ערך עצמי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, ערך עצמי (Eigenvalue) של טרנספורמציה לינארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, כך שקיים וקטור שונה מוקטור האפס שהפעלת הטרנספורמציה עליו או הכפלתו במטריצה מכפילה אותו באותו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת הטרנספורמציה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות וטרנספורמציות, שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי \ V מרחב וקטורי ותהא \ T:V\rarr V טרנספורמציה לינארית. אם קיים וקטור \ v\isin V השונה מאפס וסקלר \ \lambda כך ש-\ T(v)=\lambda v, אזי נקרא ל־\ \lambda ערך עצמי של \ T, ול־\ v נקרא וקטור עצמי (Eigenvector) של \ T השייך לערך העצמי \ \lambda.

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי \ A מטריצה ריבועית מסדר \ n מעל שדה \ \mathbb F ויהי \ v\isin \mathbb F ^n וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר \ \lambda\isin\mathbb  F כך ש-\ Av=\lambda v, אז \ v יקרא וקטור עצמי של \ A השייך לערך העצמי \ \lambda.

[עריכה] וקטור עצמי ומרחב עצמי

עבור מטריצה \,A, הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר \,\lambda הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית \left( A - \lambda I \right) v = 0, כאשר \,I היא מטריצת היחידה. אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של \,\lambda, והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים (כלומר, \ v\neq 0), אז \,\lambda הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים לינארית זה בזה.

[עריכה] ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה \left( A - \lambda I \right) v = 0. הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. מקרה פרטי של טענה זו הוא כאשר אין אף ערך עצמי של המטריצה שחוזר על עצמו.

[עריכה] מציאת ערכים עצמיים

ערכים עצמיים מסייעים להצגת טרנספורמציות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית לתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, והווקטורים העצמיים שלה הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי.

  • למטריצות דומות יש אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
  • סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
  • מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

[עריכה] ספקטרום

ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (שניתן להסתכל עליהם הכללה של מטריצה לאינסוף ממדים) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות t בהן לא קיימת מטריצה הפיכה וחסומה ל \ A-tI. קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה פונקציונלית.

[עריכה] ראו גם


נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור