# Bolzano–Weierstrass-tétel

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Bolzano–Weierstrass-tétel a matematika analízis nevű ágának egyik fontos, és a topológiában messzemenőkig általánosítható tétele. Alapesetben valós számsorozatokról szól éspedig azt mondja ki, hogy korlátos sorozatból mindig kiválasztható konvergens részsorozat. Ebben a formában néha Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételnek is nevezik. A tétel azért jelentős, mert motiváló szerepe van a Hausdorff-féle topológikus terek kompakt halmazainak sorozatok segítségével történő jellemzéséhez.

## [szerkesztés] A tétel állítása

Minden korlátos, valós számsorozatnak van konvergens részsorozata.

## [szerkesztés] Bizonyítás

### [szerkesztés] Intervallumfelezéssel

Legyen (an) korlátos számsorozat, ekkor (an) lefedhető valamely [α,β] korlátos és zárt intervallummal. Intervallumfelezéses eljárással rekurzív módon definiálni fogunk egymásba skatulyázott, nullához tartó hosszúságú intervallumok (Ik) sorozatát a következőképpen.

- I0:=[α0,β0]:=[α,β]
- Ha k természetes szám, és Ik=[αk,βk] már definiálva van, akkor osszuk két egyenlő hosszúságú részre: Ik = [αk,ck] U [ck,βk]. Valamelyikben a sorozatnak bizonyosan végtelen sok különböző indexű tagja van (ellenkező esetben ugyanis nem beszélhetnénk végtelen sorozatról). Természetesen előfordulhat, hogy mindkettőbe végtelen sok tag esik. A meghatározottság kedvéért legyen Ik+1 a két fél közül az az intervallum, melyben végtelen sok különböző indexű tag esik és ezek közül a „jobboldali” félintervallum. (Ezzel azt értük el, hogy az intervallumsorozat minden tagjában lesz sorozatbeli elem.)

A Cantor-axióma (vagy Cantor-féle közöspont tétel) szerint, mely az egymásba skatulyázott intervallumokról szól az (Ik) intervalumsorozatnak létezik egyetlen közös pontja, legyen ez c.

Megállapíthatjuk, hogy minden k természetes számra végtelen sok olyan i index (természetes szám) van, hogy ai ∈ Ik, tehát minden k természetes számra igaz, hogy

  .

Megjegyezzük, hogy a természetes számok jólrendezési tulajdonsága miatt ezeknek a nemüres halmazoknak van minimális elemük. Ezekből a halmazokból kell kiválasztanunk egy (ik) indexsorozatot (tehát egy szigorúan monoton növekvő sorozatot). Ezt szintén rekurzióval tesszük.

- i0:=min H0
- Ha már ik definiálva van minden k-nél nem nagyobb természetes számra, akkor legyen ik+1 az a szám, amelyik nagyobb az eddig definiált véges sok elemtől és a legkisebb ilyen elem Hk+1-ben.

Ekkor az

sorozat c-hez konvergál. ■

Vegyük észre, hogy bár kiválasztásról van szó, mégsem kellett használnunk a kiválasztási axiómát, hiszen a természetes számokat a szokásos rendezés jólrendezi, így mindig konstruktívan (egyértelműen megnevezve) tudtunk kijelölni egy elemet a nemüres részhalmazaiból.

### [szerkesztés] Csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ak-t csúcselemnek nevezzük, ha minden esetén . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha indexek, melyekre csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n0, hogy minden n > n0 esetén an nem csúcselem.

- De nem csúcselem, vagyis létezik n1 > n0, hogy .
- De nem csúcselem, vagyis létezik n2 > n1, hogy stb.

Ekkor viszont nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

## [szerkesztés] Következmény

Az előbbi tétel múlhatatlan fontosságú következménye, hogy egy R-beli halmaz pontosan akkor korlátos és zárt, ha kompakt. Itt egészen pontosan sorozatkompaktságról van szó, azaz arról, amikor egy tetszőleges H ⊆ R halmazra teljesül, hogy minden H-beli értékeket felvevő sorozatnak van H-beli határértékű konvergens részsorozata. Az alábbi tételt néha szintén Bolzano–Weierstrass-tételnek nevezik (csak ekkor nem mondják oda a „kiválasztási” jelzőt).

Tétel – Egy H ⊆ R halmaz akkor és csak akkor korlátos és zárt, ha sorozatkompakt.

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy H korlátos és zárt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételből következik, hogy minden H-ban haladó sorozatnak – minthogy ezeket lefedi a korlátos H – létezik konvergens rélszsorozata. H zártságából pedig az következik, hogy minden H-beli értékeket felvevő konvergens sorozat határértéke szintén H-beli, amivel az állítás első fele bebizonyosodott.

Másrészt legyen H sorozatkompakt. Ha nem lenne korlátos, akkor tetszőleges n természetes számra

lenne, és így a kiválasztási axióma segítségével definiálhatunk egy (sn) sorozatot, melynek elemei rendre Hn-beliek. Ekkor minden n természetes számra sn > n, és így tetszőleges (kn) indexsorozatra (szig. mon. növekvő) |s(kn)| > kn > n, ami azt jeleni, hogy (sn)-nek nincs konvergens részsorozata.

A zártsághoz tekintsük H lezártjának egy h elemét. Ekkor létezik h határértékkel H-beli elemekből konvergens sorozat, melyből a sorozatkompaktság miatt szükségképpen h ∈ H következik. ■

A tétel párja a Borel–Lebesgue-féle lefedési tétel, mely szerint korlátos és zárt R-beli halmaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés (korlátos és zárt R-beli halmaz kompakt).

Megjegyezzük, hogy a tételek Rn-ben is érvényesek.

## [szerkesztés] Története

A tétel Bernard Bolzanóról és Karl Weierstrassról kapta a nevét. Először Bolzano bizonyította, de bizonyítása elveszett. Weierstrass újra bebizonyította, és az analízis egyik meghatározó tétele lett. Ezt követően kiderült, hogy korábban már Bolzano belátta az állítást, ezért kapta jelenlegi nevét a tétel.

## [szerkesztés] Külső hivatkozások

- A PlantMath Bolzano-Weierstrass theorem szócikke

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../b/o/l/Bolzano%E2%80%93Weierstrass-t%C3%A9tel_e714.html"

Kategóriák: Analízis | Topológia | Matematikai tételek

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Català
- Deutsch
- Español
- Français
- Galego
- עברית
- Íslenska
- Italiano
- Polski
- Português
- Русский
- Türkçe
- 古文 / 文言文