משפט השאריות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות אנליטיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט אינטגרל קושי ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה הקומפלקסית, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח פורמלי

יהי \!\, D תחום פשוט קשר ויהיה \!\, a_1,...,a_n אוסף סופי של נקודות ב-\!\, D, יהי \!\, D^*=D - \left\{ a_1,...,a_n \right\} תהי \!\, f פונקציה אנליטית ב-\!\, D^* ותהי \!\, \gamma מסילה סגורה ב-\!\, D^* כך שכל הנקודות \!\, a_1,...,a_n מוקפות על ידיה, אך אינן נוגעות בה.

השארית של הפונקציה \ f בנקודה \ a_k היא המקדם של החזקה \ (z-a_k)^{-1} בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה \ a_k. נסמן אותה \ \operatorname{Res}(f,a_k).

כמו כן נסמן ב-\ \operatorname{I}(\gamma, a_k) את מספר הפעמים שבו המסילה \ \gamma מקיפה את הנקודה \ a_k (האינדקס של המסילה)

אז מתקיים: \ \oint_{\gamma} f(z)\, dz= 2\pi i\sum_{i=1}^n \operatorname{I}(\gamma ,a_i) \cdot \operatorname{Res}(f,a_i)

כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל-\ 2\pi i כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.

[עריכה] דוגמה

נרצה לחשב את האינטגרל הבא: \ \oint_{|z|=2}{\frac{ze^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z)^2}}

נשים לב כי בתוך המעגל \ \left\{z|\left| z \right|=2\right\} נקודת הסינגולריות היחידה של \ f(z)=\frac{ze^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z)^2} היא \ z=1.

לכן, לפי משפט השאריות: \oint_{|z|=2}{\frac{ze^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z)^2}}=\oint_{|z|=2}{f(z)}=2\pi iRes(f,1)

נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.

כידוע לנו: \ e^z= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. לכן: \ e^{\frac{1}{z-1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}

נחזור לפונקציה המקורית שלנו:

\ f(z)=\frac{ze^\frac{1}{z-1}}{(1-z)^2} =\frac{(z-1+1)}{(z-1)^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}=\frac{(z-1)}{(z-1)^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}+\frac{1}{(z-1)^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n}}{n!}= \ =\sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n-1}}{n!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{{(z-1)}^{-n-2}}{n!}

השארית היא כמו שאמרנו המקדם של האיבר \ (z-1)^{-1} בטור לורן ולכן נקבל ש: \ Res(f,1)=1 .

לכן מתקיים ש: \ \oint_{|z|=2}{\frac{ze^{\frac{1}{z-1}}}{(1-z)^2}}=\oint_{|z|=2}{f(z)dz}=2 \pi i

[עריכה] הוכחה

על פי משפט אינטגרל קושי, די להראות כי \ \oint_{|z-a_k|=r} f(z)\, dz=  \operatorname{Res}(f,a_k) כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה \ a_k כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.

מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה \ a_k, ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: \ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a_k)^n. מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים \ \oint_{|z-a_k|=r} \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a_k)^n dz=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\oint_{|z-a_k|=r}(z-a_k)^n

כעת, עבור \ n\ge 0 הפונקציה \ (z-a_k)^n אנליטית בכל העיגול \ |z-a_k|=r, ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, \ \oint_{|z-a_k|=r}(z-a_k)^n=0.

עבור \ n< -1 מתקיים גם כן \ \oint_{|z-a_k|=r}(z-a_k)^n=0 ואילו עבור \ n= -1 מתקיים \ \oint_{|z-a_k|=r}(z-a_k)^n=2\pi i. את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.

מכל אלו נובע כי \ \oint_{|z-a_k|=r} \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a_k)^n dz=c_{-1}\oint_{|z-a_k|=r}(z-a_k)^{-1}=2\pi i\cdot\operatorname{Res}(f,a_k) כמבוקש.

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות