משפט החיתוך של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, משפט החיתוך של קנטור נותן תנאי שקול לשלמות של מרחב מטרי, במונחים של נקודה משותפת לסדרה יורדת של קבוצות. לפי משפט החיתוך, מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם כל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שקוטרן שואף לאפס, היא בעלת חיתוך לא ריק. משפט זה מהווה הכללה של הלמה של קנטור מחשבון אינפיניטסימלי, וקרוי על שמו של גאורג קנטור.

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח המשפט

יהא \!\,X מרחב מטרי. אז המרחב שלם אם ורק אם לכל סדרה \left\{A_n\right\}_n של קבוצות סגורות, כך שמתקיים \!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots וקוטר הקבוצות שואף לאפס (דהיינו \!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0) - קיימת נקודה המשותפת לכל הקבוצות. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.

[עריכה] תקציר ההוכחה

כאשר המרחב שלם ו- \ \{A_n\} היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר לבחור נקודה \ x_n \in A_n בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.

בכיוון ההפוך, תהי \ \{x_n\} סדרת קושי נתונה. לכל \ k קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על \ 2^{-(k+1)}; נבחר את הקבוצה \ A_k להיות הכדור הסגור ברדיוס \ 2^{-k} סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.

[עריכה] חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם

יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות \ A_n מהוות סדרה יורדת שבה הקוטר שואף לאפס, אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות קומפקטיות: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות חסומות כליל תספיק, משום שהמרחב X שלם על-פי ההנחה.

מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים \ A_n=[n,\infty) על הישר הממשי. אפילו אם הקבוצות חסומות, החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות \ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\} במרחב בנך \ \ell_p, כאשר \ e_n הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.

[עריכה] הוכחה מפורטת

להלן הוכחה מפורטת למשפט החיתוך של קנטור.

[עריכה] כיוון אחד

נניח כי \!\,X מרחב מטרי שלם, ותהא \left\{A_n\right\}_n סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה \left\{x_n\right\}_n על ידי זה שנבחר מכל \!\,A_n איבר \!\,x_n כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא \!\,\epsilon>0 כלשהו. בגלל שמתקיים \!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0 קיים \!\,N כך שהחל ממנו לכל \!\,n>N מתקיים \!\,diam A_n<\epsilon.


כעת יהיו \!\,m,n>N כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים \!\,m\le n. אז \!\,A_m\supseteq A_n ולכן \!\,x_n,x_m\isin A_m. על כן \!\,d(x_n,x_m)\le diamA_m<\epsilon וזאת לכל \!\,m,n>N, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב \!\,X שלם היא מתכנסת. נסמן \!\,x_n\rarr x.


נראה כי \!\,x שייך לכל הקבוצות. תהא \!\,A_k כלשהי, אז לכל \!\,m\ge k מתקיים \!\,x_m\isin A_k, כלומר הזנב של הסדרה \!\,x_n, החל מהאיבר \!\,k, שייך לקבוצה \!\,A_k. על כן, האיבר \!\,x הוא נקודת גבול של \!\,A_k (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה \!\,A_k). מכיוון ש\!\,A_k היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן \!\,x\isin A_k, וזאת לכל \!\,k, ולכן \!\,x\isin\bigcap_n A_n.


נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי \!\,x,y\isin\bigcap_n A_n,אז לכל \!\,k מתקיים \!\,x,y\isin A_k. יהא \!\,\epsilon>0 כלשהו, אז קיים \!\,N כלשהו כך ש\!\,diamA_N<\epsilon, ומכיוון ש\!\,x,y\isin A_N, ולכן \!\,d(x,y)\le diamA_N<\epsilon. כלומר \!\,d(x,y)<\epsilon לכל \!\,\epsilon>0 ולכן בהכרח \!\,d(x,y)=0 ומכאן, על פי תכונות המטריקה, \!\,x=y.

[עריכה] כיוון שני

נניח כי \!\,X הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא \!\,\left\{x_n\right\} סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.


לכל איבר \!\,x_n בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: \!\,A_n=Cl\left(\left\{x_m|m\ge n\right\}\right) - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר \!\,x_n. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים \!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.


אנו רוצים להוכיח כי \!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה \!\,A מתקיים \!\,diam A=diam Cl(A). ברור כי \!\,diam A\le diam Cl(A) (כי \!\,Cl(A) מכילה את \!\,A).


יהיו \!\,a,b\isin Cl(A), אז קיימות סדרות \!\,\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\} שכל אבריהן שייכים לקבוצה \!\,A כך ש\!\,a_n\rarr a, b_n\rarr b זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל\!\,A, מתקיים \!\,d(a_n,b_n)\le diamA לכל \!\,n. לכן נקבל \!\,d(a,b)\le diamA, וזאת לכל \!\,a,b\isin Cl(A), כלומר \!\,diamCl(A)\le diamA, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון \!\,diam A=diam Cl(A) המבוקש.


כעת, מכיוון ש\!\,x_n סדרת קושי, הרי שלכל \!\,\epsilon>0 קיים \!\,N כך שלכל \!\,m\ge N מתקיים \!\,d(x_N,x_m)<\epsilon. לכן \!\,diam \left\{x_k|k\ge N\right\}<\epsilon, ולכן \!\,diam A_n=diam Cl\left(\left\{x_k|k\ge N\right\}\right)<\epsilon, וקיבלנו \!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0.

כעת הראינו כי הסדרה \!\,A_n מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן \!\,\bigcap_n A_n\ne\emptyset. יהא \!\,x\isin\bigcap_n A_n, אז לכל \!\,n מתקיים \!\,x\isin A_n, ולכן \!\,d(x,x_n)\le diam A_n\rarr 0, כלומר \!\,x_n\rarr x, והראינו שהסדרת קושי שלנו מתכנסת.