Equipotència
De Viquipèdia
En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota E ≈ F, si existeix una bijecció
.
Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents.
Taula de continguts |
[edita] Proprietats de l'equipotència
L'equipotència té les proprietats següentes:
- És reflexiva: per a tot conjunt E, E ≈ E (existeix almenys una bijecció de E vers E : l'aplicació idèntica de E)
- És simètrica: essent dos conjunts E i F, si E ≈ F, aleshores F ≈ E (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció
; aleshores f − 1 és una bijecció
)
- És transitiva : essent tres conjunts E, F i G, si E ≈ F i F ≈ G, aleshores E ≈ G (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció
i una bijecció
; aleshores la composició
es una bijecció)
Açò prova que dins tot conjunt
de conjunts, la relació binària d'equipotència és una relació d'equivalència, i que el conjunt quocient
pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de
.
Per exemple, si
és el conjunt de les parts d'un conjunt Ω, l'equipotència és una relació d'equivalència dins
.
Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència es una relació d'equivalència dins e conjunt de tots els conjunts: dins la teoria clàssica dels conjunts, el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.
[edita] Teorema de Cantor-Bernstein
El teorema de Cantor-Bernstein (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així:
Essent dos conjunts E i F, si existeixen dues injeccions
i
, aleshores E ≈ F.
[edita] Exemples i contra-exemples
- El conjunt
dels enters naturals i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací
, són equipotents: l'aplicació
és bijectiva
- Cas dels intervals del conjunt
dels nombres reals
- Sien dos reals a, b tals que a < b, i els intervals
,
- Els intervals
i
són equipotents: l'aplicació
és bijectiva. - Anàlogament, els intervals
i
són equipotents.
- Els intervals
- Els intervals
i
són equipotents:
- l'aplicació
és injectiva (en fet, és la injecció canònica). - l'aplicació
és injectiva. - l'equipotència de
i
és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein.
- l'aplicació
- Els intervals
i
són equipotents:
l'aplicació
és bijectiva. - En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de
qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
- Sien dos reals a, b tals que a < b, i els intervals
- Essent un conjunt Ω, el conjunt
de les seves parts és equipotent al conjunt
de les funcions
.
Per provar-ho, s'associa a tota part A de Ω la seva funció característica
definida així: per a tot element x de Ω, χA(x) = 1 si
i χA(x) = 0 si
.
L'aplicació
és bijectiva : si f és una funció
i si es defineix
, és clar que A es l'única part de Ω tal que χA = f.
- Segons un teorema clàssic de Cantor, l'argument diagonal de Cantor), el conjunt
dels enters naturals no és equipotent al conjunt
dels reals. Més generalment, un conjunt Ω no és equipotent al conjunt
de les seves parts.
[edita] Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinits
[edita] Conjunts equipotents a un conjunt finit
Si E és un conjunt finit, els conjunts equipotents a E són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que E.
[edita] Conjunts equipotents a un conjunt infinit
Tot conjunt equipotent a un conjunt infinit és també infinit. Però se sap d'ençà del segle XIX, per les obres de Georg Cantor, que hi ha conjunts infinits que no són equipotents, valent a dir que no tenen la mateixa cardinalitat (cf. ací a sobre).
[edita] Vejau també
- bijecció
- nombre cardinal
- teoria dels conjunts

