Számelméleti függvények

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.


Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis f: \ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} alakú függvényekről van szó.

Rengetegféle ilyen függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány neve (ha van) és jele:

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Példák

(\mathbb{P} jelölje a prímszámok halmazát: \mathbb{P} \ := \ \left\{ \ p \in \mathbb{N} | \ p>1 \and \forall d \in \mathbb{N} \left( d|p \ \Rightarrow \ \left( d=1 \or d=p \right) \ \right) \ \right\}

[szerkesztés] Egész értékű számelméleti függvények

jel név (nevek) jelentés definitív képlet(ek)
d(n) osztószám-függvény az argumentum osztóinak száma \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};
d(n) := | \{k \in \mathbb{N} \ | \ k|n \} | :=
d0
d | n
σ(n) osztóösszeg-függvény (szigma-függvény) az argumentum osztóinak összege \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d
σx(n) osztóhatványösszeg-
függvény
az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; σx(n) : = \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{x} (x∈R)
P(n) osztószorzat-függvény az argumentum osztóinak szorzata \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ P(n) \ := \ \prod_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d
ν(n) nű-függvény az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva) -
χ(n) khí-függvény az argumentum különböző prímtényezőinek száma \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};
χ(n) := | \{p \in \mathbb{P} \ | \ p|n \} | := \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{p|n} \\ \mbox{ }_{p \in \mathbb{P}}\end{matrix} } p^{0}
φ(n) Euler-függvény (fí-függvény) az argumentumhoz relatív prím, nála kisebb pozitív egészek száma NN;
φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n) Möbius-függvény (mű-függvény) egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény \mathbb{N}^{+} \rightarrow \left\{ -1, 0, 1 \right\};
\mu\ (n) : = \begin{cases}     1, & \mbox{ha } n=1; \\     (-1)^{\chi (n)}, & \mbox{ha } n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)}; \\     0, & \mbox{ha} \ \exist p \in \mathbb{P}: \ p^{2}|n \mbox{.} \\    \end{cases}
π(n) diszkrét prímszámláló függvény az argumentumnál nem nagyobb prímek száma NN; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n) lnko-összeg-függvény az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege g(n) \ := \ \sum_{i=1}^{n} (n,i) [1]

[szerkesztés] Valós értékű számelméleti függvények

  • A Λ(n) von Mangoldt-függvény: \Lambda(n) \ := \  \begin{cases} \ln p & \mbox{ha } \ \exists \left( p, k \right) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}^{+} : \ n = p^{k} ; \\ 0 & \mbox{egy} \acute{e} \mbox{bk} \acute{e}\mbox{nt.} \end{cases}

[szerkesztés] Komplex értékű számelméleti függvények

  • A Riemann-féle zétafüggvény
  • Ha pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.

[szerkesztés] Fontosabb fogalmak

  • additivitás és multiplikativitás
  • Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)
  • Bell-sorozat

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Jegyzetek

  1. Itt (n,i) az n,i számok legnagyobb közös osztóját jelöli

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Más nyelveken