Lagrange-féle középértéktétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel
Nagyít
Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

[szerkesztés] A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a < c < b szám, amire

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

teljesül.

[szerkesztés] Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, Rolle tételére. Legyen a\leq x\leq b-re

g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.

A g függvény nyilván folytonos az [a,b] intervallumban és a belső pontokban

g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Továbbá

g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0.

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire g'(c) = 0, azaz

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.