Симпсоново правило
Из пројекта Википедија
Симпсоново правило названо тако по Томасу Симпсону је метода из нумеричке анализе којом приближно израчунавамо одређен интеграл неке функције f(x), тј. интересује нас апроксимација
.
Садржај |
[уреди] Идеја
Симпсонова формула (или правило) је у ствари део Њутн-Коутс формула. Функцију прво апроксимирамо уз помоћ Лагранжових полинома другог степена, а после уместо да израчунамо интеграл фунцкије f(x), израчунавамо интеграл добијеног полинома:
, притом
[[Означимо почетну тачку интеграла a = x0, крајњу b = x2, а тачку у средини m = x1 (обрати пажњу на скицу са стране) и добићемо:
Овом приликом нећемо приказати како се долази до коначне формуле; рачун није тежак и састоји се од примене једноставних правила за интеграле (на пример, примена интеграла на суму):
Када хоћемо да апроксимирамо интеграл у интервалу од a до b очигледно је да ће нам за то бити неопходне три тачке дате функције.
Грешка у датом интервалу је:
, где је
.
Уколико желимо да нађемо највећу могућу грешку односно њену границу, довољно је да максимирамо четврти извод функције за ξ:
Обзиром да грешка зависи од размака између тачака којима вршимо апроксимацију, а ако означивши тај размак са
, можемо рећи, користећи се O-нотацијом да се грешка налази
.
[уреди] Сложено Симпсоново правило
Уколико смо незадовољни апроксимацијом, један од начина за побољшање је да интервал поделимо на више делова (мањих интервала) те да на сваком појединачно применимо Симпсоново правило и на крају их саберемо.
Означимо број тачака са n, а размак између њих са
и добићемо:
,
што такође можемо написати као
или као призвод вектора (
):
.
Грешка за сложено Симпсоново правило је:
, ![\xi \in [a,b]](../../../math/f/8/3/f83ba3f626ed0ec9d1df2f3139d398d0.png)
или када желимо да јој нађемо границу:
Такође, као што видимо, формулу за Симпсоново правило можемо извести и из комбинације трапезоидног правила и правила правоугаоника (QS(f) означава апроксимацију интеграла функције f између датих a и b, QT(f) то исто за трапезоидно правило, а QR(f) за правило правоугаоника):
[уреди] Адаптивно Симпсоново правило
У пракси се понекад сусрећемо са ситуацијама када је нека функција у одређеним областима "досадна" и чије интеграле можемо да израчунамо врло лако са мало тачака (када је функција релативно "испеглана"), док је у одређеним областима врло променљива и ту нам за добру апроксимацију треба много више тачака.
Да бисмо то постигли, користићемо се тактиком "подели па владај":
- Израчунај средишну тачку датог интервала [a,b]:

- Израчунај апроксимацију интеграла за [a,b] користећи се Симпсоновим правилом (назовимо је S[a,b]
- Израчунај апроксимације за подељен интервал (означимо је S[a,m] и S[m,b]) уз помоћ обичног Симпсоновог правила.
- Уколико смо задовољни разликом S[a,b] − (S[a,m] + S[m,b]), резултат је S[a,m] + S[m,b].
- Уколико нисмо, наставимо даље рекурзивно примењујући адаптивно Симпсоново правило на интервале [a,m] и [m,b], а резултат је њихова сума.
[уреди] Грешка адаптивног Симпсоновог правила
Обележимо резултат адаптивног Симпсоновог правила примењеног на интервалу
за функцију
са
, a размак између двеју тачака са
онда важи:
За
: 
За
: 
Из тога даље закључујемо, под претпоставком
:
Тако можемо даље доћи до (разумно) приближне вредности грешке:
Ова приближна грешка је врло згодна као критеријум за крај рекурзије.


![\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]](../../../math/b/d/0/bd0e8aa23deca1952ce48df9290687f3.png)

![\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]](../../../math/7/f/9/7f928c250247635e43ba94861faa679f.png)






