Legendrovy polynomy
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Legendrovým polynomem n-tého stupně nazýváme polynom
Legendrův polynom lze také vyjádřit tzv. Rodriguezovým vzorcem
Funkce y = Pn(x) vyhovuje Legendrově diferenciální rovnici
Často se také využívá substituce x = cosθ, kdy trigonometrický polynom Pn(cosθ) vyhovuje rovnici
Obsah |
[editovat] Vlastnosti
Mezi základní vlastnosti Legendrových polynomů patří
- Pn( − x) = ( − 1)nPn(x)
- Pn(1) = 1
Platí, že pro
je: 
Kořeny rovnice Pn(x) = 0 pro n = 1,2,... leží v intervalu ( − 1,1).
Pro
platí vztah
Funkce
tvoří pro n = 0,1,2,... úplný ortonormální systém funkcí v L2(-1,1).
[editovat] Přidružená Legendrova funkce
Přidružená Legendrova funkce m-tého řádu, n-tého stupně je definována jako
,
kde n je celé nezáporné číslo a m je celé číslo
.
Pro m = 0 představuje pravá strana Legendrovy polynomy, tzn.
. Lze tedy psát
[editovat] Vlastnosti
Pro přidružené Legendrovy funkce platí vztahy


, kde δ představuje Kroneckerův symbol![x P_n^m(x) = \frac{1}{2n+1} \left[(n+1-m)P_{n+1}^m(x)+(n+m)P_{n-1}^m(x)\right]](../../../math/0/8/5/085ddce2de78932eaf3ccb4e392b5041.png)
Platí následující relace ortogonality
Pro
také platí
Často se využívá vztahu
, kde δ označuje delta funkce
[editovat] Sférické funkce
Kulovými (sférickými) funkcemi označujeme funkce tvaru
Kulové funkce jsou ortogonální na jednotkové kulové ploše.
Ortonormální bázi na S2 tvoří kulové funkce definované vztahem
![P_n(x) = \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} \left[x^n - \frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24(2n-1)(2n-3)}x^{n-4} - ...\right]](../../../math/6/2/f/62f0729ec18f0fc60eaa635fcf1a6e1a.png)











