חוקי קסטיליאנו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: הערך מבולבל ומבלבל - הגדלים לא מוגדרים, המינוח מעורפל, נראה כמו דף שהועתק באקראי מספר.. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

חוקי קסטיליאנו הם שני עקרונות הפוכים בשיטות אנרגיה בתורת האלסטיות. חוקים אלו מבוססים על חוק שימור האנרגיה והשיטה מתרכזת רק בתופעות אלסטיות ולינאריות בחומרים איזוטרטפיים, עבורן ניתן להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה המכתיב כי הדפורמציה תהיה לינארית עם העומס.

תוכן עניינים

[עריכה] החוק הראשון של קסטיליאנו

בעזרת החוק הראשון ניתן לחשב אילו עומסים פועלים על מבנה, בתנאי שידועים לנו האנרגיה הכוללת במבנה והתזוזת של המבנה:

\ \frac{\partial U}{\partial q_i}=Q_i

כאשר \ Q_i הוא עומס מוכלל, ו-\ q_i היא תזוזה מוכללת. נהוג להציג זאת בשתי משוואות, אחת עבור כוחות ואחת עבור מומנטים:

\ \frac{\partial U}{\partial \Delta_i}=P_i \quad , \quad \frac{\partial U}{\partial \phi_i}=M_i

[עריכה] החוק השני של קסטיליאנו

החוק השני הוא ההפוך של החוק הראשון. אם העומסים ידועים לנו, מצורת מהלך הכוחות והמומנטים ניתן לחשב את המאמצים והעיבורים. הביטוי \ dU=\frac{1}{2} \sigma_{ij}\epsilon_{ij} הוא האנרגיה ליחידת נפח בנקודה. יש לשים לב כי מדובר במכפלת מטריצות. כאשר נבצע אינטגרציה על פני כל נפח הגוף, נקבל את האנרגיה האלסטית שנאגרה במבנה: \ U=\frac{1}{2}\int\limits_V \sigma_{ij}\epsilon_{ij}dV. החוק השני של קסטיליאנו נותן לנו את הדפורמציות בכל נקודה במבנה על ידי פעולת גזירה: \ \frac{\partial U}{\partial Q_i}=q_i.

[עריכה] הוכחה

נכתוב את הביטוי לעבודה:

\ W=\frac{1}{2}[f_{11}Q_1^2+f_{12}Q_1Q_2+...+f_{1n}Q_1Q_n + \ + f_{21}Q_2Q_1+f_{22}Q_2^2+...+f_{2n}Q_2Q_n +

...

\ + f_{n1}Q_1Q_2+f_{n2}Q_1Q_2+...+f_{nn}Q_n^2]

על מנת להמחיש את תקפותו של המשפט, נגזור למשל לפי \ Q_1. לאחר שנאחד איברים זהים הנובעים ממשפט ההדדיות, נקבל: \ \frac{\partial W}{\partial Q_1}=\frac{1}{2}[2f_{11}Q_1 + f_{12}Q_2 +...+ f_{1n}Q_n + f_{21}Q_2 +...+ f_{n1}Q_n] = f_{11}Q_1 + f_{12}Q_2 +...+ f_{1n}Q_n = q_1

כאשר גוזרים את העבודה לפי הכוח המוכלל, מקבלים את ההזזה בנקודה בה פועל הכוח המוכלל, וההזזה היא בכיוון פעולתו של הכוח. נכליל: \ \frac{\partial W}{\partial Q_i}=q_i

מאחר ותחת ההנחות שלנו מתקיים W=U, המשוואה מקבלת את הצורה של משפט קסטיליאנו השני:

  • \ \frac{\partial U}{\partial Q_i}=q_i

על מנת לקבל את מקדמי ההשפעה, יש לגזור פעם נוספת:

  • \ \frac{\partial ^2 U}{\partial Q_i \partial Q_j}=f_{ij}.

[עריכה] ראו גם

  • אנרגיה משלימה
  • עבודה וירטואלית

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] לקריאה נוספת

  • S.P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill 1970 3rd edition. pp 254 - 258.,
  • Joseph Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw Hill 1983. ISBN 0-07-056888-X

מאמץ (הנדסה)
מאמצים: מאמץ גזירה - מאמץ כפיפה - מאמץ לחיצה - מאמץ מתיחה - מאמץ פיתול - מאמץ קריסה
נושאי עזר: מומנט כפיפה - מומנט כוח - מודול האלסטיות - חוק הוק - קבועי לאמה
שטחים: שטח - מומנט ההתמד של השטח - מומנט התמד פולרי של השטח
נושאים משלימים: טנזור מאמצים - מאמצים ראשיים - מעגל מור - היפותזות חוזק - שיטות אנרגיה - חוקי קסטיליאנו
שפות אחרות