Fourierova řada
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.
Fourierovy řady jsou pojmenovány po francouzském lékaři a matematikovi Josephu Fourierovi. Slouží k zápisu jakéhokoliv periodického průběhu pomocí goniometrických funkcí sinus a kosinus. Pomocí této řady lze rozložit i značně komplikované funkce, které by jinak byl problém zobrazit.
Obsah |
[editovat] Trigonometrická řada
Uvažujme funkci f(x) na intervalu
, která je na tomto intervalu kvadraticky integrabilní, tzn. splňuje podmínku
,
pak tuto funkci rozvineme v tzv. trigonometrickou řadu, která obsahuje goniometrické funkce
,
kde koeficienty určíme ze vztahů
pro k = 1,2,....
Vztahy pro určení koeficientů trigonometrického rozvoje se nazývají Eulerovy-Fourierovy vzorce.
Pokud je možné funkci f(x) rozložit ve stejnoměrně konvergentní trigonometrickou řadu, pak říkáme, že se jedná o Fourierovu řadu (nebo Fourierův rozvoj) funkce f(x). Koeficienty a0,a1,a2,...,b1,b2,... jsou tzv. Fourierovy koeficienty rozvoje funkce f(x).
Substitucí
získáme Fourierovu řadu na intervalu
, tzn.
Fourierovy koeficienty pak získáme ze vztahů
,
.
[editovat] Vlastnosti
- Je-li f(x) sudou funkcí, tzn. f(x) = f( − x), pak podle podle psledního vztahu platí bn = 0 pro všechna n. V rozvoji sudé funkce na intervalu
se tedy vyskytují pouze funkce
.
- Podobně pro liché funkce, tzn. f(x) = − f( − x), dostaneme pro všechna n, že an = 0. Rozvoj liché funkce tedy obsahuje pouze
.
- V praxi se funkce f(x) aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen přes několik prvních členů, přičemž se obecně s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.
[editovat] Komplexní tvar
Použijeme-li Eulerova vzorce, lze Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu
zapsat ve tvaru
Koeficienty cn lze vyjádřit prostřednictvím koeficientů an,bn jako
Dosadíme-li za an,bn lze koeficienty cn vyjádřit ve tvaru
pro
.
Jednou z výhod vyjádření Fourierovy řady v komplexním tvaru je to, že substitucí
je možné chápat Fourierovu řadu funkce f(x) jako mocninnou řadu
.
[editovat] Fourierův integrál
Uvažujme Fourierův rozvoj funkce f(x) na intervalu
.
Vyjdeme ze vztahů pro Fourierovu řadu na konečném intervalu − L < x < L. Dosadíme-li do tohoto rozvoje výrazy pro koeficienty an,bn, dostaneme s využitím vztahů mezi goniometrickými funkcemi výraz
V limitě pro
bude první člen nulový, neboť hodnotu integrálu, který konverguje a je tedy konečný, dělíme
. Můžeme tedy uvažovat pouze s druhou částí rozvoje.
Zavedeme proměnnou
. Pro
je
Proměnnou z lze v takovém případě považovat za spojitou. Uvedený rozvoj lze tedy pro
přepsat do tvaru
Pro
lze pomocí definice určitého integrálu přejít od sumace k integraci, tzn.
Úpravou integrandu dostaneme tzv. Fourierův integrál
,
kde
Fourierův integrál nahrazuje pro spojitý parametr z Fourierova řadu.
Integrál
je sudou funkcí, což umožňuje psát
Vzhledem k tomu, že integrál
je lichou funkcí, bude platit
Z předchozích vztahů pak použitím Eulerova vzorce dostaneme











![f(x) = \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \Delta z_n \int_{-L}^L f(u)\cos\left[z_n(u-x)\right]\mathrm{d}u](../../../math/9/5/2/952062f891900296dc38a7675758a492.png)
![f(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right]\mathrm{d}u](../../../math/2/e/4/2e42e7f5539fc8e85fbdafa213942506.png)


![f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\cos\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u](../../../math/e/e/4/ee4ac4fcb96ccc2c81842f00fd81b9d8.png)
![\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}z \int_{-\infty}^\infty f(u)\sin\left[z(u-x)\right] \mathrm{d}u = 0](../../../math/8/7/5/875357ec483f776a4eda22b93ba6b5c2.png)


