משפט הגבול המרכזי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגרסה החלשה
תהי
סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת
ושונות
. נסמן ב-
את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה
הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: גבולה של הסדרה
קיים (בהסתברות 1), ומתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית:
, כאשר
.
[עריכה] הגרסה החזקה
תהי
סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:
(אין כאן פגיעה בכלליות, כי כל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
(שונות סופית).
נסמן
.
אזי אם
מתקיים ש
וזוהי התכנסות בהתפלגות.
[עריכה] דוגמה
נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם
- המשתנה
מתפלג בינומית, אז כאשר
גדול מתקיים
, כלומר
מתפלג בערך כמו משתנה נורמלי עם תוחלת
ושונות
.
ניתן לראות כל משתנה בינומי
כסכום סדרת משתנים מקריים
שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות
ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא
והשונות שלו היא
. לכן, כאשר
גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

כאשר
.


