Inverz függvény (analízis)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ebben a szócikkben az inverz függvények azon tulajdonságait tekintjük át, melyek a matematikai analízis szempontjából lényegesek. Az invertálható (injektív) függvények halmazelméleti tulajdonságait az inverz függvény szócikk tartalmazza.

[szerkesztés] Folytonos függvények inverzei

A legelső állítás, mely a topológia esetén már köthető az inverz függvényhez, az a folytonosság definíciója. Könnyen belátható ugyanis, hogy egy f, a T1 topologikus térből a T2 topologikus térbe képező függvény pontosan akkor folytonos, ha tetszőleges nyílt halmaz f általi ősképe (vagy inverz képe) szintén nyílt. Természetesen az inverz kép és az inverz általi kép nem ugyanaz a fogalom. Míg a HT2 halmaz

\{x\in T_1\mid f(x)\in H\}

ősképe mindig értelmezett, addig az inverz függvény általi

\{f^{-1}(y)\in T_1\mid y\in H\}

kép csak invertálható f függvény esetén. Persze ezesetben a két halmaz megegyezik.

Tétel – Ha a \mbox{ }_{(T_1,\mathfrak{T}_1)} és \mbox{ }_{(T_2,\mathfrak{T}_2)} topologikus terek között ható f : T1\rightarrowT2 függvény injektív és \mbox{ }_{\mathfrak{T}_1}-\mbox{ }_{\mathfrak{T}_2}-folytonos, akkor inverze nyílt leképezés.

Ettől még lehet \mbox{ }_{f^{-1}} folytonos is és nemfolytonos is.

Az inverz függvény folytonosságára a következő esetekben következtethetünk.

Tétel – Az intervallumon értelmezett, injektív, folytonos f:I\rightarrow\mbox{ }_{\mathbb{R}} függvény inverze folytonos.

Tétel – Az intervallumon értelmezett, szigorúan monoton f:I\rightarrow\mbox{ }_{\mathbb{R}} függvény inverze folytonos.

Az előbbi tételek lényegesen kihasználják, hogy a függvény intervallumon értelmezett és a valós számok halmazába képez. A többdimenziós megfogalmazás általános esetben nem végigvihető.

Érdemes még megemlíteni, hogy intervallumon értelmezett valós-valós függvények esetén az injektivitásból és a folytonosságból következik, hogy a függvény szigorúan monoton, ezért következik az injektivitásból az inverz folytonossága.

[szerkesztés] Differenciálható függvény inverze

TételAz inverz függvény deriváltja – Ha az invertálható, valós-valós f függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, \mbox{ }_{f^{-1}} differenciálható f(u)-ban és \mbox{ }_{f'(u)\neq 0}, akkor

(f^{-1})'(f(u))=\frac{1}{f'(u)}
Bizonyítás. Tudjuk, hogy a fenti f:H\rightarrow K bijektív függvényre az alábbi határérték létezik, véges és \mbox{ }_{f'(u)}\,-val egyenlő:
\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}}
f injektivitása és a határérték és a függvénykompozíció közös tulajdonságai miatt (az f(x)=y és \mbox{ }_{x=f^{-1}(y)} formális helyettesítéssel) fennáll:
\mbox{ }_{\lim\limits_{y\to f(u)}\frac{y-f(u)}{f^{-1}(y)-u}=f'(u)}
Mivel pedig \mbox{ }_{f'(u)}\, nem nulla, ezért a határérték reciproka is létezik:
\mbox{ }_{\lim\limits_{y\to f(u)}\frac{f^{-1}(y)-u}{y-f(u)}  =\frac{1}{f'(u)}}
Eszerint \mbox{ }_{(f^{-1})'(f(u))=\frac{1}{f'(u)}}.

Ha a tétel feltételei az f:H\rightarrow K bijektív valós-valós függvény értelmezési tartományának minden pontjára teljesülnek, akkor ezt még a következő egyenlőségekkel is kifejezhetjük:

\forall y\in K\;\;(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} illetve (f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}.

Az inverz differenciálhatóságának teljesülésére a következő elégséges feltételeket fogalmazhatjuk meg.

Tétel(lokális alak) – Ha az invertálható, valós-valós f függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, \mbox{ }_{f^{-1}} folytonos f(u)-ban és \mbox{ }_{f'(u)\neq 0}, akkor \mbox{ }_{f^{-1}} differenciálható f(u)-ban.

Bizonyítás. A differenciálhatóság Caratheodory-féle jellemzését fogjuk használni. Az f:H\rightarrowK függvény differenciálhatósága azt jelenti, hogy van olyan u-ban folytonos, u-ban \mbox{ }_{f'(u)}\, értéket felvevő \mbox{ }_{C^f_u}\, függvény, mellyel \mbox{ }_{f(x)=f(u)+C^f_u(x)\cdot(x-u)}\, teljesül minden xH-ra. Emiatt tetszőleges yK-ra egyértelműen létezik olyan xH, amire y=f(x), és így
\mbox{ }_{y=f(u)+C^f_u(f^{-1}(y))\cdot(f^{-1}(y)-u)}\,
teljesül. u-nak, a \mbox{ }_{C^f_u}\, u-beli folytonossága miatt és \mbox{ }_{f'(u)\neq 0} értéke miatt van olyan környezete K-ban, ahol \mbox{ }_{C^f_u}\, sehol sem nulla. Az \mbox{ }_{f^{-1}} függvény f(u) körüli pontjait ebbe a környezetbe képező pontjainak halmazán értelmezett
\mbox{ }_{C^{f^{-1}}_{f(u)}:=\frac{1}{C^f_u\circ f^{-1}}}
leképezés alkalmas lesz az inverz Caratheodory-féle függvényének, a következők miatt. Egyrészt az említett egyenlőség miatt fennáll az
\mbox{ }_{f^{-1}(y)=u+\frac{y-f(u)}{C^f_u(f^{-1}(y))}}
egyenlőség, másrészt \mbox{ }_{\frac{1}{C^f_u\circ f^{-1}}} folytonos az f(u) pontban a függvénykompozíció tényezőinek folytonossága folytán.

Tétel(globális alak) – Ha az intervallumon értelmezett f valós-valós függvény differenciálható és \mbox{ }_{f'\neq 0} (azaz a derivált sehol sem nulla), akkor szigorúan monoton és \mbox{ }_{f^{-1}} differenciálható.

Bizonyítás. Legyen f:I\rightarrow\mbox{ }_{\mathbb{R}} a fenti tulajdonságú függvény. \mbox{ }_{f'}\, mindenhol azonos előjelű, ugyanis ha egy zárt intervallum végpontjaiban ellenkező előjelű lenne, akkor e két érték között minden értéket, így a 0-t is felvenné, a Darboux-tétel miatt. Ez a \mbox{ }_{f'\neq 0} feltétel miatt azonban lehetetlen. Ekkor vagy mindenhol szigorúan monoton nő, vagy szigorúan monoton csökken, tehát injektív. Ilyen függvény inverze azonban mindenhol folytonos, így az előbb lokális alakban kimondott tétel miatt az inverz mindenütt differenciálható.

Ez a tétel lényegében az Inverzfüggvény-tétel egy elég erős feltételeket tevő globális megfogalmazása. Az Inverzfüggvény-tétel annak az elégséges feltételét fogalmazza meg, hogy egy differenciálható függvény mikor invertálható egy pont közelében.

[szerkesztés] Külső hivatkozások