השערת הרצף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות, השערת הרצף היא טענה על עוצמה של קבוצות אינסופיות שהעלה מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור. ההשערה קובעת שעוצמת הרצף \ 2^{\aleph_0} היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מניה, ובמלים אחרות שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מניה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף.

אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה, הוכיחו קורט גדל ופול כהן כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל. העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה. אחרי פרסום משפטו המפורסם של גדל, המציאו תהליך המסוגל לקבוע במקרים מסוימים אם משפט כלשהוא הוא ניתן להוכחה או לא, והתברר שהשערת הרצף בלתי ניתנת להוכחה.

[עריכה] רקע

עוצמה היא דרך מדוייקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם קיימת פונקציה מהקבוצה הראשונה לשניה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ויחיד בזו. קנטור הראה כי עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים, שמסומנת \aleph_0, היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, המכונה עוצמת הרצף ומסומנת \ \aleph (או \ c), שווה לעוצמה של קבוצת כל הקבוצות של מספרים טבעיים, אותה מסמנים ב- \ 2^{\aleph_0}. קנטור הראה באמצעות שיטת האלכסון שפיתח, כי העוצמה \ 2^{\aleph_0} גדולה יותר מ\ \aleph_0.

למרות שניסה, קנטור לא הצליח לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- \ \aleph_0 וקטנה מ- \ 2^{\aleph_0}, ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת. קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו. אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20.

בשנת 1935 פיתח קורט גדל את הקבוצות הניתנות לבניה, ושנתיים אחר-כך, ב-1937, הוא מצא דרך להעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, צרמלו-פרנקל ובתוספת אקסיומת הבחירה) עקבית, אז התורה הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף אינה כריעה במסגרת תורת הקבוצות. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפיה (Forcing).

[עריכה] השערת הרצף המוכללת

ניתן להכליל את השערת הרצף. הגרסה המוכללת אומרת כי בהינתן קבוצה אינסופית \ S, לא קיימות קבוצות שעוצמתן היא בין \ |S| ועוצמת קבוצת החזקה של \ S המסומנת \ |P(S)|, או \ 2^{|S|} (משפט קנטור מראה שעוצמת קבוצת החזקה של קבוצה תמיד גדול מעוצמתה של הקבוצה).


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיבית | תורת הקבוצות האקסיומטית | קבוצה | הקבוצה הריקה | איחוד | חיתוך | משלים | הפרש סימטרי | קבוצת החזקה | מכפלה קרטזית | יחס | יחס שקילות | פונקציה | עוצמה | קבוצה בת מנייה | האלכסון של קנטור | משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין | השערת הרצף | הפרדוקס של ראסל | סדר חלקי | מספר סודר | הלמה של צורן | אקסיומת הבחירה