נוסחת אוילר
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר, ואפשר להסיק ממנה את נוסחת דה-מואבר.
הנוסחה קובעת כי:
לכל
ממשי, כאשר i היא היחידה המרוכבת.
יש כמה דרכים להבין שוויון זה. באופן פשטני אפשר לראות בו הגדרה של הפונקציה המעריכית עבור ערכים מרוכבים-טהורים (במונחי הפונקציות הטריגונומטריות הממשיות). אם מניחים שהתכונה
, הידועה ממספרים ממשיים, חלה גם כאן, אז אפשר לקבל מן ההגדרה הזו הגדרה מלאה לפונקציה המעריכית לכל מספר מרוכב:
. לפי גישה זו אין אפשרות להוכיח את הנוסחה: אגף ימין שלה מגדיר את אגף שמאל, ותו לא.
גישה אחרת מגדירה את הפונקציה המעריכית (עבור מספרים מרוכבים) על-פי התכונות שלה. למשל, זוהי הפונקציה השלמה היחידה המסכימה עם הפונקציה המעריכית הממשית עבור ערכים ממשיים (משפטים כללים על פונקציות מרוכבות מבטיחים ששתי פונציות שלמות המסכימות זו עם זו בערכים ממשיים - חייבות להתלכד). מהגדרה זו נובע שהפונקציה המעריכית, אותה אפשר להגדיר במספרים ממשיים על-ידי טור טיילור שלה,
, מקיימת את אותה זהות ממש גם כאשר x מרוכב. בפרט, אם נציב
עם y ממשי, נקבל
לפי-הפיתוח של הפונקציות הטריגונומטריות לטורי טיילור (בערכים ממשיים). זוהי הוכחה לנוסחת אוילר.
הוכחה אחרת אפשר לקבל מנוסחת דה-מואבר, אם מגדירים את הפונקציה המעריכית (בערכים מרוכבים) לפי הזהות
. ומשתמשים בקירובים
ו-
(הנכונים לזוויות קטנות). כאשר n גדל לאינסוף,
.
[עריכה] זהות אוילר
כאשר מציבים בנוסחה את π כערכה של הזווית θ, מתקבל:
או
, תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

