# Differenciál

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely a függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ezesetben vagy beletörődnünk, hogy a "végtelen kis mennyiség" kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

## [szerkesztés] Definíció

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pont. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatóságával egyenértékű, hogy létezik olyan ε (minden valós számon értelmezett) függvény, melynek a határértéke (x - a)0 esetén 0 és olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

Itt ε(x-a)(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (x-a)2 hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

és egy nemlineáris maradék részre:

Ha f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. A tehát a derivált, az A(x-a) kifejezést pedig differenciálnak nevezzük.

### [szerkesztés] Jelölések

Az a pontban az f függvény, vagy másnéven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

  vagy vagy

jeloli. A független változó differenciálját, ahogyan az x - a különbséget nevezik

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

## [szerkesztés] A differenciál geometriai jelentése

Rajzoljuk be a függvénygörbe egy P pontjához az érintőt (PS szakasz), tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket vesz fel, míg az azt közelítő lineáris f(x)+dy értéket (S pont). A dx0 határértékben az f(x+dx)-f(x) különbség egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk. Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

## [szerkesztés] Magasabbrendű differenciálok

### [szerkesztés] Másodrendű differenciál

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az xε(x-a) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

Természetesen ekkor a szokásos dx = x - a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

A másodrendű differenciált is figyelembevéve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó xη(x-a) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

azaz

Ezt kétszer deriválva a-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:

Vagyis a függvény megváltozása:

ahol ξ(x-a) nullához tart, ha x tart a-hoz.

### [szerkesztés] Magasabbrendű differenciálok

A fentiekhez hasonlóan a-ban n-szer differenciálható f esetén definiálható az n-ed rendű differenciál, melynek jelölése

és melyre teljesül:

ahol f (n)(a) az f függvény a pont beli n-edik deriváltja.

Belátható, hogy n-szer differenciálható függvény esetén a függvénynövekményt a Taylor-sorhoz hasonló alakban kapjuk:

Végül analitikus függvény esetén a Taylor-sor teljes egészében átírható a függvénynövekmény differenciálokkal történő előállításaként:

## [szerkesztés] Többváltozós függvény differenciálja

  Fő szócikk: teljes differenciál

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../d/i/f/Differenci%C3%A1l.html"

Kategória: Analízis

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés