Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha
nemnegatív valós számok, akkor
![\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}](../../../math/8/c/a/8cad84dcbd54224eb1409d09191f1934.png)
teljesül, tehát n szám számtani közepe legalább akkora, mint a mértani közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha
.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Bizonyításai
[szerkesztés] Az n=2 eset
A bizonyítandó
ekvivalens
-nel, de a jobboldal négyzetéből a baloldalt levonva
-t kapunk, ami (a1 − a2)2, tehát nemnegatív.
[szerkesztés] Első bizonyítás
Indukcióval bizonyítunk, az n = 2 eset már megvan. Belátjuk, hogy ha n-re igaz az állítás, akkor 2n-re is. Az adott 2n számot osszuk két n-es csoportra, majd külön-külön alkalmazzuk az n-re vonatkozó állítást:

ahol A az első n, B pedig az utolsó n szám összege. Az n=2 esetet alkalmazva az
szorzat legfeljebb

tehát azt kaptuk, hogy 2n szám szorzata legfeljebb átlaguk 2n-edik hatványa, azaz készen vagyunk. Ezzel megkaptuk az állítást arra az esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány. Ha n nem 2-hatvány, így járunk el: tegyük fel, hogy
nemnegatív valós számok, számtani közepük A. Legyen 2k > n, egészítsük ki sorozatunkat 2k − n új, A-val egyenlő taggal. Az új sorozat tagjainak számtani közepe még mindig A. Alkalmazva a már igazolt esetet, az adódik, hogy

azaz

[szerkesztés] Második bizonyítás
Indukcióval feltehetjük, hogy n-re igaz az állítás és n+1 szám van adva:
és x. Jelöljük A-val az
számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy
. Be kell látnunk, hogy

teljesül minden
számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy
, ezért azt kell belátni, hogy
azaz

teljesül. f(x)polinom, ami 0-ban pozitív, A-ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:

ahonnan x = A.
[szerkesztés] Harmadik bizonyítás
Ez az indukciós bizonyítás erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy n+1 számunk van, ezek számtani és mértani közepe An + 1 és Gn + 1, az első n szám számtani illetve mértani közepe pedig An és Gn. Ekkor

Ez elég, hiszen ha
, akkor a képlet szerint
. A képlet igazolásához Gn-nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az

új változót, a következő adódik:

Ezt kell tehát
-ra igazolni. Ezt n-re való indukcióval bizonyítjuk. Az n = 0 eset igaz. Ha pedig n-1-re igaz, akkor n-re

(Richard Rado bizonyítása)
[szerkesztés] Negyedik bizonyítás
Ez az analízis mély fogalmait használó bizonyítás az exponenciális függvény következő tulajdonságára épül:
ha x valós, egyenlőség csak akkor áll, ha x = 0. Tegyük fel tehát, hogy adottak az
pozitív számok, számtani közepük A. Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az
(
)számokra:

Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy

A baloldal
miatt így alakítható:
és ezzel azt kaptuk, hogy
, tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha
, azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.
[szerkesztés] Ötödik bizonyítás
Ha valamelyik
szám nulla, akkor az állítás triviális. Így feltehető, hogy mindegyik pozítiv. Az állítás homogén, így elég bizonyítani arra az esetre, hogy
esetén
teljesül. Ha minden
szám egy, akkor megint triviálisan igaz az állítás, sőt egyenlőség van. Ellenkező esetben így feltehető, hogy nem minden szám egy, de mivel az
szán összege
, ezért van egynél kisebb és nagyobb szám is köztük. Legyen ez a kettő:
. Cseréljük ki ezt a két számot
és
-gyel, ekkor az összeg állandó marad, mert
, viszont a szorzat növekszik, mert
( hiszen rendezve:
). Így az összeg nem változott a szorzat nőtt és eggyel több 1-es lett a számok közt. Az eljárást folytatva így minden szám egy lesz, amire teljesül az egyenlőtlenség tehát az eredeti is igaz lesz.
[szerkesztés] Súlyozott alak
A tétel súlyozott változata a következő. Ha
nemnegatív valós számok,
pozitív valós számok, amikre
teljesül, akkor

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha
. Ennek
speciális esete az eredeti tétel.


Based on work by