Lineáris leképezés
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval, vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha
- két vektor összegének képe, a két vektor képének összege és
- egy vektor számszorosának képe, a vektor képének ugyanezen számszorosa.
Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.
A geometriai szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések (pl. forgatás, nyújtás, merőleges affinitás), melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Linearitás
Ha tehát V és U a T test feletti vektortér, akkor az
: V
U leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1, v2 ∈ V vektorra illetve λ ∈ T elemre és v ∈ V vektorra:
additivitás
homogenitás
Ez még úgy is megfogalmazható, hogy
megtartja a lineáris kombinációt, azaz minden λ1, λ2, ... , λn T-beli elemre és v1, v2, ... , vn ∈ V vektorra:
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
,
,
,
,
, 
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy
: V
U egy T feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az
leképezés T-lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a C
C,
konjugálás ugyan R-lineáris, de nem C-lineáris.
A V
T típusú lineáris leképezéseket (a térből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.
Minden lineáris leképezés a 0 elemet a képtér 0 elemébe képezi. Ha
: V
U, akkor
[szerkesztés] Lineáris leképezések tere
Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában
-val vagy
-val jelölik.
A Hom rövidítés nyilván a vektortér homomorfizmusra utal.
A Hom(V;V) tér (V
V vektortér automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak, a kompozíció műveletével, mint szorzással.
Az Izo(V;V) tér, azaz a V
V lineáris bijekciók ezen kívül inverzelemes algebrát alkotnak. Ennek a térnek a multiplikatív csoportja a V-feletti lineáris csoport, azaz
.
Leképezések fajtái:
- Monomorfizmus. V
U injektív lineáris homomorfizmus. - Epimorfizmus. V
U szűrjektív lineáris homomorfizmus. - Izomorfizmus. V
U bijektív lineáris homomorfizmus. - Endomorfizmus. V
V injektív lineáris homomorfizmus. - Automorfizmus. V
V bijektív lineáris homomorfizmus.
[szerkesztés] Koordináta reprezentáció
[szerkesztés] Előírhatósági tétel
Ha
és
két V
U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1,b2,...,bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz
akkor a két elképezés azonosan egyértelmű, azaz
=
.
Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez véges térbe, a képtér n vektora egyértelműen meghatározza.
[szerkesztés] Leképezés mátrixa
Ha a képtér m dimenziós, akkor ez összesen n
m darab (szám)adat. Rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a koordinátamátrixa, melyen a következő n × m -es mátrixot értjük:
ahol B = (b1,b2,...,bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek
általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha
V
V típusú, akkor csak
-t szokás írni, ha pedig pusztán
-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Tn vektortér (például Rn) sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Ezzel a képvektorok koordinátáit a következő mátrixszorzással számíthatjuk ki:
[szerkesztés] Operátorműveletek és mátrixműveletek
A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.
- Kompozíció
- Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:
- Összeadás
- Skalárszoros



![[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix} \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} \end{bmatrix}](../../../math/e/2/1/e218d5327c820937af47e217f5212ec7.png)

![[\mathcal{A}\mathbf{v}]_C=[\mathcal{A}]_{B,C}\cdot [\mathbf{v}]_B](../../../math/a/3/7/a378da98ef2a2f849bd21b52169c7a23.png)
![[\mathcal{A}\circ\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]\cdot [\mathcal{B}]](../../../math/8/9/7/8979859c7f74401f3ecad6c07fdc8dad.png)
![[\mathcal{A}^{-1}]=[\mathcal{A}]^{-1}](../../../math/7/0/a/70ac70f3faa220929bd34c9147ecb1d1.png)
![[\mathcal{A}+\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]+ [\mathcal{B}]](../../../math/6/6/0/660c81ffe7a0567b2d2db0c90796af2e.png)
![[\lambda\mathcal{A}]=\lambda\cdot[\mathcal{A}]](../../../math/d/d/3/dd3c002618f70e0d0049a443ef7d2b33.png)


Based on work by