Vektoriális szorzat
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
[szerkesztés] Vektoriális szorzat
A vektoriális szorzat, más néven külső vagy keresztszorzat egy vektorokkal végzett művelet. A skaláris szorzattal ellentétben, e művelet eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük.
Jelölése: a×b vagy [ab]
Értelmezése: Az eredményvektor nagyságát (abszolútértékét) megkapjuk, ha a a két vektor hosszának (abszolútértékének) szorzatát megszorozzuk a közbezárt szögük szinuszával (0° ≤ θ ≤ 180°):
A művelet eredményeként kapott vektor merőleges mind a-ra, mind b-re. Mivel két (ellentétes irányú) vektor is teljesíti a térben ezt a merőlegességi feltételt, egyértelművé kell tenni, hogy melyikre gondolunk. a-nak, b-nek és az eredményvektornak jobbkezes koordináta-rendszert kell alkotnia. Egy i, j, k kordináta-rendszert akkor hívunk jobbkezesnek, ha a jobb kezünk hüvelyk ujja i-vel, mutató ujja j-vel, középső ujja pedig (tenyerünkre merőlegesen) k-val párhuzamosan áll. Ez egy önkényes megállapodás (lehetne balkezesre is definiálni), ezért az eredményét pszeudovektornak is nevezik.
Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:
- c1 = a2b3 − a3b2
- c2 = a3b1 − a1b3
- c3 = a1b2 − a2b1
Vagy rövidebben:
, ahol
a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.
Két párhuzamos vektor vektoriális szorzata a nullvektort adja eredményül (mert a bezárt 0 fokos szög szinusza 0). Pl. a×b = 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90 fok szinusza 1).
Tulajdonságok:
, tehát nem kommutatív (hanem antikommutatív)
, tehát az összeadásra disztributív
, tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi azonosságot:
Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy R3 a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie algebrát képez.
Kifejtési tétel:
Négyesszorzat:
, ahol
módon a vegyes szorzat van jelölve.
Lagrange-azonosság:
(i=1,2,3) vektorok
(i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:


, ahol 
A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:
- B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő:

- r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka:







Based on work by