Matematika

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematika speciális tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika „belső” fejlődéséből, differenciálódásából adódóan létrejött (felfedezett vagy feltalált) rendszereket, struktúrákat, azok absztrakt, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja.

Régebben a „mennyiség és a tér tudományaként” (a számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg, a múlt század elejétől kezdve pedig a matematikáról azt tartották, hogy az „a halmazelmélet absztrakt struktúráinak formális logikai szemlélettel és a javarészt erre épülő matematikai jelölésrendszerrel való vizsgálata”.

Ma már nemcsak az első, hanem a második álláspontot is vitathatónak, túlhaladottnak tartják egyes didaktikai szakemberek [1]. A matematikát nehéz pontosan meghatározni, mibenlétének kérdése még manapság is, sőt manapság különösen, vita tárgya, élő és nem lezárt tudományos probléma, mellyel a matematikafilozófia (a filozófia egyik területe, sőt már-már önálló tudományága) foglalkozik.

Ezért a következőkben megpróbáljuk ehelyett néhány fontos, megkülönböztető sajátosságát kiemelni, melyek egyike-másika más tudományokban is megtalálható, de így együtt az összes csak a matematikában [2]. A matematika sajátossága elsősorban különleges témaválasztásában, kutatási területeiben és módszereiben, nyelv-és jelölésrendszerében rejlik.

Egybevágósági transzformációk az euklédeszi síkon
Nagyít
Egybevágósági transzformációk az euklédeszi síkon

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A matematika megkülönböztető sajátosságai

[szerkesztés] Magasfokú absztrakció és specializáció

A legegyszerűbb matematikai fogalmak is, mint a szám vagy a pont fogalma, magasfokú, és történetileg szinte mindig több évszázad, évezred alatt végbemenő absztrakció eredményei. E folyamat során dolgok (tárgyak, fogalmak) egy összességét tekintve elvonatkoztatunk azon tulajdonságoktól, melyek a vizsgálat szempontjából lényegtelenek, és csak bizonyos kiemelt tulajdonságokat veszünk figyelembe.
Matematikailag egy absztrakció eredményeképp létrejött fogalom azonosítható azon dolgok halmazával, melyek a fogalom körébe tartoznak.

A matematikában gyakorta előfordul a specializációnak elnevezett fogalomalkotási eljárás. Ez logikailag egy fogalomból részfogalom, halmazelméletileg pedig egy halmazból részhalmaz képzésének felel meg. Így kapjuk például a „kutya” fogalmából a „belga juhászkutya”, a „kémiai elem” fogalmából a „halogénelem”, a „szám” (egész szám) fogalmából a „páros” illetve „páratlan” szám fogalmát

[szerkesztés] Sajátos módszerek

Módszerei szintén igen jellemzőek e tudományra, ezek közül a legfőbbek a matematikai logika tudományára alapozott deduktív vagy axiomatikus ismeretszerzés-rendezés (az úgy nevezett axiomatikus-deduktív módszer), és (elsősorban a halmazelmélet szimbolikájára, nyelvezetére alapozott) speciális matematikai nyelv, jelölésrendszer.

[szerkesztés] Különleges nyelvezet és szimbolika

Mivel a matematika gyakran olyan fogalmakkal és módszerekkel dolgozik, melyek a „való” életben és más tudományokban csak áttételesen fordulnak elő, szükség volt természetesen egy sajátos szaknyelv, ezen túl pedig egy tömör és a köznyelvi kétértelműségektől mentes szimbólumrendszer, a matematikai nyelv kialakulására. Ez a matematika történeti fejlődése során hosszasan alakult és formálódott: kezdetben a matematikusok is mindent élőszóban és írásos köznyelven fejeztek ki (retorikus matematika korszaka), majd szórövidítéseket kezdtek alkalmazni (elsőként Diofantosz görög matematikus, algebra- és számelméletkutató), az ilyen jelek később egyre inkább elszakadtak köznyelvi jelentésüktől és formájuktól (szinkopált matematika korszaka), és a mai matematikai szimbólumokká (=, gyökjel, integráljel stb.) alakultak (formális matematika korszaka). A matematika minden ágának megvan a maga külön szaknyelve és „nyelvjárása”, de a múlt század közepétől elterjedt halmazelméleti-logikai szemlélet híveinek és az ezzel járó nyelv- és szimbólumhasználatnak hosszú időre sikerült szinte példa nélkül álló tartalmi és formai egységet teremteniük a matematikában.

[szerkesztés] A matematika tárgya és besorolása

A matematika által vizsgált rendszerek legtöbbször a természettudományokból származnak, ezen belül is gyakran a fizika tárgyköréből. Szokás néha a matematikát is a természettudományok közé sorolni, de erről a szakemberek -matematikusok, filozófusok, tudománytörténészek stb. véleménye megoszlik.

Egyesek a matematikát szociális konstrukciónak tartják, abban az értelemben, hogy úgy tekintik, a matematika fogalmai a - Durkheim által a szociológiában bevezetett kifejezést használva - kollektív gondolkodás termékei (lásd erről: Reuben Hersh). Mások a matematika által vizsgált objektumoknak egy külön, az anyagi és társadalmi létezésnél magasabb rendű, de legalábbis azoktól teljesen különböző létezési formát tulajdonítanak (lásd erről Karl Popper filozófus, vagy a modern logika legmegrázóbb eredményeit elérő Kurt Gödel matematikai logikus platonista álláspontját). Sokan pedig, nem ritkán matematikusok, a matematikát inkább művészetnek, mint tudománynak tartják. A matematika besorolása tehát vitatott.

Annyi bizonyos azonban, hogy a fizikából vagy egyéb alkalmazott tudományból vett témakörökön kívül a matematikusok például gyakran olyan struktúrákkal is foglalkoznak, melyek a matematikán belül nyernek értelmet, nem más tudományterületekről származnak. Ez utóbbiak sokszor fontos általánosítások, olyan eredmények, melyek megkönnyíthetik nem egy matematikus életét.

Bővebbet láss a matematikafilozófia címszó alatt.

Fermat-féle spirál
Nagyít
Fermat-féle spirál

[szerkesztés] A matematika eredete és története

A matematika szó a görög nyelvből származik, a μάθημα (máthema) szó jelentése „tudomány, tudás”, a μαθηματικός (mathematikós) pedig azt jelenti, „tudásra vágyik”.

Gyakori álláspont, hogy történelmileg a matematika legalapvetőbb szabályai - amennyire ez a legkorábbi ismert matematikai tárgyú iratokból (pl. Ahmesz-papirusz) kiderül, gabonaszétosztási, űrmérték-, térfogat- és földterület-mérési, és hasonló egyszerű, a „való életből” vett, élelmezési, kereskedelmi, gazdasági jellegű problémák megoldásából adódik. Mások hangsúlyozzák a korai matematika szakrális, vallásokkal, ill. filozófiákkal kapcsolatos jellegét is.

A matematika tudományának kialakulásával, változásaival, vagyis a matematika történetével a tudománytörténet megfelelő ága, a matematikatörténet foglalkozik.
Az emberiség történelme során matematika még tiszta formájában is mindig megtalálta fontos alkalmazásait, sőt sokszor a legnagyobb matematikai felfedezések természettudományos, elsősorban fizikai problémáknak és motivációnak köszönhetőek.
A „tiszta”, általános iskolai szintet meghaladó matematika jelentősége a huszadik században (az ún. szputnyik-sokk után) különösen felértékelődött a nyugati civilizációban, és ennek eredményei máig érezhetőek a matematika oktatásában. Bár a hidegháború hatása csökenni látszik, jelenleg az informatikai eszközök rendkívül gyors, a mindennapi életre is jelentős hatást gyakorló fejlődése, amely folyamatnak komoly matematikai alapjai vannak, továbbra is magával hozza a matematika művelésének és oktatásának kiemelt szerepét, fontosságát. Az UNESCO által is elismerten a matematika, az anyanyelvi műveltség melletti másik tényezőként, mindenfajta műveltség egyik alappillére.

[szerkesztés] A matematika részterületekre osztása

A matematikát a szakemberek többé-kevéssé egymással megegyezésben a lentebb felsorolt nagyobb részterületekre, tudományágakra szokták osztani. A főbb tudományágak nevei általában többé-kevésbé megfelelnek a legtöbb magyar egyetem matematikai tanszékei, tanszékcsoportjai elnevezéseinek. Különféle szerzők műveiben találhatóak felosztásbeli eltérések (különösen a diszkrét matematika, az operációkutatás, a numerikus módszerek matematikája, illetve a matematika frissebb ágai - számítógéptudomány - elkülönítésében, besorolásában), de Magyarországon általában elfogadottnak tartható a következő felosztás:

[szerkesztés] Matematikai logika

A klasszikus (kétértékű) matematikai logika feladata azoknak a módszereknek az elemzése, melyeket a matematikusok a bizonyításaik, érveléseik során használhatnak. Fő ágai a kijelentéslogika, a bizonyításelmélet, a modellelmélet. A matematikai logikának ezen és a matematikán kívül fő alkalmazási területe az informatika, illetve az elméleti fizika (nem-klasszikus logikák).

[szerkesztés] Halmazelmélet

A halmazelmélet (a matematikai logikával együtt) az az alapelmélet, amely a matematika keretét, nyelvét és alapvető szemléletét adja. Minden matematikai objektum végső soron valamilyen halmaz (esetleg osztály), sokaság. Speciális halmazok a relációk, speciális relációk a függvények; speciális függvények az elemrendszerek és halmazrendszerek. A halmazelméletnek mint keretelméletnek lezárása a matematikai struktúra fogalma, és a rá épülő struktúraelmélet: ez lényegében egy halmaz és egy felette értelmezett, azaz e halmaz részhalmazaiból álló halmazrendszer. E halmazrendszerre különféle előírásokat adhatunk, hogy milyen legyen, eszerint lehet a matematikai struktúrák fogalmát relációs, algebrai, topologikus, vagy kombinatorikus struktúrákra osztani.

Halmazok metszetei
Nagyít
Halmazok metszetei

A halmazelmélet azonban nem pusztán matematikai keretelmélet, hanem önálló ágai is vannak, pl. kombinatorikus halmazelmélet, a belső modellek elmélete, a nagyszámosságok elmélete, leíró halmazelmélet.

Lásd még halmazelmélet és struktúraelmélet.

[szerkesztés] Algebra

A matematikai műveletek elvont tanulmányozása. Ágai a klasszikus (~elemi), az absztrakt, a lineáris és az univerzális algebra.

[szerkesztés] Számelmélet

A számelmélet (aritmetika) a matematika egy tudományága, mely eredetileg a természetes számok illetve az egész számok oszthatósági tulajdonságait vizsgálta. Az egész számok számelméleti tulajdonságai vizsgálhatóak egészen elemi eszközökkel is (elemi számelmélet), de a felsőbb matematika eszköztára (komplex függvényanalízis) segítségével is (analitikus számelmélet). Az egész számok körében felvetődő bizonyos kérdések tanulmányozása vezetett a számelmélet problémáinak és fogalmainak gyűrűkre vonatkozó kiterjesztéséhez, a gyűrűk (szám)elméletét algebrai számelméletnek nevezzük.

[szerkesztés] Geometria

A geometria a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága (maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett). Fő ágai: a projektív, az ábrázoló, az analitikus, és a differenciálgeometria, minden ágon tárgyalható az euklideszi, ill. nemeuklideszi geometriák szemlélete szerint.

[szerkesztés] Analízis

(valós, komplex, funkcionál-, Fourier-, numerikus)

Mandelbrot halmaz, tengelyekkel ábrázolva
Nagyít
Mandelbrot halmaz, tengelyekkel ábrázolva

[szerkesztés] Topológia

(leíró, kombinatorikus, általános)

[szerkesztés] Véges és/vagy diszkrét matematika

(kombinatorika, gráfelmélet, véges és diszkrét geometriák, játékelmélet, kombinatorikus számelmélet, "kvantum"-matematika?)

[szerkesztés] Valószínűségszámítás

(valószínűségszámítás, matematikai statisztika, információelmélet)

[szerkesztés] Számítógéptudomány

A számítógép-tudomány (computer science) a matematika egyik igen fiatal tudományága, amely az információfeldolgozó gépek (pl. számítógépek) tervezésének és működtetésének elméleti, matematikai alapjaival foglalkozik. Némileg elnagyoltan az algoritmusok általános elméletének is nevezhető.

Sok lehetséges alága még nem differenciálódott eléggé ahhoz, hogy egy általánosan elfogadottnak tekinthető felosztást kielégítő biztonsággal meg lehessen állapítani. Főbb területek és fogalmak: algoritmusok, nyelvek, absztrakt automaták, számítási bonyolultságelmélet, kommunikációs bonyolultságelmélet.

[szerkesztés] Operációkutatás

(kibernetika, vezérléselmélet, matematikai programozás)

[szerkesztés] A matematika tárgykörei

[szerkesztés] Mennyiségek

SzámokTermészetes számokEgész számokRacionális számok — Algebrai számok — Transzcendens számokValós számokKomplex számok — Hiperkomplex számok — Kvaterniók — Oktoniók — Szedeniók — Hipervalós számok — Szürreális számok

Egész sorozatok — Matematikai konstansok — Végtelen

[szerkesztés] Egyenlőtlenségek

Bernoulli-egyenlőtlenség, számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, a mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség, számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség, Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, a Hölder-egyenlőtlenség, a hatványközepek közötti egyenlőtlenség, a szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség, Jensen-egyenlőtlenség, a Carleman-egyenlőtlenség, a Hardy-egyenlőtlenség, a Hilbert-egyenlőtlenség, az izoperimetrikus egyenlőtlenség

Az Euler-féle szám helye az azonos nevű képletben
Nagyít
Az Euler-féle szám helye az azonos nevű képletben

Aritmetika — Analízis — Vektorkalkulus — - Differenciálegyenletek — Dinamikai rendszerek és káoszelmélet — Törtkalkulus — Függvények listája

[szerkesztés] Struktúra

Absztrakt algebra — Számelmélet — Algebrai geometria - Csoportelmélet — Monoidok — Topológia — Lineáris algebra — Gráfelmélet — Univerzális algebra — Kategóriaelmélet

[szerkesztés] Tér

Topológia — Geometria — Trigonometria — Algebrai geometria — Differenciálgeometria — Differenciáltopológia — Algebrai topológia — Lineáris algebra — Fraktálgeometria

[szerkesztés] Diszkrét matematika

KombinatorikaNaiv halmazelmélet — Valószínűségszámítás — - Számítógéptudomány - Véges matematika — - Kriptográfia — Kódelmélet — Gráfelmélet — Játékelmélet

[szerkesztés] Alkalmazott matematika

Mechanika — Numerikus eljárások elmélete — Optimumszámítás — Valószínűségszámítás — Statisztika

[szerkesztés] Híres eredmények és sejtések

az algebra alaptételeBeatty tétele — Bing–Nagata–Szmirnov-tétel — Bolzano–Darboux-tétel — Borsuk-tétel - Borsuk-sejtés - Burnside-probléma — Catalan-sejtés —centrális határeloszlástétel - Dirichlet tételeFermat-sejtés - Gauss–Lucas-tételGoldbach-sejtés - Gödel nemteljességi tétele - Green–Tao-tételHilbert-problémákikerprím-sejtésJordan-féle görbetétel — Kepler-sejtés— kontinuumhipotézis — a kvadratikus reciprocitás tétele - Laczkovich tételeMinkowski–Hajós-tétel - a négy-négyzetszám-tételnégyszín-tétel — perfekt gráf tétel - Pitagorasz-tétel — Poincaré-sejtés — Riemann-sejtésStirling-formulaSzemerédi tétele - van der Waerden tétele — a véges egyszerű csoportok klasszifikációja — A számelmélet alaptételeZorn-lemma


[szerkesztés] Alapok és módszerek

[szerkesztés] Egyéb

A matematika története — Matematikusok — Matematikafilozófia — Matematikaoktatás — Matematikai tehetséggondozásMatematikadidaktika

Matematikai díjak — Abel-díj — Matematikaversenyek — Matematikai társulatok és szövetségek — Nemzetközi Matematikai Szövetség


[szerkesztés] A matematika nem…

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Lásd még

A magyar Wikidézetben további idézetek találhatóak
Matematika témában.
Commons
A Wikimedia Commons tartalmaz Matematika témájú médiaállományokat.

[szerkesztés] Források

  1. Ld. pl. Davis-Hersh: A matematika élménye. - Műszaki könyvkiadó, Bp.,1984.; Lakatos Imre: Bizopnyítások és cáfolatok; Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába.
  2. A cikkben ismertetett kritériumrendszer forrása: Filep László: A tudományok királynője. Typotex, 1997.

[szerkesztés] További irodalom

[szerkesztés] Könyvek és folyóiratok

  • R.Courant-H.Robbins: Mi a matematika? Gondolat, Bp., 1966.
  • R. Hersh: A matematika természete. Typotex, Bp., 2000.
  • Ambrus András: Bevezetés a matematikadidaktikába. Egyetemi jegyzet. Elte Eötvös kiadó, 1995.
  • Ruzsa Imre: A matematika néhány filozófiai problémájáról. Tankönyvkiadó, Bp.
  • Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok. Gondolat, Bp., 1981.
  • Waerden: Egy tudomány ébredése. Gondolat, Bp., 1977.
  • Andrásfalvi Béla: Gráfelmélet, 1989.
  • Andrásfalvi Béla: Vonalak és felületek topológiája, Polygon 1994

[szerkesztés] Külső hivatkozások