מודול (מבנה אלגברי)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מודול הוא מבנה אלגברי מופשט שמורכב מחוג, חבורה אבלית ופעולת כפל ביניהם שמזכירה את פעולת הכפל של סקאלר בוקטור עבור מרחב וקטורי.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה
[עריכה] מודול שמאלי
חבורה אבלית
שנכתבת בקונטקסט של חיבור (משמע, פעולת הכפל של החבורה נקראת חיבור, ומסומנת
והאיבר האדיש נקרא אפס ומסומן
) תקרא מודול שמאלי מעל חוג
אם מוגדר אופרטור בינארי
(שנקראת מכפלה סקאלרית, ומסומנת ללא סימון, משמע עבור
נכתוב את המכפלה הסקאלרית
) שמקיים את התנאים הבאים (
)



(לא תמיד נהוג לכלול את תנאי זה כחלק מהגדרת המודול, כמו שלא תמיד נהוג לחייב את החוג להיות בעל איבר אדיש לכפל).
בדרך כלל נקצר ונאמר ש
הוא מודול
-שמאלי.
[עריכה] מודול ימני
אם נעשה את אותו הדבר, רק נשנה את סדר הגדרת הכפל הסקאלרי
(זאת אומרת עבור
נקבל
) נקבל מבנה שנקרא מודול ימני מעל חוג
, או מודול
-ימני.
[עריכה] בימודול
אם
הוא מודול
-ימני ומודול
-שמאלי והוא מקיים (
):
אז הוא נקרא
-
-בימודול.
[עריכה] מודול
אם
הוא חוג חלופי, אז אפשר להגדיר עבור כל
מודול
-שמאלי, מכפלה סקאלרית ימנית
ולראות שמדובר למעשה גם במודול
-ימני. לכן, למודול שמאלי או ימני מעל חוג חלופי
נקרא פשוט
-מודול.
[עריכה] דוגמאות
- כל חוג הוא למעשה מודול מעל עצמו. באופן כללי יותר, כל אידאל שמאלי של חוג
הוא מודול מעל
. - כל מרחב וקטורי מעל שדה
הוא למעשה מודול מעל החוג
. - באופן דומה, עבור חוג
כלשהו ומספר טבעי
המבנה
הוא מודול שמאלי (או ימני) מעל
כאשר את הכפל הסקאלרי עבור
אפשר להגדיר
. - כל חבורה אבלית מהווה מודול מעל חוג השלמים (ולהיפך: אלו כל המודולים מעל חוג השלמים).
- סכום ישר של שני מודולים הוא מודול בעצמו.
- יהי
מרחב וקטורי מעל שדה
. אם
טרנספורמציה לינארית מ-
לעצמו, אפשר להפוך את
למודול מעל חוג הפולינומים
על-ידי ההגדרה
. הגדרה זו מאפשרת לתרגם תכונות של
(למשל: פירוק לבלוקים) לתכונות של המודול, ולהיפך.
[עריכה] תכונות
[עריכה] תת מודול
תת קבוצה
שהיא מודול מעל
בעצמה עבור אותן פעולות, תקרא תת מודול של
.
[עריכה] הומומורפיזם
אם
הם שני מודולים מעל החוג
, אז מיפוי
שמקיים
עבור
יקרא הומומורפיזם.
[עריכה] מודול חופשי
מודול שמאלי
מעל חוג
, נפרש על ידי תת קבוצה
אם ורק לכל איבר
קיימים
ואברים
כך ש-
. במקרה כזה נקרא ל-
קבוצה פורשת של
. אם קבוצה פורשת של המודול מקיימת את התנאי
לכל
אז הקבוצה היא בסיס (הגדרה חליפית, אם אפשר לכתוב כל איבר
כצירוף לינארי של אברי S באופן יחיד, אז S היא בסיס). מודול שיש לו בסיס נקרא מודול חופשי, מדרגה השווה לעוצמת הבסיס.
הדרגה של מודול מעל חוג קומוטטיבי מוגדרת היטב (כלומר: כל שני בסיסים של מודול חופשי מעל חוג קומוטטיבי הם בעלי אותה עוצמה). מאידך, יש דוגמאות למודולים מעל חוגים לא קומוטטיביים עם בסיסים בגדלים שונים.
[עריכה] תורת מבנה
מודול M הוא נאמן אם לא קיים איבר
של החוג כך ש-
. מודול פשוט הוא מודול שאין לו תת-מודולים לא טריוויאליים (דהיינו שונים מאפס ומהמודול עצמו). כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה
); כל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה
כאשר
אידאל שמאלי של
.
אוסף המודולים מעל חוג נתון
מהווה קטגוריה. אפשר ללמוד על המבנה של
מתוך התכונות של מודולים מעליו. אחת הדוגמאות החשובות בעניין זה: חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן נקרא חוג פרימיטיבי; כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי, וכל חוג פרימיטיבי הוא חוג ראשוני.
המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים מהווה דוגמה חשובה. משפט: יהי
תחום ראשי; כל מודול נוצר סופית מעל
אפשר לכתוב באופן יחיד כסכום ישר של מודולים ציקליים
, כאשר
. ממשפט זה אפשר לקבל כמקרים פרטיים את המשפט היסודי על מיון של חבורות אבליות נוצרות סופית, וגם את פירוק ז'ורדן של מטריצות.
| נושאים באלגברה מופשטת |
|
אלגברה מופשטת | מונואיד | חבורה | חוג |תחום שלמות | שדה | מודול | אלגברה (מבנה אלגברי) | תורת החבורות | תורת גלואה | אלגברת לי | הומומורפיזם | משפטי האיזומורפיזם | תת חבורה נורמלית | אידאל |


