Комплексні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Комплексним числом називається вираз a + ib, де a і bдійсні числа, iуявна одиниця (i2 = - 1, або i=\sqrt{-1} )

Для числа z = a + ib, a називають дійсною частиною комплексного числа z (позначення Re(z)), b — його уявною частиною (позначення Im(z))

Множина всіх комплексних чисел поначається \mathbb{C} і є числовим полем.

Зміст

[ред.] Арифметичні дії

Арифметичні дії, подібні діям з многочленами, з урахуванням i2 = − 1. Нехай z1 = a + ib та z2 = c + id - комплексні числа.

  1. z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
  2. z_1\cdot z_2=(a+ib)\cdot(c+id)=ac+adi+dci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i
  3. \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)\cdot(c-id)}{(c+id)\cdot(c-id)} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

[ред.] Представлення комплексних чисел

[ред.] Матричне представлення комплексних чисел

Комплексні числа можна представити у вигляді матриць розміром 2 на 2.
z=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} а комплексноспряжене до z є z^*=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. Операція комплексного спряження, у цьому представлені еквівалентна транспонуванню матриці. Дійсна одиниця має вигляд одиничної матриці \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, а уявна одиниця, у вигляді матриці \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Для такого представлення справджується твердження, що квадрат уявної одиниці рівний мінус одиниці \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Для комплексних чисел у матручному представлені, арефмитичні операції, це операції з матрицями:

  1. z_1+z_2=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix}
  2. z_1\cdot z_2=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(cb+ad) \\ cb+ad & ac-bd \end{pmatrix}
  3. \frac{z_1}{z_2} \Rightarrow z_1\cdot z_2^{-1}=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot{1\over c^2+d^2}\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}={1\over c^2+d^2}\begin{pmatrix} ac+bd & cb-ad \\ ad-cb & ac+bd \end{pmatrix}

[ред.] Геометричне представлення

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.
Збільшити
Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число можна також виразити у тригонометричному вигляді z=a+ib=r\cdot(\cos \varphi+i\cdot\sin \varphi) де r=\sqrt{a^2+b^2}, \varphi=\arctan \left ( \frac{b}{a} \right ), і трактувати як точку на двовимірній площині, або вектор. У цьому випадку r — це відстань між точкою (a,b) і початком координат, а кут \varphi — кут між віссю дійсних величин, і радіус вектором r.

Формула Ойлера
z=(a+ib)=r\cdot e^{i\varphi}


У цьому представленні:
1. Додавання, це векторне дадавання векторів.
2. Множення двох комплексних чисел

z_1\cdot z_2=(a_1+ib_1)\cdot(a_2+ib_2)=r_1\cdot e^{i\varphi_1}\cdot r_2 \cdot e^{i\varphi_2}=r_1\cdot r_2\cdot e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}

є еквівалентне повороту вектора, що відповідає комплексному числу z1 (або числу z2) на кут \varphi_1 (або \varphi_2), і збільшення довжини вектора на величину r1 (або r2).
3. Ділення двох комплексних чисел

{z_1\over z_2}=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}=r_1\cdot e^{i\varphi_1}\cdot r^{-1}_2 \cdot e^{-i\varphi_2}={r_1\over r_2}\cdot e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}

є еквівалентне повороту вектора, що відповідає комплексному числу z1 на кут -\varphi_2 , і зменшення довжини вектора на величину r2.

Статті з математики пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Split-complex numbers | Bicomplex numbers | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніни | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність