Transzfinit indukció
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A transzfinit indukció a teljes indukció általánosítása megszámlálható számosságoknál nagyobb végtelen számosságok esetére is. Széleskörű alkalmazhatóságát a jólrendezési tételnek, illetve az ezzel ekvivalens kiválasztási axiómának köszönheti.
[szerkesztés] A transzfinit indukció tétele
Tétel. Legyen
tetszőleges jólrendezett halmaz és legyen hozzárendelve az A halmaz minden
eleméhez egy Ai állítás. Ha valahányszor minden
elemre az Aj állítás teljesül, mindannyiszor az Ai állítás is teljesül, akkor minden
állítás teljesül.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy valahányszor minden
elemre teljesül az Aj állítás, mindannyiszor az Ai állítás is teljesül, és tegyük fel, hogy létezik olyan
, hogy az Al állítás nem teljesül. Legyen
a legkisebb olyan Al hogy az Al állítás nem teljesül. Ekkor minden minden
elemre teljesül az Aj állítás, ezért a tétel feltevése értelmében az Ak állítás is teljesül, ami ellentmondás.
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954

