Fundované jádro

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Fundované jádro (ozn. WF) je matematický pojem z oblasti teorie množin. V axiomatizaci ZF_ (Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti) vymezuje třídu množin, která je vnitřním modelem ZF v ZF_.

Obsah

[editovat] Definice

Fundované jádro lze definovat transfinitní rekurzí iterováním operace potence z prázdné množiny takto:

Nejprve definujeme posloupnost množin \,V_{\alpha} pro \alpha \in On (On je třída všech ordinálních čísel).

  • V_{0}= \emptyset
  • V_{\alpha +1}=\, P(V_{\alpha})
  • V_{\delta} = \bigcup_{\beta < \delta} V_{\beta} pro δ limitní

Fundované jádro (WF) pak definujeme \mathbb{WF}=\bigcup_{\alpha \in On} V_{\alpha}.

[editovat] Vlastnosti

Třída WF má mnoho důležitých vlastností.

[editovat] Uzavřenost WF

Třída WF je uzavřená na všechny definovatelné množinové operace a v důsledku tedy obsahuje i všechny definovatelné množinové konstanty (nulární operace), mezi něž patří speciálně všechny základní číselné obory. Dokonce množiny \mathbb{N, Z, Q, R, C} všech po řadě přirozených, celých, racionálních, reálných a komlexních čísel jsou prvky již množiny \, V_{\omega + \omega} z definice WF.

[editovat] WF jako model ZF

Třída WF je vnitřním modelem ZF v ZF_ (tj. ve WF platí všechny (do WF relativizované) axiomy ZF, včetně axiomu fundovanosti).

[editovat] Vztah WF a ∈

Třída WF je největší (vzhledem k inkluzi) [[tranzitivní množina|tranzitivní třída]], na níž je relace \in fundovaná.

[editovat] Mostowského věta o kolapsu

Mostovského věta o kolapsu říká, že ve WF lze pomocí ∈ simulovat všechny myslitelné binární relační struktury „příjemných“ vlastností. Zní takto:

Pro každou úzkou extenzionální (na A) a fundovanou (na A) relaci R na třídě A existuje jednoznačně určená tranzitivní podtřída T třídy WF taková, že struktury <R,A> a <∈,T> jsou izomorfní.

[editovat] Vztah ke třídě konstruovatelných množin

V ZF_ je dokazatelné \mathbb{L} \subseteq \mathbb{WF} \subseteq \mathbb{V}, kde \mathbb{L} je třída všech konstruovatelných množin a \mathbb{V} je univerzální třída.

[editovat] WF a axiom fundovanosti

Axiom fundovanosti platí ve WF (tj. platí zde jeho relativizace do WF). Axiom fundovanosti je dokonce ekvivalentní s tvrzením, že každá množina leží ve WF (tj. (AF) \Leftrightarrow (\mathbb{V}=\mathbb{WF})).

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika