אי שוויון ברנולי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באנליזה מתמטית, אי שוויון ברנולי הוא אי שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי
. אי השוויון קובע ש-
לכל מספר שלם
ולכל מספר ממשי
. את אי-השוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.
בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה
עולה בזמן שהסדרה
יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי,
, כגבולן המשותף.
אי השוויון נכון לכל
ממשי, ובלבד ש-
. את ההכללה אפשר להוכיח על-ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים.
[עריכה] הוכחה באינדוקציה לאי שיוויון ברנולי
בסיס האינדוקציה:
ואכן מתקיים ש:
כלומר:
.
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור
כלשהוא, כלומר נניח ש:
, נשים לב לכך שמכוון ש
אז:
, ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי שיוויון של ההנחה ולקבל ש:
כלומר: 
צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור
כלומר צ"ל ש:
, כלומר:
, אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי:
, הביטוי
חיובי (כי
וגם
) ולכן ממילא מתקיים ש:
.

