Kvaterniók

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Hamilton
Nagyít
Hamilton

A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először az ír matematikus, fizikus és csillagász Sir William Rowan Hamilton vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).

[szerkesztés] Definíció

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemek a valós számkörhöz való hozzáadásával nyerjük, ahol i, j és k megfelel a következőknek:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

\begin{matrix} ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\ jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\ ki & = & j, & & & & ik & = & -j.  \end{matrix}

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.