Laminární proudění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky
Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity.

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Obsah

[editovat] Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

[editovat] Rychlostní profil

Uvažujme v trubici o poloměru r malý válec kapaliny o poloměru x a délce Δl. Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak p1 a na výstupní průřez tlak p2. Tlakový rozdíl na délce Δl má hodnotu Δp = p1p2. Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

F = πx2Δp

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

Ft = 2πxΔlτ,

kde τ je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být F a Ft v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k,

kde k je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. v = 0 pro x = r. Po dosazení úpravě dostaneme

v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti v na x (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

[editovat] Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok Qv. Rychlost v je v určité vzdálenosti x od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti x a šířce dx proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu \frac{\Delta p}{\Delta l} a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě η.


[editovat] Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2

a nachází se na ose trubice (x = 0).


Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice (S = πr2), tzn.

v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}


[editovat] Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body A,B na ose trubice ve vzdálenosti s a dva body C,D na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že D se nachází na stejném řezu trubicí jako A a bod C se nachází na stejném řezu jako B. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body A,D a B,C je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že \operatorname{rot}v je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.


Tlakový spád \frac{\Delta p}{\Delta l} je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s


Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.


Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

[editovat] Podívejte se také na