קבוצת בורל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קבוצת בורל היא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה של בורל (נקראת גם: אלגברת בורל). הסיגמא-אלגברה של בורל היא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקטעים הפתוחים בישר הממשי.

במרחב טופולוגי כללי X מקובל להגדיר את אלגברת בורל באחד מהאופנים הבאים:

באופן כללי, מדובר בשני מבנים שונים, אך הם מזדהים במרחב מטרי ספרבילי שהוא קומפקטי מקומי.

על הישר הממשי הגדרות אלו שקולות לכך שאלגברת בורל היא זו הנוצרת על ידי הקטעים. אלגברת בורל מכילה אינספור סוגי קבוצות, שאת רובן איננו יכולים לתאר, אך היא מכילה גם את סוגי הקבוצות הבסיסיים:

  • כל קבוצה פתוחה היא קבוצת בורל.
  • כל קבוצה סגורה היא קבוצת בורל (סגירות תחת משלים).
  • כל קטע (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות ( \ F_{\sigma}) הוא קבוצת בורל.
  • כל חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות ( \ G_{\delta}) הוא קבוצת בורל.
  • כל איחוד או חיתוך בן-מניה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצת בורל.

[עריכה] ראו גם