Geometrická posloupnost
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti. Hodnota n-tého členu je rovna q-násobku předešlého členu, kde q (poměr dvou po sobě jdoucích členů) se nazývá kvocient.
Obsah |
[editovat] Vyjádření členů posloupnosti
Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.
[editovat] Rekurentní zadání
[editovat] Zadání vzorcem pro n-tý člen
Všechny prvky posloupnosti lze pak zapsat jako násobky prvního členu:
[editovat] Příklad
Například je-li a0 = 2,q = 3, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, …
[editovat] Součet prvních n členů
Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá jako (platí, když q se nerovná 1):
[editovat] Příklad
Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (a0 = 2,q = 3) je:
[editovat] Odvození vzorce
Předchozí vzorec lze odvodit následujícím způsobem.
Součet prvních n členů poslouposti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
,
kde členy
lze vzjádřit pomocí a1:
,
přičemž ze součtu lze vytknout a1:
.
Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních n + 1 členů (ve skutečnosti nás sn + 1 přiliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):
Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro sn. V podstatě lze sn + 1 vypočítat z sn dvěma způsoby:
- Součet sn + 1 má o jeden (poslední) člen více než sn:
- Závorka
v sn + 1 je vlastně závorka
z sn vynásobená q a ještě k ní je zleva přičtena 1:
- Po vynásobení a1 lze tuto skutečnost aplikovat na sn + 1 a sn:
Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat sn + 1. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:
Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet sn (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet sn + 1 přestává být zajímavý):
[editovat] Geometrická řada
Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.
Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.
















