משפט בנך-אלאוגלו
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט בנך-אלאוגלו (Banach-Alaoglu theorem) הוא משפט מתמטי באנליזה פונקציונלית. משפט זה אומר שכדור יחידה במרחב הדואלי הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה עליה.
[עריכה] המשפט
יהי X מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל
על ידי
כאשר
(כאן X משחק בתפקיד של F ואילו
. אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא w* , מתקיים שכדור היחידה הוא קומפטי.
[עריכה] הוכחת המשפט
לכל
נגדיר אינטרוול
ונסתכל במרחב מכפלת טיכונוף שלהם
. לומר שפונקציונל f נמצא בכדור היחידה זה שקול לומר שהגרף של הפונקציונל הלינארי f עובר בתוך כל אינטרוול ולא יוצא ממנו, כלומר: הגרף של f הוא "קו" שנמצא כולו בין קצוות ה"רצועה" שנוצרה על ידי האינטרוולים. בנוסחה ,
כאשר D מסמל את כדור היחידה. לכן אפשר לשכן את כדור היחידה D בתוך K.
לפי משפט טיכונוף K הוא קומפקט (קבוצה קומפקטית סגורה) כמכפלה של מרחבים קומפקטיים (כל אינטרוול הוא קומפקט כי מדובר בקבוצה סגורה וחסומה במרחב האוקלידי).
בשביל להוכיח ש-D קומפקט מספיק להראות שזו קבוצה סגורה, אך זה ברור מאחר ולינאריות היא תכונה סגורה וכל פונקציונל ניתן להגדיר על ידי חיתוך כל התנאים הסגורים מהצורה
ויש משפט בטופולוגיה הקובע שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה.

