שבר משולב
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
שבר משולב הוא ביטוי מהצורה
, כאשר המספרים
הם בדרך כלל מספרים טבעיים, או ביטוי אינסופי בעל מבנה דומה.
שברים משולבים מופיעים בתחומים שונים של תורת המספרים: ניתוח האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואת פל, ובעיקר קירובים רציונליים למספרים ממשיים. לשברים משולבים יש חשיבות רבה גם באנליזה נומרית, לצורך קירוב של קבועים ופונקציות שונות, לרבות פונקציות לא אלמנטריות.
תוכן עניינים |
[עריכה] סימונים והכללות
לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא בסימון
. שבר כזה, שבו כל המונים שווים ל-1, קרוי לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה
. שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים כ-
.
[עריכה] הרכיבים הסופיים של שבר משולב
את השבר האינסופי
אפשר לחקור בעזרת המרכיבים הסופיים שלו,
, שהם מספרים רציונליים.
הבניה של שבר משולב מן הסדרות
ו-
היא תהליך אינסופי, שמלכתחילה לא מובן מאליו שהוא מתכנס למספר כלשהו. התכונה הבסיסית ביותר של שברים משולבים היא העובדה שהתהליך מתכנס כל אימת שהסדרות המגדירות אותו חיוביות.
נגדיר סדרות נסיגה על-פי תנאי ההתחלה
;
, ונוסחת הנסיגה
,
.
מתברר שתחת הגדרה זו, המנות
מתארות את השלבים הסופיים בפיתוח השבר המשולב, כלומר,
לכל k טבעי.
נוכיח ש- .
כאשר k=1,
|
את נוסחת הנסיגה אפשר לכתוב בעזרת מטריצות, באופן הבא:
. מהשוואת הדטרמיננטה בשני האגפים, נובע באינדוקציה ש-
. זוהי זהות חשובה ביותר, שאפשר להסיק ממנה תכונות רבות של הסדרות המעורבות. לדוגמא, בשבר משולב פשוט מתקיים
לכל k, ואם כך הזהות קובעת שהמספרים
ו-
זרים, כך שהשבר
שהם מציגים הוא שבר מצומצם.
כדי להוכיח את התכנסות התהליך, נחלק את הזהות במכפלה
, ונקבל
, כלומר
. מנוסחת הנסיגה, קל להיווכח כי הסדרה
היא סדרה יורדת של מספרים חיוביים, ומשפט לייבניץ מבטיח שהטור המתחלף המגדיר את
- מתכנס.
למעשה, חישוב בעזרת נוסחת הנסיגה מביא לנוסחה
, שממנה מתקבל היחס
. מכאן שסדרת הקירובים הזוגיים היא סדרה עולה, וסדרת הקירובים האיזוגיים היא סדרה יורדת. עוד אפשר להוכיח שאברי הסדרה הזוגית תמיד קטנים מאברי הסדרה היורדת.
[עריכה] הצגה של מספרים ממשיים
הדיון לעיל מראה שאם המספרים
טבעיים, אז הביטוי
הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (דהיינו, סדרת המספרים
מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי שאינו רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.
את ההצגה של x כשבר משולב אפשר לחשב על-ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא:
, ולכל
, מגדירים
ו-
. השבר המשולב
שווה במקרה זה ל- x.
משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ריבועית בעלת מקדמים שלמים.
לדוגמא, השבר המשולב
מייצג את יחס הזהב
. הפיתוח של
לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל
.
[עריכה] התנהגות כמעט תמיד
ידוע שהסדרה
"כמעט תמיד" אינה חסומה; ליתר דיוק, המידה של קבוצת הערכים
שעבורם הסדרה חסומה, שווה לאפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר י. חינצי'ן הוכיח בספרו[1] תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים
ו-
המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי. להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.
משפט[2]. תהי
סדרה כלשהי. אם הטור
מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון
עבור אינסוף ערכי n; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי n.
(לדוגמא, כמעט לכל x הסדרה
אינה חסומה).
משפט[3]. כמעט לכל x, מתקיים
. בפרט, הסדרה
גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).
חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים
(עבור x בעל התפלגות אחידה בקטע היחידה), והראה[4] שלכל פונקציה f שאינה גדלה מהר מדי (
עבור קבוע מתאים C ו- 0 < ε), הערך הממוצע
של המספרים
שווה, בהסתברות 1, ל-
. בפרט, שכיחות ההופעה של
היא
.
[עריכה] הערות שוליים
- ^ A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935
- ^ משפט 30 בספרו של חינצ'ין
- ^ חינצי'ן הוכיח את קיומו של הקבוע; התוצאה המדוייקת מופיעה ב- P.Levy, Theorie de l'addition des variables aleatoires, Paris 1937, p. 320
- ^ משפט 35 בספרו של חינצ'ין
[עריכה] ראו גם
- אלגוריתם אוקלידס המוכלל
- משוואת פל
- קירובים רציונליים


ב-
, נקבל את המנה החלקית
:



