# Descartes-szorzat

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában, közelebbről a halmazelméletben az A és B halmaz Descartes-szorzatán (vagy direkt szorzatán) azt a halmazt értjük, melynek azon rendezett párok az elemei, amiknek első eleme A-beli, második eleme pedig B-beli és a szorzat minden lehetséges párt tartalmaz. A szorzatot az A×B szimbólum jelöli. A Descartes-szorzat általánosítható olymódon, hogy nem csak két halmaz Descartes-szorzatát lehessen képezni, hanem akárhány n pozitív egész számú, sőt akár tetszőleges (végtelen) sok halmaz szorzatát is.

## [szerkesztés] Két halmaz Descartes-szorzata és néhány tulajdonsága

Az A halmaz és a B halmaz, ilyen sorrendben vett Descartes-szorzata, melyet

jelöl, nem más, mint az

halmaz.

A szorzás × jele alkalmazásának az a magyarázata, hogy ha A és B véges halmaz, elemszámuk rendre n és k, akkor az A × B halmaz elemeinek száma nk.

Ha A, B és C halmazok, akkor teljesülnek a következő disztributivitási formulák:

Általában (azaz különböző, nemüres tényezőkre) nem teljesül a kommutativitás és az asszociativitás:

Megjegyzés. Ellenben (ugyan nem feltétlenül természetes módon, de) létrehozhatók az A × B ≅ B × A és (A × B) × C ≅ A × (B × C) azonosítások. Például a következő bijekciók ilyenek:

Az íly módon fennálló asszociativitást célszerűségi okokból általában érvényesnek tekintik és az azonosítás két oldalán lévő hármas szorzatot egységesen A × B × C -vel jelölik. A kommutativitást viszont csak a legritkább esetben tekintik érvényesnek. Például egy 1 × m -es vektort (mátrixot) és transzponáltját, azaz egy m × 1 -es mátrixot adott esetben érdemes azonosnak tekintenünk. Ugyanez a helyzet a tenzorszorzattal is: lehetséges, de nem szokás a tenzorszorzást kommutatívnak tekinteni. Ezek a mátrixalgebrai példák azon múlnak, hogy egy vektorteret és duálisát (V*-ot) véges dimenziós esetben azonosíthatunk egymással, de nem feltétlenül „természetes” módon.

## [szerkesztés] Halmazelméleti részletek

A Descartes-szorzat elemei rendezett párok, melyek a szokásos gyakorlat szerint {{a},{a,b}} alakú halmazok (ez az (a,b) rendezett pár). A pontos definíció szerint

Kérdéses lehet, hogy A × B valóban halmaz-e? Az A × B osztály egy (x,y) eleme olyan, hogy x ∈ A, tehát {x} ∈ ℘(A) (azaz, az {x} az A hatványhalmazában van) és {x,y} ∈ ℘(A ∪ B), tehát (x,y) = {{x},{xy}} ∈ ℘(℘(A ∪ B)). Tehát a részhalmaz axióma miatt A × B szintén halmaz, de ehhez fel kellett használni a pár-, a hatványhalmaz és az unióaxiómát.

## [szerkesztés] Halmazrendszer Descartes-szorzata

Legyen I tetszőleges halmaz, (Ai)i∈I indexezett halmazrendszer. Ekkor azon függvények halmazát, melyek az I halmazon értelmezettek és minden i ∈ I elemhez Ai-beli elemet rendelnek, tehát az

halmazt az (Ai)i∈I halmazrendszer Descartes-szorzatának nevezzük és a

  ,
  vagy

szimbólummal jelöljük.

A Descartes-szorzat egy elemét az (Ai)i∈I halmazrendszer egy kiválasztófüggvényének mondjuk. Világos, hogy egy kiválasztófüggvény által felvett érték a halmazrendszer egy elemének eleme, így összességében a kiválasztófüggvények a halmazrendszer elemeinek uniójába képeznek (ezt jelöltük Ui∈I Ai-vel). Egy halmazrendszer Descartes-szorzata természetesen üres halmaz, amennyiben akár az indexhalmaza, akár valamelyik eleme üres. Nem nyilvánvaló azonban, hogy ha egy halmazrendszernek sem az indexhalmaza, sem tetszőleges eleme nem üres, akkor a Descartes-szorzat sem üres. Ezt speciális esetekben (véges indexhalmazra, vagy egyelemű tagokat tartalmazó halmazrandszerre) igazolni lehet, ám általános esetben axiómában kell megkövetelni: ez a kiválasztási axióma, mely szerint:

  Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.

Az sem nyilvánvaló, hogy az előbbi módon definiált szorzat kételemű halmaz esetén egybeesik a szócikk elején lévő módon definiált Descartes-szorzattal. Ha I = { α, β } kételemű indexhalmaz és Aα továbbá Aβ két halmaz, akkor a

halmaz bijekció, mely által azonosítható a két Descartes-szorzat. Tény azonban, hogy a Πi=α,β Ai halmaz ugyanígy az Aβ × Aα halmazzal is azonosítható, tekintve, hogy I = { α, β } rendezetlen. Ez azért van, mert a Descartes-szorzat nem abból a szempontból nem kommutatív, mint a rendezett pár (vagyis Aα × Aβ ≠ Aβ × Aα) hanem, hogy az α jelű elemeket a kiválasztó függvények mindig az α jelű halmazba, a β jelű elemeket mindig a β jelű halmazba képezik. Sőt, a Descartes-szorzat általános definíciója kommutatív is a következő értelemben. Az I indexhalmaz minden σ: I I permutációja (bijekciója) esetén fennáll:

alapulvéve az

bijekciót.

## [szerkesztés] Kanonikus projekciók

A kanonikus projekciók az A × B Descartes-szorzat elemeihez hozzárendelik az első illetve második tagjukat. Eszerint

  , illetve

Hasonlóképpen a Πi∈IAi szorzat esetén is léteznek a projekciók. Minden k ∈ I-re a

k ∈ I elemmel történő kiértékelés a szorzat k-adik kanonikus projekciója.

A kanonikus projekciók szürjektív függvények (azaz pri ráképez Ai-re). Ez majdnem nyilvánvaló, hiszen a szorzat elemeit az összes lehetséges módon képeztük, tehát a szorzat tagjai összes elemének szerepelnie kell a kiválasztófüggvények értékeiben.

## [szerkesztés] Kategóriaelméleti definíció

Halmazrendszer Descartes-szorzatát a kategóriaelmélet fogalmaival is lehet definiálni, éspedig a szorzat univerzális tulajdonsága segítségével. Eszerint, ha A=( Ai )i∈I indexezett halmazrendszer, akkor ennek Descartes-szorzata olyan P halmaz a p=( pi )i∈I) függvényrendszerrel együtt, melyre teljesül, hogy egyetlen olyan h:Q P függvény van, amire az alábbi diagram kommutatív:

azaz minden i ∈ I-re

  .

Itt Set a halmazok kategóriája, ISet az I indexhalmazú halmazrendszerek kategóriája, ahol egy f morfizmus nem más mint olyan ( fi )i∈I függvényrendszerek, melyek elemei halmazelméleti függvények, köztük a művelet: ( fi )i∈Io( gi )i∈I = ( fiogi )i∈I, Δ a diagonalizáló funktor, mely egy H halmazhoz hozzárendeli azt az I-vel indexelt rendszert, melynek minden eleme H, egy f függvényhez pedig hozzárendeli azt az I-vel indexelt függvényrendszert, melynek minden eleme f. A megfogalmazás úgy rövidíthető, hogy a (P,p) pár a (Δ↓A) vegyespár kategória terminális objektuma.

Természetesen, mint minden univerzális tulajdonságon keresztül történő definíciónál a szorzat nem lesz egyértelmű, ellenben az alkalmas objektumok kitüntetett módon izomorfak lesznek egymással. Ha (P,p) és (P',p') az A halmazrendszer két Descartes-szorzata, akkor egyetlen olyan h:P P' bijekció van, amivel p=p'oh teljesül.

Szintén hasonló módon az összes univerzális tulajdonságon keresztül történő definícióhoz az alkalmas objektum létezését igazolni kell. A Set kategóriában az előző bekezdésben definiált ΠA halmaz megfelel Descartes-szorzatnak, a kanonikus projekciókkal ellátva. Megjegyezzük, hogy nem csak Set-ben, hanem minden kategóriában definiálható a Descartes-szorzat fogalma, csak nem mindenhol igazolható a megfelelő objektum létezése. Ha az adott kategóriában léteznek a Descartes-szorzatok, akkor azt Descartes-módon zárt kategóriának nevezzük (Set tehát ilyen).

A Descartes-szorzat kategóriaelméleti értelemben duális párja a direkt összegnek vagy koszorzatnak.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../d/e/s/Descartes-szorzat.html"

Kategória: Halmazelmélet

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Беларуская
- Български
- Česky
- Deutsch
- Español
- Suomi
- Français
- עברית
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Lietuvių
- Nederlands
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Русский
- Українська
- 中文