Розмірність Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору. Розмірність Лебега простору X, зазвичай позначається \dim X.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Для метричних просторів

Для компактного метричного простору X розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n, що володіє такою властивістю, що при будь-якому \varepsilon>0 існує кінцеве відкрите \varepsilon-покриття X, що має кратність ≤ n + 1;

При цьому

  • \varepsilon-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр <\varepsilon, а
  • кратністю кінцевого покриття простору X називається таке найбільше ціле число k, що існує точка простору X, що втримується в k елементах даного покриття.

[ред.] Для топологічних просторів

Для довільного нормального (зокрема, для метризуємого) простору X розмірністю Лебега називається найменше ціле число n таке, що до всякого кінцевого відкритого покриття простору X існує вписане в нього (кінцеве відкрите) покриття a кратності n+1.

При цьому покриття \mathcal P називається вписаним у покриття \mathcal Q, якщо кожний елемент покриття \mathcal P є підмножиною хоча б одного елемента покриття \mathcal Q.

[ред.] Приклади

  • Нульмірні простори: одноточковий простір, дискретний простір, Канторова множина.
  • Одномірні простори: коло, серветка Серпінського, килимок Серпінського, губка Менгера
    • Див. також крива Урисона

[ред.] Історія

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність n-мірного куба дорівнює n. Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту \dim X (для класу метричних компактів) дал П.С.Урисон.

[ред.] Дивіться також

Іншими мовами