גאומטריה אקסיומטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גאומטריה אקסיומטית היא גישה המתארת את המבנים היסודים של הגאומטריה (בדרך כלל, הנקודה, הקו הישר והמעגל, ולעתים גם הזווית והמרחק) על-פי אקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

התאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים "יסודות" של אוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה. להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית. במשך השנים נעשו נסיונות רבים להוכיח את האקסיומה האחרונה, מתוך האקסיומות האחרות. נסיונות אלה נכשלו כולם, עד שהביאו בסופו של דבר, בשליש הראשון של המאה ה-19, לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה לא הורגש צורך לשפר את הטיפול במושגי היסוד הגאומטריים. בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים 'טבעיים', והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.

כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, שבה כעשרים וחמש אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתשמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, כמו למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. למרות שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.

[עריכה] ראו גם