חבורת מנה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה, חבורת מנה היא חבורה שאיבריה הם מחלקות (קו-סטים) של חבורה נתונה אחרת.
[עריכה] הגדרה פורמלית
תהא
חבורה ותהא
תת חבורה נורמלית שלה. נתבונן באוסף המחלקות (קוסֵטים) השמאליות של תת החבורה:
ניתן להוכיח כי אוסף זה מהווה חבורה בפני עצמו, כשפעולת הכפל מוגדרת כך:
. יש להעיר שפעולת הכפל הזו מוגדרת היטב אך ורק כאשר
היא תת חבורה נורמלית. אוסף המחלקות עם הפעולה שהוגדרה עליהם יסומן
וייקרא "חבורת המנה של
מודולו
".
חשוב לשים לב כי חבורת המנה איננה תת חבורה של
. איבריה הם תת קבוצות של
, לא איברים של
. האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה
.
[עריכה] דוגמה
נביט ב
, חבורת המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור, ובתת החבורה שלה
, חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור.
זוהי תת חבורה נורמלית שכן
חילופית ולכן כל תת חבורה שלה נורמלית.
ל
שתי מחלקות:
ו
. לכן,
, כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).
[עריכה] תכונות
אם תת-החבורה הנורמלית שאנחנו לוקחים בתור ה"מחלק" ביצירת חבורת המנה היא תת-החבורה הטריוויאלית, מקבלים, ש-:
.
סדר חבורת המנה G/N הוא האינדקס של N בתוך G; כאשר G,N סופיות, מספר זה שווה ל-
- מנת הסדרים של G,N.
ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.


