Gömb

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet és egy testet egyaránt. Felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő távolságra lévő pontok halmazát nevezzük így, míg test esetén a legfeljebb adott távolságra lévő pontok halmazát. Az előbbi egy kétdimenziós, az utóbbi egy háromdimenziós alakzat.

A gömböt tekinthetjük a kör általánosított fogalmának is.

[szerkesztés] Definíció

Gömbnek (gömbfelületnek) nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól azonos r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.

[szerkesztés] Egyenletek

Az analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre:

(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2 \,

Az r sugarú gömb pontjait paraméterezhetjük így is:

x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \phi
y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi  \qquad (0 \leq \theta \leq \pi \mbox{, } -\pi < \phi \leq \pi) \,
z = z_0 + r \cos \theta  \,

Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömb a következő differenciálegyenlettel írható le:

x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.

A gömb felszíne:

A = 4 \pi r^2 \,

a térfogata pedig:

V = \frac{4 \pi r^3}{3}

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal.

(…a szócikk további része lefordítandó…)


[szerkesztés] Külső hivatkozások