Impulzusmomentum

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az impulzusmomentum vagy magyarosabban perdület egy fizikai mennyiség.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Impulzusmomentum a klasszikus mechanikában

[szerkesztés] Definíció

Egy mozgó tömegpont impulzusmomentumát az alábbi kifejezés adja meg:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p},

ahol r a tömegpont valamely vonatkoztatási ponttól mért távolsága, p az impulzusa.

Több tömegpontra a teljes impulzusmomentum a részek impulzusmomentumainak eredője:

\mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i  \times \mathbf{p}_i

A legtöbb esetben csak egy tengely körüli forgásokat vizsgálunk, ekkor az impulzusmomentum nagyságát a vektoriális szorzat definíciója alapján másképp is írhatjuk:

L= \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p} = \pm |\mathbf{r}_{T}||\mathbf{p}|,

ahol rT az impulzusra merőlegesen mért távolság, az ún. erőkar. Gyakran hasznos előjeles mennyiségként értelmezni az impulzusmomentum nagyságát. Ha az r és p vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, akkor pozitív, ha balsodrásút, akkor negatív az előjel.

Kiterjedt testek esetén hasznos a tehetetlenségi nyomaték segítségével kifejezni L-et:

\mathbf{L} = \underline{\underline{\Theta}}\mathbf{\omega},

ahol ω a test szögsebességvektora, Θ a tehetetlenségi nyomaték tenzor. Rögzített tengely körüli forgás esetén ezt az alábbi egyszerű alakban írhatjuk fel:

L = Θω,

ahol ω a test (előjeles) szögsebessége, Θ a tehetetlenségi nyomatéka.

[szerkesztés] Az impulzusmomentum megmaradása


[szerkesztés] Impulzusmomentum a relativitáselméletben


[szerkesztés] Impulzusmomentum a (nemrelativisztikus) kvantummechanikában

A kvantummechanikában az impulzusmomentumot az impulzushoz hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

\hat{\mathbf{L}} =\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

\hat{\mathbf{L}} = -i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla),

ahol r a részecske helye, \nabla a gradiens operátor.

Az impulzusmomentum-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

[L_i,L_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [L_i,L^2] =0

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

\left[L_i,H\right]=0

Az impulzusmomentum-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordinátarendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

L^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}

L2 és pl. Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

L^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle
L_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

\langle \theta, \phi| l,m\rangle = Y_{l,m}(\theta,\phi)

Mindez tulajdonképpen csak az impulzusmomentum egy része, az ún, pálya-impulzusmomentum vagy egyszerűen pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

[szerkesztés] Az impulzusmomentum algebrája


[szerkesztés] Külső hivatkozások