חבורה אבלית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות, חבורה אבלית היא חבורה, שבה פעולת הכפל היא קומוטטיבית, דהיינו
לכל שני איברים
ו-
.
חבורות אבליות נקראות כך על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל, מראשוני העוסקים בתורת החבורות. באנגלית הן נקראות abelian groups, ב־a קטנה.
[עריכה] דוגמאות, והקשר לטיפוסים אחרים של חבורות
הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אבלית היא חבורה ציקלית. כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית ולכן פתירה. מקור נוסף לדוגמאות הוא חבורות שאבריהן הם מספרים, ובפרט חבורות אוילר.
כל תת-חבורה או חבורת מנה של חבורה אבלית, גם היא אבלית; סכום ישר של חבורות אבליות הוא חבורה אבלית. כאשר מרחיבים חבורה אבלית בחבורה אבלית אחרת, התוצאה היא אמנם חבורה פתירה, אבל אינה חייבת להיות אבלית.
כמעט בכל מקרה, החלק החיבורי של מבנה אלגברי הוא חבורה אבלית. כך למשל, כל חוג (ובפרט שדה) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, וכך גם כל מרחב וקטורי. שדה הוא גם חבורה אבלית ביחס לכפל, לאחר שמוציאים ממנו את איבר האפס.
[עריכה] מבנה
החבורות האבליות הן מודולים מעל חוג המספרים השלמים, ובמקרים רבים המינוח המקורי מתורת החבורות עבר בדרך זו לתורת המודולים.
חבורה (אבלית או שאינה אבלית) שבה כל האיברים הם בעלי סדר סופי, נקראת חבורה מפותלת, ואם אף איבר (פרט לאיבר היחידה) אינו בעל סדר סופי, היא נקראת חסרת פיתול. אם
היא חבורה אבלית, תת-חבורת הפיתול
מורכבת מכל האיברים שלהם סדר סופי, והיא תת-חבורה מפותלת מקסימלית של A. חבורת המנה
היא חבורה אבלית חסרת פיתול. כל חבורה כזו אפשר לפרק לסכום ישר של עותקים של חבורת המספרים השלמים (ביחס לחיבור).
מבחינים בין שני סוגים של חבורות אבליות: אלו שנוצרות סופית, כלומר יש להן מספר סופי של יוצרים, ואלו שאינן נוצרות סופית. החבורות מן הטיפוס השני בדרך כלל מגיעות עם מבנה נוסף, למשל טופולוגיה או סדר. דוגמה לחבורה (מפותלת) שאינה נוצרת סופית:
, ביחס לפעולת החיבור.
[עריכה] חבורות אבליות נוצרות סופית
ישנו משפט מיון לחבורות אבליות בעלות מספר סופי של יוצרים, שהוא מקרה פרטי של משפט המיון למודולים (נוצרים סופית) מעל תחום ראשי. זהו משפט בסיסי בתורת החבורות הסופיות, שהרי כל חבורה סופית היא חבורה נוצרת סופית.
המשפט קובע שחבורה אבלית נוצרת סופית היא (עד כדי איזומורפיזם) מכפלה ישרה של (מספר סופי של) חבורות ציקליות. בפרט, כל חבורה אבלית נוצרת סופית איזומורפית למכפלה ישרה של חבורות ציקליות מהצורה הכללית הבאה:

כאשר:

ומתקיים יחס החלוקה הבא:

ולכל חבורה אבלית נוצרת סופית קיימת בדיוק הצגה יחידה בצורה שכזו.

