Csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk az algebrai struktúráról szól. További jelentéséhez lásd: csoport (egyértelműsítő lap).

A matematikában az asszociatív, invertálható grupoidokat csoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a csoport egy olyan struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív, invertálható művelet.

Ha az adott műveletet (G; + ) módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig (G; \cdot ) módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla, de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.

Ha egy csoportban a művelet kommutatív, akkor a csoportot kommutatív csoportnak (vagy más szóval Niels Henrik Abel matematikusról elnevezve Abel-csoportnak) nevezzük.

A matematikán, illetve az algebrán belül a csoportelmélet foglalkozik a csoportok vizsgálatával.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Fő szócikk: Csoportelmélet

Megjegyzés. a fő szócikk precíz és teljes; ezért itt egy „olvasmányosabb” megközelítés szerepel; a [3] forrásban minden itt (csak) említett bizonyítás szerepel.

A fő szócikkben található első definíció a legfontosabb; érdemes az ÁMEN betűszóval megjegyezni a három csoportaxiómát:

  • a művelet asszociatív (A)
  • minden elemnek létezik inverze, ami bal és jobb inverze is (M – mind invertálható)
  • létezik egységelem, ami bal és jobb oldali egységelem is (E)

(nincs több axióma, azaz N; a főcikkben ezek az axiómák precízen le vannak írva)

A csoportaxiómákból következik, hogy egy csoportban minden elem inverze és az egységelem is egyértelműen meghatározott. Például az egész számok additív csoportjánál minden elemnek egy ellentettje van, pl. a +3-nak a -3, és csak a 0-t adva egy számhoz kapjuk vissza önmagát, tehát egy egységelem van. Ezek a az egész számoknál „megszokott” tulajdonságok minden csoportban teljesülnek.

Ha el akarjuk dönteni egy halmazról és egy műveletről, hogy azok vajon csoportot alkotnak-e, az axiómák használata nem mindig praktikus (trivális esetekben az). A definíciót lehet „gyengíteni”: kevesebb tulajdonság teljesülését követeljük meg, úgy, hogy ezekből még következzenek a csoportaxiómák. Tehát ezek az új feltételek nem lesznek „gyengébbek”, mert ugyanahhoz a csoportfogalomhoz vezetnek; viszont ellenőrizni könnyebb lesz (lehet) őket. (Precízen írva ezek csak „átfogalmazások”, mert a „gyengeség” így értve nem matematikai tulajdonság: az átlátásban segít itt ez a pongyolaság)

Például „gyengíthetjük” úgy a felételeinket, hogy csak a bal oldali inverz és bal oldali egységelem létezését követeljük meg:

  • \forall{}g_1,g_2,g_3\in{}G-re: (g_1\cdot{}g_2)\cdot{}g_3=g_1\cdot(g_2\cdot{}g_3), azaz a grupoid művelete asszociatív,
  • (G,\cdot)-ben létezik e\in{}G úgy, hogy \forall{}g\in{}G-re: e\cdot{}g=g, azaz létezik balegységelem,
  • \forall{}g\in{}G-re létezik g_1\in{}G úgy, hogy g_1\cdot{}g=e.

Bebizonyítható, hogy ezekből a feltételekből is következnek a csoportaxiómák, tehát elég egyik oldalról vizsgálni a dolgokat. A fő szócikk tartalmaz egy fontos gyengítést (amiben x és y elemeket használ; ott még a kitüntetett elemeink (inverz, egységelem) fogalma sem szerepel!).

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • Csoportban az egységelem egyértelműen meghatározott, azaz pontosan egy egységelem létezik.
  • Csoportban az inverz egyértelműen meghatározott, azaz a csoport minden elemének pontosan egy inverze van.

[szerkesztés] Csoport rendje

Ha a (G,\cdot) csoport alaphalmaza véges, akkor véges csoportról beszélünk. Ebben az esetben G elemszáma a csoport rendje, amit így jelölünk: | G | . A többi esetben is egyenlő a csoport rendje a csoport elemszámával (tehát pl. megszámlálhatóan végtelen rendű csoportról is beszélhetünk).

[szerkesztés] Példák

A csoportokra egyszerű példákat lehet látni pl. a középiskolában tanult számhalmazok és a kétváltozós műveletek között (pl. a \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} és a +,* műveletek), de vannak egyszerű geometriai csoportok is; pl. egy n oldalú (számozott csúcsú) szabályos sokszögnek a középpontja körül a 360/n fok egész számú többszöröseivel történő elforgatás műveletére csoportot alkot. Az n. komplex egységgyökök is csoportot alkotnak a szorzásra nézve (ez azért szép, mert ha a komplex számokat ábrázoló vektorokat nézzük, akkor a De Moivre azonosság alapján egy komplex számmal való szorzás egy elforgatásnak és egy nyújtásnak felel meg az ábrázolásban; egy egységgyökkel való szorzás nyújtást nem végez (mert 1 hosszú), így mindig csak elforgatunk; tehát ez „izomorfia erejéig” ugyanaz a csoport, mint az n oldalú sokszöget forgató!). Részletesebben lásd a példák között.

A csoportoknak kiterjedt alkalmazásai vannak a matematikában, a tudományban és a mérnöki gyakorlatban is.

[szerkesztés] További példák csoportokra

  • G=(\mathbb{Z}, +) (kommutatív).
  • G=(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot ) (kommutatív).
  • egy adott geometriai alakzatot önmagába vivő leképezések (tükrözések, elforgatások, eltolások, illetve ezek kombinációi) halmazán ezen leképezések szorzása
(megjegyzés: két leképezés definíció szerint megegyezik, ha ugyanazt a pontot ugyanarra a pontra képezik le; ez a csoport nem kommutatív).

[szerkesztés] Ellenpéldák

  • G=(\mathbb{Z}, -) (kommutatív):
csak jobboldali egységelem létezik (a − 0 = a, de 0-a\ne a), ráadásul a kivonás nem asszociatív.
asszociatív, létezik egységelem, de csak az egységelemnek van inverze.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Hivatkozások

  • [1] Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • [2] Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994
  • [3] Katona Y. Gyula – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, TypoTEX Kiadó, 2003.