تبدیلی از بنیاد سمتیہ
وکیپیڈیا سے
اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ
 ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ
 کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ  ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ
 ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:
 کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:

میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ
 کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ  کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔
 کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔
میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔
[ترمیم کریں] مثال
 میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ
 میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ ![e_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right], \, e_1=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]](../../../math/3/f/7/3f7633b62977c081c0fee195a6e557ea.png) کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: 4e0 + 2e1
 کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: 4e0 + 2e1
اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: ![u_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right], \, u_1=\left[\begin{matrix} -4 \\ 4 \end{matrix}\right]](../../../math/f/8/b/f8b4ba267619ca3579afa37da7884568.png)
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی 
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: ![P=\left[\begin{matrix} 1    & -4 \\ 1    & 4 \end{matrix}\right]](../../../math/6/a/9/6a9fecab0bab5ccd61920b359ca956a8.png)
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہؤا ہے) ![d = P^{-1} c  = \left[\begin{matrix} 1    & -4 \\ 1    &  4 \end{matrix}\right]^{-1}  \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1/2    & 1/2 \\ -1/8  & 1/8 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right]  = \left[\begin{matrix} 3 \\ -1/4 \end{matrix}\right]](../../../math/6/8/0/6809d7423d13b533cbdb0bf8eed2502e.png)
یعنی 3u0 − (1 / 4)u1
[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی
اگر کسی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو
- میٹرکس کا اُلٹ، یعنی P − 1 ممکن ہے
- v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس P − 1 ہے۔
اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ ریاضی علامات

