התפלגות ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

התפלגות ברנולי היא ההתפלגות הפשוטה ביותר שיכול לקבל משתנה מקרי. למשתנה בעל התפלגות ברנולי יש רק שני מצבים - הצלחה או כשלון, אפס או אחד - כאשר ההסתברות להצלחה היא פרמטר, אותו מקובל לסמן באות \ p. ההסתברות לכשלון היא, כמובן, \ 1-p. לדוגמה, המשתנה המציין את קבלת התוצאה 6 בהטלת קוביה הוא בעל התפלגות ברנולי, עם סיכויי הצלחה \ 1/6.

את העובדה שלמשתנה X יש התפלגות ברנולי מסמנים X\sim \textrm{b}(p). התוחלת של משתנה כזה היא \ p, והשונות שלו \ p(1-p). קל יחסית לנתח משתני ברנולי, משום שהם מקיימים את התכונה \ X^n=X לכל \ n (שהרי הערכים 0 ו- 1 מקיימים שוויון זה). מכאן יוצא שהמומנטים של משתנה ברנולי שווים כולם ל- \ p.

משתני ברנולי הם אבני הבנין של ההתפלגות הבינומית. מחד, התפלגות ברנולי היא ההתפלגות הבינומית \ B(1,p), ומאידך, סכום של \ n משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, \ B(n,p).