איזומורפיזם (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] איזומורפיזם בין חבורות

אם \ A ו\ B הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל \ f: A \mapsto B כך שעבור כל צמד איברים \ \alpha,\beta \in A מתקיים \ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta), אז\ A ו\ B איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים \ f(\alpha),f(\beta)\in B פשוט כ \ \alpha,\beta. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד. אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים יחס שקילות:

  • רפלקסיביות, ניקח חבורה \ A ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל \ f: A \mapsto A כך שעבור כל איבר \ \alpha \in A מתקיים \ f(\alpha ) = \alpha. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן \ A \cong A.
  • סימטריות, עבור צמד חבורות איזומורפיות, \ A ו\ B, כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא \ f: A \mapsto B. נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל \ f^{-1}: B \mapsto A כך שעבור כל איבר \ \alpha \in A מתקיים \ f^{-1}(f(\alpha) ) = \alpha. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם \ B \cong A.
  • טרנזיטיביות, אם עבור שלוש החבורות \ A,B ו\ C, קיימות פונקציות \ f_{A\rightarrow B}: A \mapsto B ו \ f_{B\rightarrow C}: B \mapsto C שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית \ f_{A\rightarrow C}: A \mapsto C כך שעבור כל איבר \ \alpha \in A מתקיים \ f_{A\rightarrow C}(\alpha ) = f_{B\rightarrow C}(f_{A\rightarrow B}(\alpha ) ). אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן \ A \cong C.


[עריכה] ראו גם

שפות אחרות