Binetův vzorec (mechanika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V mechanice představuje Binetův vzorec rovnici popisující tvar trajektorie pohybu v centrálním poli. Obvykle se získá vyloučením času z pohybové rovnice, čímž se získá rovnice obsahující pouze prostorové proměnné.

[editovat] Rovnice

Uvažujme takový pohyb v centrálním poli, který probíhá v rovině xy a velikost momentu hybnosti L = Lz je nenulová, tzn. L_z\ne 0. Při popisu pohybu v centrálním poli je obvykle výhodné přejít ke sférickým souřadnicím.

Energii lze v centrálním poli vyjádřit jako

E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_e(r),

kde Ue(r) je tzv. efektivní potenciál určený vztahem

U_e(r) = U(r) + \frac{L_z^2}{2mr^2}

Člen \frac{L_z^2}{2mr^2} bývá označován jako tzv. odstředivý potenciál a U(r) je potenciál pole.

Nahradíme-li radiální souřadnici r za \rho = \frac{1}{r} a zaměníme-li časovou derivaci derivací podle \varphi, dostaneme po úpravě

{\left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\varphi}\right)}^2 + \rho^2 + \frac{2m}{L_z^2}U(\rho) = \frac{2m}{L_z^2}E

Derivací předchozího vztahu podle \varphi a po úpravě získáme Binetův vzorec ve tvaru

\frac{\mathrm{d}^2\rho}{\mathrm{d}\varphi^2} + \rho + \frac{m}{L_z^2}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\rho} = 0

Binetův vzorec tedy představuje upravenou pohybovou rovnici pro radiální souřadnici. Tento vzorec umožňuje určit tvar orbity v centrálním poli.

[editovat] Gravitační pole

Trajektorii částice, která se pohybuje ve sféricky symetrickém gravitačním poli, lze ve sférických souřadnicích v Newtonově gravitační teorii vyjádřit Binetovým vzorcem, který má tvar

\frac{\mathrm{d}^2\rho}{\mathrm{d}\varphi^2} + \rho = \frac{GM}{h^2}

a vztahem

r^2\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = h

kde \rho = \frac{1}{r}, M je hmotnost centrálního tělesa a h je specifický moment hybnosti testovací částice (tedy částice konající pohyb v centrálním poli), tedy moment hybnosti Lz částice dělený hmotností m částice, tzn. h=\frac{L_z}{m}.

[editovat] Podívejte se také na