Afinní konexe

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Afinní konexe označuje v matematice a fyzice objekt, který umožňuje provádět transformace křivočarých souřadnic.

Obsah

[editovat] Definice

Afinní konexi lze v Riemannově prostoru vyjádřit pomocí metrického tenzoru jako

\Gamma_{\iota\kappa\lambda} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part g_{\iota\kappa}}{\part x^\lambda} - \frac{\part g_{\kappa\lambda}}{\part x^\iota} + \frac{\part g_{\lambda\iota}}{\part x^\kappa}\right) = \frac{1}{2}\left(g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\kappa\lambda,\iota} + g_{\lambda\iota,\kappa}\right),

kde čárkou je označena parciální derivace podle dané souřadnice.


Vyjdeme-li z požadavku, aby při se paralelním přenosu v Riemannově prostoru po křivce x = x(u) zachovávala norma vektoru T, pak lze psát

\frac{\mathrm{d}\left(g_{\iota\kappa}T_{\|}^\iota T_{\|}^\kappa\right)}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{d}g_{\iota\kappa}}{\mathrm{d}u}T_{\|}^\iota T_{\|}^\kappa + 2g_{\iota\kappa} T_{\|}^\iota \frac{\mathrm{d}T_{\|}^\kappa}{\mathrm{d}u} = \left(g_{\iota\kappa,\lambda} - 2g_{\iota\mu}\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\mu\right) T_{\|}^{(\iota}T_{\|}^{\kappa)} \frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u} = 0

kde bylo využito symetrie metrického tenzoru, T_{\|} označuje paralelně přenesený vektor T a čárkou je označována parciální derivace. V určitém bodě x musí tato rovnice platit pro libovolný vektor Tι a pro libovolnou volbu směru. Musí tedy platit

gικ,λ − Γικλ − Γκιλ = 0

kde \Gamma_{\iota\kappa\lambda} = g_{\iota\mu}\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\mu. Vzhledem k symetrii metrického tenzoru lze přechozí vztah zapsat v ekvivalentním tvaru

gικ,λ = 2Γ(ικ)λ


Permutací indexů (a vhodnou změnou znaménka) můžeme zapsat soustavu rovnic

gικ,λ − Γικλ − Γκιλ = 0
gκλ,ι + Γκλι + Γλκι = 0
gλι,κ − Γλικ − Γιλκ = 0

Sečtením těchto rovnic získáme uvedený definiční vztah.


Afinní konexe bývá také zapisována jako

\Gamma_{\iota\kappa\lambda} = \frac{1}{2}\left(g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\kappa\lambda,\iota} + g_{\lambda\iota,\kappa} + c_{\iota\kappa\lambda} - c_{\kappa\lambda\iota} + c_{\lambda\iota\kappa} \right),

kde cικλ jsou tzv. strukturní koeficienty.


[editovat] Christoffelovy symboly

Veličiny Γικλ bývají také zapisovány jako [ι,κλ] a označovány jako Christoffelovy symboly prvého druhu. Podobně bývají veličiny \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota zapisovány jako \left\{{}_{\kappa{}\lambda}^{{}\iota}\right\} a označovány jako Christoffelovy symboly druhého druhu.

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Integrabilita afinní konexe

Integrabilita afinní konexe.
Integrabilita afinní konexe.

Uvažujme dva body x1,x2 Riemannova prostoru, které jsou spojeny křivkami k, k^\prime. Při paralelním přenosu podél křivek k a k^\prime vektoru T, který má v x1 hodnotu T1, dostaneme v bodě x2 dvě různé hodnoty T2 (podél křivky k) a T_2^\prime (podél křivky k^\prime).


Pokud mezi libovolnými dvěma body prostoru (nebo jeho části) platí \Delta T=T_2^\prime-T_2 = 0 pro libovolné pole T, pak říkáme, že přenos směru je integrabilní, popř. přenos afinní konexe je integrabilní.

Je-li afinní konexe integrabilní, pak v případě, že vektorové pole protneme libovolnou křivkou x = x(u), budou vektory T(x(u)) podél této křivky rovnoběžné. To vede k tomu, že absolutní derivace tohoto pole je podél dané křivky nulová, tzn.

\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u} = {\left[T_{\,;\kappa}^\iota\right]}_{x(u)} \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u} = 0

Poněvadž křivku v předchozím vztahu lze vést libovolným směrem \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}, musí platit

T_{\,;\kappa}^\iota = 0,

kde středník označuje kovariantní derivaci. Kovariantní derivací předchozího vztahu dostaneme T_{\,;[\kappa\lambda]}^\iota = -2R_{\,\sigma\kappa\lambda}^iota T^\sigma. Vzhledem k libovolnosti pole T musí v případě integrabilní afinní konexe platit v celé vyšetřované oblasti pro tenzor křivosti vztah

R_{\,\kappa\lambda\mu}^\iota = 0.

Je-li tedy afinní konexe integrabilní, je prostor plochý.

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích