Kleinova-Gordonova rovnice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové teorie. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.
Zde m je klidová hmotnost částice, c je rychlost světla ve vakuu,
je Planckova konstanta, ψ je vlnová funkce a
je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.
(
je Laplaceův operátor,
je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)
Obsah |
[editovat] Motivace
Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián
vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii
, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.
[editovat] Odvození
Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je
kde m je klidová hmotnost částice,
je vektor hybnosti a c je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.
(Konstanta i je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:
Rovnici vydělíme
, odečteme pravou stranu a získáme
kde je na levé straně již vidět působení operátoru
na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.
Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta
, kde m je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.
V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je
a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar
[editovat] Problémy
Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci
v okamžiku t = t0, ale zároveň i její derivaci
. V důsledku z toho také plyne, že veličina
která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.











