# Aristoteleen matematiikka

### Wikipedia

Aristoteles hyödynsi matematiikkaa tutkielmissaan kolmella merkittävällä tavalla. Ensinnäkin, hänen aikansa matemaatikot tarjosivat erityisesti hänen logiikkansa käyttöön joitakin merkittäviä tekniikoita. Toisekseen, hän käytti matemaattisia argumentteja joidenkin teesien kuvaamiseen ja todistamiseen, erityisesti fysiikassa, mutta myös biologiassa ja etiikassa. Kolmannekseen, Aristoteleen matematiikanfilosofia on tarjonnut tärkeän vaihtoehdon platonismille. Hänen matematiikanfilosofiansa voidaan ymmärtää parhaiten kaikkien eksaktien tai matemaattisten tieteiden filosofiana.

## [muokkaa] Matematiikka Aristoteleen teoksissa

Aristoteles kirjoitti matematiikasta erityisesti teoksissa Jakamattomista viivoista ja Mekaniikan ongelmat. Tämän lisäksi Metafysiikka käsittelee matemaattisten luonnontieteiden perusteita ja erityisesti niiden ontologisia ongelmia yleisesti. Aristotelestä edeltäneinä vuosina ja hänen aikanaan, 400- ja 300-luvuilla eaa., kreikkalainen matematiikka kehittyi huomattavasti erityisesti todistamisen, lukuteorian, verrannollisuuden ja erilaisten matemaattisten kappaleiden (kuten pallon- ja kartionmuotoisten kappaleiden) alueilla. Geometriaa ja aritmetiikkaa alettiin myös hyödyntää muissa tieteissä, kuten tähtitieteessä, mekaniikassa, optiikassa ja harmoniikassa. Myös matemaattisten konseptien kuvaaminen tutkielmissa kehittyi, kun kirjaimia alettiin käyttää kaavojen abstrahoinnissa. Nykyisin ei täysin tiedetä, missä määrin Aristoteles vaikutti tällaiseen kehitykseen, ja missä määrin hänen tutkielmansa vain heijastavat ajan ilmiöitä.

Aristoteleen mukaan matematiikka ja fysiikka käsittelevät samoja objekteja, mutta eri tavalla — matematiikka abstrahoi aistittavien kappaleiden konkreettisia ominaisuuksia, ja käsittelee niitä ainoastaan kvantitatiivisesti (Metafysiikka XIII.3). Matematiikalla universaaleja asioita voidaan tarkkailla ymmärryksen abstrahoivan kyvyn avulla. Matematiikka ei kuitenkaan voi nousta materiaalisten asioiden yläpuolelle, tavoittelemaan todellista olemassaoloa. Se on rajoitettu tutkimaan materiaalisesti olemassa olevia asioita. (Metafysiikka XI.4).

Kolmen teoreettisen tieteen, fysiikan, matematiikan ja metafysiikan, välinen työnjako on siis seuraava: Fysiikan tehtävänä on tutkia muodostavia prinsiippejä, asioita joilla on absoluuttinen olemassaolo, mutta ainoastaan silloin, kun ne ovat tulleet materiaalisiksi, eivätkä näin ole liikkumattomia. Matematiikka puolestaan tutkii liikkumattomia ja levossa olevia asioita, koska sen määrittelyt ovat kiinteitä ja muuttamattomia, mutta ei kuitenkaan absoluuttisen liikkumattomia asioita, ainoastaan sellaisia jotka ovat yhteyksissä materiaan. Metafysiikka puolestaan tutkii absoluuttisesti olemassa olevia asioita, jotka ovat ikuisia ja liikkumattomia. Näin matematiikka toimii fysiikan ja metafysiikan puolessa välissä (Metafysiikka I.6, I.9, XI.1).

## [muokkaa] Aristoteleen matemaattiset ongelmat

Aristoteles pyrki matemaattisia ontologisia ongelmia käsitellessään ennen kaikkea välttämään platonistista ideaoppia. Aristoteles oli Platonin kanssa yhtä mieltä siitä, että on olemassa ymmärrettäviä universaaleja, ei partikulaarisia, objekteja, jotka täyttävät tiettyjä Parmenideen määrittelemiä ehtoja, kuten muuttumattomuus ja ikuisuus. Aristoteles kuitenkin hylkäsi Platonin näkemyksen siitä, että näillä universaaleilla olisi itsenäinen olemassaolo varsinaisten kappaleiden ohella. Tämä oli Aristoteleen metafysiikan keskeisin kysymys. Matemaattisten objektien tapauksessa tähän liittyy kuitenkin muutamia merkittäviä ongelmaa. Ensinnäkin, jos matemaattiset objektit ovat myös fyysisiä objekteja, ja täyttävät muun muassa janan, ympyrän jne. normaalit määritelmät, silloin ne epäonnistuvat kahdella tavalla (Metafysiikka III.2 997b25-8a19):

  1. Piirtämämme fyysiset suorat janat eivät ole suoria; fyysinen tangentti ei todellisuudessa kosketa ympyrää yhdessä pisteessä. Toisin sanoen fyysisillä objekteilla ei ole niitä matemaattisia ominaisuuksia, joita matematiikka tutkii. Tätä kutsutaan tarkkuuden ongelmaksi.
  2. Fyysisiltä matemaattisilta objekteilta puuttuu sellaisia ominaisuuksia, joita vaaditaan ymmärrettäviltä objekteilta. Ne eivät ole erillisiä tai itsenäisiä suhteessa materiaan. Siksi ne eivät voi olla ikuisia ja muuttumattomia. Tätä kutsutaan erotettavuuden ongelmaksi.

Platonilaisiin ideoihin liittyi vielä kolmas ongelma (Metafysiikka III.1-2):

  3. Oletetaan, että jokaista kolmiota vastaisi yksi idea. Jokaista tietyntyyppistä kolmiota vastaisi silti vain yksi idea. Joku matemaattinen diagonaalisuutta käsittelevä teoria saattaisi vaatia, että on kaksi samanlaista kolmiota, jotka ovat kuitenkin erillisiä. Yleensäkin matemaattiset tieteet vaativat useita samantyyppisiä kappaleita. Tätä kutsutaan moneuden ongelmaksi.

## [muokkaa] Aiheesta muualla / Lähteitä

- Smith, William: Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology
- Stanford Encyclopedia of Philosophy: Aristotle and Mathematics

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../a/r/i/Aristoteleen_matematiikka.html

Luokat: Aristotelismi | Matematiikan historia

##### Views

- Artikkeli
- Keskustelu
- Nykyinen versio

##### Etsi