ממוצע
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בסטטיסטיקה, ממוצע הוא מספר שמחושב מתוך קבוצה סופית של מספרים, ומתאר את "מרכז" הקבוצה מבחינת גודל המספרים. מכיוון שאין מושג אחיד של מהו ה"מרכז" ומושגים שונים יעילים בהקשרים שונים, ישנן שיטות רבות לחשב ממוצע של n מספרים. השיטה הנפוצה ביותר, שאליה הכוונה כאשר אומרים "ממוצע", היא הממוצע החשבוני.
תוכן עניינים |
[עריכה] ממוצע חשבוני (ממוצע אריתמטי)
הממוצע החשבוני של קבוצת מספרים שווה לסכומם מחולק במספרם. בנוסחה:

הממוצע החשבוני הוא ה"ממוצע" המקובל, והוא משמש למטרות רבות. ממוצע חשבוני של ערכים אינו משקף את אופן התפלגותם. דוגמה: לערכים {1,2,2,2,3,9}, הממוצע החשבוני הוא 3.17, אבל חמישה מתוך ששת הערכים קטנים ממנו.
לממוצע החשבוני התכונה לפיה סכומה של קבוצת מספרים אינו משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסכום בממוצע החשבוני של המספרים שבקבוצה.
[עריכה] ממוצע הנדסי (ממוצע גאומטרי)
ממוצע הנדסי של ערכים חיוביים הוא מכפלת הערכים, בחזקת המספר ההופכי למספר הערכים:
![\bar{x} = (a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}](../../../math/e/7/4/e74d3c6bf345215590b631c90ae3ea76.png)
לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבוני: מכפלתה של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה.
[עריכה] ממוצע הרמוני
ממוצע הרמוני של ערכים מוגדר בתור:

כאשר הערכים הנתונים חיוביים, הממוצע ההרמוני אינו עולה על הממוצע החשבוני וההנדסי.
דוגמה לבעיה שלפתרונה משמש ממוצע הרמוני: אדם נסע מתל אביב לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, ואת הדרך חזרה עשה במהירות של 60 קמ"ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת? ממוצע חשבוני יוביל אותנו לתשובה 75 קמ"ש, אך תשובה זו שגויה. לשם הבהרת הבעיה, נניח שהמרחק בין שתי הערים הוא 90 ק"מ. את הדרך לשם עשה האיש בשעה, ואת הדרך חזרה עשה בשעה וחצי. בשעתיים וחצי עבר האיש מרחק של 180 ק"מ, ולכן מהירותו הממוצעת היא 72 קמ"ש. אל תוצאה זו יוביל אותנו הממוצע ההרמוני.
[עריכה] ממוצע משוקלל
ממוצע משוקלל הוא ממוצע חשבוני שבו לערכים שונים ניתנת חשיבות (משקל) שונה. בהינתן סדרה של ערכים
ומשקלים
הממוצע המשוקלל מוגדר כך:

הממוצע החשבוני הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל כאשר כל המשקלות שווים זה לזה.
[עריכה] אי שוויון הממוצעים
ידוע כי בהינתן סדרת מספרים
, הממוצע החשבוני שלהם תמיד גדול או שווה לממוצע ההנדסי, והלה גדול או שווה לממוצע ההרמוני שלהם. כלומר:
![{1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}](../../../math/b/4/2/b4267d9db888e870f37f14b940120f5c.png)

