אלגברה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אלגברה לינארית היא ענף של האלגברה העוסק בחקר התכונות של וקטורים, מרחבים וקטוריים, מטריצות, טרנספורמציות לינאריות ומערכות של משוואות לינאריות. מרחבים וקטוריים הם נושא מרכזי במתמטיקה, ולכן נעשה שימוש נרחב באלגברה לינארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה לינארית במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע.

תוכן עניינים

[עריכה] היסטוריה

האלגברה הלינארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פירסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה לינארית".

[עריכה] מבוא בסיסי

תחילתה של האלגברה הלינארית במחקר וקטורים במרחב הקרטזי הדו והתלת ממדי. במרחבים אלו וקטור הוא קטע בעל אורך וכיוון מסוימים. באמצעות וקטורים ניתן לתאר ישויות פיזיקליות מסוימות כמו כוחות או מהירות. ניתן לחבר אותם זה עם זה וניתן לכפול אותם במספרים (שבהקשר זה מכונים סקלרים). בכך מקיימים המרחבים את התכונות של מרחב וקטורי. על הווקטורים ניתן לחשוב גם כעל חצים בעלי אורך וכיוון המצביעים על נקודות במרחב, וגם כעל הנקודות הללו עצמן. ניתן לתאר וקטור דו ממדי על ידי שני מספרים, המתארים את הקוארדינטה ה-x וה-y של הנקודה שבראש החץ. בצורה דומה ניתן לתאר וקטור תלת ממדי באמצעות שלושה מספרים.

האלגברה הלינארית המודרנית הכלילה מרחבים אלו למרחבים בעלי מספר שרירותי של ממדים, ואפילו מספר אינסופי של ממדים. רוב התוצאות המועילות מהמקרה הדו והתלת ממדי ניתנות להכללה למספר כלשהו של ממדים . אף על פי שקשה לדמיין ובלתי אפשרי לצייר וקטורים במספר שרירותי של ממדים, ניתן לתאר אותם כסדרה של מספרים, בצורה דומה לזו שבה מתארים וקטורים דו ותלת ממדיים. כך למשל ניתן לתאר את המרחב-זמן באמצעות וקטורים עם ארבעה ממדים. ניתן לחשוב על כל ממד נוסף של וקטור כעל "דרגת חופש" נוספת שיש לו - כלומר, דרך נוספת להבדיל בינו ובין וקטורים אחרים, תוך שמירה על התכונות הקיימות.

השלב הבא בהכללה מגיע מתחום האלגברה המופשטת. אף שהמרחבים הווקטורים הוגדרו במקור מעל המספרים הממשיים או המרוכבים (כלומר, כסדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים), אין הכרח בכך, וניתן לחשוב על וקטורים שמוגדרים גם מעל קבוצות בעלות תכונות דומות לאלו של המספרים הממשיים - שיש בהן מושגים של חיבור וכפל שמקיימים מספר תכונות בסיסיות (כמו חוק החילוף וחוק הפילוג). קבוצות כאלו מכונות שדות.

מתברר כי אין צורך לחשוב על וקטורים דווקא כעל סדרה של איברים מתוך השדה, אלא ניתן לחשוב עליהם כעל קבוצה שרירותית שמתקיימות בה פעולות של חיבור וחיסור ואיבר נייטרלי לפעולות אלו. קבוצה כזו מכונה חבורה. משיש לנו חבורה, ניתן להפוך אותה למרחב וקטורי מעל שדה על ידי כך שמגדירים פעולה של כפל איבר מהחבורה באיבר מהשדה, מה שמקביל להגדרה של כפל וקטור של מספרים ממשיים במספר ממשי. בשל מקורה של פעולת הכפל הזו נוהגים לכנותה "כפל בסקלר" ואת אברי השדה שבהם כופלים את הווקטורים "סקלרים".

גם לאחר הכללה זו נשמרות רוב התכונות המעניינות שהתקיימו במרחבים הדו והתלת ממדיים מעל המספרים הממשיים, אולם כעת הווקטורים יכולים לייצג אוסף גדול בהרבה של אובייקטים מתמטיים: למשל, אוסף המטריצות ההפיכות הן מרחב וקטורי, אוסף הפונקציות הרציפות בקטע \ \left[0,1\right] הוא מרחב וקטורי, ואפילו אוסף הפונקציות הלינאריות בין מרחבים וקטוריים מהווה בעצמו מרחב וקטורי.

כדי לתאר בצורה נוחה מרחבים וקטוריים מחפשים קבוצות של וקטורים שניתן להציג כל איבר במרחב כצירוף לינארי שלהם: סכום של מכפלות שלהם בסקלרים. על קבוצות כאלו אומרים שהן פורשות את המרחב. במיוחד מעניינות הקבוצות המינימליות מבחינת מספר האיברים שלהן שעדיין פורשות את המרחב. קבוצות כאלו מכונות בסיסים. די בידע על אברי הבסיס כדי לדעת לתאר את המרחב הווקטורי היטב. למשל, כשמגדירים טרנספורמציה לינארית (פונקציה בין שני מרחבים וקטוריים שמקיימת תכונות של לינאריות), די לדעת את פעולתה על אברי הבסיס כדי לדעת את פעולתה על כל איבר במרחב. מתברר כי מספר האברים בכל בסיס של המרחב זהה, ומספר האברים שנמצאים בבסיס של המרחב תואם את המושג האינטואיטיבי שיש לנו על הממד שלו, ועל כן הגדרתו הפורמלית של הממד של המרחב היא כמספר האיברים שבבסיס כלשהו שלו.

האלגברה הלינארית עוסקת גם בחקירה של טרנספורמציות לינאריות בין מרחבים וקטוריים. מתברר שקיים קשר בין אוסף הטרנספורמציות ממרחב בעל n ממדים למרחב בעל m ממדים ובין אוסף המטריצות שהאיברים שלהן לקוחים מהשדה שמעליו מוגדרים המרחבים והגודל שלהן הוא m על n - בהינתן בסיסים של שני המרחבים, לכל טרנספורמציה מתאימה מטריצה אחת ויחידה, ולכל מטריצה מתאימה טרנספורמציה אחת ויחידה. בשל כך, מחקר התכונות של מטריצות מהווה חלק חשוב מהאלגברה הלינארית.

לאלגברה הלינארית שימושים רבים במתמטיקה, בשל הכוח הרב שלה בטיפול בבעיות לינאריות. פעמים רבות במתמטיקה כאשר נתקלים בבעיות קשות מנסים לקרב אותן באמצעות תיאור לינארי של הבעיה, ולפתור את הקירוב באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הלינארית. כך למשל מושג הדיפרנציאביליות בחשבון אינפיניטסימלי עוסק ביכולת לקרב את התנהגותה של פונקציה בנקודה מסוימת על ידי טרנספורמציה לינארית.

[עריכה] לקריאה נוספת

  • אלגברה לינארית, האוניברסיטה הפתוחה
  • אלגברה לינארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
  • שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
  • אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה לינארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
  • בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה לינארית

[עריכה] קישורים חיצוניים

Linear Algebra Toolkit

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור