חבורה נילפוטנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה כל הקומוטטורים ממשקל קבוע כלשהו הם טריוויאליים, כלומר, חבורה שבה מתקיימת הזהות \ [a_1,a_2,\dots,a_k]=1 עבור k כלשהו. לדוגמא, כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית, ובמובנים רבים, חבורות נילפוטנטיות הן "כמעט" אבליות.

כל החבורות הנילפוטנטיות הן פתירות. החבורה הקטנה ביותר שאינה נילפוטנטית היא החבורה הסימטרית \ S_3, חבורה פתירה בת ששה אברים.

בין החבורות הסופיות, החבורות הנילפוטנטיות הן אלו השוות למכפלה ישרה פנימית של חבורות סילו השונות. בפרט, חבורות p (כדוגמת החבורה הדיהדרלית מסדר 8 או חבורת הקווטרניונים) הן נילפוטנטיות. כל תת חבורה וכל חבורת מנה של חבורה נילפוטנטית, גם הן נילפוטנטיות.

[עריכה] הגדרה

בכל חבורה G, אפשר להגדיר את הסדרה המרכזית היורדת על-פי הכלל \ G_{k+1}=[G,G_k], כאשר \ G_1=G; כלומר, \ G_{k+1} היא תת-החבורה של G, הנוצרת על-ידי הקומוטטורים \ [a_1,a_2,\dots,a_k]. על-פי כתיב זה, חבורה אבלית היא כזו שבה \ G_2=1. כהכללה של אותו רעיון, חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא חבורה שבה \ G_{k+1}=1.

לדוגמא, חבורה נילפוטנטית ממחלקה 1 אינה אלא חבורה אבלית, בעוד שחבורה נילפוטנטית ממחלקה 3 היא כזו שבה \ [a_1,[a_2,[a_3,a_4]]]=1 לכל ארבעה איברים \ a_1,\dots,a_4. תכונות יסוד של קומוטטורים מראות שבחבורה כזו מתקיים גם \ [[a_1,a_2],[a_3,a_4]]=1. באופן כללי יותר, אם כל הקומוטטורים מן הצורה \ [a_1,a_2,\dots,a_k] שווים לאיבר הנייטרלי, אז כל הקומוטטורים מאותו משקל (אלו המתקבלים מחישוב קומוטטור k פעמים, בסדר כלשהו), שווים לאיבר הנייטרלי.

כאשר G נילפוטנטית ממחלקה k, אפשר להציג אותה כהרחבה \ 1 \rightarrow G_{k}\rightarrow G \rightarrow G/G_k \rightarrow 1, שבה המנה \ G/G_k נילפוטנטית ממחלקה k-1, ותת-החבורה \ G_k מוכלת במרכז (שהרי \ [G,G_k]=G_{k+1}=1). הרחבה שבה הגרעין מרכזי קרויה הרחבה מרכזית: בעוד שהרחבה של חבורה פתירה בחבורה פתירה נותנת חבורה פתירה, ההרחבה של חבורה נילפוטנטית בחבורה נילפוטנטית אינה בהכרח נילפוטנטית - אלא אם ההרחבה מרכזית.

מחלקת החבורות הנילפוטנטיות היא האוסף הקטן ביותר של חבורות, הכולל את החבורה הציקלית האינסופית, וסגור תחת הפעולות של מעבר לתת-חבורה או לחבורת מנה, ותחת הרחבות מרכזיות.

[עריכה] זהויות אנגל

אם G חבורה ו- x איבר שלה, אפשר להגדיר פונקציה \ f:G \rightarrow G על-פי הנוסחה \ f(y)=[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}. הפעלה חוזרת של הפונקציה תחזיר קומוטטורים ממשקל גבוה יותר: \ f^{n}(y)=[x,x,\dots,x,y]. על-פי ההגדרה, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל פונקציה מסוג זה מוכרחה 'להתאפס': \ f^k(y)=1 (מכאן השם Nil-potent). הזהות \ [x,x,\dots,x,y]=1 נקראת זהות אנגל.

משפט ידוע של מקס צורן קובע שגם ההיפך נכון: אם קיים k שעבורו \ [x,x,\dots,x,y]=1 לכל x ו- y (כאשר x מופיע בביטוי k פעמים), אז כל קומוטטור ממשקל גדול מספיק יהה מוכרח להתאפס (אפילו אם מופיעים בו איברים שונים); במלים אחרות, החבורה נילפוטנטית. ממשפט זה נובעת תוצאה חשובה: חבורה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל תת-חבורה שלה, הנוצרת על-ידי שני אברים, היא נילפוטנטית.

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות