Опукла множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Опукла множинапідмножина евклідового простору яка містить відрізок, який з'єднує будь які дві точки цієї множини.

[ред.] Визначення

Іншими словами, множина XRn називається опуклою, якщо:

\alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2 \in \mathbf X, \quad \forall x_1, x_2 \in X, \, \alpha \in [0, 1].

Тобто, якщо множина X разом з будь якими двома точками x1, x2 які належать цій множини, містить відрізок, який їх з'єднує:

[x_1, x_2] = \left\{x:\, x = x_2 + \alpha (x_1 - x_2),\, \alpha \in [0, 1]\right\}.

В просторі R1 опуклими множинами будуть пряма, напівпряма, відрізок, інтервал, одноточкова множина.

В просторі Rn опуклим буде сам простір, будь який його лінійний підпростір, куля, відрізок, одноточкова множина. Також, опуклими будуть такі множини:

  • пряма lX0h що проходить через точку x0 в напрямку вектора h:
l_{\mathbf X 0h} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h, \alpha \in \mathbf R^n \right\};
  • промінь lX0h+ який виходить із точки x0 в напрямку вектора h:
l_{\mathbf X 0h}^{+} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h,\, \alpha \ge 0 \right\};
  • гіперплощина H з нормаллю p:
\mathrm H_{p\beta} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) = \beta \right\};
  • півпростори на які гіперплощина поділяє простір:
\mathrm H_{p\beta}^{+} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \ge \beta \right\},
\mathrm H_{p\beta}^{-} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \le \beta \right\}.

Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.

[ред.] Властивості опуклих множин

[ред.] Дивіться також


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.