Перетин множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці, зокрема в теорії множин, перетином двох множин A та B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які одночасно належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B які належать A) і тільки їх.

Перетин множин A та B
Збільшити
Перетин множин A та B

Перетин множин A та B позначається як "AB".

Формально:

x - елемент множини AB тоді й тільки тоді, якщо
  • x - елемент множини A і одночасно
  • x - елемент множини B.

Наприклад, перетин множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} є {2, 3}.

Якщо перетин двох множин A та B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються. Цей факт позначається як AB = Ø. Наприклад, множини {1, 2} та {3, 4} не перетинаються, тобто {1, 2} ∩{3, 4} = Ø.

Операція перетину є асоціативною та комутативною. Тобто,

A ∩(BC) = (AB) ∩C (асоціативність).
AB = BA (комутативність)

В загальному випадку, мова може вестись про перетин довільної (непорожньої) кількості множин. Нехай множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тодій й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A. В символьній формі:

\left( x \in \bigcap \mathbf{M} \right) \leftrightarrow \left( \forall A \in \mathbf{M}. \ x \in A \right).

Наприклад, множина, ABC є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

The notation for this last concept can vary considerably. В теорії множин загальноприйнятним для позначення факту перетину колекції множин вважається запис "M", або "AM A". Остання нотація може бути узагальнена до "iI Ai", що позначає перетин колекції множин {Ai : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і Ai - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

Також можна писати "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...

[ред.] Дивись також