סגור (טופולוגיה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, סגור של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהא
מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא
קבוצה. אם
היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות
, אז הסגור של
יסומן
או
, ויוגדר על ידי:
-
.
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
היא קבוצת כל האיברים של
שבכל סביבה שלהם קיים איבר של
(לא בהכרח שונה מהם).
, כאשר
היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של
.- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה:
.
[עריכה] תכונות הנוגעות לסגור
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה:
. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן
.
.
.
.
היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל
בתחום שלה מתקיים
.- אם
קבוצה קשירה, לכל
מתקיים שגם
קבוצה קשירה. - קבוצה
במרחב
המקיימת
נקראת קבוצה צפופה. - קבוצה
במרחב
המקיימת
נקראת קבוצה דלילה.
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |

