Dedekindův řez
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel.
Obsah |
[editovat] Definice
Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.
[editovat] Motivace
V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.
Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina"
.
Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice přirozených čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.
Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená aby každá omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.
Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté Mac Neilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze jí použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.
[editovat] Konstrukce zúplnění
Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.
Množina všech
všech stabilních podmnožin nějaké množiny
je úplný svaz, to znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc pokud je
lineárně uspořádaná, pak je také
lineárně uspořádaná (relací
).
Definujeme-li zobrazení
předpisem
, dostáváme izomorfní vnoření
do
.
Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v
, ale pokud v
neexistovala, pak v
již (pro izomorfní obraz) existují.
Speciálně pro racionální čísla
je
izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.
[editovat] Příklady
Množina
má supremum v
- platí
.
Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu
a její supremum je
. Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.
Množina
nemá v
supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v
získá:
má supremum
, které není obrazem žádného prvku z
.
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |

