Vektoriális szorzat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat, más néven külső vagy keresztszorzat egy vektorokkal végzett művelet. A skaláris szorzattal ellentétben, e művelet eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük.
Jelölése: a×b vagy [ab]
Értelmezése: Az eredményvektor nagyságát (abszolútértékét) megkapjuk, ha a a két vektor hosszának (abszolútértékének) szorzatát megszorozzuk a közbezárt szögük szinuszával (0° ≤ θ ≤ 180°):

|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)

A művelet eredményeként kapott vektor merőleges mind a-ra, mind b-re. Mivel két (ellentétes irányú) vektor is teljesíti a térben ezt a merőlegességi feltételt, egyértelművé kell tenni, hogy melyikre gondolunk. a-nak, b-nek és az eredményvektornak jobbkezes koordináta-rendszert kell alkotnia. Egy i, j, k kordináta-rendszert akkor hívunk jobbkezesnek, ha a jobb kezünk hüvelyk ujja i-vel, mutató ujja j-vel, középső ujja pedig (tenyerünkre merőlegesen) k-val párhuzamosan áll. Ez egy önkényes megállapodás (lehetne balkezesre is definiálni), ezért az eredményét pszeudovektornak is nevezik.

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

c1 = a2b3a3b2
c2 = a3b1a1b3
c3 = a1b2a2b1

Vagy rövidebben: c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k, ahol \varepsilon_{ijk} a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.


Két párhuzamos vektor vektoriális szorzata a nullvektort adja eredményül (mert a bezárt 0 fokos szög szinusza 0). Pl. a×b = 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90 fok szinusza 1).


Tulajdonságok:

  • \mathbf{a}\times\mathbf{b} = - \mathbf{b}\times\mathbf{a} , tehát nem kommutatív (hanem antikommutatív)
  • \mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} , tehát az összeadásra disztributív
  • (\lambda \mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) = \lambda (\mathbf{a}\times\mathbf{b})
  • (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} \ne \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi azonosságot: \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) + \mathbf{b}\times(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) + \mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 0 Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy R3 a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie algebrát képez.


Kifejtési tétel:

\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}  (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c} (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})

Négyesszorzat:

(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = - \mathbf{d}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) + \mathbf{c}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{d}), ahol (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})


\mathbf{a}^{(i)} (i=1,2,3) vektorok \mathbf{A}^{(i)} (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

\mathbf{A}^{(1)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(2)} \times \mathbf{a}^{(3)})
\mathbf{A}^{(2)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(3)} \times \mathbf{a}^{(1)})
\mathbf{A}^{(3)} = \frac{1}{v} (\mathbf{a}^{(1)} \times \mathbf{a}^{(2)}) , ahol v = (\mathbf{a}^{(1)},\mathbf{a}^{(2)},\mathbf{a}^{(3)})


A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő: \mathbf{F} = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})
r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka: \mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}