تانسور ریمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در هندسه دیفرانسیل برای مشخص کردن انحنا یک منیفلد به کار می‌رود.استفاده فراوان در نسبیت عام دارد. بر حسب نمادهای کریستوفل این‌گونه نوشته می‌شود:


{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

در این معادله:

  • {R^\rho}_{\sigma\mu\nu} تانسور ریمان
  • \Gamma^\rho_{\nu\sigma} نماد کریستوفل

با تنجش تانسور ریمان، تانسور ریچی به دست می‌آید:

R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}.

با استفاده از متریک و تنجش تانسور ریچی به اسکالر، اسکالر ریچی یا انحنا به دست می‌آید:


R={R^\mu}_{\mu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}

[ویرایش] تقارنهای تانسور ریمان

تانسور ریمان تقارن‌هایی به شرح زیر دارد:

۱-تعویض دو اندیس آخر یا دو اندیس اول

R_{\rho \sigma\mu\nu}^{}=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}

۲-تعویض جفت اول اندیس‌ها با جفت دوم

R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}=R_{\mu\nu\rho\sigma}

۳-جمع جایگشت‌ها روی سه اندیس آخر

R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0

۴-اتحاد بیانکی

\nabla _[{_\lambda }R _{\rho\sigma ]\mu\nu}=0\,

[ویرایش] منبع

  • Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997
زبان‌های دیگر