Fubiniova věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Fubiniova věta je matematická věta, která umožňuje vypočítat vícerozměrný integrál pomocí více po sobě jdoucích integrací. Získané integrály pak označujeme jako vícenásobné, tzn. dvojnásobý, trojnásobný atd.
Obsah |
[editovat] Věta pro dvojný integrál
Uvažujme dvourozměrnou oblast Ω takovou, že
a
. Na Ω nechť je definována spojitá a omezená funkce f(x,y). Pokud existuje
, pak platí
Integrály na pravé straně označujeme jako dvojnásobné.
Dvojnásobné integrály často zapisujeme následujícím způsobem
Pokud lze na Ω psát f(x,y) = u(x)v(y), pak podle Fubiniovy věty platí
[editovat] Elementární oblast
Fubiniovu větu lze použít i v případě, že oblast Ω nemá obdélníkový tvar. V takovém případě zavádíme pojem elementární oblasti vzhledem k ose x, resp. y.
Elementární oblast vzhledem k ose x je taková oblast, kterou můžeme na osy x omezit konstantními hodnotami, tzn. platí
, zatímco hranice oblasti podél osy y leží mezi funkcemi g1(x),g2(x), tzn.
. Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x je na obrázku.
Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose x pak zapíšeme
Elementární oblast vzhledem k ose y je taková oblast, kterou můžeme na osy y omezit konstantními hodnotami, tzn. platí
, zatímco hranice oblasti podél osy x leží mezi funkcemi h1(x),h2(x), tzn.
. Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y je na obrázku.
Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose y pak zapíšeme
[editovat] Regulární oblast
Jako regulární oblast označíme takovou oblast, kterou lze vyjádřit jako sjednocení oblastí elementárních k ose x nebo sjednocení oblastí elementárních k ose y. Příklad regulární oblasti Ω vzniklé z oblastí Ω1 a Ω2 elementárních vzhledem k x, tzn.
, je na obrázku. Integrujeme pak přes jednotlivé elementární oblasti Ω1,Ω2.
Každá elementární oblast je také regulární oblastí.
[editovat] Zobecnění
Fubiniovu větu lze použít nejen pro dvojné integrály, ale také pro další vícerozměrné integrály.
![\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_c^d\left[\int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y](../../../math/8/a/8/8a8707e2beddc3771d07ed4faf042209.png)
![\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x \int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y](../../../math/0/8/0/080135592e19b99f082ef2c8d31971ad.png)
![\int_c^d\left[\int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = \int_c^d \mathrm{d}y \int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x](../../../math/c/e/3/ce3b71688ad249b9a0b0391de9560475.png)

![\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b \left[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x](../../../math/7/3/d/73db52d4f8f00494923f7d5d720993eb.png)
![\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d\left[\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y](../../../math/2/1/d/21deb68b91ec5d772275d94a57165e3d.png)

