Tenzorszámítás (geometria)
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
- Ez a szócikk az R2 és R3 tér másodrendű tenzorainak elméletével foglalkozik. További általánosításokról a tenzor szócikk nyújt eligazítást.
A tenzorszámítás vagy tenzoraritmetika és -algebra a geometriai térbeli tenzorokkal végzett műveletek szabályait foglalja össze. A háromdimenziós térbeli másodrendű tenzorok normált algebrát alkotnak és a lineáris leképezések Lin(R3;R3) terével azonosítható teret képeznek.
A tenzorok lényegében olyan affin leképezéseket leíró (kódoló) matematikai objektumok, melyeknek van fixpontja, azaz olyan pont a koordinátatérben, melyet a leképezés saját magába képez (ilyen pont az origó). A tenzorok legjellemzőbb tulajdonsága, hogy függetlenek a koordináta-rendszer választásától. Bár minden tenzornak van mátrixa, és a tenzorműveletek elvégezhetők a mártixukkal is, de ezek a műveletek nem csak számtáblázatokkal végzett számítások, hanem geometriai realitásuk van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A tenzor definíciójáról
Egy A tenzor az r vektorral megszorozva egy v vektort eredményez:
Ez a szorzat a tenzorok homogén lineáris tulajdonsága folytán érhető tetten. Tetszőleges c1 és c2 skalárral és r1, r2 vektorral:
Itt . vektornak skalárral történő szorzása. Eszerint a tenzorok azonosíthatók a lineáris leképezésekkel.
- Lásd bővebben: lineáris leképezések.
Ha (b1, b2, b3) ortonormált bázis a térben, akkor az Ar szorzatban r egyértelműen kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként és kapjuk: Ar = A(x.b1+y.b2+z.b3) = x.Ab1+y.Ab2+z.Ab3. Vezessük be a következő jelöléseket: a1 = Ab1, a2 = Ab2, a3 = Ab3. Az előbbi alakban x, y, és z az r vektor tengelyekre eső merőleges vetülete, azaz rendre a következő skaláris szorzatok: r
b1, r
b2, r
b3. Tehát az Ar szorzat végeredményben:
Tekintve, hogy az r
(r
b).a leképezés a diadikus szorzat, azaz b
a, ezért rögzítve az (b1, b2, b3) bázist, a tenzor előáll:
alakban. Ez azt jelenti, hogy a tenzorok diadikus szorzatok lineáris kombinációja. Ezen a jellemzésen alapul, hogy az algebrában másodrendű tenzoron a diadikus szorzatok által kifeszített alteret érik.
- Az absztrakt algebrai definícióra nézve lásd még: tenzor.
A tenzort a B = (b1, b2, b3) rögzített bázisban tehát egyértelműen jellemzi a következő vektorhármas:
Illetve az ebből, mint oszlopvektorokból készített alábbi mátrix:
[szerkesztés] Kovariancia
A tenzorok mátixaira jellemző praktikus tulajdonság, hogy „a koordináta-rendszerrel együtt transzformálódnak” vagy másként, a tenzorok mátrixai kovariásak. Ezeket a kijelentéseket a következőképpen értjük. Ha az A tenzort egy V
V lineáris leképezésnek tekintjük, akkor a V geometriai téren értelmezett φ:V
R3 lineáris bijekció a tér egy koordinátázását definiálja. Például akármilyen B bázist rögzítve, a bázishoz tartozó V
R3 kanonikus izomorfizmus egy koordináta leképezés. Az A tenzornak, egy φ koordinátázáshoz tartozó mátrixa (például egy bázis rögzítése esetén) nem más, mint a
lineáris leképezés sztenderd bázishoz tartozó mátrixa. Ha ezt [A]φ-vel jelöljük, akkor a tenzor egy másik koordinátázáshoz tartozó [A]ψ mátrixa között a következő összefüggés áll fenn:
ahol T = [ψ
φ-1], azaz a ψ
φ-1 koordináta-rendszer váltó transzformáció mártixa. Ez a tulajdonság újabb lehetőséget biztosít a tenzor definíciójára. Eszerint, ha minden egyes φ:V
R3 lineáris bijekcióhoz hozzárendelünk egy Mφ mátrixot úgy, hogy bármely két ilyen φ, ψ koordináta leképezés esetén teljesüljön az Mψ = T Mφ T-1 egyenlőség, ahol T a φ és ψ közötti koordináta transzformáció, akkor az (Mφ) mátrixrendszer egyértelműen meghatároz egy tenzort.
