Hullámfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk a hullámfüggvény kvantummechanikai koncepcióját tárgyalja. Ennek a kifejezésnek a klasszikus mechanikában és a klasszikus elektrodinamikában jelentős eltérő értelme van.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amelyik egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai - alapvektorai, bázisfüggvényei - szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

  • komplex vektor véges számú komponenssel (pl. Heisenberg-kép)
\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},
  • komplex vektor végtelen sok komponenssel
\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix},
  • egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (pl. Schrödinger-kép)
\psi(x_1, \, \ldots \, x_n).

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

[szerkesztés] Interpretáció (függvény)

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

[szerkesztés] Egy részecske egy térdimenzióban

Egy részecskéhez egy dimezióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex \psi(x)\, függvény, amit a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény |\psi|^2\, abszolutértéknégyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az [a,b] intervallumba eső eredményt ad:

\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, dx \quad.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, dx = 1 \quad.

mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

[szerkesztés] Egy részecske három térdimenzióban

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex \psi(x, y, z)\, függvény, ami a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutértéknégyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az R térfogatban találjuk:

\int_R |\psi(x)|^2\, dV.

A normálási feltétel hasonló:

\int |\psi(x)|^2\, dV = 1

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

[szerkesztés] Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

\psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\,,

és |\psi|^2\, az együttes valószínűségsűrűségi függvénye a két részecske pozíciójának. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

\int_R \int_S |\psi|^2 \, dV_2 dV_1

ahol dV1 = dx1dy1dz1, dV2 is hasonló. A normálási feltétel ezért:

\int |\psi^2| \, dV_2 dV_1 = 1

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt. Kétrészecske-rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, lehetetlen lehet egy olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amelyik nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

[szerkesztés] Egy részecske egydimenziós impulzustérben

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy a valós számegyenes értelmezett komplex \psi(p)\, függvény. A |\psi|^2\, mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a [a,b] intervallumba eső eredményre vezet:

\int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, dp\quad.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, dp = 1

Mivel a részecske impulzusát valamennyinek biztosan találjuk.

[szerkesztés] 1/2-es spin

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekeintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy - algebrai - oszlopvektor (ld. spinorok):

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan c1 és c2 a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a z térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

| \psi \rangle = c_1 | \uparrow_z \rangle + c_2 | \downarrow_z \rangle

A |c_1|^2 \, ill. |c_2|^2 \, értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\,.

[szerkesztés] Interpretáció (vektor)

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük | \psi \rangle\,-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek | \phi_i \rangle. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

[szerkesztés] Véges vektorok

A hullámfüggvény, ami egy \vec \psi vektor n komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer | \psi \rangle állapotát a végesen sok | \phi_i \rangle bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol i 1-től n-ig fut. A

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

|\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhetnek, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk a 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

\vec \psi komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a | \phi_i \rangle állapotok egy dinamikai változó (pl. impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
|\psi \rangle = \sum_i c_i | \phi_i \rangle
állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül λi-t kapjunk, | ci | 2, és ha eredményünk λi, akkor a mérés után a rendszer a | \phi_i \rangle állapotban lesz.

[szerkesztés] Végtelen vektorok

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}

ekvivalens a következővel:

|\psi \rangle = \sum_{i} c_i | \psi_i \rangle,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed \vec \psi minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

[szerkesztés] Folytonos indexű vektorok (függvények)

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske | \psi \rangle fizikai állapotát a határozott helyzetű | x \rangle állapotokon fejti ki. Ezért

| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) | x \rangle\,dx.

Vegyük észre, hogy | \psi \rangle nem azonos \psi(x)\,-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

| x_0 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_0) | x \rangle\,dx

és ezért az | x_0 \rangle-hoz rendelt térhullámfüggvény \delta(x - x_0)\, (Dirac-delta).

[szerkesztés] Formalizmus

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy H vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha | \psi \rangle és | \phi \rangle két megengedett állapot, akkor
a | \psi \rangle + b | \phi \rangle
szintén megengedett állapot feltéve, hogy | a | 2 + | b | 2 = 1. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a H vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

\{ |\uparrow_z \rangle, |\downarrow_z \rangle \}

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

a|\uparrow_z \rangle + b|\downarrow_z \rangle.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy H térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist - puff ez megfogott, "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen - nulla mérési bizonytalansággal - levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni H-t egy belső szorzat-tal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok \{ | \phi_i \rangle \}\, báziselemünk van, amelyik mind H-hoz tartoznak, akkor H egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

\langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}.

Ha ez a helyzet, akkor | \phi_i \rangle belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

\langle \phi_i | \sum_j c_j | \phi_j \rangle = c_i.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint pl. a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú \{ | x \rangle \} állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

\langle x | x' \rangle = \delta(x - x')

azaz érvényes az analóg

\langle x | \int \psi(x') | x' \rangle \,dx' = \int \psi(x') \delta(x - x')\,dx' = \psi(x).

összefüggés.

[szerkesztés] Külső referenciák