המרחב המשיק
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המרחב המשיק בגאומטריה דיפרנציאלית הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב לינארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן זה, שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה. לכל נקודה
על היריעה יש מרחב משיק משלה שמסומן ב
אבל היות וכל המרחבים המשיקים הם מרחבים וקטורים באותו מימד, הם איזומורפיים זה לזה.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה
[עריכה] הגדרה על ידי נגזרות כיווניות
במרחב האוקלידי למונח "הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם מהנקודה" יש פירוש אינטואטיבי כמרחב כל הנגזרות הכיווניות בנקודה. זהו מרחב וקטורי שאיזומורפי למרחב האוקלידי עצמו (על ידי האיזומורפיזם הטבעי שמעביר את הנגזרת הכיוונית לפי הווקטור v לווקטור v עצמו).את מרחב הנגזרות הכיוונות בנקודה p ניתן להציג כאוסף של פונקציונלים: 
משמעות התנאי היא ש-v הוא פונקציונל לינארי על מרחב הפונקציות החלקות (
), שמקיים בנוסף ללינאריות תנאי גזירה מסוים (שלעתים מכונה "כלל לייבניץ") לגבי הפעולה שלו על מכפלה. אוסף זה מכונה המרחב המשיק בנקודה p ואיבריו מכונים וקטורים משיקים. ניתן לראות מההגדרה של האוסף שהוא מרחב לינארי ומקיים, לפי כלל לייבניץ', שלכל וקטור משיק
, כלומר כל הווקטורים המשיקים מתאפסים על פונקציות קבועות.
ההצגה הזו שנראית אולי מסורבלת במרחב האוקלידי מאפשרת ליצור הכללה ליריעות דיפרנציאליות כלליות בצורה טבעית ביותר- ביריעה M המרחב המשיק בנקודה p, הוא האוסף הבא:
כאשר
הוא אוסף הפונקציות החלקות על היריעה M. כמו במרחב האוקלידי זהו מרחב וקטורי בעל מימד ששווה למימד היריעה. אם
מערכת קואורדינטות מקומיות בנקודה p אז הווקטורים המשיקים
הם בסיס למרחב המשיק בנקודה (כאשר הם מוגדרים
ו- ti הוא הציר ה-i-י במערכת הצירים ב-
).
ביריעות שגזירות רק k פעמים (כלומר שלכל שתי מפות הפונקציה
גזירה k פעמים אבל לא בהכרח חלקה) ההגדרה הנ"ל יכולה ליצור מרחב ממימד אינסופי ולכן מגדירים את המרחב המשיק ביריעות האלו כמרחב שנפרש על ידי הווקטורים המשיקים
שמוגדרים באותה צורה.
[עריכה] הגדרה על ידי מסילות חלקות
ניתן להגדיר את המרחב המשיק מכיוון יותר גאומטרי: אם נלך לאורך קו מסוים על היריעה (שניתן על ידי עקומה חלקה) וניקח פונקציה חלקה כלשהי, אז לאורך אותו עקום הפונקציה החלקה הזו תיוצג כפונקציה ממשית במשתנה אחד. את הפונקציה הזו אפשר לגזור בצורה הרגילה וכך לראות איך היא משתנה לאורך אותו קו (גדלה, קטנה וכו').
באופן פורמלי: תהי
עקומה חלקה. נגדיר את הווקטור המשיק ל-
בנקודה
(על ידי הפעולה שלו על פונקציה חלקה):
.
זהו וקטור משיק (לפי ההגדרה הקודמת- כלומר פונקציונל לינארי שמקיים את כלל לייבניץ). יתר על כן- כל וקטור משיק ניתן להצגה כמשיק של עקום חלק כלומר זו הגדרה שקולה להגדרה הקודמת של המרחב המשיק.
[עריכה] מבנים נוספים
[עריכה] האגד המשיק
האגד המשיק הוא איחוד כל המרחבים המשיקים על פני כל היריעה, מסומן ב
. איחוד זה הוא איחוד זר כיוון שכל וקטור משיק שייך למרחב משיק של נקודה אחת בלבד, מעצם ההגדרה שלו (בעצם כל וקטור הוא מהצורה
כאשר
).
על האגד המשיק קיים מבנה טבעי של יריעה שנוצר על ידי המפות:
כאשר n הקוארדינטות הראשונות פועלות על p ו-n האחרונות על v, ו-
היא מפה שמכילה את p. האגד המשיק הוא יריעה חלקה במימד כפול ממימד היריעה.
פונקציות מהיריעה לאגד המשיק נקראות שדות וקטורים. כאשר הפונקציות האלו חלקות אומרים שזהו שדה וקטורי חלק (או
) בדרך כלל מתעסקים בשדות וקטוריים חלקים בלבד וכאשר אומרים "שדה וקטורי" הכוונה היא לשדה וקטורי חלק אלא אם אומרים במפורש אחרת. לשדות הווקטוריים יש חשיבות בהכללת אלמנטים מהמרחב המשיק שבכל נקודה לאגד המשיק כולו בצורה חלקה, כמו במטריקת רימן ובמערכת משוואות דיפרנציאליות על יריעות.
אם
מערכת קואורדיטות מקומיות, אז ב-U ניתן להציג את השדה הווקטורי V על ידי:
כאשר הפונקציות
חלקות אם ורק אם V הוא שדה וקטורי חלק.
מההצגה הזו ניתן לראות את השדות הווקטוריים כאופרטורים על הפונקציות החלקות שמהווים הרחבה של הווקטורים המשיקים הנקודתיים ליריעה כולה. (כאשר אם g היא הפונקציה
אז נגדיר
ומההצגה של השדה הווקטורי כסכום- g חלקה.) האגד המשיק הוא מקרה פרטי של אגד וקטורי מעל היריעה.
[עריכה] המרחב הקו-משיק
המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי ממימד סופי, ולכן המרחב הדואלי שלו הוא גם כן מרחב וקטורי מאותו מימד. מרחב זה נקרא המרחב הקו-משיק ומסומן Tp*M .באמצעות מרחב זה מגדירים את האינטגרל על היריעה.
עבור כל פונקציה חלקה f הדיפרניציאל של f הוא וקטור במרחב הקו-משיק שמוגדר (על ידי הפעולה שלו על וקטורים משיקים):
לכל 
הבסיס הדואלי לבסיס
הוא
ולפי הנוסחאות של מרחבים דואליים (ממימד סופי):
קל לראות שכל וקטור קו-משיק ניתן להצגה כדיפרניציאל של פונקציה חלקה, ומכאן נובעת הגדרה שקולה למרחב הקו-משיק, על ידי פיתוח טיילור:
נגדיר אידאל בחוג
(חוג הפונקציות החלקות בסביבת p) על ידי:
זהו האידאל של כל הפונקציות החלקות שמתאפסות ב-p. מתוכו ניקח אידאל קטן יותר- I2 שהוא האידאל שנוצר על ידי כל הפונקציות שמתאפסות פעמיים כלומר כל הפונקציות שהן מכפלה של שתי פונקציות מ-I.
ביריעה חלקה ניתן להציג כל פונקציה חלקה על ידי טור טיילור שלה, לדוגמה עבור יריעה ממימד 2:
כאשר
.
שימו לב שבטענה למעלה הקואורדינטות x ו-y הן קואורדינטות מקומיות ולכן ההצבה שלהם בתוך הפונקציה f היא קיצור. f מקבלת ערכים מתוך היריעה עצמה ולא מהמישור האוקלידי, והכוונה בקיצור היא לנקודה על היריעה שהקואורדינטות המקומיות שלה הן x,y. חוג המנה I/I2 איזומורפי באופן טבעי למרחב הקו-משיק, על ידי ההגדרה: (ψ(f + I2)(v) = v(f כאשר ψ היא פונקציית האיזומורפיזם בין I/I2 למרחב הקו-משיק. בדרך זו גם ניתן להראות שמימד המרחב המשיק הוא כמימד היריעה.



