פונקציית דיריכלה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציית דיריכלה (על שמו של המתמטיקאי הגרמני דיריכלה) היא פונקציה ממשית שמקבלת את הערך 1 בכל מספר רציונלי ואת הערך 0 בכל מספר אי רציונלי. כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונלים על הישר:

פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
- פונקציה זו אינה רציפה באף נקודה על הישר - כל נקודה של הפונקציה היא נקודת אי רציפות מן הסוג השני, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו או גזירה בו.
- אין קטע שהיא מונוטונית בו.
- אין קטע שהיא אינטגרבילית רימן בו (אך היא אינטגרבילית עבור אינטגרל לבג).
בשל תכונות אלו שלה משמשת הפונקציה לעתים קרובות בתור דוגמה נגדית, כדי להראות שתכונה כלשהי, שמתקיימת לפונקציות ממשיות רבות, אינה מתקיימת בכולן.
[עריכה] ראו גם
- פונקציית רימן ("פונקציית הסרגל")
- פונקציית ויירשטראס

