Eksponenta funkcio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo bezonas poluradon, ĉar ĝi montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al bona kvalitnivelo. La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie.


La eksponenta funkcio estas unu de la plej gravaj funkcioj en matematiko. Ĝi estas skribita kiel exp(x) aŭ ex, kie e egalas proksimume 2.71828183 kaj estas la bazo de la natura logaritmo.

La eksponenta funkcio estas proksimiĝas al 0 por negativaj x, kaj pligrandiĝas rapide al malfinio por pozitivaj x.

Kiel funkcio de la reela variablo x, la grafikaĵo de ex estas ĉiam pozitiva (pli supre absciso (x akso)) kaj pligrandiĝanta

Inversa funkcio de eksponenta funkcio, la natura logaritmo, ln(x), estas difinita por ĉiuj pozitivaj x.

Ĝenerale, la variablo x povas esti reela aŭ kompleksa nombro, aŭ eĉ de tute aliaj speco de matematika objekto; vidi la formalan difinon pli sube.

Enhavo

[redaktu] Propraĵoj

Uzanta la natura logaritmo, unu povas difini pli ĝeneralajn eksponentajn funkciojn. La funkcio

\!\, a^x=e^{x \ln a}

difinita por ĉiuj a > 0, kaj ĉiuj reelaj nombroj x, estas nomita kiel eksponenta funkcio kun bazo a.

Noto ke la ekvacio pli supre veras ankaŭ por a = e, ĉar

\!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.

La propraĵoj:

\!\, a^0 = 1
\!\, a^1 = a
\!\, a^{x + y} = a^x a^y
\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y
\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
\!\, a^x b^x = (a b)^x

Ĉi tiuj formuloj estas validaj por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj a kaj b kaj ĉiuj reelaj nombroj x kaj y.


[redaktu] Derivaĵoj kaj diferencialaj ekvacioj

{d \over dx} e^x = e^x
  • La funkcio solvas la diferencialan ekvacion y' = y.
  • exp estas fiksa punkto de derivaĵo kiel funkcionalo

Por eksponentaj funkcioj kun aliaj bazoj:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Plue por ĉiu diferencialebla funkcio f(x):

{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}

[redaktu] Formala difino

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

aŭ kiel la limigo de vico:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

  • Eksponenta funkcia kresko
  • Potencigo
  • Listo de eksponentaj funkciaj temoj


<!-- --> Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn.