დიფერენციალური აღრიცხვა - ვიკიპედია

# დიფერენციალური აღრიცხვა

### ვიკიპედიიდან

დიფერენციალური აღრიცხვა — მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებებს, დიფერენციალებს და მათი გამოყენების ხერხებს ფუნქციების გამოსაკვლევად.

## [რედაქტირება] ცნობები ისტორიიდან

ისტორიაში XVII საუკუნე გარდატეხის პერიოდი იყო. დეკარტმა სიბრტყეზე განლაგებული წირების შესასწავლად კოორდინატთა მეთოდი შემოიღო. ბუნების მეტყველების განვითარებამ აუცილებელი გახადა ფუნქციის ცვლილებების გამოკვლევა. განსაკუთრებით ისეთი ფუნქციებისა, რომლებიც მოძრავი სხეულების კოორდინატებისა და სხვა ფიზიკური სიდიდეების დროზე დამოკიდებულებას გამოსახავენ. წარმოებული გამოიყენებოდა ფუნქციის ექსტრემუმების მოსაძებნად, სხვადასხვაგვარი წირების მხების მოსაძებნად და ა.შ. დეკარტის, ფერმას და პასკალის პირველი შრომები არსებითად უკვე შეიცავდნენ ნებისმიერი მრავალწევრის წარმოებულის მოძებნის წესებას.

ამჟამად მათემატიკურ ანალიზს მათემატიკის იმ ნაწილს უწოდებენ, რომელიც დიფერენციალურ და ინტეგრალურ აღრიცხვას შეიწავლის. სისტემური მოძღვრება წარმოებულის შესახებ - დიფერენციალური აღრიცხვა განავითარეს გერმანელმა მატემატიკოსმა და ფილოსოფმა გ. ლაიბნიცმა (1646-1716) და ინგლისელმა მათემატიკოსმა და თანამედროვე მათემატიკური ბუნებისმეტყველების ფუძემდებელმა ი. ნიუტონმა (1643-1727).

რიცხვითი ფუნქციის ისეთი განსაზღვრება, რომელიც ამ ცნებას მოცემის ხერხისგან ათავისუფლებდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ჩამოაყალიბეს რუსმა მათემატიკოსმა ნ. ლობაჩევსკიმ 1834 წელს და გერმანელმა მათემატიკოსმა ლ. დირიკლემ 1837 წელს. ამ განსაზღვრებათა ძირითადი იდეა ის იყო, რომ არ არის არსებითი, თუ თითოეულ X-ს როგორ შეესაბამება გარკვეული T(X) მნიშვნელობა. მნიშვნელოვანია მხოლოდ ის, რომ ეს შესაბამისობა დამყარებულია.

## [რედაქტირება] ფუნქციის ზღვარი

ფუნქციის ზღვრის ცნების თვალსაჩინო აზრი XVII საუკუნის მათემატიკოსისათვის ნათელი იყო. მათ შეეძლოთ ზღვრების სწორად პოვნა, მაგრამ მიმდევრობის ზღვრისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებების მკაცრი განსაზღვრებები, რომლებიც დღემდეა შენარჩუნებული მხოლოდ ფრანგი მატემატიკოსის ო. კოშის (1784-1857) მიერ იყო მოცემული და დიდხანს ყველასთვის არ იყო გასაგები.

ო. კოშის თანახმად ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრება ასე ჩამოყალიბდება: "A რიცხვს ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი, როცა x მიისწრაფვის a-სკენ, თუ ნებისმიერი ε>0 რიცხვისათვის შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ>0 რიცხვი |f(x)-A|<ε ყველა იმ x-ისათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს".

f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როცა x≈a, შეიძლება ნებისმიერი წინასწარ მოცემული სიზუსტით შესრულდეს. მართლაც |f(x)-A| გამოსახულება არის f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის აბსოლიტური ცდომილება. ის, რომ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როცა x≈a, სრულდება ნებისმიერი წინსაწარმოცემული სიზუსტით, ნიშნავს შემდეგს: გამოთვლის რა სიზუსტეც უნდა ავიღოთ, x≈a მიახლოებიტი ტოლობის აბსოლიტური ცოდმილებისათვის შეგვიძლია შევარჩიოტ ისეთი საზღვარი _მას დადებითი γ რიცხვით აღნისნავენ, რომ, როცა 0<|x-a|<γ, მაშინ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის ცდომილებისა, გამოთვლის მოცემულის სიზუსტის საზღვრებში დარჩება, ე.ი. |f(x)-A|<ε.

მაგალითისათვის მოვიყვანოთ შემდეგი f(x)→A და g(x)→B, როცა x→a, მაშინ f(x)+g(x)→A+B, როცა x→a. ავიროთ ნებისმიერი დადებითი ε რიცხვი, მაშინ ε/2>0 და ამიტომ :

1. f(x)→A, როცა x→a პირობიდან გამომდინარეობს, რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ1>0 რიცხვი, რომ

|f(x)-A|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ1 უტოლობას აკმაყოფილებს.

2. g(x)→B, როცა x→a, პირობიდან გამომდინარეობს,რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ2>0 რიცხვი, რომ

|g(x)-B|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ2 უტოლობას აკმაყოფილებს. γ1 და γ2 რიცხვებიდან უმცირესი ავღნიშნოთ γ-თი. მაშინ ნებისმიერი x-სათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს, შესრულდება (1) და (2) უტოლობები. ამ x-ებისატვის გვაქვს : |(f(x)+g(x))-(A+B)|=|(f(x)-A)+(g(x)-B)|<=(ნაკლები ან ტოლი)|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/2+ε/2=ε

ამით დამტკიცდა, რომ f(x)+g(x)→A+B, როცა x→a. დანარჩენი წესები ანალოგიურად მტკიცდება.

XVII საუკუნეში მატემატიკაში მომხდარი ძირეული გადატრიალების მკაფიო დახასიათება მოგვცეს კარლ მარქსმა და ფრიდრიხ ენგელსმა. ენგელსი წერდა: "მათემატიკაში მობრუნების პუნქტი იყო დეკარტის ცვლადი სიდიდე. ამის წყალობით მათემატიკაში შევიდა მოძრაობა და დაიალექტიკა".

XVII საუკუნის ბევრი მათემატიკოსის ლოზუნგი ასეთი იყო : "იარეთ წინ და შედეგების სისწორის რწმენა თქვენთან მოვა".

მატემატიკური ანალიზის საწყისებმა მხოლოდ XIX საუკუნეში კოშის შრომების შემდეგ მიირო ლოგიკური დასაბუთება. კერძოდ, ამისთვის აუცილებელი იყო ნამდვილ რიცხვთა მკაცრი თეორია. ეს თეორია კი მხოლოდ XIX საუკუნის მეორე ნახევარში განავითარეს ვაიერშტრასმა, დედეკინდმა და კანტორმა.

## [რედაქტირება] ფუნქციის წარმოებული

ვთქვათ y = f(x) ფუნქცია განსაზღვრულია x0 წერტილის რაიმე მიდამოში, ხოლო x წარმოადგენს ამ მიდამოს x0-საგან განსხვავებულ ნებისმიერ წერტილს.

x − x0 სხვაობას ეწოდება არგუმენტის ნაზრდი x0 წერტილში და Δx სიმბოლოთი აღინისნება, ე.ი. Δx = x − x0, საიდანაც x = x0 + Δx. f(x0 + Δx) − f(x0) სხვაობას ეწოდება ფუნქციის ნაზრდი x0 წერტილში და Δf(x0), ან Δy სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.

Δf(x0) = f(x0 + Δx) − f(x0).

შევნიშნოთ, რომ Δx შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგრამ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ფუნქციის ნაზრდი კი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.

განსაზღვრება x0 წერტილში f(x) ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან ფარდობის ზღვარს, როდესაც არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისაკენ (თუ ეს ზღვარი არსებობს), ამ წერტილში ფუნქციის წარმოებული ეწოდება და y', f'(x0), , ან სიმბოლოთი აღინისნება, ე.ი.,

მაგალითად,y=x2 ფუნქციის წარმოებული x წერტილში არის 2x.
მართლაც

ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული და ვაცვენოთ, რომ იგი ნულის ტოლია. მართლაც,

მოვიყვანოთ წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი : f(x) ფუნქციის წარმოებული x0 წერტილში წარმოადგენს ამ ფუნქციის გრაფიკის(x0, f(x0))წერტილში გამავალი მხების კუთხურ კოეფიციენტს.

მართლაც, თუ (x0, f(x0)) წერტილში გამავალი AC მხებს განვიხილავთ როგორც წრფეს,რომელიც მიირება AB მონაკვეტიდან, როდესაც B წერტილის მიისწრაფვის A-სკენ, ე.ი. დელტა იქსი მიისწრაფვის ნულისაკენ (იხ. სურ.) მაშინ ცხადია, რომ

და

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (x0,y0) წერტილში გამავალი მხების განტოლებას აქვს სახე:

y − y0 = f(x0)(x − x0) — (1)

სადაც y0 = f(x0). მართლაც ცხადია, რომ (1) წარმოადგენს (x0, y0) წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას(ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ (1) განტოლებას) და მისი კუთხური კოეფიციენტია f'(x0).

გამოვარკვიოთ წარმოებულის მექანიკური შინაარსი. ვთქვათ წერტილის მოძრაობის განტოლებაა s = s(t), რომლის მიხედვითაც დროის ნებისმიერ მომენტში შეიძლება გამოვიანგარიშოთ განვლილი მანძილი. როგორც ცნობილია, დროის რაიმე მონაკვეთში Δt მონაკვეთში მოძრაობის სასუალო სიჩქარე გამოითვლება ფორმულით:

რომელიც მით უკეთესად ახასიატებს წერტილის სიჩქარეს t მომენტში, რაც უფრო მცირეა Δt. ამიტომ

შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მყისი სიჩქარე t მომენტში.

თუ რაიმე წერტილში ფუნქციას გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას წარმოებადი ეწოდება ამ წერტილში. ფუნქციას ეწოდება წარმოებადი შუალედში, თუ იგი წარმოებადია ამ შუალედის ტითოეულ წერტილში.

## [რედაქტირება] ჯამის, ნამრავლის და ფარდობის წარმოებული

### [რედაქტირება] თეორემა 1

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციებია x წერტილში, მაშინ მათი ჯამიც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x).

### [რედაქტირება] თეორემა 2

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციებია x წერტილში,მაშინ მათი ჯამიც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x).

### [რედაქტირება] თეორემა 3

თუ u(x) ფუნქცია წარმოებადია x წერტილში,ხოლო c რაიმე მუდმივია,მასინ c*u(x) ფუნქციაც წარმოებადია ამ წერტილში და

(c*u(x))’=c*u'(x)

ე.ი. მუდმივი მამრავლი შეიძლება გავიტანოთ წარმოებულის ნისნის გარეთ.

### [რედაქტირება] თეორემა 4

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციაებია x წერტილში,ამასთან v არ უდრის ნულს,მაშინ u(x)/v(x) ფარდობაც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)/v(x))’=(u’(x)v(x)-u(x)v'(v))/ v*v(x).

## [რედაქტირება] რთული ფუნქციის წარმოებული / შექცეული ფუნქციის წარმოებული

ვთქვათ D სიმრავლეზე განსაზღვრულია u=Ф(x) ფუნქცია,ხოლო ამ მნიშვნელობათა E სიმრავლე წარმოადგენს რაიმე G სიმრავლის ქვესიმრავლეს,რომელზეც თავის მხრივ განსაზღვრულია y=f(u) ფუნქცია.მაშინ D სიმრავლის ყოველი x მნიშვნელობას შეესაბამება u-ს ერთადერთი მნიშვნელობა E-დან,რომელსაც თავის მხრივ შეესაბამება y-ის ერთადერთი მნიშვნელობა.ამგვარად x-ის ყოველ მნიშვნელობას D-დან შეესაბამება y-ის ერთადერთი მნიშვნელობა,რაც იმას ნიშნავს რომ y არის x-ის ფუნქცია.აღვნიშნოთ იგი F(x)-ით.ცხადია რომ

y=F(x)=f(Ф(x)).

ასეთ შემთხვევაში ამბობენ რომ F არის რთული ფუნქცია შედგენილი Ф და f ფუნქციებით.

### [რედაქტირება] თეორემა 1

თუ u=Ф(x) ფუნქცია წარმოებადია რაიმე X0 წერტილში,ხოლო y=f(u) ფუნქცია-ამ წერტილის შესაბამისი u0=Ф(x0) წერტილში,მაშინ y=f(Ф(x)) რთული ფუნქცია წარმოებადია x0 წერტილში და
y'=f'(u0)*Ф'(x0).

### [რედაქტირება] თეორემა 2

ვთქვათ y=f(x) და x=g(y) ურთიერთ შექცეული ფუნქციებია და f ფუნქციას x0 წერტილში გააჩნია ნულისაგან განსხვავებული წარმოებული,მაშინ g ფუნქციის წარმოებული y0=f(x0) წერტილში არსებობს და

g'(y0)=1/f'(x0).

## [რედაქტირება] მეორე რიგის წარმოებული და მისი გამოყენება

ვთქვათ მოცემულია y=f(x) ფუნქცია,რომელიც წარმოებადია რაიმიე G სიმრავლეზე.მაშინ ცხადია,რომ f’(x) აგრეთვე წარმოადგენს ფუნქციას განსაზღვრულს G სიმრავლეზე და შეიძლება ლაპარაკი მის წარმოებულზე.

Y=f(x) ფუნქციის წარმოებულის წარმოებულს მოცემული ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული ეწოდება და y’’ ან f’’(x) სიმბოლოთი აღინიშნება. მაგალითად y=sin2x ფუნქციისთვის y’=2sinxcosc=sin2x,ხოლო y’’=cos2x. f(x) ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის გამოყენებით შეიძლება დავადგინოთ ექსტრემუმის არსებობის კიდევ ერთი პირობა.

### [რედაქტირება] თეორემა 1

თუ f’’(x) ფუნქცია უწყვეტია x0 წერტილის რაიმე მიდამოში,f’(x0)=0 და f’’(x0)≠0 მაშინ x0 წარმოადგენს f(x) ფუნქციის ექსტრემუმის წერტილს,ამასთან
თუ f’’(x0)<0,მაშინ x0-მაქსიმუმის წერტილია
თუ f’’(x0)>0,მაშინ x0-მინიმუმის წერტილია
მეორე რიგის წარმოებულით ფუნქციის გამოკვლევა შეიძლება უფრო სრულყოფილად ჩავატაროთ,კერძოდ შეიძლება დავადგინოთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობა ჩაზნექილობის უბნები,გადაღუნვის წერტილები. განსაზღვრება.y=f(x) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ამოზნექილი რაიმე შუალედში,თუ ნებისმიერი X წერტილისათვის მოცემული შუალედიდან ფუნქციის გრაფიკის ამ შუალედის შესაბამისი ნაწილი (x,f(x)) წერტილში გავლებული მხების ქვემოთ მდებარეობს. განსაზღვრება. y=f(x) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ჩაზნექილი რაიმე შუალედში,თუ ნებისმიერი X წერტილისათვის მოცემული შუალედიდან ფუნქციის გრაფიკის ამ შუალედის შესაბამისი ნაწილი (x,f(x)) წერტილში გავლებული მხების ზემოთ მდებარეობს. განსაზღვრება.(x0,f(x0)) წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი,თუ ამ წერტილში გრაფიკის ამოზნექილობა იცვლება ჩაზნექილობით,ან ჩაზნექილობა - ამოზნექილობით. მაგალითად პირველ ნახაზზე გამოსახული ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია ]-∞,a[ და ]b,+∞[ სუალედებში,ხოლო ]a,b[ შუალედში ჩაზნექილია,ამ ფუნქციის გრაფიკის გადაღუნვის წერტილებია M და N.

### [რედაქტირება] თეორემა 2

თუ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული დადებითია რაიმე შუალედში, მაშინ ამ შუალედში ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია. თუ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული უარყოფითია რაიმე შუალედში, მაშინ ამ შუალედსი ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია.

Retrieved from "http://ka.wikipedia.org../../../%E1%83%93/%E1%83%98/%E1%83%A4/%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%A4%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%94%E1%83%9C%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%90%E1%83%A6%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%90.html"

კატეგორია: მათემატიკა

##### Views

- სტატია
- განხილვა
- მიმდინარე შესწორება

##### ძიება

##### სხვა ენებზე

- العربية
- Български
- Català
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- English
- Esperanto
- Español
- فارسی
- Suomi
- Français
- Galego
- עברית
- Magyar
- Bahasa Indonesia
- Ido
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Lietuvių
- Nederlands
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- پښتو
- Português
- Română
- Русский
- Simple English
- Slovenčina
- Српски / Srpski
- Svenska
- ไทย
- Türkçe
- Oyghurque
- 中文