פאון משוכלל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בגאומטריה של המרחב, פאון משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על-ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה.

בשלושה ממדים, קיימים חמשה פאונים משוכללים בלבד:

בספרו "יסודות", הראה אוקלידס איך לבנות את הגופים האלה והוכיח שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.

גופים אלו מכונים לעתים "הגופים המשוכללים של אפלטון" או "הגופים האפלטוניים", וזאת משום שהם מוזכרים אצל אפלטון בדיאלוג "טימאוס". אין הדבר אומר שאפלטון גילה אותם: כולם פרט לתריסרון היו ידועים עוד מימי קדם, והתריסרון עצמו התגלה על ידי הפיתגוראים.

תוכן עניינים

[עריכה] דואליות

תכונה, המאפיינת את הפאונים המשוכללים, היא הדואליות שלהם: אם מחברים את מרכזי הפאות של פאון משוכלל אחד, מקבלים פאון משוכלל אחר, קטן יותר, הנקרא הפאון הדואלי. הפאון הדואלי של הקוביה הוא התמניון ולהיפך, הדואלי של התריסרון הוא העשרימון ולהיפך, והארבעון הוא הפאון הדאולי של עצמו.

[עריכה] סימבוליזם

אפלטון ערך הקבלה בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה). הוא שייך את הארבעון לאש, את הקוביה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים. את התריסריון קישר אפלטון לגלגל המזלות - כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמים יש 12 מזלות. להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.

כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, במאה ה-17, קישר יוהנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז: כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי.

[עריכה] שימושים

בפאונים המשכוללים משתמשים ליצירת קוביות משחק, משום שרק קוביות כאלה תהיינה הוגנות - לכל פאה יהיה אותו הסיכוי להופיע בהטלת הקוביה.

הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.

[עריכה] פאונים משוכללים מממדים גבוהים

במרחב הארבע-ממדי ישנם שישה פאונים משוכללים. במרחב ה-N-ממדי, כאשר N גדול מ-4, קיימים רק שלושה: סימפלקס N-ממדי, תמניון N-ממדי וקוביה N-ממדית.

[עריכה] ראו גם

  • פאון חצי-משוכלל
חמשת הפאונים האפלטונים
טטרהדרון
(ארבעון - 4 פאות)
הקסהדרון
(קובייה - 6 פאות)
אוקטהדרון
(תמניון - 8 פאות)
דודקהדרון
(תריסריון - 12 פאות)
איקוסהדרון
(עשרימון - 20 פאות)