Фундаментальна послідовність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Фундаментальна послідовність (послідовність Коши) - в математичному аналізі послідовність, члени якої наближаються як завгодно близько один до одного зі збільшенням порядкових номерів. Друга назва - на честь французького математика Оґюстена Луї Коши. За певних умов усі такі послідовності є збіжними, і послідовність можна перевірити на збіжність за Коши, не знаючи фактичного значення границі.

Формально фундаментальна послідовність - це послідовність

x_1, x_2, x_3, \ldots

у метричному просторі (M, d) така, що для кожного додатного дійсного числа r > 0 існує ціле число N таке, що для всіх цілих m,n > N відстань

d(xm,xn)

менша за r (критерій Коши). Кажучи грубо, члени послідовності стають дедалі ближче один до одного, що наштовхує на думку про існування границі в M. Але насправді границі може й не бути.

Метричний простір X, в якому кожна фундаментальна послідовність має межу (в X), називають повним. Простір дійсних чисел є повним, і стандартна процедура побудови цілих чисел залучає фундаментальні послідовності раціональних чисел. Сам простір раціональних чисел не є повним: наприклад, наступна послідовність раціональних чисел має за границю корінь квадратний з двох (кожен чисельник є квадратом попереднього чисельника плюс подвоєний квадрат попереднього знаменника, тоді як кожен знаменник є подвоєним добутком попереднього чисельника та знаменника).

\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{17}{12}, \frac{577}{408}, \frac{665857}{470832}, \ldots

Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, і кожна фундаментальна послідовність є обмеженою. Якщо f \colon M \rightarrow N є рівномірно неперервним відображенням одного метричного простору M в другий N, і (xn) є фундаментальною послідовністю в M, тоді (f(xn)) є фундаментальною послідовністю в N. Якщо (xn) і (yn) - дві фундаментальні послідовності в просторі раціональних, дійсних чи комплексних чисел, тоді сума (xn + yn) і добуток (xnyn) також є фундаментальними послідовностями.


Також існує поняття фундаментальної послідовності в топологічному векторному просторі X: Візьмемо локальну базу B для X навколо 0; тоді (xk) є фундаментальною послідовністю, якщо для всіх членів V з B існує деякий номер N такий, що для всіх n,m > N, xn - xn є елементом V. Якщо топологія X є сумісною з трансляційно-інваріантною метрикою d, ці два означення узгоджуються.