צפיפות (תורת המספרים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; עד מיליון יש חצי-מליון מספרים זוגיים, ורק אלף ריבועיים.

הטיפול המתמטי המסודר בשאלות כאלה נעשה דרך מושג הצפיפות, שלו הוצעו כמה הגדרות אפשריות.

ההגדרה הפשוטה ביותר היא של צפיפות טבעית: נניח ש- A קבוצה של מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים ב- \ A(n)=A \cap \{1,2,\dots,n\}. העוצמה של הרישא מקיימת \ 0\leq |A(n)|\leq n, וההשוואה בין הקבוצה A לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה \ \frac{|A(n)|}{n}. אם לסדרה זו יש גבול, שהוא בהכרח מספר בין 0 ל- 1, אז הגבול נקרא "צפיפות הסדרה". אם הגבול אינו קיים, לקבוצה אין צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להסתפק בגבול העליון והגבול התחתון של הסדרה, שתמיד קיימים; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה.

בתורת המספרים האנליטית עוסקים בצפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנילרמן.

שפות אחרות