Křivost plochy
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Křivost plochy určuje její odchylku od roviny.
Křivost plochy se určuje pomocí vhodně volených křivek ležících na dané ploše.
Obsah |
[editovat] Křivost v daném směru
Křivky, které na dané ploše prochází daným regulárním bodem P a mají v bodě P stejnou oskulační rovinu, mají v P také stejnou první křivost.
Pro rovinný řez plochy
je poloměr křivosti r v bodě P určen jako
,
kde θ je úhel, který svírá rovina křivky s normálou v bodě P plochy, E,F,G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L,M,N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.
Rovinný řez v regulárním bodě P plochy má v bodě P poloměr křivosti r, jehož úsečka je pravoúhlým průmětem úsečky poloměru křivosti Rn normálového řezu, který má s daným rovinným řezem v bodě P společnou tečnu, tzn.
- r = Rncosθ
Toto tvrzení bývá označováno jako Meusnierova věta.
Pro normální křivost
v daném směru v bodě P plochy
platí
kde
.
[editovat] Hlavní poloměry křivosti
V daném regulárním bodě P plochy existuje takový normálový řez, že jeho normální křivost má největší hodnotu ze všech normálových řezů v daném bodě plochy. Podobně také existuje normální řez, jehož normální křivost má nejmenší hodnotu ze všech normálových řezů v daném bodě plochy. Tyto dva řezy se nazývají hlavními normálovými řezy a leží v daném bodě P plochy v rovinách, které jsou k sobě kolmé. Poloměry křivosti v hlavních normálových řezech jsou tzv. hlavní poloměry křivosti R1,R2. Směry tečen hlavních řezů v bodě plochy se označují jako hlavní směry plochy.
Hlavní poloměry křivosti R1 a R2 lze určit řešením rovnice
[editovat] Dupinova indikatrix
Pro křivost
normálového řezu plochy v daném regulárním bodě platí tzv. Eulerova věta, podle které
,
kde
. Úhel δ svírá rovina normálového řezu s rovinou prvního hlavního řezu.
Zavedeme-li v tečné rovině plochy v bodě P kartézské souřadnice tak, že osu x zvolíme ve směru tečny prvního hlavního normálového řezu a osu y ve směru tečny druhého hlavního normálového řezu, pak:
- je-li bod P hyperbolický, sestrojíme v tečné rovině dvojici hyperbol s rovnicemi
- je-li bod P parabolický a
, sestrojíme v tečné rovině dvojici rovnoběžek s rovnicemi
Takto zkonstruovaná elipsa (hyperbola, nebo rovnoběžky) se nazývá Dupinova indikatrix.
Průvodič ρ elipsy (hyperbol, popř. rovnoběžek) je
. Úhel průvodiče δ s prvním hlavním směrem představuje úhel δ ve výše uvedené Eulerově větě.
Eliptický bod plochy, pro který platí R1 = R2, se nazývá kruhovým bodem plochy. V kruhovém bodě přechází Dupinova indikatrix v kružnici. Jediná plocha, jejíž všechny body jsou kruhové, je kulová plocha.
[editovat] Totální křivost
Veličina
se nazývá totální křivost (Gaussova míra křivosti, Gaussova křivost).
[editovat] Gaussův teorém egregium
Platí tzv. Gaussův teorém egregium, který pro Gaussovu křivost uvádí vztah
[editovat] Střední křivost plochy
Veličina
,
kde
, se označuje jako střední křivost plochy.
[editovat] Geodetická křivost
V regulárním bodě P křivky na ploše lze zavést tzv. geodetickou křivost
- kg = k1sinθ,
kde k1 je první křivost křivky a θ je úhel mezi hlavní normálou křivky a normálou plochy v bodě P.
Geodetická křivost křivky na ploše je rovna křivosti pravoúhlého průmětu této křivky do tečné roviny plochy v daném bodě.
Pokud je na ploše
určena křivka rovnicí
, pak lze geodetickou křivost určit ze vztahu
,
kde
je normálový vektor plochy v bodě P.
Poloměr geodetické křivosti se zavádí jako převrácená hodnota geodetické křivosti, tzn.









