טרנספורמציה נורמלית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
| יש לשכתב ערך זה ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיפדיה. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו. |
באלגברה לינארית, טרנספורמציה נורמלית היא טרנספורמציה לינארית שמתחלפת בכפל עם הטרנספורמציה הצמודה שלה.
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהי V מרחב מכפלה פנימית (וקטורי) מעל שדה F. תהי T טרנספורמציה לינארית המוגדרת על איברי V (וקטורים). T תקרא טרנספורמציה לינארית נורמלית, אם מתקיים *T*T = TT, כלומר T מתחלפת בכפל עם הטרנספורמציה הצמודה לה, *T; לכל וקטור v במרחב V, הפעלת *TT על v והפעלת T*T על v תתן תוצאה זהה.
ניתן לראות דוגמה לחשיבות של מושג הנורמלית בתחום של לכסון מטריצות. המטריצה המייצגת של כל טרנספורמציה נורמלית ניתנת ללכסון אוניטרי - כלומר, לכסון באמצעות מטריצה אוניטרית:
טרנספורמציה לינארית T במרחב מכפלה פנימית אוניטרי (מרחב וקטורי מעל השדה המרוכב) V היא נורמלית, אם ורק אם קיים ל-T בסיס אורתונורמלי המורכב כולו מוקטורים עצמיים של T.
(בפרט, נובע שמעל שדה המספרים המרוכבים
כל טרנספורמציה נורמלית ניתנת ללכסון, וכל טרנספורמציה הניתנת ללכסון על ידי בסיס אורתונורמלי, היא טרנספורמציה נורמלית).
כל טרנספורמציה לינארית נורמלית T במרחב אוקלידי (מרחב מכפלה פנימית מעל שדה הממשיים) ניתנת להצגה על ידי מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מסודרים כל הערכים העצמיים הממשיים של T, אם יש כאלו, ובלוקים בגודל 2X2 לאורך אותו אלכסון, שאבריהם מספרים ממשיים.
מכיוון שכל טרנספורמציה לינארית ניתן לייצג באמצעות מטריצה תחת בסיס מתאים, הרי שההצגה של טרנספורמציה לינארית בצורת מטריצה אלכסונית או בצורה דומה מהווה צורה פשוטה במיוחד של הצגת הטרנספורמציה ומקלה על חיישובים רבים.
| נושאים באלגברה לינארית |
|---|
|
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור |

