قضیه لاگرانژ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

قضیه لاگرانژ در نظریه گروه ها از جمله قضایای مهم است. این قضیه بیان مرتبه هر زیرگروه از یک گروه متناهی، مرتبه آن گروه را عاد می کند.

این قضیه بعد از ژوزف لویی لاگرانژ نامگذاری شده است. توجه داشته باشید که قضیه نیز با همین قضیه لاگرانژ در نظریه اعداد در مورد همنهشتی های جبری وجود دارد که نباید آن را با این قضیه خلط کرد.

فهرست مندرجات

[ویرایش] تاریخچه

در حقیقت لاگرانژ این قضیه را اثبات نکرده است و تناها حالتی خاص از آن را کشف کرده است. لاگرانژ هنگامی که برروی چندجمله ایها کار می کرد، در یافت که اگر متغیرهای یک چندجمله ای n متغیره را به !n حالت ممکن جایگشت دهیم، تعداد چندجمله ای های متمایز تولید شده حاصل از جایگشت ها !n را عاد می کند. به عنوان مثال در چندجمله ای سه متغیره x+y-z تعداد کل حالات جایگشت متغیرها برابر !3=6 است که از این تعداد تنها سه حالت یعنی x+y-z,x+z-y,y+z-x حالات متمایز هستند و دقت کنید که 3 عدد 6 را عاد می کند.

بنابراین لاگرانژ قضیه را برای گروههای متقارن به اثبات رسانید، اما با پیشرفت جبرمجرد و نظریه گروه ها این نتیجه به گروه های متناهی تعمیم داده شد.

[ویرایش] قضیه لاگرانژ و برهان آن

قضیه لاگرانژ
اگر G گروهی متناهی و H زیرگروهی از G باشد، آنگاه مرتبه H مرتبه G را عاد می کند یعنی |H|||G|.
طرح برهان قضیه لاگرانژ
اثبات قضیه لاگرانژ ساده است و با استفاده از هم مجموعه های H در G ثابت می شود. برای اثبات می توان از هم مجموعه های راست یا چپ استفاده کرد که ما در اینجا از مورد اول استفاده می کنیم.

می دانیم که اگر G یک گروه باشد و H زیرگروهی از G در این صورت G را می توان به مجموعه همه هم مجموعه های راست متمایز H در G افراز نمود. بعلاوه چون G متناهی است پس هم مجموعه های متمایز H در G نیز متناهی است که این تعداد برابر است با اندیس H در G(اندیس H در G تعداد هم مجموعه های متمایز H در G هستند) که آن را با [G:H] نشان می دهیم.

از طرفی توجه می کنیم بنابر خواص هم مجموعه های H در G، می دانیم برای هر g∈G، داریم |H|=|Hg|. یعنی تعداد عناصر تمام هم مجموعه های H در G برابر تعداد اعضای H است.

بنابر آنچه گفته شد نتیجه می شود مجموعه G را می توان به [G:H] زیرمجموعه که هر یک |H| عضو دارند افرا کرد. پس:

| G | = [G:H] | H |

ولذا مرتبه H یعنی |H| مرتبه G یعنی |G| را عاد می کند و برهان کامل می شود.

[ویرایش] وجود زیرگروهها از مرتبه خاص

بنابر آنچه گفته شد، ممکن است این سوال به ذهن خطور کند که آیا عکس قضیه لاگرانژ نیز برقرار است. یعنی اگر G گروهی متناهی باشد، آیا G به ازای هر مقسوم علیه مرتبه خود چون n زیرگروهی از مرتبه n دارد؟

پاسخ این پرسش در حالت کلی برای گروه G منفی است. برای رد این مطلب می توان گروه متناوب از مرتبه 12 یعنی A4 را به عنوان مثال نقض در نظر گرفت. با وجود این که 6 یک مقسوم علیه 12 است ولی این گروه هیچ زیرگروهی از مرتبه 6 ندارد.

در حقیقت برای برقراری عکس قضیه لاگرانژ به شرایط اضافی نیازمندیم. به عنوان نمونه اگر G گروهی آبلی متناهی باشد در این صورت عکس قضیه لاگرانژ در مورد G صدق می کند یعنی اگر G گروهی آبلی و متناهی باشد و n یک مقسوم علیه مرتبه G باشد، G دارای زیرگروهی از مرتبه n است.

همچنین قضایای سیلو و قضیه کوشی برای گروه های آبلی متناهی به بررسی این گروه های خاص می پردازند.

[ویرایش] نتایج و کاربردهای قضیه لاگرانژ

از قضیه لاگرانژ می تواننتیجه گرفت اگر G گروهی متناهی از مرتبه n باشد و x∈G آنگاه xn=e.

برای اثبات این مطلب زیرگروه دوری تولید شده توسط x یعنی <x> را در نظر می گیریم. فرض می کنیم <x> از مرتبه m باشد. در این صورت قضیه لاگرانژ ایجاب می کند که m|n پس عدد صحیح k وجود دارد که n=mk.

از طرفی m مرتبه عضو(کوچکترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس xm=e

بنابراین:

xn = xmk = (xm)k = ek = e

این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می شود.

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] منابع

  • دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن. اساس جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه. مشهد: دانشگاه امام رضا(ع)، 1380، ISBN 964-6582-29-x. ‏
  • دان ساراسینو. جبر مجرد. ترجمهٔ محمد رضا فلکی. مشهد: نشر اقلیدس، 1381، ISBN 964-91210-9-9. ‏
  • اسرائیل ناتان هراشتاین. جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، 1381، ISBN 964-6379-02-8. ‏
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «(Lagrange's theorem(group theory»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).
زبان‌های دیگر