Bruger:Rafaldo

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

For to konvergente følger hvor det gælder at \lim_{n \to \infty}a_n = A, \left \{ a_n \right \} \rightarrowA og \lim_{b \to \infty}b_n = B, \left \{ b_n \right \} \rightarrowB vil vi bevise at det gælder at:

(I)\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n) = A+B, \left \{ a_n+b_n \right \}\rightarrow A+B

(II)\lim_{n \to \infty}(a_n*b_n) = A*B, \left \{ a_n*b_n \right \}\rightarrow A*B

[redigér] (I)

For ethvert ε>0 findes et tal N \in\mathbb{N}, så |an + bn - (A+B)| < ε ifølge trekantsuligheden, |c+d|\le |c|+|d|, giver det os: |an + bn - (A+B)|\le |anA | + | bnB |


vi ved at \left \{ a_n \right \} \rightarrowA og derfor må der findes et N1 så:

|a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} for alle n \ge N_1 da vi selv fastsætter ε og dermed uden problemer kan fastsætte det til \frac{\epsilon}{2}. og dermed må der også findes et N2 for b:

|b_n-B|<\frac{\epsilon}{2} for alle n \ge N_2 vælger vi nu det største tal af N1 og N2 vil begge følger ligge inden for \frac{\epsilon}{2}, og dermed har vi bevist at følgerne multipliceret vil ligge indenfor ε og dermed at \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n) = A+B

[redigér] (II)

Når vi har et ε>0, så må der findes et N \in\mathbb{N} sådan at |anbnAB | = | (anbnanB) + (anBAB) | Igen benyttes trekantsuligheden og får fra (I):

|(a_nb_n-a_nB)+(a_nB-AB)\le|a_nb_n-a_nB|+|a_nB-AB|=|a_n|*|b_n-B|+|B|*|a_n-A|

Som i (I) vil vi vise at hvert af leddene <\frac{\epsilon}{2*|B|}|a_n|*|b_n-B| og |B|*|anA | er mindre end \frac{\epsilon}{2} når vi gør n stort nok. Vi starter med det simpleste led, |B|*|anA | . Hvis |B| = 0 er der intet at vise, så vi definere at |B| \neq0. Da det gælder at \lim_{n \to \infty}a_n = A må vi dermed kunne finde et N1 \in\mathbb{N} sådan at |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2*|B|} når n\ge N_1 og dermed også at:

|B|*|anA | < \frac{\epsilon}{2}

Det andet led, | an | * | bnB | , kan behandles som det første, dog er det lidt mere kompliceret da | an | ikke er konstant. Vi ved imidlertid da \lim_{n \to \infty}a_n = A at der må derfor findes et N2 \in\mathbb{N}| an | < | A | + 1 når n \ge N_2. Dette bruger vi sammen med \lim_{b \to \infty}b_n = B og ved at der må være N3 \in\mathbb{N}|b_n-B|<\frac{\epsilon}{2*|A|+1} når n\ge N_3. Lader vi n > N_2\cap N_3 får vi følgende udtryk:

|a_n|*|b_n-B|<(|A|+1)*\frac{\epsilon}{2*|A|+1}

Reduceret bliver det:

|a_n|*|b_n-B|<(|A|+1)*\frac{\epsilon}{2}

Sammenfatter vi beviset giver det os:

|a_nb_n-AB|\ge|a_n|*|b_n-B|+|B|*|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon

organisation