משתמש:MathKnight/כלל הקונבולוציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט: טרנספורם פורייה של קונבולוציה של 2 פונקציות הוא מכפלת טרנספורמי הפורייה של הפונקציות.

הוכחה: נוכיח ש \widehat{f*g} = \hat{f} \cdot \hat{g} באמצעות התמרת פורייה.

\ f * g = \int{ f(t-s)g(s)ds } = \int{ ds \left( \frac{1}{2 \pi} \int F( \omega ) e^{i \omega (t-s)} d \omega \right) \left( \frac{1}{2 \pi} \int G(w) e^{i w s} dw \right) } =
\ = \frac{1}{2 \pi} \int{ d \omega  \int dw F( \omega ) G(w) e^{i \omega t} \frac{1}{2 \pi} \int{ e^{i (w - \omega ) s} ds } } =
= \frac{1}{2 \pi} \int{ d \omega  F( \omega ) e^{i \omega t} \int G(w)  \delta( w - \omega) dw } = \frac{1}{2 \pi} \int{ F( \omega) G( \omega) e^{i \omega t} d \omega}

מה שהיה להוכיח.