Hölder-egyenlőtlenség
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha
nemnegatív valós számok, p,q > 1, továbbá
teljesül, akkor

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan λ, hogy
minden i-re.
A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.
[szerkesztés] Bizonyítása
Legyen

továbbá

Ekkor tehát
és azt kell igazolnunk, hogy

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

Egyenlőség akkor van, ha xi = yi minden i-re, azaz
, ahol λ = B / A.
[szerkesztés] Története
Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.


Based on work by