கணம் (கணிதம்) - தமிழ் விக்கிபீடியா (Tamil Wikipedia)

# கணம் (கணிதம்)

### கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

இக்கட்டுரை ( அல்லது இதன் ஒரு பகுதி ) தமிழாக்கம் செய்யப்பட வேண்டியுள்ளது. இதைத் தொகுத்துதமிழாக்கம் செய்வதன் மூலம் நீங்கள் இதன் வளர்ச்சியில் பங்களிக்கலாம்.

கணிதத்தில், கணம் என்பது ஒரு முழுமையின் உறுப்பினர்களான வெவ்வேறான பொருள்களின் திரட்டு அல்லது தொகை ஆகும். மிகவும் எளிய கருத்தாகத் தோன்றினாலும், கணிதத்தின் ஒரு பாரிய மற்றும் அடிப்படைக் கருத்துருக்களில் ஒன்றாக இது விளங்குகிறது. ஒல்லத்தக்க (இயலக்கூடிய) கணங்களின் அமைப்பைப் பற்றிய கணக் கோட்பாடு மிகவும் வளமையானது.

கணக் கோட்பாடு, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியிலேயே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட போதிலும், இது ஆரம்ப வகுப்புக்களிலேயே அறிமுகப் படுத்தப்பட்டு, கணிதக் கல்வியில் எங்கும் காணப்படும் ஒரு பகுதியாக ஆகியுள்ளது. நவீன கணிதத்தின் விபரிப்புக்குப் பயன்படுத்தப்படும் கணித மொழி இன்று இதுவேயாகும். ஏறத்தாழக் கணிதம் முழுமையையும் கட்டியெழுப்புவதற்கான அடிப்படையாகவும், கணிதம் முழுமையையும் பெற்றெடுக்கக் கூடிய மூலமாகவும், கணக் கோட்பாட்டை நோக்க முடியும்.

This article gives a brief and basic introduction to what mathematicians call "intuitive" or "naive" set theory; for a more detailed account see naive set theory. For a rigorous modern axiomatic treatment of sets see axiomatic set theory.

## [தொகு] வரைவிலக்கணம்

கணம் என்பது முழுமையாகக் கருதப்படுகின்ற, பொருட்களின் ஒரு தொகுப்பு ஆகும். (A set is a collection of objects considered as a whole). கணமொன்றிலுள்ள பொருட்கள் elements அல்லது உறுப்புகள் எனப்படுகின்றன. கணமொன்றின் உறுப்புகள், எண்கள், மக்கள், எழுத்துக்கள், வேறு கணங்கள் என எதுவாகவும் இருக்கலாம். கணங்களை A, B, C, முதலிய ஆங்கில அகர வரிசையின் பெரிய எழுத்துக்களினால் குறிப்பது மரபு. A உம் B உமான இரண்டு கணங்கள் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பின், அவையிரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று சமனாகும். எனின் A = B எனக் குறிக்கப்படும்.

As opposed to a multiset and a real-life collection, a set cannot contain multiple copies of an element.

## [தொகு] கணங்களை விபரித்தல்

### [தொகு] சொற்கள் அல்லது பட்டியல்களைப் பயன்படுத்தி விபரித்தல்

எல்லாக் கணங்களையும் சரியாக விபரிக்க முடியும் என்றில்லை. அவை, எந்தெந்தப் பொருட்களை உள்ளடக்கியுள்ளன, எவற்றை உள்ளடக்கவில்லை என்பதை விளக்க முடியாத வகையில், எழுந்தமானமாக அமைந்த பொருட்களின் தொகுதியாக இருக்கவும் கூடும்.

சில கணங்களைச் சொற்களால் விபரிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

  A என்பது முதல் நான்கு நேர் முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.
  B என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

வழக்குப்படி, சுருள் அடைப்புக் குறிக்குள் உறுப்புக்களைப் பட்டியலிடுவதன் மூலமும், கணங்களை வரையறுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

  C = {4, 2, 1, 3}
  D = {காவி, வெள்ளை, பச்சை}

இரண்டு வெவ்வேறு விதமான விபரிப்புகள் மூலம் ஒரே கணத்தை வரையறுக்க முடியும் என்பதைக் கவனிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களுள் A உம் C உம் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பதால், முற்றுமொத்தவை (identical). சுருக்கமாக A = C என்பதன்மூலம் இந்த சமன்மை (Equality) குறித்துக் காட்டப்படுகின்றது. இதேபோல, B = D ஆகும்.

கணங்களிடையேயான முற்றொருமை கண உறுப்புகளின் வரிசை ஒழுங்கிலோ அல்லது ஒரே உறுப்பு திரும்பத்திரும்ப வருவதிலோ தங்கியிருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

### [தொகு] கணிதக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி விபரித்தல்

ஏராளமான உறுப்புக்களைக் கொண்ட, பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புக்களையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் சாத்தியப்படாது. எடுத்துக்காட்டாக, E = {முதல் ஆயிரம் நேர் முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விபரிப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவர்:

  E = {1, 2, 3, ..., 1000}

வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட E போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விபரிக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளிக் (ellipsis) (...) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது. இக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புக்கள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:

  X = {1, 2, ..., 16}

அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக,

  F = {–4, –3, 0, ..., 357}

என்பதை வாசிக்கும்போது,

  F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்}.

என்பது வெளிப்படையாகத் தெளிவாகவில்லை. இவ்வாறான சந்தர்ப்பங்களில், கணத்தை விபரிப்பதற்கு கணிதக் குறியீடுகளைக் கணிதவியலாளர் பயன்படுத்துவர். எடுத்துக்காட்டாக:

  F = {n2 – 4 : n ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ n ≤ 19}

In this description, the colon (:) means such that, and the mathematician interprets this description as

  F is the set of numbers of the form n2 – 4, such that n is a whole number in the range from 0 to 19 inclusive. (Sometimes the pipe notation | is used instead of the colon.)

An explicit list of the contents of F can be found by evaluating the expression n2 – 4 for each value of n from 0 to 19.

For more information on describing sets see Set-builder notation.

===கண உறுப்பு=== (Set membership) If something is or is not an element of a particular set then this is symbolised by and respectively. So, for example, with respect to the sets defined above:

  - and (since 285 = 17² − 4); but
  - and .

==கணங்களின் எண் அளவை== (Cardinality of a set) மேலே விபரிக்கப்பட்ட கணங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையுள்ள உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக கணம் A நான்கு உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது, B மூன்று உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு கணம் உறுப்புக்கள் எதுவுமற்ற கணமாகவும் இருத்தல் கூடும். அத்தகைய கணம் வெற்றுக் கணம் எனப்படும். இது ø என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக மூன்று பக்கங்களையுடைய சதுரங்களின் கணம் A உறுப்புக்கள் எதுவுமற்ற கணம். அதனால் A = ø என எழுதப்படலாம். சூனிய எண் போல, வெற்றுக் கணம் எளிமையாகத் தோன்றினாலும், வெற்றுக் கணம் கணிதத்தில் மிக முக்கியமானதாகும்.

வெற்றுக் கணம் பற்றி மேலும் தகவல் அறிய Empty set பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

ஒரு கணம் முடிவிலி எண்ணிக்கையான உறுப்புக்களையும் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக எல்லா இயல்பெண்களினதும் கணம் ஒரு முடிவிலியாகும்.

முடிவிலி மற்றும் கணங்களின் அளவு பற்றி மேலும் தகவல்களைப் பெற எண் அளவை (cardinality) மற்றும் முதலெண் (cardinal number) பக்கங்களைப் பார்க்கவும்.

முடிவுள்ள கணம் மற்றும் அதனைக் கணக்கிடுதல் ஆகியவை பற்றிய மேலும் தகவல்கள் அறிய combinatorics மற்றும் வரிசைமாற்றமும், சேர்மானமும் (permutations and combinations) பக்கங்களைப் பார்க்கவும்.

==உட்கணங்கள்== (Subsets) If every member of the set A is also a member of the set B, then A is said to be a subset of B, written , also pronounced A is contained in B. Equivalently, we can write , read as B is a superset of A, B includes A, or B contains A. The relationship between sets established by is called inclusion or containment.

If A is a subset of but not equal to B, then A is called a proper subset of B, written (A is a proper subset of B) or (B is proper superset of A). However, in some literature these symbols are read the same as and , so it's often preferred to use the more explicit symbols and for proper subsets and supersets.

A is a subset of B

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  - The set of all men is a proper subset of the set of all people.

The empty set is a subset of every set and every set is a subset of itself:

For more information about subsets, see Subset.

## [தொகு] சிறப்புக் கணங்கள்

அதிக அளவு இன்றியமையாமை காரணமாகவும், அடிக்கடி புழங்கப்படுவதாலும், சில கணங்கள் சிறப்புப் பெயர்களால் அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றுள் ஒன்று வெற்றுக் கணம் ஆகும். எண்களைக்கொண்ட சில சிறப்புக் கணங்களாவன:

- என்பது, எல்லா இயல்பெண்களினதும் கணத்தைக் குறிக்கின்றது. அதாவது, = {1, 2, 3, ...}, அல்லது, சில சமயங்களில் = {0, 1, 2, 3, ...}.
- என்பது, எல்லா முழுஎண்களினதும் (integers) கணத்தைக் குறிக்கின்றது. (நேர், எதிர், சூனியம் எதுவாயினும்). ஆகவே = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
- என்பது, எல்லா விகிதமுறு எண்களினதும் (rational number) கணத்தைக் குறிக்கும். (that is, the set of all proper and improper fractions). ஆகவே, = { : a,b and b ≠ 0}. எடுத்துக்காட்டாக, and . ஒவ்வொரு முழு எண் a உம் ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கப்படலாம் என்பதால், எல்லா முழு எண்களும் இந்தக் கணத்தில் உள்ளன. .
- என்பது எல்லா மெய்யெண்களினதும் கணமாகும். இந்தக் கணம் எல்லா விகிதமுறு எண்களையும், (rational numbers) அத்துடன் எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் (irrational numbers) உள்ளடக்கியுள்ளது. (அதாவது, π, e, and √2 என்பவைபோலப் பின்னங்களாக எழுதமுடியாத எண்கள்).
- என்பது எல்லாச் சிக்கலெண்களினதும் (complex number) கணம்.

இந்த எண்களைக்கொண்ட கணங்கள் ஒவ்வொன்றும், முடிவிலி எண்ணளவுகளைக் கொண்டது. அத்துடன், .

## [தொகு] ஒன்றிப்புகள்

(Unions) ஏற்கெனவேயுள்ள கணங்களிலிருந்து புதிய கணங்களை உருவாக்குவதற்குப் பல வழிகள் உள்ளன. இரண்டு கணங்களைக் "கூட்ட" முடியும். A இனதும் B இனதும் ஒன்றிப்பு A U B என்பதால் குறிக்கப்படும். இதுவே A அல்லது B இன் உறுப்புக்களாக இருந்த எல்லாப் பொருட்களையும் கொண்ட கணமாகும்.

The union of A and B

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  - {1, 2} U {red, white} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை}
  - {1, 2, green} U {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
  - {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

ஒன்றிப்பின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  - A U B = B U A
  - A is a subset of A U B
  - A U A = A
  - A U ø = A

கணங்களின் ஒன்றிப்பு பற்றி மேலும் தகவல் அறிய ஒன்றிப்பு (கணக் கோட்பாடு) பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

## [தொகு] வெட்டுகள்

(Intersections) A new set can also be constructed by determining which members two sets have "in common". The intersection of A and B, denoted by A ∩ B, is the set of all things which are members of both A and B. If A ∩ B = ø, then A and B are said to be disjoint.

The intersection of A and B

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  - {1, 2} ∩ {red, white} = ø
  - {1, 2, green} ∩ {red, white, green} = {green}
  - {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

வெட்டுக்களின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  - A ∩ B = B ∩ A
  - A ∩ B is a subset of A
  - A ∩ A = A
  - A ∩ ø = ø

கணங்களின் வெட்டு பற்றி மேலும் தகவல் அறிய வெட்டு (கணக் கோட்பாடு) பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

## [தொகு] நிரப்பிகள்

(Complements) Two sets can also be "subtracted". The relative complement of A in B (also called the set theoretic difference of B and A), denoted by B − A, (or B \ A) is the set of all elements which are members of B, but not members of A. Note that it is valid to "subtract" members of a set that are not in the set, such as removing green from {1,2,3}; doing so has no effect.

In certain settings all sets under discussion are considered to be subsets of a given universal set U. In such cases, U − A, is called the absolute complement or simply complement of A, and is denoted by A′.

The relative complement
of A in B
படிமம்:Venn A complement.png
The complement of A in U

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  - {1, 2} − {red, white} = {1, 2}
  - {1, 2, green} − {red, white, green} = {1, 2}
  - {1, 2} − {1, 2} = ø
  - If U is the set of integers, E is the set of even integers, and O is the set of odd integers, then the complement of E in U is O, or equivalently, E′ = O.

நிரப்பிகளின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  - A U A′ = U
  - A ∩ A′ = ø
  - (A′ )′ = A
  - A − A = ø
  - A − B = A ∩ B′

கணங்களின் நிரப்பிகள் பற்றி மேலும் தகவல் அறிய நிரப்பி (கணக் கோட்பாடு) பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

## [தொகு] Further reading

For more information on the basic properties of sets, subsets, intersections, unions and complements, see algebra of sets. For a more general development of these ideas and others in set theory, see naive set theory.

## [தொகு] இவற்றையும் பார்க்கவும்

- மாற்றுக் கணக் கோட்பாடு (Alternative set theory)
- கணத் தொகுதி) (Class of sets))
- Family (mathematics)
- கணித அமைப்பு (Mathematical Structure)
- Multiset (Multiset)
- Tuple

## [தொகு] உசாத்துணைகள்

- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

"http://ta.wikipedia.org../../../%E0%AE%95/%E0%AE%A3/%E0%AE%AE/%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%AE%E0%AF%8D_%28%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D%29.html" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது

பக்க வகைகள்: தமிழாக்கம் செய்யப்பட வேண்டியுள்ள கட்டுரைகள் | கணக் கோட்பாடு

##### Views

- கட்டுரை
- உரையாடல்
- நடைமுறையிலுள்ள திருத்தம்

##### தேடு

##### ஏனைய மொழிகள்

- العربية
- Български
- বাংলা
- Česky
- Deutsch
- Ελληνικά
- Eesti
- Español
- Esperanto
- فارسی
- Français
- 한국어
- Ido
- Italiano
- עברית
- Lietuvių
- Magyar
- Nederlands
- 日本語
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Română
- Русский
- Shqip
- Slovenčina
- Slovenščina
- Suomi
- Svenska
- Українська
- 中文