# Abszolútérték-függvény

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli. Az abszolútérték-függvény értékét az abszolútérték jelével jelöljók: az x∈ helyen ez |x|.

## [szerkesztés] Lehetséges definíciói

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútértéket-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

## [szerkesztés] Analitikus tulajdonságok

### [szerkesztés] Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz

`∀x∈ℝ: |x|≥0`

és ezért

`||x|| = |x|` .

- Bizonyítás: az [1] definícióból könnyen levezethető. A nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

### [szerkesztés] Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

`|x+y| ≤ |x|+|y|` .

(Ld. még az abszolút érték c. cikk idevágó részét).

### [szerkesztés] Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

### [szerkesztés] Derivált

Deriváltja a szignumfüggvény ℝ\{0}-ra szűkítve (0-ban nem deriválható, töréspontja van):

`|x|`' `= sgn(x)` ha `x≠0` .

Ez az [1]. definícióból, a szignumfüggvény megfelelő definíciójával összehasonlítva, következik; ha x<0, akkor |x| = -x, ezen a tartományon deriválva -1 adódik, ami épp a szignumfüggvény értéke. Hasonlóan ha x>0, akkor |x| = x, tehát deriváltja 1; szintén a szignumfüggvény értékével egyezik.

- 0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

## [szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

### [szerkesztés] Multiplikativitás

Multiplikatív („erős” értelemben), azaz tetszőleges x,y valós számokra:

`|x·y| = |x|·|y|` .

(Ld. még az abszolút érték c. cikk idevágó részét).

### [szerkesztés] Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga:

`|x|<n> = |x|` ha `n>0` .

## [szerkesztés] Hivatkozások

## [szerkesztés] Lásd még

- abszolút érték
- szignumfüggvény

## [szerkesztés] Irodalom

- Mathworld (angolul)

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../a/b/s/Abszol%C3%BAt%C3%A9rt%C3%A9k-f%C3%BCggv%C3%A9ny.html"

Kategóriák: Analízis | Függvények

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Български
- Català
- Česky
- Deutsch
- Esperanto
- Español
- Suomi
- Français
- Galego
- עברית
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Nederlands
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Svenska
- ไทย
- Türkçe
- Українська
- Tiếng Việt
- 中文