עוצמה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המונח המתמטי עוצמה או מספר קרדינלי מתאר גודל של קבוצה, באופן שאינו מתחשב במבנה שלה (אם יש לה כזה). העוצמות מתחלקות לסופיות ואינסופיות. העוצמות הסופיות הן המספרים הטבעיים ואפס, והן מתאימות למונח האינטואיטיבי של מספר האיברים בקבוצה. לדוגמה:
- העוצמה של הקבוצה הריקה היא אפס.
- העוצמה של קבוצת ימי השבוע היא שבע.
- העוצמה של קבוצת חברי הכנסת המכהנים כיום היא 120.
דוגמאות לקבוצות אינסופיות:
- כל הטקסטים שאפשר להגיד בעברית.
- כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש.
- כל המספרים (הלא שלמים) בין אפס לאחד.
דוגמאות לאוספים שאינם קבוצות:
- כל הקבוצות. זו נחשבת מחלקה. ההבנה שאוסף כל הקבוצות אינו קבוצה עלתה מהפרדוקס של ראסל.
[עריכה] שקילות בין קבוצות
רבים מהדברים שאפשר להגיד על קבוצות נשמעים מובנים מאליהם בקבוצות סופיות, ומקבלים משמעות עמוקה, ולעיתים מפתיעה, בקבוצות אינסופיות. דוגמה לכך היא התשובה לשאלה "מתי לשתי קבוצות יש אותה עוצמה". עבור שתי קבוצות סופיות זו שאלה פשוטה - סופרים, ואם מגיעים לאותו המספר, אז יש אותה עוצמה. הקושי עם הגדרה זו הוא שאין אפשרות להכליל אותה לקבוצות אינסופיות. לכן ההגדרה המתמטית מורכבת יותר, אך חלה הן על קבוצות סופיות והן על קבוצות אינסופיות.
שתי קבוצות מתמטיות נקראות שקולות או חופפות (כלומר, יש להן אותה עוצמה), אם אפשר לסדר את האברים שלהן בזוגות, בכל זוג יש אבר אחד מכל קבוצה, כך שכל אבר משתתף רק בזוג אחד, וכל האברים משתי הקבוצות משתתפים. ההגדרה המתמטית היא מורכבת יותר: חפיפה של קבוצות מוגדרת כפונקציה חד-חד ערכית מקבוצה אחת על הקבוצה השניה. כאשר מדובר בקבוצות סופיות, פעולת הספירה של איבריהן יוצרת התאמה חד-חד ערכית בין איבריהן.
אחת התוצאות המפתיעות הראשונות של ההגדרה הזו היא שקבוצה יכולה לחפוף לתת קבוצה שלה. לדוגמה, קבוצת כל המספרים הטבעיים
חופפת לקבוצת כל המספרים הזוגיים
, כאשר ההתאמה או הזיווג הוא של כל מספר טבעי
עם המספר הזוגי
. ברור שההתאמה הזו מסדרת את המספרים משתי הקבוצות בזוגות, ושהזוגות ממצים את כל המספרים משתי הקבוצות. כלומר, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה.
במערכת המונחים המתמטיים לוקחים את התכונה המפתיעה הזו של קבוצות אינסופיות, שהן יכולות לחפוף לתת קבוצה ממש שלהן (כלומר, תת קבוצה שאינה אותה קבוצה), והופכים אותה להגדרה של קבוצות אינסופיות: קבוצה אינסופית היא קבוצה החופפת לתת קבוצה ממש של עצמה.
תוצאה שאינה מובנת מאליה היא הוכחתו של גאורג קנטור שהמספרים הרציונליים הם קבוצה בת מניה, כלומר, קיימת התאמה חד-חד ערכית בינם לבין המספרים הטבעיים.
ניתן לראות זאת בנקל על ידי יצירת שתי פונקציות חד חד ערכיות, האחת מהרציונליים אל הטבעיים, והשנייה מהטבעיים אל הרציונלים.
כאשר המספר הרציונלי מוצג בצורה המצומצמת ביותר שלו.
הפונקציה הראשונה היא חד חד ערכית, שכן לכל מספר טבעי הצגה ייחודית כמכפלת מספרים ראשוניים (לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה).
על פי משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קיומן של שתי פונקציות חד חד ערכיות - מקבוצה א' לב' ואחת מב' לא' מבטיח שהקבוצות הן בעלות עוצמה שווה.
[עריכה] ריבוי עוצמות
למרות התוצאות שהודגמו להלן, אין זה נכון שלכל הקבוצות האינסופיות יש אותה עוצמה: משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט, לכל קבוצה קיימת קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר. קבוצת כל העוצמות הינה כה גדולה עד שבתורת הקבוצות האקסיומטית היא אינה נחשבת לקבוצה אלא למחלקה (וממילא אין לה עוצמה משלה).
נימוק האלכסון של קנטור מראה כי המספרים הממשיים אינם בני מניה. יתר על כן, כל קטע (פתוח או סגור) של מספרים ממשיים אינו בן-מניה. בנוסף, עוצמת כל קטע שווה לעוצמת הרצף, מאחר וניתן להגדיר פונקציה הפיכה בין קטע לעוצמת הרצף.
את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית
(קרי: אלף אפס), ואת עוצמת הממשיים (עוצמת הרצף) סימן באות
(כיום משתמשים גם בסימון
לעוצמה זו). למעשה עוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר
.
[עריכה] ראו גם
| נושאים בתורת הקבוצות |
|---|
|
תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה |


