שורשי יחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, השורש ה-n-י של 1 הוא מספר מרוכב הנמצא על מעגל היחידה. כאשר מסתכלים על שורשי היחידה כנקודות במישור גאוס, הנקודות הן הקודקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות.

[עריכה] הגדרה

המספרים המרוכבים z שפותרים את המשוואה: z^n = 1 \qquad (n \in \mathbb{N}_0). עבור n נתון נקראים השורשים ה-n-ים של 1, או שורשי היחידה מסדר n. ישנם n שורשים שונים לכל n.

ניתן להציג את שורשי היחידה בעזרת נוסחת אוילר בצורה הבאה:

e^{2 \pi i k/n} \qquad (k,n \in \mathbb{N}_0 \mbox{ and } k < n).

שורש n פרמיטיבי של 1 הוא מספר שבנוסף מקיים את התנאי: \ (k,n)=1, כלומר ש k ו-n שבנוסחה זרים. פונקציית אוילר, \ \phi (n), מוצאת את מספר האיברים k שזרים ל-n נתון, ולכן ישנם \ \phi (n) שורשים n פרמיטיביים של 1 שונים.

שורשי היחידה ה-n-ים יוצרים חבורה ציקלית, מסדר n תחת פעולת הכפל המרוכב, כאשר שורשים n-פרמיטיביים של 1 הם היוצרים של החבורה.

[עריכה] דוגמאות

שורשי היחידה מסדר 3 הם:

\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\,.

ושורשי היחידה הפרמיטיביים מסדר 3:

\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}\,.

שורשי היחידה מסדר 4 הם:

\left\{ 1, +i, -1, -i \right\}\,.

כאשר הפרמיטיביים מתוכם הם:

\left\{ +i, -i \right\}\,.

[עריכה] הפולינום הציקלוטומי

השורשים ה-n-ים של 1 הינם השורשים של הפולינום \ p(x)=x^n-1.

השורשים ה-n פרמיטיביים של 1 הם השורשים של הפולינום הציקלוטומי מסדר n:

\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\phi(n)}(X-z_k)\;

כאשר \ z_1,...,z_{\phi(n)} הם השורשים ה-n פרמיטיביים של 1. משפט מפתיע טוען שהמקדמים של הפולינום הציקלוטומי הם שלמים.

בעזרת תורת גלואה מוכיחים שהפולינום הציקלוטומי מסדר n הוא הפולינום המינימלי של שורש n פרמיטיבי של 1, \ z_n, מעל השדה \  \mathbb{Q}. כלומר \ \Phi_n(X) פולינום אי פריק מדרגה מינימלית מעל \ \mathbb{Q} שמאפס את \ z_n.


כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרמיטיבי של 1 עבור בדיוק מחלק אחד של n. כתוצאה מכך נובע:

X^n - 1 = \prod_{d\,\mid\,n} \Phi_d(X)\;.

הנוסחה מציגה את הפולינום \ x^n-1 כמכפלה של פולינומים בלתי פריקים. בנוסף לכך ניתן, בעזרת הנוסחה, לחשב באופן רקורסיבי את הפולינומים הציקלוטומים.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם:

Φ1(X) = X − 1
Φ2(X) = X + 1
Φ3(X) = X2 + X + 1
Φ4(X) = X2 + 1
Φ5(X) = X4 + X3 + X2 + X + 1
Φ6(X) = X2X + 1

באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ובנוסף לכך:

\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k

כאשר מרחיבים את \ \mathbb{Q} בעזרת \ z_n, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, \ F_n. השדה ה-n ציקלוטומי מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של \ \Phi_n(X) מעל \ \mathbb{Q}. הרחבת השדות \ F_n/\mathbb{Q} היא מדרגה \ \phi (n).