מרחב נורמלי לחלוטין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, מרחב נורמלי לחלוטין ומרחב \ T_5 הם סוגים של מרחבים טופולוגיים המקיים תכונות הפרדה חזקות במיוחד.

[עריכה] הגדרות

קבוצות A ו- B במרחב טופולוגי הן קבוצות מופרדות, אם כל אחת מהן זרה לסגור של הקבוצה השניה. במקרה כזה, לכל נקודה ב- A יש סביבה זרה ל- B, ולהיפך. קבוצות מופרדות חייבות להיות זרות; אם שתי קבוצות סגורות הן זרות, אז הן גם מופרדות. למרות החזרה על אותו שורש, אין

  • מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי לחלוטין, אם אפשר להפריד בו קבוצות מופרדות באמצעות סביבות פתוחות; כלומר: לכל שתי קבוצות מופרדות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות U ו- V המכילות את A ואת B, בהתאמה.
  • מרחב נורמלי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב \ T_5.

במרחב שבו אפשר להפריד קבוצות מופרדות, בוודאי אפשר להפריד קבוצות סגורות וזרות. לכן כל מרחב נורמלי לחלוטין הוא בפרט מרחב נורמלי. מאותה סיבה, כל מרחב \ T_5 הוא מרחב T4.

[עריכה] תכונות נוספות

התכונה החשובה ביותר של מרחבים נורמליים לחלוטין היא שלא רק הם עצמם נורמליים, אלא גם כל תת-מרחב שלהם (ביחס לטופולוגיה המושרית). תכונה זו שקולה לכך שהמרחב נורמלי לחלוטין. מסיבה זו מרחב נורמלי לחלוטין נקרא גם מרחב נורמלי תורשתית.

כל מרחב נורמלי באופן מושלם הוא בפרט נורמלי לחלוטין, ובאופן דומה גם כל מרחב T6 הוא מרחב \ T_5. בפרט, כל מרחב מטרי הוא מרחב \ T_5.

ההוכחה לכך שמרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי לחלוטין אינה מיידית, ולכן אנחנו כוללים כאן הוכחה ישירה וקלה לכך שבמרחב מטרי אפשר להפריד בסביבות פתוחות כל שתי קבוצות מופרדות. יהי X מרחב מטרי עם המטריקה d. נתונות שתי קבוצות מופרדות A ו- B (שאינן בהכרח סגורות). נסמן ב- \ d_A(x)=\inf_{a\in A}d(a,x) את פונקציית ה'מרחק מ-A', ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה \ d_B. מכיוון שרק לנקודות בסגור של A יש מרחק 0 מ-A, כל נקודה של B היא בעלת מרחק חיובי מ- A, ולהיפך. נסמן ב- \ U_A את איחוד הכדורים ברדיוס \ d_B(a)/2 סביב a, לכל הנקודות \ a\in A; זו כמובן קבוצה פתוחה המכילה את A. באופן דומה נבנה את \ U_B. כדי להווכח ש- \ U_A ו- \ U_B זרות, די לבדוק שהדבר נכון לכל זוג של כדורים המרכיבים קבוצות אלה. אבל לכל \ a\in A, \, b\in B מתקיים \ d_A(b),d_B(a)\leq d(a,b), ולכן \ \frac{1}{2}d_A(b)+\frac{1}{2}d_B(a)\leq d(a,b).

יש לציין שכאשר מדובר בקבוצות מופרדות, הפרדה באמצעות סביבות פתוחות היא ההפרדה החזקה ביותר שלה אפשר לצפות. בערך על אקסיומות ההפרדה אנו מונים ארבע רמות הפרדה, שההפרדה בקבוצות פתוחות היא הנמוכה מביניהן. ברמה הבאה דורשים הפרדה באמצעות סביבות סגורות, אלא שזה בלתי אפשרי אפילו במרחבים מטריים. לדוגמה, הקטעים \ (0,1) ו- \ (1,2) הם קבוצות מופרדות, שלא ניתן להפריד בסביבות סגורות (ובוודאי לא בפונקציה רציפה).


[עריכה] ראו גם


טופולוגיה קבוצתית
מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה
שפות אחרות