Algebraické číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Algebraické číslo je každé komplexní číslo, které je kořenem nějakého polynomu s racionálními koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé racionální číslo je algebraické. Iracionální číslo \sqrt 2 je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice x2 − 2 = 0. Naopak Ludolfovo číslo π algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.

Z poznatků algebry a geometrie plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je kvadratura kruhu či trisekce úhlu.

[editovat] Vlastnosti

  • Součet, rozdíl, součin a podíl algebraických čísel je opět algebraické číslo, všechna algebraická čísla tedy tvoří těleso.
  • Kořeny polynomu, ve kterém jsou koeficienty algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.