משפט ההתכנסות הנשלטת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט חשוב העוסק בתכונות האינטגרל של סדרת פונקציות מדידות. המשפט מבטיח שהאינטגרל של גבול הסדרה זהה לגבול של האינטגרלים של אברי הסדרה, וזאת בתנאי שכל אברי הסדרה יהיו חסומים (או במילה אחרת, "נשלטים", ומכאן שם המשפט) בידי פונקציה שהיא אינטגרבילית. אף שהמשפט מנוסח ומוכח על פונקציות שהן אינטגרביליות לבג, הוא תקף גם עבור פונקציות שהן אינטגרביליות רימן.

[עריכה] ניסוח פורמלי

אם \ f_1,f_2,f_3,\dots היא סדרה של פונקציות ממשיות מדידות \ f_k:X\to\mathbb{R} אשר מתכנסת לפונקציית גבול \ \lim_{k\to\infty}f_k=f, ואם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג \ g שהאינטגרל שלה סופי כך ש-\ |f_k|\le g כמעט בכל מקום לכל אברי הסדרה, אז גם כל אברי הסדרה וגבולה אינטגרביליים עם אינטגרל סופי, ומתקיים \ \lim_{k\to\infty}\int_X f_kd\mu=\int_X fd\mu.

[עריכה] הוכחה

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פטו, אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש-\ g חוסמת את כל אברי הסדרה.

בגלל ש-\ |f_k|\le g אז \ g+f_k היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פטו ולקבל:

\ \int_X g d\mu+\int_X f d\mu=\int_X \left(g+f\right)d\mu=\int_X \lim_{k\to\infty}\left(g+f_k\right) d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X \left(g+f_k\right) d\mu=\int_X g d\mu +\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

לאחר חיסור \ \int_X g d\mu משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

\ \int_X f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית \ g-f_k, ולקבל:

\ \int_X -f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X -f_k d\mu=-\limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

כלומר:

\ \int_X f d\mu\ge \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

\ \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu\le\int_X f d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

מכיוון שאגף שמאל תמיד גדול מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.

[עריכה] ראו גם

  • משפט ההתכנסות המונוטונית
שפות אחרות