קואורדינטות (אלגברה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה, קוארדינטות של איבר כלשהו במרחב וקטורי על פי בסיס מסוים שלו הם מספרים המייצגים את גודל ההשפעה של כל אחד מאברי הבסיס על אותו איבר.
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהי
מרחב וקטורי ויהי
בסיס (סדור) של
. יהי
, נציג את
כצירוף לינארי של איברי הבסיס

הגדרה:
הן הקואורדינטות של
, לפי איברי הבסיס B,
ונגדיר את וקטור הקואורדינטות של
לפי איברי הבסיס
להיות :

מכיוון שיש חשיבות לסדר הקואורדינטות, יש גם חשיבות לסדר האיברים בבסיס, ולכן, למרות שהם מסומנים כקבוצה, איברי הבסיס מסודרים בסדר מסוים, קבוע לכל בסיס, בכדי לאפשר עבודה עם וקטורי קואורדינטות. (ומכאן השם: בסיס סדור).
כעת, הפונקציה המתאימה לכל וקטור ב
את וקטור הקורדינטות שלו ב
היא איזומורפיזם, וגם ההפך מתקיים, כל איזומורפיזם בין
ל
הוא פונקציה המתאימה לכל וקטור ב
את וקטור הקואורדינטות שלו. בכל מתאפשר לנו לדבר על מרחבים 'מסובכים' - מרחבי מטריצות, מרחבי פולינומים, במונחים של מרחב וקטורי "רגיל" -
(כאשר
הוא השדה מעליו מוגדר המרחב)
לדוגמה: וקטורים בת"ל (בלתי תלויים לינארית) אם ורק אם וקטורי הקואורדינטות שלהם בת"ל.
| נושאים באלגברה לינארית |
|---|
|
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור |

