# אורתוגונליות

### מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, אורתוגונליות היא הכללה של תכונת הניצבות המוכרת מגאומטריה. בגאומטריה, שני ישרים במישור האוקלידי ניצבים זה לזה אם הזווית הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות). מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ההכללות של המישור האוקלידי - המרחבים הווקטוריים שאבריהם אינם בהכרח ישרים אלא וקטורים, שהם מושג כללי יותר.

על מנת להכליל את מושג הניצבות יש ראשית להכליל את מושג הזווית בין שני וקטורים. לשם כך משתמשים בפונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה גודל שניתן לחשוב עליו כעל מכפלת אורכי הווקטורים זה בזה ובקוסינוס הזווית ביניהם. פונקציה זו נקראת "מכפלה פנימית". ישנן מכפלות פנימיות רבות שניתן להגדיר על מרחב וקטורי, ולכן גם מושגי האורך והזווית של וקטורים יכולים לקבל משמעויות רבות, אבל יש כמה תכונות בסיסיות שאנו מצפים שיתקיימו תמיד, ואלו התכונות שמאפיינות את המכפלה הפנימית. מכיוון שקוסינוס של זווית בין שני ישרים ניצבים שווה ל-0 מתבקש להגדיר שני וקטורים כאורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם שווה ל-0.

לווקטורים אורתוגונליים חשיבות רבה כאשר חוקרים מרחבים וקטוריים. לבסיס של מרחב וקטורי יש מספר תכונות נוחות כאשר כל אבריו אורתוגונליים זה לזה ובעלי אורך 1. יתר על כן, מתברר שבהינתן בסיס כלשהו למרחב וקטורי ניתן לקבל ממנו בסיס חדש שכל אבריו אורתוגונליים זה לזה, כך שתמיד ניתן למצוא בסיס נוח שכזה.

## [עריכה] אורתוגונליות בין וקטורים

לכאורה, אורתוגונליות וניצבות הן מילים נרדפות. מיוונית, אורתו - ישר, גוניה - זווית. אבל ניצבות היא רק מקרה פרטי של אורתוגונליות במרחב האוקלידי התלת-ממדי - שני ישרים החותכים זה את זה בזווית ישרה הם אורתוגונליים זה לזה.

באופן כללי, שני וקטורים u,v במרחב מכפלה פנימית הם אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם מכפלתם הפנימית שווה ל-0 ומסמנים .

(בפרט, שני ישרים אורתוגונליים זה לזה אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0, כלומר אם הם מאונכים זה לזה)

### [עריכה] מסקנות הנובעות מתכונות המכפלה הפנימית

- אם , אז .
- אם , אזי לכל סקלר λ גם (ולהפך).
- אם וגם , אזי .
- אם וקטור אורתוגונלי לקבוצה של וקטורים אזי הוא גם אורתוגונלי לכל צירוף לינארי שלהם. זוהי מסקנה ישירה משתי התכונות הקודמות.

### [עריכה] וקטור אורתוגונלי למרחב

יהי U, תת-מרחב של V, ויהי .

v יקרא אורתוגונלי לU, ויסומן , אםם v אורתוגונלי לכל אחד מאיברי U.

על כן, (לפי המסקנות לעיל) אםם v אורתוגונלי לקבוצה הפורשת את U, לבסיס של U בפרט.

## [עריכה] אורתונורמליות

אנו אומרים שקבוצת וקטורים היא אורתוגונלית אם כל זוג וקטורים מהקבוצה אורתוגונליים זה לזה.

אנו אומרים שקבוצת וקטורים היא אורתונורמלית אם בנוסף לדרישה הקודמת כל וקטור בקבוצה הוא מנורמל, כלומר: הנורמה שלו שווה ל-1. את התנאי לאורתונורמליות אפשר להציג באופן אלגנטי באמצעות הדלתא של קרונקר:

קבוצה היא אורתונורמלית אם ורק אם .

דוגמה: הבסיס הסטנדרטי הוא בסיס אורתונורמלי.

בהינתן בסיס כלשהו של מרחב מכפלה פנימית (סופי או בן מנייה), ניתן להפיק ממנו בסיס אורתונורמלי באמצעות תהליך גרם-שמידט.

## [עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה |  |
ערך מילוני בוויקימילון: אורתוגונלי

נושאים באלגברה לינארית
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%95/%D7%A8/%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%95%D7%AA.html

קטגוריה: אלגברה

##### Views

- ערך
- שיחה
- גרסה נוכחית

##### קהילה

- שער הקהילה
- עזרה
- דלפק ייעוץ
- מזנון
- יצירת קשר
- ספר אורחים

##### חיפוש

##### שפות אחרות

- English
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- Español
- Français
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Русский
- Svenska
- 中文