הפרדת משתנים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
| הערך נמצא בשלבי עריכה הנכם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו כדי למנוע התנגשויות עריכה. שימו לב! אם דף זה לא נערך במשך שבוע, רשאי כל ויקיפד להסיר את התבנית ולהמשיך לערוך אותו. |
הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיסיקליות חשובות רבות (לדוגמא משוואת שרדינגר, משוואת הגלים,משוואת דיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.
[עריכה] דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים
[עריכה] במשוואה דיפרציאלית רגילה
נתבונן במשוואה הבאה
.
ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:
.
כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השיוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.
חישוב האינטגרל נותן
- ln | y | − ln | 1 − y | = x + C
כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:
.
[עריכה] במשוואה דיפרנציאלית חלקית
נתבונן במשוואת הגלים
ננחש פתרון מן הצורה ψ(x,t) = φ(x)χ(t) נציב זאת למשוואה ונקבל:
נחלק ב
ונקבל
במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשיוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב λ. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:
שאותן קל יותר לפתור (בדוגמא שלנו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).







