התמרת פורייה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
התמרת פורייה או טרנספורם פורייה, הוא כלי מרכזי באנליזה הרמונית שאפשר לתארו כפירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית 1
[עריכה] מוטיבציה - פירוק לפונקציות הרמוניות
פונקציה מחזורית בעלת תדירות זויתית
, שלפעמים נקראת בקיצור פשוט "הרמוניה" או "פונקציה הרמונית", היא פונקציה מהסוג
.
צירוף לינארי של כמה פונקציות כאלה יתן לנו ביטוי מהצורה הכללית
ואם נרצה לצרף צירוף רציף של פונקציות כאלה נצטרך לעבור לאינטגרל
,
לכן,
- המרחב של הפונקציה המותמרת - נקרא מרחב התדירות הזויתית (או פשוט מרחב התדר) ואפשר לראות את המשרעת והפאזה של
כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית
, ואילו למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.
[עריכה] התמרת פורייה
התמרת פורייה של פונקציה
מוגדרת כפונקציה
כך ש
(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשת משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-
. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה
שהיא קבוצה צפופה ב-
. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל
, ומקבלים שהתמרת פוריה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג -
שהוא מרחב הילברט.
[עריכה] התמרת פורייה ההפוכה
באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה
שניתנת על ידי
,
להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה.
אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.
שכן
[עריכה] הגדרה פורמלית 2
אפשר לרשום כל פונקציה
, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך
) כצירוף לינארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:
הפונקציה
נתונה על ידי
נקראת "ההצגה של
במרחב התדר" בעוד שהפונקציה
נקראת "ההצגה של
במרחב הזמן".
ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב
.
טרמינולוגיה:
- ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן עפ"י משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה ההפוכה".
- ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) עפ"י משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
- (לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים ).
[עריכה] הערה על סימונים וגורמי נרמול
מספר סימונים שונים נהוגים עבור טרנספורם פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך
.
להלן הגישות הנפוצות בנושא:
- הוספת גורם הנרמול
באחד מכיווני ההתמרה. - הוספת גורם נרמול
לפני כל אחת מההתמרות. - הוספת גורם הנרמול
להגדרת המכפלה הפנימית.
גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה 2 היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ו הנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.
[עריכה] העקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה
[עריכה] מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג
| ערך בבדיקה פרט או פרטים מסוימים בערך זה עלולים להיות שגויים ונמצאים בבדיקה כרגע. הבדיקה תארך עד שבעה ימים. לפרטים ניתן לעיין בדף השיחה. |
המרחב
הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית
הוא מרחב הילברט.
אוסף הפונקציות
מהווה בסיס אורתונורמלי (שנקרא הבסיס ההרמוני) למרחב, משמע:
כאשר הפונקציה
היא פונקציית הדלתא של דיראק.
במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע
. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד
.
[עריכה] התמרת פורייה כאופרטור
יש לציין שבתור מרחב, הפונקציות יוצרות מרחב הילברט. התמרת פורייה מהווה טרנספורמציה לינארית בין מרחב הילברט L2 למרחב הילברט הדואלי שלו (במקרה של מרחב הילברט המרחב הדואלי איזומטרי למרחב המקורי). כאופרטור, התמרת פורייה היא אופרטור לינארי ובפרט יוניטרי. כלומר: הוא שומר על גודל הנורמה ועל מכפלה פנימית.
[עריכה] סימונים נוספים
לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה -
- כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:
או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:
.
מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:
.
לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.
[עריכה] התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד
נניח ש-
הינו אות בזמן בדיד.
אזי התמרתו נתונה על ידי: ![\ X^{f} (\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n] e^{-i\theta n}](../../../math/8/8/e/88e07823e0d566e352e9038001fd6338.png)
כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא: ![\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right| <\infty](../../../math/8/6/f/86f49dacd8359fcddfe835960830f34a.png)
וההתמרה ההפכית נתונה על ידי: ![\ x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f} (\theta )e^{i\theta n} d\theta](../../../math/8/e/6/8e6f9584b6c5ac79d492bd35a9972736.png)
נשים לב ש-
מחזורית במחזור 2π.
[עריכה] תכונות
[עריכה] לינאריות
התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן לינאריים. כלומר:
על תכונות של העתקות לינאריות ראו בערך העתקה לינארית.
[עריכה] משפט פלנשרל וזהות פרסבל
משפט פלנשרל קובע ש
זהות פרסבל היא מקרה פרטי - אך שימושי ביותר - של משפט פלנשרל.
הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר - היוניטריות של התמרת פורייה.
[עריכה] קונבולוציה
קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:
התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:
[עריכה] נגזרת
התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.
מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות ש
ולכן
כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב
במרחב התדר.
תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן
[עריכה] הכללה למספר ממדים
ההכלה לפונקציות ב
ממדים היא מיידית.
אם
פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה
נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי
וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי
כאשר:
הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע
).
הוא מכפלה סקלרית ב
.
[עריכה] טבלת התמרות שימושיות
הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות.
ו
מציינות את ההתמרות של
ו
בהתאמה.
| פונקציה | ההתמרה | פירוש | |
|---|---|---|---|
| 1 | ![]() |
![]() |
לינאריות |
| 2 | ![]() |
![]() |
הזזה בקבוע |
| 3 | ![]() |
![]() |
כפל בפאזה מרוכבת |
| 4 | ![]() |
![]() |
שינוי סקלה |
| 5 | ![]() |
![]() |
גזירה במרחב הזמן |
| 6 | ![]() |
![]() |
גזירה במרחב התדר |
| 7 | ![]() |
![]() |
קונבולוציה |
| 8 | ![]() |
![]() |
מכפלה |
| 9 | ![]() |
![]() |
הדלתא של דיראק |
| 10 | ![]() |
![]() |
- |
| 11 | ![]() |
![]() |
- |
| 12 | ![]() |
![]() |
- |
| 13 | ![]() |
![]() |
קוסינוס |
| 14 | ![]() |
![]() |
סינוס |
| 15 | ![]() |
![]() |
גאוסיאן |
| 16 | ![]() |
![]() |
שורש |
| 17 | ![]() |
![]() |
- |
| 18 | ![]() |
![]() |
- |
| 19 | ![]() |
![]() |
גל מרובע |
[עריכה] שימושים
- מתמטיקה
- פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות)
- אנליזה הרמונית
- אנליזה פונקציונלית
- פיזיקה
- גלים
- פתרון משוואת הגלים
- קרינה אלקטרומגנטית
- מכניקת הקוונטים
- פתרון משוואת שרדינגר
- מדעי המחשב
- עיבוד אותות
- עיבוד קול
- עיבוד תמונה
- הנדסה




(





















































