Irrationale tal
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
| Talsystemer i matematik. | ||
| Elementære talmængder | ||
![]() |
||
| Naturlige tal | = { 1,2,3,...} |
|
| Heltal | = {...,-2,-1,0,1,2,...} |
|
| Rationale tal | = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...} |
|
| Reelle tal | = ![]() |
|
| Komplekse tal | = ![]() |
|
| Andre elementære talmængder | ||
| Primtal | = { 2,3,5,7,11,.. } |
|
| Irrationale tal | ![]() |
|
| Konstruerbare tal | ||
| Algebraiske tal | ||
| Transcendente tal | ![]() |
|
| Beregnelige tal | ||
| Imaginære tal | ||
| Split-komplekse tal | R1,1 | |
| Komplekse udvidelser | ||
| Bikomplekse tal | ||
| Hyperkomplekse tal | ||
| Kvaternioner | = { a+bi+cj+dk | a,b,c,d ∈ R } |
|
| Oktonioner | ||
| Sedenioner | ||
| Superreelle tal | ||
| Hyperreelle tal | ||
| Surreelle tal | ||
| Taltyper og særlige tal | ||
| Nominelle tal | ||
| Ordinaltal | {} størrelse, position {n} | |
| Kardinaltal | { } |
|
| P-adiske tal | ||
| Heltalsfølger | ||
| Matematiske konstanter | ||
| Store tal | ||
| Uendelig ∞ | ||
| Konstantliste | ||
| π - i - e - φ | ||
Irrationale tal (kaldes også Irrationelle tal) er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.
De klassiske eksempler er tallet π = 3,141.592.6... og kvadratroden af 2 =
.
Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter — de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.
[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 2
Der eksisterer ikke umiddelbart en metode til bestemmelse af, om et givent tal er rationalt eller ej. Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.
Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal r, så r2 = 2; dvs. at der findes tal m og
så r = m / n (vi kan uden tab af almindelighed antage, at r > 0, da ( − r)2 = r2. Herom kan antages, at brøken m / n er uforkortelig. Det fås altså at:
, hvilket vil sige at m2 = 2n2. Herom kan siges at m2 nødvendigvis må være lige, hvilket betyder, at der findes et helt tal m' så m = 2m'. Indsat i ovenstående ligning fås at (2m')2 = 2n2, altså 4m'2 = 2n2 og forkortet 2m'2 = n2. På samme måde som før ses, at n også må være lige. Da både m og n er lige, er brøken m / n nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.
[redigér] Se også
| Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |

= { 1,2,3,...}
= {...,-2,-1,0,1,2,...}
= { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
= 
= 
= { 2,3,5,7,11,.. }

= { a+bi+cj+dk | a,b,c,d ∈ R }
}
