מרחב וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, מרחב וקטורי מעל שדה (קרוי גם "מרחב לינארי") הינו קבוצה של איברים, אשר עליהם מוגדרות פעולות של חיבור האברים בינם לבין עצמם ושל כפל האברים הללו באברי השדה, כך שמתקיימות האקסיומות של מרחב וקטורי (ראו להלן). לאברי המרחב הווקטורי אנו קוראים "וקטורים" ולאברי אותו שדה "סקלרים". ראוי לשים לב שלא מוגדר כפל בין אברי המרחב הווקטורי, אלא רק בין וקטורים לסקלרים.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

קבוצה V נקראת מרחב וקטורי מעל שדה F, אם ב-V מוגדרת פעולת חיבור וקטורים, אשר תסומן u+v לכל u ו-v ב-V, ומוגדרת פעולת כפל סקלרי, אשר תסומן a*v לכל v ב-V ולכל a ב-F, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

  1. סגירות לחיבור: חיבור של כל שני אברים ב-V מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל-V.
  2. קומוטטיביות לחיבור (חוק החילוף): חיבור שני אברים ב-V הינו חילופי; לכל u,v ב-V מתקיים: u+v = v+u
  3. אסוציאטיביות לחיבור (חוק הקיבוץ): סדר חיבור האברים ב-V אינו משנה את התוצאה; לכל u,v,w ב-V מתקיים: (u + v) + w = u + (v + w)
  4. קיום איבר נייטרלי לחיבור ("איבר אפס"): קיים איבר 0 (שהוא איבר ב-V) כך שלכל v ב-V מתקיים: v + 0 = v
  5. קיום איבר נגדי: לכל איבר v ב-V קיים איבר נגדי ב-V המסומן v- כך שמתקיים v + -v = 0 (החיבור שלהם מניב את איבר האפס).
  6. סגירות לכפל בסקלר: כפל של כל איבר ב-V עם כל איבר ב-F מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל-V.
  7. אדישות איבר היחידה לכפל בווקטור: התוצאה של כפל איבר היחידה של השדה F בכל איבר ב-V היא תמיד אותו האיבר עצמו (לכל v ב-V מתקיים 1*v = v , כאשר "1" הוא איבר היחידה בשדה).
  8. אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור: לכל a,b ב-F ולכל v ב-V, מתקיים: a * (b * v) = (a * b) * v
  9. דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל a,b ב-F ולכל v בV, מתקיים: (a + b) * v = (a * v) + (b * v)
  10. דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): לכל u,v ב-V ולכל a ב-F, מתקיים: (a * (v + u) = (a * v) + (a * u

[עריכה] דוגמאות

  • המרחב \mathbb{R}^n של n-יות מספרים ממשיים, ובפרט: מרחבי וקטורי העמודה בגובה n.
  • המרחב האוקלידי התלת-ממדי.
  • מרחב הפונקציות הממשיות.
  • מרחב המטריצות.
  • מרחב כל ההומומורפיזמים מעל מרחב לינארי נתון.
  • אוסף כל תתי הקבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{Z}_2, כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

[עריכה] מבנים נוספים

[עריכה] המרחב הדואלי

לכל מרחב וקטורי V, אפשר לבנות את המרחב הדואלי שלו *V. זהו מרחב כל הפונקציונלים הלינאריים על V. כלומר:

\ V^* = \{ f : V \to F \ | \forall a,b \in V \ f( \mu a+ \nu b)= \mu f(a) + \nu f(b) \}

באמצעות מבנה זה אפשר להגדיר על המרחב הווקטורי V מבנה של טופולוגיה חלשה (כלומר: אוסף של סביבות המאפיינות תכונות לוקליות-אנליטיות של המרחב כגון רציפות, סגירות ועוד).

בענף המתמטי של אנליזה פונקציונלית מרבים לחקור מבנה זה.

[עריכה] מכפלה פנימית

מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי המצויד במכפלה פנימית, מכפלה פנימית היא פונקציה \ \lang \ , \ rang : V \times V \to R המתאימה לכל זוג וקטורים מספר ממשי ומקיימת מספר אקסיומות, בהן לינאריות בכל רכיב, סימטריה וחיוביות

(\forall v \in V , \lang v , v \rang \le 0 ו \ \lang v , v \rang = 0 \iff v = 0).

באמצעות המכפלה הפנימית אפשר להגדיר נורמה על ידי \ \| v \| = \sqrt{ \lang v , v \rang } ובאופן אינטואיטיבי היא מייצגת את ה"אורך" או הגודל של הווקטור. מרחב וקטורי נורמי הוא בפרט מרחב טופולוגי מטרי כאשר המטריקה המושרית מהנורמה היא \ d(v,w) = \| v - w \|.

[עריכה] ראו גם


נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור

אנליזה וקטורית
מרחב וקטורי | שדה סקלרי | שדה וקטורי | גרדיאנט | נגזרת כיוונית | דיברגנץ | רוטור | לפלסיאן | משפט הגרדיאנט | משפט גאוס | משפט סטוקס | דלאמברטיאן | גאומטריה דיפרנציאלית
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה