Moivreova věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Moivreova věta říká, že pro libovolné reálné číslo x a libovolné celé číslo n platí:
kde i je imaginární jednotka.
Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.
Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních koeficientů je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).
Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zn = 1.
De Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.
Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.
[editovat] Užití věty
Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.
Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
pak všech jeho
odmocnin
-tého stupně lze zapsat jako
[editovat] Důkaz
Uvažujme tři případy:
Pro n > 0, použijeme indukci. Pro n=1 indukční předpoklad zcela evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n0 + 1


(z indukčního předpokladu)

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n0 + 1, jestliže platí pro n0, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.
Pro n = 0 rovnost platí, protože
a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.
Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom
(shora)
Tvrzení tedy platí pro všechna n přirozená. Q.E.D.
Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trošku obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jedním z (více) řešení výrazu (cos z + i⋅sin z)w.
[editovat] Podívejte se také na
| Související články obsahuje: |







