Plenigo de kvadrato

El Vikipedio

Plenigo de kvadrato estas tekniko de rudimenta algebro en kio esprimo

x2 + bx + c

estas anstataŭigita per esprimo de la formo

(x + d)2 + e

Do:

\begin{matrix}ax^2 + bx + c &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a}\right) +c \\ &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right) + c \\ &=& a\left(x^2+2\frac{bx}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a} +c \\ &=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a} + c \end{matrix}

Plenigo de kvadrato plisimpligas esprimon engaĝantan plenan kvadratan polinomon al engaĝantan nur kvadraton kaj konstanton.

Vidi ankaŭ jenon: kvadrata ekvacio

[redaktu] Ekzemplo

Simpla ekzemplo estas:

x2 + 4x = x2 + 4x + 4 − 4 = (x + 2)2 − 4

Nun, konsideru la problemon de trovo de malderivaĵo de ĉi tio:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}.

La denominatoro estas

9x2 − 90x + 241 = 9(x2 − 10x) + 241.

Adicio de (10/2)2 = 25 al x2 - 10x donas perfektan kvadraton x2 - 10x + 25 = (x - 5)2. Do:

9(x2 − 10x) + 241 = 9(x2 − 10x + 25) + 241 − 9(25) = 9(x − 5)2 + 16.

Kaj la malderivaĵo estas

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C.