Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha a_1,\dots,a_n nemnegatív valós számok, akkor 0 < p < q esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

K_p\leq K_q

ahol p > 0-ra

K_p=\left(\frac{a_1^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}.

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a_1=\cdots=a_n.

A p = 0 értékre is definiálhatjuk a Kp mennyiséget, ugyanis

lim_{p\to 0}K_p=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n},

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik K_0\leq K_1, azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.