Ortogonální polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Systém polynomů fn(x) se nazývá ortogonální na intervalu a \leq x\leq b vzhledem k váhové funkci w(x) > 0, pokud platí

\int_a^b w(x)f_m(x)f_n(x) \mathrm{d}x=0 \; \mbox{ pro } m \neq n, m,n=0,1,...,

přičemž platí

\int_a^b w(x)f_n^2(x)\mathrm{d}x = h_n,

kde hn jsou konstanty.

Obsah

[editovat] Obecné vyjádření

Ortogonální polynomy lze vyjádřit různými způsoby, např. ve tvaru

f_n(x) = d_n \sum_{m=0}^N c_m g_m(x).

Dosazením vhodných dn,N,cn,gn(x) (a hn) získáme odpovídající polynom.

Např. Legendrovy polynomy Pn(x) dostaneme pokud

N je rovno celočíselné části čísla \frac{n}{2}
d_n = \frac{1}{2^n}
c_m = {(-1)}^m{n \choose m}{{2n-2m} \choose n}
gm(x) = xn − 2m
h_n = \frac{2}{2n+1}

Přidružené (zobecněné) Laguerrovy polynomy L_n^{(\alpha)}(x) lze získat pro

N = n
dn = 1
c_m = \frac{{(-1)}^m}{m!}{{n+\alpha} \choose {n-m}}
gm(x) = xm
h_n = \frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{n!}

Hermitovy polynomy Hn(x) lze vyjádřit pomocí

N rovno celočíselné části čísla \frac{n}{2}
dn = n!
c_m = \frac{{(-1)}^m}{{m!}{(n-2m)!}}
gm(x) = (2x)n − 2m
h_n = \sqrt{\pi}2^n {n!}

[editovat] Rodriguezův vzorec

Ortogonální polynomy lze také vyjádřit tzv. Rodriguezovým vzorcem

f_n(x) = \frac{1}{a_n\rho(x)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\{\rho(x){\left[g(x)\right]}^n\}

Legendrovy polynomy získáme z Rodriguezova vzorce pro

an = ( − 1)n2nn!
ρ(x) = 1
g(x) = 1 − x2

Přidružené Laguerrovy polynomy L_n^{(\alpha)}(x) dostaneme pro

an = n!
ρ(x) = e xxα
g(x) = x

Hermitovy polynomy získáme z Rodriguezova vzorce pro

an = ( − 1)n
\rho(x) = \mathrm{e}^{-x^2}
g(x) = 1

[editovat] Diferenciální rovnice ortogonálních polynomů

Ortogonální polynomy vyhovují diferenciální rovnici

u_2(x) \frac{\mathrm{d}^2 y(x)}{\mathrm{d}x^2} + u_1(x) \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + u_0(x)y(x)=0

Rovnici pro Legendrovy polynomy získáme dosazením

u2(x) = 1 − x2
u1(x) = − 2x
u0(x) = n(n + 1)

Rovnici pro přidružené Laguerrovy polynomy dostaneme pro

u2(x) = x
u1(x) = α + 1 − x
u0(x) = n

Rovnici pro Hermitovy polynomy dostaneme pro

u2(x) = 1
u1(x) = − 2x
u0(x) = 2n

[editovat] Derivace ortogonálního plynomu

Derivace ortogonálního polynomu vyhovuje rovnici

g_2(x)\frac{\mathrm{d}f_n(x)}{\mathrm{d}x} = g_1(x)f_n(x) + g_0(x)f_{n-1}(x)

Vztahy pro jednotlivé polynomy získáme opět dosazením za g0,g1,g2.

Derivaci Legendrova polynomu získáme dosazením

g2(x) = 1 − x2
g1(x) = − nx
g0(x) = n

Derivaci přidruženého Laguerrova polynomu dostaneme pro

g2(x) = x
g1(x) = n
g0(x) = − (n + α)

Pro derivaci Hermitova polynomu bude

g2(x) = 1
g1(x) = 0
g0(x) = 2n

[editovat] Rekurentní vyjádření

Ortogonální polynomy lze také vyjádřit rekurentním vztahem

a1nfn + 1(x) = (a2n + a3nx)fn(x) − a4nfn − 1(x)

Rekurentní vztah pro Legendrovy polynomy získáme pro

a1n = n + 1
a2n = 0
a3n = 2n + 1
a4n = n

Rekurentní vztah pro přidružené Laguerrovy polynomy dostaneme pro

a1n = n + 1
a2n = 2n + α + 1
a3n = − 1
a4n = n + α

Hermitovy polynomy vyjádříme dosazením parametrů

a1n = 1
a2n = 0
a3n = 2
a4n = 2n

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura

V jiných jazycích