Tetráció

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatvárnyozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

  1. összeadás
    a+b\,
  2. szorzás
    {{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}
  3. hatványozás
    {{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}
  4. tetráció
    {\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás (a \times b) másképpen B darab A összeadva, és következésképpen a hatványozás (ab) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (a \uparrow\uparrow b)így B darab A hatványozása.

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

\,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65,\!536
\,\!2^{2^{2^2}} nem ugyanaz, mint \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 256.

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

[szerkesztés] Jelölés

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb),viszont a második esetet írhatjuk :\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3} -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), példáull a következők:

  • Standard jelölés: ba — először Maurer használta; Rudy Rucker (A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
  • Knuth-nyilas jelölés: a \uparrow\uparrow b — itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
  • Conway-nyílláncolat: a \rightarrow b \rightarrow 2 — a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
  • hyper4 jelölés: a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) — a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3, i.e. \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

[szerkesztés] Példák

(A tizedespontot tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65,536
3 27 7.63×1012 10^{3.6410 \times 10^{12}}
4 256 1.34×10154 10^{8.07 \times 10^{153}}
5 3,125 1.91×102,184 10^{1.34 \times 10^{2,184}}
6 46,656 2.70×1036,305 10^{2.07 \times 10^{36,305}}
7 823,543 3.76×10695,974 10^{3.18 \times 10^{695,974}}
8 16,777,216 6.01×1015,151,335 10^{5.43 \times 10^{15,151,335}}
9 387,420,489 4.28×10369,693,099 10^{4.09 \times 10^{369,693,009}}
10 10,000,000,000 1010,000,000,000 10^{10^{10^{10}}}

[szerkesztés] Kiterjesztés a második operandus kis értékeire

A n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk n \uparrow\uparrow k értékeit, ha k \in \{-1, 0, 1\}.

\begin{matrix}   n \uparrow\uparrow 1     & = &   \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right)     & = &   \log_{n} \left(n^n\right)     & = &    n \log_{n} n      & = &    n \\   n \uparrow\uparrow 0     & = &   \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right)     & = &    \log_{n} n     & & & = &   1 \\   n \uparrow\uparrow -1     & = &   \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right)     & = &   \log_{n} 1     & & & = &    0 \end{matrix}

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint n \uparrow\uparrow 1 egyszerűen n. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel logn0 nincs értelmezve.


(…a szócikk további része lefordítandó…)


Más nyelveken