Middelværdi
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Middelværdi har to betydninger:
- Gennemsnittet af en række tal. Dette er den normale fortolkning på hverdagsdansk.
- Forventningsværdien af en stokastisk variabel. Denne betydning bruges indenfor sandsynlighedsregning og statistik.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Gennemsnit
Gennemsnittet af en række tal er summen af tallene divideret med antallet af tal. Matematisk skrives det, at gennemsnittet af tallene
er:

[redigér] Forventningsværdi
Inden for statistik er forventningsværdien (eller middelværdien) lig det sande gennemsnit for en stokastisk variabel. Man skelner mellem forventningsværdien og gennemsnittet: Gennemsnittet (benævnt
) gælder for en enkelt stikprøve med et endeligt antal værdier, mens forventningsværdien (benævnt E(x)) er det sande gennemsnit. Hvis man gentager et stokastisk eksperiment uendeligt mange gange, forventer man at gennemsnittet af gennemsnittene bliver lig forventningsværdien. Gennemsnittet af en stikprøve er et estimat af hvad forventningsværdien er.
[redigér] Udregning af forventningsværdi
En kontinuert stokastisk variabel X med sandsynlighedstæthedsfunktionen f siges at have en middelværdi, hvis integralet

er endeligt. I bekræftende fald defineres middelværdien som værdien af integralet

Hvis der er tale om en diskret variabel, hvor sandsynligheden for udfaldet xi er pi, er forventningsværdien givet ved:

Eksempelvis kan man regne forventningsværdien for en ærlig sekssidet terning (som lander på hver af siderne med lige stor sandsynlighed). Her er alle sandsynlighederne
lig 1/6 og udfaldene
er tallene 1 til 6.
![\begin{align}
\operatorname{E}(X)& = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6}
+ 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\\[6pt]
& = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5
\end{align}](../../../math/7/7/f/77f287f7e8118186042f50cb70021fd2.png)
[redigér] Regneregler for forventningsværdier
Følgende regneregl gælder for forventningsværdier (hvor X er en stokastisk variabel og a og b er konstanter):

Hvis man har to stokastiske variable X og Y, gælder:

Hvis X og Y er stokastisk uafhængige, gælder desuden:


