Bernoulli-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Jacob Bernoulli-ról elnevezett Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik legfontosabb tétele, amely szerint bármely h > − 1 valós szám és n természetes szám esetén

(1+h)^n\geq 1+nh

[szerkesztés] A tétel bizonyítása

A bizonyítás teljes indukcióval végezhető: n = 1-re nyilván egyenlőség áll és ha az állítás igaz n-re, akkor

(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\geq (1+nh)(1+h)

ami kiszorozva

1+(n+1)h+nh^2\geq 1+(n+1)h.

Egyenlőség nyilván csak az n = 1 vagy h = 0 esetben teljesül.

Megjegyzés:

A Bernoulli-egyenlőtlenségnél gyengébb (1+h)^n\geq nh állítást sokkal körülményesebb teljes indukcióval bizonyítani.