מרכז של חבורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי G. קבוצה זו מסומנת \ Z(G).

\ Z(G)=\{z\in G| gz=zg\  \forall g\in G\}.

הקבוצה \ Z(G) היא תת חבורה אבלית של G. יותר מזה, \ Z(G) היא תת חבורה נורמלית של G.

אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, קבוצה נקראת חסרת מרכז אם \ Z(G)=\{e\} (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אך פעם לא ריק).

נתבונן בהעתקה \ f מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה המוגדרת:

\ f(g)(h)=ghg^{-1}.

( \ f(g) הוא אוטומורפיזם של G שפעולתו על איבר שרירותי h מתוארת בנוסחה). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת \ Inn(G). לפי משפט האיזומורפיזם הראשון \ G/Z(G)\cong Inn(G).