Feuerbach-kör
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű. Ezek:
- a háromszög oldalfelező pontjai,
- a háromszög magasságainak talppontjai,
- a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.
A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.
A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Nevezetes pontok
1. ábra
A fenti ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja (piros szín). A Feuerbach-kör az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K). A kör sugara a körülírható kör sugarának fele. (Az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik.) A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: Fa, Fb és Fc a háromszög oldalainak felezéspontjai, Ta, Tb és Tc a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M1, M2 és M3 pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai.
[szerkesztés] Érintő körök
1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és belülről érinti a beírt körét. Azt állította:
- ...a kör ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik...
A következő kép illusztrálja az állítást.
A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni.
[szerkesztés] Egyéb érdekes tények
- A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.
- A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.
- A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.
- Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.
- A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.
[szerkesztés] Felfedezése
Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az Fa, Fb, Fc, Ta, Tb és Tc pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M1, M2 és M3 pontok.) Így Terquem volt az első, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- KÖMAL: A Feuerbach-kör érinti az érintő köröket
- Nine Point Center by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
- History about the nine-point circle based on J.S. MacCay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
- Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
- Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
- Special lines and circles in a triangle (requires Java)






Based on work by