משפט השאריות הסיני
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט השאריות הסיני הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.
מקורו של המשפט בספר מהמאה השלישית של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו.
[עריכה] המשפט עבור משוואות מודולריות
נניח ש-
הם מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר, המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1). אז בהינתן מספרים שלמים כלשהם
, יש למערכת המשוואות (קונגרואנציות)
פתרון, ויתר על כן, כל שני פתרונות הם שקולים מודולו
(כלומר, הפתרון יחיד מודולו m).
בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג
איזומורפי לסכום הישר של החוגים
.
[עריכה] הוכחה
נגדיר
ואז מתקיים ש
זרים (מאחר ו-mi זר לכל גורם במכפלה המרכיבה את ni. אם הם לא היו זרים היה מספר ראשוני המחלק את שניהם, ובפרט את אחד הגורמים במכפלה, ואז היינו מקבלים ראשוני המחלק הן את mi והן mj אחר, בסתירה להנחה). מכיוון שהם זרים, קיימים ri ו si כך ש
או
.
כעת נגדיר
ואז
. בנוסף
כי mj מחלק את ni.
בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר:
באמצעותו קל לבנות את הפתרון, שהוא:
שכן
כנדרש.
לסיום, יהי y פתרון אחר, אזי לכל i מתקיים ש
ומאחר שכל ה-mi זרים נובע שגם
ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו m.
בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות.
[עריכה] המשפט בתורת החוגים
יהי
חוג עם יחידה. נניח שהאידאלים
הם 'מקסימליים הדדית', כלומר
לכל
. אז חוג המנה
איזומורפי לסכום הישר של החוגים
.
המשפט חל, לדוגמה, כאשר האידאלים
כולם אידאלים מקסימליים שונים זה מזה. במקרה זה חוגי המנה
הם שדות, ואז
הוא חוג קומוטטיבי ראשוני למחצה.




