פונקציה מדידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתימטיקה, פונקציה מדידה היא פונקציה שתחומה הוא מרחב מדיד, טווחה הוא מרחב טופולוגי, וכל תמונה הפוכה תחת הפונקציה של קבוצה פתוחה, היא קבוצה מדידה, כלומר:

אם \ A_X היא הσ-אלגברה מעל \ X ו-\ T_Y היא הטופולוגיה מעל Y, והפונקציה היא \ f: X \to Y, אז: \ \forall V \in T_y \ : \ f^{-1}(V) \in A_x.

אם פונקציה ממרחב טופולוגי אחד לאחר היא מדידה עם התייחסות ל\ \sigma-אלגברה של בורל בשני המרחבים, הפונקציה מכונה פונקציית בורל. פונקציות רציפות (ביחס לטופולוגיות המתאימות) הן פונקציות בורל, אך לא כל פונקציית בורל רציפה.

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס מרחבי הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

[עריכה] ראו גם