חבורת גלואה האבסולוטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חבורת גלואה האבסולוטית של שדה \ K היא חבורת הגלואה של \ K^{sep} (הסגור הספרבילי של \ K) מעל \ K. חבורת גלואה האבסולוטית של המספרים הרציונלים (ובאופן כללי יותר, של שדות מספרים) היא אחת מהאובייקטים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית.

[עריכה] דוגמאות

באופן כללי, חבורת גלואה האבסולוטיות הן קשות לחישוב ואפילו על חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים מעט מאוד ידוע. עם זאת, יש מקרים שבהם ניתן לחשב את חבורת גלואה האבסולוטיות:

  • חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סגור ספרבילית היא טריבילית.
  • חבורת גלואה האבסולוטית של \ \mathbb{R} היא \ \mathbb{Z}/2.
  • חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סופי \ \mathbb{F}_q היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר \ \widehat{\mathbb{Z}}.

[עריכה] תכונות

  • חבורת גלואה האבסולוטית היא חבורה פרו סופית.
  • משפט קרונקר-וובר הוא תאור של המנה האבלית הגדולה ביותר של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים.
  • אם יריעה אלגברית V מוגדרת מעל שדה k, אז חבורת גלואה האבסולוטית של k פועלת על V ולכן על כל חבורות הקוהומולוגיה של V. בהצגות הללו טמון מידע על תכונות אריתמטיות של V.

[עריכה] בעיות מרכזיות

  • בעית ההיפוך של תורת גלואה שואלת האם כל חבורה סופית היא חבורת גלואה של הרחבה סופית של הרציונלים. ניסוח שקול הוא האם כל חבורה סופית היא מנה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים.
  • השערת לנגלנדס מקשרת בין הצגות n-ממדיות של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים להצגות אוטומורפיות של החבורה \ GL_n.
שפות אחרות