Konvergencia

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.
Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))
Nagyít
Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))

Az konvergencia az matematikai analízis régi, központi fogalma. Maga a szó latin elemekből épül fel: com- 'együtt' + vergere 'hajlít', tulajdonképpeni jelentése összehajlás, összetartás.

Elemek egy (an) sorozatának konvergenciáján lényegében azt értjük, hogy a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek egy értékhez, oly mértékben, hogy úgy tekinthetjük mintha az n\to \infty határesetben végtelen kis távolságra megközelítenék azt. A matematikai analízis egyik legfontosabb feladata, hogy a "végtelen közeli" kifejezésnek pontos és konzisztens értelmet adjon és ezzel a határérték fogalmát matematikai eszközökkel megragadhatóvá, kezelhetővé tegye.

Attól függően, hogy milyen matematikai objektumok sorozata esetén beszélünk konvergenciáról, kissé eltér egymástól a

  • számsorozat,
  • normált térbeli vektorsorozat,
  • metrikus térbeli pontsorozat
  • topologikus pontsorozat, illetve a
  • függvénysorozat

konvergenciájának definíciója.

Általános intuitív definició: az (an) sorozat konvergens és az a elemhez konvergál, ha az a elem akármilyen kicsi környezetét is vesszük, a sorozat vége, tehát egy küszöbindextől elkezdve a sorozat minden eleme benne van ebben a kicsi környezetben.


Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Számsorozat konvergenciája

K számtest

a_n \in K, n \in \mathbb{N} mely szerint a \ tehát K \ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

\exist {\alpha \in K }  \ \forall {\epsilon > 0} \ \exist n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \Rightarrow \mid a_n - \alpha \mid < \epsilon)

akkor a sorozat konvergens, határértéke \alpha \ tehát:

\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha

[szerkesztés] Valós számsorozatok konvergenciája

A (xn) valós számsorozat konvergens, ha létezik olyan x valós szám, hogy minden ε > 0 (valós) számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n0, akkor | xnx | < ε. Ekkor ezt az x értéket a sorozat határértékének hívjuk.

[szerkesztés] \mathbb{R}^n-beli sorozatok konvergenciája

[szerkesztés] Komplex számsorozatok konvergenciája

A (zn) komplex számsorozat konvergens, ha létezik olyan z komplex szám, hogy minden ε > 0 (valós) számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n0, akkor | znz | < ε. Ekkor ezt a z értéket a sorozat határértékének hívjuk.

[szerkesztés] Konvergencia metrikus téren

Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az x_n \in X sorozat konvergens, ha létezik olyan x \in X elem, hogy minden ε > 0 számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n0, akkor d(x_n,\ x){< \epsilon}.

[szerkesztés] Konvergencia topologikus téren

[szerkesztés] Példák

{ n \in \mathbb{N} },{ a_n \in \mathbb{R} }

a_n = {1 \over n}

ennek a sorozatnak a határértéke 0.

a_n = {n \over n+1}

ennek a sorozatnak a határértéke 1.

a_n = \left({n+1 \over n}\right)^n

ennek a sorozatnak a határértéke e (Euler után, közelítőleg 2,71828).

[szerkesztés] Megjegyzések, Tételek

Konvergens sorozatok összege, szorzata, skalárszorosa, (ha a nevezőben lévő sorozat nem 0-hoz tart akkor) hányadosa is konvergens, és a határérték megegyezik a határértékek összegével, szorzatával, skalárszorosával, hányadosával.

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.

Ha a definíció alapján szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens, meg kell sejtenünk a határértékét. Ha ez nem lehetséges, akkor használhatjuk a Cauchy-sorozat definícióját, ami a valós számokon ekvivalens a konvergenciával.

Ha egy sorozat korlátos és monoton akkor konvergens.

Más nyelveken