Об'єднання множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В теорії множин та інших галузях математики, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

[ред.] Базові визначення

Об'єднання множин A та B
Збільшити
Об'єднання множин A та B

Якщо A та B - множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого. Об'єднання A та B позначається як "AB". Формально:

x є елементом AB тоді й тільки тоді, коли
  • x є елементом A або
  • x є елементом B.

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

[ред.] Алгебраїчні властивості

Бінарна операція об'єднання є асоціативною, тобто
A ∪(BC) = (AB) ∪C. Коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: ABC

Точно так, об'єднання двох множин є комутативним, тобто порядок запису множин в виразі не має значення. Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, {} ∪A = A, для будь-якої множини A.

[ред.] Об'єднання довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо M - множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

\bigcup \mathbf{M},

або більш коректно

\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A.

остання нотація може бути узагальнена до

\bigcup_{i\in I} A_{i},

що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I - множина, а Ai - множина для кожного i і I. В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.

Також можна записати "A1A2A3 ∪ ···".

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

\bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}.

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).