Pell-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Pell-egyenlet az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x2-dy2=1, ahol d>1 olyan egész szám, ami nem négyzetszám és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

[szerkesztés] A Pell-egyenletek megoldása

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor \sqrt{d} irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

\left|\frac{x}{y}-\sqrt{d}\right|<\frac{1}{y^2}.

Ha K a 2\sqrt{d}+1 után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

\left|\frac{x^2-dy^2}{y^2}\right|=\left|\frac{x}{y}-\sqrt{d}\right| \left|\frac{x}{y}+\sqrt{d}\right|<\frac{K}{y^2},

azaz | x2 - dy2 | értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

x2 - dy2 = X2 - dY2 = L2

másrészt xX mod L és yY mod L. Ekkor

L2 = (x2 - dy2)(X2 - dY2) = (xX + dyY)2 - d(yX - Yx)2

és itt a jobboldali számok, tehát xX+dyY és yX-Yx oszthatók L-lel, tehát Lu és Lv alakúak, végigosztva u2 - dv2 = 1 adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0 azaz x/z=X/Y teljesülne.