Természetes számok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Természetes számoknak nevezzük akár a 0, 1, 2, ... stb. számokat (azaz a nemnegatív egész számokat) akár az 1, 2, 3, ... stb. számokat (vagyis a pozitív egész számokat). A természetes számok halmazát általában az

\mathbb{N}

szimbólummal jelöljük, vagy (tipográfiai okokból) ehelyett sokszor az

\mathbf{N}

vastag betűvel.

Vigyázat! Tekintve, hogy egyes matematikai tárgyú könyvek a természetes számok közé sorolják a nullát, mások nem, így minden esetben figyelmet kell fordítanunk arra, hogy utánanézzünk, az adott kontextusban a szerzők melyik konvenciót alkalmazzák.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A természetes számok formális-axiomatikus elmélete - a Peano-aritmetika

Fő szócikk: Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (n' szándékolt módon az n számot pontosan eggyel követő számot szimbolizálja), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a \cdot kétváltozós függvényjel, azaz a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, ... jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' \neq 0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m' \Rightarrow n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n \cdot 0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n \cdot m' = (n \cdot m) + n
(„elődisztributivitás”)
(P7) ( F(0) & (F(n) \Rightarrow F( n' ) ) ) \Rightarrow F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

0\neq 1

Ezzel természetesen semmi újat nem tudtunk meg a számokról, mint ahogy a formális elméletek nem mondhatnak olyat tárgyukról, amit az informális elméletben ne tudtunk volna. Ám nem is ez a céljuk. A formális tárgyalásmód az elmélet egészéről állít valamit. (Például, hogy ellentmondásmentes-e, vagy axiómái függetlenek-e.)

[szerkesztés] A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ ,\cdot) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N\rightarrow N függvény, +:N \times N \rightarrow N, és \cdot:N \times N \rightarrow N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

[szerkesztés] Sztenderd modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, ... \}

halmaz. Itt rendre

0:=\emptyset
1:=\{\emptyset\}=\{0\}
2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}
3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}

...

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

\aleph_0

(alef null – itt \mbox{ }_\aleph a héber abc első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

\omega\,

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.