Obalová křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obálka jednoparametrické soustavy křivek.
Obálka jednoparametrické soustavy křivek.

Obalovou křivkou (obálkou) jednoparametrické soustavy křivek se nazývá taková křivka k, která se dotýká každé křivky z dané soustavy křivek a zároveň je každý její bod bodem dotyku s některou křivkou soustavy.

Jednoparametrickou soustavu rovinných křivek lze zapsat rovnicí

F(x,y,z) = 0,

přičemž funkce F je spojitou funkcí proměnných x,y,c pro [x,y]\in\Omega, kde Ω je oblast roviny xy, a pro c\in\mathbf{I}, kde \mathbf{I} je určitý interval. Volbou parametru c lze získat určitou konkrétní rovinnou křivku, přičemž se předpokládá, že různým hodnotám c odpovídají různé křivky.

[editovat] Rovnice obálky

Jestliže v okolí bodu [x0,y0,c0] má funkce F(x,y,c) spojité parciální derivace \frac{\part F}{\part x}, \frac{\part F}{\part y}, \frac{\part F}{\part c}, \frac{\part^2 F}{\part c\part x}, \frac{\part^2 F}{\part c\part y}, \frac{\part^2 F}{\part c^2} a jsou v tomto bodě splněny rovnice

F(x0,y0,c0) = 0
\frac{\part F}{\part c}(x_0,y_0,c_0) = 0
\frac{\part^2 F}{\part c^2} \neq 0
\begin{vmatrix} \frac{\part F}{\part x} & \frac{\part F}{\part y} \\ \frac{\part^2 F}{\part c\part x} & \frac{\part^2 F}{\part c\part y} \end{vmatrix} \neq 0

pak v určitém okolí bodu [x0,y0] a pro c z okolí bodu c0 existuje obálka soustavy F(x,y,c) = 0.

Rovnici této obálky lze získat z rovnic

F(x,y,c) = 0
\frac{\part F}{\part c}(x,y,c)=0

Proměnnou c vyjádříme z druhé rovnice prostřednictvím proměnných x,y (nebo můžeme vyjádřit x,y pomocí c) a dosadíme do první rovnice, tzn.

F(x,y,c(x,y)) = 0

Pokud není některá z přechozích podmínek splněna, pak uvedená rovnice nemusí být obálkou dané soustavy křivek.

[editovat] Podívejte se také na