Halmaz
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik. Annak ellenére, hogy ez a tudományág csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja, mivel minden, a matematika által vizsgált objektum végső soron halmaz. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.
A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Történet és áttekintés
- Fő szócikk: A halmazelmélet története
A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.
A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.
Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat
[szerkesztés] Főbb fogalmak
A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.
[szerkesztés] Halmazok egyenlősége
Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A = B.
Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:
- A = A; (reflexivitás)
- ha A = B, akkor B = A; (szimmetria)
- ha A = B és B = C, akkor A = C; (tranzitivitás)
[szerkesztés] Részhalmaz
Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak (vagy más szavakkal: a B halmaz tartalmazza az A halmazt), ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük: A⊆B. Az A halmazt a B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha A⊆B, és A≠B.
Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:
- A⊆A; (reflexivitás)
- ha A⊆B és B⊆A, akkor A = B; (antiszimmetria)
- ha A⊆B és B⊆C, akkor A⊆C; (tranzitivitás)
[szerkesztés] Üres halmaz
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük:
.
[szerkesztés] Hatványhalmaz
Tetszőleges A halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az A halmaz hatványhalmazának nevezzük, és P(A)-val jelöljük.
[szerkesztés] Halmazműveletek
[szerkesztés] Halmazok egyesítése és metszete
Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a∈A vagy a∈B, az A és B halmazok egyesítésének (más szóval úniójának) nevezzük, és így jelöljük: A∪B. Azt a halmazt pedig, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a∈A és a∈B, az A és B halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: A∩B.
Ha
, akkor az A és B halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.
Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:
- A∪A = A; (idempotencia)
- A∩A = A; (idempotencia)
- A∪B = B∪A; (kommutativitás)
- A∩B = B∩A; (kommutativitás)
- A∪(B∪C) = (A∪B)∪C; (asszociativitás)
- A∩(B∩C) = (A∩B)∩C; (asszociativitás)
- A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); (disztributivitás)
- A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C); (disztributivitás)
továbbá:
- A∪
= A - A∩
= 
[szerkesztés] Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége
Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy a∈A és a∉B, az A és B halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: A\B. Az (A\B)∪(B\A) halmazt pedig az A és B halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk.
[szerkesztés] Komplementer halmaz
Legyen adott valamely U halmaz. Ekkor tetszőleges A⊆U halmaz esetén az U\A halmazt az a A halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.
[szerkesztés] Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa
Tetszőleges a, b elemekre az {{a}, {a, b}} halmazt elempárnak nevezzük és (a,b)-vel jelöljük.
Vegyük észre, hogy tetszőleges a, b, c, d elemekre (a,b) = (c,d) akkor és csak akkor teljesül, ha a = c és b = d, azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.
Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az {(a,b)| a∈A, b∈B} elempárok halmazát az A és B halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: A×B. Ha A = B, akkor Descartes-hatványról beszélünk.
Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényes a következő állítás:
- A×(B×C) = (A×B)×C; (asszociativitás)
Vegyük észre, hogy a halmazok direkt szorzata nemkommutatív művelet.
[szerkesztés] Megfeleltetés, reláció
Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az A×B halmaz részhalmazait az A halmaz B halmazba történő megfeleltetéseinek nevezzük, és így jelöljük: ρ:A→B. Ha A = B, akkor relációkról beszélünk.
[szerkesztés] Parciális leképezés, leképezés
Legyenek A, B tetszőleges halmazok. A ρ:A→B A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden a∈A esetén legfeljebb egy olyan b∈B van, amire (a,b)∈ρ. A ρ:A→B A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező leképezésnek nevezzük, ha minden b∈A esetén pontosan egy olyan b∈B van, amire (a,b)∈ρ.
[szerkesztés] Halmazok számossága
Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt önmagába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.
Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges A halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely n∈N természetes számra létezik {1,...,n}→A bijekció.
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
- Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
- Hajnal, András & Hamburger, Péter Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 9631859983
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294


Based on work by