Jehlan

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jehlan

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny - tento bod se obvykle nazývá vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obsah

[editovat] Obecné vlastnosti

[editovat] Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

V=\frac{S_p.v}{3} \,\!,

kde S_p \,\! je obsah podstavy a v \,\! výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

S = P + Q \,,

kde P je obsah podstavy a Q je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se mi objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

[editovat] Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.) Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

[editovat] Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o n \,\! stranách, má jehlan:

  • celkem n + 1 \,\! vrcholů
  • celkem 2.n \,\! hran
  • celkem n + 1 \,\! stěn

Jehlan je konvexní tehdy a jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

[editovat] Speciální případy

Pravidelný čtyřstěn

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

[editovat] Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem V \,\! a obsah S \,\! lze vypočítat z délky jeho hrany:

  • S=a^2\sqrt{3} \,\!
  • V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}a^3\sqrt{2} \,\!

Jeho výšku lze vypočítat jako v=(a/3) \sqrt{6} .

[editovat] Pravidelný čtyřboký jehlan

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem V \,\! a obsah S \,\! lze vypočítat z délky strany základny a \,\! a výšky v \,\!:

  • V = \frac{a^2.v}{3} \,\!
  • S = a^2 + 4.\frac{a.\sqrt{v^2 + (\frac{a}{2})^2}}{2} = a.(a + \sqrt{4v^2 + a^2}) \,\!

[editovat] Externí odkazy

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika