Gaussův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Gaussův integrál je integrál typu

I_p(\lambda) = \int_0^\infty x^p \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x,

kde \Re (p)>-1, \Re(\lambda) \geq 0.

[editovat] Výpočet

Nejdříve vypočteme integrál

Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x

Záměnnou proměnné a vynásobením dostaneme

Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

Po přechodu k polárním souřadnicím lze předchozí vztah zapsat jako

Y^2 = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\infty \rho \mathrm{e}^{-\rho^2} \mathrm{d}\rho = \pi

Odtud dostaneme

Y = \sqrt{\pi}


Pomocí substituce x\sqrt{\lambda} = y získáme

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x = \lambda^{-\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}

Integrand předchozího výrazu je sudou funkcí, takže

I_0(\lambda) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\pi \lambda}

Pro p = 1 má Gaussův integrál tvar

I_1(\lambda) = \int_0^\infty x \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x = - \frac{1}{2\lambda} \int_0^\infty (-2\lambda x \mathrm{e}^{-\lambda x^2}) \mathrm{d}x = -\frac{1}{2\lambda} \int_0^\infty \mathrm{d}(\mathrm{e}^{-\lambda x^2})= \frac{1}{2\lambda}

Integrály typu

I_{2k+1}(\lambda) = \int_0^\infty x^{2k+1} \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x

lze integrací per partes upravit na

I_{2k+1} = \frac{k}{\lambda} I_{2k-1} = \frac{k!}{\lambda^k} I_1 = \frac{k!}{2 \lambda^{k+1}}

Obdobně lze upravit integrály

I_{2k}(\lambda) = \int_0^\infty x^{2k} \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \mathrm{d}x

Dostaneme tak

I_{2k} = \frac{2k-1}{2\lambda} I_{2(k-1)} = \frac{1\cdot 3 \cdots (2k-1)}{{(2\lambda)}^k}I_0

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí zdroje

  • Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika
V jiných jazycích