מרחב נורמלי באופן מושלם
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת ההפרדה החזקה ביותר.
[עריכה] הגדרות ותכונות
מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי באופן מושלם, אם אפשר להפריד בו כל שתי קבוצות סגורות, במדוייק, באמצעות פונקציה רציפה: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה
, כך ש-
ו-
. בהגדרה זו אפשר להחליף את הישר הממשי בקטע
. יש להבחין כי הפרדה זו חזקה יותר מן ההפרדה הרגילה באמצעות פונקציה, אותה מבטיחה הלמה של אוריסון בכל מרחב נורמלי. בפרט, מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי.
מרחב נורמלי באופן מושלם המקיים בנוסף לזה את תכונת ההפרדה
(כלומר: כל נקודה מהווה קבוצה סגורה), נקרא מרחב
.
במרחב נורמלי באופן מושלם אפשר להפריד (באמצעות קבוצות פתוחות) גם בין כל שתי קבוצות מופרדות (קבוצות שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה). לכן מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב נורמלי לחלוטין, ומרחב
הוא גם מרחב
.
כהגדרה חלופית לנורמליות-באופן-מושלם, אפשר לקחת את התכונה הבאה: כל קבוצה סגורה היא קבוצת G-דלתא, כלומר חיתוך של סדרת קבוצות פתוחות.
[עריכה] כל מרחב מטרי הוא 
הדוגמה החשובה ביותר למרחבים נורמליים באופן מושלם היא זו של מרחבים מטריים. קל לראות שבמרחב מטרי
כל נקודה היא קבוצה סגורה, ולכן די להוכיח שאפשר להפריד באופן מדוייק בין שתי קבוצות סגורות זרות, A ו- B.
נסמן ב-
את הפונקציה
, המחזירה את המרחק מן הקבוצה A. פונקציה זו מקיימת את אי-השוויון
, ולכן היא רציפה. בנוסף לזה, מן העובדה ש- A סגורה נובע ש-
אם ורק אם
. באופן דומה מגדירים את הפונקציה
.
מכיוון ש- A ו- B זרות,
לכל x. מכאן נובע שהפונקציה
מוגדרת היטב ורציפה. קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייק בין A ל- B.
[עריכה] ראו גם
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |

