Komplexní číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Komplexní číslo je matematický pojem označující prvky číselného oboru, který formálně rozšiřuje obor reálných čísel.

Obsah

[editovat] Zápis a související pojmy

Komplexním číslem nazveme číslo tvaru a + bi \,\!, kde a \,\! a b \,\! jsou reálná čísla. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický. Písmeno i \,\! značí imaginární jednotku, která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici i^2+1=0\,, tj. jako odmocnina z -1, která v reálných číslech neexistuje. Elektrotechnici používají komplexní čísla velice často k výpočtu střídavých proudů obvodem, a protože přitom střídavý proud označují malým písmenem i, tak proto imaginární jednotku neoznačují písmenem i, ale písmenem j.

Reálné číslo a \,\! se nazývá reálnou částí tohoto komplexního čísla a číslo b \,\! jeho imaginární částí. Pokud je b = 0 \,\!, je dotyčné číslo reálným číslem a \,\!, tj. reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je a = 0 \,\!, mluvíme o ryze imaginárním číslu.

[editovat] Značení

Potřebujeme-li pracovat pouze s reálnou, resp. imaginární částí komplexního čísla z \,\!, používáme zápis

a = \mathrm{Re}(z) = \Re(z), b = \mathrm{Im}(z) = \Im(z),

kde a,b \,\! jsou reálná čísla. Komplexní číslo z \,\! lze tedy také vyjádřit některým z následujících zápisů z = a + \mathrm{i}b = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{i} \mathrm{Im}(z) = \Re(z) + \mathrm{i} \Im(z) \,\!.

S imaginární jednotkou se zachází jako s každým jiným číslem, proto je možné používat následujících zkrácených zápisů:

  • 0 + x.i = x.i \,\!
  • x + 0.i = x \,\!
  • 1.i = i \,\!
  • -1.i = -i \,\!

[editovat] Příklad

Číslo z = 3 + 2i \,\! má reálnou část \mathrm{Re}(z) = 3 \,\! a imaginární část \mathrm{Im}(z) = 2 \,\!. Nejedná se ani o reálné, ani o ryze imaginární číslo.

[editovat] Motivace k zavedení komplexních čísel

Důvodem, proč je obor reálných čísel, který vyjadřuje dostatečně dobře jakoukoliv kvantitu (množství), rozšiřován do oboru komplexních čísel, jejichž význam není intuitivně příliš zřejmý, je neuzavřenost množiny reálných čísel na kořeny polynomických rovnic.

V oboru reálných čísel existují polynomy (s reálnými koeficienty a kladnými nezápornými celočíselnými exponenty), které nemají v oboru reálných čísel žádný kořen, případně je počet jejich reálných kořenů nižší, než stupeň polynomu.

Obor komplexních čísel je uzavřený nejen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uzavřenost zaručuje Základní věta algebry, která tvrdí, že polynom n-tého stupně má v oboru komplexních čísel n kořenů.

[editovat] Příklad

Polynom x^2 + 1 \,\! nemá v oboru reálných čísel žádný kořen. V oboru komplexních čísel jsou jeho kořeny čísla i \,\! a -i \,\!, protože:

  • i^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\!
  • (-i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\!

[editovat] Operace s komplexními čísly

[editovat] Algebraický tvar komplexních čísel

Pro čísla v algebraickém tvaru lze jednoduchými algebraickými úpravami odvodit vztahy pro součet, rozdíl a součin dvou komplexních čísel:

  • (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) \,\!
  • (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) \,\!
  • (a+ib)\cdot(c+id)=(ac-bd)+i(ad + bc) \,\!

Podíl dvou komplexních čísel lze vyjádřit takto:

  • {a + ib \over c + id} = {(a + i b) (c - i d) \over (c + i d) (c - i d)} = {(a c + b d) + i (b c - a d) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + i \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right).

[editovat] Geometrické znázornění komplexních čísel

Komplexní čísla se zobrazují v komplexní (Gaussově) rovině jako body se souřadnicemi x,y; x je reálná část komplexního čísla, y imaginární část. Na ose x leží reálná čísla, ose y ryze imaginární čísla.

[editovat] Goniometrický tvar komplexních čísel

Každé komplexní číslo z různé od nuly je možné jednoznačně vyjadřit v goniometrickém tvaru. Pokud si v komplexní rovině zvolíme polární souřadnicový systém, vzdálenost od počátku označíme |z| (absolutní hodnota, také nazývaná jako modul) a orientovaný úhel φ = JOZ (argument), kde J[1;0], O je počátkem soustavy a Z je obraz komplexního čísla a + bi se souřadnicemi Z[a;b], platí:

z=|z|(cos \varphi + i.sin \varphi) \,.

Absolutní hodnotu z algebraického tvaru komplexního čísla z = a + bi lze vyjádřit takto: |z| = \sqrt{ a^2 + b^2 }.
Argument φ lze vyjádřit ze vztahů: \cos \varphi =  \frac{a}{|z|}    a   \sin \varphi = \frac{b}{|z|}

Pro dělení komplexních čísel
z_1=|z_1|.(\cos \varphi_1 + i.\sin \varphi_1) a
z_2=|z_2|.(\cos \varphi_2 + i.\sin \varphi_2)
platí následující rovnice: \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i.\sin (\varphi_1 - \varphi_2)]

Pro násobení komplexních čísel z1 a z2 z předchozího příkladu slouží vzorec: z_1 . z_2=|z_1| . |z_2| . [\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i.\sin (\varphi_1 + \varphi_2)]

Pro n-tou mocninu komplexní čísla v goniometrickém tvaru platí tzv. Moivreova věta: z^n = |z|^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \,

Pro převod komplexních čísel z goniometrického tvaru na algebraický stačí zjistit hodnotu \cos \varphi a \sin \varphi a roznásobit závorku jako při práci s klasickým mnohočlenem.


Komplexní funkce reálné proměnné je funkce, jejímž definičním oborem jsou reálná čísla a oborem hodnot jsou komplexní čísla. Platí: h(x) = f(x) + ig(x) kde f je reálná část a g imaginární část komplexní funkce h. Obrazem takovéto funkce v Gaussově rovině je množina všech bodů X = [f(x),g(x)], kde x je z definičního oboru funkce.

Při práci s komplexními čísly se také často využívá Eulerův vzorec.

[editovat] Definice pomocí uspořádaných dvojic

Často jsou také komplexní čísla zaváděna jako všechny uspořádané dvojice reálných čísel (a,b) s definovanámi operacemi sčítání a násobení:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \,

(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,

Znaménko \cdot u násobení obvykle vynecháváme. Množinu všech komplexních čísel obvykle značíme \mathbb C.

Číslo (0,1) pak nazveme imaginární jednotkou (zapisujeme i). Pro číslo i platí i2 = − 1.

Použitím axiomů reálných čísel dostaneme následující tvrzení: \forall (a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2)\in{\mathbb C}:

1. (a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(b_1,b_2)+(a_1,a_2)\,
2. (a_1,a_2)+\big((b_1,b_2)+(c_1,c_2)\big)=\big((a_1,a_2)+(b_1,b_2)\big)+(c_1,c_2)\,
3. (a_1,a_2)+(0,0)=(a_1,a_2)\,
4. (a_1,a_2)+(-a_1,-a_2)=(0,0)\,
5. (a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=(b_1,b_2)\cdot(a_1,a_2)
6. (a_1,a_2)\cdot\big((b_1,b_2)\cdot(c_1,c_2)\big)=\big((a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)\big)\cdot(c_1,c_2)
7. (a_1,a_2)\cdot(1,0)=(a_1,a_2)
8. \forall(a_1,a_2)\neq(0,0)\;(a_1,a_2)\cdot\left({a_1\over a_1^2+a_2^2},{-a_2\over a_1^2+a_2^2}\right)=(1,0)
9. (a_1,a_2)\cdot\big((b_1,b_2)+(c_1,c_2)\big)=(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)+(a_1,a_2)\cdot(c_1,c_2)

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Reference

  • Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: Komplexní čísla v elementární matematice, Masarykova univerzita, Brno, 1997, ISBN 802101475X

[editovat] Externí odkazy