מרכז של חבורה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי G. קבוצה זו מסומנת
.
.
הקבוצה
היא תת חבורה אבלית של G. יותר מזה,
היא תת חבורה נורמלית של G.
אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, קבוצה נקראת חסרת מרכז אם
(המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אך פעם לא ריק).
נתבונן בהעתקה
מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה המוגדרת:
.
(
הוא אוטומורפיזם של G שפעולתו על איבר שרירותי h מתוארת בנוסחה). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת
. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון
.

