Formális hatványsor

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához. A definíció a következő:

Legyen R = \left( U, +, \times \right) tetszőleges gyűrű, és tekintsük az R feletti R_{\mathbb{N}} = \left\{ \left( r_{n} \right) ^{n \in \mathbb{N}} \ | \ r \in R \right\} végtelen \left( r_{n} \right) _{n \in \mathbb{N}} = \left( r_{0} , r_{1} , r_{2} , r_{3} , .... \right) sorozatok halmazát (megjegyzés, KD -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát R_{\mathbb{N}} felett két kétváltozós \oplus és \otimes műveletet a következőképp:

  • \oplus : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \oplus (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} =  (r_{i}+s_{i})_{i \in \mathbb{N}} ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
  • A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: \otimes : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \otimes (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} = ( \sum_{j=0}^{i} r_{j}s_{i-j} )_{i \in \mathbb{N}} .

A K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus ,  \otimes \right) algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az R feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

[szerkesztés] Polinom

Ha egy \left( s_{i} \right) \in R^{\mathbb{N}} sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát E \left( \left( s_{i} \right) \right) = \left\{ j \in \mathbb{N} \ | \forall k \in \mathbb{N} : j \le k \Rightarrow s_{k} =0 \right\} \subseteq \mathbb{N} -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.