معادلات ماکسول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

معادله‌های ماکسول، یک سری معادله هایی هستند که چگونگی ايجاد شدن میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانات الکتریکی به علاوه پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر میدان دیگر را توصیف می‌کنند. این معادله‌ها مبانی الکترومغناطیس (کلاسیک) و مهندسی برق به شمار می‌روند که اولین بار توسط فیزیکدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول فرمول‌بندی شده‌اند. انواع فرمولبندی برای این معادله ها می‌توان ارائه داد.خود ماکسول این معادلات را در قالب ۸ معادله فرمولبندی کرده بود ولی در حالت ۳ بعدی مشهورترین فرمول بندی فرمول‌بندی هوی‌ساید این معادلات است که دو فرم دیفرانسیلی و انتگرالی دارد.

فرم هوی‌ساید این معادله‌ها عبارت هستند از:


نام معادله معادلهٔ دیفرانسیلی معادلهٔ انتگرالی
قانون گاوس: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV
غیر موجودیت تک‌قطبی مغناطیسی
(قانون گاوس در مغناطیس):
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
قانون القای فارادی: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
قانون آمپر به علاوه مکمل ماکسول: \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

در اینجا ρ چگالی بار الکتریکی \mathbf J چگالی جریان الکتریکی، \mathbf E میدان الکتریکی، \mathbf B میدان مغناطیسی و   \mathbf D و \mathbf H میدانهایی هستند که توسط چگالی قطبیت الکتریکی و مغناطیسی (به ترتیب \mathbf{P} و \mathbf{M}) در ماده تعریف می‌شوند. در صورتی که مادهً ما خطی باشد، داریم:

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

و برای این دو میدان به دست می‌آوریم:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H}

[ویرایش] فرم تانسوری

فرم تانسوری چهاربعدی این معادلات این گونه است:

\partial _{\mu }F ^{\nu \mu }=4~\pi J ^{\nu }\,

\partial _[{\mu }F _{\nu \lambda ]}=0\,

معادله دوم به اتحاد بیانکی مشهور است.

[ویرایش] منابع

  • Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
  • Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997