מחלק אפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, איבר a של חוג נקרא מחלק אפס שמאלי אם הוא שונה מאפס, וקיים איבר b שגם הוא שונה מאפס כך ש-ab = 0. בצורה דומה מוגדר מחלק אפס ימני. מחלק אפס שהוא גם ימני וגם שמאלי נקרא בפשטות מחלק אפס. אם החוג קומוטטיבי, מחלק אפס שמאלי הוא גם ימני. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום, וחוג כזה שהוא גם קומוטטיבי נקרא תחום שלמות.

[עריכה] דוגמה

נביט בחוג המטריצות מסדר \ 2\times 2 מעל המספרים הרציונליים עם החיבור והכפל הסטנדרטיים. נשים לב כי \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}

על כן \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} היא מחלק אפס שמאלי ו\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} היא מחלק אפס ימני.


[עריכה] משפטים הנוגעים למחלקי אפס

[עריכה] איברי יחידה של תת חוג

משפט

אם \ R חוג, \ S\subseteq R תת חוג שלו, בעל איבר יחידה \ 1_S\ne 0. אם איבר יחידה זה אינו איבר היחידה של \ R (אם בגלל שאיבר היחידה של \ R, \ 1_R, שונה ממנו, ואם בגלל של\ R אין איבר יחידה) אז \ 1_S הוא מחלק אפס ב\ R.

הוכחה

אם ל\ R יש איבר יחידה \ 1_R\ne 1_S אז נשים לב שמתקיים \ 1_R\cdot 1_S=1_S, כי איבר היחידה של החוג כפול כל איבר אחר נותן את האיבר האחר.

כמו כן מתקיים \ 1_S\cdot 1_S=1_S, כי איבר היחידה של \ S כפול כל איבר אחר מתוך \ S (ובפרט הוא עצמו) נותן את האיבר האחר.

לכן קיבלנו \ 1_R\cdot 1_S=1_S\cdot 1_S ולאחר העברת אגפים והוצאת גורם משותף נקבל \ (1_R-1_S)\cdot 1_S=0. מכיוון ש\ 1_R\ne 1_S הרי ש\ 1_R-1_S\ne 0 ולכן בהכרח \ 1_S הוא מחלק אפס.


אם ל\ R אין איבר יחידה, בפרט \ 1_S אינו איבר יחידה של החוג כולו, ולכן בלי הגבלת הכלליות קיים \ x\isin R כך ש\ 1_S\cdot x\ne x, כלומר: \ 1_S\cdot x-x\ne 0.

כעת נביט בביטוי \ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x). לאחר פתיחת סוגריים נקבל: \ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x)=1_S^2\cdot x-1_S\cdot x=1_S\cdot x-1_S\cdot x=0. ובגלל ש\ 1_S\cdot x-x\ne 0 נקבל שבהכרח \ 1_S מחלק אפס.

שפות אחרות