סדר טוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, סדר טוב על קבוצה הוא סדר מלא שבו לכל תת קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. לדוגמה, המספרים הטבעיים עם הסדר הרגיל סדורים בסדר טוב, כי בכל קבוצה של טבעיים שניקח יהיה איבר שקטן מכל שאר האיברים. לעומת זאת, המספרים השלמים אינם סדורים בסדר טוב, כי בקבוצת כל המספרים השלמים אין איבר שקטן מכל האיברים - לכל מספר שלם ניתן למצוא מספר שלם שקטן ממנו.

משפט הסדר הטוב קובע כי כל קבוצה ניתנת לסידור באמצעות סדר טוב. משפט זה שקול לאקסיומת הבחירה, והוא נחשב בעייתי, בזמן שאקסיומת הבחירה נחשבת אינטואיטיבית יחסית - למשל, קבוצת המספרים הממשיים ניתנת לסידור טוב על פי משפט זה, אך לא ניתן להדגים בפועל סדר טוב שכזה.

בקבוצה סדורה היטב, לכל איבר (פרט לאיבר המקסימלי, אם קיים) יש איבר עוקב מיידי, אך לא בהכרח לכל איבר יש איבר שקודם לו מיידית. בשל תכונה זו ניתן להשתמש בטכניקה של אינדוקציה טרנספיניטית על מנת להוכיח שכל אברי הקבוצה הסדורה היטב הם בעלי תכונה כלשהי. דבר זה מהווה הכללה של מושג האינדוקציה המתמטית הרגילה שמוגדרת רק על המספרים הטבעיים.