Potenčna vrsta
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Potenčna vrsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:
kjer je an koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.
V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:
Vsebina |
[uredi] Uporaba potenčnih vrst
Potenčne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapis celih števil lahko gledamo kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.
[uredi] Zgledi potenčnih vrst
[uredi] Elementarne funkcije
Vsak polinom lahko razvijemo v potenčno vrsto okoli poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom f(x) = x2 + 2x + 3 lahko na primer zapišemo kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:
ali okrog središča a = 1 kot:
ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste lahko gledamo kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.
Geometrična vrsta:
je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:
Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:
Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta
ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je x1 / 2. Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti an ne smejo biti odvisni od spremenljivke x. Tako na primer vrsta:
ni potenčna vrsta.
Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:
- logaritemski funkciji:
[uredi] Neelementarne funkcije
S potenčnimi vrstami lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvijemo elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:
ki ni elementaren. Funkcijo ex / x razvijemo v potenčno vrsto:
Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in jo lahko integriramo po členih:
[uredi] Konvergenčni polmer
Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a| < r konvergirala in divergirala za |x − a| > r. Število r (tudi označbi R ali ρ) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:
oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):
(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, jo lahko izračunamo kot:
Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:
- | x − a | < r - potenčna vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici {x : |x − a| < r},
- | x − a | > r - potenčna vrsta divergira,
- | x − a | = r - v splošnem ne moremo reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.
[uredi] Operacije s potenčnimi vrstami
[uredi] Seštevanje in odštevanje
Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okoli istega središča a, lahko dobimo vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:
je enaka:
[uredi] Množenje in deljenje
Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:
Zaporedje
je znano kot konvolucija zaporedja an in bn.
Za kvocient imamo:
in uporabimo produkt z upoštevanjem koeficientov.
[uredi] Odvajanje in integriranje
Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko jo brez težav odvajamo ali integriramo po členih:
Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.
Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.




![\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1],](../../../math/d/9/5/d95da1e95a9953782f0b52a8f87184a6.png)


![\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{\,x^n}{n} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1],](../../../math/6/4/b/64bc441ecc992f4ef8dd05ed9a7c08b8.png)
![\log(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = - \left[x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} +\frac{x^4}{4} + \cdots\right], \qquad |x| \in (-\infty,1],](../../../math/e/3/9/e39d64d6ebda48a179e94e2a497b2e62.png)
![(1\pm x)^{1/2} = 1 \pm \frac{1}{2} x - \frac{1\cdot 1}{2\cdot 4} x^2 \pm \frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot6} x^3- \frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} x^4 \pm \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1].](../../../math/1/d/7/1d7ee405197fba5f4d0e23456dd1113e.png)





![\int_{a}^{x} \frac{e^x}{x} dx = \log \frac{x}{a} + \frac{x-a}{1!} + \frac{x^2-a^2}{2!2} + \frac{x^3-a^3}{3!3} + \cdots, a \in [0,x].](../../../math/4/3/c/43c87a0d2a24fc1963ca185a1e20e561.png)






![f(x)g(x) = \left[\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n\right]\left[\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right] = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-a)^{i+j}](../../../math/2/2/7/227b686b075a936ce520140aa2d934d6.png)
![f(x)g(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right] (x-a)^n.](../../../math/6/2/b/62b74516c05cf900ae400d4624fc4402.png)

![f(x) = \left[\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right]\left[\sum_{n=0}^\infty d_n (x-a)^n\right]](../../../math/4/5/6/45653c8cf9e79f8b770354229ef9e719.png)



