Weierstrass tétele
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Weierstrass tétele a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A tétel
Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
Tehát, ha [a,b] korlátos és zárt és f : [a,b]
R folytonos függvény, akkor létezik olyan p, q ∈ [a,b], hogy minden x ∈ [a,b]-re f (p) ≤ f (x) ≤ f (q).
[szerkesztés] Bizonyítás
Először belátjuk, hogy f ( [a,b] ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy f ( [a,b] ) korlátos és zárt.
Legyen (yn) egy f ( [a,b] )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsoroztata, melynek határértéke szintén f ( [a,b] ) beli. Minden n természetes számra
így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan (xn) sorozat, mely [a,b]-ben halad és minden n természetes számra yn = f (xn). A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor (xn)-nek létezik konvergens (zk) részsorozata, melynek határértéke az [a,b]-beli u szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( f (zk) ) sorozat, mely az (yn) részsorozata, konvergens és határértéke az f ( [a,b] )-beli f (u) szám.
A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy f értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ) és max f ( [a,b] ) ∈ f ( [a,b] ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan p és q [a,b]-beli számok, hogy
és
■
[szerkesztés] Következmény
A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:
Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.
Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ezesetben az előző állítás az első számú.
![H_n:=\{x\in [a,b]\mid y_n=f(x))\}\ne\emptyset](../../../math/2/c/0/2c02e3d999328f3ed41d4dee44581d9b.png)


Based on work by