Identická relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Identická relace (někdy také prostě identita) na množině X \,\!, označovaná obvykle id_X \,\!, je binární relace, pro kterou platí:

id_X = \{(a,a); a \isin X \}

Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.

[editovat] Příklady a vlastnosti

Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).

[editovat] Identita jako nejmenší ekvivalence

Identita id_X \,\! je ekvivalence na množině X \,\! - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na X \,\! definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je id_X \,\! nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na X \,\! vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).

[editovat] Identita jako nejmenší neostré uspořádání

Identita je id_X \,\! je také neostré uspořádání množiny X \,\!. Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny věech neostrých uspořádání množiny X \,\!.