פונקציה חד חד ערכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פונקציה f:X\rarr Y תקרא חד-חד ערכית ובקיצור חח"ע (או "אינג'קטיבית") אם לכל \ y בטווח \ Y קיים לכל היותר \ x אחד בתחום \ X המקיים \ f(x)=y.

בניסוח אחר, יהיו \ x,y איברים בתחום. x=y\iff f(x)=f(y).

תמונה:Functions1.gif
על ולא חח"ע

תמונה:Functions2.gif

חח"ע ולא על

תמונה:Functions3.gif

מיפוי - חח"ע ועל

תמונה:Functions4.gif

לא חח"ע ולא על

[עריכה] דוגמאות

  • תהי \ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} המוגדרת כך - \ f(x)=2x+1. פונקציה זו היא חח"ע מאחר ש -

x=y \iff 2x=2y\iff 2x+1=2y+1\iff f(x)=f(y).

  • לעומת זאת, הפונקציה \ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} המוגדרת כך - \ g(x)=x^2 אינה חח"ע כיוון ש\ g(1)=g(-1)=1.
  • אם נגדיר \ h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} באותה צורה (\ h(x)=x^2), אז \ h היא חח"ע, כיוון שלכל שני מספרים אי-שליליים \ x,y אם \ x^2=y^2 \ x=y (הוצאנו את השורש החיובי בלבד כיוון שכל שני מספרים טבעיים הם חיוביים).

[עריכה] תכונות

  • אם \ f \circ g היא חח"ע אז \ g היא חח"ע.
  • אם \ f ו \ g שתיהן חח"ע, אזי \ f \circ g חח"ע גם היא.
  • תהי \ f:X \rightarrow Y. אם לכל שתי פונקציות \ g,h:Y \rightarrow W מתקיים

h=g\iff h\circ f=g\circ f אזי \ f היא חח"ע.

  • אם \ f:X \rightarrow Y היא חח"ע, \ A ו \ B שתיהן תת קבוצות של \ X, אזי \ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B).
  • אם \ f:X \rightarrow Y חח"ע אז עוצמת \ Y גדולה/שווה לעוצמת \ X.
  • אם \ f:X \rightarrow Y חח"ע ועל אזי עוצמת \ Y שווה לעוצמת \ X.

[עריכה] ראו גם