# אקסיומת הבחירה

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אקסיומת הבחירה היא אקסיומה במתמטיקה, ששייכת לתורת הקבוצות ונוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. האקסיומה נחשבת בעייתית ושנוייה במחלוקת בשל השלכותיה, אולם בניסוחה היא נראית מאוד הגיונית ומתקבלת על הדעת.

## [עריכה] ניסוח אקסיומת הבחירה

בצורה פשוטה, אקסיומת הבחירה אומרת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר מכל אחת מהן.

נוסח יותר פורמלי הוא כדלהלן: בהינתן משפחה של קבוצות לא ריקות, קיימת פונקציה כך שמתקיים .

הפונקציה שקיומה מובטח על ידי האקסיומה היא פונקציה שהתנאי היחיד עליה היא שהיא מתאימה לכל קבוצה מתוך משפחת הקבוצות איבר השייך אליה.

## [עריכה] הבעייתיות שבאקסיומת הבחירה

לכאורה, אקסיומת הבחירה היא דבר מובן מאליו, ואכן, השתמשו באקסיומת הבחירה בצורה מובלעת עוד הרבה לפני שנוסחה באופן רשמי. עם זאת, לרוב היא אינה נדרשת. למשל:

- בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים טבעיים, קל לבנות פונקציה שתבחר איבר מכל קבוצה - מכיוון שהמספרים הטבעיים סדורים בסדר טוב, מספיק לדרוש שהפונקציה תחזיר עבור כל קבוצה את האיבר הקטן ביותר בה. קיומו של איבר זה מובטח מתכונת הסדר הטוב.
- בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים שלמים כבר לא מתקיימת תכונת הסדר הטוב, אולם אפשר "להתחכם". עבור הקבוצות שמכילות מספרים גדולים מ-0 ניתן להתייחס רק לאותם איברים שגדולים מ-0, והם מקיימים את תכונת הסדר הטוב ואפשר לבחור נציג מתוכם. אם כל האיברים של קבוצה קטנים מאפס או שווים לו, הרי שמובטח קיום של איבר מקסימלי, כי הקבוצה חסומה מלעיל ואינה צפופה.
- בהינתן אוסף של כל הקטעים על גבי הישר הממשי, קל לבחור נציג לכל קטע: נקודת האמצע שלו.

לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך ידועה (וקרוב לודאי שלא תמצא כזו) לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה.

הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל השתמש להבהרת אקסיומת הבחירה בדוגמה של נעליים וגרביים. נניח שיש בביתך אינסוף זוגות נעליים ואינסוף זוגות גרביים, ואתה רוצה לבחור נעל אחת מכל זוג, וגרב אחת מכל זוג. עבור הנעליים קל למצוא עקרון בחירה כללי: למשל, "בחר את הנעל השמאלית מכל זוג". לעומת זאת, עבור גרביים (שאין בהם "ימין" או "שמאל") לא ניתן להשתמש בעיקרון הזה. אם היה מספר סופי של גרביים היה ניתן להגיד במפורש איזו גרב לבחור מכל זוג על ידי הצבעה עליה, אולם כאשר מספר הגרביים הוא אינסופי, לא ניתן לעבור ולהצביע על כולן, ויש צורך בעקרון בחירה כללי כלשהו.

על כן, אקסיומת הבחירה היא בעייתית שכן היא אומרת שניתן לעשות דבר מה, אולם אינה מצביעה על שום דרך לעשותו. אכן, רוב ההוכחות שנסמכות על אקסיומת הבחירה מוכיחות קיום של דבר מה מבלי שיראו דרך מעשית לבנות אותו.

יתר על כן, חלק מהתוצאות של קבלת אקסיומת הבחירה נראות נוגדות את האינטואיציה (וזאת כזכור בזמן שאקסיומת הבחירה נדמית אינטואיטיבית מאוד). למשל, אקסיומת הבחירה שקולה לעקרון הסדר הטוב, שאומר שניתן לסדר בסדר טוב כל קבוצה. בפרט נובע מכך שניתן לסדר את המספרים הממשיים בסדר טוב - דבר הנראה מנוגד לאינטואיציה ושאין דרך ידועה לעשותו בפועל. דוגמה נוספת היא פרדוקס בנך-טרסקי: באמצעות קבלת אקסיומת הבחירה ניתן לפרק את כדור היחידה במרחב התלת ממדי למספר חלקים, ובאמצעות פעולות של הזזה וסיבוב בלבד להרכיב מהחלקים שני כדורי יחידה מאותו הרדיוס. אקסיומת הבחירה מאפשרת להוכיח שהתהליך אפשרי; היא אינה מראה כיצד ניתן לבצע את התהליך בפועל (יש לזכור כי בכל מקרה מדובר על תהליך הפועל על עצמים מתמטיים מופשטים ואידאליים).

העובדה שאקסיומת הבחירה טוענת לקיומה של אפשרות בחירה, מבלי שתראה כיצד לבצע את הבחירה, הביאה לדחייתה על-ידי אנשי הזרם בפילוסופיה של המתמטיקה הקרוי אינטואיציוניזם.

## [עריכה] שימושי אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת עקרון הסדר הטוב והלמה של צורן. ראו גם משפט טרסקי.

## [עריכה] קישורים חיצוניים

- אקסיומת הבחירה ב־MathWorld

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%A7/%D7%A1/%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%AA_%D7%94%D7%91%D7%97%D7%99%D7%A8%D7%94.html

קטגוריה: תורת הקבוצות

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Català
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- Français
- Magyar
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Svenska
- 中文