تابع حسابی
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] تابع حسابی
در نظریه اعداد، تابع حسابی تابعی است با دامنه اعداد طبیعی.
گاهی به این توابع تابع نظریه اعدادی نیز می گویند اما این لفظ بیشتر به توابع حسابی با برد اعداد حقیقی یا مختلط استفاده می شود.
توابع حسابی نقش اساسی در نظریه اعداد دارند و کمک می کنند خواص اعداد را بهتر مورد مطالعه قرار دهیم.
[ویرایش] مثالهایی از توابع حسابی
نمونه های زیادی را می توان از توابع حسابی نام برد. چند نمونه از مهمترین و پرکاربردترین آنها عبارتند از:
- تابع فی اویلر: تابع فی-اویلر یا تابع کامل اویلر، به ازای هر عدد طبیعی n به صورت تعداد اعداد طبیعی نابیشتر از n که نسبت به n اولند تعریف می شود و آن را با φ نشان می دهند.
- تابع موبیوس: از مهمترین توابع حسابی تابع موبیوس است که آن را با μ نشان میدهند و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می شود:
یا به عبارت دیگر:
-
- μ(n) = 1 اگر n=1.
- اگر n عددی خالی از مربع نباشد(یعنی بر مربع عددی اول بخشپذیر باشد) در این صورت μ(n) = 0
- اگر n=p1p2p3...pr که در آن pi ها اعداد اول متمایز هستند، μ(n) = ( − 1)r
- تابع منگولد: برای هر عدد طبیعی n تابع منگولد Λ(n) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
یا به عبارت دیگر:
-
- اگر به ازای عدد اول p و عدد طبیعی n=pk ،k آنگاه Λ(n) = lnp
- در غیر این صورت Λ(n) = 0
- تابع لیوویل: برای هر عدد طبیعی n، تابع لیوویل λ(n) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
- اگر n=1، آنگاه λ(1) = 1
- اگر n>1 و
تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد، آنگاه
-
-
.
-
- توابع مقسوم علیهی: برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی α تابع σα(n) را به صورت مجموع توانهای α ام مقسوم علیه های n تعریف می کنیم یعنی:
| σα(n) = | ∑ | dα |
| d | n |
- تابع همانی:برای هر عدد طبیعی n تابع
را تابع همانی می گویند. علت نام گذاری این تابع به عنوان همانی آن است که این تابع عضو خنثی (همانی) نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی محسوب می شود. - تابع یکله:به ازای هر عدد طبیعی n تابع u(n) = 1 را تابع یکه می گویم.
- تابع توان:برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی با مختلط α تابع Nα(n) = nα را تابع توان می گوییم.
[ویرایش] توابع حسابی ضربی
برای مطالعه بیشتر به مقاله تابع ضربی مراجعه کنید.
تابع حسابی f را ضربی می گوییم هرگاه به ازای هر دو عدد طبیعی متباین(نسبت به هم اول) m,n داشته باشیم:
- f(mn) = f(m)f(n)
همچنین تابع حسابی f را ضربی قوی یا کاملاً ضربی می گوییم هرگاه برای هر دو عدد طبیعی m,n داشته باشیم:
- f(mn) = f(m)f(n)
به عنوان مثال تابع فی اویلر و تابع موبیوس از جمله توابع ضربی و تابع لیوویل، تابع یکهو تابع توان از جمله توابع کاملاً ضربی می باشند.
[ویرایش] مجموع دیریکله تابع حسابی
برای مطالعه بیشتر به مقاله مجموع دیریکله مراجعه کنید.
اگر f تابعی ضربی باشد، برای هر عدد طبیعی n:
| ∑ | f(d) |
| d | n |
را مجموع دیریکله یا مجموعه مقسوم علیهی تابع حسابی f می گوییم که در آن مجموع بر روی مقسوم علیه های n چون d در نظر گرفته شده است.
وضوحاً اگر f تابعی حسابی باشد،
| g(n) = | ∑ | f(d) |
| d | n |
نیز تابعی حسابی است. اگر f ضربی باشد مجموع دیریکله آن یعنی g نیز ضربی خواهد بود.
نمونه های زیر مجموع دیریکله برخی توابع مهم را نشان می دهد:
| ∑ | φ(d) = n |
| d | n |
| ∑ | Λ(d) = lnn |
| d | n |
[ویرایش] ضرب دیریکله تابع حسابی
برای مطالعه بیشتر به مقاله ضرب دیریکله مراجعه کنید.
اگر f و g دو تابع حسابی باشند حاصل ضرب دیریکله دو تابع را با f*g نشان می دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می کنیم:
این مجموع ها در مطالعه توابع حسابی بسیار ظاهر می شوند.
همچنین لازم به توضیح است که به ضرب دیریکله، پیچش دیریکله نیز می گویند. این حاصل ضرب را می توان به پیچش های تعمیم یافته تعمیم داد که عملی مشابه را بین تابعی حقیقی یا مختلط و تابعی حسابی تعمیم می دهد.
[ویرایش] مشتق توابع حسابی
برای مطالعه بیشتر به مقاله مشتق توابع حسابی رجوع کنید.
اگر f تابعی حسابی باشد مشتق f را برای هر عدد طبیعی n به صورت:
تعریف می کنیم.
رفتار این مشتق تاحد زیادی به رفتار مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال شبیه است.
به عبارت دیگر اگر f و g توابعی حسابی باشند:
[ویرایش] جستارهای وابسته
- تابع ضربی
- تابع جمعی
- مجموع دیریکله
- ضرب دیریکله
- تابع فی اویلر
- تابع موبیوس
- تابع منگولد
- توابع مقسوم علیهی
- تابع لیوویل
- معکوس دیریکله
- پیچش های تعمیم یافته
[ویرایش] منابع
- دیلیام دبلیو.آدامز،لری جوئل گولدشتین. آشنایی با نظریه اعداد. ترجمهٔ دکتر ادینه محمد نارنجانی. متهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1384، ISBN 964-01-0070-6.
- تام آپوستل. نظریه تحلیلی اعداد (1). ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده-علی اکبر رحیم زاده. تهران: نشر منصوری، 1376، ISBN 964-6166-06-7.
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا، «arithmetic function»، ویکیپدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).


![\sum_{d|n}\mu (d)=\left [\frac{1}{n}\right]](../../../math/7/e/3/7e36a831127dd4b7b9688548416d9146.png)





