Irracionális szám

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Irracionális számnak nevezzük az olyan valós számokat, melyek nem racionálisak, vagyis amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedes törtek. A név ugyan latin, de az értelme görög. Az ókori görög 'mathéma' csak a természetes számokat tartotta számoknak. A törtek (bár úgy számoltak velük, mint mi) számukra csak két szám arányai voltak. Súlyos csapás volt az akkori bölcseletre, mikor rájöttek, hogy az egység oldalú négyzet átlója semmilyen aránnyal nem fejezhető ki. Ekkor kezdődött a geometria tudománnyá válása, mert sok aránnyal ki nem fejezhető mennyiség (elvileg) pontosan kiszerkeszthető.

Az irracionális számok jele:\mathbb{Q}^*. Az irracionális számokat két fő csoportra bonthatjuk: algebrai számok, és transzcedens számok (\mathbb{T}). Az algebrai számok euklideszi módon megszerkeszthetők, vagy másképpen gyökei valamilyen racionális együtthatós egyenletnek. Ilyen például a \sqrt{2}. A transzcedens számok ezzel szemben nem szerkeszthetők meg euklideszi módon, így nem gyökei semmilyen egész együttatós egyenletnek. Ilyen például a π (pi) és az e.

[szerkesztés] Műveletek irracionális számokkal

Ha irracionális számok között a négy alapműveletet végezzük, kaphatunk racionális számokat és irracionális számokat egyaránt. Nyilvánvaló példák:
\sqrt{2}-\sqrt{2}=0
\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2
\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}
\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}


Egy racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is irracionális.

[szerkesztés] Történetük

Az irracionális számok első ismert felfedezése Püthagorasz filozófus-iskolájához, a pitagoreusokhoz kötődik. Valószínűleg tőlük származik az a geometriai regressus ad infinitum-bizonyítás, mely szerint gyök kettő irracionális (korabeli, geometriai fogalmakkal: egy négyzet átlója összemérhetetlen annak oldalával). A pithagoreusok számára ez paradoxon volt, mivel felfogásuk szerint a természetben minden leírható arányokkal, végső soron pozitív egész számokkal. A görögök csak jóval később jutottak oda, hogy feloldják ezt a paradoxont (Eudoxosz arányelmélete).

Filep László szerint [1] I. Newton volt az első európai, aki olyan számdefiníciót alkotott, ami az irracionális számokat is számnak tekintette (ezeket Newton az olasz "surd", azaz "süket" kifejezéssel illette). Felfogása csak lassan terjedt, és az irracionális számokra igazán csak akkor kezdtek figyelmet fordítani, miután J. H. Lambert (1728-1777) svájci matematikus lánctörtekre hagyatkozva bebizonyította, hogy nemcsak gyökmennyiségek lehetnek irracionálisak, de olyan központi fontosságú matematikai állandók is, mint az Euler-féle e szám.

Georg Cantor bebizonyította, hogy "jóval több" irracionális szám van, mint racionális, mert előbbiek nem megszámlálható halmazt alkotnak, míg az utóbbiak igen. Az irracionális számok első ma is elfogadott definícióját Dedekind és más kutatók adták meg.


[szerkesztés] Jegyzetek

  1. ^ A valós szám fogalmának kialakulása. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények) X./1.; 2000. jún.; 13.-34. o.