משלים (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

דיאגרמת ון של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.
הגדל
דיאגרמת ון של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא \!\, U קבוצה, ותהא \!\, G\subseteq U קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של \!\, G ב\!\, U יוגדר כך: \!\, G^C=U-G. סימון מקובל נוסף למשלים הוא \!\, G'.

[עריכה] דוגמה

תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים השלמים והחיוביים.
תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הזוגיים החיוביים (2,4,6...)
הקבוצה B תהיה המשלים של A ביחס לN אם היא תכיל רק מספרים המוכלים בN אך לא בA, כלומר את המספרים החיוביים האי זוגיים (1,3,5...)

ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.

[עריכה] תכונות בסיסיות

\!\, A''=A, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הינו הקבוצה עצמה.

\!\, A \cap A'=\emptyset, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

\!\, A \cup A'=U, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

\!\, U'=\emptyset, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

\!\, \emptyset'=U, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הינו הקבוצה האוניברסלית.

[עריכה] כללי דה מורגן

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

(A\cap B)'=A'\cup B'
(A\cup B)'=A'\cap B'
נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה