Ciklikus asszociált
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A ciklikus asszociált algebrai fogalom, a véges testekek elméletében van alapvető szerepe. Fontos elméleti szerepe van pl. az ilyen testek feletti polinomok felbonthatóságának jellemzésében, de a testbővítések elméletében is hasznos. A véges testek elméletének egyébként pl. a digitális jelfeldolgozás elméletében van fontos szerepe (kódoláselmélet stb.) .
Legyen K véges test, és R ≤ K ennek egy részteste (tehát K|R, azaz K az R egy bővítése). Az
elemet, mely tehát az a egy hatványa az a∈K testbeli elem R résztestre vonatkozó j indexű ciklikus asszociáltjának nevezzük.
=
végtelen sorozat elemeit az a elem R résztestre vonatkozó ciklikus asszociáltjai sorozatának nevezzük. A
kitevőt az
ciklikus asszociált indexének nevezzük.
Tehát az a elem összes ciklikus asszociáltja(inak halmaza) eme sorozat értékkészlete, azaz az
=
halmaz elemei. Ennek számossága véges, és az a elem cR(a) ciklikus rendje.
A fogalom végtelen testekre is általánosítható, pl. úgy, hogy egy elem ciklikus asszociáltjai az elem minimálpolinomjának gyökei.
A ciklikus asszociált fogalmához nagyon hasonlít a ciklikus konjugált fogalma ld. még lentebb is.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Ciklikus rend
.
Belátható, hogy a ciklikus asszociáltak CR(a) sorozata periodikus, és (minimális) periódusa épp az a R-re vonatkozó ciklikus rendje. Lásd ott .
[szerkesztés] Ciklikus konjugáltak
Ha a ciklikus asszociáltak olyan véges sorozatát vesszük, mely – kivételesen a 0-t is a szóba jövő indexek közé számítva – az első d: = log | R | ( | K | ) = dg(K | R) db.
indexű asszociáltat tartalmazza, akkor az R résztestre vonatkozó ciklikus konjugáltakról (röviden konjugáltakról) beszélünk.
Tehát az a∈K elem ciklikus konjugáltjai
. Természetesen mivel d-1 általában nagyobb (egészen pontosan, ha c a ciklikus rend, c|d teljesül, ld. itt), mint a ciklikus rend, ezért a ciklikus konjugáltak nem mind különböző elemek.
[szerkesztés] Tulajdonságok
[szerkesztés] Egy polinom gyökének ciklikus asszociáltjai is gyökök
A ciklikus asszociáltak legalapvetőbb tulajdonsága a következő:
Legyen K bővítése az R testnek (K|R), és a∈K gyöke az R test feletti polinomnak. Ekkor, sőt ekkor és csak ekkor, az a összes R-re vonatkozó ciklikus asszociáltja is gyöke e polinomnak.
- Legyen a polinom
, tehát
. A feltétel szerint
.
- A a csoportelméletből ismert Lagrange-tétel szerint bármely bármely b∈R elemre, tehát a polinom együtthatóira is, α | R | = 1, minthogy az R*=(R\{0},×) multiplikatív csoportbeli o(α) rend osztója a cssoport elemszámának, |R|-1-nek, tehát α | R | - 1 = 1, és innen α | R | = α (tehát egy testelemet a test elemszámára mint kitevőre emelve, magát az elemet kapjuk a hatvány értékeként – ez egyébként a Kis Fermat-tétel általánosítása véges testekre). Érvényes emiatt az
azonosság is az R-beli α,β∈R elemekre, ugyanis
, hiszen R (rész)test, így zárt az összeadásra, és így
, és ekkor az előbb elmondottak szerint γ | R | = γ . - Azonban ennél több is teljesül, és szükségünk is van rá. Nevezetesen ismert, hogy ha
a K test karakterisztikája, akkor az
ún. Frobenius-függvény összeg- és szorzattartó (mellesleg injektív is), azaz egy homomorfizmus K-n. Az összegtartás, amire szükségünk van, az egyetlen nemtriviális állítás, azonban a binomiális tétel segítségével, és annak ismeretében, hogy
ha 0<k<p és p prím, az is belátható. Márpedig egy test karakterisztikája mindig prím. - Belátjuk, hogy ha a gyöke f-nek, akkor a|R| is gyöke f-nek, innen pedig indukcióval belátható, hogy ez utóbbi elemet akárhányszor is |R|-edik hatványra emelve, azaz bármelyik ciklikus asszociáltat is véve, az gyöke lesz f-nek. Valóban,
=
=
=
=
=
=
, s eszerint a | R | gyöke f-nek.
- A a csoportelméletből ismert Lagrange-tétel szerint bármely bármely b∈R elemre, tehát a polinom együtthatóira is, α | R | = 1, minthogy az R*=(R\{0},×) multiplikatív csoportbeli o(α) rend osztója a cssoport elemszámának, |R|-1-nek, tehát α | R | - 1 = 1, és innen α | R | = α (tehát egy testelemet a test elemszámára mint kitevőre emelve, magát az elemet kapjuk a hatvány értékeként – ez egyébként a Kis Fermat-tétel általánosítása véges testekre). Érvényes emiatt az
- Fordítva, ha a valamely asszociáltja gyöke a polinomnak, akkor eme asszociált minden ciklikus asszociáltja is gyök. De ezek halmaza semmi más, mint az a ciklikus asszociáltjai halmaza, hiszen az asszociáltak sorozata periodikus, így bármely elemét kezdjük hatványozni, előbb utóbb visszakapjuk az összes ciklikus asszociáltat.
- QED .
[szerkesztés] Relatív automorfizmusok
Belátható, hogy két K testbeli elem (a,b) akkor és csak akkor ciklikus asszociáltjai egymásnak az R résztestre vonatkozóan, ha van R-nek olyan ρ:K→K relatív automorfizmusa, mely a két elemet egymásba viszi, azaz amelyre ρ(a)=b.
Ld. bővebben a Véges test relatív automorfizmusainak karakterizációja, illetve a ciklikus konjugált szócikkekben.


Based on work by