Bruger:Shitthehell

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

[redigér] Konvergente følger

Vi ser på en følge:  0 , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} ... \frac{n-1}{n}

Vi kan se, at denne nærmer sig 1, fordi tælleren altid vil være større end nævneren. Vi kan samtidig se, at jo større n bliver, jo tættere kommer vi på 1. Dette kalder vi at følgen konvergerer mod 1, som kaldes grænseværdien a.


I en konvergent følge kan man afsætte den vilkårlige afstand ε på y-aksen, som er lige stor over og under det tal følgen konvergerer mod. For at følgen skal være konvergent, må dens værdier på et givent tidspunkt, N, efterfølgende ikke komme udenfor ε , og afstanden mellem et tal i følgen og det tal følgen konvergerer mod, vil til sidst gå mod 0.


Definition:

Følgen \begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix} konvergerer mod tallet a, \begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix}\rightarrow a

når der for alle ε > 0, findes et tal N \in \mathbb{N}

således at \begin{vmatrix}a_n-a\end{vmatrix} < ε for alle n \ge N

Eksempel Vi så på følgen  0 , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} ... \frac{n-1}{n} og postod at den konvergerede mod grænseværdien 1

Nu kan vi undersøge om dette er rigtigt:

an = (n-1)/n

\begin{vmatrix}a_n - a\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac{n-1}{n}- 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
  (1-\frac{1}{n})-1
\end{vmatrix}
 =

 = \begin{vmatrix} - \frac {1}{n}\end{vmatrix} =\frac {1}{n} 


Vi skal så vise at uanset hvilket ε > 0, så kan vi finde et N \in \mathbb{N} således at \begin{vmatrix}a_n - a\end{vmatrix}= 1/n <  \epsilon når nge N. Vi bestemmer at n er et naturligt tal således at 1/N<ε :


\lim_{n\rightarrow } f(z)=f(z_0)


[redigér] Konvergente følger

Vi ser på en følge:  0 , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} ... \frac{n-1}{n}

Vi kan se, at denne nærmer sig 1, fordi tælleren altid vil være større end nævneren. Vi kan samtidig se, at jo større n bliver, jo tættere kommer vi på 1. Dette kalder vi at følgen konvergerer mod 1, som kaldes grænseværdien a.

I en konvergent følge kan man afsætte den vilkårlige afstand ε på y-aksen, som er lige stor over og under det tal følgen konvergerer mod. For at følgen skal være konvergent, må dens værdier på et givent tidspunkt, N, efterfølgende ikke komme udenfor ε , og afstanden mellem et tal i følgen og det tal følgen konvergerer mod, vil til sidst gå mod 0.


Definition:

Følgen \begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix} konvergerer mod tallet a, \begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix}\rightarrow a

når der for alle ε > 0, findes et tal N \in \mathbb{N}

således at \begin{vmatrix}a_n-a\end{vmatrix} < ε for alle n \ge N

Eksempel Vi så på følgen  0 , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} ... \frac{n-1}{n} og postod at den konvergerede mod grænseværdien 1

Nu kan vi undersøge om dette er rigtigt:

an = (n-1)/n

\begin{vmatrix}a_n - a\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac{n-1}{n}- 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
  (1-\frac{1}{n})-1
\end{vmatrix}
 =

 = \begin{vmatrix} - \frac {1}{n}\end{vmatrix} =\frac {1}{n} 


Vi skal så vise at uanset hvilket ε > 0, så kan vi finde et N \in \mathbb{N} således at \begin{vmatrix}a_n - a\end{vmatrix}= 1/n <  \epsilon når nge

organisation