Osztóösszeg-függvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A számelméletben általában σ(n)-nel jelölt osztóösszeg-függvény avagy szigmafüggvény [1] a természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum osztóinak összege (az 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát
[2]Például σ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28; különleges (elfajult) esetekként σ(0) = 0; σ(1) = 1 [3]. További példákat ld. lentebb.
Az osztóösszeg-, latinul summis divisorum-függvény, ∫ n-nel jelölve, már Leonhard Euler egy 1750-60-as években írt dolgozatában is szerepelt, a rá vonatkozó kanonikus képlettel együtt [4].
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Értékei kis számokra
n |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| σ(n) | 1 | 3 | 4 | 7 | 6 | 12 | 8 | 15 | 13 | 18 | 12 | 28 | 14 | 24 | 24 | 31 | 18 | 39 | 20 | 42 |
n |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| σ(n) | 32 | 36 | 24 | 60 | 31 | 42 | 40 | 56 | 30 | 72 | 32 | 63 | 48 | 54 | 48 | 91 | 38 | 60 | 56 | 90 |
n |
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| σ(n) | 42 | 96 | 44 | 84 | 78 | 72 | 48 | 124 | 57 | 93 | 72 | 98 | 54 | 120 | 72 | 120 | 80 | 90 | 60 | 168 |
n |
61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| σ(n) | 62 | 96 | 107 | 127 | 84 | 144 | 68 | 126 | 96 | 144 | 72 | 195 | 74 | 114 | 124 | 140 | 96 | 168 | 80 | 186 |
n |
81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
| σ(n) | 121 | 126 | 84 | 224 | 108 | 132 | 120 | 180 | 80 | 234 | 112 | 168 | 128 | 144 | 120 | 252 | 98 | 171 | 156 | 217 |
[szerkesztés] Tulajdonságok
[szerkesztés] Algebrai-számelméleti tulajdonságok
[szerkesztés] Értékei prímhatványokra
Ha α>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor
.Ennek speciális eseteként
.A második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye, hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van: 1 és p, ezek összege p+1. Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből (SzAT) következik, ugyanis pα osztói pontosan a pβ alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; tehát az osztók rendre 1, p, p2, ..., pα, egy α+1 tagú, 1 kezdőelemű és p hányadosú mértani sorozat elemei, melynek összegképlete pont a fent írt egyenlőséget adja.
[szerkesztés] Kanonikus kiszámítási mód
A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a szigmafüggvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja)

(α1, ..., αg, g ∈N+ és p1, ..., pg prímszámok); akkor érvényes:
=
=
.[szerkesztés] Multiplikativitás
(Gyengén) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán felvett értéke a számokon felvett értékek szorzata. Formálisan:

Például:
- a=4, és σ(4) = 7;
- b=15, és σ(15) = 24;
(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)
A két szám szorzata: 4·15 = 60, valamint σ(60) = 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168, ami pontosan 7·24.
Ez a tulajdonság a SzAT egyszerű következménye. Jelölje Σ, ahogy szokásos, egy számhalmaz vagy elemrendszer elemeinek összegét ! Ekkor
- Ha a vagy b nulla, akkor szorzatuk is nulla, a függvény szorzatukon felvett értéke is nulla; ugyanakkor a függvény legalább egyikükön (a nulla értékűn) felvett értéke is nulla, így ez esetben az állítás igaz. Feltehető, hogy a,b>0.
- Jelölje A az a osztóinak halmazát, B a b osztóinak halmazát; C az ab osztóinak halmazát; ekkor a SzAT egyik következménye szerint relatív prím számok szorzatának osztói a tényezők osztóinak szorzatai; a szorzás disztributivitása alapján pedig ekkor Σ(A)Σ(B) = (a1+...+aj)(b1+...+bk) = a1Σ(B)+...+ajΣ(B) = {a1y | y∈B}+...+{ajy | y∈B} = Σ{xy|x∈A, y∈B} = ΣC = σ(ab). QED.
[szerkesztés] A szigma által felvett értékek osztályzása
σ(n) akkor és csak akkor 2-hatvány, ha n=1, vagy n különböző Mersenne-prímek szorzata (Sierpiński 1958-59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). A függvény értéke akkor és csak akkor páratlan, ha n négyzetszám vagy négyzetszám kétszerese. Subarao egy 1974-es eredménye szerint
akkor és csak akkor, ha n prím, vagy ha 4, 6, vagy 22.
[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok
A szigmafüggvény növekedése szabálytalan (nem monoton, nem csak az argumentum nagyságától függ, hanem annak multiplikatív szerkezetével (prímfelbontás) is erős kapcsolatban áll).
[szerkesztés] Alulról korlátos
A szigmafüggvény triviálisan alulról korlátos és alsó határa 0, hiszen értéke bármely nemnegatív argumentumra nemnegatív, és a 0-t az n = 0 esetben fel is veszi. Vagyis
(A fentiek következményeképp inf(R(σ(n))) = 0.)
[szerkesztés] Felülről nem korlátos
A függvény felülről nem korlátos, hiszen minden n természetes számra teljesül n ≦ σ(n) (ld. a következő bekezdést). Ha most K akármilyen valós szám és N tetszőleges, nála nagyobb természetes szám (ilyen az arkhimédeszi axióma alapján létezik), akkor K < N ≦ σ(N), így σ nem felülről korlátos.
[szerkesztés] Az argumentumnál nagyobb
Egyszerű tulajdonság, hogy σ(n)≥n+1, amennyiben n≥2. Ugyanis maga n és 1 mindig két különböző osztója n-nek, ha n≥2, és így, ha A-val jelöljük az ezektől különböző osztók összegét (A≥0), akkor n>2-re σ(n)=1+A+n≥n+1. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az n→n+1 „diszkrét egyenes fölötti síkrészbe esik”. Megjegyezzük, hogy ha n<2, akkor σ(n)=n, vagyis minden természetes számra csak a fenti állításnál „kevesebbet mondó” n≤σ(n) egyenlőtlenség igaz.
[szerkesztés] Grönwall tétele
A szigmafüggvény növekedését nagy vonalakban a következő határértékkel jellemezhetjük:

ahol γ az Euler-konstans (avagy Euler-Mascheroni-állandó). Ezt a tételt Thomas Hakon Grönwall tette közzé 1913-ban [5]. Ramanujan tőle függetlenül egy hasonló, de gyengébb eredményt fedezett fel.
[szerkesztés] Értékei összege és átlaga

és itt O(xlogx) helyett már nem írhatunk o(xloglogx)-et [6].
Erdős, Bateman, Pomerance és Straus 1980-as publikált eredményei szerint az n szám osztói átlagának, vagyis az

függvény folytonos összegére érvényesek a következő aszimptotikus egyenlőségek:
,ahol c egy, a cikkben meghatározott konstans; míg
,ahol λ szintén egy, a szerzők által megadott állandó [7].
[szerkesztés] A szigmafüggvény és a Riemann-zétafüggvény
Több tételt (Robin tétele, Lagarias tétele) sikerült bizonyítani a szigmafüggvény növekedésének és a Riemann-sejtés érvényességének kapcsolatáról, ezeket ld. ott.
[szerkesztés] Számok számelméleti osztályzása a szigmafüggvény értékei alapján
[szerkesztés] Tökéletes és barátságos számok
Rengetegféle számosztályt vizsgáltak, közülük sokat komolyabb eredmények nélkül, melyek megkülönböztetése elemeiknek a szigmafüggvény által felvett értékei különbségén vagy azonosságán alapul.
Tökéletes számok például, melyek kétszeresei a szigmafüggvény rajtuk felvett értékének (σ(n)=2n). Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a szám kétszeresénél, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak.
Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések (tökéletes szám, barátságos számok) mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.
[szerkesztés] Még tökéletesebb és nem-annyira-tökéletes számok
Majdnem tökéletes számoknak nevezzük azon hiányos számokat, amelyek osztóösszege csak 1-gyel marad el kétszeresüktől (azaz: valódi osztóik összege eggyel kevesebb náluknál maguknál). Egyszerű számolás (ld. a prímhatványok osztóösszegére vonatkozó képletet) mutatja, hogy minden kettőhatvány majdnem tökéletes, de nem tudjuk, ezen kívül vannak-e majdnem tökéletes számok.
Kvázitökéletes számok azok a bővelkedő számok, melyek osztóösszege 1-gyel több, mint kétszeresük, azaz valódi osztóik összege 1-gyel több, mint önmaguk. Nyitott probléma, hogy létezik-e akár egyetlen kvázitökéletes szám is, azt tudjuk, hogy 1035 alatt nem található ilyen.
Multiperfekt számok: m-szeresen tökéletes (vagy m-szeresen multiperfekt számok) számok azon n-ek, melyekre σ(n)=mn. A tökéletes számok kétszeresen tökéletesek. Léteznek háromszor tökéletes számok is, mint pl. 120. Léteznek négyszeresen, ötszörösen, hatszorosan és hétszeresen tökéletes számok is. A legnagyobb ismert multiperfekt szám kb. 1346-jegyű [8].
[szerkesztés] Általánosítások
Leggyakrabban előforduló általánosítása az osztóhatványösszeg-függvény, mely a független változó osztói r-edik hatványainak összege (r valós szám):

A függvény σm(n) jelű m-edik iteráltját is vizsgálták [9]:
| σm(n) = σ(σ(...(σ(n))...)) |
| (m-szer) |
Lehetséges más konkrét algebrai struktúrákban, pl. kommutatív grupoidokban, félcsoportokban vagy – a legérdekesebb esetként – gyűrűkben is rákérdezni egy adott (x) elemet „osztó” más (y) elemek (az x=dy egyenlet megoldásai, ahol y és d ismeretlenek) összegére. Akadt már egy 1961-es kísérlet a függvény bevezetésére pl. a Gauss-egészek körében [10] a következő módon: legyen
olyan Gauss-prímfelbontása a z Gauss-egésznek, ahol ε egység, pi pedig mind az I. síknegyedbe eső prímek (tehát képzetes és valós részük egész együtthatói is nemnegatívak). A z=1 esetében félkanonikus felbontásról van szó, ahol az összes Gauss-egészekbeli prím szerepel, de 0 kitevővel. Ez esetben
.A definíció 1-re a σ(1) = 1 értéket adja. Ez azért is jó általánosítás, mivel megőrzi a multiplikativitást [11].
[szerkesztés] Hivatkozások
[szerkesztés] Lásd még
- Tökéletes számok
- Osztóhatványösszeg-függvény
[szerkesztés] Jegyzetek
- ↑ A „szigmafüggvény” kifejezést a matematikai analízis az itt tárgyalt függvénytől különböző Weierstrass-féle szigmafüggvényre is alkalmazza (ld. angol Wikipédia).
- ↑ Megjegyzés: mivel n≠0 esetén 0<d|n automatikusan maga után vonja, hogy d≤n, ezért az összegzés indexében 1≤d≤n helyett egyszerűen 1≤d is írható lenne, ám ekkor a 0 helyen (és csakis itt) a függvény értéke megváltozna úgy, hogy végtelenné válna.
- ↑ σ(0) = 0, mert az összegzendő osztók halmaza (1≤d≤0) üres, mivel 0-nak pontosan a természetes számok a nemnegatív osztói, de ezek között nincs olyan, ami egynél nagyobb is, meg a számnál, azaz a nullánál nem nagyobb is lenne; így σ(0) egy üres összeg, ami definíció szerint 0. Ugyanakkor σ(1) = 1, mert 1-nek 1-et és önmagát, azaz 1-et is beleértve, pontosan 1 db. nemnegatív osztója van, mégpedig önmaga, ennek egytagú összege is 1.
- ↑ Leonhard Euler: Observatio de summis divisorum / An observation on the sum of divisors (Észrevétel az osztók összegéről; angol nyelvre fordította Jordan Bell; [1] Pdf)
- ↑ T.H. Grönwall életrajza, MacTutor Archive.
- ↑ W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű pdf)
- ↑ Erdős, Bateman, Pomerance és Straus: The arithmetic mean of the divisors of an integer. Analytic Number Theory, Proc. Conf., Temple Univ./Phila. 1980; Zbl. katalógusszám 465.00008.; (Tartalom pdf-ben).
- ↑ Mathworld: Multiperfect number
- ↑ :Graeme L. Cohen: Iterating the sum-of-divisors function
- ↑ Spira, R.: The Complex Sum of Divisors. Amer. Math. Monthly 68, 120-124, 1961.
- ↑ A Gauss-egészekre értelmezett osztóösszeg-függvény értékei kisebb valós és képzetes részű elemekre: Mathworld cikk-
[szerkesztés] Irodalom
- Gyarmati Edit - Turán Pál: Számelmélet. Egyetemi jegyzet. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1997.
- Mathworld: Divisor function
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- N. J. A. Sloane: σ(n) értékei ha 1≤n≤10 000


Based on work by