Normální podgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Normální podgrupa \mathbb{P} grupy (\mathbb{G},\cdot) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g

Obsah

[editovat] Jiná definice

Podmínku \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g lze přepsat do tvaru \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

\mathbb{P} je normální podgrupa (\mathbb{G},\cdot), pokud je to její podgrupa a navíc platí

\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}.

Z tohoto vztahu plyne, že g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}, a protože platí i pro g − 1: g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}, je ekvivalentní \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}.

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}.

[editovat] Příklady normálních podgrup

  • Jádro homomorfismu \varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H} je normální podgrupou, protože pokud p je prvkem jádra, tedy platí-li \varphi(p) = e_{\mathbb{H}}, pak i \varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}} a tedy i g \cdot p \cdot g^{-1} je prvkem jádra.

[editovat] Centrum grupy

Mějme grupu G. Její podmnožina Z(G) všech prvků s takových, že pro všechna g \in G platí s \cdot g = g \cdot s, se nazývá centrum grupy G. Centrum grupy G je normální podgrupou grupy G.

[editovat] Podívejte se také na

  • Faktorgrupa

[editovat] Externí odkazy