# A számelmélet alaptétele

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számelmélet alaptétele, röviden SzAT a számelmélet egyik legalapvetőbb tétele, mely szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám felbomlik, méghozzá (a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve) egyféleképpen, prímszámok szorzatára.

Például: . Ha összevonjuk az azonos tényezőket, így fogalmazhatunk: minden 1-nél nagyobb természetes szám pontosan egyféleképpen írható fel prímhatványok szorzataként: . Ezt az „egyféle” felírást a szám kanonikus alakjának is nevezik.

Nehezebb a kimondása az egész számok körében: ha n 0-tól és egységelemtől (1, −1) különböző egész szám, akkor felírható prímek szorzataként és ha két ilyen felírás, akkor r = s és a illetve a számok kölcsönösen megfeleltethetők egymásnak úgy, hogy az egymással megfeleltetett számok egymás asszociáltjai (azaz azonosak vagy egymás ellentettjei) .

Különös módon, bár már Eukleidész is igazolt az alaptétellel ekvivalens állításokat és persze hallgatólagosan minden számelmélettel foglalkozó matematikus használta, először Gauss mondta ki és bizonyította be 1801-ben kiadott Disquisitiones Arithmeticae című művében.

## [szerkesztés] Bizonyítása

Külön-külön bizonyítjuk azt, hogy minden természetes szám előáll prímszámok szorzataként (egzisztencia), illetve, hogy csak egyféleképpen (unicitás). Mindkét bizonyításhoz a végtelen leszállás módszerét alkalmazzuk.

Tegyük fel először, hogy adott egy N szám és minden N-nél kisebb számra igaz, hogy felbomlik prímszámok szorzatára. Ha N maga is prímsz ám, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor felbomlik N=ab alakban, ahol a és b mindketten 1 és N közötti számok. Ekkor viszont feltevéseink szerint felbomlanak prímszámok szorzatára, tehát szorzatuk, N is.

Tegyük fel végül, hogy N természetes szám, ami kétféleképpen is felbontható prímek szorzatára, de minden nála kisebb szám csak egyféleképpen. Eszerint

alakban írható, ahol a és a sorozatok nem egymás átrendezései. Ha van olyan prímszám, ami mindkét oldalon előfordul, mondjuk p1 = q1, akkor vele egyszerűsítve

adódik és ez az N / p1 < N szám kétféle felbontása, ellentmondás. Feltehetjük tehát, hogy a számok egyike sem egyezik meg a számok egyikével sem. Tegyük fel, hogy e számok közül p1 a legkisebb. Ha a szorzat minden tényezőjét áthelyettesítjük p1-gyel vett maradékával, akkor egy olyan szorzatot kapunk, aminek egyrészt p1-gyel vett maradéka ugyanaz, mint -é, tehát 0, másrészt q'i < qi () miatt a szorzat értéke is kisebb N-nél. Van tehát egy N-nél kisebb szám, ami p1-gyel osztható és felírható p1-től különböző prímek szorzatára. De van olyan felbontása is, amiben p1 szerepel: az szorzatban bontsuk tovább N / p1-et prímfaktorokra (lehet a tétel már igazolt első fele miatt). Eszerint N / p1-nek lenne két prímfelbontása, ami ellentmond feltevéseinknek.

## [szerkesztés] A számelmélet alaptétele gyűrűkben

A SzAT egyik legelterjedtebb bizonyítása az euklidészi algoritmus és a legnagyobb közös osztó fogalmára épül; ennek fontos általánosítása az euklideszi gyűrűkben vagy integritástartományokban értelmezett prímfaktorizáció végrehajthatósága és egyértelműsége. Azokat a gyűrűket, melyekben a számelmélet alaptételével analóg kijelentés igaz, Gauss-gyűrűnek nevezzük. Ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor euklideszi és minden euklideszi gyűrű Gauss-gyűrű, de ezek megfordítása nem igaz. Egységelemes integritási tartományokban akkor és csak akkor igaz a SZAT, ha minden felbonthatatlan elem prímelem és főideálok minden növő sorozata megszakad.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../a/_/s/A_sz%C3%A1melm%C3%A9let_alapt%C3%A9tele.html"

Kategóriák: Számelmélet | Matematikai tételek

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Български
- Català
- Dansk
- Deutsch
- Ελληνικά
- Español
- فارسی
- Français
- עברית
- Italiano
- ქართული
- 한국어
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Simple English
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Svenska
- ไทย
- Türkçe
- 中文