Hilbert-problémák

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A II. Nemzetközi Matematikai Kongresszus 1900. augusztus 6-12. között Párizsban ülésezett. David Hilbert, a világ akkor már elismerten egyik legnagyobb matematikusa augusztus 8-án Matematikai problémák címmel tartott később óriási jelentőségre szert tevő előadást, amiben felsorolta a matematika szerinte legfontosabb problémáit.

1. A kontinuumhipotézis

Van-e számosság a megszámlálhatóan végtelen és a kontinuum számosság között? Ez a probléma a matematika eszközeivel megoldhatatlannak bizonyult. Kurt Gödel 1941-ben azt igazolta, hogy nem lehet a van választ bizonyítani, Cohen pedig 1963-ban azt, hogy a nincs válasz sem bizonyítható.

2. A számelmélet axiómarendszerének ellentmondásmentessége

Bizonyítsuk be, véges eszközökkel a számelmélet axiómarendszerének, azaz a Peano-axiómarendszernek (PA) az ellentmondásmentességét. Mivel PA-nak van modellje, a természetes számok a szokásos műveletekkel, ezért nem lehet benne ellentmondás. Ez az okoskodás azonban halmazelméleti, tehát egy bővebb rendszerben van. Gödel második nemteljességi tétele szerint viszont PA nem bizonyíthatja saját ellentmondásmentességét. A két állítás között van Gentzen tétele, ami PA ellentmondásmentességét az \varepsilon_0 epszilon-rendszámig terjedő transzfinit indukció segítségével igazolja.

3. Poliéderek átdarabolhatósága

Létezik-e két azonos alapterületű és azonos magasságú tetraéder, amelyeket nem lehet egymásba átdarabolni? Ha vannak azonos térfogatú, de egymásba át nem darabolható poliéderek, az azt jelenti, hogy nem lehet a térfogat fogalmát infinitezimális módszerek (integrálszámítás) nélkül bevezetni. Max Dehn még 1900-ban megoldotta a problémát, példát adott ilyen tetraéderekre. Később bebizonyította, hogy az egységnyi térfogatú kocka, illetve szabályos tetraéder sem darabolhatók át egymásba.

4. A projektív metrikák meghatározása

5. A Lie-csoportok felépítése a differenciálhatóság feltevése nélkül

Bizonyítandó, hogy minden összefüggő, lokálisan euklideszi topológikus csoport topológikusan izomorf egy Lie-csoporttal.

6. A valószínűségszámítás és a fizika axiomatizálása


7. Bizonyos számok transzcendenciája

Ha a 0-tól és 1-től különböző algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens.

8. Problémák prímszámokról

Az itt említett problémák a Riemann-sejtés, a Goldbach-sejtés és az ikerprímszám-sejtés.

9. Reciprocitási tétel tetszőleges számtestekben

A Gauss-féle kvadratikus reciprocitás tétele, kubikus reciprocitás tétele, és bikvadratikus reciprocitás tétele általánosításaként adjuk meg a legáltalánosabb reciprocitás-tételt. Egy ilyen tétel megoldaná a következő feladatot: ha egy adott K n-edfokú számtestet egy \sqrt[r]{d} számmal bővítünk, akkor az új test egészeinek aritmetikája hogyan függ a régi test egészeinek aritmetikájától. Az Abel-féle bővítés esetét Hilbert, Artin és Hasse munkája után Safarevics megoldotta, az általános eset nyitott.

10. A diofantoszi egyenletek megoldhatósága

Adjunk algoritmust, ami tetszőleges diofantoszi egyenletet megold.

A probléma megfogalmazásakor még a pozitív megoldás tűnt valószínűnek. Az algoritmus fogalma a harmincas években lett precízen definiálva. Az ötvenes években számos problémaseregről mutatták ki az algoritmikus megoldhatatlanságot. Martin Davis, Julia Robinson és Hilary Putnam végül is a megoldhatatlanságot egy konkrét, a Fibonacci-számokkal kapcsolatos reprezentációs feladatra redukálták, amit Jurij Matyijaszevics 1970-ben bebizonyított.

11. Kvadratikus alakok tetszőleges algebrai együtthatókkal

12. A Kronecker-Weber tétel általánosítása

13. Függvények kompozíciója

Az általános hetedfokú egyenlet nem oldható meg egy- és kétváltozós függvények kompozícióival.

14. Az invariánsok végesen generáltak

15. Schubert leszámoló geometriájának megalapozása


16. Algebrai görbék és felületek problémái

Hatodfokú algebrai görbe nem állhat 11 oválisból, amelyek mindegyike a többiek külsejében helyezkedik el. A másik probléma: hány határciklusa van a

\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}

differenciálegyenletnek, ahol P és Q n-edfokú polinom.


17. Pozitív definit alakok előállítása négyzetösszegként

Ha F(x1,...,xn) racionális együtthatós törtfüggvény, tehát racionális együtthatós polinomok hányadosa, ami valós helyeken mindig pozitív értéket vesz fel, akkor előállítható racionális együtthatós törtfüggvények négyzeteinek összegeként. Ezt n = 1-re maga Hilbert igazolta. Az általános esetre Emil Artin adott bizonyítást.

18. Euklideszi terek diszkrét mozgáscsoportjai

19. Elliptikus differenciálegyenletek megoldásai

20. A variációs probléma megoldhatósága

21. Előírt monodrómiacsoportú lineáris differenciálegyenlet létezése


22. Analitikus relációkkal meghatározott függvények uniformizációja automorf függvényekkel


23. A variációszámítás problémái

[szerkesztés] Külső hivatkozások