Heaviside-függvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az ún. Heaviside-függvény (a műszaki életben gyakran: egységugrás-függvény) egy elemi egyváltozós valós függvény. A lépcsős függvények családjába tartozik, a szignumfüggvény egyszerű lineáris transzformáltja: kiszámolható, mint a független változó szignumának és az 1 konstansnak számtani közepe.
A függvényt a műszaki életben (pl. elektronika, vezérléselmélet, DSP, MNH- és általában MI-kutatás) is alkalmazzák. Gyakorta használják olyan szignálok leírására, melyek egy adott időponttól kezdve folyamatosan észlelhetőek. Általában H(x)-szel jelölik, de előfordul még a θ(x) és az u(x) jelölés is.
Angolszász nyelvterületen a Heaviside function (Heaviside-függvény) néven kívül nevezik unit step function-nak („egységugrás függvény”), illetve hard limit functionnak („éleshatár”-függvény). Ezek az elnevezések a magyar nyelvű szakmunkákban is gyakorta fellelhetőek.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Történetéről
A függvényt Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol mérnök-fizikus-matematikus vezette be az elektronikus áramkörökben mért áramerősség elméleti leírására.
Többféle konvenció alakult ki arra nézve, hogy a 0 szakadási helyhez tartozó H(0) értéket hogyan definiálják. Eredetileg a H(0) := 0,5 megállapodás volt használatos, és ma is ez a leggyakoribb; későbbi szerzők a H(0) = 0 vagy a H(0) = 1 megállapodással is élnek (ld.: Heaviside-függvénycsalád).
[szerkesztés] A Heaviside-függvény definíciói
![]()
|
A függvényt többek között esetszétválasztásos úton ([1]), vagy az ún. szignumfüggvény (sgn(x)) felhasználásával ([2]) lehet definiálni.
Értékei azonban infinitezimális (azaz határértékeket, pl. Riemann-integrált használó) úton is számolhatóak: a δ(t) Dirac-féle deltafüggvény általánosított Riemann-integrálásával, azaz ún. impropius integrálásával ([3]), illetve egy komplex függvénytani formulával ([4]).
[szerkesztés] A Heaviside-függvénycsalád
Hz(x): ℝ↦ℝ; Hz(x) := ![]() |
ahol z∈ℝ tetszőleges valós szám lehet.
Ezek közül leggyakrabban H0(x) (tehát melyre H0(0)=0) illetve a H1(x) (tehát melyre H1(0)=1) használatosak. Megvan az az előnyük, hogy elegendő csak kettős esetszétválasztással definiálni őket, és nem kell három esetet megkülönböztetni.
Pl.:
H0(x): ℝ↦ℝ; H0(x) := 
Mellesleg, H1(x): egyszerű lineáris transzformáltja H0(x)-nak:
H1(x): = -H0(-x)+1
Néha a Hz(x) jelölést a H(x-z), még inkább a H1(x-z) rövidítésére is használják; noha ily módon csak egy nagyon egyszerű lineáris transzformációt rövidítenek.
[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok
[szerkesztés] Nemnegativitás
A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz
∀x∈ℝ: H(x)≥0és
|H(x)| = H(x) .- Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív (hiszen 1), a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.
Ez a Hz(x) családnak csak azon tagjaira igaz, melyekre z≥0. Az x = 0 kivételével azonban a család összes többi tagja is mindenütt másutt nemnegatív.
[szerkesztés] Korlátosság
A teljes értelmezési tartományon korlátos, hiszen
∀x∈ℝ: |H(x)|≤1Az 1. definíció alapján ez nyilvánvaló, hiszen x>0 esetén a függvény legfeljebb 1, és így abszolút értéke is legfeljebb 1; x=0 esetén a függvény 1/2, míg x<0 esetén 0, és az utóbbi esetekben is kisebb 1-nél, de nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, s így abszolút értéke is kisebb mint 1.
A Hz(x) család többi tagjai is mind korlátosak, csak épp az abszolútérték korlátja nem 1, hanem |z| (hasonlóan bizonyíthatóan az előző gondolatmenethez), tehát:
∀x∈ℝ: |Hz(x)|<|z|[szerkesztés] Folytonosság
Nem folytonos, mert 0-ban szakadási helye (ráadásul nem megszüntethető szakadása) van, de 0-t kivéve az értelmezési tartomány összes többi pontjában folytonos. Összességében: majdnem mindenütt folytonos.
Ez igaz a Hz(x) család összes többi tagjára is.
[szerkesztés] Derivált
Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt a konstans 0 függvény, tehát
H'(x) = 0(x) = 0 ha x≠0 .(tehát a H(x) mint függvény deriváltja a 0(x) konstans 0 függvény, míg a H(x) x helyen felvett értéke a 0 szám).
Hiszen a függvény mindenütt konstans, tehát deriváltja, ahol csak létezik, 0. És a 0 helyet kivéve, minden más helyen létezik.
Azonban a deriváltfüggvényt a kibővített valós számok halmazán (ℝ∪{±∞}) értelmezve, a 0 helyen is létezik derivált, mégpedig a Dirac-deltafüggvény; mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞.
A deriváltra vonatkozó fenti megállapítások igazak a Hz(x) család összes többi tagjára is.
[szerkesztés] Integrál
Integrálja az ún. rámpafüggvény:

[szerkesztés] Fourier-transzformált
=
= 
Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény.
[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok
[szerkesztés] Iteráció-stabilitás
Az iterációra („önmagára való alkalmazásra”) nézve nem invariáns, ugyanis H<2>(x) második iteráltja nem önmaga, hanem
.Magasabb fokú iteráltjai azonban n = 3-tól kezdve már stabilizálódnak, a harmadik iterált már iteráció-invariáns, sőt iteráció-fix; a stabil iterált pedig a konstans 1 függvény:
(a nem túl egzakt 1(x) = 1 egyenlőség ama két állítást tömöríti, hogy az iterált függvény a konstans 1 függvény, ennélfogva a függvényértékek mindenütt az 1 számmal egyenlőek). Ezt úgy láthatjuk be, hogy az alábbi táblázatban sorról sorra kiszámítjuk az értékeket, minden oszlop értékei az előző oszlop megfelelő cellájában lévő érték H(x) szerinti képe.
| n | x>0 | x=0 | x<0 | H<n>(x) |
| 0 | x | x | x | idℝ |
| 1 | 1 | 1/2 | 0 | H(x) |
| 2 | H(1) = 1 |
H(1/2) = 1 |
H(0) = 1/2 |
![]() |
| 3 | H(1) = 1 |
H(1) = 1 |
H(1/2) = 1 |
1(x) |
| 4 | H(1) = 1 |
H(1) = 1 |
H(1/2) = 1 |
1(x) |
| ... | ||||
Ez igaz a Hz(x) család z>0 paraméterű tagjaira is. A z<0 negatív paraméterű tagok iteráltja nem stabilizálódik, hanem az n=1-rendű iterált (az eredeti függvény) és egy másik függvény (az n=2-rendű iterált) közt felváltva ingadozik.
[szerkesztés] Diszkrét Heaviside-függvény
Az értelmezési tartomány ℕ-re szűkítésével kapjuk a diszkrét Heaviside-függvényt:

ahol δ(k) a Kronecker-deltafüggvény.









Based on work by