משפט לגראנז' (תורת החבורות)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם
חבורה סופית ו-
תת חבורה שלה, אז הסדר של
מחלק את הסדר של
, כלומר
הוא מספר שלם.
מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על-ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם
חבורה סופית אז
לכל
. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים.
אם
חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את
. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות
, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.
[עריכה] הוכחת המשפט
לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של
מהווה חלוקה של
, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של
.
נראה ראשית כי היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" הוא יחס שקילות. נגדיר את היחס בצורה פורמלית:
. נשים לב כי
כלומר,
, או במילים אחרות, a ו-b באותה מחלקה של H אם ורק אם ההפרש שלהם שייך ל-H.
כעת נוכיח את התכונות הנדרשות מיחס שקילות:
- רפלקסיביות:
כי
תת חבורה ולכן מכילה את האיבר האדיש. לכן
. - סימטריות: נניח כי
, כלומר
, אז
, כלומר
ולכן
. - טרנזיטיביות: נניח כי
, כלומר
. מסגירות
נקבל:
כלומר,
.
הראינו כי
יחס שקילות, לכן הוא משרה חלוקה של
למחלקות שקילות זרות. מכיוון שהיחס הוא של שייכות למחלקה שמאלית, הרי שמחלקות השקילות הן בדיוק כל המחלקות השמאליות של
.
כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של
שווה לסדר
. לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ
על מחלקה
כלשהי שלה.
ההתאמה
תיבנה כך:
.
נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי
אז
ואחרי צמצום נקבל
.
נראה כי זו התאמה על: יהי
, אז על פי הגדרת המחלקה,
ולכן
.
על כן, הקבוצות
ו-
שקולות, כלומר
.
כעת, לכל איבר ב
ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של
. לכן מספר האיברים ב
הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של
. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב
. יהי
מספר המחלקות, אז
, כלומר סדר
מחלק את סדר
ובכתיב מתמטי
, והוכחת המשפט הושלמה.



