Hypergeometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hypergeometrická funkce je definována jako

F(\alpha,\beta,\gamma,x) = 1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot2\cdot\gamma(\gamma+1)}x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot2\cdot3\cdot\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)}x^3 + ...


Tato hypergeometrická řada konverguje pro | x | < 1 a pro γ různé od nuly a od celých nezáporných čísel.


Hypergeometrickou funkci získáme řešením hypergeometrické (Gaussovy) diferenciální rovnice

x(1-x)y^{\prime\prime} + \left[\gamma - (\alpha+\beta+1)x\right]y^\prime - \alpha\beta y = 0,

kde α,β,γ jsou konstanty.


[editovat] Speciální případy

Pro α = 1,β = γ přechází hypergeometrická řada v geometrickou řadu.


Pro α = − n,β = n + p,γ = q, kde q > 0 a pq > − 1, dostáváme tzv. Jacobiovy polynomy

J_n(p,q,x) = F(-n,n+p,q,x)= 1 + \sum_{k=1}^n {(-1)}^k{n \choose k} \frac{(n+p)(n+p+1)\cdots(n+p+k-1)}{q(q+1)\cdots(q+k-1)}x^k

Platí

P_n(x) = J_n\left(1,1,\frac{1-x}{2}\right) = F\left(-n,n+1,1,\frac{1-x}{2}\right)

kde Pn jsou Legendrovy polynomy. Legendrovy polynomyjsou tedy také speciálním případem hypergeometrické funkce.


Jiným speciálním případem Jacobiových polynomů jsou Čebyševovy polynomy

T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} J_n\left(0,\frac{1}{2},\frac{1-x}{2}\right)

Pro |x|\leq 1 lze ukázat

T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n\,\arccos x)

V intervalu \langle-1,1\rangle tvoří Čebyševovy polynomy ortogonální systém s váhou \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, tzn.

\int_{-1}^1 \frac{T_m(x)T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = 0 \; \mbox{ pro } m\neq k.

Čebyševovy polynomy získáme jako řešení Čebyševovy diferenciální rovnice

(1-x^2)y^{\prime\prime}-xy^\prime+n^2 y = 0

[editovat] Degenerovaná hypergeometrická funkce

Funkce

F(\alpha,\gamma,x) = \lim_{\beta\to\infty} F\left(\alpha,\beta,\gamma,\frac{x}{\beta}\right)

se nazývá degenerovaná hypergeometrická funkce.


Degenerovanou hypergeometrickou funkci lze vyjádřit jako

F(\alpha,\gamma,x) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}x^2+ ...

Řada konverguje pro všechna konečná x.

[editovat] Podívejte se také na