Banach–Tarski-paradoxon

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

 A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze
A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze

A Banach–Tarski-paradoxon (más néven Hausdorff–Banach–Tarski paradoxon) szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeálltani.

A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítás annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és egy érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. A fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.


[szerkesztés] Szabatos leírás

A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: A=\cup_{i=1}^n A_i és B=\cup_{i=1}^n B_i olymódon, hogy minden i-re, Ai egybevágó Bi-vel. Ilymódon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:

Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.

Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:

A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.


[szerkesztés] A bizonyítás vázlata

A bizonyítás négy lépésből áll:

  1. A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
  2. A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
  3. Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
  4. Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.


[szerkesztés] Külső hivatkozások