Bruger:DanielSofie
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
[redigér] Lemma 1
Cauchy-følgen {xn} har en delfølge {xnk} som konvergerer mod x, ergo konvergerer {xn} også mod x.
Bevis
Lad delfølgen {xnk} konvergere mod x. Følgen {xn} som{xnk} er delfølge af, konvergerer mod x, derfor er det givet at uanset hvilket ε > 0, findes et N
således, at | x − xn | < ε
n
N.
På ovenstående skitse ses en Cauchy-følge med en delfølge (de sorte prikker), som konvergerer mod x. På skitsen står ε/2 i stedet for ε, da dette får betydning senere i beviset. Vi kalder det stykke indenfor ε for pølsen.
Eftersom {xnk} konvergerer mod x, så findes der et K, således at | x − xnk | < ε/2
k
K.
Dette er stedet, hvor delfølgen kommer indenfor pølsen.
Eftersom {xn} er en Cauchy-følge, findes der desuden et M således at | xn − xm | < ε/2
n,m
M.
Dette er stedet, hvor afstanden mellem de enkelte punkter er mindre end ε/2. Følgende er en skitse af dette.
Det største af K og M kaldes N. Altså når de begge er opfyldt.
Idet n
N,og | x − xn | < ε. Vi skal vælge et k, der er så stort, at nk
N.
Fra ovenstående fås følgende
| x − xn | = |x − xnk + xnk − xn|
Ifølge trekantsuligheden, som siger, at |c+d|
|c|+|d|, er dette
| x − xn |
| x − xnk | + | xnk − xn | < ε/2 + ε/2 = ε, idet |x − xnk| < ε/2, hvilket var kravet til k og |xnk − xn| < ε/2, hvilket var kravet til m.
Det ses, at | x − xnk | er mindre end ε/2, netop fordi k
K og at | x − xn | er mindre end ε/2, da m
M.
Herudfra kan konkluderes, at følgen konvergerer mod x
dvs. |x − xn| < ε


