משפט המספרים הראשוניים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את ההתפלגות האסימפטוטית של המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- \, \pi(x) את מספר המספרים הראשוניים שקטנים מ-\, x.

משפט המספרים הראשוניים קובע ש- \pi(x)\approx\frac{x}{\ln(x)}, כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים הקטנים מ- x הוא (בקירוב טוב) \frac{x}{\ln(x)}. את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי הדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות תורת הפונקציות המרוכבות.

גירסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין \ \pi(x) ו-\ \frac{x}{\ln(x)} חסום בין \ 1/4 ל-\ 4.

צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל- 1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופואסון היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).

ב-1949 מצאו פול ארדש ואטלה סלברג, גם הם בנפרד, הוכחה "אלמנטרית" (כלומר, כזו שאינה משתמשת בתורת הפונקציות המרוכבות) למשפט המספרים הראשוניים. למרות שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.

טבלה המשווה את הפונקציות:

x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)
101 4 0  2 2.500
102 25 3  5 4.000
103 168 23  10 5.952
104 1,229 143  17 8.137
105 9,592 906  38 10.430
106 78,498 6,116  130 12.740
107 664,579 44,159  339 15.050
108 5,761,455 332,774  754 17.360
109 50,847,534 2,592,592  1,701 19.670
1010 455,052,511 20,758,029  3,104 21.980
1011 4,118,054,813 169,923,159  11,588 24.280
1012 37,607,912,018 1,416,705,193  38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452  108,971 28.900
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636  314,890 31.200
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452  1,052,619 33.510
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,392  3,214,632 35.810
4 ·1016 1,075,292,778,753,150 28,929,900,579,949  5,538,861 37.200

[עריכה] ראו גם