Mértani közép

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A mértani közép a matematikában a középértékek egyike. Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenlő a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G vagy M.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Általános definíció

Az a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...,\, a_n nem negatív számok G mértani közepe:

G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n}, \qquad a_n\in\mathbb{R}_0^+,\quad n\in\mathbb{Z^+}.

Mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában an tag az ank és an + k tagok mértani közepe, ha n > k pozitív egészek.

[szerkesztés] Súlyozott mértani közép

Ha a_1,\, a_2,\,\, ...,\, a_n nemnegatív számok, p_1,\, p_2,\,\, ...,\, p_n pedig olyan nemnegatív számok amikre

p_1+\cdots+p_n=1

teljesül, akkor a számok (p_1,\dots,p_nsúlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az

a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}

szám.

A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor

p_1=\cdots=p_n=\frac{1}{n}.

[szerkesztés] Alkalmazás

  • A mértani közepet multiplikatív – magyarul összeszorozható – mennyiségek átlagolására használhatjuk (pl. infláció, banki kamatok, amortizáció).

[szerkesztés] Lásd még