اصل موضوع زوج سازی - ویکی‌پدیا

# اصل موضوع زوج سازی

### از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

## [ویرایش] مقدمه

ممکن است اين سوال براي شما پيش بيايد که آيا به قدر کافي مجموعه وجود دارد که بتوان اطمينان يافت که هر مجموعه‌ای عضو مجموعه‌ی ديگر است؟ يا دقيق‌تر، آيا براي هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که شامل آن دو مجموعه مفروض باشد؟ در مورد چند مجموعه چه‌طور؟

براي برادشتن اولين قدم براي پاسخ به اين سوالات در نظريه اصل موضوعي مجموعه ها به اصل موضوع مجموعه ساز ديگري نياز داريم که اصل موضوع زوج سازي (Axiom of paring) نام دارد.

## [ویرایش] اصل موضوع زوج سازی

این اصل بیان می کند:

یا به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومي وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند يا به عبارت ديگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

توجه داشته باشيد که اصل موضوع زوج سازی بيان مي‌کند A شامل a و b است ولي نمي گويد A دقيقاً شامل a و b است، اما با استفاده از اصل موضوع تصریح می‌توان مجموعه‌ای ساخت که دقيقاً شامل a و b باشد.

اگر a و b دو مجموعه باشند برطبق اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌اي چون A موجود است که شامل a و b است. حال اگر اصل موضوع تصریح را بکار برده و مجموعه {x∈A:x=a∨x=b} را در نظر بگيريم اين مجموعه زيرمجموعه‌اي از A است که فقط شامل دو عضو a و b است و عبارت است از {B={a,b.

پس در بيان نتيجه‌اي از اصل موضوع زوج سازي مي توان گفت: براي هر دو مجموعه دلخواه a و b مجموعه‌اي چون A وجود دارد که دقيقاً شامل aو b باشد يا {A={a,b.

اصل موضوع گسترش يکتا بودن مجموعه فوق را تضمين مي‌کند و لذا يک مجموعه وجود دارد که دقيقاً شامل a و b است و همانطور که در قبل مشاهده کرديد آن را به صورت {a,b} نشان مي‌دهيم و به آن زوج نامرتب a و b مي‌گوييم.

حال امکان اين را داريم که به برخي از سوالاتي که در ابتدا مطح کرديم پاسخ دهيم. فرض کنيد a مجموعه‌اي دلخواه باشد. در اين صورت مي‌توان اصل موضوع زوج سازي را در مورد a و a بکار برد و زوج نامرتب {a,a} را تشکيل دارد که همان مجموعه تک عضوي {a} است که در اين حالت داريم {a∈{a. پس پاسخ اين سوال که آيا هر مجموعه عضو مجموعه‌اي ‌ديگر است مثبت است.

حال به نظر شما براي هر تعداد مجموعه دلخواه مجموعه‌اي هست که شامل آن مجموعه‌ها باشد؟

حال ممکن است اين سوال براي خواننده کنجکاو پيش بيايد که آيا واقعاً نيازي به تعريف اصل موضوع زوج سازي وجود دارد؟ آيا نمي‌توان با استفاده از اصل موضوع تصریح و بيان يک شرط مجموعه {a,b} را توليد کنيم؟ بيايد به اين سوال پاسخ دهيم!

فرض کنيد (S(x گزاره نماي «x=a يا x=b» باشد(همانند قبل a و b مجموعه‌اند). مي‌توان اصل موضوع زوج سازي را به اين صورت تعريف کرد: « مجموعه‌اي چون B وجود دارد که x∈B اگر و فقط اگر x=b يا x=a » (*) در اين صورت داريم {B={x:x=a∨x=b.

اما هنگامي که اصل موضوع تصریح براي مجموعه‌اي مفروض چون A به کار مي‌رود وجود مجموعه‌اي چون B را بيان مي‌کند که: x∈B اگر و فقط اگر x∈A و (x=a يا x=b)(**). که در اين صورت داريم{B={x∈A:x=a∨x=b.

حال ببينيم بين (*) و (**) چه رابطه‌اي وجود دارد؟

در حقيقت با توجه به اصل موضوع تصریح مشخص مي‌شود که رابطه (*) حالت کاذبي از (**) است چراکه در آن شرط (S(x در مورد يک مجموعه مشخص به‌کار نرفته در صورتي که همانطور که در اصل موضوع تصریح بيان شده است براي تعيين يک مجموعه تنها بيان يک خاصيت چون (S(x کافي نمي‌باشد و اين خاصيت بايد براي اعضاي يک مجموعه بکار رود تا مجموعه‌اي جديد را مشخص کند.

پس را بطه (*) يک مجموعه را مشخص نمي‌کند و {B={x:x=a∨x=b يک مجموعه نمي‌باشد(معمولاً B و چنين اشياي رياضي را کلاس يا رده مي‌گويند).

پس چون بدون در نظر گرفتن اصل موضوع زوج سازي مجموعه‌اي در اختيار نداريم که با بکار گيري (S(x براي اعضاي آن مجموعه B را بسازيم، تعريف اصل موضوع زوج سازي ضروري است.

در حقيقت همه اصول موضوع مجموعه ساز که در نظريه اصل موضوعي مجموعه‌ها بيان مي‌کنيم همانند اصل موضوع زوج سازي،اصل موضوع اجتماع و ... حالات کاذبي از اصل موضوع تصریح مي‌باشند چرا که همه آنها وجود مجموعه‌اي را با بيان يک خاصيت بيان مي‌کنند اما معلوج نمي‌باشد عضوهايي که بايد در شرط صدق کنند از کجا آورده مي‌شوند.

## [ویرایش] جستارهای وابسته

- نظریه اصل موضوعی مجموعه ها
- اصل موضوع گسترش
- اصل موضوع تصریح
- اصل موضوع مجموعه تهی
- اصل موضوع اجتماع
- اصل موضوع مجموعه توانی
- اصل موضوع بینهایت
- اصل موضوع انتخاب
- اصل موضوع جایگزینی
- مجموعه
- نظریه مجموعه ها
- نظریه طبیعی مجموعه ها

## [ویرایش] منابع

- پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373، ISBN 964-01-0052-8. ‏

- ایان استیوارت،دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376، ISBN 964-01-0253-9. ‏

- مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Axiom of pairing»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).

برگرفته از «http://fa.wikipedia.org../../../%D8%A7/%D8%B5/%D9%84/%D8%A7%D8%B5%D9%84_%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9_%D8%B2%D9%88%D8%AC_%D8%B3%D8%A7%D8%B2%DB%8C.html»

رده‌های صفحه: ریاضیات

##### Views

- مقاله
- بحث
- نسخهٔ فعلی

##### جستجو

##### زبان‌های دیگر

- English
- Français
- Italiano
- Lumbaart
- Português
- 中文