Tizedestört

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tizedestörtnek a valós számok (ℝ) egy lehetséges kanonikus (gyakorta alkalmazott és minden szám esetében egyértelműen lehetséges) felírását nevezzük. Nevezetesen, ha r∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor intuitíve elfogadható vagy (pl. a Cantor-axiómára épülő axiómarendszerben könnyedén) bebizonyítható, hogy léteznek olyan m∈ℕ+ z0,z1,...,zm∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számok és olyan {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}-beli végtelen sorozat, azaz olyan t1,t2,...∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,} számok, amelyekre

r = ± 10mzm+...+101z1+100z0+
+10-1t1+...+10-2t2+...+10-iti

Másképpen, amelyre

r = \sum_{j=0}^{m}10^{j}z_{j}+\sum_{i=1}^{\infty}10^{-i}t_{i}

Elnevezések: a z és t számok a([z] r) szám jegyei (mégpedig tízes jegyei - ugyanis van kettedes- harmados stb. törtes felírás is), a z számok megfelelő 10-hatványokkal súlyozott összegei a szám egészrésze, a "maradék", tehát a t számok 10-hatványokkal szorzott összege, a valós szám törtrésze.

[szerkesztés] Példák

Néhány nemnegatív szám tizedestört alakja ( a * azt jelzi, hogy a tizedestört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz, a véges tizedestörtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét:

szám rövid tizedestört alak szabályos tözedestört alak
0 0 0.*0*
1 1 1.*0*
10 10 10.*0*
1/10 0.1 0.1*0*
1/100 0.01 0.01*0*
1/1000 0.001 0.001*0*
1/2 0.5 0.5*0*
1/4 0.25 0.25*0*
1/8 0.125 0.125*0*
1/3 0.33... 0.*3*
2/3 0.66... 0.*6*
1/5 = 2/10 0.2 0.2*0*
1/6 0.166... 0.1*6*
5/7 0.714285... 0.*714285*
π 3.141592... 3.141592...

[szerkesztés] Tizedestörtek osztályzása

Ha van olyan küszöb, melytől kezdve minden t jegy 0, akkor a tizedes tört véges. Ha van olyan küszöb, melytől kezdve a t jegyek sorozata pediodikus akkor a tizedes tört szakaszos (véges tizedes tört tehát periodikus). Ha egy tizedes tört nem szakaszos, akkor nem-szakaszosnak vagy aperiodikusnak nevezzük.

Fontosabb tételek: racionális szám tkp. egyértelműen írható szakaszos tizedestört alakba, fordítva pedig, néhány kivételtől eltekintve minden szakaszos tizedestört egy és csak egy racionális számot határoz meg. Az irracionális számok tizedestört alakja aperiodikus.

[szerkesztés] Műveletek tizedestörtekkel

Véges tizedestörtekkel nagyjából ugyanúgy számolunk, mint tízes számrendszerben felírt egész számokkal. A végtelen (akár periodikus) tizedestörtekkel való számolás azonban komoly felsőbb matematikai feladat, vele a matematikai analízis sorelmélet c. része foglalkozik.


Más nyelveken