Asymptota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Asymptota.
Asymptota.

Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí zmenšuje a v nekonečnu se protínají.

Obsah

[editovat] Definice

Mějme bod T rovinné křivky a přímku p. Označme vzdálenost bodu T od přímky jako ν. Pokud alespoň jedna souřadnice bodu T roste nade všechny meze a současně \lim\nu=0, pak se přímka p nazývá asymptotou.

[editovat] Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

[editovat] Asymptota se směrnicí

Přímka y = ax + b je asymptotou grafu funkce y = f(x) se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)-ax-b}{x}=0.

Je-li rovnice asymptoty y = ax + b, potom platí:

a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}
b =\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)

[editovat] Asymptota bez směrnice

Je-li funkce y = f(x) definovaná pro x \neq a \in \mathsf{R}, potom graf funkce f má asyptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže exituje alespoň jednostranná limita v bodě a a je nevlastní.

Rovnice takové asymptoty je potom

x = a \,.

[editovat] Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný bod.

[editovat] Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

y = ax + b + μ(x),

přičemž \lim_{x\to+\infty}\mu(x)=0, pak přímka y = ax + b je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku y = f(x) vztah \lim_{x\to\pm\infty}y=b, pak asymptotou křivky je přímka y = b.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku x = g(y) platí \lim_{y\to\pm\infty}x=c, pak asymptotou křivky je přímka x = c.

[editovat] Podívejte se také na