גבול (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מושג הגבול הינו נדבך יסודי באנליזה מתמטית ובחשבון אינפיניטיסימלי. אפשר לייחס גבול לעצמים אינסופיים שונים, כגון סדרה של מספרים ממשיים או פונקציה ממשית, ובאופן כללי יותר גם לסדרה של אברים במרחב טופולוגי כללי. גבולה של סדרה, כאשר הוא קיים, הינו מספר שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה - גם אם ערך זה אינו מופיע בסדרה כלל. לדוגמה, גבולה של הסדרה ההרמונית \ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots שווה לאפס.

[עריכה] היסטוריה

את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ההלניים, ובראשם ארכימדס. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסובכים, וגם את ערכו של פאי, מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המורכב הוא גבולה של סדרת השטחים של הגופים הפשוטים.

רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו לייבניץ וניוטון את החשבון האינפיניטיסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.

את ההדורים האלה יישר קושי, שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל- 2, המרחק בין ערכה של הפונקציה \ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} לבין המספר 4 הולך וקטן לאינסוף", נתן קושי הגדרה מדוייקת: "לכל מספר חיובי \ \varepsilon, קיים מספר חיובי \ \delta, כך שאם המרחק מ- x ל- 2 אינו עולה על \ \delta, אז המרחק מ- \ f(x) ל- 4 אינו עולה על \ \varepsilon". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו לקושי וויירשטראס להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטיסימלי, כפי שהם מוכרים היום.

[עריכה] גבולות שונים

הטיפוס הבסיסי של גבול הוא גבול של סדרה של מספרים ממשיים; אולם, הגדרות דומות מאוד תקפות גם עבור גבולות של סדרות בכל מרחב מטרי - ראו גבול (טופולוגיה). המתמטיקאי הגרמני היינריך אדוארד היינה (1821-1881) הציע להגדיר גבול של פונקציה באמצעות גבולות של סדרות, והגדרה זו שקולה להגדרה המקובלת יותר שהציע קושי, שניתנה קודם לכן.

[עריכה] ראו גם

  • גבול של סדרת פונקציות