Indre produkt
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Et indre produkt er i matematikken en funktion f: V×V → R hhv. f: V×V → C, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien f(u, v) skrives dog normalt ⟨u, v⟩.
Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:
- Bilineær: ⟨ru + sv, w⟩ = r⟨u,w⟩ + s⟨v, w⟩ og ⟨u, rv + sw⟩ = r⟨u,v⟩ + s⟨u, w⟩.
- Symmetrisk: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.
- Tro: ⟨v, v⟩ ≥ 0 og ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0.
Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.
Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på Rn, defineret ved
- u • v = ∑ uivi,
hvor u = (u1, u2, ..., un) og v = (v1, v2, ..., vn).
I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:
og
.
.
og
.
Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.
Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et euklidisk vektorrum.
| Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |

