Prázdná množina
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Prázdná množina je v matematice taková množina, která nemá žádné prvky. Značí se buď jednoduše {}, nebo velice často symbolem přeškrtnuté nuly
, někdy psané též jako
, popř. ∅ (tento znak však nemá nic společného se znakem Ø z některých skandinávských abeced).
Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá také označována jako neprázdná množina.
[editovat] Vlastnosti
- Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny:
- ∀ A: ∅ ⊆ A
- Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění:
- ∀ A: ∅ ∪ A = A
- Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
- ∀ A: ∅ ∩ A = ∅
- Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
- ∀ A: ∅ × A = A × ∅ = ∅
- Jedinou podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina:
- ∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
- Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná:
- |∅| = 0
Prázdná množina je zároveň otevřená i uzavřená. Prázdná množina je také kompaktní.
Uzávěrem prázdné množiny vůči libovolné operaci je prázdná množina.
Výsledek operace nad prázdnou množinou je závislý na definici konkrétní operace. Např. součet prvků prázdné množiny je 0, zatímco součin prvků prázdné množiny je 1. Jakkoli se to může zdát nelogické, je třeba si uvědomit, že neutrálním prvkem při sčítání je 0, zatímco při násobení jím je 1.
[editovat] Potíže
Správné pochopení konceptu prázdné množiny je často problematické. Např. u první uvedené vlastnosti, která říká, že prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny: Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Univerzální kvantifikátor je velice silný, takže se intuitivně může zdát, že pokud tuto podmínku musí splňovat každý prvek, tak těchto prvků musí být mnoho. Ovšem u prázdné množiny znamená každý totéž co žádný, neboť prázdná množina žádné prvky nemá. Proto je jakékoli tvrzení, které začíná slovy „všechny prvky prázdné množiny“ triviálně pravdivé, nepřináší žádnou zajímavou informaci.
Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina! Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je náhodou prázdnou množinou). Zde může pomoci představa množiny jako batohu, ve kterém jsou uloženy její prvky. Prázdná množina ∅ odpovídá prázdnému batohu – sice nic neobsahuje, ale sám o sobě existuje. Množina {∅} (což se dá zapsat jako {{}}) odpovídá batohu, uvnitř kterého je jiný prázdný batoh, což je evidentně odlišná situace!
Zajímavým využitím této vlastnosti je množinové zavedení přirozených čísel.
- 0 je reprezentována ∅, 1 je reprezentována {∅}, 2 {∅,{∅}} …

