Лагранжов полином

Из пројекта Википедија

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме за n + 1 тачака уз помоћ Лангражових полинома желимо да нађемо нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).


Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) и y3l3(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.
Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) и y3l3(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.

Идеја иза поступка је врло слична другим методама (Њутоновој методи , на пример): Полазећи од познатих тачака конструишемо нову основу нашег простора. Онда дату функцију (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформишемо у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње правимо полином, а она нам служи пре свега као узор. Тиме добијамо нову, приближну функцију (полином) који можемо да израчунамо.

Основа за Лангражов полином је:

l_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{ix_{j}}}-

Приближна функција која апроксимира f(x) је P(x); xi су тачке за које знамо вредности дате функције:

P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x)

Када погледамо li(x) за x \in \{1,2,3,4,5\}:

l_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
l_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
l_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
l_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
l_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}

постаје нам јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима x_{j \neq i} полином има нулто место, а код xi има вредност 1. Тако смо се осигурали да ће наш полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све P(xi) да важи P(xi) = f(xi).


[уреди] Примјер

Позната нам је вредност полинома у 3 различите тачке :

X 1 2 3
Y 3 -1 1


Екстраполацијом добијемо полином :


P(x)=3\cdot{x - 2 \over 1 - 2}\cdot{x - 3 \over 1 - 3} + (-1)\cdot{x - 1 \over 2 - 1}\cdot{x - 3 \over 2 - 3} + 1\cdot{x - 1 \over 3 - 1}\cdot{x - 2 \over 3 - 2}