המשפט היסודי של תורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, המשפט היסודי של תורת גלואה קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: החבורה והשדה. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה \ F ושדה \ E שמכיל אותו, אומרים כי \ E/F היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה \ E שמשמרים את \ F. חבורה זו מכונה חבורת הגלואה של ההרחבה.

אם מתקיימות תכונות מסוימות של ההרחבה היא מכונה הרחבת גלואה ואז ניתן להפיק מהמבנה של חבורת הגלואה מידע על המבנה של ההרחבה עצמה.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא \ E/F הרחבת גלואה סופית. בצורה שקולה, \ E היא שדה הפיצול של פולינום ספרבילי עם מקדמים ב-\ F. נסמן בתור \ G(E/F) את חבורת הגלואה של \ E/F. אז מתקיים:

  • קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה \ E/F ותת החבורות של החבורה \ G(E/F), כך שלכל שדה ביניים \ F\subseteq K\subseteq E מותאמת תת החבורה \ G(E/K) - אוסף האוטומורפיזמים של \ E שמשמרים את \ K.
  • לכל תת חבורה \ H\subseteq G(E/F) מותאם שדה השבת של כל אברי \ H.
  • ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם \ F\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq E אז \ G(E/K_2)\subseteq G(E/K_1).
  • דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: \ \left[E:K\right]=|G(E/K)| לכל \ F\subseteq K\subseteq E.
  • עבור שדה ביניים \ K, \ K/F היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם \ G(E/K) היא תת חבורה נורמלית של \ G(E/F) . במקרה זה מתקיים \ G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F), כלומר חבורת הגלואה של \ K/F איזומורפית לחבורת המנה של \ G(E/F) על ידי \ G(E/K).

[עריכה] דוגמה

נתבונן בפולינום \ f(x)=x^3-2 מעל \ \mathbb{Q}. אם נסמן \ \sqrt[3]{2}=\theta ו-\ \omega=e^{i\frac{2\pi}{3}} (שורש היחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם \ \theta, \theta\omega, \theta\omega^2. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא \ \mathbb{Q}(\theta,\omega).

נסמן \ F=\mathbb{Q} ו-\ E=\mathbb{Q}(\theta,\omega).

ידוע כי כל אוטומורפיזם של \ E שמשמר את \ F מבצע תמורה של שורשי \ f(x), ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת הגלואה \ G(E/F) היא תת חבורה של החבורה הסימטרית \ S_3.

ניתן להוכיח כי \ [E:F]=6 ולכן על פי המשפט היסודי \ |G(E/F)|=6, ולכן בהכרח \ G(E/F)=S_3.

לחבורה הסימטרית \ S_3 שלוש תת חבורות מסדר \ 2, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות \ E/F(\theta),E/F(\theta\omega),E/F(\theta\omega^2). תת חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות \ F(\theta)/F, F(\theta\omega)/F, F(\theta\omega^2)/F אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית \ S_3 תת חבורה אחת מסדר \ 3 - חבורת התמורות הזוגיות. לתת חבורה זו מתאימה ההרחבה \ E/F(\omega) ומכיוון שזוהי תת חבורה נורמלית, ההרחבה \ F(\omega)/F היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).

שפות אחרות