המילטוניאן
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ההמילטוניאן הוא גודל פיזיקלי חשוב מאוד במכניקה אנליטית ובפיזיקה המודרנית - כולל במכניקה, באלקטרומגנטיות ובמכניקת הקוונטים. ההמילטוניאן הוא גודל המהווה אפיון שלם של מערכת פיזיקלית: באמצעות ההמילטוניאן וחוקי הפיזיקה אפשר לגזור את משוואות התנועה של המערכת הפיזיקלית המתוארת על ידי ההמילטוניאן.
תוכן עניינים |
[עריכה] מבוא אינטואיטיבי
ברוב המקרים, ההמילטוניאן (מסומן ב-H) הוא בעצם האנרגיה של מערכת פיזיקלית, אך זו אנרגיה שלא מוצגת כמספר אלא כפונקציה מתמטית של דרגות החופש של המערכת. כלומר: ההמילטוניאן הוא ביטוי המתאר כיצד האנרגיה של גוף תלויה במהירויות שלו (אנרגיה קינטית) ובמקום שלו (השפעה של כוחות חיצוניים או אנרגיה פוטנציאלית). באמצעות ההמילטוניאן אפשר לאפיין מערכת בשלמות ואף לחשב כיצד היא תתקדם בזמן ומה יהיה מצבה בכל רגע ורגע.
לדוגמה: נניח גוף הנע תחת השפעת כוח מחזיר
של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי. אזי האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף היא
ואילו האנרגיה הקינטית שלו היא
כאשר p = mv הוא התנע של החלקיק. ההמילטוניאן יהיה אז
. נשים לב שההמילטוניאן הוא פונקציה (ליתר דיוק, פונקציונל) של המקום (קואורדינטה קנונית) ושל התנע (תנע קנוני). באמצעות משוואות המילטון אפשר למצוא את הפונקציות
שיתארו את תנועתו האמיתית של הגוף - כלומר: מהו מיקומו ומהירותו (התנע שלו) בכל רגע.
[עריכה] הגדרה קלאסית
[עריכה] ההגדרה הקנונית
ההמילטוניאן הוא בעצם טרנספורם לז'נדר של הלגרנז'יאן ונתון באופן הבא:
כאשר הלגראנז'יאן לרוב מוגדר כך:
אם האנרגיה הקינטית היא תבנית בילינארית של המהירויות אזי ההמילטוניאן מתאר את האנרגיה של המערכת. במקרים שבהם האנרגיה הקינטית היא פשוט
ההמילטוניאן נראה כך:
כאשר p הוא תנע קנוני של x ונתון על ידי
ו V הוא האנרגיה הפוטנציאלית או בקיצור "הפוטנציאל".
[עריכה] משוואות המילטון
כדי לגזור מ H את משוואות התנועה יש לפתור את משוואות המילטון:
-
-
-
-
ו
, וכמו כן מתקיים 
-
-
-
שמהם מקבלים את משוואות התנועה. צמד משוואות אלה שקול למשוואת אוילר-לגראנז'.
את משוואות המילטון ניתן להסיק באמצעות עקרון הפעולה המינימלית של המילטון כאשר מבוצע על הפונקציונל שנקרא פעולה:
הערה: ההכללה למספר כלשהו של משתנים (זוגות של
) היא מיידית.
[עריכה] לקריאה נוספת
ראו גם:
ידע מתמטי:
האנשים שפיתחו את הלגראנז'יאן וההמילטוניאן:
[עריכה] המילטוניאן במכניקת הקוונטים
במכניקת הקוונטים ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי (ולכן מהווה גודל פיזיקלי מדיד) שמייצג את האנרגיה של המערכת. להמילטוניאן יש תפקיד חשוב מאוד במכניקת הקוונטים מלבד היותו אופרטור שמודד אנרגיה. ההמילטוניאן הוא זה שקובע את התפתחות המצב הקוונטי של המערכת בזמן באמצעות משוואת שרדינגר:
הפתרון הכללי של משוואה זו הוא
ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.
בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ
ולכן משוואת שרדינגר נהיית:
זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.
ראה עוד:








