Szabályos test

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó szabályos sokszögek határolják, és minden lapszögük egyenlő. A 3-dimenziós térben öt szabályos test létezik.

Általánosítása az archimédeszi test.

Johannes Kepler, amikor még körpályákban gondolkodott, úgy gondolta, hogy az akkor ismert hat bolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz) hordozó szférák (gömbök) közé a szabályos testek rakhatóak be sorban. Ezzel megmagyarázható volt az is, hogy a bolygók száma miért pont hat.

Euler poliédertétele alapján minden konvex poliéderre teljesül az alábbi összefüggés:
c+l=é+2
ahol a c a csúcsok száma, az l a lapok száma, az é pedig az élek száma.

[szerkesztés] Az öt szabályos test

Név Tetraéder Hexaéder Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder
Háló
Oldallapok száma 4 6 8 12 20
Oldallapok fajtája szabályos háromszög négyzet szabályos háromszög szabályos ötszög szabályos háromszög
Duálisa tetraéder oktaéder hexaéder ikozaéder dodekaéder
Élek száma 6 12 12 30 30
Csúcsok száma 4 8 6 20 12
Egy csúcsból induló élek száma 3 3 4 3 5
Testátlók száma 0 4 3 160 36
Lapszög \approx70 ^{\circ} 31' 43.61'' 90^{\circ} \approx109 ^{\circ} 28' 16.39'' \approx116 ^{\circ} 33' 55.84'' \approx138 ^{\circ} 11' 22.87''
Felület az él (a) függvényében a^2\sqrt{3} 6a^2\, 2a^2\sqrt{3} 3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}} 5a^2\sqrt{3}
Térfogat az él (a) függvényében \frac{a^3\sqrt{3}}{12} a^3\, \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4} \frac{a^3(15+5\sqrt{5})}{12}
Körülírt gömb sugara az él (a) függvényében \frac{\sqrt{6}}{4}{a} \frac{\sqrt{3}}{2}{a} \frac{\sqrt{2}}{2}{a} \frac{1+\sqrt{5}}{4}{a} \frac{a}{4}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}
Beírt gömb sugara az él (a) függvényében \frac{\sqrt{6}}{12}{a} \frac{1}{2}{a} \frac{\sqrt{6}}{6}{a} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}{a} \frac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{12}{a}

[szerkesztés] Hivatkozások