Számábrázolás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számábrázolás az a mód, ahogyan a számokat szimbólumokkal jelöljük. Ezen belül a számírások olyan számábrázoló rendszerek, melyeket az emberi történelmi kultúrák fejlesztettek ki gazdasági és tudományos célból a számok kezelésére, a számrendszerek olyan, matematikusok által kifejlesztett számábrázoló rendszerek, amelyeknek elsősorban elméleti ill. tudományos jelentősége van. Szűkebb értelemben véve a számábrázolás az a mód, ahogyan a számítógépek a számszerű adatokat megjelenítik.

Általában egy számábrázolási módtól megköveteljük, hogy egységes és rendszeres legyen, azaz létezzen olyan algoritmus, amely tetszőlegesen adott, bármely szóba jövő számhoz (legalábbis egy meghatározott intervallumon belül) megadja azt a szimbólumot, amely a kérdéses számábrázolási módban az illető számot ábrázolja.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az egyes számrendszer

A legegyszerűbb számábrázolási mód az összes pozitív egész szám leírására alkalmas egyes számrendszer. Ennek keretében az n számot egyszerűen n db. pálcikával vagy vonással (esetleg pöttyel, pipával stb.) jelöljük, pl. a „három” szám jele |||. A legtöbb ősi jellegű számírás (sumer, korai görög, római) ennek egy nem is olyan nagy mértékben módosított, alfabetikus számírássá alakított változata.

Bevezethető a nullát jelölő szimbólum is: 0.

Negatív számok csak segédjelek segítségével ábrázolhatóak: pl. -|||| jelentheti a -4-et, vagy esetleg az hogy a négy „pálcikát” a | segédjel jobb ill. bal oldalára írjuk: „négy” = ||||| és „mínusz négy” = |||||

[szerkesztés] Alfabetikus számírások

Az ókorban szinte mindenhol az alfabetikus számírások terjedtek el uralkodó számírásként. Ezek lényege, hogy a számokat betűkkel jelöljük, az | vonást például az I betűvel (mert hasonlítanak); de ezen az elemi egységen kívül további egységeket is bevezetünk, ezeket külön betűkkel jelölve. A betűk egymás mellé írása pedig összeadást jelent: így építhető fel additív módon minden szám az „egységek” összeadásával (ajánlott konkrét példaként a legegyszerűbb római számírás tanulmányozása, az világossá teszi a dolgot).

Megjegyezzük, hogy az alfabetikus számírások előbb léteztek ugyan, mint a fix alapú számrendszerben (ld. ott) történő számírások, maguk a fix alapú számrendszerek azonban minden bizonyal megelőzték az alfabetikus számírásokat, mert előbb beszélt az emberiség a számokról fix alapú számrendszerek segítségével, mint írt volna számokat az alfabetikus írás segítségével. Hogy mégis a nehézkesebb alfabetikus írásrendszerek terjedtek el, annak egyik oka valószínűleg az, hogy sokáig nem találták fel a 0-t jelölő szimbólumot, ami nélkül fix alapú számrendszerekben írni sokkal nehézkesebb, mint alfabetikusan (bár a késő babiloni korban megpróbálták); a másik ok talán az, hogy igen elterjedt volt az ókorban az abakusz használata, amivel könnyen lehet műveleteket végezni, a számok leírását szinte teljesen elkerülve. Matematikai célokra (műveletek végzése) ugyanis az alfabetikus számírás szinte nem is használható: már az összeadás is nagyon körülményesen oldható meg, a szorzás pedig külön egy egész külön tudományt igényel. A számírást inkább csak dátumozásra használták, illetve tudósok tudományos célra, akik úgyis az ezzel való „szenvedésre” tették fel az életüket.

[szerkesztés] római

A római számírás az egyes számrendszer egy módosított változata. A módosítások:

  • az | szimbólumon kívül még további, nagyobb egységeket jelölő szimbólumokat is bevezetünk, a következőképp:
    • „egy” (= „|”) = I (lat. „unus”);
    • „öt” (= „IIIII”) = V (lat. „quinque”);
    • „tíz” (= „VV”) = X (lat. „decem”);
    • „ötven” (= „XXXXX”) = L (lat. „quinquaginta”);
    • „száz” (= „LL”) = C (lat. „centum”);
    • „ötszáz” (= „CCCCC”) = „D” (lat. „quingenti”);
    • „ezer” (= „DD”) = „M” (lat. „mille”);
A legenda szerint a V betű a kiterjesztett, öt ujjú tenyeret jelképezi, az X két V betűt, azaz kétszer ötöt jelképez; a százat (centum) jelölő C és az ezret jelölő M szimbólumok e számok latin neveinek kezdőbetűi; az ötven jele, L a szögletesen írt C betű kettévágásából, az ötszáz pedig a gömbölyűen írt M betű kettévágásából keletkezett, jelezve, hogy az előbbiek az utóbbiak felerészei.
  • Ez a római számírás szimbólumkészlete; a képzési szabály pedig a következő:
    • egymás mellé az áttekinthetőség okán maximum 3 egyforma szimbólum írható;
    • ha kisebb értékű szimbólum a nagyobbat követi, az összeadást jelent;
    • ha pedig a kisebb a nagyobbat megelőzi, az kivonást.

Például XXX=„harminc”, de a negyvenet már nem írhatjuk XXXX-ként, hanem vesszük az X-et követő szimbólumot, az öt X-et jelentő L-t, és kivonással állítjuk elő: „negyven”=XL.

Az első néhány szám római írásmódban:

  • I
  • II
  • III
  • IV
  • V
  • VI
  • VII
  • VIII
  • IX
  • X
  • XI
  • XII,
  • XIII
  • XIV
  • XV
  • XVI
  • XVII
  • XVIII
  • XIX
  • XX
  • Innentől kezdve pedig rendre XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX, XXXI, XXXII, ... stb.;

Belátható, hogy ily módon minden szám ábrázolható I-től egészen MMMDDDCCCLLLXXXVVVIII-ig, azaz négyezer-kilencszázkilencvennyolcig (4998). Nagyobb számok írásához új „egységeket” kell bevezetni.

[szerkesztés] Fix alapú számrendszerek

Ha az egyes számrendszerben nagy számot írunk fel, pl. negyvenhárom = |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||, akkor a dolog kicsit áttekinthetetlen. Alapvető ötlet, amit már pl. pilóták vagy számadó juhászok is alkalmaztak a lelőtt ellenséges gépeket számontartó repülőgéporrukon vagy juhokat nyilvántartó rovátkolt botjukon, hogy pl. hármanként csoportosítjuk az egyes rovásokat, például áthúzással, vagy egyszerűen a pálcikák közelebb írásával:

||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| |;

Az utolsó rovátkát nem tudjuk csoportba sorolni, az kimaradt. Így ||| alakú csoportból még mindig nagyon sok van. Csoportosítsuk ezeket is hármanként:

(||| ||| |||) (||| ||| |||) (||| ||| |||) (||| ||| |||) ||| ||| |

Ha még mindig nem áttekinthető a dolog, akkor addig folytathatjuk a csoportosítgatást, amíg csak lehetséges.

Ennek a folyamatnak a végén keletkezik:

  • 1 darab hármasok hármasaiból álló hármas csoport, 27 pálcika;
  • plusz még 1 darab hármasok hármasaiból álló csoport, azaz 9 pálcika;
  • 2 darab hármas csoport, azaz 6 pálcika;
  • valamint még 1 pálcika.

Ha bevezetjük az „|” jelölésére az 1, a „||” jelölésére a 2 és a „ ” (nulla) jelölésére a 0 szimbólumokat, jegyeket, akkor mindezt röviden úgy is leírhatjuk: „negyvenhárom” = 1121(3). Egyszerűen egymás mellé írjuk a csoportok számának megfelelő jegyet, a legnagyobb csoport számát baloldalra, aztán jobbfelé haladva rendre az egyre kisebb csoportok számát jelölő jegyeket.

Ezzel megkaptuk a hármas számrendszert. Matematikailag egy-egy hármas csoportokba rendezés azt jelenti, a számot felírjuk a lehető legnagyobb, a számnál még kisebb hárommal osztható szám és a szám hárommal való osztásának maradéka összegeként, egyszerűbben mondva maradékosan osztjuk a számot 3-mal:

43=3×14+1;

egy újabb csoportosítás során a hányadost megint maradékosan osztjuk 3-mal:

14=3×4+2;

majd megint osztjuk a hányadost maradékosan 3-mal:

4=3×1+1;

éppenséggel még egyszer oszthatunk 3-mal:

1=3×0+1;

most már a hányados 0, ez szemléletesen azt jelenti, hogy további hármas csoportokat már nem csoportosíthatunk, befejeztük.

A hányadosok az alábbi számsort képezik (a megfelelő csoportok létszáma balról jobbra növekszik): 1,2,1,1, de mivel hagyományosan balra szoktuk írni a legnagyobb csoportok számát, és jobbra az egyre kisebbeket, a számsort fordítva kell leírni: 1121. Ennyi a 43 hármas számrendszerben.


[szerkesztés] Lebegőpontos számírások

[szerkesztés] Egyéb számítógépes formátumok

[szerkesztés] Komplemens rendszerek

[szerkesztés] BCD-kód

A BCD-kód (Binary Coded Decimal) alapelve, hogy a tízes számrendszerben felírt számot számjegyenként binárisan kódoljuk, majd rendre egymás mellé írjuk az így kapott számsorokat. Az egyes számjegyek kódjai:

  • 0=0000
  • 1=0001
  • 2=0010
  • 3=0011
  • 4=0100
  • 5=0101
  • 6=0110
  • 7=0111
  • 8=1000
  • 9=1001

Így például a 3458 kódja a következő lesz: 0011|0100|0101|1000, azaz „háromezernégyszázötvennyolc” = „3458” = 0011010001011000.

[szerkesztés] Gray-kód

Dióhéjban a Gray-kód a nemnegatív egész számok leírására alkalmas számábrázolás, melyet rekurzívan a következőképp adhatunk meg: az első néhány szám kódja:

0=0 1=1 2=11 3=10 4=110 5=111 6=101 7=100 8=1100 9=1101 10=1111 11=1110 ... stb.

Azaz „mindig csak egy bit változik”.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.