Ideál (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek je o algebraickém pojmu. Pokud chcete znát jiné významy, podívejte se na rozcestník.

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Obsah

[editovat] Definice

Množina \emptyset \neq I \subseteq R, kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

  • pro každé a,b \in I je také a-b \in I
  • pro každé a \in I a každé r \in R je také r\cdot a \in I resp. a\cdot r \in I

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

[editovat] Příklady ideálů

  • V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
  • Každá podmnožina tvaru (a)=\{a\cdot r;r\in R\} je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
  • V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).

[editovat] Operace s ideály

  • průnik ideálů I,J je ideál I\cap J, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
  • součet ideálů I,J je ideál \,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
  • součin ideálů I,J je ideál I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}

[editovat] Vlastnosti

  • Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li I \neq R a pro každý ideál J, že I\subseteq J, je I = J nebo J = R.
  • Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé a,b \in R takové, že a\cdot b \in I, je buďto a \in I nebo b \in I.

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

  • Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
  • Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
  • Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika