המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (נקרא גם המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל, ומראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות (ולרוב פשוטות) יותר.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע שאינטגרל מסוים בין שתי נקודות שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות אלו. לכאורה שני מושגים אלה שונים זה מזה ובאים מעולמות שאין להם שום קשר אבל המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי (שנקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ) קובע את הקשר העמוק בין שתי התחומים.

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח פורמלי

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:

[עריכה] משפט

תהי f פונקציה אינטגרבילית בקטע \ [a,b] ויהא \ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt} אינטגרל בלתי מסוים שלה. אזי:

  1. הפונקציה F רציפה.
  2. בכל נקודה x0 בה f רציפה, F גזירה ומתקיים: \ F'(x_0) = f(x_0) .
  3. אם f רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, יתרה מזאת: הפונקציה F(x)=\int_a^x f(t)dt היא פונקציה קדומה שמקיימת \ F' = f בכל הקטע.

[עריכה] משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

תהי \!\, f פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה \!\, F בקטע \ [a,b]. אם נסמן \frac{d}{dx}F(x) = f(x) אזי

\!\, \int_a^b{ f(x) \ dx} = F(b) - F(a)

נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של \!\, f לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של \!\, f נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מצטמצם כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.

[עריכה] הוכחה

[עריכה] הפונקציה F רציפה

יהי 0 < \varepsilon ויהיו \ x,y\in [a,b], אזי:

\ | F(x) - F(y) | = \left| \int_{a}^{x}{f(t)dt} - \int_{a}^{y}{f(t)dt} \right|

מאדיטיביות האינטגרל נוכל לרשום ש

\ \int_{a}^{x}{f(t)dt} - \int_{a}^{y}{f(t)dt} = \int_{y}^{x}{f(t)dt}

ולכן

\ | F(x) - F(y) | = \left| \int_{y}^{x}{f(t)dt} \right| \le \int_{y}^{x}{|f(t)|dt} < M | x-y |

המעבר האחרון אפשרי כי f אינטגרבילית רימן ולכן חסומה בקטע. כעת, נבחר \ \delta < \frac{\varepsilon}{M}, ואז לכל \ x,y בקטע המקיימים \ |x-y|<\delta, מתקיים \ | F(x) - F(y) | < \epsilon, וסיימנו.

[עריכה] הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

תהא \ x_0 נקודת רציפות של \ f. אנו רוצים להראות כי \ F'(x_0)=f(x_0) כאשר \ F=\int_a^x f(t)dt.

בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי \ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0).

על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: \ \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\frac{1}{h}\left(\int_a^{x_0+h} f(t)dt-\int_a^{x_0} f(t)dt\right)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt.

כמו כן מתקיים \ f(x_0)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt, שכן \ f(x_0) היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע \ [x_0,x_0+h] הוא פשוט אורך הקטע כפול \ f(x_0).

לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: \ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|=\left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} \left( f(t)-f(x_0) \right)dt\right|\le\frac{1}{|h|}\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right||dt|.

נזכור כי \ f(x) רציפה בנקודה \ x_0, ולכן עבור \ \varepsilon>0 כלשהו קיים \ \delta>0 כך ש-\ |t-x_0|<\delta גורר \ |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon.

אם \ 0<|h|<\delta אז לכל \ t\isin [x_0,x_0+h] מתקיים \ |t-x_0|<\delta. לכן:

\ \frac{1}{|h|}\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right|dt\le\frac{1}{|h|}\int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon |dt|=\frac{1}{|h|}\varepsilon \cdot |h|=\varepsilon.

כלומר, הראינו כי לכל \ \varepsilon>0 ניתן למצוא \ \delta>0 כך שלכל \ |h|<\delta יתקיים \  \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|<\varepsilon, כלומר \ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0), כמבוקש.

מ.ש.ל.


[עריכה] קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

אם \ f רציפה בכל הקטע \ [a,b] אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה \ F(x)=\int_a^x f(t)dt מקיימת לכל נקודה שבה \ f רציפה (במקרה זה, כל הקטע) \ F'(x)=f(x). לכן \ F(x) היא פונקציה קדומה של \ f(x) בקטע.

על פי הגדרה: \ F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt-\int_a^a f(t)dt=\int_a^b f(t)dt.

כעת, כל שתי פונקציות קדומות של \ f(x) נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש-\ F(x),G(x) שתיהן פונקציות קדומות של \ f(x), אז \ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0, כלומר הפונקציה \ F(x)-G(x) היא קבוע, כלומר \ F(x)=G(x)+c.

על כן: \ G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a), וזאת לכל פונקציה קדומה \ G(x) של \ f(x).

בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית.

מ.ש.ל.


[עריכה] הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

תהי חלוקה \ P={x_{0},x_{1},...,x_{n}} של הקטע \ [a,b]. (כאשר \ x_{0}=a,x_{n}=b)

ראשית, נשים לב ש-

(1) \ F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})=F(x_{n})-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-...-F(x_{0})= \sum^n_{i=1}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]

(השיוויון מתקיים כיוון שכל איבר מבטל את זה שבא אחריו, פרט לאיבר הראשון והאחרון - מדובר בטור טלסקופי)


לכל \ 1\le i\le n, \ F גזירה בקטע \ [x_{i},x_{i-1}], לכן (לפי משפט לגראנז') קיים \ x'_{i}\isin [x_{i},x_{i-1}] כך ש-


\ F(x_{i})-F(x_{i-1})=(x_{i}-x_{i-1})F'(x'_{i})


כלומר (מאחר ש\ F קדומה של \ f בקטע) מתקיים -

(2) \ F(x_{i})-F(x_{i-1})=(x_{i}-x_{i-1})f(x'_{i})


לכל \ 1\le i\le n מתקיים -

\ m_{i} \le f(x'_{i})\le M_{i}

(כיוון שכל פונקציה אינטגרבילית, חסומה. לפי הגדרת אינטגרל רימן/דארבו)


לכן, אם נכפול את האי-שיוויון המתקיים לכל \ 1\le i\le n ב\ \Delta x_{i} (החיובי) נקבל -

(3) \ \Delta x_{i}m_{i} \le \Delta x_{i}f(x'_{i})\le \Delta x_{i}M_{i}


ומכך נוכל עתה לסכום את האי-שיוויונות לפי 2,3 לכל \ 1\le i\le n ולקבל -

\ s(P)=\sum^n_{i=1}\Delta x_{i}m_{i} \le \sum^n_{i=1}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\le \sum^n_{i=1}\Delta x_{i}M_{i}=S(P)

אבל הביטוי שבמרכז אי-השיוויון מוכר לנו. נציב אם כן את 1 באי-שיוויון -

\ s(P)=\sum^n_{i=1}\Delta x_{i}m_{i} \le F(b)-F(a)\le \sum^n_{i=1}\Delta x_{i}M_{i}=S(P)


השיוויון האחרון מתקיים לכל חלוקה \ P של הקטע, ולכן \ sup(T)\le F(b)-F(a)\le inf(E) (כאשר \ T קבוצת הסכומים התחתונים ו\ E קבוצת הסכומים העליונים של \ f בקטע) וכיוון שהפונקציה אינטגרבילית, מתקיים \ sup(T)=inf(E)=\int_a^b{f(x)dx}, לכן -

\int_a^b{f(x)dx}\le F(b)-F(a)\le \int_a^b{f(x)dx}

כלומר -

\int_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)

כרצוי.

מ.ש.ל.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה