# Cent (zene)

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A cent (rövidítve C) az exponenciális tulajdonságú frekvenciaviszonyok illetve zenei intervallumok logaritmikus skálában való lineáris kezelését lehetővé tévő mértékegység, melyet elsősorban a különféle temperálások és a bennük megalkotható hangközök összevetésére használnak. Az oktáv 1200 centből áll, a kiegyenlített hangolásban pedig 100 cent ad ki egy temperált félhangot (innen származik a mértékegység neve).

## [szerkesztés] Előnye

A hang fizikai tulajdonságai közül a frekvencia a fül számára a legfontosabb, mivel ezt érzékeli hangmagasságként. Kétszeres frekvencia vagy rezgésszám egy oktávval magasabb hangot jelent, például a 440 Hz-es kamara A fölött egy oktávval levő A hang frekvenciája 2 * 440 = 880 Hz. A hangmagasság tehát exponenciális skálájú, vagyis a hányados adja meg azt, milyen viszonyban van egymással két hang.

Mivel azonban az összeadás és kivonás lényegesen egyszerűbb művelet a szorzásnál és osztásnál, s a tényleges frekvenciák csak kivételesen lehetnek érdekesek, hiszen legtöbbször a viszonyok meghatározására van csupán szükségünk, így célszerű az eredetileg exponenciális skálát logaritmikusan linearizálni, majd ezen elvégezni a kívánt műveleteket, azaz összeadások és kivonások segítségével egymáshoz hasonlítani az egyes hangokat: ezen linearizálást teszi lehetővé a cent mértékegység alkalmazása. Használatával az oktáv 2:1 arányát 1200 fokú lineáris skálává alakítjuk, amiben immár a számtani különbségek adják meg a hangközviszonyokat.

## [szerkesztés] Képletek

### [szerkesztés] Átváltás

#### [szerkesztés] Q-ról C-re

A gyakorlatban általában arra van szükség, hogy frekvenciaviszonyokat (Qfr) váltsunk át centre (C), amihez az alábbi képletek valamelyike használható:

Például a tiszta nagyterc (viszonyszám 5/4) centértéke:

#### [szerkesztés] C-ről Q-ra

A fordított átalakításhoz, vagyis a centérték frekvenciaviszonyra való átszámításához a következő képlet alkalmazható:

Például az előbb kapott centérték visszahelyettesítve:

### [szerkesztés] Levezetés

A feladat az oktáv adott számú egyenlő részre osztása úgy, hogy a fül minden egyes lépést azonos magasságkülönbségnek érezzen. Mivel a frekvencia exponenciálisan nő, miközben a magasságkülönbség-érzet azonos marad, így a feladatunk megoldásához minden lépésnek ugyanazon arányban kell állnia az előzővel, vagyis a részeknek mértani sort kell alkotniuk.

Először - az egyszerűség kedvéért - 5 oktávnyi skálát (viszonyszám 1:32) osszunk fel 5 egyenlő részre, vagyis alkossuk meg azon hattagú skálát, amelynek az eleje 1, vége 32, s minden eleme egyenlő arányban van az előzőhöz képest, azaz amelyik skála mértani sor.

A mértani sor n. tagjának (an) értéke:

, ahol a1 az első elem, q pedig a hányados.

Most a q értékét akarjuk meghatározni, ezért a képletet átrendezzük:

Jelen esetben n=6, a1=1, a6=32, vagyis:

A kapott mértani sor tehát:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Ha 1 oktávot (1:2), akarunk felosztani n részre, akkor a képletünk:

A cent definíció szerint az oktáv 1200-ad része, vagyis:

illetve:

frekvenciaviszonyban kifejezve, azaz:

Ebből a hatványozás és a logaritmus összefüggését felhasználva:

vagyis

## [szerkesztés] Használati példák

### [szerkesztés] 1. példa

Számítsuk ki a tiszta hangközök centértékeit a frekvenciaarányokból!

Hangköz neve | Arányszám | Számítás | Centérték
--- | --- | --- | ---
Oktáv |  |  | 1200
Kvint |  |  | 701,955
Kvart |  |  | 498,045
Nagyterc |  |  | 386,314
Kisterc |  |  | 315,641

### [szerkesztés] 2. példa

Számítsuk ki a püthagoraszi és a szintonikus komma értékét centekben és frekvenciaviszonyokban!

a) Püthagoraszi komma (12 tiszta kvint és 7 oktáv különbsége):

  Centekben:

  Átszámítva frekvenciaviszonyra:

  Frekvenciaviszonyokban számolva:

  Átszámítva centre:

  Láthatóan a centekben való számításkor hatványozás helyett szorzás, osztás helyett pedig kivonás szerepel, vagyis a számolás lényegesen egyszerűsödik.

b) Szintonikus komma (a püthagoraszi - 4 tiszta kvint által kiadott - és a tiszta nagyterc különbsége):

  Centekben

  Átszámítva frekvenciaviszonyra:

  Frekvenciaviszonyokban számolva:

  Átszámítva centre:

## [szerkesztés] Története

A cent használatát az angol Alexander John Ellis (1814-1890) javasolta Hermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (A hangérzékelés tana, mint a zeneelmélet fiziológiai alapja) című műve általa készített angol fordításának (On the Sensations of Tone - 1875) függelékében.

Érdekességként megemlíthető, hogy a zenei szisztéma, a hangjegyek lejegyzésére szolgáló rendszer is lineáris leképezése (azaz logaritmikus ábrázolása) az exponenciális hangskálának, hiszen minden oktáv, függetlenül a hangmagasságtól, azonos távolságú, illetve minden más hangköz is megtartja az állandó lineáris különbséget. Bármennyire meglepő, itt már tudatos linearizálásról kell beszélnünk, még ha az első szisztémák a középkor elején is készültek: ugyanis a hangközviszonyok exponenciális természete Püthagorasz munkái nyomán már kezdettől fogva ismert volt, s a gitár- illetve lantbundok megalkotásához - amelyek szép példái a logaritmikus skálának - szükség volt ezen hosszviszonyok világos ismeretére, vagyis a tabulatúrák és lejegyzések tudatosan szakítottak a természetes ábrázolással az áttekinthetőség kedvéért.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../c/e/n/Cent_%28zene%29.html"

Kategóriák: Mértékegységek | Zeneelmélet

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- Česky
- Deutsch
- Esperanto
- Eesti
- Français
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Lietuvių
- Nederlands
- Português
- Русский
- Svenska
- Українська