Determináns

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Egyenletrendszer (mátrix) determinánsa

Determinánson a \mathcal{T} számtest (általában \mathbb{R} vagy \mathbb{C}) feletti, négyzetes mátrixhoz rendelt \mathcal{T}-beli számot értünk. A determináns fontos szerepet játszik a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltételeinél. Definíciója első ránézésre bonyolultnak, és hasraütésszerűnek tűnik, de - mint mindennek a matematikában - a determináns fogalom kialakulásának is megvolt a maga folyamata.

[szerkesztés] A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

Eseteként a * jelzés a vektorok skaláris-, számok-, valamint skalárok és vektorok szorzatára alkalmazandó, a × jel pedig a vektoriális szorzatra.

Tekintsük például az alábbi 3 ismeretlenes egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\,\,x_1a_{11}+x_2a_{12}+x_3a_{13}=b_1

\,\,x_1a_{21}+x_2a_{22}+x_3a_{23}=b_2

\,\,x_1a_{31}+x_2a_{32}+x_3a_{33}=b_3

, melynek mátrixos alakja:

\left[  \begin{array}{ccc}    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\   a_{21} & a_{22} & a_{23} \\   a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right] .

(b_1, \, b_2, \, b_3 együtthatóknak majd a konkrét megoldások keresésénél lesz szerepük, azt hogy létezik-e megoldása az egyenletrendszernek, nem döntik el. )

Az egyenletrendszert felírhatjuk egyszerűbb, koordinátás vektoralakban is, ahol a vektorok alábbi jelölését használva:
\vec{a_1} := (a_{11},a_{12},a_{13}), \vec{a_2} := (a_{21},a_{22},a_{23}), \vec{a_3}  := (a_{31},a_{32},a_{33}), \vec{b_1} := (b_{11},b_{12},b_{13}) stb...

Ekkor egyenletrendszerünk a következő, vektoros alakot ölti:

x_1 \vec{a_1}+x_2 \vec{a_2}+x_3 \vec{a_3}=\vec{b}.

Tudjuk, hogy egy egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik egyértelmű megoldása (jelen esetben ez egy darab valós számhármast jelent), ha az egyenletrendszer vektoros alakjában \vec a_1, \vec a_2 és \vec a_3 vektorok lineárisan független rendszert alkotnak, a jelen példában 3 dimenziós vektortérben (Máskülönben nem oldható meg bázistranszformációval egyértelmű megoldásra).


Tétel: A fenti állítás viszont ekvivalens azzal, hogy az \vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3} e sorrendű vegyesszorzata, vagyis:

\left( \vec{a_1} \times \vec{a_2} \right) \vec{a_3}

nem 0.

(Ismétlés: Ha a és b térvektorok: \vec{a} \vec{b} := | \vec{a}|*| \vec{b}|*cos(\vec{a}, \vec {b}) /skaláris szorzat, eredménye szám/ ; | \vec{a} \times \vec{b}| := | \vec{a}|*| \vec{b}|*sin(\vec{a}, \vec {b}) . /vektoriális szorzat, eredménye vektor, hogy \vec{a}, \vec{b}, \vec{a \times b} e sorrendben jobbrendszert alkot, ld. alább. Gondoljuk meg, melyik mikor lesz 0, illetve a nullvektor! /

Szemléletes bizonyítás: Elég azt belátni, hogy tetszőleges nem nulla térvektorokra (a×b)c vegyesszorzat pontosan akkor 0, ha összefüggő rendszert alkotnak. Azt tudjuk, hogy két nem 0 vektor skalárszorzata 0 pontosan akkor, ha a 2 vektor egymásra merőleges (cos 90 = 0 miatt). Tehát a×b és c vektorok merőlegesek egymásra. Viszont azt is tudjuk, hogy a×b olyan vektor, amely a-ra és b-re is merőleges, és jobbrendszert alkotnak a,b,a×b sorrendben. (úgy kell elképzelni, mint JOBBkezünk hüvelyk-, mutató- és középső ujját) Így viszont a, b, és c vektorok a térbeli tétel értelmében csak és kizárólag egysíkúak lehetnek, ebből következően összefüggőek. Tehát ha a szorzat nem 0, akkor függetlenek. Állításunkat beláttuk. Tehát az egyenletrendszer megoldhatóságát visszavezettünk egy másik problémára, vagyis (a1×a2)*a3 vegyesszorzat 0 vagy nem 0 voltára, vagyis e szorzat felírása kizárólag koordinátákkal már megadják, hogy egyenletrendszerünknek létezik-e egyértelmű megoldása.

Még egy apróság szükséges, mielőtt az explicit képletig eljutnánk, ki kell számítani a triviális bázis (i,j,k) vektorainak vektoriális szorzatát. (Triviális bázison a 3 dimenziós tér 3 alapvető koordináta-tengelyét értem, magasság, szélesség, mélység egységhosszú vektorait.)

Tétel(ek) (Bizonyításuk nyilvánvaló számolás):

\vec{i} \times \vec{j}=\vec{k} \,\,  \vec{j} \times \vec{k}=\vec{i} ;\,\,  \vec{k} \times \vec{i}= \vec{j}

\vec{j} \times \vec{i}=\vec{-k} ; \,\,  \vec{k} \times \vec{j}=\vec{-i} ;\,\,  \vec{i} \times \vec{k}=\vec{-j}

\vec{i} \times \vec{i}=\vec{j} \times \vec{j}=\vec{k} \times \vec{k}=\vec{0} \,\, (mivel sin 0 = 0)


\left( \vec{a_1} \times \vec{a_2} \right) = (koordinátás alakban) =

\left( a_{11} \vec{i} + a_{12} \vec{j} + a_{13} \vec{k} \right) \times \left( a_{21} \vec{i} + a_{22} \vec{j} + a_{23} \vec{k} \right) =

/felhasználva a vektoriális szorzat disztributivitását/ =
a_{11}a_{22} \left( \vec{i} \times \vec{j} \right) + a_{11}a_{23} \left( \vec{i} \times \vec{k} \right) + a_{12}a_{23} \left( \vec{j} \times \vec{k} \right) +
+ a_{12}a_{21} \left( \vec{j} \times \vec{i} \right) + a_{12}a_{21} \left( \vec{k} \times \vec{i} \right) + a_{13}a_{22} \left( \vec{k} \times \vec{j} \right)

/vektoriális szorzat asszociativitása miatt vektorok szerint csoportosíthatók az együtthatók, valamint felhasználva a bázisvektorok azonosságait/
=  (a_{21}a_{23}-a_{13}a_{22})\vec{i} + (a_{11}a_{13} - a_{13}a_{21})\vec{j} + (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\vec{k}

Most ezt szorozzuk meg skalárisan \vec{a_3} -mal, így létrehozva a vegyesszorzatot. Ekkor kapjuk a következőt: [( a_{21}a_{32}-a_{31})a_{22})\vec{i} + (a_{11}a_{31} - a_{31}a_{12})\vec{j} + (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})\vec{k}](a_{13}\vec{i}+a_{23}\vec{j}+a_{33}\vec{k}) =

/disztributivitás, valamint az i×i, j×j és k×k "kiesése" miatt, valamint i×j=k; j×i=-k stb... felhasználásával az új alak/

=  a_{13}a_{21}a_{32} \, + a_{12}a_{23}a_{31} \, + a_{11}a_{22}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31} \, - a_{12}a_{23}a_{32} \, - a_{12}a_{21}a_{33} .

Jelöljök ezt az összeget D3 -mal, és nevezzük el harmadrendű determinánsnak. (A másodrendű determinánson keresztül is be lehetett volna mutatni, de akkor az előjelezés szabályszerűsége nehezebben észrevehető, mint ez esetben.) A fenti tételek értelmében, amennyiben D3 = 0 úgy a fenti együtthatókból álló egyenletrendszernek nem létezik egyértelmű megoldása, nem 0 esetén pedig létezik.

[szerkesztés] Motiváció magasabb-rendű determinánsok kiszámítására

Vegyünk egy tetszőleges n ismeretlenből, és n egyenletből álló egyenletrendszert. Ennek determinánsát hasonló módon lehet kiszámítani. Különbségek:
- 3 elemű bázis helyett n elemű bázist kell nézni (célszerű a triviális, ortogonormált bázist választani),
- a determinánsban 6 tag helyett n! db tag lesz (a zárójelfelbontás során ennyi tag keletkezik),
- előjelezést meg kell állapítani.

Tehát az n-ed rendű determinánst már definiálhatnánk, de definíciónk még hiányos lesz, az előjelezés ismeretlen.


[szerkesztés] Előjelezés, inverzió

Észrevehetjük, hogy amikor \vec{i} \times \vec{j} -t néztük pozitív lett az előjel, amikor ezeket felcseréltük negatív. Ha most tetszőleges elemű ortonormált (páronként merőleges, egységhosszú vektorokból álló) bázist nézünk, ott is igaz lesz, hogy pl.: \vec{i_1} \times \vec{i_2} \times \vec{i_3} = \vec{i_4}
(disztributivitás miatt tetszőleges zárójelezéssel), de 1 db cserével már \vec{-i_4} -et kapunk. Még egy cserével a két negatív előjel "kiüti" egymást, visszakapjuk \vec{i_4}-et . Vagyis e példában: \vec{i_2} \times \vec{i_3} \times \vec{i_1} = \vec{i_4} (ti.: itt először \vec{i_1} -et kommutáltuk \vec{i_2}-vel ,majd az új sorrendben \vec{i_1} -et \vec{i_3}-mal).

Tétel (bizonyítás szemléletesen látható): Determináns tagjainak előjelezése a következő: Ha páros db cserét végeztünk akkor a tag előjele pozitív, páratlan esetben negatív.

A cserék száma helyett kimondhatunk egy vele ekvivalens definíciót is.

[szerkesztés] Egy adott permutációban lévő inverziók száma

Rendezhető elemek egy permutációjában 2 elemet inverzióban lévőnek mondunk, ha i<j és ai > aj . Vagyis a 2 elem nem követi egymást monoton növekvő sorrendben. Egy permutációban lévő inverziók száma ezen inverziók összessége. Könnyen látható, hogy ez ugyananyi, mint a cserék száma, amennyi a 0 inverziós esetből kiindulva kell, hogy az adott permutációt kapjuk.

Ezen fogalmak tisztázásával most már kimondható a tetszőleges n-ed rendű determináns definíciója:


[szerkesztés] Determináns definíciója

D_n := \sum_{i_1 , i_2 , \ldots ,   i_n}{(-1)^{I(i_1, \ldots ,i_n)}a_{1i_1} \ldots a_{ni_n}}

ahol: I(i_1, \ldots ,i_n) jelöli a permutációban lévő inverziók számát. A -1et erre a hatványra emelve azért kapunk jó előjelezést, hiszen:

(-1)^{2k} = 1, \,\,\, (-1)^{2k-1}=-1, ahol k \in \mathbb{Z}.

A determináns ezen definíciója természetesen nagyon nehezen kezelhető, hiszen bár D2-re és D3-ra léteznek még egyszerű kiszámítási módok (pl.: Sarrus-szabály), de magasabb rendűekre még nem találtak, a közvetlen definícióból történő kiszámítás pedig már n=4-re is 24 tagot eredményez, n=6 esetben pedig már 200nál is többet. Ezért jönnek jól a determináns kiszámítására (kifejtési tétel), és a műveletekkel való kapcsolatokra vonatkozó tételek.

[szerkesztés] Forrás

Lineáris algebra és geometria előadás, dr. Szalay Mihály, (ELTE-TTK/IK)