שבר מחזורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שבר מחזורי הינו מספר רציונלי (שבר) שלא ניתן לכתוב כשבר עשרוני באמצעות מספר סופי של ספרות. לדוגמה:

{1\over 3}=0.333333....

הגדרתו הפורמלית היא כזו: נתונים שני מספרים זרים n,m. n \over m יהיה שבר מחזורי אם ורק אם לא קיימים a,b עבורם m=2^a\cdot 5^b.

בשבר מחזורי תמיד יש סדרה של ספרות שחוזרת על עצמה אינסוף פעמים, והיא שונה מהסדרות {0} ו-{9}.

[עריכה] חזרה על הספרה 9

ישנו כלל בנושא זה, הנוגד את האינטואיציה.

0.999...=1\,\!

או בכתיב פורמלי:

\sum_{n=1}^\infty {9\over 10^{n}}=1

הוכחת הטענה פשוטה:

x=0.999...\,\!
10x=9.999...\,\!
9x=10x-x\,\!
9x=9.999...-0.999...\,\!
9x=9\,\!
x=1\,\!

באופן כללי, כל שבר לא מחזורי ניתן להצגה בשתי דרכים: אחת - שבסופה חזרה על הסיפרה 0, ואחת - שבסופה חזרה על הסיפרה 9. לדוגמה:

0.75000...=0.74999...\,\!