Hullámfüggvény
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Ez a szócikk a hullámfüggvény kvantummechanikai koncepcióját tárgyalja. Ennek a kifejezésnek a klasszikus mechanikában és a klasszikus elektrodinamikában jelentős eltérő értelme van.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amelyik egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai - alapvektorai, bázisfüggvényei - szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:
- komplex vektor véges számú komponenssel (pl. Heisenberg-kép)
,
- komplex vektor végtelen sok komponenssel
,
- egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (pl. Schrödinger-kép)
.
Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.
[szerkesztés] Interpretáció (függvény)
A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.
[szerkesztés] Egy részecske egy térdimenzióban
Egy részecskéhez egy dimezióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex
függvény, amit a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény
abszolutértéknégyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az [a,b] intervallumba eső eredményt ad:
.
Ez a következő normálási feltételhez vezet:
.
mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.
[szerkesztés] Egy részecske három térdimenzióban
A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex
függvény, ami a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutértéknégyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az R térfogatban találjuk:
.
A normálási feltétel hasonló:
ahol az integrálás az egész térre kiterjed.
[szerkesztés] Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban
Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:
,
és
az együttes valószínűségsűrűségi függvénye a két részecske pozíciójának. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:
ahol dV1 = dx1dy1dz1, dV2 is hasonló. A normálási feltétel ezért:
ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.
Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt. Kétrészecske-rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, lehetetlen lehet egy olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amelyik nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.
[szerkesztés] Egy részecske egydimenziós impulzustérben
Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy a valós számegyenes értelmezett komplex
függvény. A
mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a [a,b] intervallumba eső eredményre vezet:
.
Ez a következő normálási feltételhez vezet:
Mivel a részecske impulzusát valamennyinek biztosan találjuk.
[szerkesztés] 1/2-es spin
Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekeintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy - algebrai - oszlopvektor (ld. spinorok):
.
A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan c1 és c2 a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a z térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:
A
ill.
értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:
.
[szerkesztés] Interpretáció (vektor)
A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük
-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek
. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.
[szerkesztés] Véges vektorok
A hullámfüggvény, ami egy
vektor n komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer
állapotát a végesen sok
bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol i 1-től n-ig fut. A
,
egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a
,
egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhetnek, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk a 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.
komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:
- Ha a
állapotok egy dinamikai változó (pl. impulzus, helykoordináta, stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
- állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül λi-t kapjunk, | ci | 2, és ha eredményünk λi, akkor a mérés után a rendszer a
állapotban lesz.
[szerkesztés] Végtelen vektorok
A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így
ekvivalens a következővel:
,
ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed
minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.
[szerkesztés] Folytonos indexű vektorok (függvények)
Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske
fizikai állapotát a határozott helyzetű
állapotokon fejti ki. Ezért
.
Vegyük észre, hogy
nem azonos
-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:
és ezért az
-hoz rendelt térhullámfüggvény
(Dirac-delta).
[szerkesztés] Formalizmus
Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy H vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,
- 1. Ha
és
két megengedett állapot, akkor
- szintén megengedett állapot feltéve, hogy | a | 2 + | b | 2 = 1. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)
és,
- 2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.
Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a H vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.
egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:
.
Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy H térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist - puff ez megfogott, "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen - nulla mérési bizonytalansággal - levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.
Szokás felruházni H-t egy belső szorzat-tal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok
báziselemünk van, amelyik mind H-hoz tartoznak, akkor H egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz
Ha ez a helyzet, akkor
belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével
.
Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint pl. a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú
állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása
azaz érvényes az analóg
.
összefüggés.













Based on work by