Vektor - Wikipedia

# Vektor

### From Wikipedia

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

## [edit] Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primer:

a = (a1,a2,a3,...,an), , i = 1,...,n

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj -{n}--torki koordinate vekrora. Na primer a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga koordinata vektora itd.

Slede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

### [edit] Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni koren zbira kvadrata njegovih koordinata.

### [edit] Množenje vektora skalarom

Množenje vektora nekim skalarom je definisano kao množenje sake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

= =

### [edit] Sabiranje vektora

Image:Sabiranje.vektora.png
Sabiranje vektora
Image:Oduzimanje.vektora.png
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora :

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.
,
, gde je

Pri čemu će vektor -{c}- biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se bršilo po sličnom principu:

Pri čemu .

### [edit] Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi proizvod k izgledao ovako:

,
, gde je i = 1,...,n

Ovde treba primetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

,
pri čemu je ω ugao između a i b.
Ovo zapravo znači i:

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

### [edit] Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore () je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:

Jer su , i vektori kanonske baze .

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledeće osobine:

, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je ω ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je . Tj. vektorski proizvod se lepo ponaša prema množenju skalarom sleva.

### [edit] Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz -{E}-. Zapisuje se sa . A po definiciji je:

Što znači da je vrednost mešovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slede neka osnovna svojstva nešovitog proizvoda:

- [x,y,z] = − [y,x,z]
- [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
- [αx,y,z] = α[x,y,z]
- [x + t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

## [edit] Vidi još

- Vektorski prostor

Retrieved from "http://sh.wikipedia.org../../../v/e/k/Vektor.html"

Categories: Linearna algebra | Geometrija | Fizika

##### Views

- Članak/Чланак
- Rasprava/Разговор
- Trenutna revizija

##### Traži-Тражи

##### Drugi jezici-Други језици

- Беларуская
- Български
- Česky
- Dansk
- Eesti
- Ελληνικά
- English
- Esperanto
- Español
- فارسی
- Suomi
- Français
- עברית
- Hrvatski
- Magyar
- Ido
- Íslenska
- Italiano
- Nederlands
- Polski
- Português
- Română
- Русский
- Slovenščina
- Српски / Srpski
- Svenska
- Українська