סיגמא-אדיטיביות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, סיגמא-אדיטיביות היא תכונה של פונקציות שהן חיבוריות בצורה בת מניה.

אנו אומרים שפונקציה \ f: P(X) \to \mathbb{R} (פונקציה המקבלת תת־קבוצות של מרחב \ X ומחזירה מספר ממשי) היא "חיבורית" או "אדיטיבית" אם

\ f( A \biguplus B) = f(A) + f(B)

כאשר הסימן U עם + בתוכו פירושו "איחוד של קבוצות זרות", כלומר: הקבוצות A ו B זרות - \ A \cap B = \emptyset.

קל להכליל תכונה זו באינדוקציה לכל מספר סופי של קבוצות הזרות בזוגות.

כעת, יהיו \ A_1, A_2 , \cdots , A_n , \cdots \in \mathcal{A} מספר בן-מנייה של קבוצות זרות בזוגות, כלומר: \ \forall i \ne j : A_i \cap A_j = \emptyset . אנו אומרים שהפונקציה f היא סיגמא-אדיטיבית או "חיבורית באופן בן-מנייה" אם מתקיים

\ f \left( \biguplus_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}{f(A_n)}

או ברישום מקוצר:

\ f \left( \biguplus_{n}{A_n} \right) = \sum_{n}{f(A_n)}

כל פונקציה סיגמא-אדיטיבית היא בפרט אדיטיבית, אבל ההפך אינו נכון. (למשל, פונקציה המתאימה לכל קבוצה סופית של טבעיים את המספר אפס ולכל קבוצה אינסופית את המספר \ 1 היא פונקציה אדיטיבית אשר אינה סיגמא-אדיטיבית.)

[עריכה] ראו גם

שפות אחרות