)+(6*80)), ((4*30)+(5*60)+(6*90))│
        │((7*10)+(8*40)+(9*70)), ((7*20)+(8*50)+(9*80)), ((7*30)+(8*60)+(9*90))│
        └                                                                      ┘

Násobíme-li první řádek s prvním sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna jedna ve výsledné matici. Násobíme li první řádek s druhým sloupec, zapíšem výsledek na pozici jedna dva ve výsledné matici. Atd.

[editovat] Vlastnosti

\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)= \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}.
\mathbf{A} \cdot \left( c \mathbf{B} \right) = c \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}.
  • Při maticovém násobení může být součin dvou nenulových matic \mathbf{A}, \mathbf{B} roven nulové matici.
  • Maticové násobení není komutativní, tedy obecně
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \neq\mathbf{B} \cdot \mathbf{A},

a to ani v případě čtvercových matic.

\mathbf{E} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{A},

kde \mathbf{A}, \mathbf{E} jsou čtvercové matice typu n \times n.

\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B},

potom pro jejich determinanty platí

\det \mathbf{C}=\det \mathbf{A}\,\det \mathbf{B}
  • Vzhledem k nekomutativnosti maticového násobení má význam tzv. komutátor matic, který je definován jako
[\mathbf{A},\mathbf{B}] = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}
{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^T = \mathbf{B}^T \cdot \mathbf{A}^T
{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
  • Pro hermiteovské sdružení součinu matic platí
{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^+ = \mathbf{B}^+ \cdot \mathbf{A}^+

[editovat] Podívejte se také na