חבורה פתירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא הפירוק של חבורה לגורמי הרכב, באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר); אפשר ללמוד הרבה על חבורה מתוך גורמי ההרכב שלה. חבורה שגורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה.

מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומיאלית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאות שורש, אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.

[עריכה] תכונות

כל תת-חבורה וכל חבורת-מנה של חבורה פתירה, הן פתירות. לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.


דוגמאות לחבורות פתירות:

  • כל חבורה אבלית היא חבורה נילפוטנטית, וכל חבורה נילפוטנטית היא פתירה.
  • כל חבורת-p סופית ( עבור p ראשוני ) הינה פתירה.


התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה G פתירה:

  • G ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית N, כך ש- N ו- G/N שתיהן פתירות.
  • G ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
  • יש ל- G סדרה נורמלית שהגורמים שלה הם חבורות אבליות.
  • קיים n טבעי כך ש- \ G^{(n)}=1 (כאשר \ G^{(n)} תת חבורת הנגזרת מסדר n.)
  • ל- G סופית יש סידרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.


ב-1968 הוכיח Thompson שאם כל תת-חבורה של חבורה G הנוצרת על-ידי שני אברים היא פתירה, אז G עצמה פתירה.

כל החבורות שסדרן קטן מ- 120 הן פתירות, פרט לחבורת התמורות הזוגיות \ A_5, שהיא חבורה פשוטה מסדר 60.