Aranymetszés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az aranymetszés vagy aranyarány az arányosság egy törvénye, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és asszimmetria között. Az aranymetszés arányait tartalmazó formák sokáig nagy esztétikai értékkel bírtak a nyugati kultúrákban, és máig alkalmazzák számos területen (például tipográfiában vagy fényképészetben). Az ókori pithagoreánusok (Pithagorasz és követői), akik szerint a valóság matematikai alapokon nyugszik, az aranymetszésben a létezés egy alap törvényét vélték felfedezni.

Aranymetszési arányok találhatók számos ókori épületeken, középkori és reneszánsz képzőművészeti alkotásokon, de ez az arány felismerhető például az emberi testen vagy csigák mészvázán is.

Az aranyarány numerikus kifejezése az irracionális fí-szám (értéke körülbelül 1,618), mely érdekes matematikai tulajdonságokkal rendelkezik.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Matematikai definíció

Aranymetszés
Nagyít
Aranymetszés

Két rész az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobbik részhez (a), ahogy a nagyobbik rész (a) aránylik a kisebbik részhez (b):

{a+b \over a} = {a \over b}.

Vagyis a nagyobbik fél középarányosa (mértani közepe) az egésznek és a kisebbik félnek:

a^2 = (a+b) \cdot b.

A fentiekkel egyenértékű az a megfogalmazás, hogy a nagyobbik rész úgy aránylik a kisebbik részhez, mint a kisebbik rész a két rész különbségéhez:

{a \over b} = {b \over a - b }, azaz:
b^{2} = a \cdot (a-b).

Szerkesztés útján minden vonal az aranymetszés elve szerint osztható, és hasonlóképpen a számok is. Vegyük például egészként az 1000-et. Ennek aranymetszés szerinti párja a 618.

{1000 \over 618} \approx {618 \over 382}

Ha pedig a 618-at vesszük egésznek, akkor párként a 382-t kapjuk. Tovább folytatva és a kis töredékeket elhagyva a 8 és 5, majd az 5 és 3 párokhoz jutunk. A háromhoz már nem tudunk egész párt találni. Tehát ezek a számok (8, 5 és 3) közelítőleg helyes fogalmat nyújtanak az aranymetszés osztási arányáról.

[szerkesztés] Története

Gyakori megjelenése miatt a geometriában már ókori matematikusok is tanulmányozták az aranymetszést. Bizonyíthatóan az ókori Egyiptomban is értették és használták ezt a törvényszerűséget. Az i. e. 2600 körül épült gizai Nagy Piramis arányaiban is felfedezhető az aranyarány. A piramis négyzet alapjának az oldalának a fele és az egyik háromszög oldallapjának a magassága az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz. (Az előbbi körülbelül 186,4, az utóbbi 115,2 m, melyek hányadosa az 1,618 arányszám.)

Az ókori görögök is ismerték ezt az arányt. Pithagorasz, Theodorus és Euklidész is foglalkozott vele. Az aranymetszés jelölése a \varphi (fí) görög betű Pheidiász görög szobrász nevéből származik, aki gyakran alkalmazta munkájában.

Adolph Zeising (1810-1876) Auf experimentalen Asthetik (Kísérleti esztétika) című művében ír nagyszámú emberen végzett méréseiről. A jól kifejlett emberi alaknak első osztási pontját a köldökre tette és megállapította, hogy a test törzsének és főbb tagjainak illeszkedési pontjai szintén az aranymetszés szerint arányulnak. Kétségtelen, hogy a korábbi, különösen a görög szoborművek arányai is megfelelnek Zeising elméletének: ha a test magassága 1000, a test alsó része a köldöktől 618, a test felső része a köldöktől 382, a fej hossza pedig 146. Ezek mind az aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz. Zeising azonkívül megkísérelte az ókor és a középkor legkiválóbb építményein kimutatni, hogy azoknak egészén és egyes részeinek méreteiben az aranymetszés elve uralkodik, ahogy a festészet legismertebb alkotásainak elrendezésében is ugyanez az elv érvényesül.

[szerkesztés] Művészet

Több neves művész vagy műalkotás épít az aranymetszés szabályaira, például a magyar Szent Korona ([1]), Bartók Béla bizonyos zeneművei; Dante Alighieri Isteni színjátéka, Leonardo da Vinci festményei.

[szerkesztés] Tipográfia

A tipográfia – avagy a nyomtatás művészete – is épít az aranymetszés szabályaira: a címek, alcímek és a szövegtörzs betűméretének viszonyát általában az aranyarányban szokás megállapítani.

[szerkesztés] Az „aranyarány” tényezője

[szerkesztés] Az arányszám kiszámítása

A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb szakasz (a) hányszorosa a kisebb szakasznak (b), tehát az a Φ szám, amelyre a = \Phi \cdot b, másképpen: \Phi = \frac{a}{b} teljesül.

A definíció szerint:

{a \over b} = {b \over a-b}.

A jobboldali tört számlálóját és nevezőjét is b-vel elosztva:

{a \over b} = {1 \over {a \over b} -1}.

Ebbe \Phi = {a \over b}-t behelyettesítve kapjuk, hogy

\Phi = {1 \over \Phi -1}

azaz

Φ(Φ − 1) = 1.

Ebből a zárójelet felbontva és az egyenletet rendezve a következő egyismeretlenes másodfokú egyenletet kapjuk:

Φ2 − Φ − 1 = 0.

Ezt az egyenletet megoldva a következőt kapjuk (Az egyenlet negatív gyöke (~-0,618) a definíció miatt nem megoldása a problémának.):

\Phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2} = 5^{0.5} \cdot 0.5 + 0.5\approx 1, \ 618 \ 033 \ 988 \ 749 \ 894 \ 848 \ 20 ....

Ezt a számot nevezzük fi-számnak.

[szerkesztés] A fi-szám

A fi-szám [vagy phi-szám, ejtsd: fí] egy irracionális szám, tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként, hasonlóképpen a pi-számhoz (π = 3,14159…), ill. az Euler-féle számhoz (e = 2,71828...).

Az alábbi két formula valamelyikével számítható ki: {1+\sqrt{5} \over 2} vagy 5^{0.5} \times 0.5 + 0.5

Ez a szám testesíti meg az aranymetszés ősi arányát, tehát bizonyos értelemben egy arányszám – a lehető legnagyobb harmónia megtestesítője. Erre mind a természetben, mind a művészetben számtalan példát találunk: például az emberi test arányai, virágok, termések, mészvázas állatok házának szimmetriája, geometriai alakzatok (pentagramma, ikozaéder), ókori építészet (athéni Parthenon), hangközök stb. (lásd még Dan Brownnak A da Vinci-kód c. regényét).

Ezenkívül a számnak rengeteg érdekes matematikai tulajdonsága van, például kapcsolatai a Fibonacci-sorozattal.

[szerkesztés] Tört-előállítások

[szerkesztés] Végtelen lánctört-előállítás

Mivel

\Phi = 1+ \frac{1}{\Phi},

azért

\Phi = 1+ \frac{1}{ 1+ \frac{1}{\Phi}},

továbbá

\Phi = 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1 +\frac{1}{\Phi} } },

és így tovább.

Ezzel az arányszám ún. (végtelen) lánctört-előállítását kapjuk:

\Phi = 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1 +\frac{1}{...} } }

[szerkesztés] Előállítás lineáris törtfüggvény-sorozat tagjai alakjában

Ha megtesszük, hogy a fenti lánctört-sorozat tagjait egyszerűsítjük, úgy hogy a bennük szereplő törteket közös nevezőre hozzuk, érdekes dologra juthatunk. Ezt azonban egyszerűebben is megtehetjük: Mivel

\Phi = \frac{\Phi +1}{\Phi},

a jobb oldalon álló Φ-kbe behyelettesítve a bal oldalon álló Φ jobb oldali alakját:

\Phi = \frac{ \frac{ \Phi +1}{ \Phi } +1 }{ \frac{ \Phi +1 }{ \Phi} } = \frac{\frac{2 \Phi +1}{\Phi}}{\frac{\Phi +1}{\Phi}} = \frac{2 \Phi +1}{\Phi +1},

Most az így kapott kifejezéssel ugyanazt csinálva, mint előbb, azaz beírva a legelső egyenlet jobb oldalát, adódik:

\Phi = \frac{3 \Phi +2}{2 \Phi +1}.

Észrevehető, hogy a számláló és nevező együtthatói az \left( f_{n} \right) _{ n \in \mathbb{N} } Fibonacci-sorozat szomszédos elemei. Teljes indukcióval bizonyítható, hogy általában is:

\Phi = \frac{ f_{n+1} \Phi + f_{n}}{f_{n} \Phi +f_{n-1}}.

[szerkesztés] Approximáció

A szám természetesen irracionális, így felmerül a kérdés, hogy approximálhatóság szempontjából hogyan viselkedik. Azt lehet mondani, hogy valamilyen értelemben a lehető legrosszabbul. Egyrészt végtelen sok olyan p/q racionális szám van, amire

\left| \Phi - \frac{p}{q} \right| < \frac1{q^2},

hiszen ez minden irracionális számra teljesül.

Mivel Φ algebrai, így ez semmilyen \varepsilon > 0 esetén nem igaz már \frac1{q^{2+\varepsilon}}-ra (Roth tétele).

Az is igaz, hogy végtelen sok olyan p/q racionális szám van, amire

\left| \Phi - \frac{p}{q} \right| < \frac1{\sqrt{5} \cdot q^2}

teljesül, mert Hurwitz approximációs tétele miatt ez is teljesül minden irracionális számra.

Mivel Φ olyan szám, aminek láctörtalakja egy küszöbtől kezdve csupa 1-es, ezért itt \sqrt5 helyére nem lehet nagyobb számot írni. Mivel minden olyan szám esetén, amikor a számra nem igaz, hogy egy küszöbtől kezdve a lánctört alakjában csupa 1-es áll, akkor \sqrt8-cal is igaz az állítás.

Vagyis ilyen értelemben Φ azok közé a számok közé tartozik, amik a lehető legrosszabbul approximálhatók.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozások