Determináns
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Egyenletrendszer (mátrix) determinánsa
Determinánson a
számtest (általában
vagy
) feletti, négyzetes mátrixhoz rendelt
-beli számot értünk. A determináns fontos szerepet játszik a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltételeinél. Definíciója első ránézésre bonyolultnak, és hasraütésszerűnek tűnik, de - mint mindennek a matematikában - a determináns fogalom kialakulásának is megvolt a maga folyamata.
[szerkesztés] A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága
Eseteként a * jelzés a vektorok skaláris-, számok-, valamint skalárok és vektorok szorzatára alkalmazandó, a × jel pedig a vektoriális szorzatra.
Tekintsük például az alábbi 3 ismeretlenes egyenletrendszert a valós számok halmazán:



, melynek mátrixos alakja:
.
(
együtthatóknak majd a konkrét megoldások keresésénél lesz szerepük, azt hogy létezik-e megoldása az egyenletrendszernek, nem döntik el. )
Az egyenletrendszert felírhatjuk egyszerűbb, koordinátás vektoralakban is, ahol a vektorok alábbi jelölését használva:
stb...
Ekkor egyenletrendszerünk a következő, vektoros alakot ölti:
.
Tudjuk, hogy egy egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik egyértelmű megoldása (jelen esetben ez egy darab valós számhármast jelent), ha az egyenletrendszer vektoros alakjában
,
és
vektorok lineárisan független rendszert alkotnak, a jelen példában 3 dimenziós vektortérben (Máskülönben nem oldható meg bázistranszformációval egyértelmű megoldásra).
Tétel: A fenti állítás viszont ekvivalens azzal, hogy az
e sorrendű vegyesszorzata, vagyis:

nem 0.
(Ismétlés: Ha a és b térvektorok:
/skaláris szorzat, eredménye szám/ ;
. /vektoriális szorzat, eredménye vektor, hogy
e sorrendben jobbrendszert alkot, ld. alább. Gondoljuk meg, melyik mikor lesz 0, illetve a nullvektor! /
Szemléletes bizonyítás: Elég azt belátni, hogy tetszőleges nem nulla térvektorokra (a×b)c vegyesszorzat pontosan akkor 0, ha összefüggő rendszert alkotnak. Azt tudjuk, hogy két nem 0 vektor skalárszorzata 0 pontosan akkor, ha a 2 vektor egymásra merőleges (cos 90 = 0 miatt). Tehát a×b és c vektorok merőlegesek egymásra. Viszont azt is tudjuk, hogy a×b olyan vektor, amely a-ra és b-re is merőleges, és jobbrendszert alkotnak a,b,a×b sorrendben. (úgy kell elképzelni, mint JOBBkezünk hüvelyk-, mutató- és középső ujját) Így viszont a, b, és c vektorok a térbeli tétel értelmében csak és kizárólag egysíkúak lehetnek, ebből következően összefüggőek. Tehát ha a szorzat nem 0, akkor függetlenek. Állításunkat beláttuk. Tehát az egyenletrendszer megoldhatóságát visszavezettünk egy másik problémára, vagyis (a1×a2)*a3 vegyesszorzat 0 vagy nem 0 voltára, vagyis e szorzat felírása kizárólag koordinátákkal már megadják, hogy egyenletrendszerünknek létezik-e egyértelmű megoldása.
Még egy apróság szükséges, mielőtt az explicit képletig eljutnánk, ki kell számítani a triviális bázis (i,j,k) vektorainak vektoriális szorzatát. (Triviális bázison a 3 dimenziós tér 3 alapvető koordináta-tengelyét értem, magasság, szélesség, mélység egységhosszú vektorait.)
Tétel(ek) (Bizonyításuk nyilvánvaló számolás):


(mivel sin 0 = 0)
= (koordinátás alakban) =
=
/felhasználva a vektoriális szorzat disztributivitását/ =


/vektoriális szorzat asszociativitása miatt vektorok szerint csoportosíthatók az együtthatók, valamint felhasználva a bázisvektorok azonosságait/

