# אינטגרל לבג

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג שמוגדרת מעל הישר הממשי ואחת מתכונותיו היפות היא שהוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.

הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה.

## [עריכה] מבוא

עבור פונקציות חיוביות, האינטגרל הוא השטח הכלוא מתחת לעקומה של הפונקציה.

אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כמציאת השטח הכלוא מתחת לעקומה לבין ציר ה־X. ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה עבור מספר מקרים מסוימים, אך לא פיתח שיטה כללית. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לבצע אינטגרציה המבוססת על כך שאינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם הם ניסחו במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שמתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת ואף נותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על החשבון אינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם היה לא מבוסס לוגית וההוכחות שהם נתנו היו לא ריגורוזיות ומלאות סתירות (ראו עוד על אינפיניטסימל בנושא זה).

במאה ה-19 פיתח אוגוסטין לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות וכתוצאה מכך העניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי. ברנרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, מה שידוע כאינטגרל רימן. מה שרימן עשה היה לחלק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם הוא אפסילון וגובהם תלוי בערך של הפונקציה שבתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. האינטגרל של רימן הוא גבול שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן אפסילון שואף לאפס. כלומר:

עם זאת, רימן גילה שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים. לכן, לא היה להן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות לא אינטגרביליות רימן. אחרי תגלית זו נקטו המתמטיקאים 3 גישות לטיפול בבעיה:

1. אפיון כל הפונקציות שעבורן כן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
2. הגדרת אינטגרלים לא-נאותים (Improper Integral) באמצעות גבולות.
3. ניסיון להכליל את האינטגרל עבור פונקציות "חלקות" פחות ו"בעייתיות" יותר.

לבג נקט בגישה השלישית, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות אינטגרביליות רימן: פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.

לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, עבד לבג על תורת המידה ובנה ואת מידת לבג על הישר הממשי. מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחשב, אם קצות הקטע I הם a ו b אזי אורך הקטע הוא ). אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.

הרעיון של אינטגרל לבג הוא להפוך את הסכימה שהייתה באינטגרל של רימן. אם באינטגרל רימן לכל נקודה התאימו את הגובה שלה (הערך של הפונקציה בה) הרי שבאינטגרל לבג מסתכלים דווקא על טווח הערכים של הפונקציה ולכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות המחזירה ערך זה, ואז סוכמים. כלומר:

באופן יותר פורמלי, קודם כל מקרבים את הפונקציה f על ידי פונקציות פשוטות (אלה פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של פונקציות מדרגה) ואז לוקחים את הגבול של פונקציות אלה כדי לקבל את האינטגרל.

ההגדרה החדשה של האינטגרל, לפי לבג, מכלילה את הגדרת האינטגרל של רימן, כלומר, כל פונקציה אינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. במקרה זה ערכי האינטגרלים (לפי רימן ולבג) מתלכדים.

אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות, זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן אך הן לא כל הפונקציות. אינטגרל לבג מזדהה עם אינטגרל רימן ברוב המקרים של אינטגרלים לא-נאותים (אינטגרל על תחום אינסופי) אך לא בכולם. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה חזקה יותר שממנה אפשר להסיק את אינטגרל רימן והן את אינטגרל לבג.

## [עריכה] בניית אינטגרל לבג

בסעיף זה נסביר כיצד בונים את אינטגרל לבג ומהו הרעיון שעומד בבסיס הבנייה הזאת. מומלץ לקרוא על אינטגרל רימן ואת מידת לבג לפני שקוראים קטע זה.

### [עריכה] אינטגרל לבג של פונקציות פשוטות חיוביות

פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא קבוצה סופית. אפשר להראות שכל פונקציה פשוטה היא פונקציה מדידה.

תהי פונקציה פשוטה, כאשר X הוא תחום ההגדרה שלה.

בגישת רימן, יש לחלק את הקטע למלבנים ולכפול אורך כל בסיס בגובה הפונקציה הממוצע בו ולקחת גבול. אם הפונקציה מסודרת בצורת קטעי מדרגות, אז אכן קל ומיידי לחשב את אינטגרל רימן של הפונקציה, אך יתכן מצב שבו הפונקציה קופצת מערך לערך באופן בלתי רציף בעליל (כגון פונקציית דיריכלה) ואז אינטגרל רימן לא קיים.

בגישת לבג, מסתכלים על פונקציה חדשה: לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית מתאימים את מידת לבג של הקבוצה (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה בהם הוא ). אזי אינטגרל לבג של מוגדר להיות

כאשר היא "תחום האינטגרציה", קבוצה חלקית לתחום ההגדרה של שעליה מחושב האינטגרל. מאחר שהטווח סופי, אין בעיה של התכנסות (בהנחה שלפונקציה יש תומך קומפקטי או כאשר חסומה).

למעשה, אם מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אזי אפשר להציגה כ

  ,

כש- הוא אחד מהערכים, הוא הקבוצה שעליו הוא מתקבל, ו- הוא הסימון לפונקציה מציינת של . אזי, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה יהיה:

  .

אם רוצים להגביל את תחום האינטגרציה לקבוצה , פשוט כופלים את בפונקציה ומחשבים את האינטגרל החדש שהתקבל.

עבור פונקציית מדרגות רציפה למקוטעין, קל לראות שהגדרה זו מתלכדת עם אינטגרל רימן ומתקבלת אותה תוצאה. היתרון בגישה זו היא שהשימוש במידה בעצם מבצע מעין טרנספורמציה של הפונקציה המקורית לפונקציה שהיא פונקציית מדרגות בה כל המלבנים בעלי אותה גובה מסודרים אחד אחרי השני ומאוחדים למלבן אחד שאת אורך בסיסו (על ציר ה x) קל לחשב. בפונקציה המקורית, מלבנים בעלי אותה גובה יכולים להיות מפוזרים לאורך כל תחום ההגדרה ולא להיות בדבוקה אחת. למעשה, הם יכולים להיות מפוזרים באופן כל כך פתולוגי עד שהגבול של אינטגרל רימן לא קיים עבורם. ברם, באינטגרל לבג, כאשר האורך הכולל של בסיסי כל המלבנים שגובהם הוא מחושב באמצעות מידת לבג - מידת הפיזור איננה משנה, אלא רק המידה הכוללת (פונקציית המידה חזקה מאוד מאוד ויכולה לטפל בקבוצות פתולוגיות כגון קבוצת קנטור או קבוצת כל האי-רציונלים וכו).

### [עריכה] דוגמה: פונקציית דיריכלה

פונקציית דיריכלה היא פונקציה בקטע [0,1] המוגדרת באופן הבא:

- 0 אם x מספר רציונלי
- a אם x מספר אי רציונלי

כלומר,

לפונקציה זו אין אינטגרל במובן רימן, שכן בכל קטע - לא משנה כמה קטן - תמיד קיימים גם מספרים רציונליים וגם מספרים אי-רציונליים ולכן לסדרת המלבנים אין גבול. לעומת זאת, חישוב אינטגרל לבג שלה הוא מיידי. המידה של המספרים הרציונלים בקטע [0,1] היא אפס. המידה של הקטע [0,1] היא 1. לכן המידה של קבוצת האי-רציונלים בקטע זה היא 1. מכאן, לפי ההגדרה:

  .

### [עריכה] הכללה לפונקציות מדידות אי-שליליות כלשהן

לפונקציות אלה, התמונה איננה בהכרח סופית ויכולה להיות אפילו רציפה. ההכלה מתבצעת על ידי קירוב הפונקציה באמצעות סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות ואז חישוב האינטגרל על ידי לקיחת גבול.

באופן יותר פורמלי, תהיה φn סדרת פונקציות פשוטות אי-שליליות המתכנסת במידה שווה ובאופן מונוטוני ל f. אנו מגדירים את f כגבול האינטגרלים על סדרה זו.

ההגדרה הבאה שקולה לקודמת אך פשוטה יותר ונוחה יותר: תהי פונקציה מדידה ואי-שלילית. נגדיר את את אינטגרל לבג של f להיות

באופן אינטואיטיבי, אפשר לומר שאת ציר ה y, המייצג את התמונה, אנו מקרבים באמצעות קטעים ויוצרים מלבנים שבסיסם הוא קטע בתמונה ואילו גובה כל אחד מהם הוא מידת התמונה ההפוכה של הקטע המהווה את בסיסו.

### [עריכה] הכללה לפונקציות מדידות כלשהן

כדי לטפל בפונקציה שיכולה להיות גם חיובית וגם שלילית, מגדירים:

ואז מתקיים ש:

ואת אינטגרל לבג מגדירים על ידי:

ואז האינטגרל מוגדר היטב רק כאשר אין מצב של אינסוף פחות אינסוף. אם רק אחת מהפונקציות f+ או -f מתבדרת אז האינטגרל מוגדר להיות פלוס או מינוס אינסוף בהתאם לזהות הפונקציה שמתבדרת.

## [עריכה] תכונות אינטגרל לבג

באופן כללי, אינטגרל לבג מקיים את כל התכונות של אינטגרל רימן בנוגע לאלגברה של אינטגרלים (לינאריות, אדיטיביות ביחס לפונקציות, אדיטיביות ביחס לתחום האינטגרציה, מונוטוניות, אי-שוויון המשולש אינטגרלי ועוד). אך בנוסף לתכונות אלה הוא מקיים גם מספר תכונות מיוחדות, הנובעות מתורת המידה ומהשימוש במידה להגדרת האינטגרל.

- אינטגרל לבג של פונקציה מציינת (נקראת גם אינדיקטור או פונקציה אופיינית) של קבוצה מדידה הנתונה על ידי הוא המידה של , כלומר: .
- אינטגרל לבג לא מושפע משינויים שנעשים על הפונקציה בקבוצת נקודות שמידתה היא אפס.

  באופן יותר פורמלי, אם ו- נבדלות זו מזו רק על קבוצות נקודות שמידתה היא אפס, כלומר:
  אם , אזי .

- לינאריות:

  אם ו- פונקציות מדידות ו סקלרים, אזי

- מונוטוניות ביחס לפונקציה:

  אם לכל אזי .

- אדיטיביות ביחס לתחום האינטגרציה:

  אם ו- קבוצות זרות, אזי .

- אי-שוויון המשולש אינטגרלי:

  .

- אם אינטגרבילית רימן היא בפרט אינטגרבילית לבג ואינטגרל לבג שלה שווה לאינטגרל רימן שלה.

## [עריכה] ראו עוד

- מידת לבג
- אינטגרל
- תורת המידה
- אנליזה מתמטית

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%99/%D7%A0/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%9C%D7%91%D7%92.html

קטגוריה: תורת המידה

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Česky
- Deutsch
- Français
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Русский
- Basa Sunda
- Svenska
- 中文