מספר פרמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מספרי פרמה, הקרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה, הם מספרים טבעיים מהצורה:

F_{n} = 2^{2^n} + 1, כאשר \,n הוא מספר שלם אי שלילי.

שבעת מספרי פרמה הראשונים הם:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

ניתן להוכיח שכאשר \, {2^n} + 1 הוא מספר ראשוני, \,n חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה \, {2^n} + 1 הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. ראשוני פרמה היחידים הידועים הם F_0,\ldots,F_4. אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן \,p צלעות, כאשר \,p ראשוני, אם ורק אם \,p הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן \,n צלעות (כאשר \,n>2 ) אם ורק אם הגורמים הראשוניים של \,n הם 2 וראשוני פרמה.

פרמה העלה השערה שכל מספרי פרמה הם ראשוניים. ההשערה התגלתה כנכונה לחמשת המספרים שבתחילת הסדרה, אך בשנת 1732 גילה לאונרד אוילר כי המספר הבא בסדרה, \,F_5, הוא מספר פריק.

לא ידוע על מספר פרמה ראשוני ל-\,n>4. קיימות בעיות פתוחות אחדות בהקשר זה:

  • האם \,F_n הוא מספר פריק לכל \,n>4 ?
  • האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
  • האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?