אי-שוויון ינסן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, אי-שוויון ינסן טוען שממוצע ערכי פונקציה קמורה גדול או שווה לערך הפונקציה בממוצע הנקודות. אי השוויון נקרא על שם יוהן ינסן.

[עריכה] המקרה הבדיד

אם \ f:(a,b) \to \mathbb{R} פונקציה ממשית קמורה המוגדרת על קטע ואם \ x_1,\dots ,x_n \in (a,b) אז מתקיים f\left ( \frac{x_1 +\dots + x_n}{n}\right ) \leq \frac{f(x_1)+\dots + f(x_n)}{n}.

אין במשפט דרישה שהנקודות הן שונות. ניתן להשתמש בעובדה זו ולהוכיח הכללה של המשפט שבה הממוצע הרגיל מוחלף בממוצע משוקלל כלשהוא.

אם הפונקציה היא קעורה, אי השוויון הוא הפוך.

[עריכה] המקרה הכללי

אם \ f:(a,b)\to \mathbb{R} פונקציה ממשית קמורה ואם μ מידת הסתברות על הקטע אז f\left ( \int _{(a,b)} xd\mu \right ) \leq \int _{(a,b)} f(x)d\mu.

[עריכה] שימושים

  • אם משתמשים בפונקציה הקמורה \ \exp ומציבים \ x_i=\log (a_i), מקבלים את אי-שוויון הממוצעים \sqrt[n]{a_1\cdot \dots \cdot a_n}\leq \frac{a_1+ \dots + a_n}{n}.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.