Fórmula d'Euler

De Viquipèdia

Fusió
Podeu col·laborar amb la Viquipèdia fusionant aquest article amb Identitat d'Euler.
Icono de copyedit

Nota: L'article necessita algunes millores en el contingut o l'estil:

ortografia

La Fórmula o relació d'Euler, atribuida al matemàtic Leonhard Euler, estableix que:

e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x

per a tot nombre real x. Aquí, e és la base del logaritmo natural, i es la unitat imaginaria i sin, cos son funcions trigonomètriques.

Una propietat important d'aquesta fórmula d'Euler és que conté dos tipus de simetries: la parell y la imparell. La forma cosinus es la mateixa per a valors positius i negatius de la variable x, en aquest cas. Es diu que té simetria parell. Si la ona sinus varia de signe en funció de la variació de la x, es du que té simetria parell. És sabut que aquest tipus de simetria realitza un paper molt important en física moderna i aquí tenim una funció ab ambdós tipus de simetria, rraó per la qual els nombres complexos són esscencials en mecànica quàntica.

La fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex
Ampliar
La fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex

La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una circumferència de radio unitari en el pla complex, dibuixada per la funció eix al variar x sobre els nombres reals. Així, x es l'angle d'una recta que connecta l'origen del pla i un punto sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, medit en sentit contrari a las agulles del rellotge i en radiants. La fórmula només és v+alida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en radiants.

La demostració està basada en la expansió en sèrie de Taylor de la funció exponencial ez (onz és un nombre complex), i la expansió de sin x i cos x.

La fórmula d'Euler va ser demostrada per primer cop per Roger Cotes el1714, i llavors redescoberta i popularitzada per Euler el 1748. És interesant el fet de que cap dels dos descobridors va veure la interpretació geomètrica anterior: la visió dels nombres complexos como punts en el pla va sorgir uns 50 años més tarde (veure Caspar Wessel).

La férmula proporciona una potent conexió entre l'anàlisis matemàtica i la trigonometria. S'utilitza per representar els nombres complexos en coordenades polars i permte definir el logaritme per a nombres complexos.

Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és la única funció matemàtica que roman amb la mateixa forma -excepte per la unitat imaginària- amb les operacions d'integració i derivació del càlcul integral, el que permet que en Enginyeria Elèctrtica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica, simplificant enormement aquestes operacions.

De les reglas de la exponenciació

e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}

i

(e^a)^b = e^{a \cdot b}

(vàlidas per a tota parella de nombres complexos a i b), es poden derivar diverses identitats trigonomètriques, així com la fórmula de De Moivre.

La fórmula d'Euler també permet interpretar les funcions sinus y cosinus como simplesm variacione de la funció exponencial:

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Aquestes fórmulas serveixen així mateix per a definir les funciosn trigonomètriques per a arguments complexos x. Les dos equaciosn anteriors s'obtenen simplement resolent les fórmules

e^{ix} = \cos x + i \cdot \sin x
e^{-ix} = \cos x - i \cdot \sin x

per al sinus i el cosinus.

En les equacions diferencials, la funció eix s'utiliza sovint per a simplificar derivades, fins i tot si la resposta final es una funció real en la que apareixen sinus o cosinus. La identitat d'Euler es una conseqüència immediata de la fórmula d'Euler

En enginyeria i altres disciplines, les senyals que varien periòdicament se solen descriure com una combinació de funcions sinus i cosinus(vegi's anàlisis de Fourier), i aquestes són expresades mas convenientemente como la parte real de una funció exponencial amb exponent imaginari, utilitzant la fórmula de Euler.