Matematická indukce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o metodě matematického důkazu. O způsobu logického uvažování pojednává článek Indukce (logika).

Matematická indukce je metoda dokazování matematických vět a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že pro číslo 1 platí, a zároveň lze platnost pro každé dané n převést v konečně mnoha krocích na platnost pro 1 s tím, že počet těchto kroků s rostoucím n také roste.

Obsah

[editovat] Princip důkazu indukcí

Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků:

  • První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro n = 1.
  • Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následujíčí bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad).

Princip matematické indukce pak již říká, že tvrzení platí pro každé n.

Často se v prvním kroku dokazuje, že tvrzení platí pro n = 0. Tento způsob je zcela ekvivalentí.

Tento postup se někdy přirovnává k dominu. Obě tyto části jsou totiž podobné dominovému efektu:

  • Spadne první kostka domina.
  • Pokud spadne nějaká kostka domina, spadne i její nejbližší soused.

Výsledkem potom je, že spadnou všechny kostky.

[editovat] Příklad

Mějme následující tvrzení: Pro všechna přirozená n platí

0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,.

[editovat] Důkaz

[editovat] První krok

Nejdříve zkontrolujeme, zda tvrzení platí pro n = 0. Zřejmě ano, jelikož součet prvních 0 přirozených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.

[editovat] Indukční krok

Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro n = m, platí i pro n = m + 1. Tj. platí-li tvrzení píšeme-li v něm všude m místo n, pak platí také píšeme-li v něm všude m + 1 místo n.

Předpokládejme tedy, že pro n = m tvrzení platí, čili

0 + 1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}.

Přičtením m + 1 k oběma stranám této rovnice dostaneme

1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m + 1)}{2} + (m+ 1),

což se rovná

= \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2}  = \frac{(m + 2)(m + 1)}{2}.

Máme tedy

1 + 2 + \cdots + (m + 1) = \frac{(m + 1)((m + 1) + 1)}{2}.

To je ale přesně tvrzení pro n = m + 1. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro n = m.

[editovat] Shrnutí

Tvrzení tedy platí pro všechna přirozená čísla, jelikož:

  • Platí pro 0.
  • Jestliže platí pro 0, platí i pro 1.
  • Jestliže platí pro 1, platí i pro 2.
  • Jestliže platí pro 2, platí i pro 3.

\vdots

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika