Fubiniova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fubiniova věta je matematická věta, která umožňuje vypočítat vícerozměrný integrál pomocí více po sobě jdoucích integrací. Získané integrály pak označujeme jako vícenásobné, tzn. dvojnásobý, trojnásobný atd.

Obsah

[editovat] Věta pro dvojný integrál

Uvažujme dvourozměrnou oblast Ω takovou, že x \in \langle a,b\rangle a y \in \langle c,d\rangle. Na Ω nechť je definována spojitá a omezená funkce f(x,y). Pokud existuje \iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y, pak platí

\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_c^d\left[\int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y

Integrály na pravé straně označujeme jako dvojnásobné.


Dvojnásobné integrály často zapisujeme následujícím způsobem

\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x \int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y
\int_c^d\left[\int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = \int_c^d \mathrm{d}y \int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x


Pokud lze na Ω psát f(x,y) = u(x)v(y), pak podle Fubiniovy věty platí

\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b u(x)\mathrm{d}x \; \int_c^d v(y)\mathrm{d}y

[editovat] Elementární oblast

Fubiniovu větu lze použít i v případě, že oblast Ω nemá obdélníkový tvar. V takovém případě zavádíme pojem elementární oblasti vzhledem k ose x, resp. y.

Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x.
Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x.

Elementární oblast vzhledem k ose x je taková oblast, kterou můžeme na osy x omezit konstantními hodnotami, tzn. platí x \in \langle a,b\rangle, zatímco hranice oblasti podél osy y leží mezi funkcemi g1(x),g2(x), tzn. y \in \langle g_1(x),g_2(x)\rangle. Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x je na obrázku.

Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose x pak zapíšeme

\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b \left[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x
Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y.
Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y.

Elementární oblast vzhledem k ose y je taková oblast, kterou můžeme na osy y omezit konstantními hodnotami, tzn. platí y \in \langle c,d\rangle, zatímco hranice oblasti podél osy x leží mezi funkcemi h1(x),h2(x), tzn. x \in \langle h_1(y),h_2(y)\rangle. Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y je na obrázku.

Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose y pak zapíšeme

\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d\left[\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y

[editovat] Regulární oblast

Příklad regulární oblasti.
Příklad regulární oblasti.

Jako regulární oblast označíme takovou oblast, kterou lze vyjádřit jako sjednocení oblastí elementárních k ose x nebo sjednocení oblastí elementárních k ose y. Příklad regulární oblasti Ω vzniklé z oblastí Ω1 a Ω2 elementárních vzhledem k x, tzn. \Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2, je na obrázku. Integrujeme pak přes jednotlivé elementární oblasti Ω12.


Každá elementární oblast je také regulární oblastí.


[editovat] Zobecnění

Fubiniovu větu lze použít nejen pro dvojné integrály, ale také pro další vícerozměrné integrály.

[editovat] Podívejte se také na