Parciális derivált
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rn térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Adott, nyílt halmazon értelmezett
n változós valós értékű függvény x1 változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített
pontjában, ha az egyváltozós
(ú. n. parciális-) függvény differenciálható az u1 helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u1-beli deriváltját az f függvény x1 szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x2, x3, ... , xn szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u1 ,
,u3,...,un), f(u1,u2,
,u4, ..., un), ... , f(u1, u2,...,
) parciális függvények deriváltjai.
[szerkesztés] Jelölés
Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x1, x2, ... , xn vagy x, y, z, ..., w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:
,
, ... ,
,
,
, ... ,
,
,
,
, ... ,
,
,
,
, ... , 
[szerkesztés] Deriválási szabályok
- Linearitás:

- Szorzat:

- Projekciófüggvények:
/Kronecker-delta/ - Függvénykompozíció:
, 
ahol φ:R
R differenciálható, F: Rm
Rn komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.
[szerkesztés] Példa
Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a
feltételnek?
Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:
Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík "vízszintes". Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten "vízszintesek", azaz ahol teljesül: ∂bA = 0 és ∂cA = 0, tehát:
és
ahonnan V = b2c = bc2, vagyis c = b és V = b3, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.
[szerkesztés] Kapcsolat a teljes differenciállal
Ha egy f:Rn
R függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjunk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.
A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a Jf(u)ik=∂kfi(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol fi függvény az f:Rm
Rn függvény i-edik komponensfüggvénye.









Based on work by