משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית הוא משפט בתורת החבורות שמתאר את כל המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית האפשריות.

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא

חבורה היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מקבוצת איברים ומפעולה בינארית המוגדרת עליהם. מספר דרישות בסיסיות שכל חבורה מקיימת מקנות לה מבנה מסודר יחסית. אחד מהתחומים בהם עוסקת האלגברה המופשטת הוא סיווג של כל החבורות הקיימות על פי תכונותיהן. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית מספק סיווג שכזה עבור מחלקה חשובה של חבורות, שמאופיינות על ידי שתי תכונות שמגדילות את הסדר הפנימי שלהן.

הדרישה הראשונה היא שהחבורות יהיו אבליות (חילופיות), כלומר שיתקיים חוק החילוף ביחס לפעולה של החבורה: לכל שני איברים a,b בחבורה מתקיים ab=ba.

הדרישה השנייה היא שהחבורה תהיה נוצרת סופית. כלומר, שקיימת קבוצה סופית של איברים מהחבורה כך שניתן ליצור מהם, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה.

המשפט מראה כי כל חבורה שמקיימת את שתי הדרישות הללו זהה, עד כדי החלפת הסימון בו משתמשים כדי לתאר אותה, לחבורה שמורכבת מסכום של חבורות ציקליות. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאוד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל על הבדיקה האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - פשוט על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.

[עריכה] ניסוח פורמלי

בניסוחו הפורמלי, המשפט קובע כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית \ G איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות מהצורה הבאה:

\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}

כאשר \ r\ge 0 והמספרים \ p_1^{k_1},\dots ,p_n^{k_n} הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של מספרים ראשוניים. עבור כל חבורה העונה על תנאי המשפט, המספרים \ r,p_1^{k_1},\dots, p_n^{k_n} נקבעים בצורה יחידה.

צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים \ p_1^{k_1},\dots,p_n^{k_n} נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, \ G איזומורפית לסכום הישר הבא:

\ \mathbb{Z}^r\oplus\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}

כאשר מתקיים יחס החלוקה הבא: \ m_1|m_2|\dots |m_k. גם צורת הצגה זו היא יחידה.

מהמשפט ניתן לראות כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית \ G מורכבת מסכום ישר של שני חלקים: החלק האחד הוא הסכום \ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k} שמייצג את תת חבורת הפיתול של \ G, כלומר את תת החבורה הנוצרת על ידי האיברים מסדר סופי.

החלק השני בסכום הוא \ \mathbb{Z}^r. זוהי חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית \ r.

[עריכה] דוגמאות

  • כל חבורה אבלית סופית היא נוצרת סופית (למשל, בידי קבוצת כל האיברים שלה). מכיוון שהחלק \ \mathbb{Z}^r מכיל אינסוף איברים עבור \ r>0, נובע שכל חבורה אבלית סופית איזומורפית לחבורה מהצורה \ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_k}. דוגמאות ספציפיות:
    • קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא \ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3 ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטיים צורתה היא \ \mathbb{Z}_6. לא קשה להשתכנע ששתי ההצגות איזומורפיות.
    • כל חבורה אבלית סופית בת 90 איברים איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
      • בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים: \ \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_{3^2}\oplus\mathbb{Z}_5 ,\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5
      • בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטים: \ \mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{30},\mathbb{Z}_{90}
  • כל חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית איזומורפית ל-\ \mathbb{Z}^r עבור \ r>0 מסוים שהוא גודל קבוצת היוצרים שלה. קל לראות את האיזומורפיזם במקרה זה: כל אחד מיוצרי החבורה עובר ליוצר של אחד מעותקי \ \mathbb{Z}.
  • אוסף הנקודות הרציונליות על עקום אליפטי עם פעולה מתאימה מהווה, על פי משפט מורדל-וייל, חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל-\ r שבחלק \ \mathbb{Z}^r של החבורה. השערה מפורסמת בתורת המספרים בשם השערת בירץ' וסווינרטון-דייר היא ש-\ r שווה לסדר האפס של פונקציה מרוכבת מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה \ s=1.

[עריכה] הוכחה

הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת המודולים, ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל החוג \ \mathbb{Z}.

שפות אחרות