Analytická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Analytická funkce je funkce, kterou lze v každém bodě x \in \mathbf{D} vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu, tzn.

f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i (x - x_0)^i,

kde x0 je libovolný bod \mathbf{D}. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna x z okolí bodu x0. Analytické funkce mohou být reálné pro reálná x, ale také komplexní pro komplexní x.

Důsledkem v komplexní analýze je skutečnost, že holomorfní funkce jsou analytické.

[editovat] Příklad

Příkladem analytické funkce je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

\ln_0 z = \ln r + \mathrm{i} \varphi

pro r > 0 a - \pi < \varphi \leq \pi, kde z = r (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi). Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu z = 0 a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok − 2π).

K odstranění nespojitosti na záporné reálné ose zavedeme tzv. druhou větev logaritmické funkce

\ln_1 z = \ln_0 z + 2 \mathrm{i} \pi = \ln r + \mathrm{i} (\varphi + 2 \pi)

Tímto vztahem je definováno tzv. analytické prodloužení (pokračování) funkce ln0z přes zápornou reálnou osu.

Podobně definujeme další větve logaritmické funkce

\ln_n z = \ln_0 z + 2 n \pi \mathrm{i} = \ln r + \mathrm{i} (\varphi + 2 n \pi)

pro celá n.

Množina všech větví tvoří mnohoznačnou funkci lnz.


Každá z uvedených větví je jednoznačná v Gaussově rovině. Přiřadíme-li každé větvi Gaussovu rovinu, dostaneme nekonečnou množinu Gaussových rovin ...,R − 2,R − 1,R0,R1,R2,..., přičemž daná rovina Rn odpovídá větvi lnnz. Pokud všechny Rn 'rozstřihneme' podél záporné reálné osy a vzájemně pospojujeme tak, že k levé horní polorovině R0 'přilepíme' podél reálné osy levou dolní polorovinu R1, podobně R1 k R2 atd., dostaneme nekonečně mnoholistou Riemannovu plochu funkce lnz.


Při obcházení bodu z = 0 přecházíme vždy z větve n do větve n + 1, tzn. nikdy nedojde k návratu k původní hodnotě (imaginární část funkce lnz stále roste). Singulární bod z = 0 je tedy transcendentním bodem funkce lnz.


Jiným příkladem mnohoznačné funkce je obecná mocnina z, tzn.

z^n = \mathrm{e}^{n \ln z} = \mathrm{e}^{n [\ln r + \mathrm{i} (\varphi + 2 k \pi)]}

kde k je celé číslo.

Pro reálná a iracionální n je tato mocnina nekonečně mnohoznačnou funkcí, bod z = 0 je transcendentním větvícím bodem a Riemannova plocha je nekonečně mnoholistá. Pro racionální n se však po konečném počtu oběhů kolem z = 0 vrátíme k původní hodnotě. Tato funkce má pak pouze konečný počet (různých) větví, bod z = 0 je algebraickým bodem rozvětvení a Riemannova plocha má konečný počet listů.

[editovat] Vlastnosti

  • Součet analytických funkcí je analytická funkce.
  • Součin analytických funkcí je analytická funkce.

[editovat] Podívejte se také na