Metrický prostor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.
Obsah |
[editovat] Definice
Metrický prostor je dvojice
, kde
je libovolná neprázdná množina a ρ je tzv. metrika, což je zobrazení
,
které splňuje následující axiomy (pro libovolná
):
- Axiom totožnosti:

- Axiom symetrie:

- Trojúhelníková nerovnost:

Z axiomů 1 a 3 vyplývá také nezápornost, někdy jmenovaná mezi základními vlastnostmi:
.
Hodnota
bývá nazývána vzdáleností bodů
v metrice
.
[editovat] Příklady
- Množina reálných čísel spolu s metrikou ρ(x,y) = | x − y | (absolutní hodnota), kde x,y jsou libovolné body množiny
, tvoří úplný metrický prostor. - Nejjednodušší vícerozměrnou variantou předchozího příkladu je tzv. součtová či manhattanská metrika (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na Manhattanu, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os). Ta je na množině
definována jako
- Na množině
lze definovat tzv. euklidovskou metriku, která vyjadřuje délku úsečky mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá euklidovský prostor dimenze n a označuje se En. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též Pythagorova věta):
- Jinou metriku lze na
definovat vztahem
- Metrickým prostorem
nazýváme prostor všech spojitých funkcí na intervalu
s metrikou
- „Rozdílnost“ dvou spojitých funkcí na intervalu (a,b) měří tzv. integrální metrika
- Levenshteinova vzdálenost vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou textových řetězců, kterou vyjadřuje jako počet změn, které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
- Délka nejkratší cesty v grafu je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).
[editovat] Porovnání metrik
Mějme na neprázdné množině
dvě libovolné metriky ρ1,ρ2. Následující výroky jsou ekvivalentní:
- každá množina
otevřená v metrice ρ1 je otevřená také v metrice ρ2 - každá množina
uzavřená v metrice ρ1 je uzavřená také v metrice ρ2 - pro každé
platí
, kde
značí uzávěr množiny
vzhledem k metrice ρi. - pro každé
platí
, kde
značí vnitřek množiny
vzhledem k metrice ρi. - každé okolí bodu
v metrice ρ1 je okolím také v metrice ρ2. - identické zobrazení metrického prostoru
na
je spojité. - každá posloupnost {xn} bodů z
, která v metrickém prostoru
konverguje k x, konverguje ke stejné limitě také v prostoru
.
Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami ρ1 a ρ2. Je-li přitom
, pak o takto definovaných metrikách říkáme, že ρ2 je silnější než ρ1 (nebo ρ1 je slabší než ρ2).
O metrikách ρ1,ρ2 na
řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina
je otevřená v metrice ρ1 právě tehdy, když je otevřená v metrice ρ2. Jsou-li metrikyρ1,ρ2 ekvivalentní, pak pro každou množinu
platí
, kde
je uzávěr množiny
v metrice ρi. Jestliže jsou metriky ρ1,ρ2 ekvivalentní, pak pro každou množinu
také platí
, kde
je vnitřek množiny
v metrice ρi.






