Bernoulli törvénye

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és újjai közé fuj, a papírlap tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás tenyeréhez szorítja. Bernoulli törvénye pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte Leonhard Euler és mások.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

[szerkesztés] Összenyomhatatlan közeg

Állandó nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

{v^2 \over 2}+gh+{p \over \rho}=\mathrm{konstans}
v = közeg sebessége az áramvonal mentén
g = nehézségi gyorsulás
h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában
p = nyomás az áramvonal mentén
ρ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

  • Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
  • Állandósult áramlás
  • Összenyomhatatlan közeg; ρ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
  • Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

[szerkesztés] Összenyomható közeg

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, mely esetben egy áramvonal mentén:

{v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{konstans}

ahol

\phi \, = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, \phi = gh \, állandó nehézségi gyorsulás esetén
w \, = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

w = \epsilon + \frac{p}{\rho} ahol \epsilon \, a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és b-vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) b állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

[szerkesztés] Levezetése

[szerkesztés] Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli egyenletet az Euler egyenletek integálásával vagy az energia megmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb leveztésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

\rho \frac{dv}{dt}= -\frac{dp}{dx}

Állandósult áramlás esetén v = v(x), így

\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v=\frac{d}{dx} \frac{v^2}{2}

Ha ρ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

\frac{d}{dx} \left(  \rho \frac{v^2}{2} + p \right) =0

vagy

\frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho}= C

ahol a C állandó, ezt néha Bernoulli állandónak hívják. Látható, hogy ha a sbesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az anergiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk az energia megmaradását.

Egy folyadékrész balról-jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy Δt; idő alatt megtett (s)  utat és a keresztmetszet területét.
Egy folyadékrész balról-jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy Δt; idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét.

Az energiamegmaradás elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők munkája + a potenciális energia csökkenése = kinetikai energia növekedése

A külső erők munkája:

F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_ {1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;


A potenciális energia csökkenése:

m g h_{1}-m g h_{2}=\rho g A _{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2} \Delta t h_{2} \;

A kinetikai energia növekedése:

\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2} ^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}.

A fentieket összevetve:

p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}

vagy

\frac{\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{ 2}}{2}+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}+p_{1} A_{1 } v_{1}\Delta t=\frac{\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{ 2}^{2}}{2}+\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}+p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.

Miután egyszerűsítünk Δt-val, ρ-val és A1v1-val (= térfogatáram = A2v2, mivel a közeg összenyomhatatlan):

\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

\frac{v^{2}}{2}+g h+\frac{p}{\rho}=C

Tovább egyszerűsítve g-vel:

\frac{v^{2}}{2 g}+h+\frac{p}{\rho g}=C

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

v=\sqrt{{2 g}{h}}, or h=\frac{v^{2}}{2 g}.

A \frac{v^2}{2 g} kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikus nyomás vagy statikus magasság definíciója:

p=\rho  g  h \,, or h=\frac{p}{\rho  g}.

A \frac{p}{\rho  g} kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

[szerkesztés] Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az A1 és az A2 keresztmetszeten a Δt időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

0 = \Delta M_1 - \Delta M_2 = \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az A1 és A2 keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

0 = \Delta E_1 - \Delta E_2 \,

ahol ΔE1 és ΔE2 az energia mennyisége, mely az A1 kersztmetszeten beáramlik és a A2 keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a p\,dV mechanikai munka alakjában jelentekző energiájának az összege:

\Delta E_1 = \left[  \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2 + \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1  + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t

Hasonló összefüggést lehet felírni a ΔE2-re is. <gy behelyettesítve a 0 = ΔE1 − ΔE2 ezt kapjuk:

0 = \left[  \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2+ \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1  + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t  - \left[ \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2 + \phi_2\rho_2 + \epsilon_2 \rho_2  + p_2 \right] A_2 v_2 \, \Delta t

amit így át lehet alakítani:

0 = \left[ \frac{1}{2} v_1^2 + \phi_1 + \epsilon_1  + \frac{p_1}{\rho_1} \right] \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t  - \left[  \frac{1}{2} v_2^2  + \phi_2 + \epsilon_2  + \frac{p_2}{\rho_2} \right] \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

\frac{1}{2}v^2 + \phi + \epsilon + \frac{p}{\rho} = {\rm constant} \equiv b

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.