המשפט היסודי של האלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים יש שורש. חרף שמו של המשפט, אין לו הוכחה 'אלגברית' (כזו שאינה מבוססת על השלמות של השדה הממשי), וגם אין לו תפקיד מרכזי במיוחד בפיתוח של האלגברה המודרנית.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מתורת הפונקציות המרוכבות, שכן אם אין לפולינום \ f(z) שורש, קל להוכיח שהפונקציה \ \frac{1}{f(z)} היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה. הוכחה סטנדרטית שנייה מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שאם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אז לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים במספרים המרוכבים. הריבוי של שורש a לפולינום f שווה לחזקה הגדולה ביותר של \ (z-a) המחלקת את \ f(z). בניסוח אחר, a הוא שורש מריבוי k אם הוא מאפס את הנגזרת \ f^{(k-1)} אבל לא את \ f^{(k)}.

משמעות המשפט היא שכל פולינום \ p(z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n}, ניתן להצגה עפ"י שורשיו, כלומר מתקיים: \ a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n}  = a_{n} (z - \alpha_1)\cdot(z - \alpha_2)\cdot...\cdot(z - \alpha_{n-1})\cdot(z - \alpha_n) כאשר \ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n} הם שורשיו של הפולינום p.