Όριο (μαθηματικά)
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
[Επεξεργασία] Όριο ακολουθίας
Όριο μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών λέγεται ένας πραγματικός, τέτοιος ώστε η απόστασή του από τους όρους της ακολουθίας να γίνεται τελικά οσοδήποτε μικρή. Δηλαδή αν  είναι μία ακολουθία πραγματικών, τότε όριο της
 είναι μία ακολουθία πραγματικών, τότε όριο της  είναι το
 είναι το  , αν και μόνο αν για οσοδήποτε μικρό ε > 0 και για όλα τα αρκετά μεγάλα ν ισχύει
, αν και μόνο αν για οσοδήποτε μικρό ε > 0 και για όλα τα αρκετά μεγάλα ν ισχύει  . Συμβολικά:
. Συμβολικά:
 τέτοιο ώστε τέτοιο ώστε ισχύει ισχύει 
Αν μία ακολουθία έχει όριο, τότε η ακολουθία αυτή ονομάζεται συγκλίνουσα, στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται αποκλίνουσα.
Στη γενική περίπτωση ένος μετρικού χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του  , ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.
, ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.
- Δείτε ακόμα: Ακολουθία Cauchy
[Επεξεργασία] Όριο συνάρτησης
Γενικότερα για μία συνάρτηση η έννοια του ορίου μπορεί να οριστεί με βάση το όριο ακολουθίας. Δηλαδή, μία συνάρτηση f(x) έχει όριο το σημείο α, του x τείνοντος στο σημείο c, αν για οποιαδήποτε ακολουθία xν που έχει όριο το c, η ακολουθία f(xν) έχει όριο το α. Συμβολικά:
 ακολουθία ακολουθία με με ισχύει ισχύει . .
O κλασσικός ορισμός του ορίου πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής: To όριο της f(x) όταν το x τείνει στο c ειναι ίσο με α, ανν για κάθε ε θετικό υπάρχει δ θετικό, τέτοιο ώστε αν το x έχει απόσταση από το c μικρότερη του δ, τότε να συνεπάγεται ότι η απόσταση του f(x) από το α είναι μικρότερη του ε. Αν δηλαδή το x ανήκει σε μια περιοχή του c, τότε το f(x) ανήκει σε μια περιοχή του α και αυτό ισχύει όσοδηποτε μικρή και αν είναι η περιοχή του α που θα διαλέξουμε. Συμβολικά:
 τέτοιο ώστε: τέτοιο ώστε: . .
Στη γενική περίπτωση συνάρτησης  μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής:
 μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής:
 τέτοιο ώστε: τέτοιο ώστε: . .


