Bővelkedő számok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számelméletben bővelkedő számnak, vagy abundáns számnak nevezünk minden olyan egészt, amelyek kisebbek osztóik összegénél (önmagukat nem számítva). Ezek tehát azok a számok, amelyekre σ(n) > 2n, ahol σ(n) az n osztóinak összege (ezúttal önmagát is beleértve).

Az osztók összegének és a számnak a különbsége (más szóval σ(n) − 2n) a bővelkedés mértéke. Azon számokat, amelyeknél ez a mérték 1, kvázitökéletes számoknak nevezzük. Ezek páratlan négyzetszámok – ha vannak.

A bővelkedő számokat elsőként Nikomakhosz görög matematikus definiálta i.sz. 100 körül, Introductio Arithmetica (Bevezetés az aritmetikába) című művében. Végtelen sok bővelkedő szám létezik, páros és páratlan egyaránt; többek között minden bővelkedő tökéletes szám tetszőleges többszöröse is bővelkedő. Az első pár ilyen szám: 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... Az első páratlan bővelkedő szám a 945.

Davenport 1933-ban analitikus módszerekkel bebizonyította, hogy a bővelkedő számok sorozatának van aszimptotikus sűrűsége. Erre Erdős Pál 1934-ben elegáns elemi bizonyítást adott, igazolva, hogy a primitív bővelkedő számok (olyan nem hiányos számok, amelyek minden valódi osztója hiányos) reciprokösszege korlátos. Ez indíttatta Schur-t arra, hogy Erdőst Budapest csodájának nevezze. 1998-ban Marc Deléglise francia matematikus megmutatta, hogy bővelkedő számok sorozatának sűrűsége 0.2474 és 0.2480 közé esik, ezzel eldöntve Henri Cohen kérdését, hogy eléri-e az egynegyedet.


Belátható, hogy minden 20161-nél nagyobb egész felírható két bővelkedő szám összegeként.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozás