Inverz függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Nagyít

Míg egy f függvény (a matematikában) egy x értékhez egyetlen y értéket rendel (jelben f: x \mapsto y), addig az f függvény inverz függvénye:

„egy y-hoz azt az egyetlen x-et rendeli, melyhez f az y-t rendelte”,

tehát (az f inverz függvényét \mbox{ }_{f^{-1}}-nel jelölve)

\mbox{ }_{f^{-1}}: y \mapsto x, melyre: f(x) = y.

Az inverz függvények jellegzetesen akkor kerülnek elő, amikor egyes függvényértékekből következtetünk arra, hogy mi lehetett az a szám, amihez a függvény az adott értéket rendeli. Példák.

  • Melyik az a szög, aminek a szinusza \mbox{ }_{\frac{1}{2}}-del egyenlő (sin x = \mbox{ }_{\frac{1}{2}})? Ekkor a szinuszfüggvény egy leszűkítésének inverze, az arkusz szinusz függvény játszik fontos szerepet.
  • Melyik az a kitevő, amelyre a 10-et emelve 1 000 000-t kapunk (10n = 1 000 000)? Ekkor a tizes alapú exponenciális függvény inverze, a tizes alapú logaritmus kerül elő.
  • Melyik az a szám, aminek a köbe 729 -cel egyenlő (x3 = 729)? Ennél a feladatnál a harmadik hatványra emelés függvény inverze, a köbgyök függvény segít.

Világos, hogy ez csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz, amelyek különböző x-ekhez különböző y-okat rendelnek, máskülönben nem teljesülne a fenti egyértelműségi kitétel. Az ilyen függvényeket injektívnek, vagy invertálhatóaknak nevezik.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Általános definíció

Ha az f : H \rightarrow K függvény bijektív, azaz minden egyes K-beli y értékre egyetlen egy olyan H-beli x érték létezik, amelyre teljesül, hogy f(x)=y, akkor minden egyes yK elem esetén:

f^{-1}(y)\,

jelöli azt az egyetlen H-beli elemet, melyre

f(f^{-1}(y))=y\,

teljesül.

Ekkor \mbox{ }_{f^{-1}}\,-vel jelöljük és az f inverz függvényének mondjuk a K halmazon értelmezett, K \rightarrow H; y \mapsto \mbox{ }_{f^{-1}(y)}\, függvényt.

Példa.

Legyen a pozitív, egytől különböző valós szám. Az R \rightarrow R+; x \mapsto ax függvény (az a alapú exponenciális függvény) bijektív és minden b pozitív valós számhoz egyértelműen létezik az a loga b valós szám, melyre

a^{\log_a b}=b\,

Ezért a pozitív valós számok halmazán értelmezett y \mapsto loga y függvény az a alapú exponenciális függvény inverze.

Valójában az is igaz, hogy az a alapú logaritmusfüggvény inverze nem más, mint az a alapú exponenciális függvény.

[szerkesztés] Inverz függvény a halmazelméletben

A halmazelméletben egy függvény rendezett párok egy speciális halmaza éspedig egy olyan halmazelméleti f reláció, melyre az teljesül, hogy a második komponensében egyértelmű, azaz

(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)(\,(xfy_1\;\wedge\;xfy_2)\;\Rightarrow\;y_1=y_2)

Minden az értelmezési tartománybeli x-re tehát egyetlen olyan y létezik, hogy amellyel xfy teljesül. Ezesetben ezt az y-t f(x)-szel jelöljük. Így felírható:

f=\{(x,y)\mid f(x)=y\}

Ekkor az inverz reláció a párok elemeinek megfordításával keletkezik:

f^{-1}=\{(y,x)\mid f(x)=y\}

Ha ez a reláció szintén függvény, azaz f injektív, akkor \mbox{ }_{f^{-1}} az f inverz függvénye. Természetesen ekkor fennáll:

\forall x \in \mathrm{Dom}(f)\;\;f^{-1}(f(x))=x illetve \forall y \in \mathrm{Ran}(f)\;\;f(f^{-1}(y))=y

ahol Dom(f) az f függvény értelmezési tartománya, Ran(f) az értékkészlete.

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

Ha az f függvény értelmezési tartománya a H halmaz és értékkészlete a K halmaznak részhalmaza, akkor ez így jelöljük: f:H \rightarrow K.

[szerkesztés] Jobbinverz

Az f : H \rightarrow K függvény jobbinverzeinek nevezik az olyan g: K \rightarrow H függvényeket, melyekre teljesül:

f\circ g = id_{K}\,

Állítás – Ha egy f:H \rightarrow K függvénynek van jobbinverze, akkor f ráképez K-ra.

Bizonyítás. Legyen g a fenti, és vegyünk egy tetszőleges yK elemet. Mivel idK azonos fog-vel, ezért ugyanott, azaz K-n vannak értelmezve. Ekkor azonban az x:=g(y) olyan H-beli elem, melyre f(x)=f(g(y))=id(y)=y, tehát az x elem f általi képe y. (Másként: K = Ran(idK)= Ran(fog) ⊆ Ran(f), tehát K = Ran(f)).

Állítás – A kiválasztási axióma ekvivalens azzal a kijelentéssel, hogy minden f függvénynek van olyan jobbinverze, mely Ran(f)-en értelmezett.

A kiválasztási axióma mellett tehát érvényes az a kijelentés, hogy egy f:H \rightarrow K függvénynek pontosan akkor van jobbinverze, ha f ráképez K-ra.

[szerkesztés] Balinverz

Az f:H \rightarrow K függvény balinverzeinek nevezik az olyan h függvényeket, melyekre teljesül:

h\circ f = id_{H}\,

Állítás – Az f:H \rightarrow K függvénynek pontosan akkor van balinverze, ha injektív.

Állítás – Az f:H \rightarrow K függvény akkor és csak akkor bijekció H és K között, ha K \rightarrow H típusú balinverzei és jobbinverzei léteznek és egyenlők.

[szerkesztés] Invertálhatóság

Invertálhatónak nevezzük az f:H \rightarrow K függvényt, ha van olyan \mbox{ }_{f^{-1}}:K \rightarrow H függvény, amire

f\circ f^{-1} = id_{K}\,
f^{-1}\circ f = id_{H}\,

egyszerre teljesül. Ekkor \mbox{ }_{f^{-1}}-et inverznek nevezzük és ez egyértelmű.

Állítás – Egy H \rightarrow K függvény pontosan akkor invertálható, ha bijektív.

Fontos algebrai tulajdonság a következő. Ha f és g két invertálható függvény, akkor f o g is invertálható és

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

[szerkesztés] Inverz függvény létezésének elégséges feltételei

  • Folytonosan differenciálható (legtágabb értelmezési körében normált terek között ható) függvény esetén elégséges feltételt az Inverzfüggvény-tétel ad az inverz lokális létezésére.
  • Lineáris operátorok esetén az invertálhatóság szükséges és elégséges feltétele a leképezés mátrixának nemnulla determinánsa. (Pontosabban, ha \mbox{ }_{\mathcal{A}} egy a véges dimenziós V vektortérből V-be képező lineáris leképezés és A a koordinátamátrixa, akkor \mbox{ }_{\mathcal{A}} pontosan akkor injektív, ha det(A) ≠ 0)

[szerkesztés] Geometriai jellemzés

Nagyít

Egy f invertálható valós-valós függvény inverzének grafikonját megkapjuk, ha az y = x egyenletű egyenesre tükrözzük az f grafikonját.

[szerkesztés] Analitikus tulajdonságok

Fő szócikk: Inverz függvény (analízis).

[szerkesztés] Külső hivatkozások