# אי שוויון קושי-שוורץ

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, אי שוויון קושי-שוורץ (הקרוי לעתים גם אי שוויון קושי-בוניקובסקי-שוורץ) הוא אי שוויון הקושר את המכפלה הפנימית והנורמה במרחבי מכפלה פנימית. מכיוון שמרחבים וקטוריים רבים מצויידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי-השוויון של קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית.

## [עריכה] היסטוריה

הגרסה הראשונה והפשוטה ביותר של אי-השוויון, אותה גילה אוגוסטין קושי ב- 1821, קובעת ש- כאשר הם מספרים ממשיים. לאי-שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים ו- פרופורציוניים זה לזה.

ב- 1859 הציג ויקטור יקובלביץ' בוניקובסקי (1804-1889) את הגרסה האינטגרלית של אי-השוויון: . בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של אי-השוויון החדש, והסתפק בציטוט אי-השוויון של קושי.

ב-1885 הזדקק הרמן שוורץ, שישב אז באוניברסיטת גטינגן, לאי-השוויון , המשווה בין אינטגרלים כפולים. מאוחר יותר הובנו שלושה אי-שוויונים אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל מרחב מכפלה פנימית (ראו להלן).

שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי-השוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של פולינום ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא אי-השוויון הכללי אי שוויון קושי-שוורץ.

## [עריכה] אי-השוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים

בצורתו המודרנית, אי-שוויון קושי שוורץ קובע שאם הוא מרחב מכפלה פנימית (מעל הממשיים או המרוכבים), אז לכל מתקיים

  ,

כאשר מסמן את הנורמה המושרית על מן המכפלה הפנימית.

התוצאה החשובה ביותר של אי-שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר זווית בין שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, לפי המשוואה , שהרי ערכו של השבר לעולם בין ל- . במקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית במישור האוקלידי או במרחב התלת-ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.

בין המקרים הפרטיים של אי-השוויון, ניתן למצוא את הטענות

ו-

המתקבלות מן המקרים ו- (המרחב L2) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.

## [עריכה] הוכחת אי-השוויון

אם אחד הווקטורים שווה ל-0, אי השוויון מתקיים באופן טריוויאלי כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי .

כעת יהא כלשהו. ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית V הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.

נפתח את הביטוי . פיתוח ביטוי זה יתן לנו משוואה ריבועית ב- , ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי תמיד גדול או שווה לאפס, נוכל להסיק מכך שהדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית קטנה או שווה לאפס. מהאי שוויון המתקבל נפיק את אי שוויון קושי-שוורץ.

פיתוח הביטוי:

קיבלנו פולינום ריבועי במקדמים ממשיים במשתנה , שערכו תמיד גדול או שווה לאפס. פירוש הדבר הוא שהדיסקרימיננטה של הביטוי תמיד קטנה או שווה לאפס (הפרבולה שמיוצגת על ידי המשוואה לכל היותר נוגעת בציר אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר). על כן, נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה: . אם אי שוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי , נעביר אגפים ונחלק ב-. נקבל: . הוצאת שורש משני האגפים נותנת לנו את אי שוויון קושי-שוורץ.

## [עריכה] הוכחה נוספת

יהיו שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השיוויון. אם או , ברור כי מתקיים שיוויון. נניח מעתה וכן . נגדיר את הווקטור באופן הבא: . נשים לב כי ניצב ל-: שני וקטורים הם ניצבים אם ורק אם המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:

מכאן, נחשב את :

ומכאן:

כלומר, הראינו כי ומכאן: או .

## [עריכה] אי שוויון המשולש

אי שוויון המשולש במרחבים נורמיים בהם הנורמה מושרית ממרחב מכפלה פנימית, נובע מאי שוויון קושי-שוורץ:

לפי הגדרת הנורמה במרחבי מכפלה פנימית:

נפתח את הביטוי על ידי שימוש בתכונות המכפלה הפנימית ונקבל:

בשני האגפים מופיע מספר חיובי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:

## [עריכה] ראו גם

- אי-שוויון הולדר
- אי-שוויון מינקובסקי
- אי-שוויון המשולש

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%99/_/%D7%90%D7%99_%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%A8%D7%A5.html

קטגוריות: אנליזה מתמטית | אלגברה | אי-שוויונות

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Dansk
- Deutsch
- Español
- Suomi
- Français
- Magyar
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Nederlands
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Русский
- Svenska
- 中文