הומומורפיזם (אלגברה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה, הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא פונקציה בין שני מבנים אלגבריים שמשמר את הפעולה של אותו מבנה.
הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם ובמובן מסוים הוא יחס שקילות בין שני מבנים אלגברים. כלומר, אם שני מבנים אלגברים הם איזומורפיים זה לזה (כלומר: קיים איזומורפיזם ביניהם) אז אפשר לומר שהם בעצם אותו מבנה - עד כדי מתן שמות או תוויות שונות לאיברים שבו. מבנים אלגברים שזהים עד כדי איזומורפיזם הם זהים למעשה כמעט בכל מובן שהוא ומתכונות של מבנה אחד אפשר להקיש על תכונותיו של המבנה האחר.
תוכן עניינים |
[עריכה] הומומורפיזם בין חבורות
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהיו
שתי חבורות. פונקציה
תיקרא הומומורפיזם אם לכל
מתקיים
. נשים לב כי הכפל באגף שמאל של המשוואה הוא בחבורה
ואילו הכפל בצד ימין של המשוואה הוא בחבורה
.
- הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי יקרא מונומורפיזם.
- הומומורפיזם שהוא על יקרא אפימורפיזם.
- הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי ועל יקרא איזומורפיזם.
- איזומורפיזם שהוא מחבורה על עצמה יקרא אוטומורפיזם.
לאיזומורפיזמים חשיבות רבה. אם יש איזומורפיזם בין שתי חבורות, פירוש הדבר הוא שהן זהות לחלוטין, עד כדי החלפת שמות האיברים בחבורה, בכל האספקטים הנוגעים למבנה החבורה.
[עריכה] תמונה וגרעין
בהינתן הומומורפיזם, התמונה שלו תוגדר בתור הקבוצה שמתקבלת מהפעלת ההומומורפיזם על כל אברי התחום.
בצורה פורמלית:
. נשים לב כי
.
בהינתן הומומורפיזם, הגרעין שלו יוגדר בתור הקבוצה של כל האיברים בתחום שלו שעוברים לאיבר היחידה של חבורת הטווח.
בצורה פורמלית:
. נשים לב כי
.
הגרעין "מודד" את מידת החד-חד ערכיות של הומומורפיזם. הומומורפיזם שהאיבר היחיד בגרעין שלו הוא איבר היחידה הוא חד-חד ערכי.
[עריכה] משפטים העוסקים בהומומורפיזמים
משפטי האיזומורפיזם מראים את קיומם של איזומורפיזמים בין מקרים מיוחדים של מבנים אלגבריים.
[עריכה] הומומורפיזם בין מרחבים לינאריים
טרנספורמציה לינארית בין שני מרחבים לינאריים היא הומומורפיזם שכן היא שומרת על תכונת הלינאריות. אם הטרנספורמציה הלינארית היא חח"ע ועל אזי היא נקראת איזומורפיזם בין שני המרחבים. כלומר, שני המרחבים זהים עד כדי שינוי שם האיברים (או שינוי שמות איברי הבסיס).
עבור מרחבים נוצרים סופית, קיימת התוצאה החשובה הבאה:
- משפט: יהי V מרחב וקטורי נוצר סופית מממד n מעל שדה F. אזי V איזומורפי למרחב Fn (מרחב וקטורי העמודה בגודל n שרכיביהם הם איברי השדה F).
[עריכה] הומומורפיזם בין חוגים
פונקציה f היא הומומורפיזם בין חוגים אם לכל a,b מתקיים
, וכן גם 
| נושאים באלגברה מופשטת |
|
אלגברה מופשטת | מונואיד | חבורה | חוג |תחום שלמות | שדה | מודול | אלגברה (מבנה אלגברי) | תורת החבורות | תורת גלואה | אלגברת לי | הומומורפיזם | משפטי האיזומורפיזם | תת חבורה נורמלית | אידאל |

