Bruger:DanielSofie

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

[redigér] Lemma 1

Cauchy-følgen {xn} har en delfølge {xnk} som konvergerer mod x, ergo konvergerer {xn} også mod x.

Bevis

Lad delfølgen {xnk} konvergere mod x. Følgen {xn} som{xnk} er delfølge af, konvergerer mod x, derfor er det givet at uanset hvilket ε > 0, findes et N \in \mathbb{N} således, at | xxn | < ε \forall n \ge N.

På ovenstående skitse ses en Cauchy-følge med en delfølge (de sorte prikker), som konvergerer mod x. På skitsen står ε/2 i stedet for ε, da dette får betydning senere i beviset. Vi kalder det stykke indenfor ε for pølsen.

Eftersom {xnk} konvergerer mod x, så findes der et K, således at | xxnk | < ε/2 \forall k \ge K.

Dette er stedet, hvor delfølgen kommer indenfor pølsen.

Eftersom {xn} er en Cauchy-følge, findes der desuden et M således at | xnxm | < ε/2 \forall n,m \ge M.

Dette er stedet, hvor afstanden mellem de enkelte punkter er mindre end ε/2. Følgende er en skitse af dette.

Det største af K og M kaldes N. Altså når de begge er opfyldt.

Idet n \ge N,og | xxn | < ε. Vi skal vælge et k, der er så stort, at nk \ge N.

Fra ovenstående fås følgende

| xxn | = |xxnk + xnkxn|

Ifølge trekantsuligheden, som siger, at |c+d|\le |c|+|d|, er dette

| xxn | \le | xxnk | + | xnkxn | < ε/2 + ε/2 = ε, idet |xxnk| < ε/2, hvilket var kravet til k og |xnkxn| < ε/2, hvilket var kravet til m.

Det ses, at | xxnk | er mindre end ε/2, netop fordi k\ge K og at | xxn | er mindre end ε/2, da m\ge M.

Herudfra kan konkluderes, at følgen konvergerer mod x

dvs. |xxn| < ε

\blacksquare

organisation