משפט קושי-גורסה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
| יש לשכתב ערך זה הסיבה לכך: אין הקדמה או הסבר מילולי, ובכלל, נראה כי יש יותר מידי נוסחאות בערך הזה, אולי כדאי לפשט. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו. |
תהי
אנליטית ב-
ו-
משולש המוכל עם פנימו ב-
. אז 
[עריכה] הוכחה
תחילה, נניח 
עכשיו, 

לכן
ויש
כך ש- 
נסמן
. נמשיך כך ונקבל
, 
לפי למת קנטור,
.
אנליטית ב-
ולכן:


נביט באורכי המסילות: 
עבור
, 
![\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*)](../../../math/9/f/3/9f3971bb95c7eda4edbc28501aa9aaa8.png)
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים:
ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל
, בפרט ב-
ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי משפט אינטגרל קושי. נמשיך:

עכשיו ניתן להוכיח כי אם
מסילה חלקה למקוטעין ו-
רציפה על
אז
כאשר
על
ו-
הוא האורך של
. לכן:

מכאן נובע: 

אבל
וזו סתירה להנחה, כלומר
ולכן
.
מ.ש.ל.

