Geodetická křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Geodetická křivka (geodetika) je křivka spojující dva body, která má ze všech možných křivek spojujících dané dva body nejmenší vzdálenost. V euklidovském prostoru jsou nejkratšími spojnicemi přímky, v Riemannově prostoru, který může být zakřivený, mohou být geodetikami křivky různého tvaru. V indefinitní metrice může taková spojnice dvou bodů měnit svůj charakter tím, že norma tečného vektoru mění své znaménko.

Obsah

[editovat] Geodetika na ploše

Je-li na ploše křivka, jejíž oskulační rovina v každém jejím bodě prochází normálou plochy ve stejném bodě, pak se jedná o geodetickou křivku plochy.

Existují-li na dané ploše dva různé body, pak jejich nejkratší spojnici představuje geodetická křivka, tzn. ze všech křivek spojujících dané dva body je oblouk geodetické křivky nejkratší.

Geodetická křivka má v každém svém bodě nulovou geodetickou křivost, tzn. kg = 0.

[editovat] Geodetika v Riemannově prostoru

Geodetika je nejkratší spojnice dvou bodů. V euklidovském prostoru jsou nejkratšími spojnicemi přímky, v Riemannově prostoru, který může být zakřivený, mohou být geodetikami křivky různého tvaru. V indefinitní metrice může taková spojnice dvou bodů měnit svůj charakter tím, že norma tečného vektoru mění své znaménko.


Nechť body x1,x2 prochází křivka xι = xι(u), přičemž xι(u1) = x1,xι(u2) = x2, a tečný vektor této křivky má stále kladnou nebo zápornou velikost. Hledejme extrém integrálu

s = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{\varepsilon g_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa},

kde \varepsilon = \sgn[g_{\iota\kappa}(x)\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa]=\pm 1 představuje indikátor metrické formy. Extrém integrálu lze hledat mezi všemi dostatečně blízkými křivkami stejného charakteru, s počátečním bodem x1 a koncovým bodem x2. Nalezenou křivku pak označíme jako geodetiku. Vzhledem k tomu, že křivku lze vždy prodlužovat, bude hledaným extrémem minimum.

Zavedeme funkcionál

L\left(x^\iota,\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}u}\right) = \sqrt{\varepsilon g_{\kappa\lambda}(x^\mu(u))\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}}

Pomocí tohoto funkcionálu lze integrál vyjádřit jako

s = \int_{u_1}^{u_2} L\left(x^\iota,\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}u}\right)\mathrm{d}u

Nalezení hledané křivky představuje řešení variačního problému δs = 0 s pevnými konci křivky. Jde tedy o řešení rovnice

\frac{\part L}{\part x^\iota} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\frac{\part L}{\part \left(\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}u}\right)} = 0

Dosazením funkcionálu do této rovnice dostaneme

\frac{g_{\kappa\lambda,\iota} \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}}{2\sqrt{\varepsilon g_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\beta}{\mathrm{d}u}}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \left(\frac{g_{\iota\lambda}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}}{\sqrt{\varepsilon g_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\beta}{\mathrm{d}u}}}\right) = 0


Zvolíme-li za parametr u oblouk křivky s, pak platí g_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\beta}{\mathrm{d}u}=\varepsilon, a předchozí rovnice se zjednoduší na

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(g_{\iota\lambda}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}\right) - \frac{1}{2}g_{\kappa\lambda,\iota} \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u} = 0

Po úpravě lze předchozí vztah vyjádřit pomocí absolutní derivace

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}s}\left(g_{\iota\lambda}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}s}\right) = 0

Po zvednutí indexu ι přejde předchozí rovnice na

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}s}\right) = \frac{\mathrm{d}^2 x^\iota}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma_{\,\kappa\lambda}^\iota \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}s} = 0

Tato rovnice bývá často označována jako rovnice geodetiky (Jako rovnice geodetiky však bývá označována i některá z předchozích rovnic).


Podle rovnice geodetiky se tečný vektor \frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}s} normovaný podmínkou g_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}x^\alpha}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\beta}{\mathrm{d}u} = \varepsilon přenáší podél geodetiky paralelně. Nenulové geodetiky mají tedy v riemannovském prostoru vlastnost nejpřímější čáry.

[editovat] Změna parametru

Uvažujme geodetiku s vhodnou parametrizací x = x(ν) takovou, že

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}\nu}\left(\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}\nu}\right) = \frac{\mathrm{d}^2 x^\iota}{\mathrm{d}\nu^2} + \Gamma_{\,\kappa\lambda}^\iota \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}\nu}\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}\nu} = 0

Pokud změníme parametrizaci tak, že u = u(ν), dostaneme rovnici geodetiky v libovolné parametrizaci

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}u} + \frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}u} \frac{\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\nu^2}}{{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\nu}\right)}^2} = 0

Dodatečný člen předchozí rovnici vymizí pouze při lineárních transformacích parametru, tzn. u = aν + b, kde a,b jsou konstanty. Uvedené parametry, pro které si rovnice geodetiky zachovává svou formu, se nazývají speciálními parametry.


Při paralelním přenosu se norma vektoru nemění, tzn.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\nu}\left(g_{\iota\kappa}\frac{\mathrm{d}x^\iota} {\mathrm{d}\nu}\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}\nu}\right) = \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}\nu} \left(g_{\iota\kappa} \frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}\nu}\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}\nu}\right) = 0

Podél geodetiky tedy platí

g_{\iota\kappa} \frac{\mathrm{d}x^\iota}{\mathrm{d}\nu}\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}\nu} = K,

kde K je konstanta.


Je-li K\neq 0 pak lze položit a=\sqrt{|K|}, takže novým speciálním parametrem bude oblouk křivky.

Na geodetikách s K = 0 nepatří oblouk křivky mezi speciální parametry. Nulové čary s K = 0 se nazývají izotropní (světelné) geodetiky.

[editovat] Podívejte se také na