סימון דיראק
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
סימון דיראק (או סימון ברה-קט) הוא הסימון הסטנדרטי לתיאור מצבים קוונטים במכניקת הקוונטים, אף על פי שאפשר להשתמש בסימון זה לציון וקטורים במרחב וקטורי מופשט ואף פונקציונלים. שמו של הסימון הוא מעין "התחכמות לשונית" של ממציאו פול דיראק: מכפלה פנימית של שני מצבים, הנקראת באנגלית "ברקט" (bracket) ומסומנת על ידי
מכילה למעשה חלק שמאלי, אשר נקרא "ברה" (bra)
וחלק ימני
הנקרא "קט" (ket).
תוכן עניינים |
[עריכה] מבוא אינטואיטיבי
סימון דיראק בא לתאר את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים בה המערכת נמצאת במצב קוונטי שהוא סופרפוזיציה של מצבים עצמיים. לכל גודל מדיד (המיוצג על ידי אופרטור הרמיטי) מתאים סט של מצבים עצמיים המייצגים את הערכים שאפשר למדוד.
סימון דיראק מסייע לחשב מה ההסתברות למדוד ערך a של אופרטור A כאשר המערכת נמצאת במצב קוונטי
. בסימון דיראק מדידה (או הטלה) מיוצגת על ידי מכפלה פנימית
כאשר ריבוע הערך המוחלט שלה נותן את ההסתברות. הערך a הוא בעצם מצב עצמי קוונטי של האופרטור A המקיים
(כאשר ה a מחוץ ל"קט" הוא כבר מספר סקלרי) ולמעשה מה שסימון דיראק אומר הוא שאת הסיכוי למדידת הערך a במצב
אפשר לחשב על ידי הטלת המצב
על המצב העצמי
. נסכם, 
כאשר מטילים על בסיס המקום (או בסיס המרחב), המורכב ממצבים עצמיים
המייצגים כל אחד מהם חלקיק שפונקציית הגל שלו מרוכזת במקום מסוים
, נהוג לסמן
ולקרוא לביטוי
פונקציית הגל של החלקיק. עוד על הצגת ברה-קט בבסיס המרחב ראו בהמשך המאמר.
[עריכה] ברה וקט
במכניקת הקוונטים, המצב של מערכת פיזיקלית מזוהה על ידי וקטור במרחב הילברט מרוכב H. כל וקטור במרחב זה נקרא "קט" ונכתב בצורה:
. כאשר: ψ מייצג קט מסוים.
לכל קט
קיים ברה דואלי אשר מצוין על ידי
שהוא למעשה פונקציונאל לינארי מ-H ל-
בהתאם להגדרה הקאנונית: :
לכל ה"קטים" 
כאשר
מייצג את המכפלה הפנימית המוגדרת על מרחב הילברט. סימון זה מקבל את הצדקתו בזכות משפט ההצגה של ריץ, הקובע כי מרחב הילברט והמרחב הדואלי שלו איזומורפיים ואיזומטריים. לפיכך, לכל ברה מתאים קט אחד בלבד ולהיפך.
למעשה, סימון דיראק יכול לשמש, באופן זהה, מרחבים וקטוריים, גם אם אלו אינם מרחבי הילברט. בכל מרחב בנך אפשר לציין את הווקטורים באמצעות ברה ואת הפונקציונלים הלינארים באמצעות קט. למעשה, מעל כל מרחב וקטורי, אשר לא מוגדרת עליו טופולוגיה, אפשר לסמן את הווקטורים והפונקציונלים הלינאריים באמצעות ברה וקט. במקרים יותר כלליים אלו של מרחבים בלי מכפלה פנימית, ל"ברקט" אין את המשמעות של מכפלה פנימית משום שאי-אפשר ליישם עליהם את משפט ההצגה של ריץ'.
הצמדתו של ה"ברה"
ל"קט"
מניבה מספר מרוכב, המסומן על-ידי
.
במכניקת הקוונטים זוכה סימון זה לפירוש כאמפליטודת ההסתברות שהמצב ψ יקרוס אל המצב φ.
[עריכה] תכונות
מאחר שמדובר במרחב הילברט שהוא בפרט מרחב וקטורי, המכפלה הפנימית וההצמדה ההרמיטית מקיימות את התכונות הבאות:
- בי-לינאריות בשני משתנים:
- הצמוד הדואלי של
הינו 
- כמו בכל מרחב מכפלה פנימית אחר מתקיים:

[עריכה] אופרטורים לינאריים
אם
היא אופרטור לינארי, אנו יכולים להפעיל את האופרטור
על וקטור קט
. לאופרטורים לינארים חשיבות עצומה במכניקת הקוונטים. לדוגמה, לכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מתאים אופרטור לינארי הרמיטי (כלומר:
).
אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם כן על ברה, על ידי הפונקציונאל
ביטוי זה מסומן בדרך כלל על-ידי
. עבור אופרטורים לא הרמיטיים הסימונים הכלליים הם:
דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים לינאריים על H הוא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה
וקט
נגדיר את המכפלה החיצונית להיות 
כאשר למעשה פעולת אופרטור זו מוגדרת עבור קט
להיות
(ולמעשה קיבלנו מכפלה סקלרית
כמקדם של הקט
.
השימוש המרכזי של הצגה זו היא בהצגת אופרטור הטלה. כאשר נתון וקטור
בעל נורמה 1 (משמע:
) נקבל כי
היא ההטלה האורתוגונלית לתוך תת המרחב הנפרש על ידי
.
[עריכה] הצגה במושגים של ברה וקט
במכניקת הקוונטים לעיתים קרובות נוח לעבוד עם ההטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר).
לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום
כאשר הסימון
מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו
במרחב הילברט, אנו יכולים לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של
הידועה בשם פונקציית הגל:
תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור לינארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים לינאריים הפועלים על קטים על ידי 
למרות שהאופרטור A הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור A בצד ימין יש להבין כי מדובר בשתי יישויות מתמטיות שונות מבחינה קונספטואלית. בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, משמע על וקטורים במרחב הילברט.
לדוגמה: אם כי לאופרטור התנע p יש, באופן תיאורטי, את הצורה הבאה:
אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה: 
אפשר לומר כי שימוש זה הינו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור לינארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום.
[עריכה] מרחבי מכפלה
[עריכה] מבוא והגדרות
כאשר יש מספר מספרים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של ה-קט-ים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה.
שני מרחבי הילברט אשר נסמנם ב-V ו-W יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי
בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב-V ו-W בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר).
אם
הוא קט במרחב V ו-
הוא קט במרחב W, אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט
. נהוג לרשום ביטוי זה גם כ-
או כ-
או לחילופין כ-
[עריכה] דוגמה כללית
נניח שיש לנו 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם המילטוניאן
לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים
כאשר H הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן
.
את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה
, קט כזה יהיה מהצורה
כאשר בכתיבת קט-ים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית.
[עריכה] סימטריות ביחס להחלפת חלקיקים
נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך:
עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.
אנו נאמר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) סימטרית להחלפת חלקיקים אם
.
לדוגמה: פונקציית הגל
היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן
.
באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים אם
.
להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע עפ"י התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים:
- פרמיונים - חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא אנטי-סימטרית.
- בוזונים - חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא סימטרית.
- עקרון האיסור של פאולי.
[עריכה] דוגמה פרטית למרחב מכפלה
הדוגמה הכי נפוצה לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי
כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2. מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת, בכל כיוון שנבצע מדידת ספין - הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1 (אם נמדוד ל 1 ספין מעלה, אזי 2 ימדד בהכרח ספין מטה. אם נמדוד ל 1 ספין מטה אז 2 ימדד בהכרח ספין מעלה).









