Exponenciális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ - vagy rövidebben exponenciális eloszlású - pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f(x) = \lambda e^{-\lambda x} , \quad \,

ha x > 0 (x < 0 esetén f(x) = 0), ahol λ > 0.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az exponenciális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

F(x) =

Karakterisztikus függvénye

\varphi (t) = \left(  1-  \frac{it}{\lambda} \right)^{-1}

[szerkesztés] Az exponenciális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

\bold E (X)=\frac{1}{\lambda}

Szórása

\bold D (X)=\frac{1}{\lambda}

Momentumai

\bold E (X ^k) = \frac{k!}{\lambda^k}

Ferdesége

\beta_1(X)=2 \,

Lapultsága

\beta_2(X)=6 \,

[szerkesztés] Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, ... Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + ... + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
  • Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal.

[szerkesztés] Megjegyzés

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen aR értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)

[szerkesztés] Forrás

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.