Hyperbola

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek Hyperbola (literatura).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce y = 1 / x v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Obsah

[editovat] Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek F1 a F2 konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

[editovat] Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému

S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
|AS| = |SB| = a \,\! - délka hlavní polosy
|CS| = |SD| = b \,\! - délka vedlejší polosy
|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\! excentricita
|AB| = 2a \,\! - délka hlavní osy
|CD| = 2b \,\! - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole

[editovat] Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
Středová rovnice:
{(x - m)^2\over (a^2)} - {(y - n)^2\over (b^2)} = 1 \,\!
Obecná rovnice:
Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!
Rovnice asymptot:
y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!
Rovnice tečny v bodě T[x0,y0]:
{(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!
  • Hlavní osa o1 hyperboly rovnoběžná s osou y
Středová rovnice:
{(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!
Obecná rovnice:
Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!
Rovnice asymptot:
y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!
Rovnice tečny v bodě T[x0,y0]:
{(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!
Středová rovnice:
(x - m)(y - n) = c \,\!
a = b = sqrt{2|c|} \,\!
Obecná rovnice:
xy + Ax + By + C = 0 \,\!
Rovnice asymptot:
x = m, y = n \,\!

[editovat] Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

2x^2 + 4x - y^2 + 3y + {1\over 4} = 0 \,\!

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4} = -{1\over 4} \,\!

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4} = -{1\over 4} \,\!
2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!
{(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa o1 je rovnoběžná s osou x.
S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!, a = \sqrt{2} \,\!, b = 2 \,\!, e = \sqrt{6} \,\!, p_1, p_2: y = \pm\sqrt{2} + {2\sqrt{2} + 3 \over 2} \,\!

[editovat] Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant D je:

  • D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
  • D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

[editovat] Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

[editovat] Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!

[editovat] Podívejte se také

[editovat] Externí odkazy