Permutaĵo

El Vikipedio

En la matematiko permutaĵo estas ĉiu el la eblaj diversaj manieroj vicigi la elementojn de certa aro. Ekzemple, la diversaj permutaĵoj de la elementoj a, b, c estas: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

La nombro de eblaj permutaĵoj de n elementoj estas ĉiam n! (do n faktoriale).

[redaktu] Formala difino

Permutaĵo estas bijekcio de finia aro X al X. Oni povas facile pruvi ke tiu ĉi difino samas al la supra neformala difino.

[redaktu] Skribmanieroj

Ekzistas du ĉefaj skribmanieroj por permutacioj. En la matrica skribmaniero, oni listigas la elementojn en la "natura" ordo en unu linio, kaj sube la elementojn en permutita ordo:

\begin{bmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{bmatrix}

Ĉi tio signifas, ke en la unuan lokon, oni metu "2", en la duan lokon "5", en la trian lokon "4", en la kvaran lokon "3" kaj en la kvinan lokon "1".

La alia skribmaniero konsideras kiel la elementoj ŝanĝas, kiam oni plurfoje aplikas la permutaĵon. En la supra permutaĵo, elemento en la unua pozicio estas movita al la dua pozicio. Denove aplikante la permutaĵon, ĝi tiam estos movita al la kvina pozicio, kaj de la kvina denove al la unua pozicio. Tiun ciklon oni skribas per (1 2 5), aŭ alternative (2 5 1) aŭ (5 1 2), sed ne kiel (1 5 2). La aliaj du elementoj formas ciklon (3 4).

Nun ni povas skribi la permutaĵon kiel aron de cikloj. La supra permutaĵo do povas esti skribata kiel (1 2 5) (3 4). Lo ordo de la cikloj ne gravas (oni ankaŭ povus skribi (3 4) (1 2 5)).

Ofte okazas, ke unu elemento tute ne moviĝas en la permutaĵo. Tion oni konsideras unu-elementan ciklon. Konsideru ekzemple la suban permutaĵon:

\begin{bmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  1 & 5 & 4 & 3 & 2\end{bmatrix}

Laŭ cikla skribmaniero ĝi iĝas (1) (2 5) (3 4). Ĉar la unu-elementaj cikloj ne havas iun ajn efekton, oni foje simple skribas (2 5) (3 4). Tio tamen povas kaŭzi miskomprenon, kiam la plej alta nombro ne estas movata, ĉar tiam permutaĵo de kvin elementoj povus aspekti kiel permutaĵo de kvar elementoj.

[redaktu] Vidu ankaŭ