Idődilatáció

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az idődilatáció az a relativisztikus jelenség, amikor két különböző vontakoztatási rendszerből figyelve eltérés lép fel az idő múlásában. A nyugalomba lévő vonatkoztatási rendszerből nézve a mozgó esemény időtartama hosszabb lesz, mint az eseménnyel együtt mozgó vonatkoztatási rendszerből, ahol az idődilatáció távolság-kontrakcióban nyilvánul meg. Albert Einstein relativitáselméletében két körülmény során jelenik meg:

  • A speciális relativitáselméletben, mikor a két vonatkozási rendszer egymáshoz viszonyítva mozgásban van, vagyis inercia-rendszerek esetén. Ezt az effektust pontosan leírja a Lorentz-transzformáció.
  • Az általános relativitáselméletben, mikor a vonatkoztatási rendszerek egymáshoz képest gyorsulnak. Ezt nevezzük gravitációs idődilatációnak.

A speciális relativitáselméletben az időeltolódás mindkét vonatkoztatási rendszerben fellép a másik rendszerből nézve. Ez feltételezi, hogy a két rendszer egymáshoz viszonyítva egyenletesen mozog és a megfigyelés ideje alatt egyik sem gyorsul. Az időeltolódást meghatározó egyenlet:

\Delta t = \gamma \Delta t_0 \!
ahol
a Δ t a nyugalomban lévő megfigyelő által mért időtartam,
a Δ t0 a mozgásban lévő megfigyelő által mért időtartam,
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} a Lorentz faktor,
v a két megfigyelő egymáshoz viszonyított sebessége és
c a fénysebesség.

Így a mozgó esemény időtartama lerövidülni látszik az nyugalmi megfigyelő számára. Az eltolódás mértéke a relatív sebességel és a gravitációs különbséggel egyenes arányban növekszik. A hétköznapi életben, de még az űrrepüléseknél sincsenek akkora relatív különbségek, hogy ez az eltolódás jelentős legyen, ezért gyakorlatilag elhanyagolható. Csak akkor válik jelentőssé, ha egy objektum legalább 1/10 fénysebességgel (30 000 km/mp) halad, vagy egy nagytömegű égitest gravitációs hatása alá kerül.

Az idődilatációt Joseph Larmor is megjósolta 1897-ben az atommag és a körülötte keringő elektronok esetében. Szerinte az egyes elektronok saját pályaszakaszaikat \sqrt{1 - v^2/c^2} arányban rövidebb idő alatt futják be, mint a rendszer többi része. Ezt részecskegyorsítókban kísérletileg is bebizonyították.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az idődilatáció egyszerű kimutatása

A nyugalomban lévő megfigyelő által mért idő 2L/c
Nagyít
A nyugalomban lévő megfigyelő által mért idő 2L/c
A jobbra elmozduló megfigyelő számára a foton hosszabb utat tesz meg, az idő t>2L/c
Nagyít
A jobbra elmozduló megfigyelő számára a foton hosszabb utat tesz meg, az idő t>2L/c

Az idődilatáció egyszerűen kimutatható a speciális relativitáselmélet második posztolátuma alapján, amely szerint a fénysebesség független a fényforrás mozgásától:

Legyen két egymással szemben álló tükörből (A és B) és egy oda-vissza haladó fotonból álló fényóra. A két tükör egymástól való távolsága L. Mikor a foton elér egy tükröt, az óra jelzést ad. Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben az óra nyugalomban van, a foton 2L hosszúságú utat tesz meg, az óra periódusa pedig 2L/c.

Egy mozgó megfigyelő vonatkoztatási rendszeréből a foton hosszabb, bizonyos szöggel elforduló utat tesz meg. A második posztolátum szerint a fény sebessége minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz, ebből következtethető, hogy az óra periódusa a mozgó megfigyelő számára megnő. Más szóval az órához képest mozgó vonatkoztatási rendszerben az óra lassabban jár. A Pitagorasz-tétel alkalmazása vezet el ehhez.

t = \frac{2\Delta}{c}
\Delta = \sqrt{\left (\frac{1}{2}vt\right )^2+L^2}
ct = 2\sqrt{\left (\frac{1}{2}vt\right )^2+L^2}
c2t2 = v2t2 + 4L2
t^2 = \frac{4L^2}{c^2-v^2}
t = \frac{2L/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}

[szerkesztés] Az idődilatáció és az űrrepülés

Az idődilatáció lehetővé teszi egy gyorsan mozgó űrhajó rövid idő alatt hatalmas távolságot tegyen meg. Az űrhajón elhelyezett óra rövidebb időtartamot mér, mint a Földön hagyott, nyugalomban lévő óra. Elég nagy sebességeknél egy éves utazás a Földön tíz évet is jelentene. Állandó 1 g gyorsulással egy emberi élet alatt körbe lehetne utazni az ismert (13.7 milliárd fényév sugarú) univerzumot. Az űrutazók több milliárd év múlva térnének vissza a Földre (feltéve természetesen, hogy az univerzum nem omlott össze vagy a Naprendszer még létezik).

Az effektus sokkal ésszerűbb kihasználása a közeli csillagokhoz való utazás lenne, annélkül, hogy az emberek egész életüket az űrhajón töltenék el. Bár az idődilatáció alkalmazása új, fejlett meghajtási módszereket igényelne. Egy másik probléma a relativisztikus utazással, hogy ilyen sebességnél a ritka intersztelláris közeg szétszóródott részecskéi nagy energiájú kozmikus sugár áramlattá válnának, amelyek különleges védelem nélkül elpusztítanák az űrhajót.

[szerkesztés] Idődilatáció állandó gyorsulásnál

A speciális relativitáselmélet az idődilatációt állandó mozgás esetén írja le. Lorentz egyenletekkel sajátidőt és térbeli mozgást számíthatunk ki abban az egyszerű esetben, ha a mozgó esemény egy vonatkoztatási ponthoz képest gyorsul.

Legyen t egy inerciális rendszer sajátideje, x egy térbeli koordináta és egy objektum állandó gyosulásának iránya valamint a sebessége párhuzamos az x tengellyel. Ha az objektum helyzete t=0-ban x=0 és a sebessége v0, akkor felírhatók a következő egyenletek:

Helyzet:

x = \left( \sqrt{1 + \frac{(g \cdot t + v_0)^2}{c^2}} - \sqrt{1 + \frac{v_0^2}{c^2}} \right) \cdot \frac {c^2}{g}

Sebesség:

v=\frac{g \cdot t + v_0}{\sqrt{1 + \frac{ \left(g \cdot t + v_0 \right)^2}{c^2}}}

Sajátidő:

t^*=\frac{c}{g} \cdot \ln \left( \left(\sqrt{c^2 + v_0^2} - v_0 \right) \cdot \frac{\sqrt{c^2 + (g \cdot t + v_0)^2} + g \cdot t + v_0}{c^2} \right)

Az inerciarendszer ideje x függvényében:

t=\frac{1}{g} \cdot \left(-v_0 + \frac{1}{c} \cdot \sqrt{v_0^2 \cdot c^2 + x^2 \cdot g^2 + 2 \cdot x \cdot g \cdot c \cdot \sqrt{c^2 + v_0^2}} \right)

[szerkesztés] Külső hivatkozások