Otevřená množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Množina topologického prostoru je otevřená, pokud se můžeme z každého bodu o kousek posunout v kterémkoliv směru a stále zůstaneme v této množině.

Otevřená množina není opak uzavřené. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené.

Obsah

[editovat] Definice

[editovat] Topologické prostory

Při definici topologických prostorů je otevřená množina základní pojem. Začne se s libovolnou množinou X a souborem jejích podmnožin τ, které splňují všechny vlastnosti, které by otevřené množiny měly mít. (Sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina, navíc prázdná množina a X jsou otevřené.) Takový soubor podmnožin τ se nazývá topologie na X a společně definují topologický prostor (X,τ). Otevřené množiny jsou pak právě prvky topologie τ.

[editovat] Metrické prostory

Každý metrický prostor X s metrikou d je topologický prostor s topologií generovanou metrikou. (Topologii generuje množina všech otevřených koulí U(x,r) = \{y \in X; d(x,y) <r\}.) V této topologii můžeme otevřenou množinu definovat intuitivnějším způsobem.

Podmnožina A metrického prostoru X je otevřená, pokud pro každý její bod x existuje koule se středem v x, která celá leží v A. Tedy pro každý bod x \in A existuje ε > 0 tak, že každé y \in X \quad d(x, y) < \epsilon leží v A.

[editovat] Vlastnosti otevřených množin

Sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřená.

Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou otevřené.

[editovat] Použití otevřených množin

Otevřené množiny se používají k definici obecnějších pojmů, k definicím limit posloupností, spojitosti, kompaktnosti apod.

Pro každou množinu topologického prostoru existuje její největší otevřená podmnožina, která se nazývá vnitřek.

Spojité zobrazení je takové, pokud vzory otevřených množin jsou otevřené.

[editovat] Podívejte se také na