אופרטור הרמיטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אופרטור הרמיטי הוא אופרטור לינארי ממרחב הילברט לעצמו, המקיים תכונות מיוחדות שהופכות אותו לשימושי במיוחד.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

יהי H מרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים ותהי < , > מכפלה פנימית.

[עריכה] הצמוד ההרמיטי

יהי A אופרטור לינארי חסום. נגדיר את הצמוד ההרמיטי של A ונסמנו A^\dagger (מבוטא "A דאגר") באופן הבא:

\forall x,y \in H \ : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang

ממשפט ההצגה של ריץ מובטחים לנו קיומו ויחידותו של הצמוד ההרמיטי, וכן שהוא אופרטור לינארי וחסום גם כן.

תכונות הצמוד ההרמיטי:

  1. {( A^\dagger )}^\dagger = A
  2. (A + B )^\dagger = A^\dagger + B^\dagger
  3. ( \lambda A )^\dagger = \lambda^* A^\dagger = \overline{\lambda} A^\dagger
  4. (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger

תכונות אלה מגדירות מבנה שנקרא אלגברה כוכב או אלגברה*.

אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי

\| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}

אזי

\| A^\dagger \| _{op} = \| A \| _{op}.

יתרה מכך,

\| A^\dagger A \| _{op} = \| A \| _{op}^2

זוהי תכונה שימושי מאחר ו A^\dagger A הוא אופרטור הרמיטי.

[עריכה] אופרטור הרמיטי

אנו נאמר שאופרטור A הוא הרמיטי (מונח מקובל נוסף הוא צמוד לעצמו) אם

A = A^\dagger

שזה שקול ל

\forall x,y \in H : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang

כלומר, אפשר ל"הקפיץ" את האופרטור בין שני אגפי המכפלה הפנימית.

אופרטורים הרמיטיים הם מאוד שימושיים בגלל משפט הפירוק הספקטרלי. מעל מרחב הילברט ספרבילי מובטח לנו שאם A אופרטור הרמיטי, אזי:

  1. \ \lang x , Ax \rang הוא מספר ממשי לכל וקטור x. במילים האחרות, העקבה של A ממשית.
  2. כל הערכים העצמיים של A הינם ממשיים.
  3. סט הווקטורים העצמיים שלו מהווים בסיס אורתונורמלי.
  4. האופרטור A ניתן לליכסון יוניטרי כך שכל הע"ע הם ממשיים.

משפט הפירוק הספקטרלי הוא הבסיס לאנליזת פורייה ופיתוח לטור פורייה.

[עריכה] הגדרה יותר ריגורוזית

כאשר האופרטור A איננו מוגדר על כל מרחב הילברט H עושים הבחנה בין אופרטור הרמיטי לאופרטור צמוד לעצמו.

אופרטור A המוגדר מעל תחום \ \mbox{dom}A \subset H הצפוף ב H נקרא הרמיטי (או סימטרי), אם:

\ \forall x , y \in \mbox{dom}A \ \ : \ \lang A x , y \rang = \lang x , A y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang ו \ \mbox{dom}A \subset \mbox{dom} A^\dagger.

חשוב להדגיש שכאן האופרטור הצמוד מוגדר על תחום רחב יותר מאשר A ולכן קיימים איברים שעבורם הצמוד מוגדר אך A לא! לכן, A איננו שווה ל A-צמוד, אלא רק מזדהה איתו על תת-תחום מסוים.

לעומת זאת, אופרטור A המוגדר מעל תחום \ \mbox{dom}A \subset H הצפוף ב H נקרא צמוד לעצמו, אם \ A = A^\dagger. כלומר: A אופרטור הרמיטי שמקיים \ \mbox{dom}A = \mbox{dom} A^\dagger. כאן, יש להדגיש, מתקיים שוויון ממש בין האופרטורים.


[עריכה] מטריצה הרמיטית

מקרה פרטי חשוב ונפוץ של אופרטור הרמיטי הוא מטריצה הרמיטית. כזכור, כל אופרטור לינארי שפועל על מרחב ממימד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה (שהיא המטריצה המייצגת בבסיס שנקבע מראש).

עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).

את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:

A^\dagger := \overline{A}^T = \overline{A^T}

כאשר T מסמן שחלוף ו \overline{a+ib} = a - ib הוא לקיחת צמוד מרוכב. הערה: קל לבדוק שהגדרה זו היא אכן מקרה פרטי של ההגדרה הכללית כאשר מפרשים מכפלה סקלרית ככפל מטריצות רגיל של וקטור שורה בוקטור עמודה.

מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר A = A^\dagger, נקראית מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.

מטריצה הרמיטית היא מטריצה טובה, ומאחר ותמיד אפשר ללכסן אותה כך שהמטריצה המלכסנת היא יוניטרית (זה מקרה פרטי של משפט הפירוק הספקטרלי והליכסון היוניטרי). במטריצה אלכסונית הרבה יותר קל לבצע חישובים (כגון כפל מטריצות).


[עריכה] יישומים

[עריכה] פיזיקה

לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים. כחלק ממערכת הסימונים שמיחדת את מכניקת הקוונטים משתמשים בסימוני דיראק. במערכת זו כל הגדלים המדידים - הפיזיקלים מסומנים על ידי אופרטור הרמיטי, לדוג' אנרגיה, תנע, תנע זויתי. הסיבה לכך היא שגודל מדיד חייב להיות מספר ממשי (לא ייתכנו גדלים מדידים מדומים) בעוד שלמטריצות הרמיטית ערכים עצמיים (=ערכי מדידה) ממשיים בלבד.

[עריכה] יישומים אחרים


נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור

שפות אחרות