Cauchy-sorozat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchyról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Legyen (X,d) metrikus tér. Ekkor az x_n \in X sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden \varepsilon > 0-hoz van olyan N, hogy minden n,m \geq N esetén d(x_n, x_m) < \varepsilon.

[szerkesztés] Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens

[szerkesztés] Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

  • A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,...), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális \sqrt 2 értékhez tart (Newton-módszer).
  • Az exponenciális, szinusz és koszinusz függvények, exp(x), sin(x), cos(x), minden x≠0 racionális szám esetén irracionális, bár egy olyan sorozat határértékével vannak definiálva, melynek minden értéke racionális (az x=0 pontban vett Taylor-sorukkal).

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • Minden Cauchy-sorozat korlátos.
  • Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.