# Cauchy-sorozat

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchyról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben.

## [szerkesztés] Definíció

Legyen (X,d) metrikus tér. Ekkor az sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden -hoz van olyan N, hogy minden esetén .

## [szerkesztés] Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens

## [szerkesztés] Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

- A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,...), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális értékhez tart (Newton-módszer).
- Az exponenciális, szinusz és koszinusz függvények, exp(x), sin(x), cos(x), minden x≠0 racionális szám esetén irracionális, bár egy olyan sorozat határértékével vannak definiálva, melynek minden értéke racionális (az x=0 pontban vett Taylor-sorukkal).

## [szerkesztés] Tulajdonságok

- Minden Cauchy-sorozat korlátos.
- Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

| Ez a matematikai tárgyú lap még csak csonk (azaz erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../c/a/u/Cauchy-sorozat.html"

Kategóriák: Csonkok (matematika) | Csonkok 2005 júniusából | Analízis

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- العربية
- Česky
- Deutsch
- Español
- Suomi
- Français
- עברית
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Українська
- 中文