Kovariantní derivace
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V matematice slouží kovariantní derivace k určení derivace podél tečných vektorů na varietě.
Obsah |
[editovat] Motivace
Parciální derivací kontravariantního vektoru Tι dostaneme
. Veličiny
se však netransformují jako tenzory. Z definice parciální derivace totiž plyne
V tomto vztahu se však vyskytuje rozdíl dvou vektorů v různých místech prostoru, což již není vektor. Podobné tvrzení platí i pro kovariantní vektory.
Abychom se tomuto problému vyhnuli, provedeme nejprve paralelní přenos vektoru Tι do bodu xλ + Δxλ, takže v čitateli limity bude odečítat Tι(xλ + Δxλ) a paralelně přenesený vektor
ve stejném bodě.
[editovat] Absolutní derivace
Uvažujme křivku xι = xι(u), na níž zvolíme pevný bod xι(u0). Podél této křivky mějme vektorové pole Tι(u). Přeneseme-li paralelně Tι(u0) do všech ostatních bodů křivky, dostaneme podél křivky nové pole Tι(u0,u).
Nyní lze definovat tzv. absolutní derivaci Tι(u) podél křivky xι = xι(u) v bodě xι(u0) jako
Tento výraz lze upravit
kde bylo využito toho, že
a
je afinní konexe.
[editovat] Kovariantní derivace
Máme-li vektorové pole Tι(x) definované v okolí bodu
, můžeme vést tímto bodem libovolnou křivku
, podél které lze určit absolutní derivaci Tι v
. Využijeme-li toho, že
, lze pro u0 absolutní derivaci vyjádřit jako
Výraz v hranaté závorce se nazývá kovariantní derivace a značí se
Podobným postupem lze získat také kovariantní a absolutní derivaci kovariantního vektoru. Pro obecný tenzor
pak platí
[editovat] Vlastnosti
Kovariantní derivace vektoru Tι, tzn.
je tenzor. Kovariantní derivace zvyšuje řád tenzoru o 1. Absolutní derivace vektoru je vektor.
Absolutní a kovariantní derivace skaláru jsou definovány jako obyčejné derivace.
Platí známá pravidla pro derivování součinu, tzn.
Pro metrický tenzor platí důležité vztahy
Metrický tenzor se tedy při kovariantních derivacích chová jako konstanta. Může tedy být použit např. při zvyšování (snižování) indexu tenzoru v kovariantní derivaci, tzn.


![{\left.\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u}\right|}_{u_0} = \lim_{u\to u_0} \left[\frac{T^\iota(u)-T^\iota(u_0)}{u-u_0} - \frac{T_{\|}^\iota(u_0,u)-T_{\|}^\iota(u_0,u_0)}{u-u_0}\right] = \left[\frac{\mathrm{d}T^\iota}{\mathrm{d}u} + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota(x^\lambda(u))T^\kappa(u)\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\right]](../../../math/a/b/d/abdccbc0da2fac54c27696d32935ea21.png)
![\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u} = \left[T_{{},\lambda}^\iota + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota T^\kappa\right]\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}](../../../math/b/7/2/b72f9335431ea92d6bf33474a7510e49.png)










