Odmocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Co je to odmocnina

Existují dva pohledy na to, co je to odmocňování:

První pohled je ten, že odmocňování je opakem umocňování (zrovna tak jako odčítání je opakem sčítání a dělení je opakem násobení) a to bez jakýchkoliv dalších podmínek. Zapíšeme-li to vzorcem, máme

\sqrt[n]{a}= b neboli bn = a,

což lze číst: n-tá odmocnina z čísla a je takové číslo b, pro které je b na n-tou rovno a. Často se termínem odmocnina rozumí odmocnina druhá, exponent se v tomto případě většinou nevyznačuje, \sqrt[2]{a}= \sqrt{a}.

V tom případě bychom již na ZŠ mohli vidět,

(a) že odmocňování není zcela jednoznačným početním výkonem, protože může mít více výsledků, např.druhou odmocninou z čísla 100 jsou dvě čísla a to +10 i -10.

(b) že existují liché odmocniny ze záporných čísel, např. třetí odmocnina z -1000 je -10,

(c) že nedokážeme najít sudé odmocniny ze záporných čísel, např. druhá odmocnina z -100 není -10, protože -10 na druhou je +100. Přitom nesmíme tvrdit, že tyto odmocniny neexistují, ale že je zatím neumíme najít, protože nejsou reálnými čísly, ale jsou čísly komplexními, která na ZŠ ještě neznáme. Teprve později po seznámení s komplexními čísly budeme při odmocňování libovolného nenulového čísla umět najít tolik od sebe různých odmocnin (tolik různých výsledků odmocňování), kolikátou odmocninu počítáme.

Druhý pohled najdeme ve středoškolských učebnicích matematiky (a pravděpodobně v učebnicích pro ZŠ), kde je uvedeno, že odmocňování je opakem umocňování, ale navíc se tam tvrdí, že odmocňované číslo ani výsledek odmocňování nesmí být záporné (tj.že neexistují odmocniny ze záporných čísel a že neexistuje záporný výsledek odmocňování). Již na ZŠ bychom si však měli uvědomit, že nám tedy např. tvrdí,

(a) že třetí odmocnina z -1000 neexistuje a není -10, i když víme, že -10 na třetí je -1000!

(b) že druhá odmocnina ze 100 je pouze 10, i když víme, že též -10 na druhou je 100! Přitom když nám v oboru reálných čísel zatají, že odmocnina ze 100 je nejen +10, ale i -10, tak z toho mají problémy při řešení rovnic, např. x2 − 100 = 0 lze přepsat na x2 = 100, ale tuto rovnici již nelze psát jako x=\sqrt[2]{100}, protože bychom získali x = 10 a zratili tak kořen x = − 10. (Řeší se to buďto přidáním absolutní hodnoty k neznámé, /x/=\sqrt[2]{100}, nebo přidáním znaménka ± před znak druhé odmocniny x = ±\sqrt[2]{100}.)

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina vždy jednoznačná funkce, y=\sqrt[n]{x}, která kladnému číslu x přiřazuje právě jedno kladné číslo y, nule přiřazuje nulu a záporným číslům x nepřiřazuje žádné číslo y. Právě z tohoto důvodu, abychom při odmocňování dostali v oboru reálných čísel právě jeden výsledek, se požaduje, aby odmocňované číslo i výsledek odmocňování byly nezáporné.


[editovat] Odmocnina z reálného čísla

Existuje mnoho různých vzorců pro počítání s odmocninami. Nemusíme se je však učit, jestliže odmocninu převedeme pomocí vzorce \sqrt[n]{a}= a^{1/n} na mocninu s racionálním mocnitelem a potom počítáme podle vzorců pro počítání s mocninami.

Ze vzorce \sqrt[n]{a}= a^{1/n} je zřejmé, že nultá odmocnina nemůže existovat (v exponentu bychom dělili nulou).

[editovat] Přirozená odmocnina z komplexního čísla

Odmocnina z libovolného komplexního i reálného čísla je definována jako opak k umocňování: n-tá odmocnina z komplexního čísla z je takové číslo, které umocněno na daný exponent nz. Odmocninu přitom značíme \sqrt[n]{z} .

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit si číslo z v goniometrickém tvaru jako | z | (cosφ + isinφ), případně v exponenciálním tvaru | z | eiφ.

Potom lze ukázat, že hledaná odmocnina je \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}e^{i(\phi+2k\pi)/n} = \sqrt[n]{|z|}( \cos {(\phi+2k\pi)/n} + i \sin {(\phi+2k\pi)/n}), kde k je libovolné celé číslo, (přičemž úhel odmocňovaného čísla se ve Wikipedii zobrazuje někdy jako malé řecké písmeno φ a jindy jako velké řecké "fí").

Přitom volbou k=0 dostaneme 1.odmocninu, volbou k=2 druhou, až volbou k=(n-1) dostaneme n-tou odmocninu, jež jsou všechny od sebe různé, protože mají sice stejnou velikost |z|, ale každá následující má úhel o φ / n větší nežli předcházející, takže při zakreslení do Gaussovy roviny vytvoří jejich koncové body pravidelný n-úhelník se středem v počátku. Volbou k=n již dostaneme totéž číslo jako volbou k=0 (oproti případu k=0 jsme úhel zvětšili o 1 otočku) a podobně i pro další hodnoty k již nedostaneme nové výsledky, ale změnou čísla k se pohybujeme po již vypočtených odmocninách znázorněných v Gaussově rovině pravidelným n-úhelníkem.

Ukažme si to např. při hledání třetí odmocniny z čísla z = –1000. Nejprve si uvědomíme, že toto číslo je dlouhé 1000 a v Gaussově rovině ho zakreslíme pod úhlem 180 stupňů, takže měříme-li úhly v radiánech, tak ho napíšeme jako 1000eiπ.

Odmocněním tohoto čísla získáme \sqrt[3]{-1000} = \sqrt[3]{|1000|}e^{i(\pi+2k\pi)/3} = 10e^{i(\pi+2k\pi)/3}, což jsou tři od sebe různá komplexní čísla:

Při volbě k=0 dostaneme 10ei(π) / 3, při volbě k=1 dostaneme 10ei(π), při volbě k=2 dostaneme 10ei(5π) / 3, což jsou tři od sebe různá čísla jež po zakreslení do Gaussovy roviny tvoří rovnostranný trojúhelník (jehož vrchol pro k=2 znázorňuje záporné číslo –10).


Vidíme tedy:

(a) že u odmocňování nejde už o jednoznačnou funkci, protože různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n.

(b) že druhé odmocniny z kladných reálných čísel jsou vždy dvě opačná reálná čísla, např. \sqrt[2]{100}= 10 zrovna tak jako \sqrt[2]{100}= -10

(c) že druhé odmocniny ze záporných reálných čísel jsou vždy dvě ryze imaginární čísla jež se liší znaménkem, např. \sqrt[2]{-100}= 10i zrovna tak jako \sqrt[2]{-100}= -10i a že

(d) že číslo -1 má rovněž dvě komplexní druhé odmocniny, a to imaginární jednotku i a číslo -i.

(e) Jestliže požadujeme, aby odmocňované číslo i výsledek odmocňování byly nezápornými reálnými čísly, tak tím pouze některé z existujících n-tých odmocnin vynecháme.

[editovat] Výpočet odmocniny

  • Odmocninu lze počítat několika různými postupy. v této části jsou diskutovány reálné odmocniny z reálných čísel
    • Převod na logaritmy. n-tá odmocnina z a se vypočte jako exp((log a)/n)
    • Aproximační metody. Hledá se kořen funkce (xn - a) některou z metod pro hledání kořenů funkce.