Таблиця похідних

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті міститься список похідних багатьох функцій.

У цих формулах х - змінна, f - функція цієї змінної. u і v — довільні функції, що диференціюються, а с — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Зміст

[ред.] Загальні правила знаходження похідних


[ред.] Константа

\left({cf}\right)' = cf', де \left(c\right) = const

[ред.] Сума і різниця похідних

\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'

[ред.] Похідна від добутку і частки

\left({uv}\right)' = {u'v+uv'}
\left({u \over v}\right)' = {{u'v-uv'} \over {v^2}}, \qquad v \ne 0

[ред.] Похідна від складної функції

\left({u(v(x))}\right)' = {u'(v) * v'(x)}

[ред.] Похідні від різних функцій


[ред.] Похідні від простих функцій

\left (c\right )' = 0
\left (x\right )' = 1
\left (cx\right)' = c
|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
\left(x^c\right)' = cx^{c-1}, де \left(x^c\right) і \left(x^{c-1}\right) - визначені
\left({1 \over x^c}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
\left({1 \over x}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -{1 \over x^2}
\left(\sqrt{x}\right)' = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

[ред.] Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

\left (c^x\right)' = {c^x \ln c},\qquad c > 0
\left (e^x\right)' = e^x
\left (\log_a x\right)' = {1 \over x \ln a},\qquad a > 0, a \ne 1
\left (\ln x\right)' = {1 \over x}

[ред.] Похідні від тригонометричних функцій

\left (\sin x\right)' = \cos x
\left (\cos x\right)' = -\sin x
\left (\tan x\right)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}
\left (\sec x\right)' = \tan x \sec x
\left (\cot x\right)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}
\left (\csc x\right)' = -\cot x \csc x
\left (\arcsin x\right)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
\left (\arccos x\right)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
\left (\arctan x\right)' = { 1 \over 1 + x^2}
\left (\arcsec x\right)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\left (\arccot x\right)' = {-1 \over 1 + x^2}
\left (\arccsc x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

[ред.] Похідні від гіперболічних функцій

\left (\sinh x\right)' = \cosh x
\left (\cosh x\right)' = \sinh x
\left (\tanh x\right)' = \mbox{sech}^2 x
\left (\mbox{sech} x\right)' = - \tanh x \mbox{sech} x
\left (\mbox{coth} x\right)' = - \mbox{csch}^2 x
\left (\mbox{csch} x\right)' = - \mbox{coth} x \mbox{csch} x
\left (\mbox{arcsinh} x\right)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
\left (\mbox{arccosh} x\right)' = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
\left (\mbox{arctanh} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
\left (\mbox{arcsech} x\right)' = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
\left (\mbox{arccoth} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
\left (\mbox{arccsch} x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}