Integrálszámítás
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a XX. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.
A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (pl. geometriai és statikai) problémák megoldásában.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Alapintegrálok
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
[szerkesztés] Általános integrálási szabályok
[szerkesztés] Tagonkénti integrálás
A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:
Additivitás
Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

Homogenitás
Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.
[szerkesztés] Parciális integrálás
A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

Parciálisan integrálhatók pl. a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:
választással;
választással;
választással;
választással;
választással;
választással.
[szerkesztés] Helyettesítéses integrálás
A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

Nevezetes alesetek:
![]() |
![]() |
(a lineáris belső függvény esete) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
| Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy | ||
![]() |
![]() |
![]() |
|---|---|---|
| illetve | ||
![]() |
![]() |
![]() |
[szerkesztés] Speciális integrálási módszerek
[szerkesztés] Racionális törtfüggvények integrálása
Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló
racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:
- A valós együtthatós racionális
törtfüggvényt maradékos osztással az
alakra hozzuk, ahol a
polinom fokszáma már kisebb, mint a
polinom fokszáma.
- A
nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:

- A
törtet a
faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:



A parciális törtek
együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki. - A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:



Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál
alakúra hozható, amelyet a következő rekurziós formula segítségével számíthatunk ki:
[szerkesztés] Trigonometrikus függvények integrálása
Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
;
és
adódik.
[szerkesztés] Exponenciális függvények integrálása
Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
adódik.
[szerkesztés] Hiperbolikus függvények integrálása
Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
;
és
adódik.
Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.
[szerkesztés] Irracionális függvények integrálása
A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
esetén
, illetve
esetén
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel, ahol
a kitevők
nevezőinek legkisebb közös többszöröse.
[szerkesztés] Az Euler-féle helyettesítések
alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:
;
;
ahol
az
polinom valós gyöke.
[szerkesztés] A határozott integrál alkalmazásai
[szerkesztés] Területszámítás
[szerkesztés] Görbe alatti terület
Az
határozott integrál geometriai jelentése: az x = a, x = b, y = 0 egyenesek és az y = f(x) függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x-tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az f(x) és g(x) függvénygörbék, valamint az x = a és x = b egyenesek által határolt síkidom területe:
![\left|\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx\right|](../../../math/b/5/f/b5fb5be3dbaed6c15acdb7cf6057e16d.png)
Az x = x(t), y = y(t),
paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

[szerkesztés] Szektorterület
Az x = x(t), y = y(t),
paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:
![\frac{1}{2}\int_a^b[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt](../../../math/8/f/7/8f7de3843dac8cf1613f0bf11c953d7b.png)
Az
,
polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

[szerkesztés] Ívhosszszámítás
Ha az f(x) függvény az [a,b] intervallumon differenciálható, és f'(x) ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:
![\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dt](../../../math/7/d/7/7d7581491c5285fab4f3444761f35e6c.png)
Az x = x(t), y = y(t),
paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:
![\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt](../../../math/b/d/1/bd1f8094f1e02f734238d9131d2201bf.png)
Az
,
polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:
![\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\varphi)]^2+[r'(\varphi)]^2}\,d\varphi](../../../math/4/9/6/4965fea9d81500c8f9159a364b4c1e64.png)
[szerkesztés] Térfogatszámítás
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos f(x) függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely [a,b] szakaszára eső térfogata:

Az x = x(t), y = y(t),
paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

[szerkesztés] Felszínszámítás
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos f(x) függvény írja le, akkor a tengely [a,b] szakasza körüli palást felszíne:
![2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx](../../../math/b/c/8/bc899595a9fbabdc32dcde02802bfc26.png)
Az x = x(t), y = y(t),
paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:
![2\pi\int_a^by(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt](../../../math/d/d/5/dd51422e01bb54ed80b7f64ca0e0b331.png)
[szerkesztés] Súlypontszámítás
Az f(x) függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:
![x_s=\frac{\int_a^bx\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}\qquad y_s=\frac{\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}{\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}](../../../math/7/a/5/7a5307463ecf3ee6c3d6e60e4deff11f.png)
Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

Az ívet az x-tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

















































![\int [g(x)]^\alpha\,g'(x)\,dx](../../../math/e/f/a/efa09354da864662f8b311721c2dffff.png)
![\ =\frac{[g(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C](../../../math/6/9/3/6935f1f6e308522a4fda66eca9a34b7f.png)











Based on work by