חבורה אבלית חופשית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית היא חבורה אבלית בעלת בסיס.
הקבוצה
היא בסיס לחבורה האבלית
כאשר כל איבר ב-
אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-
מעל המספרים השלמים
, ז"א שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה
כאשר
. הבסיס
אינו חייב להיות בן מנייה.
כדאי לשים לב שחבורה אבלית חופשית היא לא חבורה חופשית שהיא גם אבלית. המונח חופשית מתייחס לאי-קיומם של יחסים בין איברי החבורה; בחבורה חופשית אין כלל יחסים כאלו, ואילו בחבורה אבלית חופשית מתקיים יחס החילוף
ולא מתקיימים יחסים אחרים פרט לזה. החבורה החופשית היחידה שהיא גם אבלית היא חבורת השלמים
, הנוצרת על ידי איבר בודד.
לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים
אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו
. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה איזומורפית ל-
.
כל קבוצה
יכולה להוות בסיס לחבורה אבלית חופשית. קל להיווכח שחבורה אבלית חופשית היא מודול מעל חוג המספרים השלמים.

