מרחב מכפלה פנימית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי שמוגדרת בו פונקציית כפל בין אברי המרחב המכונה מכפלה פנימית ובעזרתה ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי \, V מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{F}, כאשר \mathbb{F} הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

  • לינאריות ברכיב הראשון:

\forall a,b,c\isin V:\langle a+b,c\rangle= \langle a,c\rangle + \langle b,c\rangle

  • הומוגניות ברכיב הראשון:

\forall a,b\isin V,\lambda\isin F:\langle \lambda a,b\rangle= \lambda \langle a,b\rangle

  • הרמיטיות (מעל הממשיים - סימטריות):

\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}

  • חיוביות:

\forall x \in V \ \langle x,x\rangle\ge 0 ושוויון קיים אם ורק אם \ x=0

נשים לב לכמה דברים:

  • תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
\langle x,x\rangle =\overline{\langle x,x\rangle} פירושו כי \langle x,x\rangle הוא מספר ממשי.
  • הלינאריות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד - כאשר מוציאים סקלר מהמכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
\langle x,\lambda y\rangle =\overline{\lambda}\langle x,y\rangle
  • מהלינאריות נובע כי תמיד מתקיים: \langle 0,0\rangle = 0

המרחב \, V בתוספת מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.

במכפלה הפנימית משתמשים בין היתר כדי להגדיר את מושגי האורתוגונליות והנורמה.

[עריכה] דוגמאות למכפלות פנימיות


נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור