Függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Egy tipikus, intervallumon értelmezett valós függvény grafikonja a koordinátasíkon ábrázolva. f : [-4;1,5] → R; x↦ex(x2-3x)
Nagyít
Egy tipikus, intervallumon értelmezett valós függvény grafikonja a koordinátasíkon ábrázolva. f : [-4;1,5] → R; x↦ex(x2-3x)

A függvény a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására szolgál. Egy f függvény értékek egy H halmazának – melyet az f értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes x eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik:

y = f(x), ahol xH vagy
f : x \mapsto y, ahol xH

Példaként említünk az algebra, a geometria és az analízis egy-egy függvényét:

  • Legyen abs: z \mapsto |z|, ahol zC. Ez a függvény a z komplex számhoz abszolútértékét, vagy hosszát adja, mely egy nemnegatív valós szám: \mbox{ }_{|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}} .
  • Legyen Tt a sík egy adott t tengelyére történő tükrözése. Ekkor a T:P \mapsto P' függvény egy geometriai leképezés, a sík egy tetszőleges P pontja esetén P' =T(P) a P pont t-re vonatkozó tükörképe.
  • exp: x \mapsto ex, a természetes alapszámú exponenciális függvény, ahol tehát az alap az e Euler-szám.


A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes x eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Formális definíció

A mindennapi matematikai gyakorlatban alkalmazott informális függvényfogalmat (a bevezetőben lényegében erről beszéltünk) többféleképpen lehet szabatos formulákban megfogalmazni. Attól függően, hogy az alkalmazás inkább algebrai, analitikus, geometriai vagy matematikai logikai, a követketkező formális definíciókkal, egymástól néha fogalmilag is különböző értelmezésekkel találkozhatunk.

[szerkesztés] Algebrai szemlélet

Az algebra, a relációalgebra és a konkrét kategóriák elméletében függvényen általában a következőt értenek.

Egy f függvény olyan (A, B, ρ) rendezett hármas, ahol A és B egy-egy halmaz, ρ pedig olyan A × B-beli reláció, mely egyértelmű a második komponensében, azaz tetszőleges xA-ra és y1,y2B-re:

(x\rho y_1 \wedge x\rho y_2)\Rightarrow y_1=y_2

Eszerint minden egyes A-beli x-hez egyetlen olyan B-beli y van, melyre x ρ y teljesül. Ekkor tetszőleges xA elemhez az f által egyértelműen rendelt elemet f(x)-szel jelöljük.

Azt a kijelentést, hogy f egy A-ból B-be képező függvény a következő szimbólumsorral jelöljük:

f:A\rightarrow B

[szerkesztés] Értelmezési tartomány

Egy f: A \rightarrow B függvény tehát az A halmaz minden egyes x eleméhez hozzárendel egy B-beli f(x) értéket. Az A halmazt ekkor az f függvény értelmezési tartományának, definíciós tartományának vagy az (univezrális algebra kontextusában) kiindulási halmaznak nevezik. Jelölése nem egységes, a leggyakrabban a következők fordulnak elő:

\mathcal{D}_f, \mathbf{D}_f, \mathrm{D}(f)\,, \mathbf{Dom}(f), \mathbf{dom}(f).

A Dom(f) jelölés az angol „definition domain of function f” (az f értelmezési tartománya) kifejezés rövidítéséből származik.

[szerkesztés] Érkezési halmaz

Az (A,B, f) függvény esetén a B halmaz az f függvény érkezési halmaza, melyet a fenti definíció esetén az f függvény egyértelműen meghatározza. Ha jelölik valahogy, leggyakrabban a

\mathrm{Codom}(f)\,

jelölést használják, az angol „codomain of function f” kifejezés rövidítéseként (ez hasonló a kovektor és koszorzat latin eredetű kifejezésekhez, egyfajta megfordított irányt jelöl).

[szerkesztés] Értékkészlet

Az érkezési halmaz nem tévesztendő össze az értékkészlettel, mely az

\{f(x)\in B\mid x\in A\}

halmaz.


Kritika a definícióval szemben. A fenti definíció a következők miatt kritizálható. Az f:R \rightarrow R, x \mapsto x2 függvény eszerint különbözik a g:R \rightarrow [0,+∞], x \mapsto x2 függvénytől, holott ugyanaz az értelmezési tartományuk és minden pontban ugyanúgy viselkednek.

Mellette szóló érvek. Algebrai és kategóriaelméleti szemszögből a következőkkel indokolható, hogy a fenti definícióban az érkezési halmaz szerepeltetése. Az algebrai vizsgálódásokban a függvények érkezési halmaza általában valamely algebrai struktúra (vektortér, csoport, test) alaphalmaza. Ezekben az alkalmazásokban lényeges, hogy a függvények hosonló (homomorf) stuktúrákat kapcsolnak össze, így az értékkészletre történő megszorítás esetleg "megcsonkítaná" az érkezési halmaz struktúráját, azaz már nem lenne vektortér, csoport, stb.

Például az

f:R2 \rightarrow R2; (x,y) \mapsto (x+1,4)

függvény egy vektortér alterével párhuzamos hipersíkra képez, akkor f értékkészlete már nem vektortér, holott elvileg nem kívánnánk megválni az érkezési halmaz algebrai tulajdonságaitól.

Emellett a kategóriaelmélet szemszögéből a függvény egy konkrét kategória morfizmusának felel meg. Ha a kategória objektumainak osztálya bizonyos halmazokból áll, azaz ezek alkotják az ojektumokat, akkor egy m: A \rightarrow B morfizmus érkezési objektuma ezen halmazok közül kerülhet csak ki. Ahhoz tehát, hogy a morfizmust egyértelműen megadjuk, meg kell jelölnünk azt az objektumot, amibe érkezik annak ellenére, hogy mint függvény, az értékkészlet nem feltétlenül eleme az objektumok osztályának.

[szerkesztés] Halmazelméleti függvény

A halmazelméletben függvényen rendezett párok egy olyan halmazát értjük, mely második komponensében egyértelmű, azaz f függvény, ha rendezett párok halmaza és a halmazelméletben bizonyítható a következő formula:

(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)((x,y_1)\!\in\! f\wedge (x,y_2)\!\in\! f\;\Rightarrow\;y_1=y_2)

Ebben az esetben az f függvény értelmezési tartománya:

\{x\mid (\exists y)(\,(x,y)\in f)\,)\}

értékkészlete, vagy másnéven képhalmaza:

\{y\mid (\exists x)(\,(x,y)\in f\,)\}

Az értékkészlet jelölésére sincs egyértelmű konvenció. Gyakran a következő szimbólumokkal találkozunk:

\mathrm{R}_f\, , \mathcal{R}_f , \mathrm{Ran}(f)\, ,\mathrm{ran}(f)\, , \mathrm{Im}(f)\,

Ahol a ran rövidítés a „range of function f” angol kifejezés rövidítése (hasonlóképpen az Im az „image of function f” az f értékeinek halmazára utal).

A definíció miatt most is érvényes, hogy az értelmezési tartomány minden egyes x eleméhez egyelten olyan y elem tartozik, melyre (x,y) ∈ f, mely egyértelműen létező y-t ebben az esetben is

f(x)

jelöli.

Értelmezhető ebben az esetben is az

f:A \rightarrow B

kijelentés. Ez azt jelenti, hogy az f függvény értelmezési tartomány az A halmaz, az értékkészlete pedig részhalmaza a B halmaznak.

Megjegyzés. Ezzel a formális definícióval szemben a következő ellenvetéseket hozhatjuk fel. Szokás szürjektívnek nevezni egy f:A \rightarrow B függvényt, ha értékkészlete a B halmaz. A fenti definíció azonban nem jelöli ki egyértelműen a B halmazt, így az „f szűrjektív” kijelentés nem értelmezhető, csak a kissé furcsán hangzó „f szűrjektív, a B halmazra nézve” kijelentés. Ennek ellenére a halmazelméletben, a logikában (valójában inkább a modellelméletben) és az analízisben inkább alkalmazzák ezt az egyszerűbb verziót.

[szerkesztés] A logikai grammatika függvényfogalma

Fő szócikk: logikai függvényfogalom

A fenti definíciók szemlélete a halmazelméleti realizmus talaján állnak. Ám, a függvényfogalom bevezethető a Frege és Hilbert által javasolt módon is, mely az informális matematika nyelvi elemzését veszi alapul. Eszerint egy függvény nem más, mint egy egyváltozós névfunktor, tehát mely egy individuumnévből nevet alkot. (A matematikai logikában ezen kívül a függvénynek nevezik a többbemenetű névfunktorokat is, azaz a műveleteket.) Egy ilyen névfunktor például a csoportelmélet formális nyelvében az elem inverzének képzése (a-1) és az aritmetikában a természetes számok rákövetkezési operátora ( s(a) ).


Ezzel a formalista szemléletű függvényfogalommal az a gond, hogy olyan matematikai elméleteknél, mint a valós függvénytan, szükséges, hogy függvények felett is kvantifikáljunk. Ezt kétféle módon oldhatjuk meg. Az első, hogy másodrendű, vagy többszortú nyelvet használunk, ahol léteznek függvényváltozók is (ez a matematikai logika megoldása). A másik megoldás az, melyet már Frege is javasolt, és melynek egyik variánsa a fenti halmazelméleti megalapozottságú definíció. Frege szerint ahhoz, hogy általában függvényekre is alkalmazhassuk a „minden” és „létezik” operátorokat először tárgyat, individuumnevet kell belőlük készíteni. (Eszerint az 'f(...)' függvényfunktor megnevezésére a \mbox{ }_{(\hat{c}x)f(x)} név szolgál. Ehhez úgy viszonyul a függvény, mint a 'P(...)' monadikus predikátum, annak igazságtartományához: {x|P(x)}.) A halmazelméletben, ahol csak a '... ∈ ...' funktor szerepel, ott a függvényt egy {(x,y)|y=f(x)} alakú névvel azonosítják. A problémát ennél a megoldásnál az impredikabilitás fennállása jelenti, vagyis a Russell-paradoxonhoz hasonló ömnagára hivatkozó függvények esetleges fellépése.

[szerkesztés] Függvények megadása

Egy f függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott

  • értelmezési tartománya és
  • az értelmezési tartomány minden x eleme esetén az ehhez rendelt f(x) érték – ezt a hozzárendelési utasításnak nevezzük.

Ezek már meghatározzák az értékkészletet, ám nem határozzák meg a függvény érkezési halmazát. Ha a függvény fogalmát a fenti, algebrai szemléletben definiáljuk, akkor ezeken kívül még meg kell adnunk az érkezési halmazát is.

A hozzárendelést az y = f(x) vagy az x \mapsto f(x) szimbólumsorral jelöljük. (Az utóbbi jelölésben a hozzárendelést leggyakrabban „talpasnyíllal” jelölik.)

Például:

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},x\mapsto \sin\,x

Néha megengedjük az értelmezési tartomány helyett egy azt tartalmazó bővebb halmaz megadását, azzal a kimondatlan kiegészítéssel, hogy az értelmezési tartomány az a részhalmaz, amire a hozzárendelési utasításban szereplő kifejezések értelmezve vannak. Ez akkor célszerű, ha már az is komoly vizsgálatot igényelne, hogy megmondjuk, milyen elemekre végezhetők el a hozzárendelési utasításban szereplő műveletek. Néha, ekkor a nyíl „kiindulási halmaz” felőli végére egy részhalmaz jelet teszünk. Például:

f:\mathbb{R}\supset\!\rightarrow\mathbb{R};\;x\mapsto \frac{x}{x-\mathrm{tg}\,x}

A hozzárendelési utasítás megadásának eddigi, tehát y = f(x) formáját explicitnek nevezzük és azt mondjuk, hogy a függvényt explicit módon adott. Az y = f(x) formális egyenlőséget egy y-ra nem rendezett \mbox{ }_{\Omega(x,y)=0\,} (implicit) egyenlettel sokszor egyszerűbb megadni. Ekkor azt mondjuk, hogy a függvény implicit módon adott. Az implicit megadásnál azonban ügyelnünk kell arra, hogy ekkor a függvény nem feltétlenül egyértelmű.

Lásd még: implicitfüggvény-tétel.

[szerkesztés] Függvények relációalgebrai tulajdonságai

[szerkesztés] Injektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f :A \rightarrow B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz

(\forall x_1,x_2\in A)(x_1\neq x_2 \;\Rightarrow \; f(x_1)\neq f(x_2) vagy másként:
(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)

Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű.

Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:

\mathrm{log}_a \,x_1 =\mathrm{log}_a \,x_2
\Downarrow
x_1=x_2\,

nem 1, pozitív a esetén vagy

a^{x_1} =a^{x_2}\,
\Downarrow
x_1=x_2\,

szintén nem 1, pozitív a esetén. Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű). Egy f :A \rightarrow B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.

[szerkesztés] Szűrjektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f: A \rightarrow B függvény szűrjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden elme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:

(\forall y\in B)(\exists x\in A)(\,f(x)=y\,)

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szűrjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A\rightarrow B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f).

Egy f:A\rightarrow B függvénynek pontosan akkor van B\rightarrow A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.

[szerkesztés] Bijektív függvény

Az f:A\rightarrow B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik.

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

[szerkesztés] Függvényműveletek

[szerkesztés] Függvénykompozíció

Fő szócikk: függvénykompozíció

A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A \rightarrow B és f : C \rightarrow D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:

f\circ g:\;x\mapsto f(g(x))

Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük.

Az g : A \rightarrow B és f : C \rightarrow D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:

\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in A\mid g(x)\in C\}

Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A \rightarrow D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szűrjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szűrjekció.

A függvénykompozíció művelete asszociatív:

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)

[szerkesztés] Identitásfüggvény

Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentősségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az

\mathrm{id}_H:H\rightarrow H;\;x\mapsto x

függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A \rightarrow B függvényre

f\circ \mathrm{id}_A=f és \mathrm{id}_B \circ f=f

[szerkesztés] Inverz

Fő szócikk: Inverz függvény

Ha egy f: A \rightarrow B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f-1 függvény, melyre:

f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_B és f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_A

Itt idA az identitás leképezés, tehát az A \rightarrow A; x \mapsto x függvény.

Néhány tulajdonság:

(f^{-1})^{-1}=f\;
(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.

[szerkesztés] Pontonkénti műveletek

Ha adott egy H halmaz, melyen értelmezett egy * művelet, akkor egy A halmazból a H-ba képező függvények körében értelmezhető a pontonkénti művelet a következőképpen:

f\mbox{*}g: A\rightarrow H; x\mapsto f(x)\mbox{*}g(x)

melynek ugyanolyan algebrai tulajdonságai vannak, mint a * műveletnek. Például az R \rightarrow R függvények körében értelmezhető az f + g összeg, az f \cdot g szorzás, és a fenti definíció csekély módosításával a λf számmal való szorzás és az f/g osztás (g nemnulla értékű helyeire).

[szerkesztés] Történeti előzmények

Fő szócikk: A függvényfogalom fejlődése

A függvény és vele a hozzárendelés fogalma már a halmazfogalom megjelenése előtt felbukkant, s hosszú fejlődésen ment át. Kezdeti pontatlan megfogalmazásokat követően Dirichlet adott egy definíciót, mely még a 20. század közepén-végén is tartja magát.

Szász Pál A differenciál- és integrálszámítás elemeiben (1951) így idézi: Azt mondjuk, hogy az y az x egyértékű függvénye, ha x minden szóbajövő értékéhez az y-nak meghatározott értéke tartozik. Egy középiskolás tankönyv pedig így fogalmaz: Ha két változó, pl. y és x oly összefüggésben van egymással, hogy y-nak értékei az x értékeitől függnek, akkor az y-t az x függvényének, az x-et pedig független változónak mondjuk. Ezek mai felfogásunknak már nem felelnek meg. Találkozunk azonban még mindig olyan meghatározásokkal, mint a függvény egy leképezés; vagy az egyértelmű reláció két halmazából képzett D×R Descartes-szorzat részhalmaza. Az előbbi azonosítja az egészet a résszel (komponensével), az utóbbi a függvényt az értéktáblázatával.