Архімед

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Архімед (близько 287 до Р.Х.212 до Р.Х., Сіракузи) — грецький математик і фізик; один з найвидатніших вчених античності; обчислив площу сегмента параболи, поверхню та об'єм кулі, кульового сегмента й циліндра. Обчислив наближене значення числа π, сформулював основні положення гідростатики, створив низку машин і споруд (відтак є вагомі підстави вважати його інженером). В рік падіння Сіракуз Архімед загинув від руки римського солдата.

Історики давнини Полібій, Лівий, Плутарх мало розповідали про його математичні заслуги, від них до наших часів дійшли дані про чудові винаходи вченого, зроблені під час служби в царя Гієрона II. Відома історія про золотий вінець царя, чистоту складу якого Архімед перевірив за допомогою знайденого ним закону виштовхуючої сили. Коли Архімед додумався як саме це зробити, він вигукнув «Евріка!», тобто «Знайшов!». Інша легенда розповідає, що Архімед спорудив систему блоків, за допомогою якої одна людина могла опустити на воду величезний корабель «Сіракосія». Крилатою стала вимовлена Архімедом фраза: «Дайте мені точку опори, і я поверну Землю».

Зміст

[ред.] Архімед як інженер

Інженерний геній Архімеда з силою проявився при облозі Сіракуз, багатого торгового міста на острові Сицилія. Воїнів римського консула Марцелла було надовго затримано біля стін міста небаченими машинами: потужні катапульти прицільно стріляли кам'яними брилами, в бійницях були встановлені метальні машини, що метали силу силенну ядер, берегові крани поверталися за межі стін і закидали кораблі противника кам'яними і свинцевими брилами, крюки підхоплювали кораблі і кидали їх вниз з великої висоти, системи увігнутих дзеркал (у деяких розповідях щитів) підпалювали кораблі. У «Історії Марцелла» Плутарх описує жах, який панував у лавах римських воїнів: «Щойно вони помічали, що через фортечної стіни показується мотузка чи колода, вони починали тікати з криком; що ось Архімед ще вигадав нову машину на їхню погибель».

[ред.] Математичні здобутки Архімеда

Архімед зробив величезний внесок в розвиток математики. Спіраль Архімеда, яку описує точка, яка рухається по колу, що обертається, стояла окремо серед численних кривих, відомих його сучасникам. Архімед навчився знаходити дотичну до своєї спіралі (а його попередники вміли проводити дотичні до конічних перетинів), знайшов площу її витка, а також площу еліпса, поверхні конуса і кулі, об’єми кулі і сферичного сегменту. Особливо він пишався відкритим ним співвідношенням об’єм кулі і описаного навколо нього циліндра, що дорівнює 2:3. Архімед багато займався і проблемою квадратури кола.

[ред.] Визначення числа π

Вчений обчислив відношення довжини кола до його діаметру (число π). Він розглядав правельні багатокутники вписані і описані навколо кола.

порівнюючи периметри багатокутників можна визначити верхню і нижню границі для ободу кола. Ця метода дозволяла визначити з довільною точністю число π, як відношення довжини кола до діаметра. Архімед зробив оцінку для числа π вибравши багатокутник з певною кількістю сторін. Для нього ця величина лежить в межах:

3 \frac{10}{71}< \pi < 3 \frac{1}{7}.

Значення 3\frac{1}{7} є цікавим з точки зору ланцюгових дробів — число \frac{22}{7} отримують розкладаючи число π в ланцюговий дріб.

[ред.] Диференціальне числення

Спосіб мислення Архімеда при визначенні довжини кола і площі фігури був був близький до методів диференціального і інтегрального числень, що з'явилися лише через 2000 років. При доведені більшості теорем математичного аналізу використовується границя числової послідовності. При визначені числа π Архімед шукав границю відношення периметру багатокутника до його діагоналі. Іншим прикладом подібного способу мислення, є сума нескінченної геометричної прогресії із знаменником 1/4.

{1 \over 4}+{1 \over 4^2}+{1 \over 4^3}+ \ldots= {1 \over 1- {1 \over 4}}={4 \over 3}

Правда границю числової послідовності він шукав геометричним способом (уся грецька математика грунтувалась на геометничних побудовах). Це був перший в математиці приклад нескінченного ряду.

[ред.] Знайдення площі сегмента параболи

Велич Архімеда у тому, що користуючись типовими для свого часу математичними методами розв'язував нетипові задачі. Греки при при розв'язуванні математичних задач мислили трикутниками, колами, прямими і дугами. Архімед також мислив геометрично. І у межах цього підходу, фактично проінтегрував параболу:

Image:Archimedes_parabola_integration.png

Він довів, що відношення площ, для частин прямокутника, діагоналлю якого є квадратна парабола, становить один до двох.

{S_a \over S_b}={1 \over 2}

Користуючись сучачними позначеннями, це означає:

\int_0^a x^2 dx={1 \over 3}a^3

Площа прямокутника у цьому випадку становить a \cdot a^2=a^3. Площі відповідних частин прямокутника

S_a={1 \over 3}a^3, і S_b=a^3-S_a={2 \over 3}a^3

і відповідно

{S_a \over S_b}={{1 \over 3}a^3 \over {2 \over 3}a^3}={1 \over 2}

[ред.] «Псамміт»

Велику роль в розвитку математики зіграв його твір «Псамміт» — «Про числі піщинок», в якому він показав, як за допомогою існуючої системи числення можна виражати як завгодно великі числа. Як привід для своїх міркувань він використовує задачу про підрахунок кількості піщинок в видимому Всесвіті. Тим самим було спростовано існувавши тоді думку про наявність таємничих «найбільших чисел».

[ред.] Дивись також