מחלקה (תורת החבורות)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת חבורה
היא קבוצה של איברי חבורה
שמתקבלים מהכפלת אברי
באיבר כלשהו מהחבורה. כל המחלקות של תת חבורה כלשהי
מהווים חלוקה של
לקבוצות שוות בעוצמתן.
[עריכה] הגדרה פורמלית
תהא
חבורה ותהא
תת חבורה שלה. יהא
איבר כלשהו, אז הקבוצה
תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של
ב-
, והקבוצה
תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של
ב-
.
ניתן להוכיח שהיחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות. על כן, כל תת חבורה
משרה חלוקה של
לקבוצות זרות באמצעות המחלקות שלה.
ניתן גם להראות כי לכל קבוצה
, מספר האיברים בכל מחלקה שלה זהה ושווה למספר האיברים ב-
. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.
מספר המחלקות הימניות (או השמאליות, ההגדרה שקולה) של תת חבורה H בחבורה
נקרא האינדקס של
ב-
ומסומן
. אם
סופית, אינדקס זה שווה ל-
.

