Kiválasztási axióma

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az axióma megfogalmazása

Ha \{A_i:i\in I\} nemüres halmazok rendszere (I itt tetszőleges indexhalmaz), akkor van olyan f függvény, aminek értelmezési tartománya I és f(i)\in A_iteljesül minden i \in I-re (kiválasztási függvény).

[szerkesztés] Ekvivalens állítások

[szerkesztés] Gyengébb formái

Sokszor fontos szerepet játszanak a kiválasztási axióma egyes speciális esetei. Ilyen például a megszámlálható választás axiómája (azaz, hogy van kiválasztási függvény, ha megszámlálható sok nemüres halmazról van szó) és a függő választás axiómája (DC).


[szerkesztés] Következményei (amelyek nem ekvivalensek vele)

  • Van nem mérhető halmaz.
  • A térbeli (tömör) egységgömb végesen átdarabolható kettőbe (Banach–Tarski-paradoxon)
  • A síkbeli egységnégyzet alakú lemez végesen átdarabolható egy egység területű körlemezbe (Laczkovich tétele).

[szerkesztés] A kiválasztási axióma tagadásával konzisztens kijelentések

Az alábbi állítások mindegyike (külön-külön) a kiválasztási axióma (AC) tagadásával (¬AC) együtt ellentmondásmentes rendszert alkot, feltéve, hogy maga ZF ellentmondásmentes. Ez azt jelenti, hogy ha a ZFC-ben AC helyett ¬AC-t vesszük fel axiómaként (azaz áttérünk a ZF+¬AC rendszerre), akkor nem kizárt (nem lehetetlen), hogy az alábbi kijelentések levezethetők ebben a rendszerben:

  • Van olyan A halmaz, ami nem véges, de nincs a természetes számok N halmazának A-ba injekciója.
  • Van kételemű halmazoknak olyan {An:n < ω} rendszere, aminek nincs kiválasztási függvénye.
  • Nincs nemtriviális, nemfő ultraszűrő a természetes számok halmazán.
  • ω1 szinguláris.
  • ω1 mérhető.
  • Minden valós számokból álló halmaz Lebesgue-mérhető.
  • A valós számok halmaza megszámlálható sok, megszámlálható halmaz egyesítése.