Аналитичка геометрија - Википедија

# Аналитичка геометрија

### Од Википедија, слободна енциклопедија

Дел од геометријата кој користи негеометриски методи за решавање на геометриски проблеми (задачи). Иако и стандардната геометрија користи аритметички (пресметковни) методи за решавање на проблемите, сепак, во аналитичката геометрија нивното разгледување се врши на поемпириски и поапстрактен начин, каде на одредена геометриска појава ѝ одговата соодветен систем равенки (кој пак може да брои и една равенка). Апаратот и методите со кои се служи аналитичката геометрија се разновидни, така што таа пред сè има допирни точки со математичката анализа и со линеарната алгебра, а директно е поврзана и со останатите гранки на геометријата (диференцијална, проективна и др.)

# [уреди] Основни поими и поделба

Своите зачетоци ги имала истовремено со математичката анализа, уште во времето на Рене Декарт (René Descartes), кога за првпат биле разгледувани графици на некои функции. Токму Декарт во математиката го вовел поимот координатен систем кој е една од најпрепознатливите особини на аналитичката геометрија и математичката анализа. Така значењето на поимите како: точка, отсечка, растојание и слични на нив добиле сосема ново значење кое потоа се разработувало и проиширувало во рамките на аналитичката геометрија.

Важен напредок се постигнува во 19. век со проиширувањето на поимот простор, односно разгледувањето на т.н. произволни простори во кои она што сетилно се наметнува како „правост“ (не-кривост, рамномерност, унифицираност) на еден простор не е исполнето, т.е. се разгледуваат простори кои не се евклидски. Особен придонес за развој на оваа теорја имаат математичарите Бернард Риман, Николај Лобачевски и Јанош Болај.

Иако има допирни точки со повеќе математички дисциплини, аналитичката геометрија има генерално независен пристап кон проблемите (што значи дека треба да се вложи повеќе труд за добро да се совлада). Модерниот пристап на ова поле пак, се потпира главно на линеарната алгебра и бара нејзини широки познавања, и, иако помалку чуден, дава подобра основа во совладувањето и надградбата на материјалот.

Според просторот во кој се разработуваат проблемите (задачите) аналитичката геометрија на евклисдите простори условно може да се подели на:

- аналитичка геометрија во рамнина (во 2D) (под рамнина се подразбира дводимензионална рамнина од тридимензионалниот простор);
- аналитичка геометрија во простор (во 3D) (под простор се подразбира тридимензионалниот евклидски простор);
- аналитичка геометрија во nD (односно разгледување на геометриски појави во простори со произволен број димензии)

Првите две гранки на аналитичката геометрија се поконкретни и поексплицитни, а со тоа и појасни и разбирливи, додека третата гранка е апстрактна, што поради бројот на димензии, што поради сè поголемиот удел на линеарната алгебра.

# [уреди] Аналитичка геометрија во Евклидски простори

Секој n-димензионален простор се нарекува Евклидски ако во него може да се дефинира скаларен производ на два произволни вектори од просторот. Евклидските простори се релативно лесни за разгледување и разработување без разлика на нивната димензионалност, бидејќи претставуваат логичка надоградба на дво- и тридимензионалниот простор (кои исто така се Евклидски); Токму рамнинската (дводимензионална) аналитичка геометрија и просторната (тридимензионална) аналитичка геометрија се основните случаи со кои се занимава оваа гранка од математиката бидејќи се работи за сетилно пристапни случаи. Само да напоменеме, бидејќи Евклидскиот простор е во основа векторски простор, тој не мора да е реален, туку може да е и комплексен (точките да имаат и комплексни координати).

## [уреди] Рамнинска (2D) аналитичка геометрија

Овој дел се бави со разработување и апстрактна дискусија на геометриските фигури во рамките на една рамнина. Тука пред сè се разгледуваат правите (разни начини на нивно претставување и значење на одредени елементи во рамките на едно претставување) и кривите од втор ред (кружница, елипса, парабола, хипербола) како и заемната положба помеѓу правите од една и кривите од втор ред од друга страна (т.е. опишување на тангенти, нормали, секанти).

### [уреди] Равенки на права во рамнина

Правата во рамнина може да се претстави како график на линеарна функција. Иако постојат повеќе начини на претставување на правата како множество точки кои задоволуваат одредено равенство, заедничко за сите нив е тоа што во основа сите зависат од „правецот“ или градиентот на правата; под правец ќе го подразбираме аголот кој правата го зафаќа со позитивниот дел на x-оската. Правата обично се бележи со мало латинско .

Експлицитен облик на равенка на права е всушност претставување на правата како график на линеарна функција. Тој се задава на следниов начин:

каде е коефициент на правец на правата дефиниран како , е аголот што го зафаќа правата со позитивниот дел на x-оската, додека e отсечок што правата го отсекува на y-оската.

Имплицитен облик на равенка на права е претставување на точките од правата како решенија на линеарна равенка со две непознати: и , т.е. равенка од облик:

Јасно, може да се направи „премин“ од имплицитен на експлицитен облик на равенката на права, ако последната равенка ја запишеме како:

Сегментен облик на равенка на права е претставување на правата преку отсечоците што таа ги отсекува на координатните оски (кај експлицитниот облик се користеше само отсечокот на y-оската). Ако на y-оската правата отсекува дел со должина , а на x-оската дел со должина , тогаш правата може да се запише како равенка од облик:

Равенка на права низ една и низ две точки. ако е познат градиентот на правата: и координатите на барем една точка која лежи на правата: , тогаш правата може да се претстави преку следнава равенка:

Доколку, пак, се познати две точки коишто лежат на правата: и B(x2,y2), тогаш правата може да се претстави со равенката:

каде со изразот е определен градиентот на правата.

### [уреди] Равенка на кружница

За разлика од правата каде зависноста на координатите на точките е линеарна, кај кружницата таа е квадратна. Слично како и за правата, и за кружницата постојат неколку начини на изразување на оваа зависност. Кружницата обично се бележи со мало латинско .

Централна равенка на кружница ја претставува кружницата со центар во координатниот почеток: која има радиус . Таа е од облик:

Општа равенка на кружница ја претставува кружницата со центар во точка и радиус и е од облик:

Доколку ги квадрираме изразите во последното равенство, се добива:

Ако формално запишеме:

тогаш добиваме дека кружницата може да се претстави со равенката:

Обратно, кружницата може да биде зададена токму како квадратна равенка со две непознати, од облик:

Тогаш координатите на центарот и радиусот ги определуваме како:

### [уреди] Равенка на елипса

### [уреди] Равенка на хипребола

### [уреди] Равенка на парабола

## [уреди] Просторна (3D) аналитичка геометрија

Во овој дел се разгледуваат и дискутираат на поапстрактен начин и геометриските фигури (како на пример, прави, кружници итн.) и геометриските тела (рамнина, топка, елипсоид, параболоид, хиперболоид итн) во просторот. Тука спаѓаат и специјалните случаи (тангента на просторно тело, тангенцијална рамнина на просторно тело и слично.)

### [уреди] Равенки на права во простор

### [уреди] Равенки на рамнина во простор

## [уреди] Околу повеќедимензионалната (nD) аналитичка геометрија

Во повеќе од тридимензионални простори (кои се сетилно непристапни), се врши обопштување на поимите од претходно споменатите случаи (слично како што поимот топка е обопштување на поимот кружница од две, на три димензии). Тогаш наведените случаи се разгледуваат како потпростори од разгледуваниот простор (кој секако е векторски простор!), а во што се вклучува опсежен апарат кој е несвојствен за 2D и 3D аналитичката геометрија, а кој припаѓа на линеарната алгебра.

Преземено од "http://mk.wikipedia.org../../../%D0%B0/%D0%BD/%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0.html"

Категории: Математика | Математичка терминологија

##### Views

- Статија
- Разговор
- Тековна верзија

##### Пребарај

##### Други јазици

- Català
- Česky
- Deutsch
- English
- Eesti
- Español
- Français
- Ido
- Italiano
- עברית
- Nederlands
- 日本語
- Polski
- Português
- Русский
- Suomi
- Српски / Srpski
- Svenska
- Tiếng Việt
- Türkçe
- Українська
- 中文