Zenons paradoks

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Zenons Paradoks (efter Zenon fra Elea) er et tankeeksperiment, der leder til et tilsyneladende paradoks. Det illustrerer nogle af de, somme tider pudsige, følger uendeligheder har inden for matematikken.

Man lader helten fra oldgræsk mytologi, Achilleus, løbe om kap med en skildpadde. Fordi Achilleus nu er sådan en sportslig fyr, giver han skildpadden et forspring på 100 meter.

  • Han begynder at løbe, og da han når de 100 meter, har skildpadden kravlet 10 meter længere frem.
  • Han løber derefter de 10 meter, men i mellemtiden har skildpadden nået 1 meter længere frem.
  • Han løber den ene meter, men i mellemtiden er skildpadden nået 10 centimeter længere frem.
  • ...

Således vil Achilleus blive ved med at komme tættere og tættere på skildpadden, og faktisk kommer han uendelig tæt på den, men han vil aldrig overhale den, skønt han vitterlig løber hurtigere end sin modstander.

[redigér] Foreslåede løsninger

[redigér] Matematisk betragtet løsning

Paradokset bygger dog på en forestilling om ikke-uendelig tid – altså netop at tiden slutter. Samtidig med, at vi fremskriver de to konkurrenters position, så fremskriver vi også den tid, der er gået. Hvis det for eksempel tager Achilleus 1 minut at løbe de første 100 meter, og hvis han løber med konstant hastighed, så vil det efterfølgende tage ham 1/10 minut eller 6 sekunder at løbe de næste 10 meter. Og den næste meter løber han på 0,6 sekund og så fremdeles. Altså vil tiden gå imod et endeligt tidspunkt.

Dette tidspunkt kan udregnes som den uendelige række:

1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots

Eller generelt opstilles som:

\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{10})^k

Altså en uendelig række af endelige tidspunkter – som Zenon implicit argumenterer for skal give uendelig tid. Dette er dog ikke tilfældet, da ovenstående formel er en instans af den generelle geometriske række:

a \sum_{k=0}^\infty x^k

Der generelt for x < 1 er en konvergent følge og giver a / (1 − x). I vores tilfælde har vi da, at a = 1 og x = 1 / 10 hvorved vi får:

\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{10})^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9}

Altså vil Achilleus ikke have uendelig tid til at indhente skildpadden – han vil kun have 10 / 9 minutter eller 1 minut og 6⅔ sekunder, hvilket faktisk er en tid, som han aldrig når - han kommer blot tættere og tættere på at have den tid i det uendelige.

Hvis man i stedet regner personernes position ud i forhold til tiden, så vil man nå frem til, at når der er gået 2 minutter, så vil Achilleus befinde sig 80 meter foran skildpadden. Faktisk kan vi af ovenstående se, at efter præcis 1 minut og 6⅔ sekunder vil Achilleus være nået præcist lige så langt som skildpadden – og efter blot 1 minut og 7 sekunder vil han altså være foran den.

Om man ændrer forholdet mellem, hvor langt skildpadden løber i forhold til Achilleus, forspringet som Achilleus giver skildpadden, eller den hastighed, som Achilleus løber med, vil man i ovenstående beregninger få nogle andre tal – men ikke desto mindre samme konklusion.

[redigér] Endelig opdeling som forklaring

En anden løsningsmodel er at sige, at distance og tid ikke er uendeligt opdelelige. Altså, at man ikke kan blive ved med at opdele stof og tid i det uendelige, da der er en nedre grænse herfor – for eksempel omtaler fysikere Planck-længde og Planck-tid som de mindste, målbare størrelser.