גאומטריה אנליטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, גאומטריה אנליטית היא ענף העוסק בחקר הגאומטריה באמצעות כלים אלגבריים. בענף זה משתמשים לרוב במערכת צירים קרטזית כדי לתאר באמצעות משוואות מרחבים, ישרים, עקומות, מעגלים וכדומה, בדו ממד ובתלת ממד.

את היסודות לגאומטריה האנליטית הניח רנה דקארט, שעל שמו נקראת מערכת צירים קרטזית והמכפלה הקרטזית, בשנת 1637. עבודתו סיפקה את הבסיס לחשבון האינפיניטסימלי שפותח בנפרד על ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. יש הרואים בפיתוח הגאומטריה האנליטית את תחילתה של המתמטיקה המודרנית.

תוכן עניינים

[עריכה] גאומטריה אנליטית במישור

בגאומטריה האנליטית של המישור (הבנויה על מערכת צירים קרטזית) מיוצגת כל נקודה על ידי זוג סדור של מספרים ממשיים, כאשר האחד מציין את המרחק (האנכי) של הנקודה מציר ה-Y והשני את המרחק של הנקודה מציר ה-X.
החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס לגאומטריה האוקלידית, הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.

[עריכה] מרחק בין נקודות

בבסיס התחום נמצאת הגדרת המרחק בין שתי נקודות, שמוגדרת לפי משפט פיתגורס:

\ d ( (x_0,y_0) , (x_1,y_1) ) = \sqrt{ { (x_1 - x_0 )}^2 +{(y_1-y_0)}^2}

[עריכה] קוים ישרים

קו ישר מוגדר להיות אוסף הנקודות שמקיימות משוואה מהצורה:

\ Ax+By=C כאשר \ A \ne 0 או \ B \ne 0.

כאשר A=B=0 המשוואה מגדירה את כל המישור או אף נקודה, ולא קו ישר במובן הרגיל של המילה. לכל קו ישר קיימות אינסוף הצגות על ידי משוואה מהצורה הזו, כיוון שהכפלת המשוואה בכל מספר ממשי ששונה מאפס תיצור משוואה חדשה שמתארת בדיוק את אותו קו ישר.
כאשר \ B \ne 0 ניתן להציג את הקו הישר על ידי משוואה מהצורה \ y=mx+n. משוואה זו נקראת המשוואה הקנונית של הישר, ועבור הישרים שעליהם היא קיימת- היא יחידה. המספר m שבמשוואה נקרא השיפוע של הישר והוא מייצג את ספר יחידות האורך שהישר מתקדם בציר ה-Y בכל יחידת אורך שהוא עובר בציר ה-X. ישרים בעלי שיפוע שווים הם מקבילים.
דרך נוספת להציג ישר היא על ידי שני וקטורים - וקטור כיוון \vec u, ונקודה על הישר \vec a. בדרך זו כל נקודה על הישר היא מהצורה \vec a + t\vec u כאשר t מספר ממשי כלשהו.

[עריכה] מעגלים

המעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת (המרכז) שווה למספר חיובי קבוע- הרדיוס. לפי הגדרה זו משוואת המעגל תהיה (אחרי העלאה בריבוע):

\ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R.

כאשר מרכז המעגל הוא ראשית הצירים- הנקודה \ (0,0), משוואת המעגל מקבלת את הצורה:

\ x^2 + y^2 = R^2

מעגל כזה נקרא המעגל הקנוני, וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה. כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא 1, המעגל נקרא מעגל היחידה. דרך נוחה להצגה פרמטרית של מעגל היחידה היא על ידי הנוסחה:

(sin t , cos t) עבור t \in [ 0 , 2\pi ).

קיימות נוסחאות דומות גם לחתכי החרוט האחרים (פרבולה, היפרבולה, ואליפסה)

[עריכה] הכללה למרחב ה-n ממדי

במרחב n-ממדי, מיוצגת כל נקודה על ידי וקטור (אלגברה) n-ממדי מעל המספרים הממשיים. מישור עילי במרחב n-ממדי מוגדר על ידי על ידי כל הנקודות המיוצגות על ידי כל הקומבינציות הלינאריות של (n-1) וקטורים בלתי תלויים, המייצגים נקודות באותו מרחב. קו ישר מיוצג על ידי קבוצת כל הקומבינציות הלינאריות של שתי נקודות שונות ומישור (במרחב תלת-ממדי) על ידי כל הקומבינציות הלינאריות של שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.