מטריצה נילפוטנטית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית M כך ש:
עבור q שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה לינארית L כך ש:
עבור q שלם חיובי כלשהו.
אלו מקרים כלליים של מושג הנילפוטנטיות, אשר תקף, בנוסף למטריצות והעתקות לינאריות, גם לסוגי חוגים אלגבריים.
תוכן עניינים |
[עריכה] דוגמאות
המטריצה מהצורה הבאה:
היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:
האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.
ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל L : R4 → R4 מוגדרת על-ידי:
[עריכה] תכונות
תהי M מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר n, אזי מתקיימות התכונות הבאות:
- השלם הקטן ביותר q המקיים Mq = 0 (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-n.
- כל הערכים העצמיים של M הם אפס. (מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל ערכיה העצמיים הם אפס).
- הפולינום אופייני של M הוא: λn.
- הדטרמיננטה והעקבה של M הם אפס.
- כל מטריצה משולשית (עליונה או תחתונה) הינה מטריצה נילפוטנטית.
- מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית הינה מטריצה נילפוטנטית.
[עריכה] ז'ורדן
משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:
כך שכל בלוק Ni הוא מהצורה הבאה:
כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית הינה מטריצה נילפוטנטית.
[עריכה] תתי מרחבים
העתקה נילפוטנטית L על המרחב Rn מגדירה את תתי המרחבים הבאים:
ואת הסיגנטורות הבאות:
הסיגנטורה מאפיינת את L לכדי העתקה לינארית, וכן מקיימת את אי השיוויונים הבאים:
[עריכה] קישורים חיצוניים
- מטריצה נילפוטנטית והעתקה ניפוטנטית באתר PlanetMath (אנגלית).











