Laplaceova transformacija
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:
Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.
Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega metematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona Laplacea, ki jo je razvil.
Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplacove transformacije so razvidne iz tabele:
| f(t) | F(s) |
|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
1 |
| 1 | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
| e - at | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:
![f \left( t \right) = {\mathcal L}^{-1} \left[ F\left( s \right) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma -i\infty }^{\gamma +i \infty } e^{st}F\left( s \right)\!ds.](../../../math/e/4/8/e48a2942db84b49f01d7230d6f15da15.png)
V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz tabele in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te tabele.
Kot lahko opazimo v tabeli, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplacovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.
Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)
|
|||
| Abelova | Besslova | Fourierjeva | Fresnelova | Hanklova | Hartleyjeva | Hilbertova | Istovetna | Kontoroviča-Lebedeva | Laplaceova | Laplace-Stieltjesova | Mellinova | Radonova | Valovna | |||
![{\mathcal L} \left[ f \left( t \right) \right] = F\left( s \right) = \int_{0}^{\infty } e^{-st}f \left( t \right)\;dt.](../../../math/f/1/c/f1cd1fd21b12c724e6ce3a381786dc83.png)




































