Алгебраїчне рівняння - Вікіпедія

# Алгебраїчне рівняння

### Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Алгебраїчні рівняння - рівняння виду Р(x1, ... , xn)=0, де Р - многочлен від змінних x1, ... , xn. Ці змінні називають невідомими. Впорядкований набір чисел (a1, ... , an) задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x1 на a1, x2 на a2 і так далі отримуєьбся правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х2 + у2 = z2, оскільки 32 +42 = 52). Число, що задовольняє алгебраїчне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язків цього рівняння. Два алгебраїчні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язків, називаються рівносильними. Степенню многочлена Р називається степінь рівняння Р(х1, ... , хn = 0. Наприклад, 3х - 5у + z = с - рівняння першої степені, х2 + у2 = z2 - другої степені, а х4 - Зх3 + 1 = 0 - четвертої степені. Рівняння першої степені називають також лінійними.

Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язків алгебраїчного рівняння з великою кількісю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебраїчні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв’язків системи. Наприклад, множина розв’язків системи рівнянь така: {(3; 1), (3;-1), (-3; 1), (-3; -1)}.

## [ред.] Історія

Алгебраїчні рівняння 1-ї степені з одним невідомим розв’язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавілоні. Вавілонські переписувачі вміли розв’язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-ї степені. З допомогою особливих таблиць вони вирішували і деякі рівняння 3-ї степені, наприклад х3 + х = а. У Стародавній Греції квадратні рівняння розв’язували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант розробив методи розв’язку алгебраїчних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв’язав в раціональних числах рівняння х4 - у4 + z4 = n2, систему рівнянь і т. д. (див. Діофантові рівняння).

Деякі геометричні задачі: подвоєння куба, трисекція кута, побудова правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини) - зводяться до розв’язання кубічних рівнянь. Для їх розв’язку необхідноно було відшукати точки перетину конічних перетинів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв’язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв’язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI ст. формула для розв’язку кубічного рівняння. Оскільки в той час від’ємні числа ще не отримали поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: х3 + рх = q, х3 + q = рх і т. д. Італійський математик С. дель-Феро (1465-1526) розв’язав рівняння х3 + рх = q і повідомив розв’язок свому зятю і учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучку Н. Тарталью (1499 -1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв’язку кубічних рівнянь і переміг, швидко розв’язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдена Тартальєю формула для розв’язання рівняння х3 + рх + q = 0

була опублікована не ним, а італійським ученим Дж. Кардано (1501-1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж Л. Феррарі (1522-1565), учень Кардано, знайшов розв’язок рівняння 4-ї степені.

Створення алгебраїчної символіки і узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII-XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебраїчних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості багаточленів від однієї і кількох змінних.

Одною з найважливіших задач теорії алгебраїчних рівнянь в XVII-XVIII ст. було відшкання формули для розв’язку рівняння 5-ї степені. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебраїстів зусиллями французького вченого XVIII в. Ж.Лагранжа (1736-1813), італійського вченого П. Руфіні (1765-1822) і норвезького математика Н. Абеля наприкінці XVIII – на початку ХIХ ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-ї степені через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами Е.Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, виражаються його корені в радикалах. Ще до цього К.Ф.Гаус розв’язав проблему знаходження в квадратних радикалах коренів рівняння хn - 1 = 0, до якого зводиться задача про побудові за допомогою циркуля і лінійки правильного n-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев’ятикутник і т. д. - така побудова можлива тоді, коли n - просте число виду чи добуток різних простих чисел такого виду.

Поряд з пошуком формул для розв’язку конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебраїчного рівняння. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. Д'Аламбер довів, що будь-яке алгебраїчне рівняння ненульової степені з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, яку пізніше доповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степені n розкладається на n лінійних множників.

В наш час теорія систем алгебраїчних рівнянь перетворилася в самостійну область математики - алгебраїчну геометрію. Вона вивчаються лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.

Отримано від "http://uk.wikipedia.org../../../%D0%B0/%D0%BB/%D0%B3/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F.html"

Категорія: Алгебра

##### Views

- Стаття
- Обговорення
- Поточна версія

##### Пошук

##### Іншими мовами

- Deutsch
- English
- Italiano
- Polski
- Tiếng Việt