Charakteristika náhodné veličiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, není však dostatečně přehledné.

Obsah

[editovat] Podle popisované vlastnosti

Podle popisované vlastnosti lze charakteristiky rozdělit na

[editovat] Charakteristiky polohy

Podrobnější informace naleznete v článku Míra polohynaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Charakteristiky polohy jsou určité hodnoty, které lze považovat za střed, kolem kterého náhodné veličiny kolísají.

Nejčastěji používanou charakteristikou polohy je střední hodnota. Často užívanými charakteristikami jsou také medián a modus.

[editovat] Charakteristiky variability

Charakteristiky variability určují velikost odchylek náhodné veličiny od nějaké charakteristiky polohy.

Nejpoužívanějšími charakteristikami variability jsou rozptyl, směrodatná odchylka, střední odchylka, popř. variační koeficient nebo mezikvartilové rozpětí.

[editovat] Charakteristiky šikmosti a špičatosti

Charakteristiky šikmosti a špičatosti charakterizují tvar křivky hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny.

Charakteristikou šikmosti je koeficient šikmosti. Charakteristikou špičatosti je koeficient špičatosti.


[editovat] Podle způsobu vytvoření

Charakteristiky lze také dělit podle způsobu jejich vytvoření na

[editovat] Momentové charakteristiky

Momentové charakteristiky jsou funkcemi všech hodnot, kterých náhodná veličiny může nabývat.

Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.


[editovat] Kvantilové charakteristiky

Kvantilové charakteristiky jsou hodnoty xP náhodné veličiny X, pro které platí podmínka F(xP) = P, kde F je distribuční funkce a P je definovaná hodnota pravděpodobnosti.

Mezi kvantilové charakteristiky patří kvantily, speciálně např. medián nebo modus.

[editovat] Vícerozměrná náhodná veličina

Charakteristiky vícerozměrné náhodné veličiny, tedy náhodného vektoru, můžeme rozdělit na marginální charakteristiky, podmíněné charakteristiky a charakteristiky, které poskytují informaci o vztahu mezi jednotlivými složkami náhodného vektoru.

[editovat] Marginální charakteristiky

Marginální charakteristiky poskytují informaci o vlastnostech marginálního rozdělení. Marginální charakteristiky jsou totožné s jednorozměrnými charakteristikami a platí pro ně stejné vztahy.


Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami X a Y, pak pro veličinu X lze určit marginální střední hodnotu a marginální rozptyl vztahy

\operatorname{E}(X) = \sum_x x P_1(x)
D(X) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 P_1(x)

Jsou-li složky X,Y spojité, pak platí

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f_1(x)\mathrm{d}x
D(X) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 f_1(x)\mathrm{d}x,

kde f1 je marginální hustota pravděpodobnosti.

Obdobné vztahy získáme také pro veličinu Y. Při určování ostatních marginálních charakteristik postupujeme podobně jako v případě jednorozměrných charakteristik.

[editovat] Podmíněné charakteristiky

Podmíněné charakteristiky popisují vlastnosti podmíněného rozdělení.


Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami X a Y, pak lze určit podmíněnou střední hodnotu a podmíněný rozptyl veličiny X za podmínky, že Y = y vztahy

\operatorname{E}(X|y) = \sum_x x P(x|y)
D(X|y) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 P(x|y)

Jsou-li složky X,Y spojité, pak platí

\operatorname{E}(X|y) = \int_{-\infty}^\infty x f(x|y)\mathrm{d}x
D(X|y) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 f(x|y)\mathrm{d}x

Obdobně jsou definovány také E(Y | x) a D(Y | x).

[editovat] Charakteristiky poskytující informaci o závislosti mezi veličinami

Podrobnější informace naleznete v článku Korelacenaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Míru statistické závislosti mezi proměnnými určuje korelace. Při větší (statistické) závislosti proměnných je větší hodnota jejich korelace.

[editovat] Kovariance

Kovariance je střední hodnota součinu odchylek obou náhodných veličin X,Y od jejich středních hodnot.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny X,Y, pak vztah mezi těmito veličinami lze vyjádřit pomocí kovariance C(X,Y), která je definována jako

C(X,Y) = \operatorname{E}\left\{[X-\operatorname{E}(X)][Y-\operatorname{E}(Y)]\right\} = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)


Kovariance může nabývat hodnot z intervalu (-\infty,\infty). Kovariance poskytuje informaci o intenzitě vztahu mezi dvěma veličinami.

[editovat] Koeficient korelace

Při výpočtech je však místo kovariance výhodnější používat koeficient korelace ρ(X,Y) definovaný vztahem

\rho(X,Y) = \frac{C(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)},

kde σ(X) a σ(Y) jsou směrodatné odchylky veličin X,Y.


Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu \langle -1,1\rangle. Pro ρ = + 1 je mezi X,Y přímá lineární závislost. Pro ρ = − 1 je mezi X,Y nepřímá lineární závislost. Pro ρ = 0 jsou veličiny X,Y lineárně nezávislé, a říkáme o nich, že jsou nekorelované. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy neznamená obecnou nezávislost obou veličin X a Y, ale pouze nezávislost lineární.

[editovat] Kovarianční matice

K popisu n-rozměrného náhodného vektoru používáme tzv. kovarianční matici

\mathbf{C} = \begin{pmatrix} D(X_1) & C(X_1,X_2) & \cdots & C(X_1,X_n) \\ C(X_2,X_1) & D(X_2) & \cdots & C(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C(X_n,X_1) & C(X_n,X_2) & \cdots & D(X_n) \end{pmatrix}

kde na hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých veličin Xi, tzn. D(Xi), a pro i\neq j jsou C(Xi,Xj) kovariance veličin Xi a Xj.

Kovarianční matice je symetrická.

[editovat] Korelační matice

Kromě kovarianční matice lze pro n-rozměrnou veličinu vytvořit také korelační matici \mathbf{\rho}, která má na hlavní diagonále jedničky, tzn. ρii = 1, a mimo hlavní diagonálu koeficienty korelace mezi veličinami Xi a Xj, tedy ρij = ρ(Xi,Xj).

Korelační matice je symetrická.


[editovat] Podívejte se také na