Osztóösszeg-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A szigmafüggvény grafikonja (n=250-ig, kék színnel), feltüntetve az y=n+1 (lila), az y=2n (sárga) és az y=3n (világoskék) egyeneseket is
Nagyít
A szigmafüggvény grafikonja (n=250-ig, kék színnel), feltüntetve az y=n+1 (lila), az y=2n (sárga) és az y=3n (világoskék) egyeneseket is

A számelméletben általában σ(n)-nel jelölt osztóösszeg-függvény avagy szigmafüggvény [1] a természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum osztóinak összege (az 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát

\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d [2]

Például σ(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28; különleges (elfajult) esetekként σ(0) = 0; σ(1) = 1 [3]. További példákat ld. lentebb.

Az osztóösszeg-, latinul summis divisorum-függvény, ∫ n-nel jelölve, már Leonhard Euler egy 1750-60-as években írt dolgozatában is szerepelt, a rá vonatkozó kanonikus képlettel együtt [4].


Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Értékei kis számokra

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
σ(n) 32 36 24 60 31 42 40 56 30 72 32 63 48 54 48 91 38 60 56 90
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
σ(n) 42 96 44 84 78 72 48 124 57 93 72 98 54 120 72 120 80 90 60 168
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
σ(n) 62 96 107 127 84 144 68 126 96 144 72 195 74 114 124 140 96 168 80 186
n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
σ(n) 121 126 84 224 108 132 120 180 80 234 112 168 128 144 120 252 98 171 156 217

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Algebrai-számelméleti tulajdonságok

[szerkesztés] Értékei prímhatványokra

Ha α>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor

\sigma (p^{\alpha}) \ = \ \frac{p^{\alpha +1}-1}{p-1}.

Ennek speciális eseteként

\sigma (p) \ = \ \frac{p^{2}-1}{p-1} \ = \ p+1.

A második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye, hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van: 1 és p, ezek összege p+1. Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből (SzAT) következik, ugyanis pα osztói pontosan a pβ alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; tehát az osztók rendre 1, p, p2, ..., pα, egy α+1 tagú, 1 kezdőelemű és p hányadosú mértani sorozat elemei, melynek összegképlete pont a fent írt egyenlőséget adja.

[szerkesztés] Kanonikus kiszámítási mód

A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a szigmafüggvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja)

n \ = \ p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} ... p_{g}^{\alpha_{g}} \ = \ \prod_{i=1}^{g} p_{i}^{\alpha_{i}}

1, ..., αg, g ∈N+ és p1, ..., pg prímszámok); akkor érvényes:

\sigma (n) =   \left( p_{1}^{0}+p_{1}^{1} + ... p_{1}^{\alpha_{1}} \right) \left( p_{2}^{0}+p_{2}^{1} + ... p_{2}^{\alpha_{2}} \right) ... \left( p_{g}^{0}+p_{g}^{1} + ... p_{g}^{\alpha_{g}} \right) =


= \prod_{i=1}^{g} \sum_{j=0}^{\alpha_{i}} p_{i}^{j} = \prod_{i=1}^{g} \frac{ p_{i}^{\alpha_{i}+1} -1 }{p_{i}-1}.

[szerkesztés] Multiplikativitás

(Gyengén) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán felvett értéke a számokon felvett értékek szorzata. Formálisan:

\forall a,b \in \mathbb{Z}: \ \left( \ \ \left(a,b\right)=1 \ \Rightarrow \ \sigma(ab) = \sigma(a) \cdot \sigma(b) \ \right)

Például:

  • a=4, és σ(4) = 7;
  • b=15, és σ(15) = 24;

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két szám szorzata: 4·15 = 60, valamint σ(60) = 1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60 = 168, ami pontosan 7·24.

Ez a tulajdonság a SzAT egyszerű következménye. Jelölje Σ, ahogy szokásos, egy számhalmaz vagy elemrendszer elemeinek összegét ! Ekkor

  1. Ha a vagy b nulla, akkor szorzatuk is nulla, a függvény szorzatukon felvett értéke is nulla; ugyanakkor a függvény legalább egyikükön (a nulla értékűn) felvett értéke is nulla, így ez esetben az állítás igaz. Feltehető, hogy a,b>0.
  2. Jelölje A az a osztóinak halmazát, B a b osztóinak halmazát; C az ab osztóinak halmazát; ekkor a SzAT egyik következménye szerint relatív prím számok szorzatának osztói a tényezők osztóinak szorzatai; a szorzás disztributivitása alapján pedig ekkor Σ(A)Σ(B) = (a1+...+aj)(b1+...+bk) = a1Σ(B)+...+ajΣ(B) = {a1y | y∈B}+...+{ajy | y∈B} = Σ{xy|x∈A, y∈B} = ΣC = σ(ab). QED.

[szerkesztés] A szigma által felvett értékek osztályzása

σ(n) akkor és csak akkor 2-hatvány, ha n=1, vagy n különböző Mersenne-prímek szorzata (Sierpiński 1958-59, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). A függvény értéke akkor és csak akkor páratlan, ha n négyzetszám vagy négyzetszám kétszerese. Subarao egy 1974-es eredménye szerint

nσ(n) ≡ 2 (mod φ(n))

akkor és csak akkor, ha n prím, vagy ha 4, 6, vagy 22.

[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok

A szigmafüggvény növekedése szabálytalan (nem monoton, nem csak az argumentum nagyságától függ, hanem annak multiplikatív szerkezetével (prímfelbontás) is erős kapcsolatban áll).

[szerkesztés] Alulról korlátos

A szigmafüggvény triviálisan alulról korlátos és alsó határa 0, hiszen értéke bármely nemnegatív argumentumra nemnegatív, és a 0-t az n = 0 esetben fel is veszi. Vagyis

min(R(σ(n))) = 0.

(A fentiek következményeképp inf(R(σ(n))) = 0.)

[szerkesztés] Felülről nem korlátos

A függvény felülről nem korlátos, hiszen minden n természetes számra teljesül n ≦ σ(n) (ld. a következő bekezdést). Ha most K akármilyen valós szám és N tetszőleges, nála nagyobb természetes szám (ilyen az arkhimédeszi axióma alapján létezik), akkor K < N ≦ σ(N), így σ nem felülről korlátos.

[szerkesztés] Az argumentumnál nagyobb

Egyszerű tulajdonság, hogy σ(n)≥n+1, amennyiben n≥2. Ugyanis maga n és 1 mindig két különböző osztója n-nek, ha n≥2, és így, ha A-val jelöljük az ezektől különböző osztók összegét (A≥0), akkor n>2-re σ(n)=1+A+n≥n+1. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az n→n+1 „diszkrét egyenes fölötti síkrészbe esik”. Megjegyezzük, hogy ha n<2, akkor σ(n)=n, vagyis minden természetes számra csak a fenti állításnál „kevesebbet mondó” n≤σ(n) egyenlőtlenség igaz.

[szerkesztés] Grönwall tétele

A szigmafüggvény növekedését nagy vonalakban a következő határértékkel jellemezhetjük:

\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma .

ahol γ az Euler-konstans (avagy Euler-Mascheroni-állandó). Ezt a tételt Thomas Hakon Grönwall tette közzé 1913-ban [5]. Ramanujan tőle függetlenül egy hasonló, de gyengébb eredményt fedezett fel.

[szerkesztés] Értékei összege és átlaga

\sum^{x}_{n=1}\sigma(n)=\frac{\pi^2}{6}x^2+O(x\log x)

és itt O(xlogx) helyett már nem írhatunk o(xloglogx)-et [6].

Erdős, Bateman, Pomerance és Straus 1980-as publikált eredményei szerint az n szám osztói átlagának, vagyis az

A(n) \ := \ \frac{\sigma (n)}{d(n)}

függvény folytonos összegére érvényesek a következő aszimptotikus egyenlőségek:

S_{A}(x) \ := \ \sum_{n \le x} A(n) \ \sim \ cx^{2}( \log x)^{-\frac{1}{2}},

ahol c egy, a cikkben meghatározott konstans; míg

M_{A}(x) \ := \ \sum_{A(n) \le x} 1 \ \sim \ \lambda x \log x,

ahol λ szintén egy, a szerzők által megadott állandó [7].

[szerkesztés] A szigmafüggvény és a Riemann-zétafüggvény

Több tételt (Robin tétele, Lagarias tétele) sikerült bizonyítani a szigmafüggvény növekedésének és a Riemann-sejtés érvényességének kapcsolatáról, ezeket ld. ott.

[szerkesztés] Számok számelméleti osztályzása a szigmafüggvény értékei alapján

[szerkesztés] Tökéletes és barátságos számok

Rengetegféle számosztályt vizsgáltak, közülük sokat komolyabb eredmények nélkül, melyek megkülönböztetése elemeiknek a szigmafüggvény által felvett értékei különbségén vagy azonosságán alapul.

Tökéletes számok például, melyek kétszeresei a szigmafüggvény rajtuk felvett értékének (σ(n)=2n). Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a szám kétszeresénél, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak.

Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések (tökéletes szám, barátságos számok) mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

[szerkesztés] Még tökéletesebb és nem-annyira-tökéletes számok

Majdnem tökéletes számoknak nevezzük azon hiányos számokat, amelyek osztóösszege csak 1-gyel marad el kétszeresüktől (azaz: valódi osztóik összege eggyel kevesebb náluknál maguknál). Egyszerű számolás (ld. a prímhatványok osztóösszegére vonatkozó képletet) mutatja, hogy minden kettőhatvány majdnem tökéletes, de nem tudjuk, ezen kívül vannak-e majdnem tökéletes számok.

