Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat egy vektorokkal végzett művelet. Jelölése: a·b vagy <a,b>. Általában két értelmezés használatos, az egyik a geomertriai vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;

Három dimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

[szerkesztés] Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelmben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

  • kommutatív: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;
  • bilineáris: \mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} +  \mathbf{c})  = \lambda(\mathbf{a} \cdot   \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;
  • \mathbf{a} \cdot (\lambda\cdot\mathbf{b}) = \lambda \cdot (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b});
  • pozitív definit: \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0 , és \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0 akkor és csak akkor ha \mathbf{a}= \mathbf{0}

Geometriai vektorok esetén \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2, azaz önmagával való skalárszotzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a < a,b > jelölés.

[szerkesztés] Példák

  • Az az \left[a,b\right] intervallumon folytonos \mathbb{R}-be képező, négyzetesen integrálható függvények terén értelmezett belső szorzat:

<f,g>=\int\limits_a^b f(t)  g(t) dt

  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y a bázisban felírható:

\mathbf{x}=x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_N \mathbf{a}_N

\mathbf{y}=y_1 \mathbf{a}_1 + y_2 \mathbf{a}_2+ \dots + y_N \mathbf{a}_N

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

<\mathbf{x},\mathbf{y}>_A = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \dots +x_N y_N