משוואה דיפרנציאלית חלקית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לשכתב ערך זה
ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיפדיה. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

משוואה דיפרנציאלית חלקית (או מד"ח), היא משוואה פונקציונלית הקושרת בין פונקציה משני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם. להבדיל ממשוואה דיפרנציאלית רגילה (או מד"ר), הקושרת בין פונקציה ממשתנה יחיד לנגזרותיה. מד"ח כללית היא מהצורה \ F(u, x_1, x_2,..., x_n, u_{x_1}, u_{x_2},..., u_{x_n}) = 0 כאשר \ x_i הם המשתנים הבלתי תלויים ו-\ u היא הפונקציה הנעלמת.

תוכן עניינים

[עריכה] תיאור תופעות פיזיקליות באמצעות מד"ח

המשוואות החלקיות מחולקות לפי קבוצות, בהתאם לתופעה אותה הן מתארות:

  • משוואת הגלים: \ u_{tt} - v^2 (u_{xx} + u_{yy}) = 0 כאשר u היא משרעת הגל במקום x,y בזמן t, ו-v היא מהירות התקדמות הגל.
  • משוואת החום: \ u_t - k \Delta u = 0 כאשר \ u(x,y,z,t) היא הטמפרטורה בנקודה כלשהי בזמן t, ו-k הוא מקדם הולכת החום.
  • גלי הלם (משוואת אוילר): \ u_t+uu_x=0 כאשר u מתארת התנהגות ריכוז המסה בזמן, והמהירות תלויה בריכוז המסה.
  • משוואת לפלס: \ \Delta u = 0 כאשר פתרון המשוואה הוא פונקציה הרמונית.
  • משוואת שרדינגר: \ i \psi_t + \Delta \psi + V \psi = 0 כאשר \ \psi (x,y,z,t) היא פונקציית הגל של חלקיק קוונטי וV היא פונקציית הפוטנציאל של החלקיק.

[עריכה] מיון משוואות לינאריות מסדר שני

תופעות רבות בטבע ניתנות לתאור על ידי משוואות לינאריות עם נגזרות עד סדר שני, בהצגת המשוואות באופן הבא: \ A(x,y)u_{xx}+B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+D(x,y)u_x+E(x,y)u_y+Fu=G(x,y). ניתן למיין משוואות אלו לפי ערך הביטוי \ B^2-4AC: המשוואה היא מסוג היפרבולי כאשר הביטוי חיובי, מסוג פרבולי כאשר הביטוי מתאפס, ומסוג אליפטי כאשר הביטוי שלילי. סיבת חלוקה שכזו מובנת כאשר \ A, B, C, D, E, F הם קבועים, ו- \ G=0: במקרה זה תמיד ישנו הפתרון \ u=e^{mx+ny}, וכאשר נציבו במד"ח, נקבל את הקשר \ Am^2+Bmn+Cn^2+Dm+En+F=0, ומגאומטריה אנליטית ידוע שזהו למעשה משטח קוני במשתנים \ m,n אשר סוג חתכיו (הפרבולי, פרבולי, אליפטי) נקבעים על ידי הביטוי \ B^2-4AC.

[עריכה] משוואות היפרבוליות

  • משווואת הגלים

[עריכה] משוואות פרבוליות

  • משוואת החום החד ממדית

[עריכה] משוואות אליפטיות

  • משוואת לפלס

[עריכה] תנאי התחלה למד"ח לינאריות מסדר שני

  • תנאי דיראק
  • תנאי ניומן
  • תנאים מעורבים (דיראק וניומן)
  • תנאי רובין

[עריכה] פתרונות אמיתיים ופתרונות מוכללים

פתרון הוא אמיתי אם הוא גזיר עד סדר המשוואה ומקיים את תנאי ההתחלה. כל פתרון אחר יקרא פתרון מוכלל.

[עריכה] מוצגות היטב, יציבות, קיום ויחידות של פתרונות

  • בעיה מסוימת היא מוצגת היטב אם לבעיה קיים פתרון אמיתי אחד ויחיד והפתרון יציב.
  • פתרון הוא יציב כאשר הוא תלוי באופן רציף בתנאים הנלווים לבעיה. כלומר, שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי קטן בפתרון. ההפרש בין שני פתרונות כאלה יתכנס במידה שווה ל-0, כאשר השינוי בתנאי ההתחלה שואף ל-0.

[עריכה] שיטות לפתרון מד"ח

  • הבאה לצורה קנונית
  • שיטת המשטחים האינטגרליים (שיטת לגראנז')
  • פתרון בעזרת טורי פורייה והפרדת משתנים

[עריכה] ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.