אי שוויון המשולש
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, אי שוויון המשולש הוא, בצורה אינטואטיבית, הטענה כי הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות היא הדרך הישירה ביניהן, ללא מעבר בנקודות ביניים.
שמה של הטענה נגזר מתכונות המשולש בגאומטריה האוקלידית: במשולש, סכום אורכן של שתי צלעות תמיד גדול מאורך הצלע השלישית. על כן, כאשר הולכים "על גבי" המשולש בין שני קודקודים, הדרך הקצרה ביותר היא תמיד ללכת מקודקוד אחד לשני, מבלי לעבור בקודקוד השלישי כנקודת ביניים.
[עריכה] ניסוחים מקובלים
הניסוח הנפוץ ביותר של אי שוויון המשולש נוגע למספרים ממשיים:
- אם
אז
.
באמצעות שינוי סימן ניתן לרשום את אי השוויון גם בצורה הזו:
- אם
אז
.
כמו כן, ניתן להראות כי מתקיים:
- אם
אז
. - אם
אז
.
זה מתקבל מכך ש
ועל ידי העברת אגפים מקבלים
.
ניסוח זה מהווה מקרה פרטי. באופן כללי, אי שוויון המשולש הוא אחת מהאקסיומות של מרחב מטרי או מרחב נורמי כלשהו - כלומר, אחת מהתכונות הבסיסיות שמרחב צריך לקיים כדי שיתקיימו בו כל התכונות של מרחב מטרי.
באופן כללי:
כאשר
היא המטריקה שהוגדרה על המרחב.
[עריכה] הוכחת אי שוויון המשולש
יהיו
.
אזי מתקיים
כלומר
.
וגם
כלומר
.
נחבר את האי שוויונות הנ"ל ונקבל כי
, כלומר 
הוכחה כללית יותר לכל מרחב מכפלה פנימית מתבססת על אי שוויון קושי-שוורץ.
כנדרש.

