Wilson-tétel
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A Wilson-tétel a következőt állítja: ha p prímszám, akkor
.
Összetett számra ez nem teljesülhet, mivel, ha n>1 összetett, akkor n-nek és (n-1)!-nak van közös osztója, sőt, minden 4-nél nagyobb n összetett számra
.
Így ez a tétel használható prímtesztnek.
Az angol John Wilson, Edward Waring tanítványa fedezte fel. Waring 1770-ben bejelentette a tételt, de bizonyítani nem tudta. Lagrange adta az első bizonyítást 1773-ban. Minden jel szerint már Leibniz ismerte a tételt, de nem publikálta.
A tételt úgy is általánosíthatjuk tetszőleges modulusra, hogy a redukált maradékosztályok szorzatát vizsgáljuk. Ha ezt Π(n)-nel jelöljük, akkor Π(n) ≡ -1 mod n, ha n=4, páratlan prímhatvány, vagy páratlan prímhatvány kétszerese, a többi esetben Π(n) ≡ 1 mod n.
[szerkesztés] Bizonyításai
[szerkesztés] 1. bizonyítás
Feltesszük, hogy p>2. Minden x redukált maradékosztályhoz van egy és csak egy y redukált maradékosztály, hogy xy≡ 1 mod p. Ezzel párokra osztom a redukált maradékosztályokat, csak akkor van baj, amikor egy maradékosztály önmagának a párja, azaz x2≡ 1 mod p. Tehát a redukált maradékrendszert fel tudom bontani a következőképpen: 1,-1, és párok, amiknek a szorzata az 1 maradékot adja. Ezeket összeszorozva a -1 maradékot kapjuk.
[szerkesztés] 2. bizonyítás
Feltehetjük, hogy p>2. A modulo p test fölött vegyük a következő polinomot:
Ez a kis Fermat-tétel miatt 0 az 1,...,p-1 maradékosztályok mindegyikére, viszont fokszáma legfeljebb p-2, mert a két xp-1-s tag kiejti egymást. Test feletti polinomok között csak az azonosan 0 polinomnak lehet több gyöke, mint a fokszáma, ez tehát az azonosan 0 polinom. Tehát konstans tagja is nulla, ami (mivel p páratlan) - 1 - (p - 1)!.



Based on work by