# Afinní konexe

### Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Afinní konexe označuje v matematice a fyzice objekt, který umožňuje provádět transformace křivočarých souřadnic.

## [editovat] Definice

Afinní konexi lze v Riemannově prostoru vyjádřit pomocí metrického tenzoru jako

  ,

kde čárkou je označena parciální derivace podle dané souřadnice.

Vyjdeme-li z požadavku, aby při se paralelním přenosu v Riemannově prostoru po křivce x = x(u) zachovávala norma vektoru T, pak lze psát

kde bylo využito symetrie metrického tenzoru, označuje paralelně přenesený vektor T a čárkou je označována parciální derivace. V určitém bodě x musí tato rovnice platit pro libovolný vektor Tι a pro libovolnou volbu směru. Musí tedy platit

  gικ,λ − Γικλ − Γκιλ = 0

kde . Vzhledem k symetrii metrického tenzoru lze přechozí vztah zapsat v ekvivalentním tvaru

  gικ,λ = 2Γ(ικ)λ

Permutací indexů (a vhodnou změnou znaménka) můžeme zapsat soustavu rovnic

  gικ,λ − Γικλ − Γκιλ = 0
  − gκλ,ι + Γκλι + Γλκι = 0
  gλι,κ − Γλικ − Γιλκ = 0

Sečtením těchto rovnic získáme uvedený definiční vztah.

Afinní konexe bývá také zapisována jako

  ,

kde cικλ jsou tzv. strukturní koeficienty.

## [editovat] Christoffelovy symboly

Veličiny Γικλ bývají také zapisovány jako [ι,κλ] a označovány jako Christoffelovy symboly prvého druhu. Podobně bývají veličiny zapisovány jako a označovány jako Christoffelovy symboly druhého druhu.

## [editovat] Vlastnosti

- Afinní konexe není tenzor, tzn. při transformaci souřadnic se netransformuje jako tenzor.
- V prostorech, v nichž jsou strukturní koeficienty nulové, což je případ využívaný v obecné teorii relativity, platí Γικλ = Γιλκ.

### [editovat] Integrabilita afinní konexe

Integrabilita afinní konexe.

Uvažujme dva body x1,x2 Riemannova prostoru, které jsou spojeny křivkami . Při paralelním přenosu podél křivek k a vektoru T, který má v x1 hodnotu T1, dostaneme v bodě x2 dvě různé hodnoty T2 (podél křivky k) a (podél křivky ).

Pokud mezi libovolnými dvěma body prostoru (nebo jeho části) platí pro libovolné pole T, pak říkáme, že přenos směru je integrabilní, popř. přenos afinní konexe je integrabilní.

Je-li afinní konexe integrabilní, pak v případě, že vektorové pole protneme libovolnou křivkou x = x(u), budou vektory T(x(u)) podél této křivky rovnoběžné. To vede k tomu, že absolutní derivace tohoto pole je podél dané křivky nulová, tzn.

Poněvadž křivku v předchozím vztahu lze vést libovolným směrem , musí platit

  ,

kde středník označuje kovariantní derivaci. Kovariantní derivací předchozího vztahu dostaneme . Vzhledem k libovolnosti pole T musí v případě integrabilní afinní konexe platit v celé vyšetřované oblasti pro tenzor křivosti vztah

  .

Je-li tedy afinní konexe integrabilní, je prostor plochý.

## [editovat] Podívejte se také na

- Metrický tenzor
- Paralelní přenos
- Riemannův tenzor křivosti
- Obecná teorie relativity

Soubor:Matematika - matematický pahýl (antialiasing).png | Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../a/f/i/Afinn%C3%AD_konexe.html“

Kategorie: Matematické pahýly | Riemannova geometrie

##### Views

- Článek
- Diskuse
- Aktuální verze

##### Hledání

##### V jiných jazycích

- English