לוגריתם
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, לוגריתם (Logarithm) הוא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית.
הלוגריתם של x בבסיס נתון
(הגדול מאפס ושונה מ-1), הוא החזקה בה יש להעלות את
כדי לקבל את
.
בקיצור - אם
ו־
, נאמר ש־
הוא לוגריתם של
לפי בסיס
, ונכתוב זאת:
.
- דוגמה:
, משום ש-
. - ובמילים: הלוגריתם של
לפי בסיס
הוא
, משום ש־
בחזקת
שווה ל־
.
בסיס ברירת המחדל:
שימוש בסימון
ללא ציון הבסיס עלול לבלבל מעט, משום שמשמעותו משתנה לפי ההקשר:
- בטקסטים מתמטיים משמעותו
(הלוגריתם הטבעי, שבסיסו מספר אוילר. נהוג לכתוב פונקציה זו בקיצור
). - בטקסטים הנדסיים משמעותו
. - בטקסטים של תורת האינפורמציה משמעותו
, לעתים נכתב בקיצור
.
במקרה שמתעורר חשש של בלבול, יש לכתוב את הבסיס במפורש.
[עריכה] רקע היסטורי
הלוגריתמים הומצאו בתחילת המאה ה-17 על־ידי ג'ון נפייר. עד להחלפתם על־ידי המחשב והמחשבון, בחצי השני של המאה ה-20, היו הלוגריתמים כלי עזר עיקרי לחישוב, באמצעות לוח לוגריתמים ובאמצעות סרגל חישוב. הרעיון הבסיסי מאחורי שני עזרי חישוב אלה הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה. כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. בכלים אלה נעשה שימוש בלוגריתמים לפי בסיס
.
[עריכה] חוקי הלוגריתמים
החוקים המפורטים להלן נכונים לכל
ממשיים חיוביים, ובתנאי שבסיס הלוגריתמים שונה מ־1.
|
ערכים מיוחדים |
|
|
כפל, חילוק והעלאה בחזקה |
לכל
ממשי:
|
|
הלוגריתם והפונקציה המעריכית |
לכל
ממשי:
|
|
שינוי בסיס הלוגריתם |
|
|
כאשר a > 1:
כאשר a < 1:
כאשר a > 1:
כאשר a < 1:
|
|
|
|
|
|
|







), אבל לא לבסיס 2 (
). כדי לחשב את
, מחשבים
או
, שנותן תוצאה זהה).









