טנזור מאמצים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

טנזור המאמצים
הגדל
טנזור המאמצים
טנזור המאמצים בתאור אינדכסים כללי
הגדל
טנזור המאמצים בתאור אינדכסים כללי

טנזור המאמצים הוא מערך בן תשעה רכיבים ( 3 על 3) המתאר את המאמצים על פני קובייה קטנה של החומר הנתון בעומס חיצוני.

תוכן עניינים

[עריכה] טנזור המאמצים

T = \left( \begin{matrix}                    \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\                    \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\                    \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\           \end{matrix} \right)

משווי משקל מקבלים מטריצה סימטרית ובה 6 רכיבים שונים. מתקיים השויון בין הרכיבים:

  • \ \tau_{xy}=\tau_{yx}
  • \ \tau_{zx}=\tau_{xz}
  • \ \tau_{zy}=\tau_{yz}

לכן:

T = \left( \begin{matrix}                    \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\                    \tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\                    \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} \\           \end{matrix} \right)

טנזור המאמצים הוא טנזור סימטרי ותמיד אפשר להציג אותו כסכום של שני טנזורים סימטריים שהם:

  • טנזור ממוצע או מאמצים הידרוסטטי הכולל מאמצי מתיחה או לחיצה בלבד
  • טנזור מאמצי גזירה הכולל מאמצי גזירה בלבד.

[עריכה] תאור כללי

התאור הכללי של טנזור המאמצים נעשה באמצעות אינדכסים 1,2,3

x 1
y 2
z 3
σxx σ11
τxy σ12
τxz σ13
...

ונקבל:

T = \left( \begin{matrix}                    \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\                    \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\                    \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\           \end{matrix} \right)

את חוק הוק אפשר להציג באמצעות המינוח הזה של האינדכסים בצורה הבאה:

\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] לקריאה נוספת

  • Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. ISBN 0882754203
  • S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970..
  • Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867
  • Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Dover Publications. ISBN 0486601749.
  • Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications. ISBN 0486678652.

מאמץ (הנדסה)
מאמצים: מאמץ גזירה - מאמץ כפיפה - מאמץ לחיצה - מאמץ מתיחה - מאמץ פיתול - מאמץ קריסה
נושאי עזר: מומנט כפיפה - מומנט כוח - מודול האלסטיות - חוק הוק - קבועי לאמה
שטחים: שטח - מומנט ההתמד של השטח - מומנט התמד פולרי של השטח
נושאים משלימים: טנזור מאמצים - מאמצים ראשיים - מעגל מור - היפותזות חוזק - שיטות אנרגיה - חוקי קסטיליאנו