Бінарне відношення - Вікіпедія

# Бінарне відношення

### Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

БІНАРНЕ ВІДНОШЕННЯ, бінарне відношення на множині - в математиці окремий випадок відношення, яке встановлюється між двома елементами множини. Кажуть також, що елементи a1,a2∈M знаходяться у бнарному відношенні R, якщо впорядкована пара (a1,a2)∈R. Тобто, в загальному випадку, R⊆A×B.

В математичній літературі іноді розрізняють поняття бінарного відношення на множині та бінарного відношення між (різними) множинами, яке в цій енциклопедії називається відповідністю між множинами.

Якщо елементи a,b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a,b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb.

## [ред.] Приклади

Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:

- R1 - відношення ≤ ("менше або дорівнює"), тоді 4 R1 19, 5 R1 15 і т.д. для будь-якого m ∈N
- R2 - відношення "ділиться на", тоді 4 R2 23, 49 R2 27, m R2 21 для будь-якого m∈N
- R3 - відношення "є взаємно простими", тоді 15 R3 38, 366 R3 3121, 1001 R3 3612
- R4 - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127 R4 4721, 230 R4 4302, 3231 R4 43213311

## [ред.] Операції з відношеннями

Оскільки відношення на M є також множинами, то для них означені всі відомі теоретико-множинні операції. Наприклад, перетином бінарних відношень "більше або дорівнює" і "менше або дорівнює" є відношення "дорівнює", об’єднанням відношень "менше" і "більше" є відношення "не дорівнює", доповненням відношення "ділиться на" є відношення "не ділиться на" тощо.

## [ред.] Обернене відношення

Відношення R-1 називається оберненим до відношення R, якщо bR-1a тоді і тільки тоді, коли aRb. Очевидно, що (R-1)-1=R. Наприклад, для відношення "більше або дорівнює" оберненим є відношення "менше або дорівнює", для відношення "ділиться на" - відношення "є дільником".

## [ред.] Композиція

Композицією відношень R1 і R2 на множині M (позначається R1oR2 ) називається відношення R на M таке, що aRb тоді і тільки тоді, коли існує елемент c∈M, для якого виконується aR1c і cR2b. Наприклад, композицією відношень R1 - "є сином" і R2 - "є братом" на множині чоловіків є відношення R1oR2 - "є небожем".

## [ред.] Властивості

Нехай R - деяке відношення на множині M.

1. Відношення R називається рефлексивним, якщо для всіх a∈M має місце aRa.
2. Відношення R називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного a∈M не виконується aRa.
3. Відношення R називається симетричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb маємо bRa.
4. Відношення R називається антисиметричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb і bRa маємо a = b.
5. Відношення R називається транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.
6. Відношення R називається повним або лінійним, якщо для будь-яких a, b∈M з факту рівності a = b випливає, що aRb або bRa.

Якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R-1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі ці властивості відношень.

Відношення, яке є рефлексивним, симетричним та транзитивним, називається відношенням еквівалентності. Відношення, яке є рефлексивним, антисиметричним та транзитивним, називається відношенням часткового порядку. Відношення часткового порядку, яке є лінійним, називається лінійним порядком.

## [ред.] Дивись також

- Відношення на множині
- Відповідність між множинами
- Відношення порядку
- Відношення еквівалентності
- Відношення домінування
- Декартів добуток

Отримано від "http://uk.wikipedia.org../../../%D0%B1/%D1%96/%D0%BD/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F.html"

Категорія: Теорія множин

##### Views

- Стаття
- Обговорення
- Поточна версія

##### Пошук

##### Іншими мовами

- Česky
- English
- Español
- Eesti
- Français
- עברית
- Italiano
- 日本語
- Polski
- Русский
- 中文