Poisson-eloszlás
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).
Nevét Siméon-Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűségszámítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ - vagy rövidebben: Poisson-eloszlású - pontosan akkor, ha

[szerkesztés] A Poisson-eloszlást jellemző függvények
Karakterisztikus függvénye
Generátorfüggvénye
[szerkesztés] A Poisson-eloszlást jellemző számok
.
.
- Harmad és negyedrendű centrált momentumai
[szerkesztés] Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága
- Poisson-eloszlású független valószínűségi változók összege is Poisson-eloszlású. Pontosabban ha X1 és X2 független Poisson-eloszlású valószínűségi változók λ1 és λ2 paraméterekkel, akkor X1 + X2 is Poisson-eloszlású λ1 + λ2 paraméterrel. Ugyanekkor X1 feltételes eloszlása X1 + X2 = n -re vonatkozóan n és λ1/(λ1 + λ2) paraméterű binomiális eloszlást követ.
- Az összegzésre vonatkozó összefüggés fordítottja is igaz. Pontosabban ha X1 + X2 is Poisson-eloszlású valamint tudjuk, hogy X1 és X2 független valószínűségi változók, akkor X1 és X2 is Poisson-eloszlású.
- Ha binomiális eloszlások olyan sorozatát vesszük, melyben az eloszlások n paramétere úgy tart a végtelenbe, hogy hogy közben az np szorzat konstans marad (p így nyilván a 0-hoz tart), akkor határeloszlásként Poisson-eloszlást kapunk.
[szerkesztés] Forrás
- Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
![\varphi (t) = e^{\lambda e^{it}-1} =\exp [\lambda (\exp (it)-1)]](../../../math/a/8/d/a8dd604e50797d6ac6b5340e526c4049.png)
![G(z) = e^{\lambda e^{z}-1} =\exp [\lambda (\exp (z)-1)] \,](../../../math/7/8/5/7853c5744d476ec020ee867ff91392e0.png)
![\bold E [(X -\bold E(X))^3] = \lambda](../../../math/5/2/a/52ad4badefef1a8656c47a20c7c2571d.png)
![\bold E [(X -\bold E(X))^4] = \lambda + 3 \lambda ^2](../../../math/4/f/7/4f7833786c23d3ad8b1aa4417fc6ab97.png)




Based on work by