Greenov teorem
Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
U fizici i matematici, Greenov teorem daje odnos između linijskog integrala po jednostavnoj zatvorenoj krivoj liniji C i dvostrukog integrala po oblasti D, ograničenoj sa krivom C. To je specijalni dvodimenzionalni slučaj generalnijeg Stokesovog teorema, a dobio je naziv po britanskom naučniku Georgeu Greenu.
Neka C bude pozitivno orijentisana, jednostavna zatvorena kriva u ravni i neka D bude oblast ograničina sa krivom C. Ako L i M imaju neprekidne parcijalne derivacije na otvorenoj oblasti koja sadrži D, onda je:
Nekada se napiše mali kružić na simbol integrala
kako bi se pokazalo da je kriva C zatvorena. Za pozitivnu orijentaciju, strijelica, koja pokazuje smijer suprotan kretanju kazaljje na satu, može se ucrtati u ovaj krug.
U fizici, Greenov teorem je najviše koristi kod rješavanja dvodimenzionalnih integrala protoka, koji govore da je suma protoka fluida u bilo kojoj tački unutar volumena jednaka ukupnom protoku kroz zatvorenu površ.
[uredi] Dokaz kada je D jednostavna oblast
Sljedeći dokaz je dokaz teorema za pojednostavljenu oblast D, oblast tipae I, gdje su C2 i C4 vertikalne linije. Sličan dokaz postoji kada je D oblast tipa II, gdje su C1 i C3 prave linije.
Ako se može pokazati da su tvrdnje
i
tačne, onda Greenov teorem dokazan u prvom slučaju.
Oblast D tipa I (slika desno) je definisana sa:
gdje su g1 i g2 neprekidne funkcije. Izračunavanjem dvostrukog integrala u (1):
C se može napisati kao unija četiri krive: C1, C2, C3, C4.
Sa C1, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b. Then
Sa C3, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. Then
Integral po C3 se poništava jer je usmjeren u suprotnom pravcu od b do a, a C je orijenstisana pozitivno (suprotno kretanju kazaljke na satu). Na C2 i C4, x ostaje konstanta, što znači da je
Zbog toga je
Kombinirajući (3) da (4), dobijamo (1). Slična izračunavanja daju (2).
[uredi] Također pogledajte
- Stokesov teorem
- Teorem divergencije
- Planimetar
- Greenovi identiteti





![=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]](../../../math/2/1/2/21216cbc9e92f9a508d832799427eb54.png)
![= \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}](../../../math/e/e/8/ee8d2f23561647ad3cdb174486abb689.png)
![\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx](../../../math/4/e/5/4e531757dbd074bc25a314fa61c2e4d6.png)
![\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx](../../../math/c/4/1/c414fd50f39dccb536e87c0519f773b6.png)



![= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}](../../../math/4/a/8/4a8ea1e07dac7011641487530c9167ee.png)

