Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція f(x) нескінченно диференційована в деякому околі точки {a}\,\!, тоді ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

має назву ряда Тейлора функції f у точці a. У випадку, якщо a = 0 цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо f є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці a області визначення f сходиться до f в деякому околі a.

Зміст

[ред.] Формула Тейлора

Формула Тейлора використовується при доказі багатьох теорем у диференційному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поводження функції в околі деякої точки.

Теорема:

  • Нехай функція f(x)\,\! має n+1\,\! похідну в деякому околі точки a\,\!, U\left( a , \epsilon\ \right) \,\!
  • Нехай x\in U\left( a , \epsilon\ \right) \,\!
  • Нехай p\,\! — довільне позитивне число

тоді: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a або\xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

[ред.] Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші і Пеано

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1


R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

послабимо припущення:

  • Нехай функція f(x)\,\! має n-1\,\! похідних у деякому околі точки a
  • І n\,\! похідних у самій точці {a}\,\!

тоді:

R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!

[ред.] Розклад Тейлора для деяких функцій

Нижче наведені розклади по формулі Тейлора деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} для усіх x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} для \left| x \right| < 1

Геометричний ряд:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n для \left| x \right| < 1

Біноміальний розклад:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n для всех \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha

Тригонометричні функції:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} для усіх x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} для усіх x
\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} для \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} для \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1
\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1

Гіперболічні функції:

\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} для усіх x
\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n} для усіх x
\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1
\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} для \left| x \right| < 1

[ред.] Література

  • В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический Анализ" ч.1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004