התכנסות במידה שווה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
התכנסות במידה שווה היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, שהיא חזקה יותר מתכונת ההתכנסות הנקודתית של סדרות וטורי פונקציות, ומבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה
- הגדרה: תהא
סדרה של פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה
אם ורק אם לכל
קיים
טבעי כך שלכל
ולכל
מתקיים
.
באותה הצורה, נאמר שטור פונקציות מתכנס במידה שווה אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו (שהיא סדרת פונקציות בעצמה) מתכנסת במידה שווה.
ההבדל העקרוני שבין הגדרה זו ובין הגדרת התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות היא שכאן
יחיד מתאים לכל הנקודות שבהן מוגדרת פונקציית הגבול. בהתכנסות נקודתית, לנקודות שונות בתחום ההתכנסות יכולים להתאים ערכים שונים של
. על כן, התכנסות במידה שווה גוררת בפרט התכנסות נקודתית בכל נקודה, אך ההפך אינו נכון, ולכן התכנסות במידה שווה היא תכונה חזקה יותר מהתכנסות רגילה.
[עריכה] דוגמה
כדוגמה למצב שבו ההתכנסות היא נקודתית אך לא במידה שווה, נסתכל בסדרת הפונקציות
המוגדרת בקטע
. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציית האפס
בקטע, אך ההתכנסות אינה במידה שווה.
[עריכה] הגדרה שקולה להתכנסות במידה שווה
אם נשים לב לכך שהדרישה ש-
לכל x בקטע המדובר שקולה לכך ש-
, נוכל לקבל את ההגדרה השקולה הבאה -
הסדרה
תקרא מתכנסת במידה שווה לפונקציית הגבול בקבוצה
אם ורק אם לכל
קיים
כך ש-
לכל
.
או במילים אחרות, סדרת הפונקציות
תתכנס במידה שווה ב-
אם ורק אם הסדרה
תתכנס ל-0.
היתרון בהגדרה זו הוא בכך שבמקרים רבים ניתן לתאר במדויק את
באמצעות מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה
.
במרחב המטרי של פונקציות ממשיות רציפות עם המטריקה המוגדרת על ידי סופרמום ההפרש של הפונקציות, התכנסות סדרת פונקציות לפונקציה על פי המטריקה היא בדיוק התכנסות במידה שווה.
[עריכה] הערה
- אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסות במידה שווה, אזי הפונקציה הגבולית גם היא רציפה.

