결정학적 점군
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결정학적 점군이란 결정이 갖는 회전이나 반사와 같은 대칭조작의 모음이라고 할 수 있다. 즉, 무한한 크기의 결정이 있을 때 그 결정이 가진 대칭조작의 모음이 곧 그 결정이 속한 점군이 된다. 결정을 분류할 때 각 점군은 하나의 결정족에 대응된다.
3차원에는 무한히 많은 점군이 존재하지만 실제 결정은 대칭조작 뿐만 아니라 격자 상수에 따른 병진도 있으므로 32개의 점군만이 결정에 적용이 가능하다.
목차 |
[편집] 표현
점군은 그 점군을 구성하는 대칭조작들로 표현된다.
[편집] 쇤플리스 표기법
쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다.
- O(Octahedron:팔면체)는 팔면체의 대칭성을 가지고 있음을 의미하며 반사조작이 있는 경우 Oh, 없는 경우 O로 표현된다.
- T(Tetrahedron:사면체)는 사면체의 대칭성을 가지고 있음을 의미하며 반사조작이 있는 경우 Td, 없는 경우 T, 반전조작이 있는경우 Th로 표현된다.
- Cn(Cyclic:순환)은 n회 회전축을 가지고 있음을 의미하며 회전축에 수직한 거울면이 있는 경우 Cnh, 회전축에 평행한 거울면이 있는 경우 Cnv로 표현된다.
- Sn(Spiegel:독일어로 거울)은 n회 회전반사축을 가지고 있음을 의미한다.
- Dn(dihedral)은 n회 회전축과 그 축에 수직한 2회 회전축을 가지고 있음을 의미하며 거기에 더해 n회 회전축에 수직한 거울면이 있는 경우 Dnh, n회 회전축에 평행한 거울면이 있는 경우 Dnv로 표현된다.
n=1,2,3,4 또는 6이다. 왜냐하면 1,2,3,4,6회전만이 결정의 격자 상수에 따른 병진 대칭이 가능하기 때문이다.
[편집] 헤르만-모긴 표기법
주로 공간군의 표현에 쓰이는 헤르만-모긴 표기법으로도 점군의 표현이 가능하다. 이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각
- 1, 1
- 2, m, 2⁄m
- 222, mm2, mmm
- 4,4, 4⁄m, 422, 4mm, 42m, 4⁄mmm
- 3, 3, 32, 3m, 3m
- 6, 6, 6⁄m, 622, 6mm, 62m, 6⁄mmm
- 23, m3, 432, 43m, m3m
이다.
[편집] 결정계에 따른 점군의 총람
| 결정계 | 점군 / 결정족 | 쇤플리스 | 헤르만-모긴 | orbifold | 유형 |
|---|---|---|---|---|---|
| 삼사정계 | triclinic-pedial | C1 | ![]() |
11 | enantiomorphic polar |
| triclinic-pinacoidal | Ci | ![]() |
1x | centrosymmetric | |
| 단사정계 | monoclinic-sphenoidal | C2 | ![]() |
22 | enantiomorphic polar |
| monoclinic-domatic | Cs | ![]() |
1* | polar | |
| monoclinic-prismatic | C2h | ![]() |
2* | centrosymmetric | |
| 사방정계 | orthorhombic-sphenoidal | D2 | ![]() |
222 | enantiomorphic |
| orthorhombic-pyramidal | C2v | ![]() |
*22 | polar | |
| orthorhombic-bipyramidal | D2h | ![]() |
*222 | centrosymmetric | |
| 정방정계 | tetragonal-pyramidal | C4 | ![]() |
44 | enantiomorphic polar |
| tetragonal-disphenoidial | S4 | ![]() |
2x | ||
| tetragonal-dipyramidal | C4h | ![]() |
4* | centrosymmetric | |
| tetragonal-trapezoidal | D4 | ![]() |
422 | enantiomorphic | |
| ditetragonal-pyramidal | C4v | ![]() |
*44 | polar | |
| tetragonal-scalenoidal | D2d | or ![]() |
2*2 | ||
| ditetragonal-dipyramidal | D4h | ![]() |
*422 | centrosymmetric | |
| 삼방정계 | trigonal-pyramidal | C3 | ![]() |
33 | enantiomorphic polar |
| rhombohedral | S6 (C3i) | ![]() |
3x | centrosymmetric | |
| trigonal-trapezoidal | D3 | or or ![]() |
322 | enantiomorphic | |
| ditrigonal-pyramidal | C3v | or or ![]() |
*33 | polar | |
| ditrigonal-scalahedral | D3d | or or ![]() |
2*3 | centrosymmetric | |
| 육방정계 | hexagonal-pyramidal | C6 | ![]() |
66 | enantiomorphic polar |
| trigonal-dipyramidal | C3h | ![]() |
3* | ||
| hexagonal-dipyramidal | C6h | ![]() |
6* | centrosymmetric | |
| hexagonal-trapezoidal | D6 | ![]() |
622 | enantiomorphic | |
| dihexagonal-pyramidal | C6v | ![]() |
*66 | polar | |
| ditrigonal-dipyramidal | D3h | or ![]() |
*322 | ||
| dihexagonal-dipyramidal | D6h | ![]() |
*622 | centrosymmetric | |
| 입방정계 | tetartoidal | T | ![]() |
332 | enantiomorphic |
| diploidal | Th | ![]() |
3*2 | centrosymmetric | |
| gyroidal | O | ![]() |
432 | enantiomorphic | |
| tetrahedral | Td | ![]() |
*332 | ||
| hexoctahedral | Oh | ![]() |
*432 | centrosymmetric |













or 



or
or 
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or 







