Kváziaritmetikai közép
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Legyen I ⊆ R intervallum, a,b ∈ I valós számok, f : I
R intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az a és b számok f-re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, Af -fel jelölt szám:

Hasonlóan, ha adottak az x1,x2,...,xn ∈ I számok, akkor ezek f-re vonatkozó függvényközepe

Az f függvényt lehetséges a közép generátorfüggvényének is nevezni.
- Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető más objektumokra is, mint a valós számok; pl. vektorokra. Ekkor azt kell föltenni, hogy f értelmezési tartománya Rn egy összefüggő részhalmaza.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Tulajdonságok
[szerkesztés] Jóldefiniáltság
Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett f két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor
és 
az f (a) és f (b) illetve az legkisebb f(xi) és legnagyobb f(xi) közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f -1 értelmezve van rajtuk.
[szerkesztés] Összefüggés az absztrakt átlagokkal
Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdondonságait, úgysmint:
A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:
- Cauchy középérték-axiómája: [1]:

Hiszen ha m -mel jelöljük az xi -k közül a legkisebbet és M -mel a legnagyobbat, akkor teljesül m ≦ xi ≦ M. Ha f szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f(xi) ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyan irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szig. mon. csökken, akkor m ≦ xi ≦ M -ből f(M) ≦ f(xi) ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.
- Szimmetria-axióma:
, ha a x1,x2,...,xn elemrendszernek y1,y2,...,yn egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja
Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.
[szerkesztés] Egyéb tulajdonságok
Ha m -mel jelöljük az xi -k közül a legkisebbet, akkor
akkor és csak akkor teljesül, ha x1 = x2 = ... = xn.
Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor Af(x,x,...,x) =
=
=
= x). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az f(xi) = yi jelöléssel
, ahol valamely i-re yi = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f(xi) számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az yi-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f(xi)-k egyenlők, akkor az xi-k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.
Ez m helyett az M maximummal is igaz.
- Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.
[szerkesztés] A Kolmogorov–Nagumo-tétel
A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):
Legyen
zárt intervallum;
olyan függvény, amely
- Rögzített i-re folytonos;
- Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
- Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
- Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
- teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást [2]: M(x1, x2, ... , xn) = M(x, x, ... , x, xk+1, xk+2, ... , xn); ahol x = M(x1, x2, ... , xn), és 1<k<n-1 és 1<n.
E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben [3].
De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek - az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti [4].
Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg [5].
[szerkesztés] Példák
(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló - noha nem feltétlenül korlátos - intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).
| generátor- függvény (f) |
értelmezés intervalluma | közép képlete (M(x1x, ...,x1x)) |
közép elnevezése |
| x | R = (-∞ +∞) |
![]() |
számtani közép |
| x2 | R+0 = [0; +∞) |
![]() |
négyzetes közép |
| x-1 | R+ = (0; +∞) |
![]() |
harmonikus közép |
| xα (α∈R\{0}) |
R+0 = [0; +∞) |
![]() |
α paraméterű/kitevőjű hatványközép (Hölder-közép) |
| logv(x) (v∈R+\{1}) [6] |
R+ = (0; +∞) |
![]() |
mértani közép |
| eαx (α∈R\{0}) | R = [-∞; +∞) |
![]() |
exponenciális közép |
[szerkesztés] Általánosítások
A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen f az R egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen n&isinN+, ekkor az n-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:
,ahol w = (w1, w2, ... , wn) ∈ (0,1)n és
.
Kolmogorov, Nagumov és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk [7].
[szerkesztés] Hivatkozások
[szerkesztés] Lásd még
- Kvázi-hatványközép
[szerkesztés] Jegyzetek
- ↑ Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I. kötet; Analyse algébrique, (Debure, Paris, 1821).
- ↑ Az asszociativitás ezen értelmezését Giulio Bemporad vezette be 1926-ban (Sul principio della media aritmetica), Atti Accad. Naz. Lincei (6) 3; 1926; 87–91.; 87. old.)
- ↑ Stanisława és Walenty Ostasiewicz: Means and their applications
- ↑ Bruno de Finetti: Sul concetto di media, Giorn. Ist. Ital. Attuari (3); 2 (1931) (369.-396.); old.
- ↑ A súlyozott kvázi-aritmetikai középértékek jellemzése - kurzusleírás a Debreceni Egyetem Informatika Kara honlapján
- ↑ A generált közép a logaritmus alapszámától függetlenül a mértani közép lesz.
- ↑ A súlyozott kvázi-aritmetikai középértékek jellemzése - kurzusleírás a Debreceni Egyetem Informatika Kara honlapján
[szerkesztés] Egyéb források
- Réffy Júlia: Közepek és egyenlőtlenségek. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények), „Műhelysarok” rovat; XIV. köt. 1. sz. 2005./máj.; 61.-70.
- Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt: Functional equations involving means and their Gauss composition
- Gheorge Thoader: Complementary means and double sequences
- Jean-Luc Marichal: On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom








Based on work by