Гомоморфізм груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Видається за доцільне, щоб цю статтю було об'єднано з Гомоморфізм,
але, можливо, варто це додатково обговорити

Гомоморфі́зм груп - відображення φ групи \mathfrak{G} в групу \mathfrak{G}^\prime, що зберігає групову операцію, себто:

\phi : \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{G}^\prime:

\forall \mathit{g,h} \in \mathfrak{G} \quad \phi(g) \cdot \phi(h) = \phi(g \cdot h)

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно однозначним відображеням. Приклад гомоморфізму: співставлення невиродженої матриці та її детермінанту, що є відображенням групи \mathit{GL(n,\mathbb{R})} лінійних перетворень простору \mathbb{R}^n на мультиплікативну групу дійсних чисел \mathbb{R}_0 = \mathbb{R}/ \{0\}.

Ядро гомоморфізму - підмножина всіх елементів \mathfrak{G}, що відображаються в одиницю групи \mathfrak{G}^\prime:

ker \ \phi = \{ g \in \mathfrak{G} \ | \ \phi (\mathit{g}) = e^\prime \}

Образ гомоморфізму - підмножина всіх елементів \mathfrak{G}^\prime, що є образами елементів \mathfrak{G}:

Im \ \phi = \phi ( \mathfrak{G} ).

[ред.] Дивіться також

Ізоморфізм груп