Lipschitzovsky spojité zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lipschitzovsky spojité zobrazení, nebo také lipschitzovské zobrazení, je zobecněním spojitého zobrazení na metrických prostorech. Jméno je podle německého matematika Rudolfa Lipschitze.

Obsah

[editovat] Definice

Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení f: M \rightarrow N mezi metrickými prostory (M,dM) a (N,dN), že existuje konstanta K > 0 a platí

d_N(f(x) , f(y)) \leq K \ d_M(x, y)

pro každé x, y \in M. Nejmenší taková konstanta K se nazývá lipschitzovská konstanta.

Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou K < 1 se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.

[editovat] Lipschitzovsky spojité funkce

Funkce f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta K > 0 a pro každé x, y \in \Omega platí

|f(x) - f(y)| \leq K |x - y|.

Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti Ω se značí \mathcal{C}^{0,1}(\Omega).

[editovat] Vlastnosti

Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.

Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na Ω.

[editovat] Podívejte se také na

  • Hölderovsky spojité zobrazení