קואורדינטות כדוריות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מערכות צירים וקואורדינטות
מערכות צירים נפוצות
ראו גם

קואורדינטות כדוריות (נקראות גם: "קואורדינטות ספריות" או Spherical coordinates) הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^3. כל נקודה במרחב מתוארת על ידי המרחק שלה מראשית הצירים והכיוון שלה במרחב (2 זוויות אוריינטציה הנקבעות ביחס לציר z וציר x במערכת צירים קרטזית).

בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה כדורית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות ספריות. בקואורדינטות אלה מחליפות \!\, r, \theta , \phi את x,y,z .

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

קואורדינטות כדוריות - הגדרה
הגדל
קואורדינטות כדוריות - הגדרה

הגדרת הקואורדינטות הכדוריות נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).

  • הקואורדינטה r: קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין הנקודה לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי לא-שלילי (כולל אפס).
  • הקואורדינטה תטה: קו-לטיטיוד, מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z, כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי. מסומנת באות היוונית θ.
  • הקואורדינטה פי: אזימוט, מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור x-y לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל \ 2 \pi. מסומנת באות היוונית φ.

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם \!\, r, \theta , \phi אזי שיעוריו הקרטזיים הם:


\!\, x = r \sin{\theta} \cos{\phi}
\!\, y = r \sin{\theta} \sin{\phi}
\!\, z = r \cos{\theta} \quad \!\

הטרנספורמציה ההפוכה נתונה באיור שמשמאל.

[עריכה] וקטורי היחידה

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל וקטור כ

\ \vec{A} = A_x \hat{e}_x + A_y \hat{e}_y + A_z \hat{e}_z = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z}

כאשר \ \hat{e}_i \ , \ i = \{ x, y, z \} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור הצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל 1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו z.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הווקטור גם בקואורדינטות ספריות:

\ \vec{A} = A_r \hat{e}_r + A_\theta \hat{e}_\theta + A_\phi \hat{e}_\phi

כאשר לוקטורים \ \hat{e}_j \ , \ j = \{ r, \theta , \phi \} נקרא "וקטורי היחידה הכדוריים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי

\begin{matrix}  \hat{r} = \hat{e}_r & = & ( \sin\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \sin\theta \sin\phi ) \hat{y} & + ( \cos\theta ) \hat{z}  \\  \hat{\theta} = \hat{e}_\theta  & = & ( \cos\theta \cos\phi ) \hat{x} & + ( \cos\theta \sin\phi ) \hat{y} & - ( \sin\theta ) \hat{z}  \\   \hat{\phi} =  \hat{e}_\phi & = & ( - \sin\phi ) \hat{x}  & + ( \cos\phi ) \hat{y} & + (0) \hat{z}  \end{matrix}


כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: \ \hat{r} \times \hat{\phi} = \hat{\theta}.

יש לשים לב שעבור וקטור המקום, למרות שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:

\ \vec{r} = x \hat{e}_x + y \hat{e}_y + z \hat{e}_z

או במפורש:

\  r_x(x,y,z) =x,
\  r_y(x,y,z) = y,
\  r_z(x,y,z) = z,

הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות כדורית, וקטור המקום ייוצג כ:

\ \vec{r} = r \hat{e}_r(r,\theta,\phi)

כלומר

\   r_r(r,\theta,\phi)  =r,
\  r_\theta(r,\theta,\phi) =  0,
\ r_\phi(r,\theta,\phi) =  0.

[עריכה] תכונות מטריות

המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שאלמנטייה השונים מאפס הם

\ g_{rr} = 1 \ , \ g_{\theta \theta} = r^2 \ , \ g_{\phi \phi} = r^2 \sin^2 \theta

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא

\ d\vec{l} = ( dr ) \hat{r} + ( r d \theta ) \hat{\theta} + (r \sin\theta d\phi) \hat{\phi}


[עריכה] שטחים ונפחים

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של \!\, d r, d \theta , d \phi . נסתכל על אלמנט נפח אינפינטסימלי שמונח על קליפה עבה של כדור, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב טוב הוא די קובייתי. עוביו הוא \ dr , גובהו הוא \ r d \theta ואילו אורכו (ההיקף) הוא \  r  \sin{\theta} d \phi ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפינטסימלי יהיה

\!\, dV = r^2 \sin{\theta} \ dr \ d \theta \ d \phi .

באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

[עריכה] אנליזה וקטורית

אנליזה וקטורית היא כלי מאוד שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיסקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של פוטנציאלים ושדות בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ וקורל) בקואורדינטות כדוריות: תמונה:Spherical-coords03.png

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

שפות אחרות