אי שוויון ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מתמטית, אי שוויון ברנולי הוא אי שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי \ (1+x)^n. אי השוויון קובע ש- \ (1+x)^n\geq 1+nx לכל מספר שלם \ n\geq 0 ולכל מספר ממשי \ x>-1. את אי-השוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה \ (1+\frac{1}{n})^n עולה בזמן שהסדרה \ (1+\frac{1}{n})^{n+1} יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, \ e=2.718..., כגבולן המשותף.

אי השוויון נכון לכל \,n ממשי, ובלבד ש-\ n\geq 1. את ההכללה אפשר להוכיח על-ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים.

[עריכה] הוכחה באינדוקציה לאי שיוויון ברנולי

בסיס האינדוקציה: \ n=1 ואכן מתקיים ש: \ (1+x)^1\ge1+1 \cdot x כלומר: \ 1 + x \ge 1 + x .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור \ n=t כלשהוא, כלומר נניח ש: \ (1+x)^t \ge 1 + tx, נשים לב לכך שמכוון ש \ x > -1 אז: \ (x+1)>0 , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי שיוויון של ההנחה ולקבל ש: \ (1+x)\cdot(1+x)^t \ge (1+x)\cdot(1+tx) כלומר: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור \ n=t+1 כלומר צ"ל ש: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+(t+1)\cdot x , כלומר: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 , הביטוי \ tx^2 חיובי (כי \ x^2 \ge 0 וגם t \ge 0) ולכן ממילא מתקיים ש: \ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 \ge 1+tx+x.