# Bernoullijeva jednadžba

### Izvor: Wikipedija

Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u horizontalnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da Za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

    Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:

- potencijalne energije ...
  i
- kinetičke energije ... .

## [uredi] Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma ti visina je konstantna i jednaka H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

### [uredi] Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. Jednadžba

  ρ – Gustoća - (k g / m3)
  S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - (m2).
  p - statički tlak - (Pa)
  v - brzina - (m/s)
  m – masa tekućine - (kg)
  R - mehanički rad - (W)
  V - volumen mase tekućine - (m3)

- Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.

- - geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u
  - pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u
  - je brzinska visina u , a brzina predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
  - Ukupan zbroj energija daje Bernoullijevu jednadžbu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka S2 i statičkog tlaka p2 tekućina dobije veću brzinu v2. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

  a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova (p1 − p2) s1 pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

  R = (p1 − p2) s1 ΔS

  R= (p1 − p2) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

  (p1 − p2) V = -

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = dobivamo Bernoullijevu jednađbu:

  p1 + = p2 + = p3 + = konst.

Izrazi , p2 + i p3 + prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

## [uredi] Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu

  Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:

1. tekučina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

- - predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u .

### [uredi] Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja

    Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

### [uredi] Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala

  Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik

... ... ...(1E)
... ... ...(2E)
... ... ...(3E)

- nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

  Osnovna pretpostavka:

- imamo stacionarno strujanje

    matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.

pa dobijemo jednadžbu:

možemo derivirati

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

- ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;

I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:

## [uredi] Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu

- - je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u .

### [uredi] Coriolisov koeficijent

Ili koeficijent kinetičke energije . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

  Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:

- - kod strujanja u cijevima α = 1,0
  - kod strujanja u otvorenim vodotocima α = 1,1
  - vrijednost α možemo računati ovom formulom:

- postavlja se uvjet da je

## [uredi] Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe

### [uredi] Primjer cijevi pod tlakom

cijev pod tlakom

znamo: .

  gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: z1 = z2

### [uredi] Primjer za otvoreni vodotok

otvoreni vodotok

znamo: ako je strujanje jednoliko

- atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
- u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

  linija vodnog lica je pijezometarska linija

### [uredi] Primjer za Venturijev vodomjer

## [uredi] Zaključak

gdje je statički tlak, dinamički tlak, a ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

- Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekučinu. Pošto se radi o tekučinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

Dobavljeno iz "http://hr.wikipedia.org../../../b/e/r/Bernoullijeva_jednad%C5%BEba.html"

Kategorija: Aerodinamika

##### Views

- Članak
- Razgovor
- Trenutna inačica

##### Traži

##### Drugi jezici

- Български
- Česky
- Dansk
- Deutsch
- English
- Español
- فارسی
- Suomi
- Français
- עברית
- Magyar
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- Bahasa Melayu
- Nederlands
- ‪Norsk (nynorsk)‬
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenščina
- Українська
- 中文