דיברגנץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה וקטורית, הדיברגנץ (מכונה לעתים גם "דיברגנס" או "דיברגנסיה") הינו אופרטור המופעל על שדה וקטורי.
הדיברגנץ משייך לכל נקודה במרחב ערך מספרי המתאר את צפיפות המקורות של השדה הווקטורי עליו הוא מופעל.


תוכן עניינים

[עריכה] סימון

אם \mathbf{F} פונקציה וקטורית שהדיברגנץ שלה הוא הפונקציה הסקלרית \ f, נסמן:

\ f = \operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \vec \nabla \cdot \mathbf{F}

כאשר \vec{\nabla} מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבלה") המוגדר כוקטור של נגזרות חלקיות, כלומר:

\vec{\nabla}  \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x}  +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y }   +  \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}   \equiv  \left( \  \partial_x \ , \ \partial_y \ , \ \partial_z \right)

[עריכה] אינטואיציה

ניקח אנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה.
נניח שאנו מחזיקים שלד של קוביה (רק המקצועות, ללא הפאות), ואנו מודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון. מים שיוצאים החוצה נספור באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה נספור באופן שלילי (מינוס).
מה שמעניין אותנו הוא כמה מים נטו יוצאים או נכנסים לתוך הקוביה. אם בסה"כ יוצאים מים מהקוביה, לפי כמות המים שיוצאים, נוכל לומר כמה ברזים יש בקוביה (בהנחה שכל ברז מספק כמות זהה של מים); ואילו אם בסה"כ נכנסים מים לקוביה נוכל לומר שיש בתוכה מספר חורי ניקוז (בהנחה שכל חור מנקז כמות זהה של מים).
כלומר, באמצעות מדידת השטף דרך שטח מסוים, אנו יודעים כמה "ברזים"/"חורי ניקוז" יש בתוך הנפח הכלוא בתוכו. כדי לחשב את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז", נחלק בנפח הקוביה.

הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קוביה אינפינטסימלית, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה קטן ל־0.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי \mathbf{F} שדה וקטורי גזיר ברציפות, ויהי \ V תחום במרחב הכולל נקודה \ p אשר שפתו \partial V.
הדיברגנץ של השדה \mathbf{F} בנקודה \ p הינו:

\nabla \cdot \mathbf{F} (p) = \lim_{V \to 0}\frac{\oint_{\partial V}\mathbf{F} \cdot d\vec a}{V}


וקל להראות כי במרחב אוקלידי תלת ממדי, המתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות, הדיברגנץ הינו:

\nabla \cdot \mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial{F}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial{F}_{y}}{\partial y} + \frac{\partial{F}_{z}}{\partial z}

כאשר \{ {\ F}_{x}, {\ F}_{y}, {\ F}_{z}\} רכיביו הקרטזיים של \mathbf{F}.

[עריכה] תכונות

יהיו \mathbf{F} ו-\mathbf{G} שדות וקטוריים כלשהם, ויהי \varphi שדה סקלרי כלשהו. מתקיימות התכונות הבאות:

  • הדיברגנץ הינו אופרטור לינארי, קרי:
\nabla \cdot (\alpha \mathbf{F} + \beta \mathbf{G}) = \alpha (\nabla \cdot \mathbf{F}) + \beta (\nabla \cdot \mathbf{G})
  • בכלל מכפלה אחד נעשה שימוש גם באופרטור גרדיאנט:
\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F})  = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F}  + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F})
או ברישום אחר:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F})  = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F}  + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F})
\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})
או ברישום אחר:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})  = \operatorname{curl}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}  \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{G})


אנליזה וקטורית
מרחב וקטורי | שדה סקלרי | שדה וקטורי | גרדיאנט | נגזרת כיוונית | דיברגנץ | רוטור | לפלסיאן | משפט הגרדיאנט | משפט גאוס | משפט סטוקס | דלאמברטיאן | גאומטריה דיפרנציאלית
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה