Normovaný vektorový prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vektorový prostor V, na kterém je každému vektoru x přiřazena jeho norma, tzn. pro každé \mathbf{x} \in V existuje zobrazení x \to \|\mathbf{x}\|, se nazývá normovaný.


Je výhodné, pokud lze normu definovat pomocí skalárního součinu. V takovém případě říkáme, že norma je indukována skalárním součinem. Některé normy však skalárním součinem indukovány nejsou.


V normovaném vektorovém prostoru je norma indukována skalárním součinem tehdy, pokud platí tzv. rovnoběžníková identita, která říká, že pro libovolné vektory x, y prostoru V platí

{\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\|}^2 + {\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|}^2 = 2 ({\|\mathbf{x}\|}^2 + {\|\mathbf{y}\|}^2)

Normovaný úplný prostor se nazývá Banachův.