# Az aritmetika alapjai

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az aritmetika alapjai (Die Grundlagen der Arithmetik, rövid idegen néven Grundlagen) Gottlob Frege jénai matematikus 1884-ben írt műve. A mű eredeti, teljes német címe Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau, 1884); azaz Az aritmetika alapjai: a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata. E mű magyarul is megjelent (ld. az irodalomjegyzéket) .

E munkájában Frege alapvetően három tudományos feladatba vág bele és végzi el ezeket gyakorlatilag teljes sikerrel:

- 1. A természetes számok megalapozásával kapcsolatosan kimutatja a matematikában, filozófiában és egyéb tudományokban addig és akkoriban elterjedt számfelfogások és számdefiníciók filozófiai és matematikai tarthatatlanságát, irrelevanciáját;
- 2. Vázolja a természetes számok egy lehetséges, matematikai logikára alapuló megalapozását és ezzel valószínűsíti egy ilyen felépítés lehetőségét, illetve vázlatosan kitér a bővebb számkörök (valós, komplex) megalapozásának problematikájára;
- 3. Ezzel pedig (amennyiben az előbbi megalapozási út helyesnek bizonyul) bizonyítja azt a filozófiai tézisét, hogy az aritmetika a logika része.

Frege szerint a számok fogalmak, mégpedig olyan fogalmak, melyek a „fogalmakat jellemzik”. Bizonyos fogalmakat „azonosítani” tudunk, egy osztályba sorolni egy bizonyos ekvivalenciareláció által. Ez az „X fogalom alá ugyanannyi tárgy esik, mint az Y fogalom alá” reláció lesz, de az „ugyanannyi” szót az önhivatkozás elkerülése végett ki kell még küszöbölni, mégpedig az ún. Hume-elv által (Hume „Az emberi természetről” c. művében írja, hogy valamiből ugyanannyi van, mint másvalamiből, ha az egyik fajtában lévő minden dologhoz pontosan egy dolog tartozik a másikból, és fordítva). tehát az egy adott szám mint fogalom alá eső „tárgyak” maguk is fogalmak. Ezt úgy mondja Frege, hogy a számok másodfokú fogalmak. Ezért van az, hogy az aritmetika törvényei bizonyára logikai törvények: minthogy nem empirikus dolgokról, hanem az ezekből logikailag képzett fogalmakról állítanak valamit. A számokra vonatkozó általános állítások ezért nem természettörvények, hanem ezeknek a törvényeknek a törvényei: eme státuszuk magyarázza, hogy alkalmazhatóak a természetre; és emiatt téveszthetőek össze könnyen az empirikus állításokkal.

## [szerkesztés] A mű története

Öt évvel a Fogalomírás megjelenése, és néhány, a fogalomírás témáját tovább boncolgató cikke után jelentette meg, Carl Stumpf tanácsára . E törekvését ha elismerés nem is, de siker mindenesetre koronázta: az Aritmetika alapjai poroszos precízséggel felépített, részletes és alapos, ugyanakkor tömör és világos nyelvezettel megfogalmazott mű, az érthető és emberarcú filozófia és matematika örök példája.

Frege valószínűleg levonta előző műve, a Fogalomírás hűvös fogadtatásának tanulságait, és megfogadta Carl Stumpf azon tanácsát, hogy a kérdéses témába vágó gondolatait és indokait fejtse ki részletesen is a nagyközönség számára érthetőbb, köznyelven írott formában, mivelhogy „ez mindkét munka fogadtatására nézve kedvezőbb lenne”.

## [szerkesztés] Tartalom

(az oldalszámozás az Áron Kiadónál megjelent kiadásra vonatkozik (ld. Irodalom).

Fejezet vagy bekezdés száma | A fejezet címe vagy egy alfejezet hosszabb-rövidebb, egy-két mondatos összefoglalója | Oldal- szám

### [szerkesztés] Bevezetés

| Bevezetés (Előszó) | 11.
| Bevezetés | 21.
1. § | A matematikában újabban felismerhető a törekvés a bizonyítások szigorúságára és a fogalmak pontos megragadására. |
2. § | A vizsgálatnak végső soron ki kell terjednie a számosság fogalmára. A bizonyítás célja. |
3. § | Az ilyen vizsgálódás filozófiai indítékai: azon vitás kérdések, hogy a számok torvényei vajon analitikus vagy szintetikus igazságok, a prioriak vagy a posterioriak-e. E kifejezések értelme. |
4. § | Könyvünk feladata |

### [szerkesztés] I. fejezet

I. f. | Néhány szerző véleménye az aritmetikai tételek természetéről | 25
| Bizonyíthatóak-e a számformulák? | 25
5. § | Kant tagadja ezt; nézetét Hankel joggal nevezi paradoxnak. |
6. § | Leibniz bizonyítása arra, hogy 2+2=4, tartalmaz egy hézagot. Grassmann definíciója a+b-re hibás. |
7. § | Mill nézete, miszerint az egyes számok definíciói megfigyelt tényeket állapítanak meg, megalapozatlan. |
8. § | Ezeknek a definícióknak a jogosságához nem szükséges a szóbanforgó tények megfigyelése |
| Induktív igazságok-e az aritmetika törvényei? | 31
9. § | Mill természettörvénye. Amikor Mill aritmetikai igazságokat természettörvénynek nevez, összetéveszti ezeket alkalmazásaikkal. |
10. § | Indokok azzal szemben, hogy az összeadás törvényei induktív igazságok: a számok nem egyformák; nem áll, hogy már a definíció által birtokunkban van a számok közős tulajdonságainak egy csoportja; valószínűleg megfordítva, az indukciót kell az aritmetikára alapozni. |
11. § | A leibnizi „velünk született” |
| Az aritmetika törvényei szintetikus a prioriak-e, vagy pedig analitikusak? | 36
12. § | Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. A belső szemlélet, mint megismerési alap. |
13. § | Az aritmetika és a geometria különbözősége. |
14. § | Az igazságok összehasonlítása az általuk kormányzott terület szempontjából. |
15. § | Leibniz és St. Jevons nézetei. |
16. § | Hogyan becsüli le ezzel szemben Mill „a nyelv ügyes kezelését”. A jelek azért még nem üresek, mert semmi észlelhetőt nem jelentenek. |
17. § | Az indukció elégtelensége. Feltételezzük, hogy a számok törvényei analitikus ítéletek; miben áll akkor a hasznuk. Az analitikus ítéletek értékéről |

### [szerkesztés] II. fejezet

II. f. | Néhány szerző véleménye a számosság fogalmáról | 43
18. § | A számosság általános fogalma vizsgálatának szükségessége. |
19. § | A definíció nem lehet geometriai. |
20. § | Definiállható-e a szám? Hankel. Leibniz |
| Külső dolgok tulajdonsága-e a számosság? | 45
21. § | M. Cantor és E. Schröder véleménye. |
22. § | Ezzel szemben Baumann: a külső dolgok nem képeznek szigorú egységeket. A számosság látszólag a mi felfogásunktól függ. |
23. § | Mill véleménye, mely szerint a szám dolgok aggregátumainak a tulajdonsága, tarthatatlan. |
24. § | A szám átfogó alkalmazhatósága. Mill. Locke. Leibniz testetlen metafizikai alakzata. Ha a szám valami érzéki volna, nem lehetne nem érzéki dolgoknak tulajdonítani. |
25. § | Mill fizikai különbségtétele 2 és 3 között. Berkeley szerint a szám nincs reálisan a dolgokban, hanem a szellem alkotja azt. |
| A szám valami szubjektív-e? | 50
26. § | Lipschitz leírása a számok képzéséről nem találó és nem helyettesítheti a fogalmi meghatározást. A szám nem a pszichológia tárgya, hanem valami objektív. |
27. § | A szám nem az, aminek Schloemilch véli: egy objektum valamely sorozaton belüli helyének a képzete |
| A számosság, mint halmaz | 54
28. § | Thomae névadása |

### [szerkesztés] III. fejezet

III. f. | Vélemények az egységről és az egyről | 55
| Tárgyak tulajdonságát fejezi-e ki az „egy” számnév? | 55
29. § | A „monasz” és „egység" kifejezések sokértelműsége. E. Schröder azon meghatározása, mely szerint az egység a megszámlálandó tárgy, láthatóan céltalan. Az „egy” jelző nem tartalmaz semmi közelebbi meghatározást, nem fogható fel predikátumként. |
30. § | Leibniz és Baumann meghatározási kísérletei nyomán az egység fogalma, úgy látszik, teljesen eltűnik. |
31. § | Baumann szerint az ismertetőjegyek: osztatlanság és elhatároltság. Az egység Idáját nem mi fűzzük hozzá minden egyes objektumhoz (Locke). |
32. § | A nyelv mégis mutat valamilyen összefüggést az osztatlansággal és elhatároltsággal, azonban más értelemben. |
33. § | Az oszthatatlanság, mint ismertetőjegy (G. Köpp) nem tartható |
| Egyenlőek-e egymással az egységek? | 60
34. § | Az egyenlőség, mint az „egység” név alapja. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Ha elvonatkoztatunk a dolgok különbözőségétől, ezzel nem kapjuk meg a számosság fogalmát, és a dolgok sem lesznek ezáltal egyenlőek. |
35. § | A különbözőség még szükséges is, ha sokaságról kell beszélnünk. Descartes. E. Schröder. St. Jevons. |
36. § | Az egységek különbözőségének nézete is nehézségekbe ütközik. Különböző egységek St. Jevonsnál. |
37. § | Locke, Leibniz, Hesse számmeghatározásai az egységről vagy az egyről. |
38. § | Az „egy” tulajdonnév, az „egység” fogalomszó. A szám nem definiálható. egységekként. Az „és” és a + különbözősége. |
39. § | Az „egység” többértelműsége fedi el annak nehézségét, hogy összebékítsük az egységek egyenlőségét és különbözőségét |
| Kísérletek a nehézség áthidalására | 67
40. § | Tér és idő, mint a megkülönböztetés eszközei. Hobbes. Thomae. Ezzel szemben: Leibniz, Baumann, St. Jevons. |
41. § | Nem érünk célhoz. |
42. § | A sorozaton belüli hely mint a megkülönböztetés eszköze. Hankel tételezése. |
43. § | Schrödeτ a tárgyakat az 1 jellel képezi le. |
| A nehézség megoldása | 72
45. § | Visszapillantás. |
46. § | A szám megadása egy fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. Az az ellenvetés, mely szerint változatlan fogalom mellett a szám megváltozna. |
47. § | A számmegadás tényszerűségét a fogalom objektivitása magyarázza. |
48. § | Némely nehézségek feloldása. |
49. § | Megerősítés Spinozánál. |
50. § | E. Schröder fejtegetése. |
51. § | Ennek helyesbítése. |
52. § | Megerősítés egy német szófordulat által. |
53. § | Különbség egy fogalom ismertetőjegyei és tulajdonságai között. Létezés és szám. |
54. § | Egységnek egy számmegadás alanyát nevezhetjük. Az egység oszthatatlansága és elhatároltsága. Egyenlőség és megkülönböztethetőség |

### [szerkesztés] IV. fejezet

IV. f. | A számosság fogalma | 80
| Minden egyes szám önálló tárgy | 80
55. § | Kísérlet arra, hogy kiegészítsük Leibniznek az egyes számokra adott definícióit. |
56. § | A megkísérelt definíciók használhatatlanok, mert olyan kijelentést magyaráznak, amelynek a szám csupán egy része. |
57. § | A számmegadás számok közötti egyenlőségként tekintendő. |
58. § | Az az ellenvetés, hogy a szám nem képzelhető el önálló tárgyként. A szám egyáltalában elképzelhetetlen. |
60. § | Még konkrét dolgok sem mindig elképzelhetőek. Ha egy szó jelentése után kérdezünk, akkor mondatban kell azt vizsgálnunk. |
61. § | Ellenvetés: a számok nem térbeliek. Nem minden tárgy térbeli |
| Hogy a számosság fogalmához eljuthassunk, rögzítenünk kell a számegyenlőségek értelmét | 86
62. § | Szükségünk van a számegyenlőség egy ismertetőjelére. |
63. § | Ilyen [ismertetőjel] az egyértelmű hozzárendelés lehetősége. Az a logikai kétség, hogy így nem adunk-e egyre az esetre külön meghatározást az egyenIőségre. |
64. § | Példák hasonló eljárásra: az irány, a síkok állása, a háromszögek alakja. |
65. § | Kísérlet a definícióra. Egy második kétely: eleget teszünk-e az egyenlőség törvényeinek. |
66. § | Harmadik kétely: az egyenlőség ismertetőjele nem elégséges. |
67. § | A kiegészítés nem történhet úgy, hogy a fogalom ismertetőjegyeként azt a módot vesszük, ahogy egy tárgyat bevezetünk. |
68. § | A számosság, mint fogalom terjedelme. |
69. § | Magyarázat |
| Definíciónk kiegészítése és igazolása | 94
70. § | A kapcsolatfogalom. |
71. § | Hozzárendelés kapcsolatfogalom által. |
72. § | A kölcsönösen egyértelmű kapcsolat. A számosság fogalma. |
73. § | Az F fogalmat megillető számosság egyenlő azzal a számossággal, amely a G fogalmat megillett, ha van olyan kapcsolat, amely az F fogalom alá eső dolgokat kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a G alá esőekhez. |
74. § | Nulla az a számosság, amely az „önmagával nem egyenlő” fogalmat megilleti. |
75. § | Nulla számosság illeti meg azokat a fogalmakat, amelyek alá semmi nem esik. |
76. § | Az „n a természetes számok sorozatában közvetlenül következik m-re” kifejezés meghatározása. |
77. § | 1 az a számosság, amely a „0-val egyenlő” fogalmat megilleti. |
78. § | Definíciónk segítségével bizonyítandó tételek. |
79. § | A sorozaton belüli rákövetkezés definíciója. |
80. § | Ide vonatkozó megjegyzések. A rákövetkezés objektivitása. |
81. § | Az „x az y-nal végződő φ-sorozathoz tartozik” kifejezés definíciója. |
82. § | Vázlatos bizonyítása annak, hogy a természetes számok sorozatában nincs utolsó tag. |
83. § | A véges számosság definíciója. Nincs olyan véges számosság, amely a természetes számok sorozatában saját magára következne |
| Végtelen számosságok | 108
84. § | A „véges számosság” fogalmat megillető számosság végtelen. |
85. § | A Cantor-féle végtelen számosságok; „kardinális szám”. Eltérés a megnevezésben. |
86. § | Cantor szukcesszív rákövetkezése és az én sorozatbeli-rákövetkezésem |

### [szerkesztés] V. fejezet

IV. f. | Befejezés | 110
87. § | Az aritmetikai törvények természete. |
88. § | Kant lebecsülő véleménye az analitikus ítéletekről. |
89. § | Kant tétele, mely szerint „érzékiség nélkül nem volnának számunkra adott tárgyak”. Kant érdeme a matematikát illetően.
90. § | Az aritmetikai törvények analitikus természetének teljes kimutatásához még hiányzik egy hézagmentes következtetési lánc. |
91. § | Ennek a hiánynak a pótlása fogalomírásom segítségével lehetséges |
| Másféle számok | 115
92. § | A számok lehetségességének értelme Hankel szerint. |
93. § | A számok sem a térben rajtunk kívül vannak, sem pedig szubjektívek. |
94. § | Egy fogalom ellentmondásmentessége nem biztosítja, hogy van, ami a fogalom alá esik, és önmagában is bizonyításra szorul. |
95. § | (c-b)-t nem tekinthetjük minden további nélkül olyan jelnek, ami megoldja a kivonás feladatát |
96. § | A matematikus sem alkothat bármit önkényesen |
97. § | A fogalmakat meg kell különböztetni a tárgyaktól |
98. § | Hankel meghatározása az összeadásra |
99. § | A formális elmélet hiányosságai |
100. § | A komplex számok kimutatásának azon kísérlete, hogy a szorzás jelentését sajátos módon értelmezik |
101. § | Egy ilyen kimutatás lehetősége nem közömbös a bizonyítás hordereje szempontjából |
102. § | Annak puszta megkövetelése, hogy egy művelet végrehajtható legyen, nem kielégítése a követelménynek |
103. § | Kossak meghatározása a komplex számokra csak utalás egy definícióra, és nem kerüli el a különnemű belekeverését. A geometriai ábrázolás |
104. § | Az a cél, hogy az új számokra is rögzítsük egy újrafelismerési ítélet értelmét |
105. § | Az aritmetika vonzereje észjellegében rejlik |
106.-109. § | Visszapillantás | 124
| A Grundlagen kontextusai (a fordító utószava) | 129
| Irodalom | 154

## [szerkesztés] Irodalom

- Frege, Gottlob: Az aritmetika alapjai (a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata), er.: Die Grundlagen der Arithmetik (Eine logische-matematische Untersuchung über den Begriff der Zahl). Máté András fordítása. Áron Kiadó, Bp., 1999. ISBN 963-9210-03-X .

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../a/z/_/Az_aritmetika_alapjai.html"

Kategóriák: Matematikatörténet | Filozófia | Könyvek

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés