نظریه گروه‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

گروه(Group) از جمله مهمترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و... از اهمیت بالایی برخوردار است.

فکر تشکیل نظریه گروهها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کردند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می شود.

شاخه ای از ریاضیات را که به مطالعه گروهها اختصاص دارد را نظریه گروه(Group Theory) می گوییم.

فهرست مندرجات

[ویرایش] تاریخچه

نظریه گروهها بوسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چند جمله ای پابه گذاری شد.

نظریه اعداد بوسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره،اس.لی لای و سی.اف کلاین هستند.

به هر حال اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)،لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقه ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است.

اولین کاربرد گروهها در توصیف تاثیر جایگشتهای ریشه های یک معادله چند جمله ای بوده است که بوسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.

او کشف کرد که ریشه های همه مواردی را که او امتحان کرده است توابعی گویا از ریشه های معادلات متناظرشان هستند. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.

بعد از او گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت.

بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می کردند می توان برتراند،چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.

تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854 کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروهای متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.

والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد. مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.

امروزه نظریه گروهها به بنیادی ترین نظریه ها در جبر مجرد تبدیل شده است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.

[ویرایش] تعریف گروه

ابتدا یادآوری می کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان های جبری است.

ساختمان جبری (G, * ) (مجموعه G به همرا عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:

  1. عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c∈G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
  2. G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
  3. هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.

منشائ این اصول بر حسب تجربه و متاثر از تاریخ مطالعه گروهها است.

در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروهها دارای این خاصیت هستند. این گروهها از اهمیت ویژه ای برخودارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروه های آبلی نامیده می شوند.

همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می گوییم.

  • قرار داد: همانطور که در مورد هر ساختمان جبری عمل می شود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می نویسیم ab.

[ویرایش] زیرگروه

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می نویسیم H\le G.

با توجه به این تعریف اگر H زیرمجموعه ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:

  1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
  2. H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-1∈H

توجه داشته باشید که خاصیت شرکت پذیری خود به خود برقرار است.

[ویرایش] مرتبه گروه

به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می نامیم.

مرتبه گروه G را با |G| نشان می دهیم.

قضیه لاگرانژ در مورد گروههای متناهی بیان می کند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد می کند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه

| H | | | G |

[ویرایش] گروه دوری

گروه G را دوری می گوییم هرگاه x∈G موجود باشد، که <G=<x. در این صورت x را مولد G می گوییم. بعلاوه اگر G یک گروه باشد برای هر x∈G زیرگروه <x> را زیرگروه دوری G می گوییم.

[ویرایش] نمونه هایی از گروههای مهم

مثالهای زیادی از گروهها وجود دارد. یه عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه است که آبلی نیز می باشد. در این قسمت چند نمونه از گروهها را که معمولاً در بررسی ها مورد استفاده قرار می گیرند را معرفی می کنیم. خواننده می تواند گروه بودن هر نمونه را بررسی کند.

  • گروه چهارتایی کلاین

فرض کنید {V={a,b,c,d d یک مجموعه چهارعضوی باشد. عمل * را روی V به صورت زیر تعریف می کنیم:

جدول گروه چهار تایی کلاین
* a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a

در این صورت V گروهی آبلی و متناهی به نام گروه چهارتایی کلاین تشکیل می دهد.

  • گروه اعداد صحیح به هنگ m

می دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا \equiv _m یک رابطه هم ارزی روی مجموعه اعداد صحیح \mathbb{Z} تعریف می کند که مجموعه خارج قسمت آن(مجموعه همه کلاس های هم ارزی رابطه هم ارزی) را با \mathbb{Z}_m نشان می دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم ارزی a را با \bar{a} نشان دهیم، در این صورت:

\mathbb{Z}_m=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},...,\bar{m-1}\}

حال عمل موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت

\forall \bar{a},\bar{b}\in \mathbb{Z}_m:\bar{a}\oplus \bar{b}=\overline{a+b}

تعریف می کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می تواند بررسی کند که \mathbb{Z}_m به همراه عمل یک گروه است.

به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می تواند ساخت.

در مورد سایر گروها می توانید به مقالات زیر رجوع کنید:

    • گروه دوری
    • گروه جایشگتی
    • گروه متناهی
    • گروه آبلی
    • گروه های آبلی متناهی
    • گروه خارج قسمتی
    • گروه متقارن
    • گروه دووجهی

[ویرایش] قضایای بنیادی در مورد گروها

برای مطالعه بیشتر و همراه به اثبات به مقاله قضایای بنیادی در مورد گروه ها مراجعه کنید.

  • در هر گروه عضو خنثی یکتاست.
  • در هر گروه معکوس هر عضو یکتاست.

با توجه به این قضیه اگر G یک گروه باشد و a∈G معکوس a را با a − 1 نشان میدهیم.

  • اگر G یک گروه باشد و a∈G آنگاه (a − 1) − 1 = a
  • اگر G یک گروه باشد و a,b∈G آنگاه (ab) − 1 = b − 1a − 1 واگر G آبلی باشد، (ab) − 1 = a − 1b − 1
  • اگر G یک گروه باشد و a,b,c∈G آنگاه:
    • اگر ac=bc آنگاه a=b (قانون حذف از راست)
    • اگر ca=cb آنگاه a=b (قانون حذف از چپ)

[ویرایش] قضایای مهم در نظریه گروهها

  • قضیه لاگرانژ: اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می کند.
  • قضیه پوانکاره: اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروههای G با اندیس متناهی در G باشند، [G:H\cap K]\le [G:H][G:K]
  • قضیه کیلی:هر گروه G با زیرمجموعه ای از گروه متقارن روی G ایزومورف است.
  • قضایای سیلو
  • قضایای ایزومورفیسم
  • لم جوردن-هولدر

[ویرایش] کاربرد گروهها

گروه ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و ... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی های منظم، تقارن های ملکولی استفاده می کنند.

بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و ... در شاخه های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری،توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری،نظریه جبری اعداد و.. استفاده می شود.

[ویرایش] اصطلاحات موجود در نظریه گروهها

    • عمل دوتایی
    • گروه آبلی
    • زیرگروه
    • مرکز گروه
    • هم مجموعه ها
    • مرکز ساز گروه
    • نرمال ساز گروه
    • زیرگروه نرمال
    • مرتبه گروه
    • مرتبه عضو
    • گروه دوری
    • گروه خارج قسمت
    • گروه متقارن
    • همومورفیسم
    • قضایای ایزومورفیسم
    • حاصل ضرب مستقیم
    • تزویج
    • معادله کلاسی
    • قضیه کیلی
    • قضیه لاگزانژ
    • قضیه کوشی
    • قضایای سیلو

[ویرایش] همچنین ببینید

[ویرایش] منابع

  • دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن. اساس جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه. مشهد: دانشگاه امام رضا(ع)، 1380، ISBN 964-6582-29-x. ‏
  • دان ساراسینو. جبر مجرد. ترجمهٔ محمد رضا فلکی. مشهد: نشر اقلیدس، 1381، ISBN 964-91210-9-9. ‏
  • اسرائیل ناتان هراشتاین. جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، 1381، ISBN 964-6379-02-8. ‏


  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Group theory»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد. (بازیابی در 24 آگوست 2007).
زبان‌های دیگر