כופלי לגראנז'
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, שיטת כופלי לגראנז' היא שיטת אופטימיזציה שמאפשרת מציאת נקודות קיצון של פונקציה של יותר ממשתנה אחד בהינתן אילוצים על התחום שעליו מחפשים את ערכי הקיצון. דוגמה למצב שבו מתעורר הצורך בשימוש בכופלי לגראנז' היא זו: נניח שאנו מעונינים לתכנן פחית שתיה בעלת נפח קבוע (למשל, 330 מ"ל) תוך כדי שימוש במינימום חומר גלם.
[עריכה] תיאור השיטה
המטרה היא למצוא את נקודת הקיצון של פונקציה
שמוגדרת מקבוצה פתוחה
אל הממשיים (
) כאשר מוגדרים לנו אוסף של
אילוצים מהסוג
.
נגדיר פונקציה חדשה
. כאשר
נקראים כופלי לגראנז'. ברור שחישוב ישיר של
ייתן את
ללא קשר בבחירת הכופלים, לכן נקודת הקיצון של שתיהן זהה. על מנת למצוא נקודת קיצון, נגזור את הפונקציה ונקבל
משוואות מהסוג
.
לכן, אם נניח שהאילוצים גזירים, אז גזירה ישירה תתן לנו
משוואות מהצורה
. מציאת הכופלים, ויישום האילוצים עליהם יתן לנו נקודות קיצון אפשריות.
[עריכה] דוגמאות
- הפונקציה שאנו רוצים למצוא את נקודות הקיצון שלה היא
. ניקח את האילוץ שכל הנקודות הפונקציה מקבלת הן על המעגל
. המשוואות שנקבל יהיו:
-
- פתרון המשוואות יתן
- ואז,
ו
ואז, בעזרת האילוץ נקבל
ו
.
- תרגום של הדוגמה מלמעלה למתמטיקה, יתן פחית היא גליל, נפח הפחית הוא נפח הגליל
, וחומר הגלם הוא שטח הפנים של הגליל
. לכל גליל יש שני פרמטרים, הרדיוס
והגובה
. את נקודת הקיצון אנו צריכים למצוא לפונקציה
, כשהאילוץ הוא
. המשוואות שנקבל יהיו:
-
- פתרון המשוואות יתן
- ואז,
ו
ואז, בעזרת האילוץ נקבל
ו 









