Послідовність Фібоначчі
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Послідо́вність Фібона́ччі, чи́сла Фібона́ччі - числова послідовність {Fn}, задана рекурентним співвідношенням другого порядку F0=0; F1=1; Fk=Fk-1+Fk, k=2,3,... (для кожного натурального k > 1). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, і т.п. Ця послідовність виникає у самих різних математичних ситуаціях - комбінаторних, числових, геометричних.
Іноді числа Фібоначчі розглядають і для від'ємних індексів:
Ці числа також часто зустрічаються в різних спіральних формах: черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополі і груші, 5/13 - у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількості спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.
Зміст |
[ред.] Формула Біне
Формула Біне виражає в явному вигляді значення Fn як функцію від n:
,
де
— золотий перетин. При цьому
і
є коренями квадратного рівняння
.
З формули Біне випливає, що для всіх
, Fn є найближчим до
цілим числом, тобто
. Зокрема, справедлива асимптотика
.
[ред.] Властивості чисел Фібоначчі
- кожне третє число Фібоначчі парне
- кожне четверте ділиться на три
- кожне п'ятнадцяте закінчується нулем
- два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості
- Fn ділиться на Fm тоді і тільки тоді, коли n ділиться на m.
- Генератрисою послідовності чисел Фібоначчі є:
- Послідовність чисел Фібоначчі є частковим випадком генерованої послідовності, її характеристичний многочлен рівний x2 − x − 1 й має корені φ і − 1 / φ.
- Найбільший спільний дільник двох чисел Фібоначчі дорівнює числу Фібоначчі з індексом рівним найбільшому спільному дільнику індексів, тобто:
. Наслідки:
- Fm ділиться Fn тоді й тільки тоді, коли m ділиться на n (за виключенням n = 2).
- Fm може бути простим тільки для простих m (за єдиним виключенням m = 4). Зворотнє невірно, наприклад
. На даний момент невідомо, чи існує безкінечно багато простих чисел Фібоначчі.
- Числа Фібоначчі можна представити значеннями континуант на наборі одиниць:
, тобто
-
, а також
,
- де матриці мають розмір
, i — уявна одиниця.
- Для будь-якого n,
-
- Ця формула надає швидкий алгоритм обчислення чисел Фібоначчі.
- Обчислення визначників дає:
- Відношення
є підходящими дробами золотого перетину φ і, зокрема,
. - Суми біноміальних коефіцієнтів на діагоналях трикутника Паскаля є числами Фібоначчі з огляду на формулу
.
- У 1964 J. H. E. Cohn довів, що єдиними точними квадратами серед чисел Фібоначчі є 0, 1 і 122=144.
- Множина чисел Фібоначчі співпадає з множеною розв'язків в натуральних числах відносно x
-
- z = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y
- в натуральних числах, см. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, стор. 153
[ред.] Історія відкриття
У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв’язував таку задачу:
Фермер годує кроликів. Кожен кролик народжує одного кролика коли йому стає 2 місяці, а потім дає потомство в 1 кролик кожен місяць. Скільки кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього був лише один (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)?
Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається один кролик, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде два кролика, оскільки перший через два місяці народить другого кролика. На четвертий місяць перший кролик дасть ще одного, а другий кролик потомства не дасть, оскільки йому ще один рік. Отже на четвертий місяць буде три кролики.
Можна помітити, що кількість кроликів після n – го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n – 1 місяці плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n – 2 місяця).
Якщо через Fn позначити кількість кроликів після n - го місяця, то має місце наступне рекурентне співвідношення:
Fn = Fn-1 + Fn-2, F1 = F2 = 1
Покладемо F0 = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... ,
[ред.] Теорія чисел Фібоначчі як математична основа теорії хвиль
| Цю секцію необхідно дописати чи вдосконалити. Ви можете допомогти проекту, зробивши це! |





