Transformo de Möbius
El Vikipedio
- Transformo de Möbius devus esti ne konfuzita kun la konverto de Möbius kaj la funkcio de Möbius.
En matematiko, Transformo de Möbius estas bijekcia konforma bildigo de la etenda kompleksa ebeno (kio estas la kompleksa ebeno pligrandigita per la punkto je malfinio):
La aro de ĉiuj transformoj de Möbius formas grupon sub komponaĵo nomita kiel la grupo de Möbius. Transformoj de Möbius estas nomataj ankaŭ kiel frakciaj linearaj transformoj.
Enhavo |
[redaktu] Ĝenerala priskribo
La möbius-a grupo estas la aŭtomorfia grupo de la rimana sfero
Certaj subgrupoj de la möbius-a grupo formas aŭtomorfiajn grupojn de la aliaj simple-koneksaj rimanaj surfacoj (la kompleksa ebeno kaj la hiperbola ebeno). Kiel tia, möbius-aj transformoj ludas gravan rolon en la teorio de rimanaj surfacoj. La kovranta grupo de ĉiu rimana surfaco estas diskreta subgrupo de la möbius-a grupo (vidu grupon de Klein). möbius-aj transformoj estas ankaŭ proksime rilatanta al (izometrioj, izometrias) de hiperbolaj 3-duktoj.
Aparte grava subgrupo de la möbius-a grupo estas la modula grupo; ĝi estas centralo al la teorio de multaj fraktaloj, modulaj formoj, elipsaj kurboj.
[redaktu] Difino
La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per
kie a, b, c, d estas kompleksaj nombroj tiuj ke ad − _bc_ ≠ 0. Ĉi tiu difino povas esti etendita al la tuta Rimana sfero (la kompleksa ebeno plus la punkto je malfinio) kun du specialaj okazoj:
- la punkto z = − d / c estas mapita al

- la punkto
estas mapita al a / c
Oni povas havi Möbius-ajn transformojn por la reelaj nombroj kaj ankaŭ por la kompleksaj nombroj. En ambaŭ okazoj, oni bezonas pligrandigi la domajnon per punkto je malfinio.
La kondiĉo ad − bc ≠ 0 asekuras ke la transformo estas inversigebla). La inversa transformo estas donita per
kun la samaj specialaj okazoj.
[redaktu] (Polusoj, Polusas) de la transformo
La punkto
estas (nomita, vokis) la poluso de
; ĝi estas (tiu, ke, kiu) punkto kiu estas konvertita trafe je malfinio sub
.
La inversa poluso
Estas (tiu, ke, kiu) punkto al kiu la punkto je malfinio estas konvertita. La punkto _midway_ inter la du (polusoj, polusas) estas ĉiam la sama kiel la punkto _midway_ inter la du fiksaj punktoj:
Ĉi tiuj kvar punktoj estas la verticoj de paralelogramo kiu estas iam (nomita, vokis) la karakteriza paralelogramo de la transformo.
(Konverti, Konverto)
povas esti precizigita kun du fiksaj punktoj γ1,γ2 kaj la poluso
.
Ĉi tiu permesas ni al derivi formulo por konvertiĝo inter k kaj
donita γ1,γ2:
Kiu reduktas lanugo al
La lasta esprimo koincidas kun unu de la (reciproke (reciproka, reciprokaĵo, inverso)) ajgeno (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas)
de la matrico
(figuranta, prezentanta) la (konverti, konverto) (kompari la diskuto en la antaŭvenanta sekcio pri la karakteriza konstanto de transformo). Ĝia karakteriza polinomo estas egala al
kiu havas (radikoj, radikas)
[redaktu] Preciziganta transformo per tri punktoj
[redaktu] Direkto (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo)
(Ĉiu, Iu) aro de tri punktoj
unike difinas transformo
. Al kalkuli ĉi tiu ekster, ĝi estas oportuna al utiligi transforma tio estas pova mapo tri punktoj sur (0,0), (1, 0) kaj la punkto je malfinio.
Unu povas forigi la (infinitoj, infinitas, malfinioj, malfinias, nefinioj, nefinias) per multiplikante ekster per z2 − z1 kaj Z2 − Z1 kiel antaŭe (tononomis, notita).
La matrico
al mapo z1,2,3 sur Z1,2,3 tiam iĝas
Vi povas multipliki ĉi tiu ekster, se vi bezono, sed se vi estas skribanta kodo tiam ĝi's pli simpla al uzi nedaŭra (variabloj, variablas) por la mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).
[redaktu] Eksplicita determinanta formulo
La problemo de konstruanta Transformo de Möbius
(mapanta, bildigo) triopo (z1,z2,z3) al alia triopo (w1,w2,w3) estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma hiperbolo
en la (z,w)-ebeno (trairanta, pasanta) tra la punktoj (zi,wi). Eksplicita ekvacio povas troviĝi per pritaksanta la determinanto
per Laplaca elvolvaĵo laŭ la unua (linio, vico). Ĉi tiuj rezultoj en la determinantaj formuloj
por la koeficientoj a,b,c,d de la (figuranta, prezentanta) matrico
. La konstruis matrico
havas determinanto egala al (z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)(w1 − w2)(w1 − w3)(w2 − w3) kiu ne nuliĝi se la zmi _resp_. wmi estas duoplarĝa malsama tial la Transformo de Möbius estas bone-difinita.
Mallaŭdo: A simila determinanto (kun wz (anstataŭigita, anstataŭigis) per w2 + z2) (plumboj, plumbas, kondukas) al la ekvacio de cirklo tra tri malsama (ne samrekta) punktoj en la ebeno.
[redaktu] (Alterna, Alterni) maniero uzanta (kruci-rilatoj, kruci-rilatas) de punkto (kvaropoj, kvaropas)
Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakto (menciis en la unua sekcio) (tiu, ke, kiu) la kruci-rilato
estas invarianto sub Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) kvaropo (z1,z2,z3,z4) al (w1,w2,w3,w4) tra
. Se
(mapoj, mapas) triopo (z1,z2,z3) de duoplarĝa malsama zmi al alia triopo (w1,w2,w3), tiam la Transformo de Möbius
estas difinita per la ekvacio
aŭ skribita ekster en (betono, konkreta) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):
La lasta ekvacio povas esti konvertita enen
Solvanta ĉi tiu ekvacio por
unu ricevas la _sought_ transformo.
Rilato al la fiksa punkta normala formo
Alpreni (tiu, ke, kiu) la punktoj
estas la du (malsama) fiksaj punktoj de la Konverto de Möbius
kio estas
. Skribi
. La lasta ekvacio
tiam legas
En la antaŭa sekcio sur normala forma Konverto de Möbius kun du fiksaj punktoj γ1,γ2 estita esprimita uzanta la karakteriza konstanto k de la (konverti, konverto) kiel
(Komparanta, Kontrastiganta) ambaŭ esprimoj unu derivas la egaleco
kie z1 estas malsama de la fiksaj punktoj
kaj
estas la bildo de z1 sub
. En aparta la kruci-rilato
ne dependi sur la elekto de la punkto z (malsama de la du fiksaj punktoj) kaj estas egala al la karakteriza konstanto.
[redaktu] Vidi ankaŭ
- _Fuchsian_ grupo
- Hiperbola geometrio
- Inversa ringa geometrio
- Grupo de Klein
- Lorenca grupo
- Modula grupo
- _Poincaré_ duonebena modelo
- Projekcia geometrio
- Dulineara konverto
[redaktu] Referencoj
- (Celita je ne-(matematikistoj, matematikistas), provizas bonega ekspozicio de teorio kaj rezultoj, riĉe ilustris kun figuroj.)
- (Vidi (Ĉapitroj, Ĉapitras) 3-5 de ĉi tiu klasika libro por bela enkonduko al la Rimana sfero, _stereographic_ projekcio, kaj Mö_bius_ (transformoj, transformas).)
- (Vidi Ĉapitro 3 por bele ilustris enkonduko al Mö_bius_ (transformoj, transformas), inkluzivanta ilia klasifiko supren al _conjugacy_.)
- Vidi Ĉapitro 2.
- (Vidi Ĉapitro 2 por diversaj (izomorfioj, izomorfias), kaj por la Lorenca grupo vidita kiel Galezagrupo.)
- (Vidi Ĉapitro 6 por la klasifiko, supren al _conjugacy_, de la (Mensogi, Kuŝi) (subalgebroj, subalgebras) de la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la Lorenca grupo.)
[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)
- A javo _applet_ permesanta vi al precizigi transformo tra ĝiaj fiksaj punktoj kaj tiel plu povas troviĝi je uzantas)._bigpond_._com_/_pmurray_/Javo/_MoebApplet_.html.
-->
| <!-- --> | Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn. |

































