تبدیلی از بنیاد سمتیہ
وکیپیڈیا سے
اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ
ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ
کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ
ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ
کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:

میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ
کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ
کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔
میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔
[ترمیم کریں] مثال
میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ
کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: 4e0 + 2e1
اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: ![u_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right], \, u_1=\left[\begin{matrix} -4 \\ 4 \end{matrix}\right]](../../../math/f/8/b/f8b4ba267619ca3579afa37da7884568.png)
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی 
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: ![P=\left[\begin{matrix} 1 & -4 \\ 1 & 4 \end{matrix}\right]](../../../math/6/a/9/6a9fecab0bab5ccd61920b359ca956a8.png)
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہؤا ہے) ![d = P^{-1} c = \left[\begin{matrix} 1 & -4 \\ 1 & 4 \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/8 & 1/8 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ -1/4 \end{matrix}\right]](../../../math/6/8/0/6809d7423d13b533cbdb0bf8eed2502e.png)
یعنی 3u0 − (1 / 4)u1
[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی
اگر کسی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو
- میٹرکس کا اُلٹ، یعنی P − 1 ممکن ہے
- v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس P − 1 ہے۔
اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ ریاضی علامات
اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ 
