Топологічний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Топологічні простори є об'єктами, що дозволяють формалізувати такі поняття як збіжність, зв'язність та неперевність. Їх успішно застосовують у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднуюче поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Ця стаття вимагає базових знань математики. Для більш наочного огляду теми звертайтеся до статті «топологія».


Зміст

[ред.] Визначення

Топологічним простором будемо називати таку впорядковану пару (X, Γ), де X — множина, а Γ — система відкритих підмножин X, що задовільняє наступним умовам:

  1. Порожня множина \varnothing та множина X належать Γ.
  2. об'єднання зліченої кількості множин з Γ також належить Γ.
  3. Перетин будь-якої пари множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Оскільки множини в Γ є відкритими, їх доповнення є замкненими множинами.

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ1 та Γ2. Якщо будь-яка множина з топології Γ1 також належить T2, кажуть, що топологія Γ1 є звуженням топології Γ2.

[ред.] Неперервні Функції

Функція, що відображає топологічний простір (X, Γ1) на топологічний простір (X, Γ2) називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Інтуітивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають таке неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

[ред.] Приклади

Якщо взяти множину відрізків вигляду (a,\infty) на дійсній прямій \R, то ми отримаємо «топологію стрілки». Множина всіх відкритих інтервалів {(a, b) | a, b з (0..1)} також утворює топологічний простір над інтервалом 0..1 .

Будь-який евклідів простір \R^n є топологічним простором. Базовою топологією для них можна обрати топологію відкритих куль, або відкритих кубів.

Узагальнюючи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базовою топологією якого є відкриті кулі. З курсу функціонального аналізу такими є нескінченновимірні простори функцій.

[ред.] Література