משתמש:מרום נחום/ארגז חול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה f\,ו-g\, פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה או לא נקובה של x0 שעבורן מתקיים:

  • \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=A, כאשר A\in\mathbb{R}.
  • \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=B, כאשר B\in\mathbb{R}.

בתנאים אלו מתקיימים כלל הסכום, כלל ההפרש, כלל המכפלה ובתנאי נוסף מתקיים כלל המנה.

[עריכה] כלל הסכום

כלל הסכום: הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

\lim_{x\rightarrow x_0} (f+g)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) + \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = A + B


הוכחה:
יהי \varepsilon > 0 נתון.
צ"ל כי קיים \delta > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta\, מתקיים |(f+g)(x)-(A+B)|<\varepsilon\,.
מהנתונים על הגבולות של f\,ו-g\, נסיק כי:

  • קיים \delta_1 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta_1\, מתקיים |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}\,. (1)
  • קיים \delta_2 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta_2\, מתקיים |g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2}\,. (2)

נצא מהביטוי |(f+g)(x)-(A+B)|\, :

|(f+g)(x)-(A+B)|=|f(x)+g(x)-A-B|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|

הערה: האי-שוויון האחרון נובע מאי-שוויון המשולש.
לכן אם נבחר את \delta\, להיות 0<\delta\le\min\{\delta_1,\delta_2\}\, נקבל כי:

|f(x)+g(x)-A-B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B| = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

אם כך, הוּכח כלל הסכום.

[עריכה] כלל ההפרש

כלל ההפרש: הגבול של הפרש פונקציות, שווה להפרש גבולות של הפונקציות, כלומר:

\lim_{x\rightarrow x_0} (f-g)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) - \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = A - B


הוכחה:
יהי \varepsilon > 0 נתון.
צ"ל כי קיים \delta > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta\, מתקיים |(f-g)(x)-(A-B)|<\varepsilon\,.
הוכחה זו דומה מאוד להוכחת כלל הסכום, שכן אם יוצאים מהביטוי |(f-g)(x)-(A-B)|\, מקבלים:

|(f-g)(x)-(A-B)|=|f(x)-g(x)-A+B)|=|f(x)-A-(g(x)-B)|\,
\le |f(x)-A|+|g(x)-B|

ומכאן ממשיכים כמו בהוכחת כלל הסכום.

[עריכה] כלל המכפלה

כלל המכפלה: הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

\lim_{x\rightarrow x_0} (f\cdot g)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = A\cdot B


הוכחה:
יהי \varepsilon > 0 נתון.
צ"ל כי קיים \delta > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta\, מתקיים |(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon\,.
מהנתונים על הגבולות של f\,ו-g\, נסיק כי:

  • קיים \delta_1 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta_1\, מתקיים |f(x)-A|<\sqrt{\varepsilon}\,. (1)
  • קיים \delta_2 > 0\, כך שלכל x\, המקיים |x-x_0|<\delta_2\, מתקיים |g(x)-B|<\sqrt{\varepsilon}\,. (2)

הפעם נצא דווקא מהביטוי (f(x)-A)(g(x)-B)\, :

(f(x)-A)(g(x)-B) = f(x)g(x)-B\cdot f(x)-A\cdot g(x)+A\cdot B\,


אבל \lim_{x\rightarrow x_0} B\cdot f(x)=B\cdot \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=B\cdot A.
כמו כן, גם \lim_{x\rightarrow x_0} A\cdot g(x)=A\cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=A\cdot B.
לכן אם נבחר את \delta\, להיות 0<\delta\le\min\{\delta_1,\delta_2\}\, נקבל כי:

|(f(x)-A)(g(x)-B))| = |f(x)g(x)-A\cdot B| = |f(x)-A|\cdot |g(x)-B|\le \sqrt{\varepsilon}\cdot \sqrt{\varepsilon} = \varepsilon

אם כך, הוּכח כלל המכפלה.

[עריכה] כלל המנה

כלל המנה: הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0,כלומר:

\lim_{x\rightarrow x_0} \left({\frac{f}{g}}\right)(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)}= \frac{A}{B}


[עריכה] גבול של הרכבת פונקציות

תהיינה f\,ו-g\, פונקציות שעבורן מתקיימים התנאים הבאים:

  • \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=y_0, כאשר y_0\in\mathbb{R}.
  • f\, רציפה ב- y_0\,.

בתנאים אלו מתקיים \lim_{x\rightarrow x_0} (f\circ g)(x)=f\left(\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)\right)=f(y_0).
הוכחה:
f\, רציפה ב- y_0\, ולכן לכל \varepsilon_1 >0\, קיים \delta_1 >0\, כך שלכל x\, המקיים |x-y_0|<\delta_1\, מתקיים |f(x)-f(y_0)|<\varepsilon_1. (1)
\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=y_0 ולכן עבור \varepsilon = \delta_1\, קיים \delta_2 >0\, כך שלכל x\, המקיים 0<|x-x_0|<\delta_2\, מתקיים |g(x)-y_0|<\delta_1\,. (2)
מ-(1) נסיק כי לכל x\, המקיים 0<|x-x_0|<\delta_2\, מתקיים |g(x)-y_0|<\delta_1\, ולכן אם נסמן את g(x)\equiv x נקבל מ-(2) שעבור זה מתקיים גם |f(g(x))-f(y_0)|<\varepsilon_1, כנדרש.


_____________________________________________________-

משום ש- \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=y_0, אז לכל N_\varepsilon (y_0)\, קיימת N_\delta^*(x_0)\,, כך שלכל x\in N_\delta^*(x_0) מתקיים g(x)\in N_\varepsilon(y_0).
f\, רציפה ב- y_0\, ולכן לכל N_{\varepsilon_1} (f(y_0))\, קיימת N_{\delta_1}(y_0)\,, כך שלכל x\in N_{\delta_1}(y_0) מתקיים f(x)\in N_{\varepsilon_1} (f(y_0)).

[עריכה] משפט דארבו - לא גמור

הוכחה:

נניח בלי הגבלת הכלליות כי f'(a)<f'(b)\, ויהי t\, מספר המקיים f'(a)<t<f'(b)\,.

נגדיר פונקציה חדשה H(x)=f(x)-tx\,. כמו כן H\, רציפה ב-[a,b]\, (כהפרש של פונקציות רציפות),

לכן מהמשפט השני של ויירשטראס נסיק כי יש ל-H\, מינימום בקטע [a,b]\,. נראה כי המינימום לא מתקבל בנקודות הקצה של הקטע [a,b]\,:
לכל x \in [a,b] (מימין ב-a ומשמאל ב-b) מתקיים H'(x)=f'(x)-t\,. ולכן מגזירות H\, מימין ב-a\, נקבל כי H_+^'(a)=f'(a)-t\,. ומפני שנתון כי f'(a)<t<f'(b)\,, כלומר f'(a)-t<0\,, ולכן H_+^'(a)=\lim_{h\rightarrow 0^+} \left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)-t < 0\,

ולכן אז קיימת סביבה ימנית של 0

[עריכה] משפט הערך הממוצע של לגראנז'

הוכחה:
תהי k(x)\, פונקציה לינארית המקיימת k'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\, ומקיימת k(a)=f(a)\, וגם k(b)=f(b)\,.
נגדיר את פונקצית ההפרש h(x)=f(x)-k(x)\,. ניתן להסיק כי h(x)\, מקיימת את תנאי משפט רול, מכיוון ש-h(x)\, רציפה ב-[a,b]\, (כהפרש של פונקציות רציפות), גזירה ב-(a,b)\, (כהפרש של פונקציות גזירות), ומקיימת h(a)=h(b)\, (זאת משום ש-h(a)=f(a)-k(a)=0 \Leftarrow k(a)=f(a)\, כנ"ל לגבי נקודה b\,).
לכן ממשפט רול נובע כי קיימת נקודה c\in(a,b)\, כך ש-h'(c)=0\,. אבל h'(c)=f'(c)-k'(c)\, כלומר f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Leftarrow f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \Leftarrow f'(c)-k'(c)=0.

[עריכה] המשפט הראשון של ויירשטראס

אפשר להציע הוכחה שונה למשפט הראשון: ע"פ משפט קנטור לרציפות במ"ש,f\, רציפה במ"ש בקטע [a,b]\,.
כלומר עבור\varepsilon = 1 קיים \delta > 0\, כך שלכל x,y \in [a,b]\, המקיימים |x-y|<\delta\, מתקיים |f(x)-f(y)|<1\,.
נחלק את הקטע [a,b]\, ל-n\, קטעים שווים שאורכם \frac{b-a}{n}, נדרוש שאורך כל קטע הנ"ל יהיה קטן מ-\delta\,. כלומר \frac{b-a}{\delta}<n\iff\frac{b-a}{n}<\delta.
בכל קטע נבחר נקודה x_i\, אמצע הקטע (כאשר חלוקת הקטעים היא (i=1,...,i=n)\,). יהי x\,\in i. מכיוון שאורך הקטע i\, קטן מ-\delta\,, לפי הרציפות במ"ש נסיק ש: מתקיים |x-x_i|<\delta\, ולכן גם f(x_i)-1<f(x)<f(x_i)+1\iff|f(x)-f(x_i)|<1\, לכל x\, בקטע i\,.
נבחר M=\max\{f(x_1)+1,...,f(x_n)+1\}\, ו- N=\min\{f(x_1)-1,...,f(x_n)-1\}\,.
לכן נקבל N<f(x)<M\, לכל x\, בקטע [a,b]\,, כנדרש.

[עריכה] הצבות טריגונומטריות

באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה בכדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אע"פ שהאינטגרנד עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור a\, קבוע חיובי ו- b\ge 0 שלם:

  • עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2-x^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\sin t \,
  • עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\tan t \,
  • עבור \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx תתאים ההצבה: x=\frac{a}{\sin t} \,

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

  • חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:
\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \left[ \begin{matrix} x\equiv  \sin t \\ dx = \cos t dt \\ t = \arcsin x\end{matrix}\right] = \int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t\,dt = \int \cos t\sqrt{\cos^2 t},dt = \int \cos^2 t\,dt
הערה: בהמלך החישוב נעשה שמימוש בשוויון \sqrt{\cos^2 t} = \cos t שהוא לא נכון עבור כל t\,, לכן לכל \cos t\, שנמצא לאחר ההצבה, נחליפו שוב ב- \sqrt{\cos^2 t}.


\int \cos^2 t\,dt = \frac{1}{2} \int (\cos 2t +1)\,dt = \frac{1}{4} \sin 2t + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \cos t}{2} + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{\cos^2 t} + t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{1-\sin^2 t} +t}{2}
לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:
\int \sqrt{1-x^2}\,dx  = \frac{x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x}{2} + C