מטריצה נילפוטנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית M כך ש:

M^q = 0\,

עבור q שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה לינארית L כך ש:

L^q = 0\,

עבור q שלם חיובי כלשהו.

אלו מקרים כלליים של מושג הנילפוטנטיות, אשר תקף, בנוסף למטריצות והעתקות לינאריות, גם לסוגי חוגים אלגבריים.

תוכן עניינים

[עריכה] דוגמאות

המטריצה מהצורה הבאה:

\begin{bmatrix}  0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}

היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:

N^2 =   \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 1 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 1\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                   \end{bmatrix}   ;\  N^3 =   \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 0 & 1\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                 \end{bmatrix}  ;\  N^4 =  \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                 \end{bmatrix}.

האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.

ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל L : R4R4 מוגדרת על-ידי:

L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0). \,

[עריכה] תכונות

תהי M מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר n, אזי מתקיימות התכונות הבאות:

  • השלם הקטן ביותר q המקיים Mq = 0 (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-n.
  • כל הערכים העצמיים של M הם אפס. (מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל ערכיה העצמיים הם אפס).
  • הפולינום אופייני של M הוא: λn.
  • הדטרמיננטה והעקבה של M הם אפס.
  • כל מטריצה משולשית (עליונה או תחתונה) הינה מטריצה נילפוטנטית.
  • מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית הינה מטריצה נילפוטנטית.

[עריכה] ז'ורדן

משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:

\begin{bmatrix}     N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\     0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\    0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\    0 & 0 & 0 & \ldots & N_k  \end{bmatrix}

כך שכל בלוק Ni הוא מהצורה הבאה:

N_i = \begin{bmatrix}     0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\    0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{bmatrix}.

כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית הינה מטריצה נילפוטנטית.

[עריכה] תתי מרחבים

העתקה נילפוטנטית L על המרחב Rn מגדירה את תתי המרחבים הבאים:

\{0\} \subset \ker L \subset \ker L^2 \subset \ldots \subset \ker L^{q-1} \subset \ker L^q = U

ואת הסיגנטורות הבאות:

0 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots < q_{k-1} < q_k = n,\qquad n_i = \dim \ker N^i.

הסיגנטורה מאפיינת את L לכדי העתקה לינארית, וכן מקיימת את אי השיוויונים הבאים:

n_{j+1} - n_j \leq n_j - n_{j-1}, \qquad \mbox{for all } j = 1,\ldots,q-1.

[עריכה] קישורים חיצוניים

שפות אחרות