# Binomiális tétel

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A binomiális tétel egy matematikai (algebrai) tétel, mely a következő képletben foglalható össze:

;

részletesebben (szummajel használata nélkül):

;

ahol n természetes szám (n∈ℕ), a,b pedig valós vagy komplex számok, vagy általánosabban, egy kommutatív félgyűrű elemei; továbbá a képletben szereplő ún. binomiális együtthatók a következőképp számolhatóak ki: ; `n!` pedig az n faktoriálisát jelenti.

## [szerkesztés] Példák

## [szerkesztés] Története

A formulát, a Pascal-háromszöggel együtt gyakran Blaise Pascalnak tulajdonítják, aki a XVII. században leírta ezeket, de már a kínai Yang Hui (XIII. sz., sőt a XI. századi perzsiai iszlám Omar Khayyám, sőt a Kr. e. 3. századi indiai Pingala is utal rájuk. Az arab matematikusok (Al-Karadzsi, ~953-~1029) már meglehetős biztonsággal alkalmazták kisebb n-ekre [1], Kínában és Indiában az 1100-as években (vagy előbb) fedezthették fel.

A formulát általánosabb alakjában Isaac Newton 1665-ben leírta és bizonyította is.

## [szerkesztés] Bizonyítások

### [szerkesztés] Kombinatorikus jellegű bizonyítás

Tudvalevőleg

(a + b)n | = |
|  | n − s z e r

A (félgyűrűkben mindenképp érvényes) disztributivitás („minden tagot minden taggal”) törvénye alapján x1x2...xn alakú szorzatokat kapunk, ahol x1, x2,..., xn ∈{a,b}. Ezeket kell összegezni. Egy ilyen tag úgy is adódhat, hogy kiválasztjuk az első zárójelben lévő a vagy b tag közül az egyiket (tetszőlegeset), aztán a másodikból is az a-t vagy b-t (tetszőlegesen), és így tovább. Tehát így valóban a tagok akbn-k alakúak lesznek (a kitevők összege ugyanis n-et kell, hogy adjon, hiszen összesen n darab a-t vagy b-t választunk ki a zárójelekből és szorzunk össze), ahol 0≤k≤n. Például ha mind az n db. zárójelből az a-t választjuk ki, úgy adódik az anb0 = an tag. A kérdés, rögzített k-ra hány darab darab akbn-k létezik (több is létezhet, pl. már n=2 esetén is, a kommutativitás miatt, kétféle a1b1 = ab alakú tag áll elő aszerint, hogy az első zárójelből a-t és a másodikból b-t, illetve aszerint, hogy az első zárójelből b-t és a másodikból a-t választjuk.

Elegendő csak az a-k kitevője szerint vizsgálódni, hiszen ha a kitevője a rögzített k, akkor b kitevője már egyértelműen n-k. Annyiféle akbn-k alakú tag lehet tehát, ahányféleképp n db. a szorzót választhatunk az n darab (a+b) zárójelből (a többi szorzó automatikusan b), tehát ahányféleképp az n db. a szorzó közül kiválaszthatunk k db. a szorzót, vagyis ahányféleképp egy n elemű halmazból (az a szorzók halmazából) kiválasztható k db. elem (k darab a szorzó); s ez a szám egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a számát megadó binomiális együttható, .

Tehát két tag összegének n-edik hatványa valóban n összegű kitevőjű a- és b alapú hatványok szorzatainak („tagok”) összege, és az egyes tagok együtthatója valóban a képletben szereplő binomiális együttható ■.

### [szerkesztés] Indukciós bizonyítás

Teljes indukciót használunk, a „Pascal-képletet” is alkalmazva (). Ha n = 0, akkor

  (a + b)0 = 1 és = 1·1·1 = 1

valóban igaz, mert bármely valós szám, illetve kommutatív félgyűrűelem nulladik hatványa definíció szerint 1. A példák alatt láthatóan teljesül a tétel egyéb kis n-ekre is.

Indukciós feltevésként legyen igaz a tétel valamely -ra. Akkor n = m + 1-re a következőképp látható be:

    az indukciós feltevés alapján;

    , elvégezve a kijelölt beszorzásokat a-val, illetve b-vel;

    + , az első részösszegből különválasztva a k=0, a másodikból pedig a j=m indexű, összesen két db. tagot; tehát:

    + + ; a k futóindex helyébe is j-t írhatunk, figyelembe véve, hogy j 0-tól m-1-ig fut, míg k 1-től m-ig, tehát k=j+1, és így helyettesítve a, b hatványkitevői is a megfelelőképp kell hogy módosuljanak, kapjuk:

    + + ; azaz:

    + + ; azaz:

    ; azaz:

    ; alkalmazva a binomiális együtthatókra vonatkozó (szintén indukcióval bizonyítható) Pascal-képletet, és figyelembe véve, hogy és minden m-re:

    ; most j helyébe k=j+1-et írva, s figyelembe véve, hogy j=k-1, j 0-tól m-1-ig fut, és a többi ilyesmit:

    ; azaz

    ; és így

    ; és épp ez kellett ■.

## [szerkesztés] Egyszerű következmények és alkalmazások

### [szerkesztés] Az n-edrendű binomiális együtthatók öszege és váltakozó előjelű összege

Klasszikus diszkrét matematikai (algebra-kombinatorika) következménye a tételnek az a két azonosság, mely a Pascal-háromszög n-edik sorában áll elemek összegéről, illetve váltakozó előjellel vett összegéről szól:

Ha tekintjük az a = 1, illetve b = 1 helyettesítést, akkor kapjuk, hogy

.

Ha tekintjük az a = 1, illetve b = − 1 helyettesítést, akkor kapjuk, hogy

,

vagyis a binomiális együtthatók váltakozó előjelű összege 0.

### [szerkesztés] Hatványfüggvény deriváltja

Fő szócikk: Hatványfüggvény

Klasszikus analitikus alkalmazása a tételnek az x↦c·xn valós vagy komplex hatványfüggvények deriváltját megadó egyszerű képlet, eszerint:

## [szerkesztés] Általánosítások

### [szerkesztés] A polinomiális tétel

### [szerkesztés] Newton általánosított binomiális tétele

Fő szócikk: binomiális sor

Isaac Newton első jelentős matematikai felfedezése volt a binomiális tétel általánosítása racionális kitevőkre. Képlete azonban komplex kitevőkre is érvényes:

ahol r tetszőleges komplex szám, az általánosított binomiális együtthatók kiszámítása pedig a következő:
[2]; vagy pedig ;
ahol (...)k az ún. Pochhammer-szimbólum.

## [szerkesztés] Érdekességek

### [szerkesztés] Binomiális tétel a kultúrában

- Sir Arthur Conan Doyle Sherlock Holmes-történeteiben az elvetemült Moriarty professzor a szerzője az A Treatise on the Binomial Theorem (Értekezés a binomiális tételről) c. munkának.
- Legalább három különböző Monty Python-műben (Coal Mine, Happy Valley, Az élet értelme) említődik a tétel.
- Mihail Bulgakov A Mester és Margarita c. regényében is előkerül cáfoló bizonyítékként, amikor a Fokics nevű büfés azt állítja, hogy a saját halálát senki sem képes előre látni.
- Fernando Pessoa (1888–1935) portugál költő egy egész, bár rövid költeményt (A Newton féle binomiális – O binomio de Newton) szentelt a tételnek [3], mi szerint: A Newton-féle binomiális ugyanolyan szép, mint a Milói Vénusz. Legfeljebb kevesen vesznek róla tudomást.

## [szerkesztés] Hivatkozások

### [szerkesztés] Jegyzetek

1. ^ Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji életrajza a Szent András-Egyetem honlapján (MacTutor Archive).
2. ^ A k = 0, esetben a képlet „tényezők nélküli szorzat”, így szükségképp 1, a k = 1 esetben pedig r.
3. ^ A Newton-féle – F. Pessoa verse a Ponticulus Hungaricus c. webhelyen

### [szerkesztés] Lásd még

- binomiális együttható
- Pascal-háromszög
- polinomiális tétel

### [szerkesztés] Külső hivatkozások

- Lawrence Neff Stout: Aesthetic Analysis of Proofs of the Binomial Theorem (A binomiális tétel három bizonyításának esztétikai analízise) – angol PDF.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../b/i/n/Binomi%C3%A1lis_t%C3%A9tel.html"

Kategóriák: Algebra | Matematikai tételek

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- العربية
- Български
- বাংলা
- Česky
- Deutsch
- Español
- Français
- עברית
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Lietuvių
- Nederlands
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Português
- Русский
- Svenska
- Türkçe
- Tiếng Việt
- 中文