Kontinuitási egyenlet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Elektromágneses elmélet

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}

[szerkesztés] Származtatás

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.

Mindkét oldal divergenciáját véve:

\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t},

de egy rotáció divergenciája nulla:

\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} = 0. \qquad \qquad (1)

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,

ami a kontinuitási egyenlet.

[szerkesztés] Interpretáció

Az áramsűrűség a töltéssűrűség mozgása. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz a töltéssűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

[szerkesztés] Hidrodinamika

A hidrodinamikában a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

{\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

ahol ρ a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

[szerkesztés] Kvantummechanika

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(xt) a valószínűségsűrűség, amivel:

\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)

ahol J a valószínűségi áram.

[szerkesztés] Lásd még