Béta-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A béta-függvény a következő képlettel definiált kétváltozós valós függvény:

B : \bold R_+^2 \rightarrow \bold R, \quad \quad B (\alpha ,\beta)  := \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \ dx.

A gamma-függvényt leggyakrabban a valószínűségszámítás területén alkalmazzák, bár a paraméteres integrálok számításánál és egyszerűsítésénél is igen hasznos. A béta-függvény segítségével definiálható a béta-eloszlás.

[szerkesztés] Megjegyzések

  • Megmutatható, hogy
B (\alpha ,\beta) = \frac {\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} {\Gamma(\alpha+\beta)} \,
ahol Γ a gamma-függvényt jelöli.
  • Megmutatható, hogy a béta-függvény (komplex változós és komplex értékű változata) az egyetlen meromorf függvény, ami mindenütt kielégíti az alábbi három feltételt.
(1)\quad B(z,w)=B(w,z)
(2) \quad B(z,w+1) = \frac{w}{z+w} B(z,w)
(3)\quad B(1,1)=1

[szerkesztés] Források

  • Fazekas F. - Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.