Sierpiński-felbontás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Sierpiński-felbontás egy meglehetősen paradox, a kontinuumhipotézist használó halmazelméleti konstrukció.


Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Az állítás

Sierpiński-felbontásnak nevezzük a sík felbontását két halmaz, A és B uniójára úgy, hogy a következő teljesül:

  • A metszete minden vízszintes egyenessel megszámlálható,
  • B metszete minden függőleges egyenessel megszámlálható.

[szerkesztés] A tétel

Ha igaz a kontinuumhipotézis, akkor a síknak létezik Sierpiński-felbontása. Sőt a kontinuumhipotézis ekvivalens ilyen felbontás létezésével.


[szerkesztés] Jelentősége

Szorítkozzunk csak a [0,1]\times[0,1] egységnégyzetre. Ha ekkor F(x,y) az A halmaz karakterisztikus függvénye, tehát F(x,y) = 1, ha \langle x,y\rangle\in A és F(x,y) = 0, ha \langle x,y\rangle \in B, akkor

1=\int^1_0\int^1_0 F(x,y)dx dy\neq \int^1_0\int^1_0 F(x,y) dy dx=0

felhasználva, hogy a Lebesgue-integrál nem változik, ha a függvény értékét megszámlálható sok pontban megváltoztatjuk, így, egy olyan [0,1]-beli függvény integrálja, ami megszámlálható sok pontban 0, a többi helyen 1, 1, ha pedig a függvény megszámlálható sok pontban 1, a többi helyen 0, akkor integrálja is 0. Úgy is lehet fogalmazni, hogy A nem mérhető.

[szerkesztés] Változatok

[szerkesztés] A Freiling-féle dárdaparadoxon

Ez a frappáns átfogalmazás Chris Freilingtől ered. Tegyük fel a kontinuumhipotézist. Ekkor a sík pontjai felsorolhatók, mint {rα:α < ω1}. Ketten játszanak, először Első, azután Második beledobja dárdáját a céltáblába, ami a sík. Mondjuk Első eltalálja rα-t, Második rβ-t. A \{r_0,\dots,r_\alpha\} halmaz megszámlálható, tehát nullmértékű. Második ezt nem találhatja el, pontosabban csak nulla valószínűséggel találhatja el. Tehát 1 valószínűséggel β > α. Ezután az ajtó és belép valaki a kocsmába. Ránéz a céltáblára és megmondja hogy melyik volt Első dobása (a kisebb) és melyik Másodiké (a nagyobb indexű pont) és 1 valószínűséggel igaza van!

[szerkesztés] A háromdimenziós eset

Hasonlóképpen, szintén a kontinuumhipotézisssel igazolható, hogy a háromdimenziós euklideszi tér, R3 felbontható három halmaz, A, B és C egyesítésére, hogy

  • A metszete minden az x tengellyel párhuzamos egyenessel véges,
  • B metszete minden az y tengellyel párhuzamos egyenessel véges,
  • C metszete minden az z tengellyel párhuzamos egyenessel véges.