Fourierova transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fourierova transformace je vyjádření časově závislého signálu pomocí harmonických signálů, tj. funkcí sin a cos, obecně tedy funkce komplexní exponenciály. Slouží pro převod signálů z časové oblasti do oblasti frekvenční.

Signál může být buď ve spojitém či diskrétním čase.


Obsah

[editovat] Spojitý čas

[editovat] Definice

Fourierova transformace S(ω) funkce s(t) je definována integrálním vztahem S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-\imath\omega t}\, dt

Funkci s(t) vypočteme z S(ω) inverzní Fourierovou transformací s(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} S(\omega)e^{\imath\omega t}\, d\omega
Nevlastní integrály chápeme ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty, tj. \int\limits_{-\infty}^{\infty} [.]\, d=\lim_{T \to \infty}\int\limits_{-T}^{T} [.]\, d
Dvojice ve Fourierově transormaci se nazývají originál (zde s(t)) a obraz (zde S(ω)). Vztah mezi originálem a obrazem vyjadřujeme zápisem S(\omega)=\mathcal{F}[s(t)] a s(t)=\mathcal{F}^{-1}[S(\omega)].

V technické oblasti je ω úhlový kmitočet. Pak S(ω) představuje spektrum signálu s(t). Označení spektra volíme obvykle stejné jako označení signálu, ale velkým písmenem.
Spektrum je komplexní veličina a lze vyjádřit ve tvaru S(\omega)=\left|S(\omega)\right|e^{\imath\mathrm{arg}S(\omega)}. Velikost \left|S(\omega)\right| nazýváme amplitudové spektrum a úhel argS(ω) fázové spektrum signálu .

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Věta o linearitě

Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter \mathcal{F}\left[\sum_{i} c_is_i(t)\right]=\sum_{i} c_i\mathcal{F}[s_i(t)]

[editovat] Posun signálu v čase

Má-li signál s(t) spektrum S(ω), má signál posunutý o veličinu a spektrum \mathcal{F}[s(t-a)]=e^{-\imath\omega a}S(\omega) Amplitudové spektrum posunutého signálu se nemění, mění se jen fázové spektrum a to úměrně zpoždění a kmitočtu.

[editovat] Změna časového měřítka

Má-li signál s(t) spektrum S(ω), má signál s(at), a\neq0 spektrum

\frac{1}{\left|a\right|}S\left(\frac{\omega}{a}\right).
Tedy rozšíření signálu v časové oblasti odpovídá zúžení spektra a naopak.

[editovat] Symetrie Fourierovy transformace

Má-li signál s(t) spektrum S(ω), pak platí

\mathcal{F}[S(t)]=2\pi s(-\omega).

[editovat] Spektrum reálného signálu

Je-li signál reálný, pak pro jeho spektrum platí:

  • amplitudové spektrum je sudou funkcí
  • fázové spektrum je lichou funkcí
  • spektrum sudého signálu je sudou reálnou funkcí
  • spektrum lichého signálu je lichou ryze imaginární funkcí

[editovat] Diskrétní čas

[editovat] Definice

Fourierova transformace S(Ω) posloupnosti s(k) je definována vztahem S(\Omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} s(k)e^{-\imath\Omega k}

Posloupnost s(k) vypočteme z S(Ω) inverzní Fourierovou transformací s(k)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} S(\Omega)e^{\imath\Omega k}\, d\Omega
Někteří autoři označují tuto transformaci DtFT (discrete-time Fourier transformation), aby ji odlišili od Fourierovy transformace spojitého signálu. Zde nebudeme značením nijak odlišovat Fourierovu transformaci spojitého a diskrétního signálu. Vztah mezi signálem a jeho spektrem budeme tedy značit S(\Omega)=\mathcal{F}[s(k)] a s(k)=\mathcal{F}^{-1}[S(\Omega)].
Spektrum diskrétního signálu se od spektra spojitého signálu liší tím, že je periodické s periodou .

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Věta o linearitě

Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter \mathcal{F}\left[\sum_{i} c_is_i(k)\right]=\sum_{i} c_i\mathcal{F}[s_i(k)]

[editovat] Posun signálu v čase

Má-li signál s(k) spektrum S(Ω), má signál posunutý o veličinu a spektrum \mathcal{F}[s(k-a)]=e^{-\imath\Omega a}S(\Omega) Amplitudové spektrum posunutého signálu se nemění, mění se jen fázové spektrum a to úměrně zpoždění a kmitočtu.

[editovat] Spektrum reálného signálu

Je-li signál reálný, pak pro jeho spektrum platí:

  • amplitudové spektrum je sudou funkcí
  • fázové spektrum je lichou funkcí
  • spektrum sudého signálu je sudou reálnou funkcí
  • spektrum lichého signálu je lichou ryze imaginární funkcí

[editovat] Diskrétní Fourierova transformace

Definiční vztahy Fourierovy transformace vyžadují znalost matematického vyjádření signálu či spektra. Pokud však zpracováváme naměřené hodnoty, tj. známe vzorky signálu či spektra z konečného intervalu, stojíme před problémem, jak určit spektrum z vzorků signálu či signál ze vzorků spektra. K tomu účelu používáme numerické metody, která je známa jako diskrétní Fourierova transformace (DFT).

Diskrétní Fourierova transformace našla velké uplatnění zejména s rozvojem výpočetní techniky. Součástí řady přístrojů jsou jednoúčelové procesory realizující tuto transformaci. Její hlavní rozvoj nastal po roce 1965, kdy J.W. Cooley a J.W. Tukey popsali velmi efektivní algoritmus výpočtu DFT, tzv. rychlou Fourierovu transformaci (FFT - Fast Fourier Transform). Díky tomuto algoritmu se stala diskrétní Fourierova transformace nejrozšířenějším prostředkem pro numerický výpočet Fourierovy transformace. Algoritmus FFT je také implementován ve všech dobrých matematických programech jako je např. Octave, Mathcad, Matematica, Maple, Matlab atd.

Diskrétní Fourierova transformace mezi posloupnostmi \{ d(k) \}_{k=0}^{N-1}, \{ D(n) \}_{n=0}^{N-1}, je definována vztahy:

přímá diskrétní Fourierova transformace D(n)=\sum_{k=0}^{N-1} d(k)e^{-\imath nk2\pi/N}, n=0,...,N-1

a zpětná (inverzní) diskrétní Fourierova transformace d(k)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} D(n)e^{\imath nk2\pi/N}, k=0,...,N-1

Výpočet DFT podle definičního vztahu vyžaduje N2 komplexních součinů a N2komplexních součtů. Toto množství operací výrazně snižuje možnost aplikace DFT na výpočty v reálném čase. Existuje však efektivní algoritmus výpočtu DFT, nazývaný rychlá Fourierova transformace (FFT - Fast Fourier Transform), který vyžaduje jen N / 2log2(N) komplexních součinů a Nlog2(N) komplexních součtů.

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy

  • Algovision - sada Java appletů s vizualizací datových struktur a práce algoritmů