הומיאומורפיזם
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הומיאומורפיזם הוא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין שני מרחבים טופולוגים השומרת על הטופולוגיה. באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים.
תוכן עניינים |
[עריכה] פונקציות רציפות במרחב טופולוגי
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהיו
ו
מרחבים טופולוגיים.
נאמר שהעתקה
היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה הוא בעצמו קבוצה פתוחה. בניסוח פורמלי: לכל
הקבוצה
היא קבוצה פתוחה ב-
, כלומר:
.
הגדרה זו היא הרחבה של מושג הרציפות ממרחבים מטריים.
[עריכה] משפט
התכונות הבאות לגבי העתקה
בין שני מרחבים טופולוגים הן שקולות:
- ההעתקה
היא פונקציה רציפה. - התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת-בסיס של הטופולוגיה ב-
. - התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
רציפה נקודתית בכל
במרחב. כלומר, לכל
, לכל סביבה של
קיימת סביבה
של
כך ש-
.- לכל
מתקיים:
.
[עריכה] תכונות
- הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
[עריכה] הומיאומורפיזם
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהיו
ו-
מרחבים טופולוגיים.
נאמר שהעתקה
היא הומיאומורפיזם אם:
- ההעתקה
היא חד-חד-ערכית ועל, כלומר קיימת
. - ההעתקה
היא רציפה. - ההעתקה ההפוכה
רציפה גם כן.
נשים לב שגם ההעתקה ההפוכה
היא הומיאומורפיזם בין הטופולוגיות.
מרחבים
ו-
שקיים ביניהם הומיאומורפיזם נקראים הומיאומורפיים.
[עריכה] משפט
כדי להראות ש-
חח"ע ועל היא הומיאומורפיזם מספיק להראות ש:
- ההעתקה
רציפה. - ההעתקה
פתוחה: לכל
קבוצה פתוחה ב-
, התמונה שלה
פתוחה ב-
.
או ש:
- ההעתקה
רציפה. - ההעתקה
סגורה: לכל
קבוצה סגורה ב-
, התמונה שלה
סגורה ב-
.

[עריכה] משמעות ושימושיים
הומיאומורפיזם בין שני מרחבים טופולוגיים אומר שמבחינה טופולוגית הם זהים, עד כדי מתן שמות שונים לאיברי כל מרחב. ההומיאמורפיות של הפונקציה מספקת גם התאמה חח"ע ועל בין הטופולוגיות של כל מרחב ומערכת הסביבות של כל נקודה.
באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים. משמעות זה רלוונטית הרבה יותר כאשר עוסקים בטופולוגיה אלגברית ולא רק בטופולוגיה קבוצתית.
[עריכה] ראו גם
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |


