Mértékelmélet (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A mértékelmélet a matematika egyik területe, melynek központi fogalma a mérték, a σ-algebra, az integrál vagy a mérhető függvény. Tekinthető a valós analízis egyik ágának, ami fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. Ezzel különböző fogalmakat próbálink megfogni, ilyen lehet a hossz, a térfogat vagy a valószínűség. De a konkrét szituációban lehet a mérték jelentése olyan is, aminek a való életünkben semmi megfelelője nincsen.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja valamilyen szempontból. Ott a részhalmazok az intervallumok.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Formális definíció

A mérték egy \mu : \sum \to [0, \infty ] függvény, ahol \sum egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

\mu(\varnothing) = 0;
  • σ-additivitás: ha E1, E2, E3, ... egy páronként diszjunkt, megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor
\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

Az (X,Σ,μ) hármast nevezik mértéktérnek, és Σ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Monotonitás

μ monoton, vagyis ha E1 and E2 mérhető halmazok, és E1E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).

[szerkesztés] Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke

Ha E1, E2, E3, ... egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

Ha E1, E2, E3, ... mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

[szerkesztés] Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke

Ha E1, E2, E3, ... mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor

\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden nN esetén

E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

  • P.R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1994