# איחוד (מתמטיקה)

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה שהיה שייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר.

## [עריכה] הגדרה

דיאגרמת ון של האיחוד של A ו-B

אם ו- הן קבוצות, אז האיחוד של ו- הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של ואת כל האיברים של, בלי איברים אחרים. האיחוד של של ו- נכתב בדך כלל כך: .

מבחינה פורמלית:

  ( הוא איבר ב-) אם ורק אם או .

נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, איחודן מכונה איחוד זר.
הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה U של האיחוד.

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס השייך לקבוצת אינדקסים ), אז האיחוד שלהן יסומן ומתקיים אם ורק אם קיים כלשהו כך ש- .

## [עריכה] דוגמאות

- אם אז .
- אם (B הוא קבוצה חלקית של A) אז .
- אם (קבוצה ריקה) אז לכל מתקיים . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
- אם אז .
- אם אז .
- בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
  - בהינתן סדרה בת מניה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס כלשהו.
  - בהינתן סדרה בת מניה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

    (שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות )

## [עריכה] תכונות אלגבריות

איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר . בשל כך הביטוי מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן.

נושאים בתורת הקבוצות
תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%99/%D7%97/%D7%90%D7%99%D7%97%D7%95%D7%93_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29.html

קטגוריה: תורת הקבוצות

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Česky
- Deutsch
- Ελληνικά
- Esperanto
- Español
- Eesti
- Français
- Magyar
- Bahasa Indonesia
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Svenska
- Українська
- 中文