זהות אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתימטיקה זהות אוילר היא המשוואה הבאה:

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!

המשוואה פורסמה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748. המשוואה מקשרת בין חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים: המספרים 0 ו-1, e, שהוא בסיס הלוגריתם הטבעי, את i שהוא יחידה מרוכבת (מספר מרוכב המקיים את השוויון i^2 = -1  \,\!) את הקבוע פאי (π, היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו).

זהות אוילר היא מקרה פרטי של נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת שאומר:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

x יכול להיות כל מספר ממשי. אם נציב π = x, נקבל:

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!

מאחר ש cos(π) = −1 ו- sin(π) = 0 על-פי הגדרתם, נקבל ש:

e^{i \pi} = -1 \,\!