Gauss–Lucas-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.

[szerkesztés] A tétel állítása

Ha P(z) egy komplex együtthatós polinom, akkor P'(z) deriváltjának minden gyöke P(z) gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

[szerkesztés] A tétel bizonyítása

Legyen P(z) gyöktényezős felbontása

P(z)=a_n(z-r_1)^{m_1}\cdots(z-r_k)^{m_k},

ahol a különböző r_1,\dots,r_k gyökök multiplicitásai m_1,\dots,m_k. Ekkor

\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum^{k}_{j=1}\frac{m_j}{z-r_j}.

Legyen s P'(z) egy gyöke. Ha s az r_1,\dots,r_k gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

\sum \frac{m_j}{s-r_j}=0.

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

\sum a_j(\overline{s}-\overline{r_j})=0

ahol

a_j=\frac{m_j}{|s-r_j|^2}.

Minden aj pozitív valós szám. Az baloldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

\sum a_j(s-r_j)=0

.

Legyen a=a_1+\cdots+a_k. Ekkor azt kapjuk, hogy

\sum a_jr_j=as.

Ha most bevezetjük a pj = aj / a syámokat, akkor egyrészt

\sum p_j r_j=s

másrészt a pj-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát s valóban benne van az rj-k konvex burkában.