משפט ההעתקה הפתוחה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.
תוכן עניינים |
[עריכה] המשפט
יהי
אופרטור לינארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על Y. אזי A העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה
התמונה שלה
היא קבוצה פתוחה ב Y.
[עריכה] הוכחת המשפט
מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב X מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח D שמרכזו נקודת האפס של X, התמונה
היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- 0 היא נקודת פנים של
(לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).
כדי להראות ש- 0 היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה K היא נקודה x המקיימת, לכל y במרחב, קיים מספר חיובי α כך שקטע מהישר
מוכל כולו ב K. היתרון בהגדרה זו היא הלינאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות לינאריות.
כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:
- משפט ליפשיץ: עבור קבוצה σ-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).
כעת, נוכיח ש 0 היא נקודת מרכז של AD. תהי y נקודה ב Y. מאחר ש A על קיים x ב- X כך ש A(x)=y. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה σ-קמורה נובע ש- 0 נקודת מרכז שלה ולכן קיים קטע של הישר
שמוכל כולו ב D. כעת, אם נפעיל A על הקטע נקבל ש
(השוויון השמאלי נובע מהפעלת A על x ולינאריות). לכן, 0 היא נקודת מרכז של AD וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן AD קבוצה פתוחה.
מאחר שהראנו שההעתקה A מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.
[עריכה] שימושים ומסקנות
- משפט ההעתקה ההופכית: אם A : X → Y הוא אופרטור לינארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי A-1 הוא רציף גם כן (תוצאה זו נקראת לעיתים משפט ההעתקה ההופכית).
- משפט הגרף הסגור: אם A : X → Y הוא אופרטור לינארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה
ב X שמקיימת
נובע ש y=0) אזי A הוא גם אופרטור רציף.
[עריכה] ראו עוד
- קבוצה פתוחה
- נקודת מרכז
- נקודת פנים
- טופולוגיה
- משפט הגרף הסגור
- אופרטור

