چکوری ہئیت - وکیپیڈیا

# چکوری ہئیت

### وکیپیڈیا سے

دو متغیر کی چکوری ہئیت کو یوں لکھا جاتا ہے
اس کو میٹرکس صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے یا

Q(X) = XtAX

جہاں غور کرو کہ وزن میٹرکس A ایک متناظر میٹرکس ہے۔ اب ایک متناظر میٹرکس کو ویژہ سمتیہ میٹرکس V کی مدد سے وتر میٹرکس میں لے جایا جا سکتا ہے A = VΛVt
اب ایک نیا سمتیہ تعریف کرو Y = VtX جس کی مدد سے چکور ہئیت کو یوں لکھو
Q(X) = XtAX = (VY)tA(VY) = YtVtAVY = YtΛY
اب دیکھو کہ یہ چکور ہئیت ایسی بن گئی جس میں وزن میٹرکس ایک وتر میٹرکس ہے
یعنی ایسی رقم کا خاتمہ کر دیا گیا ہے جس میں دونوں متغیر کی ضرب تھی

### [ترمیم] مثال

فرض کرو کہ بجلی کا ایک قمقمہ دو وولٹیج سے چلتا ہے اور روشنی کی مقدار ‭Q(x,y)‬ پیدا کرتا ہے جہاں دو وولٹیج کی مقدار x اور y ہے: Q(x,y) = 5x2 + 8xy + 5y2 اب ہم چاہتے ہیں کی روشنی کی مقدار Q(x,y) = 9 حاصل ہو۔ تو مساوات یوں بنی 5x2 + 8xy + 5y2 = 9 جسے ہم سائیلیب کی مدد سے پلاٹ کرتے ہیں(تصویر پر کلک کرو)۔ بیضوی (ellipse) شکل پر کسی بھی نکتہ ‭(x,y)‬ پر روشنی کی مطلوبہ مقدار حاصل ہوتی ہے۔ ہم چاہتے ہیں کہ مطلوبہ روشنی کے لیے بجلی کی کم سے کم طاقت خرچ ہو، یعنی x2 + y2 کم سے کم ہو۔ تصویر سے ظاہر ہے کہ ایسا نکتہ بیضوی کے چھوٹے دھرے (minor axis) پر واقع ہے (تصویر میں جہاں 1 کا نشان لگا ہے)۔ اب ہم اوپر دیے طریقے سے اس مسلئہ پر نظر ڈالتے ہیں۔ روشنی کی مقدار کی مساوات کو میٹرکس صورت میں لکھتے ہوئے اب وزن میٹرکس کا ایک ویژہ سمتیہ ہے جس کے ساتھ ویژہ قیمت λu = 1 ہے۔ دوسرا ویژہ سمتیہ ہے جس کے ساتھ ویژہ قیمت λv = 9 ہے۔ تصویر میں دیکھو کہ ویژہ سمتیہ u بیضوی کے بڑے دھرے کی جانب ہے، اور ویژہ سمتیہ v بیضوی کے چھوٹے دھرے کی جانب ہے۔ اس سے واضح ہؤا کہ ویژہ سمتیہ بیضوی کی رو سے سادہ ترین رُخ متعین کرتے ہیں۔ اب ان نئی سمتوں میں جانے کے لیے ہم ویژہ سمتی کی میٹرکس کا استعمال کرتے ہیں اور اس نئے رُخ ہماری روشنی کی مساوات یوں لکھی جا سکتی ہے، جو سادہ ترین صورت ہے: نئے رُخ بیضوی کی مساوات یوں بنی تصویر میں دیکھو کہ سمتیہ v کی جانب پیمائش ہے، جبکہ سمتیہ u کی جانب پیمائش ہے۔ بیضوی کی v جانب انتہا 1 ہے، اور u جانب انتہا 3 ہے۔ ان دونوں انتہاوں کا تناسب ہے۔ اب نئے رُخ کی مساوات میں کرکے ہمیں مل جاتا ہے ،، جو کم از کم طاقت والا نکتہ ہم ڈھونڈ دہے تھے۔ واپس اصل رُخ میں اس نکتہ کی پیمائش یوں نکل آتی ہے (ویژہ سمتیہ میٹرکس کی مدد سے)

اس مثال سے ہم یہ اصول اخذ کر سکتے ہیں: تصویر میں دیکھو کہ سب سے بڑی ویژہ قیمت بیضوی کے چھوٹے دھرے کی جانب ویژہ سمتیہ v سے وابستہ ہے۔ گویا طریقہ یہ ہے کہ چکوری ہئیت کی متناظر میٹرکس کی سب سے بڑی ویژہ قیمت نکالو، اور اس سے وابستہ ویژہ سمتیہ نکالو۔ اس سمتیہ کی جانب بیضوی پر نکتہ سب سے اچھا ہو گا، یعنی کم سے کم طاقت کا نکتہ ہو گا۔

## [ترمیم] شکل

چکوری ہئیت کے گراف کی یہ اشکال ممکن ہیں:

- ellipse
- hyerbola

## [ترمیم] صورت جب متغیر کی تعداد n ہو

اوپر کی بحث اس وقت بھی لاگو رہتی ہے جب چکوری ہئیت میں متغیر کی تعداد n ہو۔ اس صورت میں X ایک میٹرکس اور A ایک مربع متناظر میٹرکس ہو گی:

Q(X) = XtAX

اب متناظر میٹرکس A کو ویژہ سمتیہ میٹرکس V کی مدد سے وتر میٹرکس Λ میں لے جایا جا سکتا ہے (یاد رہے کہ V قائم الزاویہ (میٹرکس) ہونی چاہیے): A = VΛVt جہاں
اب نئے رُخ پر سمتیہ تعریف کرتے ہوئے چکوری ہئیت یوں بن جاتی ہے

            اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%DA%86/%DA%A9/%D9%88/%DA%86%DA%A9%D9%88%D8%B1%DB%8C_%DB%81%D8%A6%DB%8C%D8%AA.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

##### Views

- مضمون
- تبادلۂ خیال
- حـالیـہ تـجدید

##### ساتھی منصوبے

- وکی لغت
- وکی اقتباسات
- وکی کتب
- وکی سورس

##### تلاش

##### دیگر زبانیں

- Català
- Deutsch
- English
- Français
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Русский
- 中文