אקסיומות המנייה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
אקסיומות המנייה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מנייה. מרחבים אשר מקיימים תכונות אלה הם מרחבים אשר מספר הקבוצות הפתוחות בהם הוא 'קטן' במובן מסוים, , ולכן מרחבים אלה קלים יותר לטיפול.
אקסיומת המנייה הראשונה קובעת שלכל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס סביבות בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי.
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה והינו מרחב T3 הוא מרחב מטריזבילי (כלומר, מרחב זה הומיאומורפי למרחב מטרי) לפי משפט אוריסון.
תוכן עניינים |
[עריכה] בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
[עריכה] אקסיומות המנייה
[עריכה] האקסיומה הראשונה
נאמר כי למרחב טופולוגי
קיים בסיס בן מנייה בנקודה
אם קיים אוסף בן מנייה
של סביבות של
כך שכל סביבה של
מכילה לפחות סביבה אחת מ-
.
נאמר כי מרחב טופולוגי
מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה ב-
קיים בסיס בן מנייה. תכונה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס
סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), והיא נועדה ללכוד את ההתנהגות המקומית של מרחב מטרי.
[עריכה] האקסיומה השנייה
נאמר כי מרחב טופולוגי
מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם ל-
יש בסיס בן מנייה לטופולוגיה.
כמובן שכל מרחב
הוא בפרט
(כדי לקבל בסיס מקומי סביב
, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את
). מרחב מטרי חסום כליל הוא
.
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
- מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מנייה.
כל מרחב
הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון.
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלוף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים קומפקטיות סדרתית.
מרחב
הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.
כל מרחב
מקיים את תכונת לינדלוף. במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת
.
המשפט המרכזי על מרחבי
הוא משפט אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי.
[עריכה] מרחב לינדלוף
מרחב טופולוגי בו לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי בן מנייה נקרא מרחב לינדלוף.
[עריכה] לקריאה נוספת
- דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 6 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |

