Grupoid
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A grupoid – más néven magma – a matematika egyik tudományágában, az algebrában fontos; egy egyetlen kétváltozós műveletet tartalmazó – egyműveletes – algebrai struktúrát jelent.
Formálisan tehát grupoid egy
pár, ahol U tetszőleges halmaz, és
egy kétváltozós művelet. A
elemet általában a * b -vel jelöljük (infix jelölésmód, egyéb lehetőségekről ld. a bináris művelet szócikket).
A * műveletet sokszor + vagy
szimbólummal jelöljük, az első jelölésmódot különösen akkor alkalmazzuk, ha a művelet kommutatív (tetszőleges
elemekre x * y = y * x ), a másodikat pedig, ha asszociatív ( tetszőleges
elemekre (x * y) * z = x * (y * z) ).
- Az első esetben a grupoid összeadó vagy additív írásmódjáról beszélünk, és a műveletet összeadásnak nevezzük,
- a második esetben a grupoid szorzó vagy multiplikatív írásmódjáról, és a művelet neve szorzás.
A bourbakisták a „magma” terminust vezették be eredetileg a grupoidokra. A „grupoid” név talán az angol „group-oid”, azaz „csoport-szerű” kifejezésből ered, és valószínűleg arra utal, hogy a grupoidok „olyanok, mint a csoportok (csak jóval kevesebbet tudnak)”. A csoport nevű matematikai struktúra valóban a grupoid egy specializációja. Egyébként a grupoid nem csak a csoportok, hanem az összes egyműveletes struktúra primitív „prototípusát” is jelenti, de az egyműveletes struktúrák közül a csoport a legfontosabb és – úgy látszik – „legmagasabbrendűnek” tartott (és ezt fedezték fel elsőként az ilyen struktúrák között): a többi fontos egyműveletes struktúra (félcsoport, kvázicsoport) is a csoportról lett elkeresztelve.
Az (U, *) grupoid U tartóhalmazának vagy univerzumának számosságát (elemeinek számát) a grupoid rendjének nevezzük. Kiszámolható, hogy véges, n-edrendű grupoid (az izomorf példányokat egynek számítva) pontosan
db. van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Másféle értelmezések
[szerkesztés] Monoid
A grupoidokat egyes szerzők néha monoidnak is nevezték, újabban azonban ezt a megnevezést inkább csak egy speciális fajta (ún. neutrális elemes és aszociatív, ld. lentebb) grupoidra alkalmazzák.
[szerkesztés] Univerzális algebra
Az univerzális algebrában a grupoid kifejezést más értelemben használjuk, ld. ott.
[szerkesztés] Szabad grupoid
A fogalom egy változata a szabad grupoid.
[szerkesztés] Speciális grupoidok
[szerkesztés] Fontosabb típusok
A grupoid fogalmának önmagában nem sok értelme van (külön róluk szóló jelentős cikkek, kutatási irányok stb. nem igazán lelhetőek fel). Különféle, kevésbé általános alesetei azonban nagyon fontosak:
Speciális, kitüntetett elemekkel bíró grupoidféleségek:
- neutrális elemes vagy unitér grupoidban van egy neutrális elem, azaz olyan U-beli n elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*e = e*x = x. Belátható, hogy legfeljebb egy neutrális elem létezik egy grupoidban, ezt összeadó írásmód esetén nullelemnek, szorzó írásmód esetén egységelemnek nevezzük;
- zéruselemes grupoidban van egy zéruselem, azaz olyan U-beli z elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*z = z*x = z. Belátható, hogy legfeljebb egy zéruselem létezik egy grupoidban.
Azonosságokkal definiált grupoidosztályok:
- idempotens, ha tetszőleges U-beli x elemre x*x = x;
- kommutatív egy grupoid, ha * kommutatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y elemekre x*y = y*x;
- asszociatív egy grupoid, ha * asszociatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre (x*y)*z = x*(y*z); az asszociatív grupoidokat félcsoportnak szokás nevezni.
- monoidnak a neutrális elemes asszociatív grupoidokat, azaz a neutrális elemes félcsoportokat nevezzük.
- reguláris grupoid vagy egyszerűsíthető grupoid: tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z (balregularitás); és x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás).
- invertálható a grupoid – más néven kvázicsoport – ha tetszőleges U\{0}-beli x,y elemekre (0 a zéruselem, ha van) az ?*x = y és az x*? = y egyenleteknek (? az „ismeretlen”) is van egy és csak egy megoldásuk, azaz egyértelműen vannak olyan a,b U-beli elemek, hogy a*x = y és x*b = y teljesüljön. Megjegyzés: fel szoktuk tenni még azt is, hogy U nem üres.
- hurok: a neutrális elemes kvázicsoportokat nevezzük így – azaz olyan grupoidokat, melyek egyszerre monoidok és kvázicsoportok. Ha egy kvázicsoport asszociatív (azaz félcsoport is, tehát csoport is), akkor automatikusan neutrális elemes.
- csoporton olyan grupoidot értünk, mely egyszerre monoid, félcsoport és kvázicsoport; azaz a * műveletre nézve van neutrális elem, továbbá a művelet asszociatív és invertálható. Be lehet látni (ld. a példákat), hogy elegendő csak azt megkövetelni, hogy fél- és kvázicsoport legyen (azaz * asszociativitását és invertálhatóságát), mert az invertálhatóságból és az asszociativitásból együtt a neutrális elem léte következik.
- Megjegyzések:
- Egy kommutatív grupoid nem szükségszerűen asszociatív, pl. a nemnegatív számok
halmaza a számtani közép képzésének műveletére (
) kommutatív (
), de nem asszociatív (
). - Fordítva, egy asszociatív grupoid sem mindig kommutatív, pl. az összes
valós-valós függvény a kompozíció műveletével egy asszociatív grupoid (a függvénykompozíció mindig asszociatív, bármilyen halmaz felett), de az
és
függvények (a kétszerezés és a négyzetre emelés) nem cserélhetőek fel (fg[x] = g(f(x)) = (2x)(2x) = 4x2, de gf[x] = f(g(x)) = 2(xx) = 2x2, azaz
). - Egy invertálható grupoid, azaz egy kvázicsoport mindig reguláris. Biztosan balreguláris: ha ab=ac=d, akkor d=ab és d=ac. Az invertálhatóság miatt ekkor a d=a*? egyenlet két b,c megoldása egyenlő (hiszen egyértelműen kell hogy létezzenek a megoldások), azaz b=c. Hasonlóan belátható, hogy * jobbreguláris; összességében tehát reguláris.
- Fordítva azonban nem igaz:
reguláris grupoid ugyan (a+z = b+z esetén a = b); de nem invertálható (az a+x = b egyenletnek ugyanis nem mindig van megoldása, csak ha a ≤ b – pontosan ez a ≤ reláció definíciója).
- Egy kommutatív grupoid nem szükségszerűen asszociatív, pl. a nemnegatív számok
[szerkesztés] Továbbiak
- balról neutrális elemes grupoid: van olyan b ∈ U, hogy b*x = x (bármely x ∈ U-ra);
- jobbról neutrális elemes grupoid: van olyan j ∈ U, hogy x*j = x (bármely x ∈ U-ra)
Egy grupoid akkor és csak akkor neutrális elemes, ha balról is és jobbról is az (nyilvánvaló, hogy ha van neutrális elem, akkor az bal- és jobbneutrális egyszerre, fordítva pedig ha van bal- és jobbneutrális elem, könnyű belátni, hogy egyenlőek, így neutrálisak is – ld. még itt).
- balról reguláris (vagy balról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * balról reguláris (-egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z;
- jobbról reguláris (vagy jobbról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * jobbról reguláris ( -egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás).
Természetesen a grupoid akkor és csak akkor reguláris, ha balról és jobbról is reguláris.
- unipotens grupoid: érvényes x*x = y*y tetszőleges x,y ∈ U -ra;
- zérópotens grupoid: érvényes (x*x)*y = x*(y*y) = x*x;
- mediális gruipoid: érvényes (x*y)*(u*z) = (x*u)*(y*z) tetszőleges x,y,u,z U-beli elemekre;
- balról szemimediális grupoid: érvényes az (x*x) * (y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság;
- jobbról szemimediális grupoid: érvényes az (y*z) * (x*x) = (y*x) * (z*x) azonosság,
- szemimediális grupoid: balról és jobbról is szemimediális;
- balról öndisztributív: érvényes az (x)*(y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság,
- jobbról öndisztributív: érvényes az (y*z)*x = (y*x)*(z*x),
- auto- (ön-) disztributív grupoid: balról és jobbról is disztributív.
- alternatív grupoid: érvényesek az (x*x) * y = x * (x*y) és az x * (y*y) = (x*y) * y azonosságok,
[szerkesztés] Példák
Mivel gyakorlatilag bármilyen algebrai struktúra egyben grupoid is, példákat hozunk az egyes speciális grupoidokra:
[szerkesztés] Idempotens grupoidok
- Az egész számok
halmaza vagy a nemnulla egész számok halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével (ez tehát négy grupoid); - egy U halmaz hatványhalmaza az unió, ill. a metszet műveletével;
- ... ellenpélda, ha mondjuk a szimmetrikus differencia
műveletét vesszük (amely nem idempotens); mellesleg ez a grupoid unipotens, ha
, akkor
;
[szerkesztés] Neutrális elemes és zéruselemes grupoidok
- Az egész számok a legnagyobb közös osztó műveletével, neutrális elem a 0, zéruselem az 1.
- Az egész számok a legkisebb közös többszörös műveletével, neutrális elem az 1, zéruselem a 0.
- egy U halmaz hatványhalmaza az unió műveletével, a neutrális elem az
üres halmaz; a zéruselem maga az U; - egy U halmaz hatványhalmaza a metszet műveletével, a neutrális elem maga az U; a zéruselem az üres halmaz;
- Egy U halmaz hatványhalmaza a szimmetrikus differencia műveletével, neutrális elem az
üres halmaz; zéruselem viszont általában nincs ; - neutrális elemes grupoid továbbá a valós számok
halmaza az összeadás műveletével, a neutrális elem a nulla, zéruselem nincs; ez már nem idempotens; - ... továbbá szintén
a szorzás műveletével, a neutrális elem ekkor az 1; zéruselem a 0; ez sem idempotens.
Lásd még a neutrális elem és zéruselem cikkeket.
[szerkesztés] Kommutatív grupoidok
- egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével;
- Az egész számok
halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
az összeadás vagy a szorzás műveletével,- A legfontosabb ellenpéldák: Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; amely nem kommutatív (de asszociatív), vagy egy halmaz hatványhalmaza a különbségképzés műveletével, vagy a valós számok halmaza a kivonás műveletével; valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével.
[szerkesztés] Asszociatív grupoidok (félcsoportok) és monoidok
- egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével; mindegyik kommutatív, idempotens és neutrális elemes; azaz mind monoid is;
- Az egész számok
halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
az összeadás vagy a szorzás műveletével,- Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; ez asszociatív és neutrális elemes, de nem kommutatív grupoid;
- valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével, amely zéruselemes és neutrális elemes félcsoport (zéruselemes monoid);
- A neutrális elem szócikk 10. példája olyan (G, *b) és (G, *j) grupoidokra ad példát, melyek könnyen beláthatóan asszociatívak, de nem neutrális elemesek. Például a ×=*b műveletre nézve minden elem valódi baloldali neutrális elem (baloldali neutrális, de nem kétoldali neutrális), ezért neutrális elem nincs, tehát × nem monoid-művelet, de asszociatív, ugyanis (x×y)×z = y×z = z, és x×(y×z) = x×z=z, tehát az asszociativitás érvényes.
- Sokkal fontosabb ellenpélda nem-neutrális elemes félcsoportra: legyen a tartóhalmaz a pozitív valós számok R + halmaza, a művelet pedig a következő: x ∨ y = max{x, y}. Ez asszociatív művelet, de sem baloldali, sem jobboldali neutrális eleme nincs (ugyanis ez azt jelentené, hogy lenne egy pozitív szám, amely az összes többinél kisebb, illetve egy, amelyik nagyobb).
- További példákat a félcsoportokról szóló cikkben lehet találni; a legfontosabb ellenpéldák pedig: az egész számok halmaza a kivonással, ez nem idempotens (ámde unipotens), jobb oldali neutrális elemes, de nem neutrális elemes, nem zéruselemes, nem kommutatív és nem asszociatív kvázicsoport.
[szerkesztés] Reguláris és invertálható grupoidok, hurkok és csoportok
- az
neutrális elemes kommutatív asszociatív grupoid (kommutatív félcsoport) reguláris, de nem invertálható. - Egy A halmazt önmagára képező szürjektív függvények (a halmaz minden eleme előáll bármelyik függvény valamely helyen felvett értékeként, azaz bármelyik f függvényre R(f)=A ) neutrális elemes, általában nem kommutatív (de asszociatív) félcsoportot alkotnak. Ez a grupoid beláthatóan reguláris, noha általában nem invertálható.
- Egy halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű, bijektív függvények (permutációk) halmaza a függvénykompozícióval invertálható (tehát reguláris) grupoid az identitás függvénnyel mint neutrális elemmel – tehát hurok. Mivel a kompozíció művelete asszociatív is, ezért csoport is. Ez egy nem-kommutatív csoport.
kommutatív csoport (Abel-csoport);
a valós számok szorzásával kommutatív csoport;- További példák a kvázicsoport, a hurok és a csoport cikkben találhatóak: ellenpéldák egy halmaz hatványhalmaza az unió, a metszet halmazműveletekkel;
[szerkesztés] Kapcsolódó fogalmak
[szerkesztés] Részgrupoid
Legyen adott két (A,*) és (B,×) grupoid. Ha
, és a * művelet a × művelet leszűkítése A-ra (* = ×|A), akkor az első grupoidot a második részgrupoidjának nevezzük. Azt is mondhatjuk, a részgrupoidot a grupouid egy olyan részhalmazán lehet értelmezni, mely szintén grupoid a nagyobb grupoidon értelmezett művelettel ellátva.
[szerkesztés] Homomorfia
Két (A,*) és (B,×) grupoid homomorf, ha létezik olyan f:A->B függvény, melyre érvényes tetszőleges a,b ∈ A -ra f(a*b) = f(a)×f(b). Ez esetben a grupoidokat homomorfnak, magát a függvényt homomorfizmusnak nevezzük. A homomorfia egy előrendezési reláció grupoidok egy tetszőleges halmaza felett. Ugyanakkor általában nem szimmetrikus (így nem ekvivalenciareláció) és nem is antiszimmetrikus (így nem rendezési reláció).
Néhány példa homomorf grupoidpárokra:
-nak
-ba, önmagába való homomorfizmusa bármely
esetén az
függvény (azaz amely egy számhoz az m számmal való osztási maradékát rendeli), hiszen f(a+b)= (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) = f(a)+f(b) érvényes, két szám adott m-mel való osztási maradéka a számok maradékainak összege.
és
, sőt köztük végtelen sok homomorfizmus található, minden
-re ugyanis a
logaritmusfüggvény homomorfizmus.
és
is homomorfak; például a komplex szám abszolút értékének képzése egy homomorfizmus, hisz 
- Legyen mindkét grupoid univerzuma egy A halmaz P(A) hatványhalmaza, és az egyikben a művelet a metszet, a másikban az egyesítés. Ez a két grupoid is homomorf. A homomorfizmus a komplementerképzés művelete (a DeMorgan-törvény biztosítja, hogy ez valóban homomorfizmus).
[szerkesztés] Izomorfia
Két homomorf grupoid izomorf, ha van bijektív homomorfizmusuk, azaz izomorfizmusuk. A grupoidok izomorfiája szemléletesen azt jelenti, hogy tulajdonképpen (bár nem szó szerint) „ugyanarról” a grupoidról van szó, csak másféleképp jelöltük az elemeket. Az izomorfia ekvivalenciareláció grupoidok tetszőleges halmaza felett.
[szerkesztés] Hivatkozások
- Maurer Gyula–Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia könyvkiadó, Kolozsvár/Cluj-Napoca, 1976.


Based on work by