התפלגות בינומית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
| פונקציית צפיפות ההסתברות | ||
|---|---|---|
| פונקציית הסתברות מצטברת | ||
| מאפיינים | ||
| פרמטרים | p - ההסתברות ל"הצלחה",
n - מספר ההטלות |
|
| תומך | ![]() |
|
| פונקציית צפיפות ההסתברות
(pdf) |
![]() |
|
| פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf) |
||
| ממוצע | ![]() |
|
| חציון | ![]() |
|
| ערך שכיח | ![]() |
|
| שוֹנוּת | ![]() |
|
| סטיית תקן | ||
| אנטרופיה | =![]() |
|
| פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | ||
| גבנוניות | ||
| צידוד | ||
משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים שלהם תוצאת כן/לא ("הצלחה"/"כשלון") כאשר ההסתברות לקבלת הצלחה היא p. (ניסוי ברנולי). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימון
, וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר n הניסויים היא:

עבור 
מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא
ואילו השונות שלו היא
.
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר 
[עריכה] הוכחת ההתפלגות
כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שיש בה k הצלחות במקומות מסוימים היא
, שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות
) וב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות
).
לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא
, כאשר
הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחות. בקומבינטוריקה מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק
.
| אחידה - פואסון - גאומטרית - נורמלית (גאוסית) - בינומית - מעריכית - ברנולי - מקסוול-בולצמן - בוז-איינשטיין - פרמי-דיראק |







