היפרבולה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק במונח מתמטי; לערך העוסק בהיפרבולה בספרות, ראו הגזמה.
היפרבולה בה h = k = 0 וכן a = b = 2.
היפרבולה בה h = k = 0 וכן a = b = 2.

במתמטיקה היפרבולה הינה סוג של חתך חרוטי, המורכב משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

היפרבולה היא המקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגבראית הבאה:

\,A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

כאשר \,B^2 > 4 AC.

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר נתון (המכונה דירקטריקס) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

ההיפרבולה יוצרת אסימפטוטות עם שני קווים ישרים.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים.

תוכן עניינים

[עריכה] משוואות

[עריכה] מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז: \,(h, k) )

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1
\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1

בשתי משוואות אלה a הוא הציר הראשי ו-b הוא הציר המשני, אולם יתכן ש-b יהא גדול מ- a.

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

(x-h)(y-k) = c \,

משוואות האסימפטוטות הן:

y = \frac{b}{a}x
y = - \frac{b}{a}x

[עריכה] מערכת קואורדינטות קטבית

r^2 =\ \ \,  a\,\sec 2t
r^2 =    -a\,\sec 2t
r^2 =\ \ \, a\,\csc 2t
r^2 =    -a\,\csc 2t

[עריכה] הצגה פרמטרית

x = a\,\cosh \theta;\; y = b\,\sinh \theta
x = a\,\tan \theta;\ \ y = b\,\sec \theta

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים