Dělení nulou
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako
, kde a je dělenec. V oboru reálných čísel nemá takové dělení smysl.
Obsah |
[editovat] Interpretace v elementární aritmetice
Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme 10 kvádrů a rozdělíme je na skupiny po 5, dostaneme 2 stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádru v každé části. Výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohormady, abych dostal část po 10 kusech?“
Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohormady, abych dostal část po 10 kusech?“ nedává smysl, protože přičítání částí o 0 prvcích nikdy nedá množinu deseti.
Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.
[editovat] Algebraická interpretace
Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel definováno. Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, tzn. že hodnota a/b je kořenem x rovnice bx=a, kdykoliv je taková hodnota právě jedna. Jinak není hodnota definovaná.
Pro b = 0 může být rovnice bx = a napsána jako 0x = a nebo prostě 0 = a. Proto v tomto případě rovnice bx = a nemá žádné řešení, pokud se a nerovná 0 a má nekonečně mnoho řešení, pokud se a rovná 0. Ani v jednom případě tedy rovnice nemá právě jedno řešení, a a/b není proto definované.
[editovat] Mylné závěry při dělení nulou
Je možné mít speciální případ dělení nulou v proměnné, které vede k falešnému důkazu, že 2 = 1, jako např.:
- 1) Pro každé reálné číslo x platí:
- x2 − x2 = x2 − x2
- 2) Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
- (x − x)(x + x) = x(x − x)
- 3) Vydělíme obě strany x – x (dělení nulou, protže x – x = 0)
- (1)(x + x) = x(1)
- 4) Což je:
- 2x = x
- 5) Protože x může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme x=1.
- 2 = 1
Chybnou je v tomto případě předpoklad, že (x – x)/(x – x), což je 0/0, se rovná 1. Jakákoliv jiná hodnota přiřazená k 0/0 vede k podobným nesmyslům.
[editovat] Limity a dělení nulou
Na první pohled vypadá možné definovat
jako limitu
pro b jdoucí k 0.
Pro každé kladné a platí:
Pro každé záporné a platí:
Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.
Za prvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.
Za druhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat
jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:
,
což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.
Dále neexistuje žádná zřejmá definice
, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita
neexistuje. Limita
,
kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec.




