גבול של פונקציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

גבול של פונקציה הוא מושג יסוד בחדו"א, שמתאר לאיזו נקודה מתקרבת הפונקציה כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת או גדל בלי הגבלה, או קטן בלי הגבלה. מושגי יסוד רבים באנליזה מוגדרים בשפה של גבולות של פונקציות, לדוגמה הרציפות, והגזירות מוגדרים על ידי קיום של גבולות מסוימים.

[עריכה] פונקציות ממשיות

כאשר עוסקים בפונקציה ממשית, יש עניין רב בשאלה לאן "שואפים" ערכי הפונקציה כאשר ערכי ה-x מתקרבים לנקודה מסוימת. ניתן לחשוב על גבול הפונקציה באופן פשטני כנקודה שאם נוסיף אותה לפונקציה היא תהיה המשך טבעי שלה. באופן כללי, הפונקציה לא צריכה להיות מוגדרת בנקודת הגבול. יתר על כן, פעמים רבות גם כאשר הפונקציה מוגדרת בנקודת הגבול, הגבול לא שווה לערך הפונקציה. לדוגמה, לפונקציה הבאה יש גבול בנקודה x=0 והוא שווה ל-0, למרות שערך הפונקציה בנקודה הוא 1:

f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &  & x \ne 0 \\ 1 &  & x = 0 \end{matrix}\right.

ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה. הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות.

בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול.

ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול. תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה. רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים.

[עריכה] הגדרות

תהי \,f פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של \ x_0 (אך לא בהכרח בנקודה \ x_0 עצמה).

נוסח ראשון (הגדרת הגבול ע"פ קושי, בלשון \varepsilon-\delta):
לפונקציה \,f יש גבול \ L בנקודה \ x_0 אם לכל \ \varepsilon > 0 (קטן כרצוננו) קיים \ \delta>0 מתאים כך שאם -\ 0 < |x-x_0| < \delta אז |f(x)-L| < \varepsilon.
נוסח שני (הגדרת הגבול ע"פ היינה, בלשון הסדרות):
לפונקציה \,f יש גבול \ L בנקודה \ x_0 אם לכל סדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty המקיימת \ x_n\to x_0 ו-\ x_n\ne x_0 מתקיים \ f(x_{n})\to L.

כאמור לעיל, שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים \lim_{x \to x_0}f(x)=L.

[עריכה] ראו גם