חבורה נילפוטנטית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בתורת החבורות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה כל הקומוטטורים ממשקל קבוע כלשהו הם טריוויאליים, כלומר, חבורה שבה מתקיימת הזהות
עבור k כלשהו. לדוגמא, כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית, ובמובנים רבים, חבורות נילפוטנטיות הן "כמעט" אבליות.
כל החבורות הנילפוטנטיות הן פתירות. החבורה הקטנה ביותר שאינה נילפוטנטית היא החבורה הסימטרית
, חבורה פתירה בת ששה אברים.
בין החבורות הסופיות, החבורות הנילפוטנטיות הן אלו השוות למכפלה ישרה פנימית של חבורות סילו השונות. בפרט, חבורות p (כדוגמת החבורה הדיהדרלית מסדר 8 או חבורת הקווטרניונים) הן נילפוטנטיות. כל תת חבורה וכל חבורת מנה של חבורה נילפוטנטית, גם הן נילפוטנטיות.
[עריכה] הגדרה
בכל חבורה G, אפשר להגדיר את הסדרה המרכזית היורדת על-פי הכלל
, כאשר
; כלומר,
היא תת-החבורה של G, הנוצרת על-ידי הקומוטטורים
. על-פי כתיב זה, חבורה אבלית היא כזו שבה
. כהכללה של אותו רעיון, חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא חבורה שבה
.
לדוגמא, חבורה נילפוטנטית ממחלקה 1 אינה אלא חבורה אבלית, בעוד שחבורה נילפוטנטית ממחלקה 3 היא כזו שבה
לכל ארבעה איברים
. תכונות יסוד של קומוטטורים מראות שבחבורה כזו מתקיים גם
. באופן כללי יותר, אם כל הקומוטטורים מן הצורה
שווים לאיבר הנייטרלי, אז כל הקומוטטורים מאותו משקל (אלו המתקבלים מחישוב קומוטטור k פעמים, בסדר כלשהו), שווים לאיבר הנייטרלי.
כאשר G נילפוטנטית ממחלקה k, אפשר להציג אותה כהרחבה
, שבה המנה
נילפוטנטית ממחלקה k-1, ותת-החבורה
מוכלת במרכז (שהרי
). הרחבה שבה הגרעין מרכזי קרויה הרחבה מרכזית: בעוד שהרחבה של חבורה פתירה בחבורה פתירה נותנת חבורה פתירה, ההרחבה של חבורה נילפוטנטית בחבורה נילפוטנטית אינה בהכרח נילפוטנטית - אלא אם ההרחבה מרכזית.
מחלקת החבורות הנילפוטנטיות היא האוסף הקטן ביותר של חבורות, הכולל את החבורה הציקלית האינסופית, וסגור תחת הפעולות של מעבר לתת-חבורה או לחבורת מנה, ותחת הרחבות מרכזיות.
[עריכה] זהויות אנגל
אם G חבורה ו- x איבר שלה, אפשר להגדיר פונקציה
על-פי הנוסחה
. הפעלה חוזרת של הפונקציה תחזיר קומוטטורים ממשקל גבוה יותר:
. על-פי ההגדרה, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל פונקציה מסוג זה מוכרחה 'להתאפס':
(מכאן השם Nil-potent). הזהות
נקראת זהות אנגל.
משפט ידוע של מקס צורן קובע שגם ההיפך נכון: אם קיים k שעבורו
לכל x ו- y (כאשר x מופיע בביטוי k פעמים), אז כל קומוטטור ממשקל גדול מספיק יהה מוכרח להתאפס (אפילו אם מופיעים בו איברים שונים); במלים אחרות, החבורה נילפוטנטית. ממשפט זה נובעת תוצאה חשובה: חבורה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל תת-חבורה שלה, הנוצרת על-ידי שני אברים, היא נילפוטנטית.
[עריכה] ראו גם
- חבורה פתירה
- קומוטטור
- אלגברת לי נילפוטנטית

