Gabriels horn

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Gabriels horn (eller Torricellis trumpet) er en matematisk figur med et endeligt rumfang, men uendeligt overfladeareal. Den blev opfundet af Evangelista Torricelli. Navnet referer til Ærkeenglen Gabriel, der efter sigende skulle blæse i hornet ved Dommedag, hvorved det guddommelige forbindes med det uendelige.

Illustration af den venstre ende af Gabriels Horn
Illustration af den venstre ende af Gabriels Horn

[redigér] Matematisk

Gabriels horn er den figur der fremkommer når man drjer grafen for y= \frac {1}{x} for  x \ge {1} 360 grader omkring x-aksen. Ved brug af infinitesimalregning kan rumfanget og overfladearealet beregnes:

V(a) = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)
A(a) = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a

a kan være et hvilket som helst tal. Ved større værdier af a vil rumfanget nærme sig π. Når a bliver uendelig stor vil rumfanget nærme sig uendeligt tæt mod pi:

\lim_{a \to \infty}V(a)=\lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi

Overfladearealet vil ved store værdier af a blive uendelig stor:

\lim_{a \to \infty}A(a)=\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a =\infty
organisation