Nyitott mondat
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Az 1960-as évek új matematikájának szaknyelvében jelent meg, a nyitott mondat egy olyan mondat, melyben a változók helyére az alaphalmazból számokat helyettesítve a kifejezés kiértékelése igaz eredményt ad.
Az elemi matematikaoktatásban nem terjedt el, továbbra is az egyenlet, egyenlőtlenség független változókkal, stb. a használatos kifejezésmód, habár a matematikai logikában és az analitikus filozófiában abszolúte köznapinak számít a „nyitott mondat” és „zárt mondat” megnevezés (valójában bizonyos reformok részeként e tudományágak hatására próbálták elterjeszteni az elemi matematikaoktatásban; ld. a formalizmus és az Új Matematika szócikkeket). A nyitott mondat kifejezést főleg általános iskolai (alsó tagozatos) matematika tankönyvek használják érthetőbb, világosabb hangzása miatt. Ott nem egyszer valóban szöveges mondatokat jelöl ez a megnevezés.
Az összes számértéket, melyre a nyitott mondat igaz értéket ad, megoldásnak nevezzük. Ha az alaphalmaz minden értéke megoldás, akkor azonosságról beszélünk.
Példák nyitott mondatra:
- 3x - 9 = 21, x egyetlen megoldása az egész számok halmazán a 10.
- 4x + 3 > 9, a valós számok halmazán minden 1,5-nél nagyobb valós szám megoldás.
- x + y = 0, a valós számpárok halmazán azok a párok adják a megoldást, melyek egymás additív inverzei.
- 3x + 9 = 3(x + 3), azonosság, mert az alaphalmaz minden értéke megoldás.
- 2x - 7 = 2(x - 4), nincs megoldása egyetlen számkörben sem.
A 2. péda egyenlőtlenség, a többi pedig egyenlet.
A nyitott mondathoz minden esetben (gyakran csak közvetett módon) tartozik egy alaphalmaz, ami kijelöli azt a számkört, amiben a megoldásokat keressük. Lehet alaphalmaz a valós számok halmaza, vagy akár kereshetjük a megoldásokat az egészek körében. A fenti 2. példában 1,5 megoldás, ha alaphalmaznak a valós számokat választjuk, de nem megoldás, ha ugyanezt az egészek körében keressük. Az utóbbi esetben csak az 1,5-nél nagyobb egész számok a megoldások, tehát: 2, 3, 4, és így tovább. Másrészről pedig az alaphalmaznak a komplex számokat választva ez a feladat értelmetlen (persze más esetben lehet értelmes). Természetesen az azonosság is csak az alaphalmaz értékeire szorítkozhat.
Az alaphalmaz használható a nyitott mondat megoldásainak felírásánál, amihez logikai jeleket és kvantorokat is használhatunk. Például a fenti második példa megoldását a következő módon formalizálhatjuk:
- Minden x-re, 4x + 3 > 9 akkor, és csak akkor ha x > 1,5.
Itt a minden x-re fordulat közvetetten azt sugallja, hogy az alaphalmaz minden szóbajövő matematikai objektumot jelent, azaz a lehető legbővebb számhalmazt.
A fentiek folyományaként előállnak olyan esetek is, amikor a változók egyáltalán nem számokat jelentenek, mint például a funkcionálegyenleteknél. Tekintsük a következő kifejezést:
- f*f = f
ami x minden értékére a következőt jelenti: f(x) * f(x) = f(x). Amennyiben az alaphalmaznak az összes valós függvényt tekintjük, akkor f-re kapható megoldás olyan függvényeket jelent, amik értéke csak 0, vagy csak 1 lehet. Amennyiben az alaphalmaz a folytonos függvények halmaza, akkor két konstans függvény lehet megoldás, az azonosan 0 és az azonosan 1 függvény.


Based on work by