Елипса

Из пројекта Википедија

Елипса је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефниисати као геометријско место тачака чији је збир растојања од две фиксиране тачке увек једнак. Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.

Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра.

Осе елипсе су праве које садрже њене пречнике. Прва пролази кроз обе фокусне тачке, а друга пролази кроз њен центар, и нормална је на прву.

Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.

Садржај

[уреди] Аналитичка дефиниција

Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:

f(x,y) = α11x2 + 2α12xy + α22y2 + 2α13x + 2α23y + α33 = 0 (општа ј-на криве другог реда)

Која задовољава следеће услове:


  1. \Delta = \begin{vmatrix}   \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\   \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\   \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} \end{vmatrix} \neq 0


  2. \delta = \begin{vmatrix}   \alpha _{11} & \alpha _{12} \\   \alpha _{12} & \alpha _{22} \\ \end{vmatrix} > 0

  3. За реалну елипсу: T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0
    За имагинарну елипсу (празан скуп): T \cdot \Delta > 0

Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:

α11x2 + α22y2 − α33 = 0

Што се може записати и као

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.

[уреди] Површина

Површина елипсе је:

P = abπ

где су a и b полупречници елипсе, а пи математичка константа.

[уреди] Ексцентрицитет

Ексцентрицитет је константа карактериситична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:

e = \frac{c}{a}

[уреди] Обим

Обим елипсе се може представити на разне начине:

Бесконачни редови:

O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Што је исто што и:

O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}

Добру апроксимацију ове вредности је направио Рамануџан:

O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Која се такође може записати као:

O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,

У специјалном случају, када је мања оса дупло мања од веће осе, важи:

O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,