Inverzní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.


Obsah

[editovat] Značení

Inverzní matici k matici A značíme A-1.

[editovat] Vlastnosti

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

[editovat] Výpočet inverzní matice

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:

  1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
  2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
    • záměna řádků
    • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
    • přičtení jednoho řádku k jinému
  3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
  4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

[editovat] Příklad

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\left.\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 1\end{pmatrix}
\left.\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\-1 & 1 & 1\\-1 & -1 & 2\end{pmatrix}
\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 2\end{pmatrix}
\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}

[editovat] Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice \mathbf{A} soustavy rovnic čtvercová (tedy m = n) a regulární, pak lze řešení \mathbf{X} soustavy rovnic

\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B}

získat pomocí matice \mathbf{A}^{-1}, která je inverzní k matici \mathbf{A}, neboť platí že

\mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy