Varians

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Varians er et begreb inden for sandsynlighedsregning og statistik, der angiver variabiliteten af en stokastisk variabel. Mens middelværdien angiver det niveau, som den stokastiske variabels værdier typisk ligger på, er variansen et mål for, hvor meget disse værdier typisk afviger fra middelværdien.

Variansen for en stokastisk variabel X er defineret som

\mbox{Var}(X) = \mbox{E}\left((X-\mbox{E}(X))^2\right)

hvor E(X) angiver middelværdien af den stokastiske variabel. Det kan let vises, at

\mbox{Var}(X) = \mbox{E}(X^2) - \left(\mbox{E}(X)\right)^2

Spredningen σ af en stokastisk variabel er defineret som kvadratroden af variansen, dvs.

\sigma = \sqrt{\mbox{Var}(X)}

[redigér] Empiriske størrelser

Hvis man har et datasæt bestående af observationerne x_1,\ldots,x_n og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt den empiriske varians s2. Denne er givet ved

s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}

hvor \bar{x} er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og n er antallet af observationer.

Den empiriske spredning s er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

[redigér] Regneregler for varians

Variansen af en stokastisk variabel ganget med en konstant er lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2. potens. Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor X er en stokastisk variabel, og a og b er konstanter):

\mbox{Var}(a \cdot X + b) = a^2 \cdot \mbox{Var}(X)

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange deres kovarians. Hvis X og Y er to stokastiske variable med kovarians Cov(X,Y) skrives det:

\ \mbox{Var}(X+Y) = \mbox{Var}(X) + \mbox{Var}(Y) + 2\mbox{Cov}(X,Y)

Hvis X og Y er stokastisk uafhængige bliver kovariansen nul, og udtrykket kan reduceres til

\ \mbox{Var}(X+Y) = \mbox{Var}(X) + \mbox{Var}(Y)

[redigér] Se også

Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.
organisation