Hypocykloida
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hypocykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnitřní straně nehybné kružnici.
Hypocykloida je speciálním případem hypotrochoidy.
Obsah |
[editovat] Prostá hypocykloida
Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnitřní oblasti, opisuje rovinnou křivku, která se nazývá prostá (obecná, obyčejná) hypocykloida.
Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat ve tvaru
kde a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr kružnice hybné.
Je-li jako parametr použit úhel otočení χ, pak dostaneme
kde a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr kružnice hybné.
[editovat] Vlastnosti
Důležitou charakteristikou prosté hypocykloidy je poměr
.
Je-li
celé číslo, pak je prostá hypocykloida uzavřená křivka s m větvemi, které vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li
racionální číslo
, pak je prostá hypocykloida uzavřená křivka s p větvemi, které vzniknou při q obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li
iracionální číslo, pak prostá hypocykloida není uzavřenou křivkou a má nekonečně mnoho větví.
Pro délku části oblouku jedné větve prosté hypocykloidy platí vztah
pro
. Pro délku jedné větve prosté hypocykloidy pak podle dostaneme
Pro poloměr křivosti v bodě (různém od hrotu) prosté hypocykloidy platí vztah
Ve vrcholu pak platí
[editovat] Zkrácená a prodloužená hypocykloida
Jestliže tvořící bod hypocykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od středu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnitř hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje křivku označovanou jako zkrácená hypocykloida (křivka k1 na obrázek), leží-li vně hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje křivku označovanou jako prodloužená hypocykloida (křivka k2 na obrázek).
Zkrácenou a prodlouženou hypocykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi
kde t je úhel odvalení, a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr hybné kružnice.
Použijeme-li jako parametr úhel otočení χ, lze parametrické rovnice zapsat jako
[editovat] Speciální případy
[editovat] Asteroida
Zvláštní případ prosté hypocykloidy získáme pro
. Tato hypocykloida se nazývá asteroida.
Parametrické rovnice asteroidy jsou
neboli
Je-li počátek soustavy souřadnic ve středu křivky a hrot na ose x, pak lze asteroidu vyjádřit rovnicí
neboli
[editovat] Úsečka a elipsa
- Podrobnější informace naleznete v článku Elipsanaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].
Pro
přechází prostá hypocykloida na úsečku, čehož se využívá k přeměně otáčivého pohybu na pohyb kmitavý (přímočarý). Prodloužená a zkrácená hypocykloida přechází pro
v elipsu s rovnicemi
Také tato skutečnost je využívána v technické praxi pro převod otáčivého pohybu na pohyb eliptický.












![x = b\left[3\cos\chi + \cos\left(3\chi\right)\right]](../../../math/d/a/b/dab730c8e58a3efc9ead2bd1d8e8d428.png)
![y = b\left[3\sin\chi - \sin\left(3\chi\right)\right]](../../../math/8/2/4/824fdc5e3027a1db9507feb950eac398.png)







