חבורת מנה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, חבורת מנה היא חבורה שאיבריה הם מחלקות (קו-סטים) של חבורה נתונה אחרת.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא \ G חבורה ותהא N\triangleleft G תת חבורה נורמלית שלה. נתבונן באוסף המחלקות (קוסֵטים) השמאליות של תת החבורה:

\ \{ aN : a \isin G \}

ניתן להוכיח כי אוסף זה מהווה חבורה בפני עצמו, כשפעולת הכפל מוגדרת כך: \ aN\cdot bN=\left(a\cdot b\right)N. יש להעיר שפעולת הכפל הזו מוגדרת היטב אך ורק כאשר \ N היא תת חבורה נורמלית. אוסף המחלקות עם הפעולה שהוגדרה עליהם יסומן \ G/N וייקרא "חבורת המנה של \ G מודולו \ N".

חשוב לשים לב כי חבורת המנה איננה תת חבורה של \ G. איבריה הם תת קבוצות של \ G, לא איברים של \ G. האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה \ eN=N.

[עריכה] דוגמה

נביט ב\ \left(\mathbb{Z},+\right), חבורת המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור, ובתת החבורה שלה \ \left(2\mathbb{Z},+\right), חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור.

זוהי תת חבורה נורמלית שכן \ \mathbb{Z} חילופית ולכן כל תת חבורה שלה נורמלית.

ל\ 2\mathbb{Z} שתי מחלקות: \ \left\{2n|n\isin\mathbb{Z}\right\} ו\ \left\{2n+1|n\isin\mathbb{Z}\right\}. לכן, \ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_2, כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).

[עריכה] תכונות

אם תת-החבורה הנורמלית שאנחנו לוקחים בתור ה"מחלק" ביצירת חבורת המנה היא תת-החבורה הטריוויאלית, מקבלים, ש-: \ G/G \cong {e}; G/{e} = G.

סדר חבורת המנה G/N הוא האינדקס של N בתוך G; כאשר G,N סופיות, מספר זה שווה ל- \ \frac{|G|}{|N|} - מנת הסדרים של G,N.


ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.