Nagy Fermat-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Pierre de Fermat
Nagyít
Pierre de Fermat

A tétel tulajdonképpen a már az ókorban ismert Pithagorasz-tétel kiterjesztése, tudományosan azonban csak kb. 350 éve foglalkoznak vele.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Nagy Fermat-tétel

[szerkesztés] A Fermat-tétel lényege

A Fermat-tétel (vagy sejtés) a matematika, azon belül is a számelmélet történetének egyik legnehezebb, sokáig bizonyítás nélkül maradó sejtése volt.

Kimondja: 2-nél nagyobb egész n esetén nincs olyan pozitív egész a, b és c, hogy az an + bn = cn egyenlõség igaz lenne.

n = 2-re a jól ismert Pithagorasz-tételt (a2 + b2 = c2) kapjuk, melynek természetesen van (végtelen sok) megoldása: például 3, 4 és 5 vagy 5, 12 és 13. Ezeknek az ún. pithagoraszi számhármasoknak a léte azt mutatja, hogy van olyan eset, hogy két, egységnyi oldalú négyzetekbõl összerakott négyzetbõl pontosan kirakható egy nagyobb négyzet. A Fermat-tétel a síkbeli (2-dimenziós) Pithagorasz-tétel n-dimenziós általánosításáról szól: azt mondja ki, hogy ezt térben (sõt bármely 2-nél nagyobb dimenzió esetén!) sosem lehet megtenni, azaz két, egységnyi oldalú kockákból épített kocka kiskockái sosem adnak ki egy teljes nagyobb kockát.

[szerkesztés] A sejtés megszületése

Diophantosz Arithmetica című művének 85. oldala, melynek margója túl keskeny volt
Nagyít
Diophantosz Arithmetica című művének 85. oldala, melynek margója túl keskeny volt

A sejtéssel vélhetően sokan foglalkoztak, mégis egy 17. században élt Pierre de Fermat nevű fiatal francia matematikus (polgári foglalkozását tekintve jogász) nevéhez fűződik, aki saját bevallása szerint megtalálta a bizonyítást, ugyanis egy általa éppen olvasott könyv (Diophantosz egy műve) margójára a következőt írta:

Cubem autemin duos cubos, aut quadratoquadrum in duos quadratoquadros, et generaliter nullam in infinitum ultra quadrantum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilemsane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.

Azaz:

Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként. Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túlságosan keskeny, semhogy ideírhatnám.

A bizonyítást eddig egy kutatónak sem sikerült iratai között megtalálnia, ha egyáltalán leírta és létezett. Titkát magával vitte a sírba. Azóta számtalan matematikus kereste a tétel bizonyítását, köztük a legnevesebbek is, a 20. század végéig azonban senkinek nem sikerült meglelnie. Ma a matematikusok többségének az a véleménye, hogy Fermat tévedett, „csodálatos bizonyítása”, melyet valószínűleg csak fejben gondolt végig és nem elég alaposan, hibás lehetett. Ugyanakkor a 20. század végén számos szuperszámitógép dolgozott a Fermat-sejtés pár konkrét példájának ellenőrzésén, és soha nem akadtak megoldható egyenletre.

[szerkesztés] Bizonyítási nehézségek

[szerkesztés] A Fermat-tétel bizonyítása

A Fermat-tétel az egyik leghosszabban bizonyítatlanul maradó sejtés volt. A ma ismert bizonyítás Andrew Wiles, princetoni professzor érdeme, hétévnyi titokban végzett munkával sikerült belátnia az állítást 1995-ben. Noha korunkban egyre inkább az a jellemző, hogy a bizonyításokon és egyéb tudományos felfedezéseken többfős kutatócsapatok dolgoznak, Wiles majdnem végig önállóan dolgozott. A bizonyítás első, 1993-as prezentálása után egy látszólag fatális hibát fedeztek fel, ám Wilesnak egy tanítványa segítségével 1994 őszére sikerült kijavítania a bizonyítást, amelyet végül 1995-ben fogadtak el. A bizonyítást szinte csak néhány számelméleti matematikus érti.

[szerkesztés] Érdekességek

[szerkesztés] A Fermat-tétel életet mentett

Egy német gyáros életét a Fermat-sejtés mentette meg. Lánykérőbe ment, de kikosarazták, ezért - pontban éjfélkor - öngyilkos akart lenni. Hogy gyorsabban teljen az idő, beült a könyvtárba, és egy, a Fermat-sejtésről szóló könyvet kezdett olvasni, és úgy elmerült benne, hogy lekéste az éjfélt, és az életkedvét is visszanyerte. Ezért 100 000 márka jutalmat ajánlott fel annak, aki bebizonyítja a tételt.

[szerkesztés] Forrás