משפט ההתכנסות הנשלטת
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט חשוב העוסק בתכונות האינטגרל של סדרת פונקציות מדידות. המשפט מבטיח שהאינטגרל של גבול הסדרה זהה לגבול של האינטגרלים של אברי הסדרה, וזאת בתנאי שכל אברי הסדרה יהיו חסומים (או במילה אחרת, "נשלטים", ומכאן שם המשפט) בידי פונקציה שהיא אינטגרבילית. אף שהמשפט מנוסח ומוכח על פונקציות שהן אינטגרביליות לבג, הוא תקף גם עבור פונקציות שהן אינטגרביליות רימן.
[עריכה] ניסוח פורמלי
אם
היא סדרה של פונקציות ממשיות מדידות
אשר מתכנסת לפונקציית גבול
, ואם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג
שהאינטגרל שלה סופי כך ש-
כמעט בכל מקום לכל אברי הסדרה, אז גם כל אברי הסדרה וגבולה אינטגרביליים עם אינטגרל סופי, ומתקיים
.
[עריכה] הוכחה
הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פטו, אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש-
חוסמת את כל אברי הסדרה.
בגלל ש-
אז
היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פטו ולקבל:

לאחר חיסור
משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית
, ולקבל:

כלומר:

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

מכיוון שאגף שמאל תמיד גדול מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.
[עריכה] ראו גם
- משפט ההתכנסות המונוטונית

