Posloupnost (matematika)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jako posloupnost se v matematice označuje (obvykle nekonečná) sekvence čísel, indexovaná přirozenými čísly - 
Obecněji lze posloupnost chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje prvek určité množiny
.
Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnost (posloupnosti s konstantními členy), ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje konstantu an, přičemž an závisí pouze na hodnotě n. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje funkci fn(x), přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle n, ale také na parametrech funkce fn (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).
Posloupnost značíme obvykle
, (an) nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze an.
Posloupnost může být určena funkcí, která vyjadřuje n-tý člen posloupnost an pomocí n, např.
odpovídá posloupnosti 
Posloupnost může být také zadána rekurentní definicí, při níž jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Příkladem rekurentního předpisu je a1 = 1,a2 = 1,an + 2 = an + an + 1.
Obsah |
[editovat] Vlastnosti
Posloupnost je
- neklesající, pokud pro všechna i platí
, - nerostoucí, pokud pro všechna i platí
, - rostoucí, pokud pro všechna i platí ai > ai − 1,
- klesající, pokud pro všechna i platí ai < ai − 1,
- zdola omezená v množině A, pokud existuje takové
, že pro všechna i platí
, - shora omezená v množině A, pokud existuje takové
, že pro všechna i platí
.
Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.
Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.
Jestliže se v libovolně malém
-okolí bodu d, tzn. v intervalu
, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti (an), pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti (an).
[editovat] Limita
- Podrobnější informace naleznete v článku Limitanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Říkáme, že posloupnost
- konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např.
konverguje k 0), - diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např.
diverguje k
), nebo nemá limitu, ale osciluje (např.
). Oscilující posloupnost je tedy také divergentní posloupnost.
[editovat] Vybraná posloupnost
Je-li
posloupnost (obecně reálných) čísel a
rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz
nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z an (jinými slovy, z an vyškrtneme některé členy, např. všechny liché).
Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li (an) omezená posloupnost v
, pak z ní lze vybrat posloupnost
, která je konvergentní
Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

