אנליזה מתמטית - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במונחון זה מופיעות לרבים מהמונחים הגדרות אינטואיטיביות. הגדרה פורמלית מופיעה בערך המתאים.

  • חדו"א: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, Calculus , הענף המתמטי העוסק בתורת הגבולות, בפונקציות ממשיות ובחקירת התכונות של נגזרות ואינטגרלים.
  • סדרה: קבוצה בת מניה של איברים שמסודרים בסדר מסוים, כך שלכל איבר יש איבר הבא מיד אחריו.
  • תת סדרה: קבוצה חלקית של איברים מתוך קבוצה כלשהי.
  • סדרת קושי: סדרה אינסופית שאיבריה הולכים ומתקרבים זה לזה ככל שהיא מתקדמת.
  • טור: סכום (בדרך כלל אינסופי) של סדרת איברים כלשהי.
  • גבול: אינטואיטיבית - מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים ("שואפים") אל המספר הזה.
  • משפט בולצאנו-ויירשטראס: מכל סדרה חסומה ניתן להוציא תת סדרה המתכנסת לגבול.
  • אינפיניטסימל: מספר הקטן עד כדי אינסוף, גודל שהוא בעל סתירה עצמית אך כלי מאוד יעיל לביצוע חישובים.
  • פונקציה: כלל שמתאים לכל איבר מקבוצה אחת איבר יחיד מקבוצה אחרת.
  • פונקציה ממשית: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים הממשיים.
    • פונקציה קעורה: פונקציה קעורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מעל לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
    • פונקציה קמורה: פונקציה קמורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מתחת לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
    • פונקציה לינארית: פונקציה שמתוארת על ידי קו ישר. נקראת גם פונקציה אפינית.
    • פונקציה מונוטונית: פונקציה השומרת על מגמת עלייה או ירידה בקטע נתון.
  • פונקציה מרוכבת: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים המרוכבים.
  • פונקציה רציפה: אינטואיטיבית - פונקציה שניתן לצייר את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהדף.
  • רציפות במידה שווה: תכונה של פונקציה, שבאופן אינטואיטיבי פירושה שקצב ההשתנות של הפונקציה בקטע שבו היא רציפה במידה שווה הוא חסום.
  • משפטים העוסקים ברציפות:
    • משפט ערך הביניים: אינטואיטיבית - פונקציה רציפה לא "מדלגת" על ערכים. כלומר, אם הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בשתי נקודות שונות, היא תקבל גם כל ערך שבין שני ערכים אלה בקטע שקצותיו הם נקודות אלה.
    • משפט ויירשטראס הראשון - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
    • משפט ויירשטראס השני - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום והמינימום שלה.
    • משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
  • נגזרת: פונקציה שמתקבלת מפונקציה אחרת, ומתארת את קצב ההשתנות של אותה פונקציה. נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לפונקציה באותה נקודה.
  • משפטים העוסקים בנגזרות:
    • משפט פרמה - אם לפונקציה גזירה יש נקודת קיצון בנקודה מסוימת, נגזרתה מתאפסת באותה נקודה.
    • משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, נגזרתה מתאפסת באחת מנקודות הקטע.
    • משפט הערך הממוצע של לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
    • משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
    • משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
    • כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול מנת הנגזרות שלהן.
  • אינטגרל:
    • אינטגרל מסוים: הכללה של מושג הסכום. אינטגרל של פונקציה ממשית חיובית שווה לשטח הכלוא בין הגרף שלה לציר ה\ x.
    • אינטגרל לא מסוים: אוסף הפונקציות הקדומות של פונקציה כלשהי.
    • אינטגרל התלוי בפרמטר: אינטגרל שערכו מותנה בפרמטר הניתן לו - כלומר, הוא פונקציה של הפרמטר.
    • אינטגרל כפול: אינטגרל על פונקציה בעלת שני משתנים, שמוגדרת על תחום במישור.
  • משפטים העוסקים באינטגרלים:
  • טור טיילור: קירוב לפונקציה על-ידי פולינום סופי, שמקדמיו תלויים בערכי נגזרת הפונקציה בנקודה מסוימת. כמו-כן ניתן להעריך את הקירוב המושג על ידי הפולינום (השארית).
  • שיטת ניוטון-רפסון: שיטת קירוב איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה באמצעות הנגזרת שלה.
חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:

חשבון אינפיניטיסימלי | סדרה | גבול | סדרת קושי | טור | אינפיניטסימל | שדה המספרים הממשיים | ערך מוחלט | אי-שוויון המשולש | אי-שוויון קושי-שוורץ

פונקציות:

פונקציה | גרף פונקציה | פונקציה לינארית | פונקציה מונוטונית | נקודת קיצון | פונקציה קעורה | פונקציה קמורה | פונקציה רציפה | רציפות במידה שווה | נקודת אי רציפות | נגזרת | טור טיילור | סדרת פונקציות | התכנסות במידה שווה

משפטים:

משפט בולצאנו-ויירשטראס | משפטי ויירשטראס | משפט קנטור | משפט ערך הביניים |משפט פרמה | משפט רול | משפט הערך הממוצע של לגראנז' | משפט הערך הממוצע של קושי | משפט דארבו | כלל לופיטל | כלל השרשרת

האינטגרל:

אינטגרל | המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי | אינטגרציה בחלקים | שיטות אינטגרציה

אנליזה מתקדמת:

פונקציה מרוכבת | אנליזה וקטורית | שיטת ניוטון-רפסון | משוואה דיפרנציאלית | טופולוגיה | תורת המידה

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה