משפטי שנילרמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת המספרים האדיטיבית,משפטי שנילרמן הם משפטים מרכזיים העוסק בצפיפות של קבוצות מספרים ,החלקיות לקבוצת המספרים הטבעיים.למשפטים אלו יש השלכה לבעיית וארינג והרבה מאוד משפטים העוסקים בתורת המספרים האדיטיבית.

תוכן עניינים

[עריכה] ניסוח המשפטים

יהא קבוצה \ A,B קבוצות מספרים המוכלות בקבוצת המספרים הטבעיים.אזי:
1)\ \delta(A+B)\geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B).
2)אם \ \vert A(n) \vert +\vert B(n) \vert > n-1 אזי \ n מופיע ב\ A+B
3)אם \ \delta(A)+\delta(B)\geq 1 אזי \ A+B=N (קבוצת המספרים הטבעיים).
כאשר הסימון דלתא מסמל צפיפות שנילרמן.
הערה: במשפט השני ושלישי אנחנו מניחים כי \ 0\in A,B

[עריכה] הוכחת המשפטים

[עריכה] המשפט הראשון

נבדוק שני מקרים: מקרה ראשון כאשר \ A,B מכילים לכל היותר איבר אחד,
ומקרה שני כאשר לפחות אחד מהקבוצות \ A,B מכילות יותר מאיבר אחד.בהינתן שמתקיים המקרה הראשון האי-שיוון הנו טריויאלי,שכן במקרה זה \ \delta(A) =\delta(B) =0 ודי ברור ש \ \delta(A+B)\geq 0= \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B).עכשיו נותר להוכיח את המשפט למקרה השני.נניח בלי הגבלות כלליות שכמות האיברים ב\ A גדול מאיבר אחד, ויהא \ a_k, a_{k+1} מספרים סדורים השייכים ל \ A כך ש\ a_k \leq a_{k+1} (כלומר המספר הכי קטן ב\ A הוא \ a_1 ו\ a_2הוא המספר הכי קטן ב\ A שגדול מ\ a_1 וכ') .נגדיר \ a_{k+1}-a_k-1=L_k.ברור שהמספרים \ a_k+1,a_k+2,...,a_k+L_k =a_{k+1}-1 לא שייכים ל\ A.כמוכן המספר \ a_k+r יופיעו ב\ A+B אם ורק אם \ r שייך ל \ B כאשר \ r הוא מספר קטן מ \ L_k וגדול מ \ 1,לכן \ r שייך ל \ B(L_k).
לכן הקבוצה \ a_k + B(L_k)(כלומר הקבוצה שכל איבריה שווים לסכום האיבר \ a_k ועוד איבר כלשהו מ\  B(L_k)) מוכל ב\ A+B.לכן גם אחוד כל הקבוצות מהצורה\ a_k + B(L_k) כאשר\ K רץ מ\ 1 ל \ n-1 מוכל ב\ A+B שזה הקבוצה \ A(n)+ \sum_{k=1}^{n-1} B(L_k)
.מכאן נובע ש \ \vert A(n)\vert +\vert \sum_{k=1}^{n-1} B(L_k) \vert \leq \vert (A+B)(n) \vert לפי הגדרת הצפיפות \ \vert B(L_k)\vert\geq\delta(B)*L_k וגם \ \vert A(n)\vert\geq\delta(A)*n, ומובן ש\ \sum_{k=1}^{n-1} L_k=n-A(n) (כי המקומות שבהם אין איבר מ\ Aהוא סכום כל האיברים שנמצאים בין \ a_{k+1}ל\ a_k)
לכן

\ \vert(A+B)(n)\vert\geq\vert A(n)\vert +\sum_{k=1}^{n-1} \vert B(L_k)\vert

\ \geq \vert A(n)\vert+\delta(B)\sum_{k=1}^{n-1} L_k = \vert A(n) \vert +\delta(B)(n-\delta(A)*n)\geq \delta(A)*n+\delta(B)*n-\delta(A)\delta(B)*n

לכן לכל n \ \frac{\vert(A+B)(n)\vert}{n} \geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B) לכן בהכרח מתקיים \ \delta(A+B)\geq \delta(A)+\delta(B)-\delta(A)\delta(B).
מ.ש.ל

[עריכה] משפט שני

נניח כי \ n\in A.ידוע כי \ 0\in B ולכן \ n=n+0\in A+B.כלומר המשפט מתקיים כאשר \ n נמצא ב\ A(באותו אופן המשפט נכון כאשר \ n\in B).לכן אם נוכיח את הטענה ל\ n\not\in B,A נוכיח את המשפט.
כאשר \ n\not\in B,A מתקיים \ A(n)=A(n-1),B(n)=B(n-1) ונקבל \ A(n-1)+B(n-1)>n-1.נגדיר \ \vert A(n-1)\vert =r,\vert B(n-1)\vert =s כלומר \ r+s>n-1.לכן אם יש \ r+s מספרים כאשר כל המספרים הם בין \ 1 ל\ n-1 אז יש לפחות מספר אחד שמופיע פעמיים.
לכן בהרכח שניים מהמספרים \ a_1,a_2,...,a_r,n-b_1,n-b_2,...,n-b_s מתלכדים.כלומר ישנו \ i,j כך ש \ a_i=n-b_j כלומר \ A+B\ni a_i+b_j=n
מ.ש.ל

[עריכה] משפט שלישי

לפי הגדרת הצפיפות לכל \ n מתקיים \ \frac{\vert A(n)\vert}{n} \geq \delta(A),\frac{\vert B(n)\vert}{n} \geq \delta(B). לכן \ \frac{\vert A(n)\vert}{n} +\frac{\vert B(n)\vert}{n}\geq \delta(A) +\delta(B) \geq 1 כלומר \ \vert A(n) \vert +\vert B(n) \vert \geq n>n-1 לכן,לפי משפט 2,כל \ n נמצא ב\ A+B ולכן \ A+B=N
מ.ש.ל

[עריכה] ראה גם

צפיפות שנילרמן