Число Мерсенна
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Число Мерсенна (Mersenne number) — числа виду Mn = 2n − 1, де n — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.
Послідовність чисел Мерсенна починається так:
- 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (Послідовність A000225 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)
Іногда числами Мерсенна називають числа Mp з простими індексами p. Ця послідовність починається так:
- 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,... (Послідовність A001348 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)
Зміст |
[ред.] Властивості
- Будь-який дільник числа Mp для простого p має вигляд 2pk + 1, де k — ціле число. (Це прямий наслідок малої теореми Ферма)
- Ейлер довів, що кожне парне досконале число має вигляд 2p − 1Mp, де число Мерсенна Mp є простим.
[ред.] Прості чи́сла Мерсенна
Чи́сла Мерсенна є добре відомими в зв'язку з ефективним критерієм простоти Люка-Лемера, завдяки якому прості чи́сла Мерсенна давно утримують лідерство як самі вели́кі відомі прості чи́сла (див. посилання). На даний час найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна M32582657 = 232582657 − 1, знайдене в вересні 2006 року в рамках проекту розподілених обчислень GIMPS. Всього відомо 44 простих числа́ Мерсенна, при чому порядкові номери встановлені лише у перших 39-ти (точно).
Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так:
- Mp: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, ... (Послідовність A000668 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)
- p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... (Послідовність A000043 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)
[ред.] Відкриті проблеми
- Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика
- Простота числа


