Lp prostor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Prostor Lp(a,b) (
) je metrický prostor, který je „skoro“ tvořen měřitelnými funkcemi, jejichž p-tá mocnina je integrovatelná v
. Vzdálenost v tomto prostoru je pak definována vztahem
Důležité jsou např. podprostory L2(a,b) tvořené reálnými (či komplexními) funkcemi, které jsou spojité, resp. po částech spojité na intervalu
a integrovatelné s kvadrátem. Vzdálenost dvou bodů tohoto prostoru je tedy dána vztahem
[editovat] Obecné Lp-prostory
Obecněji, je možné definovat Lp-prostory pro
na prostorech Ω s nezápornou mírou μ, a sice následujícím způsobem. Pro reálnou či komplexní měřitelnou funkci definujeme
takže pro
tato obecná definice splývá s výše uvedenou. Prvky prostoru Lp(Ω) pak jsou přesně ty funkce, pro které je
. Pro funkce f skoro všude (tj. až na množinu míry 0) nulové však platí
, takže je ještě nutné považovat za identické funkce, které jsou si skoro všude rovné.
Lp-prostory mají zajímavé vlastnosti. Pro
se ukazuje, že
je norma a prostor je Banachův. Pro p = 2 jde dokonce o Hilbertův prostor.
Nejdůležitějšími příklady jsou:
- prostory Lp(Ω) pro množinu Ω v Rn s Lebesgueovou mírou,
- prostory
, definované jakožto Lp-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky
jsou tedy jisté posloupnosti čísel.
![d(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}](../../../math/3/0/9/309d6abb79060400c2d489e4b7fbb10d.png)

![\begin{align} \|f\|_p &:= \left[\int |f|^p \,\mathrm{d}\mu\right]^\frac{1}{p}, \qquad 0<p<\infty, \\ \|f\|_{\infty} &:= \inf \{ \sup |g|:\, g \mbox{ je skoro vsude rovna } f \}, \end{align}](../../../math/5/7/2/572c5140c8e05e13e9b8b6158985015c.png)

