Vektor (geometri)
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
| Svært stof Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning. |
For alternative betydninger, se Vektor.
En vektor er i geometrien objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning. En sådan vektor er et specialtilfælde af de vektorer der er elementer i vektorrum. Geometriske vektorer anvendes inden for bl.a. fysikken til at beskrive eksempelvis kræfter, hastigheder og acceleration.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Notation
En vektor kan noteres på mange forskellige måder. Alle de nedenstående måder at repræsentere en vektor på ses hyppigt.
Som fortalt har en vektor både størrelse og retning. Umiddelbart kan dette omskrives på to måder. Hvis du fx har en vektor, med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x-aksen) skriver du:
Men når man regner med flere vektorer samtidigt, er denne notation upraktisk. Der findes derfor en anden notation, opskrevet på matrixform. Her opfatter man vektoren som en retvinklet trekant, og angiver hvor langt den når hen ad x-aksen og hvor langt den når hen ad y-aksen.
Hvis du har en vektor opskrevet på den første måde, og ønsker at omskrive den til matrix-form, gøres det således:
En vektor i rummet, repræsenteres på samme måde, og det viser sig at mange af beregningsmetoderne er stort set identiske for rumlige vektorer. Første "lighed" er måden hvorpå man opskriver vektoren. Her tilføjer man blot en ekstra koordinat:
[redigér] Længde af vektor
Når du har opskrevet en vektor på matrix-form, skal du bruge en bestemt formel til at finde vektorens længde. Eftersom man faktisk kan opfatte en vektor som et retvinklet trekant, kan man bruge Pythagoras til at bestemme vektorens længde. En vektors længde er noteret som:
Formlen for en todimensional vektors længde er givet ved:
Prikken under kvadratrodstegnet angiver et såkaldt prikprodukt, defineret for vektorer, og ikke et gangetegn som man ellers kan forveksle det med. Se eventuelt definitionen på prikproduktet længere nede. Denne notation er som regel underforstået når prikken står mellem to vektorer. Bemærk at vektoren naturligvis ikke kan have en negativ længde.
Det viser sig ved hjælp af lignende betragtninger at stort set det samme gør sig gældende for tredimensionale vektorers længde, nemlig at:
[redigér] Addition af vektorer
Når du skal lægge to vektorer sammen (svarer til at finde den resulterende kraft), får du en ny vektor, der kaldes sumvektoren. Denne er normalt benævnt med
. Hvis du har to vektorer:
og 
Lægges de sammen på denne måde:
Hvis du har tre eller flere vektorer lægges de sammen, efter samme princip (x koordinaterne lægges sammen og y koordinaterne lægges sammen). Akkurat de samme fremgangsmåder benyttes for vektorer i tre og for den sags skyld højere dimensioner.
[redigér] Subtraktion af vektorer
Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog opfatter man vektorers differens som:
At man skriver
betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som:
Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden ved at sige:
Grundet lighederne med addition, er principperne ligeledes de samme for vektorer af vilkårlig dimension.
[redigér] Skalering af vektor
Når man fordobler en vektors længde, ganger man x-koordinatet og y-koordinatet med skaleringsfaktoren. Formlen er givet ved:
Man kalder også dette for skalarmultiplikation af en vektor. Skalaren n ganges altså på hvert af koordinaterne i vektoren. Her til højre ses to tilfælde, når henholdsvis n=2 og n=-1. Bemærk dog at regnereglen gør sig gældende for alle reelle tal, og ikke blot heltal. Samme formel benyttes for vektorer af højere dimensioner.
Når skalaren n er ganget på vektoren a vil vektoren nu have længden
. Herudover vil vinklen i forhold til vandret være bevaret, såfremt n er positiv. I tilfælde af at n skulle være negativ vil vinklen være forskubbet 180 grader.
[redigér] Tværvektor
Tværvektoren er den vektor der står vinkelret på
drejet mod urets retning. Denne bliver til tider også kaldet hat-vektoren, da den noteres som
. Tværvektoren er af gode grunde kun defineret for vektorer i planen, og altså ikke vektorer i rummet. Den gode grund er at der vil være uendeligt mange vektorer som står vinkelret på en vektor i rummet, da man jo blot kan dreje vektoren en anelse hvorved man har en ny tværvektor.
Man kan relativt let overbevise sig selv at tværvektoren til en vektor
er givet ved
, om ikke andet ved at tegne vektorerne.
[redigér] Prikprodukt
- Uddybende artikel: Skalarprodukt
Prikproduktet mellem to vektorer er principielt anvendeligt for vektorer af en vilkårlig dimension, og altså ikke blot geometriske vektorer. Prikproduktet noteres ofte ved en almindelig prik, som kan forveksles med et gangetegn, men da to vektorer ikke kan ganges sammen er der imidlertid ikke noget at tage fejl af. Nogle steder i litteraturen er prikken dog gjort ekstra stor, så der slet ikke er nogen tvivl om hvad der menes. For det n-dimensionale tilfælde ser prikproduktet ud på denne måde:
Resultatet af prikproduktet altså et tal! For geometriske vektorerer gælder der ydermere at prikproduktet har følgende egenskab:
[redigér] Krydsprodukt
- Uddybende artikel: Krydsprodukt
Krydsproduktet er defineret udelukkende for rumlige vektorer, og noteres ved et kryds: ×. Måden hvorpå krydsproduktet beregnes er en smule omfattende, da det kræver beregning af hele tre determinanter. "Formlen" for krydsproduktet mellem to vektorer angivet nedenfor.
Bemærk at vektorproduktet giver en vektor som resultat! Når man har beregnet dette krydsprodukt bliver man til gengæld også belønnet med en vektor som står vinkelret på det plan som de to oprindelige vektorer udspænder. Herudover har denne nye vektor også den egenskab at længden af den angiver arealet af det parallellogram som vektorerne udspænder. Til sidst kan størrelsen af krydsproduktet også benyttes til at bestemme vinklen mellem de to vektorer. Dette foregår på følgende måde:
| Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |



















