Potenční množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Potenční množina množiny X \,\! (značí se \mathbb{P}(X) \,\! nebo též 2^X \,\!) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny X \,\!.

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Obsah

[editovat] Příklad

  • A = \{ 1,2,3 \} \,\!
  • \mathbb{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\!

[editovat] Vlastnosti

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
(\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\!

Potenční množina množiny X \,\! obsahuje X \,\! jako svůj prvek, tj.
(\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\!

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou\subseteq \,\!. Toto uspořádání rozhodně není lineární - například množiny \{ 1,3 \} \,\! a \{ 2,3 \} \,\! z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

[editovat] Mohutnost potenční množiny

  • Pokud je X \,\! konečná množina a její mohutnost je |X| = n \,\!, pak mohutnost její potenční množiny je |\mathbb{P}(X)| = 2^n \,\!.
  • Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost \mathbb{P}(X) \,\! je ostře větší, než mohutnost X \,\!. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost \mathbb{P}(\mathbb{P}(X)) \,\! je ostře větší, než mohutnost \mathbb{P}(X) \,\! atd.

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika