لکیری اقل مربعات

وکیپیڈیا سے

اردو اصطلاح English term
اقل مربعات
تقرب
Least squares
Approximation


تجربات سے اکثر ایسا ڈیٹا اکٹھا ہوتا ہے جسے کسی کثیر رقمی سے تقرب کرنا مفید رہتا ہے۔ فرض کرو کہ کسی تجربے کے نتیجے میں ہمیں n پیمائش جوڑے ملتی ہیں:

\ (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)

ان کے گراف کو دیکھتے ہوئے ہم یہ فیصلہ کرتے ہیں کہ یہ فنکشن \ y=f(x)، ذیل میں سے کسی کثیر رقمی

  1. \ y=a x + b     (گراف راست خط)
  2. \ y=a x^2 + bx + c     (درجہ دوم کثیر رقمی)
  3. \ y=a x^3 + bx^2 + cx + d     (سہ کثیر رقمی)
  4. \ \cdots  \cdots  \cdots \cdots  \cdots
  5. \ y=c_m x^m + c_{m-1}x^{m-1} + c_1 x + c_0     (m کثیر رقمی)

سے تقرب کی جا سکتی ہے۔

تصویر میں گیارہ نکتوں (x,y) کا درجہ دوم کثیر رقمی سے تقرب کیا گیا ہے۔

تجربہ سے حاصل ہونے والے n جوڑے اگر درجہ m کے کثیر رقمی میں ایک ایک کر کے ڈالے جائیں تو ہمارے پاس n مساوات حاصل ہونگی، جنہیں درج ذیل میٹرکس مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہے (عام طور پر n > m ):


Y = MC

Y = \begin{bmatrix}  y_1 \\ y2 \\ \vdots \\y_n \end{bmatrix} \,,\, M = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2  & \cdots & x_1^m \\ 1 & x_2 & x_2^2  & \cdots & x_2^m \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2  & \cdots & x_n^m \\ \end{bmatrix} \,,\, C = \begin{bmatrix}  c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{bmatrix}

عام طور پر یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام ناموافق ہو گا، اس لیے اس کا کوئ حل نہیں ہو گا، یعنی ایسا کوئ C نہیں جو ان مساوات کی تسکین کرے۔ اس لیے کوشش یہ ہو گی کہ ایسا \ C^{*} نکلا جائے جس کا غلطی سمتیہ \ e = Y -MC^* کم سے کم ہو۔ یعنی غلطی سمتیہ کا امثولہ \|e \| کم سے کم ہو۔

چونکہ سمتیہ Y فضا \mathbb{R}^n میں ہے، اس لیے ہمیں اقلیدسی فضا میں امثولہ کی عام تعریف استعمال کرتے ہوئے

\|e\|^2 = e_1^2 + e_2^2 + \cdots + e_n^2

کی تصغیر کرنا ہے۔

اب لکیری فضا \mathbb{R}^{m+1} کے کسی سمتیہ C کے لیے، سمتیہ MC ، میٹرکس M کی ستون فضا میں ہے، جو \mathbb{R}^n کی لکیری ذیلی فضا ہے۔ اب مسقط کی تعریف سے ہم جانتے ہیں، کہ سمتیہ Y کا میٹرکس M کی ستون فضا میں مسقط، غلطی امثولہ \|e\| کی تصغیر کرتا ہے۔ ذیلی فضا MC میں سمتیہ Y کے مسقط کو ہم \ MC^{*} لکھتے ہیں۔ بہترین تقرب مسلئہ اثباتی کی رو سے غلطی سمتیہ قائم الزاویہ ہو گا ذیلی فضا کے۔ دوسرے لفظوں میں غلطی سمتیہ اور میٹرکس M کی ستون فضا کے کسی بھی سمتیہ MC کا اندرونی حاصل ضرب صفر ہو گا:

\ (MC)^t (Y-MC^{*}) = 0

(اقلیدسی فضا میں اندرونی حاصل ضرب کی عام تعریف استعمال کرتے ہوئے)،
یا

\ C^t M^t (Y-MC^{*}) = 0
\ C^t (M^t Y- M^t MC^{*}) = 0
\ \langle M^t Y- M^t MC^{*}, C \rangle = 0

جس سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ

\  M^t Y- M^t MC^{*} = 0

یا

\   M^t MC^{*} = M^t Y

اگر میٹرکس \ M^t M مقلوب ہو تو حل یہ ہو گا

\  C^{*} =(M^t M)^{-1} M^t Y



\ E=mc^2        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات 

دیگر زبانیں