משפט קושי (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, אחד המאפיינים של חבורות סופיות הוא העובדה המפתיעה שאפשר להסיק רבות על המבנה של חבורה מתוך הסדר שלה. אחת הדוגמאות המוקדמות לתופעה הזו היא משפט קושי (שגילה אוגוסטין קושי ב- 1845): אם \, G חבורה סופית, \ p מספר ראשוני שמחלק את סדר החבורה (כלומר \, |G|/p מספר שלם), אז קיים ב-\ G איבר מסדר \ p.

תוצאה כללית יותר, העוסקת בקיום של תת-חבורות מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני, מנוסחת במשפטי סילו.

[עריכה] שימושים

למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים באלגברה, בפרט בתורת גלואה. לדוגמה, אם \ f(x) הוא פולינום אי-פריק ממעלה \ p מעל שדה F, אז שדה ההרחבה \ F[x]/(f(x)) הוא ממימד \ p, ולכן גם הממד של שדה הפיצול K של \ f, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב- \ p. אבל לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, הסדר של חבורת גלואה שווה לממד של K מעל F, ולכן - לפי משפט קושי - היא כוללת איבר מסדר \ p.


[עריכה] הוכחה

תהי G חבורה מסדר המתחלק בראשוני p. צריך להוכיח שיש ב- G איבר מסדר p. ראשית צריך להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל באינדוקציה על הסדר: אם \ 1\neq x הוא איבר מסדר המתחלק ב-p, אז יש לו חזקה מסדר p. אחרת, אפשר לעבור לחבורת מנה ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על-ידי x.

כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם \ |G|=p אז כל איבר לא-טריוויאלי הוא מסדר p (לפי משפט לגראנז'). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-\ |G|.

  • מקרה א. קיים איבר \ x\in G, \ x\not\in Z(G) עבורו \ p/|Z_x| (לא להתבלבל: \ Z_x הוא המְרָכַז של \ x המוגדר: \ Z_x:=\{g\in G | gx=xg\} ואילו \ Z(G) הוא מֵרְכָז החבורה \ Z(G) : = \{ z\in G | zg = gz \forall g\in G\}). \ Z_x\ne G כי \ x\not\in Z(G) ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-\ Z_x לכן \ |Z_x|<|G|, הנחנו \ p||Z_x|, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר \ p ב-\ Z_x, אבל זו תת-חבורה של G.
  • מקרה ב. לכל איבר \ x\in G \ x\not\in Z(G), \ p לא מחלק את \ |Z_x|. לפי משפט לגראנז' \ |G|=|Z_x|*[G:Z_x] ומשני הנתונים נובע ש-\ p|[G:Z_x]. ידוע ש-\ [G:Z_x]=|conj(x)| (\ conj(X) היא מחלקת הצמידות של x ב- G). לפי משוואת המחלקות \ |G|=|Z(G)|+ \sum_{i=1}^k |conj(x_i)| כש-\ x_1,...,x_k נציגי מחלקות הצמידות שסדרן גדול מ-\ 1, כמובן ש-\ x_1,...,x_k אינם איברים ב-\ Z(G) כי סדר איבר במרכז הוא \ 1. הנחנו \ p||G|, הראנו \ p|\sum_{i=1}^k|conj(x_i)| לפי משוואת המחלקות \ p||Z(G)|. \ Z(G) חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר \ p וסיימנו.