พีชคณิตซิกมา - วิกิพีเดีย

# พีชคณิตซิกมา

### จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

## [แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด , เราจะกล่าวว่า Σ เป็นพีชคณิตซิกมาบน X ก็ต่อเมื่อ Σ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

2. ถ้า แล้ว, ด้วย
3. ถ้า แล้ว ด้วย

### [แก้] หมายเหตุ

1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น X ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก
3. ในทฤษฎีการวัดนั้น สมาชิกของ Σ ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้ หรือ เซตที่สามารถหาค่าเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ (X,Σ) ว่า ปริภูมิที่สามารถวัดได้ หรือ ปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ (โดยฟังก์ชันการวัด หรือเมเชอร์ฟังก์ชัน จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามการวัดในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีการวัด)
4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย เนื่องจาก X มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ Σ มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

## [แก้] ตัวอย่าง

1. กำหนด X เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน X, และ 2X เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน X
2. กำหนด {Σα} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน X เราจะได้ว่า เป็นพีชคณิตซิกมาบน X ด้วย
3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ {Σα} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน X ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
4. ในปริภูมิยุคลิด อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในการวัด ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.

## [แก้] ดูเพิ่ม

- ฟิลด์ของเซต
- ทฤษฎีการวัด
- สัจพจน์ความน่าจะเป็น

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%9E/%E0%B8%B5/%E0%B8%8A/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%8B%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B8%B2.html".

หมวดหมู่: ทฤษฎีการวัด | ทฤษฎีเซต

##### Views

- บทความ
- อภิปราย
- รุ่นปัจจุบัน

##### ค้นหา

##### ภาษาอื่น

- Česky
- Deutsch
- Ελληνικά
- English
- Español
- فارسی
- Suomi
- Français
- עברית
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Norsk (bokmål)
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenčina
- Basa Sunda
- Українська
- 中文