משפט האן-בנך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לפשט ערך זה
זהו ערך טוב, אך הוא מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל \ f_0 מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד באופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

תוכן עניינים

[עריכה] המשפט

יהי \,L מרחב בנך מעל השדה \,F (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב \ L_0 \sub L, ופונקציה תת-לינארית \ \rho : L \rightarrow {\mathbb R}.
אזי כל פונקציונל לינארי \ f_0 : L_0 \rightarrow F החסום על-ידי \ \rho (כלומר: \ |f_0(x)|\leq \rho(x) לכל \ x\in L_0) אפשר להרחיב לפונקציונל \ f : L \rightarrow F שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1. \ \forall x \in L_0 \ : \ f(x) = f_0(x) (כלומר: \ f הוא אכן הרחבה של \ f_0).
  2. \ \forall x \in L \ : \ |f(x)| \le \rho(x) (כלומר: \ f חסום גם כן על-ידי \,\rho).

[עריכה] הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של \,f_0 החסומות על ידי \,\rho לתת-מרחב כלשהו \ L_0 \subset L_\alpha \subset L עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-\,E). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-\,E שמהווה הרחבה של \,f_0 המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל \,L.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-\,E מוגדרת על תת-מרחב \ L' \subset L, כאשר \ L' \ne L. אזי קיים \ y \in L - L' ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על-ידי \ \rho, המוגדרת על-ידי:

\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup  \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'

כאשר \ z = x + \lambda y פירוק יחיד של \,z כאשר \ x \in L' ו-\,f' הוא ההרחבה המקסימלית על \,L' (והם איברי המשפחה \,E). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך \ f'(y) = y' כך שלכל \,z בתחום ההגדרה יתקיים \ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z). באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-לינארית אפשר להראות שקיים \,y' כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-\,f' מ-\,L' לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-\,E.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של \,E, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-\,E, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של \,E מוגדר היטב על כל \,L ומהווה הרחבה של \,f_0 המקיימת את הנדרש.

[עריכה] מסקנות ושימושים

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם L הוא מרחב בנך ו M הוא תת-מרחב שלו, ואם f0 : M → R הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על M, אזי קיימת לו הרחבה f : L → R רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: \| f_0 \|_{L_0^{*}} = \| f \|_{L^{*}} . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: \ f_0(x) \le \| f_0 \|_{*} \cdot \| x \|, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-לינארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
\ \forall x_0 \ne 0 \ : \ \exist f_0 \ne 0 \ \mbox{bounded functional} \ , \ \mbox{such that} \ : \ \ f_0(x_0) = \| f_0 \| \cdot \| x_0 \| \ne 0.
בפרט, אם נגדיר \ x_0 = x_1 - x_2 עבור \ x_1 \ne x_2 אזי נקבל שקיים פונקציונל \ f_0 \ne 0 כך ש \ f_0(x_1) \ne f_0(x_2). כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי L מרחב בנך ויהי M הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי \ z \notin \overline{M} נקודה שאיננה בסגור של M, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) f : M → R כך ש:
  1. \ \forall x \in M \ : \ f(x)=0 ,
  2. \ f(z)=1
  3. ומתקיים ש \ \| f \| = (\| z \| )^{-1}

[עריכה] ראו גם