סריג ברווי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
סריג ברווי הוא סריג רב-ממדי אינסופי בעל מחזוריות מושלמת, וכן בעל רמה גבוהה של הומוגניות ואיזוטרופיות. סריג זה הוא בדרך כלל בעל רמה מאוד גבוהה של סדר וסימטריות ולכן נוח לטיפול מתמטי ופיזיקלי. לסריג ברווי יישומים חשובים מאוד בפיזיקה, בייחוד בכל הנוגע לחקר הגבישים ותכונותיהם.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
סריג ברווי הוא סריג בעל אינסוף נקודות, הנוצר באמצעות אוסף בדיד של פעולות הזזה, כך שמתקיימת התכונה הבאה:
- הסריג נראה אותו דבר, מכל נקודה בסריג בה מביטים עליו.
ניתן להראות שתכונה זו שקולה להגדרה המתמטית הבאה, שמראה כיצד ליצור סריג ברווי n-ממדי בדרך קונסטרוקטיבית. נבחר n וקטורים בלתי תלויים לינארית, קבוצה זו נקראת "בסיס פרימיטיבי לסריג", ואז סריג ברווי שהיא מייצרת הוא הקבוצה הבאה
כלומר, הסריג נפרש על ידי כל הצירופים הלינאריים במקדמים שלמים של וקטורי הבסיס הפרימיטיבי. קבוצה זו סגורה ביחס לחיבור וחיסור וקטורי סריג, וכן ביחס לכפל בסקלר שהוא מספר שלם.
סריג ברווי הוא סימטרי ביחס להזזה בוקטור סריג. כלומר: אם כל נקודה בסריג נזיז באותו וקטור סריג נקבל בחזרה את אותו סריג. באופן מתמטי: L+v=L. כמו כן הוא סימטרי ביחס לשיקוף מלא (כלומר:
).
לעיתים קרובות הסריג סימטרי גם ביחס לסיבובים בזוויות מסוימות. זוויות אלה נקבעות על ידי מבנה הסריג עצמו.
n-וקטורים אלו מגדירה לנו פאון מקבילי היוצר "תא יחידה פרימיטיבי" שאיתו אפשר לרצף באופן מחזורי ושלם את הסריג.
[עריכה] דוגמה - סריג קובי
- ערך מורחב – סריג קובי
סריג קובי פשוט הוא סריג שכל צלעותיו זהות באורכן וניצבות זו לזו. למעשה, ניתן לתארו כריצוף כל המרחב התלת-ממדי בקוביות (באופן דומה לריצוף דף דו-ממדי במשבצות ריבועיות).
באופן מתמטי, סריג קובי בעל צלע a (אורך אופייני זה נקרא "קבוע הסריג") נפרש (במקדמים שלמים) על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא:
תא היחידה הפרימיטיבי כאן הוא קוביה שנפחה a3.
הסריג הקובי מופיע בהרבה מינרלים וגבישים, לרבות מתכות. הוא פשוט לתיאור וטיפול מתמטי ולכן שימושי.
[עריכה] סריגי ברווי תלת ממדיים
ניתן להראות שיש בסך הכול 14 סרגי ברווי תלת-ממדיים אפשריים. הללו מתבססים על 7 פאונים מקבילים (7 מערכות צירים גבישיות), עם 4 אפשרויות הוספת נקודות סריג נוספות במרכזי הפאות או הגוף.
ארבעת האפשרויות להוספת נקודות ("centering") הם:
- פינות בלבד (P) - נקרא Primitive centering.
- מרכז גופי (B או I) - מוסיפים נקודת סריג אחת במרכז כל תא - נקרא Body centered.
- מרכז פאה (F) - מוסיפים נקודת סריג אחת בכל פאה של תא היחידה - נקרא נקרא Face centered.
- מרכז חד-פאה (C) - בוחרים זוג אחד מפאותיו של תא היחידה ומוסיפים להם נקודת סריג אחת לכל פאה (הוספת נקודת סריג בפאה השנייה מתחייבת מסימטריה ביחס להזזה בוקטור סריג). נשים לב שאפשרות זו היא בעצם 3 אפשרויות, שכן יש לבחור לאיזה פאה נוסיף את הנקודות.
בחישוב נאיבי נובע שלפי האמור לעיל יש 42 (7 צירים כפול 6 מרכוזים מבני סריג אפשריים במרחב תלת ממדי, ברם כאשר מנסים לבנות אותם מגלים שהרבה מבנים פשוט חוזרים על עצמם והם זהים. עם הפחתת הכפילויות מגלים שיש בסך הכול 14 סריגים תלת-ממדיים השונים זה מזה, והם מסוכמים בטבלה להלן:




