חבורה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חבורה היא מבנה אלגברי המבוסס על פעולה בינרית אחת, המקיימת כמה תנאים, ובראשם אסוציאטיביות. החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-18, במסגרת הנסיונות לפתור משוואות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, גלואה ואבל, היו חבורות מוחשיות הכוללות תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

חבורה \ G היא מבנה אלגברי בסיסי המורכב מקבוצה עם פעולה בינארית \cdot אשר מקיימת את התכונות הבאות:

יש לשים לב לתכונה נוספת, שקיומה חיוני בחבורה - סגירות: לכל a,b\in G מתקיים a\cdot b\in G. קיומה של תכונה זו מובלע בהנחה כי הפעולה שהגדרנו היא אכן פעולה בינארית, אך חשוב לבדוק שאכן כך המצב.

חבורה נקראת קומוטטיבית (חילופית, אבלית) אם לכל a,b\in G מתקיים ש a\cdot b=b\cdot a

חבורה \ G נקראת חבורה פתירה אם קיימת לה סדרה נורמלית של חבורות מ-\ G ל-\ \{ e \} כך שגורמיה אבליים.

[עריכה] דוגמאות חשובות

  • (+,Z), קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, היא חבורה.
  • (*,Z), חבורת המספרים השלמים עם פעולת הכפל, אינה חבורה כיוון שרק 1 ומינוס 1 הפיכים.
  • לכל שדה, (+,F) חבורה ו־(*,{F\{0) חבורה.
  • \ S_n, חבורת התמורות על \ n איברים, עם הפעולה של הרכבת פונקציות. נהוג לכנותה גם "החבורה הסימטרית מסדר n".
  • אוסף המטריצות מסדר \ n\times n הוא חבורה עם פעולת חיבור מטריצות, אך הוא אינו חבורה עבור פעולת כפל מטריצות, גם ללא מטריצת ה-0, כיוון שיש מטריצות בלתי הפיכות. לעומת זאת, אוסף המטריצות ההפיכות מסדר \ \mbox{GL}_n\mbox{(F) ,n} הוא חבורה עם כפל מטריצות.
  • הקבוצה \ \{\pm 1,\pm i\} היא חבורה עם כפל. (כאשר \ i=\sqrt(-1))
  • חבורת השורשים המרוכבים של המשוואה \ z^n = 1 עם פעולת הכפל בשדה המרוכבים. חבורה זו היא חבורה ציקלית מסדר n.
  • הכללה של הסעיף הקודם: מעגל היחידה ב\ \mathbb{C}, כלומר \ \{z\in\mathbb{C}\ |\ \left|z\right|=1\} היא גם חבורה.

[עריכה] משפטים בסיסיים

מתכונות החבורה נובעים בצורה מיידית המשפטים הבאים:

  • איבר היחידה בחבורה הוא יחיד.
  • לכל איבר \ a בחבורה קיים הופכי יחיד. נהוג לסמן אותו \ a^{-1}
  • כלל הצמצום/חילוץ: a\cdot x=a\cdot y \iff x=y \iff x\cdot a=y\cdot a
  • הופכי של מכפלה: \ \left(a\cdot b\right)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}
  • כל מכפלת איברים בחבורה הינה סדורה (אין משמעות מיוחדת לסדר ביצוע הכפל)

[עריכה] חזקות

כפל של איבר \ a בעצמו \ n פעמים מוגדר כ- \ a^{n}. (הגדרה זו חד משמעית בשל הנחת הקיבוציות)

  • \ a^{0}=e
  • \ {(a^{n})}^{-1}=a^{-n}
  • \ a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}
  • \ {(a^{n})}^{m}=a^{nm}
  • אם a\cdot b=b\cdot a אז \ a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}

[עריכה] תת חבורה

תת חבורה של חבורה כלשהי היא תת קבוצה שלה שמהווה בעצמה חבורה.

כדי לבדוק שתת קבוצה \ H של חבורה \ G מהווה חבורה די לבדוק את הפרטים הבאים:

  1. הקבוצה סגורה תחת הפעולה. כלומר - לכל \ a,b\in H מתקיים \ a\cdot b\in H
  2. לכל איבר בקבוצה, גם ההופכי שלו בקבוצה.

שתי תכונות אלו מספיקות, שכן אם תת הקבוצה סגורה ולכל איבר יש הופכי, אז בפרט אם נכפול איבר בקבוצה בהופכי שלו התוצאה (שהיא האיבר האדיש) תהיה שייכת לתת הקבוצה. תכונת האסוציאטיביות "מורשת" מהחבורה המקורית בצורה ישירה (כי אם היא מתקיימת עבור כל האיברים בקבוצה המקורית, על אחת כמה וכמה שהיא תתקיים עבור חלק מהם).

סוג חשוב במיוחד של תת חבורות נקראות תת חבורות נורמליות.

מכפלה של תת-החבורות \ S ו-\ T הוא הקבוצה המכילה את כל המכפלות מהסוג \ t\cdot s כך ש- \ s\in S ו-\ t\in T. (בהנתן שלפחות אחת מחבורות אלה נורמליות, הקבוצה המתקבלת מהווה חבורה, וקיימים אף תנאים כלליים יותר שמבטיחים שתתקבל חבורה)

משפט לגראנז' קובע שסדרה של כל תת חבורה \ H של חבורה סופית \ G מחלק את הסדר של \ G.

[עריכה] מחלקות

בחבורה \ G, מחלקה שמאלית של תת-החבורה \ H הינה המכפלה \ a H=\left\{a\cdot h|h\in H \right\} וזאת עבור כל a\in G. מחלקה ימנית מוגדרת בצורה דומה כאשר הכפל הוא מהכיוון ההפוך ומסומנת \ Ha.

אם a\in H אזי המחלקות \ aH =H a = H. תכונה זו מתקיימת לכל a\in G אם ורק אם \ H היא תת חבורה נורמלית. (ובמקרה זה מוגדרת חבורת המנה \ G/H)

שתי מחלקות של \ H הן זרות או שוות. מספר האיברים בכל מחלקה שווה למספר אברי \ H.

בחבורה סופית \ G בעלת \ n איברים בה יש תת-חבורה \ H בעלת \ m מחלקות זרות, מתקיים ש\ \frac{n}{m} היא מספר שלם. (זאת לפי משפט לגראנז'). במקרה זה, \ m מכונה הציון או האינדקס של החבורה \ \mathbb{G} לגבי \ H, ומסומן לעתים ב- \ [G:H]. הגדרתו תקפה גם כאשר \ G אינה חבורה סופית.

לדוגמה, בחבורה \ G=\mathbb{Z} מתקיים עבור תת החבורה \ H=2\mathbb{Z} שהאינדקס הוא \ [G:H]=2.

[עריכה] צמידות

אם בחבורה \ G ישנם \ a,b\in G שעבורם קיים \ s\in G כך ש- \ a=s\cdot b\cdot s^{-1}, אזי \ b צמוד ל- \ a.

יחס הצמידות הינו יחס שקילות, כלומר-

  1. רפלקסיביות: כל איבר צמוד לעצמו
  2. סימטריה: אם \ b צמוד ל- \ a אזי \ a צמוד ל- \ b.
  3. טרנזטיביות: אם \ a צמוד ל- \ b וגם \ b צמוד ל- \ c אזי \ a צמוד ל- \ c.

איברים צמודים שווים אם ורק אם החבורה \ G קוממטטיבית.

קבוצת כל האיברים הצמודים לאיבר \ a נקראת מחלקת הצמידות של \ a.

חבורה שכל איבריה הינם צמודים לאיברי חבורה אחרת ביחס חד-חד ערכי הינה חבורה צמודה. חבורות צמודות הינן איזומורפיות, ויחס הצמידות בין החבורות הינו יחס שקילות.

חבורה צמודה לתת-חבורה \ H מוכלת ב- \ G.

[עריכה] משפטים נוספים

[עריכה] ראו גם

נושאים באלגברה מופשטת

אלגברה מופשטת | מונואיד | חבורה | חוג |תחום שלמות | שדה | מודול | אלגברה (מבנה אלגברי) | תורת החבורות | תורת גלואה | אלגברת לי | הומומורפיזם | משפטי האיזומורפיזם | תת חבורה נורמלית | אידאל