Csoport
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
- Ez a szócikk az algebrai struktúráról szól. További jelentéséhez lásd: csoport (egyértelműsítő lap).
A matematikában csoportoknak nevezzük azokat az algebrai struktúrákat, amelyeken pontosan egy kétváltozós, asszociatív és invertálható művelet van értelmezve. Az invertálhatóságból következően a csoportoknak létezik egységeleme is, ami ráadásul egyértelműen meghatározott.
Ha egy csoport minden g1 és g2 elemére
, akkor a csoportot Abel-csoportnak nevezzük (Niels Henrik Abel matematikus után).
A matematikán, illetve az algebrán belül a csoportelmélet foglalkozik a csoportok vizsgálatával.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Azokat a
grupoidokat, amelyekre teljesülnek az alábbi axiómák, csoportoknak nevezzük:
-re:
, azaz a grupoid művelete asszociatív,
-ben létezik
úgy, hogy
-re:
, azaz létezik balegységelem,
-re létezik
úgy, hogy
.
A fenti definíció ekvivalens a következővel:
Az invertálható félcsoportokat csoportoknak nevezzük.
[szerkesztés] Csoport rendje
Ha a
csoport alaphalmaza véges, akkor véges csoportról beszélünk. Ebben az esetben G elemszáma a csoport rendje, amit így jelölünk: | G | .
[szerkesztés] Példák
Példák csoportokra:
(kommutatív).
(kommutatív).- egy adott geometriai alakzatot önmagába vivő leképezések (tükrözések, elforgatások, eltolások, illetve ezek kombinációi) halmazán ezen leképezések szorzása
- (megjegyzés: két leképezés definíció szerint megegyezik, ha ugyanazt a pontot ugyanarra a pontra képezik le; ez a csoport nem kommutatív).
Ellenpéldák:
(kommutatív):
- csak jobboldali egységelem létezik (a − 0 = a, de
), ráadásul a kivonás nem asszociatív.
- a 0 determinánsú 2x2-es mátrixok és a 2x2-es egységmátrix halmazán a mátrixszorzás:
- asszociatív, létezik egységelem, de csak az egységelemnek van inverze.
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Csoportban az egységelem egyértelműen meghatározott, azaz pontosan egy egységelem létezik.
- Csoportban az inverz egyértelműen meghatározott, azaz a csoport minden elemének pontosan egy inverze van.
[szerkesztés] Történet
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
- Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994


Based on work by