פנים (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה \ A ב-\ \mbox{Int}(A) או ב-\ A^{\circ}.

[עריכה] הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

  • תהא \ A קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, \ \mbox{Int}(A), בתור קבוצת כל הנקודות \ x\isin A כך שקיימת קבוצה פתוחה \ B כך ש\ x\isin B\subseteq A - כלומר, הקבוצה \ A מכילה סביבה של \ x.
  • תהא \ A קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב\ A. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-\ A.

[עריכה] דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור \ [0,1] בישר הממשי.

\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)
\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)
\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)

ולכן הפנים של \ [0,1] הוא הקטע הפתוח \ (0,1).

[עריכה] תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

  • כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: \ A=\mbox{Int}(A). בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן \ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right).
  • \ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)
  • \ \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)
  • \ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)


טופולוגיה קבוצתית
מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה