محدود میدان
وکیپیڈیا سے
عام میدان میں ارکان کی تعداد لامحدود ہو سکتی ہے۔ "محدود میدان" ایسے میدان کو کہتے ہیں جس میں ارکان کی تعداد محدود ہو۔ انگریزی میں اسے Finite Field یا Galois Field کہا جاتا ہے۔ اس کی مثال پرائم عدد  کے محدود میدان
 کے محدود میدان  ہے، جس کے ارکان کو
 ہے، جس کے ارکان کو

لکھا جاتا ہے۔ یہاں جمع، ضرب کو  کے چکر پر نکالا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے modulo یا
 کے چکر پر نکالا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے modulo یا  کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر
 کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر  میں جمع، ضرب کے عمل کو دیکھتے ہیں۔ عام طور پر،
 میں جمع، ضرب کے عمل کو دیکھتے ہیں۔ عام طور پر،  مگر 11 کو محدود میدان میں لانے کیلئے ہم 11 میں سے 7 منفی کر سکتے ہیں، یعنی
 مگر 11 کو محدود میدان میں لانے کیلئے ہم 11 میں سے 7 منفی کر سکتے ہیں، یعنی



گویا آپ جمع یا ضرب کے نتیجے میں پیدا ہونے والے عدد میں سے  کو جتنی مرتبہ ضروری ہو جمع یا تفریق کر سکتے ہو حتٰی کہ جواب
 کو جتنی مرتبہ ضروری ہو جمع یا تفریق کر سکتے ہو حتٰی کہ جواب  میں آ جائے۔
 میں آ جائے۔
اب  میں جمع کا جدول یوں ہو گا:
 میں جمع کا جدول یوں ہو گا:
|  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 
اور  میں ضرب کا جدول یوں ہو گا:
 میں ضرب کا جدول یوں ہو گا:
|  | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 | 
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 | 
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 | 
اور  میں جمعیاتی اُلٹ کا جدول:
 میں جمعیاتی اُلٹ کا جدول:
| رکن | اُلٹ (جمع) | 
|---|---|
| 0 | 0 | 
| 1 | 4 | 
| 2 | 3 | 
| 3 | 2 | 
| 4 | 1 | 
مثلاً ،اس کا مطلب ہے کہ  میں:
 میں:


اور  میں ہر رکن کا ضربی اُلٹ کا جدول:
 میں ہر رکن کا ضربی اُلٹ کا جدول:
| رکن | اُلٹ (ضرب) | 
|---|---|
| 0 | |
| 1 | 1 | 
| 2 | 3 | 
| 3 | 2 | 
| 4 | 4 | 
مثلاً ،اس کا مطلب ہے کہ  میں:
 میں:


محدود میدان کے ایسے اجزا جن کی طاقت پر محدود میدان کے تمام اجزا نکلتے ہوں (سوائے صفر (0) کے) کو "قدیم" (primitive) اجزاء کہتے ہیں۔ خیال کرو کہ محدود میدان  کے کسی بھی جُز
 کے کسی بھی جُز  کے لیے
 کے لیے  ۔ مثال کے طور پر محدود میدان
 ۔ مثال کے طور پر محدود میدان  میں 3 اور 5 قدیم جُز ہیں، جن کی طاقت کے جدول یوں ہیں:
 میں 3 اور 5 قدیم جُز ہیں، جن کی طاقت کے جدول یوں ہیں:
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
اس طرح ہم محدود میدان میں ڈسکریٹ لاگرتھم (discrete logarithm) کی بات کر سکتے ہیں۔ اوپر طاقت کے جدول استعمال کرتے ہوئے ہم  میں قدیم جز 3کے حوالے سے
 میں قدیم جز 3کے حوالے سے  میں لاگرتھم کا جدول یوں لکھ سکتے ہیں۔
 میں لاگرتھم کا جدول یوں لکھ سکتے ہیں۔
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
|  | 
جب پرائم عدد  بڑا ہو تو
 بڑا ہو تو  میں کسی جز کی طاقت نکالنا تو آسان ہوتا ہے، مگر کسی جز کا لاگرتھم نکالنا انتہائی دشوار مسلئہ ثابت ہوتا ہے۔ اس مسلئہ کی دشواری کی بنیاد پر عوامی کنجی کرپٹوگرافی (public key cryptography) کے طریقے بنائے گئے ہیں۔
 میں کسی جز کی طاقت نکالنا تو آسان ہوتا ہے، مگر کسی جز کا لاگرتھم نکالنا انتہائی دشوار مسلئہ ثابت ہوتا ہے۔ اس مسلئہ کی دشواری کی بنیاد پر عوامی کنجی کرپٹوگرافی (public key cryptography) کے طریقے بنائے گئے ہیں۔
کمپوٹر کی دنیا میں خاصا زیادہ استعمال ہونے والا محدود میدان  ہے۔
 ہے۔  میں
 میں


[ترمیم کریں] محدود میدان  پر کثیر رقمی
 پر کثیر رقمی
ایسے کثیر رقمی جن کے عددی سر  کے ارکان ہوں،
 کے ارکان ہوں،  پر کثیر رقمی کہلاتے ہیں۔ ان کثیر رقمی پر الجبرا کے اصول لاگو ہوتے ہیں، مگر عددی سر کی جمع, ضرب
 پر کثیر رقمی کہلاتے ہیں۔ ان کثیر رقمی پر الجبرا کے اصول لاگو ہوتے ہیں، مگر عددی سر کی جمع, ضرب  میں ہوتی ہے۔ مثلاً جمع
 میں ہوتی ہے۔ مثلاً جمع

 اور ضرب
 اور ضرب  
 
[ترمیم کریں] عملیات
برقی پعغامات کو  کے سلسلہ کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ مثلاً، ایک لمبائی 11 کا پیغام:
 کے سلسلہ کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ مثلاً، ایک لمبائی 11 کا پیغام: 
اس پیغام کے سلسلہ کو ہم  پر ایک کثیر رقمی کے بطور یوں لکھ سکتے ہیں:
 پر ایک کثیر رقمی کے بطور یوں لکھ سکتے ہیں:
 
 
برقی پیغامات کی ترسیل سے پہلے پیغام کے ساتھ کچھ اضافی عدد لگا دیے جاتے ہیں، جن کی مدد سے وصول کندہ پیغام کی صحت کے بارے اندازہ لگا سکتا ہے۔ ترسیل میں پیغام کے کچھ اعداد کے غلط وصول ہونے کا امکان ہمیشہ موجود ہوتا ہے۔ ان اضافی اعداد کو CRC (سائیکلیک رئیڈنڈینسی چیک) کہا جاتا ہے، جو ایک CRC کثیر رقمی کی مدد سے نکالے جاتے ہیں۔ مثلاً اگر ہم پیغام کے آخر میں صرف ایک اضافی عدد نتھی کرنا چاہیں، تو درجہ ا کا یہ کثیر رقمی استعمال کر سکتے ہیں: 
اب  کو
 کو  سے لمبی تقسیم کرنے کے بعد جو
 سے لمبی تقسیم کرنے کے بعد جو  بچے
 بچے


 
 
اس  کو اضافی عدد (اعداد) کے طور پر پیغام کے آخر میں نتھی کر دیتے ہیں۔ اس طرح "1" کے اضافے سے بھیجے جانے والا برقی پیغام بن جائے گا، لمبائی 12 کے ساتھ:
 کو اضافی عدد (اعداد) کے طور پر پیغام کے آخر میں نتھی کر دیتے ہیں۔ اس طرح "1" کے اضافے سے بھیجے جانے والا برقی پیغام بن جائے گا، لمبائی 12 کے ساتھ:  وصول کندہ اس پیغام کے کسر رقمی کو
 وصول کندہ اس پیغام کے کسر رقمی کو  سے تقسیم کر کے اطمینان کرے گا کہ یہ
 سے تقسیم کر کے اطمینان کرے گا کہ یہ  سے پورا تقسیم ہوتا ہے۔
 سے پورا تقسیم ہوتا ہے۔
اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ ریاضی علامات

