איזומורפיזם (תורת החבורות)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
[עריכה] איזומורפיזם בין חבורות
אם
ו
הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל
כך שעבור כל צמד איברים
מתקיים
, אז
ו
איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים
פשוט כ
. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד. אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים יחס שקילות:
- רפלקסיביות, ניקח חבורה
ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל
כך שעבור כל איבר
מתקיים
. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן
. - סימטריות, עבור צמד חבורות איזומורפיות,
ו
, כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא
. נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל
כך שעבור כל איבר
מתקיים
. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם
. - טרנזיטיביות, אם עבור שלוש החבורות
ו
, קיימות פונקציות
ו
שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית
כך שעבור כל איבר
מתקיים
. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן
.

