משפט הקוסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

יהי משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזווית שמולן הן \ \alpha, \beta, \gamma בהתאמה. משפט הקוסינוסים אומר:

\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

\ a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos \alpha

\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos \beta

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו \gamma = 90^\circ ולכן: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90^\circ = a^2 + b^2 - 2ab\cdot 0 = a^2 + b^2 .

[עריכה] הוכחה

Triangle

נוכיח את המשפט בהסתמך על משפט פיתגורס (שההוכחה שלו נמצאת בערך שלו).

ניקח משולש בעל צלעות b, a ו-c, ובעל זוויות B, A ו-C ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית B לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש הישר זווית השמאלי:

c^2 = (a \sin C)^2 + (b - a \cos C)^2\,
= a^2 \sin^2 C + b^2 - 2 ab \cos C + a^2 \cos^2 C\,
= a^2 (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2ab \cos C\,
=a^2+b^2-2ab\cos C\,

היות ש:

\sin^2 C + \cos^2 C=1.\,

[עריכה] ראו גם