מחלק
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מספר שלם a הוא מחלק של מספר שלם b אם אפשר לכתוב את b כמכפלה של a במספר שלם אחר. במקרה כזה, השארית בחלוקה של b ב-a היא 0. לדוגמה: 5 הוא מחלק של המספר 35, אך לא של המספר 33.
נהוג לסמן מחלקים כך: a|b פירושו "a מחלק את b."
היחס "לחלק את" הוא יחס סדר: הוא רפלקסיבי (a|a), טרנזיטיבי (אם a|b וגם b|c אז a|c) ואנטי סימטרי (אם a|b וגם b|a אז a=b).
למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה במתמטיקה.
[עריכה] הכללה
כאשר עוסקים בחוג כלשהו, גם כן ניתן לדבר על יחס של חלוקה. נאמר כי איבר
הוא מחלק של איבר
אם קיים בחוג איבר
כך ש-
.
מושג המחלק הוא בסיסי לצורך עיסוק במושג של תחום פריקות חד ערכית.
[עריכה] מספר מחלקיו של מספר שלם
משפט: מספר המחלקים של מספר שלם המיוצג בצורה:

כאשר המספרים:
ראשוניים, והמספרים:
שלמים, (על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, לכל מספר שלם יש הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים), הוא:

מכאן, הפונקציה האריתמטית
הסופרת את המחלקים של
, היא פונקציה כפלית.
לדוגמה ניקח את המספר 12. ברור כי למספר 12 יש בדיוק שישה מחלקים: 1,2,3,4,6,12
נציג את המספר כמכפלה של ראשוניים:
, על פי המשפט נובע כי למספר 12 יש בדיוק:
מחלקים.
הוכחה: כדי להיווכח בנכונות המשפט די לשים לב לכך שכל מחלק של המספר
הוא מהצורה
כאשר
.
כלומר, לכל וקטור מהצורה
עם
מותאם מחלק אחד ויחיד. מקומבינטוריקה בסיסית מקבלים כי מספר הווקטורים הזה הוא בדיוק
, שכן יש לנו
בחירות אפשריות לקואורדינטה הראשונה,
בחירות לקואורדינטה השנייה וכן הלאה.

