Zsebhalmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A zsebhalmazelmélet (pocket set theory, kódja: Pokeset) a halmazelmélet egy leszűkített változata, mely csak kétféle végtelent tartalmaz. Az elmélet megalkotása Rudy Rucker amerikai matematikus nevéhez fűződik. Azok a matematikusok, akik nem kifejezetten halmazelmélettel foglalkoznak, a mindennapi matematikai gyakorlat során arra a szubjektív meggyőződésre juthatnak, hogy a matematikában csak kétféle végtelen számosság létezik, éspedig a természetes számok \aleph_{0} számossága és a valós számok \mathfrak{c} kontinuum számossága. A zsebhalmazelmélet egy olyan "kis igényű" formális halmazelmélet, mely csak ezeket a végtelen számosságokat mutatja fel.

[szerkesztés] Az elmélet

A zsebhalmazelmélet elsőrendű formális nyelvében két logikai relációjel szerepel, az ∈ szimbólum és az = szimbóluma. Pokeset változójelei osztályokat szándékoznak jelölni. Halmaznak nevezzük azt az x osztályt, mely eleme valemely y osztálynak. Valódi osztály az az osztály, mely nem halmaz. Azonos méretű két osztály, ha bijekció létesíthető a kettő között. Végtelen egy halmaz, ha azonos méretű valamely valódi részhalmazával. Az axiómák:

1. axióma (extenzionalitás) - Két osztály egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.
2. axióma (osztály-komprehenzivitás) - Ha P(x) az elmélet predikátuma, akkor létezik az az osztály, melynek pontosan azon x halmazok az elemei, melyekre P(x) teljesül.

Megjegyezzük, hogy ez az axióma a Morse–Kelley-halmazelmélet azonosnevű axiómájával azonos (és nem az NBG-ével)

3. axióma (végtelenség) - Létezik végtelen halmaz.
4. axióma (valódi osztályok) - Minden valódi osztály azonos méretű, és ha egy osztály azonos méretű egy valódi osztállyal, akkor az valódi osztály.

[szerkesztés] Néhány tétel

Tétel (Az üres halmaz) - Az {x | x ≠ x } üres osztály halmaz.

Tétel (Egyelemű halmazok) - Ha a halmaz, akkor az { x | x = a } egyelemű osztály halmaz.

Tétel (Természetes számok) - Az első végtelen rendszám (ω) halmaz.

Tétel (Megszámlálhatóan végtelen halmazok) - Minden végtelen halmaz megszámlálható.

Tétel (Valódi osztályok) - Minden valódi osztály P(ω)-val azonos méretű (kvázi "kontinuum számosságú").

Tétel ("Kontinuum hipotézis") - Nincs ω és P(ω) mérete közé eső méretű végtelen osztály.

[szerkesztés] Külső hivatkozások