עצרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בפונקציה מתמטית; לערך העוסק בחג השבועות, ראו שבועות.

במתמטיקה, עצרת (באנגלית factorial), היא פונקציה הפועלת על המספרים הטבעיים, ומתאימה לכל מספר טבעי \ n את המכפלה של כל המספרים הטבעיים מ-\ 1 ועד \ n זה בזה. העצרת מסומנת בסימן \ !, כפי שהוצע על-ידי המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ בשנת 1808.


דוגמאות לחישובי עצרת:

\ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120
\ 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3,628,800

קל לראות משתי דוגמאות אלה שערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות).

עבור \ n גדול, ניתן להשיג קירוב טוב לערך של \ n! באמצעות נוסחת סטירלינג, שקובעת:

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

הערך של \ 0! מוגדר כשווה 1, משום ש-\ 0! היא מכפלה ריקה (כמו \ x^0), שערכה הוא תמיד 1.
ניתן להסביר זאת גם באינדוקציה, לפי הכלל ש- \ (n-1)! = n!/n, ועל כן \ 0! = 1!/1 = 1.


לעצרת שימושים רבים בקומבינטוריקה. למשל, מספר התמורות של \ n איברים (כלומר, מספר הדרכים השונות לסידורם של n איברים שונים בשורה) שווה ל- \ n!. באלגברה לעצרת שימוש בחישוב מקדמי הבינום של ניוטון. העצרת משמשמת גם בחשבון אינפיניטסימלי, למשל במשפט טיילור, משום שהנגזרת ה-\ n של \ x^n שווה ל-\ n!.

פונקציית העצרת היא מקרה פרטי של פונקציית גמא. למעשה, זוהי פונקציית גמא המצומצמת על קבוצת המספרים הטבעיים בלבד.
באופן כללי, פונקציה גמא מוגדרת כ

\ \Gamma (z+1) = \int_0^{\infty}{ e^{-t} t^z \ dt}

ובאמצעות אינטגרציה בחלקים ניתן לראות שהיא מקיימת

\ \Gamma (z+1) = z \cdot \Gamma (z)

עבור מספרים טבעיים מקבלים ש

\ \Gamma(0+1) = 1 ו \ \Gamma (n+1) = n \cdot \Gamma (n)

ולכן קל לראות שאכן

\ n! = \Gamma (n+1) לכל n טבעי (שלם אי-שלילי).

[עריכה] קישורים חיצוניים