อนุกรมฟูริเยร์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
อนุกรมฟูริเยร์ ตั้งชื่อตาม โจเซฟ ฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูริเยร์ นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ei x หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์
ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูริเยร์
[แก้] นิยาม
พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูริเยร์จะหาได้จาก
| อนุกรมฟูริเยร์ | สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ |
|---|---|
![]() |
![]() |
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ และ ![]() |
|
![]() |
![]()
|
โดยที่ , และ ![]() |
|
[แก้] ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชัน
สำหรับค่า
และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูริเยร์ ดังรูป
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์สามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)
สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูริเยร์ของ f(x) = x คือ:
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูริเยร์ ดู ค่าของฟังก์ชันรีมันน์เซตา ที่ s = 2
| อนุกรมฟูริเยร์ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น |



เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ
และ 
![f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]](../../../math/e/6/a/e6ade12980a563e3a440b2db314537d3.png)


,
และ 



![=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\, dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}](../../../math/6/8/9/6890ae304b5f36a3d0ef5f96720274a0.png)



