Fourier'n sarja

Wikipedia

Fourier'n sarja on Joseph Fourier'n mukaan nimetty matemaattinen työkalu, jonka avulla jaksolliset funktiot voidaan ilmoittaa trigonometristen sin- ja cos-funktioiden summana.

Fourier'n sarja on määritelty Eulerin lausetta hyväksikäyttäen kompleksilukujen eksponenttifunktion avulla:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.

Missä Fn on Fourier'n kerroin. Kerroin saadaan vastaavasta funktiosta f(x) integroimalla:

F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.

Joskus Fourier'n sarja on annettu suoraan trigonometrisinä funktioina. Merkintä on pidempi, mutta se saattaa olla joskus havainnollisempi.

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n \omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n \omega t),   \omega = \frac{2\pi}{T}.

Jossa kertoimet an ja bn saadaan seuraavista integraaleista:

a_n = \frac{2}{T} \int_{d}^{d+T} f(t) \cos(n \omega t) dt.
b_n = \frac{2}{T} \int_{d}^{d+T} f(t) \sin(n \omega t) dt.

Fourier'n sarjaa käytetään apuna esimerkiksi röntgenkristallografiassa.

Katso myös Fourier'n muunnos.