Koordinátarendszer
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Koordináták (egymástól független méretek) segítségével megadható egy tetszőleges pont helyzete a térben, vagy a síkban. A koordinátarendszer egy sík, vagy egy tér, melyben egy kezdőpontot és tengelyeket jelölünk ki, melyektől a koordináták mérhetők.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Descartes-koordinátarendszer
A síkbeli Descartes-koordinátarendszerben egy P pont helyzetét az xy síkon az (x,y) koordináta-kettőssel adhatjuk meg.
- x a P pont előjeles távolsága az y-tengelytől és
- y a P pont előjeles távolsága az x-tengelytől.
Térbeli Descartes-koordinátarendszerben egy P pont helyzetét az xyz térben az (x,y,z) koordináta-hármassal adhatjuk meg.
- x a P pont előjeles távolsága az yz síktól,
- y a P pont előjeles távolsága az xz síktól és
- z a P pont előjeles távolsága az xy síktól.
[szerkesztés] Polárkoordináták
A polárkoordinátarendszer síkbeli koordinátarendszer, melyet O kezdőpontja (az origó) és egy ebből kiinduló L félegyenes definiál. Az L' félegyenest polártengelynek is hívják. Ha Descartes-koordinátarendszerben polárkoordinátákkal kell megadni adatokat, akkor általában origóként a (0,0) pontot L félegyenesként pedig az x tengely pozitív részét (az origótól jobbra eső részt) választják.
Polárkoordinátarendszerben egy P pont helyét két adattal adják meg: (r,θ).
(sugár) a pontnak a 0 kezdőponttól való távolsága,
szög pedig az L félegyenes és a sugár által bezárt szög.
Abban az esetben ha a Descartes-koordinátarendszer és a polárkoordinátarendszer kezdőpontja egybeesik és a polártengely az x tengely pozitív részével azonos, polárkoordinátákról Descartes koordinátákra az átszámítás:
Az x és r Descartes-koordináta átszámítása polárkoordinátákra:
A θ szögkoordináta meghatározásához a következő megfontolásokat kell tenni:
- r = 0 esetén θ bármely valós értéket felvehet,
- r ≠ 0 esetén ahhoz, hogy θ értékét egyértelműen megkapjuk, tartományát 2π-re kell korlátoznunk. Általában ez a tartomány [0, 2π) és (−π, π] szokásos értéke.
θ értékének kiszámítása a [0, 2π) tartományra a tangens függvény inverzével számítható:
A (−π, π] intervallumra pedig:
[szerkesztés] Hengerkoordináták
A hengerkoordináták térbeli alakzatok leírására szolgálnak.
Egy P pontot három koordinátája (r,θ,h) definiál.
(sugár) a távolság a z tengely és a P pont között,
szög a pozitív x tengely és az xy síkra vetített sugár között és- h (magasság) a P pont és az xy sík közötti előjeles távolság.
A hengerkoordinátáknál is fellép a polárkoordinátáknál leírt rdundancia; θ elveszíti jelentőségét r = 0-nál (vagyis akármilyen értéket felvehet).
Hengerkoordinátákat körszimmetrikus rendszerek analízisénél érdemes használni. Például egy végtelen hosszú henger, melynek egyenlete Descartes-koordinátarendszerben x2 + y2 = c2, hengerkoordinátákban az r = c egyenletre egyszerűsödik.
[szerkesztés] Gömbi koordináták
A gömbi koordináták is térbeli objektumok leírására szolgálnak.
Egy P pontot meghatározó három koordináta (ρ,θ,φ):
(sugár) a távolság a P pont és a koordinátarendszer kezdőpontja között,
(szélesség) a z-tengely és a sugár között és
(hosszúság) a pozitív x-tengely és a sugárnak az xy-síkra eső vetülete közötti szög.


(a 


