מכפלה סקלרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מכפלה סקלרית היא פעולה הפועלת על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^n ומחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי. בערך זה נדון בעיקר במכפלה הסקלרית במרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^3 וביישומיה בגאומטריה ובאנליזה וקטורית.


תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות ובאמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.

[עריכה] ההגדרה הגאומטרית

יהיו שני וקטורים \ \vec A,\vec B. מכפלתם הסקלרית (המסומנת בנקודה) שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים -

\ \vec A\cdot\vec B=|A||B|\cos\theta.

(אין חשיבות לזווית שנבחר להגדיר כזווית שבין שני הווקטורים, כיוון שערך קוסינוס זווית וקוסינוס הזווית הצמודה לה, משלימתה ל־360 מעלות, שווים)

[עריכה] ההגדרה האלגברית

במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -

\ \vec a=(a_1, ..., a_n)
\ \vec b=(b_1, ..., b_n)

מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי -

\ \lang a,b \rang = a_{1}b_{1} + ... + a_{n}b_{n}

במקרה של המרחב \ \mathbb{R}^3, יהיו שני וקטורים \vec{A} , \vec{B}, אזי המכפלה הסקלרית ביניהן תסומן כ \ \vec{A} \cdot \vec{B} (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל שמנה יותר, זו הסיבה מדוע באנגלית מכפלה זו נקראת dot product).

בקואורדינטות קרטזיות, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי

\ \left( A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} \right) \cdot \left( B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z} \right) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z

ניתן להכליל נוסחה זו עבור כל בסיס אורתונורמלי.

[עריכה] תכונות ומאפיינים

נבחין בכמה מאפיינים של המכפלה הסקלרית:

  • המכפלה הסקלרית היא קומוטטיבית, כלומר מתקיים עבורה "חוק החילוף".
  • מכפלה סקלרית של שני וקטורים שונים מאפס תהיה שווה ל-0 אם ורק אם הם ניצבים זה לזה (כיוון ש-\ \cos (90^\circ)=0). מעובדה זו נגזר שמם של וקטורים במרחב מכפלה פנימית כללי שמכפלתם הפנימית שווה ל-0, וקטורים כאלה קרויים אורתוגונליים (ביוונית, ניצבים).

[עריכה] משמעות

המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים נותנת למעשה את ההיטל של אחד על השני. כלומר: ההיטל של וקטור \vec{B} על \vec{A} נתון על ידי \ \mbox{Projection} = ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) \hat{A} כאשר "כובע" מסמן וקטור יחידה.

[עריכה] ראו גם

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור