Cauchy-sorozat
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchyról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Legyen (X,d) metrikus tér. Ekkor az
sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden
-hoz van olyan N, hogy minden
esetén
.
[szerkesztés] Kapcsolódó definíciók
Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens
[szerkesztés] Példák
A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.
Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.
Például:
- A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,...), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális
értékhez tart (Newton-módszer). - Az exponenciális, szinusz és koszinusz függvények, exp(x), sin(x), cos(x), minden x≠0 racionális szám esetén irracionális, bár egy olyan sorozat határértékével vannak definiálva, melynek minden értéke racionális (az x=0 pontban vett Taylor-sorukkal).
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Minden Cauchy-sorozat korlátos.
- Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.


Based on work by