שדה סדור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המספרים המוכרים לנו מסודרים באופן טבעי, כשחושבים על מספר (ממשי) כעל אורך של קטע: אם קטע אחד מכיל קטע אחר, האורך של הקטע הראשון גדול יותר. המושג שדה סדור נועד 'ללכוד' את הסדר הטבעי הזה ולהכליל אותו, כדי שאפשר יהיה לנצל את הרעיונות שקשורים ביחס הסדר בחקירת שדות אחרים.

שדה סדור הוא שדה F, שמוגדר עליו יחס סדר מלא שנסמנו "\le", המקיים את האקסיומות הבאות:

  1. איזוטוניות ביחס לסכום: לכל x,y,z \in F, אם x \le y אזי x+z \le y+z
  2. לכל x,y,z \in F, אם 0 \le x ו- y \le z, אז xy \le xz.

(מהאקסיומות נובע למשל שכל מספר a2 הוא חיובי, ובפרט 0 \le 1).

אם אפשר להגדיר יחס סדר על שדה נתון באופן שיהפוך אותו לשדה סדור, אומרים שאפשר לסדר את השדה. משפט Artin-Schreier מאפיין את השדות שניתן לסדר מתוך האריתמטיקה של השדה: F ניתן לסידור אם ורק אם \ -1 אינו סכום של ריבועים בשדה (ההוכחה: לפי הלמה של צורן על אוסף הסידורים החלקיים). לדוגמה, שדות שבהם \ -1 הוא ריבוע, לא ניתן לסדר - משום שאז יתקבל \ 0=1+(-1)>0+0=0, סתירה.

[עריכה] ניסוח אחר

במקום להתמקד בסדר עצמו, אפשר לבחון את קבוצת האיברים החיוביים: תת-קבוצה P של שדה נקראת סדר (ordering), אם היא סגורה לחיבור ולכפל, ולכל איבר \ a\neq 0 בשדה מתקיים \ a\in P או \ -a\in P. קבוצה כזו מגדירה יחס סדר: \ a>b אם ורק אם \ a-b\in P.

[עריכה] דוגמאות

הדוגמאות החשובות ביותר לשדות סדורים הן השדה הרציונלי והשדה הממשי. בשני המקרים הסדר המוכר הוא הסדר היחיד האפשרי. את השדה המרוכב לא ניתן לסדר, משום ש \ -1 = i^2 הוא ריבוע בשדה הזה.

ישנם שדות שאפשר לסדר בכמה דרכים. למשל, בשדה \ \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt{2} (הנוצר על-ידי הוספת השורש הריבועי של 2 לשדה המספרים הרציונליים), אפשר לקבוע ש-

  • a+b\sqrt{2}>0 כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם \ 2b^2<a^2, או a שלילי ו- b חיובי וגם \ a^2<2b^2; או
  • a+b\sqrt{2}>0 כאשר a,b שניהם חיוביים, או a חיובי ו- b שלילי וגם \ 2b^2>a^2, או a שלילי ו- b חיובי וגם \ a^2>2b^2.

באופן כללי מספר הדרכים השונות לסדר שדה מספרים K שווה למספר הדרכים לשכן אותו בשדה המספרים הממשיים, ומספר זה קטן או שווה למימד של K.

דוגמה נוספת: בשדה \ \mathbb{R}((x)) של טורי מקלורן אפשר לקבוע שאיבר \ \sum_{n=-N}^{\infty}a_nx^n הוא חיובי אם ורק אם \ 0<a_N. תחת הסדר הזה x הוא איבר חיובי, הקטן מכל מספר ממשי חיובי.

שפות אחרות