Kirchhoff-törvények

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Kirchoff-törvények a villamosságtanban a töltés és az energia megmaradását tárgyalják. Először Gustav Kirchoff mondta ki őket 1845-ben. Mindkét törvény közvetlenül levezethető a Maxwell-egyenletekből, de Kirchoff még Ohm törvényeinek általánosítását használta fel.

[szerkesztés] A csomóponti törvény

A csomópontba befolyó és az onnan elfolyó áramok előjelhelyesen vett összege 0. Ha a befolyó áramot pozitívnak, az elfolyót negatívnak vesszük akkor: - i1 + i2 - i4  + i3 = 0Ebből következik hogy i1 + i4 = i2 + i3
A csomópontba befolyó és az onnan elfolyó áramok előjelhelyesen vett összege 0. Ha a befolyó áramot pozitívnak, az elfolyót negatívnak vesszük akkor:
- i1 + i2 - i4 + i3 = 0
Ebből következik hogy
i1 + i4 = i2 + i3

Ezt a törvényt nevezik még Kirchhoff első törvényének.

Egy tetszőlegesen bonyolult villamos hálózat (áramkör) elemire egyenként alkalmazható az Ohm-törvény hiszen az összetartozó áram, feszültség és ellenállás mennyiségek közötti kapcsolatot mutatja. Viszont a több elemből álló hálózatnál, a Kirchhoff-törvények nyújtanak segítséget, amelyek nagyban leegyszerűsítik a számítási műveleteket.

A csomóponti törvény párhuzamos (elágazó) áramkörökre vonatkozik. Az elágazásnál csomópont keletkezik. A törvény értelmében a csomópontba befolyó áramok összege megegyezik az onnan elfolyó áramok összegével. Az egész törvény alapja az, hogy egy villamos hálózat (áramkör) csomópontjaiban nincs töltésfelhalmozódás.

Az ábrán a csomópontot egy befeketített körrel jelöljük. A csomópont egyben az elektromos kötés helyét is jelöli.

A csomópontnak létezik még egy fontos szerepe, mégpedig hogy potenciállal rendelkezik amit feszültséggel jellemzünk. Ez a potenciál egy másik csomóponthoz képest mérhető, és nagysága függ az összekötő elem(ek) (ellenállás(ok)) értékén, és az átfolyó áram nagyságán. Kicsit olyan ez mint a "Mi volt előbb, a tyúk vagy a tojás?" kérdése. Ugyanis a potenciálkülönbség hoz létre átfolyó áramot egy ellenálláson, viszont az átfolyó áram hatására jön létre egy ellenállás két lába közt feszültségkülönbség.

[szerkesztés] A hurok törvény

Kirchoff II. törvénye sorosan kapcsolt elemekre vonatkozik. A hurok kifejezés arra utal, hogy ha valamit sorba kapcsolunk akkor a végét összekötjük az elejével, emiatt hurok alakul ki. Bármely zárt hurokban a hálózati(áramköri) elemeken -adott körüljárási irány mellett- a rajtuk lévő feszültségek előjelhelyesen vett összege nulla.

Akkor kezdjük azt ábránk tanulmányozását!
Középen az a kerek benne a vonallal, az a feszültséggenerátor. Azt érdemes róla tudni, hogy mindig minden körülmények között 15V-ot ad ki a kapcsain. (sokan azt gondolnák hogy olyan mint egy zsebtelep, pedig NEM! Sokkal jobb annál, ugyanis (elméletben) bárhogy is terheljük sosem csökken le a feszülsége a kapcsai közt.
A téglalap alakú cuccok az ellenállások. Mindegyiknek van értéke, de az egyszerűség kedvéért tekintsünk most el tőle. A párhuzamos vonalak pedig az kondenzátorok. (megsúgom, hogy a felrajzolt ábrán az értékek a valóságban nem léteznek, bár bekapcsoláskor esetleg egy pillanatra előjöhetnek ezek a feszültségek, de az csak olyan rövid ideig tart, hogy időnk sem volna lemérni)


Nos: Első és legfontosabb megjegyeznivaló, hogy a nyíl mindig a pozitívtól a negatív felé mutat. Ez nagyon fontos, ugyanis ez dönti el, hogy az áram az adott elemen merre folyik.

A hurok törvény egyenletének felírása a következő lépésekből áll:
1. Vegyünk fel először egy körüljárási irányt. /az ábrán 2db hurkot jelöltam be. El is neveztem őket. Itt a körüljárási irány minden hurok esetében ugyanaz (jelen esetben óramutató járásával megegyezően, de bárhogy felvehető)
2. Induljunk el tetszőleges elemtől, és a rajta lévő feszültségeket adogassuk egymáshoz úgy, hogy ha megegyezik a körüljárási irány és a bejelölt feszültség, akkor pozitív, ha nem akkor pedig negatív.
Majd ezt az összeget tegyük nullával egyenlővé.
Ebben az esetben induljunk el a bal oldali ellenállástól és haladjunk körbe az 1-es hurkon:
3volt és megegyezik akkor:
+3V
A következő 10V és megegyezik akkor
+3V+10V
és így tovább:
+3V+10V+1.5V
most jön az elágazás, és mi lefele megyünk tehát hozzáadjuk a kondenzátor feszültségét:
+3V+10V+1.5V+0.5V
Hoppá! Most jön a forrás. Érdekes hogy ellentétes, vonjuk hát ki belőle!
+3V+10V+1.5V+0.5V-15V
És most tegyük nullával egyenlővé!
+3V+10V+1.5V+0.5V-15V=0

No lám meg is van az egyenletünk. És most ha leellenőrizzük, rájöhetünk, hogy a törvény igaz, mert az egyes elemeken vett (előjelhelyes!) összeg eredménye tényleg nulla.

De másképp is felírható ám! Méghozzá úgy, hogy az áramforrás negatív tápfeszültségét átvisszük az egyenlet másik oldalára:
Így kapjuk hogy 3+10+1.5+0.5=15 Ami számomra azt mutatja hogy egy hurokban az aktív elem(feszültségforrás) feszültsége a passzív elemeken eloszlik. Olyan mint egy sokelemes feszültségosztó!
Ha az ember már sokadjára számolja ezeket a hálózatokat(áramköröket) akkor rájön, hogy egy hurokban a feszültségforráson mindig ellentétes a feszültség az ellenállásokhoz képest.

Most akkor számoljuk ki önállóan 2. hurokban a feszültségeket!
(Segítek, induljunk el a bármelyik elemtől és adogassuk egymáshoz őket. Vigyázzunk, az első elemet nehogy még egyszer hozzáadjuk!)

Most a +15V-0.5-7-7.5=0 egyenlethez jutottunk. Furcsa, hogy a forrás pozitív. De nem baj, hisz az előbb azt a megállapítást tettük, hogy a forrás ellentétes a passzív elemek feszültségéhez képest. Ha átviszem az egyenlet másik oldalára a negatív számokat, akkor: 15V=0.5V+7V+7.5V
Ebből az egyenletből is látszik, hogy a fogyasztókra jutó fesszültségek összege megyegyezik a generátor feszültségével.

Érdemes még megemletíteni azt az esetet, amikor több generátor van egy hurokban. Mint ahogy a fenti számítási módszerben láthattuk a körüljárási iránynak megfelőlen ugyanúgy hozzáadjuk az egyenletünkhöz.

[szerkesztés] Az egyesített Kirchhoff törvény

Mivel mindkét törvény mindenféle hálózatra igaz, bártan lehet alkalmazni őket ismeretlen feszültségek és/vagy áramok kiszámítására. A most megismeretett két módszerrel, bármilyen, tetszőlegesen bonyolult villamos hálózatot(áramkört) ki tudunk számítani, feltéve ha adottak a megfelő számú adatok.(adatok alatt feszültségekre, áramokra, ellenállásértékekre gondolok)

Csak annyit kell tennünk, hogy minden hurokra, és minden csomópontra felírjuk a törvényszerűségeket, majd az "ahány ismeretlen, annyi egyenlet" módszerrel az összes ismeretlen feszültséget és áramot ki tudjuk számolni. Vagy mondjuk a számítógép számolja ki nekünk, hiszen, manapság sok áramkörszimulátor program létezik /ilyen a circuit maker vagy a tina/, amely elvégez minden számítást, egy komplett áramkörön, a fenti szabályok alapján.