Teichmüller–Tukey-lemma
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Lemma
Legyen H egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy
pontosan akkor, ha A minden véges részhalmaza eleme H-nak. Ekkor minden
esetén van maximális
elem.
[szerkesztés] Bizonyítás
Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a
részbenrendezett halmazt, ahol P az A-t (részhalmazként) tartalmazó H-beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például A eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden P-beli L láncnak van felső korlátja. Legyen tehát L lánc. Vegyük az összes L-beli halmaz K egyesítését. Elég belátnunk, hogy
, hiszen nyilvánvalóan tartalmazza L minden elemét. H végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy K minden véges része H-beli. Legyen tehát
. K definíciója miatt vannak
L-beli halmazok, hogy
. Mivel L lánc, ezek valamelyike, mondjuk An tartalmazza a többit. De ekkor
, azaz véges részhalmaza egy H-beli halmaznak, tehát H végességi tulajdonsága miatt maga is H-beli.
[szerkesztés] Alkalmazásai
A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.
[szerkesztés] Ekvivalens állítások
A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:
- kiválasztási axióma
- Zorn-lemma
- Hausdorff–Birkhoff-tétel
- jólrendezési tétel
- Tyihonov-tétel
[szerkesztés] Története
Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.
[szerkesztés] Hivatkozások
- Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
- Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
- Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
- Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940


Based on work by