Moment hybnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose.


Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Obsah

[editovat] Značení

[editovat] Výpočet

Moment hybnosti \mathbf{L} je určen vektorovým součinem jako

\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p},

kde \mathbf{r} je polohový vektor a \mathbf{p} je hybnost.

[editovat] Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu \mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t},

kde \mathbf{r} je polohový vektor, \mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} je rychlost, m je hmotnost tělesa (hmotného bodu) pohybujícího se po kruhové dráze, \mathbf{M} je moment síly a \mathbf{L} je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin \mathbf{v}\times m\mathbf{v} je roven nule.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu O je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro i-tý hmotný bod podle vztah \mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}. Z vlastností momentu síly pak plyne

\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t},

kde \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i představuje celkový moment hybnosti.

[editovat] Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí \mathbf{w} a momentem hybnosti jako

\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}

[editovat] Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako \mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}. Moment hybnosti soustavy n hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]

kde \mathbf{r}_i označuje polohu i-tého hmotného bodu s hmotností mi vzhledem k těžišti a \mathbf{\omega} je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti \mathbf{\omega} vhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako ωxyz a složky průvodiče \mathbf{r}_i jako xi,yi,zi, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření momentu setrvačnosti J pak lze získat

Lx = ωxJx − ωyDxy − ωzDzx
Ly = ωyJy − ωzDyz − ωxDxy
Lz = ωzJz − ωxDzx − ωyDyz

kde Ji jsou momenty setrvačnosti k i-té ose a Dij jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

L1 = J1ω1
L2 = J2ω2
L3 = J3ω3

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}

[editovat] Rotační impuls

Pro časový účinek momentu hybnosti můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls \mathbf{b}

\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}

Pokud je silový moment \mathbf{M} po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)

[editovat] Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu stejný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu hybnosti: tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

[editovat] Podívejte se také na