Számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint, ha a_1,\dots,a_n pozitív valós számok, akkor fennáll

\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq \sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}.

Egyenlőség csak akkor teljesül, ha minden szám egyenlő.

Az állítás könnyen következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. Ha ugyanis azt felírjuk az a_1,\dots,a_n sorozatra és a csupa 1-ből álló b_1,\dots,b_n sorozatra, akkor

a_1+\cdots+a_n\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{n}

adódik, ami n-nel osztva a bizonyítandót adja.


Ennek általánosítása a hatványközepek közötti egyenlőtlenség: ha a_1,\dots,a_n pozitív számok és p<q pozitív egész számok, akkor

\sqrt[p]{\frac{a_1^p+\cdots+a_n^p}{n}}\leq \sqrt[q]{\frac{a_1^q+\cdots+a_n^q}{n}}.