פונקציה הרמונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה \ f:U \to \mathbb{R} (כאשר \ U היא קבוצה פתוחה ב-\ \mathbb{R}^n) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית

\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 ^2}+\cdots \frac{\partial ^2 f}{\partial x_n ^2}=0

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת הרמונית ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

[עריכה] דוגמאות

  • פונקציה קבועה היא הרמונית.
  • כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.
  • פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי הוא פונקציה הרמונית בשלושה נעלמים. בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית.
  • הפונקציה \ f(x,y)=\ln (x^2 +y^2) היא פונקציה הרמונית של שני נעלמים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.
  • אם \ F:\mathbb{C} \to \mathbb{C} היא פונקציה הולומורפית אז ממשואות קושי רימן נובע שהפונקציות \ u=Re(F) , v=Im(F) הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים. להפך, לכל פונקציה הרמונית בשני משתנים \ u:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} אפשר למצוא פונקציה \ v:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} כך שהפונקציה \ u+iv היא הולומורפית.

[עריכה] תכונות

  • פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה). תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.
  • עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום \ U מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של \ U.
  • תכונת ערך הביניים היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה \ x שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב \ x. בסימונים, אם \ u פונקציה הרמונית אז \ u(x)=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial B(x,r))}\int _{\partial B(x,r)}u(y)dy.
  • משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל \ \mathbb{R}^n היא קבועה.

[עריכה] מושגים קשורים

  • הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי \ \Delta = \frac{\partial ^2}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2}{\partial x_2 ^2}+ \cdots +\frac{\partial ^2}{\partial x_n ^2} . פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת \ \Delta f=0.
  • בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.
  • בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה \ f:V \to \mathbb{R} (כאשר \ V היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) f(v)=\frac{1}{|\{ u | v \sim u\}|}\sum _{u\sim v}f(u) (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).
  • בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום \ U שצמצומה לשפה של \ U הוא פונקציה נתונה.