כפל מטריצות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה לינארית, כפל של מטריצות מוגדר כך שהכפלת המטריצות המייצגות של שתי העתקות לינאריות היא המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות. המכפלה של מטריצות אינה חילופית (כלומר, בדרך כלל
). המכפלה של מטריצה
במטריצה
מוגדרת רק כאשר מספר העמודות של
שווה למספר השורות של
, ואז מספר השורות במכפלה
שווה למספר השורות של
, ומספר העמודות שווה למספר העמודות של
. ממבט ראשון נראה אולי שיותר טבעי להכפיל מטריצות איבר איבר, אבל דרך זו אינה שימושית או מועילה במיוחד.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרת הכפל
תהא
מטריצה מסדר
, ותהא
מטריצה מסדר
, אז מכפלתן היא מטריצה מסדר
המקיימת
.
נסביר זאת: כל איבר במטריצה, שנמצא בשורה
ובעמודה
הוא למעשה ערך וקטור השורה מספר
במטריצה הראשונה כפול וקטור העמודה ה-
של המטריצה השנייה. נשים לב שמספר האיברים הן בשורה והן בעמודה זהה -
. על כן הדרישה שמספר העמודות במטריצה הראשונה יהיה זהה למספר השורות במטריצה השנייה - מספר העמודות במטריצה הראשונה קובע כמה איברים יהיו בכל שורה, ואילו מספר השורות במטריצה השנייה קובע כמה איברים יהיו בכל עמודה. כאן פעולת הכפל של הווקטורים דומה למכפלה סקלרית רכיב רכיב: כופלים כל זוג איברים בעלי אותו מספר, וסוכמים את כל המכפלות.
התמונה מראה כפל של מטריצה מסדר
במטריצה מסדר
: המטריצה המתקבלת היא מסדר
. בתמונה מראים כיצד מחושב האיבר
במטריצה: מוכפלת השורה הראשונה במטריצה
בעמודה השנייה במטריצה
.
לשתי מטריצות יש תפקיד מיוחד ביחס לכפל: מטריצת האפס (שכל רכיביה אפסים) היא נייטרלית ביחס לחיבור (כלומר
, ותוצאת הכפל באפס היא תמיד אפס (
). מטריצת היחידה I, שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, היא נייטרלית ביחס לכפל:
.
אוסף המטריצות מעל שדה, עם פעולת החיבור הרגילה והכפל שהוגדר כאן, הוא חוג פשוט.
[עריכה] שימושי הכפל
למרות שנראה כי הגדרתו של הכפל בלתי אינטואיטיבית, ניתן לראות במספר דוגמאות את יעילותו:
- כאשר מייצגים טרנספורמציות לינאריות באמצעות מטריצות, הטרנספורמציה המתקבלת מהרכבת אחת הטרנספורמציות על השנייה מיוצגת באמצעות מטריצה שהיא מכפלת המטריצות המייצגות של הטרנספורמציות המורכבות.
- בייצוג טרנספורמציה לינארית על ידי מטריצה, הפעלת הטרנספורמציה על וקטור שקולה להכפלת וקטור הקוארדינטות שלו במטריצה.
- הדטרמיננטה של מכפלה של שתי מטריצות שווה למכפלה של שתי הדטרמיננטות שלהן.
[עריכה] מכפלה טנזורית של מטריצות
ישנה דרך נוספת להגדיר כפל של מטריצות: אם
היא מטריצה בגודל
ו- B היא מטריצה בגודל
, אז המכפלה הטנזורית שלהם,
, היא מטריצה בגודל
המורכבת מן הבלוקים
.
מכפלה זו נקראת גם "מכפלת קרונקר", על-שם לאופולד קרונקר.
[עריכה] מכפלת הדמר
מכפלה איבר איבר של מטריצות מכונה "מכפלת הדמר" (Hadamard). באופן פורמלי היא מוגדרת כך: אם
,
הן שתי מטריצות בגודל
, אז מכפלת הדמר שלהן מוגדרת כך:
. עבור מטריצות שאינן מאותו גודל המכפלה אינה מוגדרת.
תכונותיה של מכפלה זו נחקרות במסגרת תורת המטריצות, אך היא אינה שימושית במיוחד בתחומים אחרים.
| נושאים באלגברה לינארית |
|---|
|
מרחב וקטורי | וקטור | תלות לינארית | צירוף לינארי | קבוצה פורשת | בסיס | קואורדינטות | מרחב מכפלה פנימית | מטריצה | כפל מטריצות | מטריצה משוחלפת | דטרמיננטה | מטריצה מצורפת | טרנספורמציה לינארית | טרנספורמציה נורמלית | משוואה לינארית | דמיון מטריצות | ערך עצמי | פולינום אופייני | לכסון מטריצות | צורת ז'ורדן | אורתוגונליות | תבנית בילינארית | מכפלה סקלרית | מכפלה וקטורית | אופרטור הרמיטי | יוניטריות | מרחב הילברט | טנזור |

