פונקציה מרוכבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פונקציות מרוכבות הן פונקציות שהארגומנט שלהן הוא מספר מרוכב והערכים שהן מחזירות הם גם מספרים מרוכבים, כלומר:

f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}

בדרך כלל, נהוג לרשום משתנה מרוכב בצורה

\!\, z = x + i y

כאשר i הוא השורש הריבועי של 1- (מספר מדומה) ו x ו y מסמנים את ציר x ו ציר y במערכת צירים קרטזית.
פונקציה מרוכבת כללית היא מהצורה  : \!\, f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y) כאשר : u,v : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^1.

[עריכה] דוגמאות לפונקציות מרוכבות

יש מספר פונקציות מרוכבות בסיסיות:

  • אם נסתכל על \mathbb{C} כעל \mathbb{R}^2 נקבל את הפונקציות הבסיסיות \ Re(x+iy)=x , Im(x+iy)=y שהן בעצם ההטלות על הצירים.
  • על ידי שימוש בתכונות השדה של \mathbb{C} נוכל להגדיר פולינומים עם מקדמים מרוכבים ופונקציות רציונליות (מנות של פולינומים).
  • פונקציה חשובה אחרת היא פונקציית האקספוננט שמוגדרת על ידי הנוסחה:
\!\, f(z) = e^z = e^{(x+iy)} = e^x e^{iy} = e^x \left( \cos{y} + i \sin{y} \right)

(ראו נוסחת אוילר להרחבה בעניין). קל לראות שעבור כל \ x\in \mathbb{R} מתקיימות הנוסחאות:

\ sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\ cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

ולכן הגדירו את הפונקציות הטריגונומטריות על המרוכבים לכל \ z\in \mathbb{C}:

\ sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\ cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

עבור פונקציית הלוגריתם יש בעיה של רב-ערכיות, כיוון ש\ e^z איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של \ e^z לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ \ 2\pi. על תחום כזה \ e^z חד-חד ערכית ועל ולכן הפיכה.
ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: \ z^w = e^{wln z} כאשר \ z,w מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו \ Im ln z \in [0,2\pi )) מתקבל:

\ (-1)^i=e^{i ln(-1)}=e^{i \cdot i\pi}=e^{-\pi}

ולעומת זאת בענף שבו \ Im ln z \in [-\pi,\pi ) ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה:

\ (-1)^i=e^{i ln(-1)}=e^{i \cdot (-i\pi)}=e^{\pi}

כלומר יכולים להתקבל אינסוף (בעצם אלף אפס) תוצאות שונות. כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה. באופן יותר כללי- אם \frac{m}{n} \in \mathbb{Q} (כלומר הוא מספר רציונלי) והשבר מצומצם- מתקבלות m תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם.
באותה צורה כמו שהפכנו את פונקציית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב בטור טיילור שלו) ניתן להרחיב כל פונקציה ממשית בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת.

[עריכה] תכונות מיוחדות ואנליזה מרוכבת

כמו פונקציות ממשיות, גם עבור הפונקציות המרוכבות אפשר להגדיר מושגים של גבול, רציפות וגזירות.

התנאי לגזירות של פונקציה מרוכבת במונחים של x ו y מנוסח במשוואות קושי-רימן.

פונקציה שגזירה בכל תחום הגדרתה נקראת פונקציה אנליטית או פונקציה הולומורפית. פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה. ממשפט טיילור על המרוכבים נובע כי אם פונקציה גזירה בתחום פתוח פעם אחת יש לה טור טיילור שמתכנס בסביבה מסוימת בתוך התחום ובפרט היא גזירה שם אינסוף פעמים.

משפט אינטגרל קושי קובע שכל אינטגרל מסילתי של פונקציה אנליטית (כלומר, אנליטית במסלול עצמו ובשטח הכלוא בתוכו) על מסלול סגור שווה ל 0.

נוסחת אינטגרל קושי מראה כיצד לחשב אינטגרל מסלולי של פונקציה מרוכבת. באמצעות יישום של משפט זה אפשר לחשב את כל הנגזרות של פונקציה אנליטית ובכך לרשום טור טיילור שלה.

מחקר של נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות מקנה כלים חזקים לחישוב הפונקציה עצמה, אינטגרלים מסלוליים שלה ונגזרות שלה. אחד הכלים החזקים הנ"ל משפט השאריות, שמתבסס על פיתוח טור לורן סביב נקודה סינגולרית.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה
שפות אחרות