Oszthatóság

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja

  1. Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a,b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak; vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek.
  2. Egész számok helyett félcsoportokban gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Oszthatóság

Egy "a" egész szám osztója egy "b" egész számnak, ha van olyan n egész szám, melyre a*n=b. jele: a|b. (a osztója b-nek) Oszthatóság tulajdonságai: a|a bármely egész szám esetén. 1|a bármely egész szám esetén. a|b=> a|b*c, a,b,c egész szám esetén. a|b és b|c=> a|c, a,b,c egész szám esetén. Ez a tranzitív tulajdonság. a|b és a|c=> a|b+c, a,b,c egész szám esetén. a|b és a|c=> a|b-c, a,b,c egész szám esetén. a|b és a|b+c=> a|c, a,b,c egész szám esetén.

[szerkesztés] Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében

  • 2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 2, 4, 6, 8 vagy 0.
  • 3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható.
  • 4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel.

(Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, vagy 96)

  • 5-tel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 5 vagy 0.
  • 6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható.
  • 8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
  • 9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
  • 10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
  • 11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse
  • 25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis, ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re, vagy 75-re végződik.
  • 50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám oszható 50-nel. (50 vagy 00)
  • 2n-nel osztható az a szám, melynek az utolsó n jegyéből alkotott szám osztható 2n-nel.
  • 5n-nel osztható az a szám, melynek az utolsó n jegyéből alkotott szám osztható 5n-nel.

[szerkesztés] Oszthatóság az egész számok körében

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rá az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nem csak az 1, 2, 3, és a 6 lesz osztója, hanem a -1, -2, -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

[szerkesztés] Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban

Definíció:

Tetszőleges D integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén a,b \in D elemeire akkor mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan c\in D elem, melyre ac = b.

Jelölés: a | b

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges D integritástartomány tetszőleges a,b,c,d elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

  • a | a (reflexivitás)
  • a | b és b | c esetén a | c (tranzitivitás)
  • a | b és a | c esetén a | b + c és a | bc
  • a | b és b | d esetén ac | bd
  • 1 | a és a | 0 a D bármely a elemére
  • ac | bc és c0-tól különböző esetén a | b
  • Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) 0 | a akkor és csak akkor teljesül, ha a = 0.

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az a\bold{x}=b-nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van x-re (rögzített a és b mellett), így az esetleges a / b jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.