מידה (מתמטיקה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה פונקציית מידה (או פשוט: מידה) היא פונקציה המתאימה מספר לא-שלילי (למשל: אורך, נפח או הסתברות) לתת-קבוצות של מרחב נתון, ומקיימת תכונות שימושיות מסוימות (פירוט בהמשך).
מושג המידה חשוב מאוד באנליזה מתמטית ובתורת ההסתברות. תורת המידה היא ענף של אנליזה ממשית שחוקר סיגמא-אלגברות, פונקציות מידה, פונקציות מדידות (לא להתבלבל עם פונקציית מידה) ואינטגרלים. אחד הכלים החשובים בתורת המידה הוא אינטגרל לבג.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
מידה
היא פונקציה המוגדרת על סיגמא-אלגברה
שמכילה תתי-קבוצות של X. הפונקציה נדרשת לקיים את התכונות הבאות, הנקראות אקסיומות המידה:
- לקבוצה הריקה יש מידה אפס.

- סיגמא-אדיטיביות (אדיטיביות ניתנת להימנות):
יהיו
מספר בן-מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר:
.
אזי מתקיים שמידת האיחוד היא סכום המידות, כלומר:
או ברישום מקוצר: 
מידה אי-שלילית היא פונקציית מידה
המקיימת, בנוסף, את התנאי
לכל קבוצה A בסיגמא-אלגברה.
שלשה
שרכיביה מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה על המרחב ופונקציית מידה על האלגברה, נקראת מרחב מידה. במקרה כזה, קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה מכונה קבוצה מדידה (ביחס לאותה אלגברה).
[עריכה] תכונות של מידה
מתכונות ההגדרה לעיל נובעות התכונות השימושיות הבאות:
- מונוטוניות ביחס להכלה:
- אם
אזי
.
- אם
- סיגמא חצי-אדיטיביות (סח"א):
- יהיו
מספר בן מנייה של קבוצות (לא בהכרח זרות), אזי
- רציפות מלמטה:
- תהי סדרת קבוצות
, אזי מתקיים:
- רציפות מלמעלה:
- תהי סדרת קבוצות
, אזי מתקיים:
[עריכה] תכונות נוספות של מידה
יהי
מרחב מידה.
[עריכה] מידה סיגמא-סופית
מידה נקראת סופית אם
(מידת מרחב המדגם עצמו סופית).
מידה נקראת סיגמא-סופית אם ניתן להציג את X כאיחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.
לדוגמה: מידת לבג על הישר הממשי היא סיגמא-סופית כי
ומידת כל קטע סגור
היא 1.
[עריכה] מידה רגולרית
מידה המוגדרת מעל מרחב טופולוגי X נקרא רגולרית אם מתקיים
לדוגמה: מידת לבג היא מידה רגולרית, הדבר נובע מאופן בנייתה באמצעות מידה חיצונית.
[עריכה] מידה שלמה
מידה נקראת שלמה אם:
- לכל קבוצה בעלת מידה אפס E,
, - כל תת קבוצה שלה
היא מדידה (כלומר: פונקציית המידה מוגדרת עליה) וכן
(נובע ממונוטוניות של מידה ביחס להכלה).
לכל מידה קיימת השלמה/הרחבה סטנדרטית המגדירה אותה על הסיגמא-אלגברה המקסימלית של הקבוצות המדידות, שבה המידה המורחבת היא מידה שלמה. כדי להשלים מידה כזאת, מוסיפים לסיגמא-אלגברה המקורית את כל הסיגמא-אלגברה של כל הקבוצות הנבדלות מקבוצות בסיגמא-אלגברה המקורי בקבוצה בעלת מידה אפס (כלומר:
כאשר Δ הוא הפרש סימטרי של קבוצות.
לדוגמה: מידת לבג היא ההשלמה הסטנדרטית של מידת האורך על הישר הממשי.
[עריכה] ראו עוד
מידות שימושיות:
- מידת לבג על הישר הממשי (הכללה של מושג האורך)
- מידת הסתברות, ראה אקסיומות ההסתברות.
מושגים באנליזה ממשית:
ידע נדרש:





