Gama funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Graf funkce gama pro reálná čísla.
Graf funkce gama pro reálná čísla.

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice.

Funkce je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …).

Obsah

[editovat] Vlastnosti

Funkce Γ je spojitá pro z > 0. Funkce Γ diverguje pro z\leq 0.

Pro n-tou derivaci platí vztah

\Gamma^{(n)}(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t} \ln^n t \, \mathrm{d}t.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě x \approx 1,4616.

[editovat] Užitečné vztahy


[editovat] Některé hodnoty

\Gamma(-2)\, (nedefinováno)
\Gamma(-3/2)\, = \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \,
\Gamma(-1)\, (nedefinováno)
\Gamma(-1/2)\, = -2\sqrt{\pi}\,
\Gamma(0)\, (nedefinováno)
\Gamma(1/2)\, = \sqrt{\pi}\,
\Gamma(1)\, =0!=1 \,
\Gamma(3/2)\, = \frac {\sqrt{\pi}} {2} \,
\Gamma(2)\, =1!=1 \,
\Gamma(5/2)\, = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \,
\Gamma(3)\, =2!=2 \,
\Gamma(7/2)\, = \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \,
\Gamma(4)\, =3!=6 \,
\lim_{z \to 0 +} \Gamma(z)\, = +\infty \,
\lim_{z \to +\infty} \Gamma(z)\, = +\infty \,

[editovat] Grafy

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Externí odkazy