Béta-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó α és β paraméterű béta-eloszlást követ – vagy rövidebben béta-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f(x) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} = \frac  {\Gamma(\alpha + \beta)}  {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} , \quad x\in [0,1] ,\quad

és f(x) = 0 egyébként. A képletben Γ(x) a gamma-függvény, B(α, β) a béta-függvény valamint α és β pozitív.

Speciálisan, ha α = 1 és β = 1, akkor X a [0,1] intervallumon vett egyenletes eloszlást követ.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye


Karakterisztikus függvénye

[szerkesztés] A normális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

\bold E (X)=\frac{\alpha}{\alpha + \beta}

Szórása

\bold D (X) = \frac{1}{\alpha + \beta} \sqrt {\frac  {\alpha \beta}  {(\alpha + \beta +1)} }

Momentumai

\bold E (X^k) = \frac  {\Gamma(\alpha + k) \Gamma(\alpha + \beta)}  {\Gamma(\alpha) \Gamma(\alpha + \beta +k)}

Ferdesége

Lapultsága

[szerkesztés] Béta-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Az α és β paraméterek szerepének felcserélésével a sűrűségfüggvény az x = 1/2 egyenesre tükröződik.

[szerkesztés] Forrás

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.