אלמנטים סופיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתמונה מוצגת דוגמה לאנליזת אלמנטים סופיים  של רכב לבדיקת מודל התנגשות בקיר קשיח
הגדל
בתמונה מוצגת דוגמה לאנליזת אלמנטים סופיים של רכב לבדיקת מודל התנגשות בקיר קשיח
בתמונה מוצגת דוגמה לאנליזת חוזק של צנרת לחץ חמה.  האנליזה נעשית באמצעות תכנה המחשבת בשיטת ה אלמנטים הסופיים תוך שימוש באלמנט קוי
הגדל
בתמונה מוצגת דוגמה לאנליזת חוזק של צנרת לחץ חמה. האנליזה נעשית באמצעות תכנה המחשבת בשיטת ה אלמנטים הסופיים תוך שימוש באלמנט קוי
 דוגמה לחלוקת מודל פשוט עם חור ל אלמנטים סופיים בצורת מלבן ולאלמנטים בצורת משולש
הגדל
דוגמה לחלוקת מודל פשוט עם חור ל אלמנטים סופיים בצורת מלבן ולאלמנטים בצורת משולש
דוגמת מודל של חצוצרה בתכנת האלמנטים הסופיים של חברת Algor
הגדל
דוגמת מודל של חצוצרה בתכנת האלמנטים הסופיים של חברת Algor

אנליזה בשיטת האלמנטים הסופיים (Finite Element Analysis) ובקיצור (FEA), היא טכניקה לחישוב נומרי של משוואות דיפרנציאליות המתארות בעיות של שדות כמו שדה מאמצים ושדה של זרימה. השיטה מקובלת ונפוצה בפתרון של בעיות הנדסיות רבות בעזרת מחשב תוך שימוש בתוכנות מחשב מיוחדות הפועלות בשיטת האלמנטים הסופיים (Finite Element Method) ובקיצור (FEM).

שיטת האלמנטים הסופיים פותחה לראשונה בשנת 1943 על ידי ריצ'רד קוראנט (Richard Courant) שהשתמש בשיטת ריטז (Ritz method) שהיא שיטה נומרית, כדי לקבל פתרון מקורב למערכת רוטטת. בשנת 1956 התפרסם מאמר מרחיב על ידי M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and L. J. Topp אשר התייחס לשיטת האלמנטים הסופיים בנושא קשיחות ותזוזות של מבנים מורכבים. במכניקת המבנים הפיתוח של המשוואות לפתרון באלמנטים סופיים מבוסס על עקרונות שימור האנרגייה וכלל פוטנציאל האנרגייה המינימלי.

בשנת 1973 פירסמו Strang and Fix ספר בשם "אנליזה של שיטת האלמנטים הסופיים" An Analysis of The Finite Element Method שהעמיד את השיטה על בסיס מתמטי מוצק והפך אותה לשיטה נומרית מוכרת שמרבים להשתמש בה בהנדסה. פרופסור R.D. Cook מאוניברסיטת ויסקונסין כתב בשנת 1974 ספר לימוד שהפך למקור מידע בנושא האלמנטים הסופיים כולל רקע מתמט והיסטורי. שם הספר: Concepts and Applications of Finite Element Analysis.

בשיטת האלמנטים הסופיים האובייקט מתואר על ידי מודל גאומטרי המחולק לאלמנטים סופיים. המשוואות נכתבות לכל אלמנט לפי הבעייה הפיזיקלית המתוארת על ידי המודל וכל מערכות המשוואות של המודל המיוצגות על ידי המשוואות של האלמנטים. מערכת המשוואות הזו נפתרת בטכניקות של אלגברה לינארית או בשיטות נומריות לא לינאריות לפי אופי המשוואות. דיוק הפתרון של השיטה משתפר כאשר האלמנטים קטנים יותר או כאשר האלמנט מורכב יותר על ידי תוספת נקודות וכאשר הצורה של האלמנטים די אחידה.

מרבים להשתמש בשיטת האלמנטים הסופיים לחישוב מאמצים ותזוזות של מבנים ושל מערכות מכניות וכן בפתרון של בעיות מורכבות במעבר חום, זרימה, אלקטרומגנטיות ועוד. דוגמה למערכת משוואות לינאריות לפתרון בעיית חישוב של גוף אלסטי בהשפעת כוחות חיצוניים:

  • המשוואה הווקטורית היא {F} = [K] * {X}, כאשר:
  • {F} - וקטור כוחות.
  • {X} - וקטור תזוזות.
  • [K] - מטריצת קשיחות

השימוש המעשי באלמנטים הסופיים החל בתעשייה האווירית בחישוב מבני מטוסים, בתעשיית הימית בחישוב מבני אוניות, בחישוב של מבנים מורכבים, בחישוב צנרת בתחנות כוח ובכורים גרעיניים וחישובים הדרושים בתעשיית הרכב. היום השימוש בשיטה נפוץ ומגוון בשטחים שונים של הפיזיקה ושל ההנדסה כולל הנדסת קרקע לדוגמה וביו רפואה כמו חישובי חוזק של של השלד של בני אדם. מצד אחד יש הצע של תוכנות אלמנטים סופיים כלליות ומצד שני תוכנות יעודיות המותאמות למשימות חישוב מיוחדות.

ההתפתחות של התוכנות לאלמנטים סופיים ושל המחשבים מאפשרים חישובים מורכבים של תהליכם כמו התנגשות מכוניות. החישוב מעגלי כאשר מעגל החישוב הקודם מגדיר את תנאי השפה של החישוב הבא. משך החישוב עדיין לא נעשה בזמן אמת אבל בסוף התהליך ניתן להציג סירטון הדמייה של הארוע כאילו הוא בוצע מול עינינו. השימוש היום יומי איננו דורש ידע בפיתוח המשוואות הדיפרנציאליות והפתרון שלהם, אלא הכרה טובה של הנושא, בניית מודל טוב המתאים למציאות שיתן תוצאות קרובות למציאות, קביעת תנאי שפה וחלוקה טובה לאלמנטים.

[עריכה] לקריאה נוספת

  • Finite Element Modeling by Constantine C. Spyrakos

West Virginia University Press, 1994. ISBN: 0-9641939-4

  • Finite Element Analysis by John R. Brauer

Marcel Mekker Inc. ISBN: 0-8247-8954-7

[עריכה] קישורים חיצוניים

שפות אחרות