אי שוויון המשולש האינטגרלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

משפט: אם f\, היא פונקציה אינטגרבילית בקטע [a,b]\, אזי מתקיים \left| \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \right| \le \int_{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}.

הערה: ניתן להוכיח כי אם \, f אינטגרבילית בקטע \, [a,b] אז גם \, |f| אינטגרבילית שם.

הוכחה: לכל x \in [a,b] מתקיים -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|.

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- \int_{a}^{b}{-|f(x)|\,dx} \le \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \le \int_{a}^{b}{|f(x)|\,dx}


כלומר -\int_{a}^{b}{|f(x)|\,dx} \le \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \le \int_{a}^{b}{|f(x)|\,dx}. ובסה"כ קיבלנו כי \left| \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \right| \le \int_{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}

כנדרש.