Купа (геометрија)

Из пројекта Википедија

Права (лево) и коса кружна купа (десно)
Права (лево) и коса кружна купа (десно)

Купа (или конус) је геометријско тело. Може се дефинисати као геометријско место тачака које чини све дужи између елипсе, која се налази у једној равни, и тачке, која се налази изван те равни. Ова елипса се још назива база купе, а тачка њено теме.

Права која пролази кроз теме и центар базе купе се назива њеном осом. Уколико је ова права и нормална на базу купе, купа се назива правом. У супротном се ради о косој купи.

Растојање између темена купе, и његове пројекције на раван базе купе се назива висином купе.

Свака дуж која спаја теме и неку од ивичних тачака базе се назива изводницом купе. Код праве купе све изводнице имају једнаку дужину док код косе купе постоје највише две изводнице са истом дужином.

[уреди] Површина купе

Површина купе се увек рачуна као збир површина њеног омотача и њене базе. Омотач купе је скуп свих дужи које спајају теме купе са ивицом основице купе. У случају да је база круг, његова ивица би била кружница.

[уреди] Површина праве кружне Купе

Размотавањем омотача праве купе се може установити да се ради о одсечку круга, који за полупречник има дужину s изводнице купе. Покривени угао се према пуном кругу (тј. ) односи као обим базе купе према обиму круга са полупречником s, што би дало следећи израз:

S_o = s^2 \pi \cdot \frac{2\pi r}{2\pi s} = s^2 \pi \cdot \frac{r}{s} = rs\pi

Површина базе је површина круга полупречника r, што износи Sb = r²π. Збир ове две вредности даје површину купе:

S = So + Sb = rsπ + r2π = rπ(s + r)

[уреди] Запремина купе

Запремина купе се увек може представити као трећина производа површине њене базе са растојањем темена од равни у коме се налази база. Ово растојање се још зове и висина купе.

V = \frac{1}{3}P_b h

Пример може бити кружна купа код које је Pb = r²π. Из претходног израза следи да је запремина ове купе:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} r^2\pi h

Запремина косе и праве елиптичне купе се разликује само у бази:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} ab\pi h