בסיס לטופולוגיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בסיס לטופולוגיה הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי \ ( X , \tau ) מרחב טופולוגי.

אוסף קבוצות \mathbb{B} \subset \tau יקרא בסיס לטופולוגיה אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש

\ \forall x \in X , V \in \tau \ : \ x \in V \Rightarrow \exist B \in \mathbb{B} : x \in B \subset V

בסיס כזה נקרא לעיתים גם מערכת סביבות פונדמנטלית.

[עריכה] מושגים הקשורים בבסיס

  • בסיס מקומי (לוקלי): זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף \mathbb{B}_x \subset \tau יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם: \ \forall V \in \tau , x \in V \ : \ \exist B \in \mathbb{B}_x : x \in B \subset V
  • נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה הראשונה (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי בן מניה.
  • משקל: משקל של מרחב טופולוגי, \ w(X) מוגדר להיות העוצמה הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה.
  • נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה השניה (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה לאלף 0 (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא בן מניה).
  • אוסף של קבוצות חלקיות ל X , \mathbb{S} \subset \tauיקרא תת-בסיס אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר: \forall B \in \mathbb{B} : \exist n \in \mathbb{N} , \ S_1 \cdots S_n \in \mathbb{S} \ : \ B = S_1 \cap \cdots \cap S_n .

[עריכה] אפיון בסיס ותת-בסיס

המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.

משפט: נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף \mathbb{B} של קבוצות חלקיות ל X יקרא בסיס אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:

  1. לכל \ x \in X קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות: \ \bigcup{\mathbb{B}} \equiv \bigcup_{B \in \mathbb{B}}{B} = X. כלומר: הבסיס מכסה את X.
  2. לכל \ B_1 , B_2 \in \mathbb{B} שאינן זרות ולכל \ x \in B_1 \cap B_2 קיימת \ B_3 \in \mathbb{B} כך ש \ x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2.

אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף \ \tau = \{ \mbox{All unions of sets from } \mathbb{B} \} הוא טופולוגיה על X.

המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.

משפט: אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא מכסה את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).

[עריכה] דוגמאות

  • במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
  • מעל הישר הממשי, הקבוצה \ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \} היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
  • במרחב \mathbb{R} עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה \ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \} היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
  • הישר העשיר מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.

טופולוגיה קבוצתית
מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה