Maxwell-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Elektromágnesség
kapcsolódó fogalmak
Elektromosság
Mágnesség
Elektrosztatika
Elektromos töltés
Coulomb-törvény
Elektromos mező
Gauss-törvény
Villamos potenciál
Magnetosztatika
Elektromos áram
Ampere-törvény
Mágneses mező
Mágneses momentum
Elektrodinamika
Lorentz-törvény
Elektromos erő
Elektromágneses indukció
Faraday-Lenz törvény
Maxwell-egyenletek
Mágneses erő
Elektromágneses sugárzás
Elektromos áramkörök
Elektromos vezetés
Elektromos ellenállás
Elektromos kapacitás
Elektromos indukció
Impedancia
Rezgőkörök
Hullámtan

Maxwell-egyenletek négy egyenlet, melyet James Clerk Maxwell állított fel, hogy leírja mind az elektromos, mind a mágneses tér viselkedését, valamint kölcsönhatásukat az anyaggal.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az egyenletek összegzése

Maxwell négy egyenlete a következőket írja le,

  • 1. hogyan kelt elektromos teret az elektromos töltés (Gauss-törvény)
  • 2. a mágneses töltések hiányát (Gauss mágneses törvénye),
  • 3. hogyan változtatja meg a mágneses tér az elektromos teret (Faraday indukciós törvénye)
  • 4. hogyan kelt mágneses teret az áram (Ampère-törvény)


Name Differenciál-egyenlet alak Integrál alak
Gauss-törvény: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV
Gauss mágneses törvénye
(mágneses monopólusok hiánya):
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Faraday indukciós törvénye: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Ampère-törvény
(Maxwell kiterjesztésével):
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}


ahol a következő táblázat adja meg a benne szereplő mennyiségek jelentését SI mértékegységrendszerben.


Jelölés Jelentés SI mértékegység
\mathbf{E} elektromos térerősség volt per méter
\mathbf{H} mágneses térerősség amper per meter
\mathbf{D} elektromos eltolás coulomb per négyzetméter
\mathbf{B} mágneses indukció tesla
\ \rho \ elektromos töltéssűrűség coulomb per köbméter
\mathbf{J} áramsűrűség amper per négyzetméter
d\mathbf{A} infinitezimális dA hosszúságú, az S felületre merőleges vektor négyzetméter
dV \ az S felület által körbezárt V térfogat infinitezimális eleme köbméter
d \mathbf{l} infinitezimális dl út hosszúságú, az S felületet körbejáró C kontúrral érintőleges vektor méter
\nabla \cdot divergencia operátor per méter
\nabla \times rotáció operator per méter


A Maxwell-egyenletek differenciál és integrálalakjai homogén, izotrop közeg (folytonosan változó erőterek) esetén egyenértékűek a vektoranalízisbeli Gauss-Osztrogradszkij és a Stokes-tételek következményeként. Amennyiben a közeghatárokon is fel kívánjuk írni az egyenleteket, akkor a differenciálalak csak a következő, úgy nevezett határfeltételekkel együtt lesz egyenértékű az integrálalakkal.

\mathbf{E}_{t1}=\mathbf{E}_{t2} (az elektromos térerősség érintőirányú komponenese folytonosan megy át a határfelületen)
\mathbf{D}_{n2}-\mathbf{D}_{n1}=\sigma_{sz} (az eltolásvektor normális komponenese ugrik, ha van a felületen szabad töltés, és folytonosan megy át, ha nincs)
\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{j} (a mágneses térerősség értintőirányú komponense ugrik, ha van a közeghatáron felületi áram és folytonosan megy át, ha nincs)
\mathbf{B}_{n1}=\mathbf{B}_{n2} (a mágneses indukcióvektor normális komponense folytonosan megy át a közeghatáron)

[szerkesztés] Az egyenletek története

Maxwell 1864-ben először írta fel a négy törvényt együtt, és észrevette, hogy az Ampere-törvény módosításra szorul: a változó elektromos mező ugyanúgy viselkedik, mint az áram, ugyanúgy létrehoz mágneses teret. Ezen tag figyelebe vételével az egyenletekből következik a töltésmegmaradás, ami egy máig alapvetőnek gondolt megmaradási tétel.

Ezenfelül Maxwell megmutatta, hogy az egyenletek szerint (ha a módosítását figyelembe vesszük) létrejöhetnek elektromágneses hullámok, olyan hullámok, melyben oszcilláló elektromos és mágneses mező halad az űrön át olyan sebességgel, melyet egyszerű elektromos kísérletekből kikövetkeztethetünk. Az akkor elérhető adatokat felhasználva ezt a sebességet Maxwell 310 740 000 m/s nagyságúnak számította ki. Maxwell (1865) ezt írta:

Ez a sebesség olyan közel esik a fényéhez, hogy erős okunk van feltételezni, hogy a fény maga (beleértve a hősugárzást és a többi sugárzást ha létezik) elektromágneses zavar, mely hullám formájában terjed az elektromágneses térben az elektromágnesesség törvényei szerint.

Maxwell következtetése helyes volt, de nem érhette meg annak Heinrich Hertz által elvégzett 1888-as igazolását. A fény mennyiségi értelmezése elelktromágneses hullámként, melyet Maxwell tett meg, a 19. századi fizika egyik nagy diadala. Valójában Michael Faraday hasonló képet festett a fényről 1846-ban, de nem volt képes mennyiségi leírást adni, és a sebességet megjósolni. A felfedezésnek nagy hatása volt a fizika területén is, olyan új elméletek születtek belőle mint a speciális relativitáselmélet és a belőle származó egyesítése az elektromos és mágneses tereknek egy tenzormennyiségben, és az elektromágnesesség és a gravitáció Kaluza és Klein általi egyesítése, valamint az általános relativitáselmélet.

[szerkesztés] A Maxwell-egyenletek kovariáns alakja

[szerkesztés] Külső hivatkozások