Ролова теорема

Из пројекта Википедија


математика Овај незавршени чланак Ролова теорема, везан је за математику.
Користећи правила Википедије, допринесите допунивши га.
Ролова теорема
Нека је реална функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b], диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b), и ако је f(a) = f(b). Тада постоји тачка c из отвореног интервала (a, b), таква да је f'(c) = 0.
Доказ
Нека је f(a) = f(b). Како је функција f(x) непрекидна на одсечку [a, b], то она на том одсечку достиже бар једанпут своју највећу вредност М и своју најмању вредност m. Ако је M = m, тада је функција константна на посматраном интервалу, па је њен извод свуда једнак нули на посматраном интервалу. Ако је М различито од m, бар један од тих бројева је различит f(a). Нека је, без смањења општости, М различит од f(a). Дакле, функција има локални екстремум у некој тачки c, па је, на основу Фермаове теореме, f'(c) = 0.


Овим је теорема доказана.