יחס שקילות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, יחס שקילות הוא דרך לאגד, באופן טכני ומדוייק, עצמים מופשטים שיש להם תכונות משותפות. קבוצות אלה נקראות מחלקות שקילות. לדוגמה, אפשר לחלק את כל המשולשים למחלקות, כאשר כל המשולשים במחלקה חופפים זה לזה. חלוקה כזו חוקרת למעשה את יחס החפיפה, בכך שהיא מתאימה בין משולשים חופפים ומפרידה משולשים שאינם חופפים.
מרכזיותו של מושג זה בחשיבה המתמטית מודגמת באמרתו המפורסמת של אנרי פואנקרה, מגדולי המתמטיקאים במחצית השנייה של המאה התשע-עשרה: "מתמטיקה היא האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים". יחס שקילות אינו אלא פירוק למחלקות, המהוות כל אחת מעין שם משותף לעצמים שבתוכה.
על-פי ההגדרה הפורמלית, יחס שקילות הוא יחס בינארי רפלקסיבי, סימטרי ויחס טרנזיטיבי. הדוגמה הפשוטה ביותר היא יחס השוויון. דוגמאות נוספות כוללות דמיון משולשים, איזומורפיות של מבנים, ועוד. במובן מסוים, אפשר לומר שחלק נכבד מן המחקר המתמטי קשור בזיהוי וחישוב של יחסי שקילות מעניינים.
| יש לפשט ערך זה זהו ערך טוב, אך הוא מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם. |
יחס מעל מקבוצה A נקרא יחס שקילות אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
- רפלקסיביות: כל איבר עומד ביחס (לדוגמה: ביחס השוויון, כל איבר שווה לעצמו).
- סימטריה: אם a עומד ביחס עם b אזי גם b עומד ביחס עם a. לדוגמה: יחס האחווה "אח של" הוא סימטרי כי אם a אח של b אז גם b אח של a. לעומת זאת, יחס ההורות "a אב של b" איננו סימטרי.
- טרנזיטיביות: אם a שקול ל-b ו-b שקול ל-c אזי a שקול ל-c. לדוגמה: אם a=b ו b=c אזי a=c.
אם E יחס שקילות נאמר ששני איברים שקולים-E (או פשוט שקולים) זה לזה אם הם עומדים ביחס זה עם זה.
ליחס שקילות חשיבות רבה שכן הוא מחלק קבוצה למחלקות שקילות: בהינתן קבוצה A ויחס שקילות שהוגדר עליה, נגדיר את מחלקת השקילות של איבר כלשהו כקבוצת כל האיברים השקולים לו. כל איבר בקבוצה יהיה שייך למחלקת שקילות אחת ויחידה, ולכן יחס השקילות חילק את הקבוצה לכמה תת קבוצות זרות שהאיחוד שלהן הוא הקבוצה כולה. בנוסף, בהנתן חלוקה של הקבוצה, ניתן לבנות יחס שקילות כך שכל זוג איברים נמצא ביחס שקילות אם ורק אם שני האיברים היו באותה קבוצה בחלוקה.
לדוגמה: בהנחה שכל אדם בעולם הוא תושב של מדינה אחת ויחידה, הרי היחס "בעל תושבות משותפת" מחלק את כל תושבי העולם למחלקות שקילות, שכל אחת מהן מכילה את כל תושביה של מדינה מסוימת.
בנוסף, מוגדרת קבוצת המנה של קבוצה על פי יחס שקילות, כקבוצת מחלקות השקילות של היחס, כאשר כל מחלקה מיוצגת לרוב על ידי איבר ("נציג") מהקבוצה המקורית. בדוגמה לעיל, תהיה קבוצת המנה לפי יחס השקילות שהוגדר, קבוצה המכילה את כל המדינות בעולם. הגדרה זו משמשת, בין השאר, לצורך בניה של מערכות מספרים, על ידי הגדרת מספר רציונלי כמחלקת שקילות של היחס
. בצורה הזו קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצת המנה של
לפי אותו יחס. גם בניית המספרים הממשיים מתוך הרציונליים יכולה להיעשות על ידי שימוש במחלקות שקילות, כאשר בונים את המספרים הממשיים על ידי השלמה של המספרים הרציונליים.
במקרים רבים במתמטיקה מגדירים פונקציות בין מחלקות שקילות על ידי נציגים של אותן מחלקות. במקרה כזה כדי שמה שיתקבל יהיה באמת פונקציה צריך לוודא שהערך המתקבל אינו תלוי בנציג שנבחר. לדוגמה כאשר מגדירים חיבור בין המספרים הרציונליים (שמוגדרים כמחלקות שקילות של זוגות סדורים של מספרים טבעיים) מגדירים זאת על ידי נציגים. במקרה הזה יש לוודא שלפעולה
ולפעולה
יש את אותה התוצאה.
| נושאים בתורת הקבוצות |
|---|
|
תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה |

