# Binární relace

### Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako binární relaci nazveme v matematice libovolnou podmnožinu kartézského součinu dvou množin. Binární relace je nejčastějším příkladem relace. U binárních relací obvykle přívlastek „binární“ vynecháváme a mluvíme pouze o relacích.

## [editovat] Definice

Množina R se nazývá binární relace, právě když

  .

Binární relaci R mezi množinami A a B zapisujeme jako uspořádanou trojici [R; A, B]. Není-li nezbytně nutné uvádět konkrétní množiny, postačuje zápis R.

Místo zápisu [x,y] ∈ R většinou píšeme xRy. Místo [5,7] ∈ < tedy používáme 5 < 7.

Je-li [x,y] prvkem relace, říkáme, že prvek x je v (binární) relaci s prvkem y - což zapisujeme xRy. Není-li [x,y] prvkem relace, říkáme, že prvek x není v (binární) relaci s prvkem y - což značíme .

### [editovat] Definiční obor a obor hodnot

Definičním oborem relace (také prvním oborem nebo levým oborem), nebo také vzorem Dom(R) relace [R; A, B] nazýváme množinu právě těch prvků x z A, z nichž ke každému existuje alespoň jeden takový prvek y z B, že x je v relaci s y, tedy

Výstupním oborem relace (také druhým oborem, pravým oborem nebo oborem hodnot), nebo také obrazem Rang(R) relace [R; A, B] nazýváme množinu právě těch prvků y z B, z nichž ke každému existuje alespoň jeden takový prvek x z A, že x je v relaci s y, tedy

Oborem množiny A se nazývá množina

Relace v množině A je taková relace, která má za definiční obor podmnožinu A.

Relace na množině A je taková relace, která má za definiční obor celou množinu A.

## [editovat] Vlastnosti

Binární relace je

- identická nebo identita (idA), právě když pro všechny prvky x množiny A z přiřazení x idA y plyne x = y ∈ A
- reflexivní, právě když pro všechna x z množiny A platí, že x je v relaci s x
- ireflexivní, právě když pro všechna x z množiny A platí, že x není v relaci s x
- symetrická, právě když pro všechna x a y z množiny A platí, že je-li x v relaci s y, pak je y v relaci s x
- antisymetrická, právě když pro všechna x a y z množiny A platí, že je-li x v relaci s y, pak y není v relaci s x
- slabě antisymetrická, právě když pro všechna přiřazení xRy a yRx plyne x=y
- tranzitivní, právě když z každých dvou přiřazení xRy a yRz plyne xRz
- atransitivní, právě když z každých n (n ≥ 2) navazujících přiřazení x1Rx2, x2Rx3, …, xnRxn+1 plyne, že x1 není v relaci s xn+1
- úplná, právě když platí xRy nebo yRx nebo x=y
- univerzální, právě když obsahuje všechna přiřazení xRy, yRx a xRx
- cyklická, právě když
- acyklická, právě když
- diagonální Δ = ΔX = { (x,x) | x ∈ X }

## [editovat] Operace

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace - jejich výsledkem je opět relace

- Inverzní relace k relaci R je taková relace R-1 (R-1) mezi množinami B a A, obsahující právě ty [y,x] ∈ B × A, že [x,y] ∈ R.
- Relace složená z relací R a S je relace (R složeno s S) z množiny A do množiny C, která obsahuje právě taková [x,z] ∈ A × C, pro něž existuje takový prvek y v množině B, že [x,y] ∈ R a [y,z] ∈ S, tedy

- Průnik relací R a S je relace R∩S obsahující pouze takové uspořádané dvojice, které se nacházejí současně v obou relacích. Tedy R∪S = {[x,y]; [x,y]∈R ∧ [x,y]∈S}
- Sjednocení relací R a S je relace R∪S obsahující takové uspořádané dvojice, které se nacházejí alepoň v jedné z relací. Tedy R∩S = {[x,y]; [x,y]∈R ∨ [x,y]∈S}

## [editovat] Druhy

Binární relace se nazývá:

- tolerance, právě když je reflexivní a symetrická.
- ekvivalence, právě když je reflexivní, symetrická a tranzitivní
- kvaziuspořádání, právě když je reflexivní a tranzitivní
- částečné uspořádání, uspořádání nebo neostré uspořádání, právě když je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní
- ostré uspořádání, právě když je ireflexivní, antisymetrická a tranzitivní
- úplné uspořádání, právě když je uspořádáním (je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní) a pro každé dva prvky x,y platí buď xRy, nebo yRx.
- úplné ostré uspořádání, právě když je ostrým uspořádáním (je ireflexivní, antisymetrická a tranzitivní) a pro každé dva prvky x,y platí buď xRy, nebo yRx.
- zobrazení, pokud xRy a xRz, pak y=z

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../b/i/n/Bin%C3%A1rn%C3%AD_relace.html“

Kategorie: Teorie množin

##### Views

- Článek
- Diskuse
- Aktuální verze

##### Hledání

##### V jiných jazycích

- English
- Español
- Eesti
- Français
- עברית
- Italiano
- 日本語
- Polski
- Русский
- Slovenčina
- Українська
- 中文