Tetráció
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatvárnyozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.
A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:
- összeadás
- szorzás
- hatványozás
- tetráció
ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.
A szorzás (
) másképpen B darab A összeadva, és következésképpen a hatványozás (ab) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (
)így B darab A hatványozása.
Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

nem ugyanaz, mint
.
(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Jelölés
A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb),viszont a második esetet írhatjuk :
-nak is.
Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.
A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), példáull a következők:
- Standard jelölés: ba — először Maurer használta; Rudy Rucker (A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
- Knuth-nyilas jelölés:
— itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat - Conway-nyílláncolat:
— a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával. - hyper4 jelölés:
— a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.
Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük:
, azaz 
A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.
A tetrációra igazak a következők:

- monoton növekszik
- folytonos
[szerkesztés] Példák
(A tizedespontot tartalmazó értékek közelítőek).
| n = n↑↑1 | n↑↑2 | n↑↑3 | n↑↑4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 16 | 65,536 |
| 3 | 27 | 7.63×1012 | ![]() |
| 4 | 256 | 1.34×10154 | ![]() |
| 5 | 3,125 | 1.91×102,184 | ![]() |
| 6 | 46,656 | 2.70×1036,305 | ![]() |
| 7 | 823,543 | 3.76×10695,974 | ![]() |
| 8 | 16,777,216 | 6.01×1015,151,335 | ![]() |
| 9 | 387,420,489 | 4.28×10369,693,099 | ![]() |
| 10 | 10,000,000,000 | 1010,000,000,000 | ![]() |
A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványífüggvényeknél is, ha például a = 10:




(az egy googol)
(ez egy googolplex)- A függvény
-t x = 2.376 -nál lépi át: 
[szerkesztés] Kiterjesztés a második operandus kis értékeire
A
kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk
értékeit, ha
.

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint
egyszerűen n. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel logn0 nincs értelmezve.
Hasonlóan, mivel log11 sem értelmezett (
),a fenti következtetés nem működik, ha n = 1. Ezért
nek is értelmetlennnek kell maradnia. (A
kifejezés nyugodtan maradhat 1.)
Néha a 00 t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben
értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban
meghatározott és létezik:
Ez a határérték marad negatív n -eknél is.
eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha 00 = 1 (mivel a 0 páros.)
[szerkesztés] Komplex számok tetrációja
Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a a + bi formájú számokra, ahol i −1 négyzetgyöke. Például ha n = i, akkor
esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:
Ebből rekurzívan definiálhatjuk
-t, bármilyen
esetén:
Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol
a rendes hatványozás (tehát in).
A kapcsolat megfejtésével a várt
-t és
-t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a 0.4383 + 0.3606i határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol k végtelen.
Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.
[szerkesztés] Inverz
Az inverz függvényt hívják szupergyök- vagy hipergyökfüggvénynek, illetve szuper- vagy hiperlogaritmusnak is, a sloga minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett.
A sloga függvény eleget tesz a következőknek:
- slogaab = 1 + slogab
- slogab = 1 + slogalogab
- slogab > − 2
Példák:
- slog10 − 3 = − 1 + slog100.001 = − 1 + − 0.999 = − 1.999
- slog103 = log103 = .477

[szerkesztés] Végtelen hatványtornyok
2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

Általában az
végtelen hatványtorony e − e < x < e1 / e -hez tart. Tetszőleges valós r -re, ha 0 < r < e, legyen x = r1 / r ; ekkor a határérték r. Ha x > e1 / e , akkor nincs konvergencia (r1 / r maximuma e1 / e).
Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:
ahol W(z) Lambert W-függvényét jelöli.
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Hivatkozások
- Daniel Geisler, Tetration.net
- Daniel Geisler, Tetration.org
- Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (dátum nélkül, 2006os vagy régebbi) (A következő írás egyszerűbb, érthetőbb összefoglalása)
- Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (dátum nélkül, 2006os vagy régebbi).
- Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (Kötetlen hangvételű cikk a tetráció kiterjesztéséről a valós számokra)
- Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Kísérlet a valós számokra való kiterjesztésre)
- Ioannis Galidakis, Mathematics, (Hivatkozások a tetráció kutatására, sok információval a W függvényről, Riemann-felszínről és analitikai eredményekről.)
- Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
- Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function.
- Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (A sci.math-on feltett kérdések tárgyalása)
- Andrew Robbins, Home of Tetration (Egy végtelen pontosságú kiterjesztés a valós számokra)
- R. Knobel "Exponentials Reiterated." Amer. Math. Monthly 88, (1981), p. 235-252.
- Hans Maurer "Über die Funktion
für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50. - Reuben Louis Goodstein "Transfinite ordinals in recursive number theory." Journal of Symbolic Logic 12, (1947).




























Based on work by