המשפט האחרון של פרמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המשפט האחרון של פרמה הוא משפט מפורסם בתורת המספרים שאותו ניסח המתמטיקאי פייר דה פרמה באמצע המאה ה-17, ועד שהוכח לבסוף בשנת 1995 היה לאחת הטענות המפורסמות ביותר בעולם המתמטיקה שלא הוכחו.

המשפט אומר:

עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים x,y,z המקיימים את המשוואה: \!\, x^n+y^n=z^n.


למשוואה הנובעת ממשפט פיתגורס \!\, x^2+y^2=z^2 אינסוף פתרונות שבהם y, x ו-z הם מספרים שלמים, למשל \!\, 3^2+4^2=5^2 או \!\, 5^2+12^2=13^2. השאלה נהיית מורכבת כאשר היא מתייחסת למשוואה הכללית יותר \!\, x^n+y^n=z^n. האם לה יש פתרון בשלמים כאשר n גדול מ-2? במשך כ-350 שנה הייתה שאלה זו בגדר בעיה פתוחה במתמטיקה, כנראה המפורסמת מכולן.

פייר דה פרמה (Fermat), מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה-17, קבע, בערך בשנת 1637, שהתשובה לשאלה זו היא שלילית, אך לא נמצאה בכתביו הוכחה לכך. "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך שוליים אלו צרים מלהכילה", כתב פרמה בשולי ספרו של דיופנטוס, "אריתמטיקה", שתורגם ללטינית על-ידי קלוד באשה. במשך מאות שנים דירבנה הערה זו מתמטיקאים וחובבי מתמטיקה לחפש הוכחה לטענתו של פרמה, שזכתה לכינוי המשפט האחרון של פרמה (המלה "אחרון" מציינת שזה המשפט האחרון שנותר להוכחה, לאחר שעד תחילת המאה התשע-עשרה ניתנו הוכחות לכל שאר המשפטים שניסח פרמה).

תחילת הדרך במסע לחיפוש ההוכחה כללה הוכחות למקרים פרטיים אחדים. בכתביו של פרמה, נמצא גרעין של הוכחה למקרה הפרטי n=4, שפירושו שלמשוואה \!\, x^4+y^4=z^4 אין פתרון בשלמים. כמאה שנה לאחר מכן נתן לאונרד אוילר הוכחה למקרה הפרטי n=3. בשנת 1825 ניתנה הוכחה למקרה הפרטי n=5 על ידי לג'נדר, וכעבור ארבע-עשרה שנים נוספות הוכיח גבריאל לאמה (Lamé) את המשפט עבור n=7.

בשנת 1847 ניסה לאמה לתת הוכחה לנכונות המשפט האחרון של פרמה בשלמותו, אך הוכחתו נמצאה שגויה. עד לשנת 1857 הראה ארנסט אדוארד קומר שהמשפט האחרון של פרמה נכון לכל n קטן ממאה. למעשה הוכיח קומר יותר מכך: הוא הוכיח שמשפט פרמה נכון לכל מספר ראשוני רגולרי, אך הבדיקה האם ראשוני הוא רגולרי הצריכה חישובים רבים. השתכללות אמצעי החישוב במאה העשרים איפשרה להגדיל בהדרגה את מספרן של החזקות לגביהן נמצא משפט פרמה כנכון, וכך הושגו אבני דרך אחדות: בשנת 1937 נמצא המשפט נכון לכל החזקות עד 617, בשנת 1955 הוגבה הרף ל-4,001, בשנת 1976 ל-125,000, ובשנת 1992 הוכחה נכונות המשפט לכל חזקה עד ארבעה מיליון!

במהלך שנות השמונים של המאה העשרים יצרו מתמטיקאים אחדים זיקה בין המשפט האחרון של פרמה ובין השערה בלתי מוכחת אחרת, השערת טניאמה-שימורה. זיקה זו אומרת שמהוכחתה של השערת טניאמה-שימורה נובעת נכונותו של המשפט האחרון של פרמה.

אם \ u^p+v^p=w^p היא דוגמה נגדית למשפט פרמה (כאשר p ראשוני ו- u,v,w מספרים שלמים), אז המשוואה \ y^2=x(x+u^p)(x-v^p) מתארת עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים. משוואה זו נלמדה עוד לפני שהקשר בין משפט פרמה, תבניות מודולריות ועקומים אליפטיים הובן במלואו, אך גרהארד פריי היה הראשון שהראה שעקום זה, אם הוא קיים, אינו מודולרי. ז'אן-פייר סר היה מי שהראה כיצד לקשר תבניות מודולריות למשפט פרמה, על-ידי מה שכונה "השערת האפסילון", שהוכחה מאוחר יותר, ב-1986, על-ידי קן ריבט. עבודתו של ריבט הרחיקה מעבר להשערת האפסילון, כשהוא הראה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"יציב למחצה", נובע המשפט האחרון של פרמה.

עבודתו זו של ריבט הביאה את ויילס להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן המאה השבע-עשרה, המשפט האחרון של פרמה.

בכנס שנערך בחודש יוני 1993 הציג אנדרו ויילס (Wiles), מתמטיקאי בריטי מאוניברסיטת פרינסטון שבארצות-הברית, הוכחה להשערת טניאמה-שימורה. במהלך ביקורת עמיתים התגלה פגם בהוכחה זו, אך פגם זה תוקן על-ידי ויילס ותלמידו, ריצ'רד טיילור, וההוכחה פורסמה בגיליון חודש מאי 1995 של כתב העת Annals of Mathematics. מהוכחה זו נובעת נכונותו של המשפט האחרון של פרמה.

ההוכחה של ויילס הנה טכנית ומסובכת מאוד, משתרעת על פני 200 עמודים לערך, עושה שימוש בטכניקות מתמטיות שפותחו רק במאה ה-20 ובלתי ניתנת להבנה גם על ידי רוב המתמטיקאים. מכאן שמאוד לא סביר שזו ההוכחה "הפשוטה להפליא" שעליה דיבר פרמה, ועל כן ייתכן שקיימת הוכחה פשוטה יותר מהוכחתו של ויילס שעדיין לא נתגלתה, או שפרמה טעה. הסברה האחרונה מתחזקת על ידי העובדה שפרמה כלל לא פרסם את גילויו או את ההוכחה. עובדה זו גם תורמת למחשבה שהוא גילה את טעותו, אך שכח למחוק את הערת השוליים שלו. למרות זאת, גם בימינו ישנם כאלו שמחפשים אחר ההוכחה ה"פשוטה" למשפט האחרון של פרמה.

[עריכה] לקריאה נוספת

  • סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000.

[עריכה] קישורים חיצוניים