משפט דה-מואבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים:

(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

נוסחה זו מקשרת בין המספרים המרוכבים לבין פונקציות טריגונומטריות. הביטוי "cos x + i sin x" נכתב לפעמים בתור "cis x".

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שגולתה מאוחר יותר).

[עריכה] שימושים

ניתן להשתמש בנוסחה זו כדי לחשב את השורשים ה-n-ים של מספר מרוכב. אם z הוא מספר מרוכב נוכל לכתוב אותו בצורה הבאה:

z=A(\cos x+i\sin x)\, כאשר 0\le A

ולכן:

z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}=A^{1/n}\left\{\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right\}

כאשר k נע בין 0 ל- n-1.

[עריכה] הוכחה

נסתכל על שלושה מקרים.

עבור n > 0, נשתמש באינדוקציה. כאשר n = 1 השוויון ברור וזה יהיה בסיס האינדוקציה. כעט נניח שהשוויון התקיים עבור מספר שלם וחיובי k, כלומר:

(\cos x + i \sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx). \,

כעט נבדוק לגבי n = k + 1:

(\cos x+i\sin x)^{k+1}\,
= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}\,
= (\cos(kx)+i\sin(kx))(\cos x+i\sin x)\, (לפי הנחת האינדוקציה)
= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i(\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x)\,
= \cos(k+1)x + i\sin(k+1)x\, באמצעות שימוש בזהויות טריגונומטריות

וקיבלנו שהמשפט מתקיים לכל n שלם וחיובי.

כאשר n = 0 השוויון המתקיים מכיוון ש: \ \cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i0 = 1, ומצד שני \ z^{0} = 1.

עבור n < 0, נגדיר מספר שלם וחיובי m כך ש- n = −m. לכן:

(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,
=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}\, לפי מה שהוכחנו באינדוקציה
=\cos(mx) - i\sin(mx)\, בעזרת הכפלה בצמוד,
=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,

ולכן המשפט נכון לכל n שלם.

[עריכה] ראו גם