Protiřetězec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Protiřetězec (někdy také označovaný jako antiřetězec) je matematický termín z oboru algebry a teorie uspořádání, který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.

Obsah

[editovat] Definice

Předpokládejme, že množina X \,\! je uspořádána relací R \,\!. O podmnožině Y \subseteq X \,\! řekneme, že se jedná o protiřetězec, pokud jsou každé dva různé prvky a,b \isin Y \,\! neporovnatelné pomocí R \,\!, tj.
(\forall a,b \isin Y)( a \leq_R b \implies a = b) \,\!

[editovat] Příklady

[editovat] Protiřetězce v lineárním uspořádání

V lineárně uspořádané množině nemá pojem protiřetězec příliš dobrý smysl - každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce. To se týká například běžného uspořádání reálných čísel nebo přirozených čísel podle velikosti.

[editovat] Protiřetězce v množině komplexních čísel

Uvažujme ostré uspořádání R \,\! množiny komplexních čísel podle vzdálenosti od nuly (tj. podle absolutní hodnoty). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od počátku souřadnic (tj. od bodu [0,0]):
c_1 <_R c_2 \Leftrightarrow |c_1| < |c_2| \,\!

Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou abolutní hodnotu a jsou porovnatelné - nemohou být spolu v jednom protiřetězci.

Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné kružnice se středem v bodě 0.

[editovat] Protiřetězce vzhledem k dělitelnosti

Uvažujme o množině všech kladných přirozených čísel, s uspořádáním podle dělitelnosti (tj. a \leq_| b \,\!, pokud a \,\! dělí b \,\!).

Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem nekonečného protiřetězce je množina všech prvočísel. Tento protiřetězec je přitom největší možný - jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.

Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový - je to množina \{ 1 \} \,\!. Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).

[editovat] Podívejte se také na

Související články obsahuje:
 Portál Matematika 
V jiných jazycích