Komplex konjugált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

z=a+ib \,

komplex szám (ahol a és b valós számok) konjugáltja

\overline{z} = a - ib.\,

A komplex konjugáltat időnként z * -gal jelölik. A továbbiakban a jelölés \bar z lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélést. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot 1\times 1-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például \overline{(3-2i)} = 3 + 2i, \overline{i} = -i és \overline{7}=7.

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-koordinátarendszerben az x-tengely tartalmazza a valós számokat, az y-tengely pedig az i többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az reiφ konjugáltja re iφ. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.


[szerkesztés] Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden z és w komplex számra igazak, hacsak ellenkezőjét nem állítjuk:

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} , ha w nem nulla
\overline{z} = z \!\ akkor és csakis akkor, ha z valós
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} , ha z nem nulla


Ha p(x) valós együtthatós polinom, és p(z) = 0, akkor p(\overline{z}) = 0 is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező f(z) = \overline{z} függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a \mathbb{C}/\mathbb{R} testbővítés Galois-csoportjának eleme. \mathbb{C}-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában, egy F test feletti algebrai α elem konjugáltjainak α kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek α gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az a + bi nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

(x − (a + bi))(x − (abi)) = x2 − 2ax + (a2 + b2).

Ha α algebrai F, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),

ahol α1 = α. A felbontási test F-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az \alpha\mapsto\alpha_i leképezések segítségével (i=1,\dots,n).