משפט קושי-גורסה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: אין הקדמה או הסבר מילולי, ובכלל, נראה כי יש יותר מידי נוסחאות בערך הזה, אולי כדאי לפשט. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

תהי \ f אנליטית ב- \ D ו- \ \Delta משולש המוכל עם פנימו ב- \ D. אז \ \oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz = 0


[עריכה] הוכחה

כיתוב תמונה
הגדל
כיתוב תמונה

תחילה, נניח \ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0

עכשיו, \ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz

\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right|


לכן \ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| ויש \ 1\le k_0\le 4 כך ש- \ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}

נסמן \ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1. נמשיך כך ונקבל \ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n , \ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}

לפי למת קנטור, \ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}.

\ f אנליטית ב- \ z_0 ולכן:

\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)

\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0

נביט באורכי המסילות: \ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}

עבור \ z \in \partial \Delta_n , \ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}

\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*)

עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: \ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל \ \mathbb{C}, בפרט ב- \ D ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי משפט אינטגרל קושי. נמשיך:

\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|

עכשיו ניתן להוכיח כי אם \ \gamma מסילה חלקה למקוטעין ו-\ f רציפה על \ \gamma אז \ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma ) כאשר \ M=max\left|f(z)\right| על \ \gamma ו- \ l(\gamma) הוא האורך של \ \gamma. לכן:

\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}

מכאן נובע: \ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}

\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2

אבל \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0 וזו סתירה להנחה, כלומר \ S=0 ולכן \ \oint_Tf(z)\, dz = 0.

מ.ש.ל.