פעולה טרנזיטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות \ x,y\in X קיים איבר \ g\in G המעביר את x ל- y, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון - גרף או מטריקה). עצם הקיום של חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה) מראה שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X מרחב הומוגני.

[עריכה] טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי \ g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k)), כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה \ X^k את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה \ X^{[k]} של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצויידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על \ X^{[k]}, אז הפעולה שלה על X היא פעולה k-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל \ x_1,\dots,x_k שונים זה מזה, ולכל \ y_1,\dots,y_k שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר \ g(x_i)=y_i. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה.

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית \ S_n על הקבוצה \ \{1,\dots,n\} היא פעולה n-טרנזיטיבית, בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות \ A_n על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית.

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין תת-החבורות של \ S_n. פרט לחבורות \ S_n ו- \ A_n, רק חמש חבורות מתיו הן 4-טרנזיטיביות או 5-טרנזיטיביות, ואין אף חבורה אחת שהיא 6-טרנזיטיבית.