הלמה של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור \ \mathbb{R}.

הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי להיפגש, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן הולך וקטן, שתיהן מתכנסות לנקודה משותפת. בניסוח שקול ניתן לראות בבירור שזהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור: בהינתן סדרה אינסופית של קטעים סגורים, כך שכל קטע מכיל את הבאים אחריו, וקוטרי הקטעים שואפים לאפס, קיימת נקודה אחת המשותפת לכל הקטעים.

אחד משימושיה של הלמה של קנטור הוא הוכחת משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל, ששקולים לה.

[עריכה] ניסוח פורמלי

יהיו \ \left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty,\left\{b_n\right\}_{n=1}^\infty שתי סדרות כך ש-\ a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n. אם מתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 אז שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}a_n=\lim_{n\rarr\infty}b_n.

ניסוח שקול:

תהא \ \left\{[a_n,b_n]\right\}_{n=1}^\infty סדרה של קטעים סגורים, כך שמתקיים \ [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]. אם מתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 אז קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים.