Serbestlik derecesi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bir torbadaki 10 topun dokuzunu çektiğimizde, torbada 1 topun kaldığından kesinlikle emin olabiliriz, dolayısıyla dokuz topu çekmiş olmamız bize popülasyon hakkında tam bir bilgi sağlamaya yetecektir. Bu olgu bizi serbestlik derecesi kavramına götürecektir.

İstatistik'te, serbestlik derecesi terimi iki anlama gelir:

[değiştir] Kalıntılar

İstatistiksel modelin veriye uyarlanmasında, hata ve kalıntı vektörleri genelde vektördeki bileşenlerin sayısından daha kısıtlı bir boyuta sahiptir. Kalıntı veya hata vektörünün bu daha küçük boyuta sahip olma durumuna hatanın serbestlik derecesi adı verilir'.

Basit bir örnekle açıklanması gerektiğinde:

X_1,\dots,X_n\,

ifadesindeki x'ler, μ beklenen değerine sahip rassal değişkenler olsun ve

\overline{X}_n={X_1+\cdots+X_n \over n}

örneklem ortalaması olsun. Öyleyse

X_i-\overline{X}_n\,

büyüklüğü Xi − μ hata tahmininin kalıntılarını oluşturan bir büyüklüktür.

hata terimlerinin aksine, kalıntıların toplamının 0 olması gerekir. Yani n − 1 boyutlu bir uzayda yer alma kısıtı içindedirler. Eğer kalıntılardan n − 1 tanesi bilinirse, sonuncusu da bulunabilir. Dolayısıyla hata terimi için n − 1 serbestlik derecesi vardır.


Y_i=a+bx_i+\varepsilon_i\ \mathrm{for}\ i=1,\dots,n

modelindeki a ve b'nin en küçük kareler yöntemiyle tahmininde

i, ve dolayısıyla Yi rassaldır). \widehat{a} ve \widehat{b} , a ve b tahmin ettiğimiz değerler olsun. O zaman;

e_i=y_i-(\widehat{a}+\widehat{b}x_i)\,

artıkları iki denklemin tanımladığı uzay içinde yer alacak şekilde kısıtlıdırlar:

e_1+\cdots+e_n=0,\,
x_1 e_1+\cdots+x_n e_n=0.\,

Dolayısıyla hata terimi için n − 2 dserbestlik derecesi vardır.

(Model tanımlanırken büyük y harfi (Y), artıklar tanımlanırken küçük y harfi (y) kullanılmıştır. Birinci ifade teorik rassal değişkenlere bağlıyken ikinci ifade gerçek veriye dayalıdır.)

[değiştir] Olasılık Dağılımlarındaki Parametreler

Hata terimlerinin olasılık dağılımları genelde bu serbestlik dereceleri ile parametrelendirilir. Bu yüzden Ki-kare dağılımından söz edilirken belli bir serbestlik derecesi gerekir, F dağılımı, T dağılımı, veya bir Wishart dağılımı pay veya paydalarında serbestlik derecesi içerir.

Bu dağılımlarının genel uygulamalarında, serbestlik derecesi yalnızca tamsayı değeri alır. Halbuki, konunun temelinde yer alan matematik, çoğu durumda kesirli serbestlik derecesinin alınmasına müsaade eder ki bu da daha karmaşık kullanımlar ortaya çıkarabilir.