פונקציית הערך השלם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הגרף של פונקציית הערך השלם
הגדל
הגרף של פונקציית הערך השלם

במתמטיקה, פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקציית רצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-x. פונקציה זו מסומנת \lfloor x \rfloor או (x)‏floor (בספרים ישנים נפוץ הסימון \ [x]). דוגמאות: \lfloor 2.7 \rfloor = 2, \lfloor -2.1 \rfloor = -3, \lfloor -2 \rfloor = -2.

[עריכה] תכונות

  • לכל x ממשי הפונקציה מקיימת:
\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor +1
כאשר השוויון באגף שמאל מתקיים אם ורק אם x שלם.
  • הפונקציה היא אידמפוטנטית: \lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor
  • לכל x ממשי ולכל n שלם מתקיים:
\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n
  • עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-x ניתן על ידי הנוסחה \lfloor x + 0.5 \rfloor.
  • אם m ו-n זרים זה לזה, אזי מתקיים:
\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2

[עריכה] פונקציית תקרה

הגרף של פונקציית תקרה
הגדל
הגרף של פונקציית תקרה

פונקציית התקרה היא היפוכה של פונקציית הרצפה: היא מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-x. הפונקציה מסומנת \lceil x \rceil או (x)‏ceiling. דוגמאות: \lceil 2.7 \rceil = 3, \lceil -2.1 \rceil = -2, \lceil -2 \rceil = -2.

הקשר בין פונקציית הרצפה לבין פונקציית התקרה ניתן על ידי הנוסחה \lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor.

לכל k שלם מתקיים: \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k.