Ciklikus csoport
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.
A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a moduló m maradékosztályok additív csoportjával (Zm={0,1,...,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z+). A véges csoportok osztályozásának elméletében nagy jelentősége van a ciklikus csoportoknak, mert minden prím elemszámú csoport ciklikus csoport.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
A ciklikus csoport definíciójának felírása előtt vissza kell utalnunk a csoportbeli egész kitevős hatványozás illetve a generált részcsoport fogalmára.
Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G,
) csoport ciklikus, ha van olyan G-beli a elem, melyre
Ekkor a-t a G (egyik) generátorelemének nevezzük.
Megjegyzés. A definíció egy ekvivalens megfogalmazása, hogy G akkor és csak akkor ciklikus, ha létezik olyan a eleme, hogy az a-t tartalmazó egyetlen G-beli részcsoport maga G, azaz létezik a ∈ G, hogy minden G-beli H részcsoportra
Ebben az esetben tehát a generálja G-t, vagyis
Világos, hogy
ugyanis egyrészt a hatványozás csoportbeli azonosságainak felhasználásával belátható, hogy
tehát
részcsoport G-ben, másrészt ez a legszűkebb a-t tartalmazó részcsoport, hiszen minden G-beli H részcsoport tartalmazza a és a-1 összes nemnegatív egész kitevőjű hatványát.
[szerkesztés] Példák
1. Az egész számok halmaza az összeadásra nézve ciklikus csoportot alkot, mely egybeesik az egész számok gyűrűjének additív csoportjával, azaz Z+-szal. Ebben a csoportban generátorelem az 1 ∈ Z+ szám:
Hasonlóképpen generátorelem még a (-1) ∈ Z+ szám is.
Megjegyzés. Az 1
n jelölés additív, abban az értelemben, hogy a hatványozás szokásos csoportelméleti jelölése helyett ( an ) a + jelhez adekvát a + a + ... + a = n
a, n tagú összeg alakjában szerepelnek a generált csoport elemeit.
2. Ha m nemnulla természetes szám, akkor a Z / mZ faktorcsoport a + komplexusösszeggel ellátva ciklikus csoportot alkot. Z / mZ (más jelöléssel Zm) a moduló m maradékosztályok additív csoportja. Az mZ komplexus az m-mel osztható egész számok részcsoportja, Z / mZ pedig egyenlő az
mellékosztályok halmazával, ahol r = 0, 1, ..., m-1 az m-mel való osztás maradéka (mZ + r pedig a Z következő részhalmaza, vagy más néven komlexusa: {mq + r | q ∈ Z} )
3. Ha p prím, akkor Zp nemnulla elemei ciklikus csoportot alkotnak a "maradékok" szorzásával, mint csoportművelettel ellátva. Ekkor a Z / pZ faktorgyűrű multiplikatív része
éppen p-1 elemű, és generátoreleme bármely nem 1 elem. (Sőt, az is igaz, hogy ekkor Zp* egy p-1 elemű véges, kommutatív test.)
4. Vegyük az n oldalú szabályos sokszög összes olyan saját magára történő leképezéseit, melyek megtartják a körüljárási irányt. Ezen leképezések ciklikus csoportot alkotnak a leképezések egymásutánjával, mint művelettel ellátva. A csoport elemszáma n, generátoreleme a 2π / n szögű elforgatás.
[szerkesztés] Ciklikus csoportok osztályozási tétele
A G ciklikus csoport esetén az
leképezés szürjektív csoporthomomorfizmus Z+ és G között, amennyiben g a G csoport egy generátoreleme.
Állítás. Ha a G ciklikus csoport végtelen rendű, akkor tetszőleges g ∈ G esetén az expg leképezés Z+
G izomorfizmus.
Ugyanis, két tetszőleges egész szám közül a nem nagyobbat m-mel, a nem kisebbet n-nel jelölve, tegyük fel, hogy gn = gm. Szorozzunk be g-m-mel: gn-m = e. Vagyis g legfeljebb n-m -ed (nemnegatív szám) rendű elem, de g hatványai előállítják G-t, mely végtelen elemszámú, így n-m más véges szám nem lehet, csak 0, amiből n=m következik. expg tehát injektív.
Tétel - Osztályozási tétel - A G ciklikus csoport izomorf
- Z-vel, ha végtelen rendű és
- Zm-mel, ha m-ed rendű ( m pozitív természetes szám ).
[szerkesztés] Elem rendje - ciklikus részcsoport rendje
A ciklikus csoportok esetén nagy jelentősége van az elemek rendjének.
Definíció. Ha G csoport, e a neutrális eleme és a ∈ G, akkor az a elem rendjének nevezzük azt a legkisebb pozitív egész k számot, melyre
Az a elem rendjét
-val jelöljük.














Based on work by