Homogenní diferenciální rovnice
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Homogenní diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru
Homogenní rovnice bývá také zapisována ve tvaru
,
kde M(x,y),N(x,y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Z této rovnice získáme předchozí rovnicei, jestliže položíme
.
Homogenní rovnice je označována jako homogenní právě díky přítomnosti homogenních funkcí. Ty způsobují, že zavedení nových proměnných X = cx,Y = cy nezpůsobí změnu původní rovnice, neboť
a také
.
[editovat] Řešení
Homogenní rovnici řešíme substitucí
, tzn. y = ux a
. Dosazením do homogenní rovnice dostaneme
a separací proměnných získáme integrály
Pravou stranu určíme podle základních integračních vztahů a po integraci levé strany dosadíme zpět za u výraz
.
[editovat] Převedení na homogenní rovnici
Na homogenní rovnici často převádíme diferenciální rovnice typu
Použijeme substituce x = X − k1,y = Y − k2, kde k1,k2 jsou konstanty volené tak, aby platilo
- a1x + b1y + c1 = a1X + b1Y
- a2x + b2y + c2 = a2X + b2Y
Konstanty k1,k2 jsou tedy řešením soustavy (algebraických) rovnic
- a1k1 + b1k2 = c1
- a2k1 + b2k2 = c2
Pokud je determinant soustavy nenulový, tzn.
, pak existuje právě jedno řešení k1,k2 a danou rovnici můžeme přepsat
Je-li determinant soustavy nulový a současně b1 = b2 = 0, pak dostáváme rovnici
Řešení této rovnice lze získat přímo integrací, tzn.
Je-li determinant soustavy nulový a
, pak nulový determinant tvoří podmínku, podle níž platí
. Jmenovatel pak můžeme zapsat jako
- a2x + b2y + c2 = λ(a1x + b1y) + c2
Použijeme-li substituce
, můžeme uvedenou rovnici přepsat do tvaru
Tuto rovnici je opět možné přímo integrovat.









