חבורה אבלית חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית היא חבורה אבלית בעלת בסיס.


הקבוצה \ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\} היא בסיס לחבורה האבלית \ G כאשר כל איבר ב-\ G אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-\ S מעל המספרים השלמים \ \mathbb{Z}, ז"א שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה \ g = n_1 e_1 + n_2 e_2 + n_3 e_3... \in G כאשר n_i \in \mathbb{Z}. הבסיס \ S אינו חייב להיות בן מנייה.

כדאי לשים לב שחבורה אבלית חופשית היא לא חבורה חופשית שהיא גם אבלית. המונח חופשית מתייחס לאי-קיומם של יחסים בין איברי החבורה; בחבורה חופשית אין כלל יחסים כאלו, ואילו בחבורה אבלית חופשית מתקיים יחס החילוף \ x y = y x ולא מתקיימים יחסים אחרים פרט לזה. החבורה החופשית היחידה שהיא גם אבלית היא חבורת השלמים \mathbb{Z}, הנוצרת על ידי איבר בודד.

לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים \ S=\{e_1,e_2\} אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה איזומורפית ל-\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.

כל קבוצה \ S יכולה להוות בסיס לחבורה אבלית חופשית. קל להיווכח שחבורה אבלית חופשית היא מודול מעל חוג המספרים השלמים.

שפות אחרות