התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

התפלגות בינומית
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית הסתברות מצטברת
מאפיינים
פרמטרים p - ההסתברות ל"הצלחה",

n - מספר ההטלות

תומך \ k\in \{0,1,2...,n\}
פונקציית צפיפות ההסתברות

(pdf)

{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

ממוצע \ np
חציון \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
ערך שכיח \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
שוֹ‏נוּ‏ת \ npq
סטיית תקן
אנטרופיה =\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)
גבנוניות
צידוד


משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים שלהם תוצאת כן/לא ("הצלחה"/"כשלון") כאשר ההסתברות לקבלת הצלחה היא p. (ניסוי ברנולי). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימון X\sim \textrm{Bin}\left(n, p\right) , וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר n הניסויים היא:

P\left(X=k\right)  =  {n \choose k} p^k \left(1-p\right)^{n-k}

עבור k=0,1,\ldots,n

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא \ np ואילו השונות שלו היא \ np(1-p).

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר \ \lambda = np

[עריכה] הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שיש בה k הצלחות במקומות מסוימים היא \ p^k(1-p)^{n-k}, שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות \ p) וב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות \ 1-p).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא \ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}, כאשר \ t הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחות. בקומבינטוריקה מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק \ n\choose k.