Zéruselem

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A zéruselem a matematikában az algebrai struktúrák elméletének egyik alapvető fogalma. Egy kétváltozós műveletre nézve a művelet alaphalmazának valamely elemét akkor nevezzük zéruselemnek, ha bármelyik másik elemen ezzel a kitüntetett elemmel bármelyik oldalról végezve a műveletet, ezt a kitüntetett elemet kapjuk vissza.

  • Egy lehetséges formális definíció a következő: adott egy U halmaz és egy * : U \times U \mapsto U kétváltozós (bináris) művelet.

Tehát bármely a,b ∈ U elemekhez tartozik egyetlen *(a,b) = a*b = c ∈ U elem. Ekkor az z ∈ U elem zéruselem a * bináris műveletre nézve, ha tetszőleges x ∈ U elemre érvényes: x*z = z*x = z.

  • Egy másik definíció a grupoid-transzláció fogalmára alapoz: eszerint a z ∈ U elem akkor neutrális eleme az (U,*) grupoidnak, ha a z elemhez tartozó Tj z és Tb z jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az U feletti, minden elemhez z-t rendelő konstans függvénnyel egyenlőek, azaz ha tetszőleges x ∈ U elemre Tj z (x) = z és Tb z(x) = z. Minthogy Tj z (x) := x*z és Tb z (x) = z*x, ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Egyértelműség

A neutrális elem egyértelmű (legfeljebb egy van belőle az alaphalmazban). Ugyanis ha z,u ∈ U neutrális elemek, akkor z*u = u*z = z; mivel z neutrális; és z*u = u*z = u, mivel u is neutrálsi, így z = u.

[szerkesztés] Féloldali zéruselemek

Ha csak x*z = z teljesül, de z*x = z nem feltétlenül; akkor z neve jobb(oldali) zéruselem, ha meg csak z*x = z (de x*z = z nem minden x-re), akkor a neve bal(oldali) zéruselem. Persze z akkor és csak akkor zéruselem, ha bal- és és jobboldali zéruselem is egyszerre.

Míg a zéruselem egyértelmű, addig a féloldali zéruselemek többen is lehetnek. Sőt létezik olyan művelet, mely végtelen alaphalmazának minden eleme féloldali neutrális (ld. 10. példa).

Ha egy elem baloldali zéruselem, de nem zéruselem, akkor valódi baloldali zéruselemnek nevezzük, hasonlóan ha jobboldali zéruselem, de nem kétoldali, akkor valódi jobboldali zéruselemnek.

Megjegyezzük, hogy ha egy műveletre nézve van jobb oldali j és van bal oldali b zéruselem, akkor ezek szükségképp egyenlőek, és így van zéruselem, hiszen x*j = j miatt b*j = j, ugyanakkor b*x = b miatt b*j = b. Azaz b*j = j = b.

Ebből következően

  • egy műveletre nézve akkor és csak akkor létezik zéruselem, ha létezik egy baloldali és egy jobboldali zéruselem (mert ekkor ezek szükségképp egyenlőek).
  • Bármely műveletre bármely x ∈ U esetén a következő lehetőségek közül egy és csak egy teljesül:
    • x valódi baloldali zéruselem (s ekkor nincs jobboldali zéruselem, tehát zéruselem sincs);
    • x valódi jobboldali zéruselem (s ekkor nincs baloldali zéruselem, tehát zéruselem sincs);
    • x (kétoldali) zéruselem (s ekkor nincs valódi zéruselem).

[szerkesztés] Példák

  1. Az egész számok körében értelmezett legnagyobb közös osztó műveletének zéruseleme a 1.
  2. Az egész számok körében értelmezett legkisebb közös többszörös műveletének zéruseleme a 0.
  3. egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett unió műveletének a zéruseleme maga az U; mert A \subseteq U esetén A \cup U = U;
  4. egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett metszet műveletének a zérusneutrális eleme \empty üres halmaz
  5. Egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett szimmetrikus differencia műveletének zéruseleme az \empty üres halmaz;
  6. a valós számok \mathbb{R} halmaza felett értelmezett összeadás műveletének nincs zéruseleme; de a szorzás műveletének van zéruseleme, a 0;
  7. Olyan műveleteket sem nehéz elképzelni, melyek alaphalmazának minden eleme féloldali – vagy mind jobboldali-, vagy mind baloldali- – zéruselem. Legyen U = a1,a2,a3 (az egyszerűség kedvéért 3 elemből áll, de hasonlóan megvalósítható akárt végtelen sok elemmel is). A következő művelettáblával defimiált két * b és * j művelet abszolúte jól definiált művelet (magyarázat a táblázatokhoz: az x elemmel jelölt sor és az y elemmel jelölt oszlop kereszteződésében álló cellába írtuk az x*y elemet):
* b a 1 a 2 a 3
a 1 a 1 a 1 a 1
a 2 a 2 a 2 a 2
a 3 a 3 a 3 a 3
* j a 1 a 2 a 3
a 1 a 1 a 2 a 3
a 2 a 1 a 2 a 3
a 3 a 1 a 2 a 2

Tehát az történik, hogy ha pl. b baloldali zéruselem, akkor az f(x)= b*x = b függvény (ezt egyébként az (U,*) grupoid b elem szerinti bal oldali transzlációjának szokás nevezni) a konstans b értékű leképezés az alaphalmazon. Ez az észrevétel az alapja a zéruselem több mint kétváltozós műveletekre való általánosításának.

[szerkesztés] Általánosítás

Legyen adott egy U halmaz és egy f \left( x _{1} , x _{2} , ..., x _{n} \right) : U ^{n} \mapsto U homogén n-változós művelet (n>1).

Definiáljuk az (U, f) struktúra (ez nem nevezhető grupoidnak, mert a művelet nem feltétlenül kétváltozós) y ∈ U elemhez tartozó i-edik (1 ≤ i ≤ n) transzlációját, fy -t a következőképp: f_{y} \left( x_{1} , x_{2} , ..., x_{i-1} , x_{i+1}, ... , x_{n}  \right) : U^{n-1} \mapsto U ; \forall x_{j} \in U: f_{y} \left( x_{1} , x_{2} , ..., x_{i-1} , x_{i+1}, ... , x_{n}  \right) = f \left( x_{1} , x_{2} , ..., x_{i-1} , y , x_{i+1}, ... , x_{n}  \right) (itt j \in \left\{ 1, 2, ... , i-1, i+1, ... , n \right\} ). Tehát ez egy n-1-változós homogén művelet, mely úgy keletkezik, hogy f i-edik változóját rögzítjük.

Ekkor a z \in U elemet a művelet i-edik változójára nézve zéruselemnek nevezzük, ha f _{ z } \left( \underline{x}  \right) = z tetszőleges \underline{x} \in U^{n-1} esetén.

Tehát ha az i-edik változót rögzítjük, mégpedig értéke z, akkor ez el is dönti a függvény értékét, az konstans z lesz.

Ha U minden eleme zéruselem az f i-edik változójára, az azt jelenti, hogy a függvény összes többi változója fiktív.

Az i-edik változóra nézve zéruselem fogalma a féloldali zéruselem általánosítása (egy baloldali zéruselem egy kétváltozós művelet első változójára nézve zéruselem, míg egy jobboldali zéruselem a másodikra nézve). A (kétoldali) zéruselem fogalmának általánosítása pedig homogén n-áris művelet esetén a minden változóra nézve zéruselem fogalma (nevezhetnénk mondjuk pán-zéruselemnek): ez olyan elem, amely tetszőleges i ∈ {1,2,...,n} esetén az f i-edik változójára nézve is zéruselem

Az i-edik változóra nézve zéruselem fogalma könnyedén általánosítható inhomogén műveletre is. A pán-zéruselem fogalmának ez esetben azonban már általában nincs értelme.

[szerkesztés] Lásd még