נוסחת קלאוזיוס קלפרון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

נוסחת קלאוזיוס-קלפרון ( Clausius-Clapeyron ) על שם רודולף קלאוזיוס ואמיל קלפרון, היא דרך לאפיין מעבר פאזה בין שני מצבי צבירה של החומר, כגון מוצק ונוזל.

דיאגרמת פאזות T-P
הגדל
דיאגרמת פאזות T-P

בתרמודינמיקה, נהוג לתאר את מצבי הצבירה של החומר בדיאגרמת פאזות T-P. זהו תרשים דו-ממדי שבו ציר x הוא הטמפרטורה T ואילו ציר y הוא הלחץ P. במערכת צירים זו מציירים את העקומות המפרידות בין מצבי הצבירה של הנוזל ובכך מחלקים את השטח לשלושה חלקים - כאשר בכל חלק החומר נמצא במצב צבירה אחר. בקווים המחברים בין שני אזורים החומר יכול להימצא בשיווי משקל בשתי הפאזות, מסיבה זו הם נקראים "קווי דו-קיום". נוסחת קלאזיוס-קלפרון (ק"ק) מאפשרת לחשב את השיפוע של קווים אלה.

מתמטית, נוסחת ק"ק קובעת שעל קווי הדו-קיום מתקיים:

\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T\Delta V}

כאשר dP/dT הוא השיפוע (נגזרת) של עקומת הדו-קיום, L הוא החום הכמוס, T היא הטמפרטורה ו-ΔV הוא השינוי בנפח בעת שינוי הפאזה.

[עריכה] הסקת המשוואה

נניח שתי פאזות, I ו-II, שנמצאות במגע תרמי ושיווי משקל אחת עם השניה. אזי הפוטנציאלים הכימיים מקיימים את הקשר mu;I = μII. מאחר שזה נכון בכל נקודה בעקומת הדו-קיום, על עקומה זו מתקיים dμI = dμII. כעת, נעזר בנוסחת גיבס-דוהם

\ d\mu = -sdT + vdP (כאשר s ו-v הם האנטרופיה והנפח פר חלקיק, בהתאמה)

כדי לקבל את הקשר

\ (s_I-s_{II}) dT + (v_I-v_{II}) dP = 0

נעביר אגפים ונחלק dP ב-dT ונקבל

\ \frac{dP}{dT} = \frac{s_I-s_{II}}{v_I-v_{II}}

בתהליך הפיך מתקיים שהשינוי בחום δQ נתון על ידי δQ=T dS ולכן החום שהושקע בשינוי מצב הצבירה הוא

\ L= T (s_I-s_{II})

וזו בדיוק ההגדרה של חום כמוס.

נציב זאת במשוואה לעיל ונקבל את נוסחת קלאוזיוס-קלפרון.

[עריכה] יישומים

בנוסחת ק"ק משתמשים כדי לחשב האם מעבר פאזה כלשהו יתרחש או לא.

לדוגמה, נוסחת ק"ק מנוצלת פעמים רבות כדי להסביר החלקה על הקרח: הלחץ המוגבר של המחליק על הקרח גורם לו להינמס. האם הסבר זה אכן נכון ותקף במקרה זה?

אם T = −2 °C אפשר להשתמש בנוסחת ק"ק עבור מעבר פאזה ממוצק לנוזל, ואז

{\Delta P} = \frac{L}{T\Delta V} {\Delta T}

ובהצבת נתונים אופיינים: L = 3.34*105 J/kg, T=271K, ΔV = -9.05 *10-5m3/kg,

ואת העובדה שהלחץ גורם לשינוי ב-2 מעלות קלווין,

ΔT = 2K,

נקבל שהשינוי בלחץ יהיה

ΔP = 27.2 MPa.

שזה שווה ללחץ שמפעיל מתאבק סומו (כ-150 ק"ג) שעומד על נעלי עקב (שטח של חצי סמ"ר)! כלומר, הלחץ גדול מדי מכדי שהקרח יתמוך בו ולכן זה לא ההסבר לתופעה.

[עריכה] ראו עוד