# Avoin joukko

### Wikipedia

Joukon A osajoukko B on avoin joukko, jos jokaisella B:n pisteellä on ympäristö, joka sisältyy B:hen.

Esimerkiksi jos A on kaikkien reaalilukujen joukko R ja B on sellaisten reaalilukujen x joukko jotka ovat välillä 1<x<2 niin B on avoin joukko (reaaliakselin "tavallisessa" topologiassa). Jokaiselle B:n alkiolle a on nimittäin voimassa 1<a<2, jolloin a-1 ja 2-a ovat positiivisia etäisyyksiä päätepisteistä. Valitsemalla luku h yhtäsuureksi kuin lyhyempi näistä etäisyyksistä ja asettamalla r=h/2 nähdään että a:n r-säteinen ympäristö U(a;r) eli ne pisteet x joille a-r<x<a+r ovat kokonaan B:ssä. Tällaista väliä B merkitään tavallisesti ]1,2[ ja sitä sanotaan avoimeksi väliksi. Piste a on joukon B sisäpiste. Avoimen joukon jokainen piste on määritelmän mukaan sisäpiste.

Reaaliakselin topologiassa jokainen avoin joukko muodostuu numeroituvasta joukosta erillisiä avoimia välejä. Tässä on syytä huomata että avoimen välin päätepiste voi olla myös äärettömyydessä. Esimerkiksi väli ]-,5[ eli joukko ja väli ]-2,[ eli joukko ovat avoimia välejä tavallisessa topologiassa.

Avoin väli ]a,b[ on siis niiden reaalilukujen joukko jotka ovat a:n ja b:n välissä. Sen sijaan päätepisteet a ja b eivät kuulu ko. väliin. Jos myös päätepisteet kuuluvat väliin kyseessä on suljettu väli. Sitä merkitää [a,b]. Suljettu väli on eräs suljettu joukkokuten avoin väli on eräs avoin joukko.

Sekä avoin että suljettu joukko ovat kuitenkin vain eräitä erikoisia joukkoja. Kaikki joukot eivät kuulu kumpaankaan näistä ryhmistä. Esimerkikksi puoliavoin väli [a,b[ (samoin kuin ]a,b]) ei ole sen kummemmin avoin kuin suljettu joukko.

| Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../a/v/o/Avoin_joukko.html

Luokat: Matematiikkatyngät | Topologia

##### Views

- Artikkeli
- Keskustelu
- Nykyinen versio

##### Etsi

##### Muilla kielillä

- Català
- Česky
- Deutsch
- English
- Español
- Esperanto
- Français
- Íslenska
- Italiano
- עברית
- Nederlands
- 日本語
- Polski
- Português
- Svenska
- 中文