מתנד הרמוני
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מתנד הרמוני (נקרא גם אוסצילטור הרמוני) הוא מערכת מכנית בה קיים כח פרופורציונלי למרחק ובכיוון מנוגד לו. באנלוגיה, כל מערכת פיזיקלית שמאופיינת מתמטית בצורה דומה נקראת אף היא מתנד הרמוני. חשיבותו של מודל המתנד ההרמוני נובעת מכך שתופעות פיזיקליות רבות מתנהגות, לפחות בקירוב, כאוסצליטור הרמוני: מסה התלוייה על קפיץ, מעגלים חשמליים מסוימים, מיתרי גיטרה, ואפילו גלי אור במובן מסוים.
מתנד הרמוני, ובפרט מתנד הרמוני פשוט, היא אחת מהמערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר בפיזיקה. היא פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה פיזקלית (מכניקה קלאסית, תרמודינמיקה, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות ועוד) ומשמשת ככלי עזר חשוב בלמידת התאוריות השונות והבנתן. יתרה מכך, מסתבר שמערכות רבות ומורכבות - שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט - ניתן לקרב על ידי אוסצילטורים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף פתרון מקורב לבעיה.
תוכן עניינים |
[עריכה] מתנד הרמוני פשוט
מתנד הרמוני פשוט, הוא מערכת המצייתת למשוואה:
כאמור, x יכול לייצג כל גודל - מטען חשמלי, העתק, עצמת שדה, וכו'. לצורך המחשה, בניתוח זה נתייחס למתנד הבנוי ממסה m המחוברת לקפיץ בעל קבוע k, ומרוחקת מרחק x מנקודת שיווי המשקל. במקרה המתואר, משוואת הכוחות היא:
-
.
אם נעביר אגפים ונחלק במסה, נקבל: 
שזו בדיוק המשוואה המבוקשת, ובמקרה שלנו
.
כיוון שזו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני אין לה פתרון יחיד, אך ניתן לייצג את כל הפתרונות האפשריים למשוואה זו על ידי הביטוי הכללי:
.
כאשר:
היא התדירות הזוויתית של תנודות המערכת.
היא משרעת התנודה. המשרעת היא ההעתק המקסימלי של המערכת.
נקראת הפאזה של המערכת, או המופע שלה. גודל זה מתאר את מצב המערכת בזמן
.
הכוונה במושג פתרון כללי הוא שכל פתרון של המשוואה ניתן לייצג בצורה זו, כאשר הקבועים
משתנים לפי תנאי ההתחלה - מיקומה ומהירותה ההתחלתית של המסה.
הפתרון המתמטי המפורט מופיע בהמשך המאמר. מהירות המסה היא הנגזרת של ההעתק:
. כאשר
היא המהירות המקסימלית של התנודה.
ובאופן דומה, תאוצת המסה היא נגזרת המהירות:
. כאשר
היא התאוצה המקסימלית של התנודה.
מפתרון המשוואה ניתן ללמוד רבות על המערכת:
- התנהגות המערכת היא מחזורית. זמן המחזור שווה ל
והתדירות שווה ל
. התדירות היא מספר המחזורים שהמערכת מבצעת בשניה. - תנועת המערכת חסומה במרחב.
- התדירות לא תלויה בתנאי ההתחלה אלא רק בקבועי המערכת (המסה וקבוע הקפיץ).
- המהירות מקסימלית בנקודת שיווי המשקל, בה התאוצה מתאפסת. התאוצה מקסימלית בנקודות בהן ההעתק מקסימלי, ושם המהירות מתאפסת (ראה תרשים).
- במערכת מתקיים שימור אנרגיה.
אנו רואים כי תדירות התנודות נקבעת על ידי נתוני המערכת (מסת המשקולת וקבוע הקפיץ), ואינם תלויים במשרעת התנועה או במהירות ההתחלתית. זוהי תכונה חשובה שאיפשרה, בין השאר, לבנות שעונים המבוססים על מטוטלת. כיוון שמטוטלת היא בקירוב אוסצילטור הרמוני, זמן המחזור שלה אינו תלוי במשרעת התנועה, ולכן ניתן להשתמש בה למדידת זמנים.
[עריכה] מתנד הרמוני מרוסן
בתיאור הקודם, הנחנו כי אין חיכוך במערכת. נראה איך מתנהג המתנד במקרה בו יש חיכוך. משוואה של מתנד הרמוני מרוסן היא

אנו מניחים כי גודל כוח החיכוך מתכונתי למהירות הגוף. כוח משכך התלוי במהירות (נקרא גם כוח סטוקס) הוא נפוץ בטבע - חיכוך עם האוויר או עם נוזל, התנגדות של מעגל חשמלי, ועוד. במודל שלנו, נדמה כי כוח השיכוך נגרם על ידי בוכנת אוויר, כבאיור. נניח כי הכוח מתכונתי למהירות ונתון על ידי
, כאשר b הוא מקדם הפרופורציה. נשים לב כי מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי של מתנד הרמוני מרוסן, בו
. כעת משוואת הכוחות נראית כך:

ושוב על ידי סידור אלגברי פשוט מגיעים למשוואה המבוקשת:
. הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:
, כאשר:
, כמקודם.
, הוא הזמן האופייני של המערכת. זהו הזמן בו אמפליטודת התנודה דועכת בפקטור e.
, היא תדירות התנועה החדשה.- הביטוי
, הוא למעשה משרעת התנודה, הדועכת באופן מעריכי.
כאמור, פתרון מפורט מופיע בהמשך המאמר. זוהי למעשה תנודה הרמונית, המתבצעת בתדירות נמוכה מעט מהתדירות הטבעית (תמיד מתקיים
). במערכת זו, בניגוד לתנודה ההרמונית הפשוטה, יש איבוד אנרגיה מתמיד לחיכוך. אם החיכוך גדול מדי, לא יתרחשו בכלל תנודות, והתנועה תדעך מהר מאוד. קיים ערך מקסימלי של שיכוך, כך שעבור ערכי שיכוך גדולים ממנו לא יתרחשו תנודות. ערך זה נקרא השיכוך הקריטי, והוא נתון על ידי
.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני מאולץ, ראו: תהודה.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: אוסצילטור הרמוני קוונטי.
[עריכה] דוגמאות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות
[עריכה] מטוטלת
-
- מאמר מלא: מטוטלת מתמטית
מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב. תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב של זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית.
נניח שמסת המטוטלת היא m והיא מחוברת לתקרה בחוט אידאלי חסר משקל באורך
בתוך שדה כבידה אחיד g. נסמן ב θ את הזווית בין המטוטלת לאנך.
הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר:
. לכן, משוואת התנועה תהיה:

בקירוב של זוויות קטנות
, ומאחר ש-
נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה:
חשוב שוב להדגיש, שזו תנועה הרמונית בקירוב שכן משוואת התנועה היא משוואה מקורבת. במקרה של מטוטלת אפשר לפתור גם את המשוואה הלא-לינארית באופן אנליטי, הפתרון הוא אינטגרל אליפטי. גם מטוטלת שאינה מורכבת ממסה נקודתית מקיימת תנודה הרמונית בקירוב - למעשה, כל גוף בעל מסה התלוי מנקודה אחת מהווה מתנד הרמוני. מטוטלת כזו נקראת מטוטלת פיזיקלית.
[עריכה] מעגל LC
מעגל LC אידאלי (ללא התנגדות) - זהו מעגל המכיל קבל וסליל, ובו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל לסליל באופן מחזורי הרמוני.
מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא 0 (על פי חוקי קירכהוף) ניתן להסיק כי:
כאשר:
ומאחר ש
, נובע ש
, ולכן
וכאן תדירות התנועה היא
.
מעגל RLC, הוא אותו מעגל, בתוספת נגד. מעגל שכזה הוא מתנד הרמוני משוכך, כיוון שהוא מקיים את המשוואה:
.
מבחינה מתמטית, מעגל RLC שקול למתנד הרמוני מרוסן הבנוי ממסה המחוברת לקפיץ עם שיכוך תלוי מהירות, כמו זה שהוצג למעלה. האנלוגיה למתנד מכני היא:
| מתנד מכני | מתנד חשמלי |
| מסה - m | השראות הסליל- L |
| העתק - x | מטען - q |
| מהירות - v | זרם - I |
| שיכוך - b | התנגדות - R |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
[עריכה] פתרון מתמטי של המשוואות
אנו ננתח את המקרה המתואר למעלה של מסה m המחוברת לקפיץ בעל קבוע K, עם מקדם חיכוך b. (כאמור, מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי בו מתקיים
) . המשואה המתארת את המצב היא:

מבחינה מתמטית, משוואה זו מוגדרת כמשוואה דיפרנציאלית הומוגנית ולינארית מסדר שני. אנו מנחשים פתרון מהסוג
, כאשר המקדם λ יכול להיות מרוכב. אנו מנחשים פתרון מהצורה הזאת, כיוון שכפי שנראה מייד, כאשר נציב את הפונקציה הזו במשוואה נקבל פולינום ממעלה שניה, ואותו אנו יודעים לפתור בקלות. נשתמש בתכונה של הפונקציה האקספוננציאלית, המקיימת:
, ואחרי הצבה במשוואה נקבל:

מכיוון ש
, ניתן לצמצם אותו מהמשוואה יחד עם A, ולקבל

נציב בנוסחה לפתרון משוואות ריבועיות, נסדר קצת, ונקבל λ שפותר את המשוואה:

יש לשים לב שאנו מאפשרים פתרונות מרוכבים, וכך מבטיחים לעצמנו שתמיד יהיה פתרון למשוואה. על מנת לפשט את הכתיבה, נגדיר
. כך נקבל

שימו לב כי ω0 היא התדירות בה היה מתקיימת תנועת המתנד במידה ולא היה חיכוך.
אם
אזי יש לנו שני פתרונות ממשיים שליליים. פתרון המשוואה הכללי הוא חיבור של שני פונקציות אקספוננציאליות דועכות. זהו מצב של שיכוך-יתר, בו לא יתרחשו תנודות, אלא התנועה תדעך לאפס. התנאי לשיכוך יתר הוא שהדיסקרימננטה תהייה חיובית, משמע
, כלומר
.
המקרה המעניין יותר, וממילא גם השכיח יותר, הוא המקרה בו השיכוך הוא קטן ומתרחשות תנודות הרמוניות דועכות. במקרה זה
ומתקבלים שני פתרונות מרוכבים צמודים. על מנת להעניק פשר לפונקציה אקספוננציאלית המכילה ביטוי מרוכב, נשתמש בשתי זהויות חשובות:
- נוסחת אוילר

- תכונת האקספוננט

משתי זהויות אלה נובע כי האקספוננט של מספר מרוכב מהצורה a+ib הוא
.
ולכן שתי הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית הם:


לשם נוחות, נסמן
.
פתרון המשוואה הכללי הוא מהצורה
, כאשר A ו B הם קבועים כלשהם התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. כיוון שאנו רוצים פתרון ממשי טהור, עלינו לדרוש
. בנוסף, מתקיים ממילא
, ולכן חייב להתקיים
. כך מתקבל פתרון ממשי טהור מהצורה
.
ניתן לפשט את הביטוי מאוד. כל המקדמים בביטוי הם ממשים, מכיוון ש
וכן
. בנוסף, מכיוון שהביטוי בתוך הסינוס והקוסינוס זהה, ניתן לצמצם את הסכום לכדי ביטוי יחיד עם פאזה. הצורה המפושטת ביותר של הביטוי היא
.
כאשר
הם הפאזה והאמפליטודה ההתחלתית, הנקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה. פתרון זה מתאר תנודה הרמונית בתדירות זוויתית
עם אמפליטודה דועכת בזמן. מכיוון שלמקדם
יש יחידות של
, נהוג להגדיר את הזמן האופייני
. במקרה בו אין חיכוך,
ולכן
ומכאן
ואנו מקבלים את הביטוי המוכר של תנודה הרמונית פשוטה:
.
[עריכה] ראו גם
- תהודה
- גל
- אנליזת פורייה: טור פורייה והתמרת פורייה
- אוסצילטור הרמוני קוונטי








