Розподіл ймовірностей
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В математиці та статистиці, розподіл ймовірностей, що іноді називають функцією розподілу ймовірностей, ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність, таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу є ймовірносною мірою, що визначена на борелівській алгебрі інтервалів.
Розподіл ймовірностей є частковим випадком більш загального визначення ймовірносної міри, що є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова. Також, деякі вчені визначають розподіл як ймовірносну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі - ймовірність множини B є P(X − 1(B)). Однак, в цій статті розглядається тільки ймовірносні міри на множині інтервалів числової прямої.
Зміст |
[ред.] Строге визначення
Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом ймовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[a ≤ X ≤ b], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєю функцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як
для усіх x з R.
Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченої послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може приймати значення лише із визначенної скінченої (або зліченої) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу є неперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції fщо задовольняє умові
для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як функція щільності також не визначена.
Дискретна функція розподілу виражається як -
для
.
Де
є ймовірністю елементарної події.
- Розподіл ймовірностей суми двох незалежних випадкових величин є згорткою їх функцій щільності.
- Розподіл ймовірностей різниці двох незалежних випадкових величин є крос-кореляцією їх функцій щільності.
[ред.] Список важливих ймовірносних розподілів
Деякі ймовірносні розподіли є дуже важливим в теорії та застосуванні, і їм дани власні назви:
[ред.] Дискретні розподіли
[ред.] Зі скінченою множиною подій
- Розподіл Бернуллі, що приймає значення 1 з ймовірністю p і значення 0 з ймовірністю q = 1 − p.
- Rademacher distribution, which takes value 1 with probability 1/2 and value −1 with probability 1/2.
- Біноміальний розподіл описує кількість успіхів в схемі незалежних випробувань Бернуллі.
- Вироджений розподіл в x0, де X приймає значення x0 завжди. На перший погляд, воно такий розподіл не виглядає ймовірносним, але він задовольняє означенню випадкової величини. Це часто стає в пригоді, оскільки вкладає однаковий зміст у константи і випадкові величини.
- Рівномірний розподіл (дискретний), де всі елементи скінченої множини є рівноймовірні. This is supposed to be the distribution of a balanced coin, an unbiased die, a casino roulette or a well-shuffled deck. Also, one can use measurements of quantum states to generate uniform random variables. All these are "physical" or "mechanical" devices, subject to design flaws or perturbations, so the uniform distribution is only an approximation of their behaviour. In digital computers, pseudo-random number generators are used to produce a statistically random discrete uniform distribution.
- hypergeometric distribution, which describes the number of successes in the first m of a series of n independent Yes/No experiments, if the total number of successes is known.
- Zipf's law or the Zipf distribution. A discrete power-law distribution, the most famous example of which is the description of the frequency of words in the English language.
- Zipf-Mandelbrot law is a discrete power law distribution which is a generalization of the Zipf distribution.
[ред.] З нескінченою множиною подій
- Розподіл Больцмана, a discrete distribution important in statistical physics which describes the probabilities of the various discrete energy levels of a system in thermal equilibrium. It has a continuous analogue. Special cases include:
- Розподіл Гіббса
- Розподіл Максвела-Больцмана
- Розподіл Бозе-Ейнштейна
- Розподіл Фермі-Дірака
- Геометричний розподіл, дискретний розподіл, що описує кількість спроб необхідних щоб отримати перший успіх в схемі незалежних випробувань Бернуллі.
- логарифмічний (ряд) розподіл
- Від'ємний біноміальний розподіл, узагальнення геометричного розподілу до nго успіху.
- Пуасонівський розподіл, що описує велику кількість малоймовірних подій на протязі деякого інтервалу часу.
- Skellam distribution, the distribution of the difference between two independent Poisson-distributed random variables.
- Yule-Simon distribution
- Зета-розподіл has uses in applied statistics and statistical mechanics, and perhaps may be of interest to number theorists. It is the Zipf distribution for an infinite number of elements.
[ред.] Неперервні розподіли
[ред.] Визначені на замкненому інтервалі
- Бета розподіл на [0,1], частковим випадком якого є рівномірний розподіл, і що використовується при оцінювання ймовірностей успіху.
- continuous uniform distribution on [a,b], where all points in a finite interval are equally likely.
- rectangular distribution is a uniform distribution on [-1/2,1/2].
- Dirac delta function although not strictly a function, is a limiting form of many continuous probability functions. It represents a discrete probability distribution concentrated at 0 — a degenerate distribution — but the notation treats it as if it were a continuous distribution.
- Kumaraswamy distribution is as versatile as the Beta distribution but has simple closed forms for both the cdf and the pdf.
- logarithmic distribution (continuous)
- triangular distribution on [a, b], a special case of which is the distribution of the sum of two uniformly distributed random variables (the convolution of two uniform distributions).
- von Mises distribution on the circle.
- von Mises-Fisher distribution on the N-dimensional sphere has the von Mises distribution
as a special case.
- Kent distribution on the three-dimensional sphere.
- Wigner semicircle distribution is important in the theory of random matrices.
[ред.] Визначений на пів-інтервалі [0,∞)
- Хі-розподіл
- нецентрований хі-розподіл
- Розподіл хі-квадрат, що є сумою квадратів n незалежних Гаусівських випадкових величин. Це частковий випадок Гамма-розподілу.
- inverse-chi-square distribution
- noncentral chi-square distribution
- scale-inverse-chi-square distribution
- exponential distribution, which describes the time between consecutive rare random events in a process with no memory.
- F-distribution, which is the distribution of the ratio of two (normalized) chi-square distributed random variables, used in the analysis of variance. (Called the beta prime distribution when it is the ratio of two chi-square variates which are not normalized by dividing them by their numbers of degrees of freedom.)
- noncentral F-distribution
- Гамма-розподіл, що описує час, за який n послідовних рідких подій відбудуться в процесі без післядії.
- Розподіл Ерланга, що є частковим випадком гамма розподілу, і застосовується для визначення часу очікування в системах масового обслуговування.
- Обернений гамма-розподіл
- half-normal distribution
- Розподіл Леві
- log-logistic distribution
- log-normal distribution, describing variables which can be modelled as the product of many small independent positive variables.
- Pareto distribution, or "power law" distribution, used in the analysis of financial data and critical behavior.
- Pearson Type III distribution (see Pearson distributions)
- Rayleigh distribution
- Rayleigh mixture distribution
- Rice distribution
- type-2 Gumbel distribution
- Wald distribution
- Weibull distribution, of which the exponential distribution is a special case, is used to model the lifetime of technical devices.
[ред.] Визначені на всій дійсній вісі
- Розподіл Коші, є прикладом розподілу для якого не існує математичного сподівання, варіації та інші моменти. У фізиці він зазвичай називається функцією Лоренцо, і пов'язан з багатьма процесами, включаючи розподіл енергетичного резонансу, натуральне та вимушене розширення спектральних ліній.
- Fisher-Tippett, extreme value, or log-Weibull distribution
- Gumbel distribution, a special case of the Fisher-Tippett distribution
- Fisher's z-distribution
- generalized extreme value distribution
- hyperbolic distribution
- hyperbolic secant distribution
- Розподіл Ландау
- Розподіл Лапласа
- Levy skew alpha-stable distribution is often used to characterize financial data and critical behavior.
- map-Airy distribution
- Нормальний розподіл, також називається Гаусівським, або колоколом. Розповсюджений в природі та статистиці завдяки центральній граничній теоремі: кожна випадкова величина, яка може бути змодельована як сума великої кількості незалежних випадкових величин є майже нормально розподіленою.
- Pearson Type IV distribution (see Pearson distributions)
- Student's t-distribution, useful for estimating unknown means of Gaussian populations.
- noncentral t-distribution
- type-1 Gumbel distribution
- Voigt distribution, or Voigt profile, is the convolution of a normal distribution and a Cauchy distribution. It is found in spectroscopy when spectral line profiles are broadened by a mixture of Lorentzian and Doppler broadening mechanisms.
[ред.] Згортка розподілів
Для будь-якої множини незалежних випадкових величин функція щільності їх загального розподілу є добутком їх функцій щільності.
[ред.] Ймовірносний простір розмірності більше 1
- Розподіл Діріхле, узагальнення бета розподілу.
- поліноміальний розподіл, узагальнення біноміального розподілу.
- , узагальнення нормального розподілу.
[ред.] Матричні розподіли
- нормальний матричний розподіл
- матричний t-розподіл
[ред.] Приклади розподілів
- Розподіл Кантора
[ред.] Дивиться також
- функція щільності
- випадкова величина
- гістограма
![F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]](../../../math/a/6/7/a67f2dc9d1d17966479300f3ea00d630.png)
![\Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx](../../../math/0/6/4/0643ca1be8599c859982f7cdcef6b758.png)
![F(x) = \Pr \left[X \le x \right] = \sum_{x_i \le x} p(x_i)](../../../math/c/1/2/c12bddb65195f65a70e00dc34db19890.png)

