עקרון המילטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

עיקרון המילטון הינו עיקרון פיזיקלי הדומה לעקרון פרמה. היחוד בעיקרון זה הוא שבשונה מרוב המשפטים בפיזיקה, המאפשרים לחשב נתונים על המערכת במקום וזמן מסוים, עיקרון המילטון עוזר לחשב את המסלול הכולל של מערכת כלשהי. משוואות התנועה של המכניקה הקלאסית נגזרות מעיקרון זה באופן ישיר. מעבר לאסטטיקה שבעיקרון המילטון חשיבותו היא בכך שהוא מייצג גישה כללית לניסוח של חוקי הפיזיקה ומהכללות שלו ניתן לקבל, למשל, את תורת היחסות הכללית והתרמודינמיקה. עקרון זה נובע מהמכניקה הקוונטית בגבול של אורכי גל קצרים (ע"ע אינטגרלי מסלול).

[עריכה] פורמליזם

מגדירים את הלגרנז'יאן של המערכת באופן הבא

\ L(x,\dot{x},t) = T - U = E_k(x,\dot{x},t) - E_p(x,\dot{x},t)

לגודל זה קשה לתת משמעות אינטואיטיבית אבל באמצעות הלגרנז'יאן אפשר גם להגדיר את ההמילטוניאן על ידי

\ H = p \dot{x} - L

כאשר ההמילטוניאן מייצג לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת.

הפעולה, שהיא האינטגרל על הלגרנז'יאן לאורך הזמן בו התרחשה התנועה תוגדר על ידי :

S = \int_{t_1}^{t_2}{ L(x,\dot{x},t) \ dt}

עקרון המילטון קובע שהמערכת תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית, כלומר יתקיים התנאי ש

\ \delta S= 0

משמעותו המתמטית של תנאי זה היא שהדיפרנציאל הפונקציונלי של S מתאפס.

אם כן, המשוואה \ \delta S= 0 מהווה ניסוח שונה של חוקי הדינמיקה כך שכל מערכת הכפופה להם תנוע ממצבה בזמן t1 למצבה החדש בזמן t2 באופן שהפעולה בטווח זמן זה תהיה סטציונרית מתוך כלל פעולות ביתר הנתיבים האפשריים מבחינה קינמטית. הדרישה שלעיל היא כללית וחלשה יותר מאשר דרישה שהפעולה תהיה מינימלית. אם הפרש הזמנים t1 , t2 הוא מספיק קטן אז נקודת הקיצון הוא מינימום אמיתי.

עבור מערכות פיזיקליות עם תנאי שפה קבועים (נקודת ההתחלה והסוף של המסלול קבועים) אפשר להראות על ידי חישוב הואריאציה שהתנאי לכך שהמערכת תנוע במסלול \ x(t) הוא שהפונקציה הנ"ל תקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

\ \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{x} } \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0

משוואה זו ידועה כמשוואת אוילר לגראנז', ועבור מערכת עם n דרגות חופש, כל דרגת חופש מקיים את המשוואה הזו (וכך מקבלים מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מצומדות).

[עריכה] דוגמה - הסקת החוק השני של ניוטון

נניח שגוף נע תחת השפעה של פוטנציאל משמר חד-ממדי, אזי מתקיים:

\ F(x) = - \vec{\nabla} V(x) = - V'(x)

הלגרנז'יאן שלו יהיה:

\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)

נציב במשוואות אוילר-לגראנז':

\  \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{x} } \right) = \frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) = m \ddot{x}
\ \frac{\partial L}{\partial x} = -V'(x) (כלל השרשרת)

ובסה"כ קיבלנו

\ m \ddot{x} = -V'(x) = F(x)

או

\ F = ma

וזהו החוק השני של ניוטון. נשים לב שחוק זה הוא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני.

[עריכה] קישורים חיצוניים