מרחב טופולוגי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
מרחב טופולוגי הוא קבוצה X ומשפחה
של תת קבוצות של X המקיימת שלושה תנאים:
- הקבוצה הריקה והקבוצה X שייכים ל־
.
סגורה תחת איחוד : איחוד של כל אוסף קבוצות מ־
שייך ל־
.- חיתוך של שתי קבוצות מ־
שייך גם הוא ל־
.
הקבוצות השייכות ל
ייקראו קבוצות פתוחות.
נקראת הטופולוגיה על X. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא "קבוצה סגורה". איברי X יקראו "נקודות".
[עריכה] הערות
כאמור, כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.
אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב X יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לו ייקרא "בסיס". לעתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. יש להעיר שלא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב
מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.
אוסף של קבוצות מ־
כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב. תת בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת בסיס לטופולוגיה כלשהי.
ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.
[עריכה] דוגמאות
[עריכה] מרחב טריוויאלי
לכל מרחב
ניתן להגדיר טופולוגיה
.
קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.
ניתן להבחין שלכל
בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)
[עריכה] מרחב דיסקרטי
טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב
היא הטופולוגיה הדיסקרטית -
. כלומר, טופולוגיה בה כל תת קבוצה של
היא קבוצה פתוחה.
גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.
בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל
,
.)
[עריכה] הטופולוגיה הקו־סופית
דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב
כלשהו - טופולוגיה הקבוצות הפתוחות הן אלה שמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן.)
עבור
אינסופי, טופולוגיה עשירה ממש מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית. יתר על כן, עבור
כזה המרחב המתקבל אינו מטריזבילי. (מאחר שמרחב זה אינו מרחב האוסדורף)
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |

