User:Szelcsillag/tmp
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis
akkor és csak akkor számtani sorozat, ha an + 1 − an = d állandó,
-ra.
A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

[szerkesztés] Elnevezések
A sorozat különbségét differenciának nevezzük, szokásos jelölése: d.
[szerkesztés] Tulajdonságok
- A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha d > 0
- A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha d < 0
- A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha d = 0
[szerkesztés] Példák
| első tag | különbség | a sorozat pár tagja |
| 0 | 1 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... |
| 0 | 2 | 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... |
| 1 | 2 | 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... |
| 101 | -20 | 101, 81, 61, 41, 21, 1, -21, ... |
| - 2,1 | -1,01 | -3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16; |
Legyen a számtani sorozatban: a1 = 3 a differenciája: d = 3, akkor a sorozat: 3; 6; 9; 12; …
[szerkesztés] A számtani sorozat n-edik eleme
A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért
.Ha n > i, akkor
.Ez speciálisan i = 1 esetén azt jelenti, hogy a számtani sorozat egy eleme a szomszédos tag számatni közepe.
[szerkesztés] Számtani sorozat első n tagjának összege
[szerkesztés] Érdekesség
- Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr.e. 1750-ből való.
- Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, stb., ami összesen
-et eredményez (lásd a számtani sorozatokat és az összegzést). Több információ a témában itt található:[1]. 1
1.) A wikipedia.hu Carl Friedrich Gauss szócikkéből
[szerkesztés] Források
- Sulinet e-matek oldalai
- Dr.Rókáné Rózsa Anikó írása
- Varga Tamás: Matematika lexikon Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ISBN 963-16-2819-1; ISBN 963-00-8549-6
- Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-7044


Based on work by