Koordinátarendszer

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Descartes-koordinátarendszer.
Descartes-koordinátarendszer.

Koordináták (egymástól független méretek) segítségével megadható egy tetszőleges pont helyzete a térben, vagy a síkban. A koordinátarendszer egy sík, vagy egy tér, melyben egy kezdőpontot és tengelyeket jelölünk ki, melyektől a koordináták mérhetők.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Descartes-koordinátarendszer

A síkbeli Descartes-koordinátarendszerben egy P pont helyzetét az xy síkon az (x,y) koordináta-kettőssel adhatjuk meg.

  • x a P pont előjeles távolsága az y-tengelytől és
  • y a P pont előjeles távolsága az x-tengelytől.

Térbeli Descartes-koordinátarendszerben egy P pont helyzetét az xyz térben az (x,y,z) koordináta-hármassal adhatjuk meg.

  • x a P pont előjeles távolsága az yz síktól,
  • y a P pont előjeles távolsága az xz síktól és
  • z a P pont előjeles távolsága az xy síktól.

[szerkesztés] Polárkoordináták

Átszámítás a két koordinátarendszer között.
Átszámítás a két koordinátarendszer között.

A polárkoordinátarendszer síkbeli koordinátarendszer, melyet O kezdőpontja (az origó) és egy ebből kiinduló L félegyenes definiál. Az L' félegyenest polártengelynek is hívják. Ha Descartes-koordinátarendszerben polárkoordinátákkal kell megadni adatokat, akkor általában origóként a (0,0) pontot L félegyenesként pedig az x tengely pozitív részét (az origótól jobbra eső részt) választják.

Polárkoordinátarendszerben egy P pont helyét két adattal adják meg: (r,θ).

  • 0\leq{r} (sugár) a pontnak a 0 kezdőponttól való távolsága,
  • 0\leq\theta<360^\circ szög pedig az L félegyenes és a sugár által bezárt szög.

Abban az esetben ha a Descartes-koordinátarendszer és a polárkoordinátarendszer kezdőpontja egybeesik és a polártengely az x tengely pozitív részével azonos, polárkoordinátákról Descartes koordinátákra az átszámítás:

x = r \cos \theta \,
y = r \sin \theta, \,

Az x és r Descartes-koordináta átszámítása polárkoordinátákra:

r = \sqrt{x^2 + y^2} \, (a Pitagorasz-tételből)

A θ szögkoordináta meghatározásához a következő megfontolásokat kell tenni:

  • r = 0 esetén θ bármely valós értéket felvehet,
  • r ≠ 0 esetén ahhoz, hogy θ értékét egyértelműen megkapjuk, tartományát 2π-re kell korlátoznunk. Általában ez a tartomány [0, 2π) és (−π, π] szokásos értéke.

θ értékének kiszámítása a [0, 2π) tartományra a tangens függvény inverzével számítható:

\theta =  \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x})        & \mbox{ha } x > 0 \mbox{ valamint } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ha } x > 0 \mbox{ valamint } y < 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi  & \mbox{ha } x < 0\\ \frac{\pi}{2}               & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y > 0\\ \frac{3\pi}{2}              & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y < 0 \end{cases}

A (−π, π] intervallumra pedig:

\theta =  \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{ha } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ha } x < 0 \mbox{ valamint } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{ha } x < 0 \mbox{ valamint } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y < 0 \end{cases}

[szerkesztés] Hengerkoordináták

A hengerkoordináták térbeli alakzatok leírására szolgálnak.

Egy P pontot három koordinátája (r,θ,h) definiál.

  • 0\leq{r} (sugár) a távolság a z tengely és a P pont között,
  • 0\leq\theta<360^\circ szög a pozitív x tengely és az xy síkra vetített sugár között és
  • h (magasság) a P pont és az xy sík közötti előjeles távolság.

A hengerkoordinátáknál is fellép a polárkoordinátáknál leírt rdundancia; θ elveszíti jelentőségét r = 0-nál (vagyis akármilyen értéket felvehet).

Hengerkoordinátákat körszimmetrikus rendszerek analízisénél érdemes használni. Például egy végtelen hosszú henger, melynek egyenlete Descartes-koordinátarendszerben x2 + y2 = c2, hengerkoordinátákban az r = c egyenletre egyszerűsödik.

[szerkesztés] Gömbi koordináták

A gömbi koordináták is térbeli objektumok leírására szolgálnak.

Egy P pontot meghatározó három koordináta (ρ,θ,φ):

  • 0\leq\rho (sugár) a távolság a P pont és a koordinátarendszer kezdőpontja között,
  • 0\leq\phi\leq 180^\circ (szélesség) a z-tengely és a sugár között és
  • 0\leq\theta<360^\circ (hosszúság) a pozitív x-tengely és a sugárnak az xy-síkra eső vetülete közötti szög.