Várható érték

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az (\Omega, \mathcal A, \bold P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó várható értéke

\int_\Omega X \, d \bold P,

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor X-nek nincs várható értéke. Az X valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényének ismeretében egy másik - a fentivel ekvivalens - módon is felírhatjuk a várható értéket:

\int_{-\infty}^{+\infty} X \, dF(x).

Az X valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

\bold E (X),  \; \bold E X,  \; \mathbb E (X), \; \mathbb E X, \; \bold M (X),  \; \bold M X.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változókra

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

  • Ha X abszolút folytonos valószínűségi változó (azaz ha van sűrűségfüggvénye, amit most f(x)-szel jelölünk), akkor az X várható értékét az
\bold E (X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \, dx
egyenlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ez az integrál létezik és véges.
  • Ha X diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek megszámlálható halmazt képeznek. Jelölje ezeket az értékeket most x1, x2, ... , xi, ..., a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre p1, p2, ... , pi, ... . Az X várható értékét az
\bold E (X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_ip_i
egyenlet adja meg. Az diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ez a sor abszolút konvergens.


[szerkesztés] A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága

  • Nemnegatív valószínűségi változó várható értéke - amennyiben létezik - szintén nemnegatív.
  • A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értlemezett valószínűségi változók terén, azaz ha X és Y azonos valószínűségi mezőn értlemezett valószínűségi változók, akkor bármely a, bR esetén
\bold E (aX+bY) = a \bold E (X) + b \bold E (Y).
(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál lineáris leképezés a mértéktéren értelmezett mérhető függvények terén.)
  • Független valószínűségi változók esetében a várható érték multiplikatív, azaz ha X és Y független valószínűségi változók, akkor
\bold E (XY) = \bold E (X) \bold E (Y).

[szerkesztés] Megjegyzések

  • Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.
  • A matematikai statisztika megkülönböztet elméleti és tapasztalati várható értéket. Az előbbi egybesik az ebben a szócikkben bemutatott várható értékkel, míg az utóbbi lényegében a statisztikai mintából számított átlag.

[szerkesztés] Források

  • Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. - Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. - Szeidl L. - Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.