Affin koordináták

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Affin koordináták véges dimenziós euklideszi térben

Az affin koordináta fogalma az Affin geometria tárgykörébe tartozik, de értelmezhető euklideszi terekben is. A hagyományos \mathbb{E} euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy O pontot, az origót, és tetszőleges P \in E pontot azonosítjuk a \underline{p} = \vec{O\! P} helyvektorral.

Definíció: Legyenek adottak a \left( B_{i} \right) _{i \in (1,2,...n)} = \left( B_{1} , B_{2},..., B_{n} \right) \in E^{n} pontok - a B elnevezés arra utal, hogy ezek a bázispontok. Ha vannak olyan \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,...n)}  = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},..., \alpha _{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} valós számok - skalárok vagy együtthatók - melyekre teljesül valamely P \in E pont esetén, hogy P a bázispontok fenti együtthatókkal vett affin kombinációja legyen, azaz

\vec{O\!P} = \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i} \vec{O\!B_{i}} } = \alpha_{1} \vec{O\!B_{1}} + \alpha_{2} \vec{O\!B_{2}} +...+ \alpha_{n} \vec{O\!B_{n}},



rövidebben írva (ha az O pont rögzítve van, egyértelmű, nem változik)

\underline{p} = \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i} \underline{b_{i}} } = \alpha_{1} \underline{b_{1}} + \alpha_{2} \underline{b_{2}}+...+\alpha_{n} \underline{b_{n}},


akkor az \left( \alpha_{i} \right) _{i \in \left\{ 1,2,...,n \right\} } = \left( \alpha_{1}, \alpha_{2} , ... , \alpha_{n} \right) együtthatókat (ti. ezek fenti rendezett n-esét) a P pontok affin koordinátáinak nevezzük a \left( B_{1}, B_{2}, ... , B_{n} \right) bázispontokra nézve.


Megjegyzés I. : Az előbbi definícióban a B_{i} pontok köré írt zárójel nem hagyható el és nem cserélhető kapcsos zárójelre, mivel a bázispontok itt nem halmazt, hanem rendezett n-est kell hogy alkossanak, az affin koordináták ebben az értelemben függnek a bázispontok sorrendjétől;
Megjegyzés II. : Nem nehéz belátni, hogy tetszőleges véges dimenziós euklideszi térben viszont az affin koordináták függetlenek a kezdőpont megválasztásától;
Megjegyzés III. : Az affin kombináció szócikkben részletesen is foglalkoztunk azzal, hogy n-dimenziós euklideszi térben pontosan n+1 független bázispont kell ahhoz, hogy minden pont előállítható legyen ezek egy affin kombinációjaként, azaz ennyi független bázispont teljesen „bekoordinátázza” a teret, mégpedig úgy, hogy a kérdéses koordináták egyértelműek.


[szerkesztés] Lásd még