Euler-féle szám

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az e matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja. Irracionális és transzcendens szám. Értéke 29 értékes jegyre megadva:

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135...

A π és a képzetes egység i mellett e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmus függvény felfedezőjének tiszteletére.

[szerkesztés] Definíció

Az e legismertebb definíciói a következőek:

1. Az e a következő sorozat határértéke:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.
2. Az e a következő végtelen sor összege:
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}   + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}   + {1 \over 4!} + \cdots
ahol n! a faktoriálisa az n természtes számnak.
3. Az e az a pozitív valós szám, amelyre
\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Az ex exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

\left(e^x\right)'=e^x és
\int e^x\,dx=e^x + C, ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlen eloszlás szerint fordulnak elő. Szerepel az Euler-féle képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,\!

Az x = π speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:

e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!

amit Richard Feynman Euler drágakövének nevez.

Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, ...]

e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:

e^x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n


Minden valós x számra teljesül az

1+x\leq e^x

egyenlőtlenség.

Ezt egy pozitív valós x esetén \frac{x-e}{e}-re alkalmazva

1+\frac{x-e}{e}\leq e^{\frac{x-e}{e}}

azaz átrendezve és egyszerűsítve

x\leq e^{\frac{x}{e}},

azaz \sqrt[x]{x}\leq \sqrt[e]{e}, másszóval pozitív x-re az \sqrt[x]{x} függvény x = e-re éri el maximumát.



[szerkesztés] Külső hivatkozások