Q-eksponenta funkcio

El Vikipedio

En kombina matematiko, la q-eksponenta funkcio estas la q-analogo de eksponenta funkcio.

[redaktu] Difino

La q-eksponenta funkcio eq(z) estas difinita kiel

e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \cdots (1-q)}

kie [n]q! estas la q-faktorialo kaj

(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)

estas la q-serio. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)

kie la derivaĵo maldekstre estas q-derivaĵo. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la unutermo

\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} =[n]_q z^{n-1}.

Ĉi-tie, [n]q estas la q-krampo.

[redaktu] Propraĵoj

Por reela q > 1, la funkcio eq(z) estas tuta funkcio de z. Por q < 1, eq(z) estas regula en disko | z | < 1 / (1 − q).

[redaktu] Rilatoj

Por q < 1, funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

eq(z) = Eq(z(1 − q))

Ĉi tie, Eq(t) estas speciala okazo de baza supergeometria serio:

E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}
Aliaj lingvoj