Smíšený součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako smíšený součin označujeme výraz

\mathbf{S} = \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C})

Jde tedy o kombinaci skalárního a vektorového součinu. Pomocí složek vektorů A, B, C a Levi-Civitova symbolu můžeme smíšený součin zapsat jako

\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \varepsilon_{ijk} A_i B_j C_k

Tento vztah lze vyjádřit ve tvaru determinantu, tzn.

\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) = \begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{vmatrix}

[editovat] Geometrická interpretace

Absolutní hodnotu smíšeného součinu lze považovat za objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou tvořeny vektory A, B a C. Vektorový součin \mathbf{B} \times \mathbf{C} totiž určuje plochu vymezenou vektory B a C. Jde přitom o vektor, jehož velikost odpovídá velikosti plochy, a směr určuje normálu k této ploše. Skalární součin tohoto vektoru s vektorem A pak můžeme považovat za součin plochy rovnoběžnostěnu, která je určena vektory B a C, a výšky rovnoběžnostěnu, určené vektorem A.

[editovat] Vlastnosti

  • Často používanou vlastností smíšeného součinu je skutečnost, že při cyklické permutaci vektorů A, B, C se jeho hodnota nemění, tzn.
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}\cdot(\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A} \times \mathbf{B})
  • Jsou-li tři vektory lineárně nezávislé, pak je jejich smíšený součin různý od nuly. V opačném případě je jejich smíšený součin nulový.

[editovat] Podívejte se také na