משתמש:Gadial/ארגז חול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

לשם ההוכחה משתמשים במושג של מספרים ניתנים לבנייה. אומרים על מספר (ממשי) \ a שהוא ניתן לבנייה אם ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה קטע שאורכו \ |a|. נקודת המוצא שלנו היא קיום קטע באורך 1 (די לצייר כל קטע באמצעות הסרגל ולקבוע את קצותיו בתור 0 ו-1 כדי שיתקיים כזה).

ניתן להראות כי אם \ a,b ניתנים לבנייה אז גם \ a+b,a-b,ab ניתנים לבנייה, ואם \ b\ne 0 אז גם \ \frac{a}{b} ניתן לבנייה. (ההוכחה גיאומטרית מעיקרה, ומבוססת על שימוש במשולשים דומים). מכאן שהמספרים הניתנים לבנייה מהווים שדה ביחס לפעולות החיבור והכפל, שמכיל את שדה המספרים הרציונליים.

בבניות באמצעות סרגל ומחוגה ניתן ליצור שלושה אובייקטים: קווים ישרים, מעגלים ונקודות. נקודות חדשות מתקבלות מחיתוכים של ישרים ומעגלים. אם ניתן לבנות נקודה, אז ניתן לבנות גם את הגובה שלה על ציר \ x ועל ציר \ y, ואורכי גבהים אלו יהיו הערכים המוחלטים של הקוארדינטות של הנקודה. לכן ניתן לזהות כל נקודה במישור עם זוג המספרים \ (a,b) כאשר שניהם ניתנים לבנייה.

כעת, כל ישר ניתן לתאר באמצעות שתי נקודות שעליו, ולקבל את המשוואה הכללית \ ax+by+c=0 כאשר \ a,b,c מספרים ניתנים לבנייה. באותה צורה ניתן גם לתאר מעגל בצורה כללית באמצעות המשוואה \ ax^2+by^2+cx+dy+e=0 כאשר כל המקדמים ניתנים לבנייה. לכן, מציאת נקודת החיתוך של ישרים ומעגלים שקולה לפתרון של מערכת משוואות ממעלה שנייה לכל היותר במקדמים שהם מספרים ניתנים לבנייה. מכאן שכל נקודה ניתנת לבנייה מתקבלת ממספרים ניתנים לבנייה באמצעות מספר סופי של ארבע פעולות החשבון ופעולת הוצאת השורש, הדרושה לפתרון משוואה ריבועית.

תהא כעת \ a נקודה ניתנת לבנייה כלשהי, ויהא \ F שדה שמכיל אותה (שדה הרחבה שלה). אנו רוצים למצוא מהו \ [F:\mathbb{Q}], כלומר מהו המימד של \ F כמרחב וקטורי מעל \ \mathbb{Q}. ניתן להוכיח כי \ F התקבל מ-\ Q על ידי הוספת מספר סופי של שורשים של משוואות ממעלה שנייה (המספרים שנבנו כתוצאה מחיתוך עם מעגל), ולכן \ [F:\mathbb{Q}]=2^r כאשר \ r טבעי.