Декартів добуток множин
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В теорії множин, декартів добуток (прямий декартів добуток) двох множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.
Декартів добуток двох множин X та Y позначається як X × Y:
- X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }
Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина {{x}, {x, y}}, яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).
Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y - з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то Декартів добуток таких множин є 52-елементною (кількість усіх можливих комбінацій елементів множин) множиною { (A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений) }.
Інший приклад декартового добутку множин - це 2-вимірна площина R × R, де R - множина дійсних чисел - усіх можливих точок з координатами (x,y) де x та y- дійсні числа (див. Декартова система координат). Декартовим добутком двох множин задається бінарне відношення між їхніми елементами.
Бінарний декартів добуток може бути узагальненим до n-арного декартового добутку n множин X1, ..., Xn:
- X1 × ... × Xn = { (x1,... ,xn) | x1 ∈ X1 ... xn ∈ Xn }
Результатом є множина впорядкованих n-ок (кортежів) (векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-м компонентом
n-декартів добуток однієї множини виду X × ... × X позначається також як Xn і називається декартовим (прямим) степенем множини X.
[ред.] Властивості
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A×B)×C і A×(B×C), а також множини A×B і B×A, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Справедливі також наступні тотожності:
- (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)
- (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
- A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)
- A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C)
[ред.] Проекції
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу A=(x1,... ,xn) називається i-а координата xi кортежу A, позначається Pri(A) = xi. Проекцією кортежу A=(x1,... ,xn) на осі з номерами i1, i2,..., ik називається кортеж (xi1,... ,xik), позначається Рri1,i2,...,ik(A).
Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2, 3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

