Регулярний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Регуля́рне сіме́йство розпо́ділів в математичній статистиці — це розподіл, густина якого диференційована відносно параметру.

[ред.] Визначення

Нехай дано параметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів \{\mathbb{P}_{\theta}\}_{\theta \in \Theta}, де \Theta \subset \mathbb{R}, так що f(x \mid \theta ) - густина ймовірності \mathbb{P}_{\theta} для кожного \theta \in \Theta. Тоді це сімейство називається регулярним, якщо існує така множина D \subset \mathbb{R}, що \mathbb{P}_{\theta}(D) = 1,\quad \forall \theta \in \Theta, і

\forall x \in {D},\quad \sqrt{f(x \mid \cdot)} \in C^1(\Theta),

тобто \sqrt{f(x \mid \cdot)} неперервно диференційована відносно параметра \theta \in \Theta.

[ред.] Приклади

  • Нехай Θ = {θ > 0}, і \mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{Exp}(\theta) - експоненційний розподіл з параметром θ. Тоді
\frac{\partial}{\partial \theta}\sqrt{f(x\mid \theta)} = \left(\frac{1}{2\sqrt{\theta}} - \frac{\sqrt{\theta}x}{2}\right) e^{-\theta x/2} \in C(\Theta).

Отже, сімейство розподілів регулярне.

  • Нехай Θ = {θ > 0}, і \mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{U}[0,\theta] - неперервний рівномірний розподіл на відрізку [0,θ]. Тоді легко бачити, що D \supset [0,\infty), і f(x \mid \cdot) розривна у точці θ = x. Таким чином сімейство розподілів нерегулярне.
Іншими мовами