مجموعهٔ مندلبروت
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
مجموعهٔ مندلبروت مجموعهای از نقطهها روی صفحهٔ مختلط است که یک برخال (فرکتال) را تشکیل میدهند. این مجموعه به خاطر زیباییاش و نیز به خاطر ساختار پیچیدهای که فقط از چند تعریف سادهٔ ریاضی ناشی شده است، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شده است.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] تاریخچه
مجموعهٔ مندلبروت (به انگلیسی: Mandelbrot set) اولین بار توسط یک ریاضیدان فرانسوی به نام پیر فاتو که در زمینه آنالیز مختلط پویا فعالیت میکرد در سال ۱۹۵۰ تعریف شد. فاتو در آن زمان به کامپیوتر مستعد برای کشیدن این تابع دسترسی نداشت و با وجود محاسبات زیاد نتوانست اشکالی را که ما امروزه میبینیم ببیند. همزمان ریاضیدان دیگری به نام ژولیا روی توابع گویا روی صفحهٔ اعداد مختلط کار میکرد. امروز مجموعههای ژولیا از شکلهای معروف فرکتالی است. این مباحث به صورت موضوعاتی پراکنده مطرح بودند تا این که ب. مندلبرات در سال ۱۹۷۹ با انتشار مقالهٔ Fractals: Form, chance and dimension مباحث فوق و بسیاری از مباحث دیگر را تحت عنوان هندسه فرکتالی جمعبندی و عرضه کرد و با انتشار کتاب هندسه فرکتالی طبیعت توسط مندلبرات عملاً شکوفایی هندسهٔ فرکتالی آغاز شد.
[ویرایش] تعریف
مجموعه مندلبرات M، مرکب از "c-مقدارهای" مختلطی ست که دنبالهٔ حاصل از تکرار ترکیب تابع fc(z) = z2 + c با خودش در نقطهٔ آغازین صفر به بینهایت میل نکند.
در آنالیز پویا اصطلاحاً به دنبالهای از نقاط که از تکرار ترکیب یک تابع با خودش به درست میآید ابر یا اربیت نقاط تحت آن تابع میگویند. به بیانی دیگر مجموعه مندلبرات مجموعه نقاط اربیتهای بدست آمده تحت تابع z2 + c است که به بینهایت نمیگراید.
[ویرایش] خصوصیات و قضایای مهم
- قضیه(ملاک میل به بینهایت به انگلیسی The Escape Criterion): فرض کنید c عضوی از مجموعه مندلبرات است اگر و تنها اگر اربیت تحت x2 + c از دایرهای به شعاع 2 و به مرکز مبدأ خارج نشود. (بیان دیگر به ازای | c | > 2 اربیت تحت x2 + c به بینهایت میل میکند.)
این قضیه نشان میدهد مجموعه مندلبرات کاملاً در داخل دیسک به شعاع 2 قرار دارد.
این مجموعه در صفحه مختلط
فشرده است. همچنین دو ریاضیدان به نامهای دوادی و هابارد اثبات کردهاند که این مجموعه در صفحه
پیوسته است
[ویرایش] رنگ آمیزی تصاویر رایانهای
برای خلق آثار زیبای بصری رایانهای از این فرکتال، از رنگآمیزیهای مختلف استفاده میشود و اساس آن مرتبهٔ تکرار (iteration) است به طوری که در هر تکرار در صورت تشخیص خارج بودن نقاط از مجموعه به آن نقاط رنگ مربوط به مرتبه تکرار تعلق میگیرد. به این ترتیب تصاویر رنگی به وجود میآید.
[ویرایش] منابع
- http://math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM
- http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php
- http://hypertextbook.com/chaos
[ویرایش] پیوندهای خارجی دیگر
- نرمافزار متن باز XaoS
- نرم افزار هوش مصنوعی IFS Illusions

