מספר שופע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מספר שופע (abundant number) הוא מספר טבעי \ n שעבורו מתקיים \ \sigma(n)>2n, כאשר \ \sigma(n) היא פונקציית המחלקים: סכום כל המחלקים החיוביים של \ n, כולל \ n עצמו.

חלוקת המספרים ל"שופעים", "חסרים" ומשוכללים מופיעה לראשונה אצל ניקומאכוס, בסביבות שנת 100.

קיימים אינסוף מספרים שופעים. ביתר פירוט, לכל k, קיימים אינסוף מספרים שופעים המתחלקים ב- k, ואינסוף מספרים שופעים הזרים ל- k. הסיבה העקרונית לכך היא שהמכפלה \ \prod\left(1+\frac{1}{p}\right), על-פני כל הראשוניים, היא אינסופית, ואילו היחס \ \sigma(n)/n שווה לפחות ל- \ \prod\left(1+\frac{1}{p}\right) כאשר המכפלה היא על פני המחלקים הראשוניים של n. על-ידי בחירת מספיק גורמים ראשוניים, אפשר לעבור כל יחס רצוי.

בשנת 1998 הראה מארק דלגליש שהצפיפות של המספרים השופעים היא בין 0.2474, ל- 0.2480.

מספר שופע שאיננו "דמוי משוכלל" נקרא מספר מוזר. בעיה פתוחה עתיקת יומין היא, האם קיים מספר (שופע) \,n המקיים \ \sigma(n)=2n+1. (מספר כזה נקרא מספר קוואזי משוכלל).

[עריכה] ראו גם