מידה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה פונקציית מידה (או פשוט: מידה) היא פונקציה המתאימה מספר לא-שלילי (למשל: אורך, נפח או הסתברות) לתת-קבוצות של מרחב נתון, ומקיימת תכונות שימושיות מסוימות (פירוט בהמשך).

מושג המידה חשוב מאוד באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות. תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות (לא להתבלבל עם פונקציית מידה) ואינטגרלים. אחד הכלים החשובים בתורת המידה הוא אינטגרל לבג.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

מידה \ \mu : \mathcal{A} \to \mathbb{R}_{+} = [0,\infty) היא פונקציה המוגדרת על סיגמא-אלגברה \mathcal{A} \subset 2^X שמכילה תתי-קבוצות של X. הפונקציה נדרשת לקיים את התכונות הבאות, הנקראות אקסיומות המידה:

  1. לקבוצה הריקה יש מידה אפס.
    \ \mu(\emptyset) = 0
  2. סיגמא-אדיטיביות (אדיטיביות ניתנת להימנות):
    יהיו \ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A} מספר בן-מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: \ \forall i \ne j : A_i \cap A_j = \emptyset .
    אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
    \ \mu \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_n)} או ברישום מקוצר: \ \mu \left( \biguplus_{n}{A_n} \right) = \sum_{n}{\mu(A_n)}

מידה אי-שלילית היא פונקציית מידה \ \mu המקיימת, בנוסף, את התנאי \ \mu(A)\geq 0 לכל קבוצה A בסיגמא-אלגברה.

שלשה \ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right) שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).

[עריכה] תכונות של מידה

מתכונות ההגדרה לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות:

  • מונוטוניות ביחס להכלה:
    אם \ A \subset B אזי \ \mu(A) \leq \mu(B).
  • סיגמא חצי-אדיטיביות (סח"א):
יהיו \ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A} מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי
\ \mu \left( \bigcup_{n}{A_n} \right) \leq \sum_{n}{\mu(A_n)}
  • רציפות מלמטה:
תהי סדרת קבוצות \ A_1 \subset A_2 \subset \cdots A_n \subset A_{n+1} \cdots , אזי מתקיים:
\ \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )
  • רציפות מלמעלה:
תהי סדרת קבוצות \ A_1 \supset A_2 \supset \cdots A_n \supset A_{n+1} \cdots , אזי מתקיים:
\ \mu \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ A_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mu ( A_n )


[עריכה] תכונות נוספות של מידה

יהי \ \left( X , \mathcal{A} , \mu \right) מרחב מידה.

[עריכה] מידה סיגמא-סופית

מידה נקראת סופית אם \ \mu(X) < \infty (מידת מרחב המדגם עצמו סופית).

מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי \ \mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}{[ n , n+1 ] } ומידת כל קטע סגור \ [ n, n+1 ] היא 1.

[עריכה] מידה רגולרית

מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי X נקרא רגולרית אם מתקיים

\ \mu(A) = \inf\left\{ \mu(G) \ | \ A \subset G \ , \mbox{G is open} \right\} = \sup\left\{ \mu(F) \ | \ F \subset A \ , \ \mbox{F is closed} \right\}

לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.

[עריכה] מידה שלמה

מידה נקראת שלמה אם:

לכל קבוצה בעלת מידה אפס E, \ \mu(E) = 0 ,
כל תת קבוצה שלה \ L \subset E היא מדידה (כלומר: פונקציית המידה מוגדרת עליה) וכן
\ \mu(L) = 0 (נובע ממונוטוניות של מידה ביחס להכלה).

לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר: \ \mu ( S \Delta S' ) = 0 כאשר Δ הוא הפרש סימטרי של קבוצות.

לדוגמה: מידת לבג היא ההשלמה הסטנדרטית של מידת האורך על הישר הממשי.

[עריכה] ראו עוד

מידות שימושיות:


מושגים באנליזה ממשית:

ידע נדרש: