Toplam beklenti kanunu

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık Teorisinde, Ötelenmiş beklenti kanunu, kule kuralı gibi çeşitli isimlerine de rastlanan öneriye göre Eğer X; E( | X | ) < ∞ koşulunu sağlayan bir rastlantısal değişken, ve Y herhangi bir rastlantısal değişken ise, aynı olasılık uzayında

E(X) = E( E( X\mid Y)),

sağlanır.

Yani, X in Y bilindiğindeki koşullu beklenen değerinin beklenen değeri, X in beklenen değerine eşittir.

Toplam olasılık kanunu ile paralel bir önermedir. Bkz. Toplam Varyans Kanunu, Varyansın bileşenlerine ayrılması.

(Koşullu beklenen değer E( X | Y ) nin kendisi Y nin değerine bağlı bir rastlantısal değişkendir. Y = y olayı bilindiğine göre X in koşullu beklenen değeri y nin bir fonksiyonudur. Eğer E( X | Y = y) = g(y) yazarsak, rastlantısal değişken E( X | Y ) de; g(Y) olur. )

[değiştir] Kanıt

E[E[X | Y]] = Σy ( E[X | Y = y]P{Y = y} )
=Σy Σx ( xP{X = x | Y = y}P{Y = y} )
=Σy Σx ( xP{X = x, Y = y} )
=Σx x Σy P{X = x, Y = y}
=Σx xP{X = x}
=E[X]
Diğer diller