Έλλειψη - Βικιπαίδεια

# Έλλειψη

### Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Σχήμα μιας έλλειψης όπου φαίνονται τα βασικά της στοιχεία.

Έστω δύο σημεία E1,E2 σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και ένας θετικός αριθμός α > γ. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από τα σημεία E1,E2 έχουν άθροισμα ίσο με 2α.

Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, αφού για E1 = E2 ανάγεται σε αυτόν.

## [Επεξεργασία] Βασικές έννοιες

Τα σημεία E1,E2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος E1E2 ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β, β2 = α2 − γ2. Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο E1AO (βλ. σχήμα).

Ο αριθμός ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και δηλώνει πόσο 'στενή' 'η 'πλατιά' είναι η έλλειψη. Για έχουμε κύκλο, ενώ για ε κοντά στο 1 μία 'μακρόστενη' έλλειψη.

## [Επεξεργασία] Εξισώσεις της έλλειψης

### [Επεξεργασία] Κανονική μορφή

Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι αξονές της είναι πάνω στους άξονές του.

Σε Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζεται ως:

με .

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι:

με παράμετρο το .

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:

### [Επεξεργασία] Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν Για έχουμε παράλληλη μετατόπηση, ενω για έχουμε και στροφή.

## [Επεξεργασία] Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο του επιπέδου. Η ευθεία

ονομάζεται πολική ευθεία του P. Το P ονομάζεται πόλος της ευθείας.

- Αν το P είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο P.

- Έστω P ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης.Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του P είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

- Έστω P ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τοτε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

## [Επεξεργασία] Ιδιότητες

### [Επεξεργασία] Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης P. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία E1PE2. Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρησουμε την εστία E1 ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την E1 και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την E2.

### [Επεξεργασία] Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα α σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθη προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους 2α και 2αcosφ.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθη προβολή κύκλου.

### [Επεξεργασία] Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδων που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

## [Επεξεργασία] Χαρακτηριστικά μεγέθη

To εμβαδό της έλλειψης ισούται με

Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με

To ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα και δε μπορεί να εκφρασετεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

Ανακτήθηκε από "http://el.wikipedia.org../../../%CE%AD/%CE%BB/%CE%BB/%CE%88%CE%BB%CE%BB%CE%B5%CE%B9%CF%88%CE%B7.html"

Κατηγορίες: Γεωμετρία

##### Views

- Άρθρο
- Συζήτηση
- Τελευταία έκδοση

##### Αναζήτηση

##### Άλλες γλώσσες

- Afrikaans
- العربية
- Български
- Català
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- English
- Esperanto
- Español
- Suomi
- Français
- Galego
- עברית
- Magyar
- Interlingua
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- ქართული
- 한국어
- Lietuvių
- Latviešu
- Nederlands
- Norsk (nynorsk)
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Runa Simi
- Русский
- Sicilianu
- Simple English
- Slovenčina
- Slovenščina
- Svenska
- தமிழ்
- Türkçe
- Українська
- 中文