Cassiniho křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

křivky pro různé hodnoty b, pro ohniska v bodech 1,0 a -1,0
křivky pro různé hodnoty b, pro ohniska v bodech 1,0 a -1,0

Množina všech bodů roviny, které mají konstantní součin vzdáleností od dvou pevných bodů F1,F2 ,tzv. ohnisek, se nazývá Cassiniova křivka.

[editovat] Rovnice

Označíme-li polovinu vzdálenosti obou ohnisek jako e=\frac{|F_1 F_2|}{2}, pak lze v kartézské soustavě souřadnic Cassiniovu křivku zapsat rovnicí

{\left(x^2+y^2\right)}^2 - 2e^2\left(x^2-y^2\right) = a^4-e^4,

kde a je parametr křivky.

V polárních souřadnicích pak dostáváme

\rho^2 = e^2 \cos{2\varphi}\pm \sqrt{e^4 \cos^2 {2\varphi} + a^4 - e^4}

[editovat] Vlastnosti

Pro a^2\geq 2e^2 má Cassiniova křivka tvar podobný elipse.

Pro e2 < a2 < 2e2 se na Cassiniově křivce objevují průhyby.

Pro a2 = e2 dostáváme Cassiniovu křivku, která se označuje jako Bernoulliova lemniskáta.

Pro a2 < e2 se Cassiniova křivka skládá ze dvou oddělených částí, které obklopují jednotlivá ohniska.

[editovat] Podívejte se také na