Riemannův tenzor křivosti
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Riemannův (Riemannův-Christoffelův) tenzor křivosti zachycuje v Riemannově geometrii křivost Riemannova prostoru. Riemannův tenzor křivosti lze použít k vyjádření křivosti libovolné variety s afinní konexí.
Riemannův tenzor křivosti lze považovat z míru nekomutativnosti kovariantních derivací.
Obsah |
[editovat] Definice
Riemannův tenzor lze vyjádřit pomocí afinních konexí a kovariantních derivací jako
.
Složky tenzoru křivosti bývají obvykle vyjadřovány vztahem
,
kde čárkou je označena parciální derivace.
Vzhledem k tomu, že kovariantní derivace nejsou v křivém prostoru záměnné (narozdíl od parciálních derivací) bude pro složky kovariantního vektoru Tκ platit
Podle tohoto vztahu tedy v obecném případě nejsou kovariantní derivace kovariantního vektoru záměnné.
Podobně lze pro složky kontravariantního vektoru Tκ získat
Předchozí vztahy jsou speciálními případy výrazu pro obecný tenzor
, tzn.
Vyjádřením Riemannova tenzoru v kovariantním tvaru dostaneme
Vzhledem k tomu, že v křivém prostoru nejsou kovariantní derivace záměnné, nejsou tam záměnné ani absolutní derivace, tzn.
[editovat] Vlastnosti
Riemannův tenzor je antisymetrický v prvních dvou indexech i v posledních dvou indexech, tzn.
- Rικλμ = − Rικμλ = − Rκιλμ
Riemannův tenzor je symetrický vůči záměně první a druhé dvojice indexů, tzn.
- Rικλμ = Rλμικ
Hodnoty Riemannova tenzoru jsou navíc omezeny rovnicí
- Rικλμ + Rιλμκ + Rιμκλ = 0
Z předcházejících podmínek lze určit počet nezávislých položek Riemannova tenzoru jako
,
kde n je dimenze daného prostoru. Pro prostoročas je n = 4, takže odpovídající Riemannův tenzor má 20 nezávislých složek.
[editovat] Bianchiho identita
Riemannův tenzor splňuje tzv. Bianchiho identitu
- Rικλμ;ν + Rικμν;λ + Rικνλ;μ = 0
[editovat] Zúžené formy Riemannova tenzoru
[editovat] Ricciho tenzor
Zúžením Riemannova tenzoru v prvním a třetím indexu dostáváme tzv. Ricciho tenzor
Ricciho tenzor je tedy symetrický tenzor druhého řádu.
Z vlastností tenzoru křivosti plyne, že kontrakcí Riemannova tenzoru v libovolných dvou indexech vznikne (až na znaménko) Ricciho tenzor nebo nula
[editovat] Skalární křivost
Zúžením Ricciho tenzoru dostaneme tzv. skalární křivost
- R = gκμRκμ
[editovat] Einsteinův tenzor
Postupným úžením Bianchiho identity v ιν a κλ získáme s využitím dalších zúžených forem vztahy
Definujeme tzv. Einsteinův tenzor jako
S pomocí tohoto tonzoru lze předchozí vztah zapsat jako
Divergence Einsteinova tenzoru je tedy nulová.
![2 T_{\kappa;[\lambda\mu]} = -T_\iota R_{{ }\kappa\lambda\mu}^\iota](../../../math/a/9/2/a923b455d47df0a14e5de9a7d204330c.png)
![2 T_{\,;[\lambda\mu]}^\kappa = -T^\iota R_{\,\iota\lambda\mu}^\kappa](../../../math/f/5/6/f5619e8eebf561c02eafed37f211950f.png)
![2 T_{\rho\cdots;[\lambda\mu]}^{\sigma\cdots} = - T_{\iota\cdots}^{\sigma\cdots} R_{\,\rho\lambda\mu}^\iota - \cdots - T_{\rho\cdots}^{\iota\cdots} R_{\,\iota\lambda\mu}^\rho - \cdots](../../../math/e/7/0/e700a8b5fda1fb63fccbe3d0a51669e5.png)
![R_{\iota\kappa\lambda\mu} = g_{\iota\nu} R_{\,\kappa\lambda\mu}^nu = 2g_{\iota\nu} \Gamma_{\,\kappa[\lambda,\mu]}^\nu + 2 \Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\rho \Gamma_{\iota\rho\mu]} = g_{\iota[\lambda,\kappa\mu]} + g_{\kappa[\mu,\iota\lambda]} + 2\Gamma_{\,\kappa[\lambda}^\nu \Gamma_{\nu\iota\mu]}](../../../math/5/8/9/589797e3333acfdc72e06988cc200572.png)







