התמרת Z
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה
[עריכה] התמרת Z דו-צדדית (bilateral z-transform)
תהי
סדרה בזמן בדיד.
אזי התמרת
דו-צדדית שלה מוגדרת על ידי : ![\ X^{z} (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}](../../../math/a/f/3/af343fd1bc198238cf745850992a56b0.png)
כאשר
מספר מרוכב.
[עריכה] התמרת Z חד-צדדית (unilateral z-transform)
תהי
סדרה בזמן בדיד.
אזי התמרת
חד-צדדית שלה מוגדרת על ידי: ![\ X_{+} ^{z} (z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}](../../../math/6/0/b/60bcf40d60c8abd22a8250c9dac93f0b.png)
כאשר
מספר מרוכב.
[עריכה] תחום ההתכנסות (Region Of Convergence)
תחום ההתכנסות (ROC) של התמרת
הוא תחום של ערכי
(במישור המרוכב) עבורו מתקיים: ![\ X^{z} (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}<\infty](../../../math/8/1/6/816126b19ed0927deadb4858efd06b94.png)
כלומר - הסכום מתכנס.
תחום ההתכנסות של ההתמרה קשור לתכונות חשובות של הסדרה המותמרת, כגון סיבתיות, סופיות וכדומה.
[עריכה] ההתמרה ההפכית
ההתמרה ההפכית נתונה על ידי:
![\ x[n]=\frac{1}{2\pi j} \oint _{C}X^{z} (z)z^{n-1} dz](../../../math/5/1/9/519b5a565f10eb2b9c43b8dfa1ddd0bb.png)
כאשר
הוא עקום פשוט וסגור במישור הקומפלכסי המקיף את הראשית בכיוון
פעם אחת, ומוכל כולו בתחום ההתכנסות של
.
- הערה: במידה ומעגל היחידה כלול בתחום ההתכנסות של
אזי ניתן לחשבת את האינטגרל לאורך מעגל היחידה, ולכן אפשר לבטא את
כ- 
ונקבל את התמרת פורייה ההופכית (בזמן בדיד): ![\ x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{z} (e^{j\theta } )e^{j\theta n} d\theta =\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f} (\theta )e^{j\theta n} d\theta](../../../math/7/3/1/731537d20e284708e47965bb657d3a58.png)
התמרת פורייה בזמן בדיד היא למעשה מקרה פרטי של התמרת
.

