Halmaz

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik. Annak ellenére, hogy ez a tudományág csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja, mivel minden, a matematika által vizsgált objektum végső soron halmaz. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Történet és áttekintés

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

[szerkesztés] Főbb fogalmak

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

[szerkesztés] Halmazok egyenlősége

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A = B.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • A = A; (reflexivitás)
  • ha A = B, akkor B = A; (szimmetria)
  • ha A = B és B = C, akkor A = C; (tranzitivitás)

[szerkesztés] Részhalmaz

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak (vagy más szavakkal: a B halmaz tartalmazza az A halmazt), ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük: AB. Az A halmazt a B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha AB, és AB.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • AA; (reflexivitás)
  • ha AB és BA, akkor A = B; (antiszimmetria)
  • ha AB és BC, akkor AC; (tranzitivitás)

[szerkesztés] Üres halmaz

Fő szócikk: Üres halmaz

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük: \emptyset.

[szerkesztés] Hatványhalmaz

Fő szócikk: Hatványhalmaz

Tetszőleges A halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az A halmaz hatványhalmazának nevezzük, és P(A)-val jelöljük.

[szerkesztés] Halmazműveletek

[szerkesztés] Halmazok egyesítése és metszete

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy aA vagy aB, az A és B halmazok egyesítésének (más szóval úniójának) nevezzük, és így jelöljük: AB. Azt a halmazt pedig, amelynek minden a elemére teljesül, hogy aA és aB, az A és B halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: AB.

Ha A\cap B = \emptyset, akkor az A és B halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényesek a következő állítások:

  • AA = A; (idempotencia)
  • AA = A; (idempotencia)
  • AB = BA; (kommutativitás)
  • AB = BA; (kommutativitás)
  • A∪(BC) = (AB)∪C; (asszociativitás)
  • A∩(BC) = (AB)∩C; (asszociativitás)
  • A∩(BC) = (AB)∪(AC); (disztributivitás)
  • A∪(BC) = (AB)∩(AC); (disztributivitás)

továbbá:

  • A\emptyset = A
  • A\emptyset = \emptyset

[szerkesztés] Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy aA és aB, az A és B halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: A\B. Az (A\B)∪(B\A) halmazt pedig az A és B halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk.

[szerkesztés] Komplementer halmaz

Legyen adott valamely U halmaz. Ekkor tetszőleges AU halmaz esetén az U\A halmazt az a A halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.

[szerkesztés] Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa

Fő szócikkek: Rendezett pár és Direkt szorzat

Tetszőleges a, b elemekre az {{a}, {a, b}} halmazt elempárnak nevezzük és (a,b)-vel jelöljük.

Vegyük észre, hogy tetszőleges a, b, c, d elemekre (a,b) = (c,d) akkor és csak akkor teljesül, ha a = c és b = d, azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az {(a,b)| aA, bB} elempárok halmazát az A és B halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: A×B. Ha A = B, akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges A, B, C halmazokra érvényes a következő állítás:

  • A×(B×C) = (A×BC; (asszociativitás)

Vegyük észre, hogy a halmazok direkt szorzata nemkommutatív művelet.

[szerkesztés] Megfeleltetés, reláció

Fő szócikk: Reláció

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. Az A×B halmaz részhalmazait az A halmaz B halmazba történő megfeleltetéseinek nevezzük, és így jelöljük: ρ:AB. Ha A = B, akkor relációkról beszélünk.

[szerkesztés] Parciális leképezés, leképezés

Fő szócikk: Leképezés

Legyenek A, B tetszőleges halmazok. A ρ:AB A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden aA esetén legfeljebb egy olyan bB van, amire (a,b)∈ρ. A ρ:AB A-ból B-be történő megfeleltetést A-t B-be képező leképezésnek nevezzük, ha minden bA esetén pontosan egy olyan bB van, amire (a,b)∈ρ.

[szerkesztés] Halmazok számossága

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt önmagába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges A halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely nN természetes számra létezik {1,...,n}A bijekció.

[szerkesztés] Hivatkozások

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal, András & Hamburger, Péter Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 9631859983
  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294