Potansiyel kuyusu

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu ansiklopedi maddesinin biçim olarak Vikipedi standartlarına ulaşması için elden geçirilmesi gerekmektedir.
Düzenleme yapıldıktan sonra bu not silinmelidir.

Bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel:


V(x) = \begin{cases} 0, & 0<x<a \\ \infty, & \mbox{diger }\end{cases}


şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:


\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi

\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0 \mbox{ , (I)}

k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} \mbox{ , (II)}


\mbox{(I)}\, denklemin çözümü ise {\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\, olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışardaki dalga fonksiyonu {\psi}_\mbox{dis}(x)=0\, olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.


  • {\psi}_\mbox{ic}(0)={\psi}_\mbox{dis}(0)=0\,

A\sin0+B\cos0 = 0\ \mbox{ , } B=0\,

{\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)\,


  • {\psi}_\mbox{ic}(a)={\psi}_\mbox{dis}(a)=0\,

A\sin(ka)=0\,

A\ne 0\mbox{ , }\sin(ka)=0\,

ka=n\pi\ \mbox{ , }k=\frac{n\pi}{a}


\mbox{(II)}\, denklemi ile karşılaştırılırsa


\frac{2mE}{\hbar^2}=k^2=\frac{n^2\pi^2}{a^2}

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\mbox{ , } n=1,2,3...


elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri E_0=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. E_n = n^2E_0 \mbox{ , } n=1,2,3...\,

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.