Reálné číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Reálná čísla jsou taková čísla, kterým jsou jednoznačně přiřazeny body nekonečné přímky - číselné osy.

Reálnými čísly se měří spojité veličiny. Teoreticky mohou být zapsány desetiným zápisem, který má nekonečný počet číslic za desetinou tečkou.

Reálná čísla tvoří těleso. Dělíme je na racionální a iracionální, na algebraické a transcendentální, na kladné, záporné a nulu.

Reálná čísla jsou ústřední objekt zkoumání reálné analýzy. Množina všech reálných čísel se označuje R nebo \mathbb{R}. Zápis \mathbb{R}^n označuje n-rozměrný vektorový prostor reálných čísel. Pokud se použije při označení nějakého matematického objektu přívlastek reálný, myslí se tím, že se s tímto objektem pracuje na tělese reálných čísel. Například reálná matice, reálný polynom či reálná Lieova algebra.

Obsah

[editovat] Historie

Zlomky byly používány Egypťany kolem roku 1000 př. n. l. Okolo roku 500 př. n. l. si řečtí matematici v čele s Pythagorem uvědomili potřebu iracionálních čísel. Záporná čísla byla objevena indickými matematiky okolu roku 600 n. l. a krátce nato znovuobjeveny v Číně. V Evropě nebyly obecně přijaty do 17. století. Rozvoj kalkulu v 18. století znamenal využívání celé množiny reálných čísel bez jejich přesného zavedení. Rigorózně definoval reálná čísla poprvé Georg Cantor v roce 1871.

[editovat] Definice

Axiomaticky mohou být reálná čísla zavedena jako úplně uspořádané těleso v tom smyslu, že každá neprázdná shora omezená podmnožina R má nejmenší horní závoru, tzv. supremum. To se nazývá Dedekindova úplnost.

Další možností konstrukce je zúplnění množiny racionálních čísel v metrice d(x,y) = | xy | .

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Úplnost

Hlavní důvod zavedení množiny reálných čísel a její nejdůležitější vlastnost je úplnost ve smyslu úplného metrického prostoru. Díky této vlastnosti každá reálná cauchyovská posloupnost konverguje, tedy má limitu. Jinými slovy, všechny reálné posloupnosti, jejichž prvky se přibližují libovolně blízko sobě jak posloupnost postupuje, mají limitu v množině reálných čísel.

[editovat] Další vlastnosti

Množina reálných čísel je nespočetná, reálných čísel je tedy „mnohem“ více něž přirozených čísel, i když obě množiny jsou nekonečné. Dokonce kardinalita množiny reálných čísel je stejná jako kardinalita 2^{\mathbb{N}}, množiny všech podmnožin \mathbb{N}. Tvzení, že neexistuje žádná podmnožina reálných čísel s kardinalitou mezi kardinalitami množin přirozených čísel a reálných čísel je známé jako hypotéza kontinua. Nemůže být ale ani dokázána ani vyvrácena, protože je nezávislá na axiomech teorie množin.

Množina reálných čísel tvoří metrický prostor, kde vzdálenost (metrika) mezi x a y je definovaná pomocí absolutní hodnoty rozdílu těchto dvou čísel. Tento prostor je souvislý i jednoduše souvislý, lokálně kompaktní, separabilní. Jeho dimenze je 1 a je všude hustý. Není však kompaktní.

[editovat] Zobecnění a rozšíření

Nejpřirozenějším rozšířením jsou komplexní čísla, která obsahují řešení všech polynomiálních rovnic. Nejsou však už uspořádané těleso.

Samoadjungované (hermiteovské) operátory na Hilbertových prostorech zobecňují reálná čísla v mnoha ohledech: mohou být uspořádány (i když ne totálně), jsou úplné, všechny jejich vlastní čísla jsou reálná čísla a tvoří reálnou asociativní algebru. Positivně definitní operátory odpovídají kladným číslům a normální operátory komplexním číslům.