Cauchyova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cauchyova věta je integrální věta, která má v komplexní analýze velký význam pro výpočet integrálů analytických funkcí.

Obsah

[editovat] Věta

Mějme jednoduchou uzavřenou po částech hladkou orientovanou křivku c a komplexní funkci f(z), která je holomorfní ve vnitřku \mathbf{G} křivky c a spojitá v \overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c. Pak platí

\oint_c f(z) \mathrm{d}z = 0

[editovat] Důkaz

Větu lze dokázat tak, že použijeme z = x + iy,f(z) = u(x,y) + iv(x,y) a vzniklý výraz upravíme pomocí Stokesovy věty a Cauchyových-Riemannových podmínek, tzn.

\oint_c f(z) \mathrm{d}z = \oint_c (u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y) + \mathrm{i} \oint_c (v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) =
= \int_G (-\frac{\part v}{\part x}- \frac{\part u}{\part y})\mathrm{d}S + \mathrm{i} \int_G (\frac{\part u}{\part x} - \frac{\part v}{\part y})\mathrm{d}S = 0

[editovat] Důsledek

Oblast pro důsledek Cauchovy věty.
Oblast pro důsledek Cauchovy věty.

Jsou-li c0,c1 dvě shodně orientované (jednoduché konečné a po částech hladké) křivky, přičemž c1 leží uvnitř c0 (viz obr.), a funkce f(z) je holomorfní v dvojnásobně souvislé oblasti \mathbf{G} ohraničené křivkami c0 a c1 a spojitá v \overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c_0 \cup c_1, pak

\oint_{c_0} f(z) \mathrm{d}z = \oint_{c_1} f(z) \mathrm{d}z

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Reference

  • Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

[editovat] Vnější odkazy