Θεώρημα πρώτων αριθμών
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.
Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του  η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου
 η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου 
[Επεξεργασία] Θεώρημα
Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών  που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του
 που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του  :
:
Ισχύει:
που σημαίνει ότι η  και η
 και η  έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς
 έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς  .
.
[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση
Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):
που μπορεί να γραφεί και ως:
Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει  . Πιο συγκεκριμένα ισχύει:
. Πιο συγκεκριμένα ισχύει:
όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος απο αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση
που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.










