לכסון מטריצות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, לכסון של מטריצה ריבועית A הוא מציאת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P, כך שמתקיים הקשר \ D = P^{-1} A P; מטריצה D כזאת נקראית דומה ל-A, ו-P נקראת המטריצה המלכסנת. לא כל מטריצה ניתנת ללכסון.

שתי ההגדרות הן שקולות, כיוון שכל טרנספורמציה לינארית ניתנת לייצוג באמצעות מטריצה.

אם המטריצה A ניתנת ללכסון, המטריצה המלכסנת היא המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים של A, ואיברי האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית הם הערכים העצמיים של A, כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו.

המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאוד ואין קושי במציאתם, וקל מאוד להעלות אותה בחזקה - די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה. דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות. למשל, תהי A המטריצה הלכסינה, D המטריצה האלכסונית הדומה לה ו-P המטריצה המלכסנת: \ D = P^{-1} A P, שזה אותו הדבר כמו A = PDP − 1. נעלה את A בחזקה:

An = (PDP − 1)n = (PDP − 1)(PDP − 1)...(PDP − 1) = PD(P − 1P)D(P − 1P)D...(P − 1P)DP − 1 = PDnP − 1.

כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה n אין צורך לבצע כפל מטריצות n-1 פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית.

ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה. הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל.


נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור