סדרות מחלקים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, סדרות מחלקים הן סדרות מספרים, שהראשון שבהם הוא מספר טבעי כלשהו, הבא אחריו הוא סכום המחלקים של הקודם (כולל 1, לא כולל את המספר עצמו), השלישי הוא סכום מחלקי השני, וכך הלאה.
נבחן לדוגמה את הסדרה עבור המספר 81:
81, 10, 8, 7, 1, 0
הסדרה מסתיימת ב-0, כי ל-0 אין מחלקים, נהוג לומר שסדרה כזו מסתיימת במספר הראשוני 7, כי ברגע שמגיעים למספר ראשוני כלשהו, ברור כבר שהשלבים הבאים הם, 1 ואחריו 0.
דוגמה שונה היא, כאשר הסדרה מסתייימת לתוך "שרשרת" של מספרים חברותיים או מספרים ידידותיים או במספר משוכלל, במקרים כאלו ניתן לכאורה להמשיך את הסדרה עד אינסוף, אך אין לכך כל ערך כי ברור שאותם מספרים יחזרו על עצמם שוב ושוב, לכן נהוג לומר במקרים כאלו שהסדרה מסתיימת בשרשרת של מספרים חברותיים או בזוג מספרים ידידותיים או במספר משוכלל.
הסדרה הקצרה הבאה מסתיימת במספר 6 שהינו מספר משוכלל:
95, 25, 6
עיקר העניין בסדרות מחלקים, מתרכז בשאלה הבאה: האם כל סדרה כזו תסתיים במספר ראשוני או לתוך שרשרת של מספרים חברותיים (כולל ידידותיים ומשוכללים)?
"השערת קטלן" גורסת כי התשובה לשאלה דלעיל הינה חיובית, אך עד היום העניין לא הוכח. השערה הפוכה גורסת, כי יש מספרים שסדרת המחלקים שלהם היא באורך אינסופי, כלומר ככל שנוסיף מספרים לסדרה לא ניתקל במספרים ראשוניים וגם לא נגיע לתוך שרשראות מספרים חברותיים/ידידותיים/משוכללים. (ישנה השערה נוספת הקרויה "השערת קטלן", בנושא הפרשים בין חזקות, אין כל קשר בין ההשערות.)
היו כמה מספרים שבעבר לא היה ידוע אם סדרת המחלקים שלהם מסתיימת, וכיום נמצא שהם מסתיימים אם במספר ראשוני או בשרשרת מספרים חברותיים/ידידותיים/משוכללים. כיום המספר הנמוך ביותר שלא נמצא עדיין הסיום של סדרת המחלקים שלו, הוא המספר 276, סדרת המחלקים הידועה שלו כבר מונה למעלה מ-1500 מספרים כשהאחרונים בסדרה שחושבו, הם בני למעלה מ-150 ספרות.
[עריכה] קישורים חיצוניים
- מידע רב על סדרות מחלקים (באנגלית)

