משפט קיילי-המילטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה לינארית הקרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון; הראשון שהוכיח אותו הוא פרדיננד גאורג פרובניוס.

נוסח המשפט הוא: תהי \ A מטריצה ריבועית n \times n, ויהי f(\lambda) = \left| A - \lambda I \right| הפולינום האופייני שלה - אזי מתקיים \ f(A) = 0, כלומר מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.

המשפט תקף למטריצות מעל כל חוג קומוטטיבי, ואחת ממסקנותיו היא שהפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.

במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל \ 2\times 2, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל \ 3\times 3; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרובניוס, ב- 1878.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.


[עריכה] מקורות