Формула Стірлінґа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Формула Стірлінґа є наближенням для великих факторіалів та названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формально, вона твердить що


\lim_{n \to \infty}{n! \over {n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}} = 1
або
n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n \to \infty)


[ред.] Збіжність та похибки

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для Γ(z) та n!:


\Gamma(z) = e^{-z}z^{z-1/2}\sqrt{2\pi}\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over{288z^2}}-{139 \over {51840z^3}}-{571 \over {2488320z^4}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}


де (\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}<\pi) (ряд Стірлінґа)


Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень \begin{vmatrix}z\end{vmatrix}: для дійсних додатніх z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифму від n!:

\log n!=n\log n - n + {1\over 2}\log(2\pi n)    +{1\over12n}    -{1\over360n^3}    +{1\over1260n^5}    -{1\over 1680n^7}    +\cdots

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів аба гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

[ред.] Cпеціальні формули

n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n} < n! < n^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n + {1 \over {12n}}}


та


n! \approx n^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n + {1 \over {12n}} - {1 \over {360n^2}} + ...}


при n \to \infty

[ред.] Виведення

Формулу та оцінку похибок можна отримують розглядаючи натуральний логарифм

ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n);

та використовуючи формулу Ейлера-Маклорена для отримання формули у логарифмічній формі:

\ln n! \approx \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n - n +\ln\left(\sqrt{2\pi}\right)

Або можна її отримати із використанням методу найшвидшого спуску.

[ред.] Історія

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}

Стірлінґ встановив що константа дорівнює \sqrt{2\pi}.


[ред.] Джерела

Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"