התפלגות מעריכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שם ההתפלגות
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית הסתברות מצטברת
מאפיינים
פרמטרים \ \lambda>0
תומך x \in [0;\infty)\!
פונקציית צפיפות ההסתברות

(pdf)

\,\lambda e^{-\lambda x}
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\ 1 - e^{-\lambda x}
ממוצע \lambda^{-1}\,
חציון \ln(2)/\lambda\,
ערך שכיח 0\,
שוֹ‏נוּ‏ת \lambda^{-2}\,
סטיית תקן \ \sqrt{\lambda^{-2}\,}
אנטרופיה 1 - \ln(\lambda)\,
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
גבנוניות \ 2
צידוד \ 6


התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה על החצי האי-שלילי של הישר הממשי והיא מוגדרת כך:

\ \forall 0 \le t \in \mathbb{R} \ : \quad F(t) = P(X \le t) = 1 - e^{- t / \tau}

כאשר \ \tau > 0 הוא "זמן החיים הממוצע" (התוחלת של ההתפלגות). הפרמטר \ \lambda = 1/\tau הוא קצב ההתרחשות של התהליך ונקרא "קבוע הדעיכה".

להתפלגות זו קיימת פונקציית צפיפות והיא

\ \forall 0 \le t \in \mathbb{R} \ : \quad f(t)  = \frac{1}{\tau}  e^{- t / \tau} = \lambda e^{- \lambda t}

אם X משתנה מקרי שמתפלג מעריכית מסמנים \ X \sim \exp(1/\tau) או \ X \sim \exp( \lambda ) .

התפלגות מעריכית משמשת למדל את התנהגותם של תופעות הדועכות עם הזמן, באופן ספונטני אך מתכונתי לכמות הזמן שעבר. כלומר, ככל שהזמן שחלף גדול יותר כך גדל הסיכוי שתתרחש הדעיכה. דוגמאות לתופעות כאלה הן התפרקות רדיואקטיבית, זמן החיים של נורה או רכיב חשמלי (הזמן שלוקח לו עד שהוא מתקלקל ומפסיק לפעול) ועוד.

מאחר שדוגמת הנורה היא המקרה הפשוט והאינטואיטיבי ביותר, נשתמש בה במשך המאמר על מנת לתת משמעות אינטואיטיבית לתכונות המתמטיות של ההתפלגות. בדוגמה זו X הוא משתנה מקרי המייצג את זמן החיים של הנורה - הזמן עד שהנורה נשרפת מרגע הפעלתה ואנו מניחים שהוא מתפלג \ X \sim \exp(1/\tau) = \exp(\lambda).


[עריכה] תכונות ההתפלגות המעריכית

  • תוחלת ההתפלגות היא τ. כלומר, זה הזמן הממוצע שייקח לנורה להישרף.
  • השונות של ההתפלגות היא τ2. כלומר, סטיית התקן של התפלגות זו היא גם τ.
  • החציון של ההתפלגות הוא \ \tau \ln(2). בתופעות של דעיכה בזמן, פרמטר זה נקרא זמן מחצית החיים.
  • חוסר זכרון: זוהי תכונה ייחודית להתפלגות המעריכית מבין כלל ההתפלגויות הרציפות. תכונה זו מנוסחת כ \ P(X > t+s | X > t) = P(x > s) ומשמעותה היא שהסיכוי של נורה ששרדה זמן t להישרף כעבור זמן s זהה לסיכוי שנורה חדשה תישרף תוך זמן s, כלומר: הנורה לא זוכרת את העבר שלה ואת העובדה שהיא כבר עובדת t זמן.
  • אם \ X_i \sim \exp( \lambda_i) הם n משתנים המתפלגים מעריכית, אזי \ \min( X_1, \cdots , X_n) \sim \exp \left( \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} \right) גם מתפלג מעריכית כאשר קבוע הדעיכה הוא סכום קבועי הדעיכה של כל ההתפלגויות האחרות.

[עריכה] התפלגויות קשורות

  • אם U מתפלג בצורה אחידה בקטע [0,1] אזי \ X = \frac{1}{\lambda} \ln{ \left( \frac{1}{1-U} \right)} מתפלג מעריכית עם קבוע דעיכה λ. זוהי דרך יעילה מאוד לממש או לבצע סימולציה של משתנה מקרי מתפלג מעריכית באמצעות משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד, היא שימושית גם בתכנות ובמדעי המחשב.
  • ההתפלגות המעריכית קשורה באופן הדוק להתפלגות פואסון. נניח שבידנו מספר כלשהו של נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג \ X \sim \exp(\lambda) (מתפלג מעריכית עם אותו קבוע דעיכה). נחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות בטור ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד. ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה. ברגע שגם היא נשרפת מדליקים את הנורה השלישית וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y שנשרפות עד זמן \ t_0 מתפלג פואסונית עם ממוצע (תוחלת) של λt0, כלומר: \ Y \sim \mbox{Pois}(\lambda t_0) או באופן מפורש \ P( Y = k) = e^{-\lambda t_0} \frac{ (\lambda t_0)^k}{k!}.
  • התפלגות מעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא עם פרמטר צורה ששווה ל-1. בפרט, היא מקרה פרטי של התפלגות ארלנג עם n=1.
  • ההתפלגות Y \sim \mathrm{Weibull}(\gamma, \lambda) היא התפלגות וייבול אם Y = X^{1/\gamma}\, ו X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda) מתפלג מעריכית. בפרט, התפלגות מעריכית היא התפלגות וייבול (γ = 1).
  • Y \sim \mathrm{Rayleigh}(1/\lambda) היא התפלגות ריילי אם Y = \sqrt{2X/\lambda} ו X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda).
  • Y \sim \mathrm{Gumbel}(\mu, \beta) היא התפלגות גאמבל אם Y = \mu - \beta \log(X/\lambda)\, ו X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda).
  • Y \sim \mathrm{Laplace} היא התפלגות לפלס אם Y = X1X2 עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים מעריכית.
  • נניח שבידינו n נורות בלתי תלויות שכל אחת מהן מתפלגת \ X \sim \exp(\lambda), אזי \ \sum_{i=1}^{n}{X_i} ~ \Gamma (n, \lambda). התפלגות זו נקראת התפלגות ארלנג.
  • X \sim \chi_2^2 היא התפלגות חי בריבוע (עם 2 דרגות חופש) אם X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda = 2).