Maxwellovy rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.

Obsah

[editovat] Formulace Maxwellových rovnic

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. V jiných soustavách se v zápisu objevují navíc konstanty jako např. rychlost světla c a (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

[editovat] První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)

integrální tvar

\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}, I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulace vektoru H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}, spřažený křivkou c, Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

[editovat] Druhá Maxwellova rovnice (Zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)

integrální tvar

\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{A}.

Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.

[editovat] Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)

integrální tvar

\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.

Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.

diferenciální tvar

\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.

Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

[editovat] Čtvrtá Maxwellova rovnice (Zákon spojitosti indukčního toku)

integrální tvar

\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.


Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

diferenciální tvar

\nabla \cdot \mathbf{B}=0.

Divergence vektoru magnetické indukce B je rovna nule. Ekvivalentní formulace: neexistují magnetické monopóly.


Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Označení Význam Jednotka SI
\mathbf{E} intenzita elektrického pole V/m
\mathbf{H} intenzita magnetického pole A/m
\mathbf{D} elektrická indukce C/m²
\mathbf{B} magnetická indukce T
\ \rho \ hustota volného náboje C/m³
\mathbf{j} hustota proudu A/m²

[editovat] Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že se hustota polarizace P (C/m2) a hustota magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}


a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \  = \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \  = \ \ \mu \mathbf{H},


kde:

χe je elektrická susceptibilita materiálu,

χm je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu


V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E},

kde γ je měrná vodivost daného materiálu.

[editovat] Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu \varphia \mathbf A, které jsou definovány tak, aby platilo

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,,
\mathbf{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,.

\mathbf E a \mathbf B se přitom nezmění, pokud k potenciálu \varphi přičteme libovolnou konstantu, nebo k \mathbf A divergenci libovolného vektorového pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorentzovu kalibrační podmínku

\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon\mu\frac{\part \varphi}{\partial t}=0\,.

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic v prostoročasu

\square \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\,,
\square \mathbf{A} = -\mu\,\mathbf{j}\,,

kde \square je d'Alembertův operátor.