میٹرکس - وکیپیڈیا

# میٹرکس

### وکیپیڈیا سے

- اندراج کردہ لفظ کی تلاش یہاں لاتی ہے، اگر یہ وہ صفحہ نہیں جسکی آپکو تلاش ہے تو دیکھیۓ صفحہ براۓ ، بحر یا میٹرکس (Metrics)

اردو اصطلاح | English term
--- | ---
مصفوفہ قالب میٹرکس | Matrix

ریاضی میں میٹرکس نمبروں کے مجموعہ کو کہتے ہیں، جو قطاروں اور ستونوں میں سجائے جاتے ہیں۔ نمبروں کی قطاریں بائیں سے دائیں جاتی ہیں، جبکہ ستون اوپر سے نیچے۔ مثال کہ طور پر نیچے لکھی میٹرکس کی چار قطاریں اور تین ستون ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ اس میٹرکس کا سائیز ہے،اور میٹرکس کے 12 اجزا ہیں۔

ایک میٹرکس کو اس طرح لکھا جاتا ہے، یعنی m قطاریں اور n ستون،

### [ترمیم] میٹرکس جمع اور تفریق

اگر دو میٹرکس کو جمع کرنا ہو، تو دونوں کا سائیز برابر ہونا چاہیے۔ اسی طرح تفریق کیلئے بھی۔ نیچے جمع اور تفریق کی مثال دی ہے۔ ہر جز اپنے ہم منصب جز کے ساتھ جمع یا تفریق ہوتا ہے۔

### [ترمیم] میٹرکس ضرب

دو میٹرکسوں کو ضرب دینے کیلئے پہلی میٹرکس کے ستونوں کی تعداد دوسری میٹرکس کی قطاروں کے برابر ہونی چاہیے۔ نیچے ہم میٹرکس A کو میٹرکس X سے ضرب دے کر میٹرکس Y حاصل کرتے ہیں۔ یہاں دونوں میٹرکس A اور X مربع میٹرکس ہیں۔ دونوں کا سائیز ہے۔ اسلئے میٹرکس Y کا سائیز بھی ہو گا۔

غور کرنے پر معلوم ہو گا کہ میٹرکس Y کا ہر جز، میٹرکس A کی ایک قطار اور میٹرکس X کے ایک ستون سے ٹکرا کر بنا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس Y کا جز میٹرکس A کی قطار 0 اور میٹرکس X کے ستون 0 کے ملاپ سے بنا ہے ۔ اسی طرح جز میٹرکس A کی قطار 1 اور میٹرکس X کے ستون 2 کے ساتھ اس طرح بنا ہے: یک قطاری یا یک ستونی میٹرکس کو سمتیہ یا ویکٹر بھی کہا جاتا ہے۔ ایک سائیز کی میٹرکس کو ایک سائیز کی میٹرکس سے ضرب دینے سے سائیز کی میٹرکس نکلے گی۔ یاد رکھو کہ میٹرکس ضرب میں عموماً

### [ترمیم] شناخت میٹرکس

تفصیلی مضمون: شناخت میٹرکس

شناخت میترکس کو ریاضی میں خاص مقام حاصل ہے۔ یہ ایسی میٹرکس ہے جس کے بائیں سے دائیں آر پار جز 1 ہوں، اور اس کے علاوہ باقی جز 0 ہوں۔ ایک شناخت میٹرکس کو یوں لکھیں گے: شناخت میٹرکس ہمیشہ مربع میٹرکس ہوتی ہے۔ عام ریاضی میں یہ نمبر 1 سے مماثلت رکھتی ہے۔

### [ترمیم] میٹرکس کا اُلٹ

تفصیلی مضمون: مقلوب میٹرکس

آپ سوچ رہے ہو گے کہ کیا میٹرکس تقسیم بھی ممکن ہے؟ اسے سمجھنے کیلئے عام نمبروں کی تقسیم پر غور کرو: یعنی نمبر کا الٹ نمبر ہے، ان دونوں نمبروں کو ضرب دینے سے نمبر 1حاصل ہوتا ہے۔ اسی طرح سائیز کی میٹرکس کا الٹ میٹرکس ہو گی، جس کا سائیز بھی ہو گا، جب ان دونوں میٹرکسوں کو ضرب دینے سے شناخت میٹرکس حاصل ہو۔ یعنی صرف مربع میٹرکس کا الٹ ممکن ہے، مگر ہر مربع میٹرکس کا الٹ ممکن نہیں۔ جس مربع میٹرکس کی قطاریں باہمی آزاد ہوں (اور ستون آپس میں باہمی آزاد ہوں)، صرف ایسی میٹرکس کو الٹایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس کی تیسری قطار، پہلی دو قطاروں کو جمع کر کے بنی ہے، اس وجہ سے تیسری قطار پہلی دو قطاروں سے آزاد نہیں۔ اس لیے اس میٹرکس کو الٹانا ممکن نہیں۔

## [ترمیم] میٹرکس الجبرا

مٰیٹرکس A، B، C، جن کا سائیز ہو، اور r، s، عام عدد ہوں ( یا میں) ، اور O ایک سائیز کی میٹرکس ہو جس کے تمام جُز صفر ہوں، تو مندرجہ ذیل سچ ہونگے

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + O = A
4. A + (-A) = O
5. (rs) A = r (sA)
6. ‭(r + s) A = rA + sA‬
7. r (A + B) = rA + rB
8. ‭1 A = A‬

اس سے یہ نتیجہ نکالا جا سکتا ہے کہ میٹرکس جن کا سائیز ہو، اور ان کے جُز یا میدان میں سے ہوں، کا مجموعہ سمتیہ فضا ہونے کی تمام شرائط پوری کرتا ہے۔

اس کے علاوہ جب میٹرکس کے سائیز ایسے ہوں کہ میٹرکس ضرب ممکن ہو تو یہ سچ ہو گا (یاد رہے کہ ایک میٹرکس اور ایک میٹرکس کی ضرب سے نکلنے والی میٹرکس کا سائیز ہوتا ہے)

1. (AB)C = A(BC)
2. A(B+C) = AB + AC
3. ‭(A+B)C = AC + BC‬
4. ‭r (AB) = (rA)B = A(rB)‬

## [ترمیم] میٹرکس کا رتبہ

تفصیلی مضمون: رتبہ میٹرکس

میٹرکس کا رتبہ اس میں باہمی لکیری آزاد قطاروں کی تعداد، یا اس میں باہمی لکیری آزاد ستونوں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ ایک میٹرکس کا زیادہ سے زیادہ رُتبہ اس کی قطاروں کی تعداد، یا ستونوں کی تعداد، (جو تعداد کم ہو) کے برابر ہو سکتا ہے۔ مذید تفصیل۔

### [ترمیم] مسلئہ اثباتی

ایک مربع میٹرکس A کے لیے نیچے دی گئے بیان ایک دوسرے کے ہم معٰنی ہیں:

- اس میٹرکس کو اُلٹانا ممکن ہے۔
- اس میٹرکس کا رتبہ (پورا) n ہے۔
- اس میٹرکس کے تمام ستون باہمی لکیری آزاد ہیں، اور تمام قطاریں باہمی لکیری آزاد ہیں۔
- ایک متغیر میٹرکس X ہو، تو اسی صورت ممکن ہے، اور صرف اسی صورت ممکن ہے، جب
- اس میٹرکس کا دترمینان صفر نہیں:

  - یہاں یہ بیان کرنا ضروری ہے کہ اگر اس میٹرکس کا دترمینان بہت چھوٹا عدد ہو، تو میٹرکس کو الٹانا مشکل ہوتا ہے۔ یہ جاننے کے لیے میٹرکس کا کنڈیشن نمبر (condition number) نکالنا مفید رہتا ہے۔

  - یاد رہے کہ عام طور پر مساوات سے یہ نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا کہ ۔ (اس کے لیے مسلئہ اثباتی کی رو سے مربع میٹرکس A کا رتبہ پورا n ہونا ضروری ہے۔)

## [ترمیم] میٹرکس ضرب بطور فنکشن

میٹرکس ضرب لکیری فنکشن بنانے میں کام آتی ہے۔ n رُخی فضا میں کسی بھی نکتہ کو n اصلی اعداد (میدان ) پر مشتمل سمتیہ سے لکھا جاتا ہے۔ یعنی ہر نکتہ ایک میٹرکس کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ نکات فضا میں ہیں۔ اس فضا کے ایک نکتہ X کو ہم یوں لکھ سکتے ہیں:

اب اس نکتہ X کو ایک میٹرکس A سے ضرب دے کر نکتہ Y حاصل ہوتا ہے۔ نکتہ Y، m رُخی فضا میں ہے۔ میٹرکس ضرب فنکشن کا کام کرتی ہے۔ فنکشن کو عموماً سے ظاہر کرتے ہیں:
یا تفصیلاً
اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ میٹرکس ضرب ایک لکیری فنکشن کا کام کرتی ہے:
زیادہ دلچسپ صورت اس وقت ہوتی ہے جب میٹرکس مربع ہو، یعنی نکات سے میں جا رہے ہوں۔ اب ہم سے کی مثال لیتے ہیں، یعنی میٹرکس کا سائیز ہے، اور یہ دو رُخی فضا، مثال کے طور پر سکرین کی سطح کو ظاہر کرتی ہے۔

### [ترمیم] مثال

میٹرکس سکرین پر عمودی (vertical) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے، اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے، جبکہ میٹرکس سکرین پر افقی (horizontal) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے، اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے۔ جبکہ میٹرکس دونوں اطراف کی لکیروں کو ترچھا کرتی ہے۔

ملاحظہ ہو۔ پہلی تصویر (نیلا رنگ) میں مربع تانا بانا دکھایا گیا ہے۔ ان نکات کو میٹرکس سے ضرب دے کر دوسری تصویر (سرخ رنگ) میں ترچھے تانا بانا حاصل ہوتا ہے۔ دیکھو کہ ایک مربع بدل جاتا ہے پیرللوگرام (parallelogram) میں ( تصاویر میں کالے ڈبے)۔

میٹرکس ضرب بطور فنکشن

اگر پہلی تصویر میں فنکشن کے "میدان عمل" (ڈومین) کے کالے ڈبے کے نکات S کو کہا جائے، تو دوسری تصویر میں فنکسن کے حیطہ (رینج) میں کالے ڈبے کے نکات ‭f(S)‬ ہوں گے۔ ان دونوں کالے ڈبوں کا رقبہ میٹرکس A کے دترمینان کی ریشو سے ہوتا ہے:

### [ترمیم] مثال: گھماؤ

گھماؤ میٹرکس
میں نکات کو ابتداء کے گرد زاویہ سے اُلٹی گھڑی کی سمت گھما دیتی ہے۔ ملاحظہ ہو کے لیے 90 درجے کے زاویہ سے ابتداء کے گِرد گھمانا (ابتداء سے مراد نکتہ (0,0) ہے)۔ تصویر میں نیلے رنگ کے نکات کو میٹرکس سے ضرب دے کر سرخ رنگ کے نکات حاصل ہوتے ہیں۔

نوٹ: تصاویر کا سائیلیب سکرپٹ دیکھنے کے لیے تصاویر پر کلک کرو۔

## [ترمیم] اور دیکھو

- یکلخت لکیری مساوات کا نظام
- دترمینان
- لکیری آزادی
- ویژہ قیمت
- پلٹ (میٹرکس)
- متناظر میٹرکس
- وتر میٹرکس
- قائم الزاویہ (میٹرکس)
- لکیری استحالہ
- نسبی استحالہ
- سائیلیب

## [ترمیم] بیرونی ربط

میٹرکس حساب کیلئے سائیلیب جیسے طاقتور کمپوٹر پیکج موجود ہیں، جو آزاد مصدر ہونے کے ناطے سے مفت دستیاب ہیں۔ سائیلیب میں میٹرکس ریاضی کے اردو میں کچھ اسباق موجود ہیں۔

            اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%85/%DB%8C/%D9%B9/%D9%85%DB%8C%D9%B9%D8%B1%DA%A9%D8%B3.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

##### Views

- مضمون
- تبادلۂ خیال
- حـالیـہ تـجدید

##### ساتھی منصوبے

- وکی لغت
- وکی اقتباسات
- وکی کتب
- وکی سورس

##### تلاش

##### دیگر زبانیں

- العربية
- Azərbaycan
- Български
- বাংলা
- Català
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- English
- Esperanto
- Español
- Eesti
- فارسی
- Suomi
- Français
- עברית
- Bahasa Indonesia
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Lietuvių
- Nederlands
- ‪Norsk (nynorsk)‬
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Português
- Română
- Русский
- Simple English
- Slovenčina
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Svenska
- ไทย
- Türkçe
- Українська
- Tiếng Việt
- 中文