ממד האוסדורף
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי. הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף. רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על-ידי המתמטיקאי הרוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעתים רחוקות יותר הוא קרוי ממד פרקטלי.
תוכן עניינים |
[עריכה] רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי
באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא הממד הטופולוגי של הקבוצה. נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד מספר טבעי.
ממד טופולוגי מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון פרקטלים. לקבוצת קנטור, למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעל ממד גבוה יותר. ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.
[עריכה] ממד האוסדורף
כדי להגדיר את ממד האוסדורף לקבוצה X, נתחשב תחילה במספר הכדורים,
, שרדיוסם אינו גדול מ-r, הנחוץ כדי לכסות את X לחלוטין. מובן שככל ש-r נעשה קטן יותר, (N(r גדל. באופן כללי, אם (N(r גדל יחסית ל-1/rd כאשר r שואף ל-0, אנו אומרים שלקבוצה X יש ממד d. למעשה, הגדרה פורמלית של ממד האוסדורף נעשית באופן עקיף. מתברר שממד האוסדורף מחדד את מושג הממד הטופולוגי, ומקשר אותו לתכונות נוספות של המרחב, כגון שטח ונפח.
[עריכה] ממד פרקטלי
כאשר הקבוצה היא פרקטל, כלומר - היא נבנית באופן איטרטיבי באמצעות הוספת עותקים מוקטנים שלה, ישנה הגדרה פשוטה יותר לממד פרקטלי. הגדרה זו גם נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.
ניתן להגדיר ממד פרקטלי של קבוצה פרקטלית באופן הבא:
כאשר:
- number of self similar pieces "מספר העותקים" - הוא מספר העותקים המוקטנים של האובייקט המקורי.
- magnification factor "גורם ההגדלה" - הוא היחס שבין האלמנט המקורי לעותק המכווץ (פי כמה כיווצנו את העותק המוקטן).
לדוגמה, מהו הממד של ריבוע? כאשר מחלקים ריבוע להרבה ריבועים קטנים, אם אורך הצלע של הריבוע הקטן הוא
מאורך הצלע המקורית, אזי בריבוע הגדול יכנסו N² ריבועים קטנים. לכן:
- גורם ההגדלה הוא N ואילו מספר העותקים הוא N², לכן:

נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.
זוהי תוצאה כללית, הממד הפרקטלי מהווה הכללה של הממד ה"נאיבי" המוכר לנו ועבור קבוצות בעלות ממדים שלמים הוא יחזיר את התוצאה הנכונה. היתרון בהגדרה זו שהיא יכולה לטפל גם בקבוצות "פתולוגיות", שהממד שלהן אינו שלם, כגון קבוצת קנטור או פתית השלג של קוך.
קבוצת קנטור היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל פרקטל המוכל בקטע [0,1] בישר הממשי. מהו הממד של קבוצת קנטור?
- בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם. לכן, באיטרציה ה N יש לנו
עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי
מהאורך המקורי. לכן, 
כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מאפס אך קטן מאחד.
[עריכה] קישורים חיצוניים
- הסבר פשוט על ממד פרקטלי (באנגלית).


