Mètode de Newton
De Viquipèdia
En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algoritme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.
Taula de continguts |
[edita] Història
El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions al 1736. Tot i que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum al 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit al 1671.
[edita] El mètode
Suposem que la funció
és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval
, o sigui
. I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que
és la solució si
.
Sigui
una aproximació a la solució
tal que
. Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a
al voltant de
, tindrem: 
Però com que
, aquesta anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma:
.
En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme
serà menyspreable, i que:
,
i aïllant
:
,
que ha de ser una millor aproximació cap a
. Anomenem
a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de
, que es pot escriure de la forma:
, amb
.
[edita] Imatge gràfica
L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim al autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins arribar a una aproximació que es dóna per bona. En el cas de la gràfica, a partir de
, s'anirà trobant la successió
, fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de
.
[edita] Observacions
La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor
inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està en saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.
[edita] Exemple
Suposem que es vulgui trobar un valor de la
que fa que
. Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.
La derivada de la funció és:
, sempre és >0.
Es pot agafar com a valor d'inici:
.
I d'aquí:




Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.
[edita] Algoritme
Algoritme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
x1=V: real; /V=aproximació inicial.
Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
fer
mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
x0=x1;
x1=x0-func(x0)/deriv(x0);
n=n-1;
fi mentre;
si n>0
SORTIDA=x1;
altrament
SORTIDA=ERROR;
fi si;
fi procés;
[edita] Generalització
Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables
.
Si designem per
la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:
.
Expressió que recorda força l'anterior.

