משפט שטולץ
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ הוא קריטריון להוכחת התכנסותן של סדרות.
[עריכה] ניסוח פורמלי
תהא
סדרה כלשהי, ותהא
סדרה מונוטונית עולה ומקיימת
.
אז אם הסדרה
מתכנסת במובן הרחב, כלומר
כאשר
סופי או אינסופי,
אז גם הסדרה
מתכנסת לאותו הגבול, כלומר
.
[עריכה] דוגמאות
- נחשב את הגבול
כאשר
.
- נסמן
, ו-
. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ:
עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
- ולכן, לפי המשפט,
.
- נראה דוגמא נוספת. נחשב את הגבול
כאשר
.
- נסמן
, ו-
. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ:
עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
- השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
- ולכן, לפי המשפט,
.
| חשבון אינפיניטסימלי | |
|---|---|
| מושגי יסוד: |
חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ |
| פונקציות: |
פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה |
| משפטים: |
משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת |
| האינטגרל: |
אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה |
| אנליזה מתקדמת: |
פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה | |



