اجتماع (مجموعه)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

اگر عضوهای دو مجموعه A و B را در مجموعه دیگری بریزیم ، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با A\cup B نمایش میدهیم.

[ویرایش] اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر A\in S داشته باشیم A\subseteq C.

اجتماع همه اعضای S که آن را با \bigcup S یا \bigcup_{A\in S}A نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\bigcup S := \bigcup_{A\in S}A := \{x\in C: \exists A\in S, x\in A\}

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، \bigcup \{A, B\} را با A\cup B نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با A\cup B\cup C،... و اجتماع n مجموعه A_1, A_2,\cdots,A_n را با A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = (A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n-1})\cup A_n


[ویرایش] خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی A\cup B این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع A\cup B کوچکترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با A\cap B نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

  • A\cup A = A
  • A\cup B = B\cup A
  • A\cup \phi = \phi\cup A = A
  • (A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)
  • A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
  • A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)