# בסיס (אלגברה)

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה לינארית, קבוצה של וקטורים במרחב וקטורי נקראת בסיס אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כצירוף לינארי של הווקטורים שלה, באופן יחיד. לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ולכל שני בסיסים של מרחב וקטורי יש אותו גודל, הנקרא ממד. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור, וקטור קואורדינטות. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון העתקה לינארית) על-ידי מבנים קונקרטיים (כגון מטריצה).

אפשר לאפיין בסיס כקבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה בלתי תלויה מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.

בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על הלמה של צורן, וממילא תוצאה זו דורשת את אקסיומת הבחירה.

נהוג לכנות בסיס אלגברי גם בשם בסיס המל, בעיקר בהקשר של מרחב מממד אינסופי (ולעיתים אף לא בר מנייה).

במרחבים נורמיים יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כצירוף לינארי (לאו דווקא סופי) של איבריה. בסיס טופולוגי בדרך כלל אינו בסיס במובן הרגיל (משום שהוא אינו פורש במובן הסופי), ובסיס בדרך כלל אינו מהווה בסיס טופולוגי (משום שנוצרות בו תלויות לינאריות במובן של טורים).

## [עריכה] משפטים מרכזיים

התוצאה היסודית על בסיסים היא צמד המאפיינים שצוטטו בפתיחה. כדי לפתח את הנושא ללא הנחות מוקדמות, יש להוכיח כצעד ראשון שאם B קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ו- C קבוצה פורשת מינימלית, אז (למשל באינדוקציה על גודל החיתוך של B,C ושימוש בלמת ההחלפה של שטייניץ). לאחר מכן אפשר להוכיח שאם D גם היא קבוצה בלתי תלויה, אז . מכאן נובע מיד שלכל שתי קבוצות בלתי-תלויות מקסימליות יש אותו גודל. מכאן אפשר להמשיך כך:

משפט. התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A של וקטורים:

- הקבוצה בלתי-תלויה מקסימלית.
- הקבוצה פורשת מינימלית.
- הקבוצה פורשת ובלתי תלויה.

משפט. נניח שלמרחב V יש בסיס בגודל n. אז התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A:

- A בלתי תלויה מקסימלית.
- A פורשת מינימלית.
- A בסיס.
- A בלתי תלויה וגודלה .
- A בלתי תלויה וגודלה .
- A פורשת וגודלה .
- A פורשת וגודלה .

כאשר n סופי אומרים של-V יש מימד n, ולפי המשפט n יחיד.

תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס (ובאופן דואלי, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס).

טענה. העמודות של מטריצה ריבועית מעל שדה F מהוות בסיס למרחב אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

מסקנה. עבור מרחב וקטורי ממימד סופי n, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של n וקטורים היא בסיס.

משפט. כשמגדירים טרנספורמציה לינארית על המרחב, די לקבוע מה תהיה פעולתה על אברי הבסיס כדי לקבוע חד משמעית כיצד תפעל על כל אברי המרחב. זו הסיבה לכך שניתן לייצג טרנספורמציות באמצעות מטריצות (הייצוג תלוי בבסיס שאיתו עובדים).

## [עריכה] דוגמה

### [עריכה] הבסיס הסטנדרטי

יהא , אז הקבוצה של וקטורי היחידה היא בסיס למרחב . זאת כי היא מכילה בדיוק וקטורים, והיא פורשת את : אם אז .

זהו מקרה פרטי של בסיס אורתונורמלי.

### [עריכה] דוגמאות מספריות

- במרחב הבסיס הסטנדרטי הוא { (1,0) , (0,1) } .
- במרחב הקבוצה { (1,1) , (1, 1-) } היא בסיס.
- במרחב הקבוצה { (0,0) ,(1,1) , (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שהווקטור (0,0) תלוי לינארית ב-2 הווקטורים האחרים.
- במרחב הילברט קבוצת הפונקציות מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שכן . להרחבה, ראו: טור פורייה.

## [עריכה] ראו עוד

- קואורדינטות (אלגברה)
- בסיס אורתונורמלי
- טור פורייה

נושאים באלגברה לינארית
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%91/%D7%A1/%D7%99/%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1_%28%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94%29.html

קטגוריה: אלגברה

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Česky
- Deutsch
- Suomi
- Français
- Italiano
- Nederlands
- Polski
- Português
- Română
- Русский
- Simple English
- Slovenščina
- Svenska
- Tiếng Việt
- 中文