Teljes indukció
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Teljes indukciónak (vagy matematikai indukciónak) egy bizonyítási módszert nevezünk. A teljes indukció a matematika szinte minden ágában használható.
A módszer segítségével tulajdonképpen egyszerre végtelen sok állítást lehet bizonyítani. A végtelen sok állítást sorba kell rendeznünk (vagyis csak megszámlálhatóan végtelen sok állítás bizonyítható ily módon), majd az így kapott sorozat első állítását igazoljuk. Ezután következik a lelke a teljes indukciónak, az indukciós lépés. Ez annak az állításnak a bizonyítását jelenti, hogy ha feltesszük, hogy az n-edik állítás igaz, akkor abból következik az n+1-edik állítás igazsága is.
A teljes indukció nagyobb számosságokra való általánosítása a transzfinit indukció.
A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik. Ekkor bizonyította Francesco Maurolico Arithmeticorum libri fuo című művében, hogy az első n páratlan szám összege n2.
[szerkesztés] Példa
Egy példa alapján könnyebben megérthető a módszer. Legyen ez a Maurolico által bizonyított állítás, vagyis hogy az első n páratlan szám összege éppen n2. Képlet formájában:
.Ez tehát az állítás minden pozitív egész n-re, amit be kell látnunk.
Az első lépés, hogy ellenőrizzük az állítást n = 1-re.
Ekkor a baloldalon mindössze egy tagja van az összeadásnak, az 1. A jobboldalon pedig 12 áll, vagyis igaz az állítás, hiszen 1 = 12.
A második lépés pedig az indukciós lépés. Tegyük fel tehát, hogy az állítás igaz n = k-ra. Ez azt jelenti, hogy
.
Be kellene látni, hogy ekkor az állítás teljesül n = k + 1-re is. A baloldal n = k + 1 esetén:
. Azért írjuk ilyen alakban, hogy jól látható legyen, hogy hol lehet felhasználni az indukciós feltevést. Ekkor ugyanis
.Vagyis az állítás teljesül n = k + 1-re is. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
[szerkesztés] Külső hivatkozások
Részletesebb meghatározása a teljes indukciónak ábrákkal és feladattal


Based on work by