انتگرال خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.

تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهی مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال W=\vec F\cdot\vec d) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالW=\int_C \vec F\cdot d\vec s) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.

انتگرال خطی


در ریاضیات، انتگرال خطی (گاهی به آن انتگرال مسیر می گویند) انتگرالی است که تابع درون انتگرال در امتداد یک منحنی برآورد می شود. انتگرال های خطی متعدد متفاوتی مورد استفاده قرار می گیرند. در حالتی که با یک منحنی بسته سر و کار داشته باشیم، به آن انتگرال روی منحنی هم گفته می شود. تابع مورد نظر برای انتگرال گیری می تواند یک میدان اسکالر (عددی) یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر است با مجموع مقادیر میدان در تمام نقاط منحنی که با تعدادی تابع اسکالر روی منحنی وزن دهی شده اند. (معمولاً طول کمان یا برای یک میدان برداری ضرب اسکالر بردار میدان در یک بردار دیفرانسیلی درون منحنی.) این وزن دهی انتگرال خطی را از انتگرال های ساده تر روی بازه ها متمایز می کند. بسیاری از فرمول ها در فیزیک (به عنوان مثال ) دارای مشابه پیوسته طبیعی ای از انتگرال خطی ( ) می باشند. به طور نمونه، انتگرال خطی کار انجام شده توسط یک شئ متحرک درون یک میدان الکتریکی یا گرانشی را به دست می دهد.

1. حساب برداری

         1. 1  تعریف
         1. 2  استقلال مسیر
         1. 3  کاربردها 
         1. 4  رابطه با انتگرال خطی در آنالیز مختلط 

2. آنالیز مختلط

         2. 1  مثال

3. مکانیک کوانتومی

• حساب برداری به طور کیفی در حساب برداری، یک انتگرال خطی را می توان به عنوان ابزار اندازه گیری اثر کل یک میدان برداری داده شده در امتداد یک منحنی دانست. • تعریف

     برای میدان اسکالر   تعریف شده روی یک زیرمجموعه باز U از Rn ، انتگرال خطی          روی منحنی c که به صورت   و   پارامتری شده است، با   تعریف می شود که :
       
تابع اسکالر مورد نظر برای انتگرال گیری است.
یک پارامتریزاسیون دو سویه منحنی  ؛ و   نقاط انتهایی منحنی   را می دهند.

نماد به عنوان طول کمان بنیادی در نظر گرفته می شود. چون انتگرال های میادین اسکالر تنها به المان طول قوس بستگی دارند، این انتگرال ها مستقل از پارامتریزاسیون می باشند.

برای یک میدان برداری  : ، انتگرال خطی روی منحنی ، که به شکل که پارامتری شده ، توسط رابطه تعریف می شود. انتگرال خطی میدان های برداری مستقل از قدرمطلق پارامتریزاسیون می باشند، ولی مشخصاً به جهت بستگی دارند. به بیان دقیق تر معکوس شدن جهت پرامتریزاسیون منجر به تغییر در علامت انتگرال خطی می شود.

• استقلال مسیر اگر میدان برداری ، گرادیان یک بردار اسکالر مثل باشد، یعنی ، آنگاه مشتق ترکیب برابر است با :

که معادل انتگرالده برای انتگرال خطی   روی   می شود. با این ترتیب به دست می آید که برای منحنی داده شده   داریم :

به بیان کلمات یعنی انتگرال   روی   تنها به مقادیر نقاط  ، وابسته بوده و لذا مستقل از مسیر بین آنهاست. به این خاطر یک میدان برداری که گرادیان میدانی اسکالر است، مستقل از مسیر نامیده می شود. 

• کاربردها انتگرال خطی کاربردهای فراوانی در علم فیزیک دارد. به عنوان مثال، کار انجام شده روی ذره در حال حرکت روی منحنی درون یک میدان نیرویی بیان شده به شکل میدان برداری برابر است با انتگرال روی . • ارتباط با انتگرال خطی در آنالیز مختلط با در نظر گرفتن اعداد مختلط به عنوان بردارهای دو بعدی، انتگرال خطی در دو بعد یک میدان برداری متناظر است با قسمت حقیقی انتگرال خطی مزدوج تابع مختلط متناظر با یک متغیر مختلط. از معادلات کشی – ریمان نتیجه می شود که پیچ یک میدان برداری متناظر با مزدوج یک تابع تحلیلی برابر است با صفر. این از طریق قضیه استوکس، صفر بودن هر دو نوع انتگرال های خطی را بیان می کند. • آنالیز مختلط انتگرال خطی ابزاری اساسی در آنالیز مختلط است. فرض کنید یک زیرمجموعه باز از ، یک خم با درازای محدود و یک تابع باشد. آنگاه انتگرال خطی می تواند با تقسیم بازه به زیربازه های با عبارت زیر تعریف شود :

آنگاه انتگرال برابر است با حد این مجموع وقتی طول این زیربازه ها یه سمت صفر میل می کند.

اگر منحنی ای پیوسته – مشتق پذیر باشد، انتگرال خطی می تواند به عنوان انتگرال یک تابع با متغیر حقیقی براورد شود :

که   منحنی ای بسته است، یعنی نقاط ابتدایی و انتهایی اش با هم تلاقی دارند. اغلب عبارت   برای انتگرال خطی   روی   به کار می رود.

قضیه انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی از گزاره های مهم در زمینه انتگرال خطی می باشند. با توجه به قضیه مانده ها، اغلب می توان انتگرال های محیطی صفحه مختلط را برای پیدا کردن انتگرال توابع مقدار حقیقی نسبت به یک متغیر حقیقی، به کار برد. (برای یک مثال قضیه پس ماند را ببینید.) • مثال تابع را در نظر بگیرید، فرض کنید محیط ، دایره ای واحد حول صفر باشد که می تواند به صورت با در بازه پارامتریزه شود. با جایگذاری خواهیم داشت:

که از فرمول انتگرال کشی هم قابل تحقیق است. 

• مکانیک کوانتومی عبارت انتگرال مسیر در مکانیک کوانتومی دقیقاً به انتگرال های مسیر به این گونه اشاره نمی کند، بلکه به انتگرال های تابعی اشاره دارد. یعنی انتگرال هایی روی فضایی از مسیرها نسبت به تابعی از یک مسیر ممکن. با این حال، انتگرال های مسیر به صورت آنچه در این مقاله آمده، در مکانیک کوانتومی حائز اهمیت می باشند؛ برای مثال انتگرال گیری محیطی مختلط اغلب در براورد دامنه های احتمال در نظریه پراکندگی کوانتوم به کار می رود.

آپلود : میلاد شعاعی . سید حسن صدیق


فهرست مندرجات

[ویرایش] تعریف

برای بعضی از میدان‌های اسکالر f : R'n \to R انتگرال خطی روی منحنی C با پارامتریزه شدن r(t) که:\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.

معنی می‌شود که f:میدان اسکالر انتگرال‌پذیر

C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود

r(t): [a, b] \to C :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی C اند. ds روش راه‌گشای ارائه شده است به طوری که برابر طول کمان مقدماتی است. زیرا آنها تنهاوابسطه به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(t اند. برای یک میدان برداری F : Rn \to Rn، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آنها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.


[ویرایش] راه استقلال

اگر یک میدان برداری F باشد که برابر گرادیان میدان اسکالر G باشد.

\nabla G = \mathbf{F},

پس یک مشتق از ترکیب G و (r(t هست که

\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

که مقداری برای انتگرال خطی از میدان F روی (r(t است. با دنباله‌روی از این روش، یک مسیر روی C به ما می‌دهد که

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).

در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است. بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده است، راه استقلال می‌نامند.


[ویرایش] کاربردها

انتگرال خطی کاربرد زیادی در فییک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به طوری که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.


[ویرایش] رابطهی انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط

چشم‌انداز اعداد مختلط به طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با قسمت حقیقی از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک تابع مختلط با یک متغیر مختلط. بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن تابع هولومورفیک که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.

[ویرایش] آنالیز مختلط

انتگرال خطی یک روش بنیادی در آنالیز مختلط است. فرض U یک زیرمجموعه بازی است در C، γ : [a, b] \to U یک مسیر است و f : U \to C یک تابع باشد که انتگرال خطی :\int_\gamma f(z)\,dz. بازه [a,b] را به صورت زیر افراز می‌کنیم.

a = t0 < t1 < ... < tn = b

که با توجه به بالا می‌شود

\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).

انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به طوری که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.

\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.

وقتیγ یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آنرا با

\oint_\gamma f(z)\,dz

نشان می‌دهند که معمولاً برای انتگرال خطی f رویγ بسته نمایش داده می‌شود. بهترین حکم در مورد انتگرال خطی (جهتی)، قضیهی انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی است. زیرا با استفاده از قضیه مانده می‌توان روش انتگرال خطی (جهتی) در صفحه مختلط برای پیدا کردن انتگرال و مقدار حقیقی تابع از یک متغیر حقیقی پیدا کرد.


[ویرایش] مثال

با توجه به تابع f(z)=1/z و منحنی C حول صفر با شعاع 1 که با eit, پارامتریزه می‌شود که t in [0,2π]. داریم:

\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt
=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i

که می‌توان این مثال را از طریق انتگرال کشی بازبینی نمود.


[ویرایش] مکانیک کوانتومی

راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آنها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات مکانیک کوانتومی دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.