הפרדוקס של גלילאו
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הפרדוקס של גלילאו הוא הדגמה של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות, שהוצגה על ידי גלילאו גליליי.
[עריכה] תיאור הפרדוקס
גלילאו בחן את קבוצת המספרים הטבעיים. חלק מהמספרים הטבעיים, הם כאלו שיש להם שורש ריבועי שהוא מספר שלם (למשל 4,9,16 וכן הלאה). אולם לא לכל המספרים הטבעיים יש שורש שלם, וה"רווח" בין המספרים בעלי השורש הולך וגדל, ולכן לכאורה יש יותר מספרים טבעיים, מאשר מספרים טבעיים בעלי שורש שהוא מספר שלם.
אולם, גלילאו הצביע על כך שלכל מספר שיש לו שורש שלם, ניתן להתאים מספר טבעי יחיד - השורש שלו - ואילו לכל מספר טבעי ניתן להתאים מספר יחיד בעל שורש - הריבוע שלו. בצורה כזו אנחנו יכולים לסדר את קבוצת המספרים הטבעיים ואת קבוצת המספרים הטבעיים בעלי השורש השלם זוגות זוגות, כל מספר יחד עם הריבוע שלו:
.
על כן, לכאורה, מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הטבעיים בעלי שורש שלם. הדבר נראה כסותר את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מבעלי שורש שלם. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה.
במאה ה-19 העניק המתמטיקאי גיאורג קנטור ניסוח פורמלי לרעיונותיו של גלילאו, והראה כי ניתן לדבר על גודל של קבוצות אינסופיות במונחים של עוצמה. על פי גישתו של קנטור, עוצמת המספרים הטבעיים ועוצמת הריבועים שלהם אכן זהה.

