אנרגיה קינטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אנרגיה קינטית (אנרגיית תנועה) היא אנרגיה שיש לגוף נע. לאנרגיה זו חשיבות רבה ביותר בפיזיקה - זוהי אחת מצורות האנרגיה העיקריות בכל מערכת דינמית בטבע, החל מרמות האנרגיה באטום, דרך האצת כלי רכב ועד לתנועת הכוכבים.

[עריכה] הגדרה

אנרגיה קינטית מוגדרת כעבודה שיש להשקיע כדי לגרום לגוף במנוחה (כלומר, שמהירותו אפס) להגיע למהירות מסוימת. בהתאם, יש לחשב (על ידי סכימה) את העבודה שעושה \ \mathbf{F}, הכוח המופעל, לאורך ההעתק \ x. אנרגיה זו ניתנת לחישוב גם באמצעות אינטגרל על המכפלה הסקלרית של וקטור המהירות והשינוי בתנע:

E_k =\int \mathbf{F} \cdot \,dx =\int \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{p}

הגדרה זו היא כללית מאוד וקשה לבצע באמצעותה חישובים מעשיים. לכן נוח להשתמש בתוצאות שלה בשני מקרים פרטיים שהם מקרי גבול חשובים: המכניקה הקלאסית והמכניקה היחסותית.

[עריכה] במכניקה קלאסית

האנרגיה הקינטית של חלקיק נקודתי בעל מסה \ m שנע במהירות \ v תהיה

\ E_k = {1 \over 2} m v^2.

הוכחה:

\ W = \int \mathbf{F} \cdot  \,dx = \int ma \cdot \,dx = m \int \frac{dv}{dt}\cdot  \,dx =  m \int v \cdot \,dv = {1 \over 2} m v^2.

חישוב זה מתבצע תוך החלפות משתנים לפי ההגדרות \mathbf{F} = ma, \ a = \frac{dv}{dt} ו-\ v = \frac{dx}{dt}, ובהנחה שהכח פועל בכיוון המהירות. כאן \ a היא התאוצה.

עבור גוף לא נקודתי יש להתחשב הן בתנועת מרכז המסה של הגוף, והן בסיבוב הגוף סביב עצמו. במקרה זה מתחלקת האנרגיה הקינטית לאנרגיה קינטית קווית שנשארת כמקודם \ E_t = {1 \over 2} m v^2 (כאן \ v היא מהירות מרכז המסה), ולאנרגיה קינטית זוויתית שמתייחסת לסיבוב הגוף סביב עצמו ונוסחתה E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I \omega^2 (כאן \ I הוא מומנט ההתמד ו-\ \omega היא המהירות הזוויתית של הגוף).

סך האנרגיה הקינטית שווה ל-\ E_k = E_t + E_r

[עריכה] במכניקה יחסותית

במכניקה יחסותית נוח יותר לבצע חישובים תוך שימוש בפקטור לורנץ, \,\gamma (גמא) ולא במהירות הגוף עצמה. פקטור זה נתון על ידי \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}. האנרגיה הקינטית של גוף שמסת המנוחה שלו היא \ m_o היא:

E_k = m_o c^2 (\gamma - 1) = \gamma m_o c^2 - m_o c^2 \;\! (כאן \ c היא מהירות האור בריק).

כלומר:

E_k = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m_o c^2


עבור מהירויות קטנות בהרבה ממהירות האור, ביטוי זה נותן בקירוב מצוין את הביטוי הניוטוני של האנרגיה הקינטית. אפשר לראות זאת על ידי פיתוח בסדר ראשון בטור טיילור עבור \left(v/c\right)^2 (או בסדר שני עבור \left(v/c\right)).