Skaláris szorzat
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A skaláris szorzat, más néven belső szorzat egy vektorokkal végzett művelet. Jelölése: a·b vagy <a,b>. Általában két értelmezés használatos, az egyik a geomertriai vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.
Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.
Három dimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:
Ez akárhány dimenzióra általánosítható.
Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).
[szerkesztés] Tulajdonságai
A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelmben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.
- kommutatív:

- bilineáris:


- pozitív definit:
, és
akkor és csak akkor ha 
Geometriai vektorok esetén
, azaz önmagával való skalárszotzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.
[szerkesztés] Általánosítás
Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a < a,b > jelölés.
[szerkesztés] Példák
- Az az
intervallumon folytonos
-be képező, négyzetesen integrálható függvények terén értelmezett belső szorzat:

- Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y a bázisban felírható:


akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:





Based on work by