פונקציית אוילר
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית
(פִי), מוגדרת באופן הבא:
שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל- n ואינם גדולים ממנו. למשל,
,
, ואילו
.
הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מחלק את
.
[עריכה] חישוב הפונקציה
אם
מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ- p זרים לו, ולכן
. באופן כללי יותר, המספרים הזרים ל- ps הם כל אלו שאינם מתחלקים ב- p, ולכן
. ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר,
כל אימת שהמספרים
זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה
, כאשר
הם הגורמים הראשוניים השונים של n. לדוגמה
.
[עריכה] תכונות הפונקציה
פונקציית אוילר מקיימת את הזהות
, אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית
.
בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית
של שדה המספרים הרציונליים על-ידי שורש היחידה מסדר n (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

