심프슨의 법칙
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수치 해석에서 심프슨의 법칙은 뉴턴-코츠 법칙의 한 경우로, 토머스 심프슨이 만든 적분법이다. 이 법칙은 다음과 같은 적분식의 근사값을 구하는 데 쓰인다.
[편집] 기본
심프슨의 법칙에서는 P(x)라는 이차방정식을 이용해 f(x)의 근사값을 구한다. 이 때 P(x)는 a, b, 그리고 둘의 중간값
에서 f(x)와 같은 값을 갖는 근사식이다. 라그랑주의 다항식 보간법을 사용해서 P(x)를 구하면 다음을 얻는다.
이 식을 전개하면 심프슨의 법칙으로 알려진 다음 공식을 구할 수 있다.
이 공식으로 적분을 구할 때 생기는 오차는 다음과 같다. 여기서
와 ξ는 a와 b 사이에 있는 임의의 숫자이다.
[편집] 심프슨의 법칙의 확장
위의 공식은 적분 구간 [a,b]이 작을 때는 적합하지만 그렇지 않으면 상당한 오차를 가진 값이 나온다. 대부분의 경우 적분 구간이 작지 않으므로, 먼저 몇 개의 작은 구간으로 누고 각 구간에 심프슨의 법칙을 적용해 그 값들을 합해야 한다. 여기서 확장된 공식을 유도할 수 있다.
이 식에서 n은 구간 [a,b]을 나눈 부분구간의 총 갯수를 뜻하며 짝수여야 하고,
은 각 부분구간의 길이이다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.
심프슨의 법칙의 오차로부터 이 공식의 오차를 다음과 같이 구할 수 있다. 여기서
이며 각 부구간의 크기를 나타낸다.


![\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]](../../../math/b/d/0/bd0e8aa23deca1952ce48df9290687f3.png)

![\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg]](../../../math/5/5/b/55bb40db12989244f1e3fdedbeb86dd5.png)
![\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]](../../../math/7/f/9/7f928c250247635e43ba94861faa679f.png)


