قضیه مقدار میانگین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

قضیه مقدار میانگین(برای توابع پیوسته) از مهمترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است. البته قضیه ای با نام مشابه برای انتگرالها وجود دارد که مب توانید آن را با عنوان قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ها مشاهده کنید.

فهرست مندرجات

[ویرایش] معرفی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهمترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند.

صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیات لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و بوسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توجیه کرد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.

[ویرایش] قضیه مقدار میانگین

در حقیقت این قضیه صورتی کلی‌تر از قضیه رُل را به ما نشان می‌دهد.

قضیه مقدار میانگین
هرگاه f تابعی پیوسته در بازه [a,b] و مشتق‌پذیر در بازه (a,b) باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b موجود است که:
f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}


[ویرایش] برهان

تابع Φ(x) = f(x) − ηx را در نظر می‌گیریم که در آن η عددی ثابت است. تابع Φ در بازه[a,b] پوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر است.

حال η را به گونه ای تعریف می‌کنیم که Φ(a) = Φ(B) در این صورت باید داشته باشیم:

Φ(a) = f(a) − ηa = f(b) − ηb = Φ(b)

پس

\eta=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

پس تابع

\Phi(x)=f(x)- \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)x

تابعی است که در بازه [a,b] در شرایط قضیه رل صدق می کند پس نقطه‌ای چون (c∈(a,b موجود است که:

\Phi^\prime(c)=f^\prime (c)- \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)=0

پس f^\prime (c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

و برهان قضیه کامل می شود.

در واقع در اثبات قضیه مقدار میانگین سعی شد تابعی ساخته شود که از آن با استفاده از قضیه رل بتوانیم به نتیجه مورد نظر برسیم.

[ویرایش] قضیه مقدار میانگین به صورت نمو

فرض کنید f در بازه ای شامل x0 + Δx,x0 مشتق پذیر باشد.

در این صورت، نمو f در x0 را می‌توان به شکل:

\Delta f(x_0)=f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)=f^\prime(x_0+ \theta \Delta x)\Delta x

نوشت که در آن 0 < θ < 1.

[ویرایش] برهان

f بر بازه [x0,x0 + Δx] پیوسته و در (x0,x0 + Δx) مشتق‌پذیر است پس بنابر قضیه مقدار میانگین نقطه‌ای چون c\in (x_0,x_0+\Delta x) وجود دارد که:

f^\prime(c)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}

پس:

\Delta f(x_0)=f^\prime (c)\Delta x\qquad (*)

از طرفی داریم x0 < c < x0 + Δx پس 0 < cx0 < Δx ولذا

0<\frac{c-x_0}{\Delta x}<1

پس قرار می دهیم \theta=\frac{c-x_0}{\Delta x} و به این ترتیب:

c=x_0+\theta\Delta x\qquad (0<\theta<1)

حال با قرار دادن c در رابطه (*) خواهیم داشت:

\Delta f(x_0)=f^\prime(x_0+\theta\Delta x)\Delta x

و لذا حکم ثابت می‌شود.

به عنوان مثال اگر f(x)=x2 خواهیم داشت:

\Delta f(x_0)=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2

پس f^\prime(x)=2x.

θ مناسب برابر است با \theta=\frac{1}{2} چون در این صورت داریم:

f^\prime(x_0+\theta x)\Delta x=f^\prime(x_0+\frac{1}{2}\Delta x)\Delta x

پس

=2(x_0+\frac{1}{2}\Delta x)\Delta x=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2=\Delta f(x_0)


[ویرایش] چه کسی قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد؟

ژوزف لویی لاگرانژ(1736-1813) در سال 1787، در آن هنگام که می کوشید بدون استفاده از مفهوم حد، حساب دیفرانسیل و انتگرال را مورد مطالعه قرار دهد، برای نخستین بار قضیه مقدار میانگین را اثبات کرد. به همین سبب گاهی به این قضیه، قضیه لاگرانژ نیز می گویند.

این قضیه مهم را در آثار آمپر(1775-1836) هم می‌توان یافت. هر چند شهرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت.

ولی کوشی بود که در کتاب درسی معروف خود به نام «درس‌های آنالیز» در 1821 و «خلاصه درسهایی در باره حساب بینهایت کوچک‌ها» در سال 1823 تعمیم قضیه مقدار میانگین را به چاپ رسانید، و بدین ترتیب آن را معروف ساخت.

[ویرایش] کاربرد قضیه مقدار میانگین

از قضیه مقدار میانگین در اثبات بسیاری از نامساوی‌ها و قضایای مهم، و نیز آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن توابع استفاده می شود. در اینجا به چند مورد از این کاربردها اشاره می کنیم.


[ویرایش] قضیه کوشی

این قضیه را می توان تعمیمی بر قضیه مقدار میانگین دانست. برای مطالعه بیشتر و اثبات به قضیه کوشی مراجعه کنید.

قضیه کوشی
هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر باشند و g^\prime (x) به ازائ هر x عضو (a,b) ناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b هست که:
\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] منابع

  • جرج توماس-راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی(جلد اول). ترجمهٔ سیامک کاظمی-مهدی بهزاد-علی کافی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1370، ISBN 964-01-0536-8. ‏
  • ریچارد سیلورمن. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: انتشارات علمی فنی، 1376، ISBN 964-6215-06-8. ‏