Eloszlásfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:


F: \bold R \rightarrow \bold R, \quad \quad F(x):= \bold P (X<x).


Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűségszámitási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt és a várható értéket. Az eloszlásfüggény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztáját a folytonos valószínűségi változók osztályát is.

[szerkesztés] Az eloszlásfüggvény tulajdonságai

  • Az eloszlásfüggvény egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását és viszont.
  • Szemben a valószínűségi változókat jellemző többi függvénnyel (sűrűségfüggvény, karakterisztikus függvény, generátorfüggvény) eloszlásfüggénye minden valószínűségi változónak van.
  • Bármely F(x) eloszlásfüggényre teljesül, hogy
(a) monoton nem csökkenő
(b) balról folytonos
(c) a -∞-ben 0, a +∞-ben 1 a határértéke.
Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá.


[szerkesztés] Mértékelméleti általánosítás

Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0 mértékű részhalmazától) és Rn beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a

F: \bold R^n \rightarrow \bold R, \quad \quad F(\bold a):=\mu(\{x\in X:g(x)<\bold a\}) \quad \forall \, \bold a \in \bold R^n

összefüggéssel definiált függvény. A valószínűségszámítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll - ami a definíciója miatt véges - az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az X valószínűségi változó áll - ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.

[szerkesztés] Források

  • Bognár J.-né - Mogyoródi J. - Prékopa A. - Rényi A. - Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Járai A. (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.