اصل موضوع گسترش
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] معرفی
یکی از مفاهیم اصلی در نظریه مجموعهها که در بررسیهای کاملا اصل موضوعی از جمله عمدهترین مفایم اولیه و تعریف نشده محسوب میشود مفهوم تعلق یا عضویت است. اگر A یک مجموعه باشد و x متعلق A باشد (x عنصر A است یا A شامل x است) مینویسیم x∈A. نماد
نماد عضویت است و برگرفته از حرف یونانی ε (اپسیلون) است و توسط پئانو مورد استفاده قرار گرفته شده است. یکی از روابط مهم میان مجموعهها که تا حدی مقدماتی تر از تعلق است، تساوی دو مجموعه است. اگر دو مجموعه A و B باشند مینویسیم A=B و در غیر این صورت مینویسیم A≠B.
- حال این سوال پیش میآید که چه هنگام دو مجموعه را مساوی میگوییم؟
برای پاسخ به این سوال اصل موضوعی بنا میکنیم که به درستی رابطه بین تساوی و تعلق را در مجموعهها نشان می دهد.
[ویرایش] اصل موضوع گسترش
مطابق اصل موضوع گسترش
به عبارت دیگر این اصل بیان می کند، دو مجموعه با هم برابرند اگر و فقط اگر دارای عناصر یکسان باشند.
این اصل نشان میدهد هر مجموعه با گسترش خود (اعضای خود) دقیقاً مشخص میشود. همچنین با توجه به مفهوم زیرمجموعه میتوان اصل موضوع گسترش را به گونهای دیگر فرمول بندی نمود.
میدانیم که اگر مجموعه A زیرمجموعه، مجموعه B باشد مینویسیم A⊆B و این بدان معنی است که هر عضو A، متعلق به B نیز میباشد. حال اگر برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داشته باشیم A⊆B و B⊆A آنگاه بدیهی است که طبق تعریف هر عضو A در B و هر عضو B در A موجود است و لذا اعضای A و B یکسان هستند. پس:
دو مجموعه باهم مساویند اگر و فقط اگر هر یک زیر مجموعه دیگری باشد. به عبارت دیگر اگر A و B دو مجموعه باشند A=B اگر و فقط اگر A⊆B و B⊆A
پس اصل موضوع گسترش به ما کمک میکند که بدانیم چه موقع دو مجموعه با هم برابرند. با توجه به این اصل همواره اثبات تساوی دو مجموعه به دو بخش تقسیم میشود که باید در هر قسمت نشان دهیم هر یک از مجموعهها زیرمجموعه دیگری است.
[ویرایش] همچنین ببینید
- اصل موضوع تصریح
- اصل موضوع زوج سازی
- اصل موضوع مجموعه تهی
- اصل موضوع اجتماع
- اصل موضوع مجموعه توانی
- اصل موضوع بینهایت
- اصل موضوع انتخاب
- اصل موضوع جایگزینی
- نظریه مجموعه ها
- مجموعه
- نظریه اصل موضوعی مجموعهها
- نظریه طبیعی مجموعهها
[ویرایش] منابع
- پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373، ISBN 964-01-0052-8.
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا، «Axiom of extension»، ویکیپدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 23 آگوست 2007).


