קוביות לא טרנזיטיביות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קבוצת קוביות לא-טרנזיטיביות היא קבוצה בת שלוש או יותר קוביות בה מתקיימת התכונה הבאה:
לכל קוביה בקבוצה קיימות בקבוצה לפחות קוביה אחת חזקה ממנה ולפחות קוביה אחת חלשה ממנה.
במילים אחרות, בזריקת זוג קוביות - לאף אחת מהקוביות בקבוצה אין יתרון על פני כל שאר הקוביות בקבוצה, כלומר לא ניתן לבחור קוביה שתנצח בהסתברות גדולה מ 1/2 כל בת-זוג אפשרית מן הקבוצה. זאת בדומה למצב המתקבל במשחק אבן נייר ומספריים בו לכל אפשרות ישנה אפשרות חזקה ממנה ואפשרות חלשה ממנה.
לדוגמא, בקבוצה בת שלוש קוביות, א' ב' וג', ייתכן ולקוביה א' יתרון על פני ב', לב' יתרון על פני ג' ולג' יתרון על פני א'.
תופעה זו מדגימה את העקרון שהסתברות יחסית איננה יחס טרנזיטיבי.
[עריכה] משחק
העקרון ניתן להדגמה היטב על ידי משחק לשני שחקנים: מול השחקנים קבוצת קוביות לא-טרנזיטיביות, בכל סיבוב שחקן 1 בוחר קוביה מן הקבוצה ושחקן 2 בוחר קוביה אחריו. שני השחקנים מטילים את הקוביות והשחקן שהקוביה שלו בעלת תוצאה גבוהה יותר מנצח בסיבוב. היות וההסתברות היחסית לנצחון איננה טרנזיטיבית, תמיד יוכל שחקן 2 לבחור קוביה בעלת יתרון על פני זו שבחר שחקן 1 וכך לנצח במירב הסיבובים.
תוצאת המשחק נוגדת את האינטאיציה היות ואנו מצפים שתכונת ה"יתרון" תהיה טרנזיטיבית, שהרי אם לא' יתרון על ב' ולב יתרון על ג' ניתן לצפות של א' יהיה יתרון על ג' ולא להיפך. יש לשים לב שאילו היה הניקוד במשחק ניתן על בסיס הסכום הנצבר במהלך מספר רב של הטלות - ניתן היה לבחור קוביה מנצחת, היות והיחס של סכומי המספרים על פיאות הקוביות הינו יחס טרנזיטיבי.
[עריכה] הקוביות של אפרון
הקוביות של אפרון הוא סט בן 4 קוביות שהומצא על ידי הסטטיסטיקאי ברדלי אפרון.
לארבע הקוביות א' ב' ג' וד' יש את הערכים הבאים על פאותיהן:
- א': 4, 4, 4, 4, 0, 0
- ב': 3, 3, 3, 3, 3, 3
- ג': 2, 2, 2, 2, 6, 6
- ד': 5, 5, 5, 1, 1, 1
[עריכה] הסתברויות
כל קוביה בסט יכולה להיות מנוצחת על ידי קוביה אחרת בהסתברות של 2/3:
![Pr[A>B] = Pr[B>C] = Pr[C>D] = Pr[D>A] = {2 \over 3}](../../../math/b/0/7/b078887c22dc1c30e03e9160be47ecbd.png)
ערכה של קוביה ב' קבוע; א' מנצחת אותה ב 2/3 מן ההטלות מכיוון ש 4 מפאותיה בעלות ערכים גבוהים יותר. מאותה הסיבה קוביה ב' מנצחת את קוביה ג' בהסתברות 2/3.
לחישוב הסיכוי של קוביה ג' לנצח את קוביה ד' נדרש שימוש בהסתברות מותנית של שני מקרים:
- תוצאת הטלת קוביה ג' היא 6 (בהסתברות 1/3); ג' מנצחת ללא תלות בתוצאת ההטלה של ד' (הסתברות 1).
- תוצאת הטלת קוביה ג' היא 2 (בהסתברות 2/3); ג' תנצח רק אם תוצאת הטלת קוביה ד' תהיה 1 (התסברות (1/2).
מכאן שההסתברות שקוביה ג' תנצח את קוביה ד' היא
בחישוב דומה ניתן להראות כי ההסתברות של ד' לנצח את א' היא



