Slabá kardinální mocnina
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
Obsah |
[editovat] Definice
Jsou-li
a
dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem
a definujeme vztahem
, tj. jako součet všech kardinálních mocnin
s exponentem menším než
.
[editovat] Motivace pro zavedení
Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:
Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny
s mohutností přesně
a množina všech podmnožin množiny
s mohutností menší než 
Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí
a
(symbol
je nejmenší kardinální číslo větší než
), potom
![|[X]^{<\lambda}| = \kappa^{<\lambda} \,\!](../../../math/0/a/f/0af08990b80d00e22a6ff9ca493fb31f.png)
[editovat] Příklad použití
V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.
Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:
Je-li
singulární kardinál,
takové, že pro každé
platí
, potom

Je-li
singulární kardinál a pro každé
existuje
, pro které platí
, potom

[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |
![[X]^{\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| = \lambda \} \,\!](../../../math/b/4/4/b440d73f9a20f454eb6a274ec3935e95.png)
![[X]^{<\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| < \lambda \} \,\!](../../../math/5/c/c/5cc04d3e0bd2a27334f19078ed41ad7d.png)

