Diagonális mátrix

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Diagonális mátrix vagy diagonálmátrix olyan A = (aij) négyzetes mátrix, melynek minden főátlón kívüli eleme zéró:

\ a_{ij} = 0 minden i \ne j-re.

A diagonális mátrixot szokás így is jelölni:

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n), ahol a_1,\, a_2, \,...,\, a_n a főátló elemei.

Példa:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -3\end{bmatrix}

Érdemes megemlíteni, hogy a diagonális mátrix főátlóbeli elemei szintén lehetnek zérók (akár mindegyik: a nullmátrix is diagonális mátrix).

Példa: A

\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)

mátrix diagonális.

További diagonális mátrixok: az egységmátrix, valamint az egyelemű mátrix (tehát a skalár).

[szerkesztés] Műveletek

  • Két diagonális mátrix összege diagonális mátrix. Diagonális mátrixok szorzata szintén diagonális mátrix.
  • Az A = (a_{ij}), \, B = (b_{ij}) diagonálmátrixokok szorzata egyszerűen számítható:
AB = (ab_{ij}) = a_{ij} \cdot b_{ij},
amiből:
ab_{ij} =  \begin{cases} a_{ij} \cdot b_{ij} \ \ dla \ \ i = j \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ i \neq j \end{cases},
  • A diagonálmátrix hatványozása töbsszöri szorzást jelent önmagával:
(a_{ij})^N = \left ( a_{ij}^N \right ),
  • Az A = (aij) diagonálmátrix akkor és csakis akkor szinguláris, ha összes aij eleme egyenlő nullával, ekkor:
A^{-1} = \begin{cases} a_{ij} = a_{ij}^{-1}, & i = j \\ a_{ij} = 0, & i \neq j \end{cases},
  • A A = (aij) mátrix determinánsa főátló elemeinek szorzatával egyenlő:
\det A =  a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}.

[szerkesztés] Külső hivatkozások