משפט דה-מואבר
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים:
נוסחה זו מקשרת בין המספרים המרוכבים לבין פונקציות טריגונומטריות. הביטוי "cos x + i sin x" נכתב לפעמים בתור "cis x".
אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שגולתה מאוחר יותר).
[עריכה] שימושים
ניתן להשתמש בנוסחה זו כדי לחשב את השורשים ה-n-ים של מספר מרוכב. אם z הוא מספר מרוכב נוכל לכתוב אותו בצורה הבאה:
כאשר 
ולכן:
כאשר k נע בין 0 ל- n-1.
[עריכה] הוכחה
נסתכל על שלושה מקרים.
עבור n > 0, נשתמש באינדוקציה. כאשר n = 1 השוויון ברור וזה יהיה בסיס האינדוקציה. כעט נניח שהשוויון התקיים עבור מספר שלם וחיובי k, כלומר:
כעט נבדוק לגבי n = k + 1:


(לפי הנחת האינדוקציה)
באמצעות שימוש בזהויות טריגונומטריות
וקיבלנו שהמשפט מתקיים לכל n שלם וחיובי.
כאשר n = 0 השוויון המתקיים מכיוון ש:
, ומצד שני
.
עבור n < 0, נגדיר מספר שלם וחיובי m כך ש- n = −m. לכן:
לפי מה שהוכחנו באינדוקציה
בעזרת הכפלה בצמוד,
ולכן המשפט נכון לכל n שלם.





