הפרדוקסים של זנון
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הפרדוקסים של זנון היו פרדוקסים שחיבר הפילוסוף זנון מאלאה שחי במאה החמישית לפני הספירה. פרדוקסים אלו עוסקים בתנועה ובזמן. כל אחד מפרדוקסים אלה מציג הוכחה הסותרת את המציאות הגלויה לעינינו, ובאו לתמוך בגישתו של פרמנידס לפיה אל לנו לסמוך על החושים המטעים אותנו. פרדוקסים אלה הם:
- פרדוקס אכילס והצב
- פרדוקס הדיכוטומיה
- פרדוקס החץ הנע
זנון ובני תקופתו לא הציגו פתרון לפרדוקסים אלה, והם העסיקו רבות את הפילוסופים של ימי הביניים. הפתרון לפרדוקסים של זנון נמצא בביסוס התיאורטי של מושג האינסוף, החל מהמאה ה-17. יש לציין שהפרדוקסים מתארים את המציאות במונחים טבעיים ומשכנעים ואילו שפתרונותיהם מנוסחים במונחים מתמטיים מורכבים ובמובן מסוים לא טבעיים ולא משכנעים. יש בתופעה זו (תיאור טבעי ומשכנע אך אבסורדי מול תיאור לא טבעי ושכלתני אך קוהרנטי ומדוייק) משום המחשה לכך שהמושגים בהם אנו חושבים ובעזרתם אנו מתארים את המציאות הם בעצם לא מדוייקים ומאפשרים הסקת מסקנות סותרות.
תוכן עניינים |
[עריכה] פרדוקס אכילס והצב
הפרדוקס עוסק בתחרות ריצה בין האצן האגדי, אכילס, לבין הצב: אכילס רץ פי 10 מהר יותר מן הצב, ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 1000 מטר בתחילת התחרות. זנון טוען שבתנאים אלה אכילס לעולם לא יוכל להשיג את הצב. זאת, מכיוון שבזמן שאכילס יעבור את 1000 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, יספיק הצב להתקדם 100 מטר, ולכן הוא יקדים את אכילס. וכאשר אכילס יעבור מרחק נוסף של 100 מ', יספיק הצב לעבור 10 מטר נוספים, ושוב יקדים את אכילס. וכך הלאה, בכל פעם שאכילס מגיע לנקודה שהצב היה בה קודם, בזמן הזה הצב מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.
פרדוקס זה עומד, כמובן, בסתירה לידוע לנו - אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. המוצא מן הפרדוקס: בריצתו של אכילס לעבר הצב יש אמנם מספר אינסופי של צעדים, אך הזמן הנחוץ לביצוע כל צעד הולך ומתקצר, כך שהזמן הנחוץ לביצוע המספר האינסופי של הצעדים הוא זמן סופי (כפי שידוע לנו מהעיסוק בסכום של טור מתכנס אינסופי), שהוא הזמן הנחוץ לאכילס כדי להשיג את הצב.
[עריכה] פרדוקס הדיכוטומיה
אדם שרוצה לנוע ממקום למקום, כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו, כי לפני שיגיע לנקודת היעד, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד, ולפני שיגיע מנקודה היציאה לאמצע הדרך, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה. בהתאם לכך, האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו, כי קודם שיגיע לנקודה כלשהי יצטרך להגיע קודם לאמצע הדרך שבין נקודה היציאה לבין הנקודה שאליה הוא רוצה להגיע.
פרדוקס זה הוא וריאציה של הפרדוקס הקודם, וגם פתרונו דומה.
[עריכה] פרדוקס החץ הנע
ברגע מסוים שבו החץ עף אל מטרתו הוא נמצא במקום מסוים, כלומר הוא נמצא במנוחה במקום זה. תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ, ולכן החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו - תנועת החץ כלל אינה קיימת.
פתרונו של פרדוקס זה ניתן באמצעות מושג הגבול של החשבון האינפיניטסימלי, ממנו אנו לומדים שגם כאשר אורכו של הרגע שואף לאפס, מהירות החץ תהיה גדולה מאפס.

