מרחב בנך
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מרחב בנך (Banach space) הוא מרחב לינארי נורמי שהוא שלם במטריקה המושרית מן הנורמה. מרחב בנך הוא אחד המרחבים הנפוצים שנחקרים במסגרת האנליזה פונקציונלית.
מרחב בנך נקרא על שם סטפן בנך, מתמטיקאי פולני שהיה מבין מייסדי התחום וממנסחי משפטיו היסודיים.
תוכן עניינים |
[עריכה] דוגמאות
- המרחב האוקלידי הוא מרחב בנך. באופן כללי יותר, כל מרחב הילברט הוא מרחב בנך.
- כדור היחידה
במרחב נורמי הוא תמיד קמור, פתוח וסימטרי לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההיפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול לאי-שוויון המשולש שהנורמה צריכה לקיים.
- אוסף הסדרות של מספרים ממשיים
שמקיימות
הוא מרחב בנך עם הנורמה
. מרחב זה מסומן ב
.
- כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם
, מגדירים את המרחב
להיות אוסף הסדרות
שמקיימות
. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה
. אם
מגדירים את המרחב
להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה
וזהו מרחב נורמי. אם
, המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו מרחב פרשה) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה.
- אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם
הוא מרחב מידה מגדירים את
להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות
המקיימות
תחת יחס השקילות של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה

[עריכה] המרחב הדואלי
מרחב הפונקציונלים הלינארים על מרחב בנך
גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה
מרחב זה מסומן לרוב ב
. לדוגמה, אם
וגם
אז
. לעומת זאת,
. מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים
. לעומת זאת, תמיד קיים שיכון
. מרחבים שעבורם השיכון הזה הוא איזומורפיזם נקראים מרחבים רפלקסיבים.
[עריכה] משפטים מרכזיים
- משפט האן-בנך טוען שעל מרחב בנך קיימים הרבה פונקציונלים לינארים רציפים.
- משפט בנך-שטיינהאוס (הנקרא גם עקרון החסימות במידה שווה) טוען עבור משפחה של אופרטורים לינאריים רציפים על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.
- משפט ההעתקה הפתוחה (או בניסוח שקול משפט הגרף הסגור) טוען שאופרטור לינארי חסום ועל בין מרחבי בנך הוא פתוח.
- משפט מזור-אולם טוען שאם
היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז
היא לינארית, כלומר המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הלינארי שלו.

