Ряд Тейлора
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.
Нехай функція f(x) нескінченно диференційована в деякому околі точки
, тоді ряд
має назву ряда Тейлора функції f у точці a. У випадку, якщо a = 0 цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.
Якщо f є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці a області визначення f сходиться до f в деякому околі a.
Зміст |
[ред.] Формула Тейлора
Формула Тейлора використовується при доказі багатьох теорем у диференційному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поводження функції в околі деякої точки.
Теорема:
- Нехай функція
має
похідну в деякому околі точки
, 
- Нехай

- Нехай
— довільне позитивне число
тоді:
точка
при x < a або
при x > a:

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.
[ред.] Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші і Пеано
![R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1](../../../math/4/9/6/4966e2976141762e2c7a637b463ff8c2.png)
![R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1](../../../math/e/a/4/ea4944aca2149135f2c392194b038ded.png)
послабимо припущення:
- Нехай функція
має
похідних у деякому околі точки a - І
похідних у самій точці 
тоді:
![R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!](../../../math/b/0/7/b078350b44322d1130e772b14a033b48.png)
[ред.] Розклад Тейлора для деяких функцій
Нижче наведені розклади по формулі Тейлора деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.
Експонента і натуральний логарифм:
для усіх x
для 
Геометричний ряд:
для 
Біноміальний розклад:
для всех 
для усіх x
для усіх x
для 
для 
для 
для 
Гіперболічні функції:
для усіх x
для усіх x
для 
для 
для 
[ред.] Література
- В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический Анализ" ч.1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004


