שורש ריבועי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שורש ריבועי של מספר ממשי a כלשהו הוא מספר, אשר כשמכפילים אותו בעצמו, מקבלים את a. זהו מקרה פרטי של המושג הכללי יותר שורש. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי. כיוון ששורש ריבועי הוא שורש נפוץ, למשל בפתרון משוואה ריבועית, פעמים רבות, כאשר ברור ההקשר, הוא מכונה שורש סתם.

למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים ממשיים: למשל, למספר 4 יש את השורשים 2 ומינוס 2, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 4. על כן, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר הכוונה היא בדרך כלל לשורש החיובי שלו. השורש הריבועי מסומן כך: \sqrt{a}.

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה חיובית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעייה זו: במספרים המרוכבים יש שורש לכל מספר (ממשי או מרוכב).

[עריכה] תכונות

[עריכה] השורש הממשי

הפונקציה \ f(x)=\sqrt{x}, שנקראת פונקציית השורש, היא פונקציה חד חד ערכית ועל מהמספרים הממשיים האי שלילים לעצמם. פונקציה זו היא רציפה בכל תחום הגדרתה וגזירה עבור כל מספר חיובי. בנקודה \ x=0 פונקציית השורש לא גזירה (גם לא באופן חד צדדי), והנגזרת שלה שואפת לאינסוף, כאשר המשתנה שואף לאפס.
פונקציית השורש משמרת את פעולת הכפל ואת פעולת החילוק כלומר:

\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} לכל x , y  \ge 0
\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{y} } = \sqrt{\frac{x}{y}} לכל \ x \ge 0 \ \ , y > 0

לעומת זאת, פונקציית השורש בדרך כלל לא משמרת חיבור כלומר:

\sqrt{x} + \sqrt{y} \ne \sqrt{x+y}

קל לראות ששיוויון מתקבל אם ורק אם \ xy=0 כלומר אחד המספרים, או שניהם הוא אפס.

[עריכה] השורש המרוכב

במספרים המרוכבים, לכל מספר יש שני שורשים. בניגוד למספרים הממשיים, במישור המרוכב אין דרך להגדיר מספר חיובי ולכן לא ניתן להחזיר תמיד את "השורש החיובי" כמו שאפשר לעשות במספרים הממשיים, ולכן הבחירה איזה שורש מהשורשים מיוצג בפונקציה היא שרירותית. ההגדרה המקובלת לפונקציית השורש במספרים המרוכבים היא באמצעות פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי המרוכבות:

\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2} ln z}

הגדרה זו למעשה מעבירה את נקודת ההחלטה לבחירת הענף של הלוגריתם, כאשר שינוי הענף יוסיף iπ למעריך החזקה ולכן יכפיל את השורש ב 1-.

במספרים המרוכבים, פונקציית השורש לא רציפה בכל המישור, כיוון שפונקציית הלוגריתם איננה רציפה. מהסיבה הזו הנוסחאות הרגילות של מכפלת שורשים ומנת שורשים לא בהכרח מתקיימות. לדוגמה:

\ 1= \sqrt{1} = \sqrt{ -1 \cdot -1} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1