Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha a_1,\dots,a_n pozitív valós számok, akkor

\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}

teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha a_1=\cdots=a_n.

[szerkesztés] Bizonyítása

Legyenek a_1,\dots,a_n pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós \frac{1}{a_1},\dots,\frac{1}{a_n} számokra:

\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}} \leq \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}

Felhasználva a gyökvonás azonosságait:

\frac{1}{\sqrt[n]{{a_1}\cdots {a_n}}} \leq \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}

Átszorozva készen is vagyunk:

\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}

Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak \frac{1}{a_1}=\dots=\frac{1}{a_n} számokra, azaz a_1=\cdots=a_n esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).