מידה אפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה שמידת לבג שלה היא אפס. אינטואיטיבית, קבוצה כזו היא קטנה כל כך עד כדי כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות במובן לבג של פונקציות המוגדרות בקבוצה כלשהי המכילה אותה.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

באופן ישיר, נאמר שקבוצה \ E בישר הממשי היא בעלת מידה אפס או קבוצת אפס אם לכל \ \varepsilon >0 קיים כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים המכסה את \ E ושסכום אורכיו קטן מאפסילון. כלומר:

\ \forall \varepsilon > 0 : \ \exist \{ I_n \}_{n=1}^{\infty} \ \mbox{intervals} \ , \ \mbox{such that} \ : \ E \subset \bigcup_{n}{I_n} \ \mbox{and} \ \sum_{n}{|I_n|} < \varepsilon

עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, וכך גם כל תת-קבוצה שלה מדידה ובעלת מידה אפס.

[עריכה] משמעות

כאמור בתחילת הערך, המשמעות האינטואיטיבית של היות קבוצה בעלת מידה אפס היא שהקבוצה "זניחה" כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות (במובן לבג) של הפונקציה.

[עריכה] דוגמאות לקבוצות בעלות מידה אפס

להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:

  • נקודה בודדת בישר הממשי.
  • כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
  • כל קבוצה בת מנייה בישר הממשי.
    • הוכחה: יהי \varepsilon > 0 ותהי \ \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} מניה של איברי הקבוצה \,A. כל איבר \,x_n נכסה בקטע \,I_n הממורכז סביבו שאורכו הוא \frac{\varepsilon}{2} \cdot 2^{-n} , ברור ש-\ A \subset \bigcup_{n}{I_n} וכמו כן \ \sum_{n}{| I_n |} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\varepsilon}{2} 2^{-n}} = \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon (סכום טור הנדסי) ולכן כיסינו את \,A באמצעות רווחים שאורכם הכולל קטן מ-\,\varepsilon. מ.ש.ל.
  • קבוצת קנטור: זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס למרות שהיא איננה בת-מנייה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות