Корисник:Обрадовић Горан/Подскуп
Из пројекта Википедија
У математици, израз подскуп се користи у теорији скупова да опише стање када се неки скуп садржи неком другом (надскупу). Неформално, сваки елемент који припада подскупу A припада и надскупу B, али могу да постоје и елементи који припадају надскупу B, а не припадају његовом подскупу A.
Садржај |
[уреди] Дефиниције
|
A као подскуп од B
![]() A = {1,2,3} |
Дефиниција подскупа је у потпуности базирана на теорији скупова, у којој се користи уз неколико других дефиниција, које илуструју релације између података садржаних унутар математичких скупова када се говори о њиховој сличности.
У математичкој терминологији, о подскупима се говори као о скуповима или низовима података које садрже сличне елементе као њихов предак, али се разликују у величини или дужини података које садрже. За разлику од уније или пресека скупа, подскуп се бави само класификовањем или описивањем односа између сличних или идентичних скупова података, и не даје нови скуп.
У формалним дефиницијама, скупови могу да буду било нумерички било алфанумерички, укључујући употребу симбола. Независно од типова података унутар скупова, како би се дефинисао подскуп, оба скупа морају да буду сачињена од истог типа података:
| Исправно | Неисправно |
|
|
|
Формалније, ако су A и B скупови, и сваки елемент из A је такође елемент B, тада:
- A је подскуп скупа B, што се означава на следећи начин A ⊆ B,
или еквивалентно
- B је надскуп A, што се означава као B ⊇ A.
Ако је A подскуп од B, али A није једнако B, тада је A такође прави подскуп (подскуп у ужем смислу) од B. Ово се записује као A ⊂ B. На исти начин, B ⊃ A значи да је B прави надскуп од A. Ако је A прави подскуп скупа B, тада постоји бар један елемент x из B који не припада A.
[уреди] Симболи
Лак начин да се запамти разлика између симбола је да се запази да су ⊆ и ⊂ аналогни ≤ и <. На пример, ако је A подскуп скупа B (што се записује као A ⊆ B), тада је број елемената у A мањи или једнак броју елемената у B (што се записује као |A| ≤ |B|). Исто, за коначне скупове A и B, ако A ⊂ B онда |A| < |B|.
[уреди] Примери
- Скуп {1, 2} је прави подскуп скупа {1, 2, 3}.
- Скуп природних бројева је прави подскуп скуа рационалних бројева.
- Скуп {x : x је прост број већи од 2000} је прави подскуп скупа {x : x је непаран број већи од 1000}
- Сваки скуп је подскуп самог себе, али не и прави подскуп самог себе.
- Празан скуп, који се означава као ∅, је подскуп сваког датог скупа X. Празан скуп је увек прави подскуп, изузев самог себе.
[уреди] Својства
Исказ 1: Празан скуп је подскуп сваког скупа.
Доказ: За било који дати скуп A, желимо да покажемо да је ø подскуп од A. Ово укључује показивање да су сви елементи из ø садржани у A. Али у ø нема елемената.
За искуснијег математичара, тврђење " ø нема елемената, па су стога сви елементи из ø садржани у A", је јасно, али почетнику може бити проблематично. Како ø уопште нема елемената, како они могу да буду чланови било чега другог? Може бити од помоћи да се ствари посматрају из другог угла. Да би доказали да ø није подскуп од A, морали би да нађемо елемент из ø који није елемент из A. Како нема елемената у ø, ово је немогуће, па је стога ø подскуп скупа A.
Исказ 2: Ако су A, B и C скупови, важи следеће:
- рефлексивност:
-
- A ⊆ A
-
- антисиметричност:
-
- A ⊆ B]- и B ⊆ A ако и само ако A = B
-
- транзитивност:
-
- Ако A ⊆ B и B ⊆ C онда A ⊆ C
-
Исказ 3: Ако су A, B и C подскупови скупа S тада важи следеће:
- existence of a least element and a greatest element:
-
- ø ⊆ A ⊆ S (that ø ⊆ A is Proposition 1 above.)
-
- existence of joins:
-
- A ⊆ A∪B
- If A ⊆ C and B ⊆ C then A∪B ⊆ C
-
- existence of meets:
-
- A∩B ⊆ A
- If C ⊆ A and C ⊆ B then C ⊆ A∩B
-
Следећи исказ каже да је "A ⊆ B ", еквивалентно разним другим исказима који се тичу унија, пресека и комплемената.
Исказ 4: За свака два скупа A and B, следеће је еквивалентно:
-
- A ⊆ B
- A ∩ B = A
- A ∪ B = B
- A − B = ø
- B′ ⊆ A′
The above proposition shows that the relation of set inclusion can be characterized by either of the set operations of union or intersection, which means that the notion of set inclusion is axiomatically superfluous.
Исказ 5: Ако је број елемената A једнак n, онда је број свих подскупова од A једнак 2^n.
[уреди] Остала својства Other properties of inclusion
The usual order on the ordinal numbers is given by inclusion.
За партитивни скуп скупа S, the inclusion partial order is (up to an order-isomorphism) the Cartesian product of |S| (the cardinality of S) copies of the partial order on {0,1}, for which 0 < 1.



