מחלקה (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת חבורה \ H היא קבוצה של איברי חבורה \ G שמתקבלים מהכפלת אברי \ H באיבר כלשהו מהחבורה. כל המחלקות של תת חבורה כלשהי \ H מהווים חלוקה של \ G לקבוצות שוות בעוצמתן.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא \ G חבורה ותהא \ H\subseteq G תת חבורה שלה. יהא \ g\isin G איבר כלשהו, אז הקבוצה \ gH=\left\{gh|h\isin H\right\} תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של \ H ב-\ G, והקבוצה \ Hg=\left\{hg|h\isin H\right\} תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של \ H ב-\ G.

ניתן להוכיח שהיחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות. על כן, כל תת חבורה \ H משרה חלוקה של \ G לקבוצות זרות באמצעות המחלקות שלה.

ניתן גם להראות כי לכל קבוצה \ H, מספר האיברים בכל מחלקה שלה זהה ושווה למספר האיברים ב-\ H. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

מספר המחלקות הימניות (או השמאליות, ההגדרה שקולה) של תת חבורה H בחבורה \ G נקרא האינדקס של \ H ב-\ G ומסומן \ [G:H]. אם \ G סופית, אינדקס זה שווה ל-\ |G|/|H|.

שפות אחרות