משתמש:יובל מדר/ארגז חול/גאומטריית נהגי המוניות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שלושה מסלולים לדוגמה הקובעים את מרחקן של שתי נקודות זו מזו
הגדל
שלושה מסלולים לדוגמה הקובעים את מרחקן של שתי נקודות זו מזו

גאומטרית נהגי המוניות היא גאומטריה חלופית שהומצאה לראשונה על ידי הרמן מינקובסקי במהלך המאה ה-19.


ההבדל הבסיסי בין גאומטריה זו לגאומטריה האוקלידית המוכרת לנו הוא בהגדרת המרחק בין שתי נקודות \ (x_1,y_1),(x_2,y_2). בעוד שבגאומטריה האוקלידית מרחק זה יהיה שווה לאורכו של המסלול הקצר ביותר המחבר בין שתי הנקודות, כלומר, קו ישר שאורכו:

\ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}

(לפי משפט פיתגורס)


בגאומטרית נהגי המוניות "התנועה" נעשית רק במקביל לצירים – על מנת לעבור מנקודה אחת לשניה יש לנוע מרחק מסויים ימינה (במקביל לציר ה-x) ומרחק מסוים מעלה (במקביל לציר ה-y) כך שהמסלול שנבחר כקצר ביותר בגאומטריה "הרגילה" לא יהיה חוקי יותר.


לכן, המרחק בין שתי הנקודות \ (x_1,y_1),(x_2,y_2) הנ"ל יהיה:

\ |x_1-x_2| + |y_1-y_2|


(המחובר ראשון מייצג את התנועה במקביל לציר ה-y, והשני את זו במקביל לציר ה-x)


תוכן עניינים

[עריכה] מקור השם

מקור שמה של גאומטרית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטרית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן) שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה. מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד מצפון לדרום או ממזרח למערב. לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה ואלה אותם עבר בתנועתו צפונה.


[עריכה] האם מרחק כזה לגיטימי?

שאלה אפשרית הנובעת מקיומו של "מרחק חלופי" היא – האם "מותר" לנו להגדיר מרחק חדש כזה?


בחיי היום-יום, כוונתנו במושג המרחק הוא אורך המסלול אותו יש לעבור כדי לנוע מנקודה אחת לאחרת. לכן, ניתן לומר שבמובן מסויים, לא יהיה מרחק זה לגיטימי, זאת כיוון שבמציאות קיים אותו קו ישר המחבר בין קודקודיו הרחוקים של ריבוע וביכולתנו לנוע לאורכו.


כמו כן, המרחק החדש שקיבלנו לא מתלכד עם המרחק המוכר לנו מחיי היום-יום. (למשל, המרחק בין קודקודיו הרחוקים של ריבוע שאורך צלעו \ 1 יהיה \ 2 ולא \ \sqrt{2} כמקובל) אבל, אם נתבונן בעולם מזווית ראייתו של נהג מכונית במנהטן (כמתואר בחלק הקודם) תהיה הגדרה זו למרחק בין שתי נקודות סבירה ביותר.


במתמטיקה מקובלת הכללה למושג המרחק הקרויה מטריקה, פונקציה המקבלת שתי נקודות במישור נתון ומחזירה את המרחק ביניהן המקיימת מספר תכונות:

  1. אי שליליות: המרחק בין כל שתי נקודות שונות לעולם חיובי, והמרחק בין נקודה לעצמה שווה ל-0.
דרישה זו סבירה, מאחר שמסלול... לא ניתן להתחיל בנקודה נתונה ולגמור באחרת בזמן מוקדם יותר.
  1. סימטריה: המרחק בין שתי נקודות לא תלוי בכיוון התנועה.
  2. אי-שיוויון המשולש: לא ניתן לקצר את הדרך בין שתי נקודות באמצעות מעבר בנקודה שלישית.


קל לראות את ההגיון העומד מאחורי דרישות אלה וניתן לראות שגם המרחק הרגיל וגם המרחק בגאומטריה זו מקיימים דרישות אלה.

[עריכה] דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות

[עריכה] שחמט

תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטרית נהגי המוניות. בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה.

[עריכה] ראה גם

שפות אחרות