Greenova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Greenova věta určuje v matematice vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu po uzavřené křivce k a dvojným integrálem na (uzavřené) oblasti D, která je křivkou k ohraničena.

Obsah

[editovat] Formulace věty

Jsou-li funkce P(x,y), Q(x,y), \frac{\part P}{\part y}(x,y), \frac{\part Q}{\part x}(x,y) spojité na D, pak

\int_k (P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) = \iint_D \left(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y


Speciální případy definičního vztahu dostaneme pro Q(x,y) = 0, tzn.

\int_k P\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\part P}{\part y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

a podobně pro P(x,y) = 0, tedy

\int_k Q\mathrm{d}y = \iint_D \frac{\part Q}{\part x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

[editovat] Důsledky

Jestliže hodnota integrálu \int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x+\int_k g(x,y)\mathrm{d}y závisí pouze na počátečním a koncovém bodu křivky k a nikoli na cestě, tedy na tvaru křivky, pak říkáme, že křivkový integrál nezávisí na integrační cestě. Postačující podmínkou, aby uvedený integrál nezávisel na integrační cestě je splnění rovnosti

\frac{\part P}{\part y} = \frac{\part Q}{\part x}

Je-li křivka k uzavřená a současně je splněna předchozí podmínka, pak je hodnota integrálu \int_k (P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) = \iint_D \left(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y rovna nule.

Má-li být na oblasti D výraz Pdx + Qdy totálním diferenciálem nějaké funkce F(x,y), pak v oblasti D musí platit podmínka \frac{\part P}{\part y} = \frac{\part Q}{\part x}, tzn. hodnota integrálu závisí pouze na počátečním bodu [x1,y1] a koncovém bodu [x2,y2] křivky k. Tuto hodnotu lze pak určit jako rozdíl F(x2,y2) − F(x1,y1).

Nutnou a postačující podmínkou nezávislosti integrálu na integrační cestě je existence funkce F(x,y) takové, že výraz Pdx + Qdy je jejím totálním diferenciálem.

[editovat] Zobecnění

Předešlá tvrzení lze modifikovat také pro prostorové křivky.

Zapíšeme-li integrál druhého druhu jako

\int_k \left[P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\right],

pak podmínku nezávislosti integrálu na integrační cestě lze vyjádřit (současně platícími) podmínkami

\frac{\part P}{\part y} = \frac{\part Q}{\part x}
\frac{\part P}{\part z} = \frac{\part R}{\part x}
\frac{\part Q}{\part z} = \frac{\part R}{\part y}

[editovat] Podívejte se také na