Differentialkvotienten af et produkt
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Differentialkvotienten af et produkt er en omregningsregel eller sætning, der benyttes i differentialregningen. Denne omregning er en del af de generelle differentialregneregler. Denne benyttes til at finde tangenten tangenthældningen udfra funktionen.
[redigér] Sætningen
En funktion, f(x), er givet som et produkt:

Differentialkvotienten af denne funktion er følgende:

Umiddelbart giver denne generelle "omregning" ingen mening. Denne "formel" eller regneregel skal bevises.
[redigér] Beviset
Først der findes sekantens hældningenstal:

Hvilket bliver; da f(x) = v(x)u(x):

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:
![\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x) - u(x)]+u(x)[v(x+\Delta x) - v(x)]}{\Delta x}](../../../math/f/e/3/fe3789ae7f066c3408eedc0ac126847f.png)

![\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x) - u(x)]}{\Delta x}+ \frac{u(x)[v(x+\Delta x - v(x)]}{\Delta x}](../../../math/1/7/b/17b0e9c71cf9ec44118b5006669392ae.png)

![\frac{\Delta y}{\Delta x} = v(x+\Delta x) \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + u(x) \left[ \frac { v(x+\Delta x - v(x) }{\Delta x} \right]](../../../math/c/1/8/c188adafbc75a72782d73241fff55fde.png)
Differentialkvotienten bliver således:

Hvilket i det generelle tilfælde er:
![f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \left( v(x+\Delta x) \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + u(x) \left[ \frac { v(x+\Delta x - v(x) }{\Delta x} \right]\right)](../../../math/7/2/5/725df71a2fe0b1916171cdb8f2b797af.png)

![f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (v(x+\Delta x)) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{ u(x+\Delta x ) - u(x) }{ \Delta x } \right] + \lim_{\Delta x \to 0} (u(x)) \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\left[ \frac { v(x+\Delta x) - v(x) }{\Delta x} \right]](../../../math/c/a/8/ca80e47e5f455ac95e5bdf24e31b8295.png)
Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

Umiddelbart ville man ikke tro at
, og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):



