קומוטטיביות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פעולה קומוטטיבית או חילופית היא פעולה מתמטית המופעלת על שני איברים, בלי חשיבות לסדרם. בניסוח פורמלי, הפעולה שנסמן ב-"+" (לאו דווקא פעולת החיבור ה"אמיתית") היא קומוטטיבית אם ורק אם לכל a,b מתקיים:

a+b=b+a

פעולת החיבור, למשל, היא פעולה חילופית: הביטוי 5+3 זהה בכל המובנים לביטוי 3+5.

אולם פעולת החזקה אינה פעולה קומוטטיבית. נראה זאת בעזרת דוגמה נגדית:
\ 3^5 \ne 5^3.

בחקר תכונותיהם של מבנים אלגבריים, תכונת הקומוטטיביות היא אחת התכונות המרכזיות העולות לדיון.

[עריכה] (העדר) הקשר עם אסוציאטיביות

אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינריות, אסוציאטיביות:

  • ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים).
  • ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).
  • ישנן פעולות שהם קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, פעולת הכפל באלגברת לי או באלגברת ז'ורדן).
  • ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי \ a\#b = a, או כפל מטריצות).