כלל לופיטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל לופיטל הוא כלל המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, באמצעות שימוש בגזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. החוק מאפשר לפשט הן את הביטוי שבמונה והן את הביטוי שבמכנה באמצעות גזירתם, דבר שלעתים קרובות מפשט פונקציות, או לפחות מעביר אותן לצורות שבהן קל יותר לטפל בהן. למשל, סינוס יהפוך לקוסינוס, ומאחר שכאשר סינוס שואף לאפס קוסינוס שואף לאחד, יעלם האפס מהמכנה. באמצעות שימוש כללי יותר בכלל זה ניתן לטפל גם בגבול שבו יש מכפלה כלשהי בין אפס ואינסוף, ובגבולות שבהם יש אחד בחזקת אינסוף.

כלל לופיטל התגלה על ידי יוהן ברנולי דווקא, אולם המרקיז דה לופיטל, שהיה תלמידו, היה הראשון לפרסם אותו בספר.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה מתמטית

נניח כי f\left(x\right), g\left(x\right) הן שתי פונקציות גזירות בסביבה של נקודה a, פרט אולי לנקודה a עצמה. אם מתקיימים באותה סביבה התנאים הבאים:

\ g'(x) \neq 0 פרט אולי לנקודה a עצמה.

\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0.

או \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty.


אז מתקיים: \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

זאת כמובן בתנאי שקיים הגבול \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

הכלל נכון גם כאשר \ a = \pm \infty.

[עריכה] גבולות נוספים

בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה 0\cdot\infty, 1^\infty:

נניח כי \ f(x)\rarr 0, g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)

אז f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\rarr\frac{0}{0},f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\rarr\frac{\infty}{\infty}

וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.

נניח כי \ f(x)\rarr 1,g(x)\rarr\infty ואנו רוצים לחשב את \lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}.

אז מתקיים:

\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}\exp{\left( \ln(f(x)^{g(x)}) \right) }= \exp{\left( \lim_{x \to a}g(x)\ln{f(x)} \right)}

וכעת יש במעריך גבול מהצורה 0\cdot\infty שבו כבר יודעים לטפל.

[עריכה] דוגמאות

  • לכל n טבעי, נחשב את הגבול xn חלקי ex כאשר x שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:
\ \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty}\frac{n!}{e^x} = 0
זאת כי \ \left( e^x \right) ' = e^x והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.
  • דוגמה נוספת:
\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1)^2 }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 2(x-1) }{1/x } = 0
זאת כי \ \left( \ln x \right) ' = 1/x.
  • דוגמה נוספת:
\ \lim_{x \to 1}\frac{ (x-1) }{\ln x } = \lim_{x \to 1}\frac{ 1 }{1/x } = 1
בכך הוכחנו שעבור מספרים \ u << 1 מתקיים \ \ln(1+u) \approx u.
  • לא תמיד כדאי להשתמש בכלל לופיטל, בדקו את הגבול הבא
\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
מאחר ש elnx=x אזי ברור שהגבול שווה ל 1. אבל מאחר ש
\ \left( e^{\ln x} \right) ' = e^{\ln x} / x ו \ (x)' = 1
אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל ש
\ \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}/x}{1} = \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\ln x}}{x}
כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו. לכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים


חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה