כמעט כל (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, משתמשים לעתים בביטוי "כמעט כל" במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי על קבוצה זניחה", כאשר הכוונה ב"קבוצה זניחה" נקבעת לפי ההקשר.

תוכן עניינים

[עריכה] סדרות

"כמעט בכל מקום" = "הכל, פרט אולי למספר סופי".

לדוגמה: אומרים על סדרה שהיא מתכנסת לגבול x אם ורק אם לכל סביבה של x, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, אם נבדוק איזה איברים בסדרה אינם שייכים לאותה סביבה, נראה שרק מספר סופי של איברים לא נמצא בה, כלומר החל ממקום מסוים בסדרה, כל אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה.

חשוב להפריד בין "כמעט כל" לבין "אינסוף". בדוגמת הגבול, למשל, אם הסדרה שלנו היא הסדרה \!\, 1,0,1,0,\dots . הרי שאינסוף מאברי הסדרה נמצאים בסביבה \!\, (-1/2,1/2) - כל האברים שערכם 0. עם זאת, הסדרה אינה מתכנסת לגבול 0, כי יש מספר אינסופי של אברים (כל האברים שערכם 1) שאינם נמצאים בסביבה זו.

[עריכה] תורת המידה

בתורת המידה אומרים שפונקציה מקיימת תכונה כלשהי כמעט בכל מקום ( Almost surely או .a.s ) אם היא מקיימת את התכונה הזאת בכל תחום הגדרתה למעט בקבוצה שהיא בעלת מידה אפס.

[עריכה] תורת ההסתברות

בתורת ההסתברות, מאורע יתרחש "כמעט בוודאות" אם ייתכן שלא יתרחש, אך ההסתברות לכך היא אפס. לדוגמה, נניח ריבוע בגודל 1X1, ונבחר בתוכו קבוצה A כלשהי של נקודות. כעת, נבחר באופן אקראי נקודה על הריבוע. ההסתברות שהיא נמצאת בתוך הקבוצה A היא בדיוק השטח שהקבוצה מכסה. (למשל, אם A היא חציו השמאלי של הריבוע, הרי שההסתברות שבחרנו באקראי נקודה על A היא חצי.) כעת, נאמר כי A היא אלכסון הריבוע; ההסתברות שהנקודה שבחרנו נמצאת על האלכסון היא אפס, זאת כיוון ששטחו של האלכסון הוא אפס. מאידך, ברור שמצב כזה עשוי להתרחש. לפיכך, כמעט בוודאות הנקודה לא נמצאת על האלכסון.

[עריכה] טופולוגיה

במרחבי בר (מרחב מהקטגוריה השניה), את התפקיד של קבוצות בעלות מידה אפס ממלאות הקבוצות הדלות (meager sets או קבוצות מהקטגוריה הראשונה).

[עריכה] תורת המספרים

בתורת המספרים משתמשים במונח "כמעט כל" כדי לציין קבוצה שלמשלים שלה יש צפיפות אפס. נניח ש- \ p(n) הוא מספרם של הטבעיים \ 1,2,...,n המקיימים תכונה מסוימת. אומרים שכמעט כל המספרים מקיימים את התכונה, אם הגבול \ p(n)/n ← 1 כאשר \ n ← ∞. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על-ידי (\forall^\infty n) P(n).

לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים קובע כי המספר של ראשוניים הקטנים ממספר נתון \ n שווה בקירוב ל- \ n/\ln(n). לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר \ n גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם מספרים פריקים, למרות שקיימים אין סוף מספרים ראשוניים.

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות