חוג השלמים של גאוס
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מספר שלם של גאוס ,שהוגדר על ידי המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס, הוא מספר מרוכב שגם החלק האמיתי שלו וגם החלק המדומה שלו הוא מספר שלם. קבוצת המספרים הללו, עם פעולות החיבור והכפל של מספרים מרוכבים נקראת חוג השלמים של גאוס והיא אף תחום שלמות ומסומנת
.
ניתן לראות במספרים אלו הכללה של המספרים השלמים הרגילים משום שהם שומרים על תכונות שאופייניות למספרים שלמים.
הנורמה של שלם של גאוס היא פונקציה מ-
אל
המוגדרת:
ושומרת על פעולת הכפל
. הנורמה הזאת אינה הנורמה הרגילה של מספר מרוכב אלא היא הריבוע שלה.
היחידות ב-
הם המספרים בעלי נורמה 1. כלומר המספרים המרוכבים ששיכים למעגל היחידה ובעלי מקדמים שלמים שהם:
.
ב
, בדומה ל
ניתן לחלק עם שארית, כלומר אם
ו-
, אזי קיימים
שמקיימים
ו-
. כתוצאה מכך תכונות רבות של מספרים שלמים נכונות גם עבור שלמים של גאוס. לדוגמה, קיים ב-
האלגוריתם של אוקלידס, ניתן להגדיר מחלק משותף מקסימלי של שני מספרים, ולכל מספר קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.
[עריכה] ראשוניים של גאוס
ראשוניים ב-
הם מספרים ללא פירוק אמיתי, כלומר
נקרא ראשוני אם
אז
יחידה או
יחידה. כמו שכבר נכתב, לכל
קיים פירוק יחידי לגורמים ראשוניים (עד כדי סדר הגורמים)
.
נשאלת השאלה מי הם הראשוניים ב-
. טבעי לצפות שראשוני ב-
יהיה גם ראשוני ב-
. מתברר שזה לא בהכרח נכון, לדוגמה הראשוני
מתפרק ב-
למכפלה
ולכן אינו ראשוני ב-
. לפי משפט פרמה ראשוני
יכול להיכתב כסכום של ריבועים
אם ורק אם
. לפי זה יש לנו מיון מלא של הראשוניים ב-
ביחס לראשוניים ב-
.
הראשוניים ב-
הם:
(שדומה לראשוני
).
ראשוניים ב-
המקיימים
.- מספרים
,
שמקיימים
,
ראשוני ב-
.
למספרים ראשוניים של גאוס קיים תפקיד חשוב בתורת המספרים האלגברית. למשוואה
יש פתרון אם ורק אם
מתפצל ב-
. תורת המספרים האלגברית מרחיבה עובדה זו למשוואות נוספות ומקרים שונים.

