Algebraická struktura
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná struktura je na tyto operace uzavřená.
Studiem algebraických struktur se zabývá algebra.
Obsah |
[editovat] Definice
Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.
[editovat] Příklady
- (N; +) - množina přirozených čísel s operací sčítání
- (N; .) - množina přirozených čísel s operací násobení
- (N; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
[editovat] Nejsou algebraickými strukturami
- (N; -) - množina přirozených čísel není na operaci odečítání uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně odečítat, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.
- (N; :) - množina přirozených čísel není na operaci dělení uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně dělit, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.
[editovat] Souvislost s relačními strukturami
Matematická struktura (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (M,R), kde R je množina relací definovaných v M. Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura (N; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura.
[editovat] Vlastnosti operací
[editovat] Klasifikace
[editovat] Algebraické struktury s jednou operací
- Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
- Kvazigrupa je grupoid, na kterém lze neomezeně provádět inverzní operaci (dělit).
- Pologrupa je asociativní grupoid.
- Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
- Grupa je monoid s inverzními prvky.
- Abelova grupa je komutativní grupa.
[editovat] Algebraické struktury se dvěmi operacemi
- Polookruh je algebraická struktura, která je vzhledem ke sčítání komutativní monoid a vzhledem k násobení monoid
- Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je ke sčítání komutativní grupou a k násobení pologrupou.
- Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly
- Těleso je okruh, který je grupou vůči násobení
- Pole je těleso, které je vůči násobení komutativní grupou
[editovat] Algebraické struktury s uspořádáním
- Částečně uspořádaná množina (poset)
- Polosvaz
- Svaz
- Booleova algebra je svaz s nulou a jednotkou, který je komplementární a distributivní

