Образ відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Нехай f:XY - відображення множини X в множину Y. Образом відображення f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:Im f = {f(x)|xX}=f(X)⊂Y Образ f(X)⊂Y називається також областю значень функції f.

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці xX при відображенні f називається такий елемент yY, що y=f(x). Аналогічно, образом підмножини АX для відображення f називається така підмножина BY, що f(A)=(f(x)|xA}

Прообразом елемента yY називається множина всіх елементів виду f-1(y)∈X, де f-1(y) = {xX|f(x)=у}. Прообразом підмножини BY називається множина виду f-1(B)={xX|f(x)∈B}.

Не слід плутати f-1 зі оберненим відображенням для бієктивного відображення.

[ред.] Приклади

1. f: {1,2,3} → {a,b,c,d} визначена як f(x)=\left \{\begin{matrix} a, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.

В цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f −1({a, b}) = {1}.

2. f: RR визначена як f(x)=x2.

В цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f −1([0,9])=[-3,3].

[ред.] Властивості

З наведених визначень безпосередньо випливають наступні властивості образів та прообразів для будь-яких A, A1, A2 з X та B, B1 and B2 з Y:

  • f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)
  • f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)
  • f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2)
  • f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2)
  • f(f −1(B)) ⊆ B
  • f −1(f(A)) ⊇ A
  • A1A2f(A1) ⊆ f(A2)
  • B1B2f −1(B1) ⊆ f −1(B2)

[ред.] Дивись також