אריתמטיקה של גבולות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות הם חוקים בסיסיים שאותם מקיימים גבולות סופיים או אינסופיים של פונקציות (ממשיות או מרוכבות).
תוכן עניינים |
[עריכה] אריתמטיקה של גבולות סופיים
תהיינה
ו-
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
שעבורן קיימים הגבולות הסופיים
ו-
.
בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:
[עריכה] כלל הסכום
הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:
![]() |
[עריכה] כלל המכפלה
הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:
![]() |
אם נבחר בפונקציה
, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי
. בפרט
ומכאן נובע "כלל ההפרש", הנובע בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבולו של הפרש פונקציות.
[עריכה] כלל המנה
הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש:
,כלומר:
![]() |
כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר
.
[עריכה] אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
תהיינה
ו-
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
שעבורן מתקיים:
.
, כאשר
(כלומר מספר סופי).
בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:
.
.
.
- כאשר
מתקיים:
.
- וכאשר
מתקיים:
.
כאשר
לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול
מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "
" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.
כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר
.
תהי
פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של
שעבורה מתקיים:
.- קיימת סביבה נקובה של
בה מתקיים
.
בתנאים אלו מתקיים:
.
הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של
בה מתקיים
ובמקרה הזה הגבול הוא
.
תהיינה
ו-
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
שעבורן מתקיים:
.
.
בתנאים אלו מתקיים :
.
גם כלל זה תקף כאשר
.
[עריכה] גבול של הרכבת פונקציות
תהיינה
ו-
פונקציות שעבורן מתקיימים התנאים הבאים:
, כאשר
.
רציפה ב-
.
בתנאים אלו מתקיים
.
[עריכה] הוכחות
[עריכה] הוכחת כלל הסכום
נסמן ב-
וב-
את הגבולות של
ושל
בהתאמה. יהי
. יש להוכיח כי קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
.
מהנתונים על הגבולות של
ו-
נסיק כי:
- קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
(1). - קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
(2).
נבחר את
להיות
. לפי אי-שוויון המשולש,
. מכאן ש-
.
[עריכה] הוכחת כלל המכפלה
יהי
. יש להוכיח כי קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
. נגדיר
.
מהנתונים על הגבולות של
ו-
נסיק כי:
- קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים 
- קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים 
נבחר את
להיות
. יהי
המקיים
. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי
כלומר, הראינו שאם
מקיים
אזי ,
ומכאן נובע כלל המכפלה.
[עריכה] הוכחת כלל ההרכבה
יהי
. נתון ש-
רציפה בנקודה
, קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
(1).
ולכן קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
(2).
מ-(2) נסיק כי לכל
המקיים
מתקיים
ולכן עבור
נקבל מ-(1) כי
, כנדרש.




