סיגמא-אלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

סיגמא-אלגברה \mathcal{A} היא משפחה של תת-קבוצות של קבוצה מסוימת \,X המקיימת את תכונות הסגירות הבאות:

  1. היא מכילה את הקבוצה הריקה ואת \,X, כלומר: \ \emptyset , X \in \mathcal{A}.
  2. אם \ A \in \mathcal{A} אזי \ A^c \in \mathcal{A}. כלומר, היא סגורה לפעולת לקיחת משלים \ A^c = X - A.
  3. סגירות ביחס לאיחוד בן מנייה: אם \ A_1 , A_2, \cdots \in \mathcal{A} אז \ \bigcup_{n}{A_n} \in \mathcal{A}.
  4. סגירות ביחס לחיתוך בן מנייה.

כאשר תכונה 4 היא מסקנה מתכונות 2 ו-3 באמצעות כללי דה מורגן.

זוג סדור \ ( S , \mathcal{A} ), כש-\,S קבוצה ו-\mathcal{A} הוא \,\sigma-אלגברה מעל \,S, נקרא מרחב מדיד. בצירוף פונקציית מידה \,\mu השלשה הסדורה \ ( S, \mathcal{A}, \mu ) נקראת מרחב מידה.

[עריכה] דוגמאות

  • הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המינימלית: מכילה רק את \,X ואת הקבוצה הריקה.
  • הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המקסימלית: מכילה את כל התת-קבוצות של \,X ולמעשה, שווה לקבוצת החזקה של \,X.
  • לכל משפחה של סיגמא-אלגברות מעל \,X, גם החיתוך שלהן הוא סיגמא-אלגברה.
  • הסיגמא-אלגברה של בורל: הסיגמא אלגברה המכילה את כל קבוצות בורל, היא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות והקבוצות הסגורות. היא מכילה:

[עריכה] ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.