Halmazrendszer

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Halmazrendszeren a matematikában többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:

  1. A naiv halmazelméletben szokás halmazrendszer vagy halmazcsalád néven beszélni olyan halmazokról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a halmazcsalád elnevezést;
  2. Szűkebb értelemben halmazrendszeren olyan „rendezett halmazt” érthetünk, melynek elemei is halmazok. A „rendezett” kifejezést itt nem precíz matematikai értelemben használjuk, hanem olyan objektumot értünk rajta, amelyet elsősorban elemei határoznak meg, tehát hasonlít a halmazokhoz, de egy elem többször is előfordulhat – tulajdonképp halmazrendszeren egyszerűen egy olyan vektort érthetünk, melynek elemei is halmazok. Az elemek „elrendezése” is fontos ugyanúgy, mint egy vektorban.

A precíz definíció a következő:

Legyen I tetszőleges halmaz, az ún. indexhalmaz (ez gyakran a pozitív egészek \mathbb{N} ^{+} halmaza). Legyen továbbá \mathcal{U} másik tetszőleges halmaz. Ennek részhalmazai halmazát, azaz hatványhalmazát továbbra is \mathcal{P} \left( U \right) -val jelöljük.

Ekkor valamely f: I \mapsto \mathcal{P} \left( U \right) függvényt az \mathcal{U} halmaz I indexhalmaz feletti halmazrendszerének nevezzük, és \left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I}-vel jelöljük. Tehát \forall i \in I : \ \mathcal{U} _{i} \subseteq \mathcal{U}. Az \mathcal{U} _{i} részhalmazokat a (halmaz)rendszer tagjainak nevezzük. Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az \mathcal{R} \left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I} rendszer egy \mathcal{U} _{i} tagja esetén az \mathcal{U} _{i} \in  \left( \mathcal{U} _{i} \right) _{ i \in I}, azaz az \mathcal{U} _{i} \in \mathcal{R} jelölés használata.

[szerkesztés] Halmazműveletek

A halmazrendszerekkel különféle műveletek végezhetőek, pl.

  • Unió/Egyesítés: \bigcup \left( \mathcal{R} \right) = \bigcup_{i \in I} U _{i} = \left\{ x \in \mathcal{U} \ \mathcal{j} \ \exist i \in I : x \in U_{i} \right\}
  • Metszet: \bigcap \left( \mathcal{R} \right) = \bigcap_{i \in I} U _{i} = \left\{ x \in \mathcal{U} \ \mathcal{j} \ \forall i \in I : x \in U_{i} \right\}.
  • Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra (\exist ! = „létezik pontosan egy ... ”) kell cserélni;

Ezen műveletekkel bővebben az unió, a metszet és a halmazműveletek cikkekben foglalkozunk.

Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.

[szerkesztés] Irodalom

  • Maurer Gyula: Bevezetés a struktúrák elméletébe