Унітарний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Лінійний простір \mathfrak{L} над полем \mathbb{K} називається унітарним, якщо кожній парі векторів \left ( \mathbf{a,b} \right ) з \mathfrak{L}, взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з \mathbb{K}, що називається скалярним добутком \left  \langle \mathbf{a|b} \right \rangle вектора \mathbf{a} на вектор \mathbf{b} та має такі властивості:

1. \left \langle \mathbf{a|b} \right \rangle = \overline{ \left \langle \mathbf{b|a} \right \rangle}

2. \left \langle \alpha\mathbf{a,b} \right \rangle =\overline{\alpha}\left \langle \mathbf{a,b}\right \rangle

3. \left \langle \mathbf{a+b,c} \right \rangle =\left ( \mathbf{a,c}\right \rangle +\left \langle \mathbf{b,c}\right \rangle

4. \left \langle \mathbf{a,a} \right \rangle \ge 0 , \left \langle \mathbf{a,a} \right \rangle = 0 тоді й лише тоді, коли \mathbf{a}=\mathbf{o}

Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): \left \langle \ \right \rangle.

Приклад унітарного простору:

Простір n-вимірних стовпчиків \mathbf{a} = \begin{Vmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \\ ... \\ \zeta_n \end{Vmatrix}, \mathbf{b} = \begin{Vmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ... \\ \eta_n \end{Vmatrix} де ζii - комплексні числа, i = 1,...,n. Скалярний добуток \left \langle \mathbf{a|b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\zeta_i}\eta_i.