בסיס לטופולוגיה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בסיס לטופולוגיה הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שמאיחודיהן אפשר לקבל את כל הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה.
תוכן עניינים |
[עריכה] הגדרה פורמלית
יהי
מרחב טופולוגי.
אוסף קבוצות
יקרא בסיס לטופולוגיה אם כל קבוצה בטופולוגיה ניתנת להצגה כאיחוד של איברי B. זה שקול לכך ש
בסיס כזה נקרא לעיתים גם מערכת סביבות פונדמנטלית.
[עריכה] מושגים הקשורים בבסיס
- בסיס מקומי (לוקלי): זהו בסיס לטופולוגיה סביב נקודה מסוימת במרחב X. באופן פורמלי, אוסף
יקרא "בסיס לטופולוגיה בנקודה ב x" אם: 
- נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה הראשונה (או בקיצור: X ממנייה I) אם לכל נקודה ב-X קיים בסיס מקומי בן מניה.
- משקל: משקל של מרחב טופולוגי,
מוגדר להיות העוצמה הקטנה ביותר של בסיס (כלשהו) לטופולוגיה. - נאמר שמרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המניה השניה (או בקיצור: X ממנייה II או מקיים מנייה II) אם המשקל שלו קטן או שווה לאלף 0 (כלומר: קיים בסיס לטופולוגיה ב X שהוא בן מניה).
- אוסף של קבוצות חלקיות ל X ,
יקרא תת-בסיס אם אוסף כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מ S מהווה בסיס. אוסף S יקרא תת-בסיס של B אם אם כל איבר בבסיס B ניתן להצגה כחיתוך סופי של קבוצות מהתת-בסיס. כלומר:
.
[עריכה] אפיון בסיס ותת-בסיס
המשפט הבא נותן קריטריון פשוט לאפיון וזיהוי בסיס.
משפט: נניח ש X מרחב לא ריק. אזי אוסף
של קבוצות חלקיות ל X יקרא בסיס אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
- לכל
קיימת קבוצה ב B המכילה אותו. במילים אחרות:
. כלומר: הבסיס מכסה את X. - לכל
שאינן זרות ולכל
קיימת
כך ש
.
אם שתי תכונות אלה מתקיימות, האוסף
הוא טופולוגיה על X.
המשפט הבא מאפיין תתי-בסיס.
משפט: אוסף של תתי-קבוצות של X הוא תת-בסיס אם ורק אם הוא מכסה את X (כלומר: איחוד כל הקבוצות באוסף שווה ל X).
[עריכה] דוגמאות
- במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
- מעל הישר הממשי, הקבוצה
היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו! - במרחב
עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה
היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית. - הישר העשיר מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.
| טופולוגיה קבוצתית |
| מרחב מטרי | מרחב טופולוגי | קבוצה פתוחה | קבוצה סגורה | פנים | סגור | שפה | סביבה | נקודת הצטברות | בסיס | רציפות | הומיאומורפיזם | קשירות | מרחב ספרבילי | אקסיומות ההפרדה | מרחב האוסדורף | מרחב רגולרי | מרחב רגולרי לחלוטין | מרחב נורמלי | פונקציית אוריסון | מרחב מכפלה | משפט טיכונוף | סדרת קושי | קומפקטיות | קומפקטיפיקציה | קומפקטיות מקומית | אקסיומות המנייה | מרחב בייר | טופולוגיה חלשה |
| אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה |


