פעולה טרנזיטיבית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות
קיים איבר
המעביר את x ל- y, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.
במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון - גרף או מטריקה). עצם הקיום של חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה) מראה שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X מרחב הומוגני.
[עריכה] טרנזיטיביות מסדר גבוה
כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי
, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה
את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה
של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצויידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.
אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על
, אז הפעולה שלה על X היא פעולה k-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל
שונים זה מזה, ולכל
שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר
. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה.
לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית
על הקבוצה
היא פעולה n-טרנזיטיבית, בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות
על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית.
מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין תת-החבורות של
. פרט לחבורות
ו-
, רק חמש חבורות מתיו הן 4-טרנזיטיביות או 5-טרנזיטיביות, ואין אף חבורה אחת שהיא 6-טרנזיטיבית.

