Weierstrass tétele

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Weierstrass tétele a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele.


Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A tétel

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.


Tehát, ha [a,b] korlátos és zárt és f : [a,b] \rightarrowR folytonos függvény, akkor létezik olyan p, q[a,b], hogy minden x[a,b]-re f (p)f (x)f (q).

[szerkesztés] Bizonyítás

Először belátjuk, hogy f ( [a,b] ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy f ( [a,b] ) korlátos és zárt.

Legyen (yn) egy f ( [a,b] )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsoroztata, melynek határértéke szintén f ( [a,b] ) beli. Minden n természetes számra

H_n:=\{x\in [a,b]\mid y_n=f(x))\}\ne\emptyset

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan (xn) sorozat, mely [a,b]-ben halad és minden n természetes számra yn = f (xn). A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor (xn)-nek létezik konvergens (zk) részsorozata, melynek határértéke az [a,b]-beli u szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( f (zk) ) sorozat, mely az (yn) részsorozata, konvergens és határértéke az f ( [a,b] )-beli f (u) szám.

A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy f értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ) és max f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan p és q [a,b]-beli számok, hogy

f(p)=\min \,f([a,b]) és
f(q)=\max \,f([a,b])

[szerkesztés] Következmény

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:

Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.

Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ezesetben az előző állítás az első számú.

[szerkesztés] Külső hivatkozások