מטריצה משוחלפת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית


באלגברה לינארית, מטריצה משוחלפת היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה (שחלוף).

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא \!\, A מטריצה מסדר \!\, n\times m. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן \!\, A^T, היא מטריצה מסדר \!\, m\times n שמוגדרת כך: \!\, (A^T)_{ij}=(A)_{ji}, עבור \!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n.

דוגמאות:

\begin{bmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^T \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3  \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{and}\quad\quad  \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^T  \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

[עריכה] תכונות

  • \!\, (A+B)^T=A^T+B^T.
  • \!\, (\lambda A)^T=\lambda (A^T).
  • \!\, (A^T)^T=A
  • \!\, (AB)^T=B^TA^T
  • הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה.
  • אם \!\, A רגולרית אז \!\, (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.
  • מטריצה שמקיימת \!\, A^T=A נקראת מטריצה סימטרית.
    • בכתיב אינדקסים, התנאי מנוסח כך: \ \forall i,j \ : \ (A)_{ij} = (A)_{ji}
    • כל המטריצות הסימטריות מסדר n יוצרות מרחב וקטורי ביחס לפעולות החיבור וכפל בסקלר.
  • מטריצה שמקיימת \!\, A^T=-A נקראת מטריצה אנטי-סימטרית.
    • בכתיב אינדקסים, התנאי מנוסח כך: \ \forall i,j \ : \ (A)_{ij} = - (A)_{ji}
    • כל המטריצות האנטי-סימטריות מסדר n יוצרות מרחב וקטורי ביחס לפעולות החיבור וכפל בסקלר.
    • כל מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי בהכרח אינה רגולרית.
      • מרחב המטריצות מסדר n הוא הסכום הישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטיסימטריות.

[עריכה] מטריצה הרמיטית

עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).

את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:

A^\dagger := \overline{A}^T = \overline{A^T}

כאשר T מסמן שחלוף ו \overline{a+ib} = a - ib הוא לקיחת צמוד מרוכב.

מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר A = A^\dagger, נקראית מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.

את ההגדרה של הרמיטיות אפשר להכליל עבור אופרטור לינארי חסום כלשהו המוגדר על מרחב הילברט.

[עריכה] ראו גם

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור