מצב קוונטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מצב קוונטי הוא כל אחד מהמצבים האפשריים של מערכת קוונטית. תיאור של מצב קוונטי יכול להיכתב כוקטור מצב, פונקציית גל או כמטריצת צפיפות.


תוכן עניינים

[עריכה] סימוני דיראק

פול דיראק פיתח צורת כתיבה מתמטית חזקה ואינטואיטיבית לתאור מצבים קוונטיים. לדוגמה, ניתן להתייחס אל <מצב יסוד| ואל < מצב מעורר| של חלקיק בעל ספין חצי up המסומן כ-|\!\!\uparrow\rangle ומצב down המסומן כ-|\!\!\downarrow\rangle בהתאמה (שימו לב כי מצב|\!\!\uparrow\rangle הוא המצב שמקובל להתייחס אליו כמצב יסוד) . בכך ניתן לפשט את התיאור המתמטי הסבוך הנחשף כאשר המצב נכתב (מוטל) בבסיס קואורדינטות כלשהו. לדוגמה, הסימון הפשוט | 1s \rangle מתאר את מצב היסוד של אטום המימן. ביטוי פשוט זה הופך לפונקציה מורכבת בצורת פולינומי לז'נדר והרמוניות כדוריות כאשר הוא מוטל על מרחב המקום | r \rangle. תוצאת הביטוי \psi (r)=\langle r | 1s \rangle הידוע בשם פונקציית הגל הינו הצגה מיוחדת של של המצב בקוונטי. במקרה זה, הצגה בבסיס המקום. הצגות נוספות, כגון הטלה על מרחב התנע. ההצגות השונות הינן בסך הכול תיאורים שונים של המצב הקוונטי. צורת הסוגריים הימניים ,| \; \rangle, קרויה Ket והשמאליים ,\langle\; |, קרויה Bra (מהמילה האנגלית לסוגריים - Brackets). כאשר \langle\psi | מייצג את הצמוד המרוכב של | \psi \rangle.

[עריכה] מצבי בסיס

ניתן לבטא כל מצב קוונטי |\psi\rangle כצירוף לינארי (סופרפוזיציה) של מצבי בסיס |k_i\rangle

| \psi \rangle = \sum_i c_i | k_i \rangle

כאשר ci הם הקבועים המייצגים את המשרעת (אמפליטודה), כאשר ריבוע הערך המוחלט של האמפליטודה, \left | c_j \right | ^2 הינו ההסתברות שבמדידה בבסיס |k_i\rangle המערכת תימצא במצבkj תנאי הנירמול מכתיב שסכום ההסתברויות יהיה \sum_i \left | c_i \right | ^2 = 1.

בסיס פשוט להבנה הינו הבסיס העולה מחקר מתנדים הרמוניים קוונטיים. במערכת זו לכל מצב בסיס |n\rangle יש אנרגיה

E_n = \hbar \omega \left(n + {\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}}\right).

את שאר מצבי הבסיס ניתן לקבל על ידי אופרטור יצירה a^{\dagger} ואופרטור השמדה a בדרך הבאה

a^{\dagger}|n\rangle=c_{n,n+1}|n+1\rangle, a|n\rangle=c_{n,n-1}|n-1\rangle

כאשר c_{n,n\pm 1} הם קבועים שחישובם נעשה מתוך שיקולי נירמול.


[עריכה] מצבים טהורים ומעורבים

מצב טהור הוא מצב שניתן לתיאור כוקטור אחד, או סכום של וקטורי בסיס. מצב מעורב הוא מצב המורכב מהתפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים כלומר שמצב אינו סופרפוזיציה של מצבי בסיס, אלא אחד מהתפלגות סטטיסטית של מצבים.

ערך התוחלת \langle a \rangle של גודל מדיד A עבור מערכת במצב טהור |\psi\rangle ניתן על ידי

\langle a \rangle = \langle \psi | A | \psi  \rangle = \sum_i a_i \langle \psi | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \psi \rangle = \sum_i a_i | \langle \alpha_i | \psi \rangle |^2 = \sum_i a_i P(\alpha_i)

כאשר |\alpha_i\rangle הם מצבים עצמיים של האופרטור A, ו-Pi) היא ההסתברות שמדידת מערכת במצב |\alpha_i\rangle תוצאת המדידה תהא | \psi \rangle.

בכדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות,ρ. בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:

\rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |

כאשר ps הוא שבר של כל צבר במצב |\psi_s\rangle. הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל A על המערכת במצב מעורב הוא:

\left [ A \right ] = \langle \overline{A} \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)

כאשר חשוב לשים לב ששני סוגי ממוצעים מתרחשים כאן, האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.

[עריכה] ראו גם