משוואת לפלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה \ \Delta f = f_{xx} + f_{yy} = 0 כאשר \ f היא פונקציה של שני משתנים ב \ x,y, ו \ \Delta f הוא הלפלסיאן של הפונקציה \ f, כאשר מתקיים, על פי הגדרת הגרדיאנט, \ \Delta = \nabla ^2. פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.

[עריכה] תכונות

[עריכה] משוואת לפלס סימטרית

  • ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם \ u(x,y) הרמונית, גם \ u(x-a,y-b) הרמונית;
  • ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם \ u(r,\theta) הרמונית, גם \ u(r,\theta+\gamma) הרמונית;
  • ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם \ u(x,y) הרמונית, גם \ u(\frac{x}{\delta},\frac{y}{\delta}) הרמונית.

כאשר \ a,b,\gamma,\delta כולם קבועים.

[עריכה] ראו גם