מספרים ידידותיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מספרים ידידותיים הם זוגות של מספרים שכל אחד מהם הוא סכום מחלקיו של המספר השני (כאשר 1 נחשב למחלק, אך כל מספר אינו נחשב למחלק של עצמו). נקראים גם מספרים רֵעִים או מספרים נאהבים.

דוגמה לזוג מספרים ידידותיים היא (220,284):

  • מחלקי המספר 220 הם 1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 44, 55 ו-110, וסכומם הוא 284.
  • מחלקי המספר 284 הם 1, 2, 4, 71 ו-142, וסכומם הוא 220.

מספרים ידידותיים היו כבר ידועים לפיתגוראים, שייחסו להם סגולות מיסטיות.

קיימת נוסחה כללית שנותנת זוגות מספרים ידידותיים (אך לא את כל הזוגות). נוסחה זו נקראת נוסחת תאביט, על-שם המתמטיקאי הערבי תאביט אבן קורא. אם נגדיר:

\,p=3\cdot 2^n-1
\,q=3\cdot 2^{n-1}-1
\,r=9\cdot 2^{2n-1}-1

כאשר \,n הוא מספר טבעי גדול מ-1, ו-\,r,p,q הם מספרים ראשוניים, אז המספרים \,2^nr ו-\,2^npq הם מספרים ידידותיים זה לזה.
נוסחה זו נותנת למשל את זוגות המספרים הידידותיים (220,284), (17296,18416) ו-(9363584,9437056), אך לא את זוג המספרים הידידותיים (6232,6368).

מספרים ידידותיים ותכונותיהם נחקרו על ידי מתמטיקאים כגון פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר. אך ב-1866 גילה נער איטלקי בן 16 את הזוג (1184,1210), שמשום מה חמק מעיניהם של המתמטיקאים הדגולים.

סביב המספרים הידידותיים, קיימות כמה בעיות פתוחות:

  • האם ישנה כמות אינסופית של מספרים ידידותיים?
  • ידועים זוגות מספרים ידידותיים ששני המספרים זוגיים, או ששני המספרים לא זוגיים, האם ישנם זוגות כאלו שהאחד זוגי והאחד לא?
  • לכל הזוגות שנתגלו עד כה, קיים לשני המספרים גורם משותף גדול מאחד, האם קיים זוג כזה כאשר שני המספרים זרים זה לזה?

מספר שהוא מספר ידידותי של עצמו נקרא מספר משוכלל. מספרים ידידותיים הם מקרה פרטי של מספרים חברותיים.

[עריכה] קישורים חיצוניים