عاملي
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، المضروب أو العاملي لعدد صحيح طبيعي n ، و الذي يكتب n!، و الذي يقرأ "عاملي n"، هو جذاء الأعداد الصحيحة الموجبة قطعا و الأصغر أو تساوي n. و يكتب :
أمثلة :
- 1! = 1
- 2! = 1 x 2 = 2
- 3! = 1 x 2 x 3 = 6
- 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800
و تعريف العاملي على شكل جذاء يترتب عنه كون 0! = 1 ذلك أن 0! جذاء مفرغ، و بمعنى آخر مقتصر على العنصر المحايد في عملية الضرب.
و يلعب العاملي دورا أساسيا في علم الإحتمالات و التراتيب بما أنه يوجد n! طريقة مختلفة لتوزيع n شيئا. و يظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل سيغة الثنائي لنيوتن و صيغة تايلور.
و تعطينا صيغة ستيرلينع مساويا لـ n! عندما تكون n كبيرة :
[تحرير] عاملي عدد غير صحيح
لكل عدد صحيح n، لدينا Γ(n + 1) = n! حيث Γ هي دالة أولير (دالة غاما) و ضعها ليونارد أولير. و تمكننا دالة أولير من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. و في النهاية نجد :
[تحرير] البرمجة
يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح :
(define fact
(lambda (x)
(if (= x 0) 1
(* x (fact (- x 1))))))
و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.
و بنفس الطريقة في Caml :
let rec fact n =
match n with
| 0 -> 1
| _ -> n * fact(n-1)
;;
و بطريقة أخرى:
let fact n =
let rec aux n r =
match n with
| 0 -> r
| _ -> aux (n-1) (n*r)
in
aux n 1
;;
و في لغة سي:
int factorielle_recursive(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * factorielle_recursive(n-1);
}
و بطريقة أخرى:
int factorielle_iterative(int n)
{
int res;
for (res = 1; n > 1; n--)
res *= n;
return res;
}
و في لغة Python:
fact = lambda x : x>0 and x*fact(x-1) or 1
----------------------------------------------------
الاستعمال :
for i in range(10):
print "fact %d = %d" %(i, fact(i))
و يظهر على الشاشة :
fact 0 = 1
fact 1 = 1
fact 2 = 2
fact 3 = 6
fact 4 = 24
fact 5 = 120
fact 6 = 720
fact 7 = 5040
fact 8 = 40320
fact 9 = 362880
هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.




