Eisenstein-egész

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az Eisenstein-egészek az a + bω alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel ω2 = − ω − 1. Az Eisenstein-egészek így {\mathbf Z}[\omega]-val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a {\mathbf Q}(\sqrt{-3})=\{a+b\omega:a,b\in{\mathbf Q}\} számtest-be eső algebrai egészek.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Norma

Az a + bω Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

N(a + bω) = (a + bω)(a + bω2) = a2ab + b2

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak a = b = 0 esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz N(xy) = N(x)N(y) mindig teljesül.

[szerkesztés] Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek

Hat Eisenstein-egész normája egy: 1, − 1,ω, − ω,ω2, − ω2. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1 − ω Eisenstein-prím és 3 = − ω2(1 − ω)2. Ha p közönséges prím és p\equiv 2\pmod{3} akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és p\equiv 1\pmod{3} akkor p=\pi\overline{\pi} egy alkalmas π Eisenstein-prímre. Így, például, 7 = (3 + ω)(2 − ω).

[szerkesztés] Egyértelmű prímfaktorizáció

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így {\mathbf Z}[\omega] euklideszi gyűrű: ha a,b\in{\mathbf Z}[\omega], b\neq 0 akkor létezik q és r, hogy a = bq + r és N(r) < N(b). Innen adódik, hogy {\mathbf Z}[\omega]-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy π = xy esetén x vagy y asszociáltja π-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon π nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi\mid xy esetén \pi\mid x vagy \pi\mid y teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható x=\pi_1\cdots\pi_r alakban, ahol \pi_1,\dots,\pi_r prímelemek, továbbá, ha x=\rho_1\cdots\rho_s egy másik felírás, akkor s = r és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,...,r-re ρj asszociáltja πj-nek.


[szerkesztés] Lásd még