Legendre-szimbólum
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752-1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Ha p prímszám és a egész szám, akkor az
Legendre-szimbólum értéke:
- 0 ha p osztja a-t,
- 1 ha a kvadratikus maradék p-re nézve – azaz van olyan egész k hogy
, - –1 ha a kvadratikus nemmaradék p-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú k szám
[szerkesztés] A Legendre-szimbólum tulajdonságai
A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:
(felső változójában teljesen multiplikatív függvény)- Ha
, akkor 

- Ha p páratlan prím, akkor
azaz 1, ha
és –1, ha 
- Ha p páratlan prím, akkor
ami 1, ha
vagy
és –1, ha
vagy 
- Ha p és q páratlan prímszámok, akkor

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.
Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:
A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.
[szerkesztés] Általánosítás
A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.



Based on work by