Fundamentális csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A fundamentális csoport egy matematikai, azon belül algebrai topológiai fogalom. Egy topologikus tér valamennyi pontjához hozzárendelhető a fundamentális csoport, amely a pontot tartalmazó komponens 1 dimenziós szerkezetét írja le. A fundamentális csoport az első homotópia csoport.

[szerkesztés] Szemléltetés

Tekintsünk egy teret, és azokat az utakat, amelyek egy rögzített pontból indulnak, és visszatérnek oda. Két ilyen utat egymás után lehet fűzni, azaz először az egyiket járjuk végig, utána a másikat. Egy utat visszafelé is végigjárhatunk. Ezekre az utakra úgy is tekinthetünk, mintha cérnából lennének, ekkor két utat azonosnak tekintünk, ha az egyik cérnát át lehet mozdítani a téren belül a másik helyzetébe. Például a síkon minden ilyen út behúzható teljesen az origóba, majd vissza egy másikba. Viszont ha kilyukasztjuk a síkot az origóban, és a cérna megkerüli azt a lyukat, akkor ezt a hurkot nem lehet behúzni, tehát nem lesz azonos az egy helyben maradó úttal (ahol nem mozdulunk el az út során a kezdőpontból).

[szerkesztés] Definíció

Legyen X egy topologikus tér, és x0 egy pontja. Egy f:[0,1]\to X folytonos leképezést x0 kezdőpontú huroknak nevezünk, ha f(0) = f(1) = x0. Két ilyen hurkot, jelölje őket f és g, azonosnak tekintünk, ha létezik egy h:[0,1]\times [0,1]\to X folytonos leképezés, amelyre fennállnak a következők: h(t,0) = f(t), h(t,1) = g(t), h(0,t) = h(1,t) = x0, ahol t tetszőleges pontja a [0,1] intervallumnak. Ezt a h leképezést homotópiának hívjuk, az f és g függvények homotopikusan ekvivalensek, és egy homotópia osztályhoz tartoznak. A fundamentális csoport elemei ezek a homotópia osztályok.

Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, értelmeznünk kell a csoportműveleteket: a szorzást, az egységet és az inverzet. Legyen f és g két reprezentánsa két homotópia osztáynak. Ekkor (f * g)(t) = f(2t), ha t\in[0,1/2], és (f * g)(t) = g(2t − 1), ha t\in[1/2,1] lesz a szorzatuk egy reprezentánsa. Az inverz és az egység definíciója egyszerűbb: f − 1(t) = f(1 − t), és i(t) = x0 az egység.

A fundamentális csoportot π1(X,x0)-lal jelöljük. Amennyiben a topologikus tér útszerűen összefüggő, minden pontjában azonos a fundamentális csoport, ekkor π(X)-szel jelóljük.

[szerkesztés] Példák

  1. \mathbf{R}^n (vagy tetszőleges konvex részhalmazának) fundamentális csoportja triviális, azaz minden hurok homotopikusan ekvivalens az egységelemmel: a h(t, s)={f(t)\over s} „összehúzza” az f hurkot a 0-ba. Az ilyen tereket, ahol a fundamentális csoport triviális, egyszeresen összefüggőnek hívjuk.
  2. S1, azaz a kör fundamentális csoportja \textbf{Z}, azaz az egész számok csoportja az összeadásra nézve. Ugyanis bármely k egész számhoz elkészíthető a körön k-szor körbefutó hurok, értelemszerűen 0-hoz a konstans függvényt rendelve, negatív számokhoz pedig azt a hurkot rendelve, ami annyiszor „visszafelé” futja be a kört.
  3. \mathbf{R}^2\setminus\{(0,0\}, azaz az origóban kilyukasztott sík fundamentális csoportja úgyszintén a kör, ugyanis az a paraméter, hogy milyen távol van egy pont az origótól, itt nem érdekes, csak a szög számít. Szemléletesen úgy gondolhatunk rá, hogy képzeljük el, mit láthat valaki az origóból nézve az útból. Ilyenkor csupán annyit lát, hogy milyen szögben áll egy pont a pozitív tengelyhez viszonyítva, a távolságot nem. Tehát az egész síkból pontosan azt látja, mintha egy origó középpontú kör volna. Az ilyen jellegű azonosságokat, mint a lyukas sík és a kör között, homotopikus ekvivalenciának hívjuk.
  4. Nem minden fundamentális csoport kommutatív: egy gráf mint topologikus tér (CW-komplexus) fundamentális csoportja mindig szabad csoport.