העתקה קונפורמית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, העתקה קונפורמית היא פונקציה אשר שומרת על הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה.

העתקות קונפורמיות מקיימות את המשפט הבא:

  • התנאים הבאים שקולים:
    • \ f(z) קונפורמית בתחום D.
    • \ f'(z) לא מתאפסת בתחום D.
    • \ f(z) חד-חד-ערכית בתחום D.


[עריכה] דוגמאות

  • מקרה פרטי ומעניין הוא של הפונקציה \ w = f(z) = e^z. העתקה זו מעתיקה את הישרים \ Re(z)=c למעגלים \ |z|=e^c ואת הישרים \ Im(z)=c לישרים \ w=e^x (\cos c  + i \sin c), כלומר לישרים העוברים בראשית ויוצרים זווית c עם הציר הממשי. אם כן, קיבלנו שההעתקה w מעתיקה "רשת" של ישרים ניצבים ממישור z לישרים ולמעגלים ניצבים במישור w.
  • העתקת מביוס היא ההעתקה \ w(z)=\frac{az+b}{cz+d}. העתקת מביוס היא קונפורמית ובעלת תכונות מעניינות נוספות כגון שמירה על היחס הכפול ועל האינברסיה.