Cent (zene)
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A cent (rövidítve C) az exponenciális tulajdonságú frekvenciaviszonyok illetve zenei intervallumok logaritmikus skálában való lineáris kezelését lehetővé tévő mértékegység, melyet elsősorban a különféle temperálások és a bennük megalkotható hangközök összevetésére használnak. Az oktáv 1200 centből áll, a kiegyenlített hangolásban pedig 100 cent ad ki egy temperált félhangot (innen származik a mértékegység neve).
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Előnye
A hang fizikai tulajdonságai közül a frekvencia a fül számára a legfontosabb, mivel ezt érzékeli hangmagasságként. Kétszeres frekvencia vagy rezgésszám egy oktávval magasabb hangot jelent, például a 440 Hz-es kamara A fölött egy oktávval levő A hang frekvenciája 2 * 440 = 880 Hz. A hangmagasság tehát exponenciális skálájú, vagyis a hányados adja meg azt, milyen viszonyban van egymással két hang.
Mivel azonban az összeadás és kivonás lényegesen egyszerűbb művelet a szorzásnál és osztásnál, s a tényleges frekvenciák csak kivételesen lehetnek érdekesek, hiszen legtöbbször a viszonyok meghatározására van csupán szükségünk, így célszerű az eredetileg exponenciális skálát logaritmikusan linearizálni, majd ezen elvégezni a kívánt műveleteket, azaz összeadások és kivonások segítségével egymáshoz hasonlítani az egyes hangokat: ezen linearizálást teszi lehetővé a cent mértékegység alkalmazása. Használatával az oktáv 2:1 arányát 1200 fokú lineáris skálává alakítjuk, amiben immár a számtani különbségek adják meg a hangközviszonyokat.
[szerkesztés] Képletek
[szerkesztés] Átváltás
[szerkesztés] Q-ról C-re
A gyakorlatban általában arra van szükség, hogy frekvenciaviszonyokat (Qfr) váltsunk át centre (C), amihez az alábbi képletek valamelyike használható:

Például a tiszta nagyterc (viszonyszám 5/4) centértéke:

[szerkesztés] C-ről Q-ra
A fordított átalakításhoz, vagyis a centérték frekvenciaviszonyra való átszámításához a következő képlet alkalmazható:
![Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}](../../../math/c/b/6/cb6c39ed1ddb45c195fcfa9ff3784ccc.png)
Például az előbb kapott centérték visszahelyettesítve:
![Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^{386{,}314}=\sqrt[1200]{2^{386{,}314}}=2^\frac{386{,}314}{1200}\approx1{,}25=\frac{5}{4}](../../../math/e/d/0/ed02dc33054ebebedca0c1005bbe15ad.png)
[szerkesztés] Levezetés
A feladat az oktáv adott számú egyenlő részre osztása úgy, hogy a fül minden egyes lépést azonos magasságkülönbségnek érezzen. Mivel a frekvencia exponenciálisan nő, miközben a magasságkülönbség-érzet azonos marad, így a feladatunk megoldásához minden lépésnek ugyanazon arányban kell állnia az előzővel, vagyis a részeknek mértani sort kell alkotniuk.
Először - az egyszerűség kedvéért - 5 oktávnyi skálát (viszonyszám 1:32) osszunk fel 5 egyenlő részre, vagyis alkossuk meg azon hattagú skálát, amelynek az eleje 1, vége 32, s minden eleme egyenlő arányban van az előzőhöz képest, azaz amelyik skála mértani sor.
A mértani sor n. tagjának (an) értéke:
, ahol a1 az első elem, q pedig a hányados.
Most a q értékét akarjuk meghatározni, ezért a képletet átrendezzük:
![q=\sqrt[n-1]\frac{a_n}{a_1}](../../../math/f/5/9/f591a962cadd055820a17888feadf0d5.png)
Jelen esetben n=6, a1=1, a6=32, vagyis:
![q=\sqrt[5]{32}=2](../../../math/f/7/2/f72e08b71270e36a88619b53436b4074.png)
A kapott mértani sor tehát:
1, 2, 4, 8, 16, 32
Ha 1 oktávot (1:2), akarunk felosztani n részre, akkor a képletünk:
![q=\sqrt[n]{2}](../../../math/9/9/7/997ceefd17454352f9857766056402e4.png)
A cent definíció szerint az oktáv 1200-ad része, vagyis:
![1\ \mathrm{cent}=\sqrt[1200]{2}=2^\frac{1}{1200}](../../../math/7/b/f/7bf26da7c48973e88a0e4e2a193f1b15.png)
illetve:
![n\ \mathrm{cent}=\left(\sqrt[1200]{2}\right)^n=\sqrt[1200]{2^n}=2^\frac{n}{1200}](../../../math/0/d/5/0d5b8170ee896f749db5125e5a7247cf.png)
frekvenciaviszonyban kifejezve, azaz:
![Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}](../../../math/c/b/6/cb6c39ed1ddb45c195fcfa9ff3784ccc.png)
Ebből a hatványozás és a logaritmus összefüggését felhasználva:

vagyis

[szerkesztés] Használati példák
[szerkesztés] 1. példa
Számítsuk ki a tiszta hangközök centértékeit a frekvenciaarányokból!
| Hangköz neve | Arányszám | Számítás | Centérték |
|---|---|---|---|
| Oktáv | ![]() |
![]() |
1200 |
| Kvint | ![]() |
![]() |
701,955 |
| Kvart | ![]() |
![]() |
498,045 |
| Nagyterc | ![]() |
![]() |
386,314 |
| Kisterc | ![]() |
![]() |
315,641 |
[szerkesztés] 2. példa
Számítsuk ki a püthagoraszi és a szintonikus komma értékét centekben és frekvenciaviszonyokban!
a) Püthagoraszi komma (12 tiszta kvint és 7 oktáv különbsége):
- Centekben:
- Átszámítva frekvenciaviszonyra:
- Frekvenciaviszonyokban számolva:
- Átszámítva centre:
- Láthatóan a centekben való számításkor hatványozás helyett szorzás, osztás helyett pedig kivonás szerepel, vagyis a számolás lényegesen egyszerűsödik.
b) Szintonikus komma (a püthagoraszi - 4 tiszta kvint által kiadott - és a tiszta nagyterc különbsége):
- Centekben
- Átszámítva frekvenciaviszonyra:
- Frekvenciaviszonyokban számolva:
- Átszámítva centre:
[szerkesztés] Története
A cent használatát az angol Alexander John Ellis (1814-1890) javasolta Hermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (A hangérzékelés tana, mint a zeneelmélet fiziológiai alapja) című műve általa készített angol fordításának (On the Sensations of Tone - 1875) függelékében.
Érdekességként megemlíthető, hogy a zenei szisztéma, a hangjegyek lejegyzésére szolgáló rendszer is lineáris leképezése (azaz logaritmikus ábrázolása) az exponenciális hangskálának, hiszen minden oktáv, függetlenül a hangmagasságtól, azonos távolságú, illetve minden más hangköz is megtartja az állandó lineáris különbséget. Bármennyire meglepő, itt már tudatos linearizálásról kell beszélnünk, még ha az első szisztémák a középkor elején is készültek: ugyanis a hangközviszonyok exponenciális természete Püthagorasz munkái nyomán már kezdettől fogva ismert volt, s a gitár- illetve lantbundok megalkotásához - amelyek szép példái a logaritmikus skálának - szükség volt ezen hosszviszonyok világos ismeretére, vagyis a tabulatúrák és lejegyzések tudatosan szakítottak a természetes ábrázolással az áttekinthetőség kedvéért.




















Based on work by