Ciklikus csoport

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.

A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a moduló m maradékosztályok additív csoportjával (Zm={0,1,...,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z+). A véges csoportok osztályozásának elméletében nagy jelentősége van a ciklikus csoportoknak, mert minden prím elemszámú csoport ciklikus csoport.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

A ciklikus csoport definíciójának felírása előtt vissza kell utalnunk a csoportbeli egész kitevős hatványozás illetve a generált részcsoport fogalmára.


Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G,\cdot) csoport ciklikus, ha van olyan G-beli a elem, melyre

G=\{a^n \mid n = 0, \pm1, \pm2, ... \}

Ekkor a-t a G (egyik) generátorelemének nevezzük.


Megjegyzés. A definíció egy ekvivalens megfogalmazása, hogy G akkor és csak akkor ciklikus, ha létezik olyan a eleme, hogy az a-t tartalmazó egyetlen G-beli részcsoport maga G, azaz létezik aG, hogy minden G-beli H részcsoportra

a\in H \Rightarrow H=G.

Ebben az esetben tehát a generálja G-t, vagyis

\left\langle a \right\rangle=G.

Világos, hogy

\left\langle a \right\rangle = \lbrace a^n \mid n \in \mathbb{Z} \rbrace ,

ugyanis egyrészt a hatványozás csoportbeli azonosságainak felhasználásával belátható, hogy

\forall\; b,c\!\in \!\{a^n \mid n\in \mathbb{Z}\} \;\; b\cdot c^{-1}\!\in\! \langle a \rangle

tehát

\{a^n \mid n\in \mathbb{Z}\}

részcsoport G-ben, másrészt ez a legszűkebb a-t tartalmazó részcsoport, hiszen minden G-beli H részcsoport tartalmazza a és a-1 összes nemnegatív egész kitevőjű hatványát.

[szerkesztés] Példák

1. Az egész számok halmaza az összeadásra nézve ciklikus csoportot alkot, mely egybeesik az egész számok gyűrűjének additív csoportjával, azaz Z+-szal. Ebben a csoportban generátorelem az 1 ∈ Z+ szám:

\mathbb{Z}^+ = \{1\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}\}

Hasonlóképpen generátorelem még a (-1) ∈ Z+ szám is.


Megjegyzés. Az 1\cdotn jelölés additív, abban az értelemben, hogy a hatványozás szokásos csoportelméleti jelölése helyett ( an ) a + jelhez adekvát a + a + ... + a = n\cdota, n tagú összeg alakjában szerepelnek a generált csoport elemeit.


2. Ha m nemnulla természetes szám, akkor a Z / mZ faktorcsoport a + komplexusösszeggel ellátva ciklikus csoportot alkot. Z / mZ (más jelöléssel Zm) a moduló m maradékosztályok additív csoportja. Az mZ komplexus az m-mel osztható egész számok részcsoportja, Z / mZ pedig egyenlő az

\{m\mathbb{Z}+r\mid\ r=0,1,...,m-1\}

mellékosztályok halmazával, ahol r = 0, 1, ..., m-1 az m-mel való osztás maradéka (mZ + r pedig a Z következő részhalmaza, vagy más néven komlexusa: {mq + r | q ∈ Z} )


3. Ha p prím, akkor Zp nemnulla elemei ciklikus csoportot alkotnak a "maradékok" szorzásával, mint csoportművelettel ellátva. Ekkor a Z / pZ faktorgyűrű multiplikatív része

\mathbb{Z}_p^*=\mathbb{Z}_p\setminus\{0\}

éppen p-1 elemű, és generátoreleme bármely nem 1 elem. (Sőt, az is igaz, hogy ekkor Zp* egy p-1 elemű véges, kommutatív test.)


4. Vegyük az n oldalú szabályos sokszög összes olyan saját magára történő leképezéseit, melyek megtartják a körüljárási irányt. Ezen leképezések ciklikus csoportot alkotnak a leképezések egymásutánjával, mint művelettel ellátva. A csoport elemszáma n, generátoreleme a 2π / n szögű elforgatás.


[szerkesztés] Ciklikus csoportok osztályozási tétele

A G ciklikus csoport esetén az

exp_g: \mathbb{Z}\rightarrow G;\; n\mapsto g^n

leképezés szürjektív csoporthomomorfizmus Z+ és G között, amennyiben g a G csoport egy generátoreleme.


Állítás. Ha a G ciklikus csoport végtelen rendű, akkor tetszőleges gG esetén az expg leképezés Z+ \rightarrow G izomorfizmus.


Ugyanis, két tetszőleges egész szám közül a nem nagyobbat m-mel, a nem kisebbet n-nel jelölve, tegyük fel, hogy gn = gm. Szorozzunk be g-m-mel: gn-m = e. Vagyis g legfeljebb n-m -ed (nemnegatív szám) rendű elem, de g hatványai előállítják G-t, mely végtelen elemszámú, így n-m más véges szám nem lehet, csak 0, amiből n=m következik. expg tehát injektív.


Tétel - Osztályozási tétel - A G ciklikus csoport izomorf

Z-vel, ha végtelen rendű és
Zm-mel, ha m-ed rendű ( m pozitív természetes szám ).

[szerkesztés] Elem rendje - ciklikus részcsoport rendje

A ciklikus csoportok esetén nagy jelentősége van az elemek rendjének.

Definíció. Ha G csoport, e a neutrális eleme és aG, akkor az a elem rendjének nevezzük azt a legkisebb pozitív egész k számot, melyre

a^k=e\,

Az a elem rendjét

o(a)\,

-val jelöljük.