Reziduum
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Vyjádříme-li holomorfní funkci f(z) v okolí jejího izolovaného singulárního bodu z0 Laurentovou řadou (pro
), pak číslo a − 1 se nazývá reziduum funkce f(z) v bodě z0.
Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme
[editovat] Reziduová věta
Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku c, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku
. Uvažujme funkci f(z), která je v
holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů z1,z2,...,zn a s výjimkou těchto bodů spojitá v
. Pak integrál
je roven součtu reziduí funkce f(z) v bodech z1,z2,...,zn, tzn.
,
kde
označuje reziduum funkce f(z) v bodě zk.
[editovat] Výpočet reziduí
Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
nebo přímo použitím reziduové věty
kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),](../../../math/b/a/c/bac0f0c91634ec1c09ecf5ec55557c12.png)
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz](../../../math/2/6/2/2622501c41800699b5ce8c62c20e2a6b.png)
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.](../../../math/d/d/9/dd9657a8d121ff6a8c85529aed563b36.png)
![\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).](../../../math/2/6/3/263b351e42fe0172bdcf9379aa06bd9f.png)

