Pitagoraszi számhármasok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A pitagoraszi számhármasok azok a pozitív egészekből álló (x,y,z) számhármasok, amelyekre x2 + y2 = z2 teljesül. Másszóval az x2 + y2 = z2 diofantoszi egyenlet megoldásai. Ekkor Pithagorasz-tétel értelmében x,y,z egy derékszögű háromszög oldalai.

Példák (n tetszőleges pozitív egész):

a b c
3n 4n 5n
5n 12n 13n
7n 24n 25n
8n 15n 17n
9n 40n 41n

A fenti egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x=2dst, \quad y=d(s^2-t^2), \quad z=d(s^2+t^2)

vagy ebből, x és y felcserélésével (itt s>t pozitív egész számok). Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor az ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Az ilyen hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

\left(2dst\right)^2+d^2(s^2-t^2)^2=4d^2s^2t^2+d^2(s^4-2s^2t^2+t^4)=d^2s^4+2d^2s^2t^2+d^2t^4=d^2(s^2+t^2)^2.

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x,y,z számokra x2 + y2 = z2 teljesül. Leosztva a számok legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x,y és z közül bármely kettő is relatív prím. x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros. Ekkor

x2 = z2 - y2 = (z + y)(z - y)

a jobboldal mindkét tényezője páros (különbségük páros de mindkettő páratlan nem lehet): z + y = 2a, z - y = 2b. Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná y = a - b,z = a + b-t is. Mivel x2 = 4ab, azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: a = s2, b = t2. Ezzel meg is van a kívánt előállítás: x2 = 4s2t2 miatt x = 2st, y = a - b = s2 - t2, y = a + b = s2 + t2.