Eisenstein-egész
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az Eisenstein-egészek az a + bω alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

az „első” harmadik egységgyök.
Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel ω2 = − ω − 1. Az Eisenstein-egészek így
-val jelölt gyűrűt alkotnak.
Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a
számtest-be eső algebrai egészek.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Norma
Az a + bω Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az
normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak a = b = 0 esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz N(xy) = N(x)N(y) mindig teljesül.
[szerkesztés] Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek
Hat Eisenstein-egész normája egy: 1, − 1,ω, − ω,ω2, − ω2. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1 − ω Eisenstein-prím és 3 = − ω2(1 − ω)2. Ha p közönséges prím és
akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és
akkor
egy alkalmas π Eisenstein-prímre. Így, például, 7 = (3 + ω)(2 − ω).
[szerkesztés] Egyértelmű prímfaktorizáció
Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így
euklideszi gyűrű: ha
,
akkor létezik q és r, hogy a = bq + r és N(r) < N(b). Innen adódik, hogy
-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy π = xy esetén x vagy y asszociáltja π-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy
esetén
vagy
teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható
alakban, ahol
prímelemek, továbbá, ha
egy másik felírás, akkor s = r és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,...,r-re ρj asszociáltja πj-nek.
[szerkesztés] Lásd még
- algebrai számelmélet
- Gauss-egész


Based on work by