Figuro de Coxeter-Dynkin
El Vikipedio
En geometrio, figuro de Coxeter-Dynkin estas grafeo prezentanta rilatan aron de speguloj (aŭ reflektaj hiperebenoj) en spaco por kalejdoskopa konstruado de hiperpluredro aŭ kaheligo.
Kiel la grafeo mem, la figuro prezentas grupojn de Coxeter, ĉiu grafea vertico prezentas spegulon (domajnan faceton) kaj ĉiu grafeo latero prezentas la ordon de duedran angulon inter du speguloj (sur domajna kresto).
Aldone iuj el la grafeaj verticoj havas ringojn kiuj markaj aktivajn spegulojn priskribantajn la specifan uniforman hiperpluredron.
La figuro estas pruntita de la figuro de Dynkin.
Enhavo |
[redaktu] Priskribo
Supre - grupoj, meze - fundamentaj domajnoj, sube - figuroj de Coxeter-Dynkin.
Domajnaj speguloj estas markitaj kiel lateroj m1, m2, kaj tiel plu.
Verticoj estas kolorigital laŭ iliaj reflektoj ordoj:
ruĝa - ordo 2
verda - ordo 3
malhela blua - ordo 4
hela blua - ordo 6.
La prisma grupo [W2xW2] estas montrita kiel duobligo de la R3, sed povas ankaŭ kreiĝi kiel ortangulaj domajnoj de duobligo de la V3 trianguloj. La P3 estas duobligo de la V3 triangulo.
Lateroj estas kolorigitaj per iliaj reflektaj ordoj:
ruĝa - ordo 2
verda - ordo 3
malhela blua - ordo 4.
R4 enspacas na 1/24 de la kubo. S4 enspacas na 1/12 de la kubo. P4 enspacas na 1/6 de la kubo.
Ĉiu figuro bezonas almenaŭ unu aktivan verticon por prezenti hiperpluredron aŭ kaheligon.
La ringoj esprimas informo pri tio ĉu la generanta punkto estas sur aŭ for de la spegulo. Aparte spegulo estas aktiva (kreas reflektojn) nur se punktoj estas for de la spegulo. Aldono de la ringo signifas ka la punkto estas for de la spegulo kaj kreas reflektojn.
Lateroj estas markita kun entjeroj n (aŭ iam pli ĝenerale racionalaj nombroj p/q) prezentante duedra angulo de 180/n. Se latero estas nemarkita ĝi havas la defaŭltan valoron n=3. Se n=2 la angulo estas 90 gradoj kaj la speguloj ne interagas, kaj la latero povas esti nefarita. Du paralelaj speguloj povas esti markitaj per "∞".
Principe, n speguloj povas esti prezentitaj per plena grafeo en kiu ĉiu el n*(n-1)/2 lateroj estas desegnita. En praktiko interesaj konfiguroj de speguloj inkluzivas iun kvanton da ortoj, kaj la respektivaj lateroj povas esti nefaritaj.
Hiperpluredroj kaj kaheligoj povas esti generitaj uzanta ĉi tiujn spegulojn kaj la solan generilan punkton. Spegulaj bildoj kreas la novaj punktojn kiel reflektoj. Lateroj povas kreiĝi inter punktoj kaj spegula bildo. Edroj povas esti konstruitaj per cikloj de kritaj lateroj, kaj tiel plu
[redaktu] Ekzemploj
- Sola vertico de la grafeo priskribas la solan spegulon. Ĉi tio estas grupo A1. Se la vertico estas ringita kreiĝas dulatero aŭ latero perpendikulara al la spegulo, priskribata kiel {} aŭ {2}.
- Du nekunigitaj verticoj de la grafeo priskribas du perpendikularajn speguloj. Se ambaŭ verticoj estas ringitaj, ortangulo kreiĝas, aŭ kvadrato se la punkto estas je egala distanco de ambaŭ speguloj.
- Du verticoj de la grafeo kunigitaj per latero de ordo-n kreas n-plurlateron se la punkto estas sur unu spegulo, kaj 2n-plurlateron se la punkto estas for de ambaŭ speguloj. Ĉi tio estas grupo D2n .
- Du paralelaj speguloj priskribas malfinian plurlateron de grupo D2∞, ankaŭ nomatan kiel W2.
- Tri speguloj situitaj kiel triangulo formas bildojn vidatajn en tradicia kalejdoskopo kaj estas prezentita per 3 verticoj de la grafeo, koneksaj kiel triangulo. Ekzemploj, kiuj generas ripetantan bildon havas laterojn markitajn kiel (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), kvankam la lastaj du povas esti desegnitaj kiel linia grafeo kun la 2 rando ignorita. Ĉi tiuj estas uniformaj kaheligoj per regulaj plurlateroj.
- Tri speguloj generas uniforman pluredron, inkluzivantaj racionalaj nombroj kiuj estas en la aro de la trianguloj de Schwarz.
- Tri speguloj kun unu perpendikularo al la aliaj du generas la uniformajn prismojn.
Ĝenerale ĉiu regula n-hiperpluredroj, prezentata per simbolo de Schläfli {p,q,r,...} povas havi fundamentan domajnon prezentitan per aro de n speguloj kaj respektivan figuron de Coxeter-Dynkin de linia formo kun lateroj markitaj per p,q,r...
[redaktu] Finiaj grupoj de Coxeter
Familioj de konveksaj uniformaj hiperpluredroj estas difinitaj per grupoj de Coxeter.
| Grupo de Coxeter | Hiperplurdero | Alternativa nomoj kiel de simpla grupo de Lie |
|---|---|---|
| An | La simplaĵa hiperpluredra familio | An |
| Bn | La familio de duonverticaj hiperkuboj, komence je n=4 per la 16-ĉelo | Dn |
| Cn | La hiperkuba hiperpluredra familio | Cn |
| D2n | La regulaj plurlateroj | I1n |
| E6, E7, E8 | La duonregulaj hiperpluredroj de Gosset | E6, E7, E8 |
| F4 | La 24-ĉela plurĉela familio | Sama F4 |
| G3 | La dekduedra/dudekedra pluredra familio | H3 |
| G4 | La 120-ĉela/600-ĉela plurĉela familio | Ankaŭ nomis H4 |
Notoj:
- Tri malsamaj simboloj estas donita por la samaj grupoj - litero/nombro, krampita aro de nombroj, la figuro de Coxeter.
- La forkiĝintaj Bn grupoj estas ankaŭ donitaj per h[] skribmaniero prezentanta la fakton ili estas duonaj aŭ alternitaj versio de la regulaj Cn grupoj.
- La forkiĝintaj Bn kaj En grupoj estas ankaŭ donitaj per formo kun supra indico [3a,b,c] kie a,b,c estas la nombroj de segmentoj en ĉiu de la 3 branĉoj.
[redaktu] Malfiniaj grupoj de Coxeter
Familioj de konveksaj uniformaj kaheligoj estas difinitaj per grupoj de Coxeter.
| Grupo de Coxeter | Kaheligo / priskribo | Alternativa nomoj kiel de simpla grupo de Lie |
|---|---|---|
| Pn | Cikla grupo | ~An-1 |
| Qn | ~Dn-1 | |
| Rn | La hiperkuba {4,3,....} regula kaheliga familio. | ~Bn-1 |
| Sn | La alternita hiperkuba kaheliga familio. | ~Cn-1 |
| T7, T8, T9 | La kaheligoj de Gosset. | ~E6, ~E7, ~E7 |
| U5 | La 24-ĉela {3,4,3,3} regula kaheligo. | ~F4 |
| V3 | La seslatera kaheligo. | ~H2 |
| W2 | Du paralelaj speguloj | ~I1 |
Notoj:
- Regulaj (linearaj) grupoj estas donitaj kun ekvivalenta krampa skribmaniero.
- La Sn grupoj estas donitaj ankaŭ per h[] skribmaniero kiel duona de la regula grupo.
- La Qn grupoj estasi donitaj ankaŭ per q[] skribmaniero kiel kvarona de la regula grupo.
- La forkiĝintaj Tn grupoj estas donitaj ankaŭ per formo kun supra indico [3a,b,c] kie a,b,c estas la nombroj de segmentoj en la ĉiuj 3 branĉoj.
[redaktu] Vidu ankaŭ
- Konstruo de Wythoff
- Simbolo de Wythoff
- Simbolo de Schläfli
- Grupo de Coxeter
- Triangulo de Schwarz
- Radika sistemo
- Uniforma hiperpluredro
- Uniforma pluredro
- Listo de uniformaj pluredroj
- Listo de uniformaj ebenaj kaheligoj
- Uniforma plurĉelo
- Konveksa uniforma ĉelaro
[redaktu] Referencoj
- Kalejdoskopoj: Elektitaj skriboj de H.S.M. Coxeter, redaktita de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papero 17) H.S.M. Coxeter, La Evoluado de Figuroj de Coxeter-Dynkin, Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
- H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays - La Belo de Geometrio: Dek du eseoj (1999), Dover Publications, ISBN 978-0-486-40919-1 (Ĉapitro 3: Konstruado de Wythoff's por uniformaj hiperpluredroj)
- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes - Regulaj hiperpluredroj, 3-a. red., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Ĉapitro 5: La kalejdoskopo, kaj sekcio 11.3: prezento per grafeoj)
[redaktu] Eksteraj ligiloj
Figuro de Coxeter-Dynkin en MathWorld.
[http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2004/v77-n1_n2/CCA_77_2004_133-140_king.pdf Regulaj hiperpluredroj, radikaj kradoj kaj kvazaŭkristaloj, R.

