Lagrangeova interpolace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Chceme-li aproximovat funkci, která je dána svými hodnotami v n + 1 bodech xi,i = 0,1,...,n (body xi nazýváme uzly interpolace), a požadujeme-li, aby aproximace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem. Aproximace nám potom poslouží k získání přibližné hodnoty zadané funkce v libovolném bodě intervalu < x0,xn > .

Máme-li zadány hodnoty funkce f v n + 1 různých bodech, tzn. máme zadáno n + 1 tzv. interpolačních podmínek pro polynom, je zřejmé, že stupeň hledaného polynomu bude n. Lze ukázat, že mezi všemi polynomy nejvýše n-tého stupně existuje právě jeden, který je interpolačním polynomem pro zadanou funkci. Pro určení interpolačního polynomu existuje několik postupů, ale je třeba si uvědomit, že pro zadanou funkci všechny postupy určí stejný polynom.

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Langrangeův interpolační polynom je jedním ze známějších a také snadných způsobů interpolace funkce zadané pouze v diskrétních bodech. Nechť tedy máme dáno n+1 bodů, přes které funkce prochází. Pak můžeme pomocí rovnice popsané ve Wikiknihách nalézt interpolační funkci, která se původní rovnici snaží co nejvíce přiblížit.

Soubor:Lagrange.gif
Příklad užití Lagrangeova polynomu pro interpolaci čtyř bodů

[editovat] Ukázka konstrukce interpolačního polynomu

Ukázka je převzata z anglické wikipedie z článku Lagrange polynomial.

Obrázek vpravo ukazuje čtyři body ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)) proložené (kubickým) interpolačním polynomem L(x), který je součtem pomocných polynomů y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) a y3l3(x). Zatímco interpolační polynom L(x) prochází všemi zadanými body, pomocné polynomy li(x) procházejí pouze svým řídícím bodem [xi; yi] a v ostatních bodech xj (ij) jsou rovny nule.

[editovat] Podívejte se také na

  • Geometrie – více informací o křivkách

[editovat] Externí odkazy