Bruger:Rafaldo
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
For to konvergente følger hvor det gælder at
= A,
A og
= B,
B vil vi bevise at det gælder at:
(I)
= A+B, 
A+B
(II)
= A*B, 
A*B
[redigér] (I)
For ethvert ε>0 findes et tal N
, så |an + bn - (A+B)| < ε ifølge trekantsuligheden, |c+d|
|c|+|d|, giver det os: |an + bn - (A+B)|
|an − A | + | bn − B |
vi ved at
A og derfor må der findes et N1 så:
for alle n
da vi selv fastsætter ε og dermed uden problemer kan fastsætte det til
. og dermed må der også findes et N2 for b:
for alle n
vælger vi nu det største tal af N1 og N2 vil begge følger ligge inden for
, og dermed har vi bevist at følgerne multipliceret vil ligge indenfor ε og dermed at
= A+B
[redigér] (II)
Når vi har et ε>0, så må der findes et N
sådan at |anbn − AB | = | (anbn − anB) + (anB − AB) | Igen benyttes trekantsuligheden og får fra (I):

Som i (I) vil vi vise at hvert af leddene
og |B|*|an − A | er mindre end
når vi gør n stort nok. Vi starter med det simpleste led, |B|*|an − A | . Hvis |B| = 0 er der intet at vise, så vi definere at |B|
0. Da det gælder at
= A må vi dermed kunne finde et N1
sådan at
når
og dermed også at:
|B|*|an − A | < 
Det andet led, | an | * | bn − B | , kan behandles som det første, dog er det lidt mere kompliceret da | an | ikke er konstant. Vi ved imidlertid da
= A at der må derfor findes et N2
så | an | < | A | + 1 når n
. Dette bruger vi sammen med
= B og ved at der må være N3
så
når
. Lader vi n >
får vi følgende udtryk:

Reduceret bliver det:

Sammenfatter vi beviset giver det os:


