מודל אייזינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית


מודל אייזינג, קרוי שם על הפיזיקאי הגרמני ארנסט אייזינג (1900-1998) , הינו מודל מתמטי במסגרת מכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים . מודל זה הוא הראשון (והפשוט ביותר) במשפחה רחבה של מודלים מבוססי ספין, אשר באים לתאר את התנהגותם של חומרים פרומגנטיים בטמפרטורות ושדות מגנטיים שונים.

תוכן עניינים

[עריכה] תיאור המודל

[עריכה] הנחות יסוד

המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי מומנט מגנטי, או 'ספין' S, אשר ערכו הוא בינארי (לרוב מיוצג בתור 1 + ו 1-), כאשר ביצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה" . הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטרקאציה ביניהם.

תנאי השפה בבעיה לרוב נלקחים כמחזוריים, כדי להתקרב לגבול התרמודינמי של מערכת אינסופית.

[עריכה] האינטראקציה

המילטוניאן האינטראקציה במודל אייזינג , ללא שדה מגנטי חיצוני, מתואר על ידי:

H =-g* \sum_{i=1}^N \left( {S_i}*{S_j} \right).

כאשר g הוא קבוע בעל יחידות אנרגיה הנקרא "אנרגיית הקשר". הסכימה היא על כל השכנים j הסמוכים לספין i .

מהתבוננות בהמילטוניאן, רואים שערך אנרגיית הקשר בין שני ספינים סמוכים הוא בינארי- אם שני הספינים מצביעים באותו כיוון אנרגיית הקשר היא g - ואם הם מצביעים בכיוונים מנוגדים אנרגיית הקשר g + .

מכאן, בהכרח קיים מספר סופי של מצבי אנרגיה עבור ספין מסוים ושכניו הקרובים. לדוגמה, עבור ספין בסריג דו-ממדי ריבועי (בו ישנם ארבע שכנים קרובים), יתכנו רק 5 ערכי אנרגיה לאניטראקציה בין הספין ושכניו. לעובדה זו חשיבות מכרעת לפתרון המודל. בתוספת שדה מגנטי חיצוני, מתווסף לאנרגיה איבר אינטראקציה של מומנט מגנטי עם שדה חיצוני.

למערכת (דו ממדית ומעלה) בעלת אינטראקציה כזו יהיה מעבר פאזה יחיד מסדר שני, מפאזה לא-סדורה לפאזה סדורה, בטמפרטורה קריטית מסוימת. מעבר שכזה לווה בהתבדרות של החום הסגולי (או מקסימום חד, במערכת סופית).

[עריכה] פתרון המודל

מודל אייסינג הדו ממדי נפתר באופן אנליטי בסביבות הנקודה הקריטית של מעבר פאזה על ידי לארס אונסגר בשנת 1944. המודל התלת ממדי לא נפתר אנליטית , אולם קיים מגוון רחב של שיטות לפתרונו באופן נומרי, ולעיבוד התוצאות עבור גבישים בגודל סופי לקבלת תוצאות בגבול התרמודינמי.

פתרון נומרי של משוואות התנועה אינו ישים, בשל הדרישה (ממשוואות המילטון) לפתרון שני משוואות דיפרנציאליות חלקיות לכל נקודת סריג, כלומר סך הכול מאות או אלפי משוואות דיפרנציאליות מצומדות. בהתאם, מרבית השיטות הנומריות משתמשות בסימולציה סטטיסטית (שיטת מונטה-קרלו המחולקת לצעדי זמן, שבה לכל ספין בצעד זמן נתון ישנו סיכוי לשנות את מצבו, כאשר ההסתברות לעבור למצב כלשהו (מבין שני המצבים האפשריים) נקבעת לפי האנרגיה שתהיה לספין ולשכניו במצב זה.

מאחר ומספר החלקיקים במערכת כזו קבוע, התפלגות בולצמן מתארת בצורה טובה את הסתברות המעבר למצב חדש עם אנרגיה נתונה. מאחר ומספר מצבי האנרגיה האפשריים הוא סופי, ניתן לבנות בהתאם להתפלגות טבלה של הסתברויות מעבר כתלות במצב השכנים של ספין מסוים. באופן זה, לכל ספין נדרשת הגרלה של מספר אקראי יחיד, כך שהסימולציה אינה יקרה בזמן מעבד. ניתן לחסוך זמן נוסף על ידי היפוך של קבוצות ספינים שאין ביניהם אינטראקציה באופן סימולטני.

באופן זה ניתן לפתור ולקבל את הגדלים התרמודינמיים המקרוסקופיים של מערכת סופית כזו, כגון אנרגיה חופשית, קיבול חום סגולי ומגנטיזציה, כתלות בטמפרטורה ובשדה המגנטי החיצוני. מגדלים אלו ניתן למצוא את טמפרורת מעבר הפאזה והאקספונננטים הקריטיים השונים בסביבות מעבר הפאזה (עבור דו ממד ומעלה).

גדלים אלו שונים מהותית מהגדלים עבור סריג אינסופי, אולם ניתן למצוא את הגדלים בגבול האינסופי על ידי ביצוע סימולציות רבות בגדלי סריג משתנים, וידיעה של התנהגות גדלים אלו כתלות בגודל הסריג (תהליך זה נקראfinite size scaling ).

[עריכה] מודלים דומים

מודל אייסינג הוא מודל פשטני ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים ומורכבים יותר, אשר בהם לספינים רמות חופש נוספות, החל ממספר מצבים גדול יותר מ-2 (מודל פוץ) וכלה בחופש מרחבי מוחלט (מודל הייזנברג).

[עריכה] שימושים מחוץ לפיזיקה

בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל אייזינג הוא שיטה נוחה לפתרון בעיות אופטימיזציה. הפרמטרים השונים של הבעיה ממודלים לספינים על גביש, כאשר עוצמת הקשר ביניהם וקרבתם נקבעים לפי תנאי הבעיה, ופונקציית המחיר היא השקול לאנרגיה. למערכת כזו נותנים להתייצב במינימום האנרגיה, וכך מקבלים פתרון אופטימלי. שיטה זו ידועה בשם .simulated annealing

שפות אחרות