Csoport
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
- Ez a szócikk az algebrai struktúráról szól. További jelentéséhez lásd: csoport (egyértelműsítő lap).
A matematikában az asszociatív, invertálható grupoidokat csoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a csoport egy olyan struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív, invertálható művelet.
Ha az adott műveletet (G; + ) módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig
módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla, de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.
Ha egy csoportban a művelet kommutatív, akkor a csoportot kommutatív csoportnak (vagy más szóval Niels Henrik Abel matematikusról elnevezve Abel-csoportnak) nevezzük.
A matematikán, illetve az algebrán belül a csoportelmélet foglalkozik a csoportok vizsgálatával.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Megjegyzés. a fő szócikk precíz és teljes; ezért itt egy „olvasmányosabb” megközelítés szerepel; a [3] forrásban minden itt (csak) említett bizonyítás szerepel.
A fő szócikkben található első definíció a legfontosabb; érdemes az ÁMEN betűszóval megjegyezni a három csoportaxiómát:
- a művelet asszociatív (A)
- minden elemnek létezik inverze, ami bal és jobb inverze is (M – mind invertálható)
- létezik egységelem, ami bal és jobb oldali egységelem is (E)
(nincs több axióma, azaz N; a főcikkben ezek az axiómák precízen le vannak írva)
A csoportaxiómákból következik, hogy egy csoportban minden elem inverze és az egységelem is egyértelműen meghatározott. Például az egész számok additív csoportjánál minden elemnek egy ellentettje van, pl. a +3-nak a -3, és csak a 0-t adva egy számhoz kapjuk vissza önmagát, tehát egy egységelem van. Ezek a az egész számoknál „megszokott” tulajdonságok minden csoportban teljesülnek.
Ha el akarjuk dönteni egy halmazról és egy műveletről, hogy azok vajon csoportot alkotnak-e, az axiómák használata nem mindig praktikus (trivális esetekben az). A definíciót lehet „gyengíteni”: kevesebb tulajdonság teljesülését követeljük meg, úgy, hogy ezekből még következzenek a csoportaxiómák. Tehát ezek az új feltételek nem lesznek „gyengébbek”, mert ugyanahhoz a csoportfogalomhoz vezetnek; viszont ellenőrizni könnyebb lesz (lehet) őket. (Precízen írva ezek csak „átfogalmazások”, mert a „gyengeség” így értve nem matematikai tulajdonság: az átlátásban segít itt ez a pongyolaság)
Például „gyengíthetjük” úgy a felételeinket, hogy csak a bal oldali inverz és bal oldali egységelem létezését követeljük meg:
-re:
, azaz a grupoid művelete asszociatív,
-ben létezik
úgy, hogy
-re:
, azaz létezik balegységelem,
-re létezik
úgy, hogy
.
Bebizonyítható, hogy ezekből a feltételekből is következnek a csoportaxiómák, tehát elég egyik oldalról vizsgálni a dolgokat. A fő szócikk tartalmaz egy fontos gyengítést (amiben x és y elemeket használ; ott még a kitüntetett elemeink (inverz, egységelem) fogalma sem szerepel!).
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Csoportban az egységelem egyértelműen meghatározott, azaz pontosan egy egységelem létezik.
- Csoportban az inverz egyértelműen meghatározott, azaz a csoport minden elemének pontosan egy inverze van.
[szerkesztés] Csoport rendje
Ha a
csoport alaphalmaza véges, akkor véges csoportról beszélünk. Ebben az esetben G elemszáma a csoport rendje, amit így jelölünk: | G | . A többi esetben is egyenlő a csoport rendje a csoport elemszámával (tehát pl. megszámlálhatóan végtelen rendű csoportról is beszélhetünk).
[szerkesztés] Példák
A csoportokra egyszerű példákat lehet látni pl. a középiskolában tanult számhalmazok és a kétváltozós műveletek között (pl. a
és a +,* műveletek), de vannak egyszerű geometriai csoportok is; pl. egy n oldalú (számozott csúcsú) szabályos sokszögnek a középpontja körül a 360/n fok egész számú többszöröseivel történő elforgatás műveletére csoportot alkot. Az n. komplex egységgyökök is csoportot alkotnak a szorzásra nézve (ez azért szép, mert ha a komplex számokat ábrázoló vektorokat nézzük, akkor a De Moivre azonosság alapján egy komplex számmal való szorzás egy elforgatásnak és egy nyújtásnak felel meg az ábrázolásban; egy egységgyökkel való szorzás nyújtást nem végez (mert 1 hosszú), így mindig csak elforgatunk; tehát ez „izomorfia erejéig” ugyanaz a csoport, mint az n oldalú sokszöget forgató!). Részletesebben lásd a példák között.
A csoportoknak kiterjedt alkalmazásai vannak a matematikában, a tudományban és a mérnöki gyakorlatban is.
[szerkesztés] További példák csoportokra
(kommutatív).
(kommutatív).- egy adott geometriai alakzatot önmagába vivő leképezések (tükrözések, elforgatások, eltolások, illetve ezek kombinációi) halmazán ezen leképezések szorzása
- (megjegyzés: két leképezés definíció szerint megegyezik, ha ugyanazt a pontot ugyanarra a pontra képezik le; ez a csoport nem kommutatív).
[szerkesztés] Ellenpéldák
(kommutatív):
- csak jobboldali egységelem létezik (a − 0 = a, de
), ráadásul a kivonás nem asszociatív.
- a 0 determinánsú 2x2-es mátrixok és a 2x2-es egységmátrix halmazán a mátrixszorzás:
- asszociatív, létezik egységelem, de csak az egységelemnek van inverze.
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Hivatkozások
- [1] Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
- [2] Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994
- [3] Katona Y. Gyula – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, TypoTEX Kiadó, 2003.


Based on work by