Legendrovy polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Legendrovým polynomem n-tého stupně nazýváme polynom

P_n(x) = \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} \left[x^n - \frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24(2n-1)(2n-3)}x^{n-4} - ...\right]

Legendrův polynom lze také vyjádřit tzv. Rodriguezovým vzorcem

P_n(x) = \frac{1}{2^n {n!}} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}{\left(x^2-1\right)}^n

Funkce y = Pn(x) vyhovuje Legendrově diferenciální rovnici

(1-x^2) y^{\prime\prime} - 2xy^\prime + n(n+1)y = 0

Často se také využívá substituce x = cosθ, kdy trigonometrický polynom Pn(cosθ) vyhovuje rovnici

\frac{1}{\sin\theta} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right) + n(n+1)y = 0

Obsah

[editovat] Vlastnosti

Mezi základní vlastnosti Legendrových polynomů patří

Pn( − x) = ( − 1)nPn(x)
Pn(1) = 1


Platí, že pro |x|\leq 1 je: |P_n(x)|\leq 1,\; \frac{1}{n^2}\left|P_n^\prime(x)\right|\leq 1, \; \frac{1}{n^4}\left|P_n^{\prime\prime}(x)\right|\leq 1, ..., \frac{1}{n^{2k}}\left|P_n^{(k)}(x)\right|\leq 1

Kořeny rovnice Pn(x) = 0 pro n = 1,2,... leží v intervalu ( − 1,1).

Pro n\geq 2 platí vztah

P_n(x)= \frac{2n-1}{n} x P_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n}P_{n-2}(x)

Funkce \phi_n(x) = \sqrt{n+\frac{1}{2}}P_n(x) tvoří pro n = 0,1,2,... úplný ortonormální systém funkcí v L2(-1,1).

[editovat] Přidružená Legendrova funkce

Přidružená Legendrova funkce m-tého řádu, n-tého stupně je definována jako

P_n^m(x) = \frac{{\left(1-x^2\right)}^\frac{m}{2}}{2^n{n!}} \frac{\mathrm{d}^{n+m}}{\mathrm{d}x^{n+m}}{(x^2-1)}^n,

kde n je celé nezáporné číslo a m je celé číslo |m|\leq n.

Pro m = 0 představuje pravá strana Legendrovy polynomy, tzn. P_n(x) = P_n^0(x). Lze tedy psát

P_n^m(x) = {\left(1-x^2\right)}^\frac{m}{2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_n(x)

[editovat] Vlastnosti

Pro přidružené Legendrovy funkce platí vztahy

P_n^{-m}(x) = {(-1)}^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^m(x)
P_n^m(-x) = {(-1)}^{n+m} P_n^m(x)
P_n^m(1) = \delta_{m0}, kde δ představuje Kroneckerův symbol
x P_n^m(x) = \frac{1}{2n+1} \left[(n+1-m)P_{n+1}^m(x)+(n+m)P_{n-1}^m(x)\right]


Platí následující relace ortogonality

\int_{-1}^1 P_k^m(x)P_l^m(x)\mathrm{d}x = 2\frac{(l+m)!}{(2l+1)(l-m)}\delta_{kl}

Pro m>0, n\geq 0 také platí

\int_{-1}^1 \frac{P_l^m(x)P_l^n(x)}{1-x^2} \mathrm{d}x = \frac{(l+m)!}{m(l-m)!}\delta_{mn}

Často se využívá vztahu

\sum_{n=0}^\infty (2n+1)P_n(x) = 2\delta(x-1), kde δ označuje delta funkce

[editovat] Sférické funkce

Kulovými (sférickými) funkcemi označujeme funkce tvaru

Y_{n(c)}^m(\theta,\phi) = P_n^m(\cos\theta) \cos{m\phi}
Y_{n(s)}^m(\theta,\phi) = P_n^m(\cos\theta) \sin{m\phi}

Kulové funkce jsou ortogonální na jednotkové kulové ploše.

Ortonormální bázi na S2 tvoří kulové funkce definované vztahem

Y_n^m(\theta,\phi) = {(-1)}^m \sqrt{\frac{(2n+1)(n-m)!}{4\pi (n+m)!}} P_n^m(\cos\theta) \mathrm{e}^{\mathrm{i}m\phi}

[editovat] Podívejte se také na