Lp prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Název tohoto článku není z technických důvodů zcela správný. Správný název by měl být Lp-prostor či Lp-prostor.

Prostor Lp(a,b) (1\leq p<\infty) je metrický prostor, který je „skoro“ tvořen měřitelnými funkcemi, jejichž p-tá mocnina je integrovatelná v \langle a,b\rangle. Vzdálenost v tomto prostoru je pak definována vztahem

d(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}

Důležité jsou např. podprostory L2(a,b) tvořené reálnými (či komplexními) funkcemi, které jsou spojité, resp. po částech spojité na intervalu \langle a,b\rangle a integrovatelné s kvadrátem. Vzdálenost dvou bodů tohoto prostoru je tedy dána vztahem

d(f,g) = \sqrt{\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^2 \mathrm{d}x}


[editovat] Obecné Lp-prostory

Obecněji, je možné definovat Lp-prostory pro p\in(0,\infty\rangle na prostorech Ω s nezápornou mírou μ, a sice následujícím způsobem. Pro reálnou či komplexní měřitelnou funkci definujeme

\begin{align} \|f\|_p &:= \left[\int |f|^p \,\mathrm{d}\mu\right]^\frac{1}{p}, \qquad 0<p<\infty, \\ \|f\|_{\infty} &:= \inf \{ \sup |g|:\, g \mbox{ je skoro vsude rovna } f \}, \end{align}

takže pro d(f,g):=\|f-g\|_p tato obecná definice splývá s výše uvedenou. Prvky prostoru Lp(Ω) pak jsou přesně ty funkce, pro které je \|f\|_p < \infty. Pro funkce f skoro všude (tj. až na množinu míry 0) nulové však platí \|f\|_p = 0, takže je ještě nutné považovat za identické funkce, které jsou si skoro všude rovné.

Lp-prostory mají zajímavé vlastnosti. Pro p\in\langle 1,\infty\rangle se ukazuje, že \|\cdot\|_p je norma a prostor je Banachův. Pro p = 2 jde dokonce o Hilbertův prostor.

Nejdůležitějšími příklady jsou:

  • prostory \ell^p, definované jakožto Lp-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky \ell^p jsou tedy jisté posloupnosti čísel.