Geometrie
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Geometrie je jedna z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi a vzájemnými vztahy prostorových těles, ploch, bodů, přímek a rovin.
Slovo geometrie je řeckého původu a znamená zeměměřičství. Ve starověkém Egyptě a Babylonii byla totiž geometrie využívána k vyměřování pozemků a stavbě chrámů a pyramid pravidelných tvarů. Pozdější studium geometrických útvarů, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Geometrie bývá považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec.
Základy geometrie jako matematického oboru položil Euklides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Podařilo se mu tak založit geometrii, kterou označujeme jako euklidovskou geometrii. Euklidovu geometrii dělíme na rovinnou a prostorovou.
Později zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, tzn. geometrické problémy je možné řešit algebraickými metodami.
Dalším krokem bylo využití metod diferenciálního počtu k popisu geometrických útvarů. Tento přístup vedl ke vzniku diferenciální geometrie.
Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V modernějším pojetí se geometrie zabývá vlastnostmi prostoru, různými algebraickými strukturami na topologických objektech (typicky na varietách).
Obsah |
[editovat] Geometrické útvary
Geometrické útvary lze dělit podle různých vlastností:
- Základní geometrické útvary (bod, přímka, rovina, prostor)
- Lineární geometrické útvary (přímka, polopřímka, úsečka)
- Rovinné geometrické útvary – obrazce (polorovina, mnohoúhelníky, kružnice, kruh, kuželosečky, křivky a útvary vymezené křivkami
- Prostorové geometrické útvary – tělesa (hranoly (např. krychle, kvádr), válec, jehlan, kužel, koule, …)
- Množiny všech bodů dané vlastnosti
[editovat] Vzájemné polohy geometrických útvarů
- Podrobnější informace naleznete v článku Analytické vyjádření vzájemných poloh geometrických útvarůnaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
- Vzájemná poloha dvou bodů (vzdálenost)
- Vzájemná poloha bodu a přímky
- Vzájemná poloha bodu a kružnice
- Vzájemná poloha dvou přímek (rovnoběžky, různoběžky, mimoběžky, …)
- Vzájemná poloha dvou kružnic (vnější dotyk, vnitřní dotyk, …)
- Vzájemná poloha přímky a kružnice (tečna, sečna, …)
- Vzájemná poloha dvou rovin
[editovat] Metrické vlastnosti geometrických útvarů
Metrické vlastnosti jsou určovány definicí míry daného geometrického útvaru. Mírou v geometrii nazýváme zobrazení množiny bodů, které tvoří určitý geometrický útvar, na množinu
. Označíme-li daný geometrický útvar jako X, pak jeho míru lze zapsat jako μ(X).
Platí, že podobné geometrické útvary mají stejné míry. Pokud dva geometrické útvary X a Y nemají žádný společný (vnitřní) bod, pak platí
.
Jednotky jsou dány volbou geometrického útvaru, kterému přiřadíme jednotkovou velikost.
Základními mírami v geometrii jsou
- Délka (délka úsečky, …)
- Obvod (obvod trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
- Obsah (obsah trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
- Povrch (povrch krychle, válce, koule, …)
- Objem (objem krychle, válce, koule, …)
- rovinný úhel a prostorový úhel
- Trigonometrie (goniometrické funkce, věta sinová, věta kosinová, …)
[editovat] Geometrická zobrazení
- Podrobnější informace naleznete v článku Geometrické zobrazenínaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
- Shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, …)
- Podobná zobrazení (stejnolehlost, …)
- Prostorová zobrazení (rovnoběžné promítání, axonometrie, perspektiva, …)
[editovat] Analytická geometrie
- Podrobnější informace naleznete v článku Analytická geometrienaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
- Soustava souřadnic
- Rovnice geometrického útvaru (rovnice přímky, roviny, kružnice, elipsy, paraboly, …)
- Analytické vyjádření vzájemných poloh geometrických útvarů
[editovat] Modelování křivek
Pro více informací navštivte text věnovaný geometrickému modelování na projektu Wikibooks.
[editovat] Interpolační křivky
[editovat] Aproximační křivky
[editovat] Bézierovy křivky
- Bézierova křivka
- Racionální Bézierova křivka
- Algoritmus de Casteljau
- Racionální Algoritmus de Casteljau

