อสมการของเชบิเชฟ
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้
- ให้
เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
แล้ว สำหรับจำนวนจริง
ใดๆ เราได้ว่า ![\Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] \leq \frac{1}{t^2}](../../../math/4/9/a/49aa7d029893c63f3946213c104d8411.png)
โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์อัลกอริทึมแบบสุ่มหลายๆ อัลกอริทึม เนื่องจากตัวแปรสุ่มในอัลกอริทึมนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก
[แก้] การพิสูจน์
เนื่องจาก
ก็ต่อเมื่อ
เมื่อมอง
เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า
ค่า
คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม
ด้วยเหตุนี้
ตามต้องการ
![\Pr[(X-\mu_X)^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X)^2]}{t^2\sigma_X^2}](../../../math/1/3/2/132d2de0c38910c903db24d09f7aa4c8.png)
![\Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] = \Pr[(X-\mu_X)^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X)^2]}{t^2\mathrm{E}[(X-\mu_X)^2]} = \frac{1}{t^2}](../../../math/2/a/d/2ad92b0a1a78b39611ce7a2028f02123.png)

