דיסקרימיננטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, דיסקרימיננטה היא שמם המשותף של כמה מדדים מספריים הקשורים לאובייקטים מורכבים יותר. במקרים רבים הדיסקרימיננטה מוגדרת עד כדי כפל במספר ריבועי.

המקרה המוכר ביותר הוא הדיסקרימיננטה של פולינום, השווה לאפס אם ורק אם לפולינום יש שורשים כפולים, וקשורה לתכונות של חבורת גלואה של הפולינום. לדוגמה, הדיסקרימיננטה של הפולינום הריבועי \ ax^2+bx+c שווה ל- \ b^2-4ac (ראה פירוט בהמשך), והדיסקרימיננטה של \ x^3-ax+b שווה ל- \ 4a^3-27b^2. לדיסקרימיננטה יש משמעות גאומטרית, בהקשר של עקומים אליפטיים ובאופן כללי יותר עקומים היפר-אליפטיים.

בתורת השדות ובפרט בתורת המספרים האלגברית מוגדרת הדיסקרימיננטה של הרחבה של שדות. גם לתבניות ריבועיות מוגדרת דיסקרימיננטה, שהיא המדד המרכזי לאחר הממד והאינדקס של וויט. רעיונות דומים מאפשרים להגדיר דיסקרימיננטה של אלגברה פשוטה עם אינוולוציה.

[עריכה] דיסקרימיננטה של פולינום

כל פולינום \ f(x) בעל מקדמים בשדה F אפשר לפצל בשדה מתאים, לפעמים גדול יותר (לדוגמה, לפולינום רציונלי או ממשי כל הפתרונות נמצאים בשדה המספרים המרוכבים). אם הפולינום מתוקן ממעלה n, מגדירים את הדיסקרימיננטה שלו להיות המכפלה \ \Delta(f) = \Pi_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j)^2 = (-1)^{n \choose 2}\Pi_{i \neq j} (\alpha_i - \alpha_j), כאשר \ \alpha_1,\dots,\alpha_n הם שורשי הפולינום. אם המקדם המוביל של הפולינום הוא \ a, יש להכפיל את התוצאה ב- \ a^{2(n-1)}.

מכיוון שהחלפת סדר השורשים אינה משנה את \ \Delta(f), נובע מן המשפט היסודי של תורת גלואה ש- \ \Delta(f)\in F. זו הסיבה לכך שקיימת נוסחה פולינומיאלית לחישוב הדיסקרימיננטה מתוך המקדמים של הפולינום. מן ההגדרה ברור ש- \ \Delta(f)=0 אם ורק אם יש לפולינום שורשים כפולים. באופן כללי יותר, כאשר חושבים על חבורת גלואה כתת-חבורה של חבורת התמורות של השורשים, מתברר ש- \ \sqrt{\Delta(f)}\in F אם ורק אם חבורת גלואה מוכלת בחבורת התמורות הזוגיות.

כאשר f הוא פולינום שמקדמיו שייכים לחוג נתון (כגון, המספרים השלמים), הדיסקרימיננטה שלו שייכת לאידאל הנוצר על-ידי f והנגזרת שלו, \ f'.

[עריכה] דיסקרימיננטה של פולינום ריבועי

משוואה ריבועית מהצורה \ ax^2+bx+c=0 (כאשר \ a אינו אפס) ניתנת לפתרון באמצעות נוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה (שסימנה \ \Delta - דלתא) שנוסחתה \ b^2-4ac מאפשרת לבחון את אופי הפתרונות של המשוואה:

  • דיסקרימיננטה חיובית גוררת שני פתרונות ממשיים שונים,
  • דיסקרימיננטה השווה לאפס גוררת פתרון ממשי יחיד,
  • דיסקרימיננטה שלילית גוררת שני פתרונות מרוכבים צמודים זה לזה. אם שורש המשוואה מוגדר כמספר ממשי בלבד, דיסקרימיננטה שלילית גוררת מצב שבו אין פתרון כלל.

במשוואות בעלות מקדמים מרוכבים, דיסקרימיננטה השווה לאפס גוררת פתרון יחיד וכל דיסקרימיננטה אחרת גוררת שני פתרונות שונים.

[עריכה] דיסקרימיננטה של הרחבת שדות

נניח ש- K \subseteq L היא הרחבה ספרבילית בעלת ממד סופי של שדות. במקרה כזה מוגדרת העתקת העקבה, שהיא העתקה לינארית \ Tr_{L/K}:L\rightarrow K. העקבה מאפשרת להגדיר תבנית בילינארית סימטרית \ L \times L \to K הנקראת תבנית העקבה: \left( {\alpha ,\beta } \right) \mapsto Tr_{L/K} \left( {\alpha \beta } \right).

אם בוחרים בסיס \ \beta _1 ,....,\beta _m ל- L כמרחב וקטורי מעל K, אפשר להציג את התבנית במטריצה; הדטרמיננטה של מטריצה זו, D\left( {\beta _1 ,....,\beta _m } \right) = \det \left( {Tr_{B/A} \left( {\beta _i \beta _j } \right)} \right), היא הדיסקרימיננטה של הרחבת השדות \ L/K. המעבר לבסיס אחר יכפיל את המטריצה בריבוע הדטרמיננטה של מטריצת המעבר, וכך הדיסקרימיננטה של הרחבת שדות היא איבר של השדה הקטן, המוגדר עד כדי כפל בריבוע.

הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי בתורת המספרים האלגברית. כאשר השדות K ו- L הם שדות מספרים, אפשר לבחור את הבסיס כך שיהיה בסיס גם לחוג השלמים של L (כמודול) מעל חוג השלמים של K. דרישה זו מגבילה את בחירת הבסיס, וכך הדיסקרימיננטה הופכת להיות מוגדרת היטב עד-כדי כפל בריבוע של איבר הפיך של חוג השלמים של K. במקרה זה הראשוניים (של K) שמחלקים את הדיסקרימיננטה מתנהגים אחרת בהרחבה מכל הראשוניים האחרים, ולכן חשוב לדעת שמספרם סופי.