Gauss-egész

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Műveletek

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az i2 = − 1 egyenlőséget: (a + bi)(c + di) = (acbd) + (bc + ad)i. E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek {\mathbf Z}[i]-vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste {\mathbf Q}(i)=\{a+bi:a,b\in{\mathbf Q}\}. A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

[szerkesztés] Norma

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

N(a + bi) = (a + bi)(abi) = a2 + b2.

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

[szerkesztés] Egységek, asszociáltak, prímelemek

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása 2 = − i(1 + i)2. Minden p\equiv 3 \pmod{4} {\mathbf Z}-beli prímszám {\mathbf Z}[i]-ben is prím. Ha viszont p\equiv 1 \pmod{4} prímszám, akkor p felbomlik, mint p = (a + bi)(abi), ahol a2 + b2 = p (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az a + bi, abi Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: x\equiv y \pmod{z} akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor, ha π prímelem, akkor a mod π maradékosztályok száma N(π).

[szerkesztés] Egyértelmű prímfaktorizáció

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így {\mathbf Z}[i] euklideszi gyűrű: ha a,b\in{\mathbf Z}[i], b\neq 0 akkor létezik q és r, hogy a = bq + r és N(r) < N(b). Innen adódik, hogy {\mathbf Z}[i]-ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy π = xy esetén x vagy y asszociáltja π-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi\mid xy esetén \pi\mid x vagy \pi\mid y teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható x=\pi_1\cdots\pi_r alakban, ahol \pi_1,\dots,\pi_r prímelemek, továbbá, ha x=\rho_1\cdots\rho_s egy másik felírás, akkor s = r és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,...,r-re ρj asszociáltja πj-nek.


[szerkesztés] Lásd még