Nilpotent matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I matematikken og i særdeleshed i lineær algebra er en nilpotent matrix en n×n kvadratisk matrix M, hvor

Mq = 0

for et naturligt tal q, hvor 0 betegner nulmatricen. På samme måde er en nilpotent transformation en lineær transformation L med Lq = 0 for et naturligt tal q.

Der er specielle tilfælde af et mere generelt nilpotensbegreb, der ikke kun gælder for matricer og lineære transformationer men for alle elementer i ringe.

[redigér] Eksempler

Betragt matricen

 
\begin{bmatrix} 
  0 & 1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.

Den er et eksempel på en 4×4 nilpotent matrix. Bemærk ikke-nul-indgangene i superdiagonalen. Den karakteristiske egenskab ved denne matrix fremstår af potensopløftningen, idet


N^2 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 1 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 1\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
                 \end{bmatrix} 

;\ 
N^3 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 1\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix}

;\ 
N^4 =  \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix}.

Superdiagonalen 'rykker en tak op', indtil man til sidst opnår nulmatricen.

Den tilhørende nilpotente transformation L : R4R4 er defineret ved:

 L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0). \,

[redigér] Egenskaber

Lad M være en n×n nilpotent matrix.

  • Det mindste heltal q, der opfylder, at Mq = 0 er mindre end eller lig med n.
  • Egenværdierne af M er alle nul. Faktisk gælder, at en matrix er nilpotent, hvis og kun hvis dens egenværdier er nul.
  • Det karakteristiske polynomium af M er λn.
  • Determinanten og sporet af M er begge nul.
  • Enhver streng øvre trekantsmatrix og streng nedre trekantsmatrix er nilpotent.

[redigér] Klassifikationssætning

Ovenstående eksempel er typisk, som det følgende resultat viser. Enhver nilpotent er kongruent til en blokdiagonalmatrix

 \begin{bmatrix} 
   N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 
   0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\
   0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & N_k 
\end{bmatrix},

hvor blokkene Ni har ettaller på superdiagonalen og nultaller alle andre steder:

 N_i = \begin{bmatrix} 
   0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0
\end{bmatrix}.
organisation