כלל הסנדוויץ'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

כלל הסנדוויץ' הוא כלל שימושי לחישוב גבולות בחדו"א. לפי הכלל אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה לא ידוע בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבוליהן ידועים ושוים, אז לסדרה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הסדרות החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם \left\{ a_n \right\} \left\{ b_n \right\} ו-\left\{ c_n \right\} סדרות שמקיימות:

\ b_n \le a_n \le c_n , \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n =L

אז גם לסדרה \left\{ a_n \right\} יש גבול, \lim_{n \to \infty} a_n = L.

הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם \ h(x) , g(x) , f(x) פונקציות שמקיימות:

\ h(x) \le f(x) \le g(x) , \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L

אז הגבול של \ f בנקודה \ a קיים, \lim_{x \to a} f(x) = L

כלל דומה הוא כלל הפיצה: אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) ששואפת לאינסוף- אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

תוכן עניינים

[עריכה] הוכחה

נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.
יהי \ \epsilon > 0 נרצה למצוא מספר טבעי \ N כך שעבור כל \ n \ge N המרחק של \ a_n מ-\ L יהיה לכל היותר \ \epsilon.

הסדרה \ b_n מתכנסת ל-\ L כלומר קיים \ N_1 כך שלכל \ n > N_1 מתקיים \ |b_n-L| < \epsilon ובפרט \ L - \epsilon  < b_n .

מצד שני הסדרה \ c_n מתכנסת ל-\ L כלומר קיים \ N_2 כך שלכל \ n > N_2 מתקיים \ |c_n-L| < \epsilon ובפרט \ L + \epsilon  > c_n .

נסמן ב- \ N את המקסימום של \ N_1 ושל \ N_2. לכל מספר טבעי שגדול מ-\ N גם המרחק של \ b_n מ-L קטן מ-\ \epsilon וגם המרחק של \ c_n מ-\ L קטן מ- \ \epsilon.

בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השיוויון \ b_n \le a_n \le c_n. נכתוב את כל אי השיוויונות שקיבלנו יחד:

לכל \ n > N מתקיים \ L-\epsilon < b_n \le a_n \le c_n < L+\epsilon

כלומר לכל \ n > N מתקיים \ L-\epsilon < a_n < L+\epsilon.
התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של \ a_n מ-\ L קטן מאותו מספר חיובי כלומר

\lim_{n \to \infty} a_n =L

את הוכחת הכלל לגבי פונקציות ניתן לבצע בדיוק באותו אופן או על ידי שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] סדרות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה \ a_n = \sqrt[n]{5^n+7^n}. נשים לב לאי השוויונות הבאים:

\ 7 = \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n+7^n} \le \sqrt[n]{7^n+7^n} = 7 \sqrt[n]{2}

כלומר הסדרות החוסמות הן- \ b_n = 7 ו- \ c_n = 7 \sqrt[n]{2}.
שתי הסדרות האלו מתכנסות ל-7 ולכן גם גבול הסדרה \ a_n הוא 7.

קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי שליליים \ d_1 , d_2 , ... , d_k מתקיים :

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{d_1 ^n + d_2 ^ n + . . . + d_k ^ n} = max \left\{d_1 , d_2 , . . . , d_k \right\}

[עריכה] פונקציות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול: \lim_{x \to 0} x\cdot sin (\frac{1}{x} ) כיוון שלכל y מתקיים \ -1 \le \sin y \le 1 הפונקציה \ x\cdot sin (\frac{1}{x} ) חסומה בין הפונקציות \ -|x|\ \ ,\ \  |x| כאשר |x| היא פונקציית הערך המוחלט. שתי הפונקציות האלו שואפות לאפס כאשר x שואף לאפס ולכן גם הגבול המבוקש הוא אפס; \lim_{x \to 0} x\cdot sin (\frac{1}{x} ) = 0.

שפות אחרות