Püthagoraszi komma
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Püthagoraszi kommának nevezzük azt az eltérést, ami 12 egymásra épített tiszta kvint és 7 egymásra épített tiszta oktáv között található. A püthagoraszi komma létezése a hangolás alapproblémája: a különféle hangolási rendszerek ezen eltérést kívánják különböző módokon felszámolni, ez azonban - a számok tulajdonságai következtében - csak kompromisszumokkal lehetséges.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Értéke
Az érték meghatározásakor számolhatunk frekvenciaviszonyokban illetve centekben.
a) Frekvenciaviszonyokban számolva
- A tiszta oktáv viszonyszáma 2/1, a tiszta kvinté pedig 3/2. A 12 egymásra épített tiszta kvint és 7 egymásra épített tiszta oktáv frekvenciaviszonya tehát - a frekvencia exponenciális jellege következtében - így számítható:

- Látható, hogy a két szám nem egyezik meg, a 12 tiszta kvint valamivel több, mint a 7 tiszta oktáv.
b) Centekben számolva
- A tiszta oktáv centértéke definíciószerűen 1200, a tiszta kvinté pedig:
- A különbség:
- Átszámítva frekvenciaviszonyra (ellenőrzésül):
A püthagoraszi komma értéke tehát 1,0136432 illetve 23,46 C, ami körülbelül a félhang egynegyede.
[szerkesztés] Kiküszöbölése
A különféle rendszerek különböző módokon igyekeznek megszüntetni a püthagoraszi kommát, azonban ez csak kompromisszumokkal lehetséges, mivel több szempontot kellene egyszerre érvényesíteni. Egyrészt kívánatos volna megtartani a hangnemek tisztaságát, amennyire csak lehetséges (így például figyelembe kell venni a szintonikus komma létezését is, ami a tiszta kvintekből felépített nagyterc és a tiszta nagyterc közötti viszonyt írja le), másfelől pedig törekedni kell arra, hogy minél több hangnemben lehessen nagyjából változatlanul játszani. Attól függően, honnan közelítjük meg a problémát, kapjuk a különböző hangolási rendszereket.
[szerkesztés] Az alaphangnem tisztasága
Ha megelégszünk azzal, hogy csak egy hangnemben játsszunk, akkor alkalmazhatjuk a tiszta hangolást, ami az alaphangnem tekintetében teljesen tiszta hangközökkel dolgozik. Ez ugyanakkor nem azt jelenti, hogy például minden kvint tiszta, hanem az alaphangnem intervallumai mindenképpen tiszták, a többi szólhat hamisan.
Ebben az esetben a püthagoraszi komma úgy tűnik el, hogy nem kvintekből építjük fel a rendszerünket; ugyanakkor abban az esetben, ha kiterjesztjük további oktávokra ezen hangolást, olyan hangsort kapunk, mely megfelel 9 tiszta, 2 a szintonikus kommával csökkentett és 1 a diaschismával megnövelt kvintből felépülő láncnak.
A püthagoraszi komma kiegyenlítése tehát a tiszta hangolásban így történik:
Püthagoraszi komma - 2 · Szintonikus komma + Diaschisma = 23,46 - 2 · 21,506 + 19,552 = 0
[szerkesztés] Tiszta kvintek
Ha a kvintek tisztaságát tartjuk a legfontosabbnak, a terceké és más hangközöké nem érdekes annyira, akkor a püthagoraszi hangoláshoz jutunk. Ugyanakkor itt is szükség van az egyik kvint beszűkítésére ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon. Attól függően, melyik kvintet szűkítjük, kapjuk meg a püthagoraszi hangolás különféle változatait; ezek közül leggyakoribb a Gisz-Esz kvintet a komma értékével lecsökkentő.
Ebben az esetben tehát egyetlen kvint küszöböli ki a püthagoraszi kommát, a többi tiszta marad, tehát:
Püthagoraszi komma - Püthagoraszi komma = 0
[szerkesztés] Tiszta nagytercek
Ha a nagytercek tisztasága fontos, a kvinteké elhanyagolható, akkor a középhangú temperálás valamelyik változata használandó. Ezek közül legelterjedtebb a negyedkommás középhangú temperálás, amelynél 11 kvintet a szintonikus komma negyedével (innen a név) beszűkítenek, így a nagytercek - 4 kivételével - tiszták lesznek, a 12. kvint (farkaskvint) pedig kiküszöböli a szűkítések miatti eltérést.
A kiegyenlítés képlete tehát:
Püthagoraszi komma - 11 · Szintonikus komma / 4 + Farkaskvint szűkítése = 23,46 - 11 · 21,506 / 4 + 35,6815 = 23,46 - 11 · 5,3765 - 35,6815 = 0
[szerkesztés] Játszhatóság minden hangnemben
A fenti rendszerek egyike sem teszi lehetővé azt, hogy minden hangnemben elfogadhatóan játszhassunk. Ehhez a jóltemperált hangolások valamelyikére van szükség, amelyekben a püthagoraszi komma több részre lesz elosztva, így lehetővé téve a hangnemek használatát. Ezek közül legelterjedtebb a maga idejében a Werckmeister III. típusú hangolás volt, amelynél 5 kvintet beszűkítenek a komma negyedével, egyet pedig kibővítenek, így elérve azt, hogy záródjon a kvintkör.
A képlet ebben az esetben:
Püthagoraszi komma - 5 · Püthagoraszi komma / 4 + Püthagoraszi komma / 4 = 23,46 - 5 · 5,865 + 5,865 = 0
[szerkesztés] Teljesen egyforma hangnemek
A ma használatos kiegyenlített hangolásban minden hangnem teljességgel egyforma, az oktávon kívül pedig egyetlen tiszta hangköz sincs. Itt a püthagoraszi kommát a 12 egyformán beszűkített - nem tiszta - kvint egyenlíti ki, a képlet tehát:
Püthagoraszi komma - 12 · Püthagoraszi komma / 12 = 23,46 - 12 · 1,955 = 0





Based on work by