Rozvoj funkce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Mějme na intervalu
množinu známých a lineárně nezávislých funkcí φ1(x),φ2(x),...,φn(x). Pomocí těchto funkcí lze přibližně vyjádřit jinou funkci f(x).
Funkce f(x) je obvykle neznámá a často představuje vyjádření určité experimentálně získané závislosti.
Obsah |
[editovat] Aproximativní funkce
Lineární kombinací n známých funkcí φi lze získat aproximativní funkci
,
kde ci jsou konstanty, které je třeba určit tak, aby výraz
- | Rn(x) | = | f(x) − Fn(x) |
dosahoval na intervalu
co nejmenších hodnot. Tento výraz tedy představuje podmínku pro nejlepší vyjádření funkce f(x) pomocí n známých funkcí φi(x).
[editovat] Metoda nejmenších čtverců
Metoda nejmenších čtverců přistupuje k nalezení koeficientů ci tak, že požaduje minimalizování integrálu
Požadavek na minimalizaci tohoto integrálu lze vyjádřit jako
.
Lze předpokládat, že se vzrůstajícím n, tedy s větším počtem funkcí φi, bude možné funkci f(x) aproximovat lépe. Pokud je tedy množina funkcí φi nekonečná, bude mít podmínka pro nalezení nejlepšího přiblížení tvar
Tato podmínka však odpovídá podmínce konvergence řady na daném intervalu.
[editovat] Úplnost množiny funkcí
Pokud máme na určitém intervalu I množinu funkcí φ1(x),φ2(x),..., jejichž prostřednictvím lze na daném intervalu I metodou nejmenších čtverců aproximovat s libovolnou přesností jakoukoli spojitou funkci f(x), pak množinu (soustavu) funkcí φi(x) označujeme jako úplnou. Množina funkcí φi je tedy úplná, pokud pro libovolné
existuje takové n, že platí
[editovat] Semikonvergentní řada
V mnoha případech je požadován pouze přibližný výpočet hodnot funkce. V takových případech není nutné, aby řada aproximující funkci byla konvergentní, ale postačuje, aby zbytek | Rn(x) | byl pro určité n dostatečně malý. To může vést k tomu, že hodnota | Rn(x) | při daném x s rostoucím n nejdříve klesá (až pro určité n0 dosáhneme dostatečné přesnosti použitelné k přibližnému vyjádření funkce f(x)), ale s dalším růstem hodnoty n roste také | Rn(x) | do nekonečna. Takové řady se označují jako semikonvergentní (polosbíhavé).




