Rend (Matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A rend megnevezés előkerül például a számelméletben (többféle változatban), az absztrakt algebrában (még többféle változatban), a lineáris algebrában.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Struktúra rendje

Adott egy U halmaz feletti \mathcal{S} = \left( U , \mathcal{T} , \mathcal{R} , \mathcal{M} , \mathcal{C}  \right) matematikai struktúra, ekkor az U tartóhalmaz vagy univerzum számosságát (elemeinek számát) a struktúra rendjének is nevezzük; jelölések: | \mathcal{S} | =  | U |

[szerkesztés] Neutrális elemre vonatkozó rend

Adott egy \left( U , * , e \right) egyműveletes neutrális elemes algebrai struktúra (unitér grupoid); melyben legyen e ∈ U neutrális elem. Ekkor az x ∈ U elem rendjének nevezzük a * műveletre nézve azt a legkisebb pozitív m := o(x) természetes számot, amelyre x m =e. Itt x m egy speciális műveletet, a * művelet szerinti iterációt (többszörözést/hatványozást) jelenti.

  • Ilyen szám nem feltétlenül létezik. Ha nincsen, akkor vagy azt mondjuk, a rend legyen 0, vagy pedig, hogy végtelen. Mindkét megállapodásnak vannak előnyei is, hátrányai is. Talán az utóbbi megállapodás (a végtelen rendűség definiálása) gyakoribb, elfogadottabb.
  • Ha a struktúra és művelet additív, illetve multiplikatív írásmódú (összeadás ill. szorzás), akkor szokás additív ill. multiplikatív rendről beszélni. Ennek fontos szerepe van pl. többműveletes struktúrák esetén.

[szerkesztés] Ciklikus rend

A véges testek elméletében definiálható egy test elemének egy adott résztestre vonatkozó ciklikus rendje is, mely fogalom igen hasznos mind a test feletti polinomok irreducibilitásának illetve megoldásainak (gyökeinek), mind bizonyos automorfizmusok vizsgálatában.

[szerkesztés] Polinom rendje

Egy adott test feletti polinomnak többféle értelemben is lehet rendje (más néven periódusa).

[szerkesztés] Rekurziós rend

Egy rekurzív sorozat rendje az m pozitív természetes szám, ha a sorozat első m eleméből az összes többi elem rekurzívan számolható. Egy sorozatnak több rendje is lehet (ha m rendje, akkor valójában minden n ≥ m is rendje); ezek közt a legkisebbet a minimális rendjének, vagy egyszerűen csak a rendjének nevezzük, és o(sorozat neve)-val jelöljük.