[szerkesztés] Tenzor műveletek
[szerkesztés] Tenzorok lineáris tere
A tenzorokat r
Ar lineáris leképezéseknek tekintve bevezethetjük terükön a skalárral való szorzás és az összeadás műveletét. Ezek egy r vektorhoz következőket rendelik. Ha A és B tenzorok, akkor:
Ha emellett λ skalár, akkor
A tenzorok vektorterének nulleleme az a 0 tenzor, mely minden r vektorhoz a 0 vektort rendeli
Az –A ellentett tenzor az A-nak a -1 skalárral vett szorzata:
A tenzortér 9 dimenziós, ha térbeli és 4 dimenziós, ha síkbeli.
[szerkesztés] Tenzorok algebrája
Az A és B tenzor szorzatát definiálva a tenzorok egységelemes algebrát alkotnak. Tetszőleges r vektorra a szorzat értelmezése:
Ez lényegében nem más mint a lineáris leképezések kompozíciója. Az egységtenzor az indentitás leképezésnek felel meg:
Az A tenzor inverzének (vagy reciprokának) nevezzük az olyan a C tenzort, melyre:
Nem minden tenzornak van inverze, de ha van, az egyértelmű.
A tenzorok algebrája nem kommutatív (található A és B, hogy AB≠BA) és nem nullosztómentes (létezik nemnulla A és B, hogy AB=0)
[szerkesztés] Geometriai műveletek
Az A tenzort és a v vektor vektoriális szorzata a következő:
Ez a szorzásfajta mindkét tényezőjében lineáris.
Tenzort eredményez azonban két vektor diadikus szorzata:
Ahol . a skalárral történő szorzás,
pedig a skaláris szorzás.
[szerkesztés] Tenzorszimmetriák és -antiszimmetriák
Azt mondjuk, hogy az A tenzor szimmetrikus, ha tetszőleges u és v vektorra:
és azt mondjuk, hogy antiszimmetrikus, ha
Ha egy tenzor szimmetikus, akkor bármely bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix, azaz a főátlóra az elemek tükrösek:
vagy másként: aij=aji.
Ha egy tenzor antiszimmetikus, akkor bármely bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix, azaz a főátlóban csak nullák vannak és a főátlóra az elemek ellentett-tükrösek:
vagy másként: aij=–aji.
Ekkor a tenzor egyértelműen előáll a×I alakban, ahol a az (α,β,γ) vektor, I pedig az egysétenzor. Az antiszimmetrikus tenzorokat szokás éppen ezért pszeudovektoroknak is nevezni.
Tetszőleges A tenzor egyértelműen bontható fel egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére:
Egyetlen olyan A* tenzor létezik, mellyel A + A* szimmetrikus tenzor, A – A* pedig antiszimmetrikus. Ezt az A* tenzort az A transzponáltjának nevezzük. Rögzített bázisban a A* mátrixa az A mátrixának transzpontáltja:
azaz a*ij=aji.
[szerkesztés] Invariáns mennyiségek
Maga egy A tenzor független a koordináta-rendszer választásától (csak a mátrixa függ). Ebből a tulajdonságából következik, hogy egy tenzorhoz kapcsolódnak olyan vektor- és skalármennyiségek, melyek szintén függetlenek a koordináta-rendszer rögzítésétől.
[szerkesztés] Nyom
Egy A tenzor első skalárinvariánsa (a I ) a
- spur(A):=a11+a22+a33
mennyiség, azaz tetszőleges mátrixának főátlóbeli elemei összege. (A spur(A) rövidítés magyar elnevezése: „az A nyoma”, másként tr-rel vagy Tr-rel is jelölhető, az angolban meghonosodott trace elnevezés alapján.)
Ugyanis, ha A az A tenzor tetszőleges mátrixa és T koordinátatranszformáció, akkor (felhasználva a mátrix nyomára vonatkozó spur(AB)=spur(BA) felcserélhetőségi tulajdonságot):
ahol I az egységmátrix. Ha tehát A tenzor mátrixa, akkor ennek nyoma minden koordináta-rendszerben ugyanaz a szám (skalár).
[szerkesztés] Adjungált-nyom
Az A tenzor adjungáltjának nyoma (triviális módon) szintén invariáns (2. skalárinvariáns: a II ):
- spur(adj(A))
Itt adj(A) az a tenzor, mely tetszőleges bázis választása esetén az A mátrixának előjeles aldetermináns-mátrixaként jön létre:
Ugyanis, adj(A) valóban tenzor, mert tetszőleges A mátrixra és T koordináta-transzformációra (felhasználva a mátrix adjungáltjára vonatkozó adj(AB) = adj(B)
adj(A) azonosságot, továbbá az invertálható mátrix inverzének képletét):
tehát adj(A) úgy transzformálódik, mint az A mátrix, ami viszont tenzor mátrixa. De minden tenzor nyoma invariáns, így spur(adj(A)) is az.
- Lásd még: adjungált (mátrix invertálás)
[szerkesztés] Determináns
Az A tenzor harmadik skalárinvariánsa (a III) tetszőleges mátrixának determinánsa:
Ugyanis, ha A tenzor, és A egy tetszőleges bázisban a mátrixa, valamint T egy tetszőleges koordináta-transzformáció mátrixa, akkor a mátrixok determinánsának tulajdonságai miatt:
A determináns szemléletes jelentése, a bázisvektorok képei által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Világos, hogy akármilyen ortonormált bázisban ez a térfogat ugyanaz, azaz invariáns.
[szerkesztés] Vektorinvariáns
Minden antiszimmetrikus tenzor előáll a×I vektoriális szorzat formájában, ahol a vektor, I az egységtenzor. Itt a-t az antiszimmetrikus tenzor vektorinvariánsának nevezzük. Egy tetszőleges A tenzor vektorinvariánsán értjük az antiszimmetrikus részének vektorinvariánsát.
[szerkesztés] Tenzor hatványa
Az A pozitív egész n-edik hatványának nevezzük az An:=A
A
...
A szorzatot, melyben n tényező szerepel. Tenzor nulladik hatványa az egységtenzor: A0 := I.
A pontosan akkor invertálható, ha det(A) ≠ 0, és ekkor az inverze:
Itt adj A mátrixalakban az A mátrixának előjeles aldeterminánsmátrixa.
Invertálható tenzor negatív egész kitevőjű hatvány az inverz pozitív egész kitevőjű hatványai: A-2:=(A-1)2, A-3:=(A-1)3, ...
A Caley–Hamilton-tétel következményeként a tenzor gyöke a karakterisztikus polinomnak (lásd lentebb). Azaz, ha P(λ)=λ3-aIλ2+aIIλ-aIII a karakterisztikus polinom, akkor fennáll a következő tenzor egyenlet:
itt az együtthatók a tenzor skalárinvariánsai.
[szerkesztés] Sajátvektor, sajátérték
Azt mondjuk, hogy a nemnulla v vektor az A tenzor λ sajátértékű sajátvektora, ha teljesül az
egyenlőség, azaz A a v-t saját egyenesébe képezi.
A tenzoregyenletet nullára redukálva, tetszőleges bázisban a sajátvektorok a következő (határozatlan) homogén lineáris egyenletrendszerrel jellemezhetők:
Ennek az egyenletnek pontosan akkor van nemnulla megoldása, ha a baloldali mátrix determinánsa 0:
Ezt az (invariáns) egyenletet nevezik a tenzor karakterisztikus egyenletének, melyből a sajátértékek, mint gyökök meghatározhatók. A sajátértékeket azután az egyenletrendszere behelyettesítve, és azt megoldva megkapjuk a sajátvektorokat. Megjegyezzük, hogy az R2 térbeli esetben a karakterisztikus egyenlet:
Ha a sajávektorokból ortonormált bázis választható ki, akkor ezt főtengelyrendszernek nevezzük. Főtengelyrendszerben a tenzor mátrixa diagonális mátrix, melynek főátlójában a sajátértékek vannak.
Főtengelytétel – Szimmetrikus tenzornak létezik (valós sajátértékekkel, ortonormált) főtengelyrendszere.





![[\mathbf{A}]_B= \begin{bmatrix} \begin{matrix}\vert \\ \mathbf{a}_1 \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \mathbf{a}_2 \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix} \vert \\ \mathbf{a}_3 \\ \vert \end{matrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}](../../../math/a/5/f/a5fa0efc98eff77d666cf8ee507e3d37.png)

![[\mathbf{A}]_\psi=T\cdot[\mathbf{A}]_\varphi\! \cdot T^{-1}](../../../math/c/e/2/ce22d9dc4bf351a7b37975ffd7f6cd42.png)
















![[\mathrm{adj}(\mathbf{A})]= \begin{bmatrix} +\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \end{bmatrix}](../../../math/5/e/3/5e36876bc8b955455b7ec41a074fd46f.png)






![[\mathbf{A}-\lambda.\mathbf{I}]\cdot[\mathbf{v}]=[\mathbf{0}]](../../../math/b/f/f/bfffcafd51c9d56de19ea58d43b0f3bf.png)




Based on work by