Універсальна множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

УНІВЕРСАЛЬНА МНОЖИНА (універсум) - в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X співпадає з цією множиною X.

Формально: U - універсальна множина ⇔ ∀X: XU=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Рассела). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина грає ролю одиничного елементу.

Також для будь-якої множини X справедливо: XU=U.