עיגולי גרשגורן
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה לינארית, עיגולי גרשגורן מסייעים להערכת גודל הערכים העצמיים של מטריצה, באמצעות חישוב פשוט.
[עריכה] תיאור פורמלי
תהא
מטריצה מסדר
מעל הממשיים או המרוכבים. נסמן
. כלומר,
הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה מספר
, פרט לאיבר שנמצא באלכסון.
כעת, כל הערכים העצמיים של
נמצאים באיחוד העיגולים הבא:
.
הקבוצה המתוארת היא איחוד של
עיגולים סגורים במישור המרוכב, שמרכז כל אחד מהם הוא אחד מאיברי האלכסון הראשי של
, והרדיוס של כל עיגול הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה של המרכז, פרט לאיבר זה עצמו.
עוד אומר המשפט כי אם
מתוך העיגולים הללו יוצרים רכיב קשירות נפרד מ-
העיגולים האחרים, הרי שאותו רכיב קשירות מכיל בדיוק
מבין הערכים העצמיים.
[עריכה] מסקנות
מטריצה בעלת אלכסון שולט (diagonal dominant matrix) היא מטריצה שבה הערך באלכסון (בערכו המוחלט) גדול מסכום יתר האיברים בשורתו (בערכם המוחלט), כלומר
. תוצאה מיידית של משפט גרשגורן היא: אם מטריצה היא בעלת אלכסון שולט אז המטריצה היא הפיכה. זאת מאחר שמטריצה היא הפיכה אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, אבל שליטה אלכסונית חזקה מבטיחה שכל אחד מהעיגולים אינו מכיל את ראשית הצירים (כי המרחק של מרכזם מהראשית גדול מרדיוס העיגול).

