Kvaternion

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojmem kvaternion označuje nekomutativní rozšíření komplexních čísel. Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon ab = ba, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické, tak v aplikované matematice (přestože mnohdy se jejich použití lze vyhnout s pomocí vektorů)

Obsah

[editovat] Definice

Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z reálných přidáním prvku i splňujícího i2 = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků i, j a k tak, že jsou splněny následující vztahy.

i2 = j2 = k2 = ijk = − 1
\begin{matrix} ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\ jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\ ki & = & j, & & & & ik & = & -j.  \end{matrix}

Každý kvaternion je lineární kombinací prvků 1, i, j a k, což znamená, že jej lze psát jako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

[editovat] Příklad

Nechť

\begin{matrix} x & = & 3 + i \\ y & = & 5i + j - 2k \end{matrix}

Pak (při násobení se využívají vztahy uvedené výše)

\begin{matrix} x + y & = & 3 + 6i + j - 2k \\ \\ xy & = & (3 + i)(5i + j - 2k) \\ & = & 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik \\ & = & 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j \\ & = & -5 + 15i + 5j - 5k \\ \\ yx & = & (5i + j - 2k)(3 + i) \\ & = & 15i + 5i^2 + 3j + ji - 6k - 2ki \\ & = & 15i - 5 + 3j - k - 6k - 2j \\ & = & -5 + 15i + j - 7k \end{matrix}

[editovat] Příklady využití

[editovat] Platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru

Pomocí kvaternionů lze nalézt některá platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. Prvním faktem, který je potřeba si uvědomit je, že žádné platónská těleso se nezmění, pokud jej pootočíme tak, že každý vrchol přejde do vrcholu jiného. Potom je potřeba si všimnout, že pokud máme čtyřrozměrný vektor (a,b,c,d) a přiřadíme mu kvaternion a + bi + cj + dk, potom pokud sadu takových vektorů (kvaternionů) vynásobíme jednotkovým kvaternionem, tak se všechny tyto vektory pouze otočí. (Jsou násobené jednotkovým kvaternionem, takže se nezmění jejich velikost, jen směry, a to lineárně.) Pak si všimneme, že v kvaternionech existují uzavřené konečné grupy vůči násobení, které mají následující členy:

všechny permutace (±1, 0, 0, 0) (8 členů)
předchozí grupa + 16 čtveřic (±½, ±½, ±½, ±½)
předchozí grupa + všechny sudé permutace ½(±1,±φ,±1/φ,0).

Pro každou z těchto grup tedy platí, že násobíme-li členy grupy mezi sebou, výsledkem je opět prvek dané grupy. To ovšem znamená, že každá grupa, představuje vrcholy nějakého platónského tělesa ve čtyřrozměrném prostoru! (Protože právě tehdy, když jde o platónské těleso je splněna vlastnost, že při otočení daného tělesa tak, aby se vrchol dostal do vrcholu (čemuž právě násobení jednotkovými kvaterniony z dané grupy odpovídá) zůstane těleso stejné.)

[editovat] Podívejte se také na