Астроида

Из пројекта Википедија

Напомена: Назив овог чланка могуће је помешати са Астероид.
Астроида
Астроида
Конструкција астроиде
Конструкција астроиде

У математици, астроида је посебна врста криве: хипоциклоида код које је однос полупречника покретне и фиксиране кружнице једнак 1/4. Посматрамо кружницу полупречника r која се котрља по унутрашњој страни друге, фиксиране кружнице полупречника R = 4r. Астроида је трајекторија проивољно изабране тачке на мањој кружници. То је, такође и супер елипса код које је n=2/3 и a=b.

Садржај

[уреди] Назив

Порекло имена астроида може се наћи у грчкој речи за звезду. Ова крива је раније називана и кубоциклоидом и парациклом.

[уреди] Једначина астроиде

Параметарске једначине астроиде која настаје када је полупречник фиксираног круга једнак R добијамо из једначина хипоциклоиде. Ако искористимо да је m=1/4, биће:
x=R\cos^3t,\qquad y=R\sin^3t.
Елиминацијом параметра добијамо често употребљаван облик једначине астроиде:
x2 / 3 + y2 / 3 = R2 / 3.
Астроида се може представити и једначином:
(x2 + y2R2)3 + 27R2x2y2 = 0.

[уреди] Основне особине

Астроида је равна алгебарска крива са особином да јој је род једнак нули. Спада у алгебарске криве шестог реда, и има десет сингуларитета, од чега четири у реалној равни, који се налазе у врховима звезде и шест комплексних сингуларитета (2 у бесконачности и 4 двострука).

Еволута астроиде је такође астроида, слична датој, са коефицијентом сличности 2, дакле двоструко већа.

Дужина лука астроиде од тачке на позитивном делу x-осе, до произвољне тачке M(t) једнака је l=\frac32R\sin^2\frac t4. Дужина једне гране је l=\frac32R, а дужина целе криве l = 6R

Дуж дужине једнаке полупречнику фиксиране кружнице којој једна крајња тачка клизи по x-оси,а друга по y-оси, је тангента астроиде, па је астроида омотач дужи константне дужине којима крајеви клизе по две међусобно нормалне праве.

[уреди] Где се може видети астроида

Стари лого компаније U.S. Steel садржао је три астроиде, плаву, жуту и црвену.

Данас је можемо видети на заштитном знаку Питсбург Стилерса, једног од познатијих рагби тимова.


[уреди] Извори и литература

  • А. А. Савелов, Равнинске кривуље, Школска књига, Загреб, 1979.

[уреди] Спољашње везе