חבורה חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה \ X אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו, כל איבר הוא מלה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים \ x, x^{-1} עבור \ x\in X, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה \ xx^{-1} או \ x^{-1}x. הכפל בחבורה מוגדר על-ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- \ <X>. ראו גם מונואיד חופשי.


בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על-ידי מלה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעית המלה ובעית הצמידות.

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות \ <X> ו- \ <Y> איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על-ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- \ \mathbb{F}_n. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית \ F מסמנים ב- \ rank(F). כך למשל \ rank(\mathbb{F}_n)=n.

המשפט הראשון בתחום שנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט שרייר (Schreier), הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה תמיד גדולה מזו של החבורה. אם \ H \leq F הן חבורות חופשיות, אז היחס \ \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1} שווה לאינדקס של H ב- F.

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה \ G ופונקציה \ f:X\rightarrow G קיים הומומורפיזם יחיד \ \psi :F \rightarrow G המקיים \psi\circ\phi=f, כאשר \ \phi: X \rightarrow F הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על-ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם \ <X>\rightarrow G, ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם \ G \cong F/N כאשר \ F=<X> חופשית, אז \ N=<R> חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G. המנה \ <X>/<R> מסומנת ב- \ <X|R> ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).