Naturlig logaritme
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Den naturlige logaritme, ln er logaritmen med grundtallet e
, for hvilken der gælder at

for alle relle værdier af t. Den naturlige logaritme er dermed den inverse funktion af eksponentialfunktionen.
Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes logn(x), hvor n repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen ln(x) for den naturlige logaritme. Visse steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, log(x) til at betegne den naturlige logaritme.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Definition
Den naturlige logaritme i punktet a > 0 er defineret som integralet af funktionen 1 / x fra 1 til a
.
[redigér] Regneregler
Definitionen understøtter følgende vigtige regneregel for logaritmer:
hvilket kan vises ved at benytte substitutionen
som vist her
De følgende to regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen:
Derudover gælder også:
[redigér] Differentiation og integration
Differentialkvotienten af ln(x) er givet ved følgende:
hvilket følger umiddelbart af definitionen.
Det ubestemte integral af ln(x) er givet ved
[redigér] Rækkerepræsentationer
Maclaurinrækken for funktionen ln(1 + x) kaldes Mercators række og er givet ved
Foretages substitutionen
, finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:
Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.
Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen
skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken
Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for
og
findes da
Dette er en interessant række, idet argumentet (1 + x) / (1 − x) antager alle mulige positive reelle værdier for | x | < 1. Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for ln(x) gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer
kan vi udtrykke x(t) som
Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme
som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring x = 1, som vist i figuren.
[redigér] Specielle værdier
Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at
Indsættes x = 1 i Maclaurin rækken for ln(1 + x) fremkommer den alternerende harmoniske række












konvergerer mod
for et stigende antal led 











konvergerer mod 










