Grupa
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Grupa je matematická struktura, která abstraktním způsobem popisuje symetrii. Je to množina společně s binární operací, mezi jejíž vlastnosti patří asociativita a existence inverzního prvku. Grupou je například množina všech permutací tříprvkové množiny s operací skládání (odpovídá to symetriím trojúhelníka) nebo množina všech Euklidovských transformací roviny s operací skládání (odpovídá symetriím Euklidovského prostoru).
Obsah |
[editovat] Definice grupy
Množinu
, na níž je definována binární operace tzn. zobrazení
nazýváme grupou a značíme
resp.
, platí-li vztahy
- Asociativita:
resp 
- Nulový nebo neutrální prvek:
resp.
, že
resp. 
- Opačný či inverzní prvek:
takový, že a + b = b + a = 0 resp.
, ten pak značíme - a resp. a - 1
Označíme-li operaci jako sčítání (+), mluvíme o aditivní grupě, píšeme-li ji jako násobení, hovoříme o multiplikativní grupě a podobně.
Grupu nazýváme komutativní nebo Abelovou, platí-li
resp
.
[editovat] Vlastnosti
- Řádem grupy je mohutnost její množiny.
- Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy, je označována jako prostá grupa (jednoduchá grupa). Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální Abelovy podgrupy, pak je označována jako poloprostá grupa (polojednoduchá grupa).
[editovat] Příklady grup
- Množina reálných čísel
s operací sčítání
a její podgrupy
a
, - Permutace na množině s operací skládání
- Grupy matic s operací maticového násobení
- Cyklické grupy
vůči sčítání. - Polynomy stupně n vůči sčítání
[editovat] Podívejte se také na
- Podgrupa
- Faktorgrupa
- Generování grupy


