Normální rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Normální (nebo Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti je jedno z nejdůležitějších rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny.

Tímto rozdělením pravděpodobnosti se sice neřídí velké množství veličin, ale jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpodobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních).

V souvislosti s normálním rozdělením jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální rozdělení také označováno jako zákon chyb. Podle tohoto zákona se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin.

Obsah

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti.
Hustota normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry μ a σ2, pro -\infty<\mu<\infty a σ2 > 0, je pro -\infty<x<\infty definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}.

Normální rozdělení se většinou značí \operatorname{N}(\mu,\sigma^2). Rozdělení \operatorname{N}(0,1) bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota normálního rozdělení je

\operatorname{E}(X) = \mu

Normální rozdělení má rozptyl

σ2(X) = σ2

Pro medián dostaneme

x0,5 = μ

Koeficienty šikmosti i špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tzn.

γ1 = 0
γ2 = 0

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru

m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}


Pro přirozená čísla k lze momenty psát jako

μ2k − 1 = 0
\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}

[editovat] Distribuční funkce

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(t-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}t

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi.

[editovat] Vícerozměrné rozdělení

Máme-li s-rozměrný náhodný vektor X, jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}

pro -\infty<x_i<\infty, i = 1,2,...,s, kde \mathbf{C} je symetrická, pozitivně definitní matice a \mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T a \mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o s-rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

[editovat] Charakteritiky vícerozměrného rozdělení

Momentovou vytvořující funkci lze vyjádřit jako

m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}

Z předchozího vztahu lze odvodit, že \mathbf{\mu} představuje vektor středních hodnot a \mathbf{C} kovarianční matici.

[editovat] Marginální rozdělení

Marginálním rozdělením veličiny Xi je jednorozměrné normální rozdělení \operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2), marginálním rozdělením veličin Xi,Xj pro i\neq j je dvourozměrné normální rozdělení, atd.

[editovat] Generování vícerozměrného rozdělení z jednorozměrného rozdělení

Vektor X náhodných hodnot podle vícerozměrného normálního rozdělení můžeme generovat podle následujícího vztahu.

\bold X = \bold L \bold Z + \bold{\mu}

[editovat] Podívejte se také na