מספרים חברותיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מספרים חברותיים הם שרשראות של מספרים שכל אחד מהם הוא סכום מחלקיו של המספר שלפניו (כאשר 1 נחשב למחלק, אך כל מספר אינו נחשב למחלק של עצמו), והראשון של האחרון.

לשרשראות מסדר (כלומר בגודל) 2, ישנה הגדרה נפרדת: מספרים ידידותיים. כך גם לשרשראות מסדר 1 הקרויים: מספרים משוכללים, אולם שניהם הינם מקרים פרטיים של מספרים חברותיים. גם מספרים ידידותיים וגם מספרים משוכללים, היו כבר ידועים ליוונים.

שרשראות מסדר הגדול מ-2, נתגלו לראשונה בשנת 1918, האחת מסדר 5:

14288, 15472, 14536, 14264, 12496

השנייה מסדר 28:

14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

שרשרת מסדר 4 נתגלתה לראשונה רק בשנת 1969, אולם דווקא שרשראות כאלו, נתגלו מאז בכמות גדולה יותר מאשר כל סדר אחר הגדול מ-2.

כיום (נובמבר 2006), כאשר מתמטיקאים סורקים את המספרים בעזרת מחשבים בנסיון לגלות שרשראות כאלו, ידועות כבר שרשראות מהסדרים הבאים:


סדר 1 2 4 5 6 8 9 28
כמות 44 11,222,079 140 1 5 2 1 1


גילויים אלו, והעובדה שנתגלו שרשראות רבות בגדלים 2 ו4, ואפילו לא אחת בגודל 3. מעלים תהיות שעדיין לא נפתרו, האם ישנם שרשראות כאלו בכל גודל שהוא, או שעבור גדלים מסוימים אין אף שרשרת? וגם להיפך, האם לכל הגדלים או לפחות עבור גדלים מסוימים, ישנם אינסוף שרשראות כאלו?

השאלה אם ישנם אינסוף מספרי מרסן, הגוררים את קיומם של אינסוף מספרים משוכללים היא מקרה פרטי של הבעיה הקודמת.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים