עיגולי גרשגורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, עיגולי גרשגורן מסייעים להערכת גודל הערכים העצמיים של מטריצה, באמצעות חישוב פשוט.

[עריכה] תיאור פורמלי

תהא \ A מטריצה מסדר \ n\times n מעל הממשיים או המרוכבים. נסמן \ R'_i(A)=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|. כלומר, \ R_i'(A) הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה מספר \ i, פרט לאיבר שנמצא באלכסון.

כעת, כל הערכים העצמיים של \ A נמצאים באיחוד העיגולים הבא:

\ \bigcup_{i=1}^n\left\{z\isin\mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le R_i'(A)\right\}.

הקבוצה המתוארת היא איחוד של \ n עיגולים סגורים במישור המרוכב, שמרכז כל אחד מהם הוא אחד מאיברי האלכסון הראשי של \ A, והרדיוס של כל עיגול הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה של המרכז, פרט לאיבר זה עצמו.

עוד אומר המשפט כי אם \ k מתוך העיגולים הללו יוצרים רכיב קשירות נפרד מ-\ n-k העיגולים האחרים, הרי שאותו רכיב קשירות מכיל בדיוק \ k מבין הערכים העצמיים.

[עריכה] מסקנות

מטריצה בעלת אלכסון שולט (diagonal dominant matrix) היא מטריצה שבה הערך באלכסון (בערכו המוחלט) גדול מסכום יתר האיברים בשורתו (בערכם המוחלט), כלומר \ \forall i: |a_{ii}|>R_i'(A). תוצאה מיידית של משפט גרשגורן היא: אם מטריצה היא בעלת אלכסון שולט אז המטריצה היא הפיכה. זאת מאחר שמטריצה היא הפיכה אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, אבל שליטה אלכסונית חזקה מבטיחה שכל אחד מהעיגולים אינו מכיל את ראשית הצירים (כי המרחק של מרכזם מהראשית גדול מרדיוס העיגול).