Jensen-egyenlőtlenség
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Jensen-egyenlőtlenség elegáns közös kiterjesztését adja számos matematikai egyenlőtlenségnek.
Ha egy (véges vagy végtelen) I intervallumon az f függvény konvex,
,
pozitív számok, amikre teljesül
, akkor

Ha f szigorúan konvex, akkor egyenlőség csak az
esetben teljesül.
Ha f konkáv, akkor az állítás fordított irányú egyenlőtlenséggel teljesül.
Például az f(x) = x2 függvény konvex a nemnegatív valós számok intervallumán, így ha
tetszőleges,
akkor

ami a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség.
Hasonlóképpen a konkáv x
log x függvényt használva azt kapjuk, hogy pozitív
számokra

Mivel a jobboldal
logaritmusa, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget kapjuk.


Based on work by