Laplaceova transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Laplaceova transformace je jedním ze základních matematických nástrojů nejen teorie automatického řízení. Transformaci odvodil již roku 1812 francouzský matematik Pierre Simon de Laplace (1749-1827). Nebyl ale první - již roku 1737 použil tuto transformaci (pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic) Leonhard Euler. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systému spojitě pracujících v čase (v tomto smyslu je Laplaceova trasformace protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy). Výhodné užití L.transformace spočívá v možnosti snadného převodu funkcí z časové oblasti do oblasti komplexní. Důsledkem toho se pak složité matematické operace v okruhu diferenciálních rovnic, jenž bychom museli složitě počítat při analýze a syntéze systémů řízení, mohou nahradit mnohem jednodušími algebraickými operacemi.

[editovat] Definice Laplaceovy transformace

Nechť je funkce f(t) spojitě (nebo alespoň po částech spojitě) definována pro každé t na časovém intervalu <0;\infty). Pak Laplaceova transformace funkce f(t) je definována integrálním vztahem

L\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\, dt

kde s je komplexní nezávisle proměnná a L značí Laplaceovu transformaci. Z definičního integračního vztahu je zřejmé, že po integraci se funkce f(t) stává pouze funkcí s a můžeme tak psát, že

L\{f(t)\}=F(s)\,\!

Funkci f(t) nazýváme originálem a funkci F(s) obrazem funkce f(t).

Poznámka: I v případě, že funkce f(t) je na celém intervalu <0;\infty) spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí f(t) vyhovovat podmínce \lim_{t \to \infty} |f(t)| e^{-st}=0. Tím je dokázáno, že např. funkce f(t)=e^{t^2} tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje. Dále v oblasti řízení se čas chápe jako nezávislá proměnná, která nabývá vždy jen kladných hodnot. Máme-li tedy libovolnou funkci \tilde{f(t)}definovanou na celém intervalu (-\infty;\infty), pak funkci f(t), kterou podrobujeme Laplaceově transformaci, chápeme ve smyslu

f(t)=\begin{cases} \tilde{f(t)} & \mbox{pro } t \geq 0, \\0 & \mbox{pro } t<0. \end{cases}

[editovat] Vlastnosti Laplaceovy transformace

Množina hodnot s, pro něž integrál konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro danou funkci v bodě s0, pak konverguje v každém bodě s, pro který platí \Re[s]>\Re[s_0]. Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy \Re[s]>R, kde R je dáno chováním funkce f(t) pro t\to\infty .

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem

f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}\, ds,


kde c je libovolné reálné číslo, pro které platí c > R (jinými slovy integrujeme po přímce \Re[s]=c v oblasti konvergence).

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:


\mathcal{L}f^{(n)} = s^n\mathcal{L}f - s^{n-1}f(0+) - ... - sf^{(n-2)}(0+) - f^{(n-1)}(0+)


\mathcal{L} značí Laplaceovu transformaci. Vzorec je odvozen pomocí integrace per partes a vzorec platí, pokud jednotlivé derivace existují. Jejich význam spočívá v přímém začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.