משתמש:The Fool/ארגז חול/סימונים מתמטיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

סימונים מתמטיים

תוכן עניינים

[עריכה] דוגמה

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
+ פלוס, ועוד חיבור אופראטור
תיאור
סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
+ פלוס, ועוד חיבור אופרטור
(תיאור)



[עריכה] סימונים מתמטיים

לכתיבה בסימנים מתמטיים יש כמה יתרונות מרכזיים:

  • אי-תלות בשפה בה נכתב הטקסט המתמטי. במאמר באנגלית ובמאמר בוולשית ישתמשו באותם סימונים ממש. מי שמתכוון ללמוד או לכתוב מתמטיקה בשפה זרה, לא יצטרך ללמוד את הסימונים מחדש.
  • בהירות ופשטות. נניח ולא היה קיים הסימון \in (איבר בקבוצה). בשימוש במילים רגילות בלבד היינו יכולים להגיע לידי אי-בהירות, לדוגמה: אם נגיד "הכדור הזה שייך לקבוצת הילדים הזו", האם הכוונה היא שגם הכדור הוא ילד (איבר באותה קבוצה של ילדים)?
  • קיצור. כתיבה מפורשת של כל הסימונים תהיה ארוכה פי כמה, מה שיגרום לטרחה מיותרת הן בכתיבה והן בקריאה.

[עריכה] תורת הקבוצות

[עריכה] קבוצות חשובות

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
\subseteq תת קבוצה הכלה יחס \supseteq

בהנתן שתי קבוצות, A ו-B, משמעות הביטוי A\subseteq B (קרי: "A תת קבוצה של B" או "A חלקית ל-B") היא שכל איבר ב-A הוא גם איבר ב-B. בסימון מתמטי: \forall a\in A \quad a\in B מתקיים אםם A\subseteq B מתקיים.
הסימון \supseteq שקול ל-\subseteq, אלא שהסדר מתהפך: A\subseteq B שקול ל-B\supseteq A.

\subset תת קבוצה ממש הכלה ממש יחס \supset, \subsetneq, \supsetneq

בהנתן שתי קבוצות, A ו-B, משמעות הביטוי A\subset B (קרי: "A תת קבוצה ממש של B" או "A חלקית ממש ל-B") היא שכל איבר ב-A הוא גם איבר ב-B, אבל קיים איבר ב-B שאינו איבר ב-A. בסימון מתמטי: \forall a\in A \quad a\in B \wedge \exists b\in B\quad b\notin A מתקיים אםם A\subset B מתקיים.
הסימון \supset שקול ל-\subset, אלא שהסדר מתהפך: A\subset B שקול ל-B\supset A. הסימונים \subsetneq ו-\supsetneq שקולים ל-\subset ול-\supset בהתאמה, ויכולים לבוא להדגשת אי-השוויון.

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
\mathbb{Q} הראציונאליים קבוצת המספרים הראציונאליים קבוצה אינסופית בת־מניה
כל מספר שניתן להצגה כמנה של טבעי ושלם הוא מספר ראציונאלי. הקבוצה \mathbb{Q} כוללת את כל המספרים הראציונאלים, ורק אותם.

בפורמאליזאציה מתמטית: \mathbb{Q} = \left\{ r | r = \frac{n}{m} = n\cdot m^{-1}, n\in \mathbb{N}, m\in \mathbb{Z} \right\}.
לכל מספר בקבוצה זו יש יותר מדרך־הצגה אחת, לדוגמה: \frac{8}{13} = \frac{16}{26}. לכל מספר ראציונאלי, מלבד האפס, יש הצגה יחידה \frac{n}{m} כאשר ל־n ול־m אין גורמים משותפים (בדוגמה שלעיל: gcd(8,13) = 1, ולכן \frac{8}{13} היא ההצגה המינימאלית של המספר, בעוד שעבור \frac{16}{26} מתקבל \gcd (16,26)=2\neq 1, ולכן זו לא ההצגה המינימאלית).
כל מספר ממשי ניתן לקרב בדיוק טוב כרצוננו על־ידי סדרת מספרים ראציונאליים.

[עריכה] קבועים מתמטיים

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
π פאי (πι) היחס בין היקף מעגל לקוטרו קבוע, מספר אי רציונלי
ערך מקורב: 3.141593....
\varphi פי (φι) יחס הזהב קבוע, מספר אי רציונלי
ערך מקורב: 1.618034....

[עריכה] קומבינטוריקה

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
n! n עצרת עצרת סימון מקוצר

סימון מקוצר לביטוי \prod_{i=1}^{n}i, כלומר: 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n. לדוגמה: 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120.

n\choose k n מעל k מקדם בינומי סימון מקוצר

סימון מקוצר למקדם הבינומי. זהו מספר תתי־הקבוצות בגודל k של קבוצה בגודל n.
חישוב: {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

n\choose{n_1 ,n_2 ,\dots ,n_k} מקדם מולטינומי סימון מקוצר

סימון מקוצר למקדם המולטינומי. זהו מספר [תת קבוצה|תתי־הקבוצות]] בגדלים n_1 ,\dots ,n_k של קבוצה בגודל n, כאשר n_1 ,\dots ,n_k מספרים שסכומם n.
חישוב: {n \choose {n_1 ,n_2 ,\dots ,n_k}}=\frac{n!}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_k}
דוגמאות: מספר הדרכים לחלק 50 סטונדטים לשלוש הרצאות שונות, כך שבראשונה יהיו 20 אנשים, בשניה 17 ובשלישית 13 הוא {50 \choose 20,17,13} = \frac{50!}{20! \cdot 17! \cdot 13!}. הביטוי 5 \choose 3,4 אינו מוגדר, שכן 3+4\neq 5.
קל לראות שמתקיים: {n \choose k} = {n \choose k,n-k}, שכן על־פי ההגדרה {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

[עריכה] תורת הגרפים

סימון שם משמעות סוג סימונים מקבילים
G = (V,E) גרף G גרף מושג
גרף הוא אובייקט מתמטי המורכב משתי קבוצות: קבוצת הצמתים (V, vertices) וקבוצת הקשתות (E, edges).


[עריכה] אלגברה ליניארית