Absolutní hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice označuje pojem absolutní hodnota reálného čísla x hodnotu x s odstraněným znaménkem. Například 3 je absolutní hodnotou jak čísla 3, tak čísla −3. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0.


Obsah

[editovat] Absolutní hodnota reálných čísel

Absolutní hodnota může být definována následovně: Pro každé reálné číslo a je absolutní hodnota tohoto čísla rovna

|a| := \begin{cases} a, & \mbox{pokud }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases}

Absolutní hodnota může být též vyjádřena jako vzdálenost čísla od nuly.

[editovat] Vlastnosti

Absolutní hodnota má následující vlastnosti:

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = 0 \Leftrightarrow a = 0
  3. \ |ab| = |a|.|b|
  4. \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|} (pokud b ≠ 0)
  5. |a+b| \le |a| + |b| (trojúhelníková nerovnost)
  6. \ |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. \ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b
  9. \ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a

Poslední dvě vlastnosti se často používají pro řešení nerovnic, například:

\ |x - 3| \le 9
\ -9 \le x - 3 \le 9
\ -6 \le x \le 12

Pro reálná čísla je funkce

\ f(x) = |x|

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je funkce spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Funkce f není injektivní, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

[editovat] Absolutní hodnota komplexních čísel

Pro komplexní číslo \ z = a + ib definujeme absolutní hodnotu \ |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z z^*} (viz odmocnina a komplexně sdružené číslo). Tato definice splňuje vlastnosti 1 – 6 uvedené výše. Pokud je z bráno jako bod roviny, |z| značí jeho vzdálenost od počátku.

[editovat] Absolutní hodnota vektoru

Absolutní hodnota vektoru v, (x1, x2,…, xn) je dána jako

\left | \mbox{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}~

Stojí za povšimnutí, že |v| vyjadřuje délku vektoru v.