Hyperbolická diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako hyperbolickou parciální diferenciální rovnici (parciální diferenciální rovnici hyperbolického typu) funkce dvou nezávisle proměnných označujeme takovou lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu

A(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x^2}  + 2B(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x \part y} + C(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part y^2} + D(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part x} + E(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part y} + F(x,y)z(x,y) + G(x,y) = 0,

pro niž je následující determinant menší než nula

\delta = \begin{vmatrix} A(x,y) & B(x,y) \\ B(x,y) & C(x,y) \end{vmatrix} < 0


Vhodnou souřadnicovou transformací lze hyperbolickou diferenciální rovnici převést do tzv. kanonického tvaru

\frac{\part^2 z}{\part x^2} - \frac{\part^2 z}{\part y^2} + a_1(x,y)\frac{\part z}{\part x} + b_1(x,y)\frac{\part z}{\part y} + c_1(x,y)z+d_1(x,y) = 0

Kanonický tvar bývá také zapisován v obecném tvaru

\frac{\part^2 z}{\part x^2} - \frac{\part^2 z}{\part y^2} = F\left(x,y,z,\frac{\part z}{\part x},\frac{\part z}{\part y}\right)

Používá se také jiný kanonický tvar, který zapisujeme jako

\frac{\part^2 z}{\part x \part y} = G\left(x,y,z,\frac{\part z}{\part x},\frac{\part z}{\part y}\right)


Rovnice hyperbolického typu mají dvě reálné charakteristiky \varphi_1(x,y)=C_1, \varphi_2(x,y)=C_2, které získáme integrací rovnice

A\mathrm{d}y - \left(B\pm \sqrt{B^2-AC}\right)\mathrm{d}x = 0

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích