Banach–Tarski-paradoxon
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Banach–Tarski-paradoxon (más néven Hausdorff–Banach–Tarski paradoxon) szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeálltani.
A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítás annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és egy érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.
A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. A fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.
[szerkesztés] Szabatos leírás
A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére:
és
olymódon, hogy minden i-re, Ai egybevágó Bi-vel. Ilymódon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:
- Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.
Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:
- A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.
[szerkesztés] A bizonyítás vázlata
A bizonyítás négy lépésből áll:
- A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
- A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
- Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
- Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Beke Tibor: Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról, Középiskolai Matematikai Lapok, 1989/11
- Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998, ISBN 9637546898
- Stan Wagon: The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 24, 1985.
- Leonard M. Wapner: The pea and the sun, A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2


Based on work by