Rolleova věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu
a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu
existuje derivace
a nechť
. Pak existuje bod c v otevřeném intervalu
, pro nějž platí
.
[editovat] Důkaz
- Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace
a věta je dokázána. - Nechť funkce f není konstantní. Jelikož
a funkce není konstatní, musí existovat
takové, že
nebo
.
Předpokládejme, že
. Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu
nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje
takové, že
, tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce,
. Analogicky pro minimum.

