Норма (функціонал)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Неперервний функціонал \|\cdot\|\;:\;\!X\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{+} визначений на лінійному просторі \!X для якого виконуються властивості:

  1. \|x\|>\,=\,0;\; \|x\|\,=\,0\;\;\iff\;\;x\,=\,0\;\;x\,\in\,\!X
  2. \|a*x\|\,=\,|a|*\|x\|\;\;x\,\in\,\!X\;a\,\in\,\mathbb{R}
  3. \|x+y\|\,\le\,\|x\|+\|y\|\;\;x,\,y\,\in\,\!X

Нехай \|\cdot\|_1,\,\|\cdot\|_2 - норми визначені на одному і тому ж просторі \!X, то якщо \exists\,C\in\mathbb{K}\;\forall x\in\!X\;:\;\|x\|_1\le\|x\|_2 норма 1 в такому випадку називається підпорядкованою нормі 2. Якщо також і норма 2 підпорядкована нормі 1 то такі норми називаються еквівалентними. Тут \mathbb{K} - числове поле, над яким побудований простір \!X.