Laguerrovy polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laguerrovy polynomy jsou definovány vztahem

L_n(x) = \sum_{k=0}^n {(-1)}^k \frac{n^2{(n-1)}^2\cdots{(k+1)}^2}{(n-k)!}x^k


Laguerovy polynomy lze také definovat vztahem

L_n(x) = \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^n \mathrm{e}^{-x})


Laguerrovy polynomy jsou řešením Laguerrovy diferenciální rovnice

x y^{\prime\prime}+(1-x)y^\prime+ny=0


Laguerrovy polynomy jsou v intervalu \langle 0,\infty) ortogonální s váhou e x, tzn.

\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}L_m(x)L_k(x)\mathrm{d}x=0 \; \mbox{ pro } m \neq k.

[editovat] Přidružené Laguerrovy polynomy

Řešením rovnice

xy^{\prime\prime}+(m+1-x)y^\prime+ny=0

jsou tzv. zobecněné (přidružené) Laguerrovy polynomy, které lze vyjádřit ve tvaru

L_n^m(x) = \sum_{k=0}^n {(-1)}^k {{n+m} \choose {n-k}} \frac{x^k}{k!}

nebo

L_n^m(x) = \frac{1}{n!} \mathrm{e}^x x^{-m} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(\mathrm{e}^{-x}x^{n+m})

nebo také

L_n^m(x) = {{n+m} \choose n} F(-n,m+1,x),

kde F(α,γ,x) je degenerovaná hypergeometrická funkce.

[editovat] Vlastnosti

Často se využívají vztahy

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} L_n^m(x) = -L_{n-1}^{m+1}(x)
L_n^{m+1}(x) = \sum_{k=0}^n L_k^m(x)

Pro m = 0 získáme ze zobecněných Laguerrových polynomů polynomy Laguerrovy, tzn. L_n(x) = L_n^0(x).

[editovat] Podívejte se také na