חיתוך (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות \ A ו-\ B הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-\ A ששייכים גם ל-\ B (או באופן שקול, כל האיברים ב-\ B ששייכים גם ל-\ A), ורק אותם. החיתוך של של\ A ו-\ B נכתב בדרך כלל כך: \ A\cap B.

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B
הגדל
דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:

\ x\isin A\cap B (\ x הוא איבר ב-\ A\cap B) אם ורק אם \ x\isin A וגם \ x\isin B.

באופן דומה ניתן להגדיר חיתוך עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי \ \left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס \ i השייך לקבוצת אינדקסים \ \Lambda), אז החיתוך שלהן יסומן \ \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i ומתקיים \ x\isin  \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i אם ורק אם לכל \ k\isin\Lambda מתקיים- \ x\isin A_k.

[עריכה] דוגמאות

  • אם \ A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\} אז \ A\cap B=\left\{t,4\right\}
  • אם \ B\subseteq A (B הוא קבוצה חלקית של A) אז \ A\cap B=B.
  • אם \ B=\emptyset (קבוצה ריקה) אז לכל \ A מתקיים \ A\cap B=\emptyset. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
  • אם \ A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\} אז \ \bigcap_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\left\{1\right\}.
  • בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
    • בהינתן סדרה בת מניה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_n היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס \ n כלשהו.
    • בהינתן סדרה בת מניה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_n היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות \ A_n)
נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה