Bilineární forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Definice

Pojem Bilineární forma je v matematice znám jako zobrazení B: \mathcal{V} × \mathcal{V} \to \mathbb{R} (\mathcal{V} je reálný vektorový prostor), pro které platí následující podmínky:

  1. B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w)\!
  2. B(\alpha u,v) = \alpha B(u,v)\!
  3. B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w)\!
  4. B(u,\alpha v) = \alpha B(u,v)\!

[editovat] Klasifikace bilineárních forem

Bilineární formy se dělí na:

[editovat] Symetrické

Platí: B(u,v) = B(v,u)\!

[editovat] Antisymetrické

Platí: B(u,v) = -B(v,u)\! nebo také: B(u,u) = 0\!

Každou bilineární formu lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část.

B^S (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) + B(v,u))\!
B^A (u,v) = \frac{1}{2}(B(u,v) - B(v,u))\!

Tyto vzorce se následně využívají při výpočtu matic kvadratických forem.

[editovat] Ověření

Chceme-li ověřit zda-li je nějaké zobrazení bilineární formou ověříme všechny čtyři podmínky z definice. Nesplnění jedné podmínky stačí, abychom mohli prohlásit, že zobrazení není bilineární formou.

[editovat] Podívejte se také na