Dirichlet-féle magfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Adott szerint periodikus f(x) függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_k\ coskx+b_k\ sinkx\right)

részletösszgeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk sn(x)-et:

s_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\left[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)coskt\,dt\cdot coskx+\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinkt\,dt\cdot sinkx\right]=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(cos kt\cdot cos kx+sin kt \cdot sin kx\right) \right] \,dt=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}cosk\left(x-t\right)\right]=\frac{1}{\pi}\int_{x-\pi}^{x+\pi}f(x-y)D_n(y) \,dy=
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt,

ahol

D_n(t)=\frac{1}{2}+cos\ t+cos\ 2t+ \cdots +cos\ nt

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

D_n(t)\cdot sin\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left\{sin\frac{t}{2}+\left[sin\left(1+\frac{1}{2}\right)t-sin\left(1-sin\frac{1}{2}\right)t\right]+ \cdots+\left[sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t-sin\left(n-sin\frac{1}{2}\right)t\right]\right\}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right)t,


ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

D_n(t)=\frac{sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\ sin\frac{1}{2}\ t}

A Dn(t) függvény nyilván páros, és így

D_n(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_n(t) \,dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)\right]\ D_n(t)\, dt.


A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

\int_{0}^{\pi}D_n(t)\, dt=\frac{\pi}{2}

Az előző 2 egyenlőség alapján:

s_n(x)-c=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[f(x-t)+f(x+t)-2c\right]D_n(t)\, dt;

speciálisan:

s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\varphi_x(t)\ D_n(t)\, dt,

ahol

\varphi_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x).


A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha \delta \le \pi tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor

\int_{\delta}^{\pi}D_n(t)\, dt \rarr 0, (n \rarr \infty).


[szerkesztés] Ajánlott irodalom

  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).