קומפקטיות מקומית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה בעלת סגור קומפקטי. באופן שקול, מרחב הוא קומפקטי מקומית אם קיים כיסוי פתוח למרחב שכל קבוצה בו היא בעלת סגור קומפקטי. אפשר לחשוב על תכונה זו כעל האפשרות לפרק את המרחב למספר חלקים, שחלקם חופפים זה לזה, שכל אחד מהם קומפקטי בפני עצמו.
עבור מרחבים טופולוגיים כלליים שאינם מרחבי האוסדורף קיימות הגדרות שונות בספרות וההגדרה המקובלת (בוויקיפדיה) היא: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי מקומית אם בכל נקודה קיים בסיס מקומי שמורכב מקבוצות קומפקטיות.
כל מרחב קומפקטי הוא בפרט קומפקטי מקומית, אבל בדרך כלל לא מתקיים הכיוון ההפוך. לדוגמה- הישר הממשי הוא מרחב קומפקטי מקומית כי לכל נקודה ניתן לקחת קטע סופי שמכיל אותה. אוסף זה יכסה את הישר והסגור של כל קבוצה יהיה קומפקטי לפי משפט היינה בורל, לעומת זאת, הישר הממשי איננו קומפקטי.
קומפקטיות מקומית היא "תכונה תורשתית", כלומר על כל קבוצה פתוחה או סגורה במרחב המקורי הטופולוגיה המושרית היא בעלת התכונה קומפקטיות מקומית. היא איננה תכונה תורשתית במובן הרגיל (כלומר לא לכל תת קבוצה, הטופולוגיה המושרית עליה היא קומפקטית מקומית). לדוגמה- הספירה הדו-ממדית היא מרחב קומפקטי (כי היא קבוצה סגורה וחסומה במרחב התלת-ממדי). אם נוציא ממנה נקודה אחת היא כבר לא תהיה קומפקטית, אך היא תישאר קומפקטית מקומית. במקרה הזה המרחב הטופולוגי שנותר הומאומורפי למישור.
מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא מרחב רגולרי (לעומת זאת מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב נורמלי).
[עריכה] לקריאה נוספת
- דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

