Izotropní tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tenzory, jejichž složky se při souřadnicových transformacích nemění, označujeme jako izotropní. Izotropní tenzory tedy mají stejné složky v původní i transformované soustavě.


Všechny skalární veličiny jsou izotropními tenzory (nultého řádu).

Izotropní tenzory prvního řádu (tedy izotropní vektory) neexistují.

Existuje však izotropní tenzor druhého řádu. Jde o Kroneckerův symbol (někdy bývá označován jako substituční tenzor). Kroneckerův symbol je jediným izotropním tenzorem druhého řádu.

Jediným izotropním tenzorem třetího řádu je Levi-Civitův symbol.

Obecný izotropní tenzor čtvrtého řádu lze vyjádřit jako lineární kombinaci tří jednotkových izotropních tenzorů \delta_{mn}\delta_{rs}, \delta_{mr}\delta_{ns}, \delta_{ms}\delta_{nr} \,, tzn. v obecném tvaru lze izotropní tenzor čtvrtého řádu zapsat jako

\eta_{ijkl} = A \delta_{ij}\delta_{kl} + B \delta_{ik}\delta_{jl} + C \delta_{il}\delta_{jk} \,,

kde A, B, C jsou skaláry.


Tenzorovým součinem dvou Levi-Civitových symbolů (třetího řádu) dostaneme výraz

\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl}

Tento výraz je izotropním tenzorem šestého řádu.

[editovat] Podívejte se také na