פונקציה הולומורפית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציה הולומורפית היא האובייקט המרכזי שנחקר במסגרת האנליזה המרוכבת. זוהי פונקציה שמוגדרת על קבוצה פתוחה במישור המרוכב ומקבלת ערכים במישור המרוכב, ותכונתה שהיא גזירה במובן המרוכב בכל נקודה. קיומה של נגזרת מרוכבת הוא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציות ממשיות, ומקיומו נובע שהפונקציה גזירה במובן המרוכב אינסוף פעמים וניתנת לתיאור באמצעות טור טיילור. בפרט, כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית; גם ההיפך נכון - כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות.
פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב נקראת פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה היא שהיא גזירה גם בנקודה וגם בסביבה של הנקודה.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
תהא
קבוצה פתוחה במישור המרוכב. תהא
פונקציה מרוכבת. נאמר ש-
גזירה במובן המרוכב בנקודה
אם הגבול
קיים (נשים לב שכאן הגבול נלקח על כל סדרה של מספרים מרוכבים ששואפת ל-
).
תנאי הכרחי ומספיק לקיום של גבול כזה נתון על ידי משוואות קושי רימן, ותכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את
.
אם הפונקציה
גזירה בכל נקודה
, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה
. ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא זה:
היא הולומורפית בנקודה
אם היא גזירה ב-
ובסביבה של
. שקילות שני המושגים נובעת מהגדרת קבוצה פתוחה: לכל נקודה בקבוצה הפתוחה קיימת סביבה שמוכלת באותה קבוצה.
[עריכה] דוגמאות
כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט
, ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (שניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט).
לעומת זאת, הפונקציה
אינה הולומורפית בכל נקודה: היא אינה גזירה בנקודה
. בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה
.
[עריכה] תכונות
- סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
- מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
- כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
- ערכיה של פונקציה שהולומורפית בתחום כלשהו ועל שפתו נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על השפה - זוהי התכונה שבאה לידי ביטוי בנוסחת האינטגרל של קושי.
- פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית - היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה-
מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי
.

