Konvexnost a konkávnost funkce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu funkce, tzn. zakřivení jejího grafu.
Pokud funkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. graf je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde funkce jako konvexní, naopak, pokud je graf zakřiven směrem dolů (a funkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde funkce konkávní.
Přechod mezi konvexní a konkávní částí grafu se označuje jako inflexní bod. V inflexním bodě se mění zakřivení grafu funkce a tečna grafu v tomto bodě graf protíná. Na obrázku vpravo je funkce konkávní např. v intervalu
, inflexním bodem je např. x4.
[editovat] Definice
Mějme spojitou funkci f definovanou na intervalu I. Pokud pro každé tři body a < c < b z I leží každý bod [c;f(c)] nad na nebo na úsečce, která spojuje body [a;f(a)] a [b;f(b)], je funkce f na tomto intervalu konkávní (viz obrázek a níže). Naopak pokud všechny body leží pod nebo na úsečce spojující oba body, je funkce na tomto intervalu konvexní (obrázek b).
Někdy se definují ještě ryze konkávní a ryze konvexní funkce, kde mezilehlé body musí být striktně nad či pod spojující úsečkou, nesmí ležet přímo na ni. Tím se vylučují ty části funkce, které jsou úsečkou (lineární funkce je jediná funkce, která je současně konkávní i konvexní).
[editovat] Určování pomocí derivace
Inflexní body, konvexnost a konkávnost lze určit podle vyšších derivací.
Druhá derivace funkce f(x) v bodě a poskytuje informaci o tom, zda je v tomto bodě funkce konvexní nebo konkávní:
- Je-li
, pak je funkce f(x) v bodě a ryze konvexní. - Je-li
, pak je funkce f(x) v bodě a konvexní. - Je-li
, pak je funkce f(x) v bodě a ryze konkávní. - Je-li
, pak je funkce f(x) v bodě a konkávní.
Je-li v bodě a splněna podmínka
a současně
, pak má funkce f(x) v bodě a inflexní bod.
Pokud je druhá a třetí derivace nulová, pak je k určení konvexnosti a konkávnosti možno použít vyšší derivace. Je-li tedy v takovém případě
a
, kde
, pak v bodě a platí:
- Pro n sudé a f(n)(a) > 0 je funkce v bodě a ryze konvexní.
- Pro n sudé a f(n)(a) < 0 je funkce v bodě a ryze konkávní.
- Pro n liché a
má funkce v bodě a inflexní bod.

