Conjunt tancat

De Viquipèdia

En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.

Taula de continguts

[edita] Definició d'un conjunt tancat

En un espai mètric, un conjunt és tancat si conté tots els punts de la seva vora; és a dir, cadascun dels punts d'acumulació del conjunt són també punts del conjunt.

De manera més abstracta, donat un espai topològic (X,τ), un conjunt C\subseteq X és tancat si el seu complementari X\setminus C és obert sota la topologia τ.

[edita] Exemples de conjunts tancats

  • Qualsevol conjunt finit de punts en la recta real.
  • L'interval tancat [a,b] dels nombres reals és tancat: el seu complementari (-\infty,a)\cap(b,+\infty) és un obert.
  • El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals.

[edita] Propietats dels conjunts tancats

  • Qualsevol intersecció d'un arbitrari nombre de conjunts tancats és tancat.
  • Qualsevol unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat.
  • El conjunt buit i el conjunt complet són tancats.

La propietat de la intersecció permet definir la clausura d'un conjunt A dins un espai X, denotat ā, com el subconjunt tancat de X més petit i que inclou A. Concretament, la clausura del conjunt A es construeix amb la intersecció de tots els possibles conjunts tancats que inclouen A.

Altres propietats d'interès són:

[edita] Vegeu també