Sférická trigonometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sférická trigonometrie je součást trigonometrie, která zkoumá vztahy mezi prvky sférického trojúhelníku, tedy trojúhelníku na sférické ploše.

Obsah

[editovat] Základní pojmy

Průnik kulové plochy a roviny, která prochází středem této kulové plochy, označujeme jako hlavní kružnici kulové plochy. Vedlejší kružnicí nazýváme průnik kulové plochy a roviny, která neprochází středem kulové plochy.

Sférickou vzdáleností bodů A,B na kulové ploše označujeme délku menšího z oblouků hlavní kružnice, která prochází body A a B. Sférická vzdálenost protějších bodů kulové plochy je rovna polovině délky hlavní kružnice.

[editovat] Sférický dvojúhelník

Sférický dvojúhelník.
Sférický dvojúhelník.

Část kulové plochy, která je ohraničena oblouky dvou různých hlavních kružnic, označujeme jako sférický dvojúhelník.

[editovat] Sférický trojúhelník

Sférický trojúhelník.
Sférický trojúhelník.

Část kulové plochy, která je ohraničena třemi oblouky hlavních kružnic, které spojují tři body kulové plochy (neležící na jedné hlavní kružnici), nazýváme sférickým trojúhelníkem. Jsou-li délky všech stran sférického trojúhelníka rovny sférickým vzdálenostem, pak se jedná o tzv. Eulerův trojúhelník.

Velikost strany sférického trojúhelníku měříme jako velikost úhlu, který svírají polopřímky ze středu kulové plochy, které procházejí krajními body dané strany.


Velikosti stran a úhlů sférického trojúhelníku jsou omezeny podmínkami

0 < a + b + c < 2π
π < α + β + γ < 3π

Jako sférický exces (nadbytek) se označuje číslo

\varepsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi

Sférickým defektem se nazývá číslo

d = 2π − (a + b + c)

[editovat] Pravoúhlý sférický trojúhelník

Je-li jeden z úhlů sférického trojúhelníku pravý, např. \gamma=\frac{\pi}{2}, pak hovoříme o pravoúhlém sférickém trojúhelníku. Podobně jako v případě rovinného pravoúhlého trojúhelníku označujeme stranu proti pravému úhlu jako přeponu a strany tvořící ramena pravého úhlu jako odvěsny.

Sférický exces lze v pravoúhlém sférickém trojúhelníku vyjádřit vztahem

\operatorname{tg}\frac{\varepsilon}{2} = \operatorname{tg}\frac{a}{2} \,\operatorname{tg}\frac{b}{2},

kde a,b jsou odvěsny pravoúhlého sférického trojúhelníku.


Základní prvky pravoúhlého sférického trojúhelníku lze vypočítat z jiných dvou daných prvků podle tzv. Neperova pravidla.

\sin a = \sin\alpha \,\sin c = \operatorname{tg} b \,\operatorname{cotg}\beta
\sin b = \sin\beta \,\sin c = \operatorname{tg} a \,\operatorname{cotg}\alpha
\cos c = \cos a \,\cos b = \operatorname{cotg}\alpha \,\operatorname{cotg}\beta
\cos\alpha = \cos a \,\sin\beta = \operatorname{cotg} c \,\operatorname{tg}b
\cos\beta = \sin\alpha \,\cos b = \operatorname{cotg} c \,\operatorname{tg} a

[editovat] Věty pro sférický trojúhelník

V obecném sférickém trojúhelníku lze definovat sinovou větu jako

sina:sinb:sinc = sinα:sinβ:sinγ


Větu kosinovou lze definovat pro strany

\cos a = \cos b \,\cos c + \sin b \,\sin c \,\cos\alpha
\cos b = \cos c \,\cos a + \sin c \,\sin a \,\cos\beta
\cos c = \cos a \,\cos b + \sin a \,\sin b \,\cos\gamma

nebo také pro úhly sférického trojúhelníku

\cos\alpha = -\cos\beta \,\cos\gamma + \sin\beta \,\sin\gamma \,\cos a
\cos\beta = -\cos\gamma \,\cos\alpha + \sin\gamma \,\sin\alpha \,\cos b
\cos\gamma = -\cos\alpha \,\cos\beta + \sin\alpha \,\sin\beta \,\cos c

[editovat] Aproximace rovinným trojúhelníkem

Pro malý sférický trojúhelník platí, že takový trojúhelník lze nahradit rovinným trojúhelníkem, jehož úhly mají velikost o \frac{1}{3} menší než úhly sférického trojúhelníku.

[editovat] Podívejte se také na