נורמה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מושג הנורמה בא להכליל את מושג האורך, המוכר מחיי היום-יום (בשלושה ממדים). נורמה היא פונקציה שמתאימה לכל וקטור במרחב וקטורי ערך ממשי שמקיימת מספר דרישות, שהן התכונות הבסיסיות שיש לצפות שאורך יקיים:

  • אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
  • הכפלה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את אורכו בערכו המוחלט של אותו סקלר.
  • מתקיים אי שוויון המשולש בחיבור וקטורים.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהא \ V מרחב וקטורי מעל שדה \ F (לרוב יהיה זה שדה המספרים הממשיים או המרוכבים). נורמה על המרחב הווקטורי היא פונקציה שתחומה המרחב הווקטורי וטווחה המספרים הממשיים, שתסומן \ \|\cdot \| (כאשר הנקודה מציינת את המקום שבו נכתב הווקטור שעליו מופעלת הפונקציה) ומקיימת את התכונות הבאות:

  1. \ \|x\|\ge 0 ומתקיים \ \|x\|=0\Leftrightarrow x=\vec 0 (חיוביות)
  2. \ \|\lambda\cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\| (הומוגניות)
  3. \ \|x+y\|\le \|x\|+\|y\| (אי-שוויון המשולש)

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הערך המוחלט

על הישר הממשי, הערך המוחלט הוא נורמה. קל לראות שהוא מקיים את כל האקסיומות (לרבות את אי-שוויון המשולש).

[עריכה] נורמה במרחבי מכפלה פנימית

בכל מרחב מכפלה פנימית מוגדרת נורמה על-ידי \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}, כאשר \langle\cdot ,\cdot\rangle המכפלה הפנימית במרחב. אומרים שהנורמה הזו מושרית על-ידי המכפלה הפנימית. לנורמה כזו, ובמיוחד במרחבים מממד סופי, קוראים "נורמה אוקלידית".

משפט: נורמה היא אוקלידית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית שהוא \!\, \| f+g \| ^2 + \| f - g \| ^2 = 2 \| f \| ^2 + 2 \| g \| ^2 .


מסקנה: מכפלה פנימית משרה נורמה אוקלידית ואילו נורמה אוקלידית משרה מכפלה פנימית שנתונה על ידי \!\, \lang f , g \rang = {1 \over 2} \left( \| f + g \| ^2 - \| f \| ^2 - \| g \| ^2 \ \right)

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות בילינאריות.


[עריכה] הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי \ \mathbb{R}^n היא \|x\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}, הנקראת הנורמה הסטנדרטית. זוהי הנורמה הטבעית במרחבי מכפלה פנימית ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

[עריכה] נורמת p

דוגמה לנורמה לא-אוקלידית במרחב הווקטורי \ \mathbb{R}^n היא 'נורמת \ p' שמוגדרת כך:

\!\, \| x \| _p = \left( \sum_{i=1}^{n}{|x|^p} \right) ^{1 \over p}, כאשר \ p\ge1 ממשי קבוע.

יש להוכיח שהיא מקיימת את אי שוויון המשולש, זאת עושים באמצעות אי-שוויון הולדר.

הערה: עבור \ p=2 מקבלים את הנורמה האוקלידית.

[עריכה] תכונות נוספות

  • כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על-ידי g(x,y)= \| x-y \|, ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה \ x_n שואפת לגבול \ L אם \!\, \lim_{n \to \infty}{\| x_n - L \|} = 0.
  • את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף x\mapsto -x ), וקמור.