E=mc²

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

E = mc² na taipeiském mrakodrapu Taipei 101 při příležitosti Světového roku fyziky 2005
E = mc² na taipeiském mrakodrapu Taipei 101 při příležitosti Světového roku fyziky 2005

Rovnice E = mc² popsaná Albertem Einsteinem ve speciální teorii relativity patří mezi nejslavnější rovnice všech dob; znají ji i lidé, kteří se jinak o vědu nezajímají. Tato rovnice se stala jakýmsi „maskotem vědy“, používá se jako příklad „složité vědy“, což ovšem její složitost přeceňuje.

Rovnice popisuje vztah mezi energií a hmotností:

Energie = hmotnost · (rychlost světla)²

Podle této rovnice je celkové množství energie, které lze z tělesa získat, rovno hmotnosti tělesa vynásobené druhou mocninou rychlosti světla. V praxi však lze hmotu na energii převádět obvykle jen s výrazně nižší účinností, proto množství získané energie nikdy nedosahuje této úrovně. Při běžných způsobech získávání energie (např. v jaderných elektrárnách) se totiž na energii nepřemění veškerá hmota, část (obvykle drtivá většina) původní hmoty zůstává jako „odpad“. Příkladem teoreticky úplné přeměny je reakce hmoty s antihmotou.

Jako historickou zajímavost je možné uvést, že v původní podobě Einstein tuto rovnici napsal ve tvaru m = L / c² (pro energii použil označení L namísto E).

Množství energie v jednom kilogramu (libovolné) hmoty je tedy

  • 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) neboli
  • 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh),
  • což odpovídá energii uvolněné při výbuchu více než 21 megatun TNT.

[editovat] Odvození

Ačkoliv mnoho lidí vidí v této rovnici něco nepochopitelného až nadlidského, k jejímu odvození stačí pouze základy integrálního počtu.

Vyjdeme ze vztahu pro kinetickou energii Ek:

E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \mathbf{v}\,d\mathbf{p}=
=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v)} \mathbf{v}\,d(m.\mathbf{v})=.

Uvažujeme-li působení síly rovnoběžně s dráhou tělesa, lze vynechat vektory:

=\int_{0}^{v} v(vdm+mdv)=\int_{0}^{v}(v^2 dm+mvdv),

druhý člen lze upravit podle vztahu pro relativistickou hmotnost:

m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},
m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}},
m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2\,\!.

Uděláme diferenciál této rovnice,

2mdm(c^2-v^2)+m^2 (-2vdv)=0\,\!,
dm(c^2-v^2)=mvdv\,\!

a dosadíme do původní rovnice:

E_k =\int_{0}^{v}(v^2 dm+dm(c^2-v^2))=\int_{0}^{v}(v^2 dm+c^2 dm-v^2 dm)=
=\int_{0}^{v}c^2 dm=c^2 \int_{0}^{v}1 dm=c^2 [m]_{0}^{v}=c^2(m-m_0)
E_k =mc^2-m_0 c^2\,\!.

Na levé straně je kinetická energie, m0c2 je klidová energie (chemická, jaderná, potenciální).

E=E_k +E_0=mc^2\,\!

je tedy celková energie tělesa.

[editovat] Podívejte se také na