การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ - วิกิพีเดีย

# การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์

### จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์ การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ (Householder transformation) ในปริภูมิสามมิติเป็นการสะท้อนเวกเตอร์กับระนาบ ในปริภูมิยูคลิเดียนทั่วไป การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นการแปลงเชิงเส้นซึ่งเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ผ่านจุดกำเนิด

อัลสตัน สกอตต์ เฮาส์โฮลเดอร์ ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับการแปลงชนิดนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2501 การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาการแยก QR ของเมทริกซ์

## [แก้] นิยามและสมบัติ

ระนาบเกินที่จะใช้สะท้ัอนเวกเตอร์นั้นสามารถแทนได้โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย v ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเกินนั้น

ถ้า I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ การแปลงเชิงเส้นที่กล่าวในบทนำของบทความนี้สามารถแทนใดโดยเมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์

  Q = I − 2vvT.

โดยแมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์มีสมบัติดังต่อไปนี้

- มันเป็นเมทริกซ์สมมาตร: Q = QT
- มันเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก: Q − 1 = QT
- ดังนั้นมันจึงเป็นอาวัตนาการ: Q2 = I.

และ Q สะท้อนเวกเตอร์ x ใดๆ กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ v โดยข้อความนี้สามารถแสดงให้เห็นจริงได้โดยสมการ

  ,

เมื่อ คืิอผลคูณจุดของ x และ v ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะห่างของจุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ x จากระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ v ด้วยเหตุนี้จุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ Qx จึงอยู่คนละข้างของระนาบเกินกับจุดปลายของ x และห่างจากระนาบเกินเท่ากับระยะห่างจากจุดปลายของ x กับระนาบเกิน กล่าวคือเป็นภาพสะท้อนของ x นั่นเอง

## [แก้] การประยุกต์ใช้ในการแยก QR

ในการแยก QR เราต้องการเขียนเมทริกซ์ ที่ำกำหนดให้ในรูป A = QR โดย Q เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและ R เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน เราสามารถใช้การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ในการคำนวณ Q และ R ได้ดังต่ีอไปนี้

ให้ e1 แทนเวกเตอร์ ที่มีศูนย์อยู่ n ตัว ให้ แทนนอร์มของเวกเตอร์ x ใดๆ และให้ a1 เป็นเวกเตอร์หลักที่ 1 ของ A แล้ว กำหนด

และ

(In คืิอเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด ) เป็นการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ที่สะท้อนเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ v1 แล้ว เราจะได้ว่า

หรือ

โดยที่ A'2 เป็นเมทริกซ์ขนาด กล่าวคือ Q1 ทำให้หลักแรกของ A มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่เพียงตัวเดียว

เราสามารถใช้กรรมวิธีข้างต้นหาการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ Q'2 ที่ทำให้

และ Q'3, Q'4, , Q'n − 1 ที่มีผลเช่นเดียวกันกับ A'3, A'4, , A'n − 1 ตามลำดับ และเมื่อเราให้

สำหรับ แล้ว เราจะได้ว่า

เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน ดังนั้น

และเนื่องจาก Qi ทุกตัวเป็นเมทริกซ์ฮาส์โฮลเดอร์ซึ่งเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ทำให้ เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากตามไปด้วย A = QR จึงเป็นการแยก QR ตามที่เราต้องการ

อัลกอริทึมตามที่ได้บรรยายข้างต้น สามารถนำไปเขียนเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำการคำนวณด้วยจำนวนจุดเลื่อนซึ่งมีเสถียรภาพทางตัวเลข เป็นผลให้เราสามารถแก้สมการเชิงเส้น และหาค่าเฉพาะเจาะจงของเมทริกซ์ได้โดยค่าที่หาได้จะไม่คลาดเคลื่อนมากนักหากเมทริกซ์ที่เป็นข้อมูลเข้ามีเลขเงื่ีอนไขต่ำ

## [แก้] อ้างอิง

- Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

- David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 7 (2), 1960, 185-186. DOI:10.1145/321021.321030

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%81/%E0%B8%B2/%E0%B8%A3/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AE%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B9%8C%E0%B9%82%E0%B8%AE%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%94%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C.html".

หมวดหมู่: เรขาคณิต | พีชคณิตเชิงเส้น | เมทริกซ์

##### Views

- บทความ
- อภิปราย
- รุ่นปัจจุบัน

##### ค้นหา

##### ภาษาอื่น

- English
- Deutsch
- Italiano
- 日本語