Sigma algebra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

σ-algebra je systém M podmnožin množiny X, pro který platí následující podmínky

  1. X \in M
  2. je-li A \in M, pak je také A^\prime \in M, kde A^\prime je doplněk množiny A v X
  3. je-li A sjednocením spočetného počtu množin A_i \in M, tzn. A = \cup_{i=1}^\infty A_i, pak také A \in M

[editovat] Množinová algebra

Je-li v poslední podmínce povoleno sjednocení pouze konečného počtu podmnožin A_i \in M, tzn. A = \cup_{i=1}^n A_i pro i = 1,2,...,n, pak se jedná o tzv. množinovou algebru.

Množinová algebra je tedy speciálním případem σ-algebry, který získáme tak, že od určitého n položíme A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \emptyset, čímž podmínka spočetného sjednocení přejde na konečné sjednocení n prvků množiny M.

[editovat] Vlastnosti

Z první a druhé podmínky plyne, že prvkem σ-algebry je také \emptyset, tzn. \emptyset \in M, neboť \emptyset je doplňkem množiny X, která podle první podmínky do systému M také patří.

Jsou-li A,B prvky σ-algebry M, pak je také rozdíl AB je prvkem σ-algebry M.