Ακεραία περιοχή
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Έστω  μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο
 μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο  . Αυτός θα καλείται ακεραία περιοχή (integral domain) αν όποτε
. Αυτός θα καλείται ακεραία περιοχή (integral domain) αν όποτε
 όπου x,y στοιχεία του R έπεται ότι x = 0R είτε y = 0R.
 όπου x,y στοιχεία του R έπεται ότι x = 0R είτε y = 0R.
[Επεξεργασία] Παραδείγματα
- Το  δεν είναι ακεραία περιοχή καθώς δεν είναι ακεραία περιοχή καθώς![[2] \in \mathbb{Z}_4](../../../math/e/1/b/e1be11940a3090b773b35b16da61f7c2.png) και και![[2][2]=[4]=0_{\mathbb{Z}_4}](../../../math/3/6/c/36c0afe3a22f8ee69140ad1b4b527c4f.png) όμως όμως![[2] \ne 0_{\mathbb{Z}_4}](../../../math/4/9/9/4991e025945fba19fcfe09fa71aa9110.png) . .
- Ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι ακεραία περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη  στον ορισμό της ακεραίας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1R = 0R, οπότε έχουμε ότι στον ορισμό της ακεραίας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1R = 0R, οπότε έχουμε ότι και αυτό για κάθε και αυτό για κάθε , οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος. , οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος.
- Ο δακτύλιος  των των πινάκων με συντελεστές απο το σώμα πινάκων με συντελεστές απο το σώμα δεν είναι ακεραία περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός. δεν είναι ακεραία περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός.
- Οι δακτύλιοι  είναι ακέραιες περιοχές. είναι ακέραιες περιοχές.

