# Analyysi

### Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee matemaattista analyysiä. Käsite- yms. filosofisesta analyysistä katso filosofinen analyysi.

Analyysi on matematiikan osa-alue, joka käsittelee reaalilukuja ja kompleksilukuja ja niiden funktioita. Sen tavoitteena oli alun perin kehittää jatkuvuuteen liittyville käsitteille eksaktit matemaattiset määritelmät. Siinä tutkitaan muun muassa jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

## [muokkaa] Historia

Analyysi sai alkunsa 1600-luvulla, Newtonin ja Leibnizin toisistaan riippumattomista keksinnöistä. 1600-luvulla ja 1700-luvulla analyysin aiheet kuten variaatiolaskenta, differentiaaliyhtälöt, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, Fourier'n analyysi ja generoivat funktiot kehitettiin enimmäkseen käytännön sovelluksia varten. Analyysin tekniikoita käytettiin menestyksekkäästi approksimoitaessa diskreettejä ongelmia jatkuvilla vastineillaan.

Koko 1700-luvun ajan funktion määritelmä oli väittelyn kohteena matemaatikkojen keskuudessa. 1800-luvulla Cauchy oli ensimmäinen, joka antoi analyysille tarkan loogisen pohjan määrittelemällä Cauchy-jonon. Hän myös aloitti formaalin funktioteorian tutkimisen. Poisson, Liouville, Fourier ja muut tutkivat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ja harmonista analyysiä.

Vuosisadan puolivälissä Riemann esitteli hänen integroimisteoriansa. 1800-luvun viimeisellä kolmanneksella Weierstrass aritmetisoi analyysin. Hän luuli, että geometrinen perustelu oli luonnostaan harhaanjohtava ja esitteli ε-δ-määritelmän raja-arvolle. Sitten matemaatikot alkoivat huolestua siitä, että he olettivat reaalilukujen jatkumon olemassaolon ilman todistusta. Dedekind sittemmin konstruoi reaaliluvut Dedekindin leikkauksen avulla. Tuolloin yritykset parantaa Riemann-integroinnin teoreemoja johti reaalifunktioiden epäjatkuvien joukkojen "koon" tutkimiseen.

Myös "hirviöitä" (ei-missään jatkuvia funktioita, jatkuvia, mutta ei-missään derivoituvia funktioita, avaruuden täyttäviä käyriä) alettiin kehittää. Sen vuoksi Jordan kehitti mittateoriansa, Cantor kehitti naiivin joukko-opin, ja Baire todisti Bairen lauseen. 1900-luvun alussa analyysi formalisoitiin käyttämällä joukko-oppia. Lebesgue kehitti mittateoriansa ja Hilbert esitteli Hilbert-avaruuden, jonka avulla voitaisiin ratkaista integraaliyhtälöitä. Normitetun vektoriavaruuden ajatus oli jo olemassa, ja 1920-luvulla Banach loi funktionaalianalyysin.

## [muokkaa] Osa-alueet

Analyysi jakautuu nykyään seuraaviin osakohteisiin:

- Reaalianalyysi tutkii reaaliarvoisten funktioitten derivaattoja ja integraaleja. Tämä sisältää muun muassa raja-arvon, potenssisarjan ja mitan käsitteet.
- Funktionaalianalyysi tutkii funktioavaruuksia, tunnetuimpina esimerkkeinä Banach-avaruus ja Hilbert-avaruus.
- Harmoninen analyysi käsittelee Fourier-sarjoja ja niiden teorioita.
- Funktioteoria tutkii funktioita kompleksitasolta kompleksitasolle, jotka ovat kompleksisesti derivoituvia.
- Epästandardi analyysi tutkii hyperreaalilukuja ja niiden funktioita ja antaa täsmällisen määritelmän infinitesimaaleille ja äärettömän suurille luvuille.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../a/n/a/Analyysi.html

Luokka: Analyysi

##### Views

- Artikkeli
- Keskustelu
- Nykyinen versio

##### Etsi

##### Muilla kielillä

- العربية
- Corsu
- Deutsch
- English
- Español
- Esperanto
- Français
- 한국어
- Italiano
- עברית
- Latina
- Lëtzebuergesch
- Lietuvių
- Nederlands
- 日本語
- Polski
- Português
- Русский
- Shqip
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- 中文