Rovnoběžné křivky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dvě křivky se nazývají rovnoběžnými (paralelními) křivkami, pokud je možné body obou křivek vzájemně jednoznačně přiřadit tak, aby v odpovídajících si bodech měly obě křivky společné hlavní normály \mathbf{n}.

Jsou-li křivky k1,k2 popsány rovnicemi \mathbf{r}_1=\mathbf{r}_1(s), \mathbf{r}_2=\mathbf{r}_2(s), pak se jedná o pár rovnoběžných křivek, jestliže pro konstantní c platí

\mathbf{r}_2(s) = \mathbf{r}_1(s) + c\mathbf{n}(s)

Konstanta c určuje vzdálenost odpovídajících si bodů obou křivek na společných hlavních normálách.


Ke každé rovinné křivce existuje nekonečně mnoho rovnoběžných křivek (pro různé hodnoty c). K prostorové křivce však rovnoběžná křivka nemusí existovat. Např. ke šroubovicím rovnoběžné křivky existují, přičemž jde opět o šroubovice.


Pro rovinnou křivku k vyjádřenou parametrickými rovnicemi x=\varphi(t), y=\psi(t) je možné uvedenou rovnici vyjádřit jako

\overline{x} = \varphi(t)+c \frac{\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}
\overline{y} = \psi(t)+c \frac{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\right)}^2}}

kde \overline{x}, \overline{y} jsou souřadnice rovnoběžné křivky \overline{k} a c je libovolná reálná konstanta.


Rovinná křivka \overline{k} rovnoběžná s křivkou k se nazývá ekvidistanta (ekvidistantní křivka) křivky k. Rovnici ekvidistanty k přímce F(x,y) = 0 získáme vyloučením proměnných x,y z rovnic

F(x,y) = 0
Y-y = -\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(X-x)
(Xx)2 + (Yy)2 = c2

kde X,Y jsou souřadnice bodů ekvidistanty.

[editovat] Podívejte se také na