توزیع نرمال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

Normal
تابع چگالی احتمال
تابع چگالی احتمالی برای توزیع نرمال
خط سبز: توزیع نرمال استاندارد
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیعی تجمعی برای توزیع نرمال
رنگ‌ها با پی‌دی‌اف بالا همخوانی دارند
پارامترها μ مکان (حقیقی)
σ2 > 0 یه توان دو مقیاس (حقیقی)
دامنه x \in (-\infty;+\infty)\!
الگو:توزیع احتمالی/پیوندچگالی \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
پی‌دی‌اف \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!
میانگین μ
میانه μ
مُد μ
واریانس σ2
چولگی 0
کشیدگی 0
انتروپی \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
ام‌جی‌اف M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
تابع مشخصه \phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)


توزیع نرمال یا توزیع گوسی (یا گاوسی) یکی از توزیع‌های احتمالاتی‌ی پیوسته‌ی مهم است. این توزیع با بردار میانگین و ماتریس کواریانس آن توصیف می‌شود. توزیع نرمال استاندارد توزیعی با میانگین صفر و ماتریس کواریانس واحد است (خط سبز کشیده شده در نمودار برای حالت تک‌بعدی). به علت شباهت این شکل به زنگوله به آن انحنای زنگوله‌ای نیز گفته می‌شود.

دلیل اهمیت توزیع نرمال از وجود قضیه حد مرکزی ناشی می‌شود. این قضیه می‌گوید که هنگامی که تعداد بسیار زیادی متغیر تصادفی با توزیع دل‌خواه (و البته با واریانس محدود) را با هم جمع کنیم و میانگین بگیریم، توزیع نهایی به توزیع نرمال میل می‌کند. به همین خاطر هنگامی که شاهد تاثیر جمعی‌ی بسیاری از پدیده‌های تصادفی هستیم، نتیجه‌ی نهایی با توزیع نرمال قابل توصیف است.


[ویرایش] منحنی توزیع

تابع چگالی‌ی احتمال این توزیع تصادفی تک‌مدی است و مکان قله‌ی آن در نقطه‌ی میانگین آن قرار دارد. هم‌چنین میانه و میانگین این توزیع یک‌سان است. چگالی‌ی احتمال این توزیع به سرعت نمایی با دورشدن از میانگین آن تضعیف می‌شود.


[ویرایش] کاربردها

از مهمترین کاربردهای این تابع توزیع در دانش اقتصاد و مدیریت امروز می توان به مدل کردن پورتفولیوها (Portfolios) در سرمایه گذاری و مدیریت منابع نام برد. هنگامی که مقدار منفی برای متغییر معنی نداشته باشد معمولا" در محور x منحنی را منقل می کنند و مقدار میانگین - که دارای بیشترین احتمال وقوع هست - را به سمت مقادیر بزگتر شیفت میدهند.


Image:Bvn-small.png

توزیع‌های آماری  نمایشبحثویرایش 

گسسته

توزیع یکنواخت گسسته | توزیع برنولی | توزیع دوجمله‌ای | توزیع چندجمله‌ای | توزیع هندسی | توزیع دوجمله‌ای منفی | توزیع پواسن | توزیع فوق هندسی

پیوسته

توزیع یکنواخت پیوسته | توزیع نمایی | توزیع گاما | توزیع کیدو | توزیع نرمال | توزیع تی -استودنت | توزیع فیشر | توزیع بتا | توزیع وایبل | توزیع رالی | توزیع لُگ نرمال | توزیع لاپلاس | توزیع پارتو | توزیع کوشی | توزیع ارلانگ