Funkcio de Euler

El Vikipedio

Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4
Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modjula formo, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

[redaktu] Propraĵoj

La koeficiento p(k) en la Maclaurin-a serio por 1 / φ(q) estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

kie p(k) estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler estas

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}

Rimarku ke (3n2n) / 2 estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

φ(q) = q − 1 / 24η(τ)

kie q = eiτ estas la kvadrato de la nomeno.

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modjula grupo.

[redaktu] Referencoj

  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
Aliaj lingvoj