נוסחת אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר, ואפשר להסיק ממנה את נוסחת דה-מואבר.

הנוסחה קובעת כי: \!\, e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} לכל \ \theta ממשי, כאשר i היא היחידה המרוכבת.

יש כמה דרכים להבין שוויון זה. באופן פשטני אפשר לראות בו הגדרה של הפונקציה המעריכית עבור ערכים מרוכבים-טהורים (במונחי הפונקציות הטריגונומטריות הממשיות). אם מניחים שהתכונה \ e^{x+y}=e^x \cdot e^y, הידועה ממספרים ממשיים, חלה גם כאן, אז אפשר לקבל מן ההגדרה הזו הגדרה מלאה לפונקציה המעריכית לכל מספר מרוכב: \ e^{x+iy}=e^x(\cos(y)+i \sin(y)). לפי גישה זו אין אפשרות להוכיח את הנוסחה: אגף ימין שלה מגדיר את אגף שמאל, ותו לא.

גישה אחרת מגדירה את הפונקציה המעריכית (עבור מספרים מרוכבים) על-פי התכונות שלה. למשל, זוהי הפונקציה השלמה היחידה המסכימה עם הפונקציה המעריכית הממשית עבור ערכים ממשיים (משפטים כללים על פונקציות מרוכבות מבטיחים ששתי פונציות שלמות המסכימות זו עם זו בערכים ממשיים - חייבות להתלכד). מהגדרה זו נובע שהפונקציה המעריכית, אותה אפשר להגדיר במספרים ממשיים על-ידי טור טיילור שלה, \ e^x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, מקיימת את אותה זהות ממש גם כאשר x מרוכב. בפרט, אם נציב \ x=iy עם y ממשי, נקבל \ e^{iy}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^ny^n}{n!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}y^{2m}}{(2m)!}+i \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}y^{2m+1}}{(2m+1)!}=\cos(y)+i\sin(y) לפי-הפיתוח של הפונקציות הטריגונומטריות לטורי טיילור (בערכים ממשיים). זוהי הוכחה לנוסחת אוילר.

הוכחה אחרת אפשר לקבל מנוסחת דה-מואבר, אם מגדירים את הפונקציה המעריכית (בערכים מרוכבים) לפי הזהות \ e^z = \lim_{n \to \infty}{\left(1 + {z\over n}\right) ^n}. ומשתמשים בקירובים \ \cos\alpha  \approx 1 ו- \ \sin\alpha  \approx \alpha (הנכונים לזוויות קטנות). כאשר n גדל לאינסוף, \ \cos(\theta)+i\sin(\theta) = (\cos(\frac{\theta}{n})+i \sin(\frac{\theta}{n}))^n \approx (1 +  \frac{i \theta}{n})^n \rightarrow e^{i \theta}.


[עריכה] זהות אוילר

כאשר מציבים בנוסחה את π כערכה של הזווית θ, מתקבל: \!\, e^{i \pi} = -1 או \!\, e^{i \pi} + 1 = 0, תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.