משוואת הגלים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משוואת הגלים היא משוואה שמתארת באופן כללי את התנהגותם של כל סוגי הגלים. הצורה הכללית של המשוואה היא
זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:
הוא המקום במרחב.
הוא הזמן.- הפונקציה
היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
היא מהירות התקדמות ההפרעה.
הוא הלפלסיאן.
תוכן עניינים |
[עריכה] משוואת הגלים החד-ממדית
עבור גל חד ממדי המשוואה היא:
כאשר
הוא המקום במרחב החד ממדי.
פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה-רון ד'אלמבר והוא:
F מייצג גל שנע עם כיוון ציר הx ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך.
פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:
כאשר
הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזויתית היא
.
[עריכה] פתרון בשיטת פורייה
הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא
. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת שילוב של סינוסים וקוסינוסים, או בעזרת סינוסים עם פאזות, בנושא זה כדאי לראות את המאמר הדן באוסצילטור הרמוני.
כאשר:
- הגודל
הוא התדירות הזוויתית של הגל. - הווקטור
הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל,
. - הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא
, במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-לינארי והפונקציה
נקראת יחס נפיצה. - הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה
, כאשר פונקציית המשרעת
נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שוקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי התמרת פורייה של פונקציית המשרעת:
עבור גלים לא אידאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.
[עריכה] פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר
על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים והצבת תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד ממדית הנתונה בצורה הבאה:
[עריכה] נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית

[עריכה] נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית










