Exaktní diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Diferenciální rovnici

p(x,y)\mathrm{d}x + q(x,y)\mathrm{d}y = 0 \,,

kde p(x,y),q(x,y) jsou spojité funkce na oblasti D (včetně prvních derivací), označujeme jako exaktní, jestliže levou stranu lze vyjádřit jako totální diferenciál nějaké funkce F(x,y). V takovém případě platí

\mathrm{d}F(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}\mathrm{d}x + \frac{\part F(x,y)}{\part y}\mathrm{d}y

Srovnáním předchozích vztahů tedy platí

p(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}
q(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part y}


Ze spojitosti prvých derivací funkcí p(x,y),q(x,y) a jejich vyjádření pomocí parciálních derivací funkce F(x,y) vyplývá rovnost smíšených derivací funkce F(x,y), tzn.

\left.\begin{matrix} \frac{\part^2 F(x,y)}{\part y\part x} = \frac{\part p(x,y)}{\part y} \\  \frac{\part^2 F(x,y)}{\part x\part y} = \frac{\part q(x,y)}{\part x}\end{matrix}\right\} \frac{\part p(x,y)}{\part y} = \frac{\part q(x,y)}{\part x}

Předchozí vztah představuje podmínku exaktnosti dané diferenciální rovnice.

[editovat] Řešení exaktní rovnice

Při řešení exaktní diferenciální rovnice vyjdeme ze vztahů p(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}, q(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part y}. Integrací těchto vztahů dostaneme

F(x,y) = \int p(x,y)\mathrm{d}x + f_1(y)
F(x,y) = \int q(x,y)\mathrm{d}y + f_2(x)


Funkce f1(y) představuje integrační konstantu, neboť při integraci přes x můžeme považovat y za konstantní. Podobně je tomu pro f2(x) ve vztahu k druhé proměnné.


Výslednou funkci F(x,y), která je řešením exaktní diferenciální rovnice, tedy získáme z předchozích vztahů tak, že oba integrály sečteme, přičemž členy, které se vyskytují v obou integrálech započítáme pouze jednou. Můžeme použít i jinou úvahu, podle které je řešením první integrál, kde za funkci f1(y) dosadíme ty členy z druhého integrálu, které závisí pouze na y. Obdobně můžeme za řešení považovat druhý integrál, kde za funkci f2(x) dosadíme ty členy z prvního integrálu, které závisí pouze na x.


[editovat] Převední do exaktního tvaru

Pokud není splněna podmínka exaktnosti, tzn. platí \frac{\part p}{\part y}\neq \frac{\part q}{\part x}, pak daná rovnice není exaktní rovnicí. Může však existovat tzv. integrační (integrující) faktor μ, kterým vynásobíme (neexaktní) rovnici, čímž ji převedeme do exaktního tvaru, tzn. dostaneme exaktní rovnici

μ(x,y)p(x,y)dx + μ(x,y)q(x,y)dy = 0

Podmínka exaktnosti má pak tvar

\frac{\part(\mu p)}{\part y} = \frac{\part (\mu q)}{\part x}

Integrační faktor vyhovuje podle těchto podmínek exaktnosti rovnici

\mu(x,y)\left[\frac{\part p(x,y)}{\part y} - \frac{\part q(x,y)}{\part x}\right] = \frac{\part\mu(x,y)}{\part x}q(x,y) - \frac{\part\mu(x,y)}{\part y}p(x,y)

Nalezení integračního faktoru μ(x,y) z předchozí rovnice je obvykle velmi těžké. V mnoha případech je však možné nalézt faktor μ, který závisí pouze na proměnné x nebo y, tzn. μ(x) nebo μ(y).

Pokud integrační faktor μ závisí pouze na x, pak \frac{\part\mu}{\part y}=0 a tedy výraz \frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{q} závisí pouze na x. Integrační faktor μ(x) pak určíme ze vztahu

\ln|\mu| = \int \frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{q}\mathrm{d}x

Podobně pokud integrační faktor μ závisí pouze na y, tedy \frac{\part \mu}{\part x}=0, bude výraz -\frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{p} záviset pouze na y. Integrační faktor μ(y) pak určíme ze vztahu

\ln|\mu| = -\int \frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{p}\mathrm{d}y

[editovat] Podívejte se také na