Eksakti differentiaali
Wikipedia
Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa
, jolle löytyy jokin funktio f siten että:
.
Toisin sanoen
on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli
.
Differentiaali
on aina eksakti.
Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa
on
ja
.
Koska
, on oltava
.
Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.
[muokkaa] Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt
voidaan kirjoittaa muodossa
. Jos
on eksakti, eli on funktio f, jolle
, on tällöin
ja ratkaisu siten
, missä
on vakio.
[muokkaa] Integrointitekijät
Funktiota
kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta
eksaktin, eli
on eksakti. Tällöin on oltava
josta
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa
saamme
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle 
jos oikea puoli on vain y:n funktio.
[muokkaa] Katso myös
- Maxwellin relaatiot







