Integrálszámítás
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az integrálszámítás a matematika analízis nevű ágának a része.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A Riemann-integrál
[szerkesztés] A Riemann-integrál fogalma
A valós függvények elméletében integrálnak nevezzük azt a területet, mely egy függvény görbéjének egy szakasza alatt helyezkedik el. Ez a terület nem mindig létezik, nem mindig mérhető, ha igen, akkor mondjuk a függvényt integrálhatónak. Bernhard Riemann (1826-1866) vezette be elsőként az integrálhatóság és az integrál egy precíz definícióját. Őróla nevezzük ezt Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott integrál megnevezést.
Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsóhatárának, a b-t az integrál felsőhatárának nevezzük.

Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot n részre az
ponthalmazzal, ahol
. Ezt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. Az így keletkező intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Jele: dn (A továbbiakban az ábrán érdemes követni az itt leírtakat.)


Mindegyik [xi - 1,xi] részintervallumból válasszunk ki tetszőlegesen egy
elemet. Végiggondolható, hogy a előző ábrán szereplő három téglalap magasságai rendre
f(ξ1),f(ξ2),f(ξ3), szélességeik: x1 - x0, x2 - x1, x3 - x2. Így például az első területe: f(ξ1)(x1 - x0). A téglalapok

területösszege "közel van" a keresett területhez. A

képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelítő összegének nevezzük. Ezt a

jelölésekkel

alakba is átírhatjuk.
A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat:
. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha a felosztások finomságainak
sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelítő összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele:
vagy röviden:
.
A definíció szerint
a dn tart nullához feltétel mellett.
Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható.
[szerkesztés] Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg
Ha a σn összegben az f(ξi) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk akkor a felső integrálközelítő összeghez jutunk:
ahol Mi a függvény felső határa (supremuma) az [xi - 1,xi] intervallumon.
Hasonló az alsó integrálközelítő összeg definíciója is:
ahol mi az függvény alsó határa (infimuma) az [xi - 1,xi] intervallumon.
Amennyiben létezik az
integrál, akkor
. Ilymódon az integrált "két érték közé tudjuk szorítani".
[szerkesztés] A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula
Az I (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitív függvényének nevezzük az F függvényt, ha F'(x)=f (x) teljesül bármely
esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)
Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az. (Mivel C egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.
Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans előjelétől függően felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény derivált-függvénye tehát ugyanaz lesz.
Az f(x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a -cos x függvény, hiszen (-cos x)' = sin x, de a -cos x +5 függvény is primitív függvény. Általánosan a -cos x+C alakú függvények primitív függvényei a sin x függvénynek.
Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:
Newton–Leibnitz-formula:
, ahol az F(x) függvény az f(x) függvény primitívfüggvénye, a
pedig egy új jelölés az F(b)-F(a) kifejezésre.
![\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1](../../../math/1/2/9/1290b9bebd86a663dd18e2cc7946323c.png)
Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a
intervallumba eső részét. Vajon miért lesz az integrál értéke negatív?
[szerkesztés] Határozatlan integrál
A primitív függvények összességét határozatlan integrálnak vagy antideriváltnak nevezzük. Jele 
Például:
, ahol C tetszőleges valós szám.
[szerkesztés] Egyéb integrálok
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:
- a Banach-integrál
- a Burkill-integrál
- a Daniell-integrál
- a Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
- a Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
- a Dirichlet-integrál
- az Euler-integrál
- a Fejér-integrál
- a Haar-integrál
- a Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
- a Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál valamint néven is)
- az Itô-integrál
- az Itô-Stieltjes-integrál
- a Lebesgue-integrál
- a Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
- a mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméletio álatlánosítása
- a Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
- a Poisson -integrál
- a Radon-integrál
- a Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
- a sztochasztikus integrál
- a Wiener-integrál
- a Young-féle integrál
[szerkesztés] Források
- Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
- Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
- Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
- Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
- Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.


Based on work by