Brun-konstans

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

1919-ben Viggo Brun megmutatta, hogy az ikerprímek (prímszám-párosok amelyek különbsége éppen 2) reciprokainak összege egy matematikai konstanshoz konvergál, melyet most Brun-konstansnak vagy Brun-féle ikerprím-konstansnak neveznek, és általában B2-vel jelölik (A065421 sorozat az OEIS-ben):

B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots

Ezzel szemben a prímszámok reciprokainak összege divergens sort alkotnak. Ha a fenti sor is divergens lenne, meglenne a bizonyításunk az ikerprím-sejtésre. De mert a sor konvergens, még nem tudjuk, létezik-e végtelen sok ikerprím. Hasonlóan, ha sikerülne bebizonyítani, hogy a Brun-konstans irracionális, abból azonnal következne az ikerprím-sejtés igaz volta, ha pedig bebizonyítanánk hogy racionális, az nem igazolná és nem is cáfolná a kérdést.

Brun szitáját J.B. Rosser, G. Ricci és mások finomították.

Thomas R. Nicely meghatározta az összes ikerprímet 1014-ig (és közben fölfedezte a hírhedt Pentium FDIV hibát), a Brun-konstans értékét heurisztikusan 1,902160578-ra becsülte. A jelenlegi legjobb becslést Pascal Sebah és Patrick Demichel adta 2002-ben, felhasználva az összes ikerprímet 1016-ig:

B2 ≈ 1,902160583104

Létezik egy Brun-konstans prímnégyesekre is. A prímnégyes két ikerprím-párosból áll, amelyek között 4 (a lehető legkisebb) a különbség. Az első néhány prímnégyes: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). A prímnégyeseken értett Brun-konstans, aminek jelölése B4, az összes prímnégyes reciprokösszegével egyezik meg:

B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots

melynek értéke:

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Ez a konstans nem összetévesztendő a prím unokatestvérekre számolt Brun-konstanssal, ami a (p, p + 4) alakban megadható prím-párosok reciprokösszege, és szintén B4-nek jelölik.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozások