קבוע אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בקבוע אוילר (או קבוע אוילר-מסקרוני); לערך העוסק ב-℮, ראו ℮ (קבוע מתמטי).

קבוע אוילר, הידוע גם כקבוע אוילר-מסקרוני או כקבוע מסקרוני הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים, המסומן באות גמא (\,\gamma) ומוגדר למשל על-ידי הגבול:

\gamma=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: \,\gamma=0.577215664901532860\ldots. עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר רציונלי או אי רציונלי.

תוכן עניינים

[עריכה] היסטוריה

הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השוויצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופירסם אותו בדיוק של 16 מספרים אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות \,\gamma (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו הוא בעל יותר מ-10242080 ספרות.

[עריכה] תכונות

ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:

\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx
= - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx
= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x}  }\,dx
= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx.

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך γ הם:

\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi}
\int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx  = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:

\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.

מראה כי ניתן להסתכל על \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

\gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m}

כאשר log2 הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו-\left \lfloor \, \right \rfloor היא פונקציית הערך השלם.

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx.

[עריכה] קשרים לפונקציות מיוחדות

ניתן לבטא את קבוע אוליר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:

\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
=  \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}.

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

\gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1]
= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ]
= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ].

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):

\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ].

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

\gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )

והגבול

\gamma =   \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] =  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -  \sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

כאשר \zeta(s,k)^{}_{} היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב-\,H_n. הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

H_n =  \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon, כאשר 0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.

כמו כן, ישנו הגבול הבא, הקשור למספרים הרמוניים:

\gamma = \lim_{n \to \infty} (H_{n-1} - \ln n).

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:

\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.

[עריכה] e בחזקת γ

הקבוע \,e^\gamma נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב\ y' ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר pn הוא המספר הראשוני ה-n-י:

e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}

אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין משפטי מרטן. הערך המספרי של \,e^\gamma הוא:

e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n
\frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n.

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots

שהוצג על ידי ג'ונתן סונדאו על ידי שימוש בפונקציות היפר-גאומטריות

[עריכה] מופעים

קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:

[עריכה] קישורים חיצוניים