משפט תאלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קיימים שני משפטים המכונים בשם 'משפט תאלס'

תוכן עניינים

[עריכה] המשפט הראשון

משפט תאלס הפשוט
הגדל
משפט תאלס הפשוט

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים. למשל, בציור שמשמאל, אם DE \| BC , אז \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}


ע"פ חוקי פרופורציה, ניתן להגיע לעוד שוויונות, כמו \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} או \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}

[עריכה] הרחבות

[עריכה] הרחבה ראשונה

הרחבה ראשונה
הגדל
הרחבה ראשונה

כאמור, משפט תאלס הפשוט, מדבר רק על מקרה בו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קדקוד הזווית. ההרחבה הראשונה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קדקוד הזווית (כמו בציור משמאל).

[עריכה] הרחבה שנייה

ההרחבה השנייה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית, כלומר \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}

[עריכה] הוכחת המשפט

[עריכה] המשפט עצמו

נעביר את BE ואת CD.

נסתכל על המשולש BDE ועל המשולש CDE.

בשני משולשים אלו, DE צלע, והגובה מ-B ל-DE שווה לגובה מ-C ל-DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר SBDE = SCDE

אם נוסיף לשני האגפים את שטח המשולש ADE, נקבל SABE = SACD

נחלק את שני האגפים בשטח המשולש ADE, ונקבל \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

נוריד גובה h1 מ-E ל-AB, וגובה h2 מ-D ל-AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: \frac {\frac{h_1AB}{2}} {\frac{h_1AD}{2}} = \frac {\frac{h_2AC}{2}} {\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, נקבל: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

[עריכה] הרחבה ראשונה

נעביר את BE ואת CD.

נסתכל על המשולש BDE ועל המשולש CDE.

בשני משולשים אלו, DE צלע, והגובה מ-B ל-DE שווה לגובה מ-C ל-DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר SBDE = SCDE

אם נוריד משני האגפים את שטח המשולש ADE, נקבל SABE = SACD

נחלק את שני האגפים בשטח המשולש ADE, ונקבל \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

נוריד גובה h1 מ-E ל-AB, וגובה h2 מ-D ל-AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: \frac {\frac{h_1AB}{2}} {\frac{h_1AD}{2}} = \frac {\frac{h_2AC}{2}} {\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, נקבל: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

[עריכה] הרחבה שנייה

על הקטע BC, נסמן נקודה M, כך ש-DE = MC. מכיוון ש-DE = MC וש-DE\|MC, DECM מקבילית, ולכן DM\|EC

לכן, ע"פ משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית \angle ABC) \frac{BC}{MC}=\frac{AB}{AD}

נציבDE = MC, ונקבל \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}

[עריכה] המשפט השני

משפט תלס: B היא זווית ישרה
הגדל
משפט תלס: B היא זווית ישרה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות A,B ו-C מונחות על מעגל והקו AC עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית \ \angle ABC שווה לתשעים מעלות.

משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

[עריכה] הוכחת המשפט

ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס (ב"יסודות") לתלס.

  • זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
  • סכום הזוויות במשולש שווה למאה ושמונים מעלות.


הוכחת משפט תלס
הגדל
הוכחת משפט תלס

נסמן ב- O את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות A,B ו- C מונחות על המעגל, מתקיים OA=OB=OC, ולכן המשולשים OAB ו- OBC שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, הזוויות OBC=OCB וכן BAO=ABO. נסמן את הזווית הראשונה באות \ \delta, ואת השנייה באות \ \gamma. בנוסף, נסמן ב- \ \gamma',\delta' את הזוויות המרכזיות במעגל, כבאיור משמאל.

לפי העובדה השניה, \ 2\gamma+\gamma' = 180^{\circ}, וכן \ 2\delta+\delta'=180^{\circ}. אבל לפי הגדרת הזווית הישרה, \ \gamma'+\delta'=180^{\circ}, וכאשר מחסרים את השוויון האחרון מסכום שני הראשונים מתקבל \ \gamma+\delta=90^{\circ}.

[עריכה] ניסוח סימטרי והכללה

המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההיפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:

משפט תלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.

שפות אחרות