קריטריון איזנשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, קריטריון איזנשטיין נותן תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג השלמים \ \mathbb{Z} (לפי הלמה של גאוס פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים \ \mathbb{Q}).

[עריכה] נוסח המשפט

פולינום \ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים מספר ראשוני \ p כך ש-

  • \ p מחלק את \ a_{i} לכל \ 0\le i<n.
  • \ p לא מחלק את \ a_{n}.
  • \ p^{2} לא מחלק את \ a_{0}.

פולינום המקיים תנאי זה הוא אי פריק מעל השלמים. פולינומים המקיימים את תנאי איזנשטיין נקראים לפעמים פולינומי איזנשטיין.


באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות D מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים אידאל מקסימלי P של D, כך שכל מקדמי הפולינום פרט לראשון שייכים ל-P, וכך שהמקדם האחרון אינו שייך לאידאל \ P^2. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל D (ולפי הלמה של גאוס, הוא אי פריק מעל שדה השברים של D).

בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.

[עריכה] דוגמאות

1. הדרך הקלה להוכיח שהפולינום הציקלוטומי \ f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+1 אי פריק כאשר p ראשוני, היא להבחין ש- \ f(x+1) מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור p.

2. נתבונן ב- \ g(x)=3x^{4}+15x^{2}+10. הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- \ 5^{2}=25 איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.

3. במקרים מסוימים קשה לדעת באיזה מספר ראשוני לבחור, אבל לעתים לגלות זאת על ידי הצבת y = x + a במה שנקרא לעתים הזזה.

התבוננו לדוגמה בפולינום \ h(x)=x^{2}+x+2. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של x. אבל, אם נציב \ x+3, נקבל את הפולינום \ h(x+3)=x^{2}+7x+14, אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.

[עריכה] הוכחה בסיסית

(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב-\ f(x) כפולינום מודולו \ p, כלומר נעתיק את המקדמים לשדה \ Z_{p}. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-\ p נקבל את הפולינום \ cx^{n} עם מקדם כלשהו שונה מאפס \ c. נניח בשלילה שניתן לפרק את \ f לשני פולינומים \ g ו-\ h שהמכפלה שלהם שווה ל-\ f ונקבל ש- \ h=ax^{k} \ g=bx^{n-k}

המקדם החופשי של \ h ושל \ g מחלק את \ p ולכן המקדם החופשי של המכפלה צריך לחלק את \ p^{2} בסתירה להנחה.

שפות אחרות