Системи координат в елементарній математиці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В цій статті даються роз'яснення до найбільш уживаних систем координат з елементарної матиматики. Докладнішу інформацію про системи координат можна знайти у статті Системи координат.

Координати точки -- це набір чисел, або точніше кортеж чисел, який визначає її місцезнаходження на площині або в просторі. Система координат -- це площина або простір, в якому визначений початок координат та осі, що є необхідними передумовами для обчислення координат точки.

Зміст

[ред.] Декартові координати

Зображення:cartesiancoordinates2D.JPG

В двововимірній системі Декартових координат, місцезнаходження точки P на xy-площині визначається парою чисел (x,y).

  • x - відстань від точки P до осі y або значення абсциси (з урахуванням знаку)
  • y - відстань від точки P до осі x або значення ординати (з урахуванням знаку)

В тривимірній системі Декартових координат, точка P в xyz-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів: (x,y,z).

  • x - відстань від точки P до площини yz
  • y - відстань від точки P до площини xz
  • z - відстань від точки P до площини xy

[ред.] Полярні координати

Зображення:CircularCoordinates.png

Полярна система координат -- це така система координат, в якій місцезнаходження точки визначається парою чисел, одне з яких визначає відстань по прямій лінії від заданої точки до початку координат (так званого полюса), а інші -- кути, утворені цією лінією з осями системи координат.

Терміном полярні координати користуються для полярної системи координат на площині. Для орієнтації в просторі застосовують циліндричні та сферичні системи координат.

[ред.] Циліндричні координати

Циліндрична система координат -- це тривимірна полярна система координат.

Зображення:CylindricalCoordinates.png

В циліндричній системі координат, точка P репрезентується трикомпонентним кортежем (r,θ,h). В термінах Декартової системи координат,

  • 0\leq{r} (радіус) - відстань від осі z до точки P,
  • 0\leq\theta<360^\circ (азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою") частиною осі x та прямої лінії, уявно проведеної від полюса до точки P, зпроектованої на xy-площину
  • h (висота) - відстань (з врахуванням знаку) від xy-площини до точки P.
Примітка: в літературі можна зустріти позначку z для h; це не принципово, але потрібно слідкувати, які позначки застосовуються.

Полярні координати мають один недолік: значення θ втрачає сенс, якщо r = 0.

Циліндричні координати корисні для вивчення систем, симетричних навколо якоїсь осі. Наприклад, нескінченно довгий циліндр в Декартових координатах має рівняння x2 + y2 = c2, тоді як в циліндричних воно виглядає як r = c

[ред.] Сферичні координати

Сферична система координат -- це тривимірна полярна система координат.

Зображення:Spherical_Coordinates.png

В сферичній системі координат, місцезнаходження точки P визначається трьома компонентами:(ρ,φ,θ). В термінах Декартової системи координат,

  • 0\leq\rho (радіус) -- це відстань від точки Р до полюса,
  • 0\leq\phi\leq 180^\circ (широта або полярний кут) -- кут між z-віссю і прямою, проведеною з полюсу до точки P
  • 0\leq\theta<360^\circ (азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою" x-віссю та проекцією прямої, проведеною з полюсу до точки P на xy-площину.
Примітка: в літературі можна зустріти позначку φ або θ , а також r для ρ;

Сферична система координат також має недолік: φ втрачає сенс якщо ρ = 0, також і θ втрачає сенс, якщо ρ = 0 або φ=0 or φ=180°.

Для побудови точки за її сферичними координатами, потрібно: від полюсу відкласти відрізок, рівний ρ уздовж позитивної z-осі, повернути його на кут φ навколо осі y у напрямі позитивної x-осі, та повернути на кут θ навколо z-осі в напряму позитивної y-осі.

Сферичні координати корисні при вивченні систем, симетричних навколо точки. Так, рівняння сфери в Декартових координатах виглядає як x2 + y2 + z2 = c2, тоді як в сферичних стає набагато простішим: ρ = c.

[ред.] Перехід від однієї системи координат до іншої

[ред.] Декартові та полярні

x=r\,\cos\theta \quad
y=r\,\sin\theta \quad
r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y

де u0 -- функція Хевісайда з u0(0) = 0 та sgn -- функція signum. Тут функції u0 та sgn використовуються як "логічні" перемикачі, аналогічні за значенням операторам "якщо..то" (if...else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2(y,x), яка знаходить вірне значення θ в необхідному квадранті, визначеному x та y.

[ред.] Декартові та циліндричні

x=r\,\cos\theta
y=r\,\sin\theta
z=h \quad
r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta =\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y
h=z \quad
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta&0\\ \sin\theta&r\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}


[ред.] Декартові та сферичні

{x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \quad
{y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \quad
{z}=\rho \, \cos\phi \quad
{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
{\phi}=\arccos\frac{z}{\rho}
{\phi}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}
{\theta} =\arctan\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{x}{\rho}&\frac{y}{\rho}&\frac{z}{\rho}\\ \frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

[ред.] Циліндричні та сферичні

{r}=\rho \,\sin\phi
{\theta}=\theta \quad
{h}=\rho \,\cos\phi
{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}
{\phi} =\arctan\frac{h}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} h
{\theta}=\theta \quad
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}&0&\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\ \frac{-h}{r^2+h^2}&0&\frac{r}{r^2+h^2}\\ 0&1&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

[ред.] Дивись також