Bernoulli-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Jacob Bernoulli Bernoulli-egyenlőtlenség a matematikai analízis egyik legfontosabb egyenlőtlensége.

Eszerint, ha h\geq -1 valós szám és n pozitív egész szám, akkor

1+nh\leq (1+h)^n.


A bizonyítás teljes indukcióval végezhető: n = 1-re nyilván egyenlőség áll és ha az állítás igaz n-re, akkor

(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\geq (1+nh)(1+h)

ami kiszorozva

1+(n+1)h+nh^2\geq 1+(n+1)h.


Egyenlőség nyilván csak az n = 1 vagy h = 0 esetben teljesül.