Vita:Hilbert-féle illeszkedési tér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Részstruktúra

Legyen \mathfrak{H} := \left( P, \mathcal{E} , \mathcal{S}  \right) Hilbert-féle illeszkedési tér, és P'⊆P olyan ponthalmaz, amelynek számossága még 4-nél nagyobb. Legyen \mathcal{E}' := \left\{ x \sub P' \ | \  \exist y \in \mathcal{E} \left( x = y \cap P' \right) \right\} és \mathcal{S}' := \left\{ x \sub P' \ | \  \exist y \in \mathcal{S} \left( x = y \cap P' \right) \right\}. Ekkor \mathfrak{H}' := \left( P', \mathcal{E}' , \mathcal{S}' \right) is Hilbert-féle illeszkedési tér, melyet a \mathfrak{H} tér P' részhalmaza által generált Hilbert-féle illeszkedési térnek nevezünk.

[szerkesztés] A szimplex modellek

Érdekes ötlet, de attól tartok, rossz:

Ha adott egy n>3 elemű véges (pont)halmaz - legyen P :={ P1, P2, ..., Pn, }; ebből is mindig konstruálhatunk egy Hilbert-féle illeszkedési teret. Legyen \mathcal{E} \ := \ \left\{ x \sube P \ | \ |x| = 2 \right\} \sube \mathcal{P}(P) a P összes kételemű, és \mathcal{S} \ := \ \left\{ y \sube P \ | \ |y| = 3 \right\} \sube \mathcal{P}(P) a P összes háromelemű részhalmazának halmaza, eszerint | \mathcal{E} | = {n \choose 2} = \frac{(n-1)n}{2} db egyenes és | \mathcal{S} | = {n \choose 3} = \frac{(n-2)(n-1)n}{6} db. sík létezik.

Megjegyezzük, hogy a minimális modell is szimplex modell (n=4), továbbá, hogy a P végessége nem szükséges feltétel, a konstrukció ez esetben is Hilbert-féle illeszkedési teret ad; csak ez esetben nem szokás szimplex modellről beszélni.

A „szimplex” elnevezést az indokolja, hogy adott n esetén az itt leírt szimplex modell a legyegyszerűbb példája a Hilbert-féle illeszkedési tér fogalmának, nincs olyan tér, mely n pontot tartalmazna, s emellett kevesebb egyenest vagy kevesebb síkot, mint bármely más modell.

Felvetődik viszont a kérdés: ha ez így, ebben a formában nem igaz, akor milyen n-ekre létezik véges Hilbert-geometria és nem-izomorf módon hányféle stb. (az sh-atlasz szerint pl. létezik 9-rendű Hilbert-geometria, le is van rajzolva, ráadásul euklideszi illeszkedési térnek is tekinthető). Gubb     2006. június 28., 17:02 (CEST)

[szerkesztés] pontatlan axiómák

Véleményem szerint az egyik axióma pontatlanul van megfogalmazva:

(H4) Három (különböző) ponthoz egy és csak egy sík található, amely őket tartalmazza.

helyesen:

(H4) Három (különböző) nem egy síkba eső ponthoz egy és csak egy sík található, amely őket tartalmazza.

Köszönöm, 1). valóban pontatlan, de 2). sem pontosabb (valójában, logikai ellentmondás). ketten csak összehozzuk :-)) Gubb     2006. augusztus 14., 14:36 (CEST)