# Asszociativitás

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában az asszociativitás vagy csoportosíthatóság a kétváltozós (binér/bináris) matematikai műveletek egy tulajdonsága, fontos algebrai azonosság: ha A egy tetszőleges halmaz és *:A×A→A egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés testzőleges x,y∈A elemekre a *(x,y)=c∈A helyett x*y=c); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha az A tetszőleges x,y,z elemeire teljesül:

(x*y)*z = x*(y*z) [1].

Ez a függvény- (vagy prefix-) jelöléssel így írható:

*(*(x,y),z) = *(x,*(y,z))

Például a természetes, valós vagy akár a komplex számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind-mind asszociatív: (a+b)+c = a+(b+c), szorzás esetében (a·b)·c = a·(b·c). (Itt a, b és c mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám)

Azokat az (A,*) matematikai struktúrákat, melyek * művelete asszociatív, félcsoportoknak nevezzük.

## [szerkesztés] A teljes asszociativitás tétele

Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:

- Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
  - Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív;
  - Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a1, a2, ..., an∈A elemekre az a1*a2*...*an :=c∈A műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített c elemet adja; ttt n∈N+ értelemszerűen nemnegatív természetes számok. [2].
  - Legyenek A1, A2, ..., Ak tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor Π(A1∨A2∨...∨Ak) = Π(A1) · Π(A2) · ... · Π(Ak), ahol Π a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg ∨ az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli.

Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen.

## [szerkesztés] Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt

Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint pl. a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.

## [szerkesztés] Érdekességek

Érdekes kérdés, vagy inkább probléma, hogy asszociatívak-e olyan, általában asszociatívnak nevezett halmazműveletek, mint az unió- vagy metszetképzés. Ezek ugyanis tkp. nem matematikai műveletek (mivel az összes halmaz halmazáról ellentmondásossága miatt, nem beszélhetünk, míg a halmazműveleteknek minden halmaz összességére értelmezve kell hogy legyenek). Szigorú értelemben véve a halmazműveletek nem is műveletek, eszerint - legalábbis a fenti definíció értelmében - asszociatívak sem lehetnek, hiszen az asszociativitás fogalma csak matematikai műveletekre van értelmezve. Ennek ellenére „formálisan” megfelelnek az asszociativitás követelményének.

## [szerkesztés] Lásd még

- Kommutativitás
- Disztributivitás

## [szerkesztés] Jegyzetek

1. ↑ Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát pl. x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: (((x*y)*z)*u) ).
2. ↑ E tétel az n≥3 kikötés nélkül is értelmes, és - a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n≤2 esetében - automatikusan igaz.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../a/s/s/Asszociativit%C3%A1s.html"

Kategória: Absztrakt algebra

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Български
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- Español
- Esperanto
- Français
- 한국어
- Italiano
- עברית
- Nederlands
- 日本語
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Suomi
- Svenska
- 中文