Πιθανότητα
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.
Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες P(E) ανατίθενται στα γεγονότα E. Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.
Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.
| Πίνακας περιεχομένων | 
[Επεξεργασία] Κλασική πιθανότητα
Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.
[Επεξεργασία] Βασικές έννοιες
- Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με  . .
- Δειγματοχώρος  είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο ισχύει ισχύει . .
- Γεγονός  είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του   . To . To είναι το ίδιο ένα γεγενος και ονομαζεται βέβαιο γεγονός. είναι το ίδιο ένα γεγενος και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.
[Επεξεργασία] Παράδειγμα
Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχοyμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω  το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα
 το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα  . Ο δειγματοχώρος ειναι ο
. Ο δειγματοχώρος ειναι ο  ή για λόγους απλότητας
 ή για λόγους απλότητας  . Το γεγονός
. Το γεγονός  να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό)
 να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό)  . Το γεγονός
. Το γεγονός  να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι
 να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι  .
.
[Επεξεργασία] Ορισμός
Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.
[Επεξεργασία] Παράδειγμα
Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε
[Επεξεργασία] Μέτρο πιθανότητας
Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov).
[Επεξεργασία] Ορισμός
Έστω ένα σύνολο Ω και μία σ-άλγεβρά του  . Πιθανότητα
. Πιθανότητα  ονομάζεται η συνάρτηση
 ονομάζεται η συνάρτηση  που ικανοποιεί:
 που ικανοποιεί:
Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον  με την ιδιότητα
 με την ιδιότητα  .
.
Αν στην πιθανότητα  αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τοτέ η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:
 αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τοτέ η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:
[Επεξεργασία] Ιδιότητες
 
 
 . .
[Επεξεργασία] Δεσμευμένη πιθανότητα
Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F η οποία ορίζεται, μόνο αν το F δεν είναι αδύνατο γεγονός (P(F) > 0), ως:
 . .
Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E, τότε τα E και F είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει  .
.
H δεσμευμένη πιθανότητα  ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον
 ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον  , όπου
, όπου  , αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.
, αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.







