Konchoida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Konchoida.
Konchoida.

Mějme množinu bodů, které získáme tak, že na každou přímku p svazku přímek o vrcholu P naneseme od průsečíku křivky k s přímkou p na obě strany úsečky o konstantní délce b. Krajní body těchto úseček tvoří množinu bodů, která se nazývá (přímá) konchoida řídící křivky k pro pól P.

[editovat] Nikomédova konchoida

Nikomédova konchoida.
Nikomédova konchoida.

Přímá konchoida, jejíž řídící křivkou je přímka x = a, pro a > 0, se nazývá Nikomédova konchoida.


V kartézských souřadnicích má Nikomédova konchoida rovnici

{(x-a)}^2\left(x^2+y^2\right) = b^2 x^2

V polárních souřadnicích ji lze vyjádřit vztahem

\rho = \frac{a}{\cos\varphi} \pm b


Nikomédova konchoida má dva vrcholy v bodech [a\pm b,0] a asymptotu x = a. Pól P = [0,0] Nikomédovy konchoidy je pro b < a izolovaným bodem, pro b = a je hrotem a pro b > a je dvojnásobným bodem, neboť jedna z větví má v pólu uzel.

[editovat] Pascalova závitnice

Pascalova závitnice.
Pascalova závitnice.

Je-li řídící křivkou kružnice (2xa)2 + 4y2 = a2, pól P leží na této kružnici a parametr b > 0, pak se jedná o konchoidu kružnice, která se nazývá Pascalova závitnice.


V kartézských souřadnicích lze Pascalovu závitnici vyjádřit rovnicí

{(x^2+y^2-ax)}^2 - b^2(x^2+y^2) = 0

V polárních souřadnicích pak můžeme psát

\rho = a\cos\varphi \,\pm b

Parametrické rovnice Pascalovy závitnice jsou

x = acostbcos2t
y = asintbsin2t


Pro b = a přechází Pascalova závitnice v kardioidu.


Pól P = [0,0] Pascalovy závitnice je pro b < a uzlem, pro b = a hrotem a pro b > a izolovaným bodem.

[editovat] Podívejte se také na