Четвороугао

Из пројекта Википедија

Четвороугао је у планиметрији затворени геометријски лик кога омеђују четри дужи спојене у четри темена. Сваки четвороугао има тачно две дијагонале и оне су дужи између два пара његових несуседних темена.

Други назив за општи четвороугао је трапезоид.

[уреди] Подела четвороуглова

Четвороуглови се пре свега деле на конвексне и неконвексне. Неконвексни се деле на четвороуглове са и без самопресека.

Конвексни четвороуглови се деле на тангентне (оне у које се може уписати круг) и тетивне (оне око којих се може описати круг) четвороуглове и на општи случај трапеза, четвороугла коме су две наспрамне странице паралелне. Четвороуглови који су истовремено тетивни и тангенти се још зову и бицентричним.

Специјалан случај тангентног четвороугла је делтоид, кога чине два пара суседних међусобно једнаких страница.

Општи трапез има још три специјална подслучаја:

  • Паралелограм илити ромбоид, трапез коме је и други пар наспрамних страна међусобно паралелеан,
  • Правоугли трапез, коме су два угла, која не леже на истој од две паралелне странице, прави,
  • Једнакостранични трапез, коме су две непаралелне стране једнаких дужина. Овај трапез је такође тетивни четвороугао.

Паралелограм има два специјална случаја:

  • Ромб је паралелограм коме су све странице једнаке, а и специјлан случај делтоида,
  • Правоугаоник је паралелограм коме су сви углови прави.

Квадрат је специјалан случај паралелограма који има особине ромба и правоугаоника: сви углови су му прави и све странице су му међусобно једнаке. Квадрат је пример бицентричног четвороугла.

[уреди] Формуле

Трапезоид: општи четвороугао

Збир углова у четвороуглу је једнак 360° односно 2π:

\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ=2\pi

Акко је угао Θ прав, наспрамне странице се могу посматрати као катете правоуглих троуглова који имају исту дужину хипотенузе:

\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2

Површина четвороугла може бити изражена на следеће начине:

P=\frac{1}{2} e f \sin \theta,
P=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \operatorname{tg} \theta,
P=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}.