T dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Farzedelim ki X1, ..., Xn istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsız rastsal değişkenlerdir ve beklenen μ ile dağılım σ değerleri ile normal dağılmaktadırlar.

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

örneklem ortalaması ve

S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2

örneklem varyansı olsun. Aşağıdaki ifadenin 0 ortalama ve 1 varyans ile normal dağıldığı bilinmektedir.

Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

İstatistikçi Gosset bununla ilişkili bir büyüklüğü inceleyerek aşağıdaki sonuca ulaşmıştır:

T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}}

bu ifadeyi T dağılımı olarak adlandırarak, dağılımın bir olasılık yoğunlu fonksiyonu olduğunu göstermiştir.



Teorem

X, standart normal dağılıma ve Y, ν serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına sahip olsun, X ve Y bağımsız ise;

T=\frac{X}{\sqrt{Y/\nu}} ise T rastlantı değişkeni, ν ile t dağılımına sahip olur.