Тригонометричні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тригонометричні функції це функції кута, особливо корисні при дослідженні та моделюванні періодичних подій. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін трикутника що містить кут, або як відношення координат точок на окружності кола, або, більш загально, як нескінченні ряди, або як рішення дифференційного рівняння.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

  • sine (sin)
  • cosine (cos)
  • tangent (tan = sin / cos)
  • secant (sec = 1 / cos)
  • cosecant (csc = 1 / sin)
  • cotangent (cot = cos / sin)

Зміст

[ред.] Означення

Функції sinx та cosx визначаються як рішення диференційного рівняння

{ d^2 y \over d{x^2}} + y = 0

sinx та cosx це періодичні функції із періодом , \operatorname{tg} x та \operatorname{ctg} x мають період π

Співвідношення наведені нижче дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для арґументу із проміжку [0,{\pi \over 2}]

\sin x = \cos ({\pi \over 2} -x)
\cos x = \sin ({\pi \over 2} -x)
\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} ({\pi \over 2} -x)
\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} ({\pi \over 2} -x)


[ред.] Основні співвідношення

Із

\left ( \sin^2 x + \cos^2 x \right ) = 1 та
{\sin x \over \cos x } = \operatorname{tg} x = {1 \over \operatorname{ctg} x}

отримуємо наступні формули:

\sin x = \sqrt {1 - \cos^2 x} = {\operatorname{tg} x \over \sqrt {1 + \operatorname{tg}^2 x }} = {1 \over \sqrt {1 + \operatorname{ctg}^2 x }},
\cos x = \sqrt {1 - \sin^2 x} = {\operatorname{ctg} x \over \sqrt {1 + \operatorname{ctg}^2 x }} = {1 \over \sqrt {1 + \operatorname{tg}^2 x }},
\operatorname{tg} x = {\sin x \over \sqrt {1 - \sin^2 x} } = {\sqrt{1 - \cos^2 x} \over \cos x},
\operatorname{ctg} x = {\sqrt {1 - \sin^2 x} \over \sin x } = {\cos x \over \sqrt{1 - \cos^2 x} }


[ред.] Теореми додавання та формули для кратних кутів

[ред.] Формули для функцій суми кутів

Із основного співвідношення

\sin {\left ( A + B \right ) }= \sin A \cos B + \cos A \sin B

отримуємо

\sin {\left ( A \pm B \right ) } =  \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
\cos {\left ( A \pm B \right ) } =  \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
\operatorname{tg} {\left ( A \pm B \right ) } = { {\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B} \over {1 \mp \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} }
\operatorname{ctg} {\left ( A \pm B \right ) } = { {\operatorname{ctg} A \operatorname{ctg} B \mp 1} \over  {\operatorname{ctg} B \pm \operatorname{ctg} A} }


[ред.] Формули для функцій подвійних кутів

\sin {\left ( 2 A \right )} = 2 \sin A \cos A
\cos {\left ( 2 A \right )} = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A
\operatorname{tg} {2 A} = {{2 \operatorname{tg} A} \over {1 - \operatorname{tg}^2 A} }
\operatorname{ctg} {2 A} = {{\operatorname{ctg}^2 A - 1} \over {2 \operatorname{ctg} A} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} A - \operatorname{tg} A \right ) }


[ред.] Формули для функцій половинних кутів

\sin {A \over 2} = \sqrt { {1 - \cos A} \over 2}
\cos {A \over 2} = \sqrt { {1 + \cos A} \over 2}
\operatorname{tg} {A \over 2} = {\sin A \over {1 + \cos A}} = {{1 - \cos A} \over \sin A}
\operatorname{ctg} {A \over 2} = {\sin A \over {1 - \cos A}} = {{1 + \cos A} \over \sin A}


[ред.] Формули для суми функцій кута

a \sin A + b \cos A = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos {{\pi \over 2} - A -B }
\begin{matrix} {r = \sqrt {a^2 + b^2}} & & {tg B = {b \over a} }\end{matrix}
\sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}
\cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}
\cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}
\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}
\operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}


[ред.] Загальні формули для функцій кратних кутів

Якщо n є цілим додатнім числом, то

\sin {n A} = \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} \cos^{n -1} A \sin A - \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + \begin{pmatrix} n \\ 5 \end{pmatrix} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots
\cos {n A} = \cos^n A - \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots


[ред.] Загальні формули для степенів функцій

Якщо n є цілим непарним числом, то

\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n - 1} \over 2} } \over {2^{n - 1} } }\left [              \sin {n x}              -              \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}              \sin {                    \left ( n - 2 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}              \sin {                    \left ( n - 4 \right )  x                  }             -             \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix}              \sin {                    \left ( n - 6 \right )  x                  }             +             \cdots             +             {\left ( -1 \right )}^{{n - 1} \over 2}              \begin{pmatrix} n \\ {{n - 1} \over 2} \end{pmatrix}              \sin x \right ]
\cos^n x =     { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1}              \left [              \cos {n x}              +              \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 2 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 4 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 6 \right )  x                  }             +             \cdots             +             \begin{pmatrix} n \\ {{n - 1} \over 2} \end{pmatrix}              \cos x \right ]

Якщо n є цілим парним числом, то

\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } }\left [              \cos {n x}              -              \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 2 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 4 \right )  x                  }             -             \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 6 \right )  x                  }             +             \cdots             +             {\left ( -1 \right )}^{{n - 2} \over 2}              \begin{pmatrix} n \\ {{n - 2} \over 2} \end{pmatrix}              \cos {2 x}  \right ]             +             { \begin{pmatrix} n \\ {n \over 2} \end{pmatrix} }^{{1 \over 2^n}}
\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1}             \left [              \cos {n x}              +              \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 2 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 4 \right )  x                  }             +             \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix}              \cos {                    \left ( n - 6 \right )  x                  }             +             \cdots             +             \begin{pmatrix} n \\ {{n - 2} \over 2} \end{pmatrix}              \cos {2 x}              \right ]             +             { \begin{pmatrix} n \\ {n \over 2} \end{pmatrix} }^{{1 \over 2^n}}

[ред.] Джерела

Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"