Másodfokú egyenlet megoldóképlete

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete az

ax^2+bx+c=0\mbox{ , ahol }a\ne 0. \,

alakú másodfokú egyenlet megoldásait adja meg a\,\!, b\,\! és c\,\! együtthatókkal kifejezve, amelyekről feltételezzük, hogy valósak. Ezeket a megoldásokat az egyenlet gyökeinek is nevezik. A képlet

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}

A gyök alatti D\ = b^2 - 4ac\,\! kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezik, mivel értéke 3 különböző csoportra osztja a megoldásokat:

  • Ha a diszkrimináns nulla, akkor x\,\! kettős gyök és valós szám. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet által leírt parabola egy pontban érinti az x-tengelyt.
  • Ha a diszkrimináns pozitív, akkor két valós megoldást kapunk. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a parabola két pontban metszi az x-tengelyt. Ha a diszkrimináns teljes négyzet, akkor a gyökök racionális számok, egyébként irracionálisak.
  • Ha a diszkrimináns negatív, akkor két komplex megoldást kapunk. A megoldások egymás komplex konjugáltai. Ebben az esetben a parabola nem metszi az x-tengelyt

[szerkesztés] Levezetés

A másodfokú egyenlet megoldóképletét teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

ax^2+bx+c=0 \,\!

Elosztva a másodfokú egyenletet a\,\!-val (ami megengedett, mivel a\ne 0. \,)

x^2 + \frac{b}{a}  x + \frac{c}{a}=0

ami átrendezve

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.

Az egyenletnek ebben a formájában a bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely x^2+2xy+y^2\,\! alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel 2xy\,\! ebben az esetben \frac{b}{a}  x, ezért y = \frac{b}{2a}, így \frac{b}{2a} négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.

A bal oldal most \left(x + \frac{b}{2a}\right) teljes négyzete. A jobb oldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező 4a^2\,\!.

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Négyzetgyököt vonva mindkét oldalból

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{|2a|}\Leftrightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

Kivonva \frac{b}{2a}-t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}.

[szerkesztés] Lásd még