Умовна ймовірність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Умо́вна ймові́рністьймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - фиксирований простір ймовірності. Нехай A,B\in \mathcal{F} дві випадкової події, причому, причому \mathbb{P}(B)>0. Тоді умовною ймовірністю події A при умові події B називається

:\mathbb{P}(A \vert B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

[ред.] Зауваження

  • Прямо з визначення очевидно випливає, що
\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \vert B) \mathbb{P}(B).
  • Если \mathbb{P}(B) = 0, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю.
  • Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція \mathbb{Q}:\mathcal{F}\to \mathbb{R}, задана формулою
\mathbb{Q}(A) = \mathbb{P}(A \vert B ),\; \forall A \in \mathcal{F},

задовольняє всім аксіомам міри ймовірности.

[ред.] Пример

Якщо A,B - несумісні події, тобто A \cap B = \varnothing и \mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0, то

\mathbb{P}(A \vert B) = 0

та

\mathbb{P}(B \vert A) = 0.


[ред.] Див. також

  • Незалежність подій;
  • Умовне математичне сподівання;
  • Формула повної ймовірності;
  • Теорема Баєса.