סדר חלקי
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת הקבוצות, סדר חלקי בקבוצה X הוא יחס
המקיים שלוש תכונות:
- רפלקסיביות: לכל
מתקיים
. - אנטיסימטריות: אם
וגם
אז
. - טרנזיטיביות: אם
וגם
אז
.
נהוג לכנות את הזוג
קבוצה סדורה חלקית.
אם עבור כל שני איברים
מתקיים
או
אז קוראים ליחס
סדר לינארי ולזוג
קבוצה סדורה לינארית. נהוג לכנות סדר לינארי גם בשם "סדר מלא".
דוגמאות:
- קבוצת כל המספרים הטבעיים
עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה לינארית. - אם נגדיר יחס
כך ש
אם ורק אם
מחלק את
, הקבוצה
היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה לינארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
איבר
נקרא איבר ראשון אם לכל
מתקיים
.
איבר
נקרא איבר אחרון אם לכל
מתקיים
.
איבר
נקרא איבר מינימלי אם לא קיים
השונה ממנו כך ש
.
איבר
נקרא איבר מקסימלי אם לא קיים
השונה ממנו כך ש
.
ההבדל בין איבר מקסימלי לאיבר אחרון הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו איבר אחרון חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.
אם קס"ח
מקיימת את התכונה שלכל תת קבוצה של
יש איבר ראשון, היא נקראת קבוצה סדורה היטב.
[עריכה] ראו גם
| נושאים בתורת הקבוצות |
|---|
|
תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה |

