אסימפטוטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גרף הפונקציה y=1/x, שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו  y = 0 ולקו  x = 0
הגדל
גרף הפונקציה y=1/x, שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו y = 0 ולקו x = 0
גרף הפונקציה y = 1/x + x שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לציר y=0 ולישר y=x
הגדל
גרף הפונקציה y = 1/x + x שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לציר y=0 ולישר y=x

אסימפטוטה היא התקרבות של עקומה לקו ישר, למרחק הולך וקטן, השואף ל-0. ניתן לדבר גם על התקרבות אסימפטוטית של עקומה לעקומה אחרת.

[עריכה] אסימפטוטה לישר

דוגמה מפורסמת לאסימפטוטה לישר היא גרף הפונקציה \ y=\frac{1}{x} (היפרבולה), שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו y = 0 ולקו x = 0.

אסימפטוטות אינן חייבות להקביל רק לציר ה-x וה-y, כפי שמודגם בגרף הפונקציה \ y=\frac{1}{x} + x.

אסימפטוטה x=a היא אסימפטוטה אנכית ל- (f(x כאשר מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים:

  1. \lim_{x \to a-} f(x)=\infty
  2. \lim_{x \to a+} f(x)=\infty
  3. \lim_{x \to a-} f(x)=-\infty
  4. \lim_{x \to a+} f(x)=-\infty

אין חובה ש- (f(x תהיה בלתי מוגדרת בנקודה x=a. לדוגמה הפונקציה

f(x) = \begin{cases} 1/x & x \neq 0 \\ 5 & x = 0 \end{cases}

גם כאשר \lim_{x \to 0+} f(x) = \infty וגם כאשר \lim_{x \to 0-} f(x) = -\infty, לפונקציה (f(x יש אסימפטוטה בנקודה x=0 אף שמתקיים \ f(0) = 5.

[עריכה] פונקציות אסימפטוטיות

ניתן לומר שפונקציה (f(x אסיפטוטית לפונקציה (g(x כאשר ∞ → x. לכך יש ארבע משמעויות שונות:

  1. f(x) − g(x) → 0.
  2. f(x) / g(x) → 1.
  3. לביטוי (f(x) / g(x יש גבול שאינו 0.
  4. (f(x) / g(x חסומה ואינה שואפת לאפס.