בעיית הברכיסטוכרון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בעיית הברכיסטוכרון היא בעיה בפיזיקה ומתמטיקה. מקור המילה הוא מיוונית, ומשמעותה היא "הזמן הקצר ביותר".

[עריכה] תאור הבעיה

יש למצוא את צורתו של תייל, אשר חרוז מחליק עליו מנקודה a לנקודה b (קצות התייל), b אינה בדיוק מתחת ל a, וזאת בזמן הקצר ביותר.

בבעיה המקורית החיכוך בין החרוז לתייל והתנגדות האוויר זניחים, ותנועת החרוז מושפעת מכח כבידה קבוע.

יש לציין כי הבחירה בתייל וחרוז אינה מקרית. מערכת זו מאפשרת לגוף הנע (החרוז), לשנות את כיוון תנועתו בציר האופקי, מה שהיה בלתי אפשרי אם היה מדובר בילד מחליק במגלשה למשל.

[עריכה] פתרון הבעיה

אף כי המרחק הקצר ביותר בין a ו- b הוא הקו הישר המחבר ביניהן, מהר מאוד מגיעים למסקנה כי צורת התייל צריכה להיות קמורה כלפי מטה. קצת פחות מהר מגיעים לתאור מתמטי מדוייק של העקומה המבוקשת, אך לאחר שעושים זאת, על ידי חשבון וריאציות למשל, מסיקים שהצורה המבוקשת היא ציקלואידה.

[עריכה] היסטוריה

ניסיון לפתור את הבעיה נעשה כבר בשנת 1638 על ידי גלילאו גליליי, אך הוא שגה וטען כי הפתרון הוא קשת של מעגל. הבעיה הוצגה בשנית בשנת 1696, על ידי המתמטיקאי יוהן ברנולי, וכשנה לאחר מכן פרסמו חמישה מתמטיקאים שונים את הפתרון, ביניהם יוהן ברנולי עצמו, אחיו יעקב ברנולי, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ והמרקיז דה לופיטל. בפיתרונו, השתמש יוהן ברנולי בניתוח בעיית הטאוטוכרון, אשר נפתרה על ידי כריסטיאן הויגנס בשנת 1659. אחיו יקוב, אשר היה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגירסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות חדשות במתמטיקה. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.