פונקציית רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן); לערך העוסק בפונקציית זטא של רימן, ראו פונקציית זטא של רימן.

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית מוגדרת כדלהלן:

f(x) = \left\{\begin{matrix}  \frac{1}{q} & \mbox{if } x=\frac{p}{q}\in\mathbb Q,\quad p,q\ \ \mbox{relatively prime integers}, q>0  \\  0 & \mbox{if } x \notin \mathbb Q   \end{matrix}\right.

(ב-\,x=0 ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

[עריכה] הערה על שם הפונקציה

בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:

  • פונקציית הסרגל
  • פונקציית הפופקורן
  • פונקציית תומה (Thomae's function)

[עריכה] הוכחה

נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.

יהי x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}, כאשר \,p,q שלמים זרים ו-\,q>0. מכאן ש-f(x_0)=\frac{1}{q}. נראה כי \,f אינה רציפה ב-\,x_0. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה \{x_n\}_{n=1}^\infty של מספרים אי רציונלים המקיימת x_n\to x_0. לכל \,n מתקיים \,f(x_n)=0, ומכאן \lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}, ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-\,x_0.

כעת נניח ש-\,x_0 מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- \,x_0. נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי \varepsilon>0. יש למצוא \,\delta>0 כך שאם x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) אזי |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. קיים \,N שלם כך ש-0 < \frac{1}{N} < \varepsilon. נסמן \ M=N! (פונקציית העצרת). מכיוון ש-\,x_0 אינו רציונלי, קיים \ \delta>0 כך שהמרחק מ-\,x_0 לכל שבר מהצורה \ \frac{k}{M} עם \,k שלם, גדול מ-\ \delta. יהי \,x\in\mathbb{R} המקיים \,|x-x_0|<\delta. ייתכנו שתי אפשרויות:

  1. \,x\notin\mathbb{Q} ואז \,f(x)=0, ומכאן |f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon.
  2. \ x=r=\frac{p}{q} הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-\,x_0 קטן מ-\ \delta, אז \,q לא יכול לחלק את \,M, ולכן \ q>N ו-\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon, כלומר, אם \,|r-x_0|<\delta אזי |f(r)-f(x_0)|<\varepsilon, כדרוש.

כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם \,|x-x_0|<\delta אזי |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon, ומכאן ש-\,f רציפה ב-\,x_0.

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות