Περιοχή κυρίων ιδεωδών
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μια ακεραία περιοχή R καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο.
[Επεξεργασία] Παραδείγματα
- Γνωρίζουμε ότι αν R σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το R = < 1 > και το μηδενικό ιδεώδες {0R} = < 0R > και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
- Ο ![\mathbb{Z}[x]](../../../math/1/7/2/1720d8ed9c2582abffc3c0685c1ddb77.png) είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες < 2,x > υπάρχει είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες < 2,x > υπάρχει![h(x) \in \mathbb{Z}[x]](../../../math/e/8/e/e8e7c9e44ee739f1762282a29a92ec86.png) τέτοιο ώστε < 2,x > = < h(x) > προκύπτει ότι τέτοιο ώστε < 2,x > = < h(x) > προκύπτει ότι ή ή .Στην πρώτη περίπτωση έχουμε .Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι και άρα 2 = xk(x) ,άτοπο. και άρα 2 = xk(x) ,άτοπο.
- Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος  . .

