גיאורג קנטור
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור (3 במרץ 1845 - 6 בינואר 1918). מתמטיקאי גרמני, בן למשפחה יהודית מתבוללת ממוצא רוסי-דני. אבי תורת הקבוצות המודרנית.
גאורג קנטור נולד בסנקט פטרבורג בירת האימפריה הרוסית. אביו, גאורג ואלדמר קנטור, סוחר מצליח, היה דני ממוצא יהודי שהמיר דתו לפרוטסטנטיות, ואמו, מריה אנה בוהם, הייתה מוסיקאית רוסיה, בת למשפחה יהודית מומרת לקתוליות. כשהיה בן 3 עברה משפחתו לקופנהגן. עקב בעיות בריאות של אביו, עברה המשפחה ב- 1856 לגרמניה, בהתחלה לוויסבאדן שעל גדות הריין, ומאוחר יותר לפרנקפורט.
ב-1860 סיים בהצטיינות את בית הספר, ואף על פי שאביו העדיף שילמד הנדסה, החל ללמוד מתמטיקה - תחילה בציריך, ומאוחר יותר באוניברסיטה של ברלין, שם למד, בין השאר, תחת קארל ויירשטראס ולאופולד קרונקר. השלים דוקטורט בתורת המספרים ב-1867. ב-1869 הצטרף לסגל אוניברסיטת האלה (Halle) בגרמניה שם עבד עד שנת 1913.
ב-9 באוגוסט 1874 נישא לואלי גוטמן, ידידה של אחותו, ולזוג נולדו שישה ילדים.
עבודותיו המתמטיות של קנטור על האינסוף, המוערכות מאוד בימינו, עוררו חשדנות, ואף עוינות, בקרב מתמטיקאים רבים בני זמנו, ובראשם לאופולד קרונקר. בשל כך, הוא נאלץ להסתפק כל חייו במשרה אקדמית באוניברסיטה מהדרג השלישי (אוניברסיטת האלה). רק בערוב ימיו הוכרה תרומתו האדירה למתמטיקה, עליה אמר המתמטיקאי דויד הילברט: "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר".
ב-1884 חווה התקף דיכאון, התקף מתועד ראשון בסדרה של התקפי דיכאון שימשיכו לייסרו במשך שארית חייו. בין התקף אחד למשנהו המשיך לפתח תאוריות מתמטיות מזהירות. עם זאת, הדכאונות פגעו בעבודתו המתמטית. ב-1894 פרסם מאמר מוזר למדי, בו וידא את נכונותה של השערת גולדבך עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-1,000. היות שכארבעים שנה קודם לכן ההשערה כבר נבדקה עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-10,000, עבודה זו מעידה כפי הנראה על מצבו הנפשי של קנטור באותה התקופה.
הפרדוקס של ראסל, שפורסם בשנת 1901, גרם למשבר בתורת הקבוצות, ולהתמוטטות עצבים של קנטור. בשנים שלאחר מכן התדרדרה בריאותו הנפשית, והוא אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. עבודתו המתמטית כמעט ונעצרה, והוא עסק בעיקר בפילוסופיה, תאולוגיה וספרות (בין השאר, ניסה להוכיח כי מחזותיו של וויליאם שייקספיר נכתבו למעשה על ידי פרנסיס בייקון (ראה בהרחבה גם במחזותיו של שייקספיר). הוא פרש ממשרתו ב-1913, ונפטר מהתקף לב בעת שהיה מאושפז בבית חולים בהאלה בשנת 1918.
[עריכה] עבודתו המתמטית
בתחילה, התמקד מחקרו של קנטור בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 פרסם מאמר בו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות מתכנסות של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות "חתכי דדקינד" פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה, ובמאמר המתאר אותה מוזכר מאמרו של קנטור.
ב-1873 הוכיח קנטור כי הן המספרים הרציונליים והן המספרים האלגבריים הם בני-מניה, דהיינו, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל ביניהם לבין המספרים הטבעיים. בדצמבר 1873 הוכיח, בשיטה הקרויה "האלכסון של קנטור", שהמספרים הממשיים אינם בני-מניה, ופרסם את תגליתו ב-1874. משתי הוכחות אלה נובע כי "כמעט" כל המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, שעצם קיומם הוכח רק כעשרים שנה קודם לכן. כמו כן הוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר גדול מאשר מספרם של המספרים הטבעיים, שהוא המספר האינסופי הקטן ביותר.
הוכחה זו של קנטור, לפיה יש גדלים שונים של אינסוף וכי קבוצות שמספר איבריהן אינסופי יכולות להיות שונות זו מזו במספר איבריהן, הייתה תחילתה של פעילות ענפה בתחום זה. עבור המתמטיקאים בני זמנו היה האינסוף דבר מה מעורפל, שהבנתו בלתי ניתנת להשגה. כתב העת שאליו שלח את מאמרו סירב לפרסמו וקנטור נתקל בהתנגדות עזה מצד הקהילה המדעית. לבסוף, ראו אור כל רעיונותיו בדבר האינסוף, אולם אלה נותרו שנויים במחלוקת עוד שנים אחדות, בטענה שנושא זה חורג מן המתמטיקה אל המטאפיזיקה.
ב-1877 הוכיח את התוצאה נוגדת-האינטואיציה כי קיימת התאמה חד-חד ערכית בין קבוצת המספרים שבקטע [0,1] לבין המרחב ה-n ממדי. על כך הוא אמר: "אני רואה זאת, אך איני מאמין!".
ב-1895 וב-1897 פרסם את שני מאמריו החשובים האחרונים. אך על פי שחלפו רק שישה חדשים בין זמני כתיבתם של מאמרים אלה, קנטור עיכב את פרסום המאמר השני משום שקיווה לכלול בו הוכחה של השערת הרצף עליה עבד, ללא הצלחה, במשך שנים רבות. הוא לא מצא הוכחה זו (כיום ידוע כי השערת הרצף היא בלתי כריעה במערכת שבה עבד קנטור, ולכן לא קיימת לה הוכחה במסגרתה), אך המאמר השני תיאר את תורתו בדבר קבוצות סדורות היטב ומספרים סודרים. בשנת 1897 פרסם את ספרו החשוב ביותר אודות קבוצות המספרים האינסופיים. הוא פיתח חשבון של מספרים אינסופיים בדומה לחשבון הקיים בקבוצות של מספרים סופיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן באות העברית
(קרי: אלף אפס), ואת עוצמת הרצף סימן באות
(זה הסימון המקובל בקרב המתמטיקאים עד היום).
[עריכה] קישורים חיצוניים
- ביוגרפיה של גיאורג קנטור באתר MacTutor


