Koszinusztétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Fig. 1 - Jelölések
Fig. 1 - Jelölések


A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,

vagy másként:

\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

[szerkesztés] Bizonyitások

  • A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

Vegyük ugyanis az

{\mathbf a}=\overrightarrow{CA},{\mathbf b}=\overrightarrow{CB},{\mathbf c}=\overrightarrow{AB}

vektorokat.

Ekkor nyilván {\mathbf c}={\mathbf b}-{\mathbf a}.

Ezt négyzetre emelve

{\mathbf c}^2=({\mathbf b}-{\mathbf a})^2

adódik.

Itt a baloldal c2, a jobboldal pedig a szorzás kifejtése után

{\mathbf b}^2-2{\mathbf a}{\mathbf b}+{\mathbf a}^2=b^2-2ab\cos\gamma+a^2

figyelembe véve, hogy két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszainak és a köztük levő szög koszinuszának szorzata. QED

[szerkesztés] Alkalmazások

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).