Hatvány

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A hatvány egy adott szám önmagával való szorzása. Jelölése: a^n \ , ahol a az alap (konstans), és n a kitevő. Hatványozáskor ugyanis annyiszor szorozzuk meg önmagával a számot, amekkora a kitevő értéke, pl. 6^3=6 \times 6\times 6=216 vagy 8^2=8 \times 8. Jó példa a hatványokra a számítástechnikában használt "bűvös számok", amelyek mind a kettő hatványai, pl. 2^5=32 \, 2^7=128 \ stb.


Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Matematikai definíció

Ha a tetszőleges valós szám, és n 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor an hatvány azt az n tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a.

Ha n=1, akkor a definíció szerint a1 = a


[szerkesztés] Hatványozási azonosságok

a^0=1 \,


a^1=a \,


0^b=0 \,


1^b=1 \,


a^{-b}={1 \over a^b}


a^b \times c^b={(a \times c)}^b \,

A szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának szorzatával.


a^b \times a^c=a^{b+c}

Azonos alapú hatványok szorzata egyenlő azzal a hatvánnyal,

amelynél az alapot a kitevők összegére emeljük.

a^{b-c}={a^b \over a^c} \,

Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető.

Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb.


a^{b \times c}=({a^b})^c=({a^c})^b \,


a^(b^c) \ne (a^b)^c \,


\left( \frac{a}{b} \right)^c={a^c \over b^c} \,

Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával.

Az alábbi azonosságok könnyen ellenőrizhetőek, ha átírjuk őket szorzat alakjába.

[szerkesztés] Gyökvonás

[szerkesztés] Törtkitevős hatvány

[szerkesztés] Tetszőleges valós kitevős hatvány

[szerkesztés] A Permanenciaelv követelményei

Első követelmény: a kiterjesztett definíciónak legyen értelme.
Második követelmény: a kiterjesztett definíció egyértelmű legyen.
Harmadik követelmény: a korábbi definíció a kiterjesztettnek speciális esete.
Negyedik követelmény: lehetőleg maradjanak érvényben az ismert azonosságok.