Теорема Фалеса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В геометрії, Теорема Фалеса (названа на честь Фалеса з Мілету) стверджує, що якщо A, B і C є точками на колі де відрізок AC є діаметром кола, тоді кут ABC є прямим.

Зображення:thales-theorem.png

Зміст

[ред.] Інші теореми відомі під даною назвою

В країнах бувшого Радянського Союзу, назва "теорема Фалеса" стосується іншої теореми Теорема Фалеса (пропорційні відрізки)

[ред.] Доведення

Використаємо наступні факти: сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам і що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

Зображення:thales-proof.png

Нехай O є центром кола. Оскільки OA = OB = OC, OAB і OBC є рівнобедреними трикутниками, із рівності кутів при основі рівнобедреного трикутника, OBC = OCB і BAO = ABO. Нехай γ = BAO і δ = OBC.

Оскільки сума кутів прямокутного трикутника рівна двом прямим кутам, отримаємо

2γ + γ ′ = 180°

і

2δ + δ ′ = 180°

Також відомо що

γ ′ + δ ′ = 180°

Додавши перші два рівняння та віднявши третє, отримаємо

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

що, після скорочення γ ′ and δ ′, дає

γ + δ = 90°

Q.E.D.

[ред.] Обернена теорема

Обернена теорема також вірна. Вона стверджує, що якщо для даного прямокутного трикутника побудувати коло, так, що його гіпотенуза буде діаметром кола, то коло буде описаним навколо трикутника.

Пряма та обернена теореми можуть бути сформульовані наступним чином:

Центр описаного навколо трикутника лежить на одній із його сторін тоді і лишень тоді коли трикутник є прямокутним.

[ред.] Узагальнення

Теорема Фалеса є спеціальним випадком наступної теореми: якщо дані три точки A, B і C на колі із центром O, кут AOC вдвічі бульшим від ABC.

[ред.] Історія

Фалес не був першовідкривачем теореми названої в його честь, оскільки давні Єгиптяни та Вавілоняни знали її на емпіричному рівні. Але Фалесу належить перше доведення цієї теореми.