Опукла множина
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Опукла множина — підмножина евклідового простору яка містить відрізок, який з'єднує будь які дві точки цієї множини.
[ред.] Визначення
Іншими словами, множина X ⊂ Rn називається опуклою, якщо:
Тобто, якщо множина X разом з будь якими двома точками x1, x2 які належать цій множини, містить відрізок, який їх з'єднує:
.
В просторі R1 опуклими множинами будуть пряма, напівпряма, відрізок, інтервал, одноточкова множина.
В просторі Rn опуклим буде сам простір, будь який його лінійний підпростір, куля, відрізок, одноточкова множина. Також, опуклими будуть такі множини:
- пряма lX0h що проходить через точку x0 в напрямку вектора h:
;
- промінь lX0h+ який виходить із точки x0 в напрямку вектора h:
;
- гіперплощина Hpβ з нормаллю p:
;
- півпростори на які гіперплощина поділяє простір:
,
.
Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.
[ред.] Властивості опуклих множин
- Перетин опуклих множин є опуклим.
- лінійна комбінація точок опуклої множини опукла.
- опукла множина містить будь яку опуклу комбінацію своїх точок.
- будь яку точку n-вимірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна представити як опуклу комбінацію не більш ніж n+1 точок цієї множини.
[ред.] Дивіться також
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |
![\alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2 \in \mathbf X, \quad \forall x_1, x_2 \in X, \, \alpha \in [0, 1].](../../../math/c/0/e/c0e146a5466645f22e43bcff1a8b5292.png)