Most ezt szorozzuk meg skalárisan
-mal, így létrehozva a vegyesszorzatot. Ekkor kapjuk a következőt:  =](../../../math/8/2/e/82e3edf06fcad4eebdc2c4cf3785414e.png)
/disztributivitás, valamint az i×i, j×j és k×k "kiesése" miatt, valamint i×j=k; j×i=-k stb... felhasználásával az új alak/

Jelöljök ezt az összeget D3 -mal, és nevezzük el harmadrendű determinánsnak. (A másodrendű determinánson keresztül is be lehetett volna mutatni, de akkor az előjelezés szabályszerűsége nehezebben észrevehető, mint ez esetben.) A fenti tételek értelmében, amennyiben D3 = 0 úgy a fenti együtthatókból álló egyenletrendszernek nem létezik egyértelmű megoldása, nem 0 esetén pedig létezik.
[szerkesztés] Motiváció magasabb-rendű determinánsok kiszámítására
Vegyünk egy tetszőleges n ismeretlenből, és n egyenletből álló egyenletrendszert. Ennek determinánsát hasonló módon lehet kiszámítani. Különbségek:
- 3 elemű bázis helyett n elemű bázist kell nézni (célszerű a triviális, ortogonormált bázist választani),
- a determinánsban 6 tag helyett n! db tag lesz (a zárójelfelbontás során ennyi tag keletkezik),
- előjelezést meg kell állapítani.
Tehát az n-ed rendű determinánst már definiálhatnánk, de definíciónk még hiányos lesz, az előjelezés ismeretlen.
[szerkesztés] Előjelezés, inverzió
Észrevehetjük, hogy amikor
-t néztük pozitív lett az előjel, amikor ezeket felcseréltük negatív. Ha most tetszőleges elemű ortonormált (páronként merőleges, egységhosszú vektorokból álló) bázist nézünk, ott is igaz lesz, hogy pl.: 
(disztributivitás miatt tetszőleges zárójelezéssel), de 1 db cserével már
-et kapunk. Még egy cserével a két negatív előjel "kiüti" egymást, visszakapjuk
-et . Vagyis e példában:
(ti.: itt először
-et kommutáltuk
-vel ,majd az új sorrendben
-et
-mal).
Tétel (bizonyítás szemléletesen látható): Determináns tagjainak előjelezése a következő: Ha páros db cserét végeztünk akkor a tag előjele pozitív, páratlan esetben negatív.
A cserék száma helyett kimondhatunk egy vele ekvivalens definíciót is.
[szerkesztés] Egy adott permutációban lévő inverziók száma
Rendezhető elemek egy permutációjában 2 elemet inverzióban lévőnek mondunk, ha i<j és ai > aj . Vagyis a 2 elem nem követi egymást monoton növekvő sorrendben. Egy permutációban lévő inverziók száma ezen inverziók összessége. Könnyen látható, hogy ez ugyananyi, mint a cserék száma, amennyi a 0 inverziós esetből kiindulva kell, hogy az adott permutációt kapjuk.
Ezen fogalmak tisztázásával most már kimondható a tetszőleges n-ed rendű determináns definíciója:
[szerkesztés] Determináns definíciója

ahol:
jelöli a permutációban lévő inverziók számát. A -1et erre a hatványra emelve azért kapunk jó előjelezést, hiszen:
, ahol
.
A determináns ezen definíciója természetesen nagyon nehezen kezelhető, hiszen bár D2-re és D3-ra léteznek még egyszerű kiszámítási módok (pl.: Sarrus-szabály), de magasabb rendűekre még nem találtak, a közvetlen definícióból történő kiszámítás pedig már n=4-re is 24 tagot eredményez, n=6 esetben pedig már 200nál is többet. Ezért jönnek jól a determináns kiszámítására (kifejtési tétel), és a műveletekkel való kapcsolatokra vonatkozó tételek.
[szerkesztés] Forrás
Lineáris algebra és geometria előadás, dr. Szalay Mihály, (ELTE-TTK/IK)


Based on work by