Gaŭsa entjero

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo estis tradukita per roboto, kaj poste prilaborita. Ĝi ŝajnas preta, sed konvenas ke freŝaj okuloj kontrolu kaj finpoluru kaj lingve kaj fake. Konsultindaj estas la paĝoj polurado kaj stilogvido. Post plibonigo movu la artikolon (se tio estas ne jam farita) al:
Gaŭsa entjero

(Eble la nomo mem bezonas korekton.) Se la ligilo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligilo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolojn necesas kunigi. Se la titolo aperas sen ligilo, la nomo jam estas en ordo.


Gaŭsa entjero estas kompleksa nombro kies reela kaj imaginara partoj ambaŭ estas entjeroj. La Gaŭsaj entjeroj, kun ordinara adicio kaj multipliko de kompleksaj nombroj, formas integralan domajnon, kutime skribita Z[i]. Ĉi tiu domajno ne povas esti konvertita en orditan ringon, ĉar ĝi enhavas kvadratan radikon -1.

Gaŭsaj entjeroj kiel kradaj punktoj en la kompleksa ebeno
Gaŭsaj entjeroj kiel kradaj punktoj en la kompleksa ebeno

Formale, Gaŭsaj entjeroj estas la aro

\{a+bi | a,b\in \mathbb{Z} \}.

La normo de Gaŭsa entjero estas la natura nombro difinita kiel

N(a + bi) = a2 + b2.

La normo estas multiplika, tio estas

N(z·w) = N(z)·N(w).

La unuoj de Z[i] estas pro tio precize tiuj eroj kun normo 1, tio estas la eroj

1, −1, i kaj −i.

La primaj eroj de Z[i] estas ankaŭ nomataj Gaŭsa primoj. Iuj primoj (kiuj, kontraste, estas iam nomitaj "racionalaj primoj") estas ne Gaŭsaj primoj; ekzemple 2 = (1 + i)(1 − i) kaj 5 = (2 + i)(2 − i). Tiuj racionalaj primoj kiuj estas kongruaj al 3 (mod 4) estas Gaŭsaj primoj; tiuj kiuj estas kongruaj al 1 (mod 4) ne estas. Tio estas pro tio, ke primoj de la formo 4k + 1 ĉiam povas esti skribitaj kiel la sumo de du kvadratoj (teoremo de Fermat), do, ni havas

p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).

Se la normo de Gaŭsa entjero z estas primo, tiam z devas esti Gaŭsa primo, ĉar ĉiu ne-bagatela faktorigo de z devus liveri ne-bagatelan faktorigon de la normo kaj neredukteblaj nomroj estas primoj, ĉar Z[i] estas Eŭklida primo. Do, ekzemple 2 + 3i estas Gaŭsa primo, ĉar ĝia normo estas 4 + 9 = 13.

La ringo de Gaŭsaj entjeroj estas la integrala fermaĵo de Z en la kampo de Gaŭsaj racionaloj Q(i) konsistanta el la kompleksaj nombroj kies reela kaj imaginara partoj estas ambaŭ racionalaj.

Estas facile vidi grafike, ke ĉiu kompleksa nombro estas en \frac{\sqrt 2}{2} unuoj de Gaŭsa entjero. Alivorte, ĉiu kompleksa nombro (kaj tial ĉiu Gaŭsa entjero) estas en \frac{\sqrt 2}{2}N(z) unuoj de iu oblo de z, kie z estas kiu ajn Gaŭsa entjero; tio faras el Z(i) Eŭklidan domajnon, kie v(z) = N(z).

[redaktu] Historia fono

La ringon de Gaŭzaj entjeroj prezentis Carl Friedrich Gauss en 1829 - 1831 (vidu ) dum li studis leĝojn de reciprokeco kiuj estas ĝeneraligoj de la teoremo de kvadrata reciproko kiun li sukcesis pruvi por la unua fojo en 1796. Aparte, li serĉis rilatojn inter p kaj q tiajn, ke q estu kuba restaĵo de p (t.e. x3 = q(mod p)) aŭ tia, ke q estu bikvadrata restaĵo de p (t.e. x4 = q(mod p)). Dum tiu esplorado li malkovris, ke iuj rezultoj pli facile pruveblas per traktado en la ringo de Gaŭzaj entjeroj, anstataŭ de ordinaraj entjeroj.

Li ellaboris la propraĵojn de faktorigado kaj pruvis la unikecon de faktorado en primojn en Z[i], kaj malgraŭ tio, ke li malmulte eldonigis, li faris iujn komentojn indikantajn, ke li konscias la gravecon de entjeropj de Eisenstein al la dirado kaj pruvado de la rezultoj pri kuba reciprokeco.

[redaktu] Vidi ankaŭ

  • Entjero de Eisenstein
  • Forkiĝado de primaj idealoj en galezaj superkorpoj priskribas la strukturon de primaj idealoj en la Gaŭsaj entjeroj

[redaktu] Eksteraj ligoj