Dirichlet-féle magfüggvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Adott 2π szerint periodikus f(x) függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

részletösszgeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk sn(x)-et:
![s_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\left[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)coskt\,dt\cdot coskx+\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinkt\,dt\cdot sinkx\right]=](../../../math/a/4/d/a4dc9ef41fd85a7ae7e9708c46510066.png)
![=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(cos kt\cdot cos kx+sin kt \cdot sin kx\right) \right] \,dt=](../../../math/f/d/c/fdc785eee5b42feafc79f2a2d1fcca51.png)
![=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}cosk\left(x-t\right)\right]=\frac{1}{\pi}\int_{x-\pi}^{x+\pi}f(x-y)D_n(y) \,dy=](../../../math/2/a/7/2a7d79f48333493afd8d6b7194833052.png)
,
ahol

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.
Mivel
,
ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

A Dn(t) függvény nyilván páros, és így
![D_n(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)\right]\ D_n(t)\, dt.](../../../math/a/3/8/a38bc0c003938d991c4b51970d43fad9.png)
A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

Az előző 2 egyenlőség alapján:
![s_n(x)-c=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)-2c\right]D_n(t)\, dt;](../../../math/b/2/1/b215a77832a295f924718a3b2e85bda9.png)
speciálisan:

ahol

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha
tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor
, 
[szerkesztés] Ajánlott irodalom
- Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).


Based on work by