משפט בנך-אלאוגלו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט בנך-אלאוגלו (Banach-Alaoglu theorem) הוא משפט מתמטי באנליזה פונקציונלית. משפט זה אומר שכדור יחידה במרחב הדואלי הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה עליה.

[עריכה] המשפט

יהי X מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל \ X^* על ידי \ w(X) כאשר \ X \subset X^{**} (כאן X משחק בתפקיד של F ואילו \ C(X) \subset X^{**}. אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא w* , מתקיים שכדור היחידה הוא קומפטי.

[עריכה] הוכחת המשפט

לכל \ x \in X נגדיר אינטרוול \ I_x = \left[ -\|x\| , \|x\| \right] ונסתכל במרחב מכפלת טיכונוף שלהם \ K = \prod_{x \in X}{I_x}. לומר שפונקציונל f נמצא בכדור היחידה זה שקול לומר שהגרף של הפונקציונל הלינארי f עובר בתוך כל אינטרוול ולא יוצא ממנו, כלומר: הגרף של f הוא "קו" שנמצא כולו בין קצוות ה"רצועה" שנוצרה על ידי האינטרוולים. בנוסחה , \ | f(x) | \le \| x \| \iff f \in D(X^*) כאשר D מסמל את כדור היחידה. לכן אפשר לשכן את כדור היחידה D בתוך K.

לפי משפט טיכונוף K הוא קומפקט (קבוצה קומפקטית סגורה) כמכפלה של מרחבים קומפקטיים (כל אינטרוול הוא קומפקט כי מדובר בקבוצה סגורה וחסומה במרחב האוקלידי).

בשביל להוכיח ש-D קומפקט מספיק להראות שזו קבוצה סגורה, אך זה ברור מאחר ולינאריות היא תכונה סגורה וכל פונקציונל ניתן להגדיר על ידי חיתוך כל התנאים הסגורים מהצורה \ f( x_1 +  x_2) =  f(x_1) +  f(x_2) \ , \ f(ax) = a f(x) ויש משפט בטופולוגיה הקובע שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה.

[עריכה] ראו גם