Homogena funkcio

El Vikipedio

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas ls homogenaj polinomoj.

Formale, estu

 f: V \rarr W \qquad\qquad

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo  F \qquad\qquad.

Ni diru, ke  f \qquad\qquad estas homogena de grado  k \qquad\qquad, se la ekvacio

 f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*)

veras por ĉiuj  \alpha \isin F \qquad\qquad kaj  \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad.

Funkcio

 f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2,..., x_n) \qquad\qquad

kiu estas homogena de grado  k \qquad\qquad, havas partajn derivaĵojn de grado  k-1 \qquad\qquad. Plue, ĝi verigas la Eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi-tio estas


\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})
= k f(\mathbf{x}).

Pli ĝenerale, funkcio  f \qquad\qquad estas nomata homogena, se la ekvacio  f(\alpha \mathbf{v}) = g(\alpha) f(\mathbf{v}) \qquad\qquad veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio  g \qquad\qquad.

Foje funkcio veriganta  (*) \qquad\qquad por ĉiu pozitiva  \alpha \qquad\qquad nomiĝas pozitive homogena (ĉi-tio postulas, ke la kampo  F \qquad\qquad estu  \reals \qquad\qquad; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).