L'Hospitalovo pravidlo
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
l'Hôspitalova pravidla slouží k výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů typu
a
. Tato pravidla lze použít také při řešení neurčitých výrazů typu
, 00,
,
nebo
, které však vhodnými úpravami převádíme na neurčité výrazy typu
nebo
.
Obsah |
[editovat] Definice
Máme-li funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí
a
, pak v případě, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita
, platí
kde
označuje derivaci funkce.
Podobně v případě, kdy máme funkce f(x),g(x), pro něž v bodě c platí
a
. Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limita
, pak opět platí vztah
Uvedená l'Hôspitalova pravidla jsou použitelná také v nevlastních bodech.
Pokud je
v bodě c opět neurčitým výrazem, lze l'Hôspitalova pravidla použít opakovaně. Takto můžeme postupovat, dokud nezískáme nějaký výraz, který není neurčitý.
[editovat] Úprava výrazů pro použítí l'Hôspitalova pravidla
l'Hôspilova pravidla jsou definována pouze pro neurčité výrazy typu
nebo
. Ostatní neurčité výrazy je nutno převést na tento typ neurčitého výrazu.
Uvažujme dále funkce f(x),g(x), které v bodě c nabývají hodnot 0 nebo
.
- Jestliže
představuje v c výraz
, pak je můžeme upravit na
, což je výraz typu
, nebo na
, což je výraz typu
. - Jesliže f(x) − g(x) představuje v c výraz typu
, pak jej lze upravit na
, což je výraz typu
. - Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu 00, pak jej upravíme na
, kde v exponentu je výraz
, který lze dále upravit na výraz
nebo
. Při řešení pak využijeme toho, že
. - Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu
, pak jej upravíme na
, kde v exponentu je výraz
, který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu. - Jestliže f(x)g(x) představuje v c výraz typu
, pak jej upravíme na
, kde v exponentu je výraz
, který dále řešíme stejně jako v předchozím bodu.
[editovat] Příklady
- Výraz
představuje pro
neurčitý výraz typu
. Pomocí l'Hôspitalova pravidla tedy bude
- Neurčitý výraz typu
převedeme úpravou součinu f(x)g(x) na podíl
nebo
získáme tak neučitý výraz typu
nebo
. Ten už určíme l'Hôspitalovým pravidlem.




