# Brahmaguptan kaava

### Wikipedia

Geometriassa Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

## [muokkaa] Perusmuoto

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

## [muokkaa] Brahmaguptan kaavan todistus

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion pinta-ala + kolmion pinta-ala:

Koska A B C D on jännenelikulmio, on Siis sinA = sinC, joten

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin ja saadaan

Sijoittamalla cosC = − cosA (koska kulmat A ja C ovat toistenta suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

  2cosA(p q + r s) = p2 + q2 − r2 − s2.

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

Koska on

ja lopulta

## [muokkaa] Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

missa θ on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on , voidaan yleista kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

## [muokkaa] Erikoistapaus

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

## [muokkaa] Aiheesta muualla

- MathWorld: Brahmagupta's formula

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../b/r/a/Brahmaguptan_kaava.html

Luokka: Geometria

##### Views

- Artikkeli
- Keskustelu
- Nykyinen versio

##### Etsi

##### Muilla kielillä

- العربية
- English
- Français
- 한국어
- Italiano
- 日本語
- 中文