Gauss–Lucas-tétel
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.
[szerkesztés] A tétel állítása
Ha P(z) egy komplex együtthatós polinom, akkor P'(z) deriváltjának minden gyöke P(z) gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).
[szerkesztés] A tétel bizonyítása
Legyen P(z) gyöktényezős felbontása

ahol a különböző
gyökök multiplicitásai
. Ekkor

Legyen s P'(z) egy gyöke. Ha s az
gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

ahol

Minden aj pozitív valós szám. Az baloldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

.
Legyen
. Ekkor azt kapjuk, hogy

Ha most bevezetjük a pj = aj / a syámokat, akkor egyrészt

másrészt a pj-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát s valóban benne van az rj-k konvex burkában.


Based on work by