Polární soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa x kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Bod v polární soustavě souřadnic.
Bod v polární soustavě souřadnic.
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y].
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y].

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

x = r \cos{\varphi}\,
y = r \sin{\varphi}\,

Převod kartézských souřadnic na polární:

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}  \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\  \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li }  (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)

[editovat] Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,

tedy délka křivky obecně jako

\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2             +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t1 do t2.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

{\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}= {\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0
{\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}
{\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r

[editovat] Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

\nabla f =  {\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r }    + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}


\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r }    + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}


\Delta f = \nabla^2 f =  {1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right)    + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


\Delta \mathbf{A} =    \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2}      - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  +    \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2}      + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}
Soustavy souřadnic
Kartézská soustava souřadnic Ortogonální souřadnice Afinní soustava souřadnic Obecné souřadnice
2-D Polární soustava souřadnic Bi-polární soustava souřadnic Úhlová soustava souřadnic
3-D Válcová soustava souřadnic Sférická soustava souřadnic
n-D Hypersférická soustava souřadnic