Підмножина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

A - підмножина B
Збільшити
A - підмножина B

Якщо X та Y - множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

  • X є підмножиною (частиною) Y, позначення — XY;
  • Y - надмножина (охоплююча множина) X, позначення — YX.


Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не співпадає з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X - точна підмножина Y, то цей факт записується як XY. Відношення "бути підмножиною" має назву включення.

[ред.] Варіанти позначень

Існують дві системи позначень відношень включення Старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.

[ред.] Приклади

[ред.] Властивості

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.

Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиT ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.

Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотнього, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі наступні властивості відношення включення:

рефлексивність:
  • A ⊆ A
антисиметричність:
  • A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, коли A = B
транзитивність:
  • Якщо A ⊆ B та B ⊆ C то A ⊆ C

Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.

ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:

існування верхньої межі та нижньої межі:
  • Ø ⊆ A ⊆ S
існування зв'язків:
  • A ⊆ AB
  • Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то AB ⊆ C
існування перетину:
  • AB ⊆ A
  • Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ AB

ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, наступні твердження еквівалентні:

  • A ⊆ B
  • AB  =  A
  • AB  =  B
  • A − B  =  Ø
  • BC ⊆ AC