כלל השרשרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

[עריכה] ניסוח פורמלי

[עריכה] המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה \ f(x),g(x):\mathbb{R}\rarr\mathbb{R} פונקציות, כך שתחום ההגדרה של \ f חלקי לטווח של \ g, וכך ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת \ h(x)=f(g(x)) גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים \ h'(x)=f'(g(x))g'(x).

כלומר, הנגזרת של \ h בנקודה כלשהי היא פשוט מכפלת הנגזרות של \ f,g, כאשר \ g' מחושבת בנקודה, ואילו \ f' מחושבת בתמונת הנקודה על פי \ g.

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון \ \frac{dh}{dx}: ניתן לכתוב \ \frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}. כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

[עריכה] מקרה כללי של פונקציות ממשיות

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה \ f דיפרנציאבילית בנקודה \ x והפונקציה \ g דיפרנציאבילית בנקודה \ f(x) , אז:

\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right)

כאשר \ D_x פירושו הדיפרנציאל בנקודה \ x .

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה