Mértani sorozat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q.

[szerkesztés] A mértani sorozat n-edik eleme

Legyen a sorozat n-edik eleme an. Ekkor:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

vagy

a_n=\sqrt{a_{n-i}\cdot a_{n+i}} ahol i\in\mathbb{N}

Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik eleme az n+i és az n-i -edik elemének a mértani közepe.

[szerkesztés] A mértani sorozat első n elemének összege

q\ne 1 esetén: Írjuk fel az első n tag összegét tagonként: S_n=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q^{n-1}. Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát q-val: S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q^n. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! Ekkor:

S_n\cdot q-S_n=a_1\cdot q^n-a_1

Ebből Sn-t kifejezve:

S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}

Ha q=1, akkor a mértani sorozat minden tagja egyenlő, így: S_n=a_1\cdot n

[szerkesztés] A mértani sorozat első n elemének szorzata

Írjuk fel tagonként ezt a szorzatot:a_1\cdot (a_1\cdot q)\cdot (a_1\cdot q^2)\cdot (a_1\cdot q^3)\cdot...\cdot (a_1\cdot q^{n-1})=a_1^n\cdot q^{1+2+3+...+n-1}.

Mivel: 1+2+3+...+n-1=\frac{n(n-1)}{2} (lásd: számtani sorozat), a mértani sorozat első n elemének szorzata:

a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}