פונקציית רימן
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
- ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן); לערך העוסק בפונקציית זטא של רימן, ראו פונקציית זטא של רימן.
פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית מוגדרת כדלהלן:

(ב-
ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם). פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
- פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו.
- אין קטע שהיא מונוטונית בו.
- קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
- בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).
[עריכה] הערה על שם הפונקציה
בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
- פונקציית הסרגל
- פונקציית הפופקורן
- פונקציית תומה (Thomae's function)
[עריכה] הוכחה
נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.
יהי
, כאשר
שלמים זרים ו-
. מכאן ש-
. נראה כי
אינה רציפה ב-
. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה
של מספרים אי רציונלים המקיימת
. לכל
מתקיים
, ומכאן
, ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-
.
כעת נניח ש-
מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב-
. נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי
. יש למצוא
כך שאם
אזי
. קיים
שלם כך ש-
. נסמן
(פונקציית העצרת). מכיוון ש-
אינו רציונלי, קיים
כך שהמרחק מ-
לכל שבר מהצורה
עם
שלם, גדול מ-
. יהי
המקיים
. ייתכנו שתי אפשרויות:
ואז
, ומכאן
.
הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-
קטן מ-
, אז
לא יכול לחלק את
, ולכן
ו-
, כלומר, אם
אזי
, כדרוש.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם
אזי
, ומכאן ש-
רציפה ב-
.

