User:Szelcsillag/tmp

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

an = an − 1d, ha n > 1

a_1, a_2, a_3 \dots a_n, a_{n+1} \dots akkor és csak akkor számtani sorozat, ha an + 1an = d állandó, \forall n \in N^+-ra.

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

a_{n+1}=a_n+d, \forall n \in N^+

[szerkesztés] Elnevezések

A sorozat különbségét differenciának nevezzük, szokásos jelölése: d.

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha d > 0
  • A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha d < 0
  • A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha d = 0

[szerkesztés] Példák

első tag különbség a sorozat pár tagja
0 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
0 2 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
1 2 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
101 -20 101, 81, 61, 41, 21, 1, -21, ...
- 2,1 -1,01 -3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16;

Legyen a számtani sorozatban: a1 = 3 a differenciája: d = 3, akkor a sorozat: 3; 6; 9; 12; …

[szerkesztés] A számtani sorozat n-edik eleme

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

a_n = a_1 + (n-1)\cdot d.

Ha n > i, akkor

a_n=\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}.

Ez speciálisan i = 1 esetén azt jelenti, hogy a számtani sorozat egy eleme a szomszédos tag számatni közepe.

[szerkesztés] Számtani sorozat első n tagjának összege

[szerkesztés] Érdekesség

  • Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, stb., ami összesen 50\cdot 101 = 5050-et eredményez (lásd a számtani sorozatokat és az összegzést). Több információ a témában itt található:[1]. 1

1.) A wikipedia.hu Carl Friedrich Gauss szócikkéből

[szerkesztés] Források