Nabla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nabla je diferenciální operátor ve vektorové analýze. Značí se symbolem nabla \nabla nebo \vec{\nabla} (v anglosaských zemích \underline \nabla), aby se vyjádřila jeho podobnost s vektorem. Jméno nabla se odvozuje od názvu hebrejského strunného nástroje, jenž měl zhruba tento tvar.

Nabla se používá pro zkrácený zápis matematických operátorů jako gradient, divergence, rotace a jiných.

V n-dimenzionálním prostoru Rn vytváří ∇ všechny parciální derivace funkce Rn podle R, což je přesně vzato gradient funkce f.

Jako n-vektor má nabla tvar: {\nabla} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)

Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter.

V tenzorové analýze se operátor nabla prokázal jako důležitý příklad kovariantního tenzoru.

Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

[editovat] Zápis význačných vzorců pomocí operátoru nabla

Následující pravidla platí pro (ve fyzice nejobvyklejší) trojdimenzionální eukleidovský prostor R3 s pravoúhlými souřadnicemi x, y a z.

\operatorname{grad\ }\Phi =  \nabla \Phi = \left( \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \mathbf{e}_z,
kde \mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z jsou jednotkové vektory prostoru R3.
  • Skalárním součinem nably s vektorovým polem \begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix} dostáváme divergenci tohoto pole:
\operatorname{div\ }\mathbf{V} = {\nabla} \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.
  • Rotaci vektorového pole \begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix} pak získáme vektorovým součinem \nabla s tímto polem.
\operatorname{rot\ }\mathbf{V} = {\nabla} \times \mathbf{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}.

Dále pak pro libovolná skalární pole φ, ψ a f a vektorová pole A a B platí následující početní operace:

\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi
\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})
\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi
\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})
\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi (viz také Laplaceův operátor)
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}
\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi
\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}
\nabla\times\nabla\varphi=\mathbf{0}
\nabla\times (\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\Delta\mathbf{A}
Vektorové diferenciální operátory