Függvények relációalgebrája
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Függvények relációalgebrai tulajdonságai
[szerkesztés] Injektív függvény
Azt mondjuk, hogy az f :A
B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz
vagy másként:
Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű.
Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:



nem 1, pozitív a esetén vagy



szintén nem 1, pozitív a esetén.
Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű).
Egy f :A
B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.
[szerkesztés] Szűrjektív függvény
Azt mondjuk, hogy az f: A
B függvény szűrjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden elme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:
Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szűrjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.
Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A
B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f).
Egy f:A
B függvénynek pontosan akkor van B
A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.
[szerkesztés] Bijektív függvény
Az f:A
B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik.
Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.
[szerkesztés] Függvényműveletek
[szerkesztés] Függvényszorzás vagy függvénykompozíció
A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A
B és f : C
D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:
Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük.
Az g : A
B és f : C
D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:
Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A
D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szűrjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szűrjekció.
A függvénykompozíció művelete asszociatív:
[szerkesztés] Identitásfüggvény
Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentősségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az
függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A
B függvényre
és 
[szerkesztés] Inverz
Ha egy f: A
B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f-1 függvény, melyre:
és 
Itt idA az identitás leképezés, tehát az A
A; x
x függvény.
Néhány tulajdonság:
feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.









