Група (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Групою називається множина G, на якій визначена бінарна операція G \times G \to G, що звичайно називається добутком і позначається (a,b) \to a \cdot b або (a,b) \to ab і має такі властивості

  1. \forall a, b, c  \in G : a(bc) = (ab)c (Асоціативність)
  2. \exists \, e \in G \quad \forall a \in G : ea=a (Існування одиниці)
  3. \forall a \in G \; \exists \; a^{-1}\in G\;:\;a^{-1}a=e (Існування протилежного елемента)

Група називається комутативною або абелевою, якщо додатково виконується рівність ab = ba (закон комутативності)

[ред.] Адитивні групи

Груповою операцією може бути також додавання, наприклад звичайне додавання чисел або векторів. В такому випадку змінюється позначення a \cdot b на a + b. Замість одиничного елемента e фігурує нульовий елемент 0 із властивістю

0 + a = a, \, \forall a \in G.

Замість оберненого елемента a − 1 фігурує елемент a з властивістю

a + a = 0.

.