Kiválasztási axióma
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Az axióma megfogalmazása
Ha
nemüres halmazok rendszere (I itt tetszőleges indexhalmaz), akkor van olyan f függvény, aminek értelmezési tartománya I és
teljesül minden
-re (kiválasztási függvény).
[szerkesztés] Ekvivalens állítások
- jólrendezési tétel
- Minden végtelen számosság alef.
- A számosságösszehasonlítás trichotómiája: ha a és b számosságok, akkor a≤b vagy b≤a.
- Zorn-lemma
- Teichmüller–Tukey-lemma
- Birkhoff-tétel
- A számosságaritmetika alaptétele: Ha a végtelen számosság, akkor a2=a.
- Tyihonov-féle szorzattétel: kompakt topologikus terek szorzata kompakt.
- Minden vektortérnek létezik bázisa.
[szerkesztés] Gyengébb formái
Sokszor fontos szerepet játszanak a kiválasztási axióma egyes speciális esetei. Ilyen például a megszámlálható választás axiómája (azaz, hogy van kiválasztási függvény, ha megszámlálható sok nemüres halmazról van szó) és a függő választás axiómája (DC).
[szerkesztés] Következményei (amelyek nem ekvivalensek vele)
- Van nem mérhető halmaz.
- A térbeli (tömör) egységgömb végesen átdarabolható kettőbe (Banach–Tarski-paradoxon)
- A síkbeli egységnégyzet alakú lemez végesen átdarabolható egy egység területű körlemezbe (Laczkovich tétele).
[szerkesztés] A kiválasztási axióma tagadásával konzisztens kijelentések
Az alábbi állítások mindegyike (külön-külön) a kiválasztási axióma (AC) tagadásával (¬AC) együtt ellentmondásmentes rendszert alkot, feltéve, hogy maga ZF ellentmondásmentes. Ez azt jelenti, hogy ha a ZFC-ben AC helyett ¬AC-t vesszük fel axiómaként (azaz áttérünk a ZF+¬AC rendszerre), akkor nem kizárt (nem lehetetlen), hogy az alábbi kijelentések levezethetők ebben a rendszerben:
- Van olyan A halmaz, ami nem véges, de nincs a természetes számok N halmazának A-ba injekciója.
- Van kételemű halmazoknak olyan {An:n < ω} rendszere, aminek nincs kiválasztási függvénye.
- Nincs nemtriviális, nemfő ultraszűrő a természetes számok halmazán.
- ω1 szinguláris.
- ω1 mérhető.
- Minden valós számokból álló halmaz Lebesgue-mérhető.
- A valós számok halmaza megszámlálható sok, megszámlálható halmaz egyesítése.


Based on work by