התפלגות נורמלית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
| פונקציית צפיפות ההסתברות | ||
|---|---|---|
| פונקציית הסתברות מצטברת | ||
| מאפיינים | ||
| פרמטרים | המיקום, סטיית התקן. |
|
| תומך | ![]() |
|
| פונקציית צפיפות ההסתברות
(pdf) |
![]() |
|
| פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf) |
![]() |
|
| ממוצע | ![]() |
|
| חציון | ![]() |
|
| ערך שכיח | ![]() |
|
| שוֹנוּת | ![]() |
|
| סטיית תקן | ![]() |
|
| אנטרופיה | ![]() |
|
| פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | ![]() |
|
| גבנוניות | ![]() |
|
| צידוד | ![]() |
|
ההתפלגות הנורמלית היא ככל הנראה ההתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה תאורטית ובישומיה בכל תחומי המדע. חשיבותה הרבה נובעת ממשפט הגבול המרכזי, שלפיו הממוצע של משתנים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, כאשר הוא מתוקנן כראוי, מתפלג על-פי ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. מכיוון שכך, התפלגות זו מופיע בכל מקום שבו מסתכמות תרומותיהן של משתנים רבים, כגון גובה, מנת משכל, טעויות מדידה, וכדומה.
ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית היא החברה השימושית ביותר במשפחת ההתפלגות הנורמלית. על-ידי מתיחה (כלומר, כפל בקבוע) והזזה (הוספת קבוע) של משתנה מקרי בעל התפלגות נורמלית סטנדרטית, מתקבלת משפחה כללית יותר של התפלגויות, שכל אחת מהן נקראת התפלגות נורמלית. זוהי דוגמה ל-משפחה מעריכית של התפלגויות. בתוך המשפחה, אפשר לזהות התפלגות נורמלית מסוימת על-פי שני פרמטרים: התוחלת והשונות שלה. להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית יש תוחלת 0, ושונותה 1.
ההתפלגות הנורמלית נקראת גם 'גאוסיאן' על שמו של קרל פרידריך גאוס, או 'עקומת הפעמון' משום שהגרף של פונקציית הצפיפות שלה מזכיר פעמון בצורתו.
תוכן עניינים |
[עריכה] היסטוריה
המתמטיקאי אברהם דה-מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות (מאמרו בעניין התגלה רק ב-1924). לפלס השתמש בעקומה הנורמלית לתאר "התפלגות של שגיאות" בשנת 1783. גאוס השתמש בהתפלגות הנורמלית לניתוח מידע אסטרונומי ב-1809, והוא היה זה שהוכיח לראשונה את משפט הגבול המרכזי.
[עריכה] מאפיינים מתמטיים
[עריכה] פונקציות הצפיפות וההתפלגות
[עריכה] פונקציית הצפיפות
פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית בעלת תוחלת
ושונות
היא :
זוהי פונקציה סימטרית סביב התוחלת, ובעלת נקודת פיתול במרחק סטיית תקן אחת מן הממוצע, כלומר בנקודות
. את העובדה שמשתנה מקרי
הוא בעל התפלגות כזו, מקובל לציין בסימון
.
במקרה המיוחד של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית
, מתקבלת הפונקציה
המכונה, כאמור לעיל, 'גאוסיאן' או 'עקומת הפעמון'.
[עריכה] פונקציית ההתפלגות המצטברת
פונקציית ההתפלגות המצטברת או הסיכוי שמשתנה מקרי
יקבל ערך קטן או שווה ל
נתון שווה ל-
בכדי לחשב את ערכי פונציית ההתפלגות המצטברת בעלת פרמטרים
כלשהם, די בידיעת ערכיה של פונקציית ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, משום שאם
ניתן להגדיר משתנה מקרי חדש
ולגביו יתקיים
. לכן, מתקיים:
- מסמל את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי.
בשל תכונות הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית, בדרך כלל לא נתונים ערכיה השליליים של ההתפלגות הסטנדרטית בטבלאות המשמשות למציאתה. כדי למצוא אותם משתמשים בזהות:
.
הפונקציה
איננה פונקציה אלמנטרית (כלומר, הוא אינה מתקבלת מהרכבה סופית של פולינומים, פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות, והפונקציות ההפוכות להם). משום כך, כמעט כל ספר העוסק במבחנים סטטיסטיים כולל גם טבלה המכילה את הערכים המקורבים להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, שחושבו בשיטות נומריות. הקירוב הבא שימושי למדי כאשר z גדול:
[עריכה] תכונות ההתפלגות
- ההתפלגות מתפרשת על פני כל הישר הממשי.
- ההתפלגות הינה סימטרית וחד שיאית (יונימודלית).
- הממוצע , החציון והשכיח מתלכדים בציר הסימטריה.
- אם נתון משתנה מקרי
ו-
מספרים ממשיים, אזי:
. - אם נתונים
ו-
משתנים מקריים, בלתי תלויים, אזי:
- סכומם מתפלג נורמלית עם הפרמטרים
. - הפרשם מתפלג נורמלית עם הפרמטרים
. - המשתנים
ו-
הם בלתי תלויים.
- סכומם מתפלג נורמלית עם הפרמטרים
- פיזור ערכי ההתפלגות: כ־68% מן הערכים נמצאים במרחק של לא יותר מסטיית תקן אחת מהממוצע (ציר הסימטריה). במרחק של עד שתי סטיות תקן (2σ) נמצאים כ־95% מהערכים ובמרחק עד שלוש סטיות תקן נמצאים כ-99.7% מהערכים.
- גרף ההתפלגות נודע גם בשם "גרף פעמון" או "פעמון גאוס", שכן כאשר הוא משורטט בתור גרף המציין את מספר הערכים בכל תחום, מקבלת העקומה צורה של פעמון - גבוהה באמצע, ונמוכה בשני צדדיה. צורת הפעמון מוכתבת על ידי הממוצע וסטיית התקן של ההתפלגות.
[עריכה] ראו גם
[עריכה] קישורים חיצוניים
| אחידה - פואסון - גאומטרית - נורמלית (גאוסית) - בינומית - מעריכית - ברנולי - מקסוול-בולצמן - בוז-איינשטיין - פרמי-דיראק |
סטיית התקן.












