Лінійний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Множина E називається лінійним (або векторним) простором над полем \mathbb{K}, якщо в ньому визначені бінарна операція E \times E \to E, що типово позначається як додавання: (x,y)\to x+y і називається додавання векторів, і зовнішня бінарна операція K \times E \to E, що типово позначається як множення: (\alpha,x) \to \alpha x і називається множення на скаляр, що мають наступні властивості:

  1. \forall x, y \in E : x+y = y+x (Комутативність)
  2. \forall x, y, z  \in E : x+(y+z) = (x+y)+x (Асоціативність)
  3. \exists ! \, 0 \in E \quad \forall x \in E : x+0=x (Існування нуля)
  4. \forall x \in E \; \exists ! (-x)\in E\;:\;x+(-x) = 0 (Існування протилежного елемента)
  5. \forall \alpha , \beta \in \mathbb{K} \; \forall x \in E \; : \; \alpha ( \beta x ) = ( \alpha \beta ) x (Асоціативність)
  6. 1 \cdot x = x
  7. \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K} \; \forall x \in E \; : \; ( \alpha + \beta )x = \alpha  x + \beta  x (Дистрибутивність)
  8. \forall \alpha \in \mathbb{K} \; \forall x,y \in E \; : \; \alpha ( x + y ) = \alpha  x + \alpha y (Дистрибутивність)

Умови 1-4 означають, що E — комутативна (абелева) група відносно операції додавання векторів.

Властивості

  1. 0x = α0 = 0
  2. ( − 1)x = − x
  3. Якщо αx = 0 то α = 0 або x = 0