อสมการของมาร์คอฟ
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่งๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ อังเดร มาร์คอฟ
อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้
เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ
เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว
เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ
[แก้] การพิสูจน์
กำหนดฟังก์ชัน
ดังต่อไปนี้ f(x) = 1 เมื่อ
มิฉะนั้น f(x) = 0 เราได้ว่า
เนื่องจาก
สำหรับทุกๆ จำนวนจริง x เราได้ว่า
ตามต้องการ
[แก้] อีกบทพิสูจน์หนึ่ง
ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า
จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม X มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า
![\mathrm{E}[X]=\sum_{i=0}^{\infty}i\cdot\Pr[X=i]](../../../math/8/a/6/8a62073e7f65507172c8cb71c0cbea42.png)
(กระจายเทอม โดยแยกกรณี i < t กับ
)
(ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)
(เนื่องจาก
)
(แยก t)
. (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)
นั่นคือเราได้
ตามต้องการ
[แก้] รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ
บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น
เมื่อ
คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว
ซึ่งในกรณีที่ g(x) = etx จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ
![\Pr[X \geq t] \leq \frac{\mathrm{E}[X]}{t}](../../../math/b/d/e/bdef44e762137dc9924edfe37fdcae34.png)
![\mathrm{E}[f(X)] = \Pr[X \geq t]](../../../math/8/f/2/8f27b374e48116c57ae0b1fe4162c7e7.png)
![\Pr[X \geq t] \leq \mathrm{E}[X/t] = \frac{\mathrm{E}[X]}{t}](../../../math/b/0/4/b049b0dba6f0abde40afa4dd34c077bc.png)
![\Pr[X \geq t] \leq \frac{\mathrm{E}[g(X)]}{g(t)}](../../../math/4/9/f/49f9e773431e18df21a4a88efceedc85.png)

