# Euler-féle szám

### A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az e matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja. Irracionális és transzcendens szám. Értéke 29 értékes jegyre megadva:

  e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135...

A π és a képzetes egység i mellett e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmus függvény felfedezőjének tiszteletére.

## [szerkesztés] Definíció

Az e legismertebb definíciói a következőek:

  1. Az e a következő sorozat határértéke:

  2. Az e a következő végtelen sor összege:

  ahol n! a faktoriálisa az n természtes számnak.

  3. Az e az a pozitív valós szám, amelyre

## [szerkesztés] Tulajdonságok

Az ex exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

  és
  , ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlen eloszlás szerint fordulnak elő. Szerepel az Euler-féle képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

Az x = π speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:

amit Richard Feynman Euler drágakövének nevez.

Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, ...]

e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:

Minden valós x számra teljesül az

egyenlőtlenség.

Ezt egy pozitív valós x esetén -re alkalmazva

azaz átrendezve és egyszerűsítve

azaz , másszóval pozitív x-re az függvény x = e-re éri el maximumát.

## [szerkesztés] Külső hivatkozások

- Az e szám 1 millió tizedesjegy pontossággal

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../e/u/l/Euler-f%C3%A9le_sz%C3%A1m.html"

Kategória: Számok

##### Views

- Szócikk
- Vitalap
- Aktuális változat

##### Keresés

##### Más nyelveken

- English
- العربية
- বাংলা
- Català
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- Ελληνικά
- Esperanto
- Español
- Euskara
- فارسی
- Suomi
- Français
- Galego
- עברית
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- 한국어
- Latina
- Lietuvių
- Nederlands
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Slovenščina
- Svenska
- Türkçe
- 中文