Cosinusrelation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Sider og vinkler i en retvinklet trekant

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning bruges:

{a^2} = {b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A}
{b^2} = {a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B}
{c^2} = {a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C}

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter som den på billedet.

For at bruge formlen til noget nyttigt skal man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange vinkler hvis cosinus er lig med en given størrelse, men da vinkelsummen i en trekant altid er 180°, er det kun den såkaldt principale løsning (som altid ligger mellem 0 og 180°) der giver mening i trekantberegninger.


[redigér] Bevis

Bevis for cosinusrelationerne
Bevis for cosinusrelationerne

For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linien fra vinlen A til siden a = højden (h).

[redigér] Bevis for cosinusrelationen b2 = c2 + a2 - 2a * c * cos(B):

Med pythagoras får man af den grå trekant: (a - x)2 + h2 = b2 <=> h2 = b2 - (a - x)2.

Og tilsvarende af den anden trekant: h2 + x2 = c2 <=> c2 - x2 = h2.

Nu er h2 isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:

c2 - x2 = b2 - (a - x)2.

Nu skal b2 isoleres, derfor får man: b2 = c2 - x2 + (a - x)2.

Paranteserne i denne ligning udregnes: b2 = c2 - x2 + a2 - 2ax + x2

Dette reduceres til: b2 = c2 + a2 - 2ax.

Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.

Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b2 = c2 + a2 - 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.

Dvs. b2 = c2 + a2 - 2ax <=> b2 = c2 + a2 - 2a * c * cos(B).

Nu er beviset færdigt.

De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.

[redigér] Se også

organisation