Resurgència
De Viquipèdia
En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, a la data del 6 de desembre 1918, la demanda si fou possible que una sèrie de potències

representant una funció diferent de
, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat γ al voltant de ξ0 i, a la fi de la continuació, prengués la forma
és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?
[edita] La solució de Lewy
En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada (vegeu A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).
Es consideri la funció:
h és holomorfa per
i pot ser continuada analíticament als semiplans
, de la manera següent: sigui
tal que
i fem
.
Escrivem, per a
,
Aquesta darrera integral, que anominem I2, ha de ser calculada sobre la corba
definida en posar γ(t): = Reiθ.
Hom ha
per a unes constantes reals positives C1, C2 i α, doncs I2 tendeix a 0 quan
.
Així per a
hom ha
però aquesta darrera integral convergeix en
i doncs hi defineix una continuació analítica de h. Repetem el procediment N vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de h al semiplà
; doncs h pot ser continuada analíticament a tot punt
.
Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí
, obtenim, designant
l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de z = 1) després una volta completa, ![\hat h(z) = \int_{\mathbb R^+} exp \left[-e^{2\pi i}z t-(\log t+2\pi i)^2/4\pi i \right]\, dt=](../../../math/1/e/8/1e8aff4384a08eab139ad20a15883db6.png)
![= \int_{\mathbb R^+} exp \left[-zt- \displaystyle \frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi i\log t}{4\pi i } \right]\, dt=](../../../math/4/7/f/47ff1fa38a231b54941a7a212d7419c5.png)
![=\int_{\mathbb R^+} exp \left[ \displaystyle -zt -e^{2\pi i} t-(\log t)^2/4\pi i - \pi i+ \log t \right]\, dt=](../../../math/8/d/7/8d7e260583c7b0f0c3aa3e193c97b8e7.png)
![= \int_{\mathbb R^+} (-t) exp \left[-zt-(\log t)^2/4\pi i \right]\, dt= h^{\prime}(z).](../../../math/3/f/8/3f8e241b22155da9b146192d44c12a7d.png)
Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.
![h(z)=\int_{\mathbb R^+}exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t- \frac{\log( e^{- i\eta} e^{i\eta} t)^2}{4\pi i } \right] \, dt](../../../math/a/6/9/a69f9c4f6b6c1614d8fdfc8920224cda.png)
![=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du](../../../math/a/7/2/a72df0a256e4e6983fd9f57bd4d74d4a.png)
![=\lim_{R \to\infty} \left\{ \int_0^{R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du+\right.](../../../math/2/5/b/25b185d254b024f3524900acda1ca738.png)
![\ \qquad \left. + \int_{\gamma_R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du\right\}.](../../../math/3/7/b/37bbd0342c6bf9def720c9822d471984.png)

