Grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Grupa je matematická struktura, která abstraktním způsobem popisuje symetrii. Je to množina společně s binární operací, mezi jejíž vlastnosti patří asociativita a existence inverzního prvku. Grupou je například množina všech permutací tříprvkové množiny s operací skládání (odpovídá to symetriím trojúhelníka) nebo množina všech Euklidovských transformací roviny s operací skládání (odpovídá symetriím Euklidovského prostoru).

Obsah

[editovat] Definice grupy

Množinu \mathbb{G}, na níž je definována binární operace tzn. zobrazení

\left \{ (a,b) \mapsto a + b \mbox{  resp.  } a \cdot b \right \} : \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}

nazýváme grupou a značíme (\mathbb{G}, +) resp. (\mathbb{G}, \cdot), platí-li vztahy

  • Asociativita: \forall a, b, c \in \mathbb{G}\quad  a + (b + c ) = (a + b) + c resp a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
  • Nulový nebo neutrální prvek: \exists 0 resp. 1 \in \mathbb{G} , že \forall a \in \mathbb{G} \quad a + 0 = 0 + a = a resp. a \cdot 1 = 1 \cdot a = a
  • Opačný či inverzní prvek: \forall a \in \mathbb{G}\  \exists b takový, že a + b = b + a = 0 resp. a \cdot b = b \cdot a = 1, ten pak značíme - a resp. a - 1

Označíme-li operaci jako sčítání (+), mluvíme o aditivní grupě, píšeme-li ji jako násobení, hovoříme o multiplikativní grupě a podobně.

Grupu nazýváme komutativní nebo Abelovou, platí-li \forall a, b \in \mathbb{G} \quad a + b = b + a resp a \cdot b = b \cdot a .

[editovat] Vlastnosti

  • Řádem grupy je mohutnost její množiny.
  • Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy, je označována jako prostá grupa (jednoduchá grupa). Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální Abelovy podgrupy, pak je označována jako poloprostá grupa (polojednoduchá grupa).

[editovat] Příklady grup

[editovat] Podívejte se také na


[editovat] Externí odkazy