Об'єднання множин
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В теорії множин та інших галузях математики, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.
[ред.] Базові визначення
Якщо A та B - множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого. Об'єднання A та B позначається як "A ∪B". Формально:
- x є елементом A ∪B тоді й тільки тоді, коли
- x є елементом A або
- x є елементом B.
Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.
[ред.] Алгебраїчні властивості
Бінарна операція об'єднання є асоціативною, тобто
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C. Коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A ∪B ∪C
Точно так, об'єднання двох множин є комутативним, тобто порядок запису множин в виразі не має значення. Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, {} ∪A = A, для будь-якої множини A.
[ред.] Об'єднання довільної кількості множин
В загальному випадку, якщо M - множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:
Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:
або більш коректно
остання нотація може бути узагальнена до
що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I - множина, а Ai - множина для кожного i і I. В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:
Також можна записати "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···".
Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто
Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:









