# אנרי לבג

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אנרי לבג (Henri Léon Lebesgue, נולד: 28 ביוני 1875, נפטר: 26 ביולי 1941), היה מתמטיקאי צרפתי, המפורסם בעיקר הודות לתרומתו לאנליזה מתמטית: תורת המידה ואינטגרל לבג. החיבור בו הציג את אינטגרל לבג הוא Intégral, longueur, aire ("אינטגרל, אורך, שטח") שאותו פרסם ב-1902 באוניברסיטת ננסי.

## [עריכה] ביוגרפיה

אנרי לבג נולד ב-28 ביוני 1875. אביו היה מדפיס ומת כאשר לבג היה צעיר. גם לבג עצמו סבל מבריאות לקויה במשך כל חייו. אחרי מות אביו, אמו עבדה בפרך כדי לפרנסם. אנרי לבג היה תלמיד מבריק בבית הספר ואחר כך למד באקול נורמל סופרייר.

לבג התחתן עם אחות של אחד מחבריו ללימודים ונולדו להם שני ילדים, סוזאן ויעקב. הוא לימד במכינה הקדם-אקדמית ובזמנו הפנוי עבד על עבודת המחקר שלו באנליזה.

## [עריכה] אינטגרל לבג

זהו ערך היסטורי ולא מתמטי-טכני. לדיון מלא ומתמטי, ראו את המאמרים הבאים: אנליזה מתמטית, חשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל, פונקציית מידה, מידת לבג ואינטגרל לבג.

אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כמציאת השטח הכלוא מתחת לעקומה לבין ציר ה x. ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה עבור מספר מקרים מסוימים, אך לא פיתח שיטה כללית. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לבצע אינטגרציה המבוססת על כך שאינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם הם ניסחו בהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שמתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת ואף נותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על ההחשבון האינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם היה לא מבוסס לוגית וההוכחות שהם נתנו לא היו לא ריגורוזיות ומלאות סתירות (ראו עוד על אינפיניטסימל בנושא זה).

במאה ה-19 פיתח אוגוסטין לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות וכתוצאה מכך העניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי. ברנרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן קפדני, מה שידוע כאינטגרל רימן. מה שרימן עשה היה לחלק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם הוא אפסילון וגובהם תלוי בערך של הפונקציה שבתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. האינטגרל של רימן הוא גבול שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן אפסילון שואף לאפס. כלומר:

רימן גילה, לאכזבתו, שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים, ולכן לא היה להן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות לא אינטגרביליות רימן. אחרי תגלית מאכזבת זו נקטו המתמטיקאים שתי גישות לטיפול בבעיה:

1. אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
2. הגדרת אינטגרלים לא-נאותים באמצעות גבולות.
3. ניסיון להכליל את האינטגרל עבור פונקציות "חלקות" פחות ו"בעייתיות" יותר.

לבג נקט בגישה השנייה, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות אינטגרביליות רימן. אפיון זה, למעוניינים, הוא הבא: "פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס."

לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, עבד על לבג ובנה את תורת המידה ואת מידת לבג על הישר הממשי. מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחשב, אם קצות הקטע I הם a ו b אזי אורך הקטע הוא . אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.

הרעיון של אינטגרל לבג הוא להפוך את הסכימה שהייתה באינטגרל של רימן. אם באינטגרל רימן לכל נקודה התאימו את הגובה שלה (הערך של הפונקציה בה) הרי שבאינטגרל לבג מסתכלים דווקא על טווח הערכים של הפונקציה ולכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות המחזירה ערך זה, ואז סוכמים. כלומר:

באופן יותר פורמלי, קודם כל מקרבים את הפונקציה f על ידי פונקציות פשוטות (אלה פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר: פונקציית מדרגה) ואז לוקחים את הגבול של פונקציות אלה בשביל לקבל את האינטגרל.

מה שיפה באינטגרל לבג הוא שכל פונקציה אינטגרבילית רימן היא גם אינטגרבילית לבג ואז אינטגרל לבג שלה שווה לאינטגרל רימן שלה. לכן, אינטגרל לבג מהווה הכללה והרחבה של אינטגרל רימן.

אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות, זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן אך הן לא כל הפונקציות. אינטגרל לבג מתאים עם אינטגרל רימן ברוב המקרים של אינטגרלים לא-נאותים (אינטגרל על תחום אינסופי) אך לא בכולם. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה חזקה יותר שממנה אפשר להסיק את אינטגרל רימן והן את אינטגרל לבג.

## [עריכה] הישגים נוספים

מלבד עבודת המחקר שלו בנושא האינטגרל, כתב לבג שני ספרים:

- Leçons sur l'intégration et la recherché des fonctions primitives ב-1904.
- Leçons sur les séries trigonométriques ב-1906.

הוא גם כתב ופרסם מספר מאמרים.

למרות שאינטגרל לבג היה הכללה חזקה מאוד, לבג נרתע מביצוע הכללות והעדיף לפתור בעיות ספיציפיות וקונקרטיות באנליזה. בנושא זה הוא כתב:

  "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu"
  "מצומצמת לתאוריות כלליות בלבד, מתמטיקה תהיה צורה יפה ללא תוכן"

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%A0/%D7%A8/%D7%90%D7%A0%D7%A8%D7%99_%D7%9C%D7%91%D7%92.html

קטגוריה: מתמטיקאים

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Deutsch
- Esperanto
- Español
- Suomi
- Français
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- Polski
- Русский
- Slovenščina
- Svenska
- Türkçe
- 中文