Határérték

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematika területén a határérték (limesz) fogalmát használják egy függvény tulajdonságának a leírására, ahogy az argumentuma egyre közelebb kerül valamilyen véges értékhez vagy végtelenhez; vagy egy sorozat viselkedésének leírására, ahogy az indexe végtelenhez tart. A határérték fogalmát felhasználja a matematikai analízis a differenciálhányados és a folytonosság definíciójához. A latin limes szóból lim-ként rövidítik.

A „határérték” fogalmát általánosabban lehet megfogalmazni a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Sorozat határértéke

Fő szócikk: sorozat határértéke

Figyeljük meg a következő sorozatot: 1,79, 1,799, 1,7999,... Megállapíthatjuk, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, a sorozat határértékéhez.

Formálisan feltételezzük, hogy x1, x2, ... valós számokból álló sorozat. Azt mondjuk, hogy a valós A szám a sorozat határértéke, és azt így jelöljük

\lim_{n \to \infty} x_n = A

pontosan akkor, ha

minden ε>0 esetén létezik egy N(ε) (ε-tól függő) természetes szám, melyre n>N(ε) esetén |xn - A| < ε.

Szemléletesen azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerülhetek a határértékhez, amíg az |xn - A| abszolút érték az xn és A „távolságát” jelenti. Nem minden sorozatnak van határértéke; ha van konvergensnek nevezzük, különben divergensnek. Belátható, hogy egy sorozatnak csak egy határértéke lehet.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. Egyrészt a sorozat határértéke egy természetes számokon értelmezett függvény végtelenben vett határértéke. Másrészt egy f függvény határértéke x helyen, ha létezik, megegyezik az f(xn) sorozat határértékével bármely olyan xn sorozatra, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket, és a határértéke x.

[szerkesztés] Függvényhatárérték

Fő szócikk: függvény határértéke

[szerkesztés] Határérték véges pontban

Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A:

\lim_{x \to c}f(x) = A

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszőlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy „az f(x) határértéke az x tart c esetén A”. Megjegyezzük, hogy ez akkor is igaz lehet, ha f(c) \neq A, sőt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.

Két példa következik a fentiek illusztrálására.

Vizsgáljuk meg f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} határértékét, ha x tart 2-höz. Ebben az esetbe az f(x) definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9) f(1,99) f(1,999) f(2) f(2,001) f(2,01) f(2,1)
0,4121 0,4012 0,4001 \Rightarrow 0,4 \Leftarrow 0,3998 0,3988 0,3882

Ha x közelít 3-hoz, akkor f(x) közelít 0,3-hez, azaz \lim_{x\to 3}f(x)=0,3. Ezekben az esetkeben, amikor f(c) = \lim_{x\to c} f(x), azt mondjuk, hogy f folytonos az x = c helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a g függvény az alábbi módon értelmezett:

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ha }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{ha }x=2. \end{matrix}\right.

A g(x) határértéke x tart 2 esetén 0,4 (ahogy az f(x) esetén is), de \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); g nem folytonos x = 2 helyen.

Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)
Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)

[szerkesztés] Formális definíció

Legyen az f függvény, mely értelmezve van a c egy nyílt környezetében (esetleg c-ben nem) és A egy valós szám. A

\lim_{x \to c}f(x) = A

jelölés azt jelenti, hogy minden \varepsilon\ >0 érték esetén van olyan \delta\ >0, melyekre bármely x esetén, ha 0<|x-c|< \delta\, akkor | f (x)-A|< \varepsilon\.

Pontosabb formális definíció a konvergens sorozatok definíciójából adódik.

[szerkesztés] Függvényhatárérték a végtelenben

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az f(x) = \frac{2x}{x + 1} függvényt.

  • f(100) = 1,9802
  • f(1000) = 1,9980
  • f(10000) = 1,9998

Ahogy x nagyon naggyá válik, f(x) közelít 2-höz. Ebben az esetben,

\lim_{x \to \infty} f(x) = 2

Formálisan, a végtelenben vett határérték definíciója

\lim_{x \to \infty} f(x) = c pontosan akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik olyan K valós szám, melyre | f(x) − c | < ε teljesül, ha x > K

A mínusz végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.