Визначник
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Визначник або детермінант — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. З точністю до знака, визначник виражає коефіціент, на який множаться об'єми при множенні на матрицю.
Для матриці
визначник виражається у вигляді многочлену степені n від елементів матриці, що уявляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, при чому в кожному з добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи минус, в залежності віж парності перестановки номерів.
Якщо елементами матриці є числа, то визначник - теж число. В загальному вигляді визначник може бути функціональним, векторним, и т.п., тобто уявляти собою інші вирази, складені з елементів.
Зміст |
[ред.] Визначення
Визначник матриці
задається формулою:
де
- | A | и det(A) — так позначається визначник,
- kij i-а перестановка послідовності k1 = 1,..,n, тобто k1j = j
- p(i) кілбкість перестановок пар номерів в послідовності k1j, необхідне для того, щоб вона перетворилась у послідовність kij.
Отже, можна виділити наступні особливості побудови виразів для визначника матриці n
n:
- вираз є сума добутків, кожний з яких складається з n множників
- кількість доданків у сумі дорівнює кількості перестановок n номерів, тобто n!
- номери рядка і стовпця елементів, що входять у один добуток, не повторюються
- доданки входять в суму або з плюсом, або з мінусом, в залежності від парності перестановки
- доданок з елементів головної діагоналі матриці, тобто
входить з плюсом
Нижче подані правила складання визначників для матриць 2
2 і 3
3, що є найбільш наочними.
[ред.] Визначник матриці 2
2
Для обчислення визначника матриці розміром 2
2, перемножуються її елементи головної діагоналі та від цього віднімається добуток елементів побічної діагоналі:

На малюнку елементи, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім.
[ред.] Визначник матриці 3
3
Для обчислення визначника матриці розміром 3
3, будується шість добутків наступним чином:

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
На малюнку елементи, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім, кожній замкненій фігурі з трьох точок відповідає один доданок з 3 множників.
[ред.] Властивості визначників
- Всі властивості визначників, що стосуються рядків, вірні і для стовпців.
- Якщо у матриці поміняти місцями будь-які 2 рядки, знак визначника зміниться на протилежний.
- У матриці з двома однаковими рядками визначник рівний нулю.
- Якщо будь-який рядок нульовий, визначник рівний нулю.
- При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації будь-яких інших рядків визначник не зміниться.
- Визначник трикутної матриці рівний добутку елементів головної діагоналі.
- det(AB) = det(A)det(B)
- det(AT) = det(A)
[ред.] Спеціальні види визначників
- Визначник Якобі (Якобіан)
- Визначник Вронського (Вронськіан)
- Визначник Вандермонда
- Визначник Грама
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |


