הסדרה ההרמונית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, הסדרה ההרמונית היא הסדרה
. הסדרה קרויה כך כיוון שאורכי המיתרים שהצלילים העיליים מרעידים פרופורציונליים לסדרה אחת, חצי, שליש וכו'.
הטור האינסופי
מכונה הטור ההרמוני והוא מתבדר (כלומר הוא אינו מתכנס למספר סופי).
הטור ההרמוני הוא אחד הטורים הפשוטים שהאיבר הכללי שלהם מתכנס לאפס (כי הגבול של הסדרה ההרמונית הוא אפס), ובכל זאת סכום הטור מתבדר. יתר על כן- הטור ההרמוני מהווה מעין חסם:
- לכל
הטור האינסופי
מתכנס, וערכו ניתן על ידי פונקציית זטא של רימן. - לכל
הטור האינסופי
מתבדר.
הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני נקראים מספרים הרמוניים ומסומנים
, כלומר
. המספרים ההרמוניים הם רציונליים אך לא שלמים (למעט H1), ואף ההפרש בין כל שני מספרים הרמוניים שונים הוא לא שלם.
הסדרה
שואפת לאינסוף מאוד לאט. סדרת המספרים ההרמוניים שואפת לאינסוף בקצב של הלוגריתם הטבעי. לאונרד אוילר הוכיח שהסדרה
מתכנסת, וגבולה מכונה על שמו קבוע אוילר.
תוכן עניינים |
[עריכה] התבדרות הטור ההרמוני
מראש, העובדה שהטור ההרמוני מתבדר היא מפתיעה. לדוגמה, סכום הטור עובר את 10 רק באיבר ה-12367 שלו, ואת 11 הטור עובר רק כעבור יותר מ-36000 איברים. ניתן להוכיח את התבדרות הטורים במספר דרכים:
[עריכה] דמיון הטור ללוגריתם הטבעי
על פי סכומי דרבו של אינטגרל רימן, הסכום
חוסם את האינטגרל המסוים
מלמעלה, כלומר לכל n טבעי:
היות ופונקציית הלוגריתם הטבעי שואפת לאינסוף כאשר המשתנה שלה שואף לאינסוף- הסדרה הימנית שגדולה ממנה שואפת לאינסוף גם כן ולכן הטור עצמו מתבדר.
למעשה, קיים גם אי שוויון הפוך- גם פונקציית הלוגריתם חוסמת את הטור מלמעלה. אם נתייחס אל הטור (חוץ מאיבר הראשון) כסכום דרבו התחתון של האינטגרל המסוים
נקבל את אי השיוויון הבא:
או בניסוח שקול- לכל n, מתקיים אי השיוויון
.
זהו מקרה פרטי של מבחן לבדיקת התכנסות של טורים באמצעות התכנסות אינטגרלים ולהיפך. אם
פונקציה מונוטונית יורדת אז הטור
מתכנס אם ורק אם האינטגרל הלא-אמיתי
מתכנס.
[עריכה] מבחן הדילול
ניתן לסכם את הטור בצורה שתראה את ההתבדרות שלו בדרך יותר ברורה. נשים לב לצורת סיכום הבאה: נקבץ יחד את כל האיברים בין שתי חזקות של 2 ונסכם אותם יחד ככה. לדוגמה, נסכם יחד את
ואת
, ונסכם יחד את
ו-
וכן הלאה. נשים לב שבכל אחד מסכומי הביניים האלו כל האיברים גדולים מהאיבר האחרון, שהוא בעצמו חזקה שלילית של שתים. בנוסף בסכום הביניים שבו האיבר האחרון הוא
, יהיו בדיוק
איברים, ולכן ערך כל סכום ביניים כזה גדול מחצי. בנוסחה מפורשת, ניתן לבטא את סכומי הביניים האלו בעזרת הערך השלם של הלוגריתם עם בסיס 2:

זהו סכום אינסופי של מספר חיובי (חצי)- ולכן מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור (הוא גדול מהפונקציה
.)
[עריכה] טורים קשורים
טור חשוב שמתקשר לטור ההרמוני הוא הטור ההרמוני המתחלף (טור לייבניץ), שהוא טור הרמוני עם סימנים מתחלפים:
טור זה מתכנס וערכו הוא
. זוהי דוגמה פרטית של משפט של לייבניץ על התכנסות סדרות מחליפות סימן שבהן בערך המוחלט של האיבר הכללי שואפת מונוטונית לאפס.
טור נוסף שמתקשר לטור ההרמוני הוא טור ההפכיים של המספרים הראשוניים:
כאשר
הוא הראשוני ה-k-י.
טור זה מתבדר.


![\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty 2^{-log_2 k} \ge\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! \ = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots](../../../math/3/8/4/384c2dee5a00e6adba687fe046bffbb3.png)


