Háló (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

4-elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse diagramja.
4-elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse diagramja.

A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik részbenrendezett halmazok segítségével definiálja a háló fogalmát, a másik pedig algebrai struktúra segítségével. A részbenrendezett halmazok küzül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

A háló alábbi két definíciója ekvivalens:

[szerkesztés] Definíció részbenrendezett halmazok használatával

Az (A;) részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha A bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Az (A;) részbenrendezett halmazt teljes hálónak nevezzük, ha A bármely részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

[szerkesztés] Definíció algebrai struktúrák használatával [1]

Az (A; \cup , \cap ) kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha \cup, \cap kétváltozós műveletek A-n, amelyekre tetszőleges a, b, c \in A elemekre teljesülnek a következők:

a \cup b=b \cup a, a \cap b=b \cap a (kommutativitás),
(a \cup b) \cup c=a \cup (b \cup c), (a \cap b) \cap c=a \cap (b \cap c) (asszociativitás),
a \cap (a \cup b)=a, a \cup (a \cap b)=a (elnyelési azonosságok).

Az \cup műveletet egyesítésnek, a \cap műveletet pedig metszetnek hívjuk.


[szerkesztés] Példák

  • csoport részcsoportjai a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak
  • gyűrű részgyűrűi a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak
  • vektortér alterei a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • A hálóaxiómákból következik, hogy a háló mindkét művelete idempotens[1], azaz
a \cup a=a,
a \cap a=a.


[szerkesztés] Lásd még

  • Disztributív háló
  • Moduláris háló

[szerkesztés] Jegyzetek

  1. ^ 1,0 1,1 R. Dedekind: Über Zerlegungen von zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler, Gesammelte Werke, 2. kötet 109.o.

[szerkesztés] Hivatkozások

  • Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959
  • Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995

[szerkesztés] Külső hivatkozások