Szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség szerint, ha
nemnegatív valós számok, akkor szimmetrikus közepeik csökkenő sorrendben helyezkednek el:

ahol
-re

továbbá Ek a k-adik elemi szimmetrikus polinom, azaz

a számainkból készíthető összes k-tényezős szorzat összege.
Ha a számok pozitívak, akkor egyenlőség csak akkor van, ha minden szám egyenlő, más szóval, ha van két különböző értékű, akkor

Mivel
és
az
egyenlőtlenség egyszerűen a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.
[szerkesztés] Bizonyítása
[szerkesztés] Két speciális eset
Egyszerűen beláthatjuk az
és az
egyenlőtlenségeket.
Az utóbbihoz vegyük szemügyre En − 1-et. Ez egy n tagú összeg, aminek tagjai az
-ből készíthető összes n − 1-tényezős szorzatok. Számaink mindegyike pontosan n − 1-szer szerepel, ezért szorzatuk

Ha alkalmazzuk ezekre a szorzatokra a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, akkor azt kapjuk, hogy
![\frac{E_{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{(a_1\cdots a_n)^{n-1}}](../../../math/f/4/c/f4c2657ce8e3b80888bd9aaef625815d.png)
azaz

és itt a baloldal Sn − 1, a jobboldal Sn.
Nézzük a másik egyenlőtlenséget,
-t! Ez négyzetreemelve és felszorozva az

alakra hozható. Legyen
. Ekkor

amit a fenti egyenlőtlenségbe beírva

adódik. Ha ezt rendezzük, akkor azt kapjuk, hogy

azaz

ami nem más, mint a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség.
[szerkesztés] Az általános eset
A tételt általában n-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. A fenti esetek megadják a tételt n=2-re és n=3-ra. Tegyük fel, hogy n > 3 és tudjuk a tételt n-1-re. Adott
számainkból készítsük el a

polinomot, ennek tehát (multiplicitással számolva) pontosan n gyöke van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések miatt p(x) szokásos polinomformájában

alakú. Deriváltja

Rolle tételének egy következménye miatt p'(x)-nek (multiplicitással számolva) n-1 valós gyöke van,
, ezek az ai-k legkisebbike és legnagyobbika közé esnek, tehát nemnegatívak. Ezekkel p'(x) így írható fel:

ahol
a
számok elemi szimmetrikus polinomjai. Együttható-összehasonlítással adódik (n − k)Ek = nek
-re. Mivel n-1-re már tudjuk a tétel állítását,

teljesül
-re. Viszont

mivel

és ez adja
-et
-re. A megmaradó, k = n − 1 esetet a fentiekben már beláttuk.
A fenti bizonyítás adja az

egyenlőtlenséget is. Ebből ismét levezethető a tétel, hiszen,
-t fentebb láttuk, ezután indukcióval adódik
: ha k − 1-re tudjuk akkor a fentiek szerint
, innen

Innen a kívánt eredmény k + 1-edik gyökvonással adódik.


Based on work by