מטריצה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מטריצה היא טבלה של נתונים (לרוב מספרים, אך ניתן להרחיב את ההגדרה) כך שכל איבר במטריצה מזוהה הן על פי השורה שהוא שייך אליה, והן על פי העמודה שהוא שייך אליה. מטריצות הן כלי שימושי וחשוב בתחומי מתמטיקה רבים, ובמיוחד באלגברה לינארית, שם ניתן להשתמש במטריצות על מנת לפתור משוואות לינאריות ולהציג טרנספורמציות לינאריות.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהיו
מספרים טבעיים. מטריצה בעלת
שורות ו-
עמודות [קרא כך: מטריצה של n על m] (ובקיצור, מטריצה מסדר
- המספר השמאלי מייצג את מספר השורות, הימני את מספר העמודות) מסוימת היא קבוצה של איברים שבה כל איבר מזוהה באופן יחיד בעזרת האינדקס שלו. אם
היא מטריצה, הרי ש
הוא האיבר שנמצא בשורה ה-
ובטור ה-
. לעתים נכתוב
, כאשר
הוא האיבר במקום ה-
במטריצה.
הנה דוגמה של מטריצה מסדר
:
בדוגמה זו,
וכדומה.
על מטריצות ניתן להגדיר פעולות אלגבריות: חיבור מטריצות, כפל מטריצה בסקלר וכפל מטריצות זו בזו. לשם כך נדרש שאברי המטריצה ילקחו מתוך שדה מסוים, כך שפעולות הכפל והחיבור בין אברי השדה יהיו מוגדרות היטב.
אם עבור מטריצה מתקיים
, כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת מטריצה ריבועית. במטריצה ריבועית, האלכסון העובר מהאיבר השמאלי העליון לאיבר הימני התחתון נקרא האלכסון הראשי, והאלכסון השני נקרא האלכסון המשני.
[עריכה] מרחבי שורות ועמודות
מרחב השורות של מטריצה
בגודל
הוא המרחב הנפרש על ידי וקטורי שורותיה (
וקטורים ב-
), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (
וקטורים ב-
).
דרגת שורות
היא ממד מרחב שורותיה, ודרגת עמודות
היא ממד מרחב העמודות שלה בהתאם. ניתן להוכיח כי עבור כל מטריצה דרגות השורות שווה לדרגת העמודות. על כן, אומרים לרוב בפשטות דרגת המטריצה.
[עריכה] מטריצה כייצוג של העתקה לינארית
שימוש חשוב מאוד של מטריצות הוא ייצוג של העתקות לינאריות בין מרחבים מממד סופי. בהינתן בסיסים למרחבים, ניתן להתאים לכל העתקה לינראית מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמצייה לינארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם.
באופן לא פורמלי, ניתן לומר שכדי לתאר העתקה לינארית באופן מלא, מספיק לנו לדעת לאיזה וקטורים בטווח היא מעבירה את ווקטורי הבסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הלינאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל ווקטור, כפי שנדגים מיד.
נניח כי
היא העתקה לינארית
, ונניח גם שנתונים
בסיס ל
, ו-
בסיס ל
(ברור כי ממדי המרחבים הם
ו-
בהתאמה).
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס
. משמע, אנו יודעים לייצג כל ווקטור
על פי הבסיס
. נכתוב זאת במפורש:



וכך הלאה עד

בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל
את
על ידי שימוש בלינאריות. ניקח ווקטור כלשהוא
, שייצוגו לפי הבסיס
הוא
, נשתמש בלינאריות כדי לקבל

אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל
, ולכן נציב ונקבל
.
נקבץ את המקדמים של כל
, ונקבל

בכתיבה פשוטה יותר, ווקטור הקואורדינטות של
לפי הבסיס
הוא

כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על ווקטור כלשהו
. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים
כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא
![[T]^B_C = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\ : & : & : &\ddots & : \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n} \\ \end{bmatrix}](../../../math/e/7/2/e723949d3917af9b6c3bf521038930ad.png)
- הסימון
משמעו: המטריצה המייצגת את ההעתקה
לפי הבסיס
בתחום
והבסיס
בטווח
.
- המקדמים במטריצה הם בדיוק המקדמים המופיעים ברצף המשוואות מתחילת הפסקה, בשינוי סדר קל. העמודה ה-
במטריצה מורכבת מהמקדמים מהשורה ה-
ברצף המשוואות. משמע, העמודה ה-
היא ייצוגו של ווקטור הבסיס ה-
של התחום, לפי הבסיס של הטווח.
- במפורש: האיבר ה-
במטריצה הוא המקדם ה-
בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה-
בבסיס
, בייצוג על פי הבסיס
. מטריצה מסדר
מייצגת העתקה ממרחב
-ממדי למרחב
-ממדי.
מציאת התמונה של ווקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח ווקטור כלשהו
, שייצוגו על פי
הוא
,
על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות
![[T(v)]_C = [T]^B_C \cdot [v]_B = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\ : & : & :& \ddots & : \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ : \\ c_n \\ \end{bmatrix}](../../../math/1/7/a/17a9cc02047bfcfe0d64b025dd5b4da2.png)
- הסימון
משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור
לפי הבסיס
.
[עריכה] ההתאמה בין ההעתקות למטריצות
האיזומורפיזם בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:
- נניח כי
הן העתקות לינאריות
, וכן נתונים
בסיס ל
, ו-
בסיס ל
, אזי
, במילים - המטריצה המייצגת את סכום ההעתקות
ו-
היא המטריצה המתקבלת מסכימת המטריצות המייצגות את
ו-
.
, ובמילים - המטריצה המייצגת את כפל ההעתקה
בסקלר היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצה המייצגת את
באותו סקלר.
, כאשר ב
הכוונה היא להרכבת ההעתקות, וב
הכוונה היא לכפל מטריצות. במילים - המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות
ו-
היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצות המתאימות ל-
ו-
. למעשה, זו הסיבה שכפל מטריצות, שאינו נעשה בדרך אינטואיטיבית, הוגדר כך. מכאן מובן גם מדוע כפל מטריצות מוגדר רק אם מספר השורות של המטריצה הימנית שווה למספר העמודות של המטריצה השמאלית.
- למטריצה יש אותם ערכים עצמיים, פולינום אופייני, פולינום מינימלי ודרגה כמו להעתקה שהיא מייצגת.
נוכח התאמה מרשימה זו, שגיאה נפוצה היא לזהות מטריצה עם העתקה לינארית. כזכור, לכל מטריצה מתאימה העתקה לינארית יחידה, רק לאחר שנבחר בסיס בתחום ובטווח. לפני הגדרת בסיסים אלה כל מטריצה יכולה לייצוג אינסוף העתקות לינאריות, ולהיפך. כמוכן, יש לשים לב כי הקונבנציה המקובלת היא ייצוג של טרנספורמציות הפועלות על ווקטורים כמטריצות הפועלות על ווקטורי עמודה בכפל מימין, אך באותה מידה ניתן היה להגדיר את ההיפך - כפל משמאל. אז מטריצה מסדר
הייתה מייצגת טרנספומציה ממרחב
ממדי למרחב
ממדי והווקטורים היו וקטורי שורה.
[עריכה] סוגי מטריצות
בסעיף זה נתייחס רק למטריצות ריבועיות (כלומר, למטריצות מסדר
).
- מטריצת היחידה (מסדר
) היא המטריצה המסומנת
או
שאיבריה מוגדרים באופן הבא:
כאשר
היא הדלתא של קרונקר המוגדרת כך: 
- במטריצה כזאת, איברי האלכסון הראשי הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות ש
מהווה איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות. (כלומר, לכל
מתקיים
)
- מטריצת האפס היא המטריצה שכל איבריה הם 0.
- מטריצה
נקראת משולשית עליונה אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה
נקראת משולשית תחתונה אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0.
- מטריצה
נקראת אלכסונית אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה פרט לאיברי האלכסון הראשי שלה שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת מטריצה סקלרית.
- מטריצה
תיקרא הפיכה או רגולרית אם קיימת מטריצה
כך ש
ואז מסמנים
והמטריצה
תיקרא המטריצה ההפוכה או ההפכית של
.
- המטריצה המשוחלפת של A, שמסומנת
(מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות. (כלומר,
)
- מטריצה
תיקרא מטריצה סימטרית אם
, כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה. (כלומר,
)
- מטריצה
תיקרא מטריצה אנטי-סימטרית אם
. (כלומר,
)
- צמוד הרמיטי של מטריצה A מעל שדה המרוכבים, היא מטריצה המוגדרת באופן הבא:
. הסימון הוא
שמבוטא A dagger.
- מטריצה A שמקיימת
, כלומר
נקראת מטריצה הרמיטית. מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא מטריצה סימטרית.
- מטריצה U שמקיימת
נקראת מטריצה יוניטרית. זוהי מטריצה ששומרת נורמה ומכפלה פנימית. מטריצה יוניטרית ממשית נקראת מטריצה אורתוגונלית.
- מטריצה
תיקרא מטריצה נילפוטנטית אם קיים
טבעי כך שמתקיים
(כאשר
היא מטריצת האפס). מההגדרה נובע שרק אפס הוא ערך עצמי שלה. מעל שדה המרוכבים היא דומה למטריצה משולשית שכל אברי האלכסון שלה הם 0.
| נושאים באלגברה לינארית |
|---|
|
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור |


