Dvojitý vektorový součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako dvojitý vektorový součin označíme výraz

\mathbf{D} = \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})

Jde tedy o kombinaci vektorových součinů tří vektorů. Vektor \mathbf{D}, který je výsledkem dvojitého vektorového součinu, leží v rovině tvořené vektory \mathbf{B} a \mathbf{C}.

Obsah

[editovat] Vyjádření skalárním součinem

Dvojitý vektorový součin lze vyjádřit pomocí skalárních součinů jako

\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\cdot \mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}

[editovat] Rozklad vektoru

Pomocí dvojitého vektorového součinu lze provést rozklad vektoru \mathbf{B} na složku paralelní a ortogonální k vektoru \mathbf{B}. Položíme-li v předcházejícím vztahu \mathbf{C} = \mathbf{A} a zavedeme jednotkový vektor \mathbf{a} = \frac{\mathbf{A}}{A}, dostaneme

\mathbf{B} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{B})\cdot\mathbf{a} + \mathbf{a} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{a}),

kde (\mathbf{a}\cdot\mathbf{B})\cdot\mathbf{a} je složka vektoru B paralelní s vektorem A a \mathbf{a}\times(\mathbf{B}\times \mathbf{a}) je složka vektoru B k vektoru A kolmá.

[editovat] Jacobiho identita

Dvojitý vektorový součin vyhovuje tzv. Jacobiho identitě

\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) + \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0

[editovat] Podívejte se také na

V jiných jazycích