Ciklikus asszociált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A ciklikus asszociált algebrai fogalom, a véges testekek elméletében van alapvető szerepe. Fontos elméleti szerepe van pl. az ilyen testek feletti polinomok felbonthatóságának jellemzésében, de a testbővítések elméletében is hasznos. A véges testek elméletének egyébként pl. a digitális jelfeldolgozás elméletében van fontos szerepe (kódoláselmélet stb.) .

Legyen K véges test, és R ≤ K ennek egy részteste (tehát K|R, azaz K az R egy bővítése). Az a^{ |R|^{j} } \ , \ j \in \mathbb{N} ^{+} elemet, mely tehát az a egy hatványa az a∈K testbeli elem R résztestre vonatkozó j indexű ciklikus asszociáltjának nevezzük.

C _{R} \left( a \right) := \left( a^{ |R|^{j} } \right) _{ j \in \mathbb{N} ^{+} } = \left( a^{|R|^{1}} , a^{|R|^{2}} , ... , a^{|R|^{j}} , ...  \right) \in K^{ \mathbb{N}^{+} } végtelen sorozat elemeit az a elem R résztestre vonatkozó ciklikus asszociáltjai sorozatának nevezzük. A j \in \mathbb{N}^{+} kitevőt az a^{|R|^{j}} ciklikus asszociált indexének nevezzük.

Tehát az a elem összes ciklikus asszociáltja(inak halmaza) eme sorozat értékkészlete, azaz az R \left( C _{R} \left( a \right) \right)  := \left\{ k \in K \ | \ \exist j \in \mathbb{N} ^{+} \ : \ k =  a ^{ |R|^j } \right\} = \left\{ a^{|R|^{1}} , a^{|R|^{2}} , ... , a^{|R|^{j}} , ...  \right\} halmaz elemei. Ennek számossága véges, és az a elem cR(a) ciklikus rendje.

A fogalom végtelen testekre is általánosítható, pl. úgy, hogy egy elem ciklikus asszociáltjai az elem minimálpolinomjának gyökei.

A ciklikus asszociált fogalmához nagyon hasonlít a ciklikus konjugált fogalma ld. még lentebb is.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Ciklikus rend

Fő szócikk: ciklikus rend

.

Belátható, hogy a ciklikus asszociáltak CR(a) sorozata periodikus, és (minimális) periódusa épp az a R-re vonatkozó ciklikus rendje. Lásd ott .

[szerkesztés] Ciklikus konjugáltak

Fő szócikk: Ciklikus konjugált

Ha a ciklikus asszociáltak olyan véges sorozatát vesszük, mely – kivételesen a 0-t is a szóba jövő indexek közé számítva – az első d: = log | R | ( | K | ) = dg(K | R) db. j \in \left\{ 0, 2 , ... , d-1 \right\}; indexű asszociáltat tartalmazza, akkor az R résztestre vonatkozó ciklikus konjugáltakról (röviden konjugáltakról) beszélünk.

Tehát az a∈K elem ciklikus konjugáltjai a^{|R|^{0}} = a ,  a^{|R|^{1}} , ..., a^{|R|^{dg(K|R)-1}} . Természetesen mivel d-1 általában nagyobb (egészen pontosan, ha c a ciklikus rend, c|d teljesül, ld. itt), mint a ciklikus rend, ezért a ciklikus konjugáltak nem mind különböző elemek.

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Egy polinom gyökének ciklikus asszociáltjai is gyökök

A ciklikus asszociáltak legalapvetőbb tulajdonsága a következő:

Legyen K bővítése az R testnek (K|R), és a∈K gyöke az R test feletti polinomnak. Ekkor, sőt ekkor és csak ekkor, az a összes R-re vonatkozó ciklikus asszociáltja is gyöke e polinomnak.

  • Legyen a polinom f[x] = \sum_{i=0}^{k} \alpha_{i} x^{i} \in R[x], tehát \alpha_{i} \in R. A feltétel szerint f[a] = \sum_{i=0}^{k} \alpha_{i}a^{i} = 0 \in K .
    • A a csoportelméletből ismert Lagrange-tétel szerint bármely bármely b∈R elemre, tehát a polinom együtthatóira is, α | R | = 1, minthogy az R*=(R\{0},×) multiplikatív csoportbeli o(α) rend osztója a cssoport elemszámának, |R|-1-nek, tehát α | R | - 1 = 1, és innen α | R | = α (tehát egy testelemet a test elemszámára mint kitevőre emelve, magát az elemet kapjuk a hatvány értékeként – ez egyébként a Kis Fermat-tétel általánosítása véges testekre). Érvényes emiatt az \left( \alpha + \beta \right) ^{|R|} = \alpha ^{|R|} + \beta^{|R|} azonosság is az R-beli α,β∈R elemekre, ugyanis \left( \alpha + \beta \right) ^{|R|} = \alpha + \beta = \alpha ^{|R|} + \beta^{|R|}, hiszen R (rész)test, így zárt az összeadásra, és így \alpha , \beta \in R \Rightarrow \alpha + \beta := \gamma \in R, és ekkor az előbb elmondottak szerint γ | R | = γ .
    • Azonban ennél több is teljesül, és szükségünk is van rá. Nevezetesen ismert, hogy ha k = c\!h(K)a K test karakterisztikája, akkor az \mathfrak{f}(x): K  \mapsto K ; \mathfrak{f}(x) = x^{k} ún. Frobenius-függvény összeg- és szorzattartó (mellesleg injektív is), azaz egy homomorfizmus K-n. Az összegtartás, amire szükségünk van, az egyetlen nemtriviális állítás, azonban a binomiális tétel segítségével, és annak ismeretében, hogy p \ | \ {p \choose k} ha 0<k<p és p prím, az is belátható. Márpedig egy test karakterisztikája mindig prím.
    • Belátjuk, hogy ha a gyöke f-nek, akkor a|R| is gyöke f-nek, innen pedig indukcióval belátható, hogy ez utóbbi elemet akárhányszor is |R|-edik hatványra emelve, azaz bármelyik ciklikus asszociáltat is véve, az gyöke lesz f-nek. Valóban, f[a^{|R|}] = \sum_{i=0}^{k} \alpha_{i} \left( a^{|R|} \right) ^{i} = \sum_{i=0}^{k} \alpha_{i} ^{|R|} a^{|R| \cdot i} = \sum_{i=0}^{k} \left( \alpha_{i} a^{i} \right) ^{|R|} = \left( \sum_{i=0}^{k}  \alpha_{i} a^{i}   \right) ^{|R|} = \left( f[a] \right) ^{|R|} = \left( 0 \right) ^{|R|} = 0 \in K, s eszerint a | R | gyöke f-nek.
  • Fordítva, ha a valamely asszociáltja gyöke a polinomnak, akkor eme asszociált minden ciklikus asszociáltja is gyök. De ezek halmaza semmi más, mint az a ciklikus asszociáltjai halmaza, hiszen az asszociáltak sorozata periodikus, így bármely elemét kezdjük hatványozni, előbb utóbb visszakapjuk az összes ciklikus asszociáltat.
  • QED .

[szerkesztés] Relatív automorfizmusok

Belátható, hogy két K testbeli elem (a,b) akkor és csak akkor ciklikus asszociáltjai egymásnak az R résztestre vonatkozóan, ha van R-nek olyan ρ:K→K relatív automorfizmusa, mely a két elemet egymásba viszi, azaz amelyre ρ(a)=b.

Ld. bővebben a Véges test relatív automorfizmusainak karakterizációja, illetve a ciklikus konjugált szócikkekben.