Binormála

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binormála křivky v daném bodě je přímka, která prochází daným bodem křivky a je kolmá k její tečně a hlavní normále v daném bodě. Binormála je tedy také normálou křivky.

[editovat] Jednotkový vektor binormály

Směr binormály je určen jednotkovým vektorem binormály \mathbf{b}, který společně s jednotkovým vektorem tečny \mathbf{t} a jednotkovým vektorem hlavní normály \mathbf{n} tvoří kladně orientovaný normovaný pravoúhlý trojhran, tzn.

\mathbf{b} = \mathbf{t}\times\mathbf{n}


Je-li parametrem křivky její oblouk s, tzn. rovnice křivky je \mathbf{r}=\mathbf{r}(s), pak pro složky vektoru binormály \mathbf{b} platí

b_x = \frac{1}{k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2} \end{vmatrix}
b_y = \frac{1}{k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2} \end{vmatrix}
b_z = \frac{1}{k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2} \end{vmatrix}

kde k1 je tzv. první křivost.


V případě obecného parametru t, kdy rovnice křivky jsou \mathbf{r}=\mathbf{r}(t), lze složky vektoru binormály \mathbf{b} psát

b_x = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^3 k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} \end{vmatrix}
b_y = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^3 k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \end{vmatrix}
b_z = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^3 k_1} \begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} \end{vmatrix}

[editovat] Podívejte se také na