Singularita (geometrie)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V geometrii se jako singularita (singulární bod) takový bod křivky, plochy nebo prostoru, kterému lze přiřadit dvě různé souřadnice. V opačném případě se jedná o regulární (obecný, obyčejný) bod.

Obsah

[editovat] Singularity křivky

Jsou-li v daném bodě křivky určené parametrickými rovnicemi x = x(t),y = y(t),z = z(t) její derivace spojité, přičemž {\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2 > 0 a danému bodu nepřísluší dva různé parametry t1 a t_2\neq t_1, pak takový bod křivky označujeme jako regulární bod křivky. V opačném případě se jedná o singulární bod křivky.

[editovat] Odstranitelná singularita

Jestliže na křivce vyjádřené parametrickými rovnicemi x = x(t),y = y(t),z = z(t) s parametrem t existuje singulární bod, přičemž křivku je možno vyjádřit parametrickými rovnice s parametrem t^\prime tak, že odpovídající bod je regulární, pak hovoříme o odstranitelné singularitě.

[editovat] Vícenásobný bod

Vícenásobný bod křivky.
Vícenásobný bod křivky.

Pokud různým hodnotám parametru t křivky přísluší jeden jediný bod [x0,y0,z0], tzn. křivka sama sebe v daném bodě protíná, pak takový singulární bod označujeme jako vícenásobný. V případě přesně určeného počtu protnutí křivky hovoříme o bodě dvojnásobném, trojnásobném, atd.

[editovat] Typy singularit

Prochází-li regulárním bodem křivky přímka, pak pro všechny přímky s výjimkou tečny je tento průsečík jednoduchý. Tečna je jediná přímka, pro niž je tento průsečík nejméně dvojnásobný.


Singulárním bodem křivky prochází nekonečně mnoho přímek, které mají tento bod za průsečík s danou křivkou za několikanásobný, alespoň dvojnásobný.

[editovat] Singularity rovinné křivky

Dvojnásobným bodem [x0,y0] rovinné křivky F(x,y) = 0 prochází pouze dvě přímky, které mají v daném bodě s křivkou styk nejméně trojnásobný. Směrnici k těchto dvou přímek určuje rovnice

\frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part x^2} + 2k\frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part x\part y} + k^2 \frac{\part^2 F(x_0,y_0)}{\part y^2} = 0

Řešením získáme směrnice k1,k2 tečen křivky v jejím dvojnásobném bodě [x0,y0].

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2} - \frac{\part^2 F}{\part x\part y} <0,

pak existují dvě různé reálné tečny, tzn. k_1\neq k_2. Takový bod se nazývá uzlem křivky.

Je-li v daném bodě splněna podmínka

\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2}-\frac{\part^2 F}{\part x\part y}=0,

pak existují dvě reálné splývající tečny, tzn. k1 = k2. Daný bod může být buď tzv. hrotem (bodem vratu) křivky nebo může jít o bod, v němž se křivka dotýká sama sebe, tzv. bod samodotyku.

Pokud je v daném bodě splněna podmínka

\frac{\part^2 F}{\part x^2}\frac{\part^2 F}{\part y^2}-\frac{\part^2 F}{\part x\part y}>0,

pak v daném bodě křivky neexistují reálné tečny. Takový bod se nazývá izolovaným bodem.

U transcendentních křivek se mohou vyskytovat i jiné druhy singulárních bodů. Může jít např. o koncový bod nebo úhlový bod.

[editovat] Podívejte se také na