Cantorova věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu
má potenční množina
obsahující všechny podmnožiny množiny
vyšší mohutnost, než
.
[editovat] Význam a důsledky
Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.
K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonálmí metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu
lze sestrojit prvek množiny
, který do tohoto zobrazení nepatří.
Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny
ke každé množině, jak je tomu například v Zermelo-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.
V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta k takzvanému Cantorovu paradoxu: Pokud je
množina všech množin, pak množina
všech jejích podmnožin má větší mohutnost než
, což je spor. Nepříjemné, že?
[editovat] Důkaz
Nechť
je libovolná množina a
množina všech podmnožin
(poteční množina). Tvrzení, že
má větší mohutnost než
, je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z
do
, které by bylo na. Toto ukážeme sporem:
Nechť existuje zobrazení
, které je na. Tedy pro každý prvek
(A je množina!) existuje nějaké
tak, že
.
Nyní definujme podmnožinu 
.
Y obsahuje ty prvky X, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením f. Y je zřejmě podmnožina X a tedy musí existovat
tak, že
. Mohou tedy nastat dvě možnosti:
, to je ale spor s definicí Y, podle které
, ale
,
, jenomže pak podle definice
musí být
což je opět spor.
Existence zobrazení
, které je na, vede ke sporu a tedy
má vždy větší mohutnost než
.

