משפט התיכון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

AD תיכון ל-BC
הגדל
AD תיכון ל-BC

בגאומטריה, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: AB^2+AC^2=2AD^2+\frac{BC^2}{2}

[עריכה] הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם \angle ABC>\frac{\pi}{2} אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, ע"פ משפט פיתגורס המורחב: AC^2=AB^2+BC^2-2p\cdot BC

נעביר אגפים, ונקבל: 2p\cdot BC=AB^2+BC^2-AC^2

במשולש ABD, נקבל, ע"פ משפט פיתגורס המורחב: AD^2=AB^2+BD^2-2p\cdot BD

נציב BD=\frac{BC}{2}, ונקבל: AD^2=AB^2+\frac{BC^2}{4}-p\cdot BC

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: 2p\cdot BC=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2

ע"פ כלל המעבר, נקבל: AB^2+BC^2-AC^2=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2

לאחר העברת אגפים, נקבל: 2AD^2+\frac{BC^2}{2}=AB^2+AC^2

שפות אחרות