Newtonova interpolace
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Chceme-li aproximovat funkci, která je dána svými hodnotami v n + 1 bodech xi,i = 0,1,...,n (body xi nazýváme uzly interpolace), a požadujeme-li, aby aproximace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem. Aproximace nám potom poslouží k získání přibližné hodnoty zadané funkce v libovolném bodě intervalu < x0,xn > .
Newtonův interpolační polynom má následující tvar:
Nn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1) + ... + an(x − x0)(x − x1)...(x − xn)
Nyní existuje relativně jednoduchý způsob, jak spočítat koeficienty a0 až an. Použijeme k tomu tabulku speciální proměnné jménem Proměnné diference. V této tabulce budou proměnné diference 0-tého až n-tého řádu. Tedy v každém sloupci tabulky budou proměnné diference určitého řádu (v tabulce označeno k). Proměnné diference 0-tého řádu jsou přímo funkční hodnoty v bodech xi.
Označme si Dj jako j-tou proměnnou diferenci k-tého řádu a Cj jako j-tou proměnnou diferenci (k-1)-tého řádu. Potom platí:
Dj = (Cj − Cj-1) / (xj − xj-k)
Pro přehlednost ukážu tabulku jako příklad:
i | xi | f(xi) ; k = 0 | k = 1 | k = 2 | k = 3 --------+-------+---------------+-------------+-------------+------------- 0 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 2 | 1 | | 2 | -1 | 2 | 0 | 1 | 3 | 3 | 0 | -1/2 | -1/4 | -5/12
ak získáme nyní velmi jednoduše jako první spočítané číslo v k-tém sloupci, tedy pro náš příklad: a0 = 1,a1 = 1,a2 = 1,a3 = − 5 / 12
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty ak se nezmění).
[editovat] Podívejte se také na
- Lagrangeova interpolace
- Geometrie – více informací o křivkách

