Jensen-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Jensen-egyenlőtlenség elegáns közös kiterjesztését adja számos matematikai egyenlőtlenségnek.

Ha egy (véges vagy végtelen) I intervallumon az f függvény konvex, a_1,\dots,a_n\in I, p_1,\dots,p_n pozitív számok, amikre teljesül p_1+\cdots+p_n=1, akkor

f(p_1a_1+\cdots+p_na_n)\leq p_1 f(a_1)+\cdots+p_n f(a_n).

Ha f szigorúan konvex, akkor egyenlőség csak az a_1=\cdots=a_n esetben teljesül.

Ha f konkáv, akkor az állítás fordított irányú egyenlőtlenséggel teljesül.

Például az f(x) = x2 függvény konvex a nemnegatív valós számok intervallumán, így ha a_1,\dots,a_n tetszőleges, p_1=\cdots=p_n=\frac{1}{n} akkor

\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^2\leq \frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}

ami a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség.


Hasonlóképpen a konkáv x \mapsto log x függvényt használva azt kapjuk, hogy pozitív a_1,\dots,a_n számokra

\log\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)\geq\frac{\log a_1+\cdots+\log a_n}{n}.

Mivel a jobboldal \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} logaritmusa, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget kapjuk.