Integralanta faktoro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo bezonas poluradon, ĉar ĝi montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al bona kvalitnivelo. La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie.


En matematiko, unu solvas certaj ordinaraj diferencialaj ekvacioj per uzanta integralanta faktoro. La integralanta faktoro estas (justa, ĵus) funkcio pikis en tia vojo (tiu, ke) permesas unu al solvi la donita ekvacio.

Konsideri ordinara diferenciala ekvacio de la formo

y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)

kie y = y(x) estas nekonata funkcio de x, kaj a(x) kaj b(x) estas donitaj funkcioj.

La integralantaj faktoraj manieraj laboroj per (kurbiĝanta, turnanta, tornanta, kurbiganta) la (maldekstre, restis) mana flanko enen la formo de la derivaĵo de (produkto, produto).

Konsideri funkcio M(x). Ni multipliki ambaŭ flankoj de (1) per M(x):

M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x).\quad\quad\quad (2)

Ni bezono la (maldekstre, restis) mana flanko al furori la formo de la derivaĵo de (produkto, produto) (vidi (produkto, produto) regulo). Fakte, se ni alpreni ĉi tiu la (maldekstre, restis) mana flanko povas esti reordigita kiel

(M(x)y)' = M(x)b(x).\quad\quad\quad (3)

La (maldekstre, restis) mana flanko povas esti integralita multa pli facile per (meznombroj, signifas) la fundamenta teoremo de kalkulo,

y(x) M(x) = \int b(x) M(x)\,dx + C,

kie C estas konstanto (vidi ajna konstanto de integralado). Ni povas nun solvi por y(x),

y(x) = \frac{\int b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}.\,

Tamen, al eksplicite solvi por y(x) ni (bezonaĵo, bezoni, bezono, necesa) al trovi esprimo por M(x). Ĝi povas esti (deduktita, konkludita) de (2) (tiu, ke) M(x) obeas la diferenciala ekvacio

M'(x)-a(x)M(x) = 0.\quad\quad\quad (4)\,

Al preni M(x), dividi ambaŭ flankoj per M(x):

\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0.\quad\quad\quad (5)

Ekvacio (5) estas nun en la formo de logaritma derivaĵo. Solvanta (5) donas

M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.

Ni vidi (tiu, ke) multiplikante per M(x) kaj la propraĵo M'(x) = a(x)M(x) estita esenca en solvanta ĉi tiu diferenciala ekvacio. M(x) estas nomita integralanta faktoro. La nomo venas de la fakto (tiu, ke) ĝi estas integralo, kaj ĝi montras kiel multaj en la ekvacio (de ĉi tie faktoro).

[redaktu] Ekzemplo

Solvi la diferenciala ekvacio

y'-\frac{2y}{x} = 0.

Ni povas vidi (tiu, ke) en ĉi tiu (kesto, okazo) a(x) = \frac{-2}{x}

M(x)=e^{\int a(x)\,dx}
M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx}
M(x)=\frac{1}{x^2}.

Multiplikante ambaŭ flankoj per M(x) ni ricevi

\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0
\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

ĉu

\frac{y}{x^2} = C

kiu donas

Malsukcesis analizi formulon (Nekonata eraro): y(x) = Ĉ^2.


[redaktu] Vidi ankaŭ

  • maniero de variacio de parametroj
  • ekzemploj de diferencialaj ekvacioj
  • logaritma derivaĵo
  • (produkto, produto) regulo

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

  • Akurata diferencialo
Aliaj lingvoj