Negatív binomiális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó r rendű és p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ - vagy rövidebben negatív binomiális eloszlású - pontosan akkor, ha

\bold P (X=r+k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r (1-p)^{k},  \quad k=0, 1, 2, ...  \quad ,

ahol 0 < p ≤ 1.
Azt, hogy az X valószínűségi változó r rendű p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ, néha következő módon jelölik: XNB(n,q) ahol q = 1 - p.
Speciálisan, ha XNB(1,q), akkor X-et geometriai eloszlásúnak nevezzük.
A binomiális eloszlású valószínűségi változóval az a véletlen esemény ragadható meg, amikor visszatevéses mintavétel mellett addig ismételjük a mintavételt, amíg r-szer tapasztalunk egy előre meghatározott eredményt. A binomiális eloszlású valószínűségi változó azt mutatja meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy pont k-szor kell megismételni a mintavételt ahhoz, hogy r-szer forduljon elő a meghatározott eredmény.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A negatív binomiális eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

\varphi (t) = \left(  \frac    {p}    {1-(1-p)e^{it}} \right)^r

Generátorfüggvénye

G(z) = \left(  \frac    {p}    {1-(1-p)z} \right)^r \,

[szerkesztés] A negatív binomiális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

\bold E (X) = \frac  {r(1-p)}  {p}

Szórása

\bold D (X) = \frac  {\sqrt{r(1-p)}  }  {p}

Momentumai


Ferdesége

\beta_1(X) = \frac  {2-p}  {\sqrt{r(1-p)}}

Lapultsága

\beta_2(X) = \frac  {1+4(1-p)+(1-p)^2}  {r(1-p)}

[szerkesztés] Negatív binomiális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Negatív binomiális eloszlású független valószínűségi változók összege is negatív binomiális eloszlású - ha azonos a p paraméterük. Pontosabban ha X1NB(r1, 1 - p) és X2NB(r2, 1 - p) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2NB(r1 + r2, 1 - p).

[szerkesztés] Forrás

  • Arató M. (2001): Nem-élet biztosítási matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.