Cauchy-følge

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

En Cauchy-følge er en følge af reelle tal, hvis elementer konvergerer, hvilket vil sige, at for et endeligt følgeafsnit, kan vi finde den maksimale afstand mellem to efterfølgende elementer i følgen.
Matematisk siges dette, at hvis der for en følge, \alpha = (a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots), af reelle tal gælder, at der for ethvert positivt reelt ε findes et naturligt tal N, så | aman | < ε for alle n,m > N, så er α en Cauchy-følge.

Benytter man sig af et generelt metrisk rum, med den tilknyttede afstandsfunktion d, kan vi erstatte | aman | med d(am,an).

Det matematiske koncept Cauchy-følger er navngivet efter matematikeren og franskmanden Augustin Louis Cauchy. Cauchy-følgerne bruges bl.a. i en af metoderne til at konstruere de reelle tal.

[redigér] Basale definitioner og egenskaber

En følge (an) af reelle tal, a_n \in \mathbb R for alle n \in \mathbb N, kaldes en Cauchy-følge, såfremt den opfylder, at
\forall \epsilon \in \mathbb R_+, \exist N \in \mathbb N, \forall m,n \in \mathbb N : m, n > N \Rightarrow d(a_m, a_n) .
Her betegner d afstandsfunktionen i det givne metriske rum.

Det kan således vises, at såfremt en følge α er konvergent, er den en Cauchy-følge.

organisation