כריעות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בלוגיקה מתמטית, טענה שאפשר להוכיח אותה או את שלילתה מתוך מערכת נתונה של אקסיומות, היא טענה כריעה. טענה שאי אפשר להוכיח לא אותה ולא את שלילתה, היא לא כריעה.
ישנן כמה דוגמאות מפורסמות לבעיות לא כריעות:
- אקסיומת המקבילים הקובעת שדרך כל נקודה מחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד - אינה כריעה במסגרת האקסיומות האחרות של גאומטריית המישור (וראה גאומטריה לא אוקלידית).
- אקסיומת הבחירה אינה כריעה במסגרת האקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו פרנקל.
- השערת הרצף אינה כריעה במסגרת של אקסיומות צרמלו פרנקל יחד עם אקסיומת הבחירה.
המתמטיקאי האוסטרי-אמריקאי קורט גדל הוכיח ב-1931 שבכל תורה אפקטיבית עקבית המבוססת על שפה מסדר ראשון שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים, יש נוסחאות לא כריעות. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית ושלמה. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל, ובעקבותיו השתנתה ההתייחסות לתוכנית של דייוויד הילברט לבסס את כל המתמטיקה על קבוצה סופית של אקסיומות.
משפט אי-השלמות השני של גדל טוען שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה (אפקטיבית וחזקה מספיק) במסגרת האקסיומות של התורה עצמה. לפעמים אפשר להוכיח את העקביות של מערכת על-ידי בניית מודל שלה במסגרת מערכת אחרת. למשל, אקסיומות פאנו מתארות את המספרים השלמים, וניתן לבנות מודל שלהן במסגרת תורת הקבוצות. לכן, אם תורת הקבוצות חסרת סתירות, אז כך גם מערכת פאנו.

