התמרת Z

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] התמרת Z דו-צדדית (bilateral z-transform)

תהי \ x[n] סדרה בזמן בדיד.
אזי התמרת \ Z דו-צדדית שלה מוגדרת על ידי : \ X^{z} (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}
כאשר \ z מספר מרוכב.

[עריכה] התמרת Z חד-צדדית (unilateral z-transform)

תהי \ x[n] סדרה בזמן בדיד.
אזי התמרת \ Z חד-צדדית שלה מוגדרת על ידי: \ X_{+} ^{z} (z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}

כאשר \ z מספר מרוכב.

[עריכה] תחום ההתכנסות (Region Of Convergence)

תחום ההתכנסות (ROC) של התמרת \ Z הוא תחום של ערכי \ z (במישור המרוכב) עבורו מתקיים: \ X^{z} (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}<\infty
כלומר - הסכום מתכנס.
תחום ההתכנסות של ההתמרה קשור לתכונות חשובות של הסדרה המותמרת, כגון סיבתיות, סופיות וכדומה.

[עריכה] ההתמרה ההפכית

ההתמרה ההפכית נתונה על ידי:
\ x[n]=\frac{1}{2\pi j} \oint _{C}X^{z}  (z)z^{n-1} dz
כאשר \ C הוא עקום פשוט וסגור במישור הקומפלכסי המקיף את הראשית בכיוון \ ccw פעם אחת, ומוכל כולו בתחום ההתכנסות של \ X^{z} (z).

  • הערה: במידה ומעגל היחידה כלול בתחום ההתכנסות של \ X^{z} (z) אזי ניתן לחשבת את האינטגרל לאורך מעגל היחידה, ולכן אפשר לבטא את \ z כ- \ e^{j\theta }

ונקבל את התמרת פורייה ההופכית (בזמן בדיד): \ x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{z}  (e^{j\theta } )e^{j\theta n} d\theta =\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f}  (\theta )e^{j\theta n} d\theta

התמרת פורייה בזמן בדיד היא למעשה מקרה פרטי של התמרת \ Z.

ערך זה הוא קצרמר. אתם מוזמנים לתרום לויקיפדיה ולהרחיב אותו.