Ірраціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не може бути виражене відношенням натуральних чисел. Вперше існування ірраціональних чисел відкрили давні греки.

[ред.] 1

Піфагорове твердження, що всі речі — суть числа, відображали метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію в свою чергу можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число — дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1 не є раціональним числом, тобто \sqrt{2}\approx 1,4142135 (перше знайдене ірраціональне число), призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — древньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

[ред.] 2

Іраціональні числа — це числа, які є дійсними коренями многочлена з раціональними коефіцієнта.

[ред.] 3

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину дробу.
Приклад:

  1. {1\over 3}=0,(3), де (3) означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.
  2. {22\over 7}=3,(142857), довжина періоду — шість.
  3. {1\over 2}=0,5(0).

Періодичність дробу може служити критерієм приналежності числа до раціональних чисел.

Іраціональні числа, при розкладі у десятковий дріб не мають такої періодичності залежності. Однак така періодичність з'являється при розкладі іраціонального числа в ланцюговий дріб.
Приклад:

  1. \sqrt{2}=[1;2,2,2,2\ldots]=[1;(2)], довжина періоду — один.
  2. \sqrt{3}=[1;1,2,1,2\ldots]=[1;(12)], довжина періоду — два.