Matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o matematice. Další významy jsou uvedeny v článku Matice (rozcestník).

Matice je v matematice schématické uspořádání matematických objektů - prvků matice (též elementů matice) - do m řádků a n sloupců. Hovoříme o matici typu m \times n.

Vodorovnou n-tici prvků (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})\,, kde i = 1,2,...,m, označujeme jako i-tý řádek matice. Svislou m-tici čísel (a_{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj})\,, kde j = 1,2,...,n, označujeme jako j-tý sloupec matice.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.

Obsah

[editovat] Označení prvků matice

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Např. a53 leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a53, nebo první nahoře a druhý dole jako a53, což má význam jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Indexy se v české notaci (na rozdíl např. od notace anglické) neoddělují čárkou. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:

\mathbf{A}=\begin{pmatrix} {a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\ {a^2}_1 & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & {a^{m-1}}_n \\ {a^m}_1 & \dots & {a^m}_{n-1} & {a^m}_n \end{pmatrix},\mathrm{nebo} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & a_{(m-1)n} \\ a_{m1} & \dots & a_{m(n-1)} & a_{mn} \end{pmatrix}.

Pro zjednodušení se také používá zápisu

\mathbf{A} = (a_{ij}).

Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis

\mathbf{A} = {(a_{ij})}_{m,n}.

[editovat] Příklad

Matice

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{pmatrix}

je obdélníková matice velikosti 4×3. Prvek matice a23 nebo a23 je 7.

[editovat] Důvod dvojího značení

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru, není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), je potřeba, aby maticový zápis vektorů byl konzistentní s Einsteinovým sumačním pravidlem a obecně zápisem vektorů v obecných souřadnicích. Toto je splněno právě pokud index číslující sloupec umístíme nahoru a index číslující řádek dolů. Sloupcové vektory potom představují vektory, kdežto řádkové vektory jsou (k nim duální) lineární formy.

V mnoha učebních textech se však používá zjednodušená notace, kde prvky matice mají oba indexy dole.

[editovat] Diagonála matice

Podrobnější informace naleznete v článku Diagonálanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Prvky a11,a22,a33,..., leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky aij, kde i = j.

Prvky a1n,a2,n − 1,a3,n − 2,..., leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky aij, kde j = ni + 1.

Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

[editovat] Druhy matic

  • Matice typu 1 \times n je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice.
  • Matice typu n \times 1 je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice.
  • Je-li n = m, pak matici označujeme jako čtvercovou matici n-tého řádu (stupně). Pro n \neq m bývá matice označována jako obdélníková.
  • Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. aij = 0 pro všechna i,j, označujeme matici jako nulovou.
  • Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. aij = 0 pro i \neq j a a_{ij} \neq 0 pro i = j, nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice \mathbf{D} lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu
d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,,

kde \lambda_i = d_{ii}\, jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky λi diagonální matice platí \lambda_i = 1 \,, jedná se o jednotkovou matici \mathbf{E}, pro jejíž prvky platí

eij = δij
  • Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

  • Jsou-li m i n konečná čísla, označujeme matici jako konečnou.
  • Matici, která vznikne z matice \mathbf{A} vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme \mathbf{A}^T. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí
a_{ij}^T = a_{ji} \,
  • Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. \mathbf{A}^T = \mathbf{A}, pak matici \mathbf{A} označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí
a_{ij} = a_{ji} \,.
  • Matici \mathbf{A} označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah
a_{ij} = -a_{ji} \,.
  • Pokud každý prvek aij matice \mathbf{A} nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým, pak získáme matici \mathbf{A}^*, kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici.
  • Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. \mathbf{A}^* = \mathbf{A}, pak matici \mathbf{A} nazýváme reálnou maticí.
  • Provedeme-li na matici \mathbf{A} transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou. Hermiteovsky sdruženou matici zapisujeme jako
\mathbf{A}^+ = {(\mathbf{A}^T)}^*
  • Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. \mathbf{A}^+ = \mathbf{A}, říkáme, že matice \mathbf{A} je hermiteovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná).
  • Matice \mathbf{B} je inverzní maticí k matici \mathbf{A}, pokud platí
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},

kde \mathbf{1} je jednotková matice.

  • Matici \mathbf{A}, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
  • Matici \mathbf{A} označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice \mathbf{A}^{-1} je rovna matici hermiteovsky sdružené \mathbf{A}^+, tzn.
\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^T

[editovat] Operace s maticemi

Operace s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.

  • O dvou maticích \mathbf{A}, \mathbf{B} prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek aij matice \mathbf{A} je roven odpovídajícímu prvku bij matice \mathbf{B}. Rovnost matic \mathbf{A}, \mathbf{B} zapíšeme
\mathbf{A} = \mathbf{B}
  • Vynásobíme-li matici \mathbf{A} komplexním číslem λ, získáme novou matici \mathbf{B}, jejíž prvky jsou λ násobky prvků matice \mathbf{A}, tzn.
b_{ij} = \lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij}) \,

Výsledná matice \mathbf{B} je tedy stejného typu jako původní matice \mathbf{A}.

  • Mějme dvě matice \mathbf{A}, \mathbf{B} typu m \times n. Jako součet těchto matic označíme matici \mathbf{S} typu m \times n
\mathbf{S} = \mathbf{A} + \mathbf{B}

Prvky matice \mathbf{S} jsou určeny vztahem

s_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \,

Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.

  • Rozdíl dvou matic \mathbf{A}, \mathbf{B} (stejného typu m \times n) je nová matice \mathbf{R} typu m \times n
\mathbf{R} = \mathbf{A} - \mathbf{B}

Prvky matice \mathbf{R} jsou určeny vztahem

r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,

Rozdíl matic \mathbf{A} a \mathbf{B} lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.

\mathbf{L} = \lambda \mathbf{A} + \mu \mathbf{B} + ...,

kde prvky matice \mathbf{L} určuje výraz

lij = λaij + μbij + ...
  • Máme-li matici A typu m×s a matici B typu s×n pak, jejich součinem je matice C typu m×n, který značíme
\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B},

přičemž prvky matice C jsou určeny jako

c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}

nebo

{c^i}_j = \sum_{k=1}^{s} {a^i}_k {b^k}_j.

Násobení matic je také označováno jako maticové násobení.

  • Opakovaným násobením matice \mathbf{A} sama sebou lze vytvářet mocniny matic \mathbf{A}^k. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu
P(\mathbf{A}) = c_0 + c_1 \mathbf{A} + c_2 \mathbf{A}^2 + ... + c_n \mathbf{A}^n

[editovat] Podívejte se také na