Асимптота

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Асимптота кривої - це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої. Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x http://upload.wikimedia.org/wikipedia/fr/7/7b/Hyperbole_1_sur_x.png

кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, ...) для функції у = ctg(x).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/c5/GraphCotangensfunktion.png

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз ( +графік).

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ - Заху = 0 (декартів лист) ( +графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

http://en.wikipedia.org/upload/a/aa/1-over-x-plus-x.png

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b - похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі: k = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right) ; b = \lim_{n \to \infty} \left( f(x) - kx \right)

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти - лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці – "асимптотичні методи дослідження".

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад парабола асимптот не має.