# Eloszlásfüggvény

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:

Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűségszámitási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt és a várható értéket. Az eloszlásfüggény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztáját a folytonos valószínűségi változók osztályát is.

## [szerkesztés] Az eloszlásfüggvény tulajdonságai

- Az eloszlásfüggvény egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását és viszont.
- Szemben a valószínűségi változókat jellemző többi függvénnyel (sűrűségfüggvény, karakterisztikus függvény, generátorfüggvény) eloszlásfüggénye minden valószínűségi változónak van.
- Bármely F(x) eloszlásfüggényre teljesül, hogy

    (a) monoton nem csökkenő
    (b) balról folytonos
    (c) a -∞-ben 0, a +∞-ben 1 a határértéke.
  Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá.

## [szerkesztés] Mértékelméleti általánosítás

Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0 mértékű részhalmazától) és Rn beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a

összefüggéssel definiált függvény. A valószínűségszámítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll - ami a definíciója miatt véges - az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az X valószínűségi változó áll - ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.

## [szerkesztés] Források

- Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
- Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
- Járai A. (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../e/l/o/Eloszl%C3%A1sf%C3%BCggv%C3%A9ny.html"

Kategóriák: Valószínűségszámítás | Mértékelmélet

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- Dansk
- Deutsch
- English
- Français
- Polski
- Português
- Русский
- Basa Sunda
- 中文