Cykloida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cykloida generovaná valícím se kolem
Cykloida generovaná valícím se kolem

Cykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Obsah

[editovat] Prostá cykloida

Prostá cykloida.
Prostá cykloida.

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

x = a(t − sint)
y = a(1 − cost)

kde a je poloměr kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

x = a \arccos \frac{a-y}{a} - \sqrt{y(2a-y)}

pro y\in\langle 0,2a\rangle, resp.

x = a\left(2\pi - \arccos\frac{a-y}{a}\right) + \sqrt{y(2a-y)}

pro y\in\langle 0,2a\rangle.

Perioda cykloidy je a.


Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od vrcholu do bodu [x,y] je

s = 4a\left(1-\cos\frac{t}{2}\right)

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

s = 8a

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

S = 4πa2

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

r = \left|4a\sin\frac{t}{2}\right|

Poloměr první křivosti ve vrcholu je

r = 4a

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy x posunuta o πa souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy y je posunuta o 2a nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

[editovat] Zkrácená a prodloužená cykloida

Zkrácená cykloida.
Zkrácená cykloida.
Prodloužená cykloida.
Prodloužená cykloida.

Pokud bod pevně spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru a je d, pak pro d < a získáme cykloidu zkrácenou a pro d > a cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

x = atdsint
y = adcost

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy

Cykloidy v Cabri
Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)