סדרה נורמלית וסדרת הרכב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

סדרה נורמלית של חבורה \ G היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה.

\ G=G_0\triangleright G_1\triangleright ...\triangleright G_k


(הערה: יש המגדירים סידרה נורמלית של חבורה \ G כשרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של \ G ואז שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סידרה תת-נורמלית ).

חבורת המנה \ G_{i+1}/G_i נקראת גורם של הסדרה.

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה \ L שמקיימת \ G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}, \ G_i\ne L\ne G_{i+1}. במקרה זה הסדרה \ G=G_0\triangleright ...\triangleright G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright G_k היא עידון של הסדרה המקורית.


סדרת ההרכב של חבורה \ G היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב-\ \{e\} ואין לה שום עידון. ניתן להוכיח שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב-\ \{e\} וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שגורמי ההרכב של כל חבורה סופית \ G הם קבועים עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר, ואינם תלויים בסדרת ההרכב (ראו משפט ז'ורדן הולדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

[עריכה] ראו גם