Zorn-lemma
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Zorn-lemma, vagy más néven Kuratowski–Zorn-lemma, a halmazelmélet egyik legfontosabb, (rendezett halmaz tekintetében fennálló) maximális elem létezését állító tétele. A Zorn-lemma szerint:
- Ha egy nemüres (részben) rendezett halmazban minden lánc felülről korlátos, akkor a (részben) rendezett halmazban van maximális elem.
A lemma állítása nem tűnik „nyilvánvaló” állításnak, ellentétben a kiválasztási axióma által megfogalmazott állítással, amivel azonban ekvivalens.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A lemmában szereplő fogalmakról
A lemmában szereplő fogalmakon a következőket kell érteni:
- részben rendezés egy H halmaz feletti ≤ (homogén, kétváltozós) reláció, ha reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus.
A továbbiakban H egy részbenrendezett halmaz, melyen ≤ részbenrendezés:
- az L ⊆ H részhalmaz lánc, ha bármely két eleme összehasonlítható egymással: x ≤ y vagy y ≤ x minden x,y ∈ H-ra (azaz L-en a rendezés teljes rendezés, más néven láncszerű, avagy lineáris)
- L ⊆ H felülről korlátos, ha van olyan H-beli h elem, hogy minden x ∈ L-re x ≤ h; a H halmazt induktívnak nevezzük, ha benne minden lánc felülről korlátos.
- H-ban m maximális, ha minden vele összehasonlíthatónál nagyobb vagy egyenlő, azaz minden x ∈ H-ra x ≤ m vagy m ≤ x esetén x ≤ m.
A maximális elem létezése természetesen nem azt jelenti, hogy van legnagyobb eleme a részbenrendezett halmaznak, hanem csak azt, hogy vannak olyan elemei - esetleg több is - amelyeknél már nincs nagyobb elem. Az, hogy lehet több ilyen elem is, abból következik hogy részbenrendezett halmazban még lehetnek olyan elemek, amelyek nem összehasonlíthatóak az adott relációban.
A Zorn-lemmát az induktív rendezés fogalma segítségével még a következő formában is kimondhatjuk.
- Nemüres, induktívan rendezett halmazban van maximális elem.
[szerkesztés] A Zorn-lemma állítása
Legyen ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz. Ha ( P , ≤ ) minden ( L , ≤ ) részbenrendezett részhalmazának van felső korlátja (P-ben), akkor ( P , ≤ )-nek van maximális eleme.
[szerkesztés] Bizonyítás (a kiválasztási axióma segítségével)
Elegendő belátni, hogy ha egy H halmaz bizonyos részhalmazainak
halmaza azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy
-beli elem részhalmaza is
-beli (X ∈
(X) ⊆
),
-beli elemek uniója is
-beli (
⊆
U
∈
, mely így a
-nak felső korlátja (
,⊆)-ban)
akkor (
,⊆)-ban van maximális elem.
Áttérhetünk ugyanis a ( P , ≤ ) rendezett halmazról egy jobban kezelhetőre, a következőre. Legyen
vagyis az a függvény, mely egy x ∈ P-hez az x-ből és megelőzőiből álló halmazt rendeli. Ekkor az F értékkészletére, az
⊆ P(P) halmazra gondolhatunk úgy, mint az (
,⊆) parciálisan rendezett halmaz alaphalmazára. Ekkor f rendezésizomorfizmus (P,≤)-ből (
,⊆)-be. ( F(x) lényegében az x elem által meghatározott kezdőszelet lezártja: [←,x] .) A P halmaz összes láncainak
halmaza ugyanis a fenti tuljadonsággal rendelkezik. Továbbá a feltétel miatt igaz, hogy
tetszőleges eleme (azaz egy P-beli lánc) felülről korlátos
-ben, tehát van x ∈ P amire részhalmaza F(x)=[←,x]-nek. Ez azt jelenti, hogy ha találunk M maximális elemet
-ban, akkor annak [←,x] felső korlátja olyan, hogy x ∈ M, ellenkező esetben lenne M-nek valódi, x-szel történő kibővítése, mellyel még mindig lánc lenne, ami ellentmond a maximális tulajdonságának.
A bizonyítás tehát egy konkrét halmazelméleti feladattá redukálódott...
[szerkesztés] Közvetlen következmények
Következmény (Hausdorff-féle láncaxióma) – Ha ( P , ≤ ) részbenrendezett halmaz és L ⊆ P lánc P-ben, akkor van M ⊆ P maximális részlánc P-ben, mely tartalmazza L-t. Ebben minden lánc felülről korlátos (felső korlátja P), így van maximális eleme.
Ugyanis legyen
a P összes olyan láncainak halmaza, melyek tartalmazzák L-et. Tekintsük az (
,⊆) részbenrendezett halmazt. Ha
⊆
lánc (
,⊆)-ben, akkor U
lánc ( P , ≤ )-ben, tehát eleme
-nek és egyeben felső korlátja is
-nek. (
,⊆)-re tehát alkalmazhatjuk a Zorn-lemma állítását, azaz létezik M ∈
maximális elem, mely tartalmazza L-et. (Ha ez nem lenne maximális P-ben is, akkor lenne L-et tartalmazó bővebb P-beli lánc, ami ellentmond M
-beli maximális voltának.)
Következmény – Ha ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz, melynek minden részlánca korlátos, akkor minden a ∈ P elemhez létezik olyan ma maximális elem P-ben, hogy a ≤ ma.
Az előző tételt alkalmazhatjuk. Van tehát {a}-t részként tartalmazó maximális M lánc, amely a feltétel szerint felülről korlátos és a Zorn-lemma alapján van maximális eleme. Ez P-ben is maximális, mert ellenkező esetben valódi módon kibővíthető volna M ami ellentmond M maximális részlánc tulajdonságának.
Következmény – Ha a ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz minden jólrendezett részhalmaza korlátos, akkor van P-ben minimális elem.
Valójában ezek ekvivalensek is a lemmával, csak bizonyításuk egyszerűsége folytán sorolhatók a korolláriumok közé.
[szerkesztés] Ekvivalens állítások
A Zorn-lemma ekvivalens a kiválasztási axiómával, s így minden a kiválasztási axiómával ekvivalens kijelentéssel is. Ezek (a teljesség igénye nélkül) a következők:
- Teichmüller–Tukey-lemma
- Birkhoff-tétel
- jólrendezési tétel
- Tyihonov-tétel, mely kimondja, hogy tetszőleges számú kompakt topologikus tér szorzata is kompakt.
- Minden vektortérnek van bázisa.
Számos, főleg algebrai alkalmazásban helyettesíti a transzfinit rekurzió használatát.
[szerkesztés] Története
Ahogy az a matematikában oly gyakran megesik, ezt a tételt sem első felfedezőjéről nevezték el. Zorn 1935-ös publikációja előtt már publikálta a tételt Kuratowski (1922), Hausdorff (1927), majd sokan mások.
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954.
- Maurer Gyula, Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1976.
- Paul Halmos, Elemi halmazelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
- Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, Budapest, 1994.



Based on work by GaborLajos,