פונקציה שלמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מרוכבת, פונקציה שלמה היא פונקציה אנליטית בכל המישור המרוכב. דוגמאות בסיסיות לפונקציות שלמות הן הפולינומים המרוכבים, פונקציית האקספוננט המרוכבת וסכומים, מכפלות והרכבות שלהם. הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות גם הן פונקציות שלמות, אך הן וריאציות על הפונקציה האקספוננציאלית (כפי שניתן לראות מנוסחת אוילר). כל פונקציה שלמה ניתנת לייצוג על ידי טור טיילור שמתכנס בכל מקום במישור המרוכב. פונקציות דוגמת הלוגריתם או השורש אינן שלמות (יתר על כן, אלו הן פונקציות רב ערכיות).

משפט חשוב העוסק בפונקציות שלמות הוא משפט ליוביל: פונקציה שהיא שלמה וחסומה היא בהכרח קבועה. משפט זה משמש להוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה. המשפט הקטן של פיקארד מרחיב את משפט ליוביל: כל פונקציה שלמה שאינה קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב, פרט אולי לערך אחד (למשל, פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך פרט ל-0).

פונקציה שמוגדרת בכל המישור המרוכב פרט אולי לקבוצה של קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.