סדרה הנדסית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים היא זהה. כלומר: כל איבר בסדרה שווה לאיבר הקודם בסדרה כפול מספר קבוע כלשהו (המנה).

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני אלו ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה. אם a1 הוא האיבר הראשון ו־q היא המנה, האיבר ה־n נתון על ידי: a_n=a_{1} \cdot q^{n-1}. כמו כן, ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־n (כולל) בעזרת שני מרכיביה על ידי: S_n=\frac{a_{1}\cdot(q^{n}-1)}{(q-1)}.

מנוסחת סכום הסדרה ההנדסית ניתן לראות שאם 1>|q|, הסדרה מהווה טור מתכנס, מכיוון שבגבול \ n \to \infty האיבר \ q^n שואף לאפס. סכום הטור האינסופי הוא \ \frac{a_1}{1-q}. לתכונה זו יש חשיבות יישומית מרובה. למשל, יש מבחני התכנסות לטורים שמתבססים על היכולת להשוות טור אינסופי לטור הנדסי.

סדרה הנדסית נקראת כך מכיוון שכל איבר מהווה ממוצע הנדסי של האיבר הקודם והעוקב.

[עריכה] הוכחת נוסחת הסכום

כדי להוכיח את נוסחת הסכום, ראשית נשים לב כי ניתן לכתוב את הסכום כך:

  • \ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+\dots+q^{n-1})

כעת נכפול ונחלק ב-\ q-1. התוצאה תהיה שנקבל סכום שבו רוב האיברים מבטלים זה את זה, פרט לראשון ולאחרון (סכום כזה מכונה טור טלסקופי):

  • \ (1+q+\dots+q^{n-1})(q-1)=q-1+q^2-q+\dots+q^n-q^{n-1}=q^n-1.

ומכאן נסיק:

  • \ (1+q+\dots+q^{n-1})=\frac{q^n-1}{q-1}

[עריכה] ראו גם