סימון מתמטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה נהוג לסמן עצמים, יחסים ואף מילות קישור בסימנים מיוחדים, על-מנת לקצר ולחסוך אי-הבנות בכתיבה ובקריאה. בערך זה מובאת רשימה של סימונים שכיחים, הנמצאים בשימוש גם בויקיפדיה העברית.

תוכן עניינים

[עריכה] שימוש באותיות

יש כמה מערכות מספרים וקבועים מספריים שקיבלו סימן קבוע משלהם. מלבד אלה, נהוגה היררכיה של סוגי אותיות, הנמצאת בהתאמת-מה לגודלו של האובייקט המסומן. לדוגמה, מרחב וקטורי יסומן באות לטינית גדולה כגון \ V, בעוד שאבריו יסומנו באותיות קטנות \ u,v\in V, ומשפחה של מרחבים תסומן באות מעוטרת כגון \ \mathcal V. אלו אינם כללים מחייבים, ויש להם יוצאי דופן רבים. לדוגמה, טופולוגיה מקובל לסמן באות היוונית טאו, בעוד שאת הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה מסמנים באותיות לטיניות גדולות, למשל \ U\in \tau.

[עריכה] בניית קבוצות

באופן כללי, קבוצות מסומנות בסוגריים מסולסלים, כאשר איברי הקבוצה מנויים בין הסוגריים. כך ניתן גם להגדיר את הקבוצה, באופן חד משמעי: תחילה נסמן את האיברים, ואח"כ את התנאי שהם מקיימים, כאשר קיימת הפרדה ביניהם. למשל, קבוצת כל המספרים הממשיים הקטנים מ-2 אך הגדולים מ-1 תסומן: \ A = \{ a \mid 1<a<2 \} או: \ A = \{ a \mid 1<a,a<2 \}.

[עריכה] סימונים בסיסיים

סימון שם משמעות דוגמה דוגמה במילים הערות
\ \forall לכל לכל איבר המקיים [...] \ \forall a > 10 : a > 9
\ \exist קיים קיים איבר המקיים [...] \ \exist a < 3
\ = שווה הביטויים בשני צידי הסימון שווים זה לזה \ A=B \ A שווה ל- \ B
\ \equiv מוגדר להיות / אקוויולנטי ל - הביטוי בצד שמאל מוגדר להיות הביטוי בצד ימין \ A \equiv B \ A מוגדר להיות / אקוויולנטי ל - \ B הסימון משמש למספר דברים שונים במתמטיקה
\ \in נמצא ב - / שייך ל - הביטוי בצד שמאל נמצא כאיבר בביטוי בצד ימין / שייך לביטוי בצד ימין \ A \in B \ A נמצא ב- \ B
\ \subset מוכל ב- הביטוי בצדו השמאלי של הסימן מוכל בביטוי שבצדו הימני של הסימן \ A \subset B \ A מוכל ב- \ B ישנו סימון מקביל הפוך, בו הביטוי בצד הימני מוכל בביטוי שבצד השמאלי: \ \supset
\ \subseteq מוכל או שווה ל- הביטוי בצדו השמאלי של הסימן מוכל בביטוי בצדו הימני של הסימן או שווה לו \ A \subseteq B \ A מוכל ב- או שווה ל- \ B ישנו סימון מקביל הפוך, בו הביטוי בצד הימני מוכל בביטוי בצד השמאלי: \ \supseteq
\ > גדול מ- הביטוי בצד שמאל גדול מהביטוי בצד ימין \ A > B \ A גדול מ- \ B גם במקרה זה קיים סימון ההפוך: \ <
\ \geq גדול מ- או שווה ל- הביטוי בצד שמאל גדול מ- או שווה לביטוי בצד ימין \ A \geq B \ A גדול מ או שווה ל- \ B גם במקרה זה קיים סימון הפוך: \ \leq
\ \sim דומה ל- הביטויים משני צידי הסימון דומים זה לזה \ A \sim B \ A דומה ל- \ B
\ \approx שווה בקירוב ל- הביטויים שווים בערכם המקורב זה לזה \ A \approx B \ A שווה בקירוב ל - \ B
\ / אינו (סימון) היחס אינו מתקיים \ A \neq B \ A אינו שווה ל - \ B מגיע כשלילה למגוון סימונים שונים

[עריכה] לוגיקה פורמלית

משפטים מורכבים לעיתים מחלקים, אשר גוררים לוגית זה את זה. למשל המשפט "בכל מחשב יש מעבד", גורר שאם קיים מחשב, אזי קיים מעבד. הוא אינו גורר שקיים מחשב, או שאם יש מעבד, הוא בהכרח נמצא בתוך מחשב. המשפט "כל מעבד נמצא במחשב" אינו נובע מהמשפט הנ"ל. כמו כן, ישנם משפטים השקולים זה לזה, למשל "כל העטים כחולים, ורק הם כחולים", ו - "אם משהו הוא כחול, אזי הוא עט, ואם משהו הוא עט, אזי הוא כחול". במתמטיקה נהוג לומר כי מתקיים תנאי "אם ורק אם" במקרה זה.


סימון שם משמעות דוגמה דוגמה במילים הערות
\ \Rightarrow גורר ש- הביטוי / ההסק הלוגי מצד שמאל גורר את זה שמצד ימין \ A = B \Rightarrow B = A \ A = B גורר ש - \ B = A
\ \Leftrightarrow אם ורק אם / שקילות הביטויים גוררים זה את זה \ A = B \Leftrightarrow B = A \ A = B אם ורק אם - \ B = A

[עריכה] סימונים אלגבריים בסיסיים

(חלק מסימונים אלה מתאימים גם לקבוצות, ולא רק למספרים "רגילים")

סימון שם דוגמה הערות
\ + פלוס / חיבור \ 1 + 3 = 4 משמש גם לחיבור קבוצות
\ - מינוס / חיסור \ 4 - 1 = 3
\ \cdot או \ \times כפל \ 2 \cdot 4 = 4 \times 2 = 8
\ \frac{a}{b} או \ a/b חילוק \ \frac{8}{4} = 2 = 8/4
\ a^b חזקה \ 2^3 = 8
\ \sqrt{a} שורש ריבועי \ \sqrt{4} = 2
\ \sqrt[n]{a} שורש n-י \ \sqrt[3]{8} =2
\ |a| ערך מוחלט (או "גודל") \ |1| = |-1| = 1 במספרים המרוכבים ערך מוחלט הוא למעשה גודל המספר,
כלומר אורך וקטור המספר על מישור גאוס.

[עריכה] קבוצות חשובות

סימון שם הגדרה
\ \mathbb{N} המספרים הטבעיים \ \mathbb{N} = \{ 1,2,3,... \}
\ \mathbb{Z} המספרים השלמים \ \mathbb{Z} = \{ 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \}
\ \mathbb{Q} המספרים הרציונלים \ \mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} \mid p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0 \}
\ \mathbb{R} המספרים הממשיים \ \mathbb{R} = (- \infty , \infty)
\ \mathbb{C} המספרים המרוכבים \ \mathbb{C} = \{ a+bi \mid a,b \in \mathbb{R} , i^2=-1 \}

[עריכה] סימונים חשובים נוספים

סימונים חשובים נוספים הלקוחים מתחומי האנליזה, האלגברה, הפיזיקה ועוד:


סימון שם הסבר דוגמה
\ c_i אינדקס האיבר במקום ה[אינדקס] בקבוצה כלשהי \ c_3 , a_4 , F_{42} , \alpha_{\beta_{\gamma}}
\ a_n איבר בסדרה \ \{ a_n \} כל איבר בסדרה מיוצג על ידי שם הסדרה ומספר האינדקס שלו בסדרה \ \{ a_n \} = a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n
\ \sum_{i=a}^{n} סכום סכום האיברים בעלי האינדקסים a עד n \ \sum_{i=0}^{n} {q^i} = a_0 \frac{q^n-1}{q-1} (סכום סדרה הנדסית)
\ \prod_{i=a}^{n} מכפלה מכפלת האיברים בעלי האינדקסים a עד n \ \prod_{i=0}^{4} {a_i} = a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4
\ f(x) פונקציה הפעלת הפונקציה \ f על המשתנה \ x \ f(x)= \sin (x) , f(\frac{\pi}{2} ) = \sin{( \frac{\pi}{2})} = 1
\ \vec{v} \backslash \bar{v} וקטורפיזיקה ובמתמטיקה בהתאמה) ראו ערך וקטור \ \vec{r} = (-1,4,2)
\ \dot {f} נגזרת סימון לנגזרת נהוג בעיקר כאשר המשתנה מסומן ב-t. נפוץ יותר בקרב פיזקאים ובעיקר כאשר הנגזרת היא לפי הזמן. \ \dot{r} = v , \dot{v} = a
\ \hat {u} וקטור יחידה וקטור בעל אורך יחידה. \ \hat{x} = (1,0,0) , \hat{y} = (0,1,0) , \hat{z} = (0,0,1)
\ \mathbb{F}^n (n \in \mathbb{N}) מרחב וקטורי מעל שדה \ \mathbb{F} , בעל \ n רכיבים לקואורדינטה ראו מרחב וקטורי \ \mathbb{V} = \mathbb{R}^n

[עריכה] דוגמה

נכתוב את דרישות הגבול לסדרות בטקסט ובסימונים לוגיים:
בטקסט: נאמר כי הסדרה \ a_n מתכנסת לגבול \ L\in \mathbb{R} אם ורק אם מתקיים: לכל \ \varepsilon > 0 קיים \ n_0 טבעי, כך שלכל \ n גדול ממנו מתקיים: \ |a_n-L|< \varepsilon
בסימונים: \ \forall \varepsilon > 0 , \exist n_0 \in \mathbb{N} , \forall n > n_0 , n \in \mathbb{N}: |a_n-L| < \varepsilon \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L