Booleana algebro - Wikipedio

# Booleana algebro

### From Wikipedia

La booleana algebro esas la paro di matematiko, di logiko, e di elektroniko qua interesas su da operacioni e functioni pri la logika varindi.

Per la algebra strukturo, videz ulo.

La nomo devenas de George Boole, Britana matematikisto, qua dum la mezo dil 19ma yar-cento restrukturis komplete la logiko en formala sistemo.

Hodie, la booleana algebro trovas multi aplicanta en informio ed en la konceptio di elektronika cirkuiti. Ulo esis uzata unesma foye per la cirkuiti di telefonica comutanta per Claude Shannon.

Ulo expresas « stando » en funciono di kondicioni: Per exemplo :

  Verda = Blua e Flava KAD havas dil blua e dil flava.
  desakrochar = (envidio de respondar E sonifo) O envidio di apelar.

## [redaktar] Booleana algebro di verat-valori

On apelas B l'ensemblo konstitucata di du elementi apelata valori de verata {VERA, FALSA}. Ica ensemblo es anke notata

- B = {1 , 0}
- B = .

On privilejos dop la noteso B = {1 , 0}.

Sur ica ensemblo on povas definar du legi (od operanta o funcionesi), la legi E ed O e transformanta apelata la komplemento, l'inversigo o la kontreajo.

### [redaktar] La lego E

Olu es definata del sequa maniero : a E b es VERA kad e sole kad a es VERA e b es VERA. Ta lego es anke notata

- .
- « & » o « && » en kelka lingui de programeso (Perl, C...)
- « ∧ » en kelka algebra notizi, od en APL

On privilijos dop la notizo

tabelo del lego .
b\a | 0 | 1
0 | 0 | 0
1 | 0 | 1

### [redaktar] La lego O

Olu es definata del sequa maniero : a O b es VERA kad e sole kad a es VERA o b es VERA. Ta lego es anke notata

- « | » o « || » en kelka lingui de programeso
- « ∨ » en kelka algebra notizi, od en APL.

On privilejos dop la noteso ma on prenos garda ke ta lego ne havas raporte kon la adiciono ke on konocas.

tabelo del lego +
b\a | 0 | 1
0 | 0 | 1
1 | 1 | 1

### [redaktar] La kontreajo

La kontreajo di "a" es VERA kad e sole kad a es FALSA. La kontreajo di a es notita

- ne-a
- « ! » en kelka lingui de programeso
- « ~ » en kelka algebra notizi, od en APL.

On privilejos dop la noteso .

On obtenas lore e

### [redaktar] Proprieti

#### [redaktar] Asociativata

Kun la habitala operacioni, certa parentesi es ne-utila:
( a + b ) + c = a + (b + c) = a + b + c
( a . b ) . c = a . (b . c) = a . b . c

#### [redaktar] Comutativata

L'ordino es sen importanta. a + b = b + a
a . b = b . a

#### [redaktar] dispozivata

Kun la habitala operacioni, es posibla di disdonar:
a . ( b + c ) = a . b + a . c
Atencez: admise diferanta per raporto ad operacanti + e * habitala:
a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

#### [redaktar] Samajibeto

a + a + a [...] = a
a . a . a [...] = a

#### [redaktar] komplementivata

  (« La lumo es acendata » = « la lumo ne es ne-acendata »)

  (« VERA » KAD lumo acendata O KAD lumo ne-acendata → sempre la kazo → sempre VERA)

  (« VERA » KAD lumo acendata E KAD lumo ne-acendata → ne-posibla → sempre FALSA)

#### [redaktar] Strukturo

On retrovas lore multi la proprieti ke konferas ye B une strukturo.

#### [redaktar] Priora

Per faciligar lia kontenajo, olu esis decidata ke ta operacii esus sub-mizanta a mem normi ke la operacii « de multi la dii », la funciono E (logika multipliko) es tale priora per raporto ala funciono O (logika sumo) ; on povas, per helpar su, pozar di parentesi en la operacii

  Exemplo :
  { a = 0 ; b = 1 ; c = 1 }
  On serchas a . b + c = ???
  Unesme on kalkulas a . b:
  a . b = 0 . 1
  0 . 1 = 0
  Pose, on kalkulas 0 + c:
  0 + c = c
  c = 1
  Le fina rezulto es do:
  a . b + c = 1

#### [redaktar] Teorio de De Morgan

  En la du kazo, l'expreso ne esos VERA ke kad a e b es falsa.

  En la du kazo, l'expreso ne esos VERA ke kad a od b es falsa.

## [redaktar] Logika funcioni

En elektroniko, logika funciono es nigra boxo ke recevas en eniro certa nombro di logika varindo e ke retro-donas en ekiro logika varindo di enira varindi. L'artiklo logika funciono precizas qual konstruktas la nigra boxi di kelka fundamentala funcioni.

Tabulo di verata permisas di precizar la stato di l'ekiro en funciono di eniri-stati.

On demonstras ke omna logika funciono povas deskriptar su ye helpo di tre operacioni di bazo.

### [redaktar] Logika fondamentala funcioni

Ol es ekirinta di tre operacioni di bazo e definas lore

- funciono di B en B : komplemento o l'inversigo
- du funcioni di B2 en B ke esas la sumo (od O) e la produkto (od E)

Tabulo di verata de l'inversigo
a |
0 | 1
1 | 0

Tabulo di verata del sumo
a | b | a + b
0 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 1

Tabulo di verata del produkto
a | b | a.b
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1

### [redaktar] Logika komposatala funcioni

Ta es la logika funcioni a du varindi. Inter to, on kontas certa sufice interesanta per ke on lia donas nomo.

#### [redaktar] Exkluziva O

La O studiata tala prezento devas komprenar su del segun maniero: « l'un o l'altra o la du ». Ol es egale apelata « exkluziva O ». La exkluziva O (o XOR) komprenas su kom : « l'un o l'altra ma ne la du ».

Ol compozas su del segun maniero :

Tabulo di verata di XOR
a | b | a ⊕ b
0 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 0 | 1
1 | 1 | 0

La « exkluziva O » es kelka-foye notata per la aritmetika signo diferanta di, a qua ol es equivalanta. Foncione, on uzas anke + cirklata: a ⊕ b.

#### [redaktar] Equivalante

L'equivalante (notata EQV) es vera kad la du eniri havas la mem valori e falsi se ne. Ol compozas su kom sequas :

On povas anke dicas ke :

Tabulo di verata di EQV
a | b | a b
0 | 0 | 1
0 | 1 | 0
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1

Ol advenas ke l'equivalante es notata per la signo « = », quankam ta selekto ne es recomandata en-skribata di altra posibla sensi ligata ye ta signo.

#### [redaktar] Impliko

L'impliko (notata IMP) skribas se del sequa maniero:

Tabulo di verata di IMP
a | b | a b
0 | 0 | 1
0 | 1 | 1
1 | 0 | 0
1 | 1 | 1

#### [redaktar] Inhibo

L'inhibo (notata INH) komposas su kom sequas :

Ta operacio ne es comutatala.

Tabulo di verata di INH
a | b |
0 | 0 | 0
0 | 1 | 0
1 | 0 | 1
1 | 1 | 0

### [redaktar] Exemplo di logika funcioni a tre o quar varindi

#### [redaktar] logika funcioni a tre varindi

Kad on riprenas l'exemplo di telefono, on trovas su koram 3 varindi:

- a = "telefono sonas"
- b = "on havas envidio de respondar"
- c = "on havas envidio d'apelar kelku"

varindo d = "on desakrochas" es logika funciono di 3 ante-lasti. On skribus ke

Tabulo di verata di desakrochar
a | b | c | d
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 1 | 1
0 | 1 | 0 | 0
0 | 1 | 1 | 1
1 | 0 | 0 | 0
1 | 0 | 1 | 1
1 | 1 | 0 | 1
1 | 1 | 1 | 1

L'observo di tablo indikas ke nua unesma analizo admisis absurda situo : kal la tefono sonas e ke on ne havas envidio de respondar, on ne desakrochas mem kal on havas envidio di apelar kelku.

Ol oportas do modifikar la tabulo di verata tale :

Tabulo di verata di desakrochar2
a | b | c | d2
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 1 | 1
0 | 1 | 0 | 0
0 | 1 | 1 | 1
1 | 0 | 0 | 0
1 | 0 | 1 | 0
1 | 1 | 0 | 1
1 | 1 | 1 | 1

#### [redaktar] logika funcioni a quar varindi

Lernanto questionas su kal ol es saja di ekirar vespero. Il devas decidar en funciono di quar propozi:

- a = il havas sat pekunio
- b = il havas finata sua devi
- c = la komuna transporto es strikanta
- d = l'automobilo de sua patro es disponebla

Lernanto povus ekirar kal:

- a = il havas sat pekunio, a = vera
- b = il havas finata sua devi, do b = vera
- c = la komuna transporto es strikanta, do c = falsa
- d = l'automobilo de sua patro es disponebla, do d = vera

Do la logika expreso di ekirar en funciono del stato di varindi a, b, c e d ; ed ol povas skribas su tale :

  ekirar =

### [redaktar] mikreganta di expreso

Logika funciono povas esar determinata

- sive sub formo di expreso iganta eventar li 3 operi ( , , )
- sive sub formo di sua tabulo di verata. En ta kazo ol esos sempre posiblar di skribar ta funciono kom sumo de produkti.

Exemplo: En l'exemplo di "desakrochar2", on remarkas ke la rezulto es a 1 kande (a, b , c) = (0 , 0 , 1) o (0 , 1 , 1) o (1 , 1 , 0) o (1 , 1 , 1).

  To permezas di definar d2 per

Ol es lore interesanta di trovar expreso mikreganta la nombro di termi e la nombro di leteri en omna termo.

To es l'objektivo di ta tekniki kom la metodo de Quine-Mc Cluskey, la Karnaugh-tabulo ....

Exemplo (dop): la ante-lasta sumo povas esar reduktata en

per faktoreso di du unesma termi per e per faktoreso di du lasta termi per

Obtenita de "http://io.wikipedia.org../../../b/o/o/Booleana_algebro.html"

Category: Logiko

##### Views

- Artiklo
- Debato
- Nuna versiono

##### Serchar

##### Altra lingui

- Asturianu
- Български
- বাংলা
- Català
- Česky
- Deutsch
- English
- Esperanto
- Español
- فارسی
- Suomi
- Français
- Galego
- עברית
- Hrvatski
- Magyar
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- Lietuvių
- Nederlands
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Português
- Русский
- Simple English
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Svenska
- ไทย
- Tagalog
- Türkçe
- Українська
- 中文