Διακύμανση
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Η διακύμανση ή διασπορά μίας τυχαίας μεταβλητής
συμβολίζεται συνήθως με
και δηλώνει πόσο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής.
Πίνακας περιεχομένων |
[Επεξεργασία] Ορισμός
Έστω μία τυχαία μεταβλητή
με μέση τιμή
και συνάρτηση κατανομής
. Η διακύμανση ορίζεται ως:
όταν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.
Η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με
.
[Επεξεργασία] Απαριθμητές τυχαίες μεταβλητές
Έστω
μία απαριθμήτη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές
με αντίστοιχες πιθανότητες
. Η διακύμανσή της είναι:
[Επεξεργασία] Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Έστω
μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
η διακύμανσή της είναι:
.
[Επεξεργασία] Ιδιότητες
όπου
τυχαίες μεταβλητές,
και
η συνδιασπορά.
[Επεξεργασία] Εκτίμηση διακύμανσης
Έστω ένα τυχαίο δείγμα
.
Όταν η μέση τιμή
του πληθυσμού είναι γνωστή, τοτε η εκτιμήτρια
είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης.
Όταν η μέση τιμή είναι άγνωστη, τοτε η αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης είναι
με
.
![Var[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2dF(x)=E[(X-\mu)^2],](../../../math/f/1/6/f1692eac5dabb171864e1f08a4845049.png)

![\,Var[X]= E[X^2]-(E[X])^2](../../../math/f/1/2/f1223e6b8d2f8b2bcf2107507e98008c.png)
![\,Var[aX+b]=a^2Var[X]](../../../math/8/7/3/87390b838f850fa6247bb40d82cbd152.png)
![\,Var[aX+bY]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]+ab\,Cov[X,Y]](../../../math/b/7/d/b7d8d7bb56ba9cc8453e672ac610573e.png)

