משפט המספרים הראשוניים
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את ההתפלגות האסימפטוטית של המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב-
את מספר המספרים הראשוניים שקטנים מ-
.
משפט המספרים הראשוניים קובע ש-
, כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים הקטנים מ- x הוא (בקירוב טוב)
. את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי הדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות תורת הפונקציות המרוכבות.
גירסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין
ו-
חסום בין
ל-
.
צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל- 1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופואסון היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).
ב-1949 מצאו פול ארדש ואטלה סלברג, גם הם בנפרד, הוכחה "אלמנטרית" (כלומר, כזו שאינה משתמשת בתורת הפונקציות המרוכבות) למשפט המספרים הראשוניים. למרות שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.
טבלה המשווה את הפונקציות:
| x | π(x) | π(x) - x/ln(x) | Li(x) - π(x) | x/π(x) |
|---|---|---|---|---|
| 101 | 4 | 0 | 2 | 2.500 |
| 102 | 25 | 3 | 5 | 4.000 |
| 103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 |
| 104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 |
| 105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.430 |
| 106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.740 |
| 107 | 664,579 | 44,159 | 339 | 15.050 |
| 108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.360 |
| 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.670 |
| 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.980 |
| 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.280 |
| 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 |
| 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.900 |
| 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.200 |
| 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.510 |
| 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,392 | 3,214,632 | 35.810 |
| 4 ·1016 | 1,075,292,778,753,150 | 28,929,900,579,949 | 5,538,861 | 37.200 |

