Похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Геометричний зміст похідної. На графіку функції вибирається абсциса x0 та обчислюється відповідна  ордината f(x0). В околі точки x0 вибирається довільна точка x. Через відповідні точки на графіку функції F проводиться січна (перша світло-сіра лінія C). Відстань Δx = x - x0 прямує до нуля, в результаті січна переходить у дотичну (лінії, що поступово темніють C). Тангенс кута α нахилу цієї дотичної  - це і є похідна у точці x0.
Збільшити
Геометричний зміст похідної. На графіку функції вибирається абсциса x0 та обчислюється відповідна ордината f(x0). В околі точки x0 вибирається довільна точка x. Через відповідні точки на графіку функції F проводиться січна (перша світло-сіра лінія C). Відстань Δx = x - x0 прямує до нуля, в результаті січна переходить у дотичну (лінії, що поступово темніють C). Тангенс кута α нахилу цієї дотичної - це і є похідна у точці x0.

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має кінцеву похідну, називають диференційованою.

Зміст

[ред.] Визначення

Нехай в деякому околі точки x0 визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається як x−x0, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x0). Тоді, якщо існує границя \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}, то її звуть похідною функції f в точці x0.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Похідна позначається як f'(x), і вимовляється «еф-риска від ікс».

Функція, що має кінцеву похідну в точці x, зветься диференційованою в точці x.

[ред.] Приклад знаходження похідної за визначенням

Нехай є функція y=c, де c — деяка константа. Тоді при будь-якому x0 та при будь-якому Δx зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

[ред.] Похідні вищих порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

  • похідна нульового порядку — сама функція
  • похідна n-го порядку для натурального n, що більше 0, — похідна похідної (n−1)-го порядку

Іноді замість «похідна n-го порядку» говорять «n-а похідна».

Похідна n-го порядку функції f зазвичай позначається як f(n)(x)

  • якщо n мале (1, 2, 3) — то використовується відповідна кількість рисок, f′(x), f′′(x), f′′′(x), вимовляється як «еф-риска від ікс»; про другу — «еф-дві-риски від ікс» и. т. д.
  • Зрідка можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: f′(x), друга: fII(x), шістнадцята: fXVI(x)).

[ред.] Дивись також

[ред.] Корисні лінки