Архимедова спирала
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Архимедова спирала е равнинна трансцендентна крива, която се дефинира като геометричното място на точка, движеща се с постоянна скорост v по лъч, който се върти около полюс О с постоянна ъглова скорост w.
Кривата е алгебрична спирала, тъй като уравнението й в полярни координати е във вид на полином:  , където
 , където  . Състои се от два клона, съответстващи на положителните и отрицателните стойности на
. Състои се от два клона, съответстващи на положителните и отрицателните стойности на  . Обикновено се изобразява само единият от тях.
. Обикновено се изобразява само единият от тях.
Специфично за архимедовата спирала е, че разстоянието между всеки две съседни намотки е постоянно число, равно на 2πa. Радиусът на кривината на спиралата е:  .
 .
Кривата е наречена архимедова, тъй като първи я е изследвал Архимед във връзка с трисекцията на ъгъла и квадратурата на кръга. Архимед открива формулата за площта на сектора, което е един от първите примери за квадратура на криволинейна област. Площта на сектор M1OM2 се изчислява по формулата:  , където
, където  е ъгълът между полярната ос и OM1, а
 е ъгълът между полярната ос и OM1, а  е ъгълът между полярната ос и OM2,
 е ъгълът между полярната ос и OM2,  .
.
В края на 17 век спиралата бива и ректифицирана (Бонавентура Кавалиери, Жил де Робервал, Пиер дьо Ферма, Блез Паскал). Дължината на дъга от кривата, отговаряща на ъгъл  се изчислява по формулата:
 се изчислява по формулата: ![L = \frac{a}{2} \left[ \varphi.\sqrt{1 + \varphi^2} + \operatorname{argsh}\,\varphi \right]](../../../math/7/7/b/77b69e0b2fa57f00fdb4d4fd2cdb645d.png) .
.
Понякога под архимедова спирала се разбира по-голям клас спирали с общо параметрично уравнение  , където традиционната архимедова спирала се получава при x = 1, a = 0. При това обобщение, други видове архимедови спирали са хиперболичната спирала, спиралата на Ферма и жезълът.
, където традиционната архимедова спирала се получава при x = 1, a = 0. При това обобщение, други видове архимедови спирали са хиперболичната спирала, спиралата на Ферма и жезълът.
[редактиране] Използвани източници
- "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
- "Математическая энциклопедия" (5 тома), Изд. "Советская энциклопедия", 1985
- "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989