Kvázitökéletes számok azok a bővelkedő számok, melyek osztóösszege 1-gyel több, mint kétszeresük, azaz valódi osztóik összege 1-gyel több, mint önmaguk. Nyitott probléma, hogy létezik-e akár egyetlen kvázitökéletes szám is, azt tudjuk, hogy 1035 alatt nem található ilyen.

Multiperfekt számok: m-szeresen tökéletes (vagy m-szeresen multiperfekt számok) számok azon n-ek, melyekre σ(n)=mn. A tökéletes számok kétszeresen tökéletesek. Léteznek háromszor tökéletes számok is, mint pl. 120. Léteznek négyszeresen, ötszörösen, hatszorosan és hétszeresen tökéletes számok is. A legnagyobb ismert multiperfekt szám kb. 1346-jegyű [8].

[szerkesztés] Általánosítások

Leggyakrabban előforduló általánosítása az osztóhatványösszeg-függvény, mely a független változó osztói r-edik hatványainak összege (r valós szám):

\sigma_{r}(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{r}

A függvény σm(n) jelű m-edik iteráltját is vizsgálták [9]:

σm(n) = σ(σ(...(σ(n))...))
            (m-szer)

Lehetséges más konkrét algebrai struktúrákban, pl. kommutatív grupoidokban, félcsoportokban vagy – a legérdekesebb esetként – gyűrűkben is rákérdezni egy adott (x) elemet „osztó” más (y) elemek (az x=dy egyenlet megoldásai, ahol y és d ismeretlenek) összegére. Akadt már egy 1961-es kísérlet a függvény bevezetésére pl. a Gauss-egészek körében [10] a következő módon: legyen z = \epsilon \prod_{i=1}^{s}p_{i}^{\alpha_{i}} olyan Gauss-prímfelbontása a z Gauss-egésznek, ahol ε egység, pi pedig mind az I. síknegyedbe eső prímek (tehát képzetes és valós részük egész együtthatói is nemnegatívak). A z=1 esetében félkanonikus felbontásról van szó, ahol az összes Gauss-egészekbeli prím szerepel, de 0 kitevővel. Ez esetben

\mathbb{G} \mathcal{n} \left\{ 0 \right\} \rightarrow \mathbb{G}; \ \sigma(z) \ := \ \prod_{i=1}^{s} \frac{ p_{i}^{ \alpha_{i}+1 } -1}{p_{i}-1}.

A definíció 1-re a σ(1) = 1 értéket adja. Ez azért is jó általánosítás, mivel megőrzi a multiplikativitást [11].

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Jegyzetek

  1. A „szigmafüggvény” kifejezést a matematikai analízis az itt tárgyalt függvénytől különböző Weierstrass-féle szigmafüggvényre is alkalmazza (ld. angol Wikipédia).
  2. Megjegyzés: mivel n≠0 esetén 0<d|n automatikusan maga után vonja, hogy d≤n, ezért az összegzés indexében 1≤d≤n helyett egyszerűen 1≤d is írható lenne, ám ekkor a 0 helyen (és csakis itt) a függvény értéke megváltozna úgy, hogy végtelenné válna.
  3. σ(0) = 0, mert az összegzendő osztók halmaza (1≤d≤0) üres, mivel 0-nak pontosan a természetes számok a nemnegatív osztói, de ezek között nincs olyan, ami egynél nagyobb is, meg a számnál, azaz a nullánál nem nagyobb is lenne; így σ(0) egy üres összeg, ami definíció szerint 0. Ugyanakkor σ(1) = 1, mert 1-nek 1-et és önmagát, azaz 1-et is beleértve, pontosan 1 db. nemnegatív osztója van, mégpedig önmaga, ennek egytagú összege is 1.
  4. Leonhard Euler: Observatio de summis divisorum / An observation on the sum of divisors (Észrevétel az osztók összegéről; angol nyelvre fordította Jordan Bell; [1] Pdf)
  5. T.H. Grönwall életrajza, MacTutor Archive.
  6. W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű pdf)
  7. Erdős, Bateman, Pomerance és Straus: The arithmetic mean of the divisors of an integer. Analytic Number Theory, Proc. Conf., Temple Univ./Phila. 1980; Zbl. katalógusszám 465.00008.; (Tartalom pdf-ben).
  8. Mathworld: Multiperfect number
  9.  :Graeme L. Cohen: Iterating the sum-of-divisors function
  10. Spira, R.: The Complex Sum of Divisors. Amer. Math. Monthly 68, 120-124, 1961.
  11. A Gauss-egészekre értelmezett osztóösszeg-függvény értékei kisebb valós és képzetes részű elemekre: Mathworld cikk-

[szerkesztés] Irodalom

  • Gyarmati Edit - Turán Pál: Számelmélet. Egyetemi jegyzet. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1997.
  • Mathworld: Divisor function

[szerkesztés] Külső hivatkozások