Skalární součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skalární součin je zobrazení V^2 \to T, kde V je vektorový prostor nad tělesem T. V obvyklém euklidovském prostoru \mathbb{R}^3 je to funkce, která kombinuje dva vektory do jednoho reálného čísla.

Lze pomocí něj například ověřovat kolmost – jsou-li dva vektory kolmé, je jejich skalární součin nulový (tak je kolmost dokonce definována).


Obsah

[editovat] Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu dvou vektorů \mathbf{u},\mathbf{v} jsou:

[editovat] Definice

Zobrazení b:V^2 \to T je skalárním součinem, platí-li pro všechna \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V a pro všechna a \in T následující vztahy

  1. \exist a \in T, a = (\mathbf{u}, \mathbf{v}) (je zobrazením V2 do T)
  2. (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v}, \mathbf{u})}
  3. (\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}) = (\mathbf{u}, \mathbf{w}) + (\mathbf{v}, \mathbf{w})
  4. (a \cdot \mathbf{u}, \mathbf{v}) = a \cdot (\mathbf{u},\mathbf{v})
  5. (\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0,~ (\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}

Pruhem je označeno komplexní sdružení.

[editovat] Vlastnosti

  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn. bude platit
(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}, \mathbf{u})
  • pro komplexní a platí
(\mathbf{u}, a \cdot \mathbf{v}) = \overline a \cdot (\mathbf{u},\mathbf{v})
  • v obecném případ je
\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) \ne (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}
(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0
(\mathbf{x}_j,\mathbf{x}_k) = \delta_{jk},

kde δjk je Kroneckerův symbol, pak tyto vektory označujeme jako ortonormované.

\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \cdot \cos \alpha,

kde α je úhel, který svírají vektory \mathbf{u}, \mathbf{v}.

Geometrická interpretace skalárního součinu.
Geometrická interpretace skalárního součinu.

[editovat] Příklady skalárních součinů

  • pro dva vektory \mathbf{u}=(u_1, u_2, \dots, u_n), \mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n) zapsané v nějaké konečné ortogonální bázi lze skalární součin definovat jako
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1+u_2 v_2+\cdots+u_n v_n = \sum_{i=1}^n u_i v_i
  • skalární součin funkcí (f(x), g(x))=\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx (meze integrace jsou obvykle 0, \pm \infty, \pm 1)

[editovat] Výpočet skalárního součinu

Mějme dva vektory, a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin bude

c = a \cdot b = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32

[editovat] Podívejte se také na