קואורדינטות גליליות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

קואורדינטות גליליות הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^3. מערכת זאת מתבססת על חלוקה "אינסופית" של המרחב לפרוסות בגבהים שונים, שכל פרוסה מתוארת בקואורדינטות קוטביות (פולאריות): מרחק וזווית.

בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה גלילית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות גליליות. בקואורדינטות אלה מחליפות \!\, \rho, \theta , h את x,y,z .

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

קואורדינטות גליליות - הגדרה
הגדל
קואורדינטות גליליות - הגדרה

הגדרת הקואורדינטות הכדוריות נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).

  • הקואורדינטה ρ: קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין ההיטל של הווקטור במישור x-y לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי לא-שלילי (כולל אפס). קואורדינטה זו מסומנת באות ρ אך לעיתים קרובות (כאשר אין חשש לבלבול עם קואורדינטות כדוריות) גם באותיות r או s.
  • הקואורדינטה הזוויתית: אזימוט, מייצגת את הזווית שבין היטל הווקטור במישור x-y לציר ה x, כאשר בזווית אפס היטל הווקטור מקביל לציר ה x (כלומר: הווקטור מוכל כולו במישור x-z). קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפעמיים פאי. מסומנת באות היוונית θ. קואורדינטה זאת מסומנת באות היוונית θ או \varphi.
  • הקואורדינטה h: גובה, מייצגת את ההיטל של הווקטור על ציר z. כלומר: מהו הגובה של הנקודה. קואורדינטה זו שווה לשיעור z שלה בקוואורגינטות קרטזיות.

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם \!\, \rho , \theta , h אזי שיעוריו הקרטזיים הם:

\begin{matrix}  x  & = & \rho \cos \theta \\  y  & = & \rho \sin \theta \\  z  & = & h  \end{matrix}

מסיבה זו נהוג בדרך כלל לקרוא לגובה h בשם המקורי z. כמו כן, כמצוין לעיל, לקואורדינטות מרחק ההיטל ( ρ ) והזווית נהוג לסמן במספר אותיות. מאחר וקואורדינטות אלו שונות בתכלית זו מזו אין חשש לבלבול גם כאשר משתמשים במוסכמות סימונים שונות, וזאת כי יש רק זווית אחת בבעיה.

הטרנספורמציה ההפוכה נתונה באיור שמשמאל.

[עריכה] וקטורי היחידה

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ

\ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z}

כאשר \ \hat{e}_i \ , \ i = \{ x, y, z \} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור הצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל 1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו z.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות גליליות:

\ \vec{r} = A_\rho \hat{e}_\rho + A_\theta \hat{e}_\theta + A_z \hat{e}_z

כאשר לוקטורים \ \hat{e}_j \ , \ j = \{ \rho , \theta , z \} נקרא "וקטורי היחידה הגליליים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי

\begin{matrix}  \hat{\rho} = \hat{e}_\rho & = & ( \cos\theta ) \hat{x} & + ( \sin\theta) \hat{y} & + ( 0 ) \hat{z}  \\  \hat{\theta} = \hat{e}_\theta  & = & ( - \sin\theta) \hat{x} & + ( \cos\theta ) \hat{y} & + ( 0 ) \hat{z}  \\   \hat{z} =  \hat{z}_\phi & = & ( 0 ) \hat{x}  & + ( 0 ) \hat{y} & + ( 1 ) \hat{z}  \end{matrix}


כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: \ \hat{\rho} \times \hat{\theta} = \hat{z}.

יש לשים לב שעבור וקטור המקום, למרות שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:

\ \vec{r} = x \hat{e}_x + y \hat{e}_y + z \hat{e}_z

או במפורש:

\ r_x(x,y,z) =x,
\ r_y(x,y,z) = y,
\ r_z(x,y,z) = z,

הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות כדורית, וקטור המקום ייוצג כ:

\ \vec{r} = \rho \hat{e}_\rho + z \hat{e}_z

[עריכה] תכונות מטריות

המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שאלמנטייה השונים מאפס הם

\ g_{\rho \rho} = 1 \ , \ g_{\theta \theta} = r^2 \ , \ g_{z z} = 1

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא

\ d\vec{l} = ( dr ) \hat{r} + ( r d \theta ) \hat{\theta} + (dz ) \hat{z}


[עריכה] שטחים ונפחים

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של \!\, d r, d \theta , d \phi . נסתכל על אלמנט נפח אינפינטסימלי שמונח על קליפה עבה של גליל, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב טוב הוא די קובייתי. עוביו הוא \ dr , גובהו הוא \ dz ואילו אורכו (ההיקף) הוא \  r d \theta ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפינטסימלי יהיה

\!\, dV = r \ dr \ d \theta \ d z .

באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

[עריכה] אנליזה וקטורית

אנליזה וקטורית היא כלי מאוד שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיסקליות בעלות סימטריה גלילית. תחום זה מטפל בשינוי של פוטנציאלים ושדות בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ וקורל) בקואורדינטות גליליות:

תמונה:Cylndrical-coordinates02.png

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

שפות אחרות