חזקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חזקה היא פעולה מתמטית. בהגדרה הבסיסית שלה היא מהווה קיצור של פעולת הכפל, אך ניתן להכליל אותה למקרים רחבים יותר. באופן כללי חזקה היא אופרטור בינארי על איברים בשדה המחזירה איבר בשדה.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרות

בפעולת החזקה \ A^b,

  • האיבר A נקרא "בסיס החזקה".
  • האיבר b נקרא "מעריך".

[עריכה] הגדרה אינטואיטיבית

עבור n מספר טבעי (כמו 1,2,3,4 וכן הלאה), כשם ש \ n \cdot x הוא סימון מקוצר לכך שמחברים את x עם עצמו n פעמים, כך גם החזקה היא מעין סימון מקוצר לכך שכופלים את x בעצמו n פעמים. את ההגדרה האינטואיטיבית הזאת אפשר להרחיב גם עבור מעריך לא טבעי.

[עריכה] חזקה עם מעריך טבעי

הגדרה: a בחזקת n עבור n מספר טבעי מוגדר כמכפלה של a בעצמו n פעמים:
a^n = a \cdot  a \cdot  ... \cdot  a n פעמים.
לדוגמה, a^3 = a\cdot a\cdot a,
a^2 = a\cdot a.
ל\ a^2 נהוג לקרוא גם a בריבוע, שכן זהו למעשה שטחו של ריבוע שצלעו היא a.
ל \ a^3 קוראים a בשלישית, ל \ a^4 קוראים a ברביעית וכו'.

[עריכה] חוקי החזקות

מן הגדרה זו מסיקים את חוקי החזקות:

  • a^m \cdot a^n = a^{m+n}
  • \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}
  • {(a^m)}^n = a^{mn}
  • a^n \cdot b^n = {(a \cdot b)}^n
  • \frac{a^n}{b^n} = {(\frac{a}{b})}^n

באמצעות החוק \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n} מגדרים את \ a^0 = \ a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n}  = 1 לכל a שונה מ-0 ובאמצעות שניהם מגדירים את a^{-n} = \frac{a^0}{a^n}= \frac{1}{a^n}

[עריכה] הרחבה למעריכים רציונליים

לכל n טבעי מגדירים \ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} כשורש ה n-י של a (לוקחים את השורש הממשי החיובי).

לכן, עבור מעריך שהוא מספר רציונלי, כלומר מהצורה \ q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q} כאשר m ו n טבעיים, מגדירים

\ a^q = a^{m/n} = a^{\frac{m}{n}} = {\sqrt[n]{a}}^m = {\sqrt[n]{a^m}}

אחרי שמראים שהגדרה זו היא טובה (ולא תלויה בהצגה שבחרנו ל q) קל להראות שחוקי החזקות לעיל מתקיימים.

הערה: יש להדגיש כי חזקות רציונאליות אינן מוגדרות עבור \ a<0. זאת מכיוון שאינם מקיימים את חוקי החזקות. לדוגמה:

מצד אחד: {(-1)}^{\frac{2}{6}} = {((-1)^2)}^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{((-1)^2)} = \sqrt[6]{1} = 1

ומצד שני: {(-1)}^{\frac{2}{6}}  = {(-1)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-1} = -1

ומצד שלישי:

{(-1)}^{\frac{2}{6}} = {((-1)^{\frac{1}{6}})}^2 = (\sqrt[6]{(-1)})^2 שאינו מוגדר תחת הממשיים.

[עריכה] הרחבה למעריכים ממשיים

ההרחבה מתבצעת על ידי לקיחת גבול למספר הממשי ה r באמצעות סדרה של מספרים רציונליים.

[עריכה] הרחבה למעריכים מרוכבים

לפי נוסחת אוילר מתקיים \ e^{ix} = cos(x) + isin(x)=\operatorname{cis}(x). כך באמצעות חוקי החזקות וההגדרה \ e^{ln(a)} = a ניתן להעלות כל מספר בחזקה מרוכבת.
הנוסחה, היא: (a \cdot \operatorname{cis} (\theta))^{c+di}=\frac{a^c}{e^{d \theta}}\cdot \operatorname{cis}(c \theta + d \ln a)

[עריכה] תכונות החזקה

[עריכה] פונקציות חזקה

  • מונום (חד-איבר): זוהי פונקציה מהצורה \ f(x) = x^a כאשר a קבוע.
  • פונקציה מעריכית: זוהי פונקציה מהצורה \ f(x) = a^x כאשר a קבוע.
  • לוגריתם: זוהי הפונקציה ההפוכה לאקספוננט. אם נסמן \ y = \log_a{x} אזי מתקיים ay = x. האיבר y מוגדר בתור המספר הממשי שפותר את המשוואה ay = x כאשר a קבוע חיובי שונה מ1 ו x נתון.

[עריכה] טריוויה

  • המספר 111,111,111 בריבוע שווה ל: 12345678987654321

[עריכה] ראו גם