צורה רציונלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לפשט ערך זה
זהו ערך טוב, אך הוא מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

באלגברה לינארית, צורה רציונלית קנונית של מטריצה נתונה היא מטריצת בלוקים מסוימת הדומה לה. לכל מטריצה המוגדרת מעל שדה F קיימת צורה רציונלית קנונית יחידה מעל אותו שדה. הצורה הרציונלית מציגה באופן בולט את הפירוק לגורמים של הפולינום האופייני של המטריצה.

הצורה הרציונלית מהווה הכללה של צורת ז'ורדן, בכך שהיא מוגדרת מעל כל שדה, גם כאשר הפולינום האופייני אינו מתפצל לגורמים לינאריים. אם מרחיבים את השדה, עשויים להווסף לפולינום האופייני גורמים חדשים, ואז הצורה משתנה. מעל שדה שבו הפולינום מתפצל - ובפרט מעל שדה סגור אלגברית - צורת ז'ורדן היא הצורה הרציונלית.

[עריכה] מטרה

אחד הרעיונות הבסיסיים באלגברה לינארית הוא הקשר בין מטריצות והעתקות לינאריות. מחד, כל העתקה ממרחב וקטורי (בעל ממד סופי) אפשר לייצג על-ידי מטריצה ריבועית, לאחר שבוחרים בסיס למרחב. מאידך, כל המטריצות המייצגות את אותה העתקה דומות זו לזו.

כדי להקל על חישובים (מעשיים ותאורטיים) הקשורים בהעתקה לינארית המיוצגת על-ידי המטריצה A, חשוב למצוא מטריצה דומה לה שתהיה נוחה יותר לטיפול. מטריצות בלוקים הן דוגמה טובה למטריצות כאלה. באופן טבעי מחפשים את מטריצת הבלוקים המוצלחת ביותר.

בעיה שכיחה אחרת היא ההכרעה האם שתי מטריצות נתונות מייצגות את אותה העתקה. לשם כך נדרש נציג "קנוני", יחיד, בכל מחלקת דמיון של מטריצות: אם שתי המטריצות דומות לאותו נציג, אז הן כמובן דומות; ואחרת, לא.

[עריכה] התאוריה של צורות רציונליות

נתונה מטריצה ריבועית A, בגודל n, מעל שדה F. אפשר ללמוד את המטריצה דרך המודול המשוייך לה: זהו מודול מעל חוג הפולינומים במשתנה אחד \ F[\lambda], שיש לו מבנה של המרחב הווקטורי \ F^n, ובנוסף \ \lambda \cdot v = Av. מטריצת היחסים של המודול היא המטריצה \ \lambda I-A, ולכן אפשר ללמוד את המודול על-ידי פעולות הפיכות על שורות ועמודות במטריצה זו.

אפשר להוכיח שכל מטריצה ריבועית מעל תחום ראשי (וחוג הפולינומים, כידוע, הוא כזה) אפשר להביא (על-ידי פעולות הפיכות כאמור) לצורה קנונית, שהיא מטריצה אלכסונית, בה מחלק כל איבר של האלכסון את האיבר שבא אחריו. עובדה זו שקולה למשפט המרכזי של תורת המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים, שלפיו כל מודול נוצר סופית מעל חוג כזה הוא סכום ישר של מודולים ציקליים.

אברי האלכסון בצורה הקנונית של \ \lambda I-A נקראים 'הגורמים האינווריאנטיים' של A, והצורה הרציונלית הקנונית של A היא מטריצת הבלוקים האלכסונית, שהבלוקים באלכסון הראשי שלה הם מטריצות מלוות של הגורמים האינוואריאנטים. יצויין שהגורם האינווריאנטי האחרון שווה לפולינום המינימלי של A, ומכפלת כל הגורמים היא הפולינום האופייני.

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור

שפות אחרות