Bolzano–Darboux-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Bolzano–Darboux-tétel az analízisben a Bolzano-tétel egyenes következménye. Azt mondja ki, hogy minden folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. Néha a tételt Darboux-tételnek nevezik, ami félreérthető, de ezt a nevet inkább az az állítás viseli, hogy egy zárt intervallumban mindenütt differenciálható függvény deriváltja Darboux-tulajdonságú.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A tétel

Ha f:R\mapstoR folytonos függvény[1], akkor minden, az értelmezési tartományában lévő I intervallum esetén f(I) is intervallum.


A tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha f: [a,b] \rightarrow R folytonos függvény és f(a) ≠ f(b), akkor tetszőleges f(a) és f(b) közötti y értékhez létezik olyan x ∈ (a,b), hogy f(x) = y. (Az egyenértékű megfogalmazásra vonatkozóan lásd: Darboux-tulajdonság.)

[szerkesztés] Bizonyítás

Előrebocsátjuk, hogy a H ⊆ R halmaz pontosan akkor intervallum, ha minden a,b ∈ H esetén az (a,b) nyílt intervallum része H-nak. Belátjuk, hogy f(I) ilyen tulajdonságú.

Legyenek az y1 és y2 f(I)-beli pontok olyanok, hogy y1 < y2. Világos, hogy léteznek olyan I beli x1 és x2 pontok, hogy y1=f(x1) és y2=f(x2). Mivel f függvény és y1 ≠ y2, ezért x1 ≠ x2. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy x1 < x2 (ellenkező esetben nevezzük át őket úgy, hogy teljesüljön a reláció).

A nyílt (y1,y2) intervallum része f(I)-nek, ugyanis legyen y ∈ (y1,y2) tetszőleges. Ezzel a ponttal definiáljuk a zárt intervallumon értelmezett

f_y:[x_1,x_2];x\mapsto f(x)-y

leképezést. Ez folytonos, fy(x1)=y1-y<0 és fy(x2)=y2-y>0, így a Bolzano tétele szerint létezik zérushelye, mégpedig ez csak a nyílt (x1,x2) intervallumban lehet. Ha viszont x ∈ (x1,x2), olyan, hogy fy(x) = 0, akkor f(x)-y=0 és

y=f(x)\,

s mivel y tetszőleges volt, ezért az egész nyílt intervallum része f(I)-nek.

Természetesen y1=f(x1) és y2=f(x2) miatt a zárt intervallum is része f(I)-nek. QED

[szerkesztés] Általánosítás

Tetszőleges T1 és T2 topologikus terek esetén ha f : T1\rightarrowT2 folytonos és CT1 összefüggő, akkor f (C) is összefüggő. Figyelembe vége, hogy egy CR halmaz pontosan akkor összefüggő az euklideszi metrika szerint, ha C intervallum, ez valóban a fenti tétel általánosítása.

[szerkesztés] Megegyzések

  1. ^ Itt az f:R\mapstoR jelölés talpasnyila azt jelenti, hogy az f függvény nem feltétlenül az egész R-en van értelmezve.