# אקסיומת המקבילים

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אקסיומת המקבילים היא האקסיומה החמישית בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".

זוג ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי

אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:

> אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שיווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם יפגשו.

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

## [עריכה] מורכבותה של האקסיומה

לאקסיומה זו מבנה מורכב באופן חריג לעומת כל שאר האקסיומות של אוקלידס (ראו גאומטריה אוקלידית), שלהן ניסוח פשוט למדי, עובדה זו עוררה את חשדם של מתמטיקאים רבים (וביניהם אוקלידס עצמו) לנסות ולהוכיח כי איננה נדרשת כאקסיומה וזאת על ידי הוכחת הטענה בעזרת האקסיומות האחרות.

אף שלא הצליח להוכיח את הטענה בעזרת האקסיומות האחרות ואפילו הוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להשתמש בה, הבין אוקלידס כי מדובר באקסיומה מהותית ולא יכול היה להמשיך את הפיתוח בלעדיה.

## [עריכה] היסטוריה

בשל מורכבותה החריגה של אקסיומת המקבילים הביאה למאמצים רבים, במשך כאלפיים שנה, להוכיח שהיא נובעת מהאקסיומות האחרות, כך שלא יהיה צורך להניחה בנפרד. מאמצים אלה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה התשע-עשרה הבינו בולאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת.

## [עריכה] תכונות שקולות

מספר תכונות של הגאומטריה האוקלידית הן שקולות לוגית להנחת המקבילים, כלומר ניתן להוכיח כל אחת מהן בגאומטריה האוקלידית (הכוללת את הנחת המקבילים) ואם מניחים אחת מהן (ולא את הנחת המקבילים) אזי ניתן להוכיח את הנחת המקבילים.

בין התכונות השקולות להנחת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע האקסיומות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:

1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
2. קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
3. סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
4. קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים.
5. כל משולש ניתן לחסום במעגל.
6. אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
7. קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
8. קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
9. שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
10. בהנתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
11. במשולש ישר זווית, ריבוע היתר שווה לסכום רבועי שתי הצלעות הנותרות. (משפט פיתגורס)
12. אין חסם עליון לשטח של משולש. [1]

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%A7/%D7%A1/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%AA_%D7%94%D7%9E%D7%A7%D7%91%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D.html

קטגוריה: גאומטריה

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Dansk
- Deutsch
- Español
- فارسی
- 한국어
- Nederlands
- Polski
- Svenska
- 中文