Число e

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Число е — математична величина, що є основою натуральних логарифмів.

[ред.] Означення числа

Число Непера є границею послідовності:
e=\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n \approx 2.718281828
Використавши формулу біному Ньютона можна отримати числовий ряд, для обчислення числа:

e =\lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over n}\right)^n
=\lim_{n \to \infty}\left( {n \choose 0} \cdot 1   + {n \choose 1}  {1\over n} + {n \choose 2}{1 \over n^2}  + {n \choose 3}{1 \over n^3} + \cdots \right)
= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}{n \over n}  + {1 \over 2!}{n(n-1) \over n^2}  + {1 \over 3!}{n(n-1)(n-2) \over n^3}  + \cdots \right)
= \lim_{n \to \infty}\left(1+{1 \over 1!}\cdot 1  + {1 \over 2!} \left( 1 - {1 \over n} \right)  + {1 \over 3!} \left( 1 - {1 \over n} \right) \left( 1 - {2 \over n} \right)  + \cdots \right)
= 1+{1 \over 1!}  + {1 \over 2!}  + {1 \over 3!}  + \cdots

[ред.] Особливості числа

Число е зустрічається мало не у кожній праці з математики і фізики. Причиною цього є її цікаві властивості.

  1. Похідна експонційної функції рівна самій функції: (e^x)^\prime=e^xю
  2. Це саме стосується і первісної: \int e^x\, dx=e^x.
  3. Надзвичайно важливою є формула Муавра: eix = sin(x) + icos(x).
  4. З допомогою функції Гауса e^{x^2} побудована математична статистика.
  5. А завдяки цінній властивості \int_{-\infty}^{+\infty} e^{x^2}=\sqrt{\pi} цяж функція є основою обчислень у квантовій хемії.