اشتراک (مجموعه)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

مجموعه ی شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها مینامیم و آن را با نماد ∩ نشان میدهیم مثل : A∩B


[ویرایش] تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و X\in S عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با \bigcap S یا \bigcap_{A\in S}A نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\bigcap S := \bigcap_{A\in S}A := \{y\in X: \forall A\in S, y\in A\}


مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسأله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود \bigcap\phi := U.

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با A\cap B نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با A\cap B\cap C،... و اشتراک n مجموعه A_1,A_2,\cdots,A_n را با A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

A_1\cap A_2\cap\cdots A_n = (A_1\cap A_2\cap\cdots A_{n-1})\cap A_n


[ویرایش] خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با A\cup B نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

  • A\cap A = A
  • A\cap B = B\cap A
  • A\cap \phi = \phi\cap A = \phi
  • (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)
  • A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)
  • A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
  • A\subseteq B اگر و تنها اگر A\cap B = A.