Hilbert-problémák
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A II. Nemzetközi Matematikai Kongresszus 1900. augusztus 6-12. között Párizsban ülésezett. David Hilbert, a világ akkor már elismerten egyik legnagyobb matematikusa augusztus 8-án Matematikai problémák címmel tartott később óriási jelentőségre szert tevő előadást, amiben felsorolta a matematika szerinte legfontosabb problémáit.
1. A kontinuumhipotézis
Van-e számosság a megszámlálhatóan végtelen és a kontinuum számosság között? Ez a probléma a matematika eszközeivel megoldhatatlannak bizonyult. Kurt Gödel 1941-ben azt igazolta, hogy nem lehet a van választ bizonyítani, Cohen pedig 1963-ban azt, hogy a nincs válasz sem bizonyítható.
2. A számelmélet axiómarendszerének ellentmondásmentessége
Bizonyítsuk be, véges eszközökkel a számelmélet axiómarendszerének, azaz a Peano-axiómarendszernek (PA) az ellentmondásmentességét. Mivel PA-nak van modellje, a természetes számok a szokásos műveletekkel, ezért nem lehet benne ellentmondás. Ez az okoskodás azonban halmazelméleti, tehát egy bővebb rendszerben van. Gödel második nemteljességi tétele szerint viszont PA nem bizonyíthatja saját ellentmondásmentességét. A két állítás között van Gentzen tétele, ami PA ellentmondásmentességét az
epszilon-rendszámig terjedő transzfinit indukció segítségével igazolja.
3. Poliéderek átdarabolhatósága
Létezik-e két azonos alapterületű és azonos magasságú tetraéder, amelyeket nem lehet egymásba átdarabolni? Ha vannak azonos térfogatú, de egymásba át nem darabolható poliéderek, az azt jelenti, hogy nem lehet a térfogat fogalmát infinitezimális módszerek (integrálszámítás) nélkül bevezetni. Max Dehn még 1900-ban megoldotta a problémát, példát adott ilyen tetraéderekre. Később bebizonyította, hogy az egységnyi térfogatú kocka, illetve szabályos tetraéder sem darabolhatók át egymásba.
4. A projektív metrikák meghatározása
5. A Lie-csoportok felépítése a differenciálhatóság feltevése nélkül
Bizonyítandó, hogy minden összefüggő, lokálisan euklideszi topológikus csoport topológikusan izomorf egy Lie-csoporttal.
6. A valószínűségszámítás és a fizika axiomatizálása
7. Bizonyos számok transzcendenciája
Ha a 0-tól és 1-től különböző algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens.
8. Problémák prímszámokról
Az itt említett problémák a Riemann-sejtés, a Goldbach-sejtés és az ikerprímszám-sejtés.
9. Reciprocitási tétel tetszőleges számtestekben
A Gauss-féle kvadratikus reciprocitás tétele, kubikus reciprocitás tétele, és bikvadratikus reciprocitás tétele általánosításaként adjuk meg a legáltalánosabb reciprocitás-tételt. Egy ilyen tétel megoldaná a következő feladatot: ha egy adott K n-edfokú számtestet egy
számmal bővítünk, akkor az új test egészeinek aritmetikája hogyan függ a régi test egészeinek aritmetikájától. Az Abel-féle bővítés esetét Hilbert, Artin és Hasse munkája után Safarevics megoldotta, az általános eset nyitott.
10. A diofantoszi egyenletek megoldhatósága
Adjunk algoritmust, ami tetszőleges diofantoszi egyenletet megold.
A probléma megfogalmazásakor még a pozitív megoldás tűnt valószínűnek. Az algoritmus fogalma a harmincas években lett precízen definiálva. Az ötvenes években számos problémaseregről mutatták ki az algoritmikus megoldhatatlanságot. Martin Davis, Julia Robinson és Hilary Putnam végül is a megoldhatatlanságot egy konkrét, a Fibonacci-számokkal kapcsolatos reprezentációs feladatra redukálták, amit Jurij Matyijaszevics 1970-ben bebizonyított.
11. Kvadratikus alakok tetszőleges algebrai együtthatókkal
12. A Kronecker-Weber tétel általánosítása
13. Függvények kompozíciója
Az általános hetedfokú egyenlet nem oldható meg egy- és kétváltozós függvények kompozícióival.
14. Az invariánsok végesen generáltak
15. Schubert leszámoló geometriájának megalapozása
16. Algebrai görbék és felületek problémái
Hatodfokú algebrai görbe nem állhat 11 oválisból, amelyek mindegyike a többiek külsejében helyezkedik el. A másik probléma: hány határciklusa van a

differenciálegyenletnek, ahol P és Q n-edfokú polinom.
17. Pozitív definit alakok előállítása négyzetösszegként
Ha F(x1,...,xn) racionális együtthatós törtfüggvény, tehát racionális együtthatós polinomok hányadosa, ami valós helyeken mindig pozitív értéket vesz fel, akkor előállítható racionális együtthatós törtfüggvények négyzeteinek összegeként. Ezt n = 1-re maga Hilbert igazolta. Az általános esetre Emil Artin adott bizonyítást.
18. Euklideszi terek diszkrét mozgáscsoportjai
19. Elliptikus differenciálegyenletek megoldásai
20. A variációs probléma megoldhatósága
21. Előírt monodrómiacsoportú lineáris differenciálegyenlet létezése
22. Analitikus relációkkal meghatározott függvények uniformizációja automorf függvényekkel
23. A variációszámítás problémái
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Totik Vilmos: Lehetetlen Három Hilbert-probléma
- David Hilbert, Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900 itt


Based on work by