Hypocykloida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hypocykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnitřní straně nehybné kružnici.

Hypocykloida je speciálním případem hypotrochoidy.

Obsah

[editovat] Prostá hypocykloida

Prostá hypocykloida.
Prostá hypocykloida.

Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnitřní oblasti, opisuje rovinnou křivku, která se nazývá prostá (obecná, obyčejná) hypocykloida.

Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat ve tvaru

x = (a-b)\cos\left(\frac{b}{a}t\right) + b\cos\left(\frac{a-b}{a}t\right)
y = (a-b)\sin\left(\frac{b}{a}t\right) - b\sin\left(\frac{a-b}{a}t\right)

kde a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr kružnice hybné.

Je-li jako parametr použit úhel otočení χ, pak dostaneme

x = (a-b)\cos\chi + b\cos\left(\frac{a-b}{b}\chi\right)
y = (a-b)\sin\chi - b\sin\left(\frac{a-b}{b}\chi\right)

kde a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr kružnice hybné.

[editovat] Vlastnosti

Důležitou charakteristikou prosté hypocykloidy je poměr \frac{a}{b}.

Je-li \frac{a}{b}=m celé číslo, pak je prostá hypocykloida uzavřená křivka s m větvemi, které vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.

Je-li \frac{a}{b} racionální číslo \frac{p}{q}, pak je prostá hypocykloida uzavřená křivka s p větvemi, které vzniknou při q obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.

Je-li \frac{a}{b} iracionální číslo, pak prostá hypocykloida není uzavřenou křivkou a má nekonečně mnoho větví.

Pro délku části oblouku jedné větve prosté hypocykloidy platí vztah

s = 8\frac{b}{a}(a-b)\sin^2\frac{a\chi}{4b}

pro \chi\in\left\langle 0,\frac{2b\pi}{a}\right\rangle. Pro délku jedné větve prosté hypocykloidy pak podle dostaneme

s = 8\frac{b}{a}(a-b)

Pro poloměr křivosti v bodě (různém od hrotu) prosté hypocykloidy platí vztah

R = \left|\frac{4b(a-b)}{a-2b}\sin\frac{a\chi}{2b}\right|

Ve vrcholu pak platí

R = \left|\frac{4b(a-b)}{a-2b}\right|

[editovat] Zkrácená a prodloužená hypocykloida

Zkrácená a prodloužená hypocykloida.
Zkrácená a prodloužená hypocykloida.

Jestliže tvořící bod hypocykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od středu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnitř hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje křivku označovanou jako zkrácená hypocykloida (křivka k1 na obrázek), leží-li vně hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje křivku označovanou jako prodloužená hypocykloida (křivka k2 na obrázek).

Zkrácenou a prodlouženou hypocykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

x = (a-b)\cos\left(\frac{b}{a}t\right) + d\cos\left(\frac{a-b}{a}t\right)
y = (a-b)\sin\left(\frac{b}{a}t\right) - d\sin\left(\frac{a-b}{a}t\right)

kde t je úhel odvalení, a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr hybné kružnice.

Použijeme-li jako parametr úhel otočení χ, lze parametrické rovnice zapsat jako

x = (a-b)\cos\chi + d\cos\left(\frac{a-b}{b}\chi\right)
y = (a-b)\sin\chi - d\sin\left(\frac{a-b}{b}\chi\right)

[editovat] Speciální případy

[editovat] Asteroida

Asteroida.
Asteroida.

Zvláštní případ prosté hypocykloidy získáme pro b=\frac{a}{4}. Tato hypocykloida se nazývá asteroida.


Parametrické rovnice asteroidy jsou

x = b\left[3\cos\chi + \cos\left(3\chi\right)\right]
y = b\left[3\sin\chi - \sin\left(3\chi\right)\right]

neboli

x = 4b\cos^3\chi = a\cos^3\frac{t}{4}
y = 4b\sin^3\chi = a\sin^3\frac{t}{4}

Je-li počátek soustavy souřadnic ve středu křivky a hrot na ose x, pak lze asteroidu vyjádřit rovnicí

x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} = a^\frac{2}{3}

neboli

{(x^2+y^2-a^2)}^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0

[editovat] Úsečka a elipsa

Podrobnější informace naleznete v článku Elipsanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Pro b=\frac{a}{2} přechází prostá hypocykloida na úsečku, čehož se využívá k přeměně otáčivého pohybu na pohyb kmitavý (přímočarý). Prodloužená a zkrácená hypocykloida přechází pro b=\frac{a}{2} v elipsu s rovnicemi

x = \left(\frac{a}{2}+d\right)\cos\frac{t}{2}
y = \left(\frac{a}{2}-d\right)\sin\frac{t}{2}

Také tato skutečnost je využívána v technické praxi pro převod otáčivého pohybu na pohyb eliptický.

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích