Скаларни производ

Из пројекта Википедија

Скаларни производ два вектора је дефинисан као продукт дужине првог и другог вектора и косинуса угла између њих. Добијен резултат је скалар.

\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi


Скаларни продукт једног и истог вектора даје квадрат његове дужине, јер је у том случају косинус 0° једнако 1. Скаларни продукт вектора који су под правим углом (90°) једнак је 0, јер је косинус правог угла 0.


[уреди] Дефиниција и примјер

Дефиниција скаларног множења вектора a = [a1, a2, … , an] и вектора b = [b1, b2, … , bn] :

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
  • где Σ означава сумирањје по компонентама.

Примјер скаларног множења на тродимензионалном вектору [1, 3, −5] и [4, −2, −1] :

\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.


[уреди] Геометријска интерпретација

Јер знамо да је скаларни продукт и продукт са углом између два вектора, можемо инверзном операцијом израчунати и угао.


\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).

Скаларни продукт је комутативан, дистрибутиван и линеаран.


[уреди] Види још