Komplexní analýza

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Komplexní analýza je část matematiky, která studuje funkce obsahující komplexní čísla.

Obsah

[editovat] Komplexní funkce

Komplexní funkce komplexní proměnné w = f(z), kde z je komplexní proměnná, představuje zobrazení komplexní roviny z do komplexní roviny w. Jedná se tedy o zobrazení \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}.

V některých případech je vhodné odlišit reálnou funkci komplexní proměnné, tedy zobrazení \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}, popř. komplexní funkci reálné proměnné, tzn. zobrazení \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}.

Vyjádříme-li komplexní proměnnou z pomocí reálných proměnných x, y jako z = x + iy, lze komplexní funkci komplexní proměnné vyjádřit jako

f(z) = u(x,y) + iv(x,y),

kde u(x,y),v(x,y) jsou reálné funkce reálných proměnných x,y.


Funkci f(z) nazýváme prostou v oblasti \mathbf{G}, pokud pro každou dvojici bodů z_1, z_2 \in \mathbf{G}, z_1 \neq z_2 platí f(z_1) \neq f(z_2).


Funkci, která má v bodě z0 derivaci, označujeme jako monogenní v bodě z0. Pokud má f(z) derivaci v každém bodě oblasti \mathbf{G}, pak říkáme, že je v \mathbf{G} holomorfní. Je-li holomorfní funkce f(z) víceznačná, označujeme ji jako analytickou.

[editovat] Jednoznačná a mnohoznačná funkce

Definice funkce w = f(z) komplexní proměnné z není zcela jednoznačná, tzn. jedné hodnotě z může odpovídat více hodnot w. Takové funkce označujeme jako mnohoznačné (též víceznačné). V opačném případě říkáme, že funkce je jednoznačná.

[editovat] Riemannova plocha

Různá řešení wk = fk(z) označujeme jako větve funkce f(z).

Pro každou větev dané funkce si lze představit oblast proměnné z jako určitou část Gaussovy roviny, kterou nazýváme listem. Oblast proměnné z (pro celou mnohoznačnou funkci) pak tvoří množina listů, které přísluší jednotlivým větvím. Vhodnou volbou lze dosáhnout toho, že mnohoznačná funkce bude na množině těchto listů jednoznačnou. Spojíme-li vhodným způsobem (který závisí na dané funkci) množinu listů, dostaneme mnoholistou plochu, která se nazývá Riemannova plocha.

[editovat] Větvící bod

Jestliže určitý bod komplexní roviny z obejdeme po libovolné uzavřené křivce a po návratu se dostaneme do jiné větve mnohoznačné funkce, pak tento bod nazveme větvícím bodem (též bodem větvení nebo bodem rozvětvení) dané funkce. Větvící body jsou singulárními body mnohoznačné funkce (u jednoznačných funkcí se nevyskytují).

Jestliže se po n-násobném obejití větvícího bodu vrátíme znovu k původní větvi určité funkce, pak se jedná o větvící bod (n-1)-ního řádu. Předpokládá se přitom, že funkce má v daném bodě limitu. Jestliže počet oběhů větvícího bodu je konečný, hovoříme o algebraickém bodu rozvětvení. Pokud se však při tomto obíhání větvícího bodu nikdy nevrátíme k původní větvi, hovoříme o bodu větvení (rozvětvení) nekonečného řádu neboli trancendentním bodu rozvětvení.

Řezem (výřezem) funkce nazýváme křivku, která leží na jedné větvi a začíná a končí ve větvících bodech.

[editovat] Podívejte se také na