Fungsi gamma - Wikipedia

# Fungsi gamma

### Dari Wikipedia bahasa Melayu

Fungsi gamma sepanjang paksi nyata

Dalam matematik, Fungsi gamma mengembangkan fungsi faktorial kepada nombor kompleks dan bukan integer (ia telahpun ditakrifkan pada yang asli, dan mempunyai kutub ringkas pada integer negatif. fungsi faktorial bagi integer n ditulis sebagai n! dan bersamaab dengan hasil darab n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. Fungsi gamma "mengisi" fungsi faktorial bagi bukan integer dan nilai kompleks bagi n. Jika z merupakan pemboleh ubah nyata, maka bagi nilai nombor asli sahaja, kita peroleh

tetapi bagi nilai bukan asli bagi z, persamaan di atas tidak boleh digunakan memandangkan fungsi faktorial tidak tertakrif.

Disebabkan fungsi gamma dan faktorial berkembang dengan cepat bagi hujah yang agak besar, banyak persekitaran pengiraan yang melibatkan fungsi ln(gamma) yang kembali kepada logaritma asli bagi fungsi gamma; ini berkembang lebih lambat, dan bagi gabungan pengiraan kombinatorial membenarkan penambahan dan penolakan log berbanding mendarab dan membahagi nilai yang sangat besar.

## [Sunting] Takrifan

Notasi Γ(z) diambil sempena pencarian Adrien-Marie Legendre. Jika bahagian nyata nombor kompleks z adalah positif, maka kamirnya

tertumpu secara mutlak. Dengan menggunakan pengkamiran mengikut bahagian, seseorang itu boleh menunjukkan

Disebabkan Γ(1) = 1, hubungan ini menandakan

bagi nombor asli n.

Nilai mutlak bagi fungsi gamma pada satah nombor kompleks.

Fungsi meromorfik bagi x dengan pola ringkas pada x = -n (n = 0, 1, 2, 3, ...) dan baki (-1)n/n!. [1] Ia boleh digunakan untuk mengembangkan Γ(z) kepada fungsi meromorfik yang ditarkif untuk semua nombor kompleks z kecuali z = 0, −1, −2, −3, ... oleh sambungan analitik. Ia adalah versi tambahan yang merujuk kepada fungsi gamma.

## [Sunting] Takrifan lain

Berikut adalah takrifan hasil darab tak terhingga bagi fungsi gamma, diambil daripada penemuan Euler dan Weierstrass, adalah sah bagi semua nombor kompleks z yang bukan negatif dan sifar

iaitu γ adalah pemalar Euler-Mascheroni.

## [Sunting] Ciri

Persamaan fungsi lain yang penting bagi Fungsi gamma adalah rumus pantulan Euler

dan rumus duplikasi

Rumus duplikasi merupakan kes khas bagi teorem pendaraban

Nilai fungsi gamma pada hujah bukan integer adalah

yang boleh ditemui dengan menetapkan z=1/2 pada rumus pantulan atau dengan mengambil fungsi beta bagi (1/2, 1/2), iaitu .

Terbitan bagi fungsi gamma diterangkan dalam terma fungsi poligamma. Contohnya:

Fungsi gamma mempunyai pola bagi tahap 1 pada z = −n bagi setiap nombor asli n; baki diberikan oleh

Teorem Bohr-Mollerup menyatakan yang sepanjang semua fungsi yang mengembangkan fungsi faktorial bagi nombor nyata positif, hanya fungsi gamma adalah log-cembung, yang logaritma aslinya adalah cembung.

Notasi lain yang diperkenalkan oleh Gauss dan yang kadangkala digunakan fungsi pi, yang dalam terma fungsi gamma adalah

jadi

Dengan menggunakan fungsi pi, rumus pantulan mengambil bentuk

yang sinc fungsi sinc yang dinormalkan, manakala teorem pendaraban mengambil bentuk

Kita juga akan jumpa

yang merupakan fungsi keseluruhan, tertakrif bagi setiap nombor kompleks. π(z) tidak mempunyai pola, maka Γ(z) tidak mempunyai sifar.

## [Sunting] Hubungan dengan fungsi lain

Dalam kamiran yang pertama di atas, yang mentakrifkan fungsi gamma, had kamiran adalah ditetapkan. Fungsi gamma tak sempurna merupakan fungsi yang diperolehi dengan membenarkan salah satu had atas atau bawah kamiran menjadi pemboleh ubah.

Fungsi gamma berhubungan dengan fungsi beta dengan rumus

Terbitan logaritma bagi fungsi gamma dipanggil fungsi digamma; terbitan lebih tinggi adalah fungsi poligamma.

Analog fungsi gamma ke atas medan terbatas adalah jumlah Gaussian, sejenis jumlah eksponen.

Fungsi gamma salingan merupakan fungsi keseluruhan dan telah dikaji sebagai topik khas.

## [Sunting] Plot

Bahagian nyata Γ(z) | Bahagian khayalan Γ(z) | Nilai mutlak Γ(z)

Bahagian nyata log Γ(z) | Bahagian khayalan log Γ(z) | Nilai mutlak log Γ(z)

## [Sunting] Nilai tertentu

  Rencana utama: Nilai tertentu fungsi gamma

## [Sunting] Penganggaran

Nilai kompleks bagi fungsi gamma boleh dikira secara berangka dengan menggunakan penghampiran Stirling atau penghampiran Lanczos.

Dengan kamiran berbahagian bagi kamiran Euler, fungsi gamma boleh ditulis sebagai

iaitu, jika Re(z) dikurangkan kepada selang [1, 2], kamiran terakhir adalah lebih kecil daripada xe − x < 2 − N. Maka dengan memilih x yang sesuai, fungsi gamma boleh dinilaikan ke bit N dengan ketepatan siri di atas. Jika z adalah nisbah, pengiraan boleh dilakukan dengan pisahan binari dengan masa O((logN)2M(N)) iaitu M(N) adalah masa yang diperlukan untuk mendarab dua nombor bit N.

Bagi hujah yang merupakan daraban integer bagi 1/24, fungsi gamma juga boleh dinilaikan dengan pantas menggunakan jujukan min aritmetik-geometrik (lihat nilai tertentu fungsi gamma).

## [Sunting] Aplikasi

Fungsi gamma merupakan komponen pelbagai fungsi taburan kebarangkalian dan sesuai untuk digunakan dalam bidang kebarangkalian dan statistik.

## [Sunting] Lihat juga

- Fungsi beta
- Fungsi gamma eliptik
- Fungsi gamma tak sempurna
- Fungsi gamma multivariasi
- Fungsi poligamma
- Fungsi digamma
- Fungsi trigamma
- Taburan gamma
- Teorem Bohr-Mollerup
- Pemalar Gauss
- Penganggaran Stirling

## [Sunting] Pautan luar

- (Inggeris) Contoh soalan yang melibatkan fungsi gamma di Exampleproblems.com.
- (Inggeris) Pengira fungsi gamma
- (Inggeris) Penilai fungsi gamma Wolfram

Diperolehi daripada "http://ms.wikipedia.org../../../f/u/n/Fungsi_gamma.html"

Kategori: Gamma dan fungsi yang berkaitan

##### Views

- Rencana
- Perbincangan
- Semakan terkini

##### Cari

##### Bahasa lain

- Česky
- Deutsch
- English
- Español
- Suomi
- Français
- עברית
- Magyar
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Basa Sunda
- Svenska
- ไทย
- Türkçe
- 中文