การแปลงฟูริเยร์ - วิกิพีเดีย

# การแปลงฟูริเยร์

### จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หน้านี้มีลิงก์ข้ามภาษาแทรกในบทความ

การแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform) ตั้งชื่อตาม โจเซฟ ฟูริเยร์ หมายถึงการแปลงเชิงปริพันธ์ โดยเป็นการเขียนแทนฟังก์ชันใดๆ ในรูปผลบวก หรือปริพันธ์ ของฐาน ที่เป็นฟังก์ชันรูปคลื่น ไซน์หรือ โคไซน์

## [แก้] รูปแบบต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์

### [แก้] การแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง

โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูริเยร์" จะใช้หมายถึง การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน f(t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด(หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน F(ω);

ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง ส่วนการแปลงฟูริเยร์นั้นปกติจะเขียน F(ω) ในรูปของ f(t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก คู่ของการแปลง (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใดๆ

เมื่อ f(t) เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ การแปลงโคไซน์ และ การแปลงไซน์ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ f(t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ F(−ω) = F(ω)*

### [แก้] อนุกรมฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูริเยร์ ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) f(x) (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:

ซึ่ง Fn เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูริเยร์ยังอาจเขียนในรูป:

โดย an และ bn เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูริเยร์

### [แก้] การแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง

สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง x[n] บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ การแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง (discrete Fourier transform-DFT) ซึ่งเขียนแทน x[n] ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ

โดยที่ X[k] คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O(N2) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O(N log N) โดยการใช้อัลกอริทึม การแปลงฟูริเยร์อย่างเร็ว (fast Fourier transform-FFT)

### [แก้] รูปแบบอื่นๆ

DFT เป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของ การแปลงฟูริเยร์เวลาไม่ต่อเนื่อง (discrete-time Fourier transform-DTFT) ซึ่ง x[n] เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบ DTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับ อนุกรมฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์ สามารถขยายความการแปลงบน อาบีเลียนโทโพโลยีกรุ๊ปใดๆ ที่คอมแพคเฉพาะที่ (locally compact abelian topological group) เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังกรุ๊ปคู่ของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อใน การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก (harmonic analysis) ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของ ทฤษฎีการคอนโวลูชัน (en:convolution theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูริเยร์ และ การคอนโวลูชัน ดู ความเป็นคู่ของพอนเทรียกิน (en:Pontryagin duality) สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูริเยร์

นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ.จุดเวลาใดๆ คือ การแปลง เวลา-ความถี่(Time-frequency transform) เช่น การแปลงฟูริเยร์เวลาช่วงสั้น (short-time Fourier transform) การแปลงเวฟเลท (wavelet transform) การแปลงเชิพเลท(chirplet transform) และ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เป็นจำนวนเต็ม (fractional Fourier transform) เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อมๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดย กฎความไม่แน่นอน (uncertainty principle)

### [แก้] การแปลงในตระกูลการแปลงฟูริเยร์

ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ จะสังเกตเห็นว่า ความไม่ต่อเนื่อง (ความต่อเนื่อง) ในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิด ความเป็นคาบ (ไม่เป็นคาบ) ในอีกโดเมนหนึ่ง (ตามลำดับ) นอกจากนั้นแล้ว การมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิด ความสมมาตร ในอีกโดเมน

การแปลง | เวลา | ความถี่
--- | --- | ---
การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง | ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ | ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
อนุกรมฟูริเยร์ | ต่อเนื่อง, เป็นคาบ | ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ
การแปลงฟูริเยร์เวลาไม่ต่อเนื่อง | ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ | ต่อเนื่อง, เป็นคาบ
การแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง | ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ | ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ

## [แก้] ประวัติศาสตร์: การพัฒนา, อุปสรรค, และ ความขัดแย้ง

หมายเหตุ : เนื้อหาส่วนใหญ่ในส่วนนี้ถือตาม[1] ซึ่งมีการอ้างอิงถึงเอกสารดั้งเดิมอย่างละเอียด และเนื้อหาอาจมีความแตกต่างจากแหล่งอื่น

### [แก้] อนุกรมฟูริเยร์ และบทความปี ค.ศ. 1807

ทฤษฎีการแปลงฟูริเยร์ มีจุดเริ่มต้นจากบทความของ ฟูริเยร์ ที่เขียนในปี ค.ศ. 1807 (ถูกปฏิเสธ) กับ ค.ศ. 1811 (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826) และ หนังสือ ทฤษฎีการวิเคราะห์ความร้อน ในปีค.ศ. 1822

เริ่มต้นจาก ฟูริเยร์ ได้ส่งบทความวิชาการของเขาในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 ซึ่งในขณะนั้น เดอลอมเบรอ เป็นเลขาธิการถาวร ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ และ คณิตศาสตร์ เดอลอมเบรอ ให้ ลากรองจ์ ลาปลาซ ลาครัวซ์ และ มงจ์ เป็นกรรมการตรวจสอบบทความ โดยที่มงจ์ ให้การสนับสนุน ส่วน ลาปลาซ และ ลาครัวซ์ ก็ให้ความเห็นชอบ แต่ ลากรองจ์ นั้น ไม่ยอมรับแนวความคิดของฟูริเยร์ เป็นผลให้บทความของฟูริเยร์นั้นถูกปฏิเสธรับเพื่อตีพิมพ์ มีเพียงแต่บทวิจารณ์ในงานของฟูริเยร์โดย ปัวซง เท่านั้นที่ตีพิมพ์ออกเผยแพร่ ซึ่งบทวิจารณ์ของปัวซงก็ไม่ได้ให้ความสำคัญกับแนวความคิดของฟูริเยร์แต่อย่างใด

หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ฟูริเยร์นั้นเคยเรียนกับ ลากรองจ์ ลาปลาซ และ มงจ์ ที่ เอกอล นอร์มาล (วิทยาลัยครู) ในปี ค.ศ. 1795 ซึ่งเปิดสอนได้ไม่กี่เดือนก็ต้องปิดไป ฟูริเยร์ย้ายไปที่ เอกอล โปลีเทคนีค (วิทยาลัยโปลีเทคนิค) ซึ่งมงจ์เป็นผู้อำนวยการ แต่ไม่สามารถเข้าเป็นนักเรียนได้เนื่องจากมีอายุมากกว่าเกณฑ์คือ 20 ปี มงจ์จึงช่วยเหลือให้ฟูริเยร์ได้เป็นผู้ช่วยสอน

### [แก้] อุปสรรคจากลากรองจ์

เหตุผลในการตอบปฏิเสธบทความของฟูริเยร์ นั้นมีหลายจุด แต่หลักๆ นั้นไม่เห็นด้วยกับ อนุกรมฟูริเยร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการลู่เข้า ของอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ หลังจากนั้นฟูริเยร์ได้ส่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติการลู่เข้าไปหาลากรองจ์ และ ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1809 ได้ส่งเอกสารเพิ่มเติม เกี่ยวกับข้อกังขาต่างๆของกรรมการที่มีต่อบทความในปีค.ศ. 1807 ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส แต่บทความปีค.ศ. 1807 ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์

เบิร์นฮาร์ด รีมันน์ ได้กล่าวว่า เมื่อฟูริเยร์ ได้นำเสนอแนวความคิดของเขาในบทความ ปี ค.ศ. 1807 นั้น ผลลัพธ์เป็นที่น่าประหลาดใจมาก จนลากรองจ์ได้แสดงความเห็นว่าเป็นไปไม่ได้อย่างเด็ดขาด[2]

เหตุผลที่ลากรองจ์ ไม่เห็นด้วยกับบทความของฟูริเยร์ นั้นสามารถสืบย้อนกลับไปถึงปัญหาการสั่นของเชือก (wave equation) ดูบทความหลัก สมการคลื่น

ซึ่งผู้ที่ทำการศึกษาและหาคำตอบทั่วไปในยุคแรกๆ คือ ดาเลมแบร์ ออยเลอร์ และ ดาเนียล เบอร์นูลลี

ในปี ค.ศ. 1747 ดาเลมแบร์ ได้เสนอคำตอบในรูปฟังก์ชันนอล y(x,t) = f(x + att) + g(x − at) และพิจารณาเงื่อนไขขอบ ถึงแม้ว่าฟังก์ชันในรูปที่ ดาเลมแบร์พิจารณานั้นมีรูปแบบทั่วไป แต่เขาก็ยึดติดกับรูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มีอนุพันธ์ ในปีถัดมา ค.ศ. 1748 ออยเลอร์ ได้ยกปัญหาของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ เสนอแนวความคิดของการกำหนดฟังก์ชัน บนโดเมนที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ

การใช้อนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นรูปแบบคำตอบสมการคลื่น นั้นถูกนำเสนอเป็นครั้งแรกโดย ดาเนียล เบอร์นูลลี ในปี ค.ศ. 1753 ในรูป

แนวความคิดของดาเนียล เบอร์นูลลี ไม่ได้มาจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่มาจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เห็นได้ชัด ของการซ้อนทับกันของการสั่นที่หลายความถี่

ในปีค.ศ. 1754 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตั้งข้อโต้แย้งกับแนวความคิดการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าวของเบอร์นูลลี โดยได้บ่งชี้ถึงงานของเขา ในปี ค.ศ. 1748 ซึ่งได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่าง ออยเลอร์ได้ให้เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวความคิดของการใช้ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนฟังก์ชันใดๆ ไว้ว่า ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์จำนวนนับไม่ถ้วน ในอนุกรมจะให้ความยืดหยุ่น ในการใช้อนุกรมแทนฟังก์ชันทั่วไป แต่เนื่องจากคุณสมบัติ ความเป็นคาบ และ ความเป็นฟังก์ชันคี่ ของไซน์ นั้นทำให้การใช้อนุกรมนี้แทนฟังก์ชันใดๆ ที่ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวนั้นเป็นไปไม่ได้

ในปีค.ศ. 1859 ลากรองจ์ ได้เขียนบทความเกี่ยวกับปัญหาการสั่นของเชือกนี้ ลากรองจ์ยอมรับในหลักการทั่วไป และ รูปแบบคำตอบของออยเลอร์ แต่ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการทำให้ได้มาซึ่งคำตอบ จากมุมมองที่แตกต่างจากออยเลอร์ ลากรองจ์ได้เสนอแบบจำลองวัตถุ n ชิ้น (n-body model) และหาคำตอบที่จำนวนวัตถุ n มีค่าเข้าสู่ อินฟินิตี้ ได้คำตอบในรูป

โดยที่ Y(x) คือ ตำแหน่งเริ่มต้นของเชือก และ V(x) คือความเร็วเริ่มต้น

สังเกตว่า สมการของลากรองจ์นี้ หากแทนค่า เวลา t = 0 จะได้อนุกรมฟูริเยร์ ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุกรมฟูริเยร์จากสมการของลากรองจ์ได้ แต่จุดประสงค์ของสมการนี้ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะนำไปสู่แนวความคิดนั้น โดยได้มีการตั้งข้อสังเกตการสลับตำแหน่งของ และ Σ[3] โดยลากรองจ์นั้นสลับเอา Σไว้ภายในอินทิเกรต ซึ่งหากสมการอยู่ในรูปที่ขึ้นต้นด้วย ผลบวกจะทำให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ ซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เห็นด้วยถึงหลักการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนั้นแล้วยังมีข้อบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของลากรองจ์ในการหาคำตอบข้างต้น ซึ่งรูปคำตอบนั้นเป็นไปในแนวความคิดเดียวกับออยเลอร์ ผู้ซึ่งได้แสดงความไม่เห็นด้วยกับแนวความคิดของ ดาเนียล เบอร์นูลลี ในการใช้อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยเหตุผลของ ความเป็นคาบ และความเป็นฟังก์ชันคี่ดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความไม่เห็นด้วยของลากรองจ์ต่อแนวความคิดของฟูริเยร์ ก็อาจจะมาจากพื้นฐานเดียวกัน

### [แก้] การแปลงฟูริเยร์ และ บทความปีค.ศ. 1811

ต่อมาสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ได้ตั้งปัญหารางวัลกรังปรีซ์คณิตศาสตร์สำหรับปีค.ศ. 1812 ในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ซึ่งฟูริเยร์ได้ส่งบทความ บันทึกเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อน ซึ่งเป็นบทความที่พัฒนาจากบทความปีค.ศ. 1807 ของเขา เข้าชิงรางวัลในปลายปีค.ศ. 1811 โดยมี ลากรองจ์ ลาปลาซ และ อาเดรียน-มารี เลอจองเดรอ เป็นกรรมการตรวจสอบ ถึงแม้ว่าบทความของฟูริเยร์จะชนะรางวัล แต่บทความของเขาก็โดนวิพากษ์วิจารณ์ ถึงวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์และพิสูจน์ และถูกเก็บดองไว้ไม่ได้ตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ในขณะนั้น

หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ในวัยเยาว์ ฟูริเยร์ได้เข้าเรียนที่โรงเรียนการทหารในเมืองของเขา โดยมี เลอจองเดรอ เป็นผู้อำนวยการโรงเรียน(ผู้ตรวจสอบ) ต่อมาเขาได้สมัครเข้าเรียนต่อที่โรงเรียนการวิศวกรรม และ ปีนใหญ่ โดยได้รับการสนับสนุนจาก เลอจองเดรอ แต่เขาถูกตอบปฏิเสธการรับเข้า

บทความของฟูริเยร์ในปีค.ศ. 1811 นั้นได้ขยายความจากอนุกรมอนันต์ ออกไปครอบคลุมถึงรูปปริพันธ์ ดูบทความหลัก การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง ถึงแม้ว่าจะไม่มีข้อมูลเด่นชัดถึงแรงบันดาลใจที่ฟูริเยร์ขยายความจากอนุกรมไปสู่รูปปริพันธ์ได้อย่างไร ได้มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลมาจากลาปลาซ[4] เนื่องจากในช่วงปีค.ศ. 1809 นั้นฟูริเยร์ได้มีการติดต่อกับลาปลาซ ในเรื่องของปัญหาการแพร่ความร้อนที่เขาทำการศึกษา ซึ่งต่อมาลาปลาซได้นำเสนอคำตอบซึ่งอยู่ในรูปปริพันธ์ ถึงแม้ว่าจะมีแนวความคิดที่แตกต่างจากของฟูริเยร์ แต่ก็อาจจะเป็นจุดบันดาลใจให้ฟูริเยร์ได้คิด

ในปี ค.ศ. 1817 ออกุสตัง หลุยส์ โคชี ได้ตีพิมพ์บทความ ซึ่งมีการแปลงรูปปริพันธ์ของฟูริเยร์ ในบทความนั้นโคชี ได้กล่าวว่าเขาได้ค้นพบรูปคำตอบใหม่ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ ฟูริเยร์ได้ทำการทักท้วง ซึ่งส่งผลให้ในบทความถัดมาของโคชี ในปีค.ศ. 1818 มีข้อความแสดงการยอมรับถึงการค้นพบก่อนหน้าเขาโดยฟูริเยร์ มีการตั้งข้อสังเกตว่า เนื่องจากในปีค.ศ. 1816 นั้นโคชี ได้รับตำแหน่งที่ว่างลงใน ราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ทำให้เขาอยู่ในตำแหน่งที่สามารถอ่านบทความในปีค.ศ. 1811 ของฟูริเยร์ซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ได้ นอกจากนั้นในปีเดียวกันคือค.ศ. 1816 ฟูริเยร์ได้พิมพ์บทคัดย่อของหนังสือที่เขาจะเขียนออกในปีค.ศ. 1822 ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้มากที่ โคชีได้อ่านบทความของฟูริเยร์มาแล้ว[5]

หลังจากที่ ลากรองจ์เสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1813 เมื่อเดอลอมเบรอได้เสียชีวิตในปีค.ศ. 1824 ฟูริเยร์ได้รับเลือกให้ขึ้นดำรงตำแหน่งเลขาธิการถาวร ด้วยความคาใจฟูริเยร์จึงได้ตีพิมพ์บทความในปีค.ศ. 1811 ของเขาซึ่งยังไม่ได้รับการตึพิมพ์ ในลักษณะดั้งเดิมโดยไม่มีการแก้ไข โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์แห่งสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในปีค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826

หลังจากนั้นในปีค.ศ. 1829 โยฮันน์ ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอเจิน ดีริชเลต์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้แสดงบทพิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ ซึ่งเป็นที่รู้จักกว้างขวางในปัจจุบัน

### [แก้] ข้อโต้แย้งต่างๆ

- สมการของลากรองจ์: นักคณิตศาสตร์บางคน ได้แสดงความเห็นว่า ควรจะถือว่าลากรองจ์นั้นเป็นผู้ค้นพบแรกเนื่องจาก อนุกรมของฟูริเยร์ นั้นสามารถหาได้จากสมการของลากรองจ์ ดังแสดงข้างต้น
- วิธีการหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติ : ฟูริเยร์นั้นไม่ได้เป็นคนแรกที่คิดค้นวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ ของอนุกรมฟังก์ชันตริโกณมิติ บทความซึ่งเขียนโดย ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1777(ตีพิมพ์ ค.ศ. 1793) เขาได้ใช้วิธีในการหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวที่ n ของอนุกรม

  โดยวิธีคูณด้วย cosnx และอินทิเกรตทีละเทอม จาก 0 ถึง π ได้

ถึงแม้ว่าทั้งสองจะได้นำเสนอรูปสมการที่เหมือน หรือ สามารถปรับให้เหมือนอนุกรมฟูริเยร์ ได้ แต่วิธีของทั้ง ลากรองจ์ และ ออยเลอร์ นั้นไม่ได้นำไปสู่ แนวความคิดของการแทนฟังก์ชันใดๆ ด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังได้แสดงความคิดเห็นที่คัดค้านต่อแนวความคิดดังกล่าว สมการของลากรองจ์นั้นมีจุดประสงค์เพียงต้องการใช้ยืนยังผลคำตอบตามแนวความคิดของออยเลอร์ ส่วนวิธีการข้างต้นของออยเลอร์นั้นนำเสนอเพื่อใช้กับ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้แน่นอน ไม่ได้ใช้สำหรับการแทนฟังก์ชันทั่วไป ดังนั้นจึงตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ฟูริเยร์ ผู้ซึ่งให้กำเนิดแนวความคิด

- คุณสมบัติการลู่เข้า : โดยทั่วไปเรารับรู้ว่า ดีริชเลต์ เป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ อย่างแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ในปีค.ศ. 1829 จึงอาจถือว่า เขาเป็นบุคคลแรกที่ยืนยันความถูกต้องของแนวความคิดของฟูริเยร์

ฌอง กาสตง ดาบูซ์ (Jean Gaston Darboux) ในการรวบรวมผลงานของฟูริเยร์ ในปีค.ศ. 1888 เขาได้พบต้นฉบับบทความของฟูริเยร์ปีค.ศ. 1807 ซึ่งสาบสูญไปหลังจากที่ฟูริเยร์เสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1830 ที่ห้องสมุดของ Ecole Nationale des Ponts et Chaussées ในกรุงปารีส ซึ่งดาบูซ์ได้ชี้ว่าในบทความนั้น ฟูริเยร์ได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม และวิธีการที่ฟูริเยร์ใช้จริงๆแล้วก็ไม่แตกต่างจากที่ ดีริชเลต์ ใช้ในการพิสูจน์ต่อมาในภายหลัง [6]

## [แก้] อ้างอิง

- [IGG - 1^ ,3^ ,4^ ,5^ ] Ivor Grattan-Guinness, Joseph Fourier, 1768-1830 : A Survey of His Life and Work, The MIT Press (April 15, 1972) ISBN: 0262070413

- [HSC - 2^ ,6^ ] H.S. Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, 2nd, Macmillan and Co. (1921)

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%81/%E0%B8%B2/%E0%B8%A3/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%A2%E0%B8%A3%E0%B9%8C.html".

หมวดหมู่: บทความที่มีลิงก์ไปภาษาอื่นในส่วนเนื้อหา | คณิตศาสตร์ | การแปลง

##### Views

- บทความ
- อภิปราย
- รุ่นปัจจุบัน

##### ค้นหา

##### ภาษาอื่น

- العربية
- Беларуская
- Česky
- Deutsch
- English
- Español
- Euskara
- فارسی
- Suomi
- Français
- Galego
- Bahasa Indonesia
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Српски / Srpski
- Svenska
- Türkçe
- Tiếng Việt
- 中文