Asymptotická řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Asymptotickou řadou nazýváme takovou řadu, jejíž zbytkový člen Rn vyhovuje pro všechna n podmínce

\lim_{x \to \infty} x^n R_n(x)=0


Při rozvoji funkce f(x) v řadu v mnoha případech postačuje znalost rozvoje pro velké hodnoty x, tzn. pro x \to \infty. Funkce f(x) je tedy nahrazována asymptotickou řadou - hovoříme o asymptotickém rozvoji funkce.


Uvažujme řadu

\sum_{k=0}^\infty A_kz^{-k} = A_0 + \frac{A_1}{z} + \frac{A_2}{z^2} + ...

Označíme-li součet prvních n + 1 členů této řady sn(z), pak tato řada představuje asymptotický rozvoj funkce f(z) tehdy, je-li splněna podmínka původní podmínka, tzn.

\lim_{\left|z\right| \to\infty} z^n\left[f(z)-s_z(z)\right] = 0

O asymptotický rozvoj se jedná i v případě, že tato řada diverguje.


Skutečnost, že daná řada je asymptotickým rozvojem funkce f(z) zapisujeme jako

f(z) \sim \sum_{k=0}^\infty A_k z^{-k}


Danou funkci lze vyjádřit nejvýše jedním asymptotickým rozvojem. Řada však může představovat rozvoj několika různých funkcí.


Asymptotický rozvoj funkce se často používá ve fyzice.

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura

  • Kvasnica J.: Matematický aparát fyziky