Bertrandova domneva

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Bertrandova domneva ali Bertrandov postulat iz teorije števil, ki jo je leta 1845 postavil Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900), pravi da za vsako pozitivno celo število n > 3, vedno obstaja vsaj eno takšno praštevilo p med n in 2n-2. Domneva v enakovredni šibkejši, vendar ličnejši obliki pravi, da za vsak n > 1, obstaja vsaj eno takšno praštevilo p, za katerega velja n < p < 2n. Domnevo je v celoti dokazal leta 1850 Pafnuti Lvovič Čebišov (1821-1894). Zato postulat imenujemo tudi izrek Čebišova. Čebišov je v svojem dokazu uporabil neenakost Čebišova. Bertrand je sam preveril svojo domnevo za vsa števila v intervalu [2, 3 · 106].

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan (1887-1920) je dal enostavnejši dokaz, Paul Erdös (1913-1996) pa je leta 1932 objavil zelo enostaven dokaz, kjer je uporabil funkcijo θ(x), določeno kot:

\theta(x) \equiv \sum_{p=2}^{x} \ln (p)

kjer px teče po vseh praštevilih, in binomske koeficiente.

[uredi] Sylvestrov izrek

Bertrandov postulat so predlagali za uporabo pri permutacijskih grupah. James Joseph Sylvester (1814-1897) ga je posplošil v naslednjo obliko: produkt k zaporednih celih števil, večjih od k, je deljiv s praštevilom, večjim od k.

Podobna še nerešena domneva pa se sprašuje, ali vedno obstaja takšno praštevilo p, za katerega velja n2 < p < (n+1)2.