מכפלה סקלרית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מכפלה סקלרית היא פעולה הפועלת על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי
ומחזירה סקלר (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי. בערך זה נדון בעיקר במכפלה הסקלרית במרחב האוקלידי
וביישומיה בגאומטריה ובאנליזה וקטורית.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות ובאמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.
[עריכה] ההגדרה הגאומטרית
יהיו שני וקטורים
. מכפלתם הסקלרית (המסומנת בנקודה) שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם. בסימנים -
.
(אין חשיבות לזווית שנבחר להגדיר כזווית שבין שני הווקטורים, כיוון שערך קוסינוס זווית וקוסינוס הזווית הצמודה לה, משלימתה ל־360 מעלות, שווים)
[עריכה] ההגדרה האלגברית
במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -
מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי -
במקרה של המרחב
, יהיו שני וקטורים
, אזי המכפלה הסקלרית ביניהן תסומן כ
(יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל שמנה יותר, זו הסיבה מדוע באנגלית מכפלה זו נקראת dot product).
בקואורדינטות קרטזיות, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי
ניתן להכליל נוסחה זו עבור כל בסיס אורתונורמלי.
[עריכה] תכונות ומאפיינים
נבחין בכמה מאפיינים של המכפלה הסקלרית:
- המכפלה הסקלרית היא קומוטטיבית, כלומר מתקיים עבורה "חוק החילוף".
- מכפלה סקלרית של שני וקטורים שונים מאפס תהיה שווה ל-0 אם ורק אם הם ניצבים זה לזה (כיוון ש-
). מעובדה זו נגזר שמם של וקטורים במרחב מכפלה פנימית כללי שמכפלתם הפנימית שווה ל-0, וקטורים כאלה קרויים אורתוגונליים (ביוונית, ניצבים).
[עריכה] משמעות
המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים נותנת למעשה את ההיטל של אחד על השני. כלומר: ההיטל של וקטור
על
נתון על ידי
כאשר "כובע" מסמן וקטור יחידה.
[עריכה] ראו גם
- מרחב וקטורי
- מכפלה פנימית (הכללה של מכפלה סקלרית)
- מכפלה וקטורית (מכפלה מסוג שונה ב-
) - דיברגנץ
| נושאים באלגברה לינארית |
|---|
|
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור |





