Системи координат в елементарній математиці
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В цій статті даються роз'яснення до найбільш уживаних систем координат з елементарної матиматики. Докладнішу інформацію про системи координат можна знайти у статті Системи координат.
Координати точки -- це набір чисел, або точніше кортеж чисел, який визначає її місцезнаходження на площині або в просторі. Система координат -- це площина або простір, в якому визначений початок координат та осі, що є необхідними передумовами для обчислення координат точки.
Зміст |
[ред.] Декартові координати
В двововимірній системі Декартових координат, місцезнаходження точки P на xy-площині визначається парою чисел (x,y).
- x - відстань від точки P до осі y або значення абсциси (з урахуванням знаку)
- y - відстань від точки P до осі x або значення ординати (з урахуванням знаку)
В тривимірній системі Декартових координат, точка P в xyz-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів: (x,y,z).
- x - відстань від точки P до площини yz
- y - відстань від точки P до площини xz
- z - відстань від точки P до площини xy
[ред.] Полярні координати
Полярна система координат -- це така система координат, в якій місцезнаходження точки визначається парою чисел, одне з яких визначає відстань по прямій лінії від заданої точки до початку координат (так званого полюса), а інші -- кути, утворені цією лінією з осями системи координат.
Терміном полярні координати користуються для полярної системи координат на площині. Для орієнтації в просторі застосовують циліндричні та сферичні системи координат.
[ред.] Циліндричні координати
Циліндрична система координат -- це тривимірна полярна система координат.
В циліндричній системі координат, точка P репрезентується трикомпонентним кортежем (r,θ,h). В термінах Декартової системи координат,
(радіус) - відстань від осі z до точки P,
(азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою") частиною осі x та прямої лінії, уявно проведеної від полюса до точки P, зпроектованої на xy-площину- h (висота) - відстань (з врахуванням знаку) від xy-площини до точки P.
- Примітка: в літературі можна зустріти позначку z для h; це не принципово, але потрібно слідкувати, які позначки застосовуються.
Полярні координати мають один недолік: значення θ втрачає сенс, якщо r = 0.
Циліндричні координати корисні для вивчення систем, симетричних навколо якоїсь осі. Наприклад, нескінченно довгий циліндр в Декартових координатах має рівняння x2 + y2 = c2, тоді як в циліндричних воно виглядає як r = c
[ред.] Сферичні координати
Сферична система координат -- це тривимірна полярна система координат.
В сферичній системі координат, місцезнаходження точки P визначається трьома компонентами:(ρ,φ,θ). В термінах Декартової системи координат,
(радіус) -- це відстань від точки Р до полюса,
(широта або полярний кут) -- кут між z-віссю і прямою, проведеною з полюсу до точки P
(азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою" x-віссю та проекцією прямої, проведеною з полюсу до точки P на xy-площину.
- Примітка: в літературі можна зустріти позначку φ або θ , а також r для ρ;
Сферична система координат також має недолік: φ втрачає сенс якщо ρ = 0, також і θ втрачає сенс, якщо ρ = 0 або φ=0 or φ=180°.
Для побудови точки за її сферичними координатами, потрібно: від полюсу відкласти відрізок, рівний ρ уздовж позитивної z-осі, повернути його на кут φ навколо осі y у напрямі позитивної x-осі, та повернути на кут θ навколо z-осі в напряму позитивної y-осі.
Сферичні координати корисні при вивченні систем, симетричних навколо точки. Так, рівняння сфери в Декартових координатах виглядає як x2 + y2 + z2 = c2, тоді як в сферичних стає набагато простішим: ρ = c.
[ред.] Перехід від однієї системи координат до іншої
[ред.] Декартові та полярні
де u0 -- функція Хевісайда з u0(0) = 0 та sgn -- функція signum. Тут функції u0 та sgn використовуються як "логічні" перемикачі, аналогічні за значенням операторам "якщо..то" (if...else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2(y,x), яка знаходить вірне значення θ в необхідному квадранті, визначеному x та y.






























