Csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk az algebrai struktúráról szól. További jelentéséhez lásd: csoport (egyértelműsítő lap).
Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.


A matematikában csoportoknak nevezzük azokat az algebrai struktúrákat, amelyeken pontosan egy kétváltozós, asszociatív és invertálható művelet van értelmezve. Az invertálhatóságból következően a csoportoknak létezik egységeleme is, ami ráadásul egyértelműen meghatározott.

Ha egy csoport minden g1 és g2 elemére g_1\cdot{}g_2=g_2\cdot{}g_1, akkor a csoportot Abel-csoportnak nevezzük (Niels Henrik Abel matematikus után).

A matematikán, illetve az algebrán belül a csoportelmélet foglalkozik a csoportok vizsgálatával.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Azokat a (G,\cdot) grupoidokat, amelyekre teljesülnek az alábbi axiómák, csoportoknak nevezzük:

  • \forall{}g_1,g_2,g_3\in{}G-re: (g_1\cdot{}g_2)\cdot{}g_3=g_1\cdot(g_2\cdot{}g_3), azaz a grupoid művelete asszociatív,
  • (G,\cdot)-ben létezik e\in{}G úgy, hogy \forall{}g\in{}G-re: e\cdot{}g=g, azaz létezik balegységelem,
  • \forall{}g\in{}G-re létezik g_1\in{}G úgy, hogy g_1\cdot{}g=e.

A fenti definíció ekvivalens a következővel:

Az invertálható félcsoportokat csoportoknak nevezzük.

[szerkesztés] Csoport rendje

Ha a (G,\cdot) csoport alaphalmaza véges, akkor véges csoportról beszélünk. Ebben az esetben G elemszáma a csoport rendje, amit így jelölünk: | G | .

[szerkesztés] Példák

Példák csoportokra:

  • G=(\mathbb{Z}, +) (kommutatív).
  • G=(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot ) (kommutatív).
  • egy adott geometriai alakzatot önmagába vivő leképezések (tükrözések, elforgatások, eltolások, illetve ezek kombinációi) halmazán ezen leképezések szorzása
(megjegyzés: két leképezés definíció szerint megegyezik, ha ugyanazt a pontot ugyanarra a pontra képezik le; ez a csoport nem kommutatív).

Ellenpéldák:

  • G=(\mathbb{Z}, -) (kommutatív):
csak jobboldali egységelem létezik (a − 0 = a, de 0-a\ne a), ráadásul a kivonás nem asszociatív.
  • a 0 determinánsú 2x2-es mátrixok és a 2x2-es egységmátrix halmazán a mátrixszorzás:
asszociatív, létezik egységelem, de csak az egységelemnek van inverze.

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • Csoportban az egységelem egyértelműen meghatározott, azaz pontosan egy egységelem létezik.
  • Csoportban az inverz egyértelműen meghatározott, azaz a csoport minden elemének pontosan egy inverze van.

[szerkesztés] Történet

Fő szócikk: Csoportelmélet

[szerkesztés] Hivatkozások

  • Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994