Křivost křivky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Křivost křivky určuje její odchylku od přímého směru.

Rozlišuje se první křivost, která určuje odchylku křivky od přímky v oskulační rovině a druhá křivost, která určuje odchylku křivky od oskulační roviny.

Obsah

[editovat] První křivost

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:
Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Je-li parametrem křivky její oblouk s, pak lze v každém bodě křivky definovat tzv. první křivost (flexi) křivky k1 vztahem

k_1 = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}} = \sqrt{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}\cdot\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}} = \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2},

kde \mathbf{r} je polohový vektor bodu křivky a \mathbf{t} je jednotkový tečný vektor křivky v bodě \mathbf{r}.

Je-li křivka určena obecným parametrem t, pak je první křivost dána vztahem

k_1 = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t}} = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\cdot\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}} = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2}
Poloměr křivosti r křivky C v bodě P.
Poloměr křivosti r křivky C v bodě P.

Reciproká hodnota první křivosti se nazývá poloměr první křivosti

r_1 = \frac{1}{k_1}

Pokud ve všech bodech křivky platí k1 = 0, pak je křivka přímkou.

Pro rovinnou křivku danou rovnicí y = f(x) je první křivost k1 v bodě [x,y] určena často užívaným vztahem

k_1 = \left| \frac{\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}}{{\left[1+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\right]}^\frac{3}{2}} \right|

[editovat] Druhá křivost

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Je-li parametrem křivky její oblouk s pak lze v každém bodě křivky definovat tzv. druhou křivost (torzi, kroucenost) křivky k2 vztahem

k_2 = \frac{\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2} \\ \frac{\mathrm{d}^3 x}{\mathrm{d}s^3} & \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}s^3} & \frac{\mathrm{d}^3 z}{\mathrm{d}s^3} \end{vmatrix}}{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2}

Je-li křivka určena obecným parametrem t, pak je druhá křivost dána vztahem

k_2 = \frac{\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} \\ \frac{\mathrm{d}^3 x}{\mathrm{d}t^3} & \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}t^3} & \frac{\mathrm{d}^3 z}{\mathrm{d}t^3} \end{vmatrix}}{ {\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2  \left[{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 \right]}

Reciproká hodnota druhé křivosti se nazývá poloměr druhé křivosti (torze)

r_2 = \frac{1}{k_2}


Pokud ve všech bodech křivky platí k2 = 0, pak je křivka rovinná.


[editovat] Geometrický význam první a druhé křivosti

K vysvětlení geometrického významu první a druhé křivosti.
K vysvětlení geometrického významu první a druhé křivosti.

Velikost úhlu tečen \mathbf{t}_0 a \mathbf{t}(s), kde s > 0, přičemž tečny jsou v bodech P(0) a Q(s) křivky r = r(s), označme \varphi(s). Pak platí

\lim_{s\to 0}\frac{\varphi}{s} = {\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right)}_0 = {(k_1)}_0

Je-li Δs oblouk křivky mezi dvěma blízkými body a \Delta \varphi je velikost úhlu mezi směry tečen v těchto bodech, pak se \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} označuje jako průměrná první křivost křivky na daném oblouku s křivky. Úhel \Delta\varphi tečen \mathbf{t}_0 a \mathbf{t}(\Delta s) se označuje jako kontingenční úhel.


Velikost úhlu binormál \mathbf{b}_0 a \mathbf{b}(s), kde s > 0, přičemž binormály jsou v bodech P(0) a Q(s) křivky \mathbf{r}=\mathbf{r}(s), označme ψ(s). Pak platí

\lim_{s\to 0}\frac{\psi}{s} = {\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}s}\right)}_0 = \left|{(k_2)}_0\right|

Je-li Δs oblouk křivky mezi dvěma blízkými body a Δψ je velikost úhlu mezi směry binormál v těchto bodech, pak \frac{\Delta\psi}{\Delta s} se označuje jako průměrná druhá křivost křivky na daném oblouku s křivky.

[editovat] Přirozené rovnice křivky

Oblouk křivky s a první a druhou křivost k1, k2 se nazývají přirozenými souřadnicemi křivky. Přirozenými rovnicemi křivky pak nazýváme vztahy

k1 = k1(s)
k2 = k2(s)

Přirozené rovnice vyjadřují danou křivku nezávisle na volbě soustavy souřadnic. Jsou tedy vhodné k vyšetřování těch vlastností křivek, které nezávisí na souřadnicích.

[editovat] Podívejte se také na