Hyperboloid

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hyperboloid je těleso, jehož rovinnými řezy jsou dvě hyperboly a elipsa, popř. kružnice.

Jako hyperboloid bývá často označován pouze plášť uvedeného tělesa, tzn. plocha bez podstav.

Hyperboloid může existovat jako jednodílný, kdy je hyperboloid tvořen jednou plochou, a dvojdílný, který je tvořen dvěma oddělenými plochami.

Obsah

[editovat] Algebraické vyjádření

[editovat] Jednodílný hyperboloid

Jednodílný hyperboloid s eliptickým řezem.
Jednodílný hyperboloid s eliptickým řezem.

Rovnice jednodílného hyperboloidu se středem v bodě [x0,y0,z0] a poloosou a v souřadnicové ose x, poloosou b v ose y a poloosou c v ose z má tvar

\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}-\frac{{(z-z_0)}^2}{c^2}=1

Poloosy a,b jsou reálné a poloosa c je imaginární.


Na ploše jednodílného hyperboloidu existují dvě soustavy přímek, přičemž každá přímka jedné soustavy protíná každou přímku druhé soustavy, avšak dvě různé přímky jedné soustavy jsou mimoběžné. Pro hyperboloid se středem v bodě [0,0,0] lze obě soustavy rovnic přímek zapsat jako

k_1\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right) = k_2\left(1-\frac{y}{b}\right)
k_2\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=k_1\left(1+\frac{y}{b}\right)


k_1\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=k_2\left(1+\frac{y}{b}\right)
k_2\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=k_1\left(1-\frac{y}{b}\right)

kde k1,k2 jsou libovolná nenulová čísla.

[editovat] Dvojdílný hyperboloid

Pro dvojdílný hyperboloid se středem [x0,y0,z0] a poloosou a v souřadnicové ose x, poloosou b v ose y a poloosou c v ose z platí rovnice

\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}-\frac{{(z-z_0)}^2}{c^2}=-1

Poloosy a,b jsou imaginárními poloosami a poloosa c je reálná.

[editovat] Rotační hyperboloid

Rotační hyperboloid je těleso ohraničené plochou, která vznikne rotací hyperboly kolem její osy a dvěma kruhy, které tvoří podstavy tělesa.

[editovat] Jednodílný

Jednodílný rotační hyperboloid.
Jednodílný rotační hyperboloid.

Je-li osou rotace hlavní osa rotující hyperboly, pak vznikne jednodílný rotační hyperboloid.

[editovat] Vlastnosti

Objem jednodílného rotačního hyperboloidu je

V = \frac{1}{3}\pi v(2a^2+\rho^2),

kde a je délka hlavní poloosy hyperboly, v je výška hyperboloidu a ρ je poloměr shodných kruhových podstav, které leží v rovnoběžných rovinách.

[editovat] Dvojdílný

Dvojdílný rotační hyperboloid.
Dvojdílný rotační hyperboloid.

Je-li osou rotace hlavní osa, pak vznikne dvojdílný rotační hyperboloid.

[editovat] Vlastnosti

Objem dvojdílného rotačního hyperboloidu udává vztah

V = \frac{1}{3}\pi v \left(3\rho^2 - \frac{b^2 v^2}{a^2}\right),

kde a je délka hlavní poloosy hyperboly, b je délka vedlejší poloosy hyperboly, v je výška jedné části dvojdílného hyperboloidu a ρ je poloměr shodných kruhových podstav, které leží v rovnoběžných rovinách.

[editovat] Podívejte se také na