מטריקה רימנית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מטריקה רימנית היא כלל המתאים באופן חלק לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק ליריעה בנקודה זו. בעזרת כלל זה ניתן להגדיר אורך של קטעים אינפיניטסימלים על עקום ועל ידי אינטגרציה, את האורך של העקום. כמו כן מטריקה רימנית מאפשרת להגדיר זויות בין עקומים שעוברים דרך אותה נקודה. מטריקה רימנית קרויה על שם ממציאה, ברנרד רימן. יריעה חלקה יחד עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה
מטריקה רימנית על יריעה חלקה
היא שדה טנזורי
מטיפוס (0,2) כך שבכל נקודה
התבנית הבילינארית
היא סימטרית ומוגדרת חיובית.
במילים אחרות, המטריקה הרימנית מתאימה לכל נקודה
תבנית בילינארית על המרחב המשיק
, כך שההתאמה היא חלקה ובכל נקודה התבנית הבילינארית היא מכפלה פנימית.
באמצעות חלוקת יחידה, אפשר לבנות על כל יריעה חלקה מטריקה רימנית.
[עריכה] המרחק המתקבל ממטריקה רימנית
בהנתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אורך של עקום
על ידי

ומכאן להגדיר את המרחק בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשניה. פונקציית המרחק הזו היא מטריקה.
[עריכה] דוגמאות
כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות
.
- המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי
נתונה בקואורדינטות קרטזיות על ידי המטריצה
כאשר
היא הדלתא של קרונקר.
- אם
היא מטריקה רימנית על יריעה
ו
היא תת יריעה, הצמצום של
הוא המטריקה על
הנתונה על ידי
, כאשר
.
- המטריקה על הספירה
המתקבלת מצמצום המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי ניתנת (בקואורדינטות כדוריות) על ידי המטריצה

[עריכה] איזומורפיזמים מוזיקלים
מכיוון שמטריקה רימנית היא תבנית לא מנוונת, היא משרה איזומורפיזם בין המרחב המשיק למרחב הקו-משיק. בקורדינטות מקומיות, האיזומורפיזם נתון על ידי
ו
כאשר המטריצה
מסמנת את המטריצה ההופכית של
ומשתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין. בעזרת איזומורפיזם זה ניתן להגדיר איזומורפיזמים נוספים בין כפולות טנזוריות גבוהות יותר של המרחב המשיק והקו משיק, לדוגמה בין
ובין
ומכך לקבל העתקות בין שדות טנזורים. העתקות אלה נקראות גם הורדה והעלאה של אינדקסים וגם איזומורפיזמים מוזיקלים.
[עריכה] הכללות
- אם מסירים את הדרישה ש
תהיה מוגדרת חיובית (אבל דורשים שהיא תהיה לא מנוונת) האובייקט המתקבל נקרא מטריקה פסאודו-רימנית. מטריקה פסאודו-רימנית מסיגנטורה (n-1,1) נקראת מטריקה לורנצית. על פי תורת היחסות, על המרחב-זמן יש מטריקה לורנצית.
- מטריקה רימנית על אגד וקטורי כלשהוא היא חתך של האגד
כך שבכל נקודה, התבנית המתקבלת היא מכפלה פנימית. על כל אגד וקטורי קיימת מטריקה רימנית.
- פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק נקראת מטריקת פינסלר (Finsler).

