Nevlastní integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Při výpočtu Riemannova integrálu vycházíme z předpokladu, že interval \langle a,b\rangle, na němž integrujeme, je konečný, a funkce f(x) je na tomto intervalu po částech spojitá. Není-li některý z těchto předpokladů splněn, pak hovoříme o nevlastním integrálu. Integrály, které splňují obě podmínky bývají označovány jako vlastní.

Integrály, které porušují první podmínku, tzn. integrace probíhá na nekonečném intervalu, jsou nevlastní integrály vlivem meze. Pokud je v okolí bodu a nebo b funkce neohraničená, ale existuje (jednostranná) limita v tomto bodě, pak je porušena druhá podmínka a hovoříme o integrálech nevlastních vlivem funkce.

Hodnoty nevlastních integrálů určujeme pomocí limit. Pokud je daná limita vlastní, pak říkáme, že se jedná o konvergentní integrál, popř. že integrál konverguje. Pokud daná limita neexistuje nebo je nevlastní, říkáme, že se jedná o divergentní integrál, popř. že integrál diverguje.

Obsah

[editovat] Integrál nevlastní vlivem meze

Integrál nevlastní vlivem meze.
Integrál nevlastní vlivem meze.

Nevlastním integrálem (vlivem meze) označíme integrál z funkce f(x) na intervalu, jehož jedna (nebo obě) z mezí jdou do nekonečna. Pokud je f(x) integrovatelná na každém konečném intervalu \langle a,b\rangle, pak říkáme, že integrál z funkce f(x) je konvergentní na intervalu \langle a,\infty), pokud je následující limita vlastní.

\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = A

Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál diverguje.


Integrál nevlastní vlivem meze je představován modrou plochou na obrázku.


Podobně lze na intervalu (-\infty,b\rangle psát

\int_\infty^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = B

Je-li uvedená limita vlastní, jde o konvergentní integrál, pokud neexistuje nebo je nevlastní, jde o integrál divergentní.


Jsou-li nevlastní obě meze, tzn. integrace probíhá na intervalu (-\infty,\infty), pak můžeme zvolit nějaký bod c, a nevlastní integrál vyjádřit jako

\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^\infty f(x)\mathrm{d}x

Integrál \int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x označíme jako konvergentní, jsou-li konvergentní oba integrály na pravé straně. Pokud je jeden z těchto integrálů divergentní, pak je divergentní také integrál \int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x.

[editovat] Bolzanova-Cauchyova podmínka

O konvergenci integrálu \int_0^\infty f(x)\mathrm{d}x lze rozhodnout na základě tzv. Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Podle této podmínky je integrál \int_0^\infty f(x)\mathrm{d}x konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud k libovolnému \varepsilon>0 existuje takové B, že pro všechna b1,b2, pro které b1 > B > a a b2 > B > a, platí

\left|\int_{b_1}^{b_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon

[editovat] Vícerozměrný integrál

Vícerozměrné integrály lze zobecnit také na případ vícerozměrné neomezené oblasti Ω.

Při výpočtu můžeme oblast Ω vyjádřit jako sjednocení omezené oblasti \Omega^\prime a neomezené oblasti ω. Poté provedeme limitní přechod \omega \to 0. Pokud některý z limitních přechodů neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál označíme jako divergentní. Pokud jsou všechny limitní přechody vlastní, je integrál konvergentní.

Při použití Fubiniovy věty aplikujeme limitní přechod na každý z integrálů, je-li oblast Ω v dané souřadnici neomezená. Postup je obdobný jako v případě jednorozměrných nevlastních integrálů.

[editovat] Integrál nevlastní vlivem funkce

Integrál nevlastní vlivem funkce.
Integrál nevlastní vlivem funkce.

Integrál z funkce f(x) na (konečném) intervalu \langle a,b\rangle označíme jako nevlastní integrál (vlivem funkce), jestliže funkce f(x) je v (levém) okolí bodu b nebo v (pravém) okolí bodu a neohraničená.

Integrál nevlastní vlivem funkce je představován modrou plochou na obrázku.

Pokud je funkce f(x) neohraničená v okolí bodu b, pak píšeme

\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{c \to b-} \int_a^c f(x)\mathrm{d}x = A

Pokud je limita vlastní, pak říkáme, že je integrál konvergentní. Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní, pak integrál označíme jako divergentní.

Podobně lze pro neohraničenou funkci f(x) v okolí bodu a psát

\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{c \to a+} \int_c^b f(x)\mathrm{d}x = B

Pro vlastní limitu dostáváme opět konvergentní integrál a pro nevlastní (nebo neexistující) integrál divergentní.


Pokud je funkce f(x) neohraničená v okolí nějakého bodu d, pro který platí a < d < b, pak integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x označíme jako konvergentní, jsou-li konvergentní oba integrály \int_a^d f(x)\mathrm{d}x a \int_d^b f(x)\mathrm{d}x. Pokud je jeden z těchto integrálů divergentní, pak je divergentní také integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x. Podobné tvrzení musí platit i v případě, že jeden z integrálů je nevlastní vlivem meze.


Jestliže konverguje integrál \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x, pak konverguje také integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x, a říkáme o něm, že je absolutně konvergentní.


Máme-li na intervalu \langle a,b) funkce f(x),g(x) takové, že 0 \leq f(x) \leq g(x), pak konverguje-li integrál \int_a^b g(x)\mathrm{d}x, pak konverguje také integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x. Jestliže integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x diverguje, pak diverguje také integrál \int_a^b g(x)\mathrm{d}x.

Je-li integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x konvergentní a funkce g(x) je monotónní a ohraničená na \langle a,b\rangle, pak je konvergentní také integrál \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x.

[editovat] Bolzanova-Cauchyova podmínka

O konvergenci integrálu \int_a^b f(x)\mathrm{d}x lze rozhodnout na základě tzv. Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Podle této podmínky je integrál \int_a^b f(x)\mathrm{d}x konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud k libovolnému \varepsilon>0 existuje takové δ > 0, že pro každou dvojici kladných čísel δ12, pro které δ1 < δ a δ2 < δ, platí

\left|\int_{b-\delta_1}^{b-\delta_2} f(x) \mathrm{d}x\right| < \varepsilon

[editovat] Vícerozměrný integrál

Vícerozměrné integrály nevlastní vlivem funkce jsou zobecněním nevlastních jednorozměrných integrálů.

Předpokládejme, že na uzavřené omezené oblasti je definována funkce f(x1,x2,...,xn), která se v okolí nějakého bodu A = (a1,a2,...,an) stává neohraničenou. Vytvoříme oblast \Omega^\prime tak, že z oblasti Ω vyjmeme otevřenou oblast ω obsahující bod A, tzn. \Omega^\prime = \Omega\backslash\omega. Dostaneme tedy integrál

I_\omega = {\iint\cdots\int}_{\Omega^\prime} f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n

Pokud existuje takové číslo I, že pro libovolné \varepsilon>0 vždy existuje tak malá oblast ω, že \left|I-I_\omega\right|<\varepsilon, pak říkáme, že integrál

{\iint\cdots\int}_\Omega f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n

je konvergentní a má hodnotu I. Provádíme tedy limitní přechod \omega \to 0 Pokud hodnota I neexistuje nebo je nevlastní, pak říkáme, že integrál diverguje.

Konvergence uvedeného integrálu je absolutní, tzn. integrál konverguje tehdy a pouze tehdy, konverguje-li integrál {\iint\cdots\int}_\Omega \left|f(x_1,x_2,...,x_n)\right| \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n.

[editovat] Podívejte se také na