Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Визначник або детермінант — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. З точністю до знака, визначник виражає коефіціент, на який множаться об'єми при множенні на матрицю.

Для матриці n\times n визначник виражається у вигляді многочлену степені n від елементів матриці, що уявляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, при чому в кожному з добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи минус, в залежності віж парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник - теж число. В загальному вигляді визначник може бути функціональним, векторним, и т.п., тобто уявляти собою інші вирази, складені з елементів.

Зміст

[ред.] Визначення

Визначник матриці n\times n задається формулою:

det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^{n!} (-1)^{p(i)} \cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}} \ldots a_{nk_{in}}

де

  • | A | и det(A) — так позначається визначник,
  • kij i-а перестановка послідовності k1 = 1,..,n, тобто k1j = j
  • p(i) кілбкість перестановок пар номерів в послідовності k1j, необхідне для того, щоб вона перетворилась у послідовність kij.

Отже, можна виділити наступні особливості побудови виразів для визначника матриці n \times n:

  • вираз є сума добутків, кожний з яких складається з n множників
  • кількість доданків у сумі дорівнює кількості перестановок n номерів, тобто n!
  • номери рядка і стовпця елементів, що входять у один добуток, не повторюються
  • доданки входять в суму або з плюсом, або з мінусом, в залежності від парності перестановки
  • доданок з елементів головної діагоналі матриці, тобто a_{11}a_{22} \ldots a_{nn} входить з плюсом

Нижче подані правила складання визначників для матриць 2 \times 2 і 3 \times 3, що є найбільш наочними.

[ред.] Визначник матриці 2 \times 2

Для обчислення визначника матриці розміром 2 \times 2, перемножуються її елементи головної діагоналі та від цього віднімається добуток елементів побічної діагоналі:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

На малюнку елементи, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім.

[ред.] Визначник матриці 3 \times 3

Для обчислення визначника матриці розміром 3 \times 3, будується шість добутків наступним чином:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

На малюнку елементи, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім, кожній замкненій фігурі з трьох точок відповідає один доданок з 3 множників.

[ред.] Властивості визначників

  1. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, вірні і для стовпців.
  2. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які 2 рядки, знак визначника зміниться на протилежний.
  3. У матриці з двома однаковими рядками визначник рівний нулю.
  4. Якщо будь-який рядок нульовий, визначник рівний нулю.
  5. При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації будь-яких інших рядків визначник не зміниться.
  6. Визначник трикутної матриці рівний добутку елементів головної діагоналі.
  7. det(AB) = det(A)det(B)
  8. det(AT) = det(A)

[ред.] Спеціальні види визначників

  • Визначник Якобі (Якобіан)
  • Визначник Вронського (Вронськіан)
  • Визначник Вандермонда
  • Визначник Грама


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.