# Banach–Tarski-paradoxon

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze

A Banach–Tarski-paradoxon (más néven Hausdorff–Banach–Tarski paradoxon) szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeálltani.

A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítás annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és egy érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. A fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.

## [szerkesztés] Szabatos leírás

A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: és olymódon, hogy minden i-re, Ai egybevágó Bi-vel. Ilymódon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:

  Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.

Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:

  A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.

## [szerkesztés] A bizonyítás vázlata

A bizonyítás négy lépésből áll:

1. A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
2. A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
3. Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
4. Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.

## [szerkesztés] Külső hivatkozások

- Beke Tibor: Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról, Középiskolai Matematikai Lapok, 1989/11
- Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998, ISBN 9637546898
- Stan Wagon: The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 24, 1985.
- Leonard M. Wapner: The pea and the sun, A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../b/a/n/Banach%E2%80%93Tarski-paradoxon_0a23.html"

Kategória: Paradoxonok

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- العربية
- Deutsch
- Español
- Français
- עברית
- Íslenska
- 日本語
- Polski
- Português
- Русский
- Tiếng Việt
- 中文