Hamiltonův operátor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hamiltonův operátor neboli Hamiltonián je operátor energie v kvantové mechanice. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se
. Matematicky jde o hermitovský diferenciální operátor nad Hilbertovým prostorem komplexních vlnových funkcí. Zapisujeme jej jako
kde i je imaginární jednotka,
je Planckova konstanta, zlomek označuje parciální derivaci podle času.
[editovat] Odvození klasického tvaru
Celková mechanická energie je součet kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti (
) do klasického vztahu
. Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru
kde m je hmotnost částice, Δ je Laplaceův operátor (součet druhých derivací podle prostorových souřadnic) a
je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.
[editovat] Spektrum
Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar
kde me je hmotnost elektronu, e je elektrický náboj elektronu, π je Ludolfovo číslo,
je permitivita vakua a r je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie
kde aB je tzv. Bohrův poloměr (0,53.10 − 9m) a n je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1 = 2,179.10 − 18J.
[editovat] Relativistická verze
Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.
kde pj jsou souřadnice vektoru hybnosti a γi jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice








