כלל הסנדוויץ'
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
כלל הסנדוויץ' הוא כלל שימושי לחישוב גבולות בחדו"א. לפי הכלל אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה לא ידוע בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבוליהן ידועים ושוים, אז לסדרה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הסדרות החוסמות.
בניסוח מתמטי: אם
ו-
סדרות שמקיימות:
, 
אז גם לסדרה
יש גבול,
.
הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם
פונקציות שמקיימות:
, 
אז הגבול של
בנקודה
קיים, 
כלל דומה הוא כלל הפיצה: אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) ששואפת לאינסוף- אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.
תוכן עניינים |
[עריכה] הוכחה
נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.
יהי
נרצה למצוא מספר טבעי
כך שעבור כל
המרחק של
מ-
יהיה לכל היותר
.
הסדרה
מתכנסת ל-
כלומר קיים
כך שלכל
מתקיים
ובפרט
.
מצד שני הסדרה
מתכנסת ל-
כלומר קיים
כך שלכל
מתקיים
ובפרט
.
נסמן ב-
את המקסימום של
ושל
. לכל מספר טבעי שגדול מ-
גם המרחק של
מ-L קטן מ-
וגם המרחק של
מ-
קטן מ-
.
בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השיוויון
. נכתוב את כל אי השיוויונות שקיבלנו יחד:
- לכל
מתקיים 
כלומר לכל
מתקיים
.
התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של
מ-
קטן מאותו מספר חיובי כלומר
את הוכחת הכלל לגבי פונקציות ניתן לבצע בדיוק באותו אופן או על ידי שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).
[עריכה] דוגמאות
[עריכה] סדרות
נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה
. נשים לב לאי השוויונות הבאים:
כלומר הסדרות החוסמות הן-
ו-
.
שתי הסדרות האלו מתכנסות ל-7 ולכן גם גבול הסדרה
הוא 7.
קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי שליליים
מתקיים :
[עריכה] פונקציות
נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול:
כיוון שלכל y מתקיים
הפונקציה
חסומה בין הפונקציות
כאשר |x| היא פונקציית הערך המוחלט. שתי הפונקציות האלו שואפות לאפס כאשר x שואף לאפס ולכן גם הגבול המבוקש הוא אפס;
.
![\ 7 = \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n+7^n} \le \sqrt[n]{7^n+7^n} = 7 \sqrt[n]{2}](../../../math/8/6/3/86362b043e4f13cba4a377069eced35a.png)
![\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{d_1 ^n + d_2 ^ n + . . . + d_k ^ n} = max \left\{d_1 , d_2 , . . . , d_k \right\}](../../../math/a/9/b/a9b9844e89241873e1d302ad9714112f.png)

