חבורה פשוטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה \ G\ne \{e\} שאין לה תת חבורה נורמלית לא טריויאלית, כלומר תתי החבורות הנורמליות היחידות שלה הן \ G ו-\ \{e\}.

לפי משפט ז'ורדן הולדר ההצגה של חבורה סופית \ G על ידי סדרת הרכב היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מפה נובעת החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבנין של כל החבורות הסופיות, בדומה לחשיבות של המספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הושלם ב-1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

[עריכה] דוגמאות

לדוגמה עבור \ n=4 קיימת הסדרה הנורמלית \ S_4\triangleright A_4\triangleright V_4\triangleright \{e,(1\ 2)(3\ 4)\}\triangleright \{e\} כאשר \ A_4 חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו-\ V_4 חבורת קליין.

עבור \ n\ge 5, \ A_n פשוטה.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון של החבורות הפשוטות.

[עריכה] מושגים קרובים

אם חבורת המנה \ G/Z(G) פשוטה, אז החבורה G היא כמעט פשוטה (almost simple). חבורת המטריצות \ SL_n(F) היא דוגמה לחבורה כזו (פרט למקרה \ n=2 ו- \ |F|\leq 3).

שפות אחרות