مختلط عدد
وکیپیڈیا سے
کسی نمبر کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً  ۔ اسی طرح کسی نمبر کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً
 ۔ اسی طرح کسی نمبر کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً  ۔ اسی طرح
 ۔ اسی طرح  ، چونکہ
، چونکہ  ، مگر
 ، مگر  ۔ یعنی ایک منفی نمبر کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "فرضی نمبر" بتائے ہیں۔ اس کیلئے
 ۔ یعنی ایک منفی نمبر کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "فرضی نمبر" بتائے ہیں۔ اس کیلئے  کے جزر المربع کو ایک خاص علامت
 کے جزر المربع کو ایک خاص علامت  دی گئی ہے، یعنی
 دی گئی ہے، یعنی ۔ اسی طرح
 ۔ اسی طرح  ۔ ایسے نمبر جن کے ساتھ
 ۔ ایسے نمبر جن کے ساتھ  لکھا جاتا ہے، "فرضی نمبر" کہلاتے ہیں، مثلاً
 لکھا جاتا ہے، "فرضی نمبر" کہلاتے ہیں، مثلاً  ۔ اسی طرح عام نمبروں کو "اصلی نمبر" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا نمبر جو "اصلی نمبر" اور "فرضی نمبر" کے مجموعہ سے بنے، کو "کمپلکس نمبر" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر
 ۔ اسی طرح عام نمبروں کو "اصلی نمبر" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا نمبر جو "اصلی نمبر" اور "فرضی نمبر" کے مجموعہ سے بنے، کو "کمپلکس نمبر" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر  اور
 اور  کمپلکس نمبر ہیں۔ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو کمپلکس نمبروں
 کمپلکس نمبر ہیں۔ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو کمپلکس نمبروں  اور
 اور  کی جمع اور تفریق:
کی جمع اور تفریق:


اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ،  )
 )

 چونکہ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے کمپلکس نمبر ایک کمپلکس میدان بناتے ہیں، جسے
 چونکہ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے کمپلکس نمبر ایک کمپلکس میدان بناتے ہیں، جسے  کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
 کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
[ترمیم کریں] مستطیل اور قطبی صورت
مختلط عدد  کو مستطیل پلین میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، اصلی نمبر افقی جانب اور فرضی نمبر عمودی جانب۔ یعنی مستطیل پلین میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کی ابتدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی
 کو مستطیل پلین میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، اصلی نمبر افقی جانب اور فرضی نمبر عمودی جانب۔ یعنی مستطیل پلین میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کی ابتدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی  ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ
 ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ  ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:
 ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:


ہم  کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ
کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ  کو مستطیل صورت۔
 کو مستطیل صورت۔
اب  سیریز (سلسلہ) کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ
 سیریز (سلسلہ) کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ
 اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:
 اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:

یعنی 
قطبی صورت میں مختلط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:


مختلط عدد  اور مختلط عدد
 اور مختلط عدد  کو ایک دوسرے کا کانجوگیٹ (conjugate) کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔
 کو ایک دوسرے کا کانجوگیٹ (conjugate) کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔
مختلط عدد  کی لمبائی کو عموماً
 کی لمبائی کو عموماً  لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو
 لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو  لکھا جاتا ہے۔
 لکھا جاتا ہے۔
[ترمیم کریں] عدد ایک 1 کے جزر
مساوات  کے
 کے  جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں:
 جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں: ![x= \sqrt[n]{1}  = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1](../../../math/d/2/7/d27df265a39d4109a48eb8fe6c1b307d.png) مساوات میں
 مساوات میں کی قیمت ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر ابتدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں
 کی قیمت ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر ابتدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں  کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔
کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔ 
اسی طرح مساوات  کے جزر یوں ہیں:
 کے جزر یوں ہیں: ![x= \sqrt[n]{-1}  =\exp(\iota \pi (2k+1)/n) \, , \, k=0,\cdots,n-1](../../../math/1/3/4/1348af98cbfa4995825cd62439f8e029.png)
[ترمیم کریں] بیرونی ربط
کمپوٹر سافٹوئیر سائیلیب میں مختلط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک سبق ۔
اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ ریاضی علامات


