Rámpafüggvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (pl. DSP) is alkalmazzák.
A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíciói
![]() |
[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok
[szerkesztés] Nemnegativitás
A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz
∀x∈ℝ: R(x)≥0és
|R(x)| = R(x) .- Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.
[szerkesztés] Folytonosság
Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.
[szerkesztés] Derivált
Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:
R'(x) = H(x) ha x≠0 .Ugyanis
- ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ–-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
- ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ+) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
- 0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).
E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az [5]. definíció.
[szerkesztés] Fourier-transzformált
=
= 
Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).
[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok
[szerkesztés] Iteráció-invariancia
Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy
R(R(x)) = R(x) .- Biz.:
=
=
.
Felhasználtuk (a harmadik egyenlőségjel után) a nemnegativitást.
[szerkesztés] Hivatkozások
[szerkesztés] Lásd még
- abszolút érték
- Heaviside-függvény





