Podgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *H), je-li H podmnožinou G a *H je podmnožinou operace *.

V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab.

[editovat] Základní vlastnosti podgrup

  • Podgrupa je grupa
  • H je podgrupa grupy G, právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud a, bH, pak abH) a na inverze (tzn. jestliže aH, pak a−1H)
  • Neutrální prvek v G se rovná neutrálnímu prvku v H
  • Inverzní prvek v G se rovná inverznímu prvku v H
  • Je-li S podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy G obsahující S. Tato podgrupa se značí <S> a jmenuje se podgrupa generovaná množinou S (v případě, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu jako <a> místo <{a}>).
  • Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek. Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální).

[editovat] Podívejte se také na