Regulární zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mějme v n-rozměrné oblasti \mathbf{M} definováno n funkcí

\begin{matrix} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) \\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) \\ ... \\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_n) \end{matrix}

Tato soustava definuje zobrazení, které označíme jako regulární v oblasti \mathbf{M}, jestliže každá z funkcí fi(x1,x2,...,xn) má v \mathbf{M} spojité všechny parciální derivace prvního řádu a současně je nenulový jakobián, tzn.

\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} \ne 0


Je-li jakobián roven nule, pak zobrazení označujeme jako singulární.

[editovat] Vlastnosti

  • Každé regulární zobrazení je spojité. Opačné tvrzení obecně neplatí.
  • Při vzájemně jednoznačném regulárním zobrazení je obrazem oblasti opět oblast.
  • Inverzní zobrazení k danému regulárnímu zobrazení je také regulární, přičemž mezi jakobiány obou zobrazení platí vztah
\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} = \frac{1}{\frac{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)}{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}}
  • Zobrazení, které vznikne postupnou aplikací dvou regulárních zobrazení je opět regulárním zobrazením. Jakobián výsledného zobrazení je roven součinu jakobiánů obou zobrazení, tzn.
\frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)} = \frac{\mathrm{D}(y_1,y_2,...,y_n)}{\mathrm{D}(u_1,u_2,...,u_n)}\frac{\mathrm{D}(u_1,u_2,...,u_n)}{\mathrm{D}(x_1,x_2,...,x_n)}

[editovat] Podívejte se také na