משפט שטולץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ הוא קריטריון להוכחת התכנסותן של סדרות.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה כלשהי, ותהא \left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה מונוטונית עולה ומקיימת y_n \rarr +\infty.

אז אם הסדרה \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב, כלומר \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = l כאשר l\, סופי או אינסופי,

אז גם הסדרה \left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת לאותו הגבול, כלומר \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = l.

[עריכה] דוגמאות

  • נחשב את הגבול \lim_{n \to \infty} a_n כאשר a_n=\frac{2 + {( {3 \over 2})}^2 + {({4 \over 3})}^3 + ... + {({n+1 \over n})}^n}{n}.
נסמן x_n = \sum^n_{k=1} \textstyle   {\left({k+1 \over k} \right)}^k, ו- y_n = n\,. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y_n\, עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k - \sum^n_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k}{n+1-n} } = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(1+ {1 \over n+1}\right)^{n+1}} = e
ולכן, לפי המשפט, \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = e.


  • נראה דוגמא נוספת. נחשב את הגבול \lim_{n \to \infty}  \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n} כאשר a_n \rarr e.
נסמן x_n = \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k, ו- y_n = e^n\,. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y_n\, עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
\lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} e^{k-1}a_k - \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}} = \lim_{n \to \infty}  \frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)} =  \lim_{n \to \infty}  \frac{a_{n+1}}{e-1} =\lim_{n \to \infty}  \frac{a_n}{e-1} = \frac{e}{e-1}
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
ולכן, לפי המשפט, \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{e}{e-1}.


חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה
שפות אחרות