Invertálható mátrix

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A lineáris algebrában egy n x n-es (négyzetes) A mátrix invertálható vagy nem szinguláris, ha létezik egy olyan n×n -es B mátrix, melyre igaz:

AB = BA = I_n \,

ahol In az n×n-es egységmátrixot jelöli és a szorzás a szokásos mátrixszorzás. Ebben az esetben a B-ot egyértelműen meghatározza az A mátrix, és A inverzének hívják és A − 1-gyel jelölik . Igazolható, hogy ha az A és B négyzetes mátrixokra AB = I, akkor BA = I is teljesül.

A nem invertálható négyzetes mátrixot szingulárisnak vagy degeneráltnak nevezik. Alapszabályként kimondható, hogy majdnem minden négyzetes mátrix invertálható. A valós számtest esetében ez a következőképpen tehető precízzé: az n x n-es szinguláris mátrixok halmaza, mint R^{n \times n} részhalmaza, nullmértékű halmaz (a Lebesgue-mérték szerint). Ez azért igaz, mert a szinguláris mátrixok a determináns, egy n2-változós polinom gyökrendszerei.

Ez azt jelenti, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy valós elemű négyzetes mátrixot, annak valószinűsége, hogy a mátrix szinguláris, nulla. A gyakorlatban azonban bukkanhatunk nem invertálható mátrixokra. Numerikus módszerek használata esetén azok a mátrixok is problematikusak lehetnek, melyek invertálhatók, de közel esnek a szinguláris mátrixhoz, ezekre a mátrixokra mondják, hogy rosszul kondícionált mátrixok.

A mátrix inverzió az A\mapsto A^{-1} művelet neve.


[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Legyen A egy n x n-es mátrix a K test felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

  • A invertálható.
  • A sor-ekvivalens az In n-szer n-es egységmátrixhoz.
  • A-nak n pivot eleme van.
  • A determinánsa ≠ 0.
  • A rangja = n.
  • Az Ax = 0 egyenletnek csak a triviális x = 0 megoldása van (azaz Null A = {0})
  • Minden b\in K^n-re az Ax = b egyenletnek pontosan egy megoldása van.
  • A oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
  • A oszlopvektorai kifeszítik Kn-t.
  • A oszlopvektorai Kn bázisát alkotják.
  • Az x\mapsto Ax lineáris leképezés bijekció Kn-ről Kn-re.
  • Van olyan B n-szer n-es mátrix, amire AB = In teljesül.
  • Az A mátrix AT transzponáltja invertálható mátrix.
  • ATA invertálható mátrix.
  • 0 nem sajátértéke A-nak.

Általában, egy kommutatív gyűrű feletti négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa a gyűrű egysége.

Invertálható mátrix inverze maga is invertálható és

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A.

Egy A invertálható mátrix λ nemnulla skalárral vett szorzata szintén invertálható és inverze a skalár inverzének és a mátrix inverzének szorzata:

\left(kA\right)^{-1} = k^{-1}A^{-1}.

Ha az A és B mátrixok invertálhatók, akkor AB szorzatuk is és

\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

(tehát inverzképzésnél a tényezők sorrendje fordított). Ennek következtében az invertálható n-szer n-es mátrixok csoportot alkotnak, a Gl(n) csoportot.