Елипса
Из пројекта Википедија
Елипса је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефниисати као геометријско место тачака чији је збир растојања од две фиксиране тачке увек једнак. Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.
Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра.
Осе елипсе су праве које садрже њене пречнике. Прва пролази кроз обе фокусне тачке, а друга пролази кроз њен центар, и нормална је на прву.
Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.
Садржај |
[уреди] Аналитичка дефиниција
Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:
- f(x,y) = α11x2 + 2α12xy + α22y2 + 2α13x + 2α23y + α33 = 0 (општа ј-на криве другог реда)
Која задовољава следеће услове:


- За реалну елипсу:

За имагинарну елипсу (празан скуп):
Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:
- α11x2 + α22y2 − α33 = 0
Што се може записати и као
У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.
[уреди] Површина
Површина елипсе је:
- P = abπ
где су a и b полупречници елипсе, а пи математичка константа.
[уреди] Ексцентрицитет
Ексцентрицитет је константа карактериситична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:
где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:
[уреди] Обим
Обим елипсе се може представити на разне начине:
Бесконачни редови:
Што је исто што и:
Добру апроксимацију ове вредности је направио Рамануџан:
Која се такође може записати као:
У специјалном случају, када је мања оса дупло мања од веће осе, важи:



![O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,](../../../math/e/4/6/e46db7c12b39a824faa1ea48594c3055.png)
![O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}](../../../math/5/1/f/51f8172eb6eb3ae1fe217364ce9aa1f4.png)
![O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,](../../../math/4/9/c/49c0f64e940f2d5c596b4edfccea58c0.png)
![O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,](../../../math/b/c/f/bcf134b9b22c56f26b2616eb63862bfb.png)


