Násobení matic
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Pokud A je matice m × n a B je matice n × p (tedy pokud první matice má stejný počet sloupců jako druhá matice řádků), jejich součin A × B je matice m × p zadaná
pro všechny dvojice i a j.
O násobení matic se také hovoří jako o maticovém násobení.
V podstatě jde o skalární součin vektoru řádku první matice s vektorem sloupce druhé matice. Tento výsledek se pak zapíše na pozici ve výsledné matici, jejíž index odpovídá číslu řádku první matice a číslu sloupce druhé matice.
[editovat] Příklad výpočtu
Pokud předchozí rovnici příliš nerozumíte, možná Vám pomůže tento ukázkový příklad:
┌ ┐ ┌ ┐
│1, 2, 3,│ │10, 20, 30,│
matice A │4, 5, 6,│ matice B │40, 50, 60,│
│7, 8, 9,│ │70, 80, 90,│
└ ┘ └ ┘
┌ ┐
│((1*10)+(2*40)+(3*70)), ((1*20)+(2*50)+(3*80)), ((1*30)+(2*60)+(3*90))│
A * B = │((4*10)+(5*40)+(6*70)), ((4*20)+(5*50)+(6*80)), ((4*30)+(5*60)+(6*90))│
│((7*10)+(8*40)+(9*70)), ((7*20)+(8*50)+(9*80)), ((7*30)+(8*60)+(9*90))│
└ ┘
Násobíme-li první řádek s prvním sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna jedna ve výsledné matici. Násobíme li první řádek s druhým sloupec, zapíšem výsledek na pozici jedna dva ve výsledné matici. Atd.
[editovat] Vlastnosti
- Matice tvoří vůči maticovému násobení okruh.
- Maticové násobení je distributivní vůči sčítání
.
- Maticové násobení je lineární vůči násobení reálným číslem
.
- Při maticovém násobení může být součin dvou nenulových matic
roven nulové matici. - Maticové násobení není komutativní, tedy obecně
,
a to ani v případě čtvercových matic.
- Násobení matice
jednotkovou maticí
je komutativní, tzn.
,
kde
jsou čtvercové matice typu
.
- Jsou-li matice čtvercové a je
,
potom pro jejich determinanty platí
- Vzhledem k nekomutativnosti maticového násobení má význam tzv. komutátor matic, který je definován jako
- Pro transpozici součinu dvou matic
platí vztah
- Pro inverzní matici součinu dvou matic
platí vztah
- Pro hermiteovské sdružení součinu matic platí


![[\mathbf{A},\mathbf{B}] = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}](../../../math/7/c/7/7c7d9cfa209ec07ad271346727efd25f.png)




