Rotace (operátor)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se rot, případně (hlavně v anglické literatuře) curl. Je definován jako
(kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:
Rotace využívá např. Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.
Obsah |
[editovat] Vlastnosti rotace
Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:
Je lineární vůči reálným číslům
.
.
Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je
.
Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je
,
kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí
.
[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic
Následující vztahu udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí
Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3
Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí
kde
je Levi-Civitův pseudotenzor.
Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejnětak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.







