Riemannův tenzor křivosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Riemannův (Riemannův-Christoffelův) tenzor křivosti zachycuje v Riemannově geometrii křivost Riemannova prostoru. Riemannův tenzor křivosti lze použít k vyjádření křivosti libovolné variety s afinní konexí.

Riemannův tenzor křivosti lze považovat z míru nekomutativnosti kovariantních derivací.

Obsah

[editovat] Definice

Riemannův tenzor lze vyjádřit pomocí afinních konexí a kovariantních derivací jako

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w.

Složky tenzoru křivosti bývají obvykle vyjadřovány vztahem

R_{{ }\kappa\lambda\mu}^\iota = 2\left(\Gamma_{{ }\kappa[\lambda,\mu]}^\iota + \Gamma_{{ }\kappa[\lambda}^\rho \Gamma_{{ }\rho\mu]}^\iota \right),

kde čárkou je označena parciální derivace.

Vzhledem k tomu, že kovariantní derivace nejsou v křivém prostoru záměnné (narozdíl od parciálních derivací) bude pro složky kovariantního vektoru Tκ platit

2 T_{\kappa;[\lambda\mu]} = -T_\iota R_{{ }\kappa\lambda\mu}^\iota

Podle tohoto vztahu tedy v obecném případě nejsou kovariantní derivace kovariantního vektoru záměnné.

Podobně lze pro složky kontravariantního vektoru Tκ získat

2 T_{\,;[\lambda\mu]}^\kappa = -T^\iota R_{\,\iota\lambda\mu}^\kappa


Předchozí vztahy jsou speciálními případy výrazu pro obecný tenzor T_{\rho\cdots}^{\sigma\cdots}, tzn.

2 T_{\rho\cdots;[\lambda\mu]}^{\sigma\cdots} = - T_{\iota\cdots}^{\sigma\cdots} R_{\,\rho\lambda\mu}^\iota - \cdots - T_{\rho\cdots}^{\iota\cdots} R_{\,\iota\lambda\mu}^\rho - \cdots

Vyjádřením Riemannova tenzoru v kovariantním tvaru dostaneme

R_{\iota\kappa\lambda\mu} = g_{\iota\nu} R_{\,\kappa\lambda\mu}^nu = 2g_{\iota\nu} \Gamma_{\,\kappa[\lambda,\mu]}^\nu + 2 \Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\rho \Gamma_{\iota\rho\mu]} = g_{\iota[\lambda,\kappa\mu]} + g_{\kappa[\mu,\iota\lambda]} + 2\Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\nu \Gamma_{\nu\iota\mu]}

Vzhledem k tomu, že v křivém prostoru nejsou kovariantní derivace záměnné, nejsou tam záměnné ani absolutní derivace, tzn.

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{D}T_\kappa}{\mathrm{d}v} - \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}v}\frac{\mathrm{D}T_\kappa}{\mathrm{d}u} = T_\iota R_{\,\kappa\lambda\mu}^\iota \frac{\part x^\lambda}{\part u}\frac{\part x^\mu}{\part v}

[editovat] Vlastnosti

Riemannův tenzor je antisymetrický v prvních dvou indexech i v posledních dvou indexech, tzn.

Rικλμ = − Rικμλ = − Rκιλμ

Riemannův tenzor je symetrický vůči záměně první a druhé dvojice indexů, tzn.

Rικλμ = Rλμικ

Hodnoty Riemannova tenzoru jsou navíc omezeny rovnicí

Rικλμ + Rιλμκ + Rιμκλ = 0


Z předcházejících podmínek lze určit počet nezávislých položek Riemannova tenzoru jako

\frac{1}{12}n^2(n^2-1),

kde n je dimenze daného prostoru. Pro prostoročas je n = 4, takže odpovídající Riemannův tenzor má 20 nezávislých složek.

[editovat] Bianchiho identita

Riemannův tenzor splňuje tzv. Bianchiho identitu

Rικλμ;ν + Rικμν;λ + Rικνλ;μ = 0

[editovat] Zúžené formy Riemannova tenzoru

[editovat] Ricciho tenzor

Zúžením Riemannova tenzoru v prvním a třetím indexu dostáváme tzv. Ricciho tenzor

R_{\kappa\mu} = R_{\,\kappa\iota\mu}^\iota = g^{\iota\lambda} R_{\iota\kappa\lambda\mu} = g^{\lambda\iota} R_{\lambda\mu\iota\kappa} = R_{\mu\kappa}

Ricciho tenzor je tedy symetrický tenzor druhého řádu.

Z vlastností tenzoru křivosti plyne, že kontrakcí Riemannova tenzoru v libovolných dvou indexech vznikne (až na znaménko) Ricciho tenzor nebo nula

[editovat] Skalární křivost

Zúžením Ricciho tenzoru dostaneme tzv. skalární křivost

R = gκμRκμ

[editovat] Einsteinův tenzor

Postupným úžením Bianchiho identity v ιν a κλ získáme s využitím dalších zúžených forem vztahy

R_{\,\kappa\lambda\mu;\iota}^\iota - R_{\kappa\mu;\lambda} + R_{\kappa\lambda;\mu} = 0
- R_{\,\mu;\iota}^\iota - R_{\,\mu;\kappa}^\kappa + R_{;\kappa} = - 2{\left(R_\mu^\kappa - \frac{1}{2}R\delta_\mu^\kappa\right)}_{;\kappa} = 0

Definujeme tzv. Einsteinův tenzor jako

G^{\iota\kappa} = R^{\iota\kappa} - \frac{1}{2} R g^{\iota\kappa}

S pomocí tohoto tonzoru lze předchozí vztah zapsat jako

G_{\,\,;\kappa}^{\iota\kappa} = 0

Divergence Einsteinova tenzoru je tedy nulová.

[editovat] Podívejte se také na