פונקציית מדרגה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן [0,\infty):

H(x)=1_{[0,\infty)}(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &  & x < 0 \\ 1 &  & x \ge 0 \end{matrix}\right.

(הערך ב-\,x=0 מוגדר לעיתים אחרת, למשל H(0)=\frac{1}{2}).

תכונות הפונקציה:

  • הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-\,x=0.
  • הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-\,x=0.
  • הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
  • באופן פורמלי, "הפונקציה" הנגזרת של H היא הדלתא של דיראק, זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך 0, פרט לנקודה x=0 בה היא מקבלת את הערך "אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש \ H(x) = \int_{- \infty}^{x}{ \delta ( s ) ds } פרט אולי ל x=0.