טור פורייה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קירוב גל ריבועי (פונקציית הביסייד) באמצעות סכום של סינוסים. ככל שמוספים יותר סינוסים לסכום, כך הפונקציה המתקבלת קרובה יותר לגל המרובע המדויק.
הגדל
קירוב גל ריבועי (פונקציית הביסייד) באמצעות סכום של סינוסים. ככל שמוספים יותר סינוסים לסכום, כך הפונקציה המתקבלת קרובה יותר לגל המרובע המדויק.

טור פורייה הוא סכום (טור) של פונקציות מחזוריות, בדרך כלל הפונקציות הטריגונומטריות - סינוס וקוסינוס, הנקראות לעיתים גם הרמוניות. מספר האיברים בסכום יכול להיות סופי או אינסופי. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה.

ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו נקראת התמרת פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים מסוימים של המתימטיקה, הפיזיקה וההנדסה.

במתמטיקה, לעתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.

בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים אלקטרומגנטים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.

בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה אינטגרבילית לבג בריבוע בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה לטרנספורם פורייה. דרישת האינטגרביליות לבג פירושה שהפונקציה אינה מסובכת יתר על המידה.

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא ורקע כללי

טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.

באופן אינטואיטיבי, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי כצירוף לינארי בן מניה של איברי בסיס אורתונורמלי לאותו מרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי כללי אנו כותבים:

\ \vec{x} = \sum_{\alpha\isin\Lambda}{a_\alpha \hat{e_\alpha}}

עבור בסיס אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:

\ a_n = \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang

ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט למספר בן מניה. ולכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה

\ \vec{x} = \sum_{n=1}^{\infty}{ \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang \hat{e_n}}

טור פורייה הוא מקרי פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות באמת שהטור מתכנס אל האיבר שאותו מציגים. בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעיתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהי \ f \in L_2[-\pi,\pi]. אזי את f אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי של הרמוניות באופן הבא

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}

כאשר מקדמי פורייה, Fn נתונים על ידי

F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx} \, dx

(נוסחה זאת ניתן להצדיק משיקולי אורתוגונליות, ראו בהמשך).

כל איבר בטור זה נקרא "אופן תנודה" , Fourier mode או "הרמוניה".

על ידי שימוש בנוסחת אוילר e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\! אפשר להציג את הטור כצירוף לינארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]

כאשר המקדמים נתונים על ידי

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx


את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים Fn ניתן לחלץ בקלות והוא F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,\! כאשר F_n = F_{-n}^*.

באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.

[עריכה] דוגמה

תהי \ f פונקציית הזהות \ f(x)=x בקטע \ [-\pi,\pi]. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זו הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופלים ורק הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).

לכן,

a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =
=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}

בסך הכל, טור פורייה של x הוא

f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =
=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)

בטור זה אפשר להשתמש לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור s=2. עושים זאת באמצעות שיוויון פרסבל שמעבירה את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (שאפשר לעשות בקלות במפורש).

[עריכה] תאוריה

[עריכה] המרחב L_2

הפונקציות שקיים להם פיתוח פורייה הן הפונקציות האינטגרביליות לבג בריבוע בקטע . כלומר, האינטגרל לפי לבג קיים ומתקיים \ \int_{-\pi}^{\pi}{|f(t)|^2 dt} < \infty. אז מסמנים ש \ f \in L_2[-\pi,\pi]. מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה

\ \lang f , g \rang = \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) g^*(t) dt}

כאשר * מסמנת לקיחת צמוד מרוכב.

לפי תורת שטורם-ליוביל, גם במרחב הילברט זה - למרות שהוא בעל אינסוף ממדים - קיים בסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) הפורש את המרחב. המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות הוא בסיס כזה.

טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב \ L_2 כצירוף לינארי של איברי הבסיס הזה, כאשר מקדמי הפוריה הם המקדמים של הצירוף הלינארי. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.

[עריכה] אורתונורמליות

בסיס ההרמוניות \ \left\{ \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n \in \mathbb{Z}} הוא בסיס אורתונורמלי שכן

\lang \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}}  , \frac{e^{imx}}{\sqrt{2 \pi}}  \rang =  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}\,dx = \delta_{n,m}

כאשר \ \delta_{n,m} היא הדלתא של קרונקר.

ולכן הנוסחאות לחישוב המקדמים מוצדקות, שכן:

\  \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) e^{-int} dt} = \frac{1}{2 \pi} \lang f(t) , e^{int} \rang =  \frac{1}{2 \pi} \lang \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k e^{ikt}} , e^{int} \rang =
=  \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \frac{1}{2 \pi} \lang e^{ikt} , e^{int} \rang } = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \delta_{n,k}} = F_n

בכך הצדקנו את הנוסחאות לחישוב המקדמים.

באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:

\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\cos(nt) \cos(mt) \ dt} = \delta_{m,n}
\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \cos(mt) \ dt} = 0 \ \ \ \
\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \sin(mt) \ dt} = \delta_{m,n}

אפשר להשתכנע בכך או בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי טרנספורמציה יוניטרית מבסיס האקספוננטים.

[עריכה] התכנסות בנורמה

כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין ההתכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסותו הנקודתית.

ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב \ L_2 ועל פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים:

\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0

במילים פשוטות: האינטגרל בריבוע של פונקציית ההפרש בין הפונקציה אותה מפתחים לפיתוח החלקי שלה שואף לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, מה שמובטח מהיות טור פורייה הצגת איבר ב-\ L_2 על פי בסיס אורתונורמלי.

תכונה זו שונה מהתכנסות נקודתית של טור, ואכן ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, שלא בהכרח מתקיימת, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.

[עריכה] התכנסות נקודתית

בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה f, יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה \ f(x)=\sum_{n}(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx)), את המקדמים המספריים \ a_n,b_n. חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות \ L_2. לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים שהטור באגף ימין יתכנס לכל x, וערכו יהיה שווה לערכה של הפונקציה.

כאשר פיתח ז'אן פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על-ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה אילו פונקציות צריכות להיחשב לפונקציות ממשיות היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב- 1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את השערה, שלפיה טור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום - אלא שב-1926 מצא רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית להשערה זו.

את הפתרון לחידה זו סיפק המתמטיקאי השבדי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוכיח שלכל פונקציה במרחב \ L_2, ובפרט, לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה נקודתית כמעט בכל מקום. על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.

[עריכה] תופעת גיבס

זוהי תופעה שבה טור פורייה של פונקציה מתכנס בנקודת אי הרציפות של הפונקציה לממוצע הגבולות מימין ומשמאל ( \ (f(x_-) + f(x_+))/2 ). יתרה מכך, סביב נקודה זו (של אי-רציפות) הוא מבצע אוסצילציות חזקות שלא מתחלשות בגובהן, אלא רק קטנות במרחקן מנקודה זו ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב. להרחבה, ראו en:Gibbs_phenomenon .

[עריכה] תכונות

בסעיף זה נסמן:

\ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{inx}} \ ; \quad g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{G_n e^{inx}} \ ; \quad h(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{H_n e^{inx}}

כאשר אנו מניחים ש f,g,h הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע \ [-\pi,\pi].

[עריכה] לינאריות

אם \ h(x) = \alpha f(x) + \beta g(x) אזי \ H_n = \alpha F_n + \beta G_n.

[עריכה] זהויות פלנשרל ופרסבל

המשמעות של הזהויות הבאות היא היוניטריות של הפירוק לטור פורייה. כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.

זהות פלנשרל:

\sum_{n=-\infty}^\infty F_nG^*_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)g^*(x)\,dx

זהות פרסבל:

\sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,

ובבסיס הטריגונומטרי הממשי

\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx.

משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.

[עריכה] תכונת ההזזה

אם :g(x)=f(x-y) \,\! אזי G_n = e^{-iny}F_n \,\!.

[עריכה] תכונת הקונבולוציה

אם h היא קונבולוציה ציקלית של f ו g, כלומר:

h(t)=\int_{-\pi}^\pi f(t')g(t-t')\,dt'

כאשר g היא בעלת מחזור שני-פאי, אזי טור פורייה של h מקיים:

H_n=2\pi\,F_nG_n \,

באופן הפוך, אם המקדמים Hn הם קונבולוציה של Fn ו Gn, כלומר:

H_k=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n G_{k-n}

אזי מסתבר ש

\ h(t)=f(t)g(t)\,

תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.

[עריכה] שימושים

[עריכה] ראו גם