משפט הגבול המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים.

תוכן עניינים

[עריכה] הגרסה החלשה

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת \ \mu ושונות \ \sigma^2. נסמן ב- \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה \ \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma} הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: גבולה של הסדרה \ \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} קיים (בהסתברות 1), ומתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית: \ P\left(\lim_{n\to \infty}(\frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}) < z\right) = \Phi(z), כאשר \ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

[עריכה] הגרסה החזקה

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:

  1. \ \forall k : \ E(X_k) = 0 (אין כאן פגיעה בכלליות, כי כל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
  2. \ \forall k : \ E(X_k^2) = \sigma_k^2 < \infty (שונות סופית).
  3. \ \forall k : \ E(|X_k|^3) < \infty

נסמן \ S_n^2 = \sum_{k=1}^{n}{\sigma_k^2}.

אזי אם \ \ \mbox{limsup}{ \frac{1}{S_n^3}  \sum_{k=1}^{n}{E(|X_k|^3)} } = 0 \ \ מתקיים ש

\ \lim_{n \to \infty}{\frac{X_1 + \cdots + X_n}{\sigma}} \sim N(0,1)

וזוהי התכנסות בהתפלגות.

[עריכה] דוגמה

נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם \ X\sim Bin(n,p) - המשתנה \ X מתפלג בינומית, אז כאשר \ n גדול מתקיים \ X\approx N(np,npq), כלומר \ X מתפלג בערך כמו משתנה נורמלי עם תוחלת \ np ושונות \ npq.

ניתן לראות כל משתנה בינומי \ X כסכום סדרת משתנים מקריים \ Y שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות \ p ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא \ \mu=p והשונות שלו היא \ pq. לכן, כאשר \ n גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:

\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)

כאשר \ Z\sim N(np,npq).

[עריכה] ראו גם