Formális hatványsor
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához. A definíció a következő:
Legyen
tetszőleges gyűrű, és tekintsük az R feletti
végtelen
sorozatok halmazát (megjegyzés, KD -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).
Értelmezünk ezek között, tehát
felett két kétváltozós
és
műveletet a következőképp:
; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);- A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem:
.
A
algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az R feletti formális hatványsorok gyűrűjének.
[szerkesztés] Polinom
Ha egy
sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát
-vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.
Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.


Based on work by