מרחב בנך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מרחב בנך (Banach space) הוא מרחב לינארי נורמי שהוא שלם במטריקה המושרית מן הנורמה. מרחב בנך הוא אחד המרחבים הנפוצים שנחקרים במסגרת האנליזה פונקציונלית.

מרחב בנך נקרא על שם סטפן בנך, מתמטיקאי פולני שהיה מבין מייסדי התחום וממנסחי משפטיו היסודיים.

תוכן עניינים

[עריכה] דוגמאות

  • כדור היחידה \ \{x: ||x||<1\} במרחב נורמי הוא תמיד קמור, פתוח וסימטרי לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההיפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול לאי-שוויון המשולש שהנורמה צריכה לקיים.
  • אוסף הסדרות של מספרים ממשיים \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} שמקיימות \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|<\infty הוא מרחב בנך עם הנורמה \| (a_n)\|_1 =\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|. מרחב זה מסומן ב \ \ell _1.
  • כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם \ 1\leq p < \infty, מגדירים את המרחב \ \ell _p להיות אוסף הסדרות \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} שמקיימות \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p < \infty. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה \| (a_n)\|_p=\left(\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p\right)^{1/p}. אם \ p =\infty מגדירים את המרחב \ \ell _{\infty} להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה \ \| (a_n)\|_\infty =\sup |a_n| וזהו מרחב נורמי. אם \ p<1, המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו מרחב פרשה) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה.
  • אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם \ (X,\mu ) הוא מרחב מידה מגדירים את \ L_p (X,\mu ) להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות \ f:X\to \mathbb{C} המקיימות \ \int _{X} |f(x)|^{p} d\mu (x) < \infty תחת יחס השקילות של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה

\ \| f\|_p=\left(\int _X |f(x)|^p d\mu (x)\right)^{1/p}

[עריכה] המרחב הדואלי

מרחב הפונקציונלים הלינארים על מרחב בנך \ X גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה \ \| \varphi \| = \sup _{x\in X,\| x\| =1} \varphi (x) מרחב זה מסומן לרוב ב \ X^*. לדוגמה, אם \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 וגם \ p<\infty אז \ell _p ^* =\ell _q. לעומת זאת, \ell _{\infty} ^* \neq \ell _1. מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים \, X^{**} = X. לעומת זאת, תמיד קיים שיכון X \to X^{**}. מרחבים שעבורם השיכון הזה הוא איזומורפיזם נקראים מרחבים רפלקסיבים.

[עריכה] משפטים מרכזיים

  • משפט האן-בנך טוען שעל מרחב בנך קיימים הרבה פונקציונלים לינארים רציפים.
  • משפט ההעתקה הפתוחה (או בניסוח שקול משפט הגרף הסגור) טוען שאופרטור לינארי חסום ועל בין מרחבי בנך הוא פתוח.
  • משפט מזור-אולם טוען שאם \ f:X\to Y היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז \ f היא לינארית, כלומר המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הלינארי שלו.

[עריכה] ראו גם