Halmazrendszer
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Halmazrendszeren a matematikában többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:
- A naiv halmazelméletben szokás halmazrendszer vagy halmazcsalád néven beszélni olyan halmazokról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a halmazcsalád elnevezést;
- Szűkebb értelemben halmazrendszeren olyan „rendezett halmazt” érthetünk, melynek elemei is halmazok. A „rendezett” kifejezést itt nem precíz matematikai értelemben használjuk, hanem olyan objektumot értünk rajta, amelyet elsősorban elemei határoznak meg, tehát hasonlít a halmazokhoz, de egy elem többször is előfordulhat – tulajdonképp halmazrendszeren egyszerűen egy olyan vektort érthetünk, melynek elemei is halmazok. Az elemek „elrendezése” is fontos ugyanúgy, mint egy vektorban.
A precíz definíció a következő:
Legyen I tetszőleges halmaz, az ún. indexhalmaz (ez gyakran a pozitív egészek
halmaza). Legyen továbbá
másik tetszőleges halmaz. Ennek részhalmazai halmazát, azaz hatványhalmazát továbbra is
-val jelöljük.
Ekkor valamely
függvényt az
halmaz I indexhalmaz feletti halmazrendszerének nevezzük, és
-vel jelöljük. Tehát
. Az
részhalmazokat a (halmaz)rendszer tagjainak nevezzük. Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az
rendszer egy
tagja esetén az
, azaz az
jelölés használata.
[szerkesztés] Halmazműveletek
A halmazrendszerekkel különféle műveletek végezhetőek, pl.
- Unió/Egyesítés:
=
= 
- Metszet:
=
=
. - Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra (
= „létezik pontosan egy ... ”) kell cserélni;
Ezen műveletekkel bővebben az unió, a metszet és a halmazműveletek cikkekben foglalkozunk.
Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.
[szerkesztés] Irodalom
- Maurer Gyula: Bevezetés a struktúrák elméletébe


Based on work